Некоторые любопытные моменты относительно соотношения этих систем можно заметить в Европе. Было замечено у одного глухонемого мальчика, Оливера Касвелла, что он научился считать до 50 на пальцах, но всегда «пятерил», считая, например, 18 предметов как «обе руки, одна рука, три пальца». Было высказано предположение, что греческое использование πεμπάζειν, «пятерить», как выражения для счета, является следом грубой старой пятеричной системы счисления (сравните финское lokket «считать» от lokke «десять»). Конечно, римские числительные I, II, ... V, VI ... X, XI ... XV, XVI и т. д. образуют удивительно хорошо определенную письменную пятеричную систему. Остатки двадцатеричного счета еще более поучительны. Счет по двадцаткам является ярко выраженной кельтской характеристикой. Громоздкая двадцатеричная система счисления вряд ли могла быть представлена более сильно в какой-либо дикой расе, чем в таких примерах, как гэльское aon deug is da fhichead «один, десять и две двадцатки», т. е. 51; или валлийское unarbymtheg ar ugain «один и пятнадцать сверх двадцати», т. е. 36; или бретонское unnek ha triugent «одиннадцать и три двадцатки», т. е. 71. Теперь французский язык, будучи романским, имеет регулярную систему латинских десятков до 100; cinquante, soixante, septante, huitante, nonante, которые все еще можно найти в использовании в районах в пределах границ французского языка, как в Бельгии. Тем не менее, неуклюжая система счета по двадцаткам прорвалась через десятичную систему во Франции. Septante в значительной степени подавлено, soixante-quatorze, например, означает 74; quatre-vingts довольно прочно утвердилось для 80, и его использование продолжается до девяностых, quatre-vingt-treize для 93; в числах выше 100 мы находим six-vingts, sept-vingts, huit-vingts для 120, 140, 160, а определенная больница получила свое название Les Quinze-vingts от своих 300 обитателей. Пожалуй, наиболее разумным объяснением этого любопытного явления является предположение, что более ранняя кельтская система Франции удержала свои позиции, моделируя более поздний французский язык в свою собственную более грубую форму. В Англии англосаксонское счисление десятичное: hund-seofontig, 70; hund-eahtatig, 80; hund-nigontig, 90; hund-teontig, 100; hund-enlufontig, 110; hund-twelftig, 120. Возможно, здесь также из-за кельтского пережитка двадцатеричный счет по «score» (двадцатке), threescore and ten, fourscore and thirteen и т. д., занял положение в английском языке, которое он еще не полностью утратил.
Из некоторых второстепенных деталей в счислении можно получить этнологические подсказки. Среди грубых племен со скудными рядами числительных к комбинации для составления новых чисел прибегают очень скоро. Среди австралийских племен сложение делает «два-один», «два-два» выражением 3 и 4; в гуачи «два-два» — это 4; в Сан-Антонио «четыре и два-один» — это 7. План составления числительных путем вычитания известен в Северной Америке и хорошо показан в языке айнов на Йессо, где слова для 8 и 9 очевидно означают «два из десяти», «один из десяти». Умножение появляется, как в Сан-Антонио, «два-и-один-два», и в диалекте тупи «два-три», чтобы выразить 6. Деление, по-видимому, не известно для таких целей среди низших рас и совершенно исключительно среди высших. Факты этого класса показывают разнообразие в изобретательских устройствах человечества и независимость в их формировании языка. Они согласуются в то же время с общими принципами счета по рукам. Следы того, что можно было бы назвать двоичным, троичным, четверичным, шестеричным счетом, которые вращаются вокруг 2, 3, 4, 6, являются лишь разновидностями, ведущими к пятеричным и десятичным методам или переходящими в них.
Контраст поразителен между образованным европейцем с его легким использованием безграничного ряда числительных и тасманийцем, который считает 3 или что-либо сверх 2 как «много» и обходится всей своей рукой, чтобы достичь предела «человека», то есть 5. Этот контраст обусловлен остановкой развития у дикаря, чей разум остается в детском состоянии, которое начало одной из наших детских считалок иллюстрирует любопытным образом. Она гласит —
‘One’s none,
Two’s some,
Three’s a many,
Four’s a penny,
Five’s a little hundred.’
Замечание этого состояния вещей среди дикарей и детей поднимает интересные моменты относительно ранней истории грамматики. В. фон Гумбольдт предположил аналогию между дикарским понятием 3 как «много» и грамматическим использованием 3 для образования своего рода превосходной степени, в формах которой «trismegistus», «ter felix», «трижды благословенный» являются знакомыми примерами. Отношение единственного, двойственного и множественного числа хорошо показано наглядно в египетских иероглифах, где изображение объекта, например, лошади, отмечено одной линией |, если имеется в виду только одна, двумя линиями | |, если имеются в виду две, тремя линиями | | |, если имеются в виду три или неопределенное множественное число. Схема грамматического числа в некоторых из самых древних и важных языков мира построена на том же дикарском принципе. Египетский, арабский, иврит, санскрит, греческий, готский — это примеры языков, использующих единственное, двойственное и множественное число; но тенденция высшей интеллектуальной культуры заключалась в том, чтобы отбросить этот план как неудобный и невыгодный и различать только единственное и множественное число. Несомненно, двойственное число сохранило свое место по наследству от раннего периода культуры, и д-р Д. Уилсон кажется оправданным в своем мнении, что оно «сохраняет для нас память о той стадии мышления, когда все, что больше двух, было идеей неопределенного числа».
Когда две расы на разных уровнях культуры вступают в контакт, более грубый народ перенимает новые искусства и знания, но в то же время их собственная особая культура обычно останавливается и даже приходит в упадок. Так обстоит дело с искусством счета. Мы можем доказать, что низшая раса действительно делала большие и независимые успехи в нем, но когда высшая раса приходит с удобным и неограниченным средством не только называния всех мыслимых чисел, но и записи их и счета с ними с помощью нескольких простых цифр, какая вероятность того, что неуклюжие методы варвара будут развиваться дальше? Что касается способов, которыми числительные высшей расы прививаются к языку низшей, капитан Грант описывает туземных рабов Экваториальной Африки, занимающих свои часы досуга изучением числительных своих арабских хозяев. Рассказ отца Добрицхоффера об арифметических отношениях между туземными бразильцами и иезуитами — хорошее описание интеллектуального контакта между дикарями и миссионерами. Гуарани, по-видимому, считали до 4 своими туземными числительными, а когда доходили дальше, говорили «несметное». «Но поскольку счет имеет как многообразное применение в обычной жизни, так и в исповеди абсолютно необходим для совершения полной исповеди, индейцев ежедневно учили на публичном катехизисе в церкви считать по-испански. По воскресеньям весь народ обычно считал громким голосом по-испански, от 1 до 1000». Миссионер, правда, не обнаружил, что туземцы используют выученные таким образом числа очень точно — «Мы мыли черномазого», — говорит он. Если, однако, мы изучим современные словари диких или низковарварских племен, окажется, что они предоставляют интересные свидетельства того, насколько действительно эффективным было влияние высшей цивилизации на низшую в этом вопросе. Насколько более грубая система полна и умеренно удобна, она может стоять, но там, где она заканчивается или становится громоздкой, а иногда и на более низком пределе, чем этот, мы можем видеть, как более умный иностранец берет ее в свои руки, дополняя или вытесняя скудные числительные низшей расы своими собственными. Высшая раса, хотя и достаточно продвинутая, чтобы действовать так по отношению к низшей, не обязательно должна сама находиться на чрезвычайно высоком уровне. Маркем отмечает, что хиваро с Мараньона, с туземными числительными до 5, принимают для более высоких чисел числительные кечуа, языка перуанских инков. Случаи с туземцами Индии поучительны. Кхонды считают 1 и 2 туземными словами, а затем переходят к заимствованным числительным хинди. Племена ораонов, принадлежа к расе дравидийского происхождения и имея соответствующий ряд туземных числительных, по-видимому, отказались от их использования выше 4, а иногда даже 2, и приняли числительные хинди вместо них. Южноамериканские конибо, как было замечено, считали 1 и 2 своими собственными словами, а затем заимствовали испанские числительные, подобно тому как бразильский диалект семьи тупи был замечен в прошлом веке как утративший туземное 5 и перешедший к использованию старых туземных числительных до 3, а затем продолжающий на португальском. В Меланезии язык аннатом может считать только своими собственными числительными до 5, а затем заимствует английские siks, seven, eet, nain и т. д. На некоторых полинезийских островах, хотя туземные числительные достаточно обширны, путаница, возникающая из-за счета парами и четверками, а также единицами, побудила туземцев избежать недоумения, приняв huneri и tausani. И хотя счет эскимосов по рукам, ногам и целым людям способен выражать высокие числа, он становится практически неуклюжим, даже когда доходит до двадцаток, и гренландец поступил хорошо, приняв untrîte и tusinte от своих датских учителей. Сходство числительных в двух языках — это момент, которому филологи придают большое и заслуженное значение в вопросе о том, следует ли считать их происходящими из общего корня. Но ясно, что поскольку одна раса могла заимствовать числительные у другой, это доказательство рушится. Тот факт, что это заимствование распространяется до 3 и может даже идти еще ниже, насколько нам известно, является причиной для осторожного использования аргумента от связанных числительных, как скорее стремящегося доказать общение, чем родство.
На другом конце шкалы цивилизации принятие числительных от народа к народу все еще представляет интересные филологические моменты. Наш собственный язык дает любопытные примеры, такие как second и million. То, как английский язык, наряду с немецким, голландским, датским и даже русским, принял средневековую латынь dozena (от duodecim), показывает, насколько удобным было признано покупать и продавать дюжинами (by the dozen) и насколько необходимо было иметь для этого специальное слово. Но процесс заимствования зашел дальше этого. Если бы спросили, сколько наборов числительных сейчас используется среди англоговорящих людей в Англии, вероятным ответом был бы один набор, регулярный one, two, three и т. д. Существуют, однако, и два заимствованных набора. Один — это хорошо известный набор для игры в кости: ace, deuce, tray, cater, cinque, size; таким образом, size-ace — это «6 и 1», cinques или sinks — «двойная пятерка». Они пришли к нам из Франции и соответствуют обычным французским числительным, за исключением ace, которое является латинским as, словом большого филологического интереса, означающим «один». Другой заимствованный набор можно найти в «Словаре сленга». Оказывается, английский уличный люд принял в качестве средства тайного общения набор итальянских числительных от шарманщиков и продавцов картинок или другими путями, через которые итальянский язык или лингва франка проникает в бедные кварталы Лондона. Делая это, они совершили филологическую операцию, не только любопытную, но и поучительную. Копируя такие выражения, как итальянское due soldi, tre soldi, как эквивалент «двух пенсов», «трех пенсов», слово saltee стало признанным сленговым термином для «пенни», и пенсы считаются следующим образом:—
Oney saltee ... 1d. uno soldo.
Dooe saltee ... 2d. due soldi.
Tray saltee ... 3d. tre soldi.
Quarterer saltee ... 4d. quattro soldi.
Chinker saltee ... 5d. cinque soldi.
Say saltee ... 6d. sei soldi.
Say oney saltee or setter saltee ... 7d. sette soldi.
Say dooe saltee or otter saltee ... 8d. otto soldi.
Say tray saltee or nobba saltee ... 9d. nove soldi.
Say quarterer saltee or dacha saltee ... 10d. dieci soldi.
Say chinker saltee or dacha oney saltee ... 11d. undici soldi.
Oney beong ... 1s.
A beong say saltee ... 1s. 6d.
Dooe beong say saltee or madza caroon ... 2s. 6d. (half crown, mezza corona.)[342]
Одна из этих серий просто принимает итальянские числительные десятично. Но другая, достигнув 6, насытившись новизной, делает 7 как «шесть-один» и так далее. Не по какой-то абстрактной причине 6 таким образом становится поворотным пунктом, а просто потому, что уличный торговец складывает пенсы до серебряного шестипенсовика, а затем снова складывает пенсы до шиллинга. Таким образом, наша двенадцатеричная монетная система привела к практике счета шестерками и породила филологическую диковинку, настоящую шестеричную систему счисления.
На основе доказательств, подобных тем, что были приведены в этом эссе, кажущиеся отношения дикарской культуры к цивилизованной, в том, что касается Искусства Счета, теперь могут быть кратко изложены в заключение. Основные методы, которым обязано развитие высшей арифметики, лежат вне проблемы. Это в основном остроумные планы выражения числового отношения с помощью письменных символов. Среди них семитская схема и греческая, производная от нее, использования алфавита как ряда числовых символов, план, не совсем отброшенный нами самими, по крайней мере для порядковых числительных, как в расписаниях A, B и т. д.; использование инициалов числительных слов в качестве цифр для самих чисел, как в греческих Π и Δ для 5 и 10, римских C и M для 100 и 1000; устройство выражения дробей, показанное на рудиментарной стадии в греческих γ’, δ’ для 1/3, 1/4, γδ для 3/4; введение цифры или нуля, с помощью которого арабские или индийские числительные имеют свое значение согласно их позиции в десятичном порядке, соответствующем последовательности рядов абака; и, наконец, современная запись десятичных дробей путем переноса вниз ниже единицы пропорционального порядка, который веками использовался выше нее. Древнеегипетское и все еще используемые римское и китайское счисления действительно основаны на дикарском пиктографическом письме, в то время как абак и суаньпань, один из которых все еще является ценным школьным инструментом, а другой находится в полном практическом использовании, имеют свой зародыш в дикарском счете группами предметов, как когда жители Южных морей считают стеблями кокосовой пальмы, откладывая маленький каждый раз, когда они доходят до 10, и большой, когда они доходят до 100, или когда африканские негры считают галькой или орехами и каждый раз, когда они доходят до 5, откладывают их в маленькую кучку.
Мы здесь особенно обеспокоены жестовым счетом на пальцах как абсолютно дикарским искусством, все еще используемым детьми и крестьянами, и системой числительных слов, известных всему человечеству, появляющихся скудно среди низших племен и достигающих в пределах дикарских ограничений развития, которое высшая цивилизация только улучшила в деталях. Эти два метода вычисления жестами и словом рассказывают историю примитивной арифметики таким образом, что ее трудно исказить или понять неправильно. Мы видим дикаря, который может считать только до 2, 3 или 4 словами, но может идти дальше в немой игре. У него есть слова для рук и пальцев, ног и пальцев ног, и ему приходит в голову идея, что слова, описывающие жест, послужат также для выражения его значения, и они становятся его числительными соответственно. Это случилось не только однажды, это случилось среди разных рас в отдаленных регионах, ибо такие термины, как «рука» для 5, «рука-один» для 6, «руки» для 10, «два на ноге» для 12, «руки и ноги» или «человек» для 20, «два человека» для 40 и т. д., показывают такое единообразие, которое обусловлено общим принципом, но также такое разнообразие, которое обусловлено независимой проработкой. Это «факты-указатели», которые имеют свое место и объяснение в теории развития культуры, в то время как теория дегенерации полностью не в состоянии их охватить. Они являются четкими записями развития, и независимого развития, среди диких племен, которым некоторые писатели о цивилизации опрометчиво отказали в самой способности к самосовершенствованию. Первоначальное значение большой части запаса числительных низших рас, особенно тех, что от 1 до 4, не подходящих для того, чтобы называться пальцевыми числительными, неясно. Они могли быть названы из сравнения с объектами, способом, который показан как действительно происходящий в таких формах, как «вместе» для 2, «бросок» для 3, «узел» для 4; но любое конкретное значение, которое, как мы можем предположить, они когда-то имели, кажется теперь, из-за модификации и искажения, вышедшим из знания.
Помня, как обычные слова меняются и теряют следы первоначального значения в течение веков, и что в числительных такое разрушение значения на самом деле желательно, чтобы сделать их пригодными для чистых арифметических символов, мы не можем удивляться, что столь большая доля существующих числительных не имеет различимой этимологии. Это особенно верно для 1, 2, 3, 4 среди низших и высших рас одинаково, самых ранних, которые были сделаны, и поэтому самых ранних, потерявших свое первичное значение. За пределами этих низких чисел языки высших и низших рас показывают замечательную разницу. Числительные по рукам и ногам, столь распространенные и безошибочные в дикарских языках, таких как эскимосский и зулусский, едва ли, если вообще, прослеживаются в великих языках цивилизации, таких как санскрит и греческий, иврит и арабский. Это положение вещей вполне соответствует теории развития языка. Мы можем утверждать, что именно в сравнительно недавние времена дикари пришли к изобретению пальцевых числительных и что поэтому этимология таких числительных остается очевидной. Но из отсутствия таких примитивных форм в культурной Азии и Европе отнюдь не следует, что они не существовали там в отдаленные века; они могли с тех пор быть обкатаны и побиты, как галька потоком времени, пока их первоначальные формы больше не могут быть разобраны. Наконец, среди диких и цивилизованных рас одинаково общая структура счисления стоит по всему миру как непреходящий памятник первобытной культуры. Эта структура, почти универсальная схема счета по пятеркам, десяткам и двадцаткам, показывает, что детская и дикарская практика счета на пальцах рук и ног лежит в основе нашей арифметической науки. Десять кажется наиболее удобной арифметической базой, предлагаемой системами, основанными на счете по рукам, но двенадцать было бы лучше, и двенадцатеричная арифметика на самом деле является протестом против менее удобной десятичной арифметики в обычном использовании. Случай является не редким, когда высокая цивилизация несет явные следы грубости своего происхождения в древней варварской жизни.