«Principia Mathematica, том 1»

Мы видели, что экстенсиональная функция функции может рассматриваться как функция класса, определяемого функцией-аргументом, но что интенсиональная функция не может рассматриваться таким образом. Чтобы избежать необходимости давать различное обращение интенсиональным и экстенсиональным функциям функций, мы конструируем экстенсиональную функцию, производную от любой функции f предикативной функции φ, и обладающую свойством быть эквивалентной функции, от которой она производна, при условии, что эта функция является экстенсиональной, а также свойством быть значимой (с помощью систематической двусмысленности эквивалентности) с любым аргументом ψ, чьи аргументы того же типа, что и аргументы φ. Производная функция, записываемая «f(φ^φ)», определяется следующим образом: Дана функция f(φ), наша производная функция f(φ^φ) должна быть «существует предикативная функция ψ, которая формально эквивалентна φ и удовлетворяет f(ψ)». Если φ — предикативная функция, наша производная функция будет истинной всякий раз, когда f(φ) истинна. Если f(φ) — экстенсиональная функция, и φ — предикативная функция, наша производная функция не будет истинной, если f(φ) не истинна; таким образом, в этом случае наша производная функция эквивалентна f(φ). Если f(φ) не является экстенсиональной функцией, и если φ — предикативная функция, наша производная функция может иногда быть истинной, когда исходная функция ложна. Но в любом случае производная функция всегда экстенсиональна.

Чтобы производная функция была значимой для любой функции ψ, какого бы порядка она ни была, при условии, что она принимает аргументы правильного типа, необходимо и достаточно, чтобы f(φ) была значимой, где φ — любая предикативная функция. Причина этого в том, что нам требуется относительно аргумента ψ только гипотеза о том, что он формально эквивалентен некоторой предикативной функции φ, а формальная эквивалентность имеет тот же вид систематической двусмысленности в отношении типа, что принадлежит истине и лжи, и поэтому может иметь место между функциями любых двух различных порядков, при условии, что функции принимают аргументы одного и того же типа. Таким образом, с помощью нашей производной функции мы не просто предоставили экстенсиональные функции везде вместо интенсиональных, но мы практически устранили необходимость рассматривать различия типов среди функций, чьи аргументы одного и того же типа. Это производит тот же вид упрощения в нашей иерархии, который был бы результатом никогда не рассмотрения никаких функций, кроме предикативных.

Если f(φ) может быть построена с помощью примитивных идей дизъюнкции, отрицания, (φx) и (x), как это имеет место со всеми функциями функций, которые явно встречаются в настоящей работе, будет обнаружено, что в силу систематической двусмысленности вышеупомянутых примитивных идей любая функция, чьи аргументы того же типа, что и аргументы φ, может быть значимо подставлена вместо φ в f без какого-либо другого символического изменения. Таким образом, в таком случае то, что символически, хотя и не реально, является той же функцией, может получать в качестве аргументов функции различных типов. Если с данным аргументом ψ функция f(ψ), интерпретируемая таким образом, эквивалентна f(φ) всякий раз, когда ψ формально эквивалентно φ, то f(ψ) эквивалентно f(φ), при условии, что существует какая-либо предикативная функция, формально эквивалентная ψ. В этой точке мы используем аксиому сводимости, согласно которой всегда существует предикативная функция, формально эквивалентная ψ.

Как было объяснено выше, удобно рассматривать экстенсиональную функцию функции как имеющую своим аргументом не функцию, а класс, определяемый функцией. Теперь мы видели, что наша производная функция всегда экстенсиональна. Следовательно, если наша исходная функция была f(φ), мы записываем производную функцию f(z^φ(z)), где «z^φ(z)» можно читать «класс аргументов, которые удовлетворяют φ», или проще «класс, определяемый φ». Таким образом, «f(z^φ(z))» будет означать: «Существует предикативная функция ψ, которая формально эквивалентна φ и такова, что f(ψ) истинна». Это в действительности функция φ, но мы рассматриваем ее символически, как если бы она имела аргумент z^φ(z). С помощью аксиомы сводимости мы находим, что получаются обычные свойства классов. Например, две формально эквивалентные функции определяют один и тот же класс, и наоборот, две функции, которые определяют один и тот же класс, формально эквивалентны. Также сказать, что x является членом z^φ(z), т. е. класса, определяемого φ, истинно, когда φx истинно, и ложно, когда φx ложно. Таким образом, все математические цели, для которых могли бы потребоваться классы, выполняются чисто символическими объектами z^φ(z), при условии, что мы принимаем аксиому сводимости.

В силу аксиомы сводимости, если φ — любая функция, существует формально эквивалентная предикативная функция ψ; тогда класс z^φ(z) идентичен с классом z^ψ(z), так что каждый класс может быть определен предикативной функцией. Следовательно, совокупность всех классов, к которым данный термин может значимо принадлежать или не принадлежать, является легитимной совокупностью, хотя совокупность всех функций, которым данный термин может значимо удовлетворять или не удовлетворять, не является легитимной совокупностью. Классы, к которым данный термин x принадлежит или не принадлежит, — это классы, определенные φ-функциями; они также являются классами, определенными предикативными φ-функциями. Назовем их φ-классами. Тогда «φ-классы» образуют легитимную совокупность, производную от совокупности предикативных φ-функций. Следовательно, становятся возможными многие виды общих утверждений, которые в противном случае включали бы парадоксы «порочного круга». Эти общие утверждения ни одно из них не являются такими, которые ведут к противоречиям, и многие из них таковы, что их очень трудно предположить нелегитимными. Тот факт, что они становятся возможными благодаря аксиоме сводимости и что в противном случае они были бы исключены принципом «порочного круга», следует рассматривать как аргумент в пользу аксиомы сводимости.

Вышеприведенное определение «класса, определяемого функцией φ», или, скорее, любого предложения, в котором встречается эта фраза, в символах выглядит следующим образом: f(z^φ(z)) = ∃ψ(ψ!≡φ . f(ψ)). Чтобы рекомендовать это определение, мы перечислим пять требований, которым должно удовлетворять определение классов, и затем покажем, что вышеприведенное определение удовлетворяет этим пяти требованиям.

Мы требуем от классов, если они должны служить целям, для которых они обычно используются, чтобы они обладали определенными свойствами, которые могут быть перечислены следующим образом. (1) Каждая пропозициональная функция должна определять класс, который может рассматриваться как совокупность всех аргументов, удовлетворяющих рассматриваемую функцию. Этот принцип должен выполняться, когда функция удовлетворяется бесконечным числом аргументов, так же как и когда она удовлетворяется конечным числом. Он должен выполняться также, когда никакие аргументы не удовлетворяют функцию; т. е. «нулевой класс» должен быть таким же хорошим классом, как и любой другой. (2) Две пропозициональные функции, которые формально эквивалентны, т. е. такие, что любой аргумент, который удовлетворяет одну, удовлетворяет другую, должны определять один и тот же класс; иными словами, класс должен быть чем-то, полностью определяемым своим членством, так что, например, класс «двуногие без перьев» идентичен классу «люди», а класс «четные простые числа» идентичен классу «числа, тождественные 2». (3) И наоборот, две пропозициональные функции, которые определяют один и тот же класс, должны быть формально эквивалентны; другими словами, когда класс дан, членство определено: два разных набора объектов не могут давать один и тот же класс. (4) В том же смысле, в каком существуют классы (каков бы ни был этот смысл), или в каком-то тесно аналогичном смысле, должны также существовать классы классов. Так, например, «комбинации n вещей по r за раз», где вещи образуют данный класс, есть класс классов; каждая комбинация вещей есть класс, и каждая такая класс является членом указанного набора комбинаций, который, следовательно, есть класс, чьими членами являются классы. Опять же, класс единичных классов или пар абсолютно необходим; первый есть число 1, второй — число 2. Таким образом, без классов классов арифметика становится невозможной. (5) Должно быть при любых обстоятельствах бессмысленно предполагать класс идентичным одному из своих собственных членов. Ибо если бы такое предположение имело какой-либо смысл, «x ∈ x» было бы значимой пропозициональной функцией [33], и так же было бы «x ∈ x». Следовательно, согласно (1) и (4), существовал бы класс всех классов, удовлетворяющих функции «x ∈ x». Если мы назовем этот класс α, мы будем иметь α ∈ α ≡ α ∈ α. Поскольку, согласно нашей гипотезе, «x ∈ x» предполагается значимым, вышеприведенная эквивалентность, которая выполняется при всех возможных значениях x, выполняется при значении α, т. е. α ∈ α ≡ α ∈ α. Но это противоречие [34]. Следовательно, «x ∈ x» и «x ∈ α» должны всегда быть бессмысленными. В общем, в этом выводе нет ничего удивительного, но он имеет два следствия, которые заслуживают особого внимания. Во-первых, класс, состоящий только из одного члена, не должен быть идентичен этому одному члену, т. е. мы не должны иметь α = x. Ибо мы имеем x ∈ {x}, и поэтому, если α = {x}, мы имеем α ∈ α, что, как мы видели, должно быть бессмысленным. Отсюда следует, что «α ∈ α» должно быть абсолютно бессмысленным, а не просто ложным. Во-вторых, могло бы показаться, как если бы класс всех классов был классом, т. е. как если бы (записывая «Cls» для «класса») «Cls ∈ Cls» было истинным предложением. Но эта комбинация символов должна быть бессмысленной; если только, конечно, не существует двусмысленности в значении «Cls», так что в «Cls ∈ Cls» первый «Cls» может предполагаться имеющим иное значение, чем второй.

Что касается вышеупомянутых требований, то, во-первых, ясно, что в соответствии с нашим определением каждая пропозициональная функция определяет класс z^φ(z). Предполагая аксиому сводимости, всегда должны быть истинные предложения о z^φ(z), т. е. истинные предложения вида f(z^φ(z)). Ибо предположим, что φ формально эквивалентно ψ, и предположим, что ψ удовлетворяет некоторой функции f. Тогда z^φ(z) также удовлетворяет f. Следовательно, для любой функции f существуют истинные предложения вида f(z^φ(z)), т. е. истинные предложения, в которых «класс, определяемый φ» грамматически является субъектом. Это показывает, что наше определение выполняет первое из наших пяти требований.

Второе и третье требования вместе требуют, чтобы классы z^φ(z) и z^ψ(z) были идентичны тогда и только тогда, когда их определяющие функции формально эквивалентны, т. е. чтобы мы имели z^φ(z) = z^ψ(z) ≡ φ!≡ψ. Здесь значение «z^φ(z) = z^ψ(z)» должно быть выведено с помощью двукратного применения определения f(z^φ(z)) из определения f(z^φ(z)) = z^φ(z) = z^ψ(z) по общему определению тождества.

Интерпретируя «z^φ(z) = z^ψ(z)», мы примем соглашение, которое мы приняли в отношении (φx) и (ψy), а именно, что неполный символ, который встречается первым, должен иметь большую область действия. Таким образом, z^φ(z) = z^ψ(z) становится, по нашему определению, [z^φ(z)] . [z^ψ(z)] . z^φ(z) = z^ψ(z), которое, устраняя z^φ(z), становится [z^ψ(z)] . ∃χ(χ!≡φ . χ = z^ψ(z)), которое эквивалентно ∃χ(χ!≡φ . χ = z^ψ(z)), которое, опять же, эквивалентно ∃χ(χ!≡φ . χ!≡ψ), которое, в силу аксиомы сводимости, эквивалентно φ!≡ψ. Таким образом, наше определение использования z^φ(z) таково, что удовлетворяет условиям (2) и (3), которые мы установили для классов, т. е. мы имеем z^φ(z) = z^ψ(z) ≡ φ!≡ψ.

Прежде чем рассматривать классы классов, будет хорошо определить членство в классе, т. е. определить символ «x ∈ z^φ(z)», который можно читать «x является членом класса, определяемого φ». Поскольку это функция вида f(z^φ(z)), она должна быть выведена с помощью нашего общего определения таких функций из соответствующей функции f(φ). Мы поэтому полагаем x ∈ z^φ(z) = ∃ψ(ψ!≡φ . ψx). Это определение нужно только для того, чтобы придать смысл «x ∈ z^φ(z)»; смысл, который оно дает, в силу определения f(z^φ(z)), есть ∃ψ(ψ!≡φ . ψx). Таким образом, оказывается, что «x ∈ z^φ(z)» влечет φx, поскольку оно влечет ∃ψ(ψ!≡φ . ψx), и ∃ψ(ψ!≡φ . ψx) эквивалентно φx; также, в силу аксиомы сводимости, φx влечет «x ∈ z^φ(z)», поскольку существует предикативная функция ψ, формально эквивалентная φ, и ψx должно удовлетворять ψ, поскольку x (ex hypothesi) удовлетворяет φ. Таким образом, в силу аксиомы сводимости мы имеем x ∈ z^φ(z) ≡ φx, т. е. x является членом класса z^φ(z) тогда и только тогда, когда x удовлетворяет функцию φ, которая определяет класс.

Нам далее нужно рассмотреть, как интерпретировать класс классов. Поскольку мы определили z^φ(z), мы будем естественно рассматривать класс классов как состоящий из тех значений φ, которые удовлетворяют f(φ). Давайте запишем α для z^φ(z); тогда мы можем записать α^f(α) для класса значений α, которые удовлетворяют f(α) [35]. Мы применим то же определение и положим α^f(α) = z^∃φ(z = z^φ(z) . f(z^φ(z))), где «f(α)» означает любое выражение вида f(z^φ(z)).

Давайте возьмем «α ∈ β» в качестве примера f(α). Тогда α^f(α) = α^α ∈ β. Точно так же, как мы положили x ∈ z^φ(z) = φx, так мы положим α ∈ α^f(α) = f(α).

Таким образом, мы находим α ∈ α^f(α) ≡ f(α).

Если мы теперь расширим аксиому сводимости так, чтобы она применялась к функциям функций, т. е. если мы предположим ∃ψ(ψ!≡f . ψ(φ)), мы легко выведем α^f(α) = α^∃ψ(ψ!≡f . ψ(α)).

Таким образом, каждая функция, которая может принимать классы в качестве аргументов, т. е. каждая функция функций, определяет класс классов, чьими членами являются те классы, которые удовлетворяют определяющей функции. Таким образом, теория классов классов не представляет никакой трудности.

Нам далее нужно рассмотреть наше пятое требование, а именно, что «α ∈ α» должно быть бессмысленным. Применяя наше определение f(α), мы находим, что если бы эта совокупность символов имела смысл, она означала бы ∃φ(α = z^φ(z) . φα), т. е. в силу определения α ∈ z^φ(z) = φα. Но здесь встречается символ «φα», который присваивает функцию в качестве аргумента самой себе. Такой символ всегда бессмыслен, по причинам, объясненным в начале главы II (стр. 41-43). Следовательно, «α ∈ α» бессмысленно, и наше пятое и последнее требование выполнено.

Как и в случае с ), так и в случае с , существует двусмысленность относительно области действия , если он входит в состав высказывания, которое само по себе является частью более крупного высказывания. Но в случае классов, поскольку мы всегда имеем аксиому сводимости, а именно , которая занимает место , отсюда следует, что истинностное значение любого высказывания, в которое входит , одно и то же, какую бы область действия мы ни приписали , при условии, что высказывание является экстенсиональной функцией любых функций, которые оно может содержать. Следовательно, мы можем принять соглашение, согласно которому областью действия всегда является наименьшее высказывание, заключенное в точки или скобки, в которое входит . Если в какой-то момент потребуется большая область действия, мы можем указать ее с помощью "[ ]", за которыми следуют точки, таким же образом, как мы это делали для .

Аналогично, когда встречаются два символа класса, например, в высказывании вида , нам не нужно помнить правила для областей действия этих двух символов, поскольку все варианты выбора дают эквивалентные результаты, что легко доказать. Для предварительных высказываний желательно правило, поэтому мы можем решить, что символ класса, который встречается первым в порядке записи, должен иметь большую область действия.

Теперь можно понять представление класса одной буквой . Ибо денотат неоднозначен, поскольку не решено, какой из символов , , , и т. д. он должен обозначать, где , , , и т. д. являются различными определяющими функциями класса. В зависимости от сделанного выбора получаются разные высказывания. Но все результирующие высказывания эквивалентны в силу легко доказываемого высказывания: Следовательно, если мы не хотим обсуждать саму определяющую функцию, так что понятие класса на самом деле не присутствует должным образом, двусмысленность в денотате совершенно несущественна, хотя, как мы увидим немедленно, мы вынуждены ограничиться предикативными определяющими функциями. Таким образом, "," где есть переменный класс, на самом деле есть "," где есть переменная функция, то есть это , где есть переменная функция. Но здесь возникает трудность, которая устраняется ограничением нашей практики и аксиомой сводимости. Ибо определяющие функции , , и т. д. будут разных типов, хотя аксиома сводимости гарантирует, что некоторые из них являются предикативными функциями. Тогда, интерпретируя как переменную в терминах изменения любой определяющей функции, мы придем к ошибкам, если не ограничимся предикативными определяющими функциями. Эти ошибки особенно возникают при переходе к полному изменению (ср. стр. 15, 16). Соответственно, особенностью определения использования одной буквы [а именно ] для переменного неполного символа является то, что он, хотя в некотором смысле и является свободной переменной, встречается только в definiendum, в то время как "," хотя и является свободной переменной, встречается только в definiens.

Таким образом, " " означает , а "( " означает . Соответственно, в математических рассуждениях мы можем отбросить весь аппарат функций и думать только о классах как о "квазивещах", способных к непосредственному представлению одним именем. Преимущества двояки: (1) классы определяются своей принадлежностью, так что одному набору членов соответствует один класс, (2) "тип" класса полностью определяется типом его членов.

Также предикативная функция класса может быть определена следующим образом: Таким образом, предикативная функция класса всегда является предикативной функцией любой предикативной определяющей функции класса, хотя обратное неверно.

(3) Отношения. Что касается отношений, у нас есть теория, строго аналогичная той, которую мы только что объяснили в отношении классов. Отношения по объему, как и классы, являются неполными символами. Нам требуется разделение функций двух переменных на предикативные и непредикативные функции, опять же по причинам, которые были объяснены в Главе II. Мы используем обозначение " " для предикативной функции и .

Мы используем " " для функции в противоположность ее значениям; и мы используем " " для отношения (по объему), определяемого . Мы полагаем: Таким образом, даже когда не является экстенсиональной функцией , является экстенсиональной функцией . Следовательно, точно так же, как в случае с классами, мы выводим: т.е. отношение определяется своим объемом, и наоборот.

По аналогии с определением " " мы полагаем: [36]

Это определение, подобно определению " ", введено не ради него самого, а для того, чтобы придать смысл . Этот смысл, в силу наших определений, есть: и это, в силу аксиомы сводимости, эквивалентно .

Таким образом, мы всегда имеем:

Всякий раз, когда определяющая функция отношения не имеет значения, мы можем заменить на одну заглавную букву. В силу приведенных выше высказываний:

Классы отношений и отношения отношений могут рассматриваться так же, как выше рассматривались классы классов.

Точно так же, как класс не должен быть способен быть или не быть членом самого себя, отношение не должно быть ни референтом, ни релатумом по отношению к самому себе, и не должно не быть ими. Это оказывается эквивалентным утверждению, что не может осмысленно быть ни одним из аргументов или в . Этот принцип, опять же, вытекает из ограничения возможных аргументов функции, объясненного в начале Главы II.

Мы можем подытожить все это обсуждение неполных символов следующим образом.

Использование символа "( " так, как если бы в " " он непосредственно представлял аргумент функции , становится возможным благодаря теоремам:

Использование символа " " (или одной буквы, такой как , для представления такого символа) так, как если бы в " " он непосредственно представлял аргумент функции , становится возможным благодаря теоремам:

Во всех этих высказываниях типы должны предполагаться должным образом скорректированными там, где возможна двусмысленность.

Использование символа " " (или одной буквы, такой как , для представления такого символа) так, как если бы в " " он непосредственно представлял аргумент функции , становится возможным благодаря теоремам: Во всех этих высказываниях типы должны предполагаться должным образом скорректированными там, где возможна двусмысленность.

Из этих трех групп теорем следует, что эти неполные символы подчиняются тем же формальным правилам тождества, что и символы, непосредственно представляющие объекты, до тех пор, пока мы рассматриваем только эквивалентность результирующих переменных (или постоянных) значений пропозициональных функций, а не их тождество. Это рассмотрение тождества высказываний никогда не входит в наши формальные рассуждения.

Аналогично, ограничения на использование этих символов можно подытожить следующим образом. В случае ( , главный способ, которым его неполнота является значимой, заключается в том, что мы не всегда имеем , т.е. функция, которая всегда истинна, тем не менее может быть не истинной для ( . Это возможно потому, что не является значением , так что даже когда все значения истинны, может не быть истинным. Это происходит, когда ( не существует. Так, например, мы имеем ( , но мы не имеем . Это справедливо только тогда, когда . Как только мы узнаем , факт, что ( ) является неполным символом, становится неактуальным, пока мы ограничиваемся истинностными функциями [37] любого высказывания, которое является его областью действия. Но даже когда , неполнота ( может быть значимой, когда мы выходим за пределы истинностных функций. Например, Георг IV хотел знать, был ли Скотт автором "Уэверли", т.е. он хотел знать, является ли истинным высказывание вида " ". Но не было никакого высказывания вида " ", относительно которого он хотел бы знать, истинно ли оно.

Что касается классов, значимость их неполноты несколько иная. Это можно проиллюстрировать тем фактом, что мы можем иметь . Ибо, путем прямого применения определений, мы находим, что . Таким образом, мы будем иметь , но мы не обязательно будем иметь при этих обстоятельствах, ибо две функции вполне могут быть формально эквивалентными, не будучи тождественными; например, , но функция " =автор "Уэверли"" обладает тем свойством, что Георг IV хотел знать, истинно ли ее значение с аргументом "Скотт", тогда как функция " =Скотт" не обладает таким свойством, и поэтому две функции не тождественны. Следовательно, существует пропозициональная функция, а именно , которая выполняется без всякого исключения, и все же не выполняется, когда мы подставляем класс вместо , а функции вместо и . Это возможно только потому, что класс является неполным символом, и поэтому " " не является значением " ".

Будет замечено, что " " не является экстенсиональной функцией . Таким образом, область действия ) значима при интерпретации произведения . Если мы возьмем все произведение как область действия , произведение эквивалентно .

Мы можем сказать в общем, что факт, что ) является неполным символом, не является значимым, пока мы ограничиваемся экстенсиональными функциями функций, но склонен становиться значимым для других функций функций.

СНОСКИ:

[29] Cf. pp. 31, 32.

[30] В будущем мы обычно будем писать " " вместо " ".

[31] Вкратце, эти аргументы сводятся к следующему: Если существует такой объект, как класс, он должен быть в некотором смысле одним объектом. И все же только о классах можно предикатировать "многие". Следовательно, если мы допускаем классы как объекты, мы должны предположить, что один и тот же объект может быть одновременно и одним, и многими, что кажется невозможным.

[32] Ср. стр. 56.

[33] Как объяснено в Главе I (стр. 25, 26), " " означает " есть член класса ", или, короче, " есть ". Определение этого выражения в терминах нашей теории классов будет дано в ближайшее время.

[34] Это второе из противоречий, обсуждавшихся в конце Главы II.

[35] Использование одной буквы, такой как или , для представления переменного класса будет далее объяснено в ближайшее время.

[36] Это определение поднимает некоторые вопросы относительно двух смыслов отношения, которые рассматриваются в *21.

[37] Ср. стр. 8.

ЧАСТЬ I. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА.

РЕЗЮМЕ ЧАСТИ I.

В этой Части мы будем иметь дело с такими темами, которые традиционно принадлежат символической логике или заслуживают того, чтобы принадлежать ей в силу своей общности. То есть мы установим такие свойства высказываний, пропозициональных функций, классов и отношений, которые, вероятно, потребуются в любых математических рассуждениях, а не только в той или иной ветви математики.

Предметы, рассматриваемые в Части I, могут рассматриваться в двух аспектах: (1) как дедуктивная цепь, зависящая от примитивных высказываний, (2) как формальное исчисление. Принимая сначала первый взгляд: мы начинаем в *1 с некоторых аксиом относительно дедукции одного высказывания или утвержденной пропозициональной функции из другого. Из этих примитивных высказываний в Разделе А мы выводим различные высказывания, которые все касаются четырех способов получения новых высказываний из данных, а именно отрицания, дизъюнкции, совместного утверждения и импликации, из которых последние два могут быть определены через первые два. На протяжении всего этого первого раздела, хотя, как будет показано в начале Раздела B, наши высказывания, символически неизменные, будут применимы к любым высказываниям как значениям наших переменных, все же будет предполагаться, что наши переменные высказывания являются всеми тем, что мы будем называть элементарными высказываниями, т.е. такими, которые не содержат никакой ссылки, явной или неявной, на какую-либо совокупность. Это ограничение наложено из-за различия между разными типами высказываний, объясненного в Главе II Введения. Его важность и цель, однако, чисто философские, и до тех пор, пока рассматриваются только математические цели, нет необходимости помнить об этом предварительном ограничении элементарными высказываниями, которое символически снимается в начале следующего раздела.

Раздел B рассматривает, для начала, отношения высказываний, содержащих связанные переменные (т.е. включающих понятия "все" или "некоторые"), друг к другу и к высказываниям, не содержащим связанных переменных. Мы показываем, что там, где речь идет о высказываниях, содержащих связанные переменные, мы можем определить отрицание, дизъюнкцию, совместное утверждение и импликацию таким образом, чтобы их свойства были точно аналогичны свойствам соответствующих идей, применяемых к элементарным высказываниям. Мы также показываем, что формальная импликация, т.е. " " рассматриваемая как отношение к , имеет много свойств, аналогичных свойствам материальной импликации, т.е. " " рассматриваемой как отношение и . Затем мы рассматриваем предикативные функции и аксиому сводимости, которые жизненно важны при использовании функций в качестве связанных переменных. Примером такого использования является тождество, которое является следующей темой, рассматриваемой в Разделе B. Наконец, этот раздел касается дескрипций, т.е. фраз вида "тот самый" (в единственном числе). Показано, что появление грамматического субъекта "тот самый" обманчиво, и что такие высказывания, изложенные полностью, не содержат такого субъекта, а содержат вместо этого связанную переменную.

Раздел C имеет дело с классами и с отношениями, поскольку они аналогичны классам. Классы и отношения, как и дескрипции, показаны как "неполные символы" (ср. Введение, Глава III), и показано, что высказывание, которое грамматически относится к классу, должно рассматриваться как действительно касающееся пропозициональной функции и связанной переменной, значениями которой являются предикативные пропозициональные функции (с аналогичным результатом для отношений). Остальная часть Раздела C посвящена исчислению классов и исчислению отношений, поскольку оно аналогично исчислению классов.

Раздел D имеет дело с теми свойствами отношений, которые не имеют аналогов для классов. В этом разделе вводится ряд идей и обозначений, которые постоянно необходимы на протяжении всей остальной работы. Большинство свойств отношений, имеющих аналоги в теории классов, сравнительно неважны, тогда как те, которые не имеют таких аналогов, обладают величайшей полезностью. Отчасти по этой причине акцент на аспекте исчисления символической логики до сих пор был препятствием для надлежащего развития теории отношений.

Раздел E, наконец, расширяет понятия сложения и умножения классов или отношений на случаи, когда слагаемые или множители не даны индивидуально, а даны как члены некоторого класса. Преимущество, полученное этим расширением, заключается в том, что оно позволяет нам иметь дело с бесконечным числом слагаемых или множителей.

Рассматриваемая как формальное исчисление, математическая логика имеет три аналогичные ветви, а именно (1) исчисление высказываний, (2) исчисление классов, (3) исчисление отношений. Из них (1) рассматривается в Разделе A, в то время как (2) и (3), поскольку они аналогичны, рассматриваются в Разделе C. Мы имеем для каждого из трех четыре аналогичные идеи отрицания, сложения, умножения и импликации или включения. Из них отрицание аналогично отрицательному в обычной алгебре, а импликация или включение аналогично отношению "меньше или равно" в обычной алгебре. Но аналогию не следует форсировать, так как она имеет важные ограничения. Сумма двух высказываний есть их дизъюнкция, сумма двух классов есть класс членов, принадлежащих одному или другому, сумма двух отношений есть отношение, состоящее в том, что выполняется одно или другое из двух отношений. Сумма класса классов есть класс всех членов, принадлежащих тому или иному из классов, а сумма класса отношений есть отношение, состоящее в том, что выполняется то или иное отношение класса. Произведение двух высказываний есть их совместное утверждение, произведение двух классов есть их общая часть, произведение двух отношений есть отношение, состоящее в том, что выполняются оба отношения. Произведение класса классов есть часть, общая для всех них, а произведение класса отношений есть отношение, состоящее в том, что выполняются все отношения рассматриваемого класса. Включение одного класса в другой состоит в том, что все члены одного являются членами другого, в то время как включение одного отношения в другое состоит в том, что каждая пара членов, которая имеет одно отношение, также имеет другое отношение. Затем показывается, что свойства отрицания, сложения, умножения и включения точно аналогичны для классов и отношений и, за некоторыми исключениями, аналогичны свойствам отрицания, сложения, умножения и импликации для высказываний. (Исключения возникают главным образом из того факта, что " имплицирует " само по себе является высказыванием и поэтому может имплицировать и быть имплицируемым, в то время как " содержится в ", где и являются классами, не является классом и поэтому не может ни содержать, ни содержаться в другом классе.) Но классы имеют некоторые свойства, которыми не обладают высказывания: они возникают из того факта, что классы имеют не двукратное деление, соответствующее делению высказываний на истинные и ложные, а трехкратное деление, а именно на (1) универсальный класс, который содержит все элементы определенного типа, (2) нулевой класс, который не имеет членов, (3) все другие классы, которые не содержат ни ничего, ни всего соответствующего типа. Результирующие свойства классов, которые не аналогичны свойствам высказываний, рассматриваются в *24. И точно так же, как классы имеют свойства, не аналогичные никаким свойствам высказываний, так и отношения имеют свойства, не аналогичные никаким свойствам классов, хотя все свойства классов имеют аналоги среди отношений. Специальные свойства отношений гораздо более многочисленны и важны, чем свойства, принадлежащие классам, но не высказываниям. Эти специальные свойства отношений поэтому занимают целый раздел, а именно Раздел D.

РАЗДЕЛ A. ТЕОРИЯ ДЕДУКЦИИ.

ЦЕЛЬ настоящего раздела — изложить первый этап дедукции чистой математики из ее логических оснований. Этот первый этап обязательно касается самой дедукции, т.е. принципов, с помощью которых выводы делаются из посылок. Если наша цель состоит в том, чтобы сделать все наши предположения явными и осуществить дедукцию всех наших других высказываний из этих предположений, очевидно, что первые предположения, которые нам нужны, — это те, которые требуются для того, чтобы сделать дедукцию возможной. Символическая логика часто рассматривается как состоящая из двух координатных частей: теории классов и теории высказываний. Но с нашей точки зрения эти две части не являются координатными; ибо в теории классов мы выводим одно высказывание из другого с помощью принципов, принадлежащих теории высказываний, тогда как в теории высказываний мы нигде не требуем теории классов. Следовательно, в дедуктивной системе теория высказываний обязательно предшествует теории классов.

Но предмет, который будет рассматриваться в дальнейшем, не совсем правильно описывается как теория высказываний. На самом деле это теория того, как одно высказывание может быть выведено из другого. Теперь, чтобы одно высказывание могло быть выведено из другого, необходимо, чтобы они имели то отношение, которое делает одно следствием другого. Когда высказывание является следствием высказывания , мы говорим, что имплицирует . Таким образом, дедукция зависит от отношения импликации, и каждая дедуктивная система должна содержать среди своих посылок столько свойств импликации, сколько необходимо для легитимизации обычной процедуры дедукции. В настоящем разделе некоторые высказывания будут сформулированы как посылки, и будет показано, что их достаточно для всех обычных форм вывода. Не будет показано, что все они необходимы, и возможно, что их число может быть уменьшено. Все, что утверждается относительно посылок, — это (1) что они истинны, (2) что они достаточны для теории дедукции, (3) что мы не знаем, как уменьшить их число. Но что касается (2), всегда должен быть некоторый элемент сомнения, поскольку трудно быть уверенным, что человек никогда не использует какой-либо принцип бессознательно. Привычка строго руководствоваться формальными символическими правилами является защитой от бессознательных предположений; но даже эта защита не всегда адекватна.

1. ПРИМИТИВНЫЕ ИДЕИ И ВЫСКАЗЫВАНИЯ.

Поскольку все определения терминов осуществляются с помощью других терминов, каждая система определений, которая не является круговой, должна начинаться с определенного аппарата неопределяемых терминов. В некоторой степени опционально, какие идеи мы принимаем как неопределяемые в математике; мотивами, направляющими наш выбор, будут (1) сделать число неопределяемых идей как можно меньшим, (2) между двумя системами, в которых число равно, выбрать ту, которая кажется более простой и легкой. Мы не знаем способа доказать, что такая-то система неопределяемых идей содержит так мало, как это даст такие-то результаты [38]. Следовательно, мы можем только сказать, что такие-то идеи являются неопределяемыми в такой-то системе, а не то, что они неопределимы. Следуя Пеано, мы будем называть неопределяемые идеи и недоказуемые высказывания примитивными идеями и примитивными высказываниями соответственно. Примитивные идеи объясняются с помощью описаний, предназначенных для того, чтобы указать читателю, что имеется в виду; но объяснения не составляют определений, потому что они действительно включают идеи, которые они объясняют.

В настоящем номере мы сначала перечислим примитивные идеи, требуемые в этом разделе; затем мы определим импликацию; а затем мы сформулируем примитивные высказывания, требуемые в этом разделе. Каждое определение или высказывание в работе имеет номер для целей ссылки. Следуя Пеано, мы используем числа, имеющие как десятичную, так и целую часть, чтобы иметь возможность вставлять новые высказывания между любыми двумя. Изменение в целой части числа будет использоваться для соответствия новой главе. Определения обычно будут иметь номера, десятичная часть которых меньше ·1, и обычно будут помещаться в начале глав. В ссылках целые части номеров высказываний будут различаться тем, что им предшествует звездочка; таким образом, "*1·01" будет означать определение или высказывание, пронумерованное таким образом, а "*1" будет означать главу, в которой высказывания имеют номера, целая часть которых равна 1, т.е. настоящую главу. Главы обычно будут называться "номерами".

ПРИМИТИВНЫЕ ИДЕИ.

(1) Элементарные высказывания. Под "элементарным" высказыванием мы понимаем такое, которое не включает никаких переменных, или, другими словами, такое, которое не включает такие слова, как "все", "некоторые", "тот самый" или эквиваленты для таких слов. Высказывание, такое как "это красное", где "это" есть нечто данное в ощущении, будет элементарным. Любая комбинация данных элементарных высказываний с помощью отрицания, дизъюнкции или конъюнкции (см. ниже) будет элементарной. В примитивных высказываниях настоящего номера, и, следовательно, в дедукциях из этих примитивных высказываний в *2—*5, буквы , , , будут использоваться для обозначения элементарных высказываний.

(2) Элементарные пропозициональные функции. Под "элементарной пропозициональной функцией" мы будем понимать выражение, содержащее неопределенную составляющую, т.е. переменную, или несколько таких составляющих, и такое, что, когда неопределенная составляющая или составляющие определены, т.е. когда значения присвоены переменной или переменным, результирующее значение рассматриваемого выражения является элементарным высказыванием. Таким образом, если есть неопределенное элементарное высказывание, "не- " является элементарной пропозициональной функцией.

Мы покажем в *9, как распространить результаты этого и следующих номеров (*1—*5) на высказывания, которые не являются элементарными.

(3) Утверждение. Любое высказывание может быть либо утверждено, либо просто рассмотрено. Если я говорю "Цезарь умер", я утверждаю высказывание "Цезарь умер"; если я говорю "'Цезарь умер' есть высказывание", я делаю другое утверждение, и "Цезарь умер" больше не утверждается, а только рассматривается. Аналогично в гипотетическом высказывании, например, "если , то ", мы имеем два неутвержденных высказывания, а именно " " и " ", в то время как то, что утверждается, — это то, что первое из них имплицирует второе. В языке мы указываем, когда высказывание только рассматривается, с помощью "если то-то" или "что то-то" или просто с помощью кавычек. В символах, если есть высказывание, само по себе будет означать неутвержденное высказывание, в то время как утвержденное высказывание будет обозначаться . Знак " " называется знаком утверждения [39]; его можно читать "истинно, что" (хотя философски это не совсем то, что он означает). Точки после знака утверждения указывают на его область действия; то есть все, что следует, утверждается, пока мы не достигнем либо равного количества точек, предшествующих знаку импликации, либо конца предложения. Таким образом, " " означает "истинно, что имплицирует ", тогда как " " означает " истинно; следовательно истинно [40]." Первое из них не обязательно предполагает истинность ни , ни , тогда как второе предполагает истинность обоих.

(4) Утверждение пропозициональной функции. Помимо утверждения определенных высказываний, нам нужно то, что мы будем называть "утверждением пропозициональной функции". Общее понятие утверждения любой пропозициональной функции не используется до *9, но мы сразу используем понятие утверждения различных специальных элементарных пропозициональных функций. Пусть есть пропозициональная функция, чьим аргументом является ; тогда мы можем утверждать , не присваивая значения . Это делается, например, когда закон тождества утверждается в форме " есть ". Здесь остается неопределенным, потому что, как бы ни было определено , результат будет истинным. Таким образом, когда мы утверждаем , оставляя неопределенным, мы утверждаем двусмысленное значение нашей функции. Это законно только в том случае, если, как бы ни была определена двусмысленность, результат будет истинным. Так, возьмем в качестве иллюстрации примитивное высказывание *1·2 ниже, а именно: т.е. "' или ' имплицирует ". Здесь p может быть любым элементарным высказыванием: оставляя неопределенным, мы получаем утверждение, которое может быть применено к любому конкретному элементарному высказыванию. Такие утверждения подобны частным энунциациям у Евклида: когда говорится "пусть будет равнобедренным треугольником; тогда углы при основании будут равны", то, что сказано, применимо к любому равнобедренному треугольнику; это утверждается относительно одного треугольника, но не относительно определенного. Все утверждения в настоящей работе, за очень немногими исключениями, утверждают пропозициональные функции, а не определенные высказывания.

На самом деле, ни одно постоянное элементарное высказывание не встретится в настоящей работе или не может встретиться в любой работе, которая использует только логические идеи. Идеи и высказывания логики все общие: утверждение (например), которое истинно для Сократа, но не для Платона, не будет принадлежать логике [41], и если утверждение, которое истинно для обоих, должно встретиться в логике, оно не должно быть сделано относительно кого-либо из них, а относительно переменной . Чтобы получить в логике определенное высказывание вместо пропозициональной функции, необходимо взять некоторую пропозициональную функцию и утверждать, что она истинна всегда или иногда, т.е. со всеми возможными значениями переменной или с некоторым возможным значением. Таким образом, давая имя "индивид" всему, что есть, что не является ни высказыванием, ни функцией, высказывание "каждый индивид тождественен самому себе" или высказывание "существуют индивиды" будет высказыванием, принадлежащим логике. Но эти высказывания не являются элементарными.

(5) Отрицание. Если есть любое высказывание, высказывание "не- ", или " ложно", будет представлено " ". На данный момент должно быть элементарным высказыванием.

(6) Дизъюнкция. Если и есть любые высказывания, высказывание " или ", т.е. "либо истинно, либо истинно", где альтернативы не должны быть взаимоисключающими, будет представлено . Это называется дизъюнкцией или логической суммой и . Таким образом, " " будет означать " ложно или истинно"; будет означать "ложно, что либо или истинно", что эквивалентно " и оба ложны"; ) будет означать "ложно, что либо ложно, либо ложно", что эквивалентно " и оба истинны"; и так далее. На данный момент и должны быть элементарными высказываниями.

Вышеперечисленное — все примитивные идеи, требуемые в теории дедукции. Другие примитивные идеи будут введены в Разделе B.

Определение импликации. Когда высказывание следует из высказывания , так что если истинно, то также должно быть истинным, мы говорим, что имплицирует . Идея импликации в той форме, в которой она нам нужна, может быть определена. Смысл, который должен быть придан импликации в дальнейшем, на первый взгляд может показаться несколько искусственным; но хотя существуют другие законные смыслы, тот, который принят здесь, гораздо более удобен для наших целей, чем любой из его конкурентов. Существенное свойство, которое мы требуем от импликации, таково: "То, что имплицируется истинным высказыванием, есть истина". Именно в силу этого свойства импликация дает доказательства. Но это свойство никоим образом не определяет, имплицируется ли что-либо, и если да, то что, ложным высказыванием. Что оно определяет, так это то, что если имплицирует , то не может быть случая, чтобы было истинным, а ложным, т.е. должен быть случай, что либо ложно, либо истинно. Наиболее удобная интерпретация импликации — сказать, наоборот, что если либо ложно, либо истинно, то " имплицирует " должно быть истинным. Следовательно, " имплицирует " должно быть определено как означающее: "Либо ложно, либо истинно". Следовательно, мы полагаем:

*1·01.

Здесь буквы "Df" означают "определение". Они и знак равенства вместе должны рассматриваться как образующие один символ, означающий "определено как означающее [42]". Все, что стоит слева от знака равенства, определено как означающее то же самое, что и то, что стоит справа от него. Определение не входит в число примитивных идей, потому что определения касаются исключительно символизма, а не того, что символизируется; они введены для практического удобства и теоретически излишни.

В силу вышеприведенного определения, когда " " выполняется, тогда либо ложно, либо истинно; следовательно, если истинно, должно быть истинным. Таким образом, вышеприведенное определение сохраняет существенную характеристику импликации; оно дает, по сути, наиболее общий смысл, совместимый с сохранением этой характеристики.

ПРИМИТИВНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ.

*1·1. Все, что имплицируется истинным элементарным высказыванием, есть истина. Pp [43].

Вышеприведенный принцип будет распространен в *9 на высказывания, которые не являются элементарными. Это не то же самое, что "если истинно, то если имплицирует , то истинно". Это истинное высказывание, но оно выполняется одинаково, когда не является истинным и когда не имплицирует . Оно не позволяет нам, подобно принципу, с которым мы имеем дело, утверждать просто, без какой-либо гипотезы. Мы не можем выразить принцип символически, отчасти потому, что любой символизм, в котором переменная , дает только гипотезу, что истинно, а не факт, что оно истинно [44].

Вышеприведенный принцип используется всякий раз, когда мы должны вывести высказывание из высказывания . Но подавляющее большинство утверждений в настоящей работе — это утверждения пропозициональных функций, т.е. они содержат неопределенную переменную. Поскольку утверждение пропозициональной функции — это другая примитивная идея, чем утверждение высказывания, нам требуется примитивное высказывание, отличное от *1·1, хотя и связанное с ним, чтобы позволить нам вывести утверждение пропозициональной функции " " из утверждений двух пропозициональных функций " " и " ". Это примитивное высказывание выглядит следующим образом:

*1·11. Когда может быть утверждено, где есть свободная переменная, и может быть утверждено, где есть свободная переменная, тогда может быть утверждено, где есть свободная переменная. Pp.

Этот принцип также должен предполагаться для функций нескольких переменных.

Часть важности вышеприведенного примитивного высказывания обусловлена тем фактом, что оно выражает в символизме результат, вытекающий из теории типов, которая требует символического признания. Предположим, у нас есть два утверждения пропозициональных функций " " и " "; тогда " " в не есть абсолютно что угодно, но что угодно, для чего в качестве аргумента функция " " значима; аналогично в " " есть что угодно, для чего " " значима. Помимо некоторой аксиомы, мы не знаем, что 's, для которых " " значима, являются теми же самыми, для которых " " значима. Примитивное высказывание *1·11, обеспечивая, что в результате утверждений пропозициональных функций " " и " " пропозициональная функция также может быть утверждена, обеспечивает частичное символическое признание, в форме, наиболее полезной в фактических дедукциях, важного принципа, который вытекает из теории типов, а именно: если есть какой-либо один аргумент a, для которого и " " и " " значимы, то диапазон аргументов, для которых " " значима, тот же самый, что и диапазон аргументов, для которых " " значима. Очевидно, что если пропозициональная функция " " может быть утверждена, должны быть аргументы a, для которых " " значима, и для которых, следовательно, " " и " " должны быть значимы. Следовательно, по нашему принципу, значения , для которых " " значима, те же самые, что и те, для которых " " значима, т.е. тип возможных аргументов для (ср. стр. 15) тот же самый, что и тип возможных аргументов для . Примитивное высказывание *1·11, поскольку оно утверждает практически важное следствие этого факта, называется "аксиомой идентификации типа".

Другое следствие принципа, что если есть аргумент, для которого и и значимы, то значимо всякий раз, когда значимо, и наоборот, будет дано в "аксиоме идентификации свободных переменных", введенной в *1·72. Эти два высказывания, *1·11 и *1·72, дают то, что символически существенно для проведения доказательств в соответствии с теорией типов.

Вышеприведенное высказывание *1·11 используется в каждом выводе от одной утвержденной пропозициональной функции к другой. Мы проиллюстрируем использование этого высказывания, подробно изложив способ, которым оно впервые используется в доказательстве *2·06. Это высказывание есть . Мы уже доказали в *2·05 высказывание . Очевидно, что *2·06 следует из *2·05 с помощью *2·04, которое есть . Ибо если в этом высказывании мы заменим на , на , и на , мы получим, как экземпляр *2·04, высказывание , и здесь гипотеза утверждается *2·05. Таким образом, наше примитивное высказывание *1·11 позволяет нам утверждать заключение.

*1·2.

Это высказывание утверждает: "Если либо истинно, либо истинно, то истинно". Оно называется "принципом тавтологии" и будет цитироваться под сокращенным названием "Taut". Удобно для целей ссылки давать имена нескольким более важным высказываниям; в общем, высказывания будут упоминаться по их номерам.

*1·3.

Этот принцип утверждает: "Если истинно, то ' или ' истинно". Таким образом, например, если есть "сегодня среда", а есть "сегодня вторник", принцип утверждает: "Если сегодня среда, то сегодня либо вторник, либо среда". Он называется "принципом сложения", потому что утверждает, что если высказывание истинно, любая альтернатива может быть добавлена, не делая его ложным. Принцип будет упоминаться как "Add".

*1·4.

Этот принцип утверждает, что " или " имплицирует " или ". Он утверждает перестановочный закон для логического сложения высказываний и будет называться "принципом перестановки". Он будет упоминаться как "Perm".

*1·5.

Этот принцип утверждает: "Если либо истинно, либо ' или ' истинно, то либо истинно, либо ' или ' истинно". Это форма ассоциативного закона для логического сложения, и он будет называться "ассоциативным принципом". Он будет упоминаться как "Assoc". Высказывание , которое было бы естественной формой для ассоциативного закона, имеет меньшую дедуктивную силу и поэтому не принимается в качестве примитивного высказывания.

*1·6.

Этот принцип утверждает: "Если имплицирует , то ' или ' имплицирует ' или '". Другими словами, в импликации альтернатива может быть добавлена как к посылке, так и к заключению, не нарушая истинности импликации. Принцип будет называться "принципом суммирования" и будет упоминаться как "Sum".

*1·7. Если есть элементарное высказывание, есть элементарное высказывание. Pp.

*1·71. Если и есть элементарные высказывания, есть элементарное высказывание. Pp.

*1·72. Если и есть элементарные пропозициональные функции, которые принимают элементарные высказывания в качестве аргументов, есть элементарная пропозициональная функция. Pp.

Эта аксиома должна применяться также к функциям двух или более переменных. Она называется "аксиомой идентификации свободных переменных". Будет замечено, что если и есть функции, которые принимают аргументы разных типов, не существует такой функции, как " ", потому что и не могут осмысленно иметь один и тот же аргумент. Более общая форма вышеприведенной аксиомы будет дана в *9.

Использование вышеприведенных аксиом обычно будет молчаливым. Только через них и аксиомы *9 теория типов, объясненная во Введении, становится значимой, и любой взгляд на логику, который оправдывает эти аксиомы, оправдывает такие последующие рассуждения, которые используют теорию типов.

Это завершает список примитивных высказываний, требуемых для теории дедукции, применяемой к элементарным высказываниям.

*2. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ СЛЕДСТВИЯ ПРИМИТИВНЫХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ.

Резюме *2.

Доказательства более ранних высказываний этого номера состоят просто в замечании того, что они являются экземплярами общих правил, данных в *1. В таких случаях эти правила не являются посылками, поскольку они утверждают любой экземпляр самих себя, а не что-то отличное от своих экземпляров. Следовательно, когда общее правило приводится в ранних доказательствах, оно будет приводиться в скобках [45], с указаниями, когда это требуется, относительно изменений букв с тех, что даны в правиле, на те, что в рассматриваемом случае. Таким образом, "Taut " будет означать то, во что превращается "Taut", когда пишется вместо . Если "Taut " заключено в квадратные скобки перед утвержденным высказыванием, это означает, что в соответствии с "Taut" мы утверждаем то, во что превращается "Taut", когда пишется вместо . Признание того, что определенное высказывание является экземпляром некоторого общего высказывания, ранее доказанного или принятого, существенно для процесса дедукции из общих правил, но само по себе не может быть возведено в общее правило, поскольку требуемое применение является частным, и никакое общее правило не может явно включать частное применение.

Опять же, когда два разных набора символов выражают одно и то же высказывание в силу определения, скажем *1·01, и одно из них, которое мы назовем (1), было утверждено, утверждение другого делается путем написания "[(1).(*1·01)]" перед ним, означая, что в силу *1·01 новый набор символов утверждает то же самое высказывание, что было утверждено в (1). Ссылка на определение отличается от ссылки на предыдущее высказывание тем, что она заключена в круглые скобки.

Высказывания в этом номере все, или почти все, действительно необходимы при дедукции математики из наших примитивных высказываний. Хотя некоторые сокращающие процессы будут постепенно вводиться, доказательства будут даны очень полно, потому что важность настоящего предмета заключается не в самих высказываниях, а (1) в том факте, что они следуют из примитивных высказываний, (2) в том факте, что предмет является самым легким, простым и элементарным примером символического метода обращения с принципами математики в целом. Более поздние части — теории классов, отношений, кардинальных чисел, рядов, порядковых чисел, геометрии и т.д. — все используют тот же метод, но с возрастающей сложностью рассматриваемых сущностей и функций.

Наиболее важными высказываниями, доказанными в настоящем номере, являются следующие:

*2·02.

Т.е. имплицирует, что имплицирует , т.е. истинное высказывание имплицируется любым высказыванием. Это высказывание называется "принципом упрощения" (упоминается как "Simp"), потому что, как будет показано позже, оно позволяет нам перейти от совместного утверждения и к утверждению просто. Когда вспоминается специальный смысл, который мы придали импликации, будет видно, что это высказывание очевидно.