Spring tide = lunar tide + solar tide;
Neap tide = lunar tide - solar tide.
Нам остается только сложить высоты максимального сизигийного прилива и минимального квадратурного прилива, и половина суммы будет истинной высотой лунного прилива. Половина разности сизигийного и квадратурного приливов, с другой стороны, дает солнечный прилив.
Эффекты очень малой величины могут быть обнаружены с большой степенью уверенности среди гораздо больших колебаний, при условии, что у нас есть ряд наблюдений, достаточно многочисленных и продолжительных, чтобы позволить нам сбалансировать все большие эффекты друг с другом. Для этой цели наблюдения должны продолжаться по крайней мере в течение одного полного цикла, в котором эффекты проходят через все свои вариации и возвращаются точно в те же относительные положения, что и в начале. Если существуют случайные или нерегулярные возмущающие причины, нам, вероятно, потребуется много таких циклов результатов, чтобы сделать их эффект незначительным. Мы получаем желаемый результат, беря среднее всех наблюдений, в которых причина действует положительно, и среднее всех, в которых она действует отрицательно. Половина разности этих средних даст эффект рассматриваемой причины, при условии, что никакой другой эффект не изменяется в тот же период или почти в тот же.
Поскольку Луна вызывает движение океана, очевидно, что ее притяжение должно оказывать некоторое влияние на атмосферу. Законы атмосферных приливов были исследованы Лапласом, но поскольку было бы непрактично рассчитывать их величины теоретически, мы можем определить их только путем наблюдения, как предсказывал Лаплас, что они однажды будут определены. Но колебания барометра, вызванные таким образом, гораздо меньше колебаний, обусловленных несколькими другими причинами. Штормы, ураганы или изменения погоды вызывают движения барометра, иногда в тысячу раз превышающие рассматриваемые приливы. Существуют также регулярные суточные, годовые или другие колебания, все они больше желаемой величины. Чтобы обнаружить и измерить атмосферный прилив, было желательно, чтобы наблюдения проводились в месте, максимально свободном от нерегулярных возмущений. По этой причине несколько длинных серий наблюдений были проведены на острове Святой Елены, где барометр гораздо более регулярен в своих движениях, чем в континентальном климате. Эффект притяжения Луны был затем обнаружен путем взятия среднего всех показаний, когда Луна находилась на меридиане, и аналогичного среднего, когда она находилась на горизонте. Разность этих средних оказалась равной всего 0,00365, однако удалось обнаружить даже изменение этого прилива в зависимости от того, была ли Луна ближе к Земле или дальше от нее, хотя эта разность составляла всего 0,00056 дюйма. Совершенно очевидно, что такие минутные эффекты никогда не могли бы быть обнаружены чисто эмпирическим путем. Не имея никакой информации, кроме имеющегося у нас ряда наблюдений, мы не могли бы иметь ключа к способу их группировки, который дал бы столь малую разность. Применяя этот метод средних в широком масштабе, мы должны, следовательно, обладать априорным знанием о периодах, в которые причина будет действовать в том или ином направлении.
Мы иногда способны устранить колебания и получить средний результат с помощью чисто механических устройств. Суточные изменения температуры, например, становятся незаметными на глубине одного или двух футов под поверхностью земли, так что термометр, помещенный своим резервуаром на этой глубине, дает почти истинную суточную среднюю температуру. На глубине двадцати футов даже годовые колебания почти сглаживаются, и термометр показывает температуру немного выше истинной средней температуры местности. При регистрации подъема и падения уровня прилива с помощью мареографа желательно избегать колебаний, возникающих от поверхностных волн, что очень легко достигается путем помещения поплавка в цистерну, сообщающуюся с морем через небольшое отверстие. Тогда заметен только общий подъем или падение уровня, точно так же, как в морском барометре узкая трубка предотвращает любые случайные колебания и позволяет проявиться только непрерывному изменению давления.
Определение нулевой точки.
Во многих важных наблюдениях главная трудность заключается в точном определении нулевой точки, от которой мы должны вести отсчет. Мы можем с большой точностью навести телескоп на звезду и измерить с точностью до секунды дуги угол, на который телескоп поднят или опущен; но вся эта точность будет бесполезна, если мы не знаем точно центральную точку небес, от которой мы измеряем, или, что то же самое, горизонтальную линию, отстоящую от нее на 90°. Поскольку истинный горизонт имеет отношение к фигуре Земли в месте наблюдения, мы можем определить его только по направлению гравитации, как это отмечено либо отвесом, либо поверхностью жидкости. Вопрос тогда сводится к наиболее точному способу наблюдения направления гравитации, и, поскольку давно было установлено, что отвес безнадежно неточен, астрономы обычно используют поверхность ртути в покое в качестве критерия горизонтальности. Они остроумно наблюдают направление поверхности, делая звезду индексом. Из законов отражения следует, что угол между прямым лучом от звезды и лучом, отраженным от поверхности ртути, будет в точности вдвое больше угла между поверхностью и прямым лучом от звезды. Следовательно, горизонтальная или нулевая точка есть среднее между видимым положением любой звезды или другого очень далекого объекта и его отражением в ртути.
Отвес перпендикулярен, или поверхность жидкости горизонтальна, только в приблизительном смысле; ибо любая неровность поверхности Земли, гора или даже дом должны вызывать некоторое отклонение своей силой притяжения. Обнаружить такое отклонение может показаться очень трудным, потому что любой другой отвес или поверхность жидкости были бы в равной степени затронуты гравитацией. Тем не менее, это можно обнаружить; ибо если мы поместим один отвес к северу от горы, а другой к югу, они будут примерно одинаково отклонены в противоположных направлениях, и если путем наблюдений одной и той же звезды мы сможем измерить угол между отвесами, половина этого наклона будет отклонением каждого из них, после того как будет сделана поправка на наклон, обусловленный разницей широты двух мест наблюдения. С помощью этого метода наблюдения, примененного к горе Шихаллион, отклонение отвеса было точно измерено Маскелайном, и таким образом было установлено сравнение между силами притяжения горы и всего земного шара, что привело к вероятной оценке плотности Земли.
В некоторых случаях на самом деле лучше определять нулевую точку по среднему значению одинаково расходящихся величин, чем путем прямого наблюдения. При точных взвешиваниях на химических весах необходимо точно установить точку, в которой коромысло приходит в состояние покоя, а при сравнении эталонных гирь положение коромысла определяется по тщательно разделенной шкале, рассматриваемой через микроскоп. Но когда коромысло только начинает приходить в состояние покоя, трение, небольшие препятствия или другие случайные причины могут легко затруднить его, поскольку оно находится вблизи точки, в которой сила устойчивости становится бесконечно малой. Поэтому оказывается лучше позволить коромыслу вибрировать и наблюдать крайние точки вибраций. Среднее между двумя крайними точками почти укажет положение покоя. Трение и сопротивление воздуха стремятся уменьшить вибрации, так что это среднее будет ошибочным на половину величины этого эффекта во время полувибрации. Но путем проведения нескольких наблюдений мы можем определить это замедление и учесть его. Так, если a, b, c — показания крайних точек трех отклонений коромысла от нуля шкалы, то 1/2(a + b) будет примерно настолько же ошибочным в одном направлении, насколько 1/2(b + c) в другом, так что среднее этих двух средних, или 1/4(a + 2b + c), будет чрезвычайно близко к точке покоя. Еще более близкое приближение может быть сделано путем взятия четырех показаний и их сведения по формуле 1/6(a + 2b + 2c + d).
Точность экспериментов Бейли, направленных на определение плотности Земли, полностью зависела от этого способа наблюдения колебаний. Шары, гравитация которых измерялась, были так деликатно подвешены на крутильных весах, что никогда не приходили в состояние покоя. Крайние точки колебаний наблюдались как тогда, когда тяжелый свинцовый притягивающий шар был с одной стороны, так и с другой. Разность средних точек, когда свинцовый шар был справа, и тех, когда он был слева, давала удвоенную величину отклонения.
Прекрасный пример избегания использования нулевой точки можно найти в наблюдениях г-на Э. Дж. Стоуна за лучистым теплом неподвижных звезд. Трудность этих наблюдений возникала из-за сравнительно больших количеств тепла, которые поступали в телескоп из атмосферы и которых было достаточно, чтобы почти полностью скрыть слабые тепловые лучи звезды. Но г-н Стоун закрепил в фокусе своего телескопа двойную термоэлектрическую батарею, две части которой были перевернуты по порядку. Теперь любое возмущение температуры, которое действовало равномерно на обе батареи, не производило никакого эффекта на стрелку гальванометра, и когда лучи звезды заставляли падать попеременно то на одну батарею, то на другую, общая величина отклонения представляла удвоенную нагревательную способность звезды. Таким образом, г-н Стоун смог с большой уверенностью обнаружить нагревательный эффект звезды Арктур, который даже при концентрации телескопом составлял всего 0,02° по Фаренгейту и который представляет собой нагревательный эффект прямого луча всего около 0,00000137° по Фаренгейту, что эквивалентно теплу, которое было бы получено от трехдюймового кубического сосуда, полного кипящей воды, на расстоянии 400 ярдов. Вероятно, что устройство батареи г-на Стоуна могло бы с пользой применяться в других деликатных термометрических экспериментах, подверженных значительным возмущающим влияниям.
Определение максимальных точек.
Мы используем метод средних в определенном количестве наблюдений, направленных на определение момента, в который явление достигает своей высшей точки по количеству. При фиксации положения неподвижной звезды в данное время нетрудно установить точку, подлежащую наблюдению, ибо звезда в хорошем телескопе представляет собой чрезвычайно малый диск. При наблюдении туманного тела, которое от яркого центра постепенно угасает во все стороны, невозможно будет с уверенностью выбрать среднюю точку. Во многих таких случаях лучший метод состоит не в том, чтобы произвольно выбирать предполагаемую среднюю точку, а точки равной яркости по обе стороны, а затем брать среднее наблюдений этих двух точек для центра. Как общее правило, переменная величина при достижении своего максимума возрастает со все меньшей скоростью, а после прохождения высшей точки начинает убывать с незаметными степенями. Максимум, действительно, может быть определен как та точка, в которой увеличение или уменьшение равно нулю. Следовательно, это обычно будет самая неопределенная точка, и если мы можем точно измерить явление, мы лучше всего определим место максимума путем определения точек по обе стороны, в которых ординаты равны. Более того, в этом методе есть то преимущество, что можно определить несколько точек с соответствующими им точками на другой стороне и взять среднее всего этого как истинное место максимума. Но этот метод полностью зависит от существования симметрии в кривой, так что из двух равных ординат одна должна быть настолько же далеко с одной стороны от максимума, насколько другая — с другой. Метод терпит неудачу, когда преобладают другие законы изменения.
В приливных наблюдениях большая трудность встречается при фиксации момента полной воды, потому что скорость, с которой вода в это время поднимается или опускается, почти незаметна. Уэвелл предложил поэтому отмечать время, в которое вода проходит фиксированную точку несколько ниже максимума как при подъеме, так и при падении, и брать среднее время как время полной воды. Но этот способ действий, к сожалению, не дает правильного результата, потому что прилив следует разным законам при подъеме и при падении. Опять же, существует трудность в выборе самого высокого сизигийного прилива, другого объекта большой важности в тидологии. Лаплас обнаружил, что прилив второго дня, предшествующего соединению Солнца и Луны, почти равен приливу пятого дня, следующего за ним; и, полагая, что увеличение и уменьшение приливов происходят почти симметричным образом, он решил, что самый высокий прилив произойдет примерно через тридцать шесть часов после соединения, то есть на полпути между вторым днем до и пятым днем после.
Этот метод также используется при определении времени прохождения средней или самой плотной точки потока метеоров. Земля тратит два или три дня на полное прохождение через ноябрьский поток; но астрономам для их расчетов нужно иметь некоторую определенную точку, зафиксированную, если возможно, с точностью до нескольких минут. Когда они находятся близко к середине, они наблюдают количество метеоров, которые попадают в сферу зрения каждые полчаса или четверть часа, а затем, предполагая, что закон изменения симметричен, они выбирают момент для прохождения центра, равноудаленный между временами равной частоты.
Затмения спутников Юпитера представляют интерес не только в отношении движений самих спутников, но и были, и, возможно, до сих пор являются полезными при определении долгот, потому что это события, происходящие в фиксированные моменты абсолютного времени и видимые во всех частях планетной системы одновременно, с учетом интервала, занимаемого светом при движении. Но, как объясняет Гершель, момент события лишен определенности, отчасти потому, что длинный конус тени Юпитера окружен полутенью, а отчасти потому, что сам спутник имеет заметный диск и требует времени для вхождения в тень. Разные наблюдатели, использующие разные телескопы, обычно выбирали бы разные моменты для момента затмения. Но увеличение света при выходе из тени будет происходить по закону, обратному тому, что наблюдается при вхождении в тень, так что если наблюдатель отмечает время обоих событий одним и тем же телескопом, он будет настолько же раньше в одном наблюдении, насколько позже в другом, и средний момент двух наблюдений будет представлять с значительной точностью время, когда спутник находится в середине тени. Ошибка суждения наблюдателя таким образом устраняется, при условии, что он заботится о том, чтобы действовать при выходе из тени так же, как он действовал при вхождении в нее.
ГЛАВА XVII. ЗАКОН ОШИБКИ.
Подчинить саму ошибку закону может показаться выше человеческих сил. Тот, кто ошибается, несомненно, отклоняется от закона, и может показаться безнадежным извлечь истину из ошибки. Одно из самых замечательных достижений человеческого интеллекта — это создание общей теории, которая не только позволяет нам среди расходящихся результатов приблизиться к истине, но и назначить степень вероятности, которая справедливо приписывается этому выводу. Было бы ошибкой, конечно, полагать, что этот закон является обязательно лучшим руководством при всех обстоятельствах. Каждый измерительный прибор и каждая форма эксперимента могут иметь свой собственный особый закон ошибки; в одном приборе может быть тенденция в одном направлении, а в другом — в противоположном. Каждый процесс имеет свои специфические подверженности возмущениям, и мы никогда не освобождаемся от необходимости предусматривать особые трудности. Общий закон ошибки является лучшим руководством только тогда, когда мы исчерпали все другие средства приближения и все еще находим расхождения, которые обусловлены неизвестными причинами. Мы должны рассматривать такие остаточные различия тем или иным способом, поскольку они будут возникать во всех точных экспериментах, и, поскольку их происхождение считается неизвестным, нет причин, по которым мы должны относиться к ним по-разному в разных случаях. Соответственно, окончательный закон ошибки должен быть единообразным и общим.
Математиками прекрасно осознается, что в каждом случае может существовать особый закон ошибки, и его следует обнаружить, если это возможно. «Ничто не может быть более маловероятным, чем то, что ошибки, совершаемые во всех классах наблюдений, должны следовать одному и тому же закону», и особые законы ошибки, которые будут применяться к определенным инструментам, как, например, повторяющийся круг, были исследованы Браве. Он приходит к выводу, что каждая отдельная причина ошибки порождает кривую возможности ошибок, которая может иметь любую форму, — кривую, которую мы можем быть способны или неспособны обнаружить, и которая в первом случае может быть определена априорными соображениями об особой природе этой причины, или которая может быть определена апостериори путем наблюдения. Всякий раз, когда это практически осуществимо и стоит затраченного труда, мы должны исследовать эти особые условия ошибки; тем не менее, когда существует большое количество различных источников минутной ошибки, общий результат всегда будет стремиться подчиниться тому общему закону, который мы собираемся рассмотреть.
Установление закона ошибки.
Математики гораздо лучше согласны относительно формы закона ошибки, чем относительно того, каким образом он может быть выведен и доказан. Они согласны, что среди ряда расходящихся результатов наблюдения та средняя величина, вероятно, является лучшим приближением к истине, которая делает сумму квадратов ошибок как можно меньшей. Но есть три основных способа, которыми этот закон был достигнут соответственно Гауссом, Лапласом и Кетле, и сэром Джоном Гершелем. Гаусс во многом исходит из предположения; Гершель опирается на геометрические соображения; в то время как Лаплас и Кетле рассматривают закон ошибки как развитие доктрины комбинаций. Ряд других математиков, таких как Адрейн из Нью-Брансуика, Бессель, Айвори, Донкин, Лесли Эллис, Тейт и Крофтон, либо пытались найти независимые доказательства, либо модифицировали или комментировали те, которые здесь будут описаны. Для получения полных сведений о литературе по этому вопросу читателю следует обратиться либо к «Истории теории вероятностей» г-на Тодхантера, либо к способному мемуару г-на Дж. У. Л. Глейшера.