«Бюджет парадоксов, Том II»

Филомат, для моих нынешних целей, должен быть представлен как дающий урок самонадеянности. Следующий анекдот найден в «Souvenirs de vingt ans de séjours à Berlin» Тьебо, опубликованных в 1804 году. Сама книга получила высокую оценку за правдивость. В 1807 году маршал Мёллендорф ответил на запрос герцога де Бассано, сказав, что это самая правдивая из книг, написанная самым честным из людей. Тьебо не претендует на личное знание анекдота, но он ручается за то, что он принят как истинный по всему северу Европы.

Дидро посетил Россию по приглашению Екатерины Второй. В то время он был атеистом или, по крайней мере, говорил об атеизме: было бы легко доказать, что он либо одно, либо другое, исходя из его сочинений. Его живые выпады на эту тему очень забавляли Императрицу и всю младшую часть ее Двора. Но некоторые из старших придворных предположили, что едва ли благоразумно допускать такие нескрываемые проявления. Императрица тоже так думала, но не хотела надевать намордник на своего гостя прямым запретом: поэтому был придуман заговор. Насмешнику сообщили, что у выдающегося математика есть алгебраическое доказательство существования Бога, которое он сообщит перед всем Двором, если будет угодно. Дидро с радостью согласился. Математик, который не назван, был Эйлер. Он подошел к Дидро с самым серьезным видом и тоном полного убеждения сказал: «Monsieur!

a + bn

n = x

donc Dieu existe; répondez!» (Господин! ... следовательно, Бог существует; отвечайте!). Дидро, для которого алгебра была еврейским языком, хотя это и выражено очень окольным путем у Тьебо — и которого мы можем предположить ожидавшим какого-то словесного аргумента предполагаемой алгебраической близости, был сбит с толку; в то время как взрывы смеха звучали со всех сторон. На следующий день он попросил разрешения вернуться во Францию, что было предоставлено. Алгебраист полностью перевернул бы ситуацию, сказав: «Monsieur! vous savez bien que votre raisonnement demande le développement de x suivant les puissances entières de n» (Господин! вы хорошо знаете, что ваше рассуждение требует разложения x по целым степеням n). Голдсмит не мог видеть этот анекдот, иначе можно было бы предположить, что он почерпнул из него намек на то, как Сквайр разгромил бедного Моисея.

Графомат — это человек, который, не имея математики, пытается описать математика. Романисты выступают таким образом: даже Вальтер Скотт время от времени обжигает себе пальцы. Его мечтательный калькулятор, Дэви Рамсей, клянется «костями бессмертного Непера». Скотт думал, что филоматы поклоняются реликвиям: так они и делают, в одном смысле. Загляните в Словарь Хаттона за «Костями Непера», и вы узнаете всё об этих маленьких безделушках, с помощью которых он выполнял умножение и деление. Но ни одной своей кости он не внес; он предпочитал слоновьи бивни. Автор «Headlong Hall» совершает грандиозную ошибку, которая является вполне высокой наукой: он говорит, что Лаплас доказал, что прецессия равноденствий является периодическим неравенством. Он должен был сказать — изменение наклонения. Но самый прекрасный пример — следующий: г-н Уоррен в своей хорошо написанной повести о философе-мученике был достаточно неосторожен, чтобы изобрести символы, с помощью которых его «savant» убедил себя, что Лаплас был прав в сомнительном пункте. И вот что он составил —

√-3 a², y²/z² + 9 - n = 9, n × log e.

Теперь, для Дидро и массы человечества это могло быть Лапласом во всей красе: и, в поддельной записке Паскаля, доказало бы, что он вполне дошел до гравитации. Но я не знаю ничего подобного, кроме недавно полученной истории об американском ораторе, которого попросили сказать что-нибудь на латыни, и он закончил так: «Вверяя судьбу страны в ваши руки, господа, я могу без страха заявить, на языке благородного римского поэта,

E pluribus unum,

Multum in parvo,

Ultima Thule,

Sine qua non».

Но американец подошел ближе к Горацию, чем философ-мученик к Лапласу. Ибо все слова есть у Горация, кроме Thule, которое могло бы там быть. Но «√-3» не является символом, нужным Лапласу; и мы не можем видеть, как он мог бы им быть; на самом деле, он не признан в алгебре. Что касается соединений и т. д., Лаплас и Гораций имитированы примерно одинаково хорошо.

Дальнейшая благодарность за письма г-на Смита к вам от 15, 18, 19, 28 октября и 4, 15 ноября. Последнее из этих писем содержит два любопытных открытия. Во-первых, г-н Смит заявляет, что он «видел» редактора «Атенеума»: в нескольких предыдущих письмах он упоминает имя. Если бы он немного знал о журналистике, он бы знал, что редакторы — это особая раса, полученная путем естественного отбора. Их никогда не видят, даже их сотрудники; только слышат по трубе. Во-вторых, «эллипс или овал» состоит из четырех дуг окружностей. Г-н Смит ухватился за конструкцию, которой меня учили в детстве, для красивого четырехугольного овала. Но мои учителя знали лучше, чем называть это эллипсом: г-н Смит — нет; но он извлекает из этого такое подтверждение 3⅛, которое убедило бы любого «честного» редактора.

Конечно, циклометр — это дарвиновское развитие паука, который всегда занимается кругами и всегда начинает заново, когда его паутину смахивают. Он сообщает вам, что он «имел привилегию открыть истины, неизвестные научному миру». Это мы знаем; но он продолжает показывать, что он столь же удачлив в искусстве. Он продолжает говорить, что будет использовать вас, чтобы выявить эти истины, «точно так же, как художник использует манекен для расположения своей драпировки». Художественный манекен — для струящихся одежд; парикмахерский манекен — для кудрявых локонов. Г-ну Джеймсу Смиту следует прочитать трогательную историю Сэма Уэллера о «четырех восковых манекенах». Что касается «его» использования манекена, это совершенно правильно. Когда я был в Университетском колледже, я однажды зашел в комнату, в которой мой латинский коллега принимал экзамен. Один из вопросов был: «Приведите жизни и судьбы Сп. Мелия и Сп. Кассия». Умф! — сказал я, конечно, все знают, что Спурий Мелий был высечен за фальсификацию муки, а Спурий Кассий был повешен за сбыт фальшивых денег. Теперь, одежда, расположенная на манекене, выглядела бы точно так же, как тога Кассия на виселице. Соответственно, г-н Смит прав в выборе вешалки для драпировки: его поймали на попытке сбыть фальшивые круги. Он горько жалуется, что его геометрия, вместо того чтобы быть прочитанной и понятой вами, передается мне, чтобы со мной обращались в моей грубой манере. Совершенно ясно, что он предпочел бы, чтобы с ним обращались так, чем не обращались бы вовсе, иначе почему он продолжает писать? Он должен знать к этому времени, что это часть учреждения, что его «неправдивый и абсурдный мусор» должен быть дистиллирован в мой со скоростью около 3⅛ страниц первого на одну колонку второго. Ваши читатели никогда не узнают, сколько они выигрывают от этого процесса, пока г-н Джеймс Смит не опубликует всё это в большой книге или пока они не получат в руки то, что он уже опубликовал. У меня есть шесть фунтов веса брошюр и писем; и есть более полуфунта писем, написанных вам за последние два месяца. Ваш наборщик должен чувствовать себя обиженным из-за отклонения этих четко написанных документов, без исправлений и только на одной стороне. У вашего корреспондента есть все задатки хорошего автора, кроме знания своего предмета и здравого смысла, чтобы его получить. Он, по сути, лишь маска: о ком лиса

«O quanta species, inquit, cerebrum non habet» (О, какая красота, говорит, а мозга нет).

Я не отчаиваюсь в отношении г-на Смита по любому вопросу, который не включает ту злополучную калитку из двух палок, в которую он упорно продолжает бросать мяч. Он опубликовал много статей; он пересылал их математикам: и он не может получить ответы; возможно, даже читателей. Думает ли он, что получил бы больше внимания, если бы вы напечатали его в своем журнале? Кто стал бы изучать его колонки? Не математик, мы знаем; и он знает. Стали бы другие? Его мячи направлены слишком широко, чтобы их мог заблокировать кто-либо, кто находится рядом с калиткой. Он давно перестал стоить ответа, который может получить новый захватчик. Роуэн Гамильтон годы назад полностью сбил его с ног; и он никогда не пытался указать на какую-либо ошибку в коротком и легком методе, с помощью которого этот мощный исследователь снизошел до того, чтобы показать, что, кто бы ни был прав, он должен быть неправ. Есть некоторые люди, которые чувствуют склонность думать, что с г-ном Смитом следует спорить: пусть эти люди поймут, что с ним спорили, его опровергали, и он никогда не пытался воткнуть перо в опровержение. Он заявил, что это замечательный парадокс, легко объяснимый; и это всё. После этого уклонения г-н Джеймс Смит ниже необходимости того, чтобы ему говорили, что он недостоин ответа. Его друзья жалуются, что я ничего не делаю, кроме как «chaff» (подшучиваю) над ним. Абсурд! Я вею его; и если в результате получается только мякина, чья это вина? Я полезно занят: ибо он — тип класса, который должен быть известен и который я сделал многое, чтобы сделать известным.

Ничего из этого не вышло до июля 1869 года, когда я получил перепечатку вышеуказанного письма с комментарием, описанным как Приложение D к работе, находящейся в процессе публикации по геометрии круга. Журнал «Атенеум» получил то же самое: но Редактор, в своем частном качестве, получил всю работу, а именно «Геометрия круга и математика в приложении к геометрии математиками, показанная как насмешка, заблуждение и ловушка», Ливерпуль, 8vo, 1869. Г-н Дж. С. здесь появляется в глубокой борьбе с профессором Уитвортом и г-ном Уилсоном, автором предполагаемой поправки к Евклиду. Как этих опытных математиков можно было втянуть в продолжительную дискуссию, необъяснимо. Г-н Уитворт начал с жалобы на нападки г-на Смита на математиков, продолжал переписываться после того, как убедился, что Дж. С. доказал равенство дуги и ее хорды, и отступил только тогда, когда Дж. С. обвинил его в вере в 3⅛ и отказе от признания. Г-н Уилсон был представлен Дж. С. добровольной защитой его геометрии от нападок «Атенеума». Это редактор не стал публиковать; поэтому Дж. С. отправил копию самому г-ну Уилсону. Последовала некоторая переписка, но г-н Уилсон вскоре раскусил своего человека и отступил.

Есть немного насмешки над «Атенеумом» и заслуженное наказание для «этого недобросовестного критика и презренного математического болтуна Де Моргана».

АСТРОНОМИЯ Г-НА РЕДДИ.

На стр. 183 я упомянул г-на Редди, автора «Vis Inertiæ Victa» и «Victoria toto cœlo», последнее из которых не является обращением ко всему небу, ни от римской богини, ни от британской королевы, что бы ни предполагал ученый. Между ними г-н Редди опубликовал «Механику небес», 8vo, 1862: я никогда не видел ее, пока он не прислал ее мне с приглашением заметить ее, прекрасно зная, что она зацепит. Его спекуляции ведут борьбу с общими представлениями о математике и механике, которые, используя женский идиом, он богохульствует так, что вы не можете себе представить! и я подозреваю, что если вы тоже не богохульствуете против них, вы не можете думать. Он апеллирует к «истинно научным» и был бы рад иметь читателей, которые читали то, что он опровергает, т.е. «Principia» Ньютона: я желаю, чтобы он их получил; я имею в виду, я надеюсь, что он может их получить. Никому, кроме них, отчет о его спекуляциях не был бы понятен: я, соответственно, отделался от него очень коротким описанием. Теперь многие парадоксеры желают внимания, даже если оно пренебрежительное. У меня есть письма от более чем одного — помимо тех, что были отправлены Редактору «Атенеума» — с жалобой на то, что над ними не смеются; хотя они заслуживают этого, говорят они мне, так же, как некоторые, кого я включил. Г-н Редди сообщает мне, что я не сказал ни слова против его книг, хотя я уделил почти колонку шестнадцатиструнной арифметике и столько же вселенным микроорганизмов. Что нужно говорить читателям Ньютона против книги, из которой я процитировал, что революция посредством гравитации «доказуемо» невозможна? Это было бы так же бесполезно, как доказательства против человека, который признал себя виновным. Г-н Редди насмешливо благодарит меня за «малые милости»; он писал мне частные письма; он опубликовал их, и больше, в «Correspondent». Он дал мне, pro viribus suis (по мере своих сил), такую взбучку, что вы не можете себе представить, как за мой «Бюджет» без упоминания, так и за рецензии, которые он предположил, что я написал. Он объявил себя вне закона, заявив («Correspondent», 11 ноября 1856 г.), что я — в рецензии — сделал цитату, которая была «искажена, очевидно, специально для того, чтобы создать впечатление, что» он «защищал исключительно геоцентрическую гипотезу, что неправда». На самом деле, он сделал всё возможное, чтобы получить большую «милость». И он ее получит; и в таком объеме, который его удовлетворит, если только его мекометр не является ненасытным аппаратом. Но я боюсь, что в других отношениях я не удовлетворю его больше, чем ирландский барабанщик удовлетворил бедного преступника, когда, после нескольких раз изменения направления удара по настоятельной просьбе, он был наконец спровоцирован крикнуть: «Bad cess to ye, ye spalpeen! strike where one will, there's no plasing ye!» (Будь ты проклят, негодяй! куда ни ударь, тебе не угодишь!).

Г-н Редди придает большую силу старым аргументам Беркли против доктрины флюксий и выдвигает возражения против второго раздела Ньютона, которые он считает новыми. Мне они кажутся «такими, которые часто делались», если скопировать описание, данное в рецензии: хотя я не сомневаюсь, что г-н Редди извлек их из самого себя. Но всё дело сводится к следующему: г-н Редди бросил вызов ответу, особенно со стороны Британской научной ассоциации, и не получил его. Он предполагает, что это потому, что он прав и его нельзя опровергнуть: Ассоциация готова рискнуть собой на основе контр-идеи, что он неправ и не нуждается в ответе; потому что настолько неправ, что никто, кто мог бы понять ответ, вряд ли нуждался бы в нем.

Г-н Редди требует моего внимания к пункту, который уже особенно поразил меня, как дающий средства показать «всем» читателям тот вид путаницы, в которую парадоксеры склонны впадать, несмотря на самые ясные инструкции. Это очень честная ошибка, и она требует внимания: иначе она может ввести в заблуждение некоторых, кто может предположить, что никто, умеющий читать, не мог ошибиться в таком простом вопросе, пусть он будет хоть сколько угодно неправ насчет Ньютона. Согласно его собственному неверному утверждению, менее чем за пять месяцев он заставил Королевского астронома отказаться от теории солнечного движения в пространстве. Объявление сделано в августе 1865 года следующим образом: курсив не мой:

«Третья (Victoria...), хотя и опубликована только в сентябре 1863 года, уже одержала свой триумф. Это книга, которая заставила Королевского астронома Англии, после публичного преподавания обратного в течение многих лет, прийти к выводу, «как бы странно это ни казалось», что «весь вопрос о солнечном движении в пространстве в настоящее время находится в сомнении и неопределенности». Это признание сделано в Ежегодном отчете Совета Королевского астрономического общества, опубликованном в «Monthly Notices» Общества за февраль 1864 года».

Добавлено, что солнечное движение «полно самопротиворечий, которые «астрономы» просто упустили из виду, но которые они не смеют теперь отрицать после того, как на них было указано».

Следующее — еще один из его отчетов по этому вопросу, данный в «Correspondent», № 18, 1865:

«... Вы должны были, когда решили поместить меня в «Бюджет», знать об Отчете Совета Королевского астрономического общества, где оказывается, что профессор Эйри, с лучшей оценкой моих демонстраций, признал — «странно», говорит Совет, «как бы это ни казалось», — что «весь вопрос о солнечном движении в пространстве [и здесь г-н Редди опускает некоторые слова] сейчас находится в «сомнении и неопределенности». Вы были виновны как публичный учитель немалых претензий, если вы «не знали» об этом. Если знали, вы не должны были подавлять такое важное свидетельство того, что я действительно был «очень успешен» в вырывании зубов у волчков, хотя вы думали, что они так прочно закреплены. И если вы все еще подавляете «его», в своем Приложении, или когда вы перепечатаете свой «Бюджет», вы тогда будете виновны в suppressio veri, а также в дальнейшем ущербе мне, который никогда не причинял вам вреда...»

Г-н Редди должен был быть очень доволен в своем уме, прежде чем решился на такой вызов, с ответом от меня, маячащим вдали. Ниже приводится отрывок из Отчета Совета и т. д., из которого он цитирует:

«И всё же, как ни странно, несмотря на близкое совпадение всех результатов вышеупомянутых независимых методов исследования, неизбежный логический вывод, сделанный г-ном Эйри, заключается в том, что весь вопрос о солнечном движении в пространстве, «по крайней мере, насколько это касается объяснения собственного движения звезд», [я выделил курсивом слова, опущенные г-ном Редди] по-видимому, остается в этот момент в сомнении и неопределенности».

Г-н Редди загнал меня, как он думает, в дилемму: если не знал — виновное невежество; если знал — намерение подавления. Но это трилемма, и третий рог, на который я выбираю быть помещенным, увенчан дважды набитым сиденьем. Во-первых, г-н Эйри не изменил своего мнения о «факте» солнечного движения в пространстве, а только приостанавливает его относительно достаточности нынешних средств для определения величины и направления движения. Во-вторых, всё, на что ссылаются в Астрономическом отчете, было сказано и напечатано до появления прокламации «Victoria». Так что автор, вместо того чтобы вырвать зуб у волчка Королевского астронома, сжег нос собственной кукле.

Уильям Гершель, а после него около шести других астрономов, стремились определить, по собственным движениям звезд, точку небес, к которой движется солнечная система: их результаты были довольно согласующимися. Г-н Эйри в 1859 году предложил улучшенный метод и, применив его к звездам с большим собственным движением, получил «примерно тот же результат», что и Гершель. Г-н Э. Данкин, один из сотрудников г-на Эйри в Гринвиче, применил метод г-на Эйри к очень большому количеству звезд и снова получил почти тот же результат, что и раньше. Эта статья была прочитана в Астрономическом обществе в марте 1863 года, была напечатана в сокращенном виде в «Notice» того месяца, была напечатана полностью в текущем томе и была упомянута в Ежегодном отчете Совета в феврале 1864 года под названием «тщательное исследование Королевского астронома, как представлено г-ном Данкином». И г-н Эйри, и г-н Данкин выражают серьезные сомнения относительно достаточности данных: и, считая совпадение всех результатов в высшей степени любопытным, считают необходимым подождать расчетов, сделанных на основе лучших данных. Отчет Совета констатирует эти сомнения. Г-н Редди, который опубликовал только в сентябре 1863 года, случайно увидев Отчет за февраль 1864 года, предполагает, что сомнения были впервые выражены тогда, и заявляет, что его книга сентября имела триумф, заставив Королевского астронома отказаться от «факта» движения солнечной системы к февралю следующего года. Если бы г-н Редди, когда увидел, что Совет открыто описывает мемуар, представленный некоторое время назад, принял предосторожность выяснить, «когда» этот мемуар был представлен, он, возможно, увидел бы, что сомнения в полученных результатах, выраженные одним астрономом в марте 1863 года, а другим в 1859 году, не могли быть вызваны его публикацией сентября 1863 года. И любой другой узнал бы, что ни один астроном не сомневается в «солнечном движении», хотя оба сомневаются в достаточности нынешних средств для определения его «величины» и «направления». Это подразумевается в опущенных словах, которые г-н Редди — чье опущение было бы нечестным, если бы он видел их значение — без сомнения принял за плеоназм, излишество, чрезмерность. Безрассудство, которое толкнуло его с головой в уловку, что «его» удар молнии остановил колесницу Солнца и сбил гринвичского Фаэтона с козел, — это то же самое, что предало его еще более грандиозной ошибке — которая заслуживает полного слова, «quidlibet» — насчет «Principia» Ньютона. Никакого изменения мнения вообще не было. Когда человек предпринимает долгое исследование, его мнение заключается в том, что на определенную дату есть «prima facie» основание думать, что может быть получен здравый результат. Если случится так, что исследование заканчивается сомнением в достаточности оснований, исследователь не ставится в неправое положение. Он заранее знал, что есть альтернатива: и он берет рог альтернативы, указанный его расчетами. Две стороны этого случая представляют поучительный контраст. Восемь астрономов производят почти тот же результат, и всё же последние двое сомневаются в достаточности своих средств: сравните их с тем-самым-кто, который бросается туда, куда боятся ступить всякие-штучки.

Я не знал, пока не написал предыдущее, что мистер Эри дал исчерпывающий ответ по этому вопросу. Мистер Редди говорит (Correspondent, 20 января 1866 г.):

«Я утверждаю, что заставил профессора Эри полностью отказаться от идеи о «солнечном движении в пространстве», ибо он признает ее «в настоящее время сомнительной и нерешенной». Впервые я заявил об этом в письме, адресованном самому Королевскому астроному в июне 1864 года, и, отвечая весьма любезно на другие части моего письма, он не стал оспаривать эту его часть».

Мистер Редди не готов к чтению сатиры, иначе он никогда бы так не упустил смысл любезного ответа по одному пункту и полного молчания по другому. Мистер Эри, должно быть, один из тех своеобразных людей, которые, не считая утверждение заслуживающим внимания, оставляют его в покое, не уведомляя о своем невнимании. Он никогда не совершил бы ляпа вроде: «Сэр! Я не скажу ни слова на эту тему». Он выразился бы так: «Сэр! Я скажу лишь десять слов на эту тему», — и, сказав их, перешел бы к чему-то другому. Он исходил из того, как из формальности, что мистер Редди сделает правильный вывод из его молчания: и это потому, что ему было все равно, верно ли это предположение.

«Механика небес», которую мистер Редди прислал для рецензирования, будет рассмотрена, насколько это возможно через выдержку:

«Моя связь с этим предметом, действительно, объясняется очень просто. Пытаясь понять законы физической астрономии, как их обычно преподают, я усомнился в том, могут ли вращаться гравитирующие тела, а позже, усвоив смутную идею о том, что законы Вселенной скорее химические и физические, чем механические, и как-то связаны с электричеством и магнетизмом как противоборствующими коррелятивными силами — что, скорее всего, было подсказано моему уму, как и многим другим, выдающимися открытиями в области электромагнетизма, сделанными профессором Фарадеем [657], — мои прежние сомнения относительно гравитации возродились, и я вполне естественно пришел к попытке выяснить, может ли гравитирующее тело действительно вращаться; и я убедился, что не может, еще до того, как осмелился заглянуть в доказательства «Начал»».

Этого достаточно против книги, без единого слова с моей стороны: я вставляю это лишь для того, чтобы показать тем, кто знает предмет, что за писатель мистер Редди. Ясно, что «осмелился» — это оговорка; следовало бы написать «снизошел».

Мистер Редди представляет меня мечтающим над жалкими парадоксами. Он прав; многие из моих парадоксов жалки: он неправ; я прекрасно осознаю их. Отдельная моль, жук или бабочка могут быть жалкими существами; но когда коллекция упорядочена по родам и видам, мы начинаем восхищаться бесконечным разнообразием системы, построенной на удивительном единообразии ведущих характеристик. И почему парадоксам следует отказывать в той коллективной важности, какой бы жалкой ни была каждая из них в отдельности, которая признается за молями, жуками или бабочками? Сам мистер Редди видит, что «есть метод в» моем «способе обращения с парадоксами». Надеюсь, я искупил краткость моей предыдущей статьи и поставил доказанную невозможность гравитации на один уровень с арифметикой Хубонграмиллпосанфи и обитаемыми атомами, на что претендует — не совсем без оснований — сам доказатель.

Во введении к собранию сочинений из трех работ мистер Редди описывает свою «Механику небес», из которой я только что цитировал, как —

«публичный вызов, брошенный Британской научной ассоциации и математикам в Кембридже в августе 1862 года, призывающий их указать хотя бы на одно доказательство в «Началах» или где-либо еще, которое хотя бы пытается доказать, что всемирное тяготение возможно, или показать, что гравитирующее тело могло бы вращаться вокруг центра притяжения. Вызов не был принят и никогда не будет. Такого доказательства не существует. И публика должна сама судить о характере так называемой «точной науки», которая таким образом уклоняется от строгой проверки и не смеет защищаться, когда на нее нападают публично: а также о характере ее учителей, которые могут довольствоваться тем, что остаются немыми в таких обстоятельствах».

О ПАРАДОКСЕРАХ В ЦЕЛОМ.

Вышесказанное — это обычные разговоры этого класса, о котором я приступаю говорить, не применяя это к какому-то одному парадоксеру больше, чем к другому. Это напоминает забавных мальчишек, которые в еще не совсем забытые времена имели обыкновение оскорблять пассажиров, пока могли бежать за дилижансом; наконец отставая с криком: «Почему вы не выйдете и не побьете нас? Вы боитесь, вы боитесь!» Они позволят публике судить самим, но с некоторым чувством достойного дяди из «Тома Джонса», который, хотя и позволил бы молодым людям выбирать самим, хотел бы, чтобы они выбирали мудро. Они пытаются быть настолько ужасно моральными и настолько жутко сатирическими, что им нужно отвечать: и лучше всего отвечать им в их же манере. Мы все слышали о том, как моряки использовали обезьян: они дразнили обитателей деревьев камнями, а обезьяны в ответ дразнили их кокосами. Но это были глупые древолазы: если бы они принадлежали к Британской научной ассоциации, они бы сказали: «Нет! Нет! Дорогие друзья; этого нет в маршруте: если хотите орехов, вы должны лезть, как мы». Публика передала этот вопрос на суд Времени: процедуру этого великого короля я осмелюсь описать, основываясь на прецедентах, путем адаптации некоторых бойких анапестических тетраметров — ваш анапест — это стопа, на которой сатира спотыкается как в греческом, так и в английском языке, — которые я читал около двадцати лет назад и смысл которых меня очень позабавил. Над поэтишками смеялись; но мистер Слам, которого я нанял — мистер Чарльз Диккенс любезно предоставил мне его адрес, — превратил эту идею в удар по математикастерам так же легко, как он превратил акростих Уоррена в Джарли. Как он заметил, когда я оплатил его небольшой счет, это дешевле любой прозы, хотя метла была украдена не совсем готовой:

Сорок ударов без одного для мелких парадоксеров.

Внемлите мудрости, что проповедуют мудрецы,

Что сами не выучили того, чему пытаются учить.

Мы — светильники века, говорят они!

Мы — люди, и мыслители — мы!

И вот мы строим догадки весь день напролет,

В манере шиворот-навыворот,

Кто с «а плюс б», а кто без него.

Пусть Британская ассоциация суетится;

Что их дела по сравнению с подвигами, что совершим мы?

Должна ли земля стоять на месте? Станет ли круг квадратом?

Должна ли книга Исаака стать гнездом кобылы?

Должна ли луна учиться по законам пространства

Поворачиваться наполовину без команды «кругом»?

Наши причудливые фантазии справятся со всем этим;

Глубоко! Глубоко! Потомки назовут их!

Хотя мир, на данный момент, позволяет им упасть

Вниз! Вниз! В двухпенсовую коробку на прилавке!

Так они — Но Время, разрушитель планов, стоит рядом,

С понимающим подмигиванием в своем забавном старом глазу.

Он хватает за верхушку огромный шутовской колпак,

Который он называет ловушкой для философастера:

И совершенно справедливо, ибо пока эти маленькие люди

Квакают громко, как концерт лягушек в болоте,

Он сначала выделяет одного, а затем другого,

Колпак опускается — и вот! момент суматохи,

Дух, подобный тому, что испускает свеча,

Когда в самый последний момент она дергается и чадит:

Когда жестокий душитель поднимается снова,

Останется только нагар, и то совсем немного.

Но хотя uno avulso так приходит каждый день,

Non deficit alter также вступает в игру:

Ибо вакантные места, все до одного,

Вскоре занимаются такими же маленькими марионетками;

Которые чирикают, чирикают, чирикают с радостью кузнечика,

Мы — лампы Вселенной, Мы! Мы! Мы!

Но Время, чья речь никогда не бывает долгой, —

У него нет на это времени — останавливает песню

И говорит — Лилипутские лампы! Оставьте двухпенсовые коробки,

И сияйте в «Бюджете парадоксов»!

Когда парадоксер выставляет напоказ заглавные буквы и диаграммы, которые так же хороши, как у Ньютона, для всех, кто ничего в этом не смыслит, некоторые удивляются, почему наука не восстанет и не сотрет все это в порошок. Вот почему: все, кто способен прочитать опровержение, уже удовлетворены и могут, если захотят, сами разоблачить парадоксера. Те, кто не способен на это, не увидели бы разницы между верным ответом и новыми заглавными буквами и диаграммами, на которых восторженный парадоксер объявил бы, что он сокрушил философов, а не они его. Положитесь на него в том, что последнее слово останется за ним: и какая разница, прокукарекает ли он свое неопровержимое раньше или позже? Есть только два пути. Один — подождать, пока он не скомпрометирует себя в чем-то, что все могут понять, как это сделал мистер Редди в своей фантазии об изменении мнения Королевского астронома: тогда его можно поставить на его истинное место. Другой — составить «Бюджет парадоксов», чтобы мир мог видеть, как это происходит постоянно, и что картина, которую я сочинил, позаимствовав и испортив кусочек поэзии, списана с натуры. Тот, кто удивляется отсутствию ответа, видел один или два: он не знает, что всегда есть пятьдесят с равными претензиями, каждый из которых считает, что его причисление к остальным — это сорок девять отдельных и различных клевет на него самого, великого Малли Улли Гу. И пятьдесят вскоре превратились бы в пятьсот, если бы на них обратили внимание. Они призывают человечество в свидетели того, что наука не будет защищаться, хотя на нее публично нападают в выражениях, которые могли бы заставить карманника постоять за свою репутацию: наука, в свою очередь, позволяет человечеству видеть или не видеть, по желанию, что она не защищается, и все же не получает никакого ущерба от столетий нападок. Демонстративный разум никогда не поднимает крик «Церковь в опасности!» и не может иметь никакого «Словаря ересей», кроме «Бюджета парадоксов». Ошибающиеся претенденты оставлены на попечение Времени и его гасителя, с одобрения всех мыслящих не-претендентов: нет нужды в череде разоблачений. Время справляется с этой работой своим собственным мастерским способом, как уже было описано.

Оглядываясь назад более чем на двадцать лет, я нахожу среди своих вырезок следующий отрывок, относящийся к человеку, который прославился попыткой преподать кометы составителю «Морского альманаха»:

«Наши собратья из литературного класса не имеют ни малейшего представления о том, насколько малая доля видимости знания создает научного шарлатана. Их мир велик, и есть много тех, кто обладает тем умеренным знанием и пониманием того, что есть знание, перед которыми крайнее невежество обнаруживается при первой же выходке. Существует публика умеренной культуры, по большей части здравая в своих суждениях, всегда готовая в своих решениях. Соответственно, все их успешные претенденты имеют хоть какие-то претензии. В науке это не так. Те, кто имеет право судить, встречаются реже и дальше друг от друга. Следствием этого является то, что многие научные претенденты не имеют ничего, кроме претензий».

Это почти так же применимо сейчас, как и тогда. Невозможно заставить тех, кто не учился самостоятельно, полностью осознать истинность того, что я процитировал. Лучший шанс — это коллекция случаев; по сути, «Бюджет парадоксов». Те, кто не имеет знаний по предмету, могут таким образом рассуждать от видимого к невидимому. Все могут почувствовать непрактичность нумерации Хубонграмиллпосанфи и абсурдность равенства контуров правильного пятиугольника и шестиугольника в одном и том же круге. Многие, соответственно, могут убедиться, по заверениям тех, кто учился, что столько же непрактичности или столько же абсурдности в вещах, которые скрыты под

«Синусами, тангенсами, секансами, радиусом, косинусами

Субтангенсами, сегментами и всеми этими знаками;

Достаточно, чтобы доказать, что тот, кто их читал,

Был так же безумен, как тот, кто их создал».

Не то чтобы я хотел проявить неуважение к математическим терминам: они коротки и легко объяснимы, и выгодно конкурируют с терминами большинства других предметов: например, с

«Конскими исками, возражениями, отводами,

Процессуальными ошибками, отсрочками и опечатками,

Утверждениями, запретами и протестами,

И бесконечными продолжениями тяжб».

Из чего следует, что, если взять выборки, сделанные сатириками для наших образцов, в юридическом термине в среднем на четыре буквы больше, чем в математическом. Но судопроизводство в последние годы было упрощено.

Все парадоксеры могут публиковаться; и любой желающий может читать. Но этого недостаточно; они обнаруживают, что не могут опубликоваться, или те, кто может, обнаруживают, что их не читают, и они строят свои планы наперекор тем, кто, по их мнению, должен читать. Рекомендовать им довольствоваться публикацией, как другим авторам, — это оскорбление: об этом я приведу читателю забавный пример. Мое добродушие, запас которого я держу, хотя и не расходую его весь в этом «Бюджете», побуждает меня скрыть имя.

Я получил следующее письмо, сопровождаемое проспектом работы по метафизике, физике, астрономии и т. д. Автор, очевидно, тот, кого я был бы рад почтить:

«Сэр, — Друг мой упомянул ваше имя в выражениях панегирика [sic], как человека высокого положения в математике и глубоко оригинальной мысли. Я посылаю вам вложенное без комментариев; и, полагая, что склад вашего ума склонен к свободному исследованию, буду рад показать вам мое портфолио, которое, как математик, вы признаете глубоко интересным, даже с образовательной точки зрения. Работа завершена, и система настолько совершенна, что ставит ее выше критики; и, что касается астрономии, так же, как Птолемей вне конкуренции [sic: несомненно, некоторые слова пропущены]. Верьте мне, сэр, с глубочайшим уважением и т. д. Работа является результатом тридцатипятилетних путешествий и наблюдений, труда, расходов и самоотречения».

Я ответил в том смысле, что мое время полностью занято и что я вынужден отказаться от дискуссий со многими людьми, у которых есть свои взгляды; что правильный путь — это публикация, чтобы те, кто хочет, могли читать, когда найдут досуг. Я добавил, что посоветовал бы прекурсор в виде небольшой брошюры, так как два тома in octavo были бы слишком тяжелы для большинства людей. Это был здравый совет; но это не первый, второй или третий раз, когда он оказывается очень неприятным. Я получил следующий ответ, к которому беру на себя смелость присовокупить немного львиной мудрости:

«Si doceas stultum, lætum non dat tibi vultum;

Odit te multum; vellet te scire sepultum. [658]»

«Сэр, — Прошу вас простить ошибку, в которую я непреднамеренно впал; обманутый F.R.S. [Я не F.R.S.] я принял вас за человека науки [omnis homo est animal, Sortes est homo, ergo Sortes est animal] [659], а не за простого математика или человеческую счетную машину. Поверьте мне, сэр, вы также ошиблись в своей миссии, как и я в своей. Я писал вам, как писал бы любому другому человеку, хорошо разбирающемуся в математике, с намерением обратить ваше внимание на странный факт упущения Евклидом и другими великими математиками: и, выбрав вас, я оказал вам честь, которая, судя по тому, что я только что услышал, была совершенно неуместна. Я думаю, учитывая характер работы, изложенной в проспекте, вы виновны как в глупости, так и в самонадеянности, принимая на себя роль покровителя; ибо ваш собственный здравый смысл должен был заверить вас, что если бы такова была моя цель, я не искал бы ее в Де Моргане, который существует только благодаря покровительству других. С другой стороны, я считаю непростительной самонадеянностью предлагать свои советы по предмету, о величине, важности и реальной полезности которого вы ничего не знаете: делая это, вы нанесли мне прямое оскорбление. Система представляет собой руководство по философии, единое неотделимое целое метафизики и физики; охватывающее самые интересные моменты, самые важные законы, доктрины, наиболее существенные для продвижения человека в соответствии с духом времени. Возможно, я не доживу до того, чтобы увидеть ее в печати; ибо, в ——, жизнь в лучшем случае неопределенна: но, живой или мертвый, будьте уверены, сэр, в мои намерения не входит обесценивать работу, ища покровительства или потакая общественному вкусу. Ваш совет был тем менее нужен, видя, что я — старый, признанный ——. Остаюсь и т. д. — P.S. Вы обяжете меня, вернув проспект моей работы».

Мой читатель, я уверен, не примет этот переход от «глубочайшего уважения» к высочайшей наглости за апокрифическую переписку, чтобы использовать слово, которое я нахожу в Проспекте: честное слово, она подлинная. Он будет лучше занят тем, чтобы выяснить, существую ли я благодаря покровительству других или благодаря тому, что другие покровительствуют мне. Я делаю любому, кто сможет это выяснить, честное предложение: я дам ему свое покровительство, если окажусь Буфо, при условии, что он даст мне свое, если я окажусь Бавием. [660] Мне вряд ли нужно говорить, что я счел последнее письмо одним из тех, на которые нет ответа лучше, чем отсутствие ответа.

Эти письма напоминают мне в одном отношении корреспондентов газет. Мой другой собеседник написал, потому что друг указал на меня: но он не написал бы, если бы знал то, что другой друг сказал ему как раз вовремя для второго письма. Человек, который посылает свою жалобу в газету, очень часто говорит, по сути: «Не думайте, сэр, что я читаю ваши колонки; но друг, который иногда это делает, сказал мне...» Это сформулировано так: «Мое внимание было обращено на статью в вашей газете от...» Большое спасибо друзьям моего друга за то, что не упомянули «Бюджет»: если бы внимание моего друга было обращено на него, я мог бы потерять яркий пример парадоксера в поисках покровителя. То, что мой Друг был на этом следе в первом письме, раскрывается во втором. Язык был дан человеку, чтобы скрывать свои мысли; но не каждый может это делать.

Среди наиболее ценной информации, которую мои читатели получат от меня, — сравнение реакций парадоксеров, когда их не допускают к спору или когда над ними смеются. Конечно, их искажают; и на это они злятся или, что то же самое, прилагают большие усилия, чтобы заверить читателя, что это не так. Настолько естественно, и настолько хорошо; все, что не является уступкой случаю, который должен быть серьезно встречен контраргументами, обязательно будет искажением. Мой друг мистер Джеймс Смит и мой друг мистер Редди оба ужасно искажены: они возмущаются этим с помощью некоторых инсинуаций, в которых нелегко обнаружить, являюсь ли я сознательным душителем истины или только запутавшимся и невежественным. [Это было написано до того, как я получил свое последнее сообщение от мистера Джеймса Смита. Он говорит мне, что я неправ, утверждая, что его работа, в которой я стою у позорного столба, — это сплошная перепечатка: я не сомневаюсь, что спутал часть ее с частью рукописи или листков, которые я получил от своего много-не-согласного корреспондента. Он добавляет, что моя ошибка была преднамеренной и что моя причина очевидна для читателя. Это информация, как сказал морской змей, когда прочитал в газете, что у него есть грива и бивни.]

ПРОЦЕСС ДВОЙНОГО ВАХУ.

Мой друг доктор Торн [661] видит глубже в мою тайну. Кстати, он все еще посылает случайный укол по старой теме; и он хочет, чтобы я особо сказал моим читателям, что латинские числовые буквы, если исключить M, дают 666. Так оно и есть: свидетель DCLXVI. Человек, который задумывается о происхождении символов, вскоре увидит, что 666 — это наше число, потому что у нас по пять пальцев на каждой руке: если бы у нас было только четыре, наше мистическое число выражалось бы 555 и означало бы наши нынешние 365. Если бы n было числом на каждой руке, великим числом было бы

(n + 1) (4n2 + 2n + 1)

Без пальцев на каждой руке число было бы 1: с одним пальцем меньше, чем ничего, на каждой руке, оно было бы 0. Но что это значит? Вот вопрос для алгебраического парадоксера! Как только мы узнаем, сколько пальцев на каждой руке у жителей любой планеты, у нас есть средства узнать их число Зверя, а отсюда и все о них. Очень пораженный этим намеком на открытие, я обратил свое внимание на средства его развития. Первым делом было очистить мое зрение от всех старых катаракт. Я предлагаю следующий эксперимент, при условии, конечно, согласия сторон. Пусть доктор Торн применит «Двойное Ваху» к мистеру Джеймсу Смиту, а «Тау» — к мистеру Редди: если кто-либо из них будет депарадоксован лечением, я соглашусь пройти его сам. При условии, что требуемая температура не будет такой высокой, как намекает Доктор: если турецкие бани подойдут для этого мира, я доволен.

Три вышеназванных парадоксера и я имеем конвенцию пентасиллабов, согласно которой, хотя мы выходим далеко за рамки вежливости, мы остаемся в рамках цивилизации. Хотя мистер Джеймс Смит заявил, что я должен быть нечестным, если не вижу его аргумента, чего, как он знал, я не сделаю [не говоря уже о недавнем обвинении]; хотя доктор Торн объявил меня конкурентом за огонь и серу — и мою жену тоже, что удваивает шутку: хотя мистер Редди был уверен, что я исказил его слова, очевидно, специально, чтобы ложь казалась правдой; все трое выражают уважение ко мне во всем, кроме способности видеть истину или искренности признать ее. И, с другой стороны, хотя это были способы открытия общения со мной, и хотя я не сомневаюсь, что все трое — достойные люди, у которых можно спросить, следует ли мне идти вверх или вниз по лестнице и т. д., я убежден, что они — совершенно респектабельные люди во всем, кроме рассуждений. И я смею сказать, что наши различные профессии гораздо более верны по охвату, чем многие, которые делаются в более парламентской форме. Мы находим оправдания друг для друга: они делают скидку на то, что я одурачен Аристотелем, Ньютоном, Дьяволом; и я позволяю им чувствовать, ибо знаю, что они не могут без этого обойтись, что их доводы таковы, что никто, кроме мошенника или грешника, не может им сопротивляться. Но они довольствуются тем, что отрезают по ломтику от моего характера: никто из них не больше, чем дядя, «Кость-на-часть»; теперь я перехожу к ужасному племяннику, «Кость-целое».

Я не назову имя бедняги, который опустился так далеко ниже и honestum, и utile, не говоря уже о decorum или dulce. [662] Он четвертый, кто обратил на меня пристальное внимание; и мой совет ему был бы: Nec quarta loqui persona laboret. [663] По его словам, я презираю человечество, скандализирую ученость и позорю прессу; не вызывает никаких сомнений, что моя цель — ввести в заблуждение публику и заглушить истину за счет интересов науки, богатства нации и жизней моих собратьев. Единственное, что осталось решить, — это ли результат невежества, естественного отвращения к истине, личной злобы, желания выслужиться перед Королевским астрономом или простого подхалимства. Единственное обвинение, в котором есть доля правды, — это то, что я сделал себя «общественным мусорщиком науки»: утверждение, которое является самым ложным из всех, — это то, что результаты моей метлы и лопаты «выбрасываются прямо между колонками» Athenæum. Заявляю, что никогда в жизни не вставлял ни слова между колонками Athenæum: я чувствую себя оскорбленным и обиженным самим этим предположением. Я сделал себя общественным мусорщиком; и почему бы и нет? Неужели грязь никогда не должна быть собрана в кучу? Я смотрю свысока на других мусорщиков, которых было немного — простых исторических чернорабочих; Монтюкла, Хаттон и т. д. — как на неспособных конкурировать со мной. Я говорю о них то, что один подметальщик перекрестков сказал о других: «Они хороши для обычного дела; но дайте им немного тонкой работы, такой как подметание вокруг столба, и посмотрите, какой беспорядок они устроят!» Кто может сравниться со мной в подметании вокруг парадоксера? Если я завершу свой план публикации отдельной работы, старый экземпляр будет выловлен из лавки через двести лет человеком будущего и будет описан в статье, которая закончится тем, что он сравнит наш век со своим и вздохнет с лучшим новозеландским произношением —

«Dans ces tems-là

C'était déjà comme ça!» [664]

ОРТОДОКСАЛЬНЫЕ ПАРАДОКСЕРЫ.

И прошу вас, сэр! Меня спрашивали не один раз — разве ваши ортодоксы никогда не впадают в заблуждение и не доходят до абсурда? Они не только делают и то, и другое, но и очень свободно признают это друг за другом; индивидуально они убеждены в грехе, но не в каком-то конкретном грехе. Нет среди них ни одного синдоксера, который не проводил бы свою черту таким образом, чтобы включить в число парадоксеров очень многих, кого я бы полностью исключил из этой работы. Мои худшие экземпляры — это лишь преувеличения того, что можно найти, иногда, в мыслях проницательных исследователей. В конце славного сна мы узнаем, что есть путь в Ад от врат Небес, так же как и из Города Разрушения: и что это верно для других вещей, помимо христианского паломничества, утверждается в конце «Бюджета парадоксов». Если бы Д'Аламбер [665] произвел достаточно такого качества, чтобы соответствовать его знаменитой ошибке о шансе выпадения орла при двух бросках, он был бы в моем списке. Если бы Ньютон произвел достаточно, чтобы соответствовать его восприятию истории о том, что Навсикая, гомеровская феакийская принцесса, изобрела небесную сферу, за которой последовало его серьезное предположение, что она получила ее от аргонавтов, — тогда сам Ньютон имел бы запись, внесенную за него, несмотря на «Начала». В качестве иллюстрации я могу привести несколько слов из «Тристрама Шенди»:

«Солдат, — крикнул мой дядя Тоби, прерывая Капрала, — не более освобожден от того, чтобы сказать глупость, Трим, чем человек литературы». — «Но не так часто, если угодно вашей чести», — ответил Капрал. Мой дядя Тоби кивнул».

Теперь я приступаю к тому, чтобы угаснуть. Некоторые вступительные замечания последуют со временем. [666] У меня будет повод настоять на том, что не все бесплодно: я думаю, что при подсчете обнаружу, что двое из пяти моих парадоксеров не подлежат полному осуждению. Среди лучшей части будут найдены все градации достоинств; в то же время, как было замечено по совершенно другому поводу, может быть мало выбора между последним из спасенных и первым из погибших. Высший и лучший класс достоин порицания; низший и худший класс достоин похвалы. Высших людей следует упрекать за то, что они не берутся за вещи, в которых могли бы принести пользу: низших людей следует хвалить за то, что они берутся за вещи, в которых не могут причинить большого вреда. Проблема круга похожа на судебный процесс Питера Пиблса:

«Но, сэр, я бы действительно испортил любое дело, навязанное мне так поспешно». — «Ты не можешь испортить его, Алан, — сказал мой отец, — это самый крем бизнеса, человек... дело дошло до того, что Стейр или Арнистон не могли бы его поправить, и я не думаю, что даже ты, Алан, можешь причинить ему большой вред».

Мне сильно напоминает монахов в более темной части Средних веков. Определенной их части, возможно, двум из пяти, мы обязаны сохранением литературы, а их современники — хорошим обучением и смягчением социальных зол. Но остальные трое были блохами, мухами, чертополохом и терновником, с которыми сатирик сваливает их в кучу, примерно за столетие до Реформации:

«Flen, flyys, and freris, populum domini male cædunt;

Thystlis and breris crescentia gramina lædunt.

Christe nolens guerras qui cuncta pace tueris,

Destrue per terras breris, flen, flyys, and freris.

Flen, flyys, and freris, foul falle hem thys fyften yeris,

For non that her is lovit flen, flyys ne freris.» [667]

Я не был бы столь же свиреп со своим вторым классом. Взятые вместе, они могут быть использованы для того, чтобы дать полезное предупреждение тем, кто занимается обучением под лучшими знаменами: да, даже полезные намеки; ибо плохие вещи очень часто являются лишь хорошими вещами, испорченными или неправильно использованными. Мой план — это план предшественника во времена Эдуарда Второго:

«Meum est propositum genti imperitæ

Artes frugi reddere melioris vitæ.» [668]

С этой целью я говорил со свободой о книгах как о книгах, об мнениях как об мнениях, о невежестве как о невежестве, о самонадеянности как о самонадеянности; и о писателях так, как, я сужу, можно справедливо вывести из того, что они написали. Некоторые — перед которыми я поэтому в большом долгу — позволили мне расширить мой план нападениями, на которые я намекал; нападениями, которые дают привилегию ответа, которой я часто пользовался; нападениями, которые дают моим читателям право на партнерство в развлечении, которое я сам получил.

На данный момент я ретируюсь: Катилина, преследуемый хором Цицеронов, с Quousque tandem? Quamdiu nos? Nihil ne te? [669] заканчивающимся на In te conferri pestem istam jam pridem oportebat, quam tu in nos omnes jamdiu machinaris! Я несу с собой размышление о том, что предоставил тем, кто в этом нуждается, такой склад предупреждений, какого они не найдут в другом месте; a signatis cavetote: [670] и я бросаю обратно своим преследователям — Valete, doctores sine doctrina; facite ut proxima congressu vos salvos corporibus et sanos mentibus videamus. [671] Здесь заканчивается «Бюджет парадоксов».

ПРИЛОЖЕНИЕ.

Я считаю правильным привести доказательство того, что отношение окружности к диаметру несоизмеримо. Этот метод доказательства был дан Ламбертом [672] в «Берлинских мемуарах» за 1761 год, а также был приведен в примечаниях к «Геометрии» Лежандра [673] и к английскому переводу той же работы. Хотя это не элементарная алгебра, она доступна студенту обычных книг. [674]

Пусть цепная дробь, такая как

a

——

b + c

——

d + e

-

f + и т. д.,

будет сокращена до a/b + c/d + e/f + и т. д.: каждая дробь понимается как опускающаяся сбоку от предыдущего знака +. В каждой такой дроби мы можем предположить, что b, d, f и т. д. положительны; a, c, e и т. д. — по мере необходимости: и все они предполагаются целыми числами. Если эта последовательность продолжается ad infinitum, и если a/b, c/d, e/f и т. д. все лежат между -1 и +1, исключая их, предел дроби должен быть несоизмерим с единицей; то есть не может быть A/B, где A и B — целые числа.

Во-первых, каким бы ни был этот предел, он лежит между -1 и +1. Это очевидно для любой дроби p/(q + ω), где ω находится между ±1: ибо p/q, будучи < 1, и p и q целые, не может быть доведено до 1 значением ω. Следовательно, если мы возьмем любую из дробей

a/b, a/b + c/d, a/b + c/d + e/f и т. д.

скажем, a/b + c/d + e/f + g/h, имеем: g/h находится между ±1, так же как и e/f + g/h, следовательно, так же и c/d + e/f + g/h; и, следовательно, так же и a/b + c/d + e/f + g/h.

Теперь, если возможно, пусть a/b + c/d + и т. д. будет A/B в пределе; A и B — целые числа. Пусть

P = A c/d + e/f + и т. д., Q = P e/f + g/h + и т. д., R = Q g/h + i/k + и т. д.

P, Q, R и т. д. являются целыми или дробными, как получится. Легко показать, что все они должны быть целыми: ибо

A/B = a/b + P/A, или P = aB - bA

P/A = c/d + Q/P, или Q = cA - dP

Q/P = e/f + R/Q, или R = eP - fQ

и т. д., и т. д. Теперь, поскольку a, B, b, A — целые числа, то и P; а отсюда Q; а отсюда R и т. д. Но поскольку A/B, P/A, Q/P, R/Q и т. д. все находятся между -1 и +1, из этого следует, что неограниченная последовательность целых чисел P, Q, R каждое меньше по числовому значению, чем предыдущее. Теперь не может быть такой неограниченной последовательности убывающих целых чисел: следовательно, невозможно, чтобы a/b + c/d + и т. д. имело соизмеримый предел.

Легко следует, что цепная дробь несоизмерима, если a/b, c/d и т. д., будучи сначала больше единицы, становятся и остаются меньше единицы после некоторой точки. Скажем, i/k, l/m, ... все меньше единицы. Тогда дробь i/k + l/m + ... несоизмерима, как доказано: пусть это будет κ. Тогда g/(h + κ) несоизмерима, скажем λ; e/(f + λ) — то же самое, скажем μ; также c/(d + μ), скажем ν, и a/(b + ν), скажем ρ. Но ρ — это сама дробь a/b + c/d + ...; которая, следовательно, несоизмерима.

Пусть φz представляет

1 + a

z + a2

2z(z+1) + a3

2·3·z(z+1)(z+2) + ...

Пусть z будет положительным: этот ряд сходится для всех значений a и приближается без предела к единице, когда z увеличивается без предела. Замените z на z + 1 и сформируйте φz - φ(z + 1): получится следующее уравнение —

φz - φ(z+1) = a

z(z+1) φ(z+2)

or a = a

z φ(z+1)

φz · z + a

z φ(z+1)

φz · a

z+1 φ(z+2)

φ(z+1)

or a = ψzz + ψ(z+1)

ψz будучи (a/z)(φ(z + 1)/φz); из чего заметьте, что оно уменьшается без предела, когда z увеличивается без предела. Соответственно, мы имеем

ψz = a

z+ψ(z+1) = a

z+ a

(z+1)+ ψ(z+2) = a

z+ a

(z+1)+ a

(z+2)+ ψ(z+3)

И, ψ(z + n) уменьшаясь без предела, мы имеем

a

z · φ(z+1)

φz = a

z+ a

(z+1)+ a

(z+2)+ a

(z+3)+ ...

Пусть z = ½; и пусть 4a = -x2. Тогда

a

zφ(z+1) is -x2

2 1 - x2

2·3 + x4

2·3·4·5... or -x

2sin x.

Снова

φz is 1 - x2

2 + x4

2·3·4 or cos x:

и цепная дробь есть

- ¼x2

½+ - ¼x2

(3/2)+ - ¼x2

(5/2)+ ... or -x

2 x

1+ - x2

3+ - x2

5+ ...

откуда

tan x = x

1+ - x2

3+ - x2

5+ - x2

7+ ...

Или, как записано обычным способом,

tan x = x

——

1 - x2

——

3 - x2

——

5 - x2

——

7 - ...

Этот результат может быть доказан различными способами: он также может быть проверен расчетом. Чтобы сделать это, помните, что если

a1

b1+ a2

b2+ a3

b3+ ... an

bn = Pn

Qn; then

P1=a1,P2=b2 P1,P3=b3 P2+a3 P1,P4=b4 P3+a4 P2, etc. Q1=b1,Q2=b2 Q1+a2,Q3=b3 Q2+a3 Q1,Q4=b4 Q3+a4 Q2, etc.

в рассматриваемом случае мы имеем

a1=x,a2=-x2,a3=-x2,a4=-x2,a5=-x2, etc. b1=1,b2=3,b3=5,b4=7,b5=9, etc.

P1=xQ1=1 P2=3xQ2=3-x2 P3=15x-x3Q3=15-6x2 P4=105x-10x3Q4=105-45x2+x4 P5=945x-105x3+x5Q5=945-420x2+15x4 P6=10395x-1260x3+21x5Q6=10395-4725x2+210x4-x6

Мы можем использовать это алгебраически или арифметически. Если мы разделим Pn на Qn, мы найдем ряд, согласующийся с известным рядом для tan x, до n членов. Этот ряд есть

x + x3

3 + 2x5

15 + 17x7

315 + 62x9

2835 + ...

Возьмите P5 и разделите его на Q5 обычным способом, и первые пять членов будут такими, как здесь написано. Теперь возьмите x = .1, что означает, что угол должен быть одной десятой фактической единицы, или, в градусах, 5°.729578. Мы находим, что когда x = .1, P6 = 1038.24021, Q6 = 10347.770999; откуда P6, деленное на Q6, дает .1003346711. Теперь 5°.729578 — это 5°43′46½″; и из старых таблиц Ретика [675] — никакие современные таблицы не содержат тангенсы так далеко — тангенс этого угла равен .1003347670.

Теперь пусть x = ¼π; в этом случае tan x = 1. Если ¼π соизмеримо с единицей, пусть оно будет (m/n), где m и n — целые числа: мы знаем, что ¼π < 1. Мы имеем тогда

1=(m/n)

1- (m2/n2)

3- (m2/n2)

5- ... = m

n- m2

3n- m2

5n- m2

7n- ...

Теперь ясно, что m2/3n, m2/5n, m2/7n и т. д. должны в конечном итоге стать и оставаться по отдельности меньше единицы. Цепная дробь, следовательно, несоизмерима и не может быть единицей. Следовательно, π2 не может быть соизмеримым: то есть π — несоизмеримая величина, и так же π2.

Я думал, что закончу серьезным приложением, глубоко математическим: но парадокс преследует меня, куда бы я ни пошел. Вышеизложенное — на моем собственном языке — из английского издания «Геометрии» Лежандра [676] доктора (ныне сэра Дэвида) Брюстера (Эдинбург, 1824, 8vo.), переведенного кем-то, кто не назван. У меня сложилось представление, которое было у других в Кембридже в 1825 году, что переводчиком был покойный мистер Гэлбрейт [677], тогда известный в Эдинбурге как писатель и учитель.

Но оказывается, что это был совсем другой человек, и человек, которому суждено было блистать совсем в другой области; это был молодой человек по имени Томас Карлейль. [678] Он приложил, от собственного пера, вдумчивое и изобретательное эссе о пропорции, столь же хорошую замену пятой книге Евклида, какую только можно было дать в этом объеме; и вполне достаточную, чтобы показать, что он был бы выдающимся учителем и мыслителем по первым принципам. Но он немедленно покинул это поле.

(Ниже приводится отрывок, на который дается ссылка в т. II, стр. 54.)

Михаэль Штифель [679] в 1554 году отредактировал второе издание «Алгебры» (Die Coss) Кристофа Рудольфа [680]. Это одна из самых ранних работ, в которых используются знаки + и -.

Штифель был странным человеком. В эту самую работу Рудольфа он включил собственную интерпретацию числа Зверя. Он решил определить характер Папы Льва: для этого он выбрал числовые буквы из LEODECIMVS и, добавив X из LEO X. и вычеркнув M как означающую mysterium, он точно попал в число. Это открытие завершило его обращение в лютеранство и укрепило его решимость отказаться от монашеских обетов. Лютер обошелся с ним так же прямолинейно, как и с Меланхтоном по поводу его астрологии: он принял выводы, но посоветовал ему очистить свой разум от всех предпосылок относительно Зверя. Штифель не прислушался к совету и принялся вычислять конец света по пророку Даниилу: он остановился на октябре 1533 года. Прихожане одного прихода, которым он управлял, имея полную веру, начали тратить свои сбережения на всевозможные яства и питье; будем милосердно надеяться, что это не было тем способом подготовки к событию, на который указывал их пастор. Им удалось довести себя до такого же состояния готовности к Небесам, как у Лазаря, в том, что касалось нищеты: но когда пришло время, а мир продолжал существовать, они захотели убить своего обманщика и сделали бы это, если бы не вмешательство Лютера.

УКАЗАТЕЛЬ.

Страницы, обозначенные цифрами такого вида (287), относятся к биографическим заметкам, в основном составленным редактором. Цифры вроде 426 относятся к книгам, обсуждаемым Де Морганом, или к основным темам в тексте. Цифры вроде 126 указывают на второстепенные ссылки.