AQ * AR,
и если, далее (по аналогии с похожим случаем относительно «влечет»), мы выразим суждение о том, что для каждой пары суждений, которые подобны AQ и AR в только что упомянутом отношении, истинно, что первое имеет отношение * ко второму, через
xQ * xR
тогда естественно выражать xQ * xR словами «Если что-либо имеет Q, то эта вещь имеет R». И логики, я думаю, могли ошибочно сделать вывод, что, поскольку естественно выражать «xQ * xR» словами «Если что-либо имеет Q, то эта вещь имеет R», должно быть естественно выражать «AQ * AR» словами «Если AQ, то AR», а следовательно, также словами «AQ имплицирует AR». Если это было их причиной для выражения «p * q» словами «p имплицирует q», то очевидно, что их рассуждение является ошибкой. И какой бы ни была причина, мне кажется совершенно определенным, что «AQ * AR» нельзя правильно выразить ни словами «AQ имплицирует AR», ни словами «Если AQ, то AR», хотя «xQ * xR» можно правильно выразить словами «Если что-либо имеет Q, то эта вещь имеет R».
Я собираюсь, таким образом, выразить общее суждение относительно двух конкретных свойств Q и R, которое утверждает, что «Все, что имеет Q, имеет R» или «Если что-либо имеет Q, то оно имеет R», не утверждая при этом, что что-либо имеет Q, через
xQ * xR
— средство выражения, которое, поскольку мы приняли соглашение, что «p * q» должно означать то же самое, что «Неверно, что p истинно, а q ложно», выявляет важный факт, что это суждение либо идентично, либо логически эквивалентно суждению о том, что для каждой такой пары суждений, как AQ и AR, истинно, что неверно, что первое истинно, а второе ложно. И приняв это соглашение, мы теперь можем видеть, как в соответствии с ним должно быть выражено суждение относительно конкретного свойства P о том, что P является внутренним для всего, что им обладает. Мы видели, что «P является внутренним для A» должно выражаться через
xP влечет (x = A)
или через логически эквивалентное суждение
(x = A) влечет xP
И нам теперь остается только выразить суждение о том, что все, что имеет P, имеет также свойство, что P является для него внутренним. Требуемое выражение очевидно следующее. Точно так же, как «Все, что имеет Q, имеет R» должно выражаться через
xQ * xR
так «Все, что имеет P, имеет также свойство, что P является для него внутренним» будет выражаться через
xP * {yP влечет (y = x)}
или через
xP * {(y = x) влечет yP}.
Таким образом, мы получили в случае любого конкретного свойства P средство выражения суждения о том, что оно является внутренним для каждого термина, который им обладает, которое является одновременно кратким и ясно выявляет вовлеченные в него понятия. И нам не нужно, я думаю, никаких дальнейших специальных соглашений для символизации суждения о том, что каждое реляционное свойство является внутренним для любого термина, который им обладает, — суждения, которое я назвал (2) выше (стр. 289, 290) и которое на стр. 287 я назвал наиболее важным следствием догмы о внутренних отношениях. Мы можем выразить его достаточно просто следующим образом:
(2) = «То, что мы утверждаем о P, когда говорим xP * {yP влечет (y = x)}, может быть истинно утверждено о каждом реляционном свойстве».
А теперь, с целью сравнения (2) с (1) и точного понимания того, что вовлечено в мое утверждение, что (2) не следует из (1), давайте попробуем выразить (1) с помощью тех же соглашений.
Давайте сначала возьмем утверждение относительно конкретной вещи A и конкретного реляционного свойства P о том, что из суждения о том, что A имеет P, следует, что ничто, не имеющее P, не идентично A. Это утверждение, которое совершенно определенно истинно; поскольку, если бы что-либо, не имеющее P, было идентично A, из этого следовало бы AP; а из суждения AP, безусловно, следует, что AP ложно, а следовательно, также что «Нечто, не имеющее P, идентично A» ложно, или что «Ничто, не имеющее P, не идентично A» истинно. И это утверждение, в соответствии с принятыми нами соглашениями, будет выражено
через
AP влечет {xP * (x = A)}
Далее нам требуется, чтобы выразить (1), средство выражения относительно конкретного реляционного свойства P утверждения о том, что из суждения относительно чего угодно о том, что эта вещь имеет P, следует, что ничто, не имеющее P, не идентично рассматриваемой вещи. Это также утверждение, которое совершенно определенно истинно; поскольку оно просто утверждает (что очевидно истинно), что то, что
AP влечет {xP * (x = A)}
утверждает об A, может быть истинно утверждено о чем угодно. И это утверждение, в соответствии с принятыми нами соглашениями, будет выражено через
xP влечет {yP * (y = x)}.
Суждение, которое я намеревался назвать (1), но которое выразил ранее довольно неуклюже, теперь может быть выражено через
(1) = «То, что мы утверждаем о P, когда говорим,
xP влечет {yP * (y = x)}
может быть истинно утверждено о каждом реляционном свойстве». Это суждение, которое опять же совершенно определенно истинно; и для сравнения его с (2), я думаю, нет необходимости принимать какие-либо дальнейшие соглашения для его выражения, поскольку вопросы о том, отличается оно или нет от (2) и следует ли (2) из него или нет, очевидно будут зависеть от тех же вопросов относительно двух суждений, касающихся конкретного реляционного свойства P,
xP влечет {yP * (y = x)}
и
xP * {yP влечет (y = x)}
Теперь то, что я утверждаю относительно (1) и (2), состоит в том, что, тогда как (1) истинно, (2) ложно. Я утверждаю, иными словами, что суждение «То, что мы утверждаем о P, когда говорим
xP * {yP влечет (y = x)}
истинно для каждого реляционного свойства» ложно, хотя я признаю, что то, что мы здесь утверждаем о P, истинно для некоторых реляционных свойств. Те, для которых оно истинно, я предлагаю называть внутренними реляционными свойствами, те, для которых оно ложно, — внешними реляционными свойствами. Догма о внутренних отношениях, с другой стороны, подразумевает, что (2) истинно; то есть, что каждое реляционное свойство является внутренним и что не существует внешних реляционных свойств. И я полагаю, что догма о внутренних отношениях поддерживалась только потому, что ошибочно считалось, что (2) следует из (1).
И то, что (2) не следует из (1), можно, я думаю, легко увидеть следующим образом. Оно может следовать из (1) только если из любого суждения формы
p влечет (q * r)
следует соответствующее суждение формы
p * (q влечет r),
И то, что это не так, можно, я думаю, легко увидеть, рассмотрев следующие три суждения. Пусть p = «Все книги на этой полке синие», пусть q = «Мой экземпляр «Принципов математики» — это книга на этой полке», и пусть r = «Мой экземпляр «Принципов математики» синий». Теперь p здесь абсолютно влечет (q * r). То есть из p абсолютно следует, что «Мой экземпляр «Принципов» на этой полке» и «Мой экземпляр «Принципов» не синий» не являются, как фактический вопрос, оба истинными. Но из этого отнюдь не следует p * (q влечет r). Ибо то, что означает это последнее суждение, есть «Неверно, что одновременно p истинно и (q влечет r) ложно». И, как фактический вопрос, (q влечет r) совершенно определенно ложно; ибо из суждения «Мой экземпляр «Принципов» на этой полке» суждение «Мой экземпляр «Принципов» синий» не следует. Просто неверно, что второе из этих двух суждений может быть выведено из первого само по себе: просто неверно, что оно находится к нему в том отношении, в котором оно находится к конъюнктивному суждению «Все книги на этой полке синие, и мой экземпляр «Принципов» на этой полке». Это конъюнктивное суждение действительно влечет «Мой экземпляр «Принципов» синий». Но «Мой экземпляр «Принципов» на этой полке» сам по себе совершенно определенно не влечет «Мой экземпляр «Принципов» синий». Просто неверно, что мой экземпляр «Принципов» не мог бы быть на этой полке, не будучи синим, (q влечет r) поэтому ложно. И следовательно, «p * (q влечет r)» может следовать из «p влечет (q * r)» только если из этого последнего суждения следует p. Но p совершенно определенно не следует из этого суждения: из того факта, что (q * r) выводимо из p, отнюдь не следует, что p истинно. Поэтому совершенно неверно, что каждое суждение формы
p влечет (q * r)
влечет соответствующее суждение формы
p * {q влечет r},
поскольку мы нашли одно конкретное суждение первой формы, которое не влечет соответствующее суждение второй.
Утверждать поэтому, что (2) следует из (1), — это просто путаница. И один источник этой путаницы, я думаю, довольно ясен. (1) действительно позволяет вам утверждать, что если AP истинно, то суждение «yP * {(y = A)}» должно быть истинным. То, что «должно» здесь выражает, — это лишь то, что это суждение следует из AP, а не то, что оно само по себе является необходимым суждением. Но предполагается, из-за путаницы, что утверждается то, что неверно, что одновременно AP истинно и «yP * (y = A)» не является само по себе необходимым суждением; то есть предполагается, что утверждается «AP * {yP влечет (y = A)}»; поскольку сказать, что «yP * (y = A)» само по себе является необходимым суждением, — это то же самое, что сказать, что «yP влечет (y = A)» также истинно. На самом деле мне кажется довольно ясным, что под утверждением о суждениях формы «xP * xQ», что они являются необходимыми (или «аподиктическими») суждениями, имеется в виду лишь то, что соответствующее суждение формы «xP влечет xQ» также истинно. «xP влечет xQ» само по себе не является необходимым суждением; но если «xP влечет xQ» истинно, то «xP * xQ» является необходимым суждением — и необходимой истиной, поскольку никакие ложные суждения не являются необходимыми сами по себе. Таким образом, то, что имеется в виду под утверждением, что «Все, что является прямым углом, является также углом», есть необходимая истина, — это, насколько я могу судить, просто то, что суждение «(x — прямой угол) влечет (x — угол)» также истинно. Это, как мне кажется, дает то, что на самом деле обычно имелось в виду в философии под «необходимыми истинами», например, Лейбницем; и указывает на различие между ними и теми истинными общими суждениями, которые являются «просто фактическими вопросами». И если мы хотим расширить значение названия «необходимая истина» таким образом, чтобы некоторые единичные суждения также могли называться «необходимыми истинами», мы можем, я думаю, легко сделать это следующим образом. Мы можем сказать, что AP само по себе является необходимой истиной тогда и только тогда, когда общее суждение «(x = A) * xP» (которое, как мы видели, следует из AP) является необходимой истиной: то есть тогда и только тогда, когда (x = A) влечет xP. С этим определением догма о внутренних отношениях утверждает, что в каждом случае, когда данная вещь фактически обладает данным реляционным свойством, факт того, что она обладает этим свойством, является необходимой истиной; тогда как я утверждаю, что если рассматриваемое свойство является «внутренним» свойством, то рассматриваемый факт будет необходимой истиной, тогда как если рассматриваемое свойство является «внешним», то рассматриваемый факт будет просто «фактическим вопросом».
Столько о различии между (1), которое истинно, и (2), или догмой о внутренних отношениях, которую я считаю ложной. Но я сказал выше, мимоходом, что мое утверждение о том, что (2) не следует из (1), предполагает отказ от определенных взглядов, которых иногда придерживались относительно значения слова «следует»; и я думаю, стоит сказать об этом несколько слов.
Очевидно, что возможность утверждать, что (2) не следует из (1), зависит от того, истинно ли, что из «xP * xQ» не следует суждение «xP влечет xQ». И это иногда оспаривалось, и, я думаю, часто неясно видится.
Начнем с того, что г-н Рассел в «Принципах математики» (стр. 34) трактует фразу «q может быть выведено из p» так, как если бы она означала в точности то же самое, что «p * q» или «p материально имплицирует q»; и повторил ту же ошибку в других местах, например, в «Философских эссе» (стр. 166), где он обсуждает то, что называет аксиомой внутренних отношений. И я боюсь, что многие люди были приведены к предположению, что, раз г-н Рассел сказал это, это должно быть истиной. Если бы это было истиной, то, конечно, было бы невозможно различить (1) и (2), и следовало бы, что, поскольку (1) определенно истинно, то, что я называю догмой о внутренних отношениях, тоже истинно. Но я полагаю, что сам г-н Рассел теперь был бы готов признать, что, будучи далеким от истины, утверждение, что «q может быть выведено из p» означает то же самое, что «p * q», — это просто огромная «глупость»; и я не думаю, что мне нужно тратить время на попытки показать, что это так.
Но можно придерживаться мнения, что, хотя «p влечет q» не означает то же самое, что «p * q», тем не менее из «xP * xQ» суждение «xP влечет xQ» все же следует, по несколько более тонкой причине; и если бы это было так, то опять же следовало бы, что то, что я называю догмой о внутренних отношениях, должно быть истинным. А именно, можно придерживаться мнения, что, хотя «AP влечет AQ» не означает просто «AP * AQ», тем не менее то, что оно означает, — это просто конъюнкция «AP * AQ и это суждение является примером истинной формальной импликации» (фраза «формальная импликация» понимается в смысле г-на Рассела, в котором «xP * xQ» утверждает формальную импликацию). Этот взгляд на то, что означает «AP влечет AQ», был, например, если я правильно его понимаю, утвержден г-ном О. Стрейчи в Mind, N.S., 93. И тот же взгляд часто предлагался (хотя я не знаю, утверждал ли он его на самом деле) самим г-ном Расселом (например, Principia Mathematica, стр. 21). Если бы этот взгляд был истинным, то, хотя «xP влечет xQ» не было бы идентичным по значению с «xP * xQ», тем не менее оно следовало бы из него; поскольку, если
xP * xQ
было бы истинным, то каждое конкретное утверждение формы AP * AQ было бы не только истинным, но и примером истинной формальной импликации (а именно «xP * xQ»), и это, согласно предложенному определению, есть все, что утверждает «xP влечет xQ». Если бы, следовательно, это было истинным, то опять же следовало бы, что все реляционные свойства должны быть внутренними. Но то, что этот взгляд также не является истинным, представляется мне совершенно очевидным. Суждение о том, что я нахожусь в этой комнате, «материально имплицирует», что я старше пяти лет, поскольку оба истинны; и утверждение, что это так, также является примером истинной формальной импликации, поскольку фактически истинно, что все люди в этой комнате старше пяти лет; но ничто не представляется мне более очевидным, чем то, что второе из этих двух суждений не может быть выведено из первого — что тот вид отношения, который имеет место между посылками и заключением силлогизма в Barbara, не имеет места между ними. Выражаясь иначе: мне кажется совершенно очевидным, что свойства «быть человеком в этой комнате» и «быть старше пяти лет» не связаны тем видом отношения, в котором «быть прямым углом» связано с «быть углом» и которое мы выражаем, говоря, что в случае каждого термина суждение о том, что этот термин является углом, может быть выведено из суждения о том, что он является прямым углом.
Это единственные два известных мне предположения о значении «p влечет q», которые, если бы они были истинными, привели бы к результату, что (2) действительно следует из (1) и что, следовательно, все реляционные свойства являются внутренними; и оба они, как мне кажется, очевидно ложны. Все другие предложенные значения, насколько я знаю, оставили бы истинным то, что (2) не следует из (1), и, следовательно, что я, возможно, прав, утверждая, что некоторые реляционные свойства являются внешними. Можно было бы, например, предложить, чтобы последнее предложенное определение было дополнено следующим образом — что мы должны сказать: «p влечет q» означает «p * q и это суждение является примером формальной импликации, которая не просто истинна, но самоочевидна, подобно законам формальной логики». Это предложенное определение позволило бы избежать парадоксов, вовлеченных в определение г-на Стрейчи, поскольку такие истинные формальные импликации, как «все люди в этой комнате старше пяти лет», определенно не являются самоочевидными; и, насколько я могу судить, оно может утверждать нечто, что фактически истинно для p и q, тогда и только тогда, когда p влечет q. Я сам не думаю, что оно дает значение «p влечет q», поскольку тот вид отношения, который, как я вижу, имеет место между посылками и заключением силлогизма, представляется мне чисто «объективным» в том смысле, что никакой психологический термин, подобный тем, что вовлечены в значение «самоочевидного», не вовлечен в его определение (если оно у него есть). Я, однако, не намерен оспаривать, что какое-то такое определение «p влечет q», как это, может быть истинным. Поскольку очевидно, что, даже если бы это было так, мое суждение о том, что «xP влечет xQ» не следует из «xP * xQ», все равно было бы истинным; а следовательно, также и мое утверждение о том, что (2) не следует из (1).
Столько в качестве аргумента того, что мы не обязаны считать, что все реляционные свойства являются внутренними в том конкретном смысле, который нас сейчас интересует, в котором сказать, что они таковы, означает, что в каждом случае, когда вещь A обладает реляционным свойством, из суждения о том, что термин не обладает этим свойством, следует, что рассматриваемый термин отличен от A. Но я пошел дальше и утвердил, что некоторые реляционные свойства определенно не являются внутренними. И в защиту этого суждения я не знаю, что сказать, кроме того, что мне кажется очевидным во многих случаях, что термин, который обладает определенным реляционным свойством, вполне мог бы им не обладать: что, например, из простого суждения о том, что это есть это, отнюдь не следует, что это имеет к другим вещам все те отношения, которые оно фактически имеет. Каждый, конечно, должен признать, что если все суждения, которые утверждают о нем, что оно обладает этими свойствами, фактически следуют из суждения о том, что это есть это, мы не можем видеть, что они следуют. И насколько я могу судить, нет никакой причины какого-либо рода для утверждения, что они следуют, кроме путаницы, которую я разоблачил. Но мне кажется далее, что мы можем видеть во многих случаях, что суждение о том, что это имеет то отношение, не следует из факта, что это есть это: что, например, суждение о том, что Эдуард VII был отцом Георга V, является просто фактическим вопросом.