Второй результат еще более непосредственно касается философской логики. Он заключается в следующем: поскольку немногие типы отношений, которые этот род анализа выявляет как фундаментальные в точной науке, имеют столь важное значение, логика сегодняшнего дня особенно обязана встретить вопросы: Какова природа нашего концепта отношений? Каковы различные возможные типы отношений? От чего зависит разнообразие этих типов? Какое единство лежит под разнообразием?
Как факт, логика в своих современных формах, а именно, во-первых, та символическая логика, которую впервые сформулировал Буль, которую г-н Чарльз С. Пирс и его ученики в этой стране уже столь высоко развили и которую Шредер в Германии, школа Пеано в Италии и ряд недавних английских авторов столь эффективно продвинули, — и, во-вторых, логика научного метода, которая сейчас столь активно преследуется во Франции, в Германии и в англоязычных странах, — все это движение в современной логике, как я считаю, быстро приближается к новым решениям проблемы фундаментальной природы и логики отношений. Проблема эта — та, в которой мы все в равной степени заинтересованы. Де Моргану в Англии в более раннем поколении и в наше время Чарльзу Пирсу в этой стране обязаны очень важные стадии в росте этих проблем. Рассел в своей работе «Принципы математики» совсем недавно предпринял попытку суммировать результаты логики отношений, как они были развиты до сих пор, и добавить свои собственные интерпретации. Тем не менее, я думаю, что Рассел не смог подойти к основаниям теории отношений так близко, как позволяет нынешнее состояние дискуссии. Ибо Рассел не смог учесть то, что я считаю наиболее фундаментально важным обобщением, достигнутым до сих пор в общей теории отношений. Это обобщение, изложенное еще в 1890 году г-ном А. Б. Кемпе из Лондона в паре замечательных, но слишком пренебрегаемых статей, озаглавленных, соответственно, «Теория математической формы» и «Аналогия между логической теорией классов и геометрической теорией точек». Простой намек сначала на более точную формулировку рассматриваемой проблемы, а затем позже на особый вклад Кемпе в эту проблему, может быть здесь уместен, несмотря на невозможность какого-либо адекватного изложения.
III
Два наиболее очевидно и универсально важных вида отношений, известных точным наукам, как эти науки существуют в настоящее время, суть: (1) отношения типа равенства или эквивалентности; и (2) отношения типа «до» и «после», или «больше» и «меньше». Первый из этих двух классов отношений, а именно класс, представленный, хотя отнюдь не исчерпанный, различными отношениями, фактически называемыми в разных отраслях науки одним именем «равенство», — этот класс, я говорю, мог бы быть назван, как я сам предложил, нивелирующими отношениями. Совокупность объектов, между любыми двумя из которых имеет место какое-то одно отношение этого типа, можно назвать совокупностью, члены которой, в некотором определенном смысле, находятся на одном уровне. Второй из этих двух классов отношений, а именно отношения типа «до» и «после», или «больше» и «меньше», — этот класс отношений, я говорю, состоит из того, что в наши дни часто называют сериальными отношениями. И совокупность объектов такая, что, если выбрать любую пару этих объектов, определенный один из этой пары находится к другому из той же пары в некотором определенном отношении этого второго типа, и в отношении, которое остается постоянным для всех пар, которые могут быть таким образом сформированы из членов этой совокупности, — любая такая совокупность, я говорю, составляет одномерный открытый ряд. Таким образом, в случае очереди людей, если вы выберете любую пару людей, принадлежащих к очереди, определенный один из них в очереди находится перед другим. В числовом ряду из любых двух чисел определенное одно больше другого. Везде, где существует такое положение дел, мы имеем ряд.
Теперь эти два класса отношений, нивелирующие отношения и сериальные отношения, согласуются друг с другом и отличаются друг от друга весьма важными способами. Они согласуются друг с другом в том, что как нивелирующие, так и сериальные отношения являются тем, что технически называется транзитивными; то есть оба класса соответствуют тому, что профессор Джеймс назвал законом «пропущенных посредников». Таким образом, если А равно B, а B равно C, то следует, что А равно C. Если А находится перед B, а B находится перед C, то А находится перед C. И это свойство, которое позволяет вам в ваших рассуждениях об этих отношениях пропускать средние члены и, таким образом, выполнять некоторую операцию исключения, есть свойство, которое имеется в виду, когда называют отношения этого типа транзитивными. Но, с другой стороны, эти два класса отношений отличаются друг от друга тем, что нивелирующие отношения являются симметричными или взаимными, в то время как сериальные отношения таковыми не являются. Таким образом, если А равно B, то B равно А. Но если X больше Y, то Y не больше X, а меньше X. Таким образом, нивелирующие отношения — это симметричные транзитивные отношения. Но сериальные отношения — это транзитивные отношения, которые не являются симметричными.
Все это теперь хорошо известно. Примечательно, однако, что почти все процессы наших точных наук, как они развиты в настоящее время, можно сказать, по существу таковы, что ведут либо к помещению наборов или классов объектов на один уровень посредством использования симметричных транзитивных отношений, либо к расположению объектов в упорядоченные ряды или серии посредством использования транзитивных отношений, которые не являются симметричными. Это относится также ко всем применениям точных наук. Что бы еще вы ни делали в науке (или, если на то пошло, в искусстве), вы всегда в конечном итоге приходите либо к расположению объектов, или идей, или актов, или движений в ряды или серии, либо к помещению объектов или идей какого-либо рода на один уровень в силу некоторой эквивалентности или некоторого инвариантного характера. Таким образом, числа, функции, линии в геометрии дают вам примеры сериальных отношений. Уравнения в математике — классические примеры нивелирующих отношений. Так, конечно, обстоит дело и с инвариантами. Таким образом, опять же, вся современная теория энергии состоит из двух частей, одна из которых имеет дело с уровнями энергии, поскольку количество энергии замкнутой системы остается инвариантным на протяжении всех трансформаций системы, в то время как другая часть имеет дело с необратимым сериальным порядком самих трансформаций энергии, которые следуют набору несимметричных отношений, поскольку энергия стремится падать с более высоких на более низкие уровни интенсивности внутри одной и той же системы.
Вся мыслимая вселенная, следовательно, и вся наша нынешняя точная наука могут рассматриваться, если хотите, как совокупность объектов или идей, которые, какие бы другие типы отношений ни существовали, по крайней мере в значительной степени характеризуются либо нивелирующими отношениями, либо сериальными отношениями, либо комплексами обоих типов отношений. Здесь, следовательно, мы явно имеем дело с весьма фундаментальными категориями. Отношения «между» в геометрии могут, конечно, быть определены, если хотите, в терминах транзитивных отношений, которые не являются симметричными. Существуют, конечно, некоторые другие отношения, присутствующие в точной науке, но два типа, сериальные и нивелирующие отношения, особенно примечательны.
До сих пор современные логики некоторое время находились в существенном согласии. Блестящая книга Рассела представляет собой развитие логики математики в значительной степени в терминах двух типов отношений, которые, по-своему, я только что охарактеризовал; хотя Рассел, конечно, уделяет должное внимание некоторым другим типам отношений.
Но тут возникает вопрос: «Являются ли эти два типа отношений тем, чем Рассел их считает, а именно конечными и нередуцируемыми логическими фактами, неанализируемыми категориями — просто данными для мыслителя?» Или мы можем свести их еще дальше и, таким образом, еще раз упростить наш взгляд на категории?
Вот где начинает просматриваться обобщение Кемпе. Эти две категории, по крайней мере в одной весьма фундаментальной сфере точной мысли, могут быть сведены к одной. Существует, а именно, мир идеальных объектов, которые особенно интересуют логика. Это мир совокупности возможных логических классов, или, опять же, это идеальный мир, эквивалентный по формальной структуре предыдущему, но состоящий из совокупности возможных высказываний, или, в-третьих, это мир, эквивалентный опять же по формальной структуре предыдущему, но состоящий из совокупности возможных актов воли, возможных решений. Когда мы приступаем к рассмотрению реляционной структуры такого мира, взятого просто абстрактно как таковая структура, обнаруживается отношение, которое сразу представляется особо общим по своей природе. Это так называемое иллативное отношение, отношение, которое имеет место между двумя классами, когда один подведен под другой, или между двумя высказываниями, или двумя решениями, когда одно подразумевает или влечет за собой другое. Это отношение транзитивно, но может быть либо симметричным, либо несимметричным; так что, в зависимости от того, симметрично оно или нет, оно может быть использовано либо для установления уровней, либо для порождения серий. В системе порядка мира логика реляционная структура, таким образом, в любом случае является весьма общей и фундаментальной.
Но это еще не все. В этом мире логика — классов, или высказываний, или решений — наблюдается также другое отношение. Это отношение исключения или взаимной оппозиции. Это чисто симметричное или взаимное отношение. Оно имеет две формы — обверсивная или противоречивая оппозиция, то есть отрицание в собственном смысле, и контрарная оппозиция. Но обе эти формы являются чисто симметричными. И с помощью надлежащих устройств каждая из них может быть выражена в терминах другой или сведена к другой. И далее, как Кемпе попутно показывает, и как г-жа Лэдд-Франклин также по существу показала в своей важной теории силлогизма, возможно выразить каждое суждение или комплекс суждений, включающий иллативное отношение, в терминах этого чисто симметричного отношения оппозиции. Следовательно, что касается просто реляционной формы, само иллативное отношение может быть полностью сведено к симметричному отношению оппозиции. Это наш первый результат относительно реляционной структуры сферы чистой логики, то есть сферы классов, высказываний или решений.
Отсюда следует, что при описании мира логика возможных классов или возможных решений все несимметричные, а значит, и все сериальные отношения могут быть выражены исключительно в терминах симметричных отношений и могут быть полностью сведены к таким отношениям. Более того, как Кемпе также весьма изящно показал, отношение оппозиции в двух его формах, только что упомянутых, не обязательно должно интерпретироваться как имеющее место только между парами объектов. Оно может и действительно имеет место между триадами, тетрадами, n-адами логических сущностей; и поэтому все, что верно об отношениях логических классов, может, следовательно, быть выражено просто путем приписывания определенных совершенно симметричных и однородных предикатов парам, триадам, тетрадам, n-адам логических объектов. Существенный контраст между симметричными и несимметричными отношениями, таким образом, в этой идеальной сфере логика просто исчезает. Категории мира логика классов, высказываний или решений удивительно просты. Все присутствующие отношения могут рассматриваться как вариации простого концепта оппозиции в отличие от не-оппозиции.
Все это справедливо, конечно, пока что только для мира логика классов или решений. Там, по крайней мере, весь сериальный порядок может быть фактически выведен из полностью симметричных отношений. Но Кемпе теперь весьма красиво показывает (и здесь лежит его большой и оригинальный вклад в нашу тему) — он показывает, я говорю, что порядковые отношения геометрии, так же как и системы чисел, могут все рассматриваться как неотличимые от простых вариаций тех отношений, которые в чистой логике обнаруживаются как симметричные отношения, имеющие место внутри пар или триад классов или высказываний. Формальная идентичность геометрического отношения, называемого «между», с чисто логическим отношением, которое можно определить как существующее или не существующее среди членов данной триады логических классов или логических высказываний, показана Кемпе способом, который я не могу здесь пытаться изложить. Но результат Кемпе, таким образом, позволяет, как я полагаю, упростить теорию отношений далеко за пределы той точки, которой Рассел в своей блестящей книге достиг. Ибо триадическое отношение Кемпе, о котором идет речь, может быть выражено в том, что он называет своей обверсивной формой, в совершенно симметричных терминах. И он доказывает весьма точно, что результирующее логическое отношение в точности идентично во всех своих свойствах фундаментальному порядковому отношению геометрии.
Таким образом, системы порядка геометрии и анализа представляются просто как частные случаи более общей системы порядка чистой логики. Целое, как анализа, так и геометрии, может рассматриваться как описание определенных выбранных групп сущностей, которые выбраны, согласно специальным правилам, из единого идеального мира. Этот общий и всеобъемлющий идеальный мир состоит просто из всех объектов, которые могут находиться друг к другу в тех симметричных отношениях, в которых чистый логик находит различные высказывания или различные решения неизбежно стоящими. «Позвольте мне, — говорит, по сути, Кемпе, — выбрать из идеального мира классов или решений логика, какие сущности я хочу; и я покажу вам совокупность объектов, которые по своей реляционной структуре в точности идентичны точкам пространства геометра n измерений». Другими словами, все фигуры и отношения геометра могут быть точно изображены реляционной структурой выбранной системы классов или высказываний, отношения которых являются полностью и явно логическими отношениями, такими как оппозиция, и отношения которых могут быть все, соответственно, рассмотрены как сводимые к единому типу чисто симметричного отношения.
Таким образом, для всей точной науки, а не только для специальной области логика, контраст между симметричными и несимметричными отношениями оказывается, в конечном счете, поверхностным и производным. Чисто логические категории, такие как оппозиция и те, что действуют в рамках исчисления высказываний, по-видимому, являются базовыми категориями всей точной науки, которая была разработана к настоящему времени. Ряды и уровни — это реляционные структуры, которые, несмотря на их резкий контраст, могут быть выведены из единого корня.
Я переформулировал обобщение Кемпе на свой лад. Я считаю его наиболее многообещающим шагом к новому пониманию категорий, который мы сделали за несколько поколений.
Итак, я утверждаю, что в области современной логики ведется работа, которая стремительно ведет к унификации задач всего нашего отделения. Ибо эта проблема категорий, во всей своей абстрактности, остается общей проблемой для всех нас. Спросите вы, однако, что могут сделать такие исследования, чтобы оказать более специальную помощь работникам в области метафизики, философии религии, этики или эстетики, помимо простого содействия в формулировании таблицы категорий — тогда я отвечу, что у нас уже есть свидетельства того, что такие общие исследования, какими бы абстрактными они ни казались, приносят плоды, имеющие гораздо большее, чем просто специальный интерес. Помимо своих самых общих проблем, тот анализ математических понятий, на который я ссылался, в любом случае выявил многочисленные неожиданные связи между областями мысли, которые казались весьма далекими друг от друга. Один пример такой связи я сам подробно обсуждал в другом месте, в ее общих метафизических аспектах. Я имею в виду логическое тождество, на которое впервые указал Дедекинд, между математическим понятием порядкового числа ряда и философским понятием формальной структуры идеально завершенного «я». Я утверждал, что это формальное тождество проливает свет на проблемы, которые имеют столь же подлинный интерес для исследователя философии религии, как и для логика арифметики. В этой же связи можно отметить, что, как очень ясно и красиво показали Кутюра и Рассел, среди прочих авторов, аргументация кантовских математических антиномий нуждается в явном и полном пересмотре в свете современной теории бесконечных совокупностей Кантора. Переходя сразу к другому, весьма отличному примеру: современные математические концепции того, что называется теорией групп, уже получили очень широкое и значительное применение и обещают объединить области исследований, которые до недавнего времени, казалось, имели мало общего или вовсе не имели ничего общего друг с другом. Совсем недавно, однако, появились признаки того, что теория групп вскоре окажет важное значение для определения некоторых фундаментальных понятий той наиболее трудно поддающейся философскому исследованию области — эстетики. Доктор Эмч в важной статье в журнале «Monist» некоторое время назад обратил внимание на группы симметрии, к которым принадлежат определенные эстетически приятные формы, и попытался указать на эмпирические отношения между этими группами и рассматриваемыми эстетическими эффектами. Основания для такой связи между рассматриваемыми группами и наблюдаемыми эстетическими эффектами в статье доктора Эмча, по-видимому, остались в значительной степени неясными. Но некоторые статьи, недавно опубликованные в этой стране мисс Этель Паффер, касающиеся психологии прекрасного (хотя автор подошла к предмету, насколько я понимаю, нисколько не будучи сознательно под влиянием концепций математической теории групп), все же фактически приводят, если я правильно понимаю смысл автора, к доктрине, согласно которой эстетический объект, рассматриваемый как психологическое целое, должен обладать структурой, близкой, если не точно эквивалентной, идеальной структуре того, что математик называет группой. Я сам не обладаю авторитетом в отношении эстетических понятий и говорю, подлежа исправлению. Но неожиданное, а в случае исследования мисс Паффер, совершенно непреднамеренное появление теории групп в недавнем эстетическом анализе является для меня впечатляющим примером использования относительно новых математических концепций в философских областях, которые кажутся на первый взгляд очень далекими от математики.