«Введение в математическую философию»

(3) «Никакие два числа не имеют одного и того же преемника». Это означает лишь то, что отношение является одно-многозначным, каковым оно и является по определению (будучи взаимно однозначным).

(4) «0 не является преемником никакого числа» становится: «Первый член не является членом области значений», что опять же является непосредственным результатом определения.

(5) Это математическая индукция, и она становится: «Каждый член области определения принадлежит потомству первого члена», что было частью нашего определения.

Таким образом, прогрессии, как мы их определили, обладают пятью формальными свойствами, из которых Пеано выводит арифметику. Легко показать, что две прогрессии «подобны» в смысле, определенном для подобия отношений в главе VI. Мы можем, конечно, вывести отношение, которое является серийным, из взаимно однозначного отношения, которым мы определяем прогрессию: используемый метод — это тот, который объяснен в главе IV, и отношение — это отношение члена к члену его собственного потомства относительно исходного взаимно однозначного отношения.

Два транзитивных асимметричных отношения, которые порождают прогрессии, подобны по тем же причинам, по которым подобны соответствующие взаимно однозначные отношения. Класс всех таких транзитивных генераторов прогрессий является «серийным числом» в смысле главы VI; это, по сути, наименьшее из бесконечных серийных чисел, число, которому Кантор дал имя , которым он сделал его знаменитым.

Но мы заняты, на данный момент, кардинальными числами. Поскольку две прогрессии являются подобными отношениями, из этого следует, что их области определения (или их поля, которые те же, что и их области определения) являются подобными классами. Области определения прогрессий образуют кардинальное число, поскольку каждый класс, который подобен области определения прогрессии, легко показать, сам является областью определения прогрессии. Это кардинальное число — наименьшее из бесконечных кардинальных чисел; это то, которому Кантор присвоил еврейскую букву Алеф с суффиксом 0, чтобы отличить его от больших бесконечных кардиналов, которые имеют другие суффиксы. Таким образом, имя наименьшего из бесконечных кардиналов — .

Сказать, что класс имеет членов, — это то же самое, что сказать, что он является членом , и это то же самое, что сказать, что члены класса могут быть расположены в прогрессию. Очевидно, что любая прогрессия остается прогрессией, если мы опустим конечное число членов из нее, или каждый второй член, или все, кроме каждого десятого или каждого сотого члена. Эти методы прореживания прогрессии не делают ее перестающей быть прогрессией и поэтому не уменьшают число ее членов, которое остается . На самом деле, любая выборка из прогрессии является прогрессией, если у нее нет последнего члена, как бы редко она ни была распределена. Возьмем (скажем) индуктивные числа вида или . Такие числа становятся очень редкими в высших частях числового ряда, и все же их ровно столько же, сколько индуктивных чисел в целом, а именно .

Наоборот, мы можем добавлять члены к индуктивным числам, не увеличивая их число. Возьмем, например, отношения. Можно было бы склониться к мысли, что отношений должно быть гораздо больше, чем целых чисел, поскольку отношения, знаменатель которых равен 1, соответствуют целым числам и кажутся лишь бесконечно малой долей отношений. Но на самом деле число отношений (или дробей) в точности равно числу индуктивных чисел, а именно . Это легко увидеть, расположив отношения в ряд по следующему плану: если сумма числителя и знаменателя в одном меньше, чем в другом, поставьте первое перед вторым; если сумма равна в обоих, поставьте первым то, у которого меньше числитель. Это дает нам ряд . Этот ряд — прогрессия, и все отношения встречаются в нем рано или поздно. Следовательно, мы можем расположить все отношения в прогрессию, и их число, таким образом, равно .

Однако не все бесконечные совокупности имеют членов. Число действительных чисел, например, больше ; оно, по сути, равно , и нетрудно доказать, что больше , даже когда бесконечно. Самый простой способ доказать это — доказать сначала, что если класс имеет членов, он содержит подклассов — иными словами, что существуют способы выбора некоторых из его членов (включая крайние случаи, когда мы выбираем все или ни одного); и во-вторых, что число подклассов, содержащихся в классе, всегда больше числа членов класса. Из этих двух предложений первое знакомо в случае конечных чисел, и его нетрудно распространить на бесконечные числа. Доказательство второго настолько просто и настолько поучительно, что мы приведем его:

Во-первых, ясно, что число подклассов данного класса (скажем, ) по крайней мере так же велико, как число членов, поскольку каждый член составляет подкласс, и мы, таким образом, имеем корреляцию всех членов с некоторыми из подклассов. Следовательно, из этого следует, что если число подклассов не равно числу членов, оно должно быть больше. Теперь легко доказать, что число не равно, показав, что, учитывая любое взаимно однозначное отношение, область определения которого — члены, а область значений содержится среди множества подклассов, должен существовать по крайней мере один подкласс, не принадлежащий области значений. Доказательство следующее: [21] Когда устанавливается взаимно однозначная корреляция между всеми членами и некоторыми из подклассов, может случиться, что данный член коррелирует с подклассом, членом которого он является; или, опять же, может случиться, что коррелирует с подклассом, членом которого он не является. Сформируем весь класс, скажем, тех членов, которые коррелируют с подклассами, членами которых они не являются. Это подкласс , и он не коррелирует ни с одним членом . Ибо, беря сначала членов , каждый из них (по определению ) коррелирует с некоторым подклассом, членом которого он не является, и поэтому не коррелирует с . Беря затем члены, которые не являются членами , каждый из них (по определению ) коррелирует с некоторым подклассом, членом которого он является, и поэтому опять же не коррелирует с . Таким образом, ни один член не коррелирует с . Поскольку была любой взаимно однозначной корреляцией всех членов с некоторыми подклассами, из этого следует, что нет корреляции всех членов со всеми подклассами. Для доказательства не имеет значения, если не имеет членов: все, что происходит в этом случае, — это то, что подкласс, который, как показано, опущен, является нулевым классом. Следовательно, в любом случае число подклассов не равно числу членов, и поэтому, согласно тому, что было сказано ранее, оно больше. Объединяя это с предложением, что если — число членов, то — число подклассов, мы получаем теорему, что всегда больше , даже когда бесконечно.

[21] Это доказательство взято у Кантора с некоторыми упрощениями: см. Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, I. (1892), стр. 77.

Из этого предложения следует, что нет максимума для бесконечных кардинальных чисел. Каким бы большим ни было бесконечное число , будет еще больше. Арифметика бесконечных чисел несколько удивительна, пока к ней не привыкнешь. Мы имеем, например, (Это следует из случая отношений, ибо, поскольку отношение определяется парой индуктивных чисел, легко видеть, что число отношений — это квадрат числа индуктивных чисел, то есть оно равно ; но мы видели, что оно также равно .) Но . На самом деле, как мы увидим позже, — это очень важное число, а именно число членов в ряду, который имеет «непрерывность» в том смысле, в котором это слово используется Кантором. Предполагая пространство и время непрерывными в этом смысле (как мы обычно делаем в аналитической геометрии и кинематике), это будет число точек в пространстве или моментов во времени; это будет также число точек в любой конечной части пространства, будь то линия, площадь или объем. После , — самое важное и интересное из бесконечных кардинальных чисел.

Хотя сложение и умножение всегда возможны с бесконечными кардиналами, вычитание и деление больше не дают определенных результатов и поэтому не могут быть использованы так, как они используются в элементарной арифметике. Возьмем для начала вычитание: пока вычитаемое число конечно, все идет хорошо; если другое число рефлексивно, оно остается неизменным. Таким образом, , если конечно; пока что вычитание дает вполне определенный результат. Но иначе обстоит дело, когда мы вычитаем из самого ; мы можем тогда получить любой результат, от 0 до . Это легко увидеть на примерах. Из индуктивных чисел заберите следующие совокупности членов:—

(1) Все индуктивные числа — остаток, ноль.

(2) Все индуктивные числа от до конца — остаток, числа от 0 до , насчитывающие членов всего.

(3) Все нечетные числа — остаток, все четные числа, насчитывающие членов.

Все это разные способы вычитания из , и все они дают разные результаты.

Что касается деления, очень похожие результаты следуют из того факта, что не меняется при умножении на 2, 3 или любое конечное число , или на . Из этого следует, что деленное на может иметь любое значение от 1 до .

Из неоднозначности вычитания и деления следует, что отрицательные числа и отношения не могут быть распространены на бесконечные числа. Сложение, умножение и возведение в степень проходят вполне удовлетворительно, но обратные операции — вычитание, деление и извлечение корней — неоднозначны, и понятия, которые от них зависят, терпят неудачу, когда речь идет о бесконечных числах.

Характеристикой, по которой мы определили конечность, была математическая индукция, т.е. мы определили число как конечное, когда оно подчиняется математической индукции, начиная с 0, а класс как конечный, когда его число конечно. Это определение дает тот результат, который и должно давать определение, а именно: конечные числа — это те, которые встречаются в обычном числовом ряду 0, 1, 2, 3, ... Но в настоящей главе бесконечные числа, которые мы обсуждали, были не просто неиндуктивными: они также были рефлексивными. Кантор использовал рефлексивность в качестве определения бесконечного и полагает, что оно эквивалентно неиндуктивности; иными словами, он считает, что каждый класс и каждое кардинальное число являются либо индуктивными, либо рефлексивными. Это может быть правдой и, весьма вероятно, может быть доказано; но доказательства, предложенные до сих пор Кантором и другими (включая автора настоящей книги в прежние времена), ошибочны по причинам, которые будут объяснены, когда мы перейдем к рассмотрению «мультипликативной аксиомы». В настоящее время неизвестно, существуют ли классы и кардинальные числа, которые не являются ни рефлексивными, ни индуктивными. Если бы существовало такое кардинальное число, у нас не было бы , но не было бы одним из «натуральных чисел» и ему недоставало бы некоторых индуктивных свойств. Все известные бесконечные классы и кардинальные числа являются рефлексивными; но пока что целесообразно сохранять непредвзятость относительно того, существуют ли доселе неизвестные примеры классов и кардинальных чисел, которые не являются ни рефлексивными, ни индуктивными. Тем временем мы принимаем следующие определения:—

Конечный класс или кардинальное число — это такой класс или число, который является индуктивным.

Бесконечный класс или кардинальное число — это такой класс или число, который не является индуктивным. Все рефлексивные классы и кардинальные числа являются бесконечными; но в настоящее время неизвестно, являются ли все бесконечные классы и кардинальные числа рефлексивными. Мы вернемся к этой теме в главе XII.

ГЛАВА IX БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

«Бесконечный ряд» можно определить как ряд, полем которого является бесконечный класс. У нас уже была возможность рассмотреть один вид бесконечного ряда, а именно прогрессии. В этой главе мы рассмотрим данный предмет более обобщенно.

Наиболее примечательной характеристикой бесконечного ряда является то, что его порядковое число может быть изменено простым переупорядочиванием его членов. В этом отношении существует определенная противоположность между кардинальными и порядковыми числами. Можно сохранить кардинальное число рефлексивного класса неизменным, несмотря на добавление к нему членов; с другой стороны, можно изменить порядковое число ряда, не добавляя и не убавляя никаких членов, а лишь путем переупорядочивания. В то же время в случае любого бесконечного ряда также возможно, как и с кардинальными числами, добавлять члены, не изменяя порядкового числа: все зависит от того, каким образом они добавляются.

Чтобы прояснить ситуацию, лучше всего начать с примеров. Давайте сначала рассмотрим различные виды рядов, которые можно составить из индуктивных чисел, расположенных по разным планам. Мы начинаем с ряда , который, как мы уже видели, представляет собой наименьшее из бесконечных порядковых чисел, того рода, который Кантор называет . Давайте продолжим прореживать этот ряд, неоднократно выполняя операцию переноса в конец первого четного числа, которое встречается. Таким образом, мы последовательно получаем различные ряды: и так далее. Если мы представим, что этот процесс продолжается как можно дольше, мы в конечном итоге придем к ряду , в котором у нас сначала идут все нечетные числа, а затем все четные числа.

Порядковыми числами этих различных рядов являются . Каждое из этих чисел «больше», чем любое из его предшественников, в следующем смысле:—

Одно порядковое число называется «большим», чем другое, если любой ряд, имеющий первое число, содержит часть, имеющую второе число, но ни один ряд, имеющий второе число, не содержит части, имеющей первое число.

Если мы сравним два ряда , мы увидим, что первый подобен части второго, которая опускает последний член, а именно число 2, но второй не подобен никакой части первого. (Это очевидно, но легко доказывается.) Таким образом, второй ряд имеет большее порядковое число, чем первый, согласно определению — т.е. больше, чем . Но если мы добавим член в начало прогрессии, а не в конец, мы все равно получим прогрессию. Таким образом, . Следовательно, не равно . Это характерно для арифметики отношений в целом: если и — два числа отношений, общее правило состоит в том, что не равно . Случай конечных ординальных чисел, в котором имеет место равенство, является совершенно исключительным.

Ряд, к которому мы только что пришли, состоял сначала из всех нечетных чисел, а затем из всех четных чисел, и его порядковое число равно . Это число больше, чем или , где — конечное число. Следует заметить, что в соответствии с общим определением порядка каждое из этих расположений целых чисел должно рассматриваться как результат некоторого определенного отношения. Например, то, которое просто переносит 2 в конец, будет определяться следующим отношением: « и — конечные целые числа, и либо — это 2, а — не 2, либо ни одно из них не является 2, и меньше, чем .» То, которое ставит сначала все нечетные числа, а затем все четные, будет определяться так: « и — конечные целые числа, и либо — нечетное, а — четное, либо меньше, чем , и оба являются нечетными или оба являются четными». Мы не будем, как правило, утруждать себя приведением этих формул в будущем; но тот факт, что они могли бы быть приведены, является существенным.

Число, которое мы назвали , а именно число ряда, состоящего из двух прогрессий, иногда называют . Умножение, как и сложение, зависит от порядка множителей: прогрессия пар дает ряд, такой как , который сам по себе является прогрессией; но пара прогрессий дает ряд, который в два раза длиннее прогрессии. Поэтому необходимо различать и . Употребление варьируется; мы будем использовать для пары прогрессий и для прогрессии пар, и это решение, конечно, определяет нашу общую интерпретацию «», когда и — числа отношений: «» должно будет означать подходящим образом сконструированную сумму отношений, каждое из которых имеет членов.

Мы можем бесконечно продолжать процесс прореживания индуктивных чисел. Например, мы можем поместить сначала нечетные числа, затем их удвоенные значения, затем удвоенные значения этих последних и так далее. Таким образом, мы получаем ряд , число которого равно , поскольку это прогрессия прогрессий. Любую из прогрессий в этом новом ряду, конечно, можно проредить так же, как мы проредили нашу исходную прогрессию. Мы можем перейти к , , ..., и так далее; как бы далеко мы ни зашли, мы всегда можем пойти дальше.

Ряд всех ординальных чисел, которые могут быть получены таким образом, т.е. всех, которые могут быть получены путем прореживания прогрессии, сам по себе длиннее любого ряда, который может быть получен путем переупорядочивания членов прогрессии. (Это несложно доказать.) Можно показать, что кардинальное число класса таких ординальных чисел больше, чем ; это число, которое Кантор называет . Ординальное число ряда всех ординальных чисел, которые могут быть составлены из , взятых в порядке возрастания, называется . Таким образом, ряд, порядковое число которого равно , имеет поле, кардинальное число которого равно .

Мы можем перейти от и к и с помощью процесса, в точности аналогичного тому, с помощью которого мы продвинулись от и к и . И нет ничего, что помешало бы нам бесконечно продвигаться таким образом к новым кардинальным и ординальным числам. Неизвестно, равно ли какому-либо из кардинальных чисел в ряду Алефов. Неизвестно даже, сравнимо ли оно с ними по величине; насколько нам известно, оно может быть ни равным, ни большим, ни меньшим, чем любое из Алефов. Этот вопрос связан с мультипликативной аксиомой, о которой мы будем говорить позже.

Все ряды, которые мы рассматривали до сих пор в этой главе, были так называемыми «вполне упорядоченными». Вполне упорядоченный ряд — это ряд, который имеет начало, имеет последовательные члены и имеет член, следующий непосредственно за любой выборкой его членов, при условии, что после этой выборки есть какие-либо члены. Это исключает, с одной стороны, компактные ряды, в которых между любыми двумя членами есть другие, а с другой стороны — ряды, которые не имеют начала или в которых есть подчиненные части, не имеющие начала. Ряд отрицательных целых чисел в порядке возрастания, не имеющий начала, но заканчивающийся на -1, не является вполне упорядоченным; но если взять его в обратном порядке, начиная с -1, он становится вполне упорядоченным, будучи, по сути, прогрессией. Определение таково:

«Вполне упорядоченный» ряд — это ряд, в котором каждый подкласс (кроме, конечно, пустого класса) имеет первый член.

«Ординальное» число означает число отношений вполне упорядоченного ряда. Таким образом, это разновидность порядкового числа.

Среди вполне упорядоченных рядов применима обобщенная форма математической индукции. Свойство можно назвать «трансфинитно наследственным», если, принадлежа определенной выборке членов в ряду, оно принадлежит их непосредственному преемнику, при условии, что таковой имеется. Во вполне упорядоченном ряду трансфинитно наследственное свойство, принадлежащее первому члену ряда, принадлежит всему ряду. Это позволяет доказать многие положения, касающиеся вполне упорядоченных рядов, которые неверны для всех рядов.

Легко расположить индуктивные числа в ряды, которые не являются вполне упорядоченными, и даже расположить их в компактные ряды. Например, мы можем принять следующий план: рассмотрим десятичные дроби от .1 (включительно) до 1 (исключительно), расположенные в порядке возрастания. Они образуют компактный ряд; между любыми двумя всегда есть бесконечное множество других. Теперь опустим точку в начале каждой из них, и мы получим компактный ряд, состоящий из всех конечных целых чисел, кроме тех, которые делятся на 10. Если мы хотим включить те, которые делятся на 10, нет никаких трудностей; вместо того чтобы начинать с .1, мы включим все десятичные дроби меньше 1, но когда мы уберем точку, мы перенесем вправо любые нули, которые встречаются в начале нашей десятичной дроби. Опуская их и возвращаясь к тем, у которых нет нулей в начале, мы можем сформулировать правило расположения наших целых чисел следующим образом: из двух целых чисел, которые не начинаются с одной и той же цифры, первым идет то, которое начинается с меньшей цифры. Из двух, которые начинаются с одной и той же цифры, но различаются во второй цифре, первым идет то, у которого меньшая вторая цифра, но прежде всего то, у которого нет второй цифры; и так далее. В общем, если два целых числа совпадают в отношении первых цифр, но не в отношении -й, то первым идет то, у которого либо нет -й цифры, либо она меньше, чем у другого. Это правило расположения, как читатель может легко убедиться, порождает компактный ряд, содержащий все целые числа, не делящиеся на 10; и, как мы видели, нет никаких трудностей с включением тех, которые делятся на 10. Из этого примера следует, что можно построить компактные ряды, имеющие членов. Фактически, мы уже видели, что существуют отношения, и отношения в порядке возрастания образуют компактный ряд; таким образом, у нас здесь еще один пример. Мы возобновим эту тему в следующей главе.

Из обычных формальных законов сложения, умножения и возведения в степень все соблюдаются трансфинитными кардинальными числами, но лишь некоторые соблюдаются трансфинитными ординальными числами, а те, которые соблюдаются ими, соблюдаются всеми числами отношений. Под «обычными формальными законами» мы подразумеваем следующее:—

I. Коммутативный закон:

II. Ассоциативный закон:

III. Дистрибутивный закон:

Когда коммутативный закон не выполняется, приведенную выше форму дистрибутивного закона необходимо отличать от . Как мы увидим немедленно, одна форма может быть истинной, а другая — ложной.

IV. Законы возведения в степень:

Все эти законы справедливы для кардинальных чисел, как конечных, так и бесконечных, и для конечных ординальных чисел. Но когда мы переходим к бесконечным ординальным числам или, по сути, к числам отношений в целом, некоторые из них выполняются, а некоторые — нет. Коммутативный закон не выполняется; ассоциативный закон выполняется; дистрибутивный закон (принимая соглашение, которое мы приняли выше относительно порядка множителей в произведении) выполняется в форме , но не в форме ; экспоненциальные законы по-прежнему выполняются, но не закон , который, очевидно, связан с коммутативным законом для умножения.

Определения умножения и возведения в степень, которые предполагаются в приведенных выше утверждениях, несколько сложны. Читатель, который желает знать, что они собой представляют и как доказываются вышеуказанные законы, должен обратиться ко второму тому Principia Mathematica, * 172-176.

Ординальная трансфинитная арифметика была развита Кантором на более ранней стадии, чем кардинальная трансфинитная арифметика, поскольку она имеет различные технические математические применения, которые привели его к ней. Но с точки зрения философии математики она менее важна и менее фундаментальна, чем теория трансфинитных кардинальных чисел. Кардинальные числа по существу проще ординальных, и это любопытная историческая случайность, что они впервые появились как абстракция от последних и лишь постепенно стали изучаться сами по себе. Это не относится к работе Фреге, в которой кардинальные числа, конечные и трансфинитные, рассматривались в полной независимости от ординальных; но именно работа Кантора сделала мир осведомленным об этом предмете, в то время как работа Фреге оставалась почти неизвестной, вероятно, главным образом из-за сложности его символики. И математики, как и другие люди, испытывают больше трудностей в понимании и использовании понятий, которые являются сравнительно «простыми» в логическом смысле, чем в манипулировании более сложными понятиями, которые более близки к их обычной практике. По этим причинам лишь постепенно была осознана истинная важность кардинальных чисел в математической философии. Важность ординальных чисел, хотя и отнюдь не мала, отчетливо меньше, чем важность кардинальных чисел, и в значительной степени сливается с важностью более общей концепции чисел отношений.

ГЛАВА X ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Концепция «предела» — это та концепция, важность которой в математике оказалась постоянно большей, чем предполагалось. Весь дифференциальное и интегральное исчисление, фактически практически все в высшей математике, зависит от пределов. Раньше предполагалось, что в основаниях этих предметов участвуют бесконечно малые величины, но Вейерштрасс показал, что это ошибка: везде, где, как считалось, встречаются бесконечно малые величины, на самом деле встречается набор конечных величин, имеющих нуль в качестве своего нижнего предела. Раньше считалось, что «предел» — это существенно количественное понятие, а именно понятие величины, к которой другие приближаются все ближе и ближе, так что среди тех других найдутся такие, которые отличаются меньше, чем на любую заданную величину. Но на самом деле понятие «предела» — это чисто ординальное понятие, вообще не включающее количество (за исключением случайных случаев, когда рассматриваемый ряд оказывается количественным). Данная точка на линии может быть пределом набора точек на линии без необходимости вводить координаты, измерение или что-либо количественное. Кардинальное число есть предел (в порядке возрастания) кардинальных чисел 1, 2, 3, ..., ..., хотя числовая разница между и конечным кардинальным числом является постоянной и бесконечной: с количественной точки зрения конечные числа не приближаются к по мере того, как они становятся больше. То, что делает пределом конечных чисел, — это факт, что в ряду оно идет непосредственно после них, что является ординальным фактом, а не количественным фактом.

Существуют различные формы понятия «предела» возрастающей сложности. Самая простая и фундаментальная форма, из которой выводятся остальные, уже была определена, но мы повторим здесь определения, которые ведут к ней, в общей форме, в которой они не требуют, чтобы рассматриваемое отношение было сериальным. Определения таковы:—

«Минимумы» класса по отношению к отношению — это те члены и поля , (если таковые имеются), к которым ни один член не имеет отношения .

«Максимумы» по отношению к — это минимумы по отношению к конверсии .

«Секвенты» класса по отношению к отношению — это минимумы «преемников» , а «преемники» — это те члены поля , к которым каждый член общей части и поля имеет отношение .

«Прецеденты» по отношению к — это секвенты по отношению к конверсии .

«Верхние пределы» по отношению к — это секвенты, при условии, что не имеет максимума; но если имеет максимум, у него нет верхних пределов.

«Нижние пределы» по отношению к — это верхние пределы по отношению к конверсии .

Всякий раз, когда имеет связность, класс может иметь не более одного максимума, одного минимума, одного секвента и т.д. Таким образом, в случаях, с которыми мы имеем дело на практике, мы можем говорить о «пределе» (если таковой имеется).

Когда является сериальным отношением, мы можем значительно упростить приведенное выше определение предела. В этом случае мы можем сначала определить «границу» класса , т.е. его пределы или максимум, а затем перейти к различению случая, когда граница является пределом, от случая, когда она является максимумом. Для этой цели лучше всего использовать понятие «сегмента».

Мы будем говорить о «сегменте , определенном классом », как обо всех тех членах, которые имеют отношение к одному или нескольким членам . Это будет сегмент в смысле, определенном в главе VII; фактически, каждый сегмент в смысле, там определенном, является сегментом, определенным некоторым классом . Если сериально, сегмент, определенный , состоит из всех членов, которые предшествуют тому или иному члену . Если имеет максимум, сегмент будет состоять из всех предшественников максимума. Но если не имеет максимума, каждый член предшествует некоторому другому члену , и весь поэтому включен в сегмент, определенный . Возьмем, например, класс, состоящий из дробей, т.е. из всех дробей вида для различных конечных значений . Этот ряд дробей не имеет максимума, и ясно, что сегмент, который он определяет (во всем ряду дробей в порядке возрастания), является классом всех правильных дробей. Или, опять же, рассмотрим простые числа, рассматриваемые как выборка из кардинальных чисел (конечных и бесконечных) в порядке возрастания. В этом случае определенный сегмент состоит из всех конечных целых чисел.

Предполагая, что сериально, «границей» класса будет член (если он существует), чьими предшественниками являются сегмент, определенный .

«Максимум» — это граница, которая является членом .

«Верхний предел» — это граница, которая не является членом .

Если класс не имеет границы, он не имеет ни максимума, ни предела. Это случай «иррационального» дедекиндова сечения или того, что называется «пробелом».

Таким образом, «верхний предел» набора членов по отношению к ряду — это тот член (если он существует), который идет после всех , но является таким, что каждый более ранний член идет перед некоторыми из .

Мы можем определить все «верхние предельные точки» набора членов как все те, которые являются верхними пределами наборов членов, выбранных из . Нам, конечно, придется отличать верхние предельные точки от нижних предельных точек. Если мы рассмотрим, например, ряд ординальных чисел: , верхние предельные точки поля этого ряда — это те, которые не имеют непосредственных предшественников, т.е. . Верхними предельными точками поля этого нового ряда будут . С другой стороны, ряд ординальных чисел — и, по сути, каждый вполне упорядоченный ряд — не имеет нижних предельных точек, потому что нет никаких членов, кроме последнего, которые не имеют непосредственных преемников. Но если мы рассмотрим такой ряд, как ряд отношений, каждый член этого ряда является как верхней, так и нижней предельной точкой для подходящим образом выбранных наборов. Если мы рассмотрим ряд вещественных чисел и выберем из него рациональные вещественные числа, этот набор (рациональные числа) будет иметь все вещественные числа в качестве верхних и нижних предельных точек. Предельные точки набора называются его «первой производной», а предельные точки первой производной называются второй производной и так далее.

Что касается пределов, мы можем различать различные степени того, что можно назвать «непрерывностью» в ряду. Слово «непрерывность» использовалось в течение долгого времени, но оставалось без какого-либо точного определения до времен Дедекинда и Кантора. Каждый из этих двух людей придал термину точное значение, но определение Кантора уже, чем определение Дедекинда: ряд, который обладает канторовой непрерывностью, должен обладать дедекиндовой непрерывностью, но обратное неверно.

Первым определением, которое естественно пришло бы в голову человеку, ищущему точное значение непрерывности рядов, было бы определить ее как состоящую в том, что мы назвали «компактностью», т.е. в том факте, что между любыми двумя членами ряда есть другие. Но это было бы неадекватным определением из-за существования «пробелов» в рядах, таких как ряд отношений. Мы видели в главе VII, что существует бесчисленное множество способов, которыми ряд отношений может быть разделен на две части, из которых одна полностью предшествует другой, и из которых первая не имеет последнего члена, в то время как вторая не имеет первого члена. Такое положение дел кажется противоречащим смутному чувству, которое у нас есть относительно того, что должно характеризовать «непрерывность», и, более того, оно показывает, что ряд отношений не является тем типом ряда, который необходим для многих математических целей. Возьмем, например, геометрию: мы хотим иметь возможность сказать, что когда две прямые линии пересекаются, они имеют общую точку, но если бы ряд точек на линии был подобен ряду отношений, две линии могли бы пересечься в «пробеле» и не иметь общей точки. Это грубый пример, но можно привести много других, чтобы показать, что компактность неадекватна как математическое определение непрерывности.

Именно потребности геометрии в такой же степени, как и что-либо другое, привели к определению «дедекиндовой» непрерывности. Напомним, что мы определили ряд как дедекиндов, когда каждый подкласс поля имеет границу. (Достаточно предположить, что всегда существует верхняя граница или что всегда существует нижняя граница. Если предположить одну из них, другую можно вывести.) То есть ряд является дедекиндовым, когда нет пробелов. Отсутствие пробелов может возникать либо из-за того, что члены имеют преемников, либо из-за существования пределов при отсутствии максимумов. Таким образом, конечный ряд или вполне упорядоченный ряд является дедекиндовым, как и ряд вещественных чисел. Первый тип дедекиндова ряда исключается предположением, что наш ряд компактен; в этом случае наш ряд должен обладать свойством, которое может для многих целей подходящим образом называться непрерывностью. Таким образом, мы приходим к определению:

Ряд обладает «дедекиндовой непрерывностью», когда он является дедекиндовым и компактным.

Но это определение все еще слишком широко для многих целей. Предположим, например, что мы хотим иметь возможность приписать геометрическому пространству такие свойства, которые гарантировали бы, что каждую точку можно задать с помощью координат, являющихся вещественными числами: это не обеспечивается одной лишь дедекиндовой непрерывностью. Мы хотим быть уверены, что каждая точка, которую нельзя задать рациональными координатами, может быть задана как предел прогрессии точек, координаты которых рациональны, и это дополнительное свойство, которое наше определение не позволяет нам вывести.

Таким образом, мы приходим к более тщательному исследованию рядов в отношении пределов. Это исследование было проведено Кантором и легло в основу его определения непрерывности, хотя в своей простейшей форме это определение несколько скрывает соображения, которые привели к нему. Поэтому мы сначала пройдем через некоторые концепции Кантора в этой области, прежде чем давать его определение непрерывности.

Кантор определяет ряд как «совершенный», когда все его точки являются предельными точками и все его предельные точки принадлежат ему. Но это определение не совсем точно выражает то, что он имеет в виду. Не требуется никакой коррекции в отношении свойства, что все его точки должны быть предельными; это свойство, принадлежащее компактным рядам, и никаким другим, если все точки должны быть верхними предельными или все нижними предельными точками. Но если предполагается только, что они являются предельными точками в одном направлении, без уточнения в каком, будут существовать другие ряды, которые будут обладать рассматриваемым свойством — например, ряд десятичных дробей, в котором десятичная дробь, заканчивающаяся повторяющейся 9, отличается от соответствующей конечной десятичной дроби и помещается непосредственно перед ней. Такой ряд очень близок к компактному, но имеет исключительные члены, которые являются последовательными, и из которых первый не имеет непосредственного предшественника, в то время как второй не имеет непосредственного преемника. Помимо таких рядов, ряды, в которых каждая точка является предельной, являются компактными рядами; и это справедливо без оговорок, если указано, что каждая точка должна быть верхней предельной точкой (или что каждая точка должна быть нижней предельной точкой).

Хотя Кантор не рассматривает этот вопрос явно, мы должны различать различные виды предельных точек в зависимости от природы наименьшего подряда, с помощью которого они могут быть определены. Кантор предполагает, что они должны определяться прогрессиями или регрессиями (которые являются конверсиями прогрессий). Когда каждый член нашего ряда является пределом прогрессии или регрессии, Кантор называет наш ряд «плотным в себе» (insichdicht).

Теперь мы переходим ко второму свойству, с помощью которого должна была определяться совершенность, а именно свойству, которое Кантор называет свойством быть «замкнутым» (abgeschlossen). Это, как мы видели, впервые было определено как состоящее в том факте, что все предельные точки ряда принадлежат ему. Но это имеет какое-либо эффективное значение только в том случае, если наш ряд дан как содержащийся в некотором другом большем ряду (как это имеет место, например, с выборкой вещественных чисел), и предельные точки берутся по отношению к большему ряду. В противном случае, если ряд рассматривается просто сам по себе, он не может не содержать своих предельных точек. То, что Кантор имеет в виду, — это не совсем то, что он говорит; фактически, в других случаях он говорит нечто несколько иное, что и является тем, что он имеет в виду. На самом деле он имеет в виду, что каждый подчиненный ряд, который относится к тому типу, от которого можно ожидать наличия предела, имеет предел внутри данного ряда; т.е. каждый подчиненный ряд, который не имеет максимума, имеет предел, т.е. каждый подчиненный ряд имеет границу. Но Кантор не утверждает это для каждого подчиненного ряда, а только для прогрессий и регрессий. (Неясно, насколько он осознает, что это ограничение.) Таким образом, наконец, мы обнаруживаем, что определение, которое нам нужно, таково:—

Ряд называется «замкнутым» (abgeschlossen), когда каждая прогрессия или регрессия, содержащаяся в ряду, имеет предел в ряду.

Затем у нас есть дальнейшее определение:—

Ряд является «совершенным», когда он плотен в себе и замкнут, т.е. когда каждый член является пределом прогрессии или регрессии, и каждая прогрессия или регрессия, содержащаяся в ряду, имеет предел в ряду.

В поисках определения непрерывности Кантор имеет в виду поиск определения, которое применимо к ряду вещественных чисел и к любому ряду, подобному ему, но ни к каким другим. Для этой цели мы должны добавить еще одно свойство. Среди вещественных чисел некоторые являются рациональными, некоторые — иррациональными; хотя количество иррациональных чисел больше, чем количество рациональных, все же между любыми двумя вещественными числами есть рациональные, как бы мало они ни различались. Количество рациональных чисел, как мы видели, равно . Это дает дополнительное свойство, которое достаточно для полной характеристики непрерывности, а именно свойство содержать класс членов таким образом, что некоторые из этого класса встречаются между любыми двумя членами нашего ряда, как бы близко они ни находились. Это свойство, добавленное к совершенности, достаточно для определения класса рядов, которые все подобны и фактически являются порядковым числом. Этот класс Кантор определяет как класс непрерывных рядов.

Мы можем немного упростить его определение. Для начала скажем:

«Медианный класс» ряда — это подкласс поля такой, что члены его можно найти между любыми двумя членами ряда.

Таким образом, рациональные числа являются медианным классом в ряду вещественных чисел. Очевидно, что медианные классы не могут существовать, кроме как в компактных рядах.

Затем мы обнаруживаем, что определение Кантора эквивалентно следующему:—

Ряд является «непрерывным», когда (1) он является дедекиндовым, (2) он содержит медианный класс, имеющий членов.

Чтобы избежать путаницы, мы будем называть этот вид «канторовой непрерывностью». Будет видно, что она подразумевает дедекиндову непрерывность, но обратное неверно. Все ряды, обладающие канторовой непрерывностью, подобны, но не все ряды, обладающие дедекиндовой непрерывностью.

Понятия предела и непрерывности, которые мы определяли, не следует путать с понятиями предела функции при приближении к данному аргументу или непрерывности функции в окрестности данного аргумента. Это разные понятия, очень важные, но производные от вышеуказанных и более сложные. Непрерывность движения (если движение непрерывно) является примером непрерывности функции; с другой стороны, непрерывность пространства и времени (если они непрерывны) является примером непрерывности рядов или (выражаясь более осторожно) вида непрерывности, который может быть путем достаточных математических манипуляций сведен к непрерывности рядов. Ввиду фундаментальной важности движения в прикладной математике, а также по другим причинам, будет хорошо кратко рассмотреть понятия пределов и непрерывности применительно к функциям; но эту тему лучше оставить для отдельной главы.

Определения непрерывности, которые мы рассматривали, а именно определения Дедекинда и Кантора, не очень точно соответствуют смутной идее, которая ассоциируется с этим словом в сознании обывателя или философа. Они представляют себе непрерывность скорее как отсутствие раздельности, своего рода общее стирание различий, которое характеризует густой туман. Туман создает впечатление обширности без определенной множественности или деления. Именно это имеет в виду метафизик под «непрерывностью», объявляя ее, и весьма справедливо, характеристикой своей ментальной жизни, а также жизни детей и животных.

Общая идея, смутно указываемая словом «непрерывность» при таком использовании или словом «поток», безусловно, совершенно отличается от той, которую мы определяли. Возьмем, например, ряд вещественных чисел. Каждое из них есть то, что оно есть, совершенно определенно и бескомпромиссно; оно не переходит незаметными степенями в другое; это твердая, отдельная единица, и его расстояние от каждой другой единицы конечно, хотя его можно сделать меньше, чем любая заданная конечная величина, назначенная заранее. Вопрос о соотношении между видом непрерывности, существующим среди вещественных чисел, и видом, демонстрируемым, например, тем, что мы видим в данное время, является сложным и запутанным. Нельзя утверждать, что эти два вида просто идентичны, но, я думаю, вполне можно утверждать, что математическая концепция, которую мы рассматривали в этой главе, дает абстрактную логическую схему, к которой можно привести эмпирический материал путем подходящих манипуляций, если этот материал должен называться «непрерывным» в каком-либо точно определимом смысле. Было бы совершенно невозможно оправдать этот тезис в рамках настоящего тома. Читатель, который интересуется, может прочитать попытку оправдать его в отношении времени, в частности, автором настоящей книги в журнале Monist за 1914-5 годы, а также в частях книги «Наше знание внешнего мира». С этими указаниями мы должны оставить эту проблему, интересную, как она есть, чтобы вернуться к темам, более тесно связанным с математикой.

ГЛАВА XI ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

В этой главе мы будем заниматься определением предела функции (если таковой имеется) при приближении аргумента к данному значению, а также определением того, что подразумевается под «непрерывной функцией». Обе эти идеи несколько техничны и вряд ли потребовали бы рассмотрения в простом введении в математическую философию, если бы не тот факт, что, особенно через так называемое исчисление бесконечно малых, неверные взгляды на наши текущие темы настолько прочно укоренились в умах профессиональных философов, что для их искоренения требуются длительные и значительные усилия. Со времен Лейбница считалось, что дифференциальное и интегральное исчисление требует бесконечно малых величин. Математики (особенно Вейерштрасс) доказали, что это ошибка; но ошибки, включенные, например, в то, что Гегель говорит о математике, живучи, и философы склонны игнорировать работу таких людей, как Вейерштрасс.

Пределы и непрерывность функций в работах по обычной математике определяются в терминах, включающих число. Это не является существенным, как показал д-р Уайтхед. [22] Мы, однако, начнем с определений в учебниках, а затем покажем, как эти определения могут быть обобщены, чтобы применяться к рядам в целом, а не только к тем, которые являются числовыми или численно измеримыми.

[22] См. Principia Mathematica, том II, * 230-234.

Рассмотрим любую обычную математическую функцию , где и — оба вещественные числа, и — однозначна — т.е. когда задано , существует только одно значение, которое может иметь . Мы называем «аргументом», а — «значением для аргумента ». Когда функция является тем, что мы называем «непрерывной», грубая идея, для которой мы ищем точное определение, заключается в том, что малые различия в должны соответствовать малым различиям в , и если мы сделаем различия в достаточно малыми, мы можем сделать различия в меньше любой заданной величины. Мы не хотим, если функция должна быть непрерывной, чтобы были внезапные скачки, так что для некоторого значения любое изменение, как бы мало оно ни было, вызовет изменение в , которое превышает некоторую заданную конечную величину. Обычные простые функции математики обладают этим свойством: оно принадлежит, например, , , ..., , и так далее. Но совсем не трудно определить разрывные функции. Возьмем в качестве нематематического примера «место рождения самого молодого человека, живущего в момент времени ». Это функция от ; ее значение постоянно от момента рождения одного человека до момента следующего рождения, а затем значение внезапно меняется от одного места рождения к другому. Аналогичным математическим примером было бы «целое число, непосредственно следующее за », где — вещественное число. Эта функция остается постоянной от одного целого числа до следующего, а затем дает внезапный скачок. Фактический факт заключается в том, что, хотя непрерывные функции более знакомы, они являются исключениями: существует бесконечно больше разрывных функций, чем непрерывных.

Многие функции разрывны для одного или нескольких значений переменной, но непрерывны для всех остальных значений. Возьмем в качестве примера . Функция проходит через все значения от -1 до 1 каждый раз, когда проходит от до , или от до , или вообще от до , где — любое целое число. Теперь, если мы рассмотрим , когда очень мало, мы увидим, что по мере уменьшения растет все быстрее и быстрее, так что она проходит все быстрее и быстрее через цикл значений от одного кратного до другого по мере того, как становится все меньше и меньше. Следовательно, проходит все быстрее и быстрее от -1 до 1 и обратно, по мере того как растет меньше. Фактически, если мы возьмем любой интервал, содержащий 0, скажем, интервал от до , где — некоторое очень малое число, пройдет через бесконечное число колебаний в этом интервале, и мы не можем уменьшить колебания, делая интервал меньше. Таким образом, вокруг аргумента 0 функция разрывна. Легко создать функции, которые разрывны в нескольких местах, или в местах, или везде. Примеры можно найти в любой книге по теории функций вещественной переменной.

Переходя теперь к поиску точного определения того, что подразумевается под утверждением, что функция непрерывна для данного аргумента, когда аргумент и значение являются вещественными числами, давайте сначала определим «окрестность» числа как все числа от до , где — некоторое число, которое в важных случаях будет очень малым. Ясно, что непрерывность в данной точке связана с тем, что происходит в любой окрестности этой точки, как бы мала она ни была.

Что мы хотим, так это следующее: если — аргумент, для которого мы хотим, чтобы наша функция была непрерывной, давайте сначала определим окрестность (скажем, ), содержащую значение , которое функция имеет для аргумента ; мы хотим, чтобы, если мы возьмем достаточно малую окрестность, содержащую , все значения для аргументов по всей этой окрестности были бы содержаться в окрестности , независимо от того, насколько малым мы могли сделать . То есть, если мы постановим, что наша функция не должна отличаться от более чем на некоторую очень крошечную величину, мы всегда можем найти отрезок вещественных чисел, имеющий посередине, такой, что по всему этому отрезку не будет отличаться от более чем на предписанную крошечную величину. И это должно оставаться верным, какую бы крошечную величину мы ни выбрали. Следовательно, мы приходим к следующему определению:—

Функция называется «непрерывной» для аргумента , если для каждого положительного числа , отличного от 0, но сколь угодно малого, существует положительное число , отличное от 0, такое, что для всех значений , которые численно меньше [23] , разница численно меньше .

[23] Число называется «численно меньшим», чем , когда оно лежит между и .

В этом определении сначала определяет окрестность , а именно окрестность от до . Затем определение переходит к утверждению, что мы можем (с помощью ) определить окрестность, а именно от до , такую, что для всех аргументов внутри этой окрестности значение функции лежит внутри окрестности от до . Если это может быть сделано, как бы ни было выбрано , функция является «непрерывной» для аргумента .

До сих пор мы не определили «предел» функции для данного аргумента. Если бы мы это сделали, мы могли бы определить непрерывность функции иначе: функция непрерывна в точке, где ее значение совпадает с пределом ее значения при приближении либо сверху, либо снизу. Но только исключительно «послушная» функция имеет определенный предел при приближении аргумента к данной точке. Общее правило заключается в том, что функция колеблется и что, учитывая любую окрестность данного аргумента, как бы мала она ни была, целый ряд значений будет встречаться для аргументов внутри этой окрестности. Поскольку это общее правило, давайте рассмотрим его сначала.

Давайте рассмотрим, что может произойти, когда аргумент приближается к некоторому значению снизу. То есть мы хотим рассмотреть, что происходит для аргументов, содержащихся в интервале от до , где — некоторое число, которое в важных случаях будет очень малым.

Значения функции для аргументов от до (исключая ) будут набором вещественных чисел, который определит определенную секцию набора вещественных чисел, а именно секцию, состоящую из тех чисел, которые не больше всех значений для аргументов от до . Учитывая любое число в этой секции, существуют значения, по крайней мере столь же большие, как это число, для аргументов между и , т.е. для аргументов, которые очень мало не доходят до (если очень мало). Давайте возьмем все возможные и все возможные соответствующие секции. Общую часть всех этих секций мы назовем «предельной секцией» по мере приближения аргумента к . Сказать, что число принадлежит предельной секции, — значит сказать, что, как бы мало мы ни сделали , существуют аргументы между и , для которых значение функции не меньше .

Мы можем применить точно такой же процесс к верхним секциям, т.е. к секциям, которые идут от некоторой точки до верха, вместо того чтобы идти снизу до некоторой точки. Здесь мы берем те числа, которые не меньше всех значений для аргументов от до ; это определяет верхнюю секцию, которая будет варьироваться по мере варьирования . Взяв общую часть всех таких секций для всех возможных , мы получаем «предельную верхнюю секцию». Сказать, что число принадлежит предельной верхней секции, — значит сказать, что, как бы мало мы ни сделали , существуют аргументы между и , для которых значение функции не больше .

Если член принадлежит как предельной секции, так и предельной верхней секции, мы скажем, что он принадлежит «предельному колебанию». Мы можем проиллюстрировать это, рассмотрев еще раз функцию при приближении к значению 0. Мы предположим, чтобы соответствовать приведенным выше определениям, что это значение приближается снизу.

Давайте начнем с «предельной секции». Между и 0, каким бы ни было , функция будет принимать значение 1 для определенных аргументов, но никогда не будет принимать никакого большего значения. Следовательно, предельная секция состоит из всех вещественных чисел, положительных и отрицательных, до 1 включительно; т.е. она состоит из всех отрицательных чисел вместе с 0, вместе с положительными числами до 1 включительно.

Аналогично, «предельная верхняя секция» состоит из всех положительных чисел вместе с 0, вместе с отрицательными числами до -1 включительно.

Таким образом, «предельное колебание» состоит из всех вещественных чисел от -1 до 1, оба включительно.

Мы можем сказать в общем, что «предельное колебание» функции при приближении аргумента к снизу состоит из всех тех чисел , которые таковы, что, как бы близко мы ни подошли к , мы все равно найдем значения столь же большие, как , и значения столь же малые, как .

Предельное колебание может не содержать членов, или один член, или много членов. В первых двух случаях функция имеет определенный предел при приближении снизу. Если предельное колебание имеет один член, это довольно очевидно. Это столь же верно, если оно не имеет ни одного; ибо не трудно доказать, что если предельное колебание пусто, граница предельной секции совпадает с границей предельной верхней секции и может быть определена как предел функции при приближении снизу. Но если предельное колебание имеет много членов, нет определенного предела функции при приближении снизу. В этом случае мы можем взять нижнюю и верхнюю границы предельного колебания (т.е. нижнюю границу предельной верхней секции и верхнюю границу предельной секции) в качестве нижнего и верхнего пределов ее «предельных» значений при приближении снизу. Аналогично мы получаем нижний и верхний пределы «предельных» значений при приближении сверху. Таким образом, мы имеем в общем случае четыре предела функции при приближении к данному аргументу. Предел для данного аргумента существует только тогда, когда все эти четыре равны, и тогда является их общим значением. Если это также значение для аргумента , функция непрерывна для этого аргумента. Это можно принять за определение непрерывности: оно эквивалентно нашему прежнему определению.

Мы можем определить предел функции для заданного аргумента (если он существует), не прибегая к предельному колебанию и четырем пределам общего случая. В этом случае определение строится точно так же, как и ранее приведенное определение непрерывности. Определим предел для приближения снизу. Чтобы существовал определенный предел для приближения к x от аргументов, меньших x, необходимо и достаточно, чтобы для любого малого числа ε два значения функции для аргументов, достаточно близких к x (но оба меньших x), различались менее чем на ε; то есть если δ достаточно мало, а наши аргументы x' и x'' оба лежат между x - δ и x (x исключено), то разность между значениями для этих аргументов будет меньше ε. Это должно выполняться для любого ε, как бы мало оно ни было; в таком случае функция имеет предел при приближении снизу. Аналогично мы определяем случай, когда существует предел при приближении сверху. Эти два предела, даже если оба существуют, не обязательно должны быть идентичны; и если они идентичны, они все равно не обязательно должны совпадать со значением f(x) для аргумента x. Только в этом последнем случае мы называем функцию непрерывной для аргумента x.

Функция называется «непрерывной» (без уточнений), если она непрерывна для каждого аргумента.

Другой, несколько иной метод прихода к определению непрерывности заключается в следующем:

Скажем, что функция «в конечном счете сходится к классу κ», если существует такое вещественное число, что для этого аргумента и всех аргументов, больших него, значение функции является элементом класса κ. Аналогично мы скажем, что функция «сходится к κ по мере приближения аргумента к x снизу», если существует такой аргумент x', меньший x, что на всем интервале от x' (включительно) до x (исключительно) функция принимает значения, являющиеся элементами κ. Теперь мы можем сказать, что функция непрерывна для аргумента x, для которого она имеет значение y, если она удовлетворяет четырем условиям, а именно: