«Философия математики»

Изучение их взаимных отношений. Эта множественность тригонометрических линий, очевидно, порождает третий фундаментальный вопрос в тригонометрии — изучение отношений, существующих между этими различными линиями; поскольку без такого знания мы не могли бы использовать для наших аналитических потребностей это разнообразие вспомогательных величин, которые, однако, не имеют иного назначения. Ясно, кроме того, из только что указанного соображения, что эта существенная часть тригонометрии, хотя и просто подготовительная, по своей природе восприимчива к неопределенному расширению, когда мы рассматриваем ее во всей ее общности, в то время как две другие ограничены строго определенными пределами.

Излишне добавлять, что эти три основные части тригонометрии должны изучаться в порядке, прямо обратном тому, в котором мы видели их необходимое выведение из общей природы предмета; ибо третья, очевидно, независима от двух других, а вторая — от той, которая была представлена первой — решения треугольников в собственном смысле слова — которая по этой причине должна рассматриваться в последнюю очередь; что сделало тем более важным рассмотрение их естественной последовательности и логических отношений друг к другу.

Бесполезно рассматривать здесь отдельно сферическую тригонометрию, которая не может дать повода для какого-либо специального философского соображения; поскольку, сколь бы существенной она ни была по важности и множественности своего использования, она может рассматриваться в настоящее время только как простое приложение прямолинейной тригонометрии, которая непосредственно предоставляет ее фундаментальные уравнения, заменяя сферический треугольник соответствующим трехгранным углом.

Это краткое изложение философии тригонометрии было приведено здесь для того, чтобы сделать очевидными на важном примере ту строгую зависимость и те последовательные разветвления, которые представлены, казалось бы, самыми простыми вопросами элементарной геометрии.

Рассмотрев таким образом особый характер специальной геометрии, сведенной к ее единственному догматическому назначению — снабжению общей геометрии необходимой предварительной базой, — мы должны теперь уделить все наше внимание истинной науке геометрии, рассматриваемой как целое, наиболее рациональным образом. Для этой цели необходимо тщательно изучить великую оригинальную идею Декарта, на которой она полностью основана. Это будет объектом следующей главы.

ГЛАВА III.

СОВРЕМЕННАЯ ИЛИ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Поскольку общая (или аналитическая) геометрия полностью основана на преобразовании геометрических соображений в эквивалентные аналитические соображения, мы должны начать с прямого и тщательного изучения прекрасной концепции, с помощью которой Декарт установил единообразным образом постоянную возможность такой корреляции. Помимо ее собственной чрезвычайной важности как средства значительного совершенствования геометрической науки, или, скорее, установления всей ее на рациональных основах, философское изучение этой восхитительной концепции должно иметь тем больший интерес в наших глазах, что она с совершенной ясностью характеризует общий метод, который должен быть использован при организации отношений абстрактного к конкретному в математике, посредством аналитического представления природных явлений. Нет концепции во всей философии математики, которая больше заслуживала бы привлечения всего нашего внимания.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФИГУР.

Чтобы преуспеть в выражении всех мыслимых геометрических явлений простыми аналитическими отношениями, мы должны, очевидно, в первую очередь установить общий метод аналитического представления самих предметов, в которых эти явления обнаруживаются, то есть линий или поверхностей, подлежащих рассмотрению. Предмет, таким образом, привычно рассматриваемый с чисто аналитической точки зрения, показывает нам, как с этого момента возможно мыслить таким же образом различные акциденции, которым он подвержен.

Чтобы организовать представление геометрических фигур с помощью аналитических уравнений, мы должны предварительно преодолеть фундаментальную трудность: сведение общих элементов различных концепций геометрии к чисто числовым идеям; одним словом, замену в геометрии чистых соображений количества всеми соображениями качества.

Сведение фигуры к положению. Для этой цели давайте сначала заметим, что все геометрические идеи обязательно относятся к этим трем универсальным категориям: величине, фигуре и положению рассматриваемых протяженностей. Что касается первой, то здесь, очевидно, нет никакой трудности; она сразу входит в идеи чисел. Что касается второй, то следует заметить, что она всегда допускает сведение к третьей. Ибо фигура тела, очевидно, является результатом взаимного положения различных точек, из которых оно состоит, так что идея положения обязательно включает в себя идею фигуры, и каждое обстоятельство фигуры может быть переведено обстоятельством положения. Именно таким образом, по сути, действовал человеческий ум, чтобы прийти к аналитическому представлению геометрических фигур, их концепция относится непосредственно только к положениям. Вся элементарная трудность тогда правильно сводится к сведению идей ситуации к идеям величины. Таково прямое назначение предварительной концепции, на которой Декарт установил общую систему аналитической геометрии.

Его философская работа в этом отношении состояла просто в полной генерализации элементарной операции, которую мы можем рассматривать как естественную для человеческого ума, поскольку она выполняется спонтанно, так сказать, во всех умах, даже самых необразованных. Так, когда нам нужно указать положение объекта, не указывая на него прямо, метод, который мы всегда принимаем, и, очевидно, единственный, который может быть использован, состоит в отнесении этого объекта к другим, которые известны, путем назначения величины различных геометрических элементов, посредством которых мы мыслим его связанным с известными объектами. Эти элементы составляют то, что Декарт, а вслед за ним и все геометры, назвали координатами каждой рассматриваемой точки. Их обязательно две, если заранее известно, в какой плоскости расположена точка; и три, если она может быть найдена безразлично в любой области пространства. Столько различных конструкций, сколько можно вообразить для определения положения точки, будь то на плоскости или в пространстве, столько же различных систем координат можно мыслить; они, следовательно, могут быть умножены до бесконечности. Но, какая бы система ни была принята, мы всегда будем сводить идеи ситуации к простым идеям величины, так что мы будем рассматривать изменение положения точки как вызванное простыми числовыми вариациями значений ее координат.

Определение положения точки. Рассматривая сначала только наименее сложный случай, случай плоской геометрии, именно таким образом мы обычно определяем положение точки на плоскости по ее расстояниям от двух фиксированных прямых линий, рассматриваемых как известные, которые называются осями и которые обычно предполагаются перпендикулярными друг другу. Эта система наиболее часто принимается из-за ее простоты; но геометры используют иногда бесконечное множество других. Так, положение точки на плоскости может быть определено: 1) по ее расстояниям от двух фиксированных точек; или 2) по ее расстоянию от одной фиксированной точки и направлению этого расстояния, оцениваемому по большему или меньшему углу, который оно образует с фиксированной прямой линией, что составляет систему того, что называется полярными координатами, наиболее часто используемую после первой упомянутой системы; или 3) по углам, которые прямые линии, проведенные из переменной точки к двум фиксированным точкам, образуют с прямой линией, соединяющей последние; или 4) по расстояниям от этой точки до фиксированной прямой линии и фиксированной точки и т. д. Одним словом, нет такой геометрической фигуры, из которой нельзя было бы вывести определенную систему координат, более или менее пригодную для использования.

Общее наблюдение, которое важно сделать в этой связи, состоит в том, что каждая система координат эквивалентна определению точки в плоской геометрии пересечением двух линий, каждая из которых подчинена определенным фиксированным условиям определения; одно из этих условий остается переменным, иногда одно, иногда другое, в зависимости от рассматриваемой системы. Мы действительно не могли бы мыслить никакого другого средства построения точки, кроме как отметить ее встречей двух линий. Так, в самой распространенной системе, системе прямолинейных координат в собственном смысле слова, точка определяется пересечением двух прямых линий, каждая из которых остается постоянно параллельной фиксированной оси на большем или меньшем расстоянии от нее; в полярной системе положение точки отмечается встречей окружности переменного радиуса и фиксированного центра с подвижной прямой линией, вынужденной вращаться вокруг этого центра: в других системах искомая точка могла бы быть обозначена пересечением двух окружностей или любых других двух линий и т. д. Одним словом, назначить значение одной из координат точки в любой системе — это всегда обязательно эквивалентно определению некоторой линии, на которой эта точка должна быть расположена. Геометры древности уже сделали это существенное замечание, которое послужило базой их метода геометрических мест, который они столь удачно использовали для направления своих исследований при решении определенных задач, рассматривая отдельно влияние каждого из двух условий, которыми определялась каждая точка, составляющая объект, прямой или косвенный, предложенного вопроса. Именно общая систематизация этого метода была непосредственным мотивом работ Декарта, которые привели его к созданию аналитической геометрии.

После того как была ясно установлена эта предварительная концепция — с помощью которой идеи положения, а следовательно, имплицитно, все элементарные геометрические концепции могут быть сведены к простым числовым соображениям, — легко сформировать прямое представление во всей ее общности великой оригинальной идеи Декарта относительно аналитического представления геометрических фигур: именно это составляет специальный объект данной главы. Я продолжу рассматривать сначала, для большей легкости, только геометрию двух измерений, которая одна рассматривалась Декартом; и впоследствии рассмотрю отдельно, с той же точки зрения, теорию поверхностей и кривых двоякой кривизны.

ПЛОСКИЕ КРИВЫ.

Выражение линий уравнениями. В соответствии со способом аналитического выражения положения точки на плоскости можно легко установить, что каким бы свойством ни определялась любая линия, это определение всегда допускает замену соответствующим уравнением между двумя переменными координатами точки, которая описывает эту линию; уравнение, которое будет отныне аналитическим представлением предложенной линии, каждое явление которой будет переведено определенной алгебраической модификацией ее уравнения. Так, если мы предположим, что точка движется по плоскости, не имея своего курса, определенного каким-либо образом, мы, очевидно, должны будем рассматривать ее координаты, к какой бы системе они ни принадлежали, как две переменные, совершенно независимые друг от друга. Но если, напротив, эта точка вынуждена описывать определенную линию, мы будем обязательно вынуждены мыслить, что ее координаты во всех положениях, которые она может принимать, сохраняют определенное постоянное и точное отношение друг к другу, которое, следовательно, может быть выражено подходящим уравнением; которое станет очень ясным и очень строгим аналитическим определением рассматриваемой линии, поскольку оно будет выражать алгебраическое свойство, принадлежащее исключительно координатам всех точек этой линии. Действительно, ясно, что когда точка не подчинена никакому условию, ее ситуация не определена, кроме как при задании сразу двух ее координат, независимо друг от друга; в то время как, когда точка должна оставаться на определенной линии, одной координаты достаточно для полного фиксирования ее положения. Вторая координата тогда является определенной функцией первой; или, другими словами, между ними должно существовать определенное уравнение природы, соответствующей природе линии, на которой точка вынуждена оставаться. Одним словом, каждая из координат точки, требующая ее расположения на определенной линии, заставляет нас взаимно мыслить, что условие со стороны точки принадлежать линии, определенной каким-либо образом, эквивалентно назначению значения одной из двух координат; которая оказывается в этом случае полностью зависимой от другой. Аналитическое отношение, которое выражает эту зависимость, может быть более или менее трудным для обнаружения, но оно, очевидно, всегда должно мыслиться существующим, даже в тех случаях, в которых наши нынешние средства могут быть недостаточны для того, чтобы сделать его известным. Именно этим простым соображением мы можем доказать совершенно общим образом — независимо от частных проверок, на которых эта фундаментальная концепция обычно устанавливается для каждого специального определения линии — необходимость аналитического представления линий уравнениями.

Выражение уравнений через линии. Возвращаясь к тем же размышлениям в обратном направлении, мы могли бы с такой же легкостью показать геометрическую необходимость представления каждого уравнения с двумя переменными в определенной системе координат некоторой линией; для которой такое соотношение, при отсутствии любого другого известного свойства, служило бы весьма характерным определением, научное назначение которого состояло бы в том, чтобы непосредственно сосредоточить внимание на общем ходе решений уравнения, что таким образом было бы отмечено наиболее ярким и простым способом. Это графическое изображение уравнений является одним из важнейших фундаментальных преимуществ аналитической геометрии, которая благодаря этому в высшей степени повлияла на общее совершенствование самого анализа; не только путем назначения чисто абстрактным исследованиям четко определенного объекта и неисчерпаемого поприща, но и, в еще более прямой связи, путем предоставления нового философского средства для аналитического размышления, которое не могло быть заменено никаким другим. В самом деле, чисто алгебраическое обсуждение уравнения, несомненно, позволяет узнать его решения наиболее точным образом, но при рассмотрении их только по одному, так что таким путем невозможно получить их общий обзор, кроме как в качестве конечного результата длинного и трудоемкого ряда численных сравнений. С другой стороны, геометрическое место точек уравнения, будучи предназначенным лишь для того, чтобы отчетливо и с совершенной ясностью представить итог всех этих сравнений, позволяет рассматривать его непосредственно, не обращая никакого внимания на детали, которые его породили. Тем самым оно может подсказать нашему уму общие аналитические взгляды, к которым мы пришли бы с большим трудом иным способом из-за отсутствия средства для ясной характеристики их объекта. Очевидно, например, что простое наблюдение логарифмической кривой или кривой y = sin x заставляет нас воспринимать общий характер изменений логарифмов по отношению к их числам или синусов по отношению к их дугам гораздо отчетливее, чем это могло бы сделать самое внимательное изучение таблицы логарифмов или натуральных синусов. Хорошо известно, что этот метод в настоящее время стал совершенно элементарным и что он применяется всякий раз, когда желательно получить ясное представление об общем характере закона, господствующего в ряде точных наблюдений любого рода.

Любое изменение линии вызывает изменение уравнения. Возвращаясь к представлению линий уравнениями, что является нашей главной целью, мы видим, что это представление по своей природе настолько точно, что линия не могла бы претерпеть никакого изменения, сколь угодно малого, не вызвав соответствующего изменения в уравнении. Эта совершенная точность даже порождает зачастую особые трудности; ибо поскольку в нашей системе аналитической геометрии простые перемещения линий влияют на уравнения так же, как и их реальные изменения по величине или форме, мы были бы склонны смешивать их друг с другом в наших аналитических выражениях, если бы геометры не открыли остроумный метод, предназначенный специально для того, чтобы всегда их различать. Этот метод основан на том принципе, что, хотя невозможно аналитически по желанию изменить положение линии относительно осей координат, мы можем любым способом изменить положение самих осей, что, очевидно, сводится к тому же самому; затем, с помощью весьма простой общей формулы, посредством которой производится это преобразование осей, становится легко обнаружить, являются ли два различных уравнения аналитическими выражениями только одной и той же линии, расположенной по-разному, или же они относятся к действительно различным геометрическим местам точек; поскольку в первом случае одно из них перейдет в другое путем соответствующего изменения осей или других констант используемой системы координат. Более того, по этому поводу следует заметить, что общие неудобства такого рода кажутся абсолютно неизбежными в аналитической геометрии; ибо, поскольку идеи положения являются, как мы видели, единственными геометрическими идеями, непосредственно сводимыми к численным соображениям, а концепции фигуры не могут быть таким образом сведены, иначе как через видение в них отношений положения, анализ не может избежать смешения, поначалу, явлений фигуры с простыми явлениями положения, которые одни лишь непосредственно выражаются уравнениями.

Каждое определение линии есть уравнение. Чтобы завершить философское объяснение фундаментальной концепции, служащей основой аналитической геометрии, я думаю, что должен здесь указать на новое общее соображение, которое кажется мне особенно хорошо приспособленным для того, чтобы представить в наиболее ясном свете это необходимое представление линий уравнениями с двумя переменными. Оно состоит в том, что не только, как мы показали, каждая определенная линия должна обязательно порождать определенное уравнение между двумя координатами любой из своих точек, но, более того, каждое определение линии может рассматриваться как уже само по себе являющееся уравнением этой линии в подходящей системе координат.

Легко установить этот принцип, сначала сделав предварительное логическое различие в отношении различных видов определений. Строго обязательным условием всякого определения является различение определяемого объекта от всех остальных путем приписывания ему свойства, которое принадлежит исключительно ему. Но эта цель может быть в общем достигнута двумя весьма различными способами: либо определением, которое является просто характеристическим, то есть указывающим на свойство, которое, хотя и является действительно исключительным, не раскрывает способ порождения объекта; либо определением, которое является действительно объяснительным, то есть характеризующим объект свойством, выражающим один из способов его порождения. Например, рассматривая окружность как линию, которая при том же контуре содержит наибольшую площадь, мы имеем, очевидно, определение первого рода; в то время как, выбирая свойство, состоящее в том, что все ее точки одинаково удалены от фиксированной точки, мы имеем определение второго рода. Кроме того, очевидно, как общий принцип, что даже когда какой-либо объект известен поначалу только по характеристическому определению, мы должны, тем не менее, рассматривать его как восприимчивый к объяснительным определениям, которые дальнейшее изучение объекта неизбежно привело бы нас к открытию.

При таком допущении ясно, что сделанное выше общее замечание, представляющее каждое определение линии как обязательно являющееся уравнением этой линии в некоторой системе координат, не может применяться к определениям, которые являются просто характеристическими; оно должно пониматься только в отношении определений, которые являются действительно объяснительными. Но при рассмотрении только этого класса принцип легко доказать. В самом деле, очевидно невозможно определить порождение линии, не указав определенного соотношения между двумя простыми движениями трансляции или вращения, на которые будет разложено движение точки, описывающей ее в каждый момент времени. Теперь, если мы сформируем наиболее общую концепцию того, что составляет систему координат, и допустим все возможные системы, ясно, что такое соотношение будет не чем иным, как уравнением предложенной линии в системе координат, природа которой соответствует природе рассматриваемого способа порождения. Так, например, обычное определение окружности может быть очевидно рассмотрено как непосредственно являющееся полярным уравнением этой кривой, если принять центр окружности за полюс. Точно так же элементарное определение эллипса или гиперболы — как кривой, порождаемой точкой, которая движется таким образом, что сумма или разность ее расстояний от двух фиксированных точек остается постоянной — дает сразу, для той или иной кривой, уравнение y + x = c, если принять за систему координат ту, в которой положение точки определялось бы ее расстояниями от двух фиксированных точек, и выбрать в качестве этих полюсов два данных фокуса. Подобным же образом обычное определение любой циклоиды дало бы непосредственно для этой кривой уравнение y = mx; приняв в качестве координат каждой точки дугу, которую она отмечает на окружности неизменного радиуса, измеряя от точки касания этой окружности с фиксированной линией, и прямолинейное расстояние от этой точки касания до некоторого начала координат, взятого на этой прямой линии. Мы можем произвести аналогичные и столь же легкие проверки в отношении обычных определений спиралей, эпициклоид и т. д. Мы будем постоянно находить, что существует некоторая система координат, в которой мы непосредственно получаем весьма простое уравнение предложенной линии, просто записав алгебраически условие, налагаемое рассматриваемым способом порождения.

Помимо своего прямого значения как средства сделать совершенно очевидным необходимое представление каждой линии уравнением, предыдущее соображение, как мне кажется, обладает подлинной научной полезностью, характеризуя с точностью главную общую трудность, возникающую при фактическом установлении этих уравнений, и, следовательно, предоставляя интересное указание относительно курса, которому следует следовать в исследованиях такого рода, которые по своей природе не могли бы допускать полных и неизменных правил. В самом деле, поскольку любое определение линии, по крайней мере среди тех, которые указывают способ порождения, дает непосредственно уравнение этой линии в некоторой системе координат, или, скорее, само по себе составляет это уравнение, из этого следует, что трудность, которую мы часто испытываем при обнаружении уравнения кривой с помощью некоторых ее характерных свойств, трудность, которая иногда бывает очень велика, должна происходить по существу только из обычно налагаемого условия выражения этой кривой аналитически с помощью назначенной системы координат, вместо того чтобы безразлично допускать все возможные системы. Эти различные системы не могут рассматриваться в аналитической геометрии как все одинаково подходящие; по разным причинам, наиболее важные из которых будут обсуждаться далее, геометры считают, что кривые должны почти всегда относиться, насколько это возможно, к прямолинейным координатам, собственно так называемым. Теперь мы видим из вышеизложенного, что во многих случаях эти частные координаты не будут теми, относительно которых уравнение кривой окажется непосредственно установленным предложенным определением. Главная трудность, представляемая формированием уравнения линии, действительно состоит, таким образом, в общем, в некотором преобразовании координат. Несомненно, верно, что это соображение не подчиняет установление этих уравнений действительно полной общей методике, успех которой всегда был бы обеспечен; что, исходя из самой природы предмета, очевидно химерично: но такой взгляд может пролить много полезного света на курс, который надлежит принять, чтобы прийти к предложенной цели. Таким образом, после того как было в первую очередь сформировано подготовительное уравнение, которое спонтанно выводится из определения, которое мы рассматриваем, необходимо будет, чтобы получить уравнение, принадлежащее системе координат, которая должна быть окончательно допущена, попытаться выразить в функции этих последних координат те, которые естественно соответствуют данному способу порождения. Именно относительно этой последней работы очевидно невозможно дать неизменные и точные предписания. Мы можем только сказать, что мы будем иметь тем больше ресурсов в этом деле, чем больше мы будем знать подлинную аналитическую геометрию, то есть чем больше мы будем знать алгебраическое выражение большего числа различных алгебраических явлений.

ВЫБОР КООРДИНАТ.

Чтобы завершить философское изложение концепции, служащей основой аналитической геометрии, мне еще предстоит отметить соображения, относящиеся к выбору системы координат, которая в общем является наиболее подходящей. Они дадут рациональное объяснение предпочтения, единодушно отдаваемого обычной прямолинейной системе; предпочтения, которое до сих пор было скорее следствием эмпирического чувства превосходства этой системы, чем точным результатом прямого и тщательного анализа.

Две различные точки зрения. Чтобы ясно решить вопрос между всеми различными системами координат, необходимо тщательно различать две общие точки зрения, обратные друг другу, которые принадлежат аналитической геометрии; а именно, отношение алгебры к геометрии, основанное на представлении линий уравнениями; и, взаимно, отношение геометрии к алгебре, основанное на представлении уравнений линиями.

Очевидно, что в каждом исследовании общей геометрии эти две фундаментальные точки зрения неизбежно всегда оказываются объединенными, поскольку нам всегда приходится переходить попеременно, и, так сказать, через незаметные интервалы, от геометрических к аналитическим соображениям и от аналитических к геометрическим соображениям. Но необходимость временно разделить их здесь от этого не становится менее реальной; ибо ответ на вопрос о методе, который мы рассматриваем, на самом деле, как мы увидим сейчас, очень далек от того, чтобы быть одинаковым в обоих этих отношениях, так что без этого различения мы не могли бы сформировать о нем никакого ясного представления.

1. Представление линий уравнениями. С первой точки зрения — представления линий уравнениями — единственной причиной, которая могла бы побудить нас предпочесть одну систему координат другой, была бы большая простота уравнения каждой линии и большая легкость прихода к нему. Теперь легко видеть, что не существует и нельзя ожидать существования какой-либо системы координат, заслуживающей в этом отношении постоянного предпочтения перед всеми остальными. В самом деле, мы выше заметили, что для каждого предложенного геометрического определения мы можем представить себе систему координат, в которой уравнение линии получается сразу и неизбежно оказывается также очень простым; и эта система, более того, неизбежно варьируется в зависимости от природы рассматриваемого характерного свойства. Прямолинейная система, следовательно, не могла бы постоянно быть наиболее выгодной для этой цели, хотя она часто может быть очень благоприятной; вероятно, нет такой системы, которая в некоторых частных случаях не должна была бы быть предпочтена ей, так же как и любой другой.

2. Представление уравнений линиями. Однако это отнюдь не так со второй точки зрения. Мы можем, действительно, легко установить в качестве общего принципа, что обычная прямолинейная система должна обязательно быть лучше приспособлена, чем любая другая, к представлению уравнений соответствующими геометрическими местами точек; то есть, что это представление постоянно является более простым и более точным в ней, чем в любой другой.

Рассмотрим для этой цели, что, поскольку каждая система координат состоит в определении точки пересечением двух линий, система, приспособленная для предоставления наиболее подходящих геометрических мест точек, должна быть той, в которой эти две линии являются простейшими из возможных; соображение, которое ограничивает наш выбор прямолинейной системой. По правде говоря, существует, очевидно, бесконечное число систем, которые заслуживают этого названия, то есть которые используют только прямые линии для определения точек, помимо обычной системы, которая назначает расстояния от двух фиксированных линий в качестве координат; такой, например, была бы та, в которой координатами каждой точки были бы два угла, которые прямые линии, идущие от этой точки к двум фиксированным точкам, образуют с прямой линией, соединяющей эти последние точки: так что это первое соображение не является строго достаточным для объяснения предпочтения, единодушно отдаваемого обычной системе. Но при более тщательном изучении природы каждой системы координат мы также замечаем, что каждая из двух линий, встреча которых определяет рассматриваемую точку, должна обязательно предлагать в каждый момент, среди своих различных условий определения, единственное переменное условие, которое порождает соответствующую координату, при этом все остальное является фиксированным и составляющим оси системы, принимая этот термин в его наиболее расширенном математическом значении. Изменчивость необходима для того, чтобы мы могли рассмотреть все возможные положения; а фиксированность не менее необходима для того, чтобы существовали средства сравнения. Таким образом, во всех прямолинейных системах каждая из двух прямых линий будет подчинена фиксированному условию, а ордината будет результатом переменного условия.

Превосходство прямолинейных координат. Из этих соображений очевидно, как общий принцип, что наиболее благоприятной системой для построения геометрических мест точек будет обязательно та, в которой переменное условие каждой прямой линии будет простейшим из возможных; при этом фиксированное условие остается свободным для того, чтобы быть сделанным сложным, если это необходимо для достижения этой цели. Теперь, из всех возможных способов определения двух подвижных прямых линий, наиболее легким для геометрического прослеживания является, безусловно, тот, в котором, при неизменном направлении каждой прямой линии, она лишь приближается или удаляется, более или менее, к постоянной оси или от нее. Было бы, например, очевидно труднее представить себе ясно изменения места точки, которая определяется пересечением двух прямых линий, каждая из которых вращается вокруг фиксированной точки, образуя больший или меньший угол с некоторой осью, как в системе координат, упомянутой ранее. Таково истинное общее объяснение фундаментального свойства, которым обладает обычная прямолинейная система, состоящего в том, что она лучше приспособлена, чем любая другая, к геометрическому представлению уравнений, поскольку это та система, в которой легче всего представить изменение места точки, происходящее от изменения значения ее координат. Чтобы ясно почувствовать всю силу этого соображения, было бы достаточно тщательно сравнить эту систему с полярной системой, в которой этот геометрический образ, столь простой и столь легкий для прослеживания, двух прямых линий, движущихся параллельно, каждая из них, своей соответствующей оси, заменяется сложной картиной бесконечного ряда концентрических окружностей, пересекаемых прямой линией, вынужденной вращаться вокруг фиксированной точки. Более того, легко заранее представить, какое огромное значение для аналитической геометрии должно иметь свойство, столь глубоко элементарное, которое по этой причине должно повторяться в каждый момент и приобретать прогрессивно возрастающее значение во всех работах такого рода.

Перпендикулярность осей. Продолжая далее соображение, которое демонстрирует превосходство обычной системы координат над любой другой в отношении представления уравнений, мы можем также заметить полезность для этой цели обычного использования принятия двух осей перпендикулярными друг другу, всякий раз, когда это возможно, а не под каким-либо другим наклоном. Что касается представления линий уравнениями, это второстепенное обстоятельство не является более универсально правильным, чем, как мы видели, общая природа системы; поскольку, в зависимости от конкретного случая, любой другой наклон осей может заслужить наше предпочтение в этом отношении. Но, с обратной точки зрения, легко видеть, что прямоугольные оси постоянно позволяют нам представлять уравнения более простым и даже более точным образом; ибо, при косоугольных осях, пространство, разделенное ими на области, которые уже не обладают совершенной идентичностью, приводит к тому, что если геометрическое место точек уравнения распространяется на все эти области сразу, то будут представлены, просто по причине этого неравенства углов, различия фигуры, которые не соответствуют никакому аналитическому разнообразию и будут неизбежно искажать строгую точность представления, смешиваясь с надлежащими результатами алгебраических сравнений. Например, уравнение вида x^m + y^m = c, которое по своей совершенной симметрии должно было бы, очевидно, дать кривую, состоящую из четырех идентичных четвертей, будет представлено, напротив, если мы возьмем не прямоугольные оси, геометрическим местом точек, четыре части которого будут неравными. Ясно, что единственным средством избежать всех неудобств такого рода является предположение, что угол двух осей является прямым углом.

Предыдущее обсуждение ясно показывает, что, хотя обычная система прямолинейных координат не имеет постоянного превосходства над всеми остальными в одной из двух фундаментальных точек зрения, которые постоянно объединены в аналитической геометрии, все же, поскольку, с другой стороны, она не является постоянно худшей, ее необходимая и абсолютная большая приспособленность к представлению уравнений должна заставлять ее в общем получать предпочтение; хотя может, очевидно, случиться, в некоторых частных случаях, что необходимость упрощения уравнений и получения их более легким путем может определить геометров принять менее совершенную систему. Прямолинейная система является, следовательно, той, с помощью которой обычно строятся самые существенные теории общей геометрии, предназначенные для аналитического выражения наиболее важных геометрических явлений. Когда считается необходимым выбрать какую-либо другую, полярная система почти всегда является той, на которой останавливаются, так как эта система имеет природу, достаточно противоположную природе прямолинейной системы, чтобы заставить уравнения, которые слишком сложны по отношению к последней, стать, в общем, достаточно простыми по отношению к другой. Полярные координаты, более того, часто имеют преимущество допущения более прямого и естественного конкретного значения; как это имеет место в механике, для геометрических вопросов, к которым приводит теория кругового движения, и почти во всех случаях небесной геометрии.

Чтобы упростить изложение, мы до сих пор рассматривали фундаментальную концепцию аналитической геометрии только в отношении плоских кривых, общее изучение которых было единственным объектом великого философского обновления, произведенного Декартом. Чтобы завершить это важное объяснение, мы должны теперь кратко показать, как эта элементарная идея была расширена Клеро, около столетия спустя, на общее изучение поверхностей и кривых двоякой кривизны. Соображения, которые уже были приведены, позволят мне ограничиться по этому предмету быстрым рассмотрением того, что строго специфично для этого нового случая.

ПОВЕРХНОСТИ.

Определение точки в пространстве. Полное аналитическое определение точки в пространстве очевидно требует назначения значений трех координат; как, например, в системе, которая обычно принята и которая соответствует прямолинейной системе плоской геометрии, расстояния от точки до трех фиксированных плоскостей, обычно перпендикулярных друг другу; что представляет точку как пересечение трех плоскостей, направление которых неизменно. Мы могли бы также использовать расстояния от подвижной точки до трех фиксированных точек, что определило бы ее пересечением трех сфер с общим центром. Подобным же образом положение точки было бы определено заданием ее расстояния от фиксированной точки и направления этого расстояния с помощью двух углов, которые эта прямая линия образует с двумя неизменными осями; это полярная система геометрии трех измерений; точка тогда строится пересечением сферы, имеющей фиксированный центр, с двумя прямыми конусами с круговыми основаниями, оси и общая вершина которых не меняются. Одним словом, существует, очевидно, в этом случае, по крайней мере, такое же бесконечное разнообразие среди различных возможных систем координат, которое мы уже наблюдали в геометрии двух измерений. В общем, мы должны представлять точку как всегда определяемую пересечением любых трех поверхностей, как это было в прежнем случае пересечением двух линий: каждая из этих трех поверхностей имеет, подобным же образом, все свои условия определения постоянными, за исключением одного, которое порождает соответствующие координаты, чье специфическое геометрическое влияние состоит, таким образом, в том, чтобы принудить точку быть расположенной на этой поверхности.

При таком допущении ясно, что если три координаты точки полностью независимы друг от друга, эта точка может принимать последовательно все возможные положения в пространстве. Но если точка принуждена оставаться на некоторой поверхности, определенной любым способом, тогда двух координат очевидно достаточно для определения ее положения в каждый момент, поскольку предложенная поверхность займет место условия, налагаемого третьей координатой. Мы должны тогда, в этом случае, с аналитической точки зрения, обязательно представлять эту последнюю координату как определенную функцию двух других, причем последние остаются совершенно независимыми друг от друга. Таким образом, будет существовать некоторое уравнение между тремя переменными координатами, которое будет постоянным и которое будет единственным, чтобы соответствовать точной степени неопределенности в положении точки.

Выражение поверхностей уравнениями. Это уравнение, более или менее легкое для обнаружения, но всегда возможное, будет аналитическим определением предложенной поверхности, поскольку оно должно быть проверено для всех точек этой поверхности и только для них. Если поверхность претерпевает какое-либо изменение, даже простое изменение места, уравнение должно претерпеть более или менее серьезную соответствующую модификацию. Одним словом, все геометрические явления, относящиеся к поверхностям, допустят возможность быть переведенными определенными эквивалентными аналитическими условиями, подходящими для уравнений трех переменных; и в установлении и интерпретации этой общей и необходимой гармонии будет по существу состоять наука аналитической геометрии трех измерений.

Выражение уравнений поверхностями. Рассматривая затем эту фундаментальную концепцию с обратной точки зрения, мы видим таким же образом, что каждое уравнение трех переменных может, в общем, быть представлено геометрически определенной поверхностью, примитивно определенной самим характерным свойством, что координаты всех ее точек всегда сохраняют взаимное отношение, сформулированное в этом уравнении. Это геометрическое место точек будет очевидно меняться, для того же уравнения, в зависимости от системы координат, которая может служить для построения этого представления. Принимая, например, прямолинейную систему, ясно, что в уравнении между тремя переменными x, y, z каждое частное значение, приписанное z, даст уравнение между x и y, геометрическим местом точек которого будет некоторая линия, расположенная в плоскости, параллельной плоскости x и y, и на расстоянии от этой последней, равном значению z; так что полное геометрическое место точек представится как состоящее из бесконечного ряда линий, наложенных друг на друга в ряде параллельных плоскостей (за исключением прерываний, которые могут существовать), и будет, следовательно, формировать подлинную поверхность. То же самое было бы при рассмотрении любой другой системы координат, хотя геометрическое построение уравнения становится более трудным для прослеживания.

Такова элементарная концепция, дополнение первоначальной идеи Декарта, на которой основана общая геометрия относительно поверхностей. Было бы бесполезно брать здесь непосредственно другие соображения, которые были выше указаны в отношении линий и которые любой может легко распространить на поверхности; чтобы показать ли, что каждое определение поверхности любым способом порождения является действительно прямым уравнением этой поверхности в некоторой системе координат, или чтобы определить среди всех различных систем возможных координат ту, которая в общем является наиболее удобной. Я добавлю только по этому последнему пункту, что необходимое превосходство обычной прямолинейной системы в отношении представления уравнений очевидно еще более заметно в аналитической геометрии трех измерений, чем в геометрии двух, из-за несравненно большей геометрической сложности, которая возникла бы из выбора любой другой системы. Это может быть проверено наиболее ярким образом путем рассмотрения полярной системы в частности, которая является наиболее используемой после обычной прямолинейной системы, как для поверхностей, так и для плоских кривых, и по тем же причинам.

Чтобы завершить общее изложение фундаментальной концепции, относящейся к аналитическому изучению поверхностей, следует провести философское исследование последнего улучшения высочайшей важности, которое Монж ввел в самые элементы этой теории, для классификации поверхностей на естественные семейства, установленные в соответствии со способом порождения и выраженные алгебраически общими дифференциальными уравнениями или конечными уравнениями, содержащими произвольные функции.

КРИВЫЕ ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ.

Рассмотрим теперь последнюю элементарную точку зрения аналитической геометрии трех измерений; ту, которая относится к алгебраическому представлению кривых, рассматриваемых в пространстве, наиболее общим образом. Продолжая следовать принципу, который постоянно использовался, а именно принципу степени неопределенности геометрического места точек, соответствующей степени независимости переменных, очевидно, как общий принцип, что когда требуется, чтобы точка была расположена на некоторой определенной кривой, одной координаты достаточно для полного определения ее положения пересечением этой кривой с поверхностью, которая является результатом этой координаты. Таким образом, в этом случае две другие координаты точки должны представляться как функции, обязательно определенные и отличные от первой. Из этого следует, что каждая линия, рассматриваемая в пространстве, представляется тогда аналитически уже не одним уравнением, а системой двух уравнений между тремя координатами любой из своих точек. Ясно, действительно, с другой точки зрения, что поскольку каждое из этих уравнений, рассматриваемое отдельно, выражает некоторую поверхность, их комбинация представляет предложенную линию как пересечение двух определенных поверхностей. Таков наиболее общий способ представления алгебраического представления линии в аналитической геометрии трех измерений. Эта концепция обычно рассматривается слишком ограниченным образом, когда мы ограничиваемся рассмотрением линии как определяемой системой ее двух проекций на две из координатных плоскостей; системой, характеризуемой аналитически этой особенностью, что каждое из двух уравнений линии тогда содержит только две из трех координат, вместо того чтобы одновременно включать три переменные. Это соображение, которое состоит в рассмотрении линии как пересечения двух цилиндрических поверхностей, параллельных двум из трех осей координат, помимо неудобства ограничения обычной прямолинейной системой, имеет недостаток, если мы строго ограничиваемся им, введения бесполезных трудностей в аналитическое представление линий, поскольку комбинация этих двух цилиндров очевидно не всегда была бы наиболее подходящей для формирования уравнений линии. Таким образом, рассматривая это фундаментальное понятие во всей его общности, необходимо будет в каждом случае выбирать из бесконечного числа пар поверхностей, пересечение которых могло бы произвести предложенную кривую, ту, которая лучше всего поддастся установлению уравнений, как будучи составленной из наиболее известных поверхностей. Таким образом, если задача состоит в том, чтобы выразить аналитически окружность в пространстве, будет очевидно предпочтительнее рассматривать ее как пересечение сферы и плоскости, нежели чем происходящую из любой другой комбинации поверхностей, которые могли бы равно ее произвести.

По правде говоря, этот способ представления линий уравнениями в аналитической геометрии трех измерений порождает по своей природе необходимое неудобство, а именно некоторое аналитическое смешение, состоящее в том, что одна и та же линия может быть таким образом выражена, при той же системе координат, бесконечным числом различных пар уравнений, по причине бесконечного числа пар поверхностей, которые могут ее образовать; обстоятельство, которое может вызвать некоторые трудности в распознавании этой линии под всеми алгебраическими маскировками, которые она допускает. Но существует весьма простой метод для того, чтобы это неудобство исчезло; он состоит в отказе от удобств, которые возникают из этого разнообразия геометрических построений. Достаточно, в самом деле, какой бы ни была аналитическая система, примитивно установленная для некоторой линии, уметь вывести из нее систему, соответствующую единственной паре поверхностей, равномерно порожденных; как, например, системе двух цилиндрических поверхностей, которые проектируют предложенную линию на две из координатных плоскостей; поверхностей, которые будут очевидно всегда идентичны, каким бы образом линия ни была получена, и которые не будут меняться, кроме как когда сама эта линия изменится. Теперь, выбирая эту фиксированную систему, которая является фактически наиболее простой, мы будем в общем способны вывести из примитивных уравнений те, которые соответствуют им в этом специальном построении, преобразуя их путем двух последовательных исключений в два уравнения, каждое из которых содержит только две из переменных координат и тем самым соответствует двум поверхностям проекции. Таково действительно главное назначение этого рода геометрической комбинации, которая таким образом предлагает нам неизменное и верное средство распознавания идентичности линий, несмотря на разнообразие их уравнений, которое иногда бывает очень велико.

НЕСОВЕРШЕНСТВА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Рассмотрев теперь фундаментальную концепцию аналитической геометрии под ее главными элементарными аспектами, надлежит, чтобы сделать очерк полным, заметить здесь общие несовершенства, еще представляемые этой концепцией в отношении как геометрии, так и анализа.

Относительно геометрии мы должны заметить, что уравнения пока приспособлены представлять только целые геометрические места точек, а вовсе не определенные части этих мест. Однако было бы необходимо, в некоторых обстоятельствах, уметь выразить аналитически часть линии или поверхности, или даже разрывную линию или поверхность, состоящую из ряда сечений, принадлежащих различным геометрическим фигурам, таких как контур многоугольника или поверхность многогранника. Термология, особенно, часто порождает такие соображения, к которым наша нынешняя аналитическая геометрия неизбежно неприменима. Работы г-на Фурье о разрывных функциях, однако, начали заполнять этот большой пробел и тем самым ввели новое и существенное улучшение в фундаментальную концепцию Декарта. Но этот способ представления гетерогенных или частичных фигур, будучи основанным на использовании тригонометрических рядов, идущих по синусам бесконечного ряда кратных дуг, или на использовании некоторых определенных интегралов, эквивалентных этим рядам, общий интеграл которых неизвестен, представляет пока слишком много сложности, чтобы допустить возможность быть немедленно введенным в систему аналитической геометрии.

Относительно анализа мы должны начать с наблюдения, что наша неспособность представить себе геометрическое представление уравнений, содержащих четыре, пять или более переменных, аналогичное тем представлениям, которые допускают все уравнения двух или трех переменных, не должна рассматриваться как несовершенство нашей системы аналитической геометрии, ибо оно очевидно принадлежит самой природе предмета. Поскольку анализ неизбежно более общий, чем геометрия, так как он относится ко всем возможным явлениям, было бы очень нефилософски желать всегда находить среди одних лишь геометрических явлений конкретное представление всех законов, которые анализ может выразить.

Существует, однако, другое несовершенство меньшей важности, которое должно действительно рассматриваться как происходящее из способа, которым мы представляем себе аналитическую геометрию. Оно состоит в очевидной неполноте нашего нынешнего представления уравнений двух или трех переменных линиями или поверхностями, поскольку при построении геометрического места точек мы обращаем внимание только на реальные решения уравнений, вовсе не замечая никаких мнимых решений. Общий ход этих последних должен, однако, по своей природе быть столь же восприимчивым, как и ход других, к геометрическому представлению. Из этого упущения следует, что графическая картина уравнения постоянно несовершенна, а иногда даже настолько, что нет никакого геометрического представления вообще, когда уравнение допускает только мнимые решения. Но даже в этом последнем случае мы очевидно должны быть способны различать уравнения, столь различные сами по себе, как эти, например,

x^2 + y^2 + 1 = 0, x^6 + y^4 + 1 = 0, y^2 + e^x = 0.

Мы знаем, более того, что это главное несовершенство часто влечет за собой, в аналитической геометрии двух или трех измерений, ряд вторичных неудобств, возникающих из нескольких аналитических модификаций, не соответствующих никаким геометрическим явлениям.

Наше философское изложение фундаментальной концепции аналитической геометрии показывает нам ясно, что эта наука состоит по существу в определении того, каково общее аналитическое выражение того или иного геометрического явления, принадлежащего линиям или поверхностям; и, взаимно, в обнаружении геометрической интерпретации того или иного аналитического соображения. Детальное рассмотрение наиболее важных общих вопросов показало бы нам, как геометры преуспели в фактическом установлении этой прекрасной гармонии и в запечатлении тем самым на геометрической науке, рассматриваемой как целое, ее нынешнего в высшей степени совершенного характера рациональности и простоты.

Примечание. — Автор посвящает две следующие главы своего курса более детальному рассмотрению аналитической геометрии двух и трех измерений; но его последующая публикация отдельной работы по этой ветви математики была сочтена делающей ненужным воспроизведение этих двух глав в настоящем томе.

КОНЕЦ.

СНОСКИ:

[1] Исследование математических явлений законов теплоты бароном Фурье привело к установлению совершенно прямым образом термологических уравнений. Это великое открытие стремится возвысить наши философские надежды относительно будущих расширений законных применений математического анализа и делает уместным, по мнению автора, рассматривать термологию как третью главную ветвь конкретной математики.

[2] Переводчик счел себя вправе использовать это весьма удобное слово (для которого в нашем языке нет точного эквивалента) как английское, в его наиболее расширенном смысле, несмотря на то, что оно часто популярно смешивается с его дифференциальным и интегральным отделом.

[3] С целью увеличения насколько возможно ресурсов и объема (ныне столь недостаточного) математического анализа, геометры причисляют эту последнюю пару функций к аналитическим элементам. Хотя эта запись строго законна, важно заметить, что круговые функции не находятся в точно таком же положении, как другие абстрактные элементарные функции. Существует это весьма существенное различие, что функции четырех первых пар являются одновременно простыми и абстрактными, в то время как круговые функции, которые могут проявлять каждый характер последовательно, в зависимости от точки зрения, под которой они рассматриваются, и способа, которым они используются, никогда не представляют эти два свойства одновременно.

Некоторые другие конкретные функции могут быть полезно введены в число аналитических элементов при выполнении определенных условий. Так, например, работы г-на Лежандра и г-на Якоби об эллиптических функциях действительно расширили поле анализа; и то же самое верно для некоторых определенных интегралов, полученных г-ном Фурье в теории теплоты.

[4] Предположим, например, что вопрос дает следующее уравнение между неизвестной величиной x и двумя известными величинами, a и b,

x^3 + 3ax = 2b,

как это имеет место в задаче трисекции угла. Мы видим сразу, что зависимость между x, с одной стороны, и ab, с другой, полностью определена; но пока уравнение сохраняет свою примитивную форму, мы вовсе не воспринимаем, каким образом неизвестная величина выводится из данных. Это должно быть обнаружено, однако, прежде чем мы сможем думать об определении ее значения. Таков объект алгебраической части решения. Когда путем ряда преобразований, которые последовательно сделали это выведение все более и более очевидным, мы пришли к представлению предложенного уравнения в форме

x = ∛(b + √(b^2 + a^3)) + ∛(b - √(b^2 + a^3)),

работа алгебры закончена; и даже если бы мы не могли выполнить арифметические операции, указанные этой формулой, мы тем не менее получили бы знание весьма реальное и часто весьма важное. Работа арифметики теперь будет состоять в том, чтобы взять эту формулу за свою отправную точку и найти число x, когда значения чисел a и b даны.

[5] Я счел, что должен специально заметить это определение, потому что оно служит основой мнения, которое многие интеллигентные лица, не знакомые с математической наукой, формируют о ее абстрактной части, не учитывая, что во время этого определения математический анализ не был достаточно развит, чтобы позволить общий характер каждой из его главных частей должным образом постичь, что объясняет, почему Ньютон мог в то время предложить определение, которое в настоящее время он бы, безусловно, отверг.

[6] Это менее строго верно в английской системе нумерации, чем во французской, поскольку «двадцать один» является нашим более обычным способом выражения этого числа.

[7] Сколь простым ни может казаться, например, уравнение

a^x + b^x = c^x,

мы еще не знаем, как его решить, что может дать некоторое представление о крайнем несовершенстве этой части алгебры.

[8] Та же ошибка была впоследствии совершена, в младенчестве исчисления бесконечно малых, в отношении интегрирования дифференциальных уравнений.

[9] Фундаментальный принцип, на котором покоится теория уравнений и который столь часто применяется во всем математическом анализе — разложение алгебраических, рациональных и целых функций любой степени на множители первой степени — никогда не применяется иначе как для функций одной переменной, без того чтобы кто-либо исследовал, следует ли его распространять на функции нескольких переменных. Общая невозможность такого разложения продемонстрирована автором детально, но более подобает специальному трактату.

[10] Единственный важный случай этого класса, который до сих пор был полностью рассмотрен, — это общее интегрирование линейных уравнений любого порядка с постоянными коэффициентами. Даже этот случай в конечном счете зависит от алгебраического решения уравнений степени, равной порядку дифференцирования.

[11] Лейбниц уже рассматривал сравнение одной кривой с другой, бесконечно близкой к ней, называя это «Differentiatio de curva in curvam». Но это сравнение не имело аналогии с концепцией Лагранжа, так как кривые Лейбница были охвачены в одном и том же общем уравнении, из которого они выводились простым изменением произвольной константы.

[12] Я предлагаю в дальнейшем развить это новое соображение в специальной работе по исчислению вариаций, предназначенной представить этот гипертрансцендентный анализ в новой точке зрения, которую я считаю приспособленной для расширения его общего диапазона.

[13] Лакруа справедливо критиковал выражение «твердое тело», обычно используемое геометрами для обозначения объема. Несомненно, в самом деле, что когда мы хотим рассмотреть отдельно некоторую часть неопределенного пространства, мыслимую как газообразная, мы мысленно отверждаем ее внешнюю оболочку, так что линия и поверхность являются привычно, для нашего ума, столь же твердыми, как объем. Можно также заметить, что наиболее обычно, чтобы тела могли проникать друг в друга с большей легкостью, мы вынуждены воображать внутренность объемов полой, что делает еще более чувствительной неуместность слова «твердое тело».

The Project Gutenberg eBook of The Philosophy of Mathematics, translated by W. M. Gillespie.

back