«Логика случая»

Что нам поэтому приходится делать в подавляющем большинстве практических случаев, так это брать среднее конечного числа измерений или наблюдений — всех тех, фактически, которые у нас есть под рукой, — и принимать это как нашу отправную точку для измерения ошибок. Ошибки, фактически, не известны наверняка, а лишь вероятно рассчитаны. Это, однако, не такой уж теоретический дефект, как может показаться на первый взгляд; ибо поскольку нам редко приходится использовать эти методы — для целей расчета, то есть, в отличие от простого иллюстрирования, — кроме как для цели обнаружения того, каково окончательное среднее, было бы своего рода petitio principii предполагать, что мы его уже обеспечили. Но стоит рассмотреть, желательно ли использовать один и тот же термин для «ошибок», известных как таковые, величина которых может быть назначена с уверенностью, и для «ошибок», которые являются лишь вероятно таковыми и величина которых может быть назначена лишь вероятно. Фактически было предложено использовать два термина «ошибка» и «остаток» соответственно, чтобы различать величины, таким образом определенные, то есть между (обычно неизвестной) фактической ошибкой и наблюдаемой ошибкой.

§ 22. (2) Другой момент включает вопрос о том, в какой степени любой из первых двух критериев (стр. 446, 7) близости, с которой различные результаты сгруппировались вокруг своего среднего, является заслуживающим доверия или полным. Ответ заключается в том, что они обязательно неполны. Никакая единичная оценка или величина не может дать нам адекватного отчета о ряде различных величин. Этот момент очень важен; и, я думаю, ему не уделяется достаточного внимания, следствием чего является, как мы увидим далее, что слишком поспешно предполагается, что метод, который дает результат с наименьшей «среднеквадратичной ошибкой», должен обязательно быть лучшим результатом для всех целей. Однако отнюдь не ясно, что критерий, который лучше всего подходит для одной цели, должен делать это для всех.

Необходимо четко понимать, что каждый из этих критериев является «средним» и что каждое среднее обязательно отвергает массу разнообразных деталей, заменяя их единым результатом. У нас было, скажем, множество значений роста: столько-то по 60 дюймов, столько-то по 61 и т.д. Мы заменяем их «средним» 68 и тем самым отбрасываем массу информации. Часть ее мы затем стремимся восстановить, пересматривая «ошибки» или отклонения этих значений роста от их среднего. Как и прежде, однако, вместо предоставления полных деталей мы подставляем среднее ошибок. Единственная разница в том, что вместо взятия того же вида среднего (т.е. арифметического) мы часто предпочитаем принять то, которое называется «среднеквадратичной ошибкой».

§ 23. Здесь может быть поднят вопрос, который имеет достаточную важность, чтобы заслужить краткого рассмотрения. Когда у нас есть набор измерений перед нами, почему обычно считается достаточным просто назначить: (1) среднее значение; и (2) среднее отклонение от этого среднего? Ответ, конечно, частично дается тем фактом, что предполагается, что нам нужно лишь грубое приближение: но здесь есть что сказать и помимо этого. Дальнейшее оправдание можно найти в том факте, что мы предполагаем, что нам нужно лишь рассматривать возможность одного закона ошибок, или, во всяком случае, что отклонения от привычного закона будут лишь незначительными. Другими словами, если мы вернемся к рисунку на стр. 29, мы предполагаем, что есть только две неизвестные величины или свободные константы, которые должны быть назначены; а именно: во-первых, положение центра, и, во-вторых, степень эксцентричности, если можно так выразиться, кривой. Определение среднего значения прямо и сразу назначает первое, а определение средней ошибки (любым из уже упомянутых способов) косвенно назначает второе, ограничивая нас только одной из возможных кривых, указанных на рисунке.

За исключением предположения об одном таком законе ошибок, определение средней ошибки дало бы лишь слабое представление о своего рода контуре нашей кривой распределения. Мы могли бы тогда найти удобным принять какой-то план последовательного приближения, добавив третье или четвертое «среднее». Точно так же, как мы назначаем среднее значение величины и ее среднее отклонение от этого среднего; так мы могли бы взять эту среднюю ошибку (как бы она ни была определена) как новую отправную точку и назначить среднее отклонение от нее. Если бы вопрос стоил дальнейшего обсуждения, мы могли бы легко проиллюстрировать с помощью диаграммы своего рода последовательные приближения, которые такие показатели дали бы относительно окончательной формы кривой распределения или закона ошибок.

Поскольку этот том написан главным образом для тех, кто интересуется вовлеченными логическими вопросами, а не как введение в фактические процессы вычисления, математические детали были повсюду избегаемы насколько возможно. По этой причине сравнительно мало ссылок было сделано на экспоненциальное уравнение закона ошибок или на соответствующий «интеграл вероятности», таблицы которого даны в нескольких справочниках по предмету. Есть, однако, два момента в связи с этими конкретными темами, по поводу которых трудности чувствуются, или должны чувствоваться, столь многими студентами, что некоторое внимание может быть уделено им здесь.

(1) Что касается обычного алгебраического выражения для закона ошибок, а именно y = h/√π e^-h^2x^2, можно было заметить, что я всегда говорил о y как о пропорциональном числу ошибок конкретной величины x. Было бы едва ли правильно говорить абсолютно, что y представляет это число, потому что, конечно, фактическое число ошибок любой точной величины, где предполагается непрерывность возможности, должно быть бесконечно малым. Если поэтому мы хотим перейти от непрерывного к дискретному, установив фактическое число ошибок между двумя последовательными делениями нашей шкалы, когда, как обычно при измерениях, все в определенных пределах относятся к какой-то одной точной точке, мы должны изменить нашу формулу. В соответствии с обычной дифференциальной нотацией, мы должны сказать, что число ошибок, попадающих в одно подразделение (dx) нашей шкалы, есть dx h/√π e^-h^2x^2, где dx — это (малая) единица длины, в которой должны быть измерены как h^-1, так и x.

Трудность, которую чувствует большинство студентов, заключается в применении формулы к фактической статистике, другими словами, в подстановке правильных единиц. Чтобы взять фактический численный пример, предположим, что 1460 человек были измерены в отношении их роста «точно до ближайшего дюйма», и пусть будет известно, что модуль здесь равен 3,6 дюйма. Тогда dx = 1 (дюйм); h^-1 = 3,6 дюйма. Теперь Σ h/√π e^-h^2x^2 dx = 1; то есть сумма всех последовательных возможных значений равна единице. Когда поэтому мы хотим, чтобы сумма, как здесь, была 1460, мы должны выразить формулу так: y = 1460/√π * 3,6 e^-(x/3,6)^2, или y = 228 e^-(x/3,6)^2.

Здесь x означает число дюймов, измеренных от центрального или среднего роста, а y означает число людей, отнесенных к этому росту в нашей статистической таблице. (Значения e^-t^2 для последовательных значений t даны в справочниках.)

Для иллюстрации я привожу вычисленные числа по этой формуле для значений x от 0 до 8 дюймов с фактическими числами, наблюдаемыми в кембриджских измерениях, недавно начатых г-ном Гальтоном.

inches

calculated

observed

x = 0

y = 228

= 231

x = 1

y = 212

= 218

x = 2

y = 166

= 170

x = 3

y = 111

= 110

x = 4

y = 82

= 66

x = 5

y = 32

= 31

x = 6

y = 11

= 10

x = 7

y = 4

= 6

x = 8

y = 1

= 3

Здесь средний рост составлял 69 дюймов: dx, как указано, = 1 дюйм. Говоря «положим x = 0», мы имеем в виду: вычислить число людей, которые отнесены к 69 дюймам; т.е. которые попадают между 68,5 и 69,5. Говоря «положим x = 4», мы имеем в виду: вычислить число тех, кто отнесен к 65 или к 73; т.е. которые лежат между 64,5 и 65,5 или между 72,5 и 73,5. Наблюдаемые результаты, как будет видно, держатся довольно близко к вычисленным: в случае первых были взяты средние равных и противоположных отклонений от среднего, так как фактические результаты не всегда одинаковы в противоположных направлениях.

(2) Другой момент касается интерпретации привычного интеграла вероятности, 2/√π ∫0^t e^-t^2 dt. Каждый, кто вычислял шанс события с помощью таблиц этого интеграла, данных во многих справочниках, знает, что если мы назначим любое числовое значение t, соответствующее значение вышеуказанного выражения назначает шанс того, что ошибка, взятая наугад, будет лежать в пределах этого же предела, а именно t. Так, положим t = 1,5, и мы получим результат 0,96; то есть только 4 процента ошибок превысят «полтора». Но когда мы спрашиваем, «полтора» чего? ответ не всегда был бы очень готов. Как обычно, главная трудность новичка не в том, чтобы манипулировать формулами, а в том, чтобы быть совершенно ясным относительно своих единиц.

Сразу будет видно, что этот случай отличается от предыдущего тем, что мы не можем теперь выбирать нашу единицу, как нам угодно. Там, где, как здесь, есть только одна переменная (t), если бы нам разрешили выбрать нашу собственную единицу, дюйм, фут или что бы то ни было, мы могли бы получить совершенно разные результаты. Соответственно, какая-то сравнительно естественная единица должна была быть выбрана для нас, в которой мы обязаны считать, точно так же, как в круговом измерении угла в отличие от измерения в градусах.

Ответ заключается в том, что единица здесь — это модуль, и что положить «t = 1,5» — значит сказать: «предположим, ошибка в полтора раза больше модуля»; сам модуль является ошибкой определенной назначаемой величины, зависящей от природы рассматриваемых измерений или наблюдений. Мы увидим это лучше, если представим интеграл в форме 2/√π ∫0^hx e^-h^2x^2 d(hx); что является точно эквивалентным, поскольку значение определенного интеграла не зависит от используемой конкретной переменной. Здесь hx — это то же самое, что x : 1/h; т.е. это отношение x к 1/h, или x, измеренное в терминах 1/h. Но 1/h — это модуль в уравнении (y = h/√π e^-h^2x^2) для закона ошибок. Другими словами, числовое значение ошибки в этой формуле — это число раз, целых или дробных, которое она содержит в себе модуль.

Этот вид среднего значения Фехнер и другие называют «dichteste Werth» (наиболее плотное значение). Наиболее подходящий пример его использования, который мне встречался, приведен проф. Лексисом (Massenerscheinungen, стр. 42), где он показывает, что оно четко указывает на своего рода нормальную продолжительность человеческой жизни, составляющую около 70 лет; результат, который почти полностью скрыт, когда мы обращаемся к арифметическому среднему.

Это среднее значение следовало бы называть «вероятным» значением (название, однако, уже занятое другим), на том основании, что оно указывает на точку наиболее вероятного появления; т.е. если мы сравним все бесконечно малые и равные единицы вариации, то та, что соответствует этому значению, будет иметь тенденцию встречаться наиболее часто.

Диаграмма, иллюстрирующая это количество результатов, была приведена в журнале Nature (1 сентября 1887 г.). При вычислении различных средних значений, как указано выше, замечу, что исходные результаты были даны с тремя десятичными знаками; но при их классификации учитывался только один знак. То есть 29,9 включает все значения от 29,900 до 29,999. Таким образом, значением, наиболее часто встречающимся в моих таблицах, было 30,0, но по обычным принципам интерполяции оно считается равным 30,05.

В используемой здесь фразеологии есть некоторая двусмысленность. Так, Эри обычно использует выражение «среднеквадратичная ошибка» (Error of Mean Square) для обозначения, как и здесь, √∑e²/n. Гэллоуэй обычно говорит о «среднем квадрате ошибок» (Mean Square of the Errors) для обозначения ∑e²/n. Я буду придерживаться первого словоупотребления и кратко обозначать его как E.M.S. Еще более неудачным (на мой взгляд) является использование г-ном Мерриманом и другими выражения «средняя ошибка» (Mean Error) (широко используемого в своем более естественном значении) в качестве эквивалента этого E.M.S.

Технический термин «флуктуация» применяется г-ном Ф. И. Эджуортом к выражению 2∑e²/n.

На практике, конечно, мы должны учитывать расширение или сжатие. Но для целей логического объяснения мы можем удобно принять эту вариацию в качестве образца одного из тех возмущений, которые могут быть нейтрализованы путем обращения к среднему значению.

Точнее, полиномиальное: относительная частота различных чисел указывается коэффициентами степеней x в разложении

(1 + x + x2 + … + x9)10.

Г-ном Мерриманом в его работе по методу наименьших квадратов.

ГЛАВА XIX.

ТЕОРИЯ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ КАК СПОСОБ ПРИБЛИЖЕНИЯ К ИСТИНЕ.

§ 1. В последней главе мы рассматривали среднее значение преимущественно в его качественном, а не количественном аспекте. То есть мы обсуждали его общую природу, основные разновидности и главные способы применения в повседневной жизни или в процессах рассуждения, которые не претендуют на особую точность. Теперь пришло время более детально рассмотреть специфический вопрос применения среднего значения способом, который является особо подходящим для теории вероятностей. То есть мы должны предполагать, что перед нами имеется определенное количество измерений — в самом широком смысле этого термина — и мы готовы ответить на такие вопросы, как: Почему мы берем их среднее значение? С какой степенью уверенности? Должны ли мы во всех случаях брать среднее значение, и если да, то всегда ли одного и того же вида?

Предмет, к которому мы приступаем, является тем, который при его самом общем теоретическом рассмотрении, возможно, породил более глубокие исследования, большее разнообразие мнений и, как следствие, более обширную историю и литературу, чем любая другая отдельная проблема в области математики. [1] Но, несмотря на это, основные логические принципы, лежащие в основе рассматриваемых методов и процессов, как я полагаю, не особенно сложны для понимания: хотя из-за чрезвычайно технического стиля изложения, принятого даже в сравнительно элементарных дискуссиях по этому предмету, тем, кто обладает лишь умеренными математическими ресурсами, далеко не просто отделить эти принципы от символов, в которые они облечены. Настоящая глава содержит попытку устранить эти трудности, насколько это касается общего понимания предмета. Поскольку принятое таким образом изложение включает значительное количество подразделов, читателю, вероятно, будет удобно время от времени обращаться к оглавлению в начале этого тома.

§ 2. Предмет, в том виде, в котором мы будем его обсуждать, будет сужен до рассмотрения среднего значения ввиду относительной простоты и очень широкой распространенности этого аспекта проблемы. Однако эту проблему очень часто называют, даже в нематематических трактатах, правилом или методом наименьших квадратов; дело в том, что в тех случаях, с которыми мы будем иметь дело, правило наименьших квадратов сводится к более простому и привычному процессу взятия арифметического среднего. Очень простой пример — приведенный Гершелем — объяснит общую природу задачи при несколько более широком рассмотрении и послужит оправданием привычного обозначения.

Предположим, что человек некоторое время стрелял из пистолета по небольшой мишени, скажем, по облатке на стене. Мы можем принять как должное, что следы от выстрелов будут стремиться сгруппироваться вокруг облатки как центра, с плотностью, изменяющейся некоторым образом обратно пропорционально расстоянию от центра. Но теперь предположим, что облатка, отмечавшая центр, была удалена, так что мы не видим ничего, кроме поверхности стены, испещренной следами от выстрелов; и нас просят угадать положение облатки. Если бы был только один выстрел, здравый смысл подсказал бы нам предположить (конечно, очень неуверенно), что он отмечает истинный центр. Если бы их было два, здравый смысл подсказал бы нам взять среднюю точку между ними. Но если бы их было три или более, здравый смысл оказался бы в тупике. Он почувствовал бы, что следует выбрать некоторую промежуточную точку, но не увидел бы способа для более точного определения, потому что его привычная опора — арифметическое среднее — здесь, по-видимому, неприменима. Рассматриваемое правило говорит нам, как действовать. Оно предписывает нам выбрать ту точку, которая сделает сумму квадратов всех расстояний от нее до различных следов выстрелов наименьшей возможной. [2]

Это лишь для иллюстрации и для оправдания привычного обозначения правила. Те виды случаев, которыми мы будем заниматься исключительно, — это сравнительно простые случаи, в которых объектом рассмотрения является только линейная величина или некоторое качество, которое может быть адекватно представлено линейной величиной. В отношении них правило наименьших квадратов сводится к процессу взятия среднего значения в самом привычном смысле этого термина, а именно арифметического среднего; и единого закона ошибок или его графического эквивалента, кривой распределения, будет достаточно, чтобы точно указать сравнительную частоту различных величин одной вовлеченной переменной величины.

§ 3. Мы можем здесь снова удобно обратить внимание на заблуждение или путаницу, которые уже были отмечены в предыдущей главе. Это смешение закона ошибок с методом наименьших квадратов. Это вещи совершенно разного рода. Первый имеет природу физического факта, и его возникновение во многих случаях полностью вне нашего контроля. Последний — или любое его упрощенное применение, такое как арифметическое среднее — не является никаким законом в физическом смысле. Это скорее предписание или правило для нашего руководства. Закон указывает в любом данном случае, как ошибки имеют тенденцию возникать в отношении их величины и частоты. Метод указывает нам, как обращаться с этими ошибками, когда нам представлено их любое количество. Несомненно, существует связь между ними, как будет указано в ходе следующих страниц; но нет ничего, что действительно мешало бы нам использовать один и тот же метод для разных законов ошибок или разные методы для одного и того же закона. При этом вопрос о четком «правильно» или «неправильно» возникал бы редко, скорее вопрос о большей или меньшей целесообразности.

§ 4. Читатель должен понимать — как это подразумевалось в иллюстрации с выстрелами из пистолета, — что конечная проблема, стоящая перед нами, является обратной. То есть предполагается, что перед нами имеется умеренное количество «ошибок» и мы должны взяться сказать, где находится центр, от которого они расходятся. Это напоминает определение причины по наблюдению следствия. Но, как это чаще всего бывает в обратных задачах, мы должны начать с рассмотрения прямой задачи. Другими словами, что касается рассматриваемого случая, нам придется начать с предположения, что конечная цель нашего стремления — то есть истинный центр нашей кривой частоты — нам уже известна: в этом случае все, что остается сделать, это изучить последствия взятия средних значений величин, которые составляют ошибки.

§ 5. Мы пока ограничим наши замечания тем, что должно рассматриваться как типичный случай, когда затрагиваются соображения вероятности; а именно тем, в котором закон расположения или развития является биномиального типа. Природа этого закона была объяснена в гл. II, где было показано, что частота соответствующих чисел появлений регулировалась в соответствии с величиной последовательных членов разложения бинома (1 + 1)ⁿ. Было также указано, что когда n становится очень большим, то есть когда число влияющих обстоятельств очень велико, а их относительное индивидуальное влияние соответственно мало, форма, принимаемая кривой, проведенной через вершины ординат, представляющих эти последовательные члены бинома, стремится к той, которая задается уравнением

y = Ae−h2x2.

Поэтому для всех практических целей мы можем безразлично говорить о биномиальном или экспоненциальном законе; хотя бы на том основании, что расположение фактических явлений по одной или другой из этих двух схем вскоре стало бы неразличимым, когда вовлеченные числа велики. Но есть и другое основание, помимо этого. Даже когда сами явления представляют собой непрерывную величину, наши измерения их — с которыми мы только и можем иметь дело — являются дискретными. Предположим, перед нами точные значения роста миллиона взрослых мужчин. Для всех практических целей они представляли бы вариации непрерывной величины, ибо различия между двумя последовательными величинами, особенно вблизи среднего значения, были бы пренебрежимо малы. Но наши таблицы, вероятно, будут представлять их только с точностью до дюйма. У нас есть столько-то человек с ростом 69 дюймов; столько-то с 70; и так далее. Табличное изложение, по сути, имеет тот же характер, как если бы мы определяли количество «орлов» при подбрасывании горсти монет; то есть как если бы мы имели дело с дискретными числами по биномиальному закону, а не с непрерывной величиной по экспоненциальному распределению.

§ 6. Ограничиваясь тогда, на данный момент, этой общей главой о биномиальном или экспоненциальном законе, мы должны различать два отдельных случая в отношении знаний, которыми мы можем обладать относительно порождающих обстоятельств переменных величин.

(1) Существует, во-первых, случай, в котором условия задачи определимы априори: то есть, когда мы способны сказать, до конкретного опыта, как часто каждая комбинация будет встречаться в долгосрочной перспективе. В этом случае главная или конечная цель, для которой, как мы предполагаем, используется среднее значение — т.е. обнаружение истинного среднего значения — отпадает. Мы способны сказать, каким будет среднее или центральное значение в долгосрочной перспективе; и поэтому нет необходимости приступать к его определению, с некоторым трудом и неопределенностью, по небольшому количеству наблюдений. Тем не менее, необходимо тщательно обсудить этот случай, потому что его допущение является необходимым звеном в рассуждениях в других случаях.

Это сравнительно априорное знание может представляться в двух различных степенях в отношении своей полноты. Во-первых, оно может быть абсолютно полным, насколько это касается рассматриваемых обстоятельств. Рассмотрим результаты, когда горсть из десяти пенсов неоднократно подбрасывается. Мы точно знаем, каково здесь среднее значение, а именно равное деление орлов и решек: мы также знаем вероятность шести орлов и четырех решек и так далее. То есть, если бы нам пришлось построить диаграмму, показывающую относительную частоту каждой комбинации, мы могли бы сделать это, не прибегая к опыту. Мы могли бы нарисовать соответствующую биномиальную кривую из порождающих условий, данных в постановке задачи.

Но теперь рассмотрим результаты стрельбы по мишени, состоящей из длинной и узкой полоски, одна точка которой отмечена как центр прицеливания. [3] Здесь (при условии, что нет причин, вызывающих постоянное смещение) мы знаем, что этот центр будет соответствовать среднему значению. И мы также знаем, в общем виде, что рассеивание по обе стороны от него будет следовать биномиальному закону. Но если бы мы попытались построить пропорции, как в предыдущем случае, путем возведения ординат, которые должны представлять каждую степень частоты по мере удаления от среднего, мы обнаружили бы, что не можем этого сделать. Должны быть даны или выведены новые данные. Хороший стрелок и плохой стрелок будут распределять свои выстрелы согласно одному и тому же общему закону; но быстрота, с которой выстрелы редеют по мере удаления от центра, будет разной в этих двух случаях. Требуется еще одна «константа», прежде чем кривая частоты может быть правильно начерчена.

§ 7. (2) Второй раздел, который будет рассмотрен далее, соответствует во всех логических целях первому. Он включает случаи, в которых, хотя у нас нет априорных знаний относительно положения, вокруг которого значения будут стремиться группироваться в долгосрочной перспективе, тем не менее у нас под рукой достаточно опыта, чтобы определить его с практической уверенностью. Рассмотрим, например, таблицы человеческого роста. Они часто очень обширны, включая десятки или сотни тысяч. В таких случаях среднее или центральное значение определяется с такой же большой уверенностью, как и по любому априорному правилу. То есть, если бы мы взяли еще сто тысяч измерений из той же группы населения, мы были бы уверены, что среднее значение не изменилось бы на какую-либо величину, которую наши измерительные приборы могли бы практически оценить.

§ 8. Но простое определение среднего или центрального значения не дает нам здесь, как и в предыдущем случае, всего, что мы хотим знать. Может случиться так, что средний рост двух групп населения одинаков, но закон рассеивания вокруг этого среднего значения очень различен: так что человек, который в одной серии был исключительным гигантом или карликом, в другой не был бы ничем примечательным.

Объяснение процесса определения фактической величины рассеивания потребовало бы слишком много математических деталей; но можно дать некоторое указание. Что нам нужно сделать, так это определить константу h в уравнении [4] y = h/√π e⁻h²x². На техническом языке нам нужно определить модуль этого уравнения. Величина 1/h в вышеприведенном выражении называется модулем. Она измеряет степень сжатия или рассеивания вокруг среднего значения, указанного этим уравнением. Когда она велика, рассеивание значительно; то есть величины не плотно сгруппированы к центру, когда она мала, они плотно сгруппированы. Чем меньше модуль в кривой, представляющей плотность, с которой следы от выстрелов группировались вокруг центра мишени, тем лучше стрелок.

§ 9. Существует несколько способов определения модуля. В первом из рассмотренных выше случаев, где наши теоретические знания полны, мы способны вычислить его априори из нашего знания вероятностей. Мы бы естественно приняли этот план, если бы подбрасывали большую горсть пенсов.

Обычный апостериорный план, когда у нас перед глазами есть измерения величин или наблюдений, таков: возьмите средний квадрат ошибок и удвойте его; результат дает квадрат модуля. Предположим, например, что у нас есть пять величин: 4, 5, 6, 7, 8. Среднее из них равно 6: «ошибки» соответственно равны 2, 1, 0, 1, 2. Следовательно, «квадрат модуля» равен 10/5; т.е. модуль равен √2. Если бы величины были 2, 4, 6, 8, 10, представляя то же среднее (6), что и раньше, но демонстрируя большее рассеивание вокруг него, модуль был бы больше, а именно √8 вместо √2.

Метод г-на Гальтона носит более графический характер. Он описан в статье по статистике путем взаимного сравнения (Phil. Mag. 1875) и в других местах. Его можно обозначить следующим образом. Предположим, что мы имеем дело с большим количеством измерений человеческого роста, и представим, что все рассматриваемые лица выстроены в порядке их роста. Выберите средний рост, отмеченный центральным человеком в ряду. Предположим, он равен 69 дюймам. Затем поднимите (или опустите) шкалу от этой точки до такой высоты, чтобы она как раз включала одну половину людей выше (или ниже) среднего значения. (На практике было бы обнаружено, что для этого требуется около 1,71 дюйма: то есть одна четверть любой большой группы таких людей попадет в диапазон между 69 и 70,71 дюймами.) Разделите это число на 0,4769, и мы получим модуль. В рассматриваемом случае он был бы равен примерно 3,6 дюйма.

При допущении, с которого мы начинаем, а именно, что закон ошибок проявляется в привычной биномиальной форме или в некоторой форме, приближающейся к ней, три указанных выше метода совпадут в своем результате. Там, где есть какие-либо сомнения на этот счет, или где мы не чувствуем себя способными заранее рассчитать, какова будет скорость рассеивания, мы должны принять второй план определения модуля. Это единственный универсально применимый способ расчета: фактически, то, что он должен давать модуль, является истиной по определению; ибо при определении среднеквадратичной ошибки мы на самом деле не делаем ничего иного, кроме определения модуля, как было указано в последней главе.

§ 10. Позиция, к которой мы теперь пришли, такова. Принимая как должное, что закон ошибок примет символическую форму, выраженную уравнением y = h/√π e⁻h²x², у нас под рукой есть правила, с помощью которых h может быть определено. Поэтому для рассматриваемых целей мы знаем все о кривой частоты: мы можем начертить ее на бумаге: имея одно значение — скажем, центральное — мы можем определить любое другое значение на любом расстоянии от него. То есть, зная, сколько человек в миллионе, скажем, имеют рост 69 дюймов, мы можем определить без прямого наблюдения, сколько будет иметь рост 67, 68, 70, 71 и так далее.

Теперь мы можем адекватно обсудить главный вопрос логического интереса, стоящий перед нами; а именно: почему мы берем средние значения? Какова точная природа и величина преимущества, получаемого при этом? Продвинутый студент, конечно, предпочел бы получить ответы на эти вопросы, обратившись сразу к закону ошибок в его конечной или экспоненциальной форме. Но я убежден, что лучший метод для тех, кто хочет получить ясное представление о логической природе вовлеченного процесса, — это начать с рассмотрения его как вопроса о комбинациях, с которыми мы знакомы в элементарной алгебре; другими словами, взять конечное число ошибок и посмотреть, что получится из их усреднения. Затем мы можем приступить к арифметическому вычислению результатов объединения двух или более ошибок вместе, чтобы получить новую серию, не довольствуясь лишь общим характером нового закона ошибок, а фактически вычисляя, что он представляет собой в данном случае. Ради простоты мы не будем брать серию с очень большим количеством членов, но будет хорошо иметь их достаточно, чтобы гарантировать, что наш закон ошибок будет грубо приближаться по своей форме к стандартному или экспоненциальному закону.

Для этой цели будет достаточно закона ошибок или расхождения, полученного при допущении, что на наше усилие влияют десять причин, каждая из которых производит равную ошибку, но эта ошибка с равной вероятностью может быть положительной и отрицательной (или, как это можно было бы выразить, «десять равных и безразлично аддитивных и субтрактивных причин»). Это наименьшее число, сформированное согласно биномиальному закону, которое даст глазу справедливое представление о предельном или экспоненциальном законе. [5] Общее число возможных случаев здесь равно 2¹⁰ или 1024; то есть это число, необходимое для демонстрации не только всех случаев, которые могут произойти (ибо существует всего одиннадцать действительно различных случаев), но также относительной частоты, с которой каждый из этих случаев встречается в долгосрочной перспективе. Из этого общего числа 252 будут расположены в среднем значении, представляя «истинный» результат, или тот, который получается, когда пять причин возмущения просто нейтрализуют другие пять. Далее, 210 будут на расстоянии, которое мы назовем одной единицей от среднего значения, или то, которое получается при объединении шести причин против четырех; и так далее; пока на крайнем расстоянии пяти мест от среднего значения мы не получим только один результат, поскольку только в одном случае из 1024 все причины объединятся вместе в одном направлении. Набор из 1024 усилий является, следовательно, справедливым представлением распределения бесконечного числа таких усилий. Графическое представление этого расположения приведено здесь.

§ 11. Это представляет собой полный набор отдельных наблюдений или усилий, каким будет число и расположение в соответствующем наборе комбинированных или редуцированных наблюдений, скажем, двух вместе? Что касается числа, мы должны иметь в виду, что это не случай комбинаций вещей, которые нельзя повторить; ибо любая данная ошибка, скажем, крайняя в F, может, очевидно, повторяться дважды подряд. Такое повторение было бы, конечно, большим невезением, но, будучи возможным, оно должно иметь свое место в наборе. Теперь возможное число способов комбинирования 1024 вещей по две вместе, где одна и та же вещь может повторяться дважды подряд, равно 1024 × 1024 или 1048576. Это и есть число в полном цикле результатов, взятых по два вместе.

§ 12. Столько об их числе; теперь об их расположении или распределении. Что мы должны установить, это, во-первых, сколько раз каждая возможная пара наблюдений будет представляться; и, во-вторых, где должны быть размещены новые результаты, полученные из комбинации каждой пары. Что касается первого из этих запросов — будет легко увидеть, что в одном случае мы будем иметь F, повторенное дважды; в 20 случаях мы будем иметь F, объединенное с E (ибо F, идущее первым, может сопровождаться любым из 10 в E, или любое из них может сопровождаться F); E может повторяться 10 × 10, или 100 способами, и так далее.

Теперь о положении каждой из этих редуцированных наблюдений, относительная частота компонентов которых была таким образом указана. Это легко определить, ибо когда мы берем две ошибки, почти нет (как было видно) другого способа обработки, кроме выбора средней точки между ними; эта средняя точка, конечно, становится идентичной каждой из них, когда они случайно совпадают. Поэтому будет видно, что F будет повторяться один раз в новом расположении, т.е. путем его повторения дважды в старом. G, посередине между E и F, будет дано 20 раз. E, в нашем новом расположении, может быть получено двумя способами, т.е. путем его повторения дважды (что произойдет 100 раз) и путем его получения как средней точки между D и F (что произойдет 90 раз). Следовательно, E будет встречаться 190 раз в общей сложности.

Читатель, который решит взять на себя труд, может вычислить частоту всех возможных появлений таким образом, и если бы целью было просто проиллюстрировать принцип, в соответствии с которым они происходят, это мог бы быть лучший способ действий. Но, как он вскоре сможет заметить, и как математик сразу смог бы доказать, новый «закон легкости ошибок» может быть получен быстрее дедуктивно, т.е. путем взятия последовательных членов разложения (1 + 1)²⁰. Они приведены ниже линии на рисунке на стр. 476.

§ 13. Существуют два очевидных препятствия для любого прямого сравнения между распределением старого набора простых наблюдений и нового набора комбинированных или редуцированных. Во-первых, число последних намного больше. Это, однако, легко решается путем приведения их обоих к одному масштабу, то есть путем создания одинакового общего числа каждого. Во-вторых, половина новых позиций не имеет представителей среди старых, т.е. те, которые встречаются посередине между F и E, E и D и так далее. Это может быть решено обычным планом интерполяции, т.е. путем заполнения таких пробелов путем оценки того, каким было бы число в отсутствующих точках, в том же масштабе, если бы они были заняты. Проведите кривую через вершины ординат в A, B, C и т.д., и длины ординат в промежуточных точках будут вполне справедливо представлять соответствующую частоту ошибок этих величин соответственно. Когда пробелы таким образом заполнены, а числа таким образом приведены к одному масштабу, мы имеем совершенно справедливую основу для сравнения. (См. рисунок на следующей странице.)

Аналогично мы могли бы приступить к группировке или «редукции» трех наблюдений или любого большего числа. Число возможных группировок естественно становится очень намного больше, будучи (1024)³ когда они взяты по три вместе. Как только мы доходим до трех или более наблюдений, у нас есть (как уже было указано) разнообразие возможных способов обработки или редукции, из которых взятие арифметического среднего является лишь одним.

§ 14. Следующий рисунок предназначен для иллюстрации природы преимущества, обеспечиваемого таким взятием арифметического среднего нескольких наблюдений.

Кривая ABCD представляет расположение заданного числа «ошибок», предполагаемых распределенными согласно уже упомянутому биномиальному закону, когда углы были сглажены путем проведения через них кривой. A'CD' представляет аналогичное расположение того же числа, когда они даны не как простые ошибки, а как средние значения пар ошибок. A"BD", опять же, представляет аналогичное расположение, полученное как средние значения ошибок, взятых по три вместе. Они начерчены в масштабе настолько тщательно, насколько позволяет малый размер рисунка.

§ 15. Взгляд на вышеприведенный рисунок объяснит читателю лучше, чем любое словесное описание, полное значение утверждения, что результат объединения двух или более измерений или наблюдений вместе и взятия их среднего значения, вместо того чтобы останавливаться на отдельных элементах, делает большие ошибки сравнительно более редкими. Преимущество того же общего описания, что и при ловле рыбы в озере, где при том же количестве рыбы больше крупной и меньше мелкой, чем в другом водоеме: при опускании в мешок, где при том же количестве монет больше соверенов и меньше шиллингов; и так далее. Чрезвычайная важность, однако, получения совершенно ясного представления о предмете может сделать желательным проработать это немного более подробно.

Во-первых, тогда, должно быть ясно понято, что результат набора «средних значений» ошибок есть не что иное, как другой набор «ошибок». Никакое устройство не может сделать достижение истинного результата достоверным — предполагать обратное означало бы неверно понимать самые основы теории вероятностей — никакое устройство даже не может исключить возможность оказаться в худшем положении в результате нашего труда. Среднее значение двух, трех или любого большего числа отдельных результатов может дать худший результат, т.е. более далекий от конечного среднего значения, чем был дан первым сделанным нами наблюдением. Мы должны просто вернуться к оправданию, что большие отклонения становятся более редкими в долгосрочной перспективе.

Опять же; можно указать, что хотя в вышеприведенном исследовании мы говорили только об арифметическом среднем, как оно обычно понимается и используется, те же общие результаты были бы получены путем прибегания почти к любому симметричному и регулярному способу комбинирования наших наблюдений или ошибок. Двумя главными особенностями регулярности, демонстрируемой биномиальным законом легкости, были (1) конечная симметрия относительно центрального или истинного результата и (2) возрастающая относительная частота по мере приближения к этому центру. Очень небольшое размышление покажет, что это не является исключительной прерогативой арифметического среднего — сохранять первое из них и увеличивать второе. Говоря это, однако, следует обратить внимание на различие, для которого будет удобно обратиться к рисунку.

§ 16. Предположим, что O, на линии D'OD, было точкой, на которую целились при любой серии измерений; или, что сводится к тому же для нашей нынешней цели, было конечным средним всех сделанных измерений. Что мы подразумеваем под симметричным расположением значений относительно O, это то, что для каждой ошибки OB должно в долгосрочной перспективе существовать точно соответствующая противоположная OB'; так что когда мы возводим ординату BQ, указывающую частоту, с которой получается B, мы должны возвести равную ей B'Q'. Соответственно, две половины кривой по обе стороны от P, а именно PQ и PQ', точно одинаковы.

Тогда легко следует, что вторичная кривая, а именно та, которая отмечает закон частоты средних значений двух или более простых ошибок, также будет симметричной. Рассмотрим любые три точки B, C, D: им соответствуют другие три B', C', D'. Поэтому очевидно, что любой регулярный и симметричный способ обращения со всеми группами, образцом которых является BCD, приведет к симметричному расположению относительно центра O. Обычное привычное арифметическое среднее — лишь один из многих таких способов. Один из способов описания его заключается в том, что среднее значение B, C, D определяется путем выбора точки такой, что сумма квадратов ее расстояний от B, C, D является минимальной. Но мы могли бы выбрать точку такую, что кубы, или четвертые степени, или любые более высокие степени были бы минимальными. Все они дали бы кривые, напоминающие в общем виде пунктирную линию на нашем рисунке. Конечно, существовали бы непреодолимые практические возражения против любых таких курсов, как эти; ибо труд по вычислению был бы огромным, а результаты, будучи далекими от того, чтобы быть лучше, были бы хуже, чем те, что предоставляются использованием обычного среднего значения. Но что касается общего принципа обращения с диссонирующими и ошибочными результатами, следует помнить, что привычное среднее значение — лишь один из бесчисленных возможных ресурсов, все из которых дали бы тот же вид помощи.

§ 17. Еще раз. Мы видели, что обращение к среднему значению имело эффект «выпучивания» нашей кривой больше к центру, выражая тот факт, что ошибки средних значений являются лучшего, т.е. меньшего вида. Но следует заметить, что точно такие же характеристики будут следовать, как общее правило, из любого другого такого способа обращения с индивидуальными ошибками. Строгого доказательства этого факта здесь дать нельзя, но ссылка на один из привычных результатов взятия комбинаций вещей покажет, откуда возникает эта тенденция. Крайние результаты, как они получаются средним значением любого вида, могут быть получены только одним способом, т.е. путем повторений крайностей в индивидах, из которых были получены средние значения. Но промежуточные результаты могут быть получены двумя способами, т.е. либо промежуточными индивидами, либо комбинациями индивидов в противоположных направлениях. В случае биномиального закона ошибок эта тенденция к утолщению к центру была уже сильно преобладающей в индивидуальных значениях, прежде чем мы взяли их в руки для нашего среднего значения; но благодаря этой характеристике комбинаций мы можем утверждать (говоря широко), что любой вид среднего значения, примененный к любому виду закона распределения, даст результат, который имеет то же общее отношение к индивидуальным значениям, что пунктирные линии выше имеют к черной линии. [6]

§ 18. Раз это так, спекулятивные преимущества одного метода комбинирования, или усреднения, или редукции наших наблюдений перед другим методом — независимо, то есть, от практических удобств в их осуществлении — будут состоять исключительно в степени быстроты, с которой он стремится таким образом сгруппировать результат вокруг центра. Мы должны будем подвергнуть это достоинство несколько более глубокому анализу, но для нынешней цели будет достаточно сказать, что если один вид среднего значения давал более высокую пунктирную линию на рисунке на стр. 479, а другой давал более низкую пунктирную линию, мы сказали бы, что первый был лучшим. Преимущество того же общего вида, что и то, которое предоставляется в алгебраическом вычислении рядом, который быстро сходится к истинному значению, по сравнению с тем, который сходится медленно. Мы можем выполнить работу рано или поздно с помощью любого из них; но мы приближаемся к истине на ту же величину труда, или получаем столь же близко на меньшую величину труда, по одному плану, чем по другому.

Поскольку мы здесь рассматриваем случай, в котором индивидуальные наблюдения предполагаются сгруппированными в соответствии с биномиальным законом, будет достаточно сказать, что в этом случае нет сомнений, что арифметическое среднее является не только самым простым и легким для работы, но и лучшим в вышеуказанном смысле этого термина. И поскольку этот биномиальный закон, или что-то приближающееся к нему, имеет очень широкое распространение, создается сильное prima facie основание для общего использования привычного среднего значения.

§ 19. Анализ нескольких страниц назад довел результаты процесса усреднения настолько далеко, насколько это можно было удобно сделать с помощью простой арифметики. Чтобы идти дальше, мы должны обратиться к высшей математике, но следующего указания рода полученных результатов будет достаточно для нашей нынешней цели. В конце концов, последовательные шаги, хотя и требующие сложного рассуждения для их доказательства, являются не чем иным, как обобщениями процессов, которые могли бы быть установлены простой арифметикой. [7] Кратко, что мы делаем, это следующее:—

(1) Мы сначала расширяем доказательство от биномиальной формы, с ее конечным числом элементов, до предельной или экспоненциальной формы. Вместо того чтобы ограничиваться небольшим числом дискретных ошибок, мы затем признаем возможность любого числа ошибок любой величины вообще.

(2) В следующем месте, вместо того чтобы ограничиваться рассмотрением среднего значения только двух или трех — уже, как мы видели, утомительного куска арифметики — мы вычисляем результат среднего значения любого числа n. Фактический результат чрезвычайно прост. Если модуль отдельных ошибок равен c, то модуль среднего значения n из них будет c ÷ √n.

(3) Наконец, мы делаем аналогичные выводы в отношении суммы или разности двух средних значений любых чисел. Предположим, например, что m ошибок были сначала взяты и усреднены, а затем n аналогично взяты и усреднены. Эти средние значения будут почти, но не совсем, равны. Их сумма или разность — эти, конечно, неразличимы в конце, поскольку положительные и отрицательные ошибки предполагаются равными и противоположными — сама по себе будет «ошибкой», каждая величина которой будет иметь определенную приписываемую вероятность или легкость появления. Что мы делаем, это приписываем модуль этих ошибок. Фактический результат опять прост. Если c был модулем отдельных ошибок, то модуль суммы или разности средних значений m и n из них будет

c √ 1/m + 1/n.

§ 20. До сих пор проблема, находящаяся под исследованием, была прямого вида. Мы предполагали, что конечное среднее значение или центральное положение было дано нам; либо априори (как во многих играх случая), либо из более непосредственных физических соображений (как при прицеливании в мишень), либо из обширной статистики (как в таблицах человеческого роста). Во всех таких случаях, следовательно, главное desideratum уже принято как должное, и можно разумно спросить, что остается сделать. Ответы различны. Во-первых, мы можем захотеть оценить значение среднего значения многих при сравнении со средним значением немногих. Предположим, что один человек собрал статистику, включающую 1000 случаев, а другой собрал 4000 аналогичных случаев. Здравый смысл может признать, что последние лучше первых; но он не имеет представления, насколько они лучше. Здесь, как и везде, количественная точность — привилегия науки. Ответ, который мы получаем из этого источника, заключается в том, что в долгосрочной перспективе модуль — а вместе с ним вероятная ошибка, средняя ошибка и среднеквадратичная ошибка, которые все варьируются пропорционально — уменьшается обратно пропорционально квадратному корню из числа измерений или наблюдений. (Это следует из второй из вышеприведенных формул.) Соответственно, вероятная ошибка более обширной статистики здесь в два раза меньше, чем менее обширной. Возьмем другой пример. Наблюдение показывает, что «средний рост 2315 преступников отличается от среднего роста 8585 членов общего взрослого населения примерно на два дюйма» (см. Эджуорт, Методы статистики: Stat. Soc. Journ. 1885). Как и раньше, здравый смысл чувствовал бы мало сомнений в том, что такая разница была значимой, но он не мог дать никакой численной оценки значимости. Обращаясь к науке, мы видим, что это иллюстрация третьей из вышеприведенных формул. Что мы действительно хотим знать, так это шансы против того, что средние значения двух больших партий различаются на заданную величину: в данном случае на величину, равную двадцати пяти раз модулю переменной величины. Шансы против этого составляют многие миллиарды к одному.

§ 21. Число прямых задач, которые таким образом допустят решение, очень велико, но мы должны ограничиться здесь главной обратной задачей, к которой вышеприведенная дискуссия является предварительной. Она такова. Дано лишь несколько из одной из этих групп измерений или наблюдений; что мы можем сделать с ними в плане определения того среднего значения, вокруг которого они в конечном итоге будут группироваться? Дано большое их число, они выдали бы положение своего конечного центра с постоянно возрастающей уверенностью: но мы сейчас предполагаем, что под рукой есть только несколько из них, скажем полдюжины, и что у нас нет силы в настоящее время увеличить число.

Другими словами — выражая себя с помощью графической иллюстрации, которая, возможно, является лучшим методом для новичка и для логического студента — в прямой задаче мы просто должны начертить кривую частоты из знания ее определяющих элементов; а именно положения центра и численного значения модуля. В обратной задаче, с другой стороны, у нас есть по крайней мере три элемента для определения. Ибо не только мы должны (1), как раньше, определить, где можно предположить, что лежит центр; и (2), как раньше, определить значение модуля или степени рассеивания вокруг этого центра. Это не завершает наше знание. Поскольку ни один из этих двух элементов не задан с уверенностью, нам нужно то, что всегда требуется в теории вероятностей, а именно некоторая оценка их вероятной истинности. То есть, сделав наилучшее назначение, какое мы можем, относительно значения этих элементов, мы хотим также назначить численно «вероятную ошибку», совершенную в таком назначении. Ничего больше этого нельзя достичь в теории вероятностей, но ничего меньше этого не должно быть поставлено перед нами.

§ 22. (1) Что касается первого из этих вопросов, ответ очень прост. Будь число измерений или наблюдений малым или большим, мы должны сделать допущение, что их среднее значение и есть та точка, которую мы хотим; то есть, что среднее значение немногих совпадет с конечным средним значением. Это лучшее, фактически единственное допущение, которое мы можем сделать. Мы должны принять этот план, конечно, в крайнем случае, когда перед нами только одно значение, просто взяв это одно; и наша уверенность медленно возрастает с числом значений перед нами. Единственная разница, следовательно, здесь между знанием, опирающимся на такие данные, и знанием, опирающимся на полные данные, заключается не в полученном результате, а в уверенности, с которой мы его придерживаемся.

§ 23. (2) Что касается второго вопроса, т.е. определения модуля или степени рассеивания вокруг среднего значения, можно сказать почти то же самое. То есть мы принимаем то же правило для определения E.M.S. (среднеквадратичной ошибки), по которому назначается модуль, какое мы приняли бы, если бы обладали полной информацией. Или, скорее, мы ограничены одним из правил, данных на стр. 473, а именно вторым, ибо по предположению у нас нет ни априорного знания, которое могло бы предоставить первое, ни достаточного числа наблюдений, чтобы оправдать третье. То есть мы считаем ошибки, измеренные от среднего значения, и вычисляем их средний квадрат: удвоенный он равен квадрату модуля вероятной кривой распределения. [8]

§ 24. (3) Третий вопрос требует для своего решения несколько продвинутой математики; но результаты могут быть указаны без особых трудностей. Популярным способом изложения нашего требования было бы сказать, что мы хотим знать, насколько вероятно, что среднее значение немногих, которое мы таким образом приняли, совпадет с истинным средним значением. Но это было бы говорить небрежно, ибо шансы, конечно, бесконечно велики против такого точного совпадения. Что мы действительно делаем, это назначаем «вероятную ошибку»; то есть назначаем предел, который, как вероятно, так и нет, что расхождение между выведенным средним значением и истинным средним значением превысит. [9] Чтобы взять численный пример: предположим, мы сделали несколько измерений стены с помощью ленты, и что среднее из них было 150 футов. Скрупулезный геодезист дал бы нам этот результат с добавлением некоторой такой поправки, как эта — «вероятная ошибка 3 дюйма». Все, что это означает, это то, что мы можем предположить, что истинное значение равно 150 футам, с уверенностью, что в половине случаев (этого описания), в которых мы это делали, мы действительно были бы в пределах трех дюймов от истины.

Выражение для этой вероятной ошибки является простым кратным модуля: это модуль, умноженный на 0,4769…. То, что это должно быть некоторой функцией модуля, или E.M.S., кажется достаточно правдоподобным; ибо чем больше ошибки — другими словами, чем шире наблюдаемое расхождение среди наших измерений — тем меньше должна быть уверенность, которую мы можем чувствовать в точности нашего определения среднего значения. Но, конечно, без математики мы были бы совершенно неспособны предпринять какое-либо численное назначение.

§ 25. Общий вывод, следовательно, заключается в том, что определение кривой распределения — и, следовательно, в конечном итоге каждого вывода, который опирается на знание этой кривой — когда доступно лишь несколько наблюдений, является точно того же вида, что и когда доступна бесконечность. Правила для его получения те же, но уверенность, с которой оно может быть принято, меньше.

Следовательно, знание, получаемое путем усреднения небольшого числа измерений любого рода, почти не отличается, за исключением степени, от того, которое было бы достижимо при бесконечно обширной серии таких измерений. Мы знаем тот же род фактов, только мы менее уверены в них. Но, с другой стороны, знание, даваемое средним значением даже небольшого числа измерений, отличается по своему роду от того, которое дает единичное измерение. Вернемся к нашему стрелку, чья мишень, как предполагается, была впоследствии убрана. Если бы он сделал только один выстрел, мы не только были бы менее уверены в точке, в которую он целился, но у нас не было бы никаких средств, чтобы угадать качество его стрельбы или сделать из этого какой-либо вывод о вероятной удаленности следующего выстрела от предыдущего. Но как только перед нами оказывается множество выстрелов, мы не только чувствуем себя более уверенно относительно того, где находился центр прицеливания, но и получаем некоторое знание о том, как будущие выстрелы будут группироваться вокруг указанной таким образом точки. Качество его стрельбы сразу же начинает обнаруживаться по результатам.

§ 26. До сих пор мы предполагали, что закон вероятности ошибок относится к биномиальному типу. Существует несколько причин для обсуждения этого вопроса со столь сравнительной подробностью. Во-первых, это единственный тип — или нечто приблизительно его напоминающее, — который фактически преобладает в широком спектре явлений. Кроме того, несмотря на свою кажущуюся сложность, он на самом деле является одним из самых простых для работы, благодаря тому факту, что каждая кривая вероятности ошибок, полученная из него путем взятия средних значений, просто повторяет тот же тип. Кривая среднего значения отличается от кривой отдельных элементов только меньшим модулем; и его модуль меньше в отношении, которое чрезвычайно легко привести. Если модуль одного равен c, то модуль другого (полученного путем усреднения n отдельных элементов) равен c/√n.

Но для понимания теории средних значений мы должны рассмотреть и другие случаи. Возьмем тот, который по своей сути является настолько простым, насколько это возможно, а именно тот, в котором все значения в определенных заданных пределах равновероятны. Это случай, достаточно хорошо знакомый в абстрактной теории вероятностей, хотя, как только что было отмечено, он не так часто встречается в природных явлениях. Это положение вещей, когда мы действуем случайным образом непосредственно с объектами выбора; как, например, когда мы выбираем цифры случайным образом из таблицы логарифмов.