«Теории относительности и тяготения Эйнштейна»

Локализация расхождения

Саккери, итальянский иезуит, достиг бы дна, если бы у него было немного больше воображения. Он дал исчерпывающее reductio ad absurdum на основе теоремы о сумме углов. Эта сумма должна быть (а) больше, или (b) равна, или (c) меньше 180 градусов. Саккери показал, что если одна из этих альтернатив встречается в одном треугольнике, она должна встречаться в каждом треугольнике. Первый случай доставил мало хлопот; допуская возможность суперпозиции особым образом, упомянутым выше, что он делал неявно, он показал, что эта «тупоугольная гипотеза» противоречит сама себе. Он долго преследовал «остроугольную гипотезу», прежде чем убедился, что тоже поймал ее на противоречии. Это оставило только «прямоугольную гипотезу», доказывающую евклидову теорию суммы углов и через нее параллельный постулат. Но Саккери ошибался: он не нашел никакого реального противоречия в остроугольной гипотезе — ибо его там не существует.

Полные факты, вероятно, были впервые известны Гауссу, который приложил руку ко всему математическому, что имело отношение к переходу к современным временам. Они были впервые опубликованы Лобачевским, русским, который с небольшим отрывом опередил венгра Яноша Бойяи. Все трое работали независимо от Саккери, чья книга, хотя теоретически доступная в итальянских библиотеках, была фактически потеряна из виду и должна была быть заново открыта в последние годы.

Как и Саккери, Лобачевский исследовал альтернативные возможности. Но он выбрал другую точку атаки: через данную точку должно быть возможно провести в той же плоскости с данной линией (а) ни одной линии, или (b) одну линию, или (c) множество линий, которые не встретятся с данной линией. Слово «параллельный» определяется только в терминах второй из этих гипотез, поэтому мы избегаем его здесь. Эти три случая соответствуют, соответственно, случаям Саккери.

Первый случай Лобачевский исключил так же, как и Саккери, но сознательно принимая оговорку, приложенную к его исключению; третий он не смог исключить. Он развил последствия этой гипотезы настолько, насколько Евклид развивает последствия второй, набросав полный контур системы геометрии и тригонометрии, основанной на множестве «непересекающихся». Эта геометрия составляет связное целое, без логического изъяна.

Это сделало ясным, что было не так с параллельной аксиомой Евклида. Никто не мог доказать ее из других его допущений, потому что она не является их следствием. Истинная или ложная, она независима от них. Церковь Троицы находится в Нью-Йорке, Фенейл-холл находится в Бостоне, но Фенейл-холл не находится в Бостоне потому, что Троица находится в Нью-Йорке; и мы не могли бы доказать, что Фенейл-холл находится в Бостоне, если бы мы ничего не знали об Америке, кроме того, что Троица находится в Нью-Йорке. Математики 2000 лет преследовали в гигантском масштабе заблуждение post hoc, ergo propter hoc.

Что постулат делает на самом деле

Более того, при отсутствии допущения, охватывающего эту область, мы не будем знать, какая из альтернатив (а), (b), (c) имеет место. Но когда одна имеет место в одном случае, она имеет место постоянно, как показали и Саккери, и Лобачевский. Поэтому мы не можем действовать на этой неопределенной основе; мы должны знать, какая из них должна иметь место. Без параллельного постулата или его заменителя, который сказал бы нам то же самое или сказал бы нам что-то другое, у нас нет категоричного набора допущений — мы вообще не можем построить геометрию. Вот почему Евклиду нужен был его параллельный постулат, прежде чем он мог продолжить. Вот почему его преемникам нужно было допущение, эквивалентное его.

Причина, по которой потребовалось так много времени, чтобы это проникло в понимание математиков, заключалась в том, что они мыслили не в терминах современной геометрии и о неопределяемых элементах, а в терминах старой геометрии и о строго определенных и ограниченных элементах. Если мы понимаем, что подразумевается под евклидовой линией и плоскостью, конечно, параллельный постулат, чтобы использовать слово старого геометра, истинен — конечно, чтобы принять современную точку зрения, если мы соглашаемся использовать элемент, к которому применяется это допущение, допущение реализовано. Сам факт принятия «прямой» линии и «плоской» плоскости Евклида составляет принятие его параллельного постулата — единственной вещи, которая может отделить его геометрию от других геометрий. Но, конечно, мы не можем доказать это; предыдущие постулаты, которые мы должны были бы использовать в такой попытке, применяются там, где он не применяется, и, следовательно, он никак не может быть их следствием.

На все это классический евклидовец отвечает, что мы, кажется, имеем в виду элементы какого-то рода, к которым, с одной оговоркой, применяются его постулаты. Он хочет знать, как выглядят эти элементы. Мы можем и должны их предъявить — иначе наш разговор об общности — просто бред. Но мы должны позаботиться о том, чтобы евклидов геометр не пытался применять к нашим элементам понятия прямоты и плоскостности, которые присущи параллельному постулату. Мы не можем удовлетворить и бросить вызов этому постулату одновременно. Если мы не будем настаивать на этом пункте, мы обнаружим, что вчитываем неевклидовы свойства в евклидову геометрию и интерпретируем элементы последней как прямые линии, которые не являются прямыми, плоские плоскости, которые не являются плоскими. Миссия неевклидовой геометрии не в том, чтобы отрицать возможность евклидовой геометрии; она просто требует места равной чести.

Геометрия поверхностей

Давайте спросим евклидова геометра, может ли он узнать свою плоскость после того, как мы скомкали ее, как кусок бумаги по пути в корзину для мусора. Он будет колебаться лишь столько, сколько нужно, чтобы вспомнить, что в частном случае суперпозиции он зарезервировал за собой привилегию деформировать свою собственную плоскость, и осознать, что он всегда может снова разгладить свою плоскость, после того как мы закончим. Это подчеркивает истинную природу двухмерности, которая является фундаментальной характеристикой плоскости (и других вещей, как мы вскоре увидим). Плоскость является двухмерной в точках не потому, что в ней можно провести два набора взаимно перпендикулярных евклидовых прямых линий, определяющих направления север-юг и восток-запад, а потому, что точку в ней можно локализовать с помощью двух мер. То же самое можно сказать о чем угодно, к чему применим термин «поверхность»; о чем угодно, как бы скомкано или нерегулярно оно ни было, что обладает длиной и шириной без толщины. Поверхность сферы, цилиндра, эллипсоида, конуса, пончика (математически известного как тор), зубчатого колеса, валторны — все они обладают двухмерностью в точках; на всех них мы можем рисовать линии и кривые и выводить геометрию этих фигур. Если мы уйдем от представления о том, что геометрия двух измерений должна иметь дело с плоскостями, и примем вместо этой идеи более широкое ограничение, что она должна иметь дело с поверхностями, мы получим обобщение, которое евклидовец требовал от нас произвести, и то, которое в руках современного геометра показало результаты.

В этой двухмерной геометрии поверхностей в целом, геометрия плоскости — лишь один частный случай. Некоторые из черт, встречающихся в этом случае, являются общими. Если мы согласимся, что знаем, что подразумеваем под расстоянием, мы обнаружим, что на каждой поверхности есть кратчайшее расстояние между двумя точками, вместе с серией линий или кривых, вдоль которых берутся такие расстояния. Эти линии или кривые мы называем геодезическими. На плоскости геодезическая — это прямая линия. На поверхностях в целом геодезическая, какой бы ни была ее конкретная и своеобразная форма, играет ту же роль, что играет прямая линия в плоскости; это вторичный элемент геометрии, сама поверхность и все другие поверхности ее типа являются третичными элементами. И это факт, что мы можем взять все возможные сферы или все возможные поверхности валторны и представить пространство, каким мы его знаем, разбитым анализом на эти поверхности, а не на плоскости. Единственная причина, по которой мы привычно разлагаем пространство на плоскости, заключается в том, что нам естественно так думать. Но геометрические точки, линии и поверхности должны быть признаны абстракциями без реального существования, ибо все они лишены одного или нескольких из трех измерений, которые такое существование подразумевает. Эти фигуры существуют в наших умах, но не во внешнем мире вокруг нас. Поэтому любое разложение пространства на геометрические элементы является явлением только ума; оно не имеет параллелей и значения во внешнем мире и делается одним или другим способом чисто по нашему желанию. Не существует истинной, настоящей геометрической плоскости, так же как не существует настоящей сферической поверхности: поэтому на внутренних основаниях одно разложение столь же разумно, как и другое.

Некоторым из самых фундаментальных постулатов подчиняются все поверхности. Когда мы пытаемся различать поверхности разных типов и получить, например, геометрию, которая была бы действительна для сфер и эллипсоидов, но не для коникоидов в целом, мы должны делать это, вводя дополнительные постулаты, которые воплощают необходимые ограничения. Характеристика, общая для плоскостей, сфер и различных других поверхностей, заключается в том, что геодезические могут свободно скользить сами по себе и будут совпадать сами с собой во всех положениях при таком скольжении; с аналогичным устройством для самой поверхности. Но плоскость стоит почти уникально среди поверхностей тем, что не заставляет нас различать ее две стороны; мы можем перевернуть ее, и она все равно будет совпадать сама с собой; и это свойство принадлежит также прямой линии. Оно не принадлежит сфере или большим кругам, которые являются геодезическими сферической геометрии; когда мы переворачиваем один из них через трехмерное пространство, которое его окружает, мы обнаруживаем, что кривизна лежит не в ту сторону, чтобы сделать суперпозицию возможной. Если мы постулируем, что суперпозиция возможна при таком обращении, мы выбрасываем сферу и сферическую геометрию; если мы постулируем, что суперпозиция возможна только путем скольжения поверхности самой по себе, мы допускаем эту геометрию — как Саккери не смог увидеть, как Лобачевский осознал и как Риман показал в деталях, реабилитируя «тупоугольную гипотезу». Остроугольная геометрия Лобачевского реализуется на поверхности соответствующего сорта, которая допускает неограниченную суперпозицию; но это не тот сорт поверхности, который я хочу обсуждать в статье такого объема.

Евклидова геометрия — естественная и легкая, полагаю, потому что она позволяет легко остановиться на трех измерениях. Если мы берем вторичный элемент, геодезическую, которая «кривая» в евклидовом смысле, мы получаем третичный элемент, поверхность, которая также кривая. Тогда, если мы не собираемся делать совершенно резкий и неразумный разрыв, мы обнаружим, что точно так же, как кривая геодезическая породила кривую поверхность, кривая поверхность должна породить «кривое пространство»; и точно так же, как кривой геодезической нужно было второе измерение, чтобы искривляться в него, а кривой поверхности — третье, так и кривое трехмерное пространство требует четвертого. Раз начав с этого рода вещей, конца этому, кажется, действительно нет.

Евклидова или неевклидова

Тем не менее, мы должны столкнуться с возможностью того, что пространство, в котором мы живем, или любое другое многообразие любого рода, с которым мы имеем дело на геометрических принципах, может оказаться неевклидовым. Как мы окончательно определим это? Мерами — евклидовец измеряет углы реального треугольника и находит, что сумма равна ровно 180 градусам; или он проводит параллельные линии неопределенной протяженности и находит, что они везде равноудалены; и из этих данных он заключает, что наше пространство действительно евклидово. Но он не обязательно прав.

Мы просим его выровнять участок земли с помощью отвеса. Поскольку линия всегда указывает на центр Земли, «ровный» участок на самом деле является очень маленьким кусочком сферической поверхности. Любой тест, проведенный на этом участке, продемонстрирует численные характеристики евклидовой геометрии; однако мы знаем, что геометрия этой поверхности — риманова. Сумма углов на самом деле больше 180 градусов; линии, которые везде равноудалены, не являются обе геодезическими.

Проблема, конечно, в том, что на этом участке мы имеем дело с такой крошечной долей всей сферы, что не можем провести измерения, достаточно уточненные, чтобы обнаружить отклонение от евклидовых стандартов. Поэтому для нас совершенно разумно спросить: «Является ли вселенная пространства вокруг нас действительно евклидовой в любой реализованной геометрии, которую она нам представляет? Или она на самом деле неевклидова, но настолько огромна по размеру, что мы еще никогда не смогли расширить наши измерения до достаточно большой ее части, чтобы сделать расхождение с евклидовым стандартом различимым для нас?»

Эта дискуссия неизбежно фрагментарна, оставляя многое из того, что автор предпочел бы включить. Но есть надежда, что она тем не менее прояснит, что когда участники конкурса Эйнштейна говорят о неевклидовой вселенной как о чем-то, по-видимому, раскрытом Эйнштейном, они имеют в виду просто то, что Эйнштейну пришел в голову счастливый способ проверки евклидовости в меньшем масштабе, чем до сих пор считалось возможным. Он разработал новый и остроумный вид меры, который, если его результаты верны, позволяет нам действовать в меньшей области, ожидая при этом, что любые неевклидовы характеристики многообразия, с которым мы имеем дело, поднимутся выше порога измерения. Это не означает, что евклидовы линии и плоскости, какими мы представляем их в нашем уме, больше не являются неевклидовыми, а лишь то, что эти концепции не совсем так близко соответствуют внешней реальности, как мы предполагали.

Что касается точного характера раскрытого неевклидовости, мы можем оставить это для последующих глав и для конкурирующих эссеистов. Нам нужно лишь указать здесь, что это не обязательно будет ограничено вопросом параллелизма. Параллельный постулат представляет для нас чрезвычайный интерес по двум причинам; во-первых, потому что исторически он был средством, с помощью которого возможности и важность неевклидовой геометрии были принудительно доведены до нашего внимания; и во-вторых, потому что он оказывается непосредственным основанием различия между евклидовой геометрией и двумя из наиболее интересных альтернатив. Но евклидова геометрия характеризуется не одним постулатом, а значительным числом постулатов. Мы можем попытаться опустить любой из них, чтобы его область не была специально охвачена вообще, или заменить любой из них прямой альтернативой. Мы могли бы мыслимо полностью покончить с постулатом суперпозиции и потребовать, чтобы фигуры доказывались эквивалентными, если вообще доказывались, с помощью какого-то более радикального теста. Мы могли бы покончить с постулатом, впервые правильно сформулированным Гильбертом, от которого зависят наши идеи о свойстве, представленном в слове «между». Мы могли бы покончить с любым отдельным евклидовым постулатом или с любой комбинацией двух или более из них. В некоторых случаях это привело бы к отсутствию категоричности, и мы вообще не получили бы никакой геометрии; в большинстве случаев, при условии, что мы проявили должную степень проницательности при формулировании альтернатив для отвергнутых постулатов, мы получили бы вполне хорошую систему неевклидовой геометрии: реализованную, если вообще реализованную, другими элементами, чем евклидова точка, линия и плоскость, и элементы которой ведут себя по отношению друг к другу иначе, чем евклидова точка, линия и плоскость.

Просто чтобы придать определенность этой главе, я прилагаю здесь утверждение о том, что в геометрии, которую Эйнштейн выстраивает как более точно отражающую реальный внешний мир, чем геометрия Евклида, мы откажемся от (неявного) допущения Евклида, лежащего в основе его (явно сформулированного) постулата о наложении, согласно которому процесс перемещения предметов не влияет на их длину. В то же время мы откажемся от его постулата о параллельных прямых. И мы добавим четвертое измерение к его трем — разумеется, не что-то вроде четвертой евклидовой прямой, перпендикулярной в евклидовом пространстве трем уже перпендикулярным друг другу линиям, а нечто совершенно иное, природу чего мы более точно рассмотрим в следующей главе. Если эта глава прояснила, что нам подобает так поступать, и удержала кого-либо от предположения, что результаты этого должны быть визуализированы в евклидовом пространстве трех или любого другого числа измерений, значит, она выполнила свою задачу.

VI

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ КОНТИНУУМ

Мир событий Минковского и то, как он вписывается в структуру Эйнштейна

РЕДАКТОР, ЕСЛИ НЕ УКАЗАНО ИНОЕ

В поисках основы для надежной формулировки своих результатов, и особенно средства для математического выражения фактов зависимости, которую он обнаружил между временем и пространством, Эйнштейн обратился к предшествующей работе Минковского. Сразу стоит отметить, что идея времени как четвертого измерения не является чем-то особенно новым. Она была предметом абстрактных размышлений на протяжении большей части столетия, даже со стороны тех, чьи представления о четвертом измерении были довольно тесно связаны с идеей четвертого измерения евклидова точечного пространства, которое обозначалось бы четвертой вещественной прямой, перпендикулярной остальным трем и видимой нам, если бы мы только могли ее увидеть. Более того, каждый математик, независимо от того, склонен ли он к такого рода умственным упражнениям, хорошо знает, что всякий раз, когда время вообще входит в его уравнения, оно делает это на абсолютно равных правах с каждой из его пространственных координат, так что, с точки зрения алгебры, он никогда не смог бы их различить. Когда переменные x, y, z, t приходят к математику в связи с каким-либо физическим исследованием, он заранее знает, что первые три представляют собой измерения евклидова трехмерного пространства, а последняя означает время. Но если бы алгебраические выражения такой задачи были переданы ему независимо от какой-либо физической связи, он никогда не смог бы сказать, исходя только из них, является ли одна из четырех переменных временем, и если да, то какую именно выбрать для этого различия.

Именно Минковский первым сформулировал все это в виде, пригодном для использования в связи с теорией относительности. Его отправная точка заключается в различении точки и события. Мистер Фрэнсис довольно хорошо раскрыл это в своем эссе, будучи единственным участником конкурса, представившим евклидову геометрию как реального предшественника ньютоновской науки, а не просто как часть ньютоновской системы. Я думаю, его довод здесь очень уместен. Как он говорит, Евклид посмотрел на окружающий его мир и увидел, что он состоит из точек. Игнорируя все динамические соображения, он выстроил в своем уме статический мир точек и сконструировал свою геометрию как научный аппарат для работы с этим миром, в котором движение не играло никакой роли. Конечно, оно могло быть введено наблюдателем для его собственных целей, но при таком введении специально постулировалось, что это не имеет никакого значения для точек, линий или фигур, которые перемещались. Это было чисто наблюдательное устройство, предназначенное для удобства наблюдателя, и, кроме того, ментальное устройство, не требующее физического действия и проявления какой-либо силы. Поскольку Евклид в своей повседневной жизни был вынужден признать тот факт, что в мире повседневных реалий движение существует, он, как истинный грек, должен был рассматривать это как самое досадное отклонение реальности от его прекрасного мира интеллектуальной абстракции, как нечто, что следует оплакивать и игнорировать. Даже в своей скульптуре греки придерживались этой идеи. Группу, изображающую удивительное действие, подобную «Лаокоону», они считали явно второсортным произведением, проституцией благородного искусства; их идеалом была фигура, подобная величественному Зевсу — не обязательно просто бюст, следует понимать, а всегда фигура в покое, без действия. Их скульптура олицетворяла вещи, а не действие, точно так же, как их геометрия олицетворяла точки, а не события.

Галилей и Ньютон заняли иную точку зрения. Их интересовал мир таким, какой он есть, а не таким, каким он должен быть; и если движение кажется фундаментальной частью этого мира, они были обязаны включить его в свою схему. Это заставило их уделять гораздо больше внимания концепции времени и его места в мире, чем грекам. В процессе наложения, и даже когда он допускал, чтобы кривая генерировалась движущейся точкой, единственным интересом, который Евклид проявлял к движению, был эффект, который должен был наблюдаться на его статических фигурах после его завершения. В этот эффект скорость движения не входила. Таким образом, все вопросы скорости и времени полностью игнорируются, и мы фактически имеем любопытное зрелище движения без времени.

Для Галилея и Ньютона, с другой стороны, время, которое требовалось телу для перехода из одной точки своего пути в другую, имело первостепенное значение. Само движение было объектом их изучения, и они признавали роль, которую играет скорость. Но Галилей и Ньютон все еще находились под достаточным влиянием Евклида, чтобы вписать наблюдаемые явления движения, насколько могли, в статический мир точек Евклида. Этого они достигли, присоединившись к давней процедуре рассмотрения времени и пространства как чего-то совершенно разобщенного и отличного друг от друга. Движение объекта — теоретически, точки — должно было фиксироваться путем наблюдения за его последовательными положениями. С каждым из этих положений должно было быть связано время, отмечающее момент, когда точка достигала этого положения. Но перед лицом этой ассоциации пространство и время должны были сохраняться как совершенно отдельные сущности.

Четырехмерный мир событий

Эту строгую сепарацию времени и пространства Минковский теперь поставил под сомнение, заявив, что элементы, из которых состоит внешний мир и которые мы наблюдаем, — это вовсе не точки, а события. Это требует пересмотра всего нашего образа мышления. Это означает, что перцептивный мир четырехмерен, а не трехмерен, как мы всегда полагали; и это означает, по крайней мере, что различие между временем и пространством не так фундаментально, как мы предполагали.

[Это не должно казаться нам странным или непостижимым. Что мы имеем в виду, когда говорим, что плоскость двухмерна? Просто то, что для определения положения любой точки плоскости должны быть заданы две координаты, два числа. Точно так же для точки в пространстве наших привычных концепций мы должны дать три числа, чтобы зафиксировать положение — например, указав широту и долготу точки на земле и ее высоту над уровнем моря. Поэтому мы говорим, что это пространство трехмерно. Но материальное тело находится не просто где-то; оно находится где-то сейчас,] 182 или было где-то вчера, или будет где-то завтра. Утверждение о положении материального объекта бессмысленно, если мы одновременно не укажем время, в которое он занимал это положение. [Если я рассматриваю жизненный путь объекта в движущемся поезде, я должен дать три пространственные координаты и одну временную координату, чтобы зафиксировать каждое из его положений.] 182 И каждое из его положений, вместе со временем, относящимся к этому положению, составляет событие. Динамичный, постоянно меняющийся мир вокруг нас, который не показывает одного и того же аспекта в два разных момента, — это мир событий; и поскольку для фиксации события требуются четыре меры или координаты, мы говорим, что этот мир событий четырехмерен. Если мы хотим проверить обоснованность этой точки зрения, мы вполне можем сделать это, спросив, фиксирует ли называние значений четырех координат событие однозначно, как называние трех в старой системе фиксирует точку однозначно.

Предположим, мы возьмем какое-то конкретное событие в качестве того, от которого будем измерять, договоримся о направлениях, которые должны принимать наши пространственные оси, и сделаем любую конвенцию относительно нашей временной оси, которую последующее исследование может показать необходимой. Безусловно, тогда акт измерения стольких-то миль на север, и стольких-то на запад, и стольких-то вниз, и стольких-то секунд назад приводит нас к определенному времени и месту — то есть к определенному событию. Возможно, там ничего «не произошло» в том смысле, в котором мы обычно используем это слово; но это не более серьезно, чем если бы мы определили точку относительно нашей привычной системы пространственных координат и обнаружили, что она лежит в пустой пустоте межзвездного пространства, не занятая никаким материальным телом. Во втором случае у нас все еще есть точка, которая требует для обеспечения своего существования и местоположения трех координат и ничего более; в первом случае у нас все еще есть событие, которое требует для своего существования и определения четырех координат и ничего более. Это не то событие, из-за которого авторы заголовков могут сильно разволноваться; но что с того? Оно существует, готовое и ожидающее определения любого физического явления, которое на него приходится, точно так же, как точка геометра готова и ожидает определения любого физического тела, которое случайно на нее попадает.

Континуум точек

Теперь уместно ввести слово, которое, должен признаться, подавляющее большинство авторов эссе вводят несколько неправильно, без объяснения. Но когда я пытаюсь объяснить его, я вполне понимаю, почему они это делали. Оно было им нужно; а у них не было места в их трех тысячах слов, чтобы адекватно поговорить о нем и о чем-то еще. Математик очень хорошо знает, что он подразумевает под континуумом; но объяснить это обычным языком далеко не просто. Думаю, лучше всего будет, если я сначала довольно подробно поговорю о прямой линии и точках на ней.

Если линия содержит только точки, соответствующие целым расстояниям 1, 2, 3 и т. д. от начальной точки, она, очевидно, не является непрерывной — в ней есть разрывы, гораздо более значительные, чем те немногие (сравнительно говоря) точки, которые присутствуют. Если мы расширим ограничения так, чтобы линия включала все точки, соответствующие обычным правильным и неправильным дробям, таким как ¼, 17/29 и 1633/7 — то, что математики называют рациональными числами, — мы, по-видимому, заполним эти разрывы; и я думаю, что первым порывом обывателя было бы сказать, что линия теперь непрерывна. Конечно, мы не можем теперь стоять в одной точке на линии и назвать «следующую» точку, как могли мгновение назад. Например, нет «следующего» рационального числа после 116/125; 115/124 идет перед ним, а 117/126 идет после него, но между ним и любым из них, или между ним и любым другим рациональным числом, которое мы могли бы назвать, лежат многие другие того же рода. И все же, несмотря на то, что линия, содержащая все эти рациональные точки, теперь «плотная» (технический термин для свойства, которое я только что указал), она все еще не является непрерывной; ибо я могу легко определить числа, которые в ней не содержатся — иррациональные числа в бесконечном разнообразии, такие как √2; или, что еще хуже, число пи = 3,141592…, которое определяет отношение длины окружности к диаметру, и многие другие числа подобного рода.

Если линия должна быть непрерывной, в ней не может быть вообще никаких дыр; она должна иметь точку, соответствующую каждому числу, которое я только могу назвать. То же самое для плоскости и для нашего трехмерного пространства; если они должны быть непрерывными, первая должна содержать точку для каждой возможной пары чисел x и y, а второе — для каждого возможного набора из трех чисел x, y и z, которые я могу назвать. В них не может быть вообще никаких дыр.

Линия — это континуум точек. Плоскость — это континуум точек. Трехмерное пространство — это континуум точек. Эти три случая различаются только своей размерностью; требуется лишь одно число, чтобы определить точку первого континуума, два и три соответственно во втором и третьем случаях. Но существенная особенность заключается не в том, что континуум должен состоять из точек, или что мы должны быть в состоянии визуализировать для него псевдореальное существование именно того рода, который мы можем визуализировать в случае линии, плоскости и точки. Существенно лишь то, что это должен быть агрегат элементов, численно определенных таким образом, чтобы не оставлять дыр, а быть столь же непрерывным, как сама система вещественных чисел. Примеры, однако, помимо трех, которые я использовал, трудно сконструировать таким образом, чтобы обыватель легко их понял; поэтому, возможно, подкрепленный уже представленным фоном примеров, я рискну сначала сделать общее утверждение.

Континуум в общем

Предположим, у нас есть набор «элементов» какого-то рода — любого рода. Предположим, что эти элементы обладают одной или несколькими фундаментальными идентифицирующими характеристиками, аналогичными координатам точки, и которые, подобно этим координатам, способны принимать числовые значения. Предположим, мы обнаружим, что никакие два элемента набора не обладают идентично одним и тем же набором определяющих значений. Предположим, наконец — и это критический тест, — что элементы набора таковы, что, независимо от того, какие числовые значения мы можем указать, если мы действительно указываем правильное количество определяющих величин, мы определяем ими фактический элемент набора, который соответствует этой конкретной совокупности значений. Наши элементы тогда разделяют с системой вещественных чисел свойство не оставлять дыр, составлять непрерывную последовательность в каждом измерении, которым они обладают. Тогда у нас есть континуум. Каковы бы ни были его элементы, каков бы ни был характер их числовых идентификаторов, каково бы ни было число n этих идентификаторов, которое означает его размерность, не должно быть никаких дыр, иначе у нас нет континуума. Должен существовать элемент для каждой возможной комбинации из n чисел, которые мы можем назвать, и никакие две из этих комбинаций не могут давать один и тот же элемент. При соблюдении этого условия наши элементы составляют континуум.

Как я уже отмечал, нелегко привести примеры континуумов, которые значили бы что-то для человека, не привыкшего к этому термину. Совокупность углеродно-кислородно-азотно-водородных соединений, предложенная одним автором эссе в качестве примера, вовсе не является континуумом, ибо набор содержит элементы, соответствующие только целым значениям чисел, которые говорят нам, сколько атомов каждого вещества содержится в молекуле. У нас не может быть соединения, содержащего 2,5 атома углерода или 3,14 атома кислорода. Пожалуй, наиболее удовлетворительным из континуумов, помимо трех уже упомянутых евклидовых пространственных континуумов, [является многообразие музыкальных нот. Оно четырехмерно; каждая нота имеет четыре различия — длительность, высоту, интенсивность, тембр — чтобы отличить ее идеально, чтобы сказать, как долго, как высоко, как громко, как богато.] 263 У нас могли бы возникнуть небольшие трудности с приведением характеристики богатства к числовому выражению, но, по-видимому, это можно было бы сделать; и тогда мы были бы удовлетворены тем, что каждая возможная комбинация четырех значений l, p, i, t для этих четырех идентифицирующих характеристик дала бы нам музыкальный эффект, который нельзя спутать ни с каким другим.

В физическом мире существует огромное количество континуумов того или иного рода. Континуум музыкальных нот привлекает внимание к тому факту, что не все они таковы, что их элементы обращаются к зрительному восприятию. Это замечание уместно; ибо мы по праву наследия являемся расой, ориентированной на зрение, и нам часто необходимо напоминать, что, насколько это касается внешнего мира, вердикт любого другого чувства полностью равен вердикту зрения. Вещи, которые мы действительно видим, такие как материя, и вещи, которые мы абстрагируем из этих визуальных впечатлений, такие как пространство, — это отнюдь не все, что есть в мире.

Евклидовы и неевклидовы континуумы

Если мы имеем дело с континуумом любого рода, имеющим одно, два или три измерения, мы можем представить его графически с помощью линии, плоскости или трехмерного пространства. Тот же набор чисел, который определяет элемент данного континуума, точно так же определяет элемент евклидова континуума той же размерности; поэтому один континуум соответствует другому, элемент за элементом, и любой из них может заменить другой. Но если у нас есть континуум из четырех или более измерений, это представление терпит неудачу при отсутствии реального четырехмерного евклидова точечного пространства, которое могло бы послужить картинкой. Это нисколько не умаляет реальности континуума, который мы таким образом лишены возможности представить графически привычным способом.

Евклидово представление, на самом деле, в некоторых случаях может быть неудачным — оно может быть настолько совершенно лишенным смысла, что фактически вводить в заблуждение. Ибо в евклидовом континууме точек, будь то линия, плоскость или трехмерное пространство, есть определенные вещи, которые мы обычно рассматриваем как вторичные производные свойства, но которые тем не менее обладают большим значением.

В частности, на евклидовой плоскости и в евклидовом трехмерном пространстве существует расстояние между двумя точками. Я указал в главе о неевклидовой геометрии, что постулат о параллельных прямых Евклида, который отличает его геометрию от других, может быть заменен любым из многочисленных других постулатов. Примите постулат Евклида, и вы сможете доказать любой из этих заменителей; примите любой из заменителей, и вы сможете доказать постулат Евклида. Теперь случается так, что есть один из этих заменителей, которому современный анализ придал положение значительной важности. Это просто наш старый добрый друг теорема Пифагора, о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов; но по нынешнему случаю он одет в новые одежды.

Обсуждение этой части предмета мистером Фрэнсисом, и особенно его рисунок, должны прояснить, что эту теорему можно рассматривать как имеющую дело с расстоянием между любыми двумя точками. Когда мы рассматриваем ее таким образом и принимаем ее как фундаментальный, определяющий постулат евклидовой геометрии, который отличает эту геометрию от других, мы получаем утверждение значительного содержания. Мы имеем, во-первых, что характеристическим свойством евклидова пространства является то, что расстояние между двумя точками задается квадратным корнем из суммы квадратов разностей координат для этих точек — выражением, где большие буквы представляют координаты одной точки, а малые — другой. Однако мы имеем больше, чем это; мы имеем то, что это расстояние одинаково для всех наблюдателей, как бы ни различались их значения для отдельных координат отдельных точек. И мы имеем, наконец, как прямой результат взгляда на вещь с этой точки зрения, что выражение для D является «инвариантом»; что просто означает, что каждый наблюдатель может использовать одно и то же выражение при вычислении значения D в терминах своих собственных значений для вовлеченных координат. Расстояние между двумя точками в нашем пространстве задается численно квадратным корнем из суммы квадратов моих разностей координат для двух вовлеченных точек; оно в равной степени задается квадратным корнем из суммы квадратов ваших разностей координат или разностей любого другого наблюдателя вообще. Таким образом, у нас есть закон природы — фундаментальный закон природы, характеризующий евклидово пространство. Если мы хотим применить его к евклидову двухмерному пространству (плоскости), нам нужно только отбросить лишнюю разность координат; если мы хотим увидеть по аналогии, каким был бы фундаментальный закон природы для четырехмерного евклидова пространства, нам нужно только ввести под радикал четвертую разность координат для четвертого измерения.

Если бы мы не смогли придать никакого конкретного смысла выражению для D, ценность всего этого была бы существенно снижена. Рассмотрим, например, континуум музыкальных нот. Между разными нотами нет расстояния. Конечно, есть смысл говорить о разнице в высоте, интенсивности, длительности, тембре между двумя нотами; но нет смысла в способе речи, который подразумевает составное выражение, указывающее, насколько одна нота избегает быть идентичной другой во всех четырех отношениях сразу. Проблема, конечно, в том, что четыре измерения континуума музыкальных нот не измеримы в терминах общей единицы. Если бы они были таковы, мы ожидали бы измерять их комбинацию более или менее абсолютно в терминах этой же единицы. Мы можем производить измерения во всех трех измерениях евклидова пространства с помощью одной и той же единицы, фактически с помощью одной и той же измерительной линейки. [Это представляет собой особенность нашего трехмерного пространства, которой не обладают все трехмерные многообразия. Риман привел другую иллюстрацию в системе всех возможных цветов, состоящих из произвольных пропорций трех основных цветов: красного, зеленого и фиолетового. Эта система образует трехмерный континуум; но мы не можем измерить «расстояние» или разницу между двумя цветами в терминах разницы между двумя другими.] 130

Соответственно, несмотря на то, что евклидово трехмерное пространство дает нам формальное представление цветового континуума, и несмотря на то, что гипотетическое четырехмерное евклидово пространство выполняло бы аналогичную функцию для континуума музыкальных нот, это представление было бы лишено смысла. Мы не должны говорить, что геометрия этих двух многообразий является евклидовой. Мы должны осознать, что любой набор числовых элементов может быть нанесен на график в евклидовом пространстве соответствующей размерности; и что, соответственно, прежде чем позволить такому графику повлиять на нас в классификации геометрии данного многообразия как евклидовой, мы должны сделать паузу, достаточную для того, чтобы спросить, вписывается ли остальная часть евклидовой системы в эту картину. Если квадратный корень из суммы квадратов разностей координат между двумя элементами обладает смыслом в данном континууме, и если он инвариантен между наблюдателями этого континуума, которые используют разные базы отсчета, тогда и только тогда мы можем утверждать евклидов характер данного континуума.

Если при этом тесте данный континуум не проходит проверку на евклидовость, уместно спросить, какой тип геометрии он представляет. Если он обладает таким характером, что «расстояние» между двумя элементами обладает смыслом, мы должны ответить на этот вопрос, исследуя это расстояние в надежде обнаружить неевклидово выражение для него, которое будет инвариантным. Если он не обладает таким характером, мы должны искать какую-то другую характеристику отдельных элементов или групп элементов, имеющую реальное физическое значение и такого рода, что числовое выражение для нее было бы инвариантным.

Если континуум, с которым мы имеем дело, — это тот, в котором «расстояние» между двумя элементами обладает смыслом, и если оказывается, что инвариантное выражение для этого расстояния не является пифагоровым, а указывает на неевклидовость нашего континуума, мы говорим, что этот континуум имеет «кривизну». Это означает, что если мы интерпретируем элементы нашего континуума как точки в пространстве (что, конечно, мы можем правильно сделать) и если мы затем попытаемся наложить этот точечный континуум на евклидов континуум, он «не пойдет»; мы попадем в нелепость, подобную попытке заставить сферу совпасть с плоскостью. И, конечно, если он не идет, единственная возможная причина в том, что он искривлен или искажен, подобно сфере, таким образом, чтобы препятствовать его наложению. К сожалению, визуализация такой кривизны требует визуализации дополнительного измерения, в которое искривленный континуум мог бы искривляться; так что, хотя мы можем легко представить искривленную поверхность, мы не можем представить искривленное трехмерное или четырехмерное пространство. Но это барьер только для визуализации, и ни в коем случае не для понимания.

Наш мир четырех измерений

Будет замечено, что теперь у нас есть гораздо более широкое определение неевклидовости, чем то, которое служило нам для исследования постулата о параллельных прямых Евклида. Если мы можем по желанию принять этот постулат или заменить его другим и отличным от него, мы можем, по-видимому, сделать то же самое для любого другого или любых других постулатов Евклида. Само утверждение о том, что расстояние между элементами континуума должно обладать смыслом и быть измеримым путем рассмотрения пути в континууме, который включает другие элементы, является допущением. Если мы отбросим его полностью или заменим его допущением, что центром интереса является какое-то другое совместное свойство элементов, а не их расстояние, мы получим неевклидову геометрию. Так и для любого другого постулата Евклида; все они необходимы для евклидовой системы, и при отсутствии любого из них мы получаем неевклидову систему.

Теперь четырехмерный пространственно-временной континуум Минковского явно относится к такому сорту, который должен сделать измеримым разделение между двумя его событиями. Мы можем переходить от одного элемента к другому в этом континууме — от одного события к другому — проходя путь, включающий «последовательные» события. Сама наша жизнь состоит именно в этом: мы переходим от начального события нашей карьеры к конечному событию, проходя путь, ведущий нас от события к событию, непрерывно и одновременно меняя наши временные и пространственные координаты в процессе. И хотя мы не привыкли измерять что-либо, кроме пространственного интервала между двумя событиями и временного интервала между двумя событиями, отдельно, я думаю, достаточно ясно, что, рассматриваемые как события, как элементы в мире четырех измерений, существует меньшее разделение между двумя событиями, которые происходят в моем кабинете в один и тот же день, чем между двумя, которые происходят в моем кабинете с разницей в год; или между двумя событиями, происходящими с разницей в 10 минут, когда оба происходят в моем кабинете, чем когда одно происходит там, а другое в Лондоне или на Бетельгейзе.

Совершенно не является неразумным, a priori, искать числовую меру для разделения в пространстве-времени четырех измерений двух событий. Если мы найдем ее, нас, несомненно, спросят, каково ее субъективное значение для нас. На это нужно ответить с некоторой осторожностью. По-видимому, это будет нечто такое, что мы не можем наблюдать только с помощью зрительного чувства, иначе это заставило бы обратить на себя внимание тысячи лет назад. Это должно быть, я полагаю, нечто такое, что мы ощущали бы, используя одновременно зрительное чувство и чувство течения времени. На самом деле, я мог бы вполне правдоподобно настаивать на том, что своими замечаниями об этом в предыдущем абзаце я уже ощутил это.

Минковского, однако, не беспокоила эта фаза вопроса. Ему нужно было только идентифицировать инвариантное выражение для расстояния; ощущение его могло подождать. Он обнаружил, конечно, что это выражение не является евклидовым выражением для четырехмерного интервала. Он отбросил несколько евклидовых допущений и не мог ожидать, что постулат, регулирующий метрические свойства пространства Евклида, сохранится. Особенно он нарушил евклидовы каноны, отбросив вместе с Эйнштейном представление о том, что ничто, что может случиться с измерительной линейкой в виде равномерного поступательного движения на высокой скорости, не может повлиять на ее измерения. Поэтому он должен был быть готов обнаружить, что его геометрия является неевклидовой; однако удивительно узнать, насколько незначительно она отклоняется от геометрии Евклида. Без какого-либо пространного обсуждения в поддержку этого утверждения мы можем сказать, что он обнаружил, что когда два наблюдателя измеряют временные и пространственные координаты двух событий, используя допущения и, следовательно, методы Эйнштейна и, таким образом, подчиняясь условию, что их измерения чисто временного интервала и чисто пространственного интервала между этими событиями не обязательно будут одинаковыми, они обнаружат, что оба получают одно и то же значение для выражения. Если бы наше принятие этого в качестве числовой меры разделения в пространстве-времени между двумя событиями привело к противоречию, мы не могли бы так принять его. Однако противоречия не возникает, и поэтому мы можем принять его. И математик сразу же готов с некоторыми интерпретирующими замечаниями.

Кривизна пространства-времени

Инвариантное выражение для разделения, как будет видно, имеет ту же форму, что и евклидов четырехмерный инвариант, за исключением знака минус перед разностью времени (появление константы C в связи с временной координатой t — это просто корректировка единиц; см. стр. 153). Это говорит нам о том, что геометрия пространственно-временного континуума является неевклидовой не только в своих методах измерения, но и в своих результатах, в той степени, в которой она обладает кривизной. Она соотносится с евклидовым четырехмерным континуумом примерно так же, как сферическая поверхность соотносится с плоскостью. На самом деле, более поучительной аналогией здесь была бы аналогия между цилиндрической поверхностью и плоскостью, хотя ни одна из них не является вполне точной. Чтобы прояснить это, требуется небольшое обсуждение элементарного понятия, которое нам еще не приходилось рассматривать.

Наше трехмерное существование часто сводится для всех практических целей к двухмерному. Объекты и события определенной комнаты могут быть вполне удовлетворительно определены путем мышления о них не как о расположенных в пространстве, а как о лежащих на полу комнаты. Математически оправдание этой точки зрения получается путем утверждения, что мы решили рассмотреть срез нашего трехмерного мира того рода, который мы знаем как плоскость. Когда мы рассматриваем эту плоскость и точки в ней, мы обнаруживаем, что взяли поперечное сечение трехмерного мира. Линия в этом мире теперь сводится для нас к одной точке — точке, где она пересекает нашу плоскость; плоскость сводится к линии — линии, где она пересекает нашу плоскость; сам трехмерный мир сводится к нашей плоскости. Все трехмерное падает в свою тень на нашей плоскости, теряя в процессе то из трех измерений, которое не присутствует в нашей плоскости.

Для простоты обычно берут поперечное сечение пространства, параллельное одной из наших координатных осей. Мы думаем о наших трех измерениях как о простирающихся в направлениях этих осей; и легче взять горизонтальный или вертикальный срез, который просто уничтожит одно из этих измерений, чем взять косой срез, который уничтожит измерение, состоящее частично из нашей первоначальной длины, частично из нашей первоначальной ширины и частично из нашей первоначальной высоты.

Если у нас есть четырехмерное многообразие для начала, мы можем в равной степени вытряхнуть одно из четырех измерений, одну из четырех координат, и рассматривать трехмерный результат этого процесса как поперечное сечение исходного четырехмерного континуума. И там, где при сечении трехмерного мира у нас есть только три выбора координаты для исключения, при сечении мира четырех измерений у нас есть четыре выбора. Отбрасывая x, или y, или z, или t, мы получаем трехмерное поперечное сечение.

Теперь наше привычное трехмерное пространство строго евклидово. Когда мы делаем его поперечное сечение, мы получаем евклидову плоскость, независимо от направления, в котором мы делаем разрез. Точно так же евклидова плоскость полностью евклидова, потому что, когда мы делаем ее поперечное сечение в любом направлении, мы получаем евклидову линию. Цилиндрическая поверхность, с другой стороны, не является ни полностью евклидовой, ни полностью неевклидовой в этом вопросе поперечного сечения. Если мы делаем срез в одном направлении, мы получаем евклидову линию, а если мы делаем срез в другом направлении, мы получаем круг (если цилиндрическая поверхность является круговой). И, конечно, если мы делаем косой срез любого рода, это ни линия, ни круг, а компромисс между ними — примечательно то, что это все еще не евклидова линия.

Пространственно-временной континуум представляет аналогичную ситуацию. Когда мы делаем его поперечное сечение, отбрасывая любую из трех пространственных измерений, мы получаем трехмерный комплекс, в котором формула расстояния все еще неевклидова, сохраняя знак минус перед разностью времени и, следовательно, сохраняя геометрический характер своего родителя. Но если мы делаем наше поперечное сечение таким образом, чтобы исключить временную координату, эта особенность исчезает. Знаки в инвариантном выражении тогда все плюс, и поперечное сечение является, по сути, нашим привычным евклидовым трехмерным пространством.

Если мы установим поверхностную геометрию на сфере, мы обнаружим, что исключение одного измерения оставляет нас с линейной геометрией, которая все еще неевклидова, поскольку она относится к большим кругам сферы, а не к евклидовым прямым линиям. При встряхивании континуума Минковского в трехмерный путем исключения любой из его координат, если мы исключаем x, y или z, у нас остается трехмерная геометрия, в которой все еще встречается тревожный знак минус в формуле расстояния, и которая поэтому все еще неевклидова. Если мы опускаем t, этого не происходит. Мы видим, таким образом, что временное измерение является тревожным фактором, тем, который придает пространству-времени его неевклидов характер, насколько это касается обладания кривизной. И мы видим, что эта кривизна не одинакова во всех направлениях, а в одном направлении фактически равна нулю — откуда и попытка аналогии с цилиндром вместо сферы.

Многие авторы по теории относительности пытаются придать пространственно-временному континууму привлекательность для нашего разума и характер неизбежности, настаивая на отсутствии какого-либо фундаментального различия между пространством и временем. Само выражение для пространственно-временного инварианта отрицает это. Время отличимо от пространства. Три измерения пространства совершенно неотличимы — мы можем менять их местами, не влияя на формулу, мы можем отбросить одно и никогда не узнать, какое исчезло. Но сама формула выделяет время как отличное от пространства, как внутренне другое в каком-то смысле. Оно не настолько внутренне другое, как мы всегда полагали; оно недостаточно другое, чтобы создать какое-либо препятствие для нашего мышления в терминах четырехмерного континуума. Но хотя мы можем группировать пространство и время вместе таким образом, [это вовсе не означает, что пространство и время перестают различаться. Повар может смешать мясо с картофелем и назвать продукт рагу, но мясо и картофель от этого не становятся идентичными.] 223

Вопрос визуализации

У обывателя возникает большой соблазн сказать, что, хотя, математически говоря, пространственно-временной континуум может быть большим упрощением, он на самом деле не представляет внешний мир. Конечно, вы не можете видеть пространственно-временной континуум точно так же, как трехмерный пространственный континуум, но это только потому, что Эйнштейн находит временное измерение не совсем свободно взаимозаменяемым с пространственным измерением. Тем не менее, вы воспринимаете этот пространственно-временной континуум способом, подходящим для его восприятия; и было бы так же разумно выбросить сам пространственный континуум на том основании, что восприятие этих двух не является точно такого же рода, как выбросить пространственно-временной континуум на этом основании. При соответствующих конвенциях любой из них может служить ментальной картиной внешнего мира; нам выбирать, какой из них является более удобным и полезным образом. Эйнштейн говорит нам, что его образ лучше, и говорит нам почему.

Прежде чем мы вникнем в это, мы должны позволить ему рассказать нам кое-что еще о геометрии его континуума. То, что он говорит нам, по сути, просто это. Наблюдатель в чистом пространственном континууме трех измерений обнаруживает, что по мере изменения его положения его право-лево, его назад-вперед и его вверх-вниз не являются фиксированными направлениями, присущими природе, а полностью взаимозаменяемы. Наблюдатели на приложенном эскизе, чьи вертикали указаны стрелками, находят очень разные вертикальные и горизонтальные компоненты для расстояния между точками O и P; аналогичная ситуация преобладала бы, если бы мы использовали все три пространственных направления. Утверждение, аналогичное этому для четырехмерного континуума пространства и времени Эйнштейна в сочетании

заключается в том, что по мере того, как наблюдатели меняют свое относительное движение, их временные оси принимают немного разные направления, так что то, что является чисто пространственным или чисто временным для одного, становится пространством с небольшой компонентой во временном направлении или временем с небольшой компонентой в пространственном направлении для другого. Это, как будет видно, полностью объясняет, почему наблюдатели в относительном движении могут расходиться во мнениях относительно измерений пространства и времени. Мы не должны удивляться, если два наблюдателя на рисунке сообщили о разных значениях для горизонталей и вертикалей; мы должны осознать, что то, что было вертикальным для одного, стало частично горизонтальным для другого. Точно так же, говорит Эйнштейн, обстоит дело с его наблюдателями времени и пространства, которые находятся в относительном движении друг к другу; то, что один видит как пространство, другой видит как частично время, потому что их временные оси не идут совсем параллельно.

Естественный вопрос здесь, конечно: «Ну, где же их временные оси?» Если вы знаете, что искать, конечно, вы должны быть в состоянии воспринимать их точно так же, как вы воспринимаете обычные временные интервалы — с оговоркой, что они, в конце концов, воображаемые, точно так же, как ваши пространственные оси, и что вы должны ожидать увидеть их только в воображении. Если вы ищете четвертую ось в евклидовом трехмерном пространстве, чтобы представить свою временную ось, вы, конечно, не найдете ее. Но вы во всех отношениях согласитесь со мной, что ваше время течет в определенном направлении; и именно это определяет вашу временную ось. Эйнштейн добавляет, что если вы и я находимся в относительном движении, мое время течет не совсем в том же направлении, что и ваше.

Как мы это докажем? Ну, как бы мы это доказали, если бы он сказал нам, что наши пространственные оси не идут в точности в одном и том же направлении? Конечно, мы не могли бы действовать путем прямых измерений самих осей; мы знаем, что они воображаемые. Что мы должны были бы сделать, так это провести, каждый из нас, очень длинную линию в том, что казалось истинным горизонтальным направлением; и мы должны были бы надеяться, что если мы сделаем их достаточно длинными и измерим их достаточно точно, мы сможем обнаружить любое расхождение, которое могло бы существовать. Это именно то, что мы должны сделать с нашими временными осями, если мы хотим проверить утверждение Эйнштейна о том, что они не являются в точности параллельными; и какое лучшее доказательство истинности этого утверждения мы могли бы потребовать, чем уже представленное доказательство — что когда мы измеряем наши соответствующие временные компоненты между двумя событиями, мы получаем разные результаты?