«Философское эссе о вероятностях»

Примечание корректора:

Очевидные опечатки были исправлены.

Исправления, отмеченные в разделе «Опечатки», были внесены в текст. Также были сделаны три дополнительных исправления: 9/10 вместо 1/10 и 9/10 вместо 6/10 на странице 110; и «ex voto» вместо «ex veto» на странице 173.

ФИЛОСОФСКИЙ ОЧЕРК О ВЕРОЯТНОСТЯХ.

ПЬЕРА-СИМОНА, маркиза де ЛАПЛАСА.

ПЕРЕВЕДЕНО С ШЕСТОГО ФРАНЦУЗСКОГО ИЗДАНИЯ

ФРЕДЕРИКОМ УИЛСОНОМ ТРАСКОТТОМ, доктором философии (Гарвард), профессором германских языков в Университете Западной Виргинии,

И

ФРЕДЕРИКОМ ЛИНКОЛЬНОМ ЭМОРИ, инженером-механиком (Вустерский политехнический институт), профессором механики и прикладной математики в Университете Западной Виргинии; членом Американского общества инженеров-механиков.

ПЕРВОЕ ИЗДАНИЕ. ПЕРВАЯ ТЫСЯЧА.

НЬЮ-ЙОРК: JOHN WILEY & SONS. Лондон: CHAPMAN & HALL, Limited. 1902.

Авторское право, 1902, Ф. У. ТРАСКОТТ и Ф. Л. ЭМОРИ.

РОБЕРТ ДРАММОНД, ПЕЧАТНИК, НЬЮ-ЙОРК

ОГЛАВЛЕНИЕ.

PAGE

PART I.

A PHILOSOPHICAL ESSAY ON PROBABILITIES.

CHAPTER I.

Introduction 1

CHAPTER II.

Concerning Probability 3

CHAPTER III.

General Principles of the Calculus of Probabilities 11

CHAPTER IV.

Concerning Hope 20

CHAPTER V.

Analytical Methods of the Calculus of Probabilities 26

PART II.

APPLICATION OF THE CALCULUS OF PROBABILITIES.

CHAPTER VI.

Games of Chance 53

CHAPTER VII.

Concerning the Unknown Inequalities which may Exist among Chances Supposed to be Equal 56

CHAPTER VIII.

Concerning the Laws of Probability which result from the Indefinite Multiplication of Events 60

CHAPTER IX.

Application of the Calculus of Probabilities to Natural Philosophy 73

CHAPTER X.

Application of the Calculus of Probabilities to the Moral Sciences 107

CHAPTER XI.

Concerning the Probability of Testimonies 109

CHAPTER XII.

Concerning the Selections and Decisions of Assemblies 126

CHAPTER XIII.

Concerning the Probability of Testimonies 132

CHAPTER XIV.

Concerning Tables of Mortality, and the Mean Durations of Life, Marriage, and Some Associations 140

CHAPTER XV.

Concerning the Benefits of Institutions which Depend upon the Probability of Events 149

CHAPTER XVI.

Concerning Illusions in the Estimation of Probabilities 160

CHAPTER XVII.

Concerning the Various Means of Approaching Certainty 176

CHAPTER XVIII.

Historical Notice of the Calculus of Probabilities to 1816 185

ОПЕЧАТКИ.

Page 89, line 22, for Pline read Pliny

" 102, lines 14, 16, " minutes " days

" 143, line 25, " sun " soil

" 177, lines 15, 17, 18, 21, 22, 24, for primary read prime

" 182, line 5, for conjunctions read being binary

ЧАСТЬ I. ФИЛОСОФСКИЙ ОЧЕРК О ВЕРОЯТНОСТЯХ.

ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ.

Этот философский очерк представляет собой развитие лекции о вероятностях, которую я прочитал в 1795 году в Нормальных школах, куда я был призван декретом Национального конвента в качестве профессора математики вместе с Лагранжем. Недавно я опубликовал по этому же предмету труд под названием «Аналитическая теория вероятностей». Здесь я излагаю без помощи анализа принципы и общие результаты этой теории, применяя их к важнейшим жизненным вопросам, которые, по сути, в большинстве своем являются лишь задачами на вероятность. Строго говоря, можно даже сказать, что почти все наши знания проблематичны; и в том небольшом числе вещей, которые мы можем знать с достоверностью, даже в самих математических науках, главные средства для установления истины — индукция и аналогия — основаны на вероятностях; так что вся система человеческого знания связана с теорией, изложенной в этом очерке. Несомненно, здесь с интересом будет отмечено, что при рассмотрении даже вечных принципов разума, справедливости и человечности, если учитывать только благоприятные шансы, которые постоянно с ними связаны, существует большое преимущество в следовании этим принципам и серьезные неудобства в отступлении от них: их шансы, подобно шансам в лотереях, всегда в конечном итоге берут верх среди колебаний случая. Я надеюсь, что размышления, представленные в этом очерке, могут заслужить внимание философов и направить его на предмет, столь достойный того, чтобы занять их умы.

ГЛАВА II. О ВЕРОЯТНОСТИ.

Все события, даже те, которые в силу своей незначительности не кажутся подчиняющимися великим законам природы, являются их результатом столь же необходимо, как и вращение Солнца. В неведении относительно связей, которые объединяют такие события с общей системой Вселенной, их заставляли зависеть от конечных причин или от случая, в зависимости от того, происходят ли они и повторяются с регулярностью или появляются без всякого порядка; но эти воображаемые причины постепенно отступали по мере расширения границ знаний и полностью исчезают перед лицом здравой философии, которая видит в них лишь выражение нашего неведения истинных причин.

Настоящие события связаны с предшествующими связью, основанной на очевидном принципе, что вещь не может произойти без причины, которая ее порождает. Эта аксиома, известная под названием принципа достаточного основания, распространяется даже на действия, которые считаются безразличными; самая свободная воля не способна породить их без определяющего мотива; если мы предположим две ситуации с совершенно одинаковыми обстоятельствами и обнаружим, что воля активна в одной и пассивна в другой, мы скажем, что ее выбор — это следствие без причины. Это тогда, говорит Лейбниц, слепой случай эпикурейцев. Противоположное мнение — это иллюзия разума, который, теряя из виду ускользающие причины выбора воли в безразличных вещах, полагает, что выбор определяется сам по себе и без мотивов.

Мы должны, следовательно, рассматривать нынешнее состояние Вселенной как следствие ее предшествующего состояния и как причину того, которое должно последовать. Если бы на одно мгновение был дан разум, который мог бы охватить все силы, которыми одушевлена природа, и соответствующее положение существ, которые ее составляют, — разум, достаточно обширный, чтобы подвергнуть эти данные анализу, — он охватил бы в одной и той же формуле движения величайших тел Вселенной и мельчайшего атома; для него ничто не было бы неопределенным, и будущее, как и прошлое, было бы перед его глазами. Человеческий разум предлагает в том совершенстве, которое он смог придать астрономии, слабое представление об этом разуме. Его открытия в механике и геометрии, добавленные к открытию всемирного тяготения, позволили ему охватить в одних и тех же аналитических выражениях прошлые и будущие состояния системы мира. Применяя тот же метод к некоторым другим объектам своего познания, он преуспел в сведении наблюдаемых явлений к общим законам и в предвидении тех, которые должны породить данные обстоятельства. Все эти усилия в поиске истины стремятся постоянно привести его обратно к тому обширному разуму, о котором мы только что упомянули, но от которого он всегда будет оставаться бесконечно далеким. Эта склонность, присущая человеческому роду, — это то, что делает его выше животных; и их прогресс в этом отношении отличает нации и эпохи и составляет их истинную славу.

Вспомним, что прежде, и в недалекую эпоху, необычный дождь или крайняя засуха, комета, имеющая длинный хвост, затмения, северное сияние и вообще все необычные явления рассматривались как знамения небесного гнева. К Небу взывали, чтобы отвратить их пагубное влияние. Никто не молился о том, чтобы планеты и Солнце были остановлены в своем движении: наблюдение вскоре сделало очевидной тщетность таких молитв. Но поскольку эти явления, появляясь и исчезая через долгие промежутки времени, казалось, противоречили порядку природы, предполагалось, что Небо, раздраженное преступлениями Земли, создало их, чтобы возвестить свою месть. Так, длинный хвост кометы 1456 года распространил ужас по всей Европе, уже приведенной в смятение быстрыми успехами турок, которые только что свергли Нижнюю империю. Эта звезда после четырех оборотов вызвала у нас совсем другой интерес. Знание законов системы мира, приобретенное в промежутке, рассеяло страхи, порожденные невежеством относительно истинного отношения человека к Вселенной; и Галлей, распознав тождественность этой кометы с кометами 1531, 1607 и 1682 годов, объявил о ее следующем возвращении к концу 1758 или началу 1759 года. Ученый мир с нетерпением ожидал этого возвращения, которое должно было подтвердить одно из величайших открытий, сделанных в науках, и исполнить предсказание Сенеки, когда он говорил о революциях тех звезд, которые падают с огромной высоты: «Придет день, когда благодаря изучению, проводимому на протяжении нескольких веков, вещи, ныне скрытые, предстанут с очевидностью; и потомство будет удивляться, что столь ясные истины ускользнули от нас». Клеро тогда предпринял попытку подвергнуть анализу возмущения, которые комета испытала под действием двух великих планет, Юпитера и Сатурна; после огромных вычислений он определил ее следующее прохождение через перигелий к началу апреля 1759 года, что было фактически подтверждено наблюдением. Регулярность, которую астрономия показывает нам в движениях комет, несомненно, существует также во всех явлениях.

Кривая, описываемая простой молекулой воздуха или пара, регулируется столь же определенным образом, как и планетные орбиты; единственное различие между ними — то, которое происходит от нашего невежества.

Вероятность относительна, отчасти к этому невежеству, отчасти к нашим знаниям. Мы знаем, что из трех или большего числа событий должно произойти одно; но ничто не побуждает нас верить, что одно из них произойдет скорее, чем другие. В этом состоянии нерешительности нам невозможно объявить об их наступлении с уверенностью. Однако вероятно, что одно из этих событий, выбранное по желанию, не произойдет, потому что мы видим несколько одинаково возможных случаев, которые исключают его наступление, в то время как только один благоприятствует ему.

Теория случая состоит в сведении всех событий одного рода к определенному числу одинаково возможных случаев, то есть таких, относительно существования которых мы можем быть одинаково нерешительны, и в определении числа случаев, благоприятствующих событию, вероятность которого ищется. Отношение этого числа к числу всех возможных случаев является мерой этой вероятности, которая, таким образом, является просто дробью, числитель которой — число благоприятных случаев, а знаменатель — число всех возможных случаев.

Предыдущее понятие вероятности предполагает, что при увеличении в одном и том же отношении числа благоприятных случаев и числа всех возможных случаев вероятность остается прежней. Чтобы убедиться в этом, возьмем две урны, A и B, первая из которых содержит четыре белых и два черных шара, а вторая содержит только два белых шара и один черный. Мы можем представить себе два черных шара первой урны соединенными нитью, которая разрывается в момент, когда один из них захватывается, чтобы быть извлеченным, а четыре белых шара, таким образом, образуют две подобные системы. Все шансы, которые будут благоприятствовать захвату одного из шаров черной системы, приведут к черному шару. Если мы теперь представим, что нити, соединяющие шары, совсем не разрываются, ясно, что число возможных шансов не изменится, как и число шансов, благоприятствующих извлечению черных шаров; но два шара будут извлечены из урны одновременно; вероятность извлечения черного шара из урны A будет тогда такой же, как и вначале. Но тогда мы имеем очевидно случай урны B с той единственной разницей, что три шара этой последней урны были бы заменены тремя системами из двух неизменно соединенных шаров.

Когда все случаи благоприятны для события, вероятность переходит в достоверность, и ее выражение становится равным единице. При этом условии достоверность и вероятность сопоставимы, хотя между двумя состояниями ума может быть существенная разница, когда истина строго доказана ему или когда он все еще воспринимает небольшой источник ошибки.

В вещах, которые являются лишь вероятными, различие данных, которые каждый человек имеет относительно них, является одной из главных причин разнообразия мнений, преобладающих относительно одних и тех же объектов. Предположим, например, что у нас есть три урны, A, B, C, одна из которых содержит только черные шары, в то время как две другие содержат только белые шары; должен быть извлечен шар из урны C, и требуется вероятность того, что этот шар будет черным. Если мы не знаем, какая из трех урн содержит только черные шары, так что нет причин полагать, что это C, а не B или A, эти три гипотезы будут казаться одинаково возможными, и поскольку черный шар может быть извлечен только в первой гипотезе, вероятность его извлечения равна одной трети. Если известно, что урна A содержит только белые шары, нерешительность тогда распространяется только на урны B и C, и вероятность того, что шар, извлеченный из урны C, будет черным, равна одной второй. Наконец, эта вероятность переходит в достоверность, если мы уверены, что урны A и B содержат только белые шары.

Именно так инцидент, рассказанный многочисленному собранию, находит различные степени доверия в зависимости от степени осведомленности слушателей. Если человек, который сообщает об этом, полностью убежден в этом и если своим положением и характером он внушает большое доверие, его утверждение, каким бы необычайным оно ни было, будет иметь для слушателей, которым не хватает информации, ту же степень вероятности, что и обычное утверждение, сделанное тем же человеком, и они будут иметь к нему полное доверие. Но если кто-то из них знает, что тот же инцидент отвергается другими столь же заслуживающими доверия людьми, он будет в сомнении, и инцидент будет дискредитирован просвещенными слушателями, которые отвергнут его, касается ли это хорошо подтвержденных фактов или неизменных законов природы.

Именно влиянию мнения тех, кого большинство считает наиболее информированными и кому оно привыкло доверять в самых важных жизненных вопросах, обязано распространение тех ошибок, которые во времена невежества покрывали лицо земли. Магия и астрология предлагают нам два великих примера. Эти ошибки, внушенные в младенчестве, принятые без проверки и имеющие в основе лишь всеобщее доверие, сохранялись в течение очень долгого времени; но, наконец, прогресс науки разрушил их в умах просвещенных людей, чье мнение, следовательно, заставило их исчезнуть даже среди простого народа благодаря силе подражания и привычки, которые так широко распространили их. Эта сила, богатейший ресурс морального мира, устанавливает и сохраняет в целой нации идеи, совершенно противоположные тем, которые она поддерживает в другом месте с тем же авторитетом. Какую снисходительность мы должны тогда проявлять к мнениям, отличным от наших, когда это различие часто зависит только от различных точек зрения, в которые нас поставили обстоятельства! Давайте просвещать тех, кого мы считаем недостаточно проинструктированными; но сначала давайте критически изучим наши собственные мнения и беспристрастно взвесим их соответствующие вероятности.

Различие мнений зависит, однако, от того, каким образом определяется влияние известных данных. Теория вероятностей придерживается столь тонких соображений, что неудивительно, что при одних и тех же данных два человека приходят к разным результатам, особенно в очень сложных вопросах. Рассмотрим теперь общие принципы этой теории.

ГЛАВА III. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Первый принцип. — Первый из этих принципов — это само определение вероятности, которое, как было видно, является отношением числа благоприятных случаев к числу всех возможных случаев.

Второй принцип. — Но это предполагает, что различные случаи одинаково возможны. Если это не так, мы сначала определим их соответствующие возможности, точная оценка которых является одним из самых тонких пунктов теории случая. Тогда вероятность будет суммой возможностей каждого благоприятного случая. Проиллюстрируем этот принцип примером.

Предположим, что мы подбрасываем в воздух большую и очень тонкую монету, две большие противоположные стороны которой, которые мы назовем «орел» и «решка», совершенно одинаковы. Найдем вероятность выпадения «орла» по крайней мере один раз при двух бросках. Ясно, что могут возникнуть четыре одинаково возможных случая, а именно: «орел» при первом и при втором броске; «орел» при первом броске и «решка» при втором; «решка» при первом броске и «орел» при втором; наконец, «решка» при обоих бросках. Первые три случая благоприятствуют событию, вероятность которого ищется; следовательно, эта вероятность равна ¾; так что это ставка три к одному, что «орел» выпадет по крайней мере один раз при двух бросках.

Мы можем насчитать в этой игре только три различных случая, а именно: «орел» при первом броске, что избавляет от необходимости бросать второй раз; «решка» при первом броске и «орел» при втором; наконец, «решка» при первом и при втором броске. Это свело бы вероятность к ⅔, если бы мы рассматривали вместе с д'Аламбером эти три случая как одинаково возможные. Но очевидно, что вероятность выпадения «орла» при первом броске равна ½, в то время как вероятность двух других случаев равна ¼, причем первый случай является простым событием, которое соответствует двум комбинированным событиям: «орел» при первом и при втором броске, и «орел» при первом броске, «решка» при втором. Если мы затем, следуя второму принципу, добавим возможность ½ выпадения «орла» при первом броске к возможности ¼ выпадения «решки» при первом броске и «орла» при втором, мы получим ¾ для искомой вероятности, что согласуется с тем, что найдено в предположении, когда мы играем два броска. Это предположение вовсе не меняет шанса того, кто делает ставку на это событие; оно просто служит для сведения различных случаев к одинаково возможным случаям.

Третий принцип. — Один из самых важных пунктов теории вероятностей и тот, который наиболее способствует иллюзиям, — это способ, которым эти вероятности увеличиваются или уменьшаются при их взаимном сочетании. Если события независимы друг от друга, вероятность их совместного существования есть произведение их соответствующих вероятностей. Так, вероятность выпадения одного туза при броске одной кости равна ⅙; вероятность выпадения двух тузов при броске двух костей одновременно равна 1/36. Каждая грань одной кости может сочетаться с шестью гранями другой, в действительности существует тридцать шесть одинаково возможных случаев, среди которых один единственный случай дает два туза. Вообще, вероятность того, что простое событие в тех же обстоятельствах произойдет последовательно заданное число раз, равна вероятности этого простого события, возведенной в степень, указанную этим числом. Имея таким образом последовательные степени дроби, меньшей единицы, постоянно уменьшающиеся, событие, которое зависит от ряда очень больших вероятностей, может стать крайне маловероятным. Предположим, что инцидент передан нам двадцатью свидетелями таким образом, что первый передал его второму, второй — третьему и так далее. Предположим также, что вероятность каждого свидетельства равна дроби 9/10; вероятность инцидента, вытекающего из свидетельств, будет меньше 1/8. Мы не можем лучше сравнить это уменьшение вероятности, чем с угасанием света объектов при прохождении через несколько стекол. Относительно небольшого числа стекол достаточно, чтобы лишить нас возможности видеть объект, который одно стекло позволяет нам воспринимать отчетливо. Историки, по-видимому, не уделили достаточного внимания этой деградации вероятности событий, когда они рассматриваются через большое число последовательных поколений; многие исторические события, считающиеся достоверными, были бы по крайней мере сомнительными, если бы они были подвергнуты этому испытанию.

В чисто математических науках самые отдаленные следствия участвуют в достоверности принципа, из которого они выведены. В приложениях анализа к физике результаты обладают всей достоверностью фактов или опытов. Но в моральных науках, где каждое умозаключение выводится из того, что ему предшествует, лишь вероятным образом, как бы вероятны ни были эти дедукции, шанс ошибки увеличивается с их числом и в конечном итоге превосходит шанс истины в следствиях, очень отдаленных от принципа. Четвертый принцип. — Когда два события зависят друг от друга, вероятность сложного события есть произведение вероятности первого события и вероятности того, что, если это событие произошло, произойдет второе. Так, в предыдущем случае с тремя урнами A, B, C, из которых две содержат только белые шары и одна содержит только черные шары, вероятность извлечения белого шара из урны C равна ⅔, поскольку из трех урн только две содержат шары этого цвета. Но когда белый шар был извлечен из урны C, нерешительность относительно той из урн, которая содержит только черные шары, распространяется только на урны A и B; вероятность извлечения белого шара из урны B равна ½; произведение ⅔ на ½, или ⅓, является тогда вероятностью извлечения двух белых шаров одновременно из урн B и C.

Мы видим на этом примере влияние прошлых событий на вероятность будущих событий. Ибо вероятность извлечения белого шара из урны B, которая первоначально равна ⅔, становится ½, когда белый шар был извлечен из урны C; она изменилась бы в достоверность, если бы из той же урны был извлечен черный шар. Мы определим это влияние с помощью следующего принципа, который является следствием предыдущего.

Пятый принцип. — Если мы вычислим априори вероятность произошедшего события и вероятность события, состоящего из него и второго, которое ожидается, то вторая вероятность, деленная на первую, будет вероятностью ожидаемого события, выведенной из наблюдаемого события.

Здесь возникает вопрос, поднятый некоторыми философами относительно влияния прошлого на вероятность будущего. Предположим в игре в «орел и решку», что «орел» выпадал чаще, чем «решка». Только по этому мы будем склонны верить, что в устройстве монеты есть тайная причина, которая благоприятствует ему. Так, в поведении жизни постоянное счастье — это доказательство компетентности, которое должно побудить нас предпочитать нанимать счастливых людей. Но если из-за ненадежности обстоятельств мы постоянно возвращаемся в состояние абсолютной нерешительности, если, например, мы меняем монету при каждом броске в игре в «орел и решку», прошлое не может пролить никакого света на будущее, и было бы абсурдно принимать его во внимание.

Шестой принцип. — Каждая из причин, к которым может быть отнесено наблюдаемое событие, указывается с такой же вероятностью, с какой вероятность того, что событие произойдет, предполагая событие постоянным. Вероятность существования любой из этих причин есть тогда дробь, числитель которой — вероятность события, вытекающего из этой причины, а знаменатель — сумма подобных вероятностей относительно всех причин; если эти различные причины, рассматриваемые априори, неравновероятны, необходимо вместо вероятности события, вытекающего из каждой причины, использовать произведение этой вероятности на возможность самой причины. Это фундаментальный принцип той ветви анализа шансов, которая состоит в переходе от событий к причинам.

Этот принцип дает причину, почему мы приписываем регулярные события особой причине. Некоторые философы думали, что эти события менее возможны, чем другие, и что в игре в «орел и решку», например, комбинация, в которой «орел» выпадает двадцать раз подряд, менее легка по своей природе, чем те, где «орел» и «решка» смешаны нерегулярным образом. Но это мнение предполагает, что прошлые события имеют влияние на возможность будущих событий, что вовсе не допустимо. Регулярные комбинации происходят реже только потому, что они менее многочисленны. Если мы ищем причину везде, где мы воспринимаем симметрию, это не потому, что мы рассматриваем симметричное событие как менее возможное, чем другие, но, поскольку это событие должно быть следствием регулярной причины или следствием случая, первое из этих предположений более вероятно, чем второе. На столе мы видим буквы, расположенные в таком порядке: Constantinople, и мы судим, что это расположение не является результатом случая, не потому, что оно менее возможно, чем другие, ибо если бы это слово не использовалось ни в одном языке, мы бы не подозревали, что оно произошло от какой-либо особой причины, но поскольку это слово находится в употреблении среди нас, несравненно более вероятно, что какой-то человек так расположил вышеупомянутые буквы, чем то, что это расположение обязано случаю.

Это место, чтобы определить слово «необычайный». Мы располагаем в нашей мысли все возможные события по различным классам; и мы рассматриваем как «необычайные» те классы, которые включают очень малое число. Так, в игре в «орел и решку» выпадение «орла» сто раз подряд кажется нам необычайным из-за почти бесконечного числа комбинаций, которые могут произойти в ста бросках; и если мы разделим комбинации на регулярные серии, содержащие порядок, легкий для понимания, и на иррегулярные серии, последние несравненно более многочисленны. Извлечение белого шара из урны, которая среди миллиона шаров содержит только один этого цвета, остальные черные, казалось бы нам likewise необычайным, потому что мы формируем только два класса событий относительно двух цветов. Но извлечение числа 475813, например, из урны, которая содержит миллион чисел, кажется нам обычным событием; потому что, сравнивая индивидуально числа друг с другом, не разделяя их на классы, у нас нет причин верить, что одно из них появится раньше других.

Из того, что предшествует, мы должны вообще заключить, что чем необычайнее событие, тем больше потребность в том, чтобы оно было подкреплено сильными доказательствами. Ибо те, кто свидетельствует о нем, будучи способными обмануть или быть обманутыми, эти две причины тем более вероятны, чем менее вероятна реальность события. Мы увидим это особенно, когда перейдем к разговору о вероятности свидетельства.

Седьмой принцип. — Вероятность будущего события есть сумма произведений вероятности каждой причины, выведенной из наблюдаемого события, на вероятность того, что, если эта причина существует, будущее событие произойдет. Следующий пример проиллюстрирует этот принцип.

Представим себе урну, которая содержит только два шара, каждый из которых может быть либо белым, либо черным. Один из этих шаров извлекается и кладется обратно в урну перед тем, как приступить к новому извлечению. Предположим, что в первых двух извлечениях были извлечены белые шары; требуется вероятность снова извлечь белый шар при третьем извлечении.

Здесь могут быть сделаны только две гипотезы: либо один из шаров белый, а другой черный, либо оба белые. В первой гипотезе вероятность наблюдаемого события равна ¼; она равна единице или достоверности во второй. Таким образом, рассматривая эти гипотезы как столько же причин, мы будем иметь согласно шестому принципу ⅕ и ⅘ для их соответствующих вероятностей. Но если имеет место первая гипотеза, вероятность извлечения белого шара при третьем извлечении равна ½; она равна достоверности во второй гипотезе; умножая тогда последние вероятности на вероятности соответствующих гипотез, сумма произведений, или 9/10, будет вероятностью извлечения белого шара при третьем извлечении.

Когда вероятность одного события неизвестна, мы можем предположить ее равной любому значению от нуля до единицы. Вероятность каждой из этих гипотез, выведенная из наблюдаемого события, есть, согласно шестому принципу, дробь, числитель которой — вероятность события в этой гипотезе, а знаменатель — сумма подобных вероятностей относительно всех гипотез. Таким образом, вероятность того, что возможность события заключена в заданных пределах, есть сумма дробей, заключенных в этих пределах. Теперь, если мы умножим каждую дробь на вероятность будущего события, определенную в соответствующей гипотезе, сумма произведений относительно всех гипотез будет, согласно седьмому принципу, вероятностью будущего события, выведенной из наблюдаемого события. Таким образом, мы находим, что если событие произошло последовательно любое число раз, вероятность того, что оно произойдет снова в следующий раз, равна этому числу, увеличенному на единицу, деленному на то же число, увеличенное на две единицы. Помещая самую древнюю эпоху истории пять тысяч лет назад, или 1826213 дней назад, и солнце постоянно восходило в промежутке при каждом обороте в двадцать четыре часа, это ставка 1826214 к одному, что оно взойдет снова завтра. Но это число несравненно больше для того, кто, признавая в совокупности явлений главный регулятор дней и сезонов, видит, что ничто в настоящий момент не может остановить его ход.

Бюффон в своей «Политической арифметике» вычисляет иначе предыдущую вероятность. Он предполагает, что она отличается от единицы только на дробь, числитель которой — единица, а знаменатель — число 2, возведенное в степень, равную числу дней, прошедших с эпохи. Но истинный способ соотнесения прошлых событий с вероятностью причин и будущих событий был неизвестен этому прославленному писателю.

ГЛАВА IV. ОБ ОЖИДАНИИ.

Вероятность событий служит для определения надежды или страха лиц, заинтересованных в их существовании. Слово «надежда» имеет различные значения; оно выражает вообще преимущество того, кто ожидает определенную выгоду в предположениях, которые являются лишь вероятными. Это преимущество в теории случая есть произведение суммы, на которую надеются, на вероятность ее получения; это частичная сумма, которая должна получиться, когда мы не хотим идти на риски события, предполагая, что деление сделано пропорционально вероятностям. Это деление является единственно справедливым, когда все странные обстоятельства исключены; потому что равная степень вероятности дает равное право на сумму, на которую надеются. Мы назовем это преимущество «математическим ожиданием».

Восьмой принцип. — Когда преимущество зависит от нескольких событий, оно получается путем взятия суммы произведений вероятности каждого события на выгоду, связанную с его наступлением.

Применим этот принцип к некоторым примерам. Предположим, что в игре в «орел и решку» Поль получает два франка, если он выбрасывает «орла» при первом броске, и пять франков, если он выбрасывает его только при втором. Умножая два франка на вероятность ½ первого случая и пять франков на вероятность ¼ второго случая, сумма произведений, или два с четвертью франка, будет преимуществом Поля. Это сумма, которую он должен дать заранее тому, кто предоставил ему это преимущество; ибо, чтобы сохранить равенство игры, ставка должна быть равна преимуществу, которое она доставляет.

Если Поль получает два франка, выбрасывая «орла» при первом, и пять франков, выбрасывая его при втором броске, независимо от того, выбросил он его или нет при первом, вероятность выпадения «орла» при втором броске равна ½, умножая два франка и пять франков на ½, сумма этих произведений даст три с половиной франка для преимущества Поля и, следовательно, для его ставки в игре.

Девятый принцип. — В ряду вероятных событий, из которых одни приносят выгоду, а другие — убыток, мы будем иметь преимущество, которое из этого проистекает, путем составления суммы произведений вероятности каждого благоприятного события на выгоду, которую оно доставляет, и вычитания из этой суммы суммы произведений вероятности каждого неблагоприятного события на убыток, который с ним связан. Если вторая сумма больше первой, выгода становится убытком, и надежда сменяется страхом.

Следовательно, мы должны всегда в поведении жизни делать произведение выгоды, на которую надеются, на ее вероятность по крайней мере равным подобному произведению относительно убытка. Но необходимо, чтобы достичь этого, точно оценивать преимущества, убытки и их соответствующие вероятности. Для этого необходима большая точность ума, тонкое суждение и большой опыт в делах; необходимо знать, как остерегаться предрассудков, иллюзий страха или надежды и ошибочных идей, идей фортуны и счастья, которыми большинство людей питает свое самолюбие.

Применение предыдущих принципов к следующему вопросу сильно упражняло геометров. Поль играет в «орел и решку» с условием получения двух франков, если он выбрасывает «орла» при первом броске, четырех франков, если он выбрасывает его только при втором броске, восьми франков, если он выбрасывает его только при третьем, и так далее. Его ставка в игре должна быть, согласно восьмому принципу, равна числу бросков, так что если игра продолжается до бесконечности, ставка должна быть бесконечной. Однако ни один разумный человек не пожелал бы рисковать в этой игре даже небольшой суммой, например, пятью франками. Откуда берется это различие между результатом вычисления и указанием здравого смысла? Мы вскоре признаем, что оно сводится к следующему: что моральное преимущество, которое доставляет нам выгода, не пропорционально этой выгоде и что оно зависит от тысячи обстоятельств, часто очень трудных для определения, но из которых самое общее и самое важное — это состояние фортуны.

Действительно, очевидно, что один франк имеет гораздо большую ценность для того, кто обладает только сотней, чем для миллионера. Мы должны тогда различать в выгоде, на которую надеются, ее абсолютную ценность от относительной. Но последняя регулируется мотивами, которые делают ее желательной, тогда как первая независима от них. Общий принцип для оценки этой относительной ценности не может быть дан, но вот один, предложенный Даниилом Бернулли, который послужит во многих случаях.

Десятый принцип. — Относительная ценность бесконечно малой суммы равна ее абсолютной ценности, деленной на общую выгоду заинтересованного лица. Это предполагает, что каждый имеет некоторую выгоду, ценность которой никогда не может быть оценена как ноль. Действительно, даже тот, кто не обладает ничем, всегда придает продукту своего труда и своим надеждам ценность, по крайней мере равную той, которая абсолютно необходима для его поддержания.

Если мы применим анализ к только что предложенному принципу, мы получим следующее правило: Обозначим через единицу часть состояния индивида, независимую от его ожиданий. Если мы определим различные значения, которые это состояние может иметь в силу этих ожиданий и их вероятностей, произведение этих значений, возведенных соответственно в степени, указанные их вероятностями, будет физическим состоянием, которое доставило бы индивиду то же моральное преимущество, которое он получает от части своего состояния, взятой как единица, и от своих ожиданий; вычитая единицу из произведения, разность будет увеличением физического состояния, обусловленным ожиданиями: мы назовем это увеличение «моральным ожиданием». Легко видеть, что оно совпадает с математическим ожиданием, когда состояние, взятое как единица, становится бесконечным по отношению к вариациям, которые оно получает от ожиданий. Но когда эти вариации являются ощутимой частью этой единицы, два ожидания могут очень существенно различаться между собой.

Это правило ведет к результатам, сообразующимся с указаниями здравого смысла, которые могут быть таким образом оценены с некоторой точностью. Так, в предыдущем вопросе найдено, что если состояние Поля составляет двести франков, он не должен разумно ставить более девяти франков. То же правило ведет нас снова к распределению опасности по нескольким частям ожидаемой выгоды, а не к тому, чтобы подвергать всю выгоду этой опасности. Из этого следует аналогично, что в самой честной игре убыток всегда больше, чем выигрыш. Предположим, например, что игрок, имеющий состояние в сто франков, рискует пятьюдесятью в игре в «орел и решку»; его состояние после ставки в игре будет уменьшено до восьмидесяти семи франков, то есть эта последняя сумма доставила бы игроку то же моральное преимущество, что и состояние его фортуны после ставки. Игра тогда невыгодна даже в том случае, когда ставка равна произведению суммы, на которую надеются, на ее вероятность. Мы можем судить по этому об аморальности игр, в которых сумма, на которую надеются, ниже этого произведения. Они существуют только благодаря ложным рассуждениям и алчности, которую они возбуждают и которая, побуждая людей жертвовать своим необходимым химерическим надеждам, вероятность которых они не в состоянии оценить, являются источником бесконечного числа зол.

Невыгодность азартных игр, преимущество не подвергать той же опасности всю выгоду, на которую надеются, и все подобные результаты, указанные здравым смыслом, существуют, какой бы ни была функция физического состояния, которая для каждого индивида выражает его моральное состояние. Достаточно, чтобы пропорция увеличения этой функции к увеличению физического состояния уменьшалась по мере того, как последнее увеличивается.

ГЛАВА V. ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДАХ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Применение принципа, который мы только что изложили, к различным вопросам вероятности требует методов, исследование которых породило несколько методов анализа и особенно теорию комбинаций и исчисление конечных разностей.

Если мы сформируем произведение биномов: единица плюс первая буква, единица плюс вторая буква, единица плюс третья буква и так далее до n букв, и вычтем единицу из этого развернутого произведения, результат будет суммой комбинаций всех этих букв, взятых по одной, по две, по три и так далее, причем каждая комбинация имеет единицу в качестве коэффициента. Чтобы иметь число комбинаций этих n букв, взятых по s раз, мы заметим, что если мы предположим эти буквы равными между собой, предыдущее произведение станет n-й степенью бинома «один плюс первая буква»; таким образом, число комбинаций n букв, взятых по s раз, будет коэффициентом s-й степени первой буквы в разложении этого бинома; и это число получается с помощью известной формулы бинома.

Необходимо обратить внимание на соответствующие положения букв в каждой комбинации, наблюдая, что если вторая буква присоединяется к первой, она может быть помещена на первое или второе место, что дает две комбинации. Если мы присоединим к этим комбинациям третью букву, мы можем дать ей в каждой комбинации первый, второй и третий ранг, что образует три комбинации относительно каждой из двух других, всего шесть комбинаций. Из этого легко заключить, что число расположений, которым подвержены s букв, есть произведение чисел от единицы до s. Чтобы принять во внимание соответствующие положения букв, необходимо тогда умножить на это произведение число комбинаций n букв, взятых по s раз, что равносильно удалению знаменателя коэффициента бинома, который выражает это число.

Представим себе лотерею, состоящую из n чисел, из которых r извлекаются при каждом тираже. Требуется вероятность извлечения s заданных чисел в одном тираже. Чтобы прийти к этому, сформируем дробь, знаменателем которой будет число всех возможных случаев или комбинаций n букв, взятых по r раз, а числителем — число всех комбинаций, которые содержат заданные s чисел. Это последнее число очевидно является числом комбинаций остальных чисел, взятых по n минус s раз. Эта дробь будет искомой вероятностью, и мы легко найдем, что она может быть сведена к дроби, числителем которой является число комбинаций r чисел, взятых по s раз, а знаменателем — число комбинаций n чисел, взятых подобным образом по s раз. Таким образом, в лотерее Франции, сформированной, как известно, из 90 чисел, из которых пять извлекаются при каждом тираже, вероятность извлечения заданной комбинации равна 5/90, или 1/18; лотерея должна тогда для равенства игры давать восемнадцать ставок. Общее число комбинаций по две из 90 чисел равно 4005, а число комбинаций по две из 5 чисел равно 10. Вероятность извлечения заданной пары равна тогда 1/4005, и лотерея должна давать четыреста с половиной ставок; она должна давать 11748 ставок для заданной тройки, 511038 ставок для четверки и 43949268 ставок для пятерки. Лотерея далека от того, чтобы давать игроку эти преимущества.

Предположим, в урне a белых шаров, b черных шаров, и после того, как шар был извлечен, он кладется обратно в урну; спрашивается вероятность того, что при n числе извлечений будет извлечено m белых шаров и n - m черных шаров. Ясно, что число случаев, которые могут произойти при каждом извлечении, есть a + b. Каждый случай второго извлечения может сочетаться со всеми случаями первого, число возможных случаев в двух извлечениях есть квадрат бинома a + b. В разложении этого квадрата квадрат a выражает число случаев, в которых белый шар извлекается дважды, двойное произведение a на b выражает число случаев, в которых извлекаются белый шар и черный шар. Наконец, квадрат b выражает число случаев, в которых извлекаются два черных шара. Продолжая так, мы видим вообще, что n-я степень бинома a + b выражает число всех возможных случаев в n извлечениях; и что в разложении этой степени член, умноженный на m-ю степень a, выражает число случаев, в которых могут быть извлечены m белых шаров и n - m черных шаров. Разделив тогда этот член на всю степень бинома, мы получим вероятность извлечения m белых шаров и n - m черных шаров. Отношение чисел a и a + b является вероятностью извлечения одного белого шара при одном извлечении; и отношение чисел b и a + b является вероятностью извлечения одного черного шара; если мы назовем эти вероятности p и q, вероятность извлечения m белых шаров в n извлечениях будет членом, умноженным на m-ю степень p в разложении n-й степени бинома p + q; мы можем видеть, что сумма p + q равна единице. Это замечательное свойство бинома очень полезно в теории вероятностей. Но самый общий и прямой метод решения вопросов вероятности состоит в том, чтобы сделать их зависимыми от уравнений разностей. Сравнивая последовательные условия функции, которая выражает вероятность, когда мы увеличиваем переменные на их соответствующие разности, предложенный вопрос часто дает очень простую пропорцию между условиями. Эта пропорция — то, что называется уравнением обыкновенных или частных дифференциалов; обыкновенных, когда есть только одна переменная, частных, когда их несколько. Рассмотрим некоторые примеры этого.

Три игрока предполагаемой равной способности играют вместе на следующих условиях: тот из первых двух игроков, кто побеждает своего противника, играет с третьим, и если он побеждает его, игра закончена. Если он побежден, победитель играет против второго, пока один из игроков не победит последовательно двух других, что заканчивает игру. Требуется вероятность того, что игра будет закончена за определенное число n игр. Найдем вероятность того, что она закончится точно в n-й игре. Для этого игрок, который выигрывает, должен войти в игру в игре n - 1 и выиграть ее таким образом в следующей игре. Но если вместо выигрыша в игре n - 1 он будет побежден своим противником, который только что победил другого игрока, игра закончилась бы в этой игре. Таким образом, вероятность того, что один из игроков войдет в игру в игре n - 1 и выиграет ее, равна вероятности того, что игра закончится точно этой игрой; и так как этот игрок должен выиграть следующую игру, чтобы игра была закончена в n-й игре, вероятность этого последнего случая будет только половиной предыдущего. Эта вероятность очевидно является функцией числа n; эта функция тогда равна половине той же функции, когда n уменьшено на единицу. Это равенство образует одно из тех уравнений, называемых обыкновенными уравнениями конечных разностей.

Мы можем легко определить с его помощью вероятность того, что игра закончится точно в определенной игре. Очевидно, что игра не может закончиться раньше, чем во второй игре; и для этого необходимо, чтобы тот из первых двух игроков, кто победил своего противника, победил во второй игре третьего игрока; вероятность того, что игра закончится в этой игре, равна ½. Отсюда в силу предыдущего уравнения мы заключаем, что последовательные вероятности окончания игры равны ¼ для третьей игры, ⅛ для четвертой игры и так далее; и вообще ½, возведенное в степень n - 1 для n-й игры. Сумма всех этих степеней ½ равна единице минус последняя из этих степеней; это вероятность того, что игра закончится самое позднее в n играх.

Рассмотрим еще раз первую, более трудную задачу, которая может быть решена с помощью вероятностей и которую Паскаль предложил решить Ферма. Два игрока, А и В, равной силы, играют на условиях, что тот, кто первым выиграет у другого заданное число раз, выигрывает партию и забирает сумму ставок; после нескольких бросков игроки договариваются прекратить игру, не закончив ее: мы спрашиваем, каким образом сумма должна быть разделена между ними. Очевидно, что доли должны быть пропорциональны соответствующим вероятностям выигрыша в партии. Таким образом, вопрос сводится к определению этих вероятностей. Они, очевидно, зависят от числа очков, которых не хватает каждому игроку до достижения заданного числа. Следовательно, вероятность А является функцией двух чисел, которые мы назовем индексами. Если бы два игрока договорились сыграть еще один бросок (соглашение, которое не меняет их положения, при условии, что после этого нового броска раздел всегда производится пропорционально новым вероятностям выигрыша в партии), то либо А выиграл бы этот бросок, и в этом случае число очков, которых ему не хватает, уменьшилось бы на единицу, либо игрок В выиграл бы его, и в этом случае число очков, не хватающих этому последнему игроку, было бы меньше на единицу. Но вероятность каждого из этих случаев равна ½; искомая функция тогда равна половине этой функции, в которой мы уменьшаем на единицу первый индекс, плюс половина той же функции, в которой второй индекс уменьшен на единицу. Это равенство является одним из тех уравнений, которые называются уравнениями в частных производных.

Мы можем определить с его помощью вероятности А, разделяя наименьшие числа и наблюдая, что вероятность или функция, которая ее выражает, равна единице, когда игроку А не хватает ни одного очка, или когда первый индекс равен нулю, и что эта функция становится равной нулю при втором индексе, равном нулю. Предполагая, таким образом, что игроку А не хватает только одного очка, мы находим, что его вероятность равна ½, ¾, 7⁄8 и т. д., в зависимости от того, сколько очков не хватает В: одно, два, три и т. д. В общем случае это единица минус степень ½, равная числу очков, которых не хватает В. Мы предположим затем, что игроку А не хватает двух очков, и его вероятность окажется равной ¼, ½, 11⁄16 и т. д., в зависимости от того, сколько очков не хватает В: одно, два, три очка и т. д. Мы предположим снова, что игроку А не хватает трех очков, и так далее.

Этот способ получения последовательных значений величины с помощью ее уравнения в разностях является долгим и трудоемким. Геометры искали методы получения общей функции индексов, которая удовлетворяет этому уравнению, так чтобы для любого частного случая нам нужно было лишь подставить в эту функцию соответствующие значения индексов. Рассмотрим этот предмет в общем виде. Для этой цели представим себе ряд членов, расположенных вдоль горизонтальной линии так, что каждый из них выводится из предыдущего согласно заданному закону. Предположим, что этот закон выражен уравнением между несколькими последовательными членами и их индексом, или числом, которое указывает ранг, занимаемый ими в ряду. Это уравнение я называю уравнением конечных разностей с одним индексом. Порядок или степень этого уравнения есть разность рангов его двух крайних членов. Мы можем с его помощью определять последовательно члены ряда и продолжать его бесконечно; но для этого необходимо знать число членов ряда, равное степени уравнения. Эти члены являются произвольными постоянными выражения общего члена ряда или интеграла уравнения в разностях.

Представим себе теперь под членами предыдущего ряда второй ряд членов, расположенных горизонтально; представим себе снова под членами второго ряда третий горизонтальный ряд и так далее до бесконечности; и предположим, что члены всех этих рядов связаны общим уравнением между несколькими последовательными членами, взятыми как в горизонтальном, так и в вертикальном смысле, и числами, которые указывают их ранг в обоих смыслах. Это уравнение называется уравнением частных конечных разностей с двумя индексами.

Представим себе таким же образом под плоскостью предыдущего ряда вторую плоскость подобных рядов, члены которых должны быть расположены соответственно под членами первой плоскости; представим себе снова под этой второй плоскостью третью плоскость подобных рядов и так далее до бесконечности; предположим, что все члены этих рядов связаны уравнением между несколькими последовательными членами, взятыми в смысле длины, ширины и глубины, и тремя числами, которые указывают их ранг в этих трех смыслах. Это уравнение я называю уравнением частных конечных разностей с тремя индексами.

Наконец, рассматривая вопрос абстрактно и независимо от измерений пространства, представим себе в общем виде систему величин, которые должны быть функциями определенного числа индексов, и предположим между этими величинами, их относительными разностями по отношению к этим индексам и самими индексами столько уравнений, сколько имеется величин; эти уравнения будут уравнениями частных конечных разностей с определенным числом индексов.

Мы можем с их помощью последовательно определять эти величины. Но подобно тому, как уравнение с одним индексом требует для этого, чтобы мы знали определенное число членов ряда, так уравнение с двумя индексами требует, чтобы мы знали одну или несколько линий рядов, общие члены которых должны быть выражены каждый произвольной функцией одного из индексов. Аналогично уравнение с тремя индексами требует, чтобы мы знали одну или несколько плоскостей рядов, общие члены которых должны быть выражены каждый произвольной функцией двух индексов, и так далее. Во всех этих случаях мы сможем путем последовательных исключений определить определенный член ряда. Но так как все уравнения, между которыми мы производим исключение, содержатся в одной и той же системе уравнений, все выражения последовательных членов, которые мы получаем путем этих исключений, должны содержаться в одном общем выражении, функции индексов, определяющих ранг члена. Это выражение является интегралом предложенного уравнения в разностях, и поиск его составляет предмет интегрального исчисления.

Тейлор — первый, кто в своем труде под названием Metodus incrementorum рассмотрел линейные уравнения конечных разностей. Он дает способ интегрирования уравнений первого порядка с коэффициентом и последним членом, являющимися функциями индекса. По правде говоря, отношения членов арифметической и геометрической прогрессий, которые всегда принимались во внимание, являются простейшими случаями линейных уравнений в разностях; но они не рассматривались с этой точки зрения. Это был один из тех случаев, которые, примыкая к общим теориям, ведут к этим теориям и являются, следовательно, подлинными открытиями.

Примерно в то же время Муавр рассматривал под названием возвратных рядов уравнения конечных разностей определенного порядка, имеющие постоянный коэффициент. Он преуспел в их интегрировании весьма остроумным способом. Поскольку всегда интересно проследить за прогрессом изобретателей, я изложу метод Муавра, применив его к возвратной последовательности, для которой задано отношение между тремя последовательными членами. Сначала он рассматривает отношение между последовательными членами геометрической прогрессии или уравнение из двух членов, которое его выражает. Относя его к членам, меньшим единицы, он умножает его в этом состоянии на постоянный множитель и вычитает произведение из первого уравнения. Таким образом, он получает уравнение между тремя последовательными членами геометрической прогрессии. Затем Муавр рассматривает вторую прогрессию, отношение членов которой есть тот же множитель, который он только что использовал. Он аналогично уменьшает на единицу индекс членов уравнения этой новой прогрессии. В этом состоянии он умножает его на отношение членов первой прогрессии и вычитает произведение из уравнения второй прогрессии, что дает ему между тремя последовательными членами этой прогрессии отношение, совершенно подобное тому, которое он нашел для первой прогрессии. Затем он замечает, что если сложить почленно две прогрессии, то то же отношение существует между любыми тремя из этих последовательных членов. Он сравнивает коэффициенты этого отношения с коэффициентами отношения членов предложенного возвратного ряда и находит для определения отношений двух геометрических прогрессий уравнение второй степени, корнями которого являются эти отношения. Таким образом, Муавр разлагает возвратный ряд на две геометрические прогрессии, каждая из которых умножена на произвольную постоянную, которую он определяет с помощью первых двух членов возвратного ряда. Этот остроумный процесс, по сути, является тем самым, который д'Аламбер впоследствии применял для интегрирования линейных уравнений бесконечно малых разностей с постоянными коэффициентами, а Лагранж преобразовал в подобные уравнения конечных разностей.

Наконец, я рассмотрел линейные уравнения частных конечных разностей, сначала под названием рекурро-возвратных рядов, а затем под их собственным именем. Наиболее общий и простой способ интегрирования всех этих уравнений представляется мне тем, который я основал на рассмотрении производящих функций, идея которых здесь приведена.

Если мы представим себе функцию V переменной t, разложенную по степеням этой переменной, то коэффициент любой из этих степеней будет функцией показателя или индекса этой степени, который я назову x. V — это то, что я называю производящей функцией этого коэффициента или функции индекса.

Теперь, если мы умножим ряд разложения V на функцию той же переменной, такую, например, как единица плюс дважды эта переменная, произведение будет новой производящей функцией, в которой коэффициент степени x переменной t будет равен коэффициенту той же степени в V плюс удвоенный коэффициент степени, меньшей на единицу. Таким образом, функция индекса x в произведении будет равна функции индекса x в V плюс удвоенная та же функция, в которой индекс уменьшен на единицу. Эта функция индекса x является, таким образом, производной функции того же индекса в разложении V, функцией, которую я назову первообразной функцией индекса. Обозначим производную функцию буквой δ, помещенной перед первообразной функцией. Дифференцирование, обозначенное этой буквой, будет зависеть от множителя V, который мы назовем T и который мы предположим разложенным подобно V по отношению к степеням переменной t. Если мы умножим заново на T произведение V на T, что эквивалентно умножению V на T², мы образуем третью производящую функцию, в которой коэффициент x-й степени t будет производной, подобной соответствующему коэффициенту предыдущего произведения; она может быть выражена тем же символом δ, помещенным перед предыдущей производной, и тогда этот символ будет написан дважды перед первообразной функцией x. Но вместо того, чтобы писать его так дважды, мы даем ему 2 в качестве показателя.

Продолжая таким образом, мы видим в общем случае, что если мы умножим V на n-ю степень T, мы получим коэффициент x-й степени t в произведении V на n-ю степень T, поместив перед первообразной функцией символ δ с n в качестве показателя.

Предположим, например, что T есть единица, деленная на t; тогда в произведении V на T коэффициент x-й степени t будет коэффициентом степени, большей на единицу в V; этот коэффициент в произведении V на n-ю степень T будет тогда первообразной функцией, в которой x увеличен на n единиц.

Рассмотрим теперь новую функцию Z от t, разложенную подобно V и T по степеням t; обозначим символом Δ, помещенным перед первообразной функцией, коэффициент x-й степени t в произведении V на Z; этот коэффициент в произведении V на n-ю степень Z будет выражен символом Δ, затронутым показателем n и помещенным перед первообразной функцией x.

Если, например, Z равно единице, деленной на t минус один, коэффициент x-й степени t в произведении V на Z будет коэффициентом x+1 степени t в V минус коэффициент x-й степени. Это будет тогда конечная разность первообразной функции индекса x. Тогда символ Δ указывает конечную разность первообразной функции в случае, когда индекс изменяется на единицу; и n-я степень этого символа, помещенная перед первообразной функцией, будет указывать конечную n-ю разность этой функции. Если мы предположим, что T есть единица, деленная на t, мы будем иметь T, равное двучлену Z + 1. Произведение V на n-ю степень T будет тогда равно произведению V на n-ю степень двучлена Z + 1. Разлагая эту степень по отношению к степеням Z, произведение V на различные члены этого разложения будет производящими функциями этих же членов, в которых мы подставляем вместо степеней Z соответствующие конечные разности первообразной функции индекса.