«Философия математики»

Поскольку это общее положение является фундаментальным, так как только оно может придать нашему определению всю его ценность, необходимо углубиться в некоторые разработки по этому предмету.

СВОЙСТВА ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ.

Когда мы внимательно изучаем геометрические исследования, которые, по-видимому, не относятся к измерению протяженности, мы обнаруживаем, что они состоят по существу в изучении различных свойств каждой линии или каждой поверхности; то есть в знании различных способов порождения или, по крайней мере, определения, присущих каждой рассматриваемой фигуре. Теперь мы можем легко установить самым общим образом необходимую связь такого изучения с вопросом измерения, для которого наиболее полное знание свойств каждой формы является обязательным предварительным условием. Это подтверждается двумя соображениями, одинаково фундаментальными, хотя и совершенно различными по своей природе.

Необходимость их изучения: 1. Найти наиболее подходящее свойство. Первое, чисто научное, состоит в замечании, что если бы мы не знали никакого другого характеристического свойства каждой линии или поверхности, кроме того, согласно которому геометры впервые осмыслили ее, в большинстве случаев было бы невозможно добиться решения вопросов, относящихся к ее измерению. В самом деле, легко понять, что различные определения, которые допускает каждая фигура, не все одинаково подходят для такой цели и что они даже представляют собой наиболее полное противопоставление в этом отношении. Кроме того, поскольку первоначальное определение каждой фигуры, очевидно, не было выбрано с учетом этого условия, ясно, что мы не должны ожидать, в общем, найти его наиболее подходящим; откуда вытекает необходимость открытия других, то есть изучения, насколько это возможно, свойств предложенной фигуры. Предположим, например, что круг определяется как «кривая, которая при том же контуре содержит наибольшую площадь». Это, безусловно, очень характерное свойство, но мы, очевидно, столкнулись бы с непреодолимыми трудностями, пытаясь вывести из такой отправной точки решение фундаментальных вопросов, относящихся к спрямлению или квадратуре этой кривой. Заранее ясно, что свойство иметь все свои точки на одинаковом расстоянии от фиксированной точки должно, очевидно, быть гораздо лучше приспособлено к исследованиям такого рода, даже если оно не является в точности наиболее подходящим. Точно так же смог бы Архимед когда-либо открыть квадратуру параболы, если бы он не знал никакого другого свойства этой кривой, кроме того, что она была сечением конуса с круговым основанием плоскостью, параллельной его образующей? Чисто умозрительные труды предшествующих геометров по преобразованию этого первого определения были, очевидно, необходимыми предварительными условиями для прямого решения такого вопроса. То же самое верно, в еще большей степени, в отношении поверхностей. Чтобы составить верное представление об этом, нам нужно лишь сравнить, в вопросе кубатуры или квадратуры, обычное определение сферы с тем, безусловно, не менее характерным, которое состояло бы в рассмотрении сферического тела как того, которое при той же площади содержит наибольший объем.

Не нужно больше примеров, чтобы показать необходимость знания, насколько это возможно, всех свойств каждой линии или каждой поверхности, чтобы облегчить исследование спрямлений, квадратур и кубатур, которые составляют конечную цель геометрии. Мы можем даже сказать, что основная трудность вопросов такого рода состоит в использовании в каждом случае того свойства, которое наилучшим образом приспособлено к природе предложенной задачи. Таким образом, продолжая указывать для большей точности измерение протяженности как общее назначение геометрии, это первое соображение, которое проникает в самую суть предмета, ясно показывает необходимость включения в него изучения, насколько это возможно тщательного, различных способов порождения или определений, принадлежащих одной и той же форме.

2. Перейти от конкретного к абстрактному. Второе соображение, по меньшей мере равной важности, состоит в том, что такое изучение является обязательным для рациональной организации отношения абстрактного к конкретному в геометрии.

Поскольку наука геометрия должна рассматривать все мыслимые фигуры, допускающие точное определение, из этого неизбежно следует, как мы заметили, что вопросы, относящиеся к любым фигурам, представленным природой, всегда неявно включены в эту абстрактную геометрию, предполагаемую достигшей своего совершенства. Но когда необходимо фактически перейти к конкретной геометрии, мы постоянно сталкиваемся с фундаментальной трудностью: знать, к какому из различных абстрактных типов мы должны отнести, с достаточным приближением, реальные линии или поверхности, которые мы должны изучать. Именно для установления такого отношения особенно необходимо знать как можно большее число свойств каждой фигуры, рассматриваемой в геометрии.

В самом деле, если бы мы всегда ограничивались единственным примитивным определением линии или поверхности, предполагая даже, что мы могли бы тогда измерить ее (что, согласно первому порядку соображений, было бы вообще невозможно), это знание оставалось бы почти неизбежно бесплодным в применении, поскольку мы обычно не знали бы, как распознать эту фигуру в природе, когда она там представлялась; чтобы обеспечить это, необходимо было бы, чтобы единственная характеристика, согласно которой геометры осмыслили ее, была именно той, которую внешние обстоятельства позволили бы проверить: совпадение, которое было бы чисто случайным и на которое мы не могли бы рассчитывать, хотя оно иногда и могло бы иметь место. Таким образом, только умножая, насколько возможно, характеристические свойства каждой абстрактной фигуры, мы можем быть заранее уверены в том, что распознаем ее в конкретном состоянии и, таким образом, извлечем пользу из всех наших рациональных трудов, проверяя в каждом случае определение, которое поддается непосредственному доказательству. Это определение почти всегда является единственным в данных обстоятельствах и, с другой стороны, варьируется для одной и той же фигуры при различных обстоятельствах; двойная причина для его предварительного определения.

Иллюстрация: Орбиты планет. Геометрия небес предоставляет нам очень памятный пример в этом деле, хорошо подходящий для того, чтобы показать общую необходимость такого изучения. Мы знаем, что эллипс был открыт Кеплером как кривая, которую планеты описывают вокруг Солнца, а спутники — вокруг своих планет. Могло ли бы это фундаментальное открытие, которое воссоздало астрономию, когда-либо стать возможным, если бы геометры всегда ограничивались осмыслением эллипса только как косого сечения кругового конуса плоскостью? Никакое такое определение, очевидно, не допускало бы такой проверки. Наиболее общее свойство эллипса — то, что сумма расстояний от любой из его точек до двух фиксированных точек является постоянной величиной, — несомненно, гораздо более восприимчиво по своей природе к тому, чтобы вызвать распознавание кривой в этом случае, но все же не является непосредственно подходящим. Единственная характеристика, которая здесь может быть немедленно проверена, — это та, которая выводится из отношения, существующего в эллипсе между длиной фокусных расстояний и их направлением; единственное отношение, которое допускает астрономическую интерпретацию, выражая закон, связывающий расстояние от планеты до Солнца со временем, прошедшим с начала ее обращения. Таким образом, было необходимо, чтобы чисто умозрительные труды греческих геометров о свойствах конических сечений предварительно представили их порождение под множеством различных точек зрения, прежде чем Кеплер смог таким образом перейти от абстрактного к конкретному, выбрав среди всех этих различных характеристик ту, которая могла быть наиболее легко доказана для планетных орбит.

Иллюстрация: Фигура Земли. Другой пример того же порядка, но относящийся к поверхностям, встречается при рассмотрении важного вопроса о фигуре Земли. Если бы мы никогда не знали никакого другого свойства сферы, кроме ее примитивного характера иметь все свои точки на одинаковом расстоянии от внутренней точки, как мы смогли бы когда-либо обнаружить, что поверхность Земли сферическая? Для этого необходимо было предварительно вывести из этого определения сферы некоторые свойства, способные быть проверенными наблюдениями, сделанными только на поверхности, такие как постоянное отношение, существующее между длиной пути, пройденного в направлении любого меридиана сферы по направлению к полюсу, и угловой высотой этого полюса над горизонтом в каждой точке. Другой пример, но включающий гораздо более длинный ряд предварительных спекуляций, — это последующее доказательство того, что Земля не является строго сферической, но что ее форма — это эллипсоид вращения.

После таких примеров было бы излишне приводить какие-либо другие, которые любой другой может легко умножить. Все они доказывают, что без очень обширного знания различных свойств каждой фигуры отношение абстрактного к конкретному в геометрии было бы чисто случайным и что наука, следовательно, лишилась бы одного из своих самых существенных оснований.

Таковы, следовательно, два общих соображения, которые полностью демонстрируют необходимость введения в геометрию большого числа исследований, не имеющих измерение протяженности своей прямой целью; в то время как мы продолжаем, однако, осмысливать такое измерение как конечное назначение всей геометрической науки. Таким образом, мы можем сохранить философские преимущества ясности и точности этого определения и все же включить в него, очень логичным, хотя и косвенным образом, все известные геометрические исследования, рассматривая те из них, которые не кажутся относящимися к измерению протяженности, как предназначенные либо для подготовки к решению конечных вопросов, либо для того, чтобы сделать возможным применение полученных решений.

Признав таким образом в качестве общего принципа тесную и необходимую связь изучения свойств линий и поверхностей с теми исследованиями, которые составляют конечную цель геометрии, очевидно, что геометры в ходе своих трудов ни в коем случае не должны ограничивать себя тем, чтобы всегда держать такую связь в поле зрения. Зная раз и навсегда, как важно варьировать как можно больше способ осмысления каждой фигуры, они должны продолжать это изучение, не задумываясь о том, какая немедленная польза может быть от того или иного особого свойства для спрямлений, квадратур и кубатур. Они бесполезно сковывали бы свои исследования, придавая пустяковое значение постоянному установлению этой координации.

Это общее изложение общей цели геометрии тем более необходимо, что по самой природе предмета это изучение различных свойств каждой линии и каждой поверхности неизбежно составляет подавляющую часть всего корпуса геометрических исследований. Действительно, вопросы, непосредственно относящиеся к спрямлениям, квадратурам и кубатурам, очевидно, сами по себе очень немногочисленны для каждой рассматриваемой фигуры. С другой стороны, изучение свойств той же фигуры представляет неограниченное поле для деятельности человеческого разума, в котором он всегда может надеяться сделать новые открытия. Так, хотя геометры занимались в течение двадцати столетий, несомненно, с большей или меньшей активностью, но без какого-либо реального перерыва, изучением конических сечений, они далеки от того, чтобы считать этот столь простой предмет исчерпанным; и несомненно, в самом деле, что, продолжая посвящать себя ему, они не преминули бы найти еще неизвестные свойства этих различных кривых. Если труды такого рода значительно замедлились за последнее столетие, то не потому, что они завершены, а только, как будет объяснено далее, потому, что философская революция в геометрии, осуществленная Декартом, значительно уменьшила важность таких исследований.

Из предыдущих соображений следует, что поле геометрии является не только неизбежно бесконечным из-за разнообразия фигур, подлежащих рассмотрению, но также и в силу разнообразия точек зрения, под которыми может рассматриваться одна и та же фигура. Эта последняя концепция, в самом деле, является той, которая дает самое широкое и самое полное представление обо всем корпусе геометрических исследований. Мы видим, что исследования такого рода состоят по существу, для каждой линии или для каждой поверхности, в связывании всех геометрических явлений, которые она может представить, с единственным фундаментальным явлением, рассматриваемым как примитивное определение.

ДВА ОБЩИХ МЕТОДА ГЕОМЕТРИИ.

Объяснив теперь общим и в то же время точным образом конечную цель геометрии и показав, как наука, определенная таким образом, охватывает очень обширный класс исследований, которые поначалу не казались обязательно принадлежащими к ней, остается рассмотреть метод, которому следует следовать для формирования этой науки. Эта дискуссия необходима для завершения этого первого очерка философского характера геометрии. Я ограничусь здесь указанием наиболее общего соображения по этому вопросу, развивая и суммируя эту важную фундаментальную идею в следующих главах.

Геометрические вопросы могут рассматриваться согласно двум методам, настолько различным, что из них возникают два рода геометрии, так сказать, философский характер которых, как мне кажется, еще не был должным образом понят. Выражения синтетическая геометрия и аналитическая геометрия, обычно используемые для их обозначения, дают о них очень ложное представление. Я бы гораздо больше предпочел чисто исторические наименования геометрия древних и геометрия новых, которые имеют, по крайней мере, то преимущество, что не позволяют неправильно понять их истинный характер. Но я предлагаю впредь использовать регулярные выражения специальная геометрия и общая геометрия, которые кажутся мне подходящими для того, чтобы с точностью охарактеризовать подлинную природу этих двух методов.

Их фундаментальное различие. Фундаментальное различие между тем, как мы осмысливаем геометрию со времен Декарта, и тем, как геометры древности рассматривали геометрические вопросы, заключается не в использовании исчисления (или алгебры), как принято считать. С одной стороны, несомненно, что использование исчисления не было полностью неизвестно древним геометрам, поскольку они имели обыкновение делать постоянные и очень обширные применения теории пропорций, которая была для них, как средство дедукции, своего рода реальным, хотя и очень несовершенным и, особенно, чрезвычайно ограниченным эквивалентом нашей нынешней алгебры. Исчисление может даже использоваться гораздо более полным образом, чем они его использовали, чтобы получить определенные геометрические решения, которые все еще будут сохранять весь существенный характер древней геометрии; это очень часто случается в отношении тех задач геометрии двух или трех измерений, которые обычно обозначаются под названием определенных. С другой стороны, сколь бы важным ни было влияние исчисления в нашей современной геометрии, различные решения, полученные без алгебры, могут иногда проявлять специфический характер, который отличает ее от древней геометрии, хотя анализ, как правило, необходим. Я приведу в качестве примера метод Роберваля для касательных, природа которого по существу современна и который, однако, ведет в определенных случаях к полным решениям без какой-либо помощи исчисления. Таким образом, не инструмент дедукции является главным различием между двумя путями, которые человеческий разум может избрать в геометрии.

Реальное фундаментальное различие, до сих пор несовершенно понятое, кажется мне состоящим в самой природе рассматриваемых вопросов. По правде говоря, геометрия, рассматриваемая как целое и предполагаемая достигшей полного совершенства, должна, с одной стороны, охватывать все мыслимые фигуры, а с другой — открывать все свойства каждой фигуры. Она допускает, исходя из этого двойного соображения, рассмотрение согласно двум существенно различным планам: либо 1°, группируя вместе все вопросы, какими бы разными они ни были, которые относятся к одной и той же фигуре, и изолируя те, что относятся к различным телам, какая бы аналогия между ними ни существовала; либо 2°, напротив, объединяя под одной точкой зрения все подобные исследования, к каким бы различным фигурам они ни относились, и разделяя вопросы, относящиеся к действительно различным свойствам одного и того же тела. Одним словом, весь корпус геометрии может быть существенно организован либо со ссылкой на изучаемые тела, либо на рассматриваемые явления. Первый план, который является наиболее естественным, был планом древних; второй, бесконечно более рациональный, — это план новых со времен Декарта.

Геометрия древних. Действительно, главная характеристика древней геометрии состоит в том, что они изучали одну за другой различные линии и различные поверхности, не переходя к исследованию новой фигуры, пока не считали, что исчерпали все интересное в уже известных фигурах. При таком способе действия, когда они приступали к изучению новой кривой, весь труд, затраченный на предыдущие, не мог предложить непосредственно никакой существенной помощи, иначе как через геометрическую практику, к которой он приучил ум. Каким бы ни было реальное сходство вопросов, предложенных для двух различных фигур, полное знание, приобретенное для одной, никак не могло избавить от необходимости начинать все исследование заново для другой. Таким образом, прогресс ума никогда не был обеспечен; так что они не могли быть уверены заранее в получении какого-либо решения, каким бы аналогичным ни был предложенный вопрос вопросам, которые уже были решены. Так, например, определение касательных к трем коническим сечениям не давало никакой рациональной помощи для проведения касательной к любой другой новой кривой, такой как конхоида, циссоида и т. д. Одним словом, геометрия древних была, согласно предложенному выше выражению, по существу специальной.

Геометрия новых. В системе новых геометрия, напротив, является в высшей степени общей, то есть относящейся к любым фигурам вообще. Легко понять, во-первых, что все геометрические выражения, представляющие какой-либо интерес, могут быть предложены со ссылкой на все мыслимые фигуры. Это видно непосредственно в фундаментальных задачах — спрямлениях, квадратурах и кубатурах, — которые составляют, как было показано, конечную цель геометрии. Но это замечание не менее неоспоримо даже для исследований, которые относятся к различным свойствам линий и поверхностей и из которых наиболее существенные, такие как вопрос о касательных или касательных плоскостях, теория кривизн и т. д., очевидно, общи для всех фигур вообще. Те немногие исследования, которые действительно присущи конкретным фигурам, имеют лишь чрезвычайно второстепенное значение. При этом современная геометрия состоит по существу в абстрагировании, чтобы рассматривать ее саму по себе, совершенно общим образом, каждого вопроса, относящегося к одному и тому же геометрическому явлению, в каких бы телах он ни рассматривался. Применение универсальных теорий, построенных таким образом, к специальному определению явления, которое рассматривается в каждом конкретном теле, теперь рассматривается лишь как подчиненный труд, выполняемый согласно неизменным правилам, успех которого обеспечен заранее. Этот труд, одним словом, того же характера, что и числовой расчет аналитической формулы. В нем не может быть другой заслуги, кроме представления в каждом случае решения, которое неизбежно предоставляется общим методом, со всей простотой и элегантностью, которые может допустить рассматриваемая линия или поверхность. Но реальное значение придается только осмыслению и полному решению нового вопроса, относящегося к любой фигуре вообще. Только труды такого рода рассматриваются как производящие какой-либо реальный прогресс в науке. Внимание геометров, таким образом освобожденное от исследования особенностей различных фигур и полностью направленное на общие вопросы, смогло благодаря этому подняться до рассмотрения новых геометрических концепций, которые, будучи применены к кривым, изученным древними, привели к открытию важных свойств, которые они ранее даже не подозревали. Такова геометрия со времени радикальной революции, произведенной Декартом в общей системе науки.

Превосходство современной геометрии. Одно лишь указание фундаментального характера каждой из двух геометрий, несомненно, достаточно, чтобы сделать очевидным огромное необходимое превосходство современной геометрии. Мы можем даже сказать, что до великой концепции Декарта рациональная геометрия не была по-настоящему конституирована на окончательных основаниях, ни в своих абстрактных, ни в своих конкретных отношениях. В самом деле, что касается науки, рассматриваемой умозрительно, ясно, что при продолжении бесконечного следования курсом древних, как это делали новые до Декарта и даже некоторое время спустя, добавляя некоторые новые кривые к небольшому числу тех, которые они изучили, прогресс, достигнутый таким образом, каким бы быстрым он ни был, все равно оказался бы после долгого ряда веков очень незначительным по сравнению с общей системой геометрии, учитывая бесконечное разнообразие форм, которые все еще оставались бы неизученными. Напротив, при каждом вопросе, решенном согласно методу новых, число геометрических задач, подлежащих решению, уменьшается раз и навсегда на столько же в отношении всех возможных тел. Другое соображение состоит в том, что из их полного отсутствия общих методов следовало, что древние геометры во всех своих исследованиях были полностью предоставлены самим себе, никогда не имея уверенности в получении, рано или поздно, какого-либо решения вообще. Хотя это несовершенство науки было в высшей степени подходящим для того, чтобы вызвать всю их восхитительную проницательность, оно неизбежно делало их прогресс чрезвычайно медленным; мы можем составить некоторое представление об этом по значительному времени, которое они затратили на изучение конических сечений. Современная геометрия, делая прогресс нашего ума уверенным, позволяет нам, напротив, максимально использовать силы нашего интеллекта, которые древние часто были вынуждены тратить на очень неважные вопросы.

Не менее важное различие между двумя системами проявляется, когда мы приходим к рассмотрению геометрии с конкретной точки зрения. Действительно, мы уже заметили, что отношение абстрактного к конкретному в геометрии может быть основано на рациональных основаниях только в той мере, в какой исследования направлены непосредственно на все мыслимые фигуры. При изучении линий, только одну за другой, каким бы ни было число, всегда неизбежно очень малое, тех, которые мы рассмотрели, применение таких теорий к фигурам, реально существующим в природе, никогда не будет иметь иного, кроме как по существу случайного характера, поскольку нет ничего, что гарантировало бы нам, что эти фигуры могут быть действительно подведены под абстрактные типы, рассматриваемые геометрами.

Так, например, в счастливом отношении, установленном между спекуляциями греческих геометров о конических сечениях и определением истинных планетных орбит, безусловно, есть нечто случайное. При продолжении геометрических исследований по тому же плану не было веских причин надеяться на подобные совпадения; и было бы возможно, в этих специальных исследованиях, что исследования геометров были бы направлены на абстрактные фигуры, совершенно неспособные к какому-либо применению, в то время как они пренебрегали другими, возможно, восприимчивыми к важному и немедленному применению. Ясно, по крайней мере, что ничто положительно не гарантировало необходимую применимость геометрических спекуляций. Совсем другое дело в современной геометрии. Из того единственного обстоятельства, что в ней мы действуем посредством общих вопросов, относящихся к любым фигурам вообще, мы заранее имеем очевидную уверенность в том, что фигуры, реально существующие во внешнем мире, ни в коем случае не могли бы ускользнуть от соответствующей теории, если геометрическое явление, которое она рассматривает, проявляется в них.

Из этих различных соображений мы видим, что древняя система геометрии носит по существу характер младенчества науки, которая не начала становиться полностью рациональной до философской революции, произведенной Декартом. Но очевидно, с другой стороны, что геометрия не могла быть поначалу осмыслена иначе, как в этой специальной манере. Общая геометрия не была бы возможна, и ее необходимость даже не могла бы быть ощущена, если бы долгий ряд специальных трудов над наиболее простыми фигурами не предоставил предварительно оснований для концепции Декарта и не сделал бы очевидной невозможность бесконечного упорствования в примитивной геометрической философии.

Древнее — основа современного. Из этого последнего соображения мы должны сделать вывод, что, хотя геометрию, которую я назвал общей, теперь следует рассматривать как единственную истинную догматическую геометрию и ту, на которой мы будем главным образом ограничиваться, поскольку другая не имеет больше почти никакого интереса, кроме исторического, тем не менее невозможно полностью обойтись без специальной геометрии в рациональном изложении науки. Нам, несомненно, не нужно заимствовать непосредственно из древней геометрии все результаты, которые она предоставила; но по самой природе предмета неизбежно невозможно полностью обойтись без древнего метода, который всегда будет служить предварительной основой науки, догматически, так же как и исторически. Причину этого легко понять. В самом деле, общая геометрия, будучи по существу основанной, как мы вскоре установим, на использовании исчисления при преобразовании геометрических соображений в аналитические, такой способ действия не мог овладеть предметом немедленно в его истоках. Мы знаем, что применение математического анализа по своей природе никогда не может начать какую-либо науку вообще, поскольку очевидно, что он не может быть использован до тех пор, пока наука не была уже достаточно культивирована, чтобы установить в отношении рассматриваемых явлений некоторые уравнения, которые могут служить отправными точками для аналитических операций. Эти фундаментальные уравнения, будучи однажды обнаруженными, позволят нам вывести из них множество следствий, которые ранее было бы невозможно даже заподозрить; он усовершенствует науку в огромной степени, как в отношении общности ее концепций, так и в отношении полной координации, установленной между ними. Но один лишь математический анализ никогда не мог бы быть достаточным для формирования оснований какой-либо естественной науки, даже для того, чтобы продемонстрировать их заново, когда они были однажды установлены. Ничто не может заменить прямое изучение предмета, доведенное до точки открытия точных отношений.

Мы таким образом видим, что геометрия древних всегда будет иметь по своей природе первичную часть, абсолютно необходимую и более или менее обширную, в полной системе геометрического знания. Она формирует строго обязательное введение в общую геометрию. Но именно этим она должна ограничиваться в полностью догматическом изложении. Я буду рассматривать, следовательно, непосредственно в следующей главе эту специальную или предварительную геометрию, ограниченную в точности ее необходимыми пределами, чтобы впредь заниматься только философским исследованием общей или окончательной геометрии, единственной, которая является подлинно рациональной и которая в настоящее время по существу составляет науку.

ГЛАВА II.

ДРЕВНЯЯ ИЛИ СИНТЕТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Поскольку геометрический метод древних неизбежно составляет предварительный отдел в догматической системе геометрии, предназначенный для предоставления общей геометрии обязательных оснований, теперь уместно начать с определения того, в чем строго состоит эта предварительная функция специальной геометрии, таким образом сведенной к самым узким возможным пределам.

ЕЕ НАДЛЕЖАЩАЯ ПРОТЯЖЕННОСТЬ.

Линии; многоугольники; многогранники. Рассматривая ее под этой точкой зрения, легко признать, что мы могли бы ограничить ее изучением только прямой линии в том, что касается геометрии линий; квадратурой прямолинейных плоских областей; и, наконец, кубатурой тел, ограниченных плоскими гранями. Элементарные предложения, относящиеся к этим трем фундаментальным вопросам, формируют, в самом деле, необходимую отправную точку всех геометрических исследований; они одни не могут быть получены иначе, как путем прямого изучения предмета; в то время как, напротив, полная теория всех других фигур, даже теория круга и поверхностей и объемов, которые с ним связаны, может в наши дни быть полностью включена в область общей или аналитической геометрии; эти примитивные элементы сразу предоставляют уравнения, которые достаточны для того, чтобы позволить применение исчисления к геометрическим вопросам, что было бы невозможно без этого предварительного условия.

Из этого соображения следует, что в обычной практике мы придаем элементарной геометрии больше протяженности, чем было бы строго необходимо для нее; поскольку, помимо прямой линии, многоугольников и многогранников, мы также включаем в нее круг и «круглые» тела; изучение которых могло бы, однако, быть столь же чисто аналитическим, как, например, изучение конических сечений. Нерефлексивное почитание древности способствует поддержанию этого дефекта в методе; но лучшая причина, которая может быть приведена для этого, — это серьезное неудобство для обычного обучения, которое заключалось бы в откладывании на столь отдаленную эпоху математического образования решения нескольких существенных вопросов, которые восприимчивы к прямому и постоянному применению для большого числа важных целей. В самом деле, чтобы действовать наиболее рациональным образом, мы должны были бы использовать интегральное исчисление при получении интересных результатов, относящихся к длине или площади круга, или к квадратуре сферы и т. д., которые были определены древними из чрезвычайно простых соображений. Это неудобство имело бы мало значения в отношении лиц, предназначенных для изучения всей математической науки, и преимущество действия в совершенно логическом порядке имело бы гораздо большую сравнительную ценность. Но поскольку обратный случай является более частым, теории, столь существенные, неизбежно были сохранены в элементарной геометрии. Возможно, конические сечения, циклоида и т. д. могли бы быть выгодно добавлены в таких случаях.

Не подлежит дальнейшему ограничению. Хотя эта предварительная часть геометрии, которая не может быть основана на применении исчисления, сведена по своей природе к очень ограниченному ряду фундаментальных исследований, относящихся к прямой линии, многоугольным областям и многогранникам, несомненно, с другой стороны, что мы не можем ограничить ее больше; хотя, по истинному злоупотреблению духом анализа, недавно была предпринята попытка представить установление главных теорем элементарной геометрии под алгебраической точкой зрения. Так, некоторые претендовали на то, чтобы продемонстрировать посредством простых абстрактных соображений математического анализа постоянное отношение, которое существует между тремя углами прямолинейного треугольника, фундаментальное предложение теории подобных треугольников, теорию параллелепипедов и т. д.; одним словом, именно те геометрические предложения, которые не могут быть получены иначе, как путем прямого изучения предмета, без того, чтобы исчисление было способно иметь в этом какую-либо часть. Такие аберрации являются нерефлексивными преувеличениями той естественной и философской тенденции, которая ведет нас к расширению все дальше и дальше влияния анализа в математических исследованиях. В механике мнимые аналитические доказательства параллелограмма сил имеют аналогичный характер.

Порочность такого способа действия вытекает из принципов, представленных ранее. Мы уже, в самом деле, признали, что, поскольку исчисление не является и не может быть ничем иным, кроме как средством дедукции, это указывало бы на радикально ложную идею о нем, если бы мы пожелали использовать его при установлении элементарных оснований какой-либо науки вообще; ибо на чем покоились бы аналитические рассуждения в такой операции? Труд такого рода, очень далекий от реального совершенствования философского характера науки, представлял бы собой возврат к метафизическому веку, представляя реальные факты как простые логические абстракции.

Когда мы рассматриваем сами по себе эти мнимые аналитические доказательства фундаментальных предложений элементарной геометрии, мы легко проверяем их необходимую бессмысленность. Все они основаны на порочном способе осмысления принципа однородности, истинная общая идея которого была объяснена во второй главе предыдущей книги. Эти доказательства предполагают, что этот принцип не позволяет нам допустить сосуществование в одном и том же уравнении чисел, полученных посредством различных конкретных сравнений, что очевидно ложно и противоречит постоянной практике геометров. Таким образом, легко признать, что, используя закон однородности в этой произвольной и нелегитимной интерпретации, мы могли бы преуспеть в «доказательстве» с такой же кажущейся строгостью предложений, абсурдность которых очевидна с первого взгляда. Внимательно изучая, например, процедуру, с помощью которой была предпринята попытка доказать аналитически, что сумма трех углов любого прямолинейного треугольника постоянно равна двум прямым углам, мы видим, что она основана на этом предварительном принципе: если два треугольника имеют два своих угла соответственно равными, третий угол одного будет неизбежно равен третьему углу другого. Этот первый пункт будучи принят, предложенное отношение немедленно выводится из него очень точным и простым образом. Теперь аналитическое соображение, посредством которого была предпринята попытка установить это предыдущее предложение, таково, что, если бы оно могло быть верным, мы могли бы строго вывести из него, воспроизводя его обратно, этот явный абсурд, что двух сторон треугольника достаточно, без какого-либо угла, для полного определения третьей стороны. Мы можем сделать аналогичные замечания по всем доказательствам такого рода, софизмы которых будут таким образом проверены совершенно очевидным образом.

Чем больше у нас оснований рассматривать здесь геометрию как в наши дни по существу аналитическую, тем более необходимо было остерегаться этого злоупотребляющего преувеличения математического анализа, согласно которому всякое геометрическое наблюдение было бы излишним, устанавливая на чистых алгебраических абстракциях самые основания этой естественной науки.

Попытки доказательств аксиом и т. д. Другой признак того, что геометры слишком упустили из виду характер естественной науки, который неизбежно присущ геометрии, проявляется в их тщетных попытках, так долго предпринимавшихся, доказать строго, не с помощью исчисления, а посредством определенных конструкций, несколько фундаментальных предложений элементарной геометрии. Что бы ни было предпринято, будет очевидно невозможно избежать иногда обращения к простому и прямому наблюдению в геометрии как средству установления различных результатов. В то время как в этой науке явления, которые рассматриваются, в силу их крайней простоты гораздо более тесно связаны друг с другом, чем те, что относятся к любой другой физической науке, некоторые все же должны быть найдены, которые не могут быть выведены и которые, напротив, служат отправными точками. Можно допустить, что величайшее логическое совершенство науки состоит в сведении их к наименьшему возможному числу, но было бы абсурдно претендовать на то, чтобы заставить их полностью исчезнуть. Я признаю, более того, что я нахожу меньше реальных неудобств в расширении, немного сверх того, что было бы строго необходимо, числа этих геометрических понятий, установленных таким образом прямым наблюдением, при условии, что они достаточно просты, чем в превращении их в предметы сложных и косвенных доказательств, даже когда эти доказательства могут быть логически безупречными.

Поскольку истинное догматическое назначение геометрии древних, сведенное к ее минимально необходимым разработкам, было охарактеризовано настолько точно, насколько это возможно, уместно кратко рассмотреть каждую из основных частей, из которых она должна состоять. Я полагаю, что здесь могу ограничиться рассмотрением первой и наиболее обширной из этих частей, объектом которой является изучение прямой линии; две другие секции, а именно квадратура многоугольников и кубатура многогранников, в силу своей ограниченности не могут дать повода для каких-либо философских соображений, отличных от тех, что были указаны в предыдущей главе относительно измерения площадей и объемов в целом.

ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ.

Конечный вопрос, который мы всегда имеем в виду при изучении прямой линии, состоит в определении посредством друг друга различных элементов любой прямолинейной фигуры; это позволяет нам всегда косвенно знать длину и положение прямой линии, в каких бы обстоятельствах она ни находилась. Эта фундаментальная задача допускает два общих решения, природа которых совершенно различна: одно графическое, другое алгебраическое. Первое, хотя и весьма несовершенное, должно рассматриваться в первую очередь, поскольку оно спонтанно выводится из прямого изучения предмета; второе, гораздо более совершенное в наиболее важных отношениях, может быть изучено только после него, так как оно основано на предварительном знании первого.

ГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ.

Графическое решение состоит в произвольном построении предложенной фигуры либо с теми же размерами, либо, что чаще, с размерами, измененными в любом отношении. Первый способ следует лишь упомянуть как наиболее простой и тот, который первым приходит на ум, ибо он, очевидно, по своей природе почти полностью непригоден для применения. Второй, напротив, может быть применен весьма широко и полезно. Мы до сих пор продолжаем широко и постоянно использовать его не только для точного изображения форм тел и их относительного положения, но даже для фактического определения геометрических величин, когда нам не требуется высокая точность. Древние, вследствие несовершенства своих геометрических знаний, использовали эту процедуру гораздо более широко, поскольку долгое время она была единственной, которую они могли применять даже в самых важных точных определениях. Так, например, Аристарх Самосский оценивал относительное расстояние от Солнца и от Луны до Земли, производя измерения на треугольнике, построенном как можно точнее, чтобы он был подобен прямоугольному треугольнику, образованному тремя телами в тот момент, когда Луна находится в квадратуре, и когда, следовательно, наблюдения угла у Земли было бы достаточно для определения треугольника. Сам Архимед, хотя он первым ввел в геометрию расчетные определения, несколько раз использовал подобные средства. Формирование тригонометрии не привело к полному отказу от этого метода, хотя и значительно уменьшило его использование; греки и арабы продолжали применять его для множества исследований, в которых мы сейчас считаем использование исчисления незаменимым.

Это точное воспроизведение любой фигуры в другом масштабе не может представлять большой теоретической трудности, когда все части предложенной фигуры лежат в одной плоскости. Но если мы предположим, как это чаще всего бывает, что они расположены в разных плоскостях, то мы увидим, как возникает новый порядок геометрических соображений. Искусственная фигура, которая постоянно является плоской, в этом случае не может быть совершенно точным изображением реальной фигуры, поэтому необходимо предварительно с точностью зафиксировать способ представления, что порождает различные системы проекций.

Тогда остается определить, по каким законам геометрические явления соответствуют друг другу в двух фигурах. Это соображение порождает новую серию геометрических исследований, конечная цель которых состоит в том, чтобы обнаружить, как мы можем заменить пространственные конструкции плоскими. Древним приходилось решать несколько элементарных вопросов такого рода для различных случаев, в которых мы сейчас используем сферическую тригонометрию, главным образом для различных задач, относящихся к небесной сфере. Таков был объект их аналемм и других плоских фигур, которые долгое время заменяли исчисление. Мы видим из этого, что древние действительно знали элементы того, что мы сейчас называем начертательной геометрией, хотя они и не представляли ее в отчетливом и общем виде.

Я считаю уместным кратко указать здесь истинный философский характер этой «начертательной геометрии», хотя, будучи по существу наукой прикладной, она не должна быть включена в надлежащую область данной работы.

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Все вопросы геометрии трех измерений неизбежно порождают при рассмотрении их графического решения общую трудность, которая им свойственна: замену различных пространственных конструкций, необходимых для их прямого решения и которые почти всегда невозможно выполнить, простыми эквивалентными плоскими конструкциями, с помощью которых мы в конечном итоге получаем те же результаты. Без этого необходимого преобразования любое решение такого рода было бы, очевидно, неполным и практически неприменимым, хотя теоретически пространственные конструкции обычно предпочтительнее как более прямые. Именно для того, чтобы предоставить общие средства для постоянного осуществления такого преобразования, была создана начертательная геометрия, сформированная в отчетливую и однородную систему прославленным Монжем. Он изобрел, во-первых, единообразный метод представления тел фигурами, начерченными на одной плоскости, с помощью проекций на две различные плоскости, обычно перпендикулярные друг другу, одна из которых, как предполагается, вращается вокруг их общего пересечения, чтобы совпасть с другой; в этой системе, или в любой другой, эквивалентной ей, достаточно рассматривать точки и линии как определяемые их проекциями, а поверхности — как определяемые проекциями их образующих линий. После этого Монж, анализируя с глубокой проницательностью различные частные работы такого рода, которые ранее выполнялись с помощью множества несогласованных процедур, а также рассматривая в общем и прямом виде, в чем должны состоять вопросы такого рода, обнаружил, что их всегда можно свести к очень небольшому числу неизменных абстрактных задач, которые могут быть решены отдельно, раз и навсегда, с помощью единообразных операций, относящихся по существу одни к контактам, а другие к пересечениям поверхностей. Поскольку были сформированы простые и полностью общие методы графического решения этих двух порядков задач, все геометрические вопросы, которые могут возникнуть в любом из различных искусств строительства — камнерезном деле, столярном деле, перспективе, гномонике, фортификации и т. д. — могут отныне рассматриваться как простые частные случаи единой теории, неизменное применение которой всегда будет обязательно приводить к точному решению, что может быть облегчено на практике путем использования особых обстоятельств каждого случая.

Это важное творение заслуживает в значительной степени привлечь внимание тех философов, которые рассматривают все, что человеческий род уже совершил, как первый шаг, и пока единственный действительно завершенный, к тому общему обновлению человеческих трудов, которое должно придать всем нашим искусствам характер точности и рациональности, столь необходимый для их будущего прогресса. Такая революция должна, по сути, неизбежно начаться с того класса промышленных работ, который существенно связан с той наукой, которая является самой простой, самой совершенной и самой древней. Она не может не распространиться в будущем, хотя и с меньшей легкостью, на все другие практические операции. Действительно, сам Монж, который понимал истинную философию искусств лучше, чем кто-либо другой, пытался наметить соответствующую систему для механических искусств.

Насколько бы существенной ни была концепция начертательной геометрии, очень важно не обманываться относительно ее истинного назначения, как это делали те, кто в пылу ее первого открытия видел в ней средство расширения общей и абстрактной области рациональной геометрии. Результат никоим образом не оправдал этих ошибочных надежд. И, действительно, разве не очевидно, что начертательная геометрия не имеет особой ценности, кроме как в качестве прикладной науки и как формирование истинной специальной теории геометрических искусств? Рассматриваемая в своих абстрактных отношениях, она не могла ввести никакого действительно отличного порядка геометрических спекуляций. Мы не должны забывать, что для того, чтобы геометрический вопрос попал в особую область начертательной геометрии, он должен был быть предварительно решен спекулятивной геометрией, решения которой затем, как мы видели, всегда нуждаются в подготовке к практике таким образом, чтобы заменить пространственные конструкции плоскими; подстановка, которая действительно составляет единственную характерную функцию начертательной геометрии.

Однако уместно заметить здесь, что в отношении интеллектуального образования изучение начертательной геометрии обладает важной философской особенностью, совершенно независимой от ее высокой промышленной полезности. Это преимущество, которое она столь выдающимся образом предлагает — приучая ум рассматривать очень сложные геометрические комбинации в пространстве и точно следовать их постоянному соответствию с фигурами, которые фактически начерчены, — тем самым упражняя до предела, самым верным и точным образом, ту важную способность человеческого ума, которая правильно называется «воображением» и которая состоит, в своем элементарном и позитивном понимании, в представлении себе, ясно и легко, обширной и изменчивой совокупности идеальных объектов, как если бы они действительно были перед нами.

Наконец, чтобы завершить указание общего характера начертательной геометрии путем определения ее логического характера, мы должны заметить, что, хотя она принадлежит к геометрии древних по характеру своих решений, с другой стороны, она приближается к геометрии современников по природе вопросов, которые ее составляют. Эти вопросы, по сути, в высшей степени примечательны той общностью, которая, как мы видели в предыдущей главе, составляет истинный фундаментальный характер современной геометрии; ибо используемые методы всегда задумываются как применимые к любым фигурам, причем особенность каждой имеет лишь чисто второстепенное влияние. Решения начертательной геометрии, таким образом, являются графическими, как и большинство решений древних, и в то же время общими, как решения современников.

После этого важного отступления мы продолжим философское исследование специальной геометрии, всегда рассматриваемой как сведенная к ее минимально возможному развитию, в качестве необходимого введения в общую геометрию. Мы уже достаточно рассмотрели графическое решение фундаментальной задачи, относящейся к прямой линии — то есть определение различных элементов любой прямолинейной фигуры посредством друг друга — и теперь должны рассмотреть особым образом алгебраическое решение.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ.

Этот вид решения, на очевидном превосходстве которого здесь нет нужды останавливаться, принадлежит по самой природе вопроса к системе древней геометрии, хотя логический метод, который при этом используется, заставляет его обычно, но очень неправильно, отделять от нее. У нас есть таким образом возможность проверить в очень важном отношении то, что было установлено в общем виде в предыдущей главе: что современная геометрия существенно отличается от древней не использованием исчисления. Древние, по сути, являются истинными изобретателями нынешней тригонометрии, как сферической, так и прямолинейной; она была лишь гораздо менее совершенной в их руках из-за крайней неразвитости их алгебраических знаний. Таким образом, именно в этой главе, а не, как могло бы показаться на первый взгляд, в тех, которые мы впоследствии посвятим философскому исследованию общей геометрии, уместно рассмотреть характер этой важной предварительной теории, которая обычно, хотя и неправильно, включается в то, что называется аналитической геометрией, но которая на самом деле является лишь дополнением элементарной геометрии в собственном смысле слова.

Поскольку все прямолинейные фигуры могут быть разложены на треугольники, очевидно, достаточно знать, как определять различные элементы треугольника посредством друг друга, что сводит полигонометрию к простой тригонометрии.

ТРИГОНОМЕТРИЯ.

Трудность алгебраического решения такого вопроса, как вышеуказанный, состоит, по существу, в формировании между углами и сторонами треугольника трех различных уравнений; которые, будучи однажды полученными, очевидно, сведут все тригонометрические задачи к простым вопросам анализа.

Как вводить углы. Рассматривая установление этих уравнений в самом общем виде, мы немедленно встречаемся с фундаментальным различием в отношении способа введения углов в расчет, в зависимости от того, вводятся ли они непосредственно, сами по себе или через пропорциональные им дуги окружности, или косвенно, через хорды этих дуг, которые поэтому называются их тригонометрическими линиями. Из этих двух систем тригонометрии вторая по необходимости была единственной, принятой изначально, как единственно осуществимая, поскольку состояние геометрии позволяло довольно легко находить точные соотношения между сторонами треугольников и тригонометрическими линиями, представляющими углы, в то время как в ту эпоху было бы абсолютно невозможно установить уравнения между сторонами и самими углами.

Преимущества введения тригонометрических линий. В настоящее время, поскольку решение может быть получено любой из систем безразлично, этот мотив для предпочтения больше не существует; но геометры тем не менее продолжают по выбору следовать системе, первоначально принятой по необходимости; ибо та же причина, которая позволяла получать эти тригонометрические уравнения с гораздо большей легкостью, должна, подобным образом, как это еще легче понять априори, делать эти уравнения гораздо более простыми, поскольку они тогда существуют только между прямыми линиями, вместо того чтобы устанавливаться между прямыми линиями и дугами окружностей. Такое соображение имеет тем большее значение, что вопрос касается формул, которые являются в высшей степени элементарными и предназначены для постоянного использования во всех частях математической науки, а также во всех ее различных приложениях.

Однако можно возразить, что когда угол задан, он, в действительности, всегда задан сам по себе, а не через свои тригонометрические линии; и что когда он неизвестен, именно его угловая величина должна быть определена, а не величина какой-либо из его тригонометрических линий. Кажется, согласно этому, что такие линии являются лишь бесполезными посредниками между сторонами и углами, которые должны быть в конечном итоге исключены, и введение которых не кажется способным упростить предложенное исследование. Действительно важно объяснить с большей общностью и точностью, чем это принято, великую реальную полезность такого способа действий.

Разделение тригонометрии на две части. Оно состоит в том, что введение этих вспомогательных величин разделяет весь вопрос тригонометрии на два других, существенно различных, один из которых имеет целью переход от углов к их тригонометрическим линиям, или наоборот, а другой предлагает определять стороны треугольников через тригонометрические линии их углов, или наоборот. Теперь первый из этих двух фундаментальных вопросов, очевидно, по своей природе допускает возможность быть полностью обработанным и сведенным к числовым таблицам раз и навсегда, при рассмотрении всех возможных углов, поскольку он зависит только от этих углов, а вовсе не от конкретных треугольников, в которые они могут входить в каждом случае; в то время как решение второго вопроса должно обязательно возобновляться, по крайней мере в своих арифметических отношениях, для каждого нового треугольника, который необходимо решить. Это причина, по которой первая часть полной работы, которая была бы именно самой трудоемкой, больше не принимается в расчет, будучи всегда выполненной заранее; в то время как, если бы такое разложение не было произведено, мы бы, очевидно, оказались перед необходимостью возобновлять весь расчет в каждом частном случае. Таково существенное свойство нынешней тригонометрической системы, которая, по сути, действительно не представляла бы никакого реального преимущества, если бы было необходимо постоянно вычислять тригонометрическую линию каждого рассматриваемого угла, или наоборот; введенное промежуточное звено было бы тогда более обременительным, чем удобным.

Чтобы ясно понять истинную природу этой концепции, будет полезно сравнить ее с еще более важной, предназначенной для производства аналогичного эффекта либо в своих алгебраических, либо, что еще важнее, в своих арифметических отношениях — с восхитительной теорией логарифмов. Рассматривая философским образом влияние этой теории, мы видим, по сути, что ее общий результат состоит в разложении всех мыслимых арифметических операций на две различные части. Первая и самая сложная из них может быть выполнена заранее раз и навсегда (поскольку она зависит только от рассматриваемых чисел, а вовсе не от бесконечно различных комбинаций, в которые они могут входить) и состоит в рассмотрении всех чисел как назначаемых степеней постоянного числа. Вторая часть вычисления, которая по необходимости должна возобновляться для каждой новой формулы, значение которой должно быть определено, с этого момента сводится к выполнению над этими показателями коррелятивных операций, которые бесконечно проще. Я ограничиваюсь здесь лишь указанием на это сходство, которое каждый может развить для себя.

Мы должны, кроме того, отметить, как свойство (второстепенное в наши дни, но всеважное в своем происхождении) принятой тригонометрической системы, весьма примечательное обстоятельство, что определение углов через их тригонометрические линии, или наоборот, допускает арифметическое решение (единственное, которое прямо необходимо для специального назначения тригонометрии) без предварительного решения соответствующего алгебраического вопроса. Несомненно, именно такой особенности древние были обязаны возможностью познания тригонометрии. Исследование, задуманное таким образом, было тем более легким, поскольку таблицы хорд (которые древние естественно принимали за тригонометрические линии) были ранее построены для совершенно другой цели, в ходе работ Архимеда по спрямлению окружности, из чего следовало фактическое определение определенного ряда хорд; так что когда Гиппарх впоследствии изобрел тригонометрию, он мог ограничиться завершением этой операции подходящими интерполяциями; что ясно показывает связь идей в этом вопросе.

Увеличение таких тригонометрических линий. Чтобы завершить этот философский очерк тригонометрии, уместно теперь заметить, что расширение тех же соображений, которые ведут нас к замене углов или дуг окружностей прямыми линиями с целью упрощения наших уравнений, должно также вести нас к одновременному использованию нескольких тригонометрических линий вместо того, чтобы ограничиваться только одной (как это делали древние), с тем чтобы усовершенствовать эту систему, выбирая ту, которая будет алгебраически наиболее удобной в каждом случае. С этой точки зрения ясно, что количество этих линий само по себе никоим образом не ограничено; при условии, что они определяются дугой и что они определяют ее, каков бы ни был закон, согласно которому они из нее выводятся, они пригодны для замены ее в уравнениях. Арабы, а впоследствии и современники, ограничиваясь самыми простыми конструкциями, довели до четырех или пяти число прямых тригонометрических линий, которое могло бы быть расширено гораздо дальше.

Но вместо того чтобы прибегать к геометрическим построениям, которые в конечном итоге стали бы очень сложными, мы с величайшей легкостью задумываем столько новых тригонометрических линий, сколько могут потребовать аналитические преобразования, с помощью замечательного приема, который обычно не понимается в достаточно общем виде. Он состоит не в прямом умножении тригонометрических линий, соответствующих каждой рассматриваемой дуге, а во введении новых, рассматривая эту дугу как косвенно определяемую всеми линиями, относящимися к дуге, которая является очень простой функцией первой. Так, например, чтобы вычислить угол с большей легкостью, мы определим вместо его синуса синус его половины, или его удвоения и т. д. Такое создание косвенных тригонометрических линий, очевидно, гораздо более плодотворно, чем все прямые геометрические методы получения новых. Мы можем, соответственно, сказать, что число тригонометрических линий, фактически используемых в настоящее время геометрами, в действительности неограниченно, поскольку в каждое мгновение, так сказать, преобразования анализа могут привести нас к его увеличению методом, который я только что указал. Специальные названия, однако, были даны только тем из этих косвенных линий, которые относятся к дополнению примитивной дуги, остальные не встречаются достаточно часто, чтобы сделать такие наименования необходимыми; обстоятельство, которое вызвало общее заблуждение относительно истинного объема системы тригонометрии.