«Эссе об основаниях геометрии»

Если мы теперь перейдем к поверхности, то, что нам нужно, — это, по аналогии, мера ее отклонения от плоскости. Кривизна, как определено выше, стала неопределенной, ибо через любую точку поверхности мы можем провести бесконечное число дуг, которые, как правило, не будут иметь одинаковую кривизну. Проведем тогда все геодезические, соединяющие рассматриваемую точку с соседними точками поверхности во всех направлениях. Поскольку эти дуги образуют однократно бесконечное многообразие, среди них будет, если они не имеют одинаковую кривизну, одна дуга максимальной и одна дуга минимальной кривизны [22]. Произведение этих максимальной и минимальной кривизн называется мерой кривизны поверхности в рассматриваемой точке. Чтобы проиллюстрировать несколькими простыми примерами: на сфере кривизны всех таких линий равны величине, обратной радиусу сферы, следовательно, мера кривизны везде равна квадрату величины, обратной радиусу сферы. На любой поверхности, такой как конус или цилиндр, на которой можно провести прямые линии, они не имеют кривизны, так что мера кривизны везде равна нулю — это случай, в частности, плоскости. В общем, однако, мера кривизны поверхности варьируется от точки к точке.

Гаусс, изобретатель этого понятия [23], доказал, что для того, чтобы две поверхности могли быть развертываемыми друг на друга — т. е. могли быть такими, что одну можно согнуть в форму другой без растяжения или разрыва, — необходимо, чтобы две поверхности имели равные меры кривизны в соответствующих точках. Когда это имеет место, каждая фигура, возможная на одной, в общем случае возможна и на другой, и обе имеют практически одну и ту же геометрию [24]. Как следствие, отсюда следует, что необходимым условием для свободной подвижности фигур на любой поверхности является постоянство меры кривизны [25]. Это условие было доказано как достаточное, так и необходимое Миндингом [26].

21. До сих пор все шло гладко — мы имели дело с чисто геометрическими идеями чисто геометрическим образом, — но мы еще не нашли никакого смысла меры кривизны, в котором она может быть распространена на пространство, тем более на n-мерное многообразие. Для этой цели мы должны исследовать метод Гаусса, который позволяет нам определить меру кривизны поверхности в любой точке как внутреннее свойство, совершенно независимое от какой-либо отсылки к третьему измерению.

Метод определения меры кривизны изнутри, вкратце, таков: если любая точка на поверхности определяется двумя координатами u, v, то малые дуги поверхности задаются формулой

ds^2 = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2,

где E, F, G являются, в общем случае, функциями u, v [27]. Из этой формулы одной, без отсылки к какому-либо пространству вне поверхности, мы можем определить меру кривизны в точке u, v как функцию E, F, G и их дифференциалов по u и v. Таким образом, мы можем рассматривать меру кривизны поверхности как внутреннее свойство, и вышеприведенное геометрическое определение, которое включало отсылку к третьему измерению, может быть отброшено. Но в этом пункте необходима осторожность. В главе III (§ 176) будет показано, что логически невозможно установить точную систему координат, в которой координаты представляют пространственные величины, без аксиомы свободной подвижности, и эта аксиома, как мы только что видели, справедлива на поверхностях только тогда, когда мера кривизны постоянна. Следовательно, наше определение меры кривизны будет действительно свободным от отсылки к третьему измерению только тогда, когда мы имеем дело с поверхностью постоянной меры кривизны — пункт, который Риман полностью упускает из виду. Эта осторожность, однако, применима только в пространстве, и если мы принимаем систему координат как предполагаемую в понятии многообразия, мы можем пренебречь этой осторожностью вовсе — помня при этом, что возможность системы координат в пространстве включает аксиомы, подлежащие исследованию позже. Мы можем таким образом видеть, как можно найти смысл, без отсылки к какому-либо высшему измерению, для постоянной меры кривизны трехмерного пространства или для любой меры кривизны n-мерного многообразия в целом.

22. Такой смысл предоставляется диссертацией Римана, к которой, после этого долгого отступления, мы можем теперь вернуться. Мы можем определить непрерывное многообразие как любой континуум элементов, такой, что отдельный элемент определяется n непрерывно изменяющимися величинами. Это определение на самом деле не включает пространство, ибо координаты в пространстве не определяют точку, а лишь ее отношения к началу координат, которое само по себе произвольно. Оно включает, однако, аналитическое понятие пространства, с которым имеет дело Риман, и может, следовательно, быть допущено на данный момент. Риман затем предполагает, что разность — или расстояние, как его можно свободно называть — между любыми двумя элементами сравнима, в отношении величины, с разностью между любыми другими двумя. Он предполагает далее, что, как доказал Гельмгольц, разность ds между двумя последовательными элементами может быть выражена как квадратный корень из квадратичной функции разностей координат: т. е.

ds^2 = Σ_{1}^{n} Σ_{1}^{n} a_{ik} dx_i dx_k,

где коэффициенты a_{ik} являются, в общем случае, функциями координат x_1, x_2, ... x_n. [28] Вопрос заключается в следующем: как нам получить определение меры кривизны из этой формулы? Прежде всего, примечательно, что подобно тому, как на поверхности мы обнаружили бесконечное число радиусов кривизны в точке, так и в многообразии трех или более измерений мы должны найти бесконечное число мер кривизны в точке — по одной для каждого двумерного многообразия, проходящего через эту точку и содержащегося в более высоком многообразии. Поэтому первое, что нам нужно сделать, — это определить такие двумерные многообразия. Они должны состоять, как мы видели на примере поверхности, из однократно бесконечного ряда геодезических, проходящих через данную точку. Но геодезическая полностью определяется одной точкой и своим направлением в этой точке, либо одной точкой и следующей за ней точкой. Следовательно, геодезическая, проходящая через рассматриваемую точку, определяется отношениями приращений координат dx_1, dx_2, ... dx_n. Предположим, у нас есть две такие геодезические, в которых i-е приращения равны соответственно d'x_i и d''x_i. Тогда все геодезические, заданные

dx_i = λ' d'x_i + λ'' d''x_i

образуют однократно бесконечный ряд, поскольку они содержат один параметр, а именно λ' : λ''. Таким образом, такой ряд геодезических должен образовывать двумерное многообразие с мерой кривизны в обычном гауссовом смысле. Эта мера кривизны может быть определена из приведенной выше формулы для элементарной дуги с помощью упомянутой выше общей формулы Гаусса. Таким образом, мы получаем бесконечное число мер кривизны в точке, но из n(n – 1)/2 из них можно вывести остальные (Riemann, Gesammelte Werke, стр. 262). Когда все меры кривизны в точке постоянны и равны всем мерам кривизны в любой другой точке, мы получаем то, что Риман называет многообразием постоянной кривизны. В таком многообразии возможна свободная подвижность, и положения внутренне не отличаются друг от друга. Если a — мера кривизны, то формула для дуги в этом случае принимает вид

ds^2 = Σ dx^2 / (1 + a/4 Σ x^2)^2.

Только в этом случае, как я отмечал выше, термин «мера кривизны» может быть должным образом применен к пространству без отсылки к более высокому измерению, поскольку свободная подвижность логически необходима для существования количественной или метрической геометрии.

23. Математический результат диссертации Римана можно резюмировать следующим образом. Допуская возможность применения величины к пространству, т. е. определения его элементов и фигур с помощью алгебраических величин, следует, что пространство можно подвести под понятие многообразия как системы количественно определяемых элементов. Однако из-за своеобразной природы пространственного измерения количественное определение пространства требует, чтобы величины были независимы от места — поскольку это не так, наши измерения будут неизбежно неточными. Если мы теперь примем в качестве количественного отношения расстояния между двумя элементами квадратный корень из квадратичной функции координат — формула, впоследствии доказанная Гельмгольцем и Ли, — то из того, что величины должны быть независимы от места, следует, что пространство должно в пределах наблюдений иметь постоянную меру кривизны или, другими словами, быть однородным во всех своих частях. В бесконечно малом, говорит Риман (стр. 267), наблюдение не могло обнаружить отклонение от постоянства меры кривизны; но он не делает попытки показать, как геометрия могла бы оставаться возможной при таких обстоятельствах, и единственная геометрия, которую он построил, полностью основана на свободной подвижности. Я попытаюсь доказать в главе III, что любая метрическая геометрия, которая попыталась бы обойтись без этой аксиомы, была бы логически невозможна. В настоящее время я лишь укажу, что Риман, несмотря на свое желание доказать, что можно обойтись без всех аксиом, тем не менее в своей математической работе сохранил три фундаментальные аксиомы, а именно: свободную подвижность, конечное целое число измерений и аксиому о том, что две точки имеют уникальное отношение, а именно расстояние. Как мы увидим далее, они сохраняются в реальной математической работе всеми метрическими метагеометрами, даже когда они полагают, подобно Риману и Гельмгольцу, что никакие аксиомы философски не являются обязательными.

24. Гельмгольц, исторически ближайший последователь Римана, руководствовался схожей эмпирической философией и независимо пришел к очень похожему методу формулирования аксиом. Хотя Гельмгольц не публиковал ничего по этому вопросу до смерти Римана, к тому времени он только что ознакомился с диссертацией Римана (которая была опубликована посмертно) и разработал свои результаты, насколько они были тогда завершены, в полной независимости как от Римана, так и от Лобачевского. Гельмгольц — самый читаемый из всех авторов по метагеометрии, и его труды почти в одиночку представляют философам современную математическую точку зрения на этот предмет. Но его значение в этой области гораздо больше как философа, чем как математика; почти единственный его оригинальный математический результат в отношении геометрии — это доказательство формулы Римана для бесконечно малой дуги, и даже это доказательство было далеко не строгим, пока Ли не реформировал его своим методом непрерывных групп. Поэтому в этой главе нас должны занять только два его сочинения, а именно две статьи в Wissenschaftliche Abhandlungen, том II, озаглавленные соответственно «Ueber die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie», 1866 (стр. 610 и сл.) и «Ueber die Thatsachen, die der Geometrie zum Grunde liegen», 1868 (стр. 618 и сл.).

25. В первой из них, которая носит преимущественно философский характер, Гельмгольц дает намеки на свою тогда еще не завершенную математическую работу, но в основном ограничивается изложением результатов. Он объявляет, что докажет квадратичную формулу Римана для бесконечно малой дуги; но для этой цели, говорит он, мы должны начать с конгруэнтности, поскольку без нее пространственное измерение невозможно. Тем не менее он утверждает, что конгруэнтность подтверждается опытом. Как мы могли бы без помощи измерения обнаружить отклонения от конгруэнтности — это вопрос, который он оставляет без обсуждения. Затем он формулирует четыре аксиомы, которые он считает существенными для геометрии, следующим образом:

(1) Относительно непрерывности и измерений. В пространстве n измерений точка однозначно определяется измерением n непрерывных переменных (координат).

(2) Относительно существования подвижных твердых тел. Между 2n координатами любой пары точек твердого тела существует уравнение, которое является одинаковым для всех конгруэнтных пар точек. Рассматривая достаточное количество пар точек, мы получаем больше уравнений, чем неизвестных величин: это дает нам метод определения вида этих уравнений, чтобы сделать возможным их выполнение для всех них.

(3) Относительно свободной подвижности. Каждая точка может свободно и непрерывно переходить из одного положения в другое. Из (2) и (3) следует, что если две системы A и B могут быть приведены в конгруэнтность в каком-либо одном положении, это также возможно в любом другом положении.

(4) Относительно независимости вращения в твердых телах (монодромия). Если (n – 1) точек тела остаются неподвижными, так что каждая другая точка может описывать только определенную кривую, то эта кривая является замкнутой.

Эти аксиомы, говорит Гельмгольц, достаточны для того, чтобы вместе с аксиомой о трех измерениях дать евклидову и неевклидовы системы как единственные альтернативы. То, что они достаточны математически, нельзя отрицать, но они кажутся в некоторых отношениях избыточными. Во-первых, нет необходимости применять аксиому конгруэнтности к реальным твердым телам — об этом я подробно говорил в главе II. [29] Далее, свободная подвижность, в отличие от конгруэнтности, едва ли нуждается в специальной формулировке: какой барьер могло бы предложить пустое пространство для движения точки? Эта аксиома подразумевается в однородности пространства, что является тем же самым, что и аксиома конгруэнтности. Монодромия также подвергалась суровой критике; не только очевидно, что она могла быть включена в конгруэнтность, но даже с чисто аналитической точки зрения Софус Ли доказал, что она излишня [30]. Таким образом, аксиома конгруэнтности, правильно сформулированная, включает третью и четвертую аксиомы Гельмгольца и часть его второй аксиомы. Все четыре, или, вернее, столько, сколько из них относится к геометрии, являются следствиями, как мы увидим далее, одного фундаментального принципа относительности положения.

26. Вторая статья, которая является преимущественно математической, содержит обещанное доказательство формулы дуги, что является наиболее важным вкладом Гельмгольца в геометрию. Риман принял эту формулу как простейшую из ряда альтернатив: Гельмгольц доказал, что она является необходимым следствием его аксиом. Настоящая работа начинается с краткого повторения первой, включая изложение аксиом, к которым в конце статьи добавлены еще две: (5) пространство имеет три измерения и (6) пространство бесконечно. В тексте, как и в первой статье, предполагается, что мера кривизны не может быть отрицательной и, следовательно, бесконечное пространство должно быть евклидовым. Эта ошибка в обеих статьях исправлена в примечаниях, добавленных после появления статьи Бельтрами об отрицательной кривизне. Это пример слегка непрофессионального характера математической работы Гельмгольца по данному предмету, что вызывает у Клейна следующие замечания [31]: «Гельмгольц не математик по профессии, а физик и физиолог... Из этого нематематического качества Гельмгольца естественно следует, что он не относится к математической части своей работы с той тщательностью, которой потребовали бы от математика по специальности (von Fach)». Он сам говорит нам, что именно физиологическое изучение зрения привело его к вопросу об аксиомах, и именно как физик он делает так, чтобы его аксиомы относились к реальным твердым телам. Соответственно, мы находим ошибки в его математике, такие как аксиома монодромии и предположение, что мера кривизны должна быть положительной. Тем не менее доказательство формулы дуги Римана чрезвычайно способное и в целом было подтверждено более тщательными исследованиями Ли.

27. Другие сочинения Гельмгольца по геометрии почти полностью философские и будут подробно обсуждаться в главе II. В настоящее время мы можем перейти к единственному другому важному автору второго периода — Бельтрами. Поскольку его работа чисто математическая и содержит мало спорных моментов, она, несмотря на свою огромную важность, не должна задерживать нас надолго.

«Saggio di Interpretazione della Geometria non-Euclidea» [32], который в основном ограничен двумя измерениями, интерпретирует результаты Лобачевского характерным методом второго периода. Он показывает, путем развития работ Гаусса и Миндинга [33], что все положения планиметрии, которые изложил Лобачевский, справедливы в рамках обычного евклидова пространства на поверхностях постоянной отрицательной кривизны. Странно, как отмечает Клейн [34], что эта интерпретация, которая была известна Риману и, возможно, даже Гауссу, так долго оставалась без явного изложения. Это тем более странно, что «Géométrie Imaginaire» Лобачевского появилась в журнале Крелле, том XVII [35], а статья Миндинга, из которой эта интерпретация следует непосредственно, появилась в журнале Крелле, том XIX. Миндинг показал, что геометрию поверхностей постоянной отрицательной кривизны, в частности в отношении геодезических треугольников, можно вывести из геометрии сферы, придав радиусу чисто мнимое значение ia [36]. Этот результат, как мы видели, был также получен Лобачевским для его геометрии, и все же потребовалось тридцать лет, чтобы эта связь стала общеизвестной.

28. В «Saggio» Бельтрами прямые линии, конечно, заменены геодезическими; его координаты получены через поточное соответствие с вспомогательной плоскостью, в которой прямые линии соответствуют геодезическим на поверхности. Таким образом, геодезические имеют линейные уравнения и всегда однозначно определяются двумя точками. Расстояния на поверхности, однако, не равны расстояниям на плоскости; таким образом, хотя поверхность бесконечна, соответствующая часть плоскости содержится внутри определенного конечного круга. Расстояние между двумя точками на поверхности является определенной функцией координат, а не обычной функцией элементарной геометрии. Эти отношения плоскости и поверхности важны в связи с теорией расстояния Кэли, которую мы должны рассмотреть далее. Если бы мы определили расстояние на плоскости как ту функцию координат, которая дает соответствующее расстояние на поверхности, мы получили бы то, что Клейн называет «плоскостью с гиперболической системой измерения (Massbestimmung)», в которой была бы справедлива теория расстояния Кэли. Очевидно, однако, что обычное понятие расстояния было заранее предположено при создании системы координат, так что мы не получаем альтернативных геометрий на одной и той же плоскости. Значение этих замечаний проявится более полно, когда мы перейдем к рассмотрению Кэли и Клейна.

29. Ценность «Saggio» Бельтрами в его собственных глазах заключается в понятном евклидовом смысле, который он придает планиметрии Лобачевского: соответствующая система стереометрии, поскольку она не имеет смысла для евклидова пространства, едва упоминается в этой работе. Однако во второй статье [37], почти одновременной с первой, он переходит к рассмотрению общей теории n-мерных многообразий постоянной отрицательной кривизны. Эта статья находится под сильным влиянием диссертации Римана; она начинается с формулы для линейного элемента и доказывает из этого, во-первых, что конгруэнтность справедлива для таких пространств, и, во-вторых, что они имеют, согласно определению Римана, постоянную отрицательную меру кривизны. (Поучительно наблюдать, что как в этом, так и в предыдущем эссе большое внимание уделяется необходимости аксиомы конгруэнтности.)

Эта работа имеет меньший философский интерес, чем предыдущая, поскольку она делает не больше, чем повторяет в общей форме результаты, которые «Saggio» получил для двух измерений — результаты, которые при расширении до n измерений опускаются до уровня простых математических конструкций. Тем не менее статья важна как восстановление отрицательной кривизны, которая была упущена из виду Гельмгольцем, и как аналитическая трактовка результатов Лобачевского — трактовка, которая вместе с «Saggio» наконец вернула им известность, которую они заслуживали.

Третий период.

30. Третий период радикально отличается как своими методами и целями, так и лежащими в его основе философскими идеями от периода, который он заменил. В то время как во втором периоде все вращалось вокруг измерения с его аппаратом конгруэнтности, свободной подвижности, твердых тел и прочего, все это полностью исчезает в третьем периоде, который, качаясь в противоположную крайность, рассматривает количество как совершенно нерелевантную категорию в геометрии и обходится без конгруэнтности и метода наложения. Идеи этого периода, к сожалению, не нашли такого философского выразителя, как Риман или Гельмгольц, а были изложены только техническими математиками. Более того, изменение фундаментальных идей, которое является огромным, не привело к столь же большому изменению в фактической процедуре; ибо хотя пространственное количество больше не является частью проективной геометрии, количество все еще используется, и у нас все еще есть уравнения, алгебраические преобразования и так далее. Это склонно вызывать путаницу, особенно в уме студента, который не осознает, что используемые величины, поскольку положения действительно проективны, являются лишь именами для точек, а не, как в метрической геометрии, реальными пространственными величинами.

Тем не менее фундаментальное различие между этим периодом и предыдущим должно сразу поразить любого. В то время как Риман и Гельмгольц имели дело с метрическими идеями и брали за свои основы меру кривизны и формулу для линейного элемента — обе чисто метрические, — новый метод воздвигнут на формулах преобразования координат, необходимых для выражения данной коллинеации. Он начинает с сведения всех так называемых метрических понятий — расстояния, угла и т. д. — к проективным формам и получает из этого сведения методологическое единство и простоту, которые были невозможны ранее. Это сведение, однако, зависит, за исключением случаев, когда пространственная константа отрицательна, от мнимых фигур — в Евклиде, от круговых точек на бесконечности; более того, оно чисто символическое и аналитическое и должно рассматриваться как философски нерелевантное. Поскольку вопрос о значении этого сведения имеет фундаментальное значение для нашей теории геометрии, а Кэли в своем президентском обращении к Британской ассоциации в 1883 году официально призвал философов обсудить использование мнимых величин, от которых оно зависит, я рассмотрю этот вопрос довольно подробно. Но сначала давайте посмотрим, как математически осуществляется это сведение.

31. Мы обнаружим на протяжении этого периода, что почти каждое важное положение, хотя и вводит в заблуждение при своем очевидном истолковании, тем не менее при правильном истолковании имеет широкое философское значение. Так обстоит дело с работой Кэли, пионера проективного метода.

Проективная формула для углов в евклидовой геометрии была впервые получена Лагерром в 1853 году. Эта формула, однако, имела совершенно евклидов характер, и Кэли оставалось обобщить ее так, чтобы включить как углы, так и расстояния в евклидовых и неевклидовых системах одинаково [38].

Кэли до самого конца был стойким сторонником евклидова пространства, хотя он полагал, что неевклидовы геометрии могут быть применены в рамках евклидова пространства путем изменения определения расстояния [39]. Таким образом, несмотря на свою евклидову ортодоксальность, он предоставил сторонникам возможности неевклидовых пространств одно из их самых мощных орудий. В своих «Sixth Memoir upon Quantics» (1859) он поставил перед собой задачу «установления понятия расстояния на чисто дескриптивных принципах». Он показал, что при обычном понятии расстояния оно может быть сделано проективным путем отсылки к круговым точкам и линии на бесконечности, и что то же самое верно для углов [40]. Не довольствуясь этим, он предложил новое определение расстояния как арксинуса или арккосинуса определенной функции координат; с этим определением свойства, обычно называемые метрическими, становятся проективными свойствами, имеющими отношение к определенному коническому сечению, называемому Кэли Абсолютом. (Круговые точки аналитически являются вырожденным коническим сечением, так что обычная геометрия образует частный случай вышеизложенного.) Он доказывает, что когда Абсолют является мнимым коническим сечением, геометрия, полученная таким образом для двух измерений, является сферической геометрией. Соответствие с Лобачевским в случае, когда Абсолют является реальным, не проработано: действительно, повсюду нет свидетельств знакомства с неевклидовыми системами. Важность мемуара для Кэли заключается целиком в его доказательстве того, что метрическая геометрия — это лишь ветвь дескриптивной геометрии.

32. Связь теории расстояния Кэли с метагеометрией была впервые указана Клейном [41]. Клейн подробно показал, что если Абсолют реален, мы получаем систему Лобачевского (гиперболическую); если он мнимый, мы получаем либо сферическую геометрию, либо новую систему, аналогичную системе Гельмгольца, называемую Клейном эллиптической; если Абсолют является мнимой парой точек, мы получаем параболическую геометрию, и если, в частности, пара точек является круговыми точками, мы получаем обычного Евклида. В эллиптической геометрии две прямые линии в одной плоскости пересекаются только в одной точке, а не в двух, как в системе Гельмгольца. Различие между двумя видами геометрии трудно, и оно будет обсуждаться позже.

33. Поскольку все эти системы получены из евклидовой плоскости простым изменением определения расстояния, Кэли и Клейн склонны рассматривать весь вопрос не как вопрос о природе пространства, а как вопрос об определении расстояния. Поскольку это определение, по их мнению, совершенно произвольно, философская проблема исчезает — евклидово пространство остается в бесспорном владении, и единственная оставшаяся проблема — это проблема конвенции и математического удобства [42]. Этот взгляд был решительно выражен Пуанкаре: «Что следует думать, — говорит он, — об этом вопросе: истинна ли евклидова геометрия? Вопрос лишен смысла». Геометрические аксиомы, согласно ему, являются лишь конвенциями: это «определения в маскировке [43]». Таким образом, Клейн винит Бельтрами за то, что тот рассматривал свою вспомогательную плоскость лишь как вспомогательную, и замечает, что если бы он знал мемуар Кэли, он увидел бы, что связь между плоскостью и псевдосферой гораздо более тесная, чем он предполагал [44]. Взгляд, который полностью удаляет проблему с арены философии, требует, очевидно, полного обсуждения. К этому обсуждению мы теперь и перейдем.

34. Рассматриваемый взгляд возник, по-видимому, из естественной путаницы относительно природы используемых координат. Те, кто придерживается этого взгляда, не осознали, я полагаю, в достаточной мере, что их координаты — это не пространственные величины, как в метрической геометрии, а лишь условные знаки, с помощью которых можно отчетливо обозначить различные точки. Поэтому нет никаких оснований, пока у нас еще нет метрической геометрии, считать одну функцию координат лучшим выражением расстояния, чем другую, до тех пор, пока сохраняется фундаментальное уравнение сложения [45]. Следовательно, если наши координаты считаются адекватными для всей геометрии, возникает неопределенность в выражении расстояния, которую можно избежать только с помощью конвенции. Но проективные координаты — как будет утверждать наш аргумент, — хотя и вполне адекватны для всех проективных свойств и полностью свободны от каких-либо метрических предпосылок, неадекватны для выражения метрических свойств именно потому, что у них нет метрической предпосылки. Таким образом, там, где речь идет о метрических свойствах, Бельтрами остается оправданным по сравнению с Клейном; сведение метрических свойств к проективным является лишь кажущимся, хотя независимость последних от метрической геометрии вполне реальна.

35. Но что такое проективные координаты и как они вводятся? Этот вопрос не был затронут в мемуаре Кэли, и поэтому казалось, что использование координат для определения расстояния содержит логическую ошибку. Ибо координаты во всех предыдущих системах выводились из расстояния; использовать любую существующую систему координат при определении расстояния означало, следовательно, впасть в порочный круг. Кэли упоминает эту трудность в примечании, где он, однако, лишь замечает, что он рассматривал свои координаты как числа, произвольно присвоенные по какой-то системе, не исследованной далее, различным точкам. Эта трудность была подробно рассмотрена сэром Р. Боллом (Theory of the Content, Trans. R. I. A. 1889), который настаивает, что если значения наших координат уже включают обычную меру расстояния, то дать новое определение, сохраняя обычные координаты, означает впасть в противоречие. Он говорит (op. cit. стр. 1): «При изучении неевклидовой геометрии я часто чувствовал трудность, которую, как я знаю, разделяли и другие. В этой теории кажется, что мы пытаемся заменить наше обычное понятие расстояния между двумя точками логарифмом определенного ангармонического отношения [46]. Но само это отношение включает понятие расстояния, измеренного обычным способом. Как же тогда мы можем заменить наше старое понятие расстояния неевклидовым понятием, если само определение последнего включает первое?»

36. Это возражение справедливо, мы должны признать, до тех пор, пока ангармоническое отношение определяется обычным метрическим способом. Оно было бы справедливо, например, против любой попытки основать новое определение расстояния на изложении ангармонического отношения Кремоной [47], в котором оно предстает как метрическое свойство, не измененное проективным преобразованием. Если нужно избежать логической ошибки, на самом деле, следует избегать всякой отсылки к пространственной величине любого рода; ибо всякая пространственная величина, как будет показано далее [48], логически зависит от фундаментальной величины расстояния. Ангармоническое отношение и координаты должны быть одинаково определены чисто дескриптивными свойствами, если использование, которое впоследствии из них делается, должно быть свободно от метрических предпосылок и, следовательно, от возражений сэра Р. Болла.

Такое определение было удовлетворительно дано Клейном [49], который апеллирует для этой цели к четырехугольной конструкции фон Штаудта [50]. С помощью этой конструкции, которую я воспроизвел в общих чертах в главе III, разделе A, § 112 и сл., мы получаем чисто дескриптивное определение гармонического и ангармонического отношения, и, имея пару точек, мы можем получить гармонически сопряженную точку к любой третьей точке на той же прямой. На этой конструкции основано введение проективных координат. Начиная с любых трех точек на прямой, мы присваиваем им произвольно числа 0, 1, ∞. Затем мы находим гармонически сопряженную точку к первой относительно 1, ∞ и присваиваем ей число 2. Цель присвоения этого числа, а не какого-либо другого, состоит в том, чтобы получить значение –1 для ангармонического отношения четырех чисел, соответствующих четырем точкам [51]. Затем мы находим гармонически сопряженную точку к точке 1 относительно 2, ∞ и присваиваем ей число 3; и так далее. Клейн показал, что с помощью этой конструкции мы можем получить любое количество точек и можем построить точку, соответствующую любому заданному числу, дробному или отрицательному. Более того, когда два набора из четырех точек имеют одно и то же ангармоническое отношение, определенное дескриптивно [52], соответствующие числа также имеют одно и то же ангармоническое отношение. Вводя такую числовую систему на двух прямых или на трех, мы получаем координаты любой точки на плоскости или в пространстве. С помощью этой конструкции, которая имеет фундаментальное значение для проективной геометрии, логическая ошибка, на которой сэр Р. Болл основывает свою критику, удовлетворительно избегается. Наши координаты вводятся чисто дескриптивным методом и не включают никаких предпосылок относительно измерения расстояния.

37. С этой системой координат, следовательно, определять расстояние как определенную функцию координат не означает совершать порочный круг. Но из этого вовсе не следует, что определение расстояния произвольно. Всякая отсылка к расстоянию до сих пор исключалась, чтобы избежать метрических идей; но когда вводится расстояние, метрические идеи неизбежно появляются вновь, и мы должны помнить, что наши координаты не дают информации, primâ facie, ни об одной из этих метрических идей. Мы можем, конечно, если захотим, продолжать исключать расстояние в обычном смысле как величину конечной прямой линии и определять слово «расстояние» как угодно. Но понятие, которое до сих пор обозначалось этим словом, тогда потребует нового имени, и единственным результатом будет путаница между кажущимся значением наших положений для тех, кто сохраняет ассоциации, принадлежащие старому смыслу слова, и реальным значением, вытекающим из нового смысла, в котором используется это слово.

Эта путаница, я полагаю, действительно произошла в случае тех, кто рассматривает вопрос между Евклидом и метагеометрией как вопрос об определении расстояния. Расстояние — это количественное отношение и как таковое предполагает тождество качества. Но проективная геометрия имеет дело только с качеством — по какой причине она называется дескриптивной — и не может различить две фигуры, которые качественно одинаковы. Теперь значение качественного сходства в геометрии — это возможность взаимного преобразования посредством коллинеации [53]. Любые две пары точек на одной и той же прямой, следовательно, качественно одинаковы; их единственное качественное отношение — это прямая линия, которую обе пары имеют общую; и именно качественное тождество отношений двух пар позволяет разности их отношений быть исчерпывающе рассмотренной с помощью количества как разности расстояний. Но там, где количество исключено, любые две пары точек на одной прямой кажутся одинаковыми, и даже любые два набора из трех: ибо любые три точки на прямой могут быть проективно преобразованы в любые другие три. Только с четырьмя точками на линии мы приобретаем проективное свойство, отличающее их от других наборов из четырех, и это свойство — ангармоническое отношение, определенное дескриптивно. Проективный геометр, следовательно, не видит причин давать имя отношению между двумя точками, поскольку это отношение есть нечто большее, чем неограниченная прямая линия, на которой они лежат; и когда он вводит понятие расстояния, он определяет его единственным способом, который позволяют ему проективные принципы, как отношение между четырьмя точками. Поскольку он тем не менее хочет, чтобы слово дало ему возможность различать разные пары точек, он соглашается взять две из четырех точек как фиксированные. Таким образом, единственные переменные в расстоянии — это две оставшиеся точки, и расстояние, следовательно, предстает как функция двух переменных, а именно координат двух переменных точек. Когда мы далее определили нашу функцию так, чтобы расстояние могло быть аддитивным, мы получаем функцию со многими свойствами расстояния в обычном смысле. Эту функцию, следовательно, проективный геометр рассматривает как единственно правильное определение расстояния.

Мы можем видеть, на самом деле, из того, как были введены наши проективные координаты, что некоторая функция этих координат должна выражать расстояние в обычном смысле. Ибо они были введены последовательно, так что по мере нашего продвижения от нулевой точки к точке бесконечности наши координаты постоянно росли. Каждой точке соответствовала определенная координата: расстоянию между двумя переменными точками, следовательно, как функции, зависящей от других переменных, должна соответствовать некоторая определенная функция координат, поскольку они сами являются функциями своих точек. Обсуждаемая выше функция, следовательно, должна определенно включать расстояние в обычном смысле.

Но произвольный и условный характер расстояния, как утверждают Пуанкаре и Клейн, проистекает из того факта, что две фиксированные точки, необходимые для определения нашего расстояния в проективном смысле, могут быть произвольно выбраны, и хотя, когда наш выбор сделан, любые две точки имеют определенное расстояние, все же, в зависимости от того, как мы делаем этот выбор, расстояние станет другой функцией двух переменных точек. Неопределенность, таким образом введенная, неизбежна на проективных принципах; но должны ли мы заключать из этого, что она действительно неизбежна? Не должны ли мы скорее заключить, что проективная геометрия не может адекватно иметь дело с расстоянием? Если A, B, C — три разные точки на линии, должно быть некоторое различие между отношением A к B и A к C, ибо в противном случае, из-за качественного тождества всех точек, B и C нельзя было бы различить. Но такое различие включает отношение между A и B, которое независимо от других точек на линии; ибо если у нас нет такого отношения, другие точки нельзя различить как разные. Прежде чем мы сможем различить две фиксированные точки, с которых начинается проективное определение, мы должны уже предположить некоторое отношение между любыми двумя точками на нашей линии, в котором они независимы от других точек; и это отношение — расстояние в обычном смысле [54]. Когда мы измерили это количественное отношение обычными методами метрической геометрии, мы можем перейти к решению того, какие базовые точки должны быть выбраны на нашей линии, чтобы проективная функция, обсуждавшаяся выше, могла иметь то же значение, что и обычное расстояние. Но выбор этих базовых точек, когда мы обсуждаем расстояние в обычном смысле, не является произвольным, и их введение — лишь технический прием. Расстояние в обычном смысле остается отношением между двумя точками, а не между четырьмя; и именно неспособность осознать, что проективный смысл отличается от обычного смысла и не может его заменить, породила взгляды Клейна и Пуанкаре. Вопрос не в конвенции, а в несводимых метрических свойствах пространства. Резюмируя: количества, как они используются в проективной геометрии, не означают пространственные величины, а являются условными символами для чисто качественных пространственных отношений. Но расстояние, quâ количество, предполагает тождество качества как условие количественного сравнения. Расстояние в обычном смысле — это, короче говоря, то количественное отношение между двумя точками на линии, с помощью которого можно определить их отличие от других точек. Проективное определение, однако, будучи неспособным отличить совокупность менее чем из четырех точек от любой другой на той же прямой, заставляет расстояние зависеть от двух других точек, помимо тех, чье отношение оно определяет. Таким образом, не остается имени для расстояния в обычном смысле, и многие проективные геометры, упразднив имя, верят, что упразднена и сама вещь, и склонны отрицать, что две точки вообще имеют уникальное отношение. Эта путаница в проективной геометрии показывает важность имени и должна заставить нас остерегаться позволять новым значениям заслонять одно из фундаментальных свойств пространства.

38. Остается обсудить способ, которым неевклидовы геометрии вытекают из проективного определения расстояния, а также истинную интерпретацию, которую следует дать этому взгляду на метагеометрию. Следует заметить, что проективные методы, которые следуют за Кэли, имеют дело повсюду с евклидовой плоскостью, на которой они вводят различные меры расстояния. Отсюда возникает в любой интерпретации этих методов кажущееся подчинение неевклидовых пространств, как если бы они были менее самодостаточными, чем евклидово. Это подчинение не предполагается в дальнейшем; напротив, корреляция с евклидовым пространством рассматривается как ценная, во-первых, потому что евклидово пространство изучалось дольше и более знакомо, но во-вторых, потому что эта корреляция доказывает, при правильной интерпретации, что другие пространства самодостаточны. Мы можем ограничиться главным образом при обсуждении этой интерпретации расстояниями, измеренными вдоль одной прямой линии. Но мы должны быть осторожны, чтобы помнить, что метрическое определение расстояния — которое, согласно защищаемому здесь взгляду, является единственно адекватным определением — одинаково в евклидовых и неевклидовых пространствах; аргументировать в его пользу — значит, следовательно, не аргументировать в пользу Евклида.

Проективная схема координат состоит из ряда чисел, каждое из которых представляет определенное ангармоническое отношение и обозначает одну и только одну точку, и которые равномерно возрастают с расстоянием от фиксированного начала, пока не становятся бесконечными при достижении определенной точки. Теперь Кэли показал, что в евклидовой геометрии расстояние может быть выражено как предел логарифма ангармонического отношения двух точек и (совпадающих) точек на бесконечности на их прямой линии; в то время как если бы мы предположили, что точки на бесконечности различны, мы получили бы формулу для расстояния в гиперболической или сферической геометрии, в зависимости от того, были ли эти точки реальными или мнимыми. Отсюда следует, что с проективным определением расстояния мы получим точно формулы гиперболической, параболической или сферической геометрии, в зависимости от того, выберем ли мы точку, которой присвоено значение +∞, на конечном, бесконечном или мнимом расстоянии (в обычном смысле) от точки, которой мы присваиваем значение 0. Наша прямая линия остается все это время обычной евклидовой прямой линией. Но мы видели, что проективное определение расстояния соответствует истинному определению только тогда, когда две фиксированные точки, к которым оно относится, выбраны подходящим образом. Теперь обычное значение расстояния требуется в неевклидовых геометриях так же, как и в евклидовых — действительно, только в метрических свойствах эти геометрии и различаются. Следовательно, наша евклидова прямая линия, хотя она может служить для иллюстрации других геометрий, кроме евклидовой, может быть правильно рассмотрена только Евклидом. Там, где мы даем иное определение расстояния, чем у Евклида, мы все еще находимся в области чисто проективных свойств и не получаем никакой информации относительно метрических свойств нашей прямой линии. Но важность для метагеометрии этой новой интерпретации заключается в том факте, что, независимо установив метрические формулы неевклидовых пространств, мы обнаруживаем, как в «Saggio» Бельтрами, что эти пространства могут быть связаны гомографическим соответствием с точками евклидова пространства; и что это может быть осуществлено таким образом, чтобы дать для расстояния между двумя точками нашего неевклидова пространства гиперболическую или сферическую меру расстояния для соответствующих точек евклидова пространства.

39. В целом, тогда, модификация взгляда сэра Р. Болла, которая практически является обобщенным изложением метода Бельтрами, представляется наиболее приемлемой. Он воображает то, что вместе с Грассманом он называет содержанием, т. е. совершенно общее трехмерное многообразие, а затем соотносит его элементы один за другим с точками в евклидовом пространстве. Таким образом, каждый элемент содержания приобретает в качестве своих координат обычные евклидовы координаты соответствующей точки в евклидовом пространстве. С помощью этой корреляции наши вычисления, хотя они относятся к содержанию, проводятся, как в «Saggio» Бельтрами, в обычном евклидовом пространстве. Таким образом, путаница исчезает, но вместе с ней исчезает и предполагаемая евклидова интерпретация. Содержание сэра Р. Болла, если оно вообще должно быть пространством, должно быть пространством, радикально отличающимся от евклидова [55]; говорить, как это делает Клейн, об обычных плоскостях с гиперболическими или эллиптическими мерами расстояния — значит либо впасть в противоречие, либо отказаться от какого-либо метрического значения расстояния. Вместо обычных плоскостей мы имеем поверхности, подобные поверхностям Бельтрами, постоянной меры кривизны; вместо евклидова пространства мы имеем гиперболическое или сферическое пространство. В то же время остается верным, что мы можем методом Клейна придать евклидов смысл любому символическому положению в неевклидовой геометрии. Ибо, подставляя вместо расстояния упомянутый выше логарифм, мы получаем из неевклидова результата результат, который следует из обычных евклидовых аксиом. Это соответствие устраняет раз и навсегда возможность скрытого противоречия в метагеометрии, поскольку положению в одной соответствует одно и только одно положение в другой, и противоречивые результаты в одной системе, следовательно, соответствовали бы противоречивым результатам в другой. Следовательно, метагеометрия не может привести к противоречиям, если только евклидова геометрия в тот же момент не приводит к соответствующим противоречиям. Таким образом, евклидова плоскость с гиперболической или эллиптической мерой расстояния, хотя и является либо противоречивой, либо неметрической как независимое понятие, имеет в качестве помощи при интерпретации неевклидовых результатов очень высокую степень полезности.

40. Нам еще предстоит обсудить третий вид неевклидовой геометрии Клейна, который он называет эллиптическим. Различие между ней и сферической геометрией трудно уловить, но его можно проиллюстрировать более простым примером. Плоскость, как все знают, может быть обернута без растяжения вокруг цилиндра, и прямые линии на плоскости становятся при этой операции геодезическими на цилиндре. Геометрии плоскости и цилиндра, следовательно, имеют много общего. Но поскольку образующая окружность цилиндра, которая является одной из его геодезических, конечна, только часть плоскости используется при обертывании ее один раз вокруг цилиндра. Следовательно, если мы попытаемся установить поточное соответствие между плоскостью и цилиндром, мы обнаружим бесконечный ряд точек на плоскости для одной точки на цилиндре. Так случается, что геодезические, хотя на плоскости они имеют только одну общую точку, могут на цилиндре иметь бесконечное число пересечений. Несколько похоже на это отношение между сферической и эллиптической геометриями. Любой одной точке в эллиптическом пространстве соответствуют две точки в сферическом пространстве. Таким образом, геодезические, которые в сферическом пространстве могут иметь две общие точки, никогда не могут в эллиптическом пространстве иметь более одного пересечения.

Но метод Клейна может доказать только то, что эллиптическая геометрия справедлива для обычной евклидовой плоскости с эллиптической мерой расстояния. Клейн приложил большие усилия, чтобы подчеркнуть различие между сферической и эллиптической геометриями [56], но не сразу очевидно, что последняя, как отличная от первой, является справедливой.

Во-первых, эллиптическая геометрия Клейна, которая возникает как одна из альтернативных метрических систем на евклидовой плоскости или в евклидовом пространстве, сама по себе не достаточна, если приведенное выше обсуждение было верным, чтобы доказать возможность эллиптического пространства, т. е. пространства, имеющего поточное соответствие с евклидовым пространством и имеющего в качестве обычного расстояния между двумя своими точками эллиптическое определение расстояния между соответствующими точками евклидова пространства. Чтобы доказать эту возможность, мы должны принять прямой метод Ньюкома (Crelle's Journal, Vol. 83). Теперь, во-первых, Ньюком не доказал, что его постулаты самосогласованы; он лишь не смог доказать, что они противоречивы [57]. Это оставило бы эллиптическое пространство в том же положении, в котором Лобачевский и Бойяи оставили гиперболическое пространство. Но далее, кажется, на первый взгляд, в двухмерном эллиптическом пространстве существует положительное противоречие. Чтобы объяснить это, однако, потребуется некоторое описание особенностей эллиптической плоскости.

Эллиптическая плоскость, рассматриваемая как фигура в трехмерном эллиптическом пространстве, является тем, что называется двойной поверхностью [58], т. е., как говорит Ньюком (loc. cit. стр. 298): «Две стороны полной плоскости не являются различными, как в евклидовой поверхности... Если... существо отправится на расстояние 2D, оно, вернувшись, обнаружит себя на противоположной поверхности той, с которой оно начало, и должно будет повторить свое путешествие, чтобы вернуться в исходное положение, не покидая поверхности». Теперь, если мы вообразим двухмерное эллиптическое пространство, различие между сторонами плоскости становится бессмысленным, поскольку оно приобретает значимость только через отсылку к третьему измерению. Тем не менее, некоторое такое различие было бы навязано нам. Предположим, например, что мы взяли маленький круг, снабженный стрелкой, как на рисунке, и переместили этот круг один раз вокруг вселенной. Тогда направление стрелки было бы обращено. Мы были бы таким образом вынуждены либо рассматривать новое положение как отличное от прежнего, что превращает нашу плоскость в сферическую плоскость, либо приписать обращение стрелки действию движения, которое возвращает наш круг в исходное место. Следует заметить, что ничего меньшего, чем движение вокруг вселенной, не было бы достаточно, чтобы обратить направление стрелки. Это обращение кажется действием пустого пространства, которое заставило бы нас рассматривать точки, которые с трехмерной точки зрения совпадают, хотя и противоположны, как действительно различные, и тем самым свести эллиптическую плоскость к сферической. Но движение, а не пространство, действительно вызывает изменение, и эллиптическая плоскость, следовательно, не доказана как невозможная. Вопрос, однако, не имеет большого философского значения.

41. В связи со сведением метрической геометрии к проективной у нас есть еще одна тема для обсуждения. Это геометрическое использование мнимых величин, с помощью которого, за исключением случая гиперболического пространства, осуществляется сведение. Я уже утверждал на других основаниях, что это сведение, несмотря на его огромную техническую важность и несмотря на полную логическую свободу проективной геометрии от метрических идей, является чисто техническим и философски не является обоснованным. Тот же вывод появится, если мы примем вызов Кэли на Британской ассоциации в его президентском обращении 1883 года.

В этом обращении профессор Кэли посвятил большую часть своего времени неевклидовым системам. Неевклидовы пространства, заявил он, казались ему ошибочными à priori [59]; но неевклидовы геометрии, здесь, как и в его математических работах, принимались как вытекающие из изменения в определении расстояния. Этот взгляд уже обсуждался, и поэтому его не нужно критиковать здесь далее. О чем я хочу поговорить, так это о вопросе, с которого сам Кэли начал свое обращение, а именно о геометрическом использовании и значении мнимых величин. Из того, как он говорил об этом вопросе, становится обязательным рассмотреть его довольно подробно. Ибо он сказал (стр. 8–9):

«... Понятие, которое является действительно фундаментальным (и я не могу достаточно сильно подчеркнуть это утверждение), лежащим в основе и пронизывающим всё понятие современной математического анализа и геометрии, [есть] понятие мнимой величины в анализе и мнимого пространства (или пространства как locus in quo мнимых точек и фигур) в геометрии: я использую в каждом случае слово «мнимый» как включающее в себя и «реальное».... Скажем, даже если вывод будет состоять в том, что это понятие принадлежит лишь технической математике или относится к несуществующим объектам, в отношении которых никакая наука невозможна, всё же мне кажется, что (как предмет философской дискуссии) это понятие не должно быть так проигнорировано; по крайней мере, следует показать, что существует право игнорировать его».

42. Это право я и намерен теперь продемонстрировать. Но из опасения, что нематематики могут упустить суть замечания Кэли (которое иногда ошибочно принимали за относящееся к неевклидовым пространствам), я, пожалуй, с самого начала объясню, что этот вопрос радикально отличается от значимости или смысла метагеометрии и связан с ними лишь косвенно. Мнимая величина — это величина, содержащая √–1: её наиболее общая форма есть a + √–1b, где a и b — вещественные числа; Кэли использует слово «мнимый» так, чтобы оно включало и вещественные числа, для того чтобы охватить частный случай, когда b = 0. В дальнейшем будет удобно исключить это более широкое значение и предположить, что b не равно нулю. Мнимая точка — это точка, координаты которой содержат √–1, т. е. координаты которой являются мнимыми величинами. Мнимая кривая — это кривая, точки которой мнимы, или, в некоторых специальных случаях, кривая, уравнение которой содержит мнимые коэффициенты. Математические тонкости, к которым приводит это понятие, здесь обсуждать нет необходимости; читатель, интересующийся ими, найдёт превосходное элементарное изложение их геометрического применения в книге Клейна «Nicht-Euklid», II, стр. 38–46. Но для наших текущих целей мы можем ограничиться мнимыми точками. Если окажется, что они имеют лишь техническое значение и лишены какого-либо философского смысла, то же самое будет справедливо для любой совокупности мнимых точек, т. е. для любой мнимой кривой или поверхности.

То, что понятие мнимых точек имеет огромное значение в геометрии, увидит каждый, кто задумается над тем, что круговые точки являются мнимыми и что сведение метрической геометрии к проективной, являющееся одним из величайших достижений Кэли, зависит от этих точек. Однако адекватно обсудить их философский смысл мне трудно, поскольку я не знаком с какой-либо удовлетворительной философией мнимых величин в чистой алгебре. Поэтому я приму наиболее благоприятную гипотезу и предположу, что против этого использования нельзя успешно выдвинуть никаких возражений. Даже при такой гипотезе, я думаю, нельзя обосновать существование мнимых точек в геометрии.

Прежде всего, мы должны исключить из рассматриваемых мнимых точек те, координаты которых являются мнимыми только в определённых специальных системах координат. Например, если одной из координат точки является касательная из неё к сфере, то эта координата будет мнимой для любой точки внутри сферы, и всё же сама точка является вполне реальной. Следовательно, точку следует называть мнимой только тогда, когда, какую бы реальную систему координат мы ни приняли, одна или несколько величин, выражающих эти координаты, остаются мнимыми. Для этой цели математически достаточно предположить, что наши координаты — декартовы: точка, декартовы координаты которой мнимы, является истинно мнимой точкой в вышеуказанном смысле.

Чтобы обсудить значение такой точки, необходимо кратко рассмотреть фундаментальную природу соответствия между точкой и её координатами. Предполагая, что элементарная геометрия доказала — что, как мне кажется, она доказывает удовлетворительно, — что пространственные отношения поддаются количественному измерению, тогда данная точка будет иметь, при подходящей системе координат в пространстве n измерений, n количественных отношений к фиксированной пространственной фигуре, образующей оси координат, и эти n количественных отношений будут, при определённых оговорках, уникальными, т. е. никакая другая точка не будет иметь те же самые приписанные ей величины. (При многих возможных системах координат это последнее условие не выполняется: но именно по этой причине они неудобны и используются только в специальных задачах.) Таким образом, при заданной системе координат и заданном наборе величин эти величины, если они вообще определяют точку, определяют её однозначно. Но путём естественного расширения метода вышеуказанная оговорка отбрасывается, и предполагается, что каждому набору величин должна соответствовать некоторая точка. Для этого предположения, как мне кажется, нет ни малейшего доказательства. С таким же успехом почтальон мог бы предположить, что, поскольку каждый дом на улице однозначно определяется своим номером, то должен существовать дом для каждого вообразимого номера. Мы должны, по сути, знать, что данный набор величин может быть координатами некоторой точки в пространстве, прежде чем будет правомерно придавать этим величинам какое-либо пространственное значение: и это знание, очевидно, не может быть получено только из операций с координатами, под угрозой порочного круга. Мы должны, возвращаясь к вышеприведённой аналогии, знать количество домов на Пикадилли, прежде чем узнаем, имеет ли данный номер соответствующий дом или нет; и одна лишь арифметика, как бы тонко она ни использовалась, никогда не даст нам этой информации.

Таким образом, важным является не различие между вещественными и мнимыми величинами, а различие между величинами, которым соответствуют точки, и величинами, которым точки не соответствуют. Мы можем условно договориться обозначать вещественные точки мнимыми координатами, как в гауссовом методе обозначения точкой, чьи обычные координаты суть a, b, с помощью единой величины (a + √–1b). Но это не затрагивает смысла Кэли. Кэли имеет в виду, что в математике весьма полезно рассматривать как точки, реально существующие в пространстве, предполагаемые пространственные корреляты величин, которые при используемой системе координат не имеют коррелятов в повседневном пространстве; и что эта полезность, как полагают многие математики, указывает на обоснованность столь плодотворного допущения. Чтобы зафиксировать наши идеи, рассмотрим декартовы оси в трёхмерном евклидовом пространстве. Тогда при осмотре оказывается, что точка может быть расположена на любом расстоянии вправо или влево от любой из трёх координатных плоскостей; принимая это расстояние за координату, следовательно, оказывается, что вещественные точки соответствуют всем величинам от -∞ до +∞. То же самое верно и для двух других координат; и поскольку элементарная геометрия доказывает их взаимную независимость, мы знаем, что одной и только одной вещественной точке соответствуют любые три вещественные величины. Но мы также знаем из применённого исчерпывающего метода, что всё пространство покрывается диапазоном этих трёх переменных величин: новый набор величин, следовательно, такой, какой вводится использованием мнимых чисел, не обладает пространственным коррелятом и может предполагаться обладающим таковым только в силу удобной фикции.