[1] С. 345. [Книга I, часть II, разд. IV.]
[2] [Греч. ἑκὼν ἢ ἄκων (hekon e akon) = волей-неволей. Прим. пер.]
Что становится с точностью математики согласно Юму?
273. Таким образом, именно необходимость, согласно его теории, сделать пространство впечатлением лежит в основе аргумента Юма против его бесконечной делимости; и, как мы видели, та же теория, которая исключает его бесконечную делимость, логически уничтожает его как величину, делимую и измеримую, вообще. Он, конечно, не признает этого следствия. Он вынужден, правда, признать, что в отношении пропорций «большего, равного и меньшего» и отношений различных частей пространства друг к другу никакие суждения об универсальности или точности невозможны. Мы можем судить о них, однако, полагает он, с различным приближением к точности, тогда как при допущении бесконечной делимости, как он остроумно доказывает, мы не могли бы судить о них вовсе. Он «спрашивает математиков, что они имеют в виду, когда говорят, что одна линия или поверхность равна, больше или меньше другой». Если они «утверждают состав протяженности из неделимых точек», их ответ, полагает он, будет заключаться в том, что «линии или поверхности равны, когда числа точек в каждой из них равны». Этот ответ он считает «справедливым», но данный стандарт равенства совершенно бесполезен. «Ибо поскольку точки, которые входят в состав любой линии или поверхности, воспринимаются ли они зрением или осязанием, настолько малы и настолько смешаны друг с другом, что для разума совершенно невозможно вычислить их число, такое вычисление никогда не даст нам стандарта, по которому мы могли бы судить о пропорциях». Противоположная секта математиков, однако, находится в худшем положении, не имея никакого стандарта равенства, который можно было бы назначить. «Ибо поскольку, согласно их гипотезе, наименьшие, как и наибольшие фигуры содержат бесконечное число частей, а бесконечные числа, собственно говоря, не могут быть ни равными, ни неравными по отношению друг к другу, равенство или неравенство любой части пространства никогда не может зависеть от какой-либо пропорции в числе их частей». Его собственная доктрина состоит в том, «что единственное полезное понятие равенства или неравенства выводится из общего объединенного вида и сравнения конкретных объектов». Суждения, полученные таким образом, во многих случаях являются достоверными и безошибочными. «Когда представлены мера ярда и мера фута, разум не может сомневаться, что первая длиннее второй, не более чем он может сомневаться в тех принципах, которые наиболее ясны и самоочевидны». Такие суждения, однако, хотя «иногда безошибочны, не всегда таковы». При «пересмотре и размышлении» мы часто «признаем равными те объекты, которые сначала считали неравными», и наоборот. Часто также «мы обнаруживаем свою ошибку путем сопоставления объектов; или, где это невыполнимо, путем использования какой-то общей и неизменной меры, которая, будучи последовательно приложена к каждому, информирует нас об их различных пропорциях. И даже эта коррекция восприимчива к новой коррекции и к различным степеням точности, в зависимости от природы инструмента, которым мы измеряем тела, и тщательности, которую мы применяем при сравнении» [1].
[1] С. 351-53. [Книга I, часть II, разд. IV.]
Универсальные положения геометрии либо неверны, либо бессмысленны.
274. Такое неопределенное приближение к точности — это все, что Юм может позволить математику. Но, несомненно, другой и абсолютный род точности предполагает сам математик, когда провозглашает все прямые углы равными. Такое совершенное равенство, «превосходящее то, для чего у нас есть инструменты и искусство» для установления, Юм смело называет «простой фикцией разума, бесполезной, а также непостижимой» [1]. Таким образом, когда математик говорит об определенных углах как всегда равных, о некоторых линиях как никогда не встречающихся, он либо делает утверждения, которые неверны, либо говорит о небытии. Если его «линии» и «углы» означают идеи, которые мы можем иметь, его универсальные положения неверны; если нет, то, согласно Юму, они не могут означать ничего. Он говорит, например, что «две прямые линии не могут иметь общего отрезка»; но из таких идей прямых линий, которые мы можем иметь, это верно только «там, где прямые линии наклоняются друг к другу под заметным углом» [2]. Это неверно, когда они «приближаются со скоростью дюйма на 20 лиг». Согласно «первоначальному стандарту прямой линии», который есть «ничто иное, как некий общий вид, очевидно, что прямые линии могут быть заставлены сходиться друг с другом» [3]. Любой другой стандарт — это «бесполезная и непостижимая фикция». Строго говоря, согласно Юму, мы ее не имеем, а имеем лишь тенденцию предполагать, что имеем ее, возникающую из прогрессивной коррекции наших фактических измерений [4].
[1] С. 353. [Книга I, часть II, разд. IV.]
[2] Ср. Аристотель, Метафизика, 998a, о соответствующем взгляде, приписываемом Протагору.
[3] С. 356. [Книга I, часть II, разд. IV.]
[4] С. 354. [Книга I, часть II, разд. IV.]
Различие между доктриной Юма и доктриной о гипотетической природе математики.
275. Теперь очевидно, что то, что Юм объясняет с помощью этой тенденции к вымыслу, даже если бы эта тенденция не предполагала условий, несовместимых с его теорией, не является математической наукой в ее существующем виде. Она имеет даже меньше сходства с таковой, чем (забегая вперед) имеет то, что объясняется теми склонностями к вымыслу, которые он подставляет вместо идей причины и субстанции, с естествознанием в его существующем виде. В последнем случае, когда с идеей необходимой связи было покончено, впечатление рефлексии может с некоторой правдоподобностью выполнять эту функцию вместо нее; но нет никакого впечатления рефлексии в юмовском смысле слова, никакой «склонности», которая могла бы быть предметом математического рассуждения. Он говорит, действительно, о том, что мы предполагаем некий воображаемый стандарт — о том, что мы имеем «смутное и неявное понятие» — совершенного равенства, но такой язык — лишь способ спасти видимость; ибо, согласно ему, «предположение» или «понятие», которое не является ни впечатлением, ни идеей, не может быть ничем. Поспешный читатель, ухватившись за термин «предположение», может найти его утверждение правдоподобным со всей правдоподобностью современной доктрины, которая объясняет универсальность и точность математических истин как «гипотетические» — доктрину о том, что мы предполагаем фигуры, точно соответствующие нашим определениям, хотя такие реально не существуют. У тех, кто придерживается этого взгляда, однако, всегда подразумевается, что определения представляют идеи, хотя и не идеи, которым могут точно соответствовать реальные объекты. Возможно, если бы их прижали вопросом об их различии между идеей и реальностью, им было бы трудно последовательно поддерживать его, но именно этим практически они держат свою теорию на плаву. Юм не может допустить такого различия. Реальное для него — это впечатление, а идея — более слабое впечатление. Не может быть идеи прямой линии, кривой, круга, прямого угла, плоскости, отличной от впечатления, отличной от «вида для глаза», а нет никаких видов, точно отвечающих математическим определениям. Если они не отвечают точно, они могли бы так же хорошо для целей математической демонстрации не отвечать вовсе. Геометр, обнаружив, что углы при основании этого равнобедренного треугольника равны друг другу, сразу принимает равенство как истинное для всех равнобедренных треугольников, как точно похожих на исходный, и на основании этого устанавливает многие другие положения. Но, согласно Юму, никакой идеи, которую мы могли бы иметь, не было бы такой, стороны которой были бы точно равны. Пятое положение Евклида, следовательно, не является точно истинным для конкретной идеи, которую мы имеем перед собой, когда следуем демонстрации. Тем более оно не может быть истинным для идей, т.е. различных видов цвета, бесконечно варьирующихся от этого, которые мы имеем перед собой, когда следуем другим демонстрациям, в которых равенство углов при основании равнобедренного треугольника принимается как должное.
Признание того, что никакие отношения количества не являются данными чувства, устраняет трудность в отношении общих положений о них.
276. Здесь, как и в других местах, приходится сожалеть не о том, что Юм «зашел слишком далеко» в своей доктрине, исключив идеи тех точных пропорций в пространстве, с которыми претендует иметь дело геометрия, а о том, что он не довел ее до конца, чтобы увидеть, что она исключает все идеи количественных отношений вообще. Он таким образом платит штраф за свою двусмысленность между чувством цвета и расположением цветных точек. Даже наряду со своим признанием, что «отношения пространства и времени» независимы от природы идей, так связанных, что равносильно признанию, что о пространстве и времени вообще нет никаких идей в его смысле слова, он позволяет себе рассматривать «пропорции между пространствами» как зависящие целиком от наших идей о пространствах — зависящие от идей, которые в контексте он косвенно признает, что мы не имеем [1]. Если бы вместо такой двусмысленности он спросил себя, как ощущения цвета и осязания могут быть сложены или разделены, как одно может служить мерой размера другого, он мог бы увидеть, что только в силу того в «общем виде» объектов, что, по его собственным словам, «независимо от природы самих идей» — т.е. что не принадлежит им как чувствам, но добавляется сравнивающим и комбинирующим мышлением — пропорции большего, меньшего и равного вообще приложимы к ним; что то, что мышление таким образом добавило, а именно ограничение взаимной внешней расположенностью, оно может абстрагировать; и что такой абстракцией предела оно получает те несколько границ, как Юм хорошо называет их — поверхность, ограничивающая тела, линия, ограничивающая поверхности, точка, ограничивающая линии, — из которых оно конструирует мир чистого пространства: что таким образом то же действие мышления в чувстве, которое одно делает виды измеримыми, дает объект материи, который, будучи чистой конструкцией мышления, мы можем измерить точно и с уверенностью, что суждение, основанное на сравнении величин в единичном случае, истинно для всех возможных случаев, потому что ни в одном из них не могут присутствовать иные условия, чем те, которые мы сознательно туда поместили.
[1] Часть III, § 1, в начале.
Юм фактически признает это в отношении чисел.
277. Чтобы прийти к этому выводу, Юму нужно было лишь распространить на пропорции в пространстве принцип, на основании которого невозможность сенсуализации арифметики вынуждает его иметь дело с пропорциями в числе. «Мы обладаем», говорит он, «точным стандартом, по которому мы можем судить о равенстве и пропорции чисел; и в зависимости от того, соответствуют они или нет этому стандарту, мы определяем их отношения без какой-либо возможности ошибки. Когда два числа скомбинированы так, что одно всегда имеет единицу, отвечающую каждой единице другого, мы провозглашаем их равными» [1]. Теперь, что это за единицы, о которых здесь идет речь? Если бы они были теми единичными впечатлениями, которые он в другом месте [2] кажется рассматривает как единственно должным образом единицы, смысл отрывка был бы утрачен, ибо комбинации таких единиц могли бы во всяком случае дать только те «общие виды», о пропорциях которых нам ранее было сказано, что не может быть никакого точного стандарта. Они не могут быть ничем иным, кроме тех единиц, которые, не будучи впечатлениями, он вынужден называть «фиктивными наименованиями» — единицы, которые суть ничто, кроме как в отношении друг к другу, и каждая из которых, будучи в свою очередь делимой, сама является истинным числом. Мы можем легко ответить Юму, когда он утверждает, что допущение бесконечной делимости несовместимо с любым сравнением количеств, потому что с любой единицей измерения, что, согласно его собственному фактическому признанию, в единственном случае, когда такое сравнение точно, предельная единица измерения все еще сама по себе делима; что, действительно, есть не что иное, как сказать, что все, что измеряет количество, должно само быть количеством, и что поэтому количество бесконечно делимо. Если бы Юм, вместо того чтобы замалчивать эту характеристику науки о числе, взялся объяснить ее, он обнаружил бы, что единственное возможное объяснение ее было таковым, которое в равной степени применимо к науке о пространстве — что то, что истинно для единицы как абстракции отчетливости, истинно также для абстракции внешней расположенности. Как единица, будучи конституирована отношением к другим единицам, как только рассматривается, распадается на множественность, и только по этой причине является количеством, которым могут быть измерены другие количества; так обстоит дело и с пределом в любой форме абстрагированным, будь то точка, линия или поверхность. Если факт, что число не может иметь наименьшей части, поскольку каждая часть сама по себе есть число или ничто, настолько далек от несовместимости с конечностью числа, что является следствием этой конечности, то и подобный атрибут в пространствах не может быть несовместимым с тем, что они являются определенными величинами, которые могут быть сравнены и измерены друг другом. Реальное различие, которое также является обоснованием различной процедуры Юма в двух случаях, состоит в том, что концепция пространства легче путается, чем концепция числа, с чувствами, к которым она применяется и которые через такое применение становятся чувственными пространствами. Отсюда подверженность предположению, которое в основе своей является юмовским, что последнее чувство в процессе уменьшения перед тем, как такое чувственное пространство исчезает (являясь «minimum visibile»), есть наименьшая возможная часть пространства.
[1] С. 374. [Книга I, часть III, разд. I.]
[2] Выше, пар. 258.
У Юма идея вакуума невозможна, но логически не более, чем идея пространства.
278. Подобно тому как это сведение сознания к чувству, которое действительно исключает идею количества вообще, Юмом признается несовместимым только с его бесконечной делимостью, так оно не признается уничтожающим пространство вообще, а только пространство как вакуум. Если верно, говорит он, «что идея пространства есть не что иное, как идея видимых или осязаемых точек, распределенных в определенном порядке, то следует, что мы не можем сформировать никакой идеи вакуума, или пространства, где нет ничего видимого или осязаемого» [1]. Здесь, как и в других местах, приемлемость его утверждения заключается в том, что оно принимается в смысле, который согласно его принципам не может должным образом принадлежать ему. Одна доктрина — что идеи пространства и тела существенно коррелятивны, и совсем другая — что идея пространства эквивалентна чувству зрения или осязания. Именно последней доктрины отрицание Юмом вакуума является следствием; но именно первая доктрина получает признание для этого отрицания в уме его читателя. Пространство мы уже называли отношением внешней расположенности. Если, абстрагируя это отношение от мира, которого оно является единообразной, но самой элементарной детерминацией, мы рассматриваем его как отношение между объектами, не имеющими иной детерминации, они становятся пространствами и ничем, кроме пространств — пространство чистое и простое, вакуум. Но мы знали мир в смутной полноте, прежде чем мы отделяем его составляющие отношения в ясности нереальной абстракции. Мы знали тела συγκεχυμένος [2], прежде чем мы мыслим их границы отдельно и из них конструируем мир чистого пространства. Таким образом, в некотором смысле верно, что в развитии нашего сознания идея тела предшествует идее пространства, хотя абстракция пространства — отделение отношения, так называемого, от реального комплекса отношений — предшествует абстракции тела; и именно этот факт перед лицом геометрии укрепляет здравый смысл в его позиции, что идея вакуума невозможна. Однако не неотделимость пространства от тела, будь то в реальности или для нашего сознания, а его тождественность с определенным родом чувства подразумевается в исключении Юмом идеи вакуума. «Тело», как отличное от чувства, для него такая же фикция, как вакуум. То, что не может быть идеи вакуума, есть, таким образом, фактически лишь его негативный способ выражения того положения, позитивная форма которого состоит в том, что пространство есть сложное впечатление зрения и осязания. Исследовав это положение в позитивной форме, нам не нужно исследовать его снова в негативной. Будет более целесообразно спросить, не предполагает ли «тенденция предполагать» или «склонность к вымыслу», с помощью которой, в отсутствие какой-либо такой идеи, наш язык о «чистом пространстве» должен быть объяснен, согласно собственному изложению Юма, такую идею.
[1] С. 358. [Книга I, часть II, разд. V.]
[2] [Греч. συγκεχυμένος (synkechymenos) = смутный или запутанный. Прим. пер.]
Как получается, что мы говорим так, будто имеем идею вакуума согласно Юму.
279. Под вакуумом он понимает невидимую и неосязаемую протяженность. Если идея вакуума, следовательно, возможна вообще, аргументирует он, то должно быть возможным для темноты и простого движения передать ее. Что они не могут сделать это в одиночку, ясно из соображения, что темнота есть «не позитивная идея» и что «неизменное движение», такое как движение «человека, поддерживаемого в воздухе и мягко переносимого какой-то невидимой силой», не дает никакой идеи вообще. Не могут они сделать это и тогда, когда «сопровождаются видимыми и осязаемыми объектами». «Когда два тела представляют себя там, где раньше была полная темнота, единственное изменение, которое обнаружимо, заключается в появлении этих двух объектов: все остальное продолжает быть, как и прежде, совершенным отрицанием света и любого цветного или осязаемого объекта» [1]. «Такое темное и неразличимое расстояние между двумя телами никогда не может произвести идею протяженности», не более чем слепота может. Не может и подобное «воображаемое расстояние между осязаемыми и твердыми телами». «Предположим два случая, а именно: случай человека, поддерживаемого в воздухе и двигающего конечностями туда и сюда, не встречая ничего осязаемого; и случай человека, который, чувствуя что-то осязаемое, оставляет его и после движения, которое он чувствует, воспринимает другой осязаемый объект. В чем состоит разница между этими двумя случаями? Никто не побоится утверждать, что она состоит просто в восприятии этих объектов, и что ощущение, которое возникает от движения, в обоих случаях одно и то же; и поскольку это ощущение не способно передать нам идею протяженности, когда не сопровождается каким-то другим восприятием, оно не может дать нам эту идею, когда смешано с впечатлениями осязаемых объектов, поскольку эта смесь не производит никакого изменения в нем» [2]. Но хотя «расстояние, не заполненное никаким цветным или твердым объектом», не может дать нам идею вакуума, оно является причиной, почему мы ложно воображаем, что можем сформировать такую идею. Существуют «три отношения» — естественные отношения согласно фразеологии Юма [3] — между ним и тем расстоянием, которое действительно «передает идею протяженности». «Отдаленные объекты воздействуют на чувства одинаковым образом, независимо от того, разделены ли они тем или другим расстоянием; первый вид расстояния оказывается способным вместить второй; и они оба одинаково уменьшают силу каждого качества. Эти отношения между двумя видами расстояния дадут нам легкую причину, почему одно так часто принималось за другое, и почему мы воображаем, что имеем идею протяженности без идеи какого-либо объекта зрения или осязания» [4].