«Физический смысл энтропии или второго начала»

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЭНТРОПИИ ИЛИ ВТОРОГО ЗАКОНА

АВТОР

J. F. KLEIN

Профессор машиностроения Лихайского университета

НЬЮ-ЙОРК

КОМПАНИЯ Д. ВАН НОСТРАНДА 23 МЮРРЕЙ-СТРИТ И 27 УОРРЕН-СТРИТ 1910

АВТОРСКИЕ ПРАВА, 1910 г., ДЖОЗЕФ ФРЕДЕРИК КЛЕЙН

НАУЧНАЯ ПЕЧАТЬ РОБЕРТ ДРАММОНД И КОМПАНИЯ БРУКЛИН, ШТАТ НЬЮ-ЙОРК

ПРЕДИСЛОВИЕ

В этой небольшой книге автор стремился главным образом изложить интерпретацию, к которой пришли БОЛЬЦМАН и ПЛАНК. Автор в наибольшей степени опирался на ПЛАНКА, поскольку он является одновременно и наиболее ясным толкователем БОЛЬЦМАНА, и оригинальным, важным автором научных трудов. Оба этих исследователя приходят к результату, согласно которому энтропия любого физического состояния представляет собой логарифм вероятности этого состояния, причем эта вероятность совпадает с числом «комплексий» состояния. Это число служит мерой переставимости определенных элементов состояния, и в этом смысле энтропия является «мерой беспорядка в движениях системы материальных точек». Чтобы яснее понять конечную природу энтропии, автор в свете этих определений истолковал некоторые хорошо известные и широко обсуждаемые термодинамические явления и положения. Краткий обзор общей принятой последовательности действий приводится на стр. 3, тогда как более подробный синопсис, разумеется, содержится в прилагаемом оглавлении.

Д. Ф. Клейн.

Лихайский университет, октябрь 1910 г.

TABLE OF CONTENTS

PAGE

INTRODUCTION

Purpose, acknowledgments, the two methods of approach and outline of treatment 1

PART I

THE DEFINITIONS, GENERAL PRELIMINARIES, DEVELOPMENT, CURRENT AND PRECISE STATEMENTS OF THE MATTERS CONSIDERED

SECTION A

(1) The "state" of a body and its "change of state" 5

The two points of view; the microscopic and the macroscopic observer; the micro-state and macro-state or aggregate 5

The selected and the rejected micro-states; the use of the hypothesis of "elementary chaos" 7

PLANCK'S fuller description of what constitutes the state of a physical system 10

(2) Further elucidation of the essential prerequisite, "elementary chaos." Sundry aspects of haphazard 11

BOLTZMANN'S service to science in this field and his view of what constitute the necessary features of haphazard 12

BURBURY'S simplification of haphazard necessary and his example of "elementary chaos" 15

Haphazard as expressed by a system possessing an extraordinary number of degrees of freedom 17

(3) Settled and unsettled states; distinction between final stage of "elementary chaos" and its preceding stages 18

Each stage has sufficient haphazard; examples and characteristics of the settled and unsettled stages of "elementary chaos"; all micro-states not equally likely; the assumed state of "chaos" does not eliminate adequate haphazard; two anticipatory remarks 19

SECTION B

CONCERNING THE APPLICATION OF THE CALCULUS OF PROBABILITIES

(1) The probability concept, its usefulness in the past, its present necessity, and its universality 22

Popular objection to its use; Boltzmann's justification of this concept; its usefulness in the past and in other fields; some of its good points; the haphazard features necessary for its use 23

(2) What is meant by probability of a state? Example 27

SECTION C

(1) The existence, definition, measure, properties, relations and scope of irreversibility and reversibility 29

Inference from experience; inference from the H-theorem or calculus of probabilities; definitions of irreversible and reversible processes; examples of each 30

(2) Character of process decided by limiting states 32

Nature's preference for a state; measure of this preference 33

Entropy both the criterion and the measure of irreversibility 33

(3) All the irreversible processes stand or fall together 34

(4) Convenience of the fiction, the reversible processes 35

Entropy the only universal measure of irreversibility. Outcome of the whole study of irreversibility 36

SECTION D

(1) The gradual development of the idea that entropy depends on probability or number of complexions 37

Why it is difficult to conceive of entropy. Origin and first definition due to CLAUSIUS; some formulas for it available from the start. Its statistical character early appreciated; lack of precise physical meaning; its dependence on probability; number of complexions a synonym for probability 37

(2) PLANCK'S formula for the relation between entropy and the number of complexions 40

Certain features of entropy 41

SECTION E

Equivalents of change of entropy in more or less general physical terms or aspects 41

Not surprising that its many forms should have been a reproach to the second law 41

General principles for comparing these aspects. Various aspects of growth of entropy from the experiential and from the atomic point of view 42

SECTION F

More precise and specific statements of the second law 44

General arrangement and the principles for comparison 44

Ten different statements of the law and comments thereon 44

PART II

ANALYTICAL EXPRESSIONS FOR A FEW PRIMARY RELATIONS

Procedure followed 48

SECTION A

Maxwell's law of distribution of molecular velocities 48

Outline of proof, illustration, and consequences of this law 48

SECTION B

Simple analytical expression for dependence of entropy on probability 53

PLANCK'S derivation; illustration, limitations, consequences, features and comments 53

SECTION C

Determination of a precise, numerical expression for the entropy of any physical configuration 56

BOLTZMANN'S pioneer work, PLANCK'S exposition, and the six main steps 56

Step a

Determination of the general expression for the

of a given configuration of a known aggregate state 57

Step b

Determination of the general expression for the entropy of a given configuration of a known aggregate state 63

Step c

Special case of (b), namely, expression for the entropy of the state of thermal equilibrium of a monatomic gas 63

Step d

Confirmation, by equating this value of with that found thermodynamically and then deriving known results 64

Step e

PLANCK'S conversion of the expressions of (b) and (c) into more precise ones by finding numerical value of 66

Step f

Determination of the dimensions of the universal constant and therefore also of entropy in general 67

PART III

THE PHYSICAL INTERPRETATIONS

SECTION A

Of the simple reversible operations in thermodynamics

Isometric, isobaric, isothermal, and isentropic change 69

SECTION B

Of the fundamentally irreversible processes

Heat conduction, work into heat of friction, expansion without work, and diffusion of gases 72

SECTION C

Of negative change of entropy

Some of its physical features and necessary accompaniments 78

SECTION D

Physical significance of the equivalents for growth of entropy given on pp. 42-43 80

SECTION E

Physical significance of the more specific statements of second law given on pp. 44-47 81

PART IV

SUMMARY OF THE CONNECTION BETWEEN PROBABILITY, IRREVERSIBILITY, ENTROPY, AND THE SECOND LAW

SECTION A

(1) Prerequisites and conditions necessary for the application of the theory of probabilities

(a) Atomic theory; (b) like particles; (c) very numerous particles; (d) "elementary chaos" 83

(2) Differences in the states of "elementary chaos" 85

(3) Number of complexions, or probability of a chaotic state 86

SECTION B

Irreversibility 86

SECTION C

Entropy 87

SECTION D

The Second Law

Its basis and best statements; it has no independent significance 88

PART V

REACH OR SCOPE OF THE SECOND LAW

SECTION A

Its extension to all bodies

PLANCK'S presentation; fifteen steps in the proof 91

SECTION B

General conclusion as to entropy changes 98

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЭНТРОПИИ И ВТОРОГО ЗАКОНА

[Между изменением энтропии и Вторым законом нет никакой разницы, если дать им полные определения].

ВВЕДЕНИЕ ЦЕЛЬ, БЛАГОДАРНОСТИ, ДВА МЕТОДА ПОДХОДА И ОБЩИЙ ПЛАН ИЗЛОЖЕНИЯ

Эта статья предназначена для студентов технических специальностей, которые уже обладают некоторым элементарным знакомством с термодинамикой. Она призвана прояснить трудность, с которой сталкивался каждый усердный начинающий изучать этот предмет. Трудность заключается вовсе не в применении к инженерным задачам, хотя и здесь имели место широко распространенные заблуждения [1], поскольку выражения, выведенные КЛАУЗИУСОМ, просты, давно известны и широко используются инженерами и физиками. Трудность состоит скорее в конечном физическом смысле энтропии. Этот термин давно известен как своего рода свойство состояния тела, давно предполагалось, что он носит по существу статистический характер, но при всем том сохранялось ощущение, что это некая математическая фикция, что он каким-то образом нереален и неуловим, поэтому неудивительно, что в определенных инженерных кругах его окрестили «призрачной величиной».

Но этот инстинкт истинного инженера докапываться до сути вещей заслуживает всяческого поощрения и уважения. По этой причине, а также ввиду первостепенной важности данного вопроса для технического мира, конечный смысл энтропии (то есть Второго закона) должен быть разъяснен и осознан. Действительно, мы вполне можем выйти за рамки этого несколько узкого взгляда и сказать, что это предприятие более чем стоит усилий, поскольку изменение энтропии составляет движущий мотив во всех природных явлениях; следовательно, оно обладает таким размахом и универсальностью, которые превосходят даже Первый закон, или Принцип сохранения энергии.

Стремясь представить физический смысл энтропии и Второго закона, автор не претендует на какую-либо оригинальность; он лишь попытался расположить в логическом порядке несколько разрозненные положения ведущих исследователей этого предмета таким образом, чтобы свести к минимуму трудности понимания; иными словами, представить решения собственных трудностей в надежде, что они окажутся полезными для других изучающих инженерное дело и термодинамику. В преодолении этих трудностей автор всем обязан книгам и статьям ПЛАНКА и БОЛЬЦМАНА, и прежде всего ПЛАНКА, который столь ясно и с таким пониманием истолковал жизненный труд БОЛЬЦМАНА [2]. Кроме того, автор хотел бы отметить, что он без колебаний цитировал обоих этих исследователей дословно, причем не всегда разделяя их собственные утверждения и свои собственные слова. Если какая-то часть настоящего изложения окажется особенно ясной и точной, читатель может смело приписать ее тому или другому из этих двух исследователей и толкователей, хотя было бы неправильно возлагать на них ответственность за все, что содержится в этой небольшой книге.

Рассматривая надлежащий подход к рассматриваемому вопросу, мы должны помнить, что [3] «в физической науке существуют два более или менее различных способа подхода, а именно: (a) способ подхода, при котором предпринимается попытка развить представления о физических процессах природы, и (b) способ подхода, при котором делается попытка соотнести явления на основе осязаемых вещей, вещей, которые можно увидеть и измерить. В теории теплоты первый способ представлен применением атомной теории к изучению тепловых явлений, а второй способ представлен тем, что называется термодинамикой». При решении стоящей перед нами особой задачи, касающейся физического смысла энтропии и Второго закона, мы должны опираться главным образом на первый способ подхода.

Второй способ послужит для проверки и подтверждения результатов, полученных первым способом, или же можно сказать, что комбинация этих двух способов даст хорошо установленные характеристические уравнения и соотношения тел и их физических элементов.

Вся дискуссия теперь будет вестись не в математической форме, без полных доказательств, требуемых для исчерпывающего изложения, и примерно в следующем порядке:

(a) Определения, общие предварительные замечания и современные формулировки рассматриваемых вопросов.

(b) Более или менее точная формулировка первичных соотношений и теорем.

(c) Физические интерпретации.

(d) Резюме связи между вероятностью, необратимостью, энтропией и Вторым законом.

(e) Охват или область применения Второго закона.

Ввиду трудностей, которые испытывает каждый студент при осознании физической природы энтропии, мы здесь ограничим наше внимание главным образом газами и, во всяком случае, простейшим их случаем — одноатомным газом, — а также будем предполагать, как обычно, что размеры атома или частицы очень малы по сравнению со средним расстоянием между двумя соседними частицами, что для сближающихся перед столкновением атомов расстояние, на котором они оказывают существенное влияние друг на друга, очень мало по сравнению со средним расстоянием между соседними атомами, и что в промежутках между столкновениями средняя длина пути частицы велика по сравнению со средним расстоянием между частицами. Позднее мы в очень общей и краткой форме укажем, как идею энтропии можно распространить на другие агрегатные состояния и на не только чисто термодинамические явления. Поэтому в основном мы будем рассматривать только состояния и процессы, в которых происходят тепловые явления и механические процессы.

[1] См. работу ДЖЕЙМСА СВИНБЕРНА «Энтропия» (Entropy, by James Swinburne); этот автор обратил внимание на необходимые поправки и должным образом подчеркнул инженерный аспект.

[2] БОЛЬЦМАН, «Теория газов» (Gas Theorie); ПЛАНК, «Термодинамика» (Thermodynamik), «Теория теплового излучения» (Theorie der Wärmestrahlung) и «Восемь лекций по теоретической физике» (Acht Vorlesungen über Theoretische Physik).

[3] Профессор У. С. ФРАНКЛИН, «Второй закон термодинамики: его основы в интуиции и здравом смысле» (The Second Law of Thermodynamics: its basis in Intuition and Common Sense), журнал «Popular Science Monthly», март 1910 г.

ЧАСТЬ I ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБЩИЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, РАЗВИТИЕ, СОВРЕМЕННЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ РАССМАТРИВАЕМЫХ ВОПРОСОВ

РАЗДЕЛ A

(1) «Состояние» тела и его «изменение состояния»

Поскольку мы будем постоянно использовать термины, содержащиеся в этом заголовке, и поскольку они представляют здесь фундаментально важные понятия, мы постараемся прояснить их, представив в различных формах, которые они приобрели в трудах разных исследователей, даже рискуя показаться многословными.

Во Введении к этой статье мы обратили внимание на два различных способа подхода к любой физической задаче. Понятие «состояние тела» меняется в зависимости от выбранного способа подхода. Разумеется, поскольку оба способа правомерны и ведут к правильным результатам, эти различия в понимании «состояния» можно примирить и прийти к более широкому определению. Мы можем проиллюстрировать эти различные методы подхода, как это сделал ПЛАНК, предположив наличие двух разных наблюдателей состояния тела: одного называют микроскопическим наблюдателем, а другого — макроскопическим наблюдателем. Первый обладает столь тонкими чувствами и столь великими возможностями, что может распознать каждый отдельный атом и измерить его движение. Для этого наблюдателя каждый атом будет двигаться в точности в соответствии с элементарными законами, предписанными для него общей динамикой. Эти законы, насколько нам известно, также сразу допускают и абсолютно обратный ход каждого события. Следовательно, здесь не может быть и речи о вероятности, об энтропии или ее возрастании. С другой стороны, «макронаблюдатель», (который воспринимает скопление атомов, скажем, как однородный газ и, следовательно, применяет к его механическим и тепловым процессам законы термодинамики) будет рассматривать процесс в целом как необратимый в соответствии со Второим законом... Но конкретное изменение состояния не может одновременно быть и обратимым, и необратимым. Однако у одного наблюдателя иное представление об «изменении состояния», чем у другого; концепция «изменения состояния» у микронаблюдателя отличается от таковой у макронаблюдателя. Что же тогда представляет собой «изменение состояния»? Состояние физической системы, вероятно, невозможно строго определить иначе, как совокупность всех тех физических величин, мгновенные значения которых при заданных внешних условиях также однозначно определяют последовательность этих изменяющихся значений.

Формулировка БОЛЬЦМАНА гораздо яснее, а именно: «Состояние тела определяется: (a) законом распределения частиц в пространстве и (b) законом распределения скоростей частиц; иными словами, состояние тела определяется: (a) числом частиц, находящихся в каждой элементарной области пространства, и (b) указанием числа частиц, принадлежащих к каждой элементарной группе скоростей. Эти элементарные области равны между собой, равно как и элементарные группы скоростей равны между собой. Но кроме того предполагается, что каждая элементарная область и каждая элементарная группа скоростей содержит очень много частиц».

Теперь, если мы спросим вышеупомянутых двух наблюдателей, что они понимают под состоянием рассматриваемого атомного скопления или газа, они дадут совершенно разные ответы. Микронаблюдатель назовет те величины, которые определяют положение и скоростное состояние всех отдельных атомов. В простейшем случае, когда атомы рассматриваются как материальные точки, это означало бы наличие величин в шесть раз больше, чем число присутствующих атомов, а именно: для каждого атома имелось бы три координаты положения и три компоненты скорости; в случае сложных молекул таких величин было бы гораздо больше. Для микронаблюдателя состояние и последовательность событий не определены до тех пор, пока все эти многочисленные величины не заданы по отдельности. Состояние, определенное таким образом, мы назовем «микросостоянием». Макроскопический наблюдатель, с другой стороны, обходится гораздо меньшим числом данных; он скажет, что состояние рассматриваемого однородного газа уже определяется плотностью, видимой скоростью и температурой в каждой точке газа, и будет ожидать, что при заданных этих величинах ход физических процессов будет полностью определен, а именно будет происходить в соответствии с двумя законами термодинамики и поэтому неизбежно демонстрировать возрастание энтропии. Состояние, определенное таким образом, мы назовем «макросостоянием». Разница между двумя наблюдателями заключается в том, что один видит только атомные события, а другой — процессы в совокупности. Первый имеет абсолютное механическое представление о состоянии, а второй — статистическое. Прежде чем пытаться примирить их кажущиеся противоречащими друг другу выводы, мы обратим здесь внимание на некоторые необходимые соотношения между микросостоянием и макросостоянием. Прежде всего мы должны помнить, что в природе реализуются далеко не все априори возможные микросостояния; они мыслимы, но никогда не достигают воплощения. Как нам отобрать то, что можно назвать этими естественными микросостояниями? Принципы общей динамики не дают руководства для такого отбора, поэтому можно прибегнуть к любой динамической гипотезе, выбор которой будет полностью оправдан опытом.

Теперь ПЛАНК говорит: «Чтобы пройти этот путь исследования, мы, очевидно, прежде всего должны иметь в виду все мыслимые положения и скорости отдельных атомов, которые совместимы с конкретными значениями плотности, скорости и температуры газа, или, иными словами, мы должны рассмотреть все микросостояния, принадлежащие к конкретному макросостоянию, и исследовать все различные события, которые вытекают из различных микросостояний в соответствии с фиксированными законами динамики. До сих пор более точный расчет и комбинация этих мельчайших элементов всегда давали тот важный результат, что подавляющее большинство этих микросостояний принадлежат к одному и тому же макросостоянию или совокупности, и что лишь сравнительно немногие из упомянутых микросостояний дают аномальный результат, причем эти немногие характеризуются очень особыми и далеко идущими условиями, существующими между положениями и скоростями соседних атомов. И кроме того, оказалось, что почти неизменно получающимся макрособытием является именно то самое событие, которое воспринимается макроскопическим наблюдателем, то, в котором все измеримые средние значения имеют однозначную последовательность и, следовательно, и в частности, удовлетворяет второму закону термодинамики».

«Тем самым обнаруживается мост примирения между двумя наблюдателями. Микронаблюдателю нужно лишь включить в свою теорию физическую гипотезу о том, что все такие частные случаи (которые предполагают наличие весьма особых, далеко идущих условий между состояниями соседних и взаимодействующих атомов) не происходят в природе; или, иными словами, микросостояния находятся в „элементарном беспорядке“ (elementar ungeordnet). Это обеспечивает однозначный характер макроскопического события и гарантирует, что Принцип возрастания энтропии будет удовлетворен в любом направлении».

Прежде чем подробно останавливаться на всем, что подразумевается под этой гипотезой «элементарного беспорядка», мы снова отметим, что для каждого макросостояния (даже при установившихся значениях плотности и температуры) может существовать множество микросостояний, которые удовлетворяют ему в совокупности.

Согласно ПЛАНКУ, «легко видеть, что макронаблюдатель имеет дело со средними значениями; ибо то, что он называет плотностью, видимой скоростью, температурой газа, для микронаблюдателя являются определенными средними величинами, статистическими данными, которые были подходящим образом получены из пространственного расположения и скоростей атомов. Но с этими средними величинами микронаблюдатель поначалу ничего не может поделать, даже если они известны за определенное время отнюдь не устанавливается последовательность событий; напротив, он может легко с помощью указанных заданных средних значений обнаружить целое множество различных значений для положения и скоростей отдельных атомов, каждое из которых соответствует указанным заданным средним величинам, и тем не менее некоторые из них ведут к совершенно иным последовательностям событий даже в их средних значениях», событиям, которые вовсе не согласуются с опытом. Очевидно, если нужно добиться какого-либо прогресса, микронаблюдатель должен каким-то подходящим образом ограничить многообразный характер разнообразных микросостояний. Этого он достигает с помощью гипотезы «элементарного беспорядка», которая будет определена более полно.

Между делом мы можем отметить здесь для будущего использования, что то, только что сказанное о макросостояниях (совокупностях) с «установившимися» средней скоростью, плотностью и температурой, относится также и к неустановившимся в совокупности состояниям — в том, что касается многообразного характера мыслимых составляющих микросостояний и различий в среднем характере их последовательностей. Даже после того как вышеупомянутая ограничивающая гипотеза устраняет все нелегитимные микросостояния, остается колоссально большее число легитимных, которые образуют количество комплексий, должным образом принадлежащих рассматриваемому состоянию. Мы можем также добавить, что представляется вполне очевидным: числа, представляющие эти комплексии, будут различными в установившихся и неустановившихся состояниях, даже если последние в конечном итоге будут обладать средней скоростью, плотностью и температурой первых.

С другой стороны, мы также отмечаем, что для одного и того же набора внешних условий макросостояние само по себе может варьироваться весьма значительно. Когда оно имеет установившуюся плотность и температуру, говорят, что оно находится в стационарном состоянии, в тепловом равновесии, и, забегая вперед, мы можем добавить, что тогда оно обладает максимальной энтропией, короче говоря, можно сказать, что оно находится в «нормальном» состоянии. Но при сохранении тех же внешних условий, прежде чем достичь упомянутого «нормального» предельного состояния, оно может пройти через целый ряд так называемых «ненормальных» состояний после выхода из начального состояния. Находясь в любом из этих «ненормальных» состояний, оно может считаться находящимся в более или менее турбулентном состоянии; тогда оно может иметь завихрения и водовороты; в разных своих частях оно может иметь разные плотности и температуры, и тогда будет трудно или невозможно измерить эти внешние физические особенности его состояния в целом. Все это подразумевает постоянно меняющиеся атомные положения и скорости, но не указывает на какие-либо столь особенные далеко идущие регулярности между соседними и взаимодействующими частицами, которые на каком-либо этапе подорвали бы нашу гипотезу «элементарного беспорядка» (elementar ungeordnet) или «молекулярного хаоса».

Прежде чем вдаваться в большие подробности относительно этого конкретного хаотического состояния частиц, мы приведем несколько более полное утверждение ПЛАНКА о том, что составляет «состояние» физической системы в определенное время и при заданных внешних условиях. Оно представляет собой «совокупность всех тех взаимно независимых величин, которые определяют последовательность событий, происходящих в системе, в той мере, в какой они доступны измерению; знание состояния поэтому эквивалентно знанию начальных условий. Например, в газе, состоящем из неизменных молекул, состояние определяется законом их распределения в пространстве и по скоростям, т. е. указанием числа молекул, их координат и компонент скорости, которые находятся внутри каждой отдельной малой области. Число молекул в любой из этих различных областей в целом совершенно не зависит от числа в любой другой области, ибо состояние не обязано быть ни стационарным, ни состоянием равновесия; поэтому все эти числа должны быть известны по отдельности, если состояние газа должно считаться заданным в абсолютном механическом смысле. С другой стороны, для характеристики состояния в статистическом смысле нет необходимости вдаваться в более детальные подробности относительно молекул, находящихся в каждом элементарном пространстве; ибо здесь необходимое дополнение обеспечивается гипотезой молекулярного хаоса, которая несмотря на свой механически неопределенный характер гарантирует однозначную последовательность физических событий».

(2) Дальнейшее пояснение этого существенного условия «элементарного хаоса». Различные аспекты случайности

Чтобы получить как можно более полное понимание этой фундаментальной идеи, мы приведем теперь взгляды нескольких исследователей на физические особенности этого хаотического состояния. Мы видели, как ПЛАНК, главный толкователь БОЛЬЦМАНА, смело исключает из рассмотрения все случаи, приводящие к аномальным результатам из-за весьма особых условий, существующих между молекулярными данными, предполагая, что эти случаи не встречаются в природе. ПЛАНК напоминает физикам, которые возражают против гипотезы элементарного беспорядка, считая ее ненужной или даже неоправданной, что эта гипотеза уже широко используется в физике, что неявно или явным образом она лежит в основе каждого вычисления констант, связанных с трением, диффузией и теплопроводностью. С другой стороны, он напоминает другим — тем, кто склонен рассматривать гипотезу «элементарного беспорядка» как аксиоматичную, — о теореме А. ПУАНКАРЭ, которая исключает эту гипотезу навсегда из пространства, окруженного абсолютно гладкими стенками. ПЛАНК говорит, что единственный выход из грозного охвата этого положения заключается в том, что абсолютно гладких стенок в природе не существует.

Эту же мысль ПЛАНК изложил немного иначе. Понимая, что все механически возможные одновременные расположения и скорости молекул не реализуются в природе, концепция «элементарного беспорядка» подразумевает одно ограничение мыслимых молекулярных состояний, а именно то, что между многочисленными элементами физической системы не существует иных отношений, кроме тех, которые обусловлены существующими измеримыми средними значениями физических характеристик рассматриваемой системы.

Другое, более краткое, но эквивалентное определение гласит: «В природе все состояния и процессы, содержащие многочисленные независимые (unkontrollierbar) составляющие, находятся в „элементарном беспорядке“ (elementar ungeordnet)». Составляющими являются молекулярные элементы в механике и термодинамике и энергетические элементы в излучении.

Используемое здесь немецкое слово «unkontrollierbar» [4] можно также с некоторой долей справедливости перевести как: не обусловленный условиями, неопределенный, неизмеримый, неупорядоченный, несоотнесенный, неуправляемый или случайный. Но какой бы термин ни был лучшим, ПЛАНК в механическом смысле имел под ним в виду запутанное, неупорядоченное и гудящее перемешивание очень многих атомов.

Любое из этих двух эквивалентных определений подразумевает, что такой элементарный беспорядок или хаос является условием достаточно полной случайности, чтобы оправдать применение теории вероятностей к однозначному определению измеримых физических характеристик процесса, рассматриваемого в целом.

Вышеизложенные идеи более или менее неявно лежат в основе всей великой новаторской работы БОЛЬЦМАНА в этой обширной области. Именно он четко показал, что Второй закон может быть выведен из механических принципов: что энтропия является свойством каждого состояния, турбулентного или иного; что идея энтропии будет освобождена от всяких представлений о человеческом экспериментальном мастерстве, и тем самым возвысил Второй закон до положения реального принципа. Всего этого он добился путем общего обоснования идеи энтропии на идее вероятности. Следовательно, мы видим, что во всех его трудах много внимания уделяется случайным молекулярным условиям. Он первым использовал термины «molekular-geordnet» (молекулярно упорядоченный, или организованный) и «molekular ungeordnet» (молекулярно неупорядоченный или неорганизованный), причем последнюю фразу мы должны считать синонимом термина «elementar ungeordnet» (элементарный беспорядок или хаос), с которым мы уже познакомились в изложении ПЛАНКА. Поэтому мы ограничимся здесь иллюстрациями БОЛЬЦМАНА к этим терминам, поскольку его работы в этих частностях не содержат каких-либо резких определений. Действительно, он мог опасаться чрезмерной точности и полагаться на то, что использование им этих терминов в разное время передаст их смысл.

Относительно некоторых характеристик случайного движения БОЛЬЦМАНА мы берем следующее из т. I его «Лекций по теории газов» (Vorlesungen über Gas Theorie).

Если в конечной части газа переменные, определяющие движение молекул, имеют иные средние значения, чем в другой конечной части газа (например, если средняя скорость или средняя плотность газа в одной половине сосуда отлична от таковых в другой половине), или, более того, если любая конечная часть газа ведет себя иначе, чем другая конечная часть газа, то такое распределение называется «molar-geordnet» (в молярном порядке). Но когда общее число молекул в каждой единице объема находится в одинаковых условиях и обладает одинаковым числом молекул каждого вида на протяжении рассматриваемых изменений, то из единицы объема будет выходить и входить в нее такое же число молекул, так что общее всегда присутствующее число остается прежним; при таких условиях мы называем распределение «molar-ungeordnet» (в молярном беспорядке), и это конечное распределение является одной из характеристик случайного состояния, к которому применима теория вероятностей. [В качестве другого примера исключенных молярно-упорядоченных состояний можно привести случай, когда все движения параллельны одной плоскости].

Но хотя при переходе от одной конечной части газа к другой не удается обнаружить никаких закономерностей (среднего характера), бесконечно малые части (скажем, из двух или более молекул) могут проявлять определенные закономерности, и тогда распределение было бы «molekular-geordnet» (молекулярно-упорядоченным), хотя в целом газ является «molar-ungeordnet». Например (взяв один из бесконечного числа возможных случаев), предположим, что две ближайшие молекулы всегда сближались вдоль линии их центров, или если бы молекула, движущаяся с особо малой скоростью, всегда имела десять (10) медленных соседей, то распределение было бы «molekular-geordnet». Но тогда местоположение одной молекулы оказывало бы некоторое влияние на местоположение другой молекулы, и тогда в теории вероятностей присутствие одной молекулы в одном месте не было бы независимым от присутствия какой-либо другой молекулы в каком-то другом месте. Такая зависимость недопустима в теории вероятностей. Прежде чем мы сможем далее описать то, что здесь является, пожалуй, важнейшим термином (molekular-ungeordnet), мы должны отметить, что БОЛЬЦМАН рассматривает число молекул одного рода, компоненты скоростей которых вдоль осей координат заключены между пределами, а также число молекул другого рода, компоненты скоростей которых аналогичным образом лежат между пределами; затем, учитывая шансы того, что молекула будет иметь скорости между пределами, указанными в (1), а молекула будет иметь скорости между пределами (2), БОЛЬЦМАН дает понять, что эти шансы не зависят от относительного положения молекул. Там, где существует такая полная независимость или отсутствие всех мелких закономерностей, распределение, согласно БОЛЬЦМАНУ, является «molekular-ungeordnet» (молекулярно-неупорядоченным).

БОЛЬЦМАН кроме того сообщает нам, что как только в газе средняя длина свободного пробега велика по сравнению со средним расстоянием между двумя соседними молекулами, соседние молекулы быстро станут иными, чем были раньше. Поэтому чрезвычайно вероятно, что «molekular-geordnete» (но molar-ungeordnete) распределение вскоре перейдет в «molekular-ungeordnete» распределение.

Более того, из строения газа вытекает, что место, где произошло столкновение молекулы, полностью не зависит от того места, где происходило ее предыдущее столкновение. Разумеется, эта независимость могла бы поддерживаться в течение неограниченного времени только бесконечным числом молекул.

Место столкновения пары молекул в нашей теории вероятностей должно быть независимым от того места, откуда стартовала каждая молекула.

Из всего вышесказанного мы должны заключить, какую степень случайности БОЛЬЦМАН считает необходимой для легитимного использования теории вероятностей.

БОЛЬЦМАН при доказательстве своей H-теоремы [5], которая устанавливает односторонность всех природных явлений, делает явное предположение, что движение в самом начале является как «molar-», так и «molekular-ungeordnet» и остается таковым. Позднее он предполагает то же самое, но добавляет, что если таковыми в начале они не являются, то вскоре ими станут; поэтому указанное предположение не исключает рассмотрения методами теории вероятностей общего случая или перехода от «ordnete» к «ungeordnete» условиям, которые характеризуют все природные явления.

Фактически сами эти определения свидетельствуют о заботе об обеспечении бесперебойного действия законов вероятности. БОЛЬЦМАН выражает одобрение утверждению С. Х. БЕРБЕРИ об условиях независимости, лежащих в основе его работы.

Здесь С. Х. БЕРБЕРИ [6] упрощает дело, предполагая, что любая единица объема пространства содержит однородную смесь молекул с разными скоростями, и говорит:

«Пусть будет скоростью центра масс любой пары молекул, а их относительной скоростью. Тогда выполняется следующее условие (называемое здесь): для любого заданного направления до столкновения все направления после столкновения равновероятны. Тогда H-теорема БОЛЬЦМАНА доказывает, что если условие выполнено, то если все направления относительной скорости для данного не равновероятны, эффект столкновений заключается в уменьшении». [По сути, условие БЕРБЕРИ говорит лишь о том, что теория вероятностей применима для нахождения числа столкновений]. Более того, «любая реальная материальная система испытывает возмущения извне, эффект которых, поступающий случайно безотносительно к состоянию системы в данный момент времени, заключается pro tanto в возобновлении или поддержании независимости молекулярных движений, того самого распределения координат (столкновения), которое требуется для того, чтобы заставить уменьшаться. Таким образом, существует общая тенденция к уменьшению, хотя в частных случаях она мыслимым образом может и увеличиваться. Точно так же, как в политических делах: изменение к лучшему возможно, но тенденция такова, что все изменения идут от плохого к худшему». Здесь Бербери констатирует то, что практически верно во всех реальных случаях, и тем самым предоставляет дополнительную причину — если таковая была нужна — для правомерности применяемого Больцманом метода вероятностей, а также еще одно объяснение того, почему полученные результаты находятся в столь идеальном согласии с опытом.

Поскольку замечания БЕРБЕРИ относительно природы рассматриваемого «элементарного хаоса» всегда проясняют дело, мы, рискуя повторить что-то уже сказанное, процитируем следующее:

«Вероятность того, что сближающиеся перед столкновением сферы будут иметь скорости в пределах заданных границ, не зависит от их относительного положения, а также от положений и скоростей всех других сфер и не зависит от предыстории системы, за исключением того, насколько она изменила распределение скоростей inter se. В следующем примере эта независимость выполняется для начального состояния и для предполагаемого метода распределения не имеет предыстории».

«Пример. Большое число одинаковых упругих сфер, каждая единичной массы и диаметра, в начальный момент приводятся в движение в поле без сил, ограниченном упругими стенками. Начальное движение формируется следующим образом: (1) Один человек назначает компоненты скоростей для каждой сферы по любому закону при условии, что и заданная константа. (2) Другой человек, в полном неведении относительно назначенных таким образом скоростей, хаотично разбрасывает сферы по всему пространству. И они стартуют из начальных положений, заданных таким образом в п. (2), с соростями, назначенными им соответственно в п. (1)».

Синтетически сконструированная таким образом система без сомнения в начале была бы «molekular-ungeordnet» — фактически, это столь близкое к хаосу приближение, насколько это возможно в несовершенном мире. Но есть основания сомневаться в том, что она останется таковой «molekular-ungeordnet». Ибо распределение скоростей подчиняется любому закону, совместимому с вышеупомянутыми условиями, и некоторые такие законы привели бы к результатам, враждебным Второму закону, и тогда мы можем смело сказать, что такие законы распределения скоростей никогда не встретились бы в природе и поэтому принадлежали бы к случаям, которые были специально исключены.

Теперь существуют механические системы, обладающие свойством энтропии, и справедливо утверждалось, что Второй закон и необратимость не зависят от какой-либо особой особенности теплового движения, а зависят лишь от статистического свойства системы, обладающей экстраординарным числом степеней свободы. В этом смысле профессор Дж. В. ГИББС рассматривал механику статистически и показал, что тогда возникают свойства температуры и энтропии. Этот вопрос уже затрагивался, но поскольку многочисленные степени свободы являются чертой рассматриваемого «элементарного хаоса», он заслуживает повторения здесь и упоминания не только вскользь.

Иллюстрация степеней свободы. Отнесем движение тела к трем осям. Если тело совершает максимально возможное движение, его можно разложить на поступательные движения (трансляции), параллельные осям, и на вращения вокруг этих осей. Каждый из этих двух наборов дает три компоненты движения или в общей сложности шесть компонент; тогда мы говорим, что совершенно несвязанное движение тела имеет шесть степеней свободы. Если тело движется параллельно одной из координатных плоскостей, мы говорим, что оно имеет две степени свободы. Когда мы переходим к рассмотрению молекулярного движения в целом и независимости, которая характеризует движение каждой из многочисленных молекул, мы видим, что в целом мы имеем здесь экстраординарное число степеней свободы, и из таковых состоит область нашего «элементарного хаоса».

Если мы ударимся в другую крайность и подумаем только об одном атоме, мы сразу увидим, что не можем должным образом говорить о его беспорядке. Но дело обстоит иначе с умеренным числом атомов, скажем, сотней или тысячей. Здесь мы определенно можем говорить о беспорядке, если координаты положения и компоненты скорости распределены среди атомов случайным образом. Но поскольку процесс в целом, последовательность событий в совокупности, при этом сравнительно небольшом числе атомов может происходить перед макроскопическим наблюдателем не однозначным образом, мы не можем сказать, что достигли здесь истинного состояния «элементарного хаоса». Если мы теперь зададимся вопросом о минимальном числе атомов, необходимых для того, чтобы сделать процесс необратимым, ответ будет таков: столько, сколько необходимо для формирования определенных средних значений, которые определят ход состояния в макроскопическом смысле. Только для этих средних значений Второй закон имеет смысл; однако для них он абсолютно точен, столь же точен, как теорема теории вероятностей, согласно которой среднее значение многочисленных бросаний одной кубической игральной кости равно 3½.

Теперь мы можем обоснованно заключить из всех этих взглядов, что состояние «элементарного хаоса» (или «molekular ungeordnete» движение) является необходимым условием для достаточной случайности и делает возможным применение теории вероятностей.

[4] На стр. 133 труда «Теория теплового излучения» (Wärmestrahlung) ПЛАНК говорит: «контролируемы (kontrollierbar) только измеримые средние значения», и это может помочь нам понять смысл здесь.

[5] В H-теореме БОЛЬЦМАНА мы имеем процесс (состоящий из ряда раздельно обратимых процессов), который необратим в совокупности.

[6] Журнал «Nature», т. LI, стр. 78, 22 нояб. 1894 г.

(3) Установившиеся и неустановившиеся состояния; различие между заключительной стадией элементарного хаоса и его предшествующими стадиями

Ближайшая цель на следующих нескольких страницах состоит в том, чтобы установить: (a) различие между последовательными стадиями «элементарного беспорядка» (хаоса) по мере их развития при неизбежном переходе от «ненормальных» условий к заключительному и так называемому «нормальному» состоянию теплового равновесия и, кроме того, (b) показать, что каждая из этих стадий является «elementar-ungeordnet», и (c) что в каждой из них преобладает достаточная случайность, позволяющая правомерно применять теорию вероятностей.

Сначала мы опишем соответственно неустановившиеся (ненормальные) и установившиеся (нормальные) состояния. Когда мы рассматриваем общее состояние газа, «нам не нужно думать о состоянии равновесия, ибо оно дополнительно характеризуется условием, что его энтропия максимальна. Следовательно, в общем или неустановившемся состоянии газа может преобладать неравномерное распределение плотности, могут присутствовать любые числа произвольно различных потоков (завихрений и водоворотов), и мы можем в частности предположить, что не произошло никакого рода выравнивания между различными скоростями молекул. Мы можем заранее, совершенно произвольным образом, принять как скорости молекул, так и их координаты положения. Но должны существовать (для того чтобы мы знали состояние в макроскопическом смысле) определенные средние значения плотности и скорости, ибо именно через эти самые средние значения состояние характеризуется с макроскопической точки зрения». Различия, которые действительно существуют в последовательных стадиях беспорядка неустановившегося состояния, в основном обусловлены происходящими постоянно молекулярными столкновениями, которые таким образом изменяют положение и скорость каждой молекулы.

Теперь мы можем легко описать установившееся состояние как особый случай неустановившегося. В установившемся состоянии наблюдается равномерное распределение плотности во всех элементарных пространствах, нет присутствующих различных потоков (завихрений или водоворотов), и для всех элементарных пространств существует равное распределение энергии. Для него существует тепловое равновесие, энтропия максимальна, и температура состояния теперь имеет определенное значение, поскольку температура есть средняя энергия молекул для этого состояния равновесия. Состояние называется «стационарным» или перманентным, так как средние значения плотности, скорости и температуры этой конкретной совокупности больше не меняются, хотя молекулярные столкновения все еще происходят постоянно.

Хорошо известными примерами неустановившегося состояния системы являются: турбулентное состояние с его различными потоками, завихрениями и водоворотами, состояние, в котором потенциальная и кинетическая энергия распределены неравномерно; например, когда одна часть находится под высоким давлением, а другая часть под более низким давлением, когда одна часть горячее другой части, и когда в сообщающейся системе присутствуют несмешанные газы.

Более специфическая черта неустановившегося состояния может быть найдена в дополнении к условию БЕРБЕРИ (упомянутому уже внизу стр. 15), где дается понять, что (в начале и после столкновения) все направления относительной скорости могут быть не равновероятными.

Когда все такие различия исчезнут до такой степени, что равные элементарные пространства будут обладать своими равными долями различных частиц, скоростей и энергий, система окажется установившейся, будет находиться в тепловом равновесии и будет обладать максимальной энтропией и определенной температурой. Более того, условие БЕРБЕРИ здесь полностью выполнено.

В этом месте мы снова обращаем внимание на тот факт, что как в неустановившемся, так и в установившемся состояниях системы все мыслимые микросостояния не являются одинаково вероятными для реализации. На стр. 19 упоминалось, что неустановившееся и установившееся состояния каждое обладали множеством мыслимых микросостояний, которые согласовывались с характеристическими средними значениями их соответствующих макросостояний (неустановившегося и установившегося), и тем не менее в каждом наборе некоторые из них впоследствии вели к событиям, которые не согласовались с опытом. Поэтому как для неустановившегося, так и для установившегося состояний мы должны ограничить многообразный характер их микросостояний, исключив все те микросостояния, которые ведут к результатам, противоречащим опыту. Это достигается предположением о том, что гипотеза «элементарного беспорядка» (elementar-ungeordnet) справедлива как для неустановившегося, так и для установившегося состояния. Теперь, что касается случайного характера оставшихся движений, мы могли бы остановиться прямо здесь, ибо сама природа этой гипотезы обеспечивает результаты, гармонирующие с опытом, т. е. с беспрепятственным действием законов вероятности.

Но если мы не остановимся здесь, предпочитая изучить некоторые особенности случайного движения, как подробно описано на стр. 10, 13, 14 и 17, мы все равно увидим, что с помощью этой гипотезы мы не устранили случайный характер оставшихся движений ни в неустановившемся, ни в установившемся состоянии. Например, мы не устранили условие БЕРБЕРИ. Мы также должны помнить, что в кратчайшем утверждении ПЛАНКА об «элементарном беспорядке» (вниз. стр. 11) подчеркиваются две важные особенности случайности, а именно: независимость и большое число составляющих. БОЛЬЦМАН в своей «Теории газов» (Gas Theorie), разумеется, рассматривает специальные особенности, которые лежат в основе применения исчисления вероятностей; так, он говорит, что это большое число молекул и длина их путей, которые вместе делают законы столкновения молекулы в газе независимыми от места, где она сталкивалась раньше. Введение гипотезы «элементарного беспорядка» также не устранило эти специальные особенности. Из рассмотрения были просто исключены такие заранее вычисленные и заранее спланированные закономерности в путях и направлениях молекул, которые намеренно мешают действию законов вероятности. Мы по-прежнему вольны рассматривать все вообразимые положения и скорости отдельных молекул, которые совместимы со средней скоростью, плотностью и температурой, должным образом характеризующими каждую стадию перехода от неустановившегося к установившемуся состоянию. Для достаточной случайности нам нужно лишь предположение о том, что молекулы летают настолько нерегулярно, чтобы допускать действие законов вероятностей. Такое изложение, конечно, требует полного доверия к тому, что все указанные требования были должным образом выполнены, и выдающееся положение БОЛЬЦМАНА как физика-математика и одобрение его коллег должны быть нашей гарантией для такого доверия.

Прежде чем завершить это обсуждение неустановившихся и установившихся состояний, мы вставим здесь два замечания, которые на данном этапе по своей природе являются упреждающими. Первое заключается в том, что при ограничении, налагаемом нашей вспомогательной гипотезой «элементарного хаоса», самым четким определением любого макросостояния является число его возможных микросостояний. Очевидно, это число перестановок, возможных при заданных элементах положения и скорости при ограничении, наложенном выше. Позже мы обнаружим, что это число возможных микросостояний меньше для неустановившегося состояния, чем для установившегося. Это дает нам четкое различие между двумя рассматриваемыми состояниями. Второе замечание заключается в том, что неизбежное изменение в системе в целом всегда происходит от менее вероятного к более вероятному, представляет собой переход от неустановившегося состояния системы к ее установившемуся состоянию, и это здесь синонимично возрастанию числа возможных микросостояний. Именно это различие между начальным и конечным состояниями составляет универсальный движущий мотив во всех природных явлениях.

РАЗДЕЛ B ПРИМЕНЕНИЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ.

(1) Понятие вероятности, его полезность в прошлом, его нынешняя необходимость и его универсальность.

Свидетельством его существенного значения в этом физическом обсуждении служит тот факт, что мы почти непреднамеренно были вынуждены постоянно ссылаться на него во всех наших предварительных положениях. Но когда это понятие впервые преподносится студенту, он относится к нему так же, как «человек с улицы»: последним оно воспринимается как дело случая и оттого неопределенное и ненадежное; более того, последний смутно знает, что предмет имеет дело с усредненными значениями, что он часто носит статистический характер, и знает, что к статистике в целом относятся с большим недоверием. Студент поначалу склонен разделять эти взгляды с упомянутым человеком с улицы и в лучшем случае чувствует, что его введение имеет отдаленный интерес, является надуманным и ведет к сокрытию и растворению самой сути дела. Студент должен избавиться от этих ложных представлений, поразмыслив над тем, как много в природе спонтанного, иными словами, как много существует событий, в которых происходит переход от менее вероятного состояния к более вероятному, и что он не может позволить себе пренебрегать исчислением, которое измеряет эти изменения как можно точнее, или игнорировать его.

В связи с этим БОЛЬЦМАН говорит: (W. S. B. d. Akad. d. Wiss., т. LXVI, B 1872, стр. 275).

«Механическая теория теплоты предполагает, что молекулы газов никоим образом не находятся в покое, а обладают самым живым движением, поэтому даже тогда, когда тело не изменяет своего состояния, каждая из его молекул постоянно изменяет свое состояние движения, а различные молекулы точно так же одновременно существуют бок о бок в самых разных состояниях. Исключительно благодаря тому факту, что мы всегда получаем одни и те же средние значения, даже когда при одних и тех же обстоятельствах происходят самые нерегулярные события, мы можем объяснить, почему мы распознаем абсолютно определенные законы в теплых телах. Ибо молекулы тела столь многочисленны и их движения столь стремительны, что поистине мы не воспринимаем ничего, кроме этих средних значений. Мы могли бы сравнить регулярность этих средних значений с таковыми, предоставляемыми общей статистикой, которая, конечно, точно так же выводится из событий, обусловленных полностью не поддающимся исчислению взаимодействием самых разнообразных внешних обстоятельств. Молекулы подобны множеству индивидуумов, обладающих самыми разными видами движения, и лишь потому, что число тех из них, которые в среднем обладают одинаковым родом движения, является постоянным, свойства газа остаются неизменными. Определение средних значений является задачей исчисления вероятностей. Задачи механической теории теплоты поэтому являются задачами этого исчисления. Было бы, однако, ошибкой думать, что с теорией теплоты связана какая-либо неопределенность из-за применения теорем вероятности. Не следует путать плохо доказанное положение (истинность которого вследствие этого сомнительна) с полностью установленной теоремой исчисления вероятностей; последняя представляет собой, подобно результату любого другого исчисления, необходимое следствие определенных предпосылок, и если они верны, результат подтверждается опытом при условии, что было наблюдаемо достаточное число случаев, что всегда будет иметь место в случае теплоты из-за колоссального числа молекул в теле».

Чтобы стать более конкретными, мы упомянем некоторые задачи, к которым с успехом применялась теория вероятностей. В бизнесе — к страхованию жизни и имущества от пожаров; в технике — к уменьшению неизбежных ошибок наблюдений методом наименьших квадратов; а в физике — к определению закона распределения скоростей Максвелла. Полученные таким образом результаты повсеместно признаются и принимаются экспертами. Почему же тогда это исчисление не должно быть применимо к более общим природным явлениям?

В этой связи рассмотрим некоторые из его достоинств: (a) оно исключает из задачи случайные элементы, если последние достаточно многочисленны; (b) оно правомерно оперирует средними значениями; (c) оно включает комбинаторные соображения, отличные от средних значений; (d) оно применимо как к немеханическим, так и к механическим событиям и, таким образом, (e) обладает способностью охватывать весь спектр природных явлений, что придает ему характер универсальности, который в настоящее время является его самым ценным качеством.

В качестве примера этого мы можем привести заслуженно знаменитую H-теорему Больцмана, которая устанавливает односторонность всех природных событий. [7] Касательно нее этот мастер математической физики говорит:

«Из законов вероятности можно вывести лишь то, что если начальное состояние специально не подготовлено для определенной цели, вероятность того, что оно уменьшится, всегда больше, чем того, что оно увеличится». В этой связи мы можем добавить, что Больцман с нетерпением ожидал времени, «когда фундаментальные уравнения движения отдельных молекул окажутся лишь приближенными формулами, дающими средние значения, которые, согласно теории вероятностей, являются результатом взаимодействия очень многих независимо движущихся индивидуумов, составляющих окружающую среду; например, в метеорологии законы будут относиться только к средним значениям, выведенным теорией вероятностей из длинного ряда наблюдений. Эти индивидуумы, конечно, должны быть столь многочисленны и действовать столь быстро, чтобы правильные средние значения достигались за миллионные доли секунды».

Чтобы еще больше укрепить нашу веру, мы можем указать, что вероятностный метод успешно использовался для получения уникальных результатов из сложных условий и применялся для общего решения задач. В рассматриваемом нами случае он разрешил загадку энтропии, которая десятилетиями занимала физиков, а также инженеров, и тем самым освободил второй закон от всякого антропоморфизма, от всякой зависимости от человеческого экспериментального мастерства. Если взглянуть на его характер максимально широко, это исчисление позволяет нам прочитать нынешнюю загадку нашей Вселенной, а именно: почему она находится в своем нынешнем маловероятном состоянии. Таким образом, в этом исчислении мы имеем мощный инструмент исследования, который, вероятно, будет играть большую роль в будущем в установлении физической истины. Конечно, он должен находиться в руках мастеров. Именно они, и только они, могут правильно и адекватно интерпретировать такую физическую проблему, как та, что перед нами. В научной работе нашей последней инстанцией должна быть природа, и поэтому мы говорим: лучшее оправдание использования теории вероятностей в нашей задаче заключается в том, что ее результаты находятся в полном согласии с фактами.