«Творческий интеллект: Очерки о прагматическом подходе»

Опять же, стоит отметить, что эта мутация логических элементов в онтологические, по-видимому, отличается лишь «позицией» от универсального логицизма абсолютного идеализма.

Что это за простые элементы, на которые математик и логик должны анализировать грубые элементы лаборатории? И как эти элементы должны быть введены в действие в лаборатории? Давайте представим аналитического логика, встречающего физика в момент, когда последний обеспокоен неуправляемой сложностью своих элементов. Скажет ли логик ученому: «Ваша трудность в том, что вы слишком доверяете своей мирской аппаратуре. Царство истины не приходит с такими вещами. Оставьте свои микроскопы, пробирки, рефракторы и резонаторы и следуйте за мной, и вы узрите поистине простые элементы, о которых вы мечтали»? И когда наступит момент откровения и ожидающему ученому торжественно скажут, что «простые элементы», которые он так долго искал, — это «термины и пропозиции», чувственные данные и универсалии, удивительно ли, что он не кажется впечатленным? Не спросит ли он: «Что мне делать с ними в конкретных трудностях моей лаборатории? Должен ли я сказать грубым и сложным элементам моих лабораторных операций: 'Разрешитесь на термины и пропозиции, чувственные данные и универсалии'; и подчинятся ли они немедленно этому заклинанию и распадутся, чтобы я мог найти и устранить скрытый источник моей трудности? Не насмехаетесь ли вы надо мной и не обманываете ли вы себя старым онтологическим аргументом? Ваши 'простые' элементы — не являются ли они ничем иным, как гипостазированным процессом, с помощью которого могут быть найдены элементы?»

Толкователи, как и критики аналитической логики, согласились, что она достигает своего самого критического узла, когда сталкивается с проблемой истины и заблуждения. Нет сомнения, что логика объективного идеализма, в других отношениях столь похожая на аналитическую логику, имеет в этом пункте преимущество; ибо она сохраняет достаточно конечного акта познания — «бесконечно малой» части будет достаточно — чтобы обеспечить культурные зародыши заблуждения. Но аналитическая логика, полностью стерилизовав себя против этого источника инфекции, находится в серьезном затруднении.

Здесь снова профессор Холт обладает смелостью следовать — или, скажем, «созерцать»? — своей теории, поскольку она «порождает» доктрину, что заблуждение — это данная объективная оппозиция сил, полностью независимая от какой-либо такой вещи, как процесс исследования, и всего того, что такой процесс предполагает. «Все столкновения между телами, все умозаключения между энергиями, все процессы нагревания и охлаждения, запуска и остановки, комбинирования и разделения, все противовесы, как в консолях и готических сводах, — это противоречивые силы, которые могут быть выражены только в пропозициях, которые явно противоречат друг другу». Но аргумент доказывает слишком много. Ибо в мире сил, к которому мы здесь апеллировали, нет силы, которая не была бы противопоставлена другим, и нет частицы, которая не была бы центром противоборствующих сил. Следовательно, заблуждение вездесуще. Делая заблуждение объективным, мы сделали всю объективность ошибочной. Мы вынуждены сказать, что хор Вестминстерского аббатства, Бруклинский мост, головы на наших плечах — все они поддерживаются логическими ошибками!

Следуя за этими иллюстрациями онтологических противоречий, есть действительно это интересное утверждение: «Природа так полна этих взаимно негативных процессов, что мы испытываем восхищение, когда несколько сил сотрудничают достаточно долго, чтобы сформировать то, что мы называем организмом». Подразумевается, по-видимому, что поскольку «оппозиция» сил — это заблуждение, «сотрудничество» сил — это истина. Но что должно отличать «оппозицию» от «сотрудничества»? В иллюстрации ясно, что противоборствующие силы — заблуждение — не мешают кооперативным силам — истине. Где мы могли бы найти больше противовесов, больше запуска и остановки, нагревания и охлаждения, комбинирования и разделения, чем в организме? И если эти процессы могут быть выражены только в пропозициях, которые «явно противоречивы», должны ли мы понимать, что истина имеет заблуждения в качестве своих составляющих элементов? Такие парадоксы всегда радовали душу абсолютного идеализма. Но, как мы видели, только завеса бесконечно малой конечности отделяет логику объективного универсального абсолютного идеализма от объективной логики аналитического реализма.

Конечно, именно это затруднение относительно объективной истины и заблуждения заставило большинство аналитических логиков вспомнить изгнанный психологический, «ментальный» акт познания. Его пришлось вспомнить, чтобы обеспечить хоть какое-то основание для различия между истиной и заблуждением, но, поскольку этот акт уже был задуман как неизлечимо «субъективный», результатом является лишь обмен дилеммами. Ибо восстановление этого акта ipso facto восстанавливает эпистемологическое затруднение, чтобы избавиться от которого он был впервые изгнан из логики.

Серьезные усилия избежать этого исхода были предприняты путем привязки акта познания к нервной системе, и это шаг в правильном направлении. Но до сих пор усилия были бесплодны, потому что не было установлено никакой связи между познавательной функцией нервной системы и ее другими функциями. Результат заключается в том, что когнитивная операция нервной системы, как и «психического» разума, является операцией простого зрителя; и эпистемологическая проблема остается. Наблюдающая нервная система не имеет преимущества перед «наблюдающим» разумом. Наблюдение, созерцание действительно может быть частью подлинного акта познания. Но в этом акте оно всегда является стимулом или ответом на другие акты. Оно — один из них; никогда не является просто зрителем их. Именно когда акт познания отрезан от своей связи с другими актами и оказывается дрейфующим, он ищет метафизического пристанища. И это он может найти либо в пустом психическом разуме, либо в столь же пустом теле.

Если бы, восстанавливая акт познания как функцию нервной системы, неореализм признал логическую значимость того факта, что нервная система, функцией которой является познание, — это та же нервная система, функцией которой являются любовь и ненависть, желание и стремление, и что переход от них к операциям исследования и познания — это не капризный прыжок, а переход, мотивированный любовью и ненавистью, желанием и стремлением, — если бы это было признано, логика неореализма была бы избавлена от своих затруднений по поводу различия истины и заблуждения. Она увидела бы, что переход от любви и ненависти, желания и стремления к исследованию и познанию совершается для того, чтобы обновить и реформировать конкретные желания и стремления, которые из-за конфликта и последующей двусмысленности стали бесплодными и тщетными; и она должна была бы увидеть, что результаты исследования истинны или ложны в зависимости от того, преуспевают они или терпят неудачу в этой реформации и обновлении.

Но еще раз, необходимо твердо иметь в виду, что, хотя любовь и ненависть, желание и стремление, которые логические операции реформируют и обновляют, являются функциями нервной системы, они не являются функциями одной только нервной системы, иначе дверь субъективизма снова закроется перед нами. Любовь и ненависть, желание и стремление имеют свои «объекты». Следовательно, любая реформация этих функций включает не меньшую реформацию их объектов. Поэтому, когда мы говорим, что истина и заблуждение релевантны желаниям и стремлениям, это означает релевантность к ним как включающим их объекты, а не как к энтитизированным процессам (таковы ловушки языка), заключенным в нервной системе или разуме. С этим перед нами релевантность истины и заблуждения к желаниям и стремлениям никогда не может быть сделана основанием для обвинения в субъективизме. Концепция желаний как исключительно индивидуальных и субъективных — это пережиток той самой изоляции, которая является источником трудности с истиной и заблуждением. Следовательно, апелляция к этой изоляции, сделанная одинаково идеализмом и реализмом при обвинении инструментальной логики в субъективизме, является элементарным petitio.

Несомненно, снова будет утверждаться, что акт познания мотивирован независимым желанием и стремлением, присущими ему самому. Это, конечно, согласуется с неореалистическим атомизмом, как бы оно ни было несогласно с концепцией импликации, которую он использует. Если мы возьмем достаточно малый, изолированный сегмент опыта, мы можем найти смысл для этого понятия, как мы можем для идеи, что земля плоская и что солнце движется вокруг земли. Но по мере накопления последствий мы обнаруживаем столь же большие трудности с одним, как и с другим. Если бы ход событий не призывал нас к ответу, если бы мы могли отделаться простым определением истины и заблуждения, мы могли бы продолжать нагромождать субсистенциальные дефинициальные логики до бесконечности. Но возвышенные искатели приключений, логически невозрожденные и непосвященные, будут продолжать плыть на запад к смятению и конфузу всех дефинициальных систем, которые не принимают их в расчет.

Вывод ясен. Если логика хочет иметь место в своем доме и для истины, и для заблуждения, если она хочет избежать старого затруднения знания, которое является пустяковым или чудесным, тавтологичным или ложным, если она не хочет бояться вызова других наук или практической жизни, она должна согласиться взять в качестве своего предмета исследования операции интеллекта, понимаемые как реальные акты на той же метафизической плоскости и в строжайшей непрерывности с другими актами. Такая логика не будет бояться вызова науки, ибо именно эта непрерывность делает возможным экспериментирование, которое является фундаментальной характеристикой научного процесса. Наука без эксперимента — это действительно странное явление. Это λόγος без λέγειν, наука без scire; и это означает догматизм. Насколько необходима такая непрерывность для экспериментирования, становится очевидным, когда мы вспоминаем, что нет предела диапазону операций всякого рода, которые вызывает к жизни научный эксперимент; и что если не будет всесторонней непрерывности между логическим требованием эксперимента и всеми материалами и устройствами, используемыми в процессе эксперимента, операции последних в эксперименте будут либо чудесными, либо разрушительными.

Наконец, если эта непрерывность операций интеллекта с другими операциями существенна для науки, ее отношение к «практической» жизни ipso facto установлено. Ибо наука — это «практическая» жизнь, осознающая свои проблемы и осознающая ту роль, которую экспериментальный — т. е. творческий — интеллект играет в решении этих проблем.

ИНТЕЛЛЕКТ И МАТЕМАТИКА

ГАРОЛЬД ЧЕПМЕН БРАУН

Говорят, что Гербарт нанес смертельный удар психологии способностей. Человек больше не представляется наделенным волей, страстью, желанием и разумом; и логика, лишенная своего наследственного права разъяснять операции присущего интеллекта, имеет новую проблему исследования форм интеллекта в процессе становления. Это не второстепенная задача. «Если человек изначально обладает только способностями, которые после определенного количества образования произведут идеи и суждения» (Торндайк, «Педагогическая психология», том I, стр. 198), и если эти идеи и суждения должны быть подставлены вместо мифического интеллекта, то следует, что прослеживание их развития и наблюдение за их функционированием проясняет нашу концепцию их природы и ценности и приближает нас к тому точному знанию того, о чем мы говорим, в котором философ, по крайней мере, стремится сравняться с ученым, как бы он ни был далек от своего идеала.

Для современной мысли относительно математических наук эта измененная точка зрения порождает особенно насущные проблемы. Математики взвесили старую логику и нашли ее недостаточной. Они построили себе новую логику, более адекватную своим целям. Но они не признали всем сердцем изменение, которое произошло в психологии; следовательно, они сохранили способность интеллекта, вплетенную в некоторые неопределяемые понятия, такие как импликация, отношение, класс, термин и тому подобное, и перенесли эту способность из человеческой души в таинственное царство субсистенции, откуда она излучает свой призрачный свет на царство существования внизу. Но хотя они часто горько упрекают старую логику, их новая логика лишь предоставляет более адекватную витрину, в которой уже достигнутое знание может быть расставлено, чтобы подчеркнуть свои прелести для наблюдателя, подобно тому, как образцы в музее выставляются перед восхищенным миром. Это утверждение, однако, не является огульным осуждением, ибо такое изложение не бесполезно. Оно напоминает классификационную стадию науки, которая, хотя сама по себе не является творческой в высшем смысле, часто ведет к более высоким стадиям, выводя на наблюдение отношения и факты, которые в противном случае могли бы ускользнуть от внимания. И в области чистой математики новая логика, несомненно, способствовала таким открытиям. Опасность появляется, когда логик достигает картезианского опьянения красотой логико-математической формы и пытается вывести из самой формы реальную природу сформированного материала. Царство субсистенции слишком часто вооружало Неопределяемые метафизическими мифами, чья атака доблестна, когда открываются двери рефлексии. Возможно, однако, прийти к пониманию математики, не входя в царство этих воинов.

Суть науки — сделать предсказание возможным. Ценность предсказания заключается в том, что с помощью этой функции человек может контролировать свою среду или, в худшем случае, укрепить себя, чтобы встретить ее капризы. Однако для достижения таких предсказаний мир не обязательно должен быть схвачен во всей своей конкретности. Отсюда возникают процессы абстракции. В то время как все другие симптомы остаются незамеченными, температура и пульс могут указывать на болезнь, или показания барометра — на погоду. Физик может работать только в терминах количества в мире, который в равной степени является качественным. Все, что необходимо, — это выбрать элементы, которые наиболее эффективны для предсказания и контроля. Такой выбор дает принцип, который доминирует над всеми абстракциями. Прогресс — это движение от менее абстрактного к более абстрактному, но это прогресс только потому, что более абстрактное является столь же подлинным аспектом конкретной отправной точки, как и все остальное. Более того, результат прогресса такого рода не может быть определенно предвиден в начале. Простые действия первобытных людей должны быть спонтанно выполнены, прежде чем их ценность станет очевидной. Только впоследствии они могут культивироваться ради своей ценности, и только тогда может начаться самосознательное культивирование науки. Процесс остается полным не только недоумений, но и сюрпризов; действия людей ведут к целям, весьма отличным от тех, которые кажутся в начале. Эти цели, однако, никогда не отрицают метод, с помощью которого сделан старт. Развитый интеллект — это не что иное, как навык использования набора концептов, порожденных таким образом. В этом смысле истории всех человеческих начинаний идут параллельно.

Там, где эмпирические основы науки постоянно находятся на переднем плане, как в физике или химии, вышеприведенная формулировка процедуры понятна и приемлема для большинства людей. Математика, однако, кажется, стоит особняком. Многие, вслед за Декартом, восхищались ею «из-за достоверности и очевидности ее рассуждений» и признавали ее вклад в развитие механических искусств. Но со времен Канта даже эта ценность стала проблемой, и перед многими молодыми студентами-философами ставится вопрос о том, почему математика, «чисто концептуальная наука», может рассказать нам что-либо о характере мира, который, по крайней мере, по-видимому, свободен от идиосинкразий индивидуального разума. Может быть, математика началась с эмпирической практики, признают такие философы, но они добавляют, что каким-то образом в своей дальнейшей карьере она избежала своего низкого происхождения. Теперь она движется в высших кругах постулированных отношений и произвольно определенных сущностей, к которым ее скромным прародителям и родственникам вход воспрещен. Парвеню, однако, обычно несут на себе печать истории, и в случае с этой, по крайней мере, мы можем надеяться, что истории будет достаточно, чтобы вытащить ее из аффектации ее вновь обретенного круга и восстановить ее на подобающем месте в повседневном мире. Ради этой надежды мы рискнем быть утомительными, цитируя некоторые поразительные моменты математического прогресса; а затем мы попытаемся интерпретировать ее подлинный статус в мире рабочих истин.

I Начала арифметики и геометрии

Самая примитивная математическая деятельность человека — это счет, но здесь его первые усилия теряются в неясности прошлого. Низшие расы, однако, дают нам свидетельства, которые не лишены ценности. Хотя разум дикаря не идентичен разуму первобытного человека, в деятельности неразвитых рас есть много такого, что может пролить свет на поведение более развитых народов. Мы должны быть осторожны в наших выводах, однако. Среди австралийцев и южноамериканцев есть народы, чьи численные системы выходят мало или вовсе не выходят за пределы первых двух или трех чисел. «Из этого было сделано заключение», — пишет профессор Боас («Разум первобытного человека», стр. 152-53), — «что люди, говорящие на этих языках, не способны сформировать концепт высших чисел... Люди, подобные южноамериканским индейцам... или эскимосам... по-видимому, не нуждаются в высших численных выражениях, потому что не так много объектов, которые им приходится считать. С другой стороны, как только эти же люди оказываются в контакте с цивилизацией и когда они приобретают стандарты ценности, которые должны быть подсчитаны, они с совершенной легкостью принимают высшие числительные из других языков и развивают более или менее совершенную систему счета... Следует иметь в виду, что счет не становится необходимым до тех пор, пока объекты не рассматриваются в такой обобщенной форме, что их индивидуальности полностью упускаются из виду. По этой причине возможно, что даже человек, который владеет стадом домашних животных, может знать их по имени и по их характеристикам, даже не желая их считать».

И есть еще одна ложная интерпретация, которой следует избегать. Человек не чувствует потребности считать, а затем развивает систему числительных, чтобы удовлетворить эту потребность. Такое предположение столь же нелепо, как предположить, что доисторический человек думал про себя: «Я должен говорить», а затем изобрел культуру голоса и грамматику, чтобы сделать говорение приятным и возможным. Скорее, когда способности к коммуникации были однажды достигнуты, по-видимому, в их началах также без предвидения, человек, будучи еще более животным, чем человеком, постепенно происходили диссоциированные коммуникации рода, приближающегося к тому, что числа значат для нас. Но число еще не является символом, отличным от символа считаемых вещей. Пиктографическое письмо, пере-представляющее означаемые вещи, предшествовало в развитии любому виду символизации, представляющей число через простое взаимно-однозначное соответствие с не-партикуляризированными символами. Правдоподобно, хотя у меня нет антропологического авторитета для этого утверждения, что распространенность пальцевых слов как числовых символов (ср. infra) изначально является следствием того факта, что наша организация делает руку естественным инструментом указания.

Трудность перехода от конкретных представлений к абстрактным символам была остро подмечена Конантом («Концепт числа», стр. 72-73), хотя его терминология — это терминология старой психологии, и ограничения, подразумеваемые для первобытного разума, являются ограничениями практики, а не способности, как, по-видимому, полагает г-н Конант. «Абстрактный концепт — это нечто совершенно чуждое по существу первобытному разуму, как обнаружили к своему огорчению миссионеры и исследователи. Дикарь не может сформировать ментальный концепт того, что цивилизованный человек имеет в виду под таким словом, как душа; не была бы яснее и его идея абстрактного числа 5. Когда он говорит 'пять', он использует, во многих случаях по крайней мере, то же слово, которое служит ему, когда он хочет сказать 'рука'; и его ментальный концепт, когда он говорит 'пять', — это рука. Конкретная идея сжатого кулака, открытой руки с вытянутыми пальцами — вот что является самым важным в его разуме. Он не знает больше и не заботится больше о чистом числе 5, чем о законе сохранения энергии. Он видит в своей ментальной картине только реальный, материальный образ, и его единственное понимание числа — 'этих объектов столько же, сколько пальцев на моей руке'. Затем, в течение долгого интервала столетий, которые отделяют низшее варварство от высшей цивилизации, абстрактное и конкретное медленно диссоциируются друг от друга. Сначала актуальная картина руки исчезает, и число распознается без первоначальной помощи, предоставляемой производностью слова. Но число еще долгое время остается определенным числом объектов, а не независимым концептом».

Отличная история торговца пушниной, рассказанная мне г-ном Дьюи, предполагает дальнейший импульс к счету, помимо того, который дается потребностью вести учет, а именно потребность сделать одну вещь соответствующей другой в деловой транзакции. Индеец положил одну шкуру, а торговец — два доллара; если он предлагал посчитать несколько шкур сразу и заплатить за все вместе, первый отвечал «too much cheatem» (слишком много обманываешь). Результат, однако, требовал учета либо пальцами, либо галькой, либо отметкой, сделанной на песке, и по мере роста масштаба таких транзакций потребность в специфическом числовом символе становится все более острой.

Первое препятствие, которое нужно преодолеть — и оно уже было успешно пройдено многими первобытными народами, — это потребность в случайном достижении числового символа, который не является просто повторяющимся символом считаемых вещей. Знаменательно, что этот символ обычно происходит от руки, предполагая жесты счета, а не от слов уже развитого языка. Следовательно, числовые слова по большей части соотносятся с рукой, а письменные числовые символы, которые являются одними из самых ранних письменностей большинства народов, имеют тенденцию изображать ее, как только они проходят стадию, упомянутую выше, простого повторения символа считаемых вещей. У. К. Эллс, в статье о числовых системах североамериканских индейцев (Am. Math. Mo., ноябрь 1913 г.; стр. 263-72), находит ясные лингвистические свидетельства цифрового происхождения примерно в 40% исследованных языков. Из нецифровых случаев 1 иногда связывалась с первым личным местоимением, 2 — с корнями, означающими разделение, 3, редко, означало больше, или множественное число в отличие от двойственного, точно так же, как греческий использует множественное число, а также двойственное в существительных и глаголах, 4 часто является совершенным, полным, правым. Это часто священное число и основа четвертичной системы. Конант (loc. cit. стр. 98) также дает классификацию значений простых числовых слов для более развитых языков; и даже в них рука постоянно присутствует, как в 5 — рука; 10 — две руки, полчеловека, когда рассматриваются и пальцы рук, и пальцы ног, или человек, когда рассматриваются только руки; 20 — один человек, две ноги. Другие значения зависят от идей существования, части, группы, начала для 1; и повторения, деления и коллекции для высших числительных.

Особая трудность заключается в том, что когда нумерация становится самосознательным усилием, коллекция вещей, которые нужно пронумеровать, часто имеет тенденцию превышать количество имен, которые стали доступными. Иногда трудность решается использованием второго человека, когда пальцы рук и ног первого заканчиваются, иногда методом повторения с записью количества самого повторения, добавленной к числовому значению всего процесса. Отсюда возникают различные системы оснований, которые встречаются в развитой математике. Но инерция, которую нужно преодолеть при признании идеи основания, нигде не более очевидна, чем в сохранении сравнительно развитой вавилонской системой второго основания 60 для дополнения десятичного для меньших чисел. Среди американских индейцев (Эллс, loc. cit.) система используемых оснований варьируется от громоздкой двоичной шкалы, которая вызывала такое восхищение у Лейбница (Opera, III, стр. 346), через редкую троичную и более распространенную четвертичную к «естественным» пятеричной, десятичной и двадцатеричной системам, производным от использования пальцев рук и ног при счете. Достижение числового основания и числовых слов, однако, не всегда открывает путь к дальнейшему математическому развитию. Слишком часто вовлекается сложность выражения, которая почти немедленно отрезает дальнейший прогресс. Так, юкосы Амазонки не могут выйти за пределы числа три, ибо простейшее выражение для идеи в их языке — «pzettarrarorincoaroac» (Конант, loc. cit., стр. 145, 83, 53). Такие названия, как «99, tongo solo manani nun solo manani» (т. е. 10, подразумевается, 5 плюс 4 раза, и 5 плюс 4) сусу из Сьерра-Леоне; «399, caxtolli onnauh poalli ipan caxtolli onnaui» (15 плюс 4 раза 20 плюс 15 плюс 4) ацтеков; «29, wick a chimen ne nompah sam pah nep e chu wink a» (сиу), позволяют легко понять пословицу йоруба из Абеокуты: «Ты можешь быть очень умным, но ты не можешь сказать 9 раз 9».

Почти одновременно с началом счета были введены различные вспомогательные устройства, чтобы облегчить эту трудную задачу. Вместо множества людей использовались зарубки на палках, узелки на веревках, камешки или пальцевая пантомима. В своем лучшем воплощении эти устройства привели к появлению абака; действительно, лишь после внедрения арабских цифр и уже в эпоху Возрождения инструментальная арифметика уступила место графической в Европе (Д. Э. Смит, Rara Arithmetica, раздел «Счеты»). «В Восточной Европе, — пишут Смит и Миками (Japanese Mathematics, с. 18-19), — он [абак] никогда не был вытеснен, ибо счёты (tschotü) сегодня используются повсеместно в России, а при переходе в Персию тот же тип абака встречается во всех базарах. В Китае суаньпань повсеместно используется для целей вычисления, а в Японии соробан укоренился так же прочно, как и до вторжения западных идей».

Итак, при наличии идеи счета и механического устройства для помощи в вычислениях, все еще оставалась необходимость получить некую нотацию для записи результатов. На заре истории египтяне, по-видимому, уже обладали числовыми знаками (ср. Кантор, Gesch. de. Math., с. 44), а финикийцы либо записывали свои числительные словами, либо использовали несколько простых знаков — вертикальные, горизонтальные и наклонные линии, — процесс, который арабы сохраняли вплоть до начала XI века (Финк, с. 15); греки еще в 600 г. до н. э. использовали начальные буквы слов для обозначения чисел. Но в целом исторические истоки европейских числовых знаков слишком неясны, чтобы предоставить нам хороший материал.

У наших индейцев мало числовых символов, кроме слов, но когда они встречаются (ср. Эллс, loc. cit.), они обычно принимают форму графического представления какого-либо счетного устройства, такого как штрихи, точки, напоминающие узловатый шнур, и т. д. Действительно, меньшие римские цифры, вероятно, были лишь графическим представлением пальцевых символов. Однако прекрасный конкретный пример дает нам японская математика (ср. Смит и Миками, гл. III). Самым ранним инструментом счета в Японии, по-видимому, был стержень, Ch'eou, адаптированный из китайского под названием Chikusaku (бамбуковые палочки) около 600 г. н. э. Сначала относительно большие (мерные стержни?), они уменьшились до 12 см, но из-за склонности к скатыванию были быстро заменены на sangi (квадратные призмы толщиной около 7 мм и длиной 5 см), и числовые символы, очевидно, были получены в результате использования этих стержней:

Для ясности десятки, сотни и т. д. выражались в четных разрядах горизонтальными линиями вместо вертикальных и наоборот; таким образом, 1267 формировалось бы так: Стержни располагались на своего рода шахматной доске, называемой суаньпань. Гораздо позже линии были перенесены на бумагу, а для обозначения пустого квадрата стал использоваться кружок. Использование квадратов, однако, сделало ненужным расположение четных разрядов иначе, чем нечетных, поэтому числа вроде 38057 стали записываться так: вместо так, как в более ранней нотации.

Где-то в ходе этой ранней математической деятельности процесс изменился от более или менее спонтанных действий, которые привели первобытного человека к первой формулировке арифметических идей, и стал самосознательным стремлением к решению задач. Это изменение произошло еще до того, как мы встречаем исторические истоки арифметики. Так, трактат Ахмеса (2000 г. до н. э.) содержит любопытную задачу: у 7 человек по 7 кошек; каждая кошка съедает 7 мышей; каждая мышь съедает 7 колосьев ячменя; из каждого колоса может вырасти 7 мер зерна; сколько зерна было спасено? Такие задачи, однако, являются полуигровыми, что видно в версии Леонардо Пизанского спустя 3000 лет: 7 старух идут в Рим; у каждой женщины 7 мулов; у каждого мула 7 мешков; каждый мешок содержит 7 буханок; с каждой буханкой 7 ножей; каждый нож в 7 ножнах. Аналогично в эпитафии Диофанта (330 г. н. э.): «Диофант провел 1/6 своей жизни в детстве, 1/12 в юности и еще 1/7 холостяком; через 5 лет после женитьбы родился сын, который умер за 4 года до отца в возрасте 1/2 его возраста». Часто среди народов такие головоломки были излюбленным социальным развлечением. Так, Брахмагупта (628 г. н. э.) пишет: «Эти задачи предложены просто для удовольствия; мудрец может придумать тысячу других или решить задачи других по правилам, приведенным здесь. Как солнце затмевает звезды своим блеском, так и человек знания затмит славу других в собраниях народа, если он предложит алгебраические задачи, и еще больше, если он их решит» (Каджори, Hist. of Math., с. 92).

Ограниченность этих ранних методов заключается в том, что нотация лишь фиксирует, а не помогает вычислению. И это верно даже для такой высокоразвитой системы, которая использовалась у римлян. Если читатель не убежден, пусть он попытается решить такую задачу, как умножение CCCXVI на CCCCLXVIII, выразив ее и выполнив в римских цифрах, и он будет мечтать об абаке, чтобы облегчить свои труды. Именно позиционная арифметика арабов, истоки которой неясны, сделала возможным развитие современной техники. Об этом открытии, или переоткрытии у индусов, вместе с символом нуля, Каджори (Hist. of Math., с. 11) сказал: «из всех математических открытий ни одно не внесло большего в общий прогресс интеллекта, чем это». Нотация больше не просто фиксирует результаты, но теперь помогает в выполнении операций.

Истоки геометрии еще более неясны, чем истоки арифметики. Геометрия не только столь же высоко развита, как арифметика, когда она впервые появляется в западной цивилизации, но, кроме того, задачи первобытных народов, по-видимому, были таковы, что они не разработали геометрических формул, достаточно поразительных, чтобы быть записанными исследователями, насколько мне удалось обнаружить. Но подобно тому, как коммерческая жизнь финикийцев рано вынудила их самосознательно развивать арифметические вычисления, так и условия окружающей среды, по-видимому, навязали египтянам потребность в геометрических соображениях.

Почти банально цитировать замечание Геродота о том, что изобретение геометрии было необходимо из-за разливов Нила, которые смывали границы и меняли контуры полей. И, как добавляет Прокл Диадох (Procli Diadochi, in primum Euclidis elementorum librum commentarii — цитируется по Кантору, I, с. 125): «Неудивительно, что открытие этой, как и других наук, проистекает из нужды, потому что все в процессе начала переходит от неполного к полному. Происходит подходящий переход от чувственного восприятия к вдумчивому рассмотрению и рациональному знанию. Точно так же, как у финикийцев ради бизнеса и торговли зародилось точное знание чисел, так и у египтян по вышеупомянутым причинам была придумана геометрия».

Самый ранний египетский математический текст, который мы знаем, — это текст Ахмеса (2000 г. до н. э.), но задолго до этого настенные украшения храмов включали множество фигур, построение которых требовало определенного объема рабочих знаний таких операций, которые могут быть выполнены с помощью линейки и циркуля. Тот факт, что эти операции не привели к геометрии раньше, как это, по-видимому, произошло в Японии в XIX веке (Смит и Миками, указатель, «Геометрия»), вероятно, объясняется стадией, на которой находилось развитие египетского интеллекта, слабо продвинувшегося на пути к высшему абстрактному мышлению. Для египетского гения повсюду характерно, что проявляется мало чисто интеллектуального любопытства. Даже астрономические знания ограничивались теми определениями, которые имели религиозное или магически-практическое значение, и их арифметика и геометрия никогда не выходили за эти рамки, как у более воображательных пифагорейцев, где мистическая интерпретация, по-видимому, была следствием, а не стимулом к исследованию. В старом египетском трактате читаем (Кантор, с. 63): «Я держу деревянный штифт (Nebi) и рукоятку молотка (semes), я держу линию в согласии с богиней Сафех. Мой взгляд следует за движением звезд. Когда мой глаз доходит до созвездия Большой Медведицы и время числа часа, определенное мною, исполняется, я закладываю угол храма». Этот метод заклинаний вряд ли мог развивать интеллект; но методы практического измерения были более эффективными. Здесь довольно удачное устройство использования узловатых шнуров, которые носили с собой гарпедонапты, или натягиватели шнуров, имело некоторое значение. Особенно тот факт, что длины 3, 4 и 5, приведенные в треугольную форму, послужили интересной связью между арифметикой и прямоугольным треугольником, был немалым достижением, позже сделавшим возможным открытие теоремы Пифагора, хотя в Египте теоретические свойства треугольника так и не были развиты. Треугольник, очевидно, должен был практически рассматриваться декораторами храма и его строителями, но натягиватели шнуров прояснили его арифметическое значение. Однако «Правила для достижения знания всех темных вещей... всех секретов, которые содержатся в объектах» Ахмеса (Кантор, loc. cit., с. 22) содержат лишь смесь всякого рода математической информации практического характера — «правила для изготовления круглого фруктового дома», «правила для измерения полей», «правила для изготовления орнамента» и т. д., но едва ли слово об арифметических и геометрических процессах самих по себе, если не считать определенных приемов для записи дробей и тому подобного.

II Прогресс самосознательной теории

Характерная черта греческой общественной жизни ответственна как за следующую фазу развития математической мысли, так и за неверное понимание ее природы многими современниками. «Когда Архит и Менехм использовали механические инструменты для решения определенных геометрических задач, — говорит Плутарх, — Платон обрушился на них с большим негодованием и настойчивостью как на разрушающих и извращающих все благо, которое есть в геометрии; ибо метод ускользает от бестелесных и интеллектуальных или чувственных вещей, и, кроме того, снова использует такие тела, которые требуют много вульгарного ремесла: таким образом механика была дискредитирована и изгнана из геометрии, и, будучи долгое время презираемой философией, стала одним из искусств войны». Фактически, физический труд презирался греками, и проводилось резкое различие между рабами, которые выполняли телесную работу и действительно наблюдали природу, и досужими высшими классами, которые размышляли и часто знали природу только по слухам. Это объясняет многое из наивного, мечтательного и туманного характера древнего естествознания. Лишь изредка прорывался импульс к самостоятельным экспериментам; но когда это происходило, это приводило к большому прогрессу, как в случае с Архитом и Архимедом. Архимед, как и Платон, считал, что философу нежелательно пытаться применять результаты науки к какому-либо практическому использованию; но, каков бы ни был его взгляд на то, что должно быть в данном случае, он действительно ввел большое количество новых изобретений» (Джорден, The Nature of Mathematics, с. 18-19). Следуя примеру греков, некоторые эмпирически настроенные современные мыслители трактуют геометрию исключительно с интеллектуальной точки зрения. История читается ими как несомненное установление положения о том, что математика — это дело чисто интеллектуальных операций. Но, трактуя ее таким образом, они в геометрии помнили только измерение и забыли о земле, а в арифметике помнили счет и забыли о сосчитанных вещах.

Арифметика получила мало непосредственной выгоды от своей новой связи с геометрией, которая была призвана иметь огромное значение в ее дальнейшей истории, за исключением открытия иррациональных чисел (которые, однако, столетиями не принимались как числа) и установления проблемы извлечения корня через ее связь с квадратом, а также интереса к отрицательным числам.

Греки только вычитали меньшие числа из больших, но арабы начали обобщать процесс и имели некоторое знакомство с отрицательными результатами, но им было трудно увидеть, что эти результаты действительно могут иметь значение. Н. Шюке в XV веке, по-видимому, был первым, кто интерпретировал отрицательные числа, но долгое время оставался без подражателей. Михаэль Штифель в XVI веке все еще называет их «Numeri absurdi» в противовес «Numeri veri». Однако их геометрическая интерпретация была несложной, и они вскоре завоевали признание. Но случай с мнимыми числами более поразителен. Потребность в них впервые ощутилась, когда стало ясно, что отрицательные числа не имеют квадратных корней. Шюке имел дело с уравнениями второй степени, включающими корни из отрицательных чисел в 1484 году, но говорит, что эти числа «невозможны», а Декарт (Geom., 1637) первым использует слово «мнимый» для их обозначения. Их введение обязано итальянским алгебраистам XVI века. Они знали, что действительные корни определенных алгебраических уравнений третьей степени представляются как результаты операций, выполненных над «невозможными» числами вида a + b√-1 (где a и b — действительные числа), без возможности в общем случае найти алгебраическое выражение для корней, содержащее только действительные числа. Кардано вычислял с этими «невозможными», используя их для получения действительных результатов [(5 + √-15) (5 - √-15) = 25 - (-15) = 40], но добавляет, что это «quantitas quae vere est sophistica» и что само исчисление «adeo est subtilis ut est inutilis». В 1629 году Жирар объявил теорему о том, что каждое полное алгебраическое уравнение допускает столько корней, действительных или мнимых, сколько единиц в его степени, но Гаусс впервые доказал это в 1799 году и окончательно — в своей «Теории комплексных чисел» в 1831 году.

Геометрия, однако, у греков перешла в стадию абстракции, в которой линии, плоскости и т. д. в том смысле, в каком они понимаются в наших элементарных учебниках, заняли место фактически измеренных поверхностей, а также приняли дедуктивную форму изложения, которая служила моделью для всего математического изложения со времен Евклида. Мензурация слишком сильно отдавала обменом, и до времен Архимеда она практически полностью отсутствует. Даже такие теоремы, как «площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту», чужды Евклиду (ср. Каджори, с. 39). Линии были просто направлениями, а точки — ограничениями, от которых работали. Но все еще сохранялась зависимость от вещей, которые измеряют. «Начала» Евклида, «если рассматривать их в свете строгой математической логики... были названы Ч. С. Пирсом «пронизанными ошибками»» (Каджори, с. 37). Не логика, а наблюдение за начерченными фигурами, то есть конкретная символизация указанных процессов, спасает Евклида от ошибки.

Римская практическая геометрия, по-видимому, пришла от этрусков, но римлянин здесь так же мало изобретателен, как и в своих арифметических начинаниях, хотя последние несколько стимулировались проблемами наследства и расчета процентов. Действительно, до проникновения арабского учения в Европу и перевода Евклида с арабского в 1120 году, прогресс по сравнению с египетской геометрией 600 г. до н. э. был невелик или отсутствовал вовсе. Даже университеты пренебрегали математикой. В Париже «в 1336 году было введено правило, что ни один студент не должен получать степень без посещения лекций по математике, а из комментария к первым шести книгам Евклида, датированного 1536 годом, следует, что кандидаты на степень магистра искусств должны были дать клятву, что они посещали лекции по этим книгам. Экзамены, если они вообще проводились, вероятно, не выходили за рамки первой книги, как показывает прозвище «magister matheseos», примененное к «Теореме Пифагора», последней в первой книге... В Оксфорде в середине XV века читались первые две книги Евклида» (Каджори, loc. cit., с. 136). Но позже геометрия выпала из программы, и только в 1619 году в Оксфорде была учреждена кафедра геометрии. Роджер Бэкон называет пятое предложение Евклида «elefuga», и оно также получает название «pons asinorum» из-за своего значения как точки перехода к высшему обучению. Еще в XIV веке английская рукопись начинается словами: «Теперь здесь следует трактат по геометрии, с помощью которого вы можете узнать высоту, глубину и ширину большинства земных вещей».

Первый значительный поворотный момент лежит в геометрии Декарта. Виет (1540-1603) и другие уже применяли алгебру к геометрии, но Декарт с помощью координатного представления установил идею движения в геометрии таким образом, который был призван самым плодотворным образом повлиять на алгебру, а через нее — на арифметику, а также колоссально расширить сферу геометрии. Эти открытия, однако, не являются первостепенными для нашей проблемы, ибо идеи математических сущностей остаются на протяжении всего этого обобщенными процессами, которые появились в Греции. Стоит отметить, однако, что в Англии механика всегда преподавалась как экспериментальная наука, в то время как на континенте она развивалась дедуктивно, как развитие априорных принципов.

III Современная мысль в арифметике и геометрии

Разработка полной истории арифметики и геометрии была бы задачей, выходящей далеко за рамки этой статьи и знаний автора. В арифметике мы смогли наблюдать стадию, на которой спонтанное поведение привело к изобретению названий чисел и методов счета. Затем, благодаря определенным спекулятивным и «игровым» импульсам, возникли элементарные арифметические задачи, которые начали представлять интерес сами по себе. Геометрия здесь также принимается во внимание, и в связи с позиционными числовыми символами начинаются те взаимодействия между арифметикой и геометрией, которые приводят к формам нашей современной математики. Комплексные величины, представленные числовыми символами, больше не являются просто необходимыми результатами анализа коммерческих отношений или практических измерений, и геометрия больше не основывается непосредственно на интуитивно данных линии, точке и плоскости. Если числовые отношения должны быть выражены в терминах эмпирических пространственных положений, необходимо сконструировать множество мнимых поверхностей, как это делает Риман в своей теории функций, — конструкция, представляющая тип воображения, который Пуанкаре назвал интуитивным в противовес логическому (Value of Science, гл. I). И геометрия была не только приведена к построению многих неевклидовых пространств, но даже, с Пеано и его школой, была освобождена от оков какой-либо необходимой пространственной интерпретации вообще.

Прослеживание в конкретных деталях достижения современных уточнений теории чисел также не показало бы ничего нового в выстраивании математического интеллекта. Мы обнаружили бы здесь процесс, осуществляемый без мысли о последствиях; там — аналогию, предполагающую операцию, которая могла бы вывести нас за пределы трудности, блокировавшей прогресс; здесь — игровой интерес, ведущий к комбинации символов, из которой возникла новая идея; там — кропотливое и методичное усилие по преодолению трудности, осознанной с самого начала. Нам же сейчас следует спросить, что именно было достигнуто этими средствами, наконец, узнать, что это за вещи, называемые «число» и «линия» в широком смысле, в котором эти термины используются сейчас.

По крайней мере, что касается кардинального числа, ответ, общепринятый Дедекиндом, Пеано, Расселом и подобными авторами, таков: число — это «класс подобных классов» (Уайтхед и Рассел, Prin. Math., том II, с. 4). Интерпретации этого ответа г-н Рассел, наиболее самосознательно философский из этих математиков, посвятил все свое диалектическое мастерство. Определение имеет, по крайней мере, то достоинство, что оно свободно от определенного произвольного психологизирования, которое порочило многие ранние попытки решения этой проблемы. Г-н Рассел утверждает для него: «(1) что формальные свойства, которыми, как мы ожидаем, обладают кардинальные числа, вытекают из него; (2) что если мы не примем это определение или какое-то более сложное и практически эквивалентное определение, необходимо рассматривать кардинальное число класса как неопределимое» (loc. cit., с. 4). То, что термины определения, однако, не лишены неясности, видно из борьбы г-на Рассела с теорией зигзага, теорией отсутствия классов и т. д., и, наконец, в его укрытии в теории «логических типов» (loc. cit., том III, часть V. E.), посредством чего противоречие, которое подорвало Фреге и заставило г-на Рассела отойти от позиции «Принципов математики», наконец преодолевается.

Второе из утверждений г-на Рассела в пользу своего определения ничего не добавляет к первому, ибо оно лишь утверждает, что если мы не примем какое-либо определение кардинального числа, из которого вытекают его формальные свойства, число остается неопределенным. Любое такое определение было бы ipso facto практическим эквивалентом первого. Нам нужно лишь рассмотреть, вытекают ли формальные свойства чисел ясно из этого определения или нет.

Собственный опыт г-на Рассела заставляет нас колебаться. Когда он впервые принял это определение от Фреге, он пришел к выводу, что класс всех возможных классов может служить типом для наибольшего кардинального числа. Но это привело лишь к парадоксу и противоречию. Очевидный вывод заключался в том, что что-то не так с концепцией класса, и очевидный выход состоял в том, чтобы отрицать возможность любого такого всеобъемлющего класса. Почему должно существовать такое ограничение, кроме того, что оно позволяет избежать противоречия, из анализа г-на Рассела неясно (ср. Браун, «Логика г-на Рассела», Journ. of Phil., Psych., and Sci. Meth., том VIII, № 4, с. 85-89). Более того, переход к теории типов на этом основании означает отказ от ценности первого утверждения для определения (процитированного выше), поскольку формальные свойства чисел теперь просто вытекают из определения, потому что термины определения переинтерпретируются из свойств числа, так что эти свойства будут следовать из него. Определение стало циклическим.

Настоящая трудность заключается в концепции класса. Догматический реализм склонен находить здесь сущность, для которой, поскольку она явно не является физической вещью, должен быть предоставлен дом в какой-то области «бытия». Отсюда возникает область субсистенции, как для Платона мир фактов дублировал себя в мире идей. Но субсистентная область математика еще более поразительна, чем идеальная область Платона, ибо последний мир является прототипом мира вещей, в то время как мир математика населен всевозможными сущностями, которых никогда не было ни на земле, ни на море. Трансфинитные числа Кантора, без сомнения, имеют определенное математическое значение, но они не имеют известных представителей в мире вещей, ни в воображении человека, и, несмотря на усилия философов, можно даже усомниться, была ли когда-либо указана или может ли быть указана сущность, коррелятивная математической бесконечности.

Г-н Рассел теперь учит, что «классы являются лишь символическими» (Sci. Meth. in Phil., с. 208), но это выражение все еще нуждается в разъяснении. Оно, конечно, избегает ранней трудности признания «новых и таинственных метафизических сущностей» (loc. cit., с. 204), но «чувство странности», которое его сопровождает, кажется не лишенным значения. Что может означать лишь символический класс подобных классов, которые сами по себе лишь символические? Я не знаю, если только это не означает, что мы должны выбросить за борт усилия, направленные на произвольное и творческое определение, и действовать в простой индуктивной и интерпретативной манере. С отказом от классов как сущностей мы остаемся, пока не перейдем к новой точке зрения на арифметические сущности, в положении умного невежды, который определил операцию на фондовом рынке как покупку того, что нельзя получить за деньги, которых у вас никогда не было, и продажу того, чем вы никогда не владели, за большее, чем оно когда-либо стоило.

Ситуация, по-видимому, заключается в том, что мы сейчас стоим лицом к лицу с новыми обобщениями. Подобно тому, как числовые символы возникли для обозначения операций, пройденных при счете вещей, когда внимание отвлекается от конкретных характеристик сосчитанных вещей, и остались символом для этих операций с вещами, так и теперь мы становимся самосознательными в отношении характера операций, которые мы выполняли, и разрабатываем новые символы для выражения возможных операций с операциями. Бесконечность числового ряда выражает тот факт, что процесс перечисления можно продолжать бесконечно, и когда некоторые математики просят нас упражняться в таких мыслях, как то, что для бесконечных рядов собственная часть может быть равна целому, где равенство определяется через установление взаимно однозначного соответствия, нам на самом деле просто сообщают, что среди группы символов, используемых для обозначения конкретных шагов вечно открытого процесса счета, есть группы символов, которые можно использовать для обозначения операций, относящихся к тому же типу, что и данная, поскольку речь идет о характеристике открытого ряда. Если бы где-то существовала бесконечность вещей для счета, что является непостижимым предположением, было бы отнюдь не верно, что любой выбор вещей из этого ряда был бы эквивалентен всем вещам в ряду, за исключением случаев, когда эквивалентность означала бы, что их можно расположить в том же типе ряда, из которого они были взяты.

Аналогично, математическая концепция континуума — это не что иное, как формулировка того, каким образом должны быть выбраны сечения линии или числа непрерывного ряда, чтобы не осталось возможного сечения или числа, выбор которого не был бы указан. Соответствие между элементами таких рядов достигается, когда соответствующие элементы могут быть достигнуты идентичным процессом. Мне, однако, кажется ошибкой отождествлять числовой континуум с линейным континуумом, ибо последний должен включать иррациональные числа, тогда как иррациональное число никогда не может представлять пространственное положение в ряду. Например, √2 по своей природе является десятичной дробью, включающей бесконечное, т. е. вечно возрастающее число цифр для ее выражения, и в силу бесконечности этих цифр их никогда нельзя рассматривать как все данные. Это, следовательно, поистине число, ибо оно выражает подлинную числовую операцию, но это не положение, ибо оно не может быть определенной величиной, а лишь величиной, приближающейся к определенной величине настолько близко, насколько угодно. То есть, без его полного выражения, которое было бы аналогично самопротиворечивой задаче нахождения наибольшего кардинального числа, не может быть сечения на линии, которое было бы символизировано им. Но операции перевода алгебраических выражений в геометрические и наоборот (операции, которые так важны в физических исследованиях) облегчаются понятием взаимно однозначного соответствия между числом и пространством.

Когда мы переходим к трансфинитным числам, мы не имеем в Алефах ничего, кроме символов определенных группировок операций, выразимых в обычных числовых рядах. И многие формы чисел — это просто результат признания ценности в именовании определенных групп операций более низкого уровня, что само по себе может быть усложнением процессов, обозначенных простыми числовыми знаками. Создавать такие символы отнюдь не незаконно, и никаких парадоксов не возникает ни в каких формах, пока мы помним, что наши числа — это не вещи, а знаки операций, которые могут выполняться непосредственно над вещами или над другими операциями.

Например, рассмотрим такой символ, как √-5. -5 означает совокупность процесса счета, осуществляемого в противоположном смысле, чем тот, который обозначен +5. Извлечь квадратный корень — значит символизировать число, совокупность операции, такую, что когда выполняется операция, обозначенная умножением его на самого себя, результат равен 5. Следовательно, √-5 — это просто символ этих процессов, объединенных таким образом, что вся операция должна рассматриваться как противоположная в некотором смысле той, которая обозначена √5. Отсюда простой метод представления таких мнимых чисел основан на принципе аналитической геометрии и системе координат.

Природа этого последнего обобщения математики хорошо показана г-ном Уайтхедом в его монументальной «Универсальной алгебре». Работа начинается с определения исчисления как «искусства манипулирования подстановочными знаками согласно фиксированным правилам и вывода из этого истинных суждений» (loc. cit., с. 4). Сам вывод — это действительно манипуляция согласно правилам, а истина состоит по существу в том, что результаты фактически выводятся из посылок согласно правилу. Следуя Стауту, подстановочные знаки характеризуются так: «слово — это инструмент для мышления о значении, которое оно выражает; подстановочный знак — это средство не думать о значении, которое он символизирует». Математические символы, таким образом, стали подстановочными знаками. Но это возможно только потому, что на ранней стадии своей истории они были выразительными знаками, и законы, которые их связывали, были выведены из отношений вещей, для которых они стояли. Сначала стало возможным забыть о вещах в их конкретности, а теперь они стали просто терминами для отношений, которые были обобщены между ними. Следовательно, когда вещи забыты, а термины рассматриваются как простые элементы реляционного комплекса, возможно формулировать такие реляционные комплексы с предельной свободой. Но это не означает, что математику можно создавать чисто произвольным образом. Знак ее происхождения лежит на ней в необходимости демонстрации некоторой существующей ситуации, посредством которой непротиворечивый характер ее постулатов может быть проверен. Реальное преимущество обобщения — это преимущество всех обобщений в науке, а именно: отвлекаясь от практических приложений (как видно из исторического обзора), часто получаются результаты, которые никогда не были бы достигнуты, если бы наш труд был сознательно ограничен только теми задачами, где преимущества решения были очевидны. Так, самые фантастические формы математики, которые сами по себе, кажется, не имеют отношения к актуальным явлениям, просто потому, что отношения, вовлеченные в них, — это отношения, которые были выведены из взаимодействия с актуальным миром, могут способствовать решению задач в других формах исчисления или даже созданию новых форм математики. И эти новые формы могут находиться в более тесной связи с аспектами реального мира, чем исходная математика.