«Взгляд на философию сэра Исаака Ньютона»

25. После того как это установлено, мы можем теперь сравнить эффекты одной и той же силы на разные тела, подобно тому как до сих пор мы показывали эффекты разных сил на одно и то же тело. И здесь, если мы ограничим слово «движение» тем особым смыслом, который придается ему в философии, мы сможем охватить все, что нужно сказать по этому поводу, одним кратким правилом: одна и та же сила, к какому бы телу она ни была приложена, всегда будет производить одну и ту же степень движения. Но здесь движение означает не степень быстроты или скорости, с которой движется тело, в каком смысле мы до сих пор его использовали; оно используется в философии специально для обозначения силы, с которой движется тело: так, если два тела A и B находятся в движении и для остановки A требуется вдвое большая сила, чем для остановки B, то движение A будет считаться вдвое большим, чем движение B. В движущихся телах следует тщательно различать эти две вещи: их скорость или быстроту, которая измеряется пространством, проходимым ими за любой определенный промежуток времени, и количество их движения, или силу, с которой они будут давить на любое препятствие. Эта сила, когда разные тела движутся с одинаковой скоростью, пропорциональна количеству твердой материи в телах; но если тела равны, эта сила пропорциональна их соответствующим скоростям, а в других случаях она пропорциональна как количеству твердой материи в теле, так и его скорости. Приведем пример на двух телах A и B: если A вдвое больше B и оба имеют одинаковую скорость, то движение A будет вдвое больше движения B; и если тела равны, а скорость A вдвое больше скорости B, то движение A также будет вдвое больше движения B; но если A вдвое больше B и движется вдвое быстрее, то движение A будет в четыре раза больше движения B; и, наконец, если A вдвое больше B, а движется лишь вдвое медленнее, то степень их движения будет одинаковой.

26. Это особый смысл, придаваемый слову «движение» философами, и в этом смысле слова одна и та же сила всегда производит одно и то же количество или степень движения. Если одна и та же сила действует на два тела A и B, скорости, которые она придаст каждому из них, будут так соотнесены с соответствующими телами, что в каждом из них будет произведена одна и та же степень движения. Если A вдвое больше B, его скорость будет составлять половину скорости B; если A содержит в три раза больше твердой материи, чем B, скорость A будет составлять одну треть скорости B; и вообще скорость, приданная A, будет находиться в таком же отношении к скорости, приданной B, в каком количество твердой материи, содержащейся в теле B, относится к количеству твердой материи, содержащейся в A.

27. Причина всего этого очевидна из того, что было сказано ранее. Если бы к B была приложена сила, которая относилась бы к силе, приложенной к A, так же, как тело B относится к A, то тела B и A получили бы одинаковую скорость; и скорость, которую B получит от этой силы, будет относиться к скорости, которую оно получило бы от действия силы, приложенной к A, так же, как первая из этих сил относится к последней: то есть скорость, которую A получает от приложенной к нему силы, будет относиться к скорости, которую B получил бы от той же силы, в той же пропорции, в какой тело B относится к A.

28. Отсюда мы можем теперь перейти к третьему закону движения, где это различие между скоростью тела и его полным движением требует дальнейшего учета, что будет немедленно показано после того, как мы сначала проиллюстрируем смысл этого закона на простом примере. Если камень или другой груз тянет лошадь, груз противодействует лошади настолько же, насколько лошадь действует на груз; ибо упряжь, натянутая между ними, давит на лошадь так же сильно, как и на груз; и поступательное движение лошади вперед затрудняется грузом настолько же, насколько движение груза поощряется усилием лошади: то есть, если бы лошадь приложила ту же силу, будучи освобожденной от груза, она двигалась бы вперед с большей быстротой, пропорциональной разнице между весом ее собственного тела и весом ее самой вместе с грузом.

29. Этот пример даст некоторое общее представление о смысле этого закона. Но перейдем к более философскому объяснению: если движущееся тело ударяется о другое, находящееся в покое, то, как бы мало ни было ударяющее тело, оно все же сообщит некоторую степень движения телу, по которому ударяет, хотя чем меньше это тело по сравнению с тем, на которое оно налетает, и чем меньше скорость, с которой оно движется, тем меньше будет сообщенное движение. Но какую бы степень движения оно ни передало покоящемуся телу, столько же оно само потеряет. Это необходимое следствие вышеупомянутой силы инерции материи. Ибо предположим, что два тела равны; очевидно, что с момента их встречи оба тела должны приводиться в движение единым движением первого; поэтому тело, находящееся в движении, благодаря своей силе инерции сохраняя движение, первоначально ему данное, ударяет по другому с той же силой, с которой воздействовали на него самого: но теперь, поскольку оба тела должны приводиться в движение той силой, которая прежде двигала только одно, последующая скорость будет такой же, как если бы сила, которая была приложена к одному из тел и привела его в движение, была приложена к обоим; откуда видно, что они будут двигаться вперед с половиной той скорости, которую имело тело, бывшее первым в движении: то есть первое двинувшееся тело потеряет половину своего движения, а другое приобретет ровно столько же. Это правило верно при условии, что тела остаются соприкасающимися после встречи; как они всегда и делали бы, если бы не некая причина, которая часто вмешивается и которую теперь необходимо объяснить. Тела при ударе друг о друга претерпевают изменение формы, их части вдавливаются внутрь от удара, которые по большей части отскакивают обратно впоследствии, так как тела стремятся восстановить свою прежнюю форму. Эта сила, благодаря которой тела способны восстановить свою первоначальную форму, обычно называется их упругостью, и когда она действует, она отталкивает тела друг от друга и заставляет их разделиться. Теперь эффект этой упругости в данном случае таков, что если тела идеально упруги, так что они отскакивают с такой же силой, с какой они были сжаты, и восстанавливают свою форму за то же время, которое было затрачено на изменение ее при их сжатии вместе, то эта сила разделит тела так же быстро, как они до этого сближались, и, воздействуя на оба одинаково — на тело, бывшее первым в движении, против направления, в котором оно движется, а на другое — столько же в направлении его движения, — она отнимет у первого и добавит другому равные степени скорости: так что, поскольку сила достаточно велика, чтобы разделить их с такой же скоростью, с какой они сближались, первое будет полностью остановлено, а то, которое было в покое, получит все движение другого. Если тела упруги в меньшей степени, первое не потеряет всего своего движения, а другое не приобретет движения первого, но будет настолько меньше его, насколько другое сохранит. Ибо это правило никогда не нарушается: хотя степень упругости определяет, насколько больше половины своей скорости потеряет тело, бывшее первым в движении, все же в каждом случае потеря в движении этого тела будет передана другому, причем это другое тело всегда получает при ударе столько движения, сколько отнято у первого.

30. Таков случай тела, ударяющегося прямо о равное ему покоящееся тело, и используемое здесь рассуждение полностью подтверждается опытом. Существует много других случаев столкновения тел друг с другом, но упоминание о них мы оставим для следующей главы, где мы намерены быть более подробными и обстоятельными в доказательстве этих законов движения, чем мы были здесь.

Глава II. Дальнейшие доказательства законов движения.

Выведя в предыдущей главе три закона движения, изложенные нашим великим философом, из самых очевидных наблюдений, которые наводят нас на них, я теперь намерен дать более подробные доказательства этих законов, перечислив некоторые открытия, сделанные в философии до сэра Исаака Ньютона. Ибо, поскольку все они были собраны путем рассуждений на основе этих законов, соответствие этих открытий опыту делает их столь же многими доказательствами истинности принципов, из которых они были выведены.

2. Начнем с темы, которой завершилась последняя глава. Хотя движущееся тело не равно покоящемуся телу, о которое оно ударяется, движение после удара должно оцениваться так же, как и выше. Пусть A (на рис. 3) будет телом, движущимся к другому телу B, лежащему в покое. Когда A достигает B, оно не может двигаться дальше, не приведя B в движение; и какое движение оно передает B, столько же оно должно потерять само, чтобы общая степень движения A и B вместе, если ни одно из тел не является упругим, была равна после встречи тел единому движению A до удара. Поэтому из сказанного выше очевидно, что как только два тела встретились, они будут двигаться вместе со скоростью, которая будет относиться к первоначальной скорости A так же, как тело A относится к сумме обоих тел.

3. Если тела упруги, так что они разделятся после удара, A должно потерять большую часть своего движения, а последующее движение B будет увеличено этой упругостью настолько, насколько движение A уменьшено ею. Упругость, действуя одинаково между обоими телами, сообщит каждому одну и ту же степень движения; то есть она разделит тела, отнимая у тела A и добавляя телу B различные степени скорости, пропорциональные их соответствующим количествам материи, так что степень движения, с которой A отделяется от B, будет равна степени движения, с которой B отделяется от A. Отсюда следует, что скорость, отнятая у A упругостью, относится к скорости, которую та же упругость добавляет B, в той же пропорции, в какой B относится к A: следовательно, скорость, которую упругость отнимает у A, будет относиться ко всей скорости, с которой эта упругость заставляет два тела отделяться друг от друга, так же, как тело B относится к сумме двух тел A и B; а скорость, которая добавляется к B упругостью, относится к скорости, с которой тела разделяются, в той же пропорции, в какой тело A относится к сумме двух тел A и B. Таким образом находится, сколько упругость отнимает от скорости A и добавляет к скорости B, при условии, что известна степень упругости, чтобы определить общую скорость, с которой тела разделяются друг от друга после удара [45].

4. Таким образом определяется в каждом случае результат удара движущегося тела о другое, находящееся в покое. Те же принципы определят эффекты и тогда, когда оба тела находятся в движении.

5. Пусть два равных тела движутся навстречу друг другу с равной быстротой. Тогда, поскольку сила, с которой каждое из них давит вперед, при ударе равна, и каждое давит в своем направлении с одинаковой энергией, ни одно не одолеет другое, но оба остановятся, если они не упруги: ибо если они упруги, то они отсюда восстановят новое движение и разойдутся друг от друга так же быстро, как встретились, если они идеально упруги; но медленнее, если менее упруги. Таким же образом, если два тела неравной величины ударяются друг о друга и их скорости соотносятся так, что скорость меньшего тела превышает скорость большего в той же пропорции, в какой большее тело превышает меньшее (например, если одно тело содержит вдвое больше твердой материи, чем другое, и движется вдвое медленнее), два таких тела полностью подавят движение друг друга и останутся с момента встречи неподвижными, если, как и прежде, они не упруги; но если они упруги в высшей степени, они разойдутся снова, каждое с той же скоростью, с которой встретились. Ибо эта упругая сила, как и в предыдущем случае, возобновит их движение и, давя одинаково на оба, сообщит одинаковое движение обоим; то есть заставит скорость, которую получает меньшее тело, относиться к скорости, которую получает большее, так же, как большее тело относится к меньшему: так что скорости после удара будут находиться в той же пропорции друг к другу, что и до него. Поэтому, если тела, будучи идеально упругими, имеют сумму своих скоростей после удара равную сумме своих скоростей до удара, каждое тело после удара получит свою первоначальную скорость. И та же пропорция сохранится также между скоростями, с которыми они расходятся, даже если они упруги в меньшей степени; только тогда скорость каждого будет меньше пропорционально недостатку упругости.

6. Если скорости, с которыми тела встречаются, не находятся в предполагаемой здесь пропорции, но если одно из тел, например A, имеет более быструю скорость по сравнению со скоростью другого, то эффект этого избытка скорости в теле A должен быть присоединен к эффекту, только что упомянутому, по образцу следующего примера. Пусть A вдвое больше B и движется с той же быстротой, что и B. Здесь A движется с вдвое большей степенью быстроты, чем та, которая соответствовала бы вышеупомянутой пропорции. Ибо, поскольку A вдвое больше B, если бы оно двигалось лишь с половиной той быстроты, с которой продвигается B, было только что показано, что два тела при встрече остановились бы, если бы они не были упруги; и если бы они были упруги, то каждое из них отскочило бы так, что A вернулось бы с половиной скорости, с которой вернулось бы B. Но из этого очевидно, что B при столкновении с A аннулирует половину его скорости, если тела не упруги; и будущее движение тел будет таким же, как если бы A наступало на покоящееся B с половиной скорости, здесь ему приписанной. Если тела упруги, скорость A и B после удара может быть обнаружена следующим образом. По мере того как два тела движутся навстречу друг другу, скорость, с которой они встречаются, складывается из скоростей обоих тел. После удара их упругость снова разделит их. Степень упругости определит, какую пропорцию скорость, с которой они разделяются, должна иметь к той, с которой они встречаются. Разделите эту скорость, с которой тела разделяются, на две части так, чтобы одна из частей относилась к другой в той же пропорции, в какой тело A относится к B; и припишите меньшую часть большему телу A, а большую часть скорости — меньшему телу B. Затем вычтите часть, приписанную A, из общей скорости, которую A и B имели бы после удара, если бы они не были упруги; и добавьте часть, приписанную B, к той же общей скорости. Таким образом будут узнаны истинные скорости A и B после удара.

7. Если тела идеально упруги, великий Гюйгенс установил следующее правило для нахождения их движения после столкновения [46]. Проведя любую прямую линию CD (на рис. 4, 5), разделим ее в точке E так, чтобы CE относилось к ED так же, как быстрота A относилась к быстроте B до удара. Пусть та же линия CD будет также разделена в точке F так, чтобы CF относилось к FD так же, как тело B относится к телу A. Затем, взяв FG равным FE, если точка G попадает внутрь линии CD, оба тела отскочат после удара, и скорость, с которой тело A вернется, будет относиться к скорости, с которой вернется B, так же, как GC относится к GD; но если точка G попадает вне линии CD, то тела после своего столкновения будут продолжать двигаться в одну и ту же сторону, и скорость A будет относиться к скорости B в той же пропорции, в какой GC относится к GD, как и прежде.

8. Если бы тело B стояло неподвижно и приняло на себя импульс другого тела A, эффект был бы уже объяснен в случае, когда тела не упруги. А когда они упруги, результат их столкновения находится путем объединения эффекта упругости с другим эффектом, таким же образом, как и в последнем случае.

9. Когда тела идеально упруги, правило Гюйгенса [47] здесь состоит в том, чтобы разделить линию CD (рис. 6) в точке E, как и прежде, и взять EG равным ED. И этими точками, найденными таким образом, определяется движение каждого тела после удара, как и прежде.

10. В следующем месте предположим, что тела A и B оба движутся в одну сторону, но A с более быстрым движением, так что оно нагоняет B и ударяется о него. Эффект перкуссии или удара, когда тела не упруги, обнаруживается путем нахождения общего движения, которое два тела имели бы после удара, если бы B было в покое, а A наступало на него со скоростью, равной избытку текущей скорости A над скоростью B; и путем прибавления к этой общей скорости, найденной таким образом, скорости B.

11. Если тела упруги, эффект упругости должен быть объединен с этим другим, как и в предыдущих случаях.

12. Когда тела идеально упруги, правило Гюйгенса [48] в этом случае состоит в том, чтобы продолжить CD (рис. 7) и отложить на нем, таким образом продолженном, CE в той же пропорции к ED, в какой большая скорость A относится к меньшей скорости B; после чего, взяв FG равным FE, скорости двух тел после удара будут определены, как и в двух предыдущих случаях.

13. Таким образом, я изложил сумму того, что было написано о последствиях перкуссии, когда два свободно движущихся тела ударяются прямо друг о друга; и результаты, здесь изложенные как следствие наших рассуждений из законов движения, отвечают самым точным образом опыту. Был изобретен особый набор экспериментов, чтобы испытать эти эффекты перкуссии с величайшей точностью. Но я должен отложить эти эксперименты до тех пор, пока не объясню природу маятников [49]. Поэтому я теперь перейду к описанию некоторых явлений, которые вызываются в телах под влиянием силы тяжести, объединенной с общими законами движения; среди которых будет включено движение маятника.

14. Самым простым из этих явлений является падение тел просто под действием их веса. В этом случае тело постоянно увеличивает свою скорость в течение всего времени своего падения, и притом в той же самой пропорции, в какой увеличивается время. Ибо сила тяжести действует на тело постоянно с одной и той же степенью силы: и выше, в первом законе движения, было замечено, что тело, будучи однажды приведено в движение, будет вечно сохранять это движение без продолжения какого-либо внешнего влияния на него: поэтому, после того как тело было однажды приведено в движение силой тяжести, оно продолжало бы это движение, даже если бы сила тяжести перестала действовать на него дальше; но если сила тяжести продолжает все еще тянуть тело вниз, к телу должны постоянно добавляться новые степени движения; и поскольку сила тяжести действует во все времена с одной и той же силой, равные степени движения будут постоянно добавляться в равные промежутки времени.

15. Этот вывод, по правде говоря, не является абсолютно верным: ибо мы обнаружим далее [50], что сила тяжести не имеет одинаковой силы на всех расстояниях от центра Земли. Но ничто из этого ни в малейшей степени не ощутимо на любом расстоянии, на которое мы можем перемещать тела. Вес тел по ощущениям совершенно одинаков на самых высоких башнях или горах, как и на ровной земле; так что во всех наблюдениях, которые мы можем сделать, вышеупомянутая пропорция между скоростью падающего тела и временем, в течение которого оно опускалось, соблюдается без какой-либо малейшей заметной разницы.

16. Отсюда следует, что пространство, через которое падает тело, не пропорционально времени падения; ибо, поскольку тело увеличивает свою скорость, в последней части падения за тот же промежуток времени будет пройдено большее пространство, чем в начале. Предположим, тело, сброшенное из точки A (на рис. 8), опускалось из A в B за любой промежуток времени; тогда если бы за равный промежуток времени оно продолжило путь из B в C, я утверждаю, что пространство BC больше, чем AB; так что время падения из A в C, будучи вдвое больше времени падения из A в B, AC будет более чем вдвое больше AB.

17. Геометры доказали, что пространства, через которые тела падают таким образом под действием своего веса, находятся в дупликатной или двукратной пропорции к временам, в течение которых тело падало. То есть, если бы мы взяли линию DE в той же пропорции к AB, в какой время, затраченное телом на падение из A в C, относится к времени падения из A в B, то AC будет относиться к DE в той же пропорции. В частности, если время падения через AC вдвое больше времени падения через AB, то DE будет вдвое больше AB, а AC — вдвое больше DE; или AC — в четыре раза больше AB. Но если бы время падения через AC было втрое больше времени падения через AB, DE было бы втрое больше AB, а AC — втрое больше DE; то есть AC было бы равно девятикратной величине AB.

18. Если тело падает косо, оно будет приближаться к земле более медленными степенями, чем когда оно падает перпендикулярно. Предположим, проведены две линии AB, AC (на рис. 9), одна перпендикулярная, а другая косая к земле DE: тогда если бы тело опускалось по наклонной линии AC, поскольку сила тяжести тянет тело прямо вниз, если линия AC поддерживает тело от падения таким образом, она должна отнять часть эффекта силы тяжести; так что за время, которое было бы достаточным для того, чтобы тело упало через всю перпендикулярную линию AB, тело не прошло бы по линии AC длину, равную AB; следовательно, поскольку линия AC длиннее AB, тело, безусловно, затратит больше времени на прохождение через AC, чем оно затратило бы на падение перпендикулярно вниз через AB.

19. Геометры доказывают, что время, за которое тело опустится по косой прямой линии AC, относится к времени его спуска по перпендикуляру AB так же, как сама линия AC относится к AB. А что касается скорости, которую тело приобретет в точке C, они также доказывают, что продолжительность времени, затраченного на спуск через AC, настолько компенсирует уменьшение влияния гравитации из-за наклона этой линии, что, хотя сила тяжести на тело противодействует наклону линии AC, время спуска тела будет настолько продлено, что тело приобретет в точке C ту же самую скорость, которую оно получило бы в точке B при падении перпендикулярно вниз.

20. Если бы тело опускалось по кривой линии, время его спуска нельзя определить столь простым образом; но доказано, что то же свойство относительно скорости имеет место во всех случаях: то есть, по какой бы линии ни опускалось тело, скорость всегда будет соответствовать перпендикулярной высоте, с которой тело упало. Например, предположим, тело A (на рис. 10) было подвешено на нити к штифту B. Если это тело отпустить, пока оно не придет в точку C перпендикулярно под B, оно переместится из A в C по дуге круга. Тогда, если провести горизонтальную линию AD, скорость тела в C будет такой же, как если бы оно упало из точки D прямо вниз в C.

21. Если тело брошено перпендикулярно вверх с какой-либо силой, скорость, с которой тело поднимается, будет постоянно уменьшаться, пока, наконец, не исчезнет вовсе; и с этого времени тело начнет падать снова и пройдет второй раз при своем спуске линию, по которой оно поднималось; падая через эту линию с возрастающей скоростью таким образом, что в каждой ее точке, через которую оно падает, оно будет иметь ту же самую скорость, которую оно имело в том же месте при подъеме; и, следовательно, вернется в то место, откуда оно впервые поднялось, со скоростью, которая была первоначально ему дана. Таким образом, если бы тело было брошено перпендикулярно вверх по линии AB (на рис. 11) с такой силой, чтобы оно остановилось в точке B и там начало падать снова, то, когда оно при своем спуске достигнет любой точки, например C на этой линии, оно будет иметь там ту же скорость, с которой оно проходило мимо этой точки C при своем подъеме; а в точке A оно приобретет такую же скорость, с какой оно было впервые брошено вверх. Поскольку это доказано геометрическими писателями, я думаю, это станет очевидным, если только учесть, что пока тело опускается, сила тяжести должна совершить снова, в обратном порядке, все то влияние, которое она имела на тело при его подъеме, чтобы снова дать телу те же степени скорости, которые она отняла до этого.

22. Таким же образом, если бы тело было брошено вверх по косой прямой линии CA (на рис. 9) из точки C с такой степенью скорости, чтобы едва достичь точки A, оно под действием собственного веса вернется снова по линии AC с теми же степенями, с какими оно поднималось.

23. И, наконец, если бы тело было брошено с какой-либо скоростью по линии, постоянно искривленной вверх, подобный эффект был бы произведен при его возвращении в точку, откуда оно было брошено. Предположим, например, тело A (на рис. 12) было подвешено на нити AB. Тогда, если это тело толкнуть в любую сторону, оно должно двигаться по дуге круга. Пусть оно получит такой импульс, который заставит его двигаться по дуге AC; и пусть этот импульс будет такой силы, чтобы тело могло быть перенесено из A так далеко, как D, прежде чем его движение будет преодолено его весом: я утверждаю здесь, что тело, немедленно возвращаясь из D, снова придет в точку A с той же скоростью, с которой оно начало двигаться.

24. В этом месте будет уместно заметить относительно силы тяжести, что ее воздействие на любое тело вовсе не зависит от формы тела; но что она остается постоянно одной и той же без всякого изменения в одном и том же теле, какое бы изменение ни было сделано в фигуре тела: и если тело разделить на любое число кусков, все эти куски будут весить ровно столько же, сколько они весили, будучи соединенными в одно тело: и если тело имеет однородную структуру, вес каждого куска будет пропорционален его объему. Это дало основание заключить, что сила тяжести действует на тела пропорционально количеству материи в них. Откуда должно следовать, что все тела должны падать с равных высот за одно и то же время. И поскольку мы явно видим обратное на перьях и подобных веществах, которые падают очень медленно по сравнению с более твердыми телами, разумно предположить, что какая-то другая причина способствует столь явному различию. Эта причина была найдена особыми экспериментами — это воздух. Эксперименты для этой цели проводятся так. Они устанавливают очень высокий полый стеклянный сосуд; внутри него около верха они помещают перо и какое-нибудь очень тяжелое тело, обычно кусок золота, так как этот металл является самым тяжелым из всех известных нам тел. Это стекло они освобождают от содержащегося в нем воздуха и, двигая проволоку, которая проходит через верх стекла, позволяют перу и тяжелому телу упасть вместе; и всегда обнаруживается, что, поскольку оба тела начинают опускаться в одно и то же время, они сопровождают друг друга при падении и достигают дна в один и тот же момент, насколько глаз может судить. Таким образом, насколько можно доверять этому эксперименту, несомненно, что эффект силы тяжести на каждое тело пропорционален количеству твердой материи, или силе инерции в каждом теле. Ибо в ограниченном смысле, который мы придали выше слову «движение», было показано, что одна и та же сила сообщает всем телам одну и ту же степень движения, а разные силы сообщают разные степени движения, пропорциональные соответствующим силам [51]. В этом случае, если бы сила тяжести действовала одинаково на перо и на более твердое тело, твердое тело опускалось бы настолько медленнее пера, чтобы не иметь большей степени движения, чем перо: но поскольку оба тела опускаются с равной быстротой, степень движения в твердом теле больше, чем в пере, относясь к ней в той же пропорции, в какой количество материи в твердом теле относится к количеству материи в пере. Поэтому эффект гравитации на твердое тело больше, чем на перо, пропорционально большей степени сообщенного движения; то есть эффект силы тяжести на твердое тело относится к ее эффекту на перо так же, как количество материи в твердом теле относится к количеству материи в пере. Таким образом, правильный вывод из этого эксперимента состоит в том, что сила тяжести действует не только на поверхность тел, но проникает в сами тела самым интимным образом и действует одинаково на каждую частицу материи в них. Но поскольку огромная быстрота, с которой падают тела, оставляет некоторую неуверенность в том, падают ли они абсолютно за одно и то же время или только настолько близко друг к другу, что разница в их быстром движении неразличима для глаза, это свойство силы тяжести, которое здесь было выведено из этого эксперимента, дополнительно подтверждается маятниками, чье движение таково, что очень малая разница стала бы достаточно заметной. Об этом будет подробнее сказано в другом месте [52]; но здесь я воспользуюсь принципом, который только что изложил, чтобы объяснить природу того, что называется центром тяжести в телах.

25. Центр тяжести — это та точка, за которую если подвесить тело, оно будет висеть в покое в любом положении. В шаре однородной структуры центр тяжести совпадает с центром шара; ибо, поскольку части шара со всех сторон от его центра расположены подобным образом, а сила тяжести действует одинаково на каждую часть, очевидно, что части шара по каждую сторону от центра тянутся с равной силой, и поэтому ни одна сторона не может уступить другой; но шар, если его поддерживать за центр, должен по необходимости висеть в покое. Подобным образом, если два равных тела A и B (на рис. 13) подвешены за концы негибкого стержня CD, который не должен иметь веса, эти тела, если стержень поддерживать за его середину E, будут находиться в равновесии, и стержень останется без движения. Ибо, поскольку тела равны и находятся на одинаковом расстоянии от точки опоры E, сила тяжести будет действовать на каждое с одинаковой силой и во всех отношениях при одних и тех же обстоятельствах; поэтому вес одного не может преодолеть вес другого. Вес A не может превзойти вес B ничуть не больше, чем вес B может превзойти вес A. Далее, предположим тело, такое как AB (на рис. 14), однородной структуры в форме катка, или, как его чаще называют, цилиндра, лежащего горизонтально. Если провести прямую линию между C и D, центрами крайних кругов этого цилиндра, и если эту прямую линию, обычно называемую осью цилиндра, разделить на две равные части в E, то эта точка E будет центром тяжести цилиндра. Поскольку цилиндр — фигура однородная, части по обе стороны от точки E равны и расположены совершенно подобным образом; поэтому этот цилиндр, если его поддерживать в точке E, должен висеть в покое по той же причине, по которой вышеупомянутый негибкий стержень останется без движения, будучи подвешенным за свою среднюю точку. И очевидно, что сила, приложенная к точке E, которая поддерживала бы цилиндр, должна быть равна весу цилиндра. Теперь предположим, что два цилиндра равной толщины AB и CD соединены вместе в CB, так что две оси EF и FG лежат на одной прямой линии. Пусть ось EF разделена на две равные части в H, а ось FG — на две равные части в I. Тогда, поскольку цилиндр AB поддерживался бы в покое силой, приложенной в H, равной весу этого цилиндра, а цилиндр CD также поддерживался бы силой, приложенной в I, равной весу этого цилиндра, весь цилиндр AD будет поддерживаться этими двумя силами: но весь цилиндр может также поддерживаться силой, приложенной к K, средней точке всей оси EG, при условии, что эта сила будет равна весу всего цилиндра. Очевидно поэтому, что эта сила, приложенная в K, произведет тот же эффект, что и две другие силы, приложенные в H и I. Далее следует заметить, что HK равно половине FG, а KI равно половине EF; ибо, поскольку EK равно половине EG, а EH равно половине EF, остаток HK должен быть равен половине остатка FG; так же точно, поскольку GK равно половине GE, а GI равно половине GF, остаток IK должен быть равен половине остатка EF. Отсюда следует, что HK относится к KI так же, как FG относится к EF. Кроме того, я полагаю, мои читатели заметят, и это доказано в форме геометрами, что все тело цилиндра CD относится ко всему телу цилиндра AB так же, как ось FG относится к оси EF [53]. Но отсюда следует, что в двух силах, приложенных в H и I, сила, приложенная в H, относится к силе, приложенной в I, так же, как KI относится к KH. Теперь предположим две нити HL и IM, протянутые вверх, одна из точки H, а другая из I, и удерживаемые двумя силами: одна достаточно сильна, чтобы удержать цилиндр AB, а другая — достаточной силы, чтобы поддержать цилиндр CD. Здесь, поскольку эти две силы поддерживают весь цилиндр и поэтому производят эффект, равный тому, который был бы произведен силой, приложенной к точке K, достаточной силы, чтобы удержать весь цилиндр, очевидно, что если убрать цилиндр, оставив только ось, и из точки K протянуть нить, такую как KN, которую будет тянуть вниз сила, эквивалентная весу цилиндра, эта сила будет действовать против двух других сил настолько же, насколько цилиндр действовал против них; и, следовательно, эти три силы будут находиться в равновесии и удерживать ось HI неподвижно между собой. Но если эти три силы сохраняют взаимное равновесие, две силы, приложенные к нитям HL и IM, уравновешивают друг друга; сила, приложенная к нити HL, относится к силе, приложенной к нити IM, так же, как расстояние IK относится к расстоянию KH. Отсюда далее видно, что если негибкий стержень AB (на рис. 15) подвешен за любую точку C, не являющуюся его серединой, и если в A, на конце более короткого плеча, подвешен груз, а в B, на конце более длинного плеча, подвешен груз, меньший, чем другой, и если больший из этих грузов относится к меньшему так же, как более длинное плечо стержня относится к более короткому, то эти два груза будут находиться в равновесии: ибо сила, приложенная в C, равная обоим этим грузам, будет поддерживать без движения стержень, так нагруженный; поскольку здесь ничего не меняется по сравнению с предыдущим случаем, кроме расположения сил, которые теперь помещены на противоположных сторонах линии, к которой они прикреплены. Также по той же причине, если два груза A и B (на рис. 16) соединены вместе негибким стержнем CD, проведенным от C, центра тяжести A, к D, центру тяжести B, и если стержень CD будет разделен в E так, что часть DE относится к другой части CE так же, как вес A относится к весу B, то этот стержень, поддерживаемый в E, будет поддерживать грузы и удерживать их в покое без движения. Эта точка E, за которую будут поддерживаться два тела A и B, называется их общим центром тяжести. И если соединить вместе большее число тел, точка, за которую их все можно было бы поддерживать, называется общим центром тяжести их всех. Предположим (на рис. 17), что есть три тела A, B, C, чьи соответствующие центры тяжести соединены тремя линиями DE, DF, EF: линия DE разделена в G так, что DG относится к GE так же, как B относится к A; G — это центр тяжести, общий для двух тел A и B; то есть сила, равная весу обоих тел, приложенная к G, поддерживала бы их, и точка G испытывает давление от двух грузов A и B такое же, как если бы они оба были подвешены вместе в этой точке. Поэтому, если провести линию от G к F и разделить ее в H так, чтобы GH относилось к HF так же, как вес C относится к обоим грузам A и B, точка H будет общим центром тяжести всех трех грузов; ибо H был бы их общим центром тяжести, если бы оба груза A и B были подвешены вместе в G, а точка G испытывает давление от них в их нынешнем положении такое же, как в том случае. Таким же образом от общего центра этих трех грузов можно перейти к нахождению общего центра, если добавить четвертый груз, и постепенным прогрессом можно найти общий центр тяжести, принадлежащий любому числу грузов, какое бы оно ни было.

26. Поскольку все это является очевидным следствием положения, установленного для определения общего центра тяжести любых двух грузов, с помощью того же положения находится центр тяжести всех фигур. В треугольнике, таком как A B C (на рис. 18), центр тяжести лежит на линии, проведенной из середины любой из сторон к противоположному углу, как линия B D проведена из D, середины линии A C, к противоположному углу B; так что если из середины любой другой стороны, например из точки E на стороне A B, провести линию, такую как E C, к противоположному углу, то точка F, где эта линия пересекает другую линию B D, будет центром тяжести треугольника. Также D F равно половине F B, а E F равно половине F C. В полусфере, такой как A B C (рис. 19), если из D, центра основания, воздвигнуть линию D B, перпендикулярную этому основанию, и разделить эту линию в точке E так, чтобы D E было равно трем пятым B E, то точка E является центром тяжести полусферы.

27. Полезно будет заметить относительно центра тяжести тел следующее: поскольку сила, приложенная только к этому центру, может удерживать тело против силы тяжести и сохранять его в покое, воздействие силы тяжести на тело такое же, как если бы вся эта сила воздействовала только на центр тяжести. Отсюда следует, что когда сила тяжести действует на тело, подвешенное за любую точку, если тело подвешено так, что его центр тяжести может опускаться, сила тяжести приведет это тело в движение, в противном случае — нет; или если несколько тел соединены вместе так, что при приведении одного из них в движение остальные, в силу способа их соединения, получают такое движение, которое сохраняет их общий центр тяжести в покое, то сила тяжести не сможет вызвать никакого движения в этих телах, но во всех остальных случаях она его вызовет. Таким образом, если тело A B (на рис. 20, 21), чей центр тяжести находится в C, подвешено за точку A, и центр C находится перпендикулярно под A (как на рис. 20), вес тела будет удерживать его в покое без движения, потому что центр C не может опуститься ниже. Но если тело переместить в любое другое положение, где центр C не находится перпендикулярно под A (как на рис. 21), тело под действием своего веса придет в движение к положению, при котором его центр тяжести находится на вертикали. Также, если два тела A, B (на рис. 22) соединены стержнем C D, лежащим в горизонтальном положении, и поддерживаются в точке E; если эта точка является общим центром тяжести двух тел, их вес не приведет их в движение; но если эта точка E не является их общим центром тяжести, тела будут двигаться, причем та часть стержня C D, в которой находится общий центр тяжести, будет опускаться. Точно так же, если бы эти два тела были соединены каким-либо более сложным устройством, но если одно из тел не может двигаться, не перемещая другое так, чтобы их общий центр тяжести оставался в покое, вес тел не приведет их в движение, в противном случае — приведет.

28. Далее я перейду к рассмотрению механических сил. Это определенные инструменты или машины, придуманные для перемещения больших грузов с помощью малой силы; и все их эффекты выводимы из наблюдения, которое мы только что сделали. Обычно их насчитывают пять: рычаг, ворот, блок, клин и винт; к которым некоторые добавляют наклонную плоскость. Поскольку эти инструменты использовались с глубокой древности, знаменитый Архимед, по-видимому, был первым, кто открыл истинную причину их действия. Это, я полагаю, можно заключить из того, что о нем рассказывают: некоторые выражения, которые он использовал для обозначения неограниченной силы этих инструментов, были восприняты как весьма необычные парадоксы, тогда как для тех, кто понимал причину их великой силы, никакие подобные выражения не могли показаться удивительными.

29. О всех эффектах этих сил можно судить по одному правилу: когда к любому из этих инструментов приложены два груза, они будут находиться в равновесии, если при приведении их в движение их скорости будут обратно пропорциональны их соответствующим весам. И то, что сказано о весах, должно с необходимостью так же пониматься о любых других силах, эквивалентных весам, таких как сила руки человека, поток воды или тому подобное.

30. Но чтобы понять смысл этого правила, читатель должен знать, что следует понимать под обратной пропорцией; я постараюсь объяснить это сейчас как можно отчетливее, ибо мне придется очень часто пользоваться этим термином. Когда любые две вещи связаны так, что одна увеличивается в той же пропорции, что и другая, они прямо пропорциональны. Так, если любое число людей может выполнить за определенный промежуток времени определенный объем какой-либо работы, скажем, осушить пруд или тому подобное, и вдвое большее число людей может выполнить вдвое больший объем той же работы за то же время, а втрое большее число людей может выполнить втрое больший объем работы за то же время, то здесь число людей и объем работы прямо пропорциональны. С другой стороны, когда две вещи связаны так, что одна уменьшается в той же пропорции, в какой другая увеличивается, говорят, что они обратно пропорциональны. Так, если вдвое большее число людей может выполнить ту же работу за половину времени, а втрое большее число людей может закончить ее за треть времени, то число людей и время обратно пропорциональны. Мы показали выше, как найти общий центр тяжести двух тел; там расстояния этого общего центра от центров тяжести двух тел обратно пропорциональны соответствующим телам. Ибо C E на рис. 16 находится в той же пропорции к E D, в какой B относится к A; C E настолько больше в пропорции, чем E D, насколько A меньше в пропорции, чем B.

31. Теперь, когда это понятно, причина изложенного здесь правила станет легко ясна. Ибо если бы эти два тела были приведены в движение, пока точка E покоилась, скорость, с которой двигалось бы A, находилась бы в той же пропорции к скорости, с которой двигалось бы B, в какой E C относится к E D. Следовательно, скорость каждого тела, когда общий центр тяжести покоится, обратно пропорциональна телу. Но мы показали выше, что если два тела соединены вместе так, что приведение их в движение не перемещает их общий центр тяжести, вес этих тел не вызовет в них никакого движения. Поэтому в любом из этих механических двигателей, если при приведении тел в движение их скорости обратно пропорциональны их соответствующим весам, благодаря чему общий центр тяжести остается в покое, тела не получат никакого движения от своего веса, то есть они будут находиться в равновесии. Но это, возможно, станет еще более ясно из частного описания каждой механической силы.

32. Рычаг был назван первым выше. Это стержень, используемый для поддержания и перемещения больших грузов. Стержень прикладывается одной частью к какой-либо прочной опоре; как стержень A B (на рис. 23, 24) прикладывается в точке C к опоре D. В другой части стержня, например E, прикладывается груз, который нужно поддержать или переместить; а в третьем месте, например F, прикладывается другой груз или эквивалентная сила, которая должна поддержать или переместить груз в E. Теперь здесь, если при приведении рычага в движение и повороте его вокруг точки C скорость, с которой двигалась бы точка F, находится в той же пропорции к скорости, с которой двигалась бы точка E, в какой груз в E относится к грузу или силе в F, то рычаг, нагруженный таким образом, не будет иметь склонности двигаться в какую-либо сторону. Если груз или другая сила в F не настолько велики, чтобы выдерживать эту пропорцию, груз в E не будет поддержан; но если сила в F больше этого, груз в E будет преодолен. Это очевидно из того, что было сказано выше, когда силы в E и F расположены (как на рис. 23) по разные стороны от опоры D. Это будет выглядеть столь же очевидным и в другом случае, если продолжить стержень B C на рис. 24 по другую сторону от опоры D, пока C G не станет равно C F, и подвесить в G груз, эквивалентный силе в F; ибо тогда, если бы сила в F была убрана, два груза в G и E уравновешивали бы друг друга, как в предыдущем случае; и очевидно, что точка F будет поднята грузом в G с той же степенью силы, что и другой силой, приложенной к F; поскольку, если бы груз в E был убран, груз, подвешенный в F, равный грузу в G, уравновесил бы рычаг, так как расстояния C G и C F равны.

33. Если два груза или другие силы, приложенные к рычагу, не уравновешивают друг друга, может быть приложена третья сила в любом предложенном месте рычага, которая удержит все в точном равновесии. Предположим (на рис. 25), что две силы в E и F не находятся в равновесии, и требуется приложить третью силу к точке G, которая была бы достаточна для уравновешивания рычага. Найдите, какая сила в F точно уравновесила бы силу в E; тогда, если разность между этой силой и той, которая фактически приложена в F, находится в той же пропорции к третьей силе, которую нужно приложить в G, в какой расстояние C G относится к C F, рычаг будет уравновешен с помощью этой третьей силы, если она приложена так, чтобы действовать в ту же сторону, что и сила в F, когда эта сила слишком мала, чтобы уравновесить силу в E; в противном случае сила в G должна быть приложена так, чтобы действовать против силы в F. Точно так же, если бы рычаг был нагружен тремя или любым большим числом грузов или других сил, которые не уравновешивали друг друга, можно было бы приложить другую силу в любом предложенном месте, которая привела бы все к точному равновесию. И то, что здесь сказано относительно множества сил, может быть в равной степени применено ко всем следующим случаям.

34. Если рычаг состоит из двух плеч, образующих угол в точке C (как на рис. 26), то, если силы приложены перпендикулярно к каждому плечу, та же пропорция сохранится между приложенными силами и расстояниями от центра, на котором покоится рычаг, до точек, к которым они приложены. То есть груз в E будет относиться к силе в F в той же пропорции, в какой C F относится к C E.

35. Но всякий раз, когда силы, приложенные к рычагу, действуют наклонно к плечу, к которому они приложены (как на рис. 27), тогда сила воздействия должна оцениваться по линиям, опущенным из центра рычага на направления, в которых действуют силы. Чтобы уравновесить рычаги на рис. 27, груз или другая сила в F будет относиться к грузу в E в той же пропорции, в какой расстояние C E относится к C G, перпендикуляру, опущенному из точки C на линию, которая обозначает направление, в котором действует сила, приложенная к F: ибо здесь, если рычаг привести в движение, сила, приложенная к F, начнет двигаться в направлении линии F G; и поэтому ее первое движение будет таким же, как движение точки G.

36. Когда два груза висят на рычаге, а точка, на которую опирается рычаг, расположена посередине между двумя грузами, так что плечи рычага равны по длине, то такой рычаг называется весами, и равные грузы находятся в равновесии, как на обычных весах. Когда точка опоры не равноудалена от обоих грузов, это составляет тот инструмент для взвешивания, который называется безменом. Хотя как на обычных весах, так и на безмене точка, на которой подвешено коромысло, обычно располагается не точно на одной прямой с точками, удерживающими грузы, а немного выше (как на рис. 28), где линии, проведенные из точки C, на которой подвешено коромысло, к точкам E и F, на которых висят грузы, не составляют абсолютно одну непрерывную линию. Если бы три точки E, C и F находились на одной прямой, те грузы, которые находились в равновесии, когда коромысло висело горизонтально, находились бы в равновесии и в любом другом положении.

Но мы видим в этих инструментах, когда они нагружены грузами, которые находятся в равновесии при горизонтальном положении коромысла, что если коромысло наклонить в любую сторону, более поднятый груз перевешивает другой и опускается, заставляя коромысло качаться, пока оно постепенно не восстановит свое горизонтальное положение. Этот эффект возникает из вышеупомянутой конструкции: ибо благодаря этой конструкции данные инструменты представляют собой рычаги, состоящие из двух плеч, которые образуют угол в точке опоры (как на рис. 29, 30), первый из которых представляет случай обычных весов, второй — случай безмена. В первом, где C E и C F равны, равные грузы, подвешенные в E и F, будут находиться в равновесии, когда точки E и F находятся в горизонтальном положении. Предположим, что линии E G и F H перпендикулярны горизонту, тогда они будут обозначать направления, в которых действуют силы, приложенные к E и F. Поэтому пропорция между грузами в E и F, которые будут находиться в равновесии, должна оцениваться по перпендикулярам, таким как C I, C K, опущенным из C на E G и F H: так что, поскольку грузы равны, линии C I, C K также должны быть равны, когда грузы находятся в равновесии. Но я полагаю, мои читатели легко увидят, что, поскольку C E и C F равны, линии C I и C K будут равны, когда точки E и F расположены горизонтально.

37. Если этот рычаг установить в любое другое положение (как на рис. 31), то груз, который поднят выше, перевесит другой. Здесь, если точка F поднята выше, чем E, перпендикуляр C K будет длиннее, чем C I: и поэтому грузы находились бы в равновесии, если бы груз в F был меньше, чем груз в E. Но груз в F равен грузу в E; следовательно, он больше, чем необходимо для уравновешивания груза в E, и, следовательно, перевесит его и потянет коромысло рычага вниз.

38. Точно так же в случае безмена (рис. 32), если грузы в E и F пропорциональны так, чтобы находиться в равновесии, когда точки E и F расположены горизонтально, то в любом другом положении этого рычага груз, который поднят выше, будет перевешивать. То есть, если в горизонтальном положении точек E и F груз в F относится к грузу в E так же, как C I относится к C K, то если точка F поднята выше, чем E (как на рис. 32), груз в F будет относиться к грузу в E в большей пропорции, чем C I к C K.

39. Далее, рычаг может быть подвешен на оси, и тогда два плеча рычага не обязательно должны быть непрерывными, а могут быть закреплены на разных частях этой оси; как на рис. 33, где ось A B поддерживается своими двумя концами A и B. К этой оси одно плечо рычага закреплено в точке C, другое — в точке D. Теперь здесь, если груз подвешен в E, на конце того плеча, которое закреплено на оси в точке C, и другой груз подвешен в F, на конце плеча, которое закреплено на оси в D, то эти грузы будут находиться в равновесии, когда груз в E относится к грузу в F так же, как плечо D F относится к C E.

40. Это верно, если оба плеча перпендикулярны оси и лежат (как выражаются геометры) в одной плоскости; или, другими словами, если плечи закреплены на оси перпендикулярно так, что когда одно из них лежит горизонтально, другое также должно быть горизонтальным. Если какое-либо плечо стоит не перпендикулярно оси, то при определении пропорции между грузами вместо длины этого плеча вы должны использовать перпендикуляр, опущенный на ось из конца этого плеча. Если плечи закреплены так, что они не становятся горизонтальными одновременно, метод определения пропорции между грузами аналогичен тому, который использовался выше для рычагов, образующих угол в точке, на которой они опираются.

41. От этого случая рычага, подвешенного на оси, легко перейти к другой механической силе — вороту.

42. Этот инструмент представляет собой колесо, закрепленное на валу, причем вал поддерживается с каждого конца так, чтобы свободно вращаться вместе с колесом, способом, представленным на рис. 34, где A B — колесо, C D — вал, а E F — его две опоры. Теперь предположим, что груз G подвешен на веревке, намотанной на вал, а другой груз H подвешен на веревке, намотанной на колесо в обратную сторону: чтобы эти грузы могли поддерживать друг друга, груз H должен относиться к грузу G так же, как толщина вала относится к диаметру колеса.

43. Предположим, что линия k l проведена через середину вала; и от того места вала, где веревка, на которой висит груз G, начинает сходить с вала, как в m, проведем линию m n перпендикулярно к k l; и от точки, где веревка, удерживающая груз H, начинает сходить с колеса, как в o, проведем линию o p перпендикулярно к k l. После этого две линии o p и m n представляют два плеча рычага, закрепленного на оси k l; следовательно, груз H будет относиться к грузу G в той же пропорции, в какой m n относится к o p. Но m n относится к o p так же, как толщина вала относится к диаметру колеса; ибо m n — это половина толщины вала, а o p — половина диаметра колеса.

44. Если колесо привести в движение и повернуть один раз вокруг, так что веревка, на которой висит груз G, намотается еще раз на ось, то в то же время веревка, на которой висит груз H, смотается с колеса на один оборот. Поэтому скорость груза G будет относиться к скорости груза H так же, как окружность вала к окружности колеса. Но окружность вала относится к окружности колеса так же, как толщина вала к диаметру колеса, следовательно, скорость груза G относится к скорости груза H так же, как толщина вала к диаметру колеса, что является пропорцией, в которой груз H относится к грузу G. Поэтому, как и ранее в рычаге, здесь также подтверждается общее правило, изложенное выше, что грузы находятся в равновесии, когда их скорости обратно пропорциональны их соответствующим весам.

45. Точно так же, если на одной оси закреплены два колеса разных размеров (как на рис. 35) и на каждом подвешен груз, грузы будут находиться в равновесии, если груз, подвешенный на большем колесе, относится к грузу, подвешенному на меньшем, так же, как диаметр меньшего колеса относится к диаметру большего.

46. Обычно соединяют много колес вместе в одной раме, которые посредством определенных зубьев, сформированных на окружности каждого колеса, передают движение друг другу. Машина такого рода представлена на рис. 36. Здесь A B C — рукоятка, на которой закреплено небольшое колесо D с зубьями, которые входят в зацепление с такими же зубьями большего колеса E F, закрепленного на оси G H. Пусть эта ось несет другое колесо I, которое будет двигать таким же образом большее колесо K L, закрепленное на оси M N. Пусть эта ось несет другое небольшое колесо O, которое таким же образом будет вращать большее колесо P Q, закрепленное на валу R S, на который намотана веревка, удерживающая груз, такой как T. Теперь пропорцию, требуемую между грузом T и силой, приложенной к рукоятке в A, достаточной для поддержания груза, легче всего оценить, вычислив пропорцию, которую скорость точки A имела бы к скорости груза. Если рукоятку повернуть, точка A опишет круг, такой как A V. Предположим, что колесо E F имеет в десять раз больше зубьев, чем колесо D; тогда рукоятка должна повернуться десять раз, чтобы повернуть колесо E F один раз. Если колесо K L также имеет в десять раз больше зубьев, чем I, колесо I должно повернуться десять раз, чтобы повернуть колесо K L один раз; и, следовательно, рукоятка A B C должна повернуться сто раз, чтобы повернуть колесо K L один раз. Наконец, если колесо P Q имеет в десять раз больше зубьев, чем колесо O, рукоятка должна повернуться тысячу раз, чтобы повернуть колесо P Q или вал R S один раз. Поэтому здесь точка A должна была пройти по кругу A V тысячу раз, чтобы поднять груз T на расстояние, равное окружности вала R S: откуда следует, что сила, приложенная в A, уравновесит груз T, если она относится к нему так же, как окружность вала к тысяче кругов A V; или в той же пропорции, в какой половина толщины вала относится к тысяче длин A B.

47. Теперь я объясню действие блока. Пусть груз висит на блоке, как на рис. 37. Здесь очевидно, что сила A, с помощью которой поддерживается груз B, должна быть равна весу; ибо веревка C D одинаково натянута между ними; и если груз B движется, сила A должна двигаться с равной скоростью. Блок E не имеет иного эффекта, кроме того, что позволяет силе A действовать в другом направлении, чем она должна была бы, если бы была приложена непосредственно для поддержания груза без вмешательства такого инструмента.

48. Далее, пусть груз поддерживается, как на рис. 38; где груз A закреплен на блоке B, а веревка, с помощью которой поддерживается груз, прикреплена одним концом к крюку C, а на другом конце удерживается силой D. Здесь груз поддерживается сдвоенной веревкой; настолько, что, хотя веревка не была бы достаточно прочной, чтобы удержать груз в одиночку, будучи таким образом сдвоенной, она могла бы его поддержать. Если бы конец веревки, удерживаемый силой D, был подвешен на крюк C, так же как и другой конец; тогда, когда оба конца веревки были бы привязаны к крюку, очевидно, что крюк выдержал бы весь груз; и каждый конец веревки давил бы на крюк с силой, равной только половине веса, видя, что оба конца вместе давят с силой целого. Отсюда очевидно, что когда сила D удерживает один конец груза, сила, которую она должна приложить для поддержания груза, должна быть равна ровно половине веса. И ту же пропорцию между грузом и силой можно было бы вывести из сравнения соответствующих скоростей, с которыми они двигались бы; ибо очевидно, что сила должна пройти расстояние, равное удвоенному расстоянию от блока до крюка, чтобы поднять блок к крюку.