В последнем издании я принял это рассуждение как окончательное. Более внимательное рассмотрение, однако, убедило меня, что оно содержит ошибку.
Оппонент утверждает, что факт того, что А является В, истинен восемь раз из двенадцати, а факт того, что С является В, — шесть раз из восьми, и, следовательно, шесть раз в тех восьми; оба факта, следовательно, истинны только шесть раз из каждых двенадцати. То есть он заключает, что поскольку среди А, взятых без разбора, только восемь из двенадцати являются В, а остальные четыре — нет, то должно быть одинаково верно, что четыре из двенадцати не являются В, когда двенадцать взяты из избранной части А, которые также являются С. И с помощью этого допущения он приходит к странному результату, что среди вещей, которые являются и А, и С, меньше В, чем среди А или С, взятых без разбора; так что вещь, которая имеет оба шанса быть В, менее вероятно будет таковой, чем если бы она имела только один шанс или только другой.
Оппонент (как остроумно заметил другой корреспондент) применяет к рассматриваемой проблеме способ вычисления, подходящий только для обратной проблемы. Если бы вопрос был таким: «Если два из каждых трех В являются А, а три из каждых четырех В являются С, сколько В будут и А, и С», его рассуждение было бы верным. Ибо В, которые являются и А, и С, должны быть меньше, чем В, которые являются А, или В, которые являются С, и чтобы найти их число, мы должны уменьшить любое из этих чисел в пропорции, причитающейся другому. Но когда проблема состоит в том, чтобы найти не сколько В являются и А, и С, а сколько вещей, которые являются и А, и С, являются В, очевидно, что среди них доля В должна быть не меньше, а больше, чем среди вещей, которые являются только А, или среди вещей, которые являются только В.
Истинная теория шансов лучше всего находится путем возвращения к научным основаниям, на которых покоятся пропорции. Степень частоты совпадения зависит от частоты, в сочетании с эффективностью, действующих причин, которые благоприятствуют ему, и является ее мерой. Если из каждых двенадцати А, взятых без разбора, восемь являются В, а четыре — нет, это подразумевает, что на А действуют причины, которые стремятся сделать его В, и что эти причины достаточно постоянны и достаточно мощны, чтобы преуспеть в восьми из двенадцати случаев, но терпят неудачу в оставшихся четырех. Так, если из двенадцати С девять являются В, а три — нет, должны существовать причины той же тенденции, действующие на С, которые преуспевают в девяти случаях и терпят неудачу в трех. Теперь предположим двенадцать случаев, которые являются и А, и С. Все двенадцать теперь находятся под действием обоих наборов причин. Один набор достаточен, чтобы преобладать в восьми из двенадцати случаев, другой — в девяти. Анализ случаев показывает, что шесть из двенадцати будут В благодаря действию обоих наборов причин; еще два — в силу причин, действующих на А; и еще три — благодаря тем, которые действуют на С, и что будет только один случай, в котором все причины будут неэффективны. Общее число, следовательно, которые являются В, будет одиннадцать из двенадцати, и оценка в тексте верна. 197.Supra, book i., chap. v.198.Supra, book i., chap. v., § 1, and book ii., chap, v., § 5.199.Аксиома «Равные, вычтенные из равных, оставляют равные разности» может быть продемонстрирована из двух аксиом в тексте. Если А = а и В = b, А-В = а-b. Ибо если нет, пусть А-В = а-b+с. Тогда, поскольку В = b, прибавляя равные к равным, А = а+с. Но А = а. Следовательно, а = а+с, что невозможно.
После того как это суждение было продемонстрировано, мы можем с помощью него продемонстрировать следующее: «Если равные прибавляются к неравным, суммы неравны». Если А = а и В не равно b, А+В не равно а+b. Ибо предположим, что это так. Тогда, поскольку А = а и А+В = а+b, вычитая равные из равных, В = b; что противоречит гипотезе.
Так опять же, можно доказать, что две вещи, одна из которых равна, а другая не равна третьей вещи, неравны друг другу. Если А = а и А не равно В, то и а не равно В. Ибо предположим, что они равны. Тогда, поскольку А = а и а = В, и поскольку вещи, равные одной и той же вещи, равны друг другу, А = В; что противоречит гипотезе. 200.Geometers have usually preferred to define parallel lines by the property of being in the same plane and never meeting. This, however, has rendered it necessary for them to assume, as an additional axiom, some other property of parallel lines; and the unsatisfactory manner in which properties for that purpose have been selected by Euclid and others has always been deemed the opprobrium of elementary geometry. Even as a verbal definition, equidistance is a fitter property to characterize parallels by, since it is the attribute really involved in the signification of the name. If to be in the same plane and never to meet were all that is meant by being parallel, we should feel no incongruity in speaking of a curve as parallel to its asymptote. The meaning of parallel lines is, lines which pursue exactly the same direction, and which, therefore, neither draw nearer nor go farther from one another; a conception suggested at once by the contemplation of nature. That the lines will never meet is of course included in the more comprehensive proposition that they are everywhere equally distant. And that any straight lines which are in the same plane and not equidistant will certainly meet, may be demonstrated in the most rigorous manner from the fundamental property of straight lines assumed in the text, viz., that if they set out from the same point, they diverge more and more without limit.201.Philosophie Positive, iii., 414-416.202.See the two remarkable notes (A) and (F), appended to his Inquiry into the Relation of Cause and Effect.203.Supra, p. 413.204.Писатель, на которого я несколько раз ссылался, дает в качестве определения невозможности то, для производства чего в мире не существует адекватной причины. Это определение не охватывает такие невозможности, как эти: что дважды два должно быть пять; что две прямые линии должны заключать пространство; или что что-либо должно начать существовать без причины. Я не могу придумать никакого определения невозможности, достаточно всеобъемлющего, чтобы включить все ее разновидности, кроме того, которое я дал: а именно, Невозможность — это то, истинность чего противоречила бы полной индукции, то есть самому убедительному доказательству, которым мы обладаем относительно всеобщей истины.
Что касается предполагаемых невозможностей, которые не имеют иных оснований, кроме нашего незнания какой-либо причины, способной произвести предполагаемые эффекты; очень немногие из них являются безусловно невозможными или постоянно невероятными. Факты передвижения со скоростью семьдесят миль в час, безболезненные хирургические операции и разговор посредством мгновенных сигналов между Лондоном и Нью-Йорком занимали высокое место, не так много лет назад, среди таких невозможностей. 205.Not, however, as might at first sight appear, 999 times as much. A complete analysis of the cases shows that (always assuming the veracity of the witness to be ⁹⁄₁₀) in 10,000 drawings, the drawing of No. 79 will occur nine times, and be announced incorrectly once; the credibility, therefore, of the announcement of No. 79 is ⁹⁄₁₀; while the drawing of a white ball will occur nine times, and be announced incorrectly 999 times. The credibility, therefore, of the announcement of white is ⁹⁄₁₀₀₈, and the ratio of the two 1008:10; the one announcement being thus only about a hundred times more credible than the other, instead of 999 times.206.Supra, book iii., chap. ii., § 3, 4, 5.207.Mr. Bailey has given the best statement of this theory. “The general name,” he says, “raises up the image sometimes of one individual of the class formerly seen, sometimes of another, not unfrequently of many individuals in succession; and it sometimes suggests an image made up of elements from several different objects, by a latent process of which I am not conscious.” (Letters on the Philosophy of the Human Mind, 1st series, letter 22.) But Mr. Bailey must allow that we carry on inductions and ratiocinations respecting the class, by means of this idea or conception of some one individual in it. This is all I require. The name of a class calls up some idea, through which we can, to all intents and purposes, think of the class as such, and not solely of an individual member of it.208.I have entered rather fully into this question in chap. xvii. of An Examination of Sir William Hamilton’s Philosophy, headed “The Doctrine of Concepts or General Notions,” which contains my last views on the subject.209.Other examples of inappropriate conceptions are given by Dr. Whewell (Phil. Ind. Sc. ii., 185) as follows: “Aristotle and his followers endeavored in vain to account for the mechanical relation of forces in the lever, by applying the inappropriate geometrical conceptions of the properties of the circle: they failed in explaining the form of the luminous spot made by the sun shining through a hole, because they applied the inappropriate conception of a circular quality in the sun’s light: they speculated to no purpose about the elementary composition of bodies, because they assumed the inappropriate conception of likeness between the elements and the compound, instead of the genuine notion of elements merely determining the qualities of the compound.” But in these cases there is more than an inappropriate conception; there is a false conception; one which has no prototype in nature, nothing corresponding to it in facts. This is evident in the last two examples, and is equally true in the first; the “properties of the circle” which were referred to, being purely fantastical. There is, therefore, an error beyond the wrong choice of a principle of generalization; there is a false assumption of matters of fact. The attempt is made to resolve certain laws of nature into a more general law, that law not being one which, though real, is inappropriate, but one wholly imaginary.210.Professor Bain.211.This sentence having been erroneously understood as if I had meant to assert that belief is nothing but an irresistible association, I think it necessary to observe that I express no theory respecting the ultimate analysis either of reasoning or of belief, two of the most obscure points in analytical psychology. I am speaking not of the powers themselves, but of the previous conditions necessary to enable those powers to exert themselves: of which conditions I am contending that language is not one, senses and association being sufficient without it. The irresistible association theory of belief, and the difficulties connected with the subject, have been discussed at length in the notes to the new edition of Mr. James Mill’s Analysis of the Phenomena of the Human Mind.212.Mr. Bailey agrees with me in thinking that whenever “from something actually present to my senses, conjoined with past experience, I feel satisfied that something has happened, or will happen, or is happening, beyond the sphere of my personal observation,” I may with strict propriety be said to reason: and of course to reason inductively, for demonstrative reasoning is excluded by the circumstances of the case. (The Theory of Reasoning, 2d ed., p. 27.)213.Novum Organum Renovatum, pp. 35-37.214.Novum Organum Renovatum, pp. 39, 40.215.P. 217, 4to edition.216.«E, ex, extra, extraneus, étranger, stranger».
Другой этимологический пример, который иногда цитируется, — это происхождение английского uncle от латинского avus. Едва ли возможно, чтобы два слова имели меньше внешних признаков родства, однако между ними всего один шаг: avus, avunculus, uncle. Так же pilgrim от ager: per agrum, peragrinus, peregrinus, pellegrino, pilgrim. Профессор Бэн приводит несколько подходящих примеров этих переходов значения. «Слово 'damp' первоначально означало влажный, сырой, мокрый. Но это свойство часто сопровождается ощущением холода или зябкости, и поэтому идея холода сильно внушается этим словом. Это еще не все. Исходя из добавленного значения, мы говорим о «damping» (охлаждении) чьего-либо пыла, метафора, где охлаждение — единственное обстоятельство; мы идем еще дальше, чтобы обозначить железную заслонку, которая перекрывает тягу печи, «the damper» (заслонка), при этом первоначальное значение теперь полностью отброшено. «Dry» (сухой), подобным же образом, означая отсутствие влаги, воды или жидкости, применяется к серной кислоте, содержащей воду, хотя и не переставая тем самым быть влажным, мокрым или жидким веществом». Так же в фразах: сухое херес или Шампанское.
«'Street' (улица), первоначально мощеная дорога, с домами или без них, была распространена на дороги, обсаженные домами, мощеные или немощеные. 'Impertinent' (дерзкий) означало сначала неуместный, чуждый рассматриваемой цели: через что оно стало означать назойливый, навязчивый, невоспитанный, наглый» (Логика, ii., 173, 174). 217.Pp. 226, 227.218.Essays, p. 214.219.Essays, p. 215.220.Though no such evil consequences as take place in these instances are likely to arise from the modern freak of writing sanatory instead of sanitary, it deserves notice as a charming specimen of pedantry ingrafted upon ignorance. Those who thus undertake to correct the spelling of the classical English writers, are not aware that the meaning of sanatory, if there were such a word in the language, would have reference not to the preservation of health, but to the cure of disease.221.Historical Introduction, vol. i., pp. 66-68.222.History of Scientific Ideas, ii., 110, 111.223.History of Scientific Ideas, ii., 111-113.224.Nov. Org. Renov., pp. 286, 287.225.History of Scientific Ideas, ii., 120-122.226.Nov. Org. Renov., p. 274.227.Hist. Sc. Id., i. 133.228.Dr. Whewell, in his reply (Philosophy of Discovery, p. 270) says that he “stopped short of, or rather passed by, the doctrine of a series of organized beings,” because he “thought it bad and narrow philosophy.” If he did, it was evidently without understanding this form of the doctrine; for he proceeds to quote a passage from his “History,” in which the doctrine he condemns is designated as that of “a mere linear progression in nature, which would place each genus in contact only with the preceding and succeeding ones.” Now the series treated of in the text agrees with this linear progression in nothing whatever but in being a progression.229.Supra, p. 137.230.Vulgar Errors, book v., chap. 21.231.Pharmacologia, Historical Introduction, p. 16.232.The author of one of the Bridgewater Treatises has fallen, as it seems to me, into a similar fallacy when, after arguing in rather a curious way to prove that matter may exist without any of the known properties of matter, and may therefore be changeable, he concludes that it can not be eternal, because “eternal (passive) existence necessarily involves incapability of change.” I believe it would be difficult to point out any other connection between the facts of eternity and unchangeableness, than a strong association between the two ideas. Most of the a priori arguments, both religious and anti-religious, on the origin of things, are fallacies drawn from the same source.233.Supra, book ii., chap. v., § 6, and chap. vii., § 1, 2, 3, 4. See also Examination of Sir William Hamilton’s Philosophy, chap. vi. and elsewhere.234.It seems that this doctrine was, before the time I have mentioned, disputed by some thinkers. Dr. Ward mentions Scotus, Vasquez, Biel, Francis Lugo, and Valentia.235.I quote this passage from Playfair’s celebrated Dissertation on the Progress of Mathematical and Physical Science.236.This statement I must now correct, as too unqualified. The maxim in question was maintained with full conviction by no less an authority than Sir William Hamilton. See my Examination, chap. xxiv.237.Nouveaux Essais sur l’Entendement Humain—Avant-propos. (Œuvres, Paris ed., 1842, vol. i., p. 19.)238.This doctrine also was accepted as true, and conclusions were grounded on it, by Sir William Hamilton. See Examination, chap. xxiv.239.Not that of Leibnitz, but the principle commonly appealed to under that name by mathematicians.240.Dissertation, p. 27.241.Hist. Ind. Sc., Book i., chap. i.242.Novum Organum, Aph. 75.243.Supra, book iii., chap. vii., § 4.244.It is hardly needful to remark that nothing is here intended to be said against the possibility at some future period of making gold—by first discovering it to be a compound, and putting together its different elements or ingredients. But this is a totally different idea from that of the seekers of the grand arcanum.245.Pharmacologia, pp. 43-45.246.Vol. i., chap. 8.247.Nov. Org., Aph. 46.248.Playfair’s Dissertation, sect. 4.249.Nov. Org. Renov., p. 61.250.Pharmacologia, p. 21.251.Pharmacologia, pp. 23, 24.252.Ibid., p. 28.253.Ibid., p. 62.254.Ibid., pp. 61, 62.255.Supra, p. 450.256.Elements of the Philosophy of the Mind, vol. ii., chap. 4, sect. 5.257.“Thus Fourcroy,” says Dr. Paris, “explained the operation of mercury by its specific gravity, and the advocates of this doctrine favored the general introduction of the preparations of iron, especially in scirrhus of the spleen or liver, upon the same hypothetical principle; for, say they, whatever is most forcible in removing the obstruction must be the most proper instrument of cure: such is steel, which, besides the attenuating power with which it is furnished, has still a greater force in this case from the gravity of its particles, which, being seven times specifically heavier than any vegetable, acts in proportion with a stronger impulse, and therefore is a more powerful deobstruent. This may be taken as a specimen of the style in which these mechanical physicians reasoned and practiced.”—Pharmacologia, pp. 38, 39.258.Pharmacologia, pp. 39, 40.259.I quote from Dr. Whewell’s Hist. Ind. Sc., 3d ed., i., 129.260.Hist. Ind. Sc., i., 52.261.Nov. Org., Aph. 60.262.«Адвокат», — говорит г-н Де Морган («Формальная логика», стр. 270), — «иногда виновен в аргументе à dicto secundum quid ad dictum simpliciter: его дело — сделать для своего клиента все, что клиент мог бы честно сделать для себя сам. Не часто ли опускается слово, выделенное курсивом? Мог бы любой человек честно попытаться сделать для себя все, что адвокаты часто пытаются сделать для него? Нам часто напоминают о двух людях, которые украли баранью ногу; один мог поклясться, что у него ее нет, другой — что он ее не брал. Адвокат выполняет свой долг перед клиентом, клиент оставил дело на усмотрение своего адвоката. Между невыполненным намерением клиента и непреднамеренным исполнением адвоката может быть совершено зло, и, если верить обычным максимам, нет виновника».