«Исследования и упражнения по формальной логике»

(xii) Less than n P’s are M’s, At least n M’s are S’s, therefore,Some S’s are not P’s.

437 Этот раздел был предложен следующим вопросом г-на Джонсона: «Покажите действительность следующих силлогизмов: (i) Все M суть P, по крайней мере n S суть M, следовательно, по крайней мере n S суть P; (ii) Все P суть M, менее чем n S суть M, следовательно, менее чем n S суть P; (iii) Менее чем n M суть P, по крайней мере n M суть S, следовательно, некоторые S не суть P. Выведите из вышесказанного обычные нечисленные модусы первых трех фигур».

Вышеуказанные модусы могут быть установлены следующим образом:— (i) Из «Все M суть P» следует, что «Всякое S, которое есть M, также есть P», и поскольку «По крайней мере n S суть M», отсюда далее следует, что «По крайней мере n S суть P». Обозначая большую посылку (i) через A, меньшую через B, а заключение через C, мы получаем непосредственно следующие силлогизмы:—

A, Cʹ, Cʹ, B, ⎯ ⎯ ∴ Bʹ ; ∴ Aʹ ; и они соответственно эквивалентны (iv) и (vii). (v) получается из (iv) путем перестановки посылок и обращения заключения; (ii) из (v) путем обращения большой посылки; (iii) из (vii) путем обращения меньшей посылки; (vi) из (iii) путем обращения большой посылки; (viii) из (i) путем обращения меньшей посылки; (ix) из (viii) путем перестановки посылок и обращения заключения; (x) из (i) путем перестановки посылок и обращения заключения; (xi) из (iv) путем обращения меньшей посылки; (xii) из (vii) путем обращения большой посылки.

Обычные нечисленные модусы различных фигур могут быть выведены из вышеприведенных результатов следующим образом:— Фигура 1. (i) Полагая n = общему числу S, имеем MaP, SaM, ∴ SaP, то есть Barbara; и полагая n = 1, имеем MaP, SiM, ∴ SiP, то есть Darii. (ii) Полагая n = 1, MeP, SaM, ∴ SeP (Celarent). (iii) Полагая n = 1, MeP, SiM, ∴ SoP (Ferio). AAI и EAO следуют à fortiori.

Фигура 2 (iv) Полагая n = общему числу S, PaM, SoM, ∴ SoP (Baroco); полагая n = 1, PaM, SeM, ∴ SeP (Camestres). 403 (v) Полагая n = 1, PeM, SaM, ∴ SeP (Cesare). (vi) Полагая n = 1, PeM, SiM, ∴ SoP (Festino). AEO и EAO следуют à fortiori.

Фигура 3. (vii) Полагая n = общему числу M, MoP, MaS, ∴ SoP (Bocardo); полагая n = 1, MeP, MiS, ∴ SoP (Ferison). (viii) Полагая n = 1, MaP, MiS, ∴ SiP (Datisi). (ix) Полагая n = 1, MiP, MaS, ∴ SiP (Disamis). Darapti и Felapton следуют à fortiori.

Фигура 4. (x) Полагая n = 1, PiM, MaS, ∴ SiP (Dimaris). (xi) Полагая n = 1, PaM, MeS, ∴ SeP (Camenes). (xii) Полагая n = 1, PeM, MiS, ∴ SoP (Fresison). Bramantip, AEO и Fesapo следуют à fortiori.

УПРАЖНЕНИЯ.

346. «Что бы ни обозначали P и Q, мы можем à priori показать, что некоторое P есть Q. Ибо «Все PQ есть Q» согласно закону тождества, и аналогично «Все PQ есть P»; следовательно, по силлогизму в Darapti, «Некоторое P есть Q»». Как бы вы справились с этим парадоксом? [K.]

Решение дается дискуссией, содержащейся в разделе 342; и этот пример, по-видимому, показывает, что вопрос о том, насколько предположения относительно существования вовлечены в силлогистические процессы, не является неуместным или излишним.

347. Какое заключение можно сделать из следующих пропозиций? Члены совета были все либо держателями облигаций, либо акционерами, но не тем и другим вместе; и держатели облигаций, как оказалось, все были в совете. [V.]

Мы можем взять в качестве наших посылок: Ни один член совета не является одновременно держателем облигаций и акционером, Все держатели облигаций являются членами совета; и эти посылки дают заключение (в Celarent): Ни один держатель облигаций не является одновременно держателем облигаций и акционером, то есть Ни один держатель облигаций не является акционером.

348. Для клуба были составлены следующие правила:— (i) Финансовый комитет должен выбираться из числа 404 общего комитета; (ii) Никто не должен быть членом одновременно общего и библиотечного комитетов, если он не состоит также в финансовом комитете; (iii) Ни один член библиотечного комитета не должен состоять в финансовом комитете. Есть ли что-то самопротиворечивое или излишнее в этих правилах? [VENN, Symbolic Logic, стр. 331.]

Пусть F = член финансового комитета, G = член общего комитета, L = член библиотечного комитета. Вышеуказанные правила могут быть выражены символически следующим образом:— (i) Все F суть G; (ii) Если какое-либо L есть G, то это L есть F; (iii) Ни одно L не есть F. Из (ii) и (iii) мы получаем (iv) Ни одно L не есть G. Правила могут поэтому быть записаны в форме: (1) Все F суть G, (2) Ни одно L не есть G, (3) Ни одно L не есть F. Но в этой форме (3) выводимо из (1) и (2). Следовательно, все, что содержится в правилах в их первоначальном изложении, может быть выражено через (1) и (2); то есть правила в их первоначальном изложении были частично излишними, и они могут быть сведены к (1) Финансовый комитет должен выбираться из числа общего комитета; (2) Никто не должен быть членом одновременно общего и библиотечного комитетов. Если (ii) интерпретируется как подразумевающее, что существуют некоторые лица, которые состоят одновременно в общем и библиотечном комитетах, то из этого следует, что (ii) и (iii) несовместимы друг с другом.

349. Дано, что средний термин распределен дважды в посылках силлогизма; определить непосредственно (т. е. без какой-либо ссылки на мнемонические стихи или специальные правила фигур), в каких различных модусах он может находиться. [K.]

Посылки должны быть либо обе утвердительными, либо одна утвердительной и одна отрицательной. В первом случае, обе посылки, будучи утвердительными, могут распределять только свои субъекты. Средний термин должен, следовательно, быть субъектом в каждой из них, и обе должны быть общими. Это ограничивает нас одним силлогизмом,— 405

All M is P, All M is S, therefore, Some S is P. Во втором случае, одна посылка будучи отрицательной, заключение должно быть отрицательным и будет, следовательно, распределять больший термин. Следовательно, большая посылка должна распределять больший термин, а также (по гипотезе) средний термин. Это условие может быть выполнено только в том случае, если она является одной или другой из следующих:— Ни одно M не есть P или Ни одно P не есть M. Большая посылка будучи отрицательной, меньшая должна быть утвердительной, и для того, чтобы распределить средний термин, должна быть Все M суть S. В этом случае мы получаем два силлогизма, а именно:—

No M is P, All M is S, therefore, Some S is not P ; No P is M, All M is S, therefore, Some S is not P. Данное условие ограничивает нас, следовательно, тремя силлогизмами (один утвердительный и два отрицательных); и ссылаясь на мнемонические стихи, мы можем идентифицировать их с Darapti и Felapton в третьей фигуре и Fesapo в четвертой фигуре.

350. Если большая посылка и заключение действительного силлогизма согласуются по количеству, но различаются по качеству, найти модус и фигуру. [T.]

Поскольку мы не можем иметь отрицательную посылку с утвердительным заключением, большая посылка должна быть утвердительной, а заключение — отрицательным. Отсюда непосредственно следует, что для того, чтобы избежать незаконного большего термина, большая посылка должна быть Все P суть M (где M — средний термин, а P — больший термин). Заключение, следовательно, должно быть Ни одно S не есть P (S — меньший термин); и это требует, чтобы для того, чтобы избежать нераспределенного среднего термина и незаконного меньшего термина, меньшая посылка должна быть Ни одно S не есть M или Ни одно M не есть S. Следовательно, силлогизм находится в Camestres или в Camenes.

351. Дан действительный силлогизм с двумя общими посылками и частным заключением, такой, что то же самое заключение не может быть выведено, если вместо любой из посылок подставить ее субалтерн; определить модус и фигуру силлогизма. [K.]

Пусть S, M, P будут соответственно меньшим, средним и большим терминами данного силлогизма. Тогда, поскольку заключение частное, оно должно быть либо Некоторое S есть P, либо Некоторое S не есть P. 406 Во-первых, если возможно, пусть это будет Некоторое S есть P. Единственный термин, который должен быть распределен в посылках, — это M. Но поскольку у нас две общие посылки, два термина должны быть распределены в них как субъекты. 438 Одно из этих распределений должно быть излишним; и отсюда следует, что вместо одной из посылок мы можем подставить ее субалтерн и все равно получить то же самое заключение. Заключение тогда не может быть Некоторое S есть P. Во-вторых, если возможно, пусть заключение будет Некоторое S не есть P. Если субъект меньшей посылки есть S, мы можем ясно подставить ее субалтерн, не затрагивая заключения. Субъект меньшей посылки должен поэтому быть M, которое, таким образом, будет распределено в этой посылке. M не может также быть распределено в большей посылке, иначе ясно, что ее субалтерн мог бы быть подставлен вместо меньшей, и тем не менее было бы выведено то же самое заключение. Большая посылка должна, следовательно, быть утвердительной с M в качестве предиката. Это ограничивает нас силлогизмом—

All P is M, No M is S, therefore, Some S is not P ; и этот силлогизм, который есть AEO в четвертой фигуре, действительно выполняет данные условия, ибо он становится недействительным, если любая из посылок делается частной. Вышесказанное сводится к общему доказательству положения, изложенного в разделе 246:— Всякий силлогизм, в котором есть две общие посылки с частным заключением, является усиленным силлогизмом, за единственным исключением AEO в четвертой фигуре.

438 Мы здесь включаем случай, в котором средний термин сам по себе распределен дважды.

352. Даны два действительных силлогизма в одной и той же фигуре, в которых больший, средний и меньший термины соответственно одни и те же; показать без ссылки на мнемонические стихи, что если меньшие посылки являются субконтрарными, заключения будут идентичными. [K.]

Меньшая посылка одного из силлогизмов должна быть O, и большая посылка этого силлогизма должна, следовательно, быть A, а заключение — O. Средний и больший термины должны быть распределены в посылках, этот силлогизм определен, а именно:—

All P is M, Some S is not M, therefore, Some S is not P. 407 Поскольку другой силлогизм должен быть в той же фигуре, его меньшая посылка должна быть Некоторое S есть M; большая должна, следовательно, быть общей, и для того, чтобы распределить средний термин, она должна быть отрицательной. Этот силлогизм, следовательно, также определен, а именно:—

No P is M, Some S is M, therefore, Some S is not P. Заключения двух силлогизмов, таким образом, оказываются идентичными.

353. Выяснить, в каких из действительных силлогизмов комбинация одной посылки с субконтрарным суждением к заключению установила бы субконтрарное суждение к другой посылке. [J.]

В исходном силлогизме (α) пусть X (общее) и Y (частное) доказывают Z (частное), причем меньший, средний и больший термины суть S, M и P соответственно. Тогда мы должны иметь другой силлогизм (β), в котором X и Z1 (субконтрарное суждение к Z) доказывают Y1 (субконтрарное суждение к Y). В β средним термином будет S или P. Ясно, что только один термин может быть распределен в α, если заключение утвердительное, и только два, если заключение отрицательное. Следовательно, S не может быть распределено в α, и отсюда следует, что оно не может быть распределено в посылках β. Средним термином β должен поэтому быть P, и поскольку X должно, следовательно, содержать P, оно должно быть большей посылкой α, а Y — меньшей посылкой. Z должно быть либо SiP, либо SoP. Во-первых, пусть Z = SiP. Тогда ясно, что X = MaP, Z1 = SoP, Y1 = SoM, Y = SiM. Во-вторых, пусть Z = SoP. Тогда Z1 = SiP, X = PaM или MeP или PeM (поскольку оно должно распределять P), Y1 = SiM (если X утвердительно) или SoM (если X отрицательно), Y = SoM или SiM соответственно. Следовательно, мы имеем четыре силлогизма, удовлетворяющих требуемым условиям, следующим образом:—

MaPMePPeMPaM SiMSiMSiMSoM ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ SiPSoPSoPSoP

Можно заметить, что это все модусы первой и второй фигур, в которых одна посылка является частной.

354. Возможно ли, чтобы существовал действительный силлогизм такой, что при обращении каждой из посылок получается новый силлогизм, дающий заключение, в котором старые больший и меньший термины поменялись местами? Докажите правильность вашего ответа общим рассуждением, и если он утвердительный, 408 определите силлогизм или силлогизмы, выполняющие данные условия. [K.]

Если такой силлогизм возможен, он не может иметь две утвердительные посылки, иначе (поскольку A может быть обращено только per accidens) мы имели бы две частные посылки в новом силлогизме. Следовательно, исходный силлогизм должен иметь одну отрицательную посылку. Это не может быть O, поскольку O необратимо. Следовательно, одна посылка исходного силлогизма должна быть E. Во-первых, пусть это будет большая посылка. Тогда меньшая посылка должна быть утвердительной, и ее обращение (будучи частным утвердительным) не будет распределять ни один из своих терминов. Но это обращение будет большей посылкой нового силлогизма, который также должен иметь отрицательное заключение. Мы получили бы тогда незаконный больший термин в новом силлогизме; и, следовательно, вышеуказанное допущение не даст нам желаемого результата. Во-вторых, пусть меньшая посылка исходного силлогизма будет E. Большая посылка, чтобы распределить старый больший термин, должна быть A, с большим термином в качестве субъекта. Мы получаем тогда следующее, удовлетворяющее данным условиям:—

All P is M, No M is S, or No S is M, therefore, No S is P, or Some S is not P ; то есть у нас действительно есть четыре силлогизма, такие, что при обращении обеих посылок, таким образом,

No S is M, or No M is S, Some M is P, мы имеем новый силлогизм, дающий заключение, в котором старые больший и меньший термины поменялись местами, а именно:

Некоторое P не есть S.

Символически:—

PaM,SeM, ⎱ MeS,⎱orMeS, ⎰ orSeM,⎰ MiP, ⎯⎯ ⎯⎯ ∴ or SeP SoP⎱

⎰∴ PoS.

Если требуется сохранить количество исходного заключения, это заключение должно быть SoP, в этом случае у нас есть только два силлогизма, выполняющих данные условия.

355. Показать, что если доля B из класса A больше, чем из класса не-A, то доля 409 A из класса B будет больше, чем из класса не-B. 439 [J.]

439 Эту и следующую проблему нельзя должным образом назвать проблемами силлогизма. Они даны как примеры в численной логике.

Пусть число A обозначается через N(A), число AB — через N(AB) и т. д. Тогда, поскольку «Всякое A есть AB или Ab» (по закону исключенного третьего) и «Ни одно A не есть одновременно AB и Ab» (по закону противоречия), отсюда следует, что

N(A) = N(AB) + N(Ab).

Мы должны показать, что

N(AB)N(Ab) ⎯⎯ > ⎯⎯ N(B)N(b) вытекает из

N(AB)N(aB) ⎯⎯ > ⎯⎯ . N(A)N(a) Это может быть сделано путем подстановки

N(AB) + N(Ab) вместо N(A) и т. д.

Таким образом,

N(AB)N(aB) ⎯⎯ > ⎯⎯ , N(A)N(a) N(a)N(A) ∴⎯⎯ > ⎯⎯ , N(aB)N(AB) N(aB) + N(ab)N(AB) + N(Ab) ∴⎯⎯ > ⎯⎯ , N(aB)N(AB) N(ab)N(Ab) ∴⎯⎯ > ⎯⎯ , N(aB)N(AB) N(ab)N(aB) ∴⎯⎯ > ⎯⎯ , N(Ab)N(AB) N(Ab) + N(ab)N(AB) + N(aB) ∴⎯⎯ > ⎯⎯ , N(Ab)N(AB) N(b) N(B) ∴⎯⎯ > ⎯⎯ , N(Ab)N(AB) N(AB)N(Ab) ∴⎯⎯ > ⎯⎯ . N(B)N(b)

356. Дано число (U) объектов во Вселенной и число объектов в каждом из классов x1, x2, x3, … xn; показать, что наименьшее число объектов в классе (x1x2x3…xn)

= U − N(x1) − N(x2) − N(x3) … − N(xn). 410

где N(x1) означает число вещей, которые не суть x1; N(x2) означает число вещей, которые не суть x2; и т. д. [J.]

Даны N(x1), N(x2) и т. д., число объектов в классе (x1 или x2 … или xn) наибольшее, когда ни один объект не принадлежит ни к одной паре классов x1, x2, …; и в этом случае оно = N(x1) + N(x2) … + N(xn). Следовательно, наименьшее число в противоречащем классе, x1x2x3…xn,

= U − N(x1) − N(x2) … − N(xn).

357. Доказать, что с тремя данными пропозициями (видов A, E, I, O) никогда невозможно построить более одного действительного силлогизма. [K.]

358. При допущении, что ни одна пропозиция не интерпретируется как подразумевающая существование либо своего субъекта, либо своего предиката, найти, в каких случаях сведение силлогизмов к первой фигуре недействительно. [K.]

359. Дан действительный силлогизм; определить условия, при которых противоречащие суждения к посылкам предоставят посылки для другого действительного силлогизма, содержащего те же термины. Как заключения двух силлогизмов будут связаны друг с другом? [K.]

360. Показать, что число нищих, которые являются слепыми мужчинами, равно избытку, если таковой имеется, суммы общего числа слепых лиц, сложенного с общим числом лиц мужского пола, сложенного с числом тех, кто, будучи нищими, не являются ни слепыми, ни мужчинами, над суммой общего числа нищих, сложенного с числом тех, кто, не будучи нищими, являются слепыми, и с числом тех, кто, не будучи нищими, являются мужчинами. [Jevons, Principles of Science.]

361. Показать, что если X и Y — любые две пропозиции, содержащие общий термин, то (a) одна из четырех комбинаций XY, XY', X'Y, X'Y' всегда будет образовывать неусиленные посылки для действительного силлогизма; (b) либо только одна из четырех комбинаций сделает это; или, если две, то силлогизмы, так образованные, будут одного и того же модуса. [RR.]

362. Два аргумента, посылки которых взаимно согласуются, но которые содержат субконтрарные заключения, образованы в одной и той же фигуре с тем же средним термином. Выяснить непосредственно из общих правил силлогизма, что можно узнать относительно модусов и фигуры двух данных аргументов. [J.]

411 363. Некоторые M не суть P, Все S суть все M. Какое заключение вытекает из комбинации этих посылок? Можете ли вы вывести что-либо либо о S в терминах P, либо о P в терминах S из знания того, что обе вышеуказанные пропозиции ложны? [K.]

364. (i) Либо все M суть все P, либо некоторые M не суть P; (ii) Некоторые S не суть M. Что можно вывести (a) о S в терминах P, (b) о P в терминах S из знания того, что оба вышеуказанных утверждения ложны? [K.]

365. (a) «Хороший характер — доказательство хорошей совести, а комбинация этих — доказательство хорошего пищеварения, которое, в свою очередь, всегда производит то или другое». Показать, что это в точности эквивалентно следующему: «Хороший характер — доказательство хорошего пищеварения, а хорошее пищеварение — хорошей совести». (b) Исследовать (с помощью диаграмм или иным образом) следующий аргумент: «Патриотизм и гуманизм должны быть либо несовместимы, либо неразделимы; и хотя семейная привязанность и гуманизм совместимы, однако каждый может существовать без другого; следовательно, семейная привязанность может существовать без патриотизма». Сведите аргумент, если можете, к обычной силлогистической форме; и определите, утверждают ли посылки что-либо большее, чем необходимо для доказательства заключения. [J.]

366. «Все научные лица готовы учиться; все ненаучные лица доверчивы; следовательно, некоторые, кто доверчив, не готовы учиться, и некоторые, кто готов учиться, не доверчивы». Показать, что обычные правила непосредственного и опосредованного вывода оправдывают это рассуждение; но что при избегании таким образом кажущегося незаконного процесса вовлекается определенное допущение. Показать также, что, принимая действительность обверсии и простого обращения, мы имеем аналогичный случай в любом выводе частного из общего. [J.]

367. Недействительный силлогизм второй фигуры с частной посылкой нарушает общие правила силлогизма только в том, что средний термин не распределен. Если частная посылка ложна, а другая истинна, что мы знаем об истинности или ложности заключения? [K.]

368. Установлено, что силлогизм не нарушает ни одного из правил силлогизма, за исключением того, что при двух утвердительных посылках он имеет отрицательное заключение. Определите модус и фигуру этого силлогизма. [К.]

412 369. Даны два правильных силлогизма в одной и той же фигуре, в которых больший, средний и меньший термины соответственно совпадают. Покажите, не обращаясь к мнемоническим стихам, что если меньшие посылки являются противоречащими друг другу, то заключения не будут противоречащими друг другу. [К.]

370. Найдите два силлогизма, не имеющих ни усиленных посылок, ни ослабленных заключений, и имеющих M и N соответственно в качестве своих средних терминов, которые удовлетворяют следующим условиям: (a) их заключения должны быть подпротивными; (b) их посылки должны доказывать, что «некоторое M есть N», и быть совместимыми с тем фактом, что «некоторое M не есть N». [Дж.]

371. Возможно ли существование двух силлогизмов, имеющих общую посылку, таких, что их заключения, будучи объединенными в качестве посылок в новом силлогизме, могут дать общее заключение? Если да, определите, какими должны быть эти два силлогизма. [Н.]

372. Три данные пропозиции образуют посылки и заключение правильного силлогизма, который не является ни усиленным, ни ослабленным. Покажите, что если две из этих пропозиций заменить их контра-комплементарными, аргумент останется правильным при условии, что пропозиция, оставшаяся без изменений, является либо общей посылкой, либо частным заключением. [Дж.]

373. Некоторая пропозиция выступает в качестве меньшей посылки силлогизма второй фигуры, чей больший термин есть X. Та же пропозиция выступает также в качестве большей посылки силлогизма третьей фигуры, чей меньший термин есть Y. Если данные силлогизмы являются формально и содержательно правильными, покажите, как в каждом случае мы можем силлогистически заключить, что «некоторое Y не есть X». [Дж.]

374. Найдите правильные силлогизмы, которые могут быть построены без использования общей посылки того же качества, что и заключение. Покажите, как эти силлогизмы могут быть непосредственно сведены друг к другу; и представьте диаграмматически совокупную информацию, которую они дают, при допущении, что они имеют одни и те же меньший, средний и больший термины соответственно. [Дж.]

375. Выразите точную информацию, содержащуюся в двух пропозициях «Всякое S есть M», «Всякое M есть P», посредством: (1) двух пропозиций, имеющих S и не-S соответственно в качестве субъектов; (2) двух пропозиций, имеющих M и не-M соответственно в качестве субъектов; (3) двух пропозиций, имеющих P и не-P соответственно в качестве субъектов. [К.]

ГЛАВА IX.

ХАРАКТЕРИСТИКИ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ. 376. Природа логического умозаключения. Вопрос о природе и характеристиках умозаключения, поскольку его решение зависит от более или менее произвольного значения, которое мы решаем придать термину «умозаключение», является чисто вербальным вопросом. Однако противоречия, к которым привел этот вопрос, зависят не столько от вербальных соображений; и тот факт, что они отчасти зависят от них, скорее увеличил, чем уменьшил трудности, которыми окружена эта проблема.

В целом принято считать, что умозаключение предполагает переход мысли от данного суждения или комбинации суждений к некоторому новому суждению. Однако одного этого недостаточно, чтобы составить умозаключение в логическом смысле. Формирование новых суждений путем бессознательной ассоциации идей является психологическим процессом, который можно было бы подвести под вышеприведенное описание; но это не то, что мы подразумеваем под логическим умозаключением.

(1) Во-первых, существенной характеристикой логического умозаключения является то, что переход мысли должен осознаваться как таковой. Связь между суждением или суждениями, от которых мы исходим, и новым суждением, к которому мы приходим, должна быть такой, которую мы, по крайней мере при рефлексии, явно осознаем.

(2) Но и это само по себе недостаточно. Должно также присутствовать понимание того, что этот переход мысли является правильным; иными словами, должно быть признание того, что принятие первоначально данных суждения или суждений 414 составляет достаточное основание или причину для принятия нового суждения.

Таким образом, в логическом умозаключении я не просто перехожу от P к Q; я осознаю, что делаю это. И я далее понимаю, что при допущении истинности P, истинность Q следует с необходимостью. Короче говоря, для логического умозаключения требуется наличие логического отношения между посылкой или посылками и заключением, а не просто психологического отношения между антецедентами и консеквентами в ходе мыслительного процесса.

Это различие между логическим и психологическим можно кратко проиллюстрировать ссылкой на то, что известно как приобретенные восприятия. Психологи, например, согласны с тем, что наше восприятие расстояния через чувство зрения или чувство слуха не является непосредственным, а приобретается в ходе опыта. Здесь мы имеем случай, когда одно восприятие порождает другое; но нет сознательного перехода от посылок к заключению, и нет ничего, что можно было бы правильно назвать умозаключением. Следовательно, мы должны отвергнуть утверждение Милля о том, что «большая часть того, что кажется наблюдением, на самом деле является умозаключением» (Логика, IV. 1, § 2), поскольку это утверждение основано — как это во многом и есть — на позиции, что большая часть наших восприятий является приобретенной, а не непосредственной. Здесь, как и в связи с некоторыми другими его более важными логическими доктринами, Милль уязвим для обвинения в неспособности различить причину убеждения и его основание или повод.

377. Парадокс умозаключения. Описание логического умозаключения, данное в предыдущем разделе, ведет непосредственно к фундаментальной трудности, которую неизбежно выдвигает на первый план любое обсуждение этого предмета. Мы фактически сталкиваемся с тем, что метко названо «парадоксом умозаключения». С одной стороны, мы должны продвигаться к чему-то новому; заключение умозаключения должно отличаться от посылок и, следовательно, должно выходить за их пределы. С другой стороны, истинность заключения необходимо следует из истинности посылок, и поэтому заключение должно в некотором смысле содержаться в посылках.

Здесь может показаться, что есть противоречие; и этот взгляд 415 имеет тенденцию подтверждаться, когда обнаруживается, что две упомянутые характеристики умозаключения используются разными школами логиков таким образом, что в совокупности они лишают категорию умозаключения какого-либо содержания вообще.

С одной стороны, делая упор на характеристике новизны, мы можем прийти к сомнению в том, можно ли вообще правильно называть формальное умозаключение таковым. Ибо во всяком таком умозаключении заключение неявно содержится в посылках, и, высказывая посылки, мы фактически уже обязались принять заключение. Как же тогда можно сказать, что мы делаем какое-либо продвижение к чему-то действительно новому?

С другой стороны, делая упор на характеристике необходимости, мы можем прийти к сомнению в том, можно ли вообще правильно называть индуктивное умозаключение таковым. Ибо в таком умозаключении ложность заключения не является доказуемо несовместимой с истинностью посылок. Мы можем утверждать, что если посылки истинны, то заключение будет истинным. Но можем ли мы утверждать, что оно должно быть истинным, если мы также не утверждаем, что, утверждая посылки, мы фактически утвердили и заключение? И тогда мы возвращаемся к другому рогу дилеммы.

Это не то место, где следует обсуждать данную трудность с точки зрения индуктивной логики. Мы должны, однако, попытаться найти решение с точки зрения формальной логики.

378. Природа различия, которое должно существовать между посылками и заключением в умозаключении. Чтобы найти решение этой трудности, насколько это касается формального умозаключения, мы должны продолжить наш анализ. Мы сказали, что заключение должно отличаться от посылки или посылок. Но мы еще не спросили, какова должна быть природа этого различия или в чем оно должно состоять; и именно от ответа на этот вопрос зависит все.

Если мы рассмотрим два предложения, мы обнаружим, что они могут отличаться друг от друга с трех различных точек зрения, представляющих три степени различия.

(1) Во-первых, два предложения могут отличаться друг от друга только с вербальной точки зрения; то есть, хотя они и различаются словами, из которых они состоят, они могут иметь одно и то же значение, и то, что одно из них призвано передать 416 уму, может быть в точности тем же, что призвано передать другое. В этом случае, рассматриваемые как пропозиции, а не как простые предложения, их нельзя назвать действительно различными вообще; ибо они не представляют различных суждений.

Это (если взять пример из Джевонса) применимо к двум таким предложениям, как «Виктория есть королева Англии», «Виктория есть английская королева». Это применимо также к утверждению, выраженному на данном языке, и тому же утверждению, переведенному на второй язык, при условии, что возможен абсолютно буквальный перевод.

Действительно, некоторыми авторами утверждалось, что различие в выражении обязательно влечет за собой некоторое различие в мысли. Но это, во всяком случае, по-видимому, не так, когда одно слово заменяется другим, полностью совпадающим с ним как по денотации, так и по коннотации (как полагает говорящий). Когда один сложный термин заменяется другим (например, «английская королева» вместо «королева Англии»), это, несомненно, может повлечь за собой некоторое изменение в порядке мысли; но это не требует какого-либо изменения значения в мысли, рассматриваемой в целом. Опять же, мы, возможно, не должны говорить, что одна и та же пропозиция, выраженная на двух разных языках, имеет абсолютно одинаковый ментальный эквивалент, поскольку осознание самих слов, из которых состоит пропозиция, может составлять часть ее ментального эквивалента. Но, как и прежде, это не меняет значения, которое пропозиция призвана передать.

Следует добавить, что когда мы имеем суждение, выраженное на двух разных языках или в двух разных формах на одном и том же языке, вовлекается (или может быть вовлечено) дальнейшее суждение о том, что два способа выражения эквивалентны. Однако здесь поднимается отдельный вопрос. 440

440 Этот вопрос, я думаю, вовлечен в аргумент, использованный мисс Джонс (в статье в Mind, апрель 1898 г.) в поддержку доктрины о том, что мы имеем умозаключение всякий раз, когда переходим от данной пропозиции к другой, которая вербально отличается от нее; например, от «Виктория есть королева Англии» к «Виктория есть английская королева». Переход от одной из этих пропозиций к другой, по мнению мисс Джонс, является не формальным непосредственным умозаключением, а силлогизмом, в котором должна быть добавлена подразумеваемая посылка: таким образом, «Виктория есть королева Англии», «Королева Англии есть английская королева», следовательно, «Виктория есть английская королева». Может показаться, добавляет мисс Джонс, тщетным или даже пурильским излагать подробно то, что все или почти все знают без подсказок; но могут быть случаи (например, случай ребенка или иностранца, изучающего английский язык), в которых приходится проходить через рассуждение такого рода.

Мне кажется, что здесь имеет место неспособность различить две разные точки зрения. Мы, несомненно, можем сделать умозаключение об эквивалентности значения двух терминов или двух выражений, когда весь аргумент касается значения терминов или силы выражений. Таким образом, чтобы взять (или, скорее, адаптировать) другой пример мисс Джонс, мы можем легко признать, что существует умозаключение, если немец аргументирует, что поскольку слово Valour эквивалентно по значению слову Tapferkeit, а слово Bravery также эквивалентно по значению слову Tapferkeit, следовательно, слова Valour и Bravery эквивалентны по значению. Опять же, ребенок или иностранец может прийти путем умозаключения к эквивалентности таких форм, как «королева Англии» и «английская королева». Но в приведенном выше силлогизме первая посылка и заключение являются утверждениями факта, в то время как вторая посылка является утверждением о способах выражения, смысл которого: «Выражение «королева Англии» эквивалентно выражению «английская королева»». Следовательно, здесь более трех терминов, и у нас нет собственно силлогизма вообще. Насколько в предполагаемом случае есть умозаключение, оно будет чем-то вроде следующего: «Форма слов «королева Англии» эквивалентна по значению форме слов «английская королева»», следовательно, «Суждение, которое выражено в форме «Виктория есть королева Англии», может быть также выражено в форме «Виктория есть английская королева»». Это умозаключение, если оно есть, которое сделал бы иностранец, изучающий язык; и оно сильно отличается от претензии на переход от суждения «Виктория есть королева Англии» к суждению «Виктория есть английская королева».

417 (2) Во-вторых, мы можем иметь различие, которое выходит за рамки простого различия в выражении и составляет различие в субъективном значении, хотя с объективной точки зрения различия может и не быть. В этом случае мы имеем две различные пропозиции, а не просто два разных предложения, и эти пропозиции являются выражениями двух разных суждений.

Это отношение, на мой взгляд, существует между пропозицией и ее контрапозитивом; например, между двенадцатой аксиомой Евклида: «Если прямая линия пересекает две прямые линии так, что два внутренних угла по одну сторону от нее в сумме меньше двух прямых углов, то эти прямые линии, будучи продолженными, в конце концов встретятся с той стороны, на которой находятся углы, сумма которых меньше двух прямых углов», и второй частью двадцать девятой пропозиции его первой книги: «Если прямая линия падает на две параллельные прямые линии, она сделает два 418 внутренних угла по одну сторону в сумме равными двум прямым углам». Нельзя сказать, что в таком случае мы имеем какое-либо объективное различие, какое-либо различие в сути утверждаемого факта; но в то же время мы утверждаем, что два суждения, которым дано выражение, не должны рассматриваться как идентичные qua суждения.

К этому различию мы вскоре вернемся с более спорной точки зрения.

(3) В-третьих, наши предложения могут отличаться не только с вербальной и субъективной точек зрения, но и с объективной точки зрения; они могут утверждать различные факты. Как, например, если одно из них утверждает, что весь калий, с которым мы экспериментировали, загорается при бросании в воду, а другое — что кусок калия, с которым мы еще не экспериментировали, сделает то же самое.

Теперь во всех трех этих случаях мы имеем новизну, и вопрос, который нужно решить, заключается в том, какой из трех видов новизны необходим для того, чтобы мы имели умозаключение. Я считаю, что правильный ответ заключается в том, что для умозаключения субъективная новизна необходима и достаточна.

Существует практически всеобщее согласие в том, что для умозаключения требуется нечто большее, чем просто различие в вербальном выражении. 441

441 Мисс Джонс утверждает, что вербального различия достаточно; но это только потому, что она также утверждает, как мы видели, что мы не можем иметь просто вербального различия, то есть различия в выражении без различия в мысли.

Объективная новизна, безусловно, достаточна, но необходима ли она? Это утверждается писателями школы Милля. Это, конечно, может быть просто вопросом определения; то есть умозаключение может быть определено ab initio таким образом, чтобы требовать, чтобы достигнутое заключение выражало некоторый объективный факт, не содержащийся в данных, на которых оно основано. Поскольку вопрос решен таким образом по определению, из этого без споров следует, что контрапозиция, силлогизм и другие формальные умозаключения (так называемые) вообще не должны правильно называться умозаключениями. Но здесь вовлечено нечто гораздо большее, чем просто вопрос определения. Те, кто требует объективной новизны, по-видимому, считают, что без нее мы не можем иметь ничего, кроме простой 419 вербальной новизны. Они упускают из виду, или, во всяком случае, практически отрицают возможность принятия промежуточного курса, при котором мы можем иметь нечто большее, чем вербальная новизна, но нечто меньшее, чем объективная новизна.

Здесь мы имеем одну форму, в которой проявляется основной спорный момент относительно природы умозаключения. Возможно ли, чтобы два суждения были различными qua суждения, хотя с объективной точки зрения одно из них не утверждает ничего, что не было бы также утверждено другим? Или, иначе говоря, могут ли два суждения (или наборы суждений) быть различными как суждения, хотя они не являются логически независимыми, то есть хотя между ними существуют самоочевидные отношения, такие, что истинность одного из них влечет за собой истинность другого?

Я готов признать, что нелегко провести четкую границу, определяющую, где заканчивается простая вербальная новизна и начинается субъективная новизна. Однако, прежде чем пытаться справиться с этой трудностью, я постараюсь показать, что, несомненно, существуют случаи, в которых мы имеем прогресс в мысли, не достигая ничего объективно нового.

Милль, приведя примеры так называемых непосредственных умозаключений, говорит: «Во всех этих случаях нет действительно никакого умозаключения; в заключении нет новой истины, ничего, кроме того, что уже было утверждено в посылках и очевидно для всякого, кто их понимает» (Логика, II. 1, § 2). Теперь, безусловно, верно, что в любом формальном умозаключении заключение неявно содержится в посылках и не утверждает абсолютно нового факта. Но одно дело сказать, что заключение виртуально содержится в определенных посылках, и совсем другое — сказать, что оно очевидно для всякого, кто понимает посылки. Отождествление этих двух позиций является одним из печальных последствий принятия простого обращения в качестве типа всех непосредственных умозаключений и единственного силлогизма в Barbara в качестве типа всех опосредованных формальных умозаключений. Кому-то может быть трудно понять, что «никакое S не есть P», не понимая сразу, что «никакое P не есть S», или понять посылки силлогизма в Barbara, не понимая сразу и заключение. Эти случаи потребуют обсуждения; но сейчас мы больше озабочены тем, чтобы указать 420 на то, что существуют другие формальные умозаключения, против которых нельзя выдвинуть подобное обвинение в очевидности.

Все теоремы геометрии виртуально содержатся в определенных аксиомах и постулатах, и если мы можем исчерпывающе перечислить аксиомы, то в некотором смысле не остается нового геометрического факта, который мы могли бы утверждать. Тем не менее, никто не сказал бы, что вся геометрия сразу очевидна для любого, кто ясно понял аксиомы. Мы, однако, более подробно рассмотрим силлогистическое умозаключение в более позднем разделе. В настоящее время мы в основном ограничимся непосредственными умозаключениями.

Чтобы показать, что заключение непосредственного умозаключения не всегда сразу очевидно для любого, кто ясно понимает данную посылку, можно указать на то, что у Евклида принято давать независимые доказательства контрапозитивов. 442 Например, вторая часть Евклида I. 29 является контрапозитивом аксиомы 12. Но невозможно предположить, что если бы Евклид рассматривал I. 29 как не действительно отличную от аксиомы 12, а просто как повторение этой аксиомы другими словами, он дал бы ее подробное доказательство. Ниже приведены два других довольно простых примера непосредственных умозаключений: «Где отсутствует B, там либо A и C оба присутствуют, либо A и D оба отсутствуют», следовательно, «Где отсутствует C, там либо B присутствует, либо D отсутствует»; «Где присутствует A, там либо B и C оба присутствуют, либо C присутствует без D, либо C присутствует без F, либо H присутствует», следовательно, «Где отсутствует C, мы никогда не находим H отсутствующим, при условии, что A присутствует».

442 См. примечание 4 на стр. 136.

В таких случаях, как эти, а они являются сравнительно простыми в своем роде, нельзя утверждать, что заключение сразу очевидно, когда дана посылка. На самом деле, ошибки нередко совершаются в непосредственных умозаключениях еще более простого и элементарного характера.

379. Прямой смысл и импликации пропозиции. В этот момент может справедливо возникнуть вопрос о том, как мы определяем, какова явная сила данной пропозиции, при условии, что пропозиция ясно понята и полностью усвоена умом. На этот вопрос отнюдь не легко 421 ответить, и трудность, которую он представляет, является источником сомнения, которое иногда возникает, когда мы пытаемся провести границу между непосредственными умозаключениями и простыми вербальными преобразованиями.

Если непосредственные умозаключения возможны, мы должны быть способны различать прямой логический смысл (или значение) пропозиции и ее логические импликации; и должно быть возможно полностью понять значение, не обязательно осознавая при этом все импликации. 443 Мы можем начать с различения: (1) содержания суждения, действительно присутствующего в нашем уме, когда мы высказываем или принимаем пропозицию в обычном дискурсе или при обычном чтении; (2) содержания суждения, которое при рефлексии мы способны рассматривать как составляющее полное логическое значение пропозиции; (3) содержания этого суждения вместе с содержанием других суждений, которые оно логически подразумевает.

443 Сравните раздел 48.

(1) — это психологический продукт, который может быть, и обычно является, логически несовершенным; то есть его нужно расширить, чтобы мы полностью осознали значение пропозиции. Такое расширение нельзя рассматривать как составляющее умозаключение. Ибо при совершении любого умозаключения нашей отправной точкой должна быть пропозиция, рассматриваемая в ее логическом характере. Умозаключение появляется, когда мы переходим от (2) к (3). Однако возникает вопрос о том, насколько далеко должно заходить расширение, если наша цель — остановиться на (2). Иными словами, где заканчивается значение и начинается импликация?

Ранее было отмечено, что при приписывании данным комбинациям слов их логического смысла существует определенный элемент произвольности. Часто существует аналогичный элемент произвольности при формулировании фундаментальных аксиом науки, а также при составлении определений. Так, в геометрии мы не можем обойтись без некоторой специальной аксиомы, касающейся параллельных прямых линий, но у нас есть некоторый выбор относительно того, какой должна быть эта аксиома. Следовательно, то, что является аксиомой в одной системе, может быть теоремой в другой, и vice versa. Аналогично, должно ли Q рассматриваться как часть значения P или как умозаключение из P, может быть относительным к интерпретации 422, принятой для расписания пропозиций, к которому принадлежит P. Некоторые иллюстрации этого момента будут даны в ближайшее время.

Мы привели случаи, в которых кажется ясным, что мы имеем умозаключение, а не просто вербальное преобразование. Но в большинстве этих случаев могут быть вставлены промежуточные шаги; и если это делается в максимально возможной степени, прогресс на каждом шаге может быть настолько незначительным, что может быть совсем нелегко сказать, в чем именно заключается умозаключение.

Затем мы должны перейти к рассмотрению предельных случаев, в которых может быть законное сомнение относительно того, имеем ли мы умозаключение или нет. Одним из таких случаев является обращение. Вопрос о том, существует ли умозаключение при обращении, может быть сам по себе, как выражается г-н Бозанкет, «пунктом малого интереса» (Essentials of Logic, стр. 141). Тем не менее, как предельный случай, его не следует легко отбрасывать, когда мы пытаемся решить, что фундаментально составляет умозаключение.

Мне кажется, что обращение является процессом умозаключения, если мы имеем дело с расписанием пропозиций, в котором принято предикативное прочтение. В таком расписании первичный смысл различных пропозиций включает дифференциацию между субъектом и предикатом, и предикация P к S или отрицание того, что P может быть предикацией к S, — это иное дело, чем предикация S к P или отрицание того, что S может быть предикацией к P. Более того, мы можем понять одно отношение, не обязательно осознавая, влечет ли оно за собой другое или нет. Но в эквациональной системе все иначе. Если утверждается, что два класса идентичны, то это лишь вербальный вопрос, какой из них упомянут первым, и мы не можем считать, что сделали какой-либо прогресс в мысли, когда мы просто меняем порядок, в котором они названы. Из этого следует, что мы должны считать, что имеем умозаключение, когда сводим пропозицию, выраженную предикативно, к эквациональной форме.

В любом расписании контрапозиция (или процесс, аналогичный контрапозиции) представляет себя как умозаключение. В одном случае мы имеем «Всякое S есть P», следовательно, «Все, что не есть P, не есть S»; в другом случае, S = SP, следовательно, P' = P'S'.

Предположим снова, что у нас есть экзистенциальное расписание, и что мы исходим из пропозиции SP' = 0 [Нет ничего, что есть 423 S и в то же время не есть P]. Здесь то, что соответствует обращению, — это переход к «Либо PS > 0, либо S = 0» [Есть нечто, что есть и P, и S, или же S несуществующее]; и то, что соответствует контрапозиции, — это переход к P'S = 0 [Нет ничего, что не есть P и в то же время есть S]. Обращение, но не контрапозиция, теперь представляется как процесс умозаключения. Из этого следует, что существует умозаключение, когда мы переходим к этому расписанию из любого другого, или vice versa.

Дальнейшее следствие, которое можно извлечь из вышеприведенных соображений, заключается в том, что если пропозиции даны случайно, умозаключение может потребоваться в самом начале, чтобы адаптировать их к данному логическому расписанию, хотя, как правило, это не будет необходимо. Этот момент уже был затронут в разделе 48.

380. Силлогизмы и непосредственные умозаключения. В вышеприведенном аргументе мы ограничились в основном рассмотрением непосредственных умозаключений. Тот же вопрос в отношении силлогизма обычно представляется в несколько иной форме, а именно: включает ли каждый силлогизм petitio principii; и мы обсудим его в этой форме в следующем разделе. Тем временем мы можем заметить, что если нет такой вещи, как непосредственное умозаключение в собственном смысле слова, то претензии силлогизма на содержание умозаключения становятся очень трудными для поддержания. Ибо с помощью непосредственных умозаключений посылки силлогизма могут быть объединены в единую пропозицию, и заключение может быть затем получено как непосредственное умозаключение из этой комбинации. 444

444 Сравните раздел 207.

В качестве примера мы можем взять силлогизм в Barbara: 445

All M is P,(1) All S is M,(2) therefore, All S is P. Из (1),

Everything is m or P, therefore, Every S is m or P. Объединяя это с (2), мы имеем

«Всякое S есть M, а также m или P»; (3)

следовательно, «Всякое S есть MP» (поскольку ничто не может быть Mm);

следовательно, «Всякое S есть P».

445 В аргументе, который следует, m = не-M, s = не-S.

424 Все вышеперечисленные шаги являются непосредственными умозаключениями, за исключением комбинации, которая дает (3). Следовательно, если мы считаем, что силлогизм есть умозаключение, в то время как так называемое непосредственное умозаключение таковым не является, мы должны рассматривать все умозаключение как сконцентрированное в простом объединении двух пропозиций в одну пропозицию; и это вряд ли позиция, которую можно принять.

Данный силлогизм можно также свести следующим образом: Из (1) следует, что «Все есть m или P»; (4) и из (2) мы получаем «Все есть s или M». (5) Объединяя (4) и (5), «Все есть (s или M) и (m или P)»; следовательно, «Все есть sm или sP или MP»; следовательно, «Всякое S есть P».

Мы можем попутно отметить, что если элиминация рассматривается как составляющая сущность умозаключения, то в каждом из вышеприведенных разрешений силлогизма все умозаключение сконцентрировано в последнем шаге, и это опять же кажется парадоксальным.

381. Обвинение в Petitio Principii, выдвинутое против силлогистического рассуждения. 446 Возражение против силлогистического рассуждения о том, что оно обязательно включает petitio principii, имеет значительную древность. Так, Секст Эмпирик (около 200 г. н.э.), один из поздних скептиков, стремясь опровергнуть возможность демонстрации, приводил в качестве одного из своих аргументов то, что каждый силлогизм движется по кругу, поскольку большая посылка, от которой зависит доказательство заключения, требует для своего собственного установления полного перечисления случаев, среди которых должно быть включено и само заключение. 447 То же возражение против силлогизма выдвигается многими современными логиками, включая Милля и его последователей. «Должно быть признано, — говорит Милль, — что в каждом силлогизме, рассматриваемом как аргумент для доказательства заключения, есть petitio principii» (Логика, II. 3, § 2).

446 Существует очень хорошее обсуждение этого вопроса в «Эмпирической логике» Венна, глава 15. Читателя также можно отослать к изданию Олдрича Мансела, примечание E, и к «Логике» Лотце, §§ 98–100.

447 Сравните Юбервег, «История философии» (английский перевод, I, стр. 216).

Можно сразу сказать, что правдоподобность аргумента, с помощью которого Милль стремится оправдать эту позицию, зависит 425 во многом от определенной двусмысленности, которая приписывается фразе petitio principii. Когда обвинение в petitio principii выдвигается против рассуждения, имеется ли в виду просто (1) то, что посылки не были бы истинными, если бы заключение также не было истинным, или имеется в виду (2) то, что заключение необходимо для доказательства одной из посылок? Очевидно, одно дело сказать, что посылки определенного рассуждения не могут быть истинными, если заключение не является истинным, и совсем другое — сказать, что мы не можем знать, что посылки истинны, если мы предварительно не знаем, что заключение таково, или сказать, что доказательство посылок требует, чтобы заключение уже было установлено. Только во втором из вышеуказанных смыслов petitio principii может рассматриваться как ошибка; и любой, кто, стремясь доказать, что каждый силлогизм виновен в ошибке petitio principii, лишь показывает, что силлогистическое рассуждение включает petitio principii в другом смысле, сам совершает ошибку ignoratio elenchi.

В своей систематической трактовке ошибок Милль классифицирует petitio principii среди ошибок смешения и цитирует с одобрением определение Уэйтли: это ошибка, «в которой одна из посылок либо явно совпадает по смыслу с заключением, либо фактически доказывается из него, либо является такой, которую лица, к которым вы обращаетесь, вряд ли знают или допустят, кроме как в качестве умозаключения из заключения» (Логика, V. 7, § 2 n.). Эта ошибка была описана как ошибка доказательства, а не ошибка умозаключения; то есть она возникает, когда мы спрашиваем, как должен быть установлен данный тезис, а не когда мы спрашиваем, что следует из данной гипотезы. Мы должны спросить, открыт ли каждый силлогизм для обвинения в petitio principii в этом смысле.

Очевидно, что ответ на вопрос в случае любого конкретного силлогизма зависит от оснований, на которых сами посылки утверждаются; и мы можем начать с привлечения внимания к определенным случаям, в которых справедливость обвинения должна быть признана, при условии, что заключение силлогизма рассматривается как тезис, который нужно доказать.

Один случай — это когда большая посылка является аналитической пропозицией. 448 Ибо если M по определению включает P среди своих 426 свойств, я не оправдан в том, чтобы говорить об S, что оно есть M, если я уже не убедился, что оно есть P. Ниже приведен пример: «Все треугольники имеют три стороны; фигура ABC есть треугольник; следовательно, она имеет три стороны».

448 Этот случай отмечен Лотце, «Логика», § 99.

Второй очевидный случай circulus in probando — это когда мы стремимся установить одну из посылок силлогизма с помощью другого силлогизма, в котором само конечное заключение появляется как посылка. Например: «Все M есть P (ибо все S есть P и все M есть S); и все S есть M; следовательно, все S есть P».

Третий случай, который для нашей непосредственной цели важнее любого из вышеперечисленных, — это когда большая посылка является перечислительной общей пропозицией, суммирующей ряд отдельных случаев, каждый из которых был рассмотрен отдельно. Например: «Все апостолы были евреями; Петр был апостолом; следовательно, Петр был евреем». Общая пропозиция, относящаяся к ограниченному классу, такому как апостолы, обычно устанавливается путем рассмотрения членов по отдельности; и если бы истинность общей пропозиции могла быть установлена только таким образом, то обвинение в том, что силлогистическое рассуждение обязательно включает petitio principii, не допускало бы опровержения. Это, по-видимому, предполагается в аргументе Секста Эмпирика, процитированном выше. Это также предполагается в следующей дилемме, которая была приведена как суммирующая доктрину Милля: «Если все факты большой посылки любого силлогизма были исследованы, силлогизм излишен; и если некоторые из них не были исследованы, это petitio principii. Но либо все были исследованы, либо некоторые не были. Следовательно, силлогизм либо бесполезен, либо ошибочен». Можно также процитировать собственный аргумент Милля: «Мы не можем быть уверены в смертности всех людей, если мы уже не уверены в смертности каждого отдельного человека» (Логика, II. 3, § 2). 449

449 Бэйн (Логика, Дедукция, стр. 208), взяв в качестве примера силлогизм «Все люди смертны, все короли — люди, следовательно, все короли смертны», спрашивает: «Предполагая, что есть какое-либо сомнение относительно заключения, что короли смертны, по какому праву мы провозглашаем в большей посылке, что все люди смертны, включая королей?». Затем он продолжает: «Чтобы сказать «Все люди смертны», мы должны были найти каким-то другим способом, что все короли и все люди смертны. Так что заключение сначала вносит свою долю в большую посылку, а затем забирает ее обратно». Ответ на вызов Бэйна заключается в том, что если мы сомневаемся в том, смертны ли короли, мы можем разрешить наше сомнение, показав, что короли принадлежат к классу, смертность которого признана. Вопрос тогда сводится к тому, возможно ли установить смертность человечества в целом без какого-либо явного рассмотрения частного случая королей.

427 Однако ни на мгновение нельзя допустить, что общие пропозиции допускают доказательство только путем перечисления. Пропозиции, которые допускают такое доказательство, действительно, в общем и целом, имеют малое значение. Силлогизм в основном ценен в умозаключительном плане, когда большая посылка является общей в самом полном и неограниченном смысле, то есть безусловно общей, выражающей общий закон, зависящий от качественных отношений. Истинный характер и ценность такой посылки, хотя обычно записываемой в форме «Всякое S есть P», лучше были бы выявлены использованием одной из форм: «Любое S есть P», «Что угодно, что есть S, есть также P», «Природа S — быть P», «Если что-либо есть S, оно есть P». 450

450 Зигварт утверждает, что для того, чтобы правильно понять ценность силлогизма, мы должны взять в качестве нашего типа условный (или, как он выражается, гипотетический), а не категорический силлогизм. Нам нужно, говорит он, лишь взглянуть на любой математический или физический учебник, чтобы убедиться, что подавляющее большинство пропозиций, которые используются в качестве больших посылок, являются гипотетическими по природе, если не по выражению. «Пропозиции, такие как «два круга, которые пересекаются, не имеют общего центра», гипотетичны по природе; пропозиция утверждает условие, при котором предикат отрицается... То же самое с формулами аналитической механики; эти и другие того же описания являются гипотетическими суждениями, и умозаключения делаются в соответствии с ними путем подстановки определенных значений для общих символов» (Логика, § 55). Зигварт, возможно, придает чрезмерное значение простому вопросу формы. Если наша большая посылка безусловно общая и понимается как таковая, то не влияет на характер рассуждения, принимаем ли мы категорический способ выражения или условный. Причина, по которой Зигварт останавливается на гипотетической силе большой посылки, во многом заключается в тривиальном характере примеров, которые принято приводить для чисто категорического силлогизма.

Нижеследующее можно отметить как типичные случаи, в которых основания для принятия истинности посылок силлогизма совершенно независимы от какого-либо явного знания истинности заключения.