Джордж Гастингс Макнейр

«Логика в классе: Дедуктивное и индуктивное мышление с применением в педагогике»

Страница 6 из 13 · 54 750 зн. · 63 мин. чтения

(2) «Все хорошие люди мудры».

(3) «Некоторые книги следует жевать и переваривать».

(4) «Ни один человек не является совершенно счастливым».

Сначала необходимо определить логический характер каждого суждения. Невнимательность может привести к тому, что первое суждение назовут A, потому что оно введено знаком количества «все». Но при втором размышлении мы отмечаем, что смысл заключается в том, что некоторые блестящие вещи не являются золотом; это O. Ясно, что второе — это A, третье — I, а четвертое — E. Теперь целесообразно вспомнить правила относительно конверсии. Это: (1) не распределяйте нераспределенный термин; (2) не меняйте качество. Теперь мы можем попытаться переставить субъект и предикат каждого суждения со следующими результатами:

(1) Конверсия невозможна.

(2) «Некоторые мудрые люди — хорошие люди».

(3) «Некоторые вещи, которые следует жевать и переваривать, — это книги».

(4) «Ни одно совершенно счастливое существо не является человеком».

При попытке конвертировать суждение (1) я обнаруживаю, что субъект, который не распределен, становится распределенным, следовательно, правило, относящееся к распределению, нарушается. Этот вывод подтверждается тем фактом, что суждение O не может быть конвертировано. Второе суждение, будучи A, конвертируется через ограничение; в то время как третье и четвертое конвертируются просто, как это является естественной процедурой для всех I и E.

(5b) Конвертируйте эти суждения:

(1) «Блаженны кроткие». (Все кроткие блаженны.)

(2) «Ничто, кроме материальных тел, не обладает гравитацией». (Все тела, обладающие гравитацией, материальны.)

(3) «Золото не является сложным веществом».

(4) «Обычно жестокие люди — трусы».

ПРИМЕЧАНИЕ. — Первое суждение является поэтическим, в то время как второе — исключительным.

(6a) Контравертируйте следующие суждения:

(1) «Всякая добродетель похвальна».

(2) «Некоторые учителя не тактичны».

(3) «Человеку, который лжет, нельзя доверять».

Контраверсия состоит в том, чтобы сначала обвертировать, а затем конвертировать; следовательно, контраверс трех суждений таков:

(1) «Ни одно непохвальное деяние не является добродетелью».

(2) «Некоторые не-тактичные люди — учителя».

(3) «Некоторые люди, которым нельзя доверять, — это те, кто лжет».

(6b) Напишите контраверс следующего:

(1) «Все честные люди платят свои долги».

(2) «Все люди разумны».

(3) «Почти все войска покинули город».

(4) «Некоторые учителя не терпеливы».

(7a) Прилагаемая схема указывает логический процесс и правило, участвующие в переходе от одного суждения к другому:

A. «Все люди несовершенны».

Процесс: Обверсия.

Правило: Отрицайте предикат и измените на E.

E. «Ни один человек не совершенен».

Процесс: Простая конверсия.

Правило: Переставьте субъект и предикат.

E. «Ни одно совершенное существо не является человеком».

Процесс: контраверсия.

Правило: сначала обверсия, затем конверсия.

I. «Некоторые не-люди являются совершенными существами».

(7b) Проделайте аналогичным образом с суждением «Все лошади — четвероногие».

8. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

(1) Что такое умозаключение?

(2) Что означает термин «антецедент»?

(3) Дайте определение: (1) суждения как процесса, (2) суждения как результата.

(4) Все розы прекрасны,

Этот цветок — роза,

Этот цветок прекрасен.

Запишите этот пример опосредованного умозаключения в форме уравнения. Назовите средний термин.

(5) Дайте определение непосредственного умозаключения. Проиллюстрируйте.

(6) Дайте определение опосредованного умозаключения. Проиллюстрируйте.

(7) Назовите пять видов непосредственного умозаключения.

(8) Какой принцип лежит в основе умозаключения по противопоставлению?

(9) Начертите схему противопоставления.

(10) Используйте эту схему для вывода умозаключений из следующих суждений:

(a) «Хорошие люди мудры».

(b) «Ни один король не является непогрешимым».

(d) «Все, кто обманывает железные дороги, не являются честными».

(11) Что такое противоречащие суждения? Проиллюстрируйте.

(12) Каков самый простой способ опровергнуть утверждение «Ни один великий религиозный учитель не был последовательным»?

(13) Почему суждения A и E называются противными?

(14) Дайте определение обверсии.

(15) Под каким другим названием известна обверсия?

(16) Сформулируйте основной принцип обверсии.

(17) Проиллюстрируйте процесс, известный как отрицание предиката.

(18) Сформулируйте правило обверсии для суждения типа A.

(19) Выполните обверсию следующих суждений:

(1) «Все мальчики в моем классе прилежны».

(2) «Честность — лучшая политика».

(3) «Только прилежные по-настоящему успешны».

(20) Сначала сформулируйте правило, а затем выполните обверсию следующих суждений:

(1) «Некоторые растения — двулетние».

(2) «Планеты не являются солнцами».

(3) «Блаженны милостивые».

(4) «Эти образцы не являются совершенными».

(21) Дайте определение конверсии.

(22) Сформулируйте и проиллюстрируйте правила, определяющие процесс конверсии.

(23) Выполните конверсию следующих суждений, если это возможно:

(1) «Некоторые люди прибегают к софистике».

(2) «Мало кто знает, как жить».

(3) «Некоторые из жителей не являются цивилизованными».

(4) «Весь мир — театр».

(5) «Никто из моих учеников не провалился».

(6) «Опыт — суровый учитель».

(24) Почему равнозначные суждения могут быть конвертированы просто?

(25) Опишите процесс умозаключения путем контраверсии.

9. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РАЗМЫШЛЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ.

(1) На чем основывается убеждение, что так называемое непосредственное умозаключение — это лишь вопрос интерпретации суждений?

(2) Есть ли разница между рассуждением и умозаключением?

(3) Когда делается вывод, что две комнаты имеют одинаковую ширину, поскольку каждая из них имеет ширину пять ярдов, что является средним термином?

(4) Запишите в форме уравнения:

Все учителя обучают,

Джон Джонс — учитель,

Джон Джонс обучает.

Покажите, что эти уравнения не являются абсолютно истинными.

(5) Укажите истинное отношение между субъектами и предикатами вышеприведенных суждений, используя алгебраические знаки > и <.

(6) Почему суждение A нельзя вывести из суждения I?

(7) Почему суждение O нельзя вывести из суждения A?

(8) Основной принцип обверсии гласит: «Два отрицания равносильны одному утверждению». Покажите с помощью кругов, что это не является абсолютно истинным; в качестве иллюстративного суждения возьмите: «Ни один человек не является не-смертным».

(9) Покажите, что «приятный» и «неприятный» не являются противоречащими терминами.

(10) Почему логику следует классифицировать единичные суждения как общие?

(11) Покажите с помощью кругов, что существует разница в значении между «Некоторые люди не являются мудрыми» и «Некоторые люди являются не-мудрыми».

(12) Покажите с помощью кругов, что суждение O не поддается конверсии.

(13) «Суждение I не поддается контраверсии». Разъясните это.

(14) Есть ли разница в значении между «Всякая нелогичная работа является ненаучной» и «Ни одна нелогичная работа не является научной»? Объясните с помощью кругов.

(15) Укажите логический процесс, происходящий при переходе от каждого суждения к последующему:

(1) «Все люди несовершенны».

(2) «Ни один человек не является совершенным».

(3) «Ни одно совершенное существо не является человеком».

(4) «Некоторые не-люди являются совершенными существами».

(5) «Некоторые совершенные существа являются не-людьми».

(6) «Некоторые совершенные существа не являются людьми».

(16) Иногда говорят, что в подпротивных суждениях на самом деле нет оппозиции. Согласны ли вы? Приведите аргументы.

ГЛАВА 11. ОПОСРЕДОВАННОЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ. СИЛЛОГИЗМ.

1. УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ И РАССУЖДЕНИЕ.

Умозаключение определяется и как результат, и как процесс. При использовании для обозначения процесса термин «умозаключение» становится синонимом «рассуждения». Если бы логики могли договориться ограничить умозаключение результатом, а рассуждение — процессом, это устранило бы двусмысленность, которая в той или иной степени вводит в заблуждение. Но поскольку это не стало общепринятым, мы будем использовать «умозаключение» для обозначения как процесса, так и результата.

Определения — Разъяснение среднего термина.

Умозаключение — это мыслительный процесс выведения суждения из одного или двух предшествующих суждений.

Опосредованное умозаключение — это умозаключение посредством среднего термина.

Рассуждение такого рода включает три термина, два из которых сравниваются с третьим, или средним, термином, а затем соотносятся друг с другом для формирования нового суждения. Средний термин — это общая единица, или стандарт, по которому измеряются другие термины. Проиллюстрируем: если Джон и Джеймс имеют рост шесть футов, то, очевидно, они одного роста. Стандартом, или средним термином, является «иметь рост шесть футов».

2. СИЛЛОГИЗМ.

Подобно тому как суждение выражается посредством высказывания, опосредованное умозаключение лучше всего выражается посредством силлогизма.9 Ниже приведены силлогизмы:

(1) Джеймс имеет рост шесть футов,

Джон имеет рост шесть футов,

Следовательно, Джеймс такого же роста, как Джон.

(2) Все истинные учителя справедливы,

Вы — истинный учитель,

Следовательно, вы справедливы.

(3) Все люди смертны,

Вы — человек,

Следовательно, вы смертны.

3. ПРАВИЛА СИЛЛОГИЗМА.

Все силлогистические рассуждения обусловлены следующими восемью правилами:

(1) Силлогизм должен иметь три, и только три, различных термина.

(2) Силлогизм должен иметь три, и только три, суждения.

(3) Средний термин должен быть распределен по крайней мере один раз.

(4) Ни один термин не должен быть распределен в заключении, если он не был распределен в посылке.

(5) Никакое заключение не может быть сделано из двух отрицательных посылок.

(6) Если одна посылка отрицательная, то и заключение должно быть отрицательным; и наоборот, чтобы доказать отрицательное заключение, одна из посылок должна быть отрицательной.

(7) Никакое заключение не может быть сделано из двух частных посылок.

(8) Если одна посылка частная, то и заключение должно быть частным.

Эти правила чрезвычайно важны, так как их соблюдение необходимо во всех опосредованных рассуждениях. Студенту нужно не только понимать смысл этих правил, но и заучить их наизусть настолько хорошо, чтобы их можно было вспомнить без колебаний или ошибок. Для облегчения запоминания восемь правил можно разделить на четыре группы:

I. Правила первое и второе относятся к составу силлогизма.

II. Правила третье и четвертое относятся к распределенности терминов.

III. Правила пятое и шестое относятся к отрицательным посылкам.

IV. Правила седьмое и восьмое касаются частных посылок.

4. РАЗЪЯСНЕНИЕ ПРАВИЛ СИЛЛОГИЗМА.

(1) Силлогизм должен иметь три и только три термина.

Принято представлять различные формы силлогизма символами, причем одни и те же символы всегда обозначают одни и те же термины. В данном курсе мы будем использовать заглавную G для обозначения большего термина (major), так как «major» означает «больший»; заглавную S для меньшего термина (minor), так как «minor» означает «меньший», и заглавную M для среднего термина. G, S и M, начальные буквы слов greater (больший), smaller (меньший) и middle (средний), будут постоянными символами для этих терминов; точно так же, как A, E, I и O используются в качестве постоянных символов для четырех логических суждений.

Иллюстрация.

Силлогизм, записанный полностью:

Все люди смертны,

Сократ — человек,

(Следовательно) Сократ смертен.

Силлогизм в символах:

Все M суть G

S суть M

∴ S суть G

Больший термин всегда является предикатом, а меньший термин — субъектом заключения. Заключение вышеприведенного силлогизма: «Сократ смертен». Поскольку G обозначает предикат каждого заключения, то оно обозначает «смертен», предикат вышеприведенного заключения. По той же причине S обозначает субъект, а именно «Сократ»; в то время как M представляет средний термин, «человек».

Поскольку каждый силлогизм должен иметь три суждения, а для формирования суждения требуется два термина, то из этого следует, что каждый силлогизм должен содержать шесть терминов. Но, поскольку ни один силлогизм не может иметь более трех различных терминов, мы заключаем, что каждый термин силлогизма должен быть использован дважды. В вышеприведенном примере G появляется не только в последнем суждении, или заключении, но и в первом суждении. Аналогично, и S, и M встречаются дважды. Таким образом, каждый логический силлогизм содержит: во-первых, больший термин, который всегда является предикатом заключения и появляется один раз в посылках; во-вторых, меньший термин, который всегда является субъектом заключения и появляется один раз в посылках; и в-третьих, средний термин, к которому относятся два других термина.

Существует два способа определения среднего термина: во-первых, это термин, который используется в обеих посылках; во-вторых, это термин, который никогда не появляется в заключении. Аналогично, существует два способа определения большего и меньшего терминов: во-первых, больший термин всегда является предикатом, а меньший термин — субъектом заключения; во-вторых, больший термин обычно является более широким, а меньший термин — более узким из двух. Если больший и меньший термины кажутся примерно одинаковыми по объему или широте, то термин в первом суждении, который не является средним термином, — это больший.

В следующих силлогизмах три термина обозначены так:

(1) Все (средний) | истинные учителя суть (больший) | сочувствующие,

(меньший) | Вы | являетесь (средний) | истинным учителем,

∴ (меньший) | Вы | (больший) | сочувствующий.

(2) Ни один (больший) | моллюск | не является (средний) | позвоночным,

Все (меньший) | форели | суть (средний) | позвоночные,

∴ Ни одна (меньший) | форель | не является (больший) | моллюском.

Необходимость наличия только трех различных терминов в любом силлогизме можно понять, предположив, что их четыре; тогда из этого следовало бы, что не могло бы быть никакого стандарта или общей связи. В аксиоме «Величины, равные одной и той же величине, равны между собой» «одна и та же величина» является общим стандартом или связующим звеном. Две вещи, которые равны двум разным вещам, не равны друг другу.

Невозможность рассуждения из четырех терминов можно показать с помощью кругов.

Все люди смертны. Все деревья растут.

РИС. 8.

Эти круги показывают, что между двумя группами не может быть установлена связь. Использование четырех терминов в любом силлогизме известно как логическая ошибка учетверения терминов.

(2) Силлогизм должен иметь три и только три суждения. Суждение, содержащее больший термин, называется большей посылкой, а суждение, содержащее меньший термин, называется меньшей посылкой. В строго логическом силлогизме большая посылка пишется первой, меньшая посылка — второй, а заключение — третьим. Однако в обычном разговоре меньшая посылка или даже заключение могут стоять первыми.

Заключению силлогизма всегда предшествует слово «следовательно» или его эквивалент, который может быть написан или подразумеваться. Посылки всегда отвечают на вопрос: почему заключение истинно? Посылкам часто предшествуют такие слова, как «ибо» и «потому что».

Приведенные ниже неправильные силлогизмы упорядочены логически, а посылки и заключения обозначены:

(1a) Нелогично.

«Вы должны сдать экзамен, потому что все, кто поступает в школу, сдают экзамены, а вы, насколько я понимаю, планируете поступать».

(2a) «Некоторые из этих книг плохо переплетены, ибо они разваливаются, как не стала бы делать хорошо переплетенная книга».

(1b) Логично.

Все, кто поступает в эту школу, сдают экзамены, Большая посылка.

Вы планируете поступать в эту школу, Меньшая посылка.

Вы должны сдать экзамен. Заключение.

(2b) Ни одна хорошо переплетенная книга не разваливается, Большая посылка.

Некоторые из этих книг разваливаются, Меньшая посылка.

Некоторые из этих книг плохо переплетены. Заключение.

Тот факт, что все силлогизмы должны иметь три и только три суждения, вытекает из правила «1». Одна посылка должна сравнивать средний термин с «большим»; другая посылка должна сравнивать средний термин с «меньшим»; в то время как заключение связывает «больший» и «меньший» термины.

(3) Средний термин должен быть распределен по крайней мере один раз. Правило обычно формулируется так: «Средний термин должен быть распределен по крайней мере один раз и не должен быть двусмысленным». В данном курсе последняя часть правила была опущена, так как студенту должно быть очевидно, что средний термин, используемый в двух значениях, фактически эквивалентен двум разным терминам; такая «двусмысленность среднего термина» привела бы, как следствие, к силлогизму из четырех терминов.

Правила 3 и 4 имеют большее значение, чем остальные, потому что они нарушаются чаще всего. Если средний термин не распределен по крайней мере один раз, логическая ошибка называется «нераспределенный средний термин». Если распределенный больший термин заключения не распределен в большей посылке, то логическая ошибка называется «незаконный процесс большего термина»; и, наконец, если распределенный меньший термин заключения не распределен в меньшей посылке, логическая ошибка называется «незаконный процесс меньшего термина». Эти два незаконных процесса можно сократить до «незаконный больший» и «незаконный меньший».

Вспомните, что любой термин распределен, когда он рассматривается как определенное целое. Если не рассматривается весь средний термин, он перестает быть общим стандартом сравнения. Это становится ясно при обращении к кругам.

Иллюстрация.

Силлогизм, в котором средний термин не распределен:

Все люди смертны,

Все деревья смертны,

∴ Все деревья — люди.

Все суждения являются типа A, и, следовательно, предикаты каждого из них не распределены, так как A распределяет только субъект. Поэтому средний термин «смертны» не распределен ни в одной из посылок, отсюда и логическая ошибка.

Логическая ошибка, показанная кругами:

РИС. 9.

Эти круги показывают правильное значение двух посылок. Из них видно, что весь круг «люди» принадлежит кругу «смертные» и весь круг «деревья» принадлежит кругу «смертные», но в данном случае нет связи между кругами «люди» и «деревья». Таким образом, утверждение «Все деревья — люди» является ошибочным. Мы не имеем права ни утверждать, ни отрицать связь между людьми и деревьями. Если бы «смертные» были распределены, мы имели бы на это право, как станет ясно из следующего:

Все люди смертны,

Ни один камень не является смертным,

∴ Ни один камень не является человеком.

РИС. 10.

Здесь средний термин «смертные» распределен во второй посылке, так как в ней субъект «камни» исключен из всей области смертных. Это заключение подтверждается формальным утверждением, что «E» распределяет и субъект, и предикат. Поскольку весь круг «люди» принадлежит кругу «смертные», а ни одна часть круга «камни» не принадлежит кругу «смертные», то ни одна часть круга «камни» не может принадлежать кругу «люди».

(4) Ни один термин не должен быть распределен в заключении, если он не был распределен в своей посылке.

Было подтверждено, что термин распределен, когда он рассматривается как определенное целое. Иначе говоря, термин распределен, когда он используется в своем полном смысле. Очевидно, что мы не должны использовать термин в его полном смысле в заключении, если он был использован только в частичном смысле в посылке. То, что сказано о части, не обязательно может быть сказано о целом. Например: из того, что некоторые люди честны, не следует, что все люди честны. Конечно, обратное верно, а именно: если бы можно было доказать, что все люди честны, то, безусловно, следовало бы, что некоторые люди честны. Короче говоря: то, что истинно для всех, истинно для некоторых, но то, что истинно для некоторых, не обязательно истинно для всех.

Распределить термин в заключении, когда он не распределен в посылке, где он встречается, равносильно утверждению: «то, что истинно для некоторых, истинно для всех». Эта ошибка, нарушающая правило «4», приводит к двум логическим ошибкам: незаконному процессу большего и меньшего терминов. Следующие примеры иллюстрируют эти две ошибки.

Силлогизм, иллюстрирующий незаконный больший термин:

Все деревья растут,

Ни один человек не является деревом,

∴ Ни один человек не растет.

Первая посылка — A, следовательно, ее субъект распределен. Вторая посылка и заключение — E, у них распределены и субъект, и предикат. Таким образом, «растут», как оно использовано в заключении, распределено, но, как оно использовано в большей посылке, оно не распределено. Логическая ошибка, показанная кругами:

РИС. 11.

Здесь весь круг «деревья» принадлежит кругу «растут», а ни одна часть круга «люди» не принадлежит кругу «деревья», следовательно, диаграмма правильно представляет значение двух посылок и показывает ошибочность вывода, что «ни один человек не растет». Круг «люди», находясь полностью внутри круга «растут», указывает, что все люди растут. Силлогизм, иллюстрирующий незаконный меньший термин:

Все истинные учителя справедливы,

Все истинные учителя сочувствующие,

∴ Все сочувствующие справедливы.

Каждое суждение является A и распределяет свой субъект. Но субъект заключения, который есть «сочувствующие», не распределен в меньшей посылке, так как суждение A распределяет только свой субъект. Отсюда логическая ошибка незаконного меньшего термина.

Логическая ошибка, показанная кругами:

РИС. 12.

Диаграмма правильно представляет две посылки, поскольку весь круг «истинные учителя» принадлежит и кругу «справедливые», и кругу «сочувствующие». Но не весь круг «сочувствующие» принадлежит кругу «справедливые». Отсюда логическая ошибка.

(5) Никакое заключение не может быть сделано из двух отрицательных посылок.

Когда два термина оба отрицаются в отношении третьего термина, совершенно невозможно сделать какой-либо вывод относительно этих двух терминов, так как полное исключение третьего термина устраняет любую возможность общей связи или стандарта.

Круги сделают это очевидным:

Ни один человек не является бессмертным, Ни одно дерево не является бессмертным,

РИС. 13.

«Ни одно дерево не является человеком» — это заключение, представленное на рис. 13.

Другие возможные заключения: «Все деревья — люди», «Все люди — деревья» и «Некоторые люди — деревья».

Таким образом видно, что никакого определенного заключения сделать нельзя. Теперь можно сказать, что когда больший и меньший термины используются в двух отрицательных посылках, связь между ними является неопределенной. Это нарушение правила «5» можно назвать логической ошибкой двух отрицаний.

Ссылаясь на первую часть этого правила, можно сказать о двух терминах, что если один утверждается, а другой отрицается в отношении третьего термина, то эти два термина должны отрицаться друг в отношении друга. Приведенный силлогизм и его изображение с помощью кругов прольют свет на это:

Ни один человек не является бессмертным,

Все американцы — люди,

∴ Ни один американец не является бессмертным.

РИС. 14.

Поскольку ни одна часть круга «люди» не принадлежит кругу «бессмертные», а весь круг «американцы» находится внутри круга «люди», очевидно, что ни одна часть круга «американцы» не может принадлежать какой-либо части круга «бессмертные». Таким образом, очевидно, что утвердительное заключение, такое как «Все американцы бессмертны», является недействительным.

Обратное правило 6, «Чтобы доказать отрицательное заключение, одна из посылок должна быть отрицательной», можно объяснить общим принципом логики: когда известно, что два термина не согласуются, один должен согласовываться с третьим термином, в то время как другой должен не согласовываться. Если бы оба согласовывались с третьим, то заключение было бы обязательно утвердительным. Если бы оба не согласовывались, никакого заключения сделать было бы нельзя. Нарушение правила 6 можно назвать логической ошибкой отрицательного заключения.

(7) Никакое заключение не может быть сделано из двух частных посылок. Доказательство:

(1) Все возможные комбинации двух частных посылок I и O: (1) IO, (2) OI, (3) II, (4) OO.

Рассмотрим «IO».

(2) Поскольку O — отрицательная посылка, заключение должно быть отрицательным согласно правилу 6. (Если одна посылка отрицательная, заключение должно быть отрицательным.)

(3) Если заключение отрицательное, то его предикат, который является большим термином, должен быть распределен. (Все отрицательные суждения распределяют свои предикаты.)

(4) Если больший термин распределен в заключении, он должен быть распределен в большей посылке, правило 4. (Ни один термин не должен быть распределен в заключении, если он не был распределен в одной из посылок.)

(5) Следовательно, два термина должны быть распределены в посылках: больший термин согласно (4) и средний термин согласно правилу 3.

(6) Но I не распределяет ни одного термина, а O распределяет только свой предикат; таким образом, I и O вместе распределяют только один термин.

(7) Чтобы сделать отрицательное заключение, посылки должны распределить два термина: средний и больший, согласно вышесказанному.

(8) Следовательно, заключение из I и O несостоятельно. То же самое можно сказать об «OI».

Рассмотрим «II».

(1) Суждение I не распределяет ни субъект, ни предикат, следовательно, посылки «II» не распределяют ни одного термина.

(2) Но средний термин должен быть распределен по крайней мере один раз согласно правилу 3.

(3) Поэтому из «II» нельзя сделать никакого заключения.

Достоверное заключение из «OO» невозможно согласно правилу 5.

(8) Если одна посылка частная, то и заключение должно быть частным. Доказательство: Возможные комбинации, обусловленные правилом 8: AI, AO, EI, EO, IO, II, OO.

Рассмотрим «AI».

(1) Суждение A распределяет свой субъект, суждение I — ни одного; следовательно, «AI» вместе распределяют только один термин.

(2) Согласно правилу 3 этот единственный термин должен быть средним термином.

(3) Меньший термин должен, следовательно, быть нераспределенным в меньшей посылке и, как следствие, нераспределенным в заключении.

(4) Но этот нераспределенный меньший термин является субъектом заключения; следовательно, данное заключение должно быть частным, так как только частные суждения имеют нераспределенный субъект.

Рассмотрим «AO» и «EI».

Доказательство:

(1) «AO» распределяют два термина; так же и «EI».

(2) И «AO», и «EI» должны иметь отрицательные заключения согласно правилу 6.

(3) Отрицательное заключение распределяет свой предикат, который является большим термином.

(4) Больший термин и средний термин должны быть распределены в посылках. Правила 4 и 3.

(5) Таким образом, третий термин, который является меньшим, не может быть распределен в меньшей посылке и, следовательно, меньший термин не может быть распределен в заключении.

(6) Это делает необходимым частное заключение.

Посылки EO и OO, будучи отрицательными, не могут дать заключения согласно правилу 5; аналогично, не могут и частные IO и II из-за правила 7.

5. DICTUM DE OMNI ET NULLO АРИСТОТЕЛЯ.

Аристотель дает аксиому, на которой основано все силлогистическое умозаключение. Действительно, из этого фундаментального принципа можно было бы вывести значимые правила силлогизма. Диктум формулируется так: «Все, что сказывается о термине распределенном, будь то утвердительно или отрицательно, может сказываться о всем, что содержится под ним». Следующие утверждения представляют собой различные способы объяснения этого диктума:

(1) Все, что говорится о термине, используемом в его полном смысле, может быть сказано и о том же термине, когда он используется только в частичном смысле.

(2) То, что истинно для целого, истинно для части.

(3) «То, что относится к высшему классу, относится и к низшему». Поскольку этот диктум является основным принципом, лежащим в основе важных правил силлогизма, нет необходимости останавливаться на нем дольше; потому что объяснение правил — это, по сути, объяснение диктума.

6. КАНОНЫ СИЛЛОГИЗМА.

Диктум Аристотеля является, по-видимому, самоочевидной истиной, и некоторые логики облекли эту истину в форму трех аксиоматических утверждений, которые известны как каноны силлогизма. Они заключаются в следующем:

(1) «Два термина, согласующиеся с одним и тем же третьим термином, согласуются друг с другом».

(2) «Два термина, из которых один согласуется, а другой не согласуется с одним и тем же третьим термином, не согласуются друг с другом».

(3) «Два термина, оба не согласующиеся с одним и тем же третьим термином, могут как согласовываться, так и не согласовываться друг с другом».

Используя символы, как объяснено на предыдущей странице этой главы, можно увидеть, что первый канон соответствует этому типу силлогизма:

Все M суть G

Все S суть M

∴ Все S суть G

Два термина — S и G, в то время как M — третий термин.

Приведенные символические записи иллюстрируют, соответственно, второй и третий каноны:

Ни один M не является G

Все S суть M

∴ Ни один S не является G

Ни один M не является G

Ни один S не является M

Заключение неопределенно.

7. ТРИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АКСИОМЫ.

Аналогично трем канонам, рассмотренным в «6», существуют определенные математические аксиомы, которые здесь изложены:

(1) «Величины, равные одной и той же величине, равны между собой».

(2) «Одна величина, равная, и другая, не равная одной и той же третьей величине, не равны друг другу».

(3) «Величины, не равные одной и той же величине, могут как равняться, так и не равняться друг другу».

Иллюстрации трех аксиом:

(1) Если x равно 5, и y равно 5, то x равно y.

(2) Если x равно 5, и y не равно 5, то x не равно y.

(3) Если x не равно 5, и y не равно 5, то x может как равняться, так и не равняться y.

8. ПЛАН.

ОПОСРЕДОВАННОЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ.

(1) Умозаключение и рассуждение.

Определения. Разъяснение среднего термина.

(2) Аналогия между суждением и силлогизмом.

(3) Правила силлогизма. Восемь в количестве.

(4) Разъяснение правил силлогизма:

Правило 1. Силлогистические символы.

Больший, меньший и средний термины; как найти.

Логическая ошибка учетверения терминов.

Правило 2. Как определяются большая и меньшая посылки и заключение.

Логическое расположение.

Причина трех суждений.

Правило 3. Причина исключения «двусмысленного среднего» из правила.

Разъяснение нераспределенного и распределенного среднего термина.

Правило 4. Разъяснение и иллюстрация незаконного большего и меньшего терминов.

Правило 5. Логическая ошибка двух отрицаний.

Правило 6. Логическая ошибка отрицательного заключения.

Правило 7. Логическая ошибка двух частных посылок.

Правило 8. Логическая ошибка частного заключения.

(5) Диктум Аристотеля.

(6) Каноны силлогизма.

(7) Математические аксиомы.

9. РЕЗЮМЕ.

(1) Умозаключение — это термин, используемый для обозначения как процесса, так и результата. Как процесс, рассуждение и умозаключение на самом деле являются синонимами.

Умозаключение — это мыслительный процесс выведения суждения из одного или двух предшествующих суждений.

Опосредованное умозаключение — это умозаключение посредством среднего термина. Опосредованное умозаключение использует три термина, два из которых сравниваются с третьим термином как стандартом. Этот третий термин называется средним термином.

(2) Силлогизм — это обычный способ выражения опосредованного умозаключения.

(3) Достоверное силлогистическое рассуждение обусловлено восемью правилами. Первое и второе относятся к составу силлогизма; третье и четвертое — к распределенности терминов; пятое и шестое — к отрицательным посылкам; седьмое и восьмое — к частным посылкам.

(4) Все силлогизмы должны иметь три термина: больший, меньший и средний. Средний термин встречается дважды в посылках, но никогда не появляется в заключении. Меньший термин всегда является субъектом, а больший термин — предикатом заключения. Больший термин обычно шире меньшего.

Никакое заключение не может быть сделано из четырех терминов. Попытка сделать это приводит к логической ошибке учетверения терминов.

Все силлогизмы должны иметь три суждения: большую и меньшую посылки и заключение. Большая посылка первой, а меньшая второй — это более логичное расположение, хотя обычная разговорная форма заключается в использовании меньшей посылки первой.

Двусмысленный средний термин сводится к логической ошибке учетверения терминов.

Если средний термин не распределен по крайней мере один раз в силлогизме, он перестает быть общим стандартом.

Распределение термина в заключении без его распределения в посылке равносильно утверждению, что «то, что истинно для части, истинно для целого». Эта ошибка приводит к логическим ошибкам незаконного большего и меньшего терминов.

Заключение из двух отрицательных посылок невозможно из-за полного исключения среднего термина.

Если из двух терминов один утверждается, а другой отрицается в отношении третьего термина, то они должны отрицаться друг в отношении друга; и наоборот, если два термина должны отрицаться друг в отношении друга, один должен утверждаться, а другой отрицаться в отношении данного третьего термина. Этот фундаментальный принцип делает необходимым выведение отрицательного заключения из двух посылок, когда одна из них отрицательная. Он также делает необходимым обратное.

Достоверное заключение из двух частных посылок несостоятельно из-за двух отрицательных логических ошибок или какой-либо ошибки, связанной с распределенностью терминов.

Одна частная посылка вынуждает к частному заключению из-за логических ошибок двух отрицаний, двух частных посылок и незаконного меньшего термина.

(5) Диктум Аристотеля в упрощенном виде означает: «То, что истинно для целого, истинно для части».

(6) Каноны силлогизма, в количестве трех, таковы:

(1) «Два термина, согласующиеся с одним и тем же третьим термином, согласуются друг с другом».

(7) Вышеприведенные каноны могут быть сформулированы как математические аксиомы.

10. ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ.

(1a) Используйте соответствующие символы и укажите три термина каждого из приведенных силлогизмов:

(1) Все неподвижные звезды мерцают,

Вега — неподвижная звезда,

∴ Вега мерцает.

(2) Все люди — разумные существа,

Ни одно дерево не является разумным существом,

∴ Ни одно дерево не является человеком.

(3) Все хорошие граждане законопослушны,

Все хорошие граждане голосуют,

∴ Некоторые из тех, кто голосует, законопослушны.

Я помню, что три термина — это средний, больший и меньший, и что «средний» не встречается в заключении, тогда как «больший» всегда является предикатом, а «меньший» — субъектом заключения. Символы M, G и S являются начальными буквами слов middle (средний), greater (больший) и smaller (меньший), я использую их при обозначении трех терминов, как проиллюстрировано ниже:

(1) Все M неподвижные звезды G мерцают,

S Вега является M неподвижной звездой,

∴ S Вега G мерцает.

«Мерцает», будучи предикатом заключения, обозначается как больший термин путем постановки буквы G над ним. Затем «G» ставится над термином «мерцает» в первой посылке.

«S» ставится над субъектом заключения, чтобы указать, что это меньший термин. «S» также ставится над «Вега», меньшим термином, как он встречается во второй посылке.

Оставшийся термин, «неподвижные звезды», должен быть средним термином, поэтому я ставлю «M» над ним. Тот факт, что «неподвижная звезда» не встречается в заключении, подтверждает это.

Используя только символы, силлогизм принимает такую форму:

Все M суть G

S суть M

∴ S суть G

Используя символы для представления других силлогизмов, мы имеем:

(2) Все G суть M

Ни один S не является M

∴ Ни один S не является G

(3) Все M суть G

Все M суть S

∴ Некоторые S суть G

(1b) Обозначьте символами три термина следующих силлогизмов:

(1) Ни одно дерево не является человеком,

Все разумные существа являются людьми,

∴ Ни одно разумное существо не является деревом.

(2) Все люди обладают даром речи,

Вы — человек,

∴ Вы обладаете даром речи.

(3) Некоторые люди мудры,

Все люди разумны,

∴ Некоторые разумные существа мудры.

(2a) Проиллюстрируйте с помощью силлогизма логическую ошибку нераспределенного среднего термина. Простой способ — использовать средний термин в качестве предиката двух посылок типа A. Это приводит к логической ошибке, поскольку суждение типа A не распределяет свой предикат.

Иллюстрация: распределенные термины подчеркнуты.

Все истинные учителя суть студенты,

Все ученые суть студенты,

———————————————

∴ Все ученые суть истинные учителя.

(2b) Приведите две иллюстрации нераспределенного среднего термина.

(3a) Приведите силлогистические иллюстрации логических ошибок незаконного расширения большего и меньшего терминов.

Незаконное расширение большего термина.

Используйте средний термин в качестве субъекта суждения типа A, а затем в качестве предиката суждения типа E. Это потребовало бы отрицательного вывода, в котором больший термин был бы распределен. Но больший термин не распределен в большей посылке, отсюда и логическая ошибка.

Иллюстрация, в которой распределенные термины подчеркнуты:

Все люди смертны,

Ни одно дерево не является человеком,

——————————

∴ Ни одно дерево не является смертным.

Незаконное расширение меньшего термина.

Чтобы проиллюстрировать эту логическую ошибку, можно использовать средний термин в качестве субъекта двух посылок типа A. Это дало бы вывод типа A, в котором субъект распределен. Но этот же термин не распределен в своей посылке, поскольку здесь он используется в качестве предиката суждения типа A. Иллюстрация:

Все усердные студенты учатся,

Все усердные студенты стремятся к успеху,

———————————————————

∴ Все, кто стремится к успеху, учатся.

11. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

(1) Различайте умозаключение и рассуждение.

(2) Дайте определение умозаключению. Опосредованному умозаключению.

(3) Проиллюстрируйте разницу между опосредованным и непосредственным умозаключением.

(4) Объясните с помощью иллюстрации использование среднего термина.

(5) Приведите пример силлогизма.

(6) Сформулируйте правила силлогизма.

(7) Из приведенных силлогизмов выделите три термина:

(1) Все патриотичные граждане голосуют,

Вы — патриотичный гражданин,

∴ Вы должны голосовать.

(2) Ни один честный человек не стал бы искажать факты,

(но) Джон Смит исказил факты,

∴ Джон Смит нечестен.

(8) Обозначьте символами вышеуказанные силлогизмы.

(9) Проиллюстрируйте с помощью силлогизмов логическую ошибку учетверения терминов.

(10) Покажите с помощью кругов, что из четырех терминов нельзя сделать логически верный вывод.

(11) Почему силлогизм должен состоять из трех и только трех суждений?

(12) Укажите, как могут быть обозначены три суждения аргумента. Какова логическая структура?

(13) Покажите, что двусмысленность среднего термина равносильна логической ошибке учетверения терминов.

(14) Объясните и проиллюстрируйте нераспределенный средний термин, незаконное расширение большего термина, незаконное расширение меньшего термина.

(15) Приведите примеры логических ошибок из вопроса «14», используя круги.

(16) Объясните с помощью кругов, почему нельзя сделать вывод из двух отрицательных посылок.

(17) Разъясните, что если одна из посылок отрицательная, то вывод должен быть отрицательным.

(18) Сформулируйте и объясните принцип, лежащий в основе правила: «Если вывод отрицательный, то одна из посылок должна быть отрицательной».

(19) Докажите методом исключения, что из двух частных посылок нельзя сделать вывод.

(20) Подобно вопросу «19», покажите, что если одна посылка частная, то и вывод должен быть частным.

(21) Сформулируйте и объясните dictum Аристотеля.

(22) Сформулируйте каноны силлогизма.

(23) Обозначьте символами и объясните с помощью кругов три канона.

(24) Проиллюстрируйте три математические аксиомы, на которые указывают каноны.

12. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РАЗМЫШЛЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ.

(1) Приведите пример логически верного вывода, сделанного из четырех терминов.

(2) Объясните вышесказанное с помощью кругов.

(3) Выберите средний термин сравнения из трех различных деловых операций.

(4) Почему те, кто склонен к пространным аргументам, не должны говорить силлогистическими терминами?

(5) «Он человек высоких идеалов, и вы знаете, что он абсолютно честен, поэтому у вас нет оправдания, чтобы не голосовать за него». Переформулируйте эту цитату с целью создания логического силлогизма.

(6) Покажите с помощью кругов, что может существовать существенная разница между силлогизмом из трех терминов и уравнением из трех терминов.

(7) Покажите на примере, что в разговорной аргументации меньшая посылка естественно идет первой.

(8) Покажите с помощью кругов значение «неопределенного вывода».

(9) Пятое правило гласит, что из двух отрицательных посылок нельзя сделать вывод. Защитите это правило в связи со следующим силлогизмом, который, по-видимому, содержит верный вывод:

Любое утверждение, которое не является истинным, не может быть принято,

Это утверждение не является истинным,

∴ Оно не может быть принято.

(10) Если вывод частный, должна ли одна из посылок быть частной? Объясните.

ГЛАВА 12. ФИГУРЫ И МОДУСЫ СИЛЛОГИЗМА.

1. ЧЕТЫРЕ ФИГУРЫ СИЛЛОГИЗМА.

Под фигурой силлогизма понимается определенное расположение трех терминов в двух посылках. Вывод исключается из этого обсуждения, поскольку в нем расположение терминов постоянно: больший термин всегда используется в качестве предиката вывода, а меньший — в качестве субъекта. Используя символы M, G и S, мы обнаруживаем, что существует четыре возможных расположения и, следовательно, только четыре фигуры. Их можно представить следующим образом:

First

figure Second

figure Third

figure Fourth

figure

M — G G — M M — G G — M

S — M S — M M — S M — S

S — G S — G S — G S — G

Независимо от того, какой это силлогизм, если он должен быть доказан как «логичный», его следует привести в соответствие с одним из четырех типов фигур. Конечно, он может соответствовать фигуре, не будучи логичным, но он не может быть строго логичным, не соответствуя фигуре. Следующие верные силлогизмы соответствуют четырем фигурам, как видно из символизированных терминов:

Первая фигура: Все M люди суть G смертны,

S Сократ есть M человек,

∴ S Сократ есть G смертен.

M — G

S — M

S — G

Вторая фигура: Все G хорошие граждане любят свою M страну,

Ни один S преступник не любит свою M страну,

∴ Ни один S преступник не является G хорошим гражданином.

G — M

S — M

S — G

Третья фигура: Все M хорошие граждане суть G законопослушны,

Все M хорошие граждане S голосуют,

∴ Некоторые, кто S голосуют, суть G законопослушны.

M — G

M — S

S — G

Четвертая фигура: Некоторые G учителя суть M беспристрастны,

Все, кто M беспристрастны, суть S справедливы,

∴ Некоторые S справедливые люди суть G учителя.

G — M

M — S

S — G

Вот, таким образом, типы, представляющие все силлогизмы, которые может использовать опосредованное умозаключение. Логика не признает других. Поскольку каждый успешный студент, изучающий логику, должен быть знаком с четырьмя фигурами, следующее может быть использовано как вспомогательное средство для воспроизведения фигур по желанию:

Первое. Каждому легко запомнить этот силлогизм:

Все люди смертны,

Сократ — человек,

∴ Сократ смертен.

На самом деле, он дошел до нас со времен Аристотеля и поэтому является патриотом многих поколений, перед которым верные должны снимать шляпы. Давайте же будем готовы воспроизвести этот силлогизм с автоматической точностью, поскольку он позволит нам сразу узнать положение терминов в первой фигуре. Второе. Обращение терминов большей посылки первой фигуры дает вторую фигуру, например:

First figure. Second figure.

M — G (Convert) G — M

S — M S — M

S — G S — G

Третье. Обращение терминов меньшей посылки первой фигуры дает третью фигуру, например:

First figure. Third figure.

M — G M — G

S — M (Convert) M — S

S — G S — M

Четвертое. Обращение терминов как большей, так и меньшей посылок первой фигуры дает четвертую, например:

First figure. Fourth figure.

M — G (Convert) G — M

S — M (Convert) M — S

S — G S — G

Подводя итог: Вторая, третья и четвертая фигуры могут быть выведены из первой. Обращение большей посылки первой фигуры дает вторую фигуру; обращение меньшей посылки дает третью фигуру; а обращение обеих посылок дает четвертую фигуру.

2. МОДУСЫ СИЛЛОГИЗМА.

Под модусом силлогизма понимается определенное расположение суждений, составляющих силлогизмы. «Модус» означает расположение суждений, в то время как «фигура» представляет собой расположение терминов в любом силлогизме.

Комбинирование любых трех из четырех логических суждений дает модус, например: (1) EAE (2) AII (3) EIO.

являются модусами. Первый из них имеет суждение E в качестве большей посылки, A в качестве меньшей и E в качестве вывода. Этот силлогизм представляет первый из приведенных выше модусов:

E Ни один человек не является деревом,

A Все американцы — люди,

E ∴ Ни один американец не является деревом.

Было бы несложно определить путем эксперимента, сколько именно модусов можно сформировать и сколько из них допускают верные выводы. Можно увидеть, что существует шестьдесят четыре перестановки четырех логических суждений, взятых по три. Частично они таковы:

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

A A A A A A A A

A A A A E E E E

A E I O A E I O

(9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16)

A A A A A A A A

I I I I O O O O

A E I O A E I O

И так далее, перестановки можно продолжать. Подстановка E вместо большей посылки вышеуказанной группы дала бы еще одну группу из шестнадцати, в то время как аналогичная подстановка I и O привела бы к двум другим группам, по шестнадцать в каждой. Всего это дает шестьдесят четыре.

3. ПРОВЕРКА ВЕРНОСТИ МОДУСОВ.

Чтобы правильно использовать модусы, необходимо установить, какие из них дают верный вывод в любой фигуре. Если бы каждый из них был верным во всех четырех фигурах, их было бы 256. Но очевидно, что это не так.

Обращаясь к шестнадцати приведенным выше перестановкам, мы обнаруживаем, что «правило отрицательного вывода» делает неверными 2, 4, 5, 7, 10, 12, 13 и 15; тогда как правило для частных суждений исключает 9 и 14. Это оставляет следующие модусы в качестве вероятных верных в одной или нескольких фигурах: 1, 3, 6, 8, 11, 16. Но чтобы быть уверенным в этом, исследование должно быть продолжено. Модус AAA выдержал проверку правилами для отрицательных и частных выводов; теперь давайте протестируем этот модус с точки зрения распределения терминов, используя его во всех четырех фигурах:

First Second Third Fourth

A M — G G — M M — G G — M

A S — M S — M M — S M — S

A S — G S — G S — G S — G

Поскольку суждение типа A распределяет только свой субъект, мы подчеркиваем субъект каждого суждения во всех фигурах. (Это подчеркивание — простой способ указать на распределение.)

Теперь мы обнаруживаем, что модус является верным в первой фигуре, потому что средний термин распределен по крайней мере один раз; а именно, в большей посылке, и в выводе нет распределенного термина, который не был бы уже распределен в посылке, где он встречается. С другой стороны, модус AAA является неверным во второй фигуре из-за «нераспределенного среднего термина» и неверным в третьей и четвертой, потому что S распределен в выводе, но не распределен в посылке, где он встречается (незаконное расширение меньшего термина).

Давайте попробуем AII во всех четырех фигурах:

A M — G G — M M — G G — M

I S — M S — M M — S M — S

I S — G S — G S — G S — G

Мы подчеркиваем субъект суждения типа A в каждой из четырех фигур. Поскольку I не распределяет ни субъект, ни предикат, никакой другой термин не должен быть подчеркнут. Теперь очевидно, что AII не является верным во второй и четвертой фигурах, потому что в обеих фигурах средний термин не распределен (нераспределенный средний термин).

Таким же образом можно протестировать все остальные модусы. Логики, которые проделали это, нашли 24 верных модуса. Пять из них имеют ослабленные выводы; т. е. частный вывод, когда он мог бы быть столь же хорошо общим. AEO иллюстрирует это, так как вывод мог бы быть E. Этот силлогизм служит примером ослабленного вывода:

A Все деревья растут,

E Ни одна палка не является деревом,

O ∴ Некоторые палки не растут.

Этот вывод истинен, поскольку «некоторые» означает «по крайней мере некоторые». Тем не менее, вывод слаб, потому что нет ничего, что мешало бы сделать более широкий и сильный вывод: «Ни одна палка не растет». Таким образом, существует только 19 верных и пригодных модусов. Они следующие:

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

First figure

A E

E A

I E

O —

—

— —

—

Second figure

E A

O E

O —

—

— —

—

Third figure

I I

I A

I E

O O

O E

Fourth figure

I A

E I

I E

O E

O —

—

Из этих девятнадцати модусов не составляет большого труда запомнить, что AAA верен только в первой фигуре; тогда как EAE верен в первой и второй фигурах; AII — в первой и третьей; в то время как EIO верен во всех. Однако эти знания следует использовать только так, как человек использовал бы ответы в арифметике. Проверка верности модуса во всех четырех фигурах — это чрезвычайно ценное упражнение для ума, которое знание окончательного результата может легко испортить. Несомненно, лучше всего проверять ценность любого модуса без такого знания, а затем сравнивать результат, обращаясь к приведенному выше списку верных модусов. Не всегда мудро работать, держа ответ в уме, однако очень приятно знать наверняка, что ваше рассуждение привело к истине, которую подтвердили другие.

4. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КАНОНЫ ЧЕТЫРЕХ ФИГУР.

Как дедуктивное упражнение в ясном, логическом мышлении, косвенное доказательство, связанное с установлением определенных принципов, лежащих в основе четырех фигур, имеет огромную ценность. Ни в коем случае нельзя пропускать этот раздел. Тот факт, что он кажется трудным, является верным доказательством того, что студент нуждается именно в таких упражнениях.

Каноны первой фигуры.

(1) Меньшая посылка должна быть утвердительной.

(2) Большая посылка должна быть общей.

Задача: Меньшая посылка должна быть утвердительной.

Данные: Дана форма первой фигуры, которая есть,

M — G

S — M

S — G

Доказательство: (1) Если меньшая посылка не является утвердительной, то она должна быть отрицательной; поскольку утвердительные и отрицательные суждения, будучи противоречивыми по своей природе, не допускают никакой середины.

(2) Если меньшая посылка отрицательная, то вывод должен быть отрицательным; по той причине, что отрицательная посылка требует отрицательного вывода.

(3) Если вывод отрицательный, то его предикат, G, должен быть распределен; поскольку все отрицательные суждения распределяют свои предикаты.

(4) Если предикат вывода, который является большим термином, распределен, то он должен быть распределен в посылке, где он встречается, то есть в большей посылке; поскольку любой термин, который распределен в выводе, должен быть распределен в посылке, где он встречается.

(5) Если больший термин, который является предикатом большей посылки, распределен, то большая посылка должна быть отрицательной; поскольку только отрицательные суждения распределяют свои предикаты.

(6) Результат этого аргумента, таким образом, дает две отрицательные посылки, а мы знаем из правила 3, что вывод из двух отрицательных посылок несостоятелен.

(7) Поскольку меньшая посылка не может быть отрицательной, она должна быть утвердительной.

Задача: Доказать, что большая посылка должна быть общей.

Данные: Дана форма первой фигуры:

M — G

S — M

S — G

Доказательство: (1) Предикат меньшей посылки, M, который является средним термином, не распределен; поскольку ни одно утвердительное суждение не распределяет свой предикат.

(2) Средний термин должен быть распределен в большей посылке; поскольку в любом силлогизме средний термин должен быть распределен по крайней мере один раз.

(3) Поскольку средний термин, M, используемый в качестве субъекта большей посылки, должен быть распределен, то большая посылка должна быть общей; поскольку только общие суждения распределяют свои субъекты.

Эпитома.

В первой фигуре меньшая посылка должна быть утвердительной, так как ее отрицание требует отрицания и большей посылки; большая посылка должна быть общей, чтобы распределить средний термин по крайней мере один раз.

Специальные каноны второй фигуры.

(1) Одна посылка должна быть отрицательной.

(2) Большая посылка должна быть общей.

Задача: Доказать, что одна посылка должна быть отрицательной.

Данные: Дана форма второй фигуры:

G — M

S — M

S — G

Доказательство: (1) Средний термин, M, является предикатом обеих посылок.

(2) Средний термин должен быть распределен по крайней мере один раз, согласно правилу 3.

(3) Следовательно, одна посылка должна быть отрицательной; поскольку только отрицательные суждения распределяют свои предикаты.

Задача: Доказать, что большая посылка должна быть общей.

Данные: Дана форма второй фигуры:

G — M

S — M

S — G

Доказательство: (1) Поскольку одна посылка должна быть отрицательной, из этого следует, что вывод должен быть отрицательным согласно правилу 6.

(2) Если вывод отрицательный, то его предикат, G, больший термин, должен быть распределен; поскольку все отрицательные суждения распределяют свои предикаты.

(3) Будучи распределенным в выводе, больший термин, G, должен также быть распределен в большей посылке, где он используется в качестве субъекта. См. правило 4.

(4) Следовательно, большая посылка должна быть общей; поскольку только общие суждения распределяют свои субъекты.

Эпитома.

Во второй фигуре одна посылка должна быть отрицательной, чтобы распределить средний термин по крайней мере один раз; и большая посылка должна быть общей, чтобы больший термин, который распределен в выводе, мог быть распределен в посылке, где он встречается.

Каноны третьей фигуры.

(1) Меньшая посылка должна быть утвердительной.

(2) Вывод должен быть частным.

Задача: Доказать, что меньшая посылка должна быть утвердительной.

Данные: Дана форма третьей фигуры, которая есть,

M — G

M — S

S — G

Доказательство: (1) Предположим, что меньшая посылка была бы отрицательной, тогда вывод должен был бы быть отрицательным, и это распределило бы предикат G.

(2) Распределенный предикат потребовал бы, чтобы он был распределен в большей посылке.

(3) Но G, будучи выводом большей посылки, мог бы быть распределен только отрицательным суждением.

(4) Это привело бы к двум отрицательным суждениям; следовательно, если бы меньшая посылка была отрицательной, никакой вывод не мог бы быть сделан.

Задача: Доказать, что вывод должен быть частным.

Данные: Дана форма третьей фигуры:

M — G

M — S

S — G

Доказательство: (1) Меньший термин, который является предикатом утвердительной меньшей посылки, не распределен; поскольку ни одно утвердительное суждение не распределяет свой предикат.

(2) Если он не распределен в посылке, то меньший термин должен оставаться нераспределенным в выводе, где он используется в качестве субъекта.

(3) Вывод должен, таким образом, быть частным; поскольку все общие суждения распределяют свои субъекты.

Эпитома.

В третьей фигуре, если меньшая посылка не является утвердительной, не может быть сделано никакого вывода; поскольку отрицательная меньшая посылка потребовала бы отрицательной большей. Утвердительная меньшая посылка вынуждает сделать частный вывод, чтобы меньший термин в выводе мог остаться нераспределенным.