«Математическое предисловие к «Началам» Евклида»

1. Во-первых, тогда, из чистоты, абсолютности и Нематериальности главной Геометрии, есть тот род Геометрии производный, который вульгарно считается Геометрией: и есть Искусство Измерения чувственных величин, их справедливых количеств и содержаний. Геометрия вульгарная. Это учит измерять, либо под рукой: и практик, чтобы быть при вещи Измеряемой: и так, должным применением Циркуля, Линейки, Угольника, Ярда, Элля, Перча, Полюса, Линии, Калибровочного стержня (или такого подобного инструмента) к Длине, Плоскости или Телу измеренному, 1. *быть удостоверенным, либо о длине, периметрии или расстоянии линейном: и это называется Мекометрия. Или 2. *быть удостоверенным о содержании любой плоской Поверхности: будь то в земле Обмеренной, Доске или Стекле измеренном, или такой подобной вещи: каковое измерение именуется Эмбадометрия. 3. *Или иначе понимать Солидность и содержание любой телесной вещи: как Дерева и Камня, или содержание Ям, Прудов, Колодцев, Сосудов, малых и великих, всех фасонов. Где, о Винных, Масляных, Пивных или Элевых сосудах и т. д., Измерение, обычно, имеет особое имя: и называется Калибровка. И общее имя этих Твердых мер есть Стереометрия. 2. Или иначе, эта вульгарная Геометрия имеет соображение учить практика, как измерять вещи, с хорошим расстоянием между ним и вещью измеренной: и понимать тем самым, либо 1. *как Далеко, вещь видимая (на земле или воде) есть от измерителя: и это может быть названо Апомекометрия: 2. Или, как Высоко или глубоко, выше или ниже уровня стояния измерителя, любая вещь есть, которая видна на земле или воде, называемая Гипсометрия. 3. *Или, она информирует измерителя, как Широка любая вещь есть, которая в поле зрения измерителя: если она на Земле или Воде, расположенная: и может быть названа Платометрия. Хотя я использую здесь условие, вещь измеренная, чтобы быть на Земле или Воде Расположенной: Примечание: все же, знайте наверняка, что различная высота Облаков, пылающих Звезд и Луны может (этими средствами) иметь свои расстояния от земли: и, пылающих Звезд и Луны, Солидность (также как расстояния) быть измеренной: Но потому что, ни эти вещи вульгарно не учатся: ни обычным практиком так готовы быть исполнены: я, скорее, позволяю таким мерам быть считаемыми инцидентными некоторым из наших других Искусств, имеющих дело с вещами на высоте, более целенаправленно, чем эта вульгарная Землемерная Геометрия делает: как в Перспективе и Астрономии и т. д.

ОТ этих Подвигов (далее примененных) есть Возникший Подвиг Геодезии, или Землемерства: более хитро измерять и Обмерять Землю, Леса и Воды, издалека. Более хитро, говорю я: Но Бог знает (до сих пор) в этих Королевствах Англии и Ирландии (будь то по невежеству или мошенничеству, я не могу сказать, в каждом частном) Примечание: какая великая неправда и обида была (в мое время) совершена неверным измерением и обмериванием Земли или Лесов, каким-либо образом. И, это я уверен: что Стоимость разницы, между истиной и такими Обмерами, была бы способна найти (навсегда) в каждом из наших двух Университетов, отличного Математического Читателя: каждому позволяя (ежегодно) сто Марок законных денег этого королевства: что, воистину, казалось бы необходимым, здесь, быть имеемым (хотя другими путями предусмотренным) так же, как знаменитый Университет Парижа имеет двух Математических Читателей: и каждому, двести Французских Крон ежегодно, от Французских Королей великолепной щедрости только. Теперь, снова, к нашей цели возвращаясь: Более того, из прежнего знания Геометрического, выросли Навыки Географии, Хорографии, Гидрографии и Стратаритметики.

«География учит путям, посредством которых, в различных формах (как Сферическая, Плоская или другая), Положение Городов, Городков, Деревень, Фортов, Замков, Гор, Лесов, Гаваней, Рек, Ручьев и таких других вещей, на внешней стороне земного Глобуса (либо в целом, либо в некотором главном члене и части оного содержащемся) может быть описано и начертано, в соразмерностях Аналогичных Природе и истине: и наиболее пригодно к нашему взору, может быть представлено». Об этом Искусстве какое великое удовольствие и какие многообразные товары приходят к нам, ежедневно и ежечасно: большинством людей воспринимается. Пока, некоторые, чтобы украсить свои Залы, Гостиные, Камеры, Галереи, Кабинеты или Библиотеки: другие некоторые, для вещей прошлых, как битвы сраженные, землетрясения, небесные пожары и такие происшествия, в историях упомянутые: тем самым живо, как бы, обозревать место, регион прилегающий, расстояние от нас: и такие другие обстоятельства. Некоторые другие, в настоящее время обозревать обширное владение Турка: широкую Империю Московита: и малый кусочек земли, где Христианство (по исповеданию) есть наверняка известно. Малый, говорю я, в отношении остального. и т. д. Некоторые, либо для своих собственных путешествий направляющихся в дальние земли: или понимать о путешествиях других людей. Заключить, некоторые, для одной цели: и некоторые, для другой, любит, желает, получает и использует, Карты, Чарты и Географические Глобусы. О чьем использовании, говорить достаточно, потребовало бы книги особой.

Хорография кажется быть подмастерьем, и веточкой, Географии: и все же тем не менее, есть в практике многообразна, и в использовании очень обширна. «Это учит Аналогично описывать малую часть или округ земли, с содержаниями: не обращая внимания, какое соразмерение оно имеет к целому, или какой посылке, вне его, содержащейся. Но в территории или части земли, которую она берет в руки сделать описание, она оставляет (или неописанным) никакой примечательной, или странной вещи, над землей видимой. Да и иногда, о вещах под землей, дает некий особый знак: или предупреждение: как о Металлических рудниках, Угольных ямах, Каменных карьерах. и т. д.». Так, Герцогство, Шир, Лордство, или меньше, может быть описано отчетливо. Но удивительно приятным и прибыльным оно есть, в выставлении нашему глазу, и соразмерении, план Города, Городка, Форта или Дворца, в истинной Симметрии: не приближаясь ни к одному из них: и вне пушечного выстрела. и т. д. Тем самым, Архитектор может снабдить себя, запасом каких паттернов он желает: к своему великому наставлению: даже в тех вещах, которые внешне пропорционированы: либо просто в них самих: или соответственно, к Холмам, Рекам, Гаваням и Лесам прилегающим. Некоторые также, называют это частное описание мест, Топографией.

«Гидрография, доставляет к нашему знанию, на Глобусе или на Плоскости, совершенное Аналогичное описание Океанских Морских берегов, через весь мир: или в главных и основных частях оного:» с Островами и главными частными местами опасностей, содержащимися внутри границ, и Морскими берегами описанными: как, Зыбучих песков, Банков, Ям, Скал, Гонок, Контртечений, Водоворотов. и т. д. Это, имеет дело с Элементом воды главным образом: как География принимала Элемент описания Земли (с его принадлежностями) к задаче. И помимо сего, Гидрография, требует частного Реестра определенных Ориентиров (где знаки могут быть имеемы) с моря, хорошо способных быть увиденными, в какой точке Морского компаса они появляются, и какую видимую форму, Положение и величину они имеют, в отношении любого опасного места в море, или близ него, назначенного: И на всех Берегах, какая Луна, делает полное Море: и каким путем, Приливы и Отливы, приходят и уходят, Гидрограф обязан записывать. Звучания также: и пути Каналов: их число, и глубины обычно, при отливе и приливе, обязан Гидрограф, наблюдением и усердием Измерения, иметь наверняка известные. И многие другие пункты, принадлежат совершенной Гидрографии, и чтобы сделать Руттер, по: о которых, я не нуждаюсь здесь говорить: как об описании, в любом месте, на Глобусе или Плоскости, 32 точек Компаса, верно: (из которых, едва четыре, в Англии, имеют правильное знание: потому что, линии оного, суть не прямые линии, ни Круги.) О делании должной проекции Сферы в плоскости. О Вариации Компаса, от истинного Севера: И такие подобные дела (великой важности, все) я оставляю говорить о, в этом месте: потому что, я могу казаться (уже) расширившим границы, и долг Гидрографа, гораздо больше, чем любой человек (до сего дня) отметил, или предписал. Все же я хорошо способен доказать, все эти вещи, принадлежать, и также быть свойственными Гидрографу. Главное использование и конец этого Искусства, есть Искусство Навигации: но оно имеет другие различные использования: даже ими быть наслаждаемыми, кто никогда не теряет вид земли.

Стратариетрия — это искусство (относящееся к военному делу), посредством которого человек может выстроить в фигуре, аналогичной любой заданной геометрической фигуре, любое определенное число или сумму людей, способных составить такую фигуру (принимая во внимание обычные интервалы, допускаемые между солдатами, и учитывая, что людей нельзя делить на части). Тем не менее, он может упорядочить данное число людей в наибольшую возможную для них фигуру и определить излишек (если таковой имеется), а также следующее определенное число, которое вместе с излишком позволит составить фигуру, точно пропорциональную заданной. С помощью этого искусства он также способен для любой армии или группы людей (чей строй, или порядок построения, и границы известны) выразить точное число людей, содержащихся внутри этой фигуры или (в порядке) способных быть в ней размещенными. *Примечание.* И эту фигуру, и ее границы он способен узнать, находясь рядом или на расстоянии. На этом описание и свойства стратариетрии, достаточные для данного времени и места, заканчиваются. Различие между стратариетрией и тактикой. «Она отличается от тактического искусства, De aciebus instruendis, поскольку там необходимы мудрость и предвидение, чтобы понимать, с какой целью он так выстраивает людей, а также искусное умение для любого случая или цели изобретать и использовать наиболее подходящий и необходимый порядок, строй и фигуру для своего отряда и суммы людей». Под фигурой я подразумеваю: например, идеальный квадрат, треугольник, круг, овал, прямоугольник (у греков он называется Eteromekes), ромб, ромбоид, лунообразную, кольцеобразную, змеевидную и другие подобные геометрические фигуры, которые использовались и должны использоваться в войнах ради удобства, необходимости, преимущества и т. д. И немалым искусством должен обладать тот, кто берется составить верный или близкий к истине отчет о численности пехоты или конницы в строю врага. Делать оценку на расстоянии, находясь между близкими пределами «больше» и «меньше», — не самое распространенное дело среди тех, кто охотно хотел бы этим заниматься. И. Д. Друг, тебе будет трудно выполнить мое описание этого искусства. Но с помощью хорографии ты можешь себе немного помочь, когда известные фигуры (по сторонам и углам) не являются правильными и когда может помочь разложение на треугольники и т. д. И все же тебе покажется странным иметь дело таким образом с арифметическими фигурами, особенно для боевого построения. Их содержание сильно отличается от подобных геометрических фигур. Капитаны могут проявлять большую осмотрительность (в подходящее время и в удобных местах), используя фигуры, которые производят наибольшее впечатление при имеющемся количестве людей, и, используя преимущество трех видов обычных интервалов (между пехотинцами или всадниками), выбирать наибольшие, или, наоборот, когда он хочет казаться малочисленным (будучи многочисленным), изменять фигуру и пространство. Герольд, преслеватель, королевский сержант, капитан или кто-либо другой, кто стремится приблизиться к истине в этом вопросе, помимо суждения своего опытного глаза, своего навыка тактического построения и помощи своего геометрического инструмента — астрономического кольца или посоха (удобно сконструированных для переноски и использования), может удивительным образом помочь себе с помощью перспективных стекол. В которых, я верю, наше потомство окажется более искусным и сведущим и достигнет больших целей, чем в наши дни можно (почти) поверить в их возможность.

Таким образом, я бегло прошел по искусственным навыкам, главным образом зависящим от народной геометрии и обычно и повсеместно причисляемым к геометрии. Но существуют и другие (очень многие) методические искусства, которые, отступая от чистоты, простоты и нематериальности нашей главной науки о величинах, тем не менее используют великую помощь, руководство и метод упомянутой главной науки и имеют собственные названия, отличные как от науки геометрии (из которой они происходят), так и друг от друга. Таковы перспектива, астрономия, музыка, космография, астрология, статика, антропография, трохилика, геликософия, пневматитмия, менадрия, гипогеодия, гидрагогия, хорометрия, зоография, архитектура, навигация, тауматургия и архемастрия. Я считаю необходимым по порядку дать некоторые особые описания этих искусств и вместе с тем коснуться некоторых их полезных применений, чтобы сделать это предисловие маленьким, приятным букетом для вас, чтобы утешить ваши духи, почти лишившиеся мужества и пребывающие в отчаянии (из-за грубого невежества), полагая, что геометрия служила лишь для постройки дома, или любопытного моста, или крыши Вестминстер-холла, или какого-то остроумного изящного устройства или механизма, подходящего для плотника или столяра и т. д. Что дело обстоит совсем иначе, чем мир (обычно) до сего дня полагал, будет доказано на словах и на деле.

Среди этих искусств, по веской причине, перспектива должна быть рассмотрена прежде, чем может быть достигнуто совершенное знание астрономических явлений. И из-за прерогативы света, являющегося первым из творений Божьих, и глаза, света нашего тела, и его самого могущественного чувства, и его органа, наиболее искусного и геометрического, мы начнем, следовательно, с перспективы. Перспектива — это математическое искусство, которое демонстрирует способ и свойства всех излучений: прямых, преломленных и отраженных. Это описание, или обозначение, кратко, но оно простирается так далеко, как широк мир. Оно касается всех творений, всех действий и страстей, совершаемых посредством эманации лучей. Под лучами, или естественными линиями, я здесь подразумеваю не только свет или цвет (хотя они и дают глазу вид, свидетельство и доказательство, на которых основывается искусство), но также и другие формы, как субстанциальные, так и акцидентальные, определенные и детерминированные активные радиальные эманации. С помощью этого искусства (опуская разговор о высших точках) мы можем использовать наши глаза и свет с большим удовольствием и более совершенным суждением: как в отношении вещей, видимых в свете, так и других, которые посредством подобного порядка излучений света действуют и производят свои эффекты. Нам должно быть стыдно не знать причины, почему наш глаз столь разнообразно обманывается и вводится в заблуждение: как, например, когда глаз принимает круглый глобус или сферу (находясь далеко) за плоский и ровный круг, и точно так же судит о плоском квадрате как о круглом; предполагает, что параллельные стены сближаются вдали; что параллельные крыша и пол изгибаются: один вниз, другой вверх, на небольшом расстоянии от вас. Далее, относительно вещей, движущихся с одинаковой скоростью, думать, что ближайшая движется быстрее, а дальняя — гораздо медленнее. Более того, из двух вещей, одна из которых (несравненно) движется быстрее другой, считать, что более медленная движется очень быстро, а другая стоит на месте — какая это ошибка нашего глаза? О радуге, как о ее цветах, порядке цветов, ее величине, месте и высоте и т. д., знать доказательные причины — разве это не приятно, разве это не необходимо? О появлении двух или трех солнц, о хвостатых звездах и тому подобных вещах, происходящих по естественным причинам (и тем не менее, в более глубоком смысле, значимых), — разве не полезно человеку знать самую истинную причину и естественный повод? Да, скорее, разве это не идет вразрез с величием человеческой природы — быть столь обманутым и введенным в заблуждение вещами (находящимися под рукой) перед своими глазами? Как с хвостом павлина и шеей голубя, или целым веслом, погруженным в воду, которое кажется сломанным. Вещи, находящиеся далеко, кажутся близкими, а близкие — далекими. Малые вещи кажутся большими, а большие — малыми. Один человек кажется армией. Или человек может быть сильно напуган собственной тенью. Да, настолько напуган, что если вы, находясь (в одиночестве) рядом с определенным зеркалом, предложите кинжалом или мечом нанести удар в зеркало, вы внезапно будете вынуждены отпрянуть (в некотором роде) из-за образа, появляющегося в воздухе между вами и зеркалом, с такой же рукой, мечом или кинжалом, и с такой же быстротой наносящего удар прямо в ваш глаз, точно так же, как вы делаете это в зеркало. Странно слышать об этом, но еще более удивительно видеть, чем могут выразить мои слова. И тем не менее, посредством оптической демонстрации порядок и причина этого подтверждаются, точно так же, как эффект является следствием. Да, я осмелюсь взять на себя еще большее ради удовлетворения благородного мужества, которое страстно жаждет мудрости естественных причин: дать ему понять, что в Лондоне он может своими собственными глазами получить доказательство того, что я здесь сказал. Один джентльмен (который за свою добрую службу, оказанную своей стране, знаменит и почтен, и за мастерство в математических науках и языках является единственным в своем роде человеком в этой земле и т. д.), именно он способен и (я уверен) очень охотно позволит увидеть зеркало и доказательство, и поэтому я (здесь) прошу его об этом: для приумножения мудрости у благородных, для закрытия ртов злобных и подавления высокомерия невежд. Вы можете легко догадаться, что я имею в виду. Это искусство перспективы обладает таким совершенством и может быть направлено на подтверждение и исполнение таких вещей, в которые никто бы легко не поверил без фактического доказательства. Я ничего не говорю о натурфилософии, которая без перспективы не может быть полностью понята или совершенно достигнута. Ни об астрономии, которая без перспективы не может быть хорошо обоснована, ни об астрологии, естественно верифицированной и подтвержденной. Та часть этого искусства, которая имеет дело с зеркалами (каковое имя, «зеркало», является общим названием в этом искусстве для всего, от чего отскакивает луч), называется катоптрикой и имеет так много применений, как чудесных, так и полезных, что мне потребовалось бы слишком много времени, чтобы отметить в ней основные заключения, уже известные, а также (возможно) некоторые вещи могли бы не получить должного доверия у вас, и я тем самым потерял бы свой труд, а вы — впали бы в легкомысленное суждение, прежде чем достаточно изучили силу природы и искусства.

Теперь, чтобы продолжить: астрономия — это математическое искусство, которое демонстрирует расстояния, величины и все естественные движения, явления и свойства, присущие планетам и неподвижным звездам: для любого времени, прошедшего, настоящего и будущего, в отношении определенного горизонта или без отношения к какому-либо горизонту. С помощью этого искусства мы получаем подтверждение о расстоянии звездного неба и каждой планеты от центра Земли, а также о величине любой видимой неподвижной звезды или планеты по отношению к величине Земли. Так, мы уверены (благодаря этому искусству), что твердость, массивность и тело Солнца содержат количество всей Земли и моря в сто шестьдесят два раза меньше, за вычетом 1/8 части Земли. Но тело всего земного шара и моря больше тела Луны в сорок три раза, за вычетом 1/8 Луны. Поэтому Солнце больше Луны в 7000 раз, за вычетом 59 39/64, то есть, точно, в 6940 25/64 раза больше Луны. И все же неискушенный человек счел бы их одинаковыми по величине. Поэтому, по необходимости, одно из них гораздо дальше от нас, чем другое. Солнце, когда оно находится дальше всего от Земли (что сейчас, в наш век, бывает, когда оно находится в 8-м градусе Рака), удалено на 1179 полудиаметров Земли. А Луна, когда она находится дальше всего от Земли, удалена на 68 полудиаметров Земли и 1/3. Ближайшее расстояние, на которое Луна подходит к Земле, составляет 52 1/4 полудиаметра. Расстояние до звездного неба от нас составляет 20081 1/2 полудиаметра Земли — двадцать тысяч восемьдесят один и почти половина. Вычтите из этого ближайшее расстояние Луны от Земли, и останется 20029 1/4 полудиаметра Земли — двадцать тысяч двадцать девять и четверть. Примечание. Столь толст небесный дворец, в котором планеты совершают все свои упражнения и самым чудесным образом исполняют повеление и поручение, данные им всемогущим Величеством Царя царей. Это то, что в Книге Бытия называется Ха-Ракиа. Хорошо обдумайте это. Полудиаметр Земли содержит 3436 4/11 наших обычных миль — три тысячи четыреста тридцать шесть и четыре одиннадцатых части мили: так что вся Земля и море вокруг составляют 21600 наших миль. Допуская для каждого градуса самого большого круга шестьдесят миль. Теперь, если вы хорошо обдумаете лишь эту малую часть астрономических плодов, касающихся величины, расстояний Солнца, Луны, звездного неба и огромной массивности Ха-Ракиа, не почувствуете ли вы, что ваша совесть побуждается вместе с царственным пророком воспеть исповедание славы Божьей и сказать: «Небеса проповедуют славу Божию, и о делах рук Его вещает твердь [Ха-Ракиа]». И так далее, для тех пяти первых стихов этого царственного псалма. Что ж, что ж, пора некоторым взяться за мудрость и судить о вещах истинно, а не толковать Святое Слово только аллегориями, пренебрегая мудростью, силой и благостью Божьей, видимыми и познаваемыми в Его творениях и творении. По притчам и аналогиям, чьи природы и свойства также провозглашает ход Священного Писания, нам открывается очень много тайн. Весь строй Божьих творений (который есть весь мир) является для нас ярким зеркалом, от которого посредством отражения отскакивают к нашему знанию и восприятию лучи и излучения, представляющие образ Его бесконечной благости, всемогущества и мудрости. И мы тем самым учимся и убеждаемся прославлять нашего Творца как Бога и быть благодарными за это. Могли ли язычники найти эти применения этих чистейших, прекраснейших и могущественных телесных творений, и должны ли мы, после того как истинное Солнце правды взошло над горизонтом нашей временной полусферы и так обильно излило в наши сердца прямые лучи Своей благости, милосердия и благодати, чье тепло чувствуют все творения: духовные и телесные, видимые и невидимые, — должны ли мы (я говорю) смотреть на небо, звезды и планеты, как вол и осел, не заботясь и не спрашивая, что они такое, почему они были созданы, как они исполняют то, для чего были созданы? Видя, что все творения были созданы ради нас, и как мы, так и они, созданы главным образом для прославления Всемогущего Творца, и это всеми возможными для нас средствами. Nolite ignorare (говорит Платон в «Эпиномиде») Astronomiam, Sapientissimum quiddam esse. Не будьте невежественны, астрономия есть вещь превосходной мудрости. Астрономия была нам с самого начала рекомендована и в некотором роде заповедана самим Богом. Поскольку Он сотворил Солнце, Луну и звезды, чтобы они были для нас знамениями, и для познания времен, и для различения дней и лет. Много слов не нужно. Но я желаю, чтобы каждый человек взвесил это слово «знамения». И помимо этого, сопоставил его также с десятой главой Иеремии. И хотя некоторые думают, что нашли там розгу, все же скромный разум будет беспристрастным судьей, кто должен быть ею бит в отношении нашей цели. Оставив это, я прошу вас понять вот что: без великого усердия в наблюдении, исследовании и расчете их периоды и курсы (посредством которых можно было бы точно узнать различие времен, лет и новолуний) не могли бы быть точно подтверждены. Исполнение этого дела и есть то искусство, которое мы здесь определили как астрономию. Благодаря чему мы можем иметь четкий ход времен, дней, лет и веков: как для рассмотрения священных пророчеств, исполненных в должное время, предсказанных, так и для проведения высоких мистических торжеств, и для всех других человеческих дел, условий и договоров, основанных на определенном времени между человеком и человеком, со многими другими великими применениями, в которых (поистине) была бы великая неопределенность, путаница, неправда и грубое варварство без чудесного усердия и мастерства этого искусства, постоянно изучающего и определяющего времена и периоды времени по записи небесной книги, где все времена написаны и должны быть прочитаны с помощью астрономического посоха вместо указки.

Музыка имеет свою первопричину в движении. Поэтому после движений, самых быстрых и самых медленных, которые совершаются в тверди природы и находятся под рассмотрением астрономов, теперь я буду говорить о другом виде движения, производящем звук, слышимый и исчисляемый человеком. Музыкой я называю здесь ту науку, которая у греков называется гармоникой. Не вмешиваясь в спор между древними гармониками и канониками. Музыка — это математическая наука, которая учит посредством чувств и разума совершенно судить и упорядочивать разнообразие звуков, высоких и низких. Астрономия и музыка — сестры, говорит Платон. Как для астрономии были созданы глаза, так для гармоничного движения были созданы уши. Но как астрономия имеет более божественное созерцание и пользу, чем может воспринять смертный глаз, так и музыка должна рассматриваться так, чтобы ум был предпочтен уху. И от слышимого звука мы должны восходить к исследованию: какие числа являются гармоничными, а какие нет. И почему одни являются таковыми, а другие — нет. Я мог бы подробно описать в небесных движениях и расстояниях чудесную гармонию арфы Пифагора с восемью струнами. Также можно было бы сказать кое-что о двух арфах Меркурия, каждая из четырех элементарных струн. И очень странные вещи можно было бы привести о гармонии, соответствующей нашей духовной части. Как это может быть видно в третьей книге Птолемея, в четвертой и шестой главах. И какова причина подходящей связи и дружеского содружества интеллектуальной и ментальной части нас с нашим грубым и тленным телом, как не некое среднее и гармоничное духовное начало, участвующее в обоих и (в некотором роде) проистекающее из обоих? О мелодии человеческого голоса, а также о звуке инструмента, что можно было бы сказать о гармонии — ни один обычный музыкант легко не поверит. И. Д. Прочтите в восьмой книге «Политики» Аристотеля главы 5, 6 и 7. Где вы найдете повод задуматься о музыке больше, чем принято думать. Но о различном смешении (как я могу это назвать) и стечении, различном сопоставлении и применении этих гармоний, как из трех, четырех, пяти или более: чудесными были эффекты, и все же могут быть найдены и произведены подобные, с некоторым пропорциональным учетом нашего времени и бытия в отношении состояния вещей того времени, в котором и посредством которого были совершены чудесные эффекты. Демокрит и Теофраст утверждали, что с помощью музыки можно исцелять или вызывать горести и болезни ума и тела. И мы находим в записях, что Терпандр, Арион, Исмений, Орфей, Амфион, Давид, Пифагор, Эмпедокл, Асклепиад и Тимофей посредством гармонического созвучия совершили и привели к исполнению вещи, более чем чудесные для слуха. Не делая дальнейшего рассуждения о них в этом месте, я уверен, что обычная музыка, повсеместно используемая, оказывается для музыкантов и слушателей столь полезной и приятной, что если бы я захотел сказать и поспорить лишь о том, что ее следует использовать иначе, чем она используется, я нашел бы больше порицателей, чем мог бы найти понимающих или сведущих в моем смысле. Поэтому в вещах очевидных и более известных, чем я могу выразить, и столь дозволенных и любимых (как я хотел бы, чтобы некоторые другие вещи имели такую же удачу), я воздержусь от расширения своих строк и буду последовательно следовать своей цели.

О космографии я намеревался кратко дать вам некоторое представление в этом месте. Космография — это полное и совершенное описание небесной, а также элементарной части мира и их гомологическое применение и необходимое взаимное сопоставление. Это искусство требует астрономии, географии, гидрографии и музыки. Поэтому это не малое искусство и не столь простое, как в обычной практике (слегка) считается. Оно соединяет небо и землю в одном строении и уместно применяет соответствующие части: так, чтобы небесный глобус мог (на практике) быть должным образом описан на географическом и гидрографическом глобусах. И там нам следует рассмотреть равноденственный круг, эклиптическую линию, колюры, полюса, звезды в их истинных долготах, широтах, склонениях и вертикальности: также климаты и параллели: и с помощью приложенного горизонта и вращения земного шара (как небо переносится перводвигателем за 24 равных часа) изучать восходы и заходы звезд (предписанные Вергилием в его «Георгиках», Гесиодом, Гиппократом в его медицинской сфере для Пердикки, царя македонян, Диоклом для царя Антигона и другими знаменитыми философами), вещь, необходимую для должной обработки земли, для навигации, для изменения человеческого тела: будь то здорового, больного, раненого или ушибленного. Посредством вращения или движения космографического глобуса также известны восход и заход Солнца, продолжительность дней и ночей, часы и времена (как ночные, так и дневные), со многими другими приятными и необходимыми применениями, из которых некоторые известны, но лучшие остаются для тех, кто может из искры истинного огня сделать чудесный костер, применяя должное вещество должным образом.

Об астрологии я здесь говорю как об искусстве, отдельном от астрономии: не по новому измышлению, а по веской причине и авторитету: ибо астрология — это математическое искусство, которое разумно демонстрирует операции и эффекты естественных лучей света и тайного влияния звезд и планет в каждом элементе и элементарном теле: во все времена, в любом заданном горизонте. Это искусство снабжено многими другими великими искусствами и опытами: как совершенной перспективой, астрономией, космографией, натурфилософией четырех элементов, искусством градации и некоторым хорошим пониманием музыки: и еще более того, другим великим искусством, следующим далее, хотя я здесь ставлю это перед ним по некоторым побуждающим меня соображениям. Достаточен (как видите) материал, чтобы составить это редкое и тайное искусство, и достаточно трудно прийти к силлогистическому заключению. И все же как многократные и постоянные труды древнейших и мудрейших философов для достижения этого искусства, так и примеры эффектов для подтверждения оного оставили нам достаточное доказательство и свидетельство, и мы также ежедневно можем видеть, что человеческое тело и все другие элементарные тела изменяются, располагаются, упорядочиваются, радуются и огорчаются влиятельным действием Солнца, Луны и других звезд и планет. И поэтому говорит Аристотель в первой из своих книг о метеорологии, во второй главе: Est autem necessariò Mundus iste, supernis lationibus ferè continuus. Vt, inde, vis eius vniuersa regatur. Ea siquidem Causà prima putanda omnibus est, vnde motus principium existit. То есть: Этот [элементарный] мир по необходимости почти непосредственно примыкает к небесным движениям, чтобы оттуда вся его добродетель или сила могла управляться. Ибо это должно считаться первой причиной для всего, откуда существует начало движения. И снова, в десятой главе: Oportet igitur & horum principia sumamus, & causas omnium similiter. Principium igitur vt mouens, præcipuumque & omnium primum, Circulus ille est, in quo manifeste Solis latio, &c. И так далее. Его книги о метеорологии полны аргументов и действенных демонстраций добродетели, операции и силы небесных тел в четырех элементах и других телах, из них (совершенно или несовершенно) составленных. И во второй его книге, De Generatione & Corruptione, в десятой главе: Quocirca & prima latio, Ortus & Interitus causa non est: Sed obliqui Circuli latio: ea namque & continua est, & duobus motibus fit: По-английски так: Поэтому верхнее движение не является причиной рождения и гибели, но движение Зодиака: ибо оно и непрерывно, и вызвано двумя движениями. И во второй его книге и второй главе его физики: Homo namque generat hominem, atque Sol. Ибо человек (говорит он) и Солнце являются причиной рождения человека. Авторитетов можно привести очень много: как 1000, 2000, да и 3000-летней давности: великих философов, экспертов, мудрых и благочестивых людей для того заключения, которое мы, люди, ежедневно и ежечасно можем различать и воспринимать чувством и разумом: все звери чувствуют и просто показывают своими действиями и страстями, внешними и внутренними: все растения, травы, деревья, цветы и плоды. И, наконец, элементы и все вещи, из элементов составленные, дают свидетельство (как сказал Аристотель), что их общие расположения, добродетели и естественные движения зависят от активности небесных движений и влияний. Благодаря чему, помимо специфического порядка и формы, должных каждому семени, и помимо природы, присущей индивидуальной матрице произведенной вещи, небесное впечатление должен определить совершенный и осмотрительный астролог. Не только (по апотелесмам) τὸ ὁτὶ, но и по естественной и математической демонстрации τὸ διότι. Для чего, какие науки необходимы (без исключения), я частично здесь предупредил: и в моих пропедевтиках (помимо другого материала, там раскрытого) я математически выстроил весь метод: в наш век не столь тщательно проработанный никем, кого я когда-либо видел или о ком слышал. Я был * Anno. 1548 и 1549 в Лёвене (21 год назад) определенными серьезными диспутами ученого Герарда Меркатора и Антония Гогавы (и других) к тому побужден: и (моим постоянным и непобедимым рвением к истине) в наблюдениях небесных влияний (до минуты времени) тогда столь усерден: и главным образом сверхъестественным влиянием от звезды Иакова так направляем: что любой скромный и трезвый студент, тщательно и усердно ищущий истину, как найдет, так и признает в том истинность моих слов: и также станет разумным реформатором трех сортов людей, сильно заблуждающихся относительно этих влиятельных операций. Примечание. Из которых одни — легковерные, другие — легкомысленные презиратели, а третьи — легкомысленные практики. Первый и самый распространенный сорт думает, что небо и звезды отвечают на любые их сомнения или желания, 1. что не так: и, по правде говоря, они слишком многого ожидают. Второй сорт думает, что никакая влиятельная добродетель (от небесных тел) не имеет никакого влияния на рождение 2. и гибель в этом элементарном мире. И Солнцу, Луне и звездам (будучи столь многими, столь чистыми, столь яркими, столь удивительно большими, столь далекими в расстоянии, столь многообразными в своих движениях, столь постоянными в своих периодах и т. д.) они приписывают незначительную, простую должность или две, и так приписывают им (согласно своим способностям) столько же добродетели и влиятельной силы, сколько знаку Солнца, Луны и семи звезд, повешенному (для знаков) в Лондоне для различения домов и подобных грубых помощников в наших мирских делах: и они не понимают (или не хотят понимать) других действий и добродетелей небесных Солнца, Луны и звезд: не так много, как моряк или земледелец: нет, не так много, как слон, как киноцефал, как дикобраз: и не признают за этими совершенными и нетленными могущественными телами столько виртуального излучения и силы, сколько они видят в маленьком кусочке магнитного камня, который на большом расстоянии показывает свою операцию. И, возможно, они думают, что море и реки (как Темза) — это какая-то живая вещь, и поэтому приливают и отливают, бегут внутрь и наружу сами по себе, по своим собственным фантазиям. Боже помоги, Боже помоги. Конечно, эти люди слишком недалеки: и либо слишком тупы, либо намеренно слепы, либо, возможно, слишком злобны. Третий человек — это обычный и вульгарный астролог, или практик: который, будучи не должным образом, искусственно и совершенно 3. снабжен: все же либо ради тщеславия, либо ради выгоды, либо как простой болван и слепой Байярд, как в деле, так и в манере, ошибается: к дискредитации осторожного и скромного астролога: и к ограблению тех благороднейших телесных творений их естественной добродетели: будучи могущественнейшими, полезнейшими для всякого элементарного рождения, гибели и принадлежностей: и наиболее гармоничными в своей монархии: для которых вещей, будучи известными и скромно используемыми, мы могли бы высоко и постоянно прославлять Бога, говоря с царственным пророком: Небеса проповедуют славу Божию: который сотворил небеса в своей мудрости: который сотворил Солнце, чтобы оно имело владычество над днем: Луну и звезды, чтобы они имели владычество над ночью: благодаря чему день дню передает речь: и ночь ночи возвещает знание. Хвалите его, все вы, звезды и свет. Аминь.

В порядке теперь следует сказать о статике, что мы подразумеваем под этим именем и какая польза зависит от такого искусства. Статика — это математическое искусство, которое демонстрирует причины тяжести и легкости всех вещей: и движения и свойства, относящиеся к тяжести и легкости. И поскольку посредством весов (как главного чувственного инструмента) можно получить опыт этих демонстраций, мы называем это искусство статикой: то есть эксперименты весов. О, если бы люди знали, какая польза (во всех отношениях) от этого искусства могла бы вырасти для способного исследователя и усердного практика. «Ты один знаешь все вещи точно (о Боже), кто сделал вес и весы своим суждением: кто сотворил все вещи в числе, весе и мере: и взвесил горы и холмы на весах: кто взвесил в своей руке как небо, так и землю. Мы, следовательно, предупрежденные священным словом рассматривать Твои творения: и посредством этого рассмотрения выиграть проблеск (как бы) или тень восприятия, что Твоя мудрость, сила и благость бесконечны и невыразимы, провозглашенные в Твоих творениях: и будучи далее уведомлены Твоей милосердной благостью, что три главных пути были Тобою использованы при создании всех Твоих творений, а именно число, вес и мера, и поскольку из числа и меры два искусства (древние, знаменитые и для человеческих нужд наиболее необходимые) уже достаточно известны и существуют: этот третий ключ, мы умоляем Тебя (через Твою привычную благость), чтобы он мог прийти к необходимому и достаточному знанию таких Твоих слуг, которые в Твоем мастерстве охотно нашли бы Твои истинные поводы (целенаправленно использованные), посредством которых мы должны прославлять Твое имя и показать (слабым в вере) Твою чудесную мудрость и благость. Аминь.»

Не удивляйтесь этому порыву (благочестивый друг, вы, нежный и ревностный студент). В другой день, возможно, вы поймете, какой повод побудил меня. Здесь, как сейчас, я дам вам некоторое основание и вместе с тем некоторое представление о некоторых товарах, возникающих из этого искусства. И поскольку это искусство редкое, мои слова и практики могут быть слишком темными, если бы у вас не было некоторого света, удерживаемого перед предметом: и это лучше всего будет сделать, дав вам из демонстраций Архимеда несколько основных заключений, как следует.

1. Поверхность всякой жидкости, состоящей самой по себе и в покое, является сферической: центр которой есть тот же, что и центр Земли.

2. Если твердые величины, будучи той же величины или количества, что и любая жидкость, и имея также тот же вес, будут опущены в ту же жидкость, они осядут вниз так, что никакая их часть не будет выше поверхности жидкости: и все же, тем не менее, они не утонут полностью или не пойдут ко дну.

3. Если какая-либо твердая величина, будучи легче жидкости, будет опущена в ту же жидкость, она осядет вниз в ту же жидкость настолько, что такое количество этой жидкости, какая часть твердой величины, осевшей в ту же жидкость, по весу равна весу всей твердой величины.

4.

Любая твердая величина, легче жидкости, принудительно опущенная в ту же жидкость, будет двигаться вверх с такой силой, насколько жидкость, имеющая равное количество с целой величиной, тяжелее той же величины.

5. Любая твердая величина, тяжелее жидкости, будучи опущенной в ту же жидкость, утонет полностью: и будет в той жидкости легче настолько, насколько велик вес или тяжесть жидкости, имеющей величину или количество, равное твердой величине.

6. I. D.

The Cutting of a Sphære according to any proportion assigned may by this proposition be done Mechanically by tempering Liquor to a certayne waight in respect of the waight of the Sphære therein Swymming. Если какая-либо твердая величина, легче жидкости, будет опущена в ту же жидкость, вес той же величины будет относиться к весу жидкости (которая равна по количеству целой величине) в той пропорции, в какой часть величины, осевшей вниз, относится к целой величине.

С помощью этих истин могут быть исправлены великие ошибки в мнении о естественном движении вещей, легких и тяжелых. Которые ошибки в натурфилософии (почти) всеми людьми допускаются: слишком доверяя авторитету и ложным предположениям. Как, например, о любых двух телах, что более тяжелое движется вниз быстрее, чем более легкое. Общая ошибка, отмеченная. Эта ошибка отмечена не мной впервые, а одним Джоном Баптистом де Бенедиктисом. Главное из его положений — это, которое кажется парадоксом.

A paradox. Если есть два тела одной формы и одного вида, равные по количеству или неравные, они будут двигаться на равное расстояние в равное время: так что оба их движения будут в воздухе, или оба в воде, или в любой одной среде.

Здесь, в искусстве артиллерии, некоторые хорошие рассуждения (в остальном) могут получить большое исправление и продвижение. Чудесное использование этих положений. В намеченной цели, также допуская кое-что к несовершенству природы: не отвечающему точности демонстрации. Более того, посредством вышеуказанных положений (мудро используемых) можно близко узнать, насколько легки или тяжелы воздух, вода, земля, огонь (естественно) в своих назначенных частях или в целом. А затем, переходя к элементарным вещам, вы можете иметь дело с пропорцией элементов в составных вещах. Затем к пропорциям гуморов в человеке: их весам и весу его костей и плоти и т. д. Затем, по весу, иметь соображение о силе человека, любым способом: в целом или в части. Затем вы можете иметь приятное соображение о кораблях, осадке воды, различно в море и в пресной воде: и о взвешивании чего-либо, утонувшего в море или в пресной воде и т. д. И (чтобы поднять голову вверх) по весу вы можете, так же точно, как любым другим инструментом, измерить диаметры Солнца и Луны и т. д. Друг, я прошу вас взвесить эти вещи на точных весах разума. И вы найдете чудеса на чудесах: и оцените одну каплю истины (даже в натурфилософии) больше, чем целые библиотеки мнений, недоказанных или не отвечающих закону природы и вашему опыту. Оставив эти вещи так, я дам вам две или три легкие практики для великой цели: и так закончу мою статическую аннотацию. В математических делах, с помощью механика, мы увидим здесь пользу веса. Статическая практика, чтобы узнать пропорцию между кубом и сферой. Сделайте куб из любого одного однородного и одинаково тяжелого материала: из того же материала сделайте сферу или глобус, точно с диаметром, равным радикальной стороне куба. Ваш материал может быть деревом, медью, оловом, свинцом, серебром и т. д. (будучи, как я сказал, одной природы, состояния и одинакового веса повсюду). И вы можете с помощью весов иметь подготовленное большое количество самых маленьких весов: которые этими весами могут быть различимы или испытаны: и так приступить к тому, чтобы сделать себе идеальную кучу, компанию и число весов: до веса шести, восьми или двенадцати фунтов, все наиболее усердно испытанные. И у каждого из них содержание известно в вашем наименьшем весе, который взвешиваем. [Те, кто не может иметь эти веса точности, могут с помощью песка, однородного и хорошо очищенного от пыли, сделать себе число весов, несколько близких к точности: всегда деля песок пополам, они в конце концов придут к наименьшему общему весу. В этом я оставляю дальнейшее дело на их усмотрение, кого нужда прижмет.] Венецианское соображение веса может показаться достаточно точным: по восьми спускам прогрессивно, * (И. Д. Ибо так у вас есть 256 частей грана). Ваш куб, сфера, подходящие весы и удобные веса будучи готовы: приступайте к работе. ❉. Сначала взвесьте ваш куб. Отметьте число веса. Взвесьте после этого вашу сферу. Отметьте также число веса. Если вы теперь найдете вес вашего куба относящимся к весу сферы как 21 к 11: тогда вы видите, как механик и экспериментатор, без геометрии и демонстрации, (как близко в эффекте) научены пропорции куба к сфере: как я продемонстрировал это в конце двенадцатой книги Евклида. Часто пробуйте с тем же кубом и сферой. Затем измените вашу сферу и куб на другой материал или на другую величину: пока вы не сделаете идеальный универсальный опыт этого. Возможно, что вы выиграете более близкие пределы в пропорции.

Когда вы обрели эту единственную верную каплю естественной истины, приступайте к выводам и должным образом испытайте зависящие от нее материи. Так, поскольку хорошо доказано, что цилиндр, высота и диаметр основания которого равны диаметру сферы, относится к этой сфере как три к двум (то есть как 3 к 2), то к числу, выражающему вес сферы, прибавьте его половину: так вы получите число, выражающее вес этого цилиндра. Оно также охватывается нашим прежним кубом: таким образом, основание этого цилиндра есть круг, описанный в квадрате, который является основанием нашего куба. Но куб и цилиндр, имея одну и ту же высоту, имеют основания в той же пропорции, в какой они сами соотносятся друг с другом по своей массе или плотности. Но ранее у нас были два числа, выражающие их массы, плотности и количества по весу; следовательно, мы имеем пропорцию квадрата к вписанному кругу. И так мы пришли к чувственному и экспериментальному познанию великой тайны Архимеда, которую он искал и нашел великим напряжением ума. Посему для любого заданного круга вы можете указать равный ему квадрат, как я учил в своем примечании к первому предложению двенадцатой книги, и точно так же для любого заданного квадрата вы можете указать равный ему круг. Если вы опишете круг, который будет находиться в такой пропорции к вашему вписанному кругу, в какой квадрат находится к тому же кругу, — это вы можете сделать с помощью моих примечаний ко второму предложению двенадцатой книги Евклида, в моей третьей задаче там. Ваше усердие может привести вас к пропорции квадрата к вписанному кругу, более близкой к истине, чем пропорция 14 к 11. И учтите, что вы можете начать с круга и квадрата и таким образом прийти к выводу о сфере и кубе, какова их пропорция, подобно тому как сейчас вы пришли от сферы к кругу. Ибо если из серебряных, золотых или латунных пластин (протянутых через одно отверстие, как принято) вы сделаете квадратную фигуру и взвесите ее, а затем, описав на ней вписанный круг, отрежете и сточите излишек квадрата точно по кругу, то, взвесив ваш круг, вы увидите, относится ли вес квадрата к вашему кругу как 14 к 11, как я отметил в начале двенадцатой книги Евклида и т. д. После этого обратитесь к моему последнему предложению, касающемуся последнего предложения двенадцатой книги, и там помогите себе дойти до конца. И здесь заметьте это мимоходом: что мы можем квадратировать круг, не имея знания о пропорции окружности к диаметру, как вы здесь поняли. И я могу доказать это и иными способами. Так что многие обременяли себя излишне, трудясь прежде всего над тем пунктом, который не был первоочередным, а также был весьма запутанным. И вы можете легко (и притом разнообразно) прийти к знанию окружности, если сначала известно количество круга. Эту вещь я оставляю на ваше усмотрение, спеша выполнить другую магистерскую задачу и донести ее до вашего сведения и более удобного обращения с ней, чем мир (до сего дня) имел ее для вас, насколько мне известно. А именно: механическое удвоение куба и т. д. Что может быть сделано так: удвоить куб легко, с помощью механического искусства, зависящего от математического доказательства. Сделайте из медных или оловянных пластин четырехугольную прямую пирамиду или конус, идеально сформированные внутри. При этом пусть будет проявлено великое усердие, чтобы приблизиться (насколько возможно) к математическому совершенству этих фигур. У их оснований пусть они будут открыты, во всем остальном — максимально закрыты и точны. От вершины к окружности основания конуса и к сторонам основания пирамиды пусть будут проведены 4 прямые линии внутри конуса и пирамиды, образующие при падении на периметры оснований равные углы по обе стороны от них самих с указанными периметрами. Эти 4 линии (в пирамиде, и столько же в конусе) разделите: одну на 12 равных частей, другую на 24, третью на 60, а четвертую на 100 (считая вверх от вершины). Или используйте другие числа деления, как подскажет опыт. Затем установите ваш конус или пирамиду вершиной вниз, перпендикулярно по отношению к основанию (хотя если это будет иначе, это ничему не мешает). Так пусть они будут максимально устойчиво закреплены. Теперь, если есть куб, который вы хотите удвоить, сделайте себе небольшой куб из меди, серебра, свинца, олова, дерева, камня или кости. Или же сделайте полый куб, или кубический ящик из меди, серебра, олова или дерева и т. д. Вы можете соразмерить их по отношению к вашей пирамиде или конусу так, чтобы пирамида или конус были способны вместить их вес в воде 3 или 4 раза, по крайней мере, из какого бы материала они ни были сделаны. Пусть ваш телесный угол у вершины не будет слишком острым, чтобы вода могла легко доходить до самой вершины вашего полого конуса или пирамиды. Положите один из ваших твердых кубов на подходящие весы, точно определите его вес в воде. Влейте эту воду (без потерь) в полый конус или пирамиду спокойно. Отметьте на ваших линиях, какие числа пересекает вода. Снова возьмите вес того же куба в том же виде воды, который у вас был прежде, поместите и его в пирамиду или конус, куда вы поместили первый. Отметьте теперь снова, в каком числе или месте линий вода пересекает их. Двумя способами вы можете достичь своей цели: а именно, числами или линиями. Числами: если вы разделите сторону вашего фундаментального куба на столько равных частей, сколько он способен вместить удобно, с легкостью и точностью деления. Ибо как число вашей первой и меньшей линии (в вашей полой пирамиде или конусе) относится ко второй или большей (обе считаются от вершины), так число стороны вашего фундаментального куба будет относиться к числу, принадлежащему радикальной стороне куба, удвоенного по отношению к вашему фундаментальному кубу, который, будучи умноженным кубически, вскоре покажет, является ли он удвоенным или нет по отношению к кубическому числу вашего фундаментального куба. Линиями — так: как ваша меньшая и первая линия (в вашей полой пирамиде или конусе) относится ко второй или большей, так пусть радикальная сторона вашего фундаментального куба относится к четвертой пропорциональной линии, согласно 12-му предложению шестой книги Евклида. Эта четвертая линия будет кубическим корнем, или радикальной стороной куба, удвоенного по отношению к вашему фундаментальному кубу, что и было тем, чего мы желали. Бог да будет восславлен за это изобретение и последующий плод. Ибо за это я могу (с радостью) сказать: ΕΥΡΗΚΑ, ΕΥΡΗΚΑ, ΕΥΡΗΚΑ, благодаря святую и славную Троицу, имея к тому большие основания, чем имел Архимед (за обнаружение мошенничества, использованного в королевской золотой короне), как всякий человек может легко судить по разнообразию плодов, следующих из одного и другого. Там, где я говорил ранее о полом кубическом ящике, использование его такое же, и без веса. Так: наполните его водой до краев и влейте эту воду в вашу пирамиду или конус. И здесь отметьте линии, пересекаемые в вашей пирамиде или конусе. Снова наполните ваш ящик, как вы делали прежде. Добавьте эту воду также к первой. Отметьте второе пересечение ваших линий. Теперь, как вы действовали прежде, так должны вы действовать и здесь. И если куб, который вы должны удвоить, сколь угодно велик, вы имеете таким образом пропорцию (в малом) между вашими двумя маленькими кубами, и тогда сторона того большого куба (который нужно удвоить), будучи третьей, будет иметь четвертую, найденную пропорциональной ей, согласно 12-му предложению шестой книги Евклида.

Заметьте относительно сферической поверхности воды. Заметьте, что все это время я не забываю свое первое статическое предложение, здесь повторенное: что поверхность воды является сферической. В чем используйте свое усмотрение: к первой линии добавляя немного, ширину волоса, а ко второй — половину ширины волоса к ее длине. Ибо вы легко заметите, что разница не может быть больше в любой пирамиде или конусе, с которыми вы будете иметь дело. Что вы проверите так: для нахождения выпуклости воды выше уровня: «Возведите в квадрат полудиаметр от центра земли до поверхности вашей первой воды. Затем возведите в квадрат половину хорды этой водяной поверхности (которая должна иметь равные части своей меры, те же, что и у полудиаметра земли до вашей водяной поверхности). Вычтите этот квадрат из первого. Из остатка извлеките квадратный корень. Этот корень вычтите из вашего первого полудиаметра земли до вашей водяной поверхности; то, что останется, есть высота воды в середине выше уровня». Что вы найдете вещью, нечувствительной. И хотя бы она была значительно чувствительной, с помощью моей шестой теоремы к последнему предложению двенадцатой книги Евклида, отмеченной, вы можете свести все к истинному уровню. Но дальнейшее усердие от вас требуется против случайных причин выпуклости воды, как, например, предварительное увлажнение влажной губкой вашего полого конуса или пирамиды, что предотвратит случайную причину выпуклости и т. д. Опыт научит вас обильно, с великой легкостью, удовольствием и пользой.

Таким образом, вы можете удвоить куб механически, утроить его и так далее, в любой пропорции. Заметьте это сокращение удвоения куба и т. д. Теперь я сокращу ваши труды, расходы и заботы в этом деле. Без всякой подготовки ваших фундаментальных кубов вы можете (так же) выполнить это заключение. Ибо то было скорее своего рода экспериментальным доказательством, нежели кратчайшим путем, и все зависело от одного математического доказательства. «Возьмите воду (столько, сколько удобно послужит вашим целям, как я предупреждал ранее о величине ваших фундаментальных кубов), взвесьте ее точно. Влейте эту воду в вашу пирамиду или конус. Затем снова возьмите того же вида воду, того же веса, что у вас был прежде, влейте ее также в пирамиду или конус. Ибо в каждом случае ваше отмечание линий, как вода пересекает их, даст вам пропорцию между радикальными сторонами любых двух кубов, из которых один вдвое больше другого, работая, как я учил вас прежде, за исключением того, что для радикальной стороны вашего фундаментального куба здесь вы можете взять прямую линию по своему усмотрению».

Еще дальше продвигаясь с нашей каплей естественной истины: чтобы давать кубы один другому в любой пропорции, рациональной или иррациональной, вы можете (теперь) давать кубы один другому в любой заданной пропорции, рациональной или иррациональной, таким образом. Сделайте полый параллелепипед из меди или олова с одним отсутствующим или открытым основанием, как в нашем кубическом ящике. От дна этого параллелепипеда поднимите много перпендикуляров на каждой из его четырех сторон. Теперь, если вам задана какая-либо пропорция в прямых линиях, разделите один из ваших перпендикуляров (или линию, равную ему, или меньшую его) таким же образом, согласно 10-му предложению шестой книги Евклида. И эти две части установите на двух различных линиях этих перпендикуляров (или вы можете установить их обе на одной линии), сделав их начала у основания, и так их длины будут простираться вверх. Теперь установите ваш полый параллелепипед прямо, перпендикулярно, устойчиво. Влейте воду аккуратно до высоты вашей более короткой линии. Влейте эту воду в полый конус или пирамиду. Отметьте место подъема. Снова установите ваш полый параллелепипед. Влейте в него воду до высоты второй линии, точно. Влейте эту воду (опорожнив первую) должным образом в полый конус или пирамиду. Отметьте теперь снова, где вода пересекает ту же линию, которую вы отметили прежде. Ибо там, как первая отмеченная линия относится ко второй, так будут относиться две радикальные стороны одна к другой любых двух кубов, которые по своей плотности будут иметь ту же пропорцию, которая была задана вначале, будь то рациональная или иррациональная.

Таким образом, различными способами вы можете обеспечить себя такой странной и полезной материей, которой давно желали. И хотя это делается естественно и механически, все же это имеет хорошее математическое доказательство. Доказательства этого удвоения куба и остального таковы: всегда вы имеете две подобные пирамиды или два подобных конуса в заданных пропорциях, а подобные пирамиды или конусы относятся друг к другу в пропорции их гомологичных сторон (или линий), возведенных в куб. Посему, если к первой и второй линиям, найденным в вашей полой пирамиде или конусе, вы присоедините третью и четвертую в непрерывной пропорции, эта четвертая линия будет относиться к первой, как большая пирамида или конус к меньшей, согласно 33-му предложению одиннадцатой книги Евклида. Если пирамида к пирамиде или конус к конусу относится как двойная, то и линия к линии будет также двойной и т. д. Но как наша первая линия относится ко второй, так радикальная сторона нашего фундаментального куба относится к радикальной стороне куба, который должен быть сделан или удвоен, и поэтому к этим двум также третья и четвертая линии, в непрерывной пропорции присоединенные, дадут четвертую линию в той пропорции к первой, как наша четвертая пирамидальная или коническая линия была к своей первой; но та была двойной или тройной и т. д., как пирамиды или конусы были один к другому (как мы доказали), следовательно, эта четвертая будет также двойной или тройной к первой, как пирамиды или конусы были один к другому. Но наш сделанный куб описан из второй в пропорции четырех пропорциональных линий, следовательно, согласно 33-му предложению одиннадцатой книги Евклида, как четвертая линия относится к первой, так этот куб относится к первому кубу, и мы доказали, что четвертая линия относится к первой, как пирамида к пирамиде или конус к конусу. Посему куб относится к кубу, как пирамида к пирамиде или конус к конусу. Но мы предполагаем пирамиду к пирамиде или конус к конусу как двойную или тройную и т. д. Следовательно, куб относится к кубу как двойной или тройной и т. д., что и требовалось доказать. И относительно параллелепипеда очевидно, что водяные твердые параллелепипеды относятся один к другому, как их высоты, поскольку они имеют одно основание. Посему пирамиды или конусы, сделанные из этих водяных параллелепипедов, относятся один к другому, как линии (одна к другой), между которыми была задана наша пропорция. Но кубы, сделанные из линий после пропорции пирамидальных или конических гомологичных линий, относятся один к другому, как пирамиды или конусы относятся один к другому (как мы доказали прежде), следовательно, сделанные кубы будут относиться один к другому, как заданные линии относятся одна к другой, что и требовалось доказать. Заметьте. Заметьте это следствие. Это мое доказательство более общее, чем только для квадратной пирамиды или конуса: обдумайте хорошо. Таким образом, я, как математически, так и механически, был очень долог в словах, но (я надеюсь) нисколько не утомителен для тех, кто хорошо расположен к этим вещам. И поистине я вынужден (избегая многословия) опустить множество таких вещей, легких для практики, которые для математика были бы великим сокровищем, а для механика — немалой выгодой. Великие блага, следующие из этих новых изобретений. Теперь вы можете между двумя заданными линиями найти две средние пропорциональные в непрерывной пропорции с помощью полого параллелепипеда и полой пирамиды или конуса. Теперь, при заданном любом прямоугольном параллелепипеде, могут быть найдены три прямые линии, пропорциональные в любой заданной пропорции, из которых будет произведен параллелепипед, равный заданному параллелепипеду. Об этом я отметил кое-что в 36-м предложении 11-й книги Евклида. Теперь все те вещи, которые Витрувий в своей архитектуре указал как способные быть сделанными путем удвоения куба или путем нахождения двух средних пропорциональных линий между двумя заданными линиями, могут быть легко выполнены. Теперь та задача, которую я отметил вам в конце моего дополнения к 34-му предложению 11-й книги Евклида, доказана как возможная. Теперь любое правильное тело может быть преобразовано в другое и т. д. Теперь любое правильное тело, любая сфера, да даже любое смешанное твердое тело и (что более того) неправильные твердые тела могут быть сделаны (в любой заданной пропорции) подобными телу, данному первым. Таким образом, из манекена (как называют его голландские художники) в той же симметрии может быть сделан гигант, и это с любым жестом, используемым манекеном, и наоборот. Теперь вы можете из любой формы или модели корабля сделать одну той же формы (в любой заданной пропорции) больше или меньше. Теперь вы можете из любой пушки или маленького орудия сделать другое с той же симметрией (во всех точках) таким же большим и таким же маленьким, как вы хотите. Отметьте это и подумайте об этом. Бесконечно вы можете применять это, столь долго искомое и теперь столь легко заключенное, и притом столь охотно и откровенно сообщенное тем, кто добросовестно занимается добродетельными исследованиями. Таков плод математических наук и искусств. Таким образом, математический ум может действовать умозрительно в своем собственном искусстве и хорошими средствами подниматься выше облаков и звезд, и, во-вторых, он может по порядку спускаться, чтобы приспосабливать естественные вещи к чудесным применениям, и когда пожелает, удаляться домой в свой собственный центр, и там готовить больше средств, чтобы подниматься или спускаться, и все это — во славу Божью и наше честное наслаждение на земле.