«Трактат о свете»

28. Теперь, переходя к исследованию преломлений, которые должны претерпевать косо падающие лучи, согласно нашей гипотезе сфероидальных волн, я увидел, что эти преломления зависят от отношения между скоростью движения света вне кристалла в эфире и скоростью внутри кристалла. Ибо предполагая, например, эту пропорцию такой, что в то время как свет в кристалле образует сфероид GSP, как я только что сказал, он образует снаружи сферу, полудиаметр которой равен линии N, которая будет определена далее, следующим является способ нахождения преломления падающих лучей. Пусть будет такой луч RC, падающий на поверхность CK. Сделайте CO перпендикулярным RC и через угол KCO проведите OK, равный N и перпендикулярный CO; затем проведите KI, который касается эллипса GSP, и из точки касания I соедините IC, что будет искомым преломлением луча RC. Демонстрация этого, как будет видно, совершенно аналогична той, которую мы использовали при объяснении обычного преломления. Ибо преломление луча RC есть не что иное, как продвижение части C волны CO, продолженное в кристалле. Теперь части H этой волны за время, пока O пришло к K, достигнут поверхности CK вдоль прямых линий Hx и, кроме того, произведут в кристалле вокруг центров x некоторые полусфероидальные частичные волны, подобные полусфероиду GSPg и аналогично расположенные, и у которых большие и малые диаметры будут иметь те же пропорции к линиям xv (продолжениям линий Hx до KB, параллельных CO), что диаметры сфероида GSPg имеют к линии CB, или N. И совершенно легко видеть, что общая касательная всех этих сфероидов, которые здесь представлены эллипсами, будет прямой линией IK, которая, следовательно, будет распространением волны CO; и точка I будет точкой точки C, в соответствии с тем, что было продемонстрировано при обычном преломлении.

Теперь, что касается нахождения точки касания I, известно, что нужно найти CD, третью пропорциональную к линиям CK, CG, и провести DI параллельно CM, ранее определенному, который является сопряженным диаметром к CG; ибо тогда, проводя KI, он касается эллипса в I.

29. Теперь, как мы нашли CI, преломление луча RC, аналогично мы найдем Ci, преломление луча rC, который исходит с противоположной стороны, делая Co перпендикулярным rC и выполняя остальную часть построения, как прежде. Откуда видно, что если луч rC наклонен одинаково с RC, линия Cd будет обязательно равна CD, потому что Ck равно CK, а Cg — CG. И в результате Ii будет разделено в E на равные части линией CM, которой параллельны DI и di. И поскольку CM является сопряженным диаметром к CG, следует, что iI будет параллельно gG. Поэтому, если продолжить преломленные лучи CI, Ci до тех пор, пока они не встретят касательную ML в T и t, расстояния MT, Mt также будут равны. И таким образом, согласно нашей гипотезе, мы объясняем упомянутое выше явление совершенно; а именно, что когда имеются два луча, одинаково наклоненные, но исходящие с противоположных сторон, как здесь лучи RC, rc, их преломления расходятся одинаково от линии, по которой следует преломление луча, перпендикулярного поверхности, рассматривая эти расхождения в направлении, параллельном поверхности кристалла.

30. Чтобы найти длину линии N в пропорции к CP, CS, CG, она должна быть определена наблюдениями нерегулярного преломления, которое происходит в этом сечении кристалла; и я нахожу таким образом, что отношение N к GC лишь немного меньше 8 к 5. И принимая во внимание некоторые другие наблюдения и явления, о которых я скажу впоследствии, я полагаю N равным 156 962 частям, из которых полудиаметр CG, как найдено, содержит 98 779, делая это отношение 8 к 5-1/29. Теперь эта пропорция, которая существует между линией N и CG, может быть названа Пропорцией Преломления; аналогично тому, как в стекле она составляет 3 к 2, что будет очевидно, когда я объясню краткий процесс предшествующим способом для нахождения нерегулярных преломлений.

31. Предполагая затем, на следующем рисунке, как прежде, поверхность кристалла gG, эллипс GPg и линию N; и CM — преломление перпендикулярного луча FC, от которого он отклоняется на 6 градусов 40 минут. Теперь пусть будет какой-то другой луч RC, преломление которого должно быть найдено.

Вокруг центра C, с полудиаметром CG, пусть будет описана окружность gRG, пересекающая луч RC в R; и пусть RV будет перпендикуляром к CG. Тогда как линия N относится к CG, пусть CV относится к CD, и пусть DI будет проведено параллельно CM, пересекая эллипс gMG в I; затем, соединяя CI, это будет искомым преломлением луча RC. Что демонстрируется так.

Пусть CO будет перпендикулярно CR, и через угол OCG пусть OK будет подогнано, равное N и перпендикулярное CO, и пусть будет проведена прямая линия KI, которая, если будет продемонстрировано, что она является касательной к эллипсу в I, будет очевидно из того, что было объяснено ранее, что CI есть преломление луча RC. Теперь, поскольку угол RCO является прямым углом, легко видеть, что прямоугольные треугольники RCV, KCO подобны. Как тогда CK относится к KO, так же RC относится к CV. Но KO равно N, а RC — CG: тогда как CK относится к N, так CG будет относиться к CV. Но как N относится к CG, так, по построению, CV относится к CD. Тогда как CK относится к CG, так CG относится к CD. И поскольку DI параллельно CM, сопряженному диаметру к CG, следует, что KI касается эллипса в I; что и требовалось показать.

32. Видно тогда, что как существует в преломлении обычных сред некоторая постоянная пропорция между синусами углов, которые падающий луч и преломленный луч образуют с перпендикуляром, так здесь существует такая пропорция между CV и CD или IE; то есть между синусом угла, который падающий луч образует с перпендикуляром, и горизонтальным отрезком в эллипсе между преломлением этого луча и диаметром CM. Ибо отношение CV к CD есть, как было сказано, то же самое, что отношение N к полудиаметру CG.

33. Я добавлю здесь, прежде чем идти дальше, что при сравнении регулярного и нерегулярного преломления этого кристалла есть тот замечательный факт, что если ABPS — это сфероид, посредством которого свет распространяется в кристалле за определенный промежуток времени (каковое распространение, как было сказано, служит для нерегулярного преломления), то вписанная сфера BVST есть распространение за тот же промежуток времени света, который служит для регулярного преломления.

Ибо мы заявили перед этим, что линия N, будучи радиусом сферической волны света в воздухе, в то время как в кристалле она распространялась через сфероид ABPS, отношение N к CS будет 156 962 к 93 410. Но было также заявлено, что пропорция регулярного преломления была 5 к 3; то есть, что N, будучи радиусом сферической волны света в воздухе, ее распространение в кристалле за тот же промежуток времени образовало бы сферу, радиус которой относился бы к N как 3 к 5. Теперь 156 962 относится к 93 410 как 5 к 3 минус 1/41. Так что это достаточно близко, и может быть точно, сфера BVST, которую свет описывает для регулярного преломления в кристалле, в то время как он описывает сфероид BPSA для нерегулярного преломления, и в то время как он описывает сферу радиуса N в воздухе вне кристалла.

Хотя, таким образом, существуют, согласно тому, что мы предположили, два различных распространения света внутри кристалла, оказывается, что только в направлениях, перпендикулярных оси BS сфероида, одно из этих распространений происходит быстрее другого; но что они имеют равную скорость в другом направлении, а именно в том, которое параллельно той же оси BS, которая является также осью тупого угла кристалла.

34. Пропорция преломления будучи такой, какой мы ее только что видели, я теперь покажу, что отсюда неизбежно следует то примечательное свойство луча, который, падая косо на поверхность кристалла, входит в него, не претерпевая преломления. Ибо предполагая те же вещи, что и прежде, и что луч образует с той же поверхностью gG угол RCG 73 градуса 20 минут, наклоняясь в ту же сторону, что и кристалл (о каковом луче упоминалось выше); если исследовать, путем процесса, объясненного выше, преломление CI, то обнаружится, что оно составляет точно прямую линию с RC, и что, таким образом, этот луч совсем не отклоняется, в соответствии с опытом. Это доказывается следующим образом путем расчета.

CG или CR будучи, как прежде, 98 779; CM будучи 100 000; и угол RCV 73 градуса 20 минут, CV будет 28 330. Но поскольку CI есть преломление луча RC, пропорция CV к CD есть 156 962 к 98 779, а именно, пропорция N к CG; тогда CD есть 17 828.

Теперь прямоугольник gDC относится к квадрату DI как квадрат CG относится к квадрату CM; следовательно, DI или CE будет 98 353. Но как CE относится к EI, так CM будет относиться к MT, которое тогда будет 18 127. И будучи прибавлено к ML, которое есть 11 609 (а именно синус угла LCM, который есть 6 градусов 40 минут, принимая CM 100 000 за радиус), мы получаем LT 27 936; и это относится к LC 99 324 как CV к VR, то есть как 29 938, тангенс дополнения угла RCV, который есть 73 градуса 20 минут, относится к радиусу Таблиц. Откуда видно, что RCIT есть прямая линия; что и требовалось доказать.

35. Далее будет видно, что луч CI при выходе через противоположную поверхность кристалла должен выходить совершенно прямо, согласно следующей демонстрации, которая доказывает, что взаимное отношение преломления имеет место в этом кристалле так же, как и в других прозрачных телах; то есть, что если луч RC при встрече с поверхностью кристалла CG преломляется как CI, луч CI, выходящий через противоположную параллельную поверхность кристалла, которую я предполагаю IB, будет иметь свое преломление IA параллельным лучу RC.

Пусть предполагаются те же вещи, что и прежде; то есть пусть CO, перпендикулярное CR, представляет часть волны, продолжение которой в кристалле есть IK, так что часть C будет продолжена вдоль прямой линии CI, в то время как O придет к K. Теперь, если взять второй период времени, равный первому, часть K волны IK в этот второй период продвинется вдоль прямой линии KB, равной и параллельной CI, потому что каждая часть волны CO, достигая поверхности CK, должна идти в кристалле так же, как часть C; и в это же время в воздухе из точки I образуется частичная сферическая волна, имеющая полудиаметр IA, равный KO, поскольку KO было пройдено за равное время. Аналогично, если рассмотреть какую-то другую точку волны IK, такую как h, она пойдет вдоль hm, параллельно CI, чтобы встретить поверхность IB, в то время как точка K проходит Kl, равное hm; и пока это совершает остаток lB, из точки m начнется частичная волна, полудиаметр которой, mn, будет иметь то же отношение к lB, что IA к KB. Откуда очевидно, что эта волна полудиаметра mn и другая полудиаметра IA будут иметь ту же касательную BA. И аналогично для всех частичных сферических волн, которые образуются вне кристалла от удара всех точек волны IK о поверхность Эфира IB. Это тогда точно касательная BA, которая будет продолжением волны IK вне кристалла, когда часть K достигнет B. И в результате IA, которое перпендикулярно BA, будет преломлением луча CI при выходе из кристалла. Теперь ясно, что IA параллельно падающему лучу RC, поскольку IB равно CK, а IA равно KO, и углы A и O являются прямыми углами.

Видно тогда, что, согласно нашей гипотезе, взаимное отношение преломления справедливо в этом кристалле так же, как и в обычных прозрачных телах; как это фактически и обнаруживается наблюдением.

36. Я перехожу теперь к рассмотрению других сечений кристалла и преломлений, там производимых, от которых, как будет видно, зависят некоторые другие весьма замечательные явления.

Пусть ABH будет параллелепипедом кристалла, и пусть верхняя поверхность AEHF будет идеальным ромбом, тупые углы которого одинаково делятся прямой линией EF, а острые углы — прямой линией AH, перпендикулярной FE.

Сечение, которое мы до сих пор рассматривали, — это то, которое проходит через линии EF, EB и которое в то же время пересекает плоскость AEHF под прямыми углами. Преломления в этом сечении имеют то общее с преломлениями в обычных средах, что плоскость, которая проведена через падающий луч и которая также пересекает поверхность кристалла под прямыми углами, есть та, в которой находится и преломленный луч. Но преломления, которые относятся к каждому другому сечению этого кристалла, имеют то странное свойство, что преломленный луч всегда покидает плоскость падающего луча, перпендикулярную поверхности, и поворачивает в сторону наклона кристалла. Для какового факта мы покажем причину, во-первых, для сечения через AH; и мы покажем в то же время, как можно определить преломление согласно нашей гипотезе. Пусть будет тогда в плоскости, которая проходит через AH и которая перпендикулярна плоскости AFHE, падающий луч RC; требуется найти его преломление в кристалле.

37. Вокруг центра C, который я предполагаю находящимся на пересечении AH и FE, пусть будет воображен полусфероид QGqgM, такой, какой свет образовал бы при распространении в кристалле, и пусть его сечение плоскостью AEHF образует эллипс QGqg, большой диаметр которого Qq, находящийся на линии AH, обязательно будет одним из больших диаметров сфероида; потому что ось сфероида находится в плоскости через FEB, к которой QC перпендикулярно, отсюда следует, что QC также перпендикулярно оси сфероида, и, следовательно, QCq — один из его больших диаметров. Но малый диаметр этого эллипса, Gg, будет иметь к Qq пропорцию, которая была определена ранее, Статья 27, между CG и большим полудиаметром сфероида, CP, а именно 98 779 к 105 032.

Пусть линия N будет длиной пути света в воздухе за время, в течение которого внутри кристалла он образует из центра C сфероид QCqgM. Затем, проведя CO перпендикулярно лучу CR и расположив его в плоскости через CR и AH, пусть будет подогнана через угол ACO прямая линия OK, равная N и перпендикулярная CO, и пусть она встретит прямую линию AH в K. Предполагая, следовательно, что CL перпендикулярно поверхности кристалла AEHF и что CM есть преломление луча, который падает перпендикулярно на эту же поверхность, пусть будет проведена плоскость через линию CM и через KCH, образуя в сфероиде полуэллипс QM q, который будет дан, поскольку угол MCL дан со значением 6 градусов 40 минут. И несомненно, согласно тому, что было объяснено выше, Статья 27, что плоскость, которая касалась бы сфероида в точке M, где я предполагаю, что прямая линия CM встречает поверхность, была бы параллельна плоскости QGq. Если тогда через точку K теперь провести KS параллельно Gg, которая будет параллельна также QX, касательной к эллипсу QGq в Q; и если вообразить плоскость, проходящую через KS и касающуюся сфероида, точка касания обязательно будет находиться в эллипсе QM q, потому что эта плоскость через KS, так же как и плоскость, которая касается сфероида в точке M, параллельны QX, касательной сфероида: ибо это следствие будет продемонстрировано в конце этого Трактата. Пусть эта точка касания будет в I, тогда, делая KC, QC, DC пропорциональными, проведите DI параллельно CM; также соедините CI. Я говорю, что CI будет искомым преломлением луча RC. Это будет очевидно, если, рассматривая CO, которое перпендикулярно лучу RC, как часть световой волны, мы сможем продемонстрировать, что продолжение ее части C будет найдено в кристалле в I, когда O прибудет к K.

38. Теперь, как в Главе об Отражении, демонстрируя, что падающий и отраженный лучи всегда находятся в одной и той же плоскости, перпендикулярной отражающей поверхности, мы рассматривали ширину световой волны, так, аналогично, мы должны здесь рассмотреть ширину волны CO в диаметре Gg. Взяв тогда ширину Cc со стороны к углу E, пусть параллелограмм COoc будет взят как часть волны, и завершим параллелограммы CKkc, CIic, Klik, OKko. В то время тогда, когда линия Oo прибывает на поверхность кристалла в Kk, все точки волны COoc прибудут к прямоугольнику Kc вдоль линий, параллельных OK; и из точек их падения возникнут, сверх того, в кристалле частичные полусфероиды, подобные полусфероиду QM q и аналогично расположенные. Эти полусфероиды обязательно все коснутся плоскости параллелограмма KIik в тот же момент, когда Oo достигло Kk. Что легко понять, поскольку из этих полусфероидов все те, которые имеют свои центры вдоль линии CK, касаются этой плоскости в линии KI (ибо это должно быть показано тем же способом, как мы продемонстрировали преломление косого луча в главном сечении через EF) и все те, которые имеют свои центры в линии Cc, коснутся той же плоскости KI в линии Ii; все они подобны полусфероиду QM q. Поскольку тогда параллелограмм Ki есть тот, который касается всех этих сфероидов, этот же параллелограмм будет точно продолжением волны COoc в кристалле, когда Oo достигло Kk, потому что он образует окончание движения и из-за количества движения, которое происходит там больше, чем где-либо еще: и таким образом оказывается, что часть C волны COoc имеет свое продолжение в I; то есть, что луч RC преломляется как CI.

Из этого следует отметить, что пропорция преломления для этого сечения кристалла есть пропорция линии N к полудиаметру CQ; с помощью которой можно будет легко найти преломления всех падающих лучей, тем же способом, как мы показали ранее для случая сечения через FE; и демонстрация будет той же самой. Но оказывается, что указанная пропорция преломления здесь меньше, чем в сечении через FEB; ибо там она была такой же, как отношение N к CG, то есть как 156 962 к 98 779, весьма близко как 8 к 5; а здесь это отношение N к CQ, большому полудиаметру сфероида, то есть как 156 962 к 105 032, весьма близко как 3 к 2, но лишь немного меньше. Что все еще согласуется совершенно с тем, что находят наблюдением.

39. В остальном, это разнообразие пропорции преломления производит весьма своеобразный эффект в этом кристалле; который заключается в том, что когда он помещен на лист бумаги, на котором есть буквы или что-либо еще отмеченное, если смотреть на него сверху двумя глазами, расположенными в плоскости сечения через EF, видишь буквы, поднятые этим нерегулярным преломлением больше, чем когда помещаешь глаза в плоскости сечения через AH: и разница этих возвышений проявляется при сравнении с другим обычным преломлением кристалла, пропорция которого составляет 5 к 3 и которое всегда поднимает буквы одинаково и выше, чем делает нерегулярное преломление. Ибо видишь буквы и бумагу, на которой они написаны, как на двух разных сценах в одно и то же время; и в первом положении глаз, а именно, когда они находятся в плоскости через AH, эти две сцены в четыре раза более удалены друг от друга, чем когда глаза находятся в плоскости через EF.

Мы покажем, что этот эффект следует из преломлений; и это позволит нам в то же время установить кажущееся место точки объекта, помещенного непосредственно под кристаллом, согласно различному положению глаз.

40. Посмотрим сначала, насколько нерегулярное преломление плоскости через AH должно приподнять дно кристалла. Пусть плоскость этой фигуры представляет отдельно сечение через Qq и CL, в каковом сечении находится также луч RC, и пусть полуэллиптическая плоскость через Qq и CM будет наклонена к первой, как прежде, на угол 6 градусов 40 минут; и в этой плоскости CI есть тогда преломление луча RC.

Если теперь рассмотреть точку I как находящуюся на дне кристалла и видимую посредством лучей ICR, Icr, преломляющихся одинаково в точках C, c, которые должны быть равноудалены от D, и если эти лучи встречаются в двух глазах в R, r, то несомненно, что точка I будет казаться поднятой в S, где пересекаются прямые RC, rc; эта точка S находится на перпендикуляре DP к Qq. И если на DP опустить перпендикуляр IP, который будет лежать на дне кристалла, то длина SP будет представлять собой кажущееся поднятие точки I над дном.

Опишем на Qq полуокружность, пересекающую луч CR в точке B, из которой опустим перпендикуляр BV на Qq; пусть отношение преломления для этого сечения будет, как и прежде, отношением линии N к полудиаметру CQ.

Тогда, как N относится к CQ, так VC относится к CD, что следует из метода нахождения преломления, который мы показали выше, в статье 31; но как VC относится к CD, так VB относится к DS. Следовательно, как N относится к CQ, так VB относится к DS. Пусть ML будет перпендикулярно CL. И поскольку я предполагаю, что глаза R, r находятся на расстоянии около фута или около того от кристалла, и, следовательно, угол RSr очень мал, VB можно считать равным полудиаметру CQ, а DP — равным CL; тогда как N относится к CQ, так CQ относится к DS. Но N оценивается в 156 962 части, из которых CM содержит 100 000, а CQ — 105 032. Тогда DS будет содержать 70 283. Но CL равно 99 324, будучи синусом дополнения угла MCL, который составляет 6 градусов 40 минут, при условии, что CM является радиусом. Тогда DP, рассматриваемое как равное CL, будет относиться к DS как 99 324 к 70 283. Таким образом, поднятие точки I при преломлении в этом сечении становится известным.

41. Теперь представим другое сечение через EF на фигуре, предшествующей предыдущей; и пусть CMg будет полуэллипсом, рассматриваемым в статьях 27 и 28, который образован сечением сфероидальной волны с центром C. Пусть точка I, взятая в этом эллипсе, снова воображается на дне кристалла; и пусть она наблюдается посредством преломленных лучей ICR, Icr, которые идут к двум глазам; при этом CR и cr одинаково наклонены к поверхности кристалла Gg. При таком положении, если провести ID параллельно CM, что, как я полагаю, является преломлением перпендикулярного луча, падающего в точку C, то расстояния DC, Dc будут равны, что легко увидеть из того, что было доказано в статье 28. Теперь несомненно, что точка I должна казаться находящейся в S, где пересекаются продолженные прямые RC, rc; и что эта точка попадет на линию DP, перпендикулярную Gg. Если провести IP перпендикулярно к этому DP, то именно расстояние PS будет отмечать кажущееся поднятие точки I. Опишем на Gg полуокружность, пересекающую CR в точке B, из которой опустим перпендикуляр BV на Gg; и пусть N к GC будет отношением преломления в этом сечении, как в статье 28. Поскольку CI есть преломление радиуса BC, а DI параллельно CM, то VC должно относиться к CD как N к GC, согласно тому, что было доказано в статье 31. Но как VC относится к CD, так BV относится к DS. Пусть ML будет проведено перпендикулярно CL. И поскольку я снова считаю, что глаза находятся на расстоянии над кристаллом, BV принимается равным полудиаметру CG; и, следовательно, DS будет третьим пропорциональным к линиям N и CG: также DP будет приниматься равным CL. Теперь, когда CG состоит из 98 778 частей, из которых CM содержит 100 000, N принимается за 156 962. Тогда DS будет равно 62 163. Но CL также определено и содержит 99 324 части, как было сказано в статьях 34 и 40. Тогда отношение PD к DS будет как 99 324 к 62 163. И таким образом становится известно поднятие точки I на дне при преломлении в этом сечении; и видно, что это поднятие больше, чем при преломлении в предыдущем сечении, поскольку отношение PD к DS там было как 99 324 к 70 283.

Но при обычном преломлении кристалла, для которого мы выше указали отношение 5 к 3, поднятие точки I, или P, со дна будет составлять 2/5 высоты DP; как видно из этой фигуры, где точка P наблюдается посредством лучей PCR, Pcr, преломленных одинаково на поверхности Cc, эта точка должна казаться находящейся в S, на перпендикуляре PD, где пересекаются продолженные линии RC, rc: и известно, что линия PC относится к CS как 5 к 3, поскольку они относятся друг к другу как синус угла CSP или DSC к синусу угла SPC. И поскольку отношение PD к DS считается таким же, как отношение PC к CS, при условии, что оба глаза Rr находятся очень далеко над кристаллом, поднятие PS будет, таким образом, составлять 2/5 от PD.

42. Если взять прямую AB для толщины кристалла, точка B которой находится на дне, и разделить ее в точках C, D, E согласно найденным пропорциям поднятий, сделав AE равным 3/5 от AB, AB к AC как 99 324 к 70 283, а AB к AD как 99 324 к 62 163, то эти точки разделят AB, как показано на этом рисунке. И будет обнаружено, что это полностью согласуется с экспериментом; то есть, если поместить глаза сверху в плоскости, которая разрезает кристалл по более короткому диаметру ромба, обычное преломление поднимет буквы до E; и можно будет увидеть дно и буквы, над которыми оно расположено, поднятыми до D посредством необычного преломления. Но если поместить глаза сверху в плоскости, которая разрезает кристалл по более длинному диаметру ромба, обычное преломление поднимет буквы до E, как и прежде; но необычное преломление заставит их в то же время казаться поднятыми только до C; и таким образом, что интервал CE будет в четыре раза больше интервала ED, который наблюдался ранее.

43. Мне остается лишь заметить здесь, что в обоих положениях глаз изображения, вызванные необычным преломлением, не кажутся расположенными прямо под теми, которые происходят от обычного преломления, но они отделены от них, будучи более удаленными от равностороннего телесного угла кристалла. Это, действительно, следует из всего, что было до сих пор доказано относительно необычного преломления; и это особенно показано этими последними доказательствами, из которых видно, что точка I кажется при необычном преломлении находящейся в S на перпендикулярной линии DP, на которой также должно казаться изображение точки P при обычном преломлении, но не изображение точки I, которое будет почти прямо над той же точкой и выше, чем S.

Что же касается кажущегося поднятия точки I в других положениях глаз над кристаллом, помимо двух положений, которые мы только что рассмотрели, то изображение этой точки при необычном преломлении всегда будет казаться находящимся между двумя высотами D и C, переходя от одной к другой по мере того, как наблюдатель перемещается вокруг неподвижного кристалла, глядя сверху. И все это по-прежнему находится в соответствии с нашей гипотезой, в чем каждый может убедиться сам после того, как я покажу здесь способ нахождения необычных преломлений, которые проявляются во всех других сечениях кристалла, помимо двух, которые мы рассмотрели. Предположим, что одна из граней кристалла содержит эллипс HDE, центр C которого является также центром сфероида HME, в котором распространяется свет и сечением которого является упомянутый эллипс. И пусть падающий луч будет RC, преломление которого требуется найти.

Возьмем плоскость, проходящую через луч RC и перпендикулярную плоскости эллипса HDE, пересекающую ее по прямой BCK; и, проведя в той же плоскости через RC линию CO, перпендикулярную CR, настроим OK поперек угла OCK так, чтобы она была перпендикулярна OC и равна линии N, которую я принимаю за путь света в воздухе за время, пока он распространяется в кристалле через сфероид HDEM. Затем в плоскости эллипса HDE проведем через точку K линию KT, перпендикулярную BCK. Теперь, если представить плоскость, проведенную через прямую KT и касающуюся сфероида HME в точке I, то прямая CI будет преломлением луча RC, что легко вывести из того, что было доказано в статье 36.

Но необходимо показать, как можно определить точку касания I. Проведем параллельно линии KT линию HF, которая касается эллипса HDE, и пусть эта точка касания будет H. Проведя прямую вдоль CH до пересечения с KT в точке T, представим плоскость, проходящую через ту же CH и через CM (которую я принимаю за преломление перпендикулярного луча), которая образует в сфероиде эллиптическое сечение HME. Несомненно, что плоскость, которая пройдет через прямую KT и коснется сфероида, коснется его в точке, лежащей на эллипсе HME, согласно лемме, которая будет доказана в конце главы. Теперь эта точка обязательно является искомой точкой I, поскольку плоскость, проведенная через TK, может касаться сфероида только в одной точке. И эту точку I легко определить, так как нужно лишь провести из точки T, которая находится в плоскости этого эллипса, касательную TI способом, показанным ранее. Ибо эллипс HME задан, и его сопряженные полудиаметры — CH и CM; поскольку прямая, проведенная через M параллельно HE, касается эллипса HME, что следует из того факта, что плоскость, взятая через M и параллельная плоскости HDE, касается сфероида в этой точке M, как видно из статей 27 и 23. В остальном положение этого эллипса относительно плоскости, проходящей через луч RC и через CK, также задано; исходя из чего будет легко найти положение CI, преломления, соответствующего лучу RC.

Теперь следует отметить, что тот же эллипс HME служит для нахождения преломлений любого другого луча, который может находиться в плоскости, проходящей через RC и CK. Поскольку каждая плоскость, параллельная прямой HF или TK, которая коснется сфероида, коснется его в этом эллипсе, согласно лемме, процитированной чуть ранее.

Я исследовал таким образом, в мельчайших деталях, свойства необычного преломления этого кристалла, чтобы увидеть, согласуется ли каждое явление, выведенное из нашей гипотезы, с тем, что наблюдается на самом деле. И поскольку это так, это служит немалым доказательством истинности наших предположений и принципов. Но то, что я собираюсь добавить здесь, подтверждает их еще более удивительным образом. А именно: существуют различные сечения этого кристалла, поверхности которых, полученные таким образом, дают начало преломлениям, в точности такими, какими они должны быть и какими я их предвидел согласно предшествующей теории.

Чтобы объяснить, что это за сечения, пусть ABKF будет главным сечением через ось кристалла ACK, в котором также будет находиться ось SS сфероидальной волны света, распространяющейся в кристалле из центра C; и прямая, которая разрезает SS посередине и под прямым углом, а именно PP, будет одним из больших диаметров.

Теперь, как и в естественном сечении кристалла, сделанном плоскостью, параллельной двум противоположным граням, которая здесь представлена линией GG, преломление поверхностей, которые ею образуются, будет управляться полусфероидами GNG, согласно тому, что было объяснено в предшествующей теории. Аналогично, при разрезании кристалла через NN плоскостью, перпендикулярной параллелограмму ABKF, преломление поверхностей будет управляться полусфероидами NGN. И если разрезать его через PP перпендикулярно к упомянутому параллелограмму, преломление поверхностей должно управляться полусфероидами PSP, и так далее для других. Но я увидел, что если плоскость NN была почти перпендикулярна плоскости GG, образуя угол NCG, который находится со стороны A, равный 90 градусам 40 минутам, то полусфероиды NGN становились подобными полусфероидам GNG, поскольку плоскости NN и GG были одинаково наклонены под углом 45 градусов 20 минут к оси SS. Следовательно, если наша теория верна, поверхности, которые образует сечение через NN, должны производить те же преломления, что и поверхности сечения через GG. И не только поверхности сечения NN, но и все другие сечения, образованные плоскостями, которые могут быть наклонены к оси под углом, равным 45 градусам 20 минутам. Таким образом, существует бесконечное множество плоскостей, которые должны производить в точности те же преломления, что и естественные поверхности кристалла, или сечение, параллельное любой из тех поверхностей, которые образуются при раскалывании.

Я также увидел, что при разрезании его плоскостью, взятой через PP и перпендикулярной оси SS, преломление поверхностей должно быть таким, чтобы перпендикулярный луч не испытывал при этом никакого отклонения; и что для наклонных лучей всегда будет существовать необычное преломление, отличное от обычного, при котором объекты, расположенные под кристаллом, будут менее подняты, чем при том другом преломлении.

Что, аналогично, при разрезании кристалла любой плоскостью через ось SS, такой как плоскость на рисунке, перпендикулярный луч не должен испытывать никакого преломления; и что для наклонных лучей существуют различные меры необычного преломления в зависимости от расположения плоскости, в которой находился падающий луч.

Теперь эти вещи были найдены на самом деле именно так; и после этого я не мог сомневаться, что подобный успех может быть встречен повсюду. Откуда я заключил, что из этого кристалла можно формировать тела, подобные тем, которые являются его естественными формами, которые производили бы на всех своих поверхностях те же обычные и необычные преломления, что и естественные поверхности, и которые, тем не менее, раскалывались бы совсем другими способами, а не в направлениях, параллельных какой-либо из их граней. Что из него можно было бы изготовить пирамиды, имеющие основание квадратное, пятиугольное, шестиугольное или с таким количеством сторон, какое пожелаешь, все поверхности которых имели бы те же преломления, что и естественные поверхности кристалла, за исключением основания, которое не будет преломлять перпендикулярный луч. Эти поверхности будут каждая составлять угол 45 градусов 20 минут с осью кристалла, а основание будет сечением, перпендикулярным оси.

Что, наконец, можно было бы также изготовить из него треугольные призмы или призмы с таким количеством сторон, какое пожелаешь, у которых ни стороны, ни основания не преломляли бы перпендикулярный луч, хотя они все же вызывали бы двойное преломление для наклонных лучей. Куб включен в число этих призм, основания которых являются сечениями, перпендикулярными оси кристалла, а стороны — сечениями, параллельными той же оси.

Из всего этого далее следует, что причина его необычного преломления вовсе не кроется в расположении слоев, из которых, по-видимому, состоит этот кристалл и согласно которым он расщепляется в трех различных направлениях; и что было бы напрасно пытаться искать ее там.

Но чтобы каждый, у кого есть немного этого камня, мог на собственном опыте убедиться в истинности того, что я только что выдвинул, я изложу здесь процесс, который я использовал для его резки и полировки. Резка легка с помощью дисковых пил камнерезов или способом, которым распиливают мрамор: но полировка очень трудна, и при использовании обычных средств скорее деполируют поверхности, чем делают их блестящими.

После многих испытаний я наконец обнаружил, что для этой цели нельзя использовать металлическую пластину, а только кусок зеркального стекла, сделанный матовым и деполированным. На нем, с мелким песком и водой, кристалл мало-помалу сглаживают, так же как очковые линзы, и полируют, просто продолжая работу, но постоянно уменьшая материал. Однако мне не удалось придать ему идеальную прозрачность; но ровность, которую приобретают поверхности, позволяет наблюдать на них эффекты преломления лучше, чем на тех, которые сделаны путем раскалывания камня, которые всегда имеют некоторую неровность.

Даже когда поверхность лишь умеренно сглажена, если протереть ее небольшим количеством масла или яичного белка, она становится вполне прозрачной, так что преломление в ней различается совершенно отчетливо. И это вспомогательное средство особенно необходимо, когда желательно отполировать естественные поверхности, чтобы удалить неровности; потому что их невозможно сделать блестящими в равной степени с поверхностями других сечений, которые тем лучше поддаются полировке, чем меньше они приближаются к этим естественным плоскостям.

Прежде чем закончить трактат об этом кристалле, я добавлю еще одно удивительное явление, которое я обнаружил после того, как написал все вышеизложенное. Ибо, хотя мне до сих пор не удалось найти его причину, я по этой причине не хочу отказываться от его описания, чтобы дать возможность другим исследовать его. Кажется, что потребуется сделать еще дополнительные предположения, помимо тех, которые я сделал; но они от этого не перестанут сохранять свою вероятность после того, как были подтверждены столькими испытаниями.

Явление заключается в том, что если взять два куска этого кристалла и приложить их один к другому, или, скорее, удерживать их с пространством между ними, если все стороны одного параллельны сторонам другого, то луч света, такой как AB, разделяется в первом куске на два, а именно на BD и BC, следуя двум преломлениям, обычному и необычному. Проникая оттуда во второй кусок, каждый луч проходит там, не разделяясь далее на два; но тот, который претерпел обычное преломление, как здесь DG, претерпит снова только обычное преломление в GH; а другой, CE, — необычное преломление в EF. И то же самое происходит не только в этом расположении, но и во всех тех случаях, когда главное сечение каждого из кусков расположено в одной и той же плоскости, без необходимости, чтобы две соседние поверхности были параллельны. Теперь удивительно, почему лучи CE и DG, падающие из воздуха на нижний кристалл, не разделяются так же, как первый луч AB. Можно было бы сказать, что луч DG при прохождении через верхний кусок потерял что-то, что необходимо для приведения в движение материи, которая служит для необычного преломления; и что точно так же CE потерял то, что было необходимо для приведения в движение материи, которая служит для обычного преломления: но есть еще одна вещь, которая опрокидывает это рассуждение. А именно то, что когда располагают два кристалла таким образом, что плоскости, составляющие главные сечения, пересекаются под прямым углом, независимо от того, параллельны соседние поверхности или нет, тогда луч, который пришел посредством обычного преломления, как DG, претерпевает только необычное преломление в нижнем куске; и, наоборот, луч, который пришел посредством необычного преломления, как CE, претерпевает только обычное преломление.

Но во всех бесконечных других положениях, помимо тех, которые я только что указал, лучи DG, CE снова разделяются каждый на два посредством преломления в нижнем кристалле, так что из одного луча AB получается четыре, иногда равной яркости, иногда некоторые гораздо менее яркие, чем другие, в зависимости от изменяющегося соответствия в положениях кристаллов: но они не кажутся имеющими в сумме больше света, чем один луч AB.

Когда рассматриваешь здесь, как при неизменности лучей CE, DG зависит от положения, которое придают нижнему куску, разделит ли он их оба на два или не разделит, и при этом как луч AB сверху всегда разделяется, кажется, что приходится заключить, что световые волны после прохождения через первый кристалл приобретают определенную форму или расположение, в силу которых при встрече с текстурой второго кристалла в определенных положениях они могут приводить в движение два различных вида материи, которые служат для двух видов преломления; а при встрече со вторым кристаллом в другом положении способны приводить в движение только один из этих видов материи. Но сказать, как это происходит, я до сих пор не нашел ничего, что меня бы удовлетворило.

Оставляя, таким образом, другим это исследование, я перехожу к тому, что должен сказать относительно причины необычной фигуры этого кристалла и того, почему он легко раскалывается в трех различных направлениях, параллельно любой из своих поверхностей.

Существует много тел, растительных, минеральных и замерзших солей, которые образуются с определенными правильными углами и фигурами. Так, среди цветов есть много таких, у которых лепестки расположены в упорядоченные многоугольники, числом сторон 3, 4, 5 или 6, но не более. Это заслуживает того, чтобы быть исследованным как относительно многоугольной фигуры, так и относительно того, почему она не превышает числа 6.

Горный хрусталь растет обычно в виде шестигранных стержней, и встречаются алмазы, которые имеют квадратное острие и отполированные поверхности. Существует вид мелких плоских камней, сложенных прямо друг на друга, которые все имеют пятиугольную фигуру с закругленными углами и стороны, немного загнутые внутрь. Зерна серой соли, которые образуются из морской воды, имеют фигуру, или, по крайней мере, угол куба; и в замерзаниях других солей, и в замерзании сахара встречаются другие телесные углы с идеально плоскими гранями. Маленькие снежинки почти всегда падают в виде маленьких звездочек с 6 лучами, а иногда в виде шестиугольников с прямыми сторонами. И я часто наблюдал в воде, которая начинает замерзать, своего рода плоскую и тонкую листву льда, средний луч которой выбрасывает ветви, наклоненные под углом 60 градусов. Все эти вещи достойны того, чтобы быть тщательно исследованными, чтобы установить, как и с помощью какой хитрости природа там действует. Но сейчас не входит в мои намерения подробно рассматривать этот вопрос. Кажется, что в целом правильность, которая встречается в этих образованиях, происходит от расположения малых невидимых равных частиц, из которых они состоят. И, переходя к нашему исландскому шпату, я говорю, что если бы существовала пирамида, такая как ABCD, состоящая из малых округлых корпускул, не сферических, а сплюснутых сфероидов, таких, какие получились бы при вращении эллипса GH вокруг его меньшего диаметра EF (отношение которого к большему диаметру очень близко к 1 к квадратному корню из 8) — я говорю, что тогда телесный угол точки D был бы равен тупому и равностороннему углу этого кристалла. Я говорю далее, что если бы эти корпускулы были слегка склеены, при разрушении этой пирамиды она ломалась бы по граням, параллельным тем, которые образуют ее острие: и таким образом, как легко увидеть, она производила бы призмы, подобные призмам того же кристалла, как представляет эта другая фигура. Причина в том, что при поломке таким образом целый слой легко отделяется от соседнего слоя, поскольку каждый сфероид должен быть отделен только от трех сфероидов следующего слоя; из которых трех есть только один, который касается его своей сплюснутой поверхностью, а два других — по краям. И причина, по которой поверхности отделяются четкими и отполированными, заключается в том, что если бы какой-либо сфероид соседней поверхности вышел, прикрепившись к поверхности, которая отделяется, ему нужно было бы отделиться от шести других сфероидов, которые удерживают его запертым, и четыре из которых давят на него этими сплюснутыми поверхностями. Поскольку, таким образом, не только углы нашего кристалла, но и способ, которым он расщепляется, точно согласуются с тем, что наблюдается в совокупности, состоящей из таких сфероидов, есть веские основания полагать, что частицы имеют такую же форму и расположены таким же образом.

Существует даже достаточная вероятность того, что призмы этого кристалла образуются при разрушении пирамид, поскольку г-н Бартолин сообщает, что он иногда находил куски треугольно-пирамидальной фигуры. Но когда масса состоит внутри только из этих маленьких сфероидов, таким образом сложенных, какую бы форму она ни имела снаружи, несомненно, согласно тому же рассуждению, которое я только что объяснил, что при поломке она произвела бы подобные призмы. Остается посмотреть, есть ли другие причины, которые подтверждают нашу догадку, и нет ли таких, которые ей противоречат.

Может быть возражено, что этот кристалл, будучи так составлен, мог бы быть способен к расщеплению еще двумя способами; один из которых был бы вдоль плоскостей, параллельных основанию пирамиды, то есть треугольнику ABC; другой был бы параллелен плоскости, след которой отмечен линиями GH, HK, KL. На что я говорю, что и то, и другое, хотя и осуществимо, более трудно, чем те, которые были параллельны любой из трех плоскостей пирамиды; и что поэтому, при ударе по кристаллу с целью его разбить, он должен всегда расщепляться скорее вдоль этих трех плоскостей, чем вдоль двух других. Когда имеешь некоторое количество сфероидов описанной выше формы и располагаешь их в пирамиду, видишь, почему два способа деления более трудны. Ибо в случае того деления, которое было бы параллельно основанию, каждый сфероид был бы обязан отделиться от трех других, которых он касается своими сплюснутыми поверхностями, которые держатся сильнее, чем контакты по краям. И кроме того, это деление не произойдет вдоль целых слоев, потому что каждый из сфероидов слоя едва ли удерживается шестью сфероидами того же слоя, которые его окружают, поскольку они касаются его только по краям; так что он легко прилипает к соседнему слою, а другие к нему, по той же причине; и это вызывает неровные поверхности. Также видно из эксперимента, что при стачивании кристалла на довольно грубом камне, прямо по равностороннему телесному углу, действительно находишь большую легкость в уменьшении его в этом направлении, но большую трудность впоследствии в полировке поверхности, которая была сплюснута таким образом.

Что касается другого способа деления вдоль плоскости GHKL, будет видно, что каждый сфероид должен был бы отделиться от четырех сфероидов соседнего слоя, два из которых касаются его своими сплюснутыми поверхностями, а два — по краям. Так что это деление также более трудно, чем то, которое производится параллельно одной из поверхностей кристалла; где, как мы сказали, каждый сфероид отделяется только от трех сфероидов соседнего слоя: из которых трех есть только один, который касается его своей сплюснутой поверхностью, а два других — только по краям.

Однако то, что дало мне понять, что в кристалле существуют слои этого последнего вида, заключается в том, что в куске весом в полфунта, который я имею, видно, что он расщеплен по своей длине, как вышеупомянутая призма по плоскости GHKL; как видно по цветам радуги, распространяющимся по всей этой плоскости, хотя два куска все еще держатся вместе. Все это доказывает, таким образом, что состав кристалла таков, как мы заявили. К чему я снова добавляю этот эксперимент: если провести ножом, соскабливая вдоль любой из естественных поверхностей, и вниз, как бы от равностороннего тупого угла, то есть от вершины пирамиды, находишь его довольно твердым; но при соскабливании в противоположном направлении разрез делается легко. Это явно следует из расположения малых сфероидов; по которым в первом случае нож скользит; но в другом случае он захватывает их снизу, почти как если бы они были чешуей рыбы.

Я не возьмусь сказать что-либо относительно того, как порождаются столь многие корпускулы, все равные и подобные, ни как они устанавливаются в столь прекрасном порядке; образуются ли они сначала, а затем собираются, или же они располагаются таким образом, возникая и по мере того, как они производятся, что кажется мне более вероятным. Чтобы развить столь сокровенные истины, потребовалось бы знание природы гораздо большее, чем то, которое мы имеем. Я добавлю лишь, что эти маленькие сфероиды вполне могли бы способствовать формированию сфероидов световых волн, здесь выше предполагаемых, причем как эти, так и те расположены подобным образом и с параллельными осями.

Расчеты, которые предполагались в этой главе.

Г-н Бартолин в своем трактате об этом кристалле указывает 101 градус для тупых углов граней, которые я определил как 101 градус 52 минуты. Он заявляет, что измерял эти углы непосредственно на кристалле, что трудно сделать с предельной точностью, потому что края, такие как CA, CB на этой фигуре, обычно изношены и не совсем прямые. Поэтому для большей уверенности я предпочел измерить фактически тупой угол, под которым грани CBDA, CBVF наклонены друг к другу, а именно угол OCN, образованный проведением CN перпендикулярно FV и CO перпендикулярно DA. Этот угол OCN я нашел равным 105 градусам; а его дополнение CNP — 75 градусам, как и должно быть.

Чтобы найти из этого тупой угол BCA, я вообразил сферу, имеющую центр в C, и на ее поверхности сферический треугольник, образованный пересечением трех плоскостей, которые заключают телесный угол C. В этом равностороннем треугольнике, который есть ABF на этой другой фигуре, я вижу, что каждый из углов должен быть 105 градусов, а именно равен углу OCN; и что каждая из сторон должна быть стольких градусов, сколько угол ACB, или ACF, или BCF. Проведя затем дугу FQ, перпендикулярную стороне AB, которую она делит пополам в точке Q, треугольник FQA имеет прямой угол в Q, угол A 105 градусов, а F вдвое меньше, а именно 52 градуса 30 минут; откуда гипотенуза AF найдена равной 101 градусу 52 минутам. И эта дуга AF является мерой угла ACF на фигуре кристалла.

На той же фигуре, если плоскость CGHF разрезает кристалл так, что она делит тупые углы ACB, MHV пополам, в статье 10 указано, что угол CFH равен 70 градусам 57 минутам. Это снова легко показать в том же сферическом треугольнике ABF, в котором видно, что дуга FQ имеет столько же градусов, сколько угол GCF в кристалле, дополнением которого является угол CFH. Теперь дуга FQ найдена равной 109 градусам 3 минутам. Тогда ее дополнение, 70 градусов 57 минут, есть угол CFH.

В статье 26 было указано, что прямая CS, которая на предыдущей фигуре есть CH, будучи осью кристалла, то есть будучи одинаково наклоненной к трем сторонам CA, CB, CF, угол GCH равен 45 градусам 20 минутам. Это также легко вычисляется с помощью того же сферического треугольника. Ибо, проведя другую дугу AD, которая делит BF пополам и пересекает FQ в точке S, эта точка будет центром треугольника. И легко видеть, что дуга SQ является мерой угла GCH на фигуре, которая представляет кристалл. Теперь в треугольнике QAS, который является прямоугольным, известен также угол A, который равен 52 градусам 30 минутам, и сторона AQ 50 градусов 56 минут; откуда сторона SQ найдена равной 45 градусам 20 минутам.

В статье 27 требовалось показать, что PMS, будучи эллипсом, центр которого есть C, и который касается прямой MD в точке M так, что угол MCL, который CM образует с CL, перпендикулярным на DM, равен 6 градусам 40 минутам, а его полуось CS, образующая с CG (которая параллельна MD) угол GCS, равный 45 градусам 20 минутам, требовалось показать, говорю я, что при CM, равном 100 000 частей, PC, большая полуось этого эллипса, равна 105 032 частям, а CS, малая полуось, — 93 410.

Пусть CP и CS будут продолжены и встретят касательную DM в точках D и Z; и из точки касания M пусть MN и MO будут проведены как перпендикуляры к CP и CS. Теперь, поскольку углы SCP, GCL являются прямыми, угол PCL будет равен GCS, который был 45 градусов 20 минут. И вычитая угол LCM, который равен 6 градусам 40 минутам, из LCP, который равен 45 градусам 20 минутам, остается MCP, 38 градусов 40 минут. Рассматривая затем CM как радиус в 100 000 частей, MN, синус 38 градусов 40 минут, будет равен 62 479. И в прямоугольном треугольнике MND MN будет относиться к ND как радиус таблиц к тангенсу 45 градусов 20 минут (потому что угол NMD равен DCL, или GCS); то есть как 100 000 к 101 170: откуда получается ND 63 210. Но NC равно 78 079 тех же частей, при CM равном 100 000, потому что NC есть синус дополнения угла MCP, который был 38 градусов 40 минут. Тогда вся линия DC равна 141 289; и CP, которая является средним пропорциональным между DC и CN, поскольку MD касается эллипса, будет равна 105 032.

Аналогично, поскольку угол OMZ равен CDZ или LCZ, что составляет 44 градуса 40 минут, являясь дополнением GCS, следует, что как радиус таблиц относится к тангенсу 44 градусов 40 минут, так и OM, равный 78 079, будет относиться к OZ, равному 77 176. Но OC составляет 62 479 тех же частей, из которых CM составляет 100 000, поскольку он равен MN, синусу угла MCP, который составляет 38 градусов 40 минут. Тогда вся линия CZ равна 139 655; а CS, которая является средним пропорциональным между CZ и CO, будет равна 93 410.

В том же месте было указано, что GC составляет 98 779 частей. Чтобы доказать это, проведем на том же рисунке PE параллельно DM, пересекающую CM в точке E. В прямоугольном треугольнике CLD сторона CL равна 99 324 (при CM, равном 100 000), поскольку CL — это синус дополнения угла LCM, который составляет 6 градусов 40 минут. А так как угол LCD равен 45 градусам 20 минутам, будучи равным GCS, сторона LD оказывается равной 100 486: откуда, вычитая ML, равный 11 609, получим MD, равный 88 877. Теперь, как CD (который был 141 289) относится к DM, равному 88 877, так и CP, равный 105 032, будет относиться к PE, равному 66 070. Но как прямоугольник MEH (или, вернее, разность квадратов CM и CE) относится к квадрату MC, так и квадрат PE относится к квадрату Cg; тогда также как разность квадратов DC и CP относится к квадрату CD, так и квадрат PE относится к квадрату gC. Но DP, CP и PE известны; следовательно, известен и GC, который равен 98 779.

Лемма, которая была принята.

Если сфероид касается прямой линии, а также двух или более плоскостей, которые параллельны этой линии, хотя и не параллельны друг другу, то все точки касания линии, а также плоскостей, будут лежать в одном и том же эллипсе, образованном плоскостью, проходящей через центр сфероида.

Пусть LED — сфероид, касающийся прямой BM в точке B, а также плоскостей, параллельных этой линии, в точках O и A. Требуется доказать, что точки B, O и A лежат в одном и том же эллипсе, образованном в сфероиде плоскостью, проходящей через его центр.

Через прямую BM и через точки O и A проведем параллельные друг другу плоскости, которые при пересечении сфероида образуют эллипсы LBD, POP, QAQ; они будут подобны и одинаково расположены, и их центры K, N, R будут лежать на одном и том же диаметре сфероида, который также будет диаметром эллипса, образованного сечением плоскости, проходящей через центр сфероида и пересекающей плоскости трех указанных эллипсов под прямым углом: ибо все это очевидно из предложения 15 книги Архимеда «О коноидах и сфероидах». Далее, две последние плоскости, проведенные через точки O и A, также, пересекая плоскости, касающиеся сфероида в этих же точках, образуют прямые линии, такие как OH и AS, которые, как легко видеть, будут параллельны BM; и все три, BM, OH, AS, будут касаться эллипсов LBD, POP, QAQ в этих точках B, O, A; поскольку они лежат в плоскостях этих эллипсов и в то же время в плоскостях, касающихся сфероида. Если теперь из этих точек B, O, A провести прямые линии BK, ON, AR через центры тех же эллипсов, и если через эти центры провести также диаметры LD, PP, QQ, параллельные касательным BM, OH, AS, то они будут сопряженными с вышеупомянутыми BK, ON, AR. А поскольку три эллипса подобны и одинаково расположены, и имеют параллельные диаметры LD, PP, QQ, несомненно, что их сопряженные диаметры BK, ON, AR также будут параллельны. И поскольку центры K, N, R, как было сказано, лежат на одном и том же диаметре сфероида, эти параллели BK, ON, AR неизбежно будут лежать в одной и той же плоскости, проходящей через этот диаметр сфероида, и, следовательно, точки R, O, A лежат в одном и том же эллипсе, образованном пересечением этой плоскости. Что и требовалось доказать. И очевидно, что доказательство было бы таким же, если бы, помимо точек O и A, существовали другие, в которых сфероид касался бы плоскостей, параллельных прямой линии BM.

ГЛАВА VI

О ФИГУРАХ ПРОЗРАЧНЫХ ТЕЛ

Которые служат для преломления и отражения.

После того как я объяснил, как свойства отражения и преломления следуют из того, что мы предположили относительно природы света, непрозрачных тел и прозрачных сред, я изложу здесь очень простой и естественный способ выведения из тех же принципов истинных фигур, которые служат для собирания или рассеивания лучей света путем отражения или преломления, как может быть желательно. Ибо, хотя я еще не вижу, чтобы существовали средства использования этих фигур в том, что касается преломления, не только из-за трудности придания стеклам телескопов требуемой точности в соответствии с этими фигурами, но и потому, что в самом преломлении существует свойство, препятствующее идеальному слиянию лучей, как г-н Ньютон очень хорошо доказал экспериментально, я все же не откажусь от изложения этого изобретения, поскольку оно предлагает себя, так сказать, само собой, и поскольку оно дополнительно подтверждает нашу теорию преломления благодаря согласию, которое здесь обнаруживается между преломленным лучом и отраженным лучом. Кроме того, может случиться, что кто-то в будущем обнаружит в этом полезные свойства, которые в настоящее время не видны.