Называя значение отношения окружности к диаметру N, а круг С, уравнение становится: С = NR^2 (4). Здесь также есть тождество значения; но мы обнаруживаем заметный прогресс в выражении второго члена, в котором значение круга дано, освобожденным от его отношений со значением окружности и зависящим исключительно от численного значения N и прямой линии, которая есть радиус. Не теряя тождества и только посредством последовательности восприятий тождества, мы продвинулись в науке и, начав с такого стерильного суждения, как круг = круг, мы получили другое, посредством которого мы можем сразу определить значение любого круга по его радиусу.
Оставляя элементарную геометрию и рассматривая круг как кривую, отнесенную к двум осям, относительно которых определяются его точки, мы получим Z = 2Bx-x^2 (5); Z выражает значение ординаты; B — постоянную часть оси абсцисс; и x — абсциссу, соответствующую Z. Мы имеем здесь еще более заметный прогресс идей: в обоих членах мы теперь выражаем значение не круга, а линий, с помощью которых мы можем определить все точки кривой; и мы легко постигаем, что эта кривая, которая была заключена в фигуре, свойства которой мы определили в элементарной геометрии, может быть постигнута под такой формой, которая принадлежит к роду кривых, из которых она составляет вид благодаря частным отношениям величин 2x и B; таким образом, модифицируя выражение добавлением новой величины, скомбинированной тем или иным образом, мы можем получить кривую другого вида. Если, следовательно, мы хотим определить значение поверхности, заключенной в этом круге, мы можем рассматривать ее не только в отношении к радиусу, но и к площадям, заключенным между различными перпендикулярами, конечности которых определяют точки кривой и называются ординатами. Из этого следует, что одно и то же значение круга может быть определено под различными концепциями, хотя это значение во все времена тождественно; переход от одной концепции к другой — это последовательность восприятий тождества, представленных под разными формами.
Рассмотрим теперь значение круга, зависящее от радиуса: это даст нам С = функция x (6). Это уравнение позволяет нам постичь круг под общей идеей функции его радиуса или x и, следовательно, уполномочивает нас подчинить его всем законам, которым подчинена функция, и ведет нас к свойствам их дифференциалов, пределов и отношений. Этим уравнением мы входим в исчисление бесконечно малых, выражения которого представляют тождество под формой, фиксирующей ряд концепций долгого и глубокого анализа. Таким образом, выражая дифференциал круга через dc, а его интеграл через S. dc, мы получим С = S. dc (7), уравнение, в котором выражены те же значения, что и в круг = круг, но с той разницей, что уравнение (7) фиксирует огромные аналитические труды: оно является результатом долгой последовательности концепций интегрального исчисления, дифференциалов и пределов дифференциалов функций, применения алгебры к геометрии и множества элементарных геометрических понятий, алгебраических правил и комбинаций и всего остального, что было необходимо, чтобы прийти к этому результату. Поэтому, когда мы находим интеграл дифференциала и получаем путем интегрирования значение круга, было бы, очевидно, весьма экстравагантно утверждать, что интегральное уравнение — не более чем уравнение круг = круг; но не экстравагантно сказать, что в основе есть тождество и что разнообразие выражения, к которому мы пришли, есть результат последовательности восприятий одного и того же тождества, представленного под разными аспектами. Предполагая, что концепции, через которые необходимо было пройти, суть А, В, С, D, Е, М, закон их научной связи может быть выражен так: А = В, В = С, С = D, D = Е, Е = М; следовательно, А = М.
271. То, что мы только что объяснили, не может быть хорошо понято, если мы не вспомним некоторые характеристики нашего интеллекта, в которых находится причина столь великих аномалий. Наш интеллект настолько слаб, что воспринимает вещи только последовательно: только после долгого изучения он видит то, что содержится в самых ясных идеях. Отсюда необходимость, которой соответствует с удивительной гармонией способность, удовлетворяющая ее: необходимость постигать под различными и разными, а также отчетливыми формами даже самые простые вещи: способность — это способность разложения концепции на многие части и умножения в порядке идей того, что в порядке реальности есть только одно. Эта способность разложения была бы бесполезна, если бы интеллект, проходя через последовательность концепций, не находил средств связывать и удерживать их: иначе он постоянно терял бы плоды своих трудов; они выскальзывали бы из его рук так же быстро, как он их схватывал. К счастью, у него есть это средство в знаках, либо написанных, либо произнесенных, либо помысленных; те таинственные выражения, которые порой не только обозначают идею, но также являются компендиумом трудов целой жизни и, возможно, долгого ряда веков. Когда знак представлен нам, мы не видим достоверно и со всей ясностью все, что он выражает, ни почему выражение легитимно; но мы смутно знаем значение, в нем содержащееся; мы знаем, что в случае необходимости нам достаточно проследить нить восприятий, через которые мы прошли, таким образом возвращаясь даже к самым простым элементам науки. Делая вычисления, самый выдающийся математик не видит ясно значения выражений, которые он использует, кроме как в их отношении к объекту перед ним; но он уверен, что они не обманывают его, что правила, которыми он руководствуется, верны; потому что он знает, что в другое время он установил их неоспоримыми демонстрациями. Прогресс науки может быть сравнен с рядом столбов, на которых отмечены расстояния дороги: тот, кто отметил числа на столбах, использует их без необходимости вспоминать операции, которые привели его к отметке величины перед ним; он удовлетворен знанием того, что операции были сделаны хорошо и что он записал результат правильно.
272. Доказательство этой необходимости разложения, помимо того, что оно полностью установлено вышеприведенным примером, находится в элементах всякого обучения, где под формой демонстрации необходимо объяснять суждения, которые выражают просто определения или аксиомы, установленные ранее. Например: мы находим в элементарных трудах по геометрии эту теорему: все диаметры круга равны; и мы должны, если хотим, чтобы начинающие поняли ее, придать демонстративную форму тому, что не является и не может быть ничем иным, кроме объяснения, и почти повторением идеи круга. Когда мы описываем круг, мы фиксируем точку, вокруг которой вращаем линию, называемую радиусом; поскольку тогда диаметр есть не что иное, как сумма двух радиусов, продолженных в одной и той же прямой линии, одного простого изложения теоремы казалось бы достаточным, чтобы показать, что она очевидно содержится в идее круга и является своего рода повторением постулата, на котором основано построение кривой: все же это не так, и это должно быть объяснено, как если бы это было доказательство; мы должны показать, что диаметр равен двум радиусам, что эти радиусы равны, и порой повторять, что это предполагается в его построении: одним словом, необходимо использовать многие концепции, чтобы показать истину, которая должна была быть известна простой интуицией одной лишь концепции, как это бывает, когда геометрические силы интеллекта приобрели определенную силу и крепость.
273. Мы можем теперь оценить по достоинству мнение Дугалда Стюарта, который в своих «Элементах философии человеческого ума» говорит: «Можно также справедливо усомниться, можно ли со строгой точностью сказать о простом арифметическом уравнении 2 плюс 2 = 4, что оно может быть представлено формулой А = А. Одно — это суждение, утверждающее эквивалентность двух разных выражений; установить которую эквивалентность может во многих случаях быть объектом высочайшей важности. Другое — совершенно бессмысленно и ничтожно и не может ни при каком возможном предположении допустить малейшего применения практического характера. Какое мнение тогда мы составим о суждении А = А, когда оно рассматривается как представитель такой формулы, как биномиальная теорема сэра Исаака Ньютона? Когда оно применяется к уравнению 2 плюс 2 = 4 (которое в своей крайней простоте и привычности склонно рассматриваться в свете аксиомы), парадокс не кажется столь явно экстравагантным; но в другом случае кажется совершенно невозможным присоединить к нему какое-либо значение вообще». [22] Этот философ не замечает, что мнимая экстравагантность возникает из его неверной интерпретации мнения его противников. Никто никогда не думал отрицать важность открытий, которые доказывают эквивалентность разных выражений: никто не сомневается, что формула бинома Ньютона — это большой прогресс по сравнению с формулой А = А: но вопрос состоит не в этом, а в том, чтобы увидеть, является ли формула бинома Ньютона чем-то большим, чем выражение тождественных вещей; и является ли даже заслуга выражения плодом ряда восприятий тождества или нет. Если бы вопрос был представлен с точки зрения Дугалда Стюарта, он был бы недостоин обсуждения: ибо философия не должна спорить о вещах, которые являются смешными, а также абсурдными.
ГЛАВА XXVIII.
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТОГО ЖЕ ПРЕДМЕТА.
274. Мы теперь объясним, как доктрина тождества применяется в общем ко всякому рассуждению, будь то о математических объектах или нет: с этой целью мы рассмотрим некоторые диалектические формы, в которых преподается искусство рассуждения.
Всякое А есть В; М есть А: следовательно, М есть В. В мажоре этого силлогизма мы находим тождество всякого А с В; а в миноре — тождество М с В. В каждом из этих суждений есть утверждение и, следовательно, восприятие тождества. Посмотрим теперь, что происходит в связи, которая составляет силу аргумента.
Почему мы говорим, что М есть В? Потому что М есть А, и всякое А есть В. М — одно из А, выраженных в словах «всякое А»; следовательно, когда мы говорим: М есть А, мы говорим только то, что уже сказали ранее «всяким А». Какая разница тогда? Разница в том, что в выражении «всякое А» не обращается внимание на одно из содержаний А, М, о котором мы, тем не менее, утверждали, что оно есть В, утверждая, что всякое А есть В. Если бы в выражении «всякое А» мы отчетливо видели М, силлогизм не был бы необходим, потому что, говоря «всякое А есть В», мы уже понимали, что М есть В.
Это наблюдение настолько верно и точно, что, рассматривая очень ясные отношения, мы подавляем силлогизм и заменяем его энтимемой, которая, правда, является сокращением силлогизма; но мы должны видеть в этом сокращении, помимо экономии слов, экономию концепций, ибо интеллект видит одно интуитивно в другом, без необходимости разложения. Он человек, следовательно, он разумен; мы опускаем мажор и даже не думаем о нем, ибо мы интуитивно видим в идее человека и ее применении к индивиду идею разумного без какой-либо градации идей или последовательности концепций.
Предположим, что мы должны доказать, что периметр многоугольника, вписанного в круг, меньше окружности, и что мы составляем следующий силлогизм: Сумма всех прямых линий, вписанных в их соответствующие кривые, меньше суммы этих кривых; но периметр многоугольника есть сумма прямых линий, а окружность есть сумма дуг или кривых; следовательно, вписанный периметр меньше окружности. Мы теперь спрашиваем, не увидит ли кто-либо, кто знает, что сумма прямых линий меньше суммы кривых, с такой же легкостью, что периметр меньше описанной окружности, при условии, что он понимает значение слов? Очевидно, что не увидит. Какая тогда необходимость повторять общий принцип? Чтобы добавить что-то к частной концепции? Конечно, нет; потому что ничто не может быть яснее следующих суждений: периметр многоугольника есть сумма прямых линий; окружность есть сумма дуг или кривых; что делает общий принцип, так это привлекает внимание к фазе частной концепции, чтобы то, что иначе не могло быть увидено в ней, могло быть увидено при рефлексии. Достоверность заключения не зависит от общего принципа; потому что, размышляя об отношениях большего и меньшего только в отношении прямых линий периметра и дуг, сумма которых образует окружность, любой сделал бы тот же вывод.
Этот пример также стремится доказать, что энтимема — не простое сокращение слов; и он показывает, почему мы используем ее в рассуждении о предметах, знакомых пониманию. В любой из концепций мы видим все, что необходимо для следствия; и поэтому одной посылки достаточно, так как в ней другая скорее включена, чем понята. Начинающий может сказать: дуга больше хорды, потому что кривая больше прямой линии; но когда он освоится с геометрическими идеями, он просто скажет: дуга больше хорды; он увидит идею кривой в идее дуги, а идею прямой линии — в идее хорды, без необходимости разложения. Если дуга больше своей хорды, это не потому, что всякая кривая больше соответствующей прямой линии. Если бы абстрактной идеи кривой не существовало и эта частная дуга круга была единственной помысленной кривой; если бы абстрактной идеи прямой линии не существовало и эта частная хорда была единственной помысленной прямой линией, все равно, как и сейчас, было бы верно, что дуга больше хорды.
275. Когда речь идет о необходимых отношениях вещей, общие принципы, средние термины и все вспомогательные средства для рассуждения, предоставляемые логикой, являются лишь изобретениями искусства, чтобы заставить нас рефлексировать над концепцией вещи и увидеть в ней то, что иначе мы бы не увидели. Отсюда наши суждения о необходимых объектах в некотором смысле аналитичны; и Кант эквивокирует, когда говорит, что существуют синтетические суждения, не зависящие от опыта. Без опыта мы имеем только концепцию вещи. Мы не претендуем на то, что все суждения выражают такое отношение между субъектом и предикатом, что концепция первого всегда даст концепцию второго; но мы действительно утверждаем, что причина этой недостаточности — неполнота концепции, либо сама по себе, либо в отношении к нашему пониманию. Но если мы предположим концепцию полной самой по себе и должную способность нашего интеллекта понимать все, что она содержит, мы найдем в концепции все, что может быть объектом науки.
276. Пример из математики сделает это яснее. Большие труды по геометрии наполнены объяснениями, демонстрациями и применениями свойств треугольника. Концепции прямых линий и углов, образованных ими, входят в концепцию треугольника. Мы спрашиваем, могут ли все объяснения и демонстрации свойств треугольников в общем когда-либо выйти за пределы идей прямых линий и углов? Нет. Ибо новые введенные элементы были бы чужды треугольнику и, следовательно, изменили бы его природу. Необходимые отношения не допускают ни большего, ни меньшего, ни дополнений, ни вычитаний какого-либо рода; что есть, то есть, и ничего более. Переходя от треугольника в общем к его различным видам, таким как равносторонний, равнобедренный, прямоугольный, разносторонний, следует заметить, что демонстрация должна строго следовать тому, что содержится в общей концепции, модифицированной определяющими свойствами вида, то есть равенством трех сторон, двух, неравенством всех, предположением прямого угла и другими.
277. То, что мы сейчас объясняем, ясно видно в применении алгебры к геометрии. Кривая выражается формулой, содержащей концепцию кривой или ее сущность. Геометр, чтобы продемонстрировать свойства кривой, не нуждается в выходе за пределы этой формулы; это пробный камень в его руке, и он находит в ней все, что ему нужно. Он вписывает треугольники или другие фигуры в кривую, проводит прямые линии из нее к точкам вне, но никогда не выходит за пределы концепции, выраженной в формуле; он разлагает ее и находит в ней то, что прежде не обнаружил.
В этом уравнении z^2 = (e^2/E^2)(2Ex-x^2) мы находим выражение отношений, которые составляют эллипс; Е выражает большую полуось, е — меньшую, z — ординаты, а х — абсциссы. С этим уравнением, различно развитым и трансформированным, определяются свойства кривой; оно показывает, с помощью построений, что новое свойство содержится в концепции, и чтобы найти его, нам остается только проанализировать ее.
Если мы предположим интеллект, способный постичь сущность кривой путем непосредственной интуиции закона, управляющего изгибом точек, без необходимости отнесения ее к какой-либо линии, достаточно ли одной оси вместо двух или каким-либо иным образом, даже не вообразимым нами; этот интеллект не нуждается в следовании всем эволюциям, которые мы сделали, демонстрируя свойства кривой; ибо он воспримет их как ясно содержащиеся в самой концепции кривой. Это предположение не произвольно; мы видим его реализованным каждый день, хотя и в меньшем масштабе. Обычный геометр постигает кривую, как и Паскаль; но в то время как Паскаль с первого взгляда видит самые сокровенные свойства кривой в этой концепции, обычный геометр видит только после долгого изучения ее самые общие свойства. Кант не принял во внимание эту доктрину и поэтому не мог решить проблему чистых синтетических суждений: если бы он исследовал предмет более глубоко, он увидел бы, что, строго говоря, таких суждений нет; и вместо того чтобы истощать свой гений в попытках решить неразрешимую проблему, он воздержался бы от ее постановки. (26)
ГЛАВА XXIX.
СУЩЕСТВУЮТ ЛИ ИСТИННЫЕ СИНТЕТИЧЕСКИЕ СУЖДЕНИЯ A PRIORI В СМЫСЛЕ КАНТА?
278. Великая важность, приписываемая немецким философом своему воображаемому открытию, требует от нас рассмотреть его подробно. Эту важность можно оценить по тому, что он сам говорит: «Если бы кто-либо из древних имел только идею предложить настоящий вопрос, это было бы могучим барьером против всех систем чистого разума до наших дней и спасло бы многие тщетные попытки, которые слепо предпринимались, не зная, о чем идет речь». [23] Этот отрывок весьма скромен и естественно возбуждает наше любопытство узнать, что это за проблема, которую нужно было только предложить, чтобы избежать всех заблуждений чистого разума.
Вот его слова: «Все эмпирические суждения как таковые синтетичны. Ибо было бы абсурдно основывать аналитическое суждение на опыте, так как я не обязан выходить за пределы самой концепции, чтобы сформировать суждение, и поэтому не могу иметь нужды в свидетельстве опыта. Что тело протяженно, есть суждение, которое твердо стоит a priori. Это не эмпирическое суждение; ибо до опыта я имею все условия формирования его в концепции тела, из которой я вывожу предикат, протяженность, согласно принципу противоречия, благодаря которому я сразу становлюсь сознательным его необходимости, чего я не мог бы узнать из опыта. Но, с другой стороны, я не включаю в примитивную концепцию тела в общем предикат, тяжесть; однако эта концепция тела в общем указывает через опыт части его на объект опыта, к которому я могу добавить из опыта другие части, также принадлежащие ему. Я могу достичь концепции тела заранее, аналитически, через его характеристики протяженность, непроницаемость, форму и т. д., все из которых включены в первичную концепцию тела. Но я теперь расширяю свое познание, и, когда я прибегаю к опыту, из которого я получил концепцию тела в общем, я нахожу вместе с этими характеристиками концепцию тяжести. Я поэтому добавляю это как предикат к концепции тела. Возможность этого синтеза, следовательно, покоится на опыте; ибо обе концепции, хотя одна не содержит другую, все же принадлежат как части целому, то есть опыту, который сам по себе есть соединение синтетических, хотя и случайных интуиций. Но в случае синтетических суждений a priori у нас нет этой помощи. Здесь у нас нет преимущества возвращения и поддержки самих себя на опыте. Если я должен выйти за пределы концепции А, чтобы найти другую концепцию В, которая должна быть присоединена к ней, на что мне полагаться? И посредством каких средств синтез становится возможным?» [24]