«Введение в математическую философию»

[40] Untersuchungen zur Gegenstandstheorie und Psychologie, 1904.

Следуя чувству реальности, мы будем настаивать на том, что при анализе высказываний ничего «нереального» не должно быть допущено. Но, в конце концов, если нет ничего нереального, как, можно спросить, мы могли бы допустить что-то нереальное? Ответ заключается в том, что, имея дело с высказываниями, мы имеем дело в первую очередь с символами, и если мы приписываем значимость группам символов, которые не имеют значимости, мы впадем в ошибку допущения нереальностей, в единственном смысле, в котором это возможно, а именно как объектов, которые описываются. В высказывании «Я встретил единорога» все четыре слова вместе составляют значимое высказывание, и слово «единорог» само по себе значимо, в точно таком же смысле, как слово «человек». Но два слова «единорог» не образуют подчиненную группу, имеющую собственное значение. Таким образом, если мы ложно приписываем значение этим двум словам, мы оказываемся обременены «единорогом» и проблемой, как может существовать такая вещь в мире, где нет единорогов. «Единорог» — это неопределенное описание, которое ничего не описывает. Это не неопределенное описание, которое описывает что-то нереальное. Такое высказывание, как «... нереально», имеет смысл только тогда, когда «...» — это описание, определенное или неопределенное; в этом случае высказывание будет истинным, если «...» — это описание, которое ничего не описывает. Но описывает ли описание «...» что-то или ничего не описывает, оно в любом случае не является компонентом высказывания, в котором оно встречается; подобно «единорогу» только что, это не подчиненная группа, имеющая собственное значение. Все это вытекает из того факта, что, когда «...» — это описание, «... нереально» или «... не существует» — это не бессмыслица, а всегда значимо и иногда истинно.

Теперь мы можем перейти к определению общего значения высказываний, которые содержат двусмысленные описания. Предположим, мы хотим сделать некоторое утверждение о «некоем таком-то», где «такие-то» — это те объекты, которые обладают определенным свойством ..., т. е. те объекты ..., для которых пропозициональная функция ... истинна. (Например, если мы возьмем «человек» в качестве нашего примера «такого-то», ... будет «... есть человек».) Теперь пожелаем утвердить свойство ... о «некоем таком-то», т. е. мы хотим утвердить, что «некий такой-то» обладает тем свойством, которое ... имеет, когда ... истинно. (Например, в случае «Я встретил человека», ... будет «Я встретил ...».) Теперь высказывание о том, что «некий такой-то» обладает свойством ..., не является высказыванием формы «...». Если бы это было так, «некий такой-то» должен был бы быть тождественен ... для подходящего ...; и хотя (в некотором смысле) это может быть истинно в некоторых случаях, это, безусловно, не истинно в таком случае, как «единорог». Именно этот факт, что утверждение о том, что некий такой-то обладает свойством ..., не имеет формы ..., делает возможным для «некоего такого-то» быть, в некотором ясно определимом смысле, «нереальным». Определение следующее:—

Утверждение, что «объект, обладающий свойством ..., обладает свойством ...»

означает:

«Совместное утверждение ... и ... не всегда ложно».

Насколько позволяет логика, это то же самое высказывание, которое могло бы быть выражено как «некоторые ... есть ...»; но риторически есть разница, потому что в одном случае есть намек на единственность, а в другом — на множественность. Это, однако, не важный момент. Важный момент заключается в том, что при правильном анализе высказывания, словесно относящиеся к «некоему такому-то», оказываются не содержащими компонента, представленного этой фразой. И именно поэтому такие высказывания могут быть значимыми, даже когда нет такой вещи, как такой-то.

Определение существования, примененное к двусмысленным описаниям, вытекает из того, что было сказано в конце предыдущей главы. Мы говорим, что «люди существуют» или «человек существует», если пропозициональная функция «... есть человек» иногда истинна; и в общем «некий такой-то» существует, если «... есть такой-то» иногда истинно. Мы можем выразить это другим языком. Высказывание «Сократ есть человек», несомненно, эквивалентно «Сократ есть человек», но это не одно и то же высказывание. «Есть» в «Сократ есть человек» выражает отношение субъекта и предиката; «есть» в «Сократ есть человек» выражает тождество. Это позор для человеческого рода, что он решил использовать одно и то же слово «есть» для этих двух совершенно разных идей — позор, который символический логический язык, конечно, исправляет. Тождество в «Сократ есть человек» — это тождество между названным объектом (принимая «Сократ» как имя, с учетом квалификаций, объясненных позже) и двусмысленно описанным объектом. Двусмысленно описанный объект будет «существовать», когда по крайней мере одно такое высказывание истинно, т. е. когда существует по крайней мере одно истинное высказывание формы «... есть такой-то», где «...» — это имя. Характерно для двусмысленных (в отличие от определенных) описаний то, что может быть любое количество истинных высказываний вышеуказанной формы — Сократ есть человек, Платон есть человек и т. д. Таким образом, «человек существует» следует из Сократа, или Платона, или кого-либо еще. С определенными описаниями, с другой стороны, соответствующая форма высказывания, а именно «... есть тот самый такой-то» (где «...» — это имя), может быть истинной только для одного значения ... самое большее. Это подводит нас к теме определенных описаний, которые должны быть определены способом, аналогичным тому, что использовался для двусмысленных описаний, но несколько более сложным.

Мы подходим теперь к главной теме настоящей главы, а именно к определению слова «тот» (в единственном числе). Один очень важный момент относительно определения «некоего такого-то» в равной степени применим к «тому самому такому-то»; определение, которое следует искать, — это определение высказываний, в которых встречается эта фраза, а не определение самой фразы в изоляции. В случае «некоего такого-то» это довольно очевидно: никто не мог бы предположить, что «человек» — это определенный объект, который можно определить сам по себе. Сократ есть человек, Платон есть человек, Аристотель есть человек, но мы не можем сделать вывод, что «человек» означает то же самое, что означает «Сократ», а также то же самое, что означает «Платон», а также то же самое, что означает «Аристотель», поскольку эти три имени имеют разные значения. Тем не менее, когда мы перечислили всех людей в мире, не остается ничего, о чем мы могли бы сказать: «Это человек, и не только это, но это тот самый «человек», квинтэссенция сущности, которая является просто неопределенным человеком, не будучи никем в частности». Конечно, совершенно ясно, что все, что есть в мире, определенно: если это человек, то это один определенный человек, а не какой-либо другой. Таким образом, не может быть такой сущности, как «человек», которую можно было бы найти в мире, в отличие от конкретного человека. И, соответственно, естественно, что мы определяем не самого «человека», а только высказывания, в которых он встречается.

В случае «того самого такого-то» это в равной степени верно, хотя на первый взгляд менее очевидно. Мы можем продемонстрировать, что это должно быть так, путем рассмотрения различия между именем и определенным описанием. Возьмем высказывание: «Скотт — автор «Уэверли»». У нас здесь есть имя «Скотт» и описание «автор «Уэверли»», которые, как утверждается, относятся к одному и тому же лицу. Различие между именем и всеми другими символами можно объяснить следующим образом:—

Имя — это простой символ, значением которого является нечто, что может встречаться только как субъект, т. е. нечто такого рода, которое в главе XIII мы определили как «индивид» или «партикулярия». А «простой» символ — это тот, у которого нет частей, являющихся символами. Таким образом, «Скотт» — это простой символ, потому что, хотя у него есть части (а именно отдельные буквы), эти части не являются символами. С другой стороны, «автор «Уэверли»» — это не простой символ, потому что отдельные слова, составляющие фразу, являются частями, которые являются символами. Если, как это может быть, все, что кажется «индивидом», на самом деле способно к дальнейшему анализу, нам придется довольствоваться тем, что можно назвать «относительными индивидами», которые будут терминами, которые в рамках рассматриваемого контекста никогда не анализируются и никогда не встречаются иначе, как в качестве субъектов. И в этом случае нам придется соответственно довольствоваться «относительными именами». С точки зрения нашей текущей проблемы, а именно определения описаний, эту проблему, являются ли они абсолютными именами или только относительными именами, можно игнорировать, поскольку она касается разных стадий в иерархии «типов», тогда как мы должны сравнивать такие пары, как «Скотт» и «автор «Уэверли»», которые оба относятся к одному и тому же объекту и не поднимают проблему типов. Мы можем, поэтому, на данный момент рассматривать имена как способные быть абсолютными; ничто из того, что мы должны будем сказать, не будет зависеть от этого предположения, но формулировка может быть немного сокращена благодаря этому.

У нас есть, таким образом, две вещи для сравнения: (1) имя, которое является простым символом, непосредственно обозначающим индивида, который является его значением, и имеющим это значение по праву, независимо от значений всех других слов; (2) описание, которое состоит из нескольких слов, значения которых уже зафиксированы и из которых вытекает все, что должно быть принято в качестве «значения» описания.

Высказывание, содержащее описание, не идентично тому, чем становится это высказывание при подстановке имени, даже если имя называет тот же объект, который описывает описание. «Скотт — автор «Уэверли»» — это, очевидно, другое высказывание, чем «Скотт — это Скотт»: первое — это факт литературной истории, второе — тривиальная трюизм. И если мы поставим кого-либо другого, кроме Скотта, на место «автора «Уэверли»», наше высказывание стало бы ложным и, следовательно, определенно больше не было бы тем же самым высказыванием. Но, можно сказать, наше высказывание по существу той же формы, что и (скажем) «Скотт — это сэр Вальтер», в котором два имени, как говорят, относятся к одному и тому же лицу. Ответ заключается в том, что если «Скотт — это сэр Вальтер» действительно означает «лицо, названное «Скотт», — это лицо, названное «сэр Вальтер»», то имена используются как описания: т. е. индивид, вместо того чтобы быть названным, описывается как лицо, имеющее это имя. Это способ, которым имена часто используются на практике, и, как правило, в формулировках не будет ничего, что указывало бы, используются ли они таким образом или как имена. Когда имя используется непосредственно, просто чтобы указать, о чем мы говорим, оно не является частью утверждаемого факта или ложности, если наше утверждение случайно оказывается ложным: оно является лишь частью символизма, с помощью которого мы выражаем нашу мысль. То, что мы хотим выразить, — это нечто, что могло бы (например) быть переведено на иностранный язык; это нечто, для чего реальные слова являются средством, но частью чего они не являются. С другой стороны, когда мы делаем высказывание о «лице, называемом «Скотт»», само имя «Скотт» входит в то, что мы утверждаем, а не только в язык, используемый при утверждении. Наше высказывание теперь будет другим, если мы подставим «лицо, называемое «сэр Вальтер»». Но пока мы используем имена как имена, говорим ли мы «Скотт» или говорим ли мы «сэр Вальтер», так же нерелевантно для того, что мы утверждаем, как говорим ли мы по-английски или по-французски. Таким образом, пока имена используются как имена, «Скотт — это сэр Вальтер» — это то же самое тривиальное высказывание, что и «Скотт — это Скотт». Это завершает доказательство того, что «Скотт — автор «Уэверли»» — это не то же самое высказывание, что получается при подстановке имени вместо «автора «Уэверли»», независимо от того, какое имя может быть подставлено.

Когда мы используем переменную и говорим о пропозициональной функции, скажем, процесс применения общих утверждений о ... к конкретным случаям будет состоять в подстановке имени вместо буквы «...», предполагая, что ... — это функция, которая имеет индивидов в качестве своих аргументов. Предположим, например, что ... «всегда истинно»; пусть это будет, скажем, «закон тождества», .... Тогда мы можем подставить вместо «...» любое имя, которое мы выберем, и мы получим истинное высказывание. Предполагая на мгновение, что «Сократ», «Платон» и «Аристотель» — это имена (очень опрометчивое предположение), мы можем сделать вывод из закона тождества, что Сократ есть Сократ, Платон есть Платон, а Аристотель есть Аристотель. Но мы совершим ошибку, если попытаемся сделать вывод, без дальнейших посылок, что автор «Уэверли» — это автор «Уэверли». Это вытекает из того, что мы только что доказали, что если мы подставим имя вместо «автора «Уэверли»» в высказывание, высказывание, которое мы получаем, — другое. То есть, применяя результат к нашему текущему случаю: если «...» — это имя, «...» — это не то же самое высказывание, что «автор «Уэверли» — это автор «Уэверли»», независимо от того, какое имя «...» может быть. Таким образом, из того факта, что все высказывания формы «...» истинны, мы не можем сделать вывод, без лишних слов, что автор «Уэверли» — это автор «Уэверли». Фактически, высказывания формы «тот самый такой-то — это тот самый такой-то» не всегда истинны: необходимо, чтобы такой-то существовал (термин, который будет объяснен в ближайшее время). Ложно, что нынешний король Франции — это нынешний король Франции, или что круглый квадрат — это круглый квадрат. Когда мы подставляем описание вместо имени, пропозициональные функции, которые «всегда истинны», могут стать ложными, если описание ничего не описывает. В этом нет никакой тайны, как только мы осознаем (что было доказано в предыдущем абзаце), что когда мы подставляем описание, результат не является значением рассматриваемой пропозициональной функции.

Теперь мы в состоянии определить высказывания, в которых встречается определенное описание. Единственное, что отличает «того самого такого-то» от «некоего такого-то», — это импликация единственности. Мы не можем говорить о «том самом жителе Лондона», потому что проживание в Лондоне — это атрибут, который не является уникальным. Мы не можем говорить о «нынешнем короле Франции», потому что его нет; но мы можем говорить о «нынешнем короле Англии». Таким образом, высказывания о «том самом таком-то» всегда подразумевают соответствующие высказывания о «некоем таком-то», с дополнением, что существует не более одного такого-то. Такое высказывание, как «Скотт — автор «Уэверли»», не могло бы быть истинным, если бы «Уэверли» никогда не был написан, или если бы его написали несколько человек; и не могло бы быть истинным никакое другое высказывание, вытекающее из пропозициональной функции ... путем подстановки «автора «Уэверли»» вместо «...». Мы можем сказать, что «автор «Уэверли»» означает «значение ..., для которого «... написал «Уэверли»» истинно». Таким образом, высказывание «автор «Уэверли» был шотландцем», например, включает:

(1) «... написал «Уэверли»» не всегда ложно;

(2) «если ... и ... написали «Уэверли», то ... и ... тождественны» всегда истинно;

(3) «если ... написал «Уэверли», то ... был шотландцем» всегда истинно.

Эти три высказывания, переведенные на обычный язык, гласят:

(1) по крайней мере один человек написал «Уэверли»;

(2) самое большее один человек написал «Уэверли»;

(3) тот, кто написал «Уэверли», был шотландцем.

Все эти три подразумеваются высказыванием «автор «Уэверли» был шотландцем». И наоборот, все три вместе (но никакие два из них) подразумевают, что автор «Уэверли» был шотландцем. Следовательно, все три вместе могут быть приняты как определяющие то, что имеется в виду под высказыванием «автор «Уэверли» был шотландцем».

Мы можем несколько упростить эти три высказывания. Первое и второе вместе эквивалентны: «Существует термин ..., такой что «... написал «Уэверли»» истинно, когда ... есть ..., и ложно, когда ... не есть ...». Другими словами, «Существует термин ..., такой что «... написал «Уэверли»» всегда эквивалентно «... есть ...»». (Два высказывания «эквивалентны», когда оба истинны или оба ложны.) У нас здесь, для начала, две функции ..., «... написал «Уэверли»» и «... есть ...», и мы формируем функцию ..., рассматривая эквивалентность этих двух функций ... для всех значений ...; затем мы переходим к утверждению, что результирующая функция ... «иногда истинна», т. е. что она истинна по крайней мере для одного значения .... (Она, очевидно, не может быть истинной более чем для одного значения ....) Эти два условия вместе определяются как дающие значение «автор «Уэверли» существует».

Теперь мы можем определить, что значит «существует терм, удовлетворяющий функции». Это общая форма, частным случаем которой является вышеприведенный пример. «Автор „Уэверли“» — это «терм, удовлетворяющий функции „написал „Уэверли““». И выражение «такой-то» всегда будет подразумевать отсылку к некоторой пропозициональной функции, а именно к той, которая определяет свойство, делающее вещь «такой-то». Наше определение таково:

«Существует терм, удовлетворяющий функции» означает:

«Существует такой терм x, что φx всегда эквивалентно „x есть c“».

Чтобы определить выражение «автор „Уэверли“ был шотландцем», нам все еще нужно учесть третье из наших трех суждений, а именно: «Тот, кто написал „Уэверли“, был шотландцем». Это будет удовлетворено простым добавлением того, что рассматриваемый x должен быть шотландцем. Таким образом, «автор „Уэверли“ был шотландцем» означает:

«Существует такой терм x, что (1) „x написал „Уэверли““ всегда эквивалентно „x есть c“, (2) x — шотландец».

И в общем виде: «терм, удовлетворяющий φ, удовлетворяет ψ» определяется как:

«Существует такой терм x, что (1) φx всегда эквивалентно „x есть c“, (2) ψc истинно».

Таково определение суждений, в которых встречаются описания.

Возможно обладать обширными знаниями об описываемом терме, т. е. знать множество суждений о «таком-то», не зная на самом деле, что это за «такой-то», т. е. не зная ни одного суждения вида «x есть такой-то», где «x» — имя. В детективном романе суждения о «человеке, совершившем преступление» накапливаются в надежде, что в конечном итоге их будет достаточно, чтобы доказать, что именно x совершил преступление. Мы можем даже зайти так далеко, чтобы сказать, что во всех знаниях, которые могут быть выражены словами — за исключением «это» и «то» и нескольких других слов, значение которых меняется в зависимости от случая, — не встречается имен в строгом смысле, а то, что кажется именами, на самом деле является описаниями. Мы можем осмысленно задаться вопросом, существовал ли Гомер, чего мы не могли бы сделать, если бы «Гомер» было именем. Суждение «такой-то существует» осмысленно, независимо от того, истинно оно или ложно; но если x — это «такой-то» (где «x» — имя), то слова «x существует» бессмысленны. Только об описаниях — определенных или неопределенных — можно осмысленно утверждать существование; ибо если «x» — имя, оно должно называть что-то: то, что ничего не называет, не является именем и, следовательно, если оно задумывалось как имя, является символом, лишенным значения, тогда как описание, подобное «нынешний король Франции», не становится неспособным к осмысленному употреблению только на том основании, что оно ничего не описывает, по той причине, что оно является сложным символом, значение которого выводится из значений составляющих его символов. И поэтому, когда мы спрашиваем, существовал ли Гомер, мы используем слово «Гомер» как сокращенное описание: мы можем заменить его, скажем, на «автор „Илиады“ и „Одиссеи“». Те же соображения применимы почти ко всем случаям использования того, что выглядит как собственные имена.

Когда описания встречаются в суждениях, необходимо различать то, что можно назвать «первичным» и «вторичным» вхождениями. Абстрактное различие состоит в следующем. Описание имеет «первичное» вхождение, когда суждение, в котором оно встречается, является результатом подстановки описания вместо «x» в некоторую пропозициональную функцию φx; описание имеет «вторичное» вхождение, когда результат подстановки описания вместо x в φx дает лишь часть рассматриваемого суждения. Пример сделает это более ясным. Рассмотрим «нынешний король Франции лыс». Здесь «нынешний король Франции» имеет первичное вхождение, и суждение ложно. Каждое суждение, в котором описание, ничего не описывающее, имеет первичное вхождение, ложно. Но теперь рассмотрим «нынешний король Франции не лыс». Это двусмысленно. Если мы сначала берем «x лыс», затем подставляем «нынешний король Франции» вместо «x» и затем отрицаем результат, то вхождение «нынешнего короля Франции» является вторичным, и наше суждение истинно; но если мы берем «x не лыс» и подставляем «нынешний король Франции» вместо «x», то «нынешний король Франции» имеет первичное вхождение, и суждение ложно. Смешение первичных и вторичных вхождений является готовым источником логических ошибок, когда дело касается описаний.

Описания встречаются в математике главным образом в форме дескриптивных функций, т. е. «терм, имеющий отношение R к y», или «R-ное от y», как мы можем сказать по аналогии с «отец x» и подобными фразами. Сказать, например, «отец x богат» — значит сказать, что следующая пропозициональная функция от y: «y богат, и „z породил y“ всегда эквивалентно „z есть x“» является «истинной в некоторых случаях», т. е. истинна по крайней мере для одного значения y. Очевидно, она не может быть истинной более чем для одного значения.

Теория описаний, кратко изложенная в настоящей главе, имеет огромное значение как в логике, так и в теории познания. Но для целей математики более философские части теории не являются существенными и поэтому были опущены в вышеприведенном изложении, которое ограничилось самыми необходимыми математическими требованиями.

ГЛАВА XVII КЛАССЫ

В настоящей главе мы будем иметь дело с «таким-то» во множественном числе: жители Лондона, сыновья богатых людей и так далее. Иными словами, мы будем иметь дело с классами. Мы видели во второй главе, что кардинальное число должно определяться как класс классов, а в третьей главе — что число 1 должно определяться как класс всех единичных классов, т. е. всех тех, которые имеют ровно одного члена, как мы сказали бы, если бы не порочный круг. Конечно, когда число 1 определяется как класс всех единичных классов, «единичные классы» должны быть определены так, чтобы не предполагать, что мы знаем, что имеется в виду под «одним»; на самом деле они определяются способом, очень близким к тому, что используется для описаний, а именно: класс α называется «единичным» классом, если пропозициональная функция «„x является членом α“ всегда эквивалентно „x есть y“» (рассматриваемая как функция от x) не всегда ложна, т. е., говоря более обычным языком, если существует такой терм y, что x будет членом α, когда x есть y, но не иначе. Это дает нам определение единичного класса, если мы уже знаем, что такое класс в общем. До сих пор, занимаясь арифметикой, мы рассматривали «класс» как примитивную идею. Но по причинам, изложенным в главе XIII, если не по другим, мы не можем принять «класс» как примитивную идею. Мы должны искать определение на тех же принципах, что и определение описаний, т. е. определение, которое придаст смысл суждениям, в чьем словесном или символическом выражении встречаются слова или символы, по-видимому представляющие классы, но которое придаст смысл, полностью исключающий всякое упоминание классов из правильного анализа таких суждений. Тогда мы сможем сказать, что символы для классов — это лишь удобства, не представляющие объектов, называемых «классами», и что классы на самом деле, подобно описаниям, являются логическими фикциями или (как мы говорим) «неполными символами».

Теория классов менее полна, чем теория описаний, и существуют причины (которые мы изложим в общих чертах) считать, что предлагаемое определение классов не является окончательно удовлетворительным. По-видимому, требуется некоторая дополнительная тонкость; но причины считать предлагаемое определение приблизительно верным и идущим в правильном направлении являются неопровержимыми.

Первое, что нужно понять, — это почему классы нельзя рассматривать как часть «окончательного состава мира». Трудно точно объяснить, что имеется в виду под этим утверждением, но одно следствие, которое оно подразумевает, может быть использовано для прояснения его смысла. Если бы у нас был полный символический язык с определением для всего определимого и неопределенным символом для всего неопределимого, неопределенные символы в этом языке представляли бы символически то, что я имею в виду под «окончательным составом мира». Я утверждаю, что никакие символы ни для «класса» в общем, ни для конкретных классов не были бы включены в этот аппарат неопределенных символов. С другой стороны, все конкретные вещи, существующие в мире, должны были бы иметь имена, которые были бы включены в число неопределенных символов. Мы могли бы попытаться избежать этого вывода с помощью описаний. Возьмем, скажем, «последняя вещь, которую видел Цезарь перед смертью». Это описание некоторого индивида; мы могли бы использовать его как (в одном вполне законном смысле) определение этого индивида. Но если «x» — имя для того же индивида, суждение, в котором встречается «x», не является (как мы видели в предыдущей главе) тождественным тому, во что превращается это суждение, когда мы подставляем вместо «x» «последнюю вещь, которую видел Цезарь перед смертью». Если наш язык не содержит имени «x» или какого-либо другого имени для того же индивида, у нас не будет средств выразить суждение, которое мы выразили с помощью «x», в отличие от того, которое мы выразили с помощью описания. Таким образом, описания не позволили бы совершенному языку обойтись без имен для всех индивидов. В этом отношении, как мы утверждаем, классы отличаются от индивидов и не нуждаются в представлении неопределенными символами. Наша первая задача — привести доводы в пользу этого мнения.

Мы уже видели, что классы нельзя рассматривать как вид индивидов из-за противоречия относительно классов, не являющихся членами самих себя (объясненного в главе XIII), и потому, что мы можем доказать, что число классов больше, чем число индивидов.

Мы не можем рассматривать классы в чисто экстенсиональном смысле как просто кучи или конгломераты. Если бы мы попытались сделать это, мы обнаружили бы, что невозможно понять, как может существовать такой класс, как пустой класс, который вообще не имеет членов и не может рассматриваться как «куча»; нам также было бы очень трудно понять, как получается, что класс, имеющий только одного члена, не тождественен этому одному члену. Я не намерен утверждать или отрицать, что существуют такие сущности, как «кучи». Как математический логик, я не обязан иметь мнение по этому вопросу. Все, что я утверждаю, — это то, что если существуют такие вещи, как кучи, мы не можем отождествлять их с классами, состоящими из их составляющих.

Мы гораздо ближе подойдем к удовлетворительной теории, если попытаемся отождествить классы с пропозициональными функциями. Каждый класс, как мы объяснили в главе II, определяется некоторой пропозициональной функцией, которая истинна для членов класса и ложна для других вещей. Но если класс может быть определен одной пропозициональной функцией, он может быть с таким же успехом определен любой другой, которая истинна всякий раз, когда истинна первая, и ложна всякий раз, когда ложна первая. По этой причине класс нельзя отождествлять с какой-то одной такой пропозициональной функцией в большей степени, чем с любой другой — и для данной пропозициональной функции всегда существует множество других, которые истинны, когда она истинна, и ложны, когда она ложна. Мы говорим, что две пропозициональные функции «формально эквивалентны», когда это происходит. Два суждения «эквивалентны», когда оба истинны или оба ложны; две пропозициональные функции φx, ψx «формально эквивалентны», когда φx всегда эквивалентно ψx. Тот факт, что существуют другие функции, формально эквивалентные данной функции, делает невозможным отождествление класса с функцией; ибо мы хотим, чтобы классы были такими, чтобы никакие два различных класса не имели в точности одних и тех же членов, и поэтому две формально эквивалентные функции должны будут определять один и тот же класс.

Когда мы решили, что классы не могут быть вещами того же рода, что и их члены, что они не могут быть просто кучами или совокупностями, а также что их нельзя отождествлять с пропозициональными функциями, становится очень трудно понять, чем они могут быть, если они должны быть чем-то большим, чем символические фикции. И если мы сможем найти какой-либо способ обращения с ними как с символическими фикциями, мы повысим логическую надежность нашей позиции, поскольку избежим необходимости предполагать, что существуют классы, не будучи при этом вынужденными делать противоположное допущение, что классов не существует. Мы просто воздерживаемся от обоих допущений. Это пример бритвы Оккама, а именно: «сущности не следует умножать без необходимости». Но когда мы отказываемся утверждать, что классы существуют, нас не следует считать догматически утверждающими, что их нет. Мы просто агностичны в отношении них: подобно Лапласу, мы можем сказать: «je n'ai pas besoin de cette hypothèse».

Давайте сформулируем условия, которым должен удовлетворять символ, чтобы служить классом. Я думаю, следующие условия окажутся необходимыми и достаточными:

(1) Каждая пропозициональная функция должна определять класс, состоящий из тех аргументов, для которых функция истинна. Дано любое суждение (истинное или ложное), скажем, о Сократе, мы можем представить Сократа замененным Платоном, или Аристотелем, или гориллой, или человеком на Луне, или любым другим индивидом в мире. В общем случае некоторые из этих подстановок дадут истинное суждение, а некоторые — ложное. Определяемый класс будет состоять из всех тех подстановок, которые дают истинное суждение. Конечно, нам еще предстоит решить, что мы подразумеваем под «всеми теми, которые и т. д.». Все, что мы отмечаем в данный момент, — это то, что класс становится определенным посредством пропозициональной функции и что каждая пропозициональная функция определяет соответствующий класс.

(2) Две формально эквивалентные пропозициональные функции должны определять один и тот же класс, а две, которые не являются формально эквивалентными, должны определять разные классы. То есть класс определяется своим составом членов, и никакие два разных класса не могут иметь один и тот же состав членов. (Если класс определяется функцией φx, мы говорим, что x является «членом» класса, если φx истинно.)

(3) Мы должны найти какой-то способ определения не только классов, но и классов классов. Мы видели в главе II, что кардинальные числа должны определяться как классы классов. Обычная фраза элементарной математики «сочетания из n вещей по m» представляет собой класс классов, а именно класс всех классов из m термов, которые могут быть выбраны из данного класса из n термов. Без какого-либо символического метода обращения с классами классов математическая логика потерпела бы крах.

(4) При любых обстоятельствах должно быть бессмысленным (а не ложным) предполагать, что класс является членом самого себя или не является членом самого себя. Это вытекает из противоречия, которое мы обсуждали в главе XIII.

(5) Наконец — и это условие, которое труднее всего выполнить, — должна быть возможность составлять суждения обо всех классах, состоящих из индивидов, или обо всех классах, состоящих из объектов любого одного логического «типа». Если бы это было не так, многие способы использования классов оказались бы ошибочными — например, математическая индукция. При определении потомства данного терма нам нужно иметь возможность сказать, что член потомства принадлежит ко всем наследственным классам, к которым принадлежит данный терм, и это требует того рода совокупности, о которой идет речь. Причина, по которой существует трудность с этим условием, заключается в том, что можно доказать невозможность говорить обо всех пропозициональных функциях, которые могут иметь аргументы данного типа.

Мы для начала проигнорируем это последнее условие и проблемы, которые оно порождает. Первые два условия можно рассматривать вместе. Они утверждают, что для каждой группы формально эквивалентных пропозициональных функций должен существовать один класс, не больше и не меньше; например, класс людей должен быть тем же самым, что и класс двуногих без перьев, или разумных животных, или йеху, или любой другой характеристики, которую можно предпочесть для определения человека. Теперь, когда мы говорим, что две формально эквивалентные пропозициональные функции могут быть не идентичны, хотя они определяют один и тот же класс, мы можем доказать истинность этого утверждения, указав, что высказывание может быть истинным для одной функции и ложным для другой; например, «Я верю, что все люди смертны» может быть истинным, в то время как «Я верю, что все разумные животные смертны» может быть ложным, поскольку я могу ошибочно верить, что Феникс — бессмертное разумное животное. Таким образом, мы приходимся рассматривать высказывания о функциях или (точнее) функции от функций.

Некоторые вещи, которые можно сказать о функции, могут рассматриваться как сказанные о классе, определяемом этой функцией, тогда как другие — нет. Высказывание «все люди смертны» включает функции «x есть человек» и «x смертен»; или, если мы выберем, мы можем сказать, что оно включает классы людей и смертных. Мы можем интерпретировать высказывание любым способом, потому что его истинностное значение не меняется, если мы подставим вместо «x есть человек» или вместо «x смертен» любую формально эквивалентную функцию. Но, как мы только что видели, высказывание «Я верю, что все люди смертны» нельзя рассматривать как высказывание о классе, определяемом любой из функций, потому что его истинностное значение может измениться при подстановке формально эквивалентной функции (которая оставляет класс неизменным). Мы будем называть высказывание, включающее функцию φx, «экстенсиональной» функцией от функции φ, если оно подобно «все люди смертны», т. е. если его истинностное значение не меняется при подстановке любой формально эквивалентной функции; и когда функция от функции не является экстенсиональной, мы будем называть ее «интенсиональной», так что «Я верю, что все люди смертны» является интенсиональной функцией от «x есть человек» или «x смертен». Таким образом, экстенсиональные функции от функции φ могут для практических целей рассматриваться как функции от класса, определяемого φ, в то время как интенсиональные функции не могут рассматриваться таким образом.

Следует отметить, что все специфические функции от функций, которые нам приходится вводить в математической логике, являются экстенсиональными. Так, например, две фундаментальные функции от функций: «φx всегда истинно» и «φx иногда истинно». Каждая из них имеет истинностное значение, которое не меняется, если вместо φ подставить любую формально эквивалентную функцию. На языке классов, если α — класс, определяемый φ, «φx всегда истинно» эквивалентно «все является членом α», а «φx иногда истинно» эквивалентно «α имеет членов» или (лучше) «α имеет по крайней мере одного члена». Возьмем, опять же, условие, рассмотренное в предыдущей главе, для существования «терма, удовлетворяющего φx». Условие состоит в том, что существует такой терм c, что φx всегда эквивалентно «x есть c». Это очевидно экстенсионально. Это эквивалентно утверждению, что класс, определяемый функцией φx, является единичным классом, т. е. классом, имеющим одного члена; иными словами, классом, который является членом 1.

Имея функцию от функции, которая может быть или не быть экстенсиональной, мы всегда можем вывести из нее связанную и определенно экстенсиональную функцию от той же функции по следующему плану: пусть наша исходная функция от функции — та, которая приписывает φ свойство f; тогда рассмотрим утверждение «существует функция, обладающая свойством f и формально эквивалентная φ». Это экстенсиональная функция от φ; она истинна, когда истинно наше исходное высказывание, и она формально эквивалентна исходной функции от φ, если эта исходная функция экстенсиональна; но когда исходная функция интенсиональна, новая чаще оказывается истинной, чем старая. Например, рассмотрим снова «Я верю, что все люди смертны», рассматриваемое как функция от «x есть человек». Производная экстенсиональная функция такова: «Существует функция, формально эквивалентная „x есть человек“ и такая, что я верю, что все, что удовлетворяет ей, смертно». Это остается истинным, когда мы подставляем «x есть разумное животное» вместо «x есть человек», даже если я ошибочно верю, что Феникс разумен и бессмертен.

Мы даем название «производная экстенсиональная функция» функции, сконструированной как выше, а именно функции: «Существует функция, обладающая свойством f и формально эквивалентная φ», где исходная функция была «функция φ обладает свойством f».

Мы можем рассматривать производную экстенсиональную функцию как имеющую своим аргументом класс, определяемый функцией φ, и как утверждающую f об этом классе. Это может быть принято как определение суждения о классе. Т. е. мы можем определить:

Утверждать, что «класс, определяемый функцией φ, обладает свойством f» — значит утверждать, что φ удовлетворяет экстенсиональной функции, производной от f.

Это придает смысл любому высказыванию о классе, которое может быть осмысленно сделано о функции; и окажется, что технически это дает результаты, которые требуются для того, чтобы сделать теорию символически удовлетворительной. [41]

[41] См. Principia Mathematica, том I, стр. 75-84 и * 20.

То, что мы только что сказали относительно определения классов, достаточно для выполнения наших первых четырех условий. Способ, которым это обеспечивает третье и четвертое, а именно возможность классов классов и невозможность того, чтобы класс был или не был членом самого себя, является несколько техническим; это объясняется в Principia Mathematica, но здесь может быть принято как должное. В результате, если бы не наше пятое условие, мы могли бы считать нашу задачу выполненной. Но это условие — одновременно самое важное и самое трудное — не выполняется в силу всего того, что мы сказали до сих пор. Трудность связана с теорией типов и должна быть кратко обсуждена. [42]

[42] Читателю, желающему получить более полное обсуждение, следует обратиться к Principia Mathematica, Введение, гл. II; также * 12.

Мы видели в главе XIII, что существует иерархия логических типов и что является ошибкой позволять объекту, принадлежащему к одному из них, быть подставленным вместо объекта, принадлежащего к другому. Теперь нетрудно показать, что различные функции, которые могут принимать данный объект x в качестве аргумента, не все одного типа. Назовем их все φ-функциями. Мы можем взять сначала те из них, которые не включают отсылку к какой-либо совокупности функций; их мы назовем «предикативными φ-функциями». Если мы теперь перейдем к функциям, включающим отсылку ко всей совокупности предикативных φ-функций, мы совершим ошибку, если будем рассматривать их как функции того же типа, что и предикативные φ-функции. Возьмем такое повседневное высказывание, как «x — типичный француз». Как мы определим «типичного» француза? Мы можем определить его как того, кто «обладает всеми качествами, которыми обладает большинство французов». Но если мы не ограничим «все качества» такими, которые не включают отсылку к какой-либо совокупности качеств, нам придется заметить, что большинство французов не являются типичными в вышеуказанном смысле, и поэтому определение показывает, что быть нетипичным существенно для типичного француза. Это не логическое противоречие, поскольку нет причин, по которым должны существовать какие-либо типичные французы; но это иллюстрирует необходимость отделения качеств, включающих отсылку к совокупности качеств, от тех, которые этого не делают.

Всякий раз, когда с помощью высказываний обо «всех» или «некоторых» значениях, которые переменная может осмысленно принимать, мы порождаем новый объект, этот новый объект не должен быть среди значений, которые могла принимать наша предыдущая переменная, поскольку, если бы он был, совокупность значений, по которым могла бы варьироваться переменная, была бы определима только в терминах самой себя, и мы оказались бы вовлечены в порочный круг. Например, если я говорю «Наполеон обладал всеми качествами, которые делают великого полководца», я должен определить «качества» таким образом, чтобы они не включали то, что я сейчас говорю, т. е. «обладание всеми качествами, которые делают великого полководца» само по себе не должно быть качеством в предполагаемом смысле. Это довольно очевидно и является принципом, который ведет к теории типов, с помощью которой избегаются парадоксы порочного круга. Применительно к φ-функциям мы можем предположить, что «качества» означают «предикативные функции». Тогда, когда я говорю «Наполеон обладал всеми качествами и т. д.», я имею в виду «Наполеон удовлетворял всем предикативным функциям и т. д.». Это высказывание приписывает свойство Наполеону, но не предикативное свойство; таким образом мы избегаем порочного круга. Но везде, где встречается «все функции, которые», рассматриваемые функции должны быть ограничены одним типом, если нужно избежать порочного круга; и, как показали Наполеон и типичный француз, тип не определяется типом аргумента. Потребовалось бы гораздо более полное обсуждение, чтобы изложить этот пункт полностью, но сказанного может быть достаточно, чтобы прояснить, что функции, которые могут принимать данный аргумент, относятся к бесконечной серии типов. Мы могли бы с помощью различных технических приемов сконструировать переменную, которая пробегала бы первые n из этих типов, где n конечно, но мы не можем сконструировать переменную, которая пробегала бы их все, и, если бы мы могли, один этот факт немедленно породил бы новый тип функции с теми же аргументами и снова запустил бы весь процесс.

Мы называем предикативные φ-функции первым типом φ-функций; φ-функции, включающие отсылку к совокупности первого типа, мы называем вторым типом; и так далее. Никакая переменная φ-функция не может пробегать все эти различные типы: она должна остановиться на каком-то определенном.

Эти соображения имеют отношение к нашему определению производной экстенсиональной функции. Мы говорили там о «функции, формально эквивалентной φ». Необходимо принять решение относительно типа нашей функции. Любое решение подойдет, но какое-то решение неизбежно. Назовем предполагаемую формально эквивалентную функцию ψ. Тогда ψ появляется как переменная и должна быть некоторого определенного типа. Все, что мы обязательно знаем о типе ψ, — это то, что она принимает аргументы данного типа, — что она является (скажем) φ-функцией. Но это, как мы только что видели, не определяет ее тип. Если мы хотим быть в состоянии (как требует наше пятое требование) иметь дело со всеми классами, члены которых того же типа, что и x, мы должны быть в состоянии определить все такие классы с помощью функций какого-то одного типа; то есть должен существовать какой-то тип φ-функции, скажем n-й, такой, что любая φ-функция формально эквивалентна некоторой φ-функции n-го типа. Если это так, то любая экстенсиональная функция, которая справедлива для всех φ-функций n-го типа, будет справедлива для любой φ-функции вообще. Именно как техническое средство воплощения допущения, ведущего к этому результату, классы полезны главным образом. Это допущение называется «аксиомой сводимости» и может быть сформулировано следующим образом:

«Существует тип (скажем, n-й) φ-функций такой, что для любой φ-функции она формально эквивалентна некоторой функции рассматриваемого типа».

Если эта аксиома принимается, мы используем функции этого типа при определении нашей ассоциированной экстенсиональной функции. Высказывания обо всех φ-классах (т. е. обо всех классах, определяемых φ-функциями) могут быть сведены к высказываниям обо всех φ-функциях n-го типа. Пока вовлечены только экстенсиональные функции от функций, это дает нам на практике результаты, которые в противном случае потребовали бы невозможного понятия «всех φ-функций». Одной конкретной областью, где это жизненно важно, является математическая индукция.

Аксиома сводимости включает в себя все, что действительно существенно в теории классов. Поэтому стоит спросить, есть ли какие-либо основания полагать ее истинной.

Эта аксиома, подобно мультипликативной аксиоме и аксиоме бесконечности, необходима для определенных результатов, но не для самого существования дедуктивного рассуждения. Теория дедукции, как объяснено в главе XIV, и законы для суждений, включающих «все» и «некоторые», составляют саму ткань математического рассуждения: без них или чего-то подобного мы не просто не получили бы тех же результатов, но мы не получили бы никаких результатов вообще. Мы не можем использовать их как гипотезы и выводить гипотетические следствия, ибо они являются правилами дедукции, а также посылками. Они должны быть абсолютно истинными, иначе то, что мы выводим в соответствии с ними, даже не следует из посылок. С другой стороны, аксиому сводимости, подобно двум нашим предыдущим математическим аксиомам, можно было бы прекрасно сформулировать как гипотезу всякий раз, когда она используется, вместо того чтобы предполагать ее фактически истинной. Мы можем выводить ее следствия гипотетически; мы можем также выводить следствия из предположения, что она ложна. Поэтому она лишь удобна, а не необходима. И ввиду сложности теории типов и неопределенности всего, кроме ее самых общих принципов, пока невозможно сказать, не найдется ли какой-нибудь способ обойтись без аксиомы сводимости вообще. Однако, предполагая правильность теории, изложенной выше, что мы можем сказать об истинности или ложности аксиомы?

Аксиома, как мы можем заметить, является обобщенной формой лейбницевского тождества неразличимых. Лейбниц предполагал, как логический принцип, что два разных субъекта должны различаться по предикатам. Теперь предикаты — это лишь некоторые из того, что мы назвали «предикативными функциями», которые будут включать также отношения к данным термам и различные свойства, не считающиеся предикатами. Таким образом, лейбницевское допущение гораздо более строгое и узкое, чем наше. (Не, конечно, согласно его логике, которая рассматривала все суждения как сводимые к субъектно-предикатной форме.) Но нет веских причин верить в его форму, насколько я могу судить. Вполне могло бы существовать, как вопрос абстрактной логической возможности, две вещи, которые имели в точности одни и те же предикаты, в узком смысле, в котором мы использовали слово «предикат». Как выглядит наша аксиома, когда мы выходим за пределы предикатов в этом узком смысле? В реальном мире, по-видимому, нет способа сомневаться в ее эмпирической истинности в отношении индивидов из-за пространственно-временной дифференциации: никакие два индивида не имеют в точности одних и тех же пространственных и временных отношений ко всем другим индивидам. Но это, так сказать, случайность, факт о мире, в котором нам довелось оказаться. Чистая логика и чистая математика (что одно и то же) стремятся быть истинными, в лейбницевской фразеологии, во всех возможных мирах, а не только в этом беспорядочном наборе мира, в котором нас заточил случай. Существует определенное величие, которое должен сохранять логик: он не должен снисходить до того, чтобы выводить аргументы из вещей, которые он видит вокруг себя.

Рассматриваемая с этой строго логической точки зрения, я не вижу никаких оснований полагать, что аксиома сводимости логически необходима, что означало бы, что она истинна во всех возможных мирах. Допущение этой аксиомы в систему логики является, следовательно, дефектом, даже если аксиома эмпирически истинна. Именно по этой причине теорию классов нельзя считать такой же полной, как теорию описаний. Существует необходимость в дальнейшей работе над теорией типов в надежде прийти к доктрине классов, которая не требует такого сомнительного допущения. Но разумно рассматривать теорию, изложенную в настоящей главе, как верную в своих основных чертах, т. е. в ее сведении суждений, номинально относящихся к классам, к суждениям об их определяющих функциях. Избегание классов как сущностей этим методом, по-видимому, должно быть здравым в принципе, как бы детали еще ни требовали корректировки. Именно потому, что это кажется несомненным, мы включили теорию классов, несмотря на наше желание исключить, насколько это возможно, все, что казалось открытым для серьезных сомнений.

Теория классов, как она изложена выше, сводится к одной аксиоме и одному определению. Ради определенности мы повторим их здесь. Аксиома такова:

Существует тип n такой, что если φx — функция, которая может принимать данный объект x в качестве аргумента, то существует функция ψx n-го типа, которая формально эквивалентна φx.

Определение таково:

Если φx — функция, которая может принимать данный объект x в качестве аргумента, а n — тип, упомянутый в вышеприведенной аксиоме, то сказать, что класс, определяемый φx, обладает свойством f — значит сказать, что существует функция ψx n-го типа, формально эквивалентная φx и обладающая свойством f.

ГЛАВА XVIII МАТЕМАТИКА И ЛОГИКА

МАТЕМАТИКА и логика, исторически говоря, были совершенно различными исследованиями. Математика была связана с наукой, логика — с греческим языком. Но обе развивались в современную эпоху: логика стала более математической, а математика — более логической. Следствием этого является то, что теперь стало совершенно невозможно провести черту между ними; на самом деле, они едины. Они различаются как мальчик и мужчина: логика — это юность математики, а математика — это зрелость логики. Этот взгляд вызывает возмущение у логиков, которые, потратив свое время на изучение классических текстов, неспособны следовать за символическим рассуждением, и у математиков, которые выучили технику, не утруждая себя вопросом о ее смысле или обосновании. Оба типа теперь, к счастью, становятся все более редкими. Так много современной математической работы очевидно находится на границе логики, так много современной логики является символической и формальной, что очень близкая связь логики и математики стала очевидной для каждого образованного студента. Доказательство их тождества, конечно, является делом деталей: начиная с посылок, которые, как общепризнано, принадлежат логике, и приходя путем дедукции к результатам, которые столь же очевидно принадлежат математике, мы обнаруживаем, что нет точки, в которой можно было бы провести четкую линию, с логикой слева и математикой справа. Если все еще есть те, кто не признает тождества логики и математики, мы можем бросить им вызов указать, в какой точке, в последовательных определениях и дедукциях Principia Mathematica, они считают, что логика заканчивается и начинается математика. Тогда станет очевидно, что любой ответ должен быть совершенно произвольным.

В предыдущих главах этой книги, начиная с натуральных чисел, мы сначала дали определение «кардинального числа» и показали, как обобщить понятие числа, а затем проанализировали концепции, задействованные в этом определении, пока не перешли к основам логики. В синтетическом, дедуктивном изложении эти основы стоят на первом месте, а к натуральным числам мы приходим лишь после долгого пути. Такой подход, хотя формально и более корректный, чем принятый нами, является более трудным для читателя, поскольку предельные логические понятия и суждения, с которых он начинается, далеки и непривычны по сравнению с натуральными числами. Кроме того, они представляют собой современный рубеж познания, за которым лежит еще неизвестное, и власть знания над ними пока не очень прочна.

Раньше говорили, что математика — это наука о «количестве». «Количество» — расплывчатое слово, но ради аргументации мы можем заменить его словом «число». Утверждение, что математика — это наука о числе, было бы неверным в двух отношениях. С одной стороны, существуют признанные разделы математики, которые не имеют ничего общего с числом — например, вся геометрия, не использующая координаты или измерения: проективная и дескриптивная геометрия, вплоть до того момента, когда вводятся координаты, не имеют отношения к числу или даже к количеству в смысле «большего» и «меньшего». С другой стороны, благодаря определению кардинальных чисел, теории индукции и предковых отношений, общей теории рядов и определениям арифметических операций стало возможным обобщить многое из того, что раньше доказывалось только в связи с числами. В результате то, что прежде было единой дисциплиной арифметики, теперь разделилось на множество отдельных дисциплин, ни одна из которых специально не занимается числами. Элементарнейшие свойства чисел связаны с взаимно-однозначными отношениями и сходством между классами. Сложение связано с построением взаимно исключающих классов, соответственно сходных с набором классов, о которых не известно, являются ли они взаимно исключающими. Умножение сливается с теорией «выборов», т. е. определенного рода отношений «один-ко-многим». Конечность сливается с общим изучением предковых отношений, что дает всю теорию математической индукции. Ординальные свойства различных видов числовых рядов, а также элементы теории непрерывности функций и пределов функций могут быть обобщены так, чтобы больше не содержать никаких существенных отсылок к числам. Принцип любого формального рассуждения состоит в том, чтобы обобщать до предела, поскольку тем самым мы гарантируем, что данный процесс дедукции будет иметь более широкую область применения; поэтому, обобщая таким образом рассуждения арифметики, мы лишь следуем правилу, которое общепризнанно в математике. И, обобщая таким образом, мы, по сути, создали набор новых дедуктивных систем, в которых традиционная арифметика одновременно растворяется и расширяется; но вопрос о том, следует ли относить любую из этих новых дедуктивных систем — например, теорию выборов — к логике или к арифметике, является совершенно произвольным и не поддается рациональному решению.

Таким образом, мы сталкиваемся с вопросом: что это за предмет, который можно одинаково назвать как математикой, так и логикой? Есть ли какой-то способ его определить?

Некоторые характеристики этого предмета ясны. Прежде всего, в этом предмете мы имеем дело не с конкретными вещами или конкретными свойствами: мы формально имеем дело с тем, что можно сказать о любой вещи или любом свойстве. Мы готовы сказать, что один и один — два, но не что Сократ и Платон — два, потому что в качестве логиков или чистых математиков мы никогда не слышали о Сократе и Платоне. Мир, в котором не было бы таких индивидов, все равно оставался бы миром, в котором один и один — два. Мы, как чистые математики или логики, не можем упоминать вообще ничего, потому что, делая это, мы вводим нечто нерелевантное и неформальное. Мы можем прояснить это, применив к случаю силлогизма. Традиционная логика гласит: «Все люди смертны, Сократ — человек, следовательно, Сократ смертен». Теперь ясно, что мы намереваемся утверждать, прежде всего, лишь то, что посылки подразумевают заключение, а не то, что посылки и заключение фактически истинны; даже самая традиционная логика указывает, что фактическая истинность посылок не имеет отношения к логике. Таким образом, первое изменение, которое необходимо внести в вышеприведенный традиционный силлогизм, — это сформулировать его в виде: «Если все люди смертны и Сократ — человек, то Сократ смертен». Теперь мы можем заметить, что имеется в виду, что этот аргумент является значимым в силу своей формы, а не в силу конкретных терминов, встречающихся в нем. Если бы мы опустили «Сократ — человек» из наших посылок, мы получили бы неформальный аргумент, допустимый только потому, что Сократ на самом деле является человеком; в этом случае мы не смогли бы обобщить аргумент. Но когда, как выше, аргумент является формальным, ничто не зависит от терминов, которые в нем встречаются. Таким образом, мы можем подставить вместо «людей», вместо «смертных» и вместо Сократа, где и — любые классы, а — любой индивид. Тогда мы приходим к утверждению: «Независимо от того, какие значения могут иметь и , если все — это , и — это , то — это »; иными словами, «пропозициональная функция “если все — это , и — это , то — это ” всегда истинна». Здесь, наконец, мы имеем суждение логики — то самое, которое лишь подразумевается традиционным высказыванием о Сократе, людях и смертных.