«Система логики: умозаключительная и индуктивная, том II»

Все, следовательно, что Юм установил, и это должно считаться установленным им, есть то, что (по крайней мере в несовершенном состоянии нашего знания о естественных агентах, которое оставляет всегда возможным, что некоторые из физических антецедентов могли быть скрыты от нас) никакое доказательство не может доказать чудо никому, кто ранее не верил в существование существа или существ со сверхъестественной силой; или кто верит, что имеет полное доказательство того, что характер Существа, которое он признает, несовместим с тем, что оно сочло нужным вмешаться в рассматриваемом случае.

Если мы уже не верим в сверхъестественные агенты, никакое чудо не может доказать нам их существование. Само чудо, рассматриваемое просто как экстраординарный факт, может быть удовлетворительно удостоверено нашими чувствами или свидетельством; но ничто никогда не может доказать, что это чудо: остается еще одна возможная гипотеза, что оно является результатом некоторой неизвестной естественной причины: и эта возможность не может быть настолько полностью исключена, чтобы не оставить никакой альтернативы, кроме признания существования и вмешательства существа, превосходящего природу. Те, однако, кто уже верит в такое существо, имеют две гипотезы на выбор: сверхъестественное и неизвестное естественное воздействие; и они должны судить, какая из двух является наиболее вероятной в конкретном случае. При формировании этого суждения важным элементом вопроса будет соответствие результата законам предполагаемого агента, то есть характеру Божества, как они его представляют. Но со знанием, которым мы теперь обладаем об общей единообразности хода природы, религия, следуя в кильватере науки, была вынуждена признать управление вселенной как в целом осуществляемое общими законами, а не особыми вмешательствами. Для того, кто придерживается этого убеждения, существует общее презумптивное возражение против любого предположения о божественном воздействии, не действующем через общие законы, или, другими словами, существует антецедентная невероятность в каждом чуде, которая, чтобы перевесить ее, требует экстраординарной силы антецедентной вероятности, производной из особых обстоятельств случая.

§ 3. Из сказанного следует, что утверждение о том, что причина была лишена эффекта, который связан с ней полностью установленным законом причинности, должно быть отвергнуто или нет в зависимости от вероятности или невероятности того, что в конкретном случае существовала адекватная противодействующая причина. Сформировать оценку этого не труднее, чем других вероятностей. В отношении всех известных причин, способных противодействовать данным причинам, мы обычно имеем некоторое предварительное знание о частоте или редкости их возникновения, из которого мы можем сделать вывод об антецедентной невероятности их присутствия в любом конкретном случае. И ни в отношении известных, ни в отношении неизвестных причин мы не обязаны выносить суждение о вероятности их существования в природе, а только об их существовании в то время и в том месте, в которых, как утверждается, произошло событие. Мы редко, следовательно, лишены средств (когда обстоятельства случая хоть сколько-нибудь известны нам) судить, насколько вероятно, что такая причина должна была существовать в то время и в том месте, не проявляя своего присутствия какими-либо другими знаками, и (в случае неизвестной причины) не проявив до сих пор своего существования ни в каком другом случае. В зависимости от того, представляется ли это обстоятельство или ложность свидетельства более невероятным, то есть конфликтует ли оно с приблизительным обобщением более высокого порядка, мы верим свидетельству или отвергаем его; с более сильной или более слабой степенью убежденности, в зависимости от перевеса: по крайней мере до тех пор, пока мы не исследуем дело дальше.

Столько, следовательно, о случае, в котором предполагаемый факт конфликтует или кажется конфликтующим с реальным законом причинности. Но более распространенный случай, возможно, — это случай его конфликта с единообразиями простого сосуществования, не доказанными как зависящие от причинности: другими словами, со свойствами родов. Именно с этими единообразиями главным образом склонны расходиться удивительные истории, рассказываемые путешественниками: как о людях с хвостами или с крыльями, и (пока не подтверждено опытом) о летучих рыбах; или о льде, в знаменитом анекдоте о голландских путешественниках и короле Сиама. Факты этого описания, факты, ранее неслыханные, но которые нельзя было бы из какого-либо известного закона причинности объявить невозможными, — это то, что Юм характеризует как не противоречащие опыту, а просто несообразные с ним; а Бентам в своем трактате о доказательствах называет их фактами, несообразными по виду, в отличие от таких, которые несообразны полностью или по степени.

В случае этого описания утверждаемый факт есть существование нового рода; что само по себе ни в малейшей степени не является невероятным и должно быть отвергнуто только в том случае, если невероятность того, что какая-либо разновидность объекта, существующая в конкретном месте и времени, не была обнаружена раньше, больше, чем невероятность ошибки или лживости свидетелей. Соответственно, такие утверждения, когда сделаны заслуживающими доверия лицами и об исследованных местах, не отвергаются, а самое большее рассматриваются как требующие подтверждения от последующих наблюдателей; если только предполагаемые свойства предполагаемого нового рода не находятся в противоречии с известными свойствами некоторого большего рода, который включает его; или, другими словами, если только в новом роде, который, как утверждается, существует, некоторые свойства, как говорят, были найдены отделенными от других, которые, как всегда было известно, сопровождают их; как в случае людей Плиния или любого другого рода животных структуры, отличной от той, которая всегда находилась сосуществующей с животной жизнью. О способе обращения с любым таким случаем мало что нужно добавить к тому, что было сказано по той же теме в двадцать второй главе. Когда единообразия сосуществования, которые нарушил бы предполагаемый факт, таковы, что вызывают сильную презумпцию того, что они являются результатом причинности, факт, который конфликтует с ними, должен быть отвергнут; по крайней мере временно и при условии дальнейшего исследования. Когда презумпция доходит до виртуальной достоверности, как в случае общей структуры организованных существ, единственный вопрос, требующий рассмотрения, заключается в том, не могут ли в явлениях, столь мало понятых, существовать возможности противодействия со стороны причин, до сих пор неизвестных; или не могут ли явления быть способны возникать каким-то другим способом, который произвел бы другой набор производных единообразий. Там, где (как в случае летучей рыбы или утконоса) обобщение, исключением из которого был бы предполагаемый факт, очень специфично и ограниченного диапазона, ни одно из вышеуказанных предположений не может считаться очень невероятным; и обычно в случае таких предполагаемых аномалий мудро воздержаться от суждения в ожидании последующих исследований, которые не преминут подтвердить утверждение, если оно истинно. Но когда обобщение очень всеобъемлющее, охватывающее огромное число и разнообразие наблюдений и покрывающее значительную провинцию домена природы; тогда, по причинам, которые были полностью объяснены, такой эмпирический закон приближается к достоверности установленного закона причинности: и любое предполагаемое исключение из него не может быть допущено, если только не на основании доказательства некоторого закона причинности, доказанного еще более полной индукцией.

Такие единообразия в ходе природы, которые не несут знаков того, что они являются результатами причинности, являются, как мы уже видели, допустимыми как всеобщие истины со степенью доверия, соразмерной их общности. Те, которые истинны для всех вещей вообще, или по крайней мере которые полностью независимы от разновидностей родов, а именно законы числа и протяжения, к которым мы можем добавить сам закон причинности, вероятно, являются единственными, исключение из которых абсолютно и постоянно невероятно. Соответственно, именно к утверждениям, предполагаемым как противоречащие этим законам или некоторым другим, приближающимся к ним по общности, слово «невозможность» (по крайней мере полная невозможность), по-видимому, обычно ограничивается. Нарушения других законов, например специальных законов причинности, называются лицами, стремящимися к точности в выражении, невозможными в обстоятельствах случая; или невозможными, если только не существовала какая-то причина, которой не было в конкретном случае. Ни об одном утверждении, не находящемся в противоречии с некоторыми из этих очень общих законов, не будет заявлено более чем невероятность любым осторожным лицом; и невероятность не высшей степени, если только время и место, в которых, как говорят, произошел факт, не делают почти достоверным, что аномалия, если она реальна, не могла быть упущена из виду другими наблюдателями. Воздержание от суждения во всех других случаях есть ресурс рассудительного исследователя; при условии, что свидетельство в пользу аномалии не представляет, при тщательном просеивании, никаких подозрительных обстоятельств.

Но свидетельство почти никогда не выдерживает этого испытания в случаях, в которых аномалия не является реальной. В зафиксированных случаях, в которых большое число свидетелей с хорошей репутацией и научными познаниями свидетельствовали об истинности чего-то, что оказалось неистинным, почти всегда были обстоятельства, которые для проницательного наблюдателя, приложившего надлежащие усилия для просеивания дела, сделали бы свидетельство недостоверным. Обычно были средства объяснения впечатления на чувства или умы предполагаемых воспринимающих обманчивыми явлениями; или какая-то эпидемическая иллюзия, распространяемая заразительным влиянием народного чувства, была вовлечена в дело; или был замешан какой-то сильный интерес — религиозное рвение, партийное чувство, тщеславие или по крайней мере страсть к чудесному у лиц, сильно восприимчивых к этому. Когда ни одно из этих или подобных обстоятельств не существует для объяснения кажущейся силы свидетельства; и когда утверждение не находится в противоречии ни с теми всеобщими законами, которые не знают противодействия или аномалии, ни с обобщениями, следующими по всеобъемлемости за ними, а составило бы только, если бы было допущено, существование неизвестной причины или аномального рода в обстоятельствах, не столь тщательно исследованных, чтобы не было достоверно, что вещи, до сих пор неизвестные, могут еще выйти на свет; осторожное лицо не будет ни допускать, ни отвергать свидетельство, а будет ждать подтверждения в другое время и из других несвязанных источников. Таким должно было быть поведение короля Сиама, когда голландские путешественники утверждали ему о существовании льда. Но невежественный человек столь же упрям в своем презрительном недоверии, сколь неразумно доверчив. Все, что не похоже на его собственный узкий опыт, он отвергает, если это не льстит никакой склонности; любая детская сказка проглатывается им безоговорочно, если она это делает.

§ 4. Я перейду теперь к рассмотрению весьма серьезного заблуждения относительно принципов данного предмета, допущенного некоторыми авторами, выступавшими против «Очерка о чудесах» Юма, а до них — епископом Батлером, в их стремлении уничтожить то, что представлялось им грозным оружием нападения на христианскую религию; следствием этого заблуждения является полное смешение доктрины об основаниях неверия. Ошибка заключается в игнорировании различия между (как это можно назвать) невероятностью до факта и невероятностью после него; или (поскольку, как отмечает г-н Венн, различие между прошлым и будущим не является существенным обстоятельством) между невероятностью того, что простое предположение окажется верным, и невероятностью того, что предполагаемый факт является истинным.

Многие события представляются нам совершенно невероятными до того, как они произошли, или до того, как мы получили известие об их свершении, однако они ничуть не кажутся невероятными, когда мы узнаем о них, поскольку они не противоречат никакой, даже приблизительной, индукции. При бросании совершенно правильной игральной кости шансы против выпадения туза составляют пять к одному, то есть в среднем туз будет выпадать лишь один раз на шесть бросков. Но это не является основанием для того, чтобы не верить в то, что туз выпал в данном конкретном случае, если это утверждает заслуживающий доверия свидетель; ибо, хотя туз выпадает лишь один раз из шести, какое-то число, выпадающее один раз из шести, должно было выпасть, если кость вообще бросали. Таким образом, невероятность, или, иными словами, необычность какого-либо факта не является основанием для неверия в него, если природа дела делает достоверным то, что произошло либо это, либо нечто столь же невероятное, то есть столь же необычное. И это еще не все: ибо даже если бы остальные пять граней кости были двойками или тройками, то, поскольку туз все равно в среднем выпадал бы один раз на каждые шесть бросков, его выпадение при данном броске никоим образом не противоречило бы опыту. Если бы мы не верили во все факты, против которых заранее были шансы, мы бы почти ни во что не верили. Нам говорят, что А. Б. умер вчера: за мгновение до этого сообщения шансы против того, что он умер в этот день, могли составлять десять тысяч к одному; но поскольку он должен был когда-нибудь умереть, и, умерев, неизбежно должен был умереть в какой-то определенный день, в то время как перевес шансов очень велик против каждого дня в отдельности, опыт не дает оснований для недоверия к любому свидетельству, которое может быть представлено в пользу того, что событие произошло в данный день.

Тем не менее, д-ром Кэмпбеллом и другими считалось полным ответом на доктрину Юма (о том, что невероятны вещи, противоречащие единообразному ходу опыта), что мы не проявляем неверия лишь потому, что шансы были против них, к вещам, строго соответствующим единообразному ходу опыта; что мы не отвергаем предполагаемый факт только потому, что сочетание причин, от которых он зависит, встречается лишь один раз на определенное число случаев. Очевидно, что все, что показано наблюдением или может быть доказано из законов природы как происходящее в определенной пропорции (как бы мала она ни была) от общего числа возможных случаев, не противоречит опыту; хотя мы правы, не веря в это, если какое-либо другое предположение относительно рассматриваемого предмета в целом предполагает меньшее отклонение от обычного хода событий. И все же на таких основаниях способные авторы пришли к необычайному выводу, что ничему, подкрепленному заслуживающим доверия свидетельством, никогда не следует не верить.

§ 5. Мы рассмотрели два вида событий, которые обычно называют невероятными; один вид — это события, которые никоим образом не являются экстраординарными, но которые, имея огромный перевес шансов против них, невероятны до тех пор, пока они не подтверждены, но не дольше; другой вид — это события, которые, будучи противоречащими какому-либо признанному закону природы, невероятны при любом количестве свидетельств, за исключением тех, которые были бы достаточны, чтобы поколебать нашу веру в сам этот закон. Но между этими двумя классами событий существует промежуточный класс, состоящий из того, что обычно называют совпадениями: иными словами, тех сочетаний шансов, которые представляют некоторую своеобразную и неожиданную регулярность, уподобляя их в этом отношении результатам действия закона. Как если бы, например, в лотерее из тысячи билетов номера были вытянуты в точном порядке так называемых натуральных чисел: 1, 2, 3 и т. д. Нам еще предстоит рассмотреть принципы доказательства, применимые к этому случаю: есть ли какая-либо разница между совпадениями и обычными событиями в объеме свидетельств или других доказательств, необходимых для того, чтобы сделать их достоверными.

Несомненно, что согласно любому рациональному принципу ожидания, сочетание такого своеобразного рода можно ожидать столь же часто, как и любую другую заданную серию из тысячи чисел; что при совершенно правильных костях шестерки будут выпадать дважды, трижды или любое число раз подряд столь же часто в тысяче или миллионе бросков, как и любая другая последовательность чисел, установленная заранее; и что ни один рассудительный игрок не стал бы давать большие шансы против одной серии, чем против другой. Несмотря на это, существует общая склонность рассматривать одно как гораздо более невероятное, чем другое, и требующее гораздо более сильных доказательств, чтобы сделать его достоверным. Такова сила этого впечатления, что оно привело некоторых мыслителей к выводу, что природе труднее производить регулярные сочетания, чем нерегулярные; или, иными словами, что существует некоторая общая тенденция вещей, некоторый закон, который препятствует возникновению регулярных сочетаний, или, по крайней мере, их возникновению так же часто, как других. К числу этих мыслителей можно отнести Д'Аламбера, который в «Очерке о вероятностях», содержащемся в пятом томе его «Смеси» (Mélanges), утверждает, что регулярные сочетания, хотя и равновероятные согласно математической теории с любыми другими, физически менее вероятны. Он апеллирует к здравому смыслу, или, иными словами, к общим впечатлениям, говоря: если бы кости, бросаемые неоднократно в нашем присутствии, каждый раз давали шестерки, не готовы ли мы были бы, еще до того, как число бросков достигло десяти (не говоря уже о тысячах миллионов), с самой твердой убежденностью утверждать, что кости фальшивые?

Общее и естественное впечатление говорит в пользу Д'Аламбера: регулярная серия показалась бы гораздо более маловероятной, чем нерегулярная. Но это общее впечатление, как я полагаю, основано лишь на том факте, что едва ли кто-то помнит, чтобы когда-либо видел одно из этих своеобразных совпадений: причина этого просто в том, что ничей опыт не простирается на сколько-нибудь значительное число испытаний, в пределах которых можно было бы ожидать появления этого или любого другого заданного сочетания событий. Поскольку вероятность выпадения шестерок при одном броске двух костей составляет 1/36, вероятность выпадения шестерок десять раз подряд равна 1, деленному на 36 в десятой степени; иными словами, такое совпадение, вероятно, произойдет лишь один раз в 3 656 158 440 062 976 испытаниях — число, до миллионной доли которого не доходит опыт ни одного игрока в кости. Но если бы вместо шестерок десять раз была заранее выбрана любая другая заданная последовательность из десяти бросков, было бы в точности так же маловероятно, что в чьем-либо опыте когда-либо встречалась эта конкретная последовательность; хотя это и не кажется столь же невероятным, потому что никто не мог бы запомнить, случалось ли это или нет, и потому что сравнение молчаливо проводится не между шестерками десять раз и какой-то одной конкретной серией бросков, а между всеми регулярными и всеми нерегулярными последовательностями, взятыми вместе.

То, что (как говорит Д'Аламбер) если бы последовательность шестерок действительно выпала на наших глазах, мы приписали бы это не случаю, а нечестности костей, несомненно верно. Но это проистекает из совершенно иного принципа. Мы рассматривали бы тогда не вероятность самого факта, а сравнительную вероятность того, с которой, будучи известным как свершившийся, он может быть отнесен к той или иной причине. Регулярная серия ничуть не менее вероятна, чем нерегулярная, в плане того, что она вызвана случаем, но она гораздо более вероятна, чем нерегулярная, в плане того, что она произведена замыслом или какой-то общей причиной, действующей через устройство костей. Природа случайных сочетаний состоит в том, чтобы производить повторение одного и того же события так же часто и не чаще, чем любая другая серия событий. Но природа общих причин состоит в том, чтобы воспроизводить в одних и тех же обстоятельствах всегда одно и то же событие. Здравый смысл и наука одинаково диктуют, что при прочих равных условиях мы должны скорее приписать эффект причине, которая, будучи реальной, весьма вероятно произвела бы его, чем причине, которая весьма маловероятно произвела бы его. Согласно шестой теореме Лапласа, которую мы доказали в предыдущей главе, разница в вероятности, возникающая из превосходной эффективности постоянной причины — нечестности костей, — после очень немногих бросков намного перевесила бы любую предшествующую вероятность, которая могла бы существовать против ее наличия.

Д'Аламберу следовало бы поставить вопрос иначе. Ему следовало бы предположить, что мы сами предварительно испытали кости и по богатому опыту знали, что они правильные. Затем другой человек испытывает их в наше отсутствие и уверяет нас, что он выбросил шестерки десять раз подряд. Достоверно ли это утверждение или нет? Здесь эффект, который нужно объяснить, — это не само событие, а факт утверждения свидетеля об этом. Это может проистекать либо из того, что оно действительно произошло, либо из какой-то другой причины. Что нам нужно оценить, так это сравнительную вероятность этих двух предположений.

Если бы свидетель утверждал, что выбросил любую другую серию чисел, предполагая, что он человек правдивый и достаточно точный, и заявляет, что проявил особое внимание, мы бы поверили ему. Но десять шестерок в точности так же могли быть действительно выброшены, как и другая серия. Если, следовательно, это утверждение менее достоверно, чем другое, причина должна быть не в том, что оно менее вероятно, чем другое, чтобы быть сделанным правдиво, а в том, что оно более вероятно, чем другое, чтобы быть сделанным ложно.

Очевидно, возникает одна причина, почему то, что называют совпадением, должно чаще утверждаться ложно, чем обычное сочетание. Оно вызывает удивление. Оно удовлетворяет любовь к чудесному. Мотивы к лжи, одним из самых частых среди которых является желание поразить, действуют сильнее в пользу этого рода утверждений, чем другого рода. До сих пор очевидно больше оснований для недоверия к предполагаемому совпадению, чем к утверждению, которое само по себе не более вероятно, но которое, если бы было сделано, не считалось бы примечательным. Однако существуют случаи, в которых презумпция на этом основании была бы обратной. Есть некоторые свидетели, которые, чем более необычным казалось бы событие, тем более стремились бы проверить его с предельной тщательностью наблюдения, прежде чем решились бы поверить в него, и тем более — прежде чем стали бы утверждать его другим.

§ 6. Независимо, однако, от каких-либо особых шансов на лживость, проистекающих из природы утверждения, Лаплас утверждает, что просто на общем основании ненадежности свидетельств совпадение не является достоверным при том же объеме свидетельств, на основании которого мы были бы вправе верить в обычное сочетание событий. Чтобы воздать должное его аргументу, необходимо проиллюстрировать его примером, выбранным им самим.

Если, говорит Лаплас, в ящике было тысяча билетов и был вытянут только один, то если очевидец утверждает, что вытянутый номер был 79, это, хотя шансы были 999 к 1000 против этого, не является по этой причине менее достоверным; его достоверность равна предшествующей вероятности правдивости свидетеля. Но если в ящике было 999 черных шаров и только один белый, и свидетель утверждает, что был вытянут белый шар, случай, согласно Лапласу, совсем иной: достоверность его утверждения составляет лишь малую долю того, чем она была в предыдущем случае; причина различия заключается в следующем.

Свидетели, о которых мы говорим, должны, по природе дела, быть такого рода, чья достоверность существенно не дотягивает до уверенности: предположим, следовательно, что достоверность свидетеля в рассматриваемом случае равна 9/10; то есть предположим, что из каждых десяти утверждений, которые делает свидетель, девять в среднем верны, а одно неверно. Предположим теперь, что произошло достаточное количество вытягиваний, чтобы исчерпать все возможные сочетания, причем свидетель дает показания в каждом из них. В одном случае из каждых десяти во всех этих вытягиваниях он на самом деле сделает ложное объявление. Но в случае с тысячью билетов эти ложные объявления будут распределены беспристрастно по всем номерам, и из 999 случаев, в которых № 79 не был вытянут, будет только один случай, в котором он был объявлен. Напротив, в случае с тысячью шаров (объявление всегда «черный» или «белый»), если белый не был вытянут и было сделано ложное объявление, это ложное объявление должно было быть «белый»; и поскольку по предположению ложное объявление было один раз в каждые десять раз, «белый» будет объявлен ложно в одной десятой части всех случаев, в которых он не был вытянут, то есть в одной десятой части 999 случаев из каждой тысячи. Таким образом, «белый» вытягивается в среднем в точности так же часто, как № 79, но объявляется, не будучи действительно вытянутым, в 999 раз чаще, чем № 79; поэтому объявление требует гораздо большего объема свидетельств, чтобы сделать его достоверным.

Чтобы этот аргумент был обоснованным, конечно, должно предполагаться, что объявления, сделанные свидетелем, являются средними образцами его общей правдивости и точности; или, по крайней мере, что они не являются ни более, ни менее таковыми в случае с черными и белыми шарами, чем в случае с тысячью билетов. Это допущение, однако, не оправдано. Человек гораздо менее склонен ошибаться, имея только одну форму ошибки, которой нужно остерегаться, чем если бы у него было 999 различных ошибок, которых нужно избегать. Например, в выбранном примере посыльный, который мог бы ошибиться один раз в десять раз при сообщении номера, вытянутого в лотерее, мог бы не ошибиться ни разу в тысячу раз, если бы его послали просто наблюдать, был ли шар черным или белым. Аргумент Лапласа, следовательно, ошибочен даже применительно к его собственному случаю. Еще менее этот случай может быть принят как полностью представляющий все случаи совпадений. Лаплас так сконструировал свой пример, что, хотя черный цвет соответствует 999 различным возможностям, а белый — только одной, свидетель тем не менее не имеет предвзятости, которая могла бы заставить его предпочесть черный белому. Свидетель не знал, что в ящике было 999 черных шаров и только один белый; или если и знал, Лаплас позаботился о том, чтобы сделать все 999 случаев настолько неразличимо похожими, что едва ли существует возможность того, чтобы какая-либо причина лжи или ошибки действовала в пользу любого из них, которая не действовала бы таким же образом, если бы был только один. Измените это предположение, и весь аргумент рухнет. Пусть шары, например, будут пронумерованы, и пусть белый шар будет № 79. Рассматриваемые в отношении их цвета, есть только две вещи, которые свидетель может быть заинтересован утверждать, или о которых мог видеть сон или галлюцинацию, или из которых должен выбирать, если отвечает наугад, а именно: черный и белый: но рассматриваемые в отношении номеров, прикрепленных к ним, их тысяча: и если его интерес или ошибка случайно связаны с номерами, хотя единственное утверждение, которое он делает, касается цвета, случай становится в точности уподобленным случаю с тысячью билетов. Или вместо шаров предположите лотерею с 1000 билетов и только одним призом, и что я держу № 79, и, будучи заинтересован только в этом, спрашиваю свидетеля не о том, какой номер был вытянут, а был ли это 79 или какой-то другой. Теперь есть только два случая, как в примере Лапласа; однако он, конечно, не сказал бы, что если бы свидетель ответил 79, утверждение было бы в огромной пропорции менее достоверным, чем если бы он дал тот же ответ на тот же вопрос, заданный другим способом. Если, например (чтобы привести случай, предполагаемый самим Лапласом), он поставил крупную сумму на один из шансов и думает, что, объявив о его наступлении, он увеличит свой кредит; он с равной вероятностью мог сделать ставку на любой из 999 номеров, которые прикреплены к черным шарам, и, насколько это касается шансов на лживость по этой причине, будет в 999 раз больше шансов на то, что он объявит черный ложно, чем белый.

Или предположите полк из 1000 человек, 999 англичан и один француз, и что из них один человек был убит, и неизвестно, кто именно. Я задаю вопрос, и свидетель отвечает: француз. Это было не только столь же невероятно а priori, но и само по себе является столь же исключительным обстоятельством, столь же примечательным совпадением, как вытягивание белого шара: однако мы поверили бы этому утверждению так же охотно, как если бы ответом был Джон Томпсон. Потому что, хотя 999 англичан были все одинаковы в том пункте, в котором они отличались от француза, они не были, подобно 999 черным шарам, неразличимы во всех других отношениях; но, будучи все разными, они допускали столько же шансов на интерес или ошибку, как если бы каждый человек был другой национальности; и если была сказана ложь или допущена ошибка, неверное утверждение с равной вероятностью могло пасть на любого Джонса или Томпсона из этого набора, как и на француза.

Пример совпадения, выбранный Д'Аламбером, — выпадение шестерок на паре костей десять раз подряд — относится к этому роду случаев, а не к таким, как у Лапласа. Совпадение здесь гораздо более примечательно из-за гораздо более редкого возникновения, чем вытягивание белого шара. Но хотя невероятность того, что оно действительно произойдет, больше, превосходство вероятности того, что о нем будет объявлено ложно, не может быть установлено с тем же доказательством. Объявление «черный» представляло 999 случаев, но свидетель мог не знать этого, и если бы он знал, 999 случаев настолько в точности похожи, что действительно существует только один набор возможных причин лживости, соответствующий целому. Объявление «шестерки не выпали десять раз» представляет, и свидетель знает, что оно представляет, великое множество непредвиденных обстоятельств, каждое из которых не похоже на любое другое, поэтому может существовать различный и свежий набор причин лживости, соответствующий каждому.

Мне кажется, поэтому, что доктрина Лапласа не является строго верной ни для каких совпадений и полностью неприменима к большинству: и что для того, чтобы знать, требует ли совпадение большего количества доказательств, чтобы сделать его достоверным, чем обычное событие, мы должны в каждом случае обращаться к первым принципам и заново оценивать, какова вероятность того, что данное свидетельство было бы представлено в этом случае, предполагая, что факт, который оно утверждает, не является истинным.

Этими замечаниями мы завершаем обсуждение оснований неверия; а вместе с ним и такое изложение логики индукции, какое позволяет место и какое автор в состоянии предоставить.

ПРИМЕЧАНИЯ:

[1] Cours de Philosophie Positive, ii. 656.

[2] См. выше, книга iii, гл. xi.

[3] Philosophy of Discovery, стр. 185 и сл.

[4] Philosophie Positive, ii. 434-437.

[5] В качестве примера законной гипотезы согласно критерию, здесь изложенному, справедливо приводится гипотеза Бруссе, который, исходя из весьма рационального принципа, что каждая болезнь должна возникать в той или иной определенной части организма, смело предположил, что некоторые лихорадки, которые, не будучи известными как местные, назывались конституциональными, имели свое происхождение в слизистой оболочке пищеварительного канала. Это предположение было действительно, как теперь общепризнано, ошибочным; но он был оправдан в его выдвижении, поскольку, выводя следствия из этого предположения и сравнивая их с фактами этих болезней, он мог быть уверен в опровержении своей гипотезы, если она была плохо обоснована, и мог ожидать, что сравнение существенно поможет ему в формулировании другой, более соответствующей явлениям. Доктрина, ныне повсеместно принятая, что земля является естественным магнитом, была первоначально гипотезой знаменитого Гильберта. Другая гипотеза, против законности которой не может быть возражений и которая хорошо приспособлена осветить путь научного исследования, — это гипотеза, предложенная несколькими недавними авторами, что мозг является вольтовым столбом и что каждая из его пульсаций есть разряд электричества через систему. Было замечено, что ощущение, испытываемое рукой от биения мозга, имеет сильное сходство с вольтовым ударом. И гипотеза, если проследить ее до следствий, могла бы дать правдоподобное объяснение многих физиологических фактов, в то время как нет ничего, что могло бы обескуражить надежду на то, что мы со временем достаточно поймем условия вольтовых явлений, чтобы сделать истинность гипотезы доступной для наблюдения и эксперимента. Попытка локализовать в различных областях мозга физические органы наших различных ментальных способностей и склонностей была со стороны ее первоначального автора законным примером научной гипотезы; и мы не должны поэтому винить его за крайне слабые основания, на которых он часто действовал в операции, которая могла быть только пробной, хотя мы можем сожалеть, что материалы, едва достаточные для первой грубой гипотезы, были поспешно переработаны в тщетное подобие науки. Если действительно существует связь между шкалой ментальных дарований и различными степенями сложности в церебральной системе, природа этой связи вряд ли могла быть выявлена иным способом, кроме как путем формулирования в первом случае гипотезы, подобной гипотезе Галля. Но проверка любой такой гипотезы сопряжена, из-за своеобразной природы явлений, с трудностями, которые френологи не показали себя даже способными оценить, не говоря уже о том, чтобы преодолеть. Замечательное размышление г-на Дарвина о происхождении видов является еще одним безупречным примером законной гипотезы. То, что он называет «естественным отбором», является не только истинной причиной (vera causa), но и причиной, доказанной как способная производить эффекты того же рода, что и те, которые гипотеза приписывает ей: вопрос возможности — это целиком вопрос степени. Неразумно обвинять г-на Дарвина (как это делалось) в нарушении правил индукции. Правила индукции касаются условий доказательства. Г-н Дарвин никогда не претендовал на то, что его доктрина доказана. Он был связан не правилами индукции, а правилами гипотезы. И эти последние редко выполнялись более полно. Он открыл путь исследования, полный обещаний, результаты которого никто не может предвидеть. И разве не является чудесным подвигом научного знания и изобретательности сделать столь смелое предположение, которое первым импульсом каждого было немедленно отвергнуть, допустимым и обсуждаемым, даже как догадку?

[6] Whewell's Phil. of Discovery, стр. 275, 276.

[7] Что больше всего способствовало признанию гипотезы физической среды для передачи света, так это достоверный факт, что свет движется (что нельзя доказать относительно гравитации), что его передача не мгновенна, а требует времени, и что он перехватывается (чего не делает гравитация) промежуточными объектами. Это аналогии между его явлениями и явлениями механического движения твердого или жидкого вещества. Но мы не вправе предполагать, что механическое движение — единственная сила в природе, способная проявлять эти атрибуты.

[8] Phil. of Disc. стр. 274.

[9] Стр. 271.

[10] Стр. 251 и все Приложение G.

[11] В последней версии своей теории (Philosophy of Discovery, стр. 331) д-р Уэвелл делает уступку относительно среды передачи света, которая, взятая в сочетании с остальной частью его доктрины по этому предмету, признаюсь, не очень понятна мне, но которая идет далеко к устранению, если не фактически устраняет, всю разницу между нами. Он спорит против сэра Уильяма Гамильтона, что вся материя имеет вес. Сэр Уильям, в доказательство обратного, сослался на светоносный эфир, а также калорические и электрические жидкости, «которые», сказал он, «мы не можем ни лишить их характера субстанции, ни облечь атрибутом веса». «На что», продолжает д-р Уэвелл, «мой ответ таков, что именно потому, что я не могу облечь эти агенты атрибутом веса, я лишаю их характера субстанции. Они не субстанции, а агенты. Эти невесомые агенты не называются должным образом невесомыми жидкостями. Это, как я полагаю, я доказал». Ничто не может быть более философским. Но если светоносный эфир не материя, и притом жидкая материя, каково значение его волнообразных движений? Может ли агент совершать волнообразные движения? Может ли быть чередующееся движение вперед и назад частиц агента? И не подразумевает ли вся математическая теория волнообразных движений, что они материальны? Не является ли это серией дедукций из известных свойств упругих жидкостей? Это мнение д-ра Уэвелла сводит волнообразные движения к фигуре речи, а волновую теорию — к положению, которое все должны признать, что передача света происходит согласно законам, которые представляют очень поразительное и замечательное согласие с законами волнообразных движений. Если д-р Уэвелл готов придерживаться этой доктрины, у меня нет разногласий с ним по этому предмету. С тех пор как была написана эта глава, гипотеза светоносного эфира приобрела большое приращение кажущейся силы, будучи принятой в новую доктрину сохранения силы как предоставляющая механизм, с помощью которого можно объяснить способ производства не только света, но и тепла, и, вероятно, всех других так называемых невесомых агентов. На нынешней незрелой стадии рассматриваемого великого размышления я не взялся бы определять конечное отношение гипотетической жидкости к нему; но я должен заметить, что существенная часть новой теории, взаимная превращаемость и взаимозаменяемость этих великих космических агентов, совершенно независима от молекулярных движений, которые были воображены как непосредственные причины этих различных проявлений и их замен друг другом; и первая доктрина никоим образом не влечет за собой вторую. Признаюсь, что вся теория вибраций эфира и движений, которые эти вибрации, как предполагается, передают частицам твердых тел, кажется мне в настоящее время самой слабой частью новой системы, склонной скорее отягощать, чем поддерживать те из ее доктрин, которые покоятся на реальной научной индукции.

[12] Таким образом, вода, восемь девятых веса которой составляет кислород, растворяет большинство тел, содержащих высокую пропорцию кислорода, таких как все нитраты (которые имеют больше кислорода, чем любые другие из обычных солей), большинство сульфатов, многие карбонаты и т. д. Опять же, тела, в значительной степени состоящие из горючих элементов, таких как водород и углерод, растворимы в телах подобного состава; канифоль, например, растворится в спирте, деготь — в скипидаре. Это эмпирическое обобщение далеко от того, чтобы быть повсеместно верным; без сомнения, потому что оно является отдаленным и, следовательно, легко опровергаемым результатом общих законов, слишком глубоких для нас в настоящее время, чтобы проникнуть в них; но оно, вероятно, со временем предложит процессы исследования, ведущие к открытию этих законов.

[13] Или (согласно теории Лапласа) солнце и вращение солнца.

[14] См. выше, книга iii, гл. v, § 7.

[15] См. выше, книга iii, гл. x, § 2.

[16] В предыдущем обсуждении среднее (mean) упоминается так, как если бы оно было в точности тем же самым, что и среднее арифметическое (average). Но среднее для целей индуктивного исследования — это не среднее арифметическое, хотя в привычной иллюстрации теории этим различием можно пренебречь. Если отклонения в одну сторону от среднего арифметического гораздо более многочисленны, чем в другую (последние меньше, но больше по величине), эффект, обусловленный неизменной причиной, в отличие от переменных, не совпадет со средним арифметическим, а будет либо ниже, либо выше его, в зависимости от того, на какой стороне находится наибольшее число случаев. Это следует из истины, установленной как индуктивно, так и дедуктивно, что малые отклонения от истинной центральной точки гораздо более часты, чем большие. Математический закон гласит: «что наиболее вероятное определение одного или нескольких неизменных элементов из наблюдения есть то, в котором сумма квадратов индивидуальных аберраций», или отклонений, «будет наименьшей возможной». См. этот принцип, изложенный и его основания популярно объясненные сэром Джоном Гершелем в его обзоре Кетле о вероятностях, Essays, стр. 395 и сл.

[17] Essai Philosophique sur les Probabilités, пятое парижское издание, стр. 7.

[18] Мне даже кажется, что расчет шансов, когда нет данных, основанных либо на специальном опыте, либо на специальном выводе, должен в подавляющем большинстве случаев провалиться из-за чистой невозможности назначить какой-либо принцип, которым можно было бы руководствоваться при составлении списка возможностей. В случае с цветными шарами у нас нет трудностей с перечислением, потому что мы сами определяем, какими будут возможности. Но предположите случай, более аналогичный тем, что встречаются в природе: вместо трех цветов пусть в ящике будут все возможные цвета: при этом мы предполагаемся невежественными относительно сравнительной частоты, с которой различные цвета встречаются в природе или в произведениях искусства. Как составить список случаев? Считать ли каждый отдельный оттенок цветом? Если так, то будет ли критерием обычный глаз или образованный глаз, например, художника? От ответа на эти вопросы зависело бы, будут ли шансы против какого-то конкретного цвета оценены как десять, двадцать или, возможно, пятьсот к одному. В то время как если бы мы знали из опыта, что конкретный цвет встречается в среднем определенное число раз на каждые сто или тысячу, нам не нужно было бы знать ничего ни о частоте, ни о числе других возможностей.

[19] Prospective Review за февраль 1850 г.

[20] «Если это не так, почему мы чувствуем, что первый случай добавляет гораздо больше вероятности, чем любой отдельный последующий случай? Почему, кроме того, что первый случай дает нам свою возможность (причину, адекватную ему), в то время как каждый другой дает нам только частоту своих условий? Если не предполагается никакой ссылки на причину, возможность не имела бы смысла; однако ясно, что до ее наступления мы могли бы счесть событие невозможным, т. е. верить, что в мире не существует физической энергии, действительно равной его производству... После первого раза наступления, который, следовательно, более важен для всей вероятности, чем любой другой отдельный случай (потому что доказывает возможность), число раз становится важным как индекс интенсивности или степени причины и ее независимости от какого-либо конкретного времени. Если мы возьмем, например, случай огромного прыжка и захотим составить оценку вероятности его успеха определенное число раз; первый случай, показывая его возможность (ранее сомнительную), является наиболее важным; но каждый последующий прыжок показывает, что сила более совершенно под контролем, больше и более неизменна, и так увеличивает вероятность; и никто не подумал бы рассуждать в этом случае прямо от одного случая к следующему, не ссылаясь на физическую энергию, которую указывал каждый прыжок. Не ясно ли тогда, что мы никогда» (скажем лучше, что мы не делаем этого в развитом состоянии нашего знания) «не заключаем прямо от наступления события к вероятности его наступления снова; но что мы ссылаемся на причину, рассматривая прошлые случаи как индекс причины, а причину — как наш путеводитель в будущее?» — Ibid.

[21] Последний процитированный автор говорит, что оценка шансов путем сравнения числа случаев, в которых событие происходит, с числом, в которых оно не происходит, «была бы в целом совершенно ошибочной» и «не является истинной теорией вероятности». Это, по крайней мере, то, что составляет основу страхования и всех тех расчетов шансов в делах жизни, которые опыт так обильно подтверждает. Причина, которую рецензент дает для отвержения теории, заключается в том, что она «рассматривала бы как достоверное событие, которое до сих пор никогда не терпело неудачи; что чрезвычайно далеко от истины, даже для очень большого числа постоянных успехов». Это не дефект конкретной теории, а любой теории шансов. Никакой принцип оценки не может предусмотреть такой случай, какой предполагает рецензент. Если событие ни разу не терпело неудачи в числе испытаний, достаточном для устранения случая, оно действительно имеет всю достоверность, которую может дать эмпирический закон: оно достоверно во время продолжения того же сочетания причин, которое существовало во время наблюдений. Если оно когда-либо терпит неудачу, это происходит вследствие некоторого изменения в этом сочетании. Теперь, никакая теория шансов не позволит нам вывести будущую вероятность события из прошлого, если причины в действии, способные влиять на событие, претерпели промежуточное изменение.

[22] Стр. 18, 19. Теорема не сформулирована Лапласом в тех точных терминах, в которых я сформулировал ее; но тождественность смысла двух способов выражения легко доказуема.

[23] Для более полного рассмотрения многих интересных вопросов, поднятых теорией вероятностей, я могу теперь сослаться на недавнюю работу г-на Венна, члена колледжа Кайус, Кембридж, «Логика случая»; один из самых вдумчивых и философских трактатов по любому предмету, связанному с логикой и доказательством, которые были созданы в этой или любой другой стране за многие годы. Некоторые критические замечания, содержащиеся в ней, были очень полезны мне при пересмотре соответствующих глав настоящей работы. Однако с несколькими мнениями г-на Венна я не согласен. Каковы они, будет очевидно любому читателю работы г-на Венна, который также является читателем этой.

[24] Для этого не было большего основания, чем для знаменитой догадки Ньютона о том, что алмаз горюч. Он обосновал свою догадку очень высокой преломляющей способностью алмаза по сравнению с его плотностью; особенностью, которая, как было замечено, существует у горючих веществ; и на подобных основаниях он предположил, что вода, хотя и не горючая, содержит горючий ингредиент. Поскольку эксперимент впоследствии показал, что в обоих случаях он угадал верно, пророчество считается сделавшим большую честь его научной проницательности; но до сего дня остается неопределенным, была ли догадка в действительности тем, чему так много примеров в истории науки, — дальновидным предвосхищением закона, который впоследствии должен был быть открыт. Прогресс науки до сих пор не показал оснований верить, что существует какая-либо реальная связь между горючестью и высокой преломляющей способностью.

[25] Hartley's Observations on Man, том i, стр. 16. Отрывок отсутствует в сокращенном издании Пристли.

[26] Я счастлив, что могу процитировать следующий превосходный отрывок из «Очерка об индуктивной философии» г-на Бэдена Пауэлла в подтверждение, как в отношении истории, так и в отношении доктрины, утверждения, сделанного в тексте. Говоря об «убеждении во всеобщей и постоянной единообразности природы», г-н Пауэлл говорит (стр. 98-100): «Мы можем заметить, что эта идея в своем надлежащем объеме отнюдь не является общепринятой или естественного происхождения. Ровно настолько, насколько простирается повседневный опыт каждого, настолько он действительно приходит к принятию определенного убеждения такого рода, но лишь в этой ограниченной степени, что то, что происходит вокруг него в настоящее время, в его собственной узкой сфере наблюдения, будет происходить подобным же образом в будущем. Крестьянин верит, что солнце, которое взошло сегодня, взойдет снова завтра; что семя, положенное в землю, будет в должное время сопровождаться урожаем в этом году, как это было в прошлом году, и тому подобное; но не имеет понятия о таких выводах в предметах за пределами его непосредственного наблюдения. И следует заметить, что каждый класс лиц, допуская это убеждение в ограниченном диапазоне своего собственного опыта, хотя он сомневается или отрицает его во всем, что выходит за его пределы, на самом деле несет бессознательное свидетельство его всеобщей истинности. И, опять же, не только среди самых невежественных это ограничение накладывается на истину. Существует очень общая склонность верить, что все, что выходит за рамки обычного опыта или особенно установленных законов природы, оставлено на произвол случая, судьбы или произвольного вмешательства; и даже возражать против любой попытки объяснения физическими причинами, если они предположительно выдвинуты для по-видимому необъяснимого явления. «Точная доктрина обобщения этой идеи единообразности природы, будучи отнюдь не очевидной, естественной или интуитивной, совершенно недоступна для многих. Во всем объеме своей всеобщности она характерна для философа. Она явно является результатом философского культивирования и обучения, а отнюдь не спонтанным порождением какого-либо первичного принципа, естественно присущего разуму, как некоторые, по-видимому, верят. Это не просто смутное убеждение, принятое без проверки, как общее предубеждение, к которому мы всегда привыкли; напротив, все общие предрассудки и ассоциации против него. Это в высшей степени приобретенная идея. Она не достигается без глубокого изучения и размышления. Лучше всего информированный философ — это человек, который наиболее твердо верит в нее, даже в противовес принятым понятиям; ее принятие зависит от степени и глубины его индуктивных исследований».

[27] См. выше, книга iii, гл. iii, § 1.

[28] Заслуживает замечания, что эти ранние обобщения не предполагали, подобно научным индукциям, причинности. Что они действительно предполагали, так это единообразность в физических фактах. Но наблюдатели были столь же готовы предполагать единообразность в сосуществованиях фактов, как и в последовательностях. С другой стороны, они никогда не думали предполагать, что эта единообразность была принципом, пронизывающим всю природу: их обобщения не подразумевали, что существует единообразность во всем, а только то, что столько единообразности, сколько существовало в пределах их наблюдения, существовало также и за его пределами. Индукция «огонь жжет» не требует для своей достоверности, чтобы вся природа соблюдала единообразные законы, а только чтобы существовала единообразность в одном конкретном классе природных явлений: эффектах огня на чувства и на горючие вещества. И единообразность в этой степени не предполагалась до опыта, а доказывалась опытом. Те же наблюдаемые случаи, которые доказывали более узкую истину, доказывали столько же от более широкой, сколько соответствовало ей. Именно из-за упускания из виду этого факта и рассмотрения закона причинности во всем его объеме как необходимо предполагаемого в самых ранних обобщениях, люди были приведены к убеждению, что закон причинности известен а priori и сам по себе не является выводом из опыта.

[29] Книга ii, глава iii.

[30] Один из наиболее многообещающих мыслителей нового поколения во Франции, г-н Тэн (который дал в Revue des Deux Mondes самый мастерский анализ, по крайней мере, с одной точки зрения, когда-либо сделанный настоящей работы), хотя он отвергает по этому и подобным пунктам психологии теорию интуиции в ее обычной форме, тем не менее приписывает закону причинности и некоторым другим из самых всеобщих законов ту достоверность за пределами границ человеческого опыта, которую я не смог предоставить им. Он делает это на вере в нашу способность абстракции, в которой он, по-видимому, признает независимый источник доказательства, не раскрывающий, правда, истины, не содержащиеся в нашем опыте, но предоставляющий уверенность, которую опыт не может дать, во всеобщности тех, которые он действительно содержит. Посредством абстракции г-н Тэн, по-видимому, думает, что мы способны не просто анализировать ту часть природы, которую мы видим, и выставлять отдельно элементы, которые пронизывают ее, но различать такие из них, которые являются элементами системы природы, рассматриваемой как целое, а не инцидентами, принадлежащими нашему ограниченному земному опыту. Я не уверен, что полностью вникаю в смысл г-на Тэна; но признаюсь, что не вижу, как любое простое абстрактное понятие, извлеченное нашими умами из нашего опыта, может быть доказательством объективного факта во всеобщей природе, за пределами того, о чем свидетельствует сам опыт; или как в процессе интерпретации на общем языке свидетельства опыта ограничения самого свидетельства могут быть отброшены.

[31] Книга i, глава vii.

[32] В некоторых случаях вид достаточно идентифицируется каким-то одним примечательным свойством: но чаще всего требуется несколько; каждое свойство, рассматриваемое отдельно, является общим свойством этого и других видов. Цвет и яркость алмаза общи ему с пастой, из которой делаются фальшивые алмазы; его октаэдрическая форма обща ему с квасцами и магнитной железной рудой; но цвет, яркость и форма вместе идентифицируют его вид; то есть являются для нас знаком того, что он горюч; что при сгорании он производит углекислый газ; что он не может быть разрезан никаким известным веществом; вместе со многими другими установленными свойствами и фактом, что существует неопределенное число еще не установленных.

[33] Эта доктрина, конечно, предполагает, что аллотропные формы того, что химически является тем же самым веществом, суть столько же различных видов; и таковыми, в смысле, в котором слово «вид» используется в этом трактате, они действительно являются.

[34] Г-н Де Морган в своей «Формальной логике» делает справедливое замечание, что из двух таких посылок, как «большинство А суть Б» и «большинство А суть В», мы можем с уверенностью вывести, что некоторые Б суть В. Но это предельный предел выводов, которые могут быть сделаны из двух приблизительных обобщений, когда точная степень их приближения к всеобщности неизвестна или не определена.

[35] Rationale of Judicial Evidence, том iii, стр. 224.

[36] См. выше, том i, стр. 115.

[37] См. выше, книга i, гл. v, § 1, и книга ii, гл. v, § 5.

[38] Аксиома «равные, вычтенные из равных, оставляют равные разности» может быть доказана из двух аксиом в тексте. Если А = а и Б = б, А - Б = а - б. Ибо если нет, пусть А - Б = а - б + с. Тогда, поскольку Б = б, добавляя равные к равным, А = а + с. Но А = а. Следовательно, а = а + с, что невозможно. Это предложение будучи доказанным, мы можем с помощью него доказать следующее: «Если равные добавлены к неравным, суммы неравны». Если А = а и Б не = б, А + Б не = а + б. Ибо предположим, что это так. Тогда, поскольку А = а и А + Б = а + б, вычитая равные из равных, Б = б; что противоречит гипотезе. Так опять же, может быть доказано, что две вещи, одна из которых равна, а другая неравна третьей вещи, неравны друг другу. Если А = а и А не = Б, то и а не = Б. Ибо предположим, что они равны. Тогда, поскольку А = а и а = Б, и поскольку вещи, равные одной и той же вещи, равны друг другу, А = Б: что противоречит гипотезе.

[39] Геометры обычно предпочитали определять параллельные линии свойством находиться в одной плоскости и никогда не пересекаться. Это, однако, сделало необходимым для них предполагать, как дополнительную аксиому, некоторое другое свойство параллельных линий; и неудовлетворительный способ, которым свойства для этой цели были выбраны Евклидом и другими, всегда считался позором элементарной геометрии. Даже как словесное определение, равноудаленность является более подходящим свойством для характеристики параллелей, поскольку это атрибут, действительно вовлеченный в значение имени. Если бы находиться в одной плоскости и никогда не пересекаться было всем, что подразумевается под параллельностью, мы не чувствовали бы несоответствия в разговоре о кривой как параллельной своей асимптоте. Значение параллельных линий — это линии, которые следуют в точности в одном направлении и которые, следовательно, ни приближаются, ни удаляются друг от друга; концепция, подсказанная сразу созерцанием природы. То, что линии никогда не пересекутся, конечно, включено в более всеобъемлющее предложение, что они везде равноудалены. И то, что любые прямые линии, которые находятся в одной плоскости и не равноудалены, определенно пересекутся, может быть доказано самым строгим образом из фундаментального свойства прямых линий, предполагаемого в тексте, а именно: что если они исходят из одной точки, они расходятся все больше и больше без предела.

[40] Philosophie Positive, iii. 414-416.

[41] См. два примечательных примечания (A) и (F), добавленных к его работе «Исследование отношения причины и следствия» (Inquiry into the Relation of Cause and Effect).