«Монист, Том III, 1892-1893»

Аксиомы геометрии, таким образом, будучи выявленными как факты опыта, возник вопрос, не могут ли таким же образом, каким было показано, что возможны различные двумерные геометрии, быть развиты также различные трехмерные системы геометрии; и, следовательно, каковы были отношения, в которых они могли бы стоять к геометрии пространства, данного нашими чувствами и представимого нашему уму. Как факт, трехмерная геометрия может быть развита, которая, подобно геометрии поверхности яйца, исключит аксиому, что фигура или тело может быть перенесено из любой одной части пространства в любую другую и все же оставаться конгруэнтным самому себе. О трехмерном пространстве, в котором такая геометрия может быть развита, мы говорим, что оно не имеет постоянной меры кривизны.

Пространство, которое представимо нам и которое мы будем впредь называть пространством опыта, обладает, как подтверждают наши опыты без исключения, особым свойством, что каждая телесная вещь может быть перенесена из любой одной части его в любую другую, не претерпевая при переносе никакого растяжения или никакого сжатия. Пространство опыта, следовательно, имеет постоянную меру кривизны. Вопрос, однако, является ли эта мера кривизны ноль или положительной, то есть обладает ли пространство опыта свойствами, которыми в двумерных структурах обладает плоскость, или является ли оно трехмерным аналогом поверхности сферы, — это вопрос, на который может ответить только будущий опыт. Если пространство опыта имеет постоянную положительную меру кривизны, которая отлична от нуля, будь разница хоть сколь угодно малой, точка, которая должна была бы двигаться вечно вперед по прямой линии, или, точнее выражаясь, по кратчайшей линии, должна была бы когда-нибудь, хотя, возможно, после прохождения расстояния, которое для нас немыслимо, в конечном итоге прибыть с противоположного направления в то место, из которого она отправилась, точно так же, как точка, которая движется вечно вперед в том же направлении на поверхности сферы, должна в конечном итоге прибыть в свою исходную точку, причем расстояние, которое она проходит, тем длиннее, чем больше радиус сферы или чем меньше ее кривизна.

Покажется, на первый взгляд, почти невероятным, что пространство опыта даже может иметь это свойство. Но пример, который является историческим аналогом этой современной трансформации наших концепций, сделает идею менее чудесной. Давайте перенесемся назад в эпоху Гомера. В то время люди верили, что Земля — это большой диск, окруженный со всех сторон океанами, которые мыслились во всех направлениях бесконечно большими. Действительно, для первобытного человека, который никогда не путешествовал далеко от места своего рождения, это самая естественная концепция. Но представьте теперь, что пришел бы какой-то ученый и сообщил гомеровскому герою Улиссу, что если бы он путешествовал вечно по Земле в том же направлении, он в конечном итоге вернулся бы в точку, из которой начал; конечно, Улисс смотрел бы с таким же изумлением на этого ученого, как мы сейчас смотрим на математика, который говорит нам, что возможно, что точка, которая движется вечно вперед в пространстве в том же направлении, может в конечном итоге прибыть в место, из которого она начала. Но несмотря на тот факт, что Улисс рассматривал бы утверждение ученого как ложное, потому что оно противоречит его привычным концепциям, этот ученый, тем не менее, был бы прав; ибо Земля — это не плоскость, а сферическая поверхность. Так же и математик мог бы быть прав, который основывает этот более недавний странный взгляд на возможном факте, что пространство опыта может иметь меру кривизны, которая не точно ноль, а немного больше нуля. Если бы это было действительно так, объем пространства опыта, хотя и очень большой, был бы, тем не менее, конечным; точно так же, как реальная сферическая поверхность Земли в отличие от гомеровской плоской поверхности конечна, имея столько-то и столько-то квадратных миль. Когда здесь делается возражение, что конечность пространства полностью противоречит нашим способам мышления и концепциям, смешиваются две идеи: «бесконечно большое» и «неограниченное». Все, что противоречит нашим практическим концепциям, — это то, что пространство может где-либо иметь предел; а не то, что оно может, возможно, быть огромной, но конечной величины.

Теперь будет задан вопрос, не можем ли мы определить путем фактического наблюдения, является ли мера кривизны эмпирического пространства точно нулем или немного отличается от него. Теорема о сумме углов треугольника и выводы, которые следуют из этой теоремы, действительно дают нам средство для выяснения этого факта. И результаты наблюдения были таковы, что мера кривизны пространства по всей вероятности точно равна нулю, или, если она немного отличается от нуля, то настолько мало, что технические средства наблюдения, находящиеся в нашем распоряжении, и особенно наши телескопы, не компетентны определить величину отклонения. Большего мы с уверенностью сказать не можем.

Все эти размышления, к которым критика гипотез, лежащих в основе геометрии, давно привела исследователей, заставляют нас провести сравнение между пространством опыта и другими трехмерными агрегатами точек (пространствами), которые мы не можем ментально представить, но можем в мысли и слове точно определить и исследовать. Как только, однако, мы полностью вовлечены в задачу точного исследования свойств трехмерных агрегатов точек, мы аналогичным образом обнаруживаем себя вынужденными рассматривать такие агрегаты как составные элементы многомерности более чем трех измерений. Таким образом, точная критика даже обычной геометрии ведет нас к абстрактному допущению пространства более чем трех измерений. И так как расширение каждой идеи дает более ясную и прозрачную форму идее, как она стояла изначально, здесь тоже идея многомерных агрегатов точек и исследование их свойств пролили новый свет на истины обычной геометрии и поставили ее свойства в более ясный рельеф. Среди многочисленных примеров, которые показывают, как понятие пространства многих измерений сослужило большую службу науке в исследовании трехмерного пространства, мы дадим здесь место одному, который находится в пределах понимания нематематиков.

Представьте на плоскости два треугольника, углы которых обозначены парами чисел — а именно: 1-2, 1-3, 1-4 и 2-5, 3-5, 4-5. (См. рис. 2.) Пусть два треугольника лежат так, что три линии, которые соединяют углы 1-2 и 2-5, 1-3 и 3-5, и 1-4 и 4-5, пересекаются в точке, которую мы назовем 1-5. Если теперь мы заставим стороны треугольников, которые противоположны этим углам, пересечься, будет обнаружено, что полученные таким образом точки пересечения обладают своеобразным свойством лежать все на одной и той же прямой линии. Точку пересечения соединения 1-3 и 1-4 с соединением 4-5 и 3-5 можно соответствующим образом назвать 3-4. Аналогично, точка пересечения 2-4 производится встречей 4-5, 2-5 и 1-2, 1-4; и точка пересечения 2-3 — встречей 1-3, 1-2 и 3-5, 2-5. Утверждение, что три точки пересечения 3-4, 2-4, 2-3, полученные таким образом, лежат на одной прямой линии, может быть доказано принципами планиметрии только с трудом и большой обстоятельностью. Но прибегнув к трехмерному пространству опыта, в котором лежит плоскость чертежа, предложение может быть сделано почти самоочевидным.

Рис. 2.

Для начала представьте любые пять точек в пространстве, которые могут быть обозначены числами 1, 2, 3, 4, 5; затем представьте все возможные десять прямых линий соединения, проведенных между каждыми двумя из этих точек, а именно: 1-2, 1-3 ... 4-5; и, наконец, также все десять плоскостей соединения каждых трех описанных точек, а именно: плоскость 1-2-3, 1-2-4, ... 3-4-5. Таким образом будет получена пространственная фигура, чьи десять прямых линий встретят некоторую промежуточную плоскость в десяти точках, относительные положения которых точно таковы, как у десяти точек, описанных выше. Так, например, на этой плоскости точки 1-2, 1-3 и 2-3 будут лежать на прямой линии, ибо через три пространственные точки 1, 2, 3 можно провести плоскость, которая пересечет плоскость чертежа по прямой линии. Причина, следовательно, того, что три точки 3-4, 2-4, 2-3 также должны в конечном итоге лежать на прямой линии, состоит в простом факте, что плоскость трех точек 2, 3, 4 должна пересекать плоскость чертежа по прямой линии. Рассматриваемая здесь фигура состоит из десяти точек, из которых наборы по три лежат десять раз на прямой линии так, что, наоборот, из каждой точки также исходят три прямые линии.

Рис. 3.

Теперь, точно так же, как эта фигура является сечением полного трехмерного пятиугольника, другая замечательная фигура, обладающая подобными свойствами, может быть получена сечением фигуры четырехмерного пространства. Представьте, а именно, шесть точек, 1, 2, 3, 4, 5, 6, расположенных в этом четырехмерном пространстве, и каждые три из них соединены плоскостью, а каждые четыре из них — трехмерным пространством. Мы получим таким образом двадцать плоскостей и пятнадцать трехмерных пространств, которые пересекут плоскость, в которой должна быть произведена фигура, в двадцати точках и пятнадцати лучах, которые лежат так, что каждая точка испускает три луча и каждый луч содержит четыре точки. (См. рис. 3.) Фигуры такого описания, которые составлены из точек и лучей так, что равное число лучей исходит из каждой точки и равное число точек лежит на каждом луче, называются конфигурациями. Другие конфигурации могут, конечно, быть произведены путем взятия другого числа точек и путем допущения, что взятые точки лежат в пространстве других или даже более высоких измерений. Автор этой статьи был первым, кто обратил внимание на конфигурации, производные от пространств более высоких измерений. Как мы видим, значит, понятие пространства более чем трех измерений выполнило важную работу в исследованиях обычной планиметрии.

В заключение я хотел бы добавить замечание, которое делает Кранц относительно применения идеи многомерного пространства к теоретической химии. (См. ранее цитируемый трактат.) В химии молекулы сложного тела, как говорят, состоят из атомов элементов, которые содержатся в теле, и они предполагаются расположенными на определенных расстояниях друг от друга и удерживаемыми в своих относительных положениях определенными силами. Сначала центры атомов мыслились лежащими в одной и той же плоскости. Но Вислиценус был приведен исследованиями паралактической кислоты к объяснению различий изомерных молекул с одинаковыми структурными формулами различными положениями атомов в пространстве. (Сравните «La chimie dans l’espace» ван’т Гоффа, 1875, предисловие Й. Вислиценуса). На самом деле четыре точки всегда могут быть так расположены в пространстве, что каждые две из них могут иметь любое расстояние друг от друга; и изменение одного из шести расстояний не обязательно влечет за собой изменение любого другого.

Но предположим, что наша молекула состоит из пяти атомов. Четыре из них могут быть расположены так, что расстояние между любыми двумя из них можно сделать каким угодно. Но уже невозможно придать пятому атому такое положение, чтобы каждое из четырех расстояний, отделяющих его от остальных атомов, было каким угодно. Совсем наоборот, четвертое расстояние зависит от трех оставшихся, поскольку пространство опыта имеет только три измерения. Следовательно, если у меня есть молекула, состоящая из пяти атомов, я не могу изменить расстояние между двумя из них, не изменив при этом хотя бы еще одно расстояние. Но если мы представим центры атомов расположенными в четырехмерном пространстве, это становится возможным; тогда все десять расстояний, которые можно представить существующими между пятью точками, будут независимы друг от друга. Чтобы достичь того же результата в случае шести атомов, мы должны предположить пятимерное пространство, и так далее.

Теперь, если теоретические химические исследования абсолютно требуют независимости всех возможных расстояний между атомами молекулы, то наука действительно вынуждена, если она имеет дело с молекулами, состоящими более чем из четырех атомов, использовать идею пространства с более чем тремя измерениями. Эта идея в данном случае является просто инструментом исследования, точно так же, как и идеи молекул и атомов — средствами, предназначенными для охвата в наглядной и систематической форме явлений химии и для обнаружения условий, при которых могут быть вызваны новые явления. Существует ли на самом деле четырехмерное пространство — это вопрос, неразрешимость которого не мешает исследованиям использовать эту идею, точно так же, как химии не помешало использование понятия атома, хотя никто на самом деле не знает, существуют ли вещи, которые мы называем атомами, или нет.

IV. ОПРОВЕРЖЕНИЕ АРГУМЕНТОВ, ПРИВЕДЕННЫХ В ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА, ВКЛЮЧАЮЩЕГО ВИДИМЫЙ МИР.

Соображения предыдущего раздела убедят образованного нематематика в той пользе, которую теория многомерных пространств принесла и, по всей вероятности, принесет геометрическим исследованиям. В дополнение к этому следует учитывать, что каждое расширение одной отрасли математической науки является постоянным источником благотворного и полезного влияния на другие отрасли. Однако знание того, что математики могут с успехом использовать понятие четырехмерного пространства в своих исследованиях, никогда не было бы достаточным, чтобы обеспечить ему нынешнюю популярность; ибо каждый разумный человек теперь слышал о нем и в шутку или всерьез часто говорит о нем. Знание о четырехмерном пространстве не доходило до ушей образованных нематематиков до тех пор, пока не стали публично известны выводы, которые спиритуалисты сочли допустимым сделать из этого математического понятия. Но это огромный шаг от четырехмерного пространства математиков к пространству, из которого духи-друзья спиритических медиумов развлекают нас стуками, ударами и плохим английским. Прежде чем сделать этот шаг, мы сначала обсудим вопрос о реальном существовании четырехмерного пространства, не решая вопроса о том, населено ли это пространство, если оно действительно существует, разумными существами, которые сознательно воздействуют на мир, в котором мы существуем.

Рис. 4.

Среди причин, выдвигаемых в доказательство существования четырехмерного пространства, содержащего мир, наименее предосудительными являются те, что основаны на существовании симметрии. Мы говорили выше о двух треугольниках в одной плоскости, которые имеют все свои стороны и углы конгруэнтными, но которые нельзя совместить простым перемещением внутри плоскости; но мы видели, что это совмещение можно осуществить, зафиксировав одну сторону одного треугольника и переместив его из его плоскости до тех пор, пока он не будет повернут настолько, что снова попадет в свою плоскость. Теперь нечто подобное существует в пространстве. Вырежьте две фигуры, точно такие же, как на рис. 4, из куска бумаги и поверните треугольник ABF вокруг стороны AB, ACE вокруг стороны AC, BCD вокруг стороны BC, причем в одной фигуре вверх, а в другой вниз; тогда в обоих случаях точки D, E, F встретятся в одной точке, потому что AE равно AF, BF равно BD, CD равно CE. Таким образом, мы получаем две пирамиды, которые конгруэнтны по всем длинам и всем углам, однако которые, как бы мы ни старались, нельзя заставить совпасть, то есть подогнать одну к другой так, чтобы они обе стояли как одна пирамида. Но зеркальное отражение одной из них можно было бы привести в совпадение с другой. Две пространственные структуры, стороны и углы которых таким образом равны друг другу и каждая из которых может рассматриваться как зеркальное отражение другой, называются симметричными. Например, правая и левая рука симметричны; или правая и левая перчатка. Теперь, точно так же, как в двух измерениях невозможно простым перемещением привести к конгруэнтности треугольники, которые, подобно вышеупомянутым, могут быть совмещены только путем поворота, так и в трех измерениях невозможно привести к конгруэнтности две симметричные пирамиды. Тщательное математическое размышление, однако, гласит, что это можно было бы осуществить, если бы было возможно, удерживая одну из поверхностей, переместить пирамиду из пространства опыта и повернуть ее через четырехмерное пространство до тех пор, пока она не достигнет точки, в которой она снова вернется в наше пространство опыта. Этот процесс был бы просто четырехмерным аналогом трехмерного поворота в вышеупомянутом случае с двумя треугольниками. Далее, внутренние поверхности в этом процессе превратились бы во внешние, и наоборот, точно так же, как при повороте треугольника передняя и задняя стороны меняются местами. Если структура, которая должна быть преобразована в свой симметричный аналог, сделана из гибкого материала, упомянутая замена внутренних и внешних поверхностей может быть осуществлена простым выворачиванием структуры наизнанку; например, правая перчатка может быть таким образом превращена в левую.

Теперь из этой истины, что каждая структура может быть преобразована посредством четырехмерного пространства, включающего мир, в симметричную ей структуру, пытались установить вероятность реального существования четырехмерного пространства. Тем не менее, из дискуссий предыдущего раздела будет очевидно, что единственный вывод, который мы можем здесь сделать, заключается в том, что идея четырехмерного пространства способна, с математической точки зрения, пролить некоторый свет на явления симметрии. Делать из этих фактов вывод, что пространство такого рода действительно существует, было бы столь же смело, как делать вывод из того факта, что равномерная угловая скорость видимых движений неподвижных звезд объяснима предположением об осевом движении небосвода, что неподвижные звезды действительно жестко закреплены на небесной сфере, вращающейся вокруг своей оси. Не следует забывать, что наше понимание явлений реального мира состоит из двух элементов: во-первых, того, чем вещи являются на самом деле, и, во-вторых, того, посредством чего мы рационально постигаем вещи. Этот последний элемент частично зависит от суммы опыта, который мы приобрели ранее, и частично от необходимости, обусловленной несовершенством разума, охватывать многочисленные изолированные явления мира категориями, которые мы сами сформировали и которые, следовательно, не полностью выведены из самих явлений, а в значительной степени зависят от нас.

Помимо геометрических причин, Целльнер также привел космологические причины в доказательство существования четырехмерного пространства. К этим причинам относятся, в частности, вопросы о том, бесконечно ли велико число неподвижных звезд, конечен или бесконечен мир в своем протяжении, имел ли мир начало или будет ли иметь конец, не стремится ли мир к состоянию равновесия или мертвого уровня из-за всеобщего распределения его материи и энергии; проблемы также гравитации и действия на расстоянии; и, наконец, вопросы, касающиеся отношений между явлениями в мире чувственного восприятия и неизвестными вещами в себе. Все эти вопросы, которые не могут быть решены в каком-либо определенном смысле, привели Целльнера и его последователей к предположению, что четырехмерное пространство, включающее пространство опыта, должно действительно существовать. Но более тщательное размышление покажет, что это предположение не устраняет трудности, а просто переносит их в другую область. Более того, даже если бы четырехмерное пространство распутало и прояснило все космологические проблемы, которые беспокоили человеческий разум, все же его существование не было бы этим доказано; оно оставалось бы лишь гипотезой, призванной сделать более понятными для существа, которое может получать опыт только в трехмерном пространстве, явления в нем, которые полны тайн для него. Четырехмерное пространство в таком случае обладало бы для метафизика ценностью, подобной той, которую эфир обладает для физика. Еще более убедительной, чем эти космологические причины, для большинства людей является физио-психологическая причина, почерпнутая из явлений зрения, которую приводит Целльнер. В этот основной аргумент мы углубимся более подробно.

Когда мы «видим» объект, как мы все знаем, свет, который исходит от него или отражается им, создает изображение на сетчатке нашего глаза; это изображение передается в наше сознание посредством зрительного нерва, и наш разум делает из него вывод относительно объекта. Когда теперь мы смотрим на квадрат, стороны которого имеют длину в дециметр, а центр расположен на расстоянии метра от зрачка нашего глаза, на сетчатке создается изображение. Но точно такое же изображение будет создано там, если мы посмотрим на квадрат, стороны которого параллельны сторонам первого квадрата, но имеют длину в два дециметра, а центр расположен на расстоянии двух метров от зрачка глаза. Продолжая таким образом далее, мы легко обнаруживаем, что глаз может воспринимать в любой длине или линии только отношение ее величины к расстоянию, на котором она расположена от него, и что вообще трехмерный мир должен казаться глазу двухмерным, потому что все точки, которые лежат друг за другом в направлении наружу от глаза, создают на сетчатке только одно изображение. Это связано с тем, что изображения на сетчатке сами по себе двухмерны; по этой причине, говорит Целльнер, мир должен казаться ребенку двухмерным, если предположить, что он живет в примитивном состоянии бессознательной умственной деятельности. Для такого ребенка два объекта, которые движутся один за другим, должны казаться претерпевающими смещение на поверхности, которую мы представляем позади объектов и на которую последние проецируются. Во всех этих кажущихся смещениях также осуществляются совпадения и изменения формы. Все эти вещи должны казаться загадочными для человеческого существа на первых стадиях его развития, и разум, таким образом, обнаруживает себя, как далее утверждает Целльнер, в первые годы детства вынужденным принять гипотезу относительно строения пространства и предположить, что мир трехмерен, хотя глаз может на самом деле воспринимать его только как двухмерный. Целльнер затем далее говорит, что в объяснении эффектов внешнего мира человек постоянно находит эту гипотезу своих детских лет подтвержденной, и что таким образом она стала в его сознании столь глубоким убеждением, что для него уже невозможно мыслить иначе. Созвучно с этой аргументацией и замечание Целльнера о том, что то же самое явление проявилось в астрономических методах познания. Чтобы объяснить движения планет, которые, по-видимому, описывают правильные пути на поверхности небесной сферы, мы были вынуждены при решении загадок, которые представляли эти движения, предположить в строении небес измерение «глубины», и сложные движения в двухмерном небосводе были преобразованы в очень простые движения в трехмерном пространстве. Целльнер также утверждает, что наше представление обо всем видимом мире как обладающем тремя измерениями является продуктом нашего разума, который разум был вынужден сформировать из-за противоречий, которые представились бы ему при предположении только двух измерений из-за перспективных искажений, совпадений и изменений величины объектов. Когда ребенок двигает рукой перед глазами, поворачивает ее, приближает или отодвигает, этот ребенок последовательно получает самые разнообразные впечатления на поверхности своей сетчатки от одного и того же объекта, в идентичности и постоянстве которого его чувства дают ему полное заверение. Если бы ребенок рассматривал изменчивую проекцию руки на поверхности сетчатки как реальный объект, а не руку, которая лежит за ней, ребенок постоянно сталкивался бы с противоречиями в своем опыте, и чтобы избежать этого, он делает гипотезу, что пространство опыта трехмерно. Утверждение Целльнера, следовательно, состоит в том, что человек изначально имел только двухмерную интуицию пространства, но был вынужден опытом представлять себе объекты, которые на поверхности сетчатки казались двухмерными, как трехмерные, и таким образом трансформировать свою двухмерную интуицию пространства в трехмерную. Теперь, точно таким же образом, согласно представлению Целльнера, человек, по мере продвижения и возрастающей точности своего знания о явлениях внешнего мира, также будет вынужден мыслить материальный мир как «тень, отбрасываемую более реальным четырехмерным миром», так что эти представления будут столь же тривиальными для людей двадцатого века, как со времен Коперника было объяснение движений небесных тел посредством трехмерного движения.

Аргументы Целльнера, основанные на явлениях зрения, могут быть опровергнуты следующим образом: во-первых, неверно говорить, что мы видим вещи внешнего мира посредством двухмерных изображений на сетчатке. Свет, который проникает в глаз, вызывает раздражение зрительных нервов, и любой такой эффект, который, хотя и не является мощным, тем не менее является механическим, может происходить только с вещами, которые материальны. Но материальные вещи всегда трехмерны. Эффект света на чувствительных пластинках фотографии также с таким же малым основанием можно считать двухмерным. Наши чувства не могут воспринимать ничего, кроме трехмерных вещей, и это восприятие осуществляется силами, которые, в свою очередь, воздействуют на трехмерные вещи, а именно на наши сенсорные нервы. Неправильно называть изображение двухмерным, ибо только путем абстракции мы можем мыслить толщину, которая постоянно становится все меньше и меньше, допуская, что мы рассматриваем трехмерную картину как двухмерную, придавая ей в уме исчезающе малую толщину. Также неправильно говорить, как говорит Целльнер, что когда мы видим тень руки, отбрасываемую на стену, мы видим нечто двухмерное. То, что мы действительно воспринимаем, — это то, что никакой свет не падает на наш глаз из области, охваченной тенью, в то время как из всей окружающей области свет действительно падает на наш глаз. Но этот свет отражается от материальных частиц, которые образуют поверхность стены, то есть от трехмерных частиц материи. Мы должны всегда помнить, что наш глаз сообщает нам только трехмерное знание и что для понимания чего-либо, что имеет два, одно или ноль измерений, к акту восприятия должен быть добавлен чисто интеллектуальный акт абстракции. Когда мы воображаем, что сделали карандашную отметку на бумаге, мы, если смотреть точно, просто нагромоздили друг подле друга маленькие частицы графита таким образом, что в боковом и восходящем направлениях графитовых частиц гораздо меньше, чем в продольном направлении, и таким образом наш разум приходит путем абстракции к понятию прямой линии. Когда мы смотрим на объект, скажем, деревянный куб, мы распознаем объект как трехмерный, и только путем абстракции мы можем мыслить его двухмерные поверхности, его двенадцать одномерных ребер и его восемь нульмерных углов. Ибо мы достигаем восприятия его поверхности, например, исключительно благодаря тому факту, что материальные частицы, которые образуют куб, препятствуют прохождению света и отражают его, вследствие чего часть света, отраженного от каждой материальной частицы, попадает в наш глаз. Теперь, думая исключительно о тех материальных частицах, которые отражаются, в противоположность пустому пространству снаружи и скрытым и, следовательно, неотраженным частицам внутри, мы формируем понятие поверхности.

Из этого очевидно, что все, что мы воспринимаем, трехмерно, что мы не можем прийти к чему-либо двухмерному без интеллектуальной абстракции и что, следовательно, мы не можем мыслить что-либо двухмерное, оказывающее воздействие на материальные вещи. Но этот факт является опровержением аргумента Целльнера о сетчатке. Если бы зрение состояло полностью и исключительно в создании двухмерного изображения, вещи, которые происходят в мире, никогда не могли бы проникнуть в наше сознание. Ребенок, следовательно, не постигает мир изначально, как говорит Целльнер, как двухмерный; напротив, он постигает его либо вовсе никак, либо постигает его как трехмерный. Конечно, ребенок должен сначала «научиться» видеть. Из наблюдений за детьми в первые месяцы их жизни и за врожденно слепыми, которые внезапно обрели способность видеть в результате какой-либо успешной операции, установлено, что видение состоит не только в раздражениях, которые возникают в зрительных нервах, но также в правильной интерпретации этих раздражений разумом. Эта правильная интерпретация, однако, может быть достигнута только накоплением значительного запаса опыта. Особенно должно быть постепенно изучено распознавание расстояния до видимого объекта. В этом особенно полезны две вещи: во-первых, тот факт, что у нас два глаза и, следовательно, что мы должны чувствовать два раздражения зрительных нервов, которые не полностью одинаковы; и во-вторых, тот факт, что мы способны благодаря нашей способности к движению и нашему чувству осязания убедиться в расстоянии и форме видимых тел. Теперь возникает вопрос, какую интуицию пространства имело бы существо, у которого был бы только один глаз, которое не могло бы двигать ни собой, ни своим глазом, а также не обладало бы периферическими нервами. Согласно взгляду Целльнера, это существо могло бы, благодаря своим двухмерным изображениям на сетчатке, иметь только двухмерную интуицию пространства. Мнение автора, однако, заключается в том, что такое существо не могло бы видеть вовсе, так как у него нет возможности собирать опыт, который был бы адаптирован каким-либо образом к интерпретации эффектов вещей на его сетчатку. Свет, который исходил от объектов вокруг и падал на сетчатку, не мог бы произвести на существо никакого иного эффекта, кроме эффекта совершенно невразумительного раздражения или, возможно, даже боли.

Представленные размышления достаточно показывают, что ни явления симметрии, ни изображения объектов зрения на сетчатке не заставляют нас обязательно принимать предположение о четырехмерном пространстве. Если бы материальный мир когда-либо представил проблемы, которые не могли бы быть решены естественным путем в ходе прогресса знаний, предположение о том, что существует четырехмерное пространство, содержащее мир, также было бы некомпетентным для разрешения представленных трудностей; оно просто превратило бы эти трудности в другие и не устранило бы проблемы, а просто перенесло бы их в другой мир. Тем не менее, можно было бы задать вопрос: действительно ли невозможно существование четырехмерного пространства? Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны сначала ясно понимать, что мы подразумеваем под «существовать». Если существование означает, что интеллектуальная идея вещи может быть сформирована и что эта идея не должна приводить к противоречиям с другими хорошо установленными идеями и с опытом, мы должны только сказать, что четырехмерное пространство существует, как аргументы, приведенные в разделах II и III, сделали понятным. Если, а именно, пространство четырех измерений не существовало бы как ясная идея в умах математиков, математики, конечно, не могли бы быть приведены этой идеей к результатам, которые признаются чувствами как истинные и которые действительно имеют место в нашем собственном представимом пространстве. Но если существование означает «материальную действительность», мы должны сказать, что мы ни сейчас, ни в будущем не можем знать о ней ничего. Ибо мы знаем материальную действительность только как трехмерную, наши чувства могут получать только трехмерный опыт, а выводы нашего разума, хотя они могут хорошо абстрагироваться от материальных вещей, никогда не могут подняться до точки объяснения четырехмерной материальности. Столь же мало, следовательно, как мы можем локально зафиксировать идею двухмерного материального мира, столь же мало мы можем обосновать понятие четырехмерного материального существования.

V. ИССЛЕДОВАНИЕ ГИПОТЕЗЫ ОТНОСИТЕЛЬНО СУЩЕСТВОВАНИЯ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ ДУХОВ.

В связи с верой в то, что видимый мир содержится в четырехмерном пространстве, Целльнер и его приверженцы далее полагают, что это высшее пространство населено разумными существами, которые могут действовать сознательно и по своей воле на человеческие существа, живущие в пространстве опыта. Чтобы придать этому мнению большую силу, Целльнер апеллировал к тому факту, что величайшие мыслители древности и современности были либо полностью этого мнения, либо, по крайней мере, придерживались взглядов, из которых его утверждения могли быть непосредственно выведены. Диалог Платона между Сократом и Главконом в седьмой книге «Государства» является доказательством, говорит Целльнер, того, что этот величайший философ древности обладал некоторым предчувствием этого расширения понятия пространства. Однако любой, кто связно изучал и понимал систему философии Платона, должен признать, что так называемые «идеи» платоновской системы обозначают нечто совершенно иное, чем то, что Целльнер видит в них или делает вид, что видит. Целльнер говорит, что эти платоновские идеи являются пространственными объектами более чем трех измерений и представляют «реальное существование» в том же смысле, в каком материальный мир, в отличие от изображений на сетчатке, представляет его. Целльнер аналогично поступает с кантовской «вещью в себе», которая также рассматривается как объект высших измерений.

Чтобы показать Канта в свете предшественника, Целльнер цитирует следующий отрывок из его «Грез духовидца, поясненных грезами метафизики» (1766, Собрание сочинений, том VII, стр. 32 и сл.): «Признаюсь, я очень склонен утверждать существование нематериальных существ в мире и причислять свою собственную душу к такому классу. По-видимому, существует духовная сущность, которая тесно связана с материей, но которая действует не на те силы элементов, которыми последняя связана, а на некоторый внутренний принцип своего собственного состояния. В будущем — не знаю, когда или где — будет доказано, что человеческая душа даже в этой жизни существует в состоянии непрерывной связи со всеми нематериальными природами духовного мира; что она попеременно действует на них и получает от них впечатления, о которых, как человеческая душа, она не осознает в нормальном состоянии вещей. Было бы великим делом, если бы какое-то такое систематическое устройство духовного мира, как мы его мыслим, могло быть выведено не исключительно из нашего общего понятия о духовной природе, которое является слишком гипотетическим, а из некоторых реальных и общепризнанных наблюдений — или, если на то пошло, если бы можно было даже показать, что это вероятно».

То, что Кант действительно утверждает здесь, — это, во-первых, частично независимое и частично зависимое существование души и духовных существ вообще от материи, и, во-вторых, что духовные существа имеют некоторую общую связь и взаимно влияют друг на друга. Это утверждение, которое является утверждением очень многих мыслителей, не влечет за собой, однако, того следствия, что «трансцендентальный субъект Канта» должен быть четырехмерным, как утверждает Целльнер. Кант даже никогда не намекал на теорию о том, что психические черты мира обязаны своей связью с материальными чертами тому факту, что они четырехмерны и, следовательно, включают в себя трехмерные. Является ли необходимым выводом, что если вещь существует и не является трехмерной, как это имеет место с душой, то она, следовательно, является четырехмерной? Не может ли она на самом деле быть устроена так, что совершенно бессмысленно говорить об измерениях вообще в связи с ней?

Тем не менее, еще сильнее, чем слова Платона и Канта, в пользу гипотезы Целльнера говорят некоторые высказывания математиков Гаусса и Римана. С. фон Вальтерсхаузен рассказывает о Гауссе в своем «Gruss zum Gedächtnis» (Лейпциг, 1856), что Гаусс часто замечал, что три измерения пространства являются лишь специфической особенностью человеческого разума. Мы можем вообразить себя, говорил он, существами, которые осознают только два измерения; подобным образом, возможно, существа, которые находятся выше и вне нашего мира, могут смотреть на нас сверху вниз; и, продолжал он в шутливом тоне, существует ряд проблем, которые он здесь неопределенно отложил, но надеялся рассмотреть в высшем состоянии высшими геометрическими методами. Оставляя в стороне эту шутку, которая вполне естественно напрашивалась, замечания Гаусса вполне верны. Мы обладаем способностью к абстракции и можем, следовательно, мыслить, какая геометрия была бы у существа, которое знакомо только с двухмерным миром; например, мы можем вообразить, что такое существо не могло бы мыслить возможность совмещения двух треугольников, которые были конгруэнтны в вышеупомянутом смысле, и так далее. Так же мы можем понять, что существо, которое имеет контроль над четырьмя измерениями, может мыслить только геометрию четырехмерного пространства, однако может обладать способностью воображать себя в пространствах других измерений. Но из этого не следует, что существует четырехмерное пространство, не говоря уже о том, что оно населено разумными существами.

Риман, с другой стороны, говорит непосредственно о мире духов. В своих «Новых математических принципах натурфилософии» он выдвигает гипотезу, что пространство мира заполнено материалом, который постоянно вливается в весомые атомы, чтобы там исчезнуть из феноменального мира. В каждом весомом атоме, говорит он, в каждый момент времени входит и появляется определенное количество материи, пропорциональное силе гравитации. Весомые тела, согласно этой теории, являются местом, в котором духовный мир входит и действует на материальный мир. Мир духов Римана, единственной функцией которого является объяснение явления гравитации как силы, управляющей материей, однако, существенно отличается от духовного мира Целльнера, функция которого заключается в объяснении предполагаемых сверхчувственных явлений, которые находятся в самом вопиющем противоречии с установленными известными законами материального мира.

Помимо этой апелляции к свидетельству выдающихся людей, таких как Платон, Кант, Гаусс и Риман, научный пророк современного спиритуализма также основывает свою теорию на вере, которая существовала во все времена и проявлялась в различных формах среди всех народов, что в мире существуют силы, которые временами способны вызывать явления, свободные от обычных законов природы. Нам достаточно вспомнить явления верчения столов, которые когда-то возбуждали китайцев так же, как они возбуждали в течение последних нескольких десятилетий европейский и американский миры; или лозоходство, с помощью которого наши предки искали воду, фактически, как мы делаем это сейчас в частях Европы и Америки.

Кранц в своем эссе на эту тему делит спиритические явления на физические и интеллектуальные. Из первого класса он перечисляет следующие: перемещение стульев и столов; оживление тростей, тапочек и метел; чудесное бросание предметов; стуки духов (Лютер слышал звук в Вартбурге, «как будто тридцать бочек были сброшены вниз по лестнице»); экстатическое подвешивание людей над полом; уменьшение сил гравитации; испытания ведьм; принесение желаемых предметов; отклонение магнитной стрелки людьми на расстоянии; развязывание узлов на закрытой веревке; нечувствительность к травмам и освобождение от них при пытках, как при обращении с раскаленными углями, ношении горячего железа и т. д.; музыка невидимых духов; материализации духов или отдельных частей духов (следы в экспериментах Слейда, сфотографированные Целльнером); двойное появление одного и того же лица; проникновение материи (закрытых дверей, окон и так далее). Столь же многочисленна подборка интеллектуальных явлений, представленная Кранцем, а именно: письмо духов (инструмент Хейва для облегчения общения с духами), ясновидение и прорицание сомнамбул, визионеров, экстатических и гипнотизированных лиц, вызванные или контролируемые наркотическими лекарствами, сном в храмах, музыкой и танцами, аскетическим образом жизни и проживанием в бесплодных местностях, выделениями почвы и воды, созерцанием драгоценностей, зеркал и кристально чистой воды, а также смазыванием ногтей освященным маслом. Также цитируются следующие дополнительные интеллектуальные явления: повышенное красноречие или внезапно приобретенная способность говорить на иностранных языках; эффекты духов на расстоянии; неспособность двигаться, перенос воли и так далее.

Все эти явления, представленные с видом истины и связанные в большей или меньшей степени с обманом, самообманом и шарлатанством, приводятся спиритуалистами для обоснования веры в мир духов, которые сознательно и целенаправленно принимают участие в событиях материального мира, и что эти явления могут быть достаточно и последовательно объяснены эффектами деятельности такого мира. Для нас невозможно обсудить и подвергнуть проверке здесь объяснения всех этих сверхчувственных явлений. Все что угодно может быть объяснено духами, которые действуют по своей воле на мир. Существует лишь несколько из этих явлений, а именно ясновидение и эксперименты Слейда, объяснения которых столь тесно связаны с нашей главной темой, так называемым четвертым измерением, что их нельзя обойти вниманием.

Во-первых, что касается ясновидения, американский визионер Дэвис описывает опыт, который, как он утверждает, он получил в этом состоянии, вызванном «магнитным сном», следующим образом: [81] «Сфера моего видения теперь начала расширяться. Сначала я мог только ясно различать стены дома. Поначалу они казались мне темными и мрачными; но вскоре они стали ярче и наконец прозрачными. Я мог теперь видеть объекты, утварь и людей в соседнем доме так же легко, как те, что были в комнате, в которой я сидел. Но мои восприятия простирались еще дальше; перед моим блуждающим взглядом, который, казалось, контролировал большой полукруг, широкая поверхность земли на сотни миль вокруг меня стала прозрачной, как вода, и я видел мозги, внутренности и всю анатомию зверей, которые бродили в лесах восточного полушария, за сотни и тысячи миль от комнаты, в которой я сидел». Вера в возможность таких состояний ясновидения отнюдь не нова. Александр Дюма использовал ее, например, в своих «Записках врача», в которых граф Бальзамо, впоследствии названный Калиостро, как говорят, обладает силой превращать подходящих людей в это чудесное состояние и таким образом узнавать, что делают другие люди в отдаленных местах. Целльнер объясняет ясновидение посредством четвертого измерения следующим образом:

Предполагается, что человек, который привык рассматривать вещи на равнине, поднимается на значительную высоту на воздушном шаре. Он будет там наслаждаться гораздо более обширным видом, чем если бы он остался на равнине внизу, и также сможет подавать сигналы на большие расстояния. Равнина, то есть двухмерное пространство, соответственно рассматривается им из точек вне равнины как «открытая» во всех направлениях. Точно так же, согласно теории Целльнера, трехмерные пространства должны казаться при взгляде из точек в четырехмерном пространстве, а именно как «открытые»; и тем более в той пропорции, в какой рассматриваемая точка расположена на большем расстоянии от места нашего тела, или в той пропорции, в какой душа поднимается на большую высоту в этом четвертом измерении. Целльнер таким образом объясняет ясновидение как состояние, в котором душа переместила себя из своего трехмерного пространства и достигла точки, которая по отношению к этому пространству расположена четырехмерно и откуда она способна созерцать трехмерный мир без вмешательства препятствий.

К этому объяснению следует сделать следующее замечание. Причина, по которой мы имеем лучший и более обширный вид с воздушного шара, чем с мест на земле, заключается просто в том, что между подвешенным воздушным шаром и объектами, видимыми на расстоянии, ничего не вмешивается, кроме воздуха, а воздух позволяет передачу света, тогда как в местах внизу на земле вокруг наблюдателя находятся всевозможные материальные вещи, которые препятствуют передаче света и либо затрудняют, либо делают абсолютно невозможным видение вещей, которые лежат далеко. Точно так же и из точки в четырехмерном пространстве трехмерный объект будет виден только при условии, что нет препятствий. Если, следовательно, эта осведомленность о далеком объекте является реальным, фактическим видением посредством светового луча, который попадает в глаз, то в объяснении Целльнера содержится молчаливое предположение, что среда, которой заполнен четырехмерный мир, также проницаема для света, точно так же, как атмосфера.

Теория о том, что существуют четырехмерные духи, которые производят явления, цитируемые спиритуалистами, получила особую поддержку от экспериментов, которые фокусник Слейд, утверждавший, что он является спиритическим медиумом, проводил перед Целльнером. Об этих экспериментах мы расскажем о двух самых важных: эксперименте со стеклянной сферой и эксперименте с узлами. Чтобы объяснить связь эксперимента со стеклянной сферой с четвертым измерением, мы должны сначала представить себе двухмерных разумных существ, или, скажем, двухмерных червей, живущих и движущихся в плоскости. Для существа такого рода будет само собой разумеющимся, что нет иных путей между двумя точками его плоскости, кроме тех, что лежат внутри плоскости. Это должно, соответственно, быть за пределами концепции этого червя, как любой двухмерный объект, который лежит внутри круга в его пространстве, может быть приведен в любое другое положение в его пространстве вне круга, не проходя через барьеры, образованные окружностью круга. Но если бы этот червь мог воспользоваться услугами трехмерного существа, транспортировка объекта из положения внутри круга в любое положение вне его могла бы быть осуществлена трехмерным существом, просто взяв объект из плоскости и поместив его в желаемую точку. Этот объект, следовательно, необъяснимым образом внезапно исчез бы перед глазами червей, которые собрались как зрители, и по прошествии интервала времени снова появился бы вне круга, не пройдя ни в одной точке через окружность круга. Если теперь мы добавим еще одно измерение, мы выведем из этого фокуса, который полностью удален от чувственного восприятия сплющенных червей, следующий эксперимент, который полностью за пределами восприятия нас, человеческих существ. Внутри стеклянной сферы, которая закрыта со всех сторон, помещено зерно кукурузы; задача состоит в том, чтобы транспортировать кукурузу в какое-либо место вне сферы, не проходя через стеклянную поверхность. Теперь мы смогли бы выполнить этот фокус, если бы какое-то четырехмерное существо оказало нам ту же помощь, которую мы ранее оказали двухмерному червю. Ибо четырехмерное существо могло бы взять зерно кукурузы в свое четырехмерное пространство, а затем заменить его в нашем пространстве в желаемом месте вне стеклянной сферы. Слейд выполнил этот фокус перед Целльнером. Его простого выполнения было достаточно, чтобы убедить этого последнего исследователя, что Слейд здесь использовал четырехмерного агента, который в отношении силы движения контролировал свое четырехмерное пространство, как мы контролируем наше трехмерное пространство. Целльнеру никогда не приходило в голову, что этот эксперимент был ловко выполненным фокусом престидижитатора, или, как сразу пришло бы нам в голову, что все это было сенсорной иллюзией. Тот факт, что мы не можем объяснить фокус легко и естественно, не доказывает безвозвратно, что он выполнен иными средствами, чем те, которые представляет мир материи.

Еще более известным, чем это последнее представление, являются эксперименты Слейда с узлами. Чтобы объяснить это в связи с четвертым измерением, мы должны снова прибегнуть к плоскости и плоскому червю, обитающему в ней. К двум параллельным линиям в плоскости пусть будут прикреплены два конца третьей линии, которая имеет двойную точку, то есть пересекает саму себя один раз. Наш плоский червь не смог бы развязать петлю, образованную удвоенной третьей линией, которую мы назовем веревкой, потому что он не может совершать движения в трех измерениях. Если, следовательно, двухмерный фокусник появится и выполнит фокус развязывания этой петли, не удаляя два конца веревки от параллельных линий, он выполнит для нашего плоского червя сверхчувственный эксперимент. Человеческое существо, занятое на службе фокусника, могло бы выполнить для него эксперимент, просто приподняв веревку немного из плоскости, натянув ее и поместив обратно. Это предполагает следующий аналогичный эксперимент для трехмерных существ. Два конца веревки, в которой был сделан обычный узел, запечатаны к противоположным стенам комнаты. Задача состоит в том, чтобы развязать этот узел, не нарушая печатей на двух концах веревки. Все знают, что эта проблема неразрешима, но математически может быть рассчитано, что узел на веревке может быть развязан так же легко движениями в четвертом измерении пространства, как в вышеописанном эксперименте узел на двухмерной веревке был развязан трехмерным движением. Теперь, поскольку Слейд развязал узел перед глазами Целльнера, по-видимому, не используя концы, закрепленные в стенах, Целльнер был еще более сильно утвержден во мнении, что Слейд имел власть над духами, которые выполняли эксперименты для него.

Еще более далеко идущей является теория Карла дю Преля относительно отношений материального и четырехмерного мира. (Сравните его многочисленные эссе в спиритическом журнале Sphinx.) Точно так же, как тени трехмерных объектов, отбрасываемые на стену, контролируются в своих движениях вещами, чьими проекциями они являются, точно так же утверждается, что существует позади всего этого чувственно-воспринимаемого мира реальная трансцендентальная и четырехмерная «вещь в себе», чья проекция в пространстве опыта является тем, что мы ложно считаем независимой вещью. Таким образом, каждый человек, помимо существования в своем земном «я», также существует в духовном или астральном «я», которое постоянно сопровождает его в его прогулках по жизни и чье существование особенно провозглашается в состояниях глубокого сна, сомнамбулизма и в условиях медиумов. Таким образом Дю Прель объясняет чудесные подвиги сомнамбул и воздушные путешествия колдунов и ведьм. В то время как обычно отделение материального тела от астрального тела осуществляется только в момент смерти; в случае сомнамбул это отделение может произойти в любое время, или, как говорит Дю Прель: «порог чувства может быть постоянно смещен».

Ввиду естественных отношений таких теорий к догмам христианства объяснимо, что теологи также возвысили свои голоса за или против спиритуализма. В то время как «Протестантская церковная газета» усматривала в «отталкивающих чудотворных представлениях, которые предлагают эти корифеи современной науки, отсутствие понимания реальной философии», журнал «Доказательство веры» выражает свой восторг по поводу открытия спиритуализма следующим образом: «Каждый христианин, несомненно, порадуется глубокой и, возможно, смертельной ране, которую эти новые открытия, по всей вероятности, нанесли современному материализму».

Мы пропустим детское мнение о том, что Библия также говорит о четырех измерениях, так как и в Иове (xi, 8-9), и в Послании к Ефесянам (iii, 18) упоминаются только ширина, длина, глубина и высота, то есть четыре направления протяженности. Тем не менее, мы добавим, как это сделал Кранц, размышления, которые Целльнер, как наиболее видный представитель современного спиритуализма, выдвинул относительно его отношения к доктринам христианства (Wissensch. Abhandl., том III). Основанием трансцендентальной физики на базе спиритических явлений возник «новый свет», о котором говорится в Новом Завете. Раздирание завесы Храма при распятии Христа, воскресение, вознесение, преображение, говорение на многих языках при даровании Святого Духа — все это, по мнению Целльнера, спиритические явления. Аналогично он видит отсылку к четырехмерному миру духов во всех тех изречениях Христа, в которых последний говорит своим Апостолам о невозможности для них иметь какой-либо образ или понятие о месте, куда, когда он исчез, он пойдет и откуда он вернется. (Евангелие от Иоанна, xiii, 33, 36; xiv, 2, 3, 28; xvi, 5, 13).

Ульрици, однако, заходит дальше всех в смешении спиритических и христианских верований; ибо он видит в доктрине спиритуализма средство укрепления веры в высший моральный миропорядок и в бессмертие души. В ответ на трактат Ульрици «Спиритуализм так называемый, вопрос науки» (1889) Вундт написал уничтожающий ответ под названием «Спиритуализм, вопрос науки так называемой». Вундт критикует будущее состояние наших душ согласно спиритическим гипотезам следующими саркастическими, но уместными словами, которые также цитирует Кранц: «(1) Физически души умерших попадают в рабство к некоторым живым существам, которые называются медиумами. Эти медиумы являются, по крайней мере на данный момент, не широко распространенным классом, и они, по-видимому, почти исключительно американцы. По команде этих медиумов усопшие души совершают механические подвиги, которые обладают повсюду характером абсолютной бесцельности. Они стучат, они поднимают столы и стулья, они двигают кровати, они играют на гармонике и делают другие подобные вещи. (2) Интеллектуально души умерших входят в состояние, которое, если судить по продукции, которую они оставляют на грифельных досках медиумов, должно быть названо весьма плачевным. Эти записи на досках принадлежат повсюду к категории слабоумия; они совершенно лишены какого-либо содержания. (3) Наиболее благоприятным, по-видимому, является моральное состояние души. Согласно свидетельству, которое мы имеем, его характер нельзя назвать иначе, как характером полной безобидности. От грубых представлений, таких, например, как разрушение балдахинов кроватей, духи весьма вежливо воздерживаются». Вундт затем сетует на деморализующий эффект, который спиритуализм оказывает на людей, которые до сих пор посвящали свои силы какому-либо серьезному занятию или даже служению науке. На самом деле это самонадеянная и вопиющая процедура — покинуть путь точного исследования, который, как бы медленен он ни был, все же всегда ведет к верному расширению знаний, в надежде, что какая-то бесцельная, безрассудная авантюра в область неопределенности унесет нас дальше, чем путь медленного труда, и что мы сможем когда-либо так легко поднять завесу, которая скрывает от человека проблемы мира, которые еще не решены.

Теперь, когда мы представили мнения других относительно существования четырехмерного мира духов, автор хотел бы развить одну или две идеи собственные на этот счет. В предыдущем разделе было сказано, что все, что мы воспринимаем нашими чувствами, трехмерно и что все, что обладает четырьмя или более измерениями, может рассматриваться только как абстракции или фикции, которые наш разум формирует в своих постоянных усилиях к расширению и обобщению знаний. Говорить о двухмерной материи столь же самопротиворечиво, как понятие четырехмерной материи. Но двух- или четырехмерный мир мог бы существовать каким-то иным образом, чем материальным, и, насколько мы знаем, таким, который для нас не допускает представления. Но в таком случае, если бы он был лишен силы воздействовать на материальный мир, мы никогда не смогли бы приобрести никакого знания относительно его существования, и было бы совершенно безразлично людям трехмерного мира, существует такой мир или нет. Точно так же, как художник при жизни создает ряд различных произведений искусства, так же и Творец мог бы создать ряд миров различных измерений, которые никоим образом не мешают друг другу. В таком случае любой один мир не смог бы знать ничего о другом, и мы должны, следовательно, рассматривать вопрос о том, существует ли четырехмерный мир, который неспособен воздействовать на наш, как неразрешимый. Мы должны только исследовать, следовательно, вопрос о том, является ли феноменальный мир, возможно, единственным индивидом в большом слое миров, каждый последующий из которых имеет на одно измерение больше, чем предыдущий, и которые так связаны друг с другом, что каждый последующий мир содержит и включает предыдущий мир и, следовательно, может производить эффекты в нем. Ибо наш разум, который делает свои выводы из явлений этого мира, говорит нам, что если вне трехмерного мира существует второй четырехмерный мир, содержащий наш, нет причин, почему миры с большим или меньшим количеством измерений не могли бы, с тем же правом, также существовать. Но если теперь, как утверждают Целльнер и его приверженцы, существуют четырехмерные духи, которые могут действовать простыми усилиями своих собственных воль на наш мир, нет, конечно, причин, почему мы, трехмерные существа, не могли бы также быть способны производить эффекты на какой-то двухмерный одушевленный мир. Обладаем ли мы вообще каким-либо таким влиянием, мы не знаем, но мы, конечно, знаем, что мы не действуем целенаправленно и сознательно на двухмерный мир. Если, следовательно, Целльнер был прав, план творения обладал бы чудесной особенностью, что четырехмерные существа способны произвольно воздействовать на трехмерный мир, но что трехмерные существа не имеют права в свою очередь сознательно воздействовать на двухмерный мир.