«Теории относительности и тяготения Эйнштейна»

Ускоренное движение

Равномерное прямолинейное движение, однако, является весьма частным видом движения. В повседневной жизни мы сталкиваемся с движениями, которые не являются ни равномерными, ни прямолинейными; при этом изменяются как скорость, так и направление движения. В таком случае говорят, что движущееся тело совершает «ускорение»: это означает, что его скорость либо увеличивается, либо уменьшается, либо изменяется направление его движения, либо происходит и то, и другое. Если мы вернемся к нашему прежнему предположению о Вселенной, в которой существует только одно тело в «пустом» пространстве, мы, очевидно, не сможем сказать, обладает ли оно ускорением, так же как не сможем сказать, движется ли оно, поскольку нет внешнего эталона для сравнения; а Общий принцип относительности утверждает инвариантность законов природы для всех состояний движения наблюдателя. В этом случае, однако, различие может быть обнаружено наблюдателем, находящимся на самом движущемся теле. Для него это проявится как действие силы; например, как мы ощущаем это, когда поезд, в котором мы едем, увеличивает или уменьшает скорость, или когда, не меняя скорости, он поворачивает за угол. Сила исчезает, как только скорость становится равномерной. Таким образом, ускорение проявляет себя перед нами под видом действия силы. Сила и ускорение неразрывно связаны, и мы можем сказать либо то, что ускорение вызвано силой, либо то, что ощущение силы вызвано ускорением.

Теперь, когда мы движемся с ускорением, у нас складывается совсем иное представление о том, что составляет прямую линию, по сравнению с тем, которое было у нас в состоянии покоя или при равномерном движении. Если мы движемся с равномерной скоростью в самолете и бросаем камень на землю, то нам в самолете будет казаться, что он падает по прямой линии вниз, в то время как наблюдателю на земле будет казаться, что он описывает параболу. Это объясняется тем, что камень набирает скорость по мере падения; он подвержен ускорению, связанному с гравитацией. Ускорение стирает фундаментальное различие между прямой и кривой линией. Если мы не знаем, каково абсолютное движение камня и двух наблюдателей, мы не можем сказать, является ли линия «на самом деле» прямой или кривой. Поскольку абсолютное движение — понятие неправомерное, из этого следует, что не существует ничего «на самом деле» прямого или «на самом деле» кривого. Это лишь видимости, возникающие как следствие наших относительных движений по отношению к рассматриваемым телам. Если бы ускорения не существовало — если бы камень падал на землю с равномерной скоростью, — тогда наблюдатель на земле или в любом другом месте согласился бы с тем, что он падает по прямой линии; и прямые линии всегда оставались бы прямыми.

При таких обстоятельствах евклидова геометрия была бы абсолютно верной. Но если мы находимся в состоянии ускорения, то то, что мы считаем прямыми линиями, «на самом деле» является кривыми линиями, и евклидова геометрия, основанная на допущении, что ее линии прямые, должна потерпеть крах при проверке более точными измерениями. И, по сути, мы находимся в состоянии ускорения: ведь на нас действует сила — а именно, сила гравитации. Везде, где есть материя, есть гравитация; везде, где есть гравитация, есть ускорение; везде, где есть ускорение, евклидова геометрия неточна. Следовательно, в пространстве, окружающем материю, господствует иная геометрия; и тела в целом движутся через такое пространство по кривым линиям.

Различные части пространства, таким образом, характеризуются различными геометрическими свойствами. Все тела во Вселенной следуют своими установленными курсами через пространство и время. Но когда они попадают в искаженные геометрические области, их траектории естественным образом кажутся нам иными, чем когда они двигались через менее возмущенные регионы. Они проявляют это различие, приобретая ускорение; и мы объясняем это ускорение, постулируя существование силы, которую называем силой гравитации. Но их движения на самом деле могут быть идеально предсказаны, если мы знаем геометрию пространства, через которое они перемещаются. Предсказания, основанные на этом, на самом деле оказались более точными, чем те, что основывались на законе всемирного тяготения.

X

ПРОСТРАНСТВО, ВРЕМЯ И ГРАВИТАЦИЯ

Очерк теории общей относительности Эйнштейна

В. ДЕ СИТТЕР, ПРОФЕССОР АСТРОНОМИИ ЛЕЙДЕНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

«Отныне пространство само по себе и время само по себе должны превратиться в простые тени, и только некое единство их обоих сохранит реальность».

Пророчество, содержащееся в вышеприведенных словах, произнесенных Минковским на собрании немецких «естествоиспытателей и врачей» в Кельне в 1908 году, однако, было полностью реализовано лишь «Общей теорией относительности» Эйнштейна 1915 года, которая включила гравитацию в это единство. На следующих страницах предпринята попытка изложить без использования какого-либо технического языка основные идеи этой теории: я ограничусь теорией в том виде, в каком она была опубликована Эйнштейном в ноябре 1915 года, которая представляет собой последовательное целое, завершенное само по себе; и я не буду ссылаться на более поздние разработки, которые все еще являются более или менее предварительными и не являются необходимыми для понимания теории. Математический аппарат, использованный Эйнштейном, — это так называемое абсолютное дифференциальное исчисление. Он не сложнее и не труднее для понимания, чем тот, что используется в других отраслях теоретической физики, но он несколько непривычен для большинства из нас, поскольку обычно не преподается в рамках стандартных университетских курсов. Я, однако, в этом эссе воздержусь от использования какой-либо математики вообще, по крайней мере, я не буду использовать ее открыто. Конечно, невозможно избежать использования хотя бы результатов математических рассуждений, если не самих рассуждений; но пока они не облечены в формулы, они, как мы надеемся, не будут выглядеть столь грозно для читателя.

Ссылаясь на процитированные слова Минковского, мы можем спросить, что подразумевается под «реальностью». Физическая наука, как и здравый смысл, принимает как должное, что за явлениями стоит реальность, которая независима от того, кем и какими именно методами она наблюдается, и которая существует также и тогда, когда ее не наблюдают. Строго говоря, все рассуждения о том, что не наблюдается, — это метафизика. Тем не менее физик без колебаний верит, что его законы носят общий характер и что явления продолжают происходить в соответствии с ними, когда никто не смотрит. И поскольку невозможно доказать, что это не так, он полностью имеет право на свою веру. Наблюдаемые явления — это следствия воздействия этой реальности, существование которой мы предполагаем, на органы чувств наблюдателя — или на аппаратуру, которая является расширенными и усовершенствованными органами чувств. Поэтому законы, управляющие явлениями, должны содержать некоторую информацию об этой реальности. Мы никогда и никаким образом не сможем узнать о ней ничего, кроме именно этих законов. По сути, законы и есть реальность, если мы исключим из них все, что относится только к наблюдателю. То, что относится к реальности, называется «абсолютным», а то, что предполагает отношение к наблюдателю, — «относительным». Устранение относительного — это одна из задач, которую поставила перед собой теория относительности.

Внешний мир и его геометрия

Чтобы описать явления и вывести из них законы, мы локализуем их в пространстве и времени. Для этого мы используем геометрию. Именно здесь вступает в дело вклад наблюдателя. Существует бесконечное множество геометрий, и априори не видно причин выбирать одну вместо другой. Взяв в качестве примера геометрию двух измерений, мы можем рисовать фигуры на листе бумаги и обсуждать их свойства, и мы можем делать то же самое на скорлупе яйца. Но мы не можем нарисовать одни и те же фигуры на яйце и на бумаге. Первые будут искажены по сравнению со вторыми: эти две поверхности имеют разную геометрию. Точно так же невозможно нарисовать точную карту Земли на листе бумаги, потому что Земля сферична, и ее изображение на плоской бумаге всегда более или менее искажено. Земля требует сферической геометрии, которая отличается от плоской, или евклидовой, геометрии бумаги.

Еще несколько лет назад в физических теориях исключительно использовалась евклидова (т.е. плоская) геометрия трех измерений. Почему? Потому что она является истинной — таков ответ, который обычно дается. Теперь, утверждение о фактах может быть истинным или ложным, но математическая дисциплина не является ни истинной, ни ложной; она может быть только корректной — т.е. внутренне непротиворечивой — или некорректной, и, конечно, она всегда корректна. Утверждение о том, что некая геометрия является «истинной», может, таким образом, означать лишь то, что она является геометрией «истинного» пространства, а это, в свою очередь, если оно вообще имеет какой-то смысл, может означать лишь то, что она соответствует физической «реальности». Оставляя в стороне вопрос о том, обладает ли эта реальность вообще какой-либо геометрией, мы сталкиваемся с более практическими соображениями о том, как мы должны проверить заявленное соответствие. Нет иного способа, кроме как сравнить выводы, полученные из законов, основанных на нашей геометрии, с наблюдениями. Таким образом, оказывается, что единственным оправданием использования евклидовой геометрии является ее успех в том, что она позволяет нам «нарисовать точную карту» мира. Как только будет найдена любая другая геометрия, которая окажется более успешной, именно ее следует использовать в физических теориях, и мы можем, если захотим, называть ее «истинной».

Точные наблюдения всегда состоят из измерений, определяющих положение материальных тел в пространстве. Но положения меняются, и для полного описания нам также требуются измерения времени. Здесь необходимо сделать важное замечание. Никто никогда не измерял чистое пространственное расстояние или чистый промежуток времени. Единственное, что можно измерить, — это расстояние от тела в определенной точке пространства и в определенный момент времени до тела (того же самого или другого) в другой точке и в другое время. Мы можем пойти еще дальше и сказать, что время вообще нельзя измерить. Мы претендуем на то, что измеряем его с помощью часов. Но часы на самом деле измеряют пространство, и мы выводим время из этих пространственных измерений по фиксированному правилу. Это правило зависит от законов движения механизма часов. Таким образом, в конечном счете время определяется этими законами. Это так, независимо от того, используем ли мы в качестве «часов» обычный хронометр, вращающуюся Землю, атом, испускающий световые волны, или что-либо еще, что может быть предложено. Физические законы, конечно, должны быть скорректированы таким образом, чтобы все эти устройства показывали одно и то же время. О реальности времени, если она вообще существует, мы ничего не знаем. Все, что мы знаем о времени, — это то, что оно нам нужно. Мы не можем адекватно описать природу только с помощью трех пространственных координат, нам требуется четвертая, которую мы называем временем. Мы могли бы, таким образом, с некоторым основанием сказать, что физический мир имеет четыре измерения. Но до тех пор, пока удавалось адекватно описывать все известные явления с помощью пространства трех измерений и независимого времени, это утверждение не несло никакой важной информации. Только после того, как было обнаружено, что пространственные координаты и время не являются независимыми, оно приобрело реальный смысл.

Как известно, наблюдение, с помощью которого это было обнаружено, — это знаменитый эксперимент Майкельсона и Морли. Он привел к «специальной» теории относительности, на которую ссылался Минковский в 1908 году. В ней используется геометрия четырех измерений, не просто комбинация трехмерного пространства и одномерного времени, а континуум истинно четырехмерного порядка. Это пространство-время не является евклидовым, поскольку временная компонента и три пространственные компоненты не находятся в равном положении, но его фундаментальная формула имеет большое сходство с формулой евклидовой геометрии. Мы можем назвать его «псевдоевклидовым».

Эта теория, которую нам здесь нет нужды объяснять, была весьма удовлетворительной в том, что касалось законов электромагнетизма и, особенно, распространения света, но она не включала гравитацию и механику в целом. Мы оказались в любопытном положении, когда физики фактически верили в две разные «реальности». Когда они думали о свете, они верили в пространство-время Минковского; когда они думали о гравитации, они верили в старое евклидово пространство и независимое время. Это, конечно, не могло продолжаться долго. Были предприняты попытки изменить закон всемирного тяготения Ньютона так, чтобы он вписался в четырехмерный мир специальной теории относительности, но они привели лишь к тому, что закон, который был образцом простоты, стал чрезвычайно сложным, и, что еще хуже, он стал неоднозначным.

Великая заслуга Эйнштейна состоит в том, что он осознал, что гравитация имеет столь фундаментальное значение, что ее нельзя втиснуть в готовую теорию, а нужно с самого начала вплести в геометрию пространства-времени. И что он не только увидел необходимость сделать это, но и действительно сделал.

Гравитация и ее место во Вселенной

Чтобы увидеть эту необходимость, мы должны вернуться к системе механики Ньютона. Ньютон сделал две вещи (помимо прочего). Он канонизировал систему механики Галилея в своих знаменитых «законах движения», самым важным из которых является закон инерции, гласящий, что:

тело, на которое не оказывается внешнее воздействие, движется по прямой линии с постоянной скоростью.

Скорость, конечно, может быть равна нулю, и тело может находиться в состоянии покоя. Это совершенно общий закон, одинаковый для всех материальных тел, независимо от их физического или химического состояния. Ньютон позаботился о том, чтобы точно определить, что он понимает под равномерным движением по прямой линии, и для этой цели он в самом начале своего великого труда ввел абсолютное евклидово пространство и абсолютное время как неотъемлемую часть своей системы законов. Другое, что сделал Ньютон, — это сформулировал закон всемирного тяготения. Гравитация в его системе рассматривалась как вмешательство в свободное, или инерциальное, движение тел и, соответственно, требовала своего собственного закона.

Но гравитация имеет общую черту с инерцией, и в этом она отличается от всех других видов вмешательства, что она является совершенно универсальной. Все материальные тела одинаково подвержены ей, независимо от их физического или химического состояния. Но это еще не все. Гравитация и инерция фактически неотличимы друг от друга и измеряются одним и тем же числом: «массой». Это было замечено еще самим Ньютоном, и с его точки зрения это было удивительным случайным совпадением. Если яблоко падает с дерева, то, что заставляет его падать, — это его вес, который является гравитационным притяжением Земли, уменьшенным на центробежную силу, обусловленную вращением Земли и инерцией яблока. В системе Ньютона гравитационное притяжение — это «реальная» сила, тогда как центробежная сила — лишь «фиктивная». Но одна столь же реальна, как и другая. Самые тонкие эксперименты, начатые еще самим Ньютоном, не смогли провести между ними различие. Их тождественность фактически является одним из наиболее хорошо установленных фактов в экспериментальной физике. Из этой тождественности «фиктивных», или инерциальных, и «реальных», или гравитационных, сил следует, что локально гравитационное поле может быть искусственно создано или уничтожено. Так, внутри закрытого помещения, которое свободно падает, скажем, лифта, у которого оборвался трос, тела не имеют веса: весы могли бы находиться в равновесии при разных гирях на двух чашах.

Придя таким образом к выводу, что гравитация не является вмешательством, а тождественна инерции, мы испытываем искушение переформулировать закон движения так, чтобы включить в него и то, и другое, а именно:

Тела, на которые не оказывается внешнее воздействие, не движутся по прямым линиям, а падают.

Это именно то, что сделал Эйнштейн. Только «падение», конечно, требует точного математического определения (как и равномерное движение по прямой линии), и вся суть его теории заключается в поиске этого определения. В нашем земном опыте падение никогда не длится долго, очень скоро что-то — пол комнаты или сама Земля — вмешивается. Но в свободном пространстве тела продолжают падать вечно. Движение планет, по сути, адекватно описывается как падение, поскольку оно состоит не в чем ином, как в подчинении закону всемирного тяготения Ньютона вместе с его законом инерции. Тело, очень удаленное от всей другой материи, не подвержено гравитации, следовательно, оно падает с постоянной скоростью по прямой линии в соответствии с законом инерции. Таким образом, задача состояла в том, чтобы найти математическое определение «падения», которое охватывало бы равномерное прямолинейное движение очень далеко от всей материи, а также сложные траектории планет вокруг Солнца, и яблока или пушечного ядра на Земле.

Гравитация и пространство-время

Для определения равномерного прямолинейного движения чистой инерции евклидова пространства и независимого времени Ньютона было достаточно. Для гораздо более сложного падения под влиянием гравитации и инерции вместе взятых, очевидно, потребовалась бы более сложная геометрия. Псевдоевклидово пространство-время Минковского также было недостаточно. Эйнштейн, соответственно, ввел общую неевклидову четырехмерную геометрию пространства-времени и сформулировал свой закон движения так:

Тела, на которые не оказывается внешнее воздействие, движутся по геодезическим линиям.

Геодезическая линия в искривленном пространстве — это в точности то же самое, что прямая линия в плоском пространстве. Мы называем ее техническим термином только потому, что название «прямая линия» слишком сильно напоминало бы нам о старом евклидовом пространстве. Если кривизна становится очень малой или нулевой, геодезическая линия становится очень близкой к прямой или в точности прямой линией.

Теперь задача состоит в том, чтобы придать пространству-времени такие кривизны, чтобы геодезические линии в точности представляли траектории падающих тел. Пространство двух измерений может быть просто плоским, как лист бумаги, или искривленным, как яйцо. Но в геометрии четырех измерений существует несколько шагов от идеальной плоскостности, или «псевдоплоскостности», до полной кривизны. Теперь закон, управляющий кривизной пространства-времени Эйнштейна, т.е. закон всемирного тяготения, заключается просто в том, что оно никогда, вне материи, не может быть искривлено более чем на один шаг сверх идеальной (псевдо)плоскостности.

Поскольку я обещал не использовать никакой математики, я вряд ли смогу передать читателю адекватное представление о сложности этой проблемы, равно как и воздать должное элегантности и красоте решения. По сути, почти чудо, что это решение, которое было принято Эйнштейном только потому, что оно было самым простым из всех, что он мог найти, так точно совпадает во всех своих следствиях с законом Ньютона. Таким образом, удивительно точное экспериментальное подтверждение этого закона может быть сразу перенесено на новый закон. Только в одном случае два закона различаются настолько, что разницу можно наблюдать, и в этом случае наблюдения точно подтверждают новый закон. Это хорошо известный случай движения перигелия Меркурия, несоответствие которого закону Ньютона озадачивало астрономов более полувека.

Поскольку пространство-время Эйнштейна включает пространство-время Минковского как частный случай, оно может делать все, для чего другое было предназначено в электромагнетизме и оптике. Но оно делает больше. Траектория светового импульса также является геодезической линией, и поскольку пространство-время искривлено вблизи материи, лучи света больше не являются прямыми линиями. Луч света от звезды, проходящий вблизи Солнца, будет отклонен, и, следовательно, звезда будет видна в ином направлении, чем если бы Солнце не находилось так близко на пути. Это было подтверждено наблюдениями солнечного затмения 29 мая 1919 года.

Существует еще одно новое явление, предсказанное теорией, которое находится в пределах досягаемости наблюдения с помощью наших нынешних средств. Гравитация главным образом влияет на временную компоненту четырехмерного континуума таким образом, что естественные часы кажутся идущими медленнее в сильном гравитационном поле, чем в слабом. Таким образом, если мы выдвинем гипотезу — которая, хотя и чрезвычайно вероятна, все же остается гипотезой, — что атом, испускающий или поглощающий световые волны, является естественными часами, и дальнейшую гипотезу — все еще очень вероятную, хотя и менее, чем предыдущая, — что ничто не мешает его идеальному ходу, то атом на Солнце будет испускать световые волны меньшей частоты, чем аналогичный атом в земной лаборатории. Мнения до сих пор расходятся относительно того, подтверждается это наблюдениями или опровергается.

* * *

Великая сила и прелесть теории Эйнштейна, однако, заключаются не в проверенных предсказаниях и не в объяснении небольших нерешенных расхождений, а в полном достижении ее первоначальной цели: отождествлении гравитации и инерции, а также в широком спектре ранее казавшихся несвязанными предметов, которые она охватывает, и в широком взгляде на природу, который она открывает.

* * *

Вне материи, как было объяснено, закон всемирного тяготения ограничивает кривизну пространства-времени. Внутри непрерывной материи кривизна может быть любого произвольного вида или величины; закон всемирного тяготения тогда связывает эту кривизну с измеримыми свойствами материи, такими как плотность, скорость, напряжение и т. д. Таким образом, эти свойства определяют кривизну, или, если угодно, кривизна определяет свойства материи, т.е. саму материю.

Из этих определений законы сохранения энергии и сохранения импульса могут быть выведены чисто математическим путем. Таким образом, эти законы, которые одно время считались самыми фундаментальными законами механики, теперь представляются простыми следствиями закона всемирного тяготения. Следует отметить, что такие вещи, как длина, скорость, энергия, импульс, не являются абсолютными, а являются относительными, т.е. они не являются атрибутами физической реальности, а являются отношениями между этой реальностью и наблюдателем. Следовательно, законы сохранения — это не законы реального мира, подобно закону всемирного тяготения, а законы наблюдаемых явлений. Существует, однако, один закон, который еще до дней относительности стал считаться самым фундаментальным из всех, а именно: принцип наименьшего действия. Теперь действие абсолютно. Соответственно, этот принцип сохраняет свое центральное положение в теории Эйнштейна. Он даже более фундаментален, чем закон всемирного тяготения, поскольку как этот закон, так и закон движения могут быть выведены из него. Принцип наименьшего действия, насколько мы можем судить в настоящее время, представляется законом реального мира.

XI

ПРИНЦИП ОБЩЕЙ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Как Эйнштейн, в степени, никогда ранее не достигнутой, изолирует внешнюю реальность от вклада наблюдателя

Э. Т. БЕЛЛ, ВАШИНГТОНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ, СИЭТЛ

Общая теория относительности Эйнштейна имеет столь обширный охват, будучи соразмерной сфере физических событий, что в любом кратком изложении предписан строгий отбор из ее многочисленных аспектов. Поскольку старый, ограниченный принцип содержится в общем, мы будем рассматривать последний, его тесные связи с гравитацией и значение обоих для нашего познания пространства и времени. Сущность обобщения Эйнштейна заключается в окончательном отделении той части любого физического события, которая вносится наблюдателем, от той, которая присуща самой природе вещей и независима от всех наблюдателей.

Аргументация строится на том факте, что наблюдатель должен описывать любое событие со ссылкой на некоторую систему отсчета, из которой он производит измерения времени и расстояния. Так, предположим, что в девять часов мяч бросают через комнату. Через одну секунду после девяти мяч занимает определенное положение, которое мы можем указать, задав три расстояния от центра мяча до северной и западной стен и пола. Таким образом, уточняя наши измерения, мы можем дать точное описание всего движения мяча. Наше окончательное описание будет состоять из бесчисленных отдельных утверждений, каждое из которых содержит четыре числа, соответствующие четырем измерениям, и из них одно будет для времени, а три — для расстояний в указанное время.

Представьте теперь, что человек в автомобиле смотрит внутрь и наблюдает за движущимся мячом. Предположим, он записывает движение. Чтобы сделать это, он должен сослаться на прибор для измерения времени и какое-то тело отсчета. Скажем, он выбирает свои наручные часы, пол своего автомобиля и две стороны, сходящиеся в углу. Представьте, что как только он начинает серию наблюдений, его автомобиль начинает трястись, а главная пружина его часов ломается, так что он должен измерять «секунды» по сумасшедшему ходу своих часов, а расстояния — относительно сторон своего неустойчивого автомобиля. Несмотря на эти препятствия, он завершает набор наблюдений, каждое из которых состоит из времени, измеренного его безумными часами, и трех расстояний, отсчитанных от сторон его трясущейся машины. Предположим, что он был настолько поглощен своим экспериментом, что не заметил ни неисправностей своих часов, ни движения своего автомобиля. Он дает нам свои наборы измерений. Мы замечаем, что его секунды — лишь малые доли наших, а также что его «север» и «запад» сильно перепутаны. Если мы интерпретируем его наборы в терминах наших неподвижных стен и исправных часов, мы обнаруживаем любопытный парадокс: мяч зигзагами пролетел через комнату, как пьяная пчела. Он упрямо утверждает, что мы знаем не больше него о том, как мяч двигался на самом деле. Ведь мы получили плавное описание, утверждает он, выбрав искусственно простую систему отсчета, не имеющую никакой необходимой связи с мячом. Кривой путь, построенный по его наблюдениям, доказывает, заявляет он, что мяч подвергался воздействию меняющихся сил, о которых мы в комнате ничего не подозревали. Он утверждает, что нашу комнату сотрясала система сил, которая в точности компенсировала и сглаживала реальную изломанность пути, наблюдаемую им самим. Но если мы знаем все о его часах и автомобиле, мы можем легко применить необходимые поправки к его измерениям и, подогнав исправленный набор к нашей системе отсчета из стен и часов, восстановить наше собственное плавное описание.

Для последовательности мы должны продолжить наши корректировки. Путь, построенный по нашим измерениям, представляет собой кривую. Возможно, кривизна была внесена какой-то особенностью нашей системы отсчета? Возможно, наша собственная комната ускоряется вверх, так что это заставляет истинный путь мяча — каким бы он ни был — казаться искривленным вниз, точно так же, как зигзаги автомобилиста заставляли путь, который он строил, казаться изломанным. Традиция приписывает искривление вниз тяге гравитации. Эта сила, говорим мы, ускоряет мяч вниз, создавая кривой путь. Является ли это единственно возможным объяснением? Давайте посмотрим.

Гравитация и ускорение

Представьте человека в комнате, из которой он не может видеть наружу. Он замечает, что когда он отпускает что-либо, оно падает на пол с постоянным ускорением. Далее он наблюдает, что все его объекты, независимо от их химических и физических свойств, подвергаются воздействию точно таким же образом. Теперь, он ранее экспериментировал с магнитами и заметил, что они притягивают определенные тела по существу так же, как вещи, которые он роняет, «притягиваются» к тому, что находится под полом. Объяснив магнитное притяжение в терминах «сил», он делает свою первую гипотезу: (А) Он и его комната находятся в сильном «поле сил», которое он называет гравитационным. Эта сила тянет все вещи вниз с постоянным ускорением. Здесь он отмечает своеобразное различие между магнитными и гравитационными «силами»: магниты притягивают лишь немногие виды материи, в частности железо; новая «сила», если это вообще сила, действует одинаково на все виды материи. Он делает другую гипотезу: (В) Его комната и он сам ускоряются вверх.

* * *

Либо (А), либо (В) идеально описывает факты. Никаким экспериментом он не может различить их. Поэтому он делает великий шаг и формулирует Гипотезу эквивалентности:

Гравитационное поле сил в точности эквивалентно по своим эффектам искусственному полю сил, введенному путем ускорения системы отсчета, так что в любой малой области невозможно различить их с помощью какого бы то ни было эксперимента.

Затем, переосмысливая свои магнитные «силы», он расширяет гипотезу эквивалентности, чтобы охватить все проявления силы: эффекты, приписываемые силам любого рода, могут быть описаны столь же хорошо, если сказать, что наши системы отсчета ускоряются; и, более того, невозможен никакой эксперимент, который позволил бы различить эти описания.

Если ускорения равны нулю, системы отсчета находятся в покое или в равномерном движении относительно друг друга. Этот частный случай является «ограниченным» принципом относительности, который утверждает, что невозможно экспериментально обнаружить равномерное движение сквозь эфир. Будучи, таким образом, излишним для описания природных явлений, эфир может быть отброшен, по крайней мере временно. Старая физика искала эту абсолютную эфирную систему отсчета, к которой можно было бы однозначно отнести все движения, и не смогла ее найти. Самые строгие эксперименты, особенно эксперимент Майкельсона-Морли, не выявили никаких следов предполагаемого движения Земли сквозь эфир. Фицджеральд объяснил неудачу, предположив, что такое движение останется необнаруженным, если каждое движущееся тело сокращается на величину, зависящую от его скорости в направлении движения. Сокращение для обычных скоростей незаметно. Только когда, как в случае бета-частиц, скорость является заметной долей скорости света, сокращение обнаруживается. Это сокращение непосредственно следует из обобщения Эйнштейна, построенного на гипотезе эквивалентности и ограниченном принципе относительности. Мы увидим, что сокращение неизбежно следует из самой геометрии Вселенной.

Вернемся на мгновение к движущемуся мячу. Четыре измерения, три расстояния и одно время, требуются для определения его положения относительно некоторой системы отсчета в каждой точке и в каждый момент. Все эти измерения могут быть суммированы в одном емком утверждении — уравнения движения показали, как при переходе от нашей комнаты к его ускоренному автомобилю мы нашли новую сводку, «преобразованные уравнения», которые, казалось, указывали на то, что мяч прошел через сильное, переменное поле сил. Существует ли тогда в хаосе наблюдательных разногласий что-то, что не зависит от всех наблюдателей? Существует, но оно скрыто в самом сердце природы.

Пути через мир четырех измерений

Чтобы показать это, мы должны вспомнить знакомое геометрическое положение: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Давно известно, что только из этого можно вывести все метрические свойства евклидова пространства — пространства, в котором мы 2000 лет воображали, что живем. Метрические свойства — это те, которые зависят от измерения. Теперь, в геометрии любого пространства, евклидова или нет, существует единственное положение подобного рода, которое говорит нам, как найти самое прямое расстояние между любыми двумя точками, которые находятся очень близко друг к другу. Это малое расстояние выражается в терминах двух наборов измерений расстояний, с помощью которых определяются конечные точки, точно так же, как два соседних положения нашего мяча определялись двумя наборами из четырех измерений каждое. Мы говорим по аналогии, что два последовательных положения мяча разделены малым интервалом пространства-времени. Из формулы для очень малого интервала пространства-времени мы можем математически вычислить все метрические свойства времени и пространства, в которых должны производиться измерения для движения мяча. Так и в любой геометрии математический анализ безошибочно предсказывает истину обо всех фактах, зависящих от измерений, исходя из простой формулы интервала между соседними точками. Таким образом, на сфере сумма углов любого треугольника, образованного дугами больших кругов, превышает 180°, и это следует из формулы кратчайшего («геодезического») расстояния между соседними точками на сферической поверхности.

Мы видели, что требуется четыре измерения, одно для времени и три для расстояний, чтобы зафиксировать элементарное событие, т.е. положение центра нашего мяча в любой момент. Система всех возможных таких наборов из четырех измерений каждый составляет то, что математики называют четырехмерным пространством. Изучение геометрии четырехмерного пространства-времени, как только известно его положение о кратчайшем расстоянии, раскрывает все те отношения в природе, которые могут быть установлены измерениями, то есть экспериментально. Нам тогда нужно найти это необходимое положение.

Представьте путь, пройденный частицей, движущейся исключительно под влиянием гравитации. Поскольку это простейшее возможное движение реальной частицы в реальном мире, естественно предположить, что ее путь будет таким, что частица движется из одной точки пространства-времени в другую по самому прямому маршруту. Это, по сути, подтверждается формированием уравнений движения свободной частицы, которые оказываются в точности теми, что определяют геодезическую линию (самую прямую линию), соединяющую две точки. На (двумерной) поверхности сферы такая линия — это положение, занимаемое нитью, натянутой между двумя точками на поверхности, и это кратчайшее расстояние на поверхности между ними. Но в геометрии пространства-времени мы находим замечательное различие: интервал между любыми двумя точками пройденного пути является максимально возможным, и между любыми двумя точками существует только один самый длинный путь. Переведенное на обычное пространство и время, это лишь утверждает, что время, затраченное между любыми двумя точками на естественном пути, является максимально возможным.

Вспомните теперь, что когда известна линейная формула для любого вида пространства, все метрические свойства этого пространства полностью определены, и объедините с этим то, что мы только что нашли, а именно: уравнения движения частицы, подверженной только гравитации, являются теми же уравнениями, что и те, которые фиксируют линейную формулу для четырехмерного пространства-времени. Поскольку только гравитация определяет движение частицы, и поскольку это движение полностью описывается теми самыми уравнениями, которые фиксируют все метрические свойства пространства-времени, из этого следует, что метрические (экспериментально определяемые) свойства пространства-времени эквивалентны свойствам гравитации в том смысле, что каждый набор свойств подразумевает другой.

Вселенная пространства-времени

Мы нашли в природе то, что не зависит от всех наблюдателей, и это оказывается самой структурой пространства-времени. Движение свободной частицы, очевидно, является вещью, не обусловленной случайностями наблюдения; частица под влиянием только гравитации должна идти своим собственным путем. И если какой-то наблюдатель в искусственном поле сил, созданном ускорением его системы отсчета, описывает путь как узловатый, он просто навязывает эксцентриситеты своего собственного движения прямому пути частицы. Вывод рационален, ибо мы верим, что пространство-время существует независимо от чьего-либо способа его восприятия.

Кстати, заметьте, что это пространство — пространство физического мира. Ибо только с помощью измерений расстояний и времени мы можем осознать нашу протяженность во времени и пространстве. Если за пределами этой геометрии измерений пространства-времени существует какая-то «абсолютная геометрия», наука не может иметь к ней никакого отношения, ибо она никогда не может быть раскрыта единственным исследовательским устройством, которым мы обладаем, — измерением.

Мы проследили за одной частицей. Давайте теперь сформируем картину нескольких. Любое событие может быть проанализировано как множество совпадений в пространстве-времени. Ибо рассмотрим две движущиеся частицы — скажем, электроны. Если они сталкиваются, они оба находятся приблизительно в одном месте в одно и то же время. Мы представляем путь электрона через пространство-время, начерченный линией (в четырехмерном пространстве), которая отклонится от «самого прямого» (геодезического) пути, если электрон подвергается воздействию сил. Это «мировая линия» электрона. Если мировые линии нескольких электронов пересекаются в одной точке пространства-времени, пересечение отображает факт их совпадения где-то и когда-то; ибо все их мировые линии, имея общую точку пространства-времени, в какой-то момент должны были столкнуться. Каждая точка мировой линии отображает положение в определенном месте в определенное время; и именно пересечения мировых линий соответствуют физическим событиям. О том, что лежит между пересечениями, мы не имеем экспериментальных знаний.

Представьте мировые линии всех электронов во Вселенной, пронизывающие пространство-время, как нити в желе. Пересечения этого клубка — полная история всех физических событий. Теперь исказите желе. Очевидно, что взаимный порядок пересечений останется неизменным, но расстояния между ними будут сокращены или удлинены. Искажению желе соответствует особый выбор (некоторым наблюдателем) системы отсчета для описания порядка событий. Он не может изменить естественную последовательность событий. Снова мы нашли нечто, что не зависит от всех наблюдателей.

Теперь мы можем подвести итог нашим выводам и сформулировать принцип относительности в его наиболее общей форме.

(1) Наблюдатели описывают события с помощью измерений времени и расстояний, сделанных относительно их систем отсчета.

(2) Полная история любого события суммируется в наборе уравнений, дающих положения всех участвующих частиц в каждый момент времени.

(3) Возникают две возможности. (А) Либо эти уравнения имеют одинаковую форму для всех систем отсчета пространства-времени, сохраняясь формально неизменными при всех сдвигах системы отсчета; либо (В) они существуют только тогда, когда используется какая-то специальная система отсчета, изменяя свою форму при отнесении к разным системам отсчета. Если верно (В), мы естественно предполагаем, что уравнения и явления, которые они призваны представлять, обязаны своим существованием некоторой особенности системы отсчета. Они, следовательно, не описывают ничего, что присуще самой природе вещей, а лишь некоторую идиосинкразию способа рассмотрения природы наблюдателем. Если верно (А), то, очевидно, уравнения описывают некое реальное отношение в природе, которое не зависит от всех возможных способов его наблюдения и записи.

(4) В своей наиболее общей форме принцип относительности гласит, что те отношения, и только те, которые остаются неизменными по форме для всех возможных систем отсчета пространства-времени, являются присущими законами природы.

Чтобы найти такие отношения, Эйнштейн применил математический метод огромной силы — исчисление тензоров — с необычайным успехом. Это исчисление просеивает законы природы, отделяя эксцентриситеты наблюдателя от того, что не зависит от него, с превосходной эффективностью современного комбайна. Остаток — это физическая геометрия — или геометрическая физика — пространства-времени, в которой оказывается, что времена и пространства, вносимые системами отсчета различных наблюдателей, являются тенями их собственных измышлений; в то время как реальная, непреходящая Вселенная — это четырехкратный порядок времени и пространства, неразрывно связанных вместе. Один наблюдатель разделяет это пространство-время на свои собственные «время» и «пространство» одним способом, определяемым его путем через мир событий; другой, движущийся относительно первого, разделяет его иначе, и то, что для одного является временем, для другого переходит в пространство.

Эта геометрия пространства-времени неевклидова. Она «искривлена», причем величина искривления в любом месте определяется интенсивностью гравитационного поля в нем. Таким образом, снова гравитация укоренена в природе вещей. В этом смысле она не сила, а свойство пространства. Везде, где есть материя, есть гравитационное поле, а следовательно, и искривление пространства. И наоборот, как давно воображал Клиффорд, везде, где есть искривление пространства, есть материя; и материя в конечном счете сводится к складкам в пространстве-времени.

Чтобы визуализировать искривленное пространство, рассмотрим простую аналогию. Человек отходит от полированного шара; его изображение удаляется в зеркальное пространство, сокращаясь и истончаясь по мере удаления, причем истончаясь (в направлении движения) быстрее, чем сокращаясь. Все вокруг него испытывает подобный эффект. Если он пытается обнаружить это с помощью линейки, она автоматически сокращается быстрее, когда он поворачивает ее в горизонтальное положение, так что его цель ускользает от него. Зеркальное пространство искривлено в направлении движения изображения. Так же и наше собственное. Ибо все тела, как свидетельствует сокращение Фицджеральда, сокращаются в направлении движения. И точно так же, как изображение никогда не может проникнуть в зеркальное пространство на расстояние, превышающее половину его радиуса, так, вероятно, пространство-время искривлено таким образом, что наша Вселенная, подобно поверхности сферы, конечна по протяженности, но безгранична.

1 Автор здесь опасно приближается к приписыванию этому «сокращению» того рода физической реальности, которой оно не обладает. См. стр. 96. — Редактор.

XII

СИЛА ПРОТИВ ГЕОМЕТРИИ

Как Эйнштейн заменил второе первым в связи с причиной гравитации

СОЛ ДУШМАН, ЛАБОРАТОРИИ GENERAL ELECTRIC, СЕНЕКТАДИ, ШТАТ НЬЮ-ЙОРК

Теория относительности представляет собой поразительно оригинальную концепцию времени и пространства, которая была предложена Эйнштейном для того, чтобы соотнести с нашим прошлым опытом некоторые наблюдения, сделанные в последние годы. Поэтому она чрезвычайно всеобъемлюща по своему охвату; она требует от нас радикального пересмотра наших представлений о времени и пространстве; она проливает новый свет на природу массы и энергии, и, наконец, она дает совершенно новую концепцию старой проблемы гравитации.

Отправной точкой теории является знакомое наблюдение, что движение всегда относительно: то есть, чтобы определить движение любого объекта, мы всегда должны использовать некоторую точку отсчета. Так, мы говорим о скорости поезда как о 40 милях в час относительно поверхности Земли, но сочли бы невозможным определить его абсолютную скорость, или движение в пространстве, поскольку мы не знаем ни одной звезды, чье положение можно было бы назвать абсолютно фиксированным. Эти и подобные соображения привели к выводу, указанному Ньютоном и другими, что невозможно с помощью каких-либо механических экспериментов на Земле измерить ее скорость в пространстве.

Однако результаты наблюдений за явлениями света и электричества привели к возрождению той же проблемы в другой форме. Как хорошо известно, из этих открытий была развита теория о том, что свет и электрическая энергия имеют одну и ту же природу и в каждом случае являются проявлениями волновых возмущений, распространяющихся через гипотетическую среду, эфир, со скоростью 186 000 миль в секунду.

Таким образом, возникла проблема, движутся ли Земля и все звездные тела сквозь этот эфир. В таком случае должно быть возможно измерить скорость Земли относительно этой среды, и при этих условиях мы могли бы говорить, в некотором смысле, об абсолютном движении.

С этой целью было проведено большое количество экспериментов. Самым известным из них, который стимулировал последующее развитие теории относительности, был эксперимент, проведенный Майкельсоном и Морли в 1887 году. Чтобы понять значение этого эксперимента, мы кратко сошлемся на аналогичное наблюдение, которое вполне знакомо.

Занимает ли больше времени проплыть 1 милю вверх по течению и обратно или 1 милю поперек течения и обратно? Опытный пловец ответит, что путь вверх и вниз по течению занимает больше времени. Если мы предположим, что пловец имеет скорость 5 миль в час в стоячей воде и что течение составляет 3 мили в час, мы обнаружим, что, хотя для совершения пути вверх и вниз по течению требуется пять восьмых часа, для поездки поперек течения и обратно требуется всего одна вторая часа. Отношение между временами, необходимыми для двух путешествий, таким образом, составляет пять четвертых, и если это записать в виде, это показывает, как результат зависит от квадрата отношения скоростей пловца и течения.

Теперь Земля движется по своей орбите вокруг Солнца со скоростью 18 миль в секунду. Если Земля движется сквозь эфир и световой луч проходит от одного зеркала к другому и обратно, время, затраченное на это путешествие, должно быть больше, когда путь света совпадает с направлением движения Земли, чем когда он перпендикулярен этому направлению. Ибо мы можем рассматривать свет как пловца, имеющего скорость 186 000 миль в секунду и путешествующего в потоке, течение которого составляет 18 миль в секунду.

Когда Майкельсон и Морли провели эксперимент, они не смогли наблюдать никакой разницы в скорости света в двух направлениях. С тех пор эксперимент повторялся при различных условиях, но всегда с отрицательными результатами.

Вклад Эйнштейна в науку состоит в интерпретации этого результата как согласующегося с идеями Ньютона о механической относительности в том, что он демонстрирует невозможность измерения абсолютного движения не только с помощью механических, но и с помощью оптических или электрических экспериментов. Следовательно, скорость света должна рассматриваться как постоянная и независимая от движения как источника, так и наблюдателя.

Относительность равномерного движения

Рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из этого принципа. Наблюдатель, движущийся, скажем, с половиной скорости света в том же направлении, что и луч света, обнаружил бы, что последний имеет обычную скорость 186 000 миль в секунду. Аналогично, наблюдатель, движущийся в направлении, противоположном направлению светового луча, с половиной скорости света, получил бы тот же результат.

Эйнштейн показал, что эти выводы могут быть верны только в том случае, если единицы времени и пространства, используемые двумя наблюдателями, зависят от их относительных движений. Тщательный расчет показывает, что единица длины, используемая любым наблюдателем, кажется другому наблюдателю сокращенной, когда она помещена в направлении их относительного движения (но не когда она помещена перпендикулярно этому направлению), а единица времени, используемая любым наблюдателем, кажется другому слишком большой. Более того, отношение единиц длины или времени изменяется с квадратом относительной скорости двух наблюдателей согласно соотношению, которое аналогично упомянутому выше для пловца в течении. Это соотношение показывает, что по мере приближения относительной скорости к скорости света расхождение между единицами увеличивается.

Таким образом, для наблюдателя, пролетающего мимо нашей Земли со скоростью, составляющей девять десятых скорости света, метровая линейка на Земле составила бы 44 сантиметра в его измерении, в то время как секунда на наших часах составила бы около двух с половиной секунд, как отмечено его часами. Аналогично, то, что он называет метровой длиной, для нас составило бы всего 44 сантиметра, и он казался бы нам живущим примерно в два с половиной раза медленнее, чем мы. Каждый наблюдатель совершенно последователен в своих измерениях времени и пространства, пока он ограничивает свои наблюдения своей собственной системой, но когда он пытается проводить наблюдения над другой системой, пролетающей мимо его, он обнаруживает, что результаты, которые он получает, не согласуются с результатами, полученными другим наблюдателем.

Неудивительно, что в соответствии с этим выводом также следует, что масса тела должна увеличиваться с ростом его скорости. При малых скоростях это увеличение настолько незначительно, что мы не можем даже надеяться его измерить, но по мере приближения к скорости света разница становится все более ощутимой, и тело, обладающее скоростью света, обладало бы бесконечной массой, что просто означает, что такая скорость не может быть достигнута никаким материальным объектом. Этот вывод был экспериментально подтвержден наблюдениями за массой чрезвычайно малых отрицательно заряженных частиц, испускаемых радиоактивными элементами. Некоторые из этих частиц выбрасываются со скоростями, превышающими девять десятых скорости света, и измерения показывают, что увеличение массы согласуется с этой теорией.

Теория относительности также проливает новый свет на природу самой массы. Согласно этому взгляду, масса и энергия эквивалентны. Полное уничтожение 1 грамма любого вещества, если бы оно было возможно, дало бы количество энергии, в сто миллионов раз превышающее то, которое получается при сжигании такой же массы угля. И наоборот, изменения энергии сопровождаются изменениями массы. Последние обычно настолько ничтожно малы, что ускользают от наших самых совершенных методов измерений, но в случае с радиоактивными элементами мы действительно наблюдаем это явление. С этой точки зрения также показано, что законы сохранения энергии и массы тесно связаны.

Универсальная относительность

До сих пор мы имели дело с тем, что было обозначено как специальная теория относительности. Она, как мы видели, применима только к равномерному движению. Расширяя теорию, чтобы включить в нее неравномерное или ускоренное движение, Эйнштейн в то же время вывел закон тяготения, который гораздо более общий, чем закон Ньютона.

Тело, падающее на Землю, увеличивает свою скорость по мере падения. Говорят, что движение является ускоренным. Мы приписываем это увеличение скорости гравитационной силе, оказываемой Землей на все объекты. Как показал Ньютон, эта сила действует между всеми частицами материи во Вселенной и изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния и прямо пропорционально произведению масс.

Конечно, у нас было множество теорий тяготения, и ни одна из них не оказалась успешной. Эйнштейн, однако, был первым, кто предложил концепцию тяготения, которая оказалась чрезвычайно значимой. Он отмечает, что гравитационная сила отсутствует для человека, свободно падающего с ускорением свободного падения. У этого человека нет ощущения веса, и если бы он находился в закрытом ящике, который также падает с тем же ускорением, он не смог бы решить, падает ли его система или находится в межпланетном пространстве, где нет гравитационного поля. Более того, если бы он проводил какие-либо оптические или электрические эксперименты в этом ящике, он наблюдал бы те же результаты, что и экспериментатор на Земле. Луч света двигался бы по прямой линии, насколько может судить этот наблюдатель, в то время как внешний наблюдатель, конечно, судил бы иначе.

Эйнштейн показывает, что это в равной степени верно для всех видов ускорения, включая ускорение, обусловленное вращением. В случае вращающегося тела существует центробежная сила, которая стремится заставить объекты на поверхности лететь наружу, но для внешнего наблюдателя эта сила существует не более, чем гравитация для наблюдателя, падающего свободно.

Таким образом, мы можем сделать общий вывод, что гравитационное поле или любое другое силовое поле может быть устранено путем выбора наблюдателя, движущегося с соответствующим ускорением. Однако для этого наблюдателя законы оптики и электричества должны быть столь же справедливы, как и для наблюдателя на Земле.

Постулируя эту гипотезу эквивалентности, Эйнштейн просто использует очень знакомое наблюдение о том, что, независимо от природы материала, все тела обладают одинаковым ускорением в заданном силовом поле.

Проблема, которую Эйнштейн теперь ставит перед собой, заключается в определении закона, который описывал бы движение любой системы в силовом поле настолько общим образом, чтобы оставить неизменными фундаментальные соотношения электричества и оптики.

В связи с решением этой проблемы он считает необходимым отбросить ограничения, налагаемые на нас обычной или евклидовой геометрией. Таким образом, геометрические понятия, как и понятия силы, полностью лишаются всех представлений об абсолютности, и цель общей теории относительности достигается.

Геометрия тяготения

Рассмотрим круглый диск, вращающийся с равномерной периферийной скоростью. Согласно выводам из «специальной теории» относительности, наблюдатель, находящийся вблизи края этого диска, но не вращающийся вместе с ним, заметит, что единицы длины, измеренные вдоль окружности диска, сокращаются. С другой стороны, измерения вдоль диаметра, который находится под прямым углом к направлению движения окружности, не покажут никакого сокращения, и, следовательно, наблюдатель обнаружит, что отношение окружности к диаметру не имеет хорошо известного значения 3,14159…, а превышает это значение, причем разница становится все больше и больше по мере того, как периферийная скорость приближается к скорости света. То есть законы обычной геометрии больше не действуют.

Однако мы знаем другие случаи, в которых обычная или евклидова геометрия неприменима. Так, предположим, что на поверхности сферы мы опишем ряд концентрических окружностей. Поскольку поверхность искривлена, мы не удивляемся, обнаружив, что окружность любого из этих кругов меньше, чем 3,14159… умноженное на расстояние через круг, измеренное на поверхности сферы. Что это означает, следовательно, так это то, что мы не можем использовать евклидову геометрию для описания измерений на поверхности сферы, и каждый школьник знает это, сравнивая проекцию Меркатора земной поверхности с фактическим изображением на глобусе.

Когда мы начинаем задумываться об этом, причина, по которой мы осознаем все это, заключается в том, что наше чувство трех измерений позволяет нам отличать плоские поверхности от искривленных. Давайте, однако, представим себе двухмерное существо, живущее на поверхности большой сферы. Пока его измерения ограничены относительно небольшими областями, он найдет возможным описывать все свои измерения в терминах евклидовой геометрии. Однако по мере того, как область его деятельности увеличивается, он начнет замечать все большие и большие расхождения. Будучи незнакомым с существованием такого трехмерного объекта, как сфера, и поэтому не осознавая, что он находится на поверхности таковой, наше разумное двухмерное существо придет к выводу, что нарушение в его геометрии вызвано действием силы, и с помощью правдоподобных предположений о «законе» этой силы он примирит свои наблюдения с законами планиметрии.

Теперь, поскольку ускорение в гравитационном поле идентично ускорению, обусловленному центробежной силой, возникающей при вращении, мы пришли к выводу, что геометрия в гравитационном поле также должна быть неевклидовой. То есть пространство в окрестности материи искажено или искривлено. Кривизна пространства имеет такое же отношение к трем измерениям, какое кривизна сферической поверхности имеет к двум измерениям, и именно поэтому мы не воспринимаем ее, точно так же, как разумное двухмерное существо не осознавало бы искажение своего пространства (или поверхности). Более того, подобно этому существу, мы предположили существование гравитационной силы, чтобы объяснить расхождения в наших геометрических измерениях.