«Математическое предисловие к «Началам» Евклида»

Различия в размерах шрифта соответствуют оригиналу.

В печатной книге все боковые примечания располагались на внешнем поле. В данном электронном издании они разделены. Текстовые примечания, включая отдельные цифры, вынесены на правое поле; символы, наряду с номерами страниц, расположены на левом. Сплошные кавычки не удалось воспроизвести в исходном виде, поэтому они представлены в левом поле в виде увеличенных открывающих “ и закрывающих ” кавычек.

В оригинальной книге не было нумерации страниц. Вместо этого были обозначены все лицевые (правые) страницы, сгруппированные в шесть тетрадей по восемь страниц. Сами тетради имеют необычную последовательность: (указывающий палец); * (звездочка); a; b; c; A. Оборотные (левые) страницы не были помечены; здесь они обозначены как ||. Последняя страница представляла собой ненумерованный разворот, примерно вдвое превышающий размер обычной страницы.

Если не указано иное, орфография и пунктуация оставлены без изменений. Несколько специальных примечаний приведены в конце текста вместе с теми отрывками из Евклида, которые обозначены цифрами.

Текст титульного листа

❧ Переводчик — читателю. Нет ничего (кроме слова Божьего), что столь сильно украшало бы и облагораживало душу и разум человека, как знание добрых искусств и наук, таких как знание естественной и нравственной философии. Первая являет нашим очам творения Божьи, как на небесах вверху, так и на земле внизу, в коих, словно в зеркале, мы созерцаем превеликое величие и мудрость Божью, украшающую и облагораживающую их, как мы видим, наделяя их столь чудесными и многообразными свойствами и естественными действиями, притом столь различными и в таком разнообразии; далее, постоянно поддерживая и сохраняя их, дабы мы славили и почитали Его, как учит нас святой Павел. Вторая же учит нас правилам и предписаниям добродетели, тому, как в обычной жизни среди людей нам следует ходить праведно: какие обязанности относятся к нам самим, какие — к управлению или доброму порядку как в доме, так и в городе или государстве. Чтение историй также немало способствует украшению души и разума человека — занятие, одобряемое всеми людьми; через него видны и познаны искусства и деяния бесчисленных мудрецов, живших до нас. В историях содержатся бесконечные примеры героических добродетелей, коим нам следует следовать, и ужасные примеры пороков, коих нам следует избегать. Есть и многие другие искусства, украшающие разум человека, но ни одно из них не гарнирует и не украшает его более, чем те искусства, что называются математическими. К знанию коих никто не может прийти без совершенного знания и наставления в принципах, основаниях и элементах геометрии. Но чтобы быть в них совершенно наставленным, требуется прилежное изучение и чтение старых древних авторов. Среди коих никого для начинающего не следует предпочитать древнейшему философу Евклиду из Мегары. Ибо из всех прочих он в истинном методе и должном порядке собрал воедино все, что кто-либо до него написал об этих элементах, изобретая также и добавляя многое от себя, чем он в должной форме завершил искусство: сначала давая определения, принципы и основания, из коих он выводит свои предложения или заключения столь чудесным образом, что то, что идет впереди, по необходимости требуется для доказательства того, что следует далее. Так что без прилежного изучения «Начал» Евклида невозможно достичь совершенного знания геометрии, а следовательно, и любой другой из математических наук. Посему, рассматривая нужду и недостаток таких добрых авторов доселе на нашем народном языке, оплакивая также небрежение и недостаток рвения к своему отечеству у тех из нашей нации, кому Бог дал и знание, и способность переводить на наш язык и публиковать такие добрые авторы и книги (главные инструменты всех знаний); видя, более того, что многие добрые умы, как дворян, так и других всех сословий, весьма желающие и стремящиеся к этим искусствам, и ищущие их, сколько могут, не жалея сил, и все же разочарованные в своем намерении, никоим образом не достигая того, что ищут: я ради них, с некоторыми затратами и великим трудом, верно перевел на наш народный язык и выпустил в печать эту книгу Евклида. К коей я добавил легкие и ясные разъяснения и примеры посредством фигур для определений. В каковой книге вы также найдете в должном месте многообразные дополнения, схолии, аннотации и изобретения, кои я собрал из многих самых знаменитых и главных математиков, как древних времен, так и нашего века, как вы прилежном чтении оных в ходе дела хорошо заметите. Плод и выгода, коих я требую за эти мои труды и старания, будут не чем иным, как только тем, чтобы ты, добрый читатель, с благодарностью принял оное, и чтобы ты мог тем самым получить некоторую пользу, а более того — побудить и возбудить других ученых сделать то же самое и приложить усилия в этом отношении. Посредством чего наш английский язык будет не менее обогащен добрыми авторами, чем другие чужеземные языки, такие как голландский, французский, итальянский и испанский, на коих читаются почти все добрые авторы, найденные среди греков или латинян. Что является главнейшей причиной, почему среди них процветает так много искусных и умелых людей в изобретениях странных и чудесных вещей, как в наши дни мы видим, что они процветают. Если я достигну этого плода и выгоды, это побудит меня впредь таким же образом переводить и выпускать в свет некоторые другие добрые авторы, как относящиеся к религии (как отчасти я уже сделал), так и относящиеся к математическим искусствам. Итак, добрый читатель, прощай.

(?¿)

❧ ИСТИННЫМ ЛЮБИТЕЛЯМ истины и постоянным студентам благородных наук ДЖОН ДИ из Лондона сердечно желает благодати с небес и самого успешного успеха во всех их честных начинаниях и упражнениях.

Божественный Платон, великий учитель многих достойных философов и постоянный защитник и убедительный проповедник Единого, Благого и Сущего, в своей школе и Академии неоднократно (помимо своих обычных учеников) посещался определенным родом людей, привлеченных благородной славой Платона и великой похвалой его глубокого и полезного учения. Но когда такие слушатели, долго внимая ему, замечали, что ход его рассуждений направлен к тому, чтобы заключить, что это Единое, Благое и Сущее есть духовное, бесконечное, вечное, всемогущее и т. д. — притом что не приводилось и не выражалось, как достичь земных благ, как достичь земного достоинства, как достичь здоровья, силы или крепости тела, и даже не указывались средства, как можно было бы достичь чудесного чувственного и телесного блаженства и счастья в будущем, — фантазии этих слушателей тотчас угасали, их мнение о Платоне совершенно менялось, более того, его учение ими презиралось, и его школа ими более не посещалась. Что, внимательно рассматривая, его ученик Аристотель нашел причиной того, «что они не имели никакого общего предупреждения и информации» о том, к чему стремилось его учение. Ибо так они могли бы иметь повод либо воздержаться от посещения его школы (если бы они тогда не одобрили его цель и намерение), либо постоянно продолжать обучение в ней к своему полному удовлетворению, если бы такая его конечная цель и намерение соответствовали их желанию. Посему Аристотель всегда после того имел обыкновение вкратце предупреждать своих собственных учеников и слушателей «как о том, о каком предмете, так и о том, к какой цели он берется говорить или учить». Рассматривая различные способы действий этих двух превосходных философов (и будучи совершенно уверен, что Платон мог учить иначе, и что Аристотель мог смело поступать со своими слушателями так же, как Платон), я нахожусь в немалом смятении. Ибо то, что мне не по душе, мне легче всего исполнить (и иметь Платона в качестве примера). А то, что я знаю как наиболее похвальное и (в этом первом приведении математических искусств к общему пользованию) наиболее необходимое, полно великих трудностей и различных опасностей. И все же я не считаю уместным, чтобы столь странный предмет (как тот, что сейчас предполагается к публикации) и для столь странной аудитории был прямо, с самого начала, выставлен без особого предисловия. Также (подражая Аристотелю) я не могу надеяться, что согласно широте и достоинству математического состояния я способен либо ясно предписать материальные границы, либо точно выразить главные цели и самые чудесные применения оного. И хотя я уверен, что те, кто отвернулся от школы Платона, как только осознали его окончательный вывод, были бы в этих вещах его самыми прилежными слушателями (так бесконечно могли бы их желания в конечном итоге быть удовлетворены нашими математическими искусствами), все же благодаря этому моему предисловию и предупреждению все таковые могут (к своей великой пользе) скорее быть привлечены сюда, как и пифагорейский и платонический совершенный ученик, и постоянный глубокий философ, с большей легкостью и быстротой могут (подобно пчеле) собрать отсюда как воск, так и мед.

Посему, видя, что я нахожу великий повод (по причинам, изложенным выше, и далее, в отношении моего общего математического искусства) использовать «определенное предупреждение и предисловие, содержание коего будет: Цель этого предисловия. — о том могучем, самом приятном и плодотворном математическом древе с его главными ветвями и вторыми (привитыми) отростками: как то, что есть каждый из них, так и то, какая польза в целом ожидается как от привоя, так и от подвоя. И поскольку это предприятие столь велико, что до нашего времени оно (насколько мне известно) никем не было достигнуто, и также весьма трудно в наши скорбные дни завоевать должное и общее доверие к столь редким и странным искусствам», тем не менее, если ради моего искреннего стремления удовлетворить ваше честное ожидание вы уделите мне на время свой благодарный ум и к тому предмету, который в настоящее время мое перо (с поспешностью) способно изложить, приложите свой глаз или ухо внимательно, возможно, сразу же, при первом знакомстве, вы найдете это предисловие уроком достаточно длинным. И либо вы будете для второго (благодаря этому) сделаны гораздо более способными, либо вскоре станете вполне способны сами по львиному когтю угадать его царственную симметрию и дальнейшее свойство. Теперь же, мои добрые друзья и соотечественники, обратите свои взоры и направьте свои умы к тому учению, которое для нашей нынешней цели мой простой талант способен вам дать.

Все вещи, которые существуют и имеют бытие, находятся под тройным общим различием. Ибо они считаются либо сверхъестественными, либо естественными, либо третьего рода бытия. Вещи сверхъестественные нематериальны, просты, неделимы, нетленны и неизменны. Вещи естественные материальны, сложны, делимы, тленны и изменчивы. Вещи сверхъестественные постигаются только умом; вещи естественные способны быть восприняты внешним чувством. В вещах естественных имеют место вероятность и догадка, но в вещах сверхъестественных следует иметь главное доказательство и самую верную науку. Посредством каковых свойств и сравнений этих двух легче может быть описано состояние, условие, природа и свойство тех вещей, которые мы ранее назвали вещами третьего рода бытия, которые также особым именем называются математическими вещами. Ибо они, будучи (в некотором роде) средними между вещами сверхъестественными и естественными, не столь абсолютны и превосходны, как вещи сверхъестественные, и не столь низки и грубы, как вещи естественные, но являются вещами нематериальными, и тем не менее способны быть несколько обозначены материальными вещами. И хотя их частные образы посредством искусства могут быть агрегируемы и делимы, все же общие формы остаются постоянными, неизменными, нетрансформируемыми и нетленными. Ни чувством они не могут быть в любое время восприняты или судимы, ни, тем не менее, в царственном уме человека впервые зачаты. Но, превосходя несовершенство догадки, мнения и суждения и не доходя до высокого интеллектуального постижения, они являются меркуриальным плодом дианоэтического рассуждения, существующим в совершенном воображении. Удивительную нейтральность имеют эти математические вещи, а также странное участие между вещами сверхъестественными, бессмертными, интеллектуальными, простыми и неделимыми и вещами естественными, смертными, чувственными, сложными и делимыми. Вероятность и чувственная проза могут хорошо служить в вещах естественных и являются похвальными; в математических рассуждениях вероятный аргумент ни во что не ставится, как и свидетельство чувства не принимается ни на йоту, но только совершенное доказательство истин достоверных, необходимых и неопровержимых, универсально и необходимо заключенных, допускается как достаточное для «аргумента, строго и чисто математического».

Математических вещей есть два главных вида: а именно, число и величина. Число. Число мы определяем как некую математическую сумму единиц. Заметьте слово «единица» для выражения греческого «монада», а не «единство», как мы все обычно до сих пор использовали. И единица — это та математическая вещь, неделимая, посредством участия в некотором сходстве свойства которой любая вещь, которая действительно есть или считается Одной, может разумно называться Одной. Мы считаем единицу математической вещью, хотя она и не является числом, а также неделимой, потому что из нее материально состоит число, которое, главным образом, является математической вещью. Величина. Величина — это математическая вещь, посредством участия в некотором сходстве природы которой любая вещь судится как длинная, широкая или толстая. «Толстую величину мы называем телом или телом. Какая бы величина ни была твердой или толстой, она также широка и длинна. Широкую величину мы называем поверхностью или плоскостью. Каждая плоская величина имеет также длину. Длинную величину мы называем линией. Линия не является ни толстой, ни широкой, а только длинной. Каждая определенная линия имеет два конца. Точка. Концы линии называются точками. Точка — это математическая вещь, неделимая, которая может иметь определенное установленное положение». Если точка движется из определенного положения, путь, по которому она двигалась, также является линией, математически произведенной, вследствие чего у древних математиков линия называется следом или курсом точки. Точку мы определяем именем математической вещи, хотя она и не является величиной и неделима, потому что она есть собственный конец и граница линии, которая является истинной величиной. Величина. И величину мы можем определить как ту математическую вещь, которая делима бесконечно на части делимые, длинные, широкие или толстые. Поэтому, хотя точка не является величиной, все же терминативно мы считаем ее математической вещью (как я сказал) по той причине, что она является собственно концом и границей линии. Ни число, ни величина не имеют никакой материальности. Сначала мы рассмотрим число и соответствующую ему математическую науку, называемую арифметикой, а затем — величину и ее науку, называемую геометрией. Но это имя меня не удовлетворяет, о чем слово или два будет сказано далее. Кто не замечает, насколько нематериально и свободно от всякой материи число? Да кто не удивляется ему чудесно? Ибо ни чистый элемент, ни квинтэссенция Аристотеля не способны служить числом в качестве его собственной материи. И чистота и простота субстанции духовной или ангельской не будут найдены достаточно подходящими для этого. И поэтому великий и благочестивый философ Аниций Боэций сказал: Omnia quæcunque a primæua rerum natura constructa sunt, Numerorum videntur ratione formata. Hoc enim fuit principale in animo Conditoris Exemplar. То есть: «Все вещи (которые с самого первого первоначального бытия вещей были созданы и сделаны) представляются сформированными разумом чисел. Ибо это был главный пример или образец в уме Творца». О утешительное влечение, о восхитительное убеждение иметь дело с наукой, чей предмет столь древен, столь чист, столь превосходен, столь превосходящий все творения, столь используемый всемогущей и непостижимой мудростью Творца в отчетливом творении всех тварей: во всех их отчетливых частях, свойствах, природах и добродетелях, порядком и самым абсолютным числом приведенных из Ничто к формальности их бытия и состояния. Свойством чисел, следовательно, нами, всеми возможными средствами (до совершенства науки) изученным, мы можем как ввиваться и втягиваться в сокровенный и глубокий поиск и обзор всех отчетливых добродетелей, природ, свойств и форм тварей, так и далее подниматься, взбираться, восходить и возноситься (с умозрительными крыльями) в духе, чтобы созерцать в зеркале творения Форму Форм, Образцовое Число всех вещей исчислимых: как видимых, так и невидимых, смертных и бессмертных, телесных и духовных. Части этой глубокой и божественной науки достиг пророк Иоахим, формальными, естественными и рациональными числами предвидя, заключая и предвозвещая великие частные события задолго до их наступления. Его книги, до сих пор остающиеся об этом, являются хорошим доказательством, и благородный граф Мирандола (помимо того) — достаточный свидетель того, что Иоахим в своих пророчествах действовал не иным путем, как только формальными числами. И этот граф сам в Риме в 1488 году выставил 900 заключений по всем видам наук, открыто для обсуждения, и среди прочего, в своих математических заключениях (в одиннадцатом заключении) имеет на латыни это английское предложение: «Числами обретается путь к поиску и пониманию каждой вещи, способной быть познанной». Для подтверждения какового заключения я обещаю ответить на 74 вопроса, написанных ниже, путем чисел. Кои заключения я опускаю здесь перечислять, как избегая излишней многословности, так и потому, что труды Иоанна Пико обычно имеются. Но в любом случае я хотел бы, чтобы эти заключения были прочитаны прилежно и поняты теми, кто является серьезными наблюдателями и исследователями постоянного закона чисел, который заложен в вещах естественных и сверхъестественных и предписан всем тварям для нерушимого соблюдения. Ибо так, помимо многих других вещей, подлежащих отмечению в тех заключениях, было бы видно, как искренне и в своих границах я раскрываю чудесные тайны, достигаемые числами.

Из моих прежних слов легко заключить, что число имеет тройное состояние: одно — в Творце, другое — в каждой твари (в отношении его полного устройства), и третье — в духовных и ангельских умах и в душе человека. В первом и третьем состоянии число называется числом исчисляющим. Но во всех тварях иначе число называется числом исчисленным. И в нашей душе число имеет такое влияние и имеет такое сродство с ней, что некоторые из старых философов учили, что душа человека есть число, движущее само себя. И действительно, в нас, хотя это и есть очень акциденция, все же такая это акциденция, что до всех тварей она имела совершенное бытие в Творце, предвечно. Число исчисляющее, следовательно, есть рассудительность, различающая и разделяющая вещи. Но в Боге Творце эта рассудительность в начале произвела упорядоченно и отчетливо все вещи. Ибо Его исчисление тогда было Его творением всех вещей. И Его постоянное исчисление всех вещей есть сохранение их в бытии; и где и когда Он захочет лишить единицы, там и тогда эта частная вещь будет декретирована. Здесь я останавливаюсь. Но наше разделение, различение и исчисление не создает ничего, но из рассмотренного множества делает определенное и отчетливое установление. И хотя эти вещи весомы и являются истинами великого значения, все же (бесконечной благостью всемогущей Троицы) созданы искусственные методы и легкие пути, которыми ревностный философ может достичь этой речной Иды, этой горы созерцания, и более чем созерцания. И также, хотя число есть вещь столь нематериальная, столь божественная и вечная, все же по степеням, понемногу, простираясь и применяя некоторое сходство его, как сначала к вещам духовным, а затем, принося его ниже, к вещам чувственно воспринимаемым: как мгновенного звука, повторяемого, затем к наименьшим вещам, которые могут быть увидены, исчислимым, и наконец (самым грубым образом) к множеству любых телесных вещей, увиденных или ощущенных, и так из этих грубых и чувственных вещей мы приучаемся изучать некоторый образ или сходство чисел и использовать искусство в них для нашего удовольствия и пользы. Столь грубо наше общение и тупо наше восприятие, пока смертное чувство в нас правит государством нашего маленького мира. Тем самым мы говорим: три льва — это три, или троица. Три орла — это три, или троица. Кои троицы суть каждая союз, узел и единообразие трех дискретных и отчетливых единиц. То есть мы можем в каждой троице трижды отдельно указать и показать часть: один, один и один. Где при исчислении мы говорим: один, два, три. Но насколько эти видимые «один» отличаются от наших неделимых единиц (в чистой арифметике, главным образом рассматриваемой), никто не невежествен. И все же от этих грубых и материальных вещей мы можем быть ведомы вверх, по степеням, так информируя наше грубое воображение к постижению чисел абсолютно (не предполагая и не допуская ничего созданного, телесного или духовного, чтобы поддерживать, содержать или представлять те воображаемые числа), что в конце концов мы можем быть способны найти число нашего собственного имени, славно проиллюстрированное и зарегистрированное в книге Троицы, самой благословенной и вечной.

Но далее поймите, что вульгарные практики имеют числа иначе, в различных соображениях, и расширяют их имя дальше, чем на числа, чья наименьшая часть есть единица. Ибо обычный логист, счетчик или арифметик в своем использовании чисел из единицы воображает меньшие части и называет их дробями. Как из единицы он делает половину и так обозначает ее: ½, и так далее, (бесконечно различные) части единицы. Да и далее имеет дроби дробей и т. д. И поскольку сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корней являются главными и достаточными частями арифметики, которая есть наука, доказывающая свойства чисел и все операции, в числах выполняемые: Примечание. «Как часто, следовательно, эти пять различных видов операций по большей части своего исполнения отличаются от пяти операций подобного общего свойства и имени в наших целых числах, практикуемых, столь часто (для более отчетливого учения) мы вульгарно считаем и называем это другим видом арифметики». И по этой причине: 1. Рассмотрение, учение и работа только в целых числах, где из единицы нет меньшей части, подлежащей допущению, называется (как бы) арифметикой самой по себе. И так об арифметике дробей. 2. В подобном роде необходимая, чудесная и тайная доктрина пропорции и пропорциональности приобрела для себя особый способ обращения и работы, и так может казаться другой формой арифметики. 3. Более того, астрономы для быстроты и более удобного вычисления изобрели особый способ упорядочивания чисел вокруг своих круговых движений, посредством шестидесятеричных чисел и шестидесятых долей. По знакам, градусам и минутам и т. д., что обычно называется арифметикой астрономических или физических дробей. Это я кратко отметил под именем арифметики круговой. Потому что она также используется в кругах, не астрономических и т. д. 4. Практика привела числа дальше и сформировала их так, чтобы они принимали на себя вид свойства величин, которое есть несоизмеримость и иррациональность. (Ибо в чистой арифметике единица есть общая мера всех чисел.) И здесь числа стали как линии, плоскости и тела, иногда рациональные, иногда иррациональные. И имеют собственные и особые знаки (как 2√, 3√ и так далее. А что есть для обозначения корня квадратного, корня кубического и так далее:) и собственные и особые моды в пяти главных частях: Посему практик считает это арифметикой, отличной от другой. Практика вносит здесь различное составление чисел: как иногда два, три, четыре (или более) радикальных числа, различно связанных знаками «больше» и «меньше»: как так 2√12 + 3√15. Или так 4√19 + 3√12 - 2√2 и т. д. И иногда с целыми числами или дробями целого числа среди них: как 20 + 2√24, 3√16 + 33 - 2√10, 4√44 + 12¼ + 3√9. И так бесконечно может случаться разнообразие. После этого: как то, так и другое имеет инцидентные дроби, и так эта арифметика значительно расширяется различным представлением и использованием композиций и смешений. Рассмотрите, как я (будучи желающим избавить студента от ошибки и придирок) даю этой практике имя арифметики радикальных чисел: не иррациональных или сурдовых чисел, которые в другое время являются рациональными, хотя они имеют знак корня перед ними, который арифметика целых чисел, самая обычная, сказала бы, что они не имеют такого корня, и так считала бы их сурдовыми числами, что, вообще говоря, неверно, как десятая книга Евклида может научить вас. Поэтому называть их вообще радикальными числами (по причине знака √, поставленного перед ними) есть верный путь и достаточное общее отличие от всех других упорядочиваний и использования чисел: И все же (помимо всего этого) рассмотрите: бесконечное желание знания и невероятную силу человеческого поиска и способности, как они совместно продвинулись дальше (смешением умозрения и практики) и нашли и достигли самого главного совершенства (почти) практического использования чисел. Какую вещь хорошо заметить в том великом арифметическом искусстве уравнения, обычно называемом правилом косса или алгеброй. Латиняне называли его Regulam Rei & Census, то есть правилом вещи и ее значения. С подходящим именем, охватывающим первые и последние пункты работы. И вульгарные имена, как в итальянском, французском, так и в испанском, зависят (в назывании его) от значения латинского слова Res: «вещь», если только они не используют имя алгебра. И в том (обычно) есть двойная ошибка. Одна — тех, которые думают, что оно принадлежит изобретению Гебера, другая — таких, как называют его алгеброй. Ибо, во-первых, хотя Гебер за свое великое мастерство в числах, геометрии, астрономии и других чудесных искусствах мог бы показаться способным первым изобрести сказанное правило, и также имя несет в себе очень близкое сходство имени Гебера, все же истинно то, что греческий философ и математик, названный Диофант, до времени Гебера написал 13 книг о нем (из коих шесть до сих пор существуют, и я имел их для использования в 1550 году от знаменитого математика и моего великого друга Петра Монтауреуса), и во-вторых, само имя есть Алджебар, а не алгебра, как может быть доказано арабским Авиценной, который имеет эти точные слова на латыни, переведенные Андреасом Альпагусом (самым совершенным в арабском языке): Scientia faciendi Algiebar & Almachabel. i. Scientia inueniendi numerum ignotum, per additionem Numeri, & diuisionem & æquationem. Что есть сказать: «Наука работы Алджебар и Алмачабель, то есть наука нахождения неизвестного числа посредством добавления числа и деления и уравнения». Здесь вы имеете имя, а также главные части правила, затронутые. Назвать его «правилом или искусством уравнения» означает среднюю часть и состояние правила. Это правило имеет свои особые знаки, и главные части арифметики, к нему относящиеся, отличаются от других арифметических операций. Эта арифметика имеет числа простые, сложные, смешанные и дроби соответственно. Это правило и арифметика Алджебар столь глубоки, столь общи и (в некотором роде) содержат всю силу практического применения чисел, что человеческий ум не может иметь дело ни с чем более полезным относительно чисел, ни сравниться с вещью, более подходящей для божественной силы души (в человеческих исследованиях, делах или упражнениях), чтобы быть испытанной. Возможно, вы ожидали (давно уже), чтобы иметь некоторое частное доказательство или очевидное свидетельство использования, пользы и удобства арифметики вульгарной в общей жизни и торговле людей. К тому, тогда, я теперь направлю себя: Но здесь великую заботу я имею, чтобы длина различных доказательств не заставила вас думать, что я либо сомневаюсь в вашем ревностном уме к школе добродетели, либо не доверяю вашим способным умам, чтобы догадаться о многом другом. Доказательство тогда, четыре, пять или шесть таких, я приведу, как любой разумный человек с тем может быть убежден любить и почитать, да изучать и упражнять превосходную науку арифметики.

И во-первых: кто, ближе всего находящийся, может быть лучшим свидетелем плода, полученного арифметикой, чем все виды купцов? Хотя не все одинаково нуждаются в ней или используют ее. Как могли бы они обойтись без использования и помощи правила, называемого золотым правилом? Простым и сложным: как вперед, так и назад? Как могли бы они упустить арифметическую помощь в правилах товарищества: либо без времени, либо со временем? И между купцом и его фактором? Правила бартера только в товарах или часть в товарах и часть в деньгах — хотели бы они охотно упустить? Наши купцы-авантюристы и путешественники за море, как могли бы они упорядочить свои дела справедливо и без потерь, если бы определенные и общие правила для обмена денег и обратного обмена не были для их использования изобретены? Правило аллигации, в скольких различных случаях оно заключает для них такие точные истины, как ни естественным умом, ни другим опытом они не были способны иначе знать? И (с купцом тогда закончить) сколь обширно и чудесно правило ложных положений? Особенно как оно сейчас, двумя превосходными математиками (моего близкого знакомства в их жизни) расширено? Я имею в виду Джемму Фризиуса и Симона Якоба. Кто может либо вкратце заключить общие и главные правила? Или кто может вообразить мириады различных случаев и частных примеров, в действии и серьезно, постоянно проработанных, испытанных и заключенных только вышеназванными правилами? Сколько других арифметических практик обычно находятся в руках и знании купцов, они сами могут подробно засвидетельствовать.

Мастер монетного двора и золотых дел мастер в своем смешении металлов, либо различных видов, либо различных ценностей, как они могут или могут быть точно направлены и чудесно обрадованы, если арифметика будет их проводником? И достопочтенные врачи охотно признают себя много обязанными науке арифметики, и то различными путями: но главным образом в своем искусстве градации и сложных лекарств. И хотя Гален, Аверроэс, Арнольд, Луллий и другие опубликовали свои положения, как в количествах степеней выше темперамента, так и в правилах, заключающих новую форму, возникающую в результате, все же более точный, удобный и легкий метод существует: нашим соотечественником Р. Б. (более 200 лет назад) изобретенный. И поскольку я не уверен, кто имеет оный или когда тот маленький латинский трактат (как автор написал его) придет к печати: (как чтобы заявить о желании, которое я имею доставить удовольствие моему отечеству, в чем я могу, так и для очень хорошего доказательства использования чисел в этом самом тонком и плодотворном философском заключении), я намерен тем временем, кратчайшим образом и с моей дальнейшей помощью, сообщить суть оного вам.

Сначала опишите круг, чей диаметр пусть будет дюйм. Разделите окружность на четыре равные части. От центра, через те 4 секции, проведите 4 прямые линии: каждая по 4 дюйма с половиной длиной, или столько, сколько вы пожелаете, выше 4, вне окружности круга: так, чтобы они были по 4 дюйма длиной (по крайней мере) вне круга. Сделайте хорошие очевидные отметки на конце каждого дюйма. Если желаете, вы можете подразделить дюймы снова на 10 или 12 меньших частей, равных. На концах линий напишите имена 4 главных элементарных качеств. Горячее и холодное, одно против другого. И точно так же влажное и сухое, одно против другого. И в круге напишите «умеренное». Коя температура имеет хорошую широту, как видно по комплекции человека. И поэтому мы позволили ей вышеупомянутый круг, а не точку математическую или физическую. B

* Take some part of Lullus counsayle in his booke de Q. Essentia. Теперь, когда у вас есть две вещи смешиваемые, чьи степени истинно известны: по необходимости, либо они одного количества и веса, либо различных. Если они одного количества и веса: являются ли их формы противоположными качествами или одного вида (но различных интенций и степеней) или умеренным и противоположным, форма, возникающая от их смешения, находится в середине между степенями смешиваемых форм. Как, например, пусть А будет влажным в первой степени, а B — сухим в третьей степени. Сложите 1 и 3, это составляет 4: половина или середина 4 есть 2. Эта 2 есть середина, равноудаленная от A и B (ибо темперамент считается нулем. И для него вы должны поставить цифру, если в какое-то время он будет в смеси). Считая тогда от B, 2 степени, к A: вы находите, что это сухое в первой степени: так есть форма, возникающая от смешения A и B в нашем примере. Я дам вам другой пример. Предположим, у вас есть две вещи, как C и D: и у C теплота в 4 степени: а у D холод, быть слабым, даже до темперамента. Теперь, для C вы берете 4: а для D вы берете цифру: которая, добавленная к 4, дает только 4. Середина или половина коего есть 2. Посему форма, возникающая от C и D, есть горячее во второй степени: ибо 2 степени, посчитанные от C к D, заканчиваются точно во 2 степени теплоты. О третьем способе я дам также пример: который пусть будет этот: Примечание. Я имею жидкое лекарство, чье качество теплоты в 4 степени возвышено: как было C в примере выше: и другое жидкое лекарство я имею: чье качество есть теплота в первой степени. Из каждого из этих я смешал равное количество: вычтите здесь меньшее из большего: и остаток разделите на две равные части: из коих одна часть, либо добавленная к меньшему, либо вычтенная из высшей степени, дает степень формы, возникающей от этого смешения C и E. Как, если из 4 вы отнимете 1, остается 3, половина 3 есть 1½: добавьте к 1 эту 1½: вы имеете 2½. Или вычтите из 4 эту 1½: вы имеете точно так же 2½ остающихся. Что объявляет форму, возникающую от этого, быть теплотой в середине третьей степени.

«Второе правило. Но если количества двух смешиваемых веществ различны, а интенсивности (их смешиваемых форм) находятся в разных степенях и величинах (будь то формы одного рода, противоположного рода или же умеренного и противоположного), то какова пропорция меньшего количества к большему, такова же будет пропорция разности между степенью результирующей формы и степенью большего количества смешиваемого вещества к разности между той же степенью результирующей формы и степенью меньшего количества. Например: даны два фунта жидкости, горячей в 4-й степени, и один фунт жидкости, горячей в 3-й степени». Я бы охотно узнал результирующую форму при смешении этих двух жидкостей. Запишите свои числа по порядку, вот так. Теперь, согласно правилу алгебры, я разработал очень простой, краткий и общий способ вычисления для данного случая. Допустим сначала, что средняя результирующая форма равна 1X, как учит это правило. И поскольку (согласно нашему правилу, здесь приведенному) вес 1 относится к 2 так же, как разность между 4 (степенью большего количества) и 1X относится к разности между 1X и 3 (степенью вещества в меньшем количестве), при этом 1X всегда находится в определенной середине между двумя величинами или степенями. Для первой разности я ставлю 4-1X, а для второй — 1X-3. И теперь я снова говорю: 1 относится к 2 так же, как 4-1X к 1X-3. Следовательно, из этих четырех пропорциональных чисел произведение первого и четвертого равно произведению второго и третьего. Пусть эти умножения будут выполнены соответствующим образом. От первого и четвертого мы получаем 1X-3, а от второго и третьего — 8-2X. Следовательно, наше уравнение устанавливается между 1X-3 и 8-2X. Его можно сократить согласно искусству алгебры: так, прибавление 3 к каждой части дает уравнение: 1X=11-2X. И снова, сокращая или упрощая его: прибавьте к каждой части 2X, тогда вы получите 3X, равное 11, что представлено так: 3X=11. Следовательно, разделив 11 на 3, получим частное 3⅔ — значение нашего 1X, косса или «вещи», принятой изначально. И это есть величина или интенсивность результирующей формы, которая представляет собой теплоту в две трети четвертой степени. И здесь я привожу вид работы в заключение. Доказательство этого просто: вычитая 3 из 3⅔, получаем ⅔. Вычтите ту же величину результирующей формы (которая равна 3⅔) из 4, тогда останется ⅓. Вы видите, что ⅔ вдвое больше ⅓, как 2 части вдвое больше 1 части. Так и должно быть согласно приведенному здесь правилу. Примечание: как вы прибавляли к каждой части уравнения 3, так, если бы вы сначала прибавили к каждой части 2X, оно выглядело бы как 3X-3=8. А теперь, прибавив к каждой части 3, вы получите (как и прежде) 3X=11.

И хотя я здесь говорю только о двух смешиваемых веществах, а чаще всего приходится смешивать более трех, четырех, пяти или шести и т. д. (и сводить их в одно соединение, чтобы результирующая форма служила цели), все же этих правил достаточно, если их должным образом повторять и применять. Примечание: приступая сначала к любым двум, а затем к результирующей форме и следующему веществу и так далее, последняя операция определяет результирующую форму их всех. Мне нет нужды говорить о самом смешении (здесь предполагаемом), что оно такое. Общая философия определила его, говоря: Mixtio est miscibilium, alteratorum, per minima coniunctorum, Vnio. Каждое слово в этом определении имеет огромное значение. Мне также не нужно тратить время на то, чтобы показать, как другой способ распределения степеней согласуется с этими правилами. Равным образом мне нет нужды в этом месте разъяснять дальнейшее использование Креста Градуирования (описанного ранее) тем, кто способен понять то, что я уже сказал. Также нет нужды приводить примеры множества разновидностей, которые могут быть упорядочены с помощью двух вышеупомянутых общих правил. Остроумные и прилежные люди найдут здесь достаточно. А те, кто не способен постичь это без живого наставления и более подробных объяснений, потребовали бы более пространных рассуждений, чем уместно в данном месте. Другие же (возможно) с горделивым пренебрежением отвергнут это малое и были бы неблагодарны за гораздо большее. Поэтому я заключаю и желаю тем, кто обладает скромным и серьезным философским умом, высоко восславить Бога за это и изумиться тому, что глубочайший и тончайший вопрос, касающийся смешения естественных форм и качеств, так сопряжен и соединен с простейшим, легчайшим и кратчайшим путем благородного правила алгебры. Кто же может остаться неубежденным в необходимости любить, одобрять и почитать превосходную науку арифметики? Ибо здесь вы можете заметить, что мизинец арифметики обладает большей силой и изобретательностью, чем сто тысяч умов среднего уровня способны исполнить или истинно заключить без ее помощи.

Теперь мы далее, с помощью мудрого и доблестного военачальника, удостоверимся, какую помощь он получает от правил арифметики в одном из принадлежащих ему искусств, которое греки называют Тактика. Тактика: «То есть искусство построения солдат в боевой порядок наилучшим образом для всех целей». Это искусство настолько зависит от использования чисел и математических наук, что Элиан (лучший его писатель) в своем труде, посвященном императору Адриану, благодаря своему совершенству в математических науках (бывшему большим, чем у других до него), считает, что его книга превосходит все другие превосходные труды, написанные об этом искусстве до его дней. Ибо о нем писали Эней, Киней из Фессалии, Пирр Эпирский и его сын Александр, Клеарх, Павсаний, Евангел, Полибий, близкий друг Сципиона, Евполемус, Ификрат, Посидоний и очень многие другие достойные военачальники, философы и принцы бессмертной славы и памяти, чьим прекраснейшим цветком венка (в этом деле) была арифметика и небольшое усердие в геометрических фигурах. Но во многих других случаях арифметика оказывает военачальнику большую услугу. Например, в пропорционировании провизии для армии, остающейся на месте или внезапно увеличиваемой на определенное число солдат, и на определенное время. Или с помощью хорошего искусства уменьшить свою роту, чтобы провизии хватило на дольше оставшимся и на определенное установленное время, если того потребует нужда. И так во многих других его счетах, расчетах, измерениях и пропорционированиях мудрый, опытный и осмотрительный военачальник подтвердит, что наука арифметика является одним из его главных советников, руководителей и помощников. Что (добрыми средствами) было очевидно благородному, мужественному, верному и любезному Джону, покойному графу Уорику. Он был молодым джентльменом, хорошо известным очень немногим. Хотя его пылкая доблесть, сила и мастерство в рыцарских делах и упражнениях, его смирение и дружелюбие ко всем людям были вещами, открыто воспринимаемыми миром. Но какие корни (в остальном) добродетель пустила в его груди, какие правила благочестивой и достойной жизни он выработал для себя, какие пороки (в некоторых тогда живущих) примечательные он старался избегать, к каким мужественным добродетелям в других благородных мужах (процветавших перед его глазами) он страстно стремился, какие подвиги он намеревался и хотел совершить, какими делами и искусствами он начал снабжать и снаряжать себя для лучшего служения своему королю и стране, как в мирное, так и в военное время — эти (говорю я) его героические размышления, предвидения и решимость, никто (я думаю), кроме меня, не может так совершенно и правдиво изложить. И поэтому по совести я считаю своим долгом ради чести, продвижения и поощрения добродетели (так, кратко) внести его имя в реестр бессмертной славы.

К нашей цели. Этот Джон одним из своих поступков (помимо многих других, как в Англии, так и во Франции, мною в нем отмеченных) раскрыл свою сердечную любовь к добродетельным наукам и свое благородное намерение преуспеть в воинской доблести, когда он со смиренной просьбой и настойчивыми ходатайствами получил лучшие правила (использовавшиеся в прошлом греками или римлянами, или в наше время, а также новые стратегемы, в них изобретенные) для построения всех рот, сумм и чисел людей (многих или немногих), с одним видом оружия или более, назначенным, с артиллерией или без, верхом или пешком, для нанесения или принятия удара, чтобы казаться многими, будучи немногими, чтобы казаться немногими, будучи многими. Маршировать в битве или походе, со многими такими подвигами, относящимися к полю боя, стычке или засаде. Этот благородный граф умер в 1554 году, едва достигнув 24 лет, не оставив потомства от своей жены, дочери герцога Сомерсета. И все эти живые начертания (самым искусным образом) на пергаменте из веленя описанные, с примечаниями и особыми знаками, как того требует искусство, и все эти правила и арифметические описания, заключенные в богатый золотой футляр, он имел обыкновение носить на шее как свою драгоценность самую дорогую и советника самого верного. Так арифметика им была помещена в золото: от плодов чисел он имел добрую надежду. Теперь числа, следовательно, бесчисленные, в похвале чисел его святыня найдет.

Зачем мне (для дальнейшего доказательства вам) требовать свидетельства от школьных учителей правосудия: насколько нужна, насколько плодотворна, насколько искусна вещь арифметика? Я имею в виду юристов всех сортов. Несомненно, цивилисты могут изумительно заявить, как без хорошего знания искусства чисел нельзя понять ни древние римские законы, ни (правосудие в бесконечных случаях) без должной пропорции (тщательно рассмотренной) невозможно исполнить. Как справедливо и с великим знанием искусства Папиниан установил закон о разделе и пособии между мужем и женой после развода? Но как Аккурсий, Бальдус, Бартолус, Ясон, Александр и, наконец, Альциатус (будучи в остальном примечательно хорошо образованными) путаются, гадают и ошибаются относительно справедливости, искусства и намерения законодателя — арифметика может обнаружить и обличить, и ясно заставить истину сиять. Добрый Бартолус, утомленный в исследовании и пропорционировании дела и сильно обремененный глоссой Аккурсия, воскликнул и сказал: Nulla est in toto libro, hac glossa difficilior: Cuius computationem nec Scholastici nec Doctores intelligunt. &c. То есть: «Во всей книге нет глоссы труднее этой, чей счет или расчет не понимают ни схоласты, ни доктора и т. д.». Что они могут сказать о законе Юлиана, Si ita Scriptum. &c. О справедливом исполнении воли завещателя между женой, сыном и дочерью? Как они могут понять справедливость арифметического расчета Африкана, где он трактует о Lex Falcidia? Как они могут избавить его от его опровергателей и их сторонников, таких как Иоаннес, Аккурсий, Ипполит и Альциатус? Как справедливо и искусственно был сделан расчет Африкана? Пропорционируя к завещанным суммам взносы каждой части? А именно: за сотню, полученную немедленно, 17 1/7. И за сотню, полученную через десять месяцев, 12 6/7: что составляет 30, которые должны были быть внесены легатариями наследнику. Ибо какую пропорцию 100 имеет к 75, такую же имеет 17 1/7 к 12 6/7: что есть Sesquitertia, то есть как 4 к 3, что составляет 7. Удивительно много мест в гражданском праве требуют эксперта-арифметики, чтобы понять глубокое суждение и справедливое определение древних римских законодателей. Но гораздо более экспертом должен быть тот, кто должен быть способен решить со справедливостью бесконечное разнообразие случаев, которые случаются или могут случиться под каждым из этих законов и гражданских постановлений. Отсюда вы легко можете теперь предположить, что в каноническом праве и в законах королевства (которые у нас несут главную власть) правосудие и справедливость могли бы быть значительно улучшены и искусно исполнены благодаря должному навыку арифметики и относящихся к ней пропорций. Достойные философы и благоразумные законодатели (которые написали много книг De Republica: как наилучшее состояние общего блага могло бы быть достигнуто и сохранено) очень хорошо определили правосудие (которое не только является базой и основанием общих благ, но также полной полнотой всех наших дел, слов и мыслей), определяя его: Правосудие «есть та добродетель, посредством которой каждому воздается то, что ему принадлежит». Бог требует этого от наших рук: чтобы Его почитали как Бога, чтобы Его любили как отца, чтобы Его боялись как Господа и учителя. Пропорция нашего ближнего также предписана Всемогущим законодателем, которая состоит в том, чтобы поступать с другими так, как мы хотели бы, чтобы поступали с нами. Эти пропорции необходимы в правосудии, похвальны в долге и являются жизнью, силой, опорой и процветанием общих благ. Аристотель в своей Этике (чтобы извлечь семя правосудия и свет руководства для использования и исполнения оного) был вынужден прибегнуть к совершенству и силе чисел: для пропорций арифметических и геометрических. Платон в своей книге под названием Эпиномис (которая книга есть сокровищница всего его учения), где его цель — искать науку, которую, когда человек имел бы ее совершенно, он мог бы казаться и так быть на самом деле Мудрым. Он, кратко рассуждая о других науках, находит их неспособными достичь этого. Но о науке чисел он говорит: Illa, quæ numerum mortalium generi dedit, id profecto efficiet. Deum autem aliquem, magis quam fortunam, ad salutem nostram, hoc munus nobis arbitror contulisse. &c. Nam ipsum bonorum omnium Authorem, cur non maximi boni, Prudentiæ dico, causam arbitramur? «Та наука, воистину, которая научила род человеческий числу, будет способна достичь этого. И я думаю, что некий Бог, скорее чем случай, даровал нам этот дар для нашего блаженства. Ибо почему мы не должны судить Того, Кто есть Автор всех благих вещей, быть также причиной величайшей благой вещи, а именно Мудрости?». Там, наконец, он доказывает, что Мудрость достигается хорошим навыком чисел. С этим великим свидетельством и многообразными доказательствами и доводами, ранее выраженными, вы можете быть достаточно и полностью убеждены в совершенной науке арифметики, чтобы сделать этот отчет: что из всех наук, после теологии, она есть самая божественная, самая чистая, самая обширная и общая, самая глубокая, самая тонкая, самая удобная и самая необходимая. Чья ближайшая сестра есть Абсолютная наука Величин, о которой (под руководством и с помощью Того, чья Величина бесконечна и для нас непостижима) я теперь намерен так писать, чтобы как с Множеством, так и с Величиной чудесных и плодотворных истин вы (мои друзья и соотечественники) могли быть взволнованы и пробуждены, чтобы увидеть, какие определенные искусства и науки (к нашей невыразимой пользе) наш небесный отец для нас приготовил и открыл через различных философов и математиков.

И Число, и Величина имеют некое первоначальное семя (как бы) невероятного свойства, которое человек никогда не сможет полностью объявить. От Числа — Единица, а от Величины — Точка, кажутся во многом похожими первоначальными причинами. Но различие, тем не менее, велико. Мы определили Единицу как вещь математическую неделимую. Точку, точно так же, мы сказали, есть вещь математическая неделимая. И далее, что Точка может иметь некое определенное Положение: то есть, что мы можем назначить и предписать Точку быть здесь, там, вон там и т. д. Здесь (узрите) наша Единица свободна и не может терпеть никакого рабства или быть привязанной к какому-либо месту или сиденью, делимая или неделимая. Опять же, по причине, Точка может иметь Положение, ограниченное для нее: некое движение (к месту и от места) поэтому Точке присуще и принадлежит. Но Единица не может быть воображена имеющей какое-либо движение. Точка своим движением производит, математически, линию (как мы сказали ранее), которая есть первый род Величин и самый простой. Единица не может произвести никакого числа. Линия, хотя она и произведена из движущейся Точки, все же она не состоит из точек. Число, хотя оно и не произведено из Единицы, все же оно Состоит из единиц как материальная причина. Но формально, Число есть Союз и Единство Единиц. Каковое объединение и связывание есть мастерство нашего ума, который из различных и дискретных Единиц делает Число посредством единообразия, проистекающего из некоего множества Единиц. И так, каждое число может иметь свою наименьшую часть, данную: а именно, Единицу. Но не от Величины (нет, даже не от Линии) наименьшая часть может быть дана, потому что бесконечно деление оной может быть воображено. Всякая Величина есть либо Линия, либо Плоскость, либо Тело. Каковую Линию, Плоскость или Тело ни одним чувством нельзя воспринять, ни точно рукой (каким-либо образом) представить, ни Природой произвести. Но как (по степеням) Число пришло к нашему восприятию, так видимыми формами мы помогаемы вообразить, что наша Линия математическая есть, что наша Точка есть. Столь точны наши Величины, что одна Линия не шире другой, ибо они не имеют ширины. Ни наши Плоскости не имеют никакой толщины. Ни еще наши Тела — никакого веса, будь они сколь угодно велики по измерению. Наши Тела мы можем иметь Меньшими, чем либо Искусство, либо Природа могут произвести какие-либо, и Большими также, чем весь мир может объять. Наши наименьшие Величины могут быть разделены на столько частей, сколько величайшие. Как Линия в один дюйм длиной (у нас) может быть разделена на столько частей, сколько может диаметр всего мира с Востока на Запад или каким-либо образом протянутый. Какие привилегии, выше всякого ручного Искусства и мощи Природы, имеют наши две науки математические? Чтобы выставлять и иметь дело с вещами такой силы, свободы, простоты, чистоты и совершенства? И в них так верно, так упорядоченно, так точно поступать, как превосходным считается тот мастер-механик, который ближе всего может приблизиться к представлению работ, математически доказанных? И наши две науки, оставаясь чистыми и абсолютными в своих собственных терминах и в своей собственной Материи, иметь и допускать только такие Доказательства, которые ясны, верны, универсальны и вечной истины? Геометрия. Эта наука о Величине, ее свойствах, условиях и принадлежностях обычно сейчас есть и с начала была у всех философов называема Геометрией. Но, воистину, с именем слишком низким и скудным для науки такого достоинства и обширности. И, возможно, это имя общим и тайным согласием всех мудрецов до сих пор было позволено оставаться, чтобы оно могло нести с собой вечную память о первом и самом примечательном благодеянии, этой наукой простому народу показанном. Что было, когда границы и межи земли и почвы были потеряны и смешаны (как в Египте ежегодно с разливом Нила, величайшей и длиннейшей реки в мире) или что земля завещанная должна была быть назначена, или земля проданная должна была быть размечена, или (когда беспорядок преобладал) что общины были распределены на частные владения. Ибо где по этим и таким подобным случаям некоторые по невежеству, некоторые по небрежности, некоторые по мошенничеству и некоторые по насилию неправомерно ограничивали, измеряли, захватывали или оспаривали (под предлогом справедливого содержания и меры) те земли и почвы, великая потеря, беспокойство, убийство и война (полностью часто) следовали, пока по Божьей милости и человеческому усердию совершенная наука Линий, Плоскостей и Тел (как божественный судья) не дала каждому человеку его собственное. Народ тогда, этим искусством облагодетельствованный и значительно облегченный в справедливом измерении своих земель, и другие философы, писавшие правила для измерения земель, между ними обоими так подтвердили имя Geometria, то есть (согласно самой этимологии слова) измерение земли. В чем народ не знал далее использования Величин, кроме как в Плоскостях, а философы от них не имели слушателей или учеников, чтобы далее раскрыть, кроме как о плоской, равнинной Геометрии. И хотя эти философы знали о дальнейшем использовании и лучше всего понимали этимологию слова, все же это имя Geometria было ими применяемо вообще ко всем сортам Величин, если только иногда Платоном и Пифагором, когда они хотели точно объявить свое собственное учение. Тогда была Geometria с ними Studium quod circa planum versatur. Но хорошо вы можете заметить по Элементам Евклида, что более обширна наша наука, чем измерять Плоскости, и ничего менее в ней не учится (по цели), чем как измерять Землю. Другое имя, поэтому, должно быть имеемо для нашей математической науки Величин, которая не касается ни комка, ни дерна, ни холма, ни долины, ни земли, ни неба, но есть абсолютная Megethologia: не ползающая по земле и ослепляющая глаз шестом, стержнем или линией, но «поднимающая сердце выше небес, невидимыми линиями и бессмертными лучами встречается с отражениями света непостижимого и так доставляет радость и совершенство невыразимое». О чем истинном использовании нашей Megethica или Megethologia божественный Платон казался имеющим хороший вкус и суждение и (по имени Геометрии) так отметил это и предупредил своих учеников о том, как в его седьмом Диалоге о государстве может быть очевидно видно. Где (на латыни) так оно есть, правильно переведено: Profecto, nobis hoc non negabunt, Quicunque vel paululum quid Geometriæ gustârunt, quin hæc Scientia, contrà, omnino se habeat, quàm de ea loquuntur, qui in ipsa versantur. На английском так: «Воистину (говорит Платон), кто бы ни имел (но даже очень мало) вкуса к Геометрии, не откажет нам в этом, но что эта наука есть другого условия, совершенно противоположного тому, о чем говорят те, кто упражняется в ней». И там следует о нашей Геометрии: Quòd quæritur cognoscendi illius gratia, quod semper est, non & eius quod oritur quandoque & interit. Geometria, eius quod est semper, Cognitio est. Attollet igitur (ô Generose vir) ad Veritatem, animum: atque ita, ad Philosophandum preparabit cogitationem, vt ad supera conuertamus: quæ, nunc, contra quàm decet, ad inferiora deijcimus. &c. Quàm maximè igitur præcipiendum est, vt qui præclarissimam hanc habitant Civitatem, nullo modo, Geometriam spernant. Nam & quæ præter ipsius propositum, quodam modo esse videntur, haud exigua sunt. &c. «Должно быть признано (говорит Платон), что [Геометрия] изучается для познания того, что есть всегда, а не того, что во времени и рождается, и приводится к концу. Геометрия есть знание того, что есть вечно. Она поднимет поэтому (О Благородный Сэр) наш ум к Истине, и тем средством она подготовит Мысль к философской любви к мудрости, чтобы мы могли обратиться или конвертировать к небесным вещам [и ум, и мысль], которые сейчас, иначе чем подобает нам, мы бросаем вниз на низкие или низшие вещи. Главным образом, поэтому, повеление должно быть дано, чтобы те, кто населяет этот самый почетный Город, никоим образом не презирали Геометрию. Ибо даже те вещи [сделанные ею], которые, в манере, кажутся быть вне цели Геометрии, суть немалой важности». И помимо многообразных использований Геометрии в делах, относящихся к войне, он добавляет больше о втором непреднамеренном плоде и товаре, возникающем из Геометрии, говоря: Scimus quin etiam, ad Disciplinas omnes facilius per discendas, interesse omnino, attigerit ne Geometriam aliquis, an non. &c. Hanc ergo Doctrinam, secundo loco discendam Iuuenibus statuamus. То есть: «Но также мы знаем, что для более легкого изучения всех Искусств, важно много, имел ли кто-либо какое-либо знание в Геометрии или нет. Давайте поэтому сделаем постановление или декрет, что эта наука молодыми людьми должна быть изучена на втором месте». Это было суждение божественного Платона как о преднамеренном, главном и совершенном использовании Геометрии, так и о его вторых, зависящих, производных товарах. И для нас, христианских людей, тысяча тысяч других случаев есть, чтобы иметь нужду в помощи И. Д. Здесь я бы охотно стряхнул земное имя Геометрии. Мегетологические Созерцания: посредством которых тренировать наши Воображения и Умы, мало-помалу, оставлять и покидать грубые и тленные Объекты наших внешних чувств и постигать верным доказательным учением Вещи Математические. И ими охотно быть помогаемыми и ведомыми, чтобы постигать, рассуждать и заключать о вещах Интеллектуальных, Духовных, вечных и таких, которые касаются нашего Блаженства вечного, которые иначе (без Специальной привилегии Озарения или Откровения с небес) никакой ум смертного человека (естественно) не способен достичь или объять. И, воистину, своим малым Талантом (свыше) я способен доказать и засвидетельствовать, что буквальный Текст и порядок нашего божественного Закона, Оракулов и Таинств требуют большего навыка в Числах и Величинах, чем (обычно) толкователи высказали, но скорее только (в крайнем случае) так предупредили и показали свою собственную нехватку в том. (Назвать кого-либо излишне, и отметить места здесь нет места. Но если я буду должным образом спрошен, мой ответ готов.) И без буквальных, Грамматических, Математических или Естественных истин таких мест, хорошим и верным Искусством воспринятых, никакой Духовный смысл (собственный тем местам, по Абсолютной Теологии) на том зависеть не будет. «Ни один человек, поэтому, не может сомневаться, что к достижению знания несравненного и Небесной Мудрости Математические Созерцания, как Чисел, так и Величин, суть средства, помощи и руководства: готовые, верные и необходимые». Отныне в этом моем Предисловии буду я строить свою речь к беглым ученикам Платона или, скорее, к таким, кто хорошо может (и также хочет) использовать свои внешние чувства к славе Божьей, пользе своего Отечества и своему собственному тайному довольству или честному продвижению на этих земных Подмостках. Им я буду упорядоченно перечислять, описывать и объявлять большое Число Искусств, из наших двух математических источников, производных в поля Природы. Посредством чего такие Семена и Корни, как лежат глубоко скрыты в почве Природы, освежаются, оживляются и побуждаются расти, стрелять вверх, цвести и давать плод, бесконечный и невероятный. И эти Искусства будут такими, как на свойствах Величин зависят, более, чем на Числе. И по хорошей причине мы можем называть их Искусствами, и Искусствами Математическими Производными: ибо (в это время) я Определяю Искусство. Искусство есть Методическое полное Учение, имеющее изобилие достаточной и особой материи, чтобы иметь дело с ней, по допущению Метафизического философа: знание которого для человеческого состояния необходимо. И то я считаю Искусством Математическим Производным. Искусство математическое производное, которое по Математическому доказательному Методу, в Числах или Величинах, упорядочивает и подтверждает свое учение, как много и как совершенно, как материя субъект допустит. И для того, что я намерен использовать имя и свойство Механика, иначе, чем (до сих пор) оно было используемо, я думаю хорошо (для различия ради) дать вам также краткое описание, что я имею в виду под тем. Механик, или Механический мастер есть тот, чье мастерство есть, без знания Математического доказательства, совершенно работать и заканчивать любую чувственную работу, по Математику главному или производному, доказанную или доказуемую. Полностью хорошо я знаю, что тот, кто изобретает или делает эти доказательства, обычно называется Спекулятивным Механиком: который не отличается ничем от Механического Математика. Так, в отношении различных действий, один человек может иметь имя различных искусств: как, некоторое время, Логика, некоторое время (в той же материи иначе обработанной) Риторика. Об этих пустяках я делаю (как сейчас, в отношении моего Предисловия) малый счет: чтобы подпилить их для тонкого обращения тонких любопытных спорщиков. В других местах они могут приказывать мне дать хороший довод: и все же, здесь, я не буду неразумным.