«Международный конгресс искусств и наук, Том 1: Философия и метафизика»

Не трудно указать на такие эпохи в человеческом прогрессе. Величайшая из всех, потому что она была первой, — это та, о которой мы не находим записи ни в письменной, ни в геологической истории. Это была эпоха, когда наши предки впервые сознательно подумали о завтрашнем дне, впервые использовали грубое оружие, которое природа поместила в их распоряжение, чтобы убить свою добычу, впервые развели огонь, чтобы согреть свои тела и приготовить пищу. Я люблю фантазировать, что был какой-то один первый человек, Адам эволюции, который сделал все это и который использовал силу, таким образом приобретенную, чтобы показать своим собратьям, как они могут извлечь выгоду из его примера. Когда члены племени или сообщества, которое он собрал вокруг себя, начали воспринимать жизнь как целое — включать вчера, сегодня и завтра в одно и то же ментальное схватывание — думать, как они могут применить дары природы для своих собственных нужд, — было начато движение, которое в конечном итоге должно было привести к цивилизации.

Долгими, должно быть, были века, необходимые для развития этого грубейшего примитивного сообщества в цивилизацию, открытую нам самыми древними табличками Египта и Ассирии. После того как был развит разговорный язык и после того как грубое представление идей видимыми знаками, нарисованными так, чтобы напоминать их, долго практиковалось, какой-то Кадм должен был изобрести алфавит. Когда использование письменного языка было таким образом введено, слово команды перестало ограничиваться диапазоном человеческого голоса, и стало возможным для мастерских умов расширить свое влияние настолько, насколько могло быть доставлено письменное сообщение. Тогда сообщества были собраны в провинции; провинции — в королевства; королевства — в великие империи древности. Тогда возникла стадия цивилизации, которую мы находим изображенной в самых древних записях, — стадия, в которой люди управлялись законами, которые, возможно, были так же мудро приспособлены к их условиям, как наши законы к нашим, — в которой явления природы грубо наблюдались, а поразительные события на земле или на небесах записывались в анналах нации.

Огромным был прогресс знаний в интервале между этими империями и столетием, в котором началась современная наука. И все же, если я прав, делая различие между медленными и регулярными шагами прогресса, каждый из которых естественно вырастает из того, что предшествовало ему, и вступлением разума в какой-то довольно определенной эпохе в совершенно новую сферу деятельности, казалось бы, что в течение всего интервала была только одна такая эпоха. Это было тогда, когда началось абстрактное геометрическое рассуждение и астрономические наблюдения, стремящиеся к точности, были записаны, сравнены и обсуждены. Тесно связанным с этим должно было быть построение форм логики. Радикальное различие между доказательством теоремы геометрии и рассуждением повседневной жизни, которое массы людей, должно быть, практиковали с самого начала и за пределы которого немногие даже сегодня выходят, настолько очевидно с первого взгляда, что мне не нужно останавливаться на нем. Главная черта этого продвижения заключается в том, что, согласно одной из тех антиномий человеческого интеллекта, примеры которых не отсутствуют даже в наше время, развитие абстрактных идей предшествовало конкретному знанию природных явлений. Когда мы размышляем, что в геометрии Евклида наука о пространстве была доведена до такого логического совершенства, что даже сегодня ее учителя не согласны относительно практичности какого-либо значительного улучшения в ней, мы не можем избежать чувства, что очень небольшое изменение в направлении интеллектуальной деятельности греков привело бы к началу естественной науки. Но казалось бы, что сама чистота и совершенство, к которым стремились в их системе геометрии, стояли на пути любого расширения или применения ее методов и духа к области природы. Один пример этого заслуживает внимания. В современном преподавании идея величины как порожденной движением свободно вводится. Линия описывается движущейся точкой; плоскость — движущейся линией; тело — движущейся плоскостью. На первый взгляд может показаться странным, что эта концепция не находит места в евклидовой системе. Но мы можем рассматривать это упущение как знак логической чистоты и строгости. Если бы реальные или предполагаемые преимущества введения движения в геометрические концепции были предложены Евклиду, мы можем предположить, что он ответил бы, что теоремы пространства независимы от времени; что идея движения обязательно подразумевает время и что, следовательно, воспользоваться ею означало бы ввести посторонний элемент в геометрию.

Вполне возможно, что презрение древних философов к практическому применению их науки, которое продолжалось в какой-то форме до нашего времени и которое не совсем нездорово, было мощным фактором в том же направлении. Результатом было то, что, сохраняя геометрию чистой от идей, которые не принадлежали ей, она не смогла сформировать то, что могло бы в противном случае стать основой физической науки. Ее основатели упустили открытие, что методы, подобные методам геометрического доказательства, могут быть распространены на другие и более широкие области, чем область пространства. Таким образом, не только развитие прикладной геометрии, но и сведение других концепций к строгой математической форме было на неопределенный срок отложено.

Астрономия — это обязательно наука наблюдения в чистом и простом виде, в которой эксперимент не может иметь места, кроме как в качестве вспомогательного. Смутные отчеты о поразительных небесных явлениях, переданные жрецами и астрологами древности, сменились во времена греков наблюдениями, имеющими, по крайней мере по форме, грубое приближение к точности, хотя и ничего похожего на ту степень точности, которой астроном сегодняшнего дня достиг бы невооруженным глазом, пользуясь такими инструментами, которые он мог бы изготовить из инструментов, находившихся в распоряжении древних.

Грубые наблюдения, начатые вавилонянами, продолжались с постепенно улучшающимися инструментами — сначала греками, а затем арабами, — но результаты не дали никакого понимания истинного отношения земли к небесам. Что было наиболее примечательным в этой неудаче, так это то, что для того, чтобы сделать первый шаг вперед, который привел бы к успеху, требовалось не более чем курс абстрактного мышления, значительно более легкий, чем тот, который требовался для решения проблем геометрии. То, что пространство бесконечно, — это невыраженная аксиома, молчаливо предполагаемая Евклидом и его преемниками. Сочетая это с самым элементарным соображением свойств треугольника, можно было бы увидеть, что тело любого заданного размера может быть помещено на таком расстоянии в пространстве, чтобы казаться нам точкой. Следовательно, тело размером с нашу землю, которая была известна как шар со времен, когда древние финикийцы плавали по Средиземному морю, если бы оно было помещено на небесах на достаточном расстоянии, выглядело бы как звезда. Очевидный вывод, что звезды могут быть телами, подобными нашему шару, светящимися либо собственным светом, либо светом солнца, был бы первым шагом к пониманию истинной системы мира.

Существуют исторические свидетельства того, что эта дедукция не полностью ускользнула от греческих мыслителей. Правда, критический студент придаст мало веса распространенному убеждению, что смутная теория Пифагора — о том, что огонь был в центре всего, — подразумевает концепцию гелиоцентрической теории солнечной системы. Но свидетельство Архимеда, как бы оно ни было запутано по форме, не оставляет серьезных сомнений в том, что Аристарх Самосский не только выдвинул взгляд, что земля вращается как вокруг своей оси, так и вокруг солнца, но что он правильно устранил великий камень преткновения на пути этой теории, добавив, что расстояние до неподвижных звезд бесконечно больше размеров орбиты земли. Даже мир философии был еще не готов к этой концепции, и, далеко не видя разумности объяснения, мы находим Птолемея, спорящего против вращения земли на основаниях, которые тщательные наблюдения явлений вокруг него показали бы необоснованными.

Физическая наука, если мы можем применить этот термин к нескоординированной совокупности фактов, успешно культивировалась с самых ранних времен. Что-то должно было быть известно о свойствах металлов, и искусство извлечения их из руд должно было практиковаться со времен, когда монеты и медали были впервые отчеканены. Свойства самых распространенных соединений были открыты алхимиками в их тщетном поиске философского камня, но никакой реальный прогресс, достойный этого имени, не вознаградил практиков черной магии.

Возможно, первым приближением к правильному методу был метод Архимеда, который путем долгих размышлений выработал закон рычага, пришел к концепции центра тяжести и продемонстрировал первые принципы гидростатики. Примечательно, что он не распространил свои исследования на явления движения, будь то спонтанные или вызванные силой. Стационарное состояние человеческого интеллекта наиболее поразительно иллюстрируется тем фактом, что до времен Леонардо не было сделано никакого существенного продвижения в его открытии. Чтобы подытожить одним предложением наиболее характерную черту древней и средневековой науки, мы видим заметный контраст между точностью мысли, подразумеваемой в построении и доказательстве геометрических теорем, и смутным неопределенным характером идей о природных явлениях в целом, контраст, который не исчезал, пока не начали закладываться основы современной науки.

Мы упустили бы самый существенный момент различия между средневековым и современным обучением, если бы рассматривали его главным образом как различие либо в точности, либо в объеме знаний. Развитие обоих этих качеств было бы при любых обстоятельствах медленным и постепенным, но верным. Мы едва ли можем предположить, что какое-либо одно поколение или даже какое-либо одно столетие увидело бы полную замену неточных идей точными. Медленность роста так же неизбежна в случае знания, как и в случае растущего организма. Самый существенный момент различия — один из тех, казалось бы, незначительных, важность которых мы слишком склонны упускать из виду. Это было похоже на каплю крови не в том месте, которая, как кто-то сказал нам, составляет всю разницу между философом и маньяком. Это была вся разница между живым деревом и мертвым, между инертной массой и растущим организмом. Переход знания от мертвой к живой форме должен в любом полном обзоре предмета рассматриваться как действительно великое событие современных времен. До этого события интеллект был скован схоластикой, которая рассматривала знание как округлое целое, части которого были записаны в книгах и носились в умах ученых людей. Студента с самого начала его работы учили смотреть на авторитет как на фундамент своих убеждений. Чем старше авторитет, тем больший вес он имел. Настолько эффективным было это обучение, что, кажется, никогда не приходило в голову отдельным людям, что у них были все возможности, когда-либо доступные Аристотелю для открытия истины, с добавленным преимуществом всего его знания для начала. Насколько развито было развитие формальной логики, отсутствовала та практическая логика, которая могла бы увидеть, что последний из серии авторитетов, каждый из которых опирался на тех, что предшествовали ему, никогда не мог сформировать более верный фундамент для какого-либо учения, чем тот, который был предоставлен его первоначальным автором.

Результатом этого взгляда на знание было то, что, хотя в течение пятнадцати столетий, последовавших за смертью геометра из Сиракуз, были основаны великие университеты, в которых поколения профессоров излагали все знания своего времени, ни профессор, ни студент никогда не подозревали, какие скрытые возможности блага были скрыты в самых знакомых операциях природы. Каждый чувствовал, как дует ветер, видел, как кипит вода, и слышал, как гремит гром, но никогда не думал об исследовании сил, действующих здесь. До середины пятнадцатого столетия самый острый наблюдатель едва ли мог увидеть рассвет новой эры.

Ввиду этого положения вещей, это должно рассматриваться как один из самых замечательных фактов в эволюционной истории, что четыре или пять человек, чья ментальная конституция была либо типичной для нового порядка вещей, либо которые были мощными агентами в его наступлении, все родились в течение пятнадцатого столетия, четверо из них, по крайней мере, настолько почти в одно и то же время, что были современниками.

Леонардо да Винчи, чей художественный гений очаровывал последующие поколения, был также первым практическим инженером своего времени и первым человеком после Архимеда, сделавшим существенный шаг вперед в развитии законов движения. То, что мир не был готов использовать его научные открытия, не умаляет значимости, которая должна придаваться периоду его рождения.

Вскоре после него родился великий мореплаватель, чей смелый дух должен был открыть новый мир, тем самым придав коммерческому предприятию тот импульс, который был столь мощным агентом в наступлении революции в мыслях людей.

За рождением Колумба вскоре последовало рождение Коперника, первого после Аристарха, продемонстрировавшего истинную систему мира. В нем больше, чем в любом из его современников, мы видим борьбу между старыми формами мысли и новыми. Кажется почти трогательным и, безусловно, наиболее показательным для общего взгляда на знание, принятого в то время, что вместо того, чтобы претендовать на заслугу в выявлении великих истин, ранее неизвестных, он предпринял кропотливую попытку показать, что, в конце концов, в его системе не было ничего действительно нового, которая, как он утверждал, берет начало от Пифагора и Филолая. В этой связи любопытно, что он не упоминает Аристарха, который, я думаю, будет рассматриваться консервативными историками как его единственный доказанный предшественник. Влиянию старых идей на его ум мы должны приписать тот факт, что при построении своей системы он приложил большие усилия, чтобы сделать как можно меньше изменений в древних концепциях.

Лютер, величайший из всех возбудителей мысли, практически того же поколения, что и Коперник, Леонардо и Колумб, не входит как научный исследователь, но как великий освободитель цепей, которые настолько сковали интеллект людей, что они не осмеливались думать иначе, чем думали авторитеты.

Почти современным появлению этих интеллектов было изобретение книгопечатания с подвижным шрифтом. Гутенберг родился в течение первого десятилетия столетия, а его соратники и другие, которым приписывают изобретение, — не многие годы спустя. Если мы примем принцип, на котором я основываю свой аргумент, что мы должны отвести первое место рождению тех психических агентств, которые направили людей на новые линии мысли, то, безусловно, пятнадцатый был чудесным столетием.

Давайте не будем забывать, что, назначая родившихся тогда актеров на их места, мы не рассказываем историю, а изучаем особую фазу эволюции. Для нас не имеет значения, что ни один университет не пригласил Леонардо в свои залы и что его наука ценилась его современниками только как дополнение к искусству инженерии. Великий факт остается в том, что он был первым из человечества, кто выдвинул законы движения. Не за что-либо в доктринах Лютера он находит место в нашей схеме. Неважно для нас, были ли они здравыми или нет. Что он сделал для эволюции научного исследователя, так это показал своим примером, что человек может подвергнуть сомнению самый устоявшийся и самый почтенный авторитет и все же жить — все же сохранить свою интеллектуальную целостность — все же добиться слушания от наций и их правителей. Неважно для нас, знал ли Колумб когда-либо, что он открыл новый континент. Его работа заключалась в том, чтобы научить, что ни гидра, ни химера, ни бездна — ни божественное предписание, ни адская махинация — не стояли на пути людей, посещающих каждую часть земного шара, и что проблема покорения мира сводилась к парусам и такелажу, корпусу и компасу. Лучшая часть Коперника заключалась в том, чтобы направить человека к точке зрения, откуда он должен был увидеть, что небеса состоят из того же вещества, что и земля. Все это сделано, желудь был посажен, из которого должен был вырасти дуб нашей цивилизации. Безумный поиск золота, который последовал за открытием Колумба, вопросы, которые поглощали внимание ученых, негодование, вызванное кажущимися причудами Парацельса, страх и трепет, что странная доктрина Коперника может подорвать веру веков, — все это было помощью прорастанию семени — стимулами к мысли, которые побуждали ее исследовать новые поля, открытые для ее занятия. Это данное, все, что с тех пор последовало, вышло в регулярном порядке развития и должно быть здесь рассмотрено только в тех фазах, которые имеют особое отношение к цели нашей настоящей встречи.

Настолько медленным был рост вначале, что шестнадцатое столетие едва ли могло распознать инаугурацию новой эры. Торричелли и Бенедетти были из третьего поколения после Леонардо, а Галилей, первый, кто сделал существенное продвижение в его теории, родился более чем через столетие после него. Только два или три человека появлялись в поколении, которые, работая в одиночку, могли сделать реальный прогресс в открытии, и даже они могли сделать мало в закваске умов своих собратьев новыми идеями.

До середины семнадцатого столетия отсутствовал агент, который весь опыт с того времени показывает необходимым для наиболее продуктивной интеллектуальной деятельности. Это было притяжение подобных умов, делающих предложения друг другу, критикующих, сравнивающих и рассуждающих. Этот элемент был введен организацией Королевского общества Лондона и Академии наук Парижа.

Члены этих двух органов кажутся изобретательными юношами, внезапно брошенными в новый мир интересных объектов, цели и отношения которых они должны были открыть. Новизна ситуации поразительно показана в вопросах, которые занимали умы начинающих исследователей. Одним естественным результатом британского морского предприятия было то, что стремления членов Королевского общества не ограничивались никаким континентом или полушарием. Запросы были отправлены в Батавию, чтобы узнать, «есть ли холм на Суматре, который горит постоянно, и фонтан, который течет чистым бальзамом». Астрономическая точность, с которой казалось возможным, что физиологические операции могут продолжаться, была проявлена запросом, могут ли индейцы так подготовить ту одурманивающую траву Datura, что «они заставляют ее лежать несколько дней, месяцев, лет, согласно тому, как они хотят, в теле человека, не причиняя ему никакого вреда, и в конце убить его, не пропустив ни часа времени». С этого континента одним из запросов было, есть ли дерево в Мексике, которое дает воду, вино, уксус, молоко, мед, воск, нить и иглы.

Среди проблем, стоявших перед Парижской академией наук, проблемы физиологии и биологии занимали видное место. Дистилляция соединений давно практиковалась, и факт, что более спиртовые элементы определенных веществ были таким образом отделены, естественно привел к вопросу, нельзя ли обнаружить сущностные эссенции жизни таким же образом. Чтобы все могли участвовать в экспериментах, они проводились на открытом заседании Академии, тем самым защищаясь от опасности того, что кто-либо из членов получит для своего исключительного личного использования возможный эликсир жизни. Широкий спектр животного и растительного мира, включая кошек, собак и птиц различных видов, был таким образом проанализирован. Практика вскрытия была введена в широком масштабе. Вскрытие трупа слона заняло несколько заседаний и было настолько интересным, что сам монарх был зрителем.

К той же эпохе, что и формирование и первая работа этих двух органов, относится изобретение математического метода, который по своей важности для продвижения точной науки может быть классифицирован с изобретением алфавита в его отношении к прогрессу общества в целом. Использование алгебраических символов для представления величин имело свое происхождение до начала новой эры и постепенно выросло в высокоразвитую форму в течение первых двух столетий этой эры. Но этот метод мог представлять величины только как фиксированные. Правда, эластичность, присущая использованию таких символов, позволяла применять их к любой и каждой величине; однако в любом одном применении величина рассматривалась как фиксированная и определенная. Но большинство величин природы находятся в состоянии постоянного изменения; действительно, поскольку всякое движение есть изменение, последнее является универсальной характеристикой всех явлений. Никакое серьезное продвижение не могло быть сделано в применении алгебраического языка к выражению физических явлений, пока он не мог быть расширен так, чтобы выражать изменение в величинах, так же как и сами величины. Это расширение, разработанное независимо Ньютоном и Лейбницем, может быть классифицировано как самое плодотворное из концепций в точной науке. С ним путь был открыт для беспрепятственного и постоянно ускоряющегося прогресса последних двух столетий.

Черта этого периода, которая имеет самую тесную связь с целью нашего собрания, — это кажущееся бесконечным подразделение знания на специальности, многие из которых становятся настолько мелкими и настолько изолированными, что они кажутся не имеющими интереса ни для кого, кроме их немногих преследователей. К счастью, сама наука предоставила корректирующее средство для своей собственной тенденции в этом направлении. Внимательный мыслитель увидит, что в этих, казалось бы, расходящихся ветвях общие элементы и общие принципы все больше и больше выходят на свет. Существует растущее признание методов исследования и дедукции, которые являются общими для больших ветвей или для всей науки. Мы все больше и больше признаем принцип, что прогресс в знании подразумевает его сведение к более точным формам и выражение его идей на языке, более или менее математическом. Проблема, стоявшая перед организаторами этого Конгресса, заключалась, следовательно, в том, чтобы собрать науки вместе и искать единство, которое, как мы верим, лежит в основе их бесконечного разнообразия.

Сбор такого органа, как тот, что сейчас заполняет этот зал, был едва ли возможен в любом предшествующем поколении и сделан возможным сейчас только через агентство самой науки. Он отличается от всех предшествующих международных встреч универсальностью своего охвата, который стремится включить все знание. Он также уникален тем, что никто, кроме лидеров, не был разыскиваем в качестве членов. Он уникален тем, что так много земель делегировали свои лучшие интеллекты для выполнения его работы. Они приходят из страны, которой наша республика обязана третью своей территории, включая землю, на которой мы стоим; из земли, которая научила нас, что самая ученая преданность языкам и обучению затворнического прошлого совместима с лидерством в практическом применении современной науки к искусствам жизни; с острова, чей язык и литература нашли новое поле и энергичный рост в этом регионе; из последнего места священной Римской империи; из страны, которая, помня монарха, сделавшего астрономическое наблюдение в Гринвичской обсерватории, возвела науку на одно из самых высоких мест в своем правительстве; с полуострова, настолько ученого, что мы пригласили одного из его ученых приехать и рассказать нам о нашем собственном языке; из земли, которая дала рождение Леонардо, Галилею, Торричелли, Колумбу, Вольте — какой массив бессмертных имен! — из маленькой республики славной истории, которая, разводя людей, суровых, как ее вечные снежные пики, тем не менее была местом научного исследования со дня Бернулли; из земли, чьи героические обитатели не колебались использовать сам океан, чтобы защитить ее от захватчиков, и которая сейчас заставляет нас удивляться количеству эрудиции, сжатой в ее маленькой области; из нации через Тихий океан, которая, за полвека непревзойденного прогресса в искусствах жизни, внесла важный вклад в эволюционную науку через демонстрацию ложности теории, что самые древние расы обречены остаться в арьергарде наступающего века, — одним словом, из каждого великого центра интеллектуальной деятельности на земном шаре я вижу перед собой выдающихся представителей того мирового прогресса в знании, который мы собрались праздновать. Можем ли мы не надеяться с уверенностью, что дискуссии такого собрания окажутся беременными будущим для науки, которое затмит даже ее блестящее прошлое?

Господа и ученые! Вы прибыли к нашим берегам не для того, чтобы найти великие собрания, в которых человечество на протяжении веков выражало на холсте и в мраморе свои надежды, страхи и стремления. Вы не ожидаете увидеть здесь и институты или здания, убеленные сединой веков. Но когда вы ощущаете бодрость, скрытую в свежем воздухе этих бескрайних прерий, которая собрала плоды человеческого гения, окружающие нас здесь, и, смею добавить, объединила нас; когда вы изучаете институты, которые мы основали на благо не только нашего собственного народа, но и всего человечества; когда вы встречаете людей, которые за короткий срок в одно столетие превратили эту долину из дикой пустыни в то, чем она является сегодня, — тогда, возможно, вы найдете компенсацию за отсутствие прошлого, подобного вашему, увидев пророческим взором будущую мировую державу, центром которой станет этот регион. Если таков будет результат институтов, которые мы сейчас возводим, то пусть ваш нынешний визит станет благословением как для вашего, так и для нашего потомства, сделав эту силу благом для всего человечества. Ваши обсуждения помогут продемонстрировать нам и всему миру, что господство закона должно вытеснить господство грубой силы в отношениях между народами, точно так же, как оно вытеснило его в отношениях между индивидами. Вы поможете показать, что война, которую наука сейчас ведет против источников болезней, боли и страданий, предлагает еще более благородное поле для проявления героических качеств, чем поле битвы. Мы надеемся, что когда после вашего слишком мимолетного пребывания среди нас вы вернетесь к своим берегам, вы еще долго будете ощущать влияние нового воздуха, которым дышали, в приливе возросшей бодрости при выполнении ваших разнообразных трудов. И если тем самым будет дан новый импульс великому интеллектуальному движению прошлого столетия, что приведет не только к содействию объединению знаний, но и к расширению его области через новые сочетания усилий со стороны его приверженцев, то проектировщики, организаторы и сторонники этого Конгресса искусств и наук будут оправданы в своих трудах.

ОТДЕЛ А — НОРМАТИВНАЯ НАУКА

ОТДЕЛ А — НОРМАТИВНАЯ НАУКА

Докладчик: профессор Джозайя Ройс, Гарвардский университет

(Hall 6, September 20, 10 a. m.)

НАУКИ ОБ ИДЕАЛЬНОМ

ДЖОЗАЙЯ РОЙС

[Джозайя Ройс, профессор истории философии Гарвардского университета с 1892 г. Род. в Грасс-Вэлли, округ Невада, Калифорния, 20 ноября 1855 г. Бакалавр искусств Калифорнийского университета, 1875 г.; доктор философии Университета Джонса Хопкинса, 1878 г.; почетный доктор права Абердинского университета, Шотландия; почетный доктор права Университета Джонса Хопкинса. Преподаватель английской литературы и логики Калифорнийского университета, 1878–1882 гг. Преподаватель и доцент Гарвардского университета, 1882–1892 гг. Автор работ «Религиозный аспект философии», «История Калифорнии», «Вражда в Оукфилд-Крик», «Дух современной философии», «Исследования добра и зла», «Мир и индивид», «Гиффордовские лекции» и многочисленных других трудов и мемуаров.]

В этом докладе я не буду пытаться ни оправдать, ни критиковать название «нормативная наука», под которым сгруппированы доктрины, составляющие данный отдел. Для моих целей достаточно с самого начала признать, что планы этого Конгресса требуют от меня объяснить, какие научные интересы кажутся мне общими для работы философов и математиков. Эта задача предъявляет суровые требования к снисходительности слушателя и к изложительным способностям докладчика, но это задача, для которой нынешняя эпоха хорошо подготовила почву. Дух, который демонстрировали Декарт и Лейбниц, по-видимому, скоро станет заметным в науке в новом и более высоком смысле. Математики становятся все более философскими. Философы в ближайшем будущем, я полагаю, станут все более математическими. Моя обязанность — указать, насколько позволяют краткое время и мои скромные способности, почему это должно быть так.

С этой целью я сначала укажу, в чем заключается самая общая общность интересов, объединяющая все науки, принадлежащие к нашему отделу. Затем я укажу, какой тип недавней и специальной научной работы наиболее очевидно относится к задачам всех нас в равной степени. В-третьих, я изложу некоторые результаты и проблемы, к которым привел этот тип научной работы, и попытаюсь показать, какие у нас есть перспективы скорого углубления понимания наших общих интересов.

I

Самая общая общность интересов, объединяющая различные научные виды деятельности, принадлежащие к нашему отделу, заключается в следующем: все мы имеем дело с тем, что можно назвать идеальной истиной, в отличие от физической истины. Некоторые из нас также проявляют сильный интерес к физической истине; но никто из нас не лишен заметного и научного интереса к сфере идей, рассматриваемых как идеи.

Позвольте мне объяснить, что я подразумеваю под этими терминами. Тот, кто изучает физическую истину (принимая этот термин в его самом общем смысле), стремится наблюдать, сопоставлять и, в конечном счете, контролировать факты, которые он считает внешними по отношению к своей собственной мысли. Но вместо того, чтобы смотреть главным образом вовне, человек может в основном учитывать, скажем, последствия своих собственных гипотетических допущений — допущений, которые могут иметь лишь весьма отдаленное отношение к физическому миру. Или, опять же, такой исследователь может быть в основном посвящен размышлениям о формальной обоснованности своих собственных выводов, или о значении своих собственных предпосылок, или о ценности и взаимосвязи человеческих идеалов. Любая такая научная работа, рефлексивная, учитывающая главным образом собственные построения и цели мыслителя или построения и цели человечества в целом, является поиском идеальной истины. Искатель, который в основном предан исследованию того, что он считает внешними фактами, действительно активен; но его деятельность сформирована порядком существования, который он мыслит как завершенный независимо от его деятельности. Он вдумчив; но сила, не являющаяся им самим, ставит перед ним проблемы, о которых он размышляет. Он руководствуется идеалами; но его главный идеал принимает форму принятия мира таким, каков он есть, независимо от его идеалов. Его дела связаны с природой. Его цель — завоевание чуждой сферы. Но исследователь того, что можно назвать, в общих чертах, идеальной истиной, хотя он так же предан, как и его коллега, наблюдатель внешней природы, общей цели быть верным истине, какой он ее находит, все же осознает, что его собственный способ нахождения, или его собственная творческая деятельность как изобретателя гипотез, или его собственные способности к выводу, или его сознательные идеалы составляют в основном объект, который он исследует, и, таким образом, формируют существенный аспект того рода истины, который он стремится обнаружить. Руководителем такого исследователя, следовательно, является, в особом смысле, его собственный разум. Его цель — постижение собственного смысла, сознательное и вдумчивое завоевание самого себя. Его главный враг — не тайна внешней природы, а несовершенство его собственных рефлексивных способностей. Он, действительно, так же не желает доверять частным капризам, как и любой научный работник. Он так же мало чувствует, как и наблюдатель внешних фактов, что он просто записывает, по мере их прохождения, случайные продукты своей произвольной фантазии. Для него, как и для любого научного исследователя, истина действительно объективна; и стандарты, которым он следует, вечны. Но его метод — это метод внутренней вдумчивости, а не любопытства к внешним явлениям. Его объективный мир — это в то же время по существу идеальный мир, и вечная истина, в свете которой он стремится жить, на протяжении всех его начинаний имеет особо тесную связь с целями его собственной конструктивной воли.

Можно суммировать разницу в отношении, о которой здесь идет речь, сказав, что, в то время как исследователь внешней природы явно сообразует свои планы действий, свои идеи, свои идеалы с порядком истины, который он считает чуждым себе, — исследователь другого рода истины, здесь особенно рассматриваемого, пытается понять свои собственные планы действий, то есть развить свои идеи или определить свои идеалы, или же сделать и то, и другое.

Теперь нетрудно увидеть, что этот поиск некоторого рода идеальной истины действительно характерен для каждого из исследований, которые были сгруппированы в нашем отделе нормативных наук. Чистая математика разделяет с философией этот тип научного интереса к идеальной, в отличие от физической или феноменальной, истины. Существует, конечно, заметный контраст между тем, как математик и философ подходят к своим соответствующим типам проблем, выбирают их и разрабатывают. Но существует также тесная связь между двумя рассматриваемыми типами исследований. Давайте далее рассмотрим как контраст, так и аналогию в некоторых других их наиболее общих чертах.

Чистая математика занимается исследованием логических следствий определенных точно формулируемых постулатов или гипотез — таких, например, как постулаты, на которых основаны арифметика и анализ, или таких, как постулаты, лежащие в основе любого типа геометрии. Для чистой математики истинность этих гипотез или постулатов зависит не от того факта, что физическая природа содержит явления, отвечающие этим постулатам, а исключительно от того факта, что математик способен с рациональной последовательностью сформулировать эти принятые первые принципы и развить их следствия. Дедекинд в своем знаменитом эссе «Что такое числа и для чего они служат» назвал целые числа «свободными творениями человеческого духа»; и, по сути, нам не нужно вступать в какую-либо дискуссию о психологии нашего понятия числа, чтобы иметь возможность утверждать, что, как бы мы, люди, ни пришли к нашему представлению о целых числах, для математика теория числовой истины должна представляться просто как логическое развитие следствий нескольких фундаментальных первых принципов, таких как те, которые Дедекинд, Пеано или другие недавние авторы по этой теме сформулировали в различных формах. Подобная формальная свобода характеризует развитие любой другой теории в области чистой математики. Чистая геометрия, с современной точки зрения, не является ни доктриной, навязанной человеческому разуму конституцией какой-либо первоначальной формы интуиции, ни отраслью физической науки, ограниченной описанием пространственного расположения явлений во внешнем мире. Чистая геометрия — это теория следствий определенных постулатов, которые геометр волен последовательно выдвигать; так что существует столько типов геометрии, сколько существует последовательных систем постулатов того родового типа, который учитывает геометр. Как теперь также хорошо известно, давно стало невозможным определять чистую математику как науку о количестве или ограничивать круг точно формулируемых гипотез или постулатов, с которыми имеет дело математик, миром тех объектов, которые, идеально говоря, могут рассматриваться как измеримые. Ибо идеально определенные измеримые объекты отнюдь не являются единственными, свойства которых могут быть сформулированы в виде точных постулатов или гипотез; и возможный диапазон чистой математики, если брать его абстрактно и рассматривать отдельно от любого вопроса о ценности данных направлений исследований, по-видимому, идентичен всей сфере следствий точно формулируемых идеальных гипотез любого типа.

Однако необходимо упомянуть одно ограничение, которому сделанное утверждение на практике, очевидно, подвержено. И это, действительно, важное ограничение. Точно сформулированные идеальные гипотезы, следствия которых развивает математик, должны обладать, как иногда говорят, достаточной внутренней важностью, чтобы быть достойными научного рассмотрения. Они не должны быть тривиальными гипотезами. Математик не является, подобно решателю шахматных задач, просто демонстрирующим свое мастерство в обращении с произвольными фикциями идеальной игры. Его истина, действительно, идеальна; его мир, действительно, рассматривается его наукой так, как если бы этот мир был творением его постулатов, «свободным творением». Но он не создает таким образом ради простого спорта. Напротив, он сообщает значимый порядок истины. Как факт, идеальные системы чистой математики обычно определяются с очевидной, хотя часто весьма абстрактной и отдаленной, связью со структурой нашего обычного эмпирического мира. Таким образом, различные алгебры, которые были фактически разработаны, имеют, в основном, определенные отношения к структуре пространственного мира нашего физического опыта. Различные системы идеальной геометрии, даже во всей своей идеальности, все же группируются, так сказать, вокруг предположений, которые дает нам наш повседневный опыт пространства и материи. Тем не менее, я полагаю, что ни один математик в настоящее время не был бы склонен принять какое-либо краткое определение степени близости или отдаленности отношения к обычному опыту, которое служило бы для различения тривиальной от подлинно значимой ветви математической теории. В общем, математик, преданный теории функций или теории групп, по-видимому, тратит мало времени на попытки показать, почему развитие следствий его постулатов является значимым предприятием. Конкретный математический интерес его исследования поддерживает его в трудах и завоевывает симпатии коллег. На вопросы: «Почему вообще рассматривать идеальную структуру именно этой системы объектов?», «Почему изучать различные виды чисел, или свойства функций, или групп, или систему точек в проективной геометрии?» — чистый математик в целом склонен отвечать лишь тем, что предмет его специального исследования представляется ему обладающим достаточным математическим интересом. Свобода его науки таким образом оправдывает его предприятие. Тем не менее, как я только что отметил, эта свобода никогда не является простым капризом. Этот идеальный интерес не лишен общей связи с интересами даже здравого смысла. Вкратце, как представляется справедливым сказать, чистый математик работает под влиянием более или менее ясно осознаваемых философских мотивов. Он обычно не пытается определить, что отличает значимую систему постулатов от тривиальной, или что составляет проблему, достойную атаки с точки зрения чистой математики. Но он практически признает такое различие между тривиальными и значимыми областями мира идеальной истины, и поскольку философия занимается значимостью идей, это признание сближает математика с философом по духу.

Такова, следовательно, позиция чистого математика. Что, в качестве контраста, представляет собой позиция философа? Мы можем ответить, что сформулировать формальные следствия точных допущений — это одно; размышлять о взаимных отношениях и всей значимости таких допущений — это действительно предполагает другие интересы; и эти другие интересы являются теми, которые непосредственно переносят нас в сферу философии. Если теория чисел принадлежит к чистой математике, то изучение места понятия числа в системе человеческих идей принадлежит к философии. Подобно математику, философ имеет дело непосредственно со сферой идеальной истины. Но объединить наши знания, постичь их источники, их смысл и их отношения ко всей человеческой жизни — эти цели составляют надлежащую цель философа. Однако, чтобы достичь своих целей, философ должен, действительно, учитывать результаты специальной физической науки; но он должен также обратиться от мира внешних явлений к идеальному миру. Ибо единство вещей никогда для нас, смертных, не является чем-то, что мы находим данным в нашем опыте. Вы не можете увидеть единство знания; вы не можете описать его как явление. Для нас сейчас это идеал. И точно так же смысл вещей, отношение знания к жизни, значимость наших идеалов, их влияние друг на друга — все это никогда для нас, людей, не является феноменально присутствующими данными. Отсюда философ, как бы он ни должен был, как он действительно должен, учитывать явления и результаты специальных физических наук, столь же глубоко заинтересован по-своему, как математик заинтересован по-своему, в рассмотрении идеальной сферы. Только, в отличие от математика, философ не абстрагируется сначала от эмпирических предположений, на которых фактически основаны его точные идеи, а затем не довольствуется лишь развитием логических следствий этих идей. Напротив, его главный интерес заключается не в какой-либо идее или факте, поскольку они рассматриваются сами по себе, а скорее во взаимосвязях, в общем смысле, в единстве всех фундаментальных идей и в их отношениях как к феноменальным фактам, так и к жизни! В целом, он поэтому не соглашается, подобно исследователю специальной науки об опыте, искать свою свободу исключительно через соответствие явлениям, которые должны быть описаны; и он не довольствуется, подобно чистому математику, обретением своей истины исключительно через точное определение формальных следствий своих свободно определенных гипотез. Он делает усилие обнаружить смысл и единство дела своей собственной жизни.

В мои цели не входит попытка показать здесь, как этот общий философский интерес дифференцируется на различные интересы метафизики, философии религии, этики, эстетики, логики. Достаточно — я попытался проиллюстрировать, как, хотя и философ, и математик имеют интерес к смыслу идей, а не к описанию внешних фактов, все же существует контраст, который действительно удерживает их работу в значительной мере порознь, а именно контраст, обусловленный тем фактом, что математик непосредственно озабочен развитием следствий определенных свободно принятых систем постулатов или гипотез; в то время как философ заинтересован в значимости, в единстве и в отношении к жизни всех фундаментальных идеалов и постулатов человеческого разума.

И все же даже так мы недостаточно полно выражаем, насколько тесно связаны эти две задачи. Ибо этот самый контраст, как мы также предположили, даже в своих собственных пределах не является окончательным или совершенно резким контрастом. Между двумя задачами существует глубокая аналогия. Ибо математик, как мы только что видели, не в равной степени заинтересован в развитии следствий любой и каждой системы свободно принятых постулатов. Он не просто решатель произвольных идеальных головоломок в целом. Его системы постулатов выбраны так, чтобы быть не тривиальными, а значимыми. Они, следовательно, на самом деле являются лишь абстрактно определенными аспектами самой системы вечной истины, выражением которой является вселенная. В этом смысле математик столь же искренне заинтересован, как и философ, в значимом использовании своей научной свободы. С другой стороны, философ, размышляя о значимости и единстве фундаментальных идей, может сделать это успешно только в том случае, если он проведет надлежащее исследование логических следствий данных идей. И это он может осуществить только если, при случае, он использует точные методы математика и развивает свои системы идеальной истины с той точностью, на которую способно только математическое исследование. Как факт, следовательно, математик и философ имеют дело с идеальной истиной способами, которые не только контрастны, но и глубоко взаимосвязаны. Математик, поскольку он сознательно отличает значимые проблемы от тривиальных, а идеальные системы — от других, является философом. Философ, поскольку он стремится к точности логического метода в своем размышлении, должен тем временем стремиться быть, в своих собственных пределах, математиком. Он, действительно, не будет в будущем, подобно Спинозе, стремиться свести философию к простому развитию, в математической форме, следствий определенных произвольных гипотез. Он будет различать размышление о единстве системы истины и абстрактное развитие того или иного выбранного аспекта системы. Но он будет все больше видеть, что, поскольку он берется быть точным, он должен стремиться стать, по-своему и с должным вниманием к своим собственным целям, математическим; и таким образом союз математических и философских исследований в будущем будет стремиться становиться все более тесным.

II

До сих пор я останавливался на чрезвычайно общих соображениях, касающихся единства и контраста математических и философских исследований. Я могу хорошо представить, однако, что отдельный работник в любой из многочисленных отраслей исследования, представленных совокупностью студентов, к которым я имею честь обращаться, может в этот момент мысленно выдвинуть возражение, что все эти соображения, действительно, слишком общи, чтобы представлять практический интерес для кого-либо из нас. Конечно, все мы, кто изучает эти так называемые нормативные науки, действительно заинтересованы в идеях ради них самих — в идеях, столь отличных от явлений, хотя, конечно, и как-то связанных с ними. Конечно, некоторые из нас скорее преданы развитию следствий точно сформулированных идеальных гипотез, а другие — размышлению, насколько можем, о том, для чего хороши определенные идеи и идеалы и в чем заключается единство всех идей и идеалов. Конечно, если мы достаточно мудры, чтобы делать это, нам есть чему поучиться друг у друга. Но, скажете вы, утверждение всех этих вещей — это общее место. Выражение желания дальнейшего взаимного сотрудничества — это благочестивое пожелание. Вы будете настаивать на том, чтобы спросить далее: «Есть ли сейчас какой-либо конкретный пример в современном типе исследований, который дает результаты, представляющие интерес для всех нас? Действительно ли мы делаем какую-либо продуктивную работу сообща? Вносят ли философы какой-либо вклад в человеческое знание, который имеет подлинное отношение к интересам математической науки? Вносят ли математики какой-либо вклад в философию?»

Эти вопросы совершенно справедливы. Более того, так уж случилось, что на них можно отчетливо ответить утвердительно. Нынешняя эпоха — это эпоха быстрого прогресса в фактическом объединении областей исследования, которые включены в сферу этого настоящего отдела. То немногое время, которое у меня осталось, должно быть посвящено тому, чтобы указать, насколько я могу, в каком смысле это верно. Мне все еще придется иметь дело с очень широкими обобщениями. Я постараюсь сделать эти обобщения достаточно определенными, чтобы они не были совсем бесплодными.

Мы уже подчеркнули один вопрос, который, можно сказать, интересует самым непосредственным образом как математика, так и философа. Идеальные постулаты, следствия которых математическая наука берется развивать, должны быть, как мы сказали, значимыми постулатами, включающими идеи, точное определение и изложение которых окупают труд научного исследования. Число, пространство, непрерывность, функциональное соответствие или зависимость, групповая структура — вот примеры таких значимых идей; постулаты или идеальные допущения, на которых зависит теория таких идей, являются значимыми постулатами и не являются простыми конвенциями произвольной игры. Но что теперь составляет значимость идеи или абстрактной математической теории? Что дает идее достойное место во всей схеме человеческих идей? Является ли возможность нахождения физического приложения для математической теории тем, что для нас решает, какова ценность теории? Нет, теория функций, теория чисел, теория групп имеют значимость, которую ни один математик не согласился бы измерять в терминах нынешней применимости или неприменимости этих теорий в физической науке. Тщетно, следовательно, пытаться использовать тест прикладной математики как главную критику ценности теории чистой математики. Ценность идеи для наук, составляющих наш отдел, зависит от места, которое эта идея занимает во всей организованной схеме или системе человеческих идей. Идея числа, например, при всей привычности ее применений, получает свою главную ценность не из того факта, что яйца, доллары и звездные скопления можно сосчитать, а скорее из того факта, что идея чисел имеет те отношения к другим фундаментальным идеям, которые недавняя логическая теория сделала заметными — отношения, например, к понятию порядка, к теории классов или совокупностей объектов, рассматриваемых в общем, и к метафизическому понятию «я». Отношения такого рода, которые дискуссии о понятии числа Дедекинда, Кантора, Пеано и Рассела недавно выявили, — такие отношения, я говорю, составляют то, что истинно оправдало Гаусса в названии теории чисел «божественной наукой». По сравнению с такими более глубокими отношениями бесчисленные применения понятия числа в обычной жизни и в науке, с истинно философской точки зрения, имеют сравнительно небольшое значение. Что нам нужно в работе нашего отдела наук, так это выявить единство истины, либо, как в математике, путем развития систем истины, которые значимы в силу их фактических отношений к этому единству, либо, как в философии, путем явного поиска центральной идеи, вокруг которой группируются все многие идеи.

Теперь, древней и фундаментальной проблемой для философов является та, которую называют проблемой категорий. Эта проблема категорий — просто более формальный аспект всей только что определенной философской проблемы. Философ стремится постичь единство системы человеческих идей и идеалов. Что ж, каковы же первоначальные идеи? От какой группы концептов логически зависят другие концепты человеческой науки? Вокруг каких центральных интересов сгруппирована система человеческих идеалов? В античной мысли Аристотель уже подходил к этой проблеме одним способом. Кант в XVIII веке имел дело с ней другим. Мы, студенты философии, привыкли сожалеть о том, что называем чрезмерным формализмом Канта, сетовать на то, что Кант был столь рабом своей собственной относительно поверхностной и случайной таблицы категорий и что он заставлял рассмотрение любого рода философской проблемы вращаться вокруг своего собственного схематизма. Тем не менее, мы не можем сомневаться, что Кант был прав, утверждая, что философия нуждается для успешного развития каждого из своих отделов в хорошо разработанной и по существу полной системе категорий. Наше возражение против чрезмерной уверенности Канта в достоинствах его собственного схематизма обусловлено тем фактом, что мы сейчас не принимаем его таблицу категорий как адекватный взгляд на фундаментальные концепты. Усилия философов после Канта неоднократно посвящались задаче замены его схемы категорий более адекватной. Я далек от того, чтобы считать эти чисто философские усилия, предпринятые после Канта, бесплодными, но они оставались до сих пор весьма неполными, и их сдерживало от должной полноты успеха отсутствие достаточно тщательного обзора и анализа процессов мышления, как они воплотились в живых науках. Такие концепты, как число, количество, пространство, время, причина, непрерывность, рассматривались чистыми философами слишком суммарно и поверхностно. Требовался более основательный анализ. Но теперь, в сравнительно недавние времена, развилась область исследования, которую можно назвать общим именем современной логики. В создание этой новой области исследования внесли основной вклад люди, которые начинали как математики, но которые в ходе своей работы были приведены к тому, чтобы стать все более философами. В последнее время, однако, различные философы, которые изначально ни в каком смысле не были математиками, осознав важность нового типа исследований, в свою очередь пытаются как ассимилировать, так и дополнить начинания, которые были начаты с математической стороны. В результате логическая проблема категорий сегодня стала почти в равной степени проблемой для логиков математики и для тех студентов философии, которые проявляют серьезный интерес к точности метода в своей собственной области работы. Результатом этого фактического сотрудничества людей с обеих сторон является то, что, как я думаю, мы сегодня впервые видим то, что все еще, как я свободно признаю, является несколько отдаленной целью, а именно относительно полный рациональный анализ и табулирование фундаментальных категорий человеческого мышления. То, что студент этики столь же заинтересован в таком исследовании, как и метафизик, что философ религии нуждается в хорошо завершенной таблице категорий ничуть не меньше, чем чистый логик, должен признать каждый компетентный студент таких тем. И то, что предприятие, о котором идет речь, живо интересует математиков, показывает та видная роль, которую некоторые из них приняли в исследованиях, о которых идет речь. Вот, следовательно, тип недавней научной работы, результаты которой наиболее очевидно относятся к задачам всех нас в равной степени.

Каталог имен работников в этой широкой области современной логики был бы здесь неуместен. Тем не менее, нужно, действительно, указать, какие направления исследований особенно имеются в виду. С чисто математической стороны исследования типа, к которому я сейчас обращаюсь, могут рассматриваться (несколько произвольно) как начинающиеся с того знаменитого исследования одного из постулатов геометрии Евклида, которое породило так называемую неевклидову геометрию. Вопрос, который здесь изначально стоял, был вопросом сравнительно ограниченного масштаба, а именно вопрос о том, является ли постулат Евклида о параллельных линиях логическим следствием других геометрических принципов. Но исследование быстро перерастает в общее изучение оснований геометрии — изучение, к которому до сих пор почти постоянно появляются вклады. Несколько независимо от этого направления исследований во второй половине XIX века выросло то переосмысление оснований арифметики и анализа, которое ассоциируется с именами Дедекинда, Вейерштрасса и Георга Кантора. В настоящее время к более ранним исследованиям добавились труды ряда других исследователей (среди которых мы можем упомянуть школу Пеано и Пиери в Италии, и таких людей, как Пуанкаре и Кутюра во Франции, Гильберт в Германии, Бертран Рассел и Уайтхед в Англии, и энергичную группу наших американских математиков — таких людей, как профессор Мур, профессор Халстед, доктор Хантингтон, доктор Веблен и значительное число других). Результат состоит в том, что мы недавно впервые смогли увидеть с некоторой полнотой, каковы на самом деле принятые первые принципы чистой математики. Как и следовало ожидать, эти принципы способны к более чем одной формулировке, в зависимости от того, подходят ли к ним с одной стороны или с другой. Как и следовало ожидать, все здание чистой математики, насколько оно еще было возведено, фактически покоится на очень немногих фундаментальных концептах и постулатах, как бы вы их ни формулировали. Однако чего не заметили более ранние, и особенно философские, студенты категорий, так это формы, которую эти постулаты склонны принимать, когда они подвергаются строгому анализу.

Эта форма зависит от точного определения и классификации определенных типов отношений. Вся геометрия, например, включая метрическую геометрию, может быть развита из набора постулатов, которые требуют существования точек, находящихся в определенных порядковых отношениях. Порядковые отношения могут быть сведены, в зависимости от того, является ли рассматриваемый ряд точек открытым или замкнутым, либо к хорошо известному отношению, в котором находятся три точки, когда одна находится между двумя другими на прямой линии, либо к порядковому отношению, в котором находятся четыре точки, когда они разделены парами; и эти два порядковых отношения, с помощью различных логических устройств, могут рассматриваться как вариации единой фундаментальной формы. Кэли и Клейн основали логическую теорию геометрии, о которой здесь идет речь. Рассел и, другим способом, доктор Веблен дали ей свои самые недавние выражения. Таким же образом теория целых чисел может быть сведена к наборам принципов, которые требуют существования определенных идеальных объектов в определенных простых порядковых отношениях. Дедекинд и Пеано разработали такие порядковые теории понятия числа. В другом развитии теории кардинальных целых чисел, которую разработали Рассел и Уайтхед, порядковые концепты вводятся только вторично, и теория зависит от фундаментального отношения эквивалентности или неэквивалентности совокупностей объектов. Но здесь также определенный простой тип отношения определяет определения и развитие всей теории.

Из такого способа логического анализа первых принципов математической науки следуют два результата. Во-первых, как только что было отмечено, мы узнаем, как малочисленны и просты концепции и постулаты, на которых покоится фактическое здание точной науки. Чистая математика, мы сказали, вольна предполагать то, что она выбирает. Тем не менее, допущения, присутствие которых в качестве принципов-оснований фактически существующей чистой математики выявляет такое исчерпывающее исследование, показывают своей малочисленностью, что идеальная свобода математика предполагать и конструировать то, что ему угодно, на практике является, действительно, весьма решительно ограниченной свободой. Ограничение это, как мы уже видели, есть ограничение, которое имеет отношение к существенной значимости рассматриваемых фундаментальных концептов. И таким образом результат этого анализа оснований фактически развитых и значимых ветвей математики составляет своего рода эмпирическое откровение того, какие категории точные науки практически нашли столь значимыми, чтобы быть достойными исчерпывающего рассмотрения. Таким образом, инстинктивное чувство значимой истины, которое все время направляло развитие математики, приходит наконец к ясному и философскому сознанию. И тем временем существенные категории мышления предстают в новом свете.