«Логика случая»

Общий вывод, к которому мы приходим, заключается в том, что действуют несколько причин, которые не являются ни незначительными, ни независимыми. Существует, например, наблюдаемый факт, что крайности, как правило, не столь же фертильны, как средние значения, и не столь же способны сопротивляться смерти и болезням. Следовательно, что касается их простого числа, существует тенденция к некоторому их прореживанию. Затем, опять же, существует отчетливая положительная причина в отношении «возврата». Не только потомство крайностей менее многочисленно, но это потомство также имеет тенденцию группироваться вокруг среднего значения, которое, так сказать, смещено немного к истинному центру всей группы; т. е. к среднему потомству средних родителей.

§ 18. Для полного обсуждения этих характеристик и для множества самых остроумных иллюстраций их способа действия и их сравнительной эффективности читателя можно отослать к оригинальным статьям г-на Гальтона. Для нашей нынешней цели будет достаточно сказать, что эти характеристики стремятся к поддержанию неизменности видов; и что, хотя они не влияют на то, что можно назвать общим характером «кривой вероятности» или «закона вероятности», они определяют ее точное значение в рассматриваемых случаях. Если, действительно, спросить, почему нет необходимости в каком-либо таком корректирующем влиянии в случае, скажем, стрельбы по цели: ответ заключается в том, что для него нет возможности, кроме случаев, где вводится кумулятивное влияние. Причина, по которой состояния нашей группы игроков показывали все возрастающее расхождение и почему требовалась какая-то специальная коррекция, чтобы предотвратить такую тенденцию в случае жизненных явлений, заключалась в том, что новая отправная точка на каждом шаге была слегка определена результатами предыдущего шага. Человек, который проиграл шиллинг один раз, начинает в следующий раз, будучи в худшем положении ровно на шиллинг; и, если бы не те коррекции, которые мы указали, человек, который родился высоким, так сказать, выбрасывал бы своих потомков с выгодной позиции превосходного роста. Истинной параллелью в случае стрелков было бы предположение, что их новые точки прицеливания всегда смещались немного в направлении последнего отклонения. Расширение отметок от выстрелов тогда продолжалось бы без предела, точно так же, как и расхождение состояний предполагаемых игроков.

1 Как было сказано выше, это на самом деле немногим больше, чем переформулировка, на стадию дальше, существования того же вида единообразия, что и то, которое мы призваны объяснить в конкретных деталях, представленных нам в опыте.

2 «Казалось бы, на самом деле, что в грубых и простых наблюдениях ошибки происходят от очень немногих главных причин, и, как следствие, наша гипотеза [относительно экспоненциального закона ошибок], вероятно, будет представлять факты лишь несовершенно, и частота ошибок будет лишь грубо и смутно приближаться к закону, который следует из нее. Но когда астрономы, не довольствуясь достигнутой степенью точности, продолжили свои исследования оставшихся источников ошибок, они обнаружили, что не три или четыре, а большое число второстепенных источников ошибок почти координатной важности начали обнаруживать себя, будучи до тех пор замаскированными и затмеваемыми более серьезными ошибками, которые были теперь приблизительно устранены…. Были ошибки градуировки и многие другие в сжатии инструментов; другие ошибки их регулировок; ошибки (технически так называемые) наблюдения; ошибки от изменений температуры, погоды, от легких нерегулярных движений и вибраций; короче говоря, тысячи мелких беспокоящих влияний, с которыми знакомы современные астрономы». (Извлечено из статьи г-на Крофтона в томе Philosophical Transactions за 1870 г., стр. 177.)

3 Typical Laws of Heredity; прочитано перед Королевским институтом, 9 февраля 1877 г. См. также Journal of the Anthrop. Inst. ноябрь 1885 г.

ГЛАВА IV.

О СПОСОБАХ УСТАНОВЛЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЧИСЛЕННЫХ ПРОПОРЦИЙ ХАРАКТЕРНЫХ СВОЙСТВ НАШИХ СЕРИЙ ИЛИ ГРУПП.

§ 1. В точке, которой мы сейчас достигли, мы предполагаемся обладающими сериями или группами определенного рода, лежащими в основе, как можно сказать, и формирующими фундамент, на котором должна быть воздвигнута наука о вероятности. Мы описали с достаточной подробностью характеристики такой серии и указали процесс, посредством которого она, как правило, фактически вызывается в природе. Следующие вопросы, которые должны быть последовательно заданы, таковы: как в любом конкретном случае мы должны установить их существование и определить их особый характер и свойства? и во-вторых, [1] когда мы получили их, каким образом они должны быть использованы для логических целей?

Ответ на этот вопрос не кажется сложным. Опыт — наш единственный проводник. Если мы хотим обнаружить то, что в действительности является серией вещей, а не серией наших собственных представлений, мы должны обратиться к самим вещам, чтобы получить его, ибо в другом месте мы не найдем большой помощи. Мы не можем сказать, сколько людей родится или умрет за год, или сколько домов сгорит или кораблей потерпит крушение, не подсчитав их на самом деле. Когда мы говорим об «опыте» таким образом, мы подразумеваем использование этого термина в его самом широком значении; мы подразумеваем опыт, дополненный всеми вспомогательными средствами, которые может предоставить индуктивная или дедуктивная логика. Когда, например, мы находим серию, которая включает числа людей определенного класса, умирающих в последовательные годы, мы без колебаний распространяем ее на некоторое время в будущее, так же как и в прошлое. Обоснование такой процедуры следует искать в обычных канонах индукции. Поскольку специальное обсуждение связи между вероятностью и индукцией будет приведено далее, здесь больше не нужно ничего говорить по этому предмету; но там не будет найдено ничего, что противоречило бы только что сделанному утверждению о том, что серии, которые мы используем, в конечном счете получаются только из опыта.

§ 2. Во многих случаях, несомненно, верно, что мы вовсе не прибегаем к прямому опыту. Если я хочу узнать, каков мой шанс получить десять козырей в игре в вист, я не спрашиваю, как часто такое случалось раньше. Если бы все жители земного шара разделились на партии для игры в вист, им пришлось бы продолжать это в течение многих лет, если бы они хотели удовлетворительно решить этот вопрос таким образом. Конечно, мы делаем то, что алгебраически вычисляем пропорцию возможных комбинаций, в которых могут встретиться десять козырей, и принимаем это как ответ на нашу задачу. Так же, если бы я хотел узнать шанс выпадения шестерки на игральной кости, грани которой неравны, возник бы вопрос, не будет ли моим лучшим способом геометрически вычислить телесный угол, стягиваемый противоположной гранью в центре тяжести, и отношение этого угла ко всей поверхности сферы достаточно точно представляло бы требуемый шанс.

Совершенно верно, что в таких примерах, как приведенные выше, особенно в первом, никто никогда не подумал бы обращаться к статистике. Это был бы утомительный процесс, когда, как здесь, механические и другие условия, от которых зависит возникновение событий, сравнительно немногочисленны, детерминированы и допускают изолированное рассмотрение, в то время как огромное число комбинаций, которые могут быть построены из них, вызывает огромное последующее многообразие способов, которыми события могут произойти. Следовательно, на практике определение априори часто бывает легким, тогда как обращение к опыту апостериори было бы не просто утомительным, но совершенно невыполнимым. Это, в сочетании с частой простотой и привлекательностью таких примеров при дедуктивном рассмотрении, сделало их очень популярными и создало во многих кругах впечатление, что они являются надлежащими типичными примерами для иллюстрации теории вероятностей. В то время как, если бы наука занималась только теми видами событий, которые на практике обычно становятся предметом страхования, вероятно, никогда не возникло бы иного взгляда, кроме того, что она основана на прямом обращении к опыту.

§ 3. Однако, присмотревшись внимательнее, мы обнаружим, что нет повода для столь резкого различия, как то, которое, по-видимому, подразумевается между двумя классами только что указанных примеров. Даже в таких случаях, как игральные кости и карты, в которых мы, кажется, рассуждаем непосредственно исходя из определяющих условий или возможного разнообразия событий, а не из фактического наблюдения их появления, мы обнаружим, что эта процедура действительна только при помощи молчаливого предположения, которое никогда не может быть определено иначе, чем прямым опытом. Это, несомненно, чрезвычайно естественное и очевидное предположение, которое постоянно получает новый вес из повседневных наблюдений, но оно не должно приниматься без рассмотрения. Поскольку это очень важный вопрос, не столько сам по себе, сколько в связи с тем светом, который он проливает на теорию предмета, мы проведем его несколько более детальное исследование.

Возьмем очень простой пример — подбрасывание монеты. Предположим, я рассматриваю последовательность из двух бросков; я вижу, что единственно возможные события — это [2] ОР, ОО, РО, РР. Это достоверно. Более того, мы достаточно хорошо убеждены из опыта, что эти события происходят в долгосрочной перспективе примерно одинаково часто. Это, конечно, признается всеми. Но согласно общепринятому взгляду утверждается, что мы могли бы знать этот факт заранее на основаниях, применимых к неопределенному числу других и более сложных случаев. Форма, в которой этот взгляд обычно выдвигается, заключается в том, что мы способны заранее утверждать, что четыре вышеупомянутых броска «равновероятны». Если в ответ мы спросим, что подразумевается под выражением «равновероятны», оказывается, что существуют два и только два возможных вида ответа. Один из них ищет объяснение в состоянии ума наблюдателя, другой ищет его в какой-то характеристике наблюдаемых вещей.

(1) Можно, например, сказать, с одной стороны, что имеется в виду, что четыре рассматриваемых события одинаково легко представить, или, точнее, что наше ожидание или вера в их возникновение равны. Мы вряд ли могли бы удовлетвориться этим ответом, ибо немедленно возник бы дальнейший вопрос: на каком основании в это следует верить? Каковы характеристики событий, ожидание которых у нас равно? Если бы мы согласились дать ответ на этот дальнейший вопрос, мы пришли бы ко второй форме ответа, которую рассмотрим непосредственно; если бы мы не согласились, мы, по-видимому, признали бы, что вероятность — это лишь часть психологии, ограниченная поэтому рассмотрением состояний ума самих по себе, а не в их отношении к фактам, т.е. как истинных или ложных. То есть мы перестали бы делать ее наукой о выводе относительно вещей. Этот момент придется более тщательно рассмотреть в другой главе; но невозможно слишком акцентировать внимание на том факте, что логика (а следовательно, и вероятность как отрасль логики) занимается не тем, во что люди верят, а тем, во что они должны верить, если хотят верить правильно.

(2) В другой форме ответа объяснение рассматриваемой фразы искалось бы не в состоянии ума, а в качестве рассматриваемых вещей. Мы могли бы приписать следующее значение, а именно: что события действительно происходили бы с равной частотой в долгосрочной перспективе. Основание этого утверждения, вероятно, было бы найдено в прошлом опыте, и, несомненно, было бы невозможно сформулировать ответ так, чтобы полностью исключить понятие нашей веры. Но все же существует широкое различие между поиском равенства в степени нашей веры, как прежде, и в частоте возникновения самих событий, как здесь.

§ 4. Когда мы дошли до этого, можно легко показать, что обращения к опыту нельзя долго избегать. Ибо можно ли с уверенностью сделать утверждение (а именно, что броски монеты будут происходить одинаково часто) априори? Те, кто считает, что можно, кажется, не полностью осознали трудности, с которыми они сталкиваются. Ибо, когда мы начинаем серьезно спрашивать, будет ли монета действительно делать то, что от нее ожидается, мы обнаруживаем, что необходимо ввести ограничения. Во-первых, это должна быть идеальная монета, с равными и честными сторонами. Это ограничение вполне понятно; изучение стереометрии позволяет нам идеализировать монету в круговую или цилиндрическую пластинку. Но этого условия самого по себе недостаточно, нужны и другие. Предполагалось, что монета подбрасывается, как мы говорим, «случайно». Что под этим подразумевается и как этот процесс можно идеализировать? Спрашивать об этом — значит не вводить праздную тонкость; ибо вряд ли можно было бы утверждать, что орлы и решки получили бы свои честные шансы, если бы непосредственно перед броском мы поместили монету в руки так, чтобы всегда начинать одной и той же стороной вверх. Разница, которая возникла бы в результате, какой бы незначительной ни была ее причина, со временем имела бы тенденцию проявиться в результатах. Или, если бы мы упорно начинали с каждой из двух сторон попеременно вверх, получили бы более длительные повторения одной и той же стороны свой честный шанс?

Возможно, ответят, что если мы вообще не будем думать об этих вещах, все уладится само собой. Это может быть, и, несомненно, так и будет, но это возврат к опыту. Именно здесь мы обнаруживаем, что опираемся на вышеупомянутое экспериментальное предположение, которого, действительно, нельзя избежать. Ибо предположим, наконец, что обстоятельства природы или мое физическое или психическое устройство были таковы, что одна и та же сторона всегда начинает движение вверх, или, действительно, что они начинаются в любом произвольном порядке по нашему усмотрению? Что ж, ответят, тогда это не было бы честным испытанием. Если мы будем настаивать таким образом на ответе на такие вопросы, мы обнаружим, что эти молчаливые ограничения — не что иное, как способ обеспечения экспериментального результата. Это лишь другой способ сказать: пусть серия действий будет выполнена таким образом, чтобы обеспечить последовательность определенного рода, а именно, того рода, который описан в предыдущих главах.

§ 5. Промежуточный способ избежать прямого обращения к опыту иногда находится путем определения вероятности события как измеряемой отношением числа случаев, благоприятных для события, к общему числу возможных случаев. Это кажется несколько расплывчатым и двусмысленным способом выражения. Ясно, что недостаточно просто подсчитать число случаев, их необходимо также оценить, поскольку не факт, что каждый из них одинаково эффективен в производстве эффекта. Это, конечно, никогда не будет отрицаться, но, по-видимому, не придается достаточного значения тому факту, что у нас действительно нет другого способа оценить их, кроме как путем оценки эффектов, которые они действительно производят или произвели бы. Вместо того чтобы таким образом апеллировать к пропорции случаев, благоприятных для события, гораздо лучше (по крайней мере, что касается основ науки, ибо мы в данный момент не обсуждаем практический метод облегчения наших вычислений) сразу апеллировать к пропорции случаев, в которых событие действительно происходит.

§ 6. Вышеприведенные замечания, конечно, применимы к большинству других распространенных примеров случайности: бросанию костей, вытягиванию карт, шаров из мешков и т. д. В последнем случае, например, человек естественно был бы склонен предположить, что шар, который только что положили обратно, тем самым будет иметь больше шансов выйти снова в следующий раз, поскольку он будет более «под рукой» для этой цели. Как это предотвратить? Если мы намеренно протолкнем его в середину или на дно остальных, мы можем перестараться с предосторожностью; и в любом случае мы вводим человеческий замысел, этот элемент, столь существенно враждебный всему, что мы понимаем под случайностью. Если мы доверимся тому, что хорошее встряхивание исправит дело, мы можем легко обмануться; ибо встряхивание мешка вряд ли может сделать больше, чем уменьшить склонность тех шаров, которые уже находились по соседству друг с другом, оставаться таковыми. В последующем взаимодействии каждого со всеми расположение, в котором они начинают, не может не оставить свой отпечаток в некоторой степени на их окончательных позициях. Во всех таких случаях, следовательно, если мы проанализируем наш язык, мы обнаружим, что любой предполагаемый априорный способ постановки задачи — не что иное, как краткий способ сказать: пусть будут приняты меры для получения заданного результата. Поскольку именно на этом результате в конечном счете основываются наши выводы, кажется более простым и философским сразу апеллировать к нему как к основе нашей науки.

§ 7. Возьмем снова пример подбрасывания монеты и исследуем его несколько более детально, чтобы увидеть, что можно действительно доказать относительно результатов, которые мы получим. Мы готовы дать монетам честное обращение, предположив, что они совершенны, то есть что в долгосрочной перспективе они не проявляют предпочтения ни к орлу, ни к решке; тогда остается вопрос: получат ли повторения одной и той же стороны пропорциональные доли, на которые они имеют право согласно обычным интерпретациям теории? Полагая тогда, как и прежде, для краткости, О для орла, и ОО для орлов два раза подряд, мы приходим к такому вопросу: если шанс О равен 1/2, следует ли из этого обязательно, что шанс ОО (с двумя монетами) равен 1/4? Не говоря уже об «О десять раз», встречающемся один раз в 1024 раза (с десятью монетами), должно ли оно вообще встречаться? Математики, по большей части, по-видимому, думают, что этот вывод с необходимостью следует из первых принципов; мне же кажется, что он основывается не на более достоверных доказательствах, чем разумное расширение путем индукции.

Взяв тогда возможные результаты, которые можно получить от пары монет, что мы обнаружим? Могут последовать четыре различных результата, а именно: (1) ОР, (2) ОО, (3) РО, (4) РР. Если можно доказать, что эти четыре равновероятны, то есть встречаются одинаково часто, то общепринятые выводы последуют, ибо точно такой же аргумент был бы применим ко всем большим числам.

§ 8. Доказательство, обычно выдвигаемое, использует то, что называется принципом достаточного основания. Оно принимает такую форму: здесь есть четыре вида бросков, которые могут произойти; однажды признав, что отдельные элементы их, а именно О и Р, встречаются одинаково часто, отсюда следует, что вышеуказанные комбинации также будут встречаться одинаково часто, ибо нельзя привести никакой причины в пользу одной из них, которая не была бы в равной степени справедлива в пользу других.

В некоторой степени мы должны признать справедливость этого принципа для данной цели. В случае бросков, приведенных выше, было бы справедливо доказать равную частоту (1) и (3), а также (2) и (4); ибо между этими парами нет никакой разницы, кроме той, что внесена нашей собственной нотацией. [3] РО — это то же самое, что ОР, за исключением порядка появления символов О и Р, который мы не принимаем во внимание. Но любая из пар (1) и (3) отличается от любой из пар (2) и (4). Переставьте нотацию, и здесь все равно останется различие, которое ум может распознать. Последовательность одной и той же вещи дважды подряд отличается от соединения двух разных вещей различием, которое не зависит только от нашей произвольной нотации и осталось бы совершенно неизменным при изменении этой нотации. Принцип достаточного основания, следовательно, если его допустить, доказал бы только то, что дуплеты двух видов, например (2) и (4), встречаются одинаково часто, но он не доказал бы, что каждый из них должен встречаться один раз из четырех. Действительно, таким способом нельзя доказать, что они вообще должны когда-либо встречаться.

§ 9. Формула, следовательно, не будучи доказуемой априори (как можно было бы заключить), может ли она быть получена из опыта? В некоторой степени может; нынешний опыт человечества с монетами и костями, по-видимому, показывает, что меньшие последовательности бросков действительно встречаются примерно в пропорциях, предписанных теорией. Но насколько близко они это делают, никто не может сказать, ибо количество времени и труда, которые нужно затратить, прежде чем мы сможем почувствовать, что проверили этот факт даже для малых чисел, очень велико, тогда как для больших чисел оно было бы просто невыносимым. Эксперимент с бросанием достаточно часто, чтобы получить «орлов десять раз», был фактически проведен двумя или тремя лицами, и результаты приведены Де Морганом и Джевонсом. [4] Это, однако, будучи достаточным в среднем только для того, чтобы дать «орлам десять раз» один шанс, доказательство очень слабое; потребовалось бы значительное число таких экспериментов, чтобы почти полностью прояснить этот вопрос.

Любое такое правило, как то, которое мы только что обсуждали, которое претендует на описание того, что произойдет в длинной последовательности бросков, окончательно подтверждается опытом только в очень узких пределах, то есть для малых повторений одной и той же стороны; в пределах менее узких, действительно, мы чувствуем уверенность, что правило не может быть грубо ошибочным, иначе вариация почти наверняка была бы обнаружена. Из этого мы чувствуем сильную склонность сделать вывод, что тот же закон будет соблюдаться повсюду. Другими словами, мы склонны распространять правило путем индукции и аналогии. Тем не менее, в природе существует так много примеров предлагаемых законов, которые соблюдаются в узких пределах, но сильно сбиваются с пути, когда мы пытаемся довести их до больших длин, что мы должны дать в лучшем случае лишь квалифицированное согласие с истинностью формулы.

§ 10. Цель вышеприведенного рассуждения — просто показать, что мы не можем быть уверены в истинности правила. Давайте теперь на минуту обратимся к рассмотрению причин, которыми порождается последовательность орлов и решек, и, возможно, мы увидим причины, которые заставят нас еще больше сомневаться.

Уже было указано, что при расчете вероятностей априори, как это называется, мы способны сделать это только путем введения ограничений и предположений, которые в действительности равносильны принятию ожидаемых результатов. Мы используем слова, которые в строгом смысле означают: пусть будет выполнен заданный процесс; но анализ нашего языка и исследование различных молчаливых предположений, которые дают о себе знать, как только они не соблюдаются, вскоре показывают, что наш реальный смысл: пусть будет получена серия заданного рода; именно к этой серии, а не к условиям ее производства, правильно применяются все наши последующие вычисления. Физический процесс выполнен, мы хотим знать, будет ли действительно получено что-либо, напоминающее рассматриваемую серию.

Теперь, если бы монета неизменно устанавливалась одной и той же стороной вверх и подбрасывалась с одной и той же скоростью вращения и на одну и ту же высоту и т. д. — одним словом, подвергалась одним и тем же условиям, — она всегда падала бы одной и той же стороной вверх. Практически мы знаем, что ничего подобного не происходит, ибо индивидуальные вариации в результатах бросков бесконечны. Тем не менее, будет существовать среднее значение этих условий, вокруг которого броски, как обнаружится, будут группироваться гораздо плотнее, чем где-либо еще. Поэтому мы были бы склонны сделать вывод, что если бы одна и та же сторона всегда устанавливалась вверх, действительно имело бы место отклонение от того рода серии, который мы обычно ожидаем. В очень большом числе бросков мы, вероятно, начали бы обнаруживать при таких обстоятельствах, что либо орел, либо решка имеют предпочтение. Если так, не обнаружились бы подобные эффекты, связанные с тем, как мы начинали каждую последовательную пару бросков? В зависимости от того, решили ли мы взять за правило ставить ОО или РР вверх, не могло бы возникнуть нарушение в пропорции последовательностей двух орлов или двух решек? Следуя этому ходу рассуждений, казалось бы, с некоторой вероятностью можно указать на вывод, что для получения серии того рода, который мы ожидаем, нам пришлось бы расположить антецеденты в аналогичной серии в самом начале. Изменения и случайности, порождаемые актом подбрасывания, могли бы внести бесконечные индивидуальные вариации, и все же в очень долгосрочной перспективе могло бы обнаружиться тесное сходство между этими двумя сериями.

§ 11. Это, в некоторой степени, лишь перекладывание трудности, признаю; ибо утверждение, ранее выдвинутое о возможности доказательства пропорций бросков в первой серии, вероятно, теперь будет повторено в пользу таковых во второй. Тем не менее, вопрос очень сильно сужен, ибо мы свели его к серии добровольных актов. Человек может поставить любой стороной вверх, какой пожелает. Он может действовать сознательно, как я сказал, или он может вообще ни о чем не думать, то есть бросать случайно; если так, то многими, вероятно, будет утверждаться, что он непроизвольно произведет серию рассматриваемого рода. Может быть, так, а может, и нет; не кажется, что существуют какие-либо легкодоступные данные, с помощью которых можно было бы решить. Все, что меня здесь заботит, — это показать вероятность того, что общепринятый результат в действительности зависит от выполнения определенного условия в самом начале, условия, которое, безусловно, является опциональным для любого, выполнять его или нет, как он пожелает. Короткие последовательности, несомненно, позаботятся о себе сами, благодаря бесконечным осложнениям, порождаемым случайными вариациями при подбрасывании; но длинные могут пострадать, если их интерес не будет сознательно или бессознательно учтен в самом начале.

§ 12. Совет: «Просто пробуй достаточно долго, и рано или поздно ты получишь любой результат, который возможен», правдоподобен, но он основывается только на индукции и аналогии; математика этого не доказывает. Как неоднократно заявлялось, существуют два различных взгляда на предмет. Либо мы можем, с одной стороны, взять серию символов, назвать их орлами и решками; О, Р и т. д.; и сделать предположение, что каждый из них, и каждая пара из них, и так далее, будут встречаться в долгосрочной перспективе с регулируемой степенью частоты. Мы можем затем вычислить их различные комбинации и последствия, которые могут быть извлечены из принятых данных. Это чисто алгебраический процесс; он непогрешим; и нет никакого предела тому, до какой степени он может быть доведен. Этот способ рассмотрения предмета может быть, и, несомненно, должен быть, не чем иным, как аналогом того, что я назвал замещенной или идеализированной серией, которая обычно должна вводиться как основа нашего вычисления. Опасность, которой следует остерегаться, — это опасность рассмотрения ее слишком чисто как алгебраической концепции и, следовательно, погружения в очень естественные ошибки: как слишком легкого выведения ее из нашего собственного сознания, так и слишком свободного доведения ее до неоправданных длин.

Или, с другой стороны, мы можем считать, что мы имеем дело с поведением вещей — шаров, костей, рождений, смертей и т. д.; и делаем выводы о них. Но тогда то, что в первом случае было допустимыми предположениями, становится здесь положениями, которые должны быть проверены опытом. Теперь вся теория вероятностей как практическая наука, фактически как нечто большее, чем алгебраическая истина, зависит, конечно, от наличия тесного соответствия между этими двумя взглядами на предмет, другими словами, от того, чтобы наша замещенная серия поддерживалась в соответствии с фактической серией. Опыт в изобилии доказывает, что в значительных пределах, в рассматриваемом примере, такое соответствие существует. Но пусть никто не пытается принудить нас к согласию с каждым отдаленным выводом, который математики могут сделать из своих формул. Когда предпринимается такая попытка, только что проведенное различие становится заметным и важным, и мы должны выбрать свою сторону. Либо мы переходим на сторону математики и тем самым теряем всякое право на дискуссию о вещах; либо мы принимаем сторону вещей и тем самым бросаем вызов математике. Мы не ставим под сомнение формальную точность последней в ее собственной области, но либо мы отбрасываем ее как несколько неуместную, как применяемую к данным, в правильности которых мы не можем быть уверены, либо мы берем на себя свободу переделывать ее так, чтобы привести в соответствие с фактами.

§ 13. Критика любой доктрины вряд ли может считаться выполнением более чем половины своего долга, когда он объяснил и обосновал свои основания для возражения против нее. Ему еще остается указать, пусть даже в нескольких словах, что он считает ее законными функциями и положением, ибо редко может случиться, что он рассматривает ее как абсолютно бесполезную или бессмысленную. Я сказал бы, следовательно, что когда вероятность таким образом отделена от прямой отсылки к объектам, как это по существу и происходит, поскольку она не основана на опыте, она просто сводится к обычной алгебраической или арифметической доктрине перестановок и комбинаций. [5] Соображения, от которых они зависят, чисто формальны и необходимы, и могут быть полностью продуманы без какого-либо обращения к опыту. Мы начинаем там с чистых соображений числа или величины, и заканчиваем ими, имея только арифметические вычисления, чтобы соединить их вместе. Я хочу, например, найти шанс выпадения орлов три раза подряд с монетой. Все, что мне нужно сделать, — это сначала установить возможное число бросков. Перестановки говорят мне, что с двумя вещами, таким образом, в вопросе (а именно, орел и решка) и тремя разами выполнения процесса, существует восемь возможных форм результата. Из этих восьми только одна является благоприятной, шанс в вопросе объявляется равным одной восьмой.

Хотя совершенно верно, что фактический расчет каждой вероятностной задачи должен быть вышеуказанного характера, т.е. алгебраическим или арифметическим процессом, все же, как мне кажется, существует широкое и важное различие между материальной наукой, которая использует математику, и формальной, которая состоит из ничего, кроме математики. Когда мы отрезаем себя от необходимости какого-либо обращения к опыту, мы сохраняем только промежуточную или вычислительную часть исследования; мы можем говорить о костях, или монетах, или картах, но это на самом деле только имена, которые мы выбираем для наших символов. О и Р, с которыми мы имеем дело, не имеют отношения к объективным событиям, а подобны x и y, с которыми имеет дело остальная алгебра. Вероятность, фактически, при таком обращении, кажется, является абсолютно ничем иным, как системой прикладных перестановок и комбинаций.

Теперь легко будет увидеть, насколько узок круг случаев, к которым может быть применен любой чисто дедуктивный метод лечения. Он почти полностью ограничен такими применениями, как азартные игры, и, как уже указывалось, может считаться действительно заслуживающим доверия даже там только с помощью различных молчаливых ограничений. Одно это было бы решающим аргументом против того, чтобы теория предмета основывалась на такой базе. Экспериментальный метод, с другой стороны, в том же теоретическом смысле, является универсально применимым. Он включал бы обычные задачи, предоставляемые азартными играми, а также те, где кости нагружены, а монеты не идеальны, а также бесконечно многочисленные применения статистики к различным видам социальных явлений.

§ 14. Конкретный взгляд на дедуктивный характер вероятности, обсуждавшийся выше, вряд ли мог проникнуть в какие-либо другие примеры, кроме тех, что имеют природу азартных игр, в которых условия возникновения сравнительно немногочисленны и просты и поддаются точному числовому определению. Но доктрина, которая в действительности является немногим большим, чем та же теория в слегка замаскированной форме, очень распространена и была применена к истинам самого чисто эмпирического характера. Эта доктрина будет лучше всего представлена цитатой из Лапласа. После разговора о нерегулярности и неопределенности природы, какой она кажется на первый взгляд, он продолжает замечать, что когда мы смотрим ближе, мы начинаем обнаруживать «поразительную регулярность, которая, кажется, предполагает замысел и которую некоторые считали доказательством Провидения. Но при размышлении вскоре замечается, что эта регулярность — не что иное, как развитие соответствующих вероятностей простых событий, которые должны происходить чаще по мере того, как они более вероятны». [6]

Если бы это замечание было сделано о последовательности орлов и решек при подбрасывании монеты, оно было бы понятным. Оно просто означало бы следующее: что устройство тела было таково, что мы могли с некоторой уверенностью предвидеть, каким будет результат, когда с ним обращаются определенным образом, и что опыт оправдал бы наше предвидение в долгосрочной перспективе. Но примененное, как оно есть, в более общей форме к фактам природы, оно, кажется, действительно имеет мало смысла. Давайте проверим его на примере. Среди нерегулярности индивидуальных рождений мы обнаруживаем, что мальчиков по отношению к девочкам в долгосрочной перспективе примерно в пропорции 106 к 100. Теперь, если бы нам сказали, что в этом нет ничего, кроме «развития их соответствующих вероятностей», было бы в таком утверждении что-либо, кроме несколько претенциозного пересказа уже утвержденного факта? Вероятность — это не что иное, как эта пропорция, и, несомненно, в данном случае она получена не из иного источника, кроме самой статистики; в вышеприведенном замечании, кажется, делается попытка инвертировать этот процесс и вывести последовательность событий из простого числового утверждения пропорций, в которых они происходят.

§ 15. Очень вероятно, ответят, что под вероятностью, упомянутой выше, подразумевается не просто числовая пропорция между рождениями, а какой-то факт в нашем устройстве, от которого зависит эта пропорция; что точно так же, как существовало отношение равенства между двумя сторонами монеты, которое порождало окончательное равенство в числе орлов и решек, так может быть что-то в нашем устройстве или обстоятельствах в пропорции 106 к 100, что порождает наблюдаемый статистический результат. Когда это «что-то», чем бы оно ни было, было обнаружено, наблюдаемые числа могли бы считаться способными быть определенными заранее. Даже если бы это было так, однако, не следует забывать, что в сочетании с такими причинами вряд ли могли бы не существовать другие сопутствующие условия для производства окончательного результата; точно так же, как помимо формы монеты, нам приходилось учитывать природу «случайности», с которой она подбрасывалась. Что это может быть, никто в настоящее время не может взяться сказать, ибо лучшие физиологи, кажется, не склонны рисковать даже догадкой по этому предмету. [7] Но не вдаваясь в подробности, можно с некоторой уверенностью утверждать, что эти условия вряд ли могут быть полностью независимыми от здоровья, обстоятельств, нравов и обычаев и т. д. (выражаясь самым расплывчатым образом) родителей; и если однажды эти влияющие элементы введены, даже как очень незначительные факторы, результаты перестают зависеть только от фиксированных и постоянных условий. Мы сразу впускаем другие условия, которые, если они также обладают характеристиками, отличающими вероятность (чрезвычайно сомнительное предположение), должны иметь этот факт специально доказанным относительно них. То, что это должно быть так, действительно кажется не просто сомнительным, но почти наверняка невозможным; ибо эти условия, участвующие в природе того, что мы называем в целом прогрессом и цивилизацией, не могут ожидать проявления какой-либо постоянной склонности к колебаниям вокруг среднего значения.

§ 16. Читатель, знакомый с вероятностью, конечно, знаком со знаменитой теоремой Якова Бернулли. Эта теорема, примерами которой являются только что приведенные примеры, обычно выражается примерно так: в долгосрочной перспективе все события будут стремиться происходить с относительной частотой, пропорциональной их объективным вероятностям. С математическим доказательством этой теоремы нам не нужно утруждать себя, так как оно лежит вне области этой работы; но, действительно, если есть какая-то ценность в вышеприведенной критике, основа, на которой покоится математика, ошибочна из-за того, что на самом деле нет ничего, что мы могли бы с полным правом назвать объективной вероятностью.

Если можно судить по интерпретации и использованию, которым иногда подвергается эта теорема, мы должны рассматривать ее как один из последних оставшихся реликтов реализма, который, будучи изгнанным в других местах, все еще умудряется задерживаться в отдаленной провинции вероятности. Это было бы иллюстрацией вкоренившейся склонности объективировать наши концепции, даже в тех случаях, когда концепции не имели права на существование вообще. Наблюдается единообразие; иногда, как в азартных играх, оно оказывается настолько связанным с физическим устройством используемых тел, что может быть выведено заранее; хотя даже здесь связь отнюдь не так необходима, как обычно предполагается, из-за того факта, что в дополнение к этим телам самим по себе мы должны также учитывать их отношение к агентствам, которые на них влияют. Это устройство затем преобразуется в «объективную вероятность», которая, как предполагается, развивается в последовательность, демонстрирующую единообразие. Наконец, эта весьма сомнительная объективная вероятность принимается существующей, с той же способностью к развитию, во всех случаях, в которых наблюдается единообразие, как бы мало сходства ни было между ними и азартными играми.

§ 17. Насколько совершенно неуместна любая такая концепция в большинстве случаев, в которых мы находим статистическое единообразие, будет очевидно при минутном рассмотрении. Наблюдаемые явления обычно являются продуктом, в этих случаях, очень многочисленных и сложных антецедентов. Число преступлений, например, ежегодно совершаемых в любом обществе, является функцией, среди прочего, строгости закона, морали людей, их социального положения и бдительности полиции, причем каждый из этих элементов сам по себе почти бесконечно сложен. Теперь, как результат всех этих агентств, существует некоторая степень единообразия; но то, что было названо выше изменением типа, которое оно рано или поздно стремится проявить, безошибочно. Средние годовые числа не показывают устойчивого постепенного приближения к тому, что можно было бы считать в некотором смысле предельным значением, но, напротив, колеблются таким образом, который, как бы он ни зависел от причин, не показывает никакого постоянного единообразия, характерного для азартных игр. Этот факт, в сочетании с очевидной произвольностью выделения из многих и различных антецедентов, которые произвели наблюдаемую регулярность, лишь немногих, которые должны составлять объективную вероятность (если бы мы взяли все, события были бы абсолютно определены, не было бы повода для обращения к вероятности в этом случае), был бы достаточен, чтобы предотвратить кого-либо от предположения о существовании какой-либо такой вещи, если бы ошибочная аналогия других случаев не предрасположила его к поиску ее.

Существует знакомая практическая форма той же ошибки, склонность к которой, не исключено, может быть получена из аналогичного теоретического источника. Это склонность к продолжению накопления наших статистических данных в чрезмерной степени. Если бы тип был абсолютно фиксированным, мы не могли бы иметь слишком много статистики; чем дольше мы решали бы взять на себя труд их сбора, тем точнее были бы наши результаты. Но если тип меняется, другими словами, если некоторые из главных причин, которые помогают в их производстве, имеют, в отношении их нынешней степени интенсивности, строгие пределы времени или пространства, мы принесем вред, а не пользу, если переступим эти пределы. Опасность слишком ранней остановки легко увидеть, но, избегая ее, мы не должны впадать в противоположную ошибку слишком долгого продолжения и, таким образом, попадания постепенно или внезапно под влияние измененного набора обстоятельств.

§ 18. Эта глава предназначалась для рассмотрения не процессов, посредством которых природа производит серию, с которой мы имеем дело, а теоретической основы методов, с помощью которых мы можем определить существование таких серий. Но невозможно держать эти два исследования отдельно, ибо здесь, во всяком случае, преобладает старая максима, что для познания вещи мы должны знать ее причины. Вернитесь на минуту к соображениям последней главы. Мы увидели там, что существует большой класс событий, условия производства которых можно сказать состоящими из (1) сравнительно немногих почти неизменных элементов и (2) огромного числа независимых и очень изменчивых элементов. По крайней мере, если существовали какие-либо другие элементы, помимо этих, мы предполагаемся либо делать для них специальную скидку, либо опускать их из нашего исследования. Теперь в определенных случаях, таких как азартные игры, неизменные элементы могут без практической ошибки рассматриваться как действительно неизменные на протяжении любого диапазона времени и пространства. Следовательно, как результат, дедуктивный метод лечения становится в их случае сразу наиболее простым, естественным и убедительным; но, как дальнейшее следствие, статистика событий, если мы решим апеллировать к ней, может быть собрана ad libitum с все лучшим и лучшим приближением к истине. С другой стороны, во всех социальных применениях вероятности неизменные причины могут рассматриваться как действительно неизменные только при многих оговорках. Мы мало или ничего не знаем о них непосредственно; они часто в действительности многочисленны, неопределенны и изменчивы; и только под гарантией строгих ограничений времени и места мы можем с некоторой безопасностью приписать им достаточную фиксированность, чтобы оправдать нашу теорию. Следовательно, как результат, дедуктивный метод, под каким бы именем он ни шел, становится совершенно неприменимым как в теории, так и на практике; и, как дальнейшее следствие, обращение к статистике должно делаться с осторожностью, имея в виду, что мы принесем вред, а не пользу, если продолжим собирать слишком много ее.

§ 19. Результаты последних двух глав могут быть суммированы следующим образом: мы расширили концепцию серии, полученную в первой главе; ибо мы обнаружили, что эти серии по большей части представлены нам в группах. Эти группы при исследовании оказываются сформированными по приблизительно одному и тому же типу на протяжении очень широкого и разнообразного диапазона опыта; причины этого согласия мы обсудили и объяснили довольно подробно. Когда, однако, мы расширяем наше исследование, предполагая, что серии идут на очень большую длину, мы обнаруживаем, что они могут быть разделены на два класса, разделенных важными различиями. В одном из этих классов (содержащем результаты азартных игр) условия производства и, следовательно, законы статистического возникновения могут практически рассматриваться как абсолютно фиксированные; и степень расхождений от среднего значения, кажется, не знает конечного предела. В другом классе, напротив (содержащем основную массу обычных статистических исследований), условия производства варьируются с большей или меньшей быстротой, и так, следовательно, и результаты. Более того, часто невозможно, чтобы вариации от среднего значения превышали определенную величину. Первые мы можем назвать идеальными сериями. Только они демонстрируют требуемые характеристики с каким-либо близким приближением к точности, и чтобы сделать теорию предмета состоятельной, мы действительно должны заменить одну из этого рода одной из менее совершенных другого класса, когда последние находятся в обработке. Первый класс, однако, рассматривался слишком исключительно писателями по предмету; и концепции, подходящие только для них, а не всегда даже для них, были импортированы в другой класс. Именно таким образом поощрялась общая склонность к чрезмерному дедуктивному или априорному лечению науки.

1 Это последнее исследование принадлежит к тому, что можно назвать более чисто логической частью этого тома, и начинается в ходе Главы VI.

2 Для использования теми, кто не знаком с общей нотацией, применяемой в этом предмете, можно заметить, что ОО — это просто сокращенный способ сказать, что два последовательных броска монеты дают орла; ОР — что первый из них дает орла, а второй решку; и так далее с оставшимися символами.

3 Я пытаюсь трактовать это правило достаточного основания таким образом, чтобы оно было законным по мнению тех, кто его принимает, но, кажется, существуют очень большие сомнения, не вовлечено ли противоречие, когда мы пытаемся извлечь из него результаты. Если стороны абсолютно одинаковы, как может быть какая-либо разница между членами серии? Последовательность тогда кажется сведенной к тупому единообразию, простому повторению одной и той же вещи много раз; серия, которую мы рассматривали, исчезла. Если стороны не абсолютно одинаковы, что становится с применимостью правила?

4 Formal Logic, стр. 185. Principles of Science, стр. 208.

5 Тесная связь между этими предметами хорошо указана в названии трактата г-на Уитворта «Выбор и случай».

6 Essai Philosophique. Изд. 1825, стр. 74.

7 Одно время преобладало мнение (цитируемое и поддерживаемое, среди прочих, Кетле), что относительный возраст родителей имеет отношение к полу потомства. Если бы это было так, это вполне подтвердило бы вышеприведенные замечания. На самом деле следует заметить, что пропорция 106 к 100 не кажется отнюдь универсальной во всех странах или во все времена. Различные статистические таблицы по этому предмету см. Кетле, Physique Sociale, Том I. 166, 173, 238.

ГЛАВА V.

КОНЦЕПЦИЯ СЛУЧАЙНОСТИ И ЕЕ НАУЧНАЯ ОБРАБОТКА.

§ 1. Существует термин, часто встречающийся в трактатах по вероятности, который мы уже имели неоднократный повод использовать, а именно обозначение «случайный», применяемое к событию, как в выражении «случайное распределение». Научная концепция, вовлеченная в правильное использование этого термина, есть, я полагаю, не что иное, как концепция совокупного порядка и индивидуальной нерегулярности (или кажущейся нерегулярности), которая уже была описана в предыдущих главах. Краткое обсуждение требований к этой научной концепции и, в частности, природы и некоторых причин отхода от популярной концепции может послужить прояснению некоторых из основных оставшихся трудностей, которые сопровождают эту часть нашего предмета.

Первоначальное [1] и все еще популярное значение термина, конечно, широко отличается от научного. То, на что оно смотрит, — это происхождение, а не результаты случайного исполнения, и оно имеет отношение скорее к отдельному действию, чем к группе или серии действий. Таким образом, когда человек пускает стрелу «на удачу» или «случайно», мы имеем в виду только указать на бесцельный характер исполнения; мы противопоставляем его определенному намерению попасть в определенную цель. Но тем не менее верно, как уже указывалось, что мы можем применять процессы вывода к таким исполнениям, как эти, только тогда, когда мы рассматриваем их как способные к частому, или, скорее, к неопределенно расширенному повторению.

Начнем с иллюстрации. Пожалуй, лучший типичный пример, который мы можем дать научного значения случайного распределения, предоставляется расположением капель дождя во время ливня. Никто не может угадать, где в любой момент упадет капля, но мы знаем, что если мы выставим лист бумаги, он постепенно станет равномерно покрыт пятнами; и что если бы мы наметили любые две равные области на бумаге, они постепенно стремились бы быть пораженными одинаково часто.

§ 2. I. Любая попытка сделать выводы из предположения о случайном расположении должна постулировать возникновение этого конкретного состояния вещей на той или иной стадии. Но часто существует значительная трудность, приводящая иногда к некоторой произвольности, в решении конкретной стадии, на которой оно должно быть введено.

(1) Таким образом, во многих задачах, обсуждаемых математиками, мы смотрим так же полностью на полученные результаты и думаем так же мало о фактическом процессе, посредством которого они получены, как когда мы рассматриваем расположение капель дождя. Простым примером такого рода было бы следующее. Пешка, диаметр основания один дюйм, помещается случайно на шахматную доску, диаметр квадратов которой составляет один дюйм с четвертью: найти шанс того, что ее основание ляжет поперек одной из пересекающихся линий. Здесь мы можем представить пешки как бы пролитыми вертикально на доску, и вопрос в том, чтобы найти окончательную пропорцию тех, которые встречают граничную линию, к общему числу тех, которые падают. Задача поэтому становится чисто геометрической, а именно: определить отношение определенной области на доске ко всей области. Определение этого отношения — это все, что математик когда-либо принимает во внимание.

Теперь возьмите следующее. Прямой хрупкий стержень ломается случайно в двух местах: найти шанс того, что куски могут составить треугольник. [2] Поскольку единственным условием для составления треугольника из трех прямых линий является то, что каждая из двух должна быть больше третьей, задача, кажется, включает ту же общую концепцию, что и в предыдущем случае. Мы должны представить такие стержни, ломающиеся в одной паре точек за другой — никто не может сказать точно где, — но показывающие ту же окончательную тенденцию распределять эти точки по всей длине равномерно. Как и в последнем случае, математик не думает ни о чем, кроме этого окончательного результата, и не обращает внимания на процесс, посредством которого он может быть достигнут. Соответственно, задача снова сводится к задаче измерения, хотя и несколько более сложного характера.

§ 3. (2) В другом классе случаев мы должны созерцать промежуточный процесс, а не окончательный результат; но та же концепция должна быть введена здесь, хотя теперь она применяется к предыдущей стадии и, следовательно, в общем случае не будет применяться к последней.

Например: выстрел производится случайно из пушки, чей максимальный радиус действия (т.е. при угле возвышения 45°) составляет 3000 ярдов: каков шанс того, что фактическая дальность превысит 2000 ярдов? Окончательно равномерное (или случайное) распределение здесь обычно предполагается применимым к различным направлениям, в которых может быть наведена пушка; все возможные направления выше горизонта одинаково представлены в долгосрочной перспективе. Мы должны поэтому созерцать поверхность равномерного распределения, но это будет поверхность не земли, а полусферы, центр которой занят человеком, который стреляет. Окончательное распределение пуль в точках, где они ударяются о землю, не будет равномерным. Задача, фактически, состоит в том, чтобы открыть закон изменения плотности распределения.

Вышеприведенный метод, полагаю, является общепринятым при решении подобных задач. Однако нет никакой абсолютной необходимости в столь специфическом выборе. Безусловно, каждый волен утверждать, что его представление о случайности выстрела определяется утверждением о том, что человек должен начать, равновероятно повернувшись в любую сторону света, а затем поднять ружье под любым углом также равновероятно. Стадия окончательно равномерного распределения здесь отодвигается на шаг назад. Она приписывается не непосредственно поверхности воображаемой полусферы, а линиям высоты и азимута, проведенным на этой поверхности. Соответственно, распределение по самой полусфере теперь не будет равномерным — возникнет относительное сгущение к полюсу, — и итоговое распределение по земле будет не таким, как прежде.

§ 4. Трудности такого рода, возникающие из-за неопределенности относительно того, какую стадию следует выбрать в качестве стадии равномерного распределения, будут время от времени возникать. Например: пусть из книжного шкафа наугад берется книга; какова вероятность наткнуться на какой-то определенный том? Я едва ли знаю, как обычно рассматривался бы этот вопрос. Если бы мы поставили человека напротив середины полки и спросили, что обычно происходит на практике, предположив, что у него завязаны глаза, вряд ли можно сомневаться, что тома выбирались бы не с одинаковой частотой. Напротив, вероятно, что существовала бы тенденция к повышенной частоте выбора около центра, определяемого высотой его плеча, и (если он не левша) немного правее точки, находящейся прямо напротив его исходного положения.

Если бы этот вопрос стоило прорабатывать в таком ключе, мы бы зашли очень далеко. Подобно тому как мы представляли положение нашего стрелка (во втором предположении) определяемым двумя независимыми координатами с предполагаемой непрерывной и равной вероятностью, мы могли бы представить, что пытаемся разложить движения человека на определенное количество независимых составляющих. Мы могли бы предположить, что все различные направления от его исходной точки вдоль земли равновероятны, а когда он добирается до полок, случайное движение его руки регулируется по типу выстрела, произведенного наугад.

Вышесказанное было бы одним из способов постановки задачи. Но читатель поймет, что все, что я здесь предлагаю утверждать, заключается в том, что в этих, как и в любых подобных случаях, мы всегда сталкиваемся, при такой концепции «случайности», на той или иной стадии с этим постулатом об окончательной равномерности распределения по какой-то заданной величине: будь то время или пространство — линейное, поверхностное или объемное. Однако выбор стадии, на которой это должно применяться, может вызвать значительные трудности и даже произвол в выборе.

§ 5. Несколько лет назад в математическом разделе Educational Times (см., в частности, том VII) велась весьма интересная дискуссия по этому вопросу. Как нередко случается в математике, среди различных авторов существовало почти полное согласие относительно допущений, которые практически должны быть сделаны в любом конкретном случае, а следовательно, и относительно выводов, которые должны быть сделаны, в сочетании с весьма значительными расхождениями относительно аксиом и определений, которые следует использовать. Так, г-н М. У. Крофтон при существенном согласии г-на Вулхауса без колебаний заявил, что «наугад» имеет «очень ясное и определенное значение; значение, которое нельзя передать лучше, чем определением г-на Уилсона: «без какого-либо закона»; и только в этом смысле я намерен его использовать». Согласно любой научной интерпретации «закона», я бы сказал, что там, где нет закона, не может быть и вывода. Но окончательная тенденция к равенству распределения принимается как должное г-ном Крофтоном, как и кем-либо другим: фактически он делает это дедукцией из своего определения: «Поскольку эта бесконечная система параллелей проведена без какого-либо закона, они так же густо расположены вдоль любой части [общего] перпендикуляра, как и вдоль любой другой» (VII, стр. 85). Г-н Крофтон утверждает, что любой вид неравномерного распределения подразумевал бы закон: «Если бы точки [на плоскости] стремились стать более плотными в какой-то части плоскости, чем в другой, должен был бы существовать какой-то закон, притягивающий их туда» (там же, стр. 84). Тот же взгляд подкрепляется в его статье «Локальная вероятность» (в Phil. Trans., том 158). Безусловно, если они стремятся стать одинаково плотными, это точно такой же случай регулярности или закона.