«Система логики: умозаключающей и индуктивной»

Хотя, следовательно, все процессы мышления, в которых конечными посылками являются частности, заключаем ли мы от частностей к общей формуле или от частностей к другим частностям согласно этой формуле, являются в равной степени индукцией; мы все же, в соответствии с употреблением, будем считать имя «индукция» более специфически принадлежащим процессу установления общего суждения, а оставшуюся операцию, которая по существу является интерпретацией общего суждения, мы будем называть ее обычным именем — дедукция. И мы будем рассматривать каждый процесс, посредством которого что-либо выводится относительно ненаблюдаемого случая, как состоящий из индукции, сопровождаемой дедукцией; потому что, хотя процесс не обязательно должен совершаться в этой форме, он всегда восприимчив к этой форме и должен быть облечен в нее, когда требуется и желается уверенность в научной точности.

§ 8. Теория силлогизма, изложенная на предыдущих страницах, получила, среди других важных присоединений, три особой ценности: сэра Джона Гершеля, доктора Уэвелла и мистера Бэйли; сэр Джон Гершель считает доктрину, хотя и не строго «открытием», будучи предвосхищенной Беркли, «одним из величайших шагов, которые еще были сделаны в философии логики». «Когда мы рассматриваем» (цитируя далее слова того же авторитета) «закоренелость привычек и предрассудков, которые она развеяла по ветру», нет причин для сомнений в том факте, что другие мыслители, не менее заслуживающие внимания, сформировали очень иную оценку ее. Их главное возражение не может быть лучше или более кратко изложено, чем путем заимствования предложения у архиепископа Уэйтли. «В каждом случае, где умозаключение делается из индукции (если только это имя не должно быть дано простому случайному предположению без каких-либо оснований вообще), мы должны сформировать суждение, что приведенный пример или примеры достаточны для оправдания заключения; что допустимо взять эти примеры как образец, оправдывающий умозаключение относительно всего класса»; и выражение этого суждения в словах (было сказано несколькими моими критиками) является большей посылкой.

Я вполне признаю, что большая посылка — это утверждение достаточности доказательств, на которых основывается заключение. То, что это так, — самая суть моей собственной теории. И кто бы ни признал, что большая посылка — это только это, принимает теорию в ее существенных чертах.

Но я не могу уступить, что это признание достаточности доказательств — то есть правильности индукции — является частью самой индукции; если только мы не должны сказать, что это часть всего, что мы делаем, — убедиться, что это было сделано правильно. Мы заключаем от известных примеров к неизвестным импульсом обобщающей склонности; и (до тех пор, пока после значительного количества практики и ментальной дисциплины) вопрос о достаточности доказательств поднимается только ретроспективным актом, возвращающимся назад по нашим собственным следам и проверяющим, были ли мы вправе делать то, что мы временно сделали. Говорить об этой рефлексивной операции как о части первоначальной, требующей быть выраженной в словах, чтобы словесная формула могла правильно представлять психологический процесс, кажется мне ложной психологией. Мы пересматриваем наши силлогистические, а также наши индуктивные процессы и признаем, что они были правильно выполнены; но логики не добавляют третью посылку к силлогизму, чтобы выразить этот акт признания. Тщательный переписчик проверяет свою копию, сверяя ее с оригиналом; и если никакой ошибки не появляется, он признает, что копия была правильно сделана. Но мы не называем проверку копии частью акта копирования.

Заключение в индукции выводится из самих доказательств, а не из признания достаточности доказательств; как я вывожу, что мой друг идет ко мне, потому что я вижу его, а не потому, что я признаю, что мои глаза открыты и что зрение — это средство познания. Во всех операциях, которые требуют заботы, хорошо убедиться, что процесс был выполнен точно; но проверка процесса — это не сам процесс; и, кроме того, могла быть опущена вовсе, и все же процесс быть правильным. Именно потому, что эта операция опущена в обычном ненаучном рассуждении, есть что-то, что выигрывается в определенности путем облечения рассуждения в силлогистическую форму. Чтобы убедиться, насколько возможно, что она не будет опущена, мы делаем проверяющую операцию частью самого процесса рассуждения. Мы настаиваем, чтобы умозаключение от частного к частному проходило через общее суждение. Но это гарантия хорошего рассуждения, а не условие всякого рассуждения; и в некоторых случаях даже не гарантия. Наши самые знакомые умозаключения все делаются до того, как мы учимся использованию общих суждений; и человек необученной проницательности будет умело применять свой приобретенный опыт к соседним случаям, хотя он будет грубо ошибаться в установлении пределов соответствующей общей теоремы. Но хотя он может заключать правильно, он никогда, собственно говоря, не знает, сделал ли он это или нет; он не проверил свое рассуждение. Теперь, это именно то, что формы рассуждения делают для нас. Нам не нужны они, чтобы позволить нам рассуждать, но чтобы позволить нам знать, правильно ли мы рассуждаем.

В качестве дальнейшего ответа на это возражение можно добавить, что даже после применения критерия и признания достаточности доказательств, если их достаточно для обоснования общего суждения, их также достаточно для обоснования умозаключения от частного к частному без прохождения через общее суждение. Исследователь, который логически убедился в том, что условия правомерной индукции были соблюдены в случаях A, B и C, был бы в такой же степени оправдан, делая вывод непосредственно относительно герцога Веллингтона, как и делая вывод относительно всех людей. Общее заключение никогда не бывает правомерным, если таковым не является частное; и ни в каком понятном для меня смысле нельзя сказать, что частное заключение выводится из общего. Всякий раз, когда есть основания для вывода из частных случаев, есть основания и для общего заключения; но то, что это общее заключение должно быть фактически сформулировано, как бы полезно это ни было, не может быть непременным условием обоснованности умозаключения в частном случае. Человек отдает шесть пенсов той же властью, которой он распоряжается всем своим состоянием; но для законности меньшего акта не требуется, чтобы он делал формальное заявление о своем праве на больший.

Прилагаются некоторые дополнительные замечания в ответ на второстепенные возражения.

[pg 156]

§ 9. Предшествующие соображения позволяют нам понять истинную природу того, что современные авторы называют формальной логикой, и отношение между ней и логикой в самом широком смысле. Логика, как я ее понимаю, есть полная теория установления обоснованной или выведенной истины. Следовательно, формальная логика, которую сэр Уильям Гамильтон со своей точки зрения, а архиепископ Уэйтли со своей представили как всю логику в собственном смысле слова, на самом деле является лишь ее весьма подчиненной частью, не имеющей прямого отношения к процессу рассуждения или умозаключения в том смысле, в каком этот процесс является частью исследования истины. Что же тогда такое формальная логика? Это название, по-видимому, правильно применяется ко всей той части доктрины, которая относится к эквивалентности различных способов выражения; к правилам определения того, когда суждения в данной форме подразумевают или предполагают истинность или ложность других суждений. Это включает в себя теорию содержания суждений, их обращения, эквиполентности и противопоставления; теорию тех ложно называемых индукций (о которых будет сказано ниже), в которых кажущееся обобщение является лишь сокращенным изложением случаев, известных по отдельности; и, наконец, теорию силлогизма: в то время как теория именования и (неразрывно связанная с ней) теория определения, хотя и принадлежат в большей степени к другому, более обширному виду логики, чем к этому, являются необходимым предварительным условием для него. Цель, к которой стремится формальная логика и которая достигается соблюдением ее предписаний, — это не истина, а непротиворечивость. Было показано, что это единственная прямая цель правил силлогизма; намерение и результат которых состоят просто в том, чтобы поддерживать наши умозаключения или выводы в полной непротиворечивости с нашими общими формулами или указаниями для их выведения. Логика непротиворечивости является необходимым вспомогательным средством для логики истины не только потому, что то, что противоречит самому себе или другим истинам, не может быть истинным, но и потому, что истина может быть успешно достигнута только путем выведения умозаключений из опыта, которые, если они вообще оправданы, допускают обобщение и, для проверки их обоснованности, требуют представления в обобщенной форме; после чего правильность их применения к частным случаям становится вопросом, который специально касается логики непротиворечивости. Эта логика, не требующая предварительного знания процессов или выводов различных наук, может быть с пользой изучена на гораздо более ранней стадии образования, чем логика истины: и практика, которая эмпирически сложилась — преподавать ее отдельно, через элементарные трактаты, не пытающиеся включить в себя что-либо еще, — хотя причины, приводимые для этой практики, в целом весьма далеки от философских, допускает философское оправдание.

[pg 158]

Глава IV.

О цепях умозаключений и дедуктивных науках.

§ 1. В нашем анализе силлогизма выяснилось, что меньшая посылка всегда утверждает сходство между новым случаем и некоторыми ранее известными случаями; в то время как большая посылка утверждает нечто такое, что, будучи признанным истинным для этих известных случаев, мы считаем себя вправе считать истинным для любого другого случая, сходного с предыдущими в определенных данных частностях.

Если бы все умозаключения в отношении меньшей посылки напоминали примеры, которые исключительно использовались в предыдущей главе; если бы сходство, которое утверждает эта посылка, было очевидным для чувств, как в суждении «Сократ есть человек», или было бы сразу устанавливаемым путем прямого наблюдения, то не было бы необходимости в цепях умозаключений, и дедуктивные или умозаключительные науки не существовали бы. Цепи умозаключений существуют только ради распространения индукции, основанной, как и все индукции, на наблюдаемых случаях, на другие случаи, в которых мы не только не можем непосредственно наблюдать факт, который должен быть доказан, но не можем непосредственно наблюдать даже признак, который должен его доказать.

Предположим, что силлогизм таков: «Все коровы жуют жвачку, животное, которое передо мной, — корова, следовательно, оно жует жвачку». Меньшая посылка, если она вообще истинна, очевидна: единственная посылка, установление которой требует какого-либо предварительного процесса исследования, — это большая; и при условии, что индукция, выражением которой является эта посылка, была выполнена правильно, заключение относительно животного, находящегося сейчас перед нами, будет сделано мгновенно; потому что, как только она будет сравнена с формулой, она будет идентифицирована как включенная в нее. Но предположим, что силлогизм таков: «Весь мышьяк ядовит, вещество, которое передо мной, — мышьяк, следовательно, оно ядовито». Истинность меньшей посылки здесь может быть не очевидна с первого взгляда; она может быть не интуитивно ясной, а сама по себе известной только путем умозаключения. Это может быть заключение другого аргумента, который, будучи облеченным в силлогистическую форму, выглядел бы так: «Все, что при поджигании дает темное пятно на куске белого фарфора, удерживаемом в пламени, которое растворимо в гипохлорите кальция, есть мышьяк; вещество передо мной соответствует этому условию; следовательно, это мышьяк». Таким образом, для установления окончательного заключения «Вещество передо мной ядовито» требуется процесс, который, чтобы быть выраженным силлогистически, нуждается в двух силлогизмах; и мы получаем цепь умозаключений.

Когда, однако, мы таким образом добавляем силлогизм к силлогизму, мы на самом деле добавляем индукцию к индукции. Чтобы эта цепь умозаключений стала возможной, должны были произойти две отдельные индукции; индукции, основанные, вероятно, на разных наборах отдельных примеров, но которые сходятся в своих результатах, так что случай, являющийся предметом исследования, попадает в сферу действия их обеих. Запись этих индукций содержится в больших посылках двух силлогизмов. Во-первых, мы или другие за нас исследовали различные объекты, которые давали при данных обстоятельствах темное пятно с данным свойством, и обнаружили, что они обладают свойствами, коннотируемыми словом «мышьяк»; они были металлическими, летучими, их пары имели запах чеснока и так далее. Затем мы или другие за нас исследовали различные образцы, которые обладали этим металлическим и летучим характером, чьи пары имели этот запах и т. д., и неизменно обнаруживали, что они ядовиты. Первое наблюдение, как мы судим, мы можем распространить на все вещества вообще, которые дают этот конкретный вид темного пятна; второе — на все металлические и летучие вещества, сходные с теми, что мы исследовали; и, следовательно, не только на те, которые видны как таковые, но и на те, которые признаны таковыми путем предшествующей индукции. Вещество перед нами лишь видимым образом подпадает под одну из этих индукций; но посредством этой одной оно подводится под другую. Мы по-прежнему, как и прежде, делаем выводы от частного к частному; но теперь мы делаем выводы от наблюдаемых частностей к другим частностям, которые, как в простом случае, не видны как сходные с ними в существенных пунктах, а умозаключены как таковые, поскольку сходны с ними в чем-то другом, что мы были приведены совершенно другим набором примеров считать признаком прежнего сходства.

Этот первый пример цепи умозаключений все еще чрезвычайно прост, серия состоит всего из двух силлогизмов. Следующий пример несколько сложнее: «Ни одно правительство, которое искренне стремится к благу своих подданных, не может быть легко свергнуто; некое конкретное правительство искренне стремится к благу своих подданных, следовательно, оно вряд ли будет свергнуто». Мы предположим, что большая посылка в этом аргументе не выведена из соображений a priori, а является обобщением из истории, которое, правильное или ошибочное, должно было основываться на наблюдении за правительствами, относительно желания которых заботиться о благе своих подданных не было сомнений. Было обнаружено, или сочтено обнаруженным, что их нелегко свергнуть, и было сочтено, что эти примеры оправдывают распространение того же предиката на любое правительство, которое сходно с ними в атрибуте искреннего стремления к благу своих подданных. Но сходно ли данное правительство с ними? Это может обсуждаться «за» и «против» многими аргументами и должно, в любом случае, быть доказано другой индукцией; ибо мы не можем непосредственно наблюдать чувства и желания лиц, осуществляющих управление. Поэтому, чтобы доказать меньшую посылку, нам нужен аргумент в такой форме: «Каждое правительство, которое действует определенным образом, желает блага своим подданным; предполагаемое правительство действует именно таким образом, следовательно, оно желает блага своим подданным». Но верно ли, что правительство действует предполагаемым образом? Эта меньшая посылка также может потребовать доказательства; еще одна индукция, например: «То, что утверждается умными и незаинтересованными свидетелями, может считаться истинным; то, что правительство действует таким образом, утверждается такими свидетелями, следовательно, это может считаться истинным». Таким образом, аргумент состоит из трех шагов. Имея доказательство наших чувств, что случай с рассматриваемым правительством сходен с рядом прежних случаев в том обстоятельстве, что относительно него что-то утверждается умными и незаинтересованными свидетелями, мы выводим, во-первых, что, как и в тех прежних примерах, так и в этом случае утверждение истинно. Во-вторых, поскольку утверждалось о правительстве, что оно действует определенным образом, а другие правительства или лица наблюдались действующими таким же образом, рассматриваемое правительство приводится в известное сходство с теми другими правительствами или лицами; и поскольку было известно, что они желают блага народу, отсюда, второй индукцией, выводится, что конкретное правительство, о котором идет речь, желает блага народу. Это приводит данное правительство в известное сходство с другими правительствами, которые, как считалось, могут избежать революции, и отсюда, третьей индукцией, делается вывод, что это конкретное правительство также, вероятно, избежит ее. Это все еще рассуждение от частного к частному, но теперь мы рассуждаем о новом случае на основе трех различных наборов прежних примеров: только с одним из этих наборов примеров мы непосредственно воспринимаем сходство нового; но из этого сходства мы индуктивно выводим, что он обладает атрибутом, посредством которого он уподобляется следующему набору и подводится под соответствующую индукцию; после чего, путем повторения той же операции, мы выводим, что он сходен с третьим набором, и, следовательно, третья индукция приводит нас к окончательному заключению.

§ 3. Несмотря на большую сложность этих примеров по сравнению с теми, которыми мы иллюстрировали общую теорию рассуждения в предыдущей главе, каждое положение, которое мы тогда изложили, остается в равной степени верным и в этих более запутанных случаях. Последовательные общие суждения не являются шагами в рассуждении, не являются промежуточными звеньями в цепи умозаключений между наблюдаемыми частностями и теми, к которым мы применяем наблюдение. Если бы у нас была достаточно емкая память и достаточная способность поддерживать порядок среди огромной массы деталей, рассуждение могло бы продолжаться без каких-либо общих суждений; они — лишь формулы для выведения частного из частного. Принцип общего рассуждения заключается (как объяснялось ранее) в том, что если из наблюдения за определенными известными частностями можно вывести, что то, что было признано истинным для них, истинно и для любых других, то это можно вывести для всех других, которые являются определенного рода. И для того, чтобы мы никогда не упускали возможности сделать этот вывод в новом случае, когда он может быть сделан правильно, и избегали делать его, когда он не может быть сделан, мы раз и навсегда определяем, каковы отличительные признаки, по которым такие случаи могут быть распознаны. Последующий процесс — это просто идентификация объекта и установление того, что он обладает этими признаками; идентифицируем ли мы его по самим этим признакам или по другим, которые мы установили (через другой и аналогичный процесс) как признаки этих признаков. Реальное умозаключение всегда идет от частного к частному, от наблюдаемых примеров к ненаблюдаемому: но при совершении этого умозаключения мы следуем формуле, которую приняли для руководства в таких операциях и которая является записью критериев, с помощью которых, как мы полагали, мы установили, что можем различать, когда умозаключение может быть сделано, а когда нет. Реальные посылки — это индивидуальные наблюдения, даже если они были забыты или, будучи наблюдениями других, а не нашими собственными, могли никогда не быть нам известны: но перед нами есть доказательство того, что мы или другие когда-то сочли их достаточными для индукции, и у нас есть признаки, показывающие, является ли какой-либо новый случай одним из тех, на которые, если бы они были тогда известны, индукция была бы сочтена распространяющейся. Эти признаки мы либо распознаем сразу, либо с помощью других признаков, которые путем другой предыдущей индукции мы собрали как признаки первых. Даже эти признаки признаков могут быть распознаны только через третий набор признаков; и у нас может быть цепь умозаключений любой длины, чтобы подвести новый случай под сферу индукции, основанной на частностях, сходство с которыми устанавливается только таким косвенным образом.

Таким образом, в предыдущем примере окончательный индуктивный вывод состоял в том, что определенное правительство вряд ли будет свергнуто; этот вывод был сделан согласно формуле, в которой стремление к общественному благу было установлено как признак того, что правительство вряд ли будет свергнуто; признаком этого признака было «действие определенным образом»; а признаком действия таким образом было «утверждение об этом умными и незаинтересованными свидетелями»: этот признак, как распознали чувства, правительство, о котором идет речь, имело. Следовательно, это правительство подпало под последнюю индукцию и ею было подведено под все остальные. Воспринятое сходство случая с одним набором наблюдаемых частных случаев привело его к известному сходству с другим набором, а тот — с третьим.

В более сложных областях знания дедукции редко состоят, как в примерах, представленных до сих пор, из одной цепи: a — признак b, b — признак c, c — признак d, следовательно, a — признак d. Они состоят (если продолжать ту же метафору) из нескольких цепей, соединенных на конце, как здесь: a — признак d, b — признак e, c — признак f, d, e, f — признаки n, следовательно, a, b, c — признаки n. Предположим, например, следующее сочетание обстоятельств: 1-е, лучи света, падающие на отражающую поверхность; 2-е, эта поверхность параболическая; 3-е, эти лучи параллельны друг другу и оси поверхности. Нужно доказать, что сочетание этих трех обстоятельств является признаком того, что отраженные лучи пройдут через фокус параболической поверхности. Теперь каждое из трех обстоятельств по отдельности является признаком чего-то существенного для случая. Лучи света, падающие на отражающую поверхность, являются признаком того, что эти лучи будут отражены под углом, равным углу падения. Параболическая форма поверхности является признаком того, что из любой ее точки линия, проведенная к фокусу, и линия, параллельная оси, будут составлять равные углы с поверхностью. И, наконец, параллельность лучей оси является признаком того, что их угол падения совпадает с одним из этих равных углов. Три признака, взятые вместе, являются, следовательно, признаком всех этих трех вещей, объединенных вместе. Но три объединенных признака, очевидно, являются признаком того, что угол отражения должен совпадать с другим из двух равных углов, тем, который образован линией, проведенной к фокусу; и это, опять же, согласно фундаментальной аксиоме о прямых линиях, является признаком того, что отраженные лучи проходят через фокус. Большинство цепей физической дедукции относятся к этому более сложному типу; и даже в математике такие изобилуют, как во всех суждениях, где гипотеза включает многочисленные условия: «Если взят круг, и если внутри этого круга взята точка, не являющаяся центром, и если из этой точки проведены прямые линии к окружности, то...» и т. д.

§ 4. Изложенные сейчас соображения устраняют серьезную трудность из нашего взгляда на рассуждение; этот взгляд в противном случае мог бы показаться нелегко согласуемым с тем фактом, что существуют дедуктивные или умозаключительные науки. Могло бы показаться, что если всякое рассуждение есть индукция, то трудности философского исследования должны заключаться исключительно в индукциях, и что когда они легки и не вызывают сомнений или колебаний, не может быть никакой науки или, по крайней мере, никаких трудностей в науке. Существование, например, обширной науки математики, требующей высочайшего научного гения от тех, кто внес вклад в ее создание, и призывающей к самому продолжительному и энергичному напряжению интеллекта для ее усвоения после создания, может показаться трудным для объяснения на основе вышеизложенной теории. Но недавно приведенные соображения устраняют эту тайну, показывая, что даже когда сами индукции очевидны, может быть много трудностей в том, чтобы найти, подпадают ли под них частные случаи, являющиеся предметом исследования; и остается широкое поле для научной изобретательности в таком комбинировании различных индукций, чтобы посредством одной, под которую случай явно подпадает, подвести его под другие, в которые он не может быть непосредственно увиден как включенный.

Когда наиболее очевидные из индукций, которые могут быть сделаны в любой науке из прямых наблюдений, уже сделаны и сформулированы общие формулы, определяющие пределы, в которых эти индукции применимы, всякий раз, когда можно сразу увидеть, что новый случай подпадает под одну из формул, индукция применяется к новому случаю, и дело закончено. Но постоянно возникают новые случаи, которые не подпадают очевидным образом ни под одну формулу, с помощью которой можно было бы ответить на вопрос, который мы хотим решить в отношении них. Возьмем пример из геометрии: и поскольку он взят только для иллюстрации, пусть читатель уступит нам на данный момент то, что мы постараемся доказать в следующей главе, а именно, что первые принципы геометрии являются результатами индукции. Нашим примером будет пятое суждение первой книги Евклида. Исследование заключается в следующем: равны или неравны углы при основании равнобедренного треугольника? Первое, что нужно рассмотреть, — это какие у нас есть индукции, из которых мы можем вывести равенство или неравенство. Для вывода равенства у нас есть следующие формулы: «Вещи, которые при наложении друг на друга совпадают, равны». «Вещи, равные одной и той же вещи, равны». «Целое и сумма его частей равны». «Суммы равных вещей равны». «Разности равных вещей равны». Других исходных формул для доказательства равенства нет. Для вывода неравенства у нас есть следующие: «Целое и его части неравны». «Суммы равных и неравных вещей неравны». «Разности равных и неравных вещей неравны». Всего восемь формул. Углы при основании равнобедренного треугольника не подпадают очевидным образом ни под одну из них. Формулы определяют некоторые признаки равенства и неравенства, но нельзя интуитивно воспринять, что углы обладают какими-либо из этих признаков. При рассмотрении оказывается, что обладают; и нам в конечном итоге удается подвести их под формулу: «Разности равных вещей равны». Откуда берется трудность распознавания этих углов как разностей равных вещей? Потому что каждый из них является разностью не одной пары, а бесчисленных пар углов; и из них мы должны были вообразить и выбрать две, которые можно было бы либо интуитивно воспринять как равные, либо которые обладали бы некоторыми из признаков равенства, установленных в различных формулах. Благодаря упражнению изобретательности, которое со стороны первого изобретателя заслуживает того, чтобы считаться значительным, были найдены две пары углов, которые объединяли эти требования. Во-первых, можно было интуитивно воспринять, что их разности — это углы при основании; и, во-вторых, они обладали одним из признаков равенства, а именно совпадением при наложении друг на друга. Это совпадение, однако, не было воспринято интуитивно, а выведено в соответствии с другой формулой.

Для большей ясности я прилагаю анализ доказательства. Евклид, как помнится, доказывает свое пятое суждение с помощью четвертого. Нам это делать не позволено, потому что мы беремся проследить дедуктивные истины не до предшествующих дедукций, а до их первоначального индуктивного основания. Мы должны, следовательно, использовать посылки четвертого суждения вместо его заключения и доказать пятое непосредственно из первых принципов. Для этого требуется шесть формул. (Мы предполагаем равносторонний треугольник, чьи вершины A, D, E, с точкой B на стороне AD и точкой C на стороне AE, такими, что BC параллельна DE. Мы должны начать, как у Евклида, с продления равных сторон AB, AC на равные расстояния и соединения концов BE, DC.)

Первая формула. — Суммы равных равны.

AD и AE являются суммами равных согласно предположению. Имея этот признак равенства, они, согласно этой формуле, признаются равными.

Вторая формула. — Равные прямые линии или углы при наложении друг на друга совпадают.

AC, AB подпадают под эту формулу по предположению; AD, AE были подведены под нее предыдущим шагом. Угол при A, рассматриваемый как угол треугольника ABE, и тот же угол, рассматриваемый как угол треугольника ACD, конечно, подпадают под формулу. Все эти пары, следовательно, обладают свойством, которое, согласно второй формуле, является признаком того, что при наложении друг на друга они совпадут. Представьте их, следовательно, наложенными друг на друга путем переворачивания треугольника ABE и укладывания его на треугольник ACD таким образом, чтобы AB одного лежало на AC другого. Тогда, в силу равенства углов, AE ляжет на AD. Но AB и AC, AE и AD равны; следовательно, они совпадут полностью, и, конечно, своими концами D, E и B, C.

Третья формула. — Прямые линии, имеющие совпадающие концы, совпадают.

BE и CD были подведены под эту формулу предыдущей индукцией; они, следовательно, совпадут.

Четвертая формула. — Углы, имеющие совпадающие стороны, совпадают.

Третья индукция показала, что BE и CD совпадают, а вторая — что AB, AC совпадают, углы ABE и ACD тем самым подведены под четвертую формулу и, соответственно, совпадают.

Пятая формула. — Вещи, которые совпадают, равны.

Углы ABE и ACD подведены под эту формулу индукцией, непосредственно предшествующей. Поскольку эта цепь умозаключений также применима, mutatis mutandis, к углам EBC, DCB, они также подведены под пятую формулу. И, наконец,

Шестая формула. — Разности равных равны.

Угол ABC, являющийся разностью ABE, CBE, и угол ACB, являющийся разностью ACD, DCB, которые были доказаны как равные; ABC и ACB подведены под последнюю формулу всем предыдущим процессом.

Трудность, с которой здесь сталкиваются, заключается главным образом в том, чтобы представить себе два угла при основании треугольника ABC как остатки, полученные путем вырезания одной пары углов из другой, в то время как каждая пара должна быть соответствующими углами треугольников, у которых две стороны и угол между ними равны. Именно благодаря этой удачной уловке так много различных индукций применены к одному и тому же частному случаю. И поскольку это совсем не очевидная мысль, можно увидеть на примере, столь близком к порогу математики, какой простор может быть для научной ловкости в высших разделах этой и других наук, чтобы так комбинировать несколько простых индукций, чтобы подвести под каждую из них бесчисленные случаи, которые не подпадают под нее очевидным образом; и какими долгими, многочисленными и сложными могут быть процессы, необходимые для объединения индукций, даже когда каждая индукция сама по себе может быть очень легкой и простой. Все индукции, вовлеченные во всю геометрию, заключены в тех простых, формулами которых являются аксиомы и несколько так называемых определений. Остальная часть науки состоит из процессов, используемых для подведения непредвиденных случаев под эти индукции; или (на силлогистическом языке) для доказательства меньших посылок, необходимых для завершения силлогизмов; большими посылками являются определения и аксиомы. В этих определениях и аксиомах изложены все признаки, путем искусного сочетания которых оказалось возможным открыть и доказать все, что доказывается в геометрии. Признаков так мало, а индукции, которые их предоставляют, так очевидны и привычны; соединение нескольких из них вместе, что составляет дедукции или цепи умозаключений, составляет всю трудность науки и, за ничтожным исключением, весь ее объем; и поэтому геометрия является дедуктивной наукой.

§ 5. В дальнейшем будет видно, что существуют веские научные причины для придания каждой науке как можно большего характера дедуктивной науки; для стремления построить науку из наименьшего и простейшего числа индукций и сделать их, при любых комбинациях, какими бы сложными они ни были, достаточными для доказательства даже таких истин, относящихся к сложным случаям, которые могли бы быть доказаны, если бы мы захотели, путем индукций из специфического опыта. Каждая ветвь естественной философии была первоначально экспериментальной; каждое обобщение основывалось на специальной индукции и было выведено из своего собственного отдельного набора наблюдений и экспериментов. Из наук чистого эксперимента, как говорится, или, говоря более правильно, наук, в которых рассуждения в основном состоят не более чем из одного шага и выражаются одиночными силлогизмами, все эти науки стали в некоторой степени, а некоторые из них почти во всем своем объеме, науками чистого рассуждения; благодаря чему множество истин, уже известных путем индукции из столь же разных наборов экспериментов, стали представляться как дедукции или следствия из индуктивных суждений более простого и универсального характера. Таким образом, механика, гидростатика, оптика, акустика, термология последовательно были сделаны математическими; и астрономия была приведена Ньютоном под законы общей механики. Почему замена этого окольного способа действий процессом, казалось бы, гораздо более легким и естественным, считается, и справедливо, величайшим триумфом исследования природы, мы на данной стадии нашего исследования не готовы рассматривать. Но необходимо отметить, что хотя благодаря этой прогрессивной трансформации все науки стремятся стать все более дедуктивными, они от этого не становятся менее индуктивными; каждый шаг в дедукции — это все еще индукция. Противопоставление идет не между терминами «дедуктивный» и «индуктивный», а между «дедуктивным» и «экспериментальным». Наука является экспериментальной в той мере, в какой каждый новый случай, представляющий какие-либо своеобразные черты, нуждается в новом наборе наблюдений и экспериментов — свежей индукции. Она является дедуктивной в той мере, в какой может делать выводы относительно случаев нового рода с помощью процессов, которые подводят эти случаи под старые индукции; путем установления того, что случаи, которые нельзя наблюдать как имеющие требуемые признаки, тем не менее имеют признаки этих признаков.

Теперь мы можем понять, в чем заключается родовое различие между науками, которые могут быть сделаны дедуктивными, и теми, которые должны пока оставаться экспериментальными. Разница заключается в нашей способности или пока еще неспособности обнаружить признаки признаков. Если с помощью наших различных индукций мы смогли продвинуться не дальше таких суждений, как «a — признак b», или «a и b — признаки друг друга», «c — признак d», или «c и d — признаки друг друга», без чего-либо, что связывало бы a или b с c или d; мы имеем науку об отдельных и взаимно независимых обобщениях, таких как то, что кислоты окрашивают растительные синие вещества в красный цвет, а щелочи — в зеленый; ни из одного из этих суждений мы не могли бы прямо или косвенно вывести другое: и наука, насколько она состоит из таких суждений, является чисто экспериментальной. Химия в нынешнем состоянии наших знаний еще не сбросила с себя этот характер. Существуют, однако, другие науки, суждения которых таковы: «a — признак b, b — признак c, c — признак d, d — признак e» и т. д. В этих науках мы можем подняться по лестнице от a до e путем процесса умозаключения; мы можем заключить, что a является признаком e и что каждый объект, имеющий признак a, обладает свойством e, хотя, возможно, мы никогда не были способны наблюдать a и e вместе, и хотя даже d, наш единственный прямой признак e, может быть не различим в этих объектах, а только умозаключен. Или, варьируя первую метафору, можно сказать, что мы добираемся от a до e под землей: признаки b, c, d, которые указывают путь, должны все где-то присутствовать у объектов, относительно которых мы ведем исследование; но они под поверхностью: a — единственный видимый признак, и с его помощью мы можем проследить последовательно все остальные.

§ 6. Теперь мы можем понять, как экспериментальная наука может трансформироваться в дедуктивную простым прогрессом эксперимента. В экспериментальной науке индукции, как мы сказали, лежат отдельно, как «a — признак b, c — признак d, e — признак f» и так далее: теперь новый набор примеров и, как следствие, новая индукция могут в любое время навести мост через интервал между двумя этими несвязанными арками; b, например, может быть установлено как признак c, что позволяет нам с тех пор доказывать дедуктивно, что a является признаком c. Или, как иногда случается, какая-то всеобъемлющая индукция может воздвигнуть арку высоко в воздухе, которая перекрывает их множество сразу; b, d, f и все остальные оказываются признаками чего-то одного или вещей, между которыми уже была прослежена связь. Как когда Ньютон обнаружил, что движения, регулярные или кажущиеся аномальными, всех тел солнечной системы (каждое из которых было выведено отдельной логической операцией из отдельных признаков), все являются признаками движения вокруг общего центра с центростремительной силой, изменяющейся прямо пропорционально массе и обратно пропорционально квадрату расстояния от этого центра. Это величайший пример, который до сих пор встречался, трансформации одним ударом науки, которая была еще в значительной степени просто экспериментальной, в дедуктивную науку.

Трансформации того же характера, но в меньшем масштабе, постоянно происходят в менее развитых отраслях физического знания, не позволяя им сбросить характер экспериментальных наук. Так, в отношении двух несвязанных суждений, приведенных ранее, а именно: «Кислоты окрашивают растительные синие вещества в красный цвет, щелочи делают их зелеными»; Либих отмечает, что все синие красящие вещества, которые окрашиваются кислотами в красный цвет (так же как, взаимно, все красные красящие вещества, которые окрашиваются щелочами в синий), содержат азот: и вполне возможно, что это обстоятельство однажды послужит связующим звеном между двумя рассматриваемыми суждениями, показав, что антагонистическое действие кислот и щелочей в создании или разрушении синего цвета является результатом какого-то одного, более общего закона. Хотя это связывание отдельных обобщений является большим приобретением, оно мало способствует приданию дедуктивного характера какой-либо науке в целом; потому что новые курсы наблюдения и эксперимента, которые таким образом позволяют нам связать вместе несколько общих истин, обычно открывают нам еще большее число несвязанных новых истин. Отсюда химия, хотя подобные расширения и упрощения ее обобщений постоянно происходят, все еще остается в основном экспериментальной наукой; и, вероятно, будет оставаться таковой, если только в будущем не будет достигнута какая-то всеобъемлющая индукция, которая, подобно ньютоновской, свяжет огромное количество меньших известных индукций вместе и изменит весь метод науки сразу. У химии уже есть одно великое обобщение, которое, хотя и относится к одному из подчиненных аспектов химических явлений, обладает в своей ограниченной сфере этим всеобъемлющим характером; принцип Дальтона, называемый атомной теорией, или доктриной химических эквивалентов: который, позволяя нам до определенной степени предвидеть пропорции, в которых два вещества будут соединяться, до того как эксперимент был проведен, несомненно, представляет собой источник новых химических истин, получаемых путем дедукции, а также связующий принцип для всех истин того же описания, ранее полученных путем эксперимента.

§ 7. Открытия, которые меняют метод науки с экспериментального на дедуктивный, в основном состоят в установлении, либо путем дедукции, либо путем прямого эксперимента, того, что разновидности конкретного явления равномерно сопровождают разновидности какого-то другого, более известного явления. Так, наука о звуке, которая ранее стояла на низшей ступени чисто экспериментальной науки, стала дедуктивной, когда было доказано экспериментально, что каждая разновидность звука является следствием, а следовательно, и признаком, отчетливой и определимой разновидности колебательного движения среди частиц передающей среды. Когда это было установлено, последовало, что каждое отношение последовательности или сосуществования, которое имело место между явлениями более известного класса, имело место также между явлениями, которые соответствуют им в другом классе. Каждый звук, будучи признаком конкретного колебательного движения, стал признаком всего, что, согласно законам динамики, было известно как выводимое из этого движения; и все, что по тем же законам было признаком любого колебательного движения среди частиц упругой среды, стало признаком соответствующего звука. И таким образом многие истины, ранее не подозревавшиеся относительно звука, становятся выводимыми из известных законов распространения движения через упругую среду; в то время как факты, уже эмпирически известные относительно звука, становятся указанием на соответствующие свойства вибрирующих тел, ранее не обнаруженные.

Но великим агентом для трансформации экспериментальных наук в дедуктивные является наука о числе. Свойства числа, единственные среди всех известных явлений, являются в самом строгом смысле свойствами всех вещей вообще. Все вещи не являются цветными, или весомыми, или даже протяженными; но все вещи исчислимы. И если мы рассмотрим эту науку во всем ее объеме, от обычной арифметики до исчисления вариаций, истины, уже установленные, кажутся почти бесконечными и допускают неограниченное расширение.

Эти истины, хотя и могут быть утверждены обо всех вещах вообще, конечно, применимы к ним только в отношении их количества. Но если обнаруживается, что вариации качества в любом классе явлений регулярно соответствуют вариациям количества либо в тех же, либо в каких-то других явлениях; каждая формула математики, применимая к величинам, которые варьируются таким конкретным образом, становится признаком соответствующей общей истины относительно вариаций в качестве, которые сопровождают их: и наука о количестве, будучи (насколько любая наука может быть) полностью дедуктивной, теория этого конкретного вида качеств становится в этой мере также дедуктивной.

Самым поразительным примером в этом отношении, который дает история (хотя это не пример экспериментальной науки, ставшей дедуктивной, а пример беспрецедентного расширения, данного дедуктивному процессу в науке, которая уже была дедуктивной), является революция в геометрии, которая зародилась у Декарта и была завершена Клеро. Эти великие математики указали на важность того факта, что каждой разновидности положения точек, направления линий или формы кривых или поверхностей (все из которых являются качествами) соответствует особое отношение количества между двумя или тремя прямолинейными координатами; настолько, что если бы был известен закон, согласно которому эти координаты варьируются относительно друг друга, любое другое геометрическое свойство линии или поверхности, о которой идет речь, будь то относящееся к количеству или качеству, было бы возможно вывести. Отсюда следовало, что любой геометрический вопрос мог быть решен, если мог быть решен соответствующий алгебраический; и геометрия получила приращение (фактическое или потенциальное) новых истин, соответствующих каждому свойству чисел, которое прогресс исчисления выявил или мог выявить в будущем. В той же общей манере механика, астрономия и, в меньшей степени, каждая ветвь естественной философии, обычно так называемой, были сделаны алгебраическими. Разновидности физических явлений, с которыми имеют дело эти науки, оказались соответствующими определимым разновидностям в количестве того или иного обстоятельства; или, по крайней мере, разновидностям формы или положения, для которых соответствующие уравнения количества уже были или могли быть обнаружены геометрами.

В этих различных трансформациях суждения науки о числе лишь выполняют функцию, свойственную всем суждениям, образующим цепь умозаключений, а именно: функцию предоставления нам возможности прийти косвенным методом, через признаки признаков, к таким свойствам объектов, которые мы не можем непосредственно установить (или не так удобно) путем эксперимента. Мы путешествуем от данного видимого или осязаемого факта через истины чисел к искомым фактам. Данный факт является признаком того, что определенное отношение существует между количествами некоторых из вовлеченных элементов; в то время как искомый факт предполагает определенное отношение между количествами некоторых других элементов: теперь, если эти последние количества зависят каким-то известным образом от первых, или наоборот, мы можем рассуждать от численного отношения между одним набором количеств, чтобы определить то, которое существует между другим набором; теоремы исчисления предоставляют промежуточные звенья. И таким образом один из двух физических фактов становится признаком другого, будучи признаком признака признака его.

[pg 168]

Глава V.

О доказательстве и необходимых истинах.

§ 1. Если, как было изложено в двух предыдущих главах, фундаментом всех наук, даже дедуктивных или доказательных наук, является индукция; если каждый шаг в умозаключениях даже геометрии является актом индукции; и если цепь умозаключений — это лишь подведение многих индукций под один и тот же предмет исследования и подведение случая под одну индукцию посредством другой; в чем заключается та особая достоверность, которая всегда приписывается наукам, являющимся полностью или почти полностью дедуктивными? Почему они называются точными науками? Почему математическая достоверность и доказательность являются обычными фразами для выражения высочайшей степени уверенности, достижимой разумом? Почему математика почти всеми философами, а (некоторыми) даже те ветви естественной философии, которые через посредство математики были превращены в дедуктивные науки, считаются независимыми от доказательств опыта и наблюдения и характеризуются как системы необходимых истин?

Ответ, как я полагаю, заключается в том, что этот характер необходимости, приписываемый истинам математики, и (даже с некоторыми оговорками, которые будут сделаны ниже) особая достоверность, приписываемая им, является иллюзией; для поддержания которой необходимо предположить, что эти истины относятся к чисто воображаемым объектам и выражают их свойства. Признается, что заключения геометрии дедуцируются, по крайней мере частично, из так называемых определений и что эти определения предполагаются как правильные представления, насколько это возможно, объектов, с которыми имеет дело геометрия. Теперь мы указали, что из определения как такового никакое суждение, если только оно не касается значения слова, никогда не может следовать; и что то, что по-видимому следует из определения, следует в действительности из подразумеваемого предположения, что существует реальная вещь, соответствующая ему. Это предположение в случае определений геометрии не является строго истинным: не существует реальных вещей, точно соответствующих определениям. Не существует точек без величины; линий без ширины, или идеально прямых; кругов со всеми радиусами, точно равными, или квадратов со всеми углами, идеально прямыми. Возможно, скажут, что предположение не распространяется на фактическое, а только на возможное существование таких вещей. Я отвечаю, что согласно любому критерию возможности, который у нас есть, они даже невозможны. Их существование, насколько мы можем судить, по-видимому, несовместимо с физическим устройством нашей планеты, по крайней мере, если не всей Вселенной. Чтобы избавиться от этой трудности и в то же время спасти авторитет предполагаемой системы необходимых истин, принято говорить, что точки, линии, круги и квадраты, которые являются предметом геометрии, существуют только в наших представлениях и являются частью нашего разума; который, работая над своими собственными материалами, конструирует науку a priori, доказательства которой чисто ментальны и не имеют ничего общего с внешним опытом. Какими бы высокими авторитетами ни была санкционирована эта доктрина, она кажется мне психологически неверной. Точки, линии, круги и квадраты, которые у кого-либо есть в уме, являются (я полагаю) просто копиями точек, линий, кругов и квадратов, которые он знал в своем опыте. Наша идея точки, я полагаю, есть просто наша идея minimum visibile, наименьшей части поверхности, которую мы можем видеть. Линия, как она определена геометрами, совершенно немыслима. Мы можем рассуждать о линии так, как если бы она не имела ширины; потому что у нас есть способность, которая является фундаментом всего контроля, который мы можем осуществлять над операциями нашего разума; способность, когда восприятие присутствует в наших чувствах или концепция в нашем интеллекте, обращать внимание только на часть этого восприятия или концепции, а не на целое. Но мы не можем представить себе линию без ширины; мы не можем сформировать ментальный образ такой линии: все линии, которые у нас есть в уме, — это линии, обладающие шириной. Если кто-то сомневается в этом, мы можем отослать его к его собственному опыту. Я сильно сомневаюсь, что кто-либо, кто воображает, что может представить себе то, что называется математической линией, думает так на основании свидетельства своего сознания: я подозреваю, что это скорее потому, что он предполагает, что если бы такая концепция была невозможна, математика не могла бы существовать как наука: предположение, которое не составит труда показать как совершенно беспочвенное.

Поскольку, следовательно, ни в природе, ни в человеческом разуме не существует объектов, точно соответствующих определениям геометрии, в то время как нельзя предполагать, что эта наука имеет дело с небытием; ничего не остается, кроме как рассматривать геометрию как имеющую дело с такими линиями, углами и фигурами, которые действительно существуют; а определения, как их называют, должны рассматриваться как некоторые из наших первых и наиболее очевидных обобщений относительно этих естественных объектов. Правильность этих обобщений как обобщений безупречна: равенство всех радиусов круга истинно для всех кругов, насколько оно истинно для любого одного; но оно не является точно истинным ни для одного круга; оно лишь почти истинно; настолько почти, что никакой ошибки сколько-нибудь важной на практике не возникнет, если притвориться, что оно точно истинно. Когда у нас есть случай распространить эти индукции или их следствия на случаи, в которых ошибка была бы ощутимой — на линии ощутимой ширины или толщины, параллели, которые заметно отклоняются от равноудаленности, и тому подобное — мы исправляем наши заключения, комбинируя с ними свежий набор суждений, относящихся к аберрации; точно так же, как мы также принимаем суждения, относящиеся к физическим или химическим свойствам материала, если эти свойства случайно вносят какую-либо модификацию в результат; что они легко могут сделать, даже в отношении фигуры и величины, как в случае, например, расширения от тепла. Однако до тех пор, пока не существует практической необходимости обращать внимание на какие-либо свойства объекта, кроме его геометрических свойств, или на какие-либо естественные неровности в них, удобно пренебречь рассмотрением других свойств и неровностей и рассуждать так, как если бы их не существовало: соответственно, мы формально объявляем в определениях, что намерены действовать по этому плану. Но ошибкой было бы предполагать, что, поскольку мы решаем ограничить наше внимание определенным числом свойств объекта, мы поэтому представляем себе или имеем идею объекта, лишенного его других свойств. Мы все время думаем именно о таких объектах, которые мы видели и трогали, и со всеми свойствами, которые естественно им принадлежат; но для научного удобства мы притворяемся, что они лишены всех свойств, кроме тех, которые существенны для нашей цели и в отношении которых мы намерены их рассматривать.

Особая точность, предполагаемая как характерная для первых принципов геометрии, таким образом, оказывается фиктивной. Утверждения, на которых основываются рассуждения науки, не соответствуют факту точно, так же как и в других науках; но мы предполагаем, что они соответствуют, ради прослеживания следствий, которые вытекают из этого предположения. Мнение Дугалда Стюарта относительно оснований геометрии, я полагаю, по существу верно: что она построена на гипотезах; что она обязана этим единственно той особой достоверности, которая, как предполагается, отличает ее; и что в любой науке, рассуждая из набора гипотез, мы можем получить совокупность заключений столь же достоверных, как заключения геометрии, то есть столь же строго соответствующих гипотезам и столь же неотразимо принуждающих к согласию, при условии, что эти гипотезы истинны.

Когда, следовательно, утверждается, что заключения геометрии являются необходимыми истинами, необходимость заключается в действительности только в том, что они правильно следуют из предположений, из которых они дедуцируются. Эти предположения настолько далеки от того, чтобы быть необходимыми, что они даже не истинны; они намеренно отступают, более или менее значительно, от истины. Единственный смысл, в котором необходимость может быть приписана заключениям любого научного исследования, — это смысл правомерного следования из некоторого допущения, которое, по условиям исследования, не подлежит сомнению. В этом отношении, конечно, производные истины каждой дедуктивной науки должны находиться по отношению к индукциям или допущениям, на которых основывается наука и которые, будь они истинными или ложными, достоверными или сомнительными сами по себе, всегда предполагаются достоверными для целей конкретной науки. И поэтому заключения всех дедуктивных наук древние называли необходимыми суждениями. Мы уже отмечали, что быть предикатом необходимо — это характеристика предикабилии Proprium (собственного свойства), и что proprium — это любое свойство вещи, которое может быть выведено из ее сущности, то есть из свойств, включенных в ее определение.

§ 2. Важное учение Дугалда Стюарта, которое я пытался обосновать, было оспорено д-ром Уэвеллом как в диссертации, приложенной к его превосходному «Механическому Евклиду», так и в его фундаментальном труде «Философия индуктивных наук»; в последнем он также отвечает на статью в «Эдинбургском обозрении» (приписываемую автору, обладающему большим научным авторитетом), в которой мнение Стюарта защищалось от его прежних критических замечаний. Предполагаемое опровержение Стюарта состоит в доказательстве против него (как это было сделано и в данной работе), что посылки геометрии — это не определения, а допущения реального существования вещей, соответствующих этим определениям. Однако это мало что дает для целей д-ра Уэвелла; ибо именно эти допущения и объявляются гипотезами, и он, если отрицает, что геометрия основана на гипотезах, должен показать, что они являются абсолютными истинами. Все, что он делает, однако, — это замечает, что они, во всяком случае, не являются произвольными гипотезами; что мы не были бы вправе подменять их другими гипотезами; что не только «определение, чтобы быть допустимым, должно обязательно относиться к некоторому понятию, которое мы можем отчетливо сформировать в своих мыслях, и согласовываться с ним», но и что прямые линии, например, которые мы определяем, должны быть «теми, которыми ограничиваются углы, теми, которыми ограничиваются треугольники, теми, о которых может быть высказано суждение о параллельности, и тому подобное». И это верно; но этому никогда не противоречили. Те, кто говорит, что посылки геометрии являются гипотезами, не обязаны утверждать, что они являются гипотезами, не имеющими никакого отношения к фактам. Поскольку гипотеза, сформулированная для целей научного исследования, должна относиться к чему-то, что реально существует (ибо не может быть науки о небытии), из этого следует, что любая гипотеза, которую мы строим относительно объекта, чтобы облегчить его изучение, не должна содержать ничего, что было бы явно ложным и противоречило его реальной природе: мы не должны приписывать вещи никакое свойство, которого у нее нет; наша свобода простирается лишь на небольшое преувеличение некоторых из тех свойств, которые у нее есть (путем допущения, что она является в полной мере тем, чем она на самом деле является лишь в значительной степени), и на отбрасывание других, при непременном обязательстве восстановить их всякий раз, когда и в той мере, в какой их присутствие или отсутствие имело бы существенное значение для истинности наших выводов. Таковы, соответственно, и первые принципы, содержащиеся в определениях геометрии. Однако то, что гипотезы должны иметь именно такой характер, необходимо лишь постольку, поскольку никакие другие не позволили бы нам вывести заключения, которые при надлежащих поправках были бы истинными в отношении реальных объектов: и, по сути, когда наша цель состоит лишь в иллюстрации истин, а не в их исследовании, мы не связаны никакими подобными ограничениями. Мы могли бы предположить существование воображаемого животного и путем умозаключения, исходя из известных законов физиологии, разработать его естественную историю; или воображаемое государство и, исходя из составляющих его элементов, рассуждать о том, какова была бы его судьба. И выводы, которые мы могли бы таким образом сделать из чисто произвольных гипотез, могли бы стать весьма полезным интеллектуальным упражнением: но поскольку они могли бы научить нас лишь тому, каковы были бы свойства объектов, которые реально не существуют, они не составили бы никакого приращения к нашему знанию о природе: в то время как, напротив, если гипотеза лишь лишает реальный объект некоторой части его свойств, не наделяя его ложными, выводы всегда будут выражать, при известной возможности внесения поправок, действительную истину.