«Взгляд на философию сэра Исаака Ньютона»

49. Столь же легко оценить эффект, когда много блоков соединены вместе, как на рис. 39, 40; в первом из которых нижний набор блоков, а следовательно, и груз, удерживается шестью веревками; а на последнем рисунке — пятью: поэтому на первом из этих рисунков сила для поддержания груза должна составлять только одну шестую часть веса, а на последнем рисунке сила должна составлять одну пятую часть.

50. Существуют два других способа поддержания груза с помощью блоков, которые я рассмотрю особо.

51. Один из этих способов представлен на рис. 41. Здесь, поскольку груз соединен с блоком B, сила, равная половине веса A, поддержала бы блок C, если бы была приложена непосредственно к нему. Поэтому блок C тянется вниз с силой, равной половине веса A. Но если бы блок D поддерживался непосредственно половиной силы, с которой тянется вниз блок C, этот блок D поддерживал бы блок C; так что если блок D поддерживается с силой, равной одной четвертой части веса A, эта сила поддержит груз. Но по той же причине, что и раньше, если сила в E равна половине силы, необходимой для поддержания блока D; этот блок, а следовательно, и груз A, будут поддержаны: поэтому, если сила в E составляет одну восьмую часть веса A, она поддержит груз.

52. Другой способ применения блоков к грузу представлен на рис. 42. Чтобы объяснить эффект блоков, примененных таким образом, уместно рассмотреть различные грузы, висящие, как на рис. 43. Здесь, если сила и грузы уравновешивают друг друга, сила A равна грузу B; груз C равен удвоенной силе A, или грузу B; и по той же причине груз D равен удвоенному грузу C, или равен четырем силам A. Очевидно поэтому, что все три груза B, C, D вместе равны семи силам A. Но если бы эти три груза были соединены в один, они создали бы случай рис. 40: так что на том рисунке груз A, где есть три блока, в семь раз больше силы B. Если бы было только два блока, груз был бы в три раза больше силы; а если бы было четыре блока, груз был бы в пятнадцать раз больше силы.

53. Далее следует рассмотреть клин. Форма этого инструмента достаточно известна. Когда он подкладывается под какой-либо груз (как на рис. 44), сила, с которой клин поднимет груз, когда его загоняют под него ударом по концу A B, будет относиться к силе, с которой удар подействовал бы на груз, если бы был приложен непосредственно к нему, так же, как скорость, которую клин получает от удара, относится к скорости, с которой груз поднимается клином.

54. Винт — пятая механическая сила. Существует два способа применения этого инструмента. Иногда его ввинчивают в отверстие, как на рис. 45, где винт A B ввинчивается через доску C D. Иногда винт прикладывается к зубьям колеса, как на рис. 46, где резьба винта A B поворачивает зубья колеса C D. В обоих этих случаях, если стержень, такой как A E, закреплен на конце A винта; сила, с которой конец B винта на рис. 45 вдавливается вниз, и сила, с которой удерживаются зубья колеса C D на рис. 44, относятся к силе, приложенной к концу E стержня, так же, как скорость, с которой будет двигаться конец E при повороте винта, относится к скорости, с которой будет двигаться конец B винта на рис. 43 или зубья колеса C D на рис. 46.

55. Наклонная плоскость также дает возможность поднять груз с меньшей силой, чем та, которая равна самому грузу. Предположим, требуется поднять шар A (на рис. 47) с земли B C до точки, перпендикулярная высота которой от земли равна E D. Если этот шар тянуть вдоль склона D F, потребуется меньше силы для его подъема, чем если бы его поднимали прямо вверх. Здесь, если сила, приложенная к шару, относится к его весу только так, как E D относится к F D, этого будет достаточно, чтобы удержать шар; и поэтому любое добавление к этой силе приведет его в движение и потянет вверх; если только шар, прижимаясь к плоскости, на которой он лежит, не прилипает в некоторой степени к плоскости. Это, конечно, он должен делать всегда в большей или меньшей степени, поскольку ни одна плоскость не может быть сделана настолько абсолютно гладкой, чтобы не иметь никаких неровностей вообще; и не настолько бесконечно твердой, чтобы ни в малейшей степени не уступать давлению груза. Поэтому шар нельзя положить на такую плоскость, по которой он скользил бы с совершенной свободой, но они должны в некоторой мере тереться друг о друга; и это трение сделает необходимым применение определенной степени силы, большей, чем та, которая необходима для поддержания шара, чтобы придать ему какое-либо движение. Но поскольку все механические силы в той или иной степени подвержены подобному препятствию со стороны трения, я здесь покажу только то, какая сила была бы необходима для поддержания шара, если бы он мог лежать на плоскости, не вызывая никакого трения вообще. И я утверждаю, что если бы шар тянули за веревку G H, лежащую параллельно плоскости D F, и сила, с которой тянут веревку, относилась бы к весу шара так же, как E D относится к D F, эта сила поддержала бы шар. Чтобы доказать это, пусть веревка G H будет продолжена и перекинута через блок I, и пусть к ней будет подвешен груз K. Теперь я утверждаю, что если этот груз относится к шару A так же, как D E относится к D F, груз поддержит шар. Я думаю, совершенно очевидно, что центр шара A будет лежать на одной непрерывной линии с веревкой H G. Пусть L будет центром шара, а M — центром тяжести груза K. Во-первых, пусть груз висит так, чтобы линия, проведенная от L к M, лежала горизонтально; и я утверждаю, что если шар переместить вверх или вниз по плоскости D F, груз будет двигаться вместе с ним так, что общий центр тяжести обоих грузов будет оставаться на этой линии L M и, следовательно, ни в коем случае не опустится. Чтобы доказать это более полно, я немного отойду от метода этого трактата и воспользуюсь одной или двумя математическими пропорциями; но они таковы, что любой человек, прочитавший «Начала» Евклида, полностью их поймет; и они сами по себе настолько очевидны, что, я полагаю, мои читатели, которые совершенно не знакомы с геометрическими сочинениями, не встретят затруднений в их принятии. После этого вступления, пусть шар будет перемещен вверх, пока его центр не окажется в G, тогда M, центр тяжести груза K, опустится до N; так что M N будет равно G L. Проведите N G, пересекающую линию M L в O; тогда я утверждаю, что O — это общий центр тяжести двух грузов в этом их новом положении. Пусть G P будет проведено перпендикулярно к M L; тогда G L будет относиться к G P так же, как D F относится к D E; и поскольку M N равно G L, M N будет относиться к G P так же, как D F относится к D E. Но N O относится к O G так же, как M N относится к G P; следовательно, N O будет относиться к O G так же, как D F относится к D E. В последнюю очередь, вес шара A относится к другому грузу K так же, как D F относится к D E; поэтому N O относится к O G так же, как вес шара A относится к весу K. Откуда следует, что когда центр шара A находится в G, а центр тяжести груза K находится в N, O будет общим центром тяжести обоих грузов. Таким же образом, если бы шар заставили опускаться, общий центр тяжести был бы найден на этой линии M L. Поскольку, следовательно, никакое движение шара в любую сторону не заставит общий центр тяжести опуститься, очевидно, из того, что было сказано выше, что грузы A и K уравновешивают друг друга.

56. Теперь я рассмотрю случай маятников. Маятник делается путем подвешивания груза к линии, чтобы он мог качаться вперед и назад. Это движение геометры очень тщательно изучили, потому что это самый удобный инструмент из всех для точного измерения времени.

57. Я уже отмечал, что если тело, висящее перпендикулярно на нити, как тело A (на рис. 48) висит на нити A B, привести в движение так, чтобы оно поднималось по круговой дуге A C, то, как только оно достигнет высшей точки, до которой его донесет полученное движение, оно немедленно начнет опускаться и в точке A снова получит такую же степень движения, какую имело вначале. Это движение, следовательно, донесет тело вверх по дуге A D так же высоко, как оно поднималось ранее по дуге A C. Следовательно, при возвращении через дугу D A оно снова приобретет в A свою первоначальную скорость и продвинется второй раз вверх по дуге A C так же высоко, как в первый раз; таким образом, продолжая без конца свое возвратно-поступательное движение. Правда, на самом деле каждый маятник, который мы можем привести в движение, будет постепенно уменьшать свой размах и в конце концов остановится, если не будет какой-либо силы, постоянно приложенной к нему, благодаря которой его движение будет возобновляться; но это происходит из-за сопротивления, которое тело встречает как со стороны воздуха, так и со стороны нити, на которой оно висит: ибо, как воздух будет создавать некоторое препятствие продвижению тела, движущегося сквозь него, так и нить, на которой висит тело, будет дополнительным препятствием; ибо эта нить должна либо скользить по штифту, на котором она висит, либо она должна изгибаться при движении груза; в первом случае должно быть некоторое трение, а во втором нить будет оказывать некоторое сопротивление своему изгибу. Однако, если бы можно было устранить все сопротивление, движение маятника было бы вечным.

58. Но продолжим: первое свойство, которое я отмечу в этом движении, заключается в том, что чем большую дугу описывает маятниковое тело, тем больше времени оно затрачивает: хотя продолжительность времени не увеличивается в такой большой пропорции, как дуга. Так, если C D — большая дуга, а E F — меньшая, где C A равно A D, а E A равно A F; тело, когда оно качается по большей дуге C D, затратит на свой размах от C до D больше времени, чем при качании от E до F, когда оно движется только по этой меньшей дуге; или время, за которое тело, отпущенное из C, опустится по дуге C A, больше, чем время, за которое оно опустится по дуге E A, будучи отпущенным из E. Но первое из этих времен не будет находиться в той же пропорции к последнему, в какой первая дуга C A относится к другой дуге E A; что будет выглядеть так. Пусть C G и E H будут двумя горизонтальными линиями. Выше было отмечено, что тело при падении по дуге C A приобретет в точке A такую же скорость, какую оно получило бы при падении прямо вниз через G A; а при падении по дуге E A оно приобретет в точке A только ту скорость, которую получило бы при падении через H A. Поэтому, когда тело опускается по большей дуге C A, оно приобретет большую скорость, чем когда оно проходит только по меньшей; так что эта большая скорость в некоторой степени компенсирует большую длину дуги.

59. Увеличение скорости, которое тело приобретает при падении с большей высоты, имеет такой эффект, что если провести прямые линии от A к C и E, тело упало бы по более длинной прямой линии C A точно за то же время, что и по более короткой прямой линии E A. Это доказано геометрами, которые доказывают, что если любой круг, такой как A B C D (рис. 49), поместить в перпендикулярное положение, тело будет падать наклонно по каждой линии, такой как A B, проведенной из низшей точки A в круге к любой другой точке на окружности, точно за то же время, которое было бы затрачено телом при падении перпендикулярно вниз через диаметр C A. Но время, за которое тело опустится по дуге, отличается от времени, которое оно затратило бы при падении по линии A B.

60. Некоторые полагали, что поскольку в очень малых дугах эта соответствующая прямая линия мало отличается от самой дуги, то спуск по этой прямой линии в таких малых дугах совершался бы почти за то же время, что и по самим дугам: так что если бы маятник качался в малых дугах, половина времени одного размаха была бы почти равна времени, за которое тело упало бы перпендикулярно через удвоенную длину маятника. То есть все время размаха, согласно этому мнению, будет в четыре раза больше времени, необходимого для падения тела через половину длины маятника; потому что время падения тела через удвоенную длину маятника составляет половину времени, необходимого для падения через одну четверть этого пространства, то есть через половину длины маятника. Однако здесь есть ошибка; ибо все время размаха, когда маятник движется по малым дугам, относится к времени, необходимому для падения тела через половину длины маятника, почти в той же пропорции, в какой окружность круга относится к его диаметру; то есть почти в пропорции 355 к 113, или чуть больше, чем пропорция 3 к 1. Если маятник делает такой большой размах, что проходит дугу, равную одной шестой части всей окружности круга, он качнется 115 раз, в то время как должен был бы, согласно этой пропорции, качнуться 117 раз; так что, когда он качается по такой большой дуге, он теряет чуть меньше двух размахов на сто. Если он качается только по 1/10 круга, он не потеряет более одной вибрации на 160. Если он качается по 1/20 круга, он потеряет около одной вибрации на 690. Если его размах ограничен 1/40 всего круга, он потеряет чуть больше одного размаха на 2600. И если он делает размах не более чем по 1/60 всего круга, он не потеряет ни одного размаха на 5800.

61. Теперь отсюда следует, что когда маятники качаются по малым дугам, между временем их размаха и временем, за которое тело упало бы перпендикулярно вниз через половину их длины, наблюдается почти постоянная пропорция. И мы заявили выше, что пространства, через которые падают тела, находятся в двойной пропорции к временам, которые они затрачивают на падение. Поэтому в маятниках разной длины, качающихся по малым дугам, длины маятников находятся в двойной или дублированной пропорции к временам, которые они затрачивают на качание; так что маятник в четыре раза длиннее другого будет затрачивать вдвое больше времени на каждый размах, маятник в девять раз длиннее сделает один размах только на три размаха более короткого, и так далее.

62. Эта пропорция в размахах разных маятников сохраняется не только в малых дугах, но и в больших, при условии, что они являются такими, которые геометры называют подобными; то есть если дуги находятся в той же пропорции к целым окружностям своих соответствующих кругов. Предположим (на рис. 48) A B, C D — два маятника. Пусть дуга E F будет описана движением маятника A B, а дуга G H будет описана маятником C D; и пусть дуга E F находится в той же пропорции к целой окружности, которая образовалась бы при повороте маятника A B вокруг точки A, в какой дуга G H находится к целой окружности, которая образовалась бы при повороте маятника C D вокруг точки C. Тогда я утверждаю, что пропорция, в которой длина маятника A B относится к длине маятника C D, будет в два раза больше пропорции, в которой время, затраченное на описание дуги E F, относится к времени, затраченному на описание дуги G H.

63. Таким образом, маятники, которые качаются по очень малым дугам, являются почти равной мерой времени. Но поскольку они не являются такой равной мерой с геометрической точностью, математики нашли метод заставить маятник качаться так, что если бы его движению не препятствовало никакое сопротивление, он всегда совершал бы каждый размах за одно и то же время, независимо от того, двигался ли он по большему или меньшему пространству. Это было впервые открыто великим Гюйгенсом и заключается в следующем. На прямой линии A B (на рис. 49) пусть круг C D E будет расположен так, чтобы касаться прямой линии в точке C. Затем пусть этот круг катится по прямой линии A B, как колесо кареты катится по земле. Очевидно, что как только круг начнет двигаться, точка C в круге будет поднята с прямой линии A B; и при движении круга опишет кривой путь, который представлен линией C F G H. Здесь часть C H прямой линии, заключенная между двумя концами C и H линии C F G H, будет равна всей окружности круга C D E; и если C H разделить на две равные части в точке I, и провести прямую линию I K перпендикулярно к C H, эта линия I K будет равна диаметру круга C D E. Теперь на этой линии, если бы тело было отпущено из точки H и переносилось бы своим весом вниз по линии H G K, до точки K, которая является низшей точкой линии C F G H; и если бы из любой другой точки G тело было отпущено таким же образом, это тело, которое падает из G, затратило бы точно такое же время на приход в K, как тело, которое падает из H. Поэтому, если маятник можно подвесить так, чтобы шар двигался по линии A G F E, все его размахи, длинные или короткие, будут совершаться за одно и то же время; ибо время, за которое шар опустится до точки K, всегда составляет половину времени всего размаха. Но шар маятника будет заставлен качаться по этой линии следующими средствами. Пусть K I (на рис. 52) будет продолжено вверх до L, пока I L не станет равно I K. Затем пусть линия L M H, равная и подобная K H, будет приложена, как на рисунке, между точками L и H, так что точка, которая в этой линии L M H соответствует точке H в линии K H, будет приложена к точке L, а точка, соответствующая точке K, будет приложена к точке H. Также пусть другая такая линия L N C будет приложена между L и C таким же образом. После этой подготовки, если маятник подвесить в точке L такой длины, что его шар достигнет K; и если нить будет постоянно изгибаться вдоль линий H M L и L N C, по мере того как маятник качается туда и обратно; этим способом шар будет постоянно оставаться на линии C K H.

64. Поскольку в этом маятнике все колебания, будь то длинные или короткие, совершаются за одно и то же время, то время каждого из них будет находиться в точно таком же отношении к времени, необходимому для падения тела вертикально вниз на половину длины маятника, то есть от I до K, в каком окружность круга относится к его диаметру.

65. Отсюда можно в некоторой степени понять, почему при колебаниях маятников по дугам окружности время их колебаний почти одинаково, если дуги малы, даже если эти дуги имеют весьма неравную длину; ибо если с полудиаметром L K описать дугу окружности O K P, то эта дуга в своей нижней части будет очень мало отличаться от линии C K H.

66. Здесь, возможно, стоит заметить, что тело будет падать по этой линии C K H (рис. 53) из точки C в любую другую точку, например Q или R, за меньшее время, чем если бы оно двигалось по прямой линии, проведенной из C в эту другую точку, или по любой другой линии, которую можно провести между этими двумя точками.

67. Но поскольку я заметил, что время, затрачиваемое маятником на колебание, зависит от его длины, я теперь скажу несколько слов о том, каким образом следует оценивать эту длину маятника. Если бы весь груз маятника можно было сосредоточить в одной точке, то эта длина, по которой следует вычислять движение маятника, была бы длиной нити или стержня. Однако груз маятника должен обладать ощутимой величиной, и различные части этого груза будут двигаться с разной степенью быстроты; ибо те части, которые находятся дальше всего от точки подвеса маятника, должны двигаться с наибольшей скоростью. Поэтому, чтобы узнать время, за которое совершает колебание маятник, необходимо найти ту точку груза, которая движется с такой же степенью скорости, как если бы весь груз был сжат в эту точку.

68. Эта точка не является центром тяжести, как я сейчас постараюсь показать. Предположим, что маятник A B (на рис. 54), состоящий из негибкого стержня A C и груза C B, закреплен в точке A и поднят в горизонтальное положение. Если бы стержень не был закреплен в точке A, тело C B опускалось бы прямо вниз под действием всей силы своей тяжести, и каждая часть тела двигалась бы вниз с одинаковой степенью быстроты. Но когда стержень закреплен в точке A, тело должно падать иначе; ибо части тела должны двигаться с разной степенью скорости: части, более удаленные от A, опускаются с более быстрым движением, чем части, находящиеся ближе к A, так что при опускании тело будет совершать своего рода вращательное движение. Однако выше было замечено, что действие силы тяжести на любое тело такое же, как если бы вся сила была приложена к центру тяжести тела.

Поскольку, следовательно, сила тяжести, притягивающая тело вниз, должна также сообщать ему только что описанное вращательное движение, представляется очевидным, что центр тяжести тела не может опускаться так быстро, как тогда, когда сила тяжести не производит на тело никакого другого действия, кроме простого притяжения вниз. Если бы, следовательно, вся материя тела C B могла быть сосредоточена в его центре тяжести, так что, будучи объединенной в одну точку, это упомянутое здесь вращательное движение не препятствовало бы его падению, то этот центр опускался бы быстрее, чем он может сейчас. И точка, которая сейчас опускается так же быстро, как если бы вся материя тела C B была сосредоточена в ней, будет находиться дальше от точки A, чем центр тяжести тела C B.

69. Далее, предположим, что маятник A B (на рис. 55) висит наклонно. Здесь сила тяжести будет действовать на груз маятника меньше, чем прежде; но если провести линию D E так, чтобы она была перпендикулярна стержню A C маятника, то сила тяжести, действующая на тело C B в этом положении, произведет тот же эффект, как если бы тело скользило вниз по наклонной плоскости, расположенной как D E. Но здесь движение тела, когда стержень закреплен в точке A, не будет равно непрерывному падению тела по этой плоскости; ибо тело и здесь получит тот же вид вращения в своем движении, что и прежде; так что движение центра тяжести будет аналогичным образом замедлено; и точка, которая здесь опускается с той степенью быстроты, которую имело бы тело, если бы ему не препятствовало закрепление в точке A, — то есть точка, которая опускается так же быстро, как если бы все тело было сосредоточено в ней, — будет находиться на таком же расстоянии от точки A, как и прежде.

70. Эта точка, по которой следует оценивать длину маятника, называется центром качания. Математики установили общие правила, позволяющие находить этот центр во всех телах. Если шар A B (на рис. 56) подвешен на нити C D, весом которой можно пренебречь, то центр качания находится следующим образом. Пусть прямая линия, проведенная из C в D, будет продолжена через шар до F. Очевидно, что она пройдет через центр шара. Предположим, что E — это центр шара, и возьмем линию G такой длины, чтобы она относилась к E D так же, как E D относится к E C. Тогда, если принять E H равным 2/5 от G, точка H будет центром качания. Если вес стержня C D слишком значителен, чтобы им пренебречь, разделим C D (рис. 57) в точке I так, чтобы D I было равно 1/3 части C D, и возьмем K в таком же отношении к C I, в каком вес шара A B относится к весу стержня C D. Затем, найдя H, центр качания шара, как и прежде, разделим I K в точке L так, чтобы I L относилось к L H так же, как линия C H относится к K; и L будет центром качания всего маятника.

71. Это вычисление сделано в предположении, что центром качания стержня C D, если бы он качался один без какого-либо другого присоединенного веса, была бы точка I. И эта точка была бы истинным центром качания, поскольку толщиной стержня можно пренебречь. Если кто-либо пожелает принять во внимание толщину стержня, он должен поместить его центр качания настолько ниже точки I, чтобы восемь расстояний этого центра от точки I относились к толщине стержня так же, как толщина стержня относится к его длине C D.

72. Выше было замечено, что когда маятник качается по дуге окружности, как здесь на рис. 58, маятник A B качается по дуге окружности C D; если провести горизонтальную линию, например E F, от места, откуда маятник отпускается, до линии A G, которая перпендикулярна горизонту, то скорость, которую маятник приобретет, дойдя до точки G, будет такой же, какую приобрело бы любое тело при падении прямо вниз из F в G. Это следует понимать применительно к дуге окружности, описываемой центром качания маятника. Я замечу здесь далее, что если провести прямую линию E G из точки, откуда маятник падает, в низшую точку дуги, то в одних и тех же или в равных маятниках скорость, которую маятник приобретает в G, пропорциональна этой линии: то есть, если маятник после того, как он опустился из E в G, будет отведен назад в H и отпущен оттуда, и будет проведена линия H G, то скорость, которую маятник приобретет в G при своем падении из H, будет относиться к скорости, которую он приобретает при падении из E в G, так же, как прямая линия H G относится к прямой линии E G.

73. Теперь мы можем перейти к тем экспериментам по удару тел, которые, как я отмечал выше, можно проводить с помощью маятников. Этот способ исследования эффектов удара был впервые предложен нашим покойным великим архитектором сэром Кристофером Реном. И он заключается в следующем. Два шара, A и B (на рис. 59), равные или неравные, подвешены на двух нитях из двух точек C и D так, что когда шары висят без движения, они едва касаются друг друга, а нити параллельны. Здесь, если один из этих шаров отвести на любое расстояние от его перпендикулярного положения, а затем отпустить, чтобы он опустился и ударил по другому, то, согласно последнему предыдущему параграфу, будет известно, с какой скоростью этот шар вернется в свое первое перпендикулярное положение и, следовательно, с какой силой он ударит по другому шару; а по высоте, на которую этот другой шар поднимется после удара, будет обнаружена скорость, сообщенная этому шару. Например, пусть шар A будет поднят в E и отпущен оттуда, чтобы ударить по B, пройдя при своем опускании дугу окружности E F. Под действием этого импульса пусть B взлетит в G, двигаясь по дуге окружности H G. Затем, если провести горизонтально E I и G K, шар A ударит по B со скоростью, которую он приобрел бы при падении прямо вниз из I; а шар B получил скорость, с которой, если бы он был брошен прямо вверх, он поднялся бы до K. Точно так же, если провести прямые линии из E в F и из H в G, скорость A, с которой он ударяет, будет относиться к скорости, которую B получил от удара, так же, как прямая линия E F относится к прямой линии H G. Таким же образом, отметив место, до которого A поднимается после удара, можно сравнить его оставшуюся скорость с той, с которой он ударил по B. Так можно экспериментально проверить эффекты удара тела A по покоящемуся телу B. Если оба тела подняты и отпущены так, чтобы встретиться и столкнуться друг с другом как раз в момент прихода обоих в их перпендикулярное положение, то, наблюдая места, в которые они перемещаются после удара, можно найти эффекты их удара во всех этих случаях таким же образом, как и прежде.

74. Сэр Исаак Ньютон описал эти эксперименты и показал, как усовершенствовать их для большей точности, учитывая сопротивление, которое воздух оказывает движению шаров. Но поскольку это сопротивление чрезвычайно мало, а способ его учета изложен им самим в очень ясных выражениях, мне нет нужды распространяться об этом здесь. Я лучше расскажу об открытии, которое он сделал с помощью этих экспериментов относительно упругости тел. Выше было объяснено, что при столкновении двух тел, если они неупругие, они остаются соприкасающимися после удара; но если они упругие, они разделяются, и степень их упругости определяет отношение между быстротой, с которой они разделяются, и быстротой, с которой они встречаются. Наш автор обнаружил, что степень упругости одних и тех же тел всегда остается одинаковой, с какой бы силой они ни сталкивались; то есть быстрота, с которой они разделялись, всегда находилась в одном и том же отношении к быстроте, с которой они встречались: так что упругая сила во всех телах, на которых он проводил испытания, проявляла себя в постоянном отношении к сжимающей силе. Наш автор проводил испытания с шарами из шерсти, связанными очень плотно, и обнаружил, что быстрота, с которой они отскакивали, относится к быстроте, с которой они встречались, примерно как 5 к 9; и в стали он обнаружил почти такое же отношение; в пробке упругость была несколько меньше, но в стекле — гораздо больше; ибо быстрота, с которой шары из этого материала разделялись после удара, как он обнаружил, относится к быстроте, с которой они встречались, как 15 к 16.

75. Я закончу свое рассуждение о маятниках лишь этим дальнейшим наблюдением, что центр качания является также центром другой силы. Если тело закреплено в какой-либо точке и, будучи приведено в движение, вращается вокруг нее, то тело, если его не прерывает сила тяжести или какие-либо другие средства, будет вечно продолжать двигаться с тем же равномерным движением. Теперь сила, с которой движется такое тело, вся объединена в точке, которая по отношению к силе тяжести называется центром качания. Пусть цилиндр A B C D (на рис. 60), ось которого E F, закреплен в точке E. И, предполагая, что точка E — это та, на которой подвешен цилиндр, найдем центр качания на оси E F, как было объяснено выше. Пусть G будет этим центром: тогда я утверждаю, что сила, с которой этот цилиндр вращается вокруг точки E, так объединена в точке G, что достаточная сила, приложенная в этой точке, остановит движение цилиндра таким образом, что цилиндр немедленно останется без движения, даже если бы он был освобожден от точки E в тот же самый момент, когда препятствие было приложено к G: тогда как, если бы это препятствие было приложено к любой другой точке оси, цилиндр вращался бы вокруг точки, где было приложено препятствие. Если бы препятствие было приложено между E и G, цилиндр вращался бы вокруг точки, где было приложено препятствие, так, что конец B C продолжал бы двигаться в ту же сторону, в которую он двигался раньше вместе со всем цилиндром; но если бы препятствие было приложено к оси дальше от E, чем G, конец A D цилиндра вырвался бы из своего нынешнего места в ту сторону, в которую двигался цилиндр. Из этого свойства центра качания его также называют центром удара. Тот выдающийся математик, доктор Брук Тейлор, далее развил это учение о центре удара, показав, что если через эту точку G провести линию, например G H I, перпендикулярную E F и лежащую на пути движения тела, то достаточная сила, приложенная к любой точке этой линии, будет иметь тот же эффект, что и подобная сила, приложенная к G: так что, как мы ранее показали центр удара внутри тела на его оси, этим способом мы можем найти этот центр и на поверхности тела, ибо он будет там, где эта линия H I пересекает эту поверхность.

76. Теперь я перейду к последнему виду движения, который следует рассмотреть в этом месте, и покажу, какую линию заставит описать тело сила тяжести, когда оно брошено вперед с какой-либо силой. Это было впервые открыто великим Галилеем и является принципом, которым должны руководствоваться инженеры при стрельбе из больших орудий. Но поскольку в этом случае тела описывают при своем движении одну из тех линий, которые в геометрии называются коническими сечениями, необходимо предварительно описать эти линии. В чем я буду тем более подробен, поскольку знание их необходимо не только для настоящей цели, но и потребуется в дальнейшем в некоторых из основных частей этого трактата.

77. Первыми линиями, рассматриваемыми древними геометрами, были прямая линия и круг. Из них они составляли различные фигуры, о которых доказали многие свойства и решили разнообразные задачи, касающиеся их. Эти задачи они всегда пытались решать путем описания прямых линий и кругов. Например, пусть предложен квадрат A B C D (рис. 61) и требуется построить другой квадрат в любом заданном отношении к этому. Продлим одну сторону, например D A, этого квадрата до E, пока A E не будет относиться к A D так же, как новый квадрат должен относиться к квадрату A C. Если противоположную сторону B C квадрата A C также продлить до F, пока B F не станет равным A E, а затем провести E F, я полагаю, мои читатели легко поймут, что фигура A B F E будет относиться к квадрату A B C D в том же отношении, в каком линия A E относится к линии A D. Следовательно, фигура A B F E будет равна новому квадрату, который нужно найти, но сама по себе не является квадратом, потому что сторона A E не той же длины, что сторона E F. Но чтобы найти квадрат, равный фигуре A B F E, вы должны поступить так. Разделите линию D E на две равные части в точке G и из центра G с интервалом G D опишите круг D H E I; затем продлите линию A B, пока она не встретит круг в K; и постройте квадрат A K L M, который будет равен фигуре A B F E и будет относиться к квадрату A B C D в том же отношении, в каком линия A E относится к A D.

78. Я не буду переходить к доказательству этого, приведя его здесь лишь как образец метода решения геометрических задач путем описания прямых линий и кругов. Но существуют некоторые задачи, которые невозможно решить путем проведения прямых линий или кругов на плоскости. Поэтому для их решения они приняли во внимание объемные фигуры, и из объемных фигур они нашли ту, которая называется конусом, наиболее полезной.

79. Конус определяется Евклидом в его «Началах геометрии» следующим образом. Если к прямой линии A B (на рис. 62) провести другую прямую линию, например A C, перпендикулярно, и соединить две крайние точки B и C третьей прямой линией, составляющей треугольник A C B (ибо так называется каждая фигура, заключенная между тремя прямыми линиями), то при неподвижных точках A и B, как двух центрах, и вращении треугольника A C B вокруг линии A B как оси, линия A C опишет круг, а фигура A C B опишет конус формы, представленной фигурой B C D E F (рис. 63), в которой круг C D E F обычно называется основанием конуса, а B — вершиной.

80. Теперь с помощью этой фигуры можно решить несколько задач, которые невозможно решить простым описанием прямых линий и кругов на плоскости. Предположим, например, требуется сделать куб, который должен находиться в любом заданном отношении к некоторому другому названному кубу. Мне нет нужды сообщать моим читателям, что куб — это фигура игральной кости. Эта задача была очень знаменита среди древних и однажды была подкреплена повелением оракула. Эту задачу можно выполнить с помощью конуса следующим образом. Сначала постройте конус из треугольника, сторона A C которого будет равна половине длины стороны B C. Затем на плоскости A B C D (рис. 64) пусть будет представлена линия E F, равная по длине стороне предлагаемого куба; и пусть линия F G будет проведена перпендикулярно E F и такой длины, чтобы она относилась к E F так же, как искомый куб должен относиться к предлагаемому кубу. Через точки E, F и G опишите круг F H I. Затем пусть линия E F будет продлена за F до K так, чтобы F K было равно F E, и пусть треугольник F K L, имеющий все свои стороны F K, K L, L F равными друг другу, будет подвешен перпендикулярно плоскости A B C D. После этого пусть другая плоскость M N O P будет проведена через точку L так, чтобы она была равноудалена от прежней плоскости A B C D, и в этой плоскости пусть будет проведена линия Q L R так, чтобы она была равноудалена от линии E F K. Подготовив все это таким образом, приложите такой конус, как было указано выше, к плоскости M N O P так, чтобы он касался этой плоскости на линии Q R, а вершина конуса была приложена к точке L. Этот конус, разрезая первую плоскость A B C D, пересечет круг F H I, описанный ранее. И если из точки S, где поверхность этого конуса пересекает круг, провести линию S T так, чтобы она была равноудалена от линии E F, то линия F T будет равна стороне искомого куба: то есть, если образованы два куба или игральные кости, сторона одного из которых равна E F, а сторона другого равна F T, то первый из этих кубов будет находиться в том же отношении к последнему, в каком линия E F относится к F G.

81. Конечно, это размещение конуса для разрезания плоскости не является практическим методом решения задач. Но когда геометры открыли это применение конуса, они применили себя к рассмотрению природы линий, которые будут получены при пересечении поверхности конуса и плоскости; благодаря чему они могли бы быть способны как применить эти виды решений на практике, так и сделать свои доказательства краткими и элегантными.

82. Всякий раз, когда плоскость, разрезающая конус, равноудалена от другой плоскости, касающейся конуса сбоку (что имеет место в настоящей фигуре), линия, по которой плоскость разрезает поверхность конуса, называется параболой. Но если плоскость, разрезающая конус, так наклонена к этой другой, что она пройдет насквозь через весь конус (как на рис. 65), такая плоскость при разрезании конуса образует фигуру, называемую эллипсом, в котором, как мы покажем далее, Земля и другие планеты движутся вокруг Солнца. Если плоскость, разрезающая конус, наклонена в другую сторону (как на рис. 66) так, чтобы не быть параллельной ни одной плоскости, на которой может лежать конус, и при этом не разрезать конус насквозь, такая плоскость образует в конусе третий вид линии, которая называется гиперболой. Но именно первая из этих названных линий, парабола, является той, по которой тела, брошенные наклонно, будут переноситься силой тяжести; как я сейчас перейду к показу, предварительно научив моих читателей, как описать этот вид линии на плоскости, чтобы можно было увидеть ее форму.

83. К любой прямой линии A B (рис. 67) приложите прямую линейку C D так, чтобы она стояла к ней перпендикулярно. На краю этой линейки поместите другую линейку E F так, чтобы она двигалась вдоль края первой линейки C D и всегда оставалась перпендикулярной ей. При таком расположении возьмите любую точку, например G, на линии A B и прикрепите нить, равную по длине линейке E F, одним концом к точке G, а другим — к концу F линейки E F. Затем, если удерживать нить прижатой к линейке E F булавкой H, как представлено на фигуре, то острие этой булавки, пока линейка E F движется по линейке C D, опишет линию I K L, которая будет одной частью кривой линии, описание которой мы здесь должны были преподать; и, приложив линейки таким же образом с другой стороны линии A B, мы можем описать другую часть I M этой линии. Если расстояние C G равно половине линии E F на рис. 64, то линия M I L будет той самой линией, по которой плоскость A B C D на той фигуре разрезает конус.

84. Линия A I называется осью параболы M I L, а точка G называется фокусом.

85. Теперь, сравнивая эффекты силы тяжести на падающие тела с тем, что доказано геометрами об этой фигуре, доказывается, что каждое тело, брошенное наклонно, переносится вперед по одной из этих линий, ось которой перпендикулярна горизонту.

86. Геометры доказывают, что если провести линию, касающуюся параболы в любой точке, например линию A B (на рис. 68), касающуюся параболы C D, ось которой Y Z, в точке E; и провести несколько линий F G, H I, K L параллельно оси параболы, то F G будет относиться к H I в дубликатном отношении E F к E H, а F G к K L — в дубликатном отношении E F к E K; точно так же H I к K L — в дубликатном отношении E H к E K. Что следует понимать под дубликатным или двукратным отношением, уже было объяснено. Соответственно, я имею здесь в виду, что если взять линию M, относящуюся к E H так же, как E H относится к E F, то H I будет относиться к F G так же, как M относится к E F; и если линия N относится к E K так же, как E K относится к E F, то K L будет относиться к F G так же, как N относится к E F; или если линия O относится к E K так же, как E K относится к E H, то K L будет относиться к H I так же, как O относится к E H.

87. Это свойство является существенным для параболы, будучи настолько связанным с природой фигуры, что каждая линия, обладающая этим свойством, должна называться этим именем.

88. Теперь предположим, что тело брошено из точки A (на рис. 69) в сторону B в направлении линии A B. Это тело, если его предоставить самому себе, двигалось бы равномерным движением по этой линии A B. Предположим, что глаз наблюдателя помещен в точку C прямо под точкой A; и представим себе, что Земля приведена в движение вместе с телом так, чтобы переносить глаз наблюдателя вдоль линии C D, параллельной A B; и что глаз двигался бы с той же скоростью, с которой тело двигалось бы по линии A B, если бы оно было предоставлено самому себе без какого-либо возмущения от его тяготения к Земле. В этом случае, если бы тело двигалось, не притягиваясь к Земле, оно казалось бы наблюдателю покоящимся. Но если бы сила тяжести воздействовала на тело, оно казалось бы наблюдателю падающим прямо вниз. Предположим, что за промежуток времени, в течение которого тело под действием собственного поступательного движения переместилось бы из A в E, оно показалось бы наблюдателю упавшим на длину, равную E F: тогда тело в конце этого времени фактически прибудет в точку F. Если за промежуток времени, в течение которого тело переместилось бы под действием своего поступательного движения из A в G, оно показалось бы наблюдателю упавшим на пространство G H: тогда тело в конце этого большего интервала времени прибудет в точку H. Теперь, если линия A F H I — это та, по которой тело фактически проходит, то из сказанного здесь будет следовать, что эта линия является одной из тех, которые я описывал под названием параболы. Ибо расстояния E F, G H, на которые тело, как видно, падает, будут возрастать в дубликатном отношении ко времени; но линии A E, A G будут пропорциональны временам, за которые они были бы описаны одним лишь поступательным движением тела: следовательно, линии E F, G H будут находиться в дубликатном отношении к линиям A F, A G; и линия A F H I обладает свойством параболы.

89. Если предположить, что Земля не движется вместе с телом, случай будет немного иным. Ибо тело, постоянно притягиваемое прямо к центру Земли, в своем движении будет отклоняться в направлении, немного наклонном к тому, в котором оно притягивалось бы Землей в движении, как предполагалось ранее. Но расстояние до центра Земли находится в столь огромном отношении к наибольшей длине, на которую мы можем бросать тела, что эта наклонность не заслуживает никакого внимания. Из продолжения этого рассуждения можно, действительно, заключить, какую линию тело, брошенное таким образом, будет описывать, если сделать поправку на эту наклонность действия Земли. Это открытие сэра Исаака Ньютона, но оно не имеет применения в данном месте. Здесь вполне достаточно рассматривать тело как движущееся по параболе.

90. Поскольку линия, которую описывает брошенное тело, таким образом известна, отсюда были выведены практические методы для направления выстрела больших орудий в любую желаемую цель. Эта работа была впервые предпринята Галилеем, а вскоре после этого усовершенствована его учеником Торричелли; но в последнее время была доведена до большей полноты великим мистером Коутсом, чья безвременная смерть является невыразимой потерей для математической науки. Если требуется бросить тело из точки A (на рис. 70) так, чтобы оно попало в точку B, проведите через точки A, B прямую линию C D и возведите линию A E перпендикулярно горизонту, равную учетверенной высоте, с которой тело должно упасть, чтобы приобрести скорость, с которой тело предполагается бросить. Через точки A и E опишите круг, который должен касаться линии C D в точке A. Затем из точки B проведите линию B F перпендикулярно горизонту, пересекающую круг в точках G и H. После этого, если тело будет брошено прямо в направлении любой из этих точек G или H, оно упадет в точку B; но с той разницей, что если оно будет брошено в направлении A G, оно прибудет в B раньше, чем если бы оно было брошено в направлении A H. Когда тело брошено в направлении A G, время, которое оно затратит на прибытие в B, будет относиться к времени, за которое оно упало бы с высоты одной четвертой части A E, так же, как A G относится к половине A E. Но когда тело брошено в направлении A H, время его прохождения до B будет относиться к времени, за которое оно упало бы с высоты одной четвертой части A E, так же, как A H относится к половине A E.

91. Если провести линию A I так, чтобы она делила угол E A D пополам, и провести линию I K перпендикулярно горизонту, то эта линия коснется круга в точке I, и если тело будет брошено в направлении A I, оно упадет в точку K: и эта точка K является самой дальней точкой на линии A D, в которую тело может быть направлено, не увеличивая своей скорости.

92. Скорость, с которой тело движется в любой точке, можно найти следующим образом. Предположим, что тело движется по параболе A B (рис. 71). Возведите A C перпендикулярно горизонту, равную высоте, с которой тело должно упасть, чтобы приобрести скорость, с которой оно выходит из A. Если взять любые точки, например D и E, на параболе и провести D F и E G параллельно горизонту, то скорость тела в D будет равна той, которую тело приобрело бы при падении под действием собственного веса с высоты C F, а в E скорость будет такой же, как та, что была бы приобретена при падении с высоты C G. Таким образом, тело движется медленнее всего в высшей точке H параболы; на равных расстояниях от этой точки оно будет двигаться с равной быстротой и опускаться из этой высшей точки по линии H B совершенно так же, как по линии A H, по которой оно поднималось; за вычетом лишь сопротивления воздуха, которое здесь не рассматривается. Если провести линию H I из высшей точки H параллельно горизонту, то A I будет равно 1/4 от B G на рис. 70, когда тело брошено в направлении A G, и равно 1/4 от B H, когда тело брошено в направлении A H, при условии, что A D проведена горизонтально.

93. Таким образом, я перечислил основные открытия, которые были сделаны относительно движения тел предшественниками сэра Исаака Ньютона; все эти открытия, будучи подтвержденными опытом, способствовали установлению законов движения, из которых они были выведены. Поэтому я закончу здесь то, что должен был сказать об этих законах, и завершу эту главу несколькими словами о различии, которое следует проводить между абсолютным и относительным движением. Ибо некоторые сочли уместным смешивать их вместе, поскольку они наблюдают, что законы движения действуют здесь, на Земле, которая находится в движении, таким же образом, как если бы она была в покое. Но сэр Исаак Ньютон был осторожен, проводя различие между относительным и абсолютным рассмотрением как движения, так и времени. Астрономы древности находили необходимым делать это различие во времени. Время, рассматриваемое само по себе, течет равномерно, без отношения к чему-либо внешнему, являясь надлежащей мерой продолжения и длительности всех вещей. Но чаще всего мы представляем его себе в относительном виде, по отношению к некоторой последовательности в чувственных вещах, которые мы воспринимаем. Последовательность мыслей в нашем собственном уме — это то, откуда мы получаем наше первое представление о времени, но это очень ненадежная его мера; ибо мысли одних людей текут гораздо быстрее, чем мысли других; да и один и тот же человек не мыслит одинаково быстро во все времена. Движения небесных тел более регулярны; и выдающееся деление времени на день и ночь, производимое Солнцем, побуждает нас измерять наше время движением этого светила: и в делах жизни мы не заботимся о каком-либо неравенстве, которое может быть в этом движении; но промежуток времени, который охватывает день и ночь, скорее предполагается всегда одинаковым. Однако астрономы древности обнаружили, что эти промежутки времени не всегда одинаковы по длине, и научили, как вычислять их различия. Теперь время, когда оно уравнено так, чтобы стать совершенно равным, является истинной мерой длительности, а другое — нет. И поэтому последнее, которое является абсолютно истинным временем, отличается от другого, которое является лишь кажущимся. И как мы обычно не делаем различия между кажущимся временем, измеряемым Солнцем, и истинным, так мы часто не различаем в нашей обычной речи реальное и кажущееся или относительное движение тел; но используем одни и те же слова для одного, как использовали бы для другого. Хотя все вещи вокруг нас действительно находятся в движении вместе с Землей, поскольку это движение невидимо, мы говорим о движении всего, что видим, как если бы мы сами и Земля стояли на месте. И даже в других случаях, когда мы различаем движение тел, мы часто говорим о них не в отношении ко всему движению, которое видим, а по отношению к другим телам, к которым они прилегают. Если какое-либо тело лежит на столе, когда этот стол перемещается, мы говорим, что тело покоится на столе, или, возможно, абсолютно, что тело находится в покое. Однако философы не должны отвергать всякое различие между истинными и кажущимися движениями, так же как астрономы не отвергают различие между истинным и обыденным временем; ибо между ними существует столь же реальная разница, как это станет ясно из следующего соображения. Предположим, что все тела вселенной остановили свои курсы и приведены в полный покой. Затем предположим, что их нынешние движения снова восстановлены; это не может быть сделано без фактического воздействия, оказанного по крайней мере на некоторые из них. Если какие-либо из них оставить нетронутыми, они сохранят свое прежнее состояние, то есть по-прежнему останутся в покое; но другие тела, на которые воздействовали, изменят свое прежнее состояние покоя на противоположное состояние движения. Давайте теперь предположим, что тела, оставленные в покое, аннигилированы; это не внесет никаких изменений в состояние движущихся тел; но эффект воздействия, которое было на них оказано, по-прежнему будет существовать. Это показывает, что движение, которое они получили, является абсолютной вещью и не имеет необходимой зависимости от отношения, которое тело, называемое движущимся, имеет к любому другому телу.

94. Кроме того, абсолютное и относительное движение различимы по их эффектам. Один эффект движения заключается в том, что тела, будучи приведены в движение вокруг какого-либо центра или оси, приобретают определенную силу, посредством которой они с силой отталкивают себя от этого центра или оси движения. Как когда тело вращается в праще, тело давит на пращу и готово вылететь, как только ему будет дана свобода. И эта сила пропорциональна истинному, а не относительному движению тела вокруг такого центра или оси. Об этом сэр Исаак Ньютон приводит следующий пример. Если ведро или подобный сосуд, почти полный воды, подвесить на нити достаточной длины и вращать, пока нить не будет сильно скручена. Если затем, как только сосуд и вода в нем станут неподвижными и в покое, сосуд быстро повернуть в сторону, противоположную той, в которую была скручена нить, сосуд за счет раскручивания нити будет продолжать свое движение долгое время. И когда сосуд только начинает вращаться, вода в нем получит мало или ничего от движения сосуда, но постепенно будет получать передачу движения, пока, наконец, не станет вращаться так же быстро, как сам сосуд. Теперь определение движения, которое Декарт дал нам на этом принципе сведения всего движения к чисто относительному, таково: движение — это перемещение любого тела из его соседства с другими телами, которые находились в непосредственном контакте с ним и рассматриваются как покоящиеся. И если сравнить это с тем, что он вскоре после этого говорит, что в движущемся теле нет ничего реального или положительного, ради чего мы приписываем ему движение, чего нельзя было бы найти в такой же мере в соприкасающихся телах, которые рассматриваются как покоящиеся, то из этого будет следовать, что мы можем рассматривать сосуд как покоящийся, а воду как движущуюся в нем: и вода по отношению к сосуду имеет наибольшее движение, когда сосуд только начинает вращаться, и теряет это относительное движение все больше и больше, пока, наконец, оно совсем не прекратится. Но теперь, когда сосуд только начинает вращаться, поверхность воды остается гладкой и плоской, как и до того, как сосуд начал двигаться; но по мере того, как движение сосуда постепенно передает движение воде, будет замечено, что поверхность воды меняется, вода оседает в середине и поднимается у краев: это поднятие воды вызвано тем, что ее части давят от оси, вокруг которой они движутся; и поэтому эта сила удаления от оси движения зависит не от относительного движения воды внутри сосуда, а от ее абсолютного движения; ибо она наименьшая, когда это относительное движение наибольшее, и наибольшая, когда это относительное движение наименьшее или отсутствует вовсе.

95. Таким образом, истинную причину того, что проявляется на поверхности этой воды, нельзя указать, не рассматривая движение воды внутри сосуда. Так же и в системе мира, чтобы найти причину планетных движений, мы должны знать о реальных движениях, которые принадлежат каждой планете, больше, чем это абсолютно необходимо для нужд астрономии. Если бы астроном предположил, что Земля стоит на месте, он мог бы приписать небесным телам такие движения, которые отвечали бы всем видимым явлениям; хотя он не объяснил бы их столь простым образом, как приписыванием движения Земле. Но движение Земли необходимо должно быть рассмотрено, прежде чем могут быть обнаружены реальные причины, приводящие в действие планетную систему.

Глава III. О ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНЫХ СИЛАХ.

Мы только что описывали в предыдущей главе эффекты, производимые на тело в движении от того, что на него постоянно воздействует сила, всегда равная по силе и действующая в параллельных направлениях. Но на тела могут воздействовать силы, которые в разных местах будут иметь разные степени силы и чьи различные направления будут по-разному наклонены друг к другу. Самая простая из них в отношении направления — это когда сила постоянно направлена к одному центру. Это действительно случай той силы, эффекты которой мы описали в предыдущей главе; хотя центр этой силы настолько удален, что предмет, рассматриваемый нами тогда, наиболее удобно рассматривать в том свете, в котором мы его представили. Но сэр Исаак Ньютон очень подробно рассмотрел этот другой случай сил, которые постоянно направлены к одному и тому же центру. Именно на этом фундаменте воздвигнуты все его открытия в системе мира. И поэтому, поскольку этот предмет занимает столь значительную долю в философии, о которой я рассуждаю, я считаю уместным в этом месте кратко рассмотреть некоторые общие эффекты этих сил, прежде чем мы перейдем к их применению в частности к системе мира.

2. Эти силы сэром Исааком Ньютоном называются центростремительными; и их первый эффект заключается в том, что они заставляют тело, на которое они воздействуют, покинуть прямой курс, по которому оно двигалось бы, если бы его не беспокоили, и описать искривленную линию, которая всегда будет изогнута к центру силы. Не обязательно, чтобы такая сила заставляла тело приближаться к этому центру. Тело может продолжать удаляться от центра силы, несмотря на то, что оно притягивается этой силой; но это свойство всегда должно принадлежать его движению, что линия, по которой оно движется, будет постоянно вогнутой к центру, к которому направлена сила. Предположим, что A (на рис. 72) — это центр силы. Пусть тело в B движется в направлении прямой линии B C, по которой оно продолжало бы двигаться, если бы его не беспокоили; но, будучи притягиваемым центростремительной силой к A, тело должно неизбежно отклониться от этой линии B C и, будучи втянутым в кривую линию B D, должно пройти между линиями A B и B C. Очевидно, следовательно, что тело в B, постепенно отклоняясь от прямой линии B C, сначала будет выпуклым по отношению к линии B C и, следовательно, вогнутым по отношению к точке A: ибо предполагается, что эти центростремительные силы по силе пропорциональны силе тяжести и, подобно ей, не способны подобно импульсу мгновенно заметно отклонить тело с его курса на другой, а требуют некоторого промежутка времени для производства видимого эффекта. Что кривая всегда будет продолжать иметь свою вогнутость к A, может быть показано следующим образом. На линии B C вблизи B возьмите любую точку, например E, из которой можно провести линию E F G так, чтобы она касалась кривой линии B D в некоторой точке, например F. Теперь, когда тело придет в F, если бы центростремительная сила была немедленно приостановлена, тело больше не продолжало бы двигаться по кривой линии, а, будучи предоставлено самому себе, немедленно возобновило бы прямой курс; и этот прямой курс был бы по линии F G: ибо эта линия находится в направлении движения тела в точке F. Но поскольку центростремительная сила продолжает свое действие, тело будет постепенно отклоняться от этой линии F G так, чтобы оставаться на линии F D, и делать эту линию вблизи точки F выпуклой по отношению к F G и вогнутой по отношению к A. Таким же образом можно проследить за телом на его пути по линии B D и показать, что каждая часть этой линии вогнута по отношению к точке A.