«Теории относительности и тяготения Эйнштейна»

Относительность и реальность

Простое вычисление показывает, что этот эффект в точности равен величине, предложенной Лоренцем и Фицджеральдом для объяснения эксперимента Майкельсона-Морли. Это не должно нас удивлять, поскольку и то, и другое объяснение созданы с одной и той же целью. Если они оба достигают этой цели, они должны численно сводиться к одному и тому же в любом числовом случае. Однако следует самым решительным образом настаивать на том, что нынешнее «сокращение» длин больше не представляется как «физическое» сокращение, вызванное абсолютным движением через эфир, а является просто результатом наших методов измерения пространства и времени. Там, где Фицджеральд и Лоренц предполагали, что движущееся тело сокращает свои размеры в направлении своего движения, эта самая форма утверждения перестает обладать значимостью в рамках допущения относительности. Ибо если мы не можем сказать, какое из двух тел движется, какое из них сокращается? Ответ: оба — для другого наблюдателя. Для каждой системы отсчета существует шкала длины и шкала времени, и эти шкалы для разных систем связаны образом, включающим как длину, так и время. Но мы не должны поддаваться искушению сказать, что все это нереально; ограничение определенной шкалы длины и времени одной системой наблюдения ни в малейшей степени не делает ее нереальной. Ситуация реальна — так же реальна, как и любое другое физическое событие.

Слово «физический» используется в двух смыслах в приведенном выше абзаце. Отрицается, что наблюдаемая изменчивость длин указывает на какое-либо «физическое» сжатие или сокращение; и вслед за этим утверждается, что эта наблюдаемая изменчивость сама по себе является фактическим «физическим» событием. Трудно выразить словами различие между двумя смыслами, в которых термин «физический» используется в этих двух утверждениях, но я думаю, что это различие должно стать ясным, как только будет подчеркнуто его существование. Материального сжатия нет; неправильно говорить, что объекты в движении сжимаются или становятся короче; они не становятся короче для наблюдателя, движущегося вместе с ними. Все это — феномен наблюдения. Определения, которые мы обязаны установить, и допущения, которые мы обязаны сделать для того, чтобы, во-первых, мы могли вообще измерять, и, во-вторых, чтобы мы могли избежать недопустимого понятия абсолютного движения, таковы, что некоторые реальности, которые, как мы предполагали, должны быть одинаковыми для всех наблюдателей, оказываются не одинаковыми для наблюдателей, находящихся в относительном движении друг относительно друга. Мы выяснили это и нашли числовое соотношение, которое существует между реальностью одного наблюдателя и реальностью другого. Мы обнаружили, что это соотношение не зависит ни от чего, кроме относительной скорости двух наблюдателей. Хороший способ подчеркнуть это — указать, что два наблюдателя, которые имеют одинаковую скорость по отношению к исследуемой системе (и чья взаимная относительная скорость, следовательно, равна нулю), всегда будут получать одинаковые результаты при измерении длин и времен в этой системе. Объект не проходит через какой-либо процесс сжатия; он просто короче, потому что его наблюдают со станции, по отношению к которой он движется. Подобные замечания можно было бы сделать и о временном эффекте; но временной интервал не так легко визуализировать как конкретную вещь, и поэтому он не предлагает такого искушения для небрежного утверждения.

Чисто относительный аспект этого вопроса еще более проясняется, если мы рассмотрим один пример как в обратном, так и в прямом направлении. Системы S и S′ находятся в относительном движении. Объект в S, который для наблюдателя в S имеет длину L единиц, короче для наблюдателя в S′ — короче на величину, указываемую через «поправочный коэффициент» K. Теперь, если мы в первом случае сделали нежелательное утверждение, что объекты короче в системе S′, чем они есть в S, нам будет вполне естественно сделать из этого вывод, что объекты в S должны быть длиннее, чем те, что в S′; и из этого утверждать, что когда наблюдатель в S измеряет объекты, лежащие в S′, он получает для них большие длины, чем домашний наблюдатель в S′. Но если мы в первом случае избежали упомянутого нежелательного утверждения, мы будем гораздо лучше способны осознать, что все это дело вполне взаимно; что явления симметричны по отношению к двум системам, до такой степени, что мы можем менять системы местами в любом из наших утверждений, не изменяя утверждения каким-либо иным образом.

Объекты в S кажутся короче, а времена в S кажутся длиннее внешнему «движущемуся» наблюдателю в S′, чем они кажутся домашнему наблюдателю в S. Точно так же объекты в S′ кажутся короче наблюдателям во внешней системе S, чем домашнему наблюдателю в S′, который остается в покое по отношению к ним. Я думаю, что когда мы получаем правильный взгляд на эту ситуацию, она теряет тот предполагаемый поразительный характер, который был навязан ей многими авторами. «Кажущийся размер» астронома — это аналогия по существу. Объекты на Луне, в силу их огромного расстояния, выглядят меньше для наблюдателей на Земле, чем для наблюдателей на Луне. Выглядят ли объекты на Земле из-за этого больше для наблюдателя на Луне, чем для нас? Они не выглядят; любое предположение, что они выглядят, мы должны встретить с соответствующим презрением. Изменение размера, вызванное расстоянием, взаимно, и эта взаимность нисколько не смущает нас. Почему же тогда то, что вызвано относительным движением, должно смущать нас?

Время и пространство в одном пакете

Наши старые, привычные концепции времени и пространства, которые выросли за бесчисленные поколения наших предков и были переданы нам в том виде, в котором мы с ними знакомы, не оставляют места для условия, при котором временные интервалы и пространственные интервалы не являются повсеместно фиксированными и инвариантными. Они не оставляют нам места для того, чтобы сказать, что нельзя знать время, пока не знаешь, где находишься, ни где находишься, пока не знаешь время, ни время, ни место, пока не знаешь что-то о скорости. Но в этой краткой формулировке различия между тем, во что мы всегда верили, и тем, что мы увидели как одно из следствий постулатов Эйнштейна об универсальной относительности равномерного движения, мы можем сразу же обнаружить допущение, которое, лежа в основе всех старых идей, является корнем всех проблем. Дело в том, что мы всегда предполагали, что время и пространство — это абсолютно различные и независимые сущности.

Концепция времени всегда была одной из самых абсолютных среди всех категорий. Это правда, что в понятии времени много таинственного; и философы потратили много усилий, пытаясь прояснить эту тайну — с неудовлетворительными результатами. Однако большинству людей казалось возможным принять произвольную меру или единицу длительности и сказать, что она абсолютна, независимо от состояния тела или тел, на которых она используется для практических целей. Время, таким образом, рассматривалось как нечто, что само по себе течет регулярно и непрерывно, независимо от физических событий, касающихся материи. Другими словами, согласно этому взгляду, время не зависит от условий или движений в пространстве. Мы сознательно решили игнорировать тот очевидный факт, что время никогда не может предстать перед нами, быть измеренным нами или иметь для нас хоть малейшее значение, кроме как мера чего-то, что тесно связано с пространством и материальными пространственными измерениями. Мы не только предполагали, что время и пространство разделены в природе, как и в наших простейших восприятиях, но мы предполагали, что они имеют настолько фундаментально различный характер, что их невозможно связать вместе. Никаким образом, предполагает евклидов и ньютоновский интеллект, пространство никогда не может зависеть от времени, а время — от пространства. Это то допущение, которое мы должны устранить, чтобы достичь универсальной относительности; и хотя это может быть трудно, это будет не так трудно, как альтернатива. Ибо эта альтернатива — не что иное, как отказ от универсальной относительности. Этот путь оставил бы нас с логическими противоречиями и несоответствиями, которые не могли бы быть разрешены никаким пересмотром фундаментальных концепций или очисткой авгиевых конюшен старых допущений; тогда как доктрина относительности, построенная Эйнштейном, требует только такой очистки, чтобы оставить нас с строго логичным и последовательным целым. Роль Геракла — очень трудная для нас роль. Эйнштейн сыграл ее для человечества в целом, но каждый из нас должен последовать за ним, сыграв ее для себя.

Некоторые дальнейшие следствия

Мне нет нужды вторгаться в предметную область тех эссе, которые представлены полностью, вдаваясь здесь в какие-либо детали относительно того, как время и пространство в конечном итоге оказываются зависящими друг от друга и образующими части единого универсального целого. Но я могу уместно отметить, что если время и пространство оказываются относительными, мы, безусловно, можем ожидать, что некоторые из менее фундаментальных концепций, которые зависят от них, также будут относительными. В этом ожидании мы не разочарованы. Во-первых, масса всегда считалась константой, не зависящей от какого-либо движения или энергии, которыми она могла бы обладать. Однако, точно так же, как длины и времена зависят от относительного движения, обнаруживается, что масса, которая является оставшимся фактором в выражении для энергии, обусловленной движением, также зависит от относительных скоростей. Зависимость такова, что если тело приобретает количество энергии E по отношению к определенной системе, тело ведет себя, согласно измерениям, сделанным из этой системы, так, как если бы его масса увеличилась на величину, где C, как обычно, является скоростью света.

Это не должно нас пугать. Ключ к ситуации лежит в выделенных курсивом словах выше, которые указывают на то, что ответ на вопрос, приобрело ли тело энергию или нет, зависит от места наблюдения. Если я займу свое место в системе S, а вы — в системе S′, и если мы обнаружим, что находимся в относительном движении, мы должны сделать некоторое допущение относительно энергии, которая была необходима изначально, чтобы привести нас в это состояние. Предположим, мы находимся в двух проходящих поездах. Скорее всего, каждый из нас будет предполагать, что он находится в покое, а движется другой поезд, хотя, будучи достаточно искушенным, один из нас может предположить, что он движется, а другой поезд находится в покое. Каким бы ни было наше допущение, какой бы ни была система, локализация энергии, которая переносится в скрытой форме нашими системами, зависит от этого допущения. Действительно, если наши системы имеют разную массу, наши допущения будут даже определять наши представления о количестве энергии, которое представлено нашим относительным движением; если ваша система более массивная, в ней должно было бы быть локализовано больше энергии, чем в моей, чтобы произвести наше относительное движение. Если бы у нас не было универсального принципа относительности, чтобы запретить это, мы могли бы сделать произвольное допущение о наших движениях, а следовательно, и о наших соответствующих скрытых энергиях; в присутствии этого вето единственный шанс на корректировку заключается в наших массах, которые должны различаться в зависимости от того, наблюдаете ли их вы или я.

Для большинства скоростей, с которыми мы знакомы, является, подобно разнице между K и единицей, такой чрезвычайно малой величиной, что самые точные измерения не могут ее обнаружить. Но электроны в сильно эвакуированной трубке и частицы, выбрасываемые из радиоактивных материалов, достигают в некоторых случаях скоростей, равных восьми десятым скорости света. Когда мы измеряем массу таких частиц при разных скоростях, мы обнаруживаем, что она действительно увеличивается со скоростью, и в соответствии с вышеуказанным законом. Это наблюдение, по сути, предшествует объяснению Эйнштейна, которое гораздо более удовлетворительно, чем более раннее различие между «нормальной массой» и «электрической массой», которое использовалось для объяснения этого увеличения.

Но если величину следует рассматривать как фактическое увеличение массы, не может ли быть так, что вся масса — это энергия? Это привело бы к выводу, что энергия, запасенная в любой массе, равна. Значение очень велико, поскольку C очень велико; но оно находится в хорошем согласии с внутренней энергией атома, рассчитанной из других соображений. Очевидно, что закон сохранения массы и закон сохранения импульса не могут оба оставаться в силе в рамках теории, которая переводит одно в другое. Масса тогда не рассматривается Эйнштейном как консервативная в обычном смысле, но именно общее количество массы плюс энергии в любой замкнутой системе остается постоянным. Небольшие количества энергии могут быть преобразованы в массу, и наоборот.

Другие особенности теории, которые часто преподносятся как следствия, на самом деле больше похожи на допущения. Напомним, что когда мы договорились о необходимости использования сигналов какого-либо рода, мы выбрали в качестве средства сигнализации самого быстрого вестника, с которым нам довелось быть знакомыми. Наши последующие трудности были в значительной степени связаны с невозможностью внести надлежащую поправку на скорость этого вестника, даже если мы знали ее числовое значение; и, как следствие, эта скорость входит в наши формулы. Теперь мы не сказали прямо, что C — это наибольшая достижимая скорость, но мы молчаливо предположили, что это так. Мы не должны, поэтому, удивляться, если наши формулы дают нам абсурдные результаты для скоростей выше C и указывают на невозможность когда-либо достичь их. Что бы мы ни вложили в задачу, алгебра обязательно вернет нам это обратно. Если мы посмотрим на нашу формулу для K, мы увидим, что в случае, если v равно C, длины становятся равными нулю, а времена — бесконечными. Сам световой вестник, следовательно, не имеет измерения; и для него время стоит на месте.

Если мы предположим, что v больше C, мы получим еще более причудливые результаты, ибо тогда коэффициент K является квадратным корнем из отрицательного числа, или, как называет его математик, «мнимой» величиной; и вместе с ним длины и времена также становятся мнимыми.

Тот факт, что время останавливается для него, и тот факт, что это предельная скорость, придают C некоторые атрибуты математической бесконечности. Конечно, если она никогда не может быть превышена, мы должны иметь новую формулу для сложения скоростей. Иначе, когда моя система проходит мимо вашей со скоростью 100 000 миль в секунду, в то время как ваша проходит мимо третьей в том же направлении с той же скоростью, я буду проходить мимо этой третьей системы отсчета с запрещенной скоростью 200 000 миль в секунду — больше, чем C. На самом деле Эйнштейн может показать, что старая формула, которая, как уже было обнаружено, связывает скорость света в материальной среде со скоростью этой среды, теперь будет служить универсально для сложения скоростей. Когда мы комбинируем скорости v и u, вместо получения равнодействующей, как мы предполагали, мы получаем равнодействующую или

Это тоже не должно нас удивлять, если мы только поразмыслим, что вторая скорость производит вторую корректировку измерений длины и времени между вовлеченными системами. И теперь, если мы позволим либо v, либо u, или даже обоим им принять значение C, равнодействующая все равно будет C. Другим способом мы обнаружили, что C ведет себя как математическая бесконечность, к которой, по словам слепого поэта, если мы добавим несметные тысячи, мы не произведем никакого реального приращения.

Допущение и следствие

Довольно много корреспондентов, которые уделили предмету достаточно внимания, чтобы понять, что предельный характер скорости C действительно вносится в систему Эйнштейна путем допущения, написали в более или менее встревоженном запросе, чтобы узнать, не делает ли это недействительной всю структуру. Ответ, конечно, да — при условии, что вы можете доказать, что это допущение недействительно. Тот же ответ можно дать на любую научную доктрину вообще и в отношении любого из множества допущений, лежащих в ее основе. Если бы мы завтра обнаружили способ посылать сигналы абсолютно мгновенно, вся структура Эйнштейна рухнула бы, как только мы договорились бы использовать этот новый метод. Если бы мы обнаружили сигнальный агент с конечной скоростью, превышающей скорость света, относительность сохранилась бы с этой скоростью, записанной в ее формулах вместо C.

Ошибка — цитировать теорию Эйнштейна в поддержку утверждения, что такая скорость невозможна. Допущение доказывает свои следствия, но никогда не может доказать само себя; оно всегда должно оставаться допущением. Но в присутствии долгого человеческого опыта, подтверждающего допущение Эйнштейна о том, что никакая скорость, превышающая C, не может быть найдена, справедливо требовать, чтобы оно оспаривалось не аргументами, а демонстрацией. Единственная линия аргументации, которая давала бы априорную надежду на сведение допущения к абсурду, была бы основана на привычной идее сложения скоростей; но Эйнштейн пресек этот аргумент еще до его начала, заменив прямое сложение скоростей другим методом их комбинирования, который соответствует его допущению, а также наблюдаемым фактам. Бремя доказательства лежит на обвинении; любой, кто хотел бы противоречить нашему утверждению, что C — это наибольшая достижимая скорость, может сделать это, только показав нам большую. Пока это не сделано, признание того, что это может быть должным образом предпринято, никоим образом не может быть истолковано как признание слабости со стороны Эйнштейна.

Возможно, стоит отметить, что ни в коем случае нельзя проводить аналогию со звуком, как многие пытались сделать. Во-первых, звук требует материальной среды, и его скорость по отношению к этой среде, а не относительно наблюдателя, как мы знаем, фиксирована; во-вторых, требуя материальной среды, звук не является универсальным сигнальным агентом; в-третьих, мы определенно знаем, что его скорость может быть превышена, и поэтому нам запрещено делать допущение, необходимое для установления аналогии. Весьма необычное поведение света, представляющего скорость, которая одинакова для всех наблюдателей, и отказывающегося выдать хоть малейшее материальное доказательство какой-либо среды для своего распространения, скорее укрепляет нас в убеждении, что допущение Эйнштейна относительно предельного характера этой скорости согласуется с природой вещей.

Относительность и мирянин

Многое можно сказать в направлении общих комментариев, делающих специальную теорию и ее удивительные дополнения более легкими для принятия, и мы завершим настоящее обсуждение, сказав некоторые из этих вещей. Возражали, что различные эффекты, перечисленные выше, являются только кажущимися, из-за конечной скорости света — что реальная форма и размер тела или реальное время события не могут зависеть от точки зрения или движения наблюдателя. Этот аргумент был бы совершенно верным, если бы существовали реальные времена и расстояния; но их нет. Это приземленные понятия, обусловленные нашим опытом на кажущейся неподвижной платформе, с медленно движущимися телами. При этих обстоятельствах разные наблюдения одной и той же вещи или одного и того же события согласуются. Но когда у нас больше нет твердой земли под ногами и мы имеем дело со скоростями настолько высокими, что эффекты относительности становятся заметными, нет стандарта, по которому можно было бы разрешить разногласия. Ни одно из наблюдений не может претендовать на то, чтобы быть ближе к реальности, чем любое другое. Требовать реального размера вещи — значит требовать неподвижного наблюдателя или мгновенного средства получения информации. И то, и другое невозможно.

Когда относительность просит нас отказаться от наших приземленных представлений об абсолютном пространстве и абсолютном времени, ощущение поначалу такое, что у нас не осталось ничего, на чем можно стоять. Так, должно быть, чувствовали себя современники Колумба, когда им говорили, что Земля покоится на... ничем. Лекарство тоже похоже. Точно так же, как их нужно было учить, что падение — это локальное дело, что Земля самодостаточна и не нуждается во внешней поддержке, — так и нас нужно учить, что стандарты пространства и времени — это локальные дела. Каждое движущееся тело несет свои собственные стандарты пространства и времени с собой; оно самодостаточно. Ему не нужно тянуться за вечной поддержкой, за абсолютным пространством и временем, которые никогда не могут быть достигнуты. Все, что нам когда-либо нужно знать, — это отношение стандартов пространства и времени другого человека к нашим собственным. Это первое, чему учит нас относительность.

Следствия допущений Эйнштейна привели многих к отказу от теории относительности на том основании, что ее выводы противоречат здравому смыслу — как они, несомненно, и делают. Но для современников Коперника и Галилея теория о том, что Земля вращается вокруг своей оси и обращается вокруг Солнца, противоречила здравому смыслу; однако эта теория победила. В здравом смысле нет ничего священного; в конечном счете его суждения основаны на накопленном опыте человеческого рода. С начала мира до нынешнего поколения не было известно тел, чьи скорости не были бы чрезвычайно малы по сравнению со скоростью света. Развитие современной физики привело к открытию гораздо больших скоростей, некоторые из которых достигают 165 000 миль в секунду. Не стоит удивляться, что такое расширение нашего опыта требует соответствующего расширения или обобщения концепций пространства и времени. Точно так же, как допущение первобытного человека о том, что Земля плоская, пришлось отбросить в свете прогрессирующих знаний, так и мы теперь призваны отказаться от нашего допущения о том, что пространство и время абсолютны и независимы по своей природе.

Читатель не должен ожидать понимания теории относительности в смысле приведения ее в соответствие со своими предыдущими идеями. Если теория верна, эти идеи неверны и должны быть изменены, процесс, который может быть болезненным. Все, что может сделать читатель, — это ознакомиться с новыми концепциями, точно так же, как ребенок привыкает к простым отношениям и величинам, которые он встречает, пока не «поймет» их. Г-н Фрэнсис сказал нечто чрезвычайно значимое, когда отметил, что «понимание» на самом деле не означает ничего в мире, кроме знакомства и привычки. Единственное, что в доктрине относительности мы можем надеяться таким образом понять сразу и без боли, — это логический процесс, используемый при получении наших результатов. Особенно трудно дать удовлетворительное объяснение теории на популярном языке, потому что сам язык основан на старых концепциях; единственный язык, который действительно адекватен, — это язык математики. Если у нас нет, в дополнение к терминам нашего обычного знания, набора определений, который приходит с широким знанием математики и живым чувством реальности математических конструкций, мы, вероятно, будем рассматривать теорию относительности сквозь туман привычных терминов, внезапно ставших самопротиворечивыми и обманчивыми. Не то чтобы мы не были знакомы с идеей, что некоторые из наших привычных представлений могут быть неверными; но знание их иллюзорной природы возникает и становится убедительным только со временем. Мы, возможно, теперь готовы признать, что Земля, кажущаяся такой твердой, на самом деле является вращающимся шаром, несущимся сквозь пространство; но мы не более готовы немедленно принять голое утверждение, что это пространство не то, чем кажется, чем наши предки были готовы принять идею о том, что Земля круглая или что она движется. Что нам нужно, если мы хотим постичь относительность с какой-либо степенью тщательности, — это отношение математика к своим допущениям и его полная готовность поменять один набор допущений на другой как простую часть повседневной работы, дух чего я попытался передать в главе о неевклидовой геометрии.

Физика против метафизики

[Идеи относительности на первый взгляд могут показаться попыткой предложить нам новую метафизическую теорию времени и пространства. Безусловно, новую; но автор теории, несомненно, стремился к тому, чтобы она была полной противоположностью метафизики. Наше реальное восприятие пространства основано на измерении — действительном или воображаемом — расстояний между объектами, точно так же, как наше реальное восприятие времени основано на измерении. Разве не менее метафизично принимать пространство и время такими, какими их представляют нам наши измерения, чем изобретать гипотезы, чтобы втиснуть наше перцептивное пространство в абсолютное пространство, которое навсегда скрыто от нас?] 182 [Чтобы не впадать в метафизику, мы должны отбросить наши предвзятые представления о пространстве, времени и движении и сосредоточить внимание на показаниях наших приборов наблюдения, поскольку они являются единственными объективными проявлениями этих качеств и, следовательно, единственными атрибутами, которые мы можем рассматривать как функции наблюдаемых явлений.] 47 [Эйнштейн последовательно следовал урокам опыта и полностью освободился от метафизики.] 114 [То, что это не всегда легко сделать, ясно, я думаю, если мы вспомним весьма метафизический характер, который часто принимали возражения против теорий и концепций дальнодействия; и если мы напомним себе, что именно по чисто метафизическим соображениям Ньютон отказался признать волновую теорию света Гюйгенса. Ведет ли нас метафизическое рассуждение к верным выводам, как в одном случае, или к ложным, как в другом, — это то, чего следует избегать. Эйнштейн, я полагаю, избежал этого настолько тщательно, насколько это вообще возможно.]*

V

ЭТОТ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПОСТУЛАТ

Современные геометрические методы; разграничительная линия между евклидовой и неевклидовой геометрией; и значение последней

ОТ РЕДАКТОРА

Геометрия как наука претерпела революцию, о которой не осведомлен сторонний наблюдатель, но которую необходимо понять, если мы хотим достичь хоть какого-то понимания геометрической формулировки результатов Эйнштейна; и особенно если мы хотим оценить, почему вообще уместно и желательно формулировать эти результаты геометрически. Классический геометр рассматривал свою науку с узкой точки зрения, как изучение определенного набора наблюдаемых явлений — явлений пространства вокруг нас, рассматриваемого как сущность сама по себе, отделенная от всего, что в ней находится. Очевидно, что некоторые вещи в этом пространстве не таковы, какими кажутся (оптические иллюзии), а другие верны, но отнюдь не очевидны (свойство суммы квадратов прямоугольного треугольника, формулы площади поверхности и объема сферы и т. д.). Хотя многое в пространстве «очевидно», в одном случае это требует опровержения, а в другом — открытия и доказательства. При всей их любви к мыслительным процессам ради них самих, неудивительно, что греки поставили перед собой задачу доказать логическим путем свойства пространства, которые менее вдумчивый народ счел бы предметом лишь для наблюдательного и экспериментального определения.

Но, абстрактная или конкретная, логическая структура должна иметь отправную точку; и справедливо требовать, чтобы она состояла в изложении терминов, которые мы собираемся использовать, и значений, которые мы собираемся им придать. Иными словами, первым пунктом программы будет определение, или, что более вероятно, несколько определений.

Современный ученый придерживается несколько иконоборческой точки зрения на определения, особенно на определение своих самых фундаментальных идей.

Мы здесь не говорим о словарных определениях. Их цель — насущная необходимость объяснить значение и использование слова тому, кто только что встретил его впервые. Это достаточно легко сделать, если составитель хорошо владеет языком. Даже не является предметом серьезного беспокойства то, что слова, используемые в определении, сами по себе могут быть неизвестны читателю; если это так, он должен познакомиться и с ними. Знаменитое определение иглы доктора Джонсона служит вечным доказательством того, что, когда лексикограф не может определить простую вещь через еще более простые понятия, он вынужден определять ее через более сложные. Или мы могли бы продемонстрировать это, отметив, что лучшие словари вынуждены определять такие слова, как «и» и «но», используя такие сложные понятия, как «соединительный», «продолжительный», «противительный» и «частица».

Иначе обстоит дело с ученым, который берется дать определение в качестве основы для дальнейшей процедуры построения ткани своей науки. Здесь требуется такая степень строгой логики, которая была бы столь же излишней в словаре, сколь неуместными были бы там попытки ее достичь. Ученый, выстраивая логическую структуру, способную выдержать любой натиск, должен определять все не через то, о чем он более или менее обоснованно предполагает, что его аудитория знает, а фактически через вещи, которые уже были определены. Это действительно означает, что он должен объяснять, о чем говорит, через более простые идеи и более простые вещи, о чем лексикографу беспокоиться не нужно. Вот почему совершенно тривиально цитировать словарное определение времени, пространства, материи, силы или движения для разрешения спора научного или полунаучного характера.

Термины, которые мы не можем определить

Но ученый, который пытается реализовать эту идеальную систему определения всего через то, что предшествует, сталкивается с одним препятствием, которое он не может преодолеть напрямую. Даже дилетант может составить сносное определение сложной вещи, такой как параллелепипед, через более простые понятия, такие как точка, линия, плоскость и параллельность. Но кто определит точку через что-то более простое и что-то, что предшествует точке в формулировке геометрии? Ученый оказывается в затруднительном положении не при работе со сложными последующими частями своей работы, а в самом начале, при обращении к простейшим понятиям, с которыми ему приходится иметь дело.

Предположим, что словарь был бы составлен с определениями, расположенными в логическом, а не алфавитном порядке: каждое слово определяется только с использованием слов, которые уже были определены. Чем дальше назад к началу мы продвигаем этот проект, тем труднее он становится. Очевидно, что мы никогда не сможем определить первое слово или второе, кроме как синонимично первому. На самом деле нам понадобилось бы около дюжины слов для начала — богом данные слова, которые мы не можем определить и не будем пытаться определить, но относительно которых мы должны согласиться, что знаем их значение. Тогда у нас есть инструменты для дальнейшей процедуры; мы можем начать, скажем, с тринадцатого слова и определить все остальные слова языка в строго логической манере.

То, что мы сказали об определениях, в равной степени относится к утверждениям о фактах, которые составят тело нашей науки. При отсутствии более простых фактов, на которые можно сослаться как на авторитет, мы никогда не сможем ничего доказать, как бы просто это ни было само по себе; и, по сути, чем проще факт, тем труднее найти что-то более простое, что лежало бы в его основе. Если мы хотим иметь логическую структуру любого рода, мы должны начать с установления определенных терминов, которые мы не будем пытаться определить, и определенных утверждений, которые мы не будем пытаться доказать. Математика, физика, химия — в целом и во всех их многочисленных второстепенных областях — все они должны с чего-то начинаться. Вместо того чтобы обманывать себя относительно обстоятельств их начала, мы предпочитаем быть вполне откровенными, признавая, что они начинаются там, где мы решаем их начать. Если нам не нравится один набор неопределяемых терминов в качестве фундамента, давайте, безусловно, попробуем другой. Но у нас всегда должен быть такой набор.

Классический геометр чувствовал трудность определения своих первых терминов. Но он полагал, что справился с ней, когда определил их словами, лишенными технического значения. «Точка — это то, что имеет положение без размера» казалось ему адекватным определением, потому что «положение» и «размер» — это слова обычного языка, с которыми, как можно предположить, мы все знакомы. Но сегодня мы чувствуем, что «положение» и «размер» представляют идеи, которые не обязательно являются более фундаментальными, чем идеи «линии» и «точки», и что такое определение предрешает вопрос. Мы никуда не придем, заменяя неопределяемые термины «точка», «линия» и «плоскость», которые действительно все понимают, другими неопределяемыми терминами, которые никто не понимает лучше.

При обращении с фактами, которые было неудобно доказывать, классический геометр подошел ближе к современной практике. В самом начале он изложил несколько утверждений, которые назвал «аксиомами» и которые счел настолько самоочевидными, что доказательство было излишним. Тот факт, что термин «самоочевидный» оставлял место для огромного количества двусмысленности, по-видимому, полностью ускользнул от него. Его аксиомы были аксиомами исключительно потому, что они были очевидно истинными.

Закладка фундамента

Современный геометр соглашается с Евклидом, когда пишет элементарный учебник, удовлетворяя требование новичка к кажущейся строгости путем определения точки и линии каким-либо образом. Но когда он обращается к своим коллегам с попыткой прояснить основы геометрии до более высокой степени строгости и ясности, чем когда-либо прежде, он сталкивается с этими трудностями с другой стороны. Во-первых, он всегда находится в поиске максимально возможной общности, ибо нашел ее своим самым эффективным инструментом, позволяющим ему сделать так, чтобы одно общее утверждение заменило собой множество частных утверждений и выполняло их работу. Классический геометр достигал общности определенного рода, ибо все его утверждения касались любой точки, линии или плоскости. Но современный геометр, сталкиваясь с отношением, которое имеет место между точками или между точками и линиями, сразу же начинает размышлять, нет ли других элементов, между которыми или среди которых оно имеет место. Классического геометра этот вопрос вообще не интересует, потому что он ищет абсолютную истину о точках, линиях и плоскостях, которые он видит как элементы пространства; для него это фактически объект — так ограничить свои утверждения, чтобы они ни в коем случае не могли относиться к чему-либо, кроме этих элементов. В то время как современный геометр чувствует, что его главная забота — это ткань логических предложений, которую он выстраивает, а вовсе не элементы, вокруг которых вращаются эти предложения.

Очевидно, что ценно, если математик может сформулировать предложение, верное для точек, линий и плоскостей. Но он гораздо охотнее сформулирует предложение, верное одновременно и для них, и для множества других вещей; ибо такое предложение сгруппирует больше явлений под единым принципом. Он чувствует, что на чисто научных основаниях существует такой же интерес к любому набору элементов, к которым применяется его предложение, как и к любому другому; что если кто-то и должен ограничивать свое внимание набором, который представляет пространство физика, то этим человеком должен быть физик, а не геометр. Если он создал инструмент, который может использовать физик, физик может им пользоваться; но геометр не может понять, почему на этом основании его должны просить ограничить свое внимание материалами, на которых физик применяет этот инструмент.

Будет заявлено, что точки, линии и плоскости лежат в области математика, а другие вещи, к которым могут применяться его предложения, могут в ней не лежать — и особенно, что если он не назовет их заранее, он не может ожидать, что они будут в ней лежать. Но математик этого не признает. Если математика определяется на узких основаниях как наука о числе, то даже точка, линия и плоскость могут быть исключены из ее области. Если искать какое-либо более широкое определение — а, конечно, его нужно искать, — то есть только одно определение, которое примет математик: утверждение доктора Кайзера о том, что «математика — это искусство или наука строгого мышления».

Непосредственным предметом этой науки являются средства строгого мышления — неопределяемые термины и определения, аксиомы и предложения. Ее побочным предметом являются вещи, к которым они могут применяться, вещи, о которых можно мыслить строго — все на свете. Но теперь область математика настолько расширилась, что для него становится важнее, чем когда-либо, достичь максимальной общности во всех своих высказываниях.

Одним из барьеров для такого обобщения является само название «геометрия» с ограниченным значением, которое несут его происхождение и долгое использование. Поэтому геометр должен четко дать понять, что для него «геометрия» означает просто процесс выведения набора предложений из набора неопределяемых примитивных терминов и аксиом; и что когда он говорит о «геометрии», он имеет в виду какой-то конкретный набор предложений, выведенных таким образом, вместе с аксиомами и т. д., на которых они основаны. Если вы возьмете новый набор аксиом, вы получите новую геометрию.

Геометр, если вы настаиваете, продолжит называть свои неопределяемые термины привычными именами «точка», «линия», «плоскость». Но вы должны четко понимать, что это уступка общепринятому употреблению и что вы ни на мгновение не должны ограничивать применение его утверждений каким-либо образом. Однако он предпочел бы, чтобы ему разрешили использовать новые имена для своих элементов, сказать: «Мы начинаем с трех элементов разных сортов, существование которых мы предполагаем и которым мы присваиваем имена А, B и C — или, если хотите, первичные, вторичные и третичные элементы — или, опять же, имена, не обладающие никаким внутренним значением, такие как чинг, чанг и чунг». Затем он изложит любые утверждения, которые ему потребуются для целей древних аксиом, все из которых будут относиться к одному или нескольким его элементам. Затем он готов к серьезному делу доказательства того, что при условии принятия всех его гипотез его элементы А, B и C, или I, II и III, или чинг, чанг и чунг подчиняются тем или иным предложениям.

Будет выдвинуто возражение, что математик, который делает все это, узурпирует место логика. Небольшое размышление покажет, что это не так. Логик фактически занимает то же положение по отношению к геометру, которое геометр занимает по отношению к физику, химику, арифметику, инженеру или любому другому, чей основной интерес лежит в каком-то конкретном наборе элементов, к которым применяется система геометра. Математик — это создатель инструментов для всей науки, но он не создает свои собственные инструменты — их поставляет логик. Логик, в свою очередь, никогда не опускается до реальной практики строгого мышления, за исключением случаев, когда он вынужден делать это при установлении общих процедур, которые управляют строгим мышлением. Он интересуется процессами, а не их применением. Он говорит нам, что если предложение истинно, его обратное может быть истинным, ложным или двусмысленным, но его контрапозитив всегда истинен, в то время как его отрицание всегда ложно. Но он никогда из конкретного предложения «Если А есть B, то C есть D» не делает конкретный контрапозитивный вывод «Если C не есть D, то А не есть B». Это дело математика.

Роль геометрии

Математик — это человек массового производства в науке. В его отсутствие работник в каждой более узкой области, где обсуждаемые элементы принимают конкретные формы, мог бы сам разработать предложения логической структуры, которая применяется к этим элементам. Но тогда обнаружилось бы, что инженер дублировал работу физика, и так далее во многих других случаях; ибо вся тенденция современной науки направлена на то, чтобы показать, что один и тот же фон принципов лежит в основе всех вещей. Поэтому математик развивает ткань предложений, которая следует из той, этой и другой группы предположений, и делает это, нисколько не заботясь о природе элементов, для которых эти предложения могут быть истинными. Он знает только, что они истинны для любых элементов, для которых истинны его предположения, и это все, что ему нужно знать. Всякий раз, когда работник в какой-то конкретной области обнаруживает, что определенная группа предположений геометра истинна для его элементов, геометрия этих элементов готова для него к использованию.

Теперь это вполне нормально — намеренно избегать знания того, о чем мы говорим, чтобы названия этих вещей представляли собой просто пустые формы, которые могут быть заполнены, когда и если мы пожелаем, названиями любых вещей во вселенной, для которых наши «аксиомы» оказываются истинными. Но как насчет самих этих аксиом? Когда мы излагаем их в неведении относительно идентичности элементов, к которым они могут в конечном итоге применяться, они ни в коем случае не могут быть «самоочевидными». Мы можем по своему усмотрению принять как самоочевидное утверждение о точках, линиях и плоскостях; или об электронах, сантиметрах и секундах; или о целых числах, дробях и иррациональных числах; или о любой другой конкретной вещи или вещах. Но мы не можем принять как самоочевидное утверждение о чингах, чангах и чунгах. Поэтому мы должны основывать наши «аксиомы» на каком-то ином основании, чем это; и у нашего современного геометра его основание готово и ждет. Он принимает свои аксиомы на том основании, что ему угодно это делать. Чтобы избежать всякого намека на то, что они должны быть самоочевидными или даже обязательно истинными, он отбрасывает термин «аксиома» и заменяет его более бесцветным словом «постулат». Постулат — это просто то, что мы согласились принять на данный момент в качестве основы для дальнейшего аргумента. Если он оказывается истинным, или если мы можем найти обстоятельства, при которых, и элементы, к которым он применяется, любые выводы, которые мы дедуцируем из него с помощью заслуживающих доверия процессов, являются действительными в тех же пределах. И предложения, которые говорят нам, что если наши постулаты истинны, то такие-то и такие-то выводы истинны — они тоже действительны, но уже без всяких оговорок!

Возможно, иллюстрация того, что именно это означает, будет уместна. Допустим, в качестве постулата, что X больше, чем Y, на 1. Рассмотрим тогда утверждение: «Если X равно 65, то Y равно 64». Мы знаем — по крайней мере, мы вполне уверены, — что X не равно 65, если под «X» и «Y» мы подразумеваем то, что вы думаете. Мы в равной степени уверены, на тех же основаниях, что Y не равно 66. Но при единственном допущении, которое мы себе позволили, несомненно, что если бы X было равно 65, то Y, безусловно, было бы равно 64. Так что, хотя заключение предложения, которое я взял в кавычки, совершенно ложно, само предложение при нашем допущении полностью истинно. Я взял иллюстрацию, призванную скорее поразить, чем обладать научным интересом; я мог бы так же легко показать истинное предложение, ведущее к ложному заключению, но такого рода, что оно представляло бы определенный научный интерес, сообщая нам одно из следствий определенного допущения.

Что мы можем принять как должное?

Это все очень хорошо; но как геометр узнает, какие постулаты следует изложить? Возникает искушение сказать, что он волен постулировать все, что ему угодно, и исследовать результаты; и что независимо от того, будет ли когда-либо реализован его постулат, предложения, которые он выводит из него, будучи истинными, представляют научный интерес. Однако на самом деле все не так просто. Если бы было достаточно сделать один постулат, это было бы так же просто; но оказывается, что этого недостаточно, так же как недостаточно иметь один неопределяемый термин. У нас должно быть несколько постулатов; и они должны быть такими, в целом, чтобы из них вытекала геометрия. Требований три.

Во-первых, система постулатов должна быть «категоричной» или полной — их должно быть достаточно, и они должны охватывать достаточное поле для поддержки полной системы геометрии. На практике проверка этого прямая. Если мы дошли до точки в построении геометрии, где не могли доказать, является ли нечто всегда одним способом, или всегда другим, или иногда одним, а иногда другим, мы должны были бы сделать вывод, что нам нужен дополнительный постулат, охватывающий эту область прямо или косвенно. И мы должны были бы сделать этот постулат — потому что именно вещи, которые мы не можем доказать, мы в практической работе соглашаемся принять. Даже Евклиду пришлось принять эту философию.

Во-вторых, система постулатов должна быть непротиворечивой — ни один или несколько из них не могут вести, индивидуально или коллективно, к последствиям, которые противоречат результатам или любому другому или другим. Если в процессе построения геометрии мы обнаруживаем, что доказали два предложения, которые отрицают друг друга, мы ищем подразумеваемое противоречие в наших постулатах и исправляем его.

Наконец, постулаты должны быть независимыми. Не должно быть возможным доказать любой из них как следствие остальных. Если это свойство отсутствует, геометрия не терпит крах вместе с ним; но она серьезно обезображена избыточностью допущений, и одно из них должно быть исключено. Если мы собираемся предполагать что-либо излишне, мы можем так же хорошо предположить всю геометрию и покончить с этим.

Дело геометра тогда — составить набор постулатов. Это он может сделать на любом основании. Они могут быть подсказаны ему поведением точек, линий и плоскостей или какими-то другими конкретными явлениями; они могут с равным успехом быть продуктом изобретательного воображения. Приступая к выведению их последствий, он обнаружит и исправит любой недостаток категоричности, непротиворечивости или независимости, который мог иметь его исходный набор постулатов. В конце концов, у него будет такой большой корпус предложений без противоречий или сбоев, что он придет к выводу, что правильность его постулатов была установлена, а геометрия, основанная на них, является действительной.

И о чем это все?

Реализуется ли когда-нибудь эта геометрия? Строго говоря, не дело геометра спрашивать или отвечать на этот вопрос. Но исследования развивают две точки зрения. Всегда есть человек, который предается погоне за фактами ради них самих, и в равной степени человек, который хочет видеть, как его новые факты ведут к чему-то другому. Один великий математик, как говорят, изложил новую теорию поразительной математической красоты с кульминационным замечанием: «И, слава богу, никто никогда не сможет найти ей применение». Столь же выдающийся современник, будучи спрошенным о возможных применениях одной из своих самых абстрактных теорем, ответил, что не знает ей нынешнего применения; но что долгий опыт заставил его быть уверенным в том, что математик никогда не разработает никакого инструмента, как бы далек он ни был от немедленной полезности, для которого копатели в других областях вскоре не нашли бы какого-то применения.

Если мы хотим, однако, мы можем с полным правом спросить со стороны, реализуется ли когда-нибудь данная геометрия. Мы можем узнать, что, насколько еще обнаружено, нет элементов, для которых все ее постулаты подтверждаются, и что, следовательно, нет известной реализации. С другой стороны, мы, скорее всего, обнаружим, что многие различные наборы элементов таковы, что постулаты могут быть интерпретированы как применимые к ним, и что мы, следовательно, имеем многочисленные реализации геометрии. Как человек, геометр может интересоваться всем этим, но как геометру ему это действительно не имеет большого значения.

Когда мы смотрим на пространство вокруг нас, мы видим его, по какой-то причине, основанной на психологической истории человеческого рода, состоящим в малом из точек, которые образуют линии, которые, в свою очередь, составляют плоскости. Или мы можем начать с другого конца и разбить пространство сначала на плоскости, затем на линии, наконец на точки. Наши восприятия и концепции этих точек, линий и плоскостей действительно очень определенны; кажется, действительно, как думали греки, что некоторые вещи о них самоочевидны. Если мы хотим взять эти самоочевидные свойства точки, линии и плоскости и объединить их с достаточным количеством дополнительных придирок, чтобы убедить современного геометра, что у нас действительно есть категоричная система допущений, у нас будет основа для вполне хорошей системы геометрии. Это будет то, что мы неизбежно будем считать абсолютной истиной относительно пространства вокруг нас; но вы не должны говорить так в присутствии геометра. Это будет также то, что мы называем евклидовой геометрией. Она была удовлетворительной в высшей степени, потому что не только пространство, но и почти любая другая система из двух или трех элементов, имеющих какие-либо отношения друг к другу, может быть, используя в качестве средства интерпретации декартову схему построения, вписана в рамки евклидовой геометрии. Но это не единственная вещь в мире концептуальных возможностей, и начинает казаться, что это может быть даже не единственная вещь в мире холодных твердых фактов, который нас окружает. Чтобы увидеть, как именно это так, мы должны вернуться к Евклиду и изучить историческое развитие геометрии от его дней до настоящего времени.

Геометрия Евклида

Точку, линию и плоскость Евклид пытается определить. Современное возражение против этих попыток было прояснено выше. Против конкретного исполнения Евклида мы выдвигаем дальнейший конкретный недостаток, заключающийся в том, что его «определения» на самом деле являются допущениями, наделяющими точки, линии и плоскости определенными свойствами. Эти допущения Евклид дополняет в своих аксиомах; и в процессе доказательства предложений он бессознательно дополняет их еще больше. Этого следует ожидать от того, чьим оправданием для изложения аксиомы был предполагаемый очевидный характер сделанного утверждения. Если некоторые вещи слишком очевидны, чтобы требовать доказательства, другие могут быть признаны слишком очевидными, чтобы требовать явного изложения вообще.

Таким образом, если у Евклида есть две точки А и B в плоскости, по разные стороны от линии M, он проведет линию AB и без дальнейших формальностей будет говорить о точке C, в которой она пересекает M. То, что она действительно пересекает M, а не каким-то образом уклоняется от нее, на самом деле является допущением относительно природы линий и плоскостей. Или, опять же, Евклид будет говорить о точке D на линии AB, между или вне точек А и B, не делая формального допущения, необходимого для обеспечения того, чтобы линия была «полна» точек, так что такая точка, как D, должна существовать. То, что такие допущения, как эти, необходимы, следует из наших предыдущих замечаний. Если мы думаем о нашей геометрии как о имеющей дело с «чингами», «чангами» и «чунгами» или с элементами I, II и III, то уже ни в малейшей степени не очевидно, что простейшее свойство в мире применяется к этим элементам. Если мы хотим, чтобы какое-либо свойство преобладало, мы должны заявить об этом прямо.

С постулатами, воплощенными в его определениях, теми, что изложены в его аксиомах, и теми, которые он вчитывает в свою структуру своими методами доказательства, Евклид имеет категоричный набор — достаточный, чтобы служить фундаментом для геометрии. Мы можем тогда залезть в ботинки Евклида и сделать следующий шаг вместе с ним. Мы следуем за ним, пока он доказывает ряд вещей о пересекающихся линиях и о треугольниках. Конечно, когда он доказывает, что два треугольника идентично устроены, перемещая один из них поверх другого, мы можем протестовать на том основании, что допущение движения, особенно движения, таким образом навязанного извне, в геометрию вещей не является бесспорным. Если Евклид уловил нашу современную точку зрения, он ответит, что если у нас есть какие-либо сомнения относительно допустимости движения, он изложит постулат, допускающий его, и мы будем заставлены замолчать.

Исчерпав на данный момент интерес к пересекающимся линиям, наш гид теперь переходит к рассмотрению линий в той же плоскости, которые никогда не встречаются. Он определяет такие линии как параллельные. Если мы возразим, что он должен показать существование производного понятия, подобного этому, прежде чем излагать определение, которое требует его существования, он может показать, что две линии, проведенные перпендикулярно к одной и той же линии, никогда не встречаются. Он выполнит это доказательство с помощью особого рода суперпозиции, которая требует, чтобы плоскость была сложена сама на себя через третье измерение окружающего пространства, а не просто скользила сама по себе.

Мы храним молчание, пока Евклид демонстрирует, что если две линии пересекаются любой трансверсалью таким образом, что соответствующие углы в двух пересечениях равны, то линии параллельны. Затем уместно исследовать обратное: если линии параллельны изначально, равны ли углы?

Аксиомы, сделанные на заказ

Это звучит достаточно невинно; но Евклид никак не мог придумать доказательство — или, если на то пошло, опровержение. Поэтому он выбрал единственный выход и сказал, что если линии параллельны, то очевидно, что они простираются в одном направлении и делают углы равными. Вещь была настолько очевидной, аргументировал он, что это была действительно аксиома, и ему не нужно было ее доказывать; поэтому он изложил ее как аксиому и продолжил. Он не изложил ее в точности в той форме, которую я использовал; он, по-видимому, искал форму, в которой она казалась бы наиболее очевидной, и нашел утверждение, которое устраивало его больше, чем это, и которое сводится к тому же самому. Это утверждение говорит нам, что если трансверсаль делает два соответствующих угла неравными, то линии, которые она пересекает, не параллельны и встречаются, если их достаточно продлить. Но, достаточно мудро, он не перенес эту аксиому, как только пришел к ней, в начало книги, где были сгруппированы другие аксиомы; он оставил ее прямо там, где она была, следуя за предложением, что если углы равны, то линии параллельны. Это, конечно, было сделано для того, чтобы она могла апеллировать обратно, за своей претензией на очевидность, к доказанному обратному предложению.

Евклид, должно быть, был недоволен этим разрубанием гордиева узла; его преемники были крайне недовольны. В течение двадцати столетий параллельный аксиома рассматривалась как единственное пятно в в остальном совершенной работе; каждый уважающий себя математик пытался устранить дефект, «доказывая» сомнительную аксиому. Процедура была всегда одной и той же: вычеркнуть параллельную аксиому, на ее место написать другое, более или менее «очевидное» допущение, и из него вывести параллельное утверждение более или менее прямо. Таким образом, если мы можем предположить, что сумма углов треугольника всегда равна ровно 180 градусам, или что через данную точку можно провести только одну линию, параллельную данной, мы можем доказать аксиому Евклида. Иногда заменяющее допущение делалось и излагалось открыто, как в двух приведенных случаях; так же часто оно принималось в доказательство неявно, как когда молчаливо предполагается, что мы можем нарисовать треугольник, подобный любому данному треугольнику и с любой площадью, какую мы пожелаем, или когда параллели «определяются» как везде равноудаленные. Но такие «доказательства» никогда не удовлетворяли никого, кроме того, кто их сделал; поиск весело продолжался для действительного «доказательства», которое не предполагало бы по существу вещь, подлежащую доказательству.