«Principia Mathematica, том 1»

*2·03.

*2·15.

*2·16.

*2·17.

Эти четыре аналогичных высказывания составляют "принцип транспозиции", упоминаемый как "Transp". Они ведут к правилу, что в импликации две стороны могут быть переставлены путем превращения отрицательного в положительное и положительного в отрицательное. Таким образом, они аналогичны алгебраическому правилу, согласно которому две стороны уравнения могут быть переставлены путем изменения знаков.

*2·04.

Это называется "коммутативным принципом" и упоминается как "Comm". Он утверждает, что если следует из при условии, что истинно, то следует из при условии, что истинно.

*2·05.

*2·06.

Эти два высказывания являются источником силлогизма в Barbara (как будет показано позже) и поэтому называются "принципом силлогизма" (упоминается как "Syll"). Первое утверждает, что если следует из , то если следует из , следует из . Второе утверждает то же самое с переставленными посылками.

*2·08.

Т.е. любое высказывание имплицирует само себя. Это называется "принципом тождества" и упоминается как "Id". Это не то же самое, что "закон тождества" (" тождественен "), но закон тождества выводится из него (ср. *13·15).

*2·21.

Т.е. ложное высказывание имплицирует любое высказывание.

Более поздние высказывания настоящего номера по большей части подпадают под высказывания в *3 или *4, которые дают те же результаты в более сжатых формах. Теперь мы переходим к формальным дедукциям.

*2·01.

Это высказывание утверждает, что если имплицирует свою собственную ложность, то ложно. Оно называется "принципом reductio ad absurdum" и будет упоминаться как "Abs" [46]. Доказательство выглядит следующим образом (где "Dem." является сокращением от "демонстрация"):

Док.

*2·02.

Док.

*2·03.

Док.

*2·04.

Док.

*2·05.

Док.

*2·06.

Док.

В последней строке этого доказательства запись «(1).(2).*1·11» означает, что мы производим выведение в соответствии с *1·11, имея перед собой пропозицию, а именно, которая, согласно (1), имплицируется пропозицией, которая, согласно (2), является истинной. В общем случае в подобных ситуациях мы будем опускать ссылку на *1·11.

Две вышеприведенные пропозиции будут именоваться «принципом силлогизма» (сокращенно «Syll»), поскольку, как будет показано далее, силлогизм в модусе Barbara выводится из них.

*2·07

Здесь мы не указываем ничего, кроме «*1·3», поскольку доказываемая пропозиция представляет собой то, во что превращается *1·3 при подстановке вместо.

*2·08

Док.

*2·1

*2·11

Док.

Это закон исключенного третьего.

*2·12

Док.

*2·13.

Эта пропозиция является леммой для *2·14, которая вместе с *2·12 составляет принцип двойного отрицания.

Док.

*2·14.

Док.

*2·15.

Док.

Примечание к доказательству *2·15. В приведенном выше доказательстве видно, что (3), (4), (6) имеют соответственно формы, , , где есть доказываемая пропозиция. Из , , пропозиция получается путем повторного применения *2·05 или *2·06 (обе из которых называются «Syll»). Утомительно и излишне повторять этот процесс каждый раз при его использовании; поэтому он будет сокращен до , где (a) имеет форму, (b) — форму, (c) — форму, а (d) — форму. Такое же сокращение будет применяться к сориту любой длины.

Также, когда у нас есть «» и «», и является доказываемой пропозицией, удобно записывать просто, где «и т. д.» будет ссылкой на предыдущие пропозиции, в силу которых имеет место импликация «». Эта форма воплощает использование *1·11 или *1·1 и делает многие доказательства одновременно более короткими и легкими для восприятия. Она используется в первых двух строках следующего доказательства.

*2·16.

Док.

Примечание. Доказываемая пропозиция будет называться «Prop», и когда доказательство заканчивается, как в случае с *2·16, импликацией между утвержденными пропозициями, консеквентом которой является доказываемая пропозиция, мы будем писать «». Таким образом, «» завершает доказательство и более или менее соответствует «Ч.Т.Д.»

*2·17.

Док.

*2·15, *2·16 и *2·17 являются формами принципа транспозиции, и все они будут именоваться «Transp».

*2·18.

Док.

Это дополнение к принципу reductio ad absurdum. Оно гласит, что пропозиция, следующая из гипотезы о собственной ложности, является истинной.

*2·2.

Док.

*2·21.

Две вышеприведенные пропозиции используются очень часто.

*2·24.

*2·25.

Док.

*2·26.

*2·27.

*2·3.

Док.

*2·31.

Эта пропозиция и *2·32 вместе составляют ассоциативный закон для логической суммы пропозиций. В доказательстве будет использовано следующее сокращение (постоянно применяемое в дальнейшем) [47]: когда у нас есть ряд пропозиций вида, , , все утвержденные, и «» является доказываемой пропозицией, полное доказательство выглядит следующим образом:

Утомительно расписывать этот процесс полностью; поэтому мы пишем просто

где «» — доказываемая пропозиция. Слева мы указываем ссылками в квадратных скобках пропозиции, в силу которых имеют место последовательные импликации. Мы ставим одну точку (а не две) после «», чтобы показать, что именно, а не «» имплицирует. Но мы ставим две точки после, чтобы показать, что теперь речь идет о всей пропозиции «». Если «» не является доказываемой пропозицией, а должна быть использована впоследствии в доказательстве, мы ставим

и тогда «(1)» означает «». Доказательство *2·31 выглядит следующим образом:

Док.

*2·32.

Док.

*2·33.

Это определение служит лишь для избежания скобок.

*2·36.

Док.

*2·37.

*2·38.

Доказательства *2·37·38 в точности аналогичны доказательству *2·36. (Мы используем «*2·37·38» как сокращение для «*2·37 и *2·38». Такие сокращения будут использоваться повсеместно.)

Использование общего принципа дедукции, такого как любая из форм «Syll», в доказательстве отличается от использования конкретных посылок, к которым применяется принцип дедукции. Принцип дедукции дает общее правило, согласно которому производится выведение, но сам по себе не является посылкой в этом выведении. Если бы мы рассматривали его как посылку, нам потребовалось бы либо оно, либо какое-то другое общее правило, чтобы позволить нам вывести желаемое заключение, и таким образом мы постепенно накапливали бы все больше посылок, так и не будучи в состоянии сделать какое-либо выведение. Поэтому, когда при выведении приводится общее правило, например, когда мы пишем «», упоминание «Syll» требуется лишь для того, чтобы напомнить читателю, как именно производится выведение.

Правило вывода может, однако, встречаться и как одна из обычных посылок, то есть, например, в случае с «Syll» пропозиция «» может быть одной из тех, к которым применяются наши правила дедукции, и тогда она является обычной посылкой. Различие между двумя способами использования принципов дедукции имеет определенное философское значение, и в приведенных выше доказательствах мы обозначили его, поместив правило вывода в квадратные скобки. Однако практически неудобно продолжать различать их по способу ссылки. Поэтому в дальнейшем мы будем как приводить обычные посылки в квадратных скобках, где это удобно, так и приводить правила вывода вместе с другими пропозициями в утвержденных посылках, т. е. мы будем писать, например,

*2·4.

Док.

*2·41.

Док.

*2·42.

*2·43.

*2·45.

*2·46.

*2·47.

*2·48.

*2·49.

*2·5.

*2·51.

*2·52.

*2·521.

*2·53.

Док.

*2·54.

*2·55.

*2·56.

*2·6.

Док.

*2·61.

*2·62.

*2·621.

*2·63.

*2·64.

*2·65.

*2·67.

Док.

*2·68.

Док.

*2·69.

*2·73.

*2·74.

*2·75.

*2·76.

*2·77.

*2·8.

Док.

*2·81.

Док.

*2·82.

*2·83.

*2·85.

Док.

*2·86.

СНОСКИ:

[38] Признанные методы доказательства независимости не применимы без оговорок к фундаментальным положениям. Ср. Principles of Mathematics, § 17. То, что там сказано относительно примитивных пропозиций, с еще большей силой относится к примитивным идеям.

[39] Мы заимствовали как идею, так и символ утверждения у Фреге.

[40] Ср. Principles of Mathematics, § 38.

[41] Когда мы говорим, что пропозиция «принадлежит логике», мы имеем в виду, что она может быть выражена в терминах примитивных идей логики. Мы не имеем в виду, что логика применяется к ней, ибо это, конечно, было бы верно для любой пропозиции.

[42] Знак равенства, за которым не следуют буквы «Df», будет иметь другое значение, которое будет определено позже.

[43] Буквы «Pp» означают «примитивная пропозиция» (primitive proposition), как у Пеано.

[44] Дополнительные замечания об этом принципе см. в Principles of Mathematics, § 38.

[45] В дальнейшем мы перестанем проводить различие между посылкой и правилом, согласно которому осуществляется выведение. Это различие важно только в ранних доказательствах.

[46] Существует интересная историческая статья об этом принципе, написанная Вайлати: «A proposito d'un passo del Teeteto e di una dimostrazione di Euclide», Rivista di Filosofia e scienze affine, 1904.

[47] Это сокращение применяется к тому же типу случаев, что и те, которые рассматриваются в примечании к *2·15, но часто оказывается более удобным, чем сокращение, объясненное в том примечании.

*3. ЛОГИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ПРОПОЗИЦИЙ.

Резюме *3.

Логическое произведение двух пропозиций и практически представляет собой пропозицию « и оба истинны». Но в таком виде это было бы новой примитивной идеей. Поэтому мы принимаем в качестве логического произведения пропозицию, т. е. «ложно, что либо ложно, либо ложно», что очевидно истинно тогда и только тогда, когда и оба истинны. Таким образом, мы полагаем

*3·01.

где «» — логическое произведение и.

*3·02.

Это определение служит лишь для сокращения доказательств.

Когда нам даны две утвержденные пропозициональные функции «» и «», мы будем иметь «» всякий раз, когда и принимают аргументы одного и того же типа. Это будет доказано для любых функций в *9; в настоящее время мы ограничиваемся элементарными пропозициональными функциями элементарных пропозиций. В этом случае результат доказывается следующим образом:

Согласно *1·7, и являются элементарными пропозициональными функциями, и поэтому, согласно *1·72, является элементарной пропозициональной функцией. Следовательно, согласно *2·11,

Следовательно, согласно *2·32 и *1·01, т. е. согласно *3·01,

Следовательно, согласно *1·11, когда у нас есть «» и «», мы имеем «». Эта пропозиция есть *3·03. Следует понимать, что она, подобно *1·72, применима также к функциям двух или более переменных.

Вышеприведенное является практически наиболее полезной формой аксиомы идентификации свободных переменных (ср. *1·72). На практике, когда ограничение элементарными пропозициями и пропозициональными функциями снято, удобным средством, с помощью которого часто можно распознать, что две функции принимают аргументы одного и того же типа, является следующее:

Если содержит каким-либо образом составляющую, а содержит каким-либо образом составляющую, то и и принимают аргументы типа аргумента в, и, следовательно, и и принимают аргументы одного и того же типа. Следовательно, в таком случае, если и и могут быть утверждены, то может быть утверждено и .

В качестве примера использования этой пропозиции возьмем доказательство *3·47. Мы доказываем там, и то, что мы хотим доказать, есть, что является *3·47. Теперь в (1) и (2), , , , являются элементарными пропозициями (как и везде в Разделе А); следовательно, согласно *1·7·71, применяемым неоднократно, «» и «» являются элементарными пропозициональными функциями. Следовательно, согласно *3·03, мы имеем, откуда результат следует согласно *3·43 и *3·33.

Основными пропозициями настоящего параграфа являются следующие:

*3·2

Т. е. « имплицирует, что имплицирует», т. е. если каждая из двух пропозиций истинна, то истинно и их логическое произведение.

*3·26

*3·27

Т. е. если логическое произведение двух пропозиций истинно, то каждая из двух пропозиций в отдельности истинна.

*3·3

Т. е. если и совместно имплицируют, то имплицирует, что имплицирует. Этот принцип (вслед за Пеано) будет называться «экспортацией», поскольку «экспортируется» из гипотезы. На него будут ссылаться как на «Exp».

*3·31

Это коррелят вышеприведенного, и он будет называться (вслед за Пеано) «импортацией» (ссылка на него — «Imp»).

*3·35

Т. е. «если истинно, и из него следует, то истинно». Это будет называться «принципом утверждения» (ссылка на него — «Ass»). Он отличается от *1·1 тем, что применяется не только тогда, когда действительно истинно, но требует лишь гипотезы о том, что p истинно.

*3·43

Т. е. если пропозиция имплицирует каждую из двух пропозиций, то она имплицирует их логическое произведение. Это называется у Пеано «принципом композиции». На него будут ссылаться как на «Comp».

*3·45.

Т. е. обе стороны импликации могут быть умножены на общий множитель. Это называется у Пеано «принципом множителя». На него будут ссылаться как на «Fact».

*3·47.

Т. е. если имплицирует, а имплицирует, то и совместно имплицируют и совместно. Закон противоречия, «)», доказывается в этом параграфе (*3·24); но, несмотря на его известность, мы находили мало поводов для его использования.

*3·01.

*3·02.

*3·03. Даны две утвержденные элементарные пропозициональные функции «» и «», аргументами которых являются элементарные пропозиции, мы имеем.

Док.

*3·1.

*3·11.

*3·12.

*3·13.

*3·14.

*3·2.

*3·21.

*3·22.

Это одна из форм коммутативного закона для логического умножения. Более полная форма приведена в *4·3.

Док.

Заметьте, что в вышеприведенном доказательстве «(1)» означает пропозицию, как это было объяснено в доказательстве *2·31.

*3·24.

Док.

Вышеприведенное является законом противоречия.

*3·26.

Док.

*3·27.

Док.

*3·26·27 будут называться «принципом упрощения», подобно *2·02, из которого они выведены. На них будут ссылаться как на «Simp».

*3·3.

Док.

*3·31.

Док.

*3·33.

*3·34.

Эти две пропозиции в дальнейшем будут именоваться «Syll»; они обычно более удобны, чем *2·05 или *2·06.

*3·35.

*3·37.

Док.

Это еще одна форма транспозиции.

*3·4.

*3·41.

*3·42.

*3·43.

Док.

*3·44.

Этот принцип аналогичен *3·43. Аналогия между *3·43 и *3·44 такова, какая обычно существует между формулами, касающимися произведений, и формулами, касающимися сумм.

Док.

*3·45.

Этот принцип показывает, что мы можем умножать обе стороны импликации на общий множитель; поэтому он называется у Пеано «принципом множителя». Мы будем ссылаться на него как на «Fact». Это аналог, для умножения, примитивной пропозиции *1·6.

Док.

*3·47.

Эта пропозиция, или, скорее, ее аналог для классов, была доказана Лейбницем и, очевидно, нравилась ему, поскольку он называет ее «præclarum theorema» [48].

Док.

*3·48.

Эта теорема является аналогом *3·47.

Док.

СНОСКИ:

[48] Philosophical works, издание Герхардта, том VII, стр. 223.

*4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ И ФОРМАЛЬНЫЕ ПРАВИЛА.

Резюме *4.

В этом параграфе мы будем иметь дело с правилами, более или менее аналогичными правилам обычной алгебры. Именно с этих правил начинается обычное «исчисление формальной логики». Рассматриваемые как «исчисление», правила дедукции допускают множество других интерпретаций. Но все другие интерпретации зависят от той, что рассматривается здесь, поскольку во всех них мы выводим следствия из наших правил и, таким образом, предполагаем теорию дедукции. Одна очень простая интерпретация «исчисления» выглядит следующим образом: рассматриваемые сущности должны быть числами, которые являются либо 0, либо 1; «» должно иметь значение 1, если равно 0, а равно 1; в противном случае оно должно иметь значение 0; должно быть 1, если равно 0, и 0, если равно 1; должно быть 1, если и оба равны 1, и должно быть 0 в любом другом случае; должно быть 1, если и оба равны 0, и должно быть 0 в любом другом случае; а знак утверждения должен означать, что то, что следует за ним, имеет значение 1. Символическая логика, рассматриваемая как исчисление, несомненно, представляет большой интерес сама по себе; но, по нашему мнению, этот аспект до сих пор слишком подчеркивался в ущерб тому аспекту, в котором символическая логика является лишь самой элементарной частью математики и логической предпосылкой всего остального. По этой причине мы лишь кратко рассмотрим то, что требуется для алгебры символической логики.

Когда каждая из двух пропозиций имплицирует другую, мы говорим, что они эквивалентны, что мы записываем как «».

*4·01.

Очевидно, что две пропозиции эквивалентны тогда и только тогда, когда обе они истинны или обе ложны. Следуя Фреге, мы будем называть истинностное значение пропозиции истиной, если она истинна, и ложью, если она ложна. Таким образом, две пропозиции эквивалентны, когда они имеют одинаковое истинностное значение.

Следует заметить, что если, то может быть подставлено вместо без изменения истинностного значения любой функции от, которая не содержит никаких примитивных идей, кроме перечисленных в *1. Это можно доказать в каждом отдельном случае, но не в общем виде, поскольку у нас нет средств указать (с нашим аппаратом примитивных идей), что функция является такой, которую можно построить только из этих идей. Мы дадим название истинностной функции функции, аргументом которой является пропозиция и истинностное значение которой зависит только от истинностного значения ее аргумента. Все функции пропозиций, с которыми мы будем специально иметь дело, будут истинностными функциями, т. е. мы будем иметь. Причина этого в том, что функции пропозиций, с которыми мы имеем дело, все построены с помощью примитивных идей из *1. Но не является универсальной характеристикой функций пропозиций быть истинностными функциями. Например, « верит в » может быть истинным для одного истинного значения и ложным для другого.

Основными пропозициями этого параграфа являются следующие:

*4·1.

*4·11.

Обе они являются формами «принципа транспозиции».

*4·13.

Это принцип двойного отрицания, т. е. пропозиция эквивалентна ложности своего отрицания.

*4·2.

*4·21.

*4·22.

Эти пропозиции утверждают, что эквивалентность является рефлексивной, симметричной и транзитивной.

*4·24.

*4·25.

Т. е. эквивалентно « и » и « или », что являются двумя формами закона тавтологии и источником основных различий между алгеброй символической логики и обычной алгеброй.

*4·3.

Это коммутативный закон для произведения пропозиций.

*4·31.

Это коммутативный закон для суммы пропозиций.

Ассоциативные законы для умножения и сложения пропозиций, а именно

*4·32.

*4·33.

Дистрибутивный закон в двух формах

*4·4.

*4·41.

Вторая из этих форм не имеет аналога в обычной алгебре.

*4·71.

Т. е. имплицирует тогда и только тогда, когда эквивалентно. Эта пропозиция используется постоянно; она позволяет нам заменить любую импликацию эквивалентностью.

*4·73.

Т. е. истинный множитель может быть отброшен от пропозиции или добавлен к ней без изменения истинностного значения пропозиции.

*4·01.

*4·02.

Это определение служит лишь для обеспечения удобного сокращения.

*4·1.

*4·11.

*4·12.

*4·13.

*4·14.

*4·15.

*4·2.

*4·21.

*4·22.

Док.

Примечание. Три вышеприведенные пропозиции показывают, что отношение эквивалентности является рефлексивным (*4·2), симметричным (*4·21) и транзитивным (*4·22). Импликация является рефлексивной и транзитивной, но не симметричной. Свойства симметричности, транзитивности и (по крайней мере, в определенной области) рефлексивности существенны для любого отношения, которое должно обладать формальными характеристиками равенства.

*4·24.

Док.

*4·25.

Примечание. *4·24·25 — это две формы закона тавтологии, который главным образом отличает алгебру символической логики от обычной алгебры.

*4·3.

Примечание. Всякий раз, когда у нас есть, какими бы ни были значения и, мы имеем также. Ибо

*4·31.

*4·32.

Док.

Примечание. Здесь «(1)» означает «», что получается из вышеприведенных шагов согласно *4·22. Использование *4·22 часто будет подразумеваемым, как выше. Принцип тот же, что был объяснен в отношении импликации в *2·31.

*4·33.

Вышеприведенное — это ассоциативные законы для умножения и сложения пропозиций. Чтобы избежать скобок, мы вводим следующее определение:

*4·34.

*4·36.

*4·37.

*4·38.

*4·39.

*4·4.

Это первая форма дистрибутивного закона.

Док.

*4·41.

Это вторая форма дистрибутивного закона — форма, для которой нет ничего аналогичного в обычной алгебре. Согласно конвенциям относительно точек, «» означает «».

Док.

*4·42.

Док.

*4·43.

Док.

*4·44.

Док.

*4·45.

Следующие формулы принадлежат Де Моргану, или, скорее, являются пропозициональными аналогами формул, данных Де Морганом для классов. Первая из них, как можно заметить, просто воплощает наше определение логического произведения.

*4·5.

*4·51.

*4·52.

*4·53.

*4·54.

*4·55.

*4·56.

*4·57.

Следующие формулы получаются непосредственно из вышеприведенных. Они важны как показывающие, как преобразовывать импликации в суммы или в отрицания произведений, и наоборот. Можно заметить, что первая из них просто воплощает определение *1·01.

*4·6.

*4·61.

*4·62.

*4·63.

*4·64.

*4·65.

*4·66.

*4·67.

*4·7.

Док.

*4·71.

Док.

Вышеприведенная пропозиция используется постоянно. Она позволяет нам преобразовать каждую импликацию в эквивалентность, что является преимуществом, если мы хотим максимально приблизить символическую логику к обычной алгебре. Но когда символическая логика рассматривается как инструмент доказательства, нам нужны импликации, и обычно неудобно подставлять эквивалентности. Подобные замечания применимы и к следующей пропозиции.

*4·72.

Док.

*4·73.

Эта пропозиция очень полезна, поскольку она показывает, что истинный множитель может быть опущен из произведения без изменения его истинности или ложности, точно так же, как истинная гипотеза может быть опущена из импликации.

*4·74.

*4·76.

*4·77.

*4·78.

Док.

*4·79.

Док.

Примечание. Аналоги *4·78·79 для классов ложны. Возьмем, например, *4·78 и положим = англичане, = мужчины, = женщины. Тогда содержится в или, но не содержится в и не содержится в .

*4·8.

*4·81.

*4·82.

*4·83.

Примечание. *4·82·83 могут быть также получены из *4·43, формами которой они фактически являются.

*4·84.

*4·85.

*4·86.

*4·87.

*4·87 воплощает в одной пропозиции принципы экспортации и импортации и коммутативный принцип.

*5. РАЗНЫЕ ПРОПОЗИЦИИ.

Резюме *5.

Настоящий параграф состоит главным образом из пропозиций двух видов: (1) тех, которые потребуются в качестве лемм в одном или нескольких последующих доказательствах, (2) тех, которые сами по себе являются иллюстративными или были бы важны в других разработках, отличных от тех, которые мы хотим сделать. Однако некоторые из пропозиций этого параграфа будут использоваться очень часто. Это:

*5·1.

Т. е. две пропозиции эквивалентны, если обе они истинны. (Утверждение о том, что две пропозиции эквивалентны, если обе они ложны, есть *5·21.)

*5·32.

Т. е. сказать, что при гипотезе и эквивалентны, эквивалентно утверждению, что совместное утверждение и эквивалентно совместному утверждению и. Это очень полезное правило при выведении.

*5·6.

Т. е. « и не- имплицируют» эквивалентно « имплицирует или ».

Среди пропозиций, на которые впоследствии не делается ссылок, но которые включены из-за их внутреннего интереса, находятся следующие: *5·11·12·13·14, которые гласят, что для любых двух пропозиций, либо или должны имплицировать, и должны имплицировать либо, либо не-, и либо имплицирует, либо имплицирует; и для любой третьей пропозиции, либо имплицирует, либо имплицирует [49].

Другие пропозиции, на которые впоследствии не делается ссылок, — это *5·22·23·24; в них показано, что две пропозиции не эквивалентны тогда и только тогда, когда одна истинна, а другая ложна, и что две пропозиции эквивалентны тогда и только тогда, когда обе истинны или обе ложны. Отсюда следует (*5·24), что отрицание «» эквивалентно «». *5·54·55 гласят, что как произведение, так и сумма и эквивалентны, соответственно, либо, либо .

Доказательства следующих пропозиций все просты, и поэтому мы часто будем лишь указывать пропозиции, используемые в доказательствах.

*5·1.

*5·11.

*5·12.

*5·13.

*5·14.

*5·15.

Док.

*5·16.

Док.

*5·17.

Док.

*5·18.

*5·19.

*5·21.

*5·22.

*5·23.

*5·24.

*5·25.

Из *5·25 видно, что мы могли бы принять импликацию, вместо дизъюнкции, в качестве примитивной идеи и определить «» как означающее «» (т. е. «не- или »). Этот путь, однако, требует большего количества примитивных пропозиций, чем требуется методом, который мы приняли.

*5·3.

*5·31.

*5·32.

Эта пропозиция постоянно требуется в последующих доказательствах.

*5·33.

*5·35.

*5·36.

*5·4.

*5·41.

*5·42.

*5·44.

*5·5.

*5·501.

*5·53.

*5·54.

*5·55.

*5·6.

*5·61.

*5·62.

*5·63.

*5·7.

*5·71.

В следующем доказательстве, как и всегда в дальнейшем, «» означает гипотезу доказываемой пропозиции.

Док.

*5·74.

Док.

*5·75.

Док.

СНОСКИ:

[49] Ср. Шрёдер, Vorlesungen über Algebra der Logik, Zweiter Band (Лейпциг, 1891), стр. 270-271, где объясняется кажущаяся странность вышеприведенной пропозиции.

РАЗДЕЛ B. ТЕОРИЯ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.

*9. РАСШИРЕНИЕ ТЕОРИИ ДЕДУКЦИИ С НИЗШИХ НА ВЫСШИЕ ТИПЫ ПРОПОЗИЦИЙ.

Резюме *9.

В настоящем параграфе мы вводим две новые примитивные идеи, которые могут быть выражены как « всегда истинно» [50] и « иногда истинно» [51], или, более правильно, как « всегда» и « иногда». Когда мы утверждаем « всегда», мы утверждаем все значения, где «» означает саму функцию, в противоположность неоднозначному значению функции (ср. стр. 15, 42); мы не утверждаем, что истинно для всех значений, потому что, в соответствии с теорией типов, существуют значения, для которых «» бессмысленно; например, сама функция должна быть таким значением. Мы будем обозначать « всегда» нотацией, где за «» будет следовать достаточно большое количество точек, чтобы охватить функцию, к которой относятся «все значения». Форма, в которой такие пропозиции встречаются наиболее часто, — это «формальная импликация», т. е. такая пропозиция, как, т. е. « всегда имплицирует». Это форма, в которой мы выражаем универсальное утверждение «все объекты, обладающие свойством, обладают свойством».

Мы будем обозначать « иногда» нотацией. Здесь «» означает «существует», и весь символ можно читать как «существует такое, что».

В пропозиции любой из двух форм (x)φx, (∃x)φx символ x называется связанной переменной. Пропозиция, не содержащая связанных переменных, называется «элементарной», а функция, все значения которой являются элементарными пропозициями, называется элементарной функцией. По причинам, изложенным в главе II Введения, представляется, что отрицание, дизъюнкция и их производные должны иметь иное значение при применении к элементарным пропозициям, нежели при применении к таким пропозициям, как (x)φx или (∃x)φx. Если φx — элементарная функция, то в данном параграфе мы будем называть (x)φx и (∃x)φx «пропозициями первого порядка». Тогда, в силу того факта, что дизъюнкция и отрицание имеют неодинаковые значения при применении к элементарным пропозициям или к пропозициям первого порядка, следует, что при утверждении примитивных пропозиций из *1 мы должны либо ограничить их применение пропозициями одного типа, либо рассматривать их как одновременное утверждение ряда различных примитивных пропозиций, соответствующих различным значениям «дизъюнкции» и «отрицания». Аналогично, в отношении примитивных идей дизъюнкции и отрицания мы должны либо в примитивных пропозициях *1 ограничить их дизъюнкциями и отрицаниями элементарных пропозиций, либо рассматривать каждую из них как действительно множественную, так что для каждого типа пропозиций нам потребуется новая примитивная идея отрицания и новая примитивная идея дизъюнкции. В настоящем параграфе мы покажем, как при ограничении примитивных идей отрицания и дизъюнкции элементарными пропозициями, когда φx, ψx, χx из *1—*5 являются, следовательно, необходимо элементарными пропозициями, можно получить определения отрицания и дизъюнкции пропозиций первого порядка, а также доказательства аналогов примитивных пропозиций *1·2—*1·6 для пропозиций первого порядка. (*1·1 и *1·11 должны быть приняты заново для пропозиций первого порядка, а аналоги *1·7, *1·71, *1·72 требуют нового рассмотрения.) Отсюда следует, что аналоги пропозиций *2—*5 следуют из простого повторения предыдущих доказательств. Также следует, что теория дедукции может быть распространена с пропозиций первого порядка на такие, которые содержат две связанные переменные, путем простого повторения процесса, расширяющего теорию дедукции с элементарных пропозиций на пропозиции первого порядка. Таким образом, путем простого повторения процесса, изложенного в настоящем параграфе, можно прийти к пропозициям любого порядка. Следовательно, отрицание и дизъюнкцию на практике можно рассматривать так, как если бы не было различия в этих идеях при их применении к разным типам; иными словами, когда встречается «~p» или «p ∨ q», на практике нет необходимости знать, каков тип p или q, поскольку свойства отрицания и дизъюнкции, принятые в *1 (которые единственные используются при доказательстве других свойств), могут быть утверждены без формальных изменений для пропозиций любого порядка или, в случае p ∨ q, для любых двух порядков. Ограничение на практике рассмотрением отрицания или дизъюнкции как единых идей, одинаковых во всех типах, возникло бы только в том случае, если бы мы когда-либо пожелали предположить, что существует некая функция от φx, значение которой всегда есть (x)φx, каков бы ни был порядок φx, или что существует некая функция от φx и ψx, значение которой всегда есть (x)φx ∨ (x)ψx, каковы бы ни были порядки φx и ψx. Такое допущение не требуется, пока φx (и ψx) остаются свободными переменными, поскольку в этом случае нет необходимости придавать одно и то же значение отрицанию и дизъюнкции для различных значений φx (и ψx), когда эти различные значения относятся к разным типам. Но если φx (или ψx) превращается в связанную переменную, то, поскольку наши две примитивные идеи ~p и p ∨ q требуют некоторой определенной функции φx и ограничивают связанную переменную возможными аргументами для φx, следует, что отрицание и дизъюнкция должны, где бы они ни встречались в выражении, в котором φx (или ψx) является связанной переменной, быть ограничены тем видом отрицания или дизъюнкции, который соответствует данному типу или паре типов. Так, например, если мы утверждаем закон исключенного третьего в форме p ∨ ~p, нет необходимости накладывать какие-либо ограничения на p: мы можем придать p значение любого порядка, а затем придать входящим в него отрицанию и дизъюнкции те значения, которые соответствуют этому порядку. Но если мы утверждаем (x)φx ∨ ~(x)φx, необходимо, чтобы наш символ был значимым, чтобы «(x)φx» было значением для аргумента φ функции f(φ); а это возможно только в том случае, если входящие в него отрицание и дизъюнкция имеют значения, зафиксированные заранее, и если, следовательно, φ ограничено одним типом. Таким образом, утверждение закона исключенного третьего в форме, включающей свободную переменную, является более общим, чем в форме, включающей связанную переменную. Аналогичные замечания применимы в целом там, где переменная является аргументом типически двусмысленной функции.

В дальнейшем отдельные буквы p и q будут представлять элементарные пропозиции, так же как и «(x)φx», «(∃x)φx» и т. д. Мы покажем, как, принимая примитивные идеи и пропозиции *1 применительно к элементарным пропозициям, мы можем определить и доказать аналогичные идеи и пропозиции применительно к пропозициям форм (x)φx и (∃x)φx. Путем простого повторения аналогичного процесса будет следовать, что аналогичные идеи и пропозиции могут быть определены и доказаны для пропозиций любого порядка; откуда, далее, следует, что во всем, что касается дизъюнкции и отрицания, пока пропозиции не появляются как связанные переменные, мы можем полностью игнорировать различие между разными типами пропозиций и между разными значениями отрицания и дизъюнкции. Поскольку у нас на практике никогда не возникает необходимости рассматривать пропозиции как связанные переменные, отсюда следует, что иерархия пропозиций (в отличие от иерархии функций) никогда не будет актуальна на практике после настоящего параграфа.

Цель и интерес настоящего параграфа чисто философские, а именно: показать, как с помощью определенных примитивных пропозиций мы можем вывести теорию дедукции для пропозиций, содержащих связанные переменные, из теории дедукции для элементарных пропозиций. С чисто технической точки зрения различие между элементарными и другими пропозициями можно игнорировать, пока пропозиции не появляются как связанные переменные; тогда мы можем рассматривать примитивные пропозиции *1 как применимые к пропозициям любого типа и продолжать, как в *10, где возобновляется чисто техническое развитие.

Следует заметить, что, хотя в настоящем параграфе мы доказываем, что аналоги примитивных пропозиций *1, если они справедливы для пропозиций, содержащих связанные переменные, также справедливы для таких, которые содержат φx, мы не должны полагать, что математическая индукция может быть использована для вывода о том, что аналоги примитивных пропозиций *1 справедливы для пропозиций, содержащих любое количество связанных переменных. Математическая индукция — это метод доказательства, который еще не применим и (как будет показано) не может быть свободно использован до тех пор, пока не будет установлена теория пропозиций, содержащих связанные переменные. Что мы можем сделать с помощью пропозиций в настоящем параграфе, так это доказать наш желаемый результат для любого заданного числа связанных переменных — скажем, десяти — путем десятикратного применения одного и того же доказательства. Таким образом, мы можем доказать относительно любой заданной пропозиции, что она подчиняется аналогам примитивных пропозиций *1, но мы можем сделать это только действуя шаг за шагом, а не каким-либо кратким методом, который могла бы предоставить математическая индукция. Тот факт, что высшие типы могут быть достигнуты только шаг за шагом, является существенным, поскольку для иного способа нам потребовалась бы связанная переменная, которая блуждала бы от типа к типу, что противоречило бы принципу, на котором строятся типы.

Определение отрицания. Сначала мы должны определить отрицания (x)φx и (∃x)φx. Мы определяем отрицание (x)φx как ~(x)φx, т. е. «неверно, что φx всегда истинно» означает «верно, что ~φx иногда истинно». Аналогично, отрицание (∃x)φx определяется как ~(∃x)φx. Таким образом, мы полагаем

*9·01. ~(x)φx = (∃x)~φx Df.

*9·02. ~(∃x)φx = (x)~φx Df.

Чтобы избежать скобок, мы будем писать ~(x)φx в месте ~( (x)φx ), и ~(∃x)φx в месте ~( (∃x)φx ). Таким образом:

*9·011. ~(x)φx = (∃x)~φx Df.

*9·021. ~(∃x)φx = (x)~φx Df.

Определение дизъюнкции. Чтобы определить дизъюнкцию, когда одна или обе рассматриваемые пропозиции относятся к первому порядку, мы должны выделить шесть случаев, а именно:

*9·03. p ∨ (x)φx = (x)(p ∨ φx) Df.

*9·04. (x)φx ∨ p = (x)(φx ∨ p) Df.

*9·05. p ∨ (∃x)φx = (∃x)(p ∨ φx) Df.

*9·06. (∃x)φx ∨ p = (∃x)(φx ∨ p) Df.

*9·07. (x)φx ∨ (x)ψx = (x)(y) (φx ∨ ψy) Df.

*9·08. (∃x)φx ∨ (∃x)ψx = (∃x)(∃y) (φx ∨ ψy) Df.

(Определения *9·07, *9·08 должны применяться также, когда φx и ψx не являются элементарными функциями.)

В силу этих определений истинная область действия связанной переменной всегда охватывает всю утвержденную пропозицию, в которой она встречается, даже если типографически кажется, что ее область действия охватывает лишь часть утвержденной пропозиции. Таким образом, когда (x)φx или (∃x)φx появляется как часть утвержденной пропозиции, она на самом деле не встречается, поскольку область действия связанной переменной на самом деле распространяется на всю утвержденную пропозицию. Однако будет показано, что в том, что касается теории дедукции, (x)φx и (∃x)φx ведут себя как пропозиции, не содержащие связанных переменных.

Определения импликации, логического произведения и эквивалентности должны быть перенесены без изменений на (x)φx и (∃x)φx.

Вышеуказанные определения могут быть повторены для последовательных типов, достигая таким образом пропозиций любого типа.

Примитивные пропозиции. Требуемые примитивные пропозиции числом шесть и могут быть разделены на три набора по две. Сначала у нас есть две пропозиции, которые осуществляют переход от элементарных пропозиций к пропозициям первого порядка, а именно:

*9·1. φy ⊃ (∃x)φx Pp.

*9·11. (x)φx ⊃ φy Pp.

Из них первая утверждает, что если φy истинно, то существует значение φx, которое истинно; т. е. если мы можем найти пример функции, которая истинна, то функция «иногда истинна». (Когда мы говорим о функции как об «иногда» истинной, мы не имеем в виду утверждение, что существует более одного аргумента, для которого она истинна, а лишь то, что существует по крайней мере один.) На практике вышеуказанная примитивная пропозиция дает единственный метод доказательства «теорем существования»: чтобы доказать такие теоремы, необходимо (и достаточно) найти некоторый пример, в котором объект обладает рассматриваемым свойством. Если бы мы приняли то, что можно назвать «аксиомами существования», т. е. аксиомы, утверждающие (∃x)φx для некоторого конкретного φ, эти аксиомы дали бы другие методы доказательства существования. Примерами таких аксиом являются мультипликативная аксиома (*88) и аксиома бесконечности (определенная в *120·03). Но мы не принимали никаких подобных аксиом в настоящей работе.

Вторая из вышеуказанных примитивных пропозиций используется только один раз, при доказательстве (x)φx ⊃ φy, что является аналогом *1·2 (а именно, когда p заменяется на (x)φx). Эффект этой примитивной пропозиции заключается в том, чтобы подчеркнуть двусмысленность y, требуемого для обеспечения (x)φx ⊃ φy. Мы, конечно, в силу *9·1, имеем φy ⊃ (∃x)φx. Но если мы попытаемся вывести из этого, что (x)φx ⊃ φy, мы должны использовать пропозицию (x)φx ⊃ φy, где φx есть (x)φx. Теперь, обратившись к *4·77 и пропозициям, использованным в ее доказательстве, можно обнаружить, что эта пропозиция зависит от *1·2, т. е. p ⊃ (q ⊃ p). Следовательно, она не может быть использована нами для доказательства (x)φx ⊃ φy, и поэтому мы вынуждены принять примитивную пропозицию *9·11.

Далее у нас есть две пропозиции, касающиеся вывода к пропозициям, содержащим связанные переменные, или из них, в отличие от импликации. Во-первых, у нас есть, для нового значения импликации, вытекающего из вышеуказанных определений отрицания и дизъюнкции, аналог *1·1, а именно:

*9·12. ⊢. p ⊃ q : p : ⊃ . q Pp.

То есть, имея «p ⊃ q» и «p», мы можем перейти к «q», даже когда пропозиции p и q не являются элементарными. Также, как в *1·11, мы можем перейти от «φx ⊃ ψx» и «φx» к «ψx», где x — свободная переменная, а φx и ψx не обязательно являются элементарными функциями. Именно в этой последней форме аксиома обычно необходима. Она должна быть принята как для функций нескольких переменных, так и для функций одной переменной.

Далее у нас есть примитивная пропозиция, которая разрешает переход от свободной переменной к связанной, а именно: «когда φx может быть утверждено, где x может быть любым возможным аргументом, тогда (x)φx может быть утверждено». Иными словами, когда φx истинно, как бы x ни был выбран среди возможных аргументов, тогда (x)φx истинно, т. е. все значения φx истинны. То есть, если мы можем утверждать совершенно двусмысленное значение φx, это должно быть потому, что все значения истинны. Мы можем выразить эту примитивную пропозицию словами: «То, что истинно в любом случае, как бы этот случай ни был выбран, истинно во всех случаях». Мы не можем символизировать эту пропозицию, потому что если мы поставим φx ⊃ (x)φx, это означает: «Как бы x ни был выбран, φx влечет (x)φx», что в общем случае ложно. Мы имеем в виду: «Если φx истинно, как бы x ни был выбран, тогда (x)φx истинно». Но мы не предоставили символ для простой гипотезы того, что утверждается в «φx», где x — свободная переменная, и не стоит предоставлять такой символ, потому что он потребовался бы очень редко. Если на мгновение мы используем символ ⊢φx для выражения этой гипотезы, то наша примитивная пропозиция есть ⊢φx ⊃ (x)φx. На практике эта примитивная пропозиция используется только для вывода, а не для импликации; то есть, когда у нас фактически есть утверждение, содержащее свободную переменную, она позволяет нам превратить эту свободную переменную в связанную, поместив ее в скобки непосредственно после знака утверждения, за которым следует достаточное количество точек, чтобы дойти до конца утверждения. Этот процесс будет называться «превращением свободной переменной в связанную». Таким образом, мы можем утверждать нашу примитивную пропозицию для технического использования в форме:

*9·13. В любом утверждении, содержащем свободную переменную, эта свободная переменная может быть превращена в связанную переменную, о которой утверждается, что все возможные значения удовлетворяют рассматриваемой функции. Pp.

Далее у нас есть две примитивные пропозиции, касающиеся типов. Они требуют некоторых предварительных объяснений.

Primitive Idea: Individual. We say that is "individual" if is neither a proposition nor a function (cf. pp. 53, 54).

*9·131. Определение «быть одного типа». Ниже приводится пошаговое определение, где определение для высших типов предполагает определение для низших типов. Мы говорим, что x и y «одного типа», если (1) оба являются индивидами, (2) оба являются элементарными функциями, принимающими аргументы одного типа, (3) x — функция, а y — ее отрицание, (4) x — φx ∨ ψx, а y — ψx ∨ φx, где φx, ψx — элементарные функции, (5) x — φx, а y — (z)φz, где φ, ψ одного типа, (6) оба являются элементарными пропозициями, (7) x — пропозиция, а y — ~x, или (8) x — (z)φz, а y — (z)ψz, где φ, ψ одного типа.

Наши примитивные пропозиции таковы:

*9·14. Если «φx» значимо, то если x того же типа, что и y, «φy» значимо, и наоборот. Pp. (Ср. примечание к *10·121, стр. 146.)

*9·15. Если для некоторого x существует пропозиция φx, то существует функция φ, и наоборот. Pp.

Будет видно, что в силу определений,

Чтобы доказать, что (x)φx и (∃x)φx подчиняются тем же правилам дедукции, что и p, мы должны доказать, что пропозиции форм (x)φx и (∃x)φx могут заменить одну или несколько пропозиций p, q, r в *1·2—*1·6. Когда это будет доказано, предыдущие доказательства последующих пропозиций в *2—*5 станут применимыми. Эти доказательства приведены ниже. Также доказываются некоторые другие пропозиции, необходимые для доказательств.

*9·2. ⊢: (x)φx ⊃ φy

Вышеуказанная пропозиция утверждает принцип дедукции от общего к частному, т. е. «то, что справедливо во всех случаях, справедливо в любом одном случае».

Док.

Во второй строке вышеуказанного доказательства «φy» берется как значение для аргумента y функции φ, где y — аргумент. Подобный метод использования *9·1 применяется в большинстве следующих доказательств.

*1·11 используется, как в третьей строке вышеуказанного доказательства, почти во всех шагах, за исключением тех, которые являются простым применением определений. Следовательно, на нее не будет дальнейших ссылок, за исключением случаев, когда ее использование неясно или особенно важно.

*9·21. ⊢: (x)(p ⊃ φx) ⊃ (p ⊃ (x)φx)

Т. е. если p всегда влечет φx, то «p всегда» влечет «φx всегда». Использование этой пропозиции постоянно на протяжении остальной части этой работы.

Док.

Это пропозиция, подлежащая доказательству, поскольку «(x)(p ⊃ φx)» — та же пропозиция, что и «p ⊃ (x)φx», а «(x)(p ⊃ φx)» — та же пропозиция, что и «p ⊃ (x)φx».

*9·22. ⊢: (x)(φx ⊃ p) ⊃ ((∃x)φx ⊃ p)

Т. е. если φx всегда влечет p, то если φx иногда истинно, то и p истинно. Эта пропозиция, подобно *9·21, постоянно используется в дальнейшем.

Док.

Это пропозиция, подлежащая доказательству, потому что (∃x)φx ⊃ p — та же пропозиция, что и (x)(φx ⊃ p), а (∃x)φx ⊃ p — та же пропозиция, что и (x)(φx ⊃ p).

*9·23. ⊢: (x)(φx ∨ p) ⊃ ((x)φx ∨ p)

*9·24. ⊢: (∃x)φx ∨ p ⊃ (∃x)(φx ∨ p)

*9·25. ⊢: (x)φx ∨ (x)ψx ⊃ (x)(φx ∨ ψx)

Теперь мы в состоянии доказать аналоги *1·2—*1·6, заменяя одну из букв p, q, r в этих пропозициях на (x)φx или (∃x)φx. Доказательства приведены ниже.

*9·3. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ∨ (x)φx ⊃ p ∨ φy

Док.

*9·31. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . (x)φx ∨ p ⊃ φy ∨ p

Это единственная пропозиция, которая использует *9·11.

Док.

*9·32. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx ⊃ . p ∨ φy ⊃ p ∨ (∃x)φx

Док.

*9·33. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx ⊃ . φy ∨ p ⊃ (∃x)φx ∨ p

*9·34. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ⊃ (x)φx ⊃ . p ⊃ φy

Док.

*9·35. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx ⊃ . φy ⊃ p ⊃ . (∃x)φx ⊃ p

*9·36. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . φy ⊃ p ⊃ . (x)φx ⊃ p

Док.

*9·361. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx ⊃ . p ⊃ φy ⊃ . p ⊃ (∃x)φx

*9·37. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . (x)φx ⊃ p ⊃ . φy ⊃ p

*9·371. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx ⊃ . p ⊃ (∃x)φx ⊃ . p ⊃ φy

*9·4. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ⊃ q ⊃ . p ∨ (x)φx ⊃ q ∨ φy

Док.

*9·401. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ⊃ q ⊃ . p ∨ (x)φx ⊃ q ∨ φy

*9·41. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ⊃ q ⊃ . (x)φx ∨ p ⊃ φy ∨ q

*9·411. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ⊃ q ⊃ . (x)φx ∨ p ⊃ φy ∨ q

*9·42. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx ⊃ . p ⊃ q ⊃ . p ∨ φy ⊃ q ∨ (∃x)φx

*9·421. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx ⊃ . p ⊃ q ⊃ . φy ∨ p ⊃ (∃x)φx ∨ q

*9·5. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ⊃ q ⊃ . p ⊃ φy ⊃ . q ⊃ (x)φx

Док.

*9·501. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ⊃ q ⊃ . p ⊃ φy ⊃ . q ⊃ (x)φx

*9·51. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ⊃ q ⊃ . φy ⊃ p ⊃ . (x)φx ⊃ q

Док.

*9·511. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ⊃ q ⊃ . φy ⊃ p ⊃ . (x)φx ⊃ q

*9·52. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx ⊃ . p ⊃ q ⊃ . p ⊃ (∃x)φx ⊃ . q ⊃ φy

Док.

*9·521. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx ⊃ . p ⊃ q ⊃ . (∃x)φx ⊃ p ⊃ . φy ⊃ q

*9·6. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ⊃ q ⊃ . p ⊃ q ⊃ . (x)φx ⊃ φy

*9·61. Если φx и ψx — элементарные функции одного типа, существует функция φx ∨ ψx.

Док.

Согласно *9·14, *9·15, существует x, для которого «φx» и «ψx» значимы, а следовательно, и «φx ∨ ψx» значимы, согласно примитивной идее дизъюнкции. Отсюда результат по *9·15.

То же доказательство справедливо для функций любого количества переменных.

*9·62. Если φx и ψx — элементарные функции, и x-аргумент для φx того же типа, что и аргумент для ψx, существуют функции (x)φx ∨ (x)ψx и (∃x)φx ∨ (∃x)ψx.

Док.

Согласно *9·15, существуют пропозиции (x)φx и (x)ψx, где по гипотезе φx и ψx одного типа. Следовательно, согласно *9·14, существует пропозиция (x)φx ∨ (x)ψx, а следовательно, согласно примитивной идее дизъюнкции, существует пропозиция (x)φx ∨ (x)ψx, а следовательно, согласно *9·15 и *9·03, существует пропозиция (x)(φx ∨ ψx). Аналогично существует пропозиция (∃x)(φx ∨ ψx). Отсюда результат по *9·15.

*9·63. Если φx, ψx — элементарные функции одного типа, существуют функции (x)φx ∨ (x)ψx и т. д. [Доказательство как выше]

Теперь мы завершили доказательство того, что в примитивных пропозициях *1 любая из встречающихся пропозиций может быть заменена на (x)φx или (∃x)φx. Отсюда следует, что путем простого повторения доказательств мы можем показать, что любая другая из пропозиций, встречающихся в этих пропозициях, может быть одновременно заменена на (x)φx или (∃x)φx. Таким образом, все примитивные пропозиции *1, а следовательно, и все пропозиции *2—*5, справедливы в равной степени, когда некоторые или все рассматриваемые пропозиции имеют одну из форм (x)φx, (∃x)φx, что и требовалось доказать.

Отсюда следует путем простого повторения доказательств, что пропозиции *1—*5 справедливы, когда p, q, r заменены на пропозиции, содержащие любое количество связанных переменных.

СНОСКИ:

[50] Мы используем «всегда» в значении «во всех случаях», а не «во все времена». Аналогичное замечание относится к «иногда».

[51] Как выше.

*10. ТЕОРИЯ ПРОПОЗИЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ОДНУ СВЯЗАННУЮ ПЕРЕМЕННУЮ.

Резюме *10.

Главная цель пропозиций этого параграфа — распространить на формальные импликации (т. е. на пропозиции вида (x)(φx ⊃ ψx)) как можно больше пропозиций, доказанных ранее для материальных импликаций, т. е. для пропозиций вида p ⊃ q. Так, например, мы доказали в *3·33, что ⊢: p ⊃ q . q ⊃ r : ⊃ . p ⊃ r.

Тогда у нас есть «если 'Сократ — грек' влечет 'Сократ — человек', и 'Сократ — человек' влечет 'Сократ — смертен', то следует, что 'Сократ — грек' влечет 'Сократ — смертен'». Но это само по себе не доказывает, что если все греки — люди, и все люди — смертны, то все греки — смертны.

мы должны доказать ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . (x)(ψx ⊃ χx) : ⊃ . (x)(φx ⊃ χx). Именно такие пропозиции должны быть доказаны в настоящем параграфе. Будет видно, что формальная импликация (x)(φx ⊃ ψx) является отношением двух функций φx и ψx. Многие формальные свойства этого отношения аналогичны свойствам отношения «p ⊃ q», которое выражает материальную импликацию; именно такие аналоги должны быть доказаны в этом параграфе.

Мы будем предполагать в этом параграфе то, что было доказано в *9, что пропозиции *1—*5 могут быть применены к таким пропозициям, как (x)φx и (∃x)φx. Вместо метода, принятого в *9, можно взять отрицание и дизъюнкцию как новые примитивные идеи применительно к пропозициям, содержащим связанные переменные, и предположить, что с новыми значениями отрицания и дизъюнкции примитивные пропозиции *1 все еще справедливы. Если принят этот метод, нам не нужно брать (x)φx как примитивную идею, но мы можем положить

*10·01. (x)φx = ~(∃x)~φx Df.

Чтобы прояснить, как этот альтернативный метод может быть развит, мы в настоящем параграфе не будем предполагать ничего из того, что было доказано в *9, за исключением определенных пропозиций, которые в альтернативном методе будут примитивными пропозициями, и (что отчасти характеризует альтернативный метод) применимости к пропозициям, содержащим связанные переменные, аналогов примитивных идей и пропозиций *1, а следовательно, и их следствий, изложенных в *2—*5.

Два следующих определения служат лишь для введения обозначения, которое часто более удобно, чем обозначение (x)(φx ⊃ ψx) или (∃x)(φx ∧ ψx).

*10·02. φx ⊃ ψx = (x)(φx ⊃ ψx) Df.

*10·03. φx ∧ ψx = (∃x)(φx ∧ ψx) Df.

Первое из этих обозначений принадлежит Пеано, у которого, однако, нет обозначения для (x)φx, кроме частного случая формальной импликации.

Следующие пропозиции (*10·1, *10·11, *10·12, *10·121, *10·122) уже были даны в *9. *10·1 — это *9·2, *10·11 — это *9·13, *10·12 — это *9·25, *10·121 — это *9·14, а *10·122 — это *9·15. Все эти пять пропозиций должны быть приняты как примитивные пропозиции в альтернативном методе; с другой стороны, *9·1 и *9·11 не требуются как примитивные пропозиции в альтернативном методе.

Пропозиции настоящего параграфа очень часто используются на протяжении всей остальной работы. Наиболее часто используемые пропозиции следующие:

*10·1. ⊢: (x)φx ⊃ φy

Т. е. то, что истинно во всех случаях, истинно в любом одном случае.

*10·11. Если φx истинно, каков бы ни был возможный аргумент x, тогда (x)φx истинно. Иными словами, всякий раз, когда пропозициональная функция φx может быть утверждена, может быть утверждена и пропозиция (x)φx.

*10·21. ⊢: (x)(p ⊃ φx) ⊃ . p ⊃ (x)φx

*10·22. ⊢: (x)(φx ⊃ p) ⊃ . (∃x)φx ⊃ p

Условия значимости в этой пропозиции требуют, чтобы φx и p принимали аргументы одного типа.

*10·23. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) ⊃ . (x)φx ⊃ (x)ψx

Т. е. если φx всегда влечет ψx, то если φx когда-либо истинно, то и ψx истинно.

*10·24. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx

Т. е. если φy истинно, то существует x, для которого φx истинно. Это единственный метод доказательства теорем существования.

*10·27. ⊢: (x)(p ⊃ q) ⊃ . (x)p ⊃ (x)q

Т. е. если p всегда влечет q, то «p всегда» влечет «q всегда». Три следующие пропозиции, которые столь же полезны, аналогичны *10·27.

*10·271. ⊢: (x)(p ⊃ φx) ⊃ . p ⊃ (x)φx

*10·28. ⊢: (x)(φx ⊃ q) ⊃ . (∃x)φx ⊃ q

*10·281. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) ⊃ . (∃x)φx ⊃ (∃x)ψx

*10·35. ⊢: (x)φx ∨ (x)ψx ⊃ (x)(φx ∨ ψx)

*10·42. ⊢: (x)φx ∨ p . ≡ : (x)(φx ∨ p)

*10·5. ⊢: (∃x)φx ∨ p . ⊃ : (∃x)(φx ∨ p)

Следует заметить, что в то время как *10·42 выражает эквивалентность, *10·5 выражает только импликацию. Это источник многих последующих различий между формулами, касающимися сложения, и формулами, касающимися умножения.

*10·51. ⊢: (∃x)(φx ∨ ψx) . ≡ : (∃x)φx ∨ (∃x)ψx

Эта пропозиция аналогична p ⊃ q ≡ ~q ⊃ ~p, которая следует из *4·63 путем транспозиции.

Из оставшихся пропозиций этого параграфа некоторые используются довольно часто, в то время как другие являются леммами, которые используются только один или два раза, иногда на гораздо более позднем этапе.

*10·01. (x)φx = ~(∃x)~φx Df.

Это определение используется только тогда, когда мы отбрасываем метод *9 в пользу альтернативного метода, уже объясненного. В любом случае мы имеем

*10·02. φx ⊃ ψx = (x)(φx ⊃ ψx) Df.

*10·03. φx ∧ ψx = (∃x)(φx ∧ ψx) Df.

*10·1. ⊢: (x)φx ⊃ φy

*10·11. Если φx истинно, каков бы ни был возможный аргумент x, тогда (x)φx истинно. [*9·13]

Эта пропозиция является, в некотором смысле, обратной к *10·1. *10·1 можно сформулировать так: «То, что истинно для всех, истинно для любого», в то время как *10·11 можно сформулировать так: «То, что истинно для любого, как бы он ни был выбран, истинно для всех».

*10·12. ⊢: (x)φx ∨ (x)ψx ⊃ (x)(φx ∨ ψx)

Согласно определениям в *9, эта пропозиция является лишь примером «p ⊃ p», поскольку по определению обе стороны импликации являются разными символами для одной и той же пропозиции. Согласно альтернативному методу, напротив, *10·12 является содержательной пропозицией.

*10·121. Если «φx» значимо, то если x того же типа, что и y, «φy» значимо, и наоборот. [*9·14]

Из этой пропозиции следует, что два аргумента одной и той же функции должны быть одного типа; ибо если x и a — аргументы для φ, «φx» и «φa» значимы, а следовательно, x и a одного типа. Таким образом, вышеуказанная примитивная пропозиция воплощает результат нашего обсуждения парадоксов порочного круга в главе II Введения.

*10·122. Если для некоторого x существует пропозиция φx, то существует функция φ, и наоборот. [*9·15]

*10·13. Если φx и ψx принимают аргументы одного типа, и мы имеем «(x)(φx ⊃ ψx)» и «(x)φx», мы будем иметь «(x)ψx».

Док.

Путем повторного использования 9·61, 9·62, 9·63, 9·131 (3), существует функция φx ⊃ ψx. Отсюда по *2·11 и *3·01,

*10·14. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . ⊃ : (x)φx ⊃ (x)ψx

Эта пропозиция истинна всякий раз, когда она значима, но она не всегда значима, когда значима ее гипотеза. Ибо тезис требует, чтобы φx и ψx принимали аргументы одного типа, в то время как гипотеза этого не требует. Следовательно, если она должна быть применена, когда φx и ψx даны, или когда ψx дана как функция от φx или наоборот, мы не должны аргументировать от гипотезы к тезису, если только в предполагаемом случае φx и ψx не принимают аргументы одного типа.

Док.

*10·2. ⊢: (x)(p ⊃ φx) ⊃ . p ⊃ (x)φx

Док.

*10·21. ⊢: (x)(φx ⊃ p) ⊃ . (∃x)φx ⊃ p

Эта пропозиция используется гораздо чаще, чем *10·2.

*10·22. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) ⊃ . (∃x)φx ⊃ (∃x)ψx

Док.

Вышеуказанная пропозиция истинна всякий раз, когда она значима; но, как было указано в связи с *10·14, она не всегда значима, когда значима «(x)(φx ⊃ ψx)».

*10·221. Если φx содержит составляющую φx, а ψx содержит составляющую ψx, где φx — элементарная функция, а x — либо константы, либо связанные переменные, тогда φx и ψx принимают аргументы одного типа. Это можно доказать в каждом конкретном случае, хотя и не в общем виде, при условии, что при получении φx и ψx из φx, φx подвергается только отрицаниям, дизъюнкциям и обобщениям. Процесс можно проиллюстрировать примером. Предположим, φx есть (y)φ(x, y), а ψx есть ψx. Согласно определениям *9, (y)φ(x, y) есть (y)φ(x, y), а ψx есть ψx. Следовательно, поскольку примитивные идеи (x)φx и (∃x)φx применяются только к функциям, существуют функции φ, ψ. Следовательно, существует пропозиция φ(x, y). Следовательно, поскольку «φ(x, y)» и «ψx» значимы только тогда, когда φ(x, y) и ψx — пропозиции, существует пропозиция φ(x, y) ∨ ψx. Аналогично, для некоторых x и y существуют пропозиции φ(x, y) и ψx. Следовательно, по *9·14, φ(x, y) и ψx одного типа, и (снова по *9·14) существует пропозиция φ(x, y) ∨ ψx. Следовательно (по *9·15) существуют функции φ, ψ, следовательно, существуют пропозиции φ(x, y), ψx, т. е. существуют пропозиции φ(x, y), ψx, что и требовалось доказать. Этот процесс можно аналогично применить в любом другом случае.