«Исследования и упражнения по формальной логике»

(1) Большая посылка сама по себе может быть принята как аксиоматическая, или она может быть выводима (без помощи заключения) из более фундаментальных принципов, которые приняты как аксиоматические. Действительно, утверждалось, что самоочевидная максима не может быть использована, или, во всяком случае, излишня, в качестве доказательства, потому что любое заключение, которое она могла бы быть использована для установления, было бы само по себе столь же самоочевидным. 451 Рассмотрение обычных 428 геометрических доказательств, однако, сразу покажет, что это не обязательно так, и что с помощью самоочевидных посылок могут быть достигнуты заключения, которые, безусловно, сами по себе не являются самоочевидными.

451 Сравните Бэйли, «Теория рассуждения», стр. 74.

(2) Большая посылка может быть основана на авторитете или может быть принята на основе свидетельства; или она может быть выражением гражданского закона, или приказа, или правила поведения; 452 и ни в одном из этих случаев она не может быть в какой-либо степени основана на заключении.

452 «Мы находим, — говорит Зигварт, — широкое поле для наших умозаключений в применении общих законов, которые имеют свое происхождение в нашей воле и призваны регулировать эту волю. Устанавливая общее правило поведения, наша воля определяет, что должна существовать всеобщая действительная связь между определенными условиями и определенными способами действия. Если мы желаем общего закона, логически необходимо, чтобы мы желали частных действий, предписанных законом, если наша воля должна быть постоянной и последовательной, и действительной для каждого, кто согласен желать общего закона. Все уголовные кодексы, налагая наказание в виде тюремного заключения за кражу, смертной казни за убийство, устанавливают ряд гипотетических суждений, которые устанавливают всеобщую связь между совершением преступления и несением наказания. Эти суждения, более того, могут также рассматриваться как теоретические пропозиции, поскольку они выражают общую обязанность судьи выносить приговор в соответствии с законом» (Логика, I, стр. 337).

(3) Большая посылка может быть несовершенной индукцией, основанной на доказательствах, которые не включают заключение. В качестве примера мы можем взять рассуждение, вовлеченное в проверку природы данного вещества в практической химии. В рассуждении такого рода нашей непосредственной отправной точкой является общее знание свойств химических веществ. Это знание было получено индуктивно, но невозможно, чтобы оно в малейшей степени зависело от какого-либо предшествующего знакомства со свойствами конкретного вещества, которое теперь должно быть исследовано впервые. Или, опять же, мы можем взять астрономические умозаключения, основанные на законе всемирного тяготения. Этот закон является индукцией, основанной на частных наблюдениях, но он подразумевает бесконечное число фактов, которые не составляют часть доказательств, на которых он принят как истинный; и многие из этих фактов в первую очередь доводятся до нашего сведения как умозаключения из закона, а не как данные, ведущие к нему. Если утверждается, что в таких случаях, как эти, большие посылки не могут быть законно установлены независимо от заключений, силлогистически выведенных из них, то 429 правильность несовершенной индукции как процесса достижения знания должна быть отрицаема.

Если бы его попросили ответить на аргумент, содержащийся в предыдущем абзаце, Милль, несомненно, сослался бы на свою доктрину функции большой посылки в силлогизме. Реальное доказательство заключения силлогизма, сказал бы он, находится не в самой большой посылке, а в доказательствах, на которых основана большая посылка: большая посылка — это не более чем меморандум доказательств, из которых заключение могло бы быть непосредственно получено: вмешательство большой посылки часто удобно, но оно не является существенным звеном в переходе от конечных данных к заключению. В ответ можно сказать, что здесь, во всяком случае, имеет место смещение почвы, и что доктрина Милля, даже если она принята, не оправдывает обвинение в том, что каждый силлогизм включает petitio principii; ибо признано, что заключение само по себе не составляет никакой части данных, из которых получена большая посылка. Мы должны, однако, пойти дальше и отвергнуть эту доктрину на том основании, что существуют, во всяком случае, некоторые случаи, в которых общий закон, выраженный большой посылкой, является абсолютно необходимым звеном в аргументе. Так, чтобы взять лишь одну иллюстрацию, существует много следствий закона всемирного тяготения, которые было бы совершенно невозможно вывести непосредственно из доказательств, лежащих за этим законом, без вмешательства самого закона.

Принимая во внимание случаи, подобные приведенным выше, мы должны отвергнуть взгляд, что силлогистическое рассуждение существенно включает petitio principii в смысле circulus in probando. Любая правдоподобность, которой может обладать противоположный взгляд, зависит от некоторого смешения между утверждением, что каждый силлогизм виновен в petitio principii в вышеуказанном смысле, и утверждением, что в каждом силлогизме посылки предполагают заключение в том смысле, что они не могли бы быть истинными, если бы заключение не было истинным.

Последнее утверждение применимо не только к силлогистическому, но и ко всем демонстративным умозаключениям. Вопрос может быть действительно поднят, не применимо ли оно ко всем правильным умозаключениям вообще. Это, фактически, один рог дилеммы, упомянутой в разделе 377.

В любом случае, называть рассуждение содержащим petitio principii на этом основании — значит злоупотреблять языком. Под petitio principii всегда понимается определенная форма логической ошибки. Однако в экспликации того, что изначально было лишь имплицитным, нет ничего, что при любом расширительном толковании языка можно было бы назвать ошибочным. Утверждение о том, что вся дедуктивная наука есть не что иное, как огромное petitio principii, является явным абсурдом. Максимум, что можно сказать, это то, что во всех демонстративных рассуждениях (так называемых) на самом деле нет вывода из посылок, а есть лишь интерпретация посылок. Поскольку это чисто языковой вопрос, достаточно отметить парадоксальные выводы, к которым он ведет; например, что во всей «Геометрии» Евклида нет ничего подобного выводу или доказательству. Поскольку же это не просто языковой вопрос, он сводится к моментам, которые мы уже обсуждали, например, к возможности прогресса в знании, рассматриваемого субъективно, хотя с объективной точки зрения полученные выводы не содержат ничего нового. Нет необходимости повторять обсуждение применительно к силлогизму.

ГЛАВА X.

ПРИМЕРЫ АРГУМЕНТОВ И ЛОГИЧЕСКИХ ОШИБОК.

382. В скольких различных модусах может быть сформулирован аргумент, подразумеваемый в следующем суждении: «Никто не может утверждать, что всякое преследование оправданно, кто признает, что преследование иногда неэффективно»? Как изменится формальная правильность рассуждения, если заменить «утверждать» на «отрицать»? [V.]

383. Никто не может утверждать, что все республики обеспечивают хорошее управление, кто помнит, что хорошее управление несовместимо с распущенной прессой. Какие посылки должны быть добавлены, чтобы выразить вышеприведенное рассуждение в модусах Ferio, Festino и Ferison соответственно? [V.]

384. Запишите следующие аргументы в силлогистической форме и сведите их к первой фигуре: (α) Фолкленд был роялистом и патриотом; следовательно, некоторые роялисты были патриотами. (β) Все, кто наказан, должны нести ответственность за свои действия; следовательно, если некоторые сумасшедшие не несут ответственности за свои действия, они не должны быть наказаны. (γ) Все, кто сдал Little-Go, знают греческий язык; следовательно, А.Б. не мог сдать Little-Go, так как он не знает греческого языка. [K.]

385. «Невозможно утверждать, что только добродетельные счастливы, и в то же время, что эгоизм совместим со счастьем, но несовместим с добродетелью». Сформулируйте вышеприведенный аргумент силлогистически в как можно большем количестве модусов. [J.]

386. Дайте техническое название следующему аргументу: «Оплата по результатам звучит чрезвычайно многообещающе; но оплата по результатам обязательно означает оплату за минимум знаний; оплата за минимум знаний означает обучение с целью достижения минимума знаний; обучение с целью достижения минимума знаний означает плохое обучение». [K.]

387. Из P следует Q; и из R следует S; но Q и S не могут быть истинными одновременно; покажите, что P и R не могут быть истинными одновременно. [Де Морган.]

388. Если (1) ложно, что всякий раз, когда встречается X, с ним встречается Y, и (2) не менее неверно, что X иногда встречается без сопровождения Z, вправе ли вы отрицать, что (3) всякий раз, когда встречается Z, вы можете быть уверены в нахождении Y? И, как бы то ни было, можете ли вы в тех же обстоятельствах судить о чем-либо относительно Y в терминах Z? [R.]

389. Можно ли свести следующие аргументы к силлогистической форме? (1) Солнце — вещь нечувствующая; персы поклоняются солнцу; следовательно, персы поклоняются вещи нечувствующей. (2) Божественный закон повелевает нам почитать королей; Людовик XIV — король; следовательно, Божественный закон повелевает нам почитать Людовика XIV. [Логика Пор-Рояля.]

390. Проанализируйте следующие аргументы; там, где они правильны, сведите их, если можете, к силлогистической форме; а там, где они неправильны, объясните природу логической ошибки: (1) Мы должны верить Писанию; Предание не есть Писание; следовательно, мы не должны верить Преданию. (2) Каждый хороший пастырь готов отдать жизнь за своих овец; ныне мало пастырей в наше время, готовых отдать жизнь за своих овец; следовательно, в наше время мало хороших пастырей. (3) Только те, кто являются друзьями Бога, счастливы; ныне есть богатые люди, которые не являются друзьями Бога; следовательно, есть богатые люди, которые не счастливы. (4) Долг христианина — не хвалить тех, кто совершает преступные действия; ныне те, кто участвует в дуэли, совершают преступное действие; следовательно, долг христианина — не хвалить тех, кто участвует в дуэлях. (5) Евангелие обещает спасение христианам; некоторые нечестивцы — христиане; следовательно, Евангелие обещает спасение нечестивцам. (6) Тот, кто говорит, что вы животное, говорит правду; тот, кто говорит, что вы гусь, говорит, что вы животное; следовательно, тот, кто говорит, что вы гусь, говорит правду. (7) Вы не то, что я; я человек; следовательно, вы не человек. (8) Мы можем быть счастливы в этом мире, только предаваясь нашим страстям или борясь с ними; если мы предаемся им, это несчастное состояние, так как оно постыдно, и мы никогда не могли бы быть им довольны; если мы боремся с ними, это также несчастное состояние, так как нет ничего более болезненного, чем та внутренняя война, которую мы постоянно вынуждены вести с самими собой; следовательно, мы не можем иметь в этой жизни истинного счастья. (9) Либо наша душа погибает вместе с телом, и таким образом, не имея чувств, мы будем неспособны к какому-либо злу; либо, если душа переживает тело, она будет более счастлива, чем была в теле; следовательно, смерти не следует бояться. [Логика Пор-Рояля.]

391. Проанализируйте следующие аргументы: (1) «Кто от Бога, тот слышит слова мои: вы потому не слышите, что вы не от Бога». (2) Вся рыба, которую захватила сеть, была беспорядочной смесью различных видов: те, что были отложены и сохранены как ценные, были рыбой, которую захватила сеть: следовательно, те, что были отложены и сохранены как ценные, были беспорядочной смесью различных видов. (3) Свидетельство — это вид доказательства, который очень часто бывает ложным: доказательство, на основании которого большинство людей верят, что в Египте есть пирамиды, есть свидетельство: следовательно, доказательство, на основании которого большинство людей верят, что в Египте есть пирамиды, очень часто бывает ложным. (4) Если система Пейли должна быть принята, то тот, кто не имеет знаний о будущей жизни, не имеет средств различать добро и зло: ныне тот, кто не имеет средств различать добро и зло, не может совершить греха: следовательно, если система Пейли должна быть принята, то тот, кто не имеет знаний о будущей жизни, не может совершить греха. (5) Если Авраам был оправдан, то это должно было быть либо верой, либо делами: ныне он не был оправдан верой (согласно Иакову), ни делами (согласно Павлу): следовательно, Авраам не был оправдан. (6) Для тех, кто стремится к совершенствованию своего ума прилежным изучением, стимул академических почестей излишен; и он неэффективен для ленивых и тех, кто равнодушен к умственному совершенствованию: следовательно, стимул академических почестей либо излишен, либо неэффективен. (7) Тот, кто наиболее голоден, ест больше всех; тот, кто ест меньше всех, наиболее голоден: следовательно, тот, кто ест меньше всех, ест больше всех. (8) Монополия на бизнес по рафинированию сахара выгодна сахарорафинадчикам: и на торговлю зерном — зернопроизводителям: и на производство шелка — шелкоткачам и т. д.; и таким образом каждый класс людей получает выгоду от некоторых ограничений. Ныне все эти классы людей составляют все общество: следовательно, система ограничений выгодна обществу. [Уэйтли, Логика.]

392. Ниже приведены несколько примеров, на которых читатель может испытать свое умение обнаруживать логические ошибки, определять специфическую форму силлогизмов и восполнять пропущенные посылки энтимем: (1) Только те, кто доволен своей долей в жизни, могут справедливо считаться счастливыми. Но истинно мудрый человек всегда будет довольствоваться своей долей в жизни, и, следовательно, он может справедливо считаться счастливым. (2) Все понятные суждения должны быть либо истинными, либо ложными. Два суждения «Цезарь все еще жив» и «Цезарь мертв» являются понятными суждениями; следовательно, они оба истинны или оба ложны. (3) Многие вещи труднее, чем ничего не делать. Нет ничего труднее, чем ходить на голове. Следовательно, многие вещи труднее, чем ходить на голове. (4) Только виги голосуют за мистера Б. Все, кто голосует за мистера Б., являются домовладельцами с доходом в десять фунтов. Следовательно, только виги являются домовладельцами с доходом в десять фунтов. (5) Если Моисеево описание космогонии строго верно, солнце не было создано до четвертого дня. И если солнце не было создано до четвертого дня, оно не могло быть причиной чередования дня и ночи в течение первых трех дней. Но либо слово «день» используется в Писании в ином смысле, чем тот, в котором оно общепринято сейчас, либо солнце должно было быть причиной чередования дня и ночи в течение первых трех дней. Отсюда следует, что либо Моисеево описание космогонии не строго верно, либо слово «день» используется в Писании в ином смысле, чем тот, в котором оно общепринято сейчас. (6) Страдание — это право на отличное наследство; ибо Бог наказывает каждого сына, которого принимает. (7) Конечно, будет дождь, ибо небо выглядит очень черным. [Солли, Учебник логики.]

393. Проанализируйте следующие аргументы; насколько они правильны, сведите их к силлогистической форме; а там, где они неправильны, объясните природу содержащейся в них логической ошибки: (1) Если вы спорите о предмете, которого не понимаете, вы докажете, что вы глупец; ибо это ошибка, которую всегда совершают глупцы. (2) Неверно, что какие-либо металлы являются соединениями, и некорректно говорить, что каждый металл тяжелый; можно, следовательно, сделать вывод, что некоторые элементы не являются тяжелыми, а также что некоторые тяжелые вещества не являются элементами. (3) Ни один молодой человек не мудр; ибо только опыт может дать мудрость, а опыт приходит только с возрастом. [K.]

394. Проанализируйте технически следующий аргумент: Каждый либо хорошо осведомлен о фактах, либо уже убежден в предмете; никто не может быть одновременно уже убежденным в предмете и восприимчивым к аргументам: отсюда следует, что только те, кто хорошо осведомлен о фактах, восприимчивы к аргументам. [J.]

395. Доктор Джонсон заметил, что «человек, который продал перочинный нож, не обязательно является скобянщиком». Против какой логической ошибки было направлено это замечание? [C.]

396. Проанализируйте следующие аргументы, указав любые содержащиеся в них логические ошибки: (a) Чем правильнее логика, тем вернее вывод будет ошибочным, если посылки ложны. Следовательно, там, где посылки полностью недостоверны, лучший логик — наименее надежный проводник. (b) Распространение образования среди низших слоев сделает их непригодными для их работы: ибо это всегда имело такой эффект на тех из них, кому довелось получить его в прежние времена. (c) Эта брошюра содержит крамольные доктрины. Распространение крамольных доктрин может быть опасным для государства. Следовательно, эта брошюра должна быть запрещена. [C.]

397. Проанализируйте следующие аргументы: (1) Телескоп с окуляром на одной стороне трубы, вероятно, является рефлектором; телескоп лорда Росса — рефлектор; следовательно, телескоп лорда Росса, вероятно, имеет окуляр на одной стороне трубы. (2) Хорошие работники не жалуются на свои инструменты; мои ученики не жалуются на свои инструменты; следовательно, мои ученики, вероятно, хорошие работники. (3) Если, с одной стороны, язычники из-за отсутствия лучших знаний не могут не нарушать Десять заповедей, то они не осуждаются; если, с другой стороны, они осуждаются, то за совершение того, что они хорошо знали как злое и от чего они вполне могли воздержаться; следовательно, что бы с ними ни случилось, справедливость удовлетворена. [K.]

398. Обсудите природу рассуждения, содержащегося или, по-видимому, предполагаемого в следующих предложениях: Невозможно доказать, что преследование оправданно, если вы не можете доказать, что некоторые неэффективные меры оправданны; ибо ни одно преследование никогда не было эффективным. Этот документ может быть подлинным, хотя он не проштампован, ибо некоторые проштампованные документы подлинны. [C.]

399. Сформулируйте следующие аргументы в логической форме и проверьте их правильность: (1) Поэзия должна быть либо истинной, либо ложной: если последняя, она вводит в заблуждение; если первая, она есть замаскированная история и отдает самозванством, пытаясь выдать себя за нечто большее, чем она есть. Некоторые философы поэтому мудро исключили поэзию из идеального государства. (2) Если мы никогда не находим шкур иначе как в качестве покровов животных, мы можем с уверенностью заключить, что животные не могут существовать без шкур. Если цвет не может существовать сам по себе, из этого следует, что и ничто окрашенное не может существовать без цвета. Так, если язык без мысли нереален, то мысль без языка также должна быть таковой. (3) Если бы перемирие было выгодно Франции и Германии, оно было бы согласовано этими державами; но этого не произошло; ясно поэтому, что перемирие не было бы выгодно ни одной из воюющих сторон. (4) Если нам суждено умереть, мы достаточно сильны, чтобы причинить нашей стране утрату: а если жить, то чем меньше людей, тем больше доля чести. [O.]

400. Проанализируйте логически следующие аргументы: (a) Если правдивость никогда не встречается без щепетильности, и если правдивость несовместима с глупостью, из этого следует, что глупость и щепетильность никогда не могут быть связаны. (b) Вы говорите, что нет правила без исключения. Я отвечаю, что в таком случае то, что вы только что сказали, должно иметь исключение, и тем самым доказывает, что вы противоречите сами себе. (c) Знание дает силу; следовательно, поскольку сила желательна, знание желательно. [L.]

401. Проанализируйте следующие аргументы, изложив их в силлогистической форме и указав логические ошибки, если таковые имеются: (a) Некоторые, кто истинно мудры, не образованны; но только добродетельные истинно мудры; образованные, следовательно, не всегда добродетельны. (b) Если бы все обвиняемые были невиновны, некоторые, по крайней мере, были бы оправданы; мы можем сделать вывод, следовательно, что никто не был невиновен, так как никто не был оправдан. (c) Каждое утверждение факта заслуживает веры; многие утверждения, не недостойные веры, утверждаются в манере, которая совсем не сильна; мы можем сделать вывод, следовательно, что некоторые утверждения, не сильно утвержденные, являются утверждениями факта. (d) То, что многие лица, совершающие ошибки, заслуживают порицания, доказывается многочисленными примерами, в которых совершение ошибок проистекает из грубой неосторожности. [M.]

402. Проанализируйте технически следующие аргументы: (1) Те, кто считает, что безумные не должны быть наказаны, должны последовательно признать также, что им не следует угрожать; ибо явно несправедливо наказывать кого-либо, предварительно не пригрозив ему. (2) Если он утверждает, что не крал товары, почему, спрашиваю я, он спрятал их, как никогда не забывает делать ни один вор? (3) Плутовство и глупость всегда идут вместе; поэтому, зная, что он глупец, я не доверял ему. (4) Как вы можете отрицать, что причинение боли оправданно, если наказание иногда оправданно и все же всегда включает боль? (5) Если я отрицаю, что бедность и добродетель несовместимы, а вы отрицаете, что они неразделимы, мы можем, по крайней мере, согласиться, что некоторые бедные добродетельны. [V.]

403. Обнаружите логическую ошибку в следующем аргументе: «Вакуум невозможен, ибо если между двумя телами ничего нет, они должны соприкасаться». [N.]

404. Рассмотрите следующий аргумент: Допуская, что A есть B, доказать, что B есть A. B (как и все остальное) есть либо A, либо не-A. Если B не есть A, то по нашей первой посылке мы имеем силлогизм: A есть B, B не есть A, следовательно, A не есть A, что абсурдно. Отсюда следует, что B есть A. [Профессор Джастроу, в Journal of Education, февраль 1897 г.]

405. Проанализируйте следующий аргумент: Невозможно доказать, что общество может продолжать существовать без конкуренции, если вы не можете также доказать, что отсутствие конкуренции не привело бы к деградации индивидов; ибо общество, члены которого деградируют, не может долго продолжать существовать. [M.]

406. Выразите следующие суждения в их простейшей логической форме; проанализируйте их взаимную согласованность или несогласованность и правильность окончательного вывода: Некоторые из опубликованных взглядов мистера Н. новы, а некоторые истинны; на самом деле, они все либо те, либо другие; и, хотя нельзя утверждать в общем, что взгляд, который не нов, по этой причине обязательно не истинен, все же можно с уверенностью утверждать, что каждый возможный ложный взгляд на этот предмет был предложен кем-то другим до того, как мистер Н. написал: из чего следовало бы, что, хотя может быть или не быть так, что взгляды мистера Н. все новы, несомненно, что они все истинны. [J.]

407. Проанализируйте технически следующие аргументы:

(a)

«Лишь настоящее причиняет боль, И настоящее пройдет».

(b) Всякое законодательное ограничение либо несправедливо, либо излишне; поскольку ради интересов одного человека ограничивать всех остальных членов общества несправедливо, а ограничивать самого человека излишне. (c) Только консерваторы — и не все из них — являются протекционистами; только либералы — и не все из них — являются сторонниками гомруля; но обе партии содержат сторонников женского избирательного права. Следовательно, только юнионисты — и не все из них — являются протекционистами, в то время как сторонники женского избирательного права включают как юнионистов, так и сторонников свободной торговли. (d) Ни от одного школьника нельзя ожидать понимания конституционной истории, и ни от кого, кроме школьников, нельзя ожидать запоминания дат; так что ни от кого нельзя ожидать одновременно запоминания дат и понимания конституционной истории. (e) Быть богатым — не значит быть здоровым; не быть здоровым — значит быть несчастным; следовательно, быть богатым — значит быть несчастным. (f) Все, что желает любой человек, желательно; каждый человек желает собственного счастья; следовательно, счастье каждого человека желательно. [J.]

408. Проанализируйте правильность следующих аргументов: (1) Я знал, что он богемец, ибо он был хорошим музыкантом, а богемцы всегда хорошие музыканты. (2) Задиры всегда трусы, но не всегда лжецы; лжецы, следовательно, не всегда трусы. (3) Если бы все солдаты были англичанами, они бы не все разбежались; но некоторые разбежались; и мы можем, следовательно, сделать вывод, что некоторые из них, по крайней мере, не были англичанами. (4) Только добрые действительно достойны зависти; все истинно мудрые люди добры; следовательно, все истинно мудрые люди достойны зависти. (5) Вы не можете утверждать, что все его действия были добродетельны, ибо вы отрицаете, что они были все похвальны, и вы допускаете, что ничто, что не похвально, не является добродетельным. (6) Поскольку цель поэзии — удовольствие, не может быть непоэтичным то, чем все довольны. (7) Большинство M есть P, большинство S есть M, следовательно, некоторое S есть P. (8) Старый Парр, здоровый, как дикие животные, достиг возраста 152 лет; все люди могли бы быть такими же здоровыми, как дикие животные; следовательно, все люди могли бы достичь возраста 152 лет. (9) Совершенно абсурдно говорить «Я предпочел бы не существовать, чем быть несчастным», ибо тот, кто говорит «Я хочу этого, а не того», выбирает нечто. Несуществование, однако, не есть нечто, а ничто, и невозможно выбирать рационально, когда объектом выбора является ничто. (10) Поскольку качество обладания теплой красной кровью принадлежит всем известным птицам, оно должно быть частью их специфической природы; но неизвестные птицы имеют ту же специфическую природу, что и известные птицы; следовательно, качество обладания теплой красной кровью должно принадлежать неизвестным, так же как и известным птицам, т.е. быть универсальным и существенным свойством вида. [K.]

ПРИЛОЖЕНИЕ A.

ДОКТРИНА ДЕЛЕНИЯ.

409. Логическое деление. Термин «деление», как он технически используется в логике, может быть определен как изложение меньших групп, которые содержатся в объеме данного термина. Он также определяется как разделение рода на составляющие его виды. Эти два определения практически эквивалентны друг другу. Деление следует отличать от изложения отдельных объектов, принадлежащих к виду, что технически описывается как перечисление.

В логическом делении больший класс, который делится, называется totum divisum, а меньшие классы, на которые он делится, — membra dividentia (делящие члены). Под основанием или принципом деления (fundamentum sive principium divisionis) понимается тот атрибут или характеристика totum divisum, на модификациях которого основано деление. Данный класс может, конечно, делиться разными способами в зависимости от конкретного атрибута или атрибутов, чьи вариации выбраны в качестве дифференцирующих его различные виды. Так, принимая во внимание равенство или неравенство сторон, треугольники могут быть разделены на равносторонние, равнобедренные и разносторонние; или, принимая во внимание величину наибольшего угла, на тупоугольные, прямоугольные и остроугольные. Опять же, суждения делимы в соответствии с их истинностью или ложностью, или в соответствии с их количеством, или их качеством, и так далее.

Иногда говорят, что принцип деления должен присутствовать во всех делящих членах, хотя и постоянно варьироваться. С другой стороны, говорят, что при делении мы неизменно пытаемся подумать о каком-то атрибуте, который присущ определенным членам группы, но не другим. Первое из этих утверждений не очень хорошо применяется, когда мы просто делим класс в соответствии с наличием или отсутствием какого-либо атрибута (например, кандидатов на государственную службу на успешных и неуспешных) или когда рассматриваемый атрибут может полностью отсутствовать в некоторых случаях, в то время как присутствовать в разной степени в других случаях. Другими словами, учитывая атрибут, чьи вариации составляют наш принцип деления, мы, возможно, должны признать предельный случай, в котором он полностью отсутствует; так, при делении студентов колледжей в соответствии с их колледжами, мы, возможно, должны признать класс внеколледжных студентов. Второе утверждение всегда верно, когда мы просто противопоставляем любой данный вид всем остальным видам, и оно может считаться адекватным, когда мы имеем деление по противоречащим признакам. В других случаях, однако, оно неадекватно; как, например, когда мы делим кандидатов, успешно сдавших экзамен на государственную службу Индии, в соответствии с провинцией, к которой они приписаны.

410. Физическое деление, метафизическое деление и вербальное деление. Следуя старым логикам, мы можем отличать деление, как оно определено в предыдущем параграфе, то есть логическое деление в строгом смысле, от других смыслов, в которых используется этот термин.

Деление индивидуальной вещи на ее отдельные части называется физическим делением или физическим определением (Уэйтли, Логика, стр. 143) или партицией; как, например, если мы делим часы на корпус, стрелки, циферблат и механизм; или книгу на листы и переплет. Мы имеем, с другой стороны, логическое деление, если мы делим часы на золотые, серебряные и т. д., или на английские, швейцарские, американские и т. д.; или если мы делим книги на фолианты, кварто и т. д. Бэйн (Логика, II, стр. 197) приводит анализ химического соединения как пример логического деления. Это скорее пример физического деления. В логическом делении totum divisum всегда приложимо ко всем индивидам, принадлежащим к каждому из membra dividentia; например, «Все люди — животные», «Все квадраты — прямоугольники». Но это не так в химическом анализе. Мы не можем сказать, что кислород — это вода, или что сера — это купорос, или что натрий — это соль.

Отличным как от логического, так и от физического деления является мысленное деление вещи на ее отдельные качества. Это называется метафизическим делением. Мы имеем пример, когда перечисляем отдельные качества часов: их размер, точность, материал, из которого состоит их корпус, и т. д.; или когда мы указываем размер книги, ее толщину, цвет, материал ее переплета, качество бумаги, из которой состоят ее листы, и так далее. Физическое деление может быть фактически произведено; часы, например, можно разобрать на части. Метафизическое деление, с другой стороны, возможно только мысленно. Следует добавить, что метафизическое деление индивидуальных объектов может быть сделано основой логического деления класса, к которому они принадлежат.

Можно отметить еще один вид деления, а именно деление двусмысленного или эквивокального термина на его несколько значений. Это называется вербальным делением (Кларк, Логика, стр. 331) или различением (Мансел, Олдрич, стр. 37). Например, мы должны различать «watch» в смысле бдения, в смысле стражи и в смысле часов.

411. Правила логического деления. Фундаментальные правила логического деления таковы: (1) члены деления должны быть взаимно исключающими; и (2) в совокупности они должны быть точно соразмерны делящемуся классу. Таким образом, если класс X правильно разделен на XA, XB, XC, должны выполняться следующие суждения, а именно: «Ни один XA не есть B или C», «Ни один XB не есть C или A», «Ни один XC не есть A или B», «Каждый X есть A или B или C».

Обычно добавляются два следующих правила: (3) Каждый отдельный акт деления должен проводиться повсюду на одном и том же основании или принципе; (4) Если деление включает более одного шага, оно должно протекать постепенно и непрерывно от высшего рода к низшему виду, то есть оно не должно переходить внезапно от высокого рода к низкому виду.

Можно возразить, что (1) и (2) не должны в строгом смысле описываться как правила, а скорее как составляющие собой точное изложение того, что подразумевается, когда мы говорим о логическом делении. Однако они становятся правилами в том смысле, что заявленное логическое деление, которое не удовлетворяет любому из них, подразумевает отношения между членами деления, которые на самом деле не выполняются. Правила (3) и (4) имеют другой характер. Они являются правилами в том смысле, что их необходимо соблюдать, если деление должно иметь практическую пользу.

Правило (3) не предназначено для осуждения процессов подразделения и со-деления. Произведя деление на одном принципе, мы можем приступить к подразделению полученных таким образом классов в соответствии с другим принципом, и так далее до бесконечности. Научная классификация всегда будет состоять из иерархии классов, полученных таким образом. Опять же, нет причин, почему один и тот же класс не может для разных целей делиться в соответствии с двумя или более различными принципами, до тех пор, пока они остаются отличными друг от друга, а члены различных результирующих делений не смешиваются вместе.

Говорили, что нарушение правила (1) обязательно влечет за собой нарушение правила (3), поскольку не может быть никакого перекрытия классов, пока деление правильно проводится на основе одного принципа. Это, однако, не всегда верно, если мы не интерпретируем слово «правильно» как подразумевающее, что принимаются меры предосторожности, чтобы избежать любого перекрытия, что, конечно, является предрешением вопроса. Так, если мы делим треугольники на те, которые имеют (a) прямой угол, (b) тупой угол, (c) острый угол, можно сказать, что мы действуем на основе одного принципа, и все же результирующие классы не являются взаимно исключающими. Можно, опять же, утверждать, что классы «равносторонний треугольник», «равнобедренный треугольник», «разносторонний треугольник» (которые являются результатом деления, основанного на одном принципе) не являются взаимно исключающими, поскольку все равносторонние треугольники являются равнобедренными.

На этот аргумент можно ответить только тем, что в первом случае мы не действуем на основе какого-либо ясного принципа, если только мы не производим наше деление на треугольники, чей наибольший угол является соответственно тупым, прямым или острым; и не если, во втором случае, наш принцип — это максимальное число сторон, равных друг другу, так что равнобедренный треугольник определяется как треугольник, имеющий две и только две равные стороны. Любое перекрытие классов тогда в каждом случае предотвращается; но только, можно утверждать, потому что были приняты специальные меры предосторожности для достижения этой цели. При принятии подобных мер предосторожности деление, которое проводится «правильно» на основе одного принципа, будет также исчерпывающим.

Рассматривая вопрос с другой стороны, мы можем отметить, что деление, которое удовлетворяет как правилу (1), так и правилу (2), может тем не менее быть перекрестным делением; ибо может случиться так, что два разных принципа деления дают совпадающие результаты. Например, равнобедренный треугольник определяется как треугольник, имеющий две и только две равные стороны, существует перекрестное деление, но нет перекрытия классов или пропуска какого-либо класса, содержащегося в totum divisum, если мы делим треугольники на разносторонние, равнобедренные и равноугольные; или если мы делим растения на акотиледоны, монокотиледоны и экзогены.

Что касается правила (4), следует заметить, что деление, которое протекает per saltum, обычно будет гораздо менее эффективным, чем то, в котором заполнены промежуточные шаги. Худшее нарушение этого правила происходит, когда деление является разрозненным, то есть когда «один из классов, на которые мы делим, является непосредственным и ближайшим классом, в то время как другие — опосредованными и отдаленными» (Кларк, Логика, стр. 242); как, например, если мы делим животных на беспозвоночных, рыб, амфибий, рептилий, птиц, слонов, лошадей, собак и т. д.

Иногда добавляется еще одно правило деления, а именно, что «ни один из делящих членов не должен быть равен по объему делящемуся целому» (Кларк, Логика, стр. 236). Когда это правило нарушается, деление, как говорят, становится ничтожным, потому что одно из подразделений не содержит членов. С формальной точки зрения, однако, на соблюдении этого правила вряд ли можно настаивать. Нам не нужно рассматривать деление как обязательно подразумевающее фактическое наличие всех его членов в универсуме дискурса; и рассматриваемое правило лишило бы логика права использовать мощный метод деления по противоречащим признакам. Это может быть другим делом, когда мы рассматриваем научную классификацию с материальной точки зрения.

412. Деление дихотомией. Деление дихотомией или, как его иногда называют более отчетливо, дихотомия по противоречию — это деление класса просто со ссылкой на наличие или отсутствие данного атрибута или набора атрибутов; как, например, когда X делится на XA и Xa (где a = не-A). Иллюстрация предоставляется Деревом Порфирия или Рамеанским деревом, в котором Субстанции сначала делятся на Телесные Субстанции (Тела) и Бестелесные Субстанции, Тела затем делятся на Одушевленные Тела (Живые Существа) и Неодушевленные Тела, Живые Существа затем делятся на Чувствующие Живые Существа (Животные) и Нечувствующие Живые Существа, а Животные, в свою очередь, делятся на Разумных Животных (Людей) и Неразумных Животных. На каждом шаге в этой схеме мы действуем, беря противоречащие признаки. Именно в похвалу дихотомическому делению Иеремия Бентам, который здесь цитируется с одобрением Джевонсом (Принципы науки, 30, § 12), говорил о «несравненной красоте Рамеанского дерева». Когда используется этот метод, мы формально обеспечиваем, чтобы члены нашего деления были взаимно исключающими и коллективно исчерпывающими. Ибо, по закону противоречия, «Ни один X не есть и A, и a»; и, по закону исключенного третьего, «Каждый X есть либо A, либо a».

Сполдинг (Логика, стр. 146) и Джевонс (Принципы науки, 30, § 9) указывают, что всякое логически совершенное деление в конечном счете сводимо к дихотомии, обычно с подразумеванием того, что некоторые из подклассов, которые à priori возможны, на самом деле не встречаются в универсуме дискурса. Таким образом, если мы берем класс X и делим его на XA и XB, мы подразумеваем, что в классе X A и B никогда не встречаются ни оба присутствующими, ни оба отсутствующими. Следовательно, деление эквивалентно следующему дихотомическому делению:

Любое другое деление, как бы сложно оно ни было по своему характеру, может быть сведено к дихотомии аналогичным образом. Это интересно и важно, и выявляет ценность дихотомии как метода проверки делений. Однако следует понимать, что, говоря о всяком делении как в конечном счете сводимом к дихотомии, не предполагается, что дихотомия обычно представляет нашу фактическую процедуру при производстве делений. Каждый подкласс обычно достигается непосредственно путем ссылки на некоторую положительную модификацию fundamentum divisionis; и различные подклассы являются координационными друг другу. Рассмотрим, например, деление конических сечений на параболы, гиперболы, эллипсы, окружности и пары прямых линий. Следует добавить, что с материальной точки зрения чистое деление дихотомией имеет мало научной ценности из-за неопределенного характера подклассов, которые определяются отрицательно.

413. Место доктрины деления в логике. Доктрина деления, как она рассматривалась старыми логиками, получает мало признания некоторыми современными авторами по двум очень разным основаниям: (1) Миллем, принимающим материальную точку зрения, она рассматривается как слишком чисто формальная, и поэтому сливается с доктриной научной классификации; (2) некоторыми авторами, принадлежащими к концептуалистской школе, например, Манселом, она отвергается как недостаточно формальная.

(1) Это правда, что правила логического деления ведут нас очень недалеко в практической науке. Они дают определенные условия, которые должны быть соблюдены; но они ни помогают нам в производстве хороших делений, ни предоставляют нам тест, который способен быть формально применен. Оставляя дихотомию в стороне, мы не можем, без помощи материального знания, даже определить, являются ли члены данного деления взаимно исключающими и коллективно исчерпывающими. Когда, однако, мы заведомо выходим за пределы чисто формальных соображений и принимаем материальную точку зрения, тогда доктрина деления должна по праву уступить место доктрине классификации, которая не довольствуется такими правилами, как изложенные выше, но стремится указать принципы, которые должны служить руководством при классификации объектов научно.

Что касается использования терминов «деление» и «классификация», мисс Джонс проводит различие, которое ценно и которого было бы хорошо систематически придерживаться. «Деление и классификация — это одно и то же, рассматриваемое с разных точек зрения; любая таблица, представляющая деление, представляет также классификацию. Деление начинается с единства и дифференцирует его; классификация начинается с множественности и сводит ее к единству, или, по крайней мере, к системе» (Элементы логики, стр. 123).

(2) Остается рассмотреть, насколько любое рассмотрение деления вообще может правильно подпадать под рассмотрение формальной логики. С этой точки зрения деление обычно противопоставляется определению. Последнее из них — используя фразеологию концептуалистских логиков — излагает интенсию понятия; первое излагает его экстенсию. Но интенсия понятия, как говорят, гораздо более присуща ему, чем его экстенсия. Данное понятие — его интенсия обязательно дана; но знание его экстенсии, такое, которое может служить для определения его деления, потребует нового обращения к предмету. «Деление», говорит Мансел, «не есть, подобно определению, ментальный анализ данных материалов: специфическое различие должно быть добавлено к данным атрибутам рода; и чтобы получить этот дополнительный материал, необходимо выйти за пределы акта мысли, искать новые эмпирические данные» (Prolegomena Logica, стр. 192). Например, деление членов Кембриджского университета на тех, кто in statu pupillari, и членов Сената не могло быть получено без чего-то большего, чем просто концепция члена Университета. Более того, если мы не действуем по противоречащим признакам, мы не можем, когда получили наше деление, формально определить, соответствует ли оно нашим правилам или нет.

Вышеприведенная позиция может быть принята, если сделать исключение для деления дихотомией. Мансел, однако, и некоторые другие логики даже не допустят, что деление дихотомией является формальным процессом; и здесь они открываются для критики. Основания, на которых базируется их взгляд, двояки: (i) Недостаточно, чтобы род, который нужно разделить, был дан; принцип деления должен быть дан также. «Даже в случае дихотомии по противоречию принцип деления должен быть дан, как дополнение к атрибутам, охваченным в понятии, прежде чем логик сможет сделать хоть один шаг» (Prolegomena Logica, стр. 207). «Деление A на B и не-B не является строго формальным; ибо делящий атрибут, не будучи частью содержания A, должен быть найден вне простого акта мысли, после того как A было дано» (Мансел, Олдрич, стр. 38). (ii) Мы не можем знать à priori, что оба подкласса, полученные дихотомией, действительно существуют. Как, например, мы можем разделить A на B и не-B, когда, насколько мы знаем, все A может быть B? «Логически деление животного на смертное и бессмертное так же хорошо, как на разумное и неразумное» (Мансел, Олдрич, стр. 38). Оба эти аргумента суммируются в следующей цитате из мистера Монка: «Утверждается, действительно, что Логика позволяет нам разделить всех B на B, которые являются C, и B, которые не являются C... Но Логика не предоставляет нам термин C, и после того, как мы получили этот термин, есть два случая, в которых предложенное деление терпит неудачу, а именно, где все B являются C и где ни одно из них таковым не является. В любом из этих событий класс B остается таким же целым и неразделенным, как и прежде; и произошло ли это или нет, не может быть установлено Логикой. Это деление дихотомией, как его называют, находится так же вне сферы Логики, как и любой другой вид деления» (Логика, стр. 174).

Что касается первого из вышеприведенных аргументов, нет причин, почему принцип деления (A) не должен быть принят как данный, так же как и totum divisum (X). Вопрос в том, можем ли мы тогда формально разделить X на XA и Xa. Тот факт, что A должно быть дано так же, как и X, не предотвращает возможность формального деления дихотомией, не больше, чем тот факт, что вывод силлогизма не содержится в одной посылке, предотвращает силлогизм от того, чтобы быть формальным процессом.

Сила второго аргумента зависит от подразумевания того, что все подклассы, полученные в результате деления, обязательно существуют в универсуме дискурса. Если это подразумевание принято, то дихотомия, конечно, не является формальным процессом; но почему нам нужно предполагать существование всех подклассов, полученных дихотомией? Без такого предположения наше деление может не иметь большой практической пользы, но его формальная правильность останется незатронутой. Нам нужно только прояснить, что мы делим экстенсию термина, а не его денотацию, в том смысле, в котором экстенсия и денотация уже были различены. Это согласуется с общей точкой зрения формальной логики, которая может иметь дело с классами, не рассматривая их существование как обязательно гарантированное в любом назначенном универсуме дискурса. Если нам не позволено применять принцип исключенного третьего в формальной логике и говорить «Каждый X есть A или a», пока мы не узнаем, что на самом деле существуют как XA, так и Xa, мы будем чрезвычайно стеснены и сможем сделать лишь небольшой прогресс, особенно в трактовке сложных выводов. Некоторые схемы символической логики (например, Джевонса) зависят существенно и явно от предшествующей схемы дихотомического деления.

453 См. раздел 21.

Мы можем тогда рассматривать деление дихотомией как формальный процесс, но только при понимании (1) что принцип деления дан так же, как и род, который нужно разделить; (2) что деление не предполагается более чем гипотетическим, насколько касается существования результирующих подклассов в любом назначенном универсуме дискурса.

ПРИЛОЖЕНИЕ B.

ТРИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ЗАКОНА МЫШЛЕНИЯ.

414. Три закона мышления. Так называемые фундаментальные законы мышления (закон тождества, закон противоречия и закон исключенного третьего) должны рассматриваться как основа всякого рассуждения в том смысле, что последовательное мышление и связный аргумент невозможны, если они не принимаются как должное. Функция, которую они таким образом выполняют, однако, скорее отрицательная, чем положительная. Хотя они составляют необходимые постулаты, без которых наше мышление стало бы хаотичным, они сами по себе не продвигают нас на нашем пути. С одной стороны, мы не можем без их поддержки сделать ни шагу в рассуждении; с другой стороны, если бы мы полагались только на их помощь, мышление немедленно остановилось бы.

Это, во всяком случае, взгляд на три закона в изложении, которое следует. Это правда, что многие логики приписывали им функции более положительного характера и — начиная с позиции, что они являются фундаментальными предположениями логики — перешли к рассмотрению их как основы, на которой одной вся логическая доктрина, во всяком случае в ее более формальном аспекте, может быть установлена. Попытка оправдать этот взгляд сделала необходимым вкладывать в законы гораздо больше смысла, чем они могут должным образом содержать, и их интерпретация в результате стала высокосложной и даже запутанной.

В самом начале возникает вопрос, должны ли законы рассматриваться как относящиеся к терминам (или понятиям) или к суждениям. Мой собственный взгляд состоит в том, что во всех трех случаях последнее отношение является более фундаментальным, но что отношение первого рода вовлечено вторично. Это я постараюсь выявить, имея дело с законами индивидуально. Различие — это то, которому значительная важность по праву придается Зигвартом.

Вопрос о взаимных отношениях между тремя законами может быть кратко затронут до того, как мы перейдем к рассмотрению законов по отдельности и в деталях; однако это не тот вопрос, который можно разрешить на более позднем этапе. Основной момент, на который удобно сразу обратить внимание, заключается в том, что полная сила каждого из них может быть выявлена только в связи с другими законами. Законы тождества и противоречия можно рассматривать как позитивное и негативное утверждения одного и того же принципа, а именно недвусмысленности акта суждения; а законы противоречия и исключенного третьего дополняют друг друга, поскольку вместе они выражают природу отрицания. В то же время будет предпринята попытка обосновать независимость законов в том смысле, что они не могут быть выведены один из другого.

415. Закон тождества. Следуя Зигварту, я считаю наиболее удобным интерпретировать этот закон как выражение недвусмысленности акта суждения. Истина — это нечто фиксированное и неизменное. По словам г-на Брэдли: «Раз истинно — всегда истинно, раз ложно — всегда ложно. Истина не только независима от меня, но она не зависит от перемен и случайностей. Никакое изменение в пространстве или времени, никакое возможное различие какого-либо события или контекста не может превратить истину в ложь. Если то, что я говорю, действительно истинно, то оно остается таковым навсегда» (Logic, с. 133). Следовательно, поскольку суждение является выражением истины, содержание суждения фиксировано и неизменно; и только когда наши суждения рассматриваются таким образом, наши мысли и рассуждения могут быть обоснованными. Именно в этом смысле закон тождества является фундаментальным принципом логики (которая есть наука о правильном мышлении и рассуждении); ибо ясно, что если бы нам было позволено — когда нам это удобно — заменить одно суждение другим или если бы содержание данного суждения можно было рассматривать то как одно, то как другое, все мышление стало бы хаотичным, а рассуждение — фикцией. Мы не могли бы быть уверены в обоснованности ни одного шага рассуждения, поскольку по мере совершения шага содержание исходного суждения могло бы измениться, и на этом основании любой мог бы признать исходное суждение и в то же время отрицать вывод, который из него пытались сделать.

Сравните то, что уже было сказано в разделе 50 об универсальности суждений. В частности, следует иметь в виду значение различия, проводимого г-ном Бозанкетом между временем предикации и временем в предикации. Когда мы говорим, что истина, утверждаемая в любом суждении, независима от времени, мы имеем в виду время предикации, и мы предполагаем, что суждение выражено полностью: для того чтобы оно могло быть выражено полностью, время в предикации, если таковое имеется, должно быть сделано явным.

Можно сказать, что в такой интерпретации закон тождества лишь утверждает, что мы не можем одновременно утверждать суждение и отрицать его, и что именно это выражено в законе противоречия. В этом есть смысл, поскольку законы тождества и противоречия можно рассматривать как выражение позитивного и негативного аспектов одного и того же принципа. Как сказал Зигварт, только через отказ от одновременного утверждения и отрицания мы осознаем недвусмысленность акта суждения. В то же время позитивная формулировка принципа в виде закона тождества — в отрыве от его негативной формулировки в виде закона противоречия — является оправданной и полезной.

Недвусмысленность акта суждения может быть выражена несколько иначе (и его позитивный аспект, в отличие от того, что выражено законом противоречия, может быть тем самым прояснен) через утверждение, что повторение суждения не добавляет к его силе и не изменяет ее. На этой основе мы, возможно, можем оправдать ход мысли, который состоит в повторении не полного суждения, а только части его содержания. Другими словами, мы можем таким образом оправдать формальное рассуждение, поскольку оно включает в себя простое исключение; и в большинстве формальных рассуждений исключение присутствует, хотя можно поставить под вопрос, заслуживает ли само по себе простое исключение из одной пропозиции (как при переходе от «Всякое S есть M» к «Всякое S есть P») названия рассуждения.

Милль дает формулировку закона тождества, которую необходимо отличать от вышеприведенной: «Все, что истинно в одной форме слов, истинно в любой другой форме слов, которая передает тот же смысл» (Examination of Sir William Hamilton’s Philosophy, с. 466). Это постулат, который необходимо принять в связи с использованием языка как инструмента мышления. Пока выражаемое суждение остается тем же самым, форма выражения, которую мы ему придаем, несущественна; и, поскольку в логической доктрине мы не можем явно признать более чем ограниченное число различных пропозициональных форм, мы должны требовать права заменять любую непризнанную форму той признанной формой, которая выражает то же самое суждение. Постулат Милля, однако, выходит за рамки закона тождества, рассматриваемого как выражение недвусмысленности акта суждения, и его нельзя считать столь же фундаментальным. Иногда он приводится в качестве обоснования непосредственных умозаключений: к этому пункту мы еще вернемся.

Теперь мы можем обратиться к закону тождества в той форме, в которой он обычно излагается, а именно: «A есть A», «Все есть то, что оно есть». Эта форма открыта для критики, если рассматривать ее как претендующую на предоставление информации об объектах. Однако в другом смысле ее можно понимать как выражение недвусмысленности терминов или понятий, которая подразумевается недвусмысленностью акта суждения. Ибо ясно, что если в любом данном процессе мышления или рассуждения наши термины или понятия не имеют фиксированного значения и отсылки, недвусмысленность акта суждения не может быть реализована. Мы имеем здесь вторичную отсылку к терминам или понятиям, которая содержится во всех законах мышления в дополнение к их первичной отсылке к суждениям.

Поскольку повторение суждения не добавляет к его силе и не изменяет ее, мы можем сказать то же самое о терминах (или понятиях), подразумевая под этим, что отсылать к чему-либо как к «A» и «A» — это то же самое, что отсылать к этому просто как к «A». Это дает фундаментальное уравнение Буля x² = x (которое само допускает двоякую интерпретацию в зависимости от того, обозначает ли x термин или пропозицию).

Причины, по которым нам не следует интерпретировать формулу «A есть A» как выражение суждения относительно объекта A, должны быть рассмотрены. Фундаментальная трудность заключается в том, что это так называемое суждение, если интерпретировать его буквально, вообще немыслимо. Ибо всякое реальное мышление подразумевает различие того или иного рода. Всякий раз, когда мы думаем о чем-либо, это происходит как о чем-то, отличающемся от чего-то другого, или как о чем-то, имеющем общие свойства с другими вещами, или, во всяком случае, как о чем-то, существующем в разное время. Следовательно, ни в каком случае мы не можем мыслить чистое тождество.

Существует два способа избежать этой трудности.

(a) Мы можем сказать, что под тождеством подразумевается не чистое тождество, а точное сходство в каком-либо заданном отношении или отношениях, причем сходство иногда доходит, по крайней мере в том, что касается нашего восприятия, до неразличимости, за исключением свойства занимать разные части пространства (как, например, в случае с рядом булавок или пуль одного изготовления и размера). В этой интерпретации закон тождества можно рассматривать как эквивалентный принципу подстановки сходного Джевонса — «Все, что истинно для вещи, истинно для подобной ей» — или аксиоме, что «вещи, равные одной и той же вещи, равны друг другу». Мэнсел, действительно, прямо приводит эту аксиому как эквивалентную закону тождества.

Однако при размышлении становится ясно, что называть эти принципы законами тождества — значит использовать неверное название, и что, во всяком случае, они не могут быть адекватно выражены голой формулой «A есть A». Также нельзя дать аналогичную интерпретацию законам противоречия и исключенного третьего. Мы должны, следовательно, отвергнуть такую интерпретацию закона тождества, рассматриваемого как один из трех традиционных законов мышления.