«Анализ материи»

Как всем известно, квант был впервые введен Планком в 1900 году при изучении излучения абсолютно черного тела. Планк показал, что, когда мы рассматриваем вибрации, составляющие тепло в теле, они не распределяются по всем возможным значениям в соответствии с обычным законом частоты, который управляет случайными распределениями, а, напротив, связаны определенным законом. Если E — энергия вибрации, а v — ее частота, то существует определенная константа h [7], известная как постоянная Планка, такая что E равно hv, или 2hv, или 3hv, или какому-то другому небольшому целому кратному h. Вибрации с другими количествами энергии не происходят. Причина их отсутствия неизвестна, и до сих пор это остается фактом грубой реальности. Поначалу это был изолированный факт. Но теперь обнаружено, что постоянная Планка участвует в различных других видах явлений; фактически, везде, где наблюдение достаточно детально, чтобы можно было обнаружить, участвует она или нет.

Вторая область для квантовой теории была найдена в фотоэлектрическом эффекте. Этот эффект описывается Джинсом следующим образом: [8]

«Общие черты этого явления хорошо известны. Некоторое время было известно, что падение высокочастотного света на поверхность отрицательно заряженного проводника имеет тенденцию провоцировать разряд, в то время как Герц показал, что падение света на незаряженный проводник приводит к приобретению им положительного заряда. Было совершенно убедительно показано, что эти явления зависят от испускания электронов с поверхности металла, причем электроны высвобождаются каким-то образом под воздействием света.

В любом конкретном эксперименте скорости, с которыми отдельные электроны покидают металл, имеют все значения от нуля до определенной максимальной скорости v, которая зависит от условий конкретного эксперимента. Не обнаружено ни одного электрона, покидающего металл со скоростью, превышающей этот максимум v. По-видимому, вероятно, что в любом одном эксперименте все электроны изначально выбрасываются с одной и той же скоростью v, но те, которые выходят с небольшого расстояния под поверхностью, теряют часть своей скорости, пробиваясь наружу к поверхности.

Не принимая во внимание такие мешающие факторы, как пленки примесей на металлической поверхности, представляется общим законом, что максимальная скорость v зависит только от природы металла и от частоты падающего света. Она не зависит от интенсивности света, и в пределах температурного диапазона, в котором возможны эксперименты, она не зависит от температуры металла... Для данного металла эта максимальная скорость регулярно возрастает по мере увеличения частоты света, но существует определенная частота, ниже которой эмиссия вообще не происходит».

Объяснение этого явления в терминах кванта было впервые дано Эйнштейном [9] в 1905 году. Когда свет частоты v падает на проводник, обнаруживается, что количество энергии, поглощаемое электроном, который свет отделяет от своего атома, составляет около пяти шестых hv, где h — постоянная Планка. Можно предположить, что остальная одна шестая поглощается атомом, так что атом и электрон вместе поглощают ровно один квант hv. Когда свет имеет такую низкую частоту, что hv недостаточно для высвобождения электрона, фотоэлектрический эффект не происходит. Были предприняты попытки объяснений, не включающих квант, но ни одно из них, по-видимому, не способно объяснить полученные данные.

Другая область, в которой квантовая гипотеза оказалась необходимой, — это удельная теплоемкость твердых тел при низких температурах. Согласно предыдущим теориям, удельная теплоемкость (при постоянном объеме), умноженная на атомный вес, должна была иметь постоянное значение 5,95. На самом деле, это оказывается очень приблизительно верным для высоких температур, но для низких температур наблюдается спад, который увеличивается по мере падения температуры. Объяснение этого факта, предложенное Дебаем, тесно аналогично объяснению Планком фактов излучения абсолютно черного тела; и, как и в том случае, кажется определенно невозможным получить удовлетворительную теорию, не прибегая к кванту. [10]

Наиболее интересным применением квантовой теории является объяснение Бором линейчатых спектров элементов. Эмпирически было установлено, что линии в спектре водорода, которые были известны, имеют частоты, полученные из разности двух «термов» в соответствии с формулой: v = R(1/n2^2 - 1/n1^2), где v — частота, R — «постоянная Ридберга», n1 и n2 — малые целые числа, а R/n^2 — то, что называется «термами». После того как формула была открыта, искали и находили новые линии, согласующиеся с ней. Определенные линии, ранее приписывавшиеся водороду и не согласующиеся с вышеуказанной формулой, были приписаны Бором ионизированному гелию; они задаются формулой: v = 4R(1/n2^2 - 1/n1^2). Теоретические основания Бора для приписывания этих линий гелию были впоследствии подтверждены экспериментально Фаулером. Видно, что они вписываются в формулу (1), когда 4R подставляется вместо R, — факт, который объясняет теория Бора, так же как и более тонкий факт, что для того, чтобы сделать формулу точной, мы должны подставить не точно R, а немного меньшую величину.

Форма уравнения (1) подсказала Бору, что линию спектра водорода не следует рассматривать как нечто, что атом испускает, когда он находится в состоянии периодической вибрации, а как результат изменения состояния, связанного с одним целым числом, на состояние, связанное с другим. Это объяснилось бы, если бы орбита электрона была не просто любой орбитой, возможной согласно ньютоновским принципам, а только орбитой, связанной с целым «квантовым числом» — т.е. с кратным h.

То, как Бор достиг теории на этих принципах, заключается в следующем. Он предположил, что электрон может вращаться вокруг ядра только по определенным кругам, причем таким, что если p — момент количества движения на любой орбите, мы будем иметь: p = nh/2π, где h — как всегда, постоянная Планка, а n — малое целое число. (Теоретически n могло бы быть любым целым числом, но на практике никогда не обнаруживается, чтобы оно было намного больше 30, и то только в некоторых очень разреженных туманностях.) Причина, по которой квантовый принцип принимает именно такую форму, будет объяснена далее.

Теперь, если m — масса электрона, r — радиус его орбиты, а ω — его угловая скорость, мы имеем: p = mr^2ω. Но, исходя из обычной теории, поскольку радиальное ускорение электрона равно rω^2, а сила, притягивающая его к ядру, равна e^2/r^2, мы имеем: mrω^2 = e^2/r^2.

Из уравнений (3) и (4) мы получаем: r = n^2h^2 / 4π^2me^2.

Возможные орбиты для электрона получаются путем подстановки n = 1, 2, 3, 4, ... в приведенные выше формулы для r. Таким образом, самая маленькая возможная орбита есть: r1 = h^2 / 4π^2me^2, а другие возможные орбиты суть 4r1, 9r1, 16r1 и т. д.

Для энергии на орбите радиуса r мы имеем, поскольку потенциальная энергия вдвое больше кинетической с измененным знаком: E = -e^2/2r [11] в силу (5). Таким образом, когда электрон падает с орбиты, радиус которой r1, на орбиту, радиус которой r2, происходит потеря энергии: ΔE = e^2/2r2 - e^2/2r1.

Предполагается, что эта энергия излучается в виде световой волны, энергия которой составляет один квант энергии hv, где v — ее частота. Следовательно, мы получаем частоту испускаемого света из уравнения: hv = ΔE. Это точно согласуется с наблюдаемыми линиями, если [см. уравнение (1)]: R = 2π^2me^4 / h^3, где R — постоянная Ридберга. При подстановке численных значений обнаруживается, что это уравнение подтверждается. Этот поразительный успех с самого начала был мощным аргументом в пользу теории Бора.

Теория Бора была обобщена Вильсоном [12] и Зоммерфельдом так, чтобы допускать также эллиптические орбиты: они имеют два квантовых числа, одно из которых соответствует, как и прежде, угловому моменту или моменту количества движения (который по второму закону Кеплера постоянен), другое зависит от эксцентриситета. Возможны только определенные эксцентриситеты; фактически, отношение малой оси к большой всегда рационально и имеет в качестве знаменателя квантовое число, соответствующее моменту количества движения. Чтобы объяснить эффект Зеемана (который возникает в магнитном поле), мы использовали третье квантовое число, соответствующее углу между плоскостью магнитного поля и плоскостью орбиты электрона. Во всех случаях, однако, существует общий принцип, который теперь должен быть объяснен. Это также покажет, почему в теории Бора квантовое уравнение (2) принимает именно такой вид. [13]

Первое, что нужно заметить, это то, что квантовый принцип на самом деле касается атомов действия, а не энергии: действие — это энергия, умноженная на время. Предположим теперь, что у нас есть система, зависящая от нескольких координат и периодическая по каждой из них. Не обязательно предполагать, что каждая координата имеет один и тот же период: достаточно предположить, что система «условно периодична» — т.е. что каждая координата в отдельности периодична. Мы должны далее предположить, что наши координаты выбраны так, чтобы допускать «разделение переменных» (о чем см. Зоммерфельд, op. cit., стр. 559-60). Тогда мы определяем «импульс» (в обобщенном смысле), связанный с координатой q, как частную производную кинетической энергии по q — т.е., называя обобщенный импульс p, мы полагаем: p = ∂T/∂q. Квантовое условие должно применяться к интегралу p dq по полному периоду q — т.е. мы должны иметь: ∫p dq = nh, где n будет квантовым числом, связанным с координатой q. Вышеприведенное является общей формулой, частными случаями которой являются все известные случаи квантовых явлений. Это ее единственное оправдание.

Вышеупомянутый принцип чрезвычайно сложен — даже более, чем кажется в нашем кратком изложении, которое опустило различные трудности. Возможно, его сложность может быть связана с тем, что квантовой динамике пришлось пробиваться через препятствия, которые ставила на ее пути классическая система; возможно также, что квантовые явления могут оказаться выводимыми из классических принципов. Но прежде чем следовать этой линии мысли, возможно, стоит сказать несколько слов о развитии теории Бора Зоммерфельдом и другими.

В своей первоначальной форме, в которой предполагались круговые орбиты, теория Бора объясняла основные факты, касающиеся линейчатых спектров водорода и ионизированного гелия. Но существовал ряд более тонких фактов, которые требовали гипотезы эллиптических орбит: с этой гипотезой, вместе с некоторыми тонкостями, вытекающими из теории относительности, было получено самое точное согласие между теорией и наблюдением. Но, возможно, этот большой успех заставил людей думать, что доказано больше, чем было доказано на самом деле. Большое преимущество, полученное от допущения эллиптических орбит, заключается в том, что они обеспечивают второе квантовое число. При испускании света атомами происходит, по существу, следующее. Атом способен находиться в различных состояниях, характеризуемых целыми числами (квантовыми числами). Квантовых чисел может быть больше или меньше, в зависимости от степеней свободы системы. Потеря или приобретение энергии при переходе атома из состояния, характеризуемого одним набором значений квантовых чисел, в состояние, характеризуемое другим набором, известны. Когда энергия теряется (без потери электрона или какой-либо части ядра атома), она выходит в виде световой волны, энергия которой равна тому, что потерял атом, а ее энергия, умноженная на время одной вибрации, равна h. Энергия — это то, что сохраняется, но действие — это то, что квантуется.

Вернемся, в качестве иллюстрации, к круговым орбитам первоначальной теории Бора, которые остаются возможными, хотя и не универсальными, в новой теории. Если мы назовем T1 кинетическую энергию, когда электрон находится на самой маленькой возможной орбите, кинетическая энергия на n-й орбите равна T1/n^2. (Мерой полной энергии является кинетическая энергия с измененным знаком.) Мы не знаем, что заставляет электрон перескакивать с одной орбиты на другую; в этом пункте наше знание является лишь статистическим. Мы знаем, конечно, что когда атом не находится в положении поглощать энергию, электрон может перескочить только с большей орбиты на меньшую, в то время как обратный скачок происходит, когда атом поглощает энергию от падающего света. Мы знаем также, из сравнительной интенсивности различных линий в спектре, сравнительную частоту различных возможных скачков, и по этому предмету существует теория. Но мы совершенно не знаем, почему из числа атомов, чьи электроны не находятся на минимальных орбитах, одни совершают скачок в одно время, а другие — в другое, точно так же, как мы не знаем, почему одни атомы радиоактивных веществ распадаются, а другие нет. Природа, по-видимому, полна революционных событий, о которых мы можем сказать, что если они происходят, то они будут одного из нескольких возможных видов, но мы не можем сказать, что они произойдут вообще, или, если произойдут, то в какое время. Насколько квантовая теория может сказать в настоящее время, атомы могли бы обладать свободой воли, ограниченной, однако, одним из нескольких возможных выборов. [14]

Как бы то ни было, ясно, что мы знаем изменения энергии, когда атом испускает свет, и мы знаем, что в случае водорода или ионизированного гелия эти изменения измеряются hv. Почти неизбежно сделать вывод, что предыдущее состояние атома характеризовалось целым числом n1, а последующее — целым числом n2. Но предполагать орбиты и так далее, хотя это и уместно как помощь воображению, едва ли достаточно оправдано аналогией с крупномасштабными процессами, поскольку сам квантовый принцип показывает опасность полагаться на эту аналогию. В крупномасштабных явлениях нет ничего, что указывало бы на квант, и, возможно, другие знакомые черты таких явлений могут быть результатом лишь статистического усреднения.

Возможно, стоит кратко рассмотреть эллиптические орбиты, которые возможны. [15] Это также проиллюстрирует применение квантового принципа к системам с более чем одной координатой.

Принимая полярные координаты, кинетическая энергия равна: T = 1/2 m(r'^2 + r^2θ'^2). Два обобщенных импульса, следовательно, суть: pr = mr', pθ = mr^2θ'. У нас есть, таким образом, два квантовых условия: ∫pr dr = nrh, ∫pθ dθ = nθh. По второму закону Кеплера pθ постоянно; назовем его pθ. Таким образом: pθ = nθh/2π. Другое интегрирование более затруднительно, но мы приходим к результату, что если a и b — большая и малая оси эллипса, b/a = nθ / (nr + nθ).

Небольшой дальнейший расчет приводит к результату, что энергия на орбите, которая имеет квантовые числа nr, nθ, равна: E = -2π^2me^4 / h^2(nr + nθ)^2. Это точно то же самое, что и в случае круговых орбит, за исключением того, что (nr + nθ) заменяет n. Если бы это было все, линейчатый спектр водорода был бы точно таким же, происходили бы эллиптические орбиты или нет, и не было бы эмпирических средств для решения этого вопроса.

Однако, вводя соображения, вытекающие из специальной теории относительности, мы можем различить результаты, которые следует ожидать от круговых и эллиптических орбит соответственно, и показать, что последние должны иметь место, чтобы объяснить наблюдаемые факты. Решающим моментом является изменение массы со скоростью: чем быстрее движется тело, тем больше его масса. Поэтому на эллиптической орбите электрон будет иметь большую массу в перигелии, чем в афелии. Из этого, как выясняется, следует, что эллиптическая орбита не будет точно эллиптической, а перигелий будет слегка смещаться с каждым оборотом. [16] То есть, принимая полярные координаты r, θ, координата θ увеличивается чуть более чем на 2π между одним минимумом r и следующим. Система, таким образом, является «условно периодической» — т.е. каждая отдельная координата изменяется периодически, но периоды двух координат не совпадают. Результат [17] заключается в том, что уравнение E = -2π^2me^4 / h^2n^2 заменяется на: E = -2π^2me^4 / h^2(nr + nθ)^2 [1 + α^2/nθ^2 (nr + nθ)^2 ...], где α = 2πe^2/hc, c — скорость света, а pθ, как и прежде, угловой момент. Будет видно, что α очень близко к 1, потому что hc велико.

Формула для энергии, связанной с квантовыми числами nr, nθ, теперь становится гораздо более сложной; ее большая заслуга в том, что она объясняет тонкую структуру линейчатого спектра водорода. Должно быть понятно, что эта точность согласия между теорией и наблюдением очень примечательна. Но все еще остается фактом, что единственные эмпирические данные касаются различий энергии в связи с различными квантовыми числами, и что теория реальных орбит, движущихся во время установившегося движения согласно ньютоновским принципам, неизбежно должна оставаться гипотезой — гипотезой, которая, как мы увидим, исчезла из последней формы квантовой теории.

Факт существования кванта столь же странен, сколь и неоспорим, если только он не окажется выводимым из классических принципов. По-видимому, квантовые принципы регулируют весь обмен энергией между материей и окружающей средой. Существуют серьезные трудности в согласовании квантовой теории с волновой теорией света, но мы не будем рассматривать их до более позднего этапа. Что очень желательно, так это какой-то способ формулировки квантового принципа, который был бы менее странным и ad hoc, чем тот, что принадлежит Вильсону и Зоммерфельду. Для практических целей это сводится примерно к следующему: периодический процесс частоты v имеет количество энергии, которое кратно hv, и, наоборот, если заданное количество энергии расходуется на запуск периодического процесса, он запустит процесс с частотой v такой, что заданное количество энергии будет кратно hv. Когда процесс имеет частоту v и энергию E, количество «действия» за один период равно E/v. Но мы не можем сказать: в любом периодическом процессе количество действия за один период равно h или кратно h. Тем не менее, какая-то формулировка, аналогичная этой, со временем может оказаться возможной. Как показала теория относительности, «действие» является более фундаментальным, чем энергия в физической теории; поэтому, возможно, неудивительно, что действие играет важную роль. Но вся теория взаимодействия материи и окружающей среды в настоящее время покоится на законе сохранения энергии. Возможно, теория, придающая большее значение действию, может оказаться возможной и может облегчить более простое изложение квантового принципа.

В теории Бора и ее развитиях есть лакуна и есть трудность. Лакуна уже упоминалась: мы совершенно не знаем, почему электрон выбирает один момент, а не другой, чтобы перескочить с большей орбиты на меньшую. Трудность заключается в том, что скачок обычно рассматривается как внезапный и прерывистый: предполагается, что если бы он был непрерывным, экспериментальные факты в соответствующих областях стали бы необъяснимыми. Возможно, эта трудность может быть преодолена, и может быть обнаружено, что переход с одной орбиты на другую может быть непрерывным. Но так же хорошо рассмотреть и другую возможность, что переход действительно прерывист. Я подчеркнул, как мало мы на самом деле знаем о том, что происходит в атоме, потому что хотел оставить открытой возможность чего-то совершенно отличного от того, что обычно предполагается. Есть ли у нас веские причины думать, что пространство-время непрерывно? Знаем ли мы, что между одной орбитой и следующей геометрически возможны другие орбиты? Эйнштейн заставил нас думать, что соседство материи делает пространство неевклидовым; не могло ли оно также сделать его прерывистым? Безусловно, опрометчиво предполагать, что тонкая структура мира напоминает ту, которая, как выяснилось, подходит для крупномасштабных явлений, которые могут быть лишь статистическими усреднениями. Эти соображения могут послужить введением в самую современную теорию квантовой механики, к которой мы теперь должны обратить наше внимание. [18]

В новой теории, открытой Гейзенбергом, мы больше не имеем простоты атома Резерфорда-Бора, в котором электроны вращаются вокруг ядра, как отдельные планеты. Гейзенберг указывает, что в этой теории есть много величин, которые даже теоретически не наблюдаемы — а именно те, которые представляют процессы, предположительно происходящие, пока атом находится в установившемся состоянии. В новой теории, как говорит Дирак: «Переменные величины, связанные со стационарным состоянием в теории Бора, амплитуды и частоты орбитального движения, не имеют физического смысла и не имеют физического значения» (4, стр. 652). Гейзенберг, впервые представляя свою теорию, указал, что обычная квантовая теория использует ненаблюдаемые величины, такие как положение и время обращения электрона (1, стр. 879), и что электрон должен быть представлен измеримыми величинами, такими как частоты его излучения (1, стр. 880). Теперь наблюдаемые частоты всегда являются разностями между двумя «термами», каждый из которых представлен целым числом. Таким образом, мы приходим к представлению состояния атома с помощью бесконечного массива чисел — т.е. с помощью матрицы. Если n1 и n2 — два «терма», наблюдаемая частота (теоретически) есть v(n1, n2) = T(n1) - T(n2), где: T(n) = R/n^2. Именно такие числа, как v(n1, n2) (которых существует дважды бесконечная серия), характеризуют атом, насколько он наблюдаем.

Гейзенберг излагает этот взгляд следующим образом (5, стр. 685). В классической теории, при заданном электроне с одной степенью свободы, в гармоническом колебании, удлинение x в момент времени t может быть представлено рядом Фурье: x(t) = Σ a_n e^{iω_n t}, где a_n — константа, а n — номер гармоники. Отдельные члены этого ряда, а именно: a_n e^{iω_n t}, содержали бы величины, которые были отмечены как непосредственно наблюдаемые — а именно частоту, амплитуду и фазу. Но в силу того факта, что в атомах частоты оказываются разностями «термов», мы должны будем заменить вышесказанное на: x(n1, n2) e^{iω(n1, n2)t}, и совокупность (не сумма) таких членов представляет то, что раньше было удлинением x. Сумма всех этих членов больше не имеет никакого физического значения. Таким образом, атом начинает представляться числами x(n1, n2), расположенными в бесконечном прямоугольнике или «матрице».

Возможно построить алгебру матриц, которая формально отличается от обычной алгебры только в одном отношении, а именно в том, что умножение не коммутативно.

Определяется новая операция, которая, когда квантовые числа становятся большими, приближается к дифференцированию. Используя эту операцию, уравнения движения Гамильтона могут быть сохранены в форме, которая применима одинаково к периодическим и к непериодическим движениям, так что больше нет необходимости выделять определенную сферу квантовых явлений, к которой применяются иные законы, чем те, что применяются к явлениям, поддающимся классической динамике: «Различие между «квантованными» и «неквантованными» движениями теряет всякий смысл в этой теории, поскольку в ней нет вопроса о квантовом условии, которое выбирает определенные движения из большого числа возможных; на место этого условия появляется квантово-механическое фундаментальное уравнение... которое справедливо для всех возможных движений и необходимо для того, чтобы придать определенный смысл проблеме движения» (3, стр. 558). Фундаментальное уравнение, упомянутое выше, выглядит следующим образом: Пусть q — гамильтонова координата, а p — соответствующий (обобщенный) импульс, причем оба являются матрицами. Напомним, что умножение не коммутативно для матриц; фактически, мы имеем в качестве фундаментального уравнения, о котором идет речь (2, стр. 871): pq - qp = h/2πi * 1, где 1 представляет матрицу, диагональ которой состоит из 1, а остальные члены равны нулю. Вышеприведенное является единственным фундаментальным уравнением, содержащим h (постоянную Планка), и оно верно для всех движений.

Гейзенберг не утверждает, что новая теория решает все трудности. Напротив, он говорит (5, стр. 705):

«Описанную здесь теорию следует рассматривать как все еще незавершенную. Реальный геометрический или кинематический смысл фундаментального допущения (5) [19] еще не стал полностью ясным. В частности, существует серьезная трудность в том факте, что время, по-видимому, играет иную роль, чем пространственные координаты, и формально трактуется иначе. Формальный характер временной координаты в математической структуре теории становится особенно очевидным из того факта, что в теории до сих пор вопрос о временном ходе процесса не имеет непосредственного смысла, и что понятие «раньше» и «позже» едва ли может быть определено точно. Тем не менее, нам не нужно рассматривать эти трудности как возражение против теории, поскольку появление именно таких трудностей следовало ожидать из природы пространственно-временных отношений, которые справедливы для атомных систем».

В более или менее популярном изложении (6) Гейзенберг изложил некоторые следствия своей теории. Электроны и атомы, говорит он, не обладают «степенью непосредственной реальности объектов чувств», а только тем сортом реальности, который естественно приписывают световым квантам. Трудности квантовой теории, считает он, возникли из попыток создавать модели атомов и представлять их как находящиеся в обычном пространстве. Если мы хотим сохранить корпускулярную теорию, мы можем сделать это, только не приписывая электрону или атому определенную точку пространства в каждый момент времени. Мы заменяем ее четко определенной физической группой величин, которые представляют то, что было местом электрона. Это наблюдаемые радиационные величины, каждая из которых связана с двумя «термами», так что мы получаем матрицу. Различие внутренних и внешних электронов в атоме становится бессмысленным. «Более того, в принципе невозможно снова идентифицировать конкретную корпускулу среди серии подобных корпускул» (стр. 993).

Матричная теория электрона слишком нова, чтобы быть доступной на данный момент для того вида логического анализа, который мы намерены предпринять в этой Части. Ясно, однако, что она обеспечивает научную экономию, заменяя лишь гипотетические установившиеся движения атомов Бора набором величин, представляющих то, что мы действительно знаем — а именно излучения, исходящие из области, в которой, как предполагается, находится атом. Ясно также, что существует огромный логический прогресс в построении динамики, которая уничтожает различие между квантованными и неквантованными движениями и трактует все движения с помощью единого набора принципов. И большая абстрактность атома Гейзенберга по сравнению с атомом Бора делает его логически предпочтительным, поскольку наглядные элементы в физической теории — это те, на которые можно меньше всего полагаться.

По-видимому, другая квантовая теория, принадлежащая де Бройлю [20] и Шредингеру [21], оказалась формально той же самой, что и теория Гейзенберга, хотя на первый взгляд очень отличается. Она описывается де Бройлем как «новая волновая теория материи», в которой «материальная точка мыслится как сингулярность в волне». [22] Здесь также излучения, которые мы представляем как исходящие из атома, имеют больше физической «реальности», чем сам атом. Одно из достоинств теории заключается в том, что она уменьшает трудности, существующие до сих пор на пути согласования фактов интерференции и дисперсии с фактами, которые привели к гипотезе световых квантов.

Между тем остается возможность, что все квантовые явления могут быть выводимы из классических принципов, и что кажущиеся прерывистости могут быть лишь вопросом резких максимумов или минимумов. Наиболее успешная теория, известная мне в этом направлении, — это теория Л. В. Кинга. [23] Он предполагает, что электроны вращаются с определенной фиксированной угловой скоростью, одинаковой для всех; он делает аналогичное предположение в отношении протонов. Следовательно, существует магнитное поле, которое вводит условия, отсутствующие, если электроны и протоны не имеют спина. Будет электромагнитное излучение частоты v, где: hv = mc^2(1 - β^2)^-1/2, где h — постоянная Планка, m — инвариантная масса электрона, а v — его скорость. (Тождество h с постоянной Планка получается путем подгонки гипотетических констант.) Из этой формулы он выводит многие явления, на которых основана квантовая теория, и обещает вывести другие в более поздней статье. Статья г-на Р. Х. Фаулера («Вращающиеся электроны», Nature, 15 янв. 1927 г.) обсуждает теорию г-на Кинга, не приходя к вердикту «за» или «против». По-видимому, пройдет немного времени, прежде чем станет возможен определенный ответ относительно адекватности теории г-на Кинга. Если она адекватна, квантовая теория перестает интересовать философа, поскольку то, что остается в ней верным, становится дедукцией из более фундаментальных законов и процессов, которые непрерывны и не включают атомизм действия. На данный момент, пока физики не пришли к решению, философ должен довольствоваться беспристрастным исследованием обеих гипотез.

ПРИМЕЧАНИЯ:

[7] Численное значение h равно 6,55 x 10^-27 эрг-сек, а его размерности — это размерности «действия» — т.е. энергия x время.

[8] Report on Radiation and the Quantum Theory, Physical Society of London, 1914, стр. 58.

[9] Annalen der Physik, том XVII, стр. 146.

[10] См. Jeans, loc. cit., гл. VI.

[11] См. Sommerfeld, Atomic Structure and Spectral Lines, стр. 547 и сл.

[12] W. Wilson, The Quantum Theory of Radiation and Line Spectra, Phil. Mag., июнь 1915 г.

[13] То, что следует далее, взято из Примечания 7 (стр. 555 и сл.) в книге Зоммерфельда Atomic Structure and Spectral Lines, переведенной с третьего немецкого издания Генри Л. Броузом, M.A., 1923 г. См. также Примечание 4 (стр. 541 и сл.).

[14] Это, однако, вероятно, временное положение дел. Некоторые причины для квантовых переходов уже известны. См. J. Franck и P. Jordan, Anregung von Quantensprüngen durch Stösse, Берлин, 1926; также P. Jordan, Kausalität und Statistik in der modernen Physik, Naturwissenschaften, 4 февр. 1927 г.

[15] См. Sommerfeld, op. cit., стр. 232 и сл.

[16] Это не то же самое явление, что в случае орбиты Меркурия. Последнее зависит от общей теории относительности, первое — от специальной теории.

[17] Sommerfeld, op. cit., стр. 467 и сл.

[18] Основные статьи, излагающие эту теорию:

1. W. Heisenberg, Ueber quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen. Zeitschrift für Physik, 33, стр. 879-893, 1925.

2. M. Born и P. Jordan, Zur Quantenmechanik. Ibid. 34, стр. 858-888, 1925.

3. M. Born, W. Heisenberg и P. Jordan, Zur Quantenmechanik II. Ibid. 35, стр. 557-615, 1926.

4. P. A. M. Dirac, The Fundamental Equations of Quantum Mechanics. Proc. Royal Soc., Series A, том 109, № A752, стр. 642-653, 1925.

5. W. Heisenberg, Ueber quantentheoretische Kinematik und Mechanik. Mathematische Annalen, 95, стр. 683-705, 1926.

6. W. Heisenberg, Quantenmechanik. Naturwissenschaften, 14 Jahrgang. Heft 45, pp. 989-994.

Я буду цитировать эти статьи по вышеуказанным номерам. Я очень обязан в этом вопросе г-ну Р. Х. Фаулеру, F.R.S.

[19] Это упомянутое выше допущение, что атом или электрон в момент времени t может быть представлен совокупностью членов вида: x(n, n+τ) e^{iω(n, n+τ)t}.

[20] Annales de Physique, 3, 22, 1925.

[21] Annalen der Physik, 1926. Четыре статьи, 79, стр. 361, 489, 734; 80, стр. 437.

[22] Nature, 25 сент. 1926 г., стр. 441. См. также Fowler, «Matrix and Wave Mechanics», ib., 12 февр. 1927 г.

[23] Gyromagnetic Electrons and a Classical Theory of Atomic Structure and Radiation. Автор: Луи Вессо Кинг, F.R.S., профессор физики Макдональда, Университет Макгилла. Louis Carrier, Mercury Press, 1926.

ГЛАВА V СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

ТЕОРИЯ относительности возникла в результате сочетания трех элементов, которые требовались для реконструкции физики; во-первых, тонкий эксперимент; во-вторых, логический анализ; и в-третьих, эпистемологические соображения. Последние играли большую роль на ранних стадиях теории, чем в ее законченной форме, и, возможно, это к счастью, поскольку их масштаб и обоснованность могут быть открыты для сомнения, или, по крайней мере, были бы таковыми, если бы не успехи, к которым они привели. Можно сказать, в широком смысле, что относительность, как и более ранняя физика, исходила из предположения, что когда разные наблюдатели делают то, что называется «наблюдением одного и того же явления», те аспекты, в которых их наблюдения различаются, не принадлежат явлению, а только те аспекты, в которых их наблюдения согласуются. Это принцип, которому здравый смысл учит в раннем возрасте. Маленький ребенок, видя уплывающий корабль, думает, что корабль постоянно уменьшается; но вскоре он приходит к осознанию того, что уменьшение размера лишь «кажущееся», и что корабль «на самом деле» остается того же размера на протяжении всего своего путешествия. Поскольку относительность была вдохновлена эпистемологическими соображениями, они были такого рода здравого смысла, а кажущиеся парадоксы возникли из обнаружения неожиданных различий между нашими наблюдениями и наблюдениями других гипотетических наблюдателей. Релятивистская физика, как и вся физика, принимает реалистическую гипотезу о том, что существуют события, которые разные люди могут наблюдать. На данный момент мы можем игнорировать эпистемологию и перейти к рассмотрению относительности просто как теоретической физики. Мы можем также игнорировать экспериментальные данные и рассматривать всю теорию как дедуктивную систему, поскольку это та точка зрения, с которой мы имеем дело в Части I.

Наиболее примечательная черта теории относительности, с точки зрения философа, уже присутствовала в специальной теории: я имею в виду слияние пространства и времени в пространство-время. Специальная теория теперь стала лишь приближением, которое не является точно верным в соседстве материи. Но ее остается полезным понимать как этап на пути к общей теории. Более того, она не требует отказа от такой большой доли наших представлений здравого смысла, как это отбрасывается общей теорией.

Технически вся специальная теория содержится в преобразовании Лоренца. Это преобразование имеет то преимущество, что оно делает скорость света одинаковой по отношению к любым двум телам, которые движутся равномерно относительно друг друга, и, более того, что оно делает законы электромагнитных явлений (уравнения Максвелла) одинаковыми по отношению к любым двум таким телам. Именно ради этого преимущества оно было первоначально введено; но впоследствии было обнаружено, что оно имеет более широкое значение и более общее обоснование. Фактически, можно сказать, что при достаточной логической проницательности оно могло быть открыто в любое время после того, как стало известно, что свет не распространяется мгновенно. К этому времени оно стало очень знакомым — настолько знакомым, что я даже видел, как его цитировали (совершенно правильно) в рекламе Fortnum and Mason. Тем не менее, я полагаю, желательно изложить его. В своей простейшей форме оно выглядит следующим образом:

Предположим, два тела, одно из которых (A) движется относительно другого (B) со скоростью v параллельно оси x. Предположим, что наблюдатель на A наблюдает событие, которое, по его мнению, произошло в момент времени t, по его часам, и в месте, координаты которого для него суть x, y, z. (Каждый наблюдатель принимает себя за начало координат.) Предположим, что наблюдатель на B считает, что событие происходит в момент времени t' и что его координаты суть x', y', z'. Мы предполагаем, что в момент времени, когда два наблюдателя находятся в одном и том же месте, t = t' = 0. Раньше казалось аксиоматичным, что мы должны иметь t = t'. Оба наблюдателя, как предполагается, используют безупречные хронометры и, конечно, учитывают скорость света при оценке времени, когда происходит событие. Поэтому можно было бы подумать, что они придут к одной и той же оценке времени события. Также можно было бы подумать, что мы должны иметь: x' = x - vt, y' = y, z' = z. Ни то, ни другое, однако, не верно. Чтобы получить правильное преобразование, положим: β = 1 / √(1 - v^2/c^2), где c — как всегда, скорость света. Тогда: t' = β(t - vx/c^2), x' = β(x - vt). Для других координат y', z' мы все еще имеем, как и прежде: y' = y, z' = z. Именно формулы для t' и x' являются специфическими. Эти формулы содержат, неявно, всю специальную теорию относительности.

Формула для x' воплощает сокращение Фитцджеральда. Длины на любом теле, как они оцениваются наблюдателем на другом, будут короче, чем как они оцениваются наблюдателем на теле, на котором находятся длины: более длинная длина будет иметь к более короткой отношение β. Более интересен, однако, эффект в отношении времени. Предположим, что наблюдатель на теле A считает два события в x1 и x2 одновременными, и оба в момент времени t. Тогда наблюдатель на B будет считать, что они происходят в моменты времени t1' и t2', где: t1' = β(t - vx1/c^2), t2' = β(t - vx2/c^2), и поэтому: t2' - t1' = βv(x1 - x2)/c^2. Это не ноль, если x1 не равно x2; таким образом, в общем случае события, которые одновременны для одного наблюдателя, не являются одновременными для другого. Мы не можем поэтому рассматривать пространство и время как независимые, как это всегда делалось в прошлом. Даже порядок событий во времени не является определенным: в одной системе координат событие A может предшествовать событию B, в то время как в другой B может предшествовать A. Это, однако, возможно только в том случае, если события разделены так, что, как бы мы ни выбирали наши координаты, свет, исходящий из любого из них, не мог бы достичь места другого до того, как произошло другое.

Преобразование Лоренца дает результат, что: c^2t'^2 - x'^2 - y'^2 - z'^2 = c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2. Поскольку x' = β(x - vt) и t' = β(t - vx/c^2), мы имеем: c^2t'^2 - x'^2 = c^2t^2 - x^2, или, полагая r1^2 = x1^2 + y1^2 + z1^2, r2^2 = x2^2 + y2^2 + z2^2 для расстояний события от двух наблюдателей: c^2(t2 - t1)^2 - (r2 - r1)^2 = c^2(t2' - t1')^2 - (r2' - r1')^2. Этот результат является общим — т.е. при наличии любых двух тел отсчета в равномерном относительном движении, если s — расстояние между двумя событиями согласно одной системе, s' — расстояние согласно другой, и если t, t' — соответствующие временные интервалы между событиями, уравнение (2) всегда будет выполняться. Таким образом, c^2t^2 - r^2 представляет физическую величину, независимую от выбора координат; она называется квадратом «интервала» между двумя событиями. Существует два случая, в зависимости от того, является ли он положительным или отрицательным. Когда он положительный, интервал между событиями называется «времениподобным»; когда отрицательный — «пространственноподобным». В промежуточном случае, в котором он равен нулю, события таковы, что один световой луч может присутствовать при каждом из них. В этом случае одно событие могло бы быть видением другого. Временной порядок двух событий будет различным в разных системах отсчета, когда их интервал пространственноподобен, но когда он времениподобен, временной порядок одинаков во всех системах, хотя величина временного интервала варьируется.

Когда интервал между двумя событиями является времениподобным, тело может двигаться таким образом, чтобы присутствовать в обоих событиях. В этом случае интервал — это то, что часы на этом теле покажут как время. Когда интервал между двумя событиями является пространственноподобным, тело может двигаться таким образом, что по его часам эти два события будут одновременными; в этом случае интервал — это то, что по отношению к этому телу представляется их расстоянием. (В этих замечаниях мы принимаем скорость света за единицу скорости, что удобно в теории относительности.) И то, и другое является следствием преобразований Лоренца. Из первого из них следует, что если оба события происходят со мной, то время между ними, измеренное моими часами (при условии, что это хорошие часы), является «интервалом» между ними и по-прежнему имеет физический смысл. Таким образом, время, которое рассматривается в психологии, не затрагивается теорией относительности, если предположить, что все, с чем имеет дело психология, происходит, с физической точки зрения, в теле человека, чьи ментальные события рассматриваются. Это допущение, основания для которого будут приведены позже.

Из неоднозначности одновременности удаленных событий следует, что мы не можем однозначно говорить о «расстоянии между двумя телами в данное время». Если два тела находятся в относительном движении, «данное время» будет разным для этих двух тел и снова разным для других тел отсчета. Отсюда следует, что такое понятие не может входить в правильную формулировку физического закона. Уже на этом основании мы можем заключить, что ньютоновская форма закона тяготения не может быть вполне верной. К счастью, Эйнштейн предложил необходимое исправление.

Следует заметить, что вследствие преобразований Лоренца масса тела будет не одинаковой, когда оно находится в движении относительно тела отсчета, и когда оно покоится относительно него. Масса тела обратно пропорциональна ускорению, которое придает ему данная сила, и два тела отсчета, находящиеся в равномерном относительном движении, дадут разные результаты для ускорения третьего тела. Это очевидно как следствие фицджеральдова сокращения. Увеличение массы при быстром движении было известно экспериментально еще до того, как специальная теория относительности объяснила его; оно очень заметно для скоростей, подобных тем, которые достигаются бета-частицами (электронами), испускаемыми радиоактивными телами, поскольку эти скорости могут составлять до 99 процентов скорости света. Это изменение массы, подобно фицджеральдову сокращению, казалось странным и аномальным, пока специальная теория относительности не объяснила его.

Важен еще один момент, показывающий, как легко то, что кажется аксиоматичным, может оказаться ложным: он касается сложения скоростей. Предположим, три тела движутся равномерно в одном направлении: скорость второго относительно первого равна v1, третьего относительно второго — v2. Какова скорость третьего относительно первого? Можно было бы подумать, что она должна быть v1 + v2, но на самом деле она равна (v1 + v2) / (1 + v1v2/c^2). Видно, что это меньше v1 + v2; если v1 = c или v2 = c, то она равна c, в противном случае она меньше c. Это иллюстрация того, как скорость света играет роль бесконечности по отношению к материальным движениям.

Специальная теория поставила перед собой задачу сделать законы физики одинаковыми относительно любых двух координатных систем, находящихся в равномерном прямолинейном относительном движении. Нужно было рассмотреть две системы уравнений: уравнения ньютоновской динамики и уравнения Максвелла. Последние не изменяются при преобразовании Лоренца, но первые требуют определенных адаптаций. Однако они таковы, как уже подсказывали экспериментальные результаты. Таким образом, решение поставленной задачи было завершено, но, конечно, с самого начала было очевидно, что реальная проблема более общая. Не могло быть причин ограничиваться двумя координатными системами в равномерном прямолинейном движении; задача должна быть решена для любых двух координатных систем, независимо от характера их относительного движения. Это та проблема, которая была решена общей теорией относительности.

ГЛАВА VI ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Общая теория относительности имеет гораздо более широкий охват, чем специальная теория, и представляет больший философский интерес, помимо одного вопроса о замене пространства и времени пространством-временем. Общая теория требует отказа от всех прямых отношений между удаленными событиями, причем отношения, от которых зависит пространство-время, в первую очередь ограничены очень малыми областями и расширяются, где это возможно, только посредством интегрирования. Весь старый аппарат геометрии — прямые линии, круги, эллипсы и т. д. — исчез. То, что относится к analysis situs, остается с определенными модификациями; и существует новая геометрия геодезических линий, которая возникла из изучения поверхностей Гауссом через инаугурационную диссертацию Римана. Геометрия и физика больше не являются отдельными, пока мы не рассматриваем те части физики, которые вводят атомарность, такие как электроны, протоны и кванты. Возможно, даже это исключение не останется надолго. Существуют части физики, которые пока лежат вне общей теории относительности, но нет таких частей физики, к которым она не была бы в некоторой степени применима. И ее важность для философии, возможно, даже больше, чем ее важность для физики. Конечно, за нее ухватились философы разных школ, чтобы найти поддержку своим соответствующим доктринам; утверждается, что св. Фома, Кант и Гегель предвосхитили ее. Но я не думаю, что кто-либо из философов, предлагающих такие предположения, взял на себя труд понять теорию. Что касается меня, я не претендую на то, чтобы точно знать, какими окажутся ее философские последствия, но я убежден, что они далеко идущие и совсем не такие, какими они кажутся философам, невежественным в математике.

В настоящей главе я хочу рассмотреть теорию Эйнштейна без какого-либо учета ее философских следствий, просто как логическую систему. Система начинается с предположения о четырехмерном многообразии, имеющем определенный порядок. Форма, которую принимает это допущение, несколько техническая: предполагается, что когда у нас есть то, что можно назвать обычным набором координат — например, те, которые естественно использовались бы в ньютоновской астрономии, — существуют определенные преобразования этих координат, которые являются законными, и некоторые другие, которые таковы не являются. Законными являются те, которые преобразуют бесконечно малые расстояния в бесконечно малые расстояния. Это означает, что преобразования должны быть непрерывными. Возможно, то, что предполагается, можно сформулировать следующим образом: если дан набор точек P1, P2, P3, ... чьи координаты стремятся к предельному набору, который является координатами точки P, то в любой новой законной системе координат эти точки P1, P2, P3, ... должны иметь координаты, стремящиеся к предельному набору, который является координатами P в новой системе. Это означает, что определенные отношения порядка между координатами представляют свойства точек пространства-времени и предполагаются при назначении координат. Точная формулировка того, что здесь подразумевается, может быть сделана только в терминах пределов, но правильный смысл передается утверждением, что соседние точки должны иметь соседние координаты. Точная природа порядковых предпосылок релятивистской системы координат займет нас в более поздней главе; в настоящее время я лишь хочу подчеркнуть, что пространство-временное многообразие в общей теории относительности имеет порядок, который не является произвольным и который воспроизводится в любой законной системе координат. Важно осознать, что этот порядок является чисто порядковым и не включает в себя никаких метрических элементов. Он также не выводим из метрических отношений точек, которые вводятся позже в теории, — то есть из «интервалов».

Точки пространства-времени, конечно, не имеют длительности, как и пространственной протяженности. Обычно предполагается, что несколько событий могут занимать одну и ту же точку; это подразумевается в концепции пересечения мировых линий. Я думаю, можно также предположить, что одно событие может распространяться на конечную область пространства-времени, но по этому вопросу теория, насколько мне известно, хранит молчание. Я сам в более поздней главе рассмотрю построение точек как систем событий, каждое из которых имеет конечную протяженность; это предмет, который особенно рассматривался доктором Уайтхедом, но я предложу метод, несколько отличающийся от его. Пока мы ограничиваемся теорией относительности, нет необходимости рассматривать, имеют ли события конечную протяженность, хотя я думаю, необходимо предположить, что два события могут оба занимать одну и ту же точку пространства-времени. Однако даже в этом есть некоторая расплывчатость в авторитетных изложениях, что объясняется главным образом крупным масштабом явлений, которыми теория занимается в основном. Иногда кажется, что вся Земля считается точкой; безусловно, одна физическая лаборатория делает это в практике авторов, пишущих о теории относительности. Иногда профессор Эддингтон считает область в несколько квадратных километров бесконечно малой второго порядка. Тот факт, что такой взгляд уместен в дискуссиях о теории относительности, делает ненужным быть точным в том, что имеется в виду под утверждением, что два события занимают одну и ту же точку, или что две мировые линии пересекаются. В настоящее время я буду исходить из того, что это возможно в строгом смысле; мои причины будут приведены в более поздней главе.

Предполагается, что каждой точке пространства-времени можно приписать четыре вещественных числа, и наоборот, что любые четыре вещественных числа (во всяком случае, в определенных пределах) являются координатами точки. Это сводится к предположению, что число точек равно c, где c — число конечных целых чисел; то есть число точек равно числу канторовского континуума. Каждый класс из c членов является полем различных кратных отношений, которые организуют класс в четырехмерный континуум — или, если на то пошло, в n-мерный континуум. Но нам нужно немного больше. Из всех способов организации точек пространства-времени в четырехмерный континуум только один имеет физическое значение; другие существуют только для математической логики. Это означает, что среди точек должны существовать отношения, выводимые из эмпирической базы, которые порождают четырехмерный континуум. Это будут порядковые отношения, о которых говорилось в предпоследнем абзаце. Поэтому мы предполагаем, что эти порядковые отношения порождают континуум и что координаты назначены так, что соседние точки имеют соседние координаты. Точнее, координаты предела набора точек являются пределами координат набора. Это не закон природы, а предписание относительно того, каким образом назначаются координаты. Оно оставляет большую свободу, но не полную. Оно позволяет заменить любую систему координат другой системой, в которой новые координаты являются любыми непрерывными функциями старых координат, но исключает разрывные функции.

Теперь мы предполагаем, что любые две соседние точки имеют метрическое отношение, называемое их «интервалом», квадрат которого является квадратичной функцией разностей их координат. Это обобщение теоремы Пифагора, которое пришло через Гаусса и Римана. Стоит на мгновение рассмотреть историческое развитие.

Согласно теореме Пифагора, если две точки на плоскости имеют координаты (x1, y1), (x2, y2) и s — их расстояние, то s^2 = (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2. По непосредственно очевидному расширению, если две точки в пространстве имеют координаты (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), их расстояние равно s^2 = (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2. Если расстояние мало, мы пишем dx, dy, dz для x2-x1, y2-y1, z2-z1 и ds для s; таким образом: ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2. Гаусс рассмотрел проблему, касающуюся поверхностей, которая естественно возникает из вышесказанного. На поверхности положение точки может быть зафиксировано двумя координатами, которые не обязательно должны включать ссылку на что-либо вне поверхности. Так, на Земле положение фиксируется широтой и долготой. Предположим, u и v — две такие координаты, которые фиксируют положение на поверхности. Тогда в общем случае у нас не будет ds^2 = du^2 + dv^2 для расстояния между соседними точками; в общем случае мы не можем получить формулу такого вида, как бы мы ни определяли u и v. Мы можем получить формулу такого вида на цилиндре или конусе, и вообще на так называемых «развертывающихся» поверхностях, но не, например, на сфере. Общая формула принимает вид: ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2, где E, F, G в общем случае являются функциями u и v, а не константами. Гаусс показал, что существуют определенные функции от E, F, G, которые имеют одно и то же значение, как бы ни определялись координаты u и v; эти функции выражают свойства поверхности, которые теоретически могут быть обнаружены измерениями, проведенными на поверхности, без ссылки на внешнее пространство.

Риман распространил этот метод на пространство. Он предположил, что теорема Пифагора может быть неточной и что правильная формула для расстояния между двумя точками может быть такой, которая получается из формулы Гаусса путем добавления еще одной переменной. Он показал, что это предположение может быть положено в основу неевклидовой геометрии. Весь предмет неевклидовой геометрии, однако, оставался без видимого отношения к физике, пока не был использован в теории тяготения Эйнштейна, которая является результатом сочетания идей Римана с заменой расстояния в пространстве и времени на пространственно-временной «интервал», что уже было сделано в специальной теории относительности.

В специальной теории относительности, как мы видели, интервал между двумя пространственно-временными точками, одна из которых является началом координат, равен ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 - dt^2, если интервал пространственноподобный, и ds^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2, если интервал времениподобный. На практике всегда берется последняя форма. Любая система координат, допускаемая специальной теорией, дает одно и то же значение интервала между двумя данными пространственно-временными точками. Но мы сейчас допускаем гораздо большую свободу в выборе координат и предполагаем, что специальная теория представляет лишь приближение, будучи не совсем верной, за исключением отсутствия гравитационного поля. Мы по-прежнему предполагаем, что для малых расстояний существует квадратичная функция разностей координат, которая имеет физический смысл и имеет одно и то же значение, как бы ни были назначены координаты, при условии соблюдения уже объясненного условия непрерывности. То есть, если x1, x2, x3, x4 — координаты точки, а x1+dx1, x2+dx2, x3+dx3, x4+dx4 — координаты соседней точки, мы предполагаем, что существует квадратичная функция: ds^2 = Σ gμν dxμ dxν, которая имеет одно и то же значение, как бы ни были назначены координаты; затем мы определяем ds как «интервал» между двумя соседними точками. gμν будут функциями координат (в общем случае не константами), и для удобства мы берем ds^2 = Σ gμν dxμ dxν. Точно так же, как Гаусс смог вывести геометрию поверхности из своей формулы, так и мы можем вывести геометрию пространства-времени из нашей формулы. Но поскольку мы включаем время, наша геометрия — это не просто геометрия, а физика; другими словами, она сочетает историю с географией.

На большом расстоянии от материи специальная теория по-прежнему будет верна, и поэтому пространство будет евклидовым, поскольку, если мы положим gμν = 0 для μ ≠ ν и g11 = g22 = g33 = 1, g44 = -1, специальная теория дает евклидову формулу для расстояния. Окрестность гравитирующей материи проявляется в неевклидовом характере рассматриваемой области. Это, однако, требует некоторых предварительных объяснений, особенно объяснения метода тензоров, который составит предмет следующей главы.

Все в общей теории относительности зависит от существования вышеприведенной формулы для ds^2. Сама формула носит характер эмпирического обобщения; никакого априорного обоснования для нее не предлагается. Это обобщение теоремы Пифагора, которую раньше можно было доказать. Но доказательство опиралось на аксиомы Евклида, которые нет оснований считать абсолютно верными. Более того, существует трудность в приписывании смысла его фундаментальным понятиям, таким как «прямая» линия. Старая геометрия предполагала статичное пространство, что она могла делать, потому что пространство и время считались разделимыми. Естественно думать о движении как о следовании по пути в пространстве, который существует до и после движения: трамвай движется по уже существующим трамвайным путям. Этот взгляд на движение, однако, больше не является состоятельным. Движущаяся точка — это серия положений в пространстве-времени; более поздняя движущаяся точка не может следовать по «тому же» курсу, поскольку ее временная координата иная, что означает, что в другой, столь же законной системе координат ее пространственные координаты также будут другими. Мы думаем о трамвае как о совершающем одно и то же путешествие каждый день, потому что мы думаем о Земле как о неподвижной; но с точки зрения Солнца трамвай никогда не повторяет прежнее путешествие. «Нельзя дважды войти в одну и ту же реку», как говорит Гераклит. Таким образом, очевидно, что вместо статической прямой линии Евклида нам придется подставить движение, обладающее некоторым особым свойством, определенным в терминах пространства-времени, а не пространства. Требуемое движение — это «геодезическая линия», о которой мы скажем больше позже.