«Взгляд на философию сэра Исаака Ньютона»

3. Такова, стало быть, постоянная характеристика тех движений, которые совершаются под действием центростремительных сил: линия, по которой движется тело, на всем своем протяжении вогнута по направлению к центру силы. Относительно последовательных расстояний тела от центра нельзя установить никакого общего правила, ибо расстояние тела от центра может либо увеличиваться, либо уменьшаться, либо даже оставаться неизменным. Пусть точка A (на рис. 73) является центром центростремительной силы, и пусть тело в точке B начинает движение в направлении прямой B C, перпендикулярной линии A B, проведенной из A в B. Легко понять, что в линии B C нет другой точки, столь же близкой к A, как точка B; что A B — кратчайшая из всех линий, которые можно провести из A к любой части линии B C; все остальные линии, такие как A D или A E, проведенные из A к линии B C, длиннее, чем A B. Отсюда следует, что если бы тело, отправляясь из B, двигалось по линии B C, оно все более и более удалялось бы от точки A. Поскольку действие центростремительной силы заключается в притяжении тела к центру силы, то если такая сила воздействует на покоящееся тело, она неизбежно должна привести его в движение таким образом, чтобы оно начало двигаться к центру силы; если бы тело само по себе двигалось к этому центру, центростремительная сила ускорила бы это движение и заставила бы его двигаться быстрее; но если бы тело находилось в таком движении, что, будучи предоставленным самому себе, оно удалялось бы от этого центра, вовсе не обязательно, чтобы действие центростремительной силы на него немедленно принудило тело приблизиться к центру, от которого оно в противном случае удалялось бы; центростремительная сила не остается без эффекта, если она заставляет тело удаляться от этого центра медленнее, чем оно делало бы это в противном случае. Так, в рассматриваемом нами случае даже самая малая центростремительная сила, если она воздействует на тело, выведет его из линии B C и заставит двигаться по изогнутой линии между B C и точкой A, как было объяснено ранее. Когда тело, например, продвинулось до линии A D, действие центростремительной силы обнаруживается в том, что оно сместило тело с линии B C и заставило его пересечь линию A D где-то между A и D: предположим, в точке F. Поскольку A D длиннее, чем A B, A F также может быть длиннее, чем A B. Центростремительная сила, действительно, может быть настолько сильной, что A F окажется короче, чем A B; или же она может быть настолько уравновешена поступательным движением тела, что A F и A B окажутся в точности равными: и в этом последнем случае, когда центростремительная сила обладает такой мощностью, что постоянно притягивает тело к центру настолько, насколько его уносит поступательное движение, тело будет описывать круг вокруг центра A, причем этот центр силы будет также центром круга.

4. Если бы тело вместо того, чтобы начать движение по линии B C, перпендикулярной A B, начало движение по другой линии B G, более наклоненной к линии A B, двигаясь по кривой B H, то, поскольку тело, если бы оно продолжало свое движение по линии B G, некоторое время приближалось бы к центру A, центростремительная сила заставила бы его продвигаться к этому центру еще значительнее. Но если бы тело начало движение по линии B I, отклоненной в другую сторону от перпендикуляра B C, и было бы увлечено центростремительной силой на кривую B K, то тело, несмотря на любую центростремительную силу, некоторое время удалялось бы от центра, поскольку некоторая часть кривой B K, по крайней мере, лежит между линией B I и перпендикуляром B C.

5. До сих пор мы объясняли те эффекты, которые сопровождают любую центростремительную силу. Но поскольку эти силы могут сильно различаться в зависимости от степени их интенсивности, с которой они воздействуют на тела в разных местах, я теперь перейду к общему упоминанию некоторых различий, сопутствующих этим центростремительным движениям.

6. Вернемся к рассмотрению последнего случая. Предположим, что центростремительная сила, направленная к точке A (на рис. 74), воздействует на тело в точке B, которое движется в направлении прямой B C, причем линия B C отклоняется от A B. Если из A провести произвольные прямые A D, A E, A F к линии C B, а линию C B продолжить за точку B до G, то станет очевидно, что A D наклонена к линии G C более косо, чем A B наклонена к ней, A E наклонена более косо, чем A D, а A F — более, чем A E. Говоря точнее, угол A D G меньше угла A B G, угол A E G меньше угла A D G, а угол A F G меньше угла A E G. Теперь предположим, что тело движется по кривой B H I K. Тогда здесь также очевидно, что линия B H I K, будучи вогнутой по направлению к A и выпуклой по направлению к линии B C, все больше и больше отклоняется от линии B C; так что в точке H линия A H будет менее косо наклонена к кривой B H I K, чем та же линия A H D наклонена к B C в точке D; в точке I наклон линии A I к кривой будет сильнее отличаться от наклона той же линии A I E к линии B C в точке E; а в точках K и F разница в наклоне будет еще больше; и в обоих случаях наклон к кривой будет менее косым, чем к прямой B C. Но прямая A B менее косо наклонена к B G, чем A D наклонена к D G: поэтому, хотя линия A H менее косо наклонена к кривой H B, чем та же линия A H D наклонена к D G, все же возможно, что наклон в точке H будет более косым, чем наклон в точке B. Наклон в точке H может, конечно, быть менее косым, чем другой, или они могут быть одинаковыми. Это зависит от степени силы, с которой центростремительная сила проявляет себя во время прохождения тела от B до H. Таким же образом наклоны в точках I и K полностью зависят от степени силы, с которой центростремительная сила воздействует на тело при его прохождении от H до K: если центростремительная сила достаточно слаба, линии A H и A I, проведенные из центра A к телу в точках H и I, будут более косо наклонены к кривой, чем линия A B наклонена к B G. Центростремительная сила может быть такой силы, что сделает все эти наклоны равными, или, если она сильнее, наклоны в точках I и K будут менее косыми, чем в точке B. Исаак Ньютон особо показал, что если центростремительная сила убывает определенным образом по мере увеличения расстояния, тело может описывать такую кривую, что все линии, проведенные из центра к телу, будут одинаково наклонены к этой кривой. [82] Но я не буду здесь вдаваться в подробности, так как моя нынешняя цель — лишь показать, что тело может подвергаться воздействию силы, постоянно притягивающей его к центру, и при этом продолжать удаляться от этого центра; ибо здесь, до тех пор пока линии A H, A I и т. д., проведенные из центра A к телу, не становятся менее косыми к кривой, по которой движется тело, до тех пор эти линии будут постоянно увеличиваться, и, следовательно, тело будет все больше и больше удаляться от центра.

7. Но мы можем заметить далее, что если центростремительная сила, в то время как тело увеличивает свое расстояние от центра, сохраняет достаточную силу, чтобы линии, проведенные из центра к телу, в конечном итоге стали менее косыми к кривой, то, если это уменьшение косины продолжится до тех пор, пока линия, проведенная из центра к телу, не перестанет быть косо наклоненной к кривой и не станет перпендикулярной к ней, с этого момента тело перестанет удаляться от центра, а в своем последующем движении снова начнет приближаться и опишет кривую линию во всех отношениях подобную той, которую оно уже описало; при условии, что центростремительная сила везде на одном и том же расстоянии от центра действует с одинаковой силой. Так мы наблюдали в предыдущей главе, что, когда движение снаряда становилось параллельным горизонту, снаряд переставал подниматься, но немедленно направлял свой путь вниз, опускаясь по линии, совершенно подобной той, по которой он до этого поднимался. [83]

8. Это возвращение тела может быть доказано следующим положением: если тело в каком-либо месте, скажем в I, остановить и бросить прямо назад со скоростью, с которой оно двигалось вперед в этой точке I, то тело под действием центростремительной силы будет двигаться обратно по пути I H B, по которому оно до этого продвигалось вперед, и снова прибудет в точку B за то же время, которое потребовалось для его прохождения от B до I; причем скорость тела при возвращении в точку B будет такой же, как та, с которой оно впервые отправилось из этой точки. Полное доказательство этого положения потребовало бы использования математики, чего я здесь намерен избегать; но, полагаю, оно станет в значительной степени очевидным из следующих соображений.

9. Предположим (на рис. 75), что тело движется следующим образом через изогнутую фигуру A B C D E F, состоящую из прямых линий A B, B C, C D, D E, E F. Сначала пусть оно движется по линии A B от A к B с любой равномерной скоростью. В точке B пусть тело получит импульс, направленный к некоторой точке, например G, взятой внутри вогнутости фигуры. Поскольку это тело, начав движение по прямой A B, будет продолжать двигаться по этой линии, пока будет предоставлено самому себе, но, будучи потревоженным в точке B в своем движении импульсом, который там на него воздействует, оно будет выведено из этой линии A B на какую-то другую прямую, по которой оно впоследствии будет продолжать двигаться, пока будет предоставлено самому себе. Поэтому пусть этот импульс будет обладать достаточной силой, чтобы повернуть тело на линию B C. Затем пусть тело движется беспрепятственно от B до C, но в точке C пусть оно получит другой импульс, направленный к той же точке G и обладающий достаточной силой, чтобы повернуть тело на линию C D. В точке D пусть третий импульс, направленный, как и остальные, к точке G, повернет тело на линию D E. А в точке E пусть еще один импульс, направленный также к точке G, повернет тело на линию E F. Теперь я утверждаю, что если тело во время движения по линии E F остановить и повернуть обратно по этой линии с той же скоростью, с какой оно двигалось вперед по этой линии, то благодаря повторению прежнего импульса в точке E тело будет повернуто на линию E D и будет двигаться по ней от E до D с той же скоростью, с какой оно до этого двигалось от D до E; благодаря повторению импульса в точке D, когда тело вернется в эту точку, оно будет повернуто на линию D C; и благодаря повторению остальных импульсов в точках C и B тело будет возвращено обратно на линию B A со скоростью, с которой оно впервые двигалось по этой линии.

10. Это я доказываю следующим образом. Пусть D E и F E будут продолжены за точку E. На продолжении D E отложим произвольную длину E H и проведем H I так, чтобы она была равноудалена от линии G E. Тогда, согласно тому, что было написано о втором законе движения [84], следует, что после импульса, полученного телом в E, оно будет двигаться через E I за то же время, которое оно затратило бы на движение от E до H со скоростью, которую оно имело на линии D E. На продолжении F E отложим E K, равную E I, и проведем K L, равноудаленную от G E. Тогда, поскольку тело брошено обратно по линии F E с той же скоростью, с какой оно двигалось вперед по этой линии, если бы по возвращении в точку E телу позволили двигаться прямо, оно прошло бы через E K за то же время, которое оно затратило на прохождение через E I, когда двигалось вперед по линии E F. Но если по возвращении тела в точку E приложить к нему импульс, направленный к точке D, посредством которого оно должно быть повернуто на линию D E, то я утверждаю, что импульс, необходимый для производства этого эффекта, должен быть равен тому, который повернул тело с линии D E на E F; и что скорость, с которой тело вернется на линию E D, та же самая, с которой оно до этого двигалось по этой линии от D до E. Поскольку E K равно E I, а K L и H I, будучи каждая равноудалена от G E, являются, следовательно, равноудаленными друг от друга, то следует, что две треугольные фигуры I E H и K E L совершенно подобны и равны друг другу. Если бы я писал для математиков, я мог бы отослать их к некоторым пропорциям в началах Евклида для доказательства этого [85], но так как я здесь не обращаюсь к таковым, то думаю, что это утверждение будет достаточно очевидным и без формального доказательства; по крайней мере, я должен просить моих читателей принять его как геометрически истинное положение. Но поскольку эти две треугольные фигуры совершенно подобны друг другу и равны, то, как E K равно E I, так E L равно E H, а K L равно H I. Теперь, когда тело после возвращения в E поворачивается с линии F E на E D импульсом, действующим на него в E, как было описано выше, тело получит от этого импульса такую скорость, которая пронесет его через E L за то же время, которое оно затратило бы на прохождение через E K, если бы оно продолжало двигаться по этой линии беспрепятственно. И уже было замечено, что время, за которое тело прошло бы через E K со скоростью, с которой оно возвращается, равно времени, которое оно затратило на движение вперед от E до I; то есть равно времени, за которое оно прошло бы через E H со скоростью, с которой оно двигалось от D до E. Следовательно, время, за которое тело пройдет через E L после возвращения на линию E D, то же самое, которое было бы затрачено телом на прохождение через E H со скоростью, с которой тело впервые двигалось по линии D E. Поскольку, следовательно, E L и E H равны, тело возвращается на линию D E со скоростью, которую оно имело ранее на этой линии. Далее я утверждаю, что второй импульс в E равен первому. Из того, что было сказано о втором законе движения относительно эффекта косых импульсов [86], можно понять, что импульс в E, посредством которого тело было повернуто с линии D E на линию E F, обладает такой силой, что если бы тело находилось в покое, когда этот импульс подействовал на него, этот импульс сообщил бы телу столько движения, что оно прошло бы длину, равную H I, за время, в течение которого тело прошло бы от E до H, или за время, в течение которого оно прошло от E до I. Таким же образом, при возвращении тела импульс в E, посредством которого тело поворачивается с линии F E на E D, обладает такой силой, что если бы он подействовал на тело в покое, он заставил бы тело двигаться через длину, равную K L, за то же время, которое тело затратило бы на прохождение через E K со скоростью, с которой оно возвращается по линии F E. Следовательно, второй импульс, если бы он подействовал на тело в покое, заставил бы его двигаться через длину, равную K L, за тот же промежуток времени, который потребовался бы телу на прохождение через длину, равную H I, если бы первый импульс подействовал на тело в покое. То есть эффекты первого и второго импульса на тело в покое были бы одинаковыми; ибо K L и H I равны: следовательно, второй импульс равен первому.

11. Таким образом, если тело возвращается через F E со скоростью, с которой оно двигалось вперед, мы показали, как путем повторения импульса, который действовал на него в E, тело вернется обратно на линию D E со скоростью, которую оно имело ранее на этой линии. Тем же ходом рассуждений можно доказать, что, когда тело возвращается обратно к D, импульс, который до этого действовал на тело в этой точке, бросит тело на линию D C со скоростью, которую оно впервые имело на этой линии; и при последовательном повторении остальных импульсов тело в конечном итоге будет возвращено на линию B A со скоростью, с которой оно отправилось по этой линии.

12. Таким образом, эти импульсы, повторяя в обратном порядке все свое воздействие на тело, возвращают его обратно по пути, по которому оно двигалось вперед. И это в равной степени справедливо, независимо от того, каково число прямых линий, из которых состоит эта кривая фигура. Теперь, с помощью метода рассуждений, который Исаак Ньютон широко использует и который он ввел в геометрию, значительно обогатив тем самым эту науку [87], мы могли бы совершить переход от этой фигуры, состоящей из ряда прямых линий, к фигуре с непрерывной кривизной, и от ряда отдельных импульсов, повторяемых через определенные интервалы, к непрерывной центростремительной силе, и показать, что, поскольку то, что здесь было выдвинуто, остается универсально верным, независимо от того, каково число прямых линий, из которых состоит кривая фигура A C F, и как часто повторяются импульсы в углах этой фигуры, то, следовательно, то же самое останется верным, даже если эта фигура будет преобразована в фигуру с непрерывной кривизной, а эти отдельные импульсы будут заменены непрерывной центростремительной силой. Но поскольку объяснение этого метода рассуждений выходит за рамки моего нынешнего замысла, я надеюсь, что мои читатели, после всего сказанного, не встретят затруднений в принятии вышеизложенного положения: что если тело, которое двигалось по кривой B H I (на рис. 74) от B до I, по прибытии в I будет брошено прямо назад с той же скоростью, с которой оно двигалось вперед, то центростремительная сила, повторив все свое воздействие на тело, вернет его обратно по линии I H B: и как движение тела на пути от B до I было везде настолько косым к линии, проведенной из центра к телу, что центростремительная сила в некоторой степени действовала против движения тела и постепенно уменьшала его, так и при возвращении тела центростремительная сила будет везде подталкивать тело вперед и ускорять его движение в той же мере, в какой до этого замедляла его.

13. С этим согласившись, предположим, что в точке K линия A K больше не наклонена косо к движению тела. В этом случае, если тело повернуть назад, как мы рассматривали, оно должно быть направлено обратно перпендикулярно к A K. Но если бы оно продолжало двигаться вперед, оно также двигалось бы в направлении, перпендикулярном к A K; следовательно, движется ли оно из этой точки K назад или вперед, оно должно описывать один и тот же вид пути. Поэтому, поскольку при повороте назад оно пройдет снова линию K I H B, если ему позволить двигаться вперед, линия K L, которую оно опишет, будет совершенно подобна линии K H B.

14. Подобным же образом мы можем определить характер движения, если линия, по которой тело начинает движение, наклонена (как на рис. 76) вниз к линии B A, проведенной между телом и центром. Если центростремительная сила настолько возрастает по мере приближения тела, что может искривить путь, по которому движется тело, до такой степени, что все линии, такие как A H, A I, A K, остаются не менее косыми к движению тела, чем A B коса к B C, то тело будет постоянно все больше и больше приближаться к центру. Но если центростремительная сила возрастает в меньшей степени, позволяя линии, проведенной из центра к телу, по мере того как она сопровождает тело в его движении, в конечном итоге становиться все более и более перпендикулярной к кривой, по которой движется тело, и в конце, скажем в точке K, стать перпендикулярной к ней, то с этого момента тело снова начнет подниматься. Это очевидно из того, что было сказано выше; ибо по той же самой причине здесь также тело будет продолжать движение от точки K, описывая линию, совершенно подобную той, по которой оно двигалось от B до K. Таким образом, как было замечено относительно маятника в предыдущей главе [88], что все время, пока он приближается к перпендикулярному положению к горизонту, он все больше и больше опускается, но, как только он приходит в это перпендикулярное положение, он немедленно снова поднимается в той же мере, в какой до этого опускался: так и здесь тело все больше и больше приближается к центру все время, пока движется от B до K; но оттуда оно снова поднимается от центра в той же мере, в какой до этого приближалось.

15. Если (на рис. 77) линия B C перпендикулярна A B, то, как было замечено выше [89], центростремительная сила может быть настолько уравновешена поступательным движением тела, что тело может продолжать движение вокруг центра A, постоянно находясь на одном и том же расстоянии; как это делает тело, когда его вращают вокруг какой-либо точки, к которой оно привязано веревкой. Если центростремительная сила слишком слаба, чтобы произвести этот эффект, движение тела вскоре станет косым к линии, проведенной от него самого к центру, по подобию первого из двух случаев, которые мы рассматривали. Если центростремительная сила сильнее, чем требуется для движения тела по кругу, движение тела вскоре перейдет во второй из случаев, которые мы рассматривали.

16. Если центростремительная сила изменяется с изменением расстояния так, что тело, после того как его движение стало косым к линии, проведенной от него самого к центру, снова станет перпендикулярным к ней, что, как мы показали, возможно в обоих рассмотренных выше случаях, то тело в своем последующем движении снова вернется на расстояние A B и с этого расстояния начнет путь, подобный прежнему: и таким образом, если тело движется в пространстве, свободном от всякого сопротивления, что здесь все время предполагалось, оно будет продолжать вечное движение вокруг центра, попеременно удаляясь и приближаясь к нему. Если тело, отправляясь из B (на рис. 78) по линии B C, перпендикулярной A B, описывает линию B D E, которая в точке D будет косой к линии A D, но в точке E снова станет перпендикулярной к A E, проведенной из тела в E к центру A, то из этой точки E тело опишет линию E F G, совершенно подобную линии B D E, и в точке G будет находиться на том же расстоянии от A, на каком оно было в B. Но также линия A G будет перпендикулярна движению тела. Поэтому тело продолжит описывать из G линию G H I, совершенно подобную линии G F E, и в точке I будет находиться на том же расстоянии от центра, на каком оно было в E; а также линия A I будет перпендикулярна его движению: так что его последующее движение должно происходить по линии I K L, подобной I H G, а расстояние A L будет равно A G. Таким образом, тело будет продолжать вечный круговой путь без остановки, попеременно увеличивая и уменьшая свое расстояние от центра.

17. Если случится так, что точка E попадет на линию B A, продолженную за A, то точка G попадет на B, I — на E, а L — также на B; так что в этом случае тело опишет простую кривую линию вокруг центра A, подобную линии B D E F на рис. 79, по которой оно будет постоянно вращаться от B до E и от E до B без конца.

18. Если бы A E на рис. 78 оказалась перпендикулярной к A B, в этом случае также была бы описана простая линия; ибо точка G попала бы на линию B A, продолженную за A, точка I — на линию A E, продолженную за A, а точка L — на B: так что тело описало бы линию, подобную кривой B E G I на рис. 80, в которой противоположные точки B и G одинаково удалены от A, а противоположные точки E и I также одинаково удалены от той же точки A.

19. В других случаях описанная линия будет иметь более сложную фигуру.

20. Таким образом, мы попытались показать, как тело, будучи постоянно притягиваемым к центру, может, тем не менее, благодаря своему поступательному движению удерживаться от падения к этому центру, но описывать вокруг него бесконечный путь, иногда приближаясь к этому центру, а в другое время настолько же удаляясь от него.

21. Но здесь мы предполагали, что центростремительная сила везде на одном и том же расстоянии от центра имеет одинаковую силу. И это случай той центростремительной силы, которая, как будет показано далее, является причиной, удерживающей планеты на их орбитах. Но тело может удерживаться на вечном круговом пути вокруг центра, даже если центростремительная сила не обладает этим свойством. Действительно, тело может с помощью центростремительной силы удерживаться в движении по любой кривой линии, которая имеет свою вогнутость, обращенную везде к центру силы.

22. Чтобы сделать это очевидным, я сначала предложу случай тела, движущегося через изогнутую фигуру A B C D E (на рис. 81), которая состоит из прямых линий A B, B C, C D, D E и E A; движение совершается следующим образом. Пусть тело сначала движется по линии A B с любой равномерной скоростью. Когда оно прибудет в точку B, пусть оно получит импульс, направленный к любой точке F, взятой внутри фигуры; и пусть импульс будет такой силы, чтобы повернуть тело с линии A B на линию B C. Тело после этого импульса, будучи предоставлено самому себе, будет продолжать двигаться по линии B C. В точке C пусть тело получит другой импульс, направленный к той же точке F, такой силы, чтобы повернуть тело с линии B C на линию C D. В точке D пусть тело под действием другого импульса, направленного также к точке F, будет повернуто с линии C D на D E. А в точке E пусть еще один импульс, направленный к точке F, повернет тело с линии D E на E A. Таким образом мы видим, как тело может быть проведено через фигуру A B C D E с помощью определенных импульсов, направленных всегда к одному и тому же центру, только благодаря их воздействию на тело через надлежащие интервалы и с должной степенью силы.

23. Но далее, когда тело придет в точку A, если оно там получит еще один импульс, направленный, как и остальные, к точке F, и такой степени силы, чтобы повернуть тело на линию A B, по которой оно двигалось сначала, я утверждаю, что тело вернется на эту линию с той же скоростью, какую оно имело вначале.

24. Пусть A B будет продолжена за B по желанию, скажем до G; и из G пусть будет проведена G H, которая, если ее продолжить, должна всегда оставаться равноудаленной от B F, или, согласно более обычному выражению, пусть G H будет проведена параллельно B F. Тогда из того, что было сказано о втором законе движения [90], следует, что за время, в течение которого тело двигалось бы от B до G, если бы оно не получило новый импульс в B, посредством этого импульса оно приобрело бы скорость, которая перенесла бы его от B до H. Таким же образом, если взять C I равным B H и провести I K равноудаленно от или параллельно C F, то тело переместится от C до K со скоростью, которую оно имеет на линии C D, за то же время, которое оно затратило бы на движение от C до I со скоростью, которую оно имело на линии B C. Поэтому, поскольку C I и B H равны, тело пройдет через C K за то же время, которое оно затратило бы на движение от B до G с первоначальной скоростью, с которой оно двигалось через линию A B. Далее, взяв D L равным C K и проведя L M параллельно D F, по той же причине, что и раньше, тело переместится через D M со скоростью, которую оно имеет на линии D E, за то же время, которое оно затратило бы на движение через B G со своей первоначальной скоростью. Наконец, если взять E N равным D M и провести N O параллельно E F; также если взять A P равным E O и провести P Q параллельно A F: тогда тело со скоростью, с которой оно возвращается на линию A B, пройдет через A Q за то же время, которое оно затратило бы на прохождение через B G со своей первоначальной скоростью. Теперь, поскольку все это прямо следует из того, что было выше изложено относительно эффекта косых импульсов, приложенных к телам в движении, мы должны здесь заметить далее, что геометрически можно доказать, что A Q всегда будет равно E G. Доказательство этого я вынужден, в силу характера моего нынешнего замысла, опустить; но если допустить эту геометрическую пропорцию, то следует, что тело вернулось на линию A B со скоростью, которую оно имело, когда впервые двигалось по этой линии; ибо скорость, с которой оно возвращается на линию A B, перенесет его через линию A Q за то же время, которое было бы затрачено на прохождение через равную ей линию B G с первоначальной скоростью.

25. Таким образом, мы нашли, как тело может быть проведено вокруг фигуры A B C D E действием определенных импульсов на него, которые все должны быть направлены к одному центру. И мы также видим, что когда тело возвращается обратно в точку, откуда оно впервые отправилось, если оно там встретит импульс, достаточный, чтобы снова повернуть его на линию, по которой оно двигалось вначале, его первоначальная скорость будет снова восстановлена; и путем повторения тех же импульсов тело будет снова проведено по тому же кругу. Поэтому, если эти импульсы, которые действуют на тело в точках B, C, D, E и A, остаются всегда теми же, тело совершит вокруг этой фигуры бесчисленное множество оборотов.

26. Доказательство, которое мы здесь использовали, остается тем же для любого числа прямых линий, из которых должна состоять фигура A B D; и поэтому, согласно методу рассуждений, упомянутому выше [91], мы должны заключить, что то, что здесь было сказано об этой прямолинейной фигуре, останется верным, если эта фигура будет изменена на фигуру с непрерывной кривизной, и вместо отдельных импульсов, действующих через интервалы в углах этой фигуры, у нас будет непрерывная центростремительная сила. Мы, следовательно, показали, что тело может быть проведено по любой кривой фигуре A B C (рис. 82), которая будет везде вогнутой по направлению к какой-либо одной точке, например D, непрерывным действием центростремительной силы, направленной к этой точке, и когда оно вернется в точку, из которой отправилось, оно снова восстановит скорость, с которой оно покинуло эту точку. Не всегда, конечно, необходимо, чтобы оно вернулось снова на свой первый путь; ибо кривая линия может иметь такую фигуру, как линия A B C D B E на рис. 83. В этой кривой линии, если бы тело отправилось из B в направлении B F и двигалось через линию B C D, пока не вернулось к B, здесь тело не вошло бы снова в линию B C D, потому что две части B D и B C кривой линии образуют угол в точке B: так что центростремительная сила, которая в точке B могла повернуть тело с линии B F на кривую, не сможет повернуть тело на линию B C из того направления, в котором оно возвращается в точку B; чтобы произвести этот эффект, телу в точке B должен быть дан сильный импульс.

27. Если в точке B, откуда тело отправляется, кривая линия возвращается сама в себя (как на рис. 82), то тело по прибытии снова в B может вернуться на свой прежний путь и таким образом совершать бесконечный круговой путь вокруг центра центростремительной силы.

28. То, что здесь было сказано, я надеюсь, в некоторой мере позволит моим читателям сформировать верное представление о природе этих центростремительных движений.

29. Я не пытался показать, как найти в частности, какой вид центростремительной силы необходим для движения тела по любой предложенной кривой линии. Это должно быть выведено из степени кривизны, которую фигура имеет в каждой своей точке, и требует длинных и сложных математических рассуждений. Однако я немного скажу о первом положении, которое Исаак Ньютон выдвигает для этой цели. Согласно этому положению, когда обнаруживается, что тело движется по кривой линии, можно узнать, удерживается ли тело на своем пути силой, всегда направленной к одному и тому же центру, и если это так, то где расположен этот центр. Положение таково: если провести линию из некоторой фиксированной точки к телу, и, оставаясь одним концом соединенной с этой точкой, она будет вращаться вместе с телом, то, если сила, посредством которой тело удерживается на своем пути, всегда направлена к этой фиксированной точке как к центру, эта линия будет описывать равные площади за равные промежутки времени. Предположим, тело движется через кривую линию A B C D (на рис. 84) и проходит дуги A B, B C, C D за равные промежутки времени; тогда, если можно найти точку, такую как E, из которой, если провести линию E A к телу в A, и она будет сопровождать тело в его движении, она будет описывать площади E A B, E B C и E C D, равные тем, которые она проходит, пока тело описывает дуги A B, B C и C D: и если это остается верным для всех других дуг, как больших, так и малых, кривой линии A B C D, что эти площади всегда равны, когда равны времена, то тело удерживается на этой линии силой, всегда направленной к E как к центру.

30. Принцип, на котором Исаак Ньютон это доказал, требует лишь небольших навыков в геометрии для понимания. Поэтому я позволю себе закончить настоящую главу объяснением его, ибо такой пример даст наиболее ясное представление о методе нашего автора применять математические рассуждения к этим философским предметам.

31. Он рассуждает так. Предположим, тело отправляется из точки A (на рис. 85) для движения по прямой A B; и после того как оно некоторое время двигалось по этой линии, оно должно получить импульс, направленный к некоторой точке, например C. Пусть оно получит этот импульс в D; и тем самым будет повернуто на линию D E; и пусть тело после этого импульса затратит то же время на прохождение от D до E, какое оно затратило на прохождение от A до D. Тогда, если провести прямые C A, C D и C E, Исаак Ньютон доказывает, что треугольные площади C A D и C D E равны. Это он делает следующим образом.

32. Пусть E F будет проведена параллельно C D. Тогда, исходя из того, что было сказано о втором законе движения [92], очевидно, что, поскольку тело двигалось по линии A B, когда оно получило импульс в направлении D C, оно после этого импульса будет двигаться через линию D E за то же время, которое оно затратило бы на движение через D F, если бы не получило никакого возмущения в D. Но время движения тела от D до E предполагается равным времени его движения через A D; следовательно, время, которое тело затратило бы на движение через D F, если бы оно не было потревожено в D, равно времени, в течение которого оно двигалось через A D: следовательно, D F равно по длине A D; ибо если бы тело продолжало двигаться через линию A B без прерывания, оно двигалось бы через все ее части с одной и той же скоростью и проходило бы равные части этой линии за равные промежутки времени. Теперь, если провести C F, то, поскольку A D и D F равны, треугольная площадь C D F равна треугольной площади C A D. Далее, поскольку линия E F параллельна C D, Евклидом доказано, что треугольник C E D равен треугольнику C F D [93]: следовательно, треугольник C E D равен треугольнику C A D.

33. Таким же образом, если тело получит в E другой импульс, направленный к точке C, и будет повернуто этим импульсом на линию E G; если оно движется впоследствии от E до G за тот же промежуток времени, который был затрачен на его движение от D до E или от A до D; тогда, если провести C G, треугольник C E G будет равен C D E. Третий импульс в G, направленный, как и два предыдущих, к C, посредством которого тело будет повернуто на линию G H, будет иметь также такой же эффект, как и остальные. Если тело пройдет через G H за то же время, которое оно затратило на движение через E G, треугольник C G H будет равен треугольнику C E G. Наконец, если тело в H будет повернуто свежим импульсом, направленным к C, на линию H I, а в I другим импульсом, направленным также к C, будет повернуто на линию I K; и если тело пройдет через каждую из линий H I и I K за то же время, которое оно затратило на движение через каждую из предыдущих линий A D, D E, E G и G H: тогда каждый из треугольников C H I и C I K будет равен каждому из предыдущих. Также, поскольку время, в течение которого тело движется через A D E, равно времени его движения через E G H и времени его движения через H I K, площадь C A D E будет равна площади C E G H и площади C H I K. Таким же образом, поскольку время, в течение которого тело двигалось через A D E G, равно времени его движения через G H I K, площадь C A D E G будет равна площади C G H I K.

34. Из этого принципа Исаак Ньютон доказывает вышеупомянутое положение тем методом рассуждений, который был введен им в геометрию, о чем мы упоминали ранее [94], совершая, согласно принципам этого метода, переход от этой изогнутой фигуры, состоящей из прямых линий, к фигуре с непрерывной кривизной; и показывая, что, поскольку в этой настоящей фигуре, состоящей из прямых линий, за равные времена описываются равные площади, то же соотношение между описанными площадями и временами их описания будет иметь место и в фигуре с одной непрерывной кривизной. Он также выводит из этого положения обратное ему; и доказывает, что всякий раз, когда постоянно описываются равные площади, на тело воздействует центростремительная сила, направленная к центру, в котором сходятся площади.

Гл. IV. О СОПРОТИВЛЕНИИ ЖИДКОСТЕЙ.

ПРЕЖДЕ чем можно будет обнаружить причину, которая удерживает планеты в движении, необходимо сначала узнать, является ли пространство, в котором они движутся, пустым и незаполненным или оно заполнено каким-либо количеством материи. Преобладало мнение, что все пространство содержит в себе материю того или иного рода; так что там, где не обнаруживается никакой ощутимой материи, все же существовало тонкое жидкое вещество, которым пространство было заполнено; даже до такой степени, чтобы создать абсолютную полноту. Чтобы исследовать это мнение, Исаак Ньютон широко рассмотрел эффекты жидкостей на тела, движущиеся в них.

2. Эти эффекты он свел к трем пунктам. Во-первых, он показывает, как определить, каким образом сопротивление, которое испытывают тела при движении в жидкости, постепенно увеличивается пропорционально пространству, которое они описывают в любой жидкости; скорости, с которой они его описывают; и времени, в течение которого они находились в движении. Во втором пункте он рассматривает, какую степень сопротивления испытывают различные тела, движущиеся в одной и той же жидкости, в зависимости от различного соотношения между плотностью жидкости и плотностью тела. Плотности тел, будь то жидких или твердых, измеряются количеством материи, которое заключено в одном и том же объеме; наиболее плотным или компактным является то тело, которое при том же объеме содержит наибольшее количество твердой материи, или которое весит больше всего, поскольку выше было замечено, что вес каждого тела пропорционален количеству материи в нем [95]. Так, вода плотнее пробки или дерева, железо плотнее воды, а золото плотнее железа. Третий пункт, который Исаак Ньютон рассматривает относительно сопротивления жидкостей, — это влияние, которое разнообразие формы сопротивляющегося тела оказывает на его сопротивление.

3. Для более совершенной иллюстрации первого из этих пунктов он отчетливо показывает соотношение между всеми указанными частностями при трех различных предположениях. Первое состоит в том, что одно и то же тело испытывает сопротивление в простой пропорции к своей скорости; так что если его скорость удваивается, его сопротивление становится трехкратным. Второе касается сопротивления, увеличивающегося в дупликатной пропорции к скорости; так что если скорость тела удваивается, его сопротивление становится в четыре раза больше; а если скорость утраивается, то в девять раз больше, чем вначале. Но что следует понимать под дупликатной пропорцией, уже было объяснено [96]. Третье предположение состоит в том, что сопротивление увеличивается отчасти в простой пропорции к скорости, а отчасти в дупликатной пропорции к ней.

4. Во всех этих предположениях тела рассматриваются в двух отношениях: либо как движущиеся и противодействующие жидкости исключительно той силой, которая им присуща — силой сопротивления изменению их состояния покоя на движение или движения на покой, которую мы выше назвали их силой инерции; либо как опускающиеся или поднимающиеся, и, следовательно, обладающие силой тяжести, соединенной с той другой силой. Таким образом, наш автор показал во всех этих трех предположениях, каким образом тела встречают сопротивление в однородной жидкости, когда они совершают вышеупомянутое поступательное движение [97]; и каково это сопротивление, когда они поднимаются или опускаются перпендикулярно [98]. И если тело поднимается или опускается наклонно, а сопротивление прямо пропорционально скорости, то показано, как тело встречает сопротивление в жидкости однородной плотности и какую линию оно опишет [99], которая определяется измерением гиперболы и оказывается не чем иным, как той линией, впервые рассмотренной в частности доктором Барроу [100], которая ныне общеизвестна под названием логарифмической кривой. В предположении, что сопротивление возрастает в дупликатной пропорции к скорости, наш автор не привел линию, которая была бы описана в однородной жидкости, но вместо этого обсудил задачу, которая в некотором роде является обратной: найти плотность жидкости на всех высотах, при которой может быть описана любая заданная кривая линия; эта задача трактуется им таким образом, что она применима к любому виду сопротивления [101]. Но здесь, не забывая о практике, он показывает, что тело в жидкости однородной плотности, подобной воздуху, опишет линию, которая приближается к гиперболе; то есть его движение будет ближе к этой кривой линии, чем к параболе. И в дополнение к этому замечанию он показывает, как определить эту гиперболу экспериментально, и кратко разрешает главные из тех задач, относящихся к снарядам, которые применяются в артиллерийском искусстве, с помощью этой кривой [102]; как это сделали Торричелли и другие в случае с параболой [103], чьи изобретения были подробно объяснены выше [104].

5. Наш автор также отчетливо рассмотрел тот особый вид движения, который описывается маятниками [105]; и аналогично рассмотрел несколько случаев движения тел в сопротивляющихся жидкостях вокруг центра, к которому они притягиваются центростремительной силой, чтобы дать представление об этих видах движений [106].

6. Рассмотрение сопротивления маятников дало ему возможность включить в другую часть своего труда некоторые размышления об их движениях без сопротивления, которые обладают весьма своеобразной элегантностью; в них он рассматривает их как движимые гравитацией, действующей по закону, который, как он показывает, присущ Земле под ее поверхностью [107]; выполняя в этом виде гравитации, где сила пропорциональна расстоянию от центра, все то, что Гюйгенс ранее сделал в обычном предположении о ее равномерности и действии по параллельным линиям [108].

7. Гюйгенс в конце своего трактата о причине тяжести [109] сообщает нам, что он также довел свои размышления о первом из этих предположений, о сопротивлении в жидкостях, пропорциональном скорости тела, так же далеко, как и наш автор. Но, обнаружив экспериментально, что второе более соответствует природе, он впоследствии достиг некоторого прогресса в нем, пока не остановился, будучи не в силах выполнить по своему желанию то, что относилось к перпендикулярному спуску тел; не заметив, что измерение кривой линии, которую он использовал для объяснения этого, зависело от гиперболы. Это упущение вполне можно простить этому великому человеку, учитывая, что нашему автору не было угодно в то время сообщить публике свое замечательное рассуждение о квадратуре или измерении кривых линий, которым он впоследствии обязал мир: ибо без использования этого трактата, я думаю, не будет несправедливостью даже по отношению к несравненным способностям нашего автора полагать, что ему самому было бы нелегко столь успешно справиться с этой и многими другими частями своих сочинений.

8. То, что Гюйгенс обнаружил экспериментально, а именно, что тела в действительности встречают сопротивление в дупликатной пропорции к своей скорости, согласуется с рассуждениями нашего автора [110], который отличает сопротивление, оказываемое жидкостями телам вследствие вязкости их частей и трения между ними и телом, от того, которое возникает из силы инерции, которой составные частицы жидкостей наделены, подобно всем другим частям материи, каковой силой частицы жидкостей, подобно другим телам, оказывают сопротивление приведению их в движение.

9. Сопротивление, возникающее от трения тела о части жидкости, должно быть весьма незначительным; а сопротивление, следующее из вязкости частей жидкостей, обычно не очень велико и не сильно зависит от скорости тела в жидкости; ибо, поскольку части жидкости сцепляются друг с другом с определенной силой, сопротивление, которое тело получает отсюда, не может сильно зависеть от скорости, с которой движется тело; но, подобно силе тяжести, его действие должно быть пропорционально времени его воздействия. Это читатель может найти более подробно объясненным самим сэром Исааком Ньютоном в послесловии к рассуждению, опубликованному мною в Философских трудах, № 371. Основное сопротивление, которое большинство жидкостей оказывает телам, возникает из силы инерции частей жидкостей, и это зависит от скорости, с которой движется тело, по двум причинам. Во-первых, количество жидкости, перемещаемое движущимся телом за любой определенный промежуток времени, пропорционально скорости, с которой движется тело; а во-вторых, скорость, с которой движется каждая частица жидкости, также будет пропорциональна скорости тела: поэтому, поскольку сопротивление, которое любое тело оказывает приведению в движение, пропорционально как количеству перемещаемой материи, так и скорости, с которой оно перемещается, сопротивление, которое жидкость оказывает по этой причине, будет двояко возрастать с увеличением скорости движущегося тела; то есть сопротивление будет находиться в двукратной или дупликатной пропорции к скорости, с которой тело движется сквозь жидкость.

10. Далее, совершенно очевидно, что этот последний вид сопротивления, возрастающий с увеличением скорости даже в большей степени, чем возрастает сама скорость, тем меньше будет соотноситься с другим видом сопротивления, чем быстрее движется тело: более того, эта часть сопротивления может быть настолько увеличена при должном возрастании скорости, что прежние сопротивления будут соотноситься с этим в меньшей пропорции, чем любая, которая могла бы быть назначена. И действительно, опыт показывает, что никакое другое сопротивление, кроме того, которое возникает из силы инерции частей жидкости, не имеет значения, когда тело движется со значительной быстротой.

11. Помимо этих, существует еще один вид сопротивления, встречающийся только в таких жидкостях, которые, подобно нашему воздуху, являются упругими. Упругость не присуща никакой известной нам жидкости, кроме воздуха. Благодаря этому свойству любое количество воздуха может быть сжато в меньшее пространство под воздействием давления, и как только сжимающая сила будет удалена, он снова распрямится до своих прежних размеров. Воздух, которым мы дышим, удерживается в своей нынешней плотности весом воздуха над нами. И поскольку этот давящий вес вследствие движения ветров или других причин часто меняется (что видно по барометру), то, когда этот вес наибольший, мы дышим более плотным воздухом, чем в другое время. До какой степени воздух расширился бы под действием своей пружины, если бы всякое давление было удалено, неизвестно, равно как и то, до каких пределов он способен сжиматься. Мистер Бойль экспериментально обнаружил, что он способен как к расширению, так и к сжатию до такой степени, что он мог заставить количество воздуха расшириться в пространстве, в несколько сотен тысяч раз большем, чем пространство, до которого он мог ограничить то же самое количество [111]. Но об этой пружине в воздухе я буду говорить более подробно в дальнейшем [112]. Сейчас я должен рассмотреть только то, какое сопротивление движению тел возникает из нее.

12. Но прежде чем наш автор покажет, каким образом действует эта причина сопротивления, он предлагает метод, с помощью которого жидкости могут быть сделаны упругими, доказывая, что если их частицы наделены силой отталкивания друг от друга, которая проявляет себя с силой, обратно пропорциональной расстояниям между центрами частиц, то такие жидкости будут соблюдать то же правило при сжатии, что и наш воздух, а именно: пространство, в которое он уступает при сжатии, обратно пропорционально сжимающему весу [113]. Термин «обратно пропорционально» был объяснен выше [114]. И если бы центробежная сила частиц действовала по другим законам, такие жидкости уступали бы сжатию иным образом [115].

13. Наделены ли частицы воздуха такой силой, посредством которой они могут воздействовать друг на друга вне контакта, наш автор не определяет, а оставляет это для будущего исследования и обсуждения философами. Он лишь пользуется случаем, чтобы рассмотреть сопротивление в упругих жидкостях в рамках этого понятия, делая по ходу дела замечания о различиях, которые возникнут, если их упругость проистекает из какого-либо другого источника [116]. И это, я думаю, должно быть признано сделанным им с большим суждением; ибо это, безусловно, самое разумное объяснение, которое было дано этой удивительной силе, что, несомненно, будет свободно признано любым, кто хотя бы немного задумается о недостаточности всех других догадок, которые были выстроены; а также о том, как мало оснований отказывать телам в других силах, посредством которых они могут воздействовать друг на друга на расстоянии, помимо силы тяжести; которая, как мы покажем в дальнейшем, является свойством, универсально присущим всем телам Вселенной и всем их частям [117]. Более того, мы фактически находим в магните весьма очевидную отталкивающую, равно как и притягивающую силу. Но об этом подробнее в заключении этого рассуждения.

14. Этими шагами наш автор прокладывает путь к объяснению сопротивления, которое воздух и подобные ему жидкости будут оказывать телам вследствие своей упругости; это сопротивление он объясняет так. Если бы упругая сила жидкости варьировалась так, чтобы всегда находиться в дупликатной пропорции к скорости сопротивляющегося тела, то показано, что тогда сопротивление, проистекающее из упругости, возрастало бы в дупликатной пропорции к скорости; настолько, что все сопротивление находилось бы в этой пропорции, за исключением лишь той малой части, которая возникает из трения между телом и частями жидкости. Отсюда следует, что, поскольку упругая сила одной и той же жидкости в действительности остается прежней, если скорость движущегося тела уменьшается, сопротивление от упругости, а следовательно, и все сопротивление, будет уменьшаться в меньшей пропорции, чем дупликатная к скорости; а если скорость увеличивается, сопротивление от упругости будет увеличиваться в меньшей пропорции, чем дупликатная к скорости, то есть в меньшей пропорции, чем сопротивление, оказываемое силой инерции частей жидкости. И на этом основании воздвигается доказательство свойства этого сопротивления, присущего упругости наравне с другими, проистекающими из вязкости и трения частей жидкости: что скорость может быть увеличена до тех пор, пока это сопротивление от упругости жидкости не будет иметь никакой значительной пропорции к тому, которое производится силой инерции оной [118]. Отсюда наш автор делает такой вывод: что сопротивление тела, которое движется очень быстро в упругой жидкости, почти такое же, как если бы жидкость не была упругой; при условии, что упругость возникает из центробежной силы частей среды, как было объяснено ранее, особенно если скорость настолько велика, что эта центробежная сила не успевает проявить себя [119]. Но следует заметить, что в доказательстве всего этого наш автор исходит из предположения об этой центробежной силе в частях жидкости; но если упругость вызвана расширением частей наподобие сжатой шерсти и подобных тел, посредством чего части жидкости будут в некоторой мере переплетены друг с другом, а их движение будет затруднено, жидкость будет в некотором роде вязкой и оказывать сопротивление по этой причине сверх того, что зависит только от ее упругости [120]; и сопротивление, проистекающее из этой причины, следует оценивать способом, изложенным ранее.

15. Теперь пора перейти ко второй части этой теории, которая состоит в том, чтобы назначить меру сопротивления в соответствии с пропорцией между плотностью тела и плотностью жидкости. Что здесь следует понимать под словом «плотность», было объяснено выше [121]. Для этой цели, поскольку наш автор ранее рассматривал два различных случая движения тел в средах: один, когда они противодействовали жидкости только своей силой инерции, и другой, когда при подъеме или спуске их вес соединялся с этой другой силой, — так же и сами жидкости следует рассматривать в двойном качестве: либо как имеющие свои части в покое и расположенные свободно без ограничений, либо как сжатые вместе под действием собственного веса или любой другой причины.

16. В первом случае, если части жидкости полностью свободны друг от друга, так что каждая частица вольна двигаться во все стороны без какого-либо препятствия, то показано, что если шар движется в такой жидкости, а шар и частицы жидкости наделены совершенной упругостью, так что, когда шар ударяется о частицы, они отскакивают и отделяются от шара с той же скоростью, с какой шар ударяет по ним, то сопротивление, которое испытывает шар, движущийся с любой известной скоростью, определяется следующим образом. По скорости шара будет известно время, за которое он прошел бы две трети своего диаметра с этой скоростью. И какую пропорцию плотность жидкости имеет к плотности шара, такую же пропорцию сопротивление, оказываемое шару, будет иметь к силе, которая, действуя подобно силе тяжести на шар без перерыва в течение упомянутого промежутка времени, породила бы в шаре ту же степень движения, с какой он движется в жидкости [122]. Но если ни шар, ни частицы жидкости не являются упругими, так что частицы при ударе шара о них не отскакивают от него, то сопротивление будет лишь вдвое меньше [123]. Далее, если частицы жидкости и шар несовершенно упруги, так что частицы будут отскакивать от шара лишь с частью той скорости, с которой шар ударяет по ним, то сопротивление будет средним между двумя предыдущими случаями, приближаясь ближе к первому или второму в зависимости от того, больше или меньше упругость [124].

17. Упругость, которая здесь приписывается частицам жидкости, — это не та сила отталкивания друг от друга, когда они вне контакта, посредством которой, как было упомянуто ранее, вся жидкость может быть сделана упругой, а только такая упругость, какую имеют многие твердые тела, восстанавливающие свою форму всякий раз, когда в ней происходит какое-либо насильственное изменение под воздействием импульса другого тела или иным образом. Каковая упругость была подробно объяснена выше [125].

18. Это случай несплошных жидкостей, где тело, нажимая на их частицы, гонит их перед собой, в то время как пространство позади тела остается пустым. Но в жидкостях, которые сжаты, так что их части, удаленные со своих мест сопротивляющимся телом, немедленно отступают позади тела и заполняют то пространство, которое в другом случае остается вакантным, сопротивление еще меньше; ибо шар в такой жидкости, которая свободна от всякой упругости, будет встречать сопротивление лишь вдвое меньшее, чем наименьшее сопротивление в первом случае [126]. Но под упругостью я теперь подразумеваю ту силу, которая делает упругой всю жидкость; если сжатая жидкость обладает ею, подобно воздуху, то сопротивление будет больше, чем по предыдущему правилу; ибо, будучи способной в некоторой степени к конденсации, она будет в этой мере напоминать случай несжатых жидкостей [127]. Но, как было сказано ранее, это различие наиболее значительно при медленных движениях.

19. Далее наш автор подробно определяет степени сопротивления, сопровождающие тела различных фигур; это последний из трех разделов, на которые мы разделили все рассуждение о сопротивлении. И в этом исследовании он обнаруживает весьма удивительное и неожиданное различие между свободными и сжатыми жидкостями. Он доказывает, что в первом случае шар испытывает лишь половину сопротивления, которое будет испытывать цилиндр, описывающий этот шар, если он движется в направлении своей оси [128]. Но в последнем он доказывает, что шар и цилиндр встречают одинаковое сопротивление [129]. И в целом, как бы ни различалась форма тел, если наибольшие сечения тел, перпендикулярные оси их движения, равны, то тела будут встречать равное сопротивление [130].

20. Вслед за различием, обнаруженным между сопротивлением шара и цилиндра в редких и несжатых жидкостях, наш автор приводит результат некоторых других исследований того же рода. Так, из всех усеченных конусов, которые могут быть описаны на одном и том же основании и с той же высотой, он показывает, как найти тот, который будет встречать наименьшее сопротивление из всех при движении в направлении своей оси [131]. И отсюда он выводит простой метод изменения фигуры любого сфероидального тела, так чтобы его объем мог быть увеличен, а сопротивление при этом уменьшено [132]: примечание, которое, как он полагает, может быть небесполезным для кораблестроителей. Он завершает определением тела, которое будет встречать наименьшее возможное сопротивление в этих несплошных жидкостях [133].