МЕНОН II

ПРОДОЛЖЕНИЕ ДИАЛОГА СОКРАТА С МЕНОНОМ, В КОТОРОМ МАЛЬЧИК ДОКАЗЫВАЕТ, ЧТО КОРЕНЬ ИЗ ДВУХ ИРРАЦИОНАЛЕН

Сократ

Издание Millennium Fulcrum [Авторское право 1995]

Сократ: Ну вот мы и встретились в назначенное время, Менон.

Менон: Да, и день, кажется, выдался для этого прекрасный.

Сократ: И я вижу, что наш слуга тоже здесь.

Мальчик: Да, я здесь и готов исполнить вашу волю.

Сократ: Чудесно. Теперь, Менон, я хочу, чтобы ты был начеку, как и в прошлый раз, и следил, чтобы я ничему не учил мальчика, а лишь извлекал из его разума те предпосылки, которые уже там заложены.

Менон: Я сделаю все, что в моих силах, Сократ.

Сократ: Большего я ни от кого и не требую, Менон. Я уверен, что ты справишься хорошо, и надеюсь, что не дам тебе повода остановить меня, если я скажу слишком много и ты почувствуешь, что я на самом деле подсказываю мальчику ответ на эту загадку.

Менон: Нет, Сократ, не думаю, что мне придется прерывать тебя из-за чего-либо, что ты скажешь сегодня, ибо самые удивительно ученые мужи из школы Пифагора потратили многие часы, недели и даже месяцы и годы, трудясь на свой манер, чтобы прийти к мистическим решениям головоломок, порожденных простыми квадратами, с которыми мы работали в прошлый раз. Поэтому я уверен, что верну себе добродетель, которую утратил на днях, когда ты так твердо доказал, что я ошибался, утверждая, будто корень из квадрата площадью в два квадратных фута непостижим для этого мальчика — а он прекрасный мальчик, и мы должны заставить его понять, что он должен стараться изо всех сил и не чувствовать, что совершил нечто дурное, став причиной того, что я утратил перед тобой свою добродетель.

Сократ: Менон, друг мой, я придерживаюсь мнения — и надеюсь, вскоре ты его разделишь, — что твоя добродетель в тот день не уменьшилась, а возросла.

Менон: Не понимаю, как это возможно, когда я был унижен, увидев, как этот юный мальчик с весьма скромным образованием за считанные минуты достиг высочайших мистических уровней магии пифагорейцев. Особенно после того, как я поставил на кон столько обедов, сколько ты смог бы съесть в моем доме, утверждая, что этого быть не может.

Сократ: Прежде всего, друг Менон, позволь заверить тебя, что я обещаю никогда не объедать тебя до нитки, да я бы и не смог, если бы даже попытался, ибо вкусы мои просты, а кошелек твой полон. Тем не менее, Менон, друг мой, я поспешу добавить, что обещаю, если хочешь, никогда не приходить к твоему столу без приглашения.

Вторая причина, по которой тебе и твоей добродетели следует чувствовать себя лучше после событий того дня, заключается в том, что раньше ты заблуждался, а теперь заблуждаешься меньше. А путь к добродетели, по крайней мере один из его аспектов, состоит в обнаружении и исправлении ошибок.

Менон: Сократ, ты знаешь, что всегда желанный гость за моим столом, за исключением тех случаев, когда я страдаю от язвы, которую ты сильно раздражаешь, или когда я принимаю знатнейших вельмож страны, и ты выглядел бы неуместно в своей одежде. (Сократ был известен своим простым одеянием и тем, что носил свои вещи до тех пор, пока они не изнашивались. Однако единственный сохранившийся пример его письма — это список белья в стирку, так что мы знаем, что он содержал свою одежду в чистоте и некотором порядке, хотя и простоте)

Сократ: Я надеялся, что ты приглашаешь меня потому, что я благотворно влияю на твое развитие, а не по какой-либо другой причине. Я заметил, что ты не ответил на мое утверждение о том, что я увеличил твою добродетель путем изгнания твоего заблуждения.

Менон: Ну, Сократ, ты же знаешь, что не всегда легко отказаться от своих привычек, даже если обнаружил, что они ошибочны. Поэтому, пожалуйста, прости меня, если я звучу не так благодарно, как тебе хотелось бы за твои уроки.

Сократ: Чем легче человек расстается с привычками заблуждения, тем легче заменить заблуждение тем, что, как мы надеемся, не является заблуждением. Разве это не путь к добродетели?

Менон: Да, Сократ, и ты знаешь, что путь этот труден и что мы часто спотыкаемся и падаем.

Сократ: Да, но разве не правда, что мы спотыкаемся и падаем о препятствия, которые сами же себе и создаем?

Менон: Безусловно, это совершенно верно, Сократ, в некоторых случаях.

Сократ: Что ж, тогда продолжим, ибо я вижу, что настал час, когда я лучше всего мыслю, и этот час скоро пройдет, а вместе с ним, надеюсь, немного уменьшится и твое невежество.

Менон: Хорошо сказано, Сократ. Я с тобой.

Сократ: И заключим ли мы пари на сегодняшние события?

Менон: Конечно, Сократ.

Сократ: И что ты поставишь против того, что этот мальчик докажет, что длину корня из квадрата площадью в два квадратных фута невозможно выразить отношением двух целых чисел?

Менон: Ты можешь получить все, что в моей власти дать, если только это не причинит вреда мне или кому-то другому.

Сократ: Хорошо сказано, мой друг Менон, и я на этом остановлюсь. А что я предложу тебе в качестве ответного пари?

Менон: Ну, самое простое, что приходит на ум, — это поставить на кон все те обеды, которые ты выиграл у меня в прошлый раз.

Сократ: Очень хорошо, пусть будет так.

Менон: Теперь, Сократ, поскольку ты мой друг, я должен дать тебе дружеское предостережение: ты ведь знаешь, что пифагорейцы ревностно охраняют свои секреты с помощью тайных собраний, защищенных секретными рукопожатиями, тайными знаками, паролями и всем прочим, не так ли?

Сократ: Я слышал об этом, друг Менон.

Менон: Тогда будь уверен, что они будут мстить тебе за то, что ты демистифицируешь идеи и концепции, которые они так долго, упорно и тайно создавали и защищали; ибо они крайне ревнивы и прячутся в горных пещерах, которые едва ли можно назвать монастырями даже самому суровому монаху.

Сократ: Я понимаю, что ты имеешь в виду, друг Менон, и благодарю тебя за заботу, но я думаю, что если я проиграю, они не будут меня беспокоить, а если я выиграю, это покажется всем настолько простым, что было бы величайшим безумием для кого-либо делать хоть малейший жест, чтобы защитить свою павшую мистическую тайну. К тому же, у меня есть гражданский долг перед Афинами и всеми афинянами — делать все возможное, чтобы защитить и просветить их.

Менон: Очень хорошо, Сократ. Пожалуйста, никогда не говори, что я не пытался тебя предупредить, особенно после того, как они пригвоздят тебя к кресту в общественном месте, где каждый мог бы услышать, как ты говоришь, что вина за это лежит на моем имени.

Сократ: Не волнуйся, друг Менон, ибо если бы я не показал этот простой логический трюк тебе, я бы просто пошел по улице и нашел кого-нибудь другого, хотя и не того, чьей компанией и беседой я наслаждался бы так же, как твоей.

Менон: Спасибо, друг Сократ.

Сократ: Теперь, мальчик, помнишь ли ты меня и квадраты, с которыми мы работали и играли в прошлый раз?

Мальчик: Да, господин Сократ.

Сократ: Пожалуйста, Менон, вели мальчику называть меня просто по имени, как и все остальные. Обращение «господин» лишь сбивает меня с мысли, к тому же это создает большую дистанцию между мной и мальчиком.

Менон: Ты слышал, что сказал Сократ, мальчик. Можешь так сделать?

Мальчик: Да, господин. (Поворачиваясь к Сократу) Вы знаете, что вы мне очень нравитесь, и что я называю вас «господин» не только из-за нашего положения в обществе, но и из-за моего искреннего уважения и восхищения, особенно после событий того дня.

Сократ: Да, мальчик. И я постараюсь оправдать твои ожидания. (Поворачиваясь к Менону) Позволишь ли ты наградить мальчика, а также меня самого, если он докажет к твоему удовлетворению, что квадратный корень из двух иррационален?

Менон: Конечно, Сократ.

Сократ: (отводя мальчика в сторону) Чего бы ты больше всего хотел на свете, мальчик?

Мальчик: Вы имеете в виду что угодно?

Сократ: Ну, я не могу гарантировать, что достану это для тебя, но, по крайней мере, я могу попросить, а просить не вредно; к тому же, как ты должен знать, очень трудно ожидать, что кто-то даст тебе то, что ты хочешь, если ты никогда не даешь им знать, что ты этого хочешь.

Мальчик: Ну, Сократ… вы знаете, чего бы я хотел.

Сократ: Знаю ли?

Мальчик: Лучше, чем я знал квадратный корень из двух в прошлый раз.

Сократ: Значит, ты хочешь быть свободным человеком и гражданином.

Мальчик: (опуская глаза) Да.

Сократ: Не опускай глаза, ибо это достойное желание, и оно говорит в пользу того, кто его имеет. Я поговорю с Меноном, а ты попридержи язык.

Мальчик: Да, Сократ. (кланяется, чтобы поцеловать его руку, Сократ отворачивается)

Сократ: Друг Менон, как ты думаешь, насколько трудно будет этому мальчику доказать иррациональность квадратного корня из двух?

Менон: Ты знаешь, что я считаю это невозможным, Сократ.

Сократ: Ну, а сколько времени это заняло у пифагорейцев?

Менон: Думаю, у них ушли годы.

Сократ: И сколько их было?

Менон: Довольно много, хотя не все работали одинаково, а некоторые почти совсем не работали, ибо их больше интересовали треугольники правильного и добродетельного вида, а не квадраты и их корни.

Сократ: Можешь дать мне оценку?

Менон: Нет, не могу сказать, что могу. Прости, Сократ.

Сократ: Ничего страшного, примешь ли ты пять мыслителей в качестве оценки?

Менон: Думаю, это будет справедливо.

Сократ: И предположим ли мы, что они работали два года — это наименьшее число, которое сохраняет множественное число, а наше предположение было, что они работали годами.

Менон: Два года меня вполне устраивают, Сократ.

Сократ: Очень хорошо, Менон, выходит, что пифагорейцы потратили в общей сложности 10 лет мыслительного времени на решение загадок квадратного корня из двух.

Менон: Согласен.

Сократ: А хотел бы ты нанять пифагорейцев управлять твоим хозяйством, Менон?

Менон: Конечно, хотел бы, Сократ, если бы их можно было нанять, но, как ты хорошо знаешь, они люди скрытные и никого не нанимают.

Сократ: Ну, а если бы я мог достать тебе одного, возможно, одного из лучших, фактически лидера группы, решившей задачу с квадратным корнем из двух, разве ты не нанял бы его, причем за высокую плату?

Менон: Конечно, Сократ. Я был бы дураком, если бы не сделал этого.

Сократ: И ты поставил бы его во главе своего дома.

Менон: И всех моих земель тоже, Сократ.

Сократ: Возможно. Тогда я хотел бы предложить, чтобы, если этот мальчик решит доказательство иррациональности квадратного корня из двух в течение следующих нескольких часов нашей дискуссии, ему была выплачена заработная плата, равная той, что причитается твоему самому высокопоставленному слуге за десять лет службы, ибо он совершит для тебя десять лет службы за следующие несколько часов, если преуспеет.

Менон: Это звучит вполне справедливо, Сократ, мне нравится твоя логика.

Сократ: (мальчик дергает его за тунику, жалуясь, что хочет свободы, а не просто ведро золота) Тише, мальчик, разве ты не обещал придержать язык?

Мальчик: Да, Сократ, но…

Сократ: (поворачиваясь к Менону) И, конечно, с денежным вознаграждением за такую должность идет все остальное.

Менон: Конечно, Сократ. Я никогда не думал тебя обманывать.

Сократ: Я знаю это, друг Менон, но я прошу лишь ради мальчика, который не привык слышать о высоких финансах и власти, и ранге, которые сопутствуют таким вещам.

Менон: Конечно, Сократ. Мне сказать мальчику, что он получит?

Сократ: Ты очень добр, мой друг Менон.

Менон: (поворачивается к мальчику) Ты осознаешь, что слуга не может владеть той суммой золота, которую я должен был бы дать тебе, если бы ты победил?

Мальчик: Да, господин.

Менон: Поэтому я должен был бы дать тебе свободу владеть деньгами, прежде чем я смог бы дать тебе деньги, не так ли?

Мальчик: Да, господин.

Менон: И, давая тебе свободу, я был бы небрежен, если бы не дал тебе работу и праздник в честь твоего выхода в свет, соответствующий твоему богатству, не так ли?

Мальчик: Я не могу точно сказать, господин, хотя полагаю, что так.

Менон: Ты полагаешь правильно. Я буду кормить тебя целую неделю празднеств и одену в лучшие одежды, пока тебя будут представлять лучшим дамам и господам Афин, из которых ты волен выбирать себе друзей, деловых партнеров, светских знакомых, связи, а возможно, даже жену, если найдешь кого-то, кто тебе понравится. Понимаешь ли ты теперь, что нет ничего, что я бы упустил, о чем тебе пришлось бы просить, или что если бы тебе пришлось просить, я бы дал это немедленно и просил бы твоего прощения за свою ошибку?

Мальчик: Трудно понять, но я верю вам на слово.

Сократ: Теперь не давай этому вскружить тебе голову, мальчик. Это то, до чего ты мог бы додуматься сам, если бы приложил свой ум, как делал это с квадратами в прошлый раз. Сможешь ли ты так же хорошо справиться сегодня?

Мальчик: Я должен думать и надеюсь, что да, друг Сократ, ибо я вижу, что вы действительно мой друг, и я надеюсь, что сегодня я более способен, так как кое-чему научился в прошлый раз.

Сократ: Посмотрим, мальчик. Перейдем к испытанию. Теперь ты помнишь квадраты, с которыми мы имели дело в прошлый раз.

Мальчик: Да, Сократ.

Сократ: А тот конкретный квадрат на диагонали, который мы сделали, чья площадь была два, помнишь ли ты его?

Мальчик: Да, Сократ.

Сократ: И ты помнишь, что длина стороны квадрата, умноженная сама на себя, дает площадь квадрата.

Мальчик: Все в школе это знают, Сократ.

Сократ: Ну, может быть. Однако именно об этой стороне, которая при умножении на саму себя дает площадь два, я хотел бы поговорить сегодня подробнее. Как ты на это смотришь?

Мальчик: Это хорошо, Сократ. Я помню ту линию, и она мне, можно сказать, больше всего понравилась, если вы понимаете, о чем я.

Сократ: Хорошо, тогда мы отлично проведем время. Знаешь ли ты, какой длины эта линия, мальчик?

Мальчик: Ну, я знаю, что вы оба сочли это мудрым, когда я сказал, что она такой длины, что при возведении в квадрат дает квадрат площадью два, так что я полагаю, мне следует ответить именно так.

Сократ: И это хороший ответ. Мы сделаем его еще лучше по мере продвижения.

Мальчик: Хорошо.

Сократ: Помнишь ли ты, как ты споткнулся и упал лицом вниз в прошлый раз, когда подумал, что квадрат площадью девять на самом деле является квадратом площадью восемь?

Мальчик: О да, Сократ! И мне очень стыдно, потому что я до сих пор не знаю достаточно, чтобы быть уверенным, что никогда больше не совершу такой ошибки, и поэтому я знаю, что мне не хватает добродетели и правоты.

Сократ: Их не хватает не настолько, чтобы нельзя было улучшить, не так ли, мальчик?

Мальчик: Я надеюсь и молюсь, что нет.

Сократ: Что ж, сегодня ты расскажешь нам кое-что об этом числе, которое при умножении на само себя дает два.

Мальчик: Я расскажу вам все, что знаю или думаю, что знаю, Сократ, и надеюсь, что я прав или что меня можно будет поправить.

Сократ: Менону, конечно, он прекрасный мальчик, эх, Менон?

Менон: Да, я горжусь тем, что владею им, но я не вижу, как он может быть достаточно умен, чтобы проделать сегодня работу, на которую у монаха-пифагорейца ушло бы десять лет уединенной жизни.

Сократ: Посмотрим. Мальчик, ты отлично справляешься. Думаю, я мог бы даже сделать из тебя ученого, хотя боюсь, что ты можешь удариться в вино и женщин со своим новообретенным богатством, если преуспеешь, вместо того чтобы продолжать оттачивать остроумие, которое должно принести тебе эту награду.

Мальчик: Не думаю, что я хотел бы проводить так много времени с женщинами или с вином, Сократ.

Сократ: Ты что-нибудь найдешь, без сомнения. Итак, вернемся к числу, которое при возведении в квадрат дает нам два. Что мы можем сказать о таком числе? Оно нечетное или четное? Ну, оно должно было бы быть целым числом, чтобы быть одним из них, не так ли, и мы видели в прошлый раз, что происходит с целыми числами, когда их возводят в квадрат? Они дают нам 1, 4, 9 и 16 в качестве площадей квадратов, не так ли?

Мальчик: Да, Сократ, хотя я помню, как думал, что должно было быть число, которое дало бы восемь, Сократ?

Сократ: Думаю, мы найдем его, если будем продолжать искать. Теперь, помнишь ли ты, должно ли это число быть больше или меньше единицы?

Мальчик: Больше, Сократ. Ибо единица в квадрате дает площадь только один, а нам нужна площадь два, которая больше.

Сократ: Хорошо. А что насчет двух?

Мальчик: Два дает квадрат четыре, что слишком много.

Сократ: Отлично. Значит, квадратный корень из двух меньше стороны два, которая является корнем из четырех, и больше стороны один, которая дает один?

Мальчик: Да, Сократ.

Сократ: (Поворачиваясь к Менону) Итак, теперь он дошел до того, до чего доходит большинство из нас в определении величины квадратного корня из двух? И дальнейшее продвижение — это по большей части догадки, не так ли?

Менон: Да, Сократ, но я не вижу, как он это сделает.

Сократ: Ни он, ни я. Но я знаю. Смотри! (поворачиваясь к мальчику) Теперь я собираюсь рассказать тебе кое-что, чего ты не знаешь, так что Менон будет слушать очень внимательно, чтобы убедиться, что он согласен с тем, что я могу тебе это рассказать. Ты знаешь умножение, мальчик?

Мальчик: Мне казалось, я продемонстрировал это, Сократ?

Сократ: Так и есть, мой мальчик, не так ли, Менон?

Менон: Да, Сократ, я помню, он делал это в прошлый раз.

Сократ: А знаешь ли ты способ отменить умножение?

Мальчик: Это называется деление, но я знаю его не так хорошо, как умножение, поскольку мы изучали его не так долго.

Сократ: Что ж, я не буду просить тебя много делить, а скорее попрошу лишь сказать, можно ли назвать определенные ответы нечетными или четными и тому подобное. Тебя это устраивает?

Мальчик: Это меня вполне устраивает, Сократ.

Сократ: Тогда ты знаешь, что такое нечетные и четные числа, мальчик?

Мальчик: Да, мне рассказать вам?

Сократ: Пожалуйста. Мне было бы интересно услышать, чему их учат.

Мальчик: (мальчик декламирует) Число может быть только нечетным или четным, если оно целое, то есть не имеет частей, а только целые единицы того, что оно измеряет. Четные числа особенные тем, что в них содержатся только целые двойки, без остатка единиц, в то время как нечетные числа всегда имеют единицу в остатке, когда все двойки изъяты.

Сократ: Интересное и довольно эффективное определение. Согласен ли ты, Менон?

Менон: Да, Сократ. Пожалуйста, продолжай.

Сократ: Теперь, мальчик, что ты получаешь, когда делишь эти нечетные и четные числа на другие нечетные и четные числа?

Мальчик: Иногда получаются целые числа, особенно когда делишь четное число на четное, но нечетные числа иногда дают целые числа, как нечетные, так и четные, а иногда они дают числа, которые не являются целыми, но имеют части.

Сократ: Очень хорошо, и называли ли когда-нибудь твои учителя эти числа отношениями?

Мальчик: Иногда, Сократ, но обычно только с простыми числами, которые составляют одну вторую, одну третью, две трети и тому подобное.

Сократ: Да, это обычно то, что люди имеют в виду под отношениями. Ученые люди называют числа, полученные из отношений, рациональными. Подходит ли тебе название «рациональное число» для обозначения числа, которое можно выразить как отношение двух целых чисел, будь то нечетные или четные целые числа?

Мальчик: Вы хотите, чтобы я называл числа, полученные из отношений целых чисел, чем-то под названием рациональные? Отношение делает число рациональным?

Сократ: Да, мальчик, можешь ли ты это сделать?

Мальчик: Конечно, Сократ.

Сократ: Согласен ли ты с тем, как я ему это объяснил, Менон? Не нарушает ли это наше соглашение?

Менон: Ты добавил «-альный» к слову «отношение» (ratio), точно так же, как мы добавляем «-ный» к французскому слову «jour», чтобы создать слово «журнальный», что означает нечто, содержащее слова о «jour» или о сегодняшнем дне. Так что теперь у нас есть слово, которое означает число, полученное из отношения. Это более чем приемлемо для меня, Сократ. Своего рода урок лингвистики, возможно, но уж точно не математики. Нет, я не вижу, чтобы ты научил его, как решить что-либо о квадратном корне из двух, но спасибо, что спросил. Я даю тебе свою журналистскую лицензию на это.

Сократ: Хорошо. Теперь, мальчик, мне нужно твое внимание. Пожалуйста, встань и потянись, если это поможет тебе оставаться и думать некоторое время.

Мальчик: (потягивается лишь немного) Я в порядке, Сократ.

Сократ: Теперь думай внимательно, мальчик, какие виды отношений мы можем составить из четных и нечетных чисел?

Мальчик: Мы могли бы составить четные числа, деленные на нечетные, и нечетные числа, деленные на четные.

Сократ: Да, могли бы. Могли бы мы составить какой-нибудь другой вид?

Мальчик: Ну… мы могли бы составить четные числа, деленные на четные, или нечетные, деленные на нечетные.

Сократ: Очень хорошо. Какой-нибудь другой вид?

Мальчик: Я не уверен, не могу придумать, но мне, возможно, придется подумать некоторое время, чтобы быть уверенным.

Сократ: (Менону) Ты все еще доволен?

Менон: Да, Сократ. Он знает четные и нечетные числа, и отношения; как и все школьники его возраста.

Сократ: Очень хорошо, мальчик. Ты назвал четыре вида отношений: четное к нечетному, нечетное к четному, четное к четному, нечетное к нечетному, и все эти отношения составляют числа, которые мы называем рациональными числами.

Мальчик: Похоже на то, Сократ.

Сократ: Менон, у тебя есть что добавить?

Менон: Нет, Сократ, я в порядке.

Сократ: Очень хорошо. Теперь, мальчик, мы отправляемся на поиски большего о квадратном корне из двух. Мы разделили рациональные числа на четыре группы: нечетное/четное, четное/нечетное, четное/четное, нечетное/нечетное?

Мальчик: Да.

Сократ: И если мы найдем другую группу, мы сможем включить их. Теперь мы хотим найти, какая из этих групп, если таковая имеется, содержит число, которое ты нашел в прошлый раз, то, которое в квадрате дает два.

Было бы интересно попробовать?

Мальчик: Да, Сократ, а также познавательно.

Сократ: Думаю, мы можем сузить эти четыре группы до трех и тем самым облегчить поиск. Ты хотел бы этого?

Мальчик: Конечно, Сократ.

Сократ: Давай возьмем отношения четного к четному. Что они собой представляют?

Мальчик: Мы знаем, что обе части отношения содержат двойку.

Сократ: Отлично. Видишь, Менон, как хорошо он усвоил свои школьные уроки. Его учитель должен гордиться, ведь я ничему его этому не учил, правда?

Менон: Нет, я не видел, чтобы ты учил его этому, следовательно, он должен был столкнуться с этим где-то еще.

Сократ: (снова к мальчику) А что ты узнал об отношениях четных чисел, мальчик?

Мальчик: Что обе части можно разделить на два, чтобы изъять двойки, снова и снова, пока одна часть не станет нечетной.

Сократ: Очень хорошо. Все ли школьники это знают, Менон?

Менон: Все те, кто не спит на уроках. (он потягивается)

Сократ: Итак, мальчик, мы можем изменять части отношений, не меняя истинного смысла самого отношения?

Мальчик: Да, Сократ. Я продемонстрирую, как мы делаем это в классе. Допустим, я использую 16 и 8, как мы делали в прошлый раз. Если я составлю отношение 16, деленное на 8, я могу разделить и 16, и 8 на два и получить 8, деленное на 4. Мы видим, что 8, деленное на 4, — это то же самое, что 16, деленное на 8, каждое в два раза больше другого, как и должно быть. Мы можем затем снова разделить на два и получить 4 к 2, и снова, чтобы получить 2 к 1. Мы не можем сделать это снова, поэтому мы говорим, что эта дробь была сокращена настолько, насколько это возможно, и все, что верно для других способов ее выражения, верно и для этого.

Сократ: Твоя демонстрация эффективна. Можешь ли ты делить на другие числа, кроме двух?

Мальчик: Да, Сократ. Мы можем делить на любое число, которое входит целое число раз в части, составляющие отношение. Мы могли бы начать с деления на 8 раньше, но я делил три раза, каждый раз на два, чтобы показать вам процесс, хотя теперь мне стыдно, потому что я понимаю, что вы оба мастера в этом, и что я говорил с вами слишком просто.

Сократ: Лучше говорить слишком просто, чем так, что часть или вся твоя аудитория теряет нить, как софисты.

Мальчик: Согласен, но, пожалуйста, остановите меня, если я буду говорить слишком просто.

Сократ: Уверен, мы переживем простое объяснение. (подталкивает Менона, который смотрел в другую сторону) Но вернемся к твоему простому доказательству: мы знаем, что отношение двух четных чисел можно делить, пока оно не сократится до тех пор, пока одна или обе его части не станут нечетными?

Мальчик: Да, Сократ. Тогда это правильное отношение.

Сократ: Значит, мы можем исключить одну из наших четырех групп, ту, где четное делилось на четное, и теперь у нас остались нечетное/нечетное, нечетное/четное и четное/нечетное?

Мальчик: Да, Сократ.

Сократ: Давай попробуем нечетное к четному, хорошо?

Мальчик: Хорошо.

Сократ: Что происходит, когда ты умножаешь четное число на четное, какое число ты получаешь, четное или нечетное?

Мальчик: Четное, конечно. Четное кратное любого целого числа дает другое четное число.

Сократ: Замечательно, ты ответил на два вопроса, но нам нужен только один в данный момент. Мы сохраним другой. Итак, с нечетным к четному, если мы умножим любое из них на само себя, мы получим нечетное на нечетное, деленное на четное на четное, и, следовательно, нечетное к четному, поскольку нечетное на нечетное — это нечетное, а четное на четное — это четное.

Мальчик: Да. Отношение нечетного к четному при умножении на само себя дает нечетное к четному.

Сократ: И может ли наш квадратный корень из двух быть в этой группе?

Мальчик: Я не знаю, Сократ. Я провалился?

Сократ: О, ты знаешь, ты просто не знаешь, что знаешь.

Попробуй вот что: после того, как мы умножим наше число на само себя, что ученые называют «возведением в квадрат» числа, которое является корнем, нам нужно получить отношение, в котором первое или верхнее число в два раза больше второго или нижнего. Это верно?

Мальчик: Отношение, которое при «возведении в квадрат», как вы его назвали, дает площадь два, должно тогда давать одну часть, которая в два раза больше другой части. Это определение отношения два к одному.

Сократ: Значит, ты согласен, что это верно?

Мальчик: Конечно.

Сократ: Теперь, если число должно быть в два раза больше другого, оно должно быть в два раза больше этого числа?

Мальчик: Конечно.

Сократ: И если число в два раза больше любого целого числа, оно должно быть четным числом, не так ли?

Мальчик: Да, Сократ.

Сократ: Значит, в нашем отношении, которое мы хотим возвести в квадрат, чтобы получить два, верхнее число не может быть нечетным, верно?

Мальчик: Нет, Сократ. Следовательно, группа рациональных чисел нечетное к четному не может содержать квадратный корень из двух! Как и группа отношений нечетных чисел к нечетным.

Сократ: Замечательно. Мы только что исключили три из четырех групп рациональных чисел: сначала мы исключили группу четное к четному, затем те, где нечетные числа делятся на другие числа. Однако это была более легкая часть, и теперь мы прошли большую часть пути вверх по горе, так что мы должны отдохнуть и приготовиться стараться еще сильнее, чтобы покорить остальное, где высота наибольшая, а местность самая каменистая. Так что давай посидим и отдохнем минуту, и посмотрим, что мы сделали, если хочешь.

Мальчик: Конечно, Сократ, хотя я очень воодушевлен решением двух частей головоломки одной мыслью. Было поистине чудесно видеть такую простую эффективность. Все ли великие мысли так же просты, как эти, когда видишь их ясно?

Сократ: Что скажешь, Менон? Становятся ли мысли проще по мере того, как они становятся величе?

Менон: Ну, похоже, что да, ибо как хозяин большого дома я могу просто приказать что-то сделать, и это будет сделано; но если бы я был хозяином в меньшем доме, мне пришлось бы следить за этим гораздо пристальнее, чтобы убедиться, что это сделано. Чем более важные решения мне приходится принимать, тем больше помощи и советов я получаю при их принятии, так что я должен согласиться.

Сократ: Рад видеть, что ты все еще согласен, Менон, хотя я думаю, что есть некоторые небольшие различия в том, как каждый из нас смотрит на простоту великой мысли. Продолжим?

Менон: Да, вполне.

Мальчик: Да, Сократ. Я готов к последней группе, отношениям четных чисел, деленных на нечетные, хотя я пока не вижу, как мы их вычислим, но каким-то образом я уверен, что стены этих чисел падут перед нами, как и три группы до них.

Сократ: Давай повторим три предыдущие группы, чтобы подготовиться к четвертой и убедиться, что мы еще не нарушили правила и, следовательно, не проиграли наше пари. Четыре группы были отношениями четное к четному, которые, как мы решили, можно сокращать различными способами до других групп, деля до тех пор, пока одно число отношения перестанет быть четным; затем мы исключили две другие группы, где нечетные числа делились на нечетные или четные, потому что первое или верхнее число должно было быть в два раза больше второго или нижнего, и, следовательно, не могло быть нечетным; это оставило последнюю группу, которую мы сейчас должны поприветствовать, четное, деленное на нечетное.

Мальчик: Замечательно сказано, Сократ. Удивительно, как аккуратно вы укладываете час размышлений в минуту. Возможно, мы действительно сможем уложить десять лет размышлений в этот один день. Пожалуйста, продолжайте в том же духе, если знаете, как это можно сделать.

Сократ: Хочешь, чтобы я продолжил, Менон? Ты знаешь, что должно произойти, если мы решим эту следующую группу и не найдем в ней квадратный корень из двух.

Менон: Сократ, ты мой друг, мой учитель и хороший компаньон. Я не уклонюсь от своего долга перед тобой или перед этим прекрасным мальчиком, который, кажется, перерастает меня, даже пока мы говорим. Однако я все еще не вижу, чтобы его голова достигла облаков, в которых пребывают умы пифагорейцев.

Сократ: Очень хорошо, тогда перейдем к четному к нечетному. Если мы умножим эти числа на самих себя, что мы получим, мальчик?

Мальчик: Мы получим отношение четного к нечетному, Сократ.

Сократ: И может ли четное число быть вдвое больше нечетного?

Мальчик: Да, Сократ.

Сократ: Значит, действительно, это может быть то место, где мы найдем число, которое при умножении на само себя дает площадь два?

Мальчик: Да, Сократ. Оно вполне может быть в этой группе.

Сократ: Значит, первое или верхнее число — это результат умножения четного числа на само себя?

Мальчик: Да.

Сократ: А второе или нижнее число — это результат умножения нечетного числа на само себя?

Мальчик: Да.

Сократ: А четное число — это два умножить на какое-то целое число?

Мальчик: Конечно.

Сократ: Значит, если мы используем это четное число дважды при умножении, как мы сделали сверху, у нас получается две двойки умножить на два целых числа?

Мальчик: Да, Сократ.

Сократ: (подталкивает Менона) и, следовательно, верхнее число — это четыре умножить на какое-то целое число, умноженное на это целое число снова?

Мальчик: Да, Сократ.

Сократ: И это число сверху должно быть в два раза больше числа снизу, если отношение четного к нечетному, с которого мы начали, должно дать нам два при умножении на само себя, или возведении в квадрат, как мы это называем?

Мальчик: Да, Сократ.

Сократ: И если верхнее число — это четыре умножить на какое-то целое число, то число в два раза меньше должно было бы быть два умножить на это же целое число?

Мальчик: Конечно, Сократ.

Сократ: Значит, число внизу — это два умножить на это целое число, каким бы оно ни было?

Мальчик: Да, Сократ.

Сократ: (вставая) И если это два умножить на целое число, то оно должно быть четным числом, не так ли?

Мальчик: Да.

Сократ: Тогда оно не может быть членом группы, у которой нечетное число внизу, не так ли?

Мальчик: Нет, Сократ.

Сократ: Значит, может ли оно быть членом отношений, созданных четным числом, деленным на нечетное, а затем использованных как корень для создания квадрата?

Мальчик: Нет, Сократ. И это должно означать, что оно не может быть членом последней группы, не так ли?

Сократ: Да, мой мальчик, хотя я не вижу, как мы можем продолжать называть тебя мальчиком, поскольку ты теперь завоевал свою свободу и гораздо богаче, чем я когда-либо буду.

Мальчик: Вы уверены, что мы доказали это правильно? Позвольте мне пройтись по этому еще раз, чтобы я мог увидеть это в своей голове.

Сократ: Да, мой мальчик, э-э, а, господин.

Мальчик: Мы хотим увидеть, является ли этот квадратный корень из двух, который мы открыли в прошлый раз, членом рациональных чисел?

Сократ: Да.

Мальчик: Итак, мы определяем рациональные числа как числа, полученные из деления на отношения целых чисел, независимо от того, являются ли эти целые числа четными или нечетными.

Сократ: Да.

Мальчик: Мы получаем четыре группы: четное к четному, которую мы не используем, нечетное к четному, нечетное к нечетному и четное к нечетному.

Сократ: Продолжай.

Мальчик: Мы знаем, что первое число в возведенном в квадрат отношении не может быть нечетным, потому что оно должно быть в два раза больше значения второго числа, и поэтому оно должно быть четным числом, два умножить на целое число. Следовательно, оно не может быть членом ни одной из следующих групп, потому что обе они имеют целые числа над нечетными числами.

Сократ: Замечательно!

Мальчик: Итак, у нас осталась одна группа, четные к нечетным.

Сократ: Да.

Мальчик: Когда мы возводим в квадрат отношение четного к нечетному, первое число становится четным умножить на четное, что есть два умножить на два умножить на какое-то другое целое число, что означает, что оно в четыре раза больше целого числа, и это число должно быть вдвое больше второго числа, которое нечетное, так как оно было сделано из нечетного умножить на нечетное. Но верхнее число не может быть вдвое больше какого-то нижнего нечетного числа, потому что верхнее число — это четыре умножить на какое-то целое число, а нижнее число — нечетное, но число, которое в четыре раза больше другого целого числа, не может быть нечетным при делении пополам, так что четное число умножить на четное число никогда не может быть вдвое больше того, что вы получили бы от любого нечетного числа умножить на другое нечетное число… следовательно, ни одно из этих рациональных чисел при умножении на самих себя не могло бы дать отношение, в котором верхнее число было бы в два раза больше нижнего. Удивительно. Мы доказали, что квадратный корень из двух не является рациональным числом. Фантастика!

(Он продолжает бродить по сцене, декламируя про себя различные части доказательства, глядя вверх, затем вниз, затем вокруг. Он подходит к Менону)

Мальчик: Вы видите? Это так просто, так ясно. Это действительно чудесно! Это фантастика!

Сократ: (кладет руку на руку Менона) Скажи ему, как ты рад за его новообретенные мысли, Менон, ибо ты легко можешь сказать, что он совсем не думает о своей новообретенной свободе и богатстве.

Менон: Я вполне согласен с тобой, сын мой, ясность твоих рассуждений поистине поразительна. Я оставлю тебя здесь с Сократом, а сам пойду готовить свое хозяйство. Надеюсь, вы оба будете счастливы остаток дня без моей помощи.

[Праздник, вручение 10-летней зарплаты новообретенному свободному молодому человеку — это другая история, как и оригинальная история о черчении на песке квадрата площадью два.]