«Философское эссе о вероятностях»

Теперь произведение V на n-ю степень T есть первообразная функция, в которой индекс x увеличен на n единиц; переходя от производящих функций к их коэффициентам, мы будем иметь эту первообразную функцию, таким образом увеличенную, равную разложению n-й степени двучлена Z + 1, при условии, что в этом разложении мы подставим вместо степеней Z соответствующие разности первообразной функции и что мы умножим независимый член этих степеней на первообразную функцию. Мы получим таким образом первообразную функцию, индекс которой увеличен на любое число n, с помощью ее разностей.

Предполагая, что T и Z всегда имеют предыдущие значения, мы будем иметь Z, равное двучлену T - 1; произведение V на n-ю степень Z будет тогда равно произведению V на разложение n-й степени двучлена T - 1. Переходя от производящих функций к их коэффициентам, как это только что было сделано, мы будем иметь n-ю разность первообразной функции, выраженную разложением n-й степени двучлена T - 1, в котором мы подставляем вместо степеней T эту же функцию, индекс которой увеличен на показатель степени, а вместо независимого члена t, который есть единица, — первообразную функцию, что дает эту разность с помощью последовательных членов этой функции.

Помещая δ перед первообразной функцией, выражающей производную этой функции, которая умножает x-ю степень t в произведении V на T, и Δ, выражающей ту же производную в произведении V на Z, мы приходим благодаря тому, что предшествует, к этому общему результату: какой бы ни была функция переменной t, представленная T и Z, мы можем в разложении всех тождественных уравнений, которые могут быть образованы среди этих функций, подставить символы δ и Δ вместо T и Z, при условии, что мы запишем первообразную функцию индекса в ряд со степенями и произведениями степеней символов и что мы умножим на эту функцию независимые члены этих символов.

Мы можем с помощью этого общего результата преобразовать любую определенную степень разности первообразной функции индекса x, в которой x изменяется на единицу, в ряд разностей той же функции, в которой x изменяется на определенное число единиц, и наоборот. Предположим, что T есть i-я степень единицы, деленной на t - 1, и что Z всегда есть единица, деленная на t - 1; тогда коэффициент x-й степени t в произведении V на T будет коэффициентом x+i степени t в V минус коэффициент x-й степени t; это будет тогда конечная разность первообразной функции индекса x, в которой мы изменяем этот индекс на число i. Легко видеть, что T равно разности между i-й степенью двучлена Z + 1 и единицей. n-я степень T равна n-й степени этой разности. Если в этом равенстве мы подставим вместо T и Z символы δ и Δ и после разложения поместим в конце каждого члена первообразную функцию индекса x, мы будем иметь n-ю разность этой функции, в которой x изменяется на i единиц, выраженную рядом разностей той же функции, в которой x изменяется на единицу. Этот ряд есть лишь преобразование разности, которую он выражает и которая тождественна с ним; но именно в подобных преобразованиях и заключается сила анализа.

Общность анализа позволяет нам предположить в этом выражении, что n отрицательно. Тогда отрицательные степени δ и Δ указывают интегралы. Действительно, n-я разность первообразной функции, имеющая в качестве производящей функции произведение V на n-ю степень двучлена «один, деленное на t, минус один», первообразная функция, которая является n-м интегралом этой разности, имеет в качестве производящей функции производящую функцию той же разности, умноженную на n-ю степень, взятую как «минус один, деленное на двучлен (один, деленное на t, минус один)», степень, которой соответствует та же степень символа Δ; эта степень указывает тогда интеграл того же порядка, индекс x изменяется на единицу; и отрицательные степени δ указывают равным образом интегралы, где x изменяется на i единиц. Мы видим, таким образом, самым ясным и простым образом рациональность анализа, наблюдаемую между положительными степенями и разностями, а также между отрицательными степенями и интегралами.

Если функция, обозначенная δ, помещенная перед первообразной функцией, равна нулю, мы будем иметь уравнение конечных разностей, и V будет производящей функцией его интеграла. Чтобы получить эту производящую функцию, мы заметим, что в произведении V на T все степени t должны исчезнуть, за исключением степеней, меньших порядка уравнения в разностях; V тогда равно дроби, знаменатель которой есть T, а числитель — многочлен, в котором высшая степень t меньше на единицу порядка уравнения в разностях. Произвольные коэффициенты различных степеней t в этом многочлене, включая нулевую степень, будут определены таким же числом значений первообразной функции индекса, когда мы последовательно делаем x равным нулю, единице, двум и т. д. Когда дано уравнение в разностях, мы определяем T, помещая все его члены в первую часть, а ноль — во вторую; подставляя в первую часть единицу вместо функции, имеющей наибольший индекс; первую степень t вместо первообразной функции, в которой этот индекс уменьшен на единицу; вторую степень t для первообразной функции, где этот индекс уменьшен на две единицы, и так далее. Коэффициент x-й степени t в разложении предыдущего выражения V будет первообразной функцией x или интегралом уравнения конечных разностей. Анализ предоставляет для этого разложения различные средства, среди которых мы можем выбрать то, которое наиболее подходит для предложенного вопроса; это преимущество данного метода интегрирования.

Представим себе теперь, что V есть функция двух переменных t и t', разложенная по степеням и произведениям этих переменных; коэффициент любого произведения степеней x и x' переменных t и t' будет функцией показателей или индексов x и x' этих степеней; эту функцию я назову первообразной функцией, производящей функцией которой является V.

Умножим V на функцию T двух переменных t и t', разложенную подобно V по отношению к степеням и произведениям этих переменных; произведение будет производящей функцией производной первообразной функции; если T, например, равно переменной t плюс переменная t' минус два, эта производная будет первообразной функцией, в которой мы уменьшаем на единицу индекс x, плюс та же первообразная функция, в которой мы уменьшаем на единицу индекс x', минус дважды первообразная функция. Обозначая, чем бы ни был T, символом δ, помещенным перед первообразной функцией, эта производная, произведение V на n-ю степень T, будет производящей функцией производной первообразной функции, перед которой помещают n-ю степень символа δ. Отсюда следуют теоремы, аналогичные тем, которые относятся к функциям одной переменной.

Предположим, что функция, обозначенная символом δ, равна нулю; мы получим уравнение в частных разностях. Если, например, мы сделаем, как прежде, T равным переменной t плюс переменная t' - 2, мы получим ноль, равный первообразной функции, в которой мы уменьшаем на единицу индекс x, плюс та же функция, в которой мы уменьшаем на единицу индекс x', минус дважды первообразная функция. Производящая функция V первообразной функции или интеграла этого уравнения должна тогда быть такой, чтобы ее произведение на T совсем не включало произведений t на t'; но V может включать отдельно степени t и степени t', то есть произвольную функцию t и произвольную функцию t'; V тогда есть дробь, числитель которой есть сумма этих двух произвольных функций, а знаменатель — T. Коэффициент произведения x-й степени t на x'-ю степень t' в разложении этой дроби будет тогда интегралом предыдущего уравнения в частных разностях. Этот метод интегрирования такого рода уравнений кажется мне самым простым и легким благодаря применению различных аналитических процессов для разложения рациональных дробей.

Более подробные сведения по этому вопросу были бы едва понятны без помощи исчисления.

Рассматривая уравнения бесконечно малых частных разностей как уравнения конечных частных разностей, в которых ничем не пренебрегают, мы можем пролить свет на темные места их исчисления, которые были предметом больших дискуссий среди геометров. Именно так я доказал возможность введения разрывных функций в их интегралы при условии, что разрывность имеет место только для дифференциалов порядка этих уравнений или высшего порядка. Трансцендентные результаты исчисления являются, как и все абстракции рассудка, общими знаками, истинный смысл которых может быть установлен только путем возвращения с помощью метафизического анализа к элементарным идеям, которые привели к ним; это часто представляет большие трудности, ибо человеческий ум пытается еще меньше перенести себя в будущее, чем уединиться в самом себе. Сравнение бесконечно малых разностей с конечными разностями может аналогично пролить большой свет на метафизику исчисления бесконечно малых.

Легко доказать, что конечная n-я разность функции, в которой приращение переменной есть E, будучи разделенной на n-ю степень E, частное, приведенное в ряд по отношению к степеням приращения E, образуется первым членом, независимым от E. По мере того как E уменьшается, ряд все более приближается к этому первому члену, от которого он может отличаться лишь на величины, меньшие любой заданной величины. Этот член является тогда пределом ряда и выражает в дифференциальном исчислении бесконечно малую n-ю разность функции, деленную на n-ю степень бесконечно малого приращения.

Рассматривая с этой точки зрения бесконечно малые разности, мы видим, что различные операции дифференциального исчисления сводятся к сравнению отдельно в разложении тождественных выражений конечных членов или тех, которые независимы от приращений переменных, рассматриваемых как бесконечно малые; это строго точно, так как эти приращения являются неопределенными. Таким образом, дифференциальное исчисление обладает всей точностью других алгебраических операций.

Та же точность обнаруживается в приложениях дифференциального исчисления к геометрии и механике. Если мы представим себе кривую, пересеченную секущей в двух соседних точках, называя E интервал ординат этих двух точек, E будет приращением абсциссы от первой до второй ординаты. Легко видеть, что соответствующее приращение ординаты будет произведением E на первую ординату, деленную на ее подсекущую; увеличивая затем в этом уравнении кривой первую ординату на это приращение, мы получим уравнение, относящееся ко второй ординате. Разность этих двух уравнений будет третьим уравнением, которое, разложенное по отношению к степеням E и деленное на E, будет иметь свой первый член, независимый от E, который будет пределом этого разложения. Этот член, равный нулю, даст тогда предел подсекущих, предел, который, очевидно, является подкасательной.

Этот удивительно удачный метод получения подкасательной принадлежит Ферма, который распространил его на трансцендентные кривые. Этот великий геометр выражает символом E приращение абсциссы; и рассматривая только первую степень этого приращения, он определяет точно так же, как мы с помощью дифференциального исчисления, подкасательные кривых, их точки перегиба, максимумы и минимумы их ординат и, в общем, таковые рациональных функций. Мы видим также по его прекрасному решению задачи о преломлении света, включенному в «Собрание писем Декарта», что он умеет распространять свои методы на иррациональные функции, освобождая их от иррациональностей путем возведения корней в степени. Ферма следует, таким образом, считать истинным первооткрывателем дифференциального исчисления. Ньютон с тех пор сделал это исчисление более аналитическим в своем «Методе флюксий» и упростил и обобщил процессы с помощью своей прекрасной теоремы о двучлене. Наконец, примерно в то же время Лейбниц обогатил дифференциальное исчисление обозначением, которое, указывая переход от конечного к бесконечно малому, добавляет к преимуществу выражения общих результатов исчисления преимущество давать первые приближенные значения разностей и сумм величин; это обозначение само по себе приспособлено к исчислению частных дифференциалов.

Мы часто приходим к выражениям, которые содержат так много членов и множителей, что численные подстановки невыполнимы. Это имеет место в вопросах вероятности, когда мы рассматриваем большое число событий. Между тем необходимо иметь численное значение формул, чтобы знать, с какой вероятностью указаны результаты, которые события развивают путем умножения. Необходимо особенно иметь закон, согласно которому эта вероятность постоянно приближается к достоверности, которой она в конечном итоге достигнет, если бы число событий было бесконечным. Чтобы получить этот закон, я принял во внимание, что определенные интегралы дифференциалов, умноженные на факторы, возведенные в большие степени, дали бы путем интегрирования формулы, состоящие из большого числа членов и множителей. Это замечание привело меня к идее преобразования в подобные интегралы сложных выражений анализа и интегралов уравнения в разностях. Я выполнил это условие методом, который дает одновременно функцию, заключенную под знаком интеграла, и пределы интегрирования. Он предлагает эту замечательную вещь, что функция является той же производящей функцией выражений и предложенных уравнений; это привязывает этот метод к теории производящих функций, дополнением которой он, таким образом, является. Далее, речь шла бы только о сведении определенного интеграла к сходящемуся ряду. Это я получил с помощью процесса, который заставляет ряд сходиться тем быстрее, чем сложнее формула, которую он представляет, так что он тем точнее, чем более необходим. Часто ряд имеет в качестве множителя квадратный корень из отношения окружности к диаметру; иногда он зависит от других трансцендентных величин, число которых бесконечно.

Важное замечание, которое относится к большой общности анализа и которое позволяет нам распространить этот метод на формулы и уравнения в разностях, которые теория вероятности представляет наиболее часто, состоит в том, что ряды, к которым приходят, предполагая пределы определенных интегралов действительными и положительными, имеют место равным образом в случае, когда уравнение, определяющее эти пределы, имеет только отрицательные или мнимые корни. Эти переходы от положительного к отрицательному и от действительного к мнимому, которые я впервые использовал, привели меня далее к значениям многих сингулярных определенных интегралов, которые я, соответственно, доказал непосредственно. Мы можем тогда рассматривать эти переходы как средство открытия, параллельное индукции и аналогии, давно используемым геометрами, сначала с крайней осторожностью, затем с полной уверенностью, поскольку большое число примеров оправдало их использование. Между тем всегда необходимо подтверждать прямыми доказательствами результаты, полученные этими различными средствами.

Я назвал совокупность предыдущих методов исчислением производящих функций; это исчисление служит основой для работы, которую я опубликовал под названием «Аналитическая теория вероятностей». Оно связано с простой идеей обозначения повторных умножений величины на саму себя или ее целых и положительных степеней путем записи в верхней части буквы, которая ее выражает, чисел, которые отмечают степени этих степеней.

Это обозначение, использованное Декартом в его «Геометрии» и общепринятое со времени публикации этого важного труда, есть мелочь, особенно по сравнению с теорией кривых и переменных функций, с помощью которой этот великий геометр заложил основы современного исчисления. Но язык анализа, самый совершенный из всех, будучи сам по себе мощным инструментом открытий, его обозначения, особенно когда они необходимы и удачно задуманы, являются столькими же зародышами новых исчислений. Это становится ощутимым на этом примере.

Валлис, который в своем труде под названием Arithmetica Infinitorum, одном из тех, которые наиболее способствовали прогрессу анализа, интересовался особенно следованием нити индукции и аналогии, считал, что если разделить показатель буквы на два, три и т. д., частное будет соответственно картезианскому обозначению, и когда деление возможно, показателем квадратного, кубического и т. д. корня из величины, которая представляет букву, возведенную в делимый показатель. Распространяя по аналогии этот результат на случай, когда деление невозможно, он рассматривал величину, возведенную в дробный показатель, как корень степени, указанной знаменателем этой дроби — а именно, величины, возведенной в степень, указанную числителем. Он заметил затем, что, согласно картезианскому обозначению, умножение двух степеней одной и той же буквы сводится к сложению их показателей, и что их деление сводится к вычитанию показателей степени делителя из такового степени делимого, когда второй из этих показателей больше первого. Валлис распространил этот результат на случай, когда первый показатель равен или больше второго, что делает разность равной нулю или отрицательной. Он предположил тогда, что отрицательный показатель указывает единицу, деленную на величину, возведенную в тот же показатель, взятый положительно. Эти замечания привели его к интегрированию в общем виде одночленных дифференциалов, откуда он вывел определенные интегралы особого рода двучленных дифференциалов, показатель которых есть положительное целое число. Наблюдение затем закона чисел, которые выражают эти интегралы, ряд интерполяций и удачных индукций, где воспринимают зародыш исчисления определенных интегралов, которое так много упражняло геометров и которое является одним из фундаментов моей новой «Теории вероятностей», дало ему отношение площади круга к квадрату его диаметра, выраженное бесконечным произведением, которое, когда его останавливают, ограничивает это отношение пределами, все более сходящимися; это один из самых сингулярных результатов в анализе. Но примечательно, что Валлис, который так хорошо рассмотрел дробные показатели радикальных степеней, продолжал отмечать эти степени так, как это делалось до него. Ньютон в своих «Письмах к Ольденбургу», если я не ошибаюсь, был первым, кто применил обозначение этих степеней дробными показателями. Сравнивая путем индукции, которой Валлис сделал такое прекрасное использование, показатели степеней двучлена с коэффициентами членов его разложения в случае, когда этот показатель цел и положителен, он определил закон этих коэффициентов и распространил его по аналогии на дробные и отрицательные степени. Эти различные результаты, основанные на обозначении Декарта, показывают его влияние на прогресс анализа. Оно имеет еще преимущество давать самое простое и справедливое представление о логарифмах, которые, действительно, являются лишь показателями величины, чьи последовательные степени, увеличиваясь на бесконечно малые градусы, могут представлять все числа.

Но самое важное расширение, которое получило это обозначение, — это расширение переменных показателей, которое составляет экспоненциальное исчисление, одну из самых плодотворных ветвей современного анализа. Лейбниц был первым, кто указал трансцендентные величины с помощью переменных показателей, и тем самым он завершил систему элементов, из которых может быть составлена конечная функция; ибо всякая конечная явная функция переменной может быть сведена в последнем анализе к простым величинам, объединенным методом сложения, вычитания, умножения и деления и возведенным в постоянные или переменные степени. Корни уравнений, образованных из этих элементов, являются неявными функциями переменной. Именно так переменная имеет в качестве логарифма показатель степени, который равен ей в ряду степеней числа, чей гиперболический логарифм равен единице, и логарифм переменной от нее есть неявная функция.

Лейбниц подумал дать своему дифференциальному символу те же показатели, что и величинам; но тогда вместо указания повторных умножений одной и той же величины эти показатели указывают повторные дифференцирования одной и той же функции. Это новое расширение картезианского обозначения привело Лейбница к аналогии положительных степеней с дифференциалами, а отрицательных степеней — с интегралами. Лагранж следовал этой сингулярной аналогии во всех ее развитиях; и с помощью рядов индукций, которые могут рассматриваться как одно из самых прекрасных приложений, которые когда-либо делались к методу индукции, он пришел к общим формулам, которые столь же любопытны, сколь и полезны, по преобразованиям разностей и интегралов одних в другие, когда переменные имеют различные конечные приращения и когда эти приращения бесконечно малы. Но он не дал их доказательств, которые кажутся ему трудными. Теория производящих функций распространяет картезианские обозначения на некоторые из своих символов; она показывает с доказательством аналогию степеней и операций, указанных этими символами; так что ее можно еще рассматривать как экспоненциальное исчисление символов. Все, что касается рядов и интегрирования уравнений в разностях, проистекает из него с чрезвычайной легкостью.

ЧАСТЬ II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

ГЛАВА VI. АЗАРТНЫЕ ИГРЫ.

Комбинации, которые представляют игры, были объектом первых исследований вероятностей. В бесконечном разнообразии этих комбинаций многие из них легко поддаются исчислению; другие требуют более трудных исчислений; и трудности возрастают по мере того, как комбинации становятся более сложными, желание преодолеть их и любопытство побудили геометров все более совершенствовать этот вид анализа. Уже было замечено, что выгоды лотереи легко определяются теорией комбинаций. Но труднее узнать, в скольких тиражах можно держать пари один против одного, например, что все числа будут вытянуты, n — число чисел, r — число чисел, вытягиваемых в каждом тираже, и i — неизвестное число тиражей. Выражение вероятности вытягивания всех чисел зависит от n-й конечной разности i-й степени произведения r последовательных чисел. Когда число n значительно, поиск значения i, которое делает эту вероятность равной ½, становится невозможным, по крайней мере, если эта разность не преобразована в очень сходящийся ряд. Это легко делается методом, указанным ниже, для приближений функций очень больших чисел. Таким образом, найдено, что поскольку лотерея состоит из десяти тысяч чисел, одно из которых вытягивается в каждом тираже, существует невыгода в пари один против одного, что все числа будут вытянуты за 95767 тиражей, и выгода в заключении того же пари на 95768 тиражей. В лотерее Франции это пари невыгодно для 85 тиражей и выгодно для 86 тиражей.

Рассмотрим снова двух игроков, А и В, играющих вместе в «орел или решку» таким образом, что при каждом броске, если выпадает орел, А отдает один жетон В, который отдает ему один, если выпадает решка; число жетонов В ограничено, тогда как число жетонов А неограниченно, и игра должна закончиться только тогда, когда у В не останется жетонов. Мы спрашиваем, в скольких бросках нужно держать пари один к одному, что игра закончится. Выражение вероятности того, что игра закончится за i бросков, дается рядом, который включает большое число членов и множителей, если число жетонов В значительно; поиск значения неизвестного i, которое делает этот ряд равным ½, был бы тогда невозможен, если бы мы не свели его к очень сходящемуся ряду. Применяя к нему метод, о котором мы только что говорили, мы находим очень простое выражение для неизвестного, из которого следует, что если, например, у В сто жетонов, это пари чуть меньше одного против одного, что игра закончится за 23780 бросков, и пари чуть больше одного против одного, что она закончится за 23781 бросок.

Эти два примера, добавленные к тем, которые мы уже привели, достаточны, чтобы показать, как задачи игр способствовали совершенствованию анализа.

ГЛАВА VII. О НЕИЗВЕСТНЫХ НЕРАВЕНСТВАХ, КОТОРЫЕ МОГУТ СУЩЕСТВОВАТЬ МЕЖДУ ШАНСАМИ, ПРЕДПОЛАГАЕМЫМИ РАВНЫМИ.

Неравенства такого рода имеют на результаты вычисления вероятностей заметное влияние, которое заслуживает особого внимания. Возьмем игру в «орел или решку» и предположим, что одинаково легко выбросить ту или иную сторону монеты. Тогда вероятность выбросить орла при первом броске равна ½, а вероятность выбросить его дважды подряд — ¼. Но если в монете существует неравенство, которое заставляет одну из сторон появляться чаще, чем другую, не зная, какая сторона благоприятствует этому неравенству, вероятность выбросить орла при первом броске всегда будет ½; из-за нашего незнания того, какая сторона благоприятствует неравенству, вероятность простого события увеличивается, если это неравенство благоприятствует ему, и настолько же уменьшается, если неравенство противоречит ему. Но в этом же неведении вероятность выбросить орла дважды подряд увеличивается. Действительно, эта вероятность есть вероятность выбросить орла при первом броске, умноженная на вероятность того, что, выбросив его при первом броске, он будет выброшен при втором; но его выпадение при первом броске является основанием для веры в то, что неравенство монеты благоприятствует ему; неизвестное неравенство увеличивает, таким образом, вероятность выбросить орла при втором броске; оно, следовательно, увеличивает произведение этих двух вероятностей. Чтобы подчинить этот вопрос исчислению, предположим, что это неравенство увеличивает на одну двадцатую вероятность простого события, которому оно благоприятствует. Если это событие — орел, его вероятность будет ½ плюс 1⁄20, или 11⁄20, и вероятность выбросить его дважды подряд будет квадратом 11⁄20, или 121⁄400. Если благоприятствуемое событие — решка, вероятность орла будет ½ минус 1⁄20, или 9⁄20, и вероятность выбросить его дважды подряд будет 81⁄400. Поскольку у нас сначала нет оснований полагать, что неравенство благоприятствует одному из этих событий больше, чем другому, ясно, что для получения вероятности сложного события «орел-орел» необходимо сложить две предыдущие вероятности и взять половину их суммы, что дает 101⁄400 для этой вероятности, которая превышает ¼ на 1⁄400, или на квадрат преимущества 1⁄20, которое неравенство добавляет к возможностям события, которому оно благоприятствует. Вероятность выбросить «решка-решка» аналогично равна 101⁄400, но вероятность выбросить «орел-решка» или «решка-орел» равна 99⁄400 каждая; ибо сумма этих четырех вероятностей должна быть равна достоверности или единице. Мы находим таким образом в общем случае, что постоянные и неизвестные причины, которые благоприятствуют простым событиям, считающимся равновозможными, всегда увеличивают вероятность повторения того же простого события.

При четном числе бросков орел и решка должны оба выпасть либо четное число раз, либо нечетное число раз. Вероятность каждого из этих случаев равна ½, если возможности двух сторон равны; но если между ними существует неизвестное неравенство, это неравенство всегда благоприятствует первому случаю.

Два игрока, чья сила предполагается равной, играют на условиях, что при каждом броске тот, кто проигрывает, отдает жетон своему противнику, и что игра продолжается до тех пор, пока у одного из игроков не останется жетонов. Вычисление вероятностей показывает нам, что для равенства игры броски игроков должны быть в обратном отношении к их жетонам. Но если между игроками существует небольшое неизвестное неравенство, оно благоприятствует тому из игроков, у которого наименьшее число жетонов. Его вероятность выигрыша в партии увеличивается, если игроки договариваются удвоить или утроить свои жетоны; и она будет равна ½ или такой же, как вероятность другого игрока в случае, если число их жетонов станет бесконечным, сохраняя всегда то же отношение.

Можно исправить влияние этих неизвестных неравенств, подчинив их самих шансам случая. Так, в игре в «орел или решку», если у кого-то есть вторая монета, которая бросается каждый раз вместе с первой, и кто-то договаривается постоянно называть орлом сторону, выпавшую на второй монете, вероятность выбросить орла дважды подряд с первой монетой будет приближаться гораздо ближе к ¼, чем в случае одной монеты. В этом последнем случае разность есть квадрат малого приращения возможности, которое неизвестное неравенство дает стороне первой монеты, которой оно благоприятствует; в другом случае эта разность есть учетверенное произведение этого квадрата на соответствующий квадрат, относящийся ко второй монете.

Пусть в урну брошены сто чисел от 1 до 100 в порядке нумерации, и после того, как урну встряхнули, чтобы перемешать числа, одно вытягивается; ясно, что если перемешивание было сделано хорошо, вероятности вытягивания чисел будут одинаковыми. Но если мы опасаемся, что среди них есть небольшие различия, зависящие от порядка, в котором числа были брошены в урну, мы значительно уменьшим эти различия, бросив во вторую урну числа в порядке их вытягивания из первой урны и встряхнув затем эту вторую урну, чтобы перемешать числа. Третья урна, четвертая урна и т. д. уменьшили бы все больше и больше эти различия, уже незначительные во второй урне.

ГЛАВА VIII. О ЗАКОНАХ ВЕРОЯТНОСТИ, ВЫТЕКАЮЩИХ ИЗ НЕОГРАНИЧЕННОГО УМНОЖЕНИЯ СОБЫТИЙ.

Среди изменчивых и неизвестных причин, которые мы охватываем общим названием «случай» и которые делают ход событий неопределенным и беспорядочным, мы видим проявление поразительной закономерности по мере их умножения; эта закономерность, по-видимому, подчинена некоему замыслу и рассматривается как доказательство существования Провидения. Однако при размышлении об этом мы вскоре осознаем, что данная закономерность есть лишь развитие соответствующих вероятностей простых событий, которые должны проявляться чаще, если они более вероятны. Представим себе, например, урну, содержащую белые и черные шары; предположим, что каждый раз, когда шар вынимается, он возвращается обратно в урну перед тем, как приступить к новому извлечению. Отношение числа вынутых белых шаров к числу вынутых черных шаров в первых извлечениях чаще всего будет весьма нерегулярным; но изменчивые причины этой нерегулярности производят эффекты, попеременно благоприятные и неблагоприятные для правильного хода событий, которые взаимно уничтожаются в совокупности большого числа извлечений, позволяя нам все яснее видеть отношение белых шаров к черным, содержащимся в урне, или соответствующие вероятности вытягивания белого или черного шара при каждом извлечении. Из этого вытекает следующая теорема.

Вероятность того, что отношение числа вынутых белых шаров к общему числу вынутых шаров не отклонится за пределы заданного интервала от отношения числа белых шаров к общему числу шаров, содержащихся в урне, неограниченно приближается к достоверности при неограниченном умножении событий, как бы мал ни был этот интервал.

Эта теорема, подсказанная здравым смыслом, была трудна для доказательства аналитическим путем. Соответственно, прославленный геометр Якоб Бернулли, который первым занялся ею, придает большое значение данным им доказательствам. Исчисление производящих функций, примененное к этому вопросу, не только с легкостью доказывает данную теорему, но, более того, дает вероятность того, что отношение наблюдаемых событий отклоняется лишь в определенных пределах от истинного отношения их соответствующих вероятностей.

Из предыдущей теоремы можно вывести следствие, которое следует рассматривать как общий закон, а именно: отношения действий природы весьма близки к постоянным, когда эти действия рассматриваются в большом количестве. Так, несмотря на разнообразие лет, сумма продукции в течение значительного числа лет заметно одна и та же; благодаря этому человек посредством полезного предвидения способен обезопасить себя от нерегулярности сезонов, равномерно распределяя по всем сезонам блага, которые природа распределяет неравномерно. Я не исключаю из вышеуказанного закона результаты, обусловленные моральными причинами. Отношение ежегодных рождений к численности населения, а также браков к рождениям обнаруживает лишь небольшие колебания; в Париже число ежегодных рождений почти одинаково, и я слышал, как говорили, что на почте в обычное время число писем, отложенных из-за дефектных адресов, мало меняется каждый год; это также наблюдалось в Лондоне.

Из этой теоремы также следует, что в ряду событий, неограниченно продолжающихся, действие регулярных и постоянных причин должно в конечном счете преобладать над действием нерегулярных причин. Именно это делает доходы лотерей столь же верными, как и продукты сельского хозяйства; шансы, которые они себе резервируют, обеспечивают им выгоду в совокупности большого числа тиражей. Таким образом, поскольку благоприятные и многочисленные шансы постоянно связаны с соблюдением вечных принципов разума, справедливости и человечности, которые создают и поддерживают общества, существует большое преимущество в следовании этим принципам и серьезные неудобства в отступлении от них. Если обратиться к истории и собственному опыту, можно увидеть, что все факты подтверждают этот результат исчисления. Рассмотрим счастливые последствия институтов, основанных на разуме и естественных правах человека среди народов, которые сумели их установить и сохранить. Рассмотрим также преимущества, которые добросовестность принесла правительствам, сделавшим ее основой своего поведения, и то, как они были вознаграждены за жертвы, которых стоила им скрупулезная точность в выполнении своих обязательств. Какое огромное доверие внутри страны! Какое превосходство за рубежом! Напротив, посмотрите, в какую бездну несчастий часто были низвергнуты нации из-за амбиций и вероломства их вождей. Всякий раз, когда великая держава, опьяненная любовью к завоеваниям, стремится к мировому господству, чувство независимости порождает среди угрожаемых наций коалицию, жертвой которой она почти всегда становится. Подобным образом, посреди изменчивых причин, которые расширяют или ограничивают различные государства, естественные границы, действуя как постоянные причины, должны в конечном итоге возобладать. Поэтому для стабильности, как и для счастья империй, важно не расширять их за пределы тех границ, к которым они непрестанно возвращаются действием причин; подобно тому как воды морей, поднятые яростными бурями, возвращаются в свои бассейны под действием силы тяжести. Это опять-таки результат исчисления вероятностей, подтвержденный многочисленными и печальными опытами. История, рассматриваемая с точки зрения влияния постоянных причин, соединила бы интерес любопытства с пользой предложения человеку самых полезных уроков. Иногда мы приписываем неизбежные результаты этих причин случайным обстоятельствам, которые вызвали их действие. Например, противно природе вещей, чтобы один народ когда-либо управлялся другим, когда их разделяет обширное море или огромное расстояние. Можно утверждать, что в конечном счете эта постоянная причина, непрестанно соединяясь с изменчивыми причинами, которые действуют таким же образом и которые развивает ход времени, в конце концов окажется достаточно сильной, чтобы дать покоренному народу его естественную независимость или объединить его с могущественным государством, которое может быть сопредельным.

В большом числе случаев, а это самые важные случаи анализа рисков, вероятности простых событий неизвестны, и мы вынуждены искать в прошлых событиях признаки, которые могут направить нас в наших предположениях о причинах, от которых они зависят. Применяя анализ производящих функций к принципу, разъясненному выше относительно вероятности причин, выведенной из наблюдаемых событий, мы приходим к следующей теореме.

Когда простое событие или событие, состоящее из нескольких простых событий, как, например, в игре, повторялось большое число раз, вероятности простых событий, которые делают наиболее вероятным то, что наблюдалось, являются теми, которые наблюдение указывает с наибольшей вероятностью; по мере повторения наблюдаемого события эта вероятность возрастает и в конечном итоге достигла бы достоверности, если бы число повторений стало бесконечным.

Существует два вида приближений: одно относится к пределам, взятым со всех сторон от вероятностей, которые придают прошлому наибольшую вероятность; другое приближение связано с вероятностью того, что эти вероятности попадают в эти пределы. Повторение составного события все более увеличивает эту вероятность, при этом пределы остаются прежними; оно все более сокращает интервал этих пределов, при этом вероятность остается прежней; в бесконечности этот интервал становится равным нулю, а вероятность переходит в достоверность.

Если мы применим эту теорему к отношению рождений мальчиков к рождениям девочек, наблюдаемому в разных странах Европы, мы обнаружим, что это отношение, которое повсюду примерно равно 22 к 21, указывает с чрезвычайной вероятностью на большую легкость рождения мальчиков. Учитывая далее, что это отношение одинаково в Неаполе и в Санкт-Петербурге, мы увидим, что в этом отношении влияние климата не имеет эффекта. Мы могли бы тогда заподозрить, вопреки общему мнению, что это преобладание мужских рождений существует даже на Востоке. Я, следовательно, предложил французским ученым, отправленным в Египет, заняться этим интересным вопросом; но трудность получения точных сведений о рождениях не позволила им решить его. К счастью, г-н фон Гумбольдт не пренебрег этим вопросом среди бесчисленных новых вещей, которые он наблюдал и собрал в Америке с такой проницательностью, постоянством и мужеством. Он обнаружил в тропиках то же отношение рождений, которое мы наблюдаем в Париже; это должно заставить нас рассматривать большее число мужских рождений как общий закон человеческого рода. Законы, которым следуют в этом отношении различные виды животных, кажутся мне достойными внимания натуралистов.

Тот факт, что отношение рождений мальчиков к рождениям девочек очень мало отличается от единицы даже при большом числе рождений, наблюдаемых в одном месте, представлял бы в этом отношении результат, противоречащий общему закону, без чего мы были бы вправе заключить, что этот закон не существует. Чтобы прийти к этому результату, необходимо использовать большие числа и быть уверенным, что он указан с большой вероятностью. Бюффон приводит, например, в своей «Политической арифметике» несколько общин Бургундии, где рождения девочек превзошли рождения мальчиков. Среди этих общин община Карсель-ле-Гриньон представляет на 2009 рождений в течение пяти лет 1026 девочек и 983 мальчика. Хотя эти числа значительны, они, однако, указывают лишь на большую вероятность рождения девочек с вероятностью 9/10, и эта вероятность, меньшая, чем вероятность не выбросить «орла» четыре раза подряд в игре в «орел или решку», недостаточна для исследования причины этой аномалии, которая, по всей вероятности, исчезла бы, если бы проследить рождения в этой общине в течение столетия.

Регистры рождений, которые ведутся с осторожностью для обеспечения гражданского состояния граждан, могут служить для определения населения великой империи без прибегания к переписи ее жителей — операции трудоемкой и трудновыполнимой с точностью. Но для этого необходимо знать отношение населения к ежегодным рождениям. Самый точный способ получения этого отношения состоит, во-первых, в выборе в империи округов, распределенных почти равным образом по всей ее поверхности, чтобы сделать общий результат независимым от местных обстоятельств; во-вторых, в тщательном подсчете для данной эпохи жителей нескольких общин в каждом из этих округов; в-третьих, в определении на основании ведомостей рождений за несколько лет, предшествующих и последующих этой эпохе, среднего числа, соответствующего ежегодным рождениям. Это число, разделенное на число жителей, даст отношение ежегодных рождений к населению тем точнее, чем значительнее перепись. Правительство, убежденное в полезности подобной переписи, решило по моей просьбе распорядиться о ее проведении. В тридцати округах, распределенных равным образом по всей Франции, были выбраны общины, которые могли бы предоставить наиболее точную информацию. Их переписи дали 2 037 615 человек в качестве общего числа их жителей на 23 сентября 1802 года. Ведомости рождений в этих общинах за 1800, 1801 и 1802 годы дали:

Births Marriages Deaths

110312 boys 46037 103659 men

105287 girls

99443 women

Отношение населения к ежегодным рождениям составляет, таким образом, 28,352845; оно больше, чем оценивалось до настоящего времени. Умножая число ежегодных рождений во Франции на это отношение, мы получим население этого королевства. Но какова вероятность того, что население, определенное таким образом, не отклонится от истинного населения за пределы заданного предела? Решая эту задачу и применяя к ее решению предыдущие данные, я обнаружил, что, если предположить число ежегодных рождений во Франции равным 1 000 000, что доводит население до 28 352 845 жителей, это пари почти 300 000 против 1, что ошибка этого результата не составляет полмиллиона.

Отношение рождений мальчиков к рождениям девочек, которое предлагает предыдущая ведомость, составляет 22 к 21; а браки относятся к рождениям как 3 к 4.

В Париже крещения детей обоих полов немного отклоняются от отношения 22 к 21. С 1745 года, эпохи, когда начали различать полы в регистрах рождений, до конца 1784 года в этой столице было крещено 393 386 мальчиков и 377 555 девочек. Отношение этих двух чисел почти равно 25 к 24; по-видимому, в Париже существует особая причина, приближающая крещения обоих полов к равенству. Если мы применим к этому вопросу исчисление вероятностей, мы обнаружим, что это пари 238 к 1 в пользу существования этой причины, что достаточно для авторизации исследования. При размышлении мне показалось, что наблюдаемая разница заключается в том, что родители в сельской местности и провинциях, находя некоторую выгоду в содержании мальчиков дома, отправляли в Больницу для подкидышей в Париже их меньше относительно числа девочек, согласно отношению рождений обоих полов. Это подтверждается ведомостями регистров этой больницы. С начала 1745 года до конца 1809 года поступило 163 499 мальчиков и 159 405 девочек. Первое из этих чисел превышает второе лишь на 1/38, тогда как оно должно было превзойти его по меньшей мере на 1/24. Это подтверждает существование указанной причины, а именно: отношение рождений мальчиков к рождениям девочек в Париже составляет 22 к 21, если не принимать во внимание подкидышей.

Предыдущие результаты предполагают, что мы можем сравнить рождения с извлечением шаров из урны, содержащей бесконечное число белых и черных шаров, перемешанных так, что при каждом извлечении шансы на вытягивание должны быть одинаковыми для каждого шара; но возможно, что вариации одних и тех же сезонов в разные годы могут иметь некоторое влияние на ежегодное отношение рождений мальчиков к рождениям девочек. Бюро долгот Франции ежегодно публикует в своем ежегоднике таблицы ежегодного движения населения королевства. Уже опубликованные таблицы начинаются с 1817 года; в этом году и в пяти последующих годах родилось 2 962 361 мальчик и 2 781 997 девочек, что дает около 16/15 для отношения рождений мальчиков к рождениям девочек. Отношения каждого года мало варьируются от этого среднего результата; наименьшее отношение — это отношение 1822 года, где оно составляло лишь 17/16; наибольшее — 1817 года, когда оно составляло 15/14. Эти отношения заметно варьируются от отношения 22/21, найденного выше. Применяя к этому отклонению анализ вероятностей в гипотезе сравнения рождений с извлечением шаров из урны, мы обнаруживаем, что это едва ли вероятно. По-видимому, это указывает на то, что данная гипотеза, хотя и является близким приближением, не является строго точной. В числе рождений, которые мы только что указали, внебрачных детей 200 494 мальчика и 190 698 девочек. Отношение мужских и женских рождений в этом отношении составляло тогда 20/19, что меньше среднего отношения 16/15. Этот результат находится в том же смысле, что и результат рождений подкидышей; и, по-видимому, доказывает, что в классе внебрачных детей рождения обоих полов ближе к равенству, чем в классе законнорожденных детей. Разница климатов от севера до юга Франции, по-видимому, не влияет заметно на отношение рождений мальчиков и девочек. Тридцать самых южных округов дали 16/15 для этого отношения, такое же, как и для всей Франции.

Постоянство превосходства рождений мальчиков над девочками в Париже и Лондоне с тех пор, как они наблюдаются, показалось некоторым ученым доказательством Провидения, без которого они полагали, что нерегулярные причины, непрестанно нарушающие ход событий, должны были несколько раз сделать ежегодные рождения девочек превосходящими рождения мальчиков.

Но это доказательство — новый пример злоупотребления, которое так часто совершалось в отношении конечных причин, всегда исчезающих при тщательном изучении вопросов, когда у нас есть необходимые данные для их решения. Рассматриваемое постоянство есть результат регулярных причин, которые дают превосходство рождениям мальчиков и которые распространяют его на аномалии, обусловленные случаем, когда число ежегодных рождений значительно. Исследование вероятности того, что это постоянство сохранится в течение долгого времени, относится к той ветви анализа рисков, которая переходит от прошлых событий к вероятности будущих событий; и, принимая за основу рождения, наблюдавшиеся с 1745 по 1784 год, это пари почти 4 к 1, что в Париже ежегодные рождения мальчиков будут постоянно превосходить в течение столетия рождения девочек; таким образом, нет причин удивляться тому, что это происходило в течение полувека.

Возьмем другой пример развития постоянных отношений, которые события представляют по мере их умножения. Представим себе ряд урн, расположенных по кругу, каждая из которых содержит очень большое число белых и черных шаров; отношение белых шаров к черным в урнах изначально весьма различно и таково, например, что одна из этих урн содержит только белые шары, в то время как другая содержит только черные. Если вынуть шар из первой урны, чтобы положить его во вторую, и, встряхнув вторую урну, чтобы хорошо перемешать новый шар с остальными, вынуть шар, чтобы положить его в третью урну, и так далее до последней урны, из которой вынимается шар, чтобы положить его в первую, и если этот ряд возобновляется непрерывно, анализ вероятности показывает нам, что отношения белых шаров к черным в этих урнах в конечном итоге станут одинаковыми и равными отношению суммы всех белых шаров к сумме всех черных шаров, содержащихся в урнах. Таким образом, посредством этого регулярного способа изменения первоначальная нерегулярность этих отношений в конечном итоге исчезает, чтобы уступить место простейшему порядку. Теперь, если среди этих урн вставить новые, в которых отношение суммы белых шаров к сумме черных шаров, которые они содержат, отличается от предыдущего, продолжая неограниченно в совокупности урн извлечения, которые мы только что указали, простой порядок, установленный в старых урнах, будет сначала нарушен, и отношения белых шаров к черным шарам станут нерегулярными; но мало-помалу эта нерегулярность исчезнет, чтобы уступить место новому порядку, который в конечном итоге будет порядком равенства отношений белых шаров к черным шарам, содержащимся в урнах. Мы можем применить эти результаты ко всем комбинациям природы, в которых постоянные силы, которыми одушевлены их элементы, устанавливают регулярные способы действия, приспособленные для создания в самом сердце хаоса систем, управляемых восхитительными законами.

Явления, которые кажутся наиболее зависимыми от случая, представляют, таким образом, при умножении тенденцию к непрестанному приближению к фиксированным отношениям, таким образом, что если мы представим со всех сторон от каждого из этих отношений интервал, сколь угодно малый, вероятность того, что средний результат наблюдений попадет в этот интервал, в конечном итоге будет отличаться от достоверности лишь на величину, большую, чем заданная величина. Таким образом, посредством исчислений вероятностей, примененных к большому числу наблюдений, мы можем распознать существование этих отношений. Но прежде чем искать причины, необходимо, чтобы не быть введенным в заблуждение тщетными спекуляциями, убедиться, что они указаны вероятностью, которая не позволяет нам рассматривать их как аномалии, обусловленные случаем. Теория производящих функций дает очень простое выражение для этой вероятности, которое получается путем интегрирования произведения дифференциала величины, на которую результат, выведенный из большого числа наблюдений, отклоняется от истины, на константу, меньшую единицы, зависящую от природы задачи и возведенную в степень, показатель которой есть отношение квадрата этого отклонения к числу наблюдений. Интеграл, взятый между заданными пределами и разделенный на тот же интеграл, примененный к положительной и отрицательной бесконечности, выразит вероятность того, что отклонение от истины заключено между этими пределами. Таков общий закон вероятности результатов, указанных большим числом наблюдений.

ГЛАВА IX. ПРИМЕНЕНИЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К НАТУРАЛЬНОЙ ФИЛОСОФИИ.

Явления природы чаще всего окутаны таким множеством странных обстоятельств, и такое большое число возмущающих причин смешивает свое влияние, что их очень трудно распознать. Мы можем прийти к ним, только умножая наблюдения или опыты, так что странные эффекты в конечном итоге взаимно уничтожаются, а средние результаты выявляют эти явления и их различные элементы. Чем многочисленнее число наблюдений и чем меньше они варьируются между собой, тем ближе их результаты к истине. Мы выполняем это последнее условие выбором методов наблюдений, точностью инструментов и заботой, которую мы проявляем при тщательном наблюдении; затем мы определяем с помощью теории вероятностей наиболее выгодные средние результаты или те, которые дают наименьшее значение ошибки. Но этого недостаточно; необходимо далее оценить вероятность того, что ошибки этих результатов заключены в заданных пределах; без этого мы имеем лишь несовершенное знание степени полученной точности. Формулы, подходящие для этих вопросов, являются, таким образом, истинными улучшениями метода наук, и действительно важно добавить их к этому методу. Анализ, который они требуют, является самым деликатным и самым трудным в теории вероятностей; это один из главных объектов работы, которую я опубликовал по этой теории и в которой я пришел к формулам такого рода, обладающим замечательным преимуществом независимости от закона вероятности ошибок и включения только величин, данных самими наблюдениями и их выражениями.

Каждое наблюдение имеет в качестве аналитического выражения функцию элементов, которые мы хотим определить; и если эти элементы почти известны, эта функция становится линейной функцией их поправок. Приравнивая ее к самому наблюдению, образуется условное уравнение. Если у нас есть большое число подобных уравнений, мы объединяем их таким образом, чтобы получить столько нормальных уравнений, сколько имеется элементов, поправки которых мы затем определяем, решая эти уравнения. Но каков наиболее выгодный способ объединения условных уравнений для получения нормальных уравнений? Каков закон вероятностей ошибок, которым все еще подвержены элементы, которые мы из них извлекаем? Это проясняется для нас теорией вероятностей. Формирование нормального уравнения посредством условных уравнений сводится к умножению каждого из них на неопределенный множитель и объединению произведений; необходимо выбрать систему множителей, которая дает наименьшую возможность ошибки. Но очевидно, что если мы умножим возможные ошибки элемента на их соответствующие вероятности, наиболее выгодной системой будет та, в которой сумма этих произведений, взятых положительно, является минимумом; ибо положительная или отрицательная ошибка должна рассматриваться как потеря. Формируя, таким образом, эту сумму произведений, условие минимума определит систему множителей, которую целесообразно принять, или наиболее выгодную систему. Мы находим таким образом, что эта система есть система коэффициентов элементов в каждом условном уравнении; так что мы формируем первое нормальное уравнение, умножая соответственно каждое условное уравнение на его коэффициент первого элемента и объединяя все эти уравнения, умноженные таким образом. Мы формируем второе нормальное уравнение, применяя таким же образом коэффициенты второго элемента, и так далее. Таким образом, элементы и законы явлений, полученные в совокупности большого числа наблюдений, развиваются с наибольшей очевидностью.

Вероятность ошибок, которые каждый элемент все еще оставляет опасаться, пропорциональна числу, чей гиперболический логарифм равен единице, возведенному в степень, равную квадрату ошибки, взятой как отрицательная величина, и умноженному на постоянный коэффициент, который может рассматриваться как модуль вероятности ошибок; ибо, при неизменной ошибке, ее вероятность быстро убывает, когда первая возрастает; так что полученный элемент весит, если можно так выразиться, по направлению к истине тем больше, чем больше этот модуль. Я назвал бы по этой причине этот модуль весом элемента или результата. Этот вес является наибольшим возможным в системе множителей — наиболее выгодной; именно это дает этой системе превосходство над другими. Благодаря замечательной аналогии этого веса с весами тел, сравниваемых в их общем центре тяжести, получается, что если один и тот же элемент дан различными системами, каждая из которых состоит из большого числа наблюдений, наиболее выгодным, средним результатом их совокупности является сумма произведений каждого частного результата на его вес. Более того, общий вес результатов различных систем есть сумма их частных весов; так что вероятность ошибок среднего результата их совокупности пропорциональна числу, имеющему единицу в качестве гиперболического логарифма, возведенному в степень, равную квадрату ошибки, взятой как минус и умноженной на сумму весов. Каждый вес зависит, по правде, от закона вероятности ошибки каждой системы, и почти всегда этот закон неизвестен; но, к счастью, я смог исключить множитель, который его содержит, посредством суммы квадратов отклонений наблюдений в этой системе от их среднего результата. Было бы тогда желательно, чтобы завершить наше знание результатов, полученных совокупностью большого числа наблюдений, чтобы мы записывали рядом с каждым результатом вес, который ему соответствует; анализ предоставляет для этой цели как общие, так и простые методы. Когда мы таким образом получили экспоненту, которая представляет закон вероятности ошибок, мы будем иметь вероятность того, что ошибка результата заключена в заданных пределах, взяв в пределах интеграл произведения этой экспоненты на дифференциал ошибки и умножив его на квадратный корень из веса результата, деленный на окружность, диаметр которой равен единице. Отсюда следует, что для одной и той же вероятности ошибки результатов обратно пропорциональны квадратным корням из их весов, что служит для сравнения их относительной точности.

Чтобы применить этот метод с успехом, необходимо варьировать обстоятельства наблюдений или опытов таким образом, чтобы избежать постоянных причин ошибки. Необходимо, чтобы наблюдения были многочисленны, и тем более, чем больше элементов нужно определить; ибо вес среднего результата возрастает как число наблюдений, деленное на число элементов. Необходимо также, чтобы элементы следовали в этих наблюдениях разным курсом; ибо если бы курс двух элементов был точно таким же, что сделало бы их коэффициенты пропорциональными в условных уравнениях, эти элементы образовали бы лишь одну неизвестную величину, и было бы невозможно различить их по этим наблюдениям. Наконец, необходимо, чтобы наблюдения были точными; это условие, первое из всех, значительно увеличивает вес результата, выражение которого имеет в качестве делителя сумму квадратов отклонений наблюдений от этого результата. С этими предосторожностями мы сможем использовать предыдущий метод и измерить степень доверия, которого заслуживают результаты, выведенные из большого числа наблюдений.