«Трактат по механике»

Поскольку все тела, являющиеся объектами механического исследования на поверхности Земли, должны постоянно испытывать влияние земной гравитации, желательно получить какой-либо простой и краткий метод оценки действия этой силы. Рассматривать ее, как это неизбежно в первом приближении, как совокупное действие бесконечного числа равных и параллельных сил, притягивающих элементарные молекулы вниз, было бы сопряжено с явными неудобствами. Бесконечное число сил и бесконечное дробление массы входили бы в состав каждой механической задачи.

Чтобы преодолеть эту трудность и достичь всей желаемой легкости и простоты в элементарных исследованиях, необходимо лишь определить некоторую силу, единое действие которой было бы эквивалентно совокупному действию гравитации всех молекул тела. Если это удастся осуществить, эту единую силу можно было бы вводить во все задачи для представления общего эффекта притяжения Земли, и не нужно было бы принимать во внимание никакие частицы тела, кроме той, на которую действует эта сила.

(148.) Чтобы обнаружить такую силу, если она существует, мы сначала выясним, какими свойствами она должна обязательно обладать. Пусть AB, рис. 37, — твердое тело, помещенное вблизи поверхности Земли. Все его частицы притягиваются вниз в направлениях, показанных стрелками. Теперь, если существует какая-либо единая сила, эквивалентная этим совокупным эффектам, ей можно сразу приписать два свойства: 1. Она должна быть направлена вниз, в общем направлении тех сил, которым она механически эквивалентна; и 2. она должна быть равна по интенсивности их сумме, или, что то же самое, силе, с которой опускалась бы вся масса. Мы предположим, что она обладает этой интенсивностью и направлением стрелки DE. Теперь, если единая сила в направлении DE эквивалентна всем отдельным силам притяжения, воздействующим на частицы, мы можем предположить, что все эти силы притяжения устранены, а на тело AB воздействует только единое притяжение, действующее в направлении DE. Если это признать, то из этого следует, что если тело поместить на опору непосредственно под направлением линии DE или подвесить к неподвижной точке непосредственно над ее направлением, оно останется неподвижным. Ибо вся сила притяжения в направлении DE в одном случае будет давить телом на опору, а в другом — создаст натяжение в шнуре, стержне или любом другом средстве подвеса.

(149.) Но предположим, что тело подвешено к некоторой точке P, не лежащей на линии DE. Пусть PC — направление нити, на которой подвешено тело. Весь его вес, согласно принятому нами предположению, должен тогда действовать в направлении CE. Принимая CF за представление веса, его можно считать механически эквивалентным двум силам (74), CI и CH. Из них CH, действующая прямо от точки P, лишь создает давление на нее и натяжение шнура PC; но CI, действующая под прямым углом к CP, создает движение вокруг P как центра и в направлении CI к вертикальной линии PG, проведенной через точку P. Если бы тело AB находилось с другой стороны линии PG, оно двигалось бы таким же образом к ней и, следовательно, в направлении, противоположном его нынешнему движению.

Отсюда мы должны сделать вывод, что когда тело подвешено к неподвижной точке, оно не может оставаться в покое, если эта неподвижная точка не расположена на линии DE; и, с другой стороны, что если неподвижная точка находится на линии этой силы, оно не может двигаться. Таким образом, предлагается практический тест, с помощью которого можно сразу обнаружить линию DE. Пусть нить будет прикреплена к любой точке тела, и пусть оно будет подвешено на этой нити к крюку или другой неподвижной точке. Направление нити, когда тело придет в состояние покоя, будет направлением единой силы, эквивалентной гравитации всех составляющих частей массы.

(150.) Здесь возникает вопрос: зависит ли направление эквивалентной силы, определенное таким образом, от положения тела по отношению к поверхности Земли, и как на направление эквивалентной силы влияет изменение этого положения? Этот вопрос можно сразу решить, если подвесить тело за разные точки и исследовать направления, которые принимает подвешивающая нить в каждом случае относительно формы и размеров тела.

Поскольку тело подвешено таким образом за любую точку, просверлим в нем небольшое отверстие точно в направлении нити, так чтобы, если бы нить была продолжена ниже точки, где она прикреплена к телу, она прошла бы через это отверстие. Последовательно подвешивая тело за несколько различных точек на его поверхности, просверлим в нем таким же образом столько же небольших отверстий. Если затем разрезать тело, чтобы обнаружить направления, которые приняли различные отверстия, окажется, что все они пересекаются в одной точке внутри тела; или тот же факт можно обнаружить так: если пропустить тонкую проволоку, которая почти заполняет отверстия, через любое из них, она будет преграждать прохождение аналогичной проволоки через любое другое.

Этот удивительный факт учит нас тому, что, впрочем, можно доказать математическими рассуждениями без экспериментов, что в каждом теле есть одна точка, через которую должна проходить единая сила, эквивалентная гравитации всех его частиц, в каком бы положении ни находилось тело. Эта точка называется центром тяжести.

(151.) В каком бы положении ни находилось тело, центр тяжести будет иметь тенденцию опускаться в направлении линии, перпендикулярной горизонту, которая называется линией действия веса. Если тело совершенно свободно и не ограничено никаким сопротивлением или препятствием, центр тяжести будет фактически опускаться в этом направлении, а все остальные точки тела будут двигаться с той же скоростью в параллельных направлениях, так что во время падения положение частей тела по отношению к земле оставаться неизменным. Но если тело, как это чаще всего бывает, подвержено некоторому сопротивлению или ограничению, оно либо останется неподвижным, так как его вес будет расходоваться на создание давления на ограничивающие точки или поверхности, либо будет двигаться в направлении и со скоростью, зависящими от обстоятельств, которые его ограничивают.

Чтобы определить эти эффекты, предсказать давление, создаваемое весом, если тело находится в покое, или смешанные эффекты движения и давления, если это не так, необходимо во всех случаях уметь определять местоположение центра тяжести. Когда известны величина и форма тела, а также плотность материи, занимающей его объем, местоположение центра тяжести может быть определено с величайшей точностью путем математического расчета. Процесс, с помощью которого это достигается, однако, не является достаточно элементарным, чтобы быть должным образом включенным в этот трактат. Чтобы сделать его понятным, потребовалось бы использование некоторых из наиболее продвинутых аналитических принципов; и даже выразить положение рассматриваемой точки, за исключением очень частных случаев, было бы невозможно без помощи особых символов.

(152.) Существуют определенные частные формы тел, в которых, когда они равномерно плотны, местоположение центра тяжести может быть легко определено и доказано рассуждениями, которые являются общепонятными; но во всех без исключения случаях эту точку можно легко определить экспериментально.

(153.) Если равномерно плотное тело имеет такую форму, что можно найти точку, по обе стороны от которой во всех направлениях вокруг нее материалы тела распределены одинаково, эта точка, очевидно, будет центром тяжести. Ибо если ее поддержать, гравитация частиц с одной стороны, тянущая их вниз, будет уравновешена эффектом точно такого же рода и равной величины с противоположной стороны, и таким образом тело останется сбалансированным на этой точке.

Наиболее примечательным телом такого рода является шар, центр которого, очевидно, является его центром тяжести.

Фигура, такая как на рис. 38, называемая сплюснутым сфероидом, имеет свой центр тяжести в своем центре C. Такова фигура Земли. То же самое можно наблюдать у эллиптического тела, рис. 39, которое называется вытянутым сфероидом.

Куб и некоторые другие правильные тела, ограниченные плоскими поверхностями, имеют внутри себя точку, подобную описанной выше, которая, следовательно, является их центром тяжести. Таковы фигуры на рис. 40.

Прямой стержень равномерной толщины имеет центр тяжести в центре своей длины; а цилиндрическое тело имеет центр тяжести в своем центре, на середине своей длины или оси. Такова точка C на рис. 41.

Плоская пластина из любого однородного вещества, имеющая во всех частях равную толщину, имеет центр тяжести посередине своей толщины и под точкой своей поверхности, которая определяется ее формой. Если она круглая или эллиптическая, эта точка является ее центром. Если она имеет какую-либо правильную форму, ограниченную прямыми краями, это точка, равноудаленная от ее различных углов, как C на рис. 42.

(154.) Существуют некоторые случаи, в которых, хотя местоположение центра тяжести не так очевидно, как в только что приведенных примерах, его все же можно обнаружить без какого-либо математического процесса, который нелегко понять. Предположим, что ABC, рис. 43, — плоская треугольная пластина равномерной толщины и плотности. Представим, что она разделена на узкие полоски линиями, параллельными стороне AC, как показано на рисунке. Проведем BD из угла B к средней точке D стороны AC. Нетрудно заметить, что BD разделит пополам все полоски, на которые, как предполагается, разделен треугольник. Теперь, если плоскую треугольную пластину ABC поместить в горизонтальное положение на прямое ребро, совпадающее с линией BD, она будет сбалансирована: ибо полоски, параллельные AC, будут по отдельности сбалансированы ребром, находящимся непосредственно под их средней точкой; поскольку эта средняя точка является центром тяжести каждой полоски. Поскольку, таким образом, треугольник сбалансирован на ребре, центр тяжести должен находиться где-то непосредственно над ним и, следовательно, должен быть внутри пластины в некоторой точке под линией BD.

Те же рассуждения докажут, что центр тяжести пластины находится под линией AE, проведенной из угла A к средней точке E стороны BC. Чтобы это понять, достаточно рассмотреть треугольник, разделенный на полоски, параллельные BC, и отсюда показать, что он будет сбалансирован на ребре, помещенном под AE. Поскольку центр тяжести пластины находится под линией BD, а также под AE, он должен находиться под точкой G, в которой эти линии пересекаются; и, соответственно, он находится на глубине под G, равной половине толщины пластины.

Это можно экспериментально проверить, взяв кусок жести или картона и вырезав его в форме треугольника. Точка G, найденная путем проведения BD и AE, которые делят две стороны пополам, будет сбалансирована, если ее поместить на острие булавки в точке G.

Центр тяжести треугольника, будучи таким образом определен, позволит нам найти положение центра тяжести любой пластины равномерной толщины и плотности, ограниченной прямыми краями, как будет показано далее. (173.)

(155.) Центр тяжести не всегда включен в объем тела, то есть он не всегда заключен внутри его поверхностей. Можно привести многочисленные примеры этого. Если кусок проволоки согнуть в любую форму, центр тяжести редко будет находиться в самой проволоке. Предположим, что ей придали форму кольца. В этом случае центром тяжести проволоки будет центр круга, точка, не являющаяся частью самой проволоки: тем не менее можно доказать, что эта точка обладает характеристическим свойством центра тяжести; ибо если кольцо подвесить за любую точку, центр кольца всегда должен установиться под точкой подвеса. Если предположить, что этот центр соединен с кольцом очень тонкими нитями, вес которых незначителен и которые могут быть соединены узлом или иным образом в центре, кольцо будет сбалансировано на точке, помещенной под узлом.

Точно так же, если проволока сформирована в эллипс или любую другую кривую, подобным образом расположенную вокруг центральной точки, эта точка будет ее центром тяжести.

(156.) Чтобы найти центр тяжести экспериментально, можно использовать метод, описанный в (149, 150). В этом случае для его определения будет достаточно двух точек подвеса; ибо направления подвешивающего шнура, продолженные через тело, пересекутся в центре тяжести. Эти направления также можно найти, поместив тело на острую точку и отрегулировав его так, чтобы оно было сбалансировано на ней. В этом случае линия, проведенная через тело прямо вверх от точки, пройдет через центр тяжести, и, следовательно, две такие линии должны пересечься в этой точке.

(157.) Если тело имеет две плоские параллельные поверхности, как листовой металл, плотная бумага, картон, доска и т. д., центр тяжести можно найти, сбалансировав тело в двух положениях на горизонтальном прямом ребре. Точка, где пересекаются линии, отмеченные ребром, будет находиться непосредственно под центром тяжести. Это можно проверить, показав, что тело будет сбалансировано на точке, расположенной таким образом, или что если его подвесить, точка, определенная таким образом, всегда окажется под точкой подвеса.

Положение центра тяжести таких тел можно также найти, поместив тело на горизонтальный стол, имеющий прямой край. Когда тело перемещается за край до тех пор, пока оно не окажется в положении, в котором малейшее нарушение равновесия заставит его упасть, центр тяжести будет находиться непосредственно над краем. Если проделать это в двух положениях, центр тяжести будет определен, как и прежде.

(158.) Уже было сказано, что когда тело совершенно свободно, центр тяжести должен обязательно двигаться вниз, в направлении, перпендикулярном горизонтальной плоскости. Когда тело не свободно, обстоятельства, которые его ограничивают, обычно позволяют центру тяжести двигаться в определенных направлениях, но препятствуют его движению в других. Так, если тело подвешено к неподвижной точке на гибком шнуре, центр тяжести свободен двигаться в любом направлении, кроме тех, которые унесли бы его дальше от точки подвеса, чем длина шнура. Следовательно, если мы представим себе шар или сферу, окружающую точку подвеса со всех сторон на расстоянии, равном расстоянию центра тяжести от точки подвеса, когда шнур полностью натянут, центр тяжести будет свободен двигаться в любом направлении внутри этой сферы.

Существует бесконечное разнообразие обстоятельств, при которых движение тела может быть ограничено и в которых возникает важнейший и полезный класс механических задач. Прежде чем мы перейдем к другим, мы, однако, рассмотрим более подробно то, что только что было описано.

Пусть P, рис. 44, — точка подвеса, а C — центр тяжести, и предположим, что тело помещено так, что C находится внутри уже описанной сферы. Шнур, следовательно, будет ослаблен, и в этом состоянии тело будет свободно. Центр тяжести, следовательно, будет опускаться в перпендикулярном направлении до тех пор, пока шнур не будет полностью натянут; натяжение затем предотвратит его дальнейшее движение в перпендикулярном направлении. Силу тяжести теперь следует рассматривать как диагональ параллелограмма, эквивалентную двум силам CD и CE в направлениях сторон, как уже объяснялось в (149). Сила CD приведет центр тяжести в направление PF, перпендикулярно под точкой подвеса. Поскольку сила тяжести постоянно действует на C при его приближении к PF, он будет двигаться к этой линии с ускоренной скоростью, и когда он прибудет туда, он приобретет силу, которой не противостоит никакое препятствие, и, следовательно, по инерции он сохраняет эту силу и движется за PF на другую сторону. Но когда точка C попадает на линию PF, она находится в самом низком возможном положении; ибо она находится в самой нижней точке сферы, ограничивающей ее движение. Когда она переходит на другую сторону PF, она, следовательно, должна начать подниматься, и сила тяжести, которая в первом случае ускоряла ее спуск, теперь по той же причине и с той же энергией будет противодействовать ее подъему. Это будет легко понять. Пусть C' — любая точка, которой оно могло достичь при подъеме; C'G' — сила тяжести, теперь эквивалентна C'D' и C'E'. Последняя, как и прежде, создает натяжение; но первая, C'D', направлена прямо против движения и, следовательно, замедляет его. Это замедление будет продолжаться до тех пор, пока все движение, приобретенное телом при спуске из первого положения, не будет уничтожено, а затем оно начнет возвращаться к PF, и так оно будет продолжать вибрировать из стороны в сторону, пока трение в точке P и сопротивление воздуха постепенно не лишат его движения и не приведут в состояние покоя в направлении PF.

Если бы не эффекты трения и сопротивления атмосферы, тело продолжало бы вечно колебаться одинаково из стороны в сторону от линии PF.

(159.) Только что раскрытое явление — лишь пример обширного класса. Всякий раз, когда обстоятельства, ограничивающие тело, таковы, что центр тяжести не может опуститься ниже определенного уровня, но, с другой стороны, не ограничен в подъеме выше него, тело будет оставаться в покое, если центр тяжести помещен на нижнем пределе своего уровня; любое нарушение равновесия заставит его колебаться вокруг этого состояния, и оно не сможет вернуться в состояние покоя, пока трение или какая-либо другая причина не лишат его движения, сообщенного возмущающей силой.

(160.) При обстоятельствах, которые мы только что описали, тело не могло бы поддерживать себя в состоянии покоя ни в каком положении, кроме того, в котором центр тяжести находится в самой низкой точке пространства, в котором оно свободно двигаться. Это, однако, не всегда так. Предположим, что оно подвешено на негибком стержне вместо гибкой нити; центр тяжести тогда не только не смог бы удалиться от точки подвеса, но и приблизиться к ней; фактически, он всегда сохранял бы одно и то же расстояние от нее. Таким образом, вместо того чтобы иметь возможность двигаться где угодно внутри сферы, оно теперь способно двигаться только по ее поверхности. Рассуждения, использованные в последнем случае, могут быть применены и здесь, чтобы доказать, что когда центр тяжести находится по любую сторону от перпендикуляра PF, он будет падать к PF и колебаться, и что если он помещен на линии PF, он будет находиться в равновесии. Но в этом случае существует другое положение, в котором центр тяжести может быть помещен так, чтобы создать равновесие. Если его поместить в самую высокую точку сферы, в которой он движется, вся сила, действующая на него, будет направлена на точку подвеса, перпендикулярно вниз, и будет полностью израсходована на создание давления на эту точку; следовательно, тело в этом случае будет находиться в равновесии. Но это состояние равновесия имеет характер, сильно отличающийся от того, в котором центр тяжести находился в самой низкой части сферы. В настоящем случае любое смещение, каким бы незначительным оно ни было, центра тяжести перенесет его на более низкий уровень, и сила тяжести тогда предотвратит его возвращение в прежнее состояние и будет толкать его вниз, пока оно не достигнет самой низкой точки сферы, и вокруг этой точки оно будет колебаться.

(161.) Два состояния равновесия, которые были только что замечены, называются устойчивым и неустойчивым равновесием. Характер первого заключается в том, что любое нарушение состояния вызывает колебания вокруг него; но любое нарушение последнего состояния вызывает полное опрокидывание и, в конечном счете, вызывает колебания вокруг состояния устойчивого равновесия.

Пусть AB, рис. 45, — эллиптическая доска, опирающаяся своим краем на горизонтальную плоскость. В положении, представленном здесь, где конечность P меньшей оси является точкой опоры, доска находится в устойчивом равновесии; ибо любое движение в любую сторону должно заставить центр тяжести C подняться в направлениях CO, и последуют колебания. Если, однако, она опирается на меньший конец, как на рис. 46, положение все равно было бы состоянием равновесия, потому что центр тяжести находится прямо над точкой опоры; но это было бы неустойчивое равновесие, потому что малейшее смещение центра тяжести заставило бы его опуститься.

Таким образом, яйцо или лимон можно сбалансировать на конце, но малейшее нарушение равновесия опрокинет его. Напротив, оно легко будет покоиться на боку, и любое нарушение равновесия вызовет колебания.

(162.) Когда обстоятельства, в которых находится тело, позволяют центру тяжести двигаться только по горизонтальной линии, тело находится в состоянии, которое можно назвать нейтральным равновесием. Малейшая сила сдвинет центр тяжести, но не вызовет ни колебаний, ни опрокидывания тела, как в двух последних случаях.

Пример этого состояния дает цилиндр, помещенный на горизонтальную плоскость. По мере того как цилиндр катится по плоскости, центр тяжести C, рис. 47, движется по линии, параллельной плоскости AB и удаленной от нее на радиус цилиндра. Тело будет, таким образом, покоиться безразлично в любом положении, потому что линия действия всегда падает на точку P, в которой тело опирается на плоскость.

Если бы плоскость была наклонной, как на рис. 48, тело могло бы быть такой формы, что при качении центр тяжести двигался бы горизонтально. В этом случае тело покоилось бы безразлично на любой части плоскости, как если бы она была горизонтальной, при условии, что трения достаточно, чтобы предотвратить соскальзывание тела вниз по плоскости.

Если центр тяжести цилиндра случайно не совпадает с его центром из-за отсутствия однородности материалов, из которых он состоит, он не будет находиться в состоянии нейтрального равновесия на горизонтальной плоскости, как на рис. 47. В этом случае пусть G, рис. 49, будет центром тяжести. В положении, представленном здесь, где центр тяжести находится непосредственно под центром C, состояние будет устойчивым равновесием, потому что движение в любую сторону заставило бы центр тяжести подняться; но на рис. 50, где G находится непосредственно над C, состояние является неустойчивым равновесием, потому что движение в любую сторону заставило бы G опуститься, и тело повернулось бы в положение рис. 49.

(163.) Цилиндр такого рода будет при определенных обстоятельствах катиться вверх по наклонной плоскости. Пусть AB, рис. 51, — наклонная плоскость, и пусть цилиндр помещен так, чтобы линия действия от G находилась выше точки P, в которой цилиндр опирается на плоскость. Весь вес тела, действующий в направлении GD, очевидно, заставит цилиндр катиться к A, при условии, что трения достаточно, чтобы предотвратить скольжение; но хотя цилиндр в этом случае поднимается, центр тяжести G на самом деле опускается.

Когда G расположен так, что линия действия GD падает на точку P, цилиндр будет находиться в равновесии, потому что его вес действует на точку, на которой он опирается. Существует два случая, представленных на рис. 52 и рис. 53, в которых G занимает это положение. Рис. 52 представляет состояние устойчивого, а рис. 53 — неустойчивого равновесия.

(164.) Когда тело помещено на основание, его устойчивость зависит от положения линии действия и высоты центра тяжести над основанием. Если линия действия падает внутри основания, тело будет стоять твердо; если она падает на край основания, оно будет в состоянии, в котором малейшая сила опрокинет его на ту сторону, на которую падает линия действия; и если линия действия падает вне основания, тело должно перевернуться через тот край, который ближе всего к линии действия.

На рис. 54 и рис. 55 линия действия GP падает внутри основания, и очевидно, что тело будет стоять твердо; ибо любая попытка перевернуть его через любой край заставила бы центр тяжести подняться. Но на рис. 56 линия действия падает на край, и если тело перевернуть, центр тяжести немедленно начинает опускаться. Однако до тех пор, пока оно не перевернуто, центр тяжести поддерживается краем.

На рис. 57 линия действия падает вне основания, центр тяжести имеет тенденцию опускаться от G к A, и тело, соответственно, упадет в этом направлении.

(165.) Когда линия действия падает внутри основания, тела всегда будут стоять твердо, но не с одинаковой степенью устойчивости. В общем, устойчивость зависит от высоты, на которую должен быть поднят центр тяжести, прежде чем тело может быть опрокинуто. Чем больше эта высота, тем больше в той же пропорции будет устойчивость.

Пусть BAC, рис. 58, — пирамида, центр тяжести которой находится в G. Чтобы перевернуть ее через край B, центр тяжести должен быть перенесен через дугу GE и, следовательно, должен быть поднят на высоту HE. Если, однако, пирамида была выше относительно своего основания, как на рис. 59, высота HE была бы пропорционально меньше; и если бы основание было очень маленьким по отношению к высоте, как на рис. 60, высота HE была бы очень мала, и малейшая сила опрокинула бы ее через край B.

Очевидно, что те же наблюдения могут быть применены ко всем фигурам без исключения, так как только что сделанные выводы зависят только от расстояния линии действия от края основания и высоты центра тяжести над ним.

(166.) Отсюда мы можем понять принцип, от которого зависит устойчивость груженых экипажей. Когда груз помещен на значительной высоте над колесами, центр тяжести поднимается, и экипаж становится пропорционально менее безопасным. В экипажах для перевозки пассажиров багаж поэтому иногда помещают под кузовом экипажа; легкие посылки большого объема можно без опаски помещать на крышу.

Когда центр тяжести экипажа сильно поднят, существует значительная опасность опрокидывания, если поворот совершается резко и на большой скорости; ибо центробежная сила, действующая тогда на центр тяжести, легко поднимет его на ту небольшую высоту, которая необходима для опрокидывания экипажа через внешние колеса (142).

(167.) Тот же фургон будет обладать большей устойчивостью, когда он нагружен тяжелым веществом, занимающим малый объем, таким как металл, чем когда он перевозит тот же вес более легкого вещества, такого как сено; потому что центр тяжести в последнем случае будет гораздо более поднят.

Г. Адлард, грав.

Лондон, изд. Лонгман и Ко.

Если большой стол поместить на одну ножку в центре, будет невозможно сделать его устойчивым; но если колонна, на которой он покоится, заканчивается треногой, он будет обладать такой же устойчивостью, как если бы у него были три ножки, прикрепленные к точкам непосредственно над местами, где покоятся ножки треноги.

(168.) Когда твердое тело поддерживается более чем одной точкой, для его устойчивости не обязательно, чтобы линия действия падала на одну из этих точек. Если есть только две точки опоры, линия действия должна падать между ними. Тело в этом случае поддерживается так же эффективно, как если бы оно покоилось на ребре, совпадающем с прямой линией, проведенной от одной точки опоры к другой. Если есть три точки опоры, которые не расположены на одной прямой линии, тело будет поддерживаться так же, как оно поддерживалось бы основанием, совпадающим с треугольником, образованным прямыми линиями, соединяющими три точки опоры. Таким же образом, независимо от количества точек, на которых может покоиться тело, его виртуальное основание будет найдено путем предположения, что проведены прямые линии, последовательно соединяющие различные точки. Когда линия действия падает внутри этого основания, тело всегда будет стоять твердо, а в противном случае — нет. Степень устойчивости определяется таким же образом, как если бы основание было непрерывной поверхностью.

(169.) Необходимость и опыт учат животное приспосабливать свои позы и движения к положению центра тяжести своего тела. Когда человек стоит, линия действия его веса должна падать внутри основания, образованного его ступнями. Если AB, CD, рис. 61, — ступни, это основание представляет собой пространство ABDC. Очевидно, что чем больше его носки развернуты наружу, тем более суженным будет основание в направлении EF, и тем более он будет склонен к падению назад или вперед. Также, чем ближе его ступни друг к другу, тем более суженным будет основание в направлении GH, и тем более он будет склонен к падению в любую из сторон.

Когда человек идет, ноги поочередно поднимаются с земли, и центр тяжести либо не поддерживается, либо перебрасывается из стороны в сторону. Тело также подается немного вперед, чтобы стремление центра тяжести упасть в направлении носков помогало мышечному действию в продвижении тела вперед. Этот наклон тела вперед увеличивается со скоростью движения.

Если бы не гибкость коленного сустава, труд ходьбы был бы гораздо больше, чем он есть; ибо центр тяжести поднимался бы при каждом шаге сильнее. Линия движения центра тяжести при ходьбе представлена на рис. 62 и лишь немного отклоняется от правильной горизонтальной линии, так что подъем центра тяжести подвержен очень незначительным изменениям. Но если бы коленного сустава не было, как у человека с деревянными ногами, центр тяжести двигался бы, как на рис. 63, так что при каждом шаге вес тела поднимался бы на значительную высоту, и поэтому труд ходьбы был бы значительно увеличен.

Если человек стоит на одной ноге, линия действия его веса должна падать внутри пространства, на которое ступает его нога. Малость этого пространства по сравнению с высотой центра тяжести объясняет трудность этого упражнения.

Положение центра тяжести тела меняется с позой и положением конечностей. Если рука вытянута в сторону, центр тяжести приближается к этой стороне, чем когда рука висела перпендикулярно. Когда танцоры, стоя на одной ноге, вытягивают другую под прямым углом к ней, они должны наклонить тело в направлении, противоположном тому, в котором вытянута нога, чтобы перенести центр тяжести над ногой, которая их поддерживает.

Когда носильщик несет груз, его положение должно регулироваться центром тяжести его тела и груза, взятых вместе. Если бы он нес груз на спине, линия действия прошла бы за его пятками, и он упал бы назад. Чтобы перенести центр тяжести над ступнями, он, соответственно, наклоняется вперед, рис. 64.

Если няня несет ребенка на руках, она отклоняется назад по той же причине.

Когда груз несут на голове, носильщик стоит прямо, чтобы центр тяжести находился над его ступнями.

При подъеме на холм мы, кажется, наклоняемся вперед; а при спуске — отклоняемся назад, но на самом деле мы стоим прямо по отношению к горизонтальной плоскости. Это необходимо для того, чтобы удерживать линию действия между ступнями, что очевидно из рис. 65.

Человек, сидящий на стуле без спинки, не может встать с него, не наклонившись вперед, чтобы перенести центр тяжести над ступнями, или не пододвинув ступни назад, чтобы поместить их под центр тяжести.

Четвероногое животное никогда не поднимает обе ноги на одной стороне одновременно, ибо центр тяжести тогда оказался бы без поддержки. Пусть ABCD, рис. 66, — ноги. Основание, на котором оно стоит, — ABCD, а центр тяжести находится почти над точкой O, где пересекаются диагонали. Ноги A и C, будучи подняты вместе, центр тяжести поддерживается ногами B и D, поскольку он падает между ними; и когда B и D подняты, он, таким же образом, поддерживается ногами A и C. Центр тяжести, однако, часто остается без поддержки на мгновение; ибо нога B поднимается с земли до того, как A опускается на нее, что ясно из наблюдения за следами ног лошади, отпечаток A находится на или перед отпечатком B. При более быстрых аллюрах всех животных центр тяжести временами остается без поддержки.

Трюки канатоходцев — это эксперименты по управлению центром тяжести. Эволюции исполнителя, как выясняется, облегчаются держанием в руке тяжелого шеста. Его безопасность в этом случае зависит не от центра тяжести его тела, а от центра тяжести его тела и шеста, взятых вместе. Эта точка находится вблизи центра шеста, так что, фактически, можно сказать, что он держит в руках точку, от положения которой зависит легкость его трюков. Без помощи шеста центр тяжести находился бы внутри туловища, и его положение нельзя было бы приспособить к обстоятельствам с той же легкостью и быстротой.

(170.) Центр тяжести массы жидкости — это та точка, которая обладала бы свойствами, которые, как было доказано, принадлежат центру тяжести твердого тела, если бы жидкость была затвердевшей, не меняя при этом ни в каком отношении количество или расположение ее частей. Эта точка также обладает другими свойствами по отношению к жидкостям, которые будут исследованы в гидростатике и пневматике.

(171.) Центр тяжести двух тел, отделенных друг от друга, — это та точка, которая обладала бы свойствами, приписываемыми центру тяжести, если бы два тела были соединены негибкой линией, весом которой можно пренебречь. Найти эту точку математически — очень простая задача. Пусть A и B, рис. 67, — два тела, а a и b — их центры тяжести. Проведем прямую линию ab и разделим ее в точке C таким образом, чтобы aC имело ту же пропорцию к bC, какую масса тела B имеет к массе тела A.

Это можно легко проверить экспериментально. Пусть A и B — два тела, вес которых значителен по сравнению с весом стержня ab, который их соединяет. Пусть тонкая шелковая нить с прикрепленными к ней концами будет повешена на булавку; и на ту же булавку пусть будет подвешен отвес. В каком бы положении ни были подвешены тела, будет замечено, что отвес будет пересекать стержень ab в одной и той же точке, и эта точка будет делить линию ab на части aC и bC, которые находятся в пропорции массы B к массе A.

(172.) Центр тяжести трех отдельных тел определяется таким же образом, как и двух, и может быть найден путем предварительного определения центра тяжести двух из них; а затем предположения, что их массы сосредоточены в этой точке, чтобы сформировать одно тело, и нахождения центра тяжести этого тела и третьего.

Таким же образом может быть определен центр тяжести любого количества тел.

(173.) Если пластина равномерной толщины ограничена прямыми краями, ее центр тяжести можно найти, разделив ее на треугольники диагональными линиями, как на рис. 68, и определив согласно (154) центры тяжести отдельных треугольников, центр тяжести всей пластины будет их общим центром тяжести, найденным, как указано выше.

(174.) Хотя центр тяжести получил свое название от привычных свойств, которыми он обладает по отношению к отдельным телам незначительной величины, помещенным на поверхности Земли или вблизи нее, он обладает свойствами гораздо более общего и не менее важного характера. Одно из самых примечательных из них заключается в том, что центр тяжести любого количества отдельных тел никогда не затрагивается взаимным притяжением, ударом или другим влиянием, которое тела могут передавать друг другу. Это необходимое следствие равенства действия и противодействия, объясненного в главе IV. Ибо если A и B, рис. 67, притягивают друг друга и меняют свои места на A' и B', пространство aa' будет иметь к bb' ту же пропорцию, что B к A, и, следовательно, согласно тому, что только что было доказано (171), ту же пропорцию, что aC к bC. Отсюда следует, что остатки a'C и b'C будут в пропорции B к A, и что C будет продолжать оставаться центром тяжести тел после того, как они сблизились под действием их взаимного притяжения.

Предположим, например, что A и B равны 12 фунтам и 8 фунтам соответственно, и что ab равно 40 футам. Точка C должна (171) разделить ab на две части в пропорции 8 к 12, или 2 к 3. Отсюда очевидно, что aC будет равно 16 футам, а bC — 24 футам. Теперь предположим, что A и B притягивают друг друга и что A приближается к B на два фута. Тогда B должно приблизиться к A на три фута. Их расстояния от C теперь будут 14 футов и 21 фут, что, находясь в пропорции B к A, означает, что точка C по-прежнему будет их центром тяжести.

Отсюда следует, что если системе тел, находящихся в покое, позволить подчиниться их взаимному притяжению, то, хотя тела при этом будут по отдельности перемещаться, их общий центр тяжести должен оставаться неподвижным.

(175.) Когда одно из двух тел движется по прямой линии, а другое находится в покое, их общий центр тяжести должен двигаться по параллельной прямой линии. Пусть A и B (рис. 69) — центры тяжести тел, и пусть A перемещается из A в a, а B остается в покое. Проведем линии AB и aB. В любом положении, которое тело B принимает во время своего движения, центр тяжести C делит соединяющую их линию на части AC и BC, которые находятся в пропорции массы B к массе A. Теперь предположим, что из B проведено любое количество линий к линии Aa; параллель Cc к Aa, проходящая через C, делит все эти линии в той же пропорции; и, следовательно, пока тело A перемещается из A в a, общий центр тяжести перемещается из C в c.

Если бы оба тела A и B двигались равномерно по прямым линиям, центр тяжести имел бы движение, слагающееся (74) из двух движений, которые он совершал бы, если бы каждое из них двигалось, пока другое оставалось в покое. Точно так же, если бы было три тела, каждое из которых движется равномерно по прямой линии, их общий центр тяжести имел бы движение, слагающееся из того движения, которое он имел бы, если бы одно оставалось в покое, а два других двигались, и того, которое придало бы ему движение первого, если бы последние два оставались в покое; и таким же образом можно доказать, что когда любое количество тел движется каждое по прямой линии, их общий центр тяжести будет иметь движение, слагающееся из движений, которые он получает от тел по отдельности.

Может случиться так, что различные движения, которые центр тяжести получает от тел системы, будут нейтрализовать друг друга; и это, по сути, происходит для таких движений, которые являются следствием взаимного действия тел друг на друга.

(176.) Если система тел не находится под непосредственным влиянием каких-либо сил, а их взаимное притяжение считать отсутствующим, то они должны по отдельности либо находиться в покое, либо совершать равномерное прямолинейное движение в силу своей инерции. Следовательно, их общий центр тяжести также должен либо находиться в покое, либо совершать равномерное прямолинейное движение. Теперь, если мы предположим, что их взаимные притяжения вступают в силу, состояние их общего центра тяжести не изменится, но тела по отдельности получат движения, слагающиеся из их предыдущих равномерных прямолинейных движений и тех, которые возникают в результате их взаимных притяжений. Комбинированные эффекты заставят каждое тело вращаться по орбите вокруг общего центра тяжести или будут ускорять его движение к этой точке. Но эта точка все равно сохранит свое прежнее состояние без изменений.

Это составляет один из общих законов механической науки и имеет большое значение в физической астрономии. Он известен под названием «сохранение движения центра тяжести».

(177.) Солнечная система является примером класса явлений, к которым мы только что обратились. Все движения тел, составляющих ее, могут быть прослежены до определенных равномерных прямолинейных движений, полученных от некоторого прежнего импульса или от силы, действие которой было приостановлено, и тех движений, которые неизбежно возникают из принципа гравитации. Но мы не будем здесь далее настаивать на этом предмете, который более подобает другому разделу науки.

(178.) Если твердое тело подвергается удару в направлении линии, проходящей через его центр тяжести, все частицы тела будут двигаться вперед с одинаковой скоростью по линиям, параллельным направлению удара, и вся сила движения будет равна силе удара. Общая скорость частей тела в этом случае будет определяться принципами, изложенными в главе IV. Поскольку движущая сила равномерно распределена между всеми частями, скорость будет найдена путем деления численного значения этой силы на число, выражающее массу.

Если любое количество ударов наносится одновременно по разным точкам тела, обычно возникает сложное движение. Масса будет совершать относительное движение вокруг центра тяжести, как если бы он был зафиксирован, в то время как эта точка будет двигаться вперед равномерно по прямой линии, увлекая за собой тело. Относительное движение массы вокруг центра тяжести можно найти, рассматривая центр тяжести как фиксированную точку, вокруг которой масса может свободно двигаться, а затем определяя движение, которое произвели бы приложенные силы. Предполагая, что это движение продолжается непрерывно, представим, что все силы приложены в своих надлежащих направлениях и количествах к центру тяжести. Согласно принципам сложения сил, они будут механически эквивалентны одной силе, проходящей через эту точку. В направлении этой единственной силы центр тяжести будет двигаться и иметь ту же скорость, как если бы вся масса была сосредоточена там и получила движущие силы.

(179.) Эти общие свойства, которые полностью независимы от гравитации, делают «центр тяжести» неадекватным названием для этой важной точки. Некоторые физики, следовательно, называли ее «центром инерции». Однако «центр тяжести» — это название, под которым она до сих пор обычно обозначается.

ГЛ. X. МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОСИ.

(180.) Когда тело совершает вращательное движение, линия, вокруг которой оно вращается, называется осью. Каждая точка тела должна в этом случае двигаться по окружности, центр которой лежит на оси, а радиус является расстоянием точки от оси. Иногда, пока тело вращается, сама ось подвижна, и нередко находится в состоянии фактического движения. Движения Земли и планет или движение обычного волчка являются примерами этого. Случаи, однако, которые будут рассмотрены в настоящей главе, — это главным образом те, в которых ось неподвижна или, по крайней мере, где ее движение не имеет отношения к исследуемым явлениям. Примеры этого настолько часты и очевидны, что их вряд ли нужно перечислять. Колесные механизмы любого описания, движущиеся части часов, токарные станки, мельничные механизмы, двери и крышки на петлях — все это очевидные примеры. В инструментах или других приборах, которые работают на шарнирах или осях, таких как ножницы, садовые ножницы, щипцы, хотя шарнир или ось не являются абсолютно фиксированными, их следует считать таковыми по отношению к механическому эффекту.

Г. Адлард, грав.

Лондон, изд. Лонгман и Ко.

В некоторых случаях, как в большинстве колес часов, маховиках и патронах токарного станка, а также в крыльях ветряных мельниц, тело вращается постоянно в одном и том же направлении, и каждая из его точек описывает полный круг во время каждого оборота тела вокруг своей оси. В других случаях движение является переменным или возвратно-поступательным, его направление через определенные промежутки меняется на обратное. Таков случай с маятниками часов, балансирами хронометров, педалью токарного станка, дверями и крышками на петлях, ножницами, садовыми ножницами, щипцами и т. д. Когда чередование является постоянным и регулярным, оно называется осцилляцией или вибрацией, как в маятниках и балансирах.

(181.) Чтобы объяснить свойства оси вращения, необходимо рассмотреть различные виды сил, действию которых может быть подвергнуто тело, подвижное на такой оси, показать, как это действие зависит от их количеств и направлений, различить случаи, в которых силы нейтрализуют друг друга и взаимно уравновешиваются, от тех, в которых возникает движение, определить эффект, который испытывает ось, и, в случаях, когда возникает движение, оценить эффекты тех центробежных сил (137), которые создаются массой тела, вращающегося вокруг оси.

Силы в целом различаются по длительности их действия на мгновенные и постоянные силы. Эффект мгновенной силы производится за бесконечно короткое время. Если тело, которое испытывает такое действие, ранее находилось в покое и было свободным, оно будет двигаться с равномерной скоростью в направлении приложенной силы (93). Если, с другой стороны, тело не является свободным, а ограничено так, что импульс не может привести его в движение, то фиксированные точки или линии, которые сопротивляются движению, испытывают соответствующий толчок в момент импульса. Этот эффект, который называется перкуссией, подобно силе, вызывающей его, является мгновенным.

Постоянная сила производит постоянный эффект. Если тело свободно и ранее находилось в покое, этот эффект представляет собой постоянное увеличение скорости. Если тело ограничено так, что приложенная сила не может привести его в движение, эффект представляет собой постоянное давление на точки или линии, которые его удерживают (94).

Может случиться, однако, что, хотя тело не является абсолютно свободным для движения в соответствии с приложенной к нему силой, оно все же не настолько ограничено, чтобы сопротивляться эффекту этой силы и оставаться в покое. Если точка, в которой приложена сила, свободна для движения в определенном направлении, не совпадающем с направлением приложенной силы, эта сила будет разложена на два элемента; один из которых направлен в сторону, в которую точка свободна двигаться, а другой — под прямым углом к этому направлению. Точка будет двигаться в соответствии с первым элементом, а второй произведет перкуссию или давление на точки или линии, которые ограничивают тело. Фактически, в таких случаях сопротивление, предлагаемое обстоятельствами, которые ограничивают движение тела, изменяет движение, которое оно получает, и поскольку каждое изменение движения должно быть следствием приложенной силы (44), фиксированные точки или линии, которые предлагают сопротивление, должны испытывать соответствующий эффект.

Может случиться, что силы, приложенные к телу, будь то постоянные или мгновенные, таковы, что, если бы оно было свободным, они сообщили бы ему движение, которое обстоятельства, ограничивающие его, не запрещают ему получить. В таком случае фиксированные точки или линии, которые ограничивают тело, не испытывают никакой силы, и явления будут во всех отношениях такими же, как если бы эти точки или линии не были фиксированными.

Будет легко применить эти общие размышления к случаю, в котором твердое тело подвижно на фиксированной оси. Такое тело не способно ни к какому движению, кроме вращения вокруг этой оси. Если оно подвергается действию мгновенных сил, должен наступить один из следующих эффектов. 1. Ось может сопротивляться силам и предотвратить любое движение. 2. Ось может изменить эффект сил, испытывая соответствующую перкуссию, а тело получает вращательное движение. 3. Приложенные силы могут быть таковы, что заставили бы тело вращаться вокруг оси, даже если бы она не была фиксированной, в этом случае тело получит вращательное движение, но ось не испытает никакой перкуссии.

То, что было только что замечено относительно эффекта мгновенных сил, также применимо к постоянным силам. 1. Ось может полностью сопротивляться эффекту таких сил, и в этом случае она испытает давление, которое можно оценить по правилам сложения сил. 2. Она может изменить эффект приложенных сил, и в этом случае она также должна испытывать давление, а тело должно получить вращательное движение, которое подвержено постоянному изменению из-за непрерывного действия сил. 3. Силы могут быть таковы, что сообщили бы телу то же вращательное движение, если бы ось не была фиксированной. В этом случае силы не произведут никакого давления на ось.

Приложенные силы — не единственные причины, которые влияют на ось тела во время явления вращения. Этот вид движения вызывает к действию другие силы, зависящие от инерции массы, которые производят эффекты на ось и играют заметную роль в теории вращения. Пока тело вращается вокруг своей оси, составляющие частицы его массы движутся по кругам, центры которых расположены на оси. Радиус круга, в котором движется каждая частица, — это линия, проведенная от этой частицы перпендикулярно к оси. Уже было доказано, что частица материи, движущаяся вокруг центра, сопровождается центробежной силой, пропорциональной радиусу круга, в котором она движется, и квадрату ее угловой скорости. Когда твердое тело вращается вокруг своей оси, все его части вращаются вместе, каждая совершая полный оборот за одно и то же время. Угловая скорость, следовательно, одинакова для всех, и разница центробежных сил различных частиц должна полностью зависеть от их расстояний от оси. Тенденция каждой частицы улететь от оси, возникающая из-за центробежной силы, сопротивляется сцеплением частей массы, и в целом эта тенденция расходуется на возбуждение давления или напряжения на ось. Следует помнить, однако, что это давление или напряжение совершенно отличается от того, которое уже упоминалось и производится силами, придающими движение телу. Последнее зависит полностью от количества и направлений приложенных сил по отношению к оси: первое зависит от фигуры и плотности тела и скорости его движения.

Эти очень сложные эффекты делают простое и элементарное изложение механических свойств фиксированной оси делом значительной трудности. Действительно, полное математическое развитие этой теории долго ускользало от мастерства самых проницательных геометров, и только в сравнительно позднее время она поддалась глубокому анализу современной науки.

(182.) Чтобы начать с самого простого случая, мы рассмотрим тело как подверженное действию одной силы. Эффект этой силы будет варьироваться в зависимости от отношения ее направления к направлению оси. Есть два способа, которыми тело может быть представлено как подвижное вокруг оси. 1. Имея оси в двух точках, которые покоятся в гнездах, так что когда тело перемещается, оно должно вращаться вокруг прямой линии, соединяющей оси как ось. 2. Тонкий цилиндрический стержень может проходить через тело, на котором оно может поворачиваться так же, как колесо на своей оси.

Если сила приложена к телу в направлении оси, очевидно, что никакое движение не может возникнуть, и произведенный эффект будет давлением на ту ось, к которой направлена сила. Если бы в этом случае тело вращалось на цилиндрическом стержне, тенденция силы заключалась бы в том, чтобы заставить его скользить вдоль стержня, не вращаясь вокруг него.

Предположим далее, что сила приложена не в направлении самой оси, а параллельно ей. Пусть AB (рис. 70) — ось, и пусть CD — направление приложенной силы. Предполагая, что оси находятся в A и B, проведем AG и BF перпендикулярно к AB. Сила CD будет эквивалентна трем силам, одна из которых действует от B к A, равная по количеству силе CD. Эта сила, очевидно, произведет соответствующее давление на ось A. Две другие силы будут действовать в направлениях AG и BF и будут иметь соответственно к силе CD ту же пропорцию, что AE к AB. Таков будет механический эффект силы CD, параллельной оси. И поскольку эти эффекты все направлены на оси, никакое движение не может возникнуть.

Если тело вращается на цилиндрическом стержне, силы AG и BF произвели бы напряжение на ось, в то время как третья сила в направлении BA имела бы тенденцию заставить тело скользить вдоль него.

(183.) Если сила, приложенная к телу, направлена на ось и под прямым углом к ней, никакое движение не может быть произведено. В этом случае, если тело поддерживается осями в A и B, сила KL, перпендикулярная линии AB, будет распределена между осями, производя давление на каждую, пропорциональное ее расстоянию от другой. Давление на A имеет к давлению на B ту же пропорцию, что LB к LA.

Если сила KH направлена косо к оси, она будет эквивалентна двум силам (76), одна KL перпендикулярна оси, а другая KM параллельна ей. Эффект каждой из них может быть исследован, как в предыдущих случаях.

Во всех этих наблюдениях предполагалось, что тело подвергается действию только одной силы. Если на него действуют несколько сил, направление каждой из которых пересекает ось перпендикулярно или косо, или принимает направление оси или любое параллельное направление, их эффекты могут быть исследованы аналогичным образом. Таким же образом мы можем определить эффекты любого количества сил, чьи комбинированные результаты механически эквивалентны силам, которые либо пересекают ось, либо параллельны ей.

(184.) Если приложена любая сила, направление которой лежит в плоскости, косой к оси, она всегда может быть разложена на два элемента (76), один из которых параллелен оси, а другой — в плоскости, перпендикулярной к ней. Эффект первого уже был определен, и поэтому мы в настоящее время ограничим наше внимание последним.

Предположим, что ось перпендикулярна бумаге и проходит через точку G (рис. 71), и пусть ABC — сечение тела. Будет удобно считать сечение вертикальным, а ось горизонтальной, не принимая, однако, во внимание эффект веса тела.

Пусть груз W подвешен на шнуре QW из любой точки Q. Этот груз, очевидно, будет иметь тенденцию поворачивать тело в направлении ABC. Пусть другой шнур прикреплен к любой другой точке P, и, будучи перекинут через колесо R, пусть к нему прикреплена чаша S, и пусть мелкий песок насыпается в эту чашу до тех пор, пока тенденция S поворачивать тело вокруг оси в направлении CBA не уравновесит противоположную тенденцию W. Пусть веса W и S будут затем точно установлены, а также пусть расстояния GI и GH шнуров от оси будут точно измерены. Будет обнаружено, что если количество унций в весе S умножить на количество дюймов в GH, а также количество унций в W умножить на количество дюймов в GI, будут получены равные произведения. Этот эксперимент можно варьировать, изменяя положение колеса R и тем самым изменяя направление струны PR, в каких случаях всегда будет необходимо изменять вес S таким образом, чтобы, когда количество унций в нем умножается на количество дюймов в расстоянии струны от оси, полученное произведение было равно произведению веса W на расстояние GI. Мы здесь использовали унции и дюймы как меры веса и расстояния; но очевидно, что любые другие меры были бы одинаково применимы.

Из того, что было только что сказано, следует, что энергия веса S для перемещения тела на его оси зависит не только от фактического количества этого веса, но также от расстояния струны от оси. Если, пока положение струны остается неизменным, вес S увеличивается или уменьшается, сопротивляющийся вес W должен быть увеличен или уменьшен в той же пропорции. Но если, пока вес S остается неизменным, расстояние струны PR от оси G увеличивается или уменьшается, будет обнаружено, что необходимо увеличить или уменьшить сопротивляющийся вес W в точно такой же пропорции. Поэтому кажется, что увеличение или уменьшение расстояния направления силы от оси имеет тот же эффект на ее способность придавать вращение, что и подобное увеличение или уменьшение самой силы. Способность силы производить вращение, следовательно, точно оценивается не силой одной, а произведением, найденным путем умножения силы на расстояние ее направления от оси. В механической науке часто необходимо ссылаться на эту способность силы, и, соответственно, упомянутое произведение получило особое наименование. Оно называется моментом силы вокруг оси.

(185.) Расстояние направления силы от оси иногда называют плечом силы. Момент силы, следовательно, находится путем умножения силы на ее плечо, и энергия данной силы поворачивать тело вокруг оси пропорциональна плечу этой силы.

Из всего, что было замечено, можно легко сделать вывод, что если несколько сил воздействуют на тело, подвижное на оси, имея тенденции поворачивать его в разных направлениях, они будут взаимно нейтрализовать друг друга и производить равновесие, если сумма моментов тех сил, которые стремятся поворачивать тело в одном направлении, равна сумме моментов тех, которые стремятся поворачивать его в противоположном направлении. Таким образом, если силы A, B, C... стремятся поворачивать тело справа налево, а расстояния их направлений от оси равны a, b, c..., а силы A', B', C'... стремятся перемещать его слева направо, а расстояния их направлений от оси равны a', b', c'...; тогда эти силы произведут равновесие, если произведения, найденные путем умножения унций в A, B, C... соответственно на дюймы в a, b, c... при сложении вместе будут равны произведениям, найденным путем умножения унций в A', B', C'... на дюймы в a', b', c'... соответственно при сложении вместе. Но если любой из этих наборов произведений при сложении вместе превышает другой, соответствующий набор сил будет преобладать, и тело будет вращаться на своей оси.