«Анализ материи»

Но что мы скажем об электронах? Являются ли они физическими реальностями, или они являются математическими удобствами, подобно точкам? Или они являются чем-то промежуточным между этими двумя крайностями? Мы думаем о световом луче как о ряде событий; является ли электрон, возможно, чем-то подобным? Но световой луч также поднимает проблемы: он имеет определенную назначенную математическую структуру, но трудно сказать, что мы должны думать о математических терминах этой структуры. Раньше концепция поперечной волны в эфире казалась довольно ясной: эфир состоял из частиц, каждая из которых могла двигаться требуемым образом. Но в наши дни эфир стал бестелесным и неспособным к «движению» в каком-либо прямом смысле; конечно, немногие рискнули бы рассматривать его как состоящий из точечных частиц, подобно однородной жидкости из учебника по гидродинамике. Таким образом, световая волна стала структурой в воздухе, подобно генеалогическому древу, члены которого все воображаемые. Это иллюстрирует необходимость при описании структуры: термины так же важны, как и отношения, и мы не можем довольствоваться терминами, которые считаем фиктивными. Именно термины физической структуры будут занимать нас в настоящей главе.

Я дам название «партикулярии» предельным терминам физической структуры — предельным, я имею в виду, в отношении всего нашего нынешнего знания. «Партикулярия», то есть, будет чем-то, что вовлечено в физический мир просто через свои качества или свои отношения к другим вещам, никогда через свою структуру, если таковая имеется. Разница между поперечной волной и продольной волной — это разница структуры; поэтому ни одна из них не может быть «партикулярией» в техническом смысле, в котором я это имею в виду. Атом — это структура электронов и протонов; поэтому атом не является «партикулярией». Но когда я называю что-то «партикулярией», я не имею в виду утверждать, что она определенно не имеет структуры; я утверждаю только, что ничто в известных законах ее поведения и отношений не дает нам оснований предполагать структуру. С точки зрения логики, партикулярия выполняет определение «субстанции», которое мы дали в главе XXIII. Но она выполняет это определение только в существующем состоянии знания; дальнейшие открытия могут потребовать от нас признать структуру внутри нее, и тогда она перестанет выполнять определение субстанции. Это не фальсифицирует прежние утверждения относительно структуры мира, в которых рассматриваемая партикулярия принималась как неанализируемая; это просто добавляет новые предложения, в которых она больше так не рассматривается. Атомы раньше были партикуляриями; теперь они перестали ими быть. Но это не фальсифицировало химические предложения, которые могут быть сформулированы без учета их структуры. Слово «партикулярия», как определено выше, является, следовательно, словом, относительным к нашему знанию, а не абсолютным метафизическим термином.

Давайте начнем с нескольких общих соображений относительно нашего знания структуры. Часть этого знания достижима путем анализа перцептов, часть зависит от выводов, вовлекающих невоспринимаемые сущности. Я буду называть отношение «воспринимаемым» или «перцептуальным», если факт, что это отношение имеет место между определенными терминами, может быть обнаружен простым анализом перцептов. Таким образом, «до-и-после» — это перцептуальное отношение, когда оно происходит между терминами, оба из которых принадлежат «специозному настоящему». Пространственные отношения внутри визуального поля являются перцептуальными; таковы же отношения между одновременными тактильными ощущениями в разных частях тела. Тактильные ощущения в одной и той же части тела, скажем, кончике пальца, могут иметь воспринимаемые отношения, если оба находятся в пределах «специозного настоящего»; они должны быть важны при распознавании формы слепыми людьми. Существуют воспринимаемые отношения между перцептом и воспоминанием, которые заставляют нас относить последнее к прошлому. Существуют воспринимаемые отношения сравнения, которые иногда могут быть довольно сложными — например, «Сходство синего и зеленого больше, чем сходство синего и желтого». (Здесь синий, зеленый и желтый предполагаются как конкретные данные пятна цвета.) Существует также, я бы сказал, воспринимаемое отношение одновременности. Я не предполагаю, что вышеприведенный список является полным, но он указывает на виды случаев, в которых отношения могут быть восприняты.

Существует хорошо разрекламированный тип трудности в таких случаях, как анализ воспринимаемого движения. Если я двигаю рукой перед глазами слева направо и обращаю внимание на визуальный перцепт, он кажется качественно отличным от последовательных восприятий моей руки в ряде разных положений. На часах мы можем «видеть» движение секундной стрелки, но не минутной. Нет сомнения, что существует событие, которое мы естественно описываем как восприятие движения. Мы осознаем восприятие процесса: если я двигаю рукой слева направо, впечатление отличается от того, что оно есть, если я двигаю рукой справа налево, и каждому очевидно, что разница заключается в «смысле» движения. Мы можем, фактически, различить более ранние и более поздние части движения, так что движение не кажется лишенным структуры. Но части его кажутся другими движениями, которые, по-видимому, должны каждое иметь свою собственную структуру. Это ведет к понятию бесконечной делимости, основанной не на определимой структуре неделимых, а на процессе, в котором части всегда состоят из частей, подобных по структуре самим себе, и простые части нигде не достижимы. Парадоксы движения, антиномии, возражение Бергсона против анализа и настаивание философов на том, что канторов континуум не разрешает их трудностей, — все это происходит из этой одной головоломки, что движение кажется состоящим из движений — или, как говорит Кант, что пространство состоит из пространств.

Важно прояснить эту проблему анализа перцепта движения, поскольку она применяется ко всему восприятию изменения и считалась составляющей трудность в попытке гармонизировать психологию и физику. Начнем с того, что непрерывность в перцепте не является доказательством непрерывности в физическом процессе; легко произвести стаккато-процесс, который вызывает непрерывный (или кажущийся непрерывным) перцепт — например, в кино. Далее, примечательно, что если стаккато-физический процесс постепенно ускоряется, перцепт будет сохранять свой стаккато-характер дольше, если мы бодрствуем и имеем острые чувства, чем если мы сонные или имеем слабые чувства. Каждый знает опыт пробуждения от дремоты от бьющих часов: сначала шум удара кажется непрерывным. Поэтому является состоятельной гипотезой, если она желательна по другим причинам, утверждать, что все физические процессы являются стаккато, а непрерывность в перцептах — это просто случай расплывчатости, в смысле отношения «многие-к-одному» между стимулом и перцептом. Я не утверждаю такой взгляд; я только говорю, что он вписывается в то, что мы знаем об отношении между стимулом и перцептом в случае быстрых процессов. A fortiori, математический континуум, если бы он существовал в процессе стимула, произвел бы перцепты, которые мы называем непрерывными. Поэтому в нашем восприятии процесса нет ничего, что заставляло бы нас чувствовать, что математический анализ непрерывности должен быть неадекватным для физики, и также нет ничего, что показывало бы, что квантованное время и пространство не могли бы произвести тот вид перцептов, который мы называем «видением движения». Все физические возможности остаются открытыми, насколько это касается непосредственного характера перцепта.

Аргумент, выдвигаемый теми, кто делает упор на воспринимаемый характер перцептуальной непрерывности, однако, касается не природы физического стимула, а природы перцепта. Непрерывность перцепта, утверждают они, совершенно очевидно не является непрерывностью математического континуума, и также не является обманчивой видимостью непрерывности, которая существовала бы, если бы перцепт был быстрым стаккато-процессом. Говоря это, они, кажется мне, выходят за рамки того, что оправдывают доказательства. Рассмотрим случай, который аналогичен в некоторых отношениях, но не в других — а именно, случай слегка отличающихся оттенков цвета. Предположим, у нас есть ряд цветов A, B, C, D, ... таких, что каждый из них сенсорно неотличим от своего соседа, но не от остальных. То есть мы не можем увидеть разницу между A и B или между B и C, но мы можем увидеть разницу между A и C. Мы тогда вынуждены вывести разницу между A и B и между B и C, хотя мы не можем воспринять никакой разницы. В таком выводе нет теоретической трудности, ибо, хотя A, B и C являются перцептами, и разница между A и C является перцептом, нет причин, почему разницы между A и B и между B и C должны быть перцептами: отношения между перцептами иногда являются перцептами, а иногда нет. Теперь, вместо разных статических оттенков цвета, давайте предположим, что мы наблюдаем, как хамелеон постепенно меняется. Мы можем быть совершенно неспособны «увидеть» процесс изменения, и все же способны знать, что через некоторое время изменение произошло. Это произойдет, если, предполагая A и B быть оттенками в начале и конце специфического настоящего, A и B неотличимы, в то время как A вспоминаемое отличимо от B, когда B происходит. Предположение, которое мы должны сделать относительно воспринимаемого движения, не совсем аналогично этому, но имеет с ним определенные общие черты. Предположим, что мы воспринимаем движение в случае, где мы знаем, что физический стимул состоит из дискретного ряда, как в кино. Давайте предположим, что n этих стимулов могут быть включены в одно специфическое настоящее и что каждый производит элемент в перцепте. Тогда перцепт в один момент состоит из элементов e1, e2, ... en, которые расположены в порядке по степени затухания. Давайте предположим, что мы не можем отличить e1 от e2, ни e2 от e3, но что мы можем отличить e1 от e3. В этом случае наш текущий перцепт будет неотличим от перцепта непрерывного движения. Перцепт будет фактически содержать части, которые не являются процессами, но эти части будут невоспринимаемыми. Аналогия со случаем цветов возникает через существование в каждом случае ряда, в котором разницы соседних членов невоспринимаемы, в то время как разницы далеких членов воспринимаемы. И это выявляет важный принцип, что перцепт может иметь части, которые не являются перцептами, так что структура перцепта может быть обнаруживаема только путем вывода. Из этого также следует, что нам не нужно предполагать ничего таинственного относительно вида сложности, принадлежащей перцепту движения, но мы можем рассматривать его сложность как того же рода, что и сложность, принадлежащая стимулу согласно математической физике.

Я хочу теперь рассмотреть общий вопрос: как мы можем вывести структуру, когда она не воспринимается? Вышеприведенная дискуссия о движении включала частный случай такого вывода, но теперь я хочу рассмотреть проблему более общо.

По причинам, аналогичным тем, которые возникают при анализе движения, мы приходим к взгляду, что все наши перцепты состоят из невоспринимаемых частей. Мы можем, например, воспринимать кучу мелкого порошка и удалять всю кучу зерно за зерном, где на каждом этапе нет воспринимаемой разницы. Наш первоначальный перцепт мог иметь воспринимаемые части, но они были, по-видимому, всегда сложными. Не строго необходимо предполагать перцепты сложными; они могли бы образовывать ряд постепенно меняющегося качества. Но мы можем сказать, в некотором смысле, что разница A и C (предполагаемая воспринимаемой) слагается из разниц между A и B, и B и C (предполагаемых невоспринимаемыми). Таким образом, мы приходим практически к тому же результату в отношении качественных различий, который мы имеем в других отношениях в отношении существенных частей. Все такие аргументы покоятся в конечном счете на логической посылке, что точное подобие транзитивно, и эмпирической посылке, что неотличимость не транзитивна. Эти две вместе являются источником многих наших выводов относительно структуры.

Существует, однако, другой источник, извлеченный из каузальных аргументов. Обнаруживается, что два неотличимых перцепта сопровождаются разными результатами. Инвертируя максиму «та же причина, то же следствие», мы аргументируем: «Разные следствия, разные причины». Часто разница в причинах становится воспринимаемой под микроскопом; но мы предполагаем ее в любом случае. Именно это, больше, чем что-либо другое, привело к миниатюрности процессов, выводимых физикой. Существуют заметные различия в следствиях в случаях, где мы знаем, что разница в причинах, если она есть, должна быть очень мала; мы поэтому вынуждены приписать физическому миру структуру, которая является очень мелкозернистой относительно восприятия.

Необходимо рассмотреть очень обычную форму анализа на разнообразие «субстанции», потому что, по причинам, уже данным, мы не можем рассматривать эту форму анализа как предельную. Давайте возьмем самый элементарный из научных примеров: анализ воды на водород и кислород. Мы узнаем воду по группе характерных перцептов и процессов; по другой группе мы узнаем водород, и еще по одной — кислород. Мы обнаруживаем, что мы можем — например, путем электролиза — произвести водород и кислород там, где раньше была вода; мы обнаруживаем, что массы двух имеют фиксированную пропорцию друг к другу и в сумме дают массу предыдущей воды; мы обнаруживаем далее, что, если мы позволим им соединиться, вода вновь появляется, равная по количеству тому, что было потеряно при электролизе. Такие факты интерпретируются в науке с помощью постулата, что материя неразрушима. Если мы принимаем этот постулат, факты доказывают, что вода состоит из водорода и кислорода. Точно аналогичные аргументы ведут нас дальше от атомов к электронам и протонам, где, в настоящее время, процесс субстанциального анализа прекращается.

Не ставя под сомнение удобство субстанциального анализа, можно спросить, является ли он метафизически точным, и даже является ли он, на этапе, которого мы достигли, адекватным всем нуждам физики. Мы должны теперь рассмотреть аргументы по этому вопросу.

Что касается адекватности для физики: мы уже (в главе IV) дали краткий отчет о теории Гейзенберга, которая, по существу, разрешает электрон в ряд излучений. Мы также видели, что электроны и протоны теперь не предполагаются строго неразрушимыми, но многими считаются способными аннигилировать друг друга. Таким образом, неразрушимость материи больше не принимается как универсальный закон физического мира. С этим идет тот факт, что собственная масса не предполагается точно сохраняющейся, и что относительная масса была поглощена энергией. Масса предполагалась «количеством материи». Это, конечно, нельзя было сказать об относительной массе, которая зависит от выбора осей и принадлежит также световым волнам. И если это говорится о собственной массе, мы должны заключить, что «количество материи» не совсем постоянно. На всех этих основаниях устойчивые единицы материи, хотя все еще удобные, больше не имеют метафизического статуса, который, как предполагалось раньше, они имели.

Этот вывод подкрепляется аргументами экономии. Мы воспринимаем события, а не субстанции; иными словами, то, что мы воспринимаем, занимает объем пространства-времени, малый во всех четырех измерениях, а не бесконечно протяженный в одном измерении (времени). И то, что мы можем в первую очередь вывести из перцептов, предполагая справедливость физики, — это группы событий, а опять же не субстанции. Рассматривать группу событий как состояния «вещи», «субстанции» или «части материи» — лишь лингвистическое удобство. Этот вывод был первоначально сделан на основе логики, которую философы унаследовали от здравого смысла. Но логика была ошибочной, а вывод — излишним. Определяя «вещь» как группу того, что раньше назвали бы ее «состояниями», мы ничего не меняем в деталях физики и избегаем вывода, который столь же ненадежен, сколь и бесполезен.

Что же тогда нам сказать об анализе воды на водород и кислород? Мы скажем нечто подобное: вода для здравого смысла обладает определенной степенью постоянства: хотя лужи высыхают, море существует всегда. Это постоянство, интерпретируемое без использования «субстанции», означает определенные внутренние каузальные законы: поведение моря можно в значительной степени понять, наблюдая только за морем, не принимая во внимание другие вещи. Сходство в разных случаях — самый очевидный из этих приближенных каузальных законов. Но вода может превращаться в лед, снег или пар: здесь мы можем наблюдать постепенную трансформацию, и для здравого смысла непрерывность занимает место сходства. При любых изменениях мы обнаруживаем при исследовании, что существует некоторая непрерывность, подобная той, что между водой и льдом; таким образом, мы прослеживаем каузальную цепь, более или менее отделимую от других каузальных цепей и обладающую достаточным внутренним единством, чтобы рассматриваться как последовательные состояния одной «субстанции». Отбрасывая «субстанцию», мы сохраняем каузальную цепь, подставляя единство каузального процесса вместо материальной тождественности. Таким образом, постоянство субстанции заменяется постоянством каузальных законов, что, по сути, и было критерием, по которому распознавалась предполагаемая материальная тождественность. Мы сохраняем все, что было основание считать истинным, и отбрасываем лишь бесполезный кусок метафизики.

Анализ воды на водород и кислород представляет, следовательно, анализ одного приближенного каузального закона на два более точных каузальных закона. Если вы делаете вывод, что там, где вчера была вода, сегодня есть вода, вы используете каузальный закон, который не всегда верен. Если вы делаете вывод, что там, где были водород и кислород, есть водород и кислород (или, по крайней мере, что водород и кислород находятся в местах, соединенных непрерывным маршрутом с тем, где они были вчера), вы вряд ли ошибетесь, если только это место не находится по соседству с сэром Эрнестом Резерфордом. Предполагается (что в настоящее время верно лишь частично), что свойства воды можно вывести из свойств кислорода и водорода вместе со способом их соединения в молекулах воды. Таким образом, с помощью анализа вы получили каузальные законы, которые одновременно более истинны и более мощны, чем те, которые здравый смысл мог бы получить, предполагая, что все части воды были водой.

Можно сказать, что это характерное достоинство анализа в том виде, в каком он практикуется в науке: он позволяет нам прийти к такой структуре, при которой свойства сложного целого могут быть выведены из свойств его частей. И он позволяет нам прийти к законам, которые являются постоянными, а не просто временными и приближенными. Это идеал, пока лишь частично подтвержденный; но степень подтверждения вполне достаточна, чтобы оправдать построение наукой мира из мельчайших единиц.

Из сказанного о субстанции я делаю вывод, что наука имеет дело с группами «событий», а не с «вещами», имеющими изменяющиеся «состояния». Это также естественный вывод, который следует сделать из замены пространства и времени пространством-временем. Старое понятие субстанции было в некоторой степени уместным, пока мы могли верить в одно космическое время и одно космическое пространство; но оно не так легко вписывается, когда мы принимаем четырехмерную структуру пространства-времени. Поэтому в дальнейшем я буду исходить из того, что физический мир должен быть сконструирован из «событий», под которыми я практически понимаю, как уже объяснялось, сущности или структуры, занимающие область пространства-времени, малую во всех четырех измерениях. «События» могут иметь структуру, но удобно использовать слово «событие» в строгом смысле для обозначения чего-то, что, если и имеет структуру, то не имеет пространственно-временной структуры, т.е. у него нет частей, внешних друг другу в пространстве-времени. Я не предполагаю, что событие может когда-либо занимать только точку пространства-времени; построение «точек» из конечно протяженных событий составит предмет следующей главы. Я также не назначаю максимума для длительности события, хотя и считаю, что любое событие в широком смысле, которое длится более секунды, если оно является перцептом, может быть проанализировано в структуру событий. Но это лишь эмпирический факт.

Существуют определенные чисто логические принципы, полезные в отношении структуры. Когда мы имеем дело с выводимыми сущностями, о которых, как объяснялось в Части II, мы не знаем ничего, кроме структуры, можно сказать, что мы знаем уравнения, но не знаем, что они означают: пока они приводят к тем же результатам в отношении перцептов, все интерпретации одинаково законны. Возьмем пример. Предположим, у нас есть набор суждений об электроне, который мы назовем E. Согласно субъектно-предикатной логике и согласно взгляду, что материя есть субстанция, существует некая сущность S, которая упоминается во всех утверждениях об этом электроне. Согласно взгляду, который сводит электрон к ряду событий, рассматриваемые суждения будут проанализированы иначе. Предполагая некую схематическую простоту, мы могли бы изложить дело следующим образом: существует некое отношение R, которое иногда имеет место между событиями, и когда оно имеет место между E1 и E2, E1 и E2 называются событиями в биографии одного и того же электрона. Если E принадлежит полю R, «электрон, к которому принадлежит E» будет означать отношение R с его полем, ограниченным членами, принадлежащими к R-семейству E; а R-семейство E состоит из E вместе с членами, которые имеют отношение R к E, и членами, к которым E имеет отношение R. «Этот электрон» будет означать «электрон, к которому принадлежит это E». «Электрон» будет означать «ряд такой, что существует такое E, что этот ряд есть электрон, к которому принадлежит E». Чтобы упомянуть какой-то конкретный электрон, мы должны быть в состоянии упомянуть какое-то событие, связанное с ним, например, сцинтилляцию, когда он ударяется об определенный экран. Таким образом, вместо того чтобы говорить «событие E случилось с электроном S», мы будем говорить «событие E случилось с электроном, к которому принадлежит E», или, проще, «E принадлежит к R-семейству E». Формальные свойства пропозициональной функции «E принадлежит к R-семейству E» (R — константа) такие же, как у «E принадлежит электрону». Если мы хотим, чтобы любые два электрона были взаимно исключающими в том смысле, что ни одно событие не может случиться с обоими, мы можем обеспечить это, предположив, что если E имеет отношение R (или обратное отношение) к E1 и E2, то E1 принадлежит к R-семейству E2. Если мы этого не хотим, мы не делаем этого предположения относительно R. Именно из-за тождественности формальных свойств одна пропозициональная функция может быть заменена другой. Всякий раз, когда мы предлагаем новый взгляд на структуру, мы должны убедиться, что он не фальсифицирует ни одну из старых формул, хотя и может дать им новую интерпретацию.

Полезной может оказаться другая, более чисто логическая иллюстрация. Кажется естественным сказать, что любой данный оттенок цвета есть качество, т.е. что, говоря «это красное», мы говорим, что «это» обладает характеристикой, которую мы не можем выразить иначе, чем через предикат — предполагая на данный момент, что «красный» означает только один оттенок цвета. Но хотя это может быть правильным взглядом, нет логической необходимости полагать, что это так. Мы могли бы определить один оттенок цвета как «все цветные поверхности, которые имеют точное цветовое сходство с данной поверхностью». Таким образом, «это имеет цвет C» заменяется на «это есть один из класса сущностей, которые имеют точное цветовое сходство с C»; а «C есть цвет» будет заменено на «C есть класс всех сущностей, имеющих точное цветовое сходство с данной сущностью». В этом случае нельзя представить факты, которые дали бы основание предпочесть одну форму утверждения другой, поскольку любой установленный факт может быть интерпретирован одинаково хорошо в рамках любой теории.

У нас, по сути, есть нечто более или менее аналогичное произвольности координат в общей теории относительности. При условии, что наши символы имеют ту же интерпретацию, когда они применяются к перцептам, их интерпретация в других местах произвольна, поскольку, пока формулы остаются прежними, утверждаемая структура остается той же, какую бы интерпретацию мы ни дали. Структура, и ничего больше, — это именно то, что утверждается формулами, в которых значение терминов неизвестно, но чисто логические символы имеют определенные значения (см. главу XVII). Даже чисто логические символы в некоторой ограниченной степени произвольны, как мы видели в приведенном выше примере с цветами. Но часто, когда факты из разных областей должны быть приведены в связь, одна интерпретация гораздо проще другой. Часто также одна интерпретация включает меньше выводов, чем другая, и поэтому менее вероятно, что она ошибочна. Это основные мотивы, определяющие любую предложенную интерпретацию символов, встречающихся в математической физике.

СНОСКИ:

[58] Д-р К. Д. Броуд в книге «Разум и его место в природе» делает акцент на том, что он называет «эмерджентными» свойствами комплексов, т.е. такими, которые нельзя вывести из свойств и отношений частей. Я считаю, что «эмерджентные» свойства представляют собой лишь научную неполноту, которой не существовало бы в идеальной физике. Трудно привести какой-либо убедительный аргумент с любой стороны относительно окончательного характера кажущихся «эмерджентными» свойств, но я думаю, что мой взгляд подтверждается такими примерами, как объяснение химии через физику с помощью теории атомной структуры Резерфорда-Бора.

ГЛАВА XXVIII ПОСТРОЕНИЕ ТОЧЕК [59]

Предмет этой главы — то, что было с удивительной изобретательностью рассмотрено д-ром Уайтхедом, которому принадлежит вся концепция метода, приходящего к «точкам» как системам конечно протяженных событий. Выступая в защиту этого метода, нет необходимости утверждать, что математические точки невозможны как простые сущности (или «партикулярии»); все, что необходимо утверждать, — это то, что у нас нет веских оснований рассматривать их как таковые. Что мы знаем о точках, так это то, что они технически полезны — настолько полезны, что мы должны искать интерпретацию суждений, в которых они символически встречаются. Но нет оснований отказывать точке в структуре; напротив, есть два основания приписывать точке структуру. Одно — это знакомый аргумент бритвы Оккама: мы можем создавать структуры, обладающие математическими свойствами точек, и предполагать, что существуют точки в каком-либо ином смысле, — это вывод, бесполезный для науки и не оправданный никаким принципом, логическим или научным. Другой аргумент гораздо труднее сформулировать, но чем больше изучаешь логическое построение, тем больше веса чувствуешь склонность придать ему. Он опирается на максиму, которую можно было бы сформулировать как дополнение к бритве Оккама: «То, что логически удобно, вероятно, искусственно». Лично для меня первым примером этой максимы было определение вещественных чисел. Математики сочли удобным предполагать, что все ряды рациональных чисел имеют пределы, хотя некоторые из них не имеют рациональных пределов. Поэтому они постулировали иррациональные пределы, предполагая их однородными с рациональными. Хотя метод сечений Дедекинда был известен, никто не додумался сказать: иррациональное число — это сечение Дедекинда, или, по крайней мере, его нижняя часть. Однако это определение решает все трудности. У нас теперь есть сначала отношения (которые не могут быть иррациональными), затем сегменты ряда отношений. Сегменты, имеющие предел, рациональны, сегменты, не имеющие предела, иррациональны. Квадратный корень из 2 — это класс отношений, квадрат которых меньше 2. Сегменты ряда отношений — это вещественные числа; ряд вещественных чисел обладает как дедекиндовой, так и канторовской непрерывностью. Таким образом, это математически удобно; но его логическая структура сложнее, чем у ряда отношений. Логический анализ математики дает много примеров этой процедуры, таких как построение «идеальных» точек, линий и плоскостей, упомянутых в главе XX.

Будет видно, что фраза «то, что логически удобно, искусственно» не выражает того, что имеется в виду, с той точностью, которой хотелось бы. Мы имеем в виду следующее: если дан набор терминов, обладающих свойствами, которые предполагают определенные общие математические (или логические) свойства, но подвержены исключениям в отношении этих свойств, то ошибкой будет постулировать другие термины, логически однородные с исходным набором и такие, чтобы устранить исключения; правильная процедура — искать логические структуры, состоящие из исходных терминов, такие, чтобы эти структуры всегда обладали рассматриваемыми математическими свойствами. Будет обнаружено, что там, где предположение о таких свойствах оказывалось плодотворным, эта процедура обычно возможна.

Начиная с событий, существует много способов достижения точек. Один из них — метод, принятый д-ром Уайтхедом, в котором мы рассматриваем «ряды включения». Грубо говоря, мы можем сказать, что этот метод определяет точку как все объемы, которые содержат эту точку. (Тонкости метода необходимы, чтобы предотвратить круговорот в этом определении; а также чтобы отличить набор объемов, имеющих только точку общую, от тех, которые имеют общую линию или поверхность.) Как логическое построение этот метод безупречен. Но как метод, который стремится начать с фактических составляющих мира, он, как мне кажется, имеет определенные дефекты. Д-р Уайтхед предполагает, что каждое событие включает в себя и включено в другие события. Поэтому для него нет нижнего предела или минимума, и нет верхнего предела или максимума для размера событий. Каждое из этих предположений требует рассмотрения.

Начнем с отсутствия нижнего предела или минимума. Здесь мы сталкиваемся с вопросом факта, который мог бы быть решен не в пользу д-ра Уайтхеда, но не мог бы быть решен в его пользу. События, которые мы можем воспринимать, все имеют определенную длительность, т.е. они одновременны с событиями, которые не одновременны друг с другом. Мало того, что они все в этом смысле конечны, они все выше определенного предела. Я не знаю, какое событие является кратчайшим воспринимаемым, но это тот вопрос, на который могла бы ответить психологическая лаборатория. У нас, следовательно, нет прямых эмпирических доказательств того, что у событий нет минимума. Не может быть и косвенных эмпирических доказательств, поскольку процесс, протекающий с очень малыми конечными разностями, практически неотличим от непрерывного процесса, как показывает кино. Per contra, могли бы существовать эмпирические доказательства, как в квантовой теории, что события не могут иметь меньше определенного минимального пространственно-временного протяжения. Предположение д-ра Уайтхеда, следовательно, кажется опрометчивым. В то же время следует избегать путаницы: пространство-время может быть непрерывным, даже если существует нижний предел для событий. Предположим, каждое элементарное событие заполняло четырехмерный куб, например, кубический сантиметр, длящийся столько времени, сколько свет проходит сантиметр; и предположим, наоборот, что каждый такой четырехмерный куб был занят событием. Пространство-время такого мира было бы непрерывным при подходящих аксиомах, хотя события имели бы минимум. И наоборот, отсутствие минимума для событий не гарантирует пространственно-временную непрерывность. Таким образом, эти два вопроса совершенно различны.

Я прихожу к выводу, что в настоящее время нет средств узнать, имеют ли события минимум или нет; что никогда не может быть убедительных доказательств против того, что они имеют минимум; но что, возможно, в будущем могут быть найдены доказательства в пользу минимума. Остается рассмотреть вопрос о максимуме.

По вопросу о максимуме событий аргументы скорее логические, чем эмпирические. В определенном смысле любой ряд событий можно назвать одним событием; битва при Ватерлоо, например, может считаться одним происшествием. Но в сложном событии такого рода есть части, которые имеют пространственно-временные и каузальные отношения друг к другу; ни одна отдельная сущность, лишенная физической структуры, не сохраняется в течение всего периода. Я имею в виду, что все, что одновременного со всем, что произошло во время битвы при Ватерлоо, является комплексом частей, не все из которых одновременны друг с другом. Называть ли такой комплекс «событием» — это просто вопрос слов. Но если наша цель — показать структуру физического мира, ясно, что мы должны отличать объекты, имеющие физическую структуру, от тех, которые являются лишь составными частями таких структур. Поэтому удобно иметь слово для последних. Слово, которое я буду использовать, — «событие». Но я не зайду так далеко, чтобы сказать, что «событие» не должно иметь никакой структуры. Я буду исходить только из того, что любая структура, которую оно может иметь, не имеет отношения ни к физике, ни к психологии; иными словами, что его части, если они есть, не имеют научно различимых отношений к другим объектам. Когда слово «событие» используется в этом смысле, ясно, что, насколько позволяет наш опыт, ни одно событие не длится более нескольких секунд в крайнем случае. Нет априорной причины, почему это должно быть так; это просто эмпирический факт. Но я думаю, что фразеология, которая скрывает это, может привести только к путанице.

По вышеуказанным причинам я не могу принять построение точек д-ром Уайтхедом с помощью рядов включения как адекватное решение проблемы, для которой оно предназначено. Эта проблема состоит в том, чтобы обнаружить структуры, обладающие определенными геометрическими свойствами и состоящие из сырого материала физического мира.

Существует другой метод, который можно назвать методом «частичного перекрытия». В моей книге «Познание внешнего мира» я применил этот метод к определению моментов. Легко видеть, что он адекватен для этой цели в психологии, где у нас есть одномерный временной порядок, который остается определенным, несмотря на относительность. Но в физике необходимо определить «точку-момент», т.е. совершенно определенное положение в пространстве-времени, а не просто в пространстве или просто во времени. Здесь метод применим только с соответствующими модификациями. Однако метод должен быть сначала объяснен применительно к одномерному психологическому временному ряду.

Мы предполагаем, что два события могут иметь отношение, которое я назову «компрезенцией», что практически означает, что они перекрываются в пространстве-времени. Возьмем, например, ноты, исполняемые разными инструментами в оркестровой музыке: если одна слышна начинающейся до того, как другая перестала быть слышимой, слуховые перцепты слушателя имеют «компрезенцию». Если группа событий в одной биографии все компрезентны друг с другом, то в пространстве-времени найдется место, которое занято всеми ими. Это место будет «точкой», если нет события вне группы, которое было бы компрезентно со всеми ними. Поэтому мы можем определить «точку-момент», или просто «точку», в одной биографии как группу событий, обладающих следующими двумя свойствами:

(1) Любые два члена группы компрезентны;

(2) Ни одно событие вне группы не является компрезентным с каждым членом группы.

Когда мы выходим за пределы одного измерения, этот метод больше не применим. Возьмем, например, три круга на прилагаемом рисунке: каждый перекрывается с двумя другими, но нет области, общей для всех трех. Если мы попытаемся исправить это (как я полагаю, мы можем), начав в двух измерениях с отношения трех событий, которое должно иметь место, когда все три имеют общую область, мы все равно столкнемся с трудностями. Три круга C1, C2, C3 имеют общую область, и заштрихованная область C4 имеет общую область с C1 и C2, также с C2 и C3, а также с C3 и C1, однако C1, C2, C3 и C4 не имеют общей области. Поэтому, если события могут иметь странные формы, такие как C4, наше новое трехчленное отношение все равно не позволит нам определить «точку».

Поскольку проблема, которой мы занимаемся, относится к analysis situs, где мы заняты только такими свойствами фигур, на которые не влияет непрерывная деформация, мы не можем просто заранее объявить, что никакие события не должны иметь странных форм. Но прежде чем пытаться справиться с этой трудностью, будет полезно рассмотреть некоторые пункты в analysis situs, которые покажут нам, каковы требования к решению нашей проблемы. В analysis situs мы начинаем с двух концепций: точки и «окрестностей данной точки» — последние представляют собой совокупности точек. Некоторые определения, полученные таким образом, будут полезны.

Следующие определения принадлежат Леопольду Виеторису. [60]

Если M — множество точек, точка p называется «Häufungspunkt» (предельной точкой) M, если в каждой окрестности p есть точка, отличная от p.

Две совокупности точек «касаются» друг друга в точке p, если p принадлежит одной совокупности и является «Häufungspunkt» другой.

Множество точек M «непрерывно от a до b», если оно содержит a и b, и любые две его части, сумма которых есть M, из которых одна содержит a, а другая b, касаются друг друга (по крайней мере в одной точке).

Множество точек M есть «Linienstück» (отрезок линии) от a до b, если оно, но ни одна из его собственных частей, непрерывно от a до b.

Хаусдорф [61] определил «метрическое» пространство и «топологическое» пространство в следующих терминах.

«Метрическое» пространство — это многообразие такое, что с любыми двумя точками x, y ассоциировано вещественное неотрицательное число xy, обладающее следующими тремя свойствами: (a) xy = yx; (b) xy равно нулю только тогда, когда x и y идентичны; (c) xy + yz >= xz. [62]

«Топологическое» пространство — это многообразие, элементы которого ассоциированы с подклассами U (окрестностями) многообразия такими, что:

(A) Каждому x соответствует по крайней мере одна окрестность U, и каждая окрестность содержит x;

(B) Если U1, U2 — обе окрестности x, существует окрестность x, скажем U3, которая содержится в общей части U1 и U2;

(C) Если y является членом U, существует окрестность y, которая содержится в U;

(D) Для любых двух различных точек существует окрестность одной и существует окрестность другой такие, что эти две не имеют общей точки. [63]

Чтобы иметь возможность применять обычные методы пределов к топологическому пространству, Хаусдорфу требуется «Abzählbarkeitsaxiom», или «аксиома счетности». Он дает две такие аксиомы (стр. 263), из которых первая слабее и для некоторых целей недостаточна. Первая гласит, что число окрестностей данной точки никогда не больше счетного; вторая гласит, что общее число окрестностей всех точек вместе счетно. Эта вторая аксиома достаточна для всех обычных видов аргументации без введения каких-либо метрических идей.

П. Урысон [64] показал, что каждое топологическое пространство, которое удовлетворяет второй аксиоме счетности Хаусдорфа и обладает еще одним свойством (которое он называет «нормальностью» [65]), метризуемо.

Это основные пункты из analysis situs, которые имеют отношение к решению нашей проблемы.

В настоящее время нас не интересуют метрические свойства, а только те, которые принадлежат «топологическим» пространствам. В силу теоремы Урысона можно будет ввести метрику, если мы сможем построить правильный вид топологического пространства. Но когда возможна одна метрика, возможны бесконечно многие. Метрика, которая фактически вводится в теории относительности, вводится по эмпирическим причинам; она использует количественное отношение, которое можно было бы назвать степенью каузальной близости. Существование этого отношения не подразумевается ничем, с чем мы в настоящее время имеем дело. Более того, метрическое многообразие, которое нам требуется в физике, не является «метрическим пространством» согласно определению Хаусдорфа, приведенному выше, поскольку интервал в относительности не обладает свойствами (b) и (c), которыми обладает расстояние в определении Хаусдорфа. Однако, что касается топологических соображений, мы можем без заметной неточности приписать малым областям топологические свойства, которые принадлежат малой области евклидова пространства, длящейся короткое время, т.е. непрерывному ряду малых областей евклидова пространства, все из которых геометрически неразличимы.

В analysis situs даны как точки, так и окрестности. Мы, с другой стороны, хотим определить наши точки через «события», где «события» будут иметь взаимно однозначное соответствие с определенными окрестностями. Мы хотим, чтобы наши «события» соответствовали окрестностям, которые выше определенного минимума и ниже определенного максимума, когда на более позднем этапе будет введена эмпирическая метрика. Мы должны приписать нашим событиям такие свойства, которые позволят нам определить точки топологического пространства как классы событий, а окрестности точек — как классы точек. Но мы должны помнить, что мы не хотим строить просто топологическое пространство: то, что мы хотим построить, — это четырехмерное пространство-время общей теории относительности.

Следующая иллюстрация послужит введением в проблему. Рассмотрим трехмерное евклидово числовое пространство, т.е. многообразие всех упорядоченных троек вещественных чисел (x, y, z) с обычным определением расстояния. Рассмотрим в этом пространстве все сферы, имеющие данный радиус и имеющие центры, координаты которых рациональны. Число таких сфер счетно. Определим группу этих сфер как «сопунктуальную», если она такова, что любые четыре, выбранные из группы, имеют общую область; и определим сопунктуальную группу как «пунктуальную», если ее нельзя расширить, не перестав быть сопунктуальной. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между исходными точками нашего пространства и пунктуальными группами сфер. Следовательно, пунктуальные группы сфер образуют евклидово пространство. Если все сферы искажены каким-либо непрерывным образом, они все равно позволят нам построить пунктуальные группы таким же образом, и многообразие пунктуальных групп все равно будет обладать всеми топологическими свойствами, которыми обладает трехмерное евклидово пространство. Поэтому, если мы собираемся использовать этот метод построения точек из «событий», нам придется предположить, что в результирующем пространстве существует возможная метрика, согласно которой точки, членом которых является данное событие, всегда образуют сферический объем. Хотя это выражено на метрическом языке, в действительности это топологическое свойство, поскольку на него не влияет непрерывная деформация. Должна быть возможность выразить это на неметрическом языке, хотя должен признаться, что мне не хватает необходимых навыков.

Поэтому я предлагаю рассматривать события как занимающие области пространства-времени, которые в некоторой возможной метрике являются сферами, насколько это касается их пространственных измерений, и между определенным максимумом и определенным минимумом, насколько это касается их временного измерения. Область, «занимаемая» событием, — это класс точек, членом которых оно является.

В качестве фундаментального отношения при построении точек мы берем пятичленное отношение «сопунктуальности», которое имеет место между пятью событиями, когда есть область, общая для всех них. Группа из пяти или более событий называется «сопунктуальной», когда каждый квинтет, выбранный из группы, имеет отношение сопунктуальности.

«Точка» — это сопунктуальная группа, которую нельзя расширить, не перестав быть сопунктуальной.

Чтобы продемонстрировать существование точек, определенных таким образом, достаточно предположить, что все события (или, по крайней мере, все события, сопунктуальные с данным сопунктуальным квинтетом) могут быть вполне упорядочены. Если аксиома Цермело верна, это должно быть так; если нет, это может повлечь некоторое ограничение на количество событий. Аргументы сначала д-ра Г. М. Шеффера, а затем г-на Ф. П. Рэмси привели меня к взгляду, что аксиома Цермело верна; поэтому я менее неохотно, чем сделал бы это раньше, предполагаю, что события могут быть вполне упорядочены.

Чтобы доказать, что каждое событие является членом по крайней мере одной точки, мы действуем следующим образом — предполагая, что существуют сопунктуальные квинтеты.

Пусть S — вполне упорядоченный ряд, поле которого состоит из всех событий; положим S = {e1, e2, ...}. Пусть e1, e2, e3, e4, e5 — сопунктуальный квинтет. Если e1 — единственное событие, сопунктуальное с e1, e2, e3, e4, e5, то класс, единственными членами которого являются e1, e2, e3, e4, e5, есть точка согласно определению. Если, с другой стороны, существуют другие e, отличные от e1, которые сопунктуальны с e1, e2, e3, e4, e5, пусть e6 будет первым из них. Если никакое другое e, отличное от e1 и e6, не сопунктуально с e1, e2, e3, e4, e5 и e6, то e1, e2, e3, e4, e5 и e6 образуют точку. В противном случае пусть e7 будет первым e, отличным от e1 и e6 и сопунктуальным с e1, e2, e3, e4, e5, e6; тогда e7 должен быть позже в S-ряду, чем e6. Если этот процесс заканчивается на en, то e1, e2, ..., en вместе образуют точку. Если он не заканчивается на каком-либо конечном n, может случиться, что никакое e вне ряда (e1, e2, ...) не сопунктуально с e1, e2, e3, e4, e5 и всеми en; в этом случае e1, e2, e3, e4, e5 и эти en образуют точку. Но если существуют e, отличные от en и сопунктуальные со всеми ними, пусть eω будет первым из них. Тогда eω позже в S-ряду, чем любой из конечных en. Мы продолжаем таким образом, насколько возможно, используя два принципа: (1) дан ряд en, заканчивающийся на en, пусть en+1 будет первым e в S-ряду после en и сопунктуальным с группой всех предыдущих en; (2) дан ряд en, не имеющий последнего члена, возьмем в качестве следующего e первый e в S-ряду, который после всех en, выбранных до сих пор, и сопунктуален со всеми ними. Если на каком-либо этапе нет такого e, то уже выбранные en образуют точку. Теперь этот процесс должен рано или поздно закончиться; ибо en (отличные от e1) образуют возрастающий ряд, выбранный из S, и поэтому рано или поздно не будет e, более поздних, чем все ранее выбранные en. На этом этапе, если не раньше, e1, e2, e3, e4, e5 и уже выбранные en образуют точку. Следовательно, если все события могут быть вполне упорядочены, каждое событие является членом по крайней мере одной точки, при условии, что каждое событие является членом сопунктуального квинтета. Доказательство остается в силе, если мы предположим только, что все события, сопунктуальные с данным квинтетом, могут быть вполне упорядочены.

Дан любой класс событий a, пусть a* — класс тех событий, которые сопунктуальны с a. Тогда по определению a есть точка, если a = a*. Необходимым и достаточным условием того, чтобы все члены a имели общую точку, является то, что a должно содержаться в a*. Это условие необходимо, ибо если p есть точка и a содержится в p, то следует, что a* содержится в p*, и что p содержится в p*, так что a содержится в p*. Доказательство того, что условие достаточно, длиннее; оно заключается в следующем.

Если a = a*, a есть точка. Если нет, пусть a' обозначает часть a*, которая находится вне a. Используя снова S-ряд всех событий, положим a1 = a + {первый член a'}, и так далее, насколько возможно. Если e принадлежит a', e предшествует в S-порядке. Следовательно, как и раньше, должен наступить этап, когда нельзя построить новые e. Если a* — класс, состоящий из a вместе со всеми e, полученными методом, a* есть точка. Ибо (1) все квинтеты в a* сопунктуальны по построению; (2) член, сопунктуальный со всеми квартетами a*, не может быть позже всех e, потому что если бы был такой член, мы могли бы построить больше e; (3) такой член не может быть раньше какого-либо члена a*, потому что, если бы он был, он был бы выбран как e того этапа в построении; следовательно, никакое событие вне a* не сопунктуально с каждым квартетом a*. Следовательно, a* есть точка.

Сказать, что совокупность событий имеет общую точку, значит сказать, что совокупность является частью (или целым) класса, который есть точка. И наоборот, совокупность событий может содержать подкласс, который есть точка; необходимым и достаточным условием для этого является то, что a должно содержаться в a*, где a — рассматриваемая совокупность. Доказательство проходит точно так же, как и раньше, если мы теперь заставим a' означать часть a*, которая не содержится в a.

Группа событий a «сопунктуальна», если a содержится в a*, а «точка» — это сопунктуальная группа, которую нельзя расширить, не перестав быть сопунктуальной.

Можно отметить несколько чисто логических свойств точек. Для любых двух классов a и b, если a содержится в b, то a* содержится в b*. Следовательно, если p и q — точки и p содержится в q, p и q идентичны; ибо в этом случае p* и q* соответственно идентичны p и q, и поэтому если p содержится в q, p* содержится в q*, так что p и q идентичны.

Каждая сопунктуальная группа событий содержит по крайней мере одну точку. Это уже было доказано, поскольку сказать, что a — сопунктуальная группа, значит сказать, что a содержится в a*.

Можно считать, что в общем случае существует ряд точек, членом которых является любое данное событие. Такой набор точек заполнит «область», но не каждая область будет набором точек, к которым принадлежит какое-то одно событие. Эта тема, однако, не может быть рассмотрена, пока мы не обсудим пространственно-временной порядок.

СНОСКИ:

[59] В этой главе и следующей я многим обязан критике и предложениям г-на М. Х. А. Ньюмена из колледжа Св. Иоанна в Кембридже, который, однако, не должен нести ответственность за их содержание; напротив, я убежден, что он мог бы построить гораздо лучшую теорию, чем та, что следует.

[60] Stetige Mengen, Monatshafte für Mathematik u. Physik., XXXI., 1921, стр. 173-204.

[61] Grundzüge der Mengenlehre, Лейпциг, 1914.

[62] Там же, стр. 211.

[63] Там же, стр. 213.

[64] Zum Metrisationsproblem, Math. Annalen 94 (1925), стр. 309-315.

[65] Он определяет топологическое пространство как «нормальное», когда любые два неперекрывающихся замкнутых многообразия F1 и F2 могут быть разделены двумя неперекрывающимися областями G1, G2, которые соответственно содержат их и не имеют граничных точек. Там же, стр. 310, и Хаусдорф, op. cit., стр. 215. «Граничная точка» совокупности — это та, которая имеет окрестность, не являющуюся подклассом совокупности.

ГЛАВА XXIX ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ПОРЯДОК

В настоящей главе я покажу, как развить пространственно-временной порядок в том смысле, в каком он предполагается общей теорией относительности, без какого-либо аппарата, кроме аппарата предыдущей главы, за исключением нескольких гипотез того рода, которые ожидаются при основании analysis situs.

Преобразования координат, допустимые в тензорном анализе, не безграничны; они таковы, что оставляют отношения окрестности неизменными. [66] Иными словами, малое смещение в одной системе координат должно соответствовать малому смещению в любой другой. Это требует, чтобы независимо от метрических соображений события пространственно-временного многообразия имели определенные отношения порядка. Должна быть возможность в определенных обстоятельствах сказать, что p ближе к q, чем к r, не предполагая никакой количественной меры расстояния. Должна быть возможность построить линии, вдоль которых существует определенный порядок, но должно быть невозможно выделить определенные линии как «прямые». Замкнутая кривая будет отличима от открытой кривой, но две открытые кривые не будут отличимы друг от друга, при условии, что они не имеют сингулярностей. В общем, мы сможем делать суждения, относящиеся к analysis situs, по крайней мере в достаточно малой области. Но суждения о конфигурации должны, в геометрии, которую мы собираемся построить, быть только такими, которые оставались бы истинными, если бы конфигурация подверглась любому виду деформации, не нарушающей непрерывность. Именно эта докоординатная геометрия нас и интересует в настоящей главе.

Порядок, который предстоит ввести, бывает двух видов: макроскопический и микроскопический. Сначала мы рассмотрим первый.

Заметим, для начала, что события могут быть разделены на зоны по отношению к данному событию. Есть сначала те, которые компрезентны с данным событием, затем те, которые не компрезентны с ним, но компрезентны с событием, компрезентным с ним, и так далее. n-я зона будет состоять из событий, до которых можно добраться за n шагов, но не за n-1, где «шаг» понимается как переход от события к другому, которое компрезентно с ним. Мы будем называть две точки «связанными», когда есть событие, которое является членом обеих. Переход от события к событию через отношение компрезенции может быть заменен переходом от точки к точке через отношение связи. Таким образом, точки также могут быть собраны в зоны. Если существует минимум размера событий, мы можем предположить, что всегда возможно перейти от одного события к другому за конечное число «шагов». Если так, должно быть наименьшее число шагов, за которое можно совершить переход; таким образом, каждое событие будет принадлежать какой-то определенной зоне по отношению к данному событию. Это полезно при введении порядка, потому что мы можем договориться, что n-я зона должна быть ближе к началу, чем (n+1)-я, так что остается только ввести порядок среди членов данной зоны. И даже здесь нам нужен только такой порядок, который вовлечен в analysis situs, а не такой более жесткий порядок, который вовлечен, например, в проективную геометрию.

Когда до события можно добраться от другого за n шагов, но не за n-1, мы можем рассматривать промежуточные события как образующие своего рода квантованный геодезический маршрут между двумя событиями.

В силу вышеуказанного деления на зоны, которое может быть осуществлено по отношению к любой точке как началу, мы можем определить довольно малую область пространства-времени с помощью четырех целых чисел, представляющих число шагов, за которое до любой точки в области можно добраться от четырех данных точек. Поэтому только внутри малой области такого рода нам нужны более тонкие методы микроскопического порядка, к которым мы теперь перейдем.

Даны две точки p и q, обозначим через «p ∩ q» их логическое произведение, т.е. события, которые являются членами обеих, или, на геометрическом языке, события, которые содержат обе. Очевидно, что, принимая взгляд на события, объясненный в начале предыдущей главы, p ∩ q будет пустым, если только p и q не находятся довольно близко друг к другу. Как уже было сказано, мы говорим, что p и q «связаны», когда p ∩ q не пусто. Микроскопический порядок ограничен связанными точками, по крайней мере для начала.

Теперь мы определяем «q находится между p и r» как означающее: «p, q, r — точки такие, что p ∩ r не пусто и p ∩ r является собственной частью p ∩ q». Эквивалентное определение: «p, q, r — точки такие, что p ∩ r не пусто и p ∩ r содержится в p ∩ q, но p ∩ q не содержится в p ∩ r». С помощью подходящих аксиом «между», определенное таким образом, может привести к пространственно-временному порядку, предполагаемому при назначении координат в общей теории относительности. То, что говорит определение на геометрическом языке, заключается в том, что каждое событие, которое содержит и p, и r, содержит q, но не каждое событие, которое содержит и p, и q, содержит r.