«Теории относительности и тяготения Эйнштейна»

B, напротив, думает, что он находится в покое, а A движется. Тогда он приходит к выводу, что A был гораздо ближе, когда посылал вспышку, чем когда он получил ее обратно, и что свету пришлось преодолеть в три раза большее расстояние на обратном пути. Это означает, что было 12:03 по часам A в тот момент, когда свет достиг B, а часы B показывали 12:04. Следовательно, часы A отстают по сравнению с часами B.

Следовательно, ответ на вопрос, являются ли два интервала времени, измеренные наблюдателями, которые находятся в движении относительно друг друга, одинаковыми или разными по длительности, зависит от их предположений о движении вселенной в целом.

Теперь мы должны помнить, что одно предположение о движении вселенной в целом в точности так же хорошо — или плохо, — как и другое. Никакой возможный эксперимент не может различить их. Следовательно, согласно Принципу относительности, у нас не осталось абсолютного измерения времени или пространства. Будут ли два расстояния в разных направлениях называться равными или нет — будут ли два события в разных местах называться одновременными или нет — зависит от нашего произвольного выбора такого предположения, или «системы отсчета». Все различные схемы измерения, соответствующие этим предположениям, при применении к любому мыслимому эксперименту предскажут в точности одни и те же явления. Но в некоторых важных случаях эти предсказания отличаются от предсказаний старой привычной теории, и каждый раз, когда такие эксперименты проводились, результат согласовался с новой теорией, а не со старой.

Поэтому мы вынуждены принять теорию относительности, какой бы странной она ни была, как более близкую к «истине природы», чем наши старые идеи. К счастью, разница между результатами двух теорий становится важной только тогда, когда мы предполагаем, что вся видимая вселенная движется вместе гораздо быстрее, чем любая из ее частей движется относительно других. Если мы не сделаем такого необоснованного предположения, различия настолько малы, что требуются самые изобретательные и точные эксперименты, чтобы их выявить.

Обобщение

Не довольствуясь всем этим, Эйнштейн несколько лет назад приступил к разработке «общей» теории относительности, которая включает в себя эффекты гравитации.

Чтобы сделать эту идею ясной, давайте представим двух наблюдателей, каждый из которых со своими измерительными приборами находится в большом и совершенно непроницаемом ящике, который образует его «замкнутую систему».

Первый наблюдатель со своим ящиком и его содержимым, находясь один в пространстве, полностью покоится.

Второй наблюдатель со своим ящиком и его содержимым, можно представить, находится вблизи Земли, Солнца или какой-либо звезды и свободно падает под влиянием ее гравитации.

Этот второй ящик и его содержимое, включая наблюдателя, будут затем падать под действием гравитационной силы, то есть набирать все возрастающую скорость, но в точности с одинаковой скоростью, так что не будет никакой тенденции к изменению их относительных положений.

Согласно принципам Ньютона, это не внесет ни малейшего различия в движения физических объектов, составляющих систему, или их притяжение друг к другу, так что никакой динамический эксперимент не может различить состояние свободно падающего наблюдателя во втором ящике и наблюдателя в покое в первом.

Но снова возникает вопрос: что можно было бы сделать с помощью оптического эксперимента?

Эйнштейн предположил, что принцип относительности по-прежнему применим в этом случае, так что было бы невозможно различить условия наблюдателей в двух ящиках с помощью какого-либо оптического эксперимента.

Легко увидеть, что из этой новой обобщенной относительности следует, что свет не может распространяться по прямой линии в гравитационном поле.

Представьте, что первый наблюдатель устанавливает три щели, все на одной прямой линии. Луч света, который проходит через первую и вторую, очевидно, пройдет точно через третью.

Предположим, наблюдатель в свободно падающей системе пытается провести тот же эксперимент, имея свои щели P, Q, R, расположенные на равном расстоянии друг от друга и помещая их под прямым углом к направлению, в котором он падает. Когда свет проходит через P, щели будут в определенном положении (Рисунок). К тому времени, когда он достигнет Q, они упадут на более низкий уровень , , а когда он достигнет R, они будут еще ниже, . Время, которое свет затрачивает на движение от P к Q и от Q к R, будет одинаковым: но, поскольку система падает все быстрее и быстрее, расстояние будет больше, чем . Следовательно, если свет, прошедший через P и Q, движется по прямой линии, он ударит выше R, как показано прямой линией на рисунке. Но, согласно предположению Эйнштейна, свет должен пройти через третью щель, как он сделал бы это в системе в покое, и поэтому должен двигаться по кривой линии , подобно кривой линии на рисунке, и изгибаться вниз в направлении гравитационной силы.

Испытания

Расчет показывает, что отклонение света Луной или планетами было бы слишком малым, чтобы его обнаружить. Но для луча, который прошел вблизи Солнца, отклонение составляет 1,7″, что современный астроном рассматривает как большую величину, легко поддающуюся измерению. Наблюдения для проверки этого могут быть сделаны только во время полного затмения, когда мы можем сфотографировать звезды вблизи Солнца на почти темном небе. Очень хороший шанс представился в мае 1919 года, и две английские экспедиции были отправлены в Бразилию и на африканское побережье. Эти фотографии были измерены с чрезвычайной осторожностью, и они показывают, что звезды действительно кажутся смещенными почти в точности так, как предсказывала теория Эйнштейна.

Другим следствием «общей относительности» является то, что закон гравитации Ньютона нуждается в минутной поправке. Она настолько мала, что существует лишь единственный случай, когда ее можно проверить. Согласно теории Ньютона, линия, соединяющая Солнце с ближайшей точкой на орбите планеты (ее перигелием), должна оставаться фиксированной по направлению (за исключением определенных эффектов притяжения других планет, которые можно учесть). Согласно теории Эйнштейна, она должна медленно двигаться вперед. Годами было известно, что перигелий Меркурия действительно движется вперед, и все объяснения терпели неудачу. Но теория Эйнштейна не только предсказывает направление движения, но и в точности наблюдаемую величину.

Эйнштейн также предсказывает, что линии любого элемента в солнечном спектре должны быть слегка смещены к красному концу по сравнению с теми, которые получены в наших лабораториях. Различные наблюдатели исследовали это, и пока они не согласны. Проблема в том, что существуют несколько других влияний, которые могут смещать линии, таких как давление в атмосфере Солнца, движение потоков на поверхности Солнца и т. д., и очень трудно распутать этот Гордиев узел. В настоящее время результаты этих наблюдений нельзя считать ни в пользу, ни против теории, в то время как результаты в двух других случаях решительно благоприятны.

Математическое выражение этой общей относительности сложно и трудно. Математики — которые привыкли к концепциям, которые являются незнакомыми, если не непостижимыми для большинства из нас, — находят, что эти выражения могут быть описаны (для подготовленного студента) в терминах пространства четырех измерений и неевклидовой геометрии. Поэтому мы слышим такие фразы, как «время как своего рода четвертое измерение», «кривизна пространства» и другие. Но это просто попытки — не совсем успешные — переложить математические отношения на обычный язык, вместо алгебраических уравнений.

Для широкого круга читателей гораздо важнее физический смысл новой теории, и его понять гораздо проще.

Различные допущения, которые мы можем сделать относительно движения Вселенной в целом, хотя и не влияют на наблюдаемые факты природы, приведут нас к разным способам интерпретации наших наблюдений как измерений пространства и времени.

Теоретически одно из этих допущений ничем не лучше другого. Следовательно, мы больше не верим в абсолютное пространство и время. С философской точки зрения это представляет большой интерес. Практически же это не имеет значения, поскольку, если только наш выбор допущения не является крайне экстравагантным, наши выводы и измерения будут в значительной степени совпадать с теми, которые нам уже привычны.

Наконец, «общая» теория относительности показывает, что гравитация и электромагнитные явления (включая свет) не образуют две независимые стороны природы, как мы полагали ранее, а влияют друг на друга (хотя и незначительно) и являются частями одного более великого целого.

XIX

ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ЭЙНШТЕЙНА

Простое объяснение его постулатов и их следствий

Т. РОЙДС, ОБСЕРВАТОРИЯ КОДАЙКАНАЛ, ИНДИЯ

Теория относительности Эйнштейна стремится представить нам мир таким, какой он есть на самом деле, а не мир видимости, который может нас обманывать. Когда на прошлой неделе я был в городе, чтобы купить 5 ярдов ситца, я очень внимательно наблюдал за продавцом, когда он измерял ткань, чтобы убедиться, что меня не обманули. И все же эксперимент может продемонстрировать, а теория Эйнштейна — объяснить, что ярдовая линейка продавца становилась длиннее или короче в зависимости от направления, в котором ее держали. Длина линейки не казалась мне изменившейся просто потому, что все остальное в том же направлении — магазин, продавец, ткань, сетчатка моего глаза — изменилось в длину в той же пропорции. Теория Эйнштейна указывает не только на это, но и на каждый случай, когда видимость обманчива, и пытается показать нам мир реальности.

Теория Эйнштейна основана на принципе относительности, и прежде чем мы попытаемся проследить за его рассуждениями, мы должны уделить немного времени тому, чтобы понять, что он подразумевает под «относительностью», и осознать, как возникает эта идея. Предположим, я хочу определить свое движение во время поездки в автомобиле. Я могу двигаться со скоростью 25 миль в час относительно объектов, неподвижных на обочине дороги, но относительно попутчика я вообще не двигаюсь; относительно Солнца я движусь со скоростью 18½ миль в секунду по эллиптической орбите, а относительно звезд я движусь в направлении звезды Вега со скоростью 12 миль в секунду. Таким образом, движение может быть определено только относительно какого-либо объекта или точки отсчета. Однако это не устраивает точного ученого. Ученых не удовлетворяет знание, например, того, что температура кипящей воды составляет +100° C относительно температуры замерзания; они задались целью определить абсолютные температуры и обнаружили, что вода кипит при 373° C выше абсолютного нуля. Почему же я не могу определить абсолютное движение автомобиля, не его движение относительно дороги, Земли, Солнца или звезд, а относительно абсолютного покоя?

Майкельсон и Морли в своем знаменитом эксперименте задались целью измерить абсолютную скорость своей лаборатории, которая, конечно, была неподвижна на Земле. Эксперимент состоял в измерении времени прохождения двух лучей света по двум равным путям, расположенным под прямым углом друг к другу. Когда один путь располагался по направлению движения Земли, они ожидали получить тот же результат, что и при соревновании двух гребцов равной силы на реке: один плывет вверх и вниз по течению, а другой — поперек и обратно; победителем станет гребец, плывущий поперек течения, в чем можно убедиться, решив пример. Даже если бы Земля была неподвижна во время одного эксперимента, движение Земли вокруг Солнца через 6 месяцев изменилось бы на противоположное и тогда дало бы удвоенный эффект. Однако они обнаружили, что два луча света всегда прибывали одновременно, в точности «ноздря в ноздрю». Все экспериментаторы, пытавшиеся повторить это с тех пор, приходили к тому же результату и обнаруживали, что невозможно обнаружить абсолютное движение.

Принцип относительности фактически основан на этих неудачах в обнаружении абсолютного движения. Этот принцип гласит, что единственное движение, о котором мы когда-либо можем знать, — это относительное движение. Если мы разработаем эксперимент, который должен выявить абсолютное движение, природа вступит в сговор, чтобы помешать нам. В эксперименте Майкельсона и Морли сговор заключался в том, что путь в направлении абсолютного движения Земли должен был сократиться ровно настолько, чтобы позволить лучу света, идущему по нему, прибыть вовремя.

Таким образом, мы видим, что согласно принципу относительности движение всегда должно оставаться относительным термином, точно так же, как вертикаль и горизонталь, право и лево являются относительными терминами, имеющими смысл только при соотнесении с каким-либо наблюдателем. Мы не ожидаем найти абсолютную вертикаль и достаточно мудры, чтобы не пытаться это сделать; в поисках абсолютного движения физики оказались не столь мудры и лишь зашли в тупик.

Принцип, согласно которому все движение относительно, теперь требует проработки всех своих следствий, как это сделал Эйнштейн, и мы получаем его теорию относительности. Эйнштейн представляет мир четырех измерений, построенный из трех пространственных измерений, а именно: вверх-вниз, назад-вперед, вправо-влево, со временем в качестве четвертого измерения. Для большинства из нас это необычная концепция, поэтому давайте упростим ее до чего-то, что мы можем легче представить, но что все же позволит нам уловить идеи Эйнштейна. Давайте пока ограничимся событиями, происходящими на этом листе бумаги, т. е. пространством только двух измерений, и возьмем время как наше третье измерение под прямым углом к плоскости бумаги. Таким образом, мы построили трехмерный мир пространства-времени, который ничуть не менее полезен для нас, чем четырехмерное представление, пока нам нужно изучать только объекты, движущиеся по листу бумаги.

Предположим, муха ползает по этому листу бумаги, и давайте сделаем кинозапись этого процесса. Если мы разрежем кинопленку на отдельные кадры и склеим их один над другим в правильном порядке, мы получим твердый блок пленки, который будет моделью нашего упрощенного мира пространства-времени и в котором будет ряд точек, представляющих движение мухи по бумаге. Точно так же, как я могу указать точное положение объекта в своей комнате, определив его высоту над полом, расстояние от северной стены и расстояние от восточной стены, мы можем свести положения точек к цифрам для использования в расчетах, измеряя их расстояния от трех граней, пересекающихся по линиям OX, OY и OT, где OXAYTBCD представляет блок пленки. Математик назвал бы три линии OX, OY, OT координатными осями. Измеряя все точки таким образом, мы получим движение мухи относительно координатных осей OX, OY, OT. Если мы добавим блок OTDYEFGH из чистой пленки, мы сможем использовать EX, EH, EF в качестве координатных осей и снова получить движение мухи относительно этих новых осей; или мы

можем добавлять блок за блоком, чтобы оси оставались в движении. Мы можем представить себе другие изменения осей. Оператор, делающий кинозапись, мог бы сделать муху героем сюжета и перемещать камеру так, чтобы муха оставалась более или менее в центре кадра; или он мог бы, вращая ручку сначала быстро, а затем медленно, и перемещая камеру, создать видимость того, что муха выполняет трюки. Перемещение камеры изменило бы оси x и y, а вращение ручки с разной скоростью изменило бы ось времени. Опять же, мы могли бы изменить оси, деформировав блок или исказив его до состояния напряжения. Какое бы изменение осей мы ни произвели, любая точка в блоке пленки будет означать совпадение мухи с определенной точкой бумаги в определенное время, и ряд точек будет в каждом случае представлением движения мухи. Может быть, это представление будет искаженным, но кто может сказать, какое из них является абсолютно неискаженным? Принцип относительности, который мы сформулировали ранее, гласит, что ни один набор координат не даст абсолютного движения мухи, поэтому один набор так же хорош, как и другой. Принцип, согласно которому все движение относительно, означает, следовательно, что как бы мы ни меняли наши координаты пространства-времени, законы движения, которые мы выводим, должны быть одинаковыми для всех изменений.

Используя аналогию: скульптурная голова Шекспира на моем столе может казаться с впалыми щеками, когда я направляю свет только из восточного окна, или с запавшими глазами при свете из потолочного окна, но истинная форма головы остается неизменной при любом освещении.

Следовательно, если по отношению к двум последовательным точкам в нашем блоке пленки можно найти математическую величину, которая не изменится, как бы мы ни меняли наши оси координат, эта величина должна быть выражением истинного закона движения мухи между двумя точками бумаги и двумя моментами времени, представленными этими двумя точками. Эйнштейн вывел такую величину, остающуюся постоянной для всех изменений координат четырехмерного мира пространства-времени.

Попутно мы можем заметить особенность эйнштейновского мира пространства-времени, которую нам, несомненно, будет трудно постичь, а именно: нет существенной разницы между временем и расстоянием в пространстве. Поскольку один набор координат так же хорош, как и другой, мы можем преобразовывать время в пространство, а пространство — во время, в зависимости от того, как мы выберем наши оси. Например, если мы изменим OX, OT, оси x и времени на рис. 2, на OX', OT' путем простого поворота, новое время, представленное OT', будет состоять частично из OA в старом времени и частично из OB в старом направлении x. Возвращаясь к нашему блоку кинопленки, это означает, что, хотя я мог бы разделить блок на пространство и время, нарезав его на исходные кадры, я могу с таким же успехом нарезать его в любом направлении, которое выберу, и все равно получить отдельные кадры, представляющие движение мухи, но, конечно, с новым временем и пространством. Так что, хотя я могу полагать, что лайнер прошел 3000 миль за 4 дня, наблюдатель на звезде, который ничего не знает о моих конкретных осях в пространстве-времени, может с равным основанием сказать, что он прошел 2000 миль за 7 дней. Таким образом, время и пространство не являются двумя отдельными сущностями в представлении Эйнштейна; существует только четырехмерный мир, который мы можем разделить на время и пространство по своему усмотрению.

Давайте теперь посмотрим, как Эйнштейн объясняет гравитацию. Когда на тело не действуют никакие силы (кроме гравитации), величина, которая остается постоянной для всех изменений координат, подразумевает, что тело будет следовать по тому пути в пространстве внешнего наблюдателя, который занимает наименьшее время. Наблюдаемый факт состоит в том, что одно тело притягивает другое посредством гравитации; то есть путь одного тела искривляется из-за присутствия другого. Теперь мы можем искривить путь мухи в нашем блоке пленки, деформировав блок каким-либо образом. Предположим, следовательно, что я деформирую мир так, чтобы искривить путь тела точно так же, как его искривляет гравитация, обусловленная каким-то другим телом; т. е. путем изменения координат я получил тот же эффект, что и эффект, производимый гравитацией. Теория Эйнштейна, следовательно, объясняет гравитацию как искажение мира пространства-времени из-за присутствия материи. Предположим сначала, что тело движется, и поблизости нет других тел; согласно Эйнштейну, оно выберет путь в пространстве, который требует наименьшего времени, т. е. прямую линию, что согласуется с нашим опытом. Если теперь мир деформирован присутствием другого тела или изменением координат, он все равно будет следовать по пути наименьшего времени, но этот путь теперь искажен по сравнению с прямой линией, точно так же, как путь на глобусе, требующий наименьшего времени для путешествия, следует по дуге большого круга. Таким образом, согласно взгляду Эйнштейна на гравитацию, Земля движется по эллиптической орбите вокруг Солнца не потому, что на нее действует сила, а потому, что мир пространства-времени настолько искажен присутствием Солнца, что путь наименьшего времени через пространство является наблюдаемым эллиптическим путем. Поэтому нет необходимости вводить какое-либо понятие «силы» гравитации. Теория Эйнштейна объясняет гравитацию только в том смысле, что он устранил ее как силу природы и сделал ее свойством пространства-времени, а именно искажением, не отличающимся от соответствующего изменения координат. Однако он не объясняет, как или почему тело может искажать пространство-время. Примечательно, что в то время как закон гравитации и закон равномерного прямолинейного движения при отсутствии сил были отдельными и независимыми законами при Ньютоне, Эйнштейн находит одно объяснение для обоих в рамках принципа относительности. 1

1 Остальная часть эссе доктора Ройдса посвящена обсуждению явлений смещения перигелия Меркурия, отклонения света в гравитационном поле Солнца и смещения спектральных линий, в связи с которыми теория Эйнштейна делает предсказания, достаточно отличающиеся от предсказаний ньютоновской науки, чтобы иметь значение для наблюдательной проверки теории. В интересах экономии места и ввиду очень полного обсуждения этих вопросов доктором Пикерингом мы опускаем изложение доктора Ройдса. — Редактор.

XX

ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ ЭЙНШТЕЙНА

Обсуждение общей теории и ее наиболее важного применения, из эссе

ПРОФ. У. Ф. Г. СУЭННА, МИННЕСОТСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ, МИННЕАПОЛИС

Великое открытие Ньютона относительно движения планет заключалось в том, что он показал, что все это можно свести к следующему утверждению: рассмотрим любую планету в ее отношении ко всем частицам во Вселенной. Запишем для планеты на линии, соединяющей ее с любой частицей, ускорение, пропорциональное массе частицы и обратно пропорциональное квадрату ее расстояния от планеты. Затем вычислим результирующее ускорение планеты, объединив все полученные таким образом ускорения.

Мы здесь намеренно избегали использования слова «сила», поскольку закон Ньютона является полным как практическое изложение факта и без него; и это слово ничего не добавляет к закону с точки зрения повышения его эффективности при практическом использовании. Тем не менее, тот факт, что ускорение складывается, так сказать, из невзаимодействующих вкладов от каждой частицы на линии, соединяющей ее с планетой, наводит ум на нечто вроде упругого натяжения, за которое ответственна частица и которому обязано отклонение планеты от прямолинейного движения. Ум любит думать об упругости; со времен Ньютона люди пытались разработать какой-то механизм, с помощью которого эти натяжения могли бы быть визуализированы как ответственные за явления, точно так же, как мы представляем себе упругую нить, управляющую движением камня, который вращается на ее конце.

Эти поиски всегда были безуспешными; и теперь Эйнштейн нашел совершенно иной закон, который лучше соответствует фактам, чем закон Ньютона. Он такого типа, что не поддается удобному выражению в терминах силы; ум ничего не выиграл бы, пытаясь представить себе такие силы, какие необходимы. Однако он компенсирует это тем, что поддается визуализации в терминах того, что в конечном счете является гораздо более простой концепцией.

Чтобы оценить фундаментальные идеи, предположим на мгновение, что гравитация может быть полностью уничтожена, и предположим, что я нахожусь на этой Земле в пустом пространстве. Вы будете сидеть в какой-то точке пространства и наблюдать за моими действиями. Если я нахожусь в состоянии ума людей эпохи правления короля Генриха VIII, я буду верить, что Земля не вращается. Если я отпущу камень, то при отсутствии гравитации я обнаружу, что он улетает от меня с ускорением. Вы, однако, будете знать, что камень на самом деле движется по прямой линии с постоянной скоростью и что кажущееся ускорение, которое я воспринимаю, обусловлено вращением Земли. Если я буду утверждать, что ускорение обусловлено силой, я скажу, что Земля отталкивает камень, и попытаюсь найти закон, регулирующий изменение этой силы с расстоянием. Я могу пойти дальше и попытаться представить себе какую-то причину для этой силы, какое-то толкающее действие, передаваемое от Земли к камню через окружающую среду; и вы будете жалеть меня за весь этот напрасный труд, и особенно за мою попытку найти механизм, объясняющий эту силу, поскольку вы знаете, что если бы я просто принял ваши измерения, все казалось бы таким простым.

Давайте, однако, исследуем этот вопрос немного дальше с моей точки зрения. Я должен верить в реальность силы, поскольку я должен быть привязан к своему стулу, чтобы предотвратить мой уход с Земли. Я мог бы задаться вопросом, как это силовое поле повлияло бы на распространение света, химическое действие и так далее. Ибо, даже если бы я обнаружил, что, используя ваши измерения, я мог бы преобразовать кажущиеся эффекты моего силового поля, насколько это касается его способности бросать камни, я все равно мог бы рассматривать это как математическую случайность и верить, что сила действительно существует. Хотя я мог бы подозревать, что та же трансформация точки зрения, которая аннулировала бы эффект поля в отношении камней, также аннулировала бы его эффект в отношении света и т. д., я не был бы уверен в этом, как вы; и моя совесть вряд ли позволила бы мне сделать больше, чем рассматривать допущение полной эквивалентности между кажущимся полем и изменением в системе измерения как гипотезу. Однако я был бы сильно искушен сделать эту гипотезу.

Теперь вопрос, поднятый Эйнштейном, заключается в том, может ли сила тяжести, которую мы ощущаем как нечто очень реальное, быть поставлена на основу, которая в некотором роде аналогична той, что у очевидно фиктивной центробежной силы, упомянутой выше: может ли гравитация рассматриваться как плод нашего воображения, порожденный тем, как мы измеряем вещи. Он обнаружил, что ее можно так рассматривать. Он пошел еще дальше и в своем Принципе эквивалентности постулировал, что кажущиеся эффекты гравитации во всех явлениях могут быть приписаны тому же изменению в системе наших измерений, которое объяснило бы обычные явления гравитации. На основе этой гипотезы он смог вывести для последующей экспериментальной проверки эффекты гравитации на свет. Он не ограничился такими простыми изменениями в наших измерениях, которые были достаточны для решения проблемы центробежной силы, упомянутой выше; но, воодушевленный допущениями в старой теории относительности об изменении стандартов длины и времени из-за движения, он пошел еще дальше и рассмотрел возможность изменения наших мер из-за простого приближения к материи.

Его проблема сводилась к попытке найти какой-то способ, которым можно было бы представить наши весы и часы измененными относительно некоторого более фундаментального набора, чтобы позволить планетарным движениям быть равномерными и прямолинейными по отношению к этим фундаментальным мерам, хотя они кажутся нам такими, как они есть. Если мы предоставим нашему воображению полную свободу в отношении того, как могут быть изменены весы, мы не будем возражать против допущения изменений, варьирующихся любым желаемым нами способом. Эйнштейн, однако, вводит ограничения по причинам, которые мы сейчас рассмотрим.

Если мы представим всю нашу Вселенную с ее наблюдателями, планетарными орбитами, инструментами и всем остальным, погруженной в желе, а затем деформируем желе и содержимое любым способом, числа, при которых наши планетарные орбиты (или, скорее, их телескопические изображения) пересекают наши шкалы, останутся неизменными. Более того, мы могли бы изменять любым способом времена, в которые все объекты (включая стрелки часов) занимали свои искаженные положения, и стрелка каких-либо часов рядом с точкой, где планетарное изображение пересекало шкалу, записывала бы для этого события то же показание циферблата, что и раньше. Обитатель этой искаженной Вселенной был бы абсолютно не осведомлен об изменении. Теперь Общая теория относительности, которая выражает себя в несколько измененных формах, сводится к удовлетворению определенной философской потребности ума, утверждая, что законы природы, которые управляют нашей Вселенной, должны быть такими, чтобы другая Вселенная, подобная вышеупомянутой, чьи обитатели были бы не осведомлены о своем изменении, также удовлетворяла бы этим законам, не только с точки зрения ее собственных обитателей, но и с точки зрения наших измерений. Другими словами, эта вторая Вселенная должна казаться возможной как для нас, так и для ее обитателей.

Эйнштейн решает привести свою теорию в соответствие с этим философским желанием, и это сильно ограничивает модификации часов и весов, которые он позволяет себе для целей представления гравитации. Далее, если мы выразим изменения мер как функции близости к материи, скорости и так далее, наши выражения для этих изменений будут включать в качестве частного случая тот, где материя отсутствует, хотя весы и наблюдатель могут все еще оставаться. Наше изменение весов и часов со скоростью должно, таким образом, вернуться для этого случая к тому, что соответствует старой теории относительности, чтобы избежать предсказания того, что два наблюдателя, находящиеся в равномерном движении относительно друг друга в пустом пространстве, будут измерять разные значения скорости света. Таким образом, скорость света начинает играть роль в выражении изменений мер.

Даже с этими ограничениями Эйнштейн смог сделать эквивалент нахождения изменения весов и часов в присутствии материи, что объяснило бы наше обнаружение того, что планетарные движения происходят очень близко к закону Ньютона. Новый закон с удивительной точностью объяснил определенные астрономические нерегулярности, которые закон Ньютона не смог объяснить, и предсказал по крайней мере одно ранее неизвестное явление, которое было немедленно подтверждено.

В заключение может быть интересно указать, как новый закон описывает движение частицы вблизи такого тела, как Земля. Закон сводится к утверждению, что если мы измеряем короткое расстояние радиально относительно центра Земли, мы должны учитывать особенность наших единиц путем деления на

где r — расстояние от центра Земли, m — масса Земли, c — скорость света, а G — ньютоновская гравитационная постоянная. Тангенциальные измерения не требуют коррекции, но интервалы времени, измеренные нашими часами, должны быть умножены для каждого конкретного места на вышеуказанный коэффициент. Тогда в терминах полученных таким образом скорректированных мер будет обнаружено, что частица описывает прямую линию с постоянной скоростью, хотя в терминах наших фактических измерений она кажется падающей с ускорением.

XXI

ГИПОТЕЗА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Обсуждение этого, с его трудностями и тем, как Эйнштейн их разрешил, из эссе

ПРОФ. Э. Н. ДА К. АНДРАДЕ, АРТИЛЛЕРИЙСКИЙ КОЛЛЕДЖ, ВУЛИДЖ, АНГЛИЯ

Показав, что из нескольких систем, движущихся друг относительно друга с равномерным движением, ни одна не имеет права на предпочтение перед другими, и выведя законы для таких систем, Эйнштейн столкнулся с трудностью, которая давно ощущалась. Вращающееся тело, которое является частным случаем ускоренного тела, можно отличить от тела в покое, не глядя за его пределы, по существованию так называемых центробежных сил.

Это обстоятельство, которое придает определенным телам абсолютное или предпочтительное движение, неприятно для релятивиста; он хотел бы, чтобы не было никакой разницы в отношении сил 1 между случаем, когда Земля вращается относительно внешних тел (звезд), рассматриваемых как неподвижные, и случаем, когда Земля считается неподвижной, а все внешние тела вращаются вокруг нее. Этот момент нельзя исследовать прямым экспериментом; мы можем запустить волчок, но мы не можем удержать волчок в покое и вращать мир вокруг него, чтобы увидеть, одинаковы ли силы.

Рассматривая проблему того, как разработать законы, которые сделали бы все вращения относительными, Эйнштейн задумал блестящую, но простую идею о том, что гравитацию можно включить в схему как эффект ускорения, поскольку как обычные силы ускорения, так и гравитационные силы пропорциональны одному и тому же — массе тела. Невозможность разделения двух видов эффектов можно легко увидеть, рассмотрев запуск лифта. Когда лифт быстро ускоряется вверх, мы чувствуем тягу вниз, точно так же, как если бы гравитационная тяга увеличилась, и если бы ускорение продолжало быть равномерным, тела, проверенные пружинными весами, весили бы в лифте больше, чем на твердой земле. Подобным образом вся гравитационная тяга может рассматриваться как эффект ускорения, трудность заключается в разработке законов движения, которые дадут эффекты, обнаруживаемые нами при фактическом наблюдении.

Но очевидно, что мы не можем с помощью обычной механики рассматривать Землю как ускоряющуюся во всех направлениях, что нам, по-видимому, пришлось бы делать, чтобы объяснить тот факт, что гравитационная тяга всегда направлена к центру. [Очевидно, что мы не можем объяснить гравитацию, предполагая, что поверхность Земли постоянно движется наружу с ускоренной скоростью.] 227 Так Эйнштейн обнаружил, что до тех пор, пока мы рассматриваем проблему с помощью геометрии Евклида, мы не можем прийти к удовлетворительному решению. Но он обнаружил, что четырехмерному пространству, состоящему из трех обычных измерений пространства вместе с измерением времени, о котором мы уже упоминали при обсуждении специальной теории, может быть приписана своеобразная геометрия, природа которой все больше и больше отходит от евклидовой геометрии по мере приближения к гравитирующему телу, и чистым результатом чего является возможность универсального соответствия гравитации и ускорения.

Об этой модификации геометрии пространства часто говорят как о «кривизне пространства» — выражение, которое сбивает с толку, тем более что пространство, которое «искривлено», является четырехмерным пространством-временем. Но мы можем получить представление о том, что имеется в виду, рассматривая фигуры, скажем, треугольники, нарисованные на поверхности сферы. Эти треугольники, хотя и нарисованы на поверхности, не будут обладать теми же свойствами, что треугольники, нарисованные на плоской бумаге — их три угла в сумме не будут равны прямым углам. Они будут неевклидовыми. Это лишь грубая аналогия, но мы видим, что кривизна поверхности вызывает отклонение от евклидовой геометрии для плоских фигур, и, следовательно, отклонение от евклидовых законов, распространенных на четыре измерения, можно назвать вызванным «кривизной пространства».

Трудно представить, чтобы кусок материи влиял на геометрию пространства вокруг него. Еще раз мы должны использовать грубую иллюстрацию. Представьте себе очень горячее тело и то, что, ничего не зная о его свойствах, мы должны измерить пространство вокруг него металлическими измерительными стержнями. Чем ближе мы к телу, тем длиннее будут стержни из-за расширения металла. Когда мы измеряем квадрат, одна сторона которого ближе к телу, чем противоположная сторона, его углы не будут прямыми. Если бы мы ничего не знали о законах теплоты, мы бы сказали, что тело сделало пространство вокруг себя неевклидовым.

Эйнштейн обнаружил, что, принимая свойства пространства, как они даны измерением, за модифицированные в окрестности масс материи, он мог разработать общие законы, согласно которым будут производиться гравитационные эффекты и не будет абсолютного вращения. Все силы будут одинаковыми, вращается ли тело при неподвижном всем, что находится снаружи, или тело неподвижно, а все вращается вокруг него. Тогда все движение относительно, и теория является теорией «общей относительности». Скорость света, однако, больше не является постоянной, и ее путь не является прямой линией, если она проходит вблизи гравитирующей материи. Это не противоречит специальной теории, которая не учитывала гравитацию. Скорее, специальная теория — это частный случай, к которому сводится обобщенная теория при отсутствии материи, точно так же, как ньютоновская динамика — это частный случай специальной теории, который мы получаем, когда все скорости малы по сравнению со скоростью света.

1 С любой точки зрения нет никакой разницы в отношении наблюдения только положения. — Автор.

XXII

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

Фрагменты особой ценности по этой фазе предмета

РАЗЛИЧНЫМИ АВТОРАМИ

Когда Дороти была унесена циклоном из своего дома в Канзасе в страну Оз вместе с домом своего дяди и своей маленькой собачкой Тото, она забыла опустить люк над отверстием в полу, которое раньше вело в погреб для укрытия от циклона, и Тото провалился. Дороти бросилась к отверстию, ожидая увидеть его разбитым о камни внизу, но обнаружила, что он парит прямо под полом. Она втащила его обратно в комнату и закрыла люк.

Автор хроники приключений Дороти объясняет, что та же сила, которая удерживала дом, удерживала и Тото, но это объяснение не является необходимым. Дороти теперь парила в пространстве, а дом и собака были подвержены тем же силам гравитации, которые придавали им идентичные движения. Дороти, должно быть, толкнула собаку вниз на пол и, делая это, сама должна была взлететь к потолку, откуда она могла оттолкнуться обратно к полу. На самом деле гравитация, по-видимому, была приостановлена, и Дороти была в положении, чтобы попробовать определенные эксперименты, которые Эйнштейн никогда не пробовал, потому что он никогда не был в уникальном положении Дороти.] 188

* * *

Принцип эквивалентности, иллюстрацией которого обычно служит эксперимент Эйнштейна с подвешенной клеткой и на котором построена обобщенная теория относительности, сформулирован проф. Эддингтоном следующим образом: «Гравитационное силовое поле точно эквивалентно искусственному силовому полю, так что в любой небольшой области невозможно с помощью какого-либо мыслимого эксперимента различить их. Другими словами, сила чисто относительна».

Это может быть сформулировано иначе, если вернуться к нашей идее четырехмерного мира, точки которого представляют положения и времена событий. Если мы отметим в таком пространстве-времени последовательные положения объекта, мы получим линию или кривую, которая представляет всю историю объекта, поскольку она показывает нам положение объекта в каждый момент времени. Читатель может представить, что все события происходят в одной плоскости, так что для фиксации положений в пространстве нужны только два перпендикулярных измерения с третьим перпендикулярным измерением для времени. Затем он может представить, если не может визуализировать, аналогичный процесс для четырехмерного пространства-времени. Эти линии, «следы объектов через пространство-время», были названы Минковским «мировыми линиями». Теперь мы можем сказать, что все наблюдаемые нами события — это пересечения мировых линий. Температура в полдень была 70°. Это означает, что если я нанесу на график мировую линию верхушки ртутного столба и мировую линию определенной отметки на стекле, они пересекутся в определенной точке пространства-времени. Все, что мы знаем, — это пересечения этих мировых линий. Предположим теперь, что у нас есть большое их количество, нарисованное в нашем четырехмерном мире, удовлетворяющее всем известным пересечениям, и давайте предположим, что все это погружено в желе. Мы можем деформировать это желе любым способом, меняя наши координаты по своему усмотрению, но мы не уничтожим и не создадим пересечения мировых линий. Можно доказать, что переход от одной системы отсчета, к которой относятся наблюдения, к любой другой системе, движущейся любым способом по отношению к первой системе, может быть представлен как деформация четырехмерного желе. Законы природы, следовательно, будучи законами, описывающими пересечения, должны быть выразимы в форме, не зависящей от выбранной системы отсчета.

Из этих постулатов Эйнштейн смог показать, что такая формулировка возможна. Его закон можно сформулировать очень просто: — Все тела движутся через пространство-время по самым прямым из возможных путей.

Тот факт, что невозможно дать простое нематематическое объяснение того, как достигается этот закон или почему именно самый прямой путь Меркурия через пространство-время даст нам эллипс в пространстве после того, как мы разделим пространство-время на пространство и время, не является веским возражением против теории. Закон Ньютона о том, что тела притягиваются с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния, прост, но никто никогда не давал простого нематематического доказательства того, как этот закон требует, чтобы путь Меркурия был эллипсом с Солнцем в фокусе, а не какой-то другой кривой.] 182

* * * Одной из серьезных трудностей, с которыми мы сталкиваемся при получении удовлетворительного понимания концепций Эйнштейна, является то, что они нелегко соотносятся с нашими способами геометрического мышления. В определенных пределах мы можем выбирать свою собственную геометрию, но это может стоить громоздких усложнений. Если мы мыслим вместе с Ньютоном в терминах евклидовой геометрии и рассматриваем Землю как вращающуюся вокруг Солнца, движения нашей Солнечной системы могут быть изложены в сравнительно простых терминах. Если, с другой стороны, мы будем упорствовать в изложении их, как это сделал бы Птолемей, с Землей как относительно неподвижным центром, наши формулы станут сложными, выходящими за рамки легкого понимания. По этой причине гораздо проще при применении теории относительности, а также при рассмотрении и описании того, что на самом деле происходит в физической Вселенной, использовать геометрические концепции, с которыми фактические условия могут быть легко соотнесены. Мы находим такой инструмент в неевклидовой геометрии, где пространство будет казаться таким, как если бы оно было спроецировано со слегка вогнутого зеркала. Именно в этом смысле некоторые говорят о пространстве как об искривленном. Аналогия настолько наводящая на размышления, что искушает задержаться на ней. Если бы в пределах досягаемости зеркала не было материальных объектов, его конфигурация была бы несущественной; мысль о пространстве, которое зеркало, так сказать, очерчивает, зависит от присутствия таких материальных объектов. Линии света и всех других движений не будут совсем «прямыми» с точки зрения евклидовой геометрии. Линия, проведенная во Вселенной такой природы, неизбежно должна вернуться к самой себе. Поэтому ничто никогда не может выйти за пределы этого безгранично великого, но все же конечного космоса. Но даже сейчас, поскольку наше воображаемое зеркало лишь очень слегка вогнуто, из этого следует, что для ограниченных областей, таких как Земля или даже Солнечная система, наша концепция геометрии вполне может быть прямолинейной и евклидовой. Закон гравитации Ньютона будет вполне точным с лишь теоретической модификацией, взятой из теории относительности.] 82

* * *

То, как кривизна пространства может казаться нам силой, становится более понятным на примере. Предположим, что в определенной комнате мраморный шарик, брошенный где угодно на пол, всегда катился к центру комнаты; предположим, то же самое происходило с бейсбольным мячом, бильярдным шаром и теннисным мячом. Эти результаты можно было бы объяснить двумя способами; мы могли бы предположить, что в центре пола существует таинственная сила притяжения, которая одинаково влияет на все виды мячей; или мы могли бы предположить, что пол искривлен. Мы, естественно, предпочитаем последнее объяснение. Но когда мы обнаруживаем, что в окрестности большого материального тела все другие тела движутся к нему точно таким же образом, независимо от их природы или состояния, мы привыкли постулировать таинственную силу притяжения (гравитацию); Эйнштейн, напротив, принимает другую альтернативу, что пространство вокруг тела искривлено.] 223

* * *

В обычной «аналитической геометрии» положение и движение всех рассматриваемых точек относятся к жесткому «телу» или «системе отсчета». Обычно она состоит из воображаемой комнаты подходящего размера. Положение любой точки затем задается тремя числами, т. е. ее расстояниями от одной боковой стены, от задней стены и ее высотой над полом. Эти три числа могут дать только одну точку, у каждой другой точки есть по крайней мере одно число другое. В четырехмерной геометрии четвертая стена может быть смутно воображена как перпендикулярная всем трем стенам, и добавляется четвертое число, дающее расстояние «точки» также от этой стены. Поскольку «жестких» тел в гравитационных полях не существует, «система отсчета» должна быть «нежесткой». Система отсчета в гауссовой системе не обязательно должна быть жесткой, она может быть любой формы и двигаться любым образом, фактически своего рода желе. «Точка» или «событие» в четырехмерном мире все еще задается четырьмя числами, но эти числа не представляют расстояния откуда-либо; все, что необходимо, — это чтобы никакие два события не имели точно одинаковых четырех чисел для их представления, и чтобы два события, которые находятся очень близко друг к другу, были представлены числами, которые лишь незначительно отличаются друг от друга. Эта система предполагает так мало, что будет видно, что она очень широка по своему охвату; хотя для обычного ума то, что выигрывается в охвате, кажется большим, чем то, что теряется в конкретности. Это, однако, не беспокоит математика, и, используя эту систему, он достигает своей цели, доказывая, что общие законы природы остаются неизменными при выражении в любой гауссовой системе координат.] 220

* * *

Эйнштейн провозглашает общий принцип, что можно найти преобразование координатных осей, которое в точности эквивалентно любой силе, и, в частности, такой, которая эквивалентна силе гравитации. То есть, сосредоточив наше внимание на преобразовании, которое является чисто математической операцией, мы можем позволить себе полностью пренебречь силой. Чтобы получить лучшее представление об этом принципе эквивалентности, как его называют, давайте рассмотрим относительно простой пример (который на самом деле не имеет ничего общего с гравитацией, но который послужит для того, чтобы сделать наши понятия более ясными). Человек на Земле бессознательно относит все свои переживания, т. е. движения объектов вокруг него, к набору осей, закрепленных в Земле, на которой он стоит. Однако мы знаем, что Земля вращается вокруг своей оси, и его оси отсчета также вращаются относительно пространства вокруг него. С точки зрения общей относительности именно потому, что мы относим движения на поверхности Земли к осям, вращающимся вместе с Землей, мы испытываем так называемую центробежную силу вращения Земли, с которой все знакомы. Если бы нам было удобно перейти от движущихся осей к неподвижным осям, сила исчезла бы, поскольку она в точности эквивалентна преобразованию от одного набора осей к другому. Однако нам кажется неестественным относить повседневный опыт к осям, которые не расположены там, где мы находимся, и поэтому мы предпочитаем брать силу и вращающиеся оси вместо отсутствия силы и неподвижных осей.] 272

* * *

Кажется, у нас есть прямой опыт силы в наших мышечных ощущениях. Толканием или тягой мы можем привести тела в движение. Естественно предположить, что нечто подобное происходит, когда Природа приводит тела в движение. Но не является ли это пережитком анимизма? Дикарь и древние населяли все леса и небеса богами и демонами, которые осуществляли деятельность природы своими собственными телесными усилиями. Сегодня мы изгнали демонов, но призрак мышечного натяжения все еще удерживает планеты на месте.] 141

* * *

Общая теория — это расширение специальной теории, которое позволяет вывести закон гравитации. Не в форме Ньютона, это правда, но в лучшей форме, то есть в той, которая объясняет два важных факта, иначе не объясненных. Но это гораздо более общая теория, чем указано выше. Это полное изучение отношений между законами, выраженными с помощью любых четырех координат (из которых три пространственные и одна временная — частный случай), и теми же законами, выраженными в четырех координатах системы, имеющей любое движение по отношению к первой системе. Ограничивая это общее изучение в соответствии с определенными постулатами о природе Вселенной, в которой мы живем, мы приходим к ряду выводов, которые более тесно соответствуют наблюдаемым фактам, чем выводы, сделанные из теории Ньютона.] 221

Колофон

Доступность

Эта электронная книга предназначена для использования кем угодно и где угодно бесплатно и практически без каких-либо ограничений. Вы можете копировать ее, раздавать или повторно использовать в соответствии с условиями лицензии Project Gutenberg, включенной в эту электронную книгу или доступной онлайн по адресу www.gutenberg.org.

Эта электронная книга подготовлена командой Online Distributed Proofreading Team по адресу www.pgdp.net.

Текст подготовлен на основе первого издания 1921 года. За исключением титульного листа, иллюстрации взяты из второго издания 1922 года. Они такие же, как в первом издании, но были доступны в значительно лучшем качестве сканирования. Обратите внимание, что текстовые изменения, внесенные во второе издание, не были применены к этой транскрипции первого издания.

Метаданные

Title: Einstein’s Theories of Relativity and Gravitation: A Selection of Material from the Essays Submitted in the Competition for the Eugene Higgins Prize of $5,000

Editor: James Malcolm Bird (1886–1964) Info

Contributor: A. d’Abro

Contributor: L. M. Alexander

Contributor: Prof. Joseph S. Ames

Contributor: Prof. E. N. da C. Andrade

Contributor: Lieut. W. Mark Angus

Contributor: Paul M. Batchelder

Contributor: E. T. Bell

Contributor: Lyndon Bolton

Contributor: Dr. George de Bothezat

Contributor: Charles A. Brunn

Contributor: Charles H. Burr

Contributor: Dorothy Burr

Contributor: Elwyn F. Burrill

Contributor: Professor A. E. Caswell

Contributor: Edward A. Clarke

Contributor: Harold T. Davis

Contributor: R. F. Deimel

Contributor: C. E. Dimick

Contributor: Saul Dushman

Contributor: Hugh Elliot

Contributor: Earl R. Evans

Contributor: E. P. Fairbairn, M.C., B.Sc.

Contributor: Francis Farquhar

Contributor: Montgomery Francis

Contributor: J. Elias Fries, Fellow A.I.E.E.

Contributor: H. Gartelmann

Contributor: James O. G. Gibbons

Contributor: Norman E. Gilbert

Contributor: Dean W. P. Graham

Contributor: D. B. Hall

Contributor: George Frederick Hemens, M.C., B.Sc.

Contributor: C. W. Kanolt

Contributor: Frank E. Law

Contributor: R. Bruce Lindsay

Contributor: Rev. George Thomas Manley

Contributor: George F. Marsteller

Contributor: John G. McHardy

Contributor: L. F. H. de Miffonis. B.A., C.E.

Contributor: Col. John Millis

Contributor: Dr. M. C. Mott-Smith

Contributor: Dr. Francis D. Murnaghan

Contributor: Edward A. Partridge

Contributor: Professor Andrew H. Patterson

Contributor: Professor William H. Pickering

Contributor: William Hemmenway Pratt

Contributor: Kenneth W. Reed

Contributor: James Rice

Contributor: Edward Adams Richardson

Contributor: Walter van B. Roberts

Contributor: C. E. Rose, M.E.

Contributor: T. Royds

Contributor: Prof. Henry Norris Russell

Contributor: Prof. Moritz Schlick

Contributor: Leopold Schorsch

Contributor: Prof. J. A. Schouten

Contributor: Frederick W. Shurlock

Contributor: W. de Sitter

Contributor: Prof. William Benjamin Smith

Contributor: Robert Stevenson

Contributor: Prof. W. F. G. Swann

Contributor: Prof. Arthur Gordon Webster

Contributor: L. L. Whyte

Contributor: Prof. R. W. Wood

Language: English

Original publication date: 1921

История версий

2020-08-29 Начато.

Внешние ссылки

Эта электронная книга Project Gutenberg содержит внешние ссылки. Эти ссылки могут не работать у вас.

Исправления

В текст были внесены следующие исправления:

Page Source Correction Edit distance

vii is made is made is made 8

viii btween between 1

xiii Chiselhurst Chislehurst 2

28 attriuting attributing 1

38 axis axes 1

46, 327

[Not in source]

, 1

48

[Not in source]

” 1

59 assums assumes 1

61 II III 1

74 follows follow 1

74 parellel parallel 1

96 inadmissable inadmissible 1

110 apposite opposite 1

114 synonomous synonymous 1

123 indepedent independent 1

125 Descartean Cartesian 6

126 propostions propositions 1

127 ’ ” 1

144 incomphehensible incomprehensible 1

151 hypothenuse hypotenuse 1

153 dimension dimensions 1

156 Betelguese Betelgeuse 2

169, 282, 282 coördinates coordinates 1 / 0

170

[Not in source]

. 1

181 Michelsen Michelson 1

182 Michelsen-Morley Michelson-Morley 1

185 that:

[Deleted]

5

205 gometry geometry 1

206 and und 1

213 distroyed destroyed 1

219 wells walls 1

228 indisolubly indissolubly 1

231 signficance significance 1

240 amazinging amazing 3

244 dimsensions dimensions 1

249 Relativitatstheorie Relativitätstheorie 1 / 0

254 oberservers observers 2

260, 345 co-ordinates coordinates 1

262 or of 1

279 Poincairé Poincaré 1

291 Jean Jeans 1

298 methematicians mathematicians 1

305, 305, 305 Asso. Assoc. 1

305 Astro. Astron. 1

312 axactly exactly 1

315 . , 1

319 acrross across 1

322 us use 1

327 BY

[Deleted]

3

329 waste wasted 1

330 analagous analogous 1

335 rotatons rotations 1

340 imbedded embedded 1

343, 343 co-ordinate coordinate 1

344 gravitaton gravitation 1

345 line live 1