Примечания транскрибатора

Текст этой книги был сохранен максимально близко к его первоначальной форме. Тем не менее, автор использовал некоторые необычные символы, и я взял на себя смелость использовать символы Unicode с похожим начертанием (ꖌ ᔕ) в качестве замены, не принимая во внимание их официальное значение и осознавая, что они могут отображаться не на всех устройствах. Архаичный символ, использованный автором для обозначения математической функции «факториал», был заменен современным эквивалентом, а именно !. Необычное расположение некоторых подстрочных и надстрочных символов оставлено таким же, как в оригинальном тексте.

Непоследовательность в пунктуации была исправлена без специальных оговорок, однако непоследовательное написание имен, таких как Roemer, Römer, Rœmer, изменено не было. Список исправленных написаний приведен в конце книги.

Сноски были перенумерованы последовательно и перенесены в конец книги. Отсутствующий маркер сноски был вставлен на стр. 751 после обнаружения оригинального документа. Отсутствующий знак отрицания был добавлен к показателю степени в формуле на стр. 327.

На стр. 194 и в следующей за ней таблице содержится ошибочный расчет, касающийся последовательных степеней двойки: ((2^2)^2)^2 эквивалентно (16)^2, что равно 256, а не 65 356, как указано, однако 2^16 действительно равно 65 356.

Пометка [sic] была вставлена на стр. 179 рядом с утверждением, что алфавит содержит 24 буквы; однако это утверждение вполне может быть верным, учитывая, что оно было написано в 1704 году фламандским автором, а язык не указан.

Новое оригинальное оформление обложки, включенное в эту электронную книгу, передано в общественное достояние.

ПРИНЦИПЫ НАУКИ.

THE LOGICAL MACHINE.

ПРИНЦИПЫ НАУКИ: ТРАКТАТ О ЛОГИКЕ И НАУЧНОМ МЕТОДЕ.

BY

W. STANLEY JEVONS,

LL.D. (EDINB.), M.A. (LOND.), F.R.S.

London:

MACMILLAN AND CO.

1883.

The Right of Translation and Reproduction is Reserved.

ЛОНДОН: R. Clay, Sons, & Taylor, печатники, БРЕД-СТРИТ-ХИЛЛ.

Стереотипное издание.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.

Можно с уверенностью утверждать, что стремительный прогресс физических наук в течение последних трех столетий не сопровождался соответствующим развитием теории рассуждения. Физики привычно говорят о научном методе, но они не смогли бы легко описать, что именно имеют в виду под этим выражением. Глубоко погруженные в изучение отдельных классов природных явлений, они обычно слишком заняты огромным и постоянно накапливающимся объемом деталей своих специальных наук, чтобы обобщать методы рассуждения, которые они применяют бессознательно. Тем не менее, немногие станут отрицать, что эти методы рассуждения должны изучаться, особенно теми, кто стремится привнести научный порядок в менее успешные и методичные отрасли знания.

Применение научного метода не может быть ограничено сферой безжизненных объектов. Рано или поздно у нас должны появиться строгие науки о тех ментальных и социальных явлениях, которые, если сравнение возможно, представляют для нас больший интерес, чем чисто материальные явления. Но правильный ход рассуждения состоит в том, чтобы переходить от известного к неизвестному — от очевидного к неясному — от материального и осязаемого к тонкому и утонченному. Поэтому физические науки могут быть должным образом превращены в полигон для тренировки способности к рассуждению, поскольку они предоставляют нам огромный массив точных и успешных исследований. В этих науках мы встречаем удачные примеры бесспорного дедуктивного рассуждения, обширного обобщения, удачного предсказания, удовлетворительной верификации, точного расчета вероятностей. Мы можем заметить, как малейшая аналоговая зацепка приводила к славному открытию, как опрометчивое обобщение в конечном итоге разоблачалось, или как решающий эксперимент (experimentum crucis) разрешал длительный спор между двумя конкурирующими теориями.

Следуя своему замыслу выявления общих методов индуктивного исследования, я обнаружил, что более сложные и интересные процессы количественной индукции имеют свое необходимое основание в более простой науке формальной логики. Ранняя, и, вероятно, самая непривлекательная часть этой работы, таким образом, состоит в изложении так называемых фундаментальных законов мышления и всеважного принципа подстановки, из которого, как я полагаю, развивается всякое рассуждение. Вся процедура индуктивного исследования в ее наиболее сложных случаях предвосхищается в комбинаторном взгляде на логику, который возникает непосредственно из этих фундаментальных принципов. Попутно я описал механические приспособления, с помощью которых использование важной формы, называемой логическим алфавитом, и вся работа комбинаторной системы формальной логики могут быть сделаны очевидными для глаза и легкими для ума и руки.

Изучение как формальной логики, так и теории вероятностей привело меня к убеждению, что не существует особого метода индукции, противопоставленного дедукции, но что индукция — это просто обратное применение дедукции. В течение последнего столетия наметилась реакция против чисто эмпирической процедуры Фрэнсиса Бэкона, и физики научились выступать за использование гипотез. Я придерживаюсь крайней точки зрения, полагая, что Фрэнсис Бэкон, хотя и правильно настаивал на постоянном обращении к опыту, не имел правильных представлений о логическом методе, с помощью которого из частных фактов мы выводим законы природы. Я пытаюсь показать, что гипотетическое предвосхищение природы является неотъемлемой частью индуктивного исследования и что именно ньютоновский метод дедуктивного рассуждения в сочетании с тщательной экспериментальной верификацией привел ко всем великим триумфам научных исследований.

Пытаясь дать объяснение этому взгляду на научный метод, я должен сначала показать, что науки о числе и количестве покоятся на более простой и общей науке логики и проистекают из нее. Затем описывается теория вероятностей, которая позволяет нам оценивать и вычислять объемы знаний, и особое внимание уделяется обратному методу вероятностей, который включает в себя, как я полагаю, истинный принцип индуктивной процедуры. Никакие индуктивные выводы не являются более чем вероятными, и я придерживаюсь мнения, что теория вероятностей является неотъемлемой частью логического метода, так что логическая ценность каждого индуктивного результата должна определяться сознательно или бессознательно в соответствии с принципами обратного метода вероятностей.

Явления природы обычно проявляются в величинах времени, пространства, силы, энергии и т. д., и наблюдение, измерение и анализ различных количественных условий или результатов, вовлеченных даже в простой эксперимент, требуют значительного применения систематической процедуры. Поэтому я посвящаю книгу простому и общему описанию устройств, с помощью которых осуществляется точное измерение, устраняются ошибки, достигается вероятный средний результат и устанавливается вероятная ошибка этого среднего. Затем я перехожу к главному и, вероятно, самому интересному предмету книги, последовательно иллюстрируя условия и меры предосторожности, необходимые для точного наблюдения, успешного эксперимента и верного обнаружения количественных законов природы. Поскольку невозможно правильно понять ценность количественных законов, не принимая постоянно во внимание степень количественного приближения к истине, которая, вероятно, достигнута, я посвятил специальную главу теории приближения, и как бы несовершенно я ни изложил этот предмет, я должен рассматривать его как очень важную часть работы по научному методу.

Затем остается проиллюстрировать разумное использование гипотезы, провести различие между частями знания, которыми мы обязаны эмпирическому наблюдению, случайному открытию или научному предсказанию. Возникают интересные вопросы относительно соответствия количественных теорий и экспериментов, и я указываю, как последовательная верификация гипотезы с помощью различных методов эксперимента дает выводы, приближающиеся к достоверности, но никогда не достигающие ее. Дополнительные иллюстрации общего порядка индуктивных исследований даны в главе о характере экспериментатора, в которой я пытаюсь показать, кроме того, что обратное использование дедукции было действительно логическим методом таких великих мастеров экспериментального исследования, как Ньютон, Гюйгенс и Фарадей.

Рассматривая обобщение и аналогию, я учитываю меры предосторожности, необходимые при выводе от одного случая к другому или от одной части вселенной к другой; обоснованность всех таких выводов в конечном итоге опирается на обратный метод вероятностей. Рассмотрение исключительных явлений показало себя интересным предметом для дальнейшей главы, иллюстрирующей различные способы, которыми выдающийся факт может быть в конечном итоге объяснен. Формальная часть книги завершается темой классификации, которая, однако, рассмотрена весьма неадекватно. Я, по сути, почти ограничил себя тем, что показал, что всякая классификация фундаментально осуществляется на принципах формальной логики и логического алфавита, описанных в начале.

В некоторых заключительных замечаниях я выразил убеждение, которое изучение логики постепенно навязало моему уму, что некоторые ученые придерживаются серьезных заблуждений относительно логической ценности нашего знания о природе. Мы много слышали о том, что метко названо господством закона, и необходимость и единообразие природных сил нередко интерпретировались как подразумевающие отсутствие разумной и благожелательной силы, способной вмешиваться в ход природных событий. Выражались опасения, что прогресс научного метода должен, следовательно, привести к рассеиванию самых заветных убеждений человеческого сердца. Даже «полезность религии» серьезно предлагается в качестве предмета обсуждения. Казалось неуместным в работе о научном методе не упомянуть об окончательных результатах и пределах этого метода. Боюсь, что мне очень несовершенно удалось выразить мое твердое убеждение в том, что перед лицом строгого логического анализа господство закона окажется непроверенной гипотезой, единообразие природы — двусмысленным выражением, а достоверность наших научных выводов — в значительной степени иллюзией. Ценность науки, конечно, очень высока, пока выводы удерживаются в пределах данных, на которых они основаны, но указывается, что наш опыт носит весьма ограниченный характер по сравнению с тем, что предстоит узнать, в то время как наши умственные способности кажутся бесконечно далекими от задачи полного понимания и объяснения природы любого объекта. Я прихожу к выводу, что мы должны интерпретировать результаты научного метода только в утвердительном смысле. Наша философия должна быть истинно позитивной, а не той ложной негативной философией, которая, основываясь на нескольких материальных фактах, берется утверждать, что она охватила границы существования, в то время как она, тем не менее, игнорирует самые бесспорные явления человеческого разума и чувств.

Приблизительно достоверно, что, свободно используя иллюстрации, взятые из многих различных наук, я часто впадал в ошибки в деталях. В этом отношении я должен просить снисхождения у читателя, который, как я надеюсь, будет иметь в виду, что научные факты обычно упоминаются исключительно с целью иллюстрации, так что неточности в деталях в большинстве случаев не повлияют на истинность иллюстрируемых общих принципов.

15 декабря 1873 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ.

При подготовке этого второго издания было внесено немного важных изменений. Тем не менее, была использована возможность очень тщательно пересмотреть как язык, так и содержание книги. Поскольку корреспонденты и критики указали на неточности той или иной важности в первом издании, были внесены соответствующие исправления и поправки. Я обязан г-ну К. Дж. Монро, магистру искусств из Барнета, и г-ну У. Г. Брюеру, магистру искусств, одному из школьных инспекторов Ее Величества, за многочисленные исправления.

Среди нескольких дополнений, внесенных в текст, я могу упомянуть реферат (стр. 143) замечательного исследования профессора Клиффорда о количестве типов сложных высказываний, включающих четыре класса объектов. Это исследование продвигает вперед обратную логическую задачу, описанную в предыдущих разделах. Опять же, потребность в каком-то лучшем логическом методе, чем старый Barbara Celarent и т. д., поразительно показана логической задачей г-на Венна, описанной на стр. 90. Большое количество кандидатов в области логики и философии было протестировано г-ном Венном с помощью этой задачи, которая, будучи простой в действительности, была решена очень немногими из тех, кто не был знаком с логикой Буля. Г-н Венн мог бы привести и другие доказательства потребности в лучших средствах логического обучения. Чтобы позволить изучающему логику проверить свое мастерство в решении индуктивных логических задач, я привел (стр. 127) серию из десяти задач, градуированных по сложности.

Во избежание недопонимания следует упомянуть, что во всем этом издании я заменил название «Логический алфавит» на «Логический абецедарий» — название, применявшееся в первом издании к исчерпывающей серии логических комбинаций, представленных в терминах A, B, C, D (стр. 94). Некоторые читатели возражали, что «абецедарий» — это длинное и незнакомое название.

В главу о единицах и стандартах измерения я добавил два раздела: один (стр. 325), содержащий краткое изложение теории размерностей, и другой (стр. 319), обсуждающий весьма оригинальное предложение профессора Клерка Максвелла о естественной системе стандартов для измерения пространства и времени, зависящей от длины и скорости световых волн.

В своем описании логической машины в «Философских трудах» (том 160, стр. 498) я сказал: «Действительно, редко какое-либо изобретение делается без того, чтобы рано или поздно не было обнаружено какое-то предвосхищение; но до настоящего времени я совершенно не знаю ни об одной предыдущей попытке разработать или сконструировать машину, которая выполняла бы операции логического вывода; и только, я полагаю, в сатирических произведениях Свифта можно найти намек на реальную машину для рассуждений». Однако до того, как статья была напечатана, я смог сослаться (стр. 518) на остроумные проекты покойного г-на Альфреда Сми в качестве попыток представить мышление механически. Машины г-на Сми, действительно, так и не были построены, а если бы и были построены, то не выполняли бы реального логического вывода. Однако только что выяснилось, что знаменитый лорд Стэнхоуп действительно сконструировал механическое устройство, способное представлять силлогистические выводы в конкретной форме. По-видимому, логика была одним из любимых занятий этого поистине оригинального и изобретательного дворянина. Сохранились фрагменты логического труда, напечатанного графом в собственной типографии, которые показывают, что он пришел еще до 1800 года к принципу квантифицированного предиката. Он выдвигает этот принцип самым явным образом и предлагает использовать его во всей своей силлогистической системе. Более того, он преобразует отрицательные суждения в утвердительные и представляет их с помощью связки «тождественен с». Таким образом, он предвосхитил, вероятно, силой своей собственной проницательности, основные моменты логического метода, возникшего в работах Джорджа Бентама и Джорджа Буля и развитого в этой работе. Стэнхоуп, действительно, не имеет права на приоритет открытия, потому что он, по-видимому, никогда не публиковал свои логические труды, хотя они и были напечатаны. Насколько мне известно, в библиотеке Британского музея или в какой-либо другой библиотеке или логическом труде нет их следов. И бумаги, и логическое приспособление были переданы нынешним графом Стэнхоупом преподобному Роберту Харли, члену Королевского общества, который, я надеюсь, скоро опубликует их описание.

Благодаря любезности г-на Харли я смог изучить логическое приспособление Стэнхоупа, названное им «Демонстратор». Оно состоит из квадратного куска дерева бай с квадратным углублением в центре, через которое можно проталкивать два слайда: один — из красного стекла, а другой — из дерева, окрашенного в серый цвет. Степень, на которую вдвигается каждый из этих слайдов, обозначается шкалами и цифрами вдоль краев отверстия, и простое правило вывода, принятое Стэнхоупом, гласит: «К серому добавь красный и вычти holon», подразумевая под holon (ὅλον) всю ширину отверстия. Это правило вывода является любопытным предвосхищением численно определенного силлогизма Де Моргана (см. ниже, стр. 168) и выводов, основанных на том, что Гамильтон называл «ультратотальным распределением». Еще один любопытный момент в устройстве Стэнхоупа заключается в том, что один слайд можно вытащить и вставить снова под прямым углом к другому, и перекрывающаяся часть слайдов тогда представляет вероятность вывода, полученного из двух посылок, вероятности которых соответственно представлены выступающими частями слайдов. Таким образом, оказывается, что Стэнхоуп изучал логику вероятности так же, как и логику достоверности, здесь снова предвосхищая, хотя и неясно, недавний прогресс логической науки. Будет видно, однако, что между «Демонстратором» Стэнхоупа и моей логической машиной нет никакого сходства, кроме того факта, что оба они выполняют логический вывод.

В первом издании я вставил раздел (том I, стр. 25) об «Предвосхищениях принципа подстановки», и я перепечатал этот раздел без изменений в этом издании (стр. 21). Я отмечаю там, что «в таком предмете, как логика, вряд ли возможно высказать какие-либо мнения, которые не были бы в некоторой степени ранее приняты. Зародыш, по крайней мере, каждого учения будет найден в более ранних трудах, и новизна должна возникать главным образом в способе гармонизации и развития идей». Я указываю, как это ранее сделал профессор Т. М. Линдсей, что Бенеке использовал название и принцип подстановки и что учения, близко приближающиеся к подстановке, были сформулированы логиками Пор-Рояля более 200 лет назад.

Я, однако, совсем не удивился, узнав, что другие логики более или менее отчетливо формулировали этот принцип подстановки в течение последних двух столетий. Как обнаружил мой друг и преемник в Оуэнс-колледже профессор Адамсон, этот принцип можно проследить до не кого иного, как Лейбница.

Замечательный трактат Лейбница, озаглавленный «Non inelegans Specimen Demonstrandi in Abstractis», начинается сразу с определения, соответствующего этому принципу:

«Eadem sunt quorum unum potest substitui alteri salva veritate. Si sint A et B, et A ingrediatur aliquam propositionem veram, et ibi in aliquo loco ipsius A pro ipso substituendo B fiat nova propositio æque itidem vera, idque semper succedat in quacunque tali propositione, A et B dicuntur esse eadem; et contra, si eadem sint A et B, procedet substitutio quam dixi».

Лейбниц, таким образом, явно принимает принцип подстановки, но он облекает его в форму определения, говоря, что те вещи являются одними и теми же, которые могут быть заменены одна другой, не затрагивая истинности суждения. Только после того, как мы таким образом проверили тождественность вещей, мы можем повернуться и сказать, что A и B, будучи одними и теми же, могут быть заменены одна другой. Казалось бы, мы здесь находимся в порочном круге; ибо нам не позволено заменять A на B, если мы не установили путем испытания, что результатом является истинное суждение. Трудность, по-видимому, не устраняется оговоркой Лейбница «idque semper succedat in quacunque tali propositione». Как мы можем узнать, что, поскольку A и B могут быть взаимно заменены в одних суждениях, они могут поэтому быть заменены в других; и каков критерий сходства суждений, выраженный в слове «tali»? Должен ли принцип подстановки рассматриваться как постулат, аксиома или определение — это как раз один из тех фундаментальных вопросов, которые, по-видимому, невозможно решить в нынешнем положении философии, но эта неопределенность не помешает нам сделать значительный шаг в логической науке.

Лейбниц приступает к установлению в форме теоремы того, что обычно принимается за аксиому, следующим образом (Opera, стр. 95): «Theorema I. Quæ sunt eadem uni tertio, eadem sunt inter se. Si A ∝ B et B ∝ C, erit A ∝ C. Nam si in propositione A ∝ B (vera ea hypothesi) substituitur C in locum B (quod facere licet per Def. I. quia B ∝ C ex hypothesi) fiet A ∝ C. Q. E. Dem.» Таким образом, Лейбниц точно предвосхищает способ трактовки вывода с двумя простыми тождествами, описанный на стр. 51 этой работы.

Даже математическая аксиома о том, что «равные, добавленные к равным, дают равные», выводится из принципа подстановки. На стр. 95 издания Эрдмана мы находим: «Si eidem addantur coincidentia fiunt coincidentia. Si A ∝ B, erit A + C ∝ B + C. Nam si in propositione A + C ∝ A + C (quæ est vera per se) pro A semel substituas B (quod facere licet per Def. I. quia A ∝ B) fiet A + C ∝ B + C Q. E. Dem.» Это, несомненно, способ выведения различных аксиом математического рассуждения из более высокой аксиомы подстановки, который объясняется в разделе о математическом выводе (стр. 162) в этой работе и который был ранее изложен в моей «Подстановке подобных», стр. 16.

Существует еще один или два кратких трактата, в которых Лейбниц предвосхищает современные взгляды на логику. Так, в восемнадцатом трактате в издании Эрдмана (стр. 92), называемом «Fundamenta Calculi Ratiocinatoris», он говорит: «Inter ea quorum unum alteri substitui potest, salvis calculi legibus, dicetur esse æquipollentiam». Есть также свидетельства того, что он пришел к квантификации предиката и что он полностью понимал сведение универсального утвердительного суждения к форме уравнения, что является ключом к улучшенному взгляду на логику. Так, в трактате, озаглавленном «Difficultates Quædam Logicæ», он говорит: «Omne A est B; id est æquivalent AB et A, seu A non B est non-ens».

Любопытно также обнаружить, что Лейбниц был полностью знаком с законами коммутативности и «простоты» (как я назвал второй закон), относящимися к логическим символам. В «Addenda ad Specimen Calculi Universalis» мы читаем следующее: «Transpositio literarum in eodem termino nihil mutat, ut ab coincidet cum ba, seu animal rationale et rationale animal».

«Repetitio ejusdem literæ in eodem termino est inutilis, ut b est aa; vel bb est a; homo est animal animal, vel homo homo est animal. Sufficit enim dici a est b, seu homo est animal».

Сравнивая это с тем, что изложено в «Математическом анализе логики» Буля, стр. 17–18, в его «Законах мышления», стр. 29, или в этой работе, стр. 32–35, мы обнаруживаем, что Лейбниц два столетия назад пришел к ясному восприятию основ логической нотации. Когда Буль указал, что в логике xx = x, это казалось математикам парадоксом или, во всяком случае, совершенно новым открытием; но здесь мы видим, что это ясно изложено Лейбницем.

Читатель, однако, не должен предполагать, что, поскольку Лейбниц правильно понял фундаментальные принципы логики, он не оставил ничего для современных логиков. Напротив, Лейбниц не получил никаких полезных результатов из своего определения подстановки. Когда он переходит к объяснению силлогизма, как в статье «Definitiones Logicæ», он полностью отказывается от подстановки и возвращается к понятию включения класса в класс, говоря: «Includens includentis est includens inclusi, seu si A includit B et B includit C, etiam A includet C». Он приступает к выработке определенных правил силлогизма, включающих различие субъекта и предиката, и ни в чем существенном не лучших, чем старые правила силлогизма. Логические трактаты Лейбница, по сути, немногим более чем краткие памятки об исследованиях, которые, по-видимому, так и не были доведены до конца. Они остаются свидетельством его удивительной проницательности, но было бы трудно показать, что они оказали какое-либо влияние на прогресс логической науки в недавнее время.

Я хотел бы объяснить, как случилось, что эти логические труды Лейбница были мне неизвестны до последних двенадцати месяцев. Я, действительно, настолько медленный читатель латинских книг, что то, что я просмотрел несколько страниц трудов Лейбница, в любом случае не было бы удивительным. Но дело в том, что экземпляр трудов Лейбница, которым я время от времени пользовался, был из издания Дютена, содержащегося в библиотеке Оуэнс-колледжа. Логические трактаты, о которых идет речь, не были напечатаны в этом издании, и, за одним исключением, они оставались в рукописи в Королевской библиотеке в Ганновере, пока не были отредактированы Эрдманом в 1839–40 годах. Трактат «Difficultates Quædam Logicæ», хотя и не был известен Дютену, был опубликован Распе в 1765 году в его сборнике под названием «Œuvres Philosophiques de feu Mr. Leibnitz»; но эта работа не попала в поле моего зрения, и сам трактат, по-видимому, не содержит никакого явного изложения принципа подстановки.

Именно, я полагаю, сравнительно недавняя публикация самых замечательных логических трактатов Лейбница объясняет кажущееся невежество логиков относительно их содержания и важности. Самые ученые логики, такие как Гамильтон и Ибервег, игнорируют принцип подстановки Лейбница. В приложении к четвертому тому «Лекций по метафизике и логике» Гамильтона приводится подробный компендиум взглядов логических авторов относительно окончательного основания дедуктивного рассуждения. Лейбниц кратко упомянут на стр. 319, но без какого-либо намека на подстановку. Он здесь цитируется как говорящий: «Что тождественно с тем же третьим, тождественно друг с другом; то есть, если A тождественно с B, а C тождественно с B, необходимо, чтобы A и C также были тождественны друг с другом. Ибо этот принцип вытекает непосредственно из принципа противоречия и является основанием и базисом всей логики; если он подведет, то больше нет способа рассуждать с уверенностью». Этот взгляд на дело кажется несовместимым с тем, который он принял в своем посмертном трактате.

Д-р Томсон, действительно, был знаком с трактатами Лейбница и ссылается на них в своем «Очерке необходимых законов мышления». Он называет их ценными; тем не менее, он, по-видимому, упустил действительно ценный момент; ибо, делая две краткие цитаты, он опускает всякое упоминание о принципе подстановки.

Ибервег, вероятно, считается лучшим авторитетом в отношении истории логики, и в своей известной «Системе логики и истории логических учений» он дает некоторое описание принципа подстановки, особенно в том виде, в каком он неявно изложен в «Логике Пор-Рояля». Но он опускает всякую ссылку на Лейбница в этой связи, и нигде в другом месте, насколько я могу найти, он не восполняет это упущение. Его английский редактор, профессор Т. М. Линдсей, ссылаясь на мою «Подстановку подобных», указывает, как меня предвосхитил Бенеке; но он также игнорирует Лейбница. Таким образом, очевидно, что самые ученые логики, даже когда они писали специально об истории логики, проявляли невежество в отношении самых ценных логических трудов Лейбница.

Мне, однако, недавно указали, что преподобный Роберт Харли обратил внимание на Ноттингемском собрании Британской ассоциации в 1866 году на предвосхищения Лейбницем законов логической нотации Буля, и я проинформирован, что Буль, примерно через год после публикации своих «Законов мышления», был ознакомлен с этими предвосхищениями Р. Лесли Эллисом.

По-видимому, был по крайней мере еще один немецкий логик, который открыл или принял принцип подстановки. Рейш в своем «Systema Logicum», опубликованном в 1734 году, трудился над тем, чтобы дать более широкое основание для Dictum de Omni et Nullo. Он утверждает, что «все дело обычного рассуждения совершается путем подстановки идей вместо субъекта или предиката фундаментального суждения. Некоторые называют это уравнением мыслей». Но в руках Рейша подстановка, по-видимому, не ведет к простоте, поскольку ее приходится осуществлять в соответствии с правилами эквиполентности, реципрокации, субординации и координации. Рейш в другом месте упоминается как «знаменитый Рейш»; тем не менее, я не смог найти экземпляр его книги в Лондоне, даже в библиотеке Британского музея; она не упомянута в печатном каталоге Бодлианской библиотеки; г-да Ашер не смогли получить ее для меня по объявлению в Германии; и профессор Адамсон был столь же безуспешен. Из того, как принцип подстановки упоминается Рейшем, кажется вероятным, что другие логики начала восемнадцатого века были знакомы с ним; но если это так, то еще более любопытно, что недавние историки логической науки упустили из виду это учение.

Это странный и обескураживающий факт, что истинные взгляды на логику были открыты и обсуждены от одного до двух столетий назад, и все же остались, подобно работе Джорджа Бентама в этом столетии, без влияния на последующий прогресс науки. Можно считать достоверным, что никто из первооткрывателей квантификации предиката — Бентам, Гамильтон, Томсон, Де Морган и Буль — никоим образом не был поддержан намеками на этот принцип, содержащимися в трудах предыдущих авторов. Что касается моих собственных взглядов на логику, то они были первоначально сформированы тщательным изучением работ Буля, как полностью изложено в моем первом логическом эссе. Что касается процесса подстановки, то он не был заимствован из какой-либо работы по логике, а является просто процессом подстановки, совершенно привычным для математиков, с которым я неизбежно стал знаком в ходе моего длительного изучения математики под руководством покойного профессора Де Моргана.

Я обнаружил, что теория числа, которую я объяснил в восьмой главе этой работы, также частично предвосхищена в одном схолии Лейбница. Он сначала дает в качестве аксиомы ныне хорошо известный закон Буля, следующим образом:

«Axioma I. Si idem secum ipso sumatur, nihil constituitur novum, seu A + A ∝ A». Затем следует это замечательное схолие: «Equidem in numeris 4 + 4 facit 8, seu bini nummi binis additi faciunt quatuor nummos, sed tunc bini additi sunt alii a prioribus; si iidem essent nihil novi prodiret et perinde esset ac si joco ex tribus ovis facere vellemus sex numerando, primum 3 ova, deinde uno sublato residua 2, ac denique uno rursus sublato residuum».

В переводе это читалось бы следующим образом:

«Аксиома I. Если та же самая вещь берется вместе с самой собой, ничего нового не возникает, или A + A = A.

«Схолие. В числах, действительно, 4 + 4 дает 8, или две монеты, добавленные к двум монетам, составляют четыре монеты, но тогда две добавленные отличаются от прежних; если бы они были теми же самыми, ничего нового не было бы произведено, и это было бы так же, как если бы мы пытались в шутку сделать шесть яиц из трех, считая сначала три яйца, затем, когда одно убрано, считая оставшиеся два, и, наконец, когда одно снова убрано, считая оставшееся яйцо».

Сравните вышеизложенное со стр. 156–162 настоящей работы.

М. Литтре совсем недавно указал на то, что он считает аналогией между системой формальной логики, изложенной на следующих страницах, и логическими устройствами знаменитого Раймунда Луллия. Метод изобретения Луллия был описан в огромном количестве средневековых книг, но лучше всего изложен в его «Ars Compendiosa Inveniendi Veritatem, seu Ars Magna et Major». Этот метод состоял в размещении различных названий вещей в секторах концентрических кругов, так что, когда круги вращались, каждая возможная комбинация вещей легко создавалась механическими средствами. Возможно, было бы возможно обнаружить в этом методе смутное и грубое предвосхищение комбинаторной логики; но хорошо известно, что результаты метода Луллия обычно носили причудливый, если не абсурдный характер.

Гораздо более близкий аналог логического алфавита, вероятно, можно найти в логическом квадрате, изобретенном Джоном Кристианом Ланге и описанном в редкой и незамеченной работе, которую я недавно нашел в Британском музее. Этот квадрат включал принцип бифуркационной классификации и был улучшенной формой дерева Рамуса и Порфирия (см. ниже, стр. 702). Ланге, по-видимому, действительно разработал свой логический квадрат в механическую форму, и он предполагает, что его можно было бы использовать несколько в манере костей Непера (стр. 65). Существует много аналогии между его квадратом и моим абаком, но Ланге не пришел к логической системе, позволяющей ему использовать свое изобретение для логического вывода в манере логического абака. Говорят, что другая работа Ланге содержит первую публикацию хорошо известных эйлеровых диаграмм суждения и силлогизма.

С тех пор как было опубликовано первое издание, появилась важная работа г-на Джорджа Льюиса, а именно его «Проблемы жизни и разума», которая в значительной степени трактует о научном методе и формулирует правила философствования. Я хотел бы обсудить влияние взглядов г-на Льюиса на те, что изложены здесь, но я счел невозможным в книге, уже заполняющей почти 800 страниц, вступать в обсуждение еще более обширной книги. По той же причине я не смог сравнить свою собственную трактовку предмета вероятности со взглядами, выраженными г-ном Венном в его «Логике случая». С глубокими и замечательными работами г-на Дж. Дж. Мерфи о «Привычке и интеллекте» и о «Научном основании веры» я, к сожалению, не был знаком, когда писал следующие страницы. Их не может безопасно игнорировать никто, кто желает понять тенденцию философии и научного метода в наши дни.

Кажется желательным, чтобы я попытался ответить некоторым критикам, которые указали на то, что они считают дефектами в доктринах этой книги, особенно в первой части, которая трактует о дедукции. Некоторые из отзывов о работе были, по сути, скорее изложением ее содержания, чем критикой. Так, я очень обязан М. Луи Лиару, профессору философии в Бордо, за очень тщательное изложение субституционального взгляда на логику, которое он дал в превосходном «Revue Philosophique», редактируемом М. Рибо. (Март, 1877, том iii. стр. 277.) Столь же тщательный отчет о системе был дан М. Рилем, профессором философии в Граце, в его статье «Die Englische Logik der Gegenwart», опубликованной в «Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie». (1 выпуск, Лейпциг, 1876.) Я хотел бы также выразить признательность за тщательную и умелую манеру, в которой моя книга была рассмотрена «New York Daily Tribune» и «New York Times».

Наиболее серьезные возражения, которые были выдвинуты против моей трактовки логики, касаются моей неспособности вступить в анализ окончательной природы и происхождения законов мышления. «Spectator», например, в ходе тщательного обзора говорит о принципе подстановки: «Конечно, это большое упущение — не обсуждать, откуда мы берем этот великий принцип сам по себе; является ли он чистым законом разума или только приблизительным уроком опыта; и если это чистый продукт разума, есть ли какие-либо другие продукты такого же рода, предоставляемые самой нашей познающей способностью». Профессор Робертсон в своем очень остром обзоре также возражает против отсутствия психологического и философского анализа. «Если бы книга действительно соответствовала своему названию, г-н Джевонс вряд ли мог бы так легко пройти мимо вопроса, который он не упускает случая поднять, касающегося тех несомненных принципов знания, обычно называемых законами мышления... Везде, действительно, он кажется наименее непринужденным, когда касается вопросов, собственно философских; и он не является удовлетворительным в своих психологических ссылках, как на стр. 4, 5, где он не может взять на себя обязательство сделать утверждение без сопровождения «вероятно», «почти» или «едва ли». Оговорки часто бывают очень уместны, но есть фундаментальные вопросы, по которым надлежит принять решение».

Эти замечания кажутся мне обоснованными, и я должен заявить, почему я решился опубликовать обширный труд по логике, не приняв должным образом решения относительно фундаментальной природы процесса рассуждения. Ошибка, в конце концов, заключается скорее в упущении, чем в совершении. Мне открыт путь в будущем восполнить этот недостаток, если я когда-нибудь почувствую себя способным взяться за эту задачу. Но я не считаю неотъемлемой частью любого трактата вступать в окончательный анализ его предмета. Анализы всегда должны где-то заканчиваться. Были хорошие трактаты о свете, которые правильно описывали законы этого явления до того, как стало известно, состоит ли свет из волн или из выброшенных частиц. Теперь у нас есть трактаты об волновой теории, которые очень ценны и удовлетворительны, хотя они оставляют нас в почти полном сомнении относительно того, чем на самом деле является вибрирующая среда. Так что я думаю, что в наши дни нам нужно правильное и научное изложение формальных законов мышления и форм рассуждения, основанных на них, хотя мы, возможно, не сможем вступить в какой-либо полный анализ природы этих законов. На что была бы похожа наука геометрия сейчас, если бы греческие геометры решили, что неприлично публиковать какие-либо предложения до того, как они решат вопрос о природе аксиомы? Где была бы наука арифметика сейчас, если бы анализ природы самого числа был необходимым предварительным условием для развития результатов его законов? В недавнее время произошли огромные дополнения к математическим наукам, но очень мало попыток психологического анализа. В александрийских и ранних средневековых школах философии много внимания уделялось природе единства и множественности, главным образом вызванной вопросом о Троице. В последние два столетия целые науки были созданы из понятия множественности, и все же спекуляции о природе множественности сошли на нет. Настоящий трактат содержит в восьмой главе одну из немногих недавних попыток проанализировать само понятие числа.

Если нужна дальнейшая иллюстрация, я могу сослаться на дифференциальное исчисление. Никто не ставит под сомнение формальную истинность результатов этого исчисления. Все наиболее точные и успешные части физической науки зависят от его использования, и все же математики, создавшие такой огромный массив точных истин, никогда не принимали решения об основании исчисления. Какова природа предела или природа бесконечно малого? Поднимите этот вопрос среди группы математиков, и окажется, что едва ли двое согласны, если не считать согласия в том, что сам вопрос является пустяковым. Некоторые утверждают, что не существует таких вещей, как бесконечно малые, и что это все вопрос пределов. Другие стали бы утверждать, что бесконечно малое является необходимым результатом предела, но возникают различные оттенки промежуточного мнения.

Теперь точно так же обстоит дело с логикой. Если формы дедуктивного и индуктивного рассуждения, приведенные в первой части этого трактата, верны, они представляют собой определенное дополнение к логической науке, и было бы абсурдно отказываться от публикации таких результатов, потому что я не мог в то же время принять решение в своем собственном уме относительно психологии и философии предмета. Короче говоря, моя книга — это книга по формальной логике и научному методу, а не книга по психологии и философии.

Можно возразить, действительно, как возражает «Spectator», что «Система логики» Милля особенно сильна в обсуждении психологических основ рассуждения, так что Милль, по-видимому, успешно трактовал то, что я чувствую себя неспособным попытаться в настоящее время. Если анализ знания Милля верен, то мне нечего сказать в оправдание своих собственных недостатков. Но хорошо делать одно дело за раз, и поэтому я не занимал значительную часть этой книги полемикой и опровержениями. То, что я должен сказать о логике Милля, будет сказано в отдельной работе, в которой его анализ знания будет проанализирован довольно детально. Тогда будет показано, я полагаю, что психологическая и философская трактовка логики Миллем не дала таких удовлетворительных результатов, как некоторые авторы, по-видимому, полагают.

Различные второстепенные, но все же важные критические замечания были сделаны профессором Робертсоном, некоторые из которых были замечены в тексте (стр. 27, 101). В других случаях его возражения едва ли допускают какой-либо иной ответ, кроме того, который состоит в просьбе к читателю судить между работой и критикой. Так, г-н Робертсон утверждает, что наиболее сложные логические задачи, решенные в этой книге (до стр. 102 этого издания), могли бы быть более легко и кратко решены на принципах и с помощью признанных методов традиционной логики. Бремя доказательства здесь лежит на г-не Робертсоне, и его единственное доказательство состоит в единственном случае, где он способен, как мне кажется, случайно, получить особый вывод с помощью старой формы дилеммы. Было бы долгим трудом проверять старую логику на каждом результате, полученном с помощью моей нотации, и я должен оставить таким читателям, которые хорошо знакомы с силлогистической логикой, высказаться о сравнительной простоте и силе новой и старой систем. Что касается других острых возражений, выдвинутых г-ном Робертсоном, я должен отослать читателя к статье, о которой идет речь.

Один момент в моей последней главе, посвященной результатам и пределам научного метода, был подвергнут критике профессором У. К. Клиффордом в его лекции «Первая и последняя катастрофа». В том ii, стр. 438 первого издания (стр. 744 этого издания) я ссылался на определенные выводы, сделанные выдающимися физиками относительно предела древности нынешнего порядка вещей. «Согласно дедукциям сэра У. Томсона из теории теплоты Фурье, мы можем проследить рассеивание тепла путем проводимости и излучения до бесконечно отдаленного времени, когда все вещи будут равномерно холодными. Но мы не можем аналогичным образом проследить историю теплоты Вселенной в бесконечное прошлое. Для определенного отрицательного значения времени формулы дают невозможные значения, указывая на то, что существовало некое начальное распределение тепла, которое не могло возникнуть, согласно известным законам природы, из какого-либо предыдущего распределения».

Теперь, согласно профессору Клиффорду, я здесь неверно изложил результаты Томсона. «Сэр Уильям Томсон говорит не в соответствии с известными законами природы, а в соответствии с известными законами теплопроводности. ...Все эти авторы, писавшие о физике, зная, о чем они пишут, просто делали из имевшихся перед ними фактов такие выводы, которые можно было разумно сделать. Они говорят: здесь налицо такое положение вещей, которое не могло быть вызвано обстоятельствами, исследуемыми нами в настоящее время. Затем приходит ваш спекулянт, читает предложение и говорит: “Вот возможность для меня развернуться”. И он разворачивается, и создает совершенно беспочвенную теорию о необходимом происхождении нынешнего порядка природы в какой-то определенный момент времени, который можно было бы вычислить».

Профессор Клиффорд далее поясняет, что формулы Томсона лишь задают предел тепловой истории, скажем, земной коры в твердом состоянии. Мы возвращаемся к тому времени, когда она затвердела из жидкого состояния. В истории твердого вещества существует прерывность, но все же прерывность, доступная нашему пониманию. Еще дальше назад мы снова пришли бы к прерывности, когда жидкость образовалась в результате конденсации нагретого газообразного вещества. Однако за пределами этого события нет необходимости предполагать дальнейшую прерывность закона, ибо газообразное вещество могло состоять из молекул, которые сходились вместе из разных частей пространства в течение бесконечного прошлого времени. Как говорит профессор Клиффорд (стр. 481) о телах Вселенной: «То, что они фактически сделали, — это сошлись вместе и стали твердыми. Если бы мы обратили этот процесс вспять, мы бы увидели, как они разделяются и остывают, и в качестве предела этого мы бы обнаружили, что все эти тела распались бы на молекулы, и все они разлетались бы в разные стороны. У этого процесса не было бы предела, и мы могли бы проследить его так далеко назад, как нам угодно».

Предполагая, что я ошибся, я хотел бы отметить, что я ошибся в лучшей компании, или, точнее, будучи спекулянтом, я был введен в заблуждение лучшими авторами по физике. Профессор Тэт в своем «Очерке термодинамики», говоря о законах движения тепла в твердом теле, открытых Фурье, пишет: «Их математические выражения также указывают на тот факт, что равномерное распределение тепла, или распределение, стремящееся стать равномерным, должно было возникнуть из некоторого первоначального распределения тепла такого рода, которое не могло быть получено по известным законам из какого-либо предыдущего распределения». В последних словах видно, что нет никакого ограничения для законов теплопроводности, и, хотя я внимательно обращался к оригинальной статье сэра У. Томсона, нет ничего неестественного в том, что я принял интерпретацию ее смысла, данную профессором Тэтом.

В своей новой работе «О некоторых недавних достижениях в физической науке» профессор Тэт вновь обратился к этой теме следующим образом: «Глубокий урок можно извлечь из одной из самых ранних небольших статей сэра У. Томсона, опубликованной, когда он был студентом в Кембридже, где он показывает, что великолепная трактовка Фурье теплопроводности [в твердом теле] приводит к формулам для ее распределения, которые понятны (и, конечно, могут быть полностью проверены экспериментом) на все будущее время, но которые, за исключением частных случаев, при распространении на прошедшее время остаются понятными лишь в течение конечного периода, а затем указывают на положение вещей, которое не могло возникнуть по известным законам из какого-либо мыслимого предыдущего распределения [тепла в теле]. Что касается тепла, современные исследования показали, что предыдущее распределение вовлеченной материи может, благодаря своей потенциальной энергии, быть способным породить такое положение вещей в момент своего агрегирования; но этот пример приводится сейчас не из-за его отношения только к теплу, а как простая иллюстрация того факта, что все части нашей науки, особенно та прекрасная, что называется рассеянием энергии, единодушно указывают на начало, на положение вещей, которое невозможно вывести по нынешним законам [осязаемой материи и ее энергии] из какого-либо мыслимого предыдущего расположения». Поскольку это было опубликовано почти через год после лекции профессора Клиффорда, можно сделать вывод, что профессор Тэт придерживается своего первоначального мнения о том, что теория тепла действительно дает свидетельства «начала».

Могу добавить, что слова профессора Клерка Максвелла, по-видимому, подтверждают ту же точку зрения, ибо он говорит: «Это лишь один из тех случаев, когда рассмотрение рассеяния энергии приводит к определению верхнего предела древности наблюдаемого порядка вещей». Выражение «наблюдаемый порядок вещей» допускает большую двусмысленность, но при отсутствии уточнений я бы отнес его к совокупности известных нам законов природы. Я бы интерпретировал профессора Максвелла как означающего, что теория тепла указывает на возникновение некоторого события, которому наша наука не может дать дальнейшего объяснения. Таким образом, авторы по физике, по-видимому, не так ясны в этом вопросе, как предполагает профессор Клиффорд.

Насколько я могу осмелиться составить независимое мнение по этому предмету, оно сводится к тому, что профессор Клиффорд прав и что известные законы природы не позволяют нам назначить «начало». Наука ведет нас назад в бесконечную прошлую длительность. Но то, что профессор Клиффорд прав в этом пункте, не является причиной, по которой мы должны считать его правым в других его мнениях, некоторые из которых, я уверен, ошибочны. И это не причина, по которой другие части моей последней главы должны быть ошибочными. Вопрос затрагивает только один абзац на стр. 744–5 этой книги, который, я полагаю, можно было бы вычеркнуть, не вызывая необходимости в каких-либо изменениях в остальном тексте. Всегда следует помнить, что провал аргумента в пользу какого-либо положения, как правило, не добавляет большой, если вообще добавляет, вероятности противоречащему положению. Я не могу закончить, не выразив свою признательность профессору Клиффорду за его добрые отзывы о моей работе в целом.

2, Зе Честнатс, Уэст-Хит, Хэмпстед, С.З.

15 августа 1877 г.

СОДЕРЖАНИЕ.

BOOK I.
FORMAL LOGIC, DEDUCTIVE AND INDUCTIVE.
CHAPTER I.
INTRODUCTION.
SECTION | PAGE
1. | Introduction | 1
2. | The Powers of Mind concerned in the Creation of Science | 4
3. | Laws of Identity and Difference | 5
4. | The Nature of the Laws of Identity and Difference | 6
5. | The Process of Inference | 9
6. | Deduction and Induction | 11
7. | Symbolic Expression of Logical Inference | 13
8. | Expression of Identity and Difference | 14
9. | General Formula of Logical Inference | 17
10. | The Propagating Power of Similarity | 20
11. | Anticipations of the Principle of Substitution | 21
12. | The Logic of Relatives | 22
CHAPTER II.
TERMS.
1. | Terms | 24
2. | Twofold meaning of General Names | 25
3. | Abstract Terms | 27
4. | Substantial Terms | 28
5. | Collective Terms | 29
6. | Synthesis of Terms | 30
7. | Symbolic Expression of the Law of Contradiction | 31
8. | Certain Special Conditions of Logical Symbols | 32
CHAPTER III.
PROPOSITIONS.
1. | Propositions | 36
2. | Simple Identities | 37
3. | Partial Identities | 40
4. | Limited Identities | 42
5. | Negative Propositions | 43
6. | Conversion of Propositions | 46
7. | Twofold Interpretation of Propositions | 47
CHAPTER IV.
DEDUCTIVE REASONING.
1. | Deductive Reasoning | 49
2. | Immediate Inference | 50
3. | Inference with Two Simple Identities | 51
4. | Inference with a Simple and a Partial Identity | 53
5. | Inference of a Partial from Two Partial Identities | 55
6. | On the Ellipsis of Terms in Partial Identities | 57
7. | Inference of a Simple from Two Partial Identities | 58
8. | Inference of a Limited from Two Partial Identities | 59
9. | Miscellaneous Forms of Deductive Inference | 60
10. | Fallacies | 62
CHAPTER V.
DISJUNCTIVE PROPOSITIONS.
1. | Disjunctive Propositions | 66
2. | Expression of the Alternative Relation | 67
3. | Nature of the Alternative Relation | 68
4. | Laws of the Disjunctive Relation | 71
5. | Symbolic Expression of the Law of Duality | 73
6. | Various Forms of the Disjunctive Proposition | 74
7. | Inference by Disjunctive Propositions | 76
CHAPTER VI.
THE INDIRECT METHOD OF INFERENCE.
1. | The Indirect Method of Inference | 81
2. | Simple Illustrations | 83
3. | Employment of the Contrapositive Proposition | 84
4. | Contrapositive of a Simple Identity | 86
5. | Miscellaneous Examples of the Method | 88
6. | Mr. Venn’s Problem | 90
7. | Abbreviation of the Process | 91
8. | The Logical Alphabet | 94
9. | The Logical Slate | 95
10. | Abstraction of Indifferent Circumstances | 97
11. | Illustrations of the Indirect Method | 98
12. | Second Example | 99
13. | Third Example | 100
14. | Fourth Example | 101
15. | Fifth Example | 101
16. | Fallacies Analysed by the Indirect Method | 102
17. | The Logical Abacus | 104
18. | The Logical Machine | 107
19. | The Order of Premises | 114
20. | The Equivalence of Propositions | 115
21. | The Nature of Inference | 118
CHAPTER VII.
INDUCTION.
1. | Induction | 121
2. | Induction an Inverse Operation | 122
3. | Inductive Problems for Solution by the Reader | 126
4. | Induction of Simple Identities | 127
5. | Induction of Partial Identities | 130
6. | Solution of the Inverse or Inductive Problem, involving Two Classes | 134
7. | The Inverse Logical Problem, involving Three Classes | 137
8. | Professor Clifford on the Types of Compound Statement involving Four Classes | 143
9. | Distinction between Perfect and Imperfect Induction | 146
10. | Transition from Perfect to Imperfect Induction | 149
BOOK II.
NUMBER, VARIETY, AND PROBABILITY.
CHAPTER VIII.
PRINCIPLES OF NUMBER.
1. | Principles of Number | 153
2. | The Nature of Numbe | 156
3. | Of Numerical Abstraction | 158
4. | Concrete and Abstract Number | 159
5. | Analogy of Logical and Numerical Terms | 160
6. | Principle of Mathematical Inference | 162
7. | Reasoning by Inequalities | 165
8. | Arithmetical Reasoning | 167
9. | Numerically Definite Reasoning | 168
10. | Numerical meaning of Logical Conditions | 171
CHAPTER IX.
THE VARIETY OF NATURE, OR THE DOCTRINE OF COMBINATIONS AND PERMUTATIONS.
1. | The Variety of Nature | 173
2. | Distinction of Combinations and Permutations | 177
3. | Calculation of Number of Combinations | 180
4. | The Arithmetical Triangle | 182
5. | Connexion between the Arithmetical Triangle and the Logical Alphabet | 189
6. | Possible Variety of Nature and Art | 190
7. | Higher Orders of Variety | 192
CHAPTER X.
THEORY OF PROBABILITY.
1. | Theory of Probability | 197
2. | Fundamental Principles of the Theory | 200
3. | Rules for the Calculation of Probabilities | 203
4. | The Logical Alphabet in questions of Probability | 205
5. | Comparison of the Theory with Experience | 206
6. | Probable Deductive Arguments | 209
7. | Difficulties of the Theory | 213
CHAPTER XI.
PHILOSOPHY OF INDUCTIVE INFERENCE.
1. | Philosophy of Inductive Inference | 218
2. | Various Classes of Inductive Truths | 219
3. | The Relation of Cause and Effect | 220
4. | Fallacious Use of the Term Cause | 221
5. | Confusion of Two Questions | 222
6. | Definition of the Term Cause | 224
7. | Distinction of Inductive and Deductive Results | 226
8. | The Grounds of Inductive Inference | 228
9. | Illustrations of the Inductive Process | 229
10. | Geometrical Reasoning | 233
11. | Discrimination of Certainty and Probability | 235
CHAPTER XII.
THE INDUCTIVE OR INVERSE APPLICATION OF THE THEORY OF PROBABILITY.
1. | The Inductive or Inverse Application of the Theory | 240
2. | Principle of the Inverse Method | 242
3. | Simple Applications of the Inverse Method | 244
4. | The Theory of Probability in Astronomy | 247
5. | The General Inverse Problem | 250
6. | Simple Illustration of the Inverse Problem | 253
7. | General Solution of the Inverse Problem | 255
8. | Rules of the Inverse Method | 257
9. | Fortuitous Coincidences | 261
10. | Summary of the Theory of Inductive Inference | 265
BOOK III.
METHODS OF MEASUREMENT.
CHAPTER XIII.
THE EXACT MEASUREMENT OF PHENOMENA.
1. | The Exact Measurement of Phenomena | 270
2. | Division of the Subject | 274
3. | Continuous quantity | 274
4. | The Fallacious Indications of the Senses | 276
5. | Complexity of Quantitative Questions | 278
6. | The Methods of Accurate Measurement | 282
7. | Conditions of Accurate Measurement | 282
8. | Measuring Instruments | 284
9. | The Method of Repetition | 288
10. | Measurements by Natural Coincidence | 292
11. | Modes of Indirect Measurement | 296
12. | Comparative Use of Measuring Instruments | 299
13. | Systematic Performance of Measurements | 300
14. | The Pendulum | 302
15. | Attainable Accuracy of Measurement | 303
CHAPTER XIV.
UNITS AND STANDARDS OF MEASUREMENT.
1. | Units and Standards of Measurement | 305
2. | Standard Unit of Time | 307
3. | The Unit of Space and the Bar Standard | 312
4. | The Terrestrial Standard | 314
5. | The Pendulum Standard | 315
6. | Unit of Density | 316
7. | Unit of Mass | 317
8. | Natural System of Standards | 319
9. | Subsidiary Units | 320
10. | Derived Units | 321
11. | Provisional Units | 323
12. | Theory of Dimensions | 325
13. | Natural Constants | 328
14. | Mathematical Constants | 330
15. | Physical Constants | 331
16. | Astronomical Constants | 332
17. | Terrestrial Numbers | 333
18. | Organic Numbers | 333
19. | Social Numbers | 334
CHAPTER XV.
ANALYSIS OF QUANTITATIVE PHENOMENA.
1. | Analysis of Quantitative Phenomena | 335
2. | Illustrations of the Complication of Effects | 336
3. | Methods of Eliminating Error | 339
4. | Method of Avoidance of Error | 340
5. | Differential Method | 344
6. | Method of Correction | 346
7. | Method of Compensation | 350
8. | Method of Reversal | 354
CHAPTER XVI.
THE METHOD OF MEANS.
1. | The Method of Means | 357
2. | Several Uses of the Mean Result | 359
3. | The Mean and the Average | 360
4. | On the Average or Fictitious Mean | 363
5. | The Precise Mean Result | 365
6. | Determination of the Zero Point | 368
7. | Determination of Maximum Points | 371
CHAPTER XVII.
THE LAW OF ERROR.
1. | The Law of Error | 374
2. | Establishment of the Law of Error | 375
3. | Herschel’s Geometrical Proof | 377
4. | Laplace’s and Quetelet’s Proof of the Law | 378
5. | Logical Origin of the Law of Error | 383
6. | Verification of the Law of Error | 383
7. | The Probable Mean Result | 385
8. | The Probable Error of Results | 386
9. | Rejection of the Mean Result | 389
10. | Method of Least Squares | 393
11. | Works upon the Theory of Probability | 394
12. | Detection of Constant Errors | 396
BOOK IV.
INDUCTIVE INVESTIGATION.
CHAPTER XVIII.
OBSERVATION.
1. | Observation | 399
2. | Distinction of Observation and Experiment | 400
3. | Mental Conditions of Correct Observation | 402
4. | Instrumental and Sensual Conditions of Correct Observation | 404
5. | External Conditions of Correct Observation | 407
6. | Apparent Sequence of Events | 409
7. | Negative Arguments from Non-Observation | 411
CHAPTER XIX.
EXPERIMENT.
1. | Experiment | 416
2. | Exclusion of Indifferent Circumstances | 419
3. | Simplification of Experiments | 422
4. | Failure in the Simplification of Experiments | 424
5. | Removal of Usual Conditions | 426
6. | Interference of Unsuspected Conditions | 428
7. | Blind or Test Experiments | 433
8. | Negative Results of Experiment | 434
9. | Limits of Experiment | 437
CHAPTER XX.
METHOD OF VARIATIONS.
1. | Method of Variations | 439
2. | The Variable and the Variant | 440
3. | Measurement of the Variable | 441
4. | Maintenance of Similar Conditions | 443
5. | Collective Experiments | 445
6. | Periodic Variations | 447
7. | Combined Periodic Changes | 450
8. | Principle of Forced Vibrations | 451
9. | Integrated Variations | 452
CHAPTER XXI.
THEORY OF APPROXIMATION.
1. | Theory of Approximation | 456
2. | Substitution of Simple Hypotheses | 458
3. | Approximation to Exact Laws | 462
4. | Successive Approximations to Natural Conditions | 465
5. | Discovery of Hypothetically Simple Laws | 470
6. | Mathematical Principles of Approximation | 471
7. | Approximate Independence of Small Effects | 475
8. | Four Meanings of Equality | 479
9. | Arithmetic of Approximate Quantities | 481
CHAPTER XXII.
QUANTITATIVE INDUCTION.
1. | Quantitative Induction | 483
2. | Probable Connexion of Varying Quantities | 484
3. | Empirical Mathematical Laws | 487
4. | Discovery of Rational Formulæ | 489
5. | The Graphical Method | 492
6. | Interpolation and Extrapolation | 495
7. | Illustrations of Empirical Quantitative Laws | 499
8. | Simple Proportional Variation | 501
CHAPTER XXIII.
THE USE OF HYPOTHESIS.
1. | The Use of Hypothesis | 504
2. | Requisites of a good Hypothesis | 510
3. | Possibility of Deductive Reasoning | 511
4. | Consistency with the Laws of Nature | 514
5. | Conformity with Facts | 516
6. | Experimentum Crucis | 518
7. | Descriptive Hypotheses | 522
CHAPTER XXIV.
EMPIRICAL KNOWLEDGE, EXPLANATION AND PREDICTION.
1. | Empirical Knowledge, Explanation and Prediction | 525
2. | Empirical Knowledge | 526
3. | Accidental Discovery | 529
4. | Empirical Observations subsequently Explained | 532
5. | Overlooked Results of Theory | 534
6. | Predicted Discoveries | 536
7. | Predictions in the Science of Light | 538
8. | Predictions from the Theory of Undulations | 540
9. | Prediction in other Sciences | 542
10. | Prediction by Inversion of Cause and Effect | 545
11. | Facts known only by Theory | 547
CHAPTER XXV.
ACCORDANCE OF QUANTITATIVE THEORIES.
1. | Accordance of Quantitative Theories | 551
2. | Empirical Measurements | 552
3. | Quantities indicated by Theory, but Empirically Measured | 553
4. | Explained Results of Measurement | 554
5. | Quantities determined by Theory and verified by Measurement | 555
6. | Quantities determined by Theory and not verified | 556
7. | Discordance of Theory and Experiment | 558
8. | Accordance of Measurements of Astronomical Distances | 560
9. | Selection of the best Mode of Measurement | 563
10. | Agreement of Distinct Modes of Measurement | 564
11. | Residual Phenomena | 569
CHAPTER XXVI.
CHARACTER OF THE EXPERIMENTALIST.
1. | Character of the Experimentalist | 574
2. | Error of the Baconian Method | 576
3. | Freedom of Theorising | 577
4. | The Newtonian Method, the True Organum | 581
5. | Candour and Courage of the Philosophic Mind | 586
6. | The Philosophic Character of Faraday | 587
7. | Reservation of Judgment | 592
BOOK V.
GENERALISATION, ANALOGY, AND CLASSIFICATION.
CHAPTER XXVII.
GENERALISATION.
1. | Generalisation | 594
2. | Distinction of Generalisation and Analogy | 596
3. | Two Meanings of Generalisation | 597
4. | Value of Generalisation | 599
5. | Comparative Generality of Properties | 600
6. | Uniform Properties of all Matter | 603
7. | Variable Properties of Matter | 606
8. | Extreme Instances of Properties | 607
9. | The Detection of Continuity | 610
10. | The Law of Continuity | 615
11. | Failure of the Law of Continuity | 619
12. | Negative Arguments on the Principle of Continuity | 621
13. | Tendency to Hasty Generalisation | 623
CHAPTER XXVIII.
ANALOGY.
1. | Analogy | 627
2. | Analogy as a Guide in Discovery | 629
3. | Analogy in the Mathematical Sciences | 631
4. | Analogy in the Theory of Undulations | 635
5. | Analogy in Astronomy | 638
6. | Failures of Analogy | 641
CHAPTER XXIX.
EXCEPTIONAL PHENOMENA.
1. | Exceptional Phenomena | 644
2. | Imaginary or False Exceptions | 647
3. | Apparent but Congruent Exceptions | 649
4. | Singular Exceptions | 652
5. | Divergent Exceptions | 655
6. | Accidental Exceptions | 658
7. | Novel and Unexplained Exceptions | 661
8. | Limiting Exceptions | 663
9. | Real Exceptions to Supposed Laws | 666
10. | Unclassed Exceptions | 668
CHAPTER XXX.
CLASSIFICATION.
1. | Classification | 673
2. | Classification involving Induction | 675
3. | Multiplicity of Modes of Classification | 677
4. | Natural and Artificial Systems of Classification | 679
5. | Correlation of Properties | 681
6. | Classification in Crystallography | 685
7. | Classification an Inverse and Tentative Operation | 689
8. | Symbolic Statement of the Theory of Classification | 692
9. | Bifurcate Classification | 694
10. | The Five Predicates | 698
11. | Summum Genus and Infima Species | 701
12. | The Tree of Porphyry | 702
13. | Does Abstraction imply Generalisation? | 704
14. | Discovery of Marks or Characteristics | 708
15. | Diagnostic Systems of Classification | 710
16. | Index Classifications | 714
17. | Classification in the Biological Sciences | 718
18. | Classification by Types | 722
19. | Natural Genera and Species | 724
20. | Unique or Exceptional Objects | 728
21. | Limits of Classification | 730
BOOK VI.
CHAPTER XXXI.
REFLECTIONS ON THE RESULTS AND LIMITS OF SCIENTIFIC METHOD.
1. | Reflections on the Results and Limits of Scientific Method | 735
2. | The Meaning of Natural Law | 737
3. | Infiniteness of the Universe | 738
4. | The Indeterminate Problem of Creation | 740
5. | Hierarchy of Natural Laws | 742
6. | The Ambiguous Expression—“Uniformity of Nature” | 745
7. | Possible States of the Universe | 749
8. | Speculations on the Reconcentration of Energy | 751
9. | The Divergent Scope for New Discovery | 752
10. | Infinite Incompleteness of the Mathematical Sciences | 754
11. | The Reign of Law in Mental and Social Phenomena | 759
12. | The Theory of Evolution | 761
13. | Possibility of Divine Interference | 765
14. | Conclusion | 766
INDEX | 773

ПРИНЦИПЫ НАУКИ.

ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ.

Наука возникает из обнаружения тождества среди разнообразия. Этот процесс можно описать разными словами, но наш язык всегда должен подразумевать наличие одного общего и необходимого элемента. В каждом акте вывода или научного метода мы имеем дело с определенным тождеством, одинаковостью, сходством, подобием, соответствием, аналогией, эквивалентностью или равенством, проявляющимся между двумя объектами. Сомнительно, чтобы совершенно изолированное явление могло предстать нашему вниманию, поскольку между объектом и объектом всегда должны существовать некоторые точки сходства. Но в любом случае изолированное явление нельзя было бы изучить с какой-либо полезной целью. Вся ценность науки заключается в силе, которую она дает нам для применения к одному объекту знаний, полученных из подобных объектов; и поэтому только в той мере, в какой мы можем обнаруживать и регистрировать сходства, мы можем использовать наши наблюдения с пользой.

Природа — это зрелище, постоянно демонстрируемое нашим чувствам, в котором явления смешаны в комбинациях бесконечного разнообразия и новизны. Удивление фиксирует внимание ума; память хранит запись каждого отчетливого впечатления; силы ассоциации извлекают запись, когда подобное ощущается снова. С помощью высших способностей суждения и рассуждения ум сравнивает новое со старым, распознает существенное тождество, даже если оно замаскировано разнообразными обстоятельствами, и ожидает снова найти то, что было испытано ранее. Основанием всякого рассуждения и вывода должно быть то, что то, что истинно для одной вещи, будет истинно для ее эквивалента, и что при тщательно установленных условиях природа повторяет себя.

Если бы это была действительно хаотическая Вселенная, силы ума, используемые в науке, были бы бесполезны для нас. Если бы случай полностью занял место порядка и все явления выходили бы из «бесконечной лотереи», пользуясь выражением Кондорсе, не было бы причин ожидать подобного результата при подобных обстоятельствах. Можно представить мир, в котором никакие две вещи не были бы связаны чаще, в конечном счете, чем любые другие две вещи. Частое соединение любых двух событий было бы тогда чисто случайным, и если бы мы ожидали, что соединения будут повторяться постоянно, мы были бы разочарованы. В таком мире мы могли бы распознавать один и тот же вид явлений по мере их появления время от времени, точно так же, как мы могли бы распознать помеченный шар, когда его время от времени вынимали и снова опускали в урну для голосования; но приближение любого явления никак не указывалось бы тем, что было раньше, и не было бы признаком того, что последует за ним. В таком мире знание было бы не более чем памятью о прошлых совпадениях, а способности к рассуждению, если бы они вообще существовали, не дали бы ключа к природе настоящего и не предсказали бы будущего.

К счастью, Вселенная, в которой мы живем, не является результатом случая, и там, где случай, кажется, действует, именно наши собственные несовершенные способности мешают нам распознать действие Закона и Замысла. В материальной структуре этого мира вещества и силы представлены в определенных и стабильных комбинациях. Вещи не находятся в постоянном потоке, как полагали древние философы. Элемент остается элементом; железо не превращается в золото. При соответствующих предосторожностях мы можем рассчитывать на то, что снова найдем ту же вещь, наделенную теми же свойствами. Составляющие земного шара, действительно, появляются в почти бесконечных комбинациях; но каждая комбинация несет свой фиксированный характер, и при разложении оказывается соединением определенных веществ. Недоразумения должны постоянно возникать из-за ограниченного объема нашего опыта. Мы никогда не могли исследовать и зарегистрировать все возможные существования настолько тщательно, чтобы быть уверенными, что не появятся новые и не сорвут наши расчеты. Те же внешние проявления могут скрывать любое количество скрытых различий, которые мы еще не подозревали. Мы не должны предполагать, что наш краткий опыт может установить предел разнообразию веществ и сил, рассеянных по природе при ее создании, и необходимое несовершенство наших знаний должно всегда приниматься во внимание.

И все же есть многое, что дает нам уверенность в науке. Чем шире наш опыт, чем тщательнее наше исследование земного шара, чем больше накопление обоснованных знаний, — тем меньше, по всей вероятности, будет неудач в выводах по сравнению с успехами. Исключения из господства Закона постепенно сами сводятся к Закону. Некоторые глубокие сходства были обнаружены среди объектов вокруг нас, и их никогда еще не находили отсутствующими. По мере того как приобретались средства исследования отдаленных частей Вселенной, эти сходства прослеживались там так же, как и здесь. Другие миры и звездные системы могут быть почти непостижимо отличными от наших по величине, состоянию и расположению частей, и все же мы обнаруживаем там те же элементы, из которых состоят наши собственные тела. Те же естественные законы можно обнаружить в действии в каждой части Вселенной, доступной нашим инструментам; и, несомненно, этим законам подчиняются независимо от расстояния, времени и обстоятельств.

Прерогатива Интеллекта — обнаруживать то, что является единообразным и неизменным в явлениях вокруг нас. В той мере, в какой объект отличается от объекта, знание бесполезно, а вывод невозможен. Но в той мере, в какой объект напоминает объект, мы можем переходить от одного к другому. В той пропорции, в какой сходство является более глубоким и общим, командные силы знания становятся более удивительными. Тождество в той или иной из своих фаз является, таким образом, всегда мостом, по которому мы переходим в выводе от случая к случаю; и моя цель в этом трактате — проследить различные формы, в которых один и тот же процесс рассуждения проявляется в постоянно растущих достижениях научного метода.

Силы ума, участвующие в создании науки.

В задачу этой работы не входит исследование природы ума. Люди нередко полагают, что логика — это отрасль психологии, потому что рассуждение — это ментальная операция. На том же основании, однако, мы могли бы утверждать, что все науки являются отраслями психологии. Как будет объяснено далее, я придерживаюсь мнения мистера Герберта Спенсера, что логика — это действительно объективная наука, подобно математике или механике. Лишь попутно, следовательно, мне нужно указать, что ментальных способностей, используемых в приобретении знаний, вероятно, три. Они по существу таковы, как их изложил профессор Бэн:

1. Способность к различению.

2. Способность к обнаружению тождества.

3. Способность к удержанию.

Мы проявляем первую способность в каждом акте восприятия. Мы едва ли можем иметь ощущение или чувство, если не отличим его от чего-то другого, что предшествовало ему. Сознание почти казалось бы состоящим из разрыва между одним состоянием ума и следующим, точно так же, как индуцированный электрический ток возникает из начала или конца первичного тока. Мы всегда заняты различением; и зачаток мысли, который существует у низших животных, вероятно, состоит в их способности чувствовать различие и быть взволнованными им.

И все же, если бы у нас была только способность к различению, наука не могла бы быть создана. Знание того, что одно чувство отличается от другого, дает чисто отрицательную информацию. Оно не может научить нас тому, что произойдет. В таком состоянии интеллекта каждое ощущение стояло бы отдельно от любого другого; не было бы никакой связи, никакого моста сродства между ними. Нам нужна объединяющая сила, с помощью которой настоящее и будущее могут быть связаны с прошлым; и это, по-видимому, достигается другой силой ума. Лорд Бэкон указал, что разные люди обладают в очень разной степени способностями к различению и идентификации. Можно сказать, действительно, что различение обязательно подразумевает действие противоположного процесса идентификации; и так оно, несомненно, и есть в отрицательных пунктах. Но существует редкое свойство ума, которое состоит в том, чтобы проникать сквозь маскировку разнообразия и схватывать общие элементы одинаковости; и именно это свойство дает истинную меру интеллекта. Название «интеллект» выражает переплетение общего и единичного, что является особой областью ума. Cogitare — это латинское coagitare, основанное на подобной метафоре. Логика также — лишь другое название того же процесса, особой работы разума; ибо λογος происходит от λεγειν, которое, подобно латинскому legere, означало первоначально собирать. Платон сказал об этой объединяющей силе, что если бы он встретил человека, который мог бы обнаружить единое во многом, он следовал бы за ним как за богом.

Законы тождества и различия.

В основе всякого мышления и науки должны лежать законы, которые выражают саму природу и условия способностей ума к различению и идентификации. Это так называемые Фундаментальные законы мышления, обычно формулируемые следующим образом:

1. Закон тождества. Что есть, то есть.

2. Закон противоречия. Вещь не может одновременно быть и не быть.

3. Закон двойственности. Вещь должна либо быть, либо не быть.

Первое из этих утверждений, возможно, можно рассматривать как описание самого тождества, если столь фундаментальное понятие может допускать описание. Вещь в любой момент совершенно тождественна самой себе, и если бы кто-либо не знал значения слова «тождество», мы не могли бы описать его лучше, чем таким примером.

Второй закон указывает на то, что противоречивые атрибуты никогда не могут быть соединены вместе. Один и тот же объект может варьироваться в своих различных частях; здесь он может быть черным, а там белым; в одно время он может быть твердым, а в другое время мягким; но в одно и то же время и в одном и том же месте атрибут не может быть одновременно присутствующим и отсутствующим. Аристотель справедливо описал этот закон как первый из всех аксиом — тот, для которого нам не нужно искать никакого доказательства. Все истины не могут быть доказаны, иначе существовала бы бесконечная цепь доказательств; и именно в таких самоочевидных истинах мы находим простейшие основания.

Третий из этих законов дополняет два других. Он утверждает, что на каждом шагу есть две возможные альтернативы — присутствие или отсутствие, утверждение или отрицание. Поэтому я предлагаю назвать этот закон Законом двойственности, ибо он придает всем формулам рассуждения двойственный характер. Он также утверждает, что между присутствием и отсутствием, существованием и несуществованием, утверждением и отрицанием нет третьей альтернативы. Как сказал Аристотель, не может быть среднего между противоположными утверждениями: мы должны либо утверждать, либо отрицать. Отсюда неудобное название, под которым он был известен — Закон исключенного третьего.

Можно допустить, что эти законы не являются тремя независимыми и различными законами; они скорее выражают три различных аспекта одной и той же истины, и каждый закон, несомненно, предполагает и подразумевает два других. Но до сих пор не удавалось сформулировать эти характеристики тождества и различия менее чем в трехкратной формуле. Читатель, возможно, пожелает получить некоторую информацию о том, каким образом эти законы были сформулированы или как они рассматривались философами в разные эпохи мира. Обильную информацию по этому и многим другим пунктам логической истории можно найти в «Системе логики» Юбервега, отличный перевод которой был опубликован профессором Т. М. Линдси (см. стр. 228–281).

Природа законов тождества и различия.

Я должен хотя бы упомянуть глубоко трудный вопрос, касающийся природы и авторитета этих Законов тождества и различия. Являются ли они Законами мышления или Законами вещей? Принадлежат ли они уму или материальной природе? С одной стороны, можно сказать, что наука — это чисто ментальное существование и поэтому должна соответствовать законам того, что ее сформировало. Наука находится в уме, а не в вещах, и свойства ума поэтому все важны. Правда, эти законы подтверждаются при наблюдении внешнего мира; и казалось бы, что они могли быть собраны и доказаны путем обобщения, если бы они уже не были в нашем распоряжении. Но с другой стороны, можно вполне настаивать на том, что мы не можем доказать эти законы никаким процессом рассуждения или наблюдения, потому что сами законы предполагаются, как проницательно заметил Лейбниц, в самом понятии доказательства. Они являются предварительными условиями всякого мышления и всякого знания, и даже подвергать сомнению их истинность — значит признавать их истинными. Хартли остроумно уточнил этот аргумент, заметив, что если фундаментальные законы логики не являются достоверными, должна существовать логика второго порядка, с помощью которой мы можем определить степень неопределенности: если вторая логика не является достоверной, должна существовать третья; и так далее ad infinitum. Таким образом, мы должны предполагать либо то, что существуют абсолютно достоверные законы мышления, либо то, что не существует никакой достоверности вообще.

Логики, действительно, кажутся мне уделившими недостаточно внимания тому факту, что ошибки в рассуждении всегда возможны и случаются не так уж редко. Законы мышления часто называют необходимыми законами, то есть законами, которым нельзя не подчиняться. И все же, по правде говоря, кто из нас часто не нарушает их? Это законы, которым ум должен подчиняться, а не те, которым он всегда подчиняется. Наши мысли не могут быть критерием истины, ибо нам часто приходится признавать ошибки в аргументах умеренной сложности, и иногда мы обнаруживаем свои ошибки только путем столкновения наших ожиданий с событиями объективной природы.

Мистер Герберт Спенсер считает, что законы логики являются объективными законами, и он рассматривает ум как находящийся в состоянии постоянного обучения, где каждый акт ложного рассуждения или просчета приводит к результатам, которые, вероятно, предотвратят повторение подобных ошибок. Я вполне склонен принять такие остроумные взгляды; но в то же время необходимо различать накопление знаний и конституцию ума, которая позволяет приобретать знания. Прежде чем ум сможет воспринимать или рассуждать вообще, он должен иметь условия мышления, запечатленные в нем. Прежде чем можно совершить ошибку, ум должен четко отличить ошибочный вывод от всех других утверждений. Не являются ли Законы тождества и различия предварительными условиями всякого сознания и всякого существования? Не должны ли они быть истинными как для материальных, так и для нематериальных вещей? И если так, можем ли мы сказать, что они истинны только субъективно или объективно? Я склонен, короче говоря, рассматривать их как истинные и «в природе мышления, и в природе вещей», как я выразился в своем первом логическом эссе; и я считаю, что они принадлежат к общему основанию всякого существования. Но это один из самых трудных вопросов психологии и метафизики, которые могут быть подняты, и это вряд ли вопрос для решения логиком. Как математик не исследует природу единства и множественности, а развивает формальные законы множественности, так и логик, как я полагаю, должен принять истинность Законов тождества и различия и занять себя развитием разнообразия форм рассуждения, в которых их истинность может быть проявлена.

Опять же, мне вряд ли нужно останавливаться на вопросе о том, имеет ли логика дело с языком, понятиями или вещами. С таким же успехом мы могли бы спорить о том, имеет ли математик дело с символами, величинами или вещами. Математик, безусловно, имеет дело с символами, но только как с инструментами для облегчения своих рассуждений о величинах; и поскольку аксиомы и правила математической науки должны быть проверены на конкретных объектах, чтобы расчеты, основанные на них, имели какую-либо обоснованность или полезность, из этого следует, что конечными объектами математической науки являются сами вещи. Подобным образом я полагаю, что логик имеет дело с языком в той мере, в какой это необходимо для воплощения и демонстрации мысли. Даже если рассуждение может происходить во внутреннем сознании человека без использования каких-либо знаков, что сомнительно, во всяком случае оно не может стать предметом обсуждения, пока с помощью какой-либо системы материальных знаков оно не будет проявлено другим лицам. Логик, следовательно, использует слова и символы как инструменты рассуждения и оставляет природу и особенности языка грамматику. Но знаки, опять же, должны соответствовать выражаемым мыслям и вещам, чтобы они служили своей намеченной цели. Мы можем, следовательно, сказать, что логика имеет дело в конечном счете с мыслями и вещами, а непосредственно — со знаками, которые их обозначают. Знаки, мысли и внешние объекты можно рассматривать как параллельные и аналогичные ряды явлений, и иметь дело с любым из трех рядов — это то же самое, что иметь дело с любым из других рядов.

Процесс вывода.

Фундаментальное действие наших способностей к рассуждению состоит в выведении или переносе на новый случай явления всего того, что мы ранее знали о его подобии, аналоге, эквиваленте или равенстве. Одинаковость или тождество проявляется во всех степенях и известно под различными названиями; но великое правило вывода охватывает все степени и утверждает, что в той мере, в какой существует одинаковость, тождество или сходство, то, что истинно для одной вещи, будет истинно для другой. Великая трудность, несомненно, состоит в установлении того, что существует достаточная степень сходства или одинаковости, чтобы оправдать предполагаемый вывод; и нашей главной задачей будет исследование условий, при которых рассуждение является обоснованным. В этом месте я хочу указать, что есть нечто общее для всех актов вывода, как бы ни различались их внешние формы. Одно и то же правило поддается самым разнообразным применениям.

Простейший возможный случай вывода, возможно, встречается при использовании образца, примера или, как его обычно называют, пробы. Чтобы доказать точное сходство двух частей товара, нам не нужно приносить одну часть рядом с другой. Достаточно того, что мы берем образец, который точно представляет текстуру, внешний вид и общую природу одной части, и в зависимости от того, согласуется ли этот образец с другой или нет, так будут согласуваться или различаться две части товара. Все, что верно в отношении цвета, текстуры, плотности, материала образца, будет верно для самих товаров. В таких случаях сходство качества является условием вывода.

Точно такой же способ рассуждения справедлив для величины и фигуры. Чтобы сравнить размеры двух объектов, нам не нужно класть их рядом друг с другом. Посох, веревка или другой вид меры может быть использован для представления длины одного объекта, и в зависимости от того, согласуется ли он с другим или нет, так должны согласуваться или различаться два объекта. В этом случае прокси или образец представляет длину; но тот факт, что длины можно складывать и умножать, делает ненужным, чтобы прокси всегда был таким же большим, как объект. Любой стандарт удобного размера, такой как обычная линейка, может быть сделан средством сравнения. Высоту церкви в одном городе можно перенести на высоту в другом, и объекты, существующие неподвижно на противоположных сторонах земли, могут быть косвенно измерены друг против друга. Мы очевидно используем аксиому, что все, что верно для вещи в отношении ее длины, верно для ее равного.

Ко всякому другому простому явлению в природе применим тот же принцип подстановки. Мы можем сравнивать веса, плотности, степени твердости и степени всех других качеств подобным же образом. Чтобы установить, находятся ли два звука в унисоне, нам не нужно сравнивать их напрямую, но третий звук может быть посредником. Если камертон находится в унисоне с нотой «до» первой октавы органа Йоркского собора, и мы впоследствии обнаруживаем, что он находится в унисоне с той же нотой органа в Вестминстерском аббатстве, то из этого следует, что оба органа настроены в унисон. Правило вывода теперь состоит в том, что то, что верно для камертона в отношении тона или высоты его звука, верно для любого звука, находящегося с ним в унисоне.

Искусное использование этого подстановочного процесса позволяет нам производить измерения, выходящие за пределы возможностей наших чувств. Никто не может сосчитать вибрации, например, органной трубы. Но мы можем сконструировать инструмент, называемый сиреной, так, чтобы, производя звук любой высоты, он регистрировал количество вибраций, составляющих звук. Настраивая звук сирены в унисон с органной трубой, мы косвенно измеряем количество вибраций, принадлежащих звуку этой высоты. Измерить звук той же высоты — это так же хорошо, как измерить сам звук.

Сэр Дэвид Брюстер, несколько похожим образом, преуспел в измерении показателей преломления неправильных фрагментов прозрачных минералов. Это была хлопотная, а иногда и невыполнимая работа — шлифовать минералы в призмы, чтобы можно было непосредственно наблюдать способность преломлять свет; но он пришел к остроумному устройству — составлению жидкости, обладающей той же преломляющей способностью, что и исследуемый прозрачный фрагмент. Момент, когда это равенство было достигнуто, можно было узнать по тому, что фрагменты переставали отражать или преломлять свет при погружении в жидкость, так что они становились почти невидимыми в ней. Преломляющая способность жидкости, будучи затем измеренной, давала таковую твердого тела. Более красивого примера репрезентативного измерения, зависящего непосредственно от принципа вывода, нельзя было бы найти.

На протяжении различных логических процессов, которые мы собираемся рассмотреть — дедукции, индукции, обобщения, аналогии, классификации, количественного рассуждения — мы обнаружим, что один и тот же принцип действует в более или менее замаскированной форме.

Дедукция и индукция.

Процессы вывода всегда зависят от одного и того же принципа подстановки; но их тем не менее можно различать в зависимости от того, являются ли результаты индуктивными или дедуктивными. Как обычно утверждается, дедукция состоит в переходе от более общих к менее общим истинам; индукция — это обратный процесс от менее к более общим истинам. Мы можем, однако, описать различие иным образом. В дедукции мы заняты развитием последствий закона. Мы узнаем смысл, содержание, результаты или выводы, которые прилагаются к любому данному суждению. Индукция — это в точности обратный процесс. Даны определенные результаты или последствия, от нас требуется обнаружить общий закон, из которого они вытекают.

В определенном смысле все знание индуктивно. Мы можем узнать законы и отношения вещей в природе, только наблюдая эти вещи. Но знание, полученное от чувств, — это знание только частных фактов, и нам требуется некоторый процесс рассуждения, с помощью которого мы можем собрать из фактов законы, которым они подчиняются. Опыт дает нам материалы знания: индукция переваривает эти материалы и дает нам общее знание. Когда мы обладаем таким знанием в форме общих суждений и естественных законов, мы можем с пользой применить обратный процесс дедукции, чтобы установить точную информацию, требуемую в любой момент. В своем конечном основании, следовательно, все знание индуктивно — в том смысле, что оно получено путем определенного индуктивного рассуждения из фактов опыта.

Тем не менее верно — и это пункт, которому уделялось недостаточно внимания, — что все рассуждение основано на принципах дедукции. Я ставлю под сомнение существование какого-либо метода рассуждения, который можно было бы осуществлять без знания дедуктивных процессов. Я постараюсь показать, что индукция — это действительно обратный процесс дедукции. Нет способа установить законы, которым подчиняются определенные явления, если у нас нет способности определять, какие результаты последовали бы из данного закона. Точно так же, как процесс деления требует предварительного знания умножения, или интегральное исчисление покоится на наблюдении и запоминании результатов дифференциального исчисления, так и индукция требует предварительного знания дедукции. Обратный процесс — это отмена прямого процесса. Человек, который входит в лабиринт, должен либо довериться случаю, чтобы вывести его обратно, либо он должен внимательно заметить дорогу, по которой вошел. Факты, предоставленные нам опытом, — это лабиринт частных результатов; мы могли бы случайно наблюдать в них выполнение закона, но это едва ли возможно, если мы тщательно не изучим эффекты, которые прилагались бы к любому конкретному закону.

Соответственно, важность дедуктивного рассуждения вдвойне верховна. Даже когда мы получаем результаты индукции, они были бы бесполезны, если бы мы не могли дедуктивно применить их. Но прежде чем мы сможем получить их вообще, мы должны понять дедукцию, поскольку именно инверсия дедукции составляет индукцию. Наша первая задача в этой работе, следовательно, должна состоять в том, чтобы полностью проследить природу тождества во всех его формах проявления. Имея любой ряд суждений, мы должны быть готовы дедуктивно развить весь смысл, воплощенный в них, и все последствия, которые вытекают из них.

Символическое выражение логического вывода.

При развитии результатов Принципа вывода нам требуется использовать соответствующий язык знаков. Было бы, действительно, вполне возможно объяснить процессы рассуждения с помощью слов, найденных в словаре. Специальные примеры рассуждения, тоже, могут казаться более легко постижимыми, чем общие символические формы. Но в математических науках было показано, что достижение истины в значительной степени зависит от изобретения ясной, краткой и соответствующей системы символов. Такой язык не только удобен, но и почти существенен для выражения тех общих истин, которые являются самой душой науки. Постижение истины специальных случаев вывода не составляет логику; мы должны постигать их как случаи более общих истин. Объект всей науки — отделение того, что является общим и всеобщим, от того, что является случайным и различным. В системе логики, если где-либо, мы должны ценить эту общность и стремиться ясно показать то, что является сходным в очень разнообразных случаях. Отсюда великая ценность общих символов, с помощью которых мы можем представить форму процесса рассуждения, распутанную от любого рассмотрения специального предмета, к которому она применяется.

Знаки, требуемые в логике, очень простого рода. Поскольку одинаковость или различие должны существовать между двумя вещами или понятиями, нам нужны знаки для обозначения сравниваемых вещей или понятий и другие знаки для обозначения отношений между ними. Нам нужны, следовательно, (1) символы для терминов, (2) символ для одинаковости, (3) символ для различия и (4) один или два символа, чтобы занять место союзов.

Обычные имена существительные, такие как Железо, Металл, Электричество, Волнение, могли бы служить терминами, но, по причинам, объясненным выше, лучше принять пустые буквы, лишенные специального значения, такие как A, B, C и т. д. Каждая буква должна пониматься как представляющая существительное и, насколько позволяют условия аргумента, любое существительное. Точно так же, как в Алгебре x, y, z, p, q и т. д. используются для любых величин, неопределенных или неизвестных, за исключением случаев, когда учитываются специальные условия задачи, так и наши буквы будут стоять за неопределенные или неизвестные вещи.

Эти буквенные термины будут использоваться безразлично для имен существительных и прилагательных. Между этими двумя видами существительных могут быть различия с метафизической или грамматической точки зрения. Но грамматическое использование санкционирует преобразование прилагательных в существительные и наоборот; мы можем воспользоваться этой свободой, не предрешая никоим образом метафизических трудностей, которые могут быть вовлечены. Здесь, как и на протяжении всей этой работы, я посвящу свое внимание истинам, которые я могу представить в ясной и формальной манере, полагая, что в нынешнем состоянии логической науки этот курс приведет к большей выгоде, чем дискуссия о метафизических вопросах, которые могут лежать в основе любой части предмета.

Каждое существительное или термин обозначает объект и обычно подразумевает обладание этим объектом определенными качествами или обстоятельствами, общими для всех обозначаемых объектов. Существуют определенные термины, однако, которые подразумевают отсутствие качеств или обстоятельств, прилагаемых к другим объектам. Будет удобно использовать специальный способ обозначения этих отрицательных терминов, как их называют. Если общее имя A обозначает объект или класс объектов, обладающих определенными определенными качествами, то термин Не-A будет обозначать любой объект, который не обладает всеми этими качествами; короче говоря, Не-A — это знак для всего, что отличается от A в отношении любого одного или более из назначенных качеств. Если A обозначает «прозрачный объект», Не-A будет обозначать «непрозрачный объект». Краткость и легкость выражения имеют немаловажное значение в системе обозначений, и поэтому будет желательно заменить отрицательный термин Не-A более кратким символом. Де Морган представлял отрицательные термины маленькими римскими буквами, или иногда маленькими курсивными буквами; поскольку последние кажутся весьма удобными, я буду использовать a, b, c, ... p, q и т. д. как отрицательные термины, соответствующие A, B, C, ... P, Q и т. д. Таким образом, если A означает «жидкость», a будет означать «не жидкость».

Выражение тождества и различия.

Для обозначения отношения одинаковости или тождества я без колебаний принимаю знак =, так долго использовавшийся математиками для обозначения равенства. Этот символ был первоначально присвоен Робертом Рекордом в его «Точильном камне остроумия», чтобы избежать утомительного повторения слов «равно»; и он выбрал пару параллельных линий, потому что никакие две вещи не могут быть более равными. Значение знака, однако, постепенно расширялось за пределы равенства величин; математики сами использовали его для обозначения эквивалентности операций. Сила аналогии была настолько велика, что авторы в большинстве других отраслей науки использовали тот же знак. Филолог использует его для обозначения эквивалентности значения слов: химики принимают его для обозначения тождества по виду и равенства по весу элементов, которые образуют два разных соединения. Немало логиков, например Ламберт, Дробич, Джордж Бентам, Буль, использовали его как связку суждений. Де Морган отказался использовать его для этой цели, но еще более расширил его значение, включив в него эквивалентность суждения с посылками, из которых оно может быть выведено; и Герберт Спенсер применил его подобным же образом.

Многие люди могут подумать, что выбор символа — это вопрос небольшого значения или простого удобства; но я считаю, что общее использование этого знака = в столь многих различных значениях действительно основано на обобщении самого широкого характера и величайшей важности — том, которое, действительно, является главной целью этой работы объяснить. Использование одного и того же знака в разных случаях было бы нефилософским, если бы не было какой-то реальной аналогии между его разнообразными значениями. Если такая аналогия существует, то не только допустимо, но и весьма желательно и даже императивно использовать символ эквивалентности с общностью значения, соответствующей общности вовлеченных принципов. Соответственно, отказ Де Моргана использовать символ в логических суждениях указывал на его мнение, что существует недостаток аналогии между логическими суждениями и математическими уравнениями. Я использую знак, потому что придерживаюсь противоположного мнения.

Я полагаю, что знак =, как он обычно используется, всегда обозначает некоторую форму или степень одинаковости, и конкретная форма обычно указывается природой терминов, соединенных им. Таким образом, «6720 фунтов = 3 тонны» — это очевидно уравнение величин. Формула — × — = + выражает эквивалентность операций. «Экзогены = Двудольные» — это логическое тождество, выражающее глубокую истину относительно характера и происхождения важнейшей группы растений.

У нас есть большая потребность в логике в отдельном знаке для связки, потому что маленький глагол «есть» (или «суть»), до сих пор использовавшийся как в логике, так и в обычном дискурсе, является совершенно двусмысленным. Он иногда обозначает тождество, как в «Собор Св. Павла — это шедевр сэра Кристофера Рена»; но он чаще указывает на включение класса в класс, или частичное тождество, как в «Епископы являются членами Палаты лордов». Это последнее отношение включает тождество, но требует тщательного различения от простого тождества, как будет показано далее.

Когда с этим знаком равенства мы соединяем два существительных или логических термина, как в

Hydrogen = The least dense element,

мы означаем, что объект или группа объектов, обозначаемых одним термином, тождественна той, что обозначается другим, во всем, кроме имен. Общая формула

A = B

должна пониматься в том смысле, что A и B являются символами одного и того же объекта или группы объектов. Это тождество может иногда возникать из простого наложения имен, но оно может также возникать из глубочайших законов конституции природы; как когда мы говорим

Gravitating matter = Matter possessing inertia,

Exogenous plants = Dicotyledonous plants,

Plagihedral quartz crystals = Quartz crystals causing the plane of polarisation of light to rotate.

Нам нужно будет тщательно различать отношения терминов, которые могут быть изменены по нашей собственной воле, и те, которые фиксированы как выражающие законы природы; но в настоящее время мы рассматриваем только способ выражения, который может быть одинаковым в любом случае.

Иногда, но гораздо реже, нам требуется символ для обозначения различия или отсутствия полной одинаковости. Для этой цели мы можем обобщить подобным же образом символ ~, который был введен Валлисом для обозначения различия между величинами. Общая формула

B ~ C

обозначает, что B и C — это имена двух объектов или групп, которые не тождественны друг другу. Таким образом, мы можем сказать

Acrogens ~ Flowering plants.

Snowdon ~ The highest mountain in Great Britain.

Я также буду иногда использовать знак ᔕ для обозначения в самом общем виде существования любого отношения между двумя терминами, соединенными им. Таким образом, ᔕ могло бы означать не только отношения равенства или неравенства, одинаковости или различия, но любое специальное отношение времени, места, размера, причинности и т. д., в котором одна вещь может стоять к другой. Под A ᔕ B я имею в виду, следовательно, любые два объекта мысли, связанные друг с другом любым мыслимым образом.

Общая формула логического вывода.

Одно верховное правило вывода состоит, как я сказал, в указании утверждать о чем угодно все, что известно о его подобии, равном или эквивалентном. Подстановка подобных — это фраза, которая, кажется, удачно выражает способность взаимной замены, существующую в любых двух объектах, которые являются подобными или эквивалентными в достаточной степени. Это предмет для дальнейшего исследования — установить, когда и для каких целей степень сходства, меньшая, чем полное тождество, является достаточной для оправдания подстановки. В настоящее время мы думаем только о точной одинаковости, выраженной в форме

A = B.

Теперь, если мы возьмем букву C для обозначения любого третьего мыслимого объекта и используем знак ᔕ в его установленном значении неопределенного отношения, то общая формула всякого вывода может быть представлена следующим образом:

From     A = B ᔕ C

 we may infer   A ᔕ C

или, словами — В каком бы отношении вещь ни стояла ко второй вещи, в том же отношении она стоит к подобию или эквиваленту этой второй вещи. Тождество между A и B позволяет нам безразлично поместить A там, где было B, или B там, где было A; и нет предела разнообразию специальных значений, которые мы можем придать знакам, используемым в этой формуле, последовательно с ее истинностью. Таким образом, если мы сначала уточним только значение знака ᔕ, мы можем сказать, что если C — это вес B, то C — это также вес A. Подобным образом

If C is the father of B, C is the father of A;

If C is a fragment of B, C is a fragment of A;

If C is a quality of B, C is a quality of A;

If C is a species of B, C is a species of A;

If C is the equal of B, C is the equal of A;

и так далее ad infinitum.

Мы можем также наделить специальными значениями буквенные термины A, B и C, и процесс вывода никогда не будет ложным. Таким образом, пусть знак ᔕ означает «есть высота», и пусть

A = Snowdon,

B = Highest mountain in England or Wales,

C = 3,590 feet;

тогда очевидно следует, поскольку «3590 футов — это высота Сноудона», а «Сноудон = самая высокая гора в Англии или Уэльсе», что «3590 футов — это высота самой высокой горы в Англии или Уэльсе».

Один из результатов этого общего процесса вывода заключается в том, что мы можем в любом совокупном или сложном целом заменить любую часть ее эквивалентом, не изменяя целого. Изменить — значит создать различие; но если при замене части я не создаю различия, нет изменения целого. Многие выводы, которые были очень несовершенно включены в логические формулы, сразу следуют. Я помню, как покойный профессор Де Морган заметил, что вся логика Аристотеля не могла доказать, что «Поскольку лошадь — это животное, голова лошади — это голова животного». Я полагаю, что это сводится просто к замене в полном понятии «голова лошади» термина «лошадь» его эквивалентом «некоторое животное» или «животное». Подобным образом, поскольку

The Lord Chancellor = The Speaker of the House of Lords,

из этого следует, что

The death of the Lord Chancellor = The death of the Speaker of the House of Lords;

и любое событие, обстоятельство или вещь, которые стоят в определенном отношении к одному, будут стоять в подобном отношении к другому. Мильтон рассуждает таким образом, когда говорит в своей «Ареопагитике»: «Кто убивает человека, убивает разумное существо, образ Божий». Если мы можем предположить, что он имеет в виду

God’s image = man = some reasonable creature,

из этого следует, что «Убийца человека — это убийца некоторого разумного существа», а также «Убийца образа Божьего».

Эта замена эквивалентов может повторяться снова и снова в любой степени. Таким образом, если «лицо» тождественно по значению с «индивидом», из этого следует, что

Meeting of persons = meeting of individuals;

и если «собрание» = «встреча», мы можем сделать новую замену и показать, что

Meeting of persons = assemblage of individuals.

Мы можем, фактически, основать на этом принципе подстановки самую общую аксиому в следующих терминах:

Same parts samely related make same wholes.

Если, например, точно одинаковые кирпичи и другие материалы используются для постройки двух домов, и они одинаково расположены в каждом доме, два дома должны быть одинаковыми. В человеческом теле миллионы клеток, но если каждая клетка одного человека была бы представлена точно такой же клеткой, одинаково расположенной в другом теле, два человека были бы неразличимы и были бы только численно разными. Именно на этом принципе, как мы увидим, зависят все точные процессы измерения. Если вместо веса на чаше весов мы подставим другой вес, и равновесие останется совершенно неизменным, тогда веса должны быть точно равны. Общий тест равенства — это подстановка. Объекты одинаково яркие, когда при замене одного другим глаз не замечает разницы. Объекты равны по размерам, когда при проверке тем же калибром они подходят одинаковым образом. Вообще говоря, два объекта подобны в той мере, в какой при подстановке одного вместо другого не производится никакого изменения, и наоборот, когда они подобны, никакое изменение не производится подстановкой.

Распространяющаяся сила сходства.

Отношение сходства во всех его степенях взаимно. Поскольку вещи сходны, любая из них может быть заменена другой; и, возможно, именно в этом следует видеть сам смысл данного отношения. Однако стоит заметить, что сходству присуща особая способность распространяться на все подобные вещи. Чтобы сделать ряд вещей сходными друг с другом, нам достаточно сделать их сходными с одним эталонным объектом. Каждая монета, отчеканенная парой штемпелей, не только напоминает матрицу или исходный образец, с которого были изготовлены штемпели, но и напоминает любую другую монету, произведенную по тому же образцу. Среди миллиона таких монет насчитывается не менее 499 999 500 000 пар монет, напоминающих друг друга. Сходное с одним и то же — сходно со всеми. Одно из великих преимуществ книгопечатания состоит в том, что все копии документа, оттиснутые с одного набора шрифтов, неизбежно идентичны друг другу, и все, что верно для одной копии, будет верно для каждой. Точно так же, если пятьдесят рядов труб в органе настроены в идеальный унисон с одним рядом, обычно называемым «принципалом», они должны находиться в унисоне друг с другом. Сходство также может воспроизводить или распространять себя ad infinitum: ибо если ряд камертонов настроен в идеальный унисон с одним эталонным камертоном, все инструменты, настроенные по любому из этих камертонов, будут согласовываться с любым инструментом, настроенным по любому другому камертону. Стандартные меры длины, объема, веса или любого другого измеримого качества распространяются таким же образом. Поскольку копии исходного эталона, или копии копий, или копии этих копий выполнены точно, все они должны согласовываться друг с другом.

Именно способность к взаимной замене придает столь большую ценность современным методам механического производства, согласно которым все части машины являются точными факсимиле фиксированного образца. Винтовки, используемые в британской армии, сконструированы по американской системе взаимозаменяемости, так что любая деталь любой винтовки может быть заменена такой же деталью другой. Пуля, подходящая к одной винтовке, подойдет ко всем остальным того же калибра. Сэр Дж. Уитворт распространил ту же систему на винты и болты, используемые для соединения частей машин, установив ряд стандартных винтов.

Предвосхищение принципа подстановки.

В такой области, как логика, вряд ли возможно выдвинуть какие-либо мнения, которые в той или иной степени не рассматривались ранее. По крайней мере, зародыш каждой доктрины можно найти у более ранних авторов, и новизна должна заключаться главным образом в способе согласования и развития идей. Когда я впервые применил процесс и название «подстановка» в логике, я был побужден к этому аналогией с привычным математическим процессом подстановки значения символа, как оно дано в уравнении. При написании своего первого логического эссе я имел весьма несовершенное представление о важности и общности этого процесса и описал как равнозначные ряд других законов, которые теперь кажутся лишь частными случаями одного общего правила подстановки.

Мое второе эссе, «Подстановка сходного», было написано вскоре после того, как я осознал великое упрощение, которое может быть достигнуто при правильном применении принципа подстановки. Я тогда не был знаком с тем фактом, что немецкий логик Бенеке применял принцип подстановки и использовал само это слово при формировании теории силлогизма. Мое недостаточное знание немецкого языка помешало мне получить полное представление о взглядах Бенеке; но нет сомнений, что профессор Линдсей прав, утверждая, что он, и, вероятно, другие логики, были в некоторой степени знакомы с этим принципом. Даже изречение Аристотеля можно рассматривать как несовершенное изложение принципа подстановки; и, как я уже отмечал, нам нужно лишь модифицировать это изречение в соответствии с квантификацией предиката, чтобы прийти к полному процессу подстановки. Логики Пор-Рояля, по-видимому, придерживались почти равнозначных взглядов, ибо они считали, что все модусы силлогизма могут быть сведены к одному общему принципу. Из двух посылок они рассматривают одну как содержащее суждение (propositio continens), а другую как применительное суждение. Последнее суждение должно быть всегда утвердительным и представляет собой то, посредством чего производится подстановка; первое может быть отрицательным или нет и является тем, в чем осуществляется подстановка. Они также показывают, что этот метод охватывает определенные случаи сложного рассуждения, которым не было места в аристотелевском силлогизме. Их взгляды, вероятно, составляют величайшее улучшение логической доктрины, сделанное к тому времени со времен Аристотеля. Но истинная реформа в логике должна состоять не в объяснении силлогизма тем или иным способом, а в устранении всех узких ограничений аристотелевской системы и в демонстрации того, что существует бесконечное разнообразие логических аргументов, непосредственно выводимых из принципа подстановки, из которых древний силлогизм составляет лишь малую и даже не самую важную часть.

Логика отношений.

Существует сложная и важная ветвь логики, которую можно назвать логикой отношений. Если я, например, утверждаю, что поскольку Даниил Бернулли был сыном Иоганна, а Иоганн — братом Якова, то Даниил был племянником Якова, то доказать этот вывод никаким простым логическим процессом невозможно. Нам, во всяком случае, требуется предположить, что сын брата есть племянник. Простое логическое отношение — это то, которое существует между свойствами и обстоятельствами одного и того же объекта или класса. Но объекты и классы объектов также могут быть связаны в соответствии со всеми свойствами времени и пространства. Я полагаю, что можно действительно показать, что там, где делается вывод относительно таких отношений, на самом деле используется процесс подстановки и должна существовать тождественность; но я не берусь доказывать это утверждение в данной работе. Отношения времени и пространства — это логические отношения сложного характера, требующие глубокого и трудного исследования. Этот предмет был рассмотрен с таким большим мастерством Пирсом, Де Морганом, Эллисом и Харли, что я не буду в настоящей работе пытаться делать обзор их трудов, а лишь отошлю читателя к публикациям, в которых они могут быть найдены.

ГЛАВА II. ТЕРМИНЫ.

Каждое суждение выражает сходство или различие вещей, обозначаемых его терминами. Как вывод рассматривает отношение между двумя или более суждениями, так и суждение выражает отношение между двумя или более терминами. В той части этой работы, которая посвящена дедукции, будет удобно следовать обычному порядку изложения. Мы рассмотрим последовательно различные виды терминов, суждений и аргументов, и начнем в этой главе с терминов.

Самый простой и очевидный смысл, который может принадлежать термину, состоит в каком-либо единичном материальном объекте, таком как Вестминстерское аббатство, Стоунхендж, Солнце, Сириус и т. д. Вероятно, на ранних стадиях развития интеллекта объектами мышления являются только конкретные и осязаемые вещи. Самый маленький ребенок знает разницу между горячим и холодным телом. Собака может узнать своего хозяина среди сотни других людей, а животные с гораздо более низким интеллектом знают и различают свои места обитания. Во всех таких актах присутствует суждение относительно сходства физических объектов, но почти отсутствует или отсутствует вовсе способность анализировать каждый объект и рассматривать его как группу качеств.

Достоинство интеллекта начинается со способности отделять точки согласия от точек различия. Сравнение двух объектов может привести нас к осознанию того, что они одновременно похожи и непохожи. Два фрагмента скалы могут полностью различаться по внешней форме, но они могут иметь одинаковый цвет, твердость и текстуру. Цветы, которые сходны по цвету, могут различаться по запаху. Разум учится рассматривать каждый объект как совокупность качеств и приобретает способность по желанию останавливаться на одном или другом из этих качеств, исключая остальные. Логическая абстракция, короче говоря, вступает в игру, и разум становится способным рассуждать не только об объектах, которые физически полны и конкретны, но и о вещах, о которых можно думать отдельно в уме, хотя они не существуют отдельно в природе. Мы можем думать о твердости скалы или цвете цветка и таким образом создавать абстрактные понятия, обозначаемые абстрактными терминами, которые будут формировать предмет для дальнейшего рассмотрения.

В то же время возникают общие понятия и классы объектов. Мы не можем не заметить, что качество «твердость» существует во многих объектах, например, во многих фрагментах скалы; мысленно объединяя их, мы создаем класс «твердый объект», который будет включать не только фактически исследованные объекты, но и все другие, которые могут оказаться сходными с ними, как они сходны друг с другом. Поскольку наши чувства не могут сообщить нам обо всем содержимом пространства, мы обычно не можем установить никаких ограничений для количества объектов, которые могут попасть в такой класс. В этот момент мы начинаем осознавать силу и общность мышления, которая позволяет нам в одном акте иметь дело с неопределенно или даже бесконечно многочисленными объектами. Мы можем с уверенностью утверждать, что все, что верно для любого одного объекта, входящего в класс, верно для любого из других объектов, поскольку они обладают общими качествами, подразумеваемыми их принадлежностью к классу. Мы не должны помещать вещь в класс, если мы не готовы верить относительно нее во все то, во что верят относительно класса в целом; но остается важным вопросом решение того, насколько и каким образом мы можем безопасно предпринимать попытки таким образом определять место объектов в той общей системе классификации, которая составляет тело науки.

Двойной смысл общих имен.

Этимологически «значение» имени — это то, о чем нас заставляют думать, когда используется это имя. Теперь каждое общее имя заставляет нас думать об одном или нескольких объектах, принадлежащих к классу; оно также может заставить нас думать об общих качествах, которыми обладают эти объекты. Говорят, что имя «денотирует» (denote) объект мысли, к которому оно может быть применено; оно «имплицирует» (implies) в то же время обладание определенными качествами или обстоятельствами. Объекты, которые денотируются, образуют «экстенсивное» значение термина (extent of meaning); качества, которые имплицируются, образуют «интенсивное» значение (intent of meaning). Кристалл — это имя любого вещества, молекулы которого расположены регулярным геометрическим образом. Вещества или объекты, о которых идет речь, образуют экстенсивное значение; обстоятельство расположения молекул таким образом образует интенсивное значение.

Когда мы сравниваем общие термины друг с другом, часто можно обнаружить, что значение одного включено в значение другого. Так, все «кристаллы» включены в число «материальных веществ», а все «непрозрачные кристаллы» включены в число «кристаллов»; здесь включение происходит по объему (extension). Мы также можем иметь включение значения в отношении содержания (intension). Ибо, поскольку все кристаллы являются материальными веществами, качества, имплицируемые термином «материальное вещество», должны быть среди тех, которые имплицируются «кристаллом». Опять же, очевидно, что в то время как по объему значения непрозрачные кристаллы являются лишь частью кристаллов, по содержанию значения «кристалл» является лишь частью «непрозрачного кристалла». Мы увеличиваем интенсивное значение термина, присоединяя к нему прилагательные или фразы, эквивалентные прилагательным, и удаление таких прилагательных, конечно, уменьшает интенсивное значение. Теперь, относительно таких изменений значения, повсеместно верен следующий важнейший закон: когда интенсивное значение термина увеличивается, объем уменьшается; и наоборот, когда объем увеличивается, содержание уменьшается. Короче говоря, по мере того как одно увеличивается, другое уменьшается.

Этот закон относится только к логическим изменениям. Количество паровых машин в мире может быстро увеличиваться без изменения интенсивного значения имени. Закон будет проверен, опять же, только тогда, когда произойдет реальное изменение в интенсивном значении, а прилагательное часто может быть присоединено к существительному без внесения изменений. «Элементарный металл» идентичен «металлу»; «смертный человек» — «человеку»; поскольку свойством всех металлов является быть элементами, а всех людей — быть смертными.

Нет предела количеству значения, которое может иметь термин. Термин может денотировать один объект, или многие, или бесконечное число; он может имплицировать одно качество, если таковое существует, или группу любого количества качеств, и все же закон, связывающий объем и содержание, будет безотказно применяться. Взяв общее имя «планета», мы увеличиваем его содержание и уменьшаем его объем, добавив прилагательное «внешняя»; и если мы далее добавим «ближайшая к Земле», останется только одна планета, Марс, к которой тогда может быть применено это имя. Сингулярные термины, которые денотируют только одного индивида, подпадают под тот же закон значения, что и общие имена. Их можно рассматривать как общие имена, значение которых по объему сведено к минимуму. Логики ошибочно утверждали, как мне кажется, что сингулярные термины лишены значения по содержанию, в то время как факт состоит в том, что они превосходят все другие термины в этом виде значения, как я пытался показать в другом месте.

Абстрактные термины.

Сравнение объектов и анализ сложных сходств и различий, которые они представляют, приводят нас к концепции «абстрактных качеств». Мы учимся думать об одном объекте не только как об отличном от другого, но как о различающемся в каком-то конкретном пункте, таком как цвет, вес или размер. Мы можем затем превратить точки согласия или различия в отдельные объекты мысли, которые мы называем качествами и обозначаем «абстрактными терминами». Так, термин «краснота» означает нечто, в чем ряд объектов согласуются по цвету и в силу чего они называются красными. Краснота образует, по сути, интенсивное значение термина «красный».

Абстрактные термины сильно отличаются от общих терминов тем, что обладают только одним видом значения; ибо, поскольку они денотируют качества, нет ничего, что они не могли бы дополнительно имплицировать. Прилагательное «красный» — это имя красных объектов, но оно имплицирует обладание ими качеством «краснота»; но этот последний термин имеет один единственный смысл — только качество. Таким образом, получается, что абстрактные термины неспособны к множественности. Красные объекты численно отличны друг от друга, и существует множество таких объектов; но краснота — это единое качество, которое проходит через все эти объекты и является тем же самым в одном, что и в другом. Правда, мы можем говорить о «краснотах», имея в виду разные виды или оттенки красноты, точно так же, как мы можем говорить о «цветах», имея в виду разные виды цветов. Но при различении видов, степеней или других различий мы делаем термины в этой мере конкретными. В том, что они просто красные, в красных объектах есть только одна природа, и поскольку вещи просто окрашены, цвет — это единое неделимое качество. Краснота, поскольку она является просто краснотой, везде одна и та же и обладает абсолютным единством. В силу этого единства мы приобретаем способность обращаться со всеми примерами такого качества так, как мы можем обращаться с любым одним. Мы обладаем, короче говоря, общим знанием.

Субстанциальные термины.

Логики, по-видимому, мало обращали внимания на класс терминов, которые в определенных отношениях разделяют характер абстрактных терминов и все же, несомненно, являются именами конкретных существующих вещей. Эти термины — имена веществ, таких как золото, карбонат кальция, азот и т. д. Мы не можем говорить о двух «золотах», двадцати «карбонатах кальция» или ста «азотах». Между частями однородного вещества нет такого различия, которое позволило бы различать многочисленных индивидов. Качества цвета, блеска, ковкости, плотности и т. д., по которым мы узнаем золото, распространяются через его вещество независимо от конкретного размера или формы. Поскольку вещество является золотом, оно везде одно и то же; так что термины этого рода, которые я предлагаю называть «субстанциальными терминами», обладают особым единством абстрактных терминов. И все же они не абстрактны; ибо золото, конечно, является осязаемым видимым телом, полностью конкретным и существующим независимо от других тел.

Только когда путем фактического механического деления мы разбиваем однородное целое, которое образует значение субстанциального термина, мы вводим число. «Кусок золота» — это термин, способный к множественности; ибо может быть очень много кусков, различаемых либо по их различным формам и размерам, либо, при отсутствии таких признаков, путем одновременного занятия разных частей пространства. По существу они едины; что касается свойств пространства, они множественны. Нам не нужно далее углубляться в этот вопрос, который включает различие между единством и множественностью, пока мы не рассмотрим принципы числа в последующей главе.

Собирательные термины.

Мы должны четко различать собирательные и общие значения терминов. Одно и то же имя может быть использовано для обозначения всего тела существующих объектов определенного рода или любого из этих объектов, взятого отдельно. «Человек» может означать совокупность существующих людей, которую мы иногда описываем как «человечество»; это также общее имя, применяемое к любому человеку. «Растительное царство» — это имя всей совокупности растений, но «растение» само по себе является общим именем, применяемым к любому одному или другому растению. Каждый материальный объект может быть представлен как делимый на части и поэтому является собирательным в отношении этих частей. Животное тело состоит из клеток и волокон, кристалл — из молекул; везде, где возможно физическое деление, или, как его называли, «разделение», мы имеем дело в действительности с собирательным целым. Таким образом, большее число общих терминов в то же время являются собирательными в отношении каждого индивидуального целого, которое они обозначают.

Едва ли стоит указывать, что мы не должны делать вывод о собирательном целом из того, что мы знаем только о частях, ни о частях из того, что мы знаем только о целом. Отношение целого и части не является отношением тождества и не допускает подстановки. Тем не менее могут существовать качества, которые одинаково верны для целого и для его частей. Ряд органных труб, настроенных в унисон, производят совокупность звука, которая имеет точно такую же высоту, как каждый отдельный звук. В случае субстанциальных терминов определенные качества могут присутствовать в равной степени в каждой мельчайшей части, как и в целом. Химическая природа самой большой массы чистого карбоната кальция такая же, как природа самой маленькой частицы. В случае абстрактных терминов, опять же, мы не можем провести различие между целым и частью; то, что верно для красноты в любом случае, всегда верно для красноты, поскольку она является просто красной.

Синтез терминов.

Мы постоянно объединяем простые термины вместе, чтобы сформировать новые термины более сложного значения. Так, чтобы увеличить интенсивное значение термина, мы пишем его с прилагательным или фразой адъективного характера. Присоединяя «хрупкий» к «металлу», мы получаем комбинированный термин «хрупкий металл», который обозначает определенную часть металлов, а именно те, которые выбраны из-за обладания качеством «хрупкости». Как мы уже видели, «хрупкий металл» обладает меньшим объемом и большим содержанием, чем «металл». Существительные, предложные фразы, причастные обороты и подчиненные суждения также могут быть добавлены к терминам, чтобы увеличить их содержание и уменьшить их объем.

В нашем символическом языке нам нужен какой-то способ обозначения этого соединения терминов, и самым удобным устройством будет соположение буквенных терминов. Так, если A означает «хрупкий», а B означает «металл», то AB будет означать «хрупкий металл». И не должно быть никакого предела количеству букв, соединенных таким образом, или сложности понятий, которые они могут представлять.

Так, если мы возьмем буквы

P = metal,
Q = white,
R = monovalent,
S = of specific gravity 10·5,
T = melting above 1000° C.,
V = good conductor of heat and electricity,

то мы можем сформировать комбинированный термин PQRSTV, который будет обозначать «белый одновалентный металл с удельным весом 10,5, плавящийся выше 1000° C и являющийся хорошим проводником тепла и электричества».

Существует много грамматических употреблений, касающихся соединения слов и фраз, на которые нам не нужно обращать внимание в логике. Мы никогда не можем сказать в обычном языке «деревянный стол» (of wood table), имея в виду «стол из дерева» (table of wood); но мы можем рассматривать «из дерева» логически как точный эквивалент «деревянного»; так что если

X = of wood,
Y = table,

нет причин, почему в наших символах XY не могло бы быть таким же правильным выражением для «стола из дерева», как YX. В этом случае, действительно, мы могли бы заменить «из дерева» соответствующим прилагательным «деревянный», но мы часто не смогли бы найти никакого прилагательного, точно соответствующего фразе. Нет ни одного слова, которым мы могли бы выразить понятие «с удельным весом 10,5»: но логически мы можем рассматривать эти слова как образующие прилагательное; и, обозначая это через S, а металл через P, мы можем сказать, что SP означает «металл с удельным весом 10,5». Одно из многих преимуществ этих пустых буквенных символов заключается в том, что они позволяют нам полностью пренебречь всеми грамматическими особенностями и сосредоточить наше внимание исключительно на чисто логических отношениях. Исследование, вероятно, покажет, что правила грамматики в основном основаны на традиционном употреблении и имеют мало логического значения. Это, действительно, достаточно доказано широкими грамматическими различиями, которые существуют между языками, хотя логическое основание должно быть одним и тем же.

Символическое выражение закона противоречия.

Синтез терминов подчиняется важнейшему Закону Мышления, описанному в предыдущем разделе (стр. 5) и называемому Законом Противоречия. Самоочевидно, что никакое качество не может одновременно присутствовать и отсутствовать в одно и то же время и в одном и том же месте. Это фундаментальное условие всякого мышления и всякого существования выражается символически правилом, что термин и его отрицание никогда не должны допускаться к соединению. Такие комбинированные термины, как Aa, Bb, Cc и т. д., самопротиворечивы и лишены всякого понятного смысла. Если бы они могли что-то представлять, это было бы то, что не может существовать и не может быть даже воображено в уме. Поэтому они могут входить в наше рассмотрение только для того, чтобы подвергнуться немедленному исключению. Критерий ложного рассуждения, как мы обнаружим, заключается в том, что оно включает самопротиворечие, утверждение и отрицание одного и того же высказывания. Мы могли бы представить объект всякого рассуждения как отделение последовательного и возможного от непоследовательного и невозможного; и мы не можем сделать никакого утверждения, кроме трюизма, не подразумевая, что определенные комбинации терминов противоречивы и исключены из мышления. Утверждать, что «все A суть B», эквивалентно утверждению, что «A, которые не суть B, не могут существовать».

Будет удобно иметь средства для обозначения исключения самопротиворечивого, и мы можем использовать привычный знак для «ничего», цифру 0. Таким образом, второй закон мышления может быть символизирован в формах

Aa = 0  ABb = 0  ABCa = 0

Мы можем по-разному описывать значение 0 в логике как «несуществующее», «невозможное», «самопротиворечивое», «непостижимое». Между этим значением и его математическим обозначением существует тесная аналогия.

Некоторые особые условия логических символов.

Для того чтобы мы могли рассуждать и делать выводы истинно, мы должны обращаться с нашими логическими символами в соответствии с фундаментальными законами Тождества и Различия. Но при таком использовании наших символов мы часто будем встречать комбинации, значение которых не будет очевидным на первый взгляд. Если в одном случае мы узнаем, что объект «желтый и круглый», а в другом случае, что он «круглый и желтый», возникает вопрос, идентичны ли эти два описания по значению или нет. Опять же, если мы докажем, что объект был «круглый круглый», значение такого выражения было бы сомнительным. Соответственно, мы должны принять к сведению, прежде чем двигаться дальше, некоторые особые законы, которые управляют комбинацией логических терминов.

Во-первых, комбинация логического термина с самим собой не имеет эффекта, точно так же, как повторение утверждения не меняет значения утверждения; «круглый круглый объект» — это просто «круглый объект». То, что желтое желтое, — это просто желтое; металлические металлы не могут отличаться от металлов, ни круговые круги от кругов. В нашем символическом языке мы можем аналогично утверждать, что AA идентично A, или

A = AA = AAA = &c.

Покойный профессор Буль — единственный логик в современную эпоху, который обратил внимание на это замечательное свойство логических терминов; но вместо имени, которое он дал закону, я предложил назвать его Законом Простоты. Его высокая важность станет очевидной только тогда, когда мы попытаемся определить отношения логической и математической науки. Два символа количества, и только два, по-видимому, подчиняются этому закону; мы можем сказать, что 1 × 1 = 1 и 0 × 0 = 0 (принимая 0 за абсолютный ноль или 1 – 1); по-видимому, нет другого числа, которое в комбинации с самим собой дает неизменный результат. Я укажу, однако, в главе о Числе, что в действительности все числовые символы подчиняются этому логическому принципу.

Любопытно, что этот Закон Простоты, хотя почти незамеченный в современную эпоху, был известен Боэцию, который делает своеобразное замечание в своем трактате De Trinitate et Unitate Dei (стр. 959). Он говорит: «Если бы я сказал солнце, солнце, солнце, я бы не сделал три солнца, но я бы назвал одно солнце так много раз». Древние дискуссии о доктрине Троицы привлекали больше внимания к тонким вопросам относительно природы единства и множественности, чем когда-либо с тех пор.

Второй закон логических символов состоит в том, что порядок комбинации является делом безразличия. «Богатые и редкие драгоценные камни» — это то же самое, что «редкие и богатые драгоценные камни», или даже как «драгоценные камни, богатые и редкие». Грамматическое, риторическое или поэтическое употребление может придавать значительный смысл порядку выражения. Ограниченная сила нашего ума не позволяет нам схватывать много идей сразу, и поэтому порядок высказывания может производить некоторый эффект, но не просто логическим образом. Вся жизнь протекает в последовательности времени, и мы обязаны писать, говорить или даже думать о вещах и их качествах одну за другой; но между вещами и их качествами не должно быть такой связи порядка во времени или пространстве. Сладость сахара не до и не после его веса и растворимости. Твердость металла, его цвет, вес, непрозрачность, ковкость, электрические и химические свойства — все они сосуществуют и соразмерны, пронизывая металл и каждую его часть в совершенной общности, ни одно не до и не после других. В наших словах и символах мы не можем соблюдать это естественное условие; мы должны назвать одно качество первым, а другое вторым, точно так же, как кто-то должен быть первым, кто подпишет петицию, или идти впереди в процессии. В природе нет такого старшинства.

Я нахожу, что мнение, изложенное здесь, о том, что отношения пространства и времени не применимы ко многим нашим идеям, четко принято Юмом в его знаменитом «Трактате о человеческой природе» (том I, стр. 410). Он говорит: «Объект можно назвать находящимся нигде, когда его части не расположены по отношению друг к другу так, чтобы образовывать какую-либо фигуру или количество; ни целое по отношению к другим телам так, чтобы отвечать нашим понятиям смежности или расстояния. Теперь это очевидно случай со всеми нашими восприятиями и объектами, за исключением тех, что относятся к зрению и осязанию. Моральное размышление не может быть помещено с правой или с левой стороны страсти, ни запах или звук не могут быть круглой или квадратной фигурой. Эти объекты и восприятия, будучи далеки от требования какого-либо определенного места, абсолютно несовместимы с ним, и даже воображение не может приписать его им».

Небольшое размышление покажет, что знание в высшем совершенстве состояло бы в одновременном обладании множеством фактов. Чтобы постичь науку идеально, мы должны были бы иметь каждый факт присутствующим с каждым другим фактом. Мы должны написать книгу и мы должны читать ее последовательно, слово за словом, но насколько бесконечно выше были бы наши силы мышления, если бы мы могли охватить целое в одном собирательном акте сознания! По сравнению с животными мы действительно обладаем некоторым слабым приближением к такой силе, и мыслимо, что в неопределенном будущем разум может приобрести увеличение способности и быть менее ограниченным в пошаговом исследовании предмета. Но я хочу здесь прояснить, что нет логического основания для последовательного характера мышления и рассуждения, неизбежного при наших нынешних ментальных условиях. Мы логически слабы и несовершенны в отношении того факта, что мы обязаны думать об одной вещи после другой. Мы должны описать металл как «твердый и непрозрачный» или «непрозрачный и твердый», но в самом металле нет такой разницы в порядке; свойства одновременны и соразмерны в существовании.

Отбрасывая все грамматические особенности, которые делают существительное менее подвижным, чем прилагательное, и не принимая во внимание любое значение, указанное акцентом или отмеченным порядком слов, мы можем констатировать, как общий закон логики, что AB идентично BA, или AB = BA. Аналогично, ABC = ACB = BCA = и т. д.

Буль первым обратил внимание в последние годы на это свойство логических терминов, и он назвал его свойством Коммутативности. Он не только изложил закон с предельной ясностью, но и указал, что это Закон Мышления, а не Закон Вещей. Мне придется в различных частях этой работы показать, как необходимое несовершенство наших символов, выраженное в этом законе, цепляется за наши способы выражения и вносит усложнение во все тело математических формул, которые на самом деле основаны на логическом базисе.

Конечно, очевидно, что сила коммутации принадлежит только терминам, связанным в простом логическом способе синтеза. Никто не может спутать «дом из кирпичей» с «кирпичами дома», «двенадцать квадратных футов» с «двенадцатью футами в квадрате», «воду кристаллизации» с «кристаллизацией воды». Все отношения, которые включают различия времени и пространства, неконвертируемы; высшее не должно меняться местами с низшим, ни первое с последним. Для вовлеченных сторон есть вся разница в мире между «A убивает B» и «B убивает A». Закон коммутативности просто утверждает, что различие порядка не относится к связи между свойствами и обстоятельствами вещи — к тому, что я называю простым логическим отношением.

ГЛАВА III. СУЖДЕНИЯ.

Теперь мы переходим к рассмотрению разнообразия форм суждений, в которых должны быть выражены истины науки. Я постараюсь показать, что, как бы разнообразны ни были эти формы, все они допускают применение одного и того же принципа вывода: то, что верно для вещи, верно для подобного или того же самого. Этот принцип остается верным независимо от вида или способа сходства, при условии, что должное внимание уделяется его природе. Суждения могут утверждать тождество времени, пространства, способа, количества, степени или любого другого обстоятельства, в котором вещи могут соглашаться или различаться.

Мы находим пример суждения относительно времени в следующем: «Год, в который родился Ньютон, был годом, в который умер Галилей». Это суждение выражает приблизительное тождество времени между двумя событиями; следовательно, все, что верно для года, в который умер Галилей, верно для того, в который родился Ньютон, и наоборот. «Тауэр-Хилл — это место, где был казнен Рэли» выражает тождество места; и все, что верно для одного места, верно для места, определенного иначе, но в действительности того же самого. В обычном языке у нас есть много суждений, смутно выражающих тождества числа, количества или степени. «Сколько людей, столько умов» — это суждение относительно числа, то есть уравнение; все, что верно для числа людей, верно для числа умов, и наоборот. «Плотность Марса (почти) такая же, как у Земли», «Сила тяжести прямо пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния» — это суждения относительно величины или степени. Логики не уделили должного внимания большому разнообразию суждений, которые могут быть сформулированы с использованием маленького союза «как» вместе с «так». «Каков дом, таковы и люди» — это суждение, выражающее тождество способа; и можно было бы процитировать большое количество подобных суждений, указывающих на какой-то вид сходства. Каков бы ни был особый вид тождества, все такие выражения подлежат великому принципу вывода; но поскольку мы в более поздних частях этой работы будем рассматривать более подробно вывод в случаях числа и величины, мы здесь ограничим наше внимание логическими суждениями, которые включают только понятия качества.

Простые тождества.

Самый важный класс суждений состоит из тех, которые подпадают под формулу

A = B,

и могут быть названы «простыми тождествами». Я могу привести в пример, во-первых, те самые элементарные суждения, которые выражают точное сходство качества, встреченного в двух или более объектах. Я могу сравнить цвет Тихого океана с цветом Атлантического и объявить их идентичными. Я могу утверждать, что «запах тухлого яйца похож на запах сероводорода»; «вкус гипосульфита серебра похож на вкус тростникового сахара»; «звук землетрясения напоминает звук дальней артиллерии». Таковы суждения, констатирующие, точно или иначе, тождество простых физических ощущений. Суждения такого рода обязательно предполагаются в более сложных суждениях. Если я объявляю, что «эта монета сделана из золота», я должен основывать суждение на точном сходстве вещества в нескольких качествах с другими кусками вещества, которые, несомненно, являются золотом. Я должен сделать суждения о цвете, удельном весе, твердости и других механических и химических свойствах; каждое из этих суждений выражено в элементарном суждении: «цвет этой монеты — это цвет золота» и так далее. Даже когда мы устанавливаем тождество вещи с самой собой под другим именем или аспектом, это происходит путем отдельных суждений относительно отдельных обстоятельств. Чтобы доказать, что гомеровский χαλκός — это медь, мы должны показать тождество каждого качества, записанного о χαλκός, с качеством меди. Чтобы установить Дил как место высадки Цезаря, все материальные обстоятельства должны быть показаны как согласующиеся. Если современный Вроксетер — это древний Урикониум, должно быть подобное согласие всех особенностей страны, не подверженных изменению временем.

Такие тождества должны быть выражены в форме A = B. Мы можем сказать

Colour of Pacific Ocean = Colour of Atlantic Ocean.

Smell of rotten egg = Smell of hydrogen sulphide.

В этих и подобных суждениях мы утверждаем тождество отдельных качеств или причин ощущения. В той же форме мы можем также выразить тождество любой группы качеств, как в

χαλκός = Copper.
Deal = Landing-place of Cæsar.

Множество суждений, включающих сингулярные термины, подпадают под ту же форму, как в

The Pole star = The slowest-moving star.

Jupiter = The greatest of the planets.

The ringed planet = The planet having seven satellites.

The Queen of England = The Empress of India.

The number two = The even prime number.

Honesty = The best policy.

В математических и научных теориях мы часто встречаем простые тождества, способные к выражению в той же форме. Так, в механической науке «Процесс нахождения равнодействующей сил = процессу нахождения равнодействующей одновременных скоростей». Теоремы в геометрии часто дают результаты в этой форме, как

Equilateral triangles = Equiangular triangles.

Circle = Finite plane curve of constant curvature.

Circle = Curve of least perimeter.

Более глубокие и важные законы природы часто выразимы в форме простых тождеств; в дополнение к некоторым примерам, которые уже были даны, я могу предложить,

Crystals of cubical system = Crystals not possessing the power of double refraction.

Все определения обязательно имеют эту форму, независимо от того, являются ли определенные объекты многими, немногими или сингулярными. Так мы можем сказать,

Common salt = Sodium chloride.

Chlorophyl = Green colouring matter of leaves.

Square = Equal-sided rectangle.

Это экстраординарный факт, что суждения этой элементарной формы, столь важные и очень многочисленные, не имели признанного места в системе Логики Аристотеля. Соответственно, их важность не замечалась до самого недавнего времени, и логика была самой деформированной из наук. Но невозможно, чтобы Аристотель или кто-либо другой избегал их постоянного использования; ни один термин не мог быть определен без их использования. По крайней мере в одном месте Аристотель фактически замечает суждение такого рода. Он наблюдает: «Мы иногда говорим, что та белая вещь — это Сократ, или что приближающийся объект — это Каллий». Здесь мы, безусловно, имеем простое тождество терминов; но он считал такие суждения чисто случайными и пришел к неудачному выводу, что «Сингулярное не может быть предикатом других терминов».

Суждения могут также выражать тождество экстенсивных групп объектов, взятых собирательно или в одном связанном целом; как когда мы говорим,

The Queen, Lords, and Commons = The Legislature of the United Kingdom.

Когда Блэкстон утверждает, что «Единственное истинное и естественное основание общества — это потребности и страхи индивидов», мы должны интерпретировать его как означающее, что совокупность потребностей и страхов индивидов в целом образует основание общества. Но многие суждения, которые могли бы показаться собирательными, являются лишь группами сингулярных суждений или тождеств. Когда мы говорим «Калий и натрий — это металлические основания поташа и соды», мы очевидно имеем в виду,

Potassium = Metallic base of potash;
Sodium = Metallic base of soda.

Работа грамматического анализа состоит в том, чтобы отделить различные суждения, часто объединенные в одно предложение. От логики нельзя должным образом требовать интерпретации форм и устройств языка, а только рассматривать значение, когда оно четко представлено.

Частичные тождества.

Второй высоко важный вид суждения — это тот, который я предлагаю называть «частичным тождеством». Когда мы говорим, что «Все млекопитающие суть позвоночные», мы не имеем в виду, что млекопитающие животные идентичны позвоночным животным, а только то, что млекопитающие образуют часть класса позвоночных. Такое суждение рассматривалось в старой логике как утверждение включения одного класса в другой или объекта в класс. Оно называлось общеутвердительным суждением, потому что атрибут «позвоночный» утверждался о всем субъекте «млекопитающие»; но атрибут назывался «нераспределенным», потому что не все позвоночные были по необходимости вовлечены в суждение. Аристотель, упуская из виду важность простых тождеств и, действительно, почти отрицая их существование, к сожалению, основал свою систему на понятии включения в класс, вместо того чтобы принять базис тождества. Он рассматривал вывод как покоящийся на правиле, что то, что верно для содержащего класса, верно для содержащегося, вместо гораздо более общего правила, что то, что верно для класса или вещи, верно для подобного. Таким образом, он не только свел логику к фрагменту ее собственного «я», но и разрушил глубокие аналогии, которые связывают логическое и математическое рассуждение. Отсюда множество дефектов, трудностей и ошибок, которые долго будут обезображивать первую и самую простую из наук.

Безусловно очевидно, что отношение включения покоится на отношении тождества. Млекопитающие животные не могут быть включены в число позвоночных, если они не идентичны части позвоночных. Члены кабинета министров включены почти всегда в класс членов парламента, потому что они идентичны с некоторыми, кто заседает в парламенте. Мы можем указать это тождество с частью большего класса различными способами; как, например,

Mammalia = part of the vertebrata.
Diatomaceæ = a class of plants.

Cabinet Ministers = some members of Parliament.

Iron = a metal.

В обычном языке глаголы «есть» и «суть» выражают простое включение чаще, чем нет. «Люди суть смертны» означает, что люди образуют часть класса «смертный»; но существует большая путаница между этим смыслом глагола и тем, в котором он выражает тождество, как в «Солнце есть центр планетной системы». Введение неопределенного артикля «а» часто выражает частичность; когда мы говорим «Железо — это металл», мы ясно имеем в виду, что железо — это только один из нескольких металлов.

Некоторые недавние логики предложили избежать неопределенности, о которой идет речь, посредством того, что называется Квантификацией Предиката, и они обычно использовали маленькое слово «некоторые», чтобы показать, что только часть предиката идентична субъекту. «Некоторые» — это неопределенное прилагательное; оно имплицирует неизвестные качества, посредством которых мы могли бы выбрать часть, о которой идет речь, если бы качества были известны, но оно не дает никакого намека на их природу. Я мог бы использовать такой неопределенный знак для выражения частичных тождеств в этой работе. Так, взяв специальный символ V = Некоторые, общая форма частичного тождества была бы A = VB, и в Логике Буля выражения такого рода часто использовались. Но я полагаю, что неопределенные символы только вносят сложность и разрушают красоту и простую универсальность системы, которая может быть создана без их использования. Расплывчатое слово, подобное «некоторые», используется в обычном языке только путем эллипсиса и чтобы избежать труда достижения точности. Мы всегда можем использовать более определенные выражения, если хотим; но когда однажды введено неопределенное «некоторые», мы не можем заменить его специальным описанием. Мы не знаем, является ли «некоторый» цвет красным, желтым, синим или каким он является; но, с другой стороны, красный цвет — это, безусловно, «некоторый» цвет.

На протяжении всей этой системы логики я буду обходиться без таких неопределенных выражений; и это можно легко сделать, заменив один из других терминов. Чтобы выразить суждение «Все A суть некоторые B», я не буду использовать форму A = VB, но

A = AB.

Эта формула утверждает, что класс A идентичен классу AB; и поскольку последний должен быть частью, по крайней мере, класса B, она имплицирует включение класса A в класс B. Мы могли бы представить наш прежний пример так,

Mammalia = Mammalian vertebrata.

Это суждение утверждает тождество между частью (или это может быть целое) позвоночных и млекопитающими. Если спрашивается: Какая часть? — суждение не дает ответа, кроме того, что это часть, которая является млекопитающей; но утверждение «млекопитающие = некоторые позвоночные» не говорит нам большего.

Вполне вероятно, что некоторые читатели сочтут этот способ представления общеутвердительного суждения искусственным и сложным. Я не берусь убедить их в обратном в этой точке моего изложения. Обоснование для него будет найдено не столько в непосредственном рассмотрении этого суждения, сколько в общей гармонии, которую оно позволит нам раскрыть между всеми частями рассуждения. Я не сомневаюсь, что это критическая трудность в отношении логических к другим формам рассуждения. Признайте этот способ обозначения того, что «все A суть B», и я не боюсь дальнейших трудностей; откажитесь от него, и мы найдем отсутствие аналогии и бесконечную аномалию в каждом направлении. Именно на общих основаниях я надеюсь показать подавляющие причины для стремления свести каждый вид суждения к форме тождества.

Я могу добавить, что немало логиков приняли этот взгляд на общеутвердительное суждение. Лейбниц в своих Difficultates Quædam Logicæ принимает его, говоря: «Omne A est B; id est æquivalent AB et A, seu A non B est nonens». Буль использовал логическое уравнение x = xy одновременно с x = vy; и Сполдинг четко говорит, что суждение «все металлы суть минералы» можно описать как утверждение частичного тождества между двумя классами. Отсюда название, которое я принял для суждения.

Ограниченные тождества.

Важный класс суждений имеет форму

AB = AC,

выражающую тождество класса AB с классом AC. Другими словами, «Внутри сферы класса A все B суть все C»; или опять же, «B и C, которые суть A, идентичны». Но будет замечено, что ничего не утверждается относительно вещей, которые находятся вне класса A; и таким образом тождество имеет ограниченный объем. Это суждение B = C, ограниченное сферой вещей, называемых A. Так мы можем сказать, с некоторым приближением к истине, что «Большие растения — это растения, лишенные способности к передвижению».

Барристер может сделать множество самых общих заявлений относительно отношений лиц и вещей в ходе аргументации, но, конечно, следует понимать, что он говорит только о лицах и вещах по английскому праву. Даже математики делают заявления, которые не верны с абсолютной общностью. Они говорят, что мнимые корни входят в уравнения парами; но это верно только при молчаливом условии, что уравнения, о которых идет речь, не должны иметь мнимых коэффициентов. Вселенная, короче говоря, внутри которой они обычно дискутируют, — это вселенная уравнений с действительными коэффициентами. Эти подразумеваемые ограничения составляют часть той великой массы молчаливого знания, которое сопровождает все специальные аргументы.

Де Моргану принадлежит замечание о том, что мы обычно мыслим и рассуждаем в ограниченной вселенной или сфере понятий, даже если это не оговорено прямо.

Заслуживает исследования вопрос, не ограничиваются ли все тождества в действительности подразумеваемой сферой значения. Когда мы делаем такое простое утверждение, как «Золото ковко», мы, очевидно, говорим о золоте только в его твердом состоянии; когда мы говорим, что «Ртуть — это жидкий металл», следует понимать, что мы исключаем состояние замерзания, до которого она может быть доведена в арктических регионах. Даже когда мы берем такой фундаментальный закон природы, как «Все вещества обладают тяжестью», под «веществом» мы должны понимать материальное вещество, не включая ту основу тепловых, световых и электрических колебаний, которая занимает пространство и обладает многими удивительными механическими свойствами, но не тяжестью. Таким образом, суждение на самом деле имеет форму

Material substance = Material gravitating substance.

Отрицательные суждения.

В каждом акте интеллекта мы имеем дело с определенным тождеством или различием между сравниваемыми вещами или ощущениями. До сих пор я рассматривал только тождества; и все же может показаться, что отношение различия должно быть бесконечно более распространенным, чем отношение сходства. Одна вещь может походить на множество других вещей, но при этом она отличается от всех остальных вещей в мире. Можно почти сказать, что многообразие составляет жизнь, являясь для мысли тем же, чем движение для реки. Восприятие объекта предполагает его отличение от всех других объектов. Но тем не менее можно сказать, что мы обнаруживаем сходство так же часто, как и различие. Мы не можем, по сути, утверждать существование различия, не подразумевая в то же время существование согласия.

Если я сравниваю ртуть, например, с другими металлами и решаю, что она не твердая, то здесь налицо различие между ртутью и твердыми телами, выраженное в отрицательном суждении; но в то же время должно подразумеваться согласие между ртутью и другими веществами, которые не являются твердыми. Как невозможно отделить гласные алфавита от согласных, не отделяя в то же время согласные от гласных, так и я не могу выбрать в качестве объекта мысли твердые тела, не объединив тем самым в другой класс все вещи, которые не являются твердыми. Сам факт отсутствия качества составляет новое качество, которое может быть основанием для суждения и классификации. С этой точки зрения согласие и различие всегда являются двумя сторонами одного и того же акта интеллекта, и становится одинаково возможным выразить одно и то же суждение в том или ином аспекте.

Между утверждением и отрицанием, следовательно, существует полное равновесие. Каждое утвердительное суждение подразумевает отрицательное, и наоборот. С логической точки зрения даже безразлично, используется ли положительный или отрицательный термин для обозначения данного качества и класса вещей, обладающих им. Если обычное состояние тела человека называется хорошим здоровьем, то в других обстоятельствах говорят, что он не в добром здравии; но мы могли бы с таким же успехом описать его в последнем состоянии как болезненного, а в его нормальном состоянии он был бы не болезненным. Животные и растительные вещества сейчас называются органическими, так что другие вещества, составляющие неизмеримо большую часть земного шара, описываются отрицательно как неорганические. Но мы могли бы, по крайней мере с такой же логической корректностью, описать преобладающий класс веществ как минеральные, и тогда растительные и животные вещества были бы неминеральными.

Ясно, что любой положительный термин и соответствующий ему отрицательный делят между собой всю вселенную мысли: все, что не попадает в один, должно попасть в другой, согласно третьему фундаментальному закону мысли — закону двойственности. Отсюда сразу следует, что существует два способа представления различия. Предполагая, что вещи, представленные A и B, оказываются различными, мы можем указать (см. стр. 17) результат суждения с помощью записи

A ~ B.

Теперь мы можем представить то же самое суждение утверждением, что A согласуется с теми вещами, которые отличаются от B, или что A согласуется с не-B. Используя нашу нотацию для отрицательных терминов (см. стр. 14), мы получаем

A = Ab

в качестве выражения обычного отрицательного суждения. Таким образом, если мы возьмем A для обозначения ртути, а B — для обозначения твердого, то мы получим следующее суждение:—

Quicksilver = Quicksilver not-solid.

Могут существовать и несколько других классов отрицательных суждений, которые не принимались во внимание в старой логике. У нас могут быть случаи, когда все A являются не-B, и в то же время все не-B являются A; короче говоря, может существовать простое тождество между A и не-B, которое может быть выражено в форме

A = b.

Примером этой формы было бы

Conductors of electricity = non-electrics.

Нам также часто придется иметь дело, как с результатами дедукции, с простыми, частичными или ограниченными тождествами между отрицательными терминами, как в формах

a = b,  a = ab,  aC = bC, etc.

Было бы возможно представить утвердительные суждения в отрицательной форме. Так, «Железо твердое» можно было бы выразить как «Железо не является нетвердым» или «Железо не является жидким»; или, взяв A и b для терминов «железо» и «нетвердое», форма была бы A = b.

Но существуют очень веские причины, по которым мы должны использовать все суждения в их утвердительной форме. Всякое умозаключение происходит путем подстановки эквивалентов, и суждение, выраженное в форме тождества, готово дать все свои следствия наиболее прямым образом. Как будет показано более полно, мы можем делать выводы в отрицательном суждении, но не посредством него. Различие неспособно стать основанием для умозаключения; только подразумеваемое согласие с другими различающимися объектами допускает дедуктивное рассуждение; и всегда будет выгоднее использовать суждения в форме, которая ясно демонстрирует подразумеваемые согласия.

Обращение суждений.

Старые учебники логики содержат много правил относительно обращения суждений, то есть перестановки субъекта и предиката таким образом, чтобы получить новое суждение, которое будет истинным, когда истинно исходное суждение. Сведение каждого суждения к форме тождества делает все такие правила и процессы излишними. Тождество по существу взаимно. Если цвет Атлантического океана такой же, как у Тихого океана, то цвет Тихого должен быть таким же, как у Атлантического. Поскольку хлорид натрия тождественен поваренной соли, поваренная соль должна быть тождественна хлориду натрия. Если число окон в Солсберийском соборе равно числу дней в году, то число дней в году должно быть равно числу окон. Лорд Честерфилд не ошибался, когда сказал: «Я предоставлю любому выбор из этих двух истин, которые сводятся к одному и тому же: Тот, кто любит себя больше всего, — самый честный человек; или, Самый честный человек любит себя больше всего». Скот Эриугена точно выражает этот взаимный характер тождества, говоря: «Нет двух учений, одного о философии, а другого о религии; истинная философия — это истинная религия, а истинная религия — это истинная философия».

Математик не счел бы нужным упоминать, что если x = y, то также y = x. Он вообще не считал бы это двумя уравнениями, а одним уравнением, случайно записанным двумя разными способами. В письменных символах одно из двух имен должно стоять первым, а другое — вторым, и подобная последовательность, возможно, должна соблюдаться в наших мыслях: но в отношении тождества нет необходимости в последовательности по порядку (см. стр. 33), каждое из них одновременно равно и тождественно другому. Эти замечания будут справедливы как для логического, так и для математического тождества; так что я буду рассматривать две формы

A = B and B = A

как выражающие точно одно и то же тождество, записанное по-разному. Всякая необходимость в правилах обращения исчезает, и в системе не будет ни одного суждения, которое нельзя было бы записать любой стороной вперед. Таким образом, A = AB — это то же самое, что AB = A, aC = bC — это то же самое, что bC = aC, и так далее.

Те же замечания частично верны для различий и неравенств, которые также взаимны в той мере, в какой одна вещь не может отличаться от второй, не отличаясь при этом второй от первой. Марс отличается по цвету от Венеры, и Венера должна отличаться от Марса. Земля отличается от Юпитера по плотности; следовательно, Юпитер должен отличаться от Земли. Говоря в общем, если A ~ B, то мы также будем иметь B ~ A, и эти две формы можно рассматривать как выражения одного и того же различия. Но отношение различающихся вещей не является полностью взаимным. Плотность Юпитера отличается от плотности Земли не так, как плотность Земли отличается от плотности Юпитера. Изменение ощущения, которое мы испытываем при переходе от Венеры к Марсу, не то же самое, что мы испытываем при возвращении к Венере, а прямо противоположное по своей природе. Цвет неба светлее цвета океана; следовательно, цвет океана не может быть светлее цвета неба, а только темнее. В этих и всех подобных случаях мы получаем понятие направления или характера изменения, и можно показать, что результаты огромной важности основываются на этом понятии. В настоящее время нас будет интересовать сам факт существования или несуществования тождества.

Двойственная интерпретация суждений.

Термины, как мы видели (стр. 25), могут иметь значение либо в объеме, либо в содержании; и в зависимости от того, одно или другое значение приписывается терминам суждения, суждению может быть присвоена различная интерпретация. Когда термины абстрактны, мы должны читать их в содержании, и суждение, связывающее такие термины, должно обозначать тождество или нетождество качеств, соответственно обозначаемых терминами. Так, если мы говорим

Equality = Identity of magnitude,

утверждение означает, что обстоятельство равенства точно соответствует обстоятельству тождества по величине.

Opacity = Incapability of transmitting light,

в суждении качество неспособности пропускать свет объявляется тем же самым, что и предполагаемое значение слова «непрозрачность».

Когда общие имена образуют термины суждения, мы можем применить двойную интерпретацию. Таким образом

Exogens = Dicotyledons

означает либо то, что качества, принадлежащие всем экзогенам, являются теми же, что принадлежат всем двудольным, либо то, что каждый индивид, подпадающий под одно имя, в равной степени подпадает под другое. Отсюда можно сказать, что существуют две различные области логической мысли. Мы можем рассуждать либо исходя из качественного значения имен, либо исходя из количественного, то есть экстенсивного значения. Любой аргумент, включающий конкретные множественные термины, может быть преобразован в аргумент, включающий только абстрактные единичные термины, и наоборот. Но есть основания полагать, что интенсиональная или качественная форма рассуждения является первичной и фундаментальной. Достаточно указать на то, что экстенсивное значение имени — вещь изменчивая и мимолетная, в то время как интенсиональное значение может при этом оставаться неизменным. В последнее время было сделано очень много дополнений к экстенсивным значениям как «планеты», так и «элемента». Каждый построенный или уничтоженный железный пароход добавляет или отнимает от экстенсивного значения имени «пароход», не обязательно затрагивая интенсиональное значение. «Дилижанс» означает столько же, сколько и всегда в одном смысле, но в объеме этот класс почти вымер. «Китайская железная дорога», с другой стороны, является термином, представленным только одним примером; через двадцать лет это может быть названием большого класса.

ГЛАВА IV. ДЕДУКТИВНОЕ РАССУЖДЕНИЕ.

После того как общий принцип умозаключения был объяснен в предыдущих главах и предоставлена подходящая система символов, перед нами теперь стоит сравнительно легкая задача проследить наиболее общие и важные формы дедуктивного рассуждения. Общая проблема дедукции заключается в следующем: из одного или нескольких суждений, называемых посылками, вывести такие другие суждения, которые будут обязательно истинными, когда истинны посылки. С помощью дедукции мы исследуем и раскрываем информацию, содержащуюся в посылках; и мы можем сделать это с помощью одного единственного правила: для любого термина, встречающегося в любом суждении, подставьте термин, который, как утверждается в любой посылке, тождественен ему. Чтобы получить определенные дедукции, особенно те, которые включают отрицательные выводы, нам потребуется использовать второй и третий законы мысли, и процесс рассуждения будет тогда называться косвенной дедукцией. В настоящей главе, однако, я ограничу свое внимание теми результатами, которые могут быть получены путем процесса прямой дедукции, то есть путем применения к самим посылкам правила подстановки. Будет обнаружено, что мы можем объединить в одну гармоничную систему не только различные модусы древнего силлогизма, но и большое количество столь же важных форм рассуждения, которые не имели признанного места в старой логике. Мы можем в то же время полностью обойтись без сложного аппарата логических правил и мнемонических строк, которые были необходимы до тех пор, пока жизненный принцип рассуждения не был ясно выражен.

Непосредственное умозаключение.

Вероятно, самой простой из всех форм умозаключения является та, которая была названа непосредственным умозаключением, поскольку она может быть выполнена над одним суждением. Она состоит в присоединении прилагательного или другого определяющего предложения того же характера к обеим сторонам тождества и утверждении эквивалентности полученных таким образом терминов. Например, поскольку

Conductors of electricity = Non-electrics,

отсюда следует, что

Liquid conductors of electricity = Liquid non-electrics.

Если мы предположим, что

Plants = Bodies decomposing carbonic acid,

отсюда следует, что

Microscopic plants = Microscopic bodies decomposing carbonic acid.

В общих терминах, из тождества

A = B

мы можем вывести тождество

AC = BC.

Это лишь случай простой подстановки; ибо по первому закону мысли должно быть признано, что

AC = AC,

и если во второй стороне этого тождества мы подставим вместо A его эквивалент B, мы получим

AC = BC.

Точно так же из частичного тождества

A = AB

мы можем получить

AC = ABC

путем точно такого же акта подстановки; и в каждом другом случае будет обнаружено, что правило поддается проверке принципом умозаключения. Процесс, выполненный так, как здесь описано, будет полностью свободен от подверженности ошибкам, которые, как я показал (55), существуют в «непосредственном умозаключении через добавленные детерминанты», как описано доктором Томсоном (56).

Умозаключение с двумя простыми тождествами.

Одна из наиболее распространенных форм умозаключения, на которую я особенно обращу внимание, практикуется с двумя простыми тождествами. Из двух утверждений, что «Лондон — столица Англии» и «Лондон — самый густонаселенный город в мире», мы мгновенно делаем вывод, что «Столица Англии — самый густонаселенный город в мире». Аналогично, из тождеств

Hydrogen = Substance of least density,

Hydrogen = Substance of least atomic weight,

мы выводим

Substance of least density = Substance of least atomic weight.

Общая форма аргумента представлена в символах

| B = A   | (1)
| B = C   | (2)
hence   | A = C.   | (3)

Мы можем описать результат, сказав, что термины, тождественные одному и тому же термину, тождественны друг другу; и невозможно не заметить аналогию с первым аксиомой Евклида о том, что «вещи, равные одной и той же вещи, равны друг другу». Очень часто предполагалось, что это фундаментальный принцип мысли, не поддающийся сведению к чему-то более простому. Но я не сомневаюсь, что эта форма рассуждения является лишь одним из случаев общего правила умозаключения. У нас есть два суждения, A = B и B = C, и мы можем на мгновение рассмотреть второе как утверждающее истину относительно B, в то время как первое информирует нас, что B тождественно A; следовательно, путем подстановки мы можем утверждать ту же истину относительно A. В данном конкретном случае оказывается, что утверждаемая истина — это тождество с C, и мы могли бы, если бы предпочли, рассмотреть подстановку как сделанную с помощью второго тождества в первом. Имея два тождества, мы имеем выбор способа, которым мы произведем подстановку, хотя результат в обоих случаях точно такой же.

Теперь сравните три следующие формулы,

(1) | A = B = C, hence A = C
(2) | A = B ~ C, hence A ~ C
(3) | A ~ B ~ C, no inference.

Во второй формуле у нас есть тождество и различие, и мы можем вывести различие; в третьей у нас есть два различия, и мы не можем сделать никакого вывода вообще. Поскольку A и C оба отличаются от B, мы не можем сказать, будут ли они отличаться друг от друга или нет. Цветы и листья растения могут оба отличаться по цвету от земли, в которой растет растение, и все же они могут отличаться друг от друга; в других случаях листья и стебель могут оба отличаться от почвы и все же согласуваться друг с другом. Там, где у нас есть только различие, мы не можем сделать никакого вывода; там, где у нас есть тождество, мы можем сделать вывод. Этот факт дает большое подтверждение моему утверждению, что умозаключение всегда происходит через тождество, но может быть с равным успехом осуществлено в суждениях, утверждающих различие или тождество.

Откладывая более полное обсуждение этого пункта, я упомяну сейчас только то, что аргументы из двойного тождества встречаются очень часто и обычно принимаются как должное из-за их чрезвычайной простоты. В отношении эквивалентности слов эта форма умозаключения должна постоянно использоваться. Если древнегреческое χαλκός — это наша «медь», то это должен быть французский «cuivre», немецкий «kupfer», латинский «cuprum», потому что это слова, по крайней мере в одном смысле, эквивалентные меди. Всякий раз, когда мы можем дать два определения или выражения для одного и того же термина, применяется формула; так, Сениор определял богатство как «Все те вещи, и только те вещи, которые передаваемы, ограничены в предложении и прямо или косвенно способствуют получению удовольствия или предотвращению боли». Богатство также эквивалентно «вещам, которые имеют ценность при обмене»; следовательно, очевидно, «вещи, которые имеют ценность при обмене = все те вещи, и только те вещи, которые передаваемы и т.д.». Два выражения для одного и того же термина часто даются в одном и том же предложении, и их эквивалентность подразумевается. Так, Томсон и Тейт говорят (57): «Натуралист может довольствоваться знанием материи как того, что может быть воспринято чувствами, или как того, на что может воздействовать или что может оказывать силу». Я понимаю это так:

Matter = what can be perceived by the senses;

Matter = what can be acted upon by or can exert force.

Для термина «материя» в любом из этих тождеств мы можем подставить его эквивалент, данный в другом определении. В других местах они часто используют предложения формы, проиллюстрированной в следующем (58): «Интегральная кривизна, или полное изменение направления дуги плоской кривой, есть угол, на который повернулась касательная при переходе от одного конца к другому». Это предложение, безусловно, имеет форму—

The integral curvature = the whole change of direction, &c. = the angle through which the tangent has turned, &c.

Замаскированные случаи того же рода умозаключения встречаются во всех науках, и замечательный пример можно найти в алгебраической геометрии. Математики легко показывают, что каждое уравнение вида y = mx + c соответствует или представляет прямую линию; также легко доказать, что то же самое уравнение эквивалентно одному из общего вида Ax + By + C = 0, и наоборот. Отсюда следует, что каждое уравнение рассматриваемого вида, то есть каждое уравнение первой степени, соответствует или представляет прямую линию (59).

Умозаключение с простым и частичным тождеством.

Форма рассуждения, несколько отличающаяся от той, что рассматривалась последней, состоит в умозаключении между простым и частичным тождеством. Если у нас есть два суждения форм

A = B,
B = BC,

мы можем затем подставить вместо B в любом суждении его эквивалент в другом, получая в обоих случаях A = BC; в этом мы можем, если хотим, сделать вторую подстановку вместо B, получая

A = AC.

Таким образом, поскольку «Монблан — самая высокая гора в Европе, и Монблан глубоко покрыт снегом», мы выводим путем очевидной подстановки, что «Самая высокая гора в Европе глубоко покрыта снегом». Эти суждения при строгом изложении подпадают под формы, представленные выше.

Этот способ умозаключения постоянно используется, когда вместо термина мы подставляем его определение, или наоборот. Сама цель определения — позволить использовать одно существительное вместо длинной описательной фразы. Так, когда мы говорим «Круг — это кривая второго порядка», мы можем подставить определение круга, получая «Кривая, все точки которой находятся на равном расстоянии от одной точки, есть кривая второго порядка». Реальные формы приведенных здесь суждений — в точности те, что показаны в символическом утверждении, но в этом и многих других случаях будет достаточно изложить их на обычном эллиптическом языке ради краткости. В научных трактатах термин и его определение часто даются в одном и том же предложении, как в «Вес тела в любой данной местности, или сила, с которой земля притягивает его, пропорционален его массе». Союз «или» в этом утверждении придает силу эквивалентности родительной фразе, так что суждения на самом деле суть

Weight of a body = force with which the earth attracts it.

Weight of a body = weight, &c. proportional to its mass.

Слегка отличающийся случай умозаключения состоит в подстановке в суждении формы A = AB определения термина B. Так, из A = AB и B = C мы получаем A = AC. Например, мы можем сказать, что «Металлы — это элементы» и «Элементы неспособны к разложению».

Metal = metal element.

Element = what is incapable of decomposition.

Следовательно

Metal = metal incapable of decomposition.

Почти излишне указывать, что форма этих аргументов не претерпевает никаких реальных изменений, если некоторые из терминов оказываются отрицательными; действительно, в последнем примере «неспособны к разложению» можно рассматривать как отрицательный термин. Взяв

A = metal | C = capable of decomposition
B = element | c = incapable of decomposition;

суждения имеют формы

A = AB
B = c

откуда, путем подстановки,

A = Ac.

Вывод частичного из двух частичных тождеств.

Как бы ни были обычны уже отмеченные случаи умозаключения, существует форма, встречающаяся почти чаще других и заслуживающая большого внимания, потому что она занимала видное место в древней силлогистической системе. Эта система странным образом упускала из виду все виды аргументов, которые мы до сих пор рассматривали, и выбрала в качестве типа всех рассуждений тот, который использует два частичных тождества в качестве посылок. Так, из суждений

Sodium is a metal | (1)
Metals conduct electricity, | (2)

мы можем заключить, что

Sodium conducts electricity. (3)

Принимая A, B, C для представления трех терминов соответственно, посылки имеют формы

A = AB   (1)
B = BC.  (2)

Теперь вместо B в (1) мы можем подставить его выражение, как оно дано в (2), получая

A = ABC,  (3)

или, словами, из

Sodium = sodium metal, | (1)
Metal = metal conducting electricity, | (2)

мы выводим

Sodium = sodium metal conducting electricity,  (3)

что на эллиптическом языке обыденной жизни становится

“Sodium conducts electricity.”

Вышеприведенное — это силлогизм в модусе, называемом Barbara (60) на поистине варварском языке древних логиков; и первая фигура силлогизма содержала Barbara и три других модуса, которые считались отдельными формами аргумента. Но заслуживает внимания то, что без какого-либо реального изменения в нашей форме умозаключения мы легко включаем эти три других модуса в Barbara. Отрицательный модус Celarent будет представлен примером

| Neptune is a planet, | (1)
| No planet has retrograde motion; | (2)
Hence | Neptune has not retrograde motion. | (3)

Если мы поставим A для Нептуна, B для планеты и C для «имеющий ретроградное движение», то соответствующим отрицательным термином c мы обозначим «не имеющий ретроградного движения». Посылки теперь подпадают под формы

A = AB | (1)
B = Bc, | (2)

и путем подстановки вместо B, точно так же, как и раньше, мы получаем

A = ABc.  (3)

То, что в старой логике называется частным заключением, может быть выведено без какого-либо реального изменения в символах. Частное количество обозначается, как упоминалось ранее (стр. 41), путем присоединения к термину неопределенного прилагательного количества, такого как «некоторые», «часть», «некоторые» и т.д., означающего, что неизвестная часть термина входит в суждение в качестве субъекта. Значительное сомнение и двусмысленность возникают из вопроса, не может ли часть в некоторых случаях быть целым, и в силлогизме, по крайней мере, это должно пониматься в этом смысле (61). Теперь, если мы возьмем букву для представления этой неопределенной части, нам не нужно вносить никаких изменений в наши формулы, чтобы выразить силлогизмы Darii и Ferio. Рассмотрим пример—

Some metals are of less density than water, | (1)
All bodies of less density than water will float upon the surface of water; hence | (2)
Some metals will float upon the surface of water. | (3)

Let | A = some metals,
| B = body of less density than water,
| C = floating on the surface of water

тогда суждения, очевидно, такие же, как и раньше,

| A = AB, | (1)
| B = BC; | (2)
hence   | A = ABC, | (3)

Таким образом, силлогизм Darii на самом деле не отличается от Barbara. Если читатель предпочитает, мы можем легко использовать отдельный символ для неопределенного знака количества.

Let   | P = some,
| Q = metal,

B и C имеют те же значения, что и раньше. Тогда посылки становятся

PQ = PQB, |   (1)
  B = BC; |   (2)

следовательно, путем подстановки, как и раньше,

PQ = PQBC.  (3)

За исключением того, что формулы выглядят немного сложнее, нет никакой разницы вообще.

Модус Ferio имеет точно такой же характер, как Darii или Barbara, за исключением того, что он включает использование отрицательного термина. Возьмем пример,

Bodies which are equally elastic in all directions do not doubly refract light;

Some crystals are bodies equally elastic in all directions; therefore, some crystals do not doubly refract light.

Назначая буквы следующим образом:—

A = some crystals,
B = bodies equally elastic in all directions,
C = doubly refracting light,
 c = not doubly refracting light.

Наш аргумент имеет ту же форму, что и раньше, и может быть кратко изложен в одной строке,

A = AB = ABc.

Если предпочтительнее поставить PQ для неопределенного «некоторые кристаллы», мы имеем

PQ = PQB = PQBc.

Единственная разница в том, что отрицательный термин c занимает место C в модусе Darii.

Эллипсис терминов в частичных тождествах.

Читатель, вероятно, заметил, что заключение, которое мы получаем из посылок, часто более полно, чем то, которое получено старыми аристотелевскими процессами. Так, из «Натрий — металл» и «Металлы проводят электричество» мы вывели (стр. 55), что «Натрий = натрий, металл, проводящий электричество», тогда как старая логика просто заключает, что «Натрий проводит электричество». Символически, из A = AB и B = BC мы получаем A = ABC, тогда как старая логика получает в лучшем случае A = AC. Поэтому хорошо показать, что, не используя никаких других принципов умозаключения, кроме уже описанных, мы можем вывести A = AC из A = ABC, хотя мы не можем вывести последний, более полный и точный результат из первого. Мы можем показать это проще всего следующим образом:—

По первому закону мысли очевидно, что

AA = AA;

и если нам дано суждение A = ABC, мы можем подставить вместо обоих A во второй стороне вышеприведенного, получая

AA = ABC . ABC.

Но из свойства логических символов, выраженного в законе простоты (стр. 33), некоторые из повторяющихся букв могут быть объединены, и мы имеем

A = ABC . C.

Подставляя снова вместо ABC его эквивалент A, мы получаем

A = AC,

желаемый результат.

Подобным процессом рассуждения можно показать, что мы всегда можем отбросить любой термин, появляющийся в одном члене суждения, при условии, что мы подставим вместо него весь другой член. Этот процесс был описан в моем первом логическом эссе (62) как внутренняя элиминация, но, возможно, его лучше было бы назвать эллипсисом терминов. Он позволяет нам избавиться от ненужных терминов путем строгого подстановочного рассуждения.

Вывод простого из двух частичных тождеств.

Два термина могут быть связаны друг с другом двумя частичными тождествами еще одним способом, и тогда возникает случай умозаключения, который имеет высочайшую важность. В двух посылках

A = AB (1)
B = AB (2)

второй член каждого из них один и тот же; так что мы можем путем очевидной подстановки получить

A = B.

Таким образом, в планиметрии мы легко доказываем, что «Каждый равносторонний треугольник является также равноугольным треугольником», и мы можем с такой же легкостью доказать, что «Каждый равноугольный треугольник является равносторонним треугольником». Отсюда путем подстановки, как объяснено выше, мы переходим к простому тождеству,

Equilateral triangle = equiangular triangle.

Мы таким образом доказываем, что один класс треугольников полностью тождественен другому классу; то есть они различаются только в нашем способе называния и рассмотрения их.

Большая важность этого процесса умозаключения проистекает из того факта, что заключение более простое и общее, чем любая из посылок, и содержит столько же информации, сколько обе они вместе взятые. Именно по этой причине он постоянно используется в индуктивном исследовании, как будет впоследствии более полно объяснено, и это естественный способ, которым мы приходим к убеждению в истинности простых тождеств, существующих между классами многочисленных объектов.

Вывод ограниченного из двух частичных тождеств.

Мы рассмотрели некоторые аргументы, которые относятся к типу, рассматриваемому Аристотелем в первой фигуре силлогизма. Но существуют два других типа аргумента, которые используют пару частичных тождеств. Если наши посылки таковы, как показано в этих символах,

B = AB    (1)
B = CB,   (2)

мы можем подставить вместо B либо (1) в (2), либо (2) в (1), и обоими способами мы получаем заключение

AB = CB,   (3)

суждение того рода, который мы назвали ограниченным тождеством (стр. 42). Так, например,

Potassium = potassium metal | (1)
Potassium = potassium capable of floating on water; | (2)

следовательно

Potassium metal = potassium capable of floating on water. | (3)

Это на самом деле силлогизм модуса Darapti в третьей фигуре, за исключением того, что мы получаем заключение более точного характера, чем дает старый силлогизм. Из посылок «Калий — металл» и «Калий плавает на воде» Аристотель вывел бы, что «Некоторые металлы плавают на воде». Но если бы был задан вопрос, что это за «некоторые металлы», ответом, безусловно, было бы «Металл, который является калием». Следовательно, заключение Аристотеля просто опускает часть информации, предоставленной в посылках. Оно даже оставляет нас открытыми для интерпретации «некоторых металлов» в более широком смысле, чем мы имеем на то право. От этих явных дефектов старого силлогизма процесс подстановки свободен, и новый процесс навлекает на себя лишь возможное возражение в том, что он утомительно мелочен и точен.

Различные формы дедуктивного умозаключения.

После того как более общие формы дедуктивного рассуждения были продемонстрированы и обоснованы на принципе подстановки, остается еще много, фактически неопределенное число, которые могут быть объяснены с почти равной легкостью. Те, которые включают использование дизъюнктивных суждений, будут описаны в более поздней главе, а несколько силлогистических модусов, которые включают отрицательные термины, будут более удобно рассмотрены после того, как мы введем символическое использование второго и третьего законов мысли.

Мы иногда встречаем цепь суждений, которые допускают повторную подстановку и образуют аргумент, называемый в старой логике соритом. Возьмем, например, посылки

Iron is a metal, | (1)
Metals are good conductors of electricity, | (2)
Good conductors ofelectricity are useful for telegraphic purposes. | (3)

Очевидно, следует, что

Iron is useful for telegraphic purposes. | (4)

Теперь, если мы возьмем наши буквы таким образом,

A = Iron,   B = metal,   C = good conductor of electricity,   D = useful for telegraphic purposes,

посылки примут формы

A = AB, | (1)
B = BC, | (2)
C = CD. | (3)

Вместо B в (1) мы можем подставить его эквивалент в (2), получая, как и раньше,

A = ABC.

Подставляя вместо C в этом промежуточном результате его эквивалент, как дано в (3), мы получаем полное заключение

A = ABCD. | (4)

Полная интерпретация заключается в том, что «Железо — это железо, металл, хороший проводник электричества, полезный для телеграфных целей», что сокращается в обычном языке эллипсисом обстоятельств, которые не имеют непосредственного значения.

Вместо того чтобы все суждения были точно такого же рода, как в последнем примере, мы можем иметь ряд посылок различного характера; например,

Common salt is sodium chloride, | (1)
Sodium chloride crystallizes in a cubical form, | (2)
What crystallizes in a cubical form does not possess the power of double refraction; | (3)

отсюда будет следовать, что

Common salt does not possess the power of double refraction. | (4)

Принимая наши буквенные термины таким образом,

A = Common salt,
B = Sodium chloride,
C = Crystallizing in a cubical form,
D = Possessing the power of double refraction,

мы можем изложить посылки в формах

A = B, | (1)
B = BC, | (2)
C = Cd. | (3)

Подставляя (3) в (2), а затем (2) в измененном виде в (1), мы получаем

A = BCd, | (4)

что является более точной версией обычного заключения.

Мы часто встречаем ряд суждений, описывающих качества или обстоятельства одной и той же вещи, и мы можем объединить их все в одно суждение путем процесса подстановки. Этот случай, по сути, является тем, что доктор Томсон назвал «непосредственным умозаключением по сумме нескольких предикатов», и его пример хорошо послужит моей цели (63). Он описывает медь как «металл — красного цвета — и неприятного запаха — и вкуса — все препараты которого ядовиты — который является высококовким — пластичным — и вязким — с удельным весом около 8,83». Если мы присвоим букву A меди, а последующие буквы алфавита — ряду предикатов, мы получим девять различных утверждений формы A = AB (1), A = AC (2), A = AD (3) . . . A = AK (9). Мы можем легко объединить эти суждения в одно, подставив вместо A во второй стороне (1) его выражение в (2). Мы таким образом получаем

A = ABC,

и повторяя процесс снова и снова, мы очевидно получаем единственное суждение

A = ABCD . . . JK.

Но доктор Томсон ошибается, полагая, что мы можем получить таким образом определение меди. Строго говоря, вышеприведенное суждение — это только описание меди, и все обычные описания веществ в научных трудах могут быть суммированы в этой форме. Так, мы можем утверждать об органических веществах, называемых парафинами, что они все являются насыщенными углеводородами, неспособными соединяться с другими веществами, производимыми путем нагревания алкогольных иодидов с цинком, и так далее. Можно показать, что никакое количество обычного описания не может быть эквивалентно определению любого вещества.

Логические ошибки.

Я до сих пор был занят тем, чтобы показать, что все формы рассуждения старой силлогистической логики, и неопределенное число других форм в дополнение, могут быть легко и ясно объяснены на единственном принципе подстановки. Теперь желательно показать, что тот же принцип предотвратит нас от впадения в логические ошибки. Пока мы точно соблюдаем одно правило подстановки эквивалентов, будет невозможно совершить паралогизм, то есть нарушить любое из сложных правил древней системы. Одно новое правило, таким образом, доказывается столь же мощным, как шесть, восемь или более правил, которыми охранялась правильность силлогистического рассуждения.

Было фундаментальным правилом, например, что две отрицательные посылки не могут дать никакого заключения. Если мы возьмем суждения

Granite is not a sedimentary rock, | (1)
Basalt is not a sedimentary rock, | (2)

мы не должны быть в состоянии сделать никакого вывода относительно отношения между гранитом и базальтом. Принимая наши буквенные термины таким образом:

A = granite,   B = sedimentary rock,   C = basalt,

посылки могут быть выражены в формах

A ~ B, | (1)
C ~ B. | (2)

У нас есть в этой форме два утверждения различия; но принцип умозаключения может работать только с утверждением согласия или тождества (стр. 63). Таким образом, наше правило не дает нам никакой силы делать какой-либо вывод; это в точности соответствует пятому правилу силлогизма.

Следует помнить, действительно, что мы претендуем на право всегда превращать отрицательное суждение в утвердительное (стр. 45); и может показаться, что старое правило против отрицательных посылок будет таким образом обойдено. Давайте попробуем. Посылки (1) и (2) при утвердительном изложении принимают формы

A = Ab | (1)
C = Cb. | (2)

Читатель найдет невозможным по правилу подстановки обнаружить отношение между A и C. Три термина встречаются в вышеприведенных посылках, а именно A, b и C; но они так скомбинированы, что ни один термин, встречающийся в одной, не имеет своего точного эквивалента, указанного в другой. Никакая подстановка, следовательно, не может быть сделана, и принцип пятого правила силлогизма остается верным. Логическая ошибка невозможна.

Было бы ошибкой, однако, полагать, что простое появление отрицательных терминов в обеих посылках силлогизма делает их неспособными дать заключение. Старое правило информировало нас, что из двух отрицательных посылок нельзя сделать никакого заключения, но факт в том, что правило в этой голой форме не является общепринято истинным; и я не знаю, чтобы было дано какое-либо точное объяснение условий, при которых оно является или не является обязательным. Рассмотрим следующий пример:

Whatever is not metallic is not capable of powerful magnetic influence, | (1)
Carbon is not metallic, | (2)
Therefore, carbon is not capable of powerful magnetic influence. | (3)

Здесь у нас есть две отчетливо отрицательные посылки (1) и (2), и все же они дают вполне обоснованное отрицательное заключение (3). Силлогистическое правило фактически фальсифицировано в своем голом и общем утверждении. В этом и многих других случаях мы можем преобразовать суждения в утвердительные, которые дадут заключение путем подстановки без каких-либо трудностей.

Чтобы показать это, пусть

A = carbon,
B = metallic,

C = capable of powerful magnetic influence.

Посылки легко принимают формы

b = bc, | (1)
A = Ab, | (2)

и подстановка вместо b в (2) с помощью (1) дает заключение

A = Abc. | (3)

Наш принцип умозаключения, таким образом, включает правило отрицательных посылок всякий раз, когда оно истинно, и правильно различает случаи, где оно соблюдается, а где нет.

Паралогизм, в древности называемый ошибкой нераспределенного среднего, также легко демонстрируется и безошибочно избегается нашей системой. Пусть посылки будут

Hydrogen is an element, | (1)
All metals are elements. | (2)

Согласно силлогистическим правилам, средний термин «элемент» здесь нераспределен, и никакого заключения получить нельзя; мы не можем тогда сказать, является ли водород металлом или нет. Представим термины следующим образом

A = hydrogen,
B = element,
C = metal.

Посылки тогда становятся

A = AB, | (1)
C = CB. | (2)

Читатель здесь, как и на предыдущей странице (стр. 62), найдет невозможным сделать какую-либо подстановку. Единственный термин, который встречается в обеих посылках, — это B, но он по-разному скомбинирован в двух посылках. Вместо B мы не должны подставлять A, который эквивалентен AB, а не B. Также мы не должны путать CB и AB, которые, хотя и содержат одну общую букву, являются разными совокупными терминами. Правило подстановки не дает нам права разлагать комбинации; и если мы строго придерживаемся правила, что если два термина заявлены как эквивалентные, мы можем подставить один вместо другого, мы не можем совершить ошибку. Очевидно, что форма посылок, изложенная выше, та же самая, что мы получили путем перевода двух отрицательных посылок в утвердительную форму.

Старую ошибку, технически называемую незаконным процессом большего термина, легче совершить и труднее обнаружить, чем любое другое нарушение силлогистических правил. В нашей системе она едва ли могла бы возникнуть. Из посылок

All planets are subject to gravity, | (1)
Fixed stars are not planets, | (2)

мы могли бы непреднамеренно, но ошибочно заключить, что «Неподвижные звезды не подвержены тяжести». Чтобы свести посылки к символической форме, пусть

A = planet
B = fixed star
C = subject to gravity;

тогда мы имеем суждения

A = AC | (1)
B = Ba. | (2)

Читатель тщетно попытается получить из этих посылок путем законной подстановки любое отношение между B и C; он не смог бы тогда совершить ошибку, утверждая, что B не есть C.

Остаются два других вида паралогизма, обычно известных как ошибка четырех терминов и незаконный процесс меньшего термина. Они настолько очевидно невозможны, пока мы подчиняемся правилу подстановки эквивалентов, что нет необходимости приводить какие-либо иллюстрации. Когда в двух суждениях есть четыре различных термина, как в A = B и C = D, очевидно, не могло бы быть никакой возможности для подстановки. Что касается незаконного процесса меньшего термина, он состоит в вопиющей подстановке вместо термина другого, более широкого термина, который не известен как эквивалентный ему, и который, следовательно, не разрешен нашим правилом для подстановки вместо него.

ГЛАВА V. ДИЗЪЮНКТИВНЫЕ СУЖДЕНИЯ.

В предыдущей главе я продемонстрировал различные случаи дедуктивного рассуждения путем процесса подстановки, избегая введения дизъюнктивных суждений; но мы не можем долго откладывать рассмотрение этого более сложного класса тождеств. Общие термины возникают, как мы видели (стр. 24), из классификации или мысленного объединения всех объектов, которые согласуются в определенных качествах, причем ценность этого объединения состоит в том, что сила знания тем самым умножается. При формировании таких классов или общих понятий мы упускаем из виду или абстрагируемся от точек различия, которые существуют между объединенными объектами, и фиксируем наше внимание только на точках согласия. Но можно сказать, что каждый процесс мысли имеет свой обратный процесс, который состоит в отмене эффектов прямого процесса. Подобно тому, как деление отменяет умножение, а извлечение корня отменяет возведение в степень, так мы должны иметь процесс, который отменяет обобщение, или операцию формирования общих понятий. Этот обратный процесс будет состоять в различении отдельных объектов или малых классов, которые являются составными частями любого более широкого класса. Если мы мысленно объединяем определенные объекты, видимые в небе, и называем их планетами, нам впоследствии нужно будет различать содержание этого общего понятия, что мы и делаем в дизъюнктивном суждении—

A planet is either Mercury or Venus or the Earth or . . . or Neptune.

Сформировав очень широкий класс «позвоночное животное», мы можем уточнить его подчиненные классы следующим образом: «Позвоночное животное — это либо млекопитающее, птица, рептилия, либо рыба». И нет предела количеству возможных альтернатив. «Экзогенное растение — это либо лютик, мак, крестоцветное, роза, либо оно принадлежит к одному из других семидесяти естественных порядков экзогенов, в настоящее время признанных ботаниками». Соборная церковь в Англии должна быть либо в Лондоне, Кентербери, Винчестере, Солсбери, Манчестере, либо в одном из примерно двадцати четырех городов, обладающих такими церквями. И если бы мы попытались уточнить значение термина «звезда», нам потребовалось бы перечислить в качестве альтернатив не только многие тысячи звезд, записанных в каталогах, но и многие миллионы безымянных.

Всякий раз, когда мы таким образом различаем части общего понятия, мы используем дизъюнктивное суждение, по крайней мере в одной стороне которого есть несколько альтернатив, соединенных так называемым дизъюнктивным союзом «или», сокращенной формой от «другой». Должно быть какое-то отношение между частями, соединенными таким образом в одном суждении; мы можем назвать его дизъюнктивным или альтернативным отношением, и мы должны тщательно исследовать его природу. Это отношение — отношение невежества и сомнения, порождающее выбор. Всякий раз, когда мы классифицируем и абстрагируем, мы должны открывать путь к такой неопределенности. Фиксируя наше внимание на определенных атрибутах с исключением других, мы неизбежно оставляем сомнительным, что это за другие атрибуты. Термин «коренной зуб» несет на себе печать того, что он является частью более широкого термина «зуб». Но если мы встречаем простой термин «зуб», нет ничего, что указывало бы, является ли он резцом, клыком или коренным зубом. Это сомнение, однако, может быть разрешено дальнейшей информацией, и мы должны рассмотреть, каковы соответствующие логические процессы для обработки дизъюнктивных суждений в связи с другими суждениями, дизъюнктивными или иными.

Выражение альтернативного отношения.

Чтобы представлять дизъюнктивные суждения с удобством, нам требуется знак альтернативного отношения, эквивалентный по крайней мере одному значению маленького союза «или», так часто используемого в обычном языке. Я предлагаю использовать для этой цели символ ꖌ. В моем первом логическом эссе я следовал практике Буля и принял знак +; но этот знак не следует использовать, если не существует точной аналогии между математическим сложением и логическим чередованием. Мы обнаружим, что аналогия несовершенна и что существует столь глубокое различие между логическими и математическими терминами, что это должно предотвратить наше объединение их одним и тем же символом. Соответственно, я выбрал знак ꖌ, который, кажется, удачно предполагает любую степень аналогии, которая может существовать, не подразумевая большего. Точное значение символа мы теперь перейдем к исследованию.

Природа альтернативного отношения.

Перед обработкой дизъюнктивных суждений необходимо решить, должны ли альтернативы считаться исключающими или неисключающими. Под исключающими альтернативами мы понимаем те, которые не могут содержать одни и те же вещи. Если мы говорим «Арки бывают круговые или стрельчатые», безусловно, следует понимать, что одна и та же арка не может быть описана как одновременно круговая и стрельчатая. Многие примеры, с другой стороны, могут быть легко предложены, в которых две или более альтернатив могут быть истинными для одного и того же объекта. Таким образом

Luminous bodies are self-luminous or luminous by reflection.

Согласно законам оптики, несомненно возможно, чтобы одна и та же поверхность в один и тот же момент времени испускала собственный свет и отражала свет от других тел. Мы привычно говорим о глухих или немых людях, зная, что большинство тех, кто глух от рождения, также являются немыми.

Нет сомнений в том, что во многих случаях, возможно, в большинстве случаев, альтернативы фактически являются исключающими. Любое число несовместимо с любым другим; один момент времени или одно место исключают все остальные. Роджер Бэкон умер либо в 1284, либо в 1292 году; несомненно, он не мог умереть в оба этих года. Генри Филдинг родился либо в Дублине, либо в Сомерсетшире; он не мог родиться в обоих местах. В использовании исключающих альтернатив так много точности и ясности, что мы, несомненно, должны выбирать их, когда это возможно. Соответственно, старые труды по логике содержали правило, предписывающее, чтобы Membra dividentia, части деления или составляющие виды рода, были исключающими друг друга.

Несомненно, именно благодаря широкому распространению и удобству исключающих делений большинство логиков считали необходимым делать каждую альтернативу в разделительном суждении исключающей по отношению к любой другой. Аквинский полагал, что если это не так, то суждение фактически является ложным, и Кант придерживался того же мнения. Множество утверждений на этот счет можно легко процитировать, и если бы вопрос решался весом исторических свидетельств, он определенно был бы не в пользу моей точки зрения. Среди недавних логиков Гамильтон, как и Буль, придерживались исключающей стороны. Но существуют авторитеты и противоположного мнения. Уэйтли, Мэнсел и Дж. С. Милль указывали, что мы часто можем рассматривать альтернативы как совместимые, или истинные в одно и то же время. Уэйтли приводит пример: «Добродетель стремится обеспечить нам либо уважение человечества, либо благосклонность Бога», и добавляет: «Здесь оба члена истинны, и, следовательно, из утверждения одного мы не уполномочены отрицать другой. Разумеется, в каждом случае нам остается догадываться из контекста, подразумевается ли, что члены являются исключающими или нет». Мэнсел говорит: «Мы можем случайно узнать, что две альтернативы не могут быть истинными вместе, так что утверждение второй делает необходимым отрицание первой; но это, как замечает Боэций, есть материальное, а не формальное следствие». Милль также указал на абсурдность, которая возникла бы при постоянной интерпретации альтернатив как исключающих. «Если мы утверждаем, — говорит он, — что человек, поступивший определенным образом, должен быть либо мошенником, либо глупцом, мы вовсе не утверждаем и не намерены утверждать, что он не может быть и тем, и другим». И далее: «Чтобы использовать деспотическую власть совершенно бескорыстно, человек должен быть либо святым, либо философом... Обязательно ли разделительная посылка подразумевает, или должна ли она толковаться как предполагающая, что один и тот же человек не может быть одновременно и святым, и философом? Такое толкование было бы нелепым».

Я подробно обсуждаю этот предмет, потому что это действительно тот пункт, который отделяет мою логическую систему от системы Буля. В своих «Законах мышления» (стр. 32) он прямо говорит: «В строгом смысле слова «и», «или», вставленные между терминами, описывающими два или более классов объектов, подразумевают, что эти классы совершенно различны, так что ни один член одного не встречается в другом». Я полностью оспариваю это. В обычном использовании этих союзов мы соединяем не только различные термины; и когда термины, соединенные таким образом, оказываются логически различными, это происходит в силу негласной посылки, чего-то в значении имен и наших знаний о них, что учит нас, что они различны. Если наши знания о значениях соединенных слов несовершенны, часто будет невозможно решить, являются ли термины, соединенные союзами, исключающими или нет.

В предложении «Раскаяние — это не отдельный акт, а привычка или добродетель» не может подразумеваться, что добродетель не является привычкой; согласно определению Аристотеля, это так. У Мильтона в одном из сонетов есть выражение «Unstain’d by gold or fee» («Незапятнанный золотом или платой»), где очевидно, что если плата не всегда является золотом, то золото подразумевается как плата или взятка. У Теннисона есть выражение «wreath or anadem» («венок или повязка»). Большинство читателей были бы совершенно не уверены, может ли венок быть повязкой, а повязка — венком, или же они совершенно различны или совершенно одинаковы. Из «Происхождения видов» Дарвина я беру выражение: «Когда мы видим какую-либо часть или орган, развитый в замечательной степени или манере». Здесь «или» используется дважды, и ни разу исключительно. Ибо если часть и орган не являются синонимами, то, во всяком случае, орган есть часть. И очевидно, что часть может быть развита одновременно и в необычайной степени, и в необычайной манере, хотя такие случаи могут быть сравнительно редкими.

Таким образом, из тщательного изучения обычных текстов можно обнаружить, что значения терминов, соединенных словами «и», «или», варьируются от абсолютной тождественности до абсолютной противоположности. Логического условия различимости вообще не существует, и когда мы выбираем исключающие альтернативы, это происходит потому, что того требует наш предмет. Содержание, а не форма выражения указывает на то, являются ли термины исключающими или нет. В векселях, полисах и других видах юридических документов иногда необходимо очень четко выразить, что альтернативы не являются исключающими. Тогда используется форма «и/или», и, как заметил г-н Дж. Дж. Мерфи, эта форма по значению в точности совпадает с символом ꖌ.

В первом издании этой работы (том I, стр. 81) я взял разделительное суждение «Материя бывает твердой, жидкой или газообразной» и рассмотрел его как пример исключающих альтернатив, заметив, что одна и та же часть материи не может быть одновременно твердой и жидкой, если говорить правильно, и что тем более мы не можем предполагать, что она является твердой и газообразной, или твердой, жидкой и газообразной в одно и то же время. Но эксперименты профессора Эндрюса показывают, что при определенных условиях температуры и давления не происходит резкого перехода из жидкого состояния в газообразное. Одно и то же вещество может находиться в таком состоянии, что его можно одинаково описать как жидкое и как газообразное. Во многих случаях переход от твердого к жидкому также является постепенным, так что свойства твердости, по крайней мере частично, соединяются со свойствами текучести. Тогда это суждение, вместо того чтобы быть примером исключающих альтернатив, по-видимому, дает отличный пример обратного характера. Когда могут возникнуть такие сомнения, очевидно невозможно рассматривать альтернативы как абсолютно исключающие в силу логической природы отношения. Это становится чисто вопросом содержания суждения.

Этот вопрос, как мы увидим впоследствии более полно, имеет величайшее теоретическое значение, поскольку он касается истинного различия между науками логики и математики. Основой числа является то, что каждая единица должна быть отлична от любой другой единицы; но Буль привнес условия числа в науку логики и создал систему, которая, хотя и удивительна по своим результатам, вовсе не была системой логики.

Законы разделительного отношения.

Рассматривая комбинацию или синтез терминов (стр. 30), мы обнаружили, что должны соблюдаться определенные законы — законы простоты и коммутативности. При объединении терминов с помощью разделительного символа мы обнаружим, что действуют те же или очень похожие законы. Альтернативы любого члена разделительного суждения, безусловно, коммутативны. Точно так же, как мы не можем должным образом различить «богатые и редкие драгоценные камни» и «редкие и богатые драгоценные камни», мы должны считать идентичными выражения «богатые или редкие драгоценные камни» и «редкие или богатые драгоценные камни». В нашем символическом языке мы можем сказать

A ꖌ B = B ꖌ A.

Короче говоря, порядок изложения не влияет на значение совокупности альтернатив, так что закон коммутативности справедлив для разделительного символа.

Поскольку мы допустили возможность соединения в качестве альтернатив терминов, которые не являются действительно различными, возникает вопрос: как нам обращаться с двумя или более альтернативами, когда ясно показано, что они являются одними и теми же? Если мы утверждаем, что P есть Q или R, и впоследствии доказано, что Q — это лишь другое имя для R, результатом будет то, что P есть либо R, либо R. Как нам интерпретировать такое утверждение? Каков был бы смысл, например, «венка или повязки», если бы, обратившись к словарю, мы обнаружили, что повязка описана как венок? Я считаю самоочевидным, что значение тогда стало бы просто «венок». Соответственно, мы можем подтвердить общий закон

A ꖌ A = A.

Любое количество идентичных альтернатив всегда может быть сведено к любой одной из этих альтернатив и логически эквивалентно ей. Это закон, который отличает математические термины от логических, поскольку он, очевидно, не применяется к первым. Я предлагаю называть его законом единства, потому что он действительно должен быть включен в любое определение математической единицы. Этот закон тесно аналогичен закону простоты, AA = A; и природа этой связи заслуживает внимания.

Мало кто из логиков, кроме Де Моргана, адекватно заметил тесную связь между комбинированными и разделительными терминами, а именно, что каждый разделительный термин является отрицанием соответствующего комбинированного термина, и наоборот. Рассмотрим термин

Malleable dense metal.

Как нам описать класс вещей, которые не являются ковкими-плотными-металлами? Все, что включено в этот термин, должно обладать всеми качествами ковкости, плотности и металличности. Везде, где отсутствует хотя бы одно или несколько качеств, комбинированный термин не будет применим. Следовательно, отрицание всего термина есть

Not-malleable or not-dense or not-metallic.

В приведенном выше союзе «или» должно быть ясно интерпретировано как неисключающее; ибо легко могут существовать объекты, которые одновременно являются и не-ковкими, и не-плотными, и, возможно, не-металлическими. Если бы на самом деле от нас требовалось использовать «или» в строго исключающем смысле, потребовалось бы указать семь различных альтернатив, чтобы описать отрицание комбинации трех терминов. Отрицания четырех или пяти терминов состояли бы из пятнадцати или тридцати одной альтернативы. Одно это соображение достаточно, чтобы доказать, что значение «или» не может быть всегда исключающим в обычном языке.

Выражая символически, мы можем сказать, что отрицание

| ABC
is | not-A or not-B or not-C;
that is, | a ꖌ b ꖌ c.

Взаимно, отрицание

| P ꖌ Q ꖌ R
is | pqr.

Таким образом, каждый разделительный термин является отрицанием комбинированного термина, и наоборот.

Применим этот результат к комбинированному термину AAA, и его отрицание есть

a ꖌ a ꖌ a.

Поскольку AAA по закону простоты эквивалентно A, то a ꖌ a ꖌ a должно быть эквивалентно a, и закон единства остается в силе. Таким образом, каждый закон обязательно предполагает другой.

Символическое выражение закона двойственности.

Теперь мы можем использовать наш символ чередования, чтобы выразить в ясной и формальной манере третий фундаментальный закон мышления, который я назвал законом двойственности (стр. 6). Принимая A для представления любого класса, объекта или качества, а B — любого другого класса, объекта или качества, мы всегда можем утверждать, что A либо согласуется с B, либо не согласуется. Таким образом, мы можем сказать

A = AB ꖌ Ab.

Это формула, которая отныне будет постоянно использоваться, и она лежит в основе рассуждения.

Читатель, возможно, пожелает узнать, почему A вставлено в обе альтернативы второго члена тождества и почему закон не сформулирован в виде

A = B ꖌ b.

Но если он рассмотрит содержание последнего раздела (стр. 73), он увидит, что последнее выражение не может быть правильным, иначе ни один термин не мог бы иметь соответствующего отрицательного термина. Ибо отрицанием B ꖌ b является bB, или самопротиворечивый термин; таким образом, если бы A было тождественно B ꖌ b, его отрицание a было бы несуществующим. По меньшей мере, этот результат в большинстве случаев был бы абсурдным, и я вижу много оснований полагать, что со строго логической точки зрения он всегда был бы абсурдным. По всей вероятности, мы должны принять в качестве фундаментальной логической аксиомы, что каждый термин имеет свое отрицание в мышлении. Мы не можем мыслить вообще, не отделяя то, о чем мы мыслим, от других вещей, и эти вещи обязательно образуют отрицательное понятие. Отсюда следует, что любое суждение вида A = B ꖌ b столь же самопротиворечиво, как и суждение вида A = Bb.

Удобно резюмировать здесь три закона мышления в их символической форме, таким образом

Law of Identity |  A = A.
Law of Contradiction | Aa = 0.
Law of Duality |  A = AB ꖌ Ab.

Различные формы разделительного суждения.

Разделительные суждения могут встречаться в большом разнообразии форм, на которые старые логики обращали недостаточно внимания. Может быть любое количество альтернатив, каждая из которых может быть комбинацией любого количества простых терминов. Суждение, опять же, может быть разделительным в одном или обоих членах. Суждение

Solids or liquids or gases are electrics or conductors of electricity

является примером дважды разделительной формы. Смысл такого суждения заключается в том, что все, что подпадает под одну или несколько альтернатив с одной стороны, должно подпадать под одну или несколько альтернатив с другой стороны. Из того, что было сказано ранее, очевидно, что суждение

A ꖌ B = C ꖌ D

будет соответствовать

ab = cd,

каждый член последнего является отрицанием члена первого суждения.

В качестве примера сложного разделительного суждения я могу привести определение богатства Сениора, которое, кратко сформулированное, сводится к суждению: «Богатство — это то, что является передаваемым, ограниченным в предложении и либо приносящим удовольствие, либо предотвращающим боль».

Let | A = wealth
| B = transferable
| C = limited in supply
| D = productive of pleasure
| E = preventive of pain.

Определение принимает форму

A = BC(D ꖌ E);

но если мы развернем альтернативы методом, который будет рассмотрен позже более полно, оно становится

A = BCDE ꖌ BCDe ꖌ BCdE.

Пример еще более сложного суждения встречается в трудах Де Моргана: «Он должен был быть богат, и если не был абсолютно безумен, то был самой слабостью, подверженной либо дурным советам, либо самым неблагоприятным обстоятельствам».

Если мы присвоим буквы алфавита по порядку, таким образом,

A = he
B = rich
C = absolutely mad
D = weakness itself
E = subjected to bad advice
F = subjected to most unfavourable circumstances,

суждение примет форму

A = AB{C ꖌ D (E ꖌ F)},

и если мы развернем альтернативы, выражая некоторые из различных случаев, которые могут произойти, мы получим

A = ABC ꖌ ABcDEF ꖌ ABcDEf ꖌ ABcDeF.

Вышеприведенное дает строгое логическое толкование предложения, и первая альтернатива ABC способна к развитию в восемь случаев, в зависимости от того, присутствуют ли D, E и F или нет. Хотя из нашего знания предмета мы можем сделать вывод, что слабость характера не может быть приписана человеку, абсолютно безумному, явного утверждения на этот счет нет.

Умозаключение посредством разделительных суждений.

Прежде чем мы сможем свободно использовать разделительные суждения в процессах умозаключения, мы должны рассмотреть, как разделительные термины могут быть объединены друг с другом или с простыми терминами. Во-первых, чтобы объединить простой термин с разделительным, мы должны объединить его с каждой альтернативой разделительного термина. Растение, например, — это либо трава, либо кустарник, либо дерево. Следовательно, экзогенное растение — это либо экзогенная трава, либо экзогенный кустарник, либо экзогенное дерево. Символически выраженный, этот процесс комбинации выглядит следующим образом,

A(B ꖌ C) = AB ꖌ AC.

Во-вторых, чтобы объединить два разделительных термина друг с другом, объедините каждую альтернативу одного с каждой альтернативой другого. Поскольку цветковые растения — это либо экзогены, либо эндогены, и в то же время они являются либо травами, либо кустарниками, либо деревьями, отсюда следует, что всего существует шесть альтернатив — а именно: экзогенные травы, экзогенные кустарники, экзогенные деревья, эндогенные травы, эндогенные кустарники, эндогенные деревья. Этот процесс комбинации показан в общей форме

(A ꖌ B) (C ꖌ D ꖌ E) = AC ꖌ AD ꖌ AE ꖌ BC ꖌ BD ꖌ BE.

Едва ли нужно указывать, что, как бы ни были многочисленны комбинируемые термины или альтернативы в этих терминах, мы можем осуществить комбинацию при условии, что каждая альтернатива комбинируется с каждой альтернативой других терминов, как в алгебраическом процессе умножения.

Некоторые процессы дедукции могут быть показаны сразу. Мы всегда можем, например, присоединить один и тот же определяющий термин к каждой стороне тождества, даже если один или оба члена тождества являются разделительными. Так, пусть

A = B ꖌ C.

Теперь самоочевидно, что

AD = AD,

и в одной стороне этого тождества мы можем подставить вместо A его эквивалент B ꖌ C, получив

AD = BD ꖌ CD.

Поскольку «газообразный элемент — это либо водород, либо кислород, либо азот, либо хлор, либо фтор», отсюда следует, что «свободный газообразный элемент — это либо свободный водород, либо свободный кислород, либо свободный азот, либо свободный хлор, либо свободный фтор».

Этот процесс комбинации приведет к наиболее полезным умозаключениям, когда определяющее прилагательное, объединенное с обеими сторонами суждения, является отрицанием одной или нескольких альтернатив. Поскольку хлор — это цветной газ, мы можем сделать вывод, что «бесцветный газообразный элемент — это либо (бесцветный) водород, кислород, азот, либо фтор». Альтернатива «хлор» исчезает, потому что бесцветного хлора не существует. Опять же, поскольку «зуб — это либо резец, клык, премоляр или моляр», отсюда следует, что «зуб, не являющийся резцом, — это либо клык, премоляр или моляр». Общее правило состоит в том, что из отрицания любой из альтернатив можно вывести утверждение остальных. Теперь этот результат ясно следует из нашего процесса подстановки; ибо если у нас есть суждение

A = B ꖌ C ꖌ D,

и мы вставляем это выражение для A на одну сторону самоочевидного тождества

Ab = Ab,

мы получаем Ab = ABb ꖌ AbC ꖌ AbD;

и, поскольку первая из трех альтернатив самопротиворечива, мы вычеркиваем ее согласно закону противоречия: остается

Ab = AbC ꖌ AbD.

Таким образом, наша система полностью включает и объясняет тот модус разделительного силлогизма, который технически называется modus tollendo ponens.

Но читатель должен внимательно заметить, что разделительный силлогизм модуса ponendo tollens, который утверждает одну альтернативу и отсюда выводит отрицание остальных, не может считаться истинным в этой системе. Если я скажу, действительно, что

Water is either salt or fresh water,

кажется очевидным, что «вода, которая соленая, не является пресной». Но это умозаключение на самом деле исходит из нашего знания о том, что вода не может быть одновременно соленой и пресной. Эта несовместимость альтернатив, как я полностью показал, не всегда будет иметь место. Таким образом, если я скажу

Gems are either rare stones or beautiful stones, | (1)

очевидно, не последует, что

A rare gem is not a beautiful stone, | (2)

ни то, что

A beautiful gem is not a rare stone. | (3)

Наш символический метод дает только истинные заключения; ибо если мы возьмем

A = gem
B = rare stone
C = beautiful stone,

суждение (1) имеет форму

| A  | = B ꖌ C
hence | AB  | = B ꖌ BC
and | AC  | = BC ꖌ C;

но эти умозаключения не эквивалентны ложным (2) и (3).

Мы можем легко представить разделительное рассуждение посредством modus ponendo tollens, когда оно справедливо, выражая несовместимость альтернатив явно. Таким образом, если мы прибегнем к нашему примеру

Water is either salt or fresh,

и возьмем

A = Water B = salt C = fresh,

то посылка, по-видимому, имеет форму

A = AB ꖌ AC;

но в действительности существует невыраженное условие, что «то, что соленое, не является пресным», из чего следует, посредством процесса умозаключения, который будет описан позже, что «то, что пресное, не является соленым». У нас есть тогда, в буквенных терминах, два суждения

B = Bc
C = bC.

Если мы подставим эти описания в исходное суждение, мы получим

A = ABc ꖌ AbC;

соединяя B с каждой стороной, мы выводим

| AB  | = ABc ꖌ ABbC
or | AB  | = ABc;

то есть,

Water which is salt is water salt and not fresh.

Я утомил бы читателя, если бы попытался проиллюстрировать множество форм, которые может принимать разделительное рассуждение; и поскольку в следующей главе мы будем постоянно рассматривать этот предмет, я должен здесь ограничиться единственным примером. Очень распространенный процесс рассуждения состоит в определении имени вещи путем последовательного исключения альтернатив, процесс, называемый старым именем abscissio infiniti. Возьмем случай:

Red-coloured metal is either copper or gold | (1)
Copper is dissolved by nitric acid | (2)
This specimen is red-coloured metal | (3)
This specimen is not dissolved by nitric acid | (4)
Therefore, this specimen consists of gold | (5)

Давайте присвоим буквенные символы таким образом —

A = this specimen
B = red-coloured metal
C = copper
D = gold
E = dissolved by nitric acid.

Предполагая, что альтернативы «медь» или «золото» задуманы как исключающие, как только что объяснено в случае пресной и соленой воды, посылки могут быть сформулированы в формах

B = BCd ꖌ BcD | (1)
C = CE | (2)
A = AB | (3)
A = Ae | (4)

Подставляя вместо C в (1) с помощью (2), мы получаем

B = BCdE ꖌ BcD

Из (3) и (4) мы можем вывести аналогично

A = ABe

и если в этом мы подставим вместо B его эквивалент, только что указанный, отсюда следует, что

A = ABCdEe ꖌ ABcDe

Первая из альтернатив противоречива, результат есть

A = ABcDe

который содержит полное описание «этого образца», как оно представлено в посылках, но путем эллипсиса утверждает, что это золото. Будет замечено, что в символическом выражении (1) я явно указал то, что, безусловно, подразумевается: что медь не является золотом, а золото не является медью, без какового условия умозаключение не было бы верным.

ГЛАВА VI. НЕПРЯМОЙ МЕТОД УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ.

Формы дедуктивного рассуждения, рассмотренные до сих пор, в основном являются случаями прямой дедукции, в отличие от тех, которые мы сейчас собираемся рассматривать. Метод непрямой дедукции можно описать как тот, который указывает, чем является вещь, показывая, что она не может быть ничем иным. Мы можем определить определенное пространство на карте, либо раскрасив это пространство, либо раскрасив все, кроме этого пространства; первый способ — положительный, второй — отрицательный. Различие, как легко увидеть, в точности аналогично различию между прямым и непрямым способами доказательства в геометрии. Евклид часто показывает, что две линии равны, показывая, что они не могут быть неравными, и доказательство опирается на известное количество альтернатив — больше, равно или меньше, — которые единственно мыслимы. В других случаях, как, например, в седьмом предложении первой книги, он показывает, что две линии должны встретиться в определенной точке, показывая, что они не могут встретиться в другом месте.

В логике мы всегда можем с уверенностью определить предельное количество альтернатив, которые мыслимы. Закон двойственности (стр. 6, 74) позволяет нам всегда утверждать, что любое качество или обстоятельство вообще либо присутствует, либо отсутствует. Каким бы ни было значение терминов A и B, безусловно верно, что

A = AB ꖌ Ab
B = AB ꖌ aB.

Это универсальные негласные посылки, которые могут быть использованы при решении любой задачи и которые являются такими неизменными и необходимыми условиями всякого мышления, что их не нужно специально формулировать. Закон противоречия является дальнейшим условием всякого мышления и всех логических символов; он позволяет, и, по сути, обязывает нас исключить из дальнейшего рассмотрения все термины, которые подразумевают присутствие и отсутствие одного и того же качества. Теперь, всякий раз, когда мы приводим оба этих закона мышления в явное действие методом подстановки, мы используем непрямой метод умозаключения. Окажется, что мы можем рассматривать не только те аргументы, которые уже представлены согласно прямому методу, но мы можем включить бесконечное множество других аргументов, которые неспособны к решению никакими другими средствами.

Некоторые философы, особенно французские, придерживались мнения, что непрямой метод доказательства имеет определенную неполноценность по сравнению с прямым методом, что должно препятствовать нашему использованию его, кроме случаев, когда мы вынуждены. Но есть много истин, которые мы можем доказать только непрямым путем. Мы можем доказать, что число является простым, только чисто непрямым методом, показывая, что оно не является ни одним из чисел, имеющих делители, и замечательный процесс, известный как «решето Эратосфена», является единственным способом, которым мы можем выбрать простые числа. Он имеет сильную аналогию с непрямым методом, который здесь описывается. Мы можем доказать, что сторона и диаметр квадрата несоизмеримы, но только отрицательным или непрямым способом, показывая, что противоположное предположение неизбежно ведет к противоречию. Многие другие доказательства в различных отраслях математических наук следуют подобному методу. Теперь, если есть только одна важная истина, которая должна быть и может быть доказана только непрямым путем, мы можем сказать, что этот процесс является необходимым и достаточным, и вопрос о его сравнительном превосходстве или полезности не стоит обсуждения. На самом деле я полагаю, что почти половина наших логических заключений основывается на его использовании.

Простые иллюстрации.

Прослеживая силы и результаты этого метода, мы начнем с простейшего возможного примера. Возьмем суждение обычной формы, A = AB, скажем,

A Metal is an Element,

и давайте исследуем его полный смысл. Любой человек, имеющий хотя бы минимальную логическую подготовку, знает, что мы можем вывести из вышеприведенного суждения, по-видимому, другое, а именно,

A Not-element is a Not-metal.

В то время как некоторые логики, как, например, Де Морган, считали отношение этих двух суждений чисто самоочевидным, не нуждающимся и не допускающим анализа, гораздо большее число людей, как я заметил, обучая логике, поначалу неспособны уловить тесную связь между ними. Я верю, что истинная и полная система логики даст ясный анализ этого процесса, который был назван контрапозитивным обращением; полный процесс выглядит следующим образом:

Во-первых, по закону двойственности мы знаем, что

Not-element is either Metal or Not-metal.

Если это металл, мы знаем, что это, согласно посылке, элемент; таким образом, мы предполагали бы, что одна и та же вещь является элементом и не-элементом, что находится в противоречии с законом противоречия. Согласно единственной другой альтернативе, тогда, не-элемент должен быть не-металлом.

Чтобы представить этот процесс умозаключения символически, мы берем посылку в форме

A = AB. | (1)

Мы замечаем, что по закону двойственности термин не-B описывается так

b = Ab ꖌ ab. | (2)

Для A в этом суждении мы подставляем его описание, как дано в (1), получая

b = ABb ꖌ ab.

Но согласно закону противоречия термин ABb должен быть исключен из мышления, или

ABb = 0.

Следовательно, получается, что b — это либо ничто, либо это ab; и заключение есть

b = ab.

Поскольку часто будет необходимо ссылаться на заключение такого рода, я буду называть его, как принято, контрапозитивным суждением исходного. Читателя едва ли нужно предостерегать, чтобы он заметил, что из «все A суть B» не следует, что «все не-A суть не-B». Ибо по закону двойственности мы имеем

a = aB ꖌ ab,

и невозможно будет сделать какую-либо подстановку в этом с помощью нашей исходной посылки A = AB. Поэтому остается сомнительным, является ли не-металл элементом или не-элементом.

Доказательство контрапозитивного суждения, приведенное выше, в точности такое же, как то, которое Евклид применяет в случае геометрических понятий. Де Морган описывает процесс Евклида следующим образом: «Из каждого не-B есть не-A он производит «Каждое A есть B», таким образом: Если возможно, пусть это A будет не-B, но каждое не-B есть не-A, следовательно, это A есть не-A, что абсурдно: откуда каждое A есть B». Теперь Де Морган думает, что это доказательство совершенно излишне, потому что обычная логика дает умозаключение без использования каких-либо геометрических рассуждений. Я полагаю, однако, что логика дает умозаключение только непрямым процессом. Де Морган претендует на то, чтобы «видеть тождество в «Каждое A есть B» и «каждое не-B есть не-A» посредством процесса мышления, предшествующего силлогизму». Независимо от того, предшествует ли он силлогизму или нет, я утверждаю, что он не предшествует законам мышления и процессу подстановочного умозаключения, посредством которого он может быть, несомненно, продемонстрирован.

Использование контрапозитивного суждения.

Мы можем часто использовать контрапозитивную форму суждения методом подстановки; и некоторые модусы древнего силлогизма, которые мы до сих пор обходили, могут быть таким образом удовлетворительно поняты в нашей системе. Возьмем, например, следующий силлогизм в модусе Camestres:

“Whales are not true fish; for they do not respire water, whereas true fish do respire water.”

Давайте возьмем

A = whale
B = true fish
C = respiring water

Посылки имеют формы

A = Ac | (1)
B = BC | (2)

Теперь, процессом контрапозиции мы получаем из второй посылки

c = bc

и мы можем подставить это выражение для c в (1), получая

A = Abc

или «Киты не являются настоящими рыбами, не дышащими водой».

Модус Cesare на самом деле не отличается от Camestres, кроме порядка посылок, и он может быть представлен в точно такой же манере.

Модус Baroko доставил много хлопот старым логикам, которые не могли свести его к первой фигуре таким же образом, как другие модусы, и были вынуждены изобрести, специально для него и для Bokardo, метод непрямой редукции, тесно аналогичный непрямому доказательству Евклида. Теперь эти модусы не требуют исключительного обращения в этой системе. Возьмем в качестве примера Baroko аргумент

All heated solids give continuous spectra | (1)
Some nebulæ do not give continuous spectra | (2)
Therefore, some nebulæ are not heated solids | (3)

Рассматривая маленькое слово «некоторые» как неопределенное прилагательное выбора, которому мы присваиваем символ, как и любому другому прилагательному, пусть

A = some
B = nebulæ
C = giving continuous spectra
D = heated solids

Посылки тогда становятся

D  | = DC | (1)
AB  | = ABc | (2)

Теперь из (1) мы получаем непрямым методом контрапозитивное суждение

c = cd

и если мы подставим это выражение для c в (2), мы имеем

AB = ABcd

полный смысл которого заключается в том, что «некоторые туманности не дают непрерывных спектров и не являются нагретыми твердыми телами».

Мы могли бы аналогично применить контрапозитив во многих других случаях. Возьмем аргумент: «Все неподвижные звезды самосветящиеся; но некоторые небесные тела не являются самосветящимися и, следовательно, не являются неподвижными звездами». Принимая наши термины

A = fixed stars
B = self-luminous
C = some
D = heavenly bodies

мы имеем посылки

A  | = AB, | (1)
CD  | = bCD | (2)

Теперь из (1) мы можем вывести контрапозитив

b = ab

и подставляя это выражение для b в (2), мы получаем

CD = abCD

который выражает заключение аргумента о том, что некоторые небесные тела не являются неподвижными звездами.

Контрапозитив простого тождества.

Читатель должен внимательно заметить, что когда мы применяем процесс непрямого умозаключения к простому тождеству вида

A = B

мы можем получить дальнейшие результаты. Если мы хотим знать, что такое термин не-B, мы имеем, как и прежде, по закону двойственности,

b = Ab ꖌ ab

и подставляя вместо A, мы получаем

b = Bb ꖌ ab = ab.

Но мы можем теперь также вывести второй контрапозитив; ибо мы имеем

a = aB ꖌ ab,

и подставляя вместо B его эквивалент A, мы имеем

a = aA ꖌ ab = ab.

Следовательно, из единственного тождества A = B мы можем вывести два суждения

a = ab
b = ab,

и, заметив, что эти суждения имеют общий термин ab, мы можем сделать новую подстановку, получив

a = b.

Этот результат находится в строгом соответствии с фундаментальными принципами умозаключения, и может возникнуть вопрос, не является ли он самоочевидным результатом, независимым от шагов дедукции, посредством которых мы к нему пришли. Ибо там, где два класса совпадают, как A и B, все, что истинно для одного, истинно для другого; то, что исключено из одного, должно быть исключено из другого аналогично. Теперь, поскольку a относится к A точно так же, как b относится к B, тождество любой пары следует из тождества другой пары. В любом тождестве, равенстве или сходстве мы можем рассуждать от отрицания одной стороны к отрицанию другой. Таким образом, при обычных температурах

Mercury = liquid-metal,

следовательно, очевидно

Not-mercury = not liquid-metal;

или поскольку

Sirius = brightest fixed star,

отсюда следует, что любая звезда, которая не является самой яркой, не является Сириусом, и наоборот. Каждое правильное определение имеет форму A = B и часто может требовать применения в эквивалентной отрицательной форме.

Возьмем в качестве иллюстрации способа использования этого результата следующий аргумент:

Vowels are letters which can be sounded alone, | (1)
The letter w cannot be sounded alone; | (2)
Therefore the letter w is not a vowel. | (3)

Здесь у нас есть определение (1) и сравнение вещи с этим определением (2), ведущее к исключению вещи из определенного класса.

Принимая термины

A = vowel,
B = letter which can be sounded alone,
C = letter w,

посылки явно имеют формы

A = B, | (1)
C = bC. | (2)

Теперь непрямым методом мы получаем из (1) контрапозитив

b = a,

и вставляя в (2) эквивалент для b, мы имеем

C = aC, | (3)

или «буква w не является гласной».

Различные примеры метода.

Мы можем применять непрямой метод умозаключения, сколько бы терминов ни было вовлечено или сколько бы посылок ни содержало эти термины. Поскольку работа метода лучше всего усваивается на примерах, я возьму случай двух посылок, образующих силлогизм Barbara: таким образом

Iron is metal | (1)
Metal is element. | (2)

Если мы хотим установить, какое умозаключение возможно относительно термина «Железо», мы развертываем термин по закону двойственности. Железо должно быть либо металлом, либо не-металлом; железо, которое является металлом, должно быть либо элементом, либо не-элементом; и аналогично железо, которое не является металлом, должно быть либо элементом, либо не-элементом. Тогда всего существует четыре альтернативы, среди которых должно содержаться описание железа; таким образом

Iron, metal, element, | (α)
Iron, metal, not-element, | (β)
Iron, not-metal, element, | (γ)
Iron, not-metal, not-element. | (δ)

Наша первая посылка сообщает нам, что железо — это металл, и если мы подставим это описание в (γ) и (δ), мы получим самопротиворечивые комбинации. Наша вторая посылка также сообщает нам, что металл — это элемент, и применяя это описание к (β), мы снова получаем самопротиворечие, так что остается только (α) как описание железа — наше умозаключение есть

Iron = iron, metal, element.

Чтобы представить этот процесс рассуждения в общих символах, пусть

A = iron
B = metal
C = element,

Посылки задачи принимают формы

A = AB | (1)
B = BC. | (2)

По закону двойственности мы имеем

A = AB ꖌ Ab | (3)
A = AC ꖌ Ac. | (4)

Теперь, если мы вставим для A во второй стороне (3) его описание в (4), мы получим то, что я назову развитием A относительно B и C, а именно

A = ABC ꖌ ABc ꖌ AbC ꖌ Abc. | (5)

Везде, где буквы A или B появляются во второй стороне (5), подставьте их эквиваленты, данные в (1) и (2), и результаты, изложенные полностью, суть

A = ABC ꖌ ABCc ꖌ ABbC ꖌ ABbCc.

Последние три альтернативы нарушают закон противоречия, так что

A = ABC ꖌ 0 ꖌ 0 ꖌ 0 = ABC.

Это заключение, действительно, не более того, что мы могли бы получить прямым процессом подстановки, то есть подстановкой вместо B в (1) его описания в (2), как на стр. 55; характеристикой непрямого процесса является то, что он дает все возможные логические заключения, как те, которые мы получили ранее, так и огромное количество других, которые древняя логика почти или совсем не учитывала. Из тех же посылок, например, мы можем получить описание класса «не-элемент» или c. По закону двойственности мы можем развернуть c в четыре альтернативы, таким образом

c = ABc ꖌ Abc ꖌ aBc ꖌ abc.

Если мы подставим вместо A и B, как прежде, мы получим

c = ABCc ꖌ ABbc ꖌ aBCc ꖌ abc,

и, вычеркивая термины, которые нарушают закон противоречия, остается

c = abc,

или то, что не является элементом, также не является железом и не является металлом. Этот непрямой метод умозаключения, таким образом, дает полное решение следующей задачи — Дано любое количество логических посылок или условий, требуется описание любого класса объектов или любого термина, как управляемого этими условиями.

Шаги процесса умозаключения могут быть таким образом кратко сформулированы —

1. По закону двойственности разверните предельное количество альтернатив, которые могут существовать в описании требуемого класса или термина относительно терминов, вовлеченных в посылки.

2. Для каждого термина в этих альтернативах подставьте его описание, как дано в посылках.

3. Вычеркните каждую альтернативу, которая затем обнаруживается нарушающей закон противоречия.

4. Оставшиеся термины могут быть приравнены к рассматриваемому термину как желаемое описание.

Задача г-на Венна.

Потребность в некотором логическом методе, более мощном и всеобъемлющем, чем старая логика Аристотеля, поразительно проиллюстрирована г-ном Венном в его интереснейшей и способной статье о логике Буля. Легкий пример, первоначально полученный, как он говорит, с помощью моего метода, как просто описано в «Элементарных уроках логики», был предложен на экзаменах и в лекционных залах примерно ста пятидесяти студентам как задача по обычной логике. На него ответили, самое большее, пять или шесть из них. Впоследствии он был задан как пример на метод Буля небольшой группе, которая посетила несколько лекций о природе этих символических методов. На него легко ответила половина или более их числа.

Задача была следующей: «Члены совета были все либо держателями облигаций, либо акционерами, но не теми и другими вместе; и держатели облигаций, как оказалось, были все в совете. Какое заключение можно сделать?» Требуемое заключение — «Ни один акционер не является держателем облигаций». Теперь, как говорит г-н Венн, ничто не может выглядеть проще, чем следующее рассуждение, когда оно изложено: «Не может быть держателей облигаций, которые являются акционерами; ибо если бы они были, они должны были бы быть либо в совете, либо вне его. Но они не в нем, согласно первому из данных утверждений; и не вне его, согласно второму». Тем не менее, из-за отсутствия какого-либо систематического способа обращения с таким вопросом только пять или шесть из примерно ста пятидесяти студентов смогли справиться с такой простой задачей.

Символическим изложением задача решается мгновенно. Принимая

A = member of board
B = bondholder
C = shareholder

посылки очевидно суть

A = ABc ꖌ AbC B = AB.

Класс C, или акционеры, может быть относительно A и B развернут в четыре альтернативы,

C = ABC ꖌ AbC ꖌ aBC ꖌ abC.

Но подставляя вместо A в первой и вместо B в третьей альтернативе, мы получаем

C = ABCc ꖌ ABbC ꖌ AbC ꖌ aABC ꖌ abC.

Первая, вторая и четвертая альтернативы в вышеприведенном являются самопротиворечивыми комбинациями, и только они; вычеркивая их, остаются

C = AbC ꖌ abC = bC,

требуемый ответ. Это символическое рассуждение, я полагаю, является точным эквивалентом рассуждения г-на Венна, и я не верю, что результат может быть достигнут более простым способом. Г-н Венн добавляет, что он мог бы привести другие подобные примеры, то есть примеры, показывающие необходимость лучшего логического метода.

Сокращение процесса.

Прежде чем переходить к дальнейшим иллюстрациям использования этого метода, я должен указать, насколько его практическое применение может быть упрощено и насколько оно легче, чем могло бы показаться из описания. Когда мы хотим осуществить полное решение логической задачи, лучше всего сформировать, в первую очередь, полную серию всех комбинаций терминов, вовлеченных в нее. Если есть два термина A и B, предельное разнообразие комбинаций, в которых они могут появиться, суть

AB | aB
Ab | ab.

Термин A появляется в первой и второй; B — в первой и третьей; a — в третьей и четвертой; и b — во второй и четвертой. Теперь, если у нас есть какая-либо посылка, скажем

A = B,

мы должны установить, какие из этих комбинаций будут сделаны самопротиворечивыми путем подстановки; вторая и третья должны быть вычеркнуты, и останется только

AB
ba.

Следовательно, мы делаем следующие умозаключения

A = AB, B = AB, a = ab, b = ab.

Точно такой же метод должен соблюдаться, когда вопрос включает большее количество терминов. Таким образом, по закону двойственности три термина A, B, C порождают восемь мыслимых комбинаций, а именно

ABC | (α) | aBC | (ε)
ABc | (β) | aBc | (ζ)
AbC | (γ) | abC | (η)
Abc | (δ) | abc. | (θ)

Развитие термина A сформировано первыми четырьмя из них; для B мы должны выбрать (α), (β), (ε), (ζ); C состоит из (α), (γ), (ε), (η); b — из (γ), (δ), (η), (θ) и так далее.

Теперь, если мы хотим полностью исследовать смысл посылок

A = AB | (1)
B = BC | (2)

мы исследуем каждую из восьми комбинаций относительно каждой посылки; (γ) и (δ) противоречат (1), а (β) и (ζ) — (2), так что остаются только

ABC | (α)
aBC | (ε)
abC | (η)
abc. | (θ)

Чтобы описать любой термин при условиях посылок (1) и (2), нам просто нужно выписать правильные комбинации из этого списка; таким образом, A представлен только ABC, то есть

| A  | = ABC,
similarly | c  | = abc.

Для B мы имеем две альтернативы, сформулированные так,

B = ABC ꖌ aBC;

и для b мы имеем

b = abC ꖌ abc.

Когда у нас есть задача, включающая четыре различных термина, нам нужно удвоить количество комбинаций, и по мере добавления каждого нового термина комбинации становятся вдвое многочисленнее. Таким образом

A, B | produce  | four  combinations
A, B, C, | " | eight | "
A, B, C, D | " | sixteen | "
A, B, C, D, E | " | thirty-two | "
A, B, C, D, E, F   | " | sixty-four | "

и так далее.

Я предлагаю называть любую такую серию комбинаций логическим алфавитом. Он занимает в логической науке положение, важность которого невозможно преувеличить, и по мере того, как мы переходим от логических к математическим соображениям, станет очевидно, что существует тесная связь между этими комбинациями и фундаментальными теоремами математической науки. Для удобства читателя, который может пожелать использовать алфавит в логических вопросах, я напечатал на следующей странице полную серию комбинаций до шести терминов. В самом начале, в первом столбце, помещена единственная буква X, которая могла бы показаться излишней. Эта буква служит для обозначения того, что всегда разделяется какой-то более высокий класс. Таким образом, комбинация AB на самом деле означает ABX, или ту часть какого-то большего класса, скажем X, в которой присутствуют качества A и B. Буква X опущена в большей части таблицы просто ради краткости и ясности. В более поздней главе о комбинациях станет очевидно, что введение этого единичного класса необходимо для того, чтобы завершить аналогию с описанным там арифметическим треугольником.

Читателю следует помнить, что, хотя Логический алфавит, по-видимому, дает лишь списки комбинаций, эти комбинации в каждом случае призваны составлять развертывание термина суждения. Так, четыре комбинации AB, Ab, aB, ab на самом деле означают, что любой класс X описывается следующим суждением,

X = XAB ꖌ XAb ꖌ XaB ꖌ Xab.

Если мы выберем A, мы получим следующее суждение

AX = XAB ꖌ XAb.

Таким образом, любую группу комбинаций, которую мы рассматриваем, следует воспринимать как часть более высокого класса, summum genus или универсума, символизируемого термином X; однако, помня об этом, нет необходимости усложнять наши формулы постоянным введением этой буквы. Всякое умозаключение состоит в переходе от суждений к суждениям, а комбинации сами по себе не имеют значения. Следовательно, их во всех случаях следует рассматривать как части суждений.

Логический алфавит.

I. | II. | III. | IV. | V. | VI. | VII.
X | AX | AB | ABC | ABCD | ABCDE | ABCDEF
| aX | Ab | ABc | ABCd | ABCDe | ABCDEf
|  | aB | AbC | ABcD | ABCdE | ABCDeF
|  | ab | Abc | ABcd | ABCde | ABCDef
|  |  | aBC | AbCD | ABcDE | ABCdEF
|  |  | aBc | AbCd | ABcDe | ABCdEf
|  |  | abC | AbcD | ABcdE | ABCdeF
|  |  | abc | Abcd | ABcde | ABCdef
|  |  |  | aBCD | AbCDE | ABcDEF
|  |  |  | aBCd | AbCDe | ABcDEf
|  |  |  | aBcD | AbCdE | ABcDeF
|  |  |  | aBcd | AbCde | ABcDef
|  |  |  | abCD | AbcDE | ABcdEF
|  |  |  | abCd | AbcDe | ABcdEf
|  |  |  | abcD | AbcdE | ABcdeF
|  |  |  | abcd | Abcde | ABcdef
|  |  |  |  | aBCDE | AbCDEF
|  |  |  |  | aBCDe | AbCDEf
|  |  |  |  | aBCdE | AbCDeF
|  |  |  |  | aBCde | AbCDef
|  |  |  |  | aBcDE | AbCdEF
|  |  |  |  | aBcDe | AbCdEf
|  |  |  |  | aBcdE | AbCdeF
|  |  |  |  | aBcde | AbCdef
|  |  |  |  | abCDE | AbcDEF
|  |  |  |  | abCDe | AbcDEf
|  |  |  |  | abCdE | AbcDeF
|  |  |  |  | abCde | AbcDef
|  |  |  |  | abcDE | AbcdEF
|  |  |  |  | abcDe | AbcdEf
|  |  |  |  | abcdE | AbcdeF
|  |  |  |  | abcde | Abcdef
|  |  |  |  |  | aBCDEF
|  |  |  |  |  | aBCDEf
|  |  |  |  |  | aBCDeF
|  |  |  |  |  | aBCDef
|  |  |  |  |  | aBCdEF
|  |  |  |  |  | aBCdEf
|  |  |  |  |  | aBCdeF
|  |  |  |  |  | aBCdef
|  |  |  |  |  | aBcDEF
|  |  |  |  |  | aBcDEf
|  |  |  |  |  | aBcDeF
|  |  |  |  |  | aBcDef
|  |  |  |  |  | aBcdEF
|  |  |  |  |  | aBcdEf
|  |  |  |  |  | aBcdeF
|  |  |  |  |  | aBcdef
|  |  |  |  |  | abCDEF
|  |  |  |  |  | abCDEf
|  |  |  |  |  | abCDeF
|  |  |  |  |  | abCDef
|  |  |  |  |  | abCdEF
|  |  |  |  |  | abCdEf
|  |  |  |  |  | abCdeF
|  |  |  |  |  | abCdef
|  |  |  |  |  | abcDEF
|  |  |  |  |  | abcDEf
|  |  |  |  |  | abcDeF
|  |  |  |  |  | abcDef
|  |  |  |  |  | abcdEF
|  |  |  |  |  | abcdEf
|  |  |  |  |  | abcdeF
|  |  |  |  |  | abcdef

С теоретической точки зрения мы можем представить, что Логический алфавит бесконечно расширяем. Каждое новое качество или обстоятельство, которое может принадлежать объекту, подразделяет каждую комбинацию или класс, так что число таких комбинаций, когда оно не ограничено логическими условиями, представляется бесконечно высокой степенью двойки. Чрезвычайно быстрый рост числа подразделений вынуждает нас ограничивать наше внимание лишь несколькими качествами одновременно.

Размышляя о свойствах этого Алфавита, я часто склонен думать, что Пифагор осознавал глубокое логическое значение двойственности; ибо, в то время как единство было символом тождества и гармонии, он описывал число два как источник контрастов или символ разнообразия, деления и разделения. Число четыре, или Тетрактис, также рассматривалось им как один из главных элементов бытия, ибо оно представляло собой порождающую силу, из которой происходят все комбинации. В одном из золотых стихов, приписываемых Пифагору, он заклинает своего ученика быть добродетельным: 77

“By him who stampt The Four upon the Mind,
  The Four, the fount of Nature’s endless stream.”

Теперь четыре и более высокие степени двойственности действительно представляют в этой логической системе количество комбинаций, которые могут быть порождены при отсутствии логических ограничений. Последователи Пифагора, возможно, окутали учение своего учителя таинственными и суеверными представлениями, но во многих пунктах эти доктрины, по-видимому, имеют некоторое основание в логической философии.

Логическая доска.

Для человека, который однажды постиг огромное значение и полезность Логического алфавита, косвенный процесс умозаключения сводится к повторению нескольких единообразных операций классификации, отбора и исключения противоречий. Логическая дедукция, даже в самых сложных вопросах, становится делом простой рутины, и единственным препятствием, как только смысл посылок становится ясным, является лишь объем требуемого труда. Но объем труда часто оказывается значительным. Одно только выписывание шестидесяти четырех комбинаций по шесть букв в каждой — задача немалая, и если бы у нас была задача из пяти посылок, каждую из шестидесяти четырех комбинаций пришлось бы проверять в связи с каждой посылкой. Необходимое сравнение часто носит весьма утомительный характер, и возникает значительная вероятность ошибки.

Поэтому я уделил много внимания облегчению как ручного, так и умственного труда в этом процессе, и я опишу несколько устройств, которые можно использовать для экономии усилий и снижения риска ошибки.

Во-первых, поскольку одни и те же наборы комбинаций встречаются снова и снова в разных задачах, мы можем избежать труда по их выписыванию, имея наборы букв, заранее напечатанные на небольших листах писчей бумаги. Также было предложено одним корреспондентом, что если бы какая-либо серия комбинаций была отмечена на полях листа бумаги, а между каждой парой комбинаций был сделан разрез, было бы легко загнуть любую конкретную комбинацию и тем самым исключить ее из поля зрения. Комбинации, согласующиеся с посылками, тогда оставались бы в виде прерывистого ряда. Этот метод вполне подходит для эпизодического использования.

Более удобный способ, однако, состоит в том, чтобы иметь серию букв, показанную на стр. 94, выгравированную на обычной школьной грифельной доске такого размера, чтобы буквы занимали лишь около трети пространства на левой стороне доски. Условия задачи тогда можно записать на свободной части доски, и, выбрав соответствующую серию комбинаций, можно вычеркнуть карандашом противоречивые комбинации. Я использую доску такого рода, которую называю Логической доской, уже более двенадцати лет, и она избавила меня от многих хлопот. Применять этот процесс к задачам более чем с шестью терминами вряд ли возможно из-за большого количества комбинаций, которые потребовали бы проверки.

Абстрагирование безразличных обстоятельств.

Существует простой, но весьма важный процесс умозаключения, который позволяет нам абстрагировать, исключать или игнорировать все обстоятельства, которые безразлично присутствуют или отсутствуют. Так, если бы я заявил, что «треугольник — это трехсторонняя прямолинейная фигура, либо большая, либо не большая», эти две альтернативы были бы излишними, потому что, согласно Закону двойственности, я знаю, что все должно быть либо большим, либо не большим. Добавление этого уточнения не дает нового знания, поскольку существование двух альтернатив будет подразумеваться при отсутствии какой-либо информации об обратном. Соответственно, когда две альтернативы различаются только одним компонентным термином, который является положительным в одной и отрицательным в другой, мы можем свести их к одному термину, вычеркнув их безразличную часть. Это действительно процесс подстановки, который позволяет нам сделать это; ибо, имея любое суждение вида

A = ABC ꖌ ABc, | (1)

мы знаем по Закону двойственности, что

AB = ABC ꖌ ABc. | (2)

Поскольку второй член этого тождественен второму члену (1), мы можем произвести подстановку, получив

A = AB.

Этот процесс сокращения бесполезных альтернатив можно применять снова и снова; ибо ясно, что

A = AB (CD ꖌ Cd ꖌ cD ꖌ cd)

не сообщает никакой иной информации, кроме того, что A есть B. Абстрагирование безразличных терминов, по сути, является обратным процессом по отношению к развитию, описанному на стр. 89; и это одна из важнейших операций во всей сфере рассуждения.

Читатель должен заметить, что в суждении

AC = BC

мы не можем абстрагировать C и сделать вывод

A = B;

но из

AC ꖌ Ac = BC ꖌ Bc

мы можем абстрагировать всякое упоминание термина C.

Следует, однако, тщательно отметить, что альтернативы, которые кажутся лишенными смысла, часто подразумевают важное знание. Так, если я скажу, что «треугольник — это трехсторонняя прямолинейная фигура, с тремя равными углами или без них», последние альтернативы действительно выражают свойство треугольников, а именно то, что некоторые треугольники имеют три равных угла, а некоторые их не имеют. Если мы положим P = «Некоторые», подразумевая под неопределенным прилагательным «Некоторые» одно или несколько неопределенных свойств треугольников с тремя равными углами, и возьмем

A = triangle
B = three-sided rectilinear figure
C = with three equal angles,

то подразумеваемое знание выражается в двух суждениях

PA = PBC
pA = pBc.

Их также можно свести к форме одного суждения, а именно

A = PBC ꖌ pBc;

но эти альтернативы не могут быть сокращены, и суждение совершенно отличается от

A = BC ꖌ Bc.

Иллюстрации косвенного метода.

Здесь можно было бы привести большое разнообразие аргументов и логических задач, чтобы показать всеобъемлющий характер и возможности Косвенного метода. Мы можем рассматривать как одну посылку, так и серию посылок.

Возьмем, во-первых, простое определение, такое как «треугольник — это трехсторонняя прямолинейная фигура». Пусть

A = triangle
B = three-sided
C = rectilinear figure,

тогда определение имеет вид

A = BC.

Если мы возьмем серию из восьми комбинаций трех букв в Логическом алфавите (стр. 94) и вычеркнем те, которые несовместимы с определением, мы получим следующий результат:—

ABC
aBc
abC
abc.

Для описания класса C мы имеем

C = ABC ꖌ abC,

то есть «прямолинейная фигура есть либо треугольник и трехсторонняя, либо не треугольник и не трехсторонняя».

Для класса b мы имеем

b = abC ꖌ abc.

Ко второй стороне этого мы можем применить процесс упрощения путем абстрагирования, описанный в последнем разделе; ибо по Закону двойственности

ab = abC ꖌ abc;

и поскольку у нас есть два суждения, тождественных во второй стороне каждого, мы можем произвести подстановку, получив

b = ab,

или то, что не является трехсторонним, не есть треугольник (независимо от того, является ли оно прямолинейным или нет).

Второй пример.

Давайте рассмотрим этим методом следующий аргумент:—

“Blende is not an elementary substance; elementary substances are those which are undecomposable; blende, therefore, is decomposable.”

Принимая наши буквы таким образом—

A = blende,
B = elementary substance,
C = undecomposable,

посылки имеют формы

A = Ab, | (1)
B = C. | (2)

Никакой немедленной подстановки сделать нельзя; но если мы возьмем контрапозитив (2) (см. стр. 86), а именно

b = c, | (3)

мы можем произвести подстановку в (1), получив заключение

A = Ac.

Но тот же результат можно получить, взяв восемь комбинаций A, B, C из Логического алфавита; окажется, что только три комбинации, а именно

Abc
aBC
abc,

совместимы с посылками, откуда следует, что

A = Abc,

или посредством процесса эллипсиса, описанного ранее (стр. 57)

A = Ac.

Третий пример.

В качестве несколько более сложного примера я возьму аргумент, сформулированный следующим образом, который нельзя было бы свести к силлогистической форме:—

“All metals except gold and silver are opaque; therefore what is not opaque is either gold or silver or is not-metal.”

В этом утверждении подразумевается больше, чем четко заявлено, причем полный смысл заключается в следующем:

All metals not gold or silver are opaque, | (1)
Gold is not opaque but is a metal, | (2)
Silver is not opaque but is a metal, | (3)
Gold is not silver. | (4)

Принимая наши буквы таким образом—

A = metal | C = silver
B = gold | D = opaque,

мы можем сформулировать посылки в формах

Abc |  = AbcD | (1)
B |  = ABd | (2)
C |  = ACd | (3)
B |  = Bc. | (4)

Чтобы получить полное решение вопроса, мы берем шестнадцать комбинаций A, B, C, D и, вычеркивая те, которые несовместимы с посылками, оставляем только

ABcd
AbCd
AbcD
abcD
abcd.

Выражение для непрозрачных вещей состоит из трех комбинаций, содержащих d, таким образом

| d |  = ABcd ꖌ AbCd ꖌ abcd,
or | d |  = Ad (Bc ꖌ bC) ꖌ abcd.

На обычном языке то, что не является непрозрачным, есть либо металл, который является золотом, и тогда не является серебром, либо серебро, и тогда не является золотом, либо же это не-металл, который не является ни золотом, ни серебром.

Четвертый пример.

Хороший пример для иллюстрации Косвенного метода можно найти в «Формальной логике» Де Моргана (стр. 123), где посылки по существу таковы:—

Из A следует B, а из C следует D; но B и D несовместимы друг с другом; следовательно, A и C несовместимы.

Смысл, несомненно, заключается в том, что там, где есть A, найдется B, или что каждое A есть B, и аналогично каждое C есть D; но B и D не могут встречаться вместе. Посылки, следовательно, по-видимому, имеют формы

A = AB, | (1)
C = CD, | (2)
B = Bd. | (3)

При изучении серии из шестнадцати комбинаций только пять оказываются совместимыми с вышеуказанными условиями, а именно

ABcd
aBcd
abCD
abcD
abcd.

В этих комбинациях единственное A, которое появляется, соединено с c, и аналогично C соединено с a, или A несовместимо с C.

Пятый пример.

Более сложный аргумент, также приведенный Де Морганом 78, содержит пять терминов и сформулирован ниже, за исключением того, что буквы изменены.

Every A is one only of the two B or C; D is both B and C, except when B is E, and then it is neither; therefore no A is D.

Смысл вышеприведенных посылок трудно интерпретировать, но, по-видимому, он может быть выражен в следующих символических формах—

A |  = ABc ꖌ AbC, | (1)
De |  = DeBC, | (2)
DE |  = DEbc. | (3)

Поскольку в эти посылки входят пять терминов, необходимо рассмотреть их тридцать две комбинации, и окажется, что четырнадцать из них остаются совместимыми с посылками, а именно

ABcdE | aBCDe | abCdE
ABcde | aBCdE | abCde
AbCdE | aBCde | abcDE
AbCde | aBcdE | abcdE
| aBcde | abcde.

Если мы изучим первые четыре комбинации, каждая из которых содержит A, мы обнаружим, что ни одна из них не содержит D; или, опять же, если мы выберем те, которые содержат D, у нас останется только две, таким образом—

D = aBCDe ꖌ abcDE.

Следовательно, ясно, что ни одно A не есть D, и vice versâ ни одно D не есть A. Мы могли бы сделать много других выводов из тех же посылок; например—

DE = abcDE,

или D и E никогда не встречаются, кроме как при отсутствии A, B и C.

Ошибки, проанализированные Косвенным методом.

Пожалуй, было достаточно показано, что мы можем с помощью Косвенного метода умозаключения извлечь всю истину из серии суждений и представить ее заново в любой требуемой форме заключения. Но, возможно, также необходимо показать на примерах, что до тех пор, пока мы правильно следуем почти механическим правилам этого метода, мы не можем впасть ни в одну из ошибок или паралогизмов, которые часто совершаются в обычном обсуждении. Давайте возьмем пример ошибочного аргумента, ранее рассмотренного методом Прямого умозаключения (стр. 62),

Granite is not a sedimentary rock, | (1)
Basalt is not a sedimentary rock, | (2)

и выясним, можно ли сделать какое-либо точное заключение относительно отношения гранита и базальта. Принимая, как и прежде,

A = granite,
B = sedimentary rock,
C = basalt,

посылки становятся

A = Ab, | (1)
C = Cb. | (2)

Из восьми мыслимых комбинаций A, B, C пять согласуются с этими условиями, а именно

AbC | aBc
Abc | abC
| abc.

Выбирая комбинации, содержащие A, мы находим описание гранита:

A = AbC ꖌ Abc = Ab(C ꖌ c),

то есть гранит не является осадочной породой и является либо базальтом, либо не-базальтом. Если нам нужно описание базальта, ответ имеет аналогичную форму

C = AbC ꖌ abC = bC(A ꖌ a),

то есть базальт не является осадочной породой и является либо гранитом, либо не-гранитом. Поскольку уже совершенно очевидно, что базальт должен быть либо гранитом, либо нет, и vice versâ, посылки не дают нам никакой информации по этому вопросу, то есть Метод косвенного умозаключения спасает нас от впадения в какие-либо ошибочные заключения. Этот пример достаточно иллюстрирует как ошибку отрицательных посылок, так и ошибку нераспределенного среднего термина старой логики.

Ошибку, называемую незаконным процессом большого термина, также невозможно совершить, следуя правилам этого метода. Нашим примером был (стр. 65)

All planets are subject to gravity, | (1)
Fixed stars are not planets. | (2)

Ложное заключение состоит в том, что «неподвижные звезды не подвержены гравитации». Термины таковы:

A = planet
B = fixed star
C = subject to gravity.

А посылки таковы:

A = AC, | (1)
B = aB. | (2)

Комбинации, которые остаются непротиворечивыми при сравнении с этими посылками, суть

AbC | aBc
aBC | abC
| abc.

Для неподвижной звезды мы имеем описание

B = aBC ꖌ aBc,

то есть «неподвижная звезда не является планетой, но подвержена или не подвержена, в зависимости от обстоятельств, гравитации». Здесь у нас нет заключения относительно связи неподвижных звезд и гравитации.

Логический абак.

Косвенный метод умозаключения теперь достаточно описан, и тщательное изучение его возможностей покажет, что он способен дать полный анализ и решение любого вопроса, включающего только логические отношения. Главная трудность метода заключается в большом количестве комбинаций, которые, возможно, придется проверять; не только требуемый труд может стать огромным, но и возникает значительная вероятность ошибки. Поэтому я уделил много внимания способам облегчения работы и преуспел в сведении метода к почти механической форме. Вскоре стало очевидно, что если бы мыслимые комбинации Логического алфавита для любого количества букв, вместо того чтобы быть напечатанными в фиксированном порядке на листе бумаги или доске, были отмечены на легких подвижных кусочках дерева, можно было бы легко разработать механические приспособления для выбора любого требуемого класса комбинаций. Труд по сравнению и отбраковке мог бы быть таким образом значительно сокращен. Эта идея была впервые реализована в Логическом абаке, который я нашел полезным в лекционной аудитории для демонстрации полного решения логических задач. Подробное описание конструкции и использования Абака, вместе с рисунками его частей, уже было дано в моем эссе под названием «Подстановка подобных», 79 и здесь я дам только общее описание.

Логический абак состоит из обычной школьной классной доски, установленной в наклонном положении и снабженной четырьмя горизонтальными и равноудаленными выступами. Комбинации букв, показанные в первых четырех столбцах Логического алфавита, напечатаны довольно крупным шрифтом, так что каждая буква находится на расстоянии около дюйма от соседней, но буквы расположены одна над другой, а не в горизонтальных строках, как на стр. 94. Каждая комбинация букв отдельно прикреплена к поверхности тонкой полоски дерева шириной в один дюйм и толщиной около одной восьмой дюйма. Короткие стальные штифты затем вбиты в дерево в наклонном положении. Когда буква является заглавной, представляющей положительный термин, штифт закрепляется в верхней части ее пространства; когда буква является строчной курсивной, представляющей отрицательный термин, штифт закрепляется в нижней части пространства. Теперь, если один из рядов комбинаций расположить на выступе классной доски, острый край плоской линейки можно вставить под штифты, относящиеся к любой одной букве — скажем, A, так что все комбинации, отмеченные A, можно поднять и поместить на отдельный выступ. Таким образом, мы представили акт мысли, который отделяет класс A от того, что не есть A. Операцию можно повторить; из A мы можем таким же образом выбрать те, которые являются B, получая AB; и таким же образом мы можем выбрать любые другие классы, такие как aB, ab или abc.

Если теперь мы возьмем серию из восьми комбинаций букв A, B, C, a, b, c и захотим проанализировать аргумент, древне называемый Barbara, имеющий посылки

A = AB | (1)
B = BC, | (2)

мы действуем следующим образом: мы поднимаем комбинации, отмеченные a, оставляя A позади; из этих A мы перемещаем на нижний выступ те, которые являются b, а к оставшимся AB мы присоединяем a, которые были подняты. Результат заключается в том, что мы разделили все комбинации на два класса, а именно: Ab, которые не могут существовать в соответствии с посылкой (1), и комбинации, которые совместимы с посылкой. Переходя теперь ко второй посылке, мы поднимаем из тех, которые согласуются с (1), b, затем опускаем Bc; наконец, мы присоединяем b к BC. Теперь мы находим наши комбинации расположенными, как показано ниже.

A |  |  |  | a |  | a | a
B |  |  |  | B |  | b | b
C |  |  |  | C |  | C | c
| A | A | A |  | a |  |
| B | b | b |  | B |  |
| c | C | c |  | c |  |

Нижняя строка содержит все комбинации, которые несовместимы с любой из посылок; мы осуществили механическим способом то исключение самопротиворечий, которое ранее делалось на доске или на бумаге. Соответственно, из комбинаций, оставшихся в верхней строке, мы можем сделать любое умозаключение, которое дают посылки. Если мы поднимем A, мы найдем только одну, и это C, так что A должно быть C. Если мы выберем c, мы снова найдем только одну, которая есть a, а также b; таким образом, мы доказываем, что не-C не есть A и не есть B.

Когда среди посылок встречается дизъюнктивное суждение, необходимые движения становятся несколько более сложными. Возьмем дизъюнктивный аргумент

A is either B or C or D,
A is not C and not D,
Therefore A is B.

Посылки представлены точно следующим образом:—

A = AB ꖌ AC ꖌ AD | (1)
A = Ac | (2)
A = Ad. | (3)

Поскольку здесь четыре термина, мы выбираем серию из шестнадцати комбинаций и помещаем их на предпоследний верхний выступ доски. Мы поднимаем a, а из оставшихся A мы опускаем b. Но мы не должны отвергать все Ab как противоречивые, потому что согласно первой посылке A могут быть либо B, либо C, либо D. Соответственно, из Ab мы должны выбрать c, а из них, в свою очередь, d, так что только Abcd останется для окончательного отклонения. Соединив все остальные пятнадцать комбинаций снова вместе и переходя к посылке (2), мы поднимаем a и опускаем AC, и таким образом отвергаем комбинации, несовместимые с (2); аналогично мы отвергаем AD, которые несовместимы с (3). Окажется, что остаются, в дополнение ко всем восьми комбинациям, содержащим a, только одна, содержащая A, а именно

ABcd,

откуда очевидно, что A должно быть B, обычное заключение аргумента.

В моей работе «Подстановка подобных» (стр. 56–59) я описал работу на Абаке двух других логических задач, повторять которые здесь было бы утомительно.

Логическая машина.

Хотя Логический абак значительно сократил труд по использованию Косвенного метода, он не был свободен от возможности ошибки. Я подумал, кроме того, что это дало бы наглядное доказательство общности и силы метода, если бы я смог свести его к чисто механической форме. Логики давно привыкли называть Логику Органоном или Инструментом, и даже лорд Бэкон, отвергая старую силлогистическую логику, настаивал во втором афоризме своего «Нового инструмента» на том, что разум требует некоторого рода систематической помощи. В родственной науке математике механическая помощь того или иного рода использовалась давно. Оррерии, глобусы, механические часы и подобные инструменты являются, по сути, вспомогательными средствами для вычислений и имеют значительную древность. Арифметический абак до сих пор широко используется в России и Китае. Вычислительная машина Паскаля существует более двух столетий, будучи сконструированной в 1642–45 годах. Г-н Тома из Кольмара производит арифметическую машину на принципах Паскаля, которая используется инженерами и другими лицами, которым часто необходимо умножать или делить. Бэббиджу и Шойцу принадлежит заслуга воплощения Исчисления разностей в машине, которая таким образом стала способна вычислять самые сложные таблицы чисел. Казалось странным, что в более сложной науке о количестве применим механизм, тогда как в простой науке о качественном рассуждении силлогизм назывался инструментом лишь в переносном смысле. Правда, Свифт сатирически описал профессоров Лапуты как обладателей мыслящей машины, а в 1851 году г-н Альфред Сми фактически предложил конструкцию Реляционной машины и Дифференциальной машины, первая из которых была бы механическим словарем, а вторая — способом сравнения идей; но за этими исключениями я еще не встречал даже намека на мыслящую машину. Можно добавить, что проекты г-на Сми, хотя и весьма остроумные, представляются непрактичными, и в любом случае они не претендуют на выполнение логического умозаключения. 80

Логический абак вскоре подсказал идею Логической машины, которую, после двух неудачных попыток, мне удалось сконструировать в сравнительно простой и эффективной форме. Детали Логической машины были полностью описаны с помощью таблиц в «Философских трудах» 81, и повторять здесь описание несколько запутанных движений машины было бы излишне.

Внешний вид машины показан на таблице перед титульным листом этого тома. Она несколько напоминает очень маленькое вертикальное пианино или орган и имеет клавиатуру, содержащую двадцать одну клавишу. Эти клавиши бывают двух видов: шестнадцать из них представляют термины или буквы A, a, B, b, C, c, D, d, которые так часто использовались в нашей логической нотации. Когда буквы встречаются на левой стороне суждения, ранее называвшейся субъектом, каждая из них представлена клавишей на левой половине клавиатуры; но когда они встречаются на правой стороне, или, как ее раньше называли, предикате суждения, клавиши букв на правой стороне клавиатуры являются надлежащими представителями. Пять других клавиш можно назвать операционными клавишами, чтобы отличить их от клавиш букв или терминов. Они обозначают стопы, связку и дизъюнктивные союзы суждения. Средняя клавиша из всех — это связка, которую нужно нажать, когда встречается глагол «есть» или знак =. Клавиша на крайнем правом краю называется Точкой, потому что ее следует нажимать, когда суждение завершено, фактически на месте точки. Клавиша на крайнем левом краю используется для завершения аргумента или для возврата машины в исходное состояние; она называется клавишей Finis. Предпоследние клавиши справа и слева завершают всю серию и представляют союз «или» в его неисключающем значении, или знак ꖌ, который я использовал, в зависимости от того, встречается ли он в правой или левой части суждения. Вся клавиатура устроена так, как показано на следующей странице—

Finis. | Left-hand side of Proposition. | Cupola. | Right-hand side of Proposition. | Fullstop.
ꖌ Or | d | D | c | C | b | B | a | A | A | a | B | b | C | c | D | d | ꖌ Or

Для работы на машине требуется лишь нажимать клавиши последовательно, как указано буквами и знаками символического суждения. Предполагается, что все посылки аргумента сведены к простой нотации, которая использовалась на предыдущих страницах. Взяв тогда такое простое суждение, как

A = AB,

мы нажимаем клавиши A (слева), связка, A (справа), B (справа) и точка.

Если есть вторая посылка, например

B = BC,

мы нажимаем таким же образом клавиши—

B (left), copula, B (right), C (right), full stop.

Процесс точно такой же, независимо от того, сколько посылок. Когда они завершены, оператор увидит на лицевой стороне машины точные комбинации букв, которые совместимы с посылками согласно принципам мышления.

Как показано на рисунке напротив титульного листа, машина демонстрирует спереди Логический алфавит из шестнадцати комбинаций, точно такой же, как у Абака, за исключением того, что буквы каждой комбинации разделены определенным интервалом. После того как вышеуказанная задача была решена на машине, Логический алфавит будет изменен так, чтобы иметь следующий вид—

A | A |  |  |  |  |  |  | a | a |  |  | a | a | a | a
B | B |  |  |  |  |  |  | B | B |  |  | b | b | b | b
C | C |  |  |  |  |  |  | C | C |  |  | C | C | c | c
D | d |  |  |  |  |  |  | D | d |  |  | D | d | D | d

Оператор легко соберет различные заключения способом, описанным на предыдущих страницах, как, например, что A всегда есть C, что не-C не есть B и не есть A; и не-B не есть A, но есть либо C, либо не-C. Таким образом, результаты считываются точно так же, как в случае с Логической доской или Логическим абаком.

Дизъюнктивные суждения должны обрабатываться точно таким же образом. Так, чтобы обработать посылки

A =  | AB ꖌ AC
B ꖌ C =  | BD ꖌ CD,

необходимо лишь нажать последовательно клавиши

A (left), copula, A (right), B, ꖌ, A, C, full stop.
B (left), ꖌ, C, copula, B (right), D, ꖌ, C, D, full stop.

Оставшиеся комбинации будут следующими

ABCD | aBCD | abcD
ABcD | aBcD | abcd.
AcCD | abCD |

При нажатии левой клавиши A все возможные комбинации, которые не содержат A, исчезнут, и описание A можно собрать из того, что осталось, а именно, что оно всегда есть D. Клавиша точки восстанавливает все комбинации, совместимые с посылками, и может быть сделан любой другой выбор, скажем, не-D, что, как окажется, всегда есть не-A, не-B и не-C.

В конце каждой задачи, когда машине не нужно задавать дальнейших вопросов, мы нажимаем клавишу Finis, которая приводит к появлению всех мыслимых комбинаций алфавита. Эта клавиша фактически стирает условия, наложенные на машину, возвращая на свои обычные места те комбинации, которые были отвергнуты как несовместимые с посылками. Перед началом любой новой задачи необходимо убедиться, что видны все шестнадцать комбинаций. После использования клавиши Finis машина представляет собой разум, наделенный способностью мыслить, но полностью лишенный знаний. В этом состоянии она не дала бы никакого ответа, кроме того, который состоял бы в самих первичных законах мышления. Но когда на клавишах обрабатывается какое-либо суждение, машина анализирует и переваривает его смысл и заряжается знанием, воплощенным в этом суждении. Соответственно, она способна вернуть в качестве ответа любое описание термина или класса, насколько это предусмотрено этим суждением в соответствии с Законами мышления. Таким образом, машина является воплощением истинной логической системы. Комбинации классифицируются, выбираются или отвергаются точно так же, как это делал бы рассуждающий разум, так что на каждом шаге задачи Логический алфавит представляет надлежащее состояние разума, свободного от ошибок. Нельзя, конечно, утверждать, что машина полностью заменяет деятельность сознательного мышления; умственный труд требуется при интерпретации смысла грамматических выражений и при правильном вводе этого смысла в машину; он далее требуется при сборе заключения из оставшихся комбинаций. Тем не менее, истинный процесс логического умозаключения действительно осуществляется чисто механическим способом.

Примечательно, что машина может обнаружить любое самопротиворечие, существующее между представленными ей посылками; если посылки самопротиворечивы, окажется, что один или несколько буквенных терминов полностью исчезают из Логического алфавита. Так, если мы обработаем два суждения: A есть B и A есть не-B, а затем запросим описание A, машина откажется его дать, не показав ни одной комбинации, содержащей A. Этот результат согласуется с законом, который я объяснил, что каждый термин должен иметь свое отрицание (стр. 74). Соответственно, всякий раз, когда любая из букв A, B, C, D, a, b, c, d полностью исчезает из алфавита, можно с уверенностью сделать вывод, что был совершен акт самопротиворечия.

Следует тщательно заметить, что логическая машина не может принять простое тождество вида A = B, кроме как в двойной форме A = B и B = A. Чтобы обработать суждение A = B, поэтому необходимо нажать клавиши—

A (left), copula, B (right), full stop;
B (left), copula, A (right), full stop.

Та же двойная операция будет необходима всякий раз, когда суждение не относится к типу, называемому частичным тождеством (стр. 40). Так, AB = CD, AB = AC, A = B ꖌ C, A ꖌ B = C ꖌ D — все требуют чтения с обоих концов отдельно.

Надлежащее правило использования машины может быть фактически дано следующим образом: (1) Прочитайте каждое суждение в том виде, в каком оно есть, и нажмите соответствующие клавиши: (2) Преобразуйте суждение, прочитайте и нажмите клавиши снова в транспонированном порядке терминов. Пока соблюдается это правило, всегда должен получаться верный результат. Ошибки быть не может. Но окажется, что в случае частичных тождеств и некоторых других подобных форм суждений транспонированное чтение не оказывает влияния на комбинации Логического алфавита. Одно чтение в таких случаях — это все, что практически необходимо. После того как накоплен некоторый опыт использования машины, работающий естественным образом избавляет себя от труда по второму чтению, когда это возможно.

Несомненно, примечателен тот факт, что простое тождество не может быть введено в машину иначе, как в форме двух частичных тождеств, и некоторые логики могут счесть, что это противоречит уравнительному способу представления суждений.

Прежде чем оставить эту тему, я могу заметить, что эти механические устройства вряд ли будут обладать большой практической полезностью. В обычной жизни нам не требуется постоянно решать сложные логические вопросы. Даже в математических вычислениях обычных правил арифметики, как правило, достаточно, и вычислительную машину можно использовать с выгодой только в особых случаях. Но машина и абак тем не менее имеют два важных применения.

Во-первых, я надеюсь, что время, когда преобладание древней Аристотелевской логики станет лишь достоянием истории и когда преподавание логики будет поставлено на основу, более достойную ее высшей важности, уже не за горами. Тогда окажется, что решение логических вопросов — это упражнение ума, по крайней мере, столь же ценное и необходимое, как математические вычисления. Я верю, что эти механические устройства или что-то подобное станут тогда полезными для демонстрации классу студентов ясного и наглядного анализа логических задач любой степени сложности, причем природа каждого шага будет сделана понятной для глаз студентов. Я часто использовал машину или абак для этой цели на своих лекциях, когда был профессором логики в Оуэнс-колледже.

Во-вторых, более непосредственная важность машины, по-видимому, заключается в неоспоримом доказательстве, которое она дает того, что правильные взгляды на фундаментальные принципы рассуждения теперь достигнуты, хотя они были неизвестны Аристотелю и его последователям. Должно наступить время, когда неизбежные результаты замечательных исследований покойного д-ра Буля будут признаны по их истинной ценности, и простая и осязаемая форма, в которой машина представляет эти результаты, я надеюсь, ускорит это время. Несомненно, жизнь Буля знаменует собой эпоху в науке о человеческом разуме. Может показаться странным, что ему пришлось впервые изложить во всей полноте проблему логики, но я не знаю, чтобы кто-либо до него рассматривал логику как символический метод для выведения из любых посылок описания любого класса, определенного этими посылками. Несмотря на несколько серьезных ошибок, в которые он впал, вероятно, будет признано, что Буль открыл истинную и общую форму логики и по существу придал науке форму, которую она должна сохранять во веки веков. Таким образом, он осуществил реформу, с которой в истории логики между его временем и отдаленной эпохой Аристотеля вряд ли что-либо может сравниться.

Тем не менее, квазиматематическую систему Буля вряд ли можно было считать окончательным и безупречным решением проблемы. Она не только требовала манипуляций с математическими символами весьма запутанным и озадачивающим образом, но и результаты, когда они были получены, были лишены доказательной силы, потому что они основывались на использовании непонятных символов, приобретающих смысл только по аналогии. Я также указывал, что он привнес в свою систему условие относительно исключительного характера альтернатив (стр. 70), которое не обязательно верно для логических терминов. В следующей главе мне придется показать, что логика на самом деле является основой всей науки о математических рассуждениях, так что Буль инвертировал истинный порядок доказательства, когда предложил выводить логические истины алгебраическими процессами. Удивительным свидетельством его умственной силы является то, что с помощью фундаментально ложных методов ему удалось прийти к истинным заключениям и расширить сферу разума.

Механическое выполнение логического умозаключения дает демонстрацию как истинности результатов Буля, так и ошибочности его способа их вывода. Заключения, которые он мог получить только с помощью страниц сложных вычислений, демонстрируются машиной после одной или двух минут манипуляций. И не только эти заключения легко достигаются, но они доказательно истинны, потому что каждый шаг процесса не включает в себя ничего более темного, чем три фундаментальных Закона мышления.

Порядок посылок.

Прежде чем оставить тему дедуктивного рассуждения, я могу заметить, что порядок, в котором расположены посылки аргумента, является делом логического безразличия. Много дискуссий велось в разное время относительно расположения посылок силлогизма; и общепринято было, в соответствии с мнением Аристотеля, что так называемая большая посылка, содержащая большой термин или предикат заключения, должна стоять первой. Это различие, однако, рушится в нашей системе, поскольку суждение сводится к тождественной форме, в которой нет различия субъекта и предиката. С чисто логической точки зрения порядок изложения совершенно лишен значения. Посылки одновременно сосуществуют и не связаны друг с другом согласно свойствам пространства и времени. Точно так же, как качества одного и того же объекта не являются ни до, ни после друг друга в природе (стр. 33) и мыслятся в каком-то одном порядке только из-за ограниченной способности разума, так и посылки аргумента не являются ни до, ни после друг друга и мыслятся в последовательности только потому, что разум не может охватить много идей сразу. Комбинации логического алфавита в точности те же самые, в каком бы порядке посылки ни обрабатывались на логической доске или машине. Некоторая разница, несомненно, может существовать в отношении удобства для человеческой памяти. Разум может воспринимать результаты аргумента легче в одном способе изложения, чем в другом, хотя нет никакой реальной разницы в логических результатах. Но с этой точки зрения я думаю, что Аристотель и старые логики были явно неправы. Легче собрать заключение, что «все A суть C», из «все A суть B и все B суть C», чем из тех же суждений в инвертированном порядке: «все B суть C и все A суть B».

Эквивалентность суждений.

Одно большое преимущество, которое возникает из изучения этого Косвенного метода умозаключения, состоит в ясном понятии, которое мы получаем об Эквивалентности суждений. Старые логики показывали, как из определенных простых посылок мы можем сделать умозаключение, но они не смогли указать, содержит ли это умозаключение всю или только часть информации, воплощенной в посылках. Любое суждение или группа суждений могут быть классифицированы по отношению к другому суждению или группе суждений как

1. Equivalent,
2. Inferrible,
3. Consistent,
4. Contradictory.

Принимая суждение «Все люди смертны» за исходное, тогда «Все бессмертные не суть люди» является его эквивалентом; «Некоторые смертные суть люди» выводимо, или способно к умозаключению, но не эквивалентно; «Все не-люди не суть смертны» не может быть выведено, но совместимо, то есть может быть истинным в то же время; «Все люди суть бессмертны», конечно, противоречиво.

Одним достаточным тестом эквивалентности является способность к взаимному умозаключению. Так, из

All electrics = all non-conductors,

я могу вывести

All non-electrics = all conductors,

и vice versâ из последнего я могу вернуться к первому. Короче говоря, A = B эквивалентно a = b. Опять же, из объединения двух суждений A = AB и B = AB я получаю A = B, и из этого я мог бы так же легко вывести те два, с которых начал. В этом случае одно суждение эквивалентно двум другим суждениям. Существует, фактически, не менее четырех способов, которыми мы можем выразить тождество двух классов A и B, а именно,

FIRST MODE. | SECOND MODE. | THIRD MODE. | FOURTH MODE.
A = B | a = b | A = AB | [picture] | a = ab | [picture]
B = AB | b = ab

Косвенный метод умозаключения предоставляет универсальный и ясный критерий относительно отношения суждений. Значение утверждения всегда должно измеряться комбинациями терминов, которые оно уничтожает. Следовательно, два суждения эквивалентны, когда они удаляют одни и те же комбинации из Логического алфавита, и ни больше, ни меньше. Суждение выводимо, но не эквивалентно другому, когда оно удаляет некоторые, но не все комбинации, которые удаляет другое, и никакие, кроме тех, которые удаляет это другое. Опять же, суждения совместимы при условии, что они совместно позволяют каждому термину и отрицанию каждого термина оставаться где-то в Логическом алфавите. Если после того, как все комбинации, несовместимые с двумя суждениями, вычеркнуты, все еще появляются каждая из букв A, a, B, b, C, c, D, d, которые были там раньше, то никакой несовместимости между суждениями не существует, хотя они могут не быть эквивалентными или даже выводимыми. Наконец, противоречивые суждения — это те, которые, взятые вместе, удаляют любой один или несколько буквенных терминов из Логического алфавита.

То, что верно для отдельных суждений, применимо также к группам суждений, какими бы большими или сложными они ни были; то есть одна группа может быть эквивалентной, выводимой, совместимой или противоречивой по отношению к другой, и мы можем аналогичным образом сравнивать одно суждение с группой суждений.

Чтобы привести здесь иллюстрации всех четырех видов отношений, потребовалось бы много места: поскольку примеры, приведенные в предыдущих разделах или главах, могут служить в большей или меньшей степени для объяснения отношений умозаключения, совместимости и противоречия, я добавлю лишь несколько примеров эквивалентных суждений или групп.

В следующем списке каждое суждение или группа суждений точно эквивалентны по смыслу соответствующему в другом столбце, и истинность этого утверждения может быть проверена путем вычисления комбинаций алфавита, которые должны оказаться в точности одинаковыми в случае каждой пары эквивалентов.

A =  | Ab | B =  | aB
A =  | b | a =  | B
A =  | BC | a =  | b ꖌ c
A =  | AB ꖌ AC | b =  | ab ꖌ AbC
A ꖌ B =  | B ꖌ d | ab =  | cd
A ꖌ c =  | B ꖌ d | aC =  | bD
A =  | ABc ꖌ AbC | [picture] | A =  | AB ꖌ AC
AB =  | ABc
A =  | B | [picture] |  | [picture] | A =  | B
B =  | C | A =  | C
A =  | AB | [picture] |  | [picture] | A =  | AC
B =  | BC | B =  | A ꖌ aBC

Хотя в этих и многих других случаях эквиваленты определенных суждений могут быть легко даны, однако я полагаю, что нельзя указать никакого единообразного и безошибочного процесса, с помощью которого можно было бы установить точные эквиваленты посылок. Обычное дедуктивное умозаключение обычно дает нам только часть содержащейся информации. Правда, комбинации, совместимые с набором посылок, всегда могут быть сведены к форме суждения, которое должно быть логически эквивалентно этим посылкам; но трудность заключается в обнаружении других форм суждений, которые будут эквивалентны посылкам. Задача здесь имеет иной характер, чем любая из тех, что мы до сих пор пытались решить. Это в действительности обратный процесс, и он настолько же более хлопотный и неопределенный, чем прямой процесс, насколько поиск сравнивается с прятанием. Не только может быть применимо несколько разных ответов, но и нет метода обнаружения любого из этих ответов, кроме как путем повторных проб. Проблема, с которой мы здесь столкнулись, — это, по сути, проблема индукции, обратной дедукции; и, как я скоро покажу, индукция всегда носит пробный характер и, если не проводится с особым мастерством и проницательностью, должна быть чрезвычайно трудоемкой в случаях сложности.

Де Морган был, к сожалению, приведен этой эквивалентностью суждений к самой серьезной ошибке своей остроумной системы Логики. Он полагал, что, поскольку суждение «Все A суть все B» есть лишь другое выражение для двух суждений «Все A суть B» и «Все B суть A», оно должно быть составной, а не действительно элементарной формой суждения. 82 Но при общем взгляде на эквивалентность суждений такое возражение, по-видимому, не имеет веса. Логики, за немногими исключениями, упорно поддерживали первоначальную ошибку Аристотеля, отвергая из своей науки то единственное простое отношение тождества, на котором должны действительно покоиться все более сложные логические отношения.

Природа умозаключения.

Вопрос «Что такое умозаключение?» окутан, даже по сей день, такой же неопределенностью, как и тот древний вопрос «Что есть Истина?». Я буду в более чем одной части этой работы стремиться показать, что умозаключение никогда не делает больше, чем эксплицирует, развертывает или развивает информацию, содержащуюся в определенных посылках или фактах. Ни в дедуктивном, ни в индуктивном рассуждении мы не можем добавить ни йоты к нашему имплицитному знанию, которое подобно тому, что содержится в непрочитанной книге или запечатанном письме. Сэр У. Гамильтон хорошо сказал: «Рассуждение — это явное показ того, что суждение, не предоставленное или не предполагаемое, имплицитно содержится в чем-то другом, что предоставлено или предполагается». 83

Профессор Боуэн объяснил 84 с большой ясностью, что заключение аргумента прямо выражает то, что мыслится виртуально или имплицитно. «Процесс рассуждения — это не столько способ развития новой истины, сколько способ установления или доказательства старой, путем показа того, сколько было допущено при признании двух посылок, взятых вместе». Правда, весь смысл этих утверждений покоится на смысле таких слов, как «эксплицитный», «имплицитный», «виртуальный». Имплицитным является то, что завернуто, и мы делаем его эксплицитным, когда разворачиваем его. Точно так же, как концепция круга включает сотню важных геометрических свойств, все из которых следуют из того, что мы знаем, если у нас есть острота ума, чтобы развернуть результаты, так и каждый факт и утверждение включают больше смысла, чем кажется на первый взгляд. Рассуждение эксплицирует или приводит к сознательному владению то, что было раньше бессознательным. Оно не создает и не уничтожает, но трансмутирует и переводит ту же материю в новую форму.

Трудный вопрос остается: где начинается новизна формы? Является ли это случаем умозаключения, когда мы переходим от «Искренность — родитель истины» к «Родитель истины — искренность»? Старые логики назвали бы это изменение конверсией, одним из случаев непосредственного умозаключения. Но поскольку всякое тождество необходимо взаимно, и сам смысл такого суждения заключается в том, что два термина тождественны в своем значении, я не вижу никакой разницы между этими утверждениями вообще. С таким же успехом можно было бы сказать, что x = y и y = x — разные уравнения.

Другой момент трудности — решить, когда изменение является чисто грамматическим, а когда оно включает реальную логическую трансформацию. Между «деревянным столом» и «столом из дерева» нет логической разницы (стр. 31), прилагательное является лишь удобной заменой предложной фразы. Но для меня остается неопределенным, является ли изменение от «Все люди смертны» к «Ни один человек не есть не-смертен» чисто грамматическим. Логическое изменение, возможно, лучше всего описать как состоящее в определении отношения между определенными классами объектов из отношения между определенными другими классами. Так, я считаю истинно логическим умозаключением, когда мы переходим от «Все люди смертны» к «Все бессмертные суть не-люди», потому что классы «бессмертные» и «не-люди» отличаются от «смертных» и «людей», и все же суждения содержат в основе ту же самую истину, как показано в комбинациях Логического алфавита.

Переход от качественного к количественному способу выражения суждения — это еще один вид изменения, который мы должны отличать от истинного логического вывода. Мы выражаем одну и ту же истину, когда говорим, что «смертность присуща всем людям», и когда утверждаем, что «все люди смертны». Здесь мы переходим не от класса к классу, а от одного вида термина, абстрактного, к другому виду, конкретному. Однако вывод, вероятно, имеет место, когда мы переходим от любого из вышеуказанных суждений к утверждению, что класс бессмертных людей равен нулю или не содержит объектов.

Разумеется, это вопрос терминологии, к каким процессам мы будем или не будем применять название «вывод», и у меня нет желания продолжать пустые дискуссии, которые уже имели место по этому поводу. Что нам нужно сделать, так это точно определить смысл, в котором мы используем слово «вывод», и отличить отношение выводимых суждений от других возможных отношений. По-видимому, достаточно выделить четыре способа, которыми могут быть связаны два внешне различных суждения. Таким образом, два суждения могут быть —

1. Тавтологичными или тождественными, включающими одно и то же отношение между одними и теми же терминами и классами и различающимися только порядком изложения; так, «Виктория — королева Англии» тавтологично суждению «Королева Англии — Виктория».

2. Грамматически связанными, когда классы или объекты одни и те же и связаны сходным образом, а единственное различие заключается в словах; так, «Виктория — королева Англии» грамматически эквивалентно «Виктория — английская королева».

3. Эквивалентными в качественной и количественной форме, когда классы одни и те же, но рассматриваются по-разному.

4. Логически выводимыми друг из друга, или, возможно, эквивалентными, когда классы и отношения различны, но подразумевают одно и то же знание о возможных комбинациях.

ГЛАВА VII. ИНДУКЦИЯ.

В этой главе мы переходим ко второму великому разделу логического метода — индукции, или выводу общих истин из частных. Нельзя сказать, что индуктивный процесс имеет большее значение, чем уже рассмотренный дедуктивный процесс, поскольку последний абсолютно необходим для существования первого. Каждый из них является дополнением и аналогом другого. Принципы мышления и бытия, лежащие в их основе, по сути одни и те же, точно так же, как вычитание чисел неизбежно опирается на те же принципы, что и сложение. Индукция, по сути, является обратной операцией по отношению к дедукции и не может существовать без соответствующей операции, поэтому вопрос об относительной важности не может возникнуть. Кто задумывается над тем, что важнее в арифметике — сложение или вычитание? Но в то же время между прямой и обратной операцией может существовать большая разница в сложности; интегральное исчисление, например, бесконечно сложнее дифференциального исчисления, обратной операцией которого оно является. Точно так же следует признать, что индуктивные исследования обладают гораздо более высокой степенью сложности и запутанности, чем любые вопросы дедукции; и именно этот факт, несомненно, привел некоторых логиков, таких как Фрэнсис Бэкон, Локк и Дж. С. Милль, к ошибочным мнениям относительно исключительной важности индукции.

До сих пор мы рассматривали, как из определенных условий, законов или тождеств, управляющих комбинациями качеств, мы можем вывести природу комбинаций, согласующихся с этими условиями. Наша работа заключалась в том, чтобы раскрыть результаты того, что содержится в любых утверждениях, и этот процесс был синтетическим. Термины или комбинации, характер которых был определен, обычно, хотя и далеко не всегда, включали больше качеств, а следовательно, в силу отношения объема и содержания, меньше объектов, чем термины, в которых они были описаны. Таким образом, выведенные истины обычно были менее общими, чем истины, из которых они были выведены.

В индукции все наоборот. Истины, которые предстоит установить, более общие, чем данные, из которых они извлечены. Процесс, с помощью которого они достигаются, является аналитическим и состоит в разделении сложных комбинаций, в которых нам представлены природные явления, и определении отношений отдельных качеств. Имея события, подчиняющиеся определенным неизвестным законам, мы должны открыть законы, которым они подчиняются. Вместо сравнительно легкой задачи нахождения того, какие следствия вытекают из данного закона, теперь даны следствия и требуется найти закон. Мы должны истолковать волю, согласно которой были установлены условия творения.

Индукция как обратная операция

Я уже утверждал, что индукция — это обратная операция по отношению к дедукции, но разница настолько важна, что я должен остановиться на ней подробнее. Существует много случаев, когда мы можем легко и безошибочно сделать что-то, но можем испытать большие трудности, пытаясь это отменить. Человек может войти в самый запутанный лабиринт или самые обширные катакомбы и поворачивать туда и сюда по своей воле; именно тогда, когда он хочет вернуться, начинаются сомнения и трудности. При входе ему подходил любой путь; при выходе он должен выбрать определенные пути, и в этом выборе он должен либо полагаться на память о том пути, которым вошел, либо произвести исчерпывающее испытание всех возможных путей. Исследователь, входящий в новую страну, обеспечивает себе обратный путь, делая зарубки на деревьях.

Та же трудность возникает во многих научных процессах. Имея любые два числа, мы можем с помощью простого и безошибочного процесса получить их произведение; но когда дано большое число, определить его множители — совсем другое дело. Может ли читатель сказать, какие два числа при перемножении дадут число 8 616 460 799? Думаю, маловероятно, что кто-то, кроме меня, когда-либо узнает это; ибо это два больших простых числа, и их можно заново открыть, только последовательно перебирая длинный ряд простых делителей, пока не наткнешься на нужный. Работа, вероятно, заняла бы у хорошего вычислителя много недель, но у меня не заняла много минут перемножить эти два множителя. Точно так же не существует прямого процесса для обнаружения того, является ли какое-либо число простым или нет; только путем исчерпывающего перебора всех меньших чисел, которые могли бы быть делителями, мы можем показать, что таких нет, и трудоемкость этого процесса была бы невыносимой, если бы он не выполнялся систематически раз и навсегда в процессе, известном как решето Эратосфена, результаты которого зарегистрированы в таблицах простых чисел.

Огромные трудности, с которыми сталкиваются при решении алгебраических уравнений, дают еще одну иллюстрацию. Имея любые алгебраические множители, мы можем легко и безошибочно прийти к произведению; но имея произведение, бесконечно трудно разложить его на множители. Имея любой ряд величин, сколь угодно многочисленный, нетрудно составить уравнение, корнями которого будут эти величины. Пусть a, b, c, d и т. д. — это величины; тогда (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) . . . = 0 — требуемое уравнение, и нам нужно лишь перемножить выражение в левой части по обычным правилам. Но имея сложное алгебраическое выражение, приравненное к нулю, чрезвычайно трудно обнаружить все корни. Математики исчерпали свои величайшие силы, доводя полное решение до четвертой степени. Во всех других математических операциях обратный процесс гораздо труднее прямого: вычитание труднее сложения, деление — умножения, извлечение корня — возведения в степень; но трудность значительно возрастает по мере усложнения процесса. Дифференцирование, прямой процесс, всегда может быть выполнено по фиксированным правилам, но поскольку эти правила дают значительное разнообразие результатов, обратный процесс интегрирования представляет огромные трудности и в бесконечном большинстве случаев превосходит нынешние ресурсы математиков. Для его выполнения не существует безошибочных и общих правил; это должно делаться путем проб, догадок или запоминания результатов дифференцирования и использования их в качестве руководства.

Переходя ближе к нашей непосредственной теме, точно такая же трудность существует при определении закона, которому подчиняются определенные вещи. Имея общее математическое выражение, мы можем безошибочно установить его значение для любого требуемого значения переменной. Но я не знаю, чтобы математики когда-либо пытались установить правила процесса, с помощью которого, имея определенные числа, можно было бы обнаружить рациональную или точную формулу, из которой они происходят. Читатель может проверить свою способность обнаруживать закон путем созерцания его результатов, если он, не будучи математиком, попытается указать закон, которому подчиняются следующие числа:

1/6,  1/30,  1/42,  1/30,  5/66,  691/2730,  7/6,  3617/510,  43867/798,  etc.

Эти числа иногда выражаются малыми членами, но неожиданно возрастают до больших; по абсолютной величине они очень изменчивы. Они, кажется, бросают вызов всякой регулярности и методу, и вряд ли можно предположить, что кто-то мог бы, созерцая эти числа, обнаружить отношения между ними. Тем не менее они выведены из самых регулярных и симметричных законов отношения и имеют высочайшее значение в математическом анализе, будучи известными как числа Бернулли.

Сравните снова трудность дешифровки с шифрованием. Любой может изобрести секретный язык и с небольшим упорным трудом перевести самое длинное письмо в этот шифр. Но расшифровать письмо, не имея ключа к принятым знакам, — это совсем другое дело. Поскольку возможные способы секретного письма бесконечны по количеству и чрезвычайно разнообразны по виду, прямого способа обнаружения не существует вовсе. Повторные пробы, направляемые в большей или меньшей степени знанием обычной формы шифра и опирающиеся исключительно на принципы вероятности и логической индукции, — единственный ресурс. Для этого процесса требуется особый такт или навык, и несколько человек, таких как Валлис или Уитстон, достигли больших успехов.

Индукция — это дешифровка скрытого смысла природных явлений. Имея события, которые происходят в определенных четких комбинациях, мы должны указать законы, которые управляют этими комбинациями. Предположив любые законы, мы можем с легкостью и уверенностью решить, подчиняются ли явления этим законам. Но законы, которые могут существовать, бесконечно разнообразны, так что шансы против простого случайного угадывания огромны. Трудность значительно возрастает из-за того, что несколько законов обычно действуют одновременно, эффекты которых переплетаются. Единственные способы открытия состоят либо в исчерпывающем переборе большого количества предполагаемых законов — процесс, который является исчерпывающим во многих смыслах, — либо в тщательном созерцании эффектов, попытке вспомнить случаи, в которых подобные эффекты следовали из известных законов. Каким бы образом мы ни совершили открытие, это должно быть сделано путем более или менее сознательного применения прямого процесса дедукции.

Логический алфавит иллюстрирует индукцию так же, как и дедукцию. Рассматривая непрямой процесс вывода, мы обнаружили, что из определенных суждений мы можем безошибочно определить комбинации терминов, согласующиеся с этими посылками. Индуктивная проблема — это как раз обратное. Имея данные комбинации терминов, нам нужно установить суждения, с которыми эти комбинации согласуются и из которых они могли произойти. Теперь, если читатель посмотрит на следующие комбинации,

ABC | abC
aBC | abc,

он, вероятно, сразу вспомнит, что они относятся к посылкам A = AB, B = BC (стр. 92). Если нет, ему потребуется несколько попыток, прежде чем он найдет правильный ответ, и каждая попытка будет состоять в допущении определенных законов и наблюдении за тем, согласуются ли выведенные результаты с данными. Чтобы проверить легкость, с которой он может решить эту индуктивную задачу, пусть он случайно вычеркнет любую из комбинаций четвертого столбца Логического алфавита (стр. 94) и скажет, каким законам подчиняются оставшиеся комбинации, заметив, что каждый из буквенных терминов и их отрицаний должен присутствовать, чтобы избежать внутреннего противоречия в посылках (стр. 74, 111). Пусть он скажет, например, какие законы воплощены в комбинациях

ABC | aBC
Abc | abC.

Трудность становится намного больше, когда в комбинации входит больше терминов. Потребовалось бы некоторое исследование, чтобы установить полные условия, выполненные в комбинациях

ACe | abCe
aBCe | abcE.
aBcdE |

Читатель может довольно легко обнаружить, что основные законы — это C = e и A = Ae; но он вряд ли без труда обнаружит оставшийся закон, а именно, что BD = BDe.

Трудности, с которыми сталкиваются при индуктивных исследованиях природы, точно такого же рода. Мы редко наблюдаем какой-либо закон в непрерывном и нескрытом действии. Острота ума Аристотеля и древних греков не позволила им обнаружить, что все земные тела стремятся падать к центру Земли. Несколько ночей наблюдений могли бы убедить астронома, наблюдающего за солнечной системой из ее центра, что планеты вращаются вокруг Солнца; но тот факт, что наше место наблюдения — одна из движущихся планет, настолько усложняет видимые движения других тел, что потребовалась вся проницательность Коперника, чтобы доказать реальную простоту планетной системы. Так происходит во всей природе; законы могут быть простыми, но их совокупные эффекты не просты, и у нас нет ключа, который вел бы нас через их хитросплетения. «Слава Божия — облекать тайное, а слава царей — исследовать дело», — сказал Соломон. Законы природы — это бесценные секреты, которые скрыл Бог, и царская прерогатива философа — исследовать их с помощью усердия и проницательности.

Индуктивные задачи для решения читателем.

В первом издании (том II, стр. 370) я привел логическую задачу, включающую шесть терминов, и попросил читателей обнаружить законы, управляющие данными комбинациями. Я получил удовлетворительные ответы от читателей как из Соединенных Штатов, так и из Англии. Я сформировал комбинации дедуктивно из четырех законов коррекции, но мои корреспонденты обнаружили, что три более простых закона, эквивалентных четырем более сложным, были лучшим ответом; эти законы таковы: a = ac, b = cd, d = Ef.

На случай, если другие читатели захотят проверить свое мастерство в индуктивной или обратной задаче, я привожу ниже несколько серий комбинаций, образующих задачи возрастающей сложности.

Problem I.

A B c

A b C

a B C

Problem II.

A B C

A b C

a B C

a B c

Problem III.

A B C

A b C

a B C

a B c

a b c

Problem IV.

A B C D

A b c D

a B c f

a b C f

Problem V.

A B C D

A B C f

A B c f

A b C D

A b c D

a B C D

a B c D

a B c f

a b C f

Problem VI.

A B C D E

A B C f e

A B c D E

A B c f e

A b C D E

a B C D E

a B C f e

a b C D E

a b c f e

Problem VII.

A b c D e

a B C f E

a b C f E

Problem VIII.

A B C D E

A B C D e

A B C f e

A B c f e

A b C D E

A b c f E

A b c f e

a B C D e

a B C f e

a B c D e

a b C D e

a b C f E

a b c D e

a b c f E

Problem IX.

A B c D E F

A B c D e F

A b C D e f

A b c D E f

A b c D e f

A b c f E F

A b c f e F

a B c D E F

a B c D e F

a B c f E F

a b C D E F

a b C D e F

a b C D e f

a b c D e f

a b c D E f

a b c f e F

Problem X.

A B C D e F

A B c D E f

A b C D E F

A b C D e F

A b c D e F

a B C D E f

a B c D E f

a b C D e F

a b C f e F

a b c D e f

a b c d e f

Индукция простых тождеств.

Многие важные законы природы выразимы в форме простых тождеств, и я могу сразу привести их в качестве примеров, чтобы проиллюстрировать то, что я сказал о трудности обратного процесса индукции. Два явления сопряжены. Так, всякая гравитирующая материя в точности совпадает со всей материей, обладающей инерцией; где появляется одно свойство, там же появляется и другое. Все кристаллы кубической системы — это все кристаллы, которые не обладают двойным лучепреломлением света. Все двудольные растения — это, за некоторыми исключениями, те, которые имеют две семядоли или семядольные листочки.

Небольшое размышление покажет, что не существует прямого и безошибочного процесса, с помощью которого можно было бы обнаружить такие полные совпадения. Природные объекты — это агрегаты многих качеств, и любое из этих качеств может оказаться в тесной связи с некоторыми другими. Если каждый из многочисленной группы объектов наделен сотней различных физических или химических качеств, то будет не менее 1/2 (100 × 99), или 4950 пар качеств, которые могут быть связаны, и, очевидно, будет делом большой сложности и труда точно установить, какие качества связаны каким-либо простым законом.

Один из главных источников трудности заключается в том, что ограниченных способностей человеческого разума недостаточно, чтобы сравнить одним актом любую большую группу объектов с другой большой группой. Мы не можем удерживать в сознании в любой момент времени более пяти или шести различных идей. Следовательно, мы должны обрабатывать любую более сложную группу последовательными актами внимания. Читатель заметит почти индивидуальным актом сравнения, что слова Roma и Mora содержат одни и те же буквы. Возможно, он с первого взгляда увидит, верно ли это для Causal и Casual, а также для Logica и Caligo. Чтобы убедиться, что буквы в Astronomers составляют No more stars, что Serpens in akuleo — это анаграмма Joannes Keplerus, или Great gun do us a sum — анаграмма Augustus de Morgan, безусловно, необходимо разбить акт сравнения на несколько последовательных актов. Процесс приобретет двойной характер и будет состоять в установлении того, что каждая буква первой группы находится среди букв второй группы, и наоборот, что каждая буква второй находится среди букв первой группы. Точно так же мы можем доказать, что два длинных списка имен идентичны, только показав, что каждое имя в одном списке встречается в другом, и наоборот.

Этот процесс сравнения на самом деле состоит в установлении двух частичных тождеств, которые, как уже было показано (стр. 58), эквивалентны в совокупности одному простому тождеству. Мы сначала устанавливаем истинность двух суждений A = AB, B = AB, а затем переходим путем подстановки к единому закону A = B.

Существует, правда, другой процесс, с помощью которого мы можем прийти к точно такому же результату; ибо два суждения A = AB, a = ab также эквивалентны простому тождеству A = B. Если мы можем показать, что все объекты, включенные в A, включены в B, а также что все объекты, не включенные в A, не включены в B, то наша цель достигнута. Этим процессом мы обычно сравнивали бы два списка, если бы нам было позволено их отмечать. Для каждого имени в первом списке мы вычеркивали бы одно во втором, и если, когда первый список исчерпан, второй список также исчерпан, то следует, что все имена, отсутствующие в первом, должны отсутствовать и во втором, и совпадение должно быть полным.

Эти два способа доказательства тождества настолько тесно связаны, что сомнительно, насколько мы можем обнаружить какую-либо разницу в их силе и случаях применения. Первый метод, возможно, более удобен, когда явления, подлежащие сравнению, редки. Так, мы доказываем, что все музыкальные консонансы совпадают со всеми более простыми числовыми отношениями, показывая, что каждый консонанс возникает из простого отношения колебаний, а затем показывая, что каждое простое отношение порождает один из консонансов. Исследовать все возможные случаи диссонанса или сложного отношения колебаний было бы невозможно. Счастливым индуктивным ходом сэр Джон Гершель обнаружил, что все кристаллы кварца, которые заставляют плоскость поляризации света вращаться, — это именно те кристаллы, которые имеют плагиэдрические грани, то есть косые грани на углах призмы, несимметричные по отношению к обычным граням. Это необычное отношение было бы доказано наблюдением того, что все плагиэдрические кристаллы обладают силой вращения, и наоборот, все кристаллы, обладающие этой силой, были плагиэдрическими. Но в то же время можно было бы заметить, что все обычные кристаллы были лишены этой силы. Нет причин, по которым мы не могли бы обнаружить любое из четырех суждений A = AB, B = AB, a = ab, b = ab, каждое из которых вытекает из A = B (стр. 115).

Иногда терминами тождества могут быть единичные объекты; так, мы наблюдаем, что алмаз — это горючий драгоценный камень, и, будучи не в состоянии обнаружить никакой другой, мы утверждаем —

Diamond = combustible gem.

Подобным образом мы устанавливаем, что

Mercury = metal liquid at ordinary temperatures,

Substance of least density = substance of least atomic weight.

Два или три объекта могут иногда входить в индукцию, как когда мы узнаем, что

Sodium ꖌ potassium = metal of less density than water,

Venus ꖌ Mercury ꖌ Mars = major planet devoid of satellites.

Индукция частичных тождеств.

Мы обнаружили в последнем разделе, что полное тождество двух классов почти всегда обнаруживается не путем прямого наблюдения факта, а путем предварительного установления двух частичных тождеств. Существует также множество случаев, когда частичное тождество одного класса с другим является единственным отношением, которое нужно обнаружить. Так, наиболее распространенный из всех индуктивных выводов состоит в установлении факта, что все объекты, обладающие свойствами A, обладают также свойствами B, или что A = AB. Чтобы установить истинность суждения такого рода, необходимо лишь собрать вместе, мысленно или физически, все объекты, включенные в A, а затем наблюдать, присутствует ли B в каждом из них, или, что то же самое, было бы невозможно выбрать среди них какой-либо не-B. Так, если мы мысленно соберем вместе все небесные тела, которые движутся с видимой быстротой, то есть планеты, мы обнаружим, что все они обладают свойством не мерцать. Мы не можем проанализировать ни одно растительное вещество, не обнаружив, что оно содержит углерод и водород, но неверно, что все вещества, содержащие углерод и водород, являются растительными веществами.

Огромная масса научных истин состоит из суждений этой формы A = AB. Так, в астрономии мы узнаем, что все планеты — сфероидальные тела; что все они вращаются в одном направлении вокруг Солнца; что все они светят отраженным светом; что все они подчиняются закону тяготения. Но, конечно, нельзя утверждать, что все тела, подчиняющиеся закону тяготения, или светящиеся отраженным светом, или вращающиеся в определенном направлении, или являющиеся сфероидальными по форме, — это планеты. В других науках у нас есть огромное количество суждений той же формы, как, например, все вещества при переходе в газообразное состояние поглощают тепло; все металлы — элементы; все они хорошие проводники тепла и электричества; все щелочные металлы — монады; все фораминиферы — морские организмы; все паразитические животные — не млекопитающие; молния никогда не исходит из слоистых облаков; пемза никогда не встречается там, где присутствует только лабрадоровый полевой шпат; доярки не страдают от оспы; и в работах Дарвина научное значение может придаваться даже такому, казалось бы, пустяковому наблюдению, как то, что «белые коты с голубыми глазами глухи».

Процесс вывода, с помощью которого получаются все такие истины, может быть легко представлен в точной символической форме. У нас должна быть одна посылка, определяющая в дизъюнктивной форме всех возможных индивидов, принадлежащих к классу; мы, короче говоря, разлагаем класс на его составляющие. Затем нам нужно несколько суждений, каждое из которых утверждает, что один из индивидов обладает определенным свойством. Таким образом, посылки должны быть форм

A = B ꖌ C ꖌ D ꖌ ...... ꖌ P ꖌ Q

B = BX

C = CX

...  ...

...  ...

Q = QX.

Теперь, если мы подставим вместо каждой альтернативы первой посылки ее описание, найденное среди последующих посылок, мы получим

A = BX ꖌ CX ꖌ ...... ꖌ PX ꖌ QX

или

A = (B ꖌ C ꖌ ...... ꖌ Q)X

Но вместо совокупности альтернатив мы теперь можем подставить их эквивалент, как дано в первой посылке, а именно A, так что мы получаем требуемый результат:

A = AX.

Мы пришли бы к тому же результату, если бы первая посылка была формы

A = AB ꖌ AC ꖌ ...... ꖌ  AQ.

Мы всегда можем доказать суждение, если найдем это более удобным, доказав его эквивалент. Утверждать, что все не-B суть не-A, — это в точности то же самое, что утверждать, что все A суть B. Соответственно, мы можем установить, что A = AB, сначала установив, что b = ab. Если мы заметим, например, что все вещества, которые не являются твердыми, также не способны к двойному лучепреломлению, то из этого необходимо следует, что все вещества, обладающие двойным лучепреломлением, являются твердыми. Мы можем убедиться, что все электрические вещества являются непроводниками электричества, размышляя о том, что все хорошие проводники не удерживают и, по сути, не могут удерживать электрическое возбуждение. Когда мы перейдем к вопросам вероятности, окажется желательным доказать, насколько это возможно, как исходное суждение, так и его эквивалент, поскольку тогда увеличивается область наблюдения.

Количество альтернатив, которые могут возникнуть при делении класса, сильно варьируется и может быть любым числом от двух и выше. Так, вероятно, что каждое вещество является либо магнитным, либо диамагнитным, и ни одно вещество не может быть тем и другим одновременно. Тогда деление должно быть сделано в форме

A = ABc ꖌ AbC.

Если теперь мы сможем доказать, что все магнитные вещества способны к полярности, скажем B = BD, а также что все диамагнитные вещества способны к полярности, C = CD, то путем подстановки следует, что все вещества способны к полярности, или A = AD. Мы обычно делим класс веществ на три подкласса: твердые, жидкие и газообразные; и если мы можем показать, что в каждой из этих форм оно подчиняется термодинамическому закону Карно, то следует, что все вещества подчиняются этому закону. Подобным образом мы можем показать, что все позвоночные животные обладают красной кровью, если сможем отдельно показать, что рыбы, рептилии, птицы, сумчатые и млекопитающие обладают красной кровью, поскольку, насколько известно, существует только пять основных подклассов позвоночных.

Наши индукции часто будут затруднены исключениями, реальными или кажущимися. Мы могли бы утверждать, что все драгоценные камни негорючи, если бы алмазы, несомненно, не были горючими. Ничто не кажется более очевидным, чем то, что все металлы непрозрачны, пока мы не исследуем их в тонких пленках, когда обнаруживается, что золото и серебро прозрачны. Все растения поглощают углекислый газ, за исключением некоторых грибов; все тела планетной системы имеют прогрессивное движение с запада на восток, за исключением спутников Урана и Нептуна. Даже некоторые из самых глубоких законов материи не совсем универсальны; все твердые тела расширяются при нагревании, за исключением каучука и, возможно, нескольких других веществ; все жидкости, которые были протестированы, расширяются при нагревании, за исключением воды ниже 4° C и плавленного висмута; все газы имеют коэффициент расширения, увеличивающийся с температурой, за исключением водорода. В более поздней главе я рассмотрю, как такие аномальные случаи могут быть рассмотрены и классифицированы; здесь нам нужно только выразить их последовательным образом с помощью нашей нотации.

Возьмем случай прозрачности металлов и назначим термины следующим образом:—

A = metal | D = iron
B = gold | E, F, &c. = copper, lead, &c.
C = silver | X = opaque.

Нашими посылками будут

A = B ꖌ C ꖌ D ꖌ E, &c.
B = Bx
C = Cx
D = DX
E = EX,

и так далее для остальных металлов. Теперь, очевидно,

Abc = (D ꖌ E ꖌ F ꖌ ......)bc,

и путем подстановки, как и прежде, мы получим

Abc = AbcX,

или словами: «Все металлы, не являющиеся золотом или серебром, непрозрачны»; в то же время у нас есть

A(B ꖌ C) = AB ꖌ AC = ABx ꖌ ACx = A(B ꖌ C)x,

или «Металлы, которые являются либо золотом, либо серебром, не являются непрозрачными».

В некоторых случаях проблема индукции приобретает гораздо более высокую степень сложности. Если мы исследуем свойства кристаллизованных веществ, мы можем найти некоторые свойства, которые являются общими для всех, такие как спайность или излом по определенным плоскостям; но вскоре станет необходимым разбить класс на несколько более мелких. Мы должны были бы разделить кристаллы согласно семи принятым системам — и тогда мы обнаружили бы, что кристаллы каждой системы обладают многими общими свойствами. Так, кристаллы регулярной или кубической системы расширяются при нагревании одинаково, проводят тепло и электричество с равномерной скоростью и обладают одинаковой упругостью во всех направлениях; они имеют только один показатель преломления для света; и каждая грань повторяется в одинаковом отношении к каждой из трех осей. Кристаллы системы, имеющей одну главную ось, будут обладать различными физическими свойствами проводимости, преломления, упругости и т. д. равномерно в направлениях, перпендикулярных главной оси; в других направлениях их свойства варьируются согласно сложным законам. Остальные системы, в которых кристаллы обладают тремя неравными осями или имеют наклонные оси, демонстрируют еще более сложные результаты, причем воздействие кристалла на свет, тепло, электричество и т. д. варьируется во всех направлениях. Но когда мы преследуем индукцию в хитросплетениях ее применения к природе, мы действительно вступаем в область классификации, которую мы должны будем рассмотреть снова в более поздней части этой работы.

Решение обратной или индуктивной задачи, включающей два класса.

Теперь ясно, что индукция состоит в переходе назад от ряда комбинаций к законам, которыми такие комбинации управляются. Естественный закон, что все металлы являются проводниками электричества, на самом деле означает, что в природе мы находим три класса объектов, а именно—

1. Metals, conductors;
2. Not-metals, conductors;
3. Not-metals, not-conductors.

К тому же самому сводится, если мы скажем, что это исключает существование класса «металлы — непроводники». Таким же образом любой другой закон или группа законов на самом деле будет означать исключение из существования определенных комбинаций вещей, обстоятельств или явлений, управляемых этими законами. Теперь в логике, строго говоря, мы рассматриваем не явления, не законы, а общие формы законов; и небольшое размышление покажет, что для конечного числа вещей возможное число форм или видов закона, управляющих ими, также должно быть конечным. Используя общие термины, мы знаем, что A и B могут присутствовать или отсутствовать четырьмя способами и не более — таким образом:

AB, Ab, aB, ab;

следовательно, каждый возможный закон, который может существовать относительно отношения A и B, должен быть отмечен исключением одной или нескольких из вышеуказанных комбинаций. Число возможных законов тогда не может превышать число выборок, которые мы можем сделать из этих четырех комбинаций. Поскольку каждая комбинация может присутствовать или отсутствовать, число случаев, которые необходимо рассмотреть, составляет 2 × 2 × 2 × 2, или шестнадцать; и все эти случаи показаны в следующей таблице, в которой знак 0 указывает на отсутствие или несуществование комбинации, показанной в левом столбце в той же строке, а знак 1 — на ее присутствие:—

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 * | 8 * | 9 | 10 * | 11 | 12 * | 13 | 14 * | 15 * | 16 *
AB | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1
Ab | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1
aB | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1
ab | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1

Таким образом, в шестнадцатом столбце мы находим, что присутствуют все мыслимые комбинации, что означает, что в таком случае не существует никаких особых законов и что комбинации управляются только универсальными законами тождества и различия. Пример металлов и проводников электричества был бы представлен двенадцатым столбцом; и каждый другой способ, которым два предмета или качества могут проявиться, показан в том или ином столбце. Более половины случаев, действительно, могут быть сразу отброшены, потому что они включают полное отсутствие термина или его отрицания. Было показано, что логический принцип гласит, что каждый термин должен иметь свое отрицание (стр. 111), и когда это не так, должно существовать противоречие между условиями комбинации. Так, если бы мы сформулировали два следующих суждения: «Графит проводит электричество» и «Графит не проводит электричество», это означало бы утверждение невозможности существования графита вообще; или, говоря общими словами, A есть B и A не есть B приводят к полному разрушению комбинаций, содержащих A, случай, показанный в четвертом столбце вышеприведенной таблицы. Поэтому мы ограничиваем наше внимание теми случаями, которые могут быть представлены в природных явлениях, когда присутствуют по крайней мере две комбинации и которые соответствуют тем столбцам таблицы, в которых появляется каждый из A, a, B, b. Эти случаи показаны в столбцах, отмеченных звездочкой.

Мы находим, что для исследования остаются семь случаев, характеризующихся следующим образом—

Four cases exhibiting three combinations,
Two cases exhibiting two combinations,
One case exhibiting four combinations.

Уже было указано, что суждение формы A = AB разрушает одну комбинацию, Ab, так что это форма закона, применяемая к двенадцатому столбцу. Но путем изменения одного или нескольких терминов в A = AB на его отрицание, или путем перестановки A и B, a и b, мы получаем не менее восьми различных разновидностей одной формы; таким образом—

12th case. | 8th case. | 15th case. | 14th case.
A =  | AB | A =  | Ab | a =  | aB | a =  | ab
b =  | ab | B =  | aB | b =  | Ab | B =  | AB

Читатель предыдущих разделов увидит, что каждое суждение в нижней строке логически эквивалентно и, по сути, является контрапозитивом того, что над ним (стр. 83). Так, суждения A = Ab и B = aB оба дают одни и те же комбинации, показанные в восьмом столбце таблицы, и проба показывает, что двенадцатый, восьмой, пятнадцатый и четырнадцатый столбцы таким образом объяснены. Мы приходим к такому заключению — Общая форма суждения A = AB допускает четыре логически различных разновидности, каждая из которых способна к выражению в двух режимах.

В двух столбцах таблицы, а именно седьмом и десятом, мы наблюдаем, что отсутствуют две комбинации. Теперь простое тождество A = B делает невозможными как Ab, так и aB, объясняя десятый случай; и если мы изменим B на b, тождество A = b объясняет седьмый случай. Могут, конечно, существовать две другие разновидности простого тождества, а именно a = b и a = B; но уже неоднократно было показано, что они эквивалентны соответственно A = B и A = b (стр. 115). Поскольку шестнадцатый столбец уже был объяснен как не управляемый никакими особыми условиями, мы приходим к следующему общему выводу: — Законы, управляющие комбинациями двух терминов, должны быть способны к выражению либо в частичном тождестве, либо в простом тождестве; частичное тождество способно только к четырем логически различным разновидностям, а простое тождество — к двум. Каждое логическое отношение между двумя терминами должно быть выражено в одной из этих шести форм закона или должно быть логически эквивалентно одной из них.

Короче говоря, мы можем заключить, что, рассматривая частичное и полное тождество, мы исчерпывающе рассмотрели способы, которыми могут быть связаны два термина или класса объектов. О любых двух классах можно сказать, что один должен либо быть включен в другой, либо быть идентичен ему, либо подобное отношение должно существовать между одним классом и отрицанием другого. Таким образом, мы полностью решили обратную логическую задачу, касающуюся двух терминов.

Обратная логическая задача, включающая три класса.

Как только мы вводим в задачу третий термин C, исследование приобретает гораздо более сложный характер, так что некоторые читатели могут предпочесть пропустить этот раздел. Три термина и их отрицания могут быть объединены, как мы часто видели, в восемь различных комбинаций, и эффект законов или логических условий заключается в разрушении любой одной или нескольких из этих комбинаций. Теперь мы можем сделать выборки из восьми вещей 2^8 или 256 способами; так что у нас есть не менее 256 различных случаев для рассмотрения, и полное решение по крайней мере в пятьдесят раз более хлопотно, чем с двумя терминами. Многие серии комбинаций, действительно, противоречивы, как и в более простой задаче, и могут быть пропущены, причем тестом на непротиворечивость является то, что каждая из букв A, B, C, a, b, c должна где-то появиться в серии комбинаций.

Мой способ решения задачи был следующим: — Выписав все 256 серий комбинаций, я исследовал их отдельно и вычеркнул те, которые не удовлетворяли тесту на непротиворечивость. Затем я выбрал некоторую форму суждения, включающую два или три термина, и варьировал ее всеми возможными способами, как путем круговой перестановки букв (A, B, C в B, C, A, а затем в C, A, B), так и путем подстановки вместо любого одного или нескольких терминов соответствующих отрицательных терминов. Например, суждение AB = ABC может быть сначала варьировано путем круговой перестановки, чтобы дать BC = BCA, а затем CA = CAB. Каждое из этих трех может быть затем приведено к восьми разновидностям путем отрицательного изменения. Так, AB = ABC дает aB = aBC, Ab = AbC, AB = ABc, ab = abC и так далее. Таким образом, может существовать не менее двадцати четырех разновидностей закона, имеющего общую форму AB = ABC, означающего, что все, что обладает свойствами A и B, обладает также свойствами C. Из этого отнюдь не следует, что некоторые из разновидностей не могут быть эквивалентны другим; и проба показывает, на самом деле, что AB = ABC по смыслу в точности то же самое, что Ac = Abc или Bc = Bca. Таким образом, рассматриваемый закон имеет лишь восемь разновидностей различного логического смысла. Теперь я устанавливаю путем фактического дедуктивного рассуждения, какие из 256 серий комбинаций возникают из каждого из этих различных законов, и отмечаю их, как только нахожу. Затем я перехожу к другой форме закона, например A = ABC, означающей, что все, что обладает качествами A, обладает также качествами B и C. Я обнаруживаю, что она допускает двадцать четыре вариации, все из которых оказываются логически различными; комбинации проработаны, и я могу отметить еще двадцать четыре из списка 256 серий. Я продолжаю таким образом прорабатывать результаты каждой формы закона, которую могу найти или изобрести. Если в ходе этой работы я получаю какую-либо серию комбинаций, которая была отмечена ранее, я сразу узнаю, что закон, дающий эти комбинации, логически эквивалентен некоторому закону, рассмотренному ранее. Можно с уверенностью предположить, что каждая разновидность внешне нового закона будет совпадать по смыслу с некоторой разновидностью прежнего выражения того же закона. Я достаточно проверил это предположение в некоторых случаях и никогда не обнаруживал, чтобы оно приводило к ошибке. Так, поскольку AB = ABC эквивалентно Ac = Abc, так мы находим, что ab = abC эквивалентно ac = acB.

Среди рассмотренных законов были два: A = AB и A = B, которые включают только два термина, потому что, конечно, может случиться так, что среди трех вещей только две находятся в особом логическом отношении, а третья независима; и серии комбинаций, представляющие такие случаи отношения, обязательно встретятся в полном перечислении. Все одиночные суждения, которые я мог изобрести, были рассмотрены, затем были исследованы пары суждений. Так, у нас есть отношения: «Все A суть B, и все B суть C», развитием которых является старый логический силлогизм. У нас также могут быть «все A суть все B, и все B суть C» или даже «все A суть все B, и все B суть все C». Все такие посылки допускают вариации, большие или меньшие по количеству, логическая различимость которых может быть определена только путем детальной пробы. Дизъюнктивные суждения, как по отдельности, так и в парах, также были рассмотрены, но часто оказывались эквивалентными другим суждениям более простой формы; так, A = ABC ꖌ Abc по смыслу в точности то же самое, что AB = AC.

Этот способ исчерпывающей пробы имеет некоторую аналогию с тем древним математическим процессом, который называется решетом Эратосфена. Взяв длинный ряд натуральных чисел, Эратосфен, как говорят, последовательно вычислил все кратные каждого числа и отметил их, так что в конце концов остались только простые числа, и множители каждого числа были исчерпывающе обнаружены. Моя задача из 256 серий комбинаций — это логический аналог, главные пункты различия заключаются в том, что существует предел количеству случаев и что простые числа не имеют аналога в логике, поскольку каждая серия комбинаций соответствует закону или группе условий. Но аналогия совершенна в том пункте, что оба они являются обратными процессами. Нет способа установить, что число является простым, кроме как показав, что оно не является произведением каких-либо назначаемых множителей. Так и нет способа установить, какие законы воплощены в какой-либо серии комбинаций, кроме как исчерпывающе пробуя законы, которые дали бы их. Точно так же, как результаты метода Эратосфена были в значительной степени проработаны и зарегистрированы в таблицах для удобства других математиков, я стремился проработать обратную логическую задачу до предела, который в настоящее время практически осуществим или полезен.

Таким образом, я обнаружил, что существует в общей сложности пятнадцать условий или рядов условий, которые могут определять комбинации трех терминов, образующих посылки пятнадцати существенно различных видов аргументов. Следующая таблица содержит изложение этих условий, а также количество комбинаций, которые противоречат каждому из них или исключаются им, и количество логически различных вариаций, которыми может обладать данный закон. В качестве шестнадцатого случая можно было бы добавить такой, при котором не существует никакого особого логического условия, так что сохраняются все восемь комбинаций.

Reference Number. | Propositions expressing the general type of the logical conditions. | Number of distinct logical variations. | Number of combinations contradicted by each.
I. | A = B |  6 | 4
II. | A = AB | 12 | 2
III. | A = B, B = C |  4 | 6
IV. | A = B, B = BC | 24 | 5
V. | A = AB, B = BC | 24 | 4
VI. | A = BC | 24 | 4
VII. | A = ABC | 24 | 3
VIII. | AB = ABC |  8 | 1
IX. | A = AB, aB = aBc | 24 | 3
X. | A = ABC, ab = abC |  8 | 4
XI. | AB = ABC, ab = abc |  4 | 2
XII. | AB = AC | 12 | 2
XIII. | A = BC ꖌ Abc |  8 | 3
XIV. | A = BC ꖌ bc |  2 | 4
XV. | A = ABC, a = Bc ꖌ bC |  8 | 5

Существует шестьдесят три ряда комбинаций, производных от самопротиворечивых посылок, которые вместе со 192 — суммой количеств различных логических вариаций, указанных в третьем столбце таблицы, — и с тем одним случаем, когда вообще нет никаких условий или законов, составляют все мыслимое число из 256 рядов.

Из этой таблицы мы узнаем, например, что два суждения вида A = AB, B = BC, которые составляют посылки старого силлогизма Barbara, исключают как невозможные четыре из восьми комбинаций, в которых могут быть объединены три термина, и что эти суждения способны принимать двадцать четыре вариации путем перестановки терминов или введения отрицаний. Таким образом, эта таблица представляет результаты полного анализа всех возможных логических отношений, возникающих в случае трех терминов, и старый силлогизм образует лишь одну из пятнадцати типических форм. Вообще говоря, каждая форма может быть преобразована в по-видимому различные суждения; так, четвертый тип A = B, B = BC может предстать в форме A = ABC, a = ab или, опять же, в форме трех суждений A = AB, B = BC, aB = aBc; но все эти наборы посылок дают тождественно одинаковые ряды комбинаций и, следовательно, имеют эквивалентное логическое значение. Пятый тип, или Barbara, также может быть приведен к эквивалентным формам A = ABC, aB = aBC и A = AC, B = A ꖌ aBC. В других случаях я получил одни и те же логические условия в четырех способах изложения. Что касается простого внешнего вида и формы изложения, то число возможных посылок было бы очень велико, и его трудно представить исчерпывающим образом.

Наиболее примечательным из всех типов логического условия является четырнадцатый, а именно A = BC ꖌ bc. Он выражает деление рода на два дважды отмеченных вида и может быть проиллюстрирован примером: «Компонент физической вселенной = материя, гравитирующая, или не-материя (эфир), не-гравитирующая». Он допускает лишь две различные логические вариации, а именно A = BC ꖌ bc и A = Bc ꖌ bC. Путем перестановки или изменения знака отрицания у букв мы действительно можем получить шесть различных выражений каждого из этих суждений; но при анализе их значений путем вычисления комбинаций обнаруживается, что они логически эквивалентны одному или другому из вышеуказанных двух. Таким образом, суждение A = BC ꖌ bc может быть записано в любом из следующих пяти других видов,

a = bC ꖌ Bc, B = CA ꖌ ca, b = cA ꖌ Ca,
C = AB ꖌ ab, c = aB ꖌ Ab.

Я не считаю нужным публиковать в настоящее время полную таблицу из 193 рядов комбинаций и соответствующих им посылок. Такая таблица позволяет нам путем простого осмотра узнать законы, которым подчиняется любой набор комбинаций трех вещей, и она является для логики тем же, чем таблица множителей и простых чисел для теории чисел или таблица интегралов для высшей математики. Уже приведенная таблица (стр. 140) позволила бы человеку с небольшим трудом обнаружить закон любых комбинаций. Если имеется семь комбинаций (одна противоречива), закон должен быть восьмого типа, и надлежащая разновидность станет очевидной. Если имеется шесть комбинаций (две противоречивы), применяется либо второй, либо одиннадцатый, либо двенадцатый тип, и определенное количество проб выявит надлежащий тип и разновидность. Если имеется всего две комбинации, закон должен быть третьего типа, и так далее.

Вышеприведенные исследования являются полными в отношении возможных логических отношений двух или трех терминов. Но когда мы пытаемся применить тот же метод к отношениям четырех или более терминов, объем работы становится непрактично огромным. Четыре термина дают шестнадцать комбинаций, совместимых с законами мышления, и число возможных выборок комбинаций составляет не менее 2^16, или 65 536. Следующая таблица показывает необычайный способ, которым число возможных логических отношений возрастает с увеличением числа вовлеченных терминов.

Number of terms. | Number of possible combinations. | Number of possible selections of combinations corresponding to consistent or inconsistent logical relations.
2 |  4 | 16
3 |  8 | 256
4 | 16 | 65,536
5 | 32 | 4,294,967,296
6 | 64 | 18,446,744,073,709,551,616

Потребовались бы годы непрерывного труда, чтобы установить типы законов, которые могут управлять комбинациями всего лишь четырех вещей, и лишь малая часть таких законов была бы проиллюстрирована или способна к практическому применению в науке. Чисто логическая обратная задача, посредством которой мы переходим от комбинаций к их законам, решена на предыдущих страницах настолько, насколько это вероятно на долгое время вперед; и почти невозможно, чтобы она когда-либо была продвинута более чем на один шаг дальше.

В первом издании, том I, стр. 158, я заявил, что не смог обнаружить никакого способа вычисления количества случаев, в которых противоречивость подразумевалась бы при выборе комбинаций из Логического алфавита. Логическая сложность проблемы казалась настолько великой, что обычные способы вычисления количества комбинаций, по моему мнению, не давали никакой помощи, и исчерпывающее рассмотрение комбинаций в деталях казалось единственным применимым методом. Однако это мнение было ошибочным, ибо и г-н Р. Б. Хейворд из Харроу, и г-н У. Г. Брюэр вычислили количество противоречивых случаев как для трех, так и для четырех терминов без особых трудностей. В случае четырех терминов они обнаружили, что существует 1761 противоречивая выборка и 63 774 непротиворечивых, что вместе с одним случаем, где не существует никакого условия, составляет общее число в 65 536 возможных выборок.

Противоречивые случаи распределены способом, показанным в следующей таблице:

Number of Combinations remaining. | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10, &c.
Number of Inconsistent Cases. | 1 | 16 | 112 | 352 | 536 | 448 | 224 | 64 | 8 | 0 | 0, &c.

Когда остается неисключенными более восьми комбинаций Логического алфавита (стр. 94, столбец V), противоречия быть не может. Общие количества способов выбора 0, 1, 2 и т. д. комбинаций из 16 приведены в 17-й строке Арифметического треугольника, представленного далее в главе о комбинациях и перестановках, причем сумма чисел в этой строке равна 65 536.

Профессор Клиффорд о типах составных суждений, включающих четыре класса.

В первом издании (том I, стр. 163) я утверждал, что потребовались бы годы труда, чтобы установить даже точное число типов законов, управляющих комбинациями четырех классов вещей. Хотя я по-прежнему считаю, что потребовались бы годы труда, чтобы разработать сами типы, было бы явной ошибкой полагать, что количество таких типов нельзя вычислить с разумным объемом труда, поскольку профессор У. К. Клиффорд фактически выполнил эту задачу. Его решение численной задачи включает использование совершенно новой системы номенклатуры и является слишком сложным, чтобы быть полностью описанным здесь. Я могу лишь дать краткий реферат результатов и отослать читателей, желающих проследить за ходом рассуждений, к «Трудам Литературного и философского общества Манчестера» за 9 января 1877 года, том XVI, стр. 88, где статья профессора Клиффорда напечатана полностью.

Под простым суждением профессор Клиффорд понимает отрицание существования какой-либо отдельной комбинации или перекрестного деления классов, как в ABCD = 0 или AbCd = 0. Отрицание двух или более таких комбинаций называется составным суждением и далее именуется двояким, трояким и т. д. в зависимости от количества отрицаемых комбинаций. Таким образом, ABC = 0 является двояким составным суждением в отношении четырех классов, поскольку оно включает как ABCD = 0, так и ABCd = 0. Когда два составных суждения могут быть преобразованы одно в другое путем перестановки классов A, B, C, D между собой или с их дополнительными классами a, b, c, d, они называются подобными, и все подобные суждения, как говорят, принадлежат к одному и тому же типу.

Два суждения называются дополнительными, когда они вместе отрицают все шестнадцать комбинаций, не отрицая при этом ни одной общей; или, что то же самое, когда каждое из них отрицает именно те комбинации, которые другое допускает к существованию. Очевидно, что когда два суждения подобны, дополнительные суждения также будут подобны, и, следовательно, для каждого типа n-кратного суждения существует дополнительный тип (16-n)-кратного суждения. Отсюда следует, что нам нужно перечислить типы только до восьмого порядка; ибо типы более чем восьмикратных суждений уже будут даны как дополнительные к типам более низких порядков.

Одна комбинация, ABCD, может быть преобразована в другую, AbCd, путем перестановки одного или нескольких классов с дополнительными классами. Количество таких изменений называется расстоянием, которое в вышеуказанном случае равно 2. В двух подобных составных суждениях расстояния отрицаемых комбинаций должны быть одинаковыми; но из этого не следует, что когда все расстояния одинаковы, суждения подобны. Существует, однако, только один пример двух неподобных суждений, имеющих одинаковые расстояния. Когда расстояние равно 4, две комбинации называются обратными друг другу, а суждения, отрицающие их, называются обратными суждениями, как в ABCD = 0 и abcd = 0 или, опять же, AbCd = 0 и aBcD = 0. Когда дана какая-либо одна комбинация, называемая началом, все остальные могут быть сгруппированы в отношении их связей с ней следующим образом: четыре находятся на расстоянии один от нее и могут быть названы ближайшими; шесть находятся на расстоянии два и могут быть названы промежуточными; четыре находятся на расстоянии три и могут быть названы крайними; наконец, обратная находится на расстоянии четыре.

Origin and four proximates. | Six mediates. | Obverse and four ultimates.
| abCD |
| | |
aBCD |  AbcD  | | |  AbCd  | Abcd
| |  | ╲  | | |  ╱ |  | |
ABCd | — | ABCD | — | AbCD |  | ╳ |  | abcD | — | abcd | — | aBcd
| |  | ╱  | | |  ╲ |  | |
ABcD |  aBcD  | | |  aBCd  | abCd.
| | |
| ABcd |

Будет видно, что четыре ближайшие комбинации являются соответственно обратными четырем крайним, и что промежуточные образуют три пары обратных. Каждая ближайшая или крайняя комбинация удалена соответственно на 1 и 3 от такой пары промежуточных.

Пользуясь этой системой номенклатуры, профессор Клиффорд приступает к исчерпывающему перечислению типов, в котором невозможно следовать за ним. Результаты следующие:

1-fold |  statements |  1 |  type | [picture] | 159
2 | " | " |  4 |  types
3 | " | " |  6 | "
4 | " | " | 19 | "
5 | " | " | 27 | "
6 | " | " | 47 | "
7 | " | " | 55 | "
8-fold |  statements | 78 | " |  |

Теперь, поскольку каждое семикратное или менее чем семикратное суждение является дополнительным к девятикратному или более чем девятикратному суждению, отсюда следует, что полное число типов будет 159 × 2 + 78 = 396.

Таким образом, оказывается, что типов суждений относительно четырех классов всего лишь примерно в 26 раз больше, чем типов относительно трех классов (которых пятнадцать), хотя число возможных комбинаций в 256 раз больше.

Профессор Клиффорд сообщает мне, что знание возможных группировок подразделений классов, которое он получил в ходе этого исследования, было полезно ему в некоторых приложениях гиперэллиптических функций, к которым он впоследствии пришел. Профессор Кэли с тех пор выразил мнение, что эту линию исследования следует продолжать ввиду значения теории составных комбинаций для высшей геометрии. По-видимому, со временем будет обнаружено много неожиданных точек соприкосновения между науками логикой и математикой.

Различие между полной и неполной индукцией.

Мы не можем с пользой продолжить, не отметив крайнее различие, существующее между случаями полной и неполной индукции. Мы называем индукцию полной, когда были исследованы все объекты или события, которые могут подпадать под рассматриваемый класс. Но в большинстве случаев невозможно собрать вместе или каким-либо образом исследовать свойства всех частей вещества или всех индивидов рода. Количество объектов часто было бы практически бесконечным, и большая их часть могла бы находиться вне нашей досягаемости — в недрах земли или в самых отдаленных частях Вселенной. Во всех таких случаях индукция является неполной и подвержена большей или меньшей неопределенности. Поскольку некоторые авторы впали в большие заблуждения относительно функций и относительной важности этих двух ветвей рассуждения, мне придется указать, что —

1. Полная индукция — это процесс, абсолютно необходимый как при выполнении неполной индукции, так и при обработке больших массивов фактов, о которых наши знания являются полными.

2. Неполная индукция основывается на полной индукции, но включает в себя другой процесс вывода совершенно иного характера.

Несомненно, что если я вообще могу сделать какой-либо вывод относительно неисследованных объектов, это должно быть сделано на основе данных, предоставленных объектами, которые были исследованы. Если я сужу, что далекая звезда подчиняется закону тяготения, это должно быть потому, что все другие материальные объекты, достаточно известные мне, подчиняются этому закону. Если я осмеливаюсь утверждать, что все жвачные животные имеют раздвоенные копыта, это потому, что все жвачные животные, которые попадались мне на глаза, имеют раздвоенные копыта. С другой стороны, я не могу с уверенностью сказать, что все тайнобрачные растения обладают чисто клеточной структурой, потому что некоторые тайнобрачные растения, исследованные ботаниками, имеют частично сосудистую структуру. Вероятность того, что новое тайнобрачное растение будет только клеточным, может быть оценена, если вообще может, на основании сравнительного количества известных тайнобрачных растений, которые являются и которые не являются клеточными. Таким образом, первый шаг в каждой индукции будет состоять в точном суммировании количества случаев определенного явления, которые попали в поле нашего наблюдения. Адамс и Леверье, например, должны были сделать вывод, что неоткрытая планета Нептун будет подчиняться закону Боде, потому что все планеты, известные в то время, подчинялись ему. На каких принципах оправдан переход от известного к якобы неизвестному, должно быть тщательно обсуждено в следующем разделе и в различных частях этой работы.

Однако было бы большой ошибкой полагать, что полная индукция сама по себе бесполезна. Даже когда перечисление объектов, принадлежащих к какому-либо классу, является полным и не допускает никакого вывода к неисследованным объектам, изложение наших знаний в общем суждении является процессом такой важности, что мы можем считать его необходимым. Во многих случаях мы можем сделать наши исследования исчерпывающими; все зубы или кости животного; все клетки в мельчайшем растительном органе; все пещеры на склоне горы; все пласты в геологическом разрезе; все монеты в найденном кладе могут быть изучены настолько полно, что мы можем сделать некоторое общее утверждение относительно них без страха ошибки. Каждая кость может быть доказана как содержащая фосфат извести; каждая клетка — как заключающая в себе ядро; каждая пещера — как скрывающая останки вымерших животных; каждый пласт — как проявляющий признаки морского происхождения; каждая монета — как имеющая римское происхождение. Это случаи, когда наше исследование ограничено определенной частью материи или определенной областью на поверхности земли.

Существует другой класс случаев, где индукция естественно и необходимо ограничена определенным числом альтернатив. О правильных многогранниках мы можем сказать без малейшего сомнения, что ни один из них не имеет более двадцати граней, тридцати ребер и двадцати углов; ибо из принципов геометрии мы узнаем, что не может существовать более пяти правильных многогранников, для каждого из которых мы легко замечаем, что вышеуказанные утверждения истинны. В теории чисел может быть сделано бесконечное разнообразие полных индукций; мы можем показать, что ни одно число меньше шестидесяти не обладает таким количеством делителей, и то же самое верно для 360; ибо не требуется большого труда, чтобы установить и сосчитать все делители чисел до шестидесяти или 360. Я могу утверждать, что между 60 041 и 60 077 не встречается ни одного простого числа, потому что исчерпывающее исследование тех, кто составил таблицы простых чисел, доказывает, что это так.

В делах, установленных людьми, или в истории мы часто можем иметь полное ограничение числа случаев, которые должны быть включены в индукцию. Мы могли бы показать, что суждения третьей книги Евклида трактуют только о кругах; что ни одна часть трудов Галена не упоминает четвертую фигуру силлогизма; что никто из других королей Англии не правил так долго, как Георг III; что Великая хартия вольностей не была отменена никаким последующим статутом; что цена на зерно в Англии никогда не была такой высокой после 1847 года, как она была в том году; что цена английских фондов никогда не была ниже, чем она была 23 января 1798 года, когда она упала до 47 1/4.

Против этого процесса полной индукции выдвигалось возражение, что он не дает никакой новой информации и является лишь суммированием в краткой форме множества частностей. Но простое сокращение умственного труда является одним из самых важных вспомогательных средств, которыми мы можем пользоваться при приобретении знаний. Силы человеческого разума настолько ограничены, что одно лишь множество деталей достаточно, чтобы предотвратить его прогресс во многих направлениях. Мышление было бы практически невозможным, если бы каждый отдельный факт нужно было отдельно обдумывать и обрабатывать. Экономию умственной энергии можно считать одним из главных условий, от которых зависит наше высокое интеллектуальное положение. Математические процессы по большей части являются лишь сокращениями более простых актов сложения и вычитания. Изобретение логарифмов было одним из самых поразительных дополнений, когда-либо сделанных к человеческой силе: однако это было лишь сокращение операций, которые могли быть выполнены и раньше, если бы имелось достаточное количество труда. Подобные дополнения к нашей силе, как можно надеяться, будут делаться время от времени; ибо количество математических задач, решенных до сих пор, является лишь бесконечно малой долей тех, которые ожидают решения, потому что труд, которого они до сих пор требовали, делает их непрактичными. Так обстоит дело во всех областях мысли. Объем наших знаний зависит от нашей способности привести их в практические рамки. Если мы не упорядочиваем и не классифицируем факты и не конденсируем их в общие истины, они вскоре превосходят наши способности памяти и служат лишь для того, чтобы вносить путаницу. Следовательно, полная индукция, даже как процесс сокращения, абсолютно необходима для любого высокого уровня умственных достижений.

Переход от полной к неполной индукции.

Вопрос о том, на каких основаниях мы вправе делать вывод о будущем из настоящего или о природе неоткрытых объектов из тех, которые мы исследовали нашими чувствами, является чрезвычайно трудным. Мы переходим от полной к неполной индукции, как только позволяем нашему заключению применяться, во всяком случае по-видимому, за пределами данных, на которых оно было основано. Делая такой шаг, мы, кажется, получаем чистое приращение к нашим знаниям; ибо мы узнаем природу того, что было неизвестно. Мы пожинаем там, где никогда не сеяли. Мы, по-видимому, обладаем божественной силой создавать знания и достигать нашими ментальными руками далеко за пределы сферы нашего собственного наблюдения. Мне, действительно, придется указать на определенные методы рассуждения, в которых мы выходим совершенно за пределы сферы чувств и приобретаем точные знания, которые наблюдение никогда не могло бы дать; но не неполная индукция совершает такую задачу. О самой неполной индукции я осмеливаюсь утверждать, что она никогда не делает никакого реального приращения к нашим знаниям в значении этого выражения, иногда принимаемом. Как и в других случаях вывода, она лишь раскрывает информацию, содержащуюся в прошлых наблюдениях; она лишь делает явным то, что было неявным в предыдущем опыте. Она трансформирует, но, безусловно, не создает знания.

Нет факта, который я буду более постоянно держать перед умом читателя на следующих страницах, чем тот, что результаты неполной индукции, как бы хорошо они ни были подтверждены и проверены, никогда не являются более чем вероятными. Мы никогда не можем быть уверены, что будущее будет таким же, как настоящее. Мы всегда зависим от воли Творца: и только в той мере, в какой Он создал две вещи похожими или поддерживает структуру мира неизменной от момента к моменту, наши самые тщательные выводы могут быть оправданы. Все предсказания, все выводы, которые выходят за пределы своих данных, являются чисто гипотетическими и исходят из предположения, что новые события будут соответствовать условиям, обнаруженным в нашем наблюдении прошлых событий. Никакой опыт конечной продолжительности не может дать исчерпывающего знания о силах, которые находятся в действии. Таким образом, существует двойная неопределенность; даже предполагая, что Вселенная в целом продолжает оставаться неизменной, мы на самом деле не знаем Вселенную в целом. Мы знаем только точку в ее бесконечном пространстве и момент в ее бесконечной длительности. Мы не можем быть уверены, следовательно, что наши наблюдения не упустили какой-то факт, который заставит будущее быть по-видимому отличным от прошлого; не можем мы быть уверены и в том, что будущее действительно будет результатом прошлого. Мы действуем тогда во всех наших выводах к неисследованным объектам и временам на предположениях —

1. Что наше прошлое наблюдение дает нам полное знание того, что существует.

2. Что условия вещей, которые существовали, будут продолжать оставаться условиями, которые будут существовать.

Нам часто нужно будет иллюстрировать характер нашего знания о природе подобием избирательной урны, так часто используемой математическими авторами в теории вероятностей. Природа для нас подобна бесконечной избирательной урне, содержимое которой постоянно извлекается, шар за шаром, и демонстрируется нам. Наука — это лишь тщательное наблюдение последовательности, в которой появляются шары различного характера; мы регистрируем комбинации, замечаем те, которые, по-видимому, исключены из появления, и из пропорциональной частоты тех, которые появляются, мы делаем вывод о вероятном характере будущих извлечений. Но при таких обстоятельствах достоверность предсказания зависит от двух условий: —

1. Что мы приобретаем совершенное знание сравнительных количеств шаров каждого вида внутри урны.

2. Что содержимое избирательной урны остается неизменным.

Об этом последнем предположении, или, скорее, о том, что касается устройства мира, которое оно иллюстрирует, логик или физик не может ничего сказать. Поскольку Сотворение Вселенной является по необходимости актом, превосходящим всякий опыт и всякое понятие, так и любое изменение в этой Вселенной, или, может быть, ее прекращение, должно точно так же быть бесконечно за пределами границ наших умственных способностей. Никакая наука, никакое рассуждение на эту тему не могут иметь никакой силы; ибо без опыта мы лишены основы и материалов знания. Соответственно, фундаментальным постулатом всякого вывода относительно будущего является то, что не должно быть никакого произвольного изменения в предмете вывода; о вероятности или невероятности такого изменения, я полагаю, наши способности не могут дать никакой оценки.

Другое условие индуктивного вывода — что мы приобретаем приблизительно полное знание комбинаций, в которых действительно происходят события, — в некоторой степени находится в нашей власти. Существуют отрасли науки, в которых явления, по-видимому, управляются условиями самого фиксированного и общего характера. У нас есть основания в таких случаях верить, что будущее появление таких явлений может быть вычислено и предсказано. Но весь вопрос теперь становится вопросом вероятности и невероятности. Мы, кажется, покидаем область логики, чтобы войти в ту, в которой количество событий является основанием вывода. Мы на самом деле не покидаем область логики; мы только покидаем ту, где достоверность, утвердительная или отрицательная, является результатом, а согласие или несогласие качеств — средством вывода. В будущем число и количество обычно будут входить в наши процессы рассуждения; но тогда я утверждаю, что число и количество являются лишь частями великой логической области. Я осмеливаюсь утверждать, что число является полностью логическим как по своей фундаментальной природе, так и по своим развитиям. Количество во всех своих формах является лишь развитием числа. То, что является математическим, не менее логично; если что, оно более логично в том смысле, что оно представляет логические результаты в более высокой степени сложности и разнообразия.

Прежде чем переходить тогда от полной к неполной индукции, я должен посвятить часть этой работы рассмотрению логических условий числа. Затем я буду использовать число для оценки разнообразия комбинаций, в которых могут представляться природные явления, и вероятности или невероятности их появления при определенных обстоятельствах. Именно в более поздних частях работы я должен попытаться обосновать понятия, которые я изложил по вопросу о неполной индукции, как она применяется в исследовании Природы, которые понятия могут быть кратко сформулированы так: —

1. Неполная индукция полностью опирается на полную индукцию в отношении своих материалов.

2. Логический процесс, посредством которого мы, по-видимому, переходим непосредственно от исследованных к неисследованным случаям, состоит в обратном применении дедуктивного вывода, так что можно сказать, что всякое рассуждение является либо прямо, либо обратно дедуктивным.

3. Результат всегда носит гипотетический характер и никогда не является более чем вероятным.

4. Никакого чистого приращения к нашим знаниям никогда не делается путем рассуждения; то, что мы знаем о будущих событиях или неисследованных объектах, является лишь раскрытым содержанием нашего предыдущего знания, и оно становится менее вероятным по мере того, как оно более смело распространяется на отдаленные случаи.

КНИГА II. ЧИСЛО, РАЗНООБРАЗИЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ.

ГЛАВА VIII. ПРИНЦИПЫ ЧИСЛА.

Не без причины Пифагор представлял мир управляемым числом. Почти во все наши акты мышления входит число, и в той мере, в какой мы можем определить численно, мы наслаждаемся точным и полезным знанием Вселенной. Наука о числах также до сих пор представляла собой самую широкую и практичную подготовку в логике. Столь свободным и энергичным было изучение математических форм по сравнению с формами логики, что математики ушли далеко вперед чистых логиков. Иногда в последнее время они снисходили до применения своего алгебраического инструмента к рефлексивному рассмотрению первичной логической науки. Именно так мы обязаны глубоким математикам, таким как Джон Гершель, Уэвелл, Де Морган или Буль, возрождением логики в нынешнем столетии. Я не сомневаюсь, что именно в поддержании тесного союза с количественным рассуждением мы должны искать дальнейший прогресс в нашем понимании качественного вывода.

Я не могу согласиться, действительно, с обычным представлением, что достоверность начинается и заканчивается числовым определением. Нет ничего более достоверного, чем логическая истина. Законы тождества и различия являются критериями всего, что достоверно во всем диапазоне мысли, и математическое рассуждение убедительно только тогда, когда оно соответствует этим условиям, из которых логика является первым развитием. И если ошибочно полагать, что всякая достоверность является математической, то столь же ошибочно воображать, что все, что является математическим, достоверно. Многие процессы математического рассуждения имеют весьма сомнительную обоснованность. Существуют пункты математической доктрины, которые должны долго оставаться делом мнения; например, наилучшая форма определения и аксиомы относительно параллельных линий или истинная природа предела. При использовании символического рассуждения возникают вопросы, по которым лучшие математики могут расходиться во мнениях, как Бернулли и Лейбниц непримиримо расходились во мнениях относительно существования логарифмов отрицательных величин. В самом деле, как только мы покидаем простые логические условия числа, мы обнаруживаем, что вовлечены в запутанную и таинственную науку символов.

Математическая наука не пользуется монополией и даже не превосходством в достоверности результатов. Именно безграничный объем и разнообразие количественных вопросов восхищают математического студента. Когда простая логика может дать лишь скупой ответ «Да» или «Нет», алгебраист поднимает множество тонких вопросов и выдает толпу любопытных результатов. Цветок и плод, все, что привлекательно и восхитительно, достается на долю математика, который слишком часто презирает простой, но необходимый стебель, из которого все возникло. Ни в одной области мысли рассуждающий не может освободиться от предварительных условий логической правильности. Математик силен и истинен лишь до тех пор, пока он логичен, и если число правит миром, то именно логика правит числом.

Почти все авторы до сих пор странным образом довольствовались тем, что рассматривали числовое рассуждение как нечто отдельное от логического вывода. Долгий развод существовал между качеством и количеством, и было не редкостью рассматривать их как противопоставленные по природе и ограниченные независимыми ветвями мысли. Что касается меня, я верю, что все науки встречаются где-то. Ни одна часть знания не может стоять полностью оторванной от других частей вселенной мысли; невероятно, прежде всего, что две великие ветви абстрактной науки, переплетаясь и сотрудничая в каждом дискурсе, должны покоиться на совершенно различных основаниях. Я предполагаю, что связь существует, и забочусь лишь о том, чтобы спросить: какова ее природа? Покоится ли наука о количестве на науке о качестве; или, наоборот, покоится ли наука о качестве на науке о количестве? Можно было бы мыслимо предположить третий взгляд, что они обе покоятся на каком-то еще более глубоком наборе принципов.

Обычно предполагается, что Буль принял второй взгляд и рассматривал логику как приложение алгебры, частный случай аналитического рассуждения, который допускает только две величины: единицу и ноль. Нелегко точно установить, какой из этих взглядов действительно был принят Булем. В своем интересном биографическом очерке о Буле преподобный Р. Харли протестует против утверждения, что логическое исчисление Буля внесло условия числа и количества в логику. Он говорит: «Логика никогда не отождествляется и не смешивается с математикой; две системы мысли сохраняются совершенно различными, каждая из них подчиняется своим собственным законам и условиям. Символы одинаковы для обеих систем, но они не имеют одинаковой интерпретации». Преподобный Дж. Венн, опять же, в своем обзоре логической системы Буля, придерживается мнения, что процессы Буля в основе своей логические, а не математические, хотя и изложены в высокообобщенной форме и в математическом облачении. Но вполне вероятно, что читатели Буля могут быть введены в заблуждение. Не только его логические работы имеют совершенно математический вид, но я нахожу на стр. 12 его «Законов мышления» следующее недвусмысленное утверждение: «То, что логика как наука восприимчива к очень широким приложениям, признается; но столь же верно, что ее конечные формы и процессы являются математическими». Несколькими строками ниже он добавляет: «Не является сущностью математики быть сведущей в идеях числа и количества».

Решение этой трудности заключается в том, что Буль использовал термин «математика» в более широком смысле, чем тот, который обычно ему приписывается. Он, вероятно, принял третий взгляд, так что его математические «Законы мышления» являются общей основой как для логики, так и для количественной математики. Но я не хочу продолжать эту тему, потому что думаю, что в любом случае Буль был неправ. По моему мнению, логика — это высшая наука, общая основа математики, как и всех других наук. Число — это лишь логическое различение, а алгебра — высокоразвитая логика. Таким образом, легко понять глубокую аналогию, которую Буль указал между формами алгебраического и логического вывода. Логика напоминает алгебру так же, как форма напоминает то, что в ней отлито. Буль принял отливку за форму. Учитывая, что логика навязывает свои собственные законы каждой ветви математической науки, неудивительно, что мы постоянно встречаем следы логических законов в математических процессах.

Природа числа.

Число — это лишь другое имя для разнообразия. Точное тождество есть единство, а с различием возникает множественность. Абстрактное понятие, как было указано (стр. 28), обладает определенной «однородностью». Качество справедливости, например, одно и то же, в каких бы справедливых актах оно ни проявлялось. В самой справедливости нет признаков различия, по которым можно было бы отличить справедливость от справедливости. Но один справедливый акт можно отличить от другого справедливого акта по обстоятельствам времени и места, и мы можем сосчитать много актов, таким образом различенных друг от друга. Точно так же чистое золото — это просто чистое золото, и оно настолько является одним и тем же повсюду. Но помимо своих внутренних качеств, золото занимает пространство и должно иметь форму и размер. Части золота всегда взаимно исключительны и способны к различению в том отношении, что они должны быть каждая без другой. Следовательно, их можно пронумеровать.

Множественность возникает тогда и только тогда, когда мы обнаруживаем различие. Например, при подсчете количества золотых монет я должен сосчитать каждую монету один раз и не более одного раза. Пусть C обозначает монету, а знак над ней — порядок счета. Тогда я должен сосчитать монеты

C′ + C″ + C‴ + C″″ + . . . . . .

Если бы я считал их следующим образом

C′ + C″ + C‴ + C‴ + C″″ + . . .,

Я превратил бы третью монету в две и подразумевал бы существование различия там, где нет никакого различия. C‴ и C‴ — это лишь имена одной монеты, названной дважды. Но согласно одному из условий логических символов, которое я назвал Законом единства (стр. 72), повторенное одно и то же имя не имеет эффекта, и

A ꖌ A = A.

Мы должны применить Закон единства и должны сократить все тождественные альтернативы, прежде чем сможем считать с уверенностью и использовать процессы численного вычисления. Тождественные альтернативы безвредны в логике, но совершенно недопустимы в числе. Таким образом, логическая наука устанавливает природу математической единицы, и определение может быть дано в таких терминах: Единица — это любой объект мысли, который может быть отличен от любого другого объекта, рассматриваемого как единица в той же задаче.

Часто говорили, что единицы являются единицами в отношении того, что они совершенно похожи друг на друга; но хотя они могут быть совершенно похожими в некоторых отношениях, они должны быть разными по крайней мере в одном пункте, иначе они были бы неспособны к множественности. Если бы три монеты были настолько похожи, что занимали бы одно и то же пространство в одно и то же время, они были бы не тремя монетами, а одной монетой. Свойство пространства таково, что каждая точка отличима от любой другой точки, и во времени каждый момент по необходимости отличен от любого другого момента до или после. Следовательно, мы часто считаем в пространстве или времени, и Локк, вместе с некоторыми другими философами, придерживался мнения, что число возникает из повторения во времени. Удары маятника могут быть настолько совершенно похожими, что мы не можем обнаружить никакой разницы, кроме того, что один удар до, а другой после. Время само по себе является здесь основанием различия и является достаточным фундаментом для различения множественности; но это отнюдь не единственное основание. Три монеты — это три монеты, считаем ли мы их последовательно или рассматриваем их все одновременно. Во многих случаях ни время, ни пространство не являются основанием различия, а входит только чистое качество. Мы можем различить вес, инерцию и твердость золота как три качества, хотя ни одно из них не является до или после другого, ни в пространстве, ни во времени. Любое средство различения может быть источником множественности.

Наша логическая нотация может быть использована для выражения возникновения числа. Символ A означает одну вещь или один класс и сам по себе должен рассматриваться как единица, потому что никакое различие не указано. Но комбинации AB и Ab по необходимости являются двумя, потому что они не могут логически слиться, и есть знак B, который отличает одну от другой. Логическое определение числа четыре дано в комбинациях ABC, ABc, AbC, Abc, где есть двойное различие. Как говорит Пак —

“Yet but three? Come one more;
  Two of both kinds makes up four.”

Я полагаю, что все числа могли бы быть представлены как возникающие из комбинаций Логического алфавита, причем больше или меньше из каждого ряда вычеркивается различными логическими условиями. Число три, например, возникает из условия, что A должно быть либо B, либо C, так что комбинации суть ABC, ABc, AbC.

О числовой абстракции.

Теперь не составит труда сформировать ясное понятие о природе числовой абстракции. Она состоит в абстрагировании характера различия, из которого возникает множественность, сохраняя лишь сам факт. Когда я говорю о «трех людях», мне не нужно сразу указывать признаки, по которым каждого можно узнать от каждого. Эти признаки должны существовать, если они действительно три человека, а не один и тот же, и, говоря о них как о многих, я подразумеваю существование необходимых различий. Абстрактное число, таким образом, есть пустая форма различия; абстрактное число «три» утверждает существование признаков, не указывая их вида.

Таким образом, видно, что числовая абстракция является процессом, отличным от логической абстракции (стр. 27), ибо в последнем процессе мы упускаем из виду само существование различия и множественности. Формируя абстрактное понятие «твердость», мы полностью игнорируем разнообразные обстоятельства, в которых это качество может проявляться. Именно конкретное понятие «три твердых объекта» утверждает существование твердости наряду с достаточными другими неопределенными качествами, чтобы выделить три таких объекта. Числовое мышление действительно тесно переплетено с логическим мышлением. Мы не можем использовать конкретный термин во множественном числе, как «люди», не подразумевая, что существуют признаки различия. Но когда мы используем абстрактный термин, мы имеем дело с единством.

Происхождение великой общности числа теперь очевидно. Три звука отличаются от трех цветов, или три всадника от трех лошадей; но они согласуются в отношении разнообразия признаков, по которым их можно различить. Символы 1 + 1 + 1 являются, таким образом, пустыми знаками, утверждающими существование различения. Но, упуская из виду характер различий, мы порождаем новые согласия, на которых основывается математическое рассуждение. Числовая абстракция настолько далека от несовместимости с логической абстракцией, что она является источником наших самых широких актов обобщения.

Конкретное и абстрактное число.

Обычное различие между конкретным и абстрактным числом теперь может быть легко сформулировано. В той мере, в какой мы указываем логические характеристики нумеруемых вещей, мы делаем их конкретными. В абстрактном числе «три» нет утверждения о пунктах, в которых три объекта согласуются; но в «трех монетах», «трех людях» или «трех лошадях» не только объекты пронумерованы, но и их природа ограничена. Конкретное число, таким образом, подразумевает то же сознание различия, что и абстрактное число, но оно смешано с основой сходства, выраженной в логических терминах. Существует тождество, поскольку входят логические термины; различие, поскольку термины являются чисто числовыми.

Причина важного Закона однородности теперь будет очевидна. Этот закон утверждает, что в каждом арифметическом вычислении логическая природа нумеруемых вещей должна оставаться неизменной. Указанное логическое согласие вещей не должно затрагиваться неуказанными числовыми различиями. Вычисление было бы явно абсурдным, если бы, начав с длины, оно дало результат в часах. Столь же абсурдно, с чисто арифметической точки зрения, выводить площади из вычисления длин, массы из комбинации объема и плотности или импульсы из массы и скорости. Должно остаться для последующего рассмотрения решение вопроса о том, в каком смысле мы можем истинно сказать, что два линейных фута, умноженные на два линейных фута, дают четыре квадратных фута; арифметически это абсурдно, потому что происходит смена единицы.

Как общее правило, мы рассматриваем в каждом вычислении только объекты одной природы. Мы не складываем и не можем должным образом складывать в одной сумме ярды ткани и фунты сахара. Мы не можем даже представить результат сложения площади к скорости, или длины к плотности, или веса к стоимости. Складываемые единицы должны иметь основу однородности или должны быть приводимы к какому-то общему знаменателю. Тем не менее возможно, и на самом деле обычно, рассматривать в одном сложном вычислении самые разнородные величины при условии, что каждый вид объекта сохраняется отдельным и рассматривается численно только в сочетании со своим собственным видом. Различные единицы, поскольку их логические различия указаны, никогда не должны заменяться одна другой. Химики постоянно используют уравнения, которые утверждают эквивалентность групп атомов. Обычное брожение представлено формулой

C⁶ H¹² O⁶ = 2C² H⁶ O + 2CO².

Три вида единиц, атомы соответственно углерода, водорода и кислорода, здесь перемешаны, но на самом деле существует отдельное уравнение в отношении каждого вида. Математики также используют составные уравнения того же рода; ибо в a + b√-1 = c + d√-1 невозможно путем обычного сложения прибавить a к b√-1. Следовательно, у нас на самом деле есть отдельные уравнения: a = c и b√-1 = d√-1. Аналогично уравнение между двумя кватернионами эквивалентно четырем уравнениям между обычными величинами, откуда, собственно, и название «кватернион».

Аналогия логических и числовых терминов.

Если мое утверждение верно, что число возникает из логических условий, мы должны обнаружить, что число подчиняется всем законам логики. Почти излишне указывать, что это так в отношении фундаментальных законов тождества и различия, и остается только показать, что математические символы действительно подчиняются особым условиям логических символов, которые были ранее указаны (стр. 32). Таким образом, Закон коммутативности одинаково верен для качества и количества. Как в логике мы имеем

AB = BA,

так в математике общеизвестно, что

2 × 3 = 3 × 2, or x × y = y × x.

Свойства пространства так же безразличны при умножении, как мы обнаружили их в чистом логическом мышлении.

Аналогично, как в логике

| triangle or square = | square or triangle,
or generally | A ꖌ B = | B ꖌ A,
so in quantity | 2 + 3 = | 3 + 2,
or generally | x + y = | y + x.

Символ ꖌ не идентичен +, но он в такой степени аналогичен.

Насколько теперь верно, что математические символы подчиняются Закону простоты, выраженному в форме

AA = A,

или примере

Round round = round?

По-видимому, существуют только два числа, которые подчиняются этому закону; ибо несомненно, что

x × x = x

истинно только в двух случаях, когда x = 1 или x = 0.

В действительности все числа подчиняются закону, ибо 2 × 2 = 2 на самом деле не аналогично AA = A. Согласно определению единицы, уже данному, каждая единица отличается от каждой другой в той же задаче, так что в 2′ × 2″ первая «двойка» подразумевает иное различение, чем вторая «двойка». Я получаю четыре вида вещей, например, если я сначала различаю «тяжелое и легкое», а затем «кубическое и сферическое», ибо теперь у нас есть следующие классы —

heavy, cubical. | light, cubical.
heavy, spherical. | light, spherical.

Но предположим, что мои два класса в обоих случаях различаются одним и тем же различием легкого и тяжелого, тогда у нас есть

heavy | heavy = | heavy,
heavy | light = | 0,
light | heavy = | 0,
light | light = | light.

Таким образом, (тяжелое или легкое) × (тяжелое или легкое) = (тяжелое или легкое).

Короче говоря, дважды два — два, если мы не позаботимся о том, чтобы вторая «двойка» имела иное значение, чем первая. Но при подобных обстоятельствах логические термины дают подобный результат, и неверно, что A′A″ = A′, когда A″ отличается по значению от A′.

Подобным образом можно показать, что Закон единства

A ꖌ A = A.

справедлив как для логических, так и для математических терминов. Абсурдно, действительно, говорить, что

x + x = x

кроме одного случая, когда x = абсолютный ноль. Но это противоречие x + x = x возникает из того факта, что мы уже определили единицы в одном x как отличающиеся от тех, что в другом. При таких обстоятельствах Закон единства не применяется. Ибо если в

A′ ꖌ A″ = A′

мы подразумеваем, что A″ каким-либо образом отличается от A′, утверждение тождества очевидно ложно.

Контраст, который, по-видимому, существует между логическими и математическими символами, является лишь кажущимся. Именно потому, что Законы простоты и единства должны всегда соблюдаться при операции счета, эти законы кажутся не применимыми далее. Это подразумеваемое условие, при котором мы используем все числовые символы. Всякий раз, когда я пишу символ 5, я на самом деле подразумеваю

1 + 1 + 1 + 1 + 1,

и совершенно понятно, что каждая из этих единиц отлична от каждой другой. Если потребуется, я мог бы отметить их так

1′+ 1″ + 1‴ + 1″″ + 1″‴.

Если бы это было не так и если бы единицы были на самом деле

1′ + 1″ + 1″ + 1‴ + 1″″,

Закон единства, как было замечено ранее, применялся бы, и

1″ + 1″ = 1″.

Математические символы, таким образом, подчиняются всем законам логических символов, но два из этих законов кажутся неприменимыми просто потому, что они предполагаются в определении математической единицы. Логика, таким образом, устанавливает условия числа, и наука об арифметике, развитая, как она есть, во все чудесные ветви математического исчисления, является лишь порождением логического различения.

Принцип математического вывода.

Универсальный принцип всякого рассуждения, как я утверждал, заключается в том, что позволяет нам подставлять равное вместо равного. Теперь я должен указать, как в математических науках этот принцип задействован на каждом шаге рассуждения. Действительно, именно в этих науках мы встречаем наиболее ясные случаи подстановки, и именно простота, с которой этот принцип может быть применен, вероятно, привела к сравнительно раннему совершенству наук геометрии и арифметики. Евклид и греческие математики с самого начала признавали равенство в качестве фундаментального отношения количественного мышления, но Аристотель отверг точно аналогичное, но гораздо более общее отношение тождества, и тем самым искалечил формальную науку логики, в каком виде она дошла до наших дней.

Геометрическое рассуждение исходит из аксиомы: «величины, равные одной и той же величине, равны между собой». Два равенства позволяют нам вывести третье равенство; и это верно не только для линий и углов, но и для площадей, объемов, чисел, интервалов времени, сил, скоростей, степеней интенсивности или, короче говоря, всего, что способно быть равным или неравным. Две звезды, одинаково яркие по сравнению с одной и той же звездой, должны быть одинаково яркими по сравнению друг с другом, и две силы, одинаково интенсивные по сравнению с третьей силой, одинаково интенсивны по сравнению друг с другом. Примечательно, что Евклид не сформулировал явно две другие аксиомы, истинность которых подразумевается с необходимостью. Вторая аксиома должна гласить: «Две величины, из которых одна равна, а другая не равна третьей общей величине, не равны друг другу». Короче говоря, равенство и неравенство дают неравенство, и это в равной степени верно, как и первая аксиома, для всех видов величин. Если, например, Венера совпадает с Марсом по плотности, но Марс отличается от Юпитера, то Венера отличается от Юпитера. Должна существовать третья аксиома о том, что «величины, не равные одной и той же величине, могут быть или не быть равными друг другу». Два неравенства не дают никаких оснований для вывода. Если мы знаем, например, только то, что Меркурий и Юпитер отличаются по плотности от Марса, мы не можем сказать, совпадают ли они между собой. Фактически они не совпадают; но Венера и Марс, с другой стороны, оба отличаются от Юпитера и тем не менее тесно совпадают друг с другом. Сила этих аксиом может быть наиболее ясно проиллюстрирована путем проведения равных и неравных линий.

Таким образом, общий вывод должен состоять в том, что там, где есть равенство, может быть вывод, но там, где нет равенства, не может быть вывода. Простая индукция приведет нас к убеждению, что равенство является условием вывода относительно количества. Все три аксиомы могут быть фактически сведены к одной, гласящей: «В каком бы отношении одна величина ни находилась к другой, в таком же отношении она находится к равной этой другой величине».

Активной силой всегда является подстановка равных, и случайным обстоятельством является то, что в паре равенств мы можем произвести подстановку двумя способами. Из a = b = c мы можем вывести a = c либо путем подстановки в a = b значения b, как оно дано в b = c, либо путем подстановки в b = c значения b, как оно дано в a = b. В a = b ~ d мы можем произвести только одну подстановку a вместо b. В e ~ f ~ g мы не можем произвести никакой подстановки и не получаем никакого вывода.

В математике отношения, в которых могут находиться термины друг к другу, гораздо более разнообразны, чем в чистой логике, однако наш принцип подстановки всегда остается верным. Мы можем сказать самым общим образом: в каком бы отношении одна величина ни находилась к другой, в таком же отношении она находится к равной этой другой величине. В этой аксиоме мы суммируем ряд аксиом, которые были сформулированы более или менее подробно алгебраистами. Так, «если к равным величинам прибавить равные величины, то суммы будут равны». Чтобы объяснить это, пусть

a = b,  c = d.

Теперь a + c, что бы это ни значило, должно быть тождественно самому себе, так что

a + c = a + c.

В одной части этого уравнения подставим вместо величин их эквиваленты, и мы получим доказательство аксиомы

a + c = b + d.

Аналогичная аксиома относительно вычитания столь же очевидна, ибо что бы ни значило a - c, оно равно a - c, а следовательно, путем подстановки, равно b - d. Далее, «если равные величины умножить на одни и те же или равные величины, то произведения будут равны». Ибо очевидно

ac = ac,

и если в одной части мы подставим вместо c его равное d, мы получим

ac = ad,

и вторая аналогичная подстановка дает нам

ac = bd.

Мы могли бы доказать подобную аксиому относительно деления точно таким же образом. Я мог бы даже расширить список аксиом и сказать, что «равные степени равных чисел равны». Ибо, безусловно, что бы ни значило a × a × a, оно равно a × a × a; следовательно, путем нашей обычной подстановки оно равно b × b × b. То же самое будет верно для корней чисел, и c√a = d√b при условии, что корни взяты так, что корень из a действительно относится к a так же, как корень из b относится к b. Таким образом, двусмысленность значения операции никак не может поколебать универсальность принципа. Мы можем пойти дальше и утверждать, что не только вышеуказанные общие отношения, но и все другие известные или мыслимые математические отношения подчиняются тому же принципу. Пусть Qa самым общим образом обозначает, что мы производим некое действие с величиной a; тогда, если a = b, из этого следует, что

Qa = Qb.

Читатель также вспомнит, что одной из наиболее частых операций в математическом рассуждении является подстановка вместо величины равной ей, как известной из принятых, естественных или самоочевидных условий. Всякий раз, когда величина встречается в задаче дважды, мы можем применить то, что узнаем о ее отношениях в одном месте, к ее отношениям в другом. Таким образом, всякое рассуждение в математике, как и в других отраслях науки, включает в себя принцип равного обращения с равными или сходного с подобными. Каким бы образом мы ни применяли количественное рассуждение в оставшихся частях этой работы, мы никогда не сможем отступить от простого принципа, с которого мы начали.

Рассуждение посредством неравенств.

Я утверждал, что все процессы математического рассуждения могут быть выведены из принципа подстановки. Исключения из этого утверждения могут показаться существующими при использовании неравенств. Большее из большего, несомненно, есть большее, а то, что меньше меньшего, безусловно, меньше. Сноудон выше, чем Врекин, а Бен-Невис выше, чем Сноудон; следовательно, Бен-Невис выше, чем Врекин. Но небольшое размышление обнаруживает достаточно оснований полагать, что даже в таких случаях, где равенство, по-видимому, не присутствует, сила рассуждения полностью зависит от лежащих в основе и подразумеваемых равенств.

Во-первых, два утверждения о простом различии не дают никаких оснований для вывода. Мы ничего не узнаем о сравнительной высоте собора Святого Павла и Вестминстерского аббатства из утверждений, что они оба отличаются по высоте от собора Святого Петра в Риме. Нам нужно нечто большее, чем неравенство; нам требуется одно тождество в дополнение, а именно тождество направления двух различий. Таким образом, мы не можем использовать неравенства так же просто, как равенства, и, когда мы пытаемся выразить, какие другие условия необходимы, мы обнаруживаем, что переходим к использованию равенств или тождеств.

Во-вторых, каждый аргумент посредством неравенств может быть представлен в форме равенств. Мы выражаем, что a больше b, уравнением

a = b + p,  (1)

где p — это внутренне положительная величина, обозначающая разность a и b. Аналогично мы выражаем, что b больше c, уравнением

b = c + q,  (2)

и, подставляя вместо b в (1) его значение из (2), мы получаем

a = c + q + p.  (3)

Теперь, поскольку p и q оба положительны, из этого следует, что a больше c, и мы имеем точно указанную величину превышения. Легко увидеть, что рассуждение относительно того, что меньше меньшего, приведет к уравнению вида

c = a - r - s.

Таким образом, каждый аргумент посредством неравенств может быть приведен к форме равенства; но обратное неверно. Мы никак не можем доказать, что две величины равны, просто утверждая, что они обе больше или обе меньше другой величины. Из e > f и g > f, или e < f и g < f, мы не можем вывести никакого отношения между e и g. И если читатель возьмет уравнения x = y = 3 и попытается доказать, что поэтому x = 3, приведя их к неравенствам, он обнаружит, что это невозможно сделать.

Из этих соображений я делаю вывод, что рассуждение в арифметике или алгебре посредством так называемых неравенств есть лишь несовершенно выраженное рассуждение посредством равенств, и когда мы хотим точно и ясно показать условия рассуждения, мы вынуждены явно использовать равенства. Точно так же, как в чистой логике отрицательное суждение, выражающее лишь различие, не может быть средством вывода, так и неравенство никогда не может быть истинным основанием вывода. Я не отрицаю, что утверждение и отрицание, согласие и различие, равенство и неравенство являются парами одинаково фундаментальных отношений, но я утверждаю, что вывод возможен только там, где присутствует утверждение, согласие или равенство — фактически, некий вид тождества — явно или неявно.

Арифметическое рассуждение.

Может показаться несколько противоречивым, что я утверждаю, будто число возникает из различия или дискриминации, и в то же время придерживаюсь мнения, что никакое рассуждение не может быть основано на различии. Число, конечно, открывает широчайшую сферу для вывода, и небольшое размышление показывает, что это связано с неограниченным рядом тождеств, которые возникают из численной абстракции. Если шесть человек сидят на шести стульях, между стульями и людьми нет сходства в логическом характере. Но если мы отвлечемся от всех качеств как стула, так и человека и просто запомним, что существуют признаки, по которым каждый из шести стульев может быть отличен от других, и аналогично с людьми, то возникает сходство между стульями и людьми, и это сходство в числе может быть основанием для вывода. Если в другой раз стулья снова будут заняты людьми, мы можем сделать вывод, что эти люди сходны с другими по числу, хотя они не обязаны быть сходны с ними в каких-либо других пунктах.

В арифметике мы на самом деле имеем дело с группами единиц. Число пять — это на самом деле 1 + 1 + 1 + 1 + 1, но ради краткости мы подставляем более компактный знак 5 или название «пять». Поскольку эти названия вводятся произвольно любым способом, между ними возникает бесконечное разнообразие отношений, которые отнюдь не являются произвольными. Если мы определим «четыре» как 1 + 1 + 1 + 1, а «пять» как 1 + 1 + 1 + 1 + 1, то, конечно, из этого следует, что пять = четыре + 1; но было бы столь же возможно принять это последнее равенство в качестве определения, и в этом случае одно из предыдущих равенств стало бы выводом. Едва ли требуется решать, как мы определяем названия чисел, при условии, что мы помним, что из бесконечно многочисленных отношений одного числа к другим какое-то одно отношение, выраженное в равенстве, должно быть определением рассматриваемого числа, а остальные отношения немедленно становятся необходимыми выводами.

В науке о числе разнообразие классов, которые могут быть сформированы, совершенно бесконечно, и утверждения о полной общности могут быть сделаны при условии сложности или исключения только в нижней части шкалы. Каждое существующее число, например, принадлежит к классу m + 7; то есть каждое число должно быть суммой другого числа и семи, за исключением, конечно, первых шести или семи чисел, так как отрицательные величины здесь не принимаются во внимание. Каждое число является половиной какого-то другого, и так далее. Предмет обобщения, как он представлен в математических истинах, бесконечно широк. В числе мы находимся только на первом шаге обширного ряда обобщений. Как число является общим по сравнению с конкретными пронумерованными вещами, так у нас есть общие символы для чисел и общие символы для отношений между неопределенными числами. Существует неограниченная иерархия последовательных обобщений.

Численно определенное рассуждение.

Де Морган первым обнаружил, что многие аргументы, сочетающие логическое и численное рассуждение, являются обоснованными, хотя их нельзя включить в древние логические формулы. Он развил доктрину «численно определенного силлогизма», полностью объясненную в его «Формальной логике» (стр. 141–170). Буль также уделил значительное внимание определению того, что он называл «статистическими условиями», имея в виду численные условия логических классов. В статье, опубликованной в «Мемуарах Манчестерского литературного и философского общества», третья серия, том IV, стр. 330 (сессия 1869–70 гг.), я указал, что мы можем применять арифметический расчет к Логическому алфавиту. Имея заданные определенные логические условия и количество объектов в определенных классах, мы можем либо определить количество объектов в других классах, подчиняющихся этим условиям, либо показать, какие дополнительные данные требуются для их определения. В качестве примера рода вопросов, рассматриваемых в численной логике, и способа их рассмотрения, я привожу следующую задачу, предложенную Де Морганом, с моим способом представления ее решения.

«Для каждого человека в доме есть лицо, которое является пожилым; некоторые из мужчин не являются пожилыми. Из этого следует, что некоторые лица в доме не являются мужчинами».

Now let | A = person in house,
| B = male,
| C = aged.

Заключая логический символ в скобки, обозначим количество объектов, принадлежащих классу, указанному символом. Так, пусть

(A) = | number of persons in house,
(AB) = | number of male persons in house,
(ABC) = | number of aged male persons in house,

и так далее. Теперь, если мы используем w и w′ для обозначения неизвестных чисел, условия задачи могут быть сформулированы следующим образом в соответствии с моей интерпретацией слов —

(AB) = (AC) - w,  (1)

то есть количество лиц в доме, которые являются пожилыми, по крайней мере равно и может превышать количество лиц мужского пола в доме;

(ABc) = w′,  (2)

то есть количество лиц мужского пола в доме, которые не являются пожилыми, есть некая неизвестная положительная величина.

If we develop the terms in (1) by the Law of Duality (pp. 74, 81, 89), we obtain

(ABC) + (ABc) = (ABC) + (AbC) - w.

Вычитая общий член (ABC) из каждой части и подставляя вместо (ABc) его значение, как оно дано в (2), мы сразу получаем

(AbC) = w + w′,

и, прибавляя (Abc) к каждой части, мы имеем

(Ab) = (Abc) + w + w′.

Значение этого результата состоит в том, что количество лиц в доме, которые не являются мужчинами, по крайней мере равно w + w′ и превышает его на количество лиц в доме, которые не являются ни мужчинами, ни пожилыми (Abc).

Следует понимать, что это решение применимо только к терминам приведенного выше примера, а не к общей задаче, для которой Де Морган намеревался использовать его в качестве иллюстрации.

В качестве второго примера возьмем следующий вопрос: — Общее количество избирателей в округе равно a; количество тех, против кого были поданы возражения либералами, равно b; а количество тех, против кого были поданы возражения консерваторами, равно c; требуется найти количество, если таковые имеются, тех, против кого были поданы возражения с обеих сторон. Принимая

A = voter,
B = objected to by liberals,
C = objected to by conservatives,

тогда нам требуется значение (ABC). Теперь следующее уравнение является тождественно истинным —

(ABC) = (AB) + (AC) + (Abc) - (A).  (1)

Ибо если мы раскроем все члены во второй части, мы получим

(ABC) = (ABC) + (ABc) + (AbC) + (Abc) - (ABC) - (ABc) - (AbC) - (Abc);

и, вычеркивая соответствующие положительные и отрицательные члены, у нас остается только (ABC) = (ABC). Поскольку (1) необходимо истинно, нам остается только вставить известные значения, и мы имеем

(ABC) = b + c - a + (Abc).

Следовательно, количество тех, кто получил возражения с обеих сторон, равно превышению, если таковое имеется, общего количества возражений над количеством избирателей вместе с количеством избирателей, которые не получили никаких возражений (Abc).

Следующая задача иллюстрирует выражение для общей части любых трех классов: — Количество нищих, которые являются слепыми мужчинами, равно превышению, если таковое имеется, суммы общего количества слепых лиц, прибавленной к общему количеству лиц мужского пола, прибавленной к количеству тех, кто, будучи нищими, не являются ни слепыми, ни мужчинами, над суммой общего количества нищих, прибавленной к количеству тех, кто, не будучи нищими, являются слепыми, и к количеству тех, кто, не будучи нищими, являются мужчинами.

Читателю предлагается доказать истинность вышеприведенного утверждения: (1) своим собственным здравым смыслом; (2) аристотелевской логикой; (3) методом численной логики, который только что был изложен; а затем решить, какой метод является наиболее удовлетворительным.

Численное значение логических условий.

Во многих случаях классы объектов могут существовать при особых логических условиях, и мы должны рассмотреть, как эти условия могут быть интерпретированы численно. Каждое логическое суждение порождает соответствующее численное уравнение. Тождество качеств влечет за собой тождество чисел. Следовательно, если

A = B

обозначает тождество качеств A и B, мы можем заключить, что

(A) = (B).

Очевидно, что именно те объекты, и только те объекты, которые охватываются A, должны охватываться B. Из этого следует, что везде, где мы можем составить уравнение качеств, мы можем составить аналогичное уравнение чисел. Так, из

A = B = C

мы выводим

A = C;

и аналогично из

(A) = (B) = (C),

означающего, что количество A и C равно количеству B, мы можем вывести

(A) = (C).

Но, как ни странно, это не относится к отрицательным суждениям и неравенствам. Ибо если

A = B ~ D

означает, что A тождественно B, которое отличается от D, из этого не следует, что

(A) = (B) ~ (D).

Два класса объектов могут различаться по качествам, и тем не менее они могут совпадать по числу. Этот пункт решительно подтверждает мое мнение, которое я уже выразил, что всякий вывод действительно зависит от уравнений, а не от различий.

Таким образом, Логический алфавит позволяет нам произвести полный анализ любой численной задачи, и хотя символическая запись может иногда казаться многословной, я полагаю, что она действительно представляет собой ход мыслей, которому должен следовать разум при решении вопроса. Хотя мысль может опережать быстроту, с которой можно записывать символы, разум на самом деле не следует иным путем, чем тот, который указан символами. Для более полного объяснения этой естественной системы численно определенного рассуждения, с более обильными иллюстрациями и анализом численно определенного силлогизма Де Моргана, я должен отослать читателя к уже упомянутой статье в «Мемуарах Манчестерского литературного и философского общества», части которой, однако, были включены в настоящий раздел.

Читателя можно также отослать к трудам Буля по этому предмету в «Законах мышления», гл. xix, стр. 295, и к статье о «Численно определенных суждениях», переданной Де Морганом в 1868 году Кембриджскому философскому обществу и напечатанной в их «Трудах», том xi, часть ii.

ГЛАВА IX. РАЗНООБРАЗИЕ ПРИРОДЫ, ИЛИ ДОКТРИНА СОЧЕТАНИЙ И ПЕРЕСТАНОВОК.

Можно сказать, что природа развивается из монотонности небытия путем создания разнообразия. Правдоподобно утверждается, что мы осознаем себя лишь постольку, поскольку испытываем различие. Жизнь — это изменение, и совершенно единообразное существование было бы не лучше небытия. Несомненно, что жизнь требует непрерывной новизны и что природа, хотя она, вероятно, никогда не перестает подчиняться одним и тем же фиксированным законам, тем не менее представляет нам, по-видимому, неограниченный ряд разнообразных сочетаний событий. Задача науки — наблюдать и записывать виды и сравнительное количество таких сочетаний явлений, происходящих спонтанно или вызванных нашим вмешательством. Терпеливое и умелое изучение записей может затем раскрыть законы, наложенные на материю при ее создании, и позволить нам более или менее успешно предсказывать или даже регулировать будущее возникновение любого конкретного сочетания.

Законы мышления являются первыми и самыми важными из всех законов, которые управляют сочетаниями явлений, и, хотя они обязательны для разума, их также можно рассматривать как подтвержденные во внешнем мире. Логический алфавит развивает величайшее разнообразие вещей и событий, которые могут произойти, и очевидно, что по мере введения каждого нового качества количество сочетаний удваивается. Так, четыре качества могут встречаться в 16 сочетаниях; пять качеств — в 32; шесть качеств — в 64; и так далее. На общем языке, если n — количество качеств, то 2n — это количество разновидностей вещей, которые могут быть сформированы из них, если нет иных условий, кроме логических. Это число, едва ли стоит говорить, увеличивается после первых нескольких членов необычайным образом, так что потребовалось бы 302 цифры, чтобы выразить количество сочетаний, в которых могли бы мыслимо проявиться 1000 качеств.

Если бы все сочетания, допускаемые Законами мышления, встречались в природе безразлично, то наука начиналась бы и заканчивалась этими законами. Наблюдение за природой не дало бы нам дополнительных знаний, потому что никакие два качества в долгосрочной перспективе не ассоциировались бы чаще, чем любые другие два. Мы никогда не смогли бы предсказывать события с большей уверенностью, чем мы сейчас предсказываем выпадение игральных костей, и опыт был бы бесполезен. Но вселенная, как она создана на самом деле, представляет собой гораздо более сложную и гораздо более интересную проблему. Самое поверхностное наблюдение показывает, что некоторые вещи постоянно ассоциируются с другими вещами. Чем более зрелым становится наше исследование, тем больше мы убеждаемся, что каждое событие зависит от предшествующего возникновения какого-то другого ряда событий. Постепенно обнаруживается, что действие и противодействие лежат в основе всей сцены, и независимое или случайное событие не существует, кроме как по видимости. Даже игральные кости, когда они падают, наверняка определяются в своем движении предшествующими условиями и фиксированными законами. Таким образом, сочетания событий, которые могут произойти на самом деле, оказываются сравнительно ограниченными, и задача науки — обнаружить эти ограничивающие условия.

В английском алфавите, например, двадцать шесть букв. Если бы сочетания таких букв были совершенно свободными, так что любая буква могла бы безразлично звучать с любой другой, количество слов, которые можно было бы сформировать без повторений, было бы 2^26 - 1, или 67 108 863, равное по количеству сочетаниям двадцать седьмого столбца Логического алфавита, исключая один случай, в котором все буквы отсутствовали бы. Но устройство наших голосовых органов не позволяет нам использовать большую часть этих сочетаний букв. В каждом слове должен присутствовать по крайней мере один гласный; более двух согласных обычно не могут быть поставлены вместе; и для создания слов, способных к плавному произношению, необходимо соблюдать ряд других правил. Определить точно, сколько слов могло бы существовать в английском языке при этих обстоятельствах, было бы чрезвычайно сложной задачей, решение которой никогда не предпринималось. Количество существующих английских слов, возможно, можно сказать, не превышает ста тысяч, и только исследуя сочетания, представленные в словаре, мы можем узнать Законы эвфонии или вычислить возможное количество слов. В этом примере мы имеем воплощение работы и метода науки. Сочетания природных явлений ограничены большим количеством условий, которые никоим образом не доводятся до нашего сведения, кроме как в той мере, в какой они раскрываются при изучении природы.

Часто бывает очень трудным делом определить количество перестановок или сочетаний, которые могут существовать при различных ограничениях. Многие ученые люди ломали голову в прошлые века над тем, что называлось «протеевыми стихами», или стихами, допускающими множество вариаций в соответствии с Законами метра. Самым знаменитым из этих стихов был тот, который изобрел Бернард Баухузий, а именно —

“Tot tibi sunt dotes, Virgo, quot sidera cœlo.”

Один автор, Эриций Путеан, заполнил сорок восемь страниц работы, подсчитывая возможные перестановки, насчитав их всего 1022. Другие вычислители давали 2196, 3276, 2580 в качестве своих результатов. Валлис приписал 3312, но без особой уверенности в точности своего результата. Потребовалось мастерство Якоба Бернулли, чтобы решить, что количество перестановок равно 3312 при условии, что смысл и метр стиха будут идеально сохранены.

Приступая к рассмотрению великой Индуктивной проблемы, очень необходимо, чтобы мы приобрели правильные понятия о сравнительном количестве сочетаний, которые могут существовать при различных обстоятельствах. Доктрина сочетаний — это та часть математической науки, которая применяет численный расчет для определения количества сочетаний при различных условиях. Это часть науки, которая действительно лежит в основе не только других наук, но и других отраслей математики. Формы алгебраических выражений определяются принципами сочетания, и Гинденбург признал этот факт в своем «Комбинаторном анализе». Величайшие математики в течение последних трех столетий отдавали свои лучшие силы изучению этого предмета; это было любимое занятие Паскаля; оно рано привлекло внимание Лейбница, который написал свое любопытное эссе «De Arte Combinatoria» в двадцать лет; Якоб Бернулли, один из самых глубоких математиков, посвятил немалую часть своей жизни исследованию этого предмета в связи с теорией вероятностей; и в своем знаменитом труде «De Arte Conjectandi» он так прекрасно описал важность доктрины сочетаний, что мне не нужно извиняться за то, что я привожу его замечания полностью.

«Легко заметить, что поразительное разнообразие, которое проявляется как в произведениях природы, так и в действиях людей и которое составляет большую часть красоты вселенной, обязано множеству различных способов, которыми ее отдельные части смешиваются друг с другом или располагаются рядом друг с другом. Но, поскольку количество причин, которые содействуют возникновению данного события или эффекта, зачастую настолько огромно, а сами причины настолько отличаются одна от другой, что чрезвычайно трудно пересчитать все различные способы, которыми они могут быть расположены или объединены вместе, часто случается, что люди, даже обладающие лучшим пониманием и величайшей осмотрительностью, виновны в той ошибке в рассуждении, которую авторы по логике называют недостаточным или несовершенным перечислением частей или случаев: настолько, что я осмелюсь утверждать, что это главный и почти единственный источник огромного количества ошибочных мнений, причем очень часто в делах большой важности, которые мы склонны формировать по всем предметам, над которыми размышляем, касаются ли они познания природы или достоинств и мотивов человеческих действий».

«Поэтому следует признать, что то искусство, которое дает исцеление от этой слабости или дефекта нашего понимания и учит нас перечислять все возможные способы, которыми данное количество вещей может быть смешано и объединено вместе, так что мы можем быть уверены, что не упустили ни одного их расположения, которое может привести к объекту нашего исследования, заслуживает того, чтобы считаться в высшей степени полезным и достойным нашего высочайшего уважения и внимания. И это дело искусства или доктрины сочетаний. И не следует рассматривать это искусство или доктрину просто как отрасль математических наук. Ибо оно имеет отношение почти к каждому виду полезного знания, которым может заниматься человеческий разум. Оно действительно действует на математических принципах при расчете количества сочетаний предложенных вещей: но выводы, полученные с его помощью, могут помочь проницательности естествоиспытателя, точности историка, мастерству и суждению врача, а также благоразумию и дальновидности политика; потому что дело всех этих важных профессий — лишь формировать разумные предположения относительно различных объектов, которые занимают их внимание, а все мудрые предположения являются результатами справедливого и тщательного изучения различных эффектов, которые могут возникнуть из причин, способных их произвести».

Различие между сочетаниями и перестановками.

Мы должны сначала рассмотреть глубокое различие, которое существует между сочетаниями и перестановками, различие, включающее важные логические принципы и влияющее на форму математических выражений. В перестановке мы признаем разновидности порядка, рассматривая AB как группу, отличную от BA. В сочетании мы обращаем внимание только на присутствие или отсутствие определенной вещи и не обращаем никакого внимания на ее место в порядке времени или пространства. Так, четыре буквы a, e, m, n могут образовать только одно сочетание, но в языке они встречаются в нескольких перестановках, таких как name, amen, mean, mane.

До сих пор мы имели дело с чисто логическими вопросами, включающими только сочетание качеств. Я полностью указал в более чем одном месте, что, хотя наши символы не могли не быть записаны в порядке места и прочитаны в порядке времени, выраженные отношения не имели никакого отношения к месту или времени (стр. 33, 114). Закон коммутативности, по сути, выражает условие, что в логике мы имеем дело с сочетаниями, и тот же закон верен для всех процессов алгебры. В некоторых случаях порядок может быть делом безразличия; не имеет значения, например, является ли порох смесью серы, углерода и селитры, или углерода, селитры и серы, или селитры, серы и углерода, при условии, что вещества присутствуют в надлежащих пропорциях и хорошо перемешаны. Но это безразличие к порядку обычно не распространяется на события физической науки или операции искусства. Превращение механической энергии в тепло не совсем то же самое, что превращение тепла в механическую энергию; гром не безразлично предшествует молнии и следует за ней; имеет некоторое значение, что мы заряжаем, ставим капсюль, прицеливаемся и стреляем из винтовки именно в этом порядке. Время — условие всех наших мыслей, пространство — всех наших действий, и поэтому как в искусстве, так и в науке мы в значительной степени имеем дело с перестановками. Язык, например, рассматривает различные перестановки букв как имеющие различные значения.

Перестановки вещей гораздо более многочисленны, чем сочетания этих вещей, по той очевидной причине, что каждая отдельная вещь рассматривается по-разному в зависимости от ее места. Так, буквы A, B, C будут составлять различные перестановки в зависимости от того, стоит ли A на первом, втором или третьем месте; определив место A, мы имеем два места, из которых можем выбирать для B; и тогда остается только одно место для C. Соответственно, перестановки этих букв в целом будут составлять 3 × 2 × 1, или 6. С четырьмя вещами или буквами, A, B, C, D, мы будем иметь четыре выбора места для первой буквы, три для второй, два для третьей и один для четвертой, так что всего будет 4 × 3 × 2 × 1, или 24 перестановки. То же простое правило применяется во всех случаях; начиная с общего количества вещей, мы умножаем на каждом шаге на число, уменьшенное на единицу. На общем языке, если n — количество вещей в сочетании, количество перестановок равно

n (n - 1)(n - 2) . . . . 4 . 3 . 2 . 1.

Если бы мы переставили названия дней недели, возможные расположения, из которых нам пришлось бы выбирать новый порядок, составили бы не менее 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1, или 5040, или, исключая существующий порядок, 5039.

Читатель увидит, что числа, к которым мы приходим в вопросах перестановки, увеличиваются еще более необычайным образом, чем в сочетании. Каждый новый объект или термин удваивает количество сочетаний, но увеличивает перестановки на постоянно растущий множитель. Вместо 2 × 2 × 2 × 2 × .... мы имеем 2 × 3 × 4 × 5 × .... и произведения последнего выражения неизмеримо превосходят произведения первого. Эти произведения возрастающих множителей часто используются, как мы увидим, в вопросах как перестановки, так и сочетания. Они технически называются факториалами, то есть произведение всех целых чисел от единицы до любого числа n является факториалом n и часто обозначается символически как n!. Ниже я привожу факториалы до двенадцати: —

24 =  | 1 . 2 . 3 . 4
120 =  | 1 . 2 . . . 5
720 =  | 1 . 2 . . . 6
5,040 =  | 7!
40,320 =  | 8!
362,880 =  | 9!
3,628,800 =  | 10!
39,916,800 =  | 11!
479,001,600 =  | 12!

Факториалы до 36! приведены в «Циклопедии» Риса, ст. Cipher, а логарифмы факториалов до 265! можно найти в конце таблицы логарифмов, опубликованной под руководством Общества распространения полезных знаний (стр. 215). Чтобы выразить факториал 265!, потребовалось бы 529 знаков.

Многие авторы время от времени отмечали необычайную величину чисел, с которыми мы имеем дело в этом предмете. Такет вычислил, что двадцать четыре [sic] буквы алфавита могут быть расположены более чем в 620 тысяч триллионов порядков; а Шотт оценил, что если бы тысяча миллионов человек были заняты в течение такого же количества лет написанием этих расположений, и каждый человек заполнял бы каждый день сорок страниц по сорок расположений на каждой, они не выполнили бы задачу, так как написали бы только 584 тысячи триллионов вместо 620 тысяч триллионов.

В некоторых вопросах количество перестановок может быть ограничено и уменьшено различными условиями. Некоторые вещи в группе могут быть неотличимы от других, так что изменение порядка не произведет никакой разницы. Так, если бы мы переставляли буквы имени Ann, согласно нашему предыдущему правилу, мы получили бы 3 × 2 × 1, или 6 порядков; но половина этих расположений была бы идентична другой половине, потому что перестановка двух n не имеет никакого эффекта. Действительно различными порядками будут, следовательно, 3 · 2 · 1 / 1 · 2 или 3, а именно Ann, Nan, Nna. В слове utility есть две i и две t, в отношении обеих этих пар количество перестановок должно быть уменьшено вдвое. Таким образом, мы получаем 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 / 1 · 2 · 1 · 2 или 1260 в качестве количества перестановок. Простое правило, очевидно, таково: когда некоторые вещи или буквы неразличимы, приступайте в первую очередь к расчету всех возможных перестановок, как если бы все они были различными, а затем разделите на количество возможных перестановок тех серий вещей, которые неразличимы и перестановки которых, следовательно, были подсчитаны в избытке. Так, поскольку слово Utilitarianism содержит четырнадцать букв, из которых четыре i, две a и две t, количество различных расположений будет найдено путем деления факториала 14 на факториалы 4, 2 и 2, результат будет 908 107 200. Из букв слова Mississippi мы можем получить таким же образом 11! / 4! × 4! × 2! или 34 650 перестановок, что не составляет и тысячной части того, что мы получили бы, если бы все буквы были различными.

Расчет количества сочетаний.

Хотя во многих вопросах как искусства, так и науки нам необходимо рассчитывать количество перестановок из-за их собственного интереса, гораздо чаще в научных предметах они обладают лишь косвенным интересом. Как я уже указывал, мы почти всегда имеем дело в логических и математических науках с сочетаниями, и разнообразие порядка входит только через присущие несовершенства наших символов и способов расчета. Знаки должны использоваться в некотором порядке, и мы должны отвлечь наше внимание от этого порядка, прежде чем знаки будут правильно представлять отношения вещей, которые существуют ни до, ни после друг друга. Теперь часто случается, что мы не можем выбрать все сочетания вещей, не выбрав их сначала с учетом случайного разнообразия порядка, и мы должны затем разделить на количество возможных вариаций порядка, чтобы прийти к истинному количеству чистых сочетаний.

Предположим, что мы хотим определить количество способов, которыми мы можем выбрать группу из трех букв из алфавита, не допуская повторения одной и той же буквы. При первом выборе мы можем взять любую из 26 букв; на следующем шаге остается 25 букв, любую из которых можно присоединить к уже взятой; на третьем шаге будет 24 выбора, так что, по-видимому, общее количество способов выбора равно 26 × 25 × 24. Но тот факт, что один выбор следовал за другим, привел к тому, что мы получили одни и те же сочетания букв в разном порядке; мы получили бы, например, a, p, r в один раз и p, r, a в другой, и каждые три различные буквы будут появляться шесть раз, потому что три вещи могут быть расположены в шести перестановках. Чтобы получить количество сочетаний, мы должны, следовательно, разделить общее количество способов выбора на шесть, количество перестановок трех вещей, получив 26 × 25 × 24 / 1 × 2 × 3 или 2600.

Очевидно, что нам нужна доктрина сочетаний, чтобы мы могли во многих вопросах противодействовать преувеличивающему эффекту последовательного выбора. Если из сената в 30 человек мы должны выбрать комитет из 5, мы можем выбрать любого из 30 сначала, любого из 29 затем и так далее, фактически будет 30 × 29 × 28 × 27 × 26 выборов; но поскольку фактический характер членов комитета не будет затронут случайным порядком их выбора, мы делим на 1 × 2 × 3 × 4 × 5, и возможное количество различных комитетов будет 142 506. Аналогично, если мы хотим рассчитать количество способов, которыми восемь больших планет могут вступить в соединение, очевидно, что они могут встретиться либо по две, либо по три, либо по четыре или более за раз, и поскольку ничего не говорится об относительном порядке или месте в соединении, нам требуется количество сочетаний. Теперь выбор 2 из 8 возможен 8 · 7 / 1 · 2 или 28 способами; 3 из 8 — 8 · 7 · 6 / 1 · 2 · 3 или 56 способами; 4 из 8 — 8 · 7 · 6 · 5 / 1 · 2 · 3 · 4 или 70 способами; и можно аналогично показать, что для 5, 6, 7 и 8 планет, встречающихся одновременно, количество способов равно 56, 28, 8 и 1. Таким образом, мы решили весь вопрос о разнообразии соединений восьми планет; и, сложив все числа вместе, мы обнаружим, что 247 — это максимально возможное количество способов встречи.

На общем алгебраическом языке мы можем сказать, что группа из m вещей может быть выбрана из общего количества n вещей в количестве сочетаний, обозначаемом формулой

n . (n-1)(n-2)(n-3) . . . . (n - m + 1)/1 . 2 . 3 . 4 . . . .  m

Чрезвычайная важность и значимость этой формулы, по-видимому, были впервые адекватно признаны Паскалем, хотя ее открытие приписывается им другу, М. де Ганье. Мы будем постоянно встречать ее в вопросах как сочетаний, так и вероятности, и во всех формулах математического анализа можно заметить следы ее влияния.

Арифметический треугольник.

Арифметический треугольник — это название, давно данное ряду замечательных чисел, связанных с предметом, который мы рассматриваем. Согласно Монтюкла, «этот треугольник в теории сочетаний и изменений порядка почти то же самое, что таблица Пифагора в обычной арифметике, то есть он сразу помещает перед глазами числа, требуемые во множестве случаев этой теории». Еще в 1544 году Штифель заметил замечательные свойства этих чисел и способ их эволюции. Бриггс, изобретатель обычной системы логарифмов, был настолько поражен их важностью, что назвал их Abacus Panchrestus. Паскаль, однако, был первым, кто написал отдельный трактат об этих числах и дал им название, под которым они известны до сих пор. Но Паскаль отнюдь не исчерпал предмет, и Якобу Бернулли оставалось полностью продемонстрировать важность фигурных чисел, как их также называют. В своем трактате «De Arte Conjectandi» он указывает на их применение в теории сочетаний и вероятностей и замечает об Арифметическом треугольнике: «Он не только содержит ключ к таинственной доктрине сочетаний, но также является основанием или фундаментом большинства важных и глубоких открытий, которые были сделаны в других отраслях математики».

Числа треугольника могут быть рассчитаны очень простым способом путем последовательных сложений. Мы начинаем с единицы в вершине; в следующей строке мы помещаем вторую единицу справа от этой; чтобы получить третью строку цифр, мы перемещаем предыдущую строку на одно место вправо и складываем их с теми же цифрами, какими они были до перемещения; мы можем затем повторять тот же процесс ad infinitum. Четвертая строка цифр, например, содержит 1, 3, 3, 1; перемещая их на одно место и складывая, как указано, мы получаем: —

Fourth line . . . |  | 1 | 3 |  3 |  1 |  |
|  |  | 1 |  3 |  3 |  1 |
Fifth line . . . . . |  | 1 | 4 |  6 |  4 |  1 |
|  |  |  1  |  4 |  6 |  4 |  1
Sixth line . . . . . |  | 1 | 5 | 10 | 10 |  5 |  1

Выполняя этот простой процесс еще десять шагов, мы получаем первые семнадцать строк Арифметического треугольника, как напечатано на следующей странице. Теоретически говоря, Треугольник должен рассматриваться как бесконечный по протяженности, но числа увеличиваются так быстро, что вскоре становится непрактичным продолжать таблицу. Самая длинная таблица чисел, которую я нашел, находится в «Traité des Progressions» Фортиа (стр. 80), где они даны до сороковой строки и девятого столбца.

АРИФМЕТИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК.

Line. | First Column. |
1 | 1 | Second Column. |
2 | 1 | 1 | Third Column. |
3 | 1 | 2 | 1 | Fourth Column. |
4 | 1 | 3 | 3 | 1 | Fifth Column. |
5 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | Sixth Column. |
6 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | Seventh Column. |
7 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | Eighth Column. |
8 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | Ninth Column. |
9 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | Tenth Column. |
10 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | Eleventh Column. |
11 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 | Twelfth Column. |
12 | 1 | 11 | 55 | 165 | 330 | 462 | 462 | 330 | 165 | 55 | 11 | 1 | Thirteenth Column. |
13 | 1 | 12 | 66 | 220 | 495 | 792 | 924 | 792 | 495 | 220 | 66 | 12 | 1 | Fourteenth Column.
14 | 1 | 13 | 78 | 286 | 715 | 1287 | 1716 | 1716 | 1287 | 715 | 286 | 78 | 13 | 1 | Fifteenth Column.
15 | 1 | 14 | 91 | 364 | 1001 | 2002 | 3003 | 3432 | 3003 | 2002 | 1001 | 364 | 91 | 14 | 1 | Sixteenth Column.
16 | 1 | 15 | 105 | 455 | 1365 | 3003 | 5005 | 6435 | 6435 | 5005 | 3003 | 1365 | 455 | 105 | 15 | 1 | Seventeenth Col.
17 | 1 | 16 | 120 | 560 | 1820 | 4368 | 8008 | 11440 | 12870 | 11440 | 8008 | 4368 | 1820 | 560 | 120 | 16 | 1

Изучая эти числа, мы обнаруживаем, что они связаны неограниченным рядом отношений, некоторые из наиболее простых из которых могут быть замечены. Каждый вертикальный столбец чисел точно соответствует косому ряду, спускающемуся слева направо, так что треугольник совершенно симметричен по своему содержанию. Первый столбец содержит только единицы; второй столбец содержит натуральные числа, 1, 2, 3 и т. д.; третий столбец содержит замечательный ряд чисел, 1, 3, 6, 10, 15 и т. д., которые давно называют треугольными числами, потому что они соответствуют количеству шаров, которые могут быть расположены в треугольной форме, вот так —

Четвертый столбец содержит пирамидальные числа, названные так потому, что они соответствуют количеству одинаковых шаров, которые можно сложить в правильные треугольные пирамиды. Их разности представляют собой треугольные числа. Разностями чисел пятого столбца являются пирамидальные числа, но поскольку не существует правильной фигуры, содержание которой они выражали бы, их произвольно назвали треугольно-треугольными числами. Последующие столбцы, подобным же образом, как говорят, содержат треугольно-пирамидальные, пирамидально-пирамидальные числа и так далее.

Из способа формирования таблицы следует, что разности чисел в каждом столбце будут найдены в предыдущем столбце слева. Следовательно, вторые разности, или разности разностей, будут находиться во втором столбце слева от любого заданного столбца, третьи разности — в третьем столбце и так далее. Таким образом, мы можем сказать, что единица, которая появляется в первом столбце, является первой разностью чисел во втором столбце; второй разностью чисел в третьем столбце; третьей разностью чисел в четвертом и так далее. Видно, что треугольник представляет собой полную классификацию всех чисел в зависимости от того, имеют ли они единицу в качестве какой-либо из своих разностей.

Поскольку каждая строка образуется путем прибавления предыдущей строки к самой себе, очевидно, что сумма чисел в каждой горизонтальной строке должна быть вдвое больше суммы чисел в строке, расположенной непосредственно над ней. Следовательно, мы знаем, не производя сложения, что последовательные суммы должны быть 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и т. д., так же как и количество комбинаций в Логическом алфавите. Говоря в общем, сумма чисел в n-й строке будет равна 2n–1.

Далее, если сложить все числа вплоть до любой строки, мы получим число, на единицу меньшее некоторой степени двойки; так, первая строка дает 1, или 2^1–1; первые две строки дают 3, или 2^2–1; первые три строки — 7, или 2^3–1; первые шесть строк дают 63, или 2^6–1; или, говоря общим языком, сумма первых n строк равна 2^n–1. Отсюда следует, что сумма чисел в любой одной строке равна сумме чисел во всех предыдущих строках, увеличенной на единицу. Ибо сумма n-й строки, как уже было показано, равна 2^n–1, а сумма первых n-1 строк равна 2^n-1–1, то есть меньше на единицу.

Это описание свойств фигурных чисел не претендует на полноту; можно было бы проследить значительное, вероятно, неограниченное число менее простых и очевидных отношений. Паскаль, приведя многие из этих свойств, восклицает: «Mais j’en laisse bien plus que je n’en donne; c’est une chose étrange combien il est fertile en propriétés! Chacun peut s’y exercer». Арифметический треугольник можно рассматривать как естественную классификацию чисел, наиболее полно демонстрирующую их развитие и отношения с определенной точки зрения. Очевидно, что при неограниченном расширении треугольника каждое число, за единственным исключением числа два, занимает по крайней мере два места.

Хотя вышеописанные свойства весьма любопытны, наибольшая ценность треугольника заключается в том, что он содержит полное изложение значений формулы (стр. 182) для количества комбинаций из m элементов по n для всех возможных значений m и n. Из семи предметов один можно выбрать семью способами, и семерка встречается в восьмой строке второго столбца. Комбинации из двух предметов, выбранных из семи, составляют 7 × 6 / 1 × 2, или 21, что является третьим числом в восьмой строке. Комбинации из трех предметов из семи составляют 7 × 6 × 5 / 1 × 2 × 3, или 35, что появляется четвертым в восьмой строке. Подобным же образом в пятом, шестом, седьмом и восьмом столбцах восьмой строки я нахожу указание на то, сколькими способами я могу выбрать комбинации из 4, 5, 6 и 7 предметов из 7. Переходя к девятой строке, я последовательно нахожу количество способов, которыми я могу выбрать 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 предметов из 8. Говоря в общем, если я хочу узнать, сколькими способами можно выбрать комбинации из m предметов из n, я должен посмотреть в (n+1)-й строке и взять (m+1)-е число в качестве ответа. Сколькими способами, например, можно выбрать подкомитет из пяти человек из комитета из девяти? Ответ — 126, это шестое число в десятой строке; оно окажется равным 9 · 8 · 7 · 6 · 5 / 1 · 2 · 3 · 4 · 5, что и дает наша формула (стр. 182).

Полная полезность фигурных чисел станет более очевидной, когда мы перейдем к теме вероятностей, но я могу привести здесь один или два примера. Сколькими способами мы можем расположить четыре монеты с точки зрения орла и решки? Вопрос сводится к тому, сколькими способами мы можем выбрать 0, 1, 2, 3 или 4 орла из 4, и пятая строка треугольника дает нам полный ответ, а именно:

We can select | No |  head and 4 tails in 1 way.
" | 1 |  head and 3 tails in 4 ways.
" | 2 |  heads and 2 tails in 6 ways.
" | 3 |  heads and 1 tail in 4 ways.
" | 4 |  heads and 0 tail in 1 way.

Общее количество различных случаев равно 16, или 2^4, и когда мы перейдем к следующей главе, выяснится, что эти числа дают нам соответствующие вероятности всех выпадений при броске четырех монет.

На стр. 181 я привел расчет количества способов, которыми восемь планет могут встретиться в соединении; читатель найдет все числа, подробно изложенные в девятой строке арифметического треугольника. Сумма всей строки равна 2^8, или 256; но мы должны вычесть единицу для случая, когда не появляется ни одна планета, и 8 для 8 случаев, в которых появляется только одна планета; так что общее количество соединений составляет 2^8 – 1 – 8, или 247. Если орган имеет одиннадцать регистров, мы находим в двенадцатой строке количество способов, которыми мы можем включать их по 1, 2, 3 или более за раз. Так, существует 462 способа включить пять регистров одновременно, и столько же — включить шесть регистров. Общее количество способов варьирования звука составляет 2048, включая единственный случай, когда не включен ни один регистр.

Одно из наиболее важных научных применений арифметического треугольника состоит в информации, которую он дает относительно сравнительной частоты отклонений от среднего значения. Предположим, ради аргумента, что все люди от природы имеют одинаковый рост в пять футов, но в юности обладают семью независимыми шансами вырасти еще на один дюйм. Из этих семи шансов один, два, три или более могут оказаться благоприятными для любого индивида; но, поскольку не имеет значения, какие именно шансы выпадут, лишь бы дюйм был получен, вопрос фактически сводится к количеству комбинаций из 0, 1, 2, 3 и т. д. элементов из семи. Следовательно, восьмая строка треугольника дает нам полный ответ на этот вопрос, а именно:

Из каждых 128 человек —

|  |  |  | Feet  | Inches.
One |  person | would have |  the stature of  | 5 | 0
 7 | persons | " | " | 5 | 1
21 | persons | " | " | 5 | 2
35 | persons | " | " | 5 | 3
35 | persons | " | " | 5 | 4
21 | persons | " | " | 5 | 5
 7 | persons | " | " | 5 | 6
 1 | person | " | " | 5 | 7

Взяв соответствующую строку треугольника, можно получить ответ при любом более естественном предположении. Эта теория сравнительной частоты отклонения от среднего значения была впервые адекватно замечена Кетле и недавно была использована весьма интересным и смелым образом г-ном Фрэнсисом Гальтоном в его замечательной работе «Наследственный гений». Впоследствии мы обнаружим, что теория ошибок, к которой обращаются в конечном счете в случаях количественного исследования, основана на сравнительных числах комбинаций, представленных в треугольнике.

Связь между арифметическим треугольником и Логическим алфавитом.

Существует тесная связь между арифметическим треугольником, описанным в последнем разделе, и рядом комбинаций букв, называемым Логическим алфавитом. Одно относится к математической науке так же, как другое — к логической науке. Фактически, фигурные числа, или те, что представлены в треугольнике, получаются путем суммирования логических комбинаций. Соответственно, точно так же, как сумма чисел в каждой строке треугольника вдвое больше, чем для предыдущей строки (стр. 186), каждый столбец Алфавита (стр. 94) содержит вдвое больше комбинаций, чем предыдущий. Подобное соответствие существует также между суммами всех строк цифр вплоть до любой конкретной строки и комбинациями вплоть до любого конкретного столбца.

Изучая любой столбец Логического алфавита, мы обнаруживаем, что комбинации естественным образом группируются в соответствии с фигурными числами. Возьмем комбинации букв A, B, C, D; они состоят из всех способов, которыми я могу выбрать четыре, три, два, один или ни одного из четырех букв, заполняя пустые места отрицательными терминами.

Существует одна комбинация, ABCD, в которой присутствуют все положительные буквы; есть четыре комбинации, в каждой из которых присутствуют три положительные буквы; шесть, в которых присутствуют две; четыре, в которых присутствует только одна; и, наконец, существует единственный случай, abcd, в котором отсутствуют все положительные буквы. Эти числа, 1, 4, 6, 4, 1, являются числами пятой строки арифметического треугольника, и подобное соответствие будет обнаружено в каждом столбце Логического алфавита.

Числовая абстракция, как утверждалось, состоит в том, чтобы не обращать внимания на вид различия и сохранять лишь осознание его существования (стр. 158). Таким образом, в то время как в логике мы имеем дело с каждой комбинацией как с отдельным видом вещей, в арифметике мы различаем только классы, которые зависят от присутствия большего или меньшего числа положительных терминов, и количества этих классов непосредственно порождают числа арифметического треугольника.

Здесь можно указать, что существуют два способа, которыми мы можем вычислить общее количество комбинаций определенных вещей. Либо мы можем взять общее количество сразу, как показано в Логическом алфавите, и в этом случае число будет некоторой степенью двойки, либо мы можем вычислять последовательно, с помощью перестановок, количество комбинаций из нуля, одного, двух, трех предметов и так далее. Следовательно, мы приходим к необходимому тождеству между двумя рядами чисел. В случае четырех предметов мы будем иметь

2 = 1 + 4/1 + 4 . 3/1 . 2 + 4 . 3 . 2/1 . 2 . 3 + 4 . 3 . 2 . 1/1 . 2 . 3 . 4.

В общей форме выражения мы будем иметь

2 = 1 + n/1 + n . (n - 1)/1 . 2 + n(n - 1)(n - 2)/1 . 2 . 3 + &c.,

причем члены продолжаются до тех пор, пока они не перестанут иметь какое-либо значение. Таким образом, мы приходим к доказательству простых случаев биномиальной теоремы, примером которой является каждый столбец Логического алфавита. Можно показать, что все другие математические разложения также возникают из простых процессов комбинации, но более полное рассмотрение этого предмета должно быть отложено до другой работы.

Возможное разнообразие природы и искусства.

Мы не можем адекватно понять трудности, которые подстерегают нас в определенных отраслях науки, если у нас нет ясного представления об огромном количестве комбинаций или перестановок, которые могут быть возможны при определенных условиях. Только так мы можем узнать, насколько безнадежно было бы пытаться рассматривать природу в деталях и исчерпать все количество событий, которые могли бы возникнуть. Поучительно рассмотреть, во-первых, насколько огромны числа комбинаций, с которыми мы имеем дело во многих искусствах и развлечениях.

При сдаче колоды карт количество возможных рук по тринадцать карт в каждой очевидно равно 52 × 51 × 50 × ... × 40, деленному на 1 × 2 × 3 ... × 13, или 635 013 559 600. Но в висте одновременно сдаются четыре руки, и количество различных сдач становится настолько огромным, что для его выражения потребовалось бы двадцать восемь цифр. Если бы все население мира, скажем, один миллиард человек, сдавало карты день и ночь в течение ста миллионов лет, они бы за это время не исчерпали и стотысячной доли возможных сдач. Даже при одних и тех же руках карты игра может быть почти бесконечно разнообразной, так что полное разнообразие игр в вист, которые могут существовать, почти неисчислимо велико. В высшей степени невероятно, чтобы хоть одна игра в вист была когда-либо в точности похожа на другую, если только это не было сделано намеренно.

Можно было бы опасаться конца новизны в искусстве, если бы мы не обнаружили, что природа, по крайней мере, не установила никакого достижимого предела и что недостаток будет заключаться в наших творческих способностях. Это было бы поистине безрадостное время, когда все возможные вариации мелодий были бы исчерпаны, но легко показать, что если бы перезвон двадцати четырех колоколов звонил непрерывно с так называемого начала мира до наших дней, то и тогда не было бы сделано никакого приближения к завершению возможных изменений. Более того, если бы каждая минута была продлена до 10 000 лет, задача все равно осталась бы невыполненной. Что касается обычных мелодий, то восемь нот одной октавы дают более 40 000 перестановок, а две октавы — более миллиона миллионов. Если бы мы приняли во внимание полутона, стало бы очевидно, что исчерпать разнообразие музыки невозможно. Когда покойный г-н Дж. С. Милль в подавленном состоянии духа опасался приближающегося истощения музыкальных мелодий, он, безусловно, недостаточно изучил предмет перестановок.

Подобные соображения применимы к возможному количеству природных веществ, хотя мы не всегда можем дать точные численные результаты. Хатчетт рекомендовал провести систематическое исследование всех сплавов металлов, переходя от бинарных к более сложным тернарным или четвертичным. Он вряд ли осознавал масштаб предложенного им исследования. Если мы будем работать только с тридцатью известными металлами, количество бинарных сплавов составит 435, тернарных — 4060, четвертичных — 27 405, не принимая во внимание варьирующиеся пропорции металлов, а учитывая только вид металла. Если бы мы варьировали все тернарные сплавы на величины не менее одного процента, количество этих сплавов составило бы 11 445 060. Исчерпывающее исследование этого предмета поэтому исключено, и если не удастся открыть какие-либо законы, связывающие свойства сплава и его компонентов, неясно, как наши знания о них могут когда-либо стать чем-то большим, чем фрагментарными.

Возможное разнообразие определенных химических соединений, опять же, чрезвычайно велико. Химики уже исследовали многие тысячи неорганических веществ и еще большее число органических соединений; тем не менее, они не произвели никакого заметного впечатления на число тех, что могут существовать. Принимая количество элементов за шестьдесят один, число соединений, содержащих различные наборы из четырех элементов каждое, составило бы более полумиллиона (521 855). Поскольку одни и те же элементы часто соединяются во многих различных пропорциях, а некоторые из них, особенно углерод, обладают способностью образовывать почти бесконечное число соединений, вряд ли можно было бы установить какой-либо предел количеству химических соединений, которые могут быть образованы. Таким образом, существуют отрасли физической науки, о которых вряд ли ученые, при всем своем трудолюбии, смогут когда-либо получить знания, в какой-либо заметной степени приближающиеся к полноте.

Более высокие порядки разнообразия.

Рассмотрение фактов, уже приведенных в этой главе, не даст адекватного представления о возможном разнообразии существования, если мы не рассмотрим сравнительные числа комбинаций различных порядков. Под комбинацией более высокого порядка я подразумеваю комбинацию групп, которые сами по себе являются группами. Огромное количество соединений углерода, водорода и кислорода, описанных в органической химии, являются комбинациями второго порядка, ибо атомы — это группы групп. Звуковую волну, производимую музыкальным инструментом, можно рассматривать как комбинацию движений; совокупность звука, исходящая от большого оркестра, является, следовательно, сложным агрегатом звуков, каждый из которых сам по себе является сложной комбинацией движений. Можно сказать, что вся литература развивается из различия между белой бумагой и черными чернилами. Из неограниченного числа знаков, которые могли бы быть выбраны, мы выбираем двадцать шесть условных букв. Произносимые комбинации букв, вероятно, исчисляются триллионами. Теперь, поскольку предложение — это выбор слов, возможные предложения должны быть невообразимо более многочисленными, чем слова, из которых они могут состоять. Книга — это комбинация предложений, а библиотека — это комбинация книг. Библиотеку, следовательно, можно рассматривать как комбинацию пятого порядка, и силы численного выражения были бы серьезно затруднены при попытке выразить количество различных библиотек, которые могли бы быть созданы. Расчет, конечно, был бы невозможен, потому что объединение букв в слова, слов в предложения и предложений в книги регулируется условиями, настолько сложными, что они не поддаются анализу. Я хочу лишь указать, что бесконечное разнообразие литературы, существующей или возможной, развивается из одного фундаментального различия. Галилей заметил, что вся истина содержится в пределах алфавита. Ему следовало бы сказать, что она вся содержится в различии между чернилами и бумагой.

Одним из следствий последовательной комбинации является то, что простейших знаков будет достаточно для выражения любой информации. Фрэнсис Бэкон предложил для тайного письма двубуквенный шифр, который сводит все буквы алфавита к перестановкам двух букв a и b. Так, A было aaaaa, B — aaaab, X — babab и так далее. Подобным же образом, как ясно видел Бэкон, любое различие может быть сделано основой кода сигналов; мы можем выразить, как он говорит, omnia per omnia. Азбука Морзе использует только последовательность длинных и коротких знаков, а другие системы телеграфного языка используют правые и левые штрихи. Одна лампа, закрываемая через различные промежутки времени, длинные или короткие, может быть использована для написания любых слов, а с помощью двух ламп, различающихся по цвету, положению или любому другому обстоятельству, мы могли бы сразу представить двубуквенный алфавит Бэкона. Бэббидж остроумно предложил, чтобы каждый маяк в мире постоянно выстукивал свое собственное имя или номер с помощью вспышек или затмений различной длительности и последовательности. Система, подобная системе Бэббиджа, в настоящее время применяется к маякам в Соединенном Королевстве сэром У. Томсоном и д-ром Джоном Хопкинсоном.

Давайте вычислим количество комбинаций различных порядков, которые могут возникнуть из присутствия или отсутствия одного знака, скажем, A. В этих цифрах

A | A |  | A | A |  | A | A |  | A | A

мы имеем четыре различных вида. Сформируйте из них группу более высокого порядка и рассмотрите, сколькими способами мы можем варьировать эту группу, опуская одну или несколько составных частей. Теперь, поскольку имеется четыре части и любая из них может присутствовать или отсутствовать, возможные вариации будут составлять 2 × 2 × 2 × 2, или 16 в количестве. Сформируйте из них новое целое и снова приступайте к созданию разнообразия, опуская любую одну или несколько из шестнадцати. Количество возможных изменений теперь будет 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2, или 2^16, и мы можем повторять этот процесс снова и снова. Мы представляем себе создание объектов, числа которых представлены последовательными порядками степеней двойки.

На первом шаге мы имеем 2; на следующем 2^2, или 4; на третьем (2^2)^2, или 16, числа весьма умеренной величины. Пусть читатель вычислит следующий член, ((2^2)^2)^2, и он будет удивлен, обнаружив, что он подскакивает до 65 536. Но на следующем шаге ему предстоит вычислить значение 65 536 двоек, умноженных друг на друга, и оно настолько велико, что мы никак не смогли бы его вычислить, так как одно лишь выражение результата потребовало бы 19 729 знаков. Но сделайте еще один шаг, и мы перейдем границы всякого разума. Шестой порядок степеней двойки становится настолько большим, что мы не смогли бы даже выразить количество цифр, необходимых для его записи, не используя для этой цели около 19 729 цифр. Последовательные порядки степеней двойки имеют тогда следующие значения, насколько нам удается их описать:

First order | 2 |
Second order | 4 |
Third order | 16 |
Fourth order | 65,536 |
Fifth order, number expressed by | 19,729 |  figures.

Sixth order, number expressed by
figures, to express the number
of which figures would require
about

19,729

 figures.

Это может дать нам некоторое представление о бесконечности, если вспомнить, что на этом шестом шаге, давно выйдя за все границы интуитивного представления, мы не приближаемся к пределу. Более того, если бы мы сделали сто таких шагов, мы были бы так же далеки, как и всегда, от актуальной бесконечности.

Стоит заметить, что наши способности выражения быстро преодолевают возможное множество конечных объектов, которые могут существовать в любом заданном пространстве. Архимед давно показал в одном из самых замечательных сочинений древности, Liber de Arenae Numero, что песчинки в мире можно пересчитать, или, скорее, что если бы их пересчитали, результат можно было бы легко выразить в арифметической нотации. Давайте расширим его задачу и выясним, могли бы мы выразить количество атомов, которые могли бы существовать в видимой Вселенной. Самые далекие звезды, которые сейчас можно увидеть в телескопы — звезды шестнадцатой величины — предположительно находятся на расстоянии около 33 900 000 000 000 000 миль. Сэр У. Томсон привел доводы в пользу предположения, что в кубическом сантиметре твердого или жидкого вещества существует не более чем от 3 × 10^24 до 10^26 молекул. Предполагая, ради аргумента, что эти данные верны, простой расчет позволяет нам показать, что почти невообразимо огромная сфера нашей звездной системы, если бы она была полностью заполнена твердым веществом, содержала бы не более чем около 68 × 10^90 атомов, то есть число, требующее для своего выражения 92 знака. Теперь, это число было бы неизмеримо меньше, чем пятый порядок степеней двойки.

В разнообразии логических отношений, которые могут существовать между определенным количеством логических терминов, мы также встречаем случай более высоких комбинаций. Мы видели (стр. 142), что всего при шести терминах количество возможных выборов комбинаций составляет 18 446 744 073 709 551 616. Учитывая, что использование аргумента, включающего шесть объектов или терминов, является самой обычной вещью в мире, может вызвать некоторое удивление тот факт, что полное исследование отношений, в которых могут находиться друг к другу шесть таких терминов, должно включать почти невообразимое количество случаев. Тем не менее, эти числа возможных логических отношений относятся только ко второму порядку комбинаций.

ГЛАВА X. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ.

Предмет, к которому мы теперь переходим, не следует рассматривать как изолированную и любопытную отрасль умозрения. Это необходимая основа суждений, которые мы делаем при развитии науки, или решений, к которым мы приходим при ведении обычных дел. Как справедливо сказал Батлер: «Вероятность — это сам путеводитель жизни». Если бы наука о числах изучалась не для какой-либо другой цели, она должна была бы быть развита для вычисления вероятностей. Все наши выводы относительно будущего являются лишь вероятными, и надлежащая оценка степени вероятности зависит от понимания принципов этого предмета. Я убежден, что невозможно изложить методы индукции здравым образом, не основывая их на теории вероятностей. Только совершенное знание может дать уверенность, а в природе совершенное знание было бы бесконечным знанием, что явно выходит за пределы наших способностей. Мы должны, следовательно, довольствоваться частичным знанием — знанием, смешанным с невежеством, порождающим сомнение.

Большая трудность в этом предмете состоит в приобретении точного представления о рассматриваемом вопросе. Что именно мы нумеруем, измеряем и вычисляем в теории вероятностей? Является ли это верой, или мнением, или сомнением, или знанием, или случайностью, или необходимостью, или отсутствием искусства? Существует ли вероятность в вещах, которые являются вероятными, или в уме, который рассматривает их как таковые? Этимология названия не оказывает нам никакой помощи: ибо, как ни странно, probable в конечном счете — то же самое слово, что и provable, хороший пример того, как одно слово дифференцировалось в два противоположных значения.

Случайность не может быть предметом теории, потому что на самом деле не существует такой вещи, как случайность, рассматриваемая как нечто, порождающее и управляющее событиями. Слово «случайность» означает «падение», и понятие падения постоянно используется как сравнение для выражения неопределенности, потому что мы редко можем предсказать, как упадет кость, монета или лист, или когда пуля попадет в цель. Но каждый видит после небольшого размышления, что именно в нашем знании кроется недостаток, а не в определенности законов природы. Нет сомнения у молнии относительно того, в какую точку она ударит; в величайшем шторме нет ничего капризного; нет ни одной песчинки на пляже, которую бесконечное знание не объяснило бы своим положением; и путь каждого падающего листа направляется принципами механики, которые управляют движениями небесных тел.

Случайность, таким образом, не существует в природе и не может сосуществовать со знанием; это лишь выражение, как заметил Лаплас, нашего невежества относительно действующих причин и нашего последующего неумения предсказать результат или вызвать его безошибочно. В природе свершение события было предопределено с самого начала формирования Вселенной. Вероятность целиком принадлежит уму. Это доказывается тем фактом, что разные умы могут рассматривать одно и то же событие в одно и то же время с широко различающимися степенями вероятности. Паровой корабль, например, пропал без вести, и некоторые люди верят, что он затонул посреди океана; другие думают иначе. В самом событии не может быть такой неопределенности; паровой корабль либо затонул, либо не затонул, и никакое последующее обсуждение вероятной природы события не может изменить этот факт. Тем не менее, вероятность события будет действительно меняться изо дня в день и от ума к уму, по мере того как будет получена малейшая информация относительно судов, встреченных в море, преобладающей там погоды, найденных признаков крушения или предыдущего состояния судна. Вероятность, таким образом, относится к нашему ментальному состоянию, к свету, в котором мы рассматриваем события, свершение или несвершение которых само по себе определенно. Многие авторы, соответственно, утверждали, что вероятность связана со степенью или количеством веры. Де Морган говорит: «Под степенью вероятности мы действительно подразумеваем или должны подразумевать степень веры». Покойный профессор Донкин выразил значение вероятности как «количество веры»; но я никогда не чувствовал удовлетворения от таких определений вероятности. Природа веры не более ясна моему уму, чем понятие, которое она используется для определения. Но вполне достаточным возражением является то, что теория измеряет не то, какова вера, а то, какова она должна быть. Мало умов думают в тесном соответствии с теорией, и существует много случаев свидетельств, в которых существующая вера обычно отличается от того, какой она должна быть. Даже если бы состояние веры в любом уме можно было измерить и выразить в цифрах, результаты были бы бесполезны. Ценность теории состоит в исправлении и направлении нашей веры, а также в приведении наших состояний ума и последующих действий в гармонию с нашим знанием внешних условий.

Это возражение было ясно воспринято некоторыми из тех, кто все еще использовал количество веры в качестве определения вероятности. Так, Де Морган добавляет: «Вера — это лишь другое название несовершенного знания». Донкин хорошо сказал, что количество веры «всегда относительно конкретного состояния знания или невежества; но следует заметить, что оно абсолютно в том смысле, что не является относительным к какому-либо индивидуальному уму; поскольку, при условии наличия одной и той же информации, все умы должны распределять свою веру одинаковым образом». Буль, по-видимому, придерживался схожего взгляда, когда описывал теорию как занятую «равномерным распределением невежества»; но мы с таким же успехом можем сказать, что она занята равномерным распределением знания.

Я предпочитаю вовсе обойтись без этого неясного слова «вера» и сказать, что теория вероятностей имеет дело с количеством знания — выражением, для которого можно дать точное объяснение и меру. Событие является вероятным только тогда, когда наше знание о нем разбавлено невежеством, и требуется точный расчет, чтобы различить, что мы знаем и чего не знаем. Теория была описана некоторыми авторами как претендующая на то, чтобы развивать знание из невежества; но, как замечательно заметил Донкин, это на самом деле «метод избегания построения веры на невежестве». Она определяет рациональное ожидание путем измерения сравнительных количеств знания и невежества и учит нас регулировать наши действия в отношении будущих событий таким образом, который в конечном итоге приведет к наименьшему разочарованию. Это, как удачно сказал Лаплас, здравый смысл, сведенный к расчету. Эта теория кажется мне благороднейшим творением интеллекта, и моему пониманию непостижимо, как можно было найти таких людей, как Огюст Конт и Дж. С. Милль, которые принижали ее и тщетно ставили под сомнение ее обоснованность. Восхвалять теорию должно быть так же излишне, как восхвалять сам разум.

Фундаментальные принципы теории.

Расчет вероятностей на самом деле основан, как я полагаю, на принципе рассуждения, изложенном в предыдущих главах. Мы должны относиться к равным вещам одинаково, и то, что мы знаем об одном случае, может быть утверждено о каждом случае, напоминающем его в необходимых обстоятельствах. Теория состоит в том, чтобы поставить подобные случаи на один уровень и распределить поровну между ними все знания, которыми мы обладаем. Подбросьте монету в воздух и подумайте, что мы знаем относительно способа ее падения. Мы знаем, что она определенно упадет на сторону, так что либо орел, либо решка будут сверху; но относительно того, будет ли это орел или решка, наше знание разделено поровну. Все, что мы знаем относительно орла, мы знаем также относительно решки, так что у нас нет причин ожидать одно больше, чем другое. Малейшее преобладание веры к какой-либо стороне было бы иррациональным; оно состояло бы в неравном отношении к вещам, о которых наше знание равно.

Теория не требует, как ошибочно полагали некоторые авторы, чтобы мы сначала установили путем эксперимента равную возможность событий, которые мы рассматриваем. Настолько, насколько мы можем исследовать и измерить действующие причины, события удаляются из сферы вероятности. Теория вступает в игру там, где начинается невежество, и знания, которыми мы обладаем, требуют распределения по многим случаям. Теория также не показывает, что монета будет падать на одну сторону так же часто, как и на другую. Почти невозможно, чтобы это произошло, потому что некоторое неравенство в форме монеты или некоторая единообразная манера подбрасывания почти наверняка вызовут небольшое преобладание в одном направлении. Но поскольку мы заранее не знаем, в какую сторону будет существовать преобладание, у нас нет причин ожидать орла больше, чем решку. Наше состояние знания изменится, если мы подбросим монету много раз и зарегистрируем результаты. Каждый бросок дает нам некоторую небольшую информацию относительно вероятной тенденции монеты, и в последующих расчетах мы должны принимать это во внимание. В других случаях опыт мог бы показать, что мы были полностью неправы; мы могли бы ожидать, что кость будет падать на каждую из шести сторон так же часто, как и на каждую другую сторону в долгосрочной перспективе; испытание могло бы показать, что кость была фальшивой и падает чаще всего на определенную грань. Теория не ввела бы нас в заблуждение: она правильно обработала информацию, которую мы имели, что является всем, что может сделать любая теория.

Можно спросить, как спрашивает Милль: зачем тратить столько усилий на расчеты по несовершенным данным, когда небольшое усилие позволило бы нам сделать вывод достоверным путем фактического испытания? Зачем рассчитывать вероятность правильности измерения, когда мы можем проверить, правильно ли оно? Но я полностью укажу в более поздних частях этой работы, что при измерении мы никогда не можем достичь идеального совпадения. Два измерения одной и той же базовой линии при съемке могут показать разницу в несколько дюймов, и может не быть средств узнать, какой результат лучше. Третье измерение, вероятно, не совпало бы ни с одним из них. Выбор любого из измерений означал бы, что мы знаем, что оно наиболее близко к правильному, чего мы не знаем. В этом состоянии невежества единственным путеводителем является теория вероятностей, которая доказывает, что в долгосрочной перспективе среднее значение расходящихся результатов будет наиболее близким к истине. Во всех других научных операциях, какими бы они ни были, совершенное знание невозможно, и когда мы исчерпали все наши инструментальные средства в достижении истины, остается предел ошибки, с которым можно безопасно обращаться только с помощью принципов вероятности.

Метод, который мы используем в теории, состоит в вычислении количества всех случаев или событий, относительно которых наше знание равно. Если у нас есть малейшая причина подозревать, что одно событие более вероятно, чем другое, мы должны принять это знание во внимание. После этого мы должны определить общее количество событий, которые, насколько нам известно, одинаково вероятны. Таким образом, если у нас нет причин предполагать, что монета будет падать чаще одной стороной, чем другой, существуют два случая, орел и решка, одинаково вероятные. Но если из испытания или иным образом мы знаем, или думаем, что знаем, что из 100 бросков 55 дадут решку, то вероятность измеряется отношением 55 к 100.

Математические формулы теории в точности такие же, как и в теории комбинаций. В этой последней теории мы определяем, сколькими способами события могут быть соединены вместе, и теперь мы переходим к использованию этого знания при расчете количества способов, которыми может произойти определенное событие. Именно сравнительные числа способов, которыми могут произойти события, измеряют их сравнительные вероятности. Если мы подбросим три монеты в воздух, какова вероятность того, что две из них упадут решкой вверх? Это сводится к вопросу: сколькими возможными способами мы можем выбрать две решки из трех, по сравнению с общим количеством способов, которыми могут быть расположены монеты? Теперь четвертая строка Арифметического треугольника (стр. 184) дает нам ответ. Общее количество способов, которыми мы можем выбрать или оставить три предмета, равно восьми, а возможные комбинации из двух предметов за раз — трем; следовательно, вероятность двух решек — это отношение трех к восьми. Из чисел в треугольнике мы можем аналогичным образом вывести все следующие вероятности:

One combination gives 0 tail. Probability 1/8.
Three combinations gives 1 tail. Probability 3/8.
Three combinations give 2 tails. Probability 3/8.
One combination gives 3 tails. Probability 1/8.

Мы можем применить те же соображения к воображаемым причинам различия в росте, комбинации которых были показаны на стр. 188. Всего существует 128 способов, которыми семь причин могут присутствовать или отсутствовать. Теперь двадцать одна из этих комбинаций дает прибавку в два дюйма, так что вероятность того, что человек при данных обстоятельствах будет иметь рост пять футов два дюйма, составляет 21/128. Вероятность пяти футов трех дюймов — 35/128; пяти футов одного дюйма — 7/128; пяти футов — 1/128 и так далее. Таким образом, восьмая строка Арифметического треугольника дает все вероятности, возникающие из комбинаций семи причин.

Правила для расчета вероятностей.

Теперь я объясню как можно проще правила для расчета вероятностей. Основное правило заключается в следующем:

Вычислите количество событий, которые могут произойти независимо друг от друга и которые, насколько известно, одинаково вероятны. Сделайте это число знаменателем дроби, а в качестве числителя возьмите количество таких событий, которые подразумевают или составляют свершение события, вероятность которого требуется найти.

Таким образом, если буквы слова Roma случайно брошены в ряд, какова вероятность того, что они образуют значимое латинское слово? Возможные расположения четырех букв равны 4 × 3 × 2 × 1, или 24 в количестве (стр. 178), и если изучить все расположения, семь из них окажутся имеющими смысл, а именно: Roma, ramo, oram, mora, maro, armo и amor. Следовательно, вероятность значимого результата составляет 7/24.

Мы должны различать сравнительные и абсолютные вероятности. При случайном вытягивании карты из колоды нет причин ожидать какую-либо одну карту больше, чем любую другую. Теперь, в колоде четыре короля и четыре дамы, так что существует столько же способов вытянуть одного, сколько и другого, и вероятности равны. Но существует тринадцать бубен, так что вероятность короля относится к вероятности бубны как четыре к тринадцати. Таким образом, вероятности каждой пропорциональны их соответствующим количествам способов свершения. Далее, я могу вытянуть короля четырьмя способами и не вытянуть его сорока восемью, так что вероятности находятся в этой пропорции, или, как обычно говорят, шансы против вытягивания короля составляют сорок восемь к четырем. Шансы составляют семь к семнадцати «за» или семнадцать к семи «против» того, что буквы R, o, m, a случайно образуют значимое слово. Шансы составляют пять к трем «против» того, что две решки появятся при трех бросках монеты. И наоборот, когда даны шансы события и требуется вероятность, возьмите шансы «за» событие в качестве числителя, а сумму шансов — в качестве знаменателя.

Очевидно, что событие является достоверным, когда все комбинации причин, которые могут иметь место, порождают это событие. Если мы представим вероятность такого события согласно нашему правилу, она дает отношение некоторого числа к самому себе, или единицу. Событие достоверно не произойдет, когда никакая возможная комбинация причин не дает события, и отношение по тому же правилу становится отношением 0 к некоторому числу. Отсюда следует, что в теории вероятности достоверность выражается 1, а невозможность — 0; но не следует придавать этим символам мистического значения, так как они лишь выражают тот факт, что все или никакие возможные комбинации дают событие.

Под составным событием мы подразумеваем событие, которое может быть разложено на два или более простых события. Таким образом, выстрел из ружья может быть разложен на нажатие на спусковой крючок, падение курка, взрыв капсюля и т. д. В этом примере простые события не являются независимыми, потому что если спусковой крючок нажат, другие события при надлежащих условиях обязательно последуют, и их вероятности, следовательно, такие же, как у первого события. События являются независимыми, когда свершение одного не делает другое ни более, ни менее вероятным, чем прежде. Таким образом, смерть человека не становится ни более, ни менее вероятной от того, что планета Марс случайно видна. Когда компонентные события независимы, можно дать простое правило для расчета вероятности составного события, а именно: перемножьте дроби, выражающие вероятности независимых компонентных событий.

Вероятность выпадения решки дважды при броске монеты равна 1/2 × 1/2, или 1/4; вероятность выпадения ее три раза подряд равна 1/2 × 1/2 × 1/2, или 1/8; результат, согласующийся с тем, что получен, по-видимому, иным способом (стр. 202). Фактически, когда мы перемножаем знаменатели, мы получаем общее количество способов свершения составного события, а когда мы перемножаем числители, мы получаем количество способов, благоприятных для требуемого события.

Вероятности могут быть добавлены друг к другу или вычтены друг из друга при важном условии, что рассматриваемые события исключают друг друга, так что не более одного из них может произойти. Можно было бы утверждать, что, поскольку вероятность выпадения орла при первом испытании равна 1/2, а при втором испытании также 1/2, вероятность выпадения его в первых двух бросках равна 1/2 + 1/2, или достоверности. Этот результат не только явно абсурден, но повторение процесса привело бы нас к вероятности 1 1/2 или любого большего числа, результатам, которые не могли бы иметь никакого смысла вообще. Вероятность, которую мы хотим рассчитать, — это вероятность одного орла в двух бросках, но в наше сложение мы включили случай, в котором появляются два орла. Истинный результат — 1/2 + 1/2 × 1/2, или 3/4, или вероятность орла при первом броске, добавленная к исключительной вероятности того, что если он не выпадет при первом, он выпадет при втором. Величайшие трудности теории возникают из смешения исключительных и неисключительных альтернатив. Я могу напомнить читателю, что возможность неисключительных альтернатив была пунктом, ранее обсуждавшимся (стр. 68), и к причинам, данным тогда для рассмотрения чередования как логически неисключительного, можно добавить существование этих трудностей в теории вероятности. Ошибочный результат, объясненный выше, на самом деле возник из-за того, что не было замечено, что выражение «орел при первом броске или орел при втором броске» может включать случай орла при обоих бросках.

Логический алфавит в вопросах вероятности.

Когда даны вероятности определенных простых событий и требуется вывести вероятности составных событий, Логический алфавит может оказать помощь, при условии, что нет специальных логических условий, так что все комбинации возможны. Таким образом, если есть три события, A, B, C, вероятности которых равны α, β, γ, то отрицания этих событий, выражающие отсутствие событий, будут иметь вероятности 1 - α, 1 - β, 1 - γ. Нам нужно только подставить эти значения вместо букв комбинаций и перемножить, и мы получим вероятность каждой комбинации. Таким образом, вероятность ABC равна αβγ; A bc — α(1 - β)(1 - γ).

Теперь мы можем четко различать вероятности исключительных и неисключительных событий. Таким образом, если A и B — события, которые могут произойти вместе, как дождь и прилив, или землетрясение и шторм, вероятность свершения A или B не является суммой их отдельных вероятностей. Ибо по Законам мышления мы развиваем A ꖌ B в AB ꖌ A b ꖌ a B, и, подставляя α и β, вероятности A и B соответственно, мы получаем α · β + α · (1 - β) + (1 - α) · β, или α + β - α · β. Но если события несовместимы или неспособны произойти вместе, как ясное небо и дождь, или новолуние и полнолуние, то события — это не A или B, а A не-B, или B не-A, или в символах A b ꖌ a B. Теперь, если мы возьмем μ = вероятность A b и ν = вероятность a B, то мы можем просто складывать, и вероятность A b ꖌ a B равна μ + ν.

Пусть читатель внимательно заметит, что если комбинация AB не может существовать, вероятность A b не является произведением вероятностей A и b. Когда определенные комбинации логически невозможны, уже нельзя подставлять вероятность каждого термина вместо термина, потому что умножение вероятностей предполагает независимость событий. Большая часть «Законов мышления» Буля посвящена попытке преодолеть эту трудность и создать Общий метод в вероятностях, с помощью которого из определенных логических условий и определенных данных вероятностей можно было бы вывести вероятность любых других комбинаций событий при этих условиях. Буль преследовал свою задачу с удивительной изобретательностью и силой, но, потратив много времени на изучение его работы, я вынужден прийти к заключению, что его метод фундаментально ошибочен. Как указал г-н Уилбрахам, Буль получил свои результаты путем произвольного предположения, которое является лишь наиболее вероятным, а не единственно возможным предположением. Полученный ответ, следовательно, не является реальной вероятностью, которая обычно неопределенна, а лишь, так сказать, наиболее вероятной вероятностью. Некоторые задачи, решенные Булем, свободны от логических условий и поэтому могут допускать обоснованные ответы. Они, как я показал, могут быть решены с помощью комбинаций Логического алфавита, но остальные задачи не допускают определенного ответа, по крайней мере, по методу Буля.

Сопоставление теории с опытом.

Законы вероятности опираются на фундаментальные принципы рассуждения и не могут быть фактически опровергнуты никаким возможным опытом. Может случиться так, что человек будет постоянно подбрасывать монету орлом вверх и казаться неспособным получить решку случайно. Теория при этом не будет опровергнута, поскольку она допускает возможность самых крайних стечений обстоятельств. Наш фактический опыт может противоречить всему, что является вероятным; весь ход событий может казаться находящимся в полном противоречии с тем, чего мы должны были бы ожидать, и все же случайное сочетание событий может быть реальным объяснением. Вполне возможно, что некоторые закономерные совпадения, которые мы приписываем неизменным законам природы, обусловлены случайным сочетанием явлений в тех случаях, на которые направлено наше внимание. Все, что мы можем извлечь из конечного опыта, согласно теории вероятностей, способно ввести нас в заблуждение, и только бесконечный опыт мог бы гарантировать нам какие-либо индуктивные истины.

В то же время вероятность того, что произойдут какие-либо крайние стечения обстоятельств, настолько чрезмерно мала, что было бы абсурдно всерьез ожидать их возникновения. Почти невозможно, например, чтобы какой-либо игрок в вист сыграл две партии, в которых распределение карт было бы в точности одинаковым, исключительно по чистой случайности (стр. 191). Такое явление, как человек, постоянно проигрывающий в игре, основанной на чистой случайности, совершенно неизвестно. Подобные совпадения, как я уже сказал, не невозможны, но они настолько маловероятны, что жизнь любого человека или даже вся продолжительность истории не дают сколько-нибудь заметной вероятности их возникновения. Всякий раз, когда мы проводим обширную серию испытаний случайных результатов, как при бросании кости или монеты, велика вероятность того, что результаты будут почти совпадать с предсказаниями, полученными на основе теории. Точного совпадения ожидать не следует, ибо это, как показывает теория, крайне маловероятно. Было предпринято несколько попыток проверить таким образом соответствие теории и опыта. Бюффон поручил провести первое испытание маленькому ребенку, который много раз подряд подбрасывал монету, и получил 1992 решки на 2048 орлов. Ученик Де Моргана повторил это испытание для собственного удовлетворения и получил 2044 решки на 2048 орлов. В обоих случаях совпадение с теорией настолько близко, насколько можно было ожидать, и подробности можно найти в «Формальной логике» Де Моргана, стр. 185.

Кетле также проверил теорию более полным образом, поместив 20 черных и 20 белых шаров в урну и вынимая шар раз за разом случайным образом, причем каждый шар возвращался обратно перед тем, как делалось новое извлечение. Он обнаружил, как и следовало ожидать, что чем больше было сделано извлечений, тем ближе количество белых и черных шаров было к равенству. По окончании эксперимента он зарегистрировал 2066 белых и 2030 черных шаров, при этом отношение составило 1,02.

Я провел серию экспериментов третьим способом, который показался мне еще более интересным и допускающим более широкую проверку. Взяв горсть из десяти монет, обычно шиллингов, я подбрасывал их раз за разом и регистрировал количество выпавших орлов каждый раз. Теперь вероятность получения 10, 9, 8, 7 и т. д. орлов пропорциональна числу сочетаний из 10, 9, 8, 7 и т. д. элементов из 10. Следовательно, результаты должны приближаться к числам в одиннадцатой строке Арифметического треугольника. Я сделал в общей сложности 2048 бросков, двумя сериями по 1024 броска каждая, и полученные числа приведены в следующей таблице:—

Character of Throw. | Theoretical Numbers. | First Series. | Second Series. | Average. | Divergence.
10 | Heads | 0 | Tail |   1 |   3 |   1 |   2  | +  1 
9 | " | 1 | " |  10 |  12 |  23 |  171/2 | +  71/2
8 | " | 2 | " |  45 |  57 |  73 |  65  | + 20 
7 | " | 3 | " | 120 | 129 | 123 | 126  | +  6 
6 | " | 4 | " | 210 | 181 | 190 | 185 1/2 | – 25 
5 | " | 5 | " | 252 | 257 | 232 | 244 1/2 | – 71/2
4 | " | 6 | " | 210 | 201 | 197 | 199  | – 11 
3 | " | 7 | " | 120 | 111 | 119 | 115  | –  5 
2 | " | 8 | " |  45 |  52 |  50 |  51  | +  6 
1 | " | 9 | " |  10 |  21 |  15 |  18  | +  8 
0 | " | 10 | " |   1 |   0 |   1 |    1/2 | –   1/2
Totals ... ... | 1024 | 1024 | 1024 | 1024 | –  1 

Общее число одиночных бросков монет составило 10 × 2048, или 20 480 всего, половина из которых, или 10 240, теоретически должны были дать орла. Общее количество полученных орлов фактически составило 10 353, или 5222 в первой серии и 5131 во второй. Совпадение с теорией довольно близкое, но, учитывая большое количество бросков, есть некоторые основания подозревать тенденцию в пользу орлов.

Особый интерес этого испытания заключается в демонстрации в практической форме результатов теоремы Бернулли и закона ошибок или отклонения от среднего, которые будут рассмотрены позже более подробно. Оно иллюстрирует связь между сочетаниями и перестановками, которая представлена в Арифметическом треугольнике и которая лежит в основе многих важных теорем науки.

Вероятностные дедуктивные аргументы.

С помощью теории вероятностей мы можем расширить сферу дедуктивного аргумента. До сих пор мы рассматривали суждения как достоверные и на гипотезе достоверности выводили выводы, столь же достоверные. Но информация, на основе которой мы рассуждаем в обычной жизни, редко или никогда не бывает достоверной, и почти все рассуждения на самом деле являются вопросом вероятности. Поэтому мы должны полностью осознавать способ и степень, в которой дедуктивное рассуждение затрагивается теорией вероятности, и многих могут удивить результаты, которые необходимо признать. Некоторые полемизирующие авторы, как заметил Де Морган, по-видимому, считают, что вывод из нескольких равновероятных посылок сам по себе так же вероятен, как любая из них, но истинный результат очень отличается. Если аргумент включает в себя много суждений, и каждое из них является неопределенным, вывод будет иметь очень малую силу.

Достоверность вывода можно рассматривать как сложное событие, зависящее от того, окажутся ли посылки истинными; таким образом, чтобы получить вероятность вывода, мы должны перемножить дроби, выражающие вероятности посылок. Если вероятность того, что А есть Б, равна 1/2, и вероятность того, что Б есть В, также равна 1/2, то вывод о том, что А есть В, на основании этих посылок, равен 1/2 × 1/2, или 1/4. Аналогично, если для обоснования вывода требуется любое количество посылок и их вероятности равны p, q, r и т. д., вероятность вывода на основании этих посылок равна p × q × r × ... Это произведение имеет лишь небольшое значение, если только каждая из величин p, q и т. д. не близка к единице.

Но особенно следует отметить, что вероятность, вычисленная таким образом, не является полной вероятностью вывода, а лишь той, которую он получает из рассматриваемых посылок. Замечания Уэйтли по этому предмету могут ввести читателя в заблуждение, заставив его предположить, что вычисление завершается перемножением вероятностей посылок. Но Де Морган полностью объяснил, что мы должны принимать во внимание предшествующую вероятность вывода; А может быть В по другим причинам, помимо того, что оно есть Б, и, как он замечает: «Трудно, если не невозможно, построить цепь аргументации, результат которой рассуждающий может основывать только на этих аргументах». Неудача одного аргумента не опровергает, за исключением особых обстоятельств, истинность вывода, который он призван поддержать, иначе существует мало истин, которые могли бы пережить необдуманные аргументы, приводимые в их пользу. Как веревка не обязательно рвется из-за того, что одна или две ее пряди выходят из строя, так и вывод может зависеть от бесконечного числа соображений, помимо тех, что находятся непосредственно в поле зрения. Даже когда у нас нет другой информации, мы не должны считать утверждение лишенным всякой вероятности. Истинным выражением полного сомнения является отношение равенства между шансами «за» и «против», и это отношение выражается вероятностью 1/2.

Теперь, если А и В — совершенно неизвестные вещи, у нас нет оснований полагать, что А есть В, скорее, чем А не есть В. Предшествующая вероятность тогда равна 1/2. Если у нас также есть вероятности того, что А есть Б, равная 1/2, и что Б есть В, равная 1/2, мы не имеем права предполагать, что вероятность того, что А есть В, уменьшается аргументом в его пользу. Если вывод истинен на своих собственных основаниях, неудача аргумента не затрагивает его; таким образом, его общая вероятность — это его предшествующая вероятность, сложенная с вероятностью того, что в случае неудачи первого аргумента новый рассматриваемый аргумент подтвердит его. Существует вероятность 1/2, что нам не потребуется специальный аргумент; вероятность 1/2, что потребуется, и вероятность 1/4, что аргумент в этом случае подтвердит его. Таким образом, полный результат равен 1/2 + 1/2 × 1/4, или 5/8. В общем виде, если a — вероятность, основанная на конкретном аргументе, а c — предшествующая вероятность события, общий результат равен 1 - (1 - a)(1 - c), или a + c - ac.

Мы можем выразить это еще более общим образом: пусть a, b, c и т. д. — вероятности вывода, основанного на различных аргументах. Только когда все аргументы терпят неудачу, наш вывод оказывается окончательно неверным; вероятности неудачи каждого из них равны соответственно 1 - a, 1 - b, 1 - c и т. д.; вероятность того, что они все потерпят неудачу, равна (1 - a)(1 - b)(1 - c) ...; следовательно, вероятность того, что вывод не окажется неверным, равна 1 - (1 - a)(1 - b)(1 - c) ... и т. д. Отсюда следует, что каждый аргумент в пользу вывода, каким бы слабым и незначительным он ни был, добавляет ему вероятности. Когда неизвестно, затонуло просроченное судно или нет, каждое слабое указание на потерю судна добавит некоторую вероятность к убеждению в его потере, и опровержение какого-либо конкретного доказательства не опровергнет само событие.

Мы должны применять эти принципы доказательства с большой осторожностью и заметить, что в значительной части случаев приведение слабого аргумента действительно способствует опровержению его вывода. Утверждение само по себе может обладать большой внутренней невероятностью, будучи противопоставленным другим доказательствам или предполагаемому закону природы, и можно предположить, что каждый рассуждающий действует прямо и выдвигает всю силу доказательств, которыми он обладает в его пользу. Если он приводит только один аргумент, и его вероятность a мала, то в формуле 1 - (1 - a)(1 - c) и a, и c малы, и все выражение имеет лишь небольшое значение. Весь эффект аргумента, таким образом, сводится к вопросу о том, остаются ли другие аргументы, чтобы мы могли ввести другие факторы (1 - b), (1 - d) и т. д. в вышеприведенное выражение. В суде, в публикации, имеющей определенную цель, и во многих других случаях, несомненно, правильно предполагать, что выдвинуты все доказательства, которые считаются имеющими какую-либо ценность в отношении утверждаемого вывода.

Назначение предшествующей вероятности любого суждения может быть делом трудным или невозможным, и таким, с которым логика и теория вероятностей имеют мало общего. Из общего корпуса науки, которым мы располагаем, мы должны в каждом случае выносить наилучшее суждение, на которое способны. Но при отсутствии всякого знания вероятность следует считать равной 1/2, ибо если мы сделаем ее меньше этого, мы склонны считать его скорее ложным, чем истинным. Таким образом, до того, как мы обладали какими-либо средствами оценки величин неподвижных звезд, утверждение о том, что Сириус больше Солнца, имело вероятность ровно 1/2; было столь же вероятно, что он будет больше, как и то, что он будет меньше; и так же с любой другой звездой. Это было предположение, которое сделал Мичелл в своих замечательных размышлениях. Может показаться, действительно, что поскольку каждое суждение выражает согласие, а согласия или сходства между явлениями бесконечно меньше, чем различий (стр. 44), каждое суждение должно при отсутствии другой информации быть бесконечно невероятным. Но в нашей логической системе каждый термин может быть безразлично положительным или отрицательным, так что мы выражаем в той же форме столько же различий, сколько и согласий. Поэтому невозможно, чтобы у нас была какая-либо причина не верить, а не верить утверждению о вещах, о которых мы ничего не знаем. Мы едва ли можем придумать суждение, относительно истинности которого мы абсолютно невежественны, за исключением случаев, когда мы полностью невежественны относительно используемых терминов. Если я попрошу читателя назначить шансы того, что «Платитиптический коэффициент положителен», он вряд ли увидит способ сделать это, если только не сочтет их равными.

Предположение о том, что полное сомнение правильно выражается величиной 1/2, было поставлено под сомнение епископом Терро, который предлагает вместо этого неопределенный символ 0/0; и он считает, что «априорная вероятность, полученная из абсолютного невежества, не оказывает влияния на силу впоследствии принятой вероятности». Но если мы допустим, что вероятность может иметь любое значение между 0 и 1, и что каждое отдельное значение равновероятно, то n и 1 - n равновероятны, и среднее всегда равно 1/2. Или мы можем взять p.dp, чтобы выразить вероятность того, что наша оценка относительно любого суждения должна лежать между p и p + dp. Полная вероятность суждения тогда есть интеграл, взятый в пределах от 1 до 0, или снова 1/2.

Трудности теории.

Теория вероятности, хотя и несомненно истинная, требует очень осторожного применения. Это не только отрасль математики, в которой часто совершаются упущения, но и во многих случаях представляет большую трудность убедиться, что формула правильно представляет данные задачи. Эти трудности часто возникают из логической сложности условий, которые могли бы быть, возможно, в некоторой степени прояснены постоянным удержанием в уме системы сочетаний, как она развита в Косвенном логическом методе. В изучении вероятностей математики бессознательно использовали логические процессы, далеко опережающие те, которыми владели логики, и Косвенный метод есть лишь полное изложение этих процессов.

Очень любопытно, как часто самые острые и мощные умы сбивались с пути при вычислении вероятностей. Редко Паскаль ошибался, однако он открыл эту науку ошибочным решением. Лейбниц впал в необычайную ошибку, полагая, что число двенадцать является столь же вероятным результатом при бросании двух костей, как и число одиннадцать. Не в немногих случаях ложное решение, полученное первым, кажется по сей день более правдоподобным, чем правильное, с тех пор доказанное. Яков Бернулли откровенно записывает два ложных решения задачи, которые он поначалу считал самоочевидными; и он добавляет предупреждение против риска ошибки, особенно когда мы пытаемся рассуждать на эту тему без строгого соблюдения методических правил и символов. Монмор не был свободен от подобных ошибок. Д’Аламбер постоянно впадал в ошибки и не мог понять, например, что вероятности будут одинаковыми при бросании монет последовательно, как и при бросании одновременно. Некоторые люди с большой репутацией, такие как Ансийон, Мозес Мендельсон, Гарве, Огюст Конт, Пуансо и Дж. С. Милль, настолько неверно поняли теорию, что поставили под сомнение ее ценность или даже оспорили ее обоснованность. Ошибочные утверждения о теории, приведенные в ранних изданиях «Системы логики» Милля, были частично отозваны в более поздних изданиях.

Многие люди имеют ошибочную склонность верить, что когда случайное событие произошло несколько раз подряд в необычном сочетании, оно менее вероятно произойдет снова. Д’Аламбер всерьез полагал, что если орел выпадал три раза подряд при бросании монеты, то решка с большей вероятностью появится при следующем испытании. Беклен придерживался того же мнения, и все же для этого нет никаких оснований. Если событие действительно случайно, то, что произошло раньше, не может ни в малейшей степени повлиять на него. На самом деле, чем чаще происходит случайное событие, тем вероятнее, что оно произойдет снова; потому что есть некоторое слабое эмпирическое свидетельство тенденции. Источник этого заблуждения следует искать целиком в чувствах удивления, с которыми мы наблюдаем событие, происходящее случайно, таким образом, который кажется исходящим от замысла.

Непонимание может также возникнуть из-за игнорирования разницы между перестановками и сочетаниями. Выбросить десять орлов подряд с помощью монеты не более невероятно, чем выбросить любую другую конкретную последовательность орлов и решек, но это гораздо менее вероятно, чем пять орлов и пять решек без учета их порядка, потому что существует не менее 252 различных конкретных бросков, которые дадут этот результат, когда мы абстрагируемся от различия порядка.

Трудности в применении теории возникают из-за нашего привычного игнорирования слабых вероятностей. Мы вынуждены практически принимать истины как достоверные, которые являются почти таковыми, потому что перестает быть целесообразным вычислять разницу. Никакое наказание не могло бы быть назначено, если бы требовались абсолютно достоверные доказательства вины, и, как замечает Локк: «Тот, кто не сдвинется с места, пока не узнает безошибочно дело, которым занимается, преуспеет, будет иметь мало другого дела, кроме как сидеть сложа руки и погибнуть». Нет ни одного момента в нашей жизни, когда мы не находились бы под слабой угрозой смерти или какой-то ужасной участи. Нет ни одного действия еды, питья, сидения или вставания, которое не оказалось бы фатальным для кого-то. Несколько философов пытались назначить предел вероятностей, которые мы считаем равными нулю; Бюффон назвал 1/10 000, потому что это вероятность, практически игнорируемая, того, что человек 56 лет умрет на следующий день. Паскаль заметил, что человека сочли бы глупцом за колебания принять смерть, когда три кости давали шестерки двадцать раз подряд, если бы его награда в случае иного результата была корона; но так как шанс смерти в вопросе составляет только 1 ÷ 6^60, или единица, деленная на число из 47 знаков, можно сказать, что мы подвергаемся большим рискам каждый день ради меньших мотивов. Существует гораздо больший риск смерти, например, в игре в крикет или при посещении катка.

Нет ничего более необходимого, чем тщательно различать истинность теории и правдивое применение теории к фактическим обстоятельствам. Как общее правило, события в природе и искусстве будут представлять сложность отношений, превышающую наши возможности обработки. Запутанное действие разума часто вмешивается и делает полный анализ безнадежным. Если, например, вероятность того, что стрелок попадет в цель одним выстрелом, равна 1 к 10, нам может показаться, что нетрудно вычислить вероятность любой последовательности попаданий; таким образом, вероятность трех последовательных попаданий была бы один к тысяче. Но в действительности уверенность и опыт, полученные от первого успешного выстрела, сделали бы второй успех более вероятным. События не являются действительно независимыми, и обычно наблюдалось бы гораздо большее преобладание серий кажущейся удачи, чем простое вычисление вероятностей могло бы объяснить. У некоторых людей, однако, замечательная серия успехов вызовет степень возбуждения, делающую продолжение успеха почти невозможным.

Попытки применить теорию вероятности к результатам судебных разбирательств оказались малоценными просто потому, что условия слишком сложны. Как сказал Лаплас: «Tant de passions, d’intérêts divers et de circonstances compliquent les questions relatives à ces objets, qu’elles sont presque toujours insolubles». Люди, действующие в составе присяжных или дающие показания перед судом, подвержены столь многим сложным влияниям, что никакие математические формулы не могут быть составлены для выражения реальных условий. Присяжных или даже судей на скамье нельзя рассматривать как действующих независимо, с определенной вероятностью в пользу вынесения каждым из них правильного суждения. Каждый человек из присяжных более или менее находится под влиянием мнения других, и существуют тонкие эффекты характера, манеры и силы ума, которые не поддаются анализу. Даже в физической науке мы можем в сравнительно немногих случаях применять теорию определенным образом, потому что требуемые данные слишком сложны и трудны для получения. Но такие неудачи никоим образом не умаляют истинности и красоты самой теории; в действительности нет такой отрасли науки, в которой наши символы могли бы справиться со сложностью Природы. Как сказал Донкин:—

«Я не вижу, на каком основании можно сомневаться в том, что каждое определенное состояние убеждения относительно предложенной гипотезы само по себе способно быть представлено числовым выражением, как бы трудно или непрактично ни было установить его фактическое значение. Было бы очень трудно оценить в числах живую силу (vis viva) всех частиц человеческого тела в любой момент; но никто не сомневается, что она способна к числовому выражению».

Трудность, короче говоря, лишь относительна к нашему знанию и навыкам, а не абсолютна или присуща самому предмету. Мы должны различать то, что теоретически мыслимо, и то, что практически осуществимо с нашими нынешними умственными ресурсами. При условии, что наши стремления направлены в правильную сторону, мы не должны позволять им угаснуть от соображения, что они выходят за рамки того, что сейчас может быть обращено к немедленному использованию. Несмотря на огромные трудности применения и клевету, которая ошибочно была возведена на нее, теория вероятностей, повторяю, является благороднейшей, как она со временем докажет, возможно, самой плодотворной отраслью математической науки. Это самый путеводитель жизни, и мы едва ли можем сделать шаг или принять решение любого рода, не делая правильно или неправильно оценку вероятностей. В следующей главе мы переходим к рассмотрению того, как вся убедительность индуктивного рассуждения покоится на вероятностях. Истинность или ложность естественного закона, при тщательном исследовании, сводится к высокой или низкой степени вероятности, и это так, независимо от того, способны ли мы предоставить точные числовые данные.

ГЛАВА XI. ФИЛОСОФИЯ ИНДУКТИВНОГО ВЫВОДА.

Мы исследовали природу совершенной индукции, посредством которой мы переходим назад от определенных наблюдаемых сочетаний событий к логическим условиям, управляющим такими сочетаниями. Мы также исследовали основания той теории вероятности, которая должна быть нашим проводником, когда мы оставляем позади достоверность и разбавляем знание невежеством. Перед нами теперь трудная задача попытаться решить, как с помощью этой теории мы можем подняться от фактов к законам природы; и можем затем с большим или меньшим успехом предвидеть будущий ход событий. Все наше знание о природных объектах должно в конечном итоге быть получено из наблюдения, и возникает трудный вопрос: как мы можем когда-либо знать что-либо, чего мы не наблюдали непосредственно через одно из наших чувств, отверстия разума? Полезность рассуждения состоит в том, чтобы убедить нас в том, что в определенное время и в определенном месте, или при указанных условиях, определенное явление будет наблюдаться. Когда мы можем использовать наши чувства и воспринимать, что явление действительно происходит, рассуждение излишне. Если чувства нельзя использовать, потому что событие в будущем или вне досягаемости, как рассуждение может занять их место? По-видимому, по крайней мере, мы должны выводить неизвестное из известного, и разум должен сам создать дополнение к сумме знаний. Но я утверждаю, что совершенно невозможно сделать какие-либо реальные дополнения к содержанию нашего знания, кроме как через новые впечатления на чувства или на какой-либо орган чувства. Я попытаюсь показать, что вывод, будь то индуктивный или дедуктивный, никогда не является чем-то большим, чем раскрытие содержания нашего опыта, и что он всегда исходит из предположения, что будущее и невоспринятое будут управляться теми же условиями, что и прошлое и воспринятое, предположение, которое часто будет оказываться ошибочным.

В индуктивном, как и в дедуктивном рассуждении, вывод никогда не выходит за пределы посылок. Рассуждение добавляет не больше к неявному содержанию нашего знания, чем расстановка образцов в музее добавляет к количеству этих образцов. Расстановка добавляет к нашему знанию в определенном смысле: она позволяет нам воспринимать сходства и особенности образцов, и на предположении, что музей является адекватным представлением природы, она позволяет нам судить о преобладающих формах природных объектов. Первый афоризм Бэкона остается совершенно верным, что человек не знает ничего, кроме того, что он наблюдал, при условии, что мы включаем все его источники опыта и все неявное содержание его знания. Вывод лишь раскрывает скрытый смысл наших наблюдений, и теория вероятности показывает, как далеко мы выходим за пределы наших данных, предполагая, что новые образцы будут напоминать старые, или что будущее можно рассматривать как протекающее единообразно с прошлым.

Различные классы индуктивных истин.

Желательно, в первую очередь, различать несколько видов истин, которые мы стремимся установить путем индукции. Хотя существует определенный общий и универсальный элемент во всех наших процессах рассуждения, все же разнообразие возникает в их применении. Сходство условий между событиями, из которых мы аргументируем, и теми, к которым мы аргументируем, всегда должно быть основанием вывода; но это сходство может касаться либо времени или места, либо простого логического сочетания событий, либо любого мыслимого соединения обстоятельств, включающего качество, время и место. Встретив много кусков вещества, обладающих пластичностью и ярко-желтым цветом, и обнаружив путем совершенной индукции, что все они обладают высоким удельным весом и свободой от коррозионного действия кислот, мы ожидаем, что каждый кусок вещества, обладающий подобной пластичностью и похожим желтым цветом, будет иметь столь же высокий удельный вес и такую же свободу от коррозии кислотами. Это случай сосуществования качеств; ибо характер исследованных образцов не меняется ни со временем, ни с местом.

Во втором классе случаев время будет входить как главное основание сходства. Когда мы слышим, как маятник часов бьет раз за разом, через равные промежутки и с равномерным звуком, мы уверенно ожидаем, что удар будет продолжать повторяться равномерно. Комета, появившаяся несколько раз через почти равные промежутки, заставляет нас сделать вывод, что она, вероятно, появится снова по истечении другого такого же интервала. Человек, который возвращался домой вечер за вечером в течение многих лет и находил свой дом стоящим, может на тех же основаниях ожидать, что он будет стоять и на следующий вечер, и на многие последующие вечера. Даже непрерывное существование объекта в неизменном состоянии или нахождение снова того, что мы спрятали, — это лишь вопрос вывода, зависящий от опыта.

Еще более обширный и сложный класс случаев включает отношения пространства, в дополнение к отношениям времени и качества. Наблюдая, что каждый треугольник, начерченный на диаметре круга, с вершиной на окружности, по-видимому, содержит прямой угол, мы можем установить, что все треугольники в подобных обстоятельствах будут содержать прямые углы. Это случай чисто пространственного рассуждения, помимо обстоятельств времени или качества, и он, по-видимому, управляется другими принципами рассуждения. Я попытаюсь показать, однако, что геометрическое рассуждение отличается лишь по степени от того, которое применяется к другим естественным отношениям.

Отношение причины и следствия.

В очень большой части научных исследований, которые должны быть рассмотрены, мы имеем дело с событиями, которые следуют из предыдущих событий, или с существованиями, которые следуют за существованиями. Наука, действительно, могла бы возникнуть, даже если бы материальная природа была фиксированным и неизменным целым. Наделите разум способностью перемещаться и сравнивать часть с частью, и он, безусловно, мог бы делать выводы относительно сходства форм, сосуществования качеств или преобладания определенного вида материи в неизменном мире. Твердая вселенная, по крайней мере в приблизительном равновесии, не является немыслимой, и тогда отношение причины и следствия было бы, очевидно, не более чем отношением «до» и «после». Как существует природа, однако, это прогрессивное существование, постоянно движущееся и изменяющееся по мере того, как время, великая независимая переменная, идет вперед. Отсюда возникает, что мы должны постоянно сравнивать то, что происходит сейчас, с тем, что произошло мгновение назад, и мгновение назад до того момента, и так далее, пока мы не достигнем неопределенных периодов прошлого времени. Комета видна движущейся в небе, или ее составные частицы освещают небеса своими хвостами огня. Мы не можем объяснить нынешние движения такого тела, не предполагая его предшествующего существования, с определенным количеством энергии и определенным направлением движения; также мы не можем обоснованно предполагать, что наша задача завершена, когда мы обнаруживаем, что она пришла, блуждая в нашу солнечную систему через неизмеримую обширность окружающего пространства. Каждое событие должно иметь причину, а та причина — снова причину, пока мы не потеряемся в неясности прошлого и не будем вынуждены к вере в одну Первопричину, которой был определен ход природы.

Ошибочное использование термина «причина».

Слова «причина» и «причинность» породили бесконечные трудности и неясности и в немалой степени задержали прогресс науки. Со времен Аристотеля работа философии описывалась как открытие причин вещей, и Фрэнсис Бэкон принял это понятие, когда сказал «vere scire esse per causas scire». Даже сейчас нередко предполагается, что знание причин — это нечто отличное от другого знания и состоит, так сказать, в овладении ключами природы. Одно слово может, таким образом, действовать как заклинание и привести самый ясный интеллект в замешательство, как я часто думал, что Локк был приведен в замешательство, когда пытался найти значение для слова «сила». В «Системе логики» Милля термин «причина» кажется, вновь утвердил свою старую вредоносную силу. Милль не только рассматривает Законы Причинности как почти равнозначные науке, но и использует выражение так, чтобы подразумевать, что, как только мы входим в круг причинности, мы имеем дело с достоверностями.

Философскую опасность, которая прикрепляется к использованию этого слова, можно описать следующим образом. Причина определяется как необходимое или неизменное предшествующее событие, так что когда существует причина, следствие также будет существовать или вскоре последует. Если тогда мы знаем причину события, мы знаем, что произойдет наверняка; и поскольку подразумевается, что наука, посредством надлежащего экспериментального метода, может достичь знания причин, следует, что опыт может дать нам достоверное знание будущих событий. Но нет ничего более бесспорного, чем то, что конечный опыт никогда не может дать нам достоверного знания будущего, так что либо причина не является неизменным предшествующим, либо мы никогда не можем получить достоверное знание причин. Первый рог этой дилеммы вряд ли может быть принят. Несомненно, в природе существует какой-то неизменно действующий механизм, такой, что из определенных фиксированных условий всегда возникает неизменный результат. Но мы, с нашими конечными умами и коротким опытом, никогда не сможем проникнуть в тайну тех существований, которые воплощают Волю Творца и развивают ее во времени. Мы находимся в положении зрителей, которые наблюдают за продукцией сложной машины, но которым не позволено исследовать ее интимную структуру. Мы узнаем, что действительно происходит и что действительно появляется, но если мы спросим о причине, ответ будет включать бесконечную глубину тайны. Самый простой кусочек материи или самый тривиальный инцидент, такой как удар двух бильярдных шаров, предлагает бесконечно больше для изучения, чем когда-либо может постичь человеческий интеллект. Слово «причина» покрывает столько же невысказанного смысла, сколько любое из слов «субстанция», «материя», «мысль», «существование».

Смешение двух вопросов.

Предмет сильно осложнен также смешением двух различных вопросов. Событие произошло, мы можем спросить—

(1) Is there any cause for the event?
(2) Of what kind is that cause?

Никто не стал бы утверждать, что разум обладает какой-либо способностью, способной вывести до опыта, что возникновение внезапного шума с пламенем и дымом указывает на горение черного порошка, образованного смесью черного, белого и желтого порошков. Величайший сторонник априорных доктрин допустит, что конкретный вид, форма, размер, цвет, текстура и другие качества причины должны быть собраны через чувства.

Вопрос о том, существует ли вообще какая-либо причина для события, совершенно иного рода. Если бы взрыв мог произойти без каких-либо ранее существующих условий, это должно было бы быть новым творением — отчетливым дополнением к вселенной. Можно правдоподобно утверждать, что мы не можем вообразить ни сотворения, ни уничтожения чего-либо. Что касается материи, это давно считается истинным; что касается силы, теперь почти повсеместно принимается как аксиома, что энергия не может ни возникнуть, ни исчезнуть без отчетливых актов Творческой Воли. Что существует какое-либо инстинктивное убеждение на этот счет, действительно, кажется сомнительным. Мы находим Лукреция, философа величайшей интеллектуальной силы и культуры, серьезно предполагающего, что его падающие атомы могут отклоняться от своих прямых путей самоопределяющимся образом и этим спонтанным возникновением энергии определять форму вселенной. Сэр Джордж Эйри, тоже, серьезно обсуждал математические условия, при которых вечное движение, то есть вечный источник самосозданной энергии, могло бы существовать. Большая часть философского мира давно придерживается мнения, что в ментальных актах есть свободная воля — короче говоря, самопричинность. Тщетно пытаться примирить эту доктрину с доктриной интуитивной веры в причинность, как сэр У. Гамильтон откровенно допускал.

Очевидно, более того, что утверждать существование причины для каждого события не может сделать больше, чем перенести в неопределенное прошлое немыслимый факт и тайну творения. В любой данный момент материя и энергия были равны тому, что они есть в настоящее время, или они не были; если равны, мы можем сделать тот же запрос относительно любого другого момента, как бы давно ни было, и мы, таким образом, вынуждены принять один рог дилеммы — существование из бесконечности или творение в какой-то момент. Это лишь один из многих случаев, в которых мы вынуждены верить в ту или иную из двух альтернатив, обе немыслимые. Моя нынешняя цель, однако, состоит в том, чтобы указать, что мы не должны путать этот чрезвычайно трудный вопрос с тем, в который индуктивная наука исследует на фундаменте фактов. Путем индукции мы не получаем достоверного знания; но путем наблюдения и обратного использования дедуктивного рассуждения мы оцениваем вероятность того, что событие, которое произошло, было предварено условиями указанного характера, или что такие условия будут сопровождаться событием.

Определение термина «причина».

Четкие определения слова «причина» были даны несколькими философами. Гоббс сказал: «Причина — это сумма или совокупность всех таких акциденций, как в агентах, так и в пациентах, которые сходятся в производстве предложенного эффекта; все они существуют вместе, и нельзя понять, что эффект существует с ними; или что он может существовать, если какой-либо из них отсутствует». Браун, в своем «Эссе о причинности», дал почти соответствующее утверждение. «Причина», говорит он, «может быть определена как объект или событие, которое непосредственно предшествует любому изменению, и которое, существуя снова в подобных обстоятельствах, будет всегда непосредственно сопровождаться подобным изменением». О родственном слове «сила» он также говорит: «Сила — это не что иное, как та неизменность предшествования, которая подразумевается в вере в причинность».

Эти определения могут быть приняты с оговоркой, что наше знание причин в таком смысле может быть только вероятным. Работа науки состоит в установлении сочетаний, в которых явления представляют себя. Относительно каждого события мы должны будем определить его вероятные условия, или группу предшествующих, из которых оно, вероятно, следует. Предшествующее — это все, что существует до события; последующее — это все, что существует после предшествующего. Обычно не случится так, что существует какая-либо вероятная связь между предшествующим и последующим. Таким образом, азот является предшествующим для зажигания обычного огня; но он настолько далек от того, чтобы быть причиной зажигания, что делает горение менее активным. Дневной свет является предшествующим для всех огней, зажженных в течение дня, но он, вероятно, не оказывает заметного влияния на их горение. Но в случае любого данного события обычно можно обнаружить определенное количество предшествующих, которые, по-видимому, всегда присутствуют, и с большей или меньшей вероятностью мы заключаем, что когда они существуют, событие последует.

Пусть будет замечено, что в настоящее время пользуются величайшей свободой в использовании термина «причина». Не только причина может быть существующей вещью, наделенной силами, как кислород является причиной горения, порох — причиной взрыва, но само отсутствие или удаление вещи также может быть причиной. Вполне правильно говорить о сухости египетской атмосферы, или отсутствии влаги, как о причине сохранения мумий и других остатков древности. Причина возвышенности горы, Инглборо, например, — это выемка окружающих долин путем денудации. Не так обычно говорить о существовании вещи в один момент как о причине ее существования в следующий, но мне это кажется самым обычным случаем причинности, который может произойти. Причиной движения бильярдного шара может быть удар другого шара; и недавняя философия заставляет нас смотреть на все движения и изменения как на не что иное, как на проявления ранее существующей энергии. По всей вероятности, нет сотворения энергии и нет разрушения, так что как в отношении механических, так и молекулярных изменений, причина — это действительно проявление существующей энергии. Таким же образом я не вижу, почему предшествующее существование материи не является также причиной в отношении ее последующего существования. Вся наука стремится показать нам, что существование вселенной в конкретном состоянии в один момент является условием ее существования в следующий момент, в по-видимому другом состоянии. Когда мы анализируем значение, которое мы можем приписать слову «причина», оно сводится к существованию подходящих частей материи, наделенных подходящими количествами энергии. Если мы можем принять утверждение Хорна Тука, «причина» этимологически имеет значение «вещь до». Хотя, действительно, происхождение слова очень неясно, его производные, итальянское «cosa» и французское «chose», означают просто «вещь». В немецком эквиваленте «ursache» мы имеем ясно первоначальное значение «вещь до», «sache» обозначает «интересный или важный объект», английское «sake», а «ur» является эквивалентом английского «ere», «до». Мы отказываемся, таким образом, и от этимологии, и от философии, когда приписываем «законам причинности» любое значение, выходящее за рамки «условий», при которых событие можно ожидать, согласно нашему наблюдению за предыдущим ходом природы.

Я не возражаю против использования слов «причина» и «причинность», при условии, что им никогда не позволят привести нас к воображению, что наше знание природы может достичь достоверности. Повторяю, что если причина — это неизменное и необходимое условие события, мы никогда не можем знать достоверно, существует причина или нет. Для нас, тогда, причина не должна отличаться от группы положительных или отрицательных условий, которые с большей или меньшей вероятностью предшествуют событию. В этом смысле нет никакой особой разницы между знанием причин и нашим общим знанием последовательности сочетаний, в которых явления природы представлены нам или обнаружены в экспериментальном исследовании.

Различие индуктивных и дедуктивных результатов.

Мы должны тщательно избегать смешения индуктивных исследований, которые заканчиваются установлением общих законов, и тех, которые, по-видимому, ведут непосредственно к знанию будущих частных событий. Только тот процесс можно назвать индукцией, который дает общие законы, и именно посредством последующего использования дедукции мы предвидим частные события. Если наблюдение ряда случаев показывает, что сплавы металлов плавятся при более низких температурах, чем их составляющие металлы, я могу с большей или меньшей вероятностью сделать общий вывод на этот счет и могу оттуда дедуктивно установить вероятность того, что следующий исследованный сплав будет плавиться при более низкой температуре, чем его составляющие. Было утверждено, действительно, Миллем и частично признано г-ном Фаулером, что мы можем аргументировать непосредственно от случая к случаю, так что то, что верно для некоторых сплавов, будет верно для следующего. Профессор Бэйн принял тот же взгляд на рассуждение. Он думает, что Милль вывел нас из тупика силлогизма и совершил полную революцию в логике. Он считает, что рассуждение от частного к частному — это не только обычный, самый очевидный и самый готовый метод, но и тип рассуждения, который лучше всего раскрывает реальный процесс. Несомненно, это обычный результат нашего рассуждения, если принимать во внимание степени вероятности; но эти логики совершенно не дают никакого объяснения процесса, с помощью которого мы переходим от случая к случаю.

Можно допустить, что знание будущих частных событий является главной целью наших исследований, и если бы существовал какой-либо процесс мышления, с помощью которого мы могли бы переходить непосредственно от события к событию, не поднимаясь к общим истинам, этот метод был бы достаточным и, безусловно, самым кратким. Верно также, что законы ментальной ассоциации заставляют разум всегда ожидать подобного снова в по-видимому подобных обстоятельствах, и даже животные с очень низким интеллектом должны иметь некоторый след таких способностей ассоциации, служащий для того, чтобы направлять их более или менее правильно, в отсутствие истинных способностей рассуждения. Но цель логики, согласно Миллю, состоит в том, чтобы установить, были ли выводы сделаны правильно, а не открывать их. Даже если мы можем, тогда, по привычке, ассоциации или любому грубому процессу вывода, выводить будущее непосредственно из прошлого, работа логики — анализировать условия, от которых зависит правильность этого вывода. Даже Милль признал бы, что такой анализ включает рассмотрение общих истин, и в этом, как и в нескольких других важных пунктах, мы могли бы опровергнуть собственные взгляды Милля его собственными утверждениями. Мне кажется нежелательным в систематической работе, подобной этой, вступать в полемику сколько-нибудь долго или пытаться опровергнуть взгляды других логиков. Но я буду чувствовать себя обязанным заявить в отдельной публикации свое очень взвешенное мнение, что многие инновации Милля в логической науке, и особенно его доктрина рассуждения от частного к частному, совершенно безосновательны и ложны.

Основания индуктивного вывода.

Я придерживаюсь мнения, что во всех случаях индуктивного вывода мы должны изобретать гипотезы, пока не натолкнемся на какую-либо гипотезу, которая дает дедуктивные результаты в соответствии с опытом. Такое соответствие делает выбранную гипотезу более или менее вероятной, и мы можем тогда вывести, с некоторой степенью вероятности, характер нашего будущего опыта, на предположении, что не происходит никакого произвольного изменения в условиях природы. Мы можем аргументировать только от прошлого к будущему, на общем принципе, изложенном в этой работе, что то, что верно для вещи, будет верно для подобного. Настолько, насколько один объект или событие отличается от другого, всякий вывод невозможен, частное как частное не может сделать вывод больше, чем песчинки могут сделать веревку. Мы должны всегда подниматься к чему-то, что является общим или тем же самым в случаях, и, предполагая, что это тождество распространяется на новые случаи, мы узнаем их природу. Слыша, как часы тикают пять тысяч раз без исключения или вариации, мы принимаем очень вероятную гипотезу, что существует какая-то неизменно действующая машина, которая производит эти равномерные звуки и которая будет, при отсутствии изменений, продолжать производить их. Встречая двадцать раз ярко-желтое пластичное вещество и обнаруживая, что оно всегда очень тяжелое и некорродирующее, я делаю вывод, что было какое-то естественное условие, которое стремилось при создании вещей объединить эти свойства вместе, и я ожидаю найти их объединенными в следующем случае. Но всегда есть возможность, что какое-то неизвестное изменение может произойти между прошлыми и будущими случаями. Часы могут остановиться или подвергнуться сотне случайностей, изменяющих их состояние. Нет никакой причины в природе вещей, насколько нам известно, почему желтый цвет, пластичность, высокий удельный вес и некорродируемость должны всегда быть объединены вместе, и в других случаях, если не в этом, ожидания людей были обмануты. Наши выводы, поэтому, всегда сохраняют более или менее гипотетический характер и настолько открыты для сомнения. Только в той пропорции, в какой наша индукция приближается к характеру совершенной индукции, она приближается к достоверности. Количество неопределенности соответствует вероятности того, что могут существовать другие объекты, кроме исследованных, и фальсифицировать наши выводы; количество вероятности соответствует количеству информации, полученной нашим исследованием; и теория вероятности будет нужна, чтобы предотвратить нас от переоценки или недооценки знания, которым мы обладаем.

Иллюстрации индуктивного процесса.

Чтобы проиллюстрировать переход от известного к по-видимому неизвестному, давайте предположим, что явления, находящиеся под исследованием, состоят из чисел, и что следующие шесть чисел, будучи представленными нам, мы должны вывести характер следующего в ряду:—

5, 15, 35, 45, 65, 95.

Прежде всего возникает вопрос: как мы можем описать этот ряд чисел? Что является для них единообразно верным? Читатель не может не заметить с первого взгляда, что все они оканчиваются на пять, и задача состоит в том, чтобы на основе свойств этих шести чисел сделать вывод о свойствах следующего числа, оканчивающегося на пять. Если мы проверим их свойства с помощью процесса полной индукции, то вскоре обнаружим, что у них есть еще одно общее свойство, а именно делимость на пять без остатка. Можем ли мы тогда утверждать, что следующее число, оканчивающееся на пять, также делится на пять, и если да, то на каком основании? Или, расширяя вопрос: делится ли любое число, оканчивающееся на пять, на пять? Следует ли из того, что шесть чисел подчиняются предполагаемому закону, что 376 685 975 или любое другое число, каким бы большим оно ни было, также подчиняется этому закону? Я отвечаю: безусловно, нет. Рассматриваемый закон, несомненно, верен, но его истинность не доказывается никаким конечным числом примеров. Все, что могут сделать эти шесть чисел, — это навести меня на мысль о возможном существовании такого закона; затем я устанавливаю его истинность, дедуктивно доказывая на основе правил десятичной нумерации, что любое число, оканчивающееся на пять, должно состоять из кратных пяти и, следовательно, само должно быть кратным.

Чтобы сделать это более понятным, пусть читатель теперь рассмотрит числа —

7, 17, 37, 47, 67, 97.

Все они оканчиваются на 7, а не на 5, и хотя интервалы между ними не равны, они такие же, как в предыдущем случае. После размышления читатель поймет, что все эти числа объединяет то, что они являются простыми числами, или числами, кратными только единице. Можем ли мы тогда сделать вывод, что следующее или любое другое число, оканчивающееся на 7, является простым? Очевидно, нет, ибо при проверке мы обнаруживаем, что 27, 57, 117 не являются простыми. Таким образом, шесть примеров, рассмотренных эмпирически, в одном случае приводят нас к истинному и универсальному закону, а в другом — вводят в заблуждение. На самом деле мы не должны доверять никакому закону, пока не подвергнем его дедуктивной проверке и не покажем, что из предполагаемых условий должны следовать ожидаемые результаты. Никто не может показать на основе принципов теории чисел, что числа, оканчивающиеся на 7, должны быть простыми.

Из истории теории чисел можно привести несколько хороших примеров ложной индукции. Возьмем следующую последовательность простых чисел:

41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, &c.,

можно обнаружить, что все они являются значениями общего выражения x^2 + x + 41, если последовательно подставлять вместо x значения 0, 1, 2, 3, 4 и т. д. Нам кажется, что мы всегда получаем простое число, и индукция, по-видимому, сильна в том смысле, что это выражение всегда будет давать простые числа. Однако несколько дополнительных попыток опровергают этот ложный вывод. Подставим x = 40, и мы получим 40 × 40 + 40 + 41, или 41 × 41. Такая неудача никогда бы не произошла, если бы мы привели дедуктивное обоснование того, почему x^2 + x + 41 должно давать простые числа.

Нет никаких сомнений в том, что то, что здесь происходит с сорока примерами, может произойти с сорока тысячами или сорока миллионами примеров. Очевидный закон, ни разу не нарушившийся до определенного момента, может затем внезапно рухнуть, так что индуктивное рассуждение, как его описывали некоторые авторы, не может дать верного знания о том, что произойдет в будущем. Бэббидж в своем «Девятом Бриджуотерском трактате» указал, что можно сконструировать машину, которая будет выдавать совершенно правильный ряд чисел на протяжении огромного количества шагов, и все же внезапно нарушит закон прогрессии в любой требуемой точке. Никакое количество частных случаев как таковых не позволяет нам путем вывода перейти к любому новому случаю. Вряд ли стоит здесь спрашивать, что можно вывести из бесконечного ряда фактов, поскольку они практически никогда не находятся в нашей власти; но мы можем без колебаний принять вывод, что никакое конечное число примеров никогда не сможет доказать общий закон или дать нам достоверное знание даже об одном другом случае.

Общие математические теоремы действительно были открыты путем наблюдения частных случаев и могут быть открыты таким образом снова. У нас есть собственное утверждение Ньютона о том, что именно так он пришел к важнейшей биномиальной теореме, лежащей в основе всей структуры математического анализа. Говоря об определенном ряде членов, выражающих площадь круга или гиперболы, он пишет: «Я размышлял о том, что знаменатели находятся в арифметической прогрессии; так что оставалось исследовать только числовые коэффициенты числителей. Но в чередующихся площадях это были цифры степеней числа одиннадцать, а именно 11^0, 11^1, 11^2, 11^3, 11^4; то есть в первой 1; во второй 1, 1; в третьей 1, 2, 1; в четвертой 1, 3, 3, 1; в пятой 1, 4, 6, 4, 1. Я исследовал, следовательно, каким образом все остальные цифры могут быть найдены из первых двух; и я обнаружил, что если первую цифру назвать m, то все остальные могут быть найдены путем постоянного умножения членов формулы

m - 0/1 × m - 1/2 × m - 2/3 × m - 3/4 × &c.”‍139

Из этого весьма интересного утверждения довольно очевидно, что Ньютон, просто наблюдая последовательность чисел, пробовал различные формулы, пока не нашел ту, которая соответствовала им всем. Однако он был настолько мало удовлетворен этим процессом, что проверял частные результаты своей новой теоремы путем сравнения с результатами обычного умножения и правилом извлечения квадратного корня. Ньютон, по сути, не дал доказательства своей теоремы; и величайшие математики прошлого века — Якоб Бернулли, Маклорен, Ланден, Эйлер, Лагранж и др. — занимались поиском убедительного метода дедуктивного доказательства.

Нет сомнений в том, что и в геометрии открытия были подсказаны прямым наблюдением. Многие из ныне тривиальных предложений «Начал» Евклида, вероятно, были открыты таким образом древнегреческими геометрами; и у нас есть довольно ясные доказательства этого в комментариях Прокла. Галилей первым исследовал замечательные свойства циклоиды — кривой, описываемой точкой на окружности колеса, катящегося по плоскости. Путем прямого наблюдения он установил, что площадь этой кривой, по-видимому, в три раза больше площади порождающего круга или колеса, но он не смог доказать это точно или подтвердить строгим геометрическим рассуждением. Сэр Джордж Эйри описал любопытный случай, когда он случайно, путем проб, наткнулся на новое геометрическое свойство сферы. Но открытие в таких случаях означает не что иное, как подсказку, и именно чистая дедукция всегда по-настоящему устанавливает общий закон. Как выразился Прокл, мы должны «перейти от чувственного восприятия к умозрению».

Если, например, взять ряд фигур на прилагаемой диаграмме, измерение покажет, что кривые линии приближаются к полуокружностям, а прямолинейные фигуры — к прямоугольным треугольникам. Эти фигуры могут, казалось бы, подсказать уму общий закон о том, что углы, вписанные в полуокружности, являются прямыми; но никакое количество примеров и никакая точность измерений не смогли бы по-настоящему установить истинность этого общего закона. Воспользовавшись подсказкой, предоставленной фигурами, мы можем лишь дедуктивно исследовать следствия, вытекающие из определения круга, пока не обнаружим среди них свойство содержать прямые углы. Некоторые люди думали, что открыли метод трисекции угла с помощью плоских геометрических построений, потому что определенное сложное расположение линий и кругов, по-видимому, делило угол на три части в каждом опробованном ими случае, и они делали вывод, посредством предполагаемого акта индукции, что это будет удаваться во всех остальных случаях. Де Морган зафиксировал предложенный способ трисекции угла, который нельзя было отличить чувствами от истинного общего решения, за исключением случаев, когда он применялся к очень тупым углам. Во всех таких случаях всегда оказывалось либо то, что угол вообще не делился на три части, либо то, что таким образом можно было разделить на три части только некоторые частные углы. Трисекторы были введены в заблуждение каким-то кажущимся или особым совпадением, и только дедуктивное доказательство могло установить истинность и общность результата. В данном конкретном случае дедуктивное доказательство показывает, что поставленная задача невыполнима и что углы в общем случае не могут быть разделены на три части обычными геометрическими методами.

Геометрическое рассуждение.

Этот взгляд на предмет решительно подтверждается дальнейшим рассмотрением геометрических рассуждений. Никакое мастерство и тщательность никогда не позволили бы нам абсолютно проверить какое-либо одно геометрическое предложение. Руссо в своем «Эмиле» говорит нам, что мы должны обучать ребенка геометрии, заставляя его измерять и сравнивать фигуры путем наложения. Пока ребенок еще не способен к общим рассуждениям, это, несомненно, было бы поучительным упражнением; но это никогда не могло бы научить геометрии или доказать истинность какого-либо одного предложения. Все наши фигуры — это грубые приближения, и они могут казаться неравными, когда должны быть равными, и равными, когда должны быть неравными. Более того, фигуры могут случайно оказаться равными в одном случае за другим, и все же может не быть никакой общей причины, почему они должны быть таковыми. Результаты дедуктивного геометрического рассуждения абсолютно достоверны и либо точно истинны, либо могут быть доведены до любой требуемой степени приближения. В идеальном треугольнике углы должны быть в точности равны половине оборота; даже бесконечно малое расхождение было бы невозможно; и я с такой же уверенностью верю, что сколько бы углов ни было у фигуры, при условии, что нет входящих углов, сумма углов будет в точности и абсолютно равна удвоенному количеству прямых углов, соответствующему числу сторон фигуры, минус четыре прямых угла. В таких случаях дедуктивное доказательство абсолютно и полно; эмпирическая проверка может в лучшем случае предостеречь от случайных недосмотров.

Существует второй класс геометрических истин, которые могут быть доказаны только путем приближения; но, поскольку разум не видит причин, по которым это приближение не могло бы продолжаться всегда, мы приходим к полному убеждению. Таким образом, мы узнаем, что поверхность сферы в точности равна двум третям всей поверхности описанного цилиндра, или четырем площадям порождающего круга. Площадь параболы в точности равна двум третям площади описанного параллелограмма. Площадь циклоиды в точности в три раза больше площади порождающего круга. Это истины, которые мы никогда не смогли бы установить или даже проверить путем наблюдения; ибо любая конечная величина разности, меньшая той, которую могут различить чувства, фальсифицировала бы их.

Существуют, опять же, геометрические отношения, которые мы не можем определить точно, но можем довести до любой желаемой степени приближения. Отношение длины окружности к ее диаметру составляет 3,14159265358979323846... к 1, и приближение может быть доведено до любой степени путем затраты достаточного труда. Г-н У. Шенкс привел значение этой природной константы, известной как π, до 707 знаков после запятой. Несколько лет назад я развлекался тем, что пытался узнать, насколько близко я могу подойти к этому отношению с помощью тщательного использования циркуля, и я не приблизился ближе, чем 1 часть к 540. Мы могли бы представить себе измерения, выполненные настолько точно, что дали бы нам восемь или десять правильных знаков. Но возможности рук и чувств вскоре должны закончиться, тогда как умственные способности дедуктивного рассуждения могут продолжаться до неограниченной степени приближения. Геометрические истины, следовательно, не поддаются проверке; и если так, то их нельзя даже изучить путем наблюдения. Как я мог изучить путем наблюдения предложение, истинность которого я не могу доказать даже путем наблюдения, когда я уже владею им? Все, что может сделать наблюдение или эмпирическая проба, — это подсказать предложения, истинность которых впоследствии может быть доказана дедуктивно.

Если верить истории Вивиани, Галилей пытался убедиться в площади циклоиды, вырезая несколько больших циклоид из картона, а затем сравнивая площади кривой и порождающего круга путем их взвешивания. В каждой попытке кривая казалась немного меньше, чем три круга, так что Галилей, как нам говорят, начал подозревать, что отношение не было в точности 3 к 1. Однако совершенно ясно, что никакой процесс взвешивания или измерения никогда не смог бы доказать подобные истины, и Торричелли оставалось только показать то, о чем его учитель Галилей только догадывался.

Многое было сказано об особой достоверности математических рассуждений, но это лишь достоверность дедуктивного рассуждения, и такая же достоверность присуща всем правильным логическим дедукциям. Если треугольник прямоугольный, то квадрат на гипотенузе, несомненно, будет равен сумме двух квадратов на других сторонах; но я никогда не могу быть уверен, что треугольник прямоугольный: так же я могу быть уверен, что азотная кислота не растворяет золото, при условии, что я знаю, что используемые вещества действительно соответствуют тем, на которых я проводил эксперимент ранее. Здесь такая же достоверность вывода и такое же сомнение относительно фактов.

Различение достоверности и вероятности.

Мы никогда не сможем слишком часто возвращаться к истине о том, что наше знание о законах и будущих событиях внешнего мира является лишь вероятным. Сам разум вполне способен обладать достоверным знанием, и хорошо тщательно различать то, что мы можем и чего не можем знать с уверенностью. Во-первых, любое чувство, которое действительно присутствует в уме, достоверно известно этому уму. Если я вижу голубое небо, я могу быть вполне уверен, что действительно испытываю ощущение голубизны. Все, что я чувствую, я чувствую вне всякого сомнения. Мы, действительно, очень склонны путать то, что мы реально чувствуем, с тем, что мы склонны ассоциировать с этим или индуктивно выводить из этого; но все наше сознание, поскольку оно является результатом чистой интуиции и свободно от выводов, есть достоверное знание вне всякого сомнения.

Во-вторых, мы можем иметь достоверность вывода; фундаментальные законы мышления и правило подстановки (стр. 9) безусловно истинны; и если бы мои чувства могли сообщить мне, что A неотличимо по цвету от B, а B от C, то я был бы столь же уверен, что A неотличимо от C. Короче говоря, какую бы истину ни содержали посылки, я могу, безусловно, воплотить ее в их правильном логическом результате. Но эта достоверность обычно носит гипотетический характер. Я никогда не могу быть вполне уверен, что два цвета в точности одинаковы, что две величины в точности равны или что любые два тела идентичны даже в своих видимых качествах. Почти все наши суждения включают количественные отношения, и, как будет показано в следующих главах, мы никогда не сможем достичь точности и достоверности там, где входит непрерывная величина. Суждения, касающиеся прерывной величины или чисел, однако, допускают достоверность; я могу установить вне всякого сомнения, например, что разность квадратов 17 и 13 есть произведение 17 + 13 и 17 - 13, и, следовательно, равна 30 × 4, или 120.

Выводы, которые мы делаем относительно природных объектов, никогда не являются достоверными, за исключением гипотетической точки зрения. Может показаться достоверным, что железо магнитно или что золото нерастворимо в азотной кислоте; но если мы тщательно исследуем значения этих утверждений, окажется, что они не содержат никакой достоверности, кроме достоверности сознания и достоверности гипотетического вывода. Ибо что я подразумеваю под железом или золотом? Если я выберу замечательный кусок желтого вещества, назову его золотом, а затем погружу его в жидкость, которую я называю азотной кислотой, и обнаружу, что не происходит изменения, называемого растворением, тогда сознание, безусловно, сообщило мне, что, согласно моему значению терминов, «золото нерастворимо в азотной кислоте». Я могу далее быть уверен в чем-то еще; ибо если это золото и азотная кислота останутся тем, чем они были, я могу быть уверен, что при повторении эксперимента растворения не будет. Если я возьму другие порции золота и азотной кислоты и буду уверен, что они действительно идентичны по свойствам с прежними порциями, я могу быть уверен, что растворения не будет. Но в этот момент мое знание становится чисто гипотетическим; ибо как я могу быть уверен без пробы, что золото и кислота действительно идентичны по природе с тем, что я ранее называл золотом и азотной кислотой? Как я узнаю золото, когда вижу его? Если я сужу по видимым качествам — цвету, ковкости, удельному весу и т. д., — я могу быть введен в заблуждение, потому что всегда может существовать вещество, которое к цвету, ковкости, удельному весу и другим указанным качествам добавляет другие, которых мы не ожидаем. Аналогично, если железо магнитно, как показал эксперимент с объектами, отвечающими этим названиям, то все железо магнитно, подразумевая все куски материи, идентичные моему предполагаемому куску. Но пытаясь идентифицировать железо, я всегда открыт для ошибки. И эта подверженность ошибке — не только предмет спекуляций.

История химии показывает, что самые уверенные выводы могли быть фальсифицированы из-за путаницы одного вещества с другим. Так, стронция никогда не отличалась от барита, пока Клапрот и Гаюи не обнаружили различия между некоторыми их свойствами. Соответственно, химики часто должны были делать выводы относительно стронции, которые были верны только для барита, и наоборот. Сейчас нет сомнений в том, что недавно открытые вещества, цезий и рубидий, долгое время принимались за калий. Другие элементы часто путали друг с другом — например, тантал и ниобий; серу и селен; церий, лантан и дидим; иттрий и эрбий.

Даже самые известные законы физической науки не исключают ложных выводов. Ни один закон природы не был установлен лучше, чем закон всемирного тяготения, и мы с величайшей уверенностью верим, что любое тело, способное воздействовать на чувства, будет притягивать другие тела и падать на землю, если ему не помешать. Эйлер замечает, что, хотя он никогда не испытывал камни, из которых сложена церковь в Магдебурге, у него не было ни малейшего сомнения в том, что все они тяжелые и упадут, если их не поддерживать. Но он добавляет, что было бы чрезвычайно трудно дать какое-либо удовлетворительное объяснение этой уверенной вере. Факт в том, что вера не должна достигать достоверности, пока эксперимент не был проведен, а тем временем возникает небольшая доля неопределенности, потому что мы не можем быть уверены, что камни Магдебургской церкви похожи на другие камни во всех своих свойствах.

Точно так же ни одна из индуктивных истин, которые люди установили или думают, что установили, на самом деле не застрахована от исключений или опровержений. Лавуазье, закладывая основы химии, встретил так много примеров, указывающих на существование кислорода во всех кислотах, что принял общее заключение на этот счет и соответственно придумал название «кислород» (oxygen). Он не питал заметных сомнений в том, что кислота, существующая в морской соли, также содержит кислород; однако последующий опыт фальсифицировал его ожидания. Этот пример относится к науке в ее младенчестве, если говорить относительно возможных достижений людей. Но все науки находятся и всегда будут оставаться в младенчестве относительно масштабов и сложности вселенной, которую они берутся исследовать. Эйлер выражает не более чем истину, когда говорит, что было бы невозможно указать на какую-либо одну действительно существующую вещь, о которой мы могли бы иметь столь совершенное знание, чтобы быть вне досягаемости ошибки. Мы можем быть вполне уверены, что комета будет продолжать двигаться по аналогичной траектории, если все обстоятельства останутся такими же, как прежде; но если мы опустим эту обширную оговорку, наши предсказания всегда будут подвержены риску фальсификации каким-либо неожиданным событием, таким как разделение кометы Биэлы или влияние неизвестного гравитирующего тела.

Индуктивный вывод мог бы достичь достоверности, если бы наше знание об агентах, существующих во всей вселенной, было полным, и если бы мы в то же время были уверены, что та же Сила, которая создала вселенную, позволит ей продолжаться без произвольных изменений. Всегда существует возможность существования причин без нашего ведома, и они могут в любой момент произвести неожиданный эффект. Даже когда с помощью теории вероятностей нам удается сформировать некоторое представление о сравнительной уверенности, с которой мы должны принимать индуктивные результаты, мне все же кажется, что мы должны сделать допущение. События выходят, как шары из огромной избирательной урны природы, и тщательное наблюдение позволит нам сформировать некоторое представление, как мы увидим в следующей главе, о содержимом этой урны. Но мы все равно должны предположить, что между моментом наблюдения и тем моментом, к которому относятся наши выводы, в урне не произошло никаких изменений.

ГЛАВА XII. ИНДУКТИВНОЕ ИЛИ ОБРАТНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ.

Мы до сих пор рассматривали теорию вероятности только в ее простом дедуктивном применении, в котором она позволяет нам определять из заданных условий вероятный характер событий, происходящих при этих условиях. Но поскольку дедуктивное рассуждение при обратном применении составляет процесс индукции, так и расчет вероятностей может быть применен обратно; из известного характера определенных событий мы можем рассуждать назад к вероятности определенного закона или условия, управляющего этими событиями. Успешно выполнив эту работу, мы можем, действительно, рассчитывать вперед вероятный характер будущих событий, происходящих при тех же условиях; но эта часть процесса является прямым использованием дедуктивного рассуждения (стр. 226).

Теперь весьма поучительно обнаружить, что независимо от того, применяется ли теория вероятности дедуктивно или индуктивно, расчет всегда выполняется в соответствии с принципами и правилами дедукции. Вероятность того, что событие имеет определенное условие, полностью зависит от вероятности того, что если бы условие существовало, событие последовало бы. Если мы возьмем колоду обычных игральных карт и заметим, что они расположены в идеальном числовом порядке, мы сделаем вывод вне всякого разумного сомнения, что они были намеренно расположены таким образом каким-то лицом, знакомым с обычным порядком последовательности. Этот вывод совершенно неотразим, и справедливо так; ибо существуют только два предположения, которые мы можем сделать относительно причины того, что карты находятся в этом конкретном порядке: —

1. Они могли быть намеренно расположены кем-то, кто, вероятно, предпочел бы числовой порядок.

2. Они могли попасть в этот порядок случайно, то есть в результате некоторой серии условий, которые, будучи неизвестными нам, не могут быть известны как ведущие с предпочтением к рассматриваемому конкретному порядку.

Последнее предположение отнюдь не абсурдно, ибо любой порядок так же вероятен, как и любой другой, когда нет преобладающей тенденции. Но мы можем легко рассчитать с помощью теории перестановок вероятность того, что пятьдесят два объекта случайно попадут в какой-либо один конкретный порядок. Пятьдесят два объекта могут быть расположены в 52 × 51 × ... × 3 × 2 × 1, или примерно 8066 × (10)^64 возможных порядков, число которых требует 68 знаков для своего полного выражения. Следовательно, чрезвычайно маловероятно, чтобы кто-либо когда-либо встретил колоду карт, случайно расположенную в идеальном порядке. Если мы встречаем такую колоду, мы неизбежно принимаем другое предположение: что какой-то человек, имея причины предпочесть этот особый порядок, сложил их таким образом.

Мы знаем, что из огромного числа возможных порядков числовой порядок является наиболее примечательным; он полезен как доказательство идеального состава колоды и является намеренным результатом определенных игр. Во всяком случае, вероятность того, что намерение должно произвести этот порядок, несравненно больше, чем вероятность того, что случайность должна произвести его; и поскольку существует определенная колода в этом порядке, мы справедливо предпочитаем предположение, которое наиболее вероятно ведет к наблюдаемому результату.

Подобным способом рассуждения мы каждый день приходим, и обоснованно приходим, к выводам, приближающимся к достоверности. Всякий раз, когда мы наблюдаем идеальное сходство между двумя объектами, как, например, две печатные страницы, две гравюры, две монеты, два отпечатка ног, мы вправе утверждать, что они происходят от одного типа, одной пластины, одной пары штампов или одного ботинка. И почему? Потому что почти невозможно, чтобы при разных типах, пластинах, штампах или ботинках не было произведено какого-то видимого различия в форме. Руке самого искусного художника невозможно сделать два объекта одинаковыми, так что механическое повторение является единственным вероятным объяснением точного сходства.

Мы часто можем с чрезвычайной вероятностью установить, что один документ скопирован с другого. Предположим, что каждый документ содержит 10 000 слов и что одно и то же слово написано с ошибкой в каждом из них. Тогда существует вероятность менее 1 на 10 000, что одна и та же ошибка будет сделана в каждом. Если мы встречаем вторую ошибку, возникающую в каждом документе, вероятность того, что два таких совпадения произойдут случайно, составляет менее 1 на 10 000 × 9999, и числа растут с чрезвычайной быстротой для более многочисленных совпадений. Мы не можем сделать никаких точных расчетов, не принимая во внимание характер совершенных ошибок, относительно условий которых у нас нет точных средств оценки вероятностей. Тем не менее, таким образом можно получить обильные доказательства происхождения документов друг от друга. При исследовании многих наборов логарифмических таблиц было обнаружено шесть примечательных ошибок во всех, кроме двух, и было доказано, что таблицы, напечатанные в Париже, Берлине, Флоренции, Авиньоне и даже в Китае, помимо тринадцати наборов, напечатанных в Англии между 1633 и 1822 годами, были получены прямо или косвенно из какого-то общего источника. С определенным количеством труда можно установить вне разумного сомнения родство или генеалогию любого количества копий одного документа, происходящих, возможно, от ныне утраченных родительских копий. Отношения между рукописями Нового Завета были тщательно исследованы таким образом, и та же работа была проделана для многих классических произведений, особенно немецкими учеными.

Принцип обратного метода.

Обратное применение правил вероятности полностью зависит от предложения, которое может быть сформулировано следующим образом, почти словами Лапласа. Если событие может быть произведено любой из определенного числа различных причин, все одинаково вероятны априори, вероятности существования этих причин, выведенные из события, пропорциональны вероятностям события, выведенным из этих причин. Другими словами, наиболее вероятная причина события, которое произошло, — это та, которая наиболее вероятно привела бы к событию, если предположить, что причина существует; но все другие возможные причины также должны быть приняты во внимание с вероятностями, пропорциональными вероятности того, что событие произошло бы, если бы причина существовала. Предположим, чтобы четко зафиксировать наши идеи, что E — это событие, а C1, C2, C3 — три единственные мыслимые причины. Если существует C1, вероятность p1 того, что E последует; если существуют C2 или C3, подобные вероятности соответственно p2 и p3. Тогда как p1 относится к p2, так вероятность того, что C1 является фактической причиной, относится к вероятности того, что C2 является ею; и, аналогично, как p2 относится к p3, так вероятность того, что C2 является фактической причиной, относится к вероятности того, что C3 является ею. Простым математическим процессом мы приходим к выводу, что фактическая вероятность того, что C1 является причиной, есть

p₁/p₁ + p₂ + p₃;

и подобные вероятности существования C2 и C3 есть,

p₂/p₁ + p₂ + p₃ and p₃/p₁ + p₂ + p₃.

Сумма этих трех дробей составляет единицу, что правильно выражает достоверность того, что та или иная причина должна действовать.

Мы можем таким образом выразить результат на общем языке. Если достоверно, что существует та или иная из предполагаемых причин, вероятность того, что какая-либо одна существует, есть вероятность того, что если она существует, событие происходит, деленная на сумму всех подобных вероятностей. В этом предмете может показаться запутанность, которая может оказаться неприятной для некоторых читателей; но эта запутанность существенна для рассматриваемого предмета. Никто не может понять принципы индуктивного рассуждения, если не возьмет на себя труд освоить значение этого правила, с помощью которого мы отступаем от события к вероятности каждой из его возможных причин.

Это правило или принцип косвенного метода — то, что здравый смысл заставляет нас принять почти инстинктивно, прежде чем мы получим какое-либо понимание принципа в его общей форме. Легко видеть, что это правило, которое из огромного множества случаев чаще всего приведет нас к истине, поскольку наиболее вероятная причина события действительно означает ту причину, которая в наибольшем числе случаев производит событие. Донкин и Буль дали доказательства этого принципа, но самое легкое для понимания — это доказательство Пуассона. Он представляет каждую возможную причину события как отдельную избирательную урну, содержащую черные и белые шары в таком соотношении, что вероятность вытягивания белого шара равна вероятности того, что событие произойдет. Он далее предполагает, что каждая коробка, как это возможно, содержит одинаковое общее число шаров, черных и белых; затем, смешивая все содержимое коробок вместе, он показывает, что если белый шар вытянут из совокупной избирательной урны, сформированной таким образом, вероятность того, что он произошел из какой-либо конкретной избирательной урны, представлена числом белых шаров в этой конкретной коробке, деленным на общее число белых шаров во всех коробках. Этот результат соответствует результату, данному рассматриваемым принципом.

Таким образом, если есть три коробки, каждая из которых содержит десять шаров всего и соответственно содержит семь, четыре и три белых шара, то при смешивании всех шаров вместе мы имеем четырнадцать белых; и если мы вытягиваем белый шар, то есть если событие происходит, вероятность того, что он вышел из первой коробки, есть 7/14; что в точности равно 7/10 / (7/10 + 4/10 + 3/10), дроби, данной правилом обратного метода.

Простые применения обратного метода.

Во многих случаях научной индукции мы можем применить принцип обратного метода простым образом. Если могут быть сделаны только две или, самое большее, несколько гипотез относительно происхождения определенных явлений, мы иногда можем легко рассчитать соответствующие вероятности. Именно так Бунзен и Кирхгоф установили с вероятностью, близкой к достоверности, что железо существует на Солнце. При сравнении спектров солнечного света и света, исходящего от раскаленного пара железа, стало очевидно, что по крайней мере шестьдесят ярких линий в спектре железа совпадали с темными линиями в спектре Солнца. Такие совпадения никогда не могли быть наблюдаемы с достоверностью, потому что, даже если линии только близко приближались, инструментальные несовершенства спектроскопа делали бы их кажущимися совпадающими, и если одна линия подходила в пределах полумиллиметра к другой на карте спектров, их нельзя было бы объявить различными. Теперь среднее расстояние солнечных линий на карте Кирхгофа составляет 2 мм, и если мы бросим линию, так сказать, чисто случайно на такую карту, вероятность составляет около одной второй, что новая линия попадет в пределах 1/2 мм с одной или другой стороны какой-либо одной из солнечных линий. Чтобы выразить это иначе, мы можем предположить, что каждая солнечная линия, либо из-за своей реальной ширины, либо из-за дефектов инструмента, обладает шириной 1/2 мм, и что каждая линия в спектре железа имеет подобную ширину. Вероятность тогда составляет ровно одну вторую, что центр каждой линии железа попадет случайно в пределах 1 мм от центра солнечной линии, так чтобы казаться совпадающим с ней. Вероятность случайного совпадения каждой линии железа с солнечной линией аналогично составляет 1/2. Совпадение в случае каждой из шестидесяти линий железа — очень маловероятное событие, если оно возникает случайно, ибо оно имело бы вероятность только (1/2)^60 или менее 1 на триллион. Шансы, короче говоря, более чем миллион миллионов миллионов к единице против такого случайного совпадения. Но по другой гипотезе, что железо существует на Солнце, весьма вероятно, что такие совпадения были бы наблюдаемы; несравненно более вероятно, что шестьдесят совпадений были бы наблюдаемы, если бы железо существовало на Солнце, чем то, что они возникли бы от случайности. Следовательно, по нашему принципу, чрезвычайно вероятно, что железо действительно существует на Солнце.

Все другие интересные результаты, данные сравнением спектров, основаны на том же принципе вероятности. Почти полное совпадение между спектрами солнечного, лунного и планетарного света делает практически достоверным, что свет имеет солнечное происхождение и отражается от поверхностей Луны и планет, претерпевая лишь незначительные изменения от атмосфер некоторых планет. Таким образом, предоставляется новое подтверждение истинности теории Коперника.

Гершель доказал таким образом связь между направлением косых граней кристаллов кварца и направлением, в котором те же кристаллы вращают плоскость поляризации света. Ибо если во втором кристалле обнаружено, что отношение такое же, как в первом, вероятность того, что это произойдет случайно, составляет 1/2; вероятность того, что в другом кристалле также направление будет таким же, составляет 1/4, и так далее. Вероятность того, что в n + 1 кристаллах будет случайное совпадение направления, есть n-я степень 1/2. Таким образом, если при исследовании четырнадцати кристаллов в каждом из них обнаружено то же отношение двух явлений, шансы на то, что это происходит от единообразных условий, составляют более 8000 к 1. Поскольку первые наблюдения по этому предмету были сделаны в 1820 году, исключений не наблюдалось, так что вероятность неизменной связи неисчислимо велика.

Чрезвычайно вероятно, что древние египтяне точно записывали затмения, происходящие в течение долгих периодов времени, ибо Диоген Лаэртский упоминает, что было наблюдаемо 373 солнечных и 832 лунных затмения, и отношение между этими числами в точности выражает то, что было бы верно для затмений любого долгого периода, скажем, 1200 или 1300 лет, как оценено на астрономических основаниях. Очевидно, что совпадение между малыми числами или обычными числами, такими как семь, сто, мириада и т. д., гораздо вероятнее произойдет от случайности и поэтому дает гораздо меньшее предположение о зависимости. Если два древних писателя говорили о жертвоприношении волов, они со всей вероятностью описали бы его как гекатомбу, и в этом совпадении не было бы ничего примечательного. Но невозможно указать какую-либо особую причину, почему старый писатель должен выбрать такие числа, как 373 и 832, если бы они не были результатами наблюдения.

На подобных основаниях мы неизбежно должны верить в человеческое происхождение кремневых отщепов, так обильно обнаруженных в последние годы. Ибо хотя случайный удар одного камня о другой может часто производить отщепы, такие как иногда находят на морском берегу, все же когда несколько отщепов найдены в тесной компании, и каждый из них несет свидетельство не одного удара только, а нескольких последовательных ударов, все ведущих к формированию симметричной ножеподобной формы, вероятность естественного и случайного происхождения становится невероятно малой, а противоположное предположение, что они — работа разумных существ, — приблизительно достоверным.

Теория вероятности в астрономии.

Наука астрономия, занятая простыми отношениями расстояния, величины и движения небесных тел, допускает легче, чем почти любая другая наука, интересные выводы, основанные на теории вероятности. Более века назад, в 1767 году, Мичелл показал крайнюю вероятность связей, соединяющих вместе системы звезд. Он был поражен неожиданным числом неподвижных звезд, которые имеют спутников близко к ним. Такое соединение могло произойти случайно, если одна звезда, хотя, возможно, на большом расстоянии от другой, случайно оказалась на прямой линии, проходящей вблизи Земли. Но вероятности настолько сильно против того, чтобы такой оптический союз происходил часто в пространстве небес, что Мичелл утверждал существование некоторой связи между большинством двойных звезд. С тех пор Струве оценил, что шансы составляют 9570 к 1 против того, чтобы любые две звезды не менее седьмой величины попали в пределах видимого расстояния четырех секунд друг от друга случайно, и все же девяносто один такой случай был известен, когда оценка была сделана, и многие другие случаи были обнаружены с тех пор. Были также четыре известные тройные звезды, и все же шансы против появления любого такого соединения составляют 173 524 к 1. Выводы Мичелла были полностью подтверждены открытием, что многие двойные звезды связаны гравитацией.

Мичелл также исследовал вероятность того, что шесть ярчайших звезд в Плеядах случайно оказались в такой поразительной близости. Оценивая число звезд равной или большей яркости в 1500, он нашел шансы почти 500 000 к 1 против случайного соединения. Распространяя тот же вид аргумента на другие скопления, такие как скопление Ясли, туманность в рукояти меча Персея, он говорит: «Мы можем с высочайшей вероятностью заключить, шансы против противоположного мнения составляют многие миллионы миллионов к единице, что звезды действительно собраны вместе в скопления в некоторых местах, где они образуют своего рода систему, в то время как в других их либо мало, либо нет вовсе, к какой бы причине это ни относилось, будь то их взаимная гравитация или какой-то другой закон или назначение Творца».

Расчеты Мичелла были поставлены под сомнение покойным Джеймсом Д. Форбсом, и г-н Тодхантер смутно поддерживает его возражения, иначе я не счел бы их имеющими большой вес. Конечно, Лаплас принимает взгляды Мичелла, и если Мичелл ошибается, то в методах расчета, а не в общей обоснованности его рассуждений и выводов.

Подобные расчеты могли бы, без сомнения, быть применены к своеобразным дрейфующим движениям, которые были обнаружены г-ном Р. А. Проктором в некоторых созвездиях. Шансы очень сильно против того, чтобы какая-либо многочисленная группа звезд двигалась вместе в каком-либо одном направлении случайно. На подобных основаниях нет сомнений, что Солнце имеет значительное собственное движение, потому что в среднем неподвижные звезды показывают тенденцию двигаться, по-видимому, из одной точки небес к диаметрально противоположной. Движение Солнца в противоположном направлении объяснило бы эту тенденцию, иначе мы должны верить, что тысячи звезд случайно согласуются в своем направлении движения или побуждаются какой-то общей силой, от которой Солнце свободно. Можно сказать, что вращение Земли доказано подобным же образом, потому что несравненно более вероятно, что одно тело вращалось бы, чем то, что Солнце, Луна, планеты, кометы и все звезды небес должны были бы вращаться вокруг Земли ежедневно с равномерным движением, добавленным к их собственным своеобразным движениям. Это, по-видимому, главная причина, которая привела Гилберта, одного из первых английских коперниканцев и во всех отношениях замечательного физика, признать вращение Земли, в то время как Фрэнсис Бэкон отрицал его.

Созерцая планетную систему, мы поражаемся сходству в направлении почти всех ее движений. Ньютон отмечал регулярность и единообразие этих движений и противопоставлял их эксцентричности и нерегулярности кометных орбит. Если бы мы, фактически, могли смотреть вниз на систему с северной стороны, мы увидели бы все планеты, движущиеся вокруг с запада на восток, спутники, движущиеся вокруг своих первичных тел, и Солнце, планеты и спутники, вращающиеся в том же направлении, с некоторыми исключениями на краю системы. Во времена Лапласа было известно одиннадцать планет, и направления вращения были известны для Солнца, шести планет, спутников Юпитера, кольца Сатурна и одного из его спутников. Таким образом, всего было 43 движения, все совпадающие, а именно: —

Orbital motions of eleven planets | 11
Orbital motions of eighteen satellites | 18
Axial rotations | 14
| —
| 43

Вероятность того, что 43 движения, независимые друг от друга, совпали бы случайно, есть 42-я степень 1/2, так что шансы составляют около 4 400 000 000 000 к 1 в пользу некоторой общей причины для единообразия направления. Эта вероятность, как отмечает Лаплас, выше, чем вероятность многих исторических событий, в которые мы безоговорочно верим. В настоящее время вероятность значительно увеличилась открытием дополнительных планет и вращением других спутников, и она лишь слегка ослаблена тем фактом, что некоторые из внешних спутников являются исключительными по направлению, так как существует значительное свидетельство случайного возмущения в более отдаленных частях системы.

Едва ли менее примечательным, чем единообразное направление движения, является близкое приближение орбит планет к общей плоскости. Даниил Бернулли грубо оценил вероятность такого согласия, возникающего от случайности, как 1 ÷ (12)^6, наибольшее наклонение любой орбиты к экватору Солнца составляет 1/12 часть квадранта. Лаплас посвятил этому предмету некоторые из своих самых остроумных исследований. Он нашел вероятность того, что сумма наклонений планетных орбит не превысила бы случайно фактическую величину (0,914187 прямого угла для десяти планет, известных в 1801 году), равной 1/10! (0,914187)^10 или около 0,00000011235. Эта вероятность может быть объединена с вероятностью, полученной из направления движения, и тогда становится чрезвычайно вероятным, что устройство планетной системы возникло из единообразных условий, или, как мы говорим, из некоторой общей причины.

Если тот же вид расчета применить к орбитам комет, результат будет совсем другим. Из орбит, которые были определены, 48,9 процента только являются прямыми или в том же направлении, что и планетные движения. Следовательно, становится очевидным, что кометы не принадлежат должным образом к солнечной системе, и вероятно, что они являются блуждающими частями туманной материи, которые случайно стали присоединенными к системе силами притяжения Солнца или Юпитера.

Общая обратная задача.

В примерах, описанных в предыдущих разделах, мы были заняты отступлением от возникновения определенных подобных событий к вероятности того, что должно было быть условие или причина для таких событий. Мы обнаружили, что теория вероятности, хотя никогда не дающая достоверного результата, часто позволяет нам установить гипотезу вне досягаемости разумного сомнения. Существует, однако, другой метод применения теории, который обладает для нас даже большим интересом, потому что он иллюстрирует, самым полным образом, теорию вывода, принятую в этой работе, которая, действительно, была подсказана этой теорией. Задача, которую нужно решить, заключается в следующем: —

Событие произошло определенное число раз и не произошло определенное число раз, требуется вероятность того, что оно произойдет любое заданное число раз в будущем при тех же обстоятельствах.

Все крупные планеты, до сих пор обнаруженные, движутся в одном направлении вокруг Солнца; какова вероятность того, что если будет обнаружена новая планета, внешняя по отношению к Нептуну, она будет двигаться в том же направлении? Все известные постоянные газы, кроме хлора, бесцветны; какова вероятность того, что если будет обнаружен какой-то новый постоянный газ, он будет бесцветным? В общем решении этой задачи мы хотим вывести будущее возникновение любого события из числа раз, которое оно уже наблюдалось происходящим. Теперь, очень поучительно обнаружить, что нет известного процесса, с помощью которого мы можем перейти прямо от данных к выводу. Всегда необходимо отступать от данных к вероятности некоторой гипотезы и сделать эту гипотезу основанием нашего вывода относительно будущих событий. Математики, фактически, делают каждую гипотезу, которая применима к рассматриваемому вопросу; они затем рассчитывают, обратным методом, вероятность каждой такой гипотезы в соответствии с данными и вероятность того, что если каждая гипотеза истинна, требуемое будущее событие произойдет. Общая вероятность того, что событие произойдет, есть сумма отдельных вероятностей, внесенных каждой отдельной гипотезой.

Чтобы проиллюстрировать метод решения этой задачи более точно, желательно принять какой-либо конкретный способ представления, и урна для голосования, столь часто используемая математиками, лучше всего послужит нашей цели. Пусть наступление какого-либо события будет представлено извлечением белого шара из урны, тогда как ненаступление события будет представлено извлечением черного шара. В индуктивной задаче мы предполагаем, что нам неизвестно содержимое урны, и мы должны основывать все наши выводы на нашем опыте относительно этого содержимого, полученном в ходе последовательных извлечений. Здравый смысл привел бы нас почти к верному заключению. Так, если бы мы извлекли двадцать шаров один за другим, возвращая шар после каждого извлечения, и каждый раз шар оказывался бы белым, мы бы поверили, что в урне имеется значительное преобладание белых шаров и существует вероятность извлечения белого шара в следующий раз. Хотя мы извлекали бы белые шары тысячи раз без осечки, все же оставалась бы возможность того, что в урне скрывались черные шары, которые в конце концов появились бы, так что наши выводы никогда не могли бы быть достоверными. С другой стороны, если бы черные шары появлялись через определенные промежутки, мы ожидали бы, что после некоторого числа испытаний черные шары будут появляться снова время от времени с примерно той же частотой.

Математическое решение этого вопроса состоит не более чем в тщательном анализе того способа, которым действует наш здравый смысл. Если было извлечено двадцать белых шаров и ни одного черного, мой здравый смысл подсказывает мне, что любая гипотеза, согласно которой черных шаров в урне значительное количество по сравнению с белыми, маловероятна; преобладание белых шаров — более вероятная гипотеза, и как следствие из этой более вероятной гипотезы я ожидаю повторного появления белых шаров. Математик лишь сводит этот мыслительный процесс к точным числам. Принимая, например, гипотезу о том, что в урне 99 белых и один черный шар, он может вычислить вероятность того, что в этих обстоятельствах будут извлечены 20 белых шаров подряд; таким образом он формирует определенную оценку вероятности этой гипотезы и, зная в то же время вероятность повторного появления белого шара, если таково содержимое урны, он объединяет эти вероятности и получает точную оценку того, что белый шар появится снова вследствие этой гипотезы. Но поскольку эта гипотеза — лишь одна из многих возможных, так как соотношение белых и черных шаров может быть 98 к 2, или 97 к 3, или 96 к 4 и так далее, он должен повторить оценку для каждой такой возможной гипотезы. Чтобы сделать метод решения задачи совершенно очевидным, я опишу в следующем разделе очень простой случай этой задачи, первоначально разработанный для этой цели Кондорсе, который также был принят Лакруа и перешел в труды Де Моргана, Лаббока и других.

Простая иллюстрация обратной задачи.

Предположим, известно, что в урне для голосования всего четыре черных или белых шара, причем соотношение черных и белых шаров неизвестно. Было произведено четыре извлечения с возвращением, и белый шар появлялся каждый раз, кроме одного; требуется определить вероятность того, что белый шар появится в следующий раз. Гипотезы, которые можно выдвинуть относительно содержимого урны, весьма ограничены по количеству и сводятся максимум к следующим пяти:

4  | white  | and  | 0  | black  | balls
3  | " | " | 1  | " | "
2  | " | " | 2  | " | "
1  | " | " | 3  | " | "
0  | " | " | 4  | " | "

Фактическое появление черных и белых шаров при извлечениях исключает первую и последнюю гипотезы, так что у нас остаются для рассмотрения только три.

Если в урне три белых и один черный шар, вероятность извлечения белого каждый раз равна 3/4, а черного — 1/4; таким образом, наблюдаемое сложное событие, а именно три белых и один черный, имеет вероятность 3/4 × 3/4 × 3/4 × 1/4 согласно правилу, уже приведенному (стр. 204). Но так как безразлично, в каком порядке извлекаются шары, и черный шар мог появиться первым, вторым, третьим или четвертым, мы должны умножить на четыре, чтобы получить вероятность трех белых и одного черного в любом порядке, получив таким образом 27/64.

Принимая следующую гипотезу о двух белых и двух черных шарах в урне, мы получаем для той же вероятности величину 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 4, или 16/64, а из третьей гипотезы об одном белом и трех черных мы выводим аналогично 1/4 × 1/4 × 1/4 × 3/4 × 4, или 3/64. Таким образом, в зависимости от того, принимаем ли мы первую, вторую или третью гипотезу, вероятность того, что наблюдаемый результат действительно последует, равна 27/64, 16/64 и 3/64. Теперь несомненно, что та или иная из этих гипотез должна быть верной, и их абсолютные вероятности пропорциональны вероятностям того, что наблюдаемые события последовали бы из них (стр. 242, 243). Все, что нам нужно сделать, чтобы получить абсолютную вероятность каждой гипотезы, — это изменить эти дроби в едином соотношении так, чтобы их сумма была равна единице, выражению достоверности. Теперь, поскольку 27 + 16 + 3 = 46, это будет достигнуто делением каждой дроби на 46 и умножением на 64. Таким образом, вероятности первой, второй и третьей гипотез соответственно равны —

27/46, 16/46, 3/46.

Индуктивная часть задачи завершена, поскольку мы обнаружили, что урна, скорее всего, содержит три белых и один черный шар, и назначили точную вероятность каждого возможного предположения. Но теперь мы в состоянии возобновить дедуктивное рассуждение и вывести вероятность того, что следующее извлечение даст, скажем, белый шар. Ибо если урна содержит три белых и один черный шар, вероятность извлечения белого, безусловно, равна 3/4; и поскольку вероятность того, что урна устроена именно так, равна 27/46, сложная вероятность того, что урна будет так наполнена и даст белый шар при следующем испытании, равна

27/46 × 3/4 or 81/184.

Далее, вероятность того, что урна содержит два белых и два черных, равна 16/46, и при этих условиях вероятность появления белого шара равна 1/2; следовательно, вероятность того, что белый шар появится вследствие этого условия, равна

16/46 × 1/2 or 32/184.

Из третьего предположения мы получаем аналогичным образом вероятность

3/46 × 1/4 or 3/184.

Поскольку одна и не более чем одна гипотеза может быть верной, мы можем сложить эти отдельные вероятности и обнаружим, что

81/184 + 32/184 + 3/184 or 116/184

есть полная вероятность того, что белый шар будет извлечен в следующий раз при предполагаемых условиях и данных.

Общее решение обратной задачи.

В примере обратного метода, описанном в последнем разделе, шары, предполагаемые в урне, были немногочисленны, чтобы упростить вычисление. Чтобы наше решение могло быть применено к природным явлениям, мы должны сделать наши гипотезы как можно менее произвольными. Не имея априорного знания об условиях рассматриваемых явлений, нет предела разнообразию гипотез, которые можно было бы предложить. Поэтому математики прибегли к самым обширным предположениям, какие только можно сделать, а именно, что урна содержит бесконечное число шаров; затем они варьировали пропорцию белых шаров к черным непрерывно, от наименьшей до наибольшей возможной пропорции, и оценивали совокупную вероятность, которая вытекает из этого всеобъемлющего предположения.

Чтобы объяснить их процедуру, представим, что вместо бесконечного числа урна содержит большое конечное число шаров, скажем 1000. Тогда число белых шаров могло бы быть 1, 2, 3, 4 и так далее, вплоть до 999. Предполагая, что из урны, как и прежде, были извлечены три белых и один черный шар, существует некоторая очень малая вероятность того, что это произошло бы в случае урны, содержащей один белый и 999 черных шаров; существует также малая вероятность того, что из такой урны следующий шар был бы белым. Соедините эти вероятности, и мы получим вероятность того, что следующий шар действительно будет белым вследствие существования такой пропорции шаров. Если в урне два белых и 998 черных шаров, вероятность выше и будет возрастать до тех пор, пока шары не будут предполагаться в пропорции извлеченных. Теперь возможны 999 различных гипотез, и вычисление должно быть сделано для каждой из них, а их совокупность принята в качестве окончательного результата. Очевидно, что по мере увеличения числа шаров в урне абсолютная вероятность любой одной гипотезы относительно точной пропорции шаров уменьшается, но совокупные результаты всех гипотез примут характер более широкого среднего значения.

Когда мы делаем шаг, предполагая, что шары в урне бесконечны по количеству, возможные пропорции белых и черных шаров также становятся бесконечными, и вероятность существования любой одной пропорции бесконечно мала. Следовательно, окончательный результат, что следующий извлеченный шар будет белым, на самом деле является суммой бесконечного числа бесконечно малых величин. Может показаться невозможным вычислить задачу, имеющую бесконечное число гипотез, но удивительные ресурсы интегрального исчисления позволяют сделать это с гораздо большей легкостью, чем если бы мы предполагали какое-либо большое конечное число шаров, а затем фактически вычисляли результаты. Я не буду пытаться описывать процессы, с помощью которых Лаплас в конечном итоге осуществил полное решение задачи. Они описаны в нескольких английских работах, особенно в «Трактате о вероятностях» Де Моргана в «Encyclopædia Metropolitana» и в «Истории теории вероятностей» г-на Тодхантера. Сокращающая сила математического анализа никогда не была показана более поразительно. Но я могу добавить, что, хотя интегральное исчисление используется как средство суммирования бесконечно многочисленных результатов, мы никоим образом не отказываемся от принципов комбинаций, которые уже рассматривались. Мы вычисляем значения бесконечно многочисленных факториалов, не получая, однако, их фактических произведений, что привело бы к бесконечному числу цифр, а получая окончательный ответ на задачу с помощью приемов, которые можно понять только после изучения интегрального исчисления.

Следует признать, что гипотеза, принятая Лапласом, в некоторой степени произвольна, так что существовала некоторая возможность для сомнения, которое Буль высказал по этому поводу. Но можно ответить: (1) что предположение о бесконечном числе шаров, рассматриваемое способом Лапласа, менее произвольно и более всеобъемлюще, чем любое другое, которое можно предложить. (2) Результат не сильно отличается от того, который был бы получен при гипотезе о любом большом конечном числе шаров. (3) Это предположение ведет к ряду простых формул, которые можно легко применять во многих случаях и которые несут в себе все признаки истины, насколько это может быть независимо оценено здравым и практическим пониманием.

Правила обратного метода.

С помощью решения задачи, описанного в последнем разделе, мы получаем следующий ряд простых правил.

1. Чтобы найти вероятность того, что событие, которое до сих пор не наблюдалось как не наступившее, произойдет еще раз, разделите число раз, которое событие наблюдалось, увеличенное на единицу, на то же число, увеличенное на два.

Если было m случаев, в которых определенное событие могло быть замечено как наступившее, и оно наступало во всех этих случаях, то вероятность того, что оно наступит в следующий раз того же рода, равна (m + 1) / (m + 2). Например, мы можем сказать, что в планетной системе есть девять мест, где могли бы существовать планеты, подчиняющиеся закону расстояний Боде, и в каждом месте есть планета, подчиняющаяся закону более или менее точно, хотя причина этого совпадения неизвестна. Следовательно, вероятность того, что следующая планета за Нептуном будет соответствовать закону, равна 10/11.

2. Чтобы найти вероятность того, что событие, которое до сих пор не терпело неудачу, не потерпит ее в течение определенного числа новых случаев, разделите число раз, которое событие наступало, увеличенное на единицу, на то же число, увеличенное на единицу и число раз, которое оно должно наступить.

Событие наступило m раз без осечки, вероятность того, что оно наступит еще n раз, равна (m + 1) / (m + n + 1). Таким образом, вероятность того, что три новые планеты будут подчиняться закону Боде, равна 10/13; но следует признать, что этот, как и предыдущий результат, был бы значительно ослаблен тем фактом, что о Нептуне едва ли можно сказать, что он подчиняется закону.

3. Если событие наступало и терпело неудачу определенное число раз, чтобы найти вероятность того, что оно наступит в следующий раз, разделите число раз, которое событие наступало, увеличенное на единицу, на общее число раз, которое событие наступало или терпело неудачу, увеличенное на два.

Если событие наступило m раз и потерпело неудачу n раз, вероятность того, что оно наступит в следующий раз, равна (m + 1) / (m + n + 2). Таким образом, если мы предположим, что из элементов, открытых до 1873 года, 50 являются металлическими и 14 неметаллическими, то вероятность того, что следующий открытый элемент будет металлическим, равна 51/66. Опять же, поскольку из 37 металлов, которые были достаточно изучены, только четыре, а именно натрий, калий, лантан и литий, имеют меньшую плотность, чем вода, вероятность того, что следующий изученный или открытый металл будет менее плотным, чем вода, равна (4 + 1) / (37 + 2) или 5/39.

Мы можем изложить результаты метода более общим образом следующим образом: если при данных обстоятельствах определенные события A, B, C и т. д. наступали соответственно m, n, p и т. д. раз, и одно или другое из этих событий должно наступить, то вероятности этих событий пропорциональны (m + 1), (n + 1), (p + 1) и т. д., так что вероятность A будет (m + 1) / (m + 1 + n + 1 + p + 1 + и т. д.). Но если новые события могут наступить в дополнение к тем, которые наблюдались, мы должны назначить единицу для вероятности такого нового события. Тогда шансы становятся 1 для нового события, (m + 1) для A, (n + 1) для B и так далее, а абсолютная вероятность A равна (m + 1) / (1 + m + 1 + n + 1 + и т. д.).

Интересно проследить изменения вероятности согласно этим правилам. В первый раз, когда случайное событие наступает, шансы 2 к 1, что оно наступит снова; если оно наступает, то 3 к 1, что оно наступит в третий раз; и в последующих случаях того же рода шансы становятся 4, 5, 6 и т. д. к 1. Шансы, конечно, будут отличаться от вероятностей, которые последовательно равны 2/3, 3/4, 4/5 и т. д. Таким образом, в первый раз, когда человек видит акулу и замечает, что ее сопровождает маленькая рыба-лоцман, шансы 2 к 1, или вероятность 2/3, что следующая акула будет сопровождаться так же.

Когда событие наступило очень большое число раз, его наступление еще раз приближается почти к достоверности. Если мы предположим, что солнце всходило тысячу миллионов раз, вероятность того, что оно взойдет снова, только на основании этого знания, равна (1 000 000 000 + 1) / (1 000 000 000 + 1 + 1). Но тогда вероятность того, что оно будет продолжать всходить в течение столь же долгого периода в будущем, составляет лишь (1 000 000 000 + 1) / (2 000 000 000 + 1), или почти точно 1/2. Вероятность того, что оно будет продолжать всходить в тысячу раз дольше, составляет лишь около 1/1001. Урок, который мы можем извлечь из этих цифр, вполне соответствует тому, который мы должны принять на других основаниях, а именно, что опыт никогда не дает достоверного знания и что чрезвычайно маловероятно, что события всегда будут происходить так, как мы их наблюдаем. Выводы, продвинутые далеко за пределы своих данных, вскоре теряют всякую значительную вероятность. Де Морган сказал: «Никакой конечный опыт вообще не может оправдать нас в утверждении, что будущее будет совпадать с прошлым во все грядущие времена или что существует какая-либо вероятность для такого заключения». С другой стороны, мы получаем уверенность в том, что достаточно расширенный и продолжительный опыт даст нам знание будущих событий с неограниченной степенью вероятности, при условии, конечно, что эти события не подвержены произвольному вмешательству.

Следует ясно понимать, что эти вероятности являются лишь такими, которые возникают из простого наступления событий, независимо от любого знания, полученного из других источников относительно этих событий или общих законов природы. Все наше знание о природе действительно основано подобным образом на наблюдении и поэтому является лишь вероятным. Сам закон тяготения лишь вероятно истинен. Но когда ряд различных фактов, наблюдаемых при самых разнообразных обстоятельствах, оказывается гармонизированным под предполагаемым законом природы, вероятность закона приближается к достоверности. Каждая наука опирается на так много наблюдаемых фактов и получает так много поддержки от аналогий или связей с другими науками, что существует сравнительно мало случаев, когда наше суждение о вероятности события зависит исключительно от нескольких предшествующих событий, не связанных с общим корпусом физической науки.

События, опять же, могут часто демонстрировать регулярность последовательности или преобладание характера, которые простая формула не примет во внимание. Например, большинство недавно открытых элементов являются металлами, так что вероятность того, что следующее открытие будет открытием металла, несомненно, выше, чем мы вычислили (стр. 258). В более отдаленных частях планетной системы есть признаки возмущения, которые помешали бы нам полагаться на какой-либо вывод от преобладающего порядка известных планет к тем неоткрытым, которые, возможно, существуют на больших расстояниях. Эти и все подобные осложнения никоим образом не опровергают теоретическую истинность формул, но делают их правильное применение гораздо более трудным.

Против теории вероятностей были выдвинуты ошибочные возражения на том основании, что мы не должны доверять нашим априорным концепциям о том, что может произойти, а должны всегда стремиться получить точные экспериментальные данные, чтобы направлять нас. Этот курс, однако, полностью соответствует теории, которая является нашим лучшим и единственным руководством, какими бы данными мы ни обладали. Мы должны всегда применять обратный метод вероятностей, чтобы принять во внимание всю дополнительную информацию. Когда мы подбрасываем монету в первый раз, мы, вероятно, совершенно не знаем, стремится ли она больше упасть орлом или решкой вверх, и поэтому мы должны предположить вероятность каждого события как 1/2. Но если в первом броске выпадает орел, у нас теперь есть очень слабое экспериментальное свидетельство в пользу тенденции к выпадению орла. Шанс двух орлов теперь немного больше, чем 1/4, каким он казался поначалу, и по мере того, как мы продолжаем подбрасывать монету раз за разом, вероятность выпадения орла в следующий раз постоянно варьируется в небольшой степени в зависимости от характера нашего предыдущего опыта. Как отмечает Лаплас, мы всегда должны принимать во внимание такие соображения в обыденной жизни. События при тщательном изучении почти никогда не окажутся совершенно независимыми, и малейшее преобладание в ту или иную сторону является некоторым свидетельством связи, и при отсутствии лучшего свидетельства его следует принимать во внимание.

Великая цель стремления оценить вероятность будущих событий на основе прошлого опыта, по-видимому, занимала Якова Бернулли и Де Муавра, по крайней мере, таково было мнение Кондорсе; и можно сказать, что Бернулли решил один случай этой задачи. Английские авторы Байес и Прайс, однако, несомненно, являются первыми, кто выдвинул какие-либо четкие правила по этому предмету. Кондорсе и несколько других выдающихся математиков развили математическую теорию предмета; но бессмертному Лапласу было суждено принести в этот предмет всю силу своего гения и довести решение задачи почти до совершенства. Поучительно наблюдать, что теория, возникшая из мелких азартных игр, правила и сами названия которых забыты, постепенно развивалась, пока не охватила самые возвышенные проблемы науки и, наконец, не взялась измерять ценность и достоверность всех наших индукций.

Случайные совпадения.

Мы изучали бы теорию вероятностей с очень малой пользой, если бы думали, что она предоставит нам непогрешимое руководство. Сама теория указывает на приблизительную уверенность в том, что мы иногда будем обмануты необычайными случайными совпадениями. Нет такой полосы везения, которая была бы настолько экстремальной, чтобы она не могла произойти, и она может произойти с нами или в наше время, так же как с другими людьми или в другие времена. Мы можем быть вынуждены правильным расчетом отнести такие совпадения к необходимой причине, и все же мы можем быть обмануты. Все, что исчисление вероятностей претендует дать, — это результат в долгосрочной перспективе, как это называется, и это действительно означает в бесконечности случаев. В течение любого конечного опыта, как бы долго он ни длился, шансы могут быть против нас. Тем не менее теория — лучшее руководство, которое мы можем иметь. Если мы всегда думаем и действуем согласно ее хорошо истолкованным указаниям, у нас будет лучший шанс избежать ошибки; и если все люди, во все грядущие времена, будут подчиняться теории подобным образом, они, несомненно, извлекут из этого величайшую выгоду.

Нельзя дать никакого правила для различения совпадений, которые являются случайными, и тех, которые являются следствием закона. Под случайным совпадением мы подразумеваем согласие между событиями, которые, тем не менее, возникают из совершенно независимых и разных причин или условий и которые не всегда будут так соглашаться. Это случайное совпадение, если монета, подбрасываемая неоднократно различными способами, всегда падает на одну и ту же сторону; но это не было бы случайным, если бы было какое-либо сходство в движениях руки и высоте броска, чтобы вызвать или стремиться вызвать единообразный результат. Теперь среди бесконечно многочисленных событий, объектов или отношений во вселенной вполне вероятно, что мы будем время от времени замечать случайные совпадения. В октаве семь интервалов, и нет ничего очень невероятного в том, что цвета спектра случайно оказываются делимыми на ту же или похожую серию из семи интервалов. Еще вряд ли решено, является ли это кажущееся совпадение, которым Ньютон был очень поражен, хорошо обоснованным или нет, но вопрос, вероятно, будет решен в отрицательную сторону.

Это, безусловно, случайное совпадение, которое древние заметили между семью гласными, семью струнами лиры, семью Плеядами и семью вождями под Фивами. Случайности, связанные с числом семь, вводили в заблуждение человеческий интеллект на протяжении исторического периода. Пифагор воображал связь между семью планетами и семью интервалами монохорда. Алхимики никогда не уставали делать выводы из совпадения в числах семи планет и семи металлов, не говоря уже о семи днях недели.

Было указано на единственное обстоятельство, касающееся размеров Земли, Солнца и Луны; диаметр Солнца был почти ровно в 110 раз больше диаметра Земли, в то время как почти в точно таком же соотношении среднее расстояние Земли было больше диаметра Солнца, а среднее расстояние Луны от Земли было больше диаметра Луны. Согласие было настолько близким, что оно могло оказаться чем-то большим, чем случайным, но его случайный характер теперь достаточно показан тем фактом, что совпадение перестает быть примечательным, когда мы принимаем исправленные размеры планетной системы.

Значительное число элементов имеет атомные веса, которые, по-видимому, являются точными кратными веса водорода. Если это не закон, который в конечном итоге должен быть распространен на все элементы, как предполагал Праут, то это самое замечательное совпадение. Но, как я заметил, у нас нет средств абсолютно отличать случайные совпадения от тех, которые подразумевают глубокую производящую причину. Совпадение должно быть либо очень сильным само по себе, либо оно должно быть подтверждено каким-либо объяснением или связью с другими законами природы. Мало внимания когда-либо уделялось совпадению, касающемуся размеров Солнца, Земли и Луны, потому что оно не было очень сильным само по себе и не имело явной связи с принципами физической астрономии. Закон Праута несет в себе больше вероятности, потому что он привел бы конституцию самих элементов в тесную связь с атомной теорией, представляя их как построенные из более простого вещества.

В исторических и социальных вопросах часто указываются совпадения, которые обусловлены случайностью, хотя всегда существует сильная народная тенденция рассматривать их как дело замысла или как имеющие какой-то скрытый смысл. Если к 1794 году, числу года, в который пал Робеспьер, мы добавим сумму его цифр, результат будет 1815, год, в который пал Наполеон; повторение процесса дает 1830, год, в который отрекся Карл Десятый. Опять же, французская Палата депутатов в 1830 году состояла из 402 членов, из которых 221 составляли партию под названием «La queue de Robespierre», в то время как остальные, числом 181, назывались «Les honnêtes gens». Если мы дадим каждой букве числовое значение, соответствующее ее месту в алфавите, будет обнаружено, что сумма значений букв в каждом названии точно указывает число членов партии.

Можно было бы привести ряд таких совпадений, часто очень любопытного характера, и вероятность против наступления каждого из них чрезвычайно велика. Их следует приписать случайности, потому что нельзя показать, что они имеют хоть малейшую связь с общими законами природы; но часто обнаруживается, что люди находятся под сильным влиянием таких совпадений, рассматривая их как свидетельство фатальности, то есть системы причинности, управляющей человеческими делами независимо от обычных законов природы. Пусть будет запомнено, что в жизни есть бесконечное число возможностей для того, чтобы проявилось какое-то странное совпадение, так что вполне следует ожидать, что замечательные конъюнкции иногда будут случаться.

Во всех вопросах судебных доказательств мы должны помнить о вероятном наступлении время от времени необъяснимых совпадений. Римские юристы по этой причине отказывались признавать недействительным завещательный акт, свидетели которого запечатали его одной и той же печатью. Ибо свидетели, независимо использующие свои собственные печати, могли случайно оказаться обладателями идентичных. Хорошо известно, что косвенные доказательства кажущейся подавляющей полноты иногда ведут к ошибочному суждению, и поскольку абсолютная достоверность никогда не достижима на самом деле, каждый суд должен действовать на основе вероятностей высокой величины, и в определенной небольшой доле случаев они почти по необходимости должны осуждать невинных жертв замечательного стечения обстоятельств. Народные суждения обычно опираются на вероятности гораздо меньшей величины, как когда дворец в Никомедии и даже опочивальня Диоклетиана горели дважды в течение пятнадцати дней, люди совершенно отказывались верить, что это могло быть результатом случайности. Римляне верили, что с именем Секст связана фатальность.

«Semper sub Sextis perdita Roma fuit».

Максимальные меры предосторожности не обеспечат защиту от всех непредвиденных обстоятельств. Чтобы избежать ошибок в важных вычислениях, принято, чтобы их повторяли разные вычислители; но зафиксирован случай, в котором три вычислителя сделали точно такие же вычисления места звезды, и все же все сделали это неправильно в точно такой же манере, без какой-либо видимой причины.

Резюме теории индуктивного вывода.

Теория индуктивного вывода, изложенная в этой и предыдущих главах, была подсказана изучением обратного метода вероятности, но она также имеет большое сходство с так называемым дедуктивным методом, описанным Миллем в его знаменитой «Системе логики». Взгляды Милля относительно дедуктивного метода, вероятно, составляют самую оригинальную и ценную часть его трактата, и я приписал бы это учение полностью ему, если бы не обнаружил, что мнения, выдвинутые в других частях его работы, совершенно несовместимы с теорией, отстаиваемой здесь. Поскольку этот предмет является самым важным и трудным из тех, с которыми нам приходится иметь дело, я попытаюсь исправить несовершенный способ, которым я его рассматривал, дав рекапитуляцию принятых взглядов.

Все индуктивное рассуждение есть лишь обратное применение дедуктивного рассуждения. Обладая определенными частными фактами или событиями, выраженными в суждениях, мы воображаем некоторое более общее суждение, выражающее существование закона или причины; и, дедуцируя частные результаты этого предполагаемого общего суждения, мы наблюдаем, согласуются ли они с рассматриваемыми фактами. Гипотеза, таким образом, всегда используется, сознательно или бессознательно. Единственные условия, которым мы должны соответствовать при построении любой гипотезы, заключаются в том, что мы как обладаем, так и упражняем способность дедуктивного вывода от гипотезы к частным результатам, которые должны быть сравнены с известными фактами. Таким образом, в процессе индукции есть только три шага:

(1) Построение некоторой гипотезы относительно характера общего закона.

(2) Дедуцирование следствий из этого закона.

(3) Наблюдение того, согласуются ли следствия с рассматриваемыми частными фактами.

В очень простых случаях обратного рассуждения гипотеза может казаться совершенно ненужной. Чтобы снова взять числа в качестве удобной иллюстрации, мне достаточно взглянуть на ряд,

1, 2, 4, 8, 16, 32, &c.,

чтобы сразу узнать, что общий закон — это закон геометрической прогрессии; мне не нужно последовательное испытание различных гипотез, потому что я знаком с рядом и давно узнал, из какой общей формулы он происходит. Таким же образом математик знакомится с интегралами ряда обычных формул, так что ему не нужно проходить через какой-либо процесс открытия. Но тем не менее верно, что всякий раз, когда предыдущее рассуждение не дает знания, гипотезы должны быть построены и испытаны (стр. 124).

Естественным образом возникают два случая, в зависимости от того, допускает ли природа предмета достоверное или только вероятное дедуктивное рассуждение. Достоверность, действительно, есть лишь особый случай вероятности, и общие принципы процедуры всегда одни и те же. Тем не менее, когда возможна достоверность вывода, процесс упрощается. Из нескольких взаимно несовместимых гипотез, результаты которых могут быть достоверно сравнены с фактом, в конечном итоге может быть принята только одна гипотеза. Так, в обратной логической задаче два логически различных условия не могли дать одну и ту же серию возможных комбинаций. Соответственно, в случае двух терминов мы должны были выбрать один из шести различных видов суждений (стр. 136), а в случае трех терминов наш выбор лежал среди 192 возможных различных гипотез (стр. 140). Законы природы, однако, часто носят количественный характер, и возможные гипотезы тогда бесконечны в своем разнообразии.

Когда дедукция достоверна, сравнение с фактом нужно только для того, чтобы убедиться, что мы правильно выбрали гипотетические условия. Закон устанавливает себя сам, и никакое количество частных верификаций не может добавить к его вероятности. Однажды дедуцировав из принципов алгебры, что разность квадратов двух чисел равна произведению их суммы и разности, никакое количество частных испытаний его истинности не сделает его более достоверным. С другой стороны, никакое конечное число частных верификаций предполагаемого закона не сделает этот закон достоверным. Короче говоря, достоверность принадлежит только дедуктивному процессу и учениям прямой интуиции; и поскольку условия природы не даны интуицией, мы можем быть уверены, что получили правильную гипотезу, только когда из ограниченного числа мыслимо возможных мы выбираем ту одну, которая единственная согласуется с фактами, подлежащими объяснению.

В геометрии и родственных отраслях математики дедуктивное рассуждение заметно достоверно, и часто кажется, будто рассмотрение единственной диаграммы дает нам достоверное знание общего суждения. Но в действительности вся эта достоверность носит чисто гипотетический характер. Несомненно, если бы мы могли установить, что предполагаемый круг был истинным и совершенным кругом, мы могли бы быть уверены относительно множества его геометрических свойств. Но геометрические фигуры — это физические объекты, и чувства никогда не могут уверить нас в их точных формах. Фигуры, действительно рассматриваемые в «Началах» Евклида, воображаемы, и мы никогда не можем проверить на практике выводы, которые делаем с достоверностью в рассуждении; вопросы степени и вероятности вступают в силу.

Переходя теперь к предметам, в которых дедукция лишь вероятна, перестает быть возможным принять одну гипотезу, исключая другие. Мы должны рассматривать в то же время все мыслимые гипотезы и относиться к каждой со степенью уважения, пропорциональной ее вероятности. Мы проходим через те же шаги, что и прежде.

(1) Мы строим гипотезу.

(2) Мы дедуцируем вероятность различных серий возможных следствий.

(3) Мы сравниваем следствия с частными фактами и наблюдаем вероятность того, что такие факты наступили бы при этой гипотезе.

Вышеуказанные процессы должны быть выполнены для каждой мыслимой гипотезы, и тогда абсолютная вероятность каждой будет получена принципом обратного метода (стр. 242). Как в случае достоверности мы принимаем ту гипотезу, которая достоверно дает требуемые результаты, так теперь мы принимаем как наиболее вероятную ту гипотезу, которая наиболее вероятно дает результаты; но мы обязаны рассматривать в то же время все другие гипотезы со степенями вероятности, пропорциональными вероятностям того, что они дали бы те же результаты.

До сих пор мы рассматривали только процесс, посредством которого мы переходим от частных фактов к общим законам, то обратное применение дедукции, которое составляет индукцию. Но прямое использование дедукции часто сочетается с обратным. Как только мы установили общий закон, разум быстро извлекает из него частные следствия. В геометрии нам может почти казаться, что мы выводим, что потому что один равносторонний треугольник равноуголен, поэтому другой таков же. В действительности это не потому, что один таков, другой таков, а потому что все таковы. Геометрические условия совершенно общи, и тем, что иногда называют «по аналогии рассуждения», все, что истинно для одного равностороннего треугольника, поскольку он равносторонен, истинно для всех равносторонних треугольников.

Аналогично, во всех других случаях индуктивного вывода, где мы, кажется, переходим от некоторых частных примеров к новому примеру, мы проходим через тот же процесс. Мы формируем гипотезу относительно логических условий, при которых могли бы произойти данные примеры; мы вычисляем обратно вероятность этой гипотезы и, соединяя это с вероятностью того, что новый пример произошел бы из тех же условий, мы получаем абсолютную вероятность наступления нового примера в силу этой гипотезы. Но поскольку несколько, или много, или даже бесконечное число взаимно несовместимых гипотез могут быть возможны, мы должны повторить вычисление для каждой такой мыслимой гипотезы, и тогда полная вероятность будущего примера будет суммой отдельных вероятностей. Осложнение этого процесса часто очень сильно уменьшается на практике благодаря тому факту, что одна гипотеза может быть почти наверняка истинной, а другие гипотезы, хотя и мыслимые, могут быть настолько маловероятными, что ими можно пренебречь без ощутимой ошибки.

Когда мы не обладаем никаким знанием вообще об условиях, из которых происходят события, мы можем быть не в состоянии сформировать какие-либо вероятные гипотезы относительно их способа происхождения. Мы должны теперь вернуться к общему решению задачи, осуществленному Лапласом, которое состоит в допущении на равных основаниях каждого мыслимого соотношения благоприятных и неблагоприятных шансов для наступления события, а затем принятии совокупного результата как лучшего, который может быть получен. Это решение должно быть принято только при отсутствии всех лучших средств, но, как и другие результаты исчисления вероятностей, оно приходит нам на помощь там, где знание заканчивается и начинается невежество, и оно предотвращает нас от переоценки знания, которым мы обладаем. Общие результаты решения согласуются со здравым смыслом, а именно, что чем чаще событие наступало, тем вероятнее, как общее правило, его последующее повторение. С расширением опыта эта вероятность возрастает, но в то же время вероятность того, что события будут долго продолжать наступать так, как они наступали ранее, мала.

Мы теперь проследили теорию индуктивного вывода настолько, насколько это можно сделать в отношении простых логических или численных отношений. Законы природы имеют дело со временем и пространством, которые бесконечно делимы. Как мы перешли от чистой логики к численной логике, так мы должны теперь перейти от вопросов прерывного к вопросам непрерывного количества, сталкиваясь с новыми соображениями большой трудности. Поэтому, прежде чем мы рассмотрим, как великие индукции и обобщения физической науки иллюстрируют взгляды на индуктивное рассуждение, только что объясненные, мы должны прерваться на время и пересмотреть средства, которыми мы обладаем для измерения и сравнения величин времени, пространства, массы, силы, импульса, энергии и различных проявлений энергии в движении, тепле, электричестве, химическом изменении и других явлениях природы.

КНИГА III. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ.

ГЛАВА XIII. ТОЧНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ЯВЛЕНИЙ.

По мере того как физическая наука продвигается, она становится все более и более точно количественной. Вопросы простого логического факта через некоторое время разрешаются в вопросы степени, времени, расстояния или веса. Силы, существование которых едва подозревалось одним поколением, ясно распознаются следующим и точно измеряются третьим поколением. Но одно условие этого быстрого прогресса — изобретение подходящих инструментов измерения. Нам нужно то, что Фрэнсис Бэкон называл Instantiæ citantes или evocantes, методы сделать минутные явления воспринимаемыми чувствами; и нам также требуются Instantiæ radii или curriculi, то есть измерительные инструменты. Соответственно, введение нового инструмента часто образует эпоху в истории науки. Как сказал Дэви: «Ничто так не способствует продвижению знания, как применение нового инструмента. Природные интеллектуальные силы людей в разные времена являются не столько причинами разного успеха их трудов, сколько своеобразная природа средств и искусственных ресурсов, находящихся в их распоряжении».

При отсутствии, действительно, развитой теории и аналитической силы очень точный инструмент был бы бесполезен. Измерительная аппаратура и математическая теория должны продвигаться pari passu, и с такой точностью, с какой теоретик может предвидеть результаты, экспериментатор должен быть способен сравнить их с опытом. Скрупулезно точные наблюдения Флемстида были надлежащим дополнением к интенсивным математическим силам Ньютона.

Каждая отрасль знания начинается с количественных понятий очень грубого характера. После того как мы далеко продвинулись, часто забавно оглянуться назад в младенчество науки и противопоставить нынешние методы прошлым. В Гринвичской обсерватории в настоящее время сотая часть секунды не считается незначительной частью времени. Древние халдеи записывали затмение с точностью до часа, а ранние александрийские астрономы считали излишним различать край и центр солнца. С введением астролябии Птолемей и более поздние александрийские астрономы могли определять места небесных тел с точностью до десяти угловых минут. Малый прогресс затем последовал в течение тринадцати столетий, пока Тихо Браге не сделал первый большой шаг к точности, не только применяя лучшие инструменты, но даже более того, перестав рассматривать инструмент как правильный. Тихо, фактически, определил ошибки своих инструментов и исправил свои наблюдения. Он также принял к сведению эффекты атмосферной рефракции и преуспел в достижении точности, часто в шестьдесят раз большей, чем у Птолемея. Тем не менее Тихо и Гевелий часто ошибались на несколько минут в определении места звезды, и великим достижением Ремера и Флемстида было сведение этой ошибки к секундам. Брэдли, современный Гиппарх, продолжил улучшение, его ошибки в прямом восхождении, согласно Бесселю, были менее одной секунды времени, а ошибки склонения менее четырех угловых секунд. В настоящее время средняя ошибка одного наблюдения, вероятно, сведена к половине или четверти того, что она была во времена Брэдли; и дальнейшая экстремальная точность достигается умножением наблюдений и их искусным объединением согласно теории ошибок. Некоторые из более важных констант, например, константа нутации, были определены с точностью до десятой части угловой секунды.

Было бы делом большого интереса проследить зависимость этого прогресса от введения новых инструментов. Астролябия Птолемея, телескоп Галилея, маятник Галилея и Гюйгенса, микрометр Хоррокса и телескопические прицелы и микрометр Гаскойна и Пикара, пассажный инструмент Ремера, квадрант Ньютона и Хэдли, ахроматические линзы Доллонда, хронометр Харрисона и делительная машина Рамсдена — таковы были некоторые из основных дополнений к астрономической аппаратуре. Результат в том, что мы теперь принимаем к сведению величины, в 300 000 или 400 000 раз меньшие, чем во времена халдеев.

Было бы интересно опять же сравнить скрупулезную точность современной тригонометрической съемки с грубой, но изобретательной догадкой Эратосфена о разности широт между Александрией и Сиеной — или с измерением Норвудом градуса широты в 1635 году. «Иногда я измерял, иногда я шагал», — сказал Норвуд; «и я верю, что я в пределах малой доли истины». Таков был заросток тех детальных геодезических измерений, которые сделали размеры земного шара известными нам с точностью до нескольких сотен ярдов.

В других отраслях науки изобретение инструмента обычно отмечало, если не создавало, эпоху. Наука о тепле могла бы быть сказана начинающейся с конструкции термометра, и она недавно была продвинута введением термоэлектрического столба. Химия была создана главным образом тщательным использованием весов, которые образуют уникальный пример инструмента, остающегося по существу в той форме, в которой он был впервые применен к научным целям Архимедом. Весы никогда не были и, вероятно, никогда не могут быть улучшены, за исключением деталей конструкции. Торсионные весы, введенные Кулоном к концу прошлого века, быстро стали существенными во многих отраслях исследования. В руках Кавендиша и Бэйли они дали определение плотности Земли; примененные в гальванометре, они дали тонкую меру электрических сил и незаменимы в термоэлектрическом столбе. Эти весы сделаны просто подвешиванием любого легкого стержня на тонкой проволоке или нити, прикрепленной к средней точке. И мы обязаны им почти всеми более тонкими исследованиями в теориях тепла, электричества и магнетизма.

Хотя мы теперь можем принимать к сведению миллионную долю дюйма в пространстве и миллионную долю секунды во времени, мы не должны упускать из виду тот факт, что в других операциях науки мы все еще находимся в положении халдеев. Прошло не много лет с тех пор, как величины звезд, означающие количества света, которые они посылают в глаз наблюдателя, угадывались самым грубым образом, и астроном присуждал звезду к тому или иному порядку величины грубым сравнением с другими звездами того же порядка. Сэру Джону Гершелю мы обязаны попыткой ввести единообразный метод измерения и выражения, имеющий некоторое отношение к реальным фотометрическим величинам звезд. До исследований Бунзена и Роско о химическом действии света мы были лишены какого-либо способа измерения энергии света; даже сейчас методы утомительны, и неясно, дают ли они энергию света так же, как один из его специальных эффектов. Многие природные явления едва ли еще стали предметом измерения вообще, такие как интенсивность звука, явления вкуса и запаха, величина атомов, температура электрической искры или фотосферы солнца.

Полагать, таким образом, что количественная наука имеет дело только с точно измеримыми величинами, — это грубая, хотя и распространенная ошибка. Всякий раз, когда мы имеем дело с событием, которое либо происходит целиком, либо не происходит вовсе, мы сталкиваемся с неколичественным явлением, фактом, а не степенью; но всякий раз, когда нечто может быть больше или меньше, или вдвое или втрое больше другого, всякий раз, короче говоря, когда отношение входит в рассмотрение даже в самом грубом виде, наука приобретает количественный характер. В самом деле, не может быть сомнений в том, что любая наука по мере своего развития будет становиться все более количественной. Числовая точность — это душа науки, как говорил Гершель, и поскольку все природные объекты существуют в пространстве и включают молекулярные движения, измеримые по скорости и протяженности, не существует видимого предела для конечного расширения количественной науки. Но читатель ни на мгновение не должен полагать, что, поскольку мы все больше полагаемся на математические методы, мы оставляем позади логические методы. Число, как я пытался показать, имеет логическое происхождение, а количество — это лишь развитие числа или нечто аналогичное ему.

Разделение предмета.

Общий предмет количественного исследования должен быть разделен на несколько частей. Мы сначала рассмотрим средства, находящиеся в нашем распоряжении для измерения явлений, и, таким образом, сделаем их в большей или меньшей степени доступными для математической обработки. Эта задача потребует анализа принципов, на которых основаны точные методы измерения, что составит предмет остальной части настоящей главы. Однако, поскольку измерение дает только отношения, в следующей главе мы должны рассмотреть установление единичных величин, в терминах которых могут быть выражены наши результаты. Поскольку каждое явление обычно представляет собой сумму нескольких различных величин, зависящих от разных причин, далее, в главе XV, мы должны исследовать методы, с помощью которых мы можем распутать сложные эффекты и отнести каждую часть совместного эффекта к ее отдельной причине.

Нам еще предстоит в последующих главах рассмотреть количественную индукцию в собственном смысле этого слова. Мы должны следовать обратному логическому методу, поскольку он проявляется в задачах гораздо более высокой степени сложности, чем те, которые имеют дело с объектами, связанными простым логическим образом и неспособными сливаться друг с другом путем сложения и вычитания.

Непрерывная величина.

Явления природы по большей части проявляются в величинах, которые непрерывно увеличиваются или уменьшаются. Когда мы исследуем точное значение непрерывной величины, мы обнаруживаем, что ее можно описать только как то, что делимо без предела. Мы можем разделить миллиметр на десять, сто, тысячу или десять тысяч частей, и, по крайней мере мысленно, мы можем продолжать деление ad infinitum. Любое конечное пространство, следовательно, должно мыслиться как состоящее из бесконечного числа частей, каждая из которых бесконечно мала. Мы не можем придерживаться простейших геометрических понятий, не допуская этого. Понятие квадрата включает понятие стороны и диагонали, которые, как Евклид прекрасно доказывает в 117-м предложении своей десятой книги, не имеют общей меры, что означает отсутствие конечной общей меры. Несоизмеримые величины — это, по сути, те, единственной общей мерой которых является бесконечно малая величина. Несколько поразительно также обнаружить, что в теории несоизмеримые величины будут бесконечно чаще встречаться, чем соизмеримые. Пусть любые две линии будут проведены наугад; бесконечно маловероятно, что они будут соизмеримы, так что соизмеримые величины, с которыми мы, как предполагается, имеем дело на практике, являются лишь единичными случаями среди бесконечно большего числа несоизмеримых случаев.

Практически, однако, мы рассматриваем все величины как состоящие из наименьших количеств, которые могут воспринять наши чувства при содействии лучших измерительных приборов. Пока микроскопы не были изобретены, было достаточно считать дюйм состоящим из тысячи тысячных долей дюйма; теперь мы должны рассматривать его как состоящий из миллиона миллионных долей. Мы могли бы, по-видимому, избежать всякого упоминания о бесконечно малых величинах, никогда не доводя наши приближения до величин, которые не могут оценить чувства. В геометрии, рассматриваемой таким образом, мы никогда не должны утверждать, что две величины равны, а только то, что они кажутся равными. Лежандр действительно принимает этот способ рассмотрения в двадцатом предложении первой книги своей «Геометрии»; и он практически принят во всех физических науках, как мы увидим позже. Но хотя наши пальцы, чувства и инструменты должны где-то остановиться, нет причин, по которым разум должен прекратить движение. Мы видим, что доказательство, которое на самом деле проводится лишь через несколько шагов, могло бы быть продолжено без ограничений, и именно это осознание отсутствия места для остановки делает доказательство Евклидом его 117-го предложения столь впечатляющим. Как бы мы ни пытались обойти этот вопрос, мы не можем действительно избежать рассмотрения бесконечно малого и бесконечно великого. Те же методы приближения, которые кажутся ограниченными конечным, мысленно распространяются на бесконечное.

Одним из результатов этих соображений является то, что мы никак не можем установить абсолютное равенство двух величин. Подвешивание гроба Магомета между двумя точно равными магнитами теоретически мыслимо, но практически невозможно. Сюжет «Венецианского купца» строится на бесконечной невероятности того, что можно отрезать точное количество плоти. Неустойчивое равновесие не может существовать в природе, ибо это то, что разрушается бесконечно малым смещением. Возможно, практически можно сбалансировать яйцо на его конце, потому что ни одно яйцо не имеет поверхности идеальной кривизны. Предположим, что яичная скорлупа идеально гладкая, и этот подвиг стал бы невозможным.

Обманчивые показания чувств.

Я могу кратко напомнить читателю, насколько мало мы можем доверять нашим невооруженным чувствам при оценке степени или величины какого-либо явления. Глаз не может правильно оценить сравнительную яркость двух светящихся тел, которые сильно различаются по блеску; ибо мы знаем, что радужная оболочка постоянно приспосабливается к интенсивности получаемого света и, таким образом, пропускает больше или меньше света в зависимости от обстоятельств. Луна, которая ночью сияет почти ослепительной яркостью, бледна и почти незаметна, пока глаз еще находится под воздействием гораздо более мощного дневного света. Многое было записано относительно сравнительной яркости зодиакального света в разное время, но было бы трудно доказать, что эти изменения не связаны с меняющейся темнотой в это время или различной остротой зрения наблюдателя. По той же причине чрезвычайно трудно установить существование каких-либо изменений в форме или сравнительной яркости туманностей; вид туманности во многом зависит от остроты зрения наблюдателя или случайного состояния свежести или усталости его глаз. То же самое верно и для лунных наблюдений; и даже использование лучшего телескопа не устраняет эту трудность. При суждении о цветах, опять же, мы должны помнить, что свет любого данного цвета имеет тенденцию притуплять чувствительность глаза к свету того же цвета.

И глаз, не подкрепленный инструментами, не является гораздо лучшим судьей величины. Наши оценки размера крошечных ярких точек, таких как неподвижные звезды, полностью искажаются эффектами иррадиации. Тихо вычислил по видимому размеру звездных дисков, что ни одна из главных неподвижных звезд не может поместиться внутри орбиты Земли. Однако, помимо иррадиации или других явных причин ошибки, наши визуальные оценки размеров и форм часто поразительно неточны. Художники почти неизменно рисуют далекие горы в нелепой непропорциональности к более близким объектам, как сразу показывает сравнение эскиза с фотографией. Чрезвычайная кажущаяся разница в размере Солнца или Луны в зависимости от того, высоко ли они в небе или близки к горизонту, должна быть достаточной, чтобы сделать нас осторожными в принятии самых простых показаний наших чувств, не подкрепленных инструментальным измерением. Что касается утверждений о высоте полярного сияния и расстоянии до метеоров, то им следует совершенно не доверять. Когда капитан Парри говорит, что луч полярного сияния внезапно пронзил пространство вниз между ним и землей, которая находилась всего в 3000 ярдов, мы должны считать, что он подвержен чувственной иллюзии.

Правда, ошибки наблюдения чаще являются ошибками суждения, чем чувств. То, что фактически увидено, должно быть в этой мере истинно увидено; и если мы правильно интерпретируем значение явления, ошибки вообще не будет. Но слабость голых чувств как измерительных приборов проистекает из того факта, что они привносят меняющиеся условия неизвестной величины, и мы не можем сделать необходимые поправки и допущения, как в случае с твердым и неизменным инструментом.

Бэкон превосходно изложил недостаточность чувств для оценки величин объектов или обнаружения степеней, в которых проявляются явления. «Вещи ускользают от чувств, — говорит он, — потому что объект недостаточно велик, чтобы поразить чувство: как все мельчайшие тела; потому что перкуссия объекта слишком велика, чтобы быть вынесенной чувствами: как форма солнца при прямом взгляде на него в полдень; потому что время не пропорционально для приведения чувства в действие: как движение пули в воздухе или быстрое круговое движение головни, которые слишком быстры, или часовая стрелка обычных часов, которая слишком медленна; из-за расстояния объекта по месту: как размер небесных тел и размер и природа всех далеких тел; из-за предубеждения другим объектом: как один сильный запах делает другие запахи в той же комнате незаметными; из-за прерывания промежуточными телами: как внутренние части животных; и потому что объект не пригоден для того, чтобы произвести впечатление на чувство: как воздух или невидимый и неосязаемый дух, который заключен в каждом живом теле».

Сложность количественных вопросов.

Одно замечание, которое мы вполне можем сделать, приступая к количественным вопросам, касается большого разнообразия и объема явлений, представленных нашему вниманию. Пока мы имеем дело только с чисто логическим вопросом, этот вопрос сводится лишь к тому: происходит ли определенное событие? или существует ли определенный объект? Как только мы рассматриваем событие или объект как способные к большему и меньшему, вопрос разветвляется на многие. Мы должны теперь спросить: сколько это по сравнению с его причиной? Изменяется ли оно, когда изменяется величина причины? Если да, то изменяется ли оно в том же или противоположном направлении? Является ли изменение в простой пропорции к изменению причины? Если нет, то какой более сложный закон связи остается верным? Этот закон, удовлетворительно определенный в одной серии обстоятельств, может варьироваться при новых условиях, и в конечном итоге могут быть установлены самые сложные отношения нескольких величин.

В каждом вопросе физической науки существует, таким образом, ряд шагов, первые один или два из которых обычно делаются легко, в то время как последующие требуют все более тщательного измерения. Мы не можем установить какой-либо неизменный ряд вопросов, которые должны быть заданы природе. Точный характер вопросов будет варьироваться в зависимости от природы случая, но они обычно будут очевидного рода, и мы можем легко проиллюстрировать их примерами. Предположим, что мы исследуем растворение какой-либо соли в воде. Первый — это чисто логический вопрос: есть ли растворение или нет? Предполагая, что ответ утвердительный, мы далее спрашиваем: варьируется ли растворимость с температурой или нет? По всей вероятности, некоторое изменение будет существовать, и мы должны получить ответ на дальнейший вопрос: увеличивается ли растворяемое количество или уменьшается с температурой? В подавляющем большинстве случаев соли и вещества всех видов растворяются тем свободнее, чем выше температура воды; но есть несколько солей, таких как сульфат кальция, которые следуют противоположному правилу. Значительное число солей напоминает сульфат натрия тем, что они становятся более растворимыми до определенной температуры, а затем варьируются в противоположном направлении. Далее нам требуется определить величину изменения по сравнению с изменением температуры, предполагая сначала, что увеличение растворимости пропорционально увеличению температуры. Поваренная соль является примером очень незначительного изменения, а нитрат калия — очень значительного увеличения с температурой. Точные наблюдения, однако, вероятно, покажут, что простой закон пропорционального изменения верен лишь приблизительно, и в конечном итоге может быть установлен какой-то более сложный закон, включающий вторую, третью или более высокие степени температуры. Все эти исследования должны проводиться для каждой соли отдельно, поскольку еще не было обнаружено четких принципов, по которым мы могли бы делать выводы от одного вещества к другому. Еще открыто неопределенное поле для дальнейших исследований; ибо растворимость солей, вероятно, будет варьироваться в зависимости от давления, под которым находится среда; присутствие других уже растворенных солей может иметь эффекты, еще неизвестные. Исследования, уже проведенные в отношении растворяющей способности воды, должны быть повторены со спиртом, эфиром, сероуглеродом и другими средами, так что, если не будут обнаружены общие законы, это одно явление растворения никогда не может быть исчерпывающе рассмотрено. Тот же тип вопросов повторяется в отношении растворения или поглощения газов в жидкостях, причем давление, так же как и температура, имеет тогда самое решительное влияние, и исследования профессора Роско по этому предмету представляют собой отличный пример последовательного определения различных сложных законов.

Едва ли найдется отрасль физической науки, в которой в конечном итоге не встречаются подобные сложности. В случае гравитации, действительно, мы приходим к окончательному закону, что сила одинакова для всех видов материи и варьируется только с расстоянием действия. Но в других предметах законы, если они просты по своей конечной природе, замаскированы и усложнены в своих видимых результатах. Таким образом, эффект тепла при расширении твердых тел и обратный эффект сильного растяжения или сжатия на температуру тела будут варьироваться от одного вещества к другому, будут варьироваться в зависимости от того, выше или ниже уже температура, и, вероятно, будут следовать весьма сложному закону, который в некоторых случаях дает отрицательные или исключительные результаты. В кристаллических веществах те же исследования должны быть повторены в каждом отдельном осевом направлении.

В науках чистого наблюдения, таких как астрономия, метеорология и земной магнетизм, мы встречаем много интересных серий количественных определений. Так называемые неподвижные звезды, как прозрел Джордано Бруно, на самом деле не неподвижны и могут быть более верно описаны как огромные блуждающие светила, каждое из которых следует своим собственным путем через пространство. Мы должны тогда определить отдельно для каждой звезды следующие вопросы:—

1. Движется ли она? 2. В каком направлении? 3. С какой скоростью? 4. Является ли эта скорость переменной или равномерной? 5. Если переменная, то по какому закону? 6. Является ли направление равномерным? 7. Если нет, то какова форма видимого пути? 8. Приближается ли она или удаляется? 9. Какова форма реального пути?

Последовательные ответы на такие вопросы в случае некоторых двойных звезд дали доказательство того, что движения обусловлены центральной силой, совпадающей по закону с гравитацией и, несомненно, идентичной ей. В других случаях движения обычно настолько малы, что чрезвычайно трудно различить их с уверенностью. И время еще далеко, когда могут быть установлены какие-либо общие результаты относительно звездных движений.

Изменение яркости звезд открывает неограниченное поле для любопытного наблюдения. Нет такой звезды на небе, относительно которой нам, возможно, не пришлось бы определять:—

1. Варьируется ли она по яркости? 2. Увеличивается или уменьшается яркость? 3. Является ли изменение равномерным? 4. Если нет, то по какому закону она варьируется?

В большинстве случаев изменение, вероятно, будет иметь периодический характер, и в этом случае возникнет несколько других вопросов, таких как—

5. Какова продолжительность периода? 6. Существуют ли второстепенные периоды? 7. Каков закон изменения внутри периода? 8. Есть ли какое-либо изменение в величине изменения? 9. Если да, то является ли оно вековым, т.е. постоянно растущим изменением, или оно дает свидетельство о большем периоде?

Уже периодические изменения определенного числа звезд были определены с точностью, и продолжительность периодов варьируется от менее чем трех дней до интервалов времени, по крайней мере, в 250 раз больших. Были также обнаружены периоды внутри периодов.

Пожалуй, нет предмета, в котором приходилось бы определять более сложные количественные условия, чем земной магнетизм. С того времени, когда склонение компаса было впервые замечено, как некоторые полагают, Колумбом, мы время от времени совершали последовательные открытия прогрессивного изменения склонения из века в век; периодического характера этого изменения; разницы склонения в различных частях земной поверхности; меняющихся законов изменения склонения; наклонения стрелки и соответствующих законов его периодических изменений; горизонтальные и перпендикулярные интенсивности также были предметом точного измерения и, как было обнаружено, варьируются в зависимости от места и времени, подобно направлениям стрелки; были также обнаружены суточные и годовые периодические изменения, и все элементы, как оказалось, подвержены случайным бурям или аномальным возмущениям, в которых проявляется одиннадцатилетний период, ныне известный как общий для многих планетарных отношений. Полное решение этих движений стрелки компаса включает не что иное, как определение ее положения и колебаний в каждой части мира в любую эпоху, аналогичное определение для другой эпохи и так далее, раз за разом, пока не будут установлены периоды всех изменений. Этот один предмет предлагает ученым почти неисчерпаемое поле для интересных количественных исследований, в которых мы, несомненно, в какое-то будущее время обнаружим действие причин, ныне самых таинственных и необъяснимых.

Методы точного измерения.

Изучая способы, которыми физики достигали очень точных измерений, мы обнаруживаем, что они весьма разнообразны, но что их, возможно, можно свести к следующим трем классам:—

1. Увеличение или уменьшение в некотором определенном отношении количества, подлежащего измерению, чтобы привести его в пределы досягаемости наших чувств и приравнять его к стандартной единице или некоторому определенному кратному или дольному этой единицы.

2. Обнаружение некоторого естественного соединения событий, которое позволит нам напрямую сравнивать кратные количества с кратными единицы или величиной, связанной в определенном отношении с этой единицей.

3. Косвенное измерение, которое дает нам не само количество, а некоторое другое количество, связанное с ним известными математическими отношениями.

Условия точного измерения.

Несколько условий необходимы для того, чтобы измерение могло быть сделано с большой точностью и чтобы результаты были тесно согласованы при проведении нескольких независимых измерений.

Во-первых, величина должна быть точно определена резкими границами или точными отметками незначительной толщины. Когда граница расплывчата и градуирована, как полутень при лунном затмении, невозможно сказать, где на самом деле конец, и разные люди придут к разным результатам. Мы можем иногда преодолеть эту трудность до некоторой степени с помощью наблюдений, повторяемых особым образом, как мы увидим позже; но, когда это возможно, мы должны выбирать возможности для измерения, когда точное определение легко. Момент покрытия звезды Луной может быть наблюдаем с большой точностью, потому что звезда исчезает с совершенной внезапностью; но существуют другие астрономические соединения, затмения, прохождения и т.д., которые занимают определенную продолжительность времени, и, таким образом, открывают путь к различиям во мнениях. Было бы невозможно наблюдать с точностью движения тела, не обладающего определенными точками отсчета. Цвета полного спектра переходят друг в друга так непрерывно, что точные определения показателей преломления были бы невозможны, если бы у нас не было темных линий солнечного спектра в качестве точных точек для измерения или различных видов однородного света, такого как свет натрия, обладающего почти равномерной длиной вибрации.

Во-вторых, мы не можем измерить точно, если у нас нет средств умножения или деления количества без значительной ошибки, так что мы можем правильно приравнять одну величину к кратному или дольному другой. В некоторых случаях мы воздействуем на количество, подлежащее измерению, и приводим его в точное совпадение со стандартом, как когда в фотометрии мы варьируем расстояние нашего светящегося тела, пока его освещающая сила в определенной точке не станет равной силе стандартной лампы. В других случаях мы повторяем единицу, пока она не станет равна объекту, как при съемке земли или определении веса с помощью весов. Требования точности теперь таковы: (1) Что мы можем повторять единицу за единицей точно равной величины; (2) Что они могут быть соединены вместе так, чтобы совокупность действительно была суммой частей. Те же условия применимы к подразделению, которое можно рассматривать как умножение подчиненных единиц. Чтобы измерить до тысячной доли дюйма, мы должны быть в состоянии добавлять тысячную за тысячной без ошибки в величине этих пространств или в их соединении.

Измерительные приборы.

Рассмотрение механической конструкции научных приборов не входит в мою цель в этой книге. Я хочу указать лишь на общую цель таких инструментов и методы, принятые для выполнения этой цели с большой точностью. Во-первых, мы должны различать инструмент, который осуществляет сравнение между двумя величинами, и стандартную величину, которая часто составляет одну из сравниваемых величин. Астрономические часы, например, не являются стандартом истечения времени; они служат лишь для подразделения с приблизительной точностью интервала последовательных прохождений звезды через меридиан, что они могут осуществлять, возможно, до десятой части секунды, или 1/864000 части целого. Сама движущаяся Земля является настоящими стандартными часами, а пассажный инструмент — стрелкой часов, в то время как звезды — отметками часа, минуты и секунды, не менее точными от того, что они расположены на неравных интервалах. Фотометр — это простой инструмент, с помощью которого мы сравниваем относительную интенсивность лучей света, падающих на данное пятно. Гальванометр показывает сравнительную интенсивность электрических токов, проходящих через провод. Калориметр измеряет количество тепла, проходящего от данного объекта. Но никакие такие инструменты не предоставляют стандартную единицу, в терминах которой должны быть выражены наши результаты. Только в одном особом случае тот же инструмент сочетает в себе единицу измерения и средства сравнения. Теодолит, стенной круг, секстант или другой инструмент для измерения угловых величин не нуждается в дополнительной физической единице; ибо сам круг или полный оборот является естественной единицей, к которой относятся все большие или меньшие количества угловой величины.

Результатом каждого измерения является выяснение чисто числового отношения, существующего между величиной, подлежащей измерению, и некоторой другой величиной, которая должна, когда это возможно, быть фиксированной единицей или стандартной величиной, или, по крайней мере, промежуточной единицей, значение которой может быть установлено в терминах окончательного стандарта. Но хотя отношение является требуемым результатом, уравнение — это способ, которым отношение определяется и выражается. В каждом измерении мы приравниваем некоторое кратное или дольное одного количества к некоторому кратному или дольному другого, и равенство — это всегда факт, который мы устанавливаем чувствами. Глазом, ухом или осязанием мы судим, есть ли расхождение между двумя огнями, двумя звуками, двумя интервалами времени, двумя брусками металла. Часто, действительно, мы заменяем одно чувство другим, как когда истечение времени оценивается по отметкам на движущейся полоске бумаги, так что равные интервалы времени представлены равными длинами. Существует тенденция сводить все сравнения к сравнению пространственных величин, но в каждом случае одно из чувств должно быть окончательным судьей совпадения или несовпадения.

Поскольку уравнение, которое должно быть установлено, может существовать между любыми кратными или дольными сравниваемых количеств, естественно возникают несколько различных способов сравнения, адаптированных к различным случаям. Пусть p — величина, подлежащая измерению, а q — та, в терминах которой она должна быть выражена. Тогда мы хотим найти такие числа x и y, чтобы уравнение p = x/y q было верным. Это уравнение может быть представлено в четырех формах, а именно:—

First Form. | Second Form. | Third Form. | Fourth Form.
p = x/y q | p y/x = q | py = qx | p/x = q/y

Каждый из этих способов выражения одного и того же уравнения соответствует одному способу осуществления измерения.

Когда стандартное количество больше того, которое подлежит измерению, мы часто принимаем первый способ и подразделяем единицу, пока не получим величину, равную измеренной. Углы, наблюдаемые при съемке, в астрономии или в гониометрии, обычно меньше целого оборота, и измерительный круг делится с помощью винта и микроскопа, пока мы не получим угол, неотличимый от наблюдаемого. Размеры крошечных объектов определяются путем подразделения дюйма или сантиметра, причем винтовой микрометр является наиболее точным средством подразделения. Обычные температуры оцениваются путем деления стандартного интервала между точками замерзания и кипения воды, как отмечено на трубке термометра.

В еще большем числе случаев, возможно, мы умножаем стандартную единицу, пока не получим величину, равную той, которая подлежит измерению. Обычное измерение с помощью футовой линейки, цепи землемера или чрезвычайно тщательные измерения базовой линии тригонометрической съемки с помощью стандартных брусков являются достаточными примерами этой процедуры.

Во втором случае, где p y/x = q, мы умножаем или делим величину, пока не получим то, что равно единице или некоторой величине, легко сравнимой с ней. Как общее правило, количества, которые мы желаем измерить в физической науке, скорее слишком малы, чем слишком велики для легкого определения, и проблема состоит в их умножении без внесения ошибки. Таким образом, расширение металлического бруска при нагревании от 0°C до 100° может быть умножено системой рычагов или зубчатых колес. В обычном термометре расширение ртути, хотя и незначительное, становится очень заметным и легко измеримым благодаря тонкости трубки, и можно было бы привести много других случаев. Существуют некоторые явления, напротив, которые слишком велики или быстры, чтобы попасть в легкий диапазон наших чувств, и наша задача тогда — противоположная, задача уменьшения. Галилей нашел трудным измерить скорость падающего тела из-за значительной скорости, приобретаемой за одну секунду. Поэтому он принял элегантное устройство уменьшения быстроты, позволив телу катиться вниз по наклонной плоскости, что позволяет нам уменьшить ускоряющую силу в любом требуемом отношении. Та же цель достигается в хорошо известных экспериментах, проводимых на машине Атвуда, и измерение гравитации с помощью маятника действительно зависит от того же принципа, примененного гораздо более выгодным образом. Уитстон изобрел прекрасный метод гальванометрии для сильных токов, который состоит в отводе от основного тока определенной доли, которая приравнивается гальванометром к стандартному току. Короче говоря, он измеряет не сам ток, а известную его часть.

Во многих электрических и других экспериментах мы хотим измерить движения стрелки или другого тела, которые не только очень незначительны сами по себе, но являются проявлениями чрезвычайно малых сил. Мы не можем даже приблизиться к тонко сбалансированной стрелке, не потревожив ее. В этих обстоятельствах единственный способ действовать с точностью — это прикрепить очень маленькое зеркало к движущемуся телу и использовать луч света, отраженный от зеркала, в качестве индекса его движений. Луч можно считать совершенно неспособным повлиять на тело, и все же, позволяя лучу пройти на достаточное расстояние, движения зеркала могут быть увеличены почти до любой степени. Луч света — это, по сути, совершенно невесомый палец или индекс неопределенной длины, с дополнительным преимуществом, что угловое отклонение по закону отражения вдвое больше, чем у зеркала. Этот метод был введен Гауссом и сейчас имеет большое значение; но в отражательном гониометре Волластона луч света уже использовался в качестве индекса. Лавуазье и Лаплас также использовали телескоп в связи с пирометром.

Большим преимуществом некоторых инструментов является то, что их можно легко заставить проявлять явление в большей или меньшей степени при очень незначительном изменении конструкции. Таким образом, либо увеличивая колбу, либо сужая трубку термометра, мы можем заставить его давать более заметные показания изменения температуры. Обычный барометр, с другой стороны, всегда дает вариации давления на одной шкале. Торсионные весы примечательны чрезвычайной деликатностью, которая может быть достигнута путем увеличения длины и легкости стержня, а также длины и тонкости поддерживающей нити. Силы, столь незначительные, как сила притяжения между двумя шарами или магнитное и диамагнитное притяжение обычных жидкостей и газов, могут таким образом быть сделаны видимыми и даже измеренными. Обычные химические весы также способны теоретически на неограниченную чувствительность.

Третий способ измерения, который можно назвать Методом Повторения, имеет столь большое значение и интерес, что мы должны рассмотреть его в отдельном разделе. Он состоит в умножении обеих сравниваемых величин, пока не будет обнаружено, что некоторое кратное первого очень близко совпадает с некоторым кратным второго. Если умножение может быть осуществлено в неограниченной степени без внесения компенсирующих ошибок, точность, с которой может быть определено требуемое отношение, неограниченна, и мы таким образом объясняем необычайную точность, с которой сравниваются интервалы времени в астрономии.

Четвертый способ измерения, при котором мы приравниваем дольные двух величин, используется сравнительно редко, потому что он не способствует точности. В фотометре, пожалуй, можно сказать, что мы его используем; мы сравниваем интенсивность двух источников света, помещая их оба на таких расстояниях от данной поверхности, что свет, падающий на поверхность, терпим для глаза и одинаково интенсивен от каждого источника. Поскольку интенсивность света варьируется обратно пропорционально квадрату расстояния, относительные интенсивности светящихся тел пропорциональны квадратам их расстояний. Одинаковая интенсивность двух лучей одинаково окрашенного света может быть наиболее точно установлена способом, предложенным Араго, а именно путем пропускания лучей в противоположных направлениях через две почти плоские линзы, прижатые друг к другу. Существует точное уравнение между интенсивностями пучков, когда кольца Ньютона исчезают, причем кольцо, созданное одним лучом, является точным дополнением того, которое создано другим.

Метод повторения.

Отношение двух количеств может быть определено с неограниченной точностью, если мы можем умножить как объект измерения, так и стандартную единицу без ошибки, а затем наблюдать, какое кратное одного совпадает или почти совпадает с некоторым кратным другого. Хотя идеальное совпадение никогда не может быть действительно достигнуто, ошибка, возникающая таким образом, может быть неопределенно уменьшена. Ибо если уравнение py = qx неточно на величину e, так что py = qx ± e, то мы имеем p = q x/y ± e/y, и поскольку мы, как предполагается, можем сделать y таким большим, как нам нравится, не увеличивая ошибку e, из этого следует, что мы можем сделать e ÷ y таким малым, как нам нравится, и таким образом приблизиться в пределах незначительной величины к требуемому отношению x ÷ y.

Этот метод повторения естественно используется всякий раз, когда количества могут повторяться или повторять сами себя без ошибки сопоставления, что особенно характерно для движений Земли и небесных тел. При определении продолжительности звездных суток мы определяем отношение между обращением Земли вокруг Солнца и ее вращением вокруг собственной оси. Мы могли бы установить это отношение, наблюдая последовательные прохождения звезды через зенит и сравнивая интервал с помощью хороших часов с интервалом между двумя прохождениями Солнца, причем разница обусловлена угловым движением Земли вокруг Солнца. В таких наблюдениях у нас была бы ошибка в значительную часть секунды при каждом наблюдении, в дополнение к нерегулярностям часов. Но обращения Земли повторяются день за днем и год за годом без малейшего интервала между концом одного периода и началом другого. Операция умножения идеально выполняется для нас природой. Если, таким образом, мы можем найти наблюдение прохождения звезды через меридиан сто лет назад, то есть интервала времени между прохождением Солнца и звезды, инструментальные ошибки при измерении этого интервала с помощью часов и телескопа могут быть больше, чем в наши дни, но будут разделены на около 36 524 дня и сделаны чрезвычайно малыми. Именно так астрономы смогли установить отношение средних солнечных суток к звездным суткам до 8-го знака после запятой (1,00273791 к 1), или до стомиллионной части, что, вероятно, является самым точным результатом измерения во всем диапазоне науки.

Древность этого способа сравнения почти так же велика, как и самой астрономии. Гиппарх сделал первое ясное его применение, когда сравнил свои собственные наблюдения с наблюдениями Аристарха, сделанными 145 годами ранее, и таким образом установил продолжительность года. Этот расчет, по сути, можно рассматривать как самую раннюю попытку точного определения констант природы. Метод является главным ресурсом астрономов; Тихо, например, обнаружил медленное уменьшение наклона земной оси путем сравнения наблюдений на больших интервалах. Живущие астрономы используют этот метод так же часто, как и более ранние; но настолько превосходят по точности все наблюдения, сделанные за последние сто лет, все предыдущие, что часто оказывается предпочтительным брать более короткий интервал, чем подвергаться риску больших инструментальных ошибок в более ранних наблюдениях.

Очевидно, что многие из более медленных изменений небесных тел должны требовать истечения больших интервалов времени, чтобы сделать их величину заметной. Гиппарх никак не мог обнаружить меньшие неравенства небесных движений, потому что не было предыдущих наблюдений достаточной давности или точности, чтобы их показать. И точно так же, как наблюдения Гиппарха сформировали отправную точку для последующих сравнений, так и большая часть труда нынешних астрономов направлена на то, чтобы записывать нынешнее состояние небес так точно, чтобы будущие поколения астрономов могли обнаружить изменения, которые никак не могут стать известными в нынешнюю эпоху.

Принцип повторения был очень изобретательно применен в инструменте, впервые предложенном Майером в 1767 году и осуществленном на практике в Повторяющемся круге Борда. Точное измерение углов необходимо не только в астрономии, но и в тригонометрических съемках, и высочайшее мастерство в механическом исполнении градуированного круга и телескопа не предотвратит терминальных ошибок значительной величины. Если вместо одного телескопа круг снабжен двумя похожими телескопами, они могут попеременно направляться на две удаленные точки, скажем, отметки в тригонометрической съемке, так что круг будет повернут на любое кратное угла, стягиваемого этими отметками, прежде чем величина углового оборота будет считана на градуированном круге. Теоретически говоря, всякая ошибка, возникающая из-за несовершенной градуировки, могла бы таким образом быть неопределенно уменьшена, будучи разделенной на число повторений. На практике преимущество изобретения оказывается не очень большим, вероятно, потому, что при каждом наблюдении при смене и фиксации телескопов вносится определенная ошибка. Более того, он неприменим к движущимся объектам, таким как небесные тела, поэтому его использование ограничено важными тригонометрическими съемками.

Маятник — самый совершенный из всех инструментов, главным образом потому, что он допускает почти бесконечное повторение. Поскольку сила гравитации никогда не прекращается, одно колебание маятника заканчивается, как только начинается другое, так что сопоставление последовательных единиц абсолютно совершенно. При условии, что колебания равны, одна тысяча колебаний займет ровно в тысячу раз больший интервал времени, чем одно колебание. Не только подразделение времени полностью зависит от этого факта, но и при точном измерении гравитации и многих других важных определениях он приносит величайшую пользу. В самой глубокой шахте мы не могли бы наблюдать быстроту падения тела более четверти минуты, и измерение его скорости было бы трудным и подверженным неопределенным ошибкам из-за сопротивления воздуха и т.д. В маятнике мы имеем тело, которое можно поддерживать в движении вверх и вниз в течение многих часов в среде, полностью находящейся под нашим контролем, или, если желательно, в вакууме. Более того, сравнительная сила гравитации в разных точках, например, на вершине и дне шахты, может быть определена с удивительной точностью путем сравнения колебаний двух точно похожих маятников с помощью электрических сигналов часов.

Чтобы установить сравнительное время вибрации двух маятников, достаточно лишь раскачивать их один перед другим, записать часами момент, когда они совпадают в колебании, так что один скрывает другой, а затем подсчитать число вибраций, пока они снова не придут к совпадению. Если один маятник совершает m вибраций, а другой n, мы сразу имеем наше уравнение pn = qm; которое дает длину вибрации любого маятника в терминах другого. Этот метод совпадения, воплощающий принцип повторения в совершенстве, был применен с удивительным мастерством сэром Джорджем Эйри в его экспериментах по плотности Земли в Хартской угольной шахте, причем маятники наверху и внизу сравнивались с часами, которые, в свою очередь, сравнивались друг с другом с помощью электрических сигналов. Настолько чрезвычайно точным был этот метод наблюдения, осуществленный сэром Джорджем Эйри, что он смог измерить общую разницу в вибрациях на вершине и дне шахты, составляющую всего 2,24 секунды за двадцать четыре часа, с ошибкой менее одной сотой части секунды, или одной части в 8 640 000 всего дня.

Принцип повторения был элегантно применен при наблюдении движения волн в воде. Если канал, в котором проводятся эксперименты, короткий, скажем, двадцать футов длиной, волны будут проходить через него так быстро, что наблюдение одной длины, как практиковал Уокер, будет подвержено большой терминальной ошибке, даже когда наблюдатель очень искусен. Но результатом волновой теории является то, что волна неизменна и не теряет времени при полном отражении, так что ей можно позволить путешествовать вперед и назад в том же канале, и ее движение, скажем, через шестьдесят длин, или 1200 футов, может быть наблюдаемо с той же точностью, что и в канале длиной 1200 футов, с преимуществом большей равномерности состояния канала и воды. Всегда желательно, если возможно, привести эксперимент в небольшой объем, чтобы он был хорошо под контролем, и все же мы часто можем благодаря повторению наслаждаться в то же время преимуществом обширного испытания.

Одной из причин большой точности взвешивания с помощью хороших весов является тот факт, что веса, помещенные на одну чашу, естественно складываются вместе без малейшей ошибки. Нет никакой трудности в точном сопоставлении двух граммов, но сопоставление двух метровых мер может быть осуществлено лишь с терпимой точностью с помощью микроскопов и многих предосторожностей. Отсюда крайние хлопоты и затраты, связанные с точным измерением базовой линии для съемки, риск ошибки, входящей при каждом сопоставлении измерительных брусков, и неутомимое внимание ко всем необходимым предосторожностям, требуемым на протяжении всей операции.

Измерения по естественному совпадению.

В определенных случаях особое соединение обстоятельств позволяет нам более или менее обходиться без инструментальных средств и получать очень точные числовые результаты самым простым образом. Тот факт, например, что ни один человек никогда не видел другой стороны Луны, кроме той, что нам знакома, убедительно доказывает, что период вращения Луны вокруг собственной оси равен периоду ее обращения вокруг Земли. Мало того, что мы имеем повторение этих движений в течение по крайней мере 1000 или 2000 лет, но мы имеем наблюдения, сделанные для нас в очень отдаленные периоды, свободные от инструментальной ошибки, так как никакой инструмент не был нужен. Мы узнаем, что седьмой спутник Сатурна подчиняется аналогичному закону, потому что его свет претерпевает изменение в каждом обращении из-за существования некоторого темного участка земли; теперь это ослабление света всегда происходит, пока он находится в том же положении относительно Сатурна, что ясно доказывает равенство периодов осевого вращения и обращения, как заметил Гюйгенс. Подобная особенность в движениях четвертого спутника Юпитера была аналогично обнаружена Маральди в 1713 году.

Примечательные соединения планет могут иногда позволить нам сравнивать их периоды обращения в течение больших интервалов времени с большой точностью. Лаплас, объясняя долгое неравенство в движениях Юпитера и Сатурна, был поддержан соединением этих планет, наблюдавшимся в Каире к концу одиннадцатого века. Лаплас вычислил, что такое соединение должно было произойти 31 октября 1087 года н.э.; и расхождение между расстояниями планет, как записано, и как назначено теорией, было менее одной пятой части видимого диаметра Солнца. Эта разница, будучи меньше вероятной ошибки ранней записи, подтвердила теорию, насколько были доступны факты.

Древние астрономы часто проявляли высочайшую изобретательность в том, чтобы использовать любые возможности измерения, которые представлялись. Эратосфен, еще в 250 г. до н.э., случайно услышав, что Солнце в Сиене, в Верхнем Египте, было видно в летнее солнцестояние на дне колодца, что доказывало, что оно находится в зените, предложил определить размеры Земли, измерив длину тени стержня в Александрии в тот же день года. Он таким образом узнал в грубом виде разницу широты между Александрией и Сиеной и, обнаружив, что она составляет около одной пятидесятой части всей окружности, определил размеры Земли с точностью до одной шестой части истины. Использование колодцев в астрономическом наблюдении, по-видимому, иногда практиковалось в сравнительно недавние времена, как Флемстидом в 1679 году. Александрийские астрономы использовали Луну в качестве инструмента измерения несколькими проницательными способами. Когда Луна ровно наполовину полна, Луна, Солнце и Земля находятся в углах прямоугольного треугольника. Аристарх измерил в такое время элонгацию Луны от Солнца, что дало ему два других угла треугольника и позволило судить о сравнительных расстояниях Луны и Солнца от Земли. Его результат, хотя и очень грубый, был гораздо точнее любых представлений, существовавших ранее, и позволил ему составить некоторое представление о сравнительных величинах тел. Затмения Луны были очень полезны Гиппарху при установлении долготы звезд, которые невидимы, когда Солнце находится над горизонтом. Ибо Луна при затмении должна быть на 180° удалена от Солнца; следовательно, достаточно лишь измерить расстояние неподвижной звезды по долготе от затмившейся Луны, чтобы легко получить ее угловое расстояние от Солнца.

В более поздние времена затмения Юпитера служили для измерения угла; ибо в средний момент затмения спутник должен находиться на одной прямой линии с планетой и Солнцем, так что мы можем узнать из известных законов движения спутника долготу Юпитера, как она видна с Солнца. Если в то же время мы измерим элонгацию или видимое угловое расстояние Юпитера от Солнца, как оно видно с Земли, мы имеем все углы треугольника между Юпитером, Солнцем и Землей и можем вычислить сравнительные величины сторон треугольника с помощью тригонометрии.

Прохождения Венеры по диску Солнца — это другие естественные события, которые дают наиболее точные измерения параллакса Солнца, или видимой разницы положения, как оно видно из удаленных точек земной поверхности. Солнце образует своего рода фон, на котором отмечено место планеты, и служит измерительным инструментом, свободным от всех ошибок конструкции, которые влияют на человеческие инструменты. Вращение Земли также, по-разному влияя на видимую скорость входа или выхода Венеры, как это видно из разных мест, раскрывает величину параллакса. Было достаточно показано, что путем правильного выбора моментов наблюдения планетарные тела часто могут быть заставлены раскрыть свое относительное расстояние, измерить свое собственное положение, записать свои собственные движения с высокой степенью точности. С улучшением астрономических инструментов такие соединения становятся менее необходимыми для прогресса науки, но всегда будет выгодно выбирать те моменты для наблюдения, когда инструментальные ошибки входят с наименьшим эффектом.

В других науках точные количественные законы иногда могут быть получены без инструментальных измерений, как, например, когда мы узнаем о точно равной скорости звуков разной высоты, наблюдая, что звон колоколов или музыкальное исполнение слышны гармонично на любом расстоянии, на которое проникает звук; этого не могло бы быть, как заметил Ньютон, если бы один звук обгонял другой. Один из важнейших принципов атомной теории был доказан косвенно еще до того, как в химию было введено использование весов. Венцель до 1777 года наблюдал, что, когда два нейтральных вещества разлагают друг друга, образующиеся соли также являются нейтральными. При смешивании сульфата натрия и нитрата бария мы получаем нерастворимый сульфат бария и нейтральный нитрат натрия. Этот результат не мог бы иметь места, если бы азотная кислота, необходимая для насыщения одного атома натрия, не была в точности равна той, что требуется для одного атома бария, так что обмен мог бы произойти без избытка кислоты или основания.

Важный принцип механики также может быть установлен с помощью простого акустического наблюдения. Когда металлический стержень или язычок, закрепленный с одного конца, приводится в вибрацию, можно заметить, что высота звука остается в точности одинаковой, независимо от того, малы или велики колебания; следовательно, колебания являются изохронными, или одинаково быстрыми, независимо от их амплитуды. Теоретически можно показать, что такой результат возможен только тогда, когда изгиб пропорционален отклоняющей силе. Таким образом, простое наблюдение того, что высота звука фисгармонии, например, не меняется с изменением его громкости, устанавливает точный закон природы.

Близкий пример можно найти в доказательстве того, что интенсивность лучей света или тепла изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния. Ибо видимая величина, безусловно, изменяется согласно этому закону; следовательно, если бы интенсивность света изменялась по какому-либо другому закону, яркость объекта была бы различной на разных расстояниях, чего на самом деле не наблюдается. Меллони применил тот же вид рассуждения, в несколько иной форме, к излучению тепловых лучей.

Способы косвенного измерения.

Некоторые из наиболее поразительно красивых экспериментов во всей области науки были разработаны с целью косвенного измерения величин, которые в своей крайней величине или малости превосходят возможности чувств. Все, что нам нужно сделать, — это обнаружить какое-либо другое удобно измеримое явление, которое связано известным отношением или по известному закону, как бы сложно это ни было, с тем, что подлежит измерению. Получив экспериментальные данные, нет никакой дальнейшей трудности, кроме арифметического или алгебраического расчета.

Золото измельчается сусальщиком в листы настолько тонкие, что самый мощный микроскоп не обнаружил бы никакой измеримой толщины. Если бы мы положили несколько сотен листов друг на друга, чтобы увеличить толщину, мы все равно получили бы не более 1/100 дюйма в самом лучшем случае для измерения, и ошибки, возникающие при наложении и измерении, были бы значительными. Но мы можем легко получить точный результат через связанную величину веса. Фарадей взвесил 2000 листов золота, каждый размером 3 3/8 дюйма в квадрате, и нашел, что они равны 384 гранам. Исходя из известного удельного веса золота, было легко рассчитать, что средняя толщина листов составляла 1/282 000 дюйма.

Мы должны приписать Ньютону честь первопроходца в методах точного измерения. Он не называл световые волны их настоящим именем и не понимал их природы; тем не менее, он измерил их длину, хотя она не превышала 2 000 000-й части метра или одной пятидесятитысячной части дюйма. Он прижал друг к другу две линзы с большими, но известными радиусами. Было легко рассчитать интервал между линзами в любой точке, измерив расстояние от центральной точки соприкосновения. Теперь, при монохроматических лучах, последовательные кольца света и тьмы отмечают точки, в которых интервал между линзами равен половине или любому кратному половине вибрации света, так что длина вибрации стала известна. Подобным образом многие явления интерференции лучей света допускают измерение длин волн. Интерференционные полосы возникают от лучей света, которые пересекаются под малым углом, и чрезвычайно малая разница в длинах волн создает очень заметную разницу в положении точки, в которой два луча будут интерферировать и создавать темноту.

Физо недавно использовал кольца Ньютона для измерения малых величин движения. Просто подсчитывая количество колец монохроматического натриевого света, проходящих через определенную точку, где две стеклянные пластины находятся в непосредственной близости, он способен с величайшей точностью и легкостью определить изменение расстояния между этими стеклами, вызванное, например, расширением металлического стержня, соединенного с одной из стеклянных пластин.

Ничто не вызывает большего восхищения, чем способ, которым научные наблюдатели могут иногда измерять величины, кажущиеся выходящими за пределы человеческого наблюдения. Мы знаем среднюю глубину Тихого океана, равную 14 190 футам, не путем фактического зондирования, что было бы непрактично в достаточной детализации, а путем наблюдения скорости передачи волн землетрясений от южноамериканского к противоположным побережьям, причем скорость движения связана теорией с глубиной воды. Таким же образом средняя глубина Атлантического океана выводится как не менее 22 157 футов, исходя из скорости обычных приливных волн. Приливная волна, в свою очередь, дает прекрасное свидетельство эффекта закона гравитации, который мы никогда не смогли бы обнаружить иным способом. Ньютон оценил, что сила Луны в движении океана составляет лишь одну часть из 2 871 400 всей силы гравитации, так что даже маятник, используемый с величайшим мастерством, не смог бы сделать ее заметной. Тем не менее, огромный масштаб океана позволяет накопить эффект до очень ощутимой величины; и из сравнительных высот лунных и солнечных приливов Ньютон грубо оценил сравнительные силы гравитации Луны и Солнца на Земле.

Несколько лет назад могло показаться невозможным, что мы когда-либо измерим скорость, с которой звезда приближается к Земле или удаляется от нее, поскольку видимое положение звезды при этом не меняется. Но спектроскоп теперь позволяет нам обнаруживать и даже измерять такие движения с значительной точностью, благодаря изменению, которое он вызывает в видимой быстроте вибрации и, следовательно, в преломляемости лучей света определенного цвета. И в то время как наши оценки боковых движений звезд зависят от нашего весьма неопределенного знания об их расстояниях, спектроскоп дает движения приближения и удаления независимо от других движений, за исключением движения Земли. Короче говоря, он дает движения приближения и удаления звезд относительно Земли.

Быстрота вибрации для каждого музыкального тона, будучи точно определенной путем сравнения с сиреной (стр. 10), позволяет нам использовать звуки в качестве косвенных индикаторов быстрых вибраций. Теперь известно, что сокращение мышцы возникает из периодических сокращений каждого отдельного волокна, и по слабому звуку или шуму, который сопровождает действие мышцы, делается вывод, что каждое сокращение длится около 1/300 доли секунды. Минутные количества лучистого тепла теперь всегда измеряются косвенно с помощью электричества, которое они производят при падении на термостолбик. Чрезвычайная чувствительность этого метода, по-видимому, обусловлена возможностью умножения в нескольких точках аппарата. Количество элементов или соединений различных металлов в термостолбике может быть увеличено так, что напряжение электрического тока, полученное от той же интенсивности излучения, умножается; эффект тока на магнитную стрелку может быть умножен в определенных пределах путем пропускания тока много раз вокруг нее в катушке; отклонения стрелки могут быть увеличены путем придания ей астатичности и повышения чувствительности ее подвеса; наконец, угловое отклонение может быть измерено с любой требуемой точностью с помощью прикрепленного зеркала и удаленной шкалы, рассматриваемой через телескоп (стр. 287). Такова чувствительность этого метода измерения тепла, что д-ру Джоулю удалось создать термостолбик, который указывал бы разницу в 0,000114° по Цельсию.

Яркий случай косвенного измерения предоставляется вращающимся зеркалом Уитстона и Фуко, посредством которого малый интервал времени оценивается в форме углового отклонения. Уитстон наблюдал электрическую искру в зеркале, вращающемся так быстро, что если бы длительность искры была более 1/72 000 доли секунды, точка света казалась бы удлиненной на угловую величину в полградуса. В искре, полученной непосредственно из лейденской банки, никакого удлинения не было заметно, так что длительность искры была неизмеримо мала; но когда разряд происходил через плохой проводник, удлинение искры указывало на ощутимую длительность. В руках Фуко вращающееся зеркало дало меру времени, затрачиваемого светом на прохождение через несколько метров пространства.

Сравнительное использование измерительных приборов.

Почти в каждом случае измерительный прибор служит и должен служить лишь средством сравнения между двумя или более величинами. Как общее правило, мы не должны пытаться сделать деления измерительной шкалы точными кратными или дольными единицами, но, рассматривая их как произвольные отметки, должны определять их значения путем сравнения с самим эталоном. Перпендикулярные нити в поле зрения транзитного телескопа закреплены на почти равных, но произвольных расстояниях, и эти расстояния впоследствии определяются, как впервые предложил Мальвазия, путем наблюдения прохождения звезды за звездой через них и отмечания интервалов времени по часам. Благодаря совершенно равномерному движению Земли, эти временные интервалы дают точные определения угловых интервалов. Таким же образом угловое значение каждого оборота винтового микрометра, прикрепленного к телескопу, может быть легко и точно установлено.

Когда термостолбик используется для наблюдения лучистого тепла, было бы почти невозможно рассчитать априорно, каково значение каждого деления круга гальванометра, и еще труднее сконструировать гальванометр так, чтобы каждое деление имело заданное значение. Но это совершенно не нужно, потому что, помещая термостолбик перед телом известных размеров, на известном расстоянии, с известной температурой и излучающей способностью, мы измеряем известное количество лучистого тепла и обратно измеряем значение показаний термостолбика. Подобным образом д-р Джоуль установил фактическую температуру, создаваемую сжатием металлических стержней. Ибо, вставив небольшой термостолбик, состоящий из одного соединения медной и железной проволоки, и отметив отклонения гальванометра, ему оставалось только погрузить стержни в воду разных температур, пока он не получил такое же отклонение, чтобы установить температуру, развиваемую давлением.

В некоторых случаях мы вынуждены принять очень тщательно сконструированный прибор в качестве эталона, как в случае со стандартным барометром или термометром. Но тогда лучше рассматривать все менее точные приборы только сравнительно и определять значения их шкал путем сравнения с принятым эталоном.

Систематическое выполнение измерений.

Когда необходимо выполнить большое количество точных измерений, обычно желательно произвести определенное количество определений со скрупулезной тщательностью, а затем использовать их в качестве опорных точек для остальных определений. В тригонометрической съемке страны главная триангуляция фиксирует относительные положения и расстояния нескольких точек с жесткой точностью. Второстепенная триангуляция относит каждый заметный холм или деревню к одной из главных точек, а затем детали заполняются путем отнесения к вторичным точкам. Съемка небес осуществляется подобным образом. Древние астрономы сравнивали прямые восхождения нескольких главных звезд с Луной и таким образом устанавливали их положения относительно Солнца; второстепенные звезды впоследствии соотносились с главными звездами. Тихо следовал тому же методу, за исключением того, что он использовал более медленно движущуюся планету Венеру вместо Луны. Флемстид имел обыкновение использовать около семи звезд, выгодно расположенных в точках по всему небу. В его ранних наблюдениях расстояния других звезд от этих стандартных точек определялись с помощью квадранта. Даже после введения транзитного телескопа и стенного круга в Гринвиче составляются таблицы стандартных звезд, положения которых определяются со всей возможной точностью, так что они могут использоваться астрономами для целей отсчета.

При определении удельных весов веществ все газы соотносятся с атмосферным воздухом при данной температуре и давлении; все жидкости и твердые тела соотносятся с водой. Нам требуется с большой тщательностью сравнить плотности воды и воздуха, и тогда можно будет установить сравнительные плотности любых двух веществ.

При сравнении очень большой величины с очень малой обычно желательно разбить процесс на несколько этапов, используя промежуточные члены сравнения. Мы никогда не стали бы измерять расстояние от Лондона до Эдинбурга, укладывая измерительные стержни по всей длине. На ровной местности выбирается база в несколько миль и сравнивается, с одной стороны, со стандартным ярдом, а с другой — с расстоянием между Лондоном и Эдинбургом или любыми другими двумя точками путем тригонометрической съемки. Опять же, было бы чрезвычайно трудно сравнить свет звезды со светом Солнца, который был бы примерно в тридцать тысяч миллионов раз больше; но Гершель осуществил сравнение, используя полную Луну в качестве промежуточной единицы. Волластон установил, что Солнце дает в 801 072 раза больше света, чем полная Луна, а Гершель определил, что свет последней превышает свет альфы Центавра в 27 408 раз, так что мы находим отношение между светом Солнца и звезды равным примерно 22 000 000 000 к 1.

Маятник.

Безусловно, самым совершенным и прекрасным из всех измерительных приборов является маятник. Состоящий просто из тяжелого тела, свободно подвешенного на неизменном расстоянии от фиксированной точки, он очень прост в конструкции; тем не менее, все высочайшие проблемы физических измерений зависят от его тщательного использования. Его исключительная ценность проистекает из двух обстоятельств.

(1) Метод повторения в высшей степени применим к нему, как уже было описано (стр. 290).

(2) В отличие от других приборов, он связывает воедино три различные величины: пространства, времени и силы.

В большинстве работ по натурфилософии показано, что когда колебания маятника бесконечно малы, квадрат времени, затрачиваемого на колебание, прямо пропорционален длине маятника и обратно пропорционален силе, воздействующей на него, какого бы рода она ни была. Вся теория маятника содержится в формуле, впервые данной Гюйгенсом в его «Horologium Oscillatorium».

Time of oscillation = 3·14159 × √length of pendulum/force.

Величина 3,14159 является постоянным отношением окружности и радиуса круга и, конечно, известна с точностью. Следовательно, при заданных любых двух из трех рассматриваемых величин можно найти третью; или, если любые две поддерживаются неизменными, третья будет неизменной. Таким образом, маятник неизменной длины, подвешенный в том же месте, где силу гравитации можно считать постоянной, дает меру времени. Если тот же неизменный маятник заставить вибрировать в разных точках земной поверхности, а времена вибрации определить астрономически, сила гравитации становится точно известной. Наконец, при известной силе гравитации и времени вибрации, установленном путем отсчета по звездам, длина является определенной.

Все астрономические наблюдения зависят от первого способа использования маятника, а именно в астрономических часах. Во втором применении он был почти столь же незаменим. Первичный принцип, что гравитация одинакова во всей материи, был доказан маятниковыми экспериментами Ньютона и Гаусса. Крутильный маятник Мичелла, Кавендиша и Бейли, зависящий от точно тех же принципов, что и обычный маятник, дал плотность Земли, одну из важнейших природных констант. Кейтер и Сабин, с помощью маятниковых наблюдений в разных частях Земли, установили вариацию гравитации, откуда следует определение эллиптичности Земли. Законы электрического и магнитного притяжения также были определены методом вибраций, который постоянно используется при измерении горизонтальной силы земного магнетизма.

Мы не должны путать с обычным использованием маятника его применение Ньютоном для демонстрации отсутствия внутреннего трения о пространство или для установления законов движения и упругости. В этих случаях измеряемой величиной является амплитуда вибрации, и принципы прибора иные.

Достижимая точность измерения.

Представляет некоторый интерес сравнение степеней точности, которые могут быть достигнуты при измерении различных видов величин. Немногие измерения какого-либо рода точны более чем до шести значащих цифр, но редко приходится надеяться на такую точность. Время — это величина, которая, по-видимому, способна к наиболее точному оцениванию благодаря свойствам маятника и принципу повторения, описанному в предыдущих разделах. Что касается коротких интервалов времени, то уже было сказано, что сэр Джордж Эйри был способен оценить одну часть из 8 640 000, точность, как он справедливо замечает, «почти невообразимую». Отношение между средними солнечными и звездными сутками известно как примерно одна часть на сто миллионов, или до восьмого знака после запятой (стр. 289).

Определения веса, по-видимому, следуют по точности, благодаря тому факту, что к ним применим метод повторения без ошибок. Обычные хорошие весы должны показывать около одной части из 500 000 нагрузки. Лучшие весы, использованные г-ном Стасом, поворачивались при одной части из 825 000 нагрузки. Но весы, безусловно, были сконструированы так, чтобы показывать одну часть из миллиона, и говорят, что Рамсден сконструировал весы для Королевского общества, чтобы указывать одну часть из семи миллионов, хотя это едва ли правдоподобно. Профессор Клерк Максвелл принимает как должное, что можно обнаружить одну часть из пяти миллионов, но мы должны различать, что могут сделать весы при первом изготовлении и при постоянном использовании.

Определения длины, если они не выполняются с необычайной тщательностью, подвержены большой ошибке в соединении измерительных стержней. Даже при измерении базовой линии тригонометрической съемки точность, обычно достигаемая, составляет лишь около одной части из 60 000, или дюйм на милю; но говорят, что в четырех измерениях базовой линии, проведенных совсем недавно на мысе Коморин, наибольшая ошибка составила 0,077 дюйма на 1,68 мили, или одна часть из 1 382 400, почти невероятная степень точности. Сэр Дж. Уитворт показал, что осязание является даже более тонким способом измерения длин, чем зрение, и с помощью великолепно выполненного винта и небольшого кубика железа, помещенного между двумя плоскими железными стержнями так, чтобы он был подвешен при касании их, он может обнаружить изменение размера стержня, составляющее не более одной миллионной доли дюйма.

ГЛАВА XIV. ЕДИНИЦЫ И ЭТАЛОНЫ ИЗМЕРЕНИЯ.

Как мы видели, измерительные приборы являются лишь средствами сравнения между одной величиной и другой, и, как общее правило, мы должны принять некоторую одну произвольную величину, в терминах которой должны быть выражены все результаты измерения. Простые отношения между любым рядом объектов никогда не скажут нам об их абсолютных величинах; мы должны иметь по крайней мере одно отношение для каждого, и мы должны иметь одну абсолютную величину. Количество отношений n выразимо в n уравнениях, которые будут содержать по крайней мере n + 1 величин, так что если мы используем их для того, чтобы сделать известными n величин, мы должны иметь одну известную величину. Следовательно, измеряем ли мы время, пространство, плотность, массу, вес, энергию или любую другую физическую величину, мы должны ссылаться на некоторый конкретный эталон, некоторый реальный объект, который, если однажды потерян и невосстановим, лишает все наши меры их абсолютного значения. Этот конкретный эталон во всех случаях произволен с точки зрения теории, а его выбор — вопрос практического удобства.

Существует, однако, два вида величин, которые не нуждаются в выражении в терминах произвольных конкретных единиц, поскольку они предполагают существование естественных стандартных единиц. Один случай — это само абстрактное число, которое не нуждается в специальной единице, потому что любой объект, который существует или мыслится как отдельный от других объектов (стр. 157), предоставляет нам единицу и является единственным требуемым эталоном.

Угловая величина — это второй случай, в котором у нас есть естественная единица отсчета, а именно полный оборот или перигон, как его назвал г-н Сандеман. Необходимым результатом равномерных свойств пространства является то, что все полные обороты равны друг другу, так что нам не нужно выбирать какой-то один оборот, а можно всегда обращаться заново к самому пространству. Берем ли мы весь перигон, его половину или четверть, в сущности не имеет значения; Евклид взял прямой угол, потому что греческие геометры никогда не обобщали свои представления об угловой величине достаточно, чтобы рассматривать углы всех величин или неограниченного количества оборота. Евклид определяет прямой угол как половину угла, образованного линией с ее собственным продолжением, что, конечно, равно половине оборота, но что не рассматривалось им как угол. В математическом анализе берется другая дробь перигона, а именно такая дробь, что дуга или часть окружности, включенная в нее, равна радиусу круга. С этой точки зрения угловая величина является абстрактным отношением, а именно отношением между длиной стягиваемой дуги и длиной радиуса. Геометрической единицей тогда неизбежно является угол, соответствующий отношению единицы. Этот угол равен примерно 57°, 17′, 44,8″, или в десятичном виде 57,295779513... . Де Морган назвал его дуговой единицей, но более удобным названием для общего пользования был бы радиан, как предложил профессор Эверетт. Хотя этот стандартный угол естественно используется в математическом анализе, и любая другая единица внесла бы большую сложность, мы не должны рассматривать его как отдельную единицу, поскольку его величина связана с величиной полуперигона естественной константой 3,14159..., обычно обозначаемой буквой π.

Когда мы переходим к другим видам величин, выбор единицы оказывается полностью произвольным. Абсолютно нет способа определить длину, кроме как путем выбора некоторого физического объекта, демонстрирующего эту длину между определенными очевидными точками — как, например, конечности стержня или отметки, сделанные на его поверхности.

Стандартная единица времени.

Время — это великая независимая переменная всех изменений — то, что само течет непрерывно и приносит разнообразие, которое мы называем движением и жизнью. Когда мы размышляем о его сокровенной природе, Время, как и любой другой элемент существования, оказывается непостижимой тайной. Мы можем только сказать вместе со св. Августином тому, кто спрашивает нас, что такое время: «Я знаю, когда ты не спрашиваешь меня». Разум человека будет спрашивать о том, на что никогда нельзя ответить, но одним из результатов истинной и строгой логической философии должно быть убеждение нас в том, что научное объяснение может иметь место только между явлениями, которые имеют что-то общее, и что когда мы доходим до первичных понятий, таких как время и пространство, разум должен встретить точку тайны, за которую он не может проникнуть. Определения времени искать не следует; если мы скажем вместе с Гоббсом, что это «фантазм до и после в движении», или вместе с Аристотелем, что это «число движения согласно прежнему и последующему», мы, очевидно, ничего не выигрываем, потому что понятие времени вовлечено в выражения до и после, прежнее и последующее. Время, несомненно, является одним из тех первичных понятий, которые могут быть определены только физически или путем наблюдения явлений, которые протекают во времени.

Если мы не продвинулись ни на шаг дальше проницательных размышлений Августина на эту тему, любопытно наблюдать удивительные успехи, которые были сделаны в практическом измерении его течения. В более ранние века грубые солнечные часы или восход заметной звезды давали точки отсчета, в то время как поток воды из клепсидры, горение свечи или, в монашеские века, даже непрерывное пение псалмов были средствами грубого подразделения периодов и отмечания часов дня и ночи. Солнце и звезды до сих пор дают эталон времени, но стали необходимы средства точного подразделения, и это было предоставлено маятником и хронографом. С помощью маятника мы можем точно разделить день на секунды времени. С помощью хронографа мы можем подразделить секунду на сто, тысячу или даже миллион частей. Уитстон измерил длительность электрической искры и нашел, что она составляет не более 1/115 200 доли секунды, в то время как совсем недавно капитан Нобл смог оценить интервалы времени, не превышающие миллионной доли секунды.

Когда мы приходим к вопросу о том, какое именно явление мы так детально измеряем, мы встречаем непреодолимые трудности. Ньютон различал время в зависимости от того, было ли оно абсолютным или кажущимся, следующими словами: «Абсолютное, истинное и математическое время, само по себе и по своей собственной природе, течет равномерно без отношения к чему-либо внешнему и под другим именем называется длительностью; относительное, кажущееся и обычное время есть некоторая чувственная и внешняя мера длительности посредством движения». Хотя мы, возможно, обязаны предположить существование равномерно возрастающей величины, которую мы называем временем, все же мы не можем чувствовать или знать абстрактное и абсолютное время. Длительность должна быть сделана явной для нас повторением некоторого явления. Последовательность наших собственных мыслей, несомненно, является первой и простейшей мерой времени, но очень грубой, потому что у некоторых людей и в некоторых обстоятельствах мысли явно текут с гораздо большей быстротой, чем у других людей и в других обстоятельствах. В отсутствие всех других явлений интервал между одной мыслью и другой неизбежно стал бы единицей времени, но самые беглые наблюдения показывают, что в окружающем мире существуют изменения, гораздо лучше подходящие по своей постоянности для измерения времени, чем изменение мыслей внутри нас.

Земля, как я уже сказал, является настоящими часами астронома и практически принимается как неизменная в своих движениях. Но на каком основании она так принимается? Согласно первому закону движения, каждое тело сохраняет свое состояние покоя или равномерного движения по прямой линии, если оно не принуждено изменить это состояние силами, приложенными к нему. Вращательное движение подчиняется подобному условию, а именно, что оно сохраняется равномерно, если не нарушается внешними силами. Теперь равномерное движение означает движение через равные пространства за равные времена, так что если у нас есть тело, полностью свободное от всякого сопротивления или возмущения, и мы можем измерить равные пространства его пути, у нас есть идеальная мера времени. Но пусть будет помниться, что этот закон никогда не был абсолютно доказан опытом; ибо мы не можем указать на какое-либо тело и сказать, что оно полностью не встречает сопротивления или не потревожено; и даже если бы у нас было такое тело, нам понадобился бы некоторый независимый эталон времени, чтобы установить, было ли его движение действительно равномерным. Поскольку именно в движущихся телах мы находим лучший эталон времени, мы не можем использовать их для доказательства равномерности их собственных движений, что было бы равносильно petitio principii. Наш опыт сводится к тому, что когда мы исследуем и сравниваем движения тел, которые кажутся нам почти свободными от возмущений, мы находим, что они дают почти гармоничные меры времени. Если какое-либо одно тело, которое кажется нам движущимся равномерно, не делает этого, а подвержено неизвестным нам скачкам, потому что у нас нет абсолютного эталона времени, то все другие тела должны быть подвержены тем же произвольным скачкам, иначе возникло бы расхождение, раскрывающее нерегулярности. Точно так же, как при сравнении ряда хронометров мы вскоре обнаружили бы плохие по их нерегулярному ходу по сравнению с другими, так и в природе мы обнаруживаем нарушенное движение по его расхождению с движением других тел, которые мы считаем невозмущенными и которые почти согласуются между собой. Но поскольку мера движения вовлекает время, а мера времени вовлекает движение, в конечном счете должно быть допущение. Мы можем определить равные времена как времена, в течение которых движущееся тело под влиянием отсутствия силы описывает равные пространства; но все, что мы можем сказать в поддержку этого определения, это то, что оно не приводит нас к каким-либо известным трудностям и что, насколько позволяет наш опыт, одно свободно движущееся тело дает те же результаты, что и любое другое.

Когда мы спрашиваем, где находится свободно движущееся тело, нельзя дать совершенно удовлетворительного ответа. Практически вращающийся шар достаточно точен, и Томсон и Тэйт говорят: «Равные времена — это времена, в течение которых Земля поворачивается на равные углы». Прошло не так много времени с тех пор, как астрономы считали невозможным обнаружить какое-либо неравенство в его движении. Предполагалось, что Пуассон доказал, что изменение длины звездных суток, составляющее одну десятимиллионную часть за 2500 лет, несовместимо с древним затмением, записанным халдеями, и подобные расчеты были сделаны Лапласом. Но теперь известно, что эти расчеты были несколько ошибочными и что диссипация энергии, возникающая из трения приливных волн и излучения тепла в пространство, слегка уменьшила быстроту вращательного движения Земли. Звездные сутки теперь длиннее на одну часть из 2 700 000, чем они были в 720 г. до н.э. Еще до этого открытия было известно, что неизменность вращения зависит от идеального поддержания внутреннего тепла Земли, которое необходимо для того, чтобы размеры Земли оставались неизменными. Теперь Земля, будучи выше по температуре, чем пустое пространство, должна остывать более или менее быстро, так что она не может предоставить абсолютную меру времени. Подобные возражения можно было бы выдвинуть против всех других вращающихся тел в пределах нашего познания.

Движение Луны вокруг Земли и движение Земли вокруг Солнца образуют следующую лучшую меру времени. Они, действительно, подвержены возмущениям от других планет, но считается, что эти возмущения должны со временем пройти через свои ритмические курсы, оставляя средние расстояния незатронутыми, и, следовательно, согласно третьему закону Кеплера, периодические времена неизменными. Но есть больше оснований верить, что Земля встречает небольшое сопротивление при прохождении через пространство, подобное тому, которое так очевидно в комете Энке. Может также существовать диссипация энергии в электрических отношениях Земли к Солнцу, возможно, идентичная той, которая проявляется в замедлении комет. Вероятно, тогда неверным допущением является то, что орбита Земли остается совершенно неизменной. Вполне возможно, что со временем может быть найдено какое-то другое тело, которое предоставит лучший эталон времени, чем Земля в своем годовом движении. Значительно превосходящая масса Юпитера и его спутников, а также их большее расстояние от Солнца могут сделать электрическую диссипацию энергии менее значительной, чем в случае с Землей. Но выбор лучшей меры всегда будет открытым, и какое бы движущееся тело мы ни выбрали, в конечном счете может быть показано, что оно подвержено возмущающим силам.

Маятник, хотя и является столь замечательным прибором для подразделения времени, не справляется с ролью эталона; ибо хотя тот же маятник, на который воздействует та же сила гравитации, совершает равные вибрации за равные времена, малейшее изменение в форме или весе маятника, малейшая коррозия какой-либо части или самое минутное смещение точки подвеса фальсифицирует результаты, и возникают многие другие сложные вопросы температуры, трения, сопротивления, длины вибрации и т.д.

Томсон и Тэйт придерживаются мнения, что конечный эталон хронометрии должен быть основан на физических свойствах некоторого тела более постоянного характера, чем Земля; например, тщательно устроенной металлической пружины, герметично запечатанной в откачанном стеклянном сосуде. Но трудно понять, как мы можем быть уверены, что размеры и упругость куска кованого металла останутся совершенно неизменными в течение нескольких миллионов лет, рассматриваемых ими. Почти идеальный газ, такой как водород, возможно, является единственным видом вещества, в неизменной упругости которого мы могли бы быть уверены. Более того, трудно понять, как колебания такой пружины могли бы наблюдаться с требуемой точностью. Совсем недавно профессор Клерк Максвелл сделал новое предложение, обсуждаемое в последующем разделе, что колебания света в вакууме образовали бы наиболее универсальный эталон отсчета, как в отношении времени, так и пространства. Согласно этой системе единицей времени было бы время, затрачиваемое на одну вибрацию того конкретного вида света, чья длина волны принята за единицу длины.

Единица пространства и стержневой эталон.

Следующим по важности после измерения времени является измерение пространства. Время стоит на первом месте в теории, потому что явления, наши внутренние мысли, например, могут меняться во времени без отношения к пространству. Что касается явлений внешней природы, они все больше и больше стремятся разрешиться в движения молекул, а движение не может быть осмыслено или измерено без отношения как ко времени, так и к пространству.

Переходя теперь к измерению пространства, мы находим почти столь же трудным зафиксировать и определить раз и навсегда единичную величину. Существует три различных способа, которыми было предложено попытаться увековечить стандартную длину.

(1) Путем конструирования фактического образца стандартного ярда или метра в форме стержня.

(2) Путем принятия самого земного шара в качестве конечного эталона величины, причем практической единицей является дольная часть некоторого измерения земного шара.

(3) Путем принятия длины простого секундного маятника в качестве эталона отсчета.

На первый взгляд может показаться, что в этом деле нет большой трудности и что любой из этих методов мог бы подойти достаточно хорошо; но чем детальнее мы вникаем в подробности, тем более безнадежной кажется попытка установить неизменный эталон. Мы должны в первую очередь указать на принцип не очевидного характера, а именно, что стандартная длина должна быть определена одним единственным объектом. Сделать два стержня в точности одинаковой длины или даже два стержня, имеющих идеально определенное отношение друг к другу, выше сил человеческого искусства. Если будут сделаны две копии стандартного метра и объявлены одинаково правильными, будущие исследователи, безусловно, обнаружат некоторое расхождение между ними, доказывая, конечно, что они не могут оба быть эталоном, и давая повод для спора о том, какая величина должна тогда считаться правильной.

Если бы можно было сконструировать и поддерживать один неизменный стержень в качестве абсолютного эталона, такого неудобства не могло бы возникнуть. Каждое последующее поколение, приобретая более высокие возможности измерения, обнаруживало бы ошибки в копиях эталона, но сам эталон оставался бы вне подозрений и, так сказать, становился бы постепенно все более и более точно известным. К сожалению, сконструировать и сохранить метр или ярд — это также задача, которая либо невозможна, либо, что почти то же самое, не может быть показана как возможная. Опуская практическую трудность определения концов стандартной длины с полной точностью, будь то точками или линиями на поверхности, или конечными точками стержня, у нас нет средств доказать, что вещества остаются неизменных размеров. Точно так же, как мы не можем сказать, равномерно ли вращение Земли, кроме как сравнивая его с другими движущимися телами, считающимися более равномерными в движении, так мы не можем обнаружить изменение длины стержня, кроме как сравнивая его с некоторым другим стержнем, предполагаемым неизменным. Но как нам узнать, какой стержень неизменен? Несомненно, многие жесткие и, по-видимому, неизменные вещества действительно меняются в размерах. Колба термометра, безусловно, сжимается с возрастом, помимо претерпевания быстрых изменений размеров при нагревании или охлаждении на 100° по Цельсию. Можем ли мы быть уверены, что даже самые твердые металлические стержни не сжимаются слегка с возрастом или не претерпевают изменений в своей структуре из-за изменения температуры. Физо был побужден попробовать, будет ли кварцевый кристалл, подвергнутый нескольким сотням чередований температуры, модифицирован в своих физических свойствах, и он не смог обнаружить никакого изменения в коэффициенте расширения. Не следует, однако, что, поскольку в кварцевом кристалле не было обнаружено видимых изменений, недавно сконструированные металлические стержни не претерпят никаких изменений.

Лучший принцип, как мне кажется, на котором может быть основано увековечение эталона длины, заключается в том, что если изменение длины происходит, оно, по всей вероятности, будет разной величины в разных веществах. Если тогда было бы сконструировано большое количество стандартных метров из всех видов различных металлов и сплавов; твердых пород, таких как гранит, серпентин, сланец, кварц, известняк; искусственных веществ, таких как фарфор, стекло и т.д., тщательное сравнение время от времени показывало бы сравнительные изменения длины этих различных веществ. Наиболее изменчивые вещества были бы наиболее расходящимися, и эталон был бы предоставлен средней длиной тех, которые согласуются друг с другом наиболее тесно, точно так же, как равномерное движение — это движение тех тел, которые согласуются наиболее тесно в указании течения времени.

Земной эталон.

Второй метод предполагает, что сам земной шар является телом неизменных размеров, и основатели метрической системы выбрали десятимиллионную часть расстояния от экватора до полюса в качестве определения метра. Первое несовершенство такого метода заключается в том, что Земля, безусловно, не является неизменной в размерах; ибо мы знаем, что она выше по температуре, чем окружающее пространство, и должна медленно остывать и сжиматься. Есть много оснований полагать, что все землетрясения, вулканы, поднятия гор и изменения уровня моря являются свидетельствами этого сжатия, как утверждает г-н Маллет. Но таков огромный объем Земли и длительность ее прошлого существования, что это сжатие, возможно, менее быстро в пропорции, чем сжатие любого стержня или другого материального эталона, который мы можем сконструировать.

Вторая и главная трудность этого метода проистекает из огромного размера Земли, который препятствует нам делать какое-либо сравнение с конечным эталоном, кроме как путем тригонометрической съемки самого сложного и дорогостоящего вида. Французские физики, которые впервые предложили этот метод, попытались устранить это неудобство, выполнив съемку раз и навсегда, а затем сконструировав стандартный метр, который должен был быть в точности одной десятимиллионной частью расстояния от полюса до экватора. Но поскольку все измерительные операции являются лишь приблизительными, было невозможно, чтобы эта операция была выполнена идеально. Соответственно, в 1838 году было показано, что предполагаемый французский метр был ошибочным в значительной степени — одна часть из 5527. Тогда стало необходимым либо изменить длину предполагаемого метра, либо отказаться от его предполагаемой связи с размерами Земли. Французское правительство и Международная метрическая комиссия по очевидным причинам решили в пользу последнего курса и, таким образом, вернулись к первому методу определения метра с помощью данного стержня. Поскольку время от времени отношение между этим предполагаемым стандартным метром и квадрантом Земли становится более точно известным, у нас есть лучшие средства восстановления этого метра путем отсчета к земному шару, если потребуется. Но пока он не потерян, не уничтожен или по какой-либо ясной причине не дискредитирован, стержневой метр, а не земной шар, является эталоном. Томсон и Тэйт замечают, что любое из более точных измерений английской тригонометрической съемки могло бы подобным образом использоваться для восстановления нашего стандартного ярда, в терминах которого записаны результаты.

Маятниковый эталон.

Третий метод определения стандартной длины, путем отсчета к секундному маятнику, был впервые предложен Гюйгенсом и одно время был принят английским правительством. Из принципа маятника (стр. 302) ясно следует, что если время колебания и сила, воздействующая на маятник, одинаковы, длина маятника должна быть одинаковой. Мы не избавляемся от теоретических трудностей, ибо мы должны предположить, что притяжение гравитации в некоторой точке земной поверхности, скажем, в Лондоне, неизменно со временем, а звездные сутки неизменны, причем ни одно из этих допущений не является абсолютно правильным, насколько мы можем судить. Маятник, короче говоря, является лишь косвенным средством сделать одну физическую величину пространства зависимой от двух других физических величин времени и силы.

Практические трудности, однако, носят гораздо более серьезный характер, чем теоретические. Длина маятника — это не обычная длина прибора, которая могла бы быть значительно изменена без влияния на длительность вибрации, а расстояние от центра подвеса до центра колебания. Нет прямых средств определения этого последнего центра, который зависит от среднего импульса всех частиц маятника относительно центра подвеса. Гюйгенс обнаружил, что центры подвеса и колебания взаимозаменяемы, и Кейтер указал, что если маятник вибрирует с точно такой же быстротой при подвешивании из двух разных точек, расстояние между этими точками является истинной длиной эквивалентного простого маятника. Но практические трудности при использовании реверсивного маятника Кейтера значительны, и должны быть рассмотрены вопросы, касающиеся возмущения воздуха, силы гравитации или даже интерференции электрических притяжений. Было показано, что все эксперименты, проведенные под руководством правительства для определения отношения между стандартным ярдом и секундным маятником, были испорчены ошибкой в поправках на сопротивляющуюся, прилипающую или выталкивающую силу воздуха, в котором раскачивались маятники. Даже если бы такие поправки были сделаны ненужными путем работы в вакууме, остаются другие сложные вопросы. Метод Гаусса сравнения вибраций проволочного маятника при подвешивании на двух разных длинах открыт для равных или больших практических трудностей. Таким образом, установлено, что маятниковый эталон не может конкурировать по точности и достоверности с простым стержневым эталоном, и метод был бы полезен только как вспомогательный способ восстановления стержневого эталона, если он когда-либо снова будет уничтожен.

Единица плотности.

Прежде чем мы сможем измерить явления природы, нам требуется третья независимая единица, которая позволит нам определить количество материи, занимающей любое данное пространство. Все изменения природы, как мы увидим, вероятно, являются столь многими проявлениями энергии; но энергия требует некоторого субстрата или материального механизма молекул, в котором и посредством которого она может быть проявлена. Наблюдение показывает, что в отношении силы могут существовать два способа изменения материи. Как говорит Ньютон в первом определении Principia, «количество материи есть мера оной, возникающая из ее плотности и объема вместе». Таким образом, сила, требуемая для приведения тела в движение, варьируется как в зависимости от объема материи, так и в зависимости от ее качества. Два кубических дюйма железа одинакового качества потребуют вдвое больше силы, чем один кубический дюйм, чтобы произвести определенную скорость за данное время; но один кубический дюйм золота потребует больше силы, чем один кубический дюйм железа. Существует, таким образом, некоторое новое измеримое качество в материи, помимо ее объема, которое мы можем назвать плотностью и которое, строго говоря, указывается ее способностью сопротивляться и поглощать действие силы. За единицу плотности мы можем принять плотность любого вещества, которое однородно по качеству и может легко соотноситься время от времени. Чистая вода при любой определенной температуре, например, тающего снега под незначительным давлением, предоставляет неизменный эталон плотности, и путем сравнения равных объемов различных веществ с таким же объемом ледяной воды, в отношении скорости, произведенной в единицу времени той же силой, мы установили бы плотности этих веществ, выраженные в плотности воды. Практически сила гравитации используется для измерения плотности; ибо прекрасный эксперимент с маятником, выполненный Ньютоном и повторенный Гауссом, показывает, что все виды материи гравитируют одинаково. Две порции материи, которые находятся в равновесии на весах, могут быть приняты как обладающие равной инерцией, и их плотности, следовательно, будут обратно пропорциональны их кубическим размерам.

Единица массы.

Умножая число единиц плотности некоторого количества материи на число единиц занимаемого ею пространства, мы получаем количество материи, или, как его обычно называют, единицу массы, определяемую присущими ей инерцией и гравитацией. Чтобы действовать наиболее простым способом, единицей массы следовало бы считать массу кубической единицы материи стандартной плотности; однако создатели метрической системы приняли за единицу массы кубический сантиметр воды при температуре максимальной плотности (около 4° C). Они назвали эту единицу массы граммом и изготовили эталонные образцы килограмма, к которым могли бы легко обращаться все, кому необходимо использовать точные веса. К сожалению, определение объема заданного веса воды при определенной температуре — это операция, сопряженная со многими трудностями, и в настоящее время она не может быть выполнена с точностью выше примерно одной части на 5000, при этом результаты тщательных наблюдений иногда различаются на величину до одной части на 1000.

С другой стороны, веса можно сравнивать друг с другом с точностью по меньшей мере до одной части на миллион. Следовательно, если различные образцы килограмма изготавливаются путем прямого взвешивания относительно воды, они не будут точно соответствовать друг другу; два основных эталонных килограмма не согласуются ни друг с другом, ни со своим определением. По словам профессора Миллера, так называемый «Архивный килограмм» (Kilogramme des Archives) весит 15432,34874 грана, в то время как килограмм, хранящийся в Министерстве внутренних дел в Париже в качестве эталона для коммерческих целей, весит 15432,344 грана. Поскольку эталонный вес, изготовленный из платины или платино-иридиевого сплава, может сохраняться без каких-либо заметных изменений и поскольку его можно очень точно сравнить с другими весами, мы в конечном итоге достигнем наибольшей точности в наших измерениях массы, приняв какой-либо один килограмм в качестве временного эталона, оставив определение его фактической массы в единицах пространства и плотности для будущих исследований. Именно так практически поступают в настоящее время, и таким образом единица массы занимает место единицы плотности как во французской, так и в английской системах. Английский фунт определяется определенным куском платины, хранящимся в Вестминстере, и является произвольной массой, выбранной лишь для того, чтобы она как можно точнее соответствовала старым английским фунтам. Галлон, старая английская единица кубического измерения, определяется условием, что он должен содержать ровно десять фунтов веса воды при 62° по Фаренгейту; и хотя указывается, что его вместимость составляет около 277,274 кубических дюймов, это соотношение между кубической и линейной системами измерения не закреплено законодательно, а оставлено открытым для исследований. Хотя французская метрическая система в своем первоначальном виде была теоретически совершенной, в этом пункте она практически не отличается от английской системы.

Естественная система эталонов.

Совсем недавно профессор Клерк Максвелл предположил, что колебания света и атомы материи могли бы мыслимым образом использоваться в качестве предельных эталонов длины, времени и массы. Таким образом, мы пришли бы к естественной системе эталонов, которая, хотя и не имеет в настоящее время практического значения, представляет значительный теоретический интерес. «В нынешнем состоянии науки, — говорит он, — самым универсальным эталоном длины, который мы могли бы принять, была бы длина волны в вакууме определенного вида света, испускаемого каким-либо широко распространенным веществом, таким как натрий, имеющим четко определенные линии в своем спектре. Такой эталон был бы независим от любых изменений размеров Земли и должен быть принят теми, кто ожидает, что их труды будут более долговечными, чем это тело». Точно так же мы получили бы универсальную стандартную единицу времени, независимую от всех вопросов о движении материальных тел, приняв за единицу период колебаний того конкретного вида света, длина волны которого является единицей длины. Из этого следовало бы, что при таких единицах длины и времени единица скорости совпадала бы со скоростью света в пустом пространстве. Что касается единицы массы, профессор Максвелл, как мне кажется, с юмором замечает, что если мы ожидаем вскоре получить возможность определить массу отдельной молекулы какого-либо стандартного вещества, мы можем подождать с этим определением, прежде чем устанавливать универсальный эталон массы.

С теоретической точки зрения не может быть разумных сомнений в том, что колебания света являются, насколько мы можем судить, наиболее неизменными по величине из всех явлений. Как обычно, в этом вопросе нет полной уверенности, поскольку свойства основы света могут в некоторой степени варьироваться в разных частях пространства. Однако никаких различий в скорости света в разных частях Солнечной системы установить не удалось, а спектры звезд показывают, что периоды колебаний там не отличаются заметно от таковых в этой части Вселенной. Таким образом, все предположения свидетельствуют в пользу абсолютного постоянства колебаний света — абсолютного, то есть, насколько позволяют судить любые средства исследования, которыми мы, вероятно, располагаем. Почти те же соображения применимы к атомному весу как эталону массы. Невозможно доказать, что все атомы одного и того же вещества имеют равную массу, и некоторые физики полагают, что они различаются, так что неизменность пропорций соединения может быть обусловлена лишь приблизительным постоянством среднего значения бесчисленных миллионов различающихся весов. Но в любом случае обнаружение различий, вероятно, находится за пределами наших возможностей. Таким образом, с теоретической точки зрения величины, предложенные профессором Максвеллом, представляются наиболее неизменными из всех, о которых мы имеем какое-либо знание, поэтому они неизбежно становятся естественными единицами.

С практической точки зрения, как первым отметил бы профессор Максвелл, они имеют малую или нулевую ценность, поскольку в нынешнем состоянии науки мы не можем измерить колебание или взвесить атом с точностью, приближающейся к той, которая достижима при сравнении эталонных метров и килограммов. Скорость света известна, вероятно, не точнее чем до одной тысячной части, и по мере прогресса в познании света мы будем прогрессировать в точном установлении других эталонов. Все, что можно сказать, это то, что весьма желательно определить длины волн и периоды основных линий солнечного спектра, а также абсолютные атомные веса элементов со всей достижимой точностью в терминах наших существующих эталонов. Полученные таким образом числа позволили бы воспроизвести наши эталоны в какую-либо будущую эпоху с соответствующей степенью точности, если бы возникла необходимость в такой сверке; но, насколько мы можем судить в настоящее время, нет значительной вероятности того, что этот способ воспроизведения когда-либо станет наилучшим.

Вспомогательные единицы.

Установив однажды стандартные единицы времени, пространства и плотности или массы, мы могли бы использовать их для выражения всех величин такого рода. Но часто бывает удобно в отдельных отраслях науки использовать кратные или дольные единицы исходных единиц для простого выражения величин. Мы используем милю, а не ярд, когда говорим о размерах земного шара, а среднее расстояние между Землей и Солнцем — не слишком большая единица, когда нам нужно описать расстояния до звезд. С другой стороны, когда мы имеем дело с микроскопическими объектами, дюйм, линия или миллиметр становятся наиболее удобными терминами для выражения.

Ученый вправе ввести новую единицу в любой области знаний, при условии, что она способствует точности выражения и тщательно соотнесена с первичными единицами. Так, профессор А. У. Уильямсон предложил в качестве удобной единицы объема в химической науке абсолютный объем, равный примерно 11,2 литра, представляющий собой объем одного грамма газообразного водорода при стандартной температуре и давлении, или эквивалентный вес любого другого газа, такого как 16 граммов кислорода, 14 граммов азота и т. д.; короче говоря, объем того количества любого из этих газов, которое весит столько граммов, сколько единиц содержится в числе, выражающем его атомный вес. Гофман предложил новую единицу веса для химиков, называемую «крит» (crith), определяемую весом одного литра газообразного водорода при 0° C и 0,76 м ртутного столба, весящего около 0,0896 грамма. Обе эти единицы следует рассматривать как чисто подчиненные единицы, в конечном счете определяемые через отсылку к первичным единицам и не влекущие за собой никаких новых допущений.

Производные единицы.

После того как стандартные единицы времени, пространства и массы были однажды зафиксированы, многие виды величин естественным образом измеряются единицами, производными от них. От метра, единицы линейной величины, наиболее очевидным образом следуют сантиар или квадратный метр — единица поверхностной величины, и литр, то есть куб десятой части метра — единица вместимости или объема. Скорость движения выражается отношением пройденного пространства, когда движение равномерно, к затраченному времени; следовательно, единицей скорости является скорость тела, которое проходит единицу пространства за единицу времени. В физической науке единицей скорости можно принять один метр в секунду. Количество движения измеряется движущейся массой с учетом как количества материи, так и скорости, с которой она движется. Следовательно, единицей количества движения будет количество движения единичного объема материи единичной плотности, движущегося с единичной скоростью, или, во французской системе, кубический сантиметр воды максимальной плотности, движущийся со скоростью один метр в секунду.

Ускоряющая сила измеряется отношением созданного количества движения к затраченному времени, при условии, что сила действует равномерно. Единицей силы будет, следовательно, та, которая создает единицу количества движения за единицу времени, или которая заставляет, во французской системе, один кубический сантиметр воды при максимальной плотности приобрести за одну секунду скорость один метр в секунду. Сила тяжести — самый привычный вид силы, и поскольку, действуя беспрепятственно на любое вещество, она создает в Париже за секунду скорость 9,80868... метров в секунду, из этого следует, что абсолютная единица силы составляет примерно десятую часть силы тяжести. Если мы используем британские веса и меры, абсолютная единица силы представлена силой тяжести примерно половины унции, поскольку сила тяжести любой части материи, действующая на эту материю в течение одной секунды, создает конечную скорость 32,1889 фута в секунду, или около 32 единиц скорости. Хотя благодаря постоянному действию и приблизительной равномерности мы находим в гравитации наиболее удобную силу для сравнения и поэтому привычно используем ее для оценки количеств материи, мы должны помнить, что это лишь один из многих примеров силы. Строго говоря, нам следовало бы выражать вес в терминах силы, но на практике мы выражаем другие силы в терминах веса.

Нам все еще нужна единица энергии, более сложного понятия. Количество движения тела выражает количество движения, которое принадлежит или принадлежало бы совокупности частиц; но когда мы рассматриваем, как это движение связано с действием силы, создающей или устраняющей его, мы обнаруживаем, что эффект силы пропорционален массе, умноженной на квадрат скорости, и удобно принять половину этого произведения в качестве требуемого выражения. Но в книгах по динамике показано, что результат будет в точности тем же, если мы определим энергию как силу, действующую на определенном расстоянии. Естественной единицей энергии будет тогда та, которая преодолевает единицу силы, действующую на единице расстояния; когда мы поднимаем один килограмм на один метр против силы тяжести, мы, следовательно, совершаем 9,80868... единиц работы, то есть мы превращаем такое количество единиц потенциальной энергии, существующей в мышцах, в потенциальную энергию гравитации. При поднятии одного фунта на один фут происходит таким же образом преобразование 32,1889 единиц энергии. Соответственно, единицей энергии в английской системе будет та, которая требуется для поднятия одного фунта на примерно тридцать вторую часть фута; в метрических единицах это будет энергия, требуемая для поднятия килограмма на примерно одну десятую часть метра.

Каждый человек волен измерять и записывать величины в терминах любой единицы, которая ему нравится. Он может использовать ярд для линейного измерения и литр для кубического измерения, только тогда между его различными результатами будет сложная зависимость. Система производных единиц, которую мы кратко рассмотрели, — это та, которая дает наиболее простые и естественные отношения между количественными выражениями различных видов и поэтому способствует легкости понимания и экономии трудоемких вычислений.

Очевидно, было бы большим удобством, если бы ученые могли договориться о какой-то единой системе единиц, исходных и производных, в терминах которых можно было бы выражать все величины. Таким образом, утверждения стали бы легко сопоставимыми, большая часть научной литературы стала бы понятной для всех, а экономия умственного труда была бы огромной. Также, по-видимому, общепризнано, что метрическая система весов и мер представляет собой наилучшую основу для окончательной системы; она полностью утвердилась в Западной Европе; она узаконена в Англии; она уже повсеместно используется учеными; она сама по себе является наиболее простой и научной из систем. Таким образом, есть все основания для того, чтобы метрическая система была принята, по крайней мере, в своих основных чертах.

Временные единицы.

В конечном счете, в чем мы вряд ли можем сомневаться, все явления будут признаны как проявления энергии; и, будучи выраженными в терминах единицы энергии, они будут сводимы к первичным единицам пространства, времени и плотности. Однако, чтобы осуществить это сведение в любом конкретном случае, мы должны не только уметь сравнивать различные количества явления, но и проследить всю последовательность шагов, посредством которых оно связано с первичными понятиями. Мы можем легко заметить, что интенсивность одного источника света больше, чем другого; и, зная, что интенсивность света уменьшается по мере увеличения квадрата расстояния, мы можем легко определить их сравнительную яркость. Следовательно, мы можем выразить интенсивность света, падающего на любую поверхность, если у нас есть единица, в которой можно сделать это выражение. Свет, несомненно, является одной из форм энергии, и единица должна, следовательно, быть единицей энергии. Но в настоящее время совершенно невозможно сказать, сколько энергии содержится в каком-либо конкретном количестве света. Тогда возникает вопрос: должны ли мы отложить измерение света до тех пор, пока не сможем установить его связь с другими формами энергии? Если мы ответим «да», это равносильно утверждению, что наука о свете должна остановиться, возможно, на целое поколение; и не только эта наука, но и многие другие. Истинный путь, очевидно, заключается в том, чтобы выбрать в качестве временной единицы света какой-либо свет удобной интенсивности, который можно время от времени воспроизводить с той же интенсивностью и который определяется физическими обстоятельствами. Все явления света могут быть экспериментально исследованы относительно этой единицы, например, той, что была получена после большого труда Бунзеном и Роско. В последующие годы предметом исследования станет вопрос о том, какая энергия затрачивается в такой единице света; но может пройти много времени, прежде чем эта связь будет точно определена.

Временная единица, таким образом, означает ту, которая принята и физически определена надежным и воспроизводимым способом, чтобы конкретные величины можно было сравнивать inter se (между собой) более точно, чем их можно пока отнести к первичным единицам. В действительности подавляющее большинство наших измерений выражается в терминах таких временно независимых единиц, и даже единицу массы, как мы видели, следует считать временной.

Единица тепла должна была бы быть просто единицей энергии, уже описанной. Но вес можно измерить с точностью до одной миллионной части, а температуру — до менее чем тысячной доли градуса Фаренгейта, и, следовательно, до менее чем пятисоттысячной доли абсолютной температуры, тогда как механический эквивалент тепла, вероятно, не известен с точностью до тысячной доли. Отсюда необходимость во временной единице тепла, которую часто принимают за количество, необходимое для нагревания одного грамма воды на один градус Цельсия, то есть от 0° до 1°. Это количество тепла поддается приблизительному выражению в терминах времени, пространства и массы; ибо благодаря естественной константе, определенной доктором Джоулем и называемой механическим эквивалентом тепла, мы знаем, что принятая единица тепла равна энергии 423,55 грамм-метров, или той энергии, которая поднимет массу 423,55 грамма на один метр против 9,8... абсолютных единиц силы. Тепло также может быть выражено в терминах количества льда при 0° C, которое оно способно превратить в воду при незначительном давлении.

Теория размерностей.

Чтобы понять отношения между величинами, рассматриваемыми в физической науке, необходимо обратить внимание на теорию размерностей, впервые четко сформулированную Жозефом Фурье, но в более поздние годы развитую несколькими физиками. Эта теория исследует способ, которым каждая производная единица зависит от одной или нескольких фундаментальных единиц или включает их в себя. Число единиц в прямоугольной площади находится путем перемножения чисел единиц в сторонах; таким образом, единица длины дважды входит в единицу площади, о которой поэтому говорят, что она имеет две размерности по отношению к длине. Обозначая длину через L, мы можем сказать, что размерности площади равны L × L или L². Очевидно, таким же образом, что размерности объема или вместимости будут L³.

Число единиц массы в теле находится путем умножения числа единиц объема на единицы плотности. Следовательно, масса имеет три размерности в отношении длины и одну в отношении плотности. Обозначая плотность через D, размерности массы равны L³D. Как уже объяснялось, однако, обычно принято подставлять произвольную временную единицу массы, обозначаемую M; согласно принятому здесь взгляду, мы можем сказать, что размерности M равны L³D.

Вводя время, обозначаемое через T, легко увидеть, что размерности скорости будут L/T или LT⁻¹, потому что число единиц в скорости тела находится путем деления единиц пройденного расстояния на единицы затраченного времени. Ускорение тела измеряется увеличением скорости по отношению ко времени, то есть мы должны разделить единицы полученной скорости на единицы времени, затраченного на ее получение; следовательно, его размерности будут LT⁻². Количество движения — это произведение массы и скорости, так что его размерности равны MLT⁻¹. Эффект силы измеряется ускорением, произведенным в единице массы за единицу времени; следовательно, размерности силы равны MLT⁻². Совершенная работа пропорциональна действующей силе и пространству, через которое она действует; так что она имеет размерности силы с добавлением размерности длины, что дает ML²T⁻².

Следует особо отметить, что угловая величина вообще не имеет размерностей, будучи измеряемой отношением дуги к радиусу (стр. 305). Таким образом, мы имеем размерности LL⁻¹ или L⁰. Это согласуется с ранее сделанным утверждением, что никакой произвольной единицы угловой величины не требуется. Аналогично, все чистые числа, выражающие только отношения, такие как синусы и другие тригонометрические функции, логарифмы, показатели степени и т. д., лишены размерностей. Это абсолютные числа, обязательно выраженные в терминах самой единицы, и они совершенно не зависят от выбора произвольных физических единиц. Угловая величина, однако, входит в другие величины, такие как угловая скорость, которая имеет размерности 1/T или T⁻¹, так как единицы угла делятся на единицы затраченного времени. Размерности углового ускорения обозначаются через T⁻².

Величины, рассматриваемые в теориях тепла и электричества, многочисленны и сложны в отношении своих размерностей. Теплоемкость имеет размерности ML⁻³, теплопроводность — ML⁻¹T⁻¹. В магнетизме размерности силы полюса равны M¹/²L³/²T⁻¹, размерности напряженности поля равны M¹/²L⁻¹/²T⁻¹, и интенсивность намагничивания имеет те же размерности. В науке об электричестве физики имеют дело с многочисленными видами величин, и их размерности также различны в электростатической и электромагнитной системах. Так, электродвижущая сила имеет размерности M¹/²L¹/²T⁻¹ в первой системе и M¹/²L³/²T⁻² во второй. Емкость в электростатике просто зависит от длины, но в электромагнетизме — от L⁻¹T². Особого внимания заслуживает тот факт, что электрические величины имеют простые размерности, когда они выражены в терминах плотности, а не массы. Приведенных примеров достаточно, чтобы показать трудность осмысления и прослеживания отношений величин, рассматриваемых в физической науке, без систематического метода вычисления и представления их размерностей. Только в самые последние годы были достигнуты ясные представления об этих величинах. Полвека назад, вероятно, никто, кроме Фурье, не смог бы объяснить, что он подразумевает под температурой или теплоемкостью. Понятие измерения электричества едва ли рассматривалось.

Помимо предоставления нам ясного взгляда на сложные отношения физических величин, эта теория особенно полезна в двух отношениях. Во-первых, она дает проверку правильности математических рассуждений. Согласно принципу однородности, все величины, складываемые и приравниваемые в любом уравнении, должны иметь одинаковые размерности. Следовательно, если при оценке размерностей членов в любом уравнении они не являются однородными, значит, была допущена какая-то ошибка. Невозможно прибавить силу к скорости или массу к количеству движения. Даже если бы численные значения двух частей неоднородного уравнения были равны, это было бы случайностью, и любое изменение физических единиц привело бы к неравенству и обнаружило бы ложность закона, выраженного в уравнении.

Во-вторых, теория единиц позволяет нам легко и безошибочно вывести изменение в численном выражении любой физической величины, вызванное изменением фундаментальных единиц. Конечно, очевидно, что для представления одной и той же абсолютной величины число должно изменяться обратно пропорционально величине единиц, которые подсчитываются. Ярд, выраженный в футах, равен 3; принимая дюйм за единицу вместо фута, он становится равным 36. Каждая величина, в которую размерность длины входит положительно, должна быть изменена таким же образом. При изменении единицы с фута на дюйм численные выражения объема должны быть умножены на 12 × 12 × 12. Когда размерность входит отрицательно, будет действовать противоположное правило. Если вместо минуты мы подставим секунду в качестве единицы времени, то мы должны разделить все числа, выражающие угловые скорости, на 60, а числа, выражающие угловое ускорение, — на 60 × 60. Правило состоит в том, что численное выражение изменяется обратно пропорционально величине единицы для каждой целой размерности, входящей положительно, и оно изменяется прямо пропорционально величине единицы для каждой целой размерности, входящей отрицательно. В случае дробных показателей степени необходимо брать соответствующий корень из отношения изменения.

Изучение этого предмета можно продолжить по книге профессора Дж. Д. Эверетта «Иллюстрации системы единиц сантиметр-грамм-секунда», опубликованной издательством Taylor and Francis в 1875 году; по «Теории тепла» профессора Максвелла или «Учебнику электричества» профессора Флеминга Дженкина.

Естественные константы.

Приобретя точные измерительные приборы и определившись с единицами, в которых будут выражены результаты, остается вопрос: как использовать наши возможности измерения? Наша главная цель должна состоять в открытии общих количественных законов природы; но очень большое количество предварительной работы затрачивается на точное определение размеров существующих объектов и численных отношений между различными силами и явлениями. Шаг за шагом каждая часть материальной Вселенной исследуется и приводится в известные отношения с другими частями. Каждое проявление энергии соотносится с каждым другим видом проявления. Профессор Тиндаль описал тщательность, с которой проводятся такие операции.

«Те, кто не знаком с деталями научных исследований, не имеют представления о том объеме труда, который затрачивается на определение тех чисел, от которых зависят важные расчеты или выводы. Они не имеют представления о терпении, проявленном Берцелиусом при определении атомных весов; Реньо — при определении коэффициентов расширения; или Джоулем — при определении механического эквивалента тепла. В таких делах проявляется своего рода мораль, которая по своей строгости, вероятно, не имеет аналогов ни в одной другой области интеллектуальной деятельности».

Каждая новая записанная естественная константа дает нам возможность сделать множество новых выводов. Ибо если n — число таких известных констант, то 1/2(n² — n) — это число отношений, которые находятся в пределах наших возможностей вычисления, и это число растет пропорционально квадрату n. Таким образом, мы постепенно собираем карту природы, на которой линии вывода от одного явления к другому быстро растут в сложности, а возможности научного предсказания соответственно увеличиваются.

Бэббидж предложил создать сборник постоянных чисел природы — работу, за которую наконец взялся Смитсоновский институт. Правда, полный сборник таких чисел был бы почти соразмерен научной литературе, поскольку пришлось бы включить почти все числа, встречающиеся в трудах по химии, минералогии, физике, астрономии и т. д. Тем не менее, удобный том, содержащий все наиболее важные числа и их логарифмы, при необходимости отнесенные к различным общепринятым единицам, был бы очень полезен. Небольшой сборник постоянных чисел можно найти в конце таблиц логарифмов Бэббиджа, Хаттона и многих других, а несколько более обширный сборник приведен в «Карманном справочнике механика и инженера» Темплтона.

Наша нынешняя цель будет состоять в том, чтобы классифицировать эти постоянные числа грубо, в соответствии с их сравнительной общностью и важностью, по следующим заголовкам:

(1) Mathematical constants.
(2) Physical constants.
(3) Astronomical constants.
(4) Terrestrial numbers.
(5) Organic numbers.
(6) Social numbers.

Математические константы.

Во главе списка естественных констант должны стоять те, которые выражают необходимые отношения чисел друг к другу. Обычная таблица умножения является наиболее знакомой и наиболее важной из таких серий констант и, теоретически говоря, бесконечна по своему охвату. Далее мы должны поместить арифметический треугольник, значение которого уже было указано (стр. 182). Таблицы логарифмов также содержат обширные серии естественных констант, возникающих из отношений чистых чисел. В основе всей логарифмической теории лежит таинственная естественная константа, обычно обозначаемая через e или ε, равная бесконечному ряду 1 + 1/1 + 1/1.2 + 1/1.2.3 + 1/1.2.3.4 + ... и, таким образом, состоящая из суммы отношений между числами перестановок и сочетаний 0, 1, 2, 3, 4 и т. д. вещей. Не следует забывать таблицы простых чисел и множителей составных чисел.

Другая обширная и, по сути, бесконечная серия числовых констант содержит те, которые связаны с измерением углов и воплощены в тригонометрических таблицах, будь то натуральные или логарифмические синусы, косинусы и тангенсы. Никогда не следует забывать, что, хотя эти числа находят свое главное применение в связи с тригонометрией, или измерением сторон прямоугольного треугольника, сами числа возникают из числовых отношений, не имеющих особого отношения к пространству. Важнейшей среди тригонометрических констант является хорошо известное число π, обычно используемое для выражения отношения окружности к диаметру круга; из π следует значение дуговой или натуральной единицы угловой величины, выраженной в обычных градусах (стр. 306).

Среди других нередко используемых математических констант можно упомянуть таблицы факториалов (стр. 179), таблицы чисел Бернулли, таблицы функции ошибок, последние из которых незаменимы не только в теории вероятностей, но и в нескольких других отраслях науки.

Следует четко понимать, что математические константы и справочные таблицы, которыми мы уже располагаем, хотя и очень обширны, являются лишь бесконечно малой частью того, что могло бы быть создано. С прогрессом науки будет постоянно требоваться табулирование новых функций, и заслуживает рассмотрения вопрос о том, не следует ли выделять государственные средства для вознаграждения тяжелого, длительного и, как правило, неблагодарного труда, который необходимо проделать при расчете таблиц. Такие труды приносят пользу всему человечеству, пока оно существует, хотя лишь немногие могут оценить масштаб этой пользы. Весьма интересное и превосходное описание многих математических таблиц можно найти в статье Де Моргана «Таблицы» в «Английской циклопедии», Отдел искусств и наук, том vii, стр. 976. Почти исчерпывающий критический каталог существующих таблиц публикуется Комитетом Британской ассоциации, две части которого, составленные главным образом г-ном Дж. У. Л. Глейшером и профессором Кэли, появились в отчетах Ассоциации за 1873 и 1875 годы.

Физические константы.

Второй класс констант содержит те, которые относятся к фактическому строению материи. По большей части они зависят от особенностей рассматриваемого химического вещества, но мы можем начать с тех, которые имеют наиболее общий характер. В первый подкласс мы можем поместить скорость света или тепловых колебаний, числа, выражающие отношение между длинами колебаний и быстротой колебаний, причем эти числа зависят только от свойств эфирной среды и, вероятно, одинаковы во всех частях Вселенной. Теория тепла порождает несколько чисел высочайшей важности, особенно механический эквивалент тепла Джоуля, абсолютный нуль температуры, среднюю температуру пустого пространства и т. д.

Принимая во внимание разнообразные свойства элементов, мы должны иметь таблицы атомных весов, удельных теплоемкостей, удельных весов, показателей преломления не только элементов, но и их почти бесконечно многочисленных соединений. Свойства твердости, упругости, вязкости, расширения при нагревании, тепло- и электропроводности также должны быть определены с огромной детализацией. Существуют, однако, некоторые из этих чисел, которые выделяются, поскольку они служат промежуточными единицами или терминами сравнения. Таковы, например, абсолютные коэффициенты расширения воздуха, воды и ртути, температура максимальной плотности воды, скрытая теплота плавления льда и парообразования воды, точка кипения воды при стандартном давлении, точки плавления и кипения ртути и так далее.

Астрономические константы.

Третий большой класс состоит из чисел, обладающих гораздо меньшей общностью, поскольку они относятся не к свойствам материи, а к особым формам и расстояниям, в которых материя была расположена в той части Вселенной, которая открыта для нашего изучения. Мы должны, прежде всего, определить величину и форму Земли, ее среднюю плотность, константу аберрации света, выражающую отношение между средней скоростью Земли в пространстве и скоростью света. От Земли, как нашей обсерватории, мы затем переходим к установлению средних расстояний Солнца и планет от того же центра; все элементы планетных орбит, величины, плотности, массы, периоды осевого вращения отдельных планет постепенно определяются с растущей точностью. Те же труды должны быть проделаны для спутников. Не следует упускать каталоги комет с элементами их орбит, насколько они могут быть установлены.

От орбиты Земли как новой базы наблюдений мы переходим к исследованию небес и установлению видимых положений, величин, движений, расстояний, периодов изменения и т. д. звезд. Все каталоги звезд, начиная с каталогов Гиппарха и Тихо, полны чисел, грубо выражающих строение видимой Вселенной. Но трудам астрономов, очевидно, нет предела; не только миллионы далеких звезд ожидают своих первых измерений, но и те, что уже зарегистрированы, требуют бесконечного изучения в отношении их движений в трех измерениях пространства, их периодов обращения, их изменений яркости и цвета. Очевидно, что, хотя астрономические числа условно называются постоянными, они, вероятно, во всех случаях подвержены более или менее быстрому изменению.

Земные числа.

Наше знание о земном шаре, на котором мы живем, включает множество численных определений, которые имеют мало или вообще не имеют связи с астрономической теорией. К этому классу должны относиться предельные высоты главных гор, средние высоты континентов, средние или предельные глубины океанов, удельные веса горных пород, температура шахт, множество чисел, выражающих метеорологические или магнитные условия каждой части поверхности. Многие такие числа не следует называть постоянными, так как они подвержены периодическим или вековым изменениям, но они фактически едва ли более изменчивы, чем некоторые из тех, которые в астрономической науке считаются постоянными. Во многих случаях величины, которые кажутся наиболее изменчивыми, могут проходить через ритмические изменения, приводящие к почти равномерному среднему значению, и только в ходе длительного прогресса физических исследований мы можем надеяться успешно различать те элементарные числа, которые фиксированы, и те, которые изменяются. В последнем случае закон изменения становится постоянным отношением, которое является объектом наших поисков.

Органические числа.

После того как формы и свойства неживой природы были достаточно определены предыдущими классами чисел, остается органический мир, как растительный, так и животный, который предлагает более высокий ряд явлений для нашего исследования. Все точные знания, относящиеся к формам и размерам живых существ, их численности, количествам различных соединений, которые они потребляют, содержат или выделяют, их мышечной или нервной энергии и т. д., должны быть выделены в отдельный класс. Все такие числа, несомненно, более или менее подвержены изменениям и лишь в незначительной степени поддаются точному определению. Человек, поскольку он является животным и в отношении своей физической формы, также должен рассматриваться в этом классе.

Социальные числа.

В этой работе едва ли нужно упоминать тот факт, что человек в своих экономических, санитарных, интеллектуальных, эстетических или моральных отношениях может стать предметом наук, самых высоких и самых полезных из всех наук. Каждый, кто занимается статистическими исследованиями, должен признать возможность существования естественных законов, управляющих такими статистическими фактами. Следовательно, мы должны отвести особое место числовой информации, относящейся к численности, возрасту, физическому и санитарному состоянию, смертности и т. д. различных народов, короче говоря, к жизненной статистике. Экономическая статистика, охватывающая количества произведенных, существующих, обмененных и потребленных товаров, составляет еще одну обширную область науки. С течением времени точное исследование, возможно, покорит области явлений, которые в настоящее время не поддаются никакому научному подходу. Невероятно, чтобы научный метод когда-либо мог исчерпать явления человеческого разума.

ГЛАВА XV. АНАЛИЗ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ЯВЛЕНИЙ.

В двух предыдущих главах мы занимались рассмотрением того, как явление может быть точно измерено и выражено. Измерение, претендующее на сколько-нибудь значительную степень точности, является настолько тонкой и сложной операцией, что немалая часть мастерства и терпения физиков обычно тратится на эту работу. Большая часть этой трудности проистекает из того факта, что почти никогда невозможно измерить только один эффект за раз. Конечной целью должно быть открытие математического уравнения или закона, связывающего количественную причину с ее количественным следствием; эта цель обычно включает, как мы увидим, изменение одного условия за раз, при сохранении остальных условий постоянными. Труды экспериментатора были бы сравнительно легкими, если бы он мог следовать этому правилу изменения одного обстоятельства за раз. Тогда он получил бы ряд соответствующих значений рассматриваемых переменных величин, из которых он мог бы путем надлежащей гипотетической обработки получить требуемый закон связи. Но в действительности редко удается выполнить это указание, за исключением приблизительного способа. Поэтому, прежде чем мы перейдем к рассмотрению самого процесса количественной индукции, необходимо рассмотреть несколько приемов, с помощью которых можно распутать сложную серию эффектов. Каждое измеренное явление обычно будет суммой, разностью или, возможно, произведением или частным двух или более различных эффектов, и они должны быть каким-то образом проанализированы и измерены отдельно, прежде чем мы будем обладать материалами для индуктивной обработки.

Иллюстрации сложности эффектов.

Легко привести множество примеров, показывающих, что явление редко наблюдается в простом и изолированном виде. Почти всегда необходим более или менее сложный процесс анализа. Так, если экспериментатор хочет наблюдать и измерить расширение жидкости при нагревании, он помещает ее в трубку термометра и регистрирует подъем столбика жидкости в узкой трубке. Но он не может нагреть жидкость, не нагрев при этом стекло, так что наблюдаемое изменение на самом деле является разностью между расширениями жидкости и стекла. Более детальное исследование покажет необходимость, возможно, учета дальнейших мелких эффектов, а именно сжатия жидкости и расширения колбы из-за повышенного давления столбика по мере его удлинения.

Во многих случаях наблюдаемый эффект будет, по крайней мере по видимости, простой суммой двух отдельных и независимых эффектов. Тепло, выделяющееся при сгорании нефти, частично обусловлено углеродом, а частично водородом. Измерение тепла, выделяемого ими совместно, не может сообщить нам, сколько происходит от одного, а сколько от другого. Если с помощью какого-либо отдельного определения мы сможем установить, сколько дает водород, то путем простого вычитания мы узнаем, что относится к углероду; и vice versâ (наоборот). Тепло, переносимое жидкостью, может частично переноситься истинной теплопроводностью, частично конвекцией. Свет, рассеянный внутри жидкости, состоит как из того, что отражается плавающими частицами, так и из того, что обусловлено истинной флуоресценцией; и мы должны найти какой-то способ определения одной части, прежде чем сможем узнать другую. Кажущееся движение пятен на Солнце является алгебраической суммой осевого вращения Солнца и собственного движения пятен по поверхности Солнца; отсюда трудность установления путем прямых наблюдений периода вращения Солнца.

Мы не можем получить вес порции жидкости на химических весах, не взвесив ее вместе с сосудом, в котором она находится. Следовательно, чтобы иметь реальный вес жидкости, используемой в эксперименте, мы должны произвести отдельное взвешивание сосуда, с прилипшей пленкой жидкости или без нее, в зависимости от обстоятельств. Это также способ, которым взвешиваются телега и ее груз вместе, при этом предварительно установленная тара телеги вычитается. Изменение высоты барометра является совместным эффектом, частично обусловленным реальным изменением атмосферного давления, частично расширением ртутного столба от тепла. Эффекты могут быть разграничены, если вместо одной барометрической трубки у нас будут две трубки, содержащие ртуть, расположенные близко друг к другу, чтобы иметь одинаковую температуру. Если одна из них будет закрыта снизу, чтобы на нее не влияло атмосферное давление, она будет показывать изменения, обусловленные только температурой, и, вычитая эти изменения из тех, что показаны в другой трубке, используемой в качестве барометра, мы получим реальные колебания атмосферного давления. Но эта поправка, как ее называют, барометрических показаний лучше осуществляется путем расчета по показаниям обычного термометра.

В других случаях количественный эффект будет разностью двух причин, действующих в противоположных направлениях. Сэр Джон Гершель изобрел прибор, похожий на большой термометр, который он назвал актинометром, а Пуйе сконструировал несколько похожий прибор, называемый пиргелиометром, для определения нагревающей способности солнечных лучей. В обоих приборах тепло Солнца поглощалось резервуаром, содержащим воду, и повышение температуры воды точно наблюдалось либо по ее собственному расширению, либо по показаниям чувствительного термометра, погруженного в нее. Но при воздействии актинометра на Солнце мы не получаем полного эффекта поглощенного тепла, потому что принимающая поверхность в то же время излучает тепло в пустое пространство. Наблюдаемое приращение температуры, короче говоря, является разностью между тем, что получено от Солнца, и тем, что потеряно в результате излучения. Последняя величина поддается легкому определению; нам нужно только затенить прибор от прямых солнечных лучей, оставив его открытым для неба, и мы сможем наблюдать, насколько он остывает за определенное время. Общий эффект солнечных лучей, очевидно, будет равен кажущемуся эффекту плюс эффект охлаждения за равное время. Путем попеременного воздействия на солнце и в тени в течение равных интервалов желаемый результат может быть получен с значительной точностью.

Два количественных эффекта были прекрасно разграничены в эксперименте Джона Кантона, разработанном в 1761 году с целью демонстрации сжимаемости воды. Он сконструировал термометр с большой колбой, наполненной водой, и короткой капиллярной трубкой, часть которой над водой была освобождена от воздуха. При этих обстоятельствах вода была освобождена от давления атмосферы, но стеклянная колба, выдерживая это давление, несколько сжалась. Затем он поместил прибор под колпак воздушного насоса, и при откачивании воздуха вода в трубке опустилась. Получив таким образом меру эффекта атмосферного давления на колбу, он открыл верхнюю часть трубки термометра и впустил воздух. Уровень воды теперь опустился еще больше, частично из-за того, что давление на колбу теперь было скомпенсировано, а частично из-за сжатия воды атмосферным давлением. Очевидно, что величина последнего эффекта была приблизительно разностью двух наблюдаемых понижений.

Нередко фактическое явление, которое мы хотим измерить, значительно меньше различных мешающих эффектов, которые входят в вопрос. Так, сжимаемость ртути значительно меньше расширения сосудов, в которых она измеряется под давлением, так что внимание экспериментатора должно быть главным образом сосредоточено на изменении величины сосудов. Многие астрономические явления, такие как параллакс или собственные движения неподвижных звезд, гораздо меньше ошибок, вызванных инструментальными несовершенствами, или движений, возникающих из-за прецессии, нутации и аберрации. Нас не должно удивлять, что астрономы время от времени принимали одно явление за другое, как когда Флемстид вообразил, что открыл параллакс Полярной звезды.

Методы устранения ошибок.

В любом конкретном эксперименте целью экспериментатора является измерение только одного эффекта, и он стремится получить этот эффект, свободный от мешающих воздействий. Если это невозможно, как это редко или никогда не бывает действительно возможным, он делает эффект как можно более значительным по сравнению с другими эффектами, которые он сводит к минимуму и рассматривает как вредные ошибки. Те величины, которые в одном случае называются ошибками, в другом исследовании могут быть действительно наиболее важными и интересными явлениями. Когда мы говорим об устранении ошибки, мы на самом деле имеем в виду распутывание сложных явлений природы. Физик справедливо хочет рассматривать одну вещь за раз, но поскольку эта цель редко может быть строго претворена в практику, он должен искать какой-то способ противодействия нерелевантным и мешающим причинам.

Общий принцип заключается в том, что одно наблюдение может сделать известной только одну величину. Следовательно, если известно, что в любое исследование входят несколько различных количественных эффектов, мы должны иметь по крайней мере столько же отдельных наблюдений, сколько имеется величин для определения. Каждый полный эксперимент будет поэтому состоять в общем случае из нескольких операций. Руководствуясь, если возможно, предыдущим знанием о действующих причинах, мы должны организовать определения так, чтобы с помощью простого математического процесса мы могли различить отдельные величины. По-видимому, существует пять основных методов, с помощью которых мы можем достичь этой цели; эти методы указаны ниже и проиллюстрированы в последующих разделах.

(1) Метод избегания. Физик может искать какой-то особый способ эксперимента или возможность наблюдения, при которых ошибка отсутствует или незначительна.

(2) Дифференциальный метод. Он может найти возможности для наблюдения, когда все мешающие явления остаются постоянными, а только предмет наблюдения в один момент присутствует, а в другой отсутствует; разница между двумя наблюдениями затем дает его величину.

(3) Метод коррекции. Он может попытаться оценить величину мешающего эффекта наилучшим доступным способом, а затем внести соответствующую поправку в результаты наблюдения.

(4) Метод компенсации. Он может изобрести какой-то способ нейтрализации мешающей причины путем уравновешивания ее точно равной и противоположной причиной неизвестной величины.

(5) Метод обращения. Экспериментатор может проводить эксперимент таким образом, чтобы мешающая причина действовала в противоположных направлениях при чередующихся наблюдениях, благодаря чему средний результат будет свободен от помех.

I. Метод предотвращения ошибки.

Астрономы ищут возможности для наблюдений, когда ошибки будут минимально возможными. Несмотря на тщательные наблюдения и длительные теоретические исследования, не представляется возможным установить какой-либо удовлетворительный закон для преломляющей способности атмосферы. Хотя кажущееся изменение положения небесного тела, вызванное рефракцией, может быть вычислено более или менее точно, ошибка зависит от температуры и давления атмосферы, и, когда луч сильно наклонен к перпендикуляру, неопределенность в рефракции становится весьма значительной. Поэтому астрономы всегда проводят свои наблюдения, если это возможно, когда объект находится в высшей точке своего суточного пути, т. е. на меридиане. В некоторых видах исследований, как, например, при определении широты обсерватории, астроном волен выбирать одну или несколько звезд из бесчисленного множества видимых. В таком случае есть очевидное преимущество в выборе звезды, проходящей близко к зениту, чтобы ее можно было наблюдать почти полностью свободной от атмосферной рефракции, как это делал Гук.

Астрономы стремятся сделать свои часы как можно более точными, устраняя источник вариаций. Маятник является идеально изохронным до тех пор, пока его длина остается неизменной, а колебания — строго равными по длине. Они делают его почти неизменным по длине, то есть по расстоянию между центрами подвеса и колебания, с помощью компенсационного устройства для изменения температуры. Но поскольку эта компенсация не может быть выполнена идеально, некоторые астрономы помещают свои главные контрольные часы в погреб или другое помещение, где изменения температуры могут быть как можно более незначительными. В Парижской обсерватории часы были помещены в пещеры под зданием, где нет заметной разницы между летней и зимней температурой.

Чтобы избежать эффекта неравных колебаний, Гюйгенс провел свои прекрасные исследования, которые привели к открытию, что маятник, центр колебаний которого движется по циклоидальной траектории, будет идеально изохронным, независимо от изменения длины колебаний. Но хотя маятник можно легко сделать в некоторой степени циклоидальным с помощью стальной подвесной пружины, выясняется, что механические приспособления, необходимые для создания истинно циклоидального движения, вносят больше ошибок, чем устраняют. Поэтому астрономы стремятся свести ошибку к минимуму, поддерживая равномерное движение маятников своих часов; фактически, пока часы в исправном состоянии и имеют те же гири, изменение длины колебаний должно быть незначительным. Когда маятник не удается заставить колебаться равномерно, как в экспериментах по силе тяжести, становится необходимым прибегнуть к третьему методу, и вводится поправка, рассчитанная на теоретических основаниях исходя из величины наблюдаемого изменения длины колебания.

Упоминалось, что кажущееся расширение жидкости при нагревании, когда она находится в трубке термометра или другом сосуде, представляет собой разницу между реальным расширением жидкости и расширением вмещающего сосуда. Эти эффекты можно точно различить при условии, что мы можем узнать реальное расширение при нагревании любой одной удобной жидкости; ибо, наблюдая кажущееся расширение той же жидкости в любом требуемом сосуде, мы можем по разности узнать величину расширения сосуда из-за любого заданного изменения температуры. Как только мы узнаем изменение размеров сосуда, мы, конечно, можем определить абсолютное расширение любой другой жидкости, испытанной в нем. Таким образом, важнейшей задачей в научных исследованиях стало точное измерение абсолютного расширения при нагревании какой-либо одной жидкости, и ртуть, в силу нескольких обстоятельств, была наиболее подходящей. Дюлонг и Пти разработали прекрасный способ осуществления этого, просто полностью избегая эффекта изменения размера сосуда. Две вертикальные трубки, наполненные ртутью, были соединены тонкой трубкой внизу и поддерживались при двух разных температурах. Поскольку ртуть могла свободно перетекать из одной трубки в другую по соединительной трубке, два столба обязательно оказывали равное давление согласно принципам гидростатики. Следовательно, нужно было только очень точно измерить с помощью катетометра разность уровней поверхностей двух столбов ртути, чтобы узнать разность длин столбов равного гидростатического давления, что сразу дает разность плотности ртути и расширение при нагревании. Изменения размеров вмещающих трубок стали делом совершенно безразличным, и длина столба ртути при разных температурах измерялась так же легко, как если бы он представлял собой твердый стержень. Эксперимент был выполнен Реньо со многими улучшениями в деталях, и абсолютное расширение ртути при температурах от 0° до 350° по Цельсию было определено почти так точно, как это было необходимо.

Наличие большой и неопределенной величины ошибки может сделать метод эксперимента бесполезным. Фуко разработал прекрасный эксперимент с маятником для популярной демонстрации вращения Земли, но он не мог быть использован для точного измерения вращения. Невозможно заставить маятник колебаться в идеальной плоскости, и малейшее боковое движение придает ему эллиптическую траекторию с прогрессивным движением оси эллипса, которое маскирует и часто полностью подавляет движение, обусловленное вращением Земли.

Трудоемкие эксперименты Фарадея по связи гравитации и электричества были сильно затруднены тем фактом, что невозможно переместить большой вес металла, не генерируя токи электричества либо путем трения, либо путем индукции. Отличить электричество, если таковое имеется, непосредственно обусловленное действием гравитации, от больших количеств, косвенно произведенных, было проблемой чрезвычайной сложности. Бейли в своих экспериментах по плотности Земли знал о существовании необъяснимых возмущений, которые с тех пор с большой вероятностью были отнесены к действию электричества. Мастерство и изобретательность экспериментатора часто истощаются в попытках разработать такую форму аппаратуры, в которой подобные причины ошибок были бы сведены к минимуму.

В некоторых элементарных экспериментах мы хотим лишь установить существование количественного эффекта, не измеряя точно его величину; если существуют причины ошибки, величину которых мы не можем ни узнать, ни сделать пренебрежимо малой, лучший способ — сделать их все отрицательными, чтобы количественные эффекты были скорее меньше истины, чем больше. Гроув, например, доказывая, что намагничивание или размагничивание куска железа повышает его температуру, позаботился о том, чтобы поддерживать электромагнит, с помощью которого намагничивалось железо, при более низкой температуре, чем железо, чтобы он скорее охлаждал, чем нагревал железо путем излучения или теплопроводности.

Знаменитый эксперимент Румфорда по доказательству того, что тепло генерируется из механической силы при сверлении пушки, был подвержен трудности, заключавшейся в том, что тепло могло передаваться к пушке путем теплопроводности от соседних тел. Изобретательным приемом Дэви было создание трения с помощью часового механизма, покоящегося на глыбе льда в откачанном сосуде; поскольку температура машины поднималась выше 32°, было несомненно, что тепло не поступало путем теплопроводности от опоры. Во многих других экспериментах лед может быть использован для предотвращения доступа тепла путем теплопроводности, и это устройство, впервые примененное Мюрреем, прекрасно используется в калориметре Бунзена.

Наблюдение истинной температуры воздуха, хотя и кажется таким простым, на самом деле является очень сложным делом, поскольку термометр обязательно подвергается воздействию либо солнечных лучей, либо излучения от соседних объектов, либо утечки тепла в пространство. Эти источники ошибок слишком изменчивы, чтобы допустить исправление, поэтому единственный точный способ действий — это способ, разработанный доктором Джоулем: окружение термометра медным цилиндром, искусно приспособленным к температуре воздуха, как он описал, чтобы эффект излучения был сведен к нулю.

Когда предотвращение ошибки не представляется возможным, все же желательно уменьшить абсолютную величину мешающей ошибки настолько, насколько это возможно, прежде чем применять последующие методы для исправления результата. Как общее правило, мы можем определить величину с меньшей неточностью, если она меньше, так что если сама ошибка мала, то ошибка при определении этой ошибки будет еще более низкого порядка величины. Но в некоторых случаях абсолютная величина ошибки не имеет значения, как в случае с инструментальной ошибкой разделенного круга или разницей между хронометром и астрономическим временем. Даже скорость, с которой часы спешат или отстают, не имеет большого значения, при условии, что она остается постоянной, так что можно сделать верный расчет ее величины.

2. Дифференциальный метод.

Когда мы не можем избежать существования ошибки, мы часто можем с успехом прибегнуть ко второму способу, измеряя явления при таких обстоятельствах, чтобы ошибка оставалась почти одинаковой во всех наблюдениях и нейтрализовала сама себя в отношении поставленных целей. Этот способ доступен всякий раз, когда нам нужна разница между величинами, а не абсолютная величина каждой из них. Определение параллакса неподвижных звезд чрезвычайно затруднительно, потому что величина параллакса гораздо меньше большинства поправок на атмосферную рефракцию, нутацию, аберрацию, прецессию, инструментальные неровности и т. д., и с трудом может быть обнаружена среди этих явлений различной величины. Но, как давно предложил Галилей, всех таких трудностей можно было бы избежать путем дифференциального наблюдения звезд, которые, хотя и кажутся близкими друг к другу, на самом деле далеко разделены на линии зрения. Две такие звезды в близкой кажущейся близости будут подвержены почти в точности равным ошибкам, так что все, что нам нужно сделать, — это наблюдать кажущееся изменение положения более близкой звезды по отношению к более далекой. Хороший телескоп, снабженный точным микрометром, — это все, что нужно для применения этого метода. Гюйгенс, по-видимому, был первым наблюдателем, который действительно попытался применить этот метод на практике, но только в 1835 году улучшение телескопов и микрометров позволило Струве обнаружить таким образом параллакс звезды α Лиры. Одно из многих преимуществ наблюдения прохождений Венеры для определения солнечного параллакса заключается в том, что рефракция атмосферы влияет в точно равной степени на планету и на ту часть диска Солнца, по которой она проходит. Таким образом, наблюдения носят строго дифференциальный характер.

С помощью процесса взвешивания подстановкой можно установить равенство или неравенство двух весов почти с полным отсутствием ошибок. Если два веса A и B помещены на чаши лучших весов, мы не можем быть уверены, что равновесие коромысла указывает на точное равенство, потому что плечи коромысла могут быть неравными или несбалансированными. Но если мы вынем B и положим другой вес C, и равновесие все еще существует, очевидно, что одни и те же причины ошибочного взвешивания существуют в обоих случаях, при условии, что весы не были расстроены; тогда B должно быть в точности равно C, поскольку оно оказывает точно такой же эффект при тех же обстоятельствах. Подобным образом, общее правило гласит: если с помощью какого-либо равномерного механического процесса мы получаем копию объекта, маловероятно, что эта копия будет в точности такой же, как оригинал по величине и форме, но две копии будут одинаково отклоняться от оригинала и поэтому будут почти в точности походить друг на друга.

Дифференциальный термометр Лесли был хорошо приспособлен для экспериментов, для которых он был изобретен. Имея два равных баллона, любое изменение температуры воздуха будет действовать одинаково путем теплопроводности на каждый из них и не вызовет изменений в показаниях прибора. Только то лучистое тепло, которое целенаправленно направляется на один из баллонов, произведет какой-либо эффект. Этот термометр, короче говоря, осуществляет принцип дифференциального метода механическим образом.

3. Метод коррекции.

Всякий раз, когда на результат эксперимента влияет мешающая причина в поддающейся расчету величине, достаточно прибавить или вычесть эту величину. Говорят, что мы исправляем наблюдения, когда таким образом устраняем то, что обусловлено посторонними причинами, хотя, конечно, мы лишь отделяем правильные эффекты нескольких агентов. Изменение высоты барометра частично обусловлено изменением температуры, но поскольку коэффициент абсолютного расширения ртути был точно определен, как уже описано (стр. 341), нам остается только произвести расчеты простого характера или, что еще лучше, составить таблицу ряда таких расчетов для общего пользования, и поправка на температуру может быть сделана со всей желаемой точностью. На высоту ртути в барометре также влияет капиллярное притяжение, которое понижает ее на постоянную величину, зависящую главным образом от диаметра трубки. Необходимые поправки могут быть оценены с точностью, достаточной для большинства целей, тем более что мы можем проверить правильность показаний барометра путем сравнения со стандартным барометром и ввести, если нужно, инструментальную ошибку, включающую как ошибку при прикреплении шкалы, так и эффект, обусловленный капиллярностью. Но при создании самого стандартного барометра мы должны принять большие меры предосторожности; капиллярное понижение несколько зависит от качества стекла, отсутствия воздуха и идеальной чистоты ртути, так что мы не можем назначить точную величину эффекта. Поэтому стандартный барометр конструируется с широкой трубкой, иногда даже дюймового диаметра, чтобы капиллярный эффект мог быть сведен почти к нулю. Гей-Люссак изготавливал барометры в форме равномерной сифонной трубки, чтобы капиллярные силы, действующие на верхней и нижней поверхностях, уравновешивали и уничтожали друг друга; но метод терпит неудачу на практике, потому что нижняя поверхность, будучи открытой для воздуха, загрязняется и подвергается воздействию иной силы капиллярности.

В механических экспериментах трение является мешающим условием и поглощает часть энергии, предназначенной для использования определенным образом. Мы должны, конечно, в первую очередь уменьшить трение до минимально возможной величины, но поскольку его нельзя полностью предотвратить и оно не поддается расчету с уверенностью на основе каких-либо общих законов, мы должны определять его отдельно для каждого аппарата с помощью подходящих экспериментов. Так, Смитон в своих замечательных, но почти забытых исследованиях, касающихся водяных колес, устранил трение самым простым способом, определив опытным путем, какой вес, действуя через шнур и ролик на его модель водяного колеса, заставит его вращаться без воды так же быстро, как вода заставляла его вращаться. Короче говоря, он установил, какой вес, действуя совместно с водой, будет в точности компенсировать трение. В экспериментах доктора Джоуля по определению механического эквивалента тепла путем конденсации воздуха значительное количество тепла производилось трением конденсационного насоса, а небольшая часть — перемешиванием воды, используемой для поглощения тепла. Это тепло трения измерялось путем простого повторения эксперимента в точно такой же манере, за исключением того, что конденсация не производилась, и наблюдения за изменением температуры, которое тогда возникало.

Мы можем описать как тестовые эксперименты любые, в которых мы выполняем операции, не предназначенные для получения величины основного явления, а некоторую величину, которая в противном случае осталась бы как ошибка в результате. Так, в астрономических наблюдениях почти любой инструментальной ошибки можно избежать, увеличивая количество наблюдений и распределяя их таким образом, чтобы получить в конечном среднем значении столько же ошибок в одну сторону, сколько и в другую. Но есть один источник ошибки, впервые обнаруженный Маскелайном, которого нельзя избежать таким образом, потому что он влияет на все наблюдения в одном и том же направлении и на одну и ту же среднюю величину, а именно Личная ошибка наблюдателя или склонность записывать прохождение звезды через нити телескопа немного слишком рано или немного слишком поздно. Эта личная ошибка была впервые тщательно описана в Edinburgh Journal of Science, том i, стр. 178. Разница между суждениями наблюдателей в Гринвичской обсерватории обычно варьируется от 1/100 до 1/3 секунды и остается довольно постоянной для одних и тех же наблюдателей. Один опытный наблюдатель в экспериментах с маятником сэра Джорджа Эйри записывал все свои временные наблюдения в среднем на полсекунды раньше по сравнению с главным наблюдателем. У некоторых наблюдателей она доходила до семи или восьми десятых секунды. Де Морган, по-видимому, придерживался мнения, что этот источник ошибки по существу не поддается устранению или исправлению. Но представляется ясным, как я предположил, не зная, что было сделано, что эта личная ошибка может быть определена абсолютно с любой желаемой степенью точности с помощью тестовых экспериментов, состоящих в том, чтобы заставить искусственную звезду двигаться на значительном расстоянии и записывать с помощью электричества точный момент ее прохождения через нить. Этот метод на самом деле был успешно применен в Лейдене, Париже и Невшателе. Совсем недавно наблюдатели проходили подготовку для экспедиций по наблюдению прохождения Венеры с помощью механической модели, представляющей движение Венеры по Солнцу, причем эта модель была помещена на небольшом расстоянии и рассматривалась через телескоп, так что различия в суждениях разных наблюдателей становились очевидными. Представляется вероятным, что тесты такого рода могли бы с успехом применяться и в других случаях.

Ньютон использовал маятник для проведения экспериментов по удару шаров. Два шара были подвешены в соприкосновении, и один из них, будучи отведенным в сторону на измеренную дугу, затем был отпущен, чтобы ударить другой, причем дуги колебаний давали достаточные данные для расчета распределения энергии в момент удара. Сопротивление воздуха было мешающей причиной, которую он оценил очень просто, заставив один из шаров совершить несколько полных колебаний без удара, а затем отметив уменьшение длин дуг, соответствующая доля которого была добавлена к каждой из других дуг колебаний, когда происходил удар.

Точное определение стандарта длины — один из самых важных, как и один из самых сложных вопросов в физической науке, и различная практика разных наций вносит ненужную путаницу. Если бы все стандарты были сконструированы так, чтобы давать истинную длину при фиксированной равномерной температуре, например, при точке замерзания, тогда любые два стандарта можно было бы сравнить без вмешательства температуры, приведя их оба к точно одной и той же фиксированной температуре. К сожалению, французский метр был определен платиновой линейкой при 0°C, в то время как наш ярд был определен бронзовой линейкой при 62°F. Таким образом, совершенно невозможно сравнить ярд и метр без введения поправки либо на расширение платины, либо бронзы, либо того и другого. Металлические стержни также слишком сильно различаются по скорости расширения в зависимости от их молекулярного состояния, поэтому опасно делать выводы от одного стержня к другому.

Когда мы начинаем использовать инструменты с большой точностью, существует много мелких источников ошибок, от которых необходимо предохраняться. Если термометр был градуирован в вертикальном положении, он будет показывать несколько иначе, если его положить горизонтально, так как давление столба ртути снимается с баллона. Показание также может быть несколько изменено, если он недавно был нагрет до более высокой температуры, чем обычно, если он помещен под вакуумный колпак или если трубка нагрета неравномерно по сравнению с баллоном. Для этих мелких причин ошибок нам, возможно, придется вводить обременительные поправки, если мы не примем простую предосторожность использовать термометр в условиях положения и т. д., в точности аналогичных тем, в которых он был градуирован. Нет конца количеству мелких поправок, которые в конечном итоге могут потребоваться. Большое количество экспериментов с газами, стандартными весами и мерами и т. д. зависит от высоты барометра; но когда сравниваются эксперименты в разных частях мира, мы должны, в качестве дальнейшего уточнения, принимать во внимание изменяющуюся силу тяжести, которая даже между Лондоном и Парижем дает разницу в 0,008 дюйма ртутного столба.

Измерение количества тепла — дело большой сложности, потому что нет известного вещества, непроницаемого для тепла, и поэтому задача так же сложна, как измерение жидкостей в пористых сосудах. Чтобы определить скрытую теплоту пара, мы должны сконденсировать определенное количество пара в известном весе воды, а затем наблюдать повышение температуры воды. Но пока мы проводим эксперимент, часть тепла будет уходить путем излучения и теплопроводности из конденсирующего сосуда или калориметра. Мы можем, конечно, уменьшить потерю тепла, используя сосуды с двойными стенками и яркими поверхностями, окруженные лебяжьим пухом или другими непроводящими материалами; и мы можем также избегать повышения температуры воды намного выше температуры окружающего воздуха. Однако мы не можем никакими такими средствами сделать потерю тепла незначительной. Румфорд изобретательно предложил свести потерю к нулю, начиная эксперимент, когда температура калориметра настолько же ниже температуры воздуха, насколько она в конце эксперимента выше ее. Таким образом, сосуд сначала будет получать, а затем терять тепло путем излучения и теплопроводности, и эти противоположные ошибки будут приблизительно уравновешивать друг друга. Но Реньо показал, что потеря и получение тепла не происходят по в точности одинаковым законам, поэтому в очень точных исследованиях метод Румфорда недостаточен. Остается метод коррекции, который был прекрасно осуществлен Реньо при определении скрытой теплоты пара. Он использовал два калориметра, изготовленные в точности одинаковым образом и попеременно используемые для конденсации определенного количества пара, так что пока один измерял скрытую теплоту, другой калориметр был занят определением поправок, которые должны быть применены, будь то из-за излучения и теплопроводности от сосуда или из-за тепла, достигающего сосуда с помощью соединительных труб.

4. Метод компенсации.

Существует много случаев, в которых причину ошибки нельзя удобно свести к нулю, и она все еще находится вне досягаемости третьего метода — метода расчета необходимой поправки на основе независимых наблюдений. Величина ошибки может быть подвержена постоянным изменениям из-за смены погоды или других непостоянных обстоятельств, находящихся вне нашего контроля. Может быть либо непрактично наблюдать изменение этих обстоятельств с достаточной детализацией, либо, если они наблюдаются, расчет величины ошибки может быть подвержен сомнению. В этих случаях, и только в этих случаях, будет желательно изобрести какой-либо искусственный способ противопоставления переменной ошибки равной ошибке, подверженной точно такому же изменению.

Мы не можем взвесить объект с большой точностью, если не сделаем поправку на вес воздуха, вытесненного объектом, и не прибавим ее к кажущемуся весу. В очень точных исследованиях, касающихся стандартных весов, принято отмечать показания барометра и термометра во время взвешивания и, исходя из измеренных объемов сравниваемых объектов, рассчитывать вес вытесненного воздуха; фактически принимается третий метод. Производить эти расчеты при частых взвешиваниях, необходимых в химическом анализе, было бы чрезвычайно трудоемко, поэтому поправкой обычно пренебрегают. Но когда химик хочет взвесить газ, содержащийся в большом стеклянном шаре, с целью определения его удельного веса, поправка становится весьма важной. Поэтому химики сразу избегают ошибки и труда по ее исправлению, прикрепляя к противоположной чаше весов пустой запаянный стеклянный шар равной емкости с тем, который содержит взвешиваемый газ, отмечая только разницу в весе, когда рабочий шар полон и пуст. Поправкой, будучи одинаковой для обоих шаров, можно полностью пренебречь.

Устройство почти такого же рода используется при конструировании гальванометров, которые измеряют силу электрического тока по отклонению подвешенной магнитной стрелки. Сопротивление стрелки частично обусловлено направляющим влиянием земного магнетизма, а частично — кручением нити. Но первая сила часто может быть неудобно большой, а также хлопотной для определения при различных наклонах. Поэтому принято соединять вместе две одинаково намагниченные стрелки, полюса которых направлены в противоположные стороны, причем одна стрелка находится внутри, а другая — снаружи катушки провода. Что касается земного магнетизма, то стрелки теперь астатичны или безразличны, так как стремление одной стрелки к полюсу уравновешивается стремлением другой.

Изящный пример устранения возмущающей силы путем компенсации можно найти в исследованиях Фарадея по магнетизму газов. Наблюдать магнитное притяжение или отталкивание газа кажется невозможным, если мы не заключим газ в оболочку, вероятно, лучше всего сделанную из стекла. Но любая такая оболочка обязательно будет в большей или меньшей степени подвержена влиянию магнита, так что становится трудно различить три силы, которые входят в проблему, а именно: магнетизм рассматриваемого газа, магнетизм оболочки и магнетизм окружающего атмосферного воздуха. Фарадей избежал всех трудностей, используя две равные и подобные стеклянные трубки, соединенные вместе и подвешенные на плече крутильных весов так, что трубки находились в подобных частях магнитного поля. Когда одна трубка была наполнена азотом, а другая — кислородом, было обнаружено, что кислород, по-видимому, притягивается, а азот отталкивается. Подвесная нить весов затем поворачивалась до тех пор, пока сила кручения не возвращала трубки в их первоначальное положение, где магнетизм трубок, а также окружающего воздуха, будучи одинаковым и действующим в противоположных направлениях на две трубки, не мог вызвать никаких помех. Сила, необходимая для возвращения трубок, измерялась величиной кручения нити, и она правильно указывала разницу между силами притяжения кислорода и азота. Затем кислород был удален из одной из трубок, и был проведен второй эксперимент, чтобы сравнить вакуум с азотом. Теперь не требовалось никакой силы для удержания трубок на своих местах, так что было обнаружено, что азот, приблизительно говоря, безразличен к магниту, то есть ни магнитен, ни диамагнитен, в то время как было доказано, что кислород является положительно магнитным. Потребовалось высочайшее экспериментальное мастерство со стороны Фарадея и Тиндаля, чтобы различить, что является кажущимся, а что реальным в магнитном притяжении и отталкивании.

Только опыт может окончательно решить, способствует ли компенсационное устройство точности. Как общее правило, механическая компенсация — это последнее средство, и в более точных наблюдениях она, вероятно, вносит больше неопределенности, чем устраняет. Было разработано множество инструментов, включающих механическую компенсацию, но они обычно носят ненаучный характер, потому что компенсируемые ошибки могут быть более точно определены и учтены. Но есть исключения из этого правила, и, по-видимому, доказано, что в деликатной и утомительной операции измерения базовой линии неизменные стержни, компенсированные для расширения при нагревании, дают наиболее точные результаты. Это происходит из-за того, что очень трудно точно определить температуру измерительных стержней при изменяющихся условиях погоды и манипуляций. Опять же, последнее уточнение в измерении времени в Гринвичской обсерватории зависит от механической компенсации. Сэр Джордж Эйри, заметив, что стандартные часы увеличивают свою скорость отставания на 0,30 секунды при увеличении атмосферного давления на один дюйм, поместил магнит, приводимый в движение барометром, в такое положение под маятником, чтобы почти полностью нейтрализовать эту причину нерегулярности. Полным средством, однако, было бы полное устранение причины ошибки путем помещения часов в вакуумный корпус.

Таким образом, мы видим, что выбор того или иного способа устранения ошибки зависит исключительно от обстоятельств и поставленной цели; но мы можем с уверенностью сформулировать следующие выводы. Прежде всего, стремитесь полностью избежать источника ошибки, если это можно удобно сделать; если нет, проводите эксперимент так, чтобы ошибка была как можно меньшей, но, что особенно важно, как можно более постоянной. Если имеются средства для определения ее величины путем расчета на основе других экспериментов и принципов науки, позвольте ошибке существовать и внесите поправку в результат. Если это нельзя сделать точно или это требует слишком много труда для поставленных целей, тогда внесите противодействующую ошибку, которая должна быть как можно ближе по величине при всех обстоятельствах к той, которую нужно устранить. Однако остается еще один важный метод — метод обращения, который послужит подходящим переходом к последующим главам о методе средних результатов и законе ошибок.

5. Метод обращения.

Пятый метод устранения ошибок является наиболее мощным и удовлетворительным, когда его можно применить, но он требует, чтобы мы могли обратить аппаратуру и способ действий, чтобы заставить мешающую причину действовать попеременно в противоположных направлениях. Если мы можем получить два экспериментальных результата, один из которых настолько же больше, насколько другой меньше, ошибка равна половине разности, а истинный результат — это среднее арифметическое двух кажущихся результатов. Неизбежным дефектом химических весов, например, является то, что точки подвеса чашек не могут быть зафиксированы на в точности равных расстояниях от центра подвеса коромысла. Поэтому два веса, которые, по-видимому, уравновешивают друг друга, никогда не будут в действительности совсем равны. Разница обнаруживается путем обращения весов, и ее можно оценить, добавляя небольшие веса на недостающую сторону для восстановления равновесия, а затем принимая за истинный вес геометрическое среднее двух кажущихся весов одного и того же объекта. Если разница мала, то арифметическое среднее, то есть половина суммы, может быть подставлено вместо геометрического среднего, от которого оно не будет заметно отличаться.

Этот метод обращения наиболее широко используется в практической астрономии. Кажущаяся высота небесного тела наблюдается с помощью телескопа, движущегося по разделенному кругу, на котором считывается наклон телескопа. Теперь это показание будет ошибочным, если круг и телескоп не имеют в точности один и тот же центр. Но если мы одновременно считываем оба конца телескопа, одно показание будет примерно настолько же меньше, насколько другое больше, и среднее значение будет почти свободно от ошибок. На практике наблюдение проводится иначе, но принцип тот же; телескоп прикреплен к кругу, который движется вместе с ним, и угол, на который он перемещается, считывается в трех, шести или более точках, расположенных через равные интервалы вокруг круга. Старые астрономы, вплоть до времени Флемстида, привыкли использовать только части разделенного круга, обычно квадранты, и Рёмер сделал огромное улучшение, когда ввел полный круг.

Транзитный круг, используемый для определения прохождения небесных тел через меридиан, сконструирован таким образом, что телескоп и ось, несущая его, фактически вся движущаяся часть инструмента, могут быть вынуты из опорных гнезд и перевернуты, так что то, что раньше было западной цапфой, становится восточной, и наоборот. Невозможно, чтобы инструмент был настолько идеально сконструирован, смонтирован и отрегулирован, чтобы телескоп указывал в точности на меридиан, но эффект обращения заключается в том, что он будет указывать настолько же на запад в одном положении, насколько на восток в другом, и средний результат наблюдений в двух положениях должен быть свободен от такой причины ошибки.

Точность, с которой может быть определен наклон стрелки компаса, зависит почти полностью от метода обращения. Инклинатор состоит из стержня намагниченной стали, подвешенного несколько подобно коромыслу чувствительных весов на тонкой оси, проходящей через центр тяжести стержня, так что он может свободно покоиться в той точной степени наклона в магнитном меридиане, которую вызывает магнетизм Земли. Наклон считывается на вертикальном разделенном круге, но чтобы избежать ошибки, возникающей из-за центрирования стрелки и круга, считываются оба конца, и берется среднее значение результатов. Весь инструмент теперь осторожно поворачивается на 180°, что заставляет стрелку принять новое положение относительно круга и дает два новых показания, в которых любая ошибка, обусловленная неправильным положением нуля деления, будет обращена. Поскольку ось стрелки может быть не в точности горизонтальной, она теперь обращается таким же образом, как транзитный инструмент, причем конец оси, который раньше указывал на восток, заставляют указывать на запад, и берется новый набор из четырех показаний.

Наконец, ошибка может возникнуть из-за того, что ось не проходит в точности через центр тяжести стержня, и эту ошибку можно обнаружить и устранить только при изменении магнитных полюсов стержня путем применения сильного магнита. Таким образом, ошибка заставляется действовать в противоположных направлениях. Для обеспечения всей возможной точности каждое обращение должно быть объединено с каждым другим обращением, так что стрелка будет наблюдаться в восьми различных положениях по шестнадцати показаниям, среднее значение которых даст требуемый наклон, свободный от всех устранимых ошибок.

Существуют определенные случаи, в которых возмущающую причину можно легко заставить действовать в противоположных направлениях при чередующихся наблюдениях, так что среднее значение результатов будет свободно от возмущений. Так, в прямых экспериментах по скорости звука при прохождении через воздух между станциями, находящимися на расстоянии двух или трех миль друг от друга, ветер является причиной ошибки. Будет хорошо, в первую очередь, выбрать время для эксперимента, когда воздух почти неподвижен, а возмущение незначительно, но если в тот же момент сигнальные звуки будут издаваться на каждой станции и наблюдаться на другой, два звука будут проходить в противоположных направлениях через одну и ту же массу воздуха, и ветер будет ускорять один звук почти в точности так же, как он замедляет другой. Опять же, в тригонометрических съемках кажущаяся высота точки будет зависеть от атмосферной рефракции и кривизны Земли. Но если в случае двух точек наблюдается кажущаяся высота каждой из них, видимая с другой, поправки будут одинаковыми по величине, но обратными по направлению, и среднее значение между двумя кажущимися разностями высот даст истинную разницу уровней.

В следующих двух главах мы фактически продолжаем применение метода обращения к более сложным задачам.

ГЛАВА XVI. МЕТОД СРЕДНИХ.

Все результаты измерения непрерывной величины могут быть лишь приблизительно истинными. Если бы это утверждение подверглось сомнению, его можно было бы легко доказать прямым опытом. Если какой-либо человек, используя инструмент величайшей точности, делает и регистрирует последовательные наблюдения беспристрастным образом, почти неизменно обнаруживается, что результаты отличаются друг от друга. Когда мы действуем с достаточной осторожностью, мы не можем выполнить такой простой эксперимент, как взвешивание объекта на хороших весах, не получив расходящихся чисел. Только грубый и небрежный экспериментатор будет думать, что его наблюдения согласуются, но в действительности обнаружится, что он упускает из виду различия. Самые тщательные исследования, такие как те, что предпринимаются в связи со стандартными весами и мерами, всегда делают очевидным, что полное совпадение исключено и что чем точнее становятся наши способы наблюдения, тем многочисленнее становятся источники мелких ошибок, которые становятся заметными. Мы можем рассматривать существование ошибки во всех измерениях как нормальное состояние вещей. Абсолютно невозможно устранить отдельно множество мелких возмущающих влияний, кроме как уравновешивая их друг против друга. Даже при выведении среднего значения следует ожидать, что мы приблизимся к истине, а не попадем в нее в точности. При измерении непрерывной величины абсолютное совпадение, если оно кажется имеющим место, должно быть только кажущимся и не является признаком точности. Одна из самых неловких вещей, с которыми мы можем столкнуться, — это когда экспериментальные результаты согласуются слишком тесно. Такие совпадения должны вызывать у нас подозрение, что используемый аппарат каким-то образом ограничен в своей работе, так что он на самом деле вообще не дает истинного результата, или что фактические результаты не были добросовестно записаны помощником, отвечающим за аппарат.

Если тогда мы не можем получить дважды в точности один и тот же результат, возникает вопрос: как мы можем когда-либо достичь истины или выбрать результат, который можно предположить наиболее близким к ней? Количество определенного явления выражается в нескольких числах, которые отличаются друг от друга; не более одного из них в лучшем случае может быть истинным, и более вероятно, что все они ложны. Может быть предложено, возможно, чтобы наблюдатель выбрал одно наблюдение, которое он счел наиболее хорошо выполненным, и, несомненно, часто будет возникать чувство, что один или несколько результатов были удовлетворительными, а другие — менее заслуживающими доверия. По-видимому, именно этот курс был принят ранними астрономами. Флемстид, когда он сделал несколько наблюдений звезды, вероятно, выбрал произвольным образом то, которое показалось ему наиболее близким к истине.

Когда Хоррокс выбрал для своей оценки полудиаметра Солнца среднее значение между результатами Кеплера и Тихо, он заявил, что сделал это не из-за какого-либо уважения к праздной пословице «Medio tutissimus ibis» («Средним путем пойдешь безопаснее»), а потому, что он считал его правильным на основе своих собственных наблюдений. Но этот метод совсем не применим, когда наблюдатель сделал ряд измерений, которые, по его мнению, одинаково хороши, и совершенно очевидно, что при использовании инструмента или аппарата значительной сложности наблюдатель не обязательно сможет судить, повлияли ли на его работу незначительные причины или нет.

В этом вопросе, как, впрочем, и во всей индуктивной логике, мы имеем дело только с вероятностями. Не существует непогрешимого способа прийти к абсолютной истине, которая лежит за пределами досягаемости человеческого интеллекта и может быть лишь отдаленным объектом наших длительных и мучительных приближений. Тем не менее, существует способ, указанный как здравым смыслом, так и высшим математическим рассуждением, который с большей вероятностью, чем любой другой, как общее правило, приведет нас к истине. «ἄριστον μέτρον» (лучшая мера) или «aurea mediocritas» (золотая середина) высоко ценились в древней философии Греции и Рима; но маловероятно, чтобы кто-либо из древних был способен ясно проанализировать и выразить причины, по которым они отстаивали среднее как самый безопасный путь. Но в последние два столетия этот, казалось бы, простой вопрос о среднем оказался полем для упражнения величайшего математического мастерства. Роджер Котс, редактор «Principia», по-видимому, имел некоторое представление о ценности среднего; но глубокие математики, такие как Де Муавр, Даниил Бернулли, Лаплас, Лагранж, Гаусс, Кетле, Де Морган, Эйри, Лесли Эллис, Буль, Глейшер и другие, едва ли исчерпали эту тему.

Несколько способов использования среднего результата.

Устранение ошибок неизвестных источников почти всегда достигается простым арифметическим процессом взятия среднего, или, как его часто называют, среднего значения нескольких расходящихся чисел. Взять среднее — значит сложить несколько величин вместе и разделить на количество сложенных таким образом величин, что дает частное, лежащее среди или посередине нескольких величин. Однако, прежде чем полностью исследовать основания этой процедуры, важно заметить, что этот один арифметический процесс на самом деле применяется по крайней мере в трех разных случаях, для разных целей и на разных принципах, и мы должны быть очень осторожны, чтобы не перепутать одно применение процесса с другим. Средний результат, таким образом, может иметь любое из следующих значений.

(1) Он может давать просто репрезентативное число, выражающее общую величину ряда количеств и служащее удобным способом сравнения их с другими рядами количеств. Такое число правильно называется фиктивным средним или средним результатом.

(2) Он может давать результат, приблизительно свободный от возмущающих величин, которые, как известно, влияют на некоторые результаты в одном направлении, а на другие результаты — в равной степени в противоположном направлении. Мы можем сказать, что в этом случае мы получаем точный средний результат.

(3) Он может давать результат, более или менее свободный от неизвестных и неопределенных ошибок; это мы можем назвать вероятным средним результатом.

Из этих трех способов использования среднего первый совершенно отличается по своей природе от двух последних, поскольку он не дает приближения к какой-либо естественной величине, а предоставляет нам арифметический результат, сравнивающий совокупность определенных величин с их количеством. Третье использование среднего полностью опирается на теорию вероятностей и будет более полно рассмотрено в более поздней части этой главы. Второе использование тесно связано или даже идентично методу обращения, уже описанному, но будет желательно несколько полно рассмотреть все три применения одного и того же арифметического процесса.

Среднее и среднее значение.

Существует большая путаница в популярном или даже научном использовании терминов «mean» (среднее) и «average» (среднее значение), и они обычно принимаются как синонимы. Необходимо тщательно выяснить, какие значения мы должны им придавать. Английское слово «mean» эквивалентно «medium», будучи производным, возможно, через французское «moyen», от латинского «medius», которое, в свою очередь, несомненно, родственно греческому «μεσος». Этимологи также полагают, что это греческое слово связано с предлогом «μετα», немецким «mitte» и истинно английским «mid» или «middle»; так что в конце концов «mean» — это технический термин, идентичный по своему корню с более популярным эквивалентом «middle» (середина).

Если мы спросим, что такое среднее с математической точки зрения, истинный ответ заключается в том, что существует несколько или много видов средних. Старые арифметики признавали десять видов, которые изложены Боэцием, а одиннадцатый был добавлен Иорданом.

Среднее арифметическое — это то, которое гораздо чаще всего обозначается этим термином, и то, которое мы можем понимать как означающее его в отсутствие какой-либо квалификации. Это сумма ряда величин, деленная на их количество, и может быть представлена формулой 1/2(a + b). Но существует также среднее геометрическое, которое является квадратным корнем из произведения, √a × b, или та величина, логарифм которой является средним арифметическим логарифмов величин. Существует также среднее гармоническое, которое является обратной величиной среднего арифметического обратных величин. Таким образом, если a и b — величины, как и раньше, их обратные величины — 1/a и 1/b, среднее которых равно 1/2(1/a + 1/b), а обратная величина снова равна 2ab / a + b, что является средним гармоническим. Другие виды средних, несомненно, могли бы быть изобретены для конкретных целей, и мы могли бы применить этот термин, как указал Де Морган, к любой величине, функция которой равна функции двух или более других величин, и является такой, что перестановка этих последних величин между собой не внесет никаких изменений в значение функции. Символически, если Φ (y, y, y....) = Φ (x1, x2, x3....), то y — это вид среднего величин x1, x2 и т. д.

Среднее геометрическое обязательно принимается в определенных случаях. Когда мы оцениваем работу, совершаемую против силы, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от фиксированной точки, средняя сила — это среднее геометрическое между силами в начале и конце пути. Когда в несовершенных весах мы обращаем веса для устранения ошибки, истинный вес будет средним геометрическим двух кажущихся весов. Почти во всех расчетах статистики и коммерции, строго говоря, следует использовать среднее геометрическое. Если товар повышается в цене на 100 процентов, а другой остается неизменным, средний рост цены не составляет 50 процентов, потому что отношение 150 : 200 не то же самое, что 100 : 150. Среднее отношение равно единице к √1,00 × 2,00 или 1 к 1,41. Разница между тремя видами средних в таком случае весьма значительна; в то время как рост цены, оцененный по среднему арифметическому, составил бы 50 процентов, он составил бы только 41 и 33 процента соответственно согласно среднему геометрическому и гармоническому.

Во всех расчетах, касающихся средней скорости прогресса сообщества или любой из его операций, следует использовать среднее геометрическое. Ибо если величина увеличивается на 100 процентов за 100 лет, она не будет в среднем увеличиваться на 10 процентов каждые десять лет, так как 10 процентов будут в конце каждого десятилетия рассчитываться на все большие и большие величины и дадут в конце 100 лет гораздо больше, чем 100 процентов, фактически целых 159 процентов. Истинная средняя скорость в каждом десятилетии была бы 10√2 или около 1,07, то есть увеличение составило бы около 7 процентов каждые десять лет. Но когда величины различаются очень мало, среднее арифметическое и геометрическое приблизительно одинаковы. Так, среднее арифметическое 1,000 и 1,001 равно 1,0005, а среднее геометрическое — около 1,0004998, причем разница составляет порядок, пренебрежимо малый почти во всех научных и практических вопросах. Даже при сравнении стандартных весов методом обращения Гаусса среднее арифметическое обычно может быть подставлено вместо среднего геометрического, которое является истинным результатом.

Рассматривая среднее значение в отсутствие прямого уточнения об обратном как обычное арифметическое среднее, мы все же должны различать два его применения: когда оно дает с большей или меньшей точностью и вероятностью действительно существующую величину, и когда оно выступает лишь как представитель других величин. Если я провожу множество экспериментов для определения атомного веса элемента, существует некое число, к которому я стремлюсь приблизиться, и среднее значение моих отдельных результатов будет, при отсутствии каких-либо причин для обратного, наиболее вероятным приближенным результатом. Когда мы определяем среднюю плотность Земли, это происходит не потому, что какая-либо часть Земли имеет именно такую плотность; может не существовать части, точно соответствующей средней плотности, и, поскольку земная кора имеет лишь около половины средней плотности, внутреннее вещество земного шара, конечно, должно быть выше среднего. Даже плотность однородного вещества, такого как углерод или золото, должна рассматриваться как среднее между реальной плотностью его атомов и нулевой плотностью промежуточного вакуумного пространства.

Совершенно различное значение слова «среднее» в этих двух случаях было полностью объяснено Кетле, а важность этого различия была отмечена сэром Джоном Гершелем в рецензии на его работу. Весьма желательно, чтобы ученые обозначали это различие, используя слово «среднее» (mean) только в первом смысле, когда оно обозначает приближение к определенной существующей величине, и «среднее арифметическое» (average), когда среднее является лишь фиктивной величиной, используемой для удобства мышления и выражения. Этимология слова «average» несколько неясна, но, согласно Де Моргану, оно происходит от averia, «имущество или владения», особенно применительно к сельскохозяйственному скоту. В силу случайностей языка averagium стало означать труд сельскохозяйственных лошадей, на который имел право лорд, и, вероятно, таким образом оно приобрело понятие распределения целого на части — смысл, в котором оно рано стало применяться к морским авариям или взносам других владельцев груза тем, чьи товары были выброшены за борт или использованы для безопасности судна.

О среднем арифметическом или фиктивном среднем.

Хотя среднее арифметическое при использовании в своем собственном смысле фиктивного среднего не представляет никакой реально существующей величины, оно тем не менее имеет высочайшее научное значение, позволяя нам охватить в одном результате множество деталей. Оно позволяет нам произвести гипотетическое упрощение задачи и избежать сложности, не совершая ошибки. Вес тела есть сумма весов бесконечно малых частиц, каждая из которых действует в разных местах, так что механическая задача, строго говоря, сводится к бесконечному числу отдельных задач. Мы обязаны Архимеду первым введением прекрасной идеи о том, что в гравитирующем теле может быть обнаружена одна точка, такая, что вес всех частиц может рассматриваться как сосредоточенный в этой точке, и при этом поведение всего тела будет точно представлено поведением этой тяжелой точки. Этот центр тяжести может находиться внутри тела, как в случае со сферой, или в пустом пространстве, как в случае с кольцом. Можно представить, что любые два тела, соединенные или раздельные, имеют центр тяжести; центр тяжести Солнца и Земли лежит внутри Солнца, всего в 267 милях от его центра.

Хотя мы чаще всего используем понятие центра или средней точки применительно к гравитации, то же самое понятие применимо и к другим случаям. Земная гравитация — это случай приблизительно параллельных сил, а центр тяжести — лишь частный случай более общего центра параллельных сил. Везде, где ряд сил любой величины действует по параллельным линиям, можно обнаружить точку, в которой алгебраическая сумма сил может быть представлена как действующая с точно таким же эффектом. Вода в цистерне давит на стенку с давлением, изменяющимся в зависимости от глубины, но всегда в направлении, перпендикулярном стенке. Мы можем тогда представить все давление как приложенное к одной точке, которая будет находиться на одной трети расстояния от дна цистерны и может быть названа центром давления. Центр качания маятника, открытый Гюйгенсом, — это та точка, в которой весь вес маятника может считаться сосредоточенным без изменения времени качания (стр. 315). Когда одно тело ударяет другое, центр удара — это та точка в ударяющем теле, в которой вся его масса могла бы быть сосредоточена без изменения эффекта удара. По своему положению центр удара не отличается от центра качания. Математики также описали центр вращения, центр преобразования, центр трения и т. д.

Мы должны тщательно различать те случаи, в которых может быть назначен неизменный центр, и те, в которых это невозможно. В строгом смысле слова, не существует такого понятия, как истинный неизменный центр тяжести. Как общее правило, тело способно обладать неизменным центром только для идеально параллельных сил, а гравитация никогда не действует по абсолютно параллельным линиям. Таким образом, как обычно, мы обнаруживаем, что наши концепции верны лишь гипотетически и применимы к реальным обстоятельствам лишь приблизительно. Существуют, действительно, определенные геометрические формы, называемые центробарическими, такие, что тело такой формы притягивало бы другое точно так же, как если бы масса была сосредоточена в центре тяжести, независимо от того, действуют ли силы параллельно или нет. Ньютон показал, что однородные сферы материи обладают этим свойством, и эта истина оказалась величайшей важности для упрощения его расчетов. Но это, в конечном счете, чисто гипотетическая истина, потому что мы нигде не можем встретить и не можем построить идеально сферическое и однородное тело. Малейшая неровность или выступ на поверхности разрушат строгую правильность этого допущения. Сфероид, с другой стороны, не имеет неизменного центра, в котором его масса всегда могла бы считаться сосредоточенной. Точка, из которой действует его результирующее притяжение, будет перемещаться в зависимости от расстояния и положения другого притягивающего тела, и она совпадет с центром только в отношении бесконечно удаленного тела, чьи силы притяжения могут рассматриваться как действующие по параллельным линиям.

Физики привычно говорят о полюсах магнита, и этот термин может быть использован для удобства. Но если мы придаем какое-либо определенное значение этому слову, то полюса — это не концы магнита и не какие-либо фиксированные точки внутри, а переменные точки, из которых могут считаться действующими равнодействующие всех сил, оказываемых частицами стержня на внешние магнитные частицы. Полюса — это, короче говоря, центры магнитных сил; но поскольку эти силы никогда не являются действительно параллельными, положение этих центров будет меняться в зависимости от относительного места притягиваемого объекта. Только когда мы рассматриваем магнит как притягивающий очень далекую или, строго говоря, бесконечно удаленную частицу, его центры становятся фиксированными точками, расположенными в коротких магнитах приблизительно на одной шестой всей длины от каждого конца стержня. В приведенных выше примерах центров или полюсов силы мы имеем достаточные примеры того, как фиктивное среднее или среднее арифметическое используется в физической науке.

Точный средний результат.

Теперь мы переходим к тому способу использования среднего результата, который аналогичен методу обращения, но который применяется самым широким образом во многих отраслях физической науки. Мы находим простейший возможный случай при определении широты места путем наблюдений Полярной звезды. Тихо Браге предположил, что если наблюдать высоту любой околополярной звезды при ее верхнем и нижнем прохождении через меридиан, то половина суммы этих высот будет широтой места, что равно высоте полюса. Такая звезда находится настолько же выше полюса при своем высшем прохождении, насколько ниже при низшем, так что среднее значение должно обязательно дать высоту самого полюса, свободную от сомнений, за исключением случайных ошибок. Полярная звезда обычно выбирается для целей таких наблюдений, потому что она описывает наименьший круг и, таким образом, в целом наименее подвержена влиянию атмосферной рефракции.

Всякий раз, когда действуют несколько причин, каждая из которых в одно время увеличивает, а в другое время уменьшает совместный эффект на равные величины, мы можем применить этот метод и распутать эффекты. Так, солнечные и лунные приливы движутся почти в полной независимости друг от друга. Когда Луна находится в новолунии или полнолунии, солнечный прилив совпадает, или почти совпадает, с приливом, вызванным Луной, и совместный эффект есть сумма отдельных эффектов. Когда Луна находится в квадратуре, или в фазе четверти, два прилива действуют в оппозиции, один поднимает, а другой опускает воду, так что мы наблюдаем только разность эффектов. У нас, по сути, есть —

Spring tide = lunar tide + solar tide;
Neap tide = lunar tide - solar tide.

Нам остается только сложить высоты максимального сизигийного прилива и минимального квадратурного прилива, и половина суммы будет истинной высотой лунного прилива. Половина разности сизигийного и квадратурного приливов, с другой стороны, дает солнечный прилив.

Эффекты очень малой величины могут быть обнаружены с большой степенью уверенности среди гораздо больших колебаний, при условии, что у нас есть ряд наблюдений, достаточно многочисленных и продолжительных, чтобы позволить нам сбалансировать все большие эффекты друг с другом. Для этой цели наблюдения должны продолжаться по крайней мере в течение одного полного цикла, в котором эффекты проходят через все свои вариации и возвращаются точно в те же относительные положения, что и в начале. Если существуют случайные или нерегулярные возмущающие причины, нам, вероятно, потребуется много таких циклов результатов, чтобы сделать их эффект незначительным. Мы получаем желаемый результат, беря среднее всех наблюдений, в которых причина действует положительно, и среднее всех, в которых она действует отрицательно. Половина разности этих средних даст эффект рассматриваемой причины, при условии, что никакой другой эффект не изменяется в тот же период или почти в тот же.

Поскольку Луна вызывает движение океана, очевидно, что ее притяжение должно оказывать некоторое влияние на атмосферу. Законы атмосферных приливов были исследованы Лапласом, но поскольку было бы непрактично рассчитывать их величины теоретически, мы можем определить их только путем наблюдения, как предсказывал Лаплас, что они однажды будут определены. Но колебания барометра, вызванные таким образом, гораздо меньше колебаний, обусловленных несколькими другими причинами. Штормы, ураганы или изменения погоды вызывают движения барометра, иногда в тысячу раз превышающие рассматриваемые приливы. Существуют также регулярные суточные, годовые или другие колебания, все они больше желаемой величины. Чтобы обнаружить и измерить атмосферный прилив, было желательно, чтобы наблюдения проводились в месте, максимально свободном от нерегулярных возмущений. По этой причине несколько длинных серий наблюдений были проведены на острове Святой Елены, где барометр гораздо более регулярен в своих движениях, чем в континентальном климате. Эффект притяжения Луны был затем обнаружен путем взятия среднего всех показаний, когда Луна находилась на меридиане, и аналогичного среднего, когда она находилась на горизонте. Разность этих средних оказалась равной всего 0,00365, однако удалось обнаружить даже изменение этого прилива в зависимости от того, была ли Луна ближе к Земле или дальше от нее, хотя эта разность составляла всего 0,00056 дюйма. Совершенно очевидно, что такие минутные эффекты никогда не могли бы быть обнаружены чисто эмпирическим путем. Не имея никакой информации, кроме имеющегося у нас ряда наблюдений, мы не могли бы иметь ключа к способу их группировки, который дал бы столь малую разность. Применяя этот метод средних в широком масштабе, мы должны, следовательно, обладать априорным знанием о периодах, в которые причина будет действовать в том или ином направлении.

Мы иногда способны устранить колебания и получить средний результат с помощью чисто механических устройств. Суточные изменения температуры, например, становятся незаметными на глубине одного или двух футов под поверхностью земли, так что термометр, помещенный своим резервуаром на этой глубине, дает почти истинную суточную среднюю температуру. На глубине двадцати футов даже годовые колебания почти сглаживаются, и термометр показывает температуру немного выше истинной средней температуры местности. При регистрации подъема и падения уровня прилива с помощью мареографа желательно избегать колебаний, возникающих от поверхностных волн, что очень легко достигается путем помещения поплавка в цистерну, сообщающуюся с морем через небольшое отверстие. Тогда заметен только общий подъем или падение уровня, точно так же, как в морском барометре узкая трубка предотвращает любые случайные колебания и позволяет проявиться только непрерывному изменению давления.

Определение нулевой точки.

Во многих важных наблюдениях главная трудность заключается в точном определении нулевой точки, от которой мы должны вести отсчет. Мы можем с большой точностью навести телескоп на звезду и измерить с точностью до секунды дуги угол, на который телескоп поднят или опущен; но вся эта точность будет бесполезна, если мы не знаем точно центральную точку небес, от которой мы измеряем, или, что то же самое, горизонтальную линию, отстоящую от нее на 90°. Поскольку истинный горизонт имеет отношение к фигуре Земли в месте наблюдения, мы можем определить его только по направлению гравитации, как это отмечено либо отвесом, либо поверхностью жидкости. Вопрос тогда сводится к наиболее точному способу наблюдения направления гравитации, и, поскольку давно было установлено, что отвес безнадежно неточен, астрономы обычно используют поверхность ртути в покое в качестве критерия горизонтальности. Они остроумно наблюдают направление поверхности, делая звезду индексом. Из законов отражения следует, что угол между прямым лучом от звезды и лучом, отраженным от поверхности ртути, будет в точности вдвое больше угла между поверхностью и прямым лучом от звезды. Следовательно, горизонтальная или нулевая точка есть среднее между видимым положением любой звезды или другого очень далекого объекта и его отражением в ртути.

Отвес перпендикулярен, или поверхность жидкости горизонтальна, только в приблизительном смысле; ибо любая неровность поверхности Земли, гора или даже дом должны вызывать некоторое отклонение своей силой притяжения. Обнаружить такое отклонение может показаться очень трудным, потому что любой другой отвес или поверхность жидкости были бы в равной степени затронуты гравитацией. Тем не менее, это можно обнаружить; ибо если мы поместим один отвес к северу от горы, а другой к югу, они будут примерно одинаково отклонены в противоположных направлениях, и если путем наблюдений одной и той же звезды мы сможем измерить угол между отвесами, половина этого наклона будет отклонением каждого из них, после того как будет сделана поправка на наклон, обусловленный разницей широты двух мест наблюдения. С помощью этого метода наблюдения, примененного к горе Шихаллион, отклонение отвеса было точно измерено Маскелайном, и таким образом было установлено сравнение между силами притяжения горы и всего земного шара, что привело к вероятной оценке плотности Земли.

В некоторых случаях на самом деле лучше определять нулевую точку по среднему значению одинаково расходящихся величин, чем путем прямого наблюдения. При точных взвешиваниях на химических весах необходимо точно установить точку, в которой коромысло приходит в состояние покоя, а при сравнении эталонных гирь положение коромысла определяется по тщательно разделенной шкале, рассматриваемой через микроскоп. Но когда коромысло только начинает приходить в состояние покоя, трение, небольшие препятствия или другие случайные причины могут легко затруднить его, поскольку оно находится вблизи точки, в которой сила устойчивости становится бесконечно малой. Поэтому оказывается лучше позволить коромыслу вибрировать и наблюдать крайние точки вибраций. Среднее между двумя крайними точками почти укажет положение покоя. Трение и сопротивление воздуха стремятся уменьшить вибрации, так что это среднее будет ошибочным на половину величины этого эффекта во время полувибрации. Но путем проведения нескольких наблюдений мы можем определить это замедление и учесть его. Так, если a, b, c — показания крайних точек трех отклонений коромысла от нуля шкалы, то 1/2(a + b) будет примерно настолько же ошибочным в одном направлении, насколько 1/2(b + c) в другом, так что среднее этих двух средних, или 1/4(a + 2b + c), будет чрезвычайно близко к точке покоя. Еще более близкое приближение может быть сделано путем взятия четырех показаний и их сведения по формуле 1/6(a + 2b + 2c + d).

Точность экспериментов Бейли, направленных на определение плотности Земли, полностью зависела от этого способа наблюдения колебаний. Шары, гравитация которых измерялась, были так деликатно подвешены на крутильных весах, что никогда не приходили в состояние покоя. Крайние точки колебаний наблюдались как тогда, когда тяжелый свинцовый притягивающий шар был с одной стороны, так и с другой. Разность средних точек, когда свинцовый шар был справа, и тех, когда он был слева, давала удвоенную величину отклонения.

Прекрасный пример избегания использования нулевой точки можно найти в наблюдениях г-на Э. Дж. Стоуна за лучистым теплом неподвижных звезд. Трудность этих наблюдений возникала из-за сравнительно больших количеств тепла, которые поступали в телескоп из атмосферы и которых было достаточно, чтобы почти полностью скрыть слабые тепловые лучи звезды. Но г-н Стоун закрепил в фокусе своего телескопа двойную термоэлектрическую батарею, две части которой были перевернуты по порядку. Теперь любое возмущение температуры, которое действовало равномерно на обе батареи, не производило никакого эффекта на стрелку гальванометра, и когда лучи звезды заставляли падать попеременно то на одну батарею, то на другую, общая величина отклонения представляла удвоенную нагревательную способность звезды. Таким образом, г-н Стоун смог с большой уверенностью обнаружить нагревательный эффект звезды Арктур, который даже при концентрации телескопом составлял всего 0,02° по Фаренгейту и который представляет собой нагревательный эффект прямого луча всего около 0,00000137° по Фаренгейту, что эквивалентно теплу, которое было бы получено от трехдюймового кубического сосуда, полного кипящей воды, на расстоянии 400 ярдов. Вероятно, что устройство батареи г-на Стоуна могло бы с пользой применяться в других деликатных термометрических экспериментах, подверженных значительным возмущающим влияниям.

Определение максимальных точек.

Мы используем метод средних в определенном количестве наблюдений, направленных на определение момента, в который явление достигает своей высшей точки по количеству. При фиксации положения неподвижной звезды в данное время нетрудно установить точку, подлежащую наблюдению, ибо звезда в хорошем телескопе представляет собой чрезвычайно малый диск. При наблюдении туманного тела, которое от яркого центра постепенно угасает во все стороны, невозможно будет с уверенностью выбрать среднюю точку. Во многих таких случаях лучший метод состоит не в том, чтобы произвольно выбирать предполагаемую среднюю точку, а точки равной яркости по обе стороны, а затем брать среднее наблюдений этих двух точек для центра. Как общее правило, переменная величина при достижении своего максимума возрастает со все меньшей скоростью, а после прохождения высшей точки начинает убывать с незаметными степенями. Максимум, действительно, может быть определен как та точка, в которой увеличение или уменьшение равно нулю. Следовательно, это обычно будет самая неопределенная точка, и если мы можем точно измерить явление, мы лучше всего определим место максимума путем определения точек по обе стороны, в которых ординаты равны. Более того, в этом методе есть то преимущество, что можно определить несколько точек с соответствующими им точками на другой стороне и взять среднее всего этого как истинное место максимума. Но этот метод полностью зависит от существования симметрии в кривой, так что из двух равных ординат одна должна быть настолько же далеко с одной стороны от максимума, насколько другая — с другой. Метод терпит неудачу, когда преобладают другие законы изменения.

В приливных наблюдениях большая трудность встречается при фиксации момента полной воды, потому что скорость, с которой вода в это время поднимается или опускается, почти незаметна. Уэвелл предложил поэтому отмечать время, в которое вода проходит фиксированную точку несколько ниже максимума как при подъеме, так и при падении, и брать среднее время как время полной воды. Но этот способ действий, к сожалению, не дает правильного результата, потому что прилив следует разным законам при подъеме и при падении. Опять же, существует трудность в выборе самого высокого сизигийного прилива, другого объекта большой важности в тидологии. Лаплас обнаружил, что прилив второго дня, предшествующего соединению Солнца и Луны, почти равен приливу пятого дня, следующего за ним; и, полагая, что увеличение и уменьшение приливов происходят почти симметричным образом, он решил, что самый высокий прилив произойдет примерно через тридцать шесть часов после соединения, то есть на полпути между вторым днем до и пятым днем после.

Этот метод также используется при определении времени прохождения средней или самой плотной точки потока метеоров. Земля тратит два или три дня на полное прохождение через ноябрьский поток; но астрономам для их расчетов нужно иметь некоторую определенную точку, зафиксированную, если возможно, с точностью до нескольких минут. Когда они находятся близко к середине, они наблюдают количество метеоров, которые попадают в сферу зрения каждые полчаса или четверть часа, а затем, предполагая, что закон изменения симметричен, они выбирают момент для прохождения центра, равноудаленный между временами равной частоты.

Затмения спутников Юпитера представляют интерес не только в отношении движений самих спутников, но и были, и, возможно, до сих пор являются полезными при определении долгот, потому что это события, происходящие в фиксированные моменты абсолютного времени и видимые во всех частях планетной системы одновременно, с учетом интервала, занимаемого светом при движении. Но, как объясняет Гершель, момент события лишен определенности, отчасти потому, что длинный конус тени Юпитера окружен полутенью, а отчасти потому, что сам спутник имеет заметный диск и требует времени для вхождения в тень. Разные наблюдатели, использующие разные телескопы, обычно выбирали бы разные моменты для момента затмения. Но увеличение света при выходе из тени будет происходить по закону, обратному тому, что наблюдается при вхождении в тень, так что если наблюдатель отмечает время обоих событий одним и тем же телескопом, он будет настолько же раньше в одном наблюдении, насколько позже в другом, и средний момент двух наблюдений будет представлять с значительной точностью время, когда спутник находится в середине тени. Ошибка суждения наблюдателя таким образом устраняется, при условии, что он заботится о том, чтобы действовать при выходе из тени так же, как он действовал при вхождении в нее.

ГЛАВА XVII. ЗАКОН ОШИБКИ.

Подчинить саму ошибку закону может показаться выше человеческих сил. Тот, кто ошибается, несомненно, отклоняется от закона, и может показаться безнадежным извлечь истину из ошибки. Одно из самых замечательных достижений человеческого интеллекта — это создание общей теории, которая не только позволяет нам среди расходящихся результатов приблизиться к истине, но и назначить степень вероятности, которая справедливо приписывается этому выводу. Было бы ошибкой, конечно, полагать, что этот закон является обязательно лучшим руководством при всех обстоятельствах. Каждый измерительный прибор и каждая форма эксперимента могут иметь свой собственный особый закон ошибки; в одном приборе может быть тенденция в одном направлении, а в другом — в противоположном. Каждый процесс имеет свои специфические подверженности возмущениям, и мы никогда не освобождаемся от необходимости предусматривать особые трудности. Общий закон ошибки является лучшим руководством только тогда, когда мы исчерпали все другие средства приближения и все еще находим расхождения, которые обусловлены неизвестными причинами. Мы должны рассматривать такие остаточные различия тем или иным способом, поскольку они будут возникать во всех точных экспериментах, и, поскольку их происхождение считается неизвестным, нет причин, по которым мы должны относиться к ним по-разному в разных случаях. Соответственно, окончательный закон ошибки должен быть единообразным и общим.

Математиками прекрасно осознается, что в каждом случае может существовать особый закон ошибки, и его следует обнаружить, если это возможно. «Ничто не может быть более маловероятным, чем то, что ошибки, совершаемые во всех классах наблюдений, должны следовать одному и тому же закону», и особые законы ошибки, которые будут применяться к определенным инструментам, как, например, повторяющийся круг, были исследованы Браве. Он приходит к выводу, что каждая отдельная причина ошибки порождает кривую возможности ошибок, которая может иметь любую форму, — кривую, которую мы можем быть способны или неспособны обнаружить, и которая в первом случае может быть определена априорными соображениями об особой природе этой причины, или которая может быть определена апостериори путем наблюдения. Всякий раз, когда это практически осуществимо и стоит затраченного труда, мы должны исследовать эти особые условия ошибки; тем не менее, когда существует большое количество различных источников минутной ошибки, общий результат всегда будет стремиться подчиниться тому общему закону, который мы собираемся рассмотреть.

Установление закона ошибки.

Математики гораздо лучше согласны относительно формы закона ошибки, чем относительно того, каким образом он может быть выведен и доказан. Они согласны, что среди ряда расходящихся результатов наблюдения та средняя величина, вероятно, является лучшим приближением к истине, которая делает сумму квадратов ошибок как можно меньшей. Но есть три основных способа, которыми этот закон был достигнут соответственно Гауссом, Лапласом и Кетле, и сэром Джоном Гершелем. Гаусс во многом исходит из предположения; Гершель опирается на геометрические соображения; в то время как Лаплас и Кетле рассматривают закон ошибки как развитие доктрины комбинаций. Ряд других математиков, таких как Адрейн из Нью-Брансуика, Бессель, Айвори, Донкин, Лесли Эллис, Тейт и Крофтон, либо пытались найти независимые доказательства, либо модифицировали или комментировали те, которые здесь будут описаны. Для получения полных сведений о литературе по этому вопросу читателю следует обратиться либо к «Истории теории вероятностей» г-на Тодхантера, либо к способному мемуару г-на Дж. У. Л. Глейшера.

Согласно Гауссу, закон ошибки выражает сравнительную вероятность ошибок различной величины, и отчасти из опыта, отчасти из априорных соображений мы можем легко установить определенные условия, которым закон будет определенно соответствовать. В качестве первого принципа, которым следует руководствоваться при выборе закона, можно справедливо предположить, что большие ошибки будут гораздо менее частыми и вероятными, чем малые. Мы знаем, что очень большие ошибки почти невозможны, так что вероятность должна быстро уменьшаться по мере увеличения величины ошибки. Второй принцип заключается в том, что положительные и отрицательные ошибки должны быть равновероятными, что, безусловно, можно предположить, поскольку предполагается, что мы лишены какого-либо знания о причинах остаточных ошибок. Из этого следует, что вероятность ошибки должна быть функцией четной степени величины, то есть квадрата, или четвертой степени, или шестой степени, иначе вероятность одной и той же величины ошибки варьировалась бы в зависимости от того, была ли ошибка положительной или отрицательной. Четные степени x2, x4, x6 и т. д. всегда по своей сути положительны, независимо от того, является ли x положительным или отрицательным. Нет априорной причины, почему следует выбирать одну из этих четных степеней, а не другую. Сам Гаусс допускает, что четвертая или шестая степень удовлетворяла бы условиям так же хорошо, как и вторая; но при отсутствии каких-либо теоретических причин мы должны предпочесть вторую степень, потому что она приводит к формулам большой сравнительной простоты. Если бы закон ошибки требовал использования более высоких степеней ошибки, сложность необходимых расчетов значительно снизила бы полезность теории.

С помощью математических рассуждений, следовать которым в этой книге было бы нежелательно, показано, что при этих условиях возможность возникновения, или, другими словами, вероятность ошибки выражается функцией общего вида ε–h2x2, в которой x представляет переменную величину ошибок. Из этого закона, который будет более полно описан в следующих разделах, сразу следует, что наиболее вероятным результатом любых наблюдений является тот, который делает сумму квадратов последующих ошибок наименьшей возможной. Пусть a, b, c и т. д. будут результатами наблюдения, а x — величиной, выбранной как наиболее вероятная, то есть наиболее свободная от неизвестных ошибок: тогда мы должны определить x так, чтобы (a - x)2 + (b - x)2 + (c - x)2 + . . . была наименьшей возможной величиной. Таким образом, мы приходим к знаменитому методу наименьших квадратов, как его обычно называют, который, по-видимому, был впервые четко применен на практике Гауссом в 1795 году, в то время как Лежандр впервые опубликовал в 1806 году описание процесса в своей работе под названием «Nouvelles Méthodes pour la Détermination des Orbites des Comètes». Стоит отметить, однако, что Роджер Котс задолго до этого рекомендовал метод эквивалентной природы в своем трактате «Estimatio Erroris in Mixta Mathesi».

Геометрическое доказательство Гершеля.

Второй способ прихода к закону ошибки был предложен Гершелем, и, хотя он применим только к геометрическим случаям, он примечателен тем, что показывает, что с какой бы точки зрения мы ни рассматривали предмет, один и тот же принцип будет обнаружен. Предположив, что должен существовать какой-то общий закон и что он подчиняется принципам вероятности, он предполагает, что шар бросают с высокой точки с намерением, чтобы он попал в заданную отметку на горизонтальной плоскости. В отсутствие каких-либо известных причин отклонения он либо попадет в эту отметку, либо, что бесконечно более вероятно, отклонится от нее на величину, которую мы должны рассматривать как ошибку неизвестного происхождения. Теперь, цитируя слова Гершеля, «вероятность этой ошибки есть неизвестная функция ее квадрата, т. е. суммы квадратов ее отклонений в любых двух прямоугольных направлениях. Теперь, поскольку вероятность любого отклонения зависит исключительно от его величины, а не от его направления, из этого следует, что вероятность каждого из этих прямоугольных отклонений должна быть той же функцией своего квадрата. И поскольку наблюдаемое косое отклонение эквивалентно двум прямоугольным, предполагаемым одновременными, и которые по существу независимы друг от друга, и является, следовательно, сложным событием, составляющими которого они являются как простые независимые элементы, поэтому его вероятность будет произведением их отдельных вероятностей. Таким образом, форма нашей неизвестной функции определяется из этого условия, а именно, что произведение таких функций двух независимых элементов равно той же функции их суммы. Но в каждой работе по алгебре показано, что это свойство является специфической характеристикой и принадлежит только экспоненциальной или антилогарифмической функции. Это, следовательно, функция квадрата ошибки, которая выражает вероятность совершения этой ошибки. Эта вероятность уменьшается, следовательно, в геометрической прогрессии, по мере того как квадрат ошибки увеличивается в арифметической».

Доказательство закона Лапласом и Кетле.

Сколько бы презумпций в пользу обычно принимаемого закона ни давали уже описанные способы определения закона ошибки, трудно почувствовать, что аргументы удовлетворительны. Принятый закон выбирается скорее на основании удобства и правдоподобия, чем потому, что его можно увидеть как необходимый закон. Мы можем, однако, подойти к предмету с совершенно другой точки зрения и все же прийти к тому же результату.

Предположим, что конкретное наблюдение подвержено четырем шансам ошибки, каждый из которых увеличит результат на один дюйм, если он произойдет. Каждая из этих ошибок должна рассматриваться как событие, независимое от остальных, и мы можем поэтому назначить, согласно теории вероятности, сравнительную вероятность и частоту каждого сочетания ошибок. Из арифметического треугольника (стр. 182–188) мы узнаем, что отсутствие ошибки может произойти только одним способом; ошибка в один дюйм может произойти 4 способами; а количество способов возникновения ошибок в 2, 3 и 4 дюйма соответственно будет 6, 4 и 1.

Мы можем сделать вывод, что ошибка в два дюйма наиболее вероятна и будет возникать в долгосрочной перспективе в шести случаях из шестнадцати. Ошибки в один и три дюйма будут одинаково вероятны, но будут возникать реже; в то время как отсутствие ошибки или ошибка в четыре дюйма будут сравнительно редким явлением. Если мы теперь предположим, что ошибки действуют одинаково часто в одном направлении, как и в другом, эффект будет заключаться в изменении средней ошибки на величину двух дюймов, и мы получим следующие результаты:—

Negative error of 2 inches | 1 |  way.
Negative error of 1 inch | 4 |  ways.
No error at all | 6 |  ways.
Positive error of 1 inch | 4 |  ways.
Positive error of 2 inches | 1 |  way.

Теперь мы можем представить, что количество причин ошибки увеличилось, а величина каждой ошибки уменьшилась, и арифметический треугольник даст нам частоту результирующих ошибок. Так, если есть пять положительных причин ошибки и пять отрицательных причин, следующая таблица показывает количество ошибок различной величины, которые будут результатом:—

Direction of Error. | Positive Error. |  | Negative Error.
Amount of Error. | 5, 4, 3, 2, 1 | 0 | 1, 2, 3, 4, 5
Number of such Errors. | 1, 10, 45, 120, 210 | 252 | 210 120, 45, 10, 1

Очевидно, что из таких чисел я могу установить вероятность любой конкретной величины ошибки при предполагаемых условиях. Вероятность положительной ошибки ровно в один дюйм составляет 210/1024, в которой числитель — это количество комбинаций, дающих положительную ошибку в один дюйм, а знаменатель — общее количество возможных ошибок всех величин. Я также могу, сложив соответствующие числа, получить вероятность ошибки, не превышающей определенной величины. Таким образом, вероятность ошибки в три дюйма или меньше, положительной или отрицательной, есть дробь, числитель которой есть сумма 45 + 120 + 210 + 252 + 210 + 120 + 45, а знаменатель, как и прежде, дает результат 1002/1024. Мы можем сразу увидеть, что, согласно этим принципам, вероятность малых ошибок гораздо больше, чем больших: шансы составляют 1002 к 22, или более чем 45 к 1, что ошибка не превысит трех дюймов; и шансы составляют 1022 к 2 против возникновения максимально возможной ошибки в пять дюймов.

Если возникнет какой-либо случай, в котором наблюдатель знает количество и величину главных ошибок, которые могут произойти, он должен, безусловно, рассчитать из арифметического треугольника особый закон ошибки, который будет применяться. Но общий закон, который мы ищем, должен использоваться в темноте, когда у нас нет абсолютно никакого знания об источниках ошибки. Предполагать какое-либо особое количество причин ошибки — это произвольное действие, и математики выбрали наименее произвольный путь воображения существования бесконечного количества бесконечно малых ошибок, точно так же, как в обратном методе вероятностей бесконечное количество бесконечно невероятных гипотез было представлено для расчета (стр. 255).

Причины в пользу этого выбора бывают нескольких разных видов.

1. Нельзя отрицать, что в любом акте наблюдения могут существовать бесконечно многочисленные причины ошибки.

2. Закон, вытекающий из гипотезы умеренного количества причин ошибки, не отличается заметно от того, который дает гипотеза бесконечного количества причин ошибки.

3. Мы выигрываем благодаря гипотезе бесконечности общий закон, способный к легкому расчету и применимый по единообразным правилам ко всем задачам.

4. Этот закон, при проверке путем сравнения с обширными сериями наблюдений, поразительно подтверждается, как будет показано в более позднем разделе.

Когда мы воображаем существование любого большого количества причин ошибки, например, ста, количество комбинаций становится непрактично большим, как можно увидеть, взглянув на арифметический треугольник, который идет только до семнадцатой строки. Кетле, с помощью подходящих процессов сокращения, рассчитал таблицу вероятности ошибок на гипотезе тысячи различных причин; но математики обычно исходили из гипотезы бесконечности, а затем, с помощью приемов анализа, подставили общий закон, легкий в обращении. В математических работах по этому предмету показано, что стандартный закон ошибки выражается формулой

y = Y ε –cx²,

в которой x — величина ошибки, Y — максимальная ордината кривой ошибки, а c — число, постоянное для каждой серии наблюдений и выражающее величину тенденции к ошибке, варьирующуюся между одной серией наблюдений и другой. Буква ε — это математическая константа, сумма отношений между количествами перестановок и комбинаций, о которой упоминалось ранее (стр. 330).

Чтобы показать тесное соответствие этого общего закона с особым законом, который мог бы быть выведен из предположения умеренного количества причин ошибки, я на прилагаемом рисунке начертил кривую линию, точно представляющую изменение y, когда x в вышеприведенной формуле принимается равным 0, 1/2, 1, 3/2, 2 и т. д., положительным или отрицательным, причем произвольные величины Y и c принимаются равными единице, чтобы упростить расчеты. На том же рисунке вставлены одиннадцать точек, высоты которых над базовой линией пропорциональны числам в одиннадцатой строке арифметического треугольника, тем самым представляя сравнительные вероятности ошибок различной величины, возникающих из десяти равных причин ошибки. Соответствие общего и особого закона ошибки почти такое же близкое, как может быть показано на рисунке, и предположение большего количества равных причин ошибки сделало бы соответствие гораздо более близким.

Можно объяснить, что ординаты NM, nm, n′m′ представляют значения y в уравнении, выражающем закон ошибки. Возникновение любого одного определенного количества ошибки бесконечно невероятно, потому что могло бы быть проведено бесконечное количество таких ординат. Но вероятность ошибки, возникающей между определенными пределами, конечна и представлена частью площади кривой. Таким образом, вероятность того, что произойдет ошибка, положительная или отрицательная, не превышающая единицы, представлена площадью Mmnn′m′, короче говоря, площадью, стоящей на линии nn′. Поскольку каждое наблюдение должно либо иметь некоторую определенную ошибку, либо не иметь ее вовсе, из этого следует, что вся площадь кривой должна рассматриваться как единица, выражающая уверенность, и вероятность ошибки, попадающей между конкретными пределами, будет тогда выражена отношением, которое площадь кривой между этими пределами имеет к целой площади кривой.

Тот простой факт, что закон ошибки допускает возможное существование ошибок любого назначаемого количества, показывает, что он верен лишь приблизительно. Мы можем справедливо сказать, что при измерении мили было бы невозможно совершить ошибку в сто миль, а продолжительность жизни никогда не позволила бы нам совершить ошибку в один миллион миль. Тем не менее, общий закон ошибки назначил бы вероятность для ошибки такой величины или больше, но настолько малую вероятность, что она была бы совершенно незначительной и почти невообразимой. Все, что можно, или, по сути, нужно сказать в защиту закона, — это то, что он может быть сделан представляющим ошибки в любом частном случае с очень близким приближением, и что вероятность больших и практически невозможных ошибок, как это дается законом, будет настолько мала, что будет совершенно незначительной. И поскольку мы имеем дело с самой ошибкой, а наши результаты не претендуют ни на что иное, кроме приближения и вероятности, бесконечно малая ошибка в нашем процессе приближения не имеет никакого значения.

Логическое происхождение закона ошибки.

Стоит отметить, что этот закон ошибки, каким бы абстрактным ни казался предмет, на самом деле основан на простейших принципах. Он возникает целиком из разницы между перестановками и комбинациями, предмета, на котором я, возможно, остановился с излишней многословностью на предыдущих страницах (стр. 170, 189). Порядок, в котором мы складываем величины вместе, не влияет на величину суммы, так что если действуют три положительные и пять отрицательных причин ошибки, не имеет значения, в каком порядке они считаются действующими. Они могут быть перемешаны в любом расположении, и все же результат будет тем же. Читатель не должен упустить из виду, как законы или принципы, которые казались абсурдно простыми и очевидными при первом рассмотрении, вновь появляются в самых сложных и таинственных процессах научного метода. Фундаментальные законы тождества и различия дали начало логическому алфавиту, который, после абстрагирования характера различий, привел к арифметическому треугольнику. Закон ошибки определяется бесконечно высокой линией этого треугольника, и закон доказывает, что среднее является наиболее вероятным результатом и что отклонения от среднего становятся гораздо менее вероятными по мере увеличения их величины. Теперь сравнительная величина чисел к середине каждой строки арифметического треугольника целиком обусловлена безразличием порядка в пространстве или времени, что было впервые заметно указано как условие логических отношений и символов, их обозначающих (стр. 32–35), и что впоследствии было показано как одинаково присущее числовым символам, производным логических терминов (стр. 160).

Проверка закона ошибки.

Теория ошибки, которую мы рассматривали, целиком опирается на предположение, а именно, что когда учтены известные источники возмущений, все еще остаются неопределенное, возможно, бесконечное количество других минутных источников ошибки, которые будут так же часто производить избыток, как и недостаток. Принимая это предположение, закон ошибки должен быть таким, каким он обычно считается, и нет большей необходимости проверять его эмпирически, чем проверять истинность одного из предложений Евклида механически. Тем не менее, это интересное занятие — проверять даже предложения геометрии, и еще более поучительно попробовать, оправдает ли большое количество наблюдений наше предположение о законе ошибки.

Энке привел отличный пример соответствия теории опыту в случае наблюдений разностей прямого восхождения Солнца и двух звезд, а именно α Орла и α Малого Пса. Наблюдений было 470, они были сделаны Брэдли и сведены Бесселем, который нашел вероятную ошибку окончательного результата всего около одной четвертой части секунды (0,2637). Затем он сравнил количество ошибок каждой величины от 0,1 секунды и выше, как они фактически даны наблюдениями, с тем, что должно происходить согласно закону ошибки.

Результаты были следующими:—

Magnitude of the errors in parts of a second. | Number of errors of each magnitude according to
Observation. | Theory.
0·0 | to | 0·1 | 94 | 95
 ·1 | " |  ·2 | 88 | 89
 ·2 | " |  ·3 | 78 | 78
 ·3 | " |  ·4 | 58 | 64
 ·4 | " |  ·5 | 51 | 50
 ·5 | " |  ·6 | 36 | 36
 ·6 | " |  ·7 | 26 | 24
 ·7 | " |  ·8 | 14 | 15
 ·8 | " |  ·9 | 10 |  9
 ·9 | " | 1·0 |  7 |  5
above  | 1·0 |  8 |  5

Читатель заметит, что соответствие очень близкое, за исключением больших ошибок, которые на практике чрезмерны. Действительно, одним возражением против теории ошибки является то, что, будучи выраженной в непрерывной математической функции, она предполагает существование ошибок любой величины, таких, которые практически не могли бы произойти; однако в этом случае теория, кажется, недооценивает количество больших ошибок.

Другое сравнение закона с наблюдением было сделано Кетле, который исследовал ошибки 487 определений во времени прямого восхождения Полярной звезды, сделанных в Гринвиче в течение четырех лет 1836–39. Эти наблюдения, хотя и тщательно исправленные на все известные причины ошибки, а также на нутацию, прецессию и т. д., все же, конечно, оказались различными, и будучи классифицированными в отношении интервалов в полсекунды времени, а затем пропорционально увеличенными в количестве, так что их сумма может быть тысячей, дают следующие результаты по сравнению с тем, что теория Кетле заставила бы нас ожидать:—

Magnitude of error in tenths of a second. | Number of Errors | Magnitude of error in tenths of a second. | Number of Errors
by Observation. | by Theory. | by Observation. | by Theory.
 0·0 | 168 | 163 | – | – | –
+0·5 | 148 | 147 | –0·5 | 150 | 152
+1·0 | 129 | 112 | –1·0 | 126 | 121
+1·5 |  78 |  72 | –1·5 |  74 |  82
+2·0 |  33 |  40 | –2·0 |  43 |  46
+2·5 |  10 |  19 | –2·5 |  25 |  22
+3·0 |   2 |  10 | –3·0 |  12 |  10
– | – | – | –3·5 |   2 |   4

В этом случае также соответствие удовлетворительное, но расхождение между теорией и фактом находится в противоположном направлении по сравнению с тем, что было обнаружено в предыдущем сравнении, причем большие ошибки встречаются реже, чем указывала бы теория. Будет замечено, что теоретические результаты Кетле несимметричны.

Вероятный средний результат.

Одним из непосредственных следствий закона ошибок, сформулированного таким образом, является то, что средний результат есть наиболее вероятный; и когда имеется только одна переменная, это среднее значение находится с помощью привычного арифметического процесса. В некоторые работы, затрагивающие эту тему, вкралась досадная ошибка. Милль, рассматривая «устранение случайности», отмечает в примечании, что «о среднем говорят так, как если бы оно было в точности тем же самым, что и среднее арифметическое. Но среднее для целей индуктивного исследования — это не среднее значение или среднее арифметическое, хотя в наглядной иллюстрации теории этим различием можно пренебречь». Далее он говорит, что, согласно математическим принципам, наиболее вероятным результатом является тот, для которого сумма квадратов отклонений минимальна. Представляется вероятным, что Милль и другие авторы были введены в заблуждение Уэвеллом, который утверждает, что «метод наименьших квадратов, по сути, является методом средних, но с некоторыми особыми характеристиками... Метод исходит из такого предположения: не все ошибки равновероятны, но малые ошибки более вероятны, чем большие». Он добавляет, что этот метод «устраняет многое из того, что является произвольным в методе средних». Странно видеть, как математик уровня Уэвелла делает подобные замечания, когда нет никаких сомнений в том, что метод средних является лишь частным случаем метода наименьших квадратов. Фактически, это один и тот же метод, за исключением того, что последний может применяться в случаях, когда необходимо определить две или более величины одновременно. Лаббок и Дринкуотер говорят: «Если необходимо определить только одну величину, этот метод очевидно сводится к нахождению среднего всех значений, полученных в результате наблюдений». Энке утверждает, что выражение для вероятности ошибки «не только содержит в себе принцип среднего арифметического, но и зависит от него настолько непосредственно, что для всех тех величин, для которых среднее арифметическое справедливо в простых случаях, где оно преимущественно применяется, нельзя предположить никакого иного закона вероятности, кроме того, который выражен этой формулой».

Вероятная ошибка результатов.

Когда мы делаем вывод на основе численных результатов наблюдений, мы не должны считать достаточным, в важных случаях, ограничиваться нахождением простого среднего и рассматривать его как истинное. Мы должны также установить, какова степень доверия, которую мы можем возложить на это среднее, и наше доверие должно измеряться степенью совпадения наблюдений, из которых оно выведено. В некоторых случаях среднее может быть приблизительно достоверным и точным. В других случаях оно может на самом деле стоить мало или ничего. Закон ошибок позволяет нам дать точное выражение степени доверия, уместной в любом случае; ибо он показывает, как вычислить вероятность отклонения на любую величину от среднего, и мы можем отсюда установить вероятность того, что рассматриваемое среднее находится в пределах определенного расстояния от истинного числа. Вероятная ошибка принимается математиками как пределы, в которых с равной долей вероятности истина может как находиться, так и не находиться. Так, если 5,45 — это среднее всех определений плотности Земли, а 0,20 — приблизительно вероятная ошибка, это означает, что вероятность того, что реальная плотность Земли находится между 5,25 и 5,65, равна 1/2. Любые другие пределы могли быть выбраны по желанию. Мы могли бы вычислить пределы, в которых вероятность того, что истина попадет в них, составляла бы сто к одному или тысячу к одному; но существует соглашение брать равные шансы один к одному как величину вероятности, пределы которой должны быть оценены.

Многие книги по теории вероятностей дают правила для выполнения расчетов, но поскольку по мере развития науки люди должны становиться более знакомыми с этими процессами, я предлагаю повторить правила здесь и проиллюстрировать их использование. Расчеты, когда они выполняются в соответствии с указаниями, не требуют ничего, кроме арифметических или логарифмических операций.

Ниже приведены правила обработки среднего результата для того, чтобы полностью убедиться в его достоверности.

1. Вычислите среднее всех наблюдаемых результатов.

2. Найдите избыток или недостаток, то есть ошибку каждого результата относительно среднего.

3. Возведите каждую из этих предполагаемых ошибок в квадрат.

4. Сложите все эти квадраты ошибок, которые, разумеется, все положительны.

5. Разделите на число, на единицу меньшее количества наблюдений. Это дает квадрат средней ошибки.

6. Извлеките квадратный корень из последнего результата; это будет средняя ошибка отдельного наблюдения.

7. Разделите теперь на квадратный корень из количества наблюдений, и мы получим среднюю ошибку среднего результата.

8. Наконец, умножьте на натуральную константу 0,6745 (или приблизительно на 0,674, или даже на 2/3), и мы придем к вероятной ошибке среднего результата.

Предположим, например, что пять измерений высоты холма с помощью барометра или иным способом дали значения в футах: 293, 301, 306, 307, 313; мы хотим узнать вероятную ошибку среднего, а именно 304. Теперь разности между этим средним и вышеуказанными числами, не обращая внимания на знак, равны 11, 3, 2, 3, 9; их квадраты — 121, 9, 4, 9, 81, а сумма квадратов ошибок, следовательно, 224. Количество наблюдений равно 5, мы делим на 1 меньше, то есть на 4, получая 56. Это квадрат средней ошибки, и, извлекая из него квадратный корень, мы получаем 7,48 (скажем, 7 1/2), среднюю ошибку отдельного наблюдения. Разделив на 2,236, квадратный корень из 5, количества наблюдений, мы находим, что средняя ошибка среднего результата равна 3,35, или, скажем, 3 1/3, и, наконец, умножив на 0,6745, мы приходим к вероятной ошибке среднего результата, которая оказывается равной 2,259, или, скажем, 2 1/4. Это означает, что вероятность равна одной второй, или шансы равны, что истинная высота горы лежит между 301 3/4 и 306 1/4 футами. Таким образом, мы имеем точную меру степени достоверности нашего среднего результата, которое указывает наиболее вероятную точку, где должна находиться истина.

Читателю следует заметить, что, поскольку цель этих расчетов состоит лишь в том, чтобы получить представление о степени доверия, с которой мы рассматриваем среднее, нет реальной необходимости выполнять расчеты с высокой степенью точности; и всякий раз, когда пренебрежение десятичными дробями или даже небольшое изменение числа значительно сократит вычисления, это можно смело делать, за исключением случаев особой важности и точности. Броди показал, как закон ошибок может быть полезно применен в химических исследованиях, и некоторые иллюстрации его использования можно найти в его статье.

Эксперименты Бенценберга по обнаружению вращения Земли путем отклонения падающего в глубокую шахту шара от вертикальной линии были приведены Энке как интересная иллюстрация закона ошибок. Среднее отклонение составило 5,086 линий, и его вероятная ошибка была вычислена Энке как не превышающая 0,950 линии, то есть шансы были равны, что истинный результат лежит между 4,136 и 6,036. Поскольку отклонение, согласно астрономической теории, должно составлять 4,6 линии, что вполне укладывается в эти пределы, мы можем считать, что эксперименты согласуются с коперниканской системой мира.

Разумеется, следует понимать, что вероятная ошибка учитывает только те причины ошибок, которые в долгосрочной перспективе действуют в равной степени в обоих направлениях; она не принимает во внимание постоянные ошибки. Соответственно, истинный результат часто будет выходить далеко за пределы вероятной ошибки из-за какой-либо значительной постоянной ошибки или ошибок, о существовании которых мы не подозреваем.

Отбрасывание среднего результата.

Мы всегда должны помнить, что среднее любой серии наблюдений является наилучшим, то есть наиболее вероятным приближением к истине, только при отсутствии знаний об обратном. Выбор среднего полностью основывается на вероятности того, что неизвестные причины ошибок в долгосрочной перспективе будут возникать одинаково часто в одном и другом направлениях, так что при вычислении среднего они будут уравновешивать друг друга. Если у нас есть основания предполагать, что существует тенденция к ошибке в одном направлении, а не в другом, то выбор среднего означал бы игнорирование этой тенденции. Мы, безусловно, можем приблизиться к длине окружности круга, взяв среднее периметров вписанного и описанного многоугольников с равным и большим числом сторон. Длина круговой линии, несомненно, лежит между длинами двух периметров, но из этого не следует, что среднее является наилучшим приближением. Фактически можно показать, что окружность круга очень близка к периметру вписанного многоугольника плюс одна треть разности между вписанным и описанным многоугольниками с тем же числом сторон. Обладая этим знанием, мы, конечно, должны действовать на его основе, вместо того чтобы полагаться на вероятность.

Мы часто можем заметить, что серия измерений стремится к предельному значению, а не к среднему. Пытаясь получить правильную оценку видимого диаметра ярчайших неподвижных звезд, мы обнаруживаем постоянное уменьшение оценок по мере увеличения силы наблюдений. Кеплер приписал Сириусу видимый диаметр в 240 секунд; Тихо Браге оценил его в 126; Гассенди — в 10 секунд; Галилей, Гевелий и Дж. Кассини — в 5 или 6 секунд. Галлей, Мичелл и впоследствии сэр У. Гершель пришли к выводу, что ярчайшие звезды на небе не могут иметь реальных дисков размером в секунду и, вероятно, имеют гораздо меньший диаметр. Конечно, было бы абсурдно брать среднее величин, которые различаются более чем в 240 раз; и поскольку тенденция всегда была к меньшим оценкам, существует значительное основание в пользу наименьшей.

Во многих экспериментах и измерениях мы знаем, что существует преобладающая тенденция к ошибке в одном направлении. Показания термометра имеют тенденцию расти по мере увеличения срока службы прибора, и никакое вычисление средних не исправит этот результат. Барометры, с другой стороны, скорее всего, будут показывать слишком низкие значения, а не слишком высокие, из-за несовершенства вакуума и действия капиллярного притяжения. Если ртуть идеально чиста и измерительный прибор не дает заметной ошибки, лучшим барометром будет тот, который дает наиболее высокий результат. При определении удельного веса твердого тела главная опасность ошибки возникает из-за пузырьков воздуха, прилипающих к телу, что будет стремиться сделать удельный вес слишком малым. Всегда необходимо уделять большое внимание односторонним ошибкам такого рода, поскольку увеличение количества экспериментов не устраняет ошибку. В таких случаях один очень тщательный эксперимент лучше любого количества небрежных.

Когда у нас есть разумные основания предполагать, что определенные экспериментальные результаты подвержены серьезным ошибкам, мы должны исключить их при вычислении среднего. Если мы хотим найти наиболее вероятное приближение к скорости звука в воздухе, было бы абсурдно возвращаться к старым экспериментам, которые определяли скорость от 1200 до 1474 футов в секунду; ибо мы знаем, что старые наблюдатели не учитывали ошибки, возникающие из-за ветра и других причин. Старые химические эксперименты бесполезны с точки зрения количественных результатов. Старые химики находили, что состав атмосферы в разных местах различается почти на десять процентов, тогда как современные точные экспериментаторы находят лишь очень незначительные вариации. Любой метод измерения, который, как мы знаем, позволяет избежать источника ошибки, гораздо предпочтительнее других, которые полагаются на вероятности для устранения ошибки. Как говорит Флемстид: «Один хороший инструмент стоит сотни посредственных». Но инструмент хорош или плох только в сравнительном смысле, и никакой инструмент не дает неизменных и правдивых результатов. Следовательно, мы должны всегда в конечном итоге возвращаться к вероятностям для выбора окончательного среднего, когда другие меры предосторожности исчерпаны.

Лежандр, первооткрыватель метода наименьших квадратов, рекомендовал отбрасывать наблюдения, сильно отличающиеся от результатов его метода. Этот вопрос был тщательно исследован профессором Пирсом, который предложил критерий для отбрасывания сомнительных наблюдений, основанный на следующем принципе: «...наблюдения следует отбрасывать, когда вероятность системы ошибок, полученной при их сохранении, меньше, чем вероятность системы ошибок, полученной при их отбрасывании, умноженная на вероятность совершения такого количества и не более аномальных наблюдений». Исследование профессора Пирса приведено почти его собственными словами в «Руководстве по сферической и практической астрономии» профессора У. Шовене, которое содержит полное и превосходное обсуждение методов обработки численных наблюдений.

Иногда возникают очень сложные вопросы, когда один или несколько результатов метода эксперимента сильно отклоняются от среднего остальных. Должны ли мы исключать их при принятии предполагаемого истинного среднего результата метода? Вычисление среднего результата основывается, как я часто объяснял, на предположении, что каждая ошибка, действующая в одном направлении, вероятно, будет уравновешена другими ошибками, действующими в противоположном направлении. Если мы знаем или можем обнаружить какие-либо причины ошибок, не согласующиеся с этим предположением, мы будем оправданы в исключении результатов, которые, по-видимому, подвержены влиянию этой причины.

При обработке больших серий астрономических наблюдений нередко встречаются числа, отличающиеся от других на целый градус, полградуса или какую-то значительную целую величину. Это ошибки, которые вряд ли могли возникнуть в процессе наблюдения или из-за инструментальной неисправности; но их можно легко объяснить неправильным прочтением цифр или ошибкой в делениях шкалы. Было бы абсурдно полагаться на случай, что такие ошибки уравновесят друг друга в долгосрочной перспективе, и поэтому лучше произвольно исправить предполагаемую ошибку, или, что еще лучше, если можно провести новые наблюдения, полностью исключить расходящиеся числа. Когда результаты иногда оказываются слишком большими или слишком малыми регулярным образом, следует подозревать, что какая-то часть инструмента проскальзывает на определенное расстояние или что определенная причина ошибки возникает временами, а не постоянно. Тогда мы должны сделать первостепенной задачей обнаружение точной природы и величины такой ошибки и либо предотвратить ее возникновение в будущем, либо ввести соответствующую поправку. Во многих исследованиях вся трудность будет заключаться в этом обнаружении и устранении источников ошибок. Профессор Роско обнаружил, что присутствие фосфора вызывало серьезные и почти неизбежные ошибки при определении атомного веса ванадия. Гершель, обрабатывая свои наблюдения двойных звезд на мысе Доброй Надежды, был озадачен необъяснимой разницей углов положения, измеренных семифутовым экваториальным и двадцатифутовым рефлекторным телескопами, и после тщательного исследования был вынужден ограничиться введением экспериментально определенной поправки.

Когда наблюдений достаточно много, представляется желательным представить кажущиеся ошибки в виде кривой, а затем наблюдать, демонстрирует ли эта кривая симметричную и характерную форму кривой ошибок. Если это так, можно сделать вывод, что ошибки возникают из множества мелких независимых источников и, вероятно, компенсируют друг друга в среднем результате. Любая значительная нерегулярность будет указывать на существование односторонних или крупных причин ошибок, которые должны стать предметом исследования.

Даже самые терпеливые и исчерпывающие исследования иногда не могут выявить причину, по которой некоторые результаты отклоняются от других. Вопрос снова возникает — должны ли мы произвольно исключать их? Ответ в общем случае должен быть отрицательным. Сам факт расхождения не должен приниматься как окончательный аргумент против результата, а проявление произвольного выбора открыло бы путь к фатальному влиянию предвзятости и тому, что обычно называют «подгонкой» цифр. Это равносильно суждению о факте на основе теории, а не о теории на основе факта. Кажущееся расходящимся число может со временем оказаться истинным. Это может быть исключение того ценного рода, которое опрокидывает наши ложные теории, реальное исключение, взрывающее кажущиеся совпадения и открывающее путь к новому взгляду на предмет. Чтобы утвердить это положение для расходящегося факта, потребуется дополнительное исследование; но тем временем мы должны придать ему некоторый вес в наших средних выводах и помнить о расхождении как о требующем внимания. Пренебречь расходящимся результатом — значит пренебречь возможной зацепкой к великому открытию.

Метод наименьших квадратов.

Когда две или более неизвестные величины связаны таким образом, что их нельзя определить отдельно с помощью простого метода средних, мы все же можем получить их наиболее вероятные значения с помощью метода наименьших квадратов, без больших трудностей, чем те, что возникают из-за длительности арифметических вычислений. Если результат каждого наблюдения дает уравнение между двумя неизвестными величинами вида

ax + by = c

тогда, если бы наблюдения были свободны от ошибок, нам понадобилось бы только два наблюдения, дающих два уравнения; но для достижения большей точности мы можем провести много наблюдений и сократить уравнения так, чтобы получить только пару со средними коэффициентами. Это сокращение осуществляется путем: (1) умножения коэффициентов каждого уравнения на первый коэффициент и сложения всех подобных коэффициентов, полученных таким образом, для коэффициентов нового уравнения; и (2) повторения этого процесса и умножения коэффициентов каждого уравнения на коэффициент второго члена. Обозначая через (сумма a^2) сумму всех величин того же рода, занимающих то же место в уравнениях, что и a^2, мы можем кратко описать два полученных средних уравнения следующим образом:

(sum of a²) . x + (sum of ab) . y = (sum of ac),
(sum of ab) . x + (sum of b²) . y = (sum of bc).

Когда имеется три или более неизвестных величины, процесс по своей природе точно такой же, и мы получаем дополнительные средние уравнения путем умножения на третьи, четвертые и т. д. коэффициенты. Поскольку числа в любом случае являются приблизительными, обычно нет необходимости выполнять вычисления с высокой точностью, и десятичные знаки можно свободно отбрасывать, чтобы сэкономить арифметическую работу. После того как средние уравнения вычислены, их решение обычными методами алгебры дает наиболее вероятные значения неизвестных величин.

Работы по теории вероятностей.

Рассматривая теорию вероятностей и закон ошибок как важнейшие предметы изучения для любого, кто желает получить полное понимание научного метода, как он фактически применяется в физических исследованиях, я кратко укажу работы, в одной или другой из которых читателю будет лучше всего продолжить изучение.

Лучшей популярной и в то же время глубокой английской работой по этому предмету является «Эссе о вероятностях и их применении к жизненным случайностям и страховым компаниям» Де Моргана, опубликованное в «Cabinet Cyclopædia» и доступное (в печати) у Messrs. Longman. Работу г-на Венна «Логика случая» теперь можно приобрести в значительно расширенном втором издании; она содержит интереснейшее и глубокое обсуждение метафизических основ вероятности и связанных с ними вопросов, касающихся причинности, веры, замысла, свидетельств и т. д.; но я не всегда могу согласиться с мнением г-на Венна. Для чтения этих работ не требуется никаких математических знаний, кроме знаний обычной арифметики. «Письма» Кетле являются хорошим введением в предмет, а математические примечания к ним представляют ценность. Краткий трактат сэра Джорджа Эйри «Об алгебраической и численной теории ошибок наблюдений и комбинации наблюдений» содержит полное объяснение закона ошибок и его практических применений. Трактат Де Моргана «О теории вероятностей» в «Encyclopædia Metropolitana» представляет собой краткое изложение более абстрактных исследований Лапласа вместе с множеством глубоких и оригинальных замечаний, касающихся теории в целом. В работе Лаббока и Дринкуотера «Вероятность» в «Библиотеке полезных знаний» мы имеем краткое, но хорошее изложение ряда важных проблем. Преподобный У. А. Уитворт дал в работе под названием «Выбор и случай» ряд хороших иллюстраций расчетов как в комбинациях, так и в вероятностях. В замечательной «Истории» г-на Тодхантера мы имеем исчерпывающий критический отчет почти обо всех трудах по предмету вероятности вплоть до кульминации теории в работах Лапласа. Мемуары г-на Дж. У. Л. Глейшера уже упоминались (стр. 375). Несмотря на существование этих и некоторых других хороших английских работ, кажется, ощущается нехватка простого и в то же время довольно полного математического введения в изучение этой теории.

Среди французских работ «Элементарный трактат по исчислению вероятностей» С. Э. Лакруа, который выдержал несколько изданий и который несложно достать, является, вероятно, лучшим элементарным трактатом. «Исследования о вероятности суждений» Пуассона (Париж, 1837) начинаются с превосходного исследования оснований и методов теории. В то время как великая «Аналитическая теория вероятностей» Лапласа, конечно, является «Principia» этого предмета, его «Философское эссе о вероятностях» представляет собой популярный дискурс и является одним из самых глубоких и интересных эссе, когда-либо опубликованных. Оно должно быть знакомо каждому изучающему логический метод и не потеряло ничего или почти ничего из своей важности с течением времени.

Обнаружение постоянных ошибок.

Метод средних абсолютно неспособен устранить любую ошибку, которая всегда одинакова или которая всегда направлена в одну сторону. Нам иногда требуется, чтобы нас вывели из ложного чувства безопасности и побудили принять надлежащие меры предосторожности против таких скрытых ошибок. «Именно наблюдателю, — говорит Гаусс, — принадлежит задача тщательного устранения причин постоянных ошибок», и это совершенно верно, когда ошибка абсолютно постоянна. Когда мы сделали ряд определений с помощью определенного аппарата или метода измерения, есть большое преимущество в изменении устройства или даже в разработке какого-то совершенно иного метода получения оценок той же величины. Причина очевидно заключается в невероятности того, что одна и та же ошибка повлияет на два или более различных метода эксперимента. Если обнаружится расхождение, мы, по крайней мере, будем знать о существовании ошибки и сможем принять меры для выяснения того, в чем она заключается. Если мы можем опробовать значительное количество методов, становится весьма вероятным, что ошибки, постоянные в одном методе, будут уравновешены или почти уравновешены ошибками противоположного эффекта в других. Предположим, что существуют три различных метода, каждый из которых подвержен ошибке равной величины. Вероятность того, что эта ошибка во всех случаях будет направлена в одну сторону, составляет всего 1/4; а при четырех методах — соответственно 1/8. Если каждый метод подвержен, как это всегда бывает, нескольким независимым источникам ошибок, вероятность того, что в среднем результате всех методов некоторые ошибки частично компенсируют другие, становится гораздо выше. В этом случае, как и во всех других, когда человеческая бдительность исчерпала себя, мы должны довериться теории вероятностей.

При определении нулевой точки, величины фундаментальных эталонов времени и пространства, при личном уравнении астрономического наблюдателя мы имеем примеры фиксированных ошибок; но, как правило, изменение процедуры, вероятно, изменит характер ошибки, и можно привести много примеров ценности этой меры предосторожности. Если мы измеряем снова и снова одну и ту же угловую величину с помощью одного и того же разделенного круга, поддерживаемого в точно таком же положении, очевидно, что одна и та же отметка на круге будет критерием в каждом случае, и любая ошибка в положении этой отметки будет в равной степени влиять на все наши результаты. Но если в каждом измерении мы используем другую часть круга, в дело вступит новая отметка, и, поскольку ошибка каждой отметки не может быть направлена в одну сторону, средний результат будет почти свободен от ошибок деления. Будет еще лучше использовать более одного разделенного круга.

Даже когда у нас нет представления о точках, в которых может возникнуть ошибка, мы можем с выгодой изменить конструкцию нашего аппарата в надежде, что случайно обнаружим какую-то скрытую причину ошибки. Цель Бейли при повторении экспериментов Мичелла и Кавендиша по плотности Земли состояла не просто в том, чтобы следовать тем же курсом и проверить предыдущие числа, но и в том, чтобы попробовать, дадут ли вариации в размере и веществе притягивающих шаров, способе подвеса, температуре окружающего воздуха и т. д. другие результаты. Он выполнил не менее 62 отдельных серий, включающих 2153 эксперимента, и тщательно классифицировал и обсудил результаты, чтобы выявить максимальные различия. Далее, экспериментируя с сопротивлением воздуха движению маятника, Бейли использовал не менее 80 маятников различных форм и материалов, чтобы точно установить, от каких условий зависит сопротивление. Реньо в своих точных исследованиях расширения газов вносил произвольные изменения в величину частей своего аппарата. Он считает, что если, несмотря на такую модификацию, результаты остаются неизменными, ошибки, вероятно, незначительны; но в действительности всегда возможно, и обычно вероятно, что мы упускаем из виду источники ошибок, которые обнаружит будущее поколение. Так, маятниковые эксперименты Бейли и Сабина были направлены на установление природы и величины поправки на сопротивление воздуха, которая была совершенно неправильно понята в экспериментах с помощью секундного маятника, на которых основывалось определение стандартного ярда в Акте 5-го Георга IV, гл. 74. Уже упоминалось, что значительная ошибка была обнаружена при определении стандартного метра как десятимиллионной части расстояния от полюса до экватора (стр. 314).

Мы вернемся в главе XXV к дальнейшему рассмотрению методов, с помощью которых мы можем, насколько это возможно, обезопасить себя от постоянных и необнаруженных источников ошибок. Тем временем, завершив рассмотрение специальных методов, необходимых для обработки количественных явлений, мы должны продолжить наш основной предмет и попытаться проследить путь, которым физик, исходя из наблюдений и экспериментов, собирает материалы знания, а затем приступает с помощью гипотез и обратных вычислений к индуктивному выводу из них законов природы.

КНИГА IV. ИНДУКТИВНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ.

ГЛАВА XVIII. НАБЛЮДЕНИЕ.

Всякое знание изначально происходит из опыта. Используя это название в широком смысле, мы можем сказать, что опыт охватывает все, что мы чувствуем, внешне или внутренне — совокупность впечатлений, которые мы получаем через различные каналы восприятия, — совокупность, следовательно, того, что находится в уме, за исключением тех частей знания, которые могут быть обоснованными эквивалентами других частей. Как выражает слово «опыт», мы многое проходим в жизни, и впечатления, собранные намеренно или ненамеренно, предоставляют материалы, из которых активные силы ума развивают науку.

Немалая часть опыта, фактически используемого в науке, приобретается без какой-либо четкой цели. Мы не можем использовать глаза, не собирая некоторые факты, которые могут оказаться полезными. Великая наука во многих случаях возникала из случайного наблюдения. Эразм Бартолин таким образом впервые обнаружил двойное лучепреломление в исландском шпате; Гальвани заметил подергивание лягушачьей лапки; Окен был поражен формой позвонка; Малюс случайно исследовал свет, отраженный от далеких окон с помощью двоякопреломляющего вещества; и внимание сэра Джона Гершеля было привлечено к своеобразному виду раствора сульфата хинина. В более ранние времена должен был быть кто-то, кто первым заметил странное поведение магнита или необъяснимые движения, производимые янтарем. Как правило, мы не будем знать, в каком направлении искать большой массив явлений, сильно отличающихся от тех, к которым мы привыкли. Случай тогда должен дать нам отправную точку; но одно случайное наблюдение, хорошо использованное, может привести нас к проведению тысяч наблюдений намеренным и организованным образом, и таким образом наука может постепенно разрабатываться из самого маленького отверстия.

Различие наблюдения и эксперимента.

Обычно говорят, что двумя источниками опыта являются наблюдение и эксперимент. Когда мы просто замечаем и записываем явления, которые происходят вокруг нас в обычном ходе природы, говорят, что мы наблюдаем. Когда мы меняем ход природы посредством вмешательства наших мышечных сил и таким образом создаем необычные комбинации и условия явлений, говорят, что мы экспериментируем. Гершель справедливо заметил, что мы могли бы правильно назвать эти два способа опыта пассивным и активным наблюдением. В обоих случаях мы должны, безусловно, использовать наши чувства для наблюдения, и эксперимент отличается от простого наблюдения тем фактом, что мы в большей или меньшей степени влияем на характер событий, которые наблюдаем. Эксперимент — это, таким образом, наблюдение плюс изменение условий.

Легко заметить, что мы переходим вверх по незаметным градациям от чистого наблюдения к определенному эксперименту. Когда самые ранние астрономы просто замечали обычные движения Солнца, Луны и планет на лике звездного неба, они были чистыми наблюдателями. Но астрономы теперь выбирают точные времена и места для важных наблюдений звездного параллакса или прохождений планет. Они делают орбиту Земли основой хорошо организованного естественного эксперимента, так сказать, и хорошо продуманно используют движения, которые они не могут контролировать. Метеорология могла бы показаться наукой чистого наблюдения, потому что мы никак не можем управлять изменениями погоды, которые записываем. Тем не менее, мы можем подниматься на горы или подниматься на воздушных шарах, как Гей-Люссак и Глейшер, и можем таким образом варьировать точки наблюдения, чтобы сделать нашу процедуру экспериментальной. Мы совершенно неспособны ни производить, ни предотвращать земные токи электричества, но когда мы строим длинные линии телеграфа, мы собираем такие сильные токи во время периодов возмущения, что делаем их способными к легкому наблюдению.

Однако самые лучшие системы наблюдения не дали бы нам значительной части фактов, которыми мы сейчас обладаем. Многие процессы, постоянно происходящие в природе, настолько медленны и мягки, что ускользают от наших способностей наблюдения. Лавуазье заметил, что разложение воды должно было постоянно происходить в природе, хотя его возможность была неизвестна до его времени. Ни одно вещество не лишено полностью магнитных или диамагнитных свойств; но потребовалось все экспериментальное мастерство Фарадея, чтобы доказать, что железо и несколько других металлов не имеют монополии на эти свойства. Случайное наблюдение давно запечатлело в умах людей явления молнии и притягательные свойства янтаря. Только эксперимент мог показать, что явления, столь разнообразные по величине и характеру, были проявлениями одного и того же агента. Чтобы наблюдать с точностью и удобством, мы должны иметь агентов под нашим контролем, чтобы повышать или понижать их интенсивность, останавливать или приводить их в действие по желанию. Точно так же, как Смитон нашел необходимым создать искусственный и управляемый запас ветра для своего исследования ветряных мельниц, мы должны иметь управляемые запасы света, тепла, электричества, мышечной силы или любых других агентов, которые мы исследуем.

Едва ли нужно указывать также, что на поверхности Земли мы живем в почти постоянных условиях гравитации, температуры и атмосферного давления, так что если мы хотим распространить наши выводы на другие части Вселенной, где условия сильно отличаются, мы должны быть готовы имитировать эти условия в малом масштабе здесь. Мы должны иметь чрезвычайно высокие и низкие температуры; мы должны варьировать плотность газов от приблизительного вакуума и выше; мы должны подвергать жидкости и твердые тела давлениям или деформациям почти неограниченной величины.

Психические условия правильного наблюдения.

Каждое наблюдение должно в определенном смысле быть истинным, ибо наблюдение и запись события сами по себе являются событием. Но прежде чем мы приступим к рассмотрению предполагаемого значения записи и сделаем выводы относительно хода природы, мы должны позаботиться о том, чтобы характер и чувства наблюдателя не были в значительной степени записанными явлениями. Ум человека, как сказал Фрэнсис Бэкон, подобен неровному зеркалу и не отражает события природы без искажений. Нам едва ли нужно обращать внимание на намеренно ложные наблюдения, ни на ошибки, возникающие из-за дефектной памяти, недостаточного освещения и так далее. Даже там, где при наблюдении и записи используются величайшая верность и осторожность, существуют тенденции к ошибкам, и в результате возникают ошибочные мнения.

Трудно найти людей, которые могут с совершенной беспристрастностью регистрировать факты за и против своих собственных взглядов. Среди необразованных наблюдателей тенденция замечать благоприятные и забывать неблагоприятные события настолько велика, что на их предполагаемые наблюдения нельзя положиться. Так возникает устойчивое заблуждение, что изменения погоды каким-то образом совпадают с изменениями Луны, хотя точные и беспристрастные регистры не подтверждают этот факт. Все племя пророков и шарлатанов живет на ошеломляющем эффекте одного успеха по сравнению с сотнями неудач, которые не упоминаются и забываются. Как говорит Бэкон: «Люди замечают, когда они попадают, и никогда не замечают, когда промахиваются». И нам было бы полезно помнить древнюю историю, процитированную Бэконом, об одном человеке, которому в языческие времена показали храм с картиной всех людей, спасенных после кораблекрушения после того, как они дали обеты. Когда его спросили, не признает ли он теперь силу богов, «Да, — ответил он, — но где нарисованы те, кто утонул после своих обетов?»

Если бы мы действительно могли оценить величину предвзятости, существующей в каких-либо конкретных наблюдениях, ее можно было бы рассматривать как одну из сил задачи, и истинный ход внешней природы все еще мог бы быть сделан очевидным. Но чувства наблюдателя обычно слишком неопределенны, так что когда есть основания подозревать значительную предвзятость, отбрасывание является единственным безопасным курсом. Что касается фактов, случайно зарегистрированных в прошлые времена, способности и беспристрастность наблюдателя настолько мало известны, что мы не должны жалеть усилий, чтобы заменить эти утверждения новым обращением к природе. Беспорядочная смесь истины и абсурда, которую Фрэнсис Бэкон собрал в своей «Естественной истории», совершенно не подходит для целей науки. Но, конечно, когда записи относятся к прошлым событиям, таким как затмения, соединения, метеорные явления, землетрясения, извержения вулканов, изменения морских границ, существование ныне вымерших животных, миграции племен, замечательные обычаи и т. д., мы должны использовать утверждения, какими бы неудовлетворительными они ни были, и должны попытаться проверить их путем сравнения независимых записей или традиций.

Когда необходимо сделать обширные серии наблюдений, как в астрономических, метеорологических или магнитных обсерваториях, тригонометрических съемках и обширных химических или физических исследованиях, преимуществом является то, что численная работа должна выполняться ассистентами, которые не заинтересованы в ожидаемых результатах и, возможно, не знают о них. Таким образом, запись становится совершенно беспристрастной. Может быть даже желательно, чтобы те, кто выполняет чисто рутинную работу по измерению и вычислению, были незнакомы с принципами предмета. Большая таблица логарифмов правительства Французской революции была разработана штатом из шестидесяти или восьмидесяти вычислителей, большинство из которых знали только правила арифметики и работали под руководством квалифицированных математиков; однако их расчеты обычно оказывались более правильными, чем расчеты лиц, более глубоко сведущих в математике. В Индийской топографической службе фактические измерители подбирались так, чтобы они не обладали достаточным мастерством для фальсификации своих результатов без обнаружения.

Как пассивное наблюдение, так и экспериментирование должны, однако, обычно проводиться лицами, которые знают, что они должны искать. Только когда наблюдатель возбужден и направляем надеждой на проверку теории, он заметит многие из наиболее важных моментов; и там, где работа не носит рутинного характера, никакой ассистент не может заменить направляемые умом наблюдения философа. Таким образом, успешный исследователь должен сочетать разнообразные качества; он должен иметь четкие представления о результате, который он ожидает, и уверенность в истинности своих теорий, и все же он должен обладать той искренностью и гибкостью ума, которые позволяют ему принимать неблагоприятные результаты и отказываться от ошибочных взглядов.

Инструментальные и чувственные условия наблюдения.

В каждом наблюдении одно или несколько чувств должны быть задействованы, и мы должны всегда помнить, что степень нашего знания может быть ограничена силой соответствующего чувства. То, что мы узнаем о мире, только формирует нижний предел того, что предстоит узнать, и, насколько мы можем судить, процессы природы могут бесконечно превосходить по разнообразию и сложности те, которые способны попасть в наши средства наблюдения. В некоторых случаях выводы из наблюдаемых явлений могут сделать нас косвенно осведомленными о том, что нельзя почувствовать напрямую, но мы никогда не можем быть уверены, что таким образом приобретаем какую-либо заметную долю знания, которое могло бы быть приобретено.

Странно размышлять о том, что пространство может быть заполнено темными блуждающими звездами, существование которых еще не могло стать нам известным каким-либо образом. Планеты уже остыли настолько, что перестали быть светящимися, и вполне может быть, что другие звездные тела различного размера пришли в такое же состояние. Действительно, из рассмотрения переменных и погасших звезд Лаплас сделал вывод, что, вероятно, существуют непрозрачные тела, столь же великие и, возможно, столь же многочисленные, как те, что мы видим. Некоторые из этих темных звезд могли бы в конечном итоге стать известными нам либо путем отражения света, либо, что более вероятно, их гравитационным воздействием на светящиеся звезды. Так, если бы один член двойной звезды был темным, мы могли бы легко обнаружить его существование и даже оценить его размер, положение и движения, наблюдая за таковыми его видимого компаньона. Любимой идеей Гюйгенса было то, что могут существовать звезды и огромные вселенные, столь далекие, что их свет никогда еще не успел достичь наших глаз; и мы должны также помнить, что свет, возможно, испытывает медленное затухание в пространстве, так что существует более одного способа, которым может существовать абсолютный предел возможностей телескопического открытия.

Существуют опять же естественные пределы силы наших чувств в обнаружении колебаний различного рода. Обычно говорят, что вибрации более 38 000 ударов в секунду не слышны как звук; и поскольку некоторые уши действительно слышат звуки гораздо более высокого тона, даже на две октавы выше того, что могут обнаружить другие уши, чрезвычайно вероятно, что существуют непрерывные вибрации, которые мы не можем назвать звуком, потому что они никогда не слышны. Насекомые могут общаться с помощью таких острых звуков, составляющих язык, неслышный для нас; и замечательное согласие, очевидное среди тел муравьев или пчел, могло бы таким образом, возможно, быть объяснено. Более того, как Фонтенель давно предположил в своем научном романе, могут существовать неограниченные количества чувств или способов восприятия, которые мы никогда не можем почувствовать, хотя теория Дарвина сделала бы вероятным, что любой полезный способ знания у предка развивался бы и улучшался у потомков. Мы могли бы, несомненно, быть наделены чувством, способным чувствовать электрические явления с остротой, так что положительное или отрицательное состояние заряда тела могло бы быть сразу оценено. Отсутствие такого чувства, вероятно, связано с его относительной бесполезностью.

Тепловые колебания подлежат тем же соображениям. Теперь очевидно, что то, что мы называем светом, есть воздействие на глаз определенными вибрациями, менее быстрые из которых невидимы и составляют темные лучи лучистого тепла, для обнаружения которых мы должны заменить глаз термометром или термопарой. На другом конце спектра, опять же, ультрафиолетовые лучи невидимы и только косвенно доводятся до нашего сведения в явлениях флуоресценции или фотохимического действия. Нет оснований полагать, что на каком-либо конце спектра уже достигнут абсолютный предел.

Точно так же, как наше знание звездной Вселенной ограничено мощностью телескопа и другими условиями, так и наше знание мельчайшего мира имеет свой предел в силах и оптических условиях микроскопа. Было время, когда было бы разумной индукцией, что овощи неподвижны, а животные единственные наделены силой передвижения. Мы удивлены, обнаружив с помощью микроскопа, что крошечные растения, если не сказать больше, более активны, чем крошечные животные. Мы даже обнаруживаем, что минеральные вещества, кажется, теряют свой неактивный характер и танцуют с непрерывным движением, когда сводятся к достаточно мелким частицам, по крайней мере, когда они взвешены в непроводящей среде. Микроскописты встретят естественный предел наблюдения, когда мелкость исследуемых объектов станет сопоставимой с длиной световых колебаний, и крайняя трудность, уже встреченная при определении форм мелких отметин на диатомовых водорослях, по-видимому, связана с этой причиной. Согласно Гельмгольцу, наименьшее расстояние, которое может быть точно определено, зависит от интерференции света, проходящего через центры ярких пространств. С теоретически совершенным микроскопом и сухой линзой наименьший видимый объект был бы не менее одной 80 000-й части дюйма в красном свете.

Об ошибках, которые могут возникнуть при оценке количеств чувствами, я уже говорил, но есть некоторые случаи, в которых мы на самом деле видим вещи иначе, чем они есть. Струя воды кажется непрерывной нитью, когда на самом деле это удивительно организованная последовательность маленьких и больших капель, колеблющихся в форме. Капли падают так быстро, что их впечатления на глаз сливаются друг с другом, и чтобы увидеть отдельные капли, нам требуется какое-то устройство для обеспечения мгновенного вида.

Один непреодолимый предел наших способностей наблюдения возникает из невозможности следовать и идентифицировать конечные атомы материи. Один атом кислорода, вероятно, неотличим от другого атома; только сохраняя определенный объем кислорода надежно заключенным в бутылке, мы можем убедиться в его идентичности; позвольте ему смешаться с другим кислородом, и мы теряем всякую способность идентификации. Соответственно, у нас, по-видимому, нет средств прямо доказать, что каждый газ находится в постоянном состоянии диффузии каждой части в каждую часть. Мы можем только сделать вывод, что это так, наблюдая поведение различных газов, которые мы можем различить в их ходе, и рассуждая на основаниях молекулярной теории.

Внешние условия правильного наблюдения.

Прежде чем мы приступим к выводам из любой серии записанных фактов, мы должны позаботиться о том, чтобы полностью установить, если возможно, внешние условия, при которых факты доводятся до нашего сведения. Не только наблюдающий ум может быть предубежден, а чувства дефектны, но могут быть обстоятельства, которые заставляют один вид события чаще попадать в поле нашего зрения, чем другой. Сравнительные количества объектов разных видов, существующих, могут в любой степени отличаться от количеств, которые попадают в поле нашего зрения. Эта разница должна, если возможно, быть принята во внимание, прежде чем мы сделаем какие-либо выводы.

Долгое время казалось, что существует сильное предположение, что все кометы движутся по эллиптическим орбитам, потому что ни одна комета не была доказана как движущаяся по какому-либо другому пути. Теория гравитации допускала существование комет, движущихся по гиперболическим орбитам, и возник вопрос, действительно ли они несуществуют или только находятся за пределами легкого наблюдения. Из разумных предположений Лаплас вычислил, что вероятность была по крайней мере 6000 к 1 против того, что комета, которая входит в планетную систему достаточно близко, чтобы быть видимой на поверхности Земли, представляет орбиту, которую можно было бы отличить от очень вытянутого эллипса или параболы в той части ее орбиты, которая находится в пределах досягаемости наших телескопов. Короче говоря, шансы очень сильно в пользу того, что мы видим эллиптические, а не гиперболические кометы. Взгляды Лапласа были подтверждены открытием шести гиперболических комет, которые появились в 1729, 1771, 1774, 1818, 1840 и 1843 годах, и поскольку всего было зарегистрировано только около 800 комет, доля гиперболических вполне так велика, как и следовало ожидать.

Когда мы пытаемся оценить количества объектов, которые могли существовать, мы должны сделать большие допущения на ограниченную сферу наших наблюдений. Вероятно, не более 4000 или 5000 комет были замечены в исторические времена, но делая поправку на отсутствие наблюдателей в южном полушарии и на малую вероятность того, что мы видим какую-либо значительную долю тех, которые находятся в окрестностях нашей системы, мы должны принять мнение Кеплера, что в регионах пространства больше комет, чем рыб в глубинах океана. Когда подобные расчеты делаются относительно количеств метеоров, видимых нам, удивительно обнаружить, что количество метеоров, входящих в атмосферу Земли каждые двадцать четыре часа, вероятно, не менее 400 000 000, из которых 13 000 существуют в каждой части пространства, равной той, что заполнена Землей.

Серьезные заблуждения могут возникнуть из-за игнорирования неизбежных условий, при которых до нас доходят сведения о прошлых событиях. Так, как правило, до нас доходят лишь долговечные предметы, изготовленные древними народами, например, кремневые орудия. Не следует полагать, что относительное обилие железных и бронзовых изделий, используемых древним народом, совпадает с их относительным обилием в наших музеях, поскольку бронза гораздо долговечнее. Существует распространенное заблуждение, что наши предки строили прочнее, чем мы, которое возникает из-за того, что более хрупкие сооружения давно разрушились. У нас мало или совсем нет реликвий жилищ беднейших классов среди греков или римлян, да и вообще любого народа прошлого; ибо сохраняются только храмы, гробницы, общественные здания и особняки более состоятельных классов. Существует огромный пласт прошлых событий, навсегда для нас утраченных, и мы, как правило, должны рассматривать записи или реликвии как исключительные по своему характеру.

Те же соображения применимы и к геологическим реликвиям. Мы не могли бы в целом ожидать, что животные сохранятся, за исключением костей, раковин, прочных покровов или других твердых и долговечных частей. Все инфузории и животные, лишенные минерального скелета, вероятно, полностью исчезли, возможно, превратившись в нефть. Было отмечено, что своеобразный характер некоторых вымерших флор может быть обусловлен неравномерной сохранностью различных семейств растений. Однако благодаря различным случайностям мы получаем представление о мире, который обычно для нас утрачен — например, благодаря насекомым, заключенным в янтарь, огромному мамонту, сохранившемуся во льду, мумиям, слепкам из твердого материала, подобным слепку римского солдата в Помпеях, и так далее.

Нам также следует помнить, что подобно тому, как могут существовать соединения небесных тел, которые могли произойти лишь один или два раза за всю историю, могут происходить и примечательные земные соединения. Великие бури, землетрясения, извержения вулканов, оползни, наводнения, вторжения моря могли, или, вернее, должны были происходить — события такой необычайной величины и такой крайней редкости, что мы не можем ни ожидать стать их свидетелями, ни легко постичь их последствия. Как заметил сам Лаплас, большое преимущество изучения вероятностей заключается в том, что оно заставляет нас сомневаться в степени наших знаний и уделять должное внимание вероятности того, что события попадут в сферу наших наблюдений.

Кажущаяся последовательность событий.

Де Морган превосходно указал, что существует не менее четырех способов, которыми одно событие может казаться следующим за другим или быть связанным с ним, не являясь таковым на самом деле. Они включают ментальные, чувственные и внешние причины ошибок, и я кратко изложу и проиллюстрирую их.

Вместо того чтобы А вызывало Б, именно наше восприятие А вызывает Б. Вот почему пророчества, предчувствия, а также уловки колдовства и чародейства часто достигают своих целей. Человек умирает в день, который он всегда считал своим последним, из-за собственного страха перед этим днем. Заклинание достигает своей цели, потому что принимаются меры, чтобы напугать предполагаемую жертву, дав ей узнать о своей судьбе. Во всех подобных случаях ментальное состояние является причиной кажущегося совпадения.

Во втором классе случаев событие А может привести к тому, что за ним последует наше восприятие Б, которое в противном случае произошло бы без того, чтобы быть замеченным. Так, в результате исследования было установлено, что в жаркое лето комет появляется больше, чем в холодное. Не было принято во внимание то обстоятельство, что жаркое лето сравнительно безоблачно и дает лучшие возможности для обнаружения комет. Здесь возмущающее условие носит чисто внешний характер. Некоторые древние философы полагали, что лунные лучи вызывают холод, принимая холод, вызванный излучением в космическое пространство, за воздействие Луны, которое с большей вероятностью заметно в то время, когда отсутствие облаков позволяет излучению продолжаться.

В третьем классе случаев наше восприятие А может привести к тому, что за ним последует наше восприятие Б. Событие Б может происходить постоянно, но наше внимание может не привлекаться к нему, пока мы не заметим А. Этот случай, по-видимому, иллюстрируется заблуждением о влиянии Луны на облака. Происхождение этого заблуждения несколько сложно. Во-первых, когда небо плотно затянуто облаками, Луна вообще не будет видна; нам необходимо увидеть полную Луну, чтобы наше внимание было сильно привлечено к этому факту, а это чаще всего случается в те ночи, когда небо безоблачно. Более того, г-н У. Эллис остроумно отметил, что существует общая тенденция к рассеиванию облаков в начале ночи, то есть в то время, когда восходит полная Луна. Таким образом, изменение состояния неба и восход полной Луны, вероятно, взаимно привлекают внимание, и совпадение во времени предполагает отношение причины и следствия. Г-н Эллис доказывает на основании результатов наблюдений в Гринвичской обсерватории, что Луна не обладает никакой заметной силой подобного рода, и все же примечательно, что такой здравый наблюдатель, как сэр Джон Гершель, был убежден в этой связи. В своих «Результатах наблюдений на мысе Доброй Надежды» он упоминает много вечеров, когда полная Луна появлялась при необычайно ясном небе.

Существует еще четвертый класс случаев, в которых Б действительно является предшествующим событием, но наше восприятие А, которое является следствием Б, может быть необходимым для того, чтобы вызвать наше восприятие Б. Нет сомнений, например, что восходящие и нисходящие потоки постоянно циркулируют в нижнем слое атмосферы в дневное время; но из-за прозрачности атмосферы у нас нет доказательств их существования, пока мы не заметим кучевые облака, которые являются следствием таких потоков. Точно так же межфильтрация масс воздуха в верхних слоях атмосферы, вероятно, происходит почти постоянно, но если нити перистых облаков не указывают на эти движения, мы остаемся в неведении об их возникновении. Самые высокие слои атмосферы совершенно невосприимчивы для нас, за исключением случаев, когда они становятся светящимися из-за полярных электрических токов или прохождения метеорных камней. Большинство видимых явлений комет, вероятно, возникает из какого-то вещества, которое, будучи ранее невидимым, внезапно конденсируется или электризуется в видимую форму. Сэр Джон Гершель пытался объяснить образование хвостов комет таким образом, посредством испарения и конденсации.

Отрицательные аргументы, основанные на ненаблюдении.

Из того, что было предложено в предыдущих разделах, станет ясно, что ненаблюдение явления, как правило, не следует принимать за доказательство его невозникновения. Поскольку существуют звуки, которые мы не слышим, лучи тепла, которые мы не чувствуем, множество миров, которые мы не видим, и мириады мельчайших организмов, которые не может показать даже самый мощный микроскоп, мы должны, как правило, интерпретировать наш опыт только в утвердительном смысле. Соответственно, когда выводы делались на основании отсутствия определенных фактов или объектов, более обширное и тщательное исследование часто доказывало их ложность. Не так много лет назад в геологии считалось вполне достоверным выводом, что останки человека не были найдены в связи с останками вымерших животных или в каких-либо отложениях, которые в настоящее время не находятся в процессе формирования. Даже Бэббидж принял этот вывод как сильное подтверждение библейских повествований. В то время как это мнение все еще повсеместно разделялось, были найдены кремневые орудия, опровергающие такой вывод, и с тех пор появились неопровержимые доказательства долгого существования человека. В конце прошлого века, когда Гершель исследовал небеса с помощью своих мощных телескопов, казалось мало вероятным, что внутри орбиты Юпитера еще остаются невидимые планеты. Но в первый день этого века такое мнение было опровергнуто открытием Цереры, и с тех пор в списки планетной системы было добавлено более ста других малых планет.

Открытие Eozoön Canadense в пластах гораздо более древних, чем любые ранее известные как содержащие органические остатки, нанесло удар по беспочвенным мнениям относительно происхождения органических форм; а океанические дноуглубительные экспедиции под руководством д-ра Карпентера и сэра Уайвилла Томсона изменили некоторые мнения геологов, обнаружив продолжающееся существование форм, долгое время считавшихся вымершими. Эти и многие другие случаи, которые можно было бы привести, показывают крайне ненадежный характер отрицательных индукций.

Но не следует полагать, что отрицательные аргументы не имеют силы и ценности. Поверхность Земли была достаточно исследована, чтобы сделать крайне маловероятным существование каких-либо наземных животных размером с верблюда, которые еще предстоит открыть. Считается, что за последние восемнадцать или двадцать столетий не было встречено ни одного нового крупного животного, и вероятность того, что если бы они существовали, то были бы замечены, увеличивает вероятность того, что они не существуют. Мы можем с несколько меньшей уверенностью ставить под сомнение существование каких-либо крупных нераспознанных рыб или морских животных, таких как предполагаемый морской змей. Но по мере перехода к формам меньшего размера отрицательные доказательства теряют вес из-за меньшей вероятности того, что мы увидим более мелкие объекты. Даже сильная индукция в пользу четырехчастного деления животного царства на позвоночных, кольчатых, моллюсков и кишечнополостных может быть опровергнута открытием промежуточных или аномальных форм. По мере того как цивилизация распространяется по поверхности Земли, а неисследованные территории постепенно сокращаются, отрицательные выводы будут возрастать в своей силе; но нам еще многое предстоит узнать о глубинах океана, которые почти полностью не исследованы и покрывают три четверти поверхности Земли.

В геологии существует много утверждений, которым придается значительная вероятность из-за большого объема уже проведенных исследований, как, например, то, что настоящий уголь встречается только в породах определенной геологической эпохи; что золото встречается в осадочных и третичных пластах только в чрезвычайно малых количествах, вероятно, полученных в результате распада более ранних пород. В естественной истории отрицательные выводы чрезвычайно коварны и неудовлетворительны. Максимальное терпение не позволит микроскописту или наблюдателю любого живого существа непрерывно следить за поведением организма при всех обстоятельствах в течение долгого времени. Поэтому всегда есть шанс, что критический акт или изменение могут произойти, когда глаза наблюдателя отведены. Это, безусловно, случается в некоторых случаях; ибо, хотя оплодотворение орхидей с помощью насекомых доказано так же хорошо, как любой факт в естественной истории, г-н Дарвин никогда не мог при самом пристальном наблюдении обнаружить насекомое, выполняющее эту операцию. Сам г-н Дарвин принял один вывод на основании отрицательных доказательств, а именно, что Orchis pyramidalis и некоторые другие орхидные цветы не выделяют нектар. Но его осторожность и неутомимое терпение в проверке этого вывода дают впечатляющий урок наблюдателю. В течение двадцати трех дней подряд, как он нам рассказывает, он осматривал цветы при любой погоде, в любое время суток, в различных местностях. Поскольку выделение нектара в других цветах иногда происходит быстро и может случиться на рассвете, этот неудобный час наблюдения был специально выбран. Цветы разного возраста подвергались воздействию раздражающих паров, влаги и любым условиям, способным вызвать выделение; и только после неизменных неудач этого исчерпывающего исследования было признано доказанным отсутствие нектара в нектарниках.

Чтобы отрицательный аргумент, основанный на ненаблюдении объекта, имел какую-либо значительную силу, необходимо показать, что вероятно, что объект, если бы он существовал, был бы замечен, и именно эта вероятность определяет ценность отрицательного вывода. Неудача астрономов увидеть планету Вулкан, которая, по мнению некоторых, существует внутри орбиты Меркурия, не является достаточным опровержением ее существования. Точно так же было бы очень трудно или даже невозможно опровергнуть существование второго спутника малого размера, вращающегося вокруг Земли. Но если кто-либо делает конкретное утверждение, указывая место и время, то наблюдение либо докажет, либо опровергнет предполагаемый факт. Если это правда, что когда французский наблюдатель заявил, что видел планету на диске Солнца, наблюдатель в Бразилии тщательно изучал Солнце и не увидел ее, у нас есть отрицательное доказательство. Ложные факты в науке, как было хорошо сказано, более вредны, чем ложные теории. Ложная теория открыта для критики каждого человека и всегда может быть оценена по ее соответствию фактам. Но ложное или грубо ошибочное утверждение факта часто стоит на пути науки в течение долгого времени, потому что может быть чрезвычайно трудно или даже невозможно доказать ложность того, что было однажды записано.

В других науках сила отрицательного аргумента часто будет зависеть от количества возможных альтернатив, которые могут существовать. Долгое время считалось, что качество музыкального звука, в отличие от его высоты, должно зависеть от формы колебания, поскольку никакой другой причины этого никогда не предлагалось или она была, по-видимому, невозможна. Истинность этого вывода была доказана Гельмгольцем, который применил микроскоп к светящимся точкам, прикрепленным к струнам различных инструментов, и таким образом фактически наблюдал различные способы колебания. В математике отрицательные индуктивные аргументы редко имеют большую силу, потому что возможные формы выражения или возможные комбинации линий и кругов в геометрии совершенно неограниченны по количеству. Было предпринято огромное количество попыток разделить угол на три части обычными методами геометрии Евклида, но их неизменная неудача не установила невозможность этой задачи. Это было показано совершенно иным способом, путем доказательства того, что проблема включает в себя неприводимое кубическое уравнение, для которого не может быть соответствующего плоского геометрического решения. Это случай reductio ad absurdum, форма аргумента совершенно иного характера. Точно так же никакое количество неудач в получении общего решения уравнений пятой степени не установило бы невозможность этой задачи, но косвенным способом, эквивалентным reductio ad absurdum, невозможность считается доказанной.

ГЛАВА XIX. ЭКСПЕРИМЕНТ.

Теперь мы можем рассмотреть огромные преимущества, которыми мы пользуемся при изучении комбинаций явлений, когда вещи находятся в пределах нашей досягаемости и способны подвергаться экспериментированию. Мы говорим, что экспериментируем, когда соединяем вещества вместе при различных условиях температуры, давления, электрического возмущения, химического действия и т. д., а затем регистрируем наблюдаемые изменения. Наша цель в индуктивном исследовании — точно установить группу обстоятельств или условий, при наличии которых последует определенная другая группа явлений. Если мы обозначим через А группу предшествующих условий, а через X — последующие явления, нашей целью обычно будет открытие закона вида А = АХ, смысл которого заключается в том, что там, где есть А, произойдет X.

Обстоятельства, которые можно было бы перечислить как присутствующие в простейшем эксперименте, очень многочисленны, фактически почти бесконечны. Потрите две палочки друг о друга и подумайте, что было бы исчерпывающим изложением условий. Здесь есть форма, твердость, органическая структура и все химические качества дерева; давление и скорость трения; температура, давление и все химические качества окружающего воздуха; близость Земли с ее притягательными и электрическими силами; температура и другие свойства лиц, производящих движение; излучение от Солнца, а также к небу и от него; электрическое возбуждение, возможно, существующее в любом нависшем облаке; даже положения небесных тел должны быть упомянуты. На априорных основаниях небезопасно предполагать, что любое из этих обстоятельств не имеет эффекта, и только опытным путем мы можем выделить те точные условия, из которых проистекает наблюдаемое тепло трения.

Великий метод эксперимента состоит в устранении по одному каждого из тех условий, которые, как можно предположить, оказывают влияние на результат. Наша цель в эксперименте с трением палочек — обнаружить точные обстоятельства, при которых появляется тепло. Теперь присутствие воздуха может быть необходимым; поэтому подготовьте вакуум и потрите палочки во всех отношениях так же, как и раньше, за исключением того, что это делается в вакууме. Если тепло все еще появляется, мы можем сказать, что воздух не является, в присутствии других обстоятельств, необходимым условием. Проводимость тепла от соседних тел может быть условием. Предотвратите это, сделав все окружающие тела ледяными, к чему стремился Дэви, потирая два куска льда друг о друга. Если тепло все еще появляется, мы устранили еще одно условие, и так мы можем продолжать, пока не станет очевидным, что затрата энергии при трении двух тел является единственным условием производства тепла.

Большая трудность эксперимента возникает из того факта, что мы не должны предполагать, что условия независимы. До эксперимента у нас нет права говорить, что трение двух палочек будет производить тепло таким же образом, когда воздух отсутствует, как и раньше. У нас может быть тепло, производимое одним способом, когда присутствует воздух, и другим, когда воздух отсутствует. Исследование разветвляется на две линии, и мы должны попробовать в обоих случаях, предотвращает ли отключение подачи тепла путем проводимости его выделение при трении. То же разветвление исследования происходит в отношении каждого обстоятельства, которое входит в эксперимент.

Рассматривая только четыре обстоятельства, скажем А, B, C, D, мы должны проверить не только комбинации ABCD, ABCd, ABcD, AbCD, aBCD, но мы должны действительно пройти через все комбинации, приведенные в пятом столбце Логического алфавита. Эффект отсутствия каждого условия должен быть проверен как в присутствии, так и в отсутствии каждого другого условия, и каждого выбора этих условий. Совершенное и исчерпывающее экспериментирование, короче говоря, состояло бы в изучении природных явлений во всех их возможных комбинациях и регистрации всех отношений между условиями и результатами, которые оказываются способными к существованию. Оно, таким образом, напоминало бы исключение противоречивых комбинаций, осуществляемое в Косвенном методе вывода, за исключением того, что исключение комбинаций основано не на предварительных логических предпосылках, а на апостериорных результатах фактического испытания.

Читатель, однако, поймет, что такое исчерпывающее исследование практически невозможно, потому что количество необходимых экспериментов было бы чрезвычайно велико. Только четыре предшествующих условия потребовали бы шестнадцати экспериментов; двенадцать предшествующих условий потребовали бы 4096, и число увеличивается как степени двойки. Результат заключается в том, что экспериментатор должен полагаться на свой собственный такт и опыт при выборе тех экспериментов, которые с наибольшей вероятностью дадут ему значимые факты. Именно в этот момент логические правила и формы начинают подводить в оказании помощи. Логическое правило гласит: «Попробуйте все возможные комбинации»; но поскольку это невыполнимо, экспериментатор неизбежно отказывается от строгого логического метода и доверяет своей собственной интуиции. Аналогия, как мы увидим, дает некоторую помощь, и внимание должно быть сосредоточено на тех видах условий, которые были найдены важными в подобных случаях. Но мы сейчас полностью находимся в области вероятности, и экспериментатор, уверенно преследуя то, что он считает правильной зацепкой, может упускать из виду одно важное условие. Впечатляющий урок, например, состоит в том, что Ньютон проводил все свои изысканные исследования спектра, не подозревая о том факте, что если бы он уменьшил отверстие в ставне до узкой щели, все тайны ярких и темных линий были бы в его руках, при условии, конечно, что его призмы были достаточно хороши, чтобы определить лучи. Точно так же мы не знаем, какое незначительное изменение в самых привычных экспериментах может открыть путь к новым открытиям.

Практические трудности также обременяют прогресс физика. Часто невозможно изменить одно условие, не изменив при этом другие; и таким образом мы можем не получить чистый эффект рассматриваемого условия. Некоторые условия могут быть абсолютно неспособны к изменению; другие могут быть с большим трудом, или только в определенной степени, устранимы. Очень коварным источником ошибки является существование неизвестных условий, которые, конечно, мы не можем устранить, кроме как случайно. Эти трудности мы вскоре рассмотрим по порядку.

Прекрасно наблюдать, как изменение одного обстоятельства иногда убедительно объясняет явление. Пример можно найти в исследовании Фарадея поведения спор плауна, рассыпанных на вибрирующей пластине. Было замечено, что эти мельчайшие споры собирались в точках наибольшего движения, тогда как песок и все тяжелые частицы собирались в узлах, где движение было наименьшим. Фарадею счастливо пришло в голову провести эксперимент в откачанном приемнике воздушного насоса, и тогда было обнаружено, что легкий порошок ведет себя точно так же, как тяжелый порошок. Таким образом, было получено убедительное доказательство того, что присутствие воздуха было важным условием, несомненно, потому, что он приводился в вихревое движение движением пластины и переносил плаун в точки наибольшего волнения. Песок был слишком тяжел, чтобы переноситься воздухом.

Исключение безразличных обстоятельств.

Из того, что уже было сказано, станет очевидно, что обнаружение и исключение безразличных обстоятельств является важной работой, потому что это позволяет сосредоточить внимание на обстоятельствах, которые содержат главное условие. Можно привести много прекрасных примеров, когда было показано, что все наиболее очевидные предшествующие условия не играют никакой роли в возникновении явления. Человек мог бы предположить, что своеобразные цвета перламутра обусловлены химическими качествами этого вещества. Много труда могло быть потрачено на то, чтобы проследить эту идею, сравнивая химические качества различных переливающихся веществ. Но Брюстер случайно снял оттиск с куска перламутра в цементе из смолы и пчелиного воска и, обнаружив, что цвета повторяются на поверхности воска, приступил к снятию других оттисков в бальзаме, легкоплавком металле, свинце, гуммиарабике, рыбьем клее и т. д., и всегда находил переливающиеся цвета одинаковыми. Таким образом, он доказал, что химическая природа вещества является делом безразличным, а форма поверхности — реальным условием таких цветов. Почти то же самое можно сказать о цветах, демонстрируемых тонкими пластинками и пленками. Кольца и линии цвета будут почти одинаковыми по характеру, независимо от природы вещества; более того, пустое пространство, такое как трещина в стекле, создало бы их, даже если бы воздух был удален воздушным насосом. Условия — это просто существование двух отражающих поверхностей, разделенных очень малым пространством, хотя следует добавить, что показатель преломления промежуточного вещества оказывает некоторое влияние на точный характер создаваемого цвета.

Когда луч света проходит близко к краю непрозрачного тела, часть света, по-видимому, изгибается к нему и создает цветные полосы внутри тени тела. Ньютон приписывал это отклонение света притяжению непрозрачного тела к предполагаемым частицам света, хотя он знал, что природа окружающей среды, будь то воздух или другое прозрачное вещество, не оказывает видимого влияния на явления. Гравзанд, однако, доказал, что характер полос точно такой же, независимо от того, является ли тело плотным или разреженным, сложным или элементарным. Проволока создает точно такие же полосы, как и волос той же толщины. Даже форма препятствующего края была впоследствии показана Френелем как безразличная, а спектр интерференции, или спектр, видимый, когда свет проходит через тонкую решетку, абсолютно одинаков, независимо от формы или химической природы стержней, составляющих решетку. Таким образом, оказывается, что остановка части светового луча является единственным необходимым условием для дифракции или отклонения света, и показано, что явление не имеет аналогии с преломлением света, при котором форма и природа вещества имеют решающее значение.

Интересно наблюдать, как тщательно Ньютон в своих исследованиях спектра устанавливал безразличие многих обстоятельств путем фактического испытания. Он говорит: «Теперь различная величина отверстия в оконной ставне, различная толщина призмы, через которую проходили лучи, и различные наклоны призмы к горизонту не вызывали заметных изменений в длине изображения. Также не вызывало их и различное вещество призм: ибо в сосуде, сделанном из полированных стеклянных пластин, склеенных вместе в форме призмы и наполненном водой, наблюдается такой же успех эксперимента в соответствии с количеством преломления». Но в последнем утверждении, как я замечу позже (стр. 432), Ньютон предположил безразличие, которого не существует, и впал в досадную ошибку.

В науке о звуке показано, что высота звука зависит исключительно от количества импульсов в секунду, а материал, вызывающий эти импульсы, является делом безразличным. Какая бы жидкость, воздух или вода, газ или жидкость, ни нагнеталась в сирену, производимый звук одинаков; и материал, из которого изготовлена органная труба, вовсе не влияет на высоту ее звука. В науке о статическом электричестве важным принципом является то, что природа внутренней части проводящего тела не имеет никакого значения. Электрический заряд ограничен проводящей поверхностью, а внутренняя часть остается в нейтральном состоянии. Полая медная сфера принимает точно такой же заряд, как и сплошная сфера из того же металла.

Некоторые из наиболее изящных и успешных исследований Фарадея были посвящены исключению условий, которые предыдущие экспериментаторы считали существенными для производства электрических явлений. Дэви утверждал, что никакие известные жидкости, кроме тех, которые содержат воду, не могут быть средой связи между полюсами батареи; и некоторые химики полагали, что вода является существенным агентом в электрохимическом разложении. Фарадей привел множество экспериментов, чтобы показать, что другие жидкости допускают электролиз, и он приписал ошибочное мнение очень широкому использованию воды в качестве растворителя и ее присутствию в большинстве природных тел. Фактически, именно на слабейшем виде отрицательных доказательств было основано это мнение.

Многие экспериментаторы приписывали полюсам батареи особые силы, уподобляя их магнитам, которые своими силами притяжения разрывают элементы вещества. С помощью прекрасной серии экспериментов Фарадей убедительно доказал, что, напротив, вещество полюсов не имеет никакого значения, являясь лишь путем, по которому электрическая сила достигает вещества, подвергающегося воздействию. Полюса из воды, древесного угля и многих разнообразных веществ, даже сам воздух, давали схожие результаты; если химическая природа полюса вообще входила в вопрос, то как возмущающий агент.

Существенной частью теории гравитации является то, что близость других притягивающих частиц не оказывает влияния на притяжение, существующее между любыми двумя молекулами. Две фунтовые гири весят вместе столько же, сколько они весят по отдельности. Каждая пара молекул в мире имеет, так сказать, частную связь, помимо их отношений ко всем другим молекулам. Другим несомненным результатом опыта, на который указал Ньютон, является то, что вес тела ни в малейшей степени не зависит от его формы или текстуры. Можно добавить, что температура, электрическое состояние, давление, состояние движения, химические качества и все другие обстоятельства, касающиеся материи, за исключением ее массы, безразличны в отношении ее гравитационной силы.

По мере прогресса естествознания физики приобретают своего рода проницательность и такт в суждении о том, какие качества вещества могут быть связаны с любым классом явлений. Физический астроном рассматривает материю с одной точки зрения, химик — с другой, а исследователи физической оптики, звука, механики, электричества и т. д. справедливо распределяют качества между собой. Но ошибки возникнут, если слишком большое доверие будет оказано этой независимости различных видов явлений, поэтому желательно время от времени, особенно когда обнаруживаются какие-либо необъяснимые расхождения, ставить под сомнение безразличие, которое предполагается существующим, и проверять его реальное существование соответствующими экспериментами.

Упрощение экспериментов.

Одним из наиболее необходимых предостережений при экспериментировании является изменение только одного обстоятельства за раз и поддержание всех остальных обстоятельств строго неизменными. Существует две различные причины для этого правила, первая и наиболее очевидная заключается в том, что если мы изменяем два условия одновременно и находим какой-то эффект, мы не можем сказать, обусловлен ли эффект одним или другим условием, или обоими вместе. Вторая причина заключается в том, что если никакого эффекта не происходит, мы не можем с уверенностью заключить, что любое из них безразлично; ибо одно могло нейтрализовать эффект другого. В нашей символической логике было показано, что AB ꖌ Ab идентично A (стр. 97), так что B обозначает обстоятельство, которое безразлично присутствует или отсутствует. Но если B всегда идет вместе с другим предшествующим условием C, мы не можем показать ту же независимость, ибо ABC ꖌ Abc не идентично A, и ни один из наших логических процессов не позволяет нам свести его к A.

Если мы хотим доказать, что кислород необходим для жизни, мы не должны помещать кролика в сосуд, из которого кислород был вытеснен горящей свечой. У нас тогда было бы не только отсутствие кислорода, но и добавление углекислого газа, который мог быть разрушительным агентом. По аналогичной причине Лавуазье избегал использования атмосферного воздуха в экспериментах по горению, потому что воздух не был простым веществом, и присутствие азота могло препятствовать или даже изменить эффект кислорода. Как отмечает Лавуазье: «При проведении экспериментов необходимым принципом, от которого никогда не следует отступать, является то, чтобы они были максимально упрощены и чтобы каждое обстоятельство, способное сделать их результаты сложными, было тщательно устранено». Также было хорошо сказано Кювье, что метод физического исследования состоит в изоляции тел, сведении их к предельной простоте и приведении каждого из их свойств отдельно в действие, либо мысленно, либо путем эксперимента.

Электромагнит принес огромную пользу при исследовании магнитных свойств материи, позволяя создавать или устранять мощнейшую магнитную силу, не нарушая никаких других условий эксперимента. Многие из наиболее ценных экспериментов Фарадея были бы невозможны, если бы необходимо было вводить тяжелый постоянный магнит, который нельзя было бы внезапно переместить, не встряхнув весь аппарат, не потревожив воздух, не создав токи из-за изменений температуры и т. д. Электромагнит находится под полным контролем, и его влияние можно привести в действие, обратить вспять или остановить, просто нажав кнопку. Таким образом, Фарадей смог доказать вращение плоскости циркулярно поляризованного света тем фактом, что определенный свет переставал быть видимым, когда электрический ток магнита отключался, и появлялся снова, когда ток включался. «Эти явления», — говорит он, — «могли быть обращены по желанию, в любой момент времени и по любому поводу, показывая совершенную зависимость причины и следствия».

Именно упущение Ньютона получить солнечный спектр при простейших условиях помешало ему обнаружить темные линии. Используя широкий луч света, который прошел через круглое отверстие или треугольную щель, он получил блестящий спектр, но такой, в котором многие разноцветные лучи перекрывали друг друга. В недавней истории науки о спектре одна главная трудность заключалась в смешении линий нескольких различных веществ, которые обычно обнаруживаются в свете любого пламени или искры. Редко удается получить свет любого элемента совершенно простым способом. Ангстрем значительно продвинул эту область науки, исследуя свет электрической искры, когда он формировался между полюсами различных металлов и в присутствии различных газов. Варьируя только полюс или только газообразную среду, он смог правильно различить линии, обусловленные металлом, и линии, обусловленные окружающим газом.

Неудача в упрощении экспериментов.

В некоторых случаях кажется невозможным выполнить правило изменения одного обстоятельства за раз. Когда мы пытаемся получить два примера или две формы эксперимента, в которых одно обстоятельство будет присутствовать в одном случае и отсутствовать в другом, может оказаться, что это единственное обстоятельство влечет за собой другие. Хорошо известен эксперимент Бенджамина Франклина относительно сравнительной поглощательной способности различных цветов. «Я взял», — говорит он, — «несколько маленьких квадратных кусочков сукна из карты образцов портного, различных цветов. Они были черного, темно-синего, светло-синего, зеленого, пурпурного, красного, желтого, белого и других цветов и оттенков цвета. Я разложил их все на снегу ярким солнечным утром. Через несколько часов черный, будучи наиболее нагретым солнцем, погрузился так низко, что оказался ниже удара солнечных лучей; темно-синий был почти так же низко; светло-синий не совсем так сильно, как темный; другие цвета меньше, по мере того как они были светлее. Белый остался на поверхности снега, совсем не войдя в него». Это очень изящный и, по-видимому, простой эксперимент; но когда Лесли завершил свою серию исследований природы тепла, он пришел к выводу, что цвет поверхности оказывает очень мало влияния на излучательную способность, причем механическая природа поверхности кажется более влиятельной. Он отмечает, что «вопрос не может быть положительно решен, поскольку никакое вещество не может быть заставлено принять разные цвета, не изменив при этом одновременно свою внутреннюю структуру». Недавнее исследование показало, что предмет является довольно сложным, потому что поглощательная способность поверхности может быть разной в зависимости от характера лучей, которые падают на нее; но не может быть никаких сомнений в остроте, с которой Лесли указывает на трудность. В исследованиях Уэллса относительно природы росы мы имеем, опять же, очень сложные условия. Если мы подвергнем воздействию полуночного неба пластины из различных материалов, таких как грубое железо, стекло, полированный металл, они будут покрыты росой в разной степени; но поскольку эти пластины различаются как по природе поверхности, так и по проводимости материала, было бы неясно, одно или оба обстоятельства имеют значение. Мы избегаем этой трудности, подвергая воздействию тот же материал, полированный или лакированный, чтобы представить различные условия поверхности; и снова, подвергая воздействию различные вещества с тем же видом поверхности.

Когда мы совершенно не в состоянии изолировать обстоятельства, мы должны прибегнуть к процедуре, описанной Миллем под названием Соединенного метода согласия и различия. Мы должны собрать как можно больше примеров, в которых данное обстоятельство производит данный результат, и как можно больше тех, в которых за отсутствием обстоятельства следует отсутствие результата. Чтобы привести его пример, мы не можем экспериментировать над причиной двойного лучепреломления в исландском шпате, потому что мы не можем изменить его кристаллическое состояние, не изменив его полностью, и мы не можем найти вещества, точно похожие на известковый шпат во всех обстоятельствах, кроме одного. Поэтому мы прибегаем к методу сравнения всех известных веществ, которые обладают свойством двойного лучепреломления света, и обнаруживаем, что они сходятся в том, что являются кристаллическими. Это, действительно, не что иное, как обычный процесс совершенной или вероятной индукции, уже частично описанный и подлежащий дальнейшему обсуждению в разделе Классификация. Можно добавить, что предмет допускает совершенное экспериментальное лечение, поскольку стекло, при сжатии в одном направлении, становится способным к двойному лучепреломлению света, и поскольку в стекле, вероятно, нет никаких изменений, кроме изменения упругости, мы узнаем, что сила двойного лучепреломления, вероятно, обусловлена разницей упругости в разных направлениях.

Устранение обычных условий.

Одна из великих целей эксперимента — позволить нам судить о поведении веществ при условиях, сильно отличающихся от тех, которые преобладают на поверхности Земли. Мы живем в атмосфере, которая не варьируется за пределами определенных узких границ температуры или давления. Многие силы природы, такие как гравитация, которые постоянно действуют на нас, имеют почти фиксированную величину. Теперь впоследствии будет показано, что мы не можем применить количественный закон к обстоятельствам, сильно отличающимся от тех, в которых он наблюдался. На других планетах, Солнце, звездах или отдаленных частях Вселенной условия существования часто должны быть сильно отличными от тех, которые мы обычно испытываем здесь. Следовательно, наше знание природы должно оставаться ограниченным и гипотетическим, если мы не сможем подвергнуть вещества необычным условиям с помощью подходящих экспериментов.

Электрическая дуга — это бесценное средство для подвергания металлов или других проводящих веществ самой высокой известной температуре. С ее помощью мы узнаем не только то, что все металлы могут быть испарены, но и то, что все они испускают характерные лучи света. На другом конце шкалы интенсивно мощная охлаждающая смесь, разработанная Фарадеем, состоящая из твердой углекислоты и эфира, смешанных в вакууме, позволяет нам наблюдать природу веществ при температурах, значительно более низких, чем те, с которыми мы встречаемся естественно на поверхности Земли.

Мы едва ли можем осознать сейчас важность изобретения воздушного насоса, до изобретения которого было чрезвычайно трудно экспериментировать, кроме как при обычном атмосферном давлении. Торричеллиев вакуум использовался философами Accademia del Cimento, чтобы показать поведение воды, дыма, звука, магнитов, электрических веществ и т. д. в вакууме, но их эксперименты часто были безуспешными из-за трудности исключения воздуха.

Среди наиболее постоянных обстоятельств, при которых мы живем, — сила гравитации, которая не варьируется, за исключением небольшой доли своей величины, ни в какой части земной коры или атмосферы, до которой мы можем добраться. Эта сила достаточна, чтобы подавить и замаскировать различные действия, например, взаимное притяжение малых тел. Интересным экспериментом Плато было нейтрализовать действие гравитации путем помещения веществ в жидкости точно такой же удельной плотности. Таким образом, количество масла, налитое в середину подходящей смеси спирта и воды, принимает сферическую форму; при приведении во вращение оно становится сфероидальным, а затем последовательно разделяется на кольцо и группу шариков. Таким образом, у нас есть иллюстрация того способа, которым могла быть произведена планетная система, хотя крайняя разница в масштабе не позволяет нам с уверенностью аргументировать от эксперимента к условиям небулярной теории.

Возможно, что так называемые элементы являются элементарными только для нас, потому что мы ограничены температурами, при которых они фиксированы. Лавуазье тщательно определил элемент как вещество, которое не может быть разложено никакими известными средствами; но кажется почти несомненным, что некоторые ряды элементов, например, йод, бром и хлор, на самом деле являются соединениями более простого вещества. Мы должны ожидать производства интенсивно высоких температур, хотя и совершенно вне наших средств, для разложения этих так называемых элементов. Возможно, в эту эпоху и в этой части Вселенной рассеяние энергии зашло так далеко, что нет источников тепла, достаточно интенсивных, чтобы осуществить разложение.

Вмешательство непредполагаемых условий.

Может случиться так, что мы не знаем обо всех условиях, при которых проводятся наши исследования. Какое-то вещество может присутствовать или какая-то сила может быть в действии, что ускользает от самого бдительного исследования. Не зная о ее существовании, мы не в состоянии принять надлежащие меры для ее исключения и, таким образом, определить долю, которую она имеет в результатах наших экспериментов. Нет сомнений, что алхимики были введены в заблуждение и поощрялись в своих тщетных попытках непредполагаемым присутствием следов золота и серебра в веществах, которые они предлагали трансмутировать. Свинец, как он извлекается из плавильной печи, почти всегда содержит немного серебра, а золото связано со многими другими металлами. Таким образом, небольшие количества благородного металла часто появлялись как результат эксперимента и порождали обманчивые надежды.

Более чем в одном случае непредполагаемое присутствие поваренной соли в воздухе вызывало большие неприятности. В ранних экспериментах по электролизу было обнаружено, что при разложении воды на полюсах образовывались кислота и щелочь, вместе с кислородом и водородом. В отсутствие какого-либо другого объяснения некоторые химики поспешили к выводу, что электричество должно обладать силой генерировать кислоты и щелочи, и один химик подумал, что открыл новое вещество, называемое электрической кислотой. Но Дэви приступил к систематическому исследованию обстоятельств, варьируя условия. Заменив стеклянный сосуд сосудом из агата или золота, он обнаружил, что образуется гораздо меньше щелочи; исключив примеси с помощью тщательно дистиллированной воды, он обнаружил, что количества кислоты и щелочи еще больше уменьшились; и, получив таким образом зацепку к причине, он завершил исключение примесей, избегая контакта с пальцами и поместив аппарат под откачанный приемник, после чего никакой кислоты или щелочи обнаружено не было. Было бы трудно встретить более изящный случай обнаружения ранее непредполагаемого условия.

Примечательно, что присутствие поваренной соли в воздухе, доказанное Дэви, тем не менее продолжало оставаться камнем преткновения в науке спектрального анализа и, вероятно, помешало таким людям, как Брюстер, Гершель и Тальбот, предвосхитить на тридцать лет открытия Бунзена и Кирхгофа. Как я отмечал, полезность спектра была известна в середине прошлого века Томасу Мелвиллу, талантливому шотландскому физику, который умер в раннем возрасте 27 лет. Но Мелвилл был поражен при своем исследовании цветных пламен необычайным преобладанием однородного желтого света, что было обусловлено каким-то обстоятельством, ускользнувшим от его внимания. Волластон и Фраунгофер были одинаково поражены заметностью желтой линии в спектре почти каждого вида света. Тальбот прямо рекомендовал использование призмы для обнаружения присутствия веществ с помощью того, что мы теперь называем спектральным анализом, но он обнаружил, что все вещества, как бы ни отличался свет, который они давали в других отношениях, были идентичны в отношении производства желтого света. Тальбот знал, что соли соды дают этот цветной свет, но, несмотря на предыдущие трудности Дэви с солью при электролизе, ему не пришло в голову утверждать, что там, где есть свет, там должен быть натрий. Он предположил, что вода является наиболее вероятным источником желтого света из-за ее частого присутствия; но даже вещества, которые были, по-видимому, лишены воды, давали тот же желтый свет. Брюстер и Гершель оба экспериментировали с пламенем почти в то же время, что и Тальбот, и Гершель недвусмысленно провозгласил принцип спектрального анализа. Тем не менее Брюстер, после многочисленных экспериментов, сопровождавшихся большими трудностями и разочарованиями, обнаружил, что желтый свет может быть получен при сгорании почти любого вещества. Только в 1856 году Суон обнаружил, что почти бесконечно малого количества хлорида натрия, скажем, миллионной доли грана, достаточно, чтобы окрасить пламя в ярко-желтый цвет. Всеобщая диффузия солей натрия, соединенная с этой уникальной светопроизводящей силой, была, таким образом, показана как непредполагаемое условие, которое разрушило уверенность всех предыдущих экспериментаторов в использовании призмы.

В науке о лучистом тепле ранние исследователи пришли к выводу, что излучение исходит только от поверхности твердого тела или с очень малой глубины под ней. Но они случайно экспериментировали на поверхностях, покрытых слоями лака, который является высоко атермичным или непрозрачным для тепла. Если бы они должным образом варьировали характер поверхности, используя высоко диатермичное вещество, такое как каменная соль, они получили бы совсем другие результаты.

Одним из самых необычайных примеров ошибочного мнения из-за игнорирования мешающих агентов является мнение относительно увеличения количества осадков вблизи поверхности Земли. Более века назад было замечено, что дождемеры, помещенные на церковных шпилях, крышах домов и других возвышенных местах, давали значительно меньше дождя, чем если бы они находились на земле, и недавно было показано, что изменение наиболее быстро в непосредственной близости от земли. Были выдвинуты все виды теорий для объяснения этого явления; но я показал, что это просто связано с вмешательством ветра, который отклоняет больше или меньше дождя от всех дождемеров, которые подвергаются его воздействию.

Большая магнитная сила железа делает его источником возмущения в магнитных экспериментах. Поэтому при строительстве магнитной обсерватории необходимо проявлять большую осторожность, чтобы при строительстве не использовалось железо и чтобы поблизости не было масс железа. В некоторых случаях магнитные наблюдения были серьезно нарушены существованием масс железной руды поблизости. В экспериментах Фарадея со слабомагнитными или диамагнитными веществами он принимал величайшие меры предосторожности против присутствия возмущающих веществ в медной проволоке, воске, бумаге и других предметах, используемых при подвешивании исследуемых объектов. У него было обыкновение проверять эффект магнита на аппарат в отсутствие объекта эксперимента, и без этого предварительного испытания результатам нельзя было доверять. Тиндаль также использовал тот же способ для проверки отсутствия железа в электромагнитных катушках и таким образом смог получить их лишенными какой-либо причины возмущения. Стоит отметить, что в самом младенчестве науки о магнетизме проницательный экспериментатор Гильберт правильно объяснил бытовавшее в его дни мнение о том, что магниты притягивают серебро, указав, что серебро содержит железо.

Даже если мы не знаем из предыдущего опыта о вероятном присутствии особого возмущающего фактора, нам не следует предполагать отсутствие непредвиденного вмешательства. Если эксперимент имеет действительно большое значение, так что на нем основывается значительная отрасль науки, мы должны повторять его снова и снова в максимально разнообразных условиях. Мы должны намеренно воздействовать на прибор различными способами, чтобы, если возможно, случайно обнаружить любое слабое место. Особенно когда наши результаты более регулярны, чем мы имели основания ожидать, нам следует заподозрить некоторую особенность в приборе, которая заставляет его измерять какое-то другое явление, а не то, которое рассматривается, точно так же, как маятник Фуко почти всегда указывает на движение осей собственного эллиптического пути, а не на вращение земного шара.

Именно в этом осторожном духе действовал Бейли в своих экспериментах по определению плотности Земли. Точность его результатов зависела от устранения всех возмущающих влияний, чтобы колебания его крутильных весов измеряли только силу тяжести. Поэтому он варьировал прибор многими способами, меняя маленькие шары, подверженные притяжению, меняя соединительный стержень и средства подвеса. Он наблюдал влияние таких возмущений, как присутствие посетителей, возникновение сильных бурь и т. д., и, поскольку в результатах не было произведено никаких реальных изменений, он уверенно приписал их силе тяжести.

Ньютон, вероятно, открыл бы способ создания ахроматических линз, если бы не непредвиденный эффект некоторого количества свинцового сахара, который, как предполагается, он растворил в воде призмы. Он пытался с помощью стеклянной призмы в сочетании с водяной призмой получить дисперсию света без преломления, и если бы ему это удалось, существовал бы очевидный способ получения преломления без дисперсии. Его неудача объясняется тем, что он добавил ацетат свинца в воду с целью увеличения ее преломляющей способности, причем свинец обладает высокой дисперсионной способностью, что и расстроило его замысел. Судя по замечаниям Ньютона в «Философских трудах», кажется, что он не без многих неудачных попыток отчаялся в создании ахроматических стекол.

Академики Чименто в своих ранних и остроумных экспериментах с вакуумом часто вводились в заблуждение механическим несовершенством своих приборов. Они пришли к выводу, что воздух не имеет никакого отношения к возникновению звуков, очевидно, потому, что их вакуум был недостаточно совершенным. Отто фон Герике впал в подобную ошибку при использовании своего недавно сконструированного воздушного насоса, несомненно, из-за непредвиденного присутствия воздуха, достаточно плотного, чтобы передавать звук колокольчика.

Едва ли нужно указывать на то, что учение о самопроизвольном зарождении обязано своим существованием непредвиденному присутствию микробов даже после самых тщательных попыток их исключить, а в случае многих болезней, как животных, так и растений, микробы, которые мы пока не имеем средств обнаружить, несомненно, являются активной причиной. Кроме того, долгое время предметом спора было то, растут ли растения, появляющиеся на недавно вспаханной земле, из семян, давно погребенных в этой земле, или из семян, принесенных ветром. Аргументация ненаучна, когда можно применить прямую проверку; ибо, вскопав немного старой земли и накрыв часть ее стеклянным колпаком, можно полностью предотвратить перенос семян ветром, и если одни и те же растения появятся внутри и снаружи колпака, станет ясно, что семена находятся в земле. По грубой оплошности некоторые экспериментаторы до недавнего времени полагали, что урожай ржи вырос там, где был посеян овес.

Слепые или контрольные эксперименты.

Каждый убедительный эксперимент обязательно состоит в сравнении результатов двух различных сочетаний обстоятельств. Чтобы дать достаточную вероятность того, что A является причиной X, мы должны поддерживать неизменными все окружающие объекты и условия, и мы должны затем показать, что там, где есть A, есть X, а где нет A, нет X. Это невозможно осуществить в одном испытании. Если, например, химик помещает определенное подозрительное вещество в аппарат Марша для испытаний и обнаруживает, что оно дает небольшой осадок металлического мышьяка, он не может быть уверен, что мышьяк действительно происходит из подозрительного вещества; причиной его появления могла быть нечистота цинка или серной кислоты. Поэтому химики практикуют то, что они называют слепым экспериментом, то есть проверяют, появляется ли мышьяк в отсутствие подозрительного вещества. Такую же предосторожность следует соблюдать во всех важных аналитических операциях. Действительно, это не просто предосторожность, это существенная часть любого эксперимента. Если слепое испытание не проведено, химик просто предполагает, что он знает, что произойдет. Всякий раз, когда мы утверждаем, что, поскольку A и X найдены вместе, A является причиной X, мы предполагаем, что если бы A отсутствовало, X отсутствовало бы. Но везде, где это возможно, мы не должны принимать это как простое предположение или даже как вопрос вывода. Опыт в конечном счете является основой всех наших выводов, но если мы можем применить непосредственный опыт к рассматриваемому вопросу, мы не должны доверять ничему более отдаленному и подверженному ошибкам. Когда Фарадей исследовал магнитные свойства несущего аппарата в отсутствие вещества, подлежащего экспериментированию, он фактически провел слепой эксперимент (стр. 431).

Мы должны также проверять точность метода эксперимента всякий раз, когда можем, вводя известные количества вещества или силы, подлежащих обнаружению. Новый аналитический процесс для количественной оценки элемента должен быть проверен путем выполнения его на смеси, составленной так, чтобы содержать известное количество этого элемента. Точность процесса пробирного анализа золота в значительной степени зависит от предосторожности анализа сплавов золота точно известного состава. Работы Габриэля Платтеса свидетельствуют о большом научном духе, и, обсуждая предполагаемые достоинства лозы для обнаружения подземных сокровищ, он разумно предлагает испытать лозу в местах, где, как известно, существуют жилы металла.

Отрицательные результаты эксперимента.

Когда мы уделяем должное внимание несовершенству всех измерительных приборов и возможной незначительности эффектов, мы увидим много причин для осторожной интерпретации отрицательных результатов экспериментов. Мы можем не обнаружить существование ожидаемого эффекта не потому, что этот эффект действительно отсутствует, а потому, что он имеет величину, недоступную для наших чувств, или смешан с другими эффектами гораздо большей величины. Поскольку априорно нет предела малости явления, мы никогда не сможем одним экспериментом доказать несуществование предполагаемого эффекта. Мы всегда вправе предположить, что определенная величина эффекта могла быть обнаружена при большей точности измерений. Мы не можем с уверенностью утверждать, что Луна вообще не имеет атмосферы. Мы, несомненно, можем показать, что атмосфера, если она присутствует, менее плотная, чем воздух в так называемом вакууме воздушного насоса, как это сделал Дю Сежур. Столь же невозможно доказать, что гравитация не занимает времени при передаче. Лаплас действительно установил, что скорость распространения влияния была по крайней мере в пятьдесят миллионов раз больше скорости света; но из этого не следует, что она мгновенна; и если бы существовали какие-либо средства обнаружения действия одной звезды на другую, чрезвычайно удаленную звезду, мы могли бы, возможно, обнаружить заметный интервал, затрачиваемый на передачу гравитационного импульса. Ньютон не мог продемонстрировать отсутствие всякого сопротивления материи, движущейся через пустое пространство; но он установил с помощью эксперимента с маятником (стр. 443), что если такое сопротивление и существовало, то по величине оно составляло менее одной пятитысячной части внешнего сопротивления воздуха.

Любопытный пример ложного отрицательного вывода дают эксперименты со светом. Эйлер отверг корпускулярную теорию на том основании, что частицы материи, движущиеся с огромной скоростью света, должны обладать импульсом, доказательств чего не было. Беннет пытался обнаружить импульс света, концентрируя солнечные лучи на тонко сбалансированном теле. Не наблюдая результата, было сочтено доказанным, что свет не имеет импульса. Г-н Крукс, однако, подвесив тонкие лопасти, зачерненные с одной стороны, в почти вакуумированном шаре, обнаружил, что они движутся под влиянием света. Сейчас признано, что этот эффект можно объяснить в соответствии с волновой теорией света и молекулярной теорией газов. Сводится это к тому, что Беннет не смог обнаружить эффект, который он мог бы обнаружить с помощью лучшего метода экспериментирования; но если бы он его обнаружил, явление подтвердило бы не корпускулярную теорию света, как ожидалось, а конкурирующую волновую теорию. Вывод, сделанный из эксперимента Беннета, был ложным, но тем не менее он был истинным по существу.

Многие случаи в истории науки свидетельствуют о том, что явления, которые одно поколение не смогло обнаружить, могут стать точно известными последующему поколению. Сжимаемость воды, которую академики Флоренции не смогли обнаружить, потому что при низком давлении эффект был слишком мал, чтобы его заметить, а при высоком давлении вода просачивалась через их серебряный сосуд, теперь стала предметом точного измерения и вычисления. Независимо от Ньютона, Гук придерживался весьма примечательных представлений о природе гравитации. В этом и других предметах он действительно проявил гений экспериментального исследования, который поставил бы его в первый ряд в любую другую эпоху, кроме эпохи Ньютона. Он правильно полагал, что сила тяжести будет уменьшаться по мере удаления от центра Земли, и смело пытался доказать это экспериментально. Точно уравновесив два груза на чашах весов, или, вернее, один груз против другого груза и длинного куска тонкого шнура, он перенес свои весы на вершину купола собора Святого Павла и попытался проверить, останутся ли весы в равновесии после того, как одному грузу позволили опуститься на глубину 240 футов. Никакой разницы не удалось заметить, когда грузы находились на одном и том же и на разных уровнях, но Гук справедливо полагал, что неудача возникла из-за недостаточной высоты. Он говорит: «И все же я склонен думать, что некоторая разница могла бы быть обнаружена на больших высотах». Радиус Земли составляет около 20 922 000 футов, и теперь мы можем легко вычислить из закона гравитации, что высота 240 футов не создала бы разницы, превышающей одну часть на 40 000 веса. Такая разница, несомненно, была бы незаметна на весах того времени, хотя ее легко можно было бы обнаружить с помощью весов, часто конструируемых в наши дни. Опять же, взаимная гравитация тел на поверхности Земли настолько мала, что Ньютон, по-видимому, не делал попыток продемонстрировать ее существование экспериментально, лишь заметив, что она слишком мала, чтобы попасть в поле наблюдения наших чувств. С тех пор она была успешно обнаружена и измерена Кавендишем, Бейли и другими.

Малость величин, которые мы иногда можем наблюдать, поразительна. Весы взвешивают до одной миллионной части нагрузки. Витворт может измерять до миллионной доли дюйма. Повышение температуры на 8800-ю часть градуса Цельсия было обнаружено д-ром Джоулем. Спектроскоп выявил присутствие 10 000 000-й части грамма. Говорят, что глаз может наблюдать цвет, создаваемый в капле воды 50 000 000-й частью грамма фуксина и примерно таким же количеством цианина. С помощью обоняния мы можем, вероятно, чувствовать еще меньшие количества пахучего вещества. Мы должны, тем не менее, помнить, что количественные эффекты гораздо меньшей величины, чем эти, должны существовать, и мы должны излагать наши отрицательные результаты с соответствующей осторожностью. Мы можем опровергнуть существование количественного явления, только показав дедуктивно из законов природы, что, если бы оно присутствовало, оно составило бы ощутимую величину. Как и в случае других отрицательных аргументов (стр. 414), мы должны продемонстрировать, что эффект должен был бы проявиться там, где он экспериментально не обнаруживается.

Пределы эксперимента.

Очевидно, что существует много природных процессов, которые мы совершенно не способны имитировать в наших экспериментах. Наша цель — изучить условия, при которых производится определенный эффект; но одно из этих условий может потребовать большого промежутка времени. Известны случаи экспериментов, длящихся пять или десять лет и даже большую часть жизни; но такие промежутки времени — почти ничто по сравнению со временем, в течение которого природа могла работать. Содержимое минеральной жилы в Корнуолле могло подвергаться постепенному изменению в течение ста миллионов лет. Все метаморфические породы, несомненно, подвергались воздействию высокой температуры и огромного давления в течение невообразимых периодов времени, так что химическая геология в целом выходит за рамки эксперимента.

Против теории Дарвина были выдвинуты аргументы, основанные на отсутствии какого-либо ясного примера возникновения нового вида. Говорят, что в течение исторического интервала, возможно, в четыре тысячи лет ни одно животное не было настолько одомашнено, чтобы стать другим видом. С таким же успехом можно было бы утверждать, что никаких геологических изменений не происходит, потому что ни одна новая гора не поднялась в Великобритании на памяти человечества. Наш фактический опыт геологических изменений подобен точке в бесконечной прогрессии времени. Когда мы знаем, что дождевая вода, падающая на известняк, уносит мельчайшую часть породы в растворе, мы не колеблясь умножаем это количество на миллионы и делаем вывод, что с течением времени гора может быть растворена. Мы имеем фактический опыт подъема суши в некоторых частях земного шара и ее опускания в других на несколько футов. Колеблемся ли мы сделать вывод о том, что может быть сделано таким образом в течение геологических эпох? Как давно заметил Габриэль Платтес: «Море никогда не отдыхает, но постоянно отвоевывает землю в одном месте и теряет в другом, что показывает, что может быть сделано за долгое время непрерывной операцией, не подлежащей прекращению или перерыву». Действие физических обстоятельств на формы и характеры животных путем естественного отбора подлежит точно таким же замечаниям. Что касается животных, живущих в естественном состоянии, то изменение обстоятельств, которое можно установить, настолько незначительно, что мы не могли бы ожидать увидеть в этих животных вообще никаких изменений. Природа не проводила для нас никаких экспериментов в исторические времена. Человек, однако, приручая и одомашнивая собак, лошадей, волов, голубей и т. д., внес значительные изменения в их обстоятельства, и мы находим значительные изменения также в их формах и характерах. Предполагая, что состояние одомашнивания будет продолжаться без изменений, эти новые формы оставались бы постоянными, насколько нам известно, и в этом смысле они постоянны. Таким образом, аргументы против теории Дарвина, основанные на ненаблюдении естественных изменений в исторический период, являются слабейшими, будучи чисто отрицательными.

ГЛАВА XX. МЕТОД ВАРИАЦИЙ.

Эксперименты могут быть двух видов: эксперименты простого факта и эксперименты количества. В первом классе экспериментов мы объединяем определенные условия и хотим установить, существует или нет определенный эффект какой-либо величины. Гук хотел установить, есть ли какая-либо разница в силе тяжести на вершине и у основания собора Святого Павла. Химик постоянно проводит анализы с целью установления того, существует ли данный элемент в конкретном минерале или смеси; все такие эксперименты и анализы являются скорее качественными, чем количественными, потому что, хотя результат может быть больше или меньше, конкретная величина результата не является объектом исследования.

Как только, однако, становится известно, что результат можно обнаружить, ученый должен перейти к количественному исследованию: насколько велик результат, следующий из определенного количества условий, которые, как предполагается, составляют причину? Количество возможных экспериментов теперь бесконечно велико, ибо каждое изменение количественного условия обычно вызывает изменение величины эффекта. Метод вариации, который таким образом возникает, не является узким или специальным методом, но это общее применение эксперимента к явлениям, способным к непрерывной вариации. Как хорошо заметил г-н Фаулер, наблюдение вариаций — это действительно интеграция предполагаемого бесконечного числа применений так называемого метода различия, то есть эксперимента в его совершенной форме.

В индукции мы стремимся установить общий закон, и если мы имеем дело с величинами, этот закон должен быть выражен более или менее очевидно в форме уравнения или уравнений. Мы рассматриваем, как и прежде, условия и то, что происходит при этих условиях. Но условия теперь будут варьироваться не по качеству, а по количеству, и эффект также будет варьироваться по количеству, так что результатом количественной индукции всегда является получение некоторого математического выражения, включающего количество каждого условия и выражающего количество результата. Другими словами, мы хотим знать, какой функцией своих условий является эффект. Мы обнаружим, что одно дело — получить численные результаты, и совсем другое — обнаружить закон, которому подчиняются эти результаты, причем последнее является операцией обратного и пробного характера.

Переменная и вариант.

Почти каждая серия количественных экспериментов направлена на получение отношения между различными значениями одной величины, которая варьируется по желанию, и другой величины, которая заставляется тем самым варьироваться. Мы можем удобно различать их соответственно как переменную и вариант. Когда мы исследуем эффект тепла при расширении тел, тепло, или одно из его измерений, температура, является переменной, длина — вариантом. Если мы сжимаем тело, чтобы наблюдать, насколько оно при этом нагревается, давление, или, возможно, размеры тела, образует переменную, тепло — вариант. В термоэлектрическом столбе мы делаем тепло переменной и измеряем электричество как вариант. Та из двух измеренных величин, которая является предшествующим условием другой, будет переменной.

Всегда удобно иметь переменную полностью под нашим контролем. Эксперименты, конечно, могут быть проведены с точностью, при условии, что мы можем точно измерить переменную в момент, когда определяется величина эффекта. Но если мы должны полагаться на действие какой-то капризной силы, могут возникнуть большие трудности в проведении точных измерений, и эти результаты могут быть не распределены по всему диапазону величин удобным образом. Поэтому одной из главных целей экспериментатора является получение регулярного и управляемого источника силы, которую он исследует. Определить правильно эффективность ветряных мельниц, когда естественные ветры постоянно менялись по силе, было бы чрезвычайно трудно. Смитон, поэтому, в своих экспериментах по этому предмету создал равномерный ветер требуемой силы, перемещая свои модели против воздуха на конце вращающегося рычага. Скорость ветра могла быть таким образом сделана больше или меньше, она могла поддерживаться равномерной в течение любого времени, и ее величина могла быть точно установлена. При определении законов химического действия света было бы немыслимо использовать солнечные лучи, которые варьируются по интенсивности в зависимости от чистоты атмосферы и от каждого проходящего облака. Одна большая трудность в фотометрии и исследовании химического действия света состоит в получении равномерного и управляемого источника световых лучей.

Метод измерения скорости света Физо позволил ему оценить время, затрачиваемое светом на прохождение расстояния в восемь или девять тысяч метров. Но вращающееся зеркало Уитстона впоследствии позволило Фуко и Физо измерить скорость в пространстве четырех метров. В этом последнем методе было преимущество, что различные среды могли быть заменены воздухом, а температура, плотность и другие условия эксперимента могли быть точно управляемы и измерены.

Измерение переменной.

Мало пользы в получении точных измерений эффекта, если мы не можем также точно измерить его условия.

Абсурдно измерять электрическое сопротивление куска металла, его упругость, прочность, плотность или другие физические качества, если они варьируются не только с минутными примесями металла, но и с его физическим состоянием. Если один и тот же стержень меняет свои свойства при нагревании и охлаждении, и мы не можем точно определить состояние, в котором он находится в любой момент, наша забота об измерении будет потрачена впустую, потому что это не может привести ни к какому закону. Мало пользы очень точно определять электрическую проводимость углерода, который в виде графита или газового углерода проводит как металл, в виде алмаза является почти непроводником, а в нескольких других формах обладает переменными и промежуточными способностями проводимости. Это будет полезно только для непосредственных практических применений. Прежде чем измерять их, мы должны иметь что-то для измерения, условия которого способны к точному определению и к которому в будущем мы можем вернуться. Аналогично, точность нашего измерения не должна намного превосходить точность, с которой мы можем определить условия обрабатываемого объекта.

Скорость электричества при прохождении через проводник в основном зависит от индуктивной способности окружающих веществ, и, за исключением технических или специальных целей, мало пользы в измерении скоростей, которые в некоторых случаях в сто раз больше, чем в других случаях. Но максимальная скорость электрической проводимости, вероятно, является постоянной величиной большого научного значения, и согласно определению проф. Клерка Максвелла в 1868 году составляет 174 800 миль в секунду, или немногим меньше скорости света. Истинная точка кипения воды — это точка, от которой зависит практическая термометрия, и крайне важно определить эту точку в отношении абсолютной термометрической шкалы. Но когда вода, свободная от воздуха и примесей, нагревается, по-видимому, нет определенного предела температуре, которой она может достичь, причем фактически наблюдалась температура 180° по Цельсию. Такие температуры, следовательно, не требуют точного измерения. Все метеорологические измерения, зависящие от случайного состояния неба, имеют гораздо меньшее значение, чем физические измерения, в которых такие случайные условия не вмешиваются. Многие глубокие исследования зависят от нашего знания о лучистой энергии, постоянно изливаемой на Землю Солнцем; но это должно измеряться, когда небо совершенно чистое, а поглощение атмосферы минимально. Малейшее вмешательство облака уничтожает ценность такого измерения, за исключением метеорологических целей, которые имеют гораздо меньшую общность и важность. Редко бывает полезно, опять же, измерять высоту покрытой снегом горы с точностью до фута, когда одна только толщина снега может вызвать ее изменение на 25 футов или более, когда, короче говоря, сама высота неопределенна в такой степени.

Поддержание сходных условий.

Нашей конечной целью в индукции должно быть получение полного отношения между условиями и эффектом, но это отношение, как правило, будет настолько сложным, что мы можем атаковать его только по частям. Мы должны, насколько это возможно, ограничить вариацию одним условием за раз и установить отдельное отношение между каждым условием и эффектом. Это, во всяком случае, первый шаг к приближению к полному закону, и последующим вопросом будет то, насколько одновременная вариация нескольких условий модифицирует их отдельные действия. Во многих экспериментах, действительно, только одно условие мы хотим изучить, а остальные — это мешающие силы, которых мы избегали бы, если бы могли. Одним из условий движения маятника является сопротивление воздуха или другой среды, в которой он качается; но когда Ньютон желал доказать равную гравитацию всех веществ, он не интересовался воздухом. Его целью было наблюдать только одну силу, и так обстоит дело во многих других экспериментах. Соответственно, одна из самых важных предосторожностей в исследовании состоит в поддержании всех условий постоянными, за исключением того, которое подлежит изучению. Как выразился этот замечательный экспериментальный философ Гильберт: «Всегда есть потребность в сходной подготовке, в сходной фигуре и в равной величине, ибо в несходных и неравных обстоятельствах эксперимент сомнителен».

В решающем эксперименте Ньютона были обеспечены сходные условия с простотой, которая характеризует высочайшее искусство. Маятники, колебания которых сравнивались, состояли из равных деревянных ящиков, висящих на равных нитях и наполненных различными веществами, так что общие веса должны были быть равны, а центры колебаний — на одинаковом расстоянии от точек подвеса. Следовательно, сопротивление воздуха стало приблизительно делом безразличия; ибо внешний размер и форма маятников были одинаковыми, абсолютная сила сопротивления была бы одинаковой, пока маятники вибрировали с равной скоростью; а веса были равны, сопротивление уменьшало бы скорость одинаково. Следовательно, если бы какая-либо неравномерность наблюдалась в вибрациях двух маятников, она должна была бы возникнуть из единственного обстоятельства, которое было различным, а именно химической природы материи внутри ящиков. Поскольку никакой неравномерности не наблюдалось, химическая природа веществ не может иметь никакого ощутимого влияния на силу гравитации.

Прекрасный эксперимент был разработан д-ром Джоулем с целью показать, что получение или потеря тепла газом связаны не с простым изменением его объема и плотности, а с энергией, полученной или отданной газом. Два прочных сосуда, соединенных трубкой и краном, были помещены в воду после того, как воздух был откачан из одного сосуда и сжат в другом до двадцати атмосфер. Весь аппарат был доведен до равномерной температуры путем перемешивания воды, и после того, как температура была точно измерена, кран был открыт, так что воздух сразу расширился и заполнил два сосуда равномерно. Температура воды, будучи снова отмеченной, оказалась почти неизменной. Эксперимент был затем повторен точно таким же образом, за исключением того, что прочные сосуды были помещены в отдельные порции воды. Теперь холод был произведен в сосуде, из которого вырвался воздух, и почти точно такое же количество тепла появилось в том, в который он был направлен. Таким образом, д-р Джоуль ясно доказал, что разрежение производит столько же тепла, сколько холода, и что только тогда, когда происходит исчезновение механической энергии, будет происходить производство тепла. Что мы должны заметить, однако, это не столько результат эксперимента, сколько простой способ, которым единственное изменение в аппарате, разделение порций воды, окружающих воздушные сосуды, заставляет давать показания величайшей значимости.

Коллективные эксперименты.

Существует интересный класс экспериментов, которые позволяют нам наблюдать ряд количественных результатов в одном акте. Вообще говоря, каждый эксперимент дает нам только одно число, и прежде чем мы сможем подойти к реальным процессам рассуждения, мы должны кропотливо повторять измерение за измерением, пока не сможем вычертить кривую вариации одной величины в зависимости от другой. Мы можем иногда сократить эту работу, заставляя величину варьироваться в разных частях одного и того же аппарата на любую требуемую величину. Наблюдая высоту, на которую поднимается вода под действием капиллярного притяжения стеклянного сосуда, мы можем взять серию стеклянных трубок разного диаметра и измерить высоту, на которую она поднимается в каждой. Но если мы возьмем две стеклянные пластины и поместим их вертикально в воду так, чтобы они соприкасались с одной вертикальной стороны и были слегка раздвинуты с другой стороны, интервал между пластинами варьируется по всей промежуточной ширине, и вода поднимается на соответствующую высоту, создавая на своей верхней поверхности гиперболическую кривую.

Поглощение света при прохождении через окрашенную жидкость может быть прекрасно показано путем заключения жидкости в клиновидное стекло, так что мы имеем с одного взгляда бесконечное разнообразие толщин в поле зрения. Как заметил сам Ньютон, красная жидкость, рассматриваемая таким образом, оказывается бледно-желтого цвета в самой тонкой части, и она проходит через оранжевый в красный, который постепенно становится более глубокого и темного оттенка. Эффект можно заметить в коническом бокале для вина. Призматический анализ света из такого клиновидного сосуда раскрывает причину, демонстрируя прогрессивное поглощение различных лучей спектра, как исследовал д-р Дж. Г. Гладстон.

Движущееся тело иногда может быть заставлено отмечать свой собственный курс, подобно падающей звезде, которая оставляет хвост позади себя. Так, наклонная струя воды демонстрирует самым ясным образом параболический путь снаряда. В калейдофоне Уитстона кривые, создаваемые комбинацией вибраций разных отношений, показаны путем размещения ярких отражающих кнопок на вершинах проволок различных форм. Движения выполняются так быстро, что глаз получает впечатление пути как единого целого, точно так же, как горящая палка, вращаемая вокруг, создает непрерывный круг. Законы электрической индукции прекрасно показаны, когда железные опилки попадают под влияние магнита и выстраиваются в кривые, соответствующие тому, что Фарадей называл линиями магнитной силы. Когда Фарадей пытался определить, что он имел в виду под своими линиями силы, он был вынужден сослаться на опилки. «Под магнитными кривыми», — говорит он, — «я имею в виду линии магнитных сил, которые были бы изображены железными опилками». Робисон ранее создавал подобные кривые действием фрикционного электричества, и из математического исследования форм таких кривых мы можем сделать вывод, что магнитные и электрические притяжения подчиняются общему закону эманации, закону обратных квадратов расстояния. В электрической кисти мы имеем подобную демонстрацию законов электрического притяжения.

Существует несколько отраслей науки, в которых коллективные эксперименты использовались с большой выгодой. Электрические фигуры Лихтенберга, созданные путем рассеивания наэлектризованного порошка на наэлектризованном смоляном диске, чтобы показать состояние последнего, подсказали Хладни идею обнаружения состояния вибрации пластин путем посыпания их песком. Песок собирается в точках, где движение наименьшее, и мы получаем с первого взгляда понимание волн пластины. Этому методу эксперимента мы обязаны прекрасными наблюдениями Савара. Изысканные цветные фигуры, демонстрируемые пластинами кристалла при исследовании поляризованным светом, дают более сложный пример того же рода исследования. Они привели Брюстера и Френеля к объяснению свойств оптических осей кристаллов. Неравномерная проводимость тепла в кристаллических веществах также была показана подобным образом путем нанесения тонкого слоя воска на пластину кристалла и приложения тепла к одной точке. Воск затем плавится в круговой или эллиптической области в зависимости от того, равномерна скорость проводимости или нет. Не следует также забывать, что кольца Ньютона были ранним и важнейшим примером исследований того же рода, показывающим эффекты интерференции световых волн всех величин в одном поле зрения. Гершель дал всем таким возможностям наблюдать непосредственно результаты общего закона название Коллективных Примеров, и я предлагаю принять название Коллективные Эксперименты.

Такие эксперименты во многих предметах дадут только первый намек на природу рассматриваемого закона, но не допустят никаких точных измерений. Параболическая форма струи воды вполне могла подсказать Галилею его взгляды относительно пути снаряда; но она не послужила бы сейчас для точного исследования законов гравитации. Маловероятно, что капиллярное притяжение могло быть точно измерено с помощью наклонных стеклянных пластин, и трубки, вероятно, были бы лучше для точного исследования. Как общее правило, эти коллективные эксперименты были бы наиболее полезны для популярной иллюстрации. Но когда кривые имеют точный и постоянный характер, как в цветных фигурах, создаваемых кристаллическими пластинами, они могут допускать точное измерение. Кольца Ньютона и дифракционные полосы допускают очень точные измерения.

К коллективным экспериментам мы можем, пожалуй, отнести те, в которых мы делаем видимыми движения газа или жидкости путем диффузии в них некоторого непрозрачного вещества. Поведение массы воздуха часто можно изучать красивым способом с помощью дыма, как при создании дымовых колец и струй. В случае жидкостей иногда используется порошок плауна. Чтобы обнаружить смешение токов или слоев жидкости, я использовал очень разбавленные растворы поваренной соли и нитрата серебра, которые создают видимое облако везде, где они приходят в контакт. Атмосферные облака часто открывают нам движения больших объемов воздуха, которые в противном случае были бы совершенно незаметны.

Периодические вариации.

Большой класс исследований связан с Периодическими Вариациями. Мы можем определить периодическое явление как такое, которое при равномерном изменении переменной возвращается раз за разом к одному и тому же значению. Если мы ударим по маятнику, он вскоре вернется в точку, из которой мы его вывели, и пока время, переменная, прогрессирует равномерно, он продолжает совершать экскурсии и возвращаться, пока не остановится из-за диссипации своей энергии. Если одно тело в пространстве приближается под действием гравитации к другому, они будут вращаться вокруг друг друга по эллиптическим орбитам и возвращаться неопределенное количество раз к одним и тем же относительным положениям. С другой стороны, одиночное тело, брошенное в пустое пространство, свободное от действия какой-либо внешней силы, продолжало бы двигаться вечно по прямой линии, согласно первому закону движения. В последнем случае вариация называется вековой, потому что она протекает в течение веков подобным образом и не страдает от περίοδος или хождения по кругу. Можно сомневаться, существует ли действительно в природе какое-либо движение, которое не является периодическим. Г-н Герберт Спенсер давно принял доктрину, что всякое движение в конечном счете ритмично, и в пользу его взгляда можно привести массу доказательств.

Так называемое вековое ускорение движения Луны, безусловно, периодично, и поскольку, насколько мы можем судить, ни одно тело не находится вне пределов притягательной силы других тел, прямолинейное движение становится чисто гипотетическим или, по крайней мере, бесконечно невероятным. Все движения всех звезд должны стремиться стать периодическими. Хотя некоторые возмущения в планетной системе кажутся равномерно прогрессирующими, считается, что Лаплас доказал, что они действительно имеют свои пределы, так что спустя огромное время все планетные тела могли бы вернуться в те же места, и устойчивость системы была бы установлена. Такая теория периодической устойчивости действительно гипотетична и не принимает во внимание явления, приводящие к диссипации энергии, что может быть действительно вековым процессом. Для наших текущих целей нам не нужно пытаться сформировать мнение по таким вопросам. Любое изменение, которое не представляет собой видимости периодического характера, будет эмпирически рассматриваться как вековое изменение, так что будет много непериодических вариаций.

Вариации, которые мы производим экспериментально, часто будут непериодическими. Когда мы сообщаем тепло газу, он увеличивается в объеме или давлении, и насколько мы можем судить, чем выше температура, тем выше давление. Наши эксперименты, конечно, ограничены по температуре как сверху, так и снизу, но есть все основания полагать, что при том же объеме давление никогда не вернулось бы к одной и той же точке при любых двух разных температурах. Мы можем, конечно, неоднократно повышать и понижать температуру через регулярные или нерегулярные интервалы полностью по нашему желанию, и давление газа будет варьироваться подобным образом и точно через те же интервалы, но такая произвольная серия изменений не составила бы Периодическую Вариацию. Это составило бы последовательность отдельных экспериментов, которые поставили бы вне разумного сомнения связь причины и следствия.

Всякий раз, когда явление повторяется через равные или почти равные интервалы, существует, согласно теории вероятностей, значительное доказательство связи, потому что если бы повторения были совершенно случайными, маловероятно, что они происходили бы через равные интервалы. Тот факт, что яркая комета появлялась в 1301, 1378, 1456, 1531, 1607 и 1682 годах, давал значительную презумпцию в пользу идентичности тела, помимо сходства орбиты. Нет ничего, что так очаровывает внимание людей, как повторение раз за разом какого-то необычного события. Вещи и явления, которые остаются всегда одними и теми же, как горы и долины, не возбуждают любопытства первобытного народа. Лапласом было замечено, что даже в его время восход Венеры в ее ярчайшей фазе никогда не переставал вызывать удивление и интерес. Так что мало сомнений в том, что первый росток науки возник из внимания, уделяемого восточными народами изменениям Луны и движениям планет. Возможно, самое раннее астрономическое открытие состояло в доказательстве идентичности утренней и вечерней звезд на основании их сходства в аспекте и неизменного чередования. Периодические изменения несколько сложного рода, должно быть, были понятны халдеям, потому что они знали о цикле в 6585 дней или 19 лет, который возвращает новолуние и полнолуние на те же дни, часы и даже минуты года. Самые ранние попытки научного пророчества основывались на этом знании, и если в настоящее время мы не можем не удивляться точным предсказаниям морского альманаха, мы можем представить себе удивление, вызываемое такими предсказаниями в ранние времена.

Комбинированные периодические изменения.

Мы редко найдем тело, подверженное единственной периодической вариации и свободное от других возмущений. Мы можем ожидать, что сама периодическая вариация будет подвергаться вариации, которая, возможно, может быть вековой, но скорее окажется периодической; нет также предела сложности периодов сверх периодов или периодов внутри периодов, которые могут в конечном счете быть раскрыты. Изучая явление ритмического характера, мы имеем последовательность вопросов, которые нужно задать. Является ли периодическая вариация равномерной? Если нет, является ли изменение равномерным? Если нет, является ли само изменение периодическим? Является ли этот новый период равномерным или подверженным какому-либо другому изменению, или нет? и так далее ad infinitum.

В некоторых случаях может быть много различных причин периодических вариаций, и согласно принципу суперпозиции малых эффектов, который будет рассмотрен позже, эти периодические эффекты будут просто складываться вместе, или, по крайней мере, приблизительно так, и совместный результат может представить очень сложный предмет исследования. Приливы океана состоят из серии наложенных друг на друга волн. Существуют не только обычные полусуточные приливы, вызванные Солнцем и Луной, но и ряд второстепенных приливов, таких как лунный суточный, солнечный суточный, лунный месячный, лунный двухнедельный, солнечный годовой и солнечный полугодовой, которые постепенно распутываются трудами сэра У. Томсона, профессора Хотона и других.

Переменные звезды представляют интересные периодические явления; в то время как некоторые звезды, например δ Цефея, подвержены очень регулярным вариациям, другие, как Мира Кита, менее постоянны в степенях яркости, которых они достигают, или быстроте изменений, возможно, из-за какой-то более длительной периодической вариации. Звезда β Лиры представляет двойной максимум и минимум в каждом из своих периодов почти в 13 дней, и с момента открытия этой вариации период в периоде, вероятно, увеличивался. «Сначала изменчивость была более быстрой, затем она постепенно стала медленнее; и это уменьшение в длительности времени достигло своего предела между 1840 и 1844 годами. В течение этого времени ее период был почти неизменным; в настоящее время он снова решительно уменьшается». Прослеживание таких сложных вариаций представляет собой неограниченное поле для интересного исследования. Число таких известных переменных звезд уже значительно, и нет оснований полагать, что какая-либо ощутимая часть общего числа была уже обнаружена.

Принцип вынужденных колебаний.

Исследования связи периодических причин и следствий основываются на принципе, который был продемонстрирован сэром Джоном Гершелем для некоторых частных случаев и ясно объяснен им в нескольких его работах. Принцип может быть формально изложен следующим образом: «Если одна часть любой системы, соединенной вместе либо материальными связями, либо взаимным притяжением ее членов, постоянно поддерживается какой-либо причиной, будь то присущей конституции системы или внешней по отношению к ней, в состоянии регулярного периодического движения, это движение будет распространяться по всей системе и даст начало в каждом ее члене и в каждой части каждого члена периодическим движениям, совершаемым в равные периоды с тем, которому они обязаны своим происхождением, хотя и не обязательно синхронным с ними в их максимумах и минимумах». Смысл этого положения заключается в том, что эффект периодической причины будет периодическим и будет повторяться через интервалы, равные интервалам причины. Соответственно, когда мы находим два явления, которые действительно протекают раз за разом через изменения одного и того же периода, существует большая вероятность того, что они связаны. Таким образом, несомненно, Плиний правильно сделал вывод, что причина приливов лежит в Солнце и Луне, причем интервалы между последовательными приливами равны интервалам между прохождением Луны через меридиан. Кеплер и Декарт также признавали связь до ньютоновского доказательства ее точной природы. Когда Брэдли открыл кажущееся движение звезд, возникающее из аберрации света, он вскоре смог приписать его годовому движению Земли, потому что оно проходило свои фазы в течение года.

Самым прекрасным примером индукции относительно периодических изменений, который можно привести, является открытие одиннадцатилетнего периода в различных метеорологических явлениях. Было бы трудно назвать две вещи, по-видимому, более разъединенные, чем пятна на Солнце и полярные сияния. Еще в 1826 году Швабе начал регулярную серию наблюдений за пятнами на Солнце, которая продолжается до настоящего времени, и он смог показать, что через интервалы около одиннадцати лет пятна значительно увеличивались в размере и количестве. Едва это открытие стало известным, как Ламонт указал на почти равный период вариации в склонении магнитной стрелки. Магнитные бури или внезапные возмущения стрелки были затем показаны как происходящие наиболее часто в те времена, когда были распространены солнечные пятна, и поскольку полярные сияния обычно совпадают с магнитными бурями, эти явления были включены в цикл. С тех пор профессором Пиацци Смитом и г-ном Э. Дж. Стоуном было показано, что температура поверхности Земли, как показывают погруженные термометры, дает некоторые доказательства подобного периода. Существование периодической причины, будучи однажды установленным, вполне ожидаемо, согласно принципу вынужденных колебаний, что ее влияние будет обнаружено во всех метеорологических явлениях.

Интегрированные вариации.

Рассматривая различные способы, которыми один эффект может зависеть от другого, мы должны выделить в отдельный класс те, которые возникают из накопленных эффектов постоянно действующей причины. Когда вода вытекает из цистерны, скорость движения зависит, согласно теореме Торричелли, от высоты поверхности воды над отверстием; но количество воды, которое покидает цистерну за данное время, зависит от совокупного результата этой скорости и может быть установлено только математическим процессом интегрирования. Когда одно гравитирующее тело падает к другому, сила гравитации варьируется согласно обратному квадрату расстояния; чтобы получить произведенную скорость, мы должны интегрировать или суммировать эффекты этого закона; и чтобы получить пространство, пройденное телом за данное время, мы должны интегрировать снова.

В периодических вариациях должно быть проведено то же различие. Нагревательная сила солнечных лучей в любом месте на Земле варьируется каждый день с достигнутой высотой и является наибольшей около полудня; но температура воздуха не будет наибольшей в то же время. Эта температура является интегрированным эффектом нагревательной силы Солнца, и пока Солнце способно давать больше тепла воздуху, чем воздух теряет другими способами, температура продолжает расти, так что максимум откладывается примерно до 3 часов дня. Аналогично, самый жаркий день года приходится в среднем примерно на один месяц позже летнего солнцестояния, и все времена года отстают примерно на месяц от движений Солнца. В случае приливов также эффект притягательной силы Луны никогда не бывает наибольшим, когда сила наибольшая; эффект всегда отстает более или менее от причины. Тем не менее интервалы между последовательными приливами равны, в отсутствие возмущения, интервалам между прохождениями Луны через меридиан. Таким образом, принцип вынужденных колебаний остается верным.

В периодических явлениях, однако, любопытные результаты иногда следуют из интеграции эффектов. Если мы ударим по маятнику, а затем повторяем удар раз за разом в той же части вибрации, все удары согласуются в добавлении к импульсу, и мы можем таким образом увеличить степень и силу вибраций до любой степени. Мы можем остановить маятник снова ударами, приложенными, когда он движется в противоположном направлении, и эффекты, будучи сложенными вместе, вскоре приведут его в состояние покоя. Теперь, если мы изменим интервалы ударов так, чтобы каждые два последовательных удара действовали противоположным образом, они нейтрализуют друг друга, и затраченная энергия превратится в тепло или звук в точке удара. Подобные эффекты происходят во всех случаях ритмического движения. Если музыкальная нота звучит в комнате, содержащей пианино, струна, соответствующая ей, будет приведена в вибрацию, потому что каждый последовательный удар воздушных волн по струне находит ее в подобном положении относительно вибрации и, таким образом, добавляет к ее энергии движения. Но другие струны, будучи неспособными вибрировать с той же быстротой, ударяются в различных точках своих вибраций, и один удар вскоре будет противопоставлен удару, противоположному по эффекту. Все явления резонанса возникают из этого совпадения во времени колебания. Воздух в трубе, закрытой с одного конца и длиной около 12 дюймов, способен вибрировать 512 раз в секунду. Если, следовательно, нота До звучит перед открытым концом трубы, каждая последовательная вибрация воздуха сохраняется, как если бы она была в движении воздуха. В трубе другой длины импульсы воздуха ударялись бы друг о друга, и механическая энергия, превращаясь в тепло, перестала бы быть ощутимой как звук.

Накопленные вибрации иногда становятся настолько интенсивными, что приводят к неожиданным результатам. Стеклянный сосуд, если коснуться его смычком скрипки в подходящей точке, может треснуть от силы вибрации. Подвесной мост может обрушиться, если рота солдат пройдет по нему в ногу, интервалы которой совпадают с собственными вибрациями моста. Но если они собьются с шага или пойдут быстрее или медленнее, они могут не оказать на мост никакого заметного воздействия. Фактически, если импульсы, передаваемые любому вибрирующему телу, синхронны с его вибрациями, энергия этих вибраций будет неограниченной и может разрушить любое тело.

Рассмотрим теперь, что произойдет, если удары будут следовать не точно с теми же интервалами, что и вибрации тела, а, скажем, немного медленнее. Тогда последовательность ударов будет встречать тело почти, но не совсем в том же положении, и их усилия будут суммироваться. Впоследствии удары начнут приходиться на моменты, когда тело находится в противоположной фазе. Представьте, что один маятник, перемещающийся из одной крайней точки в другую за секунду, должен быть подтолкнут другим маятником, который совершает 61 колебание в минуту; тогда, если маятники начнут движение одновременно, то через 30,5 колебаний они будут двигаться в противоположных направлениях. Следовательно, вся энергия, переданная в течение первой половины минуты, будет нейтрализована противоположным эффектом той, что была передана во второй половине. Таким образом, эффект ударов второго маятника будет попеременно увеличивать и уменьшать вибрации первого, так что возникнет новый вид вибрации, проходящий через свои фазы за 61 секунду. Эффект такого рода действительно наблюдался Элликоттом, членом Королевского общества, в случае с двумя часами. Он обнаружил, что через деревянную конструкцию, соединяющую часы, передавался слабый импульс, и каждый маятник попеременно терял и приобретал импульс. Фактически, каждые часы стремились остановить другие через регулярные интервалы, а в промежуточное время — быть остановленными другими.

Многие возмущения в планетной системе зависят от того же принципа; ибо если одна планета всегда притягивает другую в одном и том же направлении в сходных частях их орбит, эффекты, какими бы слабыми они ни были, будут накапливаться, и возникнет возмущение большого конечного значения и длительного периода. Долгопериодическое неравенство в движениях Юпитера и Сатурна обусловлено тем фактом, что пятикратное среднее движение Сатурна почти равно двукратному среднему движению Юпитера, что вызывает совпадение их относительных положений и возмущающих сил. Бортовая качка судов зависит главным образом от того, соответствует ли период вибрации судна интервалам, с которыми волны ударяют о него. Многое из того, что на первый взгляд кажется необъяснимым в поведении судов, таким образом объясняется, и гибель судна «Кэптен» является печальным примером этого.

ГЛАВА XXI. ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ.

Для того чтобы мы могли получить истинное понимание вида, степени и ценности знаний, которые мы приобретаем посредством экспериментальных исследований, необходимо, чтобы мы полностью осознавали их приблизительный характер. Мы должны научиться различать то, что мы можем знать, и то, чего мы знать не можем — между вопросами, которые допускают решение, и теми, которые только кажутся решенными. Многие люди могут быть введены в заблуждение выражением «точная наука» и могут подумать, что знания, полученные научными методами, позволяют нам достичь абсолютно истинных законов, точных до последней степени. Существует даже распространенное впечатление, что как только математические формулы были успешно применены к какой-либо отрасли науки, эта область знаний приобретает новую природу и допускает рассуждения более высокого порядка, чем те науки, которые все еще остаются нематематическими.

Весьма удовлетворительная степень точности, достигнутая в астрономии, придает некоторую правдоподобность подобным ошибочным представлениям. Некоторые люди, несомненно, считают доказанным, что планеты движутся по эллипсам таким образом, что все законы Кеплера выполняются в точности; но в любых подобных представлениях содержится двойная ошибка. Во-первых, законы Кеплера не доказаны, если под доказательством мы подразумеваем достоверную демонстрацию их точной истинности. Во-вторых, даже если предположить, что законы Кеплера теоретически абсолютно верны, планеты никогда не движутся в соответствии с этими законами. Даже если бы мы могли наблюдать движения планеты идеальной шарообразной формы, свободной от всех возмущающих или замедляющих сил, мы никогда не смогли бы доказать, что она движется по идеальному эллипсу. Чтобы доказать эллиптическую форму, нам пришлось бы измерять бесконечно малые углы и бесконечно малые доли секунды; нам пришлось бы совершить невозможное. Все, что мы можем сделать, — это показать, что движение невозмущенной планеты очень близко приближается к форме эллипса, и тем ближе, чем точнее проводятся наши наблюдения. Но если мы пойдем дальше и будем утверждать, что путь является эллипсом, мы выйдем за пределы наших данных и сделаем допущение, которое не может быть подтверждено наблюдением.

Но, во-вторых, по сути, ни одна планета не движется по идеальному эллипсу и не проявляет истинность законов Кеплера в точности. Закон тяготения препятствует четкому проявлению своих собственных результатов, поскольку взаимные возмущения планет искажают эллиптические пути. Опять же, эти законы строго верны только для бесконечно малых тел, и когда два больших шара, такие как Солнце и Юпитер, притягивают друг друга, закон должен быть изменен. Периодическое время тогда сокращается в отношении квадратного корня из числа, выражающего массу Солнца, к сумме чисел, выражающих массы Солнца и планеты, как показал Ньютон. Даже в наши дни существуют расхождения между наблюдаемыми размерами планетных орбит и их теоретическими величинами после внесения поправок на все возмущающие причины. Нет ничего более определенного в научном методе, чем то, что можно ожидать только приблизительного совпадения. При измерении непрерывной величины идеальное соответствие должно быть случайным и скорее вызывать подозрение, чем удовлетворение.

Одним из примечательных результатов приблизительного характера наших наблюдений является то, что мы никогда не смогли бы доказать существование идеально кругового или параболического движения, даже если бы оно существовало. Окружность — это частный случай эллипса, для которого эксцентриситет равен нулю; бесконечно маловероятно, чтобы какая-либо планета, даже если бы она не испытывала возмущений со стороны других тел, имела бы орбиту в виде окружности; но если бы орбита была окружностью, мы никогда не смогли бы доказать полное отсутствие эксцентриситета. Все, что мы могли бы сделать, — это объявить отклонение от круговой формы незначительным. Деламбр не смог обнаружить ни малейшей эллиптичности в орбите первого спутника Юпитера, но он мог лишь сделать вывод, что орбита была почти круговой. Парабола является предельным случаем между эллипсом и гиперболой. Поскольку существуют эллиптические и гиперболические кометы, мы могли бы допустить существование параболической кометы. Действительно, если бы невозмущенная комета падала на Солнце с бесконечного расстояния, она двигалась бы по параболе; но мы никогда не смогли бы доказать, что она двигалась именно так.

Подстановка простых гипотез.

По правде говоря, люди никогда не могут решить задачи, отвечающие сложным обстоятельствам природы. Все законы и объяснения в некотором смысле гипотетичны и не применяются в точности ни к чему, о чем мы можем знать, что оно существует. Вместо реальных объектов, которые мы видим и ощущаем, математик подставляет воображаемые объекты, лишь частично напоминающие представленные, но сконструированные таким образом, что расхождения не достигают величины, способной серьезно изменить характер решения. Когда мы добираемся до сути дела, физическая астрономия столь же гипотетична, как «Начала» Евклида. В природе могут существовать идеальные прямые линии, треугольники, окружности и другие правильные геометрические фигуры; для нашей науки безразлично, существуют они или нет, потому что в любом случае они должны находиться за пределами наших способностей восприятия. Если бы мы подвергли идеальную окружность самому строгому изучению, невозможно было бы обнаружить, является ли она идеальной или нет. Тем не менее в геометрии мы рассуждаем об идеальных кривых и прямолинейных фигурах, и выводы применимы к существующим объектам постольку, поскольку мы можем убедиться, что они согласуются с гипотетическими условиями наших рассуждений. Это, в действительности, все, что мы можем сделать в самой совершенной из наук.

Несомненно, в астрономии мы встречаем наиболее близкое приближение к реальным условиям. Закон тяготения сам по себе не является сложным, и мы с большой долей вероятности считаем его абсолютно верным; но мы не можем рассчитать его точные результаты ни в одном реальном случае. Закон утверждает, что каждая частица материи во Вселенной притягивает каждую другую частицу с силой, зависящей от масс частиц и расстояний между ними. Мы не можем знать силу, действующую на какую-либо частицу, если не знаем масс, расстояний и положений всех других частиц во Вселенной. Физический астроном сделал смелое допущение, а именно, что все миллионы существующих систем не оказывают никакого возмущающего воздействия на нашу планетную систему, то есть никакого воздействия, которое было бы хоть сколько-нибудь заметным. Задача сразу становится гипотетической, поскольку почти нет сомнений в том, что гравитация между нашим Солнцем и планетами и другими системами действительно существует. Даже когда они рассматривают отношения наших планетных тел между собой, все их процессы являются лишь приблизительными. Во-первых, они предполагают, что каждая из планет является идеальным эллипсоидом с гладкой поверхностью и однородным внутренним строением. То, что это допущение неверно, доказывает каждая гора и долина, каждое море, каждая шахта. Если астрономы хотят сделать свои расчеты идеальными, они должны не только учитывать Гималаи и Анды, но и рассчитывать отдельно притяжение каждого холма, более того, каждого муравейника. Настолько они далеки от учета какого-либо локального неравенства поверхности, что еще не решили вопрос об общей форме Земли; до сих пор остается предметом догадок, является ли Земля эллипсоидом с тремя неравными осями. Если, как вероятно, земной шар неравномерно сжат в некоторых направлениях, расчеты астрономов придется повторять и уточнять, чтобы они могли приблизиться к силе притяжения такого тела. Если мы не можем точно узнать форму нашей собственной Земли, как мы можем ожидать, что установим форму Луны, Солнца и других планет, в некоторых из которых, вероятно, имеются неровности большего относительного размера?

В дальнейшем наука физической астрономии является лишь приблизительной и гипотетической. При заданных однородных эллипсоидах, воздействующих друг на друга согласно закону тяготения, лучшие математики никогда не определяли и, возможно, никогда не определят точно результирующие движения. Даже когда три тела одновременно притягивают друг друга, сложность эффектов настолько велика, что можно сделать только приблизительные расчеты. Астрономы даже не пытались решить общую задачу одновременного притяжения четырех, пяти, шести или более тел; они сводят общую задачу к множеству различных задач трех тел. Принцип, на котором строятся расчеты физической астрономии, заключается в том, чтобы пренебречь каждой величиной, которая не кажется способной привести к эффекту, заметному при наблюдении, а отброшенные величины гораздо более многочисленны и сложны, чем те немногие крупные члены, которые сохраняются. Все, таким образом, является лишь приблизительным.

Относительно других отраслей физической науки те же утверждения еще более очевидно верны. Мы говорим и рассчитываем параметры для негибких стержней, нерастяжимых линий, тяжелых точек, однородных веществ, равномерных сфер, идеальных жидкостей и газов, и мы выводим большое количество прекрасных теорем; но все это гипотетично. Не существует такой вещи, как негибкий стержень, нерастяжимая линия или любой другой из идеальных объектов механической науки; их следует классифицировать вместе с теми мифическими сущностями — прямой линией, треугольником, окружностью и т. д., о которых так свободно рассуждал Евклид. Возьмем простейшую операцию, рассматриваемую в статике — использование лома для поднятия тяжелого камня, и мы обнаружим, как указали Томсон и Тэт, что мы пренебрегаем гораздо большим, чем наблюдаем. Если мы предположим, что стержень абсолютно жесткий, точка опоры и камень идеально твердые, а точки контакта — реальные точки, мы можем получить истинное соотношение сил. Но в действительности стержень должен изгибаться, а растяжение и сжатие различных частей вовлекают нас в трудности. Даже если стержень однороден во всех своих частях, не существует математической теории, способной с точностью определить все, что происходит; если, что бесконечно более вероятно, стержень не является однородным, полное решение будет неизмеримо более сложным, но вряд ли более безнадежным. Как только мы определили изменение формы согласно простым механическим принципам, мы обнаружили бы вмешательство термодинамических принципов. Сжатие вызывает тепло, а растяжение — холод, и таким образом условия задачи изменяются повсеместно. При попытке четвертого приближения нам пришлось бы учитывать теплопроводность от одной части стержня к другой. Все эти эффекты совершенно незаметны с практической точки зрения, если стержень хороший и прочный; но с теоретической точки зрения они полностью препятствуют нам сказать, что мы решили естественную проблему. Способности человеческого разума, даже будучи подкрепленными удивительными силами сокращения, даруемыми аналитическими методами, совершенно неспособны справиться со сложностями любой реальной проблемы. И если бы мы исчерпали все известные явления механической проблемы, как мы можем знать, что скрытые явления, еще не обнаруженные, не вмешиваются в самые обычные действия? Очевидно, что никакое явление не попадает в сферу наших чувств, если оно не обладает импульсом, способным раздражать соответствующие нервы. Могут существовать миры явлений, слишком слабые, чтобы подняться до уровня нашего сознания.

Все инструменты, с помощью которых мы проводим наши измерения, несовершенны. Мы предполагаем, что отвес дает вертикальную линию; но это никогда не бывает верно в абсолютном смысле из-за притяжения гор и других неровностей поверхности Земли. При точном тригонометрическом обследовании отклонения отвеса должны быть приблизительно определены и учтены. Мы предполагаем, что поверхность ртути является идеальной плоскостью, но даже на ширине 5 дюймов существует поддающееся расчету отклонение от истинной плоскости примерно на одну десятимиллионную долю дюйма; и эта поверхность далее отклоняется от истинной горизонтальности так же, как отвес отклоняется от истинной вертикальности. Тот самый совершенный инструмент, маятник, теоретически не является совершенным, за исключением бесконечно малых дуг вибрации, а тонкие эксперименты, проводимые с крутильными весами, исходят из предположения, что сила кручения проволоки пропорциональна углу кручения, что опять же верно только для бесконечно малых углов.

Таков чисто приблизительный характер всех наших операций, что нередко можно обнаружить, что теоретически худший метод дает более верные результаты, чем теоретически совершенный метод. Обычный маятник, который не является изохронным, лучше для практических целей, чем циклоидальный маятник, который изохронен в теории, но подвержен механическим трудностям. Сферическая форма не является правильной формой для зеркала или линзы, но она настолько незначительно отличается от истинной формы и настолько легче производится механически, что обычно лучше довольствоваться сферической поверхностью. Даже в шестифутовом зеркале разница между параболой и сферой составляет всего около одной десятитысячной доли дюйма — толщина, которая была бы снята за несколько движений полировальника. Изобретательное параллельное движение Уатта предназначалось для создания прямолинейного движения поршневого штока. В действительности движение всегда было криволинейным, но для его целей определенная часть кривой достаточно приближалась к прямой линии.

Приближение к точным законам.

Хотя мы не можем доказать численные законы с идеальной точностью, было бы большой ошибкой полагать, что в законах природы есть какая-либо неточность. Мы можем даже открыть закон, который, как мы полагаем, представляет действие сил с идеальной точностью. Разум может казаться опережающим свои данные и выбирать определенные численные результаты как абсолютно истинные. Мы никогда не можем по-настоящему выйти за пределы наших данных, и постольку, поскольку в них входит допущение, постольку отсутствие уверенности будет сопровождать наши выводы; тем не менее мы иногда можем справедливо предпочесть вероятное допущение точного закона численным результатам, которые в лучшем случае являются лишь приблизительными. Мы должны, соответственно, провести четкое различие между законами природы, которые, как мы полагаем, точно сформулированы в наших формулах, и теми, к которым наши формулировки лишь приближаются, так что в будущем закон будет сформулирован иначе.

Закон тяготения выражается в форме F = Mm/D², что означает, что гравитация прямо пропорциональна произведению гравитирующих масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Скрытая теплота пара выражается уравнением log F = a + b/α^t + c/β^t, в котором есть пять величин a, b, c, α, β, определяемых экспериментально. Есть все основания полагать, что в ходе развития науки закон тяготения останется совершенно неизменным, и единственным эффектом дальнейших исследований будет превращение его во все более вероятное выражение абсолютной истины. Закон скрытой теплоты пара, с другой стороны, будет изменяться с каждой новой серией экспериментов, и вполне вероятно, что будет показано, что принятый закон никогда не сможет быть приведен в точное соответствие с результатами эксперимента.

Философы не всегда полагали, что закон тяготения абсолютно верен. Ньютон, хотя и имел высочайшую уверенность в его истинности, признавал, что в планетной системе существуют движения, которые он не мог согласовать с законом. Эйлер и Клеро, которые вместе с Д’Аламбером первыми применили всю мощь математического анализа к теории тяготения как объяснению возмущений планет, не считали закон достаточно установленным, чтобы приписывать все расхождения ошибкам расчетов и наблюдений. Они не были уверены, что сила тяжести в точности подчиняется хорошо известному правилу. Закон мог включать другие степени расстояния. Он мог быть выражен в форме

F = . . . + a/D + b/D² + c/D³ + . . .

и коэффициенты a и c могли быть настолько малы, что эти члены стали бы заметны только при очень точных сравнениях с фактами. Были предприняты попытки объяснить трудности, приписывая значение таким пренебрегаемым членам. Гаусс одно время думал, что еще более фундаментальный принцип гравитации — о том, что сила зависит только от массы и расстояния — может быть не совсем верен, и он предпринял точные эксперименты с маятником, чтобы проверить это мнение. Только по мере того, как повторяющиеся сомнения раз за разом разрешались в пользу закона Ньютона, он стал считаться точно правильным. Но эта вера не основывается только на эксперименте или наблюдении. Расчеты физической астрономии, какими бы точными они ни были, никогда не могли показать, что другие члены вышеприведенного выражения абсолютно лишены значения. Можно было лишь показать, что они имели настолько незначительное значение, что никогда не становились заметными.

Существуют, однако, другие причины, по которым закон, вероятно, является полным и верным, как это обычно формулируется. Любое влияние, которое распространяется из точки и расширяется равномерно в пространстве, несомненно, будет изменяться обратно пропорционально квадрату расстояния, поскольку площадь, по которой оно распространяется, увеличивается как квадрат радиуса. Эта часть закона тяготения может рассматриваться как обусловленная свойствами пространства, и в этом отношении существует идеальная аналогия между гравитацией и всеми другими эманирующими силами, как указал Кейлл. Таким образом, волны света, тепла и звука, а также притяжения электричества и магнетизма подчиняются одному и тому же закону, насколько мы можем установить. Если бы молекулы газа или частицы материи, составляющие запах, исходили из точки и распространялись равномерно, их расстояния увеличивались бы, а плотность уменьшалась бы согласно тому же принципу.

Другие законы природы находятся в аналогичном положении. Законы Дальтона о постоянных кратных отношениях никогда не были и никогда не могут быть точно доказаны; но химики, показав с высокой степенью приближения, что элементы соединяются друг с другом так, как если бы каждый элемент имел атомы неизменной массы, предполагают, что это абсолютно верно. Они идут даже дальше. Пруст указал в 1815 году, что эквивалентные веса элементов представляются простыми числами; и исследования Дюма, Пелуза, Мариньяка, Эрдмана, Стаса и других постепенно сделали вероятным, что атомные веса водорода, углерода, кислорода, азота, хлора и серебра находятся в отношениях чисел 1, 12, 16, 14, 35,5 и 108. Химики затем выходят за пределы своих данных; они отбрасывают свои фактические экспериментальные числа и предполагают, что истинные отношения — это не те, что точно указаны какими-либо взвешиваниями, а простые отношения этих чисел. Они смело предполагают, что расхождения обусловлены экспериментальными ошибками, и они оправданы тем фактом, что чем более тщательны и искусны исследования по данному предмету, тем ближе их допущение к подтверждению. Калий — единственный элемент, чей атомный вес был определен с большой осторожностью, но который не показал приближения к простому отношению с другими элементами. Это исключение может быть обусловлено какой-то невыявленной причиной ошибки. Аналогичное допущение делается в законе постоянных объемных отношений газов, и Броди ясно указал линию аргументации, с помощью которой химик, наблюдая, что расхождения между законом и фактом находятся в пределах экспериментальной ошибки, предполагает, что они обусловлены ошибкой.

Фарадей в одном из своих исследований прямо делает допущение такого же рода. Показав с некоторой степенью экспериментальной точности, что существует простая пропорция между количествами электрической энергии и количествами химических веществ, которые она может разложить, так что на каждый атом, растворенный в ячейке батареи, атом должен теоретически, то есть без учета рассеяния части энергии, разлагаться в электролитической ячейке, он не останавливается на своих численных результатах. «Я не колебался, — говорит он, — применить более строгие результаты химического анализа для исправления чисел, полученных как электролитические результаты. Это, очевидно, может быть сделано в большом количестве случаев, не допуская слишком большой свободы по отношению к должной строгости научного исследования».

Закон сохранения энергии, одно из самых широких из всех физических обобщений, покоится на том же основании. Максимум, что мы можем сделать с помощью эксперимента, — это показать, что энергия, входящая в любую экспериментальную комбинацию, почти равна той, что выходит из нее, и тем ближе, чем точнее мы проводим измерения. Абсолютное равенство — это всегда вопрос допущения. Мы не можем даже доказать неуничтожимость материи; ибо если бы чрезвычайно малая доля существующей материи исчезла в каком-либо эксперименте, скажем, одна часть из десяти миллионов, мы никогда не смогли бы обнаружить эту потерю.

Последовательные приближения к естественным условиям.

Когда мы изучаем историю научных проблем, мы обнаруживаем, что один человек или одно поколение обычно способны сделать лишь один шаг за раз. Задача решается впервые путем внесения некоторого смелого гипотетического упрощения, после чего следующий исследователь вносит гипотетические модификации, приближающиеся к истине. Ошибки последовательно указываются в предыдущих решениях, пока, наконец, не покажется, что желать больше нечего. Тщательное изучение, однако, покажет, что остается ряд мелких неточностей, которые нужно исправить и объяснить, если бы наши способности к рассуждению были достаточно велики, а цель — достаточно важна.

Успешное решение Ньютоном задачи о движениях планет поначалу полностью зависело от большого упрощения. Закон тяготения применяется непосредственно только к двум бесконечно малым частицам, поэтому, когда мы имеем дело с огромными шарами, такими как Земля, Юпитер и Солнце, мы имеем дело с огромной совокупностью отдельных притяжений, и закон совокупности не обязан совпадать с законом элементарных частиц. Но Ньютон, благодаря большому усилию математического рассуждения, смог показать, что два однородных шара материи действуют так, как если бы вся их масса была сосредоточена в центрах; короче говоря, что такие шары являются центробарическими телами. Затем он смог с относительной легкостью рассчитать движения планет на гипотезе о том, что они являются сферами, и показать, что результаты грубо согласуются с наблюдениями. Ньютон, действительно, был одним из немногих людей, которые могли сделать два больших шага сразу. Он не удовлетворился сферической гипотезой; имея основания полагать, что Земля на самом деле является сфероидом с выпуклостью вокруг экватора, он перешел ко второму приближению и доказал, что притяжение выпуклой материи на Луну объясняет прецессию равноденствий и приводит к различным сложным эффектам. Но даже сфероидальная гипотеза далека от истины. Она не учитывает неровности поверхности, большую выпуклость суши в Центральной Азии и Южной Америке, а также дефицит в ложе Атлантического океана.

Определение закона, согласно которому снаряд, такой как пушечное ядро, движется через атмосферу, является задачей, очень несовершенно решенной в наши дни, но в которой было сделано много последовательных успехов. Так мало было известно об этом предмете три или четыре столетия назад, что пушечное ядро, как предполагалось, движется сначала по прямой линии, а через некоторое время отклоняется в кривую. Тарталья рискнул утверждать, что путь был искривлен на всем протяжении, как и должно быть по принципу непрерывности; но потребовалась изобретательность Галилея, чтобы доказать это мнение и показать, что кривая была приблизительно параболой. Однако только при вынужденных гипотезах мы можем утверждать, что путь снаряда является истинной параболой: путь должен проходить через идеальный вакуум, где нет никакой сопротивляющейся среды; сила тяжести должна быть равномерной и действовать по параллельным линиям; или же движущееся тело должно быть либо просто точкой, либо идеальным центробарическим телом, то есть телом, обладающим определенным центром тяжести. Эти условия не могут быть реально выполнены на практике. Следующий большой шаг в решении задачи был сделан Ньютоном и Гюйгенсом, последний из которых утверждал, что атмосфера будет оказывать сопротивление, пропорциональное скорости движущегося тела, и пришел к выводу, что путь будет иметь вследствие этого логарифмический характер. Ньютон исследовал в общем виде предмет сопротивляющихся сред и пришел к выводу, что сопротивление более близко пропорционально квадрату скорости. Затем предмет попал в руки Даниила Бернулли, который указал на огромное сопротивление воздуха в случаях быстрого движения и рассчитал, что пушечное ядро, если выстрелить вертикально в вакууме, поднялось бы в восемь раз выше, чем в атмосфере. В недавнее время огромное количество как теоретических, так и экспериментальных исследований было потрачено на этот предмет, поскольку он имеет важное значение в военном искусстве. Были сделаны последовательные приближения к истинному закону, но ничего похожего на полное и окончательное решение не было достигнуто или даже ожидалось.

Вполне ожидаемо, что первые экспериментаторы в любой отрасли науки будут упускать из виду ошибки, которые впоследствии становятся наиболее очевидными. Арабские астрономы определяли меридиан, беря среднюю точку между положениями Солнца при равных высотах в один и тот же день. Они упустили из виду тот факт, что Солнце имеет свое собственное движение за время между наблюдениями. Ньютон полагал, что взаимными возмущениями планет можно пренебречь, за исключением, возможно, эффекта взаимного притяжения больших планет, Юпитера и Сатурна, вблизи их соединения. Расширение ртути долгое время использовалось как мера температуры, не имея ясного представления о температуре отдельно от некоторых ее наиболее очевидных эффектов. Румфорд в первом эксперименте, приведшем к определению механического эквивалента тепла, не учел тепло, поглощенное аппаратом, иначе он, по мнению доктора Джоуля, пришел бы почти к правильному результату.

Удивительно узнать количество причин ошибок, которые входят в простейший эксперимент, когда мы стремимся достичь строгой точности. Мы не можем точно выполнить простой эксперимент по сжатию газа в изогнутой трубке столбом ртути, чтобы проверить истинность закона Бойля, не обращая внимания на: (1) изменения атмосферного давления, которые передаются газу через ртуть; (2) сжимаемость ртути, которая заставляет столбик ртути изменять плотность; (3) температуру ртути по всему столбику; (4) температуру газа, которую с трудом удается поддерживать неизменной; (5) расширение стеклянной трубки, содержащей газ. Хотя Реньо принял во внимание все эти обстоятельства при изучении закона, нет оснований полагать, что он исчерпал источники неточности.

Ранние исследования природы волн в упругих средах исходили из предположения, что волны разной длины будут распространяться с одинаковой скоростью. Теория звука Ньютона привела его к этому выводу, и наблюдение подтвердило этот вывод. Когда волновая теория была применена в начале этого века для объяснения явлений света, возникла большая трудность. Угол, под которым луч света преломляется при входе в более плотную среду, зависит, согласно этой теории, от скорости, с которой распространяется волна, так что если бы все волны света распространялись с одинаковой скоростью в одной и той же среде, дисперсия смешанного света призмой и образование спектра не могли бы происходить. Некоторые наиболее поразительные явления находились, таким образом, в прямом противоречии с теорией. Коши первым указал на объяснение, а именно, что все предыдущие исследователи сделали произвольное допущение ради упрощения расчетов. Они предположили, что частицы вибрирующей среды находятся так близко друг к другу, что интервалы незначительны по сравнению с длиной волны. Эта гипотеза оказалась приблизительно верной в случае с воздухом, поэтому никакой ошибки не было обнаружено в экспериментах со звуком. Если бы это было не так, ранние аналитики, вероятно, не смогли бы дать никакого решения, и прогресс в этой области мог бы быть замедлен. Коши смог сделать новое приближение при более сложном допущении, что частицы вибрирующей среды расположены на значительном расстоянии и действуют и реагируют на соседние частицы силами притяжения и отталкивания. Рассчитать скорость распространения возмущения в такой среде — работа чрезвычайной сложности. Полное решение задачи, по-видимому, действительно находится за пределами человеческих сил, поэтому мы должны довольствоваться, как и в случае с планетными движениями, ожиданием последовательных приближений. Все, что мог сделать Коши, — это показать, что некоторые величины, которыми пренебрегали в предыдущих теориях, становились значительными при новых условиях задачи, так что будет существовать связь между длиной волны и скоростью, с которой она распространяется. Таким образом, для устранения трудностей на пути волновой теории света потребовался новый подход к вероятным условиям.

Подобным образом теория теплопроводности и излучения тепла Фурье основывалась на гипотезе, что количество тепла, проходящее вдоль любой линии, просто пропорционально скорости изменения температуры. Но с тех пор Форбсом было показано, что теплопроводность тела уменьшается по мере повышения его температуры. Поэтому все детали решения Фурье требуют модификации, а результаты в то же время следует рассматривать как лишь приблизительно верные.

Мы должны различать те проблемы, которые являются физически неполными, и те, которые являются лишь математически неполными. В последнем случае физический закон схвачен правильно, но математик пренебрегает или, что чаще, неспособен проследить закон во всех его результатах. Закон тяготения и принципы гармонического или волнового движения, даже если предположить, что данные верны, никогда не могут быть прослежены до всех их конечных результатов. Юнг объяснил возникновение колец Ньютона, предположив, что лучи, отраженные от верхней и нижней поверхностей тонкой пленки определенной толщины, находятся в противоположных фазах и, таким образом, нейтрализуют друг друга. Однако было указано, что, поскольку свет, отраженный от ближней поверхности, должен быть, несомненно, немного ярче, чем от дальней поверхности, два луча не должны нейтрализовать друг друга так полностью, как это наблюдается. В конечном итоге Пуассоном было показано, что расхождение возникло только из-за неполного решения задачи; ибо свет, который однажды попал в пленку, должен до некоторой степени отражаться вперед и назад до бесконечности; и если мы проследим этот путь света с помощью совершенного математического анализа, можно показать, что абсолютная темнота является результатом интерференции лучей. В этом случае естественные законы, касающиеся отражения и преломления, точно известны, и единственная трудность заключается в развитии их полных последствий.

Открытие гипотетически простых законов.

В некоторых отраслях науки мы встречаем естественные законы простого характера, которые с определенной точки зрения абсолютно верны и все же никогда не могут быть проявлены как абсолютно верные в естественных явлениях. Таковы, например, законы, касающиеся того, что называется идеальным газом. Газообразное состояние материи — это то, в котором свойства материи проявляются наиболее простым образом. Соответственно, есть много преимуществ в подходе к вопросу молекулярной механики с этой стороны. Но когда мы задаем вопрос — что такое газ? — ответ должен быть гипотетическим. Обнаружив, что газы почти подчиняются закону Бойля и Мариотта; что они почти расширяются от тепла с равномерной скоростью в одну часть на 272,9 их объема при 0° на каждый градус Цельсия; и что они тем более близко выполняют эти условия, чем дальше точка температуры, при которой мы их исследуем, от точки сжижения, мы переходим по принципу непрерывности к концепции идеального газа. Такой газ, вероятно, состоял бы из атомов материи на столь большом расстоянии друг от друга, что они не оказывали бы сил притяжения друг на друга; но для выполнения этого условия расстояния должны быть бесконечными, так что абсолютно идеальный газ не может существовать. Но идеальный газ — это не просто предел, к которому мы можем приблизиться, это предел, пройденный по крайней мере одним реальным газом. Депре, Пуйе, Дюлонг, Араго и, наконец, Реньо показали, что все газы отклоняются от закона Бойля, и почти во всех случаях плотность газа увеличивается в несколько большей пропорции, чем давление, что указывает на тенденцию молекул к самопроизвольному сближению. В более конденсируемых газах, таких как сернистый ангидрид, аммиак и циан, эта тенденция сильно проявляется вблизи точки сжижения. Водород, напротив, отклоняется от закона идеального газа в противоположном направлении, то есть плотность увеличивается меньше, чем в пропорции к давлению. Это единственное исключение, значение которого я не в состоянии понять.

Все газы опять же отклоняются от закона равномерного расширения от тепла, но отклонение меньше, если рассматриваемый газ менее конденсируем или исследуется при температуре, более удаленной от точки его сжижения. Таким образом, идеальный газ должен иметь бесконечно высокую температуру. Согласно закону Дальтона, каждый газ в смеси сохраняет свои собственные свойства, не подвергаясь влиянию присутствия любого другого газа. Этот закон, вероятно, верен только по приближению, но очевидно, что он был бы верен для идеального газа с бесконечно удаленными частицами.

Математические принципы приближения.

Приблизительный характер физической науки станет более понятным, если мы рассмотрим его с математической точки зрения. На протяжении количественных исследований мы имеем дело с отношением одной величины к другим величинам, функцией которых она является; но предмет достаточно сложен, если мы рассматриваем одну величину как функцию одной другой. Теперь, как общее правило, функция может быть разложена или выражена как сумма величин, значения которых зависят от последовательных степеней переменной величины. Если y — функция x, то мы можем сказать, что

y = A + Bx + Cx² + Dx³ + Ex⁴ . . .

В этом уравнении A, B, C, D и т. д. — фиксированные величины, имеющие разные значения в разных случаях. Члены могут быть бесконечными по количеству или через некоторое время могут перестать иметь какое-либо значение. Любой из коэффициентов A, B, C и т. д. может быть нулем или отрицательным; но какими бы они ни были, они фиксированы. Величина x, с другой стороны, может быть сделана такой, какой мы хотим, будучи переменной. Предположим, во-первых, что x и y — обе длины. Допустим, что 1/10 000 дюйма — это наименьшее, что мы можем заметить. Тогда, когда x равно одной сотой дюйма, мы имеем x² = 1/10 000, и если C меньше единицы, член Cx² будет незначительным, будучи меньше того, что мы можем измерить. Если только какая-либо из величин D, E и т. д. не окажется очень большой, очевидно, что все последующие члены также будут незначительными, потому что степени x быстро становятся меньше в геометрической прогрессии. Таким образом, когда x становится достаточно малым, величина y, по-видимому, подчиняется уравнению

y = A + Bx.

Если x должно быть еще меньше, если оно станет, например, 1/1 000 000 дюйма, а B не будет очень большим, тогда y будет казаться фиксированной величиной A и не будет казаться изменяющимся с x вообще. С другой стороны, если бы x стало больше, скажем, равным 1/10 дюйма, а C не было бы очень маленьким, член Cx² стал бы заметным, и закон теперь был бы более сложным.

Мы можем инвертировать способ рассмотрения этого вопроса и предположить, что, пока величина y претерпевает изменения, зависящие от многих степеней x, наша способность обнаруживать изменения значения более или менее остра. Пока наши способности наблюдения остаются очень грубыми, мы можем быть не в состоянии обнаружить какое-либо изменение величины вообще, то есть Bx может всегда быть слишком малым, чтобы попасть в поле нашего зрения, точно так же, как в прежние времена неподвижные звезды назывались так потому, что они оставались на якобы фиксированных расстояниях друг от друга. С использованием телескопов и микрометров мы становимся способными обнаружить существование некоторого движения, так что расстояние одной звезды от другой может быть выражено как A + Bx, при этом член, включающий x², остается незначительным. При этих обстоятельствах звезда будет казаться движущейся равномерно или в простой пропорции ко времени x. При значительно улучшенных средствах измерения, вероятно, будет обнаружено, что эта равномерность движения лишь кажущаяся и что существует некоторое ускорение или замедление. Более тщательное исследование покажет, что закон становится все более и более сложным, чем предполагалось ранее.

Существует еще один способ объяснения кажущихся результатов сложного закона. Если мы возьмем любую кривую и рассмотрим ее часть, свободную от какого-либо рода разрывности, мы можем представить характер такой части уравнением вида

y = A + Bx + Cx² + Dx³ + . . .

Ограничьте внимание очень малой частью кривой, и глаз будет не в состоянии отличить ее разницу от прямой линии, что равносильно утверждению, что в рассматриваемой части член Cx² не имеет значения, заметного для глаза. Возьмите большую часть кривой, и станет очевидно, что она обладает кривизной, но можно будет провести параболу или эллипс так, чтобы кривая якобы совпадала с частью этой параболы или эллипса. Таким же образом, если мы будем брать все большие и большие дуги кривой, она будет последовательно принимать характер кривой третьей, четвертой и, возможно, более высоких степеней; то есть она соответствует уравнениям, включающим третью, четвертую и более высокие степени переменной величины.

Мы пришли, таким образом, к выводу, что каждое явление, когда его величина может быть измерена лишь грубо, будет либо фиксированной величины, либо будет казаться изменяющимся равномерно, подобно расстоянию между двумя наклонными прямыми линиями. Более точное измерение может показать ошибку этого первого допущения, и изменение тогда будет казаться подобным изменению расстояния между прямой линией и параболой или эллипсом. Мы можем впоследствии обнаружить, что для представления изменения действительно требуется кривая третьей или более высоких степеней. Я предлагаю называть изменение величины линейным, эллиптическим, кубическим, квартическим, квинтическим и т. д. в зависимости от того, обнаруживается ли, что оно включает первую, вторую, третью, четвертую, пятую или более высокие степени переменной. Общим правилом в количественном исследовании является то, что мы начинаем с обнаружения линейных, а затем переходим к эллиптическим или более сложным законам изменения. Приблизительные кривые, которые мы используем, все, согласно использованию этого названия Де Морганом, являются параболами того или иного порядка; и поскольку обычная парабола второго порядка приблизительно такая же, как очень вытянутый эллипс, и является, по сути, бесконечно вытянутым эллипсом, удобно и правильно называть изменение второго порядка эллиптическим. Его также можно было бы назвать квадрическим изменением.

Что касается многих важных явлений, мы все еще находимся только на первой стадии приближения. Мы знаем, что Солнце и многие так называемые неподвижные звезды, особенно 61 Лебедя, имеют собственное движение в пространстве, и направление этого движения в настоящее время известно с некоторой степенью точности. Но вряд ли согласуется с теорией тяготения то, что путь любого тела должен быть действительно прямой линией. Следовательно, мы должны рассматривать прямолинейный путь лишь как предварительное описание движения и ожидать времени, когда его кривизна будет обнаружена, хотя, возможно, должны пройти столетия.

Мы привыкли предполагать, что на поверхности Земли сила тяжести равномерна, потому что изменение настолько незначительно, что мы едва способны его обнаружить. Но если бы мы могли измерить это изменение, мы обнаружили бы, что оно просто пропорционально высоте. Принимая радиус Земли за единицу, пусть h будет высотой, на которой мы измеряем силу тяжести. Тогда по хорошо известному закону обратных квадратов эта сила будет пропорциональна

g/(1 + h)²,  or  to  g(1 - 2h + 3h² - 4h³ + . . .).

Но на всех высотах, которых мы можем достичь, h будет настолько малой долей радиуса Земли, что 3h² будет незначительным, и сила тяжести будет казаться следующей закону линейного изменения, будучи пропорциональной 1 - 2h.

Когда обстоятельства эксперимента сильно изменены, различные степени переменной могут стать заметными. Сопротивление жидкости телу, движущемуся через нее, может быть приблизительно выражено как сумма двух членов, соответственно включающих первую и вторую степени скорости. При очень низких скоростях первая степень имеет наибольшее значение, и сопротивление, как показал профессор Стокс, почти в простой пропорции к скорости. Когда движение быстрое, сопротивление увеличивается в еще большей степени и более близко пропорционально квадрату скорости.

Приблизительная независимость малых эффектов.

Один из результатов теории приближения обладает такой важностью в физической науке и так часто применяется, что мы можем рассмотреть его отдельно. Исследование причин и следствий неизмеримо упрощается, когда мы можем рассматривать каждую причину как производящую свой собственный эффект неизменно, независимо от того, действуют другие причины или нет. Таким образом, если тело P производит x, а Q производит y, вопрос в том, будут ли P и Q, действуя вместе, производить сумму отдельных эффектов, x + y. Именно исходя из этого предположения мы рассматривали методы устранения ошибок (гл. XV), и ошибки меньшего размера все равно оставались бы, если бы предположение было вынужденным. Вероятно, существуют некоторые части науки, в которых предположение о независимости эффектов выполняется строго. Взаимная гравитация двух тел совершенно не зависит от присутствия других гравитирующих тел. Люди обычно не задумываются о том, что этот важный принцип вовлечен в такую простую вещь, как помещение двух фунтовых гирь на чашу весов. Откуда мы знаем, что два фунта вместе будут весить в два раза больше, чем один? Знаем ли мы, что это именно так? Как и другие результаты, основанные на индукции, мы не можем доказать это абсолютно, но все расчеты физической астрономии строятся на этом допущении, так что мы можем считать это доказанным с очень высокой степенью приближения. Если бы это было не так, расчеты физической астрономии были бы бесконечно более сложными, чем они есть на самом деле, и прогресс знаний был бы гораздо медленнее.

Общим принципом научного метода является то, что если эффекты малы по сравнению с нашими средствами наблюдения, все совместные эффекты будут более высокого порядка малости и поэтому могут быть отброшены в первом приближении. Этот принцип был использован Даниилом Бернулли в теории звука под названием «Принцип сосуществования малых вибраций». Он показал, что если на струну воздействуют два вида вибраций, мы можем рассматривать каждую как происходящую так, как если бы другой не существовало. Мы не можем заметить, что звучание одного музыкального инструмента предотвращает или даже изменяет звук другого, так что все звуки, по-видимому, распространяются через воздух и воздействуют на ухо независимо друг от друга. Аналогичное допущение делается в теории приливов, которые являются большими волнами. Одна волна создается притяжением Луны, а другая — притяжением Солнца, и возникает вопрос, будет ли при совпадении этих волн, как во время сизигийных приливов, совместная волна просто суммой отдельных волн. Согласно принципу Бернулли, это будет так, потому что приливы в океане очень малы по сравнению с глубиной океана.

Принцип Бернулли, однако, является лишь приближенно верным. Волна никогда не остается в точности той же самой, когда другая волна интерферирует с ней, но чем меньше смещение частиц, обусловленное каждой волной, тем в еще большей степени уменьшается воздействие одной волны на другую. В последние годы Гельмгольц пришел к подозрению, что некоторые звуковые явления могут, в конечном счете, быть обусловлены результирующими эффектами, упущенными из виду в предположениях предыдущих физиков. Он исследовал вторичные волны, которые возникали бы вследствие интерференции значительных возмущений, и смог показать, что должны быть слышны определенные комбинационные или результирующие тона, а эксперименты, впоследствии разработанные для этой цели, показали, что их действительно можно услышать.

Во всех механических науках Принцип суперпозиции малых движений имеет фундаментальное значение, и его можно объяснить следующим образом. Предположим, что две силы, действующие из точек B и C, одновременно перемещают тело A. Пусть сила, действующая из B, такова, что за одну секунду она переместила бы A в точку p, и аналогично пусть вторая сила, действуя в одиночку, переместит A в точку r. Возникает вопрос, будет ли их совместное действие направлять A в точку q вдоль диагонали параллелограмма. Можем ли мы сказать, что A переместится на расстояние Ap в направлении AB и на Ar в направлении AC, или, что то же самое, вдоль параллельной линии pq? Строго говоря, мы не можем так сказать; ибо когда A переместилось к p, сила из C больше не будет действовать вдоль линии AC, и аналогично движение A к r изменит действие силы из B. Это вмешательство одной силы в линию действия другой будет, очевидно, тем больше, чем значительнее рассматриваемая величина движения; с другой стороны, по мере того как мы уменьшаем параллелограмм Apqr по сравнению с расстояниями AB и AC, вмешательство сил будет уменьшаться. Соответственно, математики избегают всякой ошибки, рассматривая движения как бесконечно малые, так что вмешательство становится бесконечно малым еще более высокого порядка и им можно полностью пренебречь. Благодаря ресурсам дифференциального исчисления можно вычислить движение частицы A, как если бы она проходила через бесконечное число бесконечно малых диагоналей параллелограммов. Великие открытия Ньютона на самом деле возникли из применения этого метода вычислений к движениям Луны вокруг Земли, которая, постоянно стремясь двигаться вперед по прямой линии, также отклоняется к Земле под действием гравитации и движется по эллиптической кривой, состоящей, так сказать, из бесконечно малых диагоналей бесконечно многочисленных параллелограммов. Математик при исследовании кривой всегда рассматривает ее как состоящую из большого числа прямых линий, и можно усомниться, мог ли бы он рассматривать ее каким-либо иным образом. В конечных результатах нет ошибки, поскольку после получения формул, вытекающих из этого допущения, каждая прямая линия затем рассматривается как становящаяся бесконечно малой, и ломаная линия становится неотличимой от идеальной кривой.

В абстрактных математических теоремах приближение к абсолютной истине совершенно, поскольку мы можем оперировать бесконечно малыми величинами. В физической науке, напротив, мы имеем дело с наименьшими величинами, которые поддаются восприятию. Тем не менее, тщательно различая эти два разных случая, мы можем без опасений применять к обоим принцип суперпозиции малых эффектов. В физической науке нам нужно лишь позаботиться о том, чтобы эффекты были действительно настолько малы, чтобы любой совместный эффект был, несомненно, незаметен. Предположим, например, что существует некая причина, которая изменяет размеры тела в отношении 1 к 1 + α, и другая причина, которая вызывает изменение в отношении 1 к 1 + β. Если они обе действуют одновременно, изменение будет в отношении 1 к (1 + α)(1 + β), или как 1 к 1 + α + β + αβ. Но если α и β — обе очень малые доли от общих размеров, то αβ будет еще гораздо меньше и им можно пренебречь; отношение изменения тогда приблизительно равно 1 к 1 + α + β, или совместный эффект есть сумма отдельных эффектов. Таким образом, если бы тело подвергалось трем деформациям, направленным под прямым углом друг к другу, общее изменение объема тела было бы приблизительно равно сумме изменений, вызванных отдельными деформациями, при условии, что они очень малы. Точно так же не только расширение каждого твердого и жидкого вещества при нагревании приблизительно пропорционально изменению температуры, когда это изменение очень мало по величине, но и кубическое расширение также может рассматриваться как в три раза большее, чем линейное расширение. Ибо если повышение температуры расширяет стержень металла в отношении 1 к 1 + α, и расширение одинаково во всех направлениях, то куб из того же металла расширился бы как 1 к (1 + α)³, или как 1 к 1 + 3α + 3α² + α³. Когда α — очень малая величина, третий член 3α² будет незаметен, а тем более четвертый член α³. Коэффициенты расширения твердых тел на самом деле настолько малы и настолько неточно определены, что физики редко принимают во внимание их вторые и более высокие степени.

Результатом этих принципов является то, что все малые ошибки можно считать изменяющимися в простой пропорции к их причинам — это новая причина, почему при устранении ошибок мы должны прежде всего сделать их как можно меньшими. Предположим, что существует прямоугольный треугольник, у которого два катета, образующие прямой угол, имеют длины 3 и 4, так что гипотенуза равна √3² + 4² или 5. Теперь, если при двух измерениях первого катета мы совершим небольшие ошибки, сделав его последовательно 4,001 и 4,002, то расчет даст длины гипотенузы почти в точности 5,0008 и 5,0016, так что ошибка в гипотенузе будет казаться изменяющейся в простой пропорции к ошибке катета, хотя на самом деле это происходит не с идеальной точностью. Логарифм числа не изменяется пропорционально этому числу — тем не менее, мы обнаруживаем, что разность между логарифмами чисел 100000 и 100001 почти в точности равна разности между числами 100001 и 100002. Таким образом, общим правилом является то, что очень малые разности между последовательными значениями функции приблизительно пропорциональны малым разностям переменной величины.

На основе этих принципов легко составить ряд правил, подобных тем, что приведены у Кольрауша для выполнения вычислений в сокращенной форме, когда переменная величина очень мала по сравнению с единицей. Так, вместо 1 ÷ (1 + α) мы можем подставить 1 – α; вместо 1 ÷ (1 – α) мы можем поставить 1 + α; 1 ÷ √1 + α становится 1 – 1/2α и так далее.

Четыре значения равенства.

Хотя может показаться, что существует мало терминов, более свободных от двусмысленности, чем термин «равный», ученые все же используют его как минимум в четырех значениях, которые желательно различать. Эти значения я могу описать как

(1) Absolute Equality.
(2) Sub-equality.
(3) Apparent Equality.
(4) Probable Equality.

Под абсолютным равенством мы подразумеваем то, что является полным и совершенным в высшей степени; но очевидно, что мы можем знать о таком равенстве только теоретическим или гипотетическим образом. Площади двух треугольников, стоящих на одном основании и между одними и теми же параллелями, абсолютно равны. Гиппократ прекрасно доказал, что площадь луночки, или фигуры, заключенной между двумя сегментами кругов, абсолютно равна площади определенного прямоугольного треугольника. Как общее правило, все геометрические и другие элементарные математические теоремы включают абсолютное равенство.

Де Морган предложил описывать как субравные те величины, которые равны с точностью до бесконечно малой величины, так что x является субравным x + dx. Можно сказать, что дифференциальное исчисление возникает из пренебрежения бесконечно малыми величинами, и в математической науке, возможно, придется проводить другие тонкие различия между видами равенства, как показал Де Морган в примечательном мемуаре «О бесконечности и о знаке равенства».

Кажущееся равенство — это то, с чем имеет дело физическая наука. Те величины являются кажущимися равными, которые различаются лишь на незаметную величину. Для плотника все, что меньше сотой доли дюйма, не существует; мало найдется искусств или мастеров, для которых стотысячная доля дюйма имеет какое-либо значение. Поскольку всякое совпадение между физическими величинами оценивается тем или иным чувством, мы должны ограничиться знанием кажущегося равенства.

В действительности даже кажущегося равенства приходится ожидать редко. Чаще эксперименты дают лишь вероятное равенство, то есть результаты будут настолько близки друг к другу, что разницу можно приписать неважным возмущающим причинам. Физики часто принимают величины за равные при условии, что они попадают в пределы вероятной ошибки используемых процессов. Мы не можем ожидать, что наблюдения будут согласованы с теорией более тесно, чем они согласуются друг с другом, как заметил Ньютон в своих исследованиях относительно кометы Галлея.

Арифметика приближенных величин.

Учитывая, что почти все величины, с которыми мы имеем дело в физических и социальных науках, являются лишь приближенными, представляется желательным, чтобы при обучении арифметике уделялось внимание правильной интерпретации и обработке приближенных числовых данных. Нам, по-видимому, нужна нотация для выражения приближенности или точности десятичных чисел. Дробь 0,025 может означать либо в точности одну сороковую часть, либо она может означать что угодно между 0,0245 и 0,0255. Я предлагаю, чтобы, когда десятичная дробь дана полностью и точно, добавлялся маленький ноль или кружок, чтобы указать, что больше ничего не следует, как в 0,025°. Когда первая из отбрасываемых цифр десятичной дроби равна 5 или более, первая сохраняемая цифра должна быть увеличена на единицу, согласно правилу, одобренному Де Морганом и ныне общепризнанному. Чтобы указать, что таким образом сохраненная дробь больше истинного значения, в некоторых таблицах логарифмов над последней цифрой ставилась точка; но аналогичная точка используется для обозначения периода повторяющейся десятичной дроби, и поэтому я предложил бы использовать двоеточие после цифры; таким образом, 0,025: означало бы, что истинная величина лежит между 0,0245° и 0,025°, включая нижний, но не включая верхний предел. Когда дробь меньше истинного значения, можно было бы поставить две точки горизонтально, как в 0,025.., что означало бы любое значение между 0,025° и 0,0255°, не включая последнее.

Когда приближенные числа складываются, вычитаются, умножаются или делятся, определение степени точности результата становится делом некоторой сложности. Мало найдется людей, которые могли бы с ходу утверждать, что сумма приближенных чисел 34,70, 52,693, 80,1 равна 167,5 с погрешностью менее 0,07. Г-н Сандеман весьма обстоятельно проследил правила приближенной арифметики, и его указания заслуживают внимательного изучения. Третья часть превосходной книги Зонненшайна и Несбитта по арифметике полностью описывает все виды приближенных вычислений и показывает как то, как избежать ненужного труда, так и то, как должным образом учитывать неточность при операциях с приближенными десятичными дробями. Простое исследование этого предмета можно найти в «Элементарной алгебре» Сонне (Париж, 1848 г.), глава XIV, «Об абсолютных и относительных приближениях». Существует также американская работа по этому предмету.

Хотя точность измерений значительно продвинулась со времен Лесли, не будет лишним повторить его протест против недобросовестности, заключающейся в демонстрации десятичных дробей для придания большей степени точности, чем того требует и допускает природа случая. Я знал ученого, который регистрировал показания барометра с точностью до секунды времени, когда ближайшей четверти часа было бы вполне достаточно. Химики часто публикуют результаты анализа с точностью до десятитысячной или даже миллионной доли целого, когда по всей вероятности на используемые процессы нельзя положиться с точностью более чем до сотой доли. Редко бывает желательно приводить более одного знака сомнительной величины; но следует признать, что тонкое восприятие степени точности, возможной и желательной, необходимо для того, чтобы избежать недопонимания и ненужных вычислений, с одной стороны, и обеспечить всю достижимую точность, с другой стороны.

ГЛАВА XXII. КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ИНДУКЦИЯ.

Мы еще не рассматривали формально никакие процессы рассуждения, целью которых является раскрытие законов природы, выраженных в количественных уравнениях. Мы исследовали способы, которыми явление может быть измерено и, если это сложное явление, может быть разложено с помощью нескольких измерений на свои составные части. Мы также рассмотрели меры предосторожности, которые необходимо принимать при проведении наблюдений и экспериментов, чтобы мы знали, какие именно явления мы измеряем, но мы должны помнить, что никакое количество фактов и наблюдений само по себе не может составить науку. Числовые факты, как и другие факты, являются лишь сырым материалом знания, на который должны быть направлены наши способности рассуждения, чтобы извлечь из них принципы природы. Только с помощью обратного процесса рассуждения мы можем обнаружить математические законы, которым подчиняются изменяющиеся величины. С помощью хорошо проведенных экспериментов мы получаем ряд значений переменной и соответствующий ряд значений варианта, и теперь мы хотим знать, какой математической функцией является вариант по отношению к переменной. В обычном ходе развития науки на каждый важный количественный феномен должны быть даны ответы на три вопроса:

(1) Существует ли какая-либо постоянная связь между переменной и вариантом?

(2) Какова эмпирическая формула, выражающая эту связь?

(3) Какова рациональная формула, выражающая соответствующий закон природы?

Вероятная связь изменяющихся величин.

Мы находим у Милля утверждение, что «всякое явление, которое изменяется каким-либо образом всякий раз, когда другое явление изменяется каким-то определенным образом, является либо причиной, либо следствием этого явления, либо связано с ним через какой-то факт причинности». Это утверждение можно считать верным, если его интерпретировать с достаточной осторожностью; но в противном случае оно может привести нас к ошибке. В природе вещей нет абсолютно ничего, что препятствовало бы существованию двух изменений, которые, по-видимому, следуют одному и тому же закону, и при этом не имеют никакой связи друг с другом. Одна двойная звезда могла бы совершать обращение, которое, насколько мы могли бы судить, имело бы равный период с периодом другой двойной звезды, и согласно вышеуказанному правилу движение одной было бы причиной движения другой, что в действительности не было бы так. Две астрономические часы могли бы, теоретически, быть сделаны настолько близкими к совершенству, что в течение нескольких лет нельзя было бы обнаружить никакой разницы, и мы могли бы тогда сделать вывод, что движение одних часов является причиной или следствием движения других. Этот вопрос требует тщательного разграничения. Мы должны помнить, что непрерывные величины пространства, времени, силы и т. д., которые мы измеряем, состоят из бесконечного числа бесконечно малых единиц. Мы можем тогда столкнуться с двумя переменными явлениями, которые следуют законам, настолько близким, что ни в одной части изменений, доступных нашему наблюдению, нельзя обнаружить никакого расхождения. Я допускаю, что если бы можно было показать, что двое часов шли в точности одинаково в течение любого конечного интервала времени, вероятность того, что существует связь между их движениями, стала бы бесконечно высокой. Но мы никогда не сможем абсолютно доказать существование таких совпадений. Допустим, мы можем наблюдать разницу в одну десятую секунды в их времени, однако возможно, что они были независимо отрегулированы так, чтобы идти вместе с разницей менее этой величины времени. Короче говоря, потребовалось бы либо бесконечно долгое время наблюдения, либо бесконечно острые способности измерения расхождения, чтобы положительно решить, находятся ли двое часов в отношении друг с другом или нет.

Похожий вопрос фактически возникает в случае движения Луны. У нас нет записей о том, что какая-либо другая часть Луны когда-либо была видна людям, кроме той, которую мы видим сейчас. Этот факт достаточно доказывает, что в исторический период вращение Луны вокруг своей оси совпадало с ее обращением вокруг Земли. Доказывает ли это совпадение существование отношения причины и следствия? Ответ должен быть отрицательным, потому что могло существовать настолько незначительное расхождение между движениями, что еще не было времени для возникновения какого-либо заметного эффекта. Тем не менее, может существовать высокая вероятность связи.

Весь вопрос об отношении величин, таким образом, сводится к вопросу вероятности. Когда мы можем лишь грубо измерить количественный результат, мы можем придать лишь незначительное значение любому соответствию. Поскольку яркость двух звезд, по-видимому, изменяется одинаковым образом, нет значительной вероятности того, что они имеют какую-либо связь друг с другом. Если бы можно было показать, что их периоды изменения одинаковы с точностью до бесконечно малых величин, было бы достоверно, то есть бесконечно вероятно, что они связаны, как бы маловероятно это ни казалось по другим причинам. Общий способ оценки таких вероятностей идентичен тому, который применяется к другим индуктивным проблемам. То, что любые два периода изменения могли бы случайно стать абсолютно равными, бесконечно невероятно; следовательно, если бы в случае Луны или других движущихся тел мы могли доказать абсолютное совпадение, мы имели бы уверенность в связи. При приближенных измерениях, которые одни только и находятся в нашей власти, мы должны надеяться в лучшем случае на приближенную уверенность.

Принципы вывода и вероятности, согласно которым мы рассматриваем причины и следствия, изменяющиеся по величине, точно такие же, как те, с помощью которых мы рассматривали простые эксперименты. Непрерывная величина, однако, предоставляет нам бесконечно более обширную сферу наблюдения, потому что каждое различное количество причины, как бы мало оно ни отличалось, должно сопровождаться различным количеством следствия. Если мы можем измерить температуру с точностью до одной сотой градуса Цельсия, то между 0° и 100° у нас есть 10 000 возможных испытаний. Если точность наших измерений повысится, так что можно будет оценить одну тысячную долю градуса, наши испытания могут быть увеличены в десять раз. Вероятность связи будет пропорциональна точности наших измерений.

Когда мы можем изменять количество причины по своему желанию, легко обнаружить, обусловлен ли определенный эффект этой причиной или нет. Мы можем тогда производить столько нерегулярных изменений, сколько захотим, и совершенно невероятно, чтобы предполагаемый эффект случайно прошел через точно соответствующий ряд изменений, иначе как по причине зависимости. Если у нас есть звонок, звенящий в вакууме, звук усиливается, когда мы впускаем воздух, и снова уменьшается, когда мы откачиваем воздух. Поющие пламена Тиндаля явно подчинялись указаниям его собственного голоса; а Фарадей, когда он открыл связь магнетизма и света, обнаружил, что, замыкая, размыкая или меняя направление тока электромагнита, он имел полный контроль над лучом света, доказывая вне всяких разумных сомнений зависимость причины и следствия. В таких случаях именно идеальное совпадение во времени между изменением в следствии и изменением в причине создает высокую невероятность случайного совпадения.

Именно на простом примере изменения мы делаем вывод о существовании материальной связи между двумя телами, движущимися с точно одинаковой скоростью, такими как локомотив и следующий за ним поезд. Потребовались тщательные наблюдения, прежде чем астрономы смогли убедиться, что красные водородные пламена, видимые во время солнечных затмений, принадлежат Солнцу, а не атмосфере Луны, как предполагал Флемстид. Еще в 1706 году Станниан заметил кроваво-красную полосу во время затмения, которое он наблюдал в Берне, и он утверждал, что она принадлежит Солнцу; но его мнение не было окончательно установлено до тех пор, пока фотографии затмения 1860 года, сделанные г-ном Де ла Рю, не показали, что темное тело Луны постепенно закрывало красные протуберанцы с одной стороны и открывало их с другой; короче говоря, что эти протуберанцы двигались точно так же, как двигалось Солнце, а не так, как двигалась Луна.

Даже когда у нас нет средств для точного измерения переменных величин, мы все же можем быть убеждены в их связи, если одна всегда заметно изменяется в то же время, что и другая. Усталость возрастает с физическим напряжением; голод — с воздержанием от пищи; желание и степень полезности уменьшаются с количеством потребляемого товара. Мы знаем, что нагревающая способность Солнца зависит от его высоты над горизонтом; что температура воздуха падает при подъеме на гору; что земная кора оказывается заметно теплее по мере того, как мы углубляемся в шахты; мы делаем вывод о направлении, откуда исходит звук, по изменению громкости по мере того, как мы приближаемся или удаляемся. Легкость, с которой мы можем раз за разом наблюдать увеличение или уменьшение одной величины вместе с другой, достаточно показывает связь, хотя мы можем быть не в состоянии указать какой-либо точный закон отношения. Вероятность в таких случаях зависит от частого совпадения во времени.

Эмпирические математические законы.

Важно приобрести ясное понимание той роли, которую играют в научных исследованиях эмпирические формулы и законы. Если у нас есть таблица, содержащая определенные значения переменной и соответствующие значения варианта, существуют математические процессы, с помощью которых мы можем безошибочно обнаружить математическую формулу, дающую числа в более или менее точном согласии с таблицей. Мы можем, как правило, предположить, что величины будут приблизительно соответствовать закону вида

y = A + Bx + Cx²,

в котором x — переменная, а y — вариант. Мы можем затем выбрать из таблицы три значения y и соответствующие значения x; подставив их в уравнение, мы получим три уравнения, решением которых мы найдем значения A, B и C. Как общее правило, будет обнаружено, что полученная таким образом формула дает остальные числа таблицы с высокой степенью приближения.

Во многих случаях даже вторая степень переменной будет излишней; Реньо обнаружил, что результаты его тщательного исследования скрытой теплоты пара при различных давлениях представлены с достаточной точностью эмпирической формулой

λ = 606·5 + 0·305 t,

в которой λ — общая теплота пара, а t — температура. В других случаях может потребоваться включение третьей степени переменной. Так, физики предполагают, что закон расширения жидкостей имеет вид

δt = at + bt² + ct³,

и они вычисляют из результатов наблюдений значения трех констант a, b, c, которые обычно являются малыми величинами, не превышающими одной сотой части единицы, но требующими определения с большой точностью. Теоретически говоря, этот процесс эмпирического представления мог бы быть применен с любой степенью точности; мы могли бы включить еще более высокие степени в формулу и при достаточном труде получить значения констант, используя равное число экспериментальных результатов. Метод наименьших квадратов также может быть использован для получения наиболее вероятных значений констант.

Аналогичным образом все периодические изменения могут быть представлены с любой требуемой степенью точности формулами, включающими синусы и косинусы углов и их кратных. Форма любой приливной или другой волны может быть таким образом выражена, как объяснил сэр Дж. Б. Эйри. Почти все явления, регистрируемые метеорологами, носят периодический характер, и при освобождении от возмущающих причин могут быть воплощены в эмпирические формулы. Бессель дал правило, с помощью которого из любого регулярного ряда наблюдений мы можем, на принципе метода наименьших квадратов, вычислить с умеренным количеством труда формулу, выражающую изменение наблюдаемой величины наиболее вероятным образом. В метеорологии три или четыре члена обычно достаточны для представления любого периодического явления, но расчет может быть доведен до любой более высокой степени точности. Поскольку детали процесса были описаны Гершелем в его трактате по метеорологии, мне нет нужды вдаваться в них далее.

Читатель может поддаться искушению подумать, что в этих процессах вычисления у нас есть безошибочный метод открытия индуктивных законов и что мои предыдущие утверждения (гл. VII) о чисто пробном и обратном характере индуктивного процесса опровергнуты. Если бы действительно существовал какой-либо общий метод вывода законов из фактов, это опровергло бы мое утверждение, но следует тщательно заметить, что эти эмпирические формулы не совпадают с естественными законами. Они являются лишь приближениями к результатам естественных законов, основанными на общих принципах приближения. Уже было указано, что, как бы сложна ни была природа кривой, мы можем исследовать настолько малую ее часть или исследовать ее с помощью настолько грубых средств измерения, что ее отклонение от эллиптической кривой не будет очевидным. В качестве еще более грубого приближения часть прямой линии всегда послужит нашей цели; но если нам нужна более высокая точность, кривая третьей или четвертой степени почти наверняка будет достаточной. Теперь эмпирические формулы действительно представляют эти приближенные кривые, но они не дают нам никакой информации о точной природе самой кривой, к которой мы приближаемся. Мы не узнаем, какой функцией является вариант от переменной, но мы получаем другую функцию, которая в пределах наблюдения дает почти те же значения.

Открытие рациональных формул.

Давайте теперь перейдем к рассмотрению способов, которыми из числовых результатов мы можем установить фактическое отношение между количеством причины и количеством следствия. Что нам нужно, так это рациональная формула или функция, которая продемонстрирует причину или точную природу и происхождение рассматриваемого закона. Нет слова, которое математики использовали бы чаще, чем слово «функция», и все же трудно определить его значение с идеальной точностью. Первоначально оно означало исполнение или выполнение, будучи эквивалентным греческому λειτουργία или τέλεσμα. Математики сначала использовали его для обозначения любой степени величины, но впоследствии обобщили его так, чтобы оно включало «любую величину, сформированную каким-либо образом из другой величины». Любая величина, следовательно, которая зависит от другой величины и изменяется вместе с ней, может быть названа ее функцией, и любая из них может рассматриваться как функция другой.

Даны величины, нам нужна функция, значениями которой они являются. Простое наблюдение чисел не может, как общее правило, раскрыть функцию. В более ранней главе (стр. 124) я представил читателю определенные числа и попросил его указать закон, которому они подчиняются, и тот же вопрос придется задавать в каждом случае количественной индукции. Существует, возможно, три метода, более или менее различных, с помощью которых мы можем надеяться получить ответ:

(1) Путем чисто случайных проб.

(2) Путем наблюдения общего характера изменения величин и предпочтительного опробования функций, которые дают схожую форму изменения.

(3) Путем выведения из предыдущих знаний формы функции, которая наиболее вероятно подойдет.

Имея числовые результаты, мы всегда вольны изобрести любой вид математической формулы, какой нам нравится, а затем попробовать, можем ли мы, путем подходящего выбора значений для неизвестных постоянных величин, заставить ее дать требуемые результаты. Если мы когда-нибудь натолкнемся на формулу, которая делает это с достаточной степенью приближения, существует презумпция в пользу того, что она является истинной функцией, хотя в этом деле нет никакой уверенности. Таким образом я открыл простой математический закон, который тесно согласовывался с результатами моих экспериментов по мышечному усилию. Этот закон был впоследствии показан профессором Хотоном как истинный рациональный закон согласно его теории мышечного действия.

Но шанс добиться успеха таким образом невелик. Число возможных функций бесконечно, и даже число сравнительно простых функций настолько велико, что вероятность натолкнуться на правильную по чистой случайности очень мала. Даже когда мы получаем закон, это происходит путем дедуктивного процесса, не путем показа того, что числа дают закон, а того, что закон дает числа.

Во втором способе мы можем, путем обзора чисел, получить общее представление о том, какому закону они, вероятно, подчиняются, и нам может очень помочь в этом процессе изображение их в форме кривой. Мы можем таким образом установить с некоторой вероятностью, вернется ли кривая в себя или имеет бесконечные ветви; являются ли такие ветви асимптотическими, то есть бесконечно приближаются к прямым линиям; является ли она логарифмической по характеру или тригонометрической. Это, правда, мы можем сделать, только если помним результаты предыдущих исследований. Процесс остается обратно-дедуктивным и состоит в том, чтобы отметить, какие законы дают конкретные кривые, а затем сделать обратный вывод, что такие кривые принадлежат таким законам. Если мы можем таким образом обнаружить класс функций, к которому принадлежит требуемый закон, наши шансы на успех значительно возрастают, потому что наши случайные пробы теперь сведены в более узкую сферу. Но, если только перед нами не почти вся кривая, идентификация ее характера должна быть делом большой неопределенности; и если, как в большинстве физических исследований, у нас есть лишь фрагмент кривой, помощь, которую это дает, была бы совершенно иллюзорной. Кривые почти любого характера могут быть сделаны приближенными друг к другу на ограниченном протяжении, так что только своего рода прорицанием мы можем натолкнуться на фактическую функцию, если только у нас нет теоретического знания о виде функции, применимой к данному случаю.

Когда мы однажды получили то, что считаем правильной формой функции, остальная часть работы — это просто математическое вычисление, которое должно быть выполнено безошибочно согласно фиксированным правилам, которые включают те, что используются при определении эмпирических формул (стр. 487). Функция будет включать две, три или более неизвестных констант, значения которых нам нужно определить с помощью наших экспериментальных результатов. Выбирая некоторые из наших результатов, широко разнесенные и почти равноотстоящие, мы формируем с их помощью столько уравнений, сколько существует постоянных величин, подлежащих определению. Решение этих уравнений даст нам требуемые константы, и, имея теперь фактическую функцию, мы можем попробовать, дает ли она с достаточной точностью остальные наши экспериментальные результаты. Если нет, мы должны либо сделать новый выбор результатов, чтобы получить новый набор уравнений, и таким образом получить новый набор значений для констант, либо мы должны признать, что наша форма функции была выбрана неверно. Если оказывается, что форма функции была установлена правильно, мы можем рассматривать константы как лишь приближенно точные и можем приступить к использованию метода наименьших квадратов (стр. 393) для определения наиболее вероятных значений, как они даны всем совокупным набором экспериментальных результатов.

В большинстве случаев мы будем вынуждены вернуться к третьему способу, то есть к предвосхищению формы закона, ожидаемого на основании предыдущих знаний. Теория и аналогические рассуждения должны быть нашими проводниками. Общая природа явления часто будет указывать на вид закона, который следует искать. Если одна форма энергии или один вид вещества преобразуется в другой, мы можем ожидать закон прямой простой пропорции. В одном отдельном классе случаев эффект, уже произведенный, влияет на величину последующего эффекта, как, например, при охлаждении нагретого тела, когда закон будет иметь экспоненциальную форму. Когда направление силы влияет на ее действие, вступают в силу тригонометрические функции. Любое влияние, которое свободно распространяется через трехмерное пространство, будет подчиняться закону обратных квадратов расстояния. Из таких соображений мы можем иногда прийти дедуктивно и по аналогии к общей природе требуемого математического закона.

Графический метод.

При попытке обнаружить математический закон, которому подчиняются экспериментальные результаты, часто желательно призвать на помощь пространственные представления. Каждое уравнение, включающее две переменные величины, соответствует некоторому виду плоской кривой, и каждая плоская кривая может быть представлена символически в уравнении, содержащем две неизвестные величины. Теперь в экспериментальном исследовании мы получаем ряд значений варианта, соответствующих равному числу значений переменной; но все числа затронуты более или менее значительной ошибкой, и значения переменной часто будут расположены нерегулярно. Даже если бы числа были абсолютно правильными и расположены через регулярные интервалы, не существует, как мы видели, прямого способа обнаружения закона, но трудность открытия значительно возрастает из-за неопределенности и нерегулярности результатов.

При таких обстоятельствах лучший способ действий — подготовить бумагу, разделенную на равные прямоугольные пространства, причем удобный размер для пространств — одна десятая дюйма в квадрате. Значения переменной отмечаются на самой нижней горизонтальной линии, а точка отмечается для каждого соответствующего значения варианта перпендикулярно над значением переменной и на такой высоте, которая соответствует значению варианта.

Точный масштаб чертежа не имеет большого значения, но его, возможно, потребуется скорректировать в зависимости от обстоятельств, и часто приходится приписывать разные значения вертикальным и горизонтальным делениям, чтобы сделать изменения заметными, но не чрезмерными. Если кривая линия будет проведена через все точки или концы ординат, она, вероятно, будет демонстрировать нерегулярные изгибы из-за ошибок, которые затрагивают числа. Но когда результатов много, становится очевидным, какие результаты более отклоняются от других, и, руководствуясь так называемым чувством непрерывности, можно провести линию среди точек, которая будет приближаться к истинному закону ближе, чем сами точки. Сопровождающий рисунок достаточно объясняет сам себя.

Перкинс использовал этот графический метод с большой осторожностью при демонстрации результатов своих экспериментов по сжатию воды. Числовые результаты были отмечены на листе бумаги, очень точно расчерченном с интервалами в одну десятую дюйма, и первоначальные отметки были оставлены для того, чтобы читатель мог судить о правильности проведенной кривой или выбрать другую для себя. Реньо довел метод до совершенства, нанося точки с помощью винтового делительного двигателя; а затем он сформировал таблицу результатов, проведя непрерывную кривую и измерив ее высоту для равноотстоящих значений переменной. Кривая, проведенная таким образом, не только позволяет нам вывести числовые результаты, более свободные от случайных ошибок, чем любые числа, полученные непосредственно из эксперимента, но форма кривой иногда указывает на класс функций, к которому принадлежат наши результаты.

Гравированные листы бумаги, подготовленные для рисования кривых, можно получить у г-на Стэнфорда на Чаринг-Кросс, у Messrs. W. and A. K. Johnston из Лондона и Эдинбурга, Waterlow and Sons, Letts and Co. и, вероятно, у других издателей. Когда нам не требуется большая точность, бумага, расчерченная обычным машинным способом на равные квадраты со стороной около одной пятой или одной шестой дюйма, послужит достаточно хорошо. Я встречал записные книжки инженеров и геодезистов, расчерченные на квадраты со стороной в одну двенадцатую дюйма. Когда нужно нарисовать много кривых, я нашел лучшим расчертить хороший лист чертежной бумаги линиями, тщательно выверенными на наиболее удобных расстояниях, а затем проколоть точки кривой через него на другой лист, закрепленный под ним. Таким образом мы получаем точную кривую на чистом листе и должны лишь ввести такие разделительные линии, которые необходимы для понимания кривой.

В некоторых случаях наши числовые результаты будут соответствовать не высоте отдельных ординат, а площади кривой между двумя ординатами или средней высоте ординат между определенными пределами. Если мы измеряем, например, количества теплоты, поглощаемые водой при нагревании от 0° до 5°, от 5° до 10° и так далее, эти количества на самом деле будут представлены площадями кривой, обозначающей удельную теплоемкость воды; и поскольку удельная теплоемкость непрерывно изменяется между каждыми двумя точками температуры, мы не получим правильную кривую, просто откладывая количества теплоты при средних температурах, а именно 2 1/2°, 7 1/2° и так далее. Лорд Рэлей показал, что если мы нарисовали такую неверную кривую, мы можем без труда исправить ее простым геометрическим процессом и получить с близким приближением истинные ординаты вместо тех, которые обозначают площади.

Интерполяция и экстраполяция.

Когда мы получили путем эксперимента два или более числовых результата и пытаемся, без дальнейшего эксперимента, вычислить промежуточные результаты, мы называем это интерполяцией. Если мы хотим назначить путем рассуждения результаты, лежащие за пределами эксперимента, мы можем сказать, используя выражение сэра Джорджа Эйри, что мы экстраполируем. Эти две операции одинаковы в принципе, но различаются по практической осуществимости. Вопрос большой научной важности — точно понять, насколько далеко мы можем практиковать интерполяцию или экстраполяцию и на каких основаниях мы действуем.

Во-первых, если интерполяция должна быть чем-то большим, чем эмпирической, мы должны иметь не только экспериментальные результаты, но и законы, которым они подчиняются — мы должны, по сути, пройти через полный процесс научного исследования. Открыв законы природы, применимые к данному случаю, и проверив их, показав, что они согласуются с рассматриваемыми экспериментами, мы затем находимся в положении, позволяющем предвидеть результаты подобных экспериментов. Наше знание даже сейчас не является достоверным, потому что мы не можем полностью доказать истинность любого предполагаемого закона, и мы не можем возможно исчерпать все обстоятельства, которые могут повлиять на результат. В лучшем случае, следовательно, наши интерполяции будут разделять недостаток уверенности и точности, присущий всему нашему знанию природы. Тем не менее, имея предполагаемые законы, наши результаты будут столь же верными и точными, как любые, которых мы можем достичь. Но такая полная процедура — это больше, чем то, что мы обычно подразумеваем под интерполяцией, которая обычно обозначает какой-то метод оценки лишь приближенным образом результатов, которые можно было бы ожидать независимо от теоретического исследования.

Рассматриваемая в этом свете, интерполяция в действительности является неопределенной задачей. Из данных значений функции невозможно определить эту функцию; ибо мы можем изобрести бесконечное число функций, которые дадут эти значения, если мы не ограничены никакими условиями, точно так же, как через данный ряд точек мы можем провести бесконечное число кривых, если мы можем отклоняться между точками или за их пределами в изгибы и точки возврата, как нам заблагорассудится. При интерполяции мы должны, по сути, руководствоваться более или менее априорными соображениями; мы должны знать, например, следует ли ожидать периодических колебаний или нет. Предполагая, что явление непериодическое, мы переходим к допущению, что функция может быть выражена в ограниченном ряде степеней переменной. Число степеней, которые могут быть включены, зависит от числа доступных экспериментальных результатов и должно быть по крайней мере на единицу меньше этого числа. Путем процессов вычисления, о которых уже упоминалось в разделе об эмпирических формулах, мы затем вычисляем коэффициенты степеней и получаем эмпирическую формулу, которая даст требуемые промежуточные результаты. В действительности, следовательно, мы возвращаемся к методам, рассмотренным под заголовком приближения и эмпирических формул; и интерполяция, как ее обычно понимают, состоит в допущении, что кривая простого характера должна пройти через определенные установленные точки. Если у нас есть, например, два экспериментальных результата, и только два, мы предполагаем, что кривая — это прямая линия; ибо параболы, которые могут быть проведены через две точки, бесконечно разнообразны по величине и совершенно неопределенны. Одна прямая линия может пройти через две точки, и она будет иметь уравнение вида y = mx + n, постоянные величины которого могут быть определены из двух результатов. Таким образом, если два значения для x, 7 и 11, дают значения для y, 35 и 53, решение двух уравнений дает y = 4,5 × x + 3,5 в качестве уравнения, и для любого другого значения x, например 10, мы получаем значение y, то есть 48,5. Когда мы берем среднее значение x, а именно 9, этот процесс дает простое среднее значение, а именно 44. Поскольку даны три экспериментальных результата, мы предполагаем, что они лежат на части параболы, и алгебраический расчет дает положение любой промежуточной точки на параболе. Относительно процесса интерполяции, как он практикуется в науке метеорологии, читатель найдет некоторые указания во французском издании «Метеорологии» Кемца.

Когда у нас есть, либо путем прямого эксперимента, либо с помощью кривой, ряд значений варианта для равноотстоящих значений переменной, поучительно взять разности между каждым значением варианта и следующим, а затем разности между этими разностями и так далее. Если какой-либо ряд разностей приближается близко к нулю, это указание на то, что числа могут быть правильно представлены конечной эмпирической формулой; если n-е разности равны нулю, то формула будет содержать только первые n - 1 степеней переменной. Действительно, мы можем иногда получить с помощью исчисления разностей правильную эмпирическую формулу; ибо если p — первый член ряда значений, а Δp, Δ²p, Δ³p — первое число в каждом столбце разностей, то m-й член ряда значений будет

p + mΔp + m m – 1/2 Δ²p  + m m – 1/2 m – 2/3 Δ³p + &c.

Близко эквивалентная, но более практичная формула для интерполяции по разностям, разработанная Лагранжем, будет найдена в «Элементах натуральной философии» Томсона и Тэта, стр. 115.

Если ни один столбец разностей не показывает никакой тенденции стать равным нулю на всем протяжении, это указание на то, что закон имеет более сложный, например, экспоненциальный характер, так что он требует иного подхода. Д-р Дж. Хопкинсон предложил метод арифметической интерполяции, который предназначен для того, чтобы избежать многого, что является произвольным в графическом методе. Его процесс даст одинаковые результаты в любых руках.

Насколько мы можем сделать вывод о результатах, которые, вероятно, будут получены путем изменений за пределами пределов эксперимента, мы должны действовать на тех же принципах. Если возможно, мы должны обнаружить точные действующие законы, а затем доверять им как руководству, когда у нас нет опыта. Если нет, эмпирическая формула того же характера, что и те, которые используются при интерполяции, — наш единственный ресурс. Но расширять наш вывод далеко за пределы опыта чрезвычайно небезопасно. Наше знание в лучшем случае лишь приблизительно и не принимает во внимание малые тенденции. Теперь обычно случается, что тенденции, малые в пределах наших наблюдений, становятся заметными или значительными при экстремальных обстоятельствах. Когда переменная в нашей эмпирической формуле мала, мы оправданы в том, что пренебрегаем более высокими степенями и берем только две или три низшие степени. Но по мере того, как переменная увеличивается, более высокие степени приобретают значение и со временем дают основную часть значения функции.

Это не просто теоретический вывод. За исключением немногих первичных законов природы, таких как закон гравитации, сохранения энергии и т. д., едва ли существует какой-либо естественный закон, которому мы можем доверять в обстоятельствах, сильно отличающихся от тех, с которыми мы практически знакомы. Из расширения или сжатия, плавления или испарения веществ под действием тепла на поверхности Земли мы можем составить самое несовершенное представление о том, что произошло бы вблизи центра Земли, где давление почти бесконечно превышает все возможное в наших экспериментах. Физика Земли дает нам слабое и, вероятно, вводящее в заблуждение представление о таком теле, как Солнце, в котором невообразимо высокая температура соединена с невообразимо высоким давлением. Если в просторах космоса существуют туманности, состоящие из раскаленных и неокисленных паров металлов и других элементов, возможно, настолько сильно нагретых, что химический состав исключен, мы едва ли способны рассматривать их как объекты научного вывода. Отсюда возникает великая важность экспериментов, в которых мы исследуем свойства веществ при экстремальных обстоятельствах холода или жары, плотности или разреженности, интенсивного электрического возбуждения и т. д. Эта ненадежность в расширении наших выводов возникает из-за приближенного характера наших измерений. Если бы мы имели способность оценивать бесконечно малые величины, мы бы по принципу непрерывности обнаружили некоторый след каждого изменения, которое вещество могло бы претерпеть при недостижимых обстоятельствах. Наблюдая, например, упругость водяного пара между 0° и 100° C, мы теоретически должны были бы иметь возможность сделать вывод о его упругости при любой другой температуре; но это практически исключено, потому что мы не можем действительно точно установить закон между этими температурами.

Можно привести множество примеров того, что законы, которые, по-видимому, правильно отражают результаты экспериментов в определенных пределах, полностью перестают действовать за их пределами. Эксперименты Роско и Дитмара по поглощению газов водой дают интересные иллюстрации, особенно в случае с соляной кислотой, количество которой, растворяющееся в воде при различных давлениях, очень точно следует линейному закону изменения, от которого, однако, оно сильно отклоняется при низких давлениях. Гершель, выведя из наблюдений двойной звезды γ Девы эллиптическую орбиту движения одного компонента вокруг центра тяжести обоих, обнаружил, что в течение некоторого времени движение звезды очень хорошо согласуется с этой орбитой. Тем не менее, начало проявляться расхождение, и со временем оно стало настолько значительным, что в конечном итоге пришлось принять совершенно новую орбиту, размеры которой более чем вдвое превышали размеры старой.

Иллюстрации эмпирических количественных законов.

Хотя наша цель в количественном исследовании состоит в том, чтобы открыть точные или рациональные формулы, выражающие законы, применимые к предмету, поучительно наблюдать, в сколь многих важных отраслях науки до сих пор не обнаружено точных законов. Упругость водяного пара при различных температурах была определена рядом выдающихся экспериментаторов — Дальтоном, Кемцем, Дюлонгом, Араго, Магнусом и Реньо, — причем последним измерения проводились с исключительной тщательностью. И все же не было установлено никакого бесспорного общего закона. Было предложено несколько функций для выражения упругой силы пара в зависимости от температуры. Первая форма — это форма Юнга, а именно F = (a + bt)^m, в которой a, b и m — неизвестные величины, подлежащие определению путем наблюдения. Рош предложил на теоретических основаниях сложную формулу экспоненциального вида, а третья форма функции — это форма Био, а именно: log F = a + bα^t + cβ^t. Я упоминаю эти формулы, потому что они хорошо иллюстрируют слабые возможности эмпирического исследования. Ни одна из формул не может быть приведена в точное соответствие с результатами экспериментов, а две последние формы соответствуют им почти одинаково хорошо. Существует очень мало вероятности того, что истинный закон был найден, и маловероятно, что он будет открыт иначе, как путем дедукции из механической теории.

Много изобретательного труда было потрачено на открытие какого-либо общего закона атмосферной рефракции. Тихо Браге и Кеплер начали это исследование: Кассини первым составил таблицу рефракций, рассчитанную на теоретических основаниях: Ньютон углубился в некоторые глубокие исследования по этому предмету: Брук Тейлор, Бугер, Симпсон, Брэдли, Майер и Крамп последовательно занимались этим вопросом, который имеет высочайшее практическое значение в отношении коррекции астрономических наблюдений. Лаплас затем работал над этим предметом, не исчерпав его, и Бринкли с Айвори также рассматривали его. Истинный закон до сих пор не открыт. Тесно связанная с этим проблема, касающаяся соотношения между давлением и высотой в различных слоях атмосферы, привлекла внимание длинной череды физиков и была наиболее тщательно исследована Лапласом. И все же не было обнаружено никакого неизменного и общего закона. То же самое можно сказать и о законе смертности людей; имеются обильные статистические данные по этому вопросу, и было выдвинуто много более или менее удовлетворительных гипотез относительно формы кривой смертности, но, по-видимому, невозможно обнаружить ничего, кроме приблизительного закона.

Можно, пожалуй, утверждать, что в таких предметах нельзя ожидать единого неизменного закона. Атмосферу можно разделить на несколько переменных слоев, которые своими несвязанными изменениями расстраивают точные расчеты астрономов. Человеческая жизнь может быть подвержена в разном возрасте ряду различных влияний, не поддающихся сведению к какому-либо одному закону. Наблюдаемые результаты могут, по сути, быть совокупностями огромного числа отдельных результатов, каждый из которых управляется своими собственными отдельными законами, так что предметы могут быть сложными сверх возможности полного разрешения эмпирическими методами. Это, безусловно, верно в отношении математических функций, которые рано или поздно должны быть введены в науку политической экономии.

Простое пропорциональное изменение.

Когда мы впервые рассматриваем численные результаты в каком-либо новом виде исследования, наше впечатление, вероятно, будет заключаться в том, что одна величина изменяется в простой пропорции к другой, подчиняясь закону y = mx + n. Мы должны научиться тщательно различать случаи, когда эта пропорциональность является действительно истинной, и случаи, когда она является лишь кажущейся. Рассматривая принципы аппроксимации, мы обнаружили, что небольшая часть любой кривой будет казаться прямой линией. Когда наши способы измерения сравнительно грубы, мы должны ожидать, что будем не в состоянии обнаружить кривизну. Кеплер предпринял похвальные попытки открыть закон рефракции, и он приблизился к нему, когда заметил, что углы падения и преломления, если они малы, находятся в постоянном отношении друг к другу. Углы, когда они малы, почти равны своим синусам, так что он пришел к приблизительному результату истинного закона. Кардано предположил, вероятно, просто наугад, что сила, необходимая для удержания тела на наклонной плоскости, просто пропорциональна углу наклона плоскости. Это приблизительно так, когда угол мал, но в действительности закон гораздо сложнее, так как требуемая сила пропорциональна синусу угла. Ранние изготовители термометров не знали, пропорционально ли расширение ртути сообщаемому ей теплу, и только в нынешнем столетии мы узнали, что это не так. Мы теперь знаем, что даже газы подчиняются закону равномерного расширения от тепла лишь приблизительно. Пока не доказано обратное, нам следует рассматривать каждый закон простой пропорции как лишь условно истинный.

Тем не менее, многие важные законы природы имеют форму простых пропорций. Везде, где причина действует независимо от своих предыдущих следствий, мы можем ожидать такого отношения. Ускоряющая сила действует одинаково на движущееся и на неподвижное тело. Следовательно, создаваемая скорость находится в простой пропорции к силе и к продолжительности ее равномерного действия. Поскольку тяготеющие тела никогда не мешают гравитации друг друга, эта сила находится в прямой простой пропорции к массе каждого из притягивающихся тел, причем масса измеряется инерцией или пропорциональна ей. Аналогично, во всех случаях «прямого беспрепятственного действия», как заметил Гершель, мы можем ожидать, что проявится простая пропорция. В таких случаях уравнение, выражающее отношение, может иметь простую форму y = mx.

Подобное отношение справедливо, когда происходит превращение одного вещества или формы энергии в другую. Количество соединения равно количеству элементов, которые соединяются. Теплота, возникающая при трении, точно пропорциональна поглощенной механической энергии. Фарадеем было экспериментально доказано, что «химическая сила электрического тока находится в прямой пропорции к количеству прошедшего электричества». Когда создается электрический ток, количество электрической энергии просто пропорционально весу растворенного металла. Если электричество превращается в тепло, снова возникает простая пропорция. Везде, по сути, где одна вещь является лишь другой вещью в новом аспекте, мы можем ожидать найти закон простой пропорции. Но только в самых элементарных случаях это простое отношение будет оставаться истинным. Простые условия, вообще говоря, не производят простых результатов. Планеты движутся по приблизительным кругам вокруг Солнца, но видимые движения, если смотреть с Земли, очень разнообразны. Все эти движения, опять же, суммируются в законе гравитации, не отличающемся большой сложностью; однако люди никогда не были и никогда не будут способны исчерпать сложности действия и противодействия, возникающие из этого закона, даже среди небольшого числа планет. Нам следует остерегаться тенденции предполагать, что связь причины и следствия является отношением прямой пропорции. Бэкон напоминает нам о женщине из басни Эзопа, которая ожидала, что ее курица при двойной порции ячменя будет нести два яйца в день вместо одного, тогда как она растолстела и перестала нести яйца вовсе. Мудрая максима гласит, что половина часто лучше целого.

ГЛАВА XXIII. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГИПОТЕЗЫ.

Если взгляды, отстаиваемые в этой работе, верны, то все индуктивное исследование состоит в соединении гипотезы и эксперимента. Когда факты находятся в нашем распоряжении, мы создаем гипотезу для объяснения их отношений, и по успеху этого объяснения следует судить о ценности гипотезы. При изобретении и обработке таких гипотез мы должны пользоваться всем уже накопленным корпусом науки, и как только мы получили вероятную гипотезу, мы не должны останавливаться, пока не проверим ее путем сравнения с новыми фактами. Мы должны стремиться путем дедуктивного рассуждения предвидеть такие явления, особенно те, которые носят единичный и исключительный характер, которые произошли бы, если бы гипотеза была верна. Из бесконечного числа возможных экспериментов теория должна побудить нас выбрать те критические, которые подходят для подтверждения или опровержения наших ожиданий.

Эта работа индуктивного исследования не может направляться какой-либо системой точных и непогрешимых правил, подобных правилам дедуктивного рассуждения. На самом деле нет ничего, к чему мы могли бы применить правила метода, потому что законы природы должны быть в нашем распоряжении, прежде чем мы сможем их обрабатывать. Если бы существовало какое-либо правило индуктивного метода, оно направило бы нас к исчерпывающему упорядочению фактов во всех возможных порядках. Имея образцы в музее, мы могли бы прийти к наилучшей классификации, систематически перебирая все возможные классификации, и, если бы мы были наделены бесконечным временем и терпением, это был бы эффективный метод. Это метод, с помощью которого делаются первые простые шаги в зарождающейся отрасли науки. Прежде чем к ней можно будет применить достойное название науки, некоторые совпадения сами собой навяжутся вниманию. До появления науки метеорологии наблюдательные люди научились связывать чистоту атмосферы с приближающимся дождем, а бесцветный закат — с хорошей погодой. Знание такого рода называется эмпирическим, поскольку оно, по-видимому, исходит непосредственно из опыта; и существует значительная часть знаний, которые носят этот характер.

Мы можем быть вынуждены полагаться на случайное обнаружение совпадений в тех областях знаний, где мы лишены помощи каких-либо направляющих понятий; но небольшое размышление покажет полную недостаточность случайного эксперимента при применении к исследованиям сложного характера. В лучшем случае это будет простое тождество или частичное тождество классов, как проиллюстрировано на страницах 127 или 134, которые могут быть таким образом обнаружены. Было указано, что даже когда закон природы включает только два обстоятельства и существует сто различных обстоятельств, которые могут быть связаны, будет не менее 4950 пар обстоятельств, между которыми может существовать совпадение. Когда закон включает три или более обстоятельств, возможное число отношений становится значительно больше. При рассмотрении предмета комбинаций и перестановок стало очевидно, что мы никогда не сможем справиться с возможным разнообразием природы. Исчерпывающее исследование возможных металлических сплавов или химических соединений оказалось невозможным (стр. 191).

Именно на таких соображениях мы можем объяснить очень малые приращения к нашим знаниям, сделанные алхимиками. Многие из них были людьми величайшей проницательности, и их неутомимые труды продолжались на протяжении многих веков. Несколько вещей было ими открыто, но истинное понимание природы теперь позволяет химикам открывать больше полезных фактов за год, чем было получено алхимиками за многие века. Нет сомнений, что Ньютон был алхимиком и что он часто работал день и ночь над алхимическими экспериментами. Но при попытке открыть секрет, с помощью которого неблагородные металлы могли бы стать благородными, его высокие способности к дедуктивному исследованию были совершенно бесполезны. Лишенные всех направляющих ключей, его эксперименты были, как и у всех алхимиков, чисто пробными и случайными. В то время как его гипотетические и дедуктивные исследования дали нам истинную систему Вселенной и открыли путь почти во всех великих отраслях естественной философии, все результаты его пробных экспериментов заключены в нескольких удачных догадках, приведенных в его знаменитых «Вопросах».

Даже когда мы заняты, казалось бы, пассивным наблюдением явления, которое мы не можем модифицировать экспериментально, выгодно, чтобы наше внимание направлялось теоретическими ожиданиями. Явление, которое кажется простым, по всей вероятности, на самом деле сложно, и если ум активно не занят поиском конкретных деталей, вполне вероятно, что критические обстоятельства будут упущены. Бессель сожалел, что никакая четкая теория строения комет не направляла его наблюдения за кометой Галлея; при попытке подтвердить или опровергнуть гипотезу не только был бы шанс установить истинную теорию, но, если бы она была опровергнута, опровержение включало бы в себя запас полезных наблюдений.

Было бы интересной работой, но такой, которую я не могу предпринять, проследить постепенную реакцию, которая произошла в последнее время против чисто эмпирической или бэконовской теории индукции. Фрэнсис Бэкон, видя тщетность схоластической логики, которая долгое время была доминирующей, утверждал, что накопление фактов и упорядоченная абстракция аксиом или общих законов из них составляют истинный метод индукции. Даже Бэкон не был полностью не осведомлен о ценности гипотетического предвосхищения. В одном или двух местах он попутно признает это, например, когда замечает, что тонкость природы превосходит тонкость разума, добавляя, что «аксиомы, абстрагированные от частных фактов тщательным и упорядоченным образом, легко подсказывают и намечают новые частности».

Тем не менее, метод Бэкона, насколько мы можем уловить смысл основных частей его сочинений, соответствовал бы процессу эмпирического сбора фактов и их исчерпывающей классификации, на который я ссылался. Ценность этого метода можно оценить исторически по тому факту, что ему не следовал никто из великих мастеров науки. Смотрим ли мы на Галилея, который предшествовал Бэкону, на Гильберта, его современника, или на Ньютона и Декарта, Лейбница и Гюйгенса, его преемников, мы обнаруживаем, что открытие было достигнуто методом, противоположным тому, который отстаивал Бэкон. Во всех трудах Ньютона, как я покажу, мы находим дедуктивное рассуждение совершенно преобладающим, а эксперименты используются, как и должно быть, для подтверждения или опровержения гипотетических предвосхищений природы. В моих «Элементарных уроках логики» (стр. 258) я выразил свою веру в то, что в трудах Ньютона нет никакого упоминания о Бэконе. С тех пор я обнаружил, что Ньютон один или два раза использует выражение experimentum crucis в своей «Оптике», но это единственное выражение, насколько мне известно, которое могло бы указывать на прямое или косвенное знакомство Ньютона с сочинениями Бэкона.

Другие великие физики того же века были в равной степени склонны к использованию гипотез, а не к слепому накоплению фактов в бэконовской манере. Гук решительно утверждает в своей посмертной работе о философском методе, что первым требованием к естествоиспытателю является готовность угадывать решение явлений и задавать вопросы. «Он должен быть очень хорошо знаком с теми несколькими видами философии, которые уже известны, чтобы понимать их различные гипотезы, предположения, коллекции, наблюдения и т. д., их различные способы рассуждений и действий, различные недостатки и дефекты, как в их способе построения, так и в их способе управления своими различными теориями: ибо таким образом ум будет несколько более готов к угадыванию решения многих явлений почти с первого взгляда, и тем самым будет гораздо более оперативен в задавании вопросов, и в прослеживании тонкости Природы, и в открытии и исследовании истинной причины вещей».

Мы находим Хоррокса, опять же, чем никто не был более наполнен научным духом, рассказывающим нам, как он пробовал теорию за теорией, чтобы обнаружить ту, которая соответствовала движениям Марса. Гюйгенс, обладавший одним из самых совершенных философских умов, следовал дедуктивному процессу в сочетании с постоянным обращением к эксперименту, с мастерством, тесно аналогичным мастерству Ньютона. Что касается Декарта и Лейбница, то они впали в крайность в использовании гипотезы, поскольку иногда принимали гипотетическое рассуждение, исключая экспериментальную проверку. На протяжении всего восемнадцатого века предполагалось, что наука продвигается путем следования методу Бэкона, но в действительности гипотетическое исследование было главным инструментом прогресса. Только в нынешнем столетии физики начали осознавать эту истину. Столько позора было приписано Бэконом использованию гипотез, что мы находим Юнга, говорящего о них в извиняющемся тоне. «Практика выдвижения общих принципов и применения их к частным случаям настолько далека от того, чтобы быть фатальной для истины во всех науках, что, когда эти принципы выдвигаются на достаточных основаниях, она составляет сущность истинной философии»; и он приводит случаи, в которых Дэви доверял своим теориям больше, чем своим экспериментам.

Гершель, который был одновременно практическим физиком и абстрактным логиком, питал глубочайшее уважение к Бэкону и сделал «Novum Organum» насколько возможно основой своего собственного замечательного «Рассуждения об изучении естественной философии». Тем не менее, мы находим его в главе VII признающим ту роль, которую формирование и проверка теорий играет в более высоких и общих исследованиях физической науки. Дж. С. Милль продолжил реакцию, описав дедуктивный метод, в котором рациоцинация, то есть дедуктивное рассуждение, используется для открытия новых возможностей проверки и верификации гипотезы. Тем не менее, во всех остальных частях своей системы он выступал против ценности дедуктивного процесса и даже утверждал, что эмпирический вывод от частного к частному является истинным типом рассуждения. Ирония судьбы, вероятно, решит, что самая оригинальная и ценная часть «Системы логики» Милля несовместима с теми взглядами на силлогизм и природу вывода, которые занимают основную часть трактата и, как говорят, произвели революцию в логической науке. Милль был бы избавлен от большой путаницы в мыслях, если бы не упустил из виду, что обратное использование дедукции составляет индукцию. В последние годы профессор Хаксли решительно настаивал на ценности гипотезы. Когда он выступает за использование «рабочих гипотез», он, несомненно, имеет в виду, что любая гипотеза лучше, чем никакой, и что мы не можем избежать того, чтобы руководствоваться в наших наблюдениях той или иной гипотезой. Взгляды профессора Тиндаля на использование воображения в поисках науки представляют ту же истину в другом свете.

Следует отметить, что Нил в своем «Искусстве рассуждения», популярном, но способном изложении принципов логики, опубликованном в 1853 году, полностью признает в главе XI ценность и положение гипотезы в открытии истины. Он также пытается показать (стр. 109), что Фрэнсис Бэкон не возражал против использования гипотезы.

Истинный ход индуктивной процедуры — это тот, который принес все более высокие результаты науки. Он состоит в «Предвосхищении Природы» в смысле формирования гипотез относительно законов, которые, вероятно, действуют; а затем в наблюдении, являются ли комбинации явлений такими, какие последовали бы из предполагаемых законов. Исследователь начинает с фактов и заканчивает ими. Он использует факты, чтобы предложить вероятные гипотезы; дедуцируя другие факты, которые произошли бы, если бы конкретная гипотеза была верна, он приступает к проверке истинности своего понятия путем новых наблюдений. Если какой-либо результат оказывается отличным от того, что он ожидает, это побуждает его изменить или отказаться от своей гипотезы; но каждый новый факт может дать некоторое новое предположение относительно действующих законов. Даже если результат в каком-либо случае согласуется с его ожиданиями, он не рассматривает его как окончательно подтверждающий его теорию, а приступает к проверке истинности теории путем новых дедукций и новых испытаний.

В таком процессе исследователю помогает весь корпус науки, накопленный ранее. Он может использовать аналогию, как я укажу, чтобы направлять его в выборе гипотез. Многочисленные связи между одной наукой и другой дают ему ключи к тому, какие законы следует ожидать, и из бесконечного числа возможных гипотез он выбирает те, которые, насколько можно предвидеть в данный момент, являются наиболее вероятными. Каждый эксперимент, который он проводит, поэтому является тем, который с наибольшей вероятностью прольет свет на его предмет, и даже если он расстраивает его первые взгляды, он имеет тенденцию дать ему в руки правильный ключ.

Требования к хорошей гипотезе.

Нетрудно указать, какому условию должна соответствовать гипотеза, чтобы быть принятой как вероятная и обоснованная. Это условие, как я полагаю, является единственным — позволить нам сделать вывод о существовании явлений, которые встречаются в нашем опыте. Согласие с фактом является единственным и достаточным критерием истинной гипотезы.

Гоббс назвал два условия, которые он считает необходимыми в гипотезе, а именно: (1) Что она должна быть мыслимой и не абсурдной; (2) Что она должна допускать, чтобы явления были необходимо выведены. Бойль, замечая взгляды Гоббса, предложил добавить третье условие, к тому эффекту, что гипотеза не должна быть несовместимой с какой-либо другой истиной или явлением природы. Я думаю, что из этих трех условий первое не может быть принято, если только под «немыслимым» и «абсурдным» мы не подразумеваем самопротиворечивое или несовместимое с законами мышления и природы. Мне придется указать, что некоторые удовлетворительные теории включают предположения, которые являются совершенно «немыслимыми» в определенном смысле этого слова, потому что ум не может достаточно расширить свои идеи, чтобы сформировать понятие о действиях, которые, как предполагается, происходят. То, что сила гравитации должна действовать мгновенно между самыми отдаленными частями планетной системы, или что луч фиолетового света должен состоять из около 700 миллиардов колебаний в секунду, являются утверждениями немыслимого и абсурдного характера в одном смысле; но они настолько далеки от того, чтобы противоречить факту, что мы не можем ни на каких других предположениях объяснить наблюдаемые явления. Но если гипотеза содержит самопротиворечие или несовместима с известными законами природы, она сама себя осуждает. Мы не можем даже применить дедуктивное рассуждение к самопротиворечивому понятию; и, будучи противопоставленной самым общим и достоверным законам, известным нам, первичным законам мышления, она тем самым заметно не согласуется с фактами. Поскольку природа, опять же, никогда не бывает самопротиворечивой, мы не можем одновременно принять две теории, которые ведут к противоречивым результатам. Если одна согласуется с природой, другая не может. Следовательно, если существует закон, в который мы верим с высокой вероятностью, что он подтверждается наблюдением, мы не должны строить гипотезу, конфликтующую с ним, иначе гипотеза неизбежно будет в несогласии с наблюдением. Поскольку никакой закон или гипотеза, действительно, не доказаны с абсолютной достоверностью, всегда есть шанс, пусть и небольшой, что новая гипотеза может вытеснить старую; но чем большую вероятность мы приписываем этой старой гипотезе, тем больше должны быть доказательства, требуемые в пользу новой и конфликтующей с ней.

Я утверждаю, следовательно, что существует только один критерий хорошей гипотезы, а именно: ее соответствие наблюдаемым фактам; но это условие можно сказать, включает три составных условия, почти эквивалентных тем, что предложены Гоббсом и Бойлем, а именно:

(1) Что она допускает применение дедуктивного рассуждения и вывод следствий, способных к сравнению с результатами наблюдения.

(2) Что она не конфликтует с какими-либо законами природы или разума, которые мы считаем истинными.

(3) Что выведенные следствия согласуются с фактами наблюдения.

Возможность дедуктивного рассуждения.

Поскольку истинность гипотезы должна быть доказана ее соответствием факту, первое условие состоит в том, чтобы мы были способны применять методы дедуктивного рассуждения и узнавать, что должно произойти согласно такой гипотезе. Даже если бы мы могли представить объект, действующий согласно законам, до сих пор совершенно неизвестным, было бы бесполезно делать это, потому что мы никогда не смогли бы решить, существует он или нет. Мы можем только вывести, что произошло бы при предполагаемых условиях, применяя знание природы, которым мы обладаем, к этим условиям. Следовательно, как верно сказал Бошкович, мы должны понимать под гипотезами «не фикции, совершенно произвольные, а предположения, сообразующиеся с опытом или аналогией». Из этого следует, что каждая гипотеза, достойная рассмотрения, должна предполагать некоторое сходство, аналогию или общий закон, действующий в двух или более вещах. Если, чтобы объяснить определенные факты a, a', a'' и т. д., мы изобретаем причину A, то мы должны в некоторой степени апеллировать к опыту относительно того, каким образом A будет действовать. Поскольку законы природы не известны уму интуитивно, мы должны указать на некоторую другую причину B, которая предоставляет необходимые понятия, и все, что мы делаем, — это изобретаем четвертый член аналогии. Как B относится к своим эффектам b, b', b'' и т. д., так и A относится к своим эффектам a, a', a'' и т. д. Когда мы пытаемся объяснить прохождение излучений света и тепла через пространство, не занятое материей, мы воображаем существование так называемого эфира. Но если бы этот эфир был совершенно отличен от всего остального, известного нам, мы тщетно пытались бы рассуждать о нем. Мы должны применить к нему по крайней мере законы движения, то есть мы должны в такой степени уподобить его материи. И как, применяя эти законы к упругой среде воздуху, мы способны вывести явления звука, так, рассуждая подобным образом об эфире, мы способны вывести существование световых явлений, соответствующих тому, что действительно происходит. Все, что мы делаем, — это берем упругое вещество, увеличиваем его упругость безмерно и лишаем его гравитации и некоторых других свойств материи, но мы должны сохранить достаточное сходство с материей, чтобы допустить дедуктивные расчеты.

Сила гравитации в некоторых отношениях является непостижимым существованием, но в других отношениях полностью сообразуется с опытом. Мы наблюдаем, что сила пропорциональна массе и что она действует в полной независимости от другой материи, которая может присутствовать или находиться между ними. Закон убывания интенсивности по мере увеличения квадрата расстояния наблюдается как справедливый для света, звука и других влияний, исходящих из точки и распространяющихся равномерно через пространство. Закон, несомненно, связан со свойствами пространства и в этой мере согласуется с нашими необходимыми идеями.

Можно, однако, сказать, что никакая гипотеза не может быть даже сформирована в уме, если она не более или менее сообразуется с опытом. Поскольку материал наших идей происходит из ощущения, мы не можем представить себе никакого агента, кроме как наделенного некоторыми свойствами материи. Все, что ум может сделать при создании новых существований, — это изменить комбинации или интенсивность чувственных свойств. Явление движения знакомо зрению и осязанию, и различные степени быстроты также знакомы; мы можем выйти за пределы чувств и вообразить существование быстрого движения, такого, которое наши чувства не могли бы наблюдать. Мы знаем, что такое упругость, и поэтому можем в некотором роде представить себе упругость в тысячу или миллион раз большую, чем любая, которая чувственно известна нам. Волны океана во много раз выше наших собственных тел; другие волны во много раз меньше; продолжите пропорцию, и мы в конечном итоге придем к волнам, столь же малым, как волны света. Таким образом, силы ума позволяют нам на чувственной основе рассуждать об агентах и явлениях, различных в неограниченной степени. Если никакая гипотеза не может быть абсолютно противопоставлена чувству, то согласие с опытом всегда должно быть вопросом степени.

Для того чтобы гипотеза допускала удовлетворительное сравнение с опытом, она должна обладать определенностью и во многих случаях математической точностью, позволяющей точно рассчитывать результаты. Мы должны быть в состоянии установить, согласуется она или не согласуется с фактами. Теория вихрей является примером обратного, ибо она не представляла никакого способа расчета точных отношений между расстояниями и периодами планет и спутников; она не могла, следовательно, подвергнуться тому строгому тестированию, которому Ньютон скрупулезно подверг свою теорию гравитации перед ее обнародованием. Расплывчатость и неспособность к точному доказательству или опровержению часто позволяют ложной теории жить; но у тех, кто любит истину, расплывчатость должна вызывать подозрение. Сторонники древнего учения о боязни природы пустоты были не в состоянии предвидеть важный факт, что вода не поднимется более чем на 33 фута в обычном всасывающем насосе. И когда факт был указан, они не могли объяснить его, кроме как путем введения специального изменения теории к тому эффекту, что боязнь природы пустоты ограничивалась 33 футами.

Согласованность с законами природы.

Во-вторых, гипотеза не должна противоречить тому, что мы считаем истинным относительно Природы. Она не должна включать самопротиворечивость, которая противопоставлена самым высоким и простым законам, а именно законам Логики. Также она не должна быть непримиримой с простыми законами движения, гравитации, сохранения энергии или какими-либо частями физической науки, которые мы считаем установленными вне разумного сомнения. Не то чтобы нам было абсолютно запрещено придерживаться такой гипотезы, но если мы это делаем, мы должны быть готовы опровергнуть некоторые из наиболее доказанных истин, которыми обладает человечество. Тот факт, что существует конфликт, означает, что следствия теории не подтверждаются, если предыдущие открытия верны, и мы должны поэтому показать, что предыдущие открытия неверны, прежде чем мы сможем подтвердить нашу теорию.

Гипотеза будет чрезвычайно невероятной, если не сказать абсурдной, если она предполагает, что вещество действует образом, неизвестным в других случаях; ибо тогда она не подтверждается в нашем знании об этом веществе. Некоторые физики, особенно Эйлер и Гроув, предполагали, что мы могли бы обойтись без эфирной основы света и вывести из межзвездного прохождения лучей, что в пространстве находится своего рода редкий газ. Но если так, этот газ должен быть чрезвычайно редким, как мы можем вывести из кажущегося отсутствия атмосферы вокруг Луны и из других фактов, известных нам относительно газов и атмосферы; однако он должен обладать упругой силой по крайней мере в миллиард раз большей, чем атмосферный воздух у поверхности Земли, чтобы объяснить крайнюю быстроту световых лучей. Такая гипотеза, следовательно, несовместима с нашими знаниями относительно газов.

При условии, что нет ясного и абсолютного конфликта с известными законами природы, нет такой гипотезы, столь невероятной или кажущейся немыслимой, которая не могла бы быть сделана вероятной или даже приблизительно достоверной достаточным числом совпадений. На самом деле две наиболее обоснованные и успешные теории в физической науке включают самые абсурдные предположения. Гравитация — это сила, которая, по-видимому, действует между телами через пустое пространство; она находится в прямом противоречии со старым изречением, что ничто не может действовать иначе, как через некоторую среду. Еще более озадачивает то, что сила действует в полном безразличии к препятствиям, находящимся между ними. Свет, несмотря на свою крайнюю скорость, проявляет большое уважение к материи, ибо он почти мгновенно останавливается непрозрачными веществами и в значительной степени поглощается и отклоняется прозрачными. Но для гравитации все среды, так сказать, абсолютно прозрачны, более того, несущественны; и две частицы в противоположных точках Земли влияют друг на друга точно так же, как если бы земного шара между ними не было. Действие, насколько мы можем наблюдать, мгновенно, так что каждая частица вселенной в каждый момент находится в отдельном осознании, так сказать, относительного положения каждой другой частицы во всей вселенной в тот же самый момент времени. По сравнению с такими непостижимыми условиями теория вихрей имеет дело с обыденными реальностями. Знаменитое высказывание Ньютона hypotheses non fingo носит оттенок иронии; и не без видимых оснований Лейбниц и континентальные философы обвиняли Ньютона в повторном введении оккультных сил и качеств.

Волновая теория света представляет почти равные трудности для понимания. Нас просят физические философы отказаться от наших предубеждений и поверить, что межзвездное пространство, которое кажется пустым, вовсе не пусто, а заполнено чем-то безмерно более твердым и упругим, чем сталь. Как заметил сам Юнг, «светоносный эфир, пронизывающий все пространство и проникающий почти во все вещества, не только высокоупруг, но и абсолютно тверд!!!» Гершель рассчитал силу, которая может предполагаться, согласно волновой теории света, постоянно действующей в каждой точке пространства, и находит ее равной 1 148 000 000 000-кратной упругой силе обычного воздуха у поверхности Земли, так что давление эфира на квадратный дюйм должно составлять около семнадцати миллиардов фунтов. И все же мы живем и движемся без заметного сопротивления через эту среду, безмерно более твердую и упругую, чем алмаз. Все наши обычные понятия должны быть отброшены при созерцании такой гипотезы; и все же это не более чем то, что наблюдаемые явления света и тепла заставляют нас принять. Мы не можем отрицать даже странное предположение Юнга, что могут существовать независимые миры, некоторые, возможно, существующие в разных частях пространства, но другие, возможно, пронизывающие друг друга невидимо и неизвестно в том же пространстве. Ибо если мы обязаны допустить концепцию этого алмазного небосвода, столь же легко допустить и множественность таковых. Мы видим, следовательно, что простые трудности понимания не должны дискредитировать теорию, которая в остальном согласуется с фактами, и мы должны отвергать только те гипотезы, которые немыслимы в смысле явного нарушения первичных законов мышления и природы.

Соответствие фактам.

Прежде чем мы примем новую гипотезу, она должна быть показана согласующейся не только с ранее известными законами природы, но и с конкретными фактами, которые она призвана объяснить. Предполагая, что эти факты должным образом установлены, она должна соглашаться со всеми ими. Единый абсолютный конфликт между фактом и гипотезой фатален для гипотезы; falsa in uno, falsa in omnibus.

Редко, действительно, у нас будет теория, свободная от трудностей и кажущейся несовместимости с фактами. Хотя одно реальное несоответствие опрокинуло бы самую правдоподобную теорию, все же обычно существует некоторая вероятность того, что факт может быть неверно истолкован или что некоторый предполагаемый закон природы, на который мы полагаемся, может быть неверным. Можно ожидать, более того, что хорошая гипотеза, помимо согласия с фактами, уже замеченными, предоставит нам четкие верительные грамоты, позволяя нам дедуктивно предвидеть серии фактов, которые еще не связаны и не объяснены никакой другой равновероятной гипотезой. Мы не можем установить никакого точного правила относительно числа совпадений, которые могут установить истинность гипотезы, потому что совпадения будут сильно различаться по ценности. В то время как, с одной стороны, никакое конечное число совпадений не даст полной уверенности, вероятность гипотезы будет увеличиваться очень быстро с числом совпадений. Почти каждая проблема в науке таким образом принимает форму баланса вероятностей. Только когда трудность за трудностью была успешно объяснена, и решающие experimenta crucis раз за разом приводили к результату в пользу нашей теории, мы можем осмелиться утверждать ложность всех возражений.

Единственным реальным критерием гипотезы является ее согласие с фактом. Знаменитая система вихрей Декарта взорвана не потому, что она была внутренне абсурдной и немыслимой, а потому, что она не могла дать результаты в соответствии с фактическими движениями небесных тел. Трудности понимания, связанные с аппаратом вихрей, — детская игра по сравнению с трудностями гравитации и волновой теории, уже описанными. Вихри в целом являются правдоподобными предположениями; ибо планеты и спутники на первый взгляд имеют большое сходство с объектами, переносимыми в водоворотах, аналогия, которая, несомненно, подсказала теорию. Неудача была в первом и третьем требованиях; ибо, как уже было замечено, теория не допускала точного расчета планетных движений и была, таким образом, неспособна к строгой проверке. Но насколько мы можем установить сравнение, факты полностью против вихрей. Ньютон не высмеивал теорию как абсурдную, но показал, что она «стеснена многими трудностями». Он тщательно указал, что картезианская теория несовместима с законами Кеплера и представляла бы планеты движущимися быстрее в их афелиях, чем в их перигелиях. Вращательное движение Солнца и планет вокруг своих осей находится в поразительном конфликте с обращениями спутников, переносимых вокруг них; и кометы, самые хрупкие из тел, спокойно продолжают свои курсы по эллиптическим путям, независимо от вихрей, через которые они проходят. Мы можем теперь также указать на переплетающиеся орбиты малых планет как на новую и непреодолимую трудность на пути картезианских идей.

Ньютон, хотя он установил лучшую из теорий, был также способен предложить одну из худших; и если нам нужен пример теории, решительно опровергнутой фактами, нам достаточно обратиться к его взглядам относительно происхождения естественных цветов. Проанализировав с несравненным мастерством происхождение цветов тонких пластинок, он предполагает, что цвета всех тел определяются подобным же образом размером их конечных частиц. Тонкая пластинка определенной толщины будет отражать определенный цвет; следовательно, если ее разбить на фрагменты, она образует порошок того же цвета. Но если это достаточное объяснение окрашенных веществ, то каждая окрашенная жидкость должна отражать дополнительный цвет того, который она пропускает. Бесцветная прозрачность возникает, согласно Ньютону, из-за того, что частицы слишком малы, чтобы отражать свет; но если так, каждое черное вещество должно быть прозрачным. Ньютон сам настолько остро чувствовал эту последнюю трудность, что предположил, что истинная чернота обусловлена некоторым внутренним преломлением лучей туда и обратно и окончательным их подавлением, чего он не пытался объяснить далее. Если не вступает в действие какой-либо другой процесс, ни преломление, ни отражение, как бы часто они ни повторялись, не уничтожат энергию света. Теория, следовательно, не дает отчета, как показывает Брюстер, о 24 частях из 25 света, который падает на черный уголь, а оставшаяся часть, которая отражается от блестящей поверхности, столь же несовместима с теорией, потому что мелкая угольная пыль почти полностью лишена отражательной способности. В настоящее время общепринято считать, что цвета естественных тел обусловлены неравномерным поглощением лучей света различной преломляемости.

Experimentum Crucis.

По мере того как мы дедуцируем все больше и больше заключений из теории и находим их подтвержденными испытанием, вероятность теории увеличивается быстрым образом; но мы никогда не избегаем риска ошибки полностью. Абсолютная достоверность находится за пределами возможностей индуктивного исследования, и самое правдоподобное предположение может в конечном итоге оказаться ложным. Такова основа сходства в природе, что два очень разных условия часто могут давать очень похожие результаты. Мы иногда обнаруживаем себя поэтому в обладании двумя или более гипотезами, которые обе согласуются со столь многими экспериментальными фактами, что имеют большое подобие истины. При таких обстоятельствах нам нужен некоторый новый эксперимент, который даст результаты, согласующиеся с одной гипотезой, но не с другой.

Любой такой эксперимент, который решает между двумя конкурирующими теориями, может быть назван Experimentum Crucis, Экспериментом Указательного столба. Всякий раз, когда ум стоит, так сказать, на перекрестке и не знает, какой путь выбрать, ему нужен некоторый решающий проводник, и Бэкон поэтому придавал большое значение и авторитет примерам, которые служат в этом качестве. Название, данное Бэконом, стало привычным; это почти единственное из образных выражений Бэкона, которое перешло в общее употребление. Даже Ньютон, как я упоминал (стр. 507), использовал это название.

Я не думаю, действительно, что общее использование этого слова вообще согласуется с тем, что предполагал Бэкон. Гершель говорит, что «мы делаем эксперимент решающего рода, когда мы формируем комбинации и приводим в действие причины, из которых некоторая конкретная будет преднамеренно исключена, а некоторая другая намеренно допущена». Это, однако, кажется описанием любого специального эксперимента, сделанного не наугад. Эксперимент Паскаля по принуждению барометра быть доставленным на вершину Пюи-де-Дом часто рассматривался как совершенный experimentum crucis, если не первый отчетливый из зарегистрированных; но если так, мы должны возвести учение о боязни природы пустоты в положение конкурирующей теории. Решающий эксперимент не должен просто подтверждать одну теорию, но должен отрицать другую; он должен решить ум, который находится в равновесии, как говорит Бэкон, между двумя одинаково правдоподобными взглядами. «Когда в поисках какой-либо природы понимание приходит к равновесию, так сказать, или стоит в подвешенном состоянии относительно того, к какой из двух или более природ следует отнести или приписать причину исследуемой природы, по причине частого и обычного возникновения нескольких природ, тогда эти Решающие Примеры показывают истинную и нерушимую ассоциацию одной из этих природ с искомой природой и неопределенный и отделимый союз другой, посредством чего вопрос решается, первая природа допускается как причина, а другая отвергается. Эти примеры, следовательно, дают большой свет и имеют своего рода преобладающий авторитет, так что ход интерпретации иногда заканчивается в них или завершается ими».

Долго продолжавшаяся борьба между Корпускулярной и Волновой теориями света образует наилучшую возможную иллюстрацию Experimentum Crucis. Примечательно, сколь правдоподобным образом обе эти теории согласуются с обычными законами геометрической оптики, относящимися к отражению и преломлению. Согласно первому закону движения движущаяся частица движется по совершенно прямой линии, когда ее не беспокоят внешние силы. Если частица, будучи совершенно упругой, ударяется о совершенно упругую плоскость, она отскочит по такому пути, что углы падения и отражения будут равны. Теперь луч света движется по прямой линии, или кажется, что движется, пока не встретит отражающее тело, когда его путь изменяется образом, точно подобным пути упругой частицы. Здесь есть замечательное соответствие, которое, вероятно, подсказало уму Ньютона гипотезу о том, что свет состоит из мельчайших упругих частиц, движущихся с чрезмерной быстротой по прямым линиям. Соответствие было обнаружено распространяющимся также на закон простого преломления; ибо если частицы света предполагаются способными притягивать материю и быть притягиваемыми ею на нечувствительно малых расстояниях, то луч света, падающий на поверхность прозрачной среды, испытает увеличение своей скорости перпендикулярно поверхности, и закон синусов является следствием. Это замечательное объяснение закона преломления, несомненно, имело очень сильный эффект, побудив Ньютона принять корпускулярную теорию, и он, по-видимому, думал, что аналогия между распространением лучей света и движением тел была совершенно точной, какова бы ни была фактическая природа света. Весьма примечательно, опять же, что Ньютон был способен дать своей корпускулярной теорией правдоподобное объяснение инфлексии света, как это было открыто Гримальди. Теория, действительно, была бы очень вероятной, если бы мог быть применен собственный закон гравитации Ньютона; но это было исключено, потому что частицы света, чтобы они могли двигаться по прямым линиям, должны быть лишены какого-либо влияния друг на друга.

Гюйгенсова или Волновая теория света также была способна объяснить те же явления, но с одним замечательным отличием. Если волновая теория верна, свет должен двигаться медленнее в плотной преломляющей среде, чем в более редкой; но ньютоновская теория предполагала, что притяжение плотной среды заставляет частицы света двигаться быстрее, чем в редкой среде. По этому пункту, следовательно, было полное расхождение между теориями, и требовалось наблюдение, чтобы показать, какой теории следует отдать предпочтение. Теперь, просто разрезав однородную пластинку стекла на две части и слегка наклонив одну часть так, чтобы увеличить длину пути луча, проходящего через нее, экспериментаторы смогли показать, что свет действительно движется медленнее в стекле, чем в воздухе. Совсем недавно Физо и Фуко независимо измерили скорость света в воздухе и в воде и обнаружили, что скорость больше в воздухе.

Существует ряд других пунктов, в которых опыт решает против Ньютона и в пользу Гюйгенса и Юнга. Лаплас указал, что притяжение, предполагаемое существующим между материей и корпускулярными частицами света, заставило бы скорость света варьироваться в зависимости от размера излучающего тела, так что если бы звезда была в 250 раз больше в диаметре, чем наше Солнце, ее притяжение предотвратило бы эманацию света вовсе. Но опыт показывает, что скорость света равномерна и независима от величины излучающего тела, как это должно быть согласно волновой теории. Наконец, объяснение Ньютоном дифракции или инфлексионных полос цветов было только правдоподобным, а не истинным; ибо Френель установил, что размеры полос не таковы, какими они были бы согласно теории Ньютона.

Хотя наука о свете представляет нам прекраснейшие примеры решающих экспериментов и наблюдений, недостатка в подобных случаях нет и в других отраслях науки. Коперник утверждал, в противовес древней птолемеевской теории, что Земля движется вокруг Солнца, и предсказал, что если когда-нибудь зрение удастся сделать достаточно острым и мощным, мы увидим фазы Меркурия и Венеры. Галилей со своим телескопом смог в 1610 году подтвердить это предсказание в отношении Венеры, а последующие наблюдения за Меркурием привели к аналогичному выводу. Открытие аберрации света добавило новое доказательство, еще более усиленное более поздним определением параллакса неподвижных звезд. Гук предложил доказать существование суточного вращения Земли путем наблюдения отклонения падающего тела — эксперимент, успешно выполненный Бензенбергом; а маятник Фуко с тех пор предоставил дополнительное указание на то же движение, которое, впрочем, также проявляется в пассатах. Все это — решающие факты в пользу теории Коперника.

Описательные гипотезы.

Существуют гипотезы, которые мы можем назвать описательными гипотезами и которые служат почти исключительно для предоставления удобных названий. Когда явление относится к необычному роду, мы не можем даже говорить о нем, не используя некоторую аналогию. Каждое слово подразумевает некоторое сходство между вещью, к которой оно применяется, и другой вещью, которая фиксирует значение этого слова. Если мы собираемся говорить о том, что составляет электричество, мы должны искать ближайшую аналогию, и поскольку электричество характеризуется быстротой и легкостью своих движений, понятие жидкости весьма тонкого характера представляется уместным. Существует теория одного флюида и теория двух флюидов электричества, и огромное количество дискуссий было потрачено на них впустую. Дело в том, что если эти теории понимать иначе, чем как удобные способы описания явлений, они совершенно несостоятельны. Аналогия распространяется только на быстроту движения, или, вернее, на тот факт, что явление происходит последовательно в разных точках тела. Так называемый электрический флюид ничего не добавляет к весу проводника, и предполагать, что он действительно состоит из частиц материи, даже более абсурдно, чем восстанавливать корпускулярную теорию света. Гораздо более близкая аналогия существует между электричеством и световыми волнами, которые распространяются примерно с одинаковой быстротой. Мы, вероятно, еще долго будем говорить об «электрическом флюиде», но нет сомнений, что это выражение представляет лишь фазу молекулярного движения, волну возмущения. Несостоятельность этих теорий флюидов, кроме того, видна в том факте, что они не привели к изобретению ни одного нового эксперимента.

Среди этих чисто описательных гипотез я бы поместил ньютоновскую теорию «приступов» (fits) легкого отражения и преломления. Эта теория не делала ничего, кроме описания того, что происходило. Она не содержала никакой аналогии с другими явлениями природы, ибо Ньютон не мог указать ни на какое другое вещество, которое проходило бы через эти необычайные приступы. Мы теперь знаем, что истинной аналогией были бы звуковые волны, о которых Ньютон в других отношениях имел столь полное представление. Но хотя мысль об интерференции волн отчетливо приходила в голову Гуку, Ньютон не смог увидеть, как периодические явления света могут быть связаны с периодическим характером волн. Его гипотеза пала, потому что она не имела аналогии ни с чем другим в природе, и поэтому она не позволила ему, как в других случаях, спуститься путем математической дедукции к следствиям, которые могли бы быть подтверждены или опровергнуты.

Мы вольны вообразить существование нового агента и дать ему подходящее название, при условии, что существуют явления, не поддающиеся объяснению известными причинами. Мы можем говорить о «жизненной силе» как о причине жизни, при условии, что мы не считаем ее чем-то большим, чем названием для неопределенного нечто, порождающего необъяснимые факты, подобно тому как французские химики называли йод «веществом X», пока не осознали его реальный характер и место в химии. Энке был вполне оправдан, говоря о «сопротивляющейся среде» в пространстве, пока замедление его кометы нельзя было объяснить иначе. Но такие гипотезы принесут много вреда всякий раз, когда они отвлекают нас от попыток примирить факты с известными законами или когда они побуждают нас смешивать дискретные вещи. Поскольку мы говорим о жизненной силе, мы не должны предполагать, что это реально существующая физическая сила, подобная электричеству; мы не знаем, что это такое. Мы не имеем права путать предполагаемую сопротивляющуюся среду Энке с основой света без четких доказательств тождественности. Название «протоплазма», ныне так привычно используемое физиологами, несомненно, законно, пока мы не смешиваем под ним разные вещества и не воображаем, что это название дает нам какое-либо знание о неясном происхождении жизни. Называние вещества протоплазмой объясняет бесконечное разнообразие форм жизни, которые возникают из этого вещества, не более, чем «жизненная сила», которая, как можно предположить, пребывает в протоплазме. Оба выражения — лишь названия для необъяснимой серии причин, которые из внешне схожих условий производят самые разнообразные результаты.

Едва ли отличимы от описательных гипотез некоторые воображаемые объекты, которые мы создаем для легкого понимания предмета. Математик, рассматривая абстрактные вопросы вероятности, находит удобным представлять условия конкретной гипотезой в виде урны для голосования. Пуассон доказал принцип обратного метода вероятностей, вообразив, что содержимое нескольких урн смешано в одной большой урне (стр. 244). Многие подобные приемы используются математиками. Птолемеевская теория «циклов» и «эпициклов» не была гротескным и бесполезным плодом воображения, а была вполне обоснованным способом анализа движений небесных тел; в действительности она используется математиками и в наши дни. Ньютон использовал маятник как средство представления природы волнового движения. Центры тяжести, колебания и т. д., полюса магнита, силовые линии — это другие воображаемые сущности, используемые для помощи нашему мышлению (стр. 364). Такие устройства можно назвать «репрезентативными гипотезами», и они допустимы лишь постольку, поскольку воплощают аналогии. Их дальнейшее рассмотрение относится либо к предмету аналогии, либо к предмету языка и репрезентации, основанной на аналогии.

ГЛАВА XXIV. ЭМПИРИЧЕСКОЕ ЗНАНИЕ, ОБЪЯСНЕНИЕ И ПРЕДСКАЗАНИЕ.

Индуктивное исследование, как мы видели, состоит в соединении гипотезы и эксперимента, причем дедуктивное рассуждение является тем звеном, с помощью которого экспериментальные результаты подтверждают или опровергают гипотезу. Теперь, когда мы рассматриваем это отношение между гипотезой и экспериментом, очевидно, что мы можем классифицировать наше знание по четырем рубрикам.

(1) Мы можем быть знакомы с фактами, которые еще не были приведены в соответствие с какой-либо гипотезой. Такие факты составляют то, что называется эмпирическим знанием.

(2) Другая обширная часть нашего знания состоит из фактов, которые, будучи сначала наблюдаемы эмпирически, впоследствии были приведены в соответствие с другими фактами посредством гипотезы об общих законах, применяемых к ним. Эту часть нашего знания можно назвать объясненной, обоснованной или обобщенной.

(3) В-третьих, идет совокупность фактов, меньшая по числу, но наиболее важная с точки зрения научного интереса, которые были предвосхищены теорией, а затем подтверждены экспериментом.

(4) Наконец, существует знание, которое принимается исключительно на основании теории и не поддается экспериментальному подтверждению, по крайней мере, с помощью имеющихся в нашем распоряжении инструментальных средств.

Сравнение и иллюстрация относительного объема и ценности этих четырех групп знания представляет большой интерес. Мы заметим, что, как общее правило, большая отрасль науки берет начало в фактах, наблюдаемых случайно или без четкого осознания того, чего следует ожидать. По мере прогресса науки ее способность к предвидению быстро возрастает, пока математик в своем кабинете не обретает способность предвосхищать природу и предсказывать, что произойдет в обстоятельствах, которые человеческий глаз никогда не исследовал.

Эмпирическое знание.

Под эмпирическим знанием мы понимаем такое, которое получено непосредственно из изучения отдельных фактов и опирается исключительно на эти факты, без подтверждения из других отраслей знания. Оно противопоставляется обобщенному и теоретическому знанию, которое охватывает многие серии фактов под несколькими всеобъемлющими принципами, так что каждая серия служит для пролития света на каждую другую серию фактов. Точно так же, как на карте полуисследованной страны мы видим отдельные участки рек, изолированные горы и неопределенные равнины, не соединенные в какой-либо полный план, так и новая отрасль знания состоит из групп фактов, каждая из которых стоит отдельно, не позволяя нам рассуждать от одной к другой.

До времен Декарта, Ньютона и Гюйгенса существовало много эмпирических знаний о явлениях света. Радуга всегда привлекала внимание самых невнимательных наблюдателей, и не было трудно заметить, что условия ее возникновения заключаются в лучах солнца, светящих на падающие капли дождя. Невозможно было не заметить сходство обычной радуги с относительно редкой лунной радугой, с дугой, которая появляется на брызгах водопада или даже на каплях росы, висящих на траве и паутине. Во всех этих случаях неизменными условиями являются лучи света и круглые капли воды. Роджер Бэкон заметил эти условия, а также аналогию цветов радуги с цветами, создаваемыми кристаллами. Но знание оставалось эмпирическим, пока Декарт и Ньютон не показали, как эти явления связаны с фактами, касающимися преломления света.

Не может быть лучшего примера эмпирической истины, чем та, которую обнаружил Ньютон относительно высокой преломляющей способности горючих веществ. Химические представления Ньютона были почти такими же расплывчатыми, как и те, что преобладали в его время, но он заметил, что некоторые «жирные, сернистые, маслянистые тела», как он их называет, такие как камфора, масла, скипидар, янтарь и т. д., обладают преломляющей способностью в два или три раза большей, чем можно было ожидать исходя из их плотности. Огромный показатель преломления алмаза заставил его с большой проницательностью рассматривать это вещество как имеющее ту же маслянистую или воспламеняющуюся природу, так что его можно считать предсказавшим горючесть алмаза, впоследствии продемонстрированную флорентийскими академиками в 1694 году. Брюстер, проведя долгое исследование преломляющих способностей различных веществ, подтвердил утверждения Ньютона и обнаружил, что три элементарных горючих вещества — алмаз, фосфор и сера — имеют по сравнению со своей плотностью самые высокие из известных показателей преломления, и лишь немногие вещества, такие как хромат свинца или сурьмяное стекло, превосходят их по абсолютной силе преломления. Масла и углеводороды в целом обладают чрезмерными показателями. Но все это знание остается по сей день чисто эмпирическим, так как не было указано никакой связи между этим совпадением воспламеняемости и высокой преломляющей способности с другими законами химии или оптики. Стоит заметить, как указал Брюстер, что если бы Ньютон рассуждал о двух минералах, гриноките и октаэдрите, так же, как он рассуждал об алмазе, его предсказания оказались бы ложными, что достаточно показывает, что он не сделал никакой верной индукции по этому предмету. В наши дни отношение показателя преломления к плотности и атомному весу вещества становится предметом теории; однако остаются специфические различия в преломляющей способности, известные только на эмпирических основаниях, и любопытно, что у водорода была обнаружена аномально высокая преломляющая способность, соединенная с воспламеняемостью.

Наука химия, как бы ни прогрессировала ее теория, все еще представляет нам огромный массив эмпирических знаний. Мало того, что пока безнадежно пытаться объяснить конкретную группу качеств, принадлежащих каждому элементу, существует множество частных фактов, о которых нельзя дать никакого дальнейшего отчета. Почему сульфиды многих металлов должны быть интенсивно черными? Почему небольшое количество фосфорной кислоты обладает такой большой способностью мешать кристаллизации ванадиевой кислоты? Почему сложные силикаты щелочей и щелочных металлов должны быть прозрачными? Почему золото должно быть таким высокопластичным, а золото и серебро — единственными двумя заметно полупрозрачными металлами? Почему сера должна быть способна к столь многим своеобразным изменениям в аллотропные модификации?

Существуют целые отрасли химического знания, которые являются лишь коллекциями разрозненных фактов. Свойства сплавов часто замечательны; но законы еще не обнаружены, и законы кратных отношений, по-видимому, не имеют ясного применения. Нельзя дать ни малейшего объяснения удивительным вариациям качеств железа в зависимости от того, содержит ли оно больше или меньше углерода и кремния, более того, даже факты этого дела часто окутаны неопределенностью. Почему, опять же, на свойства стали заметно влияет присутствие небольшого количества вольфрама или марганца? Все, что было определено Маттиссеном относительно проводящих способностей меди, носило чисто эмпирический характер. Многие животные вещества не могут быть показаны как подчиняющиеся законам кратных отношений. Таким образом, по большей части химия все еще является эмпирической наукой, занятой регистрацией огромного количества разрозненных фактов, которые могут в будущем стать основой значительно расширенной теории.

Мы, конечно, не должны предполагать, что какая-либо наука когда-либо полностью перестанет быть эмпирической. Множество явлений было объяснено волновой теорией света; но остается еще много фактов, требующих рассмотрения. Естественные цвета тел и лучи, испускаемые ими при нагревании, необъяснимы и дают мало эмпирических совпадений. Теория электричества понята частично, но условия возникновения электричества трением не поддаются объяснению, хотя их изучают уже два столетия. Впоследствии я укажу, что даже установление широкого и истинного закона природы — это лишь отправная точка для открытия исключений и расхождений, дающих новый простор для эмпирических открытий.

Вероятно, нет науки, я уже говорил, которая была бы полностью свободна от эмпирических и необъяснимых фактов. Логика ближе всего подходит к этому положению, поскольку она является лишь дедуктивным развитием законов мышления и принципа подстановки. Тем не менее, некоторые факты, установленные при исследовании обратной логической проблемы, можно считать эмпирическими. То, что суждение вида A = BC ꖌ b c обладает наименьшим числом различных логических вариаций и наибольшим числом логических эквивалентов той же формы среди суждений, включающих три класса (стр. 141), является примером этого. То же самое можно сказать и о факте, обнаруженном профессором Клиффордом, что в отношении утверждений, включающих четыре класса, существует только один пример двух несходных утверждений, имеющих одинаковые расстояния (стр. 144). Математическая наука часто дает эмпирические истины. Почему, например, значение π, выраженное большим числом цифр, содержит цифру 7 гораздо реже, чем любую другую цифру? Даже геометрия может допускать эмпирические истины, когда предмет не включает величины пространства, а числовые результаты и положительный или отрицательный характер величин, как в теореме Де Моргана об отрицательных площадях.

Случайное открытие.

Существует немало случаев, когда почти чистая случайность определяла момент, когда должна была быть создана новая отрасль знания. Законы структуры кристаллов не были открыты до тех пор, пока Гаюи случайно не уронил красивый кристалл известкового шпата на каменную мостовую. Его минутное сожаление об уничтожении отборного образца быстро сменилось, когда, пытаясь соединить фрагменты вместе, он заметил правильные геометрические грани, которые не соответствовали внешним граням кристаллов. Вскоре было намеренно разбито еще много кристаллов, чтобы наблюдать плоскости спайности, и результатом стало открытие внутренней структуры кристаллических веществ. Здесь мы видим, насколько больше зависело от мыслительной силы философа, чем от случайности, которая должна была часто случаться с другими людьми.

Подобным образом случайное событие привело Малюса к открытию поляризации света путем отражения. Явления двойного лучепреломления были давно известны, и когда в 1808 году в Париже он занимался исследованием характера света, поляризованного таким образом, Малюс случайно посмотрел через двоякопреломляющую призму на свет заходящего солнца, отраженный от окон Люксембургского дворца. Поворачивая призму, он с удивлением обнаружил, что обычное изображение исчезает в двух противоположных положениях призмы. Он заметил, что отраженный свет ведет себя как свет, который был поляризован при прохождении через другую призму. Он был побужден проверить характер света, отраженного при других обстоятельствах, и в конечном итоге было доказано, что поляризация неизменно связана с отражением. Некоторые общие законы оптики, ранее не подозревавшиеся, были таким образом открыты по чистой случайности. В истории электричества случайность сыграла большую роль. На протяжении веков некоторые из наиболее распространенных эффектов магнетизма и электричества трением представлялись как необъяснимые отклонения от обычного хода природы. Случайность должна была впервые направить внимание на такие явления, но как мало из тех, кто был их свидетелем, имели представление о всепроникающем характере проявляющейся силы. Само существование гальванизма, или электричества низкого напряжения, не подозревалось, пока Гальвани случайно не коснулся ноги лягушки кусками металла. Разложение воды вольтовым электричеством также было случайно открыто Николсоном в 1801 году, и Дэви говорит об этом открытии как о фундаменте всего, что было сделано с тех пор в электрохимической науке.

Иначе обстоит дело с открытием электромагнетизма. Эрстед, как и многие другие, подозревал существование некоторой связи между магнитом и электричеством, и, по-видимому, пытался определить ее точный характер. Однажды, как нам рассказывает Ханстен, во время лекции он использовал сильную гальваническую батарею, и в конце ему пришло в голову попробовать эффект размещения проводящего провода параллельно магнитной стрелке, а не под прямым углом, как он делал ранее. Стрелка немедленно пришла в движение и заняла положение почти под прямым углом к проводу; он изменил направление тока, и стрелка отклонилась в противоположную сторону. Великое открытие было сделано, и если случайно, то это была такая случайность, которая, как заметил Лагранж о Ньютоне, случается только с теми, кто ее заслуживает. В действительности не было ничего случайного, кроме того, что, как и во всех совершенно новых открытиях, Эрстед не знал, что искать. Он не мог вывести из предыдущих знаний характер связи, и только повторные попытки разными способами могли привести его к правильной комбинации. Высокие и счастливые способности к выводу, а не случайность, впоследствии привели Фарадея к тому, чтобы обратить процесс и показать, что движение магнита вызовет электрический ток в проводе.

Достаточное исследование, вероятно, показало бы, что почти каждая отрасль искусства и науки имела случайное начало. В исторические времена почти каждый важный новый инструмент, такой как телескоп, микроскоп или компас, вероятно, был предложен каким-то случайным событием. В доисторические времена зачатки искусств должны были возникнуть еще более исключительно таким же образом. Культивация растений, вероятно, возникла, по мнению г-на Дарвина, из такой случайности, как семена фрукта, упавшие на кучу мусора и давшие необычайно хороший сорт. Даже использование огня должно было когда-то, так или иначе, быть открыто случайным образом.

С прогрессом отрасли науки элемент случайности значительно уменьшается. Не только открываются законы, позволяющие предсказывать результаты, как мы увидим, но и систематическое изучение явлений и веществ часто приводит к открытиям, которые ни в коем смысле нельзя назвать случайными. Утверждалось, что анестезирующие свойства хлороформа были раскрыты маленькой собачкой, понюхавшей блюдце с жидкостью в аптеке в Линлитгоу, причем необычные эффекты на собаку были доложены Симпсону, который извлек из этого инцидента пользу. Эта история, однако, оказалась выдумкой, так как на самом деле Симпсон много лет пытался найти лучший анестетик, чем те, что использовались ранее, и тестировал свойства хлороформа, среди других веществ, по предложению Уолди, ливерпульского химика. Ценные свойства хлоралгидрата были с тех пор открыты таким же образом, и систематические исследования постоянно проводятся в отношении терапевтической или экономической ценности новых химических соединений.

Если мы должны попытаться сделать вывод относительно той роли, которую случай играет в научном открытии, необходимо признать, что он в той или иной степени влияет на успех любого индуктивного исследования, но становится менее важным с прогрессом науки. Случайность может довести новую и ценную комбинацию до сведения какого-либо лица, которое никогда специально не искало открытия такого рода, и вероятности, безусловно, в пользу того, что открытие время от времени будет сделано таким образом. Но чем больше такта и прилежания физик применяет к изучению природы, тем больше вероятность того, что он встретит счастливые случайности и извлечет из них пользу. Таким образом, получается, что в утонченных исследованиях наших дней гений, соединенный с обширными знаниями, развитыми способностями и неукротимым трудолюбием, составляет характеристики успешного первооткрывателя.

Эмпирические наблюдения, впоследствии объясненные.

Вторая большая часть научного знания состоит из фактов, которые были сначала изучены чисто эмпирическим образом, но впоследствии были показаны как вытекающие из некоторого закона природы, то есть из некоторой высоковероятной гипотезы. Факты называются объясненными, когда они таким образом приводятся в гармонию с другими фактами или корпусами общего знания. В научной фразеологии мало слов, используемых более привычно, чем слово «объяснение», и необходимо точно решить, что мы под ним подразумеваем, поскольку вопрос касается глубочайших моментов относительно природы науки. Как и большинство терминов, относящихся к ментальным действиям, глаголы «объяснять» или «эксплицировать» включают материальные сравнения. Действие состоит в ex plicis plana reddere, разгладить складки и сделать вещь ясной или ровной. Объяснение, таким образом, делает вещь ясно понятной во всех ее точках, так что ничего не остается невыясненным или неясным.

Каждый акт объяснения состоит в указании на сходство между фактами или в показе того, что подобие существует между внешне различными явлениями. Это подобие может быть любой степени и глубины; это может быть общий закон природы, который гармонизирует движения всех небесных тел, показывая, что существует подобная сила, которая управляет всеми этими движениями, или объяснение может включать не более чем простое тождество, как когда мы объясняем появление падающих звезд, показывая, что они идентичны частям кометы. Везде, где мы обнаруживаем сходство, есть в большей или меньшей степени объяснение. Разум встревожен, когда встречает новое явление, sui generis; он немедленно ищет параллели, которые могут быть найдены в памяти прошлых ощущений. Так называемый сернистый запах, который сопровождает удар молнии, часто привлекал внимание, и он не был объяснен, пока не было указано на точное сходство этого запаха с запахом озона. Следы на плите объясняются, когда показывается, что они соответствуют ногам вымершего животного, чьи кости найдены в другом месте. Объяснение, по сути, обычно начинается с обнаружения некоторого простого сходства; теория радуги началась, как только Антонио де Доминис указал на сходство между ее цветами и теми, что представлены лучом солнечного света, проходящим через стеклянный шар, наполненный водой.

Природа и пределы объяснения могут быть полностью рассмотрены только после того, как мы перейдем к темам обобщения и аналогии. Достаточно заметить здесь, что самый важный процесс объяснения состоит в показе того, что наблюдаемый факт является одним из случаев общего закона или тенденции. Железо всегда встречается в соединении с серой, когда оно находится в контакте с углем, тогда как в других частях каменноугольных пластов оно всегда встречается как карбонат. Мы объясняем этот эмпирический факт тем, что он обусловлен восстановительной способностью углерода и водорода, которая препятствует соединению железа с кислородом и оставляет его открытым для сродства к сере. Равномерная сила и направление пассатов были давно знакомы мореплавателям, прежде чем они были объяснены Галлеем на гидростатических принципах. Было обнаружено, что ветры возникают из действия гравитации, которая заставляет более тяжелое тело вытеснять более легкое, в то время как направление с востока на запад было объяснено как результат вращения Земли. Любое тело в северном полушарии, меняющее свою широту, будь то птица, железнодорожный поезд или масса воздуха, должно стремиться в правую сторону. Закон ветров Дове гласит, что ветры имеют тенденцию отклоняться в северном полушарии в направлении С.В.Ю.З., а в южном полушарии — в направлении С.Ю.З.В. Эта тенденция была показана им как необходимый эффект тех же условий, которые применяются к пассатам. Всякий раз, когда какой-либо факт связан сходством, законом, теорией или гипотезой с другими фактами, он объясняется.

Хотя огромная масса записанных фактов должна быть эмпирической и ожидать объяснения, такое знание имеет меньшую ценность, потому что оно не допускает надежного и обширного вывода. Каждый записанный результат информирует нас точно о том, что будет испытано снова в тех же обстоятельствах, но не имеет никакого отношения к тому, что произойдет в других обстоятельствах.

Упущенные результаты теории.

Мы ни в коем случае не должны предполагать, что, когда научная истина находится в нашем распоряжении, все ее следствия будут предвидены. Дедукция достоверна и непогрешима в том смысле, что каждый шаг в дедуктивном рассуждении приведет нас к некоторому результату, столь же достоверному, как и сам закон. Но из этого не следует, что дедукция приведет рассуждающего к каждому результату закона или комбинации законов. Какую бы дорогу ни выбрал путешественник, он обязательно куда-нибудь придет, но если он не движется систематически, маловероятно, что он достигнет каждого места, куда его приведет сеть дорог.

Подобным образом существует много явлений, которые были фактически в пределах досягаемости философов путем вывода из их предыдущих знаний, но никогда не были открыты, пока случай или систематическое эмпирическое наблюдение не раскрыли их существование.

То, что свет распространяется с равномерной высокой скоростью, было доказано Ремером на основе наблюдений затмений спутников Юпитера. С тех пор во всех астрономических наблюдениях, требующих этого, вносились поправки на разницу абсолютного времени, в которое произошло событие, и того, в которое оно было бы увидено на Земле. Но никто не догадался заметить, что движение света, сложенное с движением Земли по ее орбите, вызовет небольшое кажущееся смещение большей части небесных тел. Пятьдесят лет прошло, прежде чем Брэдли эмпирически открыл этот эффект, названный им аберрацией, при обработке своих наблюдений неподвижных звезд.

Как только связь между электрическим током и магнитом была обнаружена Эрстедом и Фарадеем, для них должно было быть возможным предвидеть разнообразные результаты, которые должны последовать в различных обстоятельствах. Если, например, медная пластина была помещена под колеблющуюся магнитную стрелку, следовало увидеть, что стрелка индуцирует токи в меди, но так как это не могло произойти без некоторой реакции против стрелки, следовало увидеть, что стрелка придет в состояние покоя быстрее, чем в отсутствие меди. Этот своеобразный эффект был случайно открыт Гамбеем в 1824 году. Араго проницательно вывел из эксперимента Гамбея, что если медь привести во вращение, пока стрелка неподвижна, движение постепенно передастся стрелке. Явление, тем не менее, озадачило весь научный мир, и потребовался дедуктивный гений Фарадея, чтобы показать, что это результат принципов электромагнетизма.

Можно было бы упомянуть много других любопытных фактов, которые, будучи однажды замеченными, были объяснены как эффекты хорошо известных законов. Было случайно обнаружено, что навигация по каналам малой глубины может быть облегчена увеличением скорости лодок, причем сопротивление фактически уменьшается этим увеличением скорости, что позволяет лодке как бы ехать на своей собственной вынужденной волне. Теперь математическая теория могла бы предсказать этот результат, если бы правильное применение формул пришло кому-то в голову. Инжектор Жиффара для питания паровых котлов водой силой их собственного пара, был, я полагаю, случайно открыт, но в нем не задействованы никакие новые принципы механики, так что он мог быть теоретически изобретен. То же самое можно сказать о любопытном эксперименте, в котором поток воздуха или пара, выходящий из трубы, заставляет свободный диск удерживаться на конце трубы и тем самым перекрывать собственное выходное отверстие. Обладание истинной теорией, таким образом, отнюдь не означает предвидение всех результатов. Эффекты даже нескольких простых законов могут быть многообразными, и некоторые из самых любопытных и полезных эффектов могут оставаться необнаруженными, пока случайное наблюдение не доведет их до нашего сведения.

Предсказанные открытия.

Наиболее интересным из четырех классов фактов, указанных на стр. 525, является, вероятно, третий, содержащий те, возникновение которых было сначала предсказано теорией, а затем подтверждено наблюдением. Нет более убедительного доказательства надежности знания, чем то, что оно дарует дар предвидения. Огюст Конт сказал, что «предвидение — это проверка истинной теории»; я бы сказал, что это одна проверка истинной теории, и та, которая с наибольшей вероятностью привлечет внимание общественности. Совпадение с фактом — это проверка истинной теории, но когда результат теории объявляется заранее, не может быть сомнений в непредвзятом духе, в котором теоретик интерпретирует результаты своей собственной теории.

Самый ранний пример научного пророчества, естественно, предоставляется наукой астрономией, которая была самой ранней в развитии. Геродот повествует, что в разгар битвы между мидянами и лидийцами день внезапно превратился в ночь, и событие было предсказано Фалесом, отцом философии. Прекращение боя и мир, скрепленный браками, были последствиями этого счастливого научного усилия. Много споров велось относительно даты этого события, Бейли приписывал его 610 году до н. э., но Эйри вычислил, что точный день был 28 мая 584 года до н. э. Нет сомнений, что это и другие предсказания затмений, приписываемые древним философам, были обусловлены знанием Метонова цикла, периода в 6585 дней, или 223 лунных месяца, или около 19 лет, после которого происходит почти идеальное повторение фаз и затмений луны; но если это так, Фалес должен был иметь доступ к длинным сериям астрономических записей египтян или халдеев. Существует хорошо известная история о счастливом использовании, которое Колумб сделал из способности предсказывать затмения, чтобы внушить страх островитянам Ямайки, которые отказывали ему в необходимых запасах продовольствия для его флота. Он пригрозил лишить их лунного света. «Его угроза была встречена сначала с безразличием, но когда затмение действительно началось, варвары соревновались друг с другом в доставке необходимых припасов для испанского флота».

Точно такой же трепет, который древние испытывали при предсказании затмений, ощущался в наше время относительно возвращения комет. Сенека в ясных выражениях утверждал, что кометы будут вращаться по периодическим орбитам и возвращаться к виду. Древние халдеи и пифагорейцы, как говорят, также придерживались подобного мнения. Но только в эпоху Ньютона и Галлея стало возможным вычислить путь кометы в будущие годы. Большая комета появилась в 1682 году, за несколько лет до первой публикации «Principia», и Галлей показал, что ее орбита соответствует орбите замечательных комет, записанных как появившиеся в 1531 и 1607 годах. Интервалы времени были не совсем равны, но Галлей зачал смелую идею, что эта разница может быть обусловлена возмущающей силой Юпитера, вблизи которого комета прошла в интервале 1607–1682 годов. Он предсказал, что комета вернется около конца 1758 или начала 1759 года, и хотя Галлей не дожил до того, чтобы насладиться этим зрелищем, она была действительно обнаружена в ночь на Рождество 1758 года. Второе возвращение кометы наблюдалось в 1835 году почти в ожидаемое время.

В недавнее время открытие Нептуна было самым замечательным примером предвидения в астрономической науке. Полный отчет об этом открытии можно найти в нескольких работах, как, например, «Очерки астрономии» Гершеля и «История физической астрономии» Гранта, главы XII и XIII.

Предсказания в науке о свете.

Сразу после астрономии наука физическая оптика предоставила самые прекрасные примеры пророческой силы правильной теории. Эти случаи тем более поразительны, что они исходят из глубокого применения математического анализа и показывают понимание таинственных механизмов материи, которое удивительно для всех, но особенно для тех, кто не способен понять используемые методы исследования. Своей силой предвидения истинность волновой теории света была заметно доказана, и контраст в этом отношении между волновой и корпускулярной теориями примечателен. Даже Ньютон не мог получить никакой помощи от своей корпускулярной теории в изобретении новых экспериментов, и его последователям, которые приняли эту теорию, мы обязаны малым или ничем в науке о свете. Лаплас не извлек из теории ни одного открытия. Как замечает Френель:

«Помощь, которую можно извлечь из хорошей теории, не должна ограничиваться вычислением сил, когда законы явлений известны. Существуют определенные законы, настолько сложные и настолько своеобразные, что одно лишь наблюдение, подкрепленное аналогией, никогда не могло бы привести к их открытию. Чтобы разгадать эти загадки, мы должны руководствоваться теоретическими идеями, основанными на истинной гипотезе. Теория световых вибраций представляет этот характер и эти драгоценные преимущества; ибо ей мы обязаны открытием оптических законов, самых сложных и самых трудных для разгадывания».

Физики, принявшие корпускулярную теорию, могли полагаться только на свою быстроту наблюдения. Френель, однажды ухватив условия истинной волновой теории, как ранее изложено Юнгом, смог простым манипулированием своими математическими символами предвидеть многие сложные явления света. Кто мог бы предположить, что, остановив часть лучей, проходящих через круглое отверстие, освещенность точки на экране за отверстием может быть многократно увеличена. Тем не менее, этот парадоксальный эффект был предсказан Френелем и подтвержден как им самим, так и в тщательном повторении эксперимента Бийе. Мало кто знает, что в центре тени непрозрачного круглого диска находится точка света, заметно такая же яркая, как если бы никакой диск не был помещен. Этот поразительный факт был выведен из теории Френеля Пуассоном, а затем экспериментально подтвержден Араго. Эйри, опять же, был приведен чистой теорией к предсказанию, что кольца Ньютона представят модифицированный вид, если будут созданы между стеклянной линзой и металлической пластиной. Этот эффект случайно был замечен пятнадцатью годами ранее Араго, неизвестно Эйри. Другое предсказание Эйри, что произойдет дальнейшая модификация колец, когда они будут созданы между двумя веществами с очень разными показателями преломления, было подтверждено последующим испытанием с алмазом. Обращение колец происходит, когда пространство между пластинами заполнено веществом с промежуточной преломляющей способностью, еще одно явление, предсказанное теорией и подтвержденное экспериментом. Почти нет предела количеству других сложных эффектов интерференции лучей света при различных обстоятельствах, которые можно было бы вывести из математических выражений, если бы это стоило того, или которые, будучи ранее замеченными, могут быть объяснены. Интересный случай был замечен Гершелем и объяснен Эйри.

С помощью несколько иного усилия научного предвидения Френель обнаружил, что любая твердая прозрачная среда может быть наделена силой двойного лучепреломления простым сжатием. Поскольку он приписывал силу двойного лучепреломления кристаллов неравной упругости в разных направлениях, он сделал вывод, что неравная упругость, если она создана искусственно, даст подобные явления. С помощью мощного винта и куска стекла он затем произвел не только цвета, обусловленные двойным лучепреломлением, но и фактическое дублирование изображений. Таким образом, благодаря великому научному обобщению, замечательные свойства исландского шпата показаны как принадлежащие всем прозрачным веществам при определенных условиях.

Все другие предсказания в оптической науке, однако, затмеваются теоретическим открытием конической рефракции покойным сэром У. Р. Гамильтоном из Дублина. Исследуя прохождение света через некоторые кристаллы, Гамильтон обнаружил, что Френель слегка неверно истолковал свои собственные формулы, и что, при правильном понимании, они указывали на явление такого рода, которое никогда не наблюдалось. Маленький луч света, направленный в кристалл арагонита в определенном направлении, становится рассеянным в бесконечное число лучей, которые образуют полый конус внутри кристалла и полый цилиндр при выходе с противоположной стороны. В другом случае производится другой, но столь же странный эффект, луч света рассеивается в полый конус в точке, где он покидает кристалл. Эти явления особенно интересны, потому что конусы и цилиндры света не производятся ни в каких других случаях. Они противостоят всякой аналогии и составляют исключительные исключения, рода, который мы впоследствии рассмотрим более полно. Их странность сделала их особенно подходящими для проверки истинности теории, с помощью которой они были открыты; и когда профессор Ллойд, по просьбе Гамильтона, преуспел, после значительных трудностей, в наблюдении новых явлений, не могло остаться никаких сомнений в обоснованности волновой теории, которой мы обязаны Гюйгенсу, Юнгу и Френелю.

Предсказания из теории волн.

Любопытно, что волны света, хотя и невообразимо быстрые и малые, допускают более точное измерение, чем волны любого другого рода. Но насколько мы можем проводить точные эксперименты над другими видами волн, мы находим явления интерференции повторяющимися, и аналогия дает значительную силу предсказания. Гершель был, пожалуй, первым, кто предположил, что два звука могут быть заставлены уничтожить друг друга путем интерференции. Ибо если бы половина волны, проходящей через трубку, могла быть отделена и проведена по более длинному пути, так чтобы при воссоединении с другой половиной она отставала на четверть вибрации, две части точно нейтрализовали бы друг друга. Этот эксперимент был выполнен с успехом. Интерференция, возникающая между волнами от двух зубцов камертона, была также предсказана теорией и доказана как существующая Вебером; действительно, ее можно наблюдать, просто поднеся вибрирующий камертон близко к уху и поворачивая его.

Результатом теории звука является то, что если мы движемся быстро к звучащему телу, или если оно движется быстро к нам, высота звука будет немного острее; и, vice versâ, когда относительное движение происходит в противоположном направлении, высота звука будет более низкой. Это происходит из-за меньших или больших интервалов времени, проходящих между последовательными ударами волн по слуховому нерву, в зависимости от того, движется ли ухо к источнику звука или от него, относительно говоря. Этот эффект был предсказан теорией, а затем подтвержден экспериментами Бёйс-Баллота на голландских железных дорогах и Скотта Рассела в Англии. Всякий раз, когда один железнодорожный поезд проходит мимо другого, на локомотиве которого звучит свисток, падение остроты звука можно заметить в момент прохождения. Это изменение придает звуку своеобразный воющий характер, который многие люди должны были заметить. Я вычислил, что при двух поездах, движущихся со скоростью тридцать миль в час, эффект составил бы чуть более полутона, а с некоторыми экспрессами он составил бы тон. Соответствующий эффект производится в случае световых волн, когда глаз и светящееся тело приближаются или удаляются друг от друга. Это проявляется в небольшом изменении преломляемости лучей света и последующем изменении места линий спектра, что позволило получить важную и неожиданную информацию относительно относительного приближения или удаления звезд.

Приливы — это огромные волны, и если бы поверхность Земли была полностью покрыта океаном равномерной глубины, они допускали бы точное теоретическое исследование. Нерегулярная форма морей вводит неизвестные величины и сложности, с которыми теория не может справиться. Тем не менее, Уэвелл, наблюдая, что приливы Немецкого моря состоят из интерферирующих волн, которые прибывают частично вокруг севера Шотландии и частично через Ла-Манш, смог предсказать, что в точке примерно на полпути между Бриллом на побережье Голландии и Лоустофтом приливов не будет существовать. В этой точке две волны были бы одинаковой величины, но в противоположных фазах, так что они нейтрализовали бы друг друга. Это предсказание было подтверждено исследовательским судном британского флота.

Предсказание в других науках.

Поколения, или даже столетия, могут пройти, прежде чем человечество будет обладать математической теорией строения материи, столь же полной, как теория гравитации. Тем не менее, математические физики в последние годы обрели понимание некоторых отношений физических сил, и доказательство этого найдено в предвосхищении любопытных явлений, которые никогда не наблюдались. Профессор Джеймс Томсон вывел из теории тепла Карно, что приложение давления понизит точку плавления льда. Он даже рискнул назначить величину этого эффекта, и его утверждение было впоследствии подтверждено сэром У. Томсоном. «В этом весьма замечательном предположении было предсказано совершенно новое физическое явление, в предвосхищении любых прямых экспериментов по этому предмету; и фактическое наблюдение явления было указано как весьма интересный объект для экспериментального исследования». Точно так же, как жидкости, которые расширяются при затвердевании, будут иметь температуру затвердевания, пониженную давлением, так и жидкости, которые сжимаются при затвердевании, будут проявлять обратный эффект. Им будет помогать затвердевание, как бы, давлением, так что они станут твердыми при более высокой температуре, по мере того как давление больше. Этот последний результат был подтвержден Бунзеном и Хопкинсом в случае парафина, спермацета, воска и стеарина. Эффект на воду был более недавно доведен до такой степени Муссоном, что под огромным давлением 1300 атмосфер вода не замерзала, пока не была охлаждена до -18°C. Другое замечательное предсказание профессора Томсона состояло в том, что если металлическая пружина ослаблена повышением температуры, работа, совершенная против пружины при ее сгибании, вызовет охлаждающий эффект. Хотя эффект, ожидаемый в определенном аппарате, составлял всего около четырех тысячных градуса Цельсия, д-р Джоуль преуспел в измерении его до величины трех тысячных градуса, такова деликатность современных измерений тепла. Я не могу удержаться от цитирования размышлений д-ра Джоуля об этом факте. «Таким образом, даже в вышеуказанном деликатном случае», говорит он, «формула профессора Томсона полностью подтверждена. Математическое исследование термоупругих качеств металлов позволило моему прославленному другу предсказать с уверенностью целый класс весьма интересных явлений. Ему особенно мы обязаны важным прогрессом, который был недавно сделан к новой эре в истории науки, когда знаменитая философская система Бэкона будет в значительной степени вытеснена, и когда, вместо того чтобы приходить к открытию путем индукции из эксперимента, мы будем получать наши самые большие приращения новых фактов путем рассуждения дедуктивно из фундаментальных принципов».

Теория электричества является необходимой частью общей теории материи и быстро приобретает силу предвидения. Как только Уитстон доказал экспериментально, что проводимость электричества занимает время, Фарадей заметил в 1838 году, с удивительной проницательностью, что если бы проводящие провода были соединены с обкладками большой лейденской банки, быстрота проводимости была бы уменьшена. Это предсказание оставалось неподтвержденным в течение шестнадцати лет, пока подводный кабель не был проложен под Ла-Маншем. Значительное замедление электрической искры было тогда обнаружено, и Фарадей сразу указал, что провод, окруженный водой, напоминает лейденскую банку в большом масштабе, так что каждое сообщение, отправленное через кабель, подтвердило его замечание 1838 года.

Совместные отношения теплоты и электричества к металлам образуют новую науку — термоэлектричество, с помощью которой сэр У. Томсон смог предвидеть следующий любопытный эффект: электрический ток, проходящий в железном стержне от горячей части к холодной, производит охлаждающий эффект, тогда как в медном стержне эффект имеет прямо противоположный характер, то есть стержень нагревается. Действие кристаллов в отношении теплоты и электричества было частично предсказано на теоретических основаниях Пуассоном.

Химия, хотя и является в значительной степени эмпирической наукой, знала свои пророческие триумфы. Существование металлов калия и натрия было предсказано Лавуазье, а их выделение Дэви стало одним из главных решающих экспериментов (experimenta crucis), которые утвердили систему Лавуазье. Существование многих других металлов, которые никогда не видел человеческий глаз, было естественным выводом, и теория здесь не ошиблась. В вышеупомянутых случаях соединения металлов были хорошо известны, и предсказанию подлежал результат разложения. Открытие в 1876 году металла галлия представляет особый интерес, поскольку существование этого металла, ранее совершенно неизвестного, было выведено из теоретических соображений М. Менделеевым, и некоторые его свойства были верно предсказаны. Более того, как только профессором А. У. Уильямсоном была разработана теория органических соединений, он предсказал образование сложного вещества, состоящего из воды, в которой оба атома водорода замещены атомами ацетила. Это вещество, известное как уксусный ангидрид, было впоследствии получено Герхардтом. В ходе дальнейшего развития органической химии подобные случаи стали обычным явлением. Химик-теоретик, классифицируя свои образцы и манипулируя формулами, может планировать целые ряды неизвестных масел, кислот и спиртов, подобно тому как дизайнер может набросать множество узоров. Профессор Кэли даже рассчитал для некоторых случаев возможное количество химических соединений. Образование многих таких веществ является делом естественным; однако существует интересное предсказание Гофмана относительно возможного существования новых соединений серы и селена и даже оксидов аммония, которые химикам еще предстоит проверить.

Предсказание путем инверсии причины и следствия.

Существует один экспериментальный процесс, который настолько часто приводил к важным открытиям, что заслуживает отдельной иллюстрации — я имею в виду инверсию причины и следствия. Так, если A и B в одном эксперименте производят C в качестве следствия, то антецеденты природы B и C обычно могут быть использованы для получения следствия природы A, инвертированного по направлению. Когда мы подводим тепло к газу, он стремится расшириться; следовательно, если мы позволим газу расшириться под действием его собственной упругой силы, результатом будет холод; то есть B (воздух) и C (расширение) производят отрицание A (тепло). Опять же, B (воздух) и сжатие, отрицание C, производят A (тепло). Подобные результаты можно ожидать во множестве случаев. Общеизвестный закон гласит, что тепло расширяет железо. Чего же тогда ожидать, если вместо увеличения длины железного стержня путем нагревания мы применим механическую силу и растянем стержень? Имея стержень и прежнее следствие — расширение, мы должны ожидать отрицания прежнего антецедента, а именно холода. Истинность этого вывода была доказана доктором Джоулем, который исследовал величину эффекта с присущим ему мастерством.

Эта инверсия причины и следствия в случае с теплотой может быть сама инвертирована весьма любопытным образом. Случается, что существует несколько веществ, которые являются необъяснимыми исключениями из общего закона расширения при нагревании. Индийская резина (каучук) особенно примечательна тем, что сжимается при нагревании. Поскольку железо и каучук противоположно относятся к теплоте, мы можем ожидать, что, подобно тому как растяжение железа вызывало холод, растяжение каучука будет вызывать тепло. Это действительно подтверждается на практике, и каждый может обнаружить этот эффект, внезапно растянув каучуковую ленту, пока ее средняя часть находится во рту. При растяжении она становится слегка теплой, а при расслаблении — холодной.

Читатель увидит, что некоторые научные предсказания, упомянутые в предыдущих разделах, были сделаны благодаря принципу инверсии; например, размышления Томсона о связи между давлением и точкой плавления. Но можно было бы привести и многие другие примеры. Обычный агент, с помощью которого мы плавим вещество, — это тепло; но если мы можем расплавить вещество без тепла, то мы можем ожидать отрицания тепла в качестве эффекта. Это основа всех охлаждающих смесей. Сродство соли к воде заставляет ее плавить лед, и таким образом мы можем снизить температуру до нуля по Фаренгейту. Хлорид кальция обладает настолько более высоким притяжением к воде, что с его помощью можно достичь температуры -45° C. Даже растворение определенного сплава свинца, олова и висмута в ртути может привести к снижению температуры на 27° C. Все остальные способы получения холода являются инверсиями более привычного использования тепла. Морозильная машина Карре — это инвертированный дистилляционный аппарат, где дистилляция вызвана химическим сродством, а не теплом. Другой вид морозильной машины является точной инверсией паровой машины.

Весьма парадоксальный эффект обусловлен другой инверсией. Трудно поверить, что поток пара при 100° C может нагреть массу жидкости до температуры более высокой, чем та, которой обладает сам пар. Но г-н Спенс указал, что если точка кипения солевого раствора выше 100°, то он будет продолжать, из-за своего сродства к воде, конденсировать пар, даже когда тот имеет температуру выше 100°. Он будет конденсировать пар до тех пор, пока не нагреется до точки, при которой упругость его пара равна упругости атмосферы, то есть до его собственной точки кипения. Опять же, поскольку тепло плавит лед, мы могли бы ожидать получения тепла при обратном переходе воды в лед. Это достигается в явлении переохлаждения. Воду можно охладить в чистом стеклянном сосуде на много градусов ниже точки замерзания, и она при этом останется в жидком состоянии. Но если ее потревожить, и особенно если привести в контакт с маленькой частицей льда, она мгновенно затвердевает и ее температура поднимается до 0° C. Эффект еще лучше демонстрируется в лекционном эксперименте с пересыщенным раствором сульфата натрия, в котором часто наблюдается внезапное повышение температуры на 15° или 20° C.

Наука об электричестве полна интереснейших случаев инверсии. Как заметил профессор Тиндаль, Фарадей глубоко верил во взаимные отношения физических сил. Великая отправная точка его исследований, открытие электромагнетизма, была явно инверсией. Эрстед и Ампер доказали, что при наличии электрического тока и магнита в определенном положении в качестве антецедентов, движение является следствием. Если же антецедентами являются магнит, провод и движение, то следствием будет противоположный электрический ток. Было бы бесконечной задачей проследить результаты этой плодотворной взаимосвязи. Другая часть исследований Фарадея была посвящена установлению прямых и обратных отношений магнитных и диамагнитных, аморфных и кристаллических веществ в различных обстоятельствах. Во всех других отношениях электричества принцип инверсии сохраняется. Вольтаметр или гальванопластическая ванна являются инверсией гальванической батареи. Поскольку тепло, приложенное к спаю сурьмяных и висмутовых стержней, производит электричество, из этого следует, что электрический ток, пропущенный через такой спай, произведет холод. Но теперь достаточно очевидно, что инверсия причины и следствия является весьма плодотворным средством открытия и предсказания.

Факты, известные только из теории.

Из четырех классов фактов, перечисленных на стр. 525, последний остается нерассмотренным. Он включает в себя непроверенные предсказания науки. Научное пророчество привлекает внимание мира, когда оно относится к таким поразительным событиям, как затмение, появление большой кометы или любое явление, которое люди могут проверить собственными глазами. Но, безусловно, гораздо большего удивления заслуживает тот факт, что физик описывает и измеряет явления, которые глаз не может увидеть, а чувства любого рода — обнаружить. В большинстве случаев это происходит потому, что эффект слишком мал по величине, чтобы воздействовать на наши органы чувств или попасть в пределы возможностей наших инструментов в их нынешнем виде. Но существует класс еще более примечательных случаев, когда явление невозможно наблюдать, и все же мы можем сказать, каким оно было бы, если бы его наблюдали.

В астрономии систематическая аберрация является эффектом собственного движения Солнца, почти наверняка существующим, но который у нас нет надежды обнаружить путем наблюдения в нынешнюю эпоху мира. Поскольку движение Земли вокруг Солнца в сочетании с движением света заставляет звезды отклоняться от их истинных положений на величину не более 18″, то движение всей планетной системы в пространстве должно вызывать аналогичное смещение максимум на 5″. Обычная аберрация легко обнаруживается с помощью современных астрономических инструментов, поскольку она претерпевает ежегодное изменение направления или величины; но систематическая аберрация постоянна, пока планетная система движется равномерно по заметно прямой линии. Только с течением веков, когда кривизна пути Солнца станет заметной, мы сможем надеяться проверить существование этого вида аберрации. Любопытный эффект должен также производиться собственным движением Солнца на видимые периоды обращения двойных звезд.

На мой взгляд, некоторые из самых интересных истин во всем диапазоне науки — это те, которые не были и во многих случаях, вероятно, никогда не смогут быть проверены на практике. Так, химик с очень высокой степенью вероятности определяет плотность паров таких элементов, как углерод и кремний, которые никогда не наблюдались отдельно в состоянии пара. Химик также знаком с плотностью паров элементов при температурах, при которых данные элементы никогда не подвергались и, вероятно, никогда не смогут быть подвергнуты эксперименту в форме пара.

Джоуль и другие рассчитали фактическую скорость молекул газа и даже количество столкновений, которые должны происходить в секунду во время их постоянной циркуляции. Физики еще не дали нам точных размеров частиц материи, но они установили несколькими методами пределы, в которых должны лежать их размеры. Такие научные результаты должны навсегда оставаться вне возможности проверки чувствами. Я уже имел случай заметить в другом месте, что световые волны, сокровенные процессы электрических изменений, свойства эфира, который является основой всех явлений, неизбежно определяются гипотетическим, но оттого не менее достоверным образом.

Хотя только два металла, золото и серебро, наблюдались как прозрачные, мы знаем на теоретических основаниях, что все они в той или иной степени таковы; мы можем даже оценить теоретически их показатели преломления и доказать, что они чрезвычайно высоки. Явления эллиптической поляризации, а возможно, и внутреннего излучения, зависят от показателя преломления, и таким образом, даже когда мы не можем наблюдать никаких преломленных лучей, мы можем косвенно узнать, как они преломлялись бы.

Во многих случаях должно производиться большое количество электричества, которое мы не можем наблюдать, потому что оно мгновенно разряжается. В обычной электрической машине цилиндр и подушка сделаны из непроводников, так что мы можем разделять и накапливать электричество. Но небольшая влажность, служа проводником, не дает этому разделению сохраняться сколько-нибудь заметное время. Следовательно, нет сомнений, что когда мы трем два хороших проводника друг о друга, например два куска металла, производится много электричества, но оно мгновенно преобразуется в другую форму энергии. Джоуль полагает, что все тепло трения — это трансмутированное электричество.

Что касается явлений ничтожной величины, природа ими абсолютно полна. Мы должны рассматривать те изменения, которые можем наблюдать, как сравнительно редкие совокупности более мелких изменений. При небольшом размышлении мы должны признать, что ни один известный нам объект не остается в течение двух мгновений при точно такой же температуре. Если это так, то размеры объектов должны находиться в постоянном состоянии изменения. Малые планетные и лунные возмущения бесконечно многочисленны, но обычно слишком малы, чтобы их можно было обнаружить наблюдением, хотя их величины могут быть определены теорией. Есть все основания полагать, что химические и электрические действия малой величины постоянно происходят. Самые твердые вещества, если их измельчить до чрезвычайно малых частиц и рассеять в чистой воде, проявляют колебательные движения, которые должны быть обусловлены химическими и электрическими изменениями, настолько слабыми, что они продолжаются годами, не влияя заметно на вес частиц. Земной магнетизм должен в той или иной степени влиять на каждый объект, к которому мы прикасаемся. Как отмечает Тиндаль: «Вертикально стоящий железный камень, подвергаясь влиянию земного магнетизма, становится магнитом, у которого нижний конец — северный, а верхний — южный полюс. Несомненно, хотя и в неизмеримо более слабой степени, каждая стоящая мраморная статуя является истинным диамагнетиком, у которого голова — северный полюс, а ступни — южный. То же самое, безусловно, верно и для человека, стоящего на поверхности Земли, ибо все ткани человеческого тела диамагнитны». Солнечный свет производит очень быстрое и заметное действие на фотографическую пластинку; по всей вероятности, он оказывает меньшее действие на огромное множество других веществ. Мы можем рассматривать каждое явление как преувеличенный и заметный случай процесса, который в бесконечно многочисленных случаях находится за пределами средств наблюдения.

ГЛАВА XXV. СОГЛАСОВАНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ТЕОРИЙ.

В предыдущей главе мы установили, что факты могут быть классифицированы по четырем рубрикам в отношении их связи с теорией и наших способностей к объяснению или предсказанию. Факты, рассматривавшиеся до сих пор, носили скорее качественный, чем количественный характер; но когда мы смотрим исключительно на количество явления и различные способы, которыми мы можем определить его величину, будет действовать почти та же система классификации. Однако будет пять возможных случаев:

(1) Мы можем непосредственно и эмпирически измерить явление, не будучи в состоянии объяснить, почему оно должно иметь какую-либо конкретную величину, или связать его теоретически с другими величинами.

(2) В значительном числе случаев мы можем теоретически предсказать существование явления, но не в состоянии определить его величину, кроме как путем прямого измерения, или объяснить величину теоретически, когда она таким образом установлена.

(3) Мы можем измерить величину, а затем объяснить ее как связанную с другими величинами или как управляемую известными количественными законами.

(4) Мы можем предсказать величину эффекта на теоретических основаниях, а затем подтвердить предсказание прямым измерением.

(5) Мы можем косвенно определить величину эффекта, не будучи в состоянии проверить ее экспериментом.

Эти классы количественных фактов могли бы быть проиллюстрированы огромным количеством интересных моментов из истории физической науки. Здесь можно привести лишь несколько примеров для каждого класса.

Эмпирические измерения.

К первой рубрике чисто эмпирических измерений, которые не были приведены ни к какой теоретической системе, можно отнести основную массу количественных фактов, записанных научными наблюдателями. Таблицы численных результатов, которыми изобилуют книги по химии и физике, огромные кварто, содержащие наблюдения государственных обсерваторий, бесчисленные таблицы метеорологических наблюдений, которые постоянно публикуются, более абстрактные результаты, касающиеся земного магнетизма — такие результаты измерений по большей части остаются эмпирическими либо потому, что теория несовершенна, либо потому, что труд по вычислению и сравнению слишком внушителен. В Гринвичской обсерватории, действительно, нынешним Королевским астрономом поддерживается полезная практика всегда сводить наблюдения и сравнивать их с теориями соответствующих тел. Расхождения с теорией таким образом дают материал для обнаружения ошибок или новых явлений; короче говоря, наблюдения были обращены на ту пользу, для которой они предназначались. Но приходится опасаться, что другие учреждения слишком часто заняты лишь записью чисел, которым не находится реального применения, поскольку труд по сведению и сравнению с теорией слишком велик для частных исследователей. В метеорологии, в частности, происходит большая трата труда и денег, так как лишь малая часть записанных результатов когда-либо используется для развития науки. На одного метеоролога вроде Кетле, Дове или Баксенделла, который посвящает себя поистине полезному труду сведения чужих наблюдений, приходятся сотни тех, кто пребывает в заблуждении, что они двигают науку, загромождая наши книжные полки числовыми таблицами. Следует опасаться, что точно так же почти вся масса статистических чисел, будь то коммерческих, жизненных или моральных, имеет малую научную ценность. Чисто эмпирические измерения могут иметь прямое практическое значение, как, например, когда таблицы удельного веса или прочности материалов помогают инженеру; удельные веса смесей воды с кислотами, спиртами, солями и т. д. полезны на химических заводах, при таможенном измерении и т. д.; наблюдения за количеством осадков необходимы для вопросов водоснабжения; показатель преломления различных видов стекла должен быть известен при изготовлении ахроматических линз; но во всех таких случаях использование измерений является не научным, а практическим. Можно утверждать, что ни одно число, которое остается изолированным и не сравненным теорией с другими числами, не имеет научной ценности. Испытав предел прочности куска железа в определенном состоянии, мы знаем, какова будет прочность того же вида железа в аналогичном состоянии, при условии, что мы когда-нибудь снова встретим именно этот вид железа; но мы не можем рассуждать от куска к куску или устанавливать какие-либо законы, точно связывающие прочность железа с количеством его примесей.

Величины, указанные теорией, но измеренные эмпирически.

Во многих случаях мы способны предвидеть существование количественного эффекта на основании общих принципов, но не в состоянии, либо из-за отсутствия числовых данных, либо из-за полного отсутствия какой-либо математической теории, определить величину такого эффекта. Тогда мы прибегаем к прямому эксперименту, чтобы определить его величину. Рассуждали ли мы об океанских приливах по аналогии или дедуктивно из теории тяготения, не могло быть сомнений, что атмосферные приливы некоторой величины должны происходить в атмосфере. Теория, однако, даже в руках Лапласа, не смогла преодолеть сложные механические условия атмосферы и предсказать величины таких приливов; с другой стороны, эти величины были настолько малы и настолько маскировались гораздо большими колебаниями, возникающими от нагревательной силы Солнца и от других метеорологических возмущений, что они, вероятно, никогда не были бы обнаружены путем чисто эмпирических наблюдений. Однако, когда теория указала на их существование и периоды, было легко провести серии барометрических наблюдений в местах, выбранных так, чтобы они были как можно более свободны от случайных колебаний, а затем, путем подходящего применения метода средних, обнаружить рассматриваемые малые эффекты. Таким образом было доказано, что основной лунный атмосферный прилив составляет от 0,003 до 0,004 дюйма.

Теория дает величайшую возможную помощь в применении метода средних. Ибо если у нас есть большое количество эмпирических измерений, каждое из которых представляет собой совместный эффект ряда причин, нашей целью будет взять среднее значение всех тех, в которых присутствует измеряемый эффект, и сравнить его со средним значением остальных, в которых эффект отсутствует или действует в противоположном направлении. Разность тогда будет представлять величину эффекта или удвоенную величину соответственно. Так, в случае атмосферных приливов мы берем среднее всех наблюдений, когда Луна была на меридиане, и сравниваем его со средним всех наблюдений, когда она была на горизонте. В этом случае мы полагаемся на случай, что все другие эффекты будут лежать примерно так же часто в одном направлении, как и в другом, и будут нейтрализовать друг друга при выведении каждого среднего. Однако большое преимущество заключается в возможности решать с помощью теории, когда каждый основной возмущающий эффект присутствует или отсутствует; ибо тогда средние могут быть выведены так, чтобы отделить каждый такой эффект, оставляя лишь незначительные и случайные расхождения закону ошибок. Так, если есть три основных эффекта, и мы выводим средние, дающие соответственно сумму всех трех, сумму первых двух и сумму последних двух, то мы получаем три простых уравнения, решением которых определяется каждая величина.

Объясненные результаты измерений.

Второй класс измеренных явлений содержит те, которые после определения в прямом и чисто эмпирическом применении измерительных инструментов впоследствии показывают согласие с некоторым гипотетическим объяснением. Такие результаты обращаются на их надлежащее использование, и из сравнения может возникнуть несколько преимуществ. Соответствие с теорией редко или никогда не будет точным; и даже если это так, совпадение должно рассматриваться как случайное.

Если расхождения между теорией и экспериментом сравнительно малы и переменны по величине и направлению, их часто можно безопасно приписать незначительным источникам ошибки в экспериментальных процессах. Строгий метод процедуры заключается в вычислении вероятной ошибки среднего наблюдаемых результатов (стр. 387), а затем в наблюдении, попадает ли теоретический результат в пределы вероятной ошибки. Если попадает, и если экспериментальные результаты согласуются с теорией так же хорошо, как они согласуются друг с другом, то вероятность теории значительно возрастает, и мы можем использовать теорию с большей уверенностью в предвидении дальнейших результатов. Вероятная ошибка, следует помнить, дает меру только эффектов случайных и переменных источников ошибки, но ни в коей мере не указывает на величину постоянных причин ошибки. Так, если средние результаты двух способов определения величины настолько далеки друг от друга, что пределы вероятной ошибки не перекрываются, мы можем сделать вывод о существовании некоторого упущенного источника постоянной ошибки в одном или обоих способах. Мы далее рассмотрим в последующем разделе расхождение измерений.

Величины, определенные теорией и проверенные измерением.

Один из самых удовлетворительных тестов теории состоит в ее применении не только для предсказания природы явления и обстоятельств, в которых оно может наблюдаться, но также для назначения точной величины явления. Если мы можем впоследствии применить точные инструменты и измерить величину наблюдаемого явления, у нас есть отличная возможность подтвердить или опровергнуть теорию. Именно таким образом Ньютон впервые попытался проверить свою теорию тяготения. Он знал приблизительно скорость, приобретаемую падающими телами у поверхности Земли, и если закон обратных квадратов расстояния верен, а принятое расстояние до Луны правильно, он мог сделать вывод, что Луна должна падать к Земле со скоростью пятнадцать футов в минуту. Однако фактическое отклонение Луны от касательной к ее орбите, по-видимому, составляло только тринадцать футов в минуту, и существовало расхождение в два фута из пятнадцати, что заставило Ньютона «отложить в то время любые дальнейшие мысли об этом предмете». Много лет спустя, вероятно, пятнадцать или шестнадцать лет, Ньютон получил более точные данные, из которых он мог рассчитать размер орбиты Луны, и тогда он нашел расхождение незначительным.

Его теория тяготения была таким образом проверена, насколько это касалось Луны; но это было для него лишь началом долгого курса дедуктивных вычислений, каждое из которых заканчивалось проверкой. Если Земля и Луна притягивают друг друга, а также Солнце и Землю, есть основания ожидать, что Солнце и Луна должны притягивать друг друга. Ньютон проследил последствия этого вывода и показал, что Луна не будет двигаться так, как если бы она притягивалась только Землей, но иногда быстрее, а иногда медленнее. Сравнение с наблюдениями Луны Флемстида показало, что так оно и есть. Ньютон рассуждал далее, что, поскольку воды океана не жестко прикреплены к Земле, они могут притягивать Луну и быть притягиваемыми в ответ, независимо от остальной части Земли. Тогда возникли бы определенные суточные движения, напоминающие приливы, и были приливы, чтобы проверить это рассуждение. Именно необычайная сила, с которой Ньютон прослеживал геометрически последствия своей теории и подвергал их повторному сравнению с опытом, составляет его превосходство над всеми физиками.

Величины, определенные теорией и не проверенные.

Постоянно будет случаться, что мы способны, исходя из определенных измеренных явлений и правильной теории, определить величину некоторого другого явления, которое мы можем быть либо не в состоянии измерить вовсе, либо измерить с точностью, соответствующей той, что требуется для проверки предсказания. Так, Лаплас, разработав теорию движения спутников Юпитера на гипотезе тяготения, обнаружил, что на эти движения сильно влияет сфероидальная форма Юпитера. Движения спутников можно наблюдать с большой точностью благодаря их частым затмениям и прохождениям, и из этих движений он смог рассуждать обратно и определить эллиптичность планеты. Отношение полярной и экваториальной осей, определенное таким образом, было очень близко к 13 к 14; и оно хорошо согласуется с такими прямыми микрометрическими измерениями планеты, которые были сделаны; но Лаплас полагал, что теория дает более точный результат, чем прямое наблюдение, так что теорию едва ли можно было назвать допускающей прямую проверку.

Удельная теплоемкость воздуха, как полагали на основании прямого эксперимента, составляет 0,2669, если принять удельную теплоемкость воды за единицу; но методы эксперимента были подвержены значительным причинам ошибки. Рэнкин показал в 1850 году, что можно рассчитать из механического эквивалента тепла и других термодинамических данных, каким должно быть это число, и он нашел его равным 0,2378. Это определение было в то время принято как наиболее удовлетворительный результат, хотя и не проверенный; впоследствии, в 1853 году, Реньо получил прямым экспериментом число 0,2377, доказав, что предсказание было хорошо обосновано.

Легко видеть, что в количественных вопросах проверка — это вопрос степени и вероятности. Менее точный метод измерения не может проверить результаты более точного метода, так что если мы приходим к определению одной и той же физической величины несколькими различными способами, часто бывает деликатным делом решить, какой результат является наиболее надежным и должен быть использован для косвенного определения других величин. Например, остроумные эксперименты Джоуля и Томсона по тепловым явлениям жидкостей в движении включали в качестве одной физической константы механический эквивалент тепла; если бы потребовалось, то они могли бы быть использованы для определения этой важной константы. Но если более прямые методы эксперимента дают механический эквивалент тепла с превосходной точностью, то эксперименты с жидкостями будут обращены на лучшее использование при определении различных величин, относящихся к теории жидкостей. Мы далее рассмотрим вопросы такого рода в последующих разделах.

Существует, конечно, много величин, назначенных на теоретических основаниях, которые мы совершенно не в состоянии проверить с соответствующей точностью. Толщина пленки сусального золота, средние глубины океанов, скорость приближения или удаления звезды от Земли, как выведено из спектроскопических данных (стр. 296–99), являются примерами; но можно было бы привести и многие другие, где прямая проверка кажется невозможной. Ньютон и последующие физики измерили световые волны, и несколькими методами мы узнаем скорость, с которой распространяется свет. Поскольку волна среднего зеленого цвета имеет длину около пяти десятимиллионных долей метра и распространяется со скоростью почти 300 000 000 метров в секунду, из этого следует, что около 600 000 000 000 000 волн должны ударять в одну секунду в сетчатку глаза, который воспринимает такой свет. Но как нам проверить такое поразительное вычисление путем прямого подсчета импульсов, которые повторяются шестьсот биллионов раз в секунду?

Расхождение теории и эксперимента.

Когда обнаруживается явное отсутствие согласия между результатами теории и прямым измерением, возникают интересные вопросы относительно способа, которым мы можем объяснить это расхождение. Окончательное объяснение несоответствия может быть достигнуто по крайней мере четырьмя способами, как следует:

(1) Прямое измерение может быть ошибочным из-за различных источников случайной ошибки.

(2) Теория может быть верной в том, что касается общей формы предполагаемых законов, но некоторые из постоянных чисел или других количественных данных, используемых в теоретических расчетах, могут быть неточными.

(3) Теория может быть ложной в том смысле, что формы математических уравнений, принятые для выражения законов природы, неверны.

(4) Теория и вовлеченные величины могут быть приблизительно точными, но могла вмешаться некоторая регулярная неизвестная причина, так что расхождение может рассматриваться как остаточный эффект, представляющий, возможно, новое и интересное явление.

Нельзя установить точных правил относительно наилучшего способа действий для объяснения расхождения, и экспериментатору придется полагаться на собственную проницательность и знания; но можно дать следующие рекомендации.

Если экспериментальные измерения не многочисленны, повторите их и получите более обширный средний результат, вероятная точность которого в отношении случайных ошибок будет возрастать как квадратный корень из числа экспериментов. Предполагая, что таким образом не достигается значительной модификации результата, мы можем заподозрить существование более глубоких источников ошибки в нашем методе измерения. Следующим ресурсом будет изменение размера и формы используемого аппарата, а также внесение различных модификаций в используемые материалы или ход процедуры в надежде (стр. 396), что некоторая причина постоянной ошибки может быть таким образом устранена. Если несоответствие с теорией все еще остается не уменьшенным, мы можем попытаться изобрести какой-либо широко отличающийся способ достижения той же физической величины, чтобы мы могли быть почти уверены, что одна и та же причина ошибки не повлияет как на новые, так и на старые результаты. В некоторых случаях возможно найти пять или шесть существенно различных способов достижения одного и того же определения.

Предполагая, что расхождение все еще существует, мы можем начать подозревать, что наши прямые измерения верны, а данные, используемые в теоретических расчетах, неточны. Мы должны теперь пересмотреть основания, от которых зависят эти данные, состоящие, как они должны в конечном итоге, из прямых измерений. Сравнение записанных данных покажет степень вероятности, приписываемую используемому среднему результату; и если есть какие-либо основания предполагать существование ошибки, мы должны повторить наблюдения и варьировать формы эксперимента точно так же, как в случае предыдущих прямых измерений. Продолжающееся существование расхождения должно показать, что мы не достигли полного знакомства с теорией действующих причин, но остаются еще два различных случая. Мы могли неправильно понять действие тех причин, которые, как мы знаем, существуют, или мы могли упустить из виду существование одной или нескольких других причин. В первом случае наша гипотеза кажется неверно выбранной и неприменимой; но отвергнем ли мы ее, будет зависеть от того, сможем ли мы сформировать другую гипотезу, которая дает более точное согласие. Вероятность гипотезы, следует помнить (стр. 243), должна оцениваться, при отсутствии априорных оснований для суждения, по вероятности того, что если предполагаемые причины существуют, то наблюдаемый результат следует; но поскольку теперь мало вероятности примирить первоначальную гипотезу с нашими прямыми измерениями, поле открыто для новых гипотез, и любая, которая дает более близкое согласие с измерением, будет в той мере иметь лучшие претензии на внимание. Конечно, мы никогда не должны оценивать вероятность гипотезы только по ее согласию с несколькими результатами. Ее общая аналогия и согласие с другими известными законами природы, а также тот факт, что она не конфликтует с другими вероятными теориями, должны быть приняты во внимание, как мы увидим в следующей книге. Необходимое условие хорошей гипотезы, что она должна допускать дедукцию фактов, проверенных в наблюдении, должно интерпретироваться в самом широком смысле, как включающее все способы, которыми может быть согласие или расхождение. Все наши попытки примирения потерпели неудачу, единственный вывод, к которому мы можем прийти, заключается в том, что существует некоторая неизвестная причина нового характера. Если измерения точны, а теория вероятна, то остается остаточное явление, которое, будучи лишенным теоретического объяснения, должно быть отнесено к новому эмпирическому факту, достойному дальнейшего исследования. Выдающиеся остаточные расхождения часто оказывались вовлекающими новые открытия величайшей важности.

Согласование измерений астрономических расстояний.

Одним из самых поучительных примеров, который мы можем встретить, того, как различные измерения подтверждают или проверяют друг друга, является определение скорости света и размеров планетной системы. Рёмер впервые обнаружил, что свет требует времени для путешествия, наблюдая, что затмения спутников Юпитера, хотя они происходят в фиксированные моменты абсолютного времени, видны в разные моменты в разных частях орбиты Земли, в зависимости от расстояния между Землей и Юпитером. Время, затрачиваемое светом на прохождение среднего полудиаметра орбиты Земли, составляет около восьми минут. Среднее расстояние между Солнцем и Землей долгое время принималось астрономами за около 95 274 000 миль, этот результат был выведен Бесселем из наблюдений прохождения Венеры, которое произошло в 1769 году и которое, как было установлено, дает солнечный параллакс, или, что то же самое, видимую угловую величину Земли, видимую с Солнца, равную 8″,578. Разделив среднее расстояние между Солнцем и Землей на число секунд в 8 м. 13 с. 3, мы находим скорость света равной около 192 000 миль в секунду.

Почти такой же результат был получен тем, что кажется другим способом. Аберрация света — это видимое изменение направления луча света из-за сложения его движения с движением Земли вокруг Солнца. Если мы знаем величину аберрации и среднюю скорость Земли, мы можем оценить скорость света, которая таким образом оказывается равной 191 100 миль в секунду. Теперь это определение зависит от новой физической величины, аберрации, которая устанавливается прямым наблюдением звезд, так что близкое согласие оценок скорости света, полученных таким образом разными методами, могло бы, казалось, оставить мало места для сомнений, разница составляет менее одного процента.

Тем не менее, экспериментаторы не были удовлетворены, пока им не удалось измерить скорость света прямыми экспериментами, выполненными на поверхности Земли. Физо, с помощью быстро вращающегося зубчатого колеса, оценил скорость в 195 920 миль в секунду. Поскольку этот результат отличался примерно на одну шестидесятую часть от ранее принятых оценок, считалось, что есть место для дальнейшего исследования. Вращающееся зеркало, использованное Уитстоном при измерении скорости электричества, было теперь применено более утонченным образом Физо и Фуко для определения скорости света. Последний физик пришел к поразительному выводу, что скорость на самом деле не превышает 185 172 миль в секунду. Никакое повторение эксперимента не могло поколебать этот результат, и, соответственно, существовало расхождение между астрономическими и экспериментальными результатами около 7000 миль в секунду. Последние эксперименты, те, что провел М. Корню, лишь слегка повышают оценку, давая 186 660 миль в секунду. Небольшое размышление показывает, что обе астрономические детерминации включают величину орбиты Земли как один из данных, потому что наша оценка скорости Земли на ее орбите зависит от нашей оценки среднего расстояния до Солнца. Соответственно, в отношении этой величины два астрономических результата считаются только за один. Хотя прохождение Венеры считалось дающим лучшие данные для расчета параллакса Солнца, астрономы не пренебрегали менее благоприятными возможностями. Хансен, рассчитывая из определенных неравенств в движении Луны, оценил его в 8″,916; Виннеке, из наблюдений Марса, в 8″,964; Леверье, из движений Марса, Венеры и Луны, в 8″,950. Эти независимые результаты согласуются гораздо лучше друг с другом, чем с результатом Бесселя (8″,578), ранее принятым, или результатом Энке (8″,58), выведенным из прохождений Венеры в 1761 и 1769 годах, и хотя каждый в отдельности мог быть достоин меньшего доверия, их близкое согласие делает их средний результат (8″,943) сравнимым по вероятности с результатом Бесселя. Было далее обнаружено, что если значение Фуко для скорости света принять за верное, а расстояние до Солнца рассчитать обратно из него, параллакс Солнца составил бы 8″,960, что близко согласовалось с вышеуказанным средним результатом. Это дальнейшее соответствие независимых результатов сильно склонило баланс вероятности против результатов прохождения Венеры и сделало желательным пересмотреть наблюдения, сделанные по тому случаю. Г-н Э. Дж. Стоун, переобсудив те наблюдения, обнаружил, что в расчетах были сделаны серьезные упущения, исправление которых изменило бы оценку параллакса до 8″,91, величину в таком сравнительно близком согласии с другими результатами, что астрономы не колебались сразу снизить свою оценку среднего расстояния до Солнца с 95 274 000 до 91 771 000 миль, хотя это изменение повлекло за собой соответствующую коррекцию в принятых величинах и расстояниях большинства небесных тел. Солнечный параллакс теперь (1875) считается равным около 8″,878, число, выведенное из экспериментов Корню по скорости света. Этот результат очень близко согласуется с 8″,879, оценкой, полученной из новых наблюдений прохождения Венеры французскими наблюдателями, и с 8″,873, результатом наблюдений Галле планеты Флора. Когда все наблюдения последнего прохождения Венеры будут полностью обсуждены, расстояние до Солнца, вероятно, будет известно с точностью до менее чем одной части на тысячу, если не одной части на десять тысяч.

В этом вопросе теоретические отношения между скоростью света, константой аберрации, параллаксом Солнца и средним расстоянием до Солнца имеют самый простой характер и едва ли могут быть открыты для каких-либо сомнений, так что единственное сомнение заключалось в том, какой результат наблюдения является наиболее надежным. В конечном итоге главное расхождение было обнаружено из-за неправильного понимания при сведении наблюдений, но у нас есть удовлетворительный пример ценности различных методов оценки в приведении к обнаружению серьезной ошибки. Разве не удивительно, что Фуко, измеряя скорость света при прохождении через пространство в несколько ярдов, должен проложить путь к изменению наших оценок величин всей Вселенной?

Выбор наилучшего способа измерения.

Когда мы однажды получаем контроль над вопросом физической науки, понимая теорию предмета, у нас часто открывается широкий выбор в отношении методов измерения, которые могут с тех пор быть сделаны для получения наиболее точных результатов. Если мы можем измерить одну фундаментальную величину очень точно, мы можем быть способны с помощью теории определить точно многие другие количественные результаты. Так, если мы удовлетворительно определяем атомные веса определенных элементов, нам не нужно определять с равной точностью состав и атомные веса их различных соединений. Узнав относительные атомные веса кислорода и серы, мы можем рассчитать состав по весу различных оксидов серы. Химики, соответственно, выбирают с величайшей осторожностью то соединение двух элементов, которое, по-видимому, допускает наиболее точный анализ, чтобы дать отношение их атомных весов. Очевидно, что нам нужно только отношение атомного веса каждого элемента к весу некоторого общего элемента, чтобы рассчитать отношение каждого к каждому. Более того, атомный вес находится в простом отношении к другим количественным фактам. Веса равных объемов элементарных газов при равной температуре и давлении имеют те же отношения, что и атомные веса; теперь, поскольку азот при таких обстоятельствах весит в 14,06 раза больше водорода, мы можем сделать вывод, что атомный вес азота составляет около 14,06, или, что более вероятно, 14,00, если вес водорода равен единице. Существует много доказательств, опять же, что удельные теплоемкости элементов обратно пропорциональны их атомным весам, так что эти два класса количественных данных проливают свет взаимно друг на друга. Фактически атомный вес, атомный объем и атомная теплоемкость элемента — это величины, настолько тесно связанные, что определение одной приведет к определению других. Химик должен решить сложную проблему, решая в случае каждого из 60 или 70 элементов, какой способ определения является наиболее точным. Современная химия представляет нам почти бесконечно обширную сеть числовых отношений, развитых из нескольких фундаментальных отношений.

В гигрометрии у нас есть выбор по крайней мере из четырех способов измерения количества водяного пара, содержащегося в данном объеме воздуха. Мы можем извлечь пар путем поглощения в серной кислоте и непосредственно взвесить его количество; мы можем поместить воздух в трубку барометра и наблюдать, насколько поглощение пара изменяет упругую силу воздуха; мы можем наблюдать точку росы воздуха, то есть температуру, при которой пар становится насыщенным; или, наконец, мы можем вставить сухой и влажный термометр и наблюдать температуру испаряющейся поверхности. Результаты каждого способа могут быть связаны теорией с результатами других способов, и мы можем выбрать для каждого эксперимента тот способ, который является наиболее точным или наиболее удобным. Химический метод прямого измерения способен на величайшую точность, но он хлопотен; сухой и влажный термометр достаточно точен для метеорологических целей и наиболее прост в использовании.

Согласие различных способов измерения.

Можно было бы привести много иллюстраций согласия, которое было обнаружено в некоторых случаях между результатами совершенно различных методов достижения измерения физической величины. Хотя такое согласие должно, при отсутствии информации об обратном, рассматриваться как лучшее возможное доказательство приблизительной правильности среднего результата, все же случались примеры, показывающие, что мы никогда не можем приложить слишком много усилий для подтверждения результатов величайшей важности. Когда три или даже более различных методов дали почти совпадающие числа, новый метод иногда обнаруживал расхождение, которое еще невозможно объяснить.

Эллиптичность Земли известна со значительным приближением к достоверности и точности, ибо она была оценена тремя независимыми способами. Самый прямой способ — измерить длинные дуги, простирающиеся на север и юг на поверхности Земли, с помощью тригонометрических съемок, а затем сравнить длины этих дуг с их кривизной, как определено наблюдениями высоты определенных звезд в конечных точках. Наиболее вероятная эллиптичность Земли, выведенная из всех измерений такого рода, была оценена Бесселем как 1/300, хотя последующие измерения могли привести к несколько иной оценке. Отклонение от шарообразной формы вызывает небольшое изменение силы тяжести в разных частях поверхности Земли, так что точные маятниковые наблюдения дают данные для независимой оценки эллиптичности, которая таким образом оказывается равной 1/320. В-третьих, сфероидальное выпячивание вокруг экватора Земли приводит к определенному неравенству в движении Луны, как показал Лаплас; и из величины этого неравенства, как дано наблюдениями, Лаплас смог рассчитать обратно к величине его причины. Он таким образом сделал вывод, что эллиптичность равна 1/305, что лежит между двумя числами, приведенными ранее, и было сочтено им наиболее удовлетворительным определением. В этом случае согласие не нарушается последующими результатами, так что мы вынуждены принять результат Лапласа как весьма вероятный.

Средняя плотность Земли является константой величайшей важности, потому что она необходима для определения масс всех других небесных тел. Астрономы и физики, соответственно, посвятили много труда точному определению этой константы. Метод процедуры состоит в сравнении тяготения земного шара с тяготением некоторого тела материи, масса которого известна в терминах принятой единицы массы. Это тело материи, служащее промежуточным членом сравнения, может быть выбрано по-разному; оно может состоять из горы, или части земной коры, или тяжелого металлического шара. Метод эксперимента варьируется настолько сильно в зависимости от того, выбираем ли мы одно тело или другое, что можно сказать, что у нас есть три независимых способа достижения желаемого результата.

Взаимное притяжение двух шаров настолько ничтожно мало по сравнению с их притяжением к огромной массе Земли, что оно, как правило, совершенно незаметно, и, хотя Ньютон утверждал, что оно существует на основании теории, его не удавалось наблюдать вплоть до конца XVIII века. Мичелл прикрепил два небольших шара к концам деликатно подвешенных крутильных весов, а затем, поочередно поднося тяжелые свинцовые шары к каждой стороне этих маленьких шаров, смог обнаружить легкое отклонение крутильных весов. Таким образом, он представил новое подтверждение теории тяготения. Кавендиш провел этот эксперимент с большей тщательностью и оценил притяжение шаров, рассматривая крутильные весы как маятник; затем, приняв во внимание соответствующие расстояния шаров друг от друга и от центра Земли, он смог определить 5,48 (или, согласно пересчету Бейли, 5,448) в качестве вероятной средней плотности Земли. Проницательное предположение Ньютона о том, что плотность Земли составляет от пяти до шести плотностей воды, было таким образом замечательно подтверждено. Тот же вид эксперимента, повторенный Райхом, дал 5,438. Бейли, снова проделав эксперимент со всей возможной точностью, получил несколько более высокое число — 5,660.

Другой метод исследования заключался в определении влияния массы горы на отклонение отвеса; ибо, предполагая, что мы можем определить размеры и среднюю плотность горы, отвес позволяет нам сравнить ее массу с массой всей Земли. Для эксперимента была выбрана гора Шихаллион, и наблюдения и расчеты, выполненные Маскелайном, Хаттоном и Плейфэром, дали в качестве наиболее вероятного результата 4,713. Различие с уже упомянутыми экспериментальными результатами является значительным и важным, поскольку инструментальные операции имеют совершенно иной характер, нежели в экспериментах Кавендиша и Бейли. Аналогичное определение сэра Генри Джеймса, основанное на притяжении горы Артурс-Сит, дало 5,14.

Третий отдельный метод состоит в определении силы тяжести в точках, возвышающихся над поверхностью Земли на горных хребтах, или опущенных ниже нее в шахтах. Карлини экспериментировал с маятником в приюте на перевале Мон-Сени, на высоте 6375 футов над уровнем моря, и, сравнив силы притяжения Земли и Альп, нашел плотность еще меньшей, а именно 4,39, или, согласно исправлению Джулио, 4,950. Наконец, Королевский астроном дважды применял противоположный метод наблюдения маятника на дне глубокой шахты, чтобы сравнить плотность пройденных пластов с плотностью всей Земли. Во второй раз он осуществил свой метод в угольной шахте Хартон глубиной 1260 футов; все, что можно было сделать с помощью мастерства в измерениях и тщательного учета всех причин погрешностей, было выполнено в этой сложной серии наблюдений (стр. 291). Несомненно, сэр Джордж Эйри был весьма озадачен, когда обнаружил, что его новый результат значительно превышает полученный любым другим методом, составив не менее 6,566, или 6,623 в окончательно исправленном виде. В данном случае мы извлекаем впечатляющий урок относительно ценности повторных определений различными методами для избавления нашего ума от доверия, которое мы слишком склонны оказывать результатам, демонстрирующим определенную степень совпадения.

В 1844 году Гершель отметил в своем мемуаре о Фрэнсисе Бейли, «что средний удельный вес этой нашей планеты, по всей вероятности, определен столь же хорошо, как и вес обычного образца в минералогическом кабинете — поразительный результат, который должен научить нас ни в чем не отчаиваться, что лежит в пределах числа, веса и меры». Но в то же время он указал, что окончательный результат Бейли, вероятная ошибка которого составляла всего 0,0032, был самым высоким из всех известных на тот момент определений, а исследование Эйри с тех пор дало гораздо более высокий результат, выходящий далеко за пределы вероятной ошибки любого из предыдущих экспериментов. Если мы будем рассматривать все сделанные до сих пор определения как имеющие равный вес, то простое среднее значение составит около 5,45, средняя ошибка — почти 0,5, а вероятная ошибка — почти 0,2, так что с этой точки зрения одинаково вероятно, что истина лежит между 5,65 и 5,25. Но примечательно, что две самые последние и тщательные серии наблюдений Бейли и Эйри лежат за пределами этих границ, и, поскольку по мере повышения тщательности оценка возрастает, представляется необходимым отвергнуть более ранние результаты и рассматривать вопрос как все еще требующий дальнейшего исследования. Физики часто принимают 5 2/3 или 5,67 за наилучшее приближение к истине, но очевидно, что новые эксперименты крайне необходимы. Я не могу не думать, что часть тех огромных денежных сумм, которые многие правительства и частные лица потратили на экспедиции по наблюдению прохождения Венеры в 1874 году и которые они, вероятно, потратят снова в 1882 году (стр. 562), была бы лучше распределена на новые определения плотности Земли. Представляется желательным повторить эксперимент Бейли в вакуумной камере и с использованием больших механических усовершенствований, которые прогресс последних сорока лет предоставляет в распоряжение экспериментатора. Было бы также желательно возобновить маятниковые эксперименты Эйри в какой-либо другой глубокой шахте. Возможно, было бы даже хорошо повторить на какой-нибудь подходящей горе наблюдения, выполненные на Шихаллионе. Все эти операции можно было бы провести за стоимость одной из излишних экспедиций по наблюдению прохождения.

С момента установления динамической теории теплоты стало делом величайшей важности точно определить механический эквивалент теплоты, или количество энергии, которое должно быть затрачено или получено при определенном изменении температуры, произведенном в определенном количестве стандартного вещества, такого как вода. Было опробовано не менее семи почти полностью различных способов определения этой константы. Доктор Джоуль впервые установил с помощью трения воды, что для повышения температуры одного килограмма воды на один градус Цельсия мы должны затратить энергию, достаточную для поднятия 424 килограммов на высоту одного метра против силы тяжести на поверхности Земли. Джоуль, Майер, Клаузиус, Фавр и другие экспериментаторы произвели определения менее прямыми методами. Эксперименты с механическими свойствами газов дают 426 килограммометров в качестве константы; работа, совершаемая паровой машиной, дает 413; из теплоты, выделяемой в электрических экспериментах, было получено несколько определений; так, из индуцированных электрических токов мы получаем 452; из электромагнитного двигателя 443; из цепи батареи 420; и из электрического тока — самый низкий результат из всех, а именно 400.

Учитывая разнообразные и во многих случаях трудные методы наблюдения, эти результаты демонстрируют удовлетворительное согласие, и их среднее значение (423,9) очень близко к числу, полученному доктором Джоулем из, по-видимому, наиболее точного метода. Константа, обычно принимаемая за наиболее вероятный результат, составляет 423,55 килограммометра.

Остаточные явления.

Даже когда экспериментальные данные, используемые для проверки теории, достаточно точны, а сама теория обоснована, могут существовать расхождения, требующие дальнейшего исследования. Гершель указал на важность таких нерешенных величин и назвал их остаточными явлениями. Теперь, если наблюдения и теория действительно верны, такие расхождения должны быть обусловлены неполнотой наших знаний о действующих причинах, и окончательное объяснение должно состоять в том, чтобы показать, что в действии находится либо

(1) Какой-то агент известной природы, чье присутствие не подозревалось;

Или (2) Какой-то новый агент неизвестной природы.

В первом случае едва ли можно сказать, что мы совершаем новое открытие, ибо наш конечный успех состоит лишь в согласовании теории с известными фактами, когда наше исследование становится более всесторонним. Но во втором случае мы сталкиваемся с совершенно новым фактом, который может привести нас в области новых открытий. Возьмем пример, приведенный Гершелем. Теория Ньютона и Галлея относительно комет заключалась в том, что они являются гравитирующими телами, вращающимися вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, и возвращение кометы Галлея в 1758 году подтвердило эту теорию. Но когда были проведены точные наблюдения кометы Энке, проверка оказалась не совсем точной. Комета Энке возвращалась каждый раз немного раньше, чем следовало бы, при этом период регулярно уменьшался с 1212,79 дней в период между 1786 и 1789 годами до 1210,44 в период между 1855 и 1858 годами; и была выдвинута гипотеза о том, что существует сопротивляющаяся среда, заполняющая пространство, через которое проходит комета. Эта гипотеза является deus ex machina для объяснения этого единичного явления и не может обладать большой вероятностью, если только не будет показано, что из нее можно вывести другие явления. Многие отождествляли эту среду с той, через которую проходят световые волны, но я не знаю, есть ли что-либо в волновой теории света, что указывало бы на то, что среда будет оказывать сопротивление движущемуся телу. Если профессор Бальфур Стюарт сможет доказать, что вращающийся диск будет испытывать сопротивление в вакуумном приемнике, то вот экспериментальный факт, который отчетливо поддерживает гипотезу. Но тем временем остается открытым вопрос, нельзя ли привлечь другие известные агенты, например, электричество, и я пытался показать, что если, как полагают, хвост кометы является электрическим явлением, то необходимым следствием закона сохранения энергии является то, что комета должна демонстрировать потерю энергии, проявляющуюся в уменьшении ее среднего расстояния от Солнца и периода обращения. Следует добавить, что если теория профессора Тейта верна, что кажется весьма вероятным, и кометы состоят из роев мелких метеоров, то нетрудно объяснить замедление. Давно известно, что совокупность малых тел, движущихся вместе по орбите вокруг центрального тела, будет стремиться упасть на него. В любом случае, таким образом, это остаточное явление, по-видимому, может быть согласовано с известными законами природы.

В других случаях остаточные явления влекли за собой важные выводы, не признанные в то время. Ньютон показал, как можно рассчитать скорость звука в атмосфере с помощью теории импульсов или волн, исходя из наблюдаемого натяжения и плотности воздуха. Он пришел к выводу, что скорость в обычном состоянии атмосферы у поверхности Земли составит 968 футов в секунду, и грубые эксперименты, проведенные им в монастыре Тринити-колледжа, по-видимому, показали, что это недалеко от истины. Впоследствии другими экспериментаторами было установлено, что скорость звука ближе к 1142 футам, и это расхождение, составляющее одну шестую часть от целого, было слишком велико, чтобы приписать его случайным ошибкам в численных данных. Ньютон пытался объяснить это расхождение гипотезами о реакциях молекул воздуха, но безуспешно.

Поскольку время от времени проводились новые исследования скорости звука, как наблюдаемой экспериментально, так и рассчитанной теоретически, было обнаружено, что каждый из результатов Ньютона был неточным: теоретическая скорость составляла 916 футов в секунду, а реальная — около 1090 футов. Расхождение, тем не менее, оставалось таким же серьезным, как и прежде, и только в 1816 году Лаплас показал, что оно обусловлено теплотой, выделяющейся при внезапном сжатии воздуха при прохождении волны, причем эта теплота увеличивает упругость воздуха и ускоряет импульс. Теперь стало понятно, что это расхождение действительно затрагивает доктрину эквивалентности теплоты и энергии, и она была применена Майером, по крайней мере косвенно, для оценки механического эквивалента теплоты. Полученная таким образом оценка удовлетворительно согласуется с прямыми определениями доктора Джоуля и других физиков, так что объяснение остаточного явления, которое упражняло изобретательность Ньютона, теперь завершено и составляет важную часть новой науки термодинамики.

Как заметил Гершель, почти все великие астрономические открытия были сделаны в форме остаточных различий. В хорошо управляемых обсерваториях принято сравнивать положения небесных тел, как они наблюдаются на самом деле, с тем, что можно было бы ожидать теоретически. Эта практика была введена Галлеем, когда он был Королевским астрономом, и его редукция лунных наблюдений дала ряд остаточных ошибок с 1722 по 1739 год, путем изучения которых была улучшена лунная теория. Большинство более крупных астрономических вариаций, возникающих вследствие нутации, аберрации, планетных возмущений, были открыты таким же образом. Прецессия равноденствий была, пожалуй, самым ранним наблюдаемым остаточным различием; систематическое отклонение Урана от его расчетных мест было одним из последних и послужило ключом к замечательному открытию Нептуна. Мы можем также классифицировать как остаточные явления все так называемые собственные движения звезд. Полный звездный каталог, такой как каталог Британской ассоциации, дает большую или меньшую величину собственного движения почти для каждой звезды, состоящую в кажущемся различии положения звезды, полученном из самых ранних и самых поздних хороших наблюдений. Но эти кажущиеся движения часто обусловлены, как объяснил Бейли, автор каталога, ошибками наблюдения и редукции. Во многих случаях лучшие астрономические авторитеты расходились во мнениях относительно самого направления предполагаемого собственного движения звезд, а что касается величины движения, например α Полярной, были сформированы самые разные оценки. Остаточные величины часто бывают настолько малы, что само их существование сомнительно. Только постепенный прогресс теории и измерений ясно покажет, следует ли относить расхождение к случайным ошибкам наблюдения или к какому-то новому явлению. Но ничто не является более необходимым для прогресса науки, чем тщательная запись и исследование таких расхождений. Ни в одной области физической науки мы не можем быть свободны от исключений и нерешенных фактов, которые наше нынешнее знание не может объяснить. Именно среди таких аномалий мы должны искать ключи к новым областям фактов, достойных открытия. Они подобны плавающим обломкам, которые заставили Колумба заподозрить существование нового мира.

ГЛАВА XXVI. ХАРАКТЕР ЭКСПЕРИМЕНТАТОРА.

В нынешнюю эпоху, по-видимому, существует тенденция полагать, что важность индивидуального гения меньше, чем была раньше —

«Индивид увядает, а мир все больше и больше».

Предполагается, что общество теперь приняло столь высокоразвитую форму, что то, что в прошлые времена совершалось одиночными усилиями великого интеллекта, теперь может быть выполнено объединенными трудами армии исследователей. Подобно тому, как хорошо организованная мощь современной армии вытесняет единоборство средневековых рыцарей, так мы должны верить, что объединение интеллектуального труда вытеснило гений Архимеда, Ньютона или Лапласа. Так называемые оригинальные исследования теперь рассматриваются как профессия, принятая сотнями людей и передаваемая системой обучения. Все, что нам нужно для обеспечения дополнений к нашему знанию природы, — это возведение великих лабораторий, музеев и обсерваторий, а также предложение денежных вознаграждений тем, кто может изобрести новые химические соединения, обнаружить новые виды или открыть новые кометы. Несомненно, это не то, что на самом деле имеют в виду выдающиеся люди, которые сейчас призывают правительство к финансированию физических исследований. Они могут иметь в виду лишь то, что чем больше денежная и материальная помощь, оказываемая людям науки, тем больший результат может ожидать от доступного гения страны. Деньги и возможности для обучения не могут создать гения больше, чем солнечный свет и влага могут породить живые существа; необъяснимый зародыш отсутствует в обоих случаях. Но поскольку, когда зародыш присутствует, растение будет расти более или менее энергично в зависимости от обстоятельств, в которые оно помещено, можно допустить, что денежная помощь может способствовать развитию интеллекта. Общественное мнение, однако, не является разборчивым и, вероятно, истолкует агитацию за финансирование науки как означающую, что науку можно получить за деньги.

Все подобные представления ошибочны. Ни в одной области человеческих дел, ни в политике, войне, литературе, промышленности, ни в науке влияние гения не является менее значительным, чем было раньше. Возможно, что расширение и организация научных исследований, подкрепленные печатным станком и ускоренными средствами связи, увеличили быстроту, с которой новые открытия становятся известными, а их детали прорабатываются многими головами и руками. Дарвин теперь не успевает выдвинуть оригинальные идеи относительно эволюции живых существ, как эти идеи обсуждаются, иллюстрируются и применяются натуралистами в любой части мира. В прежние времена его открытия были бы скрыты на десятилетия в редких рукописях, и прошли бы поколения, прежде чем его теория получила бы такое же количество критики и подтверждений, как то, которое она уже получила. Результат заключается в том, что гений Дарвина более ценен, а не менее ценен, чем был бы ранее. Развитие военной науки и организация огромных армий не уменьшили ценность искусного генерала; напротив, рядовой состав еще больше, чем раньше, нуждается в направляющей силе дальновидного интеллекта. Быстрое уничтожение французской военной мощи было обусловлено не только совершенством германской армии и не только гением Мольтке; оно было обусловлено сочетанием хорошо дисциплинированного множества с лидером высочайших способностей. Так и во всех областях человеческих дел влияние индивида не увядает, а растет вместе с объемом материальных ресурсов, находящихся в его распоряжении.

Обращаясь к нашей собственной теме, представляет интерес, который не уменьшается, размышление о тех качествах ума, которые ведут к великим успехам в естественном знании. Ничто, действительно, не поддается научному анализу и объяснению меньше, чем гений. Даже определение здесь неуместно. Бюффон сказал, что «гений — это терпение», и, безусловно, терпение является одним из его самых необходимых компонентов. Но никто не может предположить, что только терпеливый труд неизменно приведет к тем выдающимся результатам, которые мы приписываем гению. В каждой области науки, литературы, искусства или промышленности есть тысячи мужчин и женщин, которые работают с непрестанным терпением и тем самым обеспечивают умеренный успех; но было бы абсурдно предполагать, что равные объемы интеллектуального труда приносят равные результаты. Ньютон может скромно приписывать свои открытия трудолюбию и терпеливому размышлению, и есть основания полагать, что гений бессознателен и неспособен отчитаться за свои собственные особые способности. Поскольку гений по существу творческий и состоит в отклонении от обычных путей мышления и действия, он неизбежно должен быть явлением, лежащим за пределами области законов природы. Тем не менее, всегда является интересной и поучительной работой проследить, насколько это возможно, характеристики ума, с помощью которых были достигнуты великие открытия, и мы найдем в этом анализе многое, что иллюстрирует принципы научного метода.

Ошибка бэконовского метода.

Сотни исследователей могут быть постоянно заняты экспериментальным поиском; они могут составлять бесчисленные записные книжки, полные научных фактов, и бесконечные таблицы численных результатов; но если взгляды на индукцию, поддерживаемые здесь, верны, они никогда не смогут только такой работой подняться до новых и великих открытий. С помощью системы исследований они могут дедуктивно проработать детали предыдущего открытия, но прийти к новому принципу природы — это другое дело. Фрэнсис Бэкон распространил представление о том, что для продвижения науки мы должны начать с накопления фактов, а затем извлекать из них, путем процесса переваривания, последовательные законы все большей и большей общности. Протестуя против ложного метода схоластических логиков, он преувеличил частично верную философию, пока она не стала такой же ложной, как та, что предшествовала ей. Его представление о научном методе было своего рода научной бухгалтерией. Факты должны были без разбора собираться из каждого источника и заноситься в гроссбух, из которого со временем возник бы баланс истины. Трудно представить менее вероятный способ прийти к великим открытиям. Чем больше массив фактов, тем меньше вероятность того, что они с помощью какой-либо рутинной системы классификации раскроют законы природы, которые они воплощают. Исчерпывающая классификация во всех возможных порядках невозможна, потому что возможные порядки практически бесконечны по количеству.

Именно перед взглядом философского ума факты должны раскрыть свое значение и выстроиться в логический порядок. Естествоиспытатель должен поэтому обладать, во-первых, умом впечатлительного характера, который затрагивается малейшим исключительным явлением. Его способности к ассоциации и идентификации должны быть велики, то есть странный факт должен подсказывать его уму все, что подобного рода ранее встречалось в его опыте. Его воображение должно быть активным и представлять его уму множество отношений, в которых необъясненные факты могут, возможно, находиться по отношению друг к другу или к более обычным фактам. Затем должны вступить в игру верные и энергичные способности дедуктивного рассуждения, позволяющие ему сделать вывод о том, что произойдет при каждом предполагаемом условии. Наконец, и прежде всего, должна быть любовь к определенности, ведущая его усердно и с полной откровенностью сравнивать свои спекуляции с проверкой фактами и экспериментом.

Свобода теоретизирования.

Было бы ошибкой полагать, что великий первооткрыватель сразу схватывает истину или имеет какой-либо безошибочный метод ее угадывания. По всей вероятности, ошибки великого ума превышают по количеству ошибки менее энергичного. Плодотворность воображения и обилие догадок об истине являются одними из первых требований открытия; но ошибочные догадки должны быть во много раз многочисленнее тех, которые оказываются хорошо обоснованными. Самые слабые аналогии, самые причудливые представления, самые, казалось бы, абсурдные теории могут проходить через кишащий мозг, и не останется записи даже о сотой их части. Нет ничего действительно абсурдного, кроме того, что оказывается противоречащим логике и опыту. Самые истинные теории включают предположения, которые немыслимы, и никакие ограничения действительно не могут быть наложены на свободу гипотезы.

Кеплер — необычайный пример в этом отношении. Никакие второстепенные законы природы не установлены более твердо, чем те, которые он обнаружил относительно орбит и движений планетных масс, и на этих эмпирических законах была основана теория тяготения. Если бы мы не узнали из его собственных сочинений о множестве ошибок, в которые он впал, мы могли бы вообразить, что он обладал какой-то особой способностью схватывать истину. Но, как хорошо известно, он был полон химерических представлений; его любимая и долго изучаемая теория была основана на причудливой аналогии между планетными орбитами и правильными телами. Его знаменитые законы были результатом целой жизни спекуляций, по большей части тщетных и беспочвенных. Мы знаем это, потому что он испытывал любопытное удовольствие, останавливаясь на ошибочных и тщетных ходах рассуждений, которые большинство людей предают забвению. Но имя Кеплера было суждено стать бессмертным благодаря терпению, с которым он подвергал свои гипотезы сравнению с наблюдениями, откровенности, с которой он признавал провал за провалом, и настойчивости и изобретательности, с которыми он возобновлял свою атаку на загадки природы.

Сразу после Кеплера, пожалуй, Фарадей является тем физиком-философом, который дал нам наилучшее представление о прогрессе открытия, записывая ошибочные, а также успешные спекуляции. Записанные представления, действительно, вероятно, составляют лишь десятую часть тех фантазий, которые возникали в его активном мозгу. Как сказал сам Фарадей: «Мир мало знает о том, сколько мыслей и теорий, прошедших через ум научного исследователя, было подавлено в тишине и секретности его собственной суровой критикой и неблагоприятным рассмотрением; что в самых успешных случаях не реализовалась и десятая часть предложений, надежд, желаний, предварительных выводов».

Тем не менее, в исследованиях Фарадея, опубликованных в Philosophical Transactions, в небольших статьях, в рукописных записных книжках или в других материалах, обнародованных в его интересной биографии доктором Бенсом Джонсом, мы находим бесценные уроки для экспериментатора. Эти сочинения полны спекуляций, которые мы не должны судить в свете последующих открытий. Возможно, можно сказать, что Фарадей доверил печатному станку сырые идеи, которые друг посоветовал бы ему придержать. В его представлениях иногда присутствовала даже дикость и расплывчатость, которые у менее осторожного экспериментатора были бы фатальны для достижения истины. Это особенно заметно в любопытной статье, касающейся лучевых вибраций; но, к счастью, Фарадей осознавал призрачный характер своих спекуляций и выразил это чувство словами, которые необходимо процитировать. «Я думаю, — говорит он, — что сделал много ошибок на предыдущих страницах, ибо даже мне самому мои идеи по этому пункту кажутся лишь тенью спекуляции или одним из тех впечатлений на ум, которые допустимы на время в качестве руководства к мысли и исследованию. Тот, кто трудится в экспериментальных исследованиях, знает, как многочисленны они и как часто их кажущаяся пригодность и красота исчезают перед прогрессом и развитием реальной природной истины». Если, таким образом, у экспериментатора нет царского пути к открытию истины, то интересным делом является рассмотреть, с помощью какой логической процедуры он достигает истины.

Если я придерживаюсь правильного взгляда на логический метод, то на самом деле не существует такой вещи, как отдельный процесс индукции. Вероятность бесконечно мала, что совокупность сложных фактов попадет в расположение, способное непосредственно продемонстрировать законы, которым они подчиняются. Математик мог бы с таким же успехом ожидать интегрирования своих функций с помощью избирательной урны, как экспериментатор — извлечения глубоких истин из случайных испытаний. Вся индукция есть лишь обратное применение дедукции, и именно благодаря необъяснимому действию одаренного ума множество разнородных фактов выстраивается в светящийся порядок как результаты некоторого равномерно действующего закона. Настолько различны, действительно, качества ума, требуемые в разных отраслях науки, что было бы абсурдно пытаться дать исчерпывающее описание характера ума, который ведет к открытию. Труды Ньютона не могли бы быть выполнены без ума величайшего математического гения; Фарадей, с другой стороны, сделал самые обширные дополнения к человеческому знанию, не выходя за рамки обычной арифметики. Я не помню, чтобы встречал в сочинениях Фарадея хотя бы одну алгебраическую формулу или математическую задачу какой-либо сложности. Профессор Клерк Максвелл, действительно, в предисловии к своему новому «Трактату об электричестве» настоятельно рекомендовал чтение исследований Фарадея всем студентам науки и высказал свое мнение, что, хотя Фарадей редко или никогда не использовал математические формулы, его методы и концепции были не менее математическими по своей природе. Я сам протестовал против преобладающей путаницы между математической и точной наукой, однако я, безусловно, думаю, что эксперименты Фарадея были по большей части качественными, а его математические идеи были рудиментарного характера. Правда, он не мог бы исследовать такой предмет, как магне-кристаллическое действие, не вовлекая себя в геометрические отношения некоторой сложности. Тем не менее, я думаю, что ему не хватало математической дедуктивной силы, той силы, которая так высоко развита современной системой математического обучения в Кембридже.

Фарадей был знаком с формами своих знаменитых линий силы, но я не знаю, чтобы он когда-либо вникал в алгебраическую природу этих кривых, и я чувствую уверенность, что он не смог бы объяснить их формы как зависящие от результирующих притяжений всех магнитных частиц. Существуют даже случайные указания на то, что он не понимал некоторых более простых математических доктрин современной физической науки. Хотя он так ясно предвидел корреляцию физических сил и так усердно трудился своими собственными руками, чтобы связать гравитацию с другими силами, сомнительно, понимал ли он доктрину сохранения энергии применительно к гравитации. Фарадей, вероятно, был равен Ньютону в экспериментальном мастерстве и в том особом роде дедуктивной силы, которая ведет к изобретению простых качественных экспериментов; но должно быть признано, что он проявил мало той математической силы, которая позволила Ньютону интуитивно следовать за количественными результатами сложной задачи с такой удивительной легкостью. Два примера, Ньютон и Фарадей, достаточны, чтобы показать, что умы широко различной конфигурации встретятся с подходящими областями исследования. Тем не менее, существуют определенные черты, которые мы можем обнаружить во всех высших научных умах.

Ньютоновский метод, Истинный Органон.

Лаплас был того мнения, что «Principia» и «Opticks» Ньютона предоставляют лучшие из доступных тогда моделей тонкого искусства экспериментального и теоретического исследования. В них, как он говорит, мы встречаем самые счастливые иллюстрации того, как из ряда индукций мы можем подняться к причинам явлений, а оттуда спуститься снова ко всем результирующим деталям.

Популярное представление об открытиях Ньютона заключается в том, что в ранней молодости, когда он был изгнан в деревню Великой чумой, падающее яблоко случайно подсказало ему существование гравитации, и что, воспользовавшись этой подсказкой, он был приведен к открытию закона гравитации, объяснение которого составляет «Principia». Трудно представить более нелепую и неадекватную картину трудов Ньютона. Никакой оригинальности, или, по крайней мере, приоритета, не претендовал Ньютон в отношении открытия закона обратных квадратов, так тесно связанного с его именем. В хорошо известной схолии он признает, что сэр Кристофер Рен, Гук и Галлей по отдельности наблюдали соответствие третьего закона движения Кеплера принципу обратных квадратов.

Работа Ньютона на самом деле заключалась в развитии методов дедуктивного рассуждения и экспериментальной проверки, с помощью которых только великие гипотезы могут быть приведены к пробному камню факта. Архимед был величайшим из древних философов, ибо он показал, как математическая теория может быть соединена с физическими экспериментами; и его работы являются первым истинным Органоном. Ньютон — современный Архимед, а «Principia» формирует истинный Novum Organum научного метода. Законы, которые он установил, велики, но его пример способа их установления еще более велик. За исключением, пожалуй, химии и электричества, едва ли найдется прогрессивная отрасль физической и математической науки, которая не была бы развита из зародышей истинной научной процедуры, раскрытых им в «Principia» или «Opticks». Покоренные успехом его теории всемирного тяготения, мы склонны забывать, что в своей теории звука он инициировал математическое исследование волн и взаимного действия частиц; что в своей корпускулярной теории света, как бы ошибочна она ни была, он впервые рискнул применить математический расчет к молекулярным притяжениям и отталкиваниям; что в своих призматических экспериментах он показал, как далеко может быть доведена экспериментальная проверка; что в своем исследовании цветных колец, названных его именем, он совершил самый замечательный пример точного измерения из известных до сих пор, простое практическое применение которого Физо недавно счел достойным медали Королевского общества. Мы только постепенно узнаем, насколько полным было его научное прозрение; несколько слов в его третьем законе движения демонстрируют его знакомство с фундаментальными принципами современной термодинамики и сохранения энергии, в то время как давно упущенные из виду рукописи доказывают, что в своих исследованиях относительно атмосферной рефракции он преодолел основные трудности применения теории к одной из самых сложных физических проблем.

В конце концов, только изучая то, как он совершал открытия, мы можем правильно оценить его величие. «Principia» трактует не столько о гравитации, сколько о силах в целом и методах рассуждения о них. Он исследует не одну гипотезу, а механические гипотезы в целом. Ничто так не поражает читателя работы, как исчерпывающий характер его трактовки и безграничная сила его прозрения. Если он трактует о центральных силах, то это не один закон силы, который он обсуждает, а многие, или почти все мыслимые законы, результаты каждого из которых он набрасывает в нескольких многозначительных словах. Если его предмет — сопротивляющаяся среда, то это не только воздух или вода, а сопротивляющиеся среды в целом. У нас есть хороший пример его метода в схолии к двадцать второй пропозиции второй книги, в которой он быстро пробегает по многим предположениям относительно законов сжимающих сил, которые могли бы мыслимо действовать в атмосфере газа, причем из каждого случая извлекается следствие, и в конечном итоге выбирается та гипотеза, которая дает результаты, согласующиеся с экспериментами по давлению и плотности земной атмосферы.

Ньютон сказал, что он не измышляет гипотез, но, в действительности, большая часть «Principia» является чисто гипотетической, воображаются бесконечные разновидности причин и законов, которые не имеют аналога в природе. Самые гротескные гипотезы Кеплера или Декарта не были более воображаемыми. Но понимание логического метода Ньютоном было совершенным; никакая гипотеза не принималась, если она не была определенной в условиях и не допускала бесспорного дедуктивного рассуждения; и ценность каждой гипотезы полностью решалась сравнением ее следствий с фактами. Я не сомневаюсь, что общий ход его процедуры идентичен тому взгляду на природу индукции как обратного применения дедукции, который я отстаиваю на протяжении всей этой книги. Фрэнсис Бэкон считал, что наука должна основываться на опыте, но он ошибся в истинном способе использования опыта и, пытаясь применить свой метод, нелепо потерпел неудачу. Ньютон не менее основывал свой метод на опыте, но он схватил истинный метод обращения с ним и применил его с силой и успехом, не имеющими равных с тех пор. Большая ошибка говорить, что современная наука — это результат бэконовской философии; именно ньютоновская философия и ньютоновский метод привели ко всем великим триумфам физической науки, и я повторяю, что «Principia» формирует истинный «Novum Organum».

Приводя свои теории к решающей экспериментальной проверке, Ньютон демонстрировал, как общее правило, изысканное мастерство и изобретательность. В его руках несколько простых частей аппаратуры заставляли давать результаты, включающие неожиданную глубину смысла. Его самым красивым экспериментальным исследованием было то, с помощью которого он доказал различную преломляемость лучей света. Предполагать, что он первоначально открыл способность призмы расщеплять пучок белого света, было бы ошибкой, ибо он говорит о приобретении стеклянной призмы, чтобы попробовать «знаменитые явления цветов». Но мы, безусловно, обязаны ему теорией о том, что белый свет — это смесь лучей, различающихся по преломляемости, и что света, различающиеся по цвету, различаются также по преломляемости. Другие люди могли бы задумать эту теорию; на самом деле, любой человек, рассматривающий преломление как количественный эффект, должен видеть, что разные части спектра претерпели разные величины преломления. Но сила Ньютона проявляется в упорстве, с которым он следовал за своей теорией во всякое следствие и проверял каждый результат простым, но убедительным экспериментом. Он сначала показывает, что разноцветные пятна смещаются на разные величины при просмотре через призму и что их изображения приходят в фокус на разных расстояниях от линзы, как они и должны делать, если преломляемость различалась. После исключения многими экспериментами множества безразличных обстоятельств, он фиксирует свое внимание на вопросе, являются ли лучи просто разбитыми, потревоженными и рассеянными случайным образом, как полагал Гримальди, или существует постоянная связь между цветом и преломляемостью.

Если Гримальди был прав, можно было ожидать, что часть спектра, взятая отдельно и подвергнутая второму преломлению, претерпит новое расщепление и произведет какой-то новый спектр. Ньютон вывел из своей собственной теории, что конкретный луч спектра будет иметь постоянную преломляемость, так что вторая призма будет лишь преломлять его больше или меньше, но не рассеивать его далее в какой-либо значительной степени. Просто отсекая большую часть лучей спектра экраном и позволяя оставшемуся узкому лучу упасть на вторую призму, он доказал истинность этого вывода; а затем, медленно поворачивая первую призму, чтобы изменить цвет луча, падающего на вторую, он обнаружил, что пятно света, образованное дважды преломленным лучом, перемещалось вверх и вниз, что является осязаемым доказательством того, что величина преломляемости варьируется в зависимости от цвета. Для своего дальнейшего удовлетворения он иногда преломлял свет в третий или четвертый раз и обнаружил, что он может быть преломлен вверх, вниз или в сторону, и все же для каждого цвета существовала определенная величина преломления через каждую призму. Он завершил доказательство, показав, что разделенные лучи могут быть снова собраны в белый свет перевернутой призмой, так что никакое количество преломлений не изменяет характер света. Полученный таким образом вывод служит для объяснения путаницы, возникающей при использовании обычной линзы; он показывает, что с однородным светом существует один отчетливый фокус, со смешанным светом — бесконечное количество фокусов, которые препятствуют получению четкого вида в любой точке.

Что поражает читателя «Opticks», так это настойчивость, с которой Ньютон следует за следствиями заранее задуманной теории и проверяет одно представление удивительным разнообразием простых сравнений с фактом. Легкость, с которой он изобретает новые комбинации и предвидит результаты, впоследствии подтвержденные, производит непреодолимое убеждение у читателя, что он обладает истиной. И это, безусловно, теория, которая ведет его к экспериментам, большинство из которых едва ли могли быть придуманы случайно. Ньютон фактически отмечает, что именно путем математического определения всех видов явлений цветов, которые могли быть произведены преломлением, он «изобрел» почти все эксперименты в книге, и он обещает, что другие, кто будет «рассуждать истинно» и пробовать эксперименты с осторожностью, не будут разочарованы в результатах.

Философский метод Гюйгенса был таким же, как у Ньютона, и исследование Гюйгенсом двойного лучепреломления предоставляет почти столь же красивые примеры теории, направляющей эксперимент. Насколько нам известно, двойное лучепреломление было впервые обнаружено случайно и было описано Эразмом Бартолином в 1669 году. Явление тогда казалось совершенно исключительным, а законы, управляющие двумя путями преломленных лучей, были настолько неочевидны и сложны, что Ньютон совершенно неправильно понял это явление, и только в конце прошлого века ученые начали понимать его законы.

Тем не менее, Гюйгенс с редким гением пришел к истинной теории еще в 1678 году. Он рассматривал свет как волнообразное движение какой-то среды, и в своем Traité de la Lumière он указал, что при обычном преломлении скорость распространения волны одинакова во всех направлениях, так что фронт наступающей волны сферический и достигает равных расстояний за равные времена. Но в кристаллах, как он предполагал, среда была бы неодинаковой упругости в разных направлениях, так что возмущение достигало бы неравных расстояний за равные времена, и произведенная волна имела бы сфероидальную форму. Гюйгенс не был удовлетворен непроверенной теорией. Он рассчитал, что может произойти, когда кристалл исландского шпата разрезается в различных направлениях, и он говорит: «Я подробно исследовал свойства необычного преломления этого кристалла, чтобы увидеть, будет ли каждое явление, которое выводится из теории, согласуваться с тем, что действительно наблюдается. И если это так, то это немалое доказательство истинности наших предположений и принципов; но то, что я собираюсь добавить здесь, подтверждает их еще более чудесно; а именно, различные способы резки этого кристалла, в которых произведенные поверхности дают начало преломлению в точности такому, каким оно должно быть, и как я предвидел их согласно предыдущей теории».

Ошибочная корпускулярная теория света Ньютона стала причиной того, что теории и эксперименты Гюйгенса игнорировались более века; но нелегко представить более красивое или успешное применение истинного метода индуктивного исследования, где теория направляет эксперимент, и все же полностью полагается на эксперимент для подтверждения.

Откровенность и мужество философского ума.

Полная готовность отвергнуть теорию, несовместимую с фактом, является первичным требованием философского ума. Но было бы ошибкой полагать, что эта откровенность имеет что-то общее с непостоянством; напротив, готовность отвергнуть ложную теорию может сочетаться с особым упорством и мужеством в поддержании гипотезы до тех пор, пока ее ложность не станет фактически очевидной. Не должно быть, действительно, никаких предрассудков или предубеждений, искажающих ум и заставляющих его игнорировать нежелательные результаты эксперимента. Должна быть та скрупулезная честность и гибкость ума, которая придает адекватную ценность всем доказательствам; действительно, чем больше человек любит свою теорию, тем более скрупулезным должно быть его внимание к ее недостаткам. В жизни часто встречаются теоретики, которые, долго размышляя над одной теорией, позволили ей сформировать свой ум и сделать их неспособными воспринимать что-либо, кроме как вклад в истину их одной теории. Узкий и интенсивный ход мысли иногда может привести к великим результатам, но принятие неверной теории в самом начале в таком уме неисправимо. Человек одной идеи имеет лишь один шанс на истину. Плодотворный первооткрыватель, напротив, выбирает между многими теориями и никогда не бывает привязан ни к одной, если только беспристрастное и повторное сравнение не убедило его в ее обоснованности. Он не выбирает, а затем сравнивает; но он сравнивает раз за разом, а затем выбирает.

Однажды сознательно выбрав, философ может по праву придерживаться своей теории с величайшей верностью. Он не проигнорирует ни одного возражения; ибо он может в любой момент встретить фатальное; но он будет иметь в виду незначительные способности человеческого ума по сравнению с задачами, которые ему предстоит решать. Он увидит, что ни одна теория не может быть сначала согласована со всеми возражениями, потому что могут существовать многие мешающие причины, и сами следствия теории могут иметь сложность, которую длительное исследование последующими поколениями людей может не исчерпать. Если, таким образом, теория демонстрирует ряд поразительных совпадений с фактом, ее нельзя отбрасывать, пока не будет доказано по крайней мере одно решающее расхождение, с учетом возможной ошибки в установлении этого расхождения. В науке и философии чем-то приходится рисковать. Тот, кто пасует перед малейшей трудностью, никогда не установит новую истину, и не было нефилософским замечание Лесли относительно его собственных исследований природы теплоты —

«В ходе исследования я был вынужден отказаться от некоторых предвзятых представлений; но я не оставлял их поспешно, и не раньше, чем после теплой и упорной защиты, я был вытеснен с каждого поста».

Жизнь Фарадея, опять же, предоставляет самые интересные иллюстрации этого упорства философского ума. Хотя он был так откровенен в отвержении некоторых теорий, были другие, за которые он цеплялся вопреки всему. Одно из его любимых представлений привело к блестящему открытию; другое остается под сомнением по сей день.

Философский характер Фарадея.

В исследованиях Фарадея относительно связи магнетизма и света мы находим отличный пример упорства, с которым любимая теория может преследоваться до тех пор, пока результаты эксперимента не опровергнут ясно принятые представления. В чисто количественных вопросах, как мы видели, отсутствие видимого эффекта редко может рассматриваться как доказательство отсутствия всякого эффекта. Теперь Фарадей был убежден, что между магнетизмом и светом должна существовать какая-то взаимная связь. Еще в 1822 году он пытался произвести эффект на луч поляризованного света, пропуская его через воду, помещенную между полюсами вольтовой батареи; но он был вынужден записать, что не наблюдалось ни малейшего эффекта. В течение многих лет предмет, как нам говорят, снова и снова возникал в его уме, и никакая неудача не могла заставить его отказаться от поиска этой неизвестной связи. Именно в 1845 году он добился первого успеха; 30 августа он начал работать с обычным электричеством, тщетно пробуя стекло, кварц, исландский шпат и т. д. Несколько дней труда не дали результата; все же он не отступил. Тяжелое стекло, прозрачная среда с большой преломляющей способностью, состоящая из бората свинца, было теперь опробовано, будучи помещенным между полюсами мощного электромагнита, в то время как луч поляризованного света пропускался через него. Когда полюса электромагнита были расположены в определенных позициях по отношению к исследуемому веществу, никаких эффектов не было заметно; но наконец Фарадею посчастливилось поместить кусок тяжелого стекла так, что противоположные магнитные полюса оказались на одной стороне, и теперь был засвидетельствован эффект. Было обнаружено, что стекло обладает способностью скручивать плоскость поляризации луча света.

Все записанные мысли Фарадея об этом великом эксперименте представляют исключительный интерес. Он приписывает свой успех убеждению, почти граничащему с уверенностью, в том, что различные формы, в которых проявляются силы материи, имеют одно общее происхождение и настолько непосредственно связаны и взаимозависимы, что способны переходить друг в друга. «Это твердое убеждение, — говорит он, — распространялось и на силы света и привело к многочисленным усилиям, целью которых было открытие прямой связи между светом и электричеством. Эти безрезультатные усилия не смогли поколебать мое твердое убеждение, и в конце концов я преуспел». Он описывает это явление несколько образным языком как намагничивание луча света, а также как освещение магнитной кривой или силовой линии. Едва добившись эффекта в одном случае, он, с присущей ему широтой охвата исследований, приступает к проверке существования подобного явления во всех доступных веществах. Он обнаруживает, что не только тяжелое стекло, но и твердые тела, и жидкости, кислоты и щелочи, масла, вода, спирт, эфир — все обладают этим свойством; однако он не смог обнаружить его существование ни в одном газообразном веществе. Его мысли невольно переходят к любопытным предположениям о возможных результатах действия этой силы в определенных случаях. «Какой эффект, — говорит он, — оказывает эта сила в недрах Земли, где магнитные кривые Земли пронизывают ее вещество? А также какой эффект в магните?» И затем он приходит к странной мысли, что, возможно, эта сила стремится сделать железо и оксид железа прозрачными — явление, которое никогда не наблюдалось. Мы не можем встретить ничего более поучительного относительно хода мысли, с помощью которой совершаются великие открытия, чем эти записи терпеливых трудов Фарадея, его разнообразных успехов и неудач. Не менее интересны и не менее достойны изучения его неудачные эксперименты по установлению связи между гравитацией и электричеством.

На протяжении значительной части своей жизни Фарадей был одержим идеей о том, что гравитация не может быть не связана с другими силами природы. 19 марта 1849 года он записал в своем лабораторном журнале: «Гравитация. Неужели эта сила не может иметь экспериментально доказуемой связи с электричеством, магнетизмом и другими силами, чтобы быть связанной с ними взаимным действием и эквивалентным эффектом?» Он заполнил двадцать с лишним параграфов размышлениями и предложениями относительно способа изучения этого предмета экспериментальным путем. Он предполагал, что взаимное сближение двух тел будет развивать в них электричество, или что тело, падающее через проводящую спираль, возбудит ток, меняющий направление при изменении направления движения. «Все это мечта, — замечает он, — но все же проверьте ее несколькими экспериментами. Ничто не является слишком удивительным, чтобы быть правдой, если оно согласуется с законами природы; и в таких вещах, как эти, эксперимент является лучшим критерием такой согласованности».

Он выполнил множество трудных и утомительных экспериментов, которые описаны в 24-й серии «Экспериментальных исследований». Результат был нулевым, и все же он заключает: «На этом мои испытания пока заканчиваются. Результаты отрицательны; они не поколебали моего твердого ощущения существования связи между гравитацией и электричеством, хотя они и не дают доказательств того, что такая связь существует».

Он вернулся к этой работе десять лет спустя, в 1858–1859 годах, записав множество примечательных размышлений и экспериментов. Его поразил тот факт, что электричество по своей сути является двойственной силой, и Фарадей всегда был убежден, что ни одно тело не может быть электризовано положительно без того, чтобы какое-либо другое тело не стало электризованным отрицательно; некоторые из его исследований были простым развитием этого отношения. Но, заметив, что между двумя взаимно притягивающимися телами нет явного обстоятельства, определяющего, какое из них должно быть положительным, а какое отрицательным, он не колеблясь ставит под сомнение старое мнение. «Развитие одного электричества было бы новой и очень примечательной вещью. Эта идея бросает тень сомнения на все; но все же попробуйте, ибо кто знает, что возможно при работе с гравитацией?» Мы не можем не заметить откровенности, с которой он таким образом признает в своем лабораторном журнале сомнительность всего этого, и все же готов, как в последней надежде, ставить эксперименты вопреки всему своему предыдущему опыту хода природы. Некоторое время его мысли текут так, будто странное открытие уже сделано, и ему остается только проследить его последствия во всей Вселенной. «Давайте подбодрим себя еще немного воображением перед экспериментом», — говорит он; и затем он размышляет о бесконечности действий в природе, в которых взаимные отношения электричества и гравитации могли бы проявиться; он рисует в своем воображении планеты и кометы, заряжающиеся по мере приближения к Солнцу; каскады, дождь, поднимающийся пар, циркулирующие потоки атмосферы, испарения вулкана, дым в дымоходе — все это становится электрическими машинами. Множество событий и изменений в атмосфере, кажется, сразу проясняются такими действиями; на мгновение его грезы приобретают яркость факта. «Я думаю, мы были тупы и слепы, не заподозрив подобных результатов», — и он быстро суммирует последствия своей великой, но воображаемой теории: совершенно новый способ возбуждения тепла или электричества, совершенно новое отношение естественных сил, анализ гравитации и обоснование сохранения силы.

Таковы были самые заветные мечты Фарадея о том, что могло бы быть, и для многих философов они послужили бы достаточным основанием для написания великой книги. Но воображение Фарадея было полностью под его контролем; как он сам говорит: «Пусть воображение идет, охраняемое суждением и принципом, сдерживаемое и направляемое экспериментом». Его мечты вскоре приняли весьма практическую форму, и в течение многих дней он неустанно трудился на лестнице Королевского института, в часовой башне здания Парламента или на вершине башни для литья дроби в Саутуарке, поднимая и опуская тяжелые грузы, комбинируя электрические спирали и провода всеми мыслимыми способами. Его мастерство и многолетний опыт в экспериментах были серьезно испытаны, чтобы исключить влияние земного магнетизма, и раз за разом он спасал себя от принятия ошибочных показаний, которые другому человеку могли бы показаться окончательными подтверждениями его теории. Когда все было сделано, результатов не осталось вовсе. «Эксперименты, — говорит он, — были хорошо сделаны, но результаты отрицательны»; и все же он добавляет: «Я не могу принять их как окончательные». В таком положении вопрос остается и по сей день; возможно, эффект был слишком слаб, чтобы его обнаружить, или, возможно, принятые устройства не подходили для развития той конкретной связи, которая существует, подобно тому как Эрстед не мог обнаружить электромагнетизм, пока его провод был перпендикулярен плоскости движения его стрелки. Но это не те вопросы, которые нас здесь больше касаются. Нам остается лишь отметить глубокое убеждение в единстве законов природы, активные способности к выводу и воображению, безграничную свободу теоретизирования, сочетающуюся, прежде всего, с величайшим усердием в экспериментальной проверке, которые демонстрирует это замечательное исследование.

Воздержание от суждения.

Существует еще одна характеристика, необходимая философскому уму; это способность воздерживаться от суждения, когда данных недостаточно. Многие люди выскажут уверенное мнение по почти любому вопросу, который перед ними поставлен, но тем самым они проявляют не силу, а узость ума. Увидеть все стороны сложного предмета и правильно взвесить все различные факты и вероятности требует недюжинных способностей к пониманию. Поэтому чаще всего именно философский ум пребывает в сомнении, а невежественный ум готов к решительному выводу. Фарадей сам сказал в очень интересной лекции: «Периодически и часто упражнение суждения должно заканчиваться абсолютным воздержанием. Может быть очень неприятно и утомительно откладывать заключение; но поскольку мы не непогрешимы, мы должны быть осторожны; в конечном итоге мы найдем свою выгоду, ибо человек, который остается на своей позиции, не так далек от истины, как тот, кто, двигаясь в неверном направлении, постоянно увеличивает свое расстояние».

Араго представил яркий пример этого высокого качества ума, как отмечает Фарадей; ибо когда он обнародовал свое любопытное открытие отношения магнитной стрелки к вращающейся медной пластине, ряд предполагаемых людей науки в разных странах немедленно дали уверенные объяснения этому, которые все были неверны. Но Араго, который сам открыл это явление и лично исследовал его условия, отказался публично выдвигать какую-либо теорию вообще.

В то же время мы не должны полагать, что истинно философский ум может мириться с состоянием сомнения, пока остается шанс на решение. В науке невозможен никакой компромисс, и истина должна быть единой. Следовательно, сомнение — это признание невежества, и оно влечет за собой болезненное чувство неспособности. Но сомнение лежит между ошибкой и истиной, так что если мы выбираем неверно, мы оказываемся дальше от нашей цели, чем когда-либо.

Подводя итог, можно сказать, что ум великого первооткрывателя должен сочетать в себе противоречивые качества. Он должен быть богат теориями и гипотезами, и в то же время полон фактов и точных результатов опыта. Он должен допускать самые слабые аналогии и самые простые догадки об истине, и в то же время он должен считать их бесполезными, пока они не будут проверены в эксперименте. Когда есть какие-либо основания для вероятности, он должен упорно держаться старого мнения, и в то же время он должен быть готов в любой момент отказаться от него, когда сталкивается с явно противоречащим фактом. «Философ, — говорит Фарадей, — должен быть человеком, готовым выслушать любое предложение, но решившим судить самостоятельно. Он не должен быть предвзятым из-за внешних проявлений; не иметь любимой гипотезы; не принадлежать ни к какой школе; и в доктрине не иметь учителя. Он не должен быть уважающим лица, но вещи. Истина должна быть его главной целью. Если к этим качествам добавить трудолюбие, он действительно может надеяться войти под завесу храма природы».

КНИГА V. ОБОБЩЕНИЕ, АНАЛОГИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ.

ГЛАВА XXVII. ОБОБЩЕНИЕ.

Я стремился показать в предыдущих главах, что всякое индуктивное рассуждение является обратным применением дедуктивного рассуждения и состоит в демонстрации того, что следствия определенных предполагаемых законов согласуются с фактами природы, собранными путем активного или пассивного наблюдения. Фундаментальный процесс рассуждения, как было сказано в начале, состоит в том, чтобы выводить о вещи то, что мы знаем о подобных объектах, и именно на этом принципе основано все дедуктивное рассуждение, будь то просто логическое или математико-логическое. Всякое индуктивное рассуждение должно быть основано на том же принципе. Может показаться, что с помощью простого использования этого принципа мы могли бы избежать сложных процессов индукции и дедукции и рассуждать непосредственно от одного частного случая к другому, как предлагал Милль. Если Земля, Венера, Марс, Юпитер и другие планеты движутся по эллиптическим орбитам, не можем ли мы обойтись без сложных предосторожностей и утверждать, что Нептун, Церера и последняя открытая планета должны делать то же самое? Разве мы не знаем, что мистер Гладстон должен умереть, потому что он похож на других людей? Не можем ли мы утверждать, что, поскольку некоторые люди умирают, поэтому он должен? Требуется ли восходить путем индукции к общему положению «все люди должны умереть», а затем нисходить путем дедукции от этого общего положения к случаю мистера Гладстона? Мой ответ, несомненно, заключается в том, что мы должны восходить к общим положениям. Фундаментальный принцип подстановки подобных не дает нам права утверждать о мистере Гладстоне то, что мы знаем о других людях, потому что мы не можем быть уверены, что мистер Гладстон в точности подобен другим людям. До его смерти мы не можем быть полностью уверены, что он обладает всеми атрибутами других людей; это вопрос вероятности, и я стремился объяснить способ, которым теория вероятностей применяется для вычисления вероятности того, что из ряда подобных событий мы можем вывести повторение подобных событий при идентичных обстоятельствах. Таким образом, не существует такого процесса, как выведение от частного к частному. Тщательный анализ условий, при которых, по-видимому, делается такое умозаключение, показывает, что процесс на самом деле является общим, и что то, что выводится из частного случая, может быть выведено из всех подобных случаев. Всякое рассуждение по существу является общим, и всякая наука подразумевает обобщение. Еще на заре философии это считалось так: «Nulla scientia est de individuis, sed de solis universalibus» — такова была доктрина Платона, изложенная Порфирием. И Аристотель придерживался похожего мнения — Οὐδεμία δὲ τέχνη σκοπεȋ τὸ καθ’ ἕκαστον ... τὸ δὲ καθ’ ἕκαστον ἄπειρον καὶ οὐκ ἐπιστητόν. «Никакое искусство не занимается частными случаями; ибо частное бесконечно и не может быть познано». Никто, кто придерживается доктрины, что рассуждение может идти от частного к частному, не может считаться имеющим самое элементарное представление о том, что составляет рассуждение и науку.

В то же время нет сомнений, что практически то, что мы находим истинным для многих подобных объектов, вероятно, будет истинным и для следующего подобного объекта. Это результат, к которому нас приводит анализ обратного метода вероятностей, и при отсутствии точных данных, из которых мы могли бы рассчитать вероятности, мы обычно вынуждены делать грубое допущение, что подобное в одних отношениях является подобным и в других отношениях. Таким образом, получается, что большая часть процессов рассуждения, которыми заняты ученые, состоит в обнаружении сходств между объектами, а затем в грубом допущении, что подобные сходства будут обнаружены и в других случаях.

Различие между обобщением и аналогией.

Нет никакого различия, кроме степени, между тем, что известно как рассуждение по обобщению, и рассуждением по аналогии. В обоих случаях из определенных наблюдаемых сходств мы выводим, с большей или меньшей вероятностью, существование других сходств. В обобщении сходства имеют большое расширение и обычно малое содержание, тогда как в аналогии мы полагаемся на большое содержание, при этом расширение имеет малую величину (стр. 26). Если мы обнаруживаем, что качества A и B связаны вместе во многих случаях и никогда не встречались по отдельности, весьма вероятно, что в следующий раз, когда мы встретим A, будет присутствовать и B, и наоборот. Таким образом, везде, где мы встречаем объект, обладающий гравитацией, он обнаруживает и инерцию, и мы не встречали никаких материальных объектов, обладающих инерцией, не обнаружив, что они также обладают гравитацией. Вероятность, следовательно, стала очень велика, как указано правилами, основанными на обратном методе вероятностей (стр. 257), что всякий раз в будущем, когда мы встретим объект, обладающий одним из свойств гравитации и инерции, при исследовании будет обнаружено, что он обладает и другим из этих свойств. Это ясный пример использования обобщения.

В аналогии, с другой стороны, мы рассуждаем от сходства во многих точках к сходству в других точках. Качества или точки сходства теперь многочисленны, а не объекты. На полюсах Марса есть два белых пятна, которые во многих отношениях напоминают белые области льда и снега на полюсах Земли. Вероятно, не существует других подобных объектов, с которыми можно было бы сравнить их, однако точность сходства позволяет нам вывести с высокой вероятностью, что пятна на Марсе состоят из льда и снега. Короче говоря, многие точки сходства подразумевают многие другие. Из внешнего вида и поведения этих белых пятен мы выводим, что они обладают всеми химическими и физическими свойствами замерзшей воды. Умозаключение, конечно, является лишь вероятным и основано на невероятности того, что совокупности многих качеств должны формироваться подобным образом в двух или более случаях, не будучи обусловленными каким-либо единообразным условием или причиной.

Таким образом, при рассуждении по аналогии мы наблюдаем, что два объекта ABCDE... и A'B'C'D'E'... имеют много сходных качеств, как указано идентичностью букв, и мы выводим, что, поскольку первый имеет другое качество, X, мы обнаружим это качество во втором случае при достаточно тщательном исследовании. Как говорит Лаплас: «Аналогия основана на вероятности того, что подобные вещи имеют причины того же рода и производят те же эффекты. Чем совершеннее это сходство, тем больше эта вероятность». Природа аналогического умозаключения метко описана в работе по логике, приписываемой Канту, где правило обычной индукции сформулировано словами: «Eines in vielen, also in allen» — одно качество во многих вещах, следовательно, во всех; а правило аналогии — «Vieles in einem, also auch das übrige in demselben» — многие (качества) в одном, следовательно, также и остальные в том же самом. Очевидно, что могут быть промежуточные случаи, в которых, исходя из идентичности умеренного числа объектов в нескольких свойствах, мы можем делать выводы о других объектах. Вероятность должна основываться либо на количестве случаев, либо на глубине сходства, либо на наличии обоих в достаточной степени. То, чего не хватает в расширении, должно быть восполнено содержанием, и наоборот.

Два значения обобщения.

Термин «обобщение», как он обычно используется, включает два процесса, которые имеют различный характер, но часто тесно связаны друг с другом. Во-первых, мы обобщаем, когда распознаем даже в двух объектах общую природу. Мы не можем обнаружить малейшего сходства, не открыв путь к умозаключению от одного случая к другому. Если мы сравним кубический кристалл с правильным октаэдром, то явного сходства мало; но как только мы замечаем, что любой из них может быть получен путем симметричной модификации другого, мы обнаруживаем основу сходства в кристаллах, которая позволяет нам выводить многое об одном, потому что они верны для другого. Наше знание об озоне берет свое начало с того времени, когда Шёнбейном было замечено сходство запаха, сопровождающего электрические искры, удары молнии и медленное горение фосфора. Было время, когда радуга была необъяснимым явлением — предзнаменованием, подобным комете, и причиной суеверных надежд и страхов. Но мы находим истинный дух науки у Роджера Бэкона, который желает, чтобы мы рассмотрели объекты, которые представляют те же цвета, что и радуга; он упоминает шестигранные кристаллы из Ирландии и Индии, но он просит нас не полагать, что шестигранная форма является существенной, ибо подобные цвета могут быть обнаружены во многих прозрачных камнях. Капли воды, разбрызгиваемые веслом на солнце, брызги от водяного колеса, капли росы, лежащие на траве летним утром, — все это демонстрирует подобное явление. Как только мы сгруппировали эти, казалось бы, разнообразные примеры, мы начали обобщать и приобрели способность применять к одному примеру то, что мы можем обнаружить в других. Даже когда мы не применяем полученное знание к новым объектам, наше понимание уже наблюдаемых значительно укрепляется и углубляется благодаря обучению рассматривать их как частные случаи более общего свойства.

Второй процесс, которому часто дают название обобщения, состоит в переходе от факта или частичного закона к множеству неисследованных случаев, которые, как мы полагаем, подчиняются тем же условиям. Вместо того чтобы просто распознавать сходство, как оно предстает перед нами, мы предсказываем его существование до того, как наши чувства смогут его обнаружить, так что обобщение такого рода наделяет нас пророческой силой с большей или меньшей вероятностью. Наблюдая, что многие вещества принимают, подобно воде и ртути, три состояния: твердое, жидкое и газообразное, и убедившись частыми испытаниями, что чем большими средствами нагревания и охлаждения мы обладаем, тем больше веществ мы можем испарить и заморозить, мы уверенно переходим впереди факта и предполагаем, что все вещества способны принимать эти три формы. Такое обобщение было принято Лавуазье и Лапласом до того, как стали известны многие из подтверждающих фактов, которыми мы сейчас обладаем. Сведения одной кометы под власть гравитации было сочтено достаточным указанием на то, что все кометы подчиняются той же силе. Мало кто сомневался, что закон гравитации распространяется на все небеса; конечно, тот факт, что несколько звезд из многих миллионов проявляют действие гравитации, сейчас считается достаточным доказательством его общего распространения на видимую Вселенную.

Ценность обобщения.

Может показаться, что если мы знаем частные факты, то мало пользы в соединении их вместе общим законом. Частности должны быть более полны полезной информации, чем абстрактное общее утверждение. Если мы знаем, например, свойства эллипса, круга, параболы и гиперболы, какая польза изучать все эти свойства заново в общей теории кривых второго порядка? Если мы понимаем явления звука, света и волн на воде по отдельности, какая необходимость создавать общую теорию волн, которая, в конце концов, неприменима на практике, пока не будет снова сведена к частным случаям? Но в действительности мы никогда не получаем адекватного знания о частностях, пока не рассматриваем их как случаи общего. Мало того, что есть особое наслаждение в обнаружении многого в одном и одного во многом, но происходит постоянный обмен светом и знанием. Свойства, которые не проявляются в гиперболе, могут быть легко наблюдаемы в эллипсе. Большинство сложных отношений, которые старые геометры обнаружили в круге, будут воспроизведены mutatis mutandis в других конических сечениях. Волновая теория света могла бы оставаться неизвестной и по сей день, если бы теория звука не дала подсказки по аналогии. Изучение света сделало известными многие явления интерференции и поляризации, существование которых едва ли подозревалось в случае звука, но которые теперь могут быть найдены и, возможно, обнаружат неожиданный интерес. Тщательное изучение волн на воде показывает, как волны меняются по форме и скорости при разной глубине воды. Аналогичные изменения могут когда-нибудь быть обнаружены в звуковых волнах. Таким образом, происходит взаимный обмен помощью.

«Каждое изучение обобщения или расширения, — хорошо сказал Де Морган, — дает дополнительную власть над частной формой, которой обобщение предложено. Никто, кто когда-либо возвращался к квадратным уравнениям после изучения уравнений всех степеней, или кто делал подобное, не будет отрицать мое утверждение, что οὐ βλέπει βλέπων может быть приписано любому, кто изучает ветвь или случай, не делая его впоследствии частью большего целого. Соответственно, всегда стоит обобщать, хотя бы для того, чтобы дать власть над частным. Этот принцип, ежедневно знакомый математику, почти неизвестен логику».

Сравнительная общность свойств.

Многое из ценности науки зависит от знания, которое мы постепенно приобретаем о различных степенях общности свойств и явлений различного рода. Использование науки состоит в том, чтобы позволить нам действовать с уверенностью, потому что мы можем предвидеть результат. Теперь это предвидение должно основываться на знании сил, которые вступят в действие. Это знание, действительно, никогда не может быть достоверным, потому что оно основывается на несовершенной индукции, и самые уверенные убеждения и предсказания физика могут быть опровергнуты. Тем не менее, если мы всегда оцениваем вероятность каждого убеждения в соответствии с должным учением данных и помним об этой вероятности при формировании наших ожиданий, мы обеспечим минимум разочарований. Даже когда он не может точно применить теорию вероятностей, физик может приобрести привычку выносить суждения в общем согласии с ее принципами и результатами.

Таково устройство природы, что физик учится различать те свойства, которые имеют широкое и единообразное расширение, от тех, которые варьируются от случая к случаю. Не только определенные законы четко изложены, с тщательно определенным их расширением, но научная подготовка дает своего рода такт в суждении о том, насколько другие законы могут применяться при любых конкретных обстоятельствах. Мы постепенно узнаем, что кристаллы проявляют явления, зависящие от направлений осей упругости, чего мы не должны ожидать в однородных твердых телах. Жидкости, по сравнению даже с некристаллическими твердыми телами, проявляют законы гораздо меньшей сложности и разнообразия; и газы принимают, во многих отношениях, аспект почти полной единообразности. Проследить ветви науки, в которых преобладают различные степени общности, было бы исследованием большого интереса и важности; но недостаток места, если бы не было другой причины, запретил бы мне пытаться сделать это, кроме как в очень незначительной степени.

Газы, насколько они действительно являются газообразными, не только имеют точно такие же свойства во всех направлениях пространства, но один газ точно напоминает другие газы во многих качествах. Все газы расширяются от тепла согласно одному и тому же закону и почти на одну и ту же величину; удельные теплоемкости эквивалентных весов равны, а плотности точно пропорциональны атомным весам. Все такие газы подчиняются общему закону, что объем, умноженный на давление и деленный на абсолютную температуру, является постоянным или почти таковым. Законы диффузии и транспирации одинаковы во всех случаях, и, вообще говоря, все физические законы, в отличие от химических законов, применяются одинаково ко всем газам. Даже когда газы различаются по химическим или физическим свойствам, различия незначительны по степени. Таким образом, различия в вязкости гораздо менее заметны, чем в жидком и твердом состояниях. Почти все газы, опять же, бесцветны, исключениями являются хлор, пары йода, брома и некоторых других веществ.

Только в одном единственном пункте, насколько мне известно, газы представляют отличительные признаки, неизвестные или почти неизвестные в твердом и жидком состояниях. Я имею в виду свет, испускаемый при накаливании. Каждый газ при достаточном нагревании дает свою собственную серию лучей, возникающих из свободных вибраций составных частей молекул. Отсюда возможность различения газов с помощью спектроскопа. Но молекулы твердых тел и жидкостей, по-видимому, постоянно находятся в конфликте друг с другом, так что вместо определенной серии светящихся аккордов производится только «смутный шум» атомов. При одной и той же температуре, соответственно, все твердые тела и жидкости испускают почти одни и те же лучи при сильном нагревании, и мы имеем в этом случае исключение из большей общности свойств в газах.

Жидкости во многих отношениях являются промежуточными по характеру между газами и твердыми телами. Будучи неспособными обладать различной упругостью в разных направлениях и, таким образом, лишенными богатой геометрической сложности твердых тел, они сохраняют разнообразие плотности, цвета, степени прозрачности, большое разнообразие поверхностного натяжения, вязкости, коэффициентов расширения, сжимаемости и многих других свойств, которые мы наблюдаем в твердых телах, но по большей части не в газах. Хотя наше знание физических свойств жидкостей в настоящее время сильно нуждается в общности, есть основания надеяться, что постепенно могут быть прослежены законы, связывающие и объясняющие вариации.

Твердые тела во всех отношениях противопоставляются газам. Каждое твердое вещество имеет свою собственную специфическую степень плотности, твердости, сжимаемости, прозрачности, цепкости, упругости, способности проводить тепло и электричество, магнитные свойства, способность производить фрикционное электричество и так далее. Даже разные образцы одного и того же вида вещества будут сильно различаться в зависимости от случайного полученного воздействия. И не только каждое вещество имеет свои специфические свойства, но, при кристаллизации, его свойства варьируются в каждом направлении по отношению к осям кристаллизации. Скорость излучения, скорость теплопроводности, коэффициенты расширяемости и сжимаемости, термоэлектрические свойства — все варьируется в разных кристаллографических направлениях.

Вероятно, что многие кажущиеся различия между жидкостями и даже между твердыми телами будут объяснены, когда мы научимся рассматривать их при точно соответствующих обстоятельствах. Чрезвычайная общность свойств газов в действительности верна только при бесконечно высокой температуре, когда они все одинаково удалены от своих точек конденсации. Теперь установлено, что если мы сравним жидкости — например, различные виды спиртов — не при равных температурах, а в точках, одинаково удаленных от их соответствующих точек кипения, законы и коэффициенты расширения почти равны. Упругость паров жидкостей также более близка к равенству при сравнении в соответствующих точках, и точки кипения, по-видимому, во многих случаях просто связаны с химическим составом. Без сомнения, прогресс исследования позволит нам обнаружить общность там, где в настоящее время мы видим только разнообразие и озадачивающую сложность.

В некоторых случаях вещества проявляют одни и те же физические свойства в жидком, как и в твердом состоянии. Свинец обладает высокой преломляющей способностью, будь то в растворе или в твердых солях, кристаллизованных или стекловидных. Магнитная сила железа заметна, каково бы ни было его химическое состояние; действительно, магнитные свойства веществ, хотя и варьирующиеся с температурой, по-видимому, не сильно подвержены влиянию других физических изменений. Цвет, поглощающая способность для тепловых или световых лучей и некоторые другие свойства также часто одинаковы в жидкостях и газах. Йод и бром обладают глубоким цветом, когда они химически не связаны. Тем не менее, мы редко можем безопасно рассуждать от свойств вещества в одном состоянии к свойствам в другом состоянии. Лед — изолятор, вода — проводник электричества, и тот же контраст существует в большинстве других веществ. Проводящая способность жидкости для электричества увеличивается с температурой, тогда как у твердого тела — уменьшается. Постепенно мы можем научиться различать те свойства материи, которые зависят от интимного строения химической молекулы, и те, которые зависят от контакта, конфликта, взаимного притяжения или других отношений отдельных молекул. Свойства вещества по отношению к свету, по-видимому, в целом зависят от молекулы; так, способность некоторых веществ вызывать вращение плоскости поляризации луча света точно такая же, какова бы ни была его степень плотности или разбавленность раствора, в котором он содержится. Взятые в целом, физические свойства веществ и их количественные законы представляют собой проблему бесконечной сложности, и должны пройти столетия, прежде чем станут возможны сколько-нибудь полные обобщения по этому предмету.

Единообразные свойства всей материи.

Некоторые законы считаются истинными для всей материи во Вселенной абсолютно, без исключения, причем ни одного случая противного никогда не было замечено. Это случай с законами движения, как они изложены Галилеем и Ньютоном. Это также заметно верно для закона всемирного тяготения. Возникновение современной физической науки, возможно, можно считать начавшимся с того времени, когда Галилей показал, в противовес аристотеликам, что материя одинаково подвержена влиянию гравитации, независимо от ее формы, величины или текстуры. Все объекты падают с одинаковой быстротой, когда возмущающие причины, такие как сопротивление воздуха, устранены или учтены. То, что было грубо продемонстрировано Галилеем с Пизанской башни, было доказано Ньютоном с высокой степенью приближения в эксперименте, который был упомянут (стр. 443).

Ньютон сформировал два маятника, как можно более одинаковых по внешней форме и размеру, взяв две равные круглые деревянные коробки и подвесив их на равных нитях длиной одиннадцать футов. Маятники были, следовательно, одинаково подвержены сопротивлению воздуха. Он наполнил одну коробку деревом, а в центре колебания другой поместил равный вес золота. Маятники были тогда равны по весу, а также по размеру; и, приведя их одновременно в движение, Ньютон обнаружил, что они вибрировали в течение длительного времени с равными колебаниями. Он проделал тот же эксперимент с серебром, свинцом, стеклом, песком, поваренной солью, водой и пшеницей вместо золота и установил, что движение его маятника было точно таким же, независимо от того, какой вид материи находился внутри. Он считал, что разница в тысячную долю была бы заметна. Читатель должен заметить, что маятники были сделаны равного веса только для того, чтобы они могли испытывать равное замедление от воздуха. Смысл эксперимента заключается в том, что все вещества проявляют точно равное ускорение от силы гравитации, и что, следовательно, инерция или сопротивление материи силе, которое является единственной независимой мерой массы, известной нам, всегда пропорционально гравитации.

Эти эксперименты Ньютона считались окончательными до самого недавнего времени, когда некоторые расхождения между теорией и наблюдениями движений планет привели Николаи в 1826 году к предположению, что равная гравитация различных видов материи может быть не абсолютно точной. Вполне философски ставить под сомнение время от времени некоторые из наиболее принятых законов. В этом случае Бессель тщательно повторил эксперименты Ньютона с маятниками, состоящими из слоновой кости, стекла, мрамора, кварца, метеоритных камней и т. д., но не смог обнаружить ни малейшей разницы. Этот вывод также подтверждается окончательным согласием всех расчетов физической астрономии, основанных на нем. Будет ли масса Юпитера рассчитана из движения его собственных спутников, из эффекта на малые планеты Веста, Юнона и т. д., или из возмущения кометы Энке, результаты тесно согласуются, показывая, что точно тот же закон гравитации применяется к самым разным телам, которые мы можем наблюдать. Гравитация тела, опять же, по-видимому, полностью независима от его других физических условий, будучи совершенно не затронутой никаким изменением температуры, плотности, электрического или магнитного состояния или других физических свойств вещества.

Одним парадоксальным результатом закона равной гравитации является теорема Торричелли, согласно которой все жидкости любой плотности падают или текут с одинаковой быстротой. Если есть две равные цистерны, соответственно наполненные ртутью и водой, ртуть, хотя и в тринадцать раз тяжелее, вытекала бы из отверстия не быстрее и не медленнее, чем вода, и то же самое было бы верно для эфира, спирта и других жидкостей, при условии, однако, учета сопротивления воздуха и различающихся вязкостей жидкостей.

В своем точном равенстве и своей совершенной независимости от всех обстоятельств, кроме массы и расстояния, сила гравитации стоит отдельно от всех других сил и явлений природы и еще не была приведена ни в какое отношение с ними, кроме как через общий принцип сохранения энергии. Магнитное притяжение, как заметил Ньютон, следует очень разным законам, зависящим от химического качества и молекулярной структуры каждого конкретного вещества.

Мы должны помнить, что, говоря «вся материя гравитирует», мы исключаем из термина «материя» основу световых волн, которая неизмеримо более обширна по количеству и подчиняется во многих отношениях законам механики. Это адамантовое вещество, по-видимому, насколько можно установить, является совершенно единообразным в своих свойствах, когда существует в пространстве, не занятом материей. Свет и тепло переносятся им с равной скоростью во всех направлениях и во всех частях пространства, насколько нас информирует наблюдение. Но присутствие гравитирующей материи модифицирует плотность и механические свойства так называемого эфира способом, который еще совершенно не объяснен.

Оставляя гравитацию, несколько трудно обнаружить другие законы, которые были бы одинаково верны для всей материи. Бургаве считалось, что установил, что все тела расширяются от тепла; но не только расширение очень различно у разных веществ, но мы теперь знаем положительные исключения. Многие жидкости и несколько твердых тел сжимаются от тепла при определенных температурах. Существуют, действительно, другие отношения тепла к материи, которые кажутся универсальными и единообразными; все вещества начинают испускать лучи света при одной и той же температуре, согласно закону Дрейпера; и газы не будут исключением, если достаточно конденсированы, как в экспериментах Франкланда. Гроув считает универсально верным, что все тела при соединении производят тепло; за сомнительным исключением серы и селена, все твердые тела при превращении в жидкости и все жидкости при превращении в газы поглощают тепло; но количества поглощенного тепла варьируются в зависимости от химических качеств материи. Термодинамический закон Карно считается точно верным для всей материи без различия; он выражает тот факт, что количество механической энергии, которое теоретически может быть получено из определенного количества тепловой энергии, зависит только от изменения температур, так что будет ли двигатель работать на воде, воздухе, спирте, аммиаке или любом другом веществе, результат теоретически был бы тем же, если бы котел и конденсатор поддерживались при сходных температурах.

Переменные свойства материи.

Я перечислил некоторые из немногих свойств материи, которые проявляются точно таким же образом всеми веществами, каковы бы ни были их различия в химическом или физическом строении. Но подавляющее большинство качеств варьируется по степени; вещества более или менее плотны, более или менее прозрачны, более или менее сжимаемы, более или менее магнитны и так далее. Один общий результат прогресса науки состоит в том, чтобы показать, что качества, которые считались полностью отсутствующими у многих веществ, присутствуют только в столь низкой степени интенсивности, что средств обнаружения было недостаточно. Ньютон полагал, что большинство тел совершенно не подвержены влиянию магнита; Фарадей и Тиндаль сделали очень сомнительным, чтобы какое-либо вещество вообще было полностью лишено магнетизма, включая под этим термином диамагнетизм. Мы быстро учимся верить, что нет веществ абсолютно непрозрачных, или непроводящих, неэлектрических, неупругих, невязких, несжимаемых, нерастворимых, неплавких или нелетучих. Все стремится стать вопросом степени, или иногда направления. Могут быть некоторые вещества, противоположно затронутые другим, как ферромагнитные вещества противоположно затронуты диамагнетикам, или как вещества, которые сжимаются от тепла, противопоставлены тем, которые расширяются; но тенденция, безусловно, состоит в том, чтобы каждое проявление одного вида материи было представлено чем-то подобным в других видах. По этой причине одно из правил философствования Ньютона, кажется, теряет всякую силу; он сказал: «Те качества тел, которые не способны быть усилены и ослаблены и которые найдены во всех телах, на которых может быть сделан эксперимент, должны рассматриваться как универсальные качества всех тел». Насколько я могу видеть, обратное более вероятно, а именно, что качества, переменные по степени, будут найдены в каждом веществе в большей или меньшей степени.

Примечательно, что Ньютон, чей метод исследования был логически совершенен, казался неспособным обобщать и описывать свою собственную процедуру. Его знаменитые «Правила рассуждения в философии», описанные в начале третьей книги «Начал», являются сомнительными по истинности и еще более сомнительными по ценности.

Экстремальные примеры свойств.

Хотя вещества обычно различаются только по степени, большой интерес может представлять конкретные вещества, которые проявляют свойство в заметной и интенсивной манере. Каждая ветвь физической науки обычно развивалась из внимания, принудительно привлеченного к какому-либо единственному веществу. Точно так же, как магнит раскрыл магнетизм, а янтарь — фрикционное электричество, так и исландский шпат показал существование двойного лучепреломления, а сульфат хинина — явление флуоресценции. Когда один такой поразительный пример привлек внимание научного мира, будут обнаружены многочисленные менее примечательные случаи этого явления, и, вероятно, окажется, что рассматриваемое свойство фактически универсально для всей материи. Тем не менее, экстремальные примеры сохраняют свой интерес, отчасти с исторической точки зрения, отчасти потому, что они предоставляют наиболее удобные вещества для эксперимента.

Фрэнсис Бэкон был полностью осведомлен о ценности таких примеров, которые он называл Остенсивными примерами, или Светоносными, Свободными и Преобладающими примерами. «Они суть те, — говорит он, — которые показывают природу под исследованием обнаженной, в возвышенном состоянии или в высшей степени силы; освобожденной от препятствий, или, по крайней мере, своей силой преобладающей над ними и подавляющей их». Он упоминает ртуть как остенсивный пример веса или плотности, считая ее не намного менее плотной, чем золото, и более примечательной, чем золото, как соединяющую плотность с жидкостью. Магнит упоминается как остенсивный пример притяжения. Было бы нелегко четко различить между этими остенсивными примерами и теми, которые он называет Instantiae Monodicae, или Irregulares, или Heteroclitae, под которыми он помещает все, что является экстравагантным в своих свойствах или величине, или проявляет наименьшее сходство с другими вещами, такими как Солнце и Луна среди небесных тел, слон среди животных, буква s среди букв или магнит среди камней.

В оптической науке большое использование было сделано высокой дисперсионной способностью прозрачных соединений свинца, то есть способностью давать длинный спектр (стр. 432). Доллонд, заметив эту своеобразную дисперсионную способность в линзах, сделанных из флинтового стекла, использовал их для создания ахроматического устройства. Элемент стронций представляет контраст свинцу в этом отношении, характеризуясь удивительно низкой дисперсионной способностью; но я не знаю, чтобы это свойство было еще использовано.

Соединения свинца имеют как высокий дисперсионный, так и высокий показатель преломления, и в последнем отношении они оказались очень полезными для Фарадея. Потратив много труда на подготовку различных видов оптического стекла, Фарадей случайно сформировал соединение свинца, кремнезема и борной кислоты, теперь известное как тяжелое стекло, которое обладало интенсивно высокой преломляющей способностью. Много лет спустя, пытаясь обнаружить действие магнетизма на свет, он не смог обнаружить никакого эффекта, как уже упоминалось (стр. 588), пока случайно не испытал кусок тяжелого стекла. Своеобразная преломляющая способность этой среды сделала магнитное напряжение заметным, и было обнаружено вращение плоскости поляризации.

Почти в каждой части физической науки есть какое-то вещество с силами, преобладающими для специальной цели, для которой оно используется. Каменная соль бесценна из-за своей чрезвычайной диатермичности или прозрачности для наименее преломляемых лучей спектра. Кварц одинаково ценен из-за своей прозрачности в отношении ультрафиолетовых или наиболее преломляемых лучей. Алмаз — наиболее сильно преломляющее вещество, которое в то же время прозрачно; будь оно более обильным и легко обрабатываемым, оно имело бы большое оптическое значение. Киноварь отличается тем, что обладает способностью вращать плоскость поляризации света от 15 до 17 раз сильнее, чем кварц. В электрических экспериментах медь используется из-за ее высоких проводящих способностей и чрезвычайно низких магнитных свойств; железо, конечно, незаменимо из-за своих огромных магнитных сил; в то время как висмут занимает подобное место в отношении своих диамагнитных сил и имел большое значение в решающих исследованиях Тиндаля по полярному характеру диамагнитной силы. В отношении магне-кристаллического действия минерал кианит весьма примечателен, будучи так сильно затронут земным магнетизмом, что при деликатном подвешивании он принимает постоянное положение по отношению к магнитному меридиану и может почти использоваться как компасная стрелка. Натрий отличается своими уникальными светоизлучающими силами, которые настолько необычайны, что, вероятно, половина всего числа звезд на небесах имеет желтоватый оттенок вследствие этого.

Примечательно, что вода, хотя и самая распространенная из всех жидкостей, отличается почти во всех отношениях экстремальными качествами. Из всех известных веществ вода имеет самую высокую удельную теплоемкость, будучи таким образом особенно приспособленной для цели нагревания и охлаждения, для которой она часто используется. Она поднимается путем капиллярного притяжения на высоту более чем в два раза превышающую высоту любой другой жидкости. В состоянии льда она почти в два раза более расширяема от тепла, чем любое другое известное твердое вещество. В пропорции к своей плотности она имеет гораздо более высокое поверхностное натяжение, чем любое другое вещество, будучи превзойденной в абсолютном натяжении только ртутью; и было бы нетрудно значительно расширить список ее примечательных и полезных свойств.

Под экстремальными примерами мы можем включить случаи удивительно низких сил или качеств. Такие случаи, по-видимому, соответствуют тому, что Бэкон называет Тайными примерами, которые проявляют данную природу в наименьшей интенсивности и, как бы, в зачаточном состоянии. Они часто могут быть важны, думает он, как позволяющие обнаружить причину свойства через различие. Я могу добавить, что в некоторых случаях они могут быть полезны в экспериментах. Таким образом, водород является наименее плотным из всех известных веществ и имеет наименьший атомный вес. Сжиженная закись азота имеет самый низкий показатель преломления из всех известных жидкостей. Соединения стронция имеют самую низкую дисперсионную способность. Очевидно, что свойство очень низкой степени может оказаться столь же любопытным и ценным явлением, как свойство очень высокой степени.

Обнаружение непрерывности.

Мы должны помнить, что явления, которые в действительности имеют близко сходную или даже идентичную природу, могут представлять чувствам очень разные проявления. Без тщательного анализа изменений, которые происходят, мы часто можем подвергнуться опасности широко разделять факты и процессы, которые на самом деле являются примерами одного и того же закона. Экстремальное различие в степени или величине является частой причиной ошибки. Действительно трудно в первый момент распознать какое-либо сходство между постепенным ржавением куска железа и быстрым горением кучи соломы. Тем не менее, химическая теория Лавуазье была основана на сходстве окислительного процесса в одном случае и в другом. Нам нужно только разделить железо на чрезмерно мелкие частицы, чтобы обнаружить, что оно на самом деле является более горючим из двух, и что оно фактически самовоспламеняется и горит как трут. Именно чрезмерная медленность процесса в случае массивного куска железа маскирует его реальный характер.

Если Ксенофонт сообщает верно, Сократ заблуждался, не делая достаточной поправки на крайние различия в степени и количестве. Анаксагор утверждал, что солнце — это огонь, но Сократ отверг это мнение на том основании, что мы можем смотреть на огонь, но не на солнце, и что растения растут под солнечным светом, тогда как огонь их губит. Он также указывал, что камень, нагретый в огне, не светится и быстро остывает, тогда как солнце всегда остается одинаково светящимся и горячим. Все подобные ошибки, очевидно, проистекают из непонимания того, что различие в количестве может быть настолько крайним, что принимает вид различия в качестве. Наименее похвальным фактом, который нам известен о Сократе, является то, что, указав на эти предполагаемые ошибки более ранних философов, он советовал своим последователям не изучать астрономию.

Следует ожидать, что массы вещества весьма разного размера будут проявлять видимые различия в поведении, возникающие из-за различной интенсивности сил, вступающих в действие. Многие люди считали необходимым воображать оккультные силы, вызывающие зависание облаков, и существовали даже абсурдные теории, представлявшие частицы облаков как крошечные водяные шары, удерживаемые на плаву теплым воздухом внутри них. Но нам достаточно лишь должным образом учесть огромное сравнительное сопротивление, которое воздух оказывает падению мельчайших частиц, чтобы увидеть, что все частицы облаков, вероятно, постоянно падают сквозь воздух, но так медленно, что это не дает видимого эффекта. Минеральное вещество, опять же, всегда рассматривается как инертное и неспособное к самопроизвольному движению. Мы поражаемся, наблюдая в мощный микроскоп, что любой вид твердого вещества, взвешенного в виде чрезвычайно мелких частиц в чистой воде, приобретает колебательное движение, часто настолько выраженное, что оно напоминает танцы или прыжки. Я полагаю, что это движение обусловлено сравнительно огромной интенсивностью химического действия при воздействии на мельчайшие частицы, причем эффект в 5000 или 10 000 раз больше по отношению к массе, чем у фрагментов диаметром в дюйм (стр. 406).

Многое из того, что ранее было неясным в науке об электричестве, проистекало из крайних различий в интенсивности и количестве, в которых проявляется эта форма энергии. Между блестящим взрывным разрядом грозового облака и мягким непрерывным током, создаваемым двумя кусками металла и некоторым количеством разбавленной кислоты, нет никакой видимой аналогии. Поэтому делом огромной важности было то, когда Фарадей продемонстрировал идентичность действующих сил, показав, что обычное электричество трения разлагает воду так же, как и электричество от вольтова столба. Связь явлений стала ясной, когда ему удалось показать, что для разложения одного грана воды потребовалось бы 800 000 разрядов его большой лейденской батареи. Молния теперь рассматривалась как электричество чрезмерно высокого напряжения, но чрезвычайно малого количества, причем разница несколько аналогична той, что существует между силой одного миллиона галлонов воды, падающих с высоты одного фута, и одного галлона воды, падающего с высоты одного миллиона футов. Фарадей подсчитал, что один гран воды, воздействующий на четыре грана цинка, дал бы достаточно электричества для сильной грозы.

Долгое время считалось, что электрические проводники и изоляторы принадлежат к двум противоположным классам веществ. Между невообразимой быстротой, с которой ток проходит через чистую медную проволоку, и тем, как он, по-видимому, полностью останавливается тонкой перегородкой из гуттаперчи или шеллака, не было никакого сходства. Фарадей снова успешно потрудился, чтобы показать, что это лишь крайние случаи цепи веществ, различающихся по всем степеням своей проводимости. Даже лучшие проводники, такие как чистая медь или серебро, оказывают сопротивление электрическому току. Другие металлы обладают значительно более высокими силами сопротивления, и мы постепенно спускаемся через оксиды и сульфиды. Лучшие изоляторы, с другой стороны, допускают атомную индукцию, которая является необходимым предшественником проводимости. Отсюда Фарадей сделал вывод, что, можем ли мы измерить эффект или нет, все вещества в той или иной степени проводят электричество. Одним из следствий этого учения должно быть то, что каждый разряд электричества создает индукционный ток. В случае обычного гальванического тока мы можем легко обнаружить индукционный ток в любой параллельной проволоке или другом соседнем проводнике и можем разделить противоположные токи, которые возникают в моменты начала и конца исходного тока. Но разряд электричества высокого напряжения, подобный молнии, хотя он, безусловно, занимает время и имеет начало и конец, длится столь ничтожную долю секунды, что было бы безнадежно пытаться обнаружить и разделить два противоположных индукционных тока, которые почти одновременны и точно нейтрализуют друг друга. Таким образом, кажущееся отсутствие аналогии объясняется, и нам предоставляется еще один пример явления, не поддающегося наблюдению, но теоретически известного как существующее.

Пожалуй, самый необычный случай обнаружения неожиданной непрерывности находится в открытии Каньяра де ла Тура и профессора Эндрюса, что жидкое и газообразное состояния материи являются лишь отдаленными точками в непрерывном процессе изменения. Ничто на первый взгляд не кажется более отчетливым, чем физическое состояние воды и водяного пара. В точке кипения происходит полный разрыв непрерывности, и полученный газ подчиняется законам, несравненно более простым, чем жидкость, из которой он возник. Но Каньяр де ла Тур показал, что если поддерживать жидкость под достаточным давлением, ее точка кипения может быть неопределенно повышена, и все же жидкость в конечном итоге примет газообразное состояние лишь с небольшим увеличением объема. Профессор Эндрюс, недавно продолживший этот ряд исследований, показал, что жидкая углекислота может при определенной температуре (30,92° C) и под давлением 74 атмосфер находиться одновременно в состоянии, неотличимом от жидкого и газообразного. При более высоких давлениях углекислота может переходить из явно жидкого состояния в истинно газообразное без какого-либо резкого изменения вообще. По мере увеличения давления резкость перехода от жидкости к газу постепенно уменьшается и, наконец, исчезает. Подобные явления или приближение к ним наблюдались и в других жидкостях, и почти нет сомнений, что мы можем сделать широкое обобщение и утверждать, что при адекватном давлении любая жидкость может быть переведена в газ без разрыва непрерывности. Жидкое состояние, более того, рассматривается профессором Эндрюсом лишь как промежуточная ступень между твердым и газообразным состояниями. Существуют различные признаки того, что процесс плавления не является совершенно резким; и если бы эксперименты можно было проводить при адекватных давлениях, считается, что любое твердое тело можно было бы перевести незаметными степенями в состояние жидкости, а затем в состояние газа.

Эти открытия, по-видимому, открывают путь к важнейшим и фундаментальным обобщениям, но вероятно, что во многих других случаях явления, ныне рассматриваемые как дискретные, могут оказаться различными степенями одного и того же процесса. Грэм придерживался мнения, что химическое сродство отличается лишь по степени от обычного притяжения, которое удерживает различные частицы тела вместе. Он обнаружил, что серная кислота продолжает выделять тепло даже при смешивании с пятидесятым эквивалентом воды, так что, по-видимому, не существует четкого предела химического сродства. Он заключает: «Есть основания полагать, что химическое сродство переходит в своей низшей степени в притяжение агрегации».

Атомная теория хорошо обоснована, но ее пределы не очерчены. Как отмечает Гроув, мы можем, выбирая достаточно высокие множители, выразить любую комбинацию или смесь элементов через их эквивалентные веса. Сэр У. Томсон предположил, что способность, которой обладают растительное волокно, овсянка и другие вещества притягивать и конденсировать водяной пар, вероятно, является непрерывной или, по сути, идентичной капиллярному притяжению, которое способно влиять на давление водяного пара и способствовать его конденсации. Существует много случаев так называемого каталитического или поверхностного действия, таких как необычайная способность древесного угля притягивать органические вещества или губчатой платины — конденсировать водород, которые можно рассматривать только как усиленные случаи более общего притяжения. Число веществ, которые поразительным образом разлагаются под действием света, очень ограничено; но многие другие вещества, такие как растительные красители, подвергаются воздействию при длительном облучении; на принципе непрерывности мы могли бы ожидать обнаружить, что все виды материи в той или иной степени подвержены изменениям под воздействием световых лучей. Мнение Гроува состоит в том, что везде, где проходит электрический ток, существует тенденция к разложению, напряжение молекул, которое при достаточной интенсивности приводит к разрушению. Даже металлическую проводящую проволоку можно рассматривать как стремящуюся к разложению. Дэви, вероятно, был прав, описывая электричество как химическое сродство, действующее на массы, или, скорее, как предполагает Гроув, создающее возмущение через цепь частиц. Лаплас зашел так далеко, что предположил, что все химические явления могут быть результатами ньютоновского закона притяжения, примененного к атомам различной массы и положения; но время, вероятно, еще далеко, когда прогресс молекулярной философии и математических методов позволит подтвердить или опровергнуть такое обобщение.

Закон непрерывности.

Под заголовком «Закон непрерывности» мы можем поместить многие применения общего принципа рассуждения о том, что верно для одного случая, будет верно и для подобных случаев, и вероятно верно для того, что, по всей видимости, является подобным. Всякий раз, когда мы обнаруживаем, что закон или сходство строго соблюдается до определенного момента во времени или пространстве, мы с высокой степенью вероятности ожидаем, что он будет продолжать соблюдаться, по крайней мере, еще немного. Если мы видим только часть круга, мы естественно ожидаем, что круговая форма будет продолжена в скрытой от нас части. Если тело равномерно двигалось на определенном пространстве, мы ожидаем, что оно будет продолжать двигаться равномерно. Основание таких выводов, несомненно, идентично основанию других индуктивных выводов. При непрерывном движении каждое бесконечно малое пройденное пространство составляет отдельный составной факт, и если бы мы обладали совершенными способностями наблюдения, самое малое конечное движение включало бы бесконечность информации, что, согласно принципам обратного метода вероятностей, позволило бы нам с уверенностью сделать вывод о следующей бесконечно малой части пути. Но когда мы пытаемся сделать вывод от одной конечной части пути к другой конечной части, вывод будет лишь более или менее вероятным, в зависимости от сравнительной длины частей и точности наблюдения; чем дольше наш опыт, тем вероятнее наш вывод; чем больше длина времени или пространства, на которое распространяется вывод, тем менее он вероятен.

Этот принцип непрерывности проявляется в природе в большом разнообразии форм и случаев. Он привычно выражается в изречении Natura non agit per saltum. Как выразил эту максиму Грэм, в природе нет резких переходов, и различия классов никогда не бывают абсолютными. Всегда есть некоторое уведомление — некоторое предупреждение о каждом явлении, и каждое изменение начинается с незаметных степеней, если бы мы могли наблюдать его с совершенной точностью. Пушечное ядро, действительно, выбрасывается из пушки за ничтожную долю времени; курок нажат, запал зажжен, порох воспламенен, ядро выброшено — все это одновременно для наших чувств. Но нет сомнений, что каждая часть процесса занимает время и что ядро начинает двигаться сначала с бесконечной медленностью. Капитан Ноубл способен измерить с помощью своего хроноскопа продвижение снаряда в 300-фунтовом орудии и обнаруживает, что все движение внутри ствола происходит менее чем за 1/200 долю секунды. Несомненно, что никакая конечная сила не может произвести движение, кроме как за конечное время. Количество импульса, сообщаемого телу, пропорционально ускоряющей силе, умноженной на время, в течение которого она действует равномерно. Таким образом, слабая сила производит большую скорость только при длительном действии. При мощном ударе, таком как столкновение поездов, удар молота по наковальне или выстрел из пушки, время очень коротко, и поэтому ускоряющие силы, вступающие в действие, чрезвычайно велики, но никогда не бесконечны. В случае большого орудия порох при взрыве, как говорят, развивает на мгновение силу, эквивалентную по меньшей мере 2 800 000 лошадей.

Наша вера в некоторые фундаментальные законы природы опирается на принцип непрерывности. Галилей считается первым философом, который сознательно использовал этот принцип в своих аргументах относительно природы движения, и несомненно, что мы никогда не сможем путем одного лишь опыта убедиться в истинности даже первого закона движения. Материальная частица, как нам говорят, когда на нее не действуют внешние силы, будет продолжать находиться в том же состоянии покоя или движения. Это может быть правдой, но поскольку мы не можем найти тело, свободное от действия внешних причин, как нам это доказать? Только наблюдая, что чем меньше величина этих сил, тем ближе закон к истине. Шар, катящийся по неровной земле, вскоре останавливается; по гладкой мостовой он продолжает движение дольше. Деликатно подвешенный маятник почти свободен от трения о свои опоры, но постепенно останавливается из-за сопротивления воздуха; поместите его в вакуумный приемник воздушного насоса, и мы обнаружим, что движение значительно продлевается. Большая планета, такая как Юпитер, испытывает почти бесконечно меньшее трение по сравнению со своим огромным импульсом, чем мы можем создать экспериментально, и мы обнаруживаем в таком случае, что нет ни малейшего свидетельства ложности закона. Опыт, таким образом, информирует нас, что мы можем бесконечно приближаться к равномерному движению, достаточно уменьшая возмущающие силы. Это акт вывода, который позволяет нам выйти за пределы опыта и утверждать, что при полном отсутствии какой-либо внешней силы движение было бы абсолютно равномерным. Состояние покоя, опять же, является предельным случаем, в котором движение бесконечно мало или равно нулю, к чему мы можем прийти, согласно принципу непрерывности, последовательно рассматривая случаи все более и более медленного движения. Существует много классов явлений, в которых, постепенно переходя от очевидного к неясному, мы можем убедиться в природе явлений, которые в противном случае были бы предметом больших сомнений. Так, мы можем достаточно доказать, подобно Галилею, что музыкальный звук состоит из быстрых равномерных импульсов, заставляя удары следовать с интервалами, которые мы постепенно уменьшаем, пока отдельные удары не сольются в равномерный гул или ноту. С большой пользой мы приближаемся, как говорит Тиндаль, к звуковому через грубо механическое. Слушая большой орган, мы не можем не заметить, что самые длинные трубы или их частичные тона вызывают дрожание и трепетание здания. На другом конце шкалы нет фиксированного предела остроты звуков, которые мы можем слышать; некоторые люди могут слышать звуки, слишком пронзительные для других ушей, и поскольку в природе атмосферы нет ничего, что препятствовало бы существованию колебаний, гораздо более быстрых, чем те, которые мы осознаем, мы можем сделать вывод, согласно принципу непрерывности, что такие колебания, вероятно, существуют.

Существует много привычных действий, которые мы совершаем, не зная как. Настолько быстро совершаются акты ума, что анализ кажется невозможным. Мы можем исследовать их только в процессе формирования, наблюдая, что наилучшим образом сформированная привычка приобретается медленно и непрерывно, и именно на ранних стадиях мы можем постичь логику процесса.

Следует заметить, что этот принцип непрерывности должен иметь большой вес только в точных физических законах, тех, которые, несомненно, покоятся в конечном итоге на простых законах движения. Если мы бесстрашно применим этот принцип ко всем видам явлений, мы часто можем быть правы в своих выводах, но также часто и ошибаться. Так, до развития спектрального анализа астрономы наблюдали, что чем больше они увеличивали мощность своих телескопов, тем больше туманностей они могли разрешить на отдельные звезды. Этот результат так часто оказывался верным, что они почти непреодолимо предполагали, что все туманности будут в конечном итоге разрешены телескопами достаточной мощности; однако Хаггинс в последние годы доказал с помощью спектроскопа, что некоторые туманности на самом деле являются газообразными и находятся в истинно туманном состоянии.

Принцип непрерывности должен был постоянно использоваться в исследованиях Галилея, Ньютона и других философов-экспериментаторов, но, по-видимому, он был впервые четко сформулирован Лейбницем. Он, по крайней мере, претендует на то, что первым заговорил о «законе непрерывности» в письме к Бейлю, напечатанном в Nouvelles de la République des Lettres, отрывок из которого приведен в издании работ Лейбница Эрдмана, стр. 104, под заголовком «Sur un Principe Général utile à l’explication des Lois de la Nature». Действительно, утверждалось, что доктрина latens processus Фрэнсиса Бэкона включает в себя принцип непрерывности, но я думаю, что эта доктрина, подобно доктрине «природ» веществ, является лишь расплывчатым утверждением принципа причинности.

Несостоятельность закона непрерывности.

Существуют определенные предостережения, которые необходимо сделать относительно применения принципа непрерывности. Во-первых, там, где этот принцип действительно верен, он может казаться недействующим из-за наших несовершенных средств наблюдения. Хотя физический закон может не допускать совершенно резкого изменения, нет предела тому приближению, которое он может совершить к резкости. Когда мы нагреваем кусок очень холодного льда, поглощение тепла, температура и расширение льда изменяются согласно, по-видимому, простым законам, пока мы не дойдем до нуля по шкале Цельсия. Затем все меняется; происходит огромное поглощение тепла без какого-либо повышения температуры, и объем льда уменьшается по мере его превращения в воду. Если не исследовать это тщательно, изменение кажется совершенно резким; но точное наблюдение, по-видимому, показывает, что существует некоторое предупреждение; лед не превращается в воду сразу, но на малую долю градуса изменение происходит постепенно. Все затронутые явления, если их измерить очень точно, были бы представлены не угловыми линиями, а непрерывными кривыми, претерпевающими быстрые изгибы; и мы, вероятно, можем с уверенностью утверждать, что между какими бы точками температуры мы ни исследовали лед, были бы обнаружены некоторые признаки, хотя и почти бесконечно малые, того кажущегося резкого изменения, которое должно было произойти при более высокой температуре. Можно также отметить, что важные и, по-видимому, простые физические законы, такие как законы Бойля и Мариотта, Дальтона и Гей-Люссака и т. д., верны лишь приблизительно, и отклонения от простых законов являются предупреждениями о резких изменениях, которые в противном случае нарушили бы закон непрерывности.

Во-вторых, необходимо помнить, что математические законы некоторой сложности, вероятно, будут представлять особые случаи или отрицательные результаты, которые могут иметь вид разрывности, как когда закон преломления внезапно дает нам с совершенной резкостью явление полного внутреннего отражения. В волновой теории, однако, нет реального изменения закона между преломлением и отражением. Фарадей в начале своей карьеры обнаружил так много веществ, обладающих магнитными свойствами, что рискнул сделать великое обобщение и заявил, что все тела обладают магнитным свойством железа. Его ошибка, как он позже обнаружил, заключалась в том, что он упустил из виду тот факт, что, хотя они и магнитны в определенном смысле, некоторые вещества обладают отрицательным магнетизмом и отталкиваются, а не притягиваются магнитом.

В-третьих, там, где мы могли бы ожидать преобладания равномерного математического закона, закон может претерпевать резкое изменение в особых точках, и может возникнуть фактическая разрывность. Мы иногда можем подвергнуться опасности рассматривать в рамках одного закона явления, которые на самом деле принадлежат к разным законам. Например, сферическая оболочка из однородного вещества притягивает внешнюю частицу материи с силой, изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния от центра сферы. Но этот закон остается верным только до тех пор, пока частица находится вне оболочки. Внутри оболочки закон совершенно иной, и совокупная гравитация сферы становится равной нулю, так как сила в каждом направлении нейтрализуется точно равной противоположной силой. Если бесконечно малая частица находится на поверхности сферы, закон снова иной, и притягательная сила оболочки составляет половину того, что она была бы по отношению к частицам, бесконечно близким к поверхности оболочки. Таким образом, при приближении к центру оболочки с расстояния сила тяжести показывает двойную разрывность при прохождении через оболочку.

Может возникнуть вопрос, действительно ли разрывность неизвестна в природе. Мы постоянно сталкиваемся с событиями, которые являются реальными разрывами в предыдущем законе, хотя разрывность может быть признаком того, что в действие вступила какая-то независимая причина. Если обычный ход приливов прерывается огромной нерегулярной волной, мы приписываем это землетрясению или какому-то гигантскому природному возмущению. Если метеоритный камень падает на человека и убивает его, это явно разрывность в его жизни, которую он не мог предвидеть. Внезапный звук может пройти сквозь воздух, не будучи предваряемым или сопровождаемым каким-либо непрерывным эффектом. Хотя, таким образом, мы можем рассматривать закон непрерывности как принцип природы, строго верный во многих отношениях природных сил, кажется трудным определить пределы, в которых этот закон подтверждается. При его применении требуется большая осторожность.

Отрицательные аргументы относительно принципа непрерывности.

На принципе непрерывности мы иногда можем основывать аргументы большой силы, которые доказывают невозможность гипотезы, потому что она повлекла бы за собой постоянное повторение процесса ad infinitum или же чисто произвольный разрыв в какой-то точке. Знаменитая теория воспроизводства Бонне представляла каждое живое существо как содержащее зародыши, которые были совершенными представителями следующего поколения, так что по тому же принципу они обязательно включали зародыши следующего поколения и так далее до бесконечности. Теория была достаточно опровергнута, как только была четко сформулирована, как в следующей поэме под названием «Вселенная» Генри Бейкера:

“Each seed includes a plant: that plant, again,

Has other seeds, which other plants contain:

Those other plants have all their seeds, and those

More plants again, successively inclose.

“Thus, ev’ry single berry that we find,

Has, really, in itself whole forests of its kind,

Empire and wealth one acorn may dispense,

By fleets to sail a thousand ages hence.”

Общий принцип вывода, что то, что мы знаем об одном случае, должно быть верно для подобных случаев, насколько они подобны, не позволяет нам утверждать что-либо, что мы не можем применять раз за разом при одних и тех же обстоятельствах. На этом принципе Стевин прекрасно продемонстрировал, что веса, покоящиеся на двух наклонных плоскостях и уравновешивающие друг друга, должны быть пропорциональны длинам плоскостей между их вершиной и горизонтальной плоскостью. Он вообразил равномерную бесконечную цепь, подвешенную над плоскостями и свисающую внизу симметричной гирляндой. Если бы цепь когда-либо начала двигаться под действием силы тяжести, была бы та же причина для ее движения вечно, и, таким образом, создания вечного двигателя. Поскольку это абсурдно, части цепи, лежащие на плоскостях и равные по длине плоскостям, должны уравновешивать друг друга. На подобных основаниях мы можем опровергнуть существование любого самодвижущегося механизма; ибо если бы он мог хоть раз изменить свое собственное состояние движения или покоя, пусть даже в самой малой степени, нет причин, почему он не должен делать то же самое раз за разом ad infinitum. Доказательство Ньютоном своего третьего закона движения в случае гравитации носит такой же характер. Ибо он отмечает, что если два гравитирующих тела не оказывают точно равных сил в противоположных направлениях, то одно, оказывающее более сильное тяготение, увлечет оба, и два тела двинутся в пространство вместе со скоростью, возрастающей ad infinitum. Но хотя аргумент мог показаться достаточно убедительным, Ньютон в своей характерной манере провел эксперимент с магнитом и железом, плавающими на поверхности воды. В последние годы само основание принципа сохранения энергии было поставлено на предположении, что невозможно с помощью какой-либо комбинации природных тел постоянно производить силу из ничего. Принцип допускает применение в различных тонких формах.

Лукреций пытался доказать с помощью самого остроумного аргумента такого рода, что материя должна быть неразрушимой. Ибо если бы конечное количество, как бы мало оно ни было, исчезло из существования за любое конечное время, равное количество можно было бы предположить исчезающим за каждый равный интервал времени, так что в бесконечности прошедшего времени вселенная должна была бы перестать существовать. Но аргумент, как бы остроумен он ни был, по-видимому, терпит неудачу в нескольких пунктах. Если прошедшее время бесконечно, почему материя не могла быть создана также бесконечной? Было бы наиболее разумным, опять же, предположить, что материя, уничтожаемая за любое время, пропорциональна материи, остающейся в это время, а не первоначальному количеству; при этой гипотезе даже конечное количество первоначальной материи никогда не могло бы полностью исчезнуть из вселенной. По тем же причинам мы не можем утверждать, что доктрина сохранения энергии действительно доказана или когда-либо может быть доказана как абсолютно истинная, как бы вероятной она ни считалась.

Склонность к поспешному обобщению.

Несмотря на все силы и преимущества обобщения, людям не требуется побуждения к обобщению; они слишком склонны делать поспешные и необдуманные выводы. Как сказал Фрэнсис Бэкон, нашему интеллекту нужны не крылья, а скорее свинцовые грузила, чтобы умерять его ход. Процесс неизбежен для человеческого ума; он начинается с детства и длится до глубокой старости. Ребенок, который однажды испытал боль, боится подобного результата во всех подобных случаях и с трудом может быть заставлен различать случай от случая. Именно осторожности и разборчивости в принятии выводов нам предстоит учиться в первую очередь, и весь жизненный опыт — это один непрерывный урок на этот счет. Баден Пауэлл превосходно описал эту сильную естественную склонность к поспешным выводам и любовь человеческого ума к прослеживанию сходств, реальных или воображаемых. «Наши первые индукции», — говорит он, — «всегда несовершенны и неубедительны; мы продвигаемся к реальным доказательствам путем последовательных приближений; и соответственно мы находим ложное обобщение главной ошибкой большинства первых попыток научных исследований. Способность обобщать точно и философски требует большой осторожности и долгой тренировки и не достигается полностью, особенно в отношении более общих взглядов, даже некоторыми, кто может по праву претендовать на звание очень точных научных наблюдателей в более ограниченной области. Это интеллектуальная привычка, которая приобретает огромную и накапливающуюся силу от созерцания более широких аналогий».

Поспешные и поверхностные обобщения всегда были бичом науки, и не составило бы труда найти бесконечные иллюстрации. Между вещами, которые одинаковы по числу, существует определенное сходство, а именно в числе; но в младенчестве науки людей нельзя было убедить, что в числе не подразумевается более глубокое сходство. Пифагор не был изобретателем мистической науки о числе. В древних восточных религиях семь металлов были связаны с семью планетами, и в семи днях недели мы все еще имеем, и, вероятно, всегда будем иметь, реликт семеричной системы, приписываемой Дионом Кассием древним египтянам. Ученики Пифагора довели доктрину числа семь до больших деталей. Семь дней упоминаются в Книге Бытия; младенцы приобретают зубы в конце семи месяцев; они меняют их в конце семи лет; семь футов был предел роста человека; каждый седьмой год был климактерическим или критическим годом, в который происходило изменение характера. Затем, опять же, были семь мудрецов Греции, семь чудес света, семь обрядов греческих игр, семь ворот Фив и семь генералов, предназначенных завоевать этот город.

В естествознании были не только семь планет и семь металлов, но также семь первичных цветов и семь тонов музыки. Настолько глубоко укоренилась эта доктрина, что мы до сих пор имеем ее результаты во многих обычаях, не только в семи днях недели, но и в семилетнем ученичестве, половом созревании в четырнадцать лет, втором климактерии и юридическом совершеннолетии в двадцать один год, третьем климактерии. Идея была воспроизведена в семи таинствах Римско-католической церкви и семилетних периодах гротескной системы домашнего поклонения Конта. Даже в научных вопросах высочайшие умы иногда уступали, как когда Ньютон был введен в заблуждение аналогией между семью тонами музыки и семью цветами своего спектра. Другие числовые аналогии, хотя и отвергнутые Галилеем, держали Кеплера в рабстве; немалая часть трудов Кеплера в течение семнадцати лет была потрачена на числовые и геометрические аналогии самого беспочвенного характера; и он серьезно полагал, что не может быть более шести планет, потому что не было более пяти правильных многогранников. Даже гений Гюйгенса не помешал ему сделать вывод, что Сатурну может принадлежать только один спутник, потому что вместе со спутниками Юпитера и Земли он завершал совершенное число шесть. Целый ряд других суеверий и заблуждений привязывается к числам шесть и девять.

Именно благодаря ложному обобщению, опять же, законы природы, как предполагалось, обладают тем совершенством, которое мы приписываем простым формам и отношениям. Небесные тела, как считалось, должны двигаться по кругам, ибо круг был совершенной фигурой. Ньютон, по-видимому, принял сомнительную аксиому, что природа всегда действует самым простым путем; формулируя свое первое правило философствования, он добавляет: «Для этой цели философы говорят, что природа ничего не делает напрасно, когда достаточно меньшего; ибо природа довольствуется простотой и не любит помпезности излишних причин». Кейлл устанавливает в качестве аксиомы, что «Причины естественных вещей таковы, что они наиболее просты и достаточны для объяснения явлений: ибо природа всегда действует самым простым и быстрым методом; потому что этим способом действия Божественная Мудрость проявляет себя тем более». Если бы эта аксиома имела какие-либо ясные основания истины, она не применялась бы к ближайшим законам; ибо даже когда конечный закон прост, результаты могут быть бесконечно разнообразными, как в различных эллиптических, гиперболических, параболических или круговых орбитах небесных тел. Простота естественно приятна уму с ограниченными способностями, но для бесконечного ума все вещи просты.

Каждый великий прогресс в науке состоит в великом обобщении, указывающем на глубокие и тонкие сходства. Коперниканская система была обобщением, в том смысле, что она классифицировала Землю среди планет; это было, как выразился епископ Уилкинс, «открытие новой планеты», но ей противостояло более поверхностное обобщение. Те, кто аргументировал исходя из состояния вещей на поверхности Земли, думали, что каждый объект должен быть прикреплен к чему-то другому и покоиться на нем. Неужели Земля, говорили они, одна будет свободна? Привыкшие к определенным особым результатам гравитации, они не могли представить ее действие при совершенно иных обстоятельствах. Ни один поспешный мыслитель не мог уловить глубокую аналогию, указанную Хорроксом между маятником и планетой, верную по существу, хотя и ошибочную в некоторых деталях. Все достижения современной науки проистекают из концепции Галилея, что в небесных телах, как бы ни было различно их состояние, мы в конечном итоге признаем те же фундаментальные принципы механической науки, которые верны на Земле.

Обобщение — великая прерогатива интеллекта, но это сила, которую можно безопасно использовать только с большой осторожностью и после долгой тренировки. Каждый ум должен обобщать, но существуют широчайшие различия в глубине обнаруженных сходств и тщательности, с которой проверяется открытие. По-видимому, существует врожденная способность к прозрению, которой немногие люди обладали в высшей степени и которая позволяла им, без освобождения, конечно, от труда или временных ошибок, обнаруживать единое во многом. Могут существовать умы чрезмерной остроты, которые, однако, обладают лишь способностями к тонкому различению и накоплению в сокровищнице памяти огромных запасов слов и событий. Но сила открытия принадлежит более ограниченному классу умов. Лаплас сказал, что из всех изобретателей, которые внесли наибольший вклад в развитие человеческого знания, Ньютон и Лагранж, по-видимому, обладали в высшей степени счастливым тактом различения общих принципов среди множества объектов, окружающих их, и этот такт он считал истинной характеристикой научного гения.

ГЛАВА XXVIII. АНАЛОГИЯ.

Как мы видели в предыдущей главе, обобщение незаметно переходит в рассуждение по аналогии, и различие здесь в степени. Мы говорим, что обобщаем, когда рассматриваем многие объекты как согласующиеся в немногих свойствах, так что сходство является скорее обширным, чем глубоким. Когда у нас есть лишь несколько объектов мысли, но мы способны обнаружить много точек сходства, мы рассуждаем по аналогии, что соответствие будет даже более глубоким, чем кажется. Может быть неверно, что слова всегда используются в таких различных смыслах, и существует большая расплывчатость в использовании этих и многих логических терминов; но если можно провести какое-либо четкое различие между обобщением и аналогией, то оно указано выше.

Действительно, было сказано, что аналогия обозначает не сходство между вещами, а между отношениями вещей. Лоцман — человек, сильно отличающийся от премьер-министра, но он имеет такое же отношение к кораблю, какое министр имеет к государству, так что мы можем аналогично описать премьер-министра как лоцмана государства. Человек отличается еще больше от лошади, тем не менее четыре человека имеют к трем людям такое же отношение, как четыре лошади к трем лошадям. Существует реальная аналогия между тонами монохорда, мудрецами Греции и воротами Фив, но она не распространяется дальше того факта, что все они были в количестве семи. Между самыми дискретными понятиями, как, например, понятиями времени и пространства, может существовать аналогия, возникающая из того факта, что математические условия течения времени и движения вдоль линии схожи. Нет тождества природы между словом и вещью, которую оно означает; вещество «железо» — это тяжелое твердое тело, слово «железо» — это либо мгновенное возмущение воздуха, либо пленка черного пигмента на белой бумаге; но существует аналогия между словами и их значениями. Вещество железо относится к веществу карбонат железа так же, как название железо относится к названию карбонат железа, когда эти названия используются согласно их научным определениям. Вся структура языка и вся полезность знаков, меток, символов, картинок и представлений различных видов покоятся на аналогии. Я надеюсь, возможно, более полно остановиться на этом важном предмете в будущем и попытаться показать, как изобретение знаков позволяет нам выражать, направлять и регистрировать наши мысли. Здесь будет достаточно заметить, что использование слов постоянно включает аналогии тонкого рода; мы часто были бы в затруднении, как описать понятие, если бы не были вольны использовать в метафорическом смысле название чего-либо, достаточно напоминающего его. Не было бы выражения для сладости мелодии или блеска речи, если бы оно не было предоставлено вкусом меда и яркостью факела.

Беглый осмотр того, как мы популярно используем слово «аналогия», показывает, что оно включает все степени сходства или подобия. Аналогия может состоять только в сходстве числа или отношения, или в подобных отношениях времени и пространства. Она может также состоять в простом сходстве между физическими свойствами. Мы не использовали бы это слово в противоречии с обычаем, если бы сказали, что существует аналогия между железом, никелем и кобальтом, проявляющаяся в силе их магнитных свойств. Существует еще более совершенная аналогия между йодом и хлором; не то чтобы каждое свойство йода было идентично соответствующему свойству хлора; ибо тогда они были бы одним и тем же видом вещества, а не двумя веществами; но каждое свойство йода напоминает во всем, кроме степени, какое-то свойство хлора. Почти для каждого вещества, в котором йод является компонентом, можно обнаружить соответствующее вещество, содержащее хлор, так что мы можем с уверенностью делать выводы от соединений одного вещества к соединениям другого. Иодид калия кристаллизуется в кубах; поэтому следует ожидать, что хлорид калия также будет кристаллизоваться в кубах. Химия в своем нынешнем развитии почти полностью опирается на тщательное и обширное сравнение свойств веществ, выявляющее глубоко лежащие аналогии. Когда встречается любое новое вещество, химик руководствуется в обращении с ним аналогиями, которые оно, по-видимому, представляет с ранее известными веществами.

В этой главе я не могу надеяться проиллюстрировать всепроникающее влияние аналогии в человеческой мысли и науке. Вся наука, как было сказано вначале, возникает из обнаружения тождества, а аналогия — лишь одно из названий, которыми мы обозначаем более глубоко лежащие случаи сходства. Я попытаюсь лишь указать в настоящее время, как аналогия между, по-видимому, различными классами явлений часто служит руководством в открытии. Мы таким образом обычно получаем первое представление о природе, по-видимому, уникального объекта, и таким образом, в ходе развития науки, мы часто обнаруживаем, что снова имеем дело в новой форме с явлениями, которые были нам хорошо известны в другой форме.

Аналогия как руководство в открытии.

Нет сомнений, что открытие чаще всего совершается путем следования подсказкам, полученным от аналогии, как заметил Джереми Бентам. Всякий раз, когда воспринимается явление, первый импульс ума состоит в том, чтобы связать его с наиболее близким по сходству явлением. Если бы мы когда-либо встретили вещь, полностью sui generis, не представляющую аналогии ничему другому, мы были бы неспособны исследовать ее природу, кроме как путем чисто случайных проб. Вероятность успеха такого процесса настолько мала, что предпочтительнее следовать за самой слабой подсказкой. Как я уже указывал (стр. 418), возможные эксперименты почти бесконечны по числу, и очень многочисленны также гипотезы, на которых мы можем основываться. Теперь самоочевидно, что, как бы незначительно ни превосходила вероятность успеха одного курса действий над другим, наиболее вероятный всегда должен быть принят первым.

Химик, обнаруживший то, что он считает новым элементом, будет иметь перед собой бесконечное разнообразие способов обращения с ним и его исследования. Если в каком-либо из своих качеств вещество проявляет сходство со щелочным металлом, например, он естественно приступит к проверке того, обладает ли оно другими свойствами щелочных металлов. Даже самое простое явление представляет так много точек для внимания, что у нас есть выбор среди многих гипотез.

Было бы трудно найти более поучительный пример того, как ум направляется аналогией, чем в описании сэром Джоном Гершелем хода мысли, который привел его к предвосхищению в теории одного из величайших открытий Фарадея. Гершель заметил, что винтообразная форма, технически называемая геликоидальной диссимметрией, наблюдалась в трех случаях, а именно: в электрических спиралях, плагиэдрических кристаллах кварца и вращении плоскости поляризации света. Как он сказал: «Я рассуждал так: вот три явления, согласующиеся в очень странной особенности. Вероятно, эта особенность является связующим звеном, физически говоря, между ними. Теперь, в случае кристаллов и света, эта вероятность была превращена в уверенность моими собственными экспериментами. Следовательно, индукция привела меня к выводу, что подобная связь существует и должна проявиться, так или иначе, между электрическим током и поляризованным светом, и что плоскость поляризации будет отклоняться магнитоэлектричеством». Этим ходом аналогического мышления Гершель был фактически приведен к предвосхищению великого открытия Фарадея о влиянии магнитного напряжения на поляризованный свет. Он пытался в 1822–25 годах обнаружить влияние электричества на свет, пропуская луч поляризованного света через спираль или вблизи длинной проволоки, несущей электрический ток. Такой курс исследования, продолженный с настойчивостью Фарадея и с его экспериментальными ресурсами, несомненно, привел бы к открытию. Гершель также предполагает, что плагиэдрическая форма кристаллов кварца должна быть обусловлена винтообразным напряжением во время кристаллизации; но это понятие остается не подтвержденным экспериментом.

Аналогия в математических науках.

Тот, кто желает приобрести глубокое знакомство с Природой, должен заметить, что существуют аналогии, которые соединяют целые отрасли науки параллельным образом и позволяют нам делать выводы об одном классе явлений на основе того, что мы знаем о другом. Так случалось несколько раз, что открытие неожиданной аналогии между двумя отраслями знания было отправной точкой для быстрого курса открытий. Истины, легко наблюдаемые в одной, могут быть иного характера, чем те, которые проявляются в другой. Аналогия, однажды указанная, ведет нас к открытию областей одной науки, еще не развитых, ключ к которым предоставляется соответствующими истинами в другой науке. Взаимообмен помощью, самый удивительный по своим результатам, может таким образом иметь место, и в то же время ум поднимается к более высокому обобщению и более всестороннему взгляду на природу.

Никакие две науки на первый взгляд не могут казаться более различными по своему предмету, чем геометрия и алгебра. Первая имеет дело с кругами, квадратами, параллелограммами и другими формами в пространстве; последняя — с простыми символами числа. До времени Декарта науки развивались медленно и мучительно, почти в полной независимости друг от друга. Греческие философы, действительно, не могли избежать замечания случайных аналогий, как когда Платон в «Теэтете» описывает квадратное число как «равно-равное», а число, полученное умножением двух неравных множителей, как «продолговатое». Евклид в 7-й и 8-й книгах своих «Начал» постоянно использует выражения, демонстрирующие осознание тех же аналогий, как когда он называет число с двумя множителями «плоским числом» (ἐπίπεδος ἀριθμός) и отличает квадратное число, два множителя которого равны, как «равностороннее и плоское число» (ἰσόπλευρος καὶ ἐπίπεδος ἀριθμός). Он также называет корень кубического числа его «стороной» (πλευρά). В диофантовой алгебре многие задачи геометрического характера решались алгебраическими или числовыми процессами; но не было общей системы, так что решения носили изолированный характер. В целом древние были гораздо более продвинуты в геометрических, чем в символических методах; так, Евклид в своей 4-й книге дает средства деления круга чисто геометрическими средствами на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30 частей, но он был совершенно не знаком с теорией корней из единицы, точно соответствующей этому делению круга.

В средние века, напротив, алгебра продвинулась дальше геометрии, и способы решения уравнений постепенно открывались теми, кто не имел понятия, что на каждом шагу они неявно решали геометрические задачи. Правда, Региомонтан, Тарталья, Бомбелли и, возможно, другие ранние алгебраисты решали изолированные геометрические задачи с помощью алгебры, но всегда использовались конкретные числа, и не проявлялось осознания общего метода. Виет в некоторой степени предвосхитил окончательное открытие и иногда представлял корни уравнения геометрически, но именно Декарту было суждено показать самым общим образом, что каждое уравнение может быть представлено кривой или фигурой в пространстве и что каждый изгиб, точка, острие или другая особенность кривой указывает на некоторую особенность уравнения. Невозможно описать каким-либо адекватным образом важность этого открытия. Преимущество было двояким: алгебра помогала геометрии, а геометрия давала взаимную помощь алгебре. Кривые, такие как хорошо известные сечения конуса, оказались соответствующими квадратным уравнениям; и было невозможно манипулировать уравнениями, не обнаруживая свойств этих важнейших кривых. Таким образом, был открыт путь для алгебраического рассмотрения движений и сил, без чего «Начала» Ньютона никогда не могли бы быть разработаны. Ньютон, действительно, был одержим сильным увлечением в пользу древних геометрических методов; но хорошо известно, что он использовал символические методы для открытия своих теорем, и он время от времени, случайным использованием алгебраического выражения, признавал его большую силу и общность.

Геометрия, с другой стороны, оказала большую помощь алгебре, предоставляя конкретные представления отношений, которые в противном случае были бы слишком абстрактными для легкого понимания. Кривая не очень большой сложности может дать всю историю изменений значения затруднительного математического выражения. Как только мы узнаем, что каждая правильная геометрическая кривая представляет некоторое алгебраическое уравнение, нам наблюдением механических движений предоставляется множество подсказок к открытию математических задач. Каждая частица колеса кареты при движении по ровной дороге постоянно описывает циклоидальную кривую, любопытные свойства которой упражняли изобретательность всех самых искусных математиков семнадцатого века и привели к важным достижениям в алгебраической силе. Можно считать, что открытие дифференциального исчисления было в основном обусловлено геометрической аналогией, потому что математики, пытаясь рассматривать алгебраически касательную к кривой, были вынуждены принять понятие бесконечно малых величин. Нет сомнений, что флюкционный, то есть геометрический, способ изложения дифференциального исчисления Ньютоном, как бы он впоследствии ни замедлял его прогресс в Англии, облегчил его понимание вначале, и я считаю почти несомненным, что Ньютон открыл принципы исчисления геометрически.

Мы можем, соответственно, рассматривать это открытие аналогии, этот «счастливый союз», как называет его Боссю, между геометрией и алгеброй, как главный источник открытий, сделанных за последние три столетия в математических методах. Таково, безусловно, мнение Лагранжа, который говорит: «Пока алгебра и геометрия были разделены, их прогресс был медленным, а применение — ограниченным; но с тех пор, как эти две науки объединились, они придали друг другу взаимную силу и вместе быстрыми шагами двинулись к совершенству».

Развитию механической науки также в значительной степени способствовала аналогия. Абстрактное и неосязаемое понятие, такое как сила, требует большой силы воображения, но оно имеет идеальное конкретное воплощение в виде линии, конец которой может обозначать точку приложения, а направление — линию действия силы, в то время как длина может быть произвольно принята для обозначения величины силы. Аналогия на этом не заканчивается; ибо момент силы относительно любой точки, или ее произведение на перпендикулярное расстояние от линии ее действия до этой точки, оказывается представленным в виде площади, а именно удвоенной площади треугольника, заключенного между точкой и концами линии, представляющей силу. В последние годы было осуществлено большое обобщение; «двойная алгебра» Де Моргана справедлива не только для пространственных отношений, но и для сил, так что треугольник сил сводится к случаю чисто геометрического сложения. Более того, треугольник линий, треугольник скоростей, треугольник сил, треугольник пар сил и, возможно, другие родственные теоремы сводятся по аналогии к одной простой теореме, которая сводится к следующему: существуют два способа добраться от одной угловой точки треугольника к другой, и эти способы, хотя и различаются по длине, идентичны по своим конечным результатам. В системе кватернионов покойного сэра У. Р. Гамильтона эти аналогии воплощены и реализованы самым общим образом, так что любая задача, включающая трехмерность пространства или отношения, аналогичные пространственным, решается с помощью символического метода, обладающего величайшей простотой.

Следует добавить, что открытию аналогии между формами математических и логических выражений мы обязаны величайшим прогрессом в логической науке. Буль основывал свое расширение логических процессов на представлении о том, что логика — это алгебра двух величин, 0 и 1. Его глубокий гений в области символических исследований позволил ему по аналогии осознать, что должна существовать общая система логической дедукции, от которой старые логики уловили лишь несколько фрагментов. Как бы он ни ошибался, ставя алгебру выше логики, никто не может отрицать, что развитие более сложной и зависимой науки продвинулось далеко вперед по сравнению с более простой наукой, и что Буль, обратив внимание на эту связь, совершил одно из важнейших открытий в истории науки. Как Декарт соединил алгебру и геометрию, так и Буль совершил союз логики и алгебры.

Аналогия в теории волновых движений.

Нет такого класса явлений, который более полно иллюстрировал бы как силу, так и слабость аналогии, чем волны, которые возмущают любой вид среды. Все волны, независимо от того, через какую материю они проходят, подчиняются принципам ритмического или гармонического движения, и поэтому данный предмет представляет собой прекрасное поле для математического обобщения. Каждый вид среды может допускать волны, специфические для своих условий, поэтому прекрасным упражнением в аналогическом рассуждении является решение вопроса о том, как при выводах от одного вида среды к другому мы должны учитывать различие обстоятельств. Океанские волны велики и видимы, существуют еще более крупные приливные волны, охватывающие весь земной шар. От таких осязаемых случаев ритмического движения мы переходим к звуковым волнам, длина которых варьируется от примерно 32 футов до малой доли дюйма. Нам стоит лишь представить, если сможем, сороковую октаву ноты «до» первой октавы фортепиано, и мы достигнем колебаний желтого света, причем ультрафиолетовое излучение находится примерно на сорок первой октаве. Таким образом, мы переходим от осязаемого и очевидного к тому, что является неясным, если не непостижимым. Тем не менее, те же явления отражения, интерференции и преломления, которые мы находим в одних видах волн, можно ожидать, mutatis mutandis, и в других.

От великого к малому, от очевидного к неясному — это не только естественный порядок вывода, но и исторический порядок открытия. Физическая наука греческих философов должна была оставаться неполной, а их теории — беспочвенными, потому что они не понимали природы волновых движений. Их системы основывались на представлении о поступательном движении с места на место. Современная наука склоняется к противоположному представлению, что всякое движение является чередующимся или ритмическим, при этом энергия движется вперед, а материя остается относительно неподвижной. Диоген Лаэртский действительно правильно сравнивал распространение звука с расхождением волн на поверхности воды, потревоженной камнем, а Витрувий продемонстрировал более полное понимание той же аналогии. Ньютону предстояло создать теорию волнового движения, показав с помощью математического дедуктивного рассуждения, что частицы упругой жидкости, вибрируя вперед и назад, могут переносить импульс или волну, движущуюся от источника возмущения, в то время как возмущенные частицы возвращаются в свое положение покоя. Он даже смог сделать первое приближение путем теоретического расчета скорости звуковых волн в атмосфере. Его теория звука составила едва ли не менее важную эпоху в науке, чем его гораздо более знаменитая теория тяготения. Она открыла путь ко всем последующим применениям механических принципов к нечувствительному движению молекул. По-видимому, он также был на пороге еще одного применения тех же принципов, которое продвинуло бы науку на столетие вперед и сделало бы его бесспорным основателем всех теорий материи. Он неоднократно высказывал мнение, что свет может быть обусловлен волновыми движениями среды, занимающей пространство, и в одном чрезвычайно интересном предложении отмечает, что цвета, вероятно, являются вибрациями различной длины, «подобно тому как в чувстве слуха природа использует воздушные вибрации различной величины для создания звуков разных тонов, ибо следует наблюдать аналогию природы». Он правильно предвидел, что красный и желтый свет будут состоять из более длинных волн, а синий и фиолетовый — из более коротких, в то время как белый свет будет состоять из беспорядочной смеси волн различной длины. Ньютон почти преодолел самую сильную кажущуюся трудность волновой теории света, а именно распространение света по прямым линиям. Ибо он заметил, что, хотя звуковые волны в некоторой степени огибают препятствие, они не делают этого в той же степени, что и водные волны. Ему оставалось лишь пропорционально распространить аналогию на световые волны, и тогда не только исчезла бы трудность, но и открылась бы истинная теория дифракции. К сожалению, у него была предвзятая теория, что лучи света отклоняются от тени тела, а не к ней, — теория, которую он в тот раз недостаточно сопоставил с наблюдением, чтобы обнаружить ее ложность. Я также не знаю, чтобы Ньютон в каких-либо своих трудах продемонстрировал понимание явлений интерференции, без чего его представление о волнах должно было быть несовершенным.

Хотя общие принципы волнового движения будут одинаковыми в любой среде, в которой происходит движение, обстоятельства могут быть чрезвычайно разными. Между светом, распространяющимся со скоростью 186 000 миль в секунду, и звуком, распространяющимся в воздухе всего около 1 100 футов за то же время, или почти в 900 000 раз медленнее, мы не можем ожидать близкого внешнего сходства. Существуют также большие различия в характере вибраций. Газы почти не допускают поперечных колебаний, поэтому звук, распространяющийся в воздухе, является продольной волной, частицы воздуха движутся вперед и назад по той же линии, по которой волна движется вперед. Свет, с другой стороны, по-видимому, состоит целиком из движения точек силы поперечно направлению распространения луча. Световая волна частично аналогична изгибу стержня или натянутого шнура, приведенного в движение с одного конца. Теперь это изгибающее движение может происходить в любой из бесконечного числа плоскостей, и волны, плоскости которых перпендикулярны друг другу, не могут интерферировать, так же как две перпендикулярные силы не могут интерферировать. Сложные явления поляризованного света возникают из этого поперечного характера световой волны, и мы не должны ожидать встретить аналогичные явления в атмосферных звуковых волнах. Вполне мыслимо, что в твердых телах мы могли бы создавать поперечные звуковые колебания, в которых могли бы воспроизводиться явления поляризации. Но представляется, что даже между поперечными звуковыми и световыми волнами аналогия справедлива скорее в отношении принципов гармонического движения, чем обстоятельств вибрирующей среды; из эксперимента и теории делается вывод, что плоскость поляризации в плоскополяризованном свете перпендикулярна направлению вибрации, а не совпадает с ним, как это было бы в случае поперечных звуковых колебаний. Если это так, то законы упругих сил существенно различаются в применении к светоносному эфиру и к обычным твердым телам.

Аналогия в астрономии.

Нам очень поможет в получении истинной оценки значения аналогии в ее более слабых степенях рассмотрение того, насколько она способствовала прогрессу астрономической науки. Наша точка наблюдения настолько фиксирована по отношению к Вселенной, а наши средства исследования удаленных тел настолько ограничены, что мы неизбежно руководствуемся ограниченными и, по-видимому, слабыми сходствами. Во многих случаях результат подтверждался последующими прямыми доказательствами самого убедительного характера.

В то время как научный мир был разделен во мнениях между Коперниканской и Птолемеевой системами, именно аналогия предоставила наиболее удовлетворительный аргумент. Галилей с помощью своего нового телескопа открыл четыре маленьких спутника, которые обращаются вокруг Юпитера и образуют миниатюрный планетный мир. Эти четыре «Медицейские звезды», как их называли, были отчетливо видны вращающимися вокруг Юпитера с различными периодами, но приблизительно в одной плоскости, и астрономы неотвратимо сделали вывод, что то, что может происходить в меньшем масштабе, может оказаться верным и для большей планетной системы. Это открытие дало, как выразился Гершель, «решающий поворот» мнениям человечества. Даже Фрэнсис Бэкон, который, к чести его научной проницательности, ранее выступал против взглядов Коперника, теперь убедился, сказав: «Мы утверждаем движение Венеры и Меркурия вокруг Солнца, поскольку Галилеем было обнаружено, что у Юпитера также есть спутники». Гюйгенс также не счел излишним принять аналогию в качестве веского аргумента. Даже на продвинутой стадии физической астрономии система Юпитера не утратила своего аналогического интереса; ибо взаимные возмущения четырех спутников проходят через все свои фазы в течение нескольких столетий и, таким образом, позволяют нам проверить в миниатюрном масштабе принципы устойчивости, которые Лаплас установил для большой планетной системы. Колебания или возмущения, которые в движениях планет кажутся вековыми, поскольку их периоды охватывают миллионы лет, можно наблюдать в случае спутников Юпитера в течение полных оборотов в рамках исторического периода астрономии.

В получении знаний о звездной Вселенной мы иногда должны полагаться на ненадежные аналогии. Мы до сих пор придерживаемся на этом основании мнения, высказанного Бруно еще в 1591 году, что звезды могут быть солнцами, окруженными планетами, подобными нашей Земле. Это наиболее вероятное первоначальное предположение, и оно подтверждается спектральными наблюдениями, которые показывают сходство света, исходящего от многих звезд, со светом Солнца. Но в то же время с помощью призмы мы узнаем, что существуют туманности и звезды в состояниях, сильно отличающихся от всего известного в нашей системе. Со временем аналогия, возможно, будет восстановлена до сравнительной полноты благодаря открытию солнц на различных стадиях туманной конденсации. Историю эволюции нашего собственного мира можно проследить назад в менее развитых телах или вперед в системах, более продвинутых к рассеиванию энергии и угасанию жизни. Как в большой мастерской, мы, возможно, можем увидеть материальную работу Творения, как она прогрессировала в течение тысяч миллионов лет.

В спекуляциях относительно физического состояния планет и их спутников мы полагаемся на аналогии слабого характера. Можно сказать, что мы знаем, что Луна имеет горы и долины, равнины и хребты, вулканы и потоки лавы, и, несмотря на отсутствие воздуха и воды, скалистая поверхность Луны представляет так много знакомых явлений, что мы без колебаний сравниваем их с особенностями нашего земного шара. Мы с высокой вероятностью делаем вывод, что Марс имеет полярные снега и атмосферу, поглощающую синие лучи, подобно нашей; Юпитер, несомненно, обладает облачной атмосферой, возможно, не сильно отличающейся от увеличенной копии той, что окружает Землю, но наша склонность принимать аналогии получает полезную коррекцию в недавно открытом факте, что атмосфера Урана содержит водород.

Философы не остановились на этих сравнительно безопасных выводах, а спекулировали на существовании живых существ на других планетах. Гюйгенс заметил, что, поскольку мы делаем вывод по аналогии от препарированного тела собаки к телу свиньи, быка или другого животного той же общей формы, и поскольку мы ожидаем найти те же внутренности, сердце, желудок, легкие, кишечник и т. д. в соответствующих положениях, так и когда мы замечаем сходство планет во многих отношениях, мы должны ожидать, что они будут похожи и в других отношениях. Он даже пускается в исследование того, обладают ли обитатели других планет разумом и знанием того же рода, что и наши, приходя к утвердительному выводу. Хотя сила интеллекта может быть иной, он считает, что у них была бы та же геометрия, если бы она у них вообще была, и что то, что верно у нас, было бы верно и у них. Что касается Солнца, он мудро замечает, что любая догадка терпит неудачу. Лаплас питал твердую веру в существование обитателей на других планетах. Благотворное влияние Солнца дает жизнь животным и растениям на поверхности Земли, и аналогия побуждает нас верить, что его лучи имели бы аналогичный эффект и в других местах. Невероятно, чтобы материя, которая здесь так плодотворна для жизни, была бесплодной на таком огромном шаре, как Юпитер, который, подобно Земле, имеет свои дни и ночи и годы, и изменения, указывающие на активные силы. Человек, действительно, создан для температуры и атмосферы, в которых он живет, и, насколько представляется, не мог бы жить на других планетах. Но могла бы существовать бесконечность организаций, соответствующих разнообразным конституциям тел Вселенной. Самое активное воображение не может составить никакого представления о таких разнообразных существах, но их существование не является невероятным.

Мы теперь знаем, что многие металлы и другие элементы, никогда не встречающиеся в органических структурах, все же способны образовывать соединения с веществами растительного или животного происхождения. Поэтому вполне возможно, что при различных температурах могли бы существовать существа, образованные из различных, но аналогичных соединений, но представляется необходимым, чтобы углерод составлял основу органических структур. У нас нет аналогий, которые позволили бы нам предположить, что при отсутствии этого сложного элемента жизнь может существовать. Если бы мы могли найти миры, окруженные атмосферами, напоминающими нашу по температуре и составу, мы были бы почти вынуждены верить, что они обитаемы, но вероятность любого аналогического аргумента быстро уменьшается по мере того, как состояние мира отклоняется от состояния нашего собственного. Кардинал Николай Кузанский еще давно утверждал, что Луна обитаема, но отсутствие какой-либо заметной атмосферы делает существование обитателей крайне маловероятным. Спекуляции, опирающиеся на слабые аналогии, едва ли относятся к сфере истинной науки и могут быть допущены лишь как противоядие от гораздо худших догм, которые утверждают, что тысяча миллионов человек на Земле, или, скорее, малая их часть, являются единственными объектами заботы Силы, которая спроектировала эту безграничную Вселенную.

Неудачи аналогии.

Настолько постоянна помощь, которую мы получаем от использования аналогии во всех попытках открытия или объяснения, что крайне важно наблюдать, в каких случаях она может привести нас к трудностям. То, что мы ожидаем по аналогии, что оно существует

(1) Может оказаться существующим;

(2) Может казаться несуществующим, но тем не менее может действительно существовать;

(3) Может фактически не существовать.

Во втором случае неудача является лишь кажущейся и проистекает из нашей тупости восприятия, малости явления, которое нужно заметить, или замаскированного характера, в котором оно появляется. Я уже указывал, что аналогия звука и света, по-видимому, терпит неудачу, потому что свет, по-видимому, не огибает угол, в то время как факт заключается в том, что он огибает его в явлениях дифракции, которые, однако, представляют эффект в такой неожиданной и мелкой форме, что даже Ньютон был введен в заблуждение и отвернулся от правильной гипотезы волновых движений, которую он частично рассматривал.

В третьем классе случаев аналогия подводит нас полностью, и мы ожидаем существования того, чего на самом деле не существует. Таким образом, мы не обнаруживаем явлений поляризации в звуке, распространяющемся через атмосферу, поскольку воздух не способен к каким-либо заметным поперечным колебаниям. Эти неудачи аналогии представляют особый интерес, потому что они заставляют разум осознать свои превосходные способности. Было много философов, которые говорили, что мы не можем постичь в интеллекте ничего, что мы не получили ранее через чувства. Это верно в том смысле, что мы не можем «изобразить» их в уме в конкретной форме фигуры или цвета; но мы можем говорить о них и рассуждать о них; короче говоря, мы часто знаем их во всем, кроме чувственного способа. Точное исследование показывает, что все материальные вещества замедляют движение тел через них, вычитая энергию при ударе. По закону непрерывности мы можем сформировать понятие вакуумного пространства, в котором нет никакого сопротивления, и нам не нужно останавливаться на этом; ибо нам нужно только продолжить по аналогии к случаю, когда среда должна ускорять движение тел, проходящих через нее, несколько в том режиме, который аристотелики ложно приписывали воздуху. Таким образом, мы можем сформировать понятие «отрицательной плотности», и Ньютон мог точно рассуждать о ней, хотя ничего подобного не существует.

В любом направлении мысли мы можем в конечном итоге встретить подобные неудачи аналогии. Движущаяся точка порождает линию, движущаяся линия порождает поверхность, движущаяся поверхность порождает тело, но что порождает движущееся тело? Когда мы сравниваем многогранник, или многогранное тело, с многоугольником, или плоской фигурой со многими сторонами, объем первого аналогичен площади второго; грань тела соответствует стороне многоугольника; ребро тела — точке фигуры; но угол, или соединение ребер в многограннике, остается полностью не представленным в плоскости многоугольника. Даже если бы мы попытались провести аналогии каким-то другим образом, мы все равно обнаружили бы геометрическое понятие, воплощенное в теле, которое не имеет представителя в фигуре двух измерений.

Фарадей смог сформировать некоторое понятие о материи в четвертом состоянии, которое относилось бы к газу так, как газ относится к жидкости. Такое вещество, думал он, не сильно отличалось бы от «лучистой материи», под которой, по-видимому, он имел в виду предполагаемый калорик или материю, принятую для образования тепла согласно корпускулярной теории. Даже если бы мы могли сформировать это понятие, нельзя знать, что материя в таком состоянии существует, а недавние открытия относительно непрерывности твердого, жидкого и газообразного состояний устраняют основу для этой спекуляции.

Из этих и многих других примеров, которые можно было бы привести, мы узнаем, что аналогическое рассуждение приводит нас к концепции многих вещей, которые, насколько мы можем установить, не существуют. Таким образом, возникли большие затруднения в использовании языка и математических символов. Весь язык зависит от аналогии; ибо мы соединяем и располагаем слова так, чтобы они могли представлять соответствующие соединения или расположения вещей и их равенства. Но при использовании языка мы, очевидно, способны формировать многие комбинации слов, для которых, по-видимому, не существует соответствующего значения. Та же трудность возникает при использовании математических знаков, и математики без нужды ломали голову над квадратным корнем из отрицательной величины, который во многих приложениях алгебраического вычисления является просто знаком без какого-либо аналогичного значения, поскольку здесь имеет место неудача аналогии.

ГЛАВА XXIX. ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ.

Если наука состоит в обнаружении тождества и распознавании единообразия, существующего во многих объектах, то из этого следует, что прогресс науки зависит от изучения исключительных явлений. Такие новые явления являются сырым материалом, на который мы направляем наши способности наблюдения и рассуждения, чтобы подчинить новые факты власти законов природы, либо тех законов, которые уже хорошо известны, либо тех, которые предстоит открыть. Странные и необъяснимые факты не только с наибольшей вероятностью могут привести нас к какому-то новому и важному открытию, но они также лучше всего подходят для того, чтобы пробудить наше внимание. Пока события происходят в соответствии с нашими ожиданиями, а рутина повседневного наблюдения неизменна, ничто не может внушить уму малость его знаний и глубину тайны, которая может быть скрыта в самых обычных видах и объектах. В ранние времена мириады звезд, которые оставались в кажущихся фиксированными относительных положениях на небесной сфере, получали меньше внимания от астрономов, чем те немногие планеты, чьи блуждающие и необъяснимые движения составляли загадку. Гиппарх был побужден составить первый каталог звезд, потому что одна новая звезда была добавлена к тем, что были видны по ночам; а в средние века две яркие, но временные звезды вызвали больший общественный интерес к астрономии, чем любые другие события, и одной из них мы обязаны всеми наблюдениями Тихо Браге, средневекового Гиппарха.

В других науках, так же как и в науке о небесах, исключительные события обычно являются точками, с которых мы начинаем исследовать новые области знания. Было прекрасно сказано, что удивление — это дочь невежества, но мать изобретения; и хотя самые знакомые и незначительные события, если их полностью изучить, дадут бесконечную пищу для удивления и мудрости, все же именно немногие своеобразные и неожиданные события чаще всего ведут к курсу открытий. Действительно, требуется много философии, чтобы наблюдать вещи, которые находятся слишком близко к нам.

Высокая научная важность, придаваемая исключениям, делает желательным, чтобы мы тщательно рассмотрели различные способы, которыми можно распорядиться исключением; в то время как некоторые новые факты подтвердят те самые законы, которым они на первый взгляд явно противоречат, другие заставят нас ограничить общность наших предыдущих утверждений. В некоторых случаях исключение может быть доказано как не являющееся исключением; иногда оно окажется фатальным для наших предыдущих самых уверенных спекуляций; и есть некоторые новые явления, которые, не разрушая на самом деле ни одной из наших прежних теорий, открывают нам совершенно новые области научного исследования. Изучение этого предмета особенно интересно и важно, потому что, как я уже говорил (стр. 587), никакая важная теория не может быть построена полной и совершенной сразу. Когда необъяснимые явления представляют себя как возражения против теории, часто потребуется предельное суждение и проницательность, чтобы приписать им их надлежащее место и силу. Принятие или отклонение теории будет зависеть от различения одного непреодолимого противоречивого факта от многих, которые, какими бы странными и необъяснимыми они ни казались на первый взгляд, могут впоследствии оказаться результатами различных причин или, возможно, самыми поразительными результатами того самого закона, с которым они находятся в явном конфликте.

Я могу перечислить по крайней мере восемь классов или видов исключительных явлений, к одному или другому из которых обычно можно отнести любое предполагаемое исключение из известных законов природы; они могут быть кратко описаны ниже и будут достаточно проиллюстрированы в последующих разделах.

(1) Воображаемые, или ложные исключения, то есть факты, объекты или события, которые на самом деле не являются тем, чем они должны быть.

(2) Кажущиеся, но конгруэнтные исключения, которые, хотя и кажутся находящимися в конфликте с законом природы, на самом деле находятся в согласии с ним.

(3) Сингулярные исключения, которые действительно согласуются с законом природы, но демонстрируют замечательные и уникальные результаты его действия.

(4) Дивергентные исключения, которые действительно проистекают из обычного действия известных процессов природы, но которые чрезмерны по величине или чудовищны по характеру.

(5) Случайные исключения, возникающие из-за вмешательства какого-то совершенно отдельного, но известного закона природы.

(6) Новые и необъяснимые исключения, которые ведут к открытию новой серии законов и явлений, модифицирующих или маскирующих эффекты ранее известных законов, не будучи несовместимыми с ними.

(7) Ограничивающие исключения, показывающие ложность предполагаемого закона в некоторых случаях, к которым он был распространен, но не влияющие на его истинность в других случаях.

(8) Противоречивые или реальные исключения, которые приводят нас к выводу, что предполагаемая гипотеза или теория находится в оппозиции к явлениям природы и поэтому должна быть отброшена.

Следует четко понимать, что ни в коем случае закон природы не нарушается и не предотвращается от исполнения. Эффекты закона могут быть замаскированы и скрыты от нашего взгляда в некоторых случаях: в других закон сам может быть сделан совершенно неприменимым; но если закон применим, он должен быть выполнен. Поэтому каждый закон природы должен быть сформулирован с предельной общностью для всех случаев, действительно подпадающих под него. Бэббидж предложил различать универсальные принципы, которые не допускают ни одного исключения, такие как то, что каждое число, оканчивающееся на 5, делится на пять, и общие принципы, которые чаще соблюдаются, чем нарушаются, как то, что «людьми будет управлять то, что они считают своим интересом». Но с научной точки зрения общие принципы должны быть универсальными в отношении некоторого отдельного класса объектов, иначе они вообще не являются принципами. Если закон, для которого существуют исключения, сформулирован без упоминания этих исключений, утверждение является ошибочным. У меня нет права говорить, что «все жидкости расширяются при нагревании», если я знаю, что вода ниже 4° C. этого не делает; я должен сказать: «Все жидкости, кроме воды ниже 4° C., расширяются при нагревании»; и каждое новое обнаруженное исключение будет фальсифицировать утверждение, пока оно не будет в него вставлено. Говорить о некоторых законах как о «вообще» истинных, имея в виду не универсально, а в большинстве случаев, — это вредное злоупотребление словом, но оно вполне обычно. «Общий» должно означать то, что истинно для целого рода или класса, и каждое истинное утверждение должно быть истинным для некоторого назначенного или назначаемого класса.

Воображаемые или ложные исключения.

Когда до нашего сведения доводится предполагаемое исключение из закона природы, первым вопросом должно быть: есть ли вообще какое-либо нарушение закона? Может быть, предполагаемый исключительный факт вообще не является фактом, а лишь плодом воображения. Когда король Карл попросил Королевское общество исследовать любопытный факт, что живая рыба, помещенная в ведро с водой, не увеличивает вес ведра и его содержимого, Королевское общество мудро начало свои обсуждения с вопроса о том, так ли это на самом деле или нет. Каждое утверждение, каким бы ложным оно ни было, должно иметь какую-то причину или предварительное условие, и реальным вопросом для Королевского общества было исследование того, как король пришел к мысли, что этот факт таков. Психические состояния, как мы видели, входят во все акты наблюдения и часто являются достойным предметом исследования. Но в истории науки есть много случаев, в которых неприятности и ошибки были вызваны ложными утверждениями, сделанными небрежно и небрежно принятыми без проверки.

Принятию теории Коперника сильно препятствовало возражение, что если Земля движется, то камень, брошенный с вершины высокой башни, должен остаться позади и должен казаться движущимся на запад, точно так же, как камень, брошенный с мачты движущегося корабля, упал бы позади из-за движения корабля. Коперниканцы пытались встретить это серьезное возражение всеми способами, кроме истинного, а именно, показав на опыте, что утверждаемые факты неверны. Во-первых, если бы камень был брошен с соответствующими предосторожностями с мачты движущегося корабля, он упал бы близко к основанию мачты, потому что, согласно первому закону движения, он остался бы в том же состоянии горизонтального движения, переданного ему мачтой. Поскольку антикоперниканцы предположили, что противоположный результат обязательно последует, их аргумент, конечно, провалился бы. Если бы коперниканцы затем приступили к тщательной проверке другого вовлеченного утверждения, они еще больше убедились бы в истинности своей собственной теории. Камень, брошенный с вершины высокой башни или в глубокий колодец, конечно, не отклонился бы от вертикального направления в значительной степени, требуемой для согласия с предполагаемыми последствиями взглядов Коперника; но при очень точном наблюдении они могли бы обнаружить, как впоследствии сделал Бенценберг, очень небольшое отклонение к востоку, показывающее, что восточная скорость больше вверху, чем внизу. Если бы коперниканцы тогда смогли обнаружить и интерпретировать значение возникающего таким образом небольшого расхождения, они нашли бы в нем подтверждение своих собственных взглядов.

Можно привести множество случаев, в которых законы природы, по-видимому, явно нарушаются, но в которых кажущееся нарушение проистекает из неправильного понимания случая. Это общий закон, абсолютно верный для всех кристаллов, подвергнутых исследованию, что ни один кристалл не имеет входящего угла, то есть угла, который по направлению к оси кристалла больше двух прямых углов. Везде, где грани кристалла встречаются, они образуют выступающее ребро, и везде, где ребра встречаются, они образуют угол. Многие кристаллы, однако, при небрежном осмотре представляют исключения из этого закона, но более пристальное наблюдение всегда показывает, что кажущийся входящий угол на самом деле возникает из косого соединения двух отдельных кристаллов. Другие кристаллы, по-видимому, обладают гранями, противоречащими всем принципам кристаллографии; но тщательное исследование показывает, что предполагаемые грани не являются истинными гранями, а поверхностями, образованными упорядоченным соединением огромного числа отдельных тонких кристаллических пластин, каждая из которых является, по сути, отдельным кристаллом, в котором законы кристаллографии строго соблюдаются. Шероховатость предполагаемой грани, штрихи, обнаруженные микроскопом, или вывод по непрерывности из других образцов, где истинные грани пластин отчетливо видны, доказывают ошибочный характер предполагаемых исключений. Опять же, четыре грани правильного октаэдра могут стать настолько увеличенными при кристаллизации железного колчедана и некоторых других веществ, что остальные четыре грани становятся незаметными, и кажется, что образуется правильный тетраэдр, вопреки законам кристаллографической симметрии. Многие другие кристаллические формы аналогично модифицируются, чтобы произвести серию того, что называется гемиэдрическими формами.

При прослеживании изоморфных отношений элементов большая путаница часто была вызвана тем, что одно вещество принимали за другое. Было указано, что, хотя мышьяк считался изоморфным фосфору, арсенат нады кристаллизовался в форме, отличной от формы соответствующего фосфата. Некоторые химики считали это фатальным возражением против доктрины изоморфизма; но впоследствии Кларком было указано, что рассматриваемые арсенат и фосфат не являются соответствующими соединениями, так как они различались по содержанию кристаллизационной воды. Ванадий снова казался исключением из законов изоморфизма, пока профессором Роско не было доказано, что то, что Берцелиус считал металлическим ванадием, на самом деле было оксидом ванадия.

Кажущиеся, но конгруэнтные исключения.

Нередко закон природы дает результаты в определенных обстоятельствах, которые кажутся находящимися в полном конфликте с самим законом. Действие закона может быть не только сильно усложнено и замаскировано, но и может быть различными способами обращено или инвертировано, так что неосторожные наблюдатели вводятся в заблуждение. Древние философы обычно полагали, что, хотя некоторые тела тяжелы по своей природе, другие, такие как пламя, дым, пузыри, облака и т. д., по существу легки или обладают тенденцией двигаться вверх. Столь проницательный исследователь, как Аристотель, не смог осознать истинную природу плавучести, и доктрина внутренней легкости, изложенная в его трудах, стала принятым взглядом на многие столетия. Правда, Лукреций знал, почему пламя стремится вверх, утверждая, что —

“The flame has weight, though highly rare,
 Nor mounts but when compelled by heavier air.”

Архимед также был настолько прекрасно знаком с плавучестью тел, погруженных в воду, что не мог не заметить существования параллельного эффекта в воздухе. Однако на протяжении всего раннего средневековья свет истинной науки не мог соперничать с блеском перипатетической доктрины. Потребовался гений Галилея и Ньютона, чтобы убедить людей в простой истине, что вся материя тяжела, но что гравитация одного вещества может быть преодолена гравитацией другого, подобно тому как одна чаша весов поднимается вверх из-за преобладающего веса на противоположной чаше. Любопытно видеть, как Ньютон серьезно объясняет разницу между абсолютной и относительной гравитацией, как если бы это было новое открытие, вытекающее из его теории. Прошло более века, прежде чем другие кажущиеся исключения из ньютоновской философии были объяснены.

Сам Ньютон допускал, что движение апсид орбиты Луны кажется непримиримым с законом гравитации, и Клеро предстояло устранить эту трудность с помощью более полного математического анализа. В движениях небесных тел всегда должны оставаться расхождения некоторой величины между теорией и наблюдением; но такие расхождения так часто уступали в прошлом длительному исследованию, что физики теперь рассматривают их как лишь кажущиеся исключения, которые впоследствии окажутся согласующимися с законом гравитации.

Самый красивый пример кажущегося исключения находится в полном отражении света, которое происходит, когда луч света внутри среды падает очень косо на границу, отделяющую ее от более редкой среды. Общий закон заключается в том, что когда луч ударяет в границу между двумя средами с разными показателями преломления, часть света отражается, а часть преломляется; но когда косость луча внутри более плотной среды выходит за определенную точку, происходит внезапное кажущееся нарушение непрерывности, и весь свет отражается. Можно дать ясное объяснение этому исключительному поведению света. Согласно закону преломления, синус угла падения находится в фиксированном отношении к синусу угла преломления, так что больший из двух углов, который всегда находится в менее плотной среде, может увеличиваться до прямого угла; но когда среды различаются по преломляющей способности, меньший угол не может стать прямым углом, так как это потребовало бы, чтобы синус угла был больше радиуса. Может показаться, что это исключение того типа, который описан ниже как ограничивающее исключение, с помощью которого закон оказывается неприменимым за определенными пределами; но в объяснении исключения согласно волновой теории мы обнаруживаем, что на самом деле нет никакого нарушения общего закона. Когда волна ударяет в точку на граничной поверхности, образуются сферические волны, которые распространяются из этой точки. Преломленный луч является результатом бесконечного числа таких сферических волн, и изгиб луча на общей поверхности двух сред зависит от сравнительных скоростей распространения волн в этих средах. Но если луч падает очень косо на поверхность более редкой среды, волны, исходящие из последовательных точек поверхности, распространяются так быстро, что никогда не пересекаются, и тогда не будет создано никакой результирующей волны. Мы таким образом осознаем, что из сходных математических условий возникают различные кажущиеся эффекты.

Время от времени происходят неудачи в наших самых обоснованных предсказаниях. Комета, орбита которой была хорошо определена, может не появиться, подобно комете Лекселя, в назначенное время и месте на небесах. В наши дни мы не позволили бы такому исключению из наших успешных предсказаний перевесить нашу веру в теорию гравитации, а предположили бы, что какое-то неизвестное тело отклонило комету под действием гравитации. Как заметил Клеро, публикуя свои расчеты относительно ожидаемого повторного появления кометы Галлея, тело, которое проходит в столь отдаленные регионы и которое скрыто от нашего взгляда в течение столь долгих периодов, может быть подвержено влиянию сил, совершенно неизвестных нам, таких как притяжение других комет или планет, слишком удаленных от Солнца, чтобы мы могли их когда-либо заметить. В случае кометы Лекселя впоследствии было показано, как ни странно, что ее появление не было одним из регулярной серии периодических возвращений в сферу нашего зрения, а единственным исключительным визитом, который никогда не повторится, и, вероятно, был обусловлен возмущающими силами Юпитера. Этот одиночный визит стал сильным подтверждением закона гравитации, с которым он, казалось, находился в конфликте.

Сингулярные исключения.

Среди наиболее интересных кажущихся исключений есть те, которые я называю сингулярными исключениями, потому что они более или менее аналогичны сингулярным случаям или решениям, которые встречаются в математической науке. Общий математический закон охватывает бесконечное множество случаев, которые идеально согласуются друг с другом в определенном отношении. Тем не менее может случиться так, что единственный случай, действительно подчиняясь общему закону, выделяется как кажущийся отличным от всех остальных. Вращение Земли вокруг своей оси придает всем звездам кажущееся движение вращения с востока на запад; но в то время как бесчисленные тысячи подчиняются правилу, одна Полярная звезда, кажется, нарушает его. Точные наблюдения, действительно, показывают, что она также вращается по маленькому кругу, но звезда могла бы случайно в течение короткого времени существовать так близко к полюсу, что никакое заметное изменение места не было бы вызвано вращением Земли. Тогда она составила бы идеальное сингулярное исключение; действительно подчиняясь закону, она нарушила бы условия, в которых он обычно формулируется. Таким же образом полюса каждого вращающегося тела являются сингулярными точками.

Всякий раз, когда законы природы сводятся к математической форме, мы можем ожидать встречи с сингулярными случаями, и, поскольку все физические науки сойдутся в математических принципах механики, нет такой части природы, где мы не могли бы с ними столкнуться. В механической науке движение вращения можно рассматривать как исключение из движения поступательного. Это общий закон, что любое число параллельных сил, действующих в одном или противоположных направлениях, будет иметь равнодействующую, которую можно заменить ими с тем же эффектом. Эта равнодействующая будет равна алгебраической сумме сил, или разности тех, что действуют в одном и другом направлении; она будет проходить через точку, которая определяется простой формулой и которую можно описать как среднюю точку всех точек приложения параллельных сил (стр. 364). Таким образом, мы легко определяем равнодействующую параллельных сил, за исключением одного особого случая, а именно, когда две силы равны и противоположны, но не находятся на одной прямой линии. Будучи равными и противоположными, величина равнодействующей равна нулю, однако, поскольку силы не находятся на одной прямой линии, они не уравновешивают друг друга. Изучая формулу для точки приложения равнодействующей, мы обнаруживаем, что она дает бесконечно большую величину, так что равнодействующая равна нулю и действует на бесконечном расстоянии, что практически то же самое, что сказать, что равнодействующей нет. Две такие силы составляют то, что известно в механической науке как пара сил, которая вызывает вращательное, а не прямолинейное движение и может быть нейтрализована только равной и противоположной парой сил.

Лучшие примеры сингулярных исключений предоставляются наукой оптикой. Это общий закон, что при прохождении через прозрачные среды плоскость вибрации поляризованного света остается неизменной. Но в некоторых жидкостях, некоторых своеобразных кристаллах кварца и прозрачных твердых средах, подвергнутых магнитному напряжению, как в эксперименте Фарадея (стр. 588, 630), плоскость поляризации вращается винтообразным образом. Этот эффект настолько совершенно sui generis, настолько не похож на любые другие явления в природе, что кажется поистине исключительным; однако математический анализ показывает, что это лишь один случай гораздо более общих законов. Как утверждают Томсон и Тэйт, он возникает из композиции двух равномерных круговых движений. Если в то время как точка движется по кругу, центр этого круга движется по другому кругу, будет произведено большое разнообразие любопытных кривых в зависимости от того, как мы варьируем размеры кругов, быстроту или направление движений. Когда два круга точно равны, быстроты почти равны, а направления противоположны, точка будет двигаться постепенно вокруг центра неподвижного круга и описывать любопытную звездообразную фигуру, связанную с молекулярными движениями, из которых возникает вращательная сила сред. Среди других сингулярных исключений в оптике можно поместить коническую рефракцию света, уже замеченную (стр. 540), возникающую из своеобразной формы, принимаемой волной света при прохождении через некоторые двоякопреломляющие кристаллы. Законы, которым подчиняется волна, точно такие же, как и в других случаях, однако результаты совершенно sui generis. Настолько такие случаи далеки от противоречия закону обычных случаев, что они предоставляют лучшие возможности для проверки.

В астрономии могут встречаться сингулярные исключения, и в приблизительном смысле они действительно встречаются. Мы можем указать на кольца Сатурна как на объекты, которые, хотя, несомненно, подчиняются закону гравитации, все же уникальны, насколько зашло наше наблюдение Вселенной. Они согласуются, действительно, с другими телами планетной системы в устойчивости своих движений, которые никогда не отклоняются далеко от среднего положения. По-видимому, нет сомнений, что эти кольца состоят из роев маленьких метеорных камней; ранее их считали твердыми сплошными кольцами, и математики доказали, что если бы они были так устроены, то при определенных обстоятельствах могло бы произойти совершенно исключительное событие. Если бы кольца были точно равномерными по всему периметру и с центром тяжести, совпадающим на мгновение с центром Сатурна, возник бы сингулярный случай неустойчивого равновесия, неизбежно приводящий к внезапному коллапсу колец и падению их обломков на поверхность планеты. Таким образом, в одном единственном случае теория гравитации дала бы результат, совершенно не похожий ни на что другое, известное в механизме небес.

Возможно, что мы могли бы встретить сингулярные исключения в кристаллографии. Если бы кристалл второй или диметрической системы, в которой третья ось обычно не равна любой из двух других, случайно имел три равные оси, его можно было бы принять за кристалл кубической системы, но он проявил бы другие грани и несходные свойства. Существует, опять же, возможный класс диклинических кристаллов, в которых две оси находятся под прямым углом, а третья ось наклонена к двум другим. Этот класс примечателен главным образом своим несуществованием, поскольку еще не доказано, что какие-либо кристаллы имеют такие оси. Кажется вероятным, что этот класс составил бы лишь сингулярный случай более общей триклинической системы, в которой все три оси наклонены друг к другу под различными углами. Теперь, если бы диклиническая форма была чисто случайной, а не произведенной каким-либо общим законом молекулярной конституции, ее фактическое возникновение было бы бесконечно невероятным, точно так же, как бесконечно невероятно, чтобы какая-либо звезда указывала на Северный полюс с идеальной точностью.

В кривых, обозначающих отношение между температурой и давлением воды, есть, как показал профессор Дж. Томсон, одна очень замечательная точка, совершенно уникальная, в которой только вода может оставаться в трех состояниях: газа, жидкости и твердого тела в одном сосуде. Это тройная точка, в которой сходятся три линии, а именно: (1) линия пара, которая показывает, при каких температурах и давлениях вода находится как раз на грани перехода в газообразное состояние; (2) линия льда, показывающая, когда лед вот-вот растает; и (3) линия инея, которая аналогично указывает давления и температуры, при которых лед способен переходить непосредственно в состояние газообразного пара.

Дивергентные исключения.

Тесно аналогичны сингулярным исключениям те дивергентные исключения, в которых явление проявляется в необычной величине или характере, не становясь при этом предметом особых законов. Так, при подбрасывании десяти монет в четырех случаях из 2048 бросков случилось так, что все монеты упали орлом вверх (стр. 208); их обычно рассматривали бы как очень сингулярные события, и, согласно теории вероятностей, они были бы редкими; однако они проистекают лишь из необычного соединения случайных событий, а не из каких-либо действительно исключительных причин. Во всех классах природных явлений мы можем ожидать встречи с подобными отклонениями от среднего, иногда обусловленными лишь принципами вероятности, иногда более глубокими причинами. Среди каждой большой коллекции людей мы, вероятно, найдем некоторых людей, которые удивительно велики или удивительно малы, гигантов или карликов, будь то в телесной или умственной конституции. Такие случаи, по-видимому, не являются просто lusus naturæ, поскольку они встречаются с частотой, близко соответствующей закону ошибки или отклонения от среднего, как показали Кетле и г-н Гальтон. Возникновение гениальности и наличие необычайных музыкальных или математических способностей приписываются г-ном Гальтоном тому же принципу дивергенции.

Когда несколько различных сил действуют одновременно, мы можем получить удивительные или тревожные результаты. Так возникают сильные бури, наводнения, засухи и другие экстремальные отклонения от среднего состояния атмосферы. Следует ожидать, что они будут происходить время от времени, но при этом останутся весьма редкими по сравнению с незначительными возмущениями. Они не являются аномальными, а представляют собой лишь экстремальные события, аналогичные экстремальным полосам везения. Действительно, у многих людей складывается ошибочное впечатление, будто теория вероятностей требует единообразия в наступлении событий, так что в один и тот же промежуток времени всегда будет происходить почти одинаковое число железнодорожных аварий и убийств. Бакл поверхностно высказался о постоянстве таких событий, установленном Кетле, и некоторые из его читателей усвоили ложное представление о существовании таинственного неумолимого закона, порождающего единообразие в человеческих делах. Но ничто не может быть более чуждым учению теории вероятностей, которая всегда предполагает возможность возникновения необычных полос везения. Эта теория показывает крайнюю маловероятность того, что число железнодорожных аварий в месяц всегда будет одинаковым или почти одинаковым. Внимание общественности сильно привлекает любое необычное стечение обстоятельств, и возникает ошибочная склонность полагать, что такое стечение должно быть вызвано действием какой-то особой новой причины. Если только нельзя ясно доказать, что такие необычные сочетания происходят чаще, чем это должно быть согласно теории вероятностей, нам следует рассматривать их просто как отклоняющиеся исключения.

Затмения и примечательные соединения небесных тел также можно рассматривать как результаты действия обычных законов, которые, тем не менее, кажутся нарушающими регулярный ход природы и неизменно вызывают удивление. Частота таких событий сильно варьируется. Тот или иной спутник Юпитера затмевается почти каждый день, но одновременное затмение трех спутников, согласно расчетам Варгентина, может произойти лишь по прошествии 1 317 900 лет. Взаимоотношения четырех спутников настолько примечательны, что, согласно теории тяготения, их одновременное затмение фактически невозможно. Однако может случиться так, что, пока одни спутники действительно затмеваются, входя в тень Юпитера, другие либо покрываются им, либо становятся невидимыми, проходя по его диску. Так, в четырех случаях — в 1681, 1802, 1826 и 1843 годах — Юпитер наблюдался в необычном состоянии, когда он был, по-видимому, лишен спутников. Тесное соединение двух планет всегда вызывает восхищение, хотя такие соединения должны происходить через определенные интервалы в обычном ходе их движения. Не приходится удивляться, что когда три или четыре планеты тесно сближаются, это событие надолго запоминается. Весьма примечательное соединение Марса, Юпитера, Сатурна и Меркурия, которое произошло в 2446 году до н. э., было принято китайским императором Чжуань-сюем в качестве новой эпохи для хронологии его империи, хотя существуют некоторые сомнения в том, действительно ли это соединение наблюдалось или было вычислено исходя из предполагаемых законов движения планет. Достоверно известно, что 11 ноября 1524 года планеты Венера, Юпитер, Марс и Сатурн наблюдались очень близко друг к другу, в то время как Меркурий находился на расстоянии около 16°, или тридцати видимых диаметров Солнца; это соединение, вероятно, является самым примечательным из всех, что происходили в исторические времена.

Среди возмущений планет мы находим отклоняющиеся исключения, возникающие вследствие особого накопления эффектов, как в случае с долгопериодическим неравенством Юпитера и Сатурна (стр. 455). Леверье показал, что между орбитами Меркурия и Венеры, а также между орбитами Марса и Юпитера существуют области, в любой из которых, если бы там оказалась малая планета, она испытывала бы сравнительно огромное возмущение элементов своей орбиты. И действительно, между Марсом и Юпитером находятся малые планеты, орбиты которых во многих случаях являются исключительно отклоняющимися.

К отклоняющимся исключениям можно отнести все или почти все примеры веществ, обладающих физическими свойствами в очень высокой или очень низкой степени, которые были описаны в главе об обобщении (стр. 607). Ртуть является отклоняющейся среди металлов в отношении своей температуры плавления, а калий и натрий — в отношении их удельного веса. К этому классу исключений, вероятно, следует отнести чудовищные порождения и вариации, будь то в животном или растительном мире.

Стоит отметить, что даже в такой дисциплине, как формальная логика, по-видимому, встречаются отклоняющиеся исключения, вызванные, конечно, не случайностью, а проявляющие в необычной степени феномен, который в той или иной мере обнаруживается во всех остальных случаях. Я указал на стр. 141, что суждения общего типа A = BC ꖌ bc способны выражаться в шести эквивалентных логических формах, благодаря чему они проявляют феномен логической эквивалентности в большей степени, чем любое другое из до сих пор открытых суждений.

Случайные исключения.

Третий и самый обширный класс исключений содержит те, которые возникают из-за случайного вмешательства посторонних причин. Закон может действовать, и если это так, то он должен выполняться безупречно; но в то время, когда мы полагаем, что исследуем его результаты, перед нами могут предстать эффекты другой причины, не имеющей никакой связи с предметом нашего исследования. Закон на самом деле не нарушается, но в то же время предполагаемое исключение не является иллюзорным. Это может быть явление, которое не может произойти иначе как при условии действия рассматриваемого закона, однако произошло такое вмешательство, что возникает кажущийся провал науки. Например, нет такой области, в которой были бы установлены более строгие и неизменные законы, чем в кристаллографии. Как общее правило, каждое химическое вещество обладает своей собственной определенной формой, по которой его можно безошибочно распознать; но минералог должен быть настороже в отношении так называемых псевдоморфных кристаллов. В некоторых обстоятельствах вещество, приняв свою надлежащую кристаллическую форму, может впоследствии претерпеть химическое изменение; может быть добавлен новый ингредиент, удален прежний или один элемент может быть замещен другим. В карбонате кальция угольная кислота иногда замещается серной кислотой, так что мы находим гипс в форме кальцита; известны и другие случаи, когда изменение происходит в обратном порядке и кальцит обнаруживается в форме гипса. Слюда, тальк, стеатит, гематит — другие минералы, подверженные этим любопытным превращениям. Иногда кристалл, заключенный в матрицу, полностью растворяется, а в образовавшейся полости впоследствии отлагается новый минерал, как в форме. Кварц таким образом встречается в виде слепков многих форм, совершенно для него неестественных. Иногда случается еще более озадачивающий случай. Карбонат кальция способен принимать две различные формы кристаллизации, в которых он носит названия кальцита и арагонита соответственно. Так вот, арагонит, сохраняя свою внешнюю форму неизменной, может претерпеть внутреннее молекулярное изменение в кальцит, на что указывает измененная спайность. Таким образом, мы можем встретить кристаллы, по-видимому, арагонита, которые, кажется, нарушают все законы кристаллографии, обладая спайностью другой системы кристаллизации.

Некоторые из самых неизменных законов природы маскируются вмешательством непредвиденных причин. В то время, когда барометр был еще новым и любопытным предметом исследования, его теория, изложенная Торричелли и Паскалем, казалась опровергнутой тем фактом, что в хорошо сконструированном приборе ртуть часто стояла значительно выше 31 дюйма. Бойль показал, что ртуть можно заставить подняться до 75 дюймов в идеально очищенной трубке, то есть примерно в два с половиной раза выше, чем это могло быть обусловлено давлением атмосферы. Вследствие этого было выдвинуто множество теорий о давлении воображаемых жидкостей, и предмет был погружен в большую путаницу, пока в качестве реальной мешающей причины не была указана сила адгезии или когезии между стеклом и ртутью при их идеальном контакте. Мне, однако, кажется, что это явление до сих пор не понято до конца.

Гей-Люссак заметил, что температура кипения воды в одних сосудах сильно отличается от температуры в других. Только при контакте с металлическими поверхностями или острыми изломами краев температура фиксируется на отметке 100° C. Замерзание жидкостей в состоянии покоя — еще один случай, когда действие закона природы кажется прерванным. Сфероидальное кипение на первый взгляд было в высшей степени аномальным явлением; было почти невероятно, что вода не кипит в раскаленном сосуде или что лед может образоваться в раскаленном тигле. Эти парадоксальные результаты теперь полностью объяснены как следствие образования непроводящей пленки пара между каплей жидкости и стенками сосуда. Фокусы жонглеров, обращающихся с жидкими металлами, объясняются таким же образом. Одно время пассивное состояние стали считалось совершенно аномальным. Можно принять за общий закон, что когда куски электроотрицательного и электроположительного металла помещаются в азотную кислоту и приводятся в соприкосновение друг с другом, электроотрицательный металл подвергается быстрому растворению. Но когда железо является электроотрицательным, а платина — электроположительным, растворение железа полностью и внезапно прекращается. Фарадей остроумно доказал, что этот эффект обусловлен тонкой пленкой оксида железа, которая образуется на поверхности железа и защищает его.

Закон тяготения настолько прост и отделен от других законов природы, что он никогда не испытывает никаких возмущений и ничем не маскируется, кроме как сложностью своих собственных эффектов. Иначе обстоит дело с теми вторичными законами планетной системы, которые имеют лишь эмпирическую основу. Тот факт, что все давно известные планеты и спутники имеют сходное движение с запада на восток, не продиктован никакими принципами механики, а указывает на некое общее условие, существовавшее в туманной массе, из которой развилась наша система. Ретроградные движения спутников Урана представляли собой явное нарушение этого закона единообразного направления, которое стало тем более интересным, когда выяснилось, что единственный спутник Нептуна также является ретроградным. Теперь стало вероятным, как хорошо заметил Баден Пауэлл, что аномалия перестанет быть единичной и станет случаем проявления другого закона, указывающего на некое общее вмешательство, которое имело место на границах планетной системы. Не только спутники пострадали от этого возмущения, но и Уран также является аномальным, имея ось вращения, лежащую почти в плоскости эклиптики; а Нептун представляет собой частичное исключение из эмпирического закона Боде относительно расстояний планет, что, возможно, обусловлено тем же возмущением.

Геология — это наука, в которой вероятны случайные исключения. Только когда мы находим пласты в их первоначальном относительном положении, мы можем с уверенностью сделать вывод, что порядок последовательности есть порядок времени. Но нередко случается, что пласты оказываются перевернутыми из-за изгибающего и дублирующего действия экстремального давления. Оползни могут привести одно тело горной породы в близость к неродственной серии и произвести результаты, кажущиеся необъяснимыми. Наводнения, потоки, айсберги и другие случайные агенты могут откладывать остатки в местах, где их совершенно не ожидали бы увидеть. Хотя такие мешающие причины иногда ошибочно считались объяснением важных открытий, геолог должен помнить о возможности вмешательства. Едва ли столетие назад считалось, что окаменелости — это случайные порождения природы, простые формы, в которые минералы были оформлены без какой-либо особой причины. Вольтер, по-видимому, не принял такое объяснение; но, опасаясь, что нахождение ископаемых рыб в Альпах подтвердит библейское повествование о потопе, он без колебаний приписал их остаткам рыб, случайно принесенным туда паломниками. В археологических исследованиях требуется величайшая осторожность при допущении вторичных захоронений в древних гробницах и курганах, при учете имитаций, подделок, случайных совпадений, нарушения целостности последующими народами или другими археологами. В обычной жизни необычайные события случаются время от времени, как, например, когда пастушка во Франции была поражена железной цепью, упавшей с неба прямо рядом с ней; фактом же было то, что Гей-Люссак выбросил ее из своего воздушного шара, который в тот момент пролетал над ее головой.

Новые и необъясненные исключения.

Когда закон природы кажется нарушенным из-за того, что какой-то другой закон вмешался в его действие, могут представиться два случая: мешающий закон может быть известным или же он мог быть ранее не обнаружен. В первом случае, который мы достаточно рассмотрели в предыдущем разделе, нам не остается ничего другого, как вычислить с максимально возможной точностью величину вмешательства и сделать на него поправку; тогда кажущийся провал исследуемого закона должен исчезнуть. Но во втором случае результаты могут быть гораздо более важными. Явление, которое не может быть объяснено никакими известными законами, может указывать на вмешательство не открытых еще природных сил. Древние не могли не заметить, что общая тенденция тел к падению вниз нарушается в случае с магнитом, и учение об «существенной легкости» не объясняло это исключение, поскольку вещество, притягиваемое магнитом вверх, является тяжелым металлом. Теперь мы видим, что не было никакого нарушения совершенной общности закона тяготения, но что в магните впервые проявилась новая форма энергии.

Другие науки показывают нам, что законы природы, строго истинные и точные, могут быть развиты теми, кто не знает о более сложных явлениях, вовлеченных в их применение. Понимания Ньютоном геометрической оптики было достаточно, чтобы объяснить все обычные преломления и отражения света. Простые законы изгиба лучей применимы ко всем лучам, независимо от характера составляющих их колебаний. Ньютон подозревал существование других классов явлений, когда говорил о лучах как «имеющих стороны»; но более поздним экспериментаторам предстояло показать, что свет — это поперечное колебание, подобное изгибу стержня или шнура.

Атомная теория Дальтона, несомненно, верна для всех химических соединений, и ее суть заключается в том, что одно и то же соединение всегда будет содержать одни и те же элементы в одних и те же определенных пропорциях. Чистый карбонат кальция содержит 48 частей по весу кислорода на 40 частей кальция и 12 частей углерода. Но когда были проведены тщательные анализы большого количества минералов, этот закон, по-видимому, не подтвердился. То, что было, несомненно, одним и тем же минералом, судя по его кристаллической форме и физическим свойствам, давало варьирующиеся пропорции компонентов и иногда содержало необычные элементы, которые, однако, нельзя было списать на простые примеси. Доломит, например, является соединением карбонатов магния и извести, но образцы из разных мест не обнаруживают никакого фиксированного соотношения между известью и магнием. Такие факты можно было примирить с законами Дальтона, только предположив вмешательство нового закона — закона изоморфизма.

Теперь установлено, что определенные элементы связаны друг с другом таким образом, что они могут, так сказать, занимать места друг друга, не изменяя при этом видимым образом формы кристаллов, которые они образуют. Карбонаты железа, кальция и магния почти идентичны по своим кристаллическим формам, поэтому они могут кристаллизоваться вместе в гармонии, образуя смешанные минералы значительной сложности, которые, тем не менее, идеально подтверждают законы эквивалентных пропорций. Этот принцип изоморфизма, будучи однажды установленным, не только объясняет то, что раньше было камнем преткновения, но и дает ценную помощь химикам в определении состава новых солей, поскольку соединения изоморфных элементов, имеющие идентичные кристаллические формы, должны обладать соответствующими химическими формулами.

Мы можем ожидать, что время от времени будут открываться необычайные явления, которые приведут к новым взглядам на природу. Недавнее наблюдение, например, о том, что сопротивление стержня из селена электрическому току в необычайной степени зависит от падающих на селен лучей света, указывает на новую связь между светом и электричеством. Аллотропные изменения, которые сера, селен и фосфор претерпевают при изменении количества содержащейся в них скрытой теплоты, вероятно, приведут в будущем к важным выводам относительно молекулярного строения твердых тел и жидкостей. Любопытное вещество озон озадачивало многих химиков, и Эндрюс и Тейт полагали, что оно дает доказательство разложения кислорода электрическим разрядом. Исследования сэра Б. К. Броди опровергают это мнение и дают доказательство реального состава этого вещества, которое, однако, остается исключительным по своим свойствам и отношениям и дает надежду на важные открытия в химической теории.

Ограничивающие исключения.

Мы переходим к случаям, когда исключительные явления фактически несовместимы с законом природы, ранее считавшимся истинным. Теперь следует признать, что была допущена ошибка, но ошибка эта может быть в большей или меньшей степени обширной. Может случиться так, что закон, строго верный для фактов, находящихся в поле зрения, был распространен путем обобщения на другие ряды фактов, которые тогда не исследовались. Последующее исследование может показать ложность этого обобщения, и результатом должно стать ограничение закона в будущем только теми объектами, для которых он действительно верен. Противоречие нашим прежним мнениям является частичным, а не полным.

Ньютон установил в результате эксперимента, что каждый луч однородного света обладает определенной преломляемостью, которую он сохраняет на всем своем пути до момента исчезновения. Это один из случаев общего принципа волнового движения, который Гершель сформулировал под названием «Принцип вынужденных колебаний» (стр. 451) и объявил абсолютно не имеющим исключений. Но сам Гершель описал в «Философских трудах» за 1845 год любопытное явление в растворе хинина; при наблюдении в проходящем свете раствор казался бесцветным, но в определенных аспектах он демонстрировал красивый небесно-голубой оттенок. Как ни странно, цвет виден только в первой части жидкости, в которую входит свет. Подобные явления в плавиковом шпате были описаны Брюстером в 1838 году. Профессор Стокс, детально исследовав эти явления, обнаружил, что они в той или иной мере присутствуют почти во всех растительных настоях и в ряде минеральных веществ. Он пришел к выводу, что это явление, названное им флуоресценцией, может быть объяснено только изменением преломляемости лучей света; он утверждает, что лучи света с очень короткой длиной волны при падении на определенные атомы возбуждают колебания большей длины, что противоречит принципу вынужденных колебаний. Полное объяснение способа изменения пока невозможно, поскольку оно зависит от внутреннего строения атомов соответствующих веществ; но профессор Стокс полагает, что принцип вынужденных колебаний верен лишь до тех пор, пока отклонения атома очень малы по сравнению с величиной сложных молекул.

Хорошо известно, что при калоресценции преломляемость лучей увеличивается, а длина волны уменьшается. Лучи невидимого тепла и низкой преломляемости могут быть сконцентрированы таким образом, чтобы нагреть твердое вещество и заставить его испускать лучи, принадлежащие любой части спектра, и кажется вероятным, что этот эффект возникает от столкновения различных, но конфликтующих атомов. И не только в свете мы обнаруживаем ограничивающие исключения из закона вынужденных колебаний; ибо если мы заметим пологие волны, плещущиеся о камни на краю озера, мы увидим, что каждая большая волна, разбиваясь о камень, порождает серию меньших волн. Таким образом, постоянно происходит деградация величины водных волн. Принцип вынужденных колебаний, по-видимому, слишком обобщенно сформулирован Гершелем, но должно быть трудным вопросом механической теории разграничить обстоятельства, в которых он верен, а в которых нет.

Мы иногда предвидим возможное существование исключений, еще не известных из опыта, и соответственно ограничиваем формулировку наших открытий. Обширные исследования показали, что все изученные до сих пор вещества попадают в один из двух классов: они либо ферромагнитны, то есть магнитны так же, как железо, либо они диамагнитны, как висмут. Но из этого не следует, что каждое вещество должно быть ферромагнитным или диамагнитным. Сэр У. Томсон показал, что магнитные свойства зависят от удельной индуктивной способности вещества в трех прямоугольных направлениях. Если эти индуктивные способности все положительны, мы имеем ферромагнитное вещество; если отрицательны — диамагнитное вещество; но если бы удельная индуктивная способность была положительной в одном направлении и отрицательной в других, мы получили бы исключение из предыдущего опыта и не смогли бы поместить вещество ни в один из ныне признанных классов.

Так много газов было переведено в жидкое состояние и так много твердых тел расплавлено, что ученые довольно поспешно приняли обобщение, что все вещества могут существовать во всех трех состояниях. Определенное количество газов, таких как кислород, водород и азот, сопротивлялось всем попыткам их сжижения, и теперь, исходя из экспериментов доктора Эндрюса, кажется вероятным, что они являются ограничивающими исключениями. Он обнаружил, что выше 31° C углекислый газ не может быть сжижен никаким давлением, которое он мог применить, тогда как ниже этой температуры сжижение всегда возможно. По аналогии становится вероятным, что даже водород мог бы быть сжижен, если бы его охладили до очень низкой температуры. Мы должны изменить наши прежние взгляды и либо утверждать, что ниже определенной критической температуры каждый газ может быть сжижен, либо мы должны предположить, что сильно сжатый газ, находясь выше критической температуры, неотличим от жидкости. В то же время мы получаем объяснение замечательного исключения, представленного жидким углекислым газом из общего правила, согласно которому газы расширяются от тепла больше, чем жидкости. Тилорье в 1835 году обнаружил, что жидкий углекислый газ расширяется более чем в четыре раза сильнее воздуха; но в свете экспериментов Эндрюса мы учимся рассматривать эту жидкость скорее как сильно сжатый газ, чем как обычную жидкость, и фактически возможно перевести газ в кажущееся жидкое состояние без какого-либо резкого сжижения.

Ограничивающие исключения наиболее часто встречаются в естественных науках — ботанике, зоологии, геологии и т. д., законы которых являются эмпирическими. В бесчисленных случаях уверенная вера одного поколения была опровергнута более широким наблюдением последующего. Аристотель уверенно утверждал, что все лебеди белые, и это суждение казалось истинным, пока не сто лет назад в Западной Австралии не были обнаружены черные лебеди. В зоологии и физиологии мы можем ожидать фундаментального единства жизненных процессов, но постоянные открытия показывают, что нет предела кажущимся аномальным способам, которыми воспроизводится жизнь. Чередование поколений, оплодотворение в течение нескольких последовательных поколений, гермафродитизм — все это противоречит тому, чего мы ожидали бы от индукции, основанной на высших животных. Но такие явления — это лишь ограничивающие исключения, показывающие, что то, что верно для одного класса, неверно для другого. У некоторых головоногих мы встречаем необычайный факт, когда рука самца отбрасывается и живет независимо, пока не встретит самку.

Реальные исключения из предполагаемых законов.

Исключения, которые нам предстоит рассмотреть в последнюю очередь, являются самыми важными из всех, поскольку они ведут к полному отбрасыванию закона или теории, принятых ранее. Ни один закон природы не может дать сбой; не существует таких вещей, как реальные исключения из реальных законов. Там, где существует противоречие, оно должно быть в уме экспериментатора. Либо закон воображаемый, либо явления, которые конфликтуют с ним; если, следовательно, с помощью наших чувств мы убеждаемся в фактическом возникновении явлений, закон должен быть отброшен как иллюзорный. Последователи Аристотеля утверждали, что природа боится пустоты, и таким образом объясняли подъем воды в насосе. Когда Торричелли указал на видимый факт, что вода не поднимется более чем на 33 фута в насосе, а ртуть — более чем на 30 дюймов в стеклянной трубке, они попытались представить эти факты как ограничивающие исключения, говоря, что природа боится пустоты до определенной степени и не более. Но академики дель Чименто завершили их разгром, показав, что если мы удалим давление окружающего воздуха, и по мере того как мы его удаляем, чувства отвращения природы уменьшаются и в конечном итоге исчезают вовсе. Даже аристотелевские доктрины не могли выдержать такого прямого противоречия.

Идеи Лавуазье относительно состава кислот получили полное опровержение. Он назвал кислород «генератором кислот», потому что полагал, что все кислоты являются соединениями кислорода — обобщение, основанное на недостаточных данных. Бертолле еще в 1789 году доказал анализом, что сероводород и синильная кислота, обе явно выполняющие роль кислот, лишены кислорода; первое, возможно, можно было бы интерпретировать как ограничивающее исключение, но когда было обнаружено, что такая сильная кислота, как хлороводородная (соляная кислота), не содержит кислорода, от теории пришлось отказаться. Теория Берцелиуса о двойственном образовании химических соединений постигла та же участь.

Очевидно, что все решающие эксперименты (experimenta crucis) представляют собой реальные исключения из предполагаемых законов теории, которая при этом опровергается. Корпускулярная теория света Ньютона была отвергнута не из-за ее абсурдности или немыслимости, ибо в этих отношениях она, как мы видели, намного превосходит волновую теорию. Она была отвергнута потому, что определенные маленькие цветные полосы не появлялись в том точном месте и того точного размера, в котором, согласно расчетам, они должны были появиться согласно теории (стр. 516–521). Один единственный факт, явно несовместимый с теорией, влечет за собой ее отбрасывание. В большинстве случаев то, что кажется фатальным исключением, может быть впоследствии объяснено как единичный или замаскированный результат законов, с которыми оно, кажется, конфликтует, или как следствие вмешательства посторонних причин; но если нам не удается таким образом свести факт к согласию, он остается более мощным, чем любые теории или любые догмы.

В последние годы немало излюбленных доктрин геологов были грубо разрушены. Существовало общее убеждение, что человеческие останки можно найти только в тех отложениях, которые фактически образуются в наши дни, так что создание человека, по-видимому, произошло в эту геологическую эпоху. Открытия единственного обработанного кремня в более древних пластах и в связи с останками вымерших млекопитающих было достаточно, чтобы взорвать такую доктрину. Аналогичным образом мнения геологов изменились после открытия Eozoön в лаврентийских породах Канады; ранее считалось, что остатки жизни не встречаются ни в каких более древних пластах, чем пласты кембрийской системы. По мере того как исследование пластов земного шара становится все более полным, наши взгляды на происхождение и последовательность жизни на земном шаре должны претерпеть многие изменения.

Неклассифицированные исключения.

На каждом этапе научного прогресса будет существовать множество необъясненных явлений, которые мы не знаем, как рассматривать. Это выдающиеся факты, на которые должны быть направлены труды исследователей — руда, из которой предстоит извлечь золото будущих открытий. Можно было бы подумать, что по мере роста наших знаний о законах природы число таких исключений должно уменьшаться; но, напротив, чем больше мы знаем, тем больше остается необъясненного. Это происходит по нескольким причинам; во-первых, основные законы и силы в природе многочисленны, так что тот, кто помнит удивительно большие числа, развитые в учении о комбинациях, будет ожидать существования чрезвычайно многочисленных отношений одного закона к другому. Когда мы однажды овладели законом, мы потенциально овладели всеми его следствиями; но из этого не следует, что разум человека, столь ограниченный в своих силах и способностях, может действительно проработать их все в деталях. Подобно тому как аберрация света была открыта эмпирически, хотя ее следовало предвидеть, существует множество необъясненных фактов, связь которых с уже известными нам законами природы мы бы осознали, если бы нам не мешало несовершенство наших дедуктивных способностей. Но, во-вторых, как будет показано более полно, не следует полагать, что мы приблизились к исчерпывающему знанию сил природы. Самые привычные факты могут изобиловать указаниями на силы, ныне скрытые от нас секреты, потому что у нас нет направляемых разумом глаз, чтобы различить их. Прогресс науки будет состоять в открытии время от времени новых исключительных явлений и их постепенном отнесении к одной или другой из уже описанных рубрик. Когда новый факт оказывается лишь ложным, кажущимся, единичным, отклоняющимся или случайным исключением, мы получаем более детальное и точное знакомство с эффектами уже известных законов. Мы действительно не добавляем ничего к тому, чем уже имплицитно владели, но есть большая разница между знанием законов природы и восприятием всех их сложных эффектов. Если новый факт окажется ограничивающим или реальным исключением, мы должны изменить, частично или полностью, наши взгляды на природу и спасаемся от ошибок, в которые мы впали. Наконец, новый факт может попасть в шестой класс и в конечном итоге оказаться новым явлением, указывающим на существование новых законов и сил, усложняющих, но не мешающих иным образом эффектам ранее известных законов и сил.

Лучший пример неразрешенного исключительного явления, который я могу найти, заключается в аномальных плотностях паров фосфора, мышьяка, ртути и кадмия. Это один из важнейших законов химии, открытый Гей-Люссаком, что равные объемы газов точно соответствуют эквивалентным весам веществ. Тем не менее фосфор и мышьяк дают пары ровно в два раза плотнее, чем они должны быть по аналогии, а ртуть и кадмий отклоняются в другую сторону, давая пары вдвое менее плотные, чем мы ожидали бы. Мы не можем рассматривать эти аномалии как ограничивающие исключения и сказать, что закон верен для веществ в целом, но не для этих; ибо свойства газов (стр. 601) обычно допускают самые широкие обобщения. Кроме того, точность соотношения отклонения указывает на реальное соблюдение закона в модифицированном виде. Мы могли бы попытаться уменьшить исключения, удвоив атомные веса фосфора и мышьяка и разделив пополам веса ртути и кадмия. Но этот шаг был зрело обдуман химиками и оказался противоречащим всем другим аналогиям веществ и принципу изоморфизма. Одно из наиболее вероятных объяснений состоит в том, что фосфор и мышьяк производят пар в аллотропном состоянии, который, возможно, при сильном нагревании мог бы быть разложен на более простой газ половинной плотности; но факты, подтверждающие эту гипотезу, отсутствуют, и ее нельзя применить к двум другим исключениям, не предположив, что газы и пары в целом способны к разложению на что-то более простое. Короче говоря, химики в настоящее время ничего не могут поделать с этими аномалиями. Как говорит Гофман: «Их философская интерпретация принадлежит будущему... Они могут оказаться типичными фактами, вокруг которых многие другие подобного рода могут впоследствии сгруппироваться; и они могут оказаться связанными с особыми свойствами или зависеть от конкретных условий, пока еще не подозреваемых».

Было бы легко указать на большое количество других необъясненных аномалий. Физики утверждают, как абсолютно универсальный закон, что при сжижении поглощается теплота; однако сера является, по крайней мере, кажущимся исключением. Два вещества, сера и селен, на самом деле очень аномальны в своих отношениях к теплоте. Можно сказать, что сера имеет две точки плавления, ибо, будучи жидкой, как вода, при 120° C, она становится довольно густой и вязкой между 221° и 249° и снова плавится при более высокой температуре. И сера, и селен могут быть переведены в несколько любопытных состояний, которые химики удобно устраняют, называя их аллотропными — термин, свободно используемый, когда они озадачены тем, что произошло. Химическая и физическая история железа, опять же, полна аномалий; оно не только претерпевает необъяснимые изменения твердости и текстуры в своих сплавах с углеродом и другими элементами, но и является почти единственным веществом, которое передает звук с большей скоростью при более высокой, чем при более низкой температуре, причем скорость увеличивается от 20° до 100° C, а затем уменьшается. Серебро также аномально в отношении звука. Это примеры необъяснимых исключений, значение которых должно быть установлено в ходе будущего прогресса науки.

Когда нам сообщают об открытии новых и своеобразных явлений, конфликтующих с нашими теориями о строении природы, становится непростой задачей придерживаться философски правильного курса между доверчивостью и скептицизмом. Мы не должны предполагать, с одной стороны, что существует какой-либо предел чудесам, которые природа может нам представить. Ничто, кроме противоречивого, не является действительно невозможным, и многие вещи, которые мы сейчас считаем обыденными, при первом восприятии считались почти чудесными. Электрический телеграф был провидческой мечтой среди средневековых физиков; он едва ли перестал вызывать наше удивление; нашим потомкам через столетия он, вероятно, покажется менее изобретательным, чем некоторые изобретения, которыми они будут обладать. Теперь каждое странное явление может быть секретной пружиной, которая, если ее правильно коснуться, откроет дверь в новые палаты дворца природы. Отказаться верить в происхождение чего-либо странного означало бы пренебречь самыми драгоценными шансами на открытие. Мы можем сказать вместе с Гуком, что «вера в возможность странных вещей может, пожалуй, стать поводом для того, чтобы заметить такие вещи, которые другой пропустил бы без внимания как бесполезные». Мы не должны, следовательно, закрывать уши даже на такие, казалось бы, абсурдные истории, как те, что касаются ясновидения, яснослышания, животного магнетизма, одической силы, верчения столов или любых популярных заблуждений, которые время от времени имеют хождение. Факты, записанные относительно этих дел, являются фактами в том или ином смысле, и они требуют объяснения — либо как новые природные явления, либо как результаты доверчивости и обмана. Большинство упомянутых предполагаемых явлений были, или при тщательном исследовании, несомненно, были бы отнесены к последней рубрике, и отсутствие научной способности у многих из тех, кто их описывает, достаточно, чтобы вызвать сомнение в их ценности.

Следует помнить, что согласно принципу обратного метода вероятностей, вероятность любого гипотетического объяснения затрагивается вероятностью каждого другого возможного объяснения. Если бы нельзя было предложить никакого другого разумного объяснения, мы были бы вынуждены рассматривать спиритические проявления как указывающие на таинственные причины. Но как только показано, что в нескольких важных случаях был совершен обман, а в других случаях люди в доверчивом и возбужденном состоянии ума обманывали сами себя, вероятность становится весьма значительной, что подобные объяснения могут быть применены к большинству подобных проявлений. Выступления жонглеров достаточно доказывают, что не требуется очень большого мастерства, чтобы проделать трюки, способ действия которых полностью ускользнет от внимания зрителей. Именно на этих основаниях вероятности мы должны отвергать так называемые спиритические истории, а не просто потому, что они странные.

Конечно, в неясных явлениях разума, относящихся к памяти, снам, сомнамбулизму и другим своеобразным состояниям нервной системы, есть много необъяснимых и почти невероятных фактов, и столь же нефилософски верить или не верить без ясных доказательств. Существует также много фактов относительно инстинктов животных и способа, которым они находят путь с места на место, которые в настоящее время совершенно необъяснимы. Нет сомнения, что есть много странных вещей, о которых не мечталось в нашей философии, но это не причина, по которой мы должны верить в каждую странную вещь, о которой сообщается, что она произошла.

ГЛАВА XXX. КЛАССИФИКАЦИЯ.

Обширный предмет классификации был отложен до поздней части этого трактата, потому что он включает в себя вопросы сложности и не казался естественно подходящим для более раннего места. Но не следует полагать, что, формально приступая теперь к этому предмету, мы впервые рассматриваем понятие классификации. Всякое логическое умозаключение включает в себя классификацию, которая, по сути, является необходимым сопровождением акта суждения. Невозможно обнаружить сходство между объектами, не объединив их тем самым в мысли и не сформировав зарождающийся класс. Не можем мы и дать общее имя объектам, не подразумевая существование класса. Каждое общее имя — это имя класса, и каждое имя класса — это общее имя. Очевидно также, что говорить об общем понятии или концепте — это лишь другой способ говорить о классе. Узус ведет нас к использованию слова «классификация» в одних случаях и не ведет в других. Говорят, что мы формируем общее понятие «параллелограмм», когда рассматриваем бесконечное число возможных четырехсторонних прямолинейных фигур как сходные друг с другом в общем свойстве обладания параллельными сторонами. Мы сказали бы, что формируем класс «трилобит», когда помещаем вместе в музее ряд экземпляров, сходных друг с другом в определенных определенных признаках. Но логическая природа операции в обоих случаях одна и та же. Мы формируем класс фигур, называемых параллелограммами, и мы формируем общее понятие трилобитов.

Наука, как было сказано в самом начале, есть обнаружение тождества, а классификация — это помещение вместе, либо в мысли, либо в фактической близости пространства, тех объектов, между которыми было обнаружено тождество. Соответственно, ценность классификации соразмерна ценности науки и общего рассуждения. Всякий раз, когда мы формируем класс, мы сводим множественность к единству и обнаруживаем, как говорил Платон, единое во многом. Результатом такой классификации является получение обобщенного знания, в отличие от прямого и чувственного знания частных фактов. Для каждого класса, поскольку он правильно сформирован, верен принцип подстановки, и все, что мы знаем об одном объекте в классе, мы знаем и о других объектах, поскольку между ними было обнаружено тождество. Облегчение и сокращение умственного труда лежат в основе всего умственного прогресса. Рассудочные способности Ньютона не отличались по природе от способностей пахаря; разница заключалась в степени, в которой они применялись, и количестве фактов, которые можно было обработать. Каждое мыслящее существо обобщает в большей или меньшей степени, но именно глубина и широта его обобщений отличают философа. Именно упражнение классифицирующих и обобщающих способностей позволяет интеллекту человека в некоторой степени справляться с бесконечным числом природных явлений. В главах о комбинациях и перестановках стало очевидно, что из немногих элементарных различий могут быть произведены огромные числа комбинаций. Процесс классификации позволяет нам разрешить эти комбинации и отнести каждую из них на свое место в соответствии с тем или иным элементарным обстоятельством, из которого она была произведена. Мы возвращаем природу к простым условиям, из которых развилось ее бесконечное разнообразие. Как сказал профессор Боуэн: «Первая необходимость, которая налагается на нас самим строением разума, состоит в том, чтобы разбить бесконечное богатство природы на группы и классы вещей, со ссылкой на их сходства и родство, и тем самым расширить охват наших умственных способностей, даже ценой жертвования детальностью информации, которую можно приобрести только изучением объектов в деталях. Первые усилия в стремлении к знанию, следовательно, должны быть направлены на дело классификации. Возможно, в продолжении обнаружится, что классификация — это не только начало, но и кульминация и конец человеческого знания».

Классификация, включающая индукцию.

Цель классификации — обнаружение законов природы. Как бы сильно этот процесс в некоторых случаях ни был замаскирован, классификация не является действительно отличной от процесса совершенной индукции, посредством которой мы стремимся установить связи, существующие между свойствами объектов, находящихся в обработке. Нет никакой пользы в помещении объекта в класс, если не подразумевается нечто большее, чем сам факт нахождения в классе. Если бы мы произвольно сформировали класс металлов и поместили туда выборку из списка известных металлов, сделанную по жребию, у нас не было бы оснований ожидать, что рассматриваемые металлы будут сходны друг с другом в чем-либо, кроме того, что они металлы и были выбраны по жребию. Но когда химики выбирают из списка пять металлов — калий, натрий, цезий, рубидий и литий — и называют их щелочными металлами, в этой классификации подразумевается очень многое. При сравнении качеств этих веществ обнаруживается, что все они очень энергично соединяются с кислородом, разлагают воду при всех температурах и образуют сильно основные оксиды, которые хорошо растворимы в воде, давая мощно едкие и щелочные гидраты, из которых вода не может быть удалена нагреванием. Их карбонаты также растворимы в воде, и каждый металл образует только один хлорид. Можно также ожидать, что каждая соль одного из металлов будет соответствовать соли каждого другого металла, при наличии общей аналогии между соединениями этих металлов и их свойствами.

Теперь, формируя этот класс щелочных металлов, мы сделали больше, чем просто выбрали удобный порядок изложения. Мы пришли к открытию определенных эмпирических законов природы, причем вероятность того, что металл, проявляющий некоторые свойства щелочных металлов, будет обладать и остальными, весьма значительна. Если бы мы обнаружили другой металл, чей карбонат был растворим в воде и который энергично соединялся с водой при всех температурах, образуя сильно основной оксид, мы бы сделали вывод, что он будет образовывать только один хлорид и что, вообще говоря, он будет вступать в ряд соединений, соответствующих солям других щелочных металлов. Формирование этого класса щелочных металлов, таким образом, не является просто вопросом удобства; это важный и успешный акт индуктивного открытия, позволяющий нам зарегистрировать многие несомненные суждения как результаты совершенной индукции и сделать большое количество выводов, зависящих от принципов несовершенной индукции.

Отличный пример того, что может сделать классификация, найден в исследованиях мистера Локьера на Солнце. Нуждаясь в некотором руководстве относительно того, какие еще элементы искать в фотосфере Солнца, он подготовил классификацию элементов в зависимости от того, были ли они обнаружены на Солнце или нет, вместе с подробным изложением главных химических характеристик каждого элемента. Затем он смог заметить, что элементы, найденные на Солнце, по большей части являются теми, которые образуют стабильные соединения с кислородом. Затем он сделал вывод, что другие элементы, образующие стабильные оксиды, вероятно, существуют на Солнце, и был вознагражден открытием пяти таких металлов. Здесь мы имеем эмпирическую и пробную классификацию, ведущую к обнаружению корреляции между существованием на Солнце и способностью образовывать стабильные оксиды, а затем ведущую посредством несовершенной индукции к открытию новых совпадений между этими свойствами.

Профессор Хаксли определил процесс классификации в следующих терминах: «Под классификацией любого ряда объектов понимается фактическое или идеальное расположение вместе тех, которые подобны, и отделение тех, которые неподобны; цель этого расположения — облегчить операции разума в ясном представлении и удержании в памяти характеристик рассматриваемых объектов».

Это утверждение, несомненно, верно, насколько оно идет, но оно не включает всего того, что сам профессор Хаксли имплицитно рассматривает под классификацией. Он полностью осознает, что глубокие корреляции, или, другими словами, глубокие единообразия или законы природы, будут раскрыты любой хорошо выбранной и глубокой системой классификации. Поэтому я предложил бы изменить вышеприведенное утверждение следующим образом: «Под классификацией любого ряда объектов понимается фактическое или идеальное расположение вместе тех, которые подобны, и отделение тех, которые неподобны, цель этого расположения — прежде всего, раскрыть корреляции или законы объединения свойств и обстоятельств, а во-вторых, облегчить операции разума в ясном представлении и удержании в памяти характеристик рассматриваемых объектов».

Множественность способов классификации.

Приступая к вопросу о том, как лучше всего классифицировать любую данную группу объектов, заметим, что обычно должно существовать неограниченное число способов классификации группы объектов. Введенные в заблуждение, как мы увидим, проблемой классификации в естественных науках, философы, по-видимому, думают, что в каждом предмете должна быть одна по существу естественная система классификации, которую следует выбрать, исключив все остальные. Это ошибочное представление, вероятно, также отчасти возникает из-за ограниченных способностей мышления и неудобных механических условий, в которых мы трудимся. Если мы расставляем книги в библиотечном каталоге, мы должны расставить их в каком-то одном порядке; если мы составляем трактат по минералогии, минералы должны быть последовательно описаны в каком-то одном расположении; если мы рассматриваем такие простые вещи, как геометрические фигуры, они должны быть взяты в каком-то фиксированном порядке. Мы, естественно, выберем то расположение, которое представляется наиболее удобным и поучительным для нашей главной цели. Но из этого не следует, что этот метод расположения обладает какой-то исключительной превосходностью, и обычно будет много других возможных расположений, каждое из которых ценно по-своему. Совершенный интеллект не ограничился бы одним порядком мысли, но одновременно рассматривал бы группу объектов как классифицированную всеми способами, на которые они способны. Так, элементы могут быть классифицированы в соответствии с их атомностью в группы монад, диад, триад, тетрад, пентад и гексад, и это, вероятно, самая поучительная классификация; но это не мешает нам также классифицировать их в зависимости от того, являются ли они металлическими или неметаллическими, твердыми, жидкими или газообразными при обычных температурах, полезными или бесполезными, распространенными или редкими, ферромагнитными или диамагнитными и так далее.

Минералоги потратили огромное количество труда, пытаясь обнаружить предполагаемую естественную систему классификации минералов. Они постоянно сталкивались с трудностью, заключающейся в том, что химический состав не совпадает с кристаллографической формой и различными физическими свойствами минерала. Вещества, идентичные по форме своих кристаллов, особенно те, что принадлежат к первой или кубической системе кристаллов, часто не обнаруживают никакого сходства в химическом составе. Одно и то же вещество, опять же, иногда встречается кристаллизованным в двух существенно различных кристаллографических формах; например, карбонат кальция встречается в виде известкового шпата и арагонита. Простая истина заключается в том, что если мы не в состоянии обнаружить какое-либо соответствие, или, как мы можем его назвать, какую-либо корреляцию между свойствами минералов, мы не можем создать ни одной системы, которая позволила бы нам рассматривать все эти свойства в рамках единой классификации. Мы должны классифицировать минералы столькими различными способами, сколько существует различных групп не связанных между собой свойств, имеющих достаточное значение. Даже если для целей последовательного описания минералов в трактате мы выбираем одну главную систему, например, основанную на химическом составе, мы должны мысленно рассматривать минералы как классифицированные всеми другими полезными способами.

То же самое можно сказать и о классификации растений. В разное время было предложено огромное количество различных способов классификации растений, исчерпывающий отчет о которых можно найти в статье о классификации в «Циклопедии» Риса или во введении к «Растительному царству» Линдли. Существовали «фруктисты», такие как Цезальпино, Морисон, Герман, Бургаве или Гертнер, которые классифицировали растения по форме плода. «Короллисты», Ривинус, Людвиг и Турнефор, уделяли основное внимание количеству и расположению частей венчика. Маньоль выбрал чашечку в качестве критической части, в то время как Соваж классифицировал растения по их листьям; и эти примеры — лишь малая часть от реального разнообразия способов классификации, которые были опробованы. О таких попытках можно сказать, что каждая система, вероятно, даст некоторую информацию о взаимоотношениях растений, и только после опробования многих способов можно приблизиться к наилучшему.

Естественные и искусственные системы классификации.

Обычно системы классификации принято делить на естественные и искусственные, причем естественными называют те, которые, по-видимому, выражают порядок существующих вещей, определенный природой. Искусственные методы классификации, с другой стороны, включают те, что были созданы исключительно для удобства людей при запоминании или изучении природных объектов.

Различие, как его принято рассматривать, было хорошо описано Ампером следующим образом: «Мы можем выделить два вида классификаций: естественную и искусственную. В последнем случае некоторые произвольно выбранные признаки служат для определения места каждого объекта; мы абстрагируемся от всех остальных признаков, и таким образом объекты оказываются сближенными или отделенными друг от друга, зачастую самым причудливым образом. В естественных системах классификации, напротив, мы используем одновременно все признаки, существенные для объектов, с которыми мы имеем дело, обсуждая важность каждого из них; и результаты этой работы не принимаются до тех пор, пока объекты, представляющие наибольшую аналогию, не будут максимально сближены, а группы различных порядков, которые из них сформированы, также не будут приближены друг к другу по мере того, как они предлагают больше сходных признаков. Таким образом, возникает своего рода связь, более или менее выраженная, между каждой группой и следующей за ней группой».

Однако в этом и других определениях, предложенных натуралистами для выражения их понятия естественной системы, много расплывчатого и логически неверного. Нам не сообщают, как определяется важность сходства и какова мера близости аналогии. Пока все слова, используемые в определении, не станут ясными по смыслу, само определение хуже, чем бесполезно. Теперь, если взгляды на классификацию, отстаиваемые здесь, верны, не может быть резкого и точного различия между естественными и искусственными системами. Все упорядочения, которые служат хоть какой-то цели, должны быть более или менее естественными, потому что при достаточно тщательном рассмотрении они будут включать в себя больше сходств, чем те, по которым был определен класс.

Правда, в биологических науках существовало бы одно упорядочение растений или животных, которое было бы исключительно поучительным и в определенном смысле естественным, если бы его можно было достичь, и именно к нему натуралисты на самом деле стремились почти два столетия, а именно: к тому упорядочению, которое показало бы генеалогическое происхождение каждой формы от первоначального зародыша жизни. Те морфологические сходства, на которых почти всегда основывается классификация живых существ, являются унаследованными сходствами, и очевидно, что потомки обычно будут напоминать своих родителей и друг друга во многих отношениях.

Я сказал, что естественная система отличается от произвольной или искусственной только по степени. Почти невозможно расположить объекты в соответствии с каким-либо обстоятельством, не обнаружив, что таким образом становится очевидной некоторая корреляция других обстоятельств. Никакое упорядочение не может казаться более произвольным, чем обычное алфавитное упорядочение по первой букве имени. Но мы не можем изучить список имен людей, не заметив преобладания Эвансов и Джонсов на буквы E и J, а также имен, начинающихся с Mac, на букву M. Преобладание настолько велико, что мы не могли бы приписать его случайности, и исследование, конечно, показало бы, что оно проистекает из важных фактов, касающихся национальности этих людей. Оказалось бы, что Эвансы и Джонсы имеют валлийское происхождение, а те, чьи имена имеют приставку Mac, — кельтское. С национальностью были бы более или менее строго коррелированы многие особенности физического строения, языка, привычек или психического склада. В других случаях мне было интересно наблюдать эмпирические выводы, которые проявляются в самых произвольных упорядочениях. Если изучить большой реестр имен кораблей, часто обнаруживается, что ряд кораблей, носящих одно и то же имя, был построен примерно в одно и то же время — корреляция, обусловленная возникновением какого-либо яркого инцидента незадолго до постройки кораблей. Возраст кораблей или других сооружений обычно коррелирует с их общей формой, природой материалов и т. д., так что корабли с одним и тем же именем часто будут напоминать друг друга во многих отношениях.

Невозможно изучить детали некоторых так называемых искусственных систем классификации растений, не обнаружив, что многие классы имеют естественный характер. Так, в системе Турнефора, зависящей почти исключительно от формирования венчика, мы находим естественные порядки губоцветных, крестоцветных, розоцветных, зонтичных, лилейных и мотыльковых, признанные в его 4-м, 5-м, 6-м, 7-м, 9-м и 10-м классах. Многие классы в знаменитой половой системе Линнея также приближаются к естественным классам.

Корреляция свойств.

Привычки и словоупотребления склонны приводить нас к ошибке, заставляя воображать, что, когда мы используем разные слова, мы всегда имеем в виду разные вещи. Вводя предмет классификации номинально, я позаботился о том, чтобы обратить внимание читателя на тот факт, что все рассуждения и все операции научного метода действительно включают в себя классификацию, хотя мы привыкли использовать это название в одних случаях и не использовать в других. Название «корреляция» требует использования с той же оговоркой. Вещи коррелированы (con, relata), когда они связаны или привязаны друг к другу таким образом, что где есть одно, там есть и другое, а где нет одного, там нет и другого. На протяжении всей этой работы мы имели дело с корреляциями. В геометрии наличие трех равных углов в треугольнике коррелирует с существованием трех равных сторон; в физике гравитация коррелирует с инерцией; в ботанике экзогенный рост коррелирует с наличием двух семядолей, или образование цветов — с образованием спиральных сосудов. Везде, где истинно суждение вида A = B, существует корреляция. Но именно в классификационных науках слово «корреляция» использовалось особенно часто.

Мы находим утверждение, что в классе млекопитающих наличие двух затылочных мыщелков с хорошо окостеневшей базиокципитальной костью коррелирует с наличием нижних челюстей, каждая ветвь которых состоит из единого куска кости, сочлененного со сквамозным элементом черепа, а также с наличием молочных желез и безъядерных красных кровяных телец. Профессор Гексли отмечает, что это описание характеристики класса млекопитающих — нечто большее, чем произвольное определение; это утверждение закона корреляции или сосуществования структур животных, из которого выводимы самые важные заключения. Оно включает в себя обобщение, согласно которому в природе упомянутые структуры всегда встречаются вместе. Это равносильно утверждению, что формирование класса млекопитающих включает в себя акт индуктивного открытия и приводит к установлению определенных эмпирических законов природы. Профессор Гексли превосходно выразил способ, которым открытия такого рода позволяют натуралистам делать дедукции или предсказания с значительной уверенностью, но он также указал, что такие выводы время от времени могут оказаться ошибочными. Я процитирую его собственные слова:

«Если будет обнаружена фрагментарная окаменелость, состоящая не более чем из ветви нижней челюсти и той части черепа, с которой она сочленялась, знание этого закона может позволить палеонтологу с большой уверенностью утверждать, что животное, частью которого она являлась, вскармливало своих детенышей и имело безъядерные красные кровяные тельца; и предсказать, что если будет обнаружена задняя часть этого черепа, она будет демонстрировать два затылочных мыщелка и хорошо окостеневшую базиокципитальную кость.

«Дедукции такого рода, подобные той, что сделал Кювье в знаменитом случае с ископаемым опоссумом из Монмартра, часто подтверждались и вполне способны впечатлить вульгарное воображение; так что они заняли место триумфов анатома. Но следует тщательно помнить, что, как и все чисто эмпирические законы, которые опираются на сравнительно узкую наблюдательную базу, рассуждения, основанные на них, могут в любой момент потерпеть крах. Если бы Кювье, например, имел дело с ископаемым тилацином, а не с ископаемым опоссумом, он не нашел бы сумчатых костей, хотя изогнутый угол челюсти был бы достаточно очевиден. И поэтому, хотя практически любой, кто встретил бы характерно млекопитающую челюсть, был бы оправдан в ожидании найти характерный для млекопитающих затылок, связанный с ней; тем не менее, он был бы действительно смелым человеком, кто стал бы строго утверждать убеждение, подразумеваемое в этом ожидании, а именно: что ни в один период мировой истории не существовали животные, которые сочетали бы млекопитающий затылок с рептильной челюстью, или наоборот».

Одним из наиболее отчетливых и примечательных примеров корреляции в животном мире является тот, который встречается у жвачных животных и который нельзя было бы лучше изложить, чем в следующей выдержке из классического труда Кювье:

«Я сомневаюсь, что кто-либо догадался бы, если бы не был научен наблюдением, что все жвачные имеют раздвоенную стопу и что только они одни ее имеют. Я сомневаюсь, что кто-либо догадался бы, что лобные рога есть только в этом классе: что те из них, у которых есть острые клыки, по большей части лишены рогов.

«Однако, поскольку эти отношения постоянны, они должны иметь какую-то достаточную причину; но поскольку мы ее не знаем, мы должны восполнить недостаток теории с помощью наблюдения: оно позволяет нам установить эмпирические законы, которые становятся почти столь же достоверными, как рациональные законы, когда они опираются на достаточно повторяющиеся наблюдения; так что теперь всякий, кто видит лишь отпечаток раздвоенной стопы, может заключить, что животное, оставившее этот след, было жвачным, и этот вывод столь же достоверен, как любой другой в физике или морали. Этот след один дает тому, кто его наблюдает, форму зубов, форму челюстей, форму позвонков, форму всех костей ног, бедер, плеч и таза животного, которое прошло мимо: это более верный знак, чем все знаки Задига».

Мы встречаем хороший пример чисто эмпирической корреляции обстоятельств, когда классифицируем планеты по их плотности и периодам осевого вращения. Если мы изучим таблицу, содержащую обычные астрономические элементы Солнечной системы, мы обнаружим, что четыре планеты очень близко напоминают друг друга по периоду осевого вращения, и все те же четыре планеты имеют высокую плотность, таким образом:—

Name of Planet. |  Period of Axial Rotation. |   Density.
Mercury | 24 |  hours | 5 |  minutes | 7·94
Venus | 23 | " | 21 | " | 5·33
Earth | 23 | " | 56 | " | 5·67
Mars | 24 | " | 37 | " | 5·84

Аналогичная таблица для других более крупных планет выглядит следующим образом:—

Jupiter | 9 |  hours | 55 |  minutes |  1·36
Saturn | 10 | " | 29 | " |   ·74
Uranus | 9 | " | 30 | " |   ·97
Neptune | — | " | — |  |  1·02

Можно заметить, что ни в одной из групп равенство периода вращения или плотности не является более чем грубо приближенным; тем не менее, разница чисел в первой и второй группе настолько хорошо выражена, что периоды первой по крайней мере вдвое, а плотности в четыре или пять раз больше, чем у второй, поэтому совпадение нельзя приписать случайности. Читатель также заметит, что первая группа состоит из планет, ближайших к Солнцу; что за исключением Земли, никто из них не обладает спутниками; и что все они сравнительно малы. Вторая группа находится дальше всего от Солнца, и все они обладают несколькими спутниками и сравнительно велики. Следовательно, за небольшими исключениями, верны следующие корреляции:—

Interior planets. | Long  period. | Small size. | High Density. | No satellites.
Exterior  " | Short " | Great " | Low  " | Many "

Эти совпадения с большой вероятностью указывают на различие в происхождении двух групп, но никакого дальнейшего объяснения этого вопроса пока невозможно.

Классификация комет по их периодам, проведенная г-ном Хайндом и г-ном А. С. Дэвисом, склоняет к выводу, что отдельные группы комет были введены в Солнечную систему силами притяжения Юпитера, Урана или других планет. Классификация туманностей, начатая двумя Гершелями и продолженная лордом Россом, г-ном Хаггинсом и другими, вероятно, приведет в будущем к открытию важных эмпирических законов, касающихся устройства Вселенной. Тщательное изучение и классификация метеоритов, проводимые г-ном Сорби и другими, по-видимому, могут дать нам представление о формировании небесных тел.

Мы никогда не должны упускать из виду малейшие и самые необъяснимые корреляции, ибо они могут оказаться важными в будущем. Открытия начинаются тогда, когда мы меньше всего их ожидаем. Знаменательным фактом является, например, то, что большинство переменных звезд имеют красноватый цвет. Не все переменные звезды красные, и не все красные звезды переменные; но если учесть, что лишь малая часть наблюдаемых звезд известна как переменные, и лишь малая часть является красными, число тех, что попадают в оба класса, слишком велико, чтобы быть случайным. Также примечательно, что большинство звезд, обладающих большим собственным движением, являются двойными звездами, причем звезда 61 Лебедя особенно заметна в этом отношении. Корреляция в этих случаях не лишена исключений, но преобладание настолько велико, что указывает на некоторую естественную связь, точная природа которой должна стать предметом будущих исследований. Гершель заметил, что две двойные звезды, 61 Лебедя и α Центавра, орбиты которых были хорошо установлены, очевидно, принадлежали к одному семейству или роду.

Классификация в кристаллографии.

Пожалуй, самый совершенный и поучительный пример классификации, который мы можем найти, предоставляет наука кристаллография (стр. 133). Система упорядочения, принятая в настоящее время, является подчеркнуто естественной и даже математически совершенной. Кристалл состоит в каждой своей части из подобных молекул, подобным образом связанных с соседними молекулами и соединенных с ними силами, природу которых мы можем узнать только по их видимым эффектам. Но эти силы действуют в пространстве трех измерений, так что существует ограниченное число предположений, которые можно выдвинуть относительно отношений этих сил. В одном случае каждая молекула будет подобным образом связана со всеми теми, что находятся рядом с ней; во втором случае она будет подобным образом связана с теми, что находятся в определенной плоскости, но иначе связана с теми, что не в этой плоскости. В более простых случаях расположение молекул прямоугольное; в остальных случаях — наклонное в одной или двух плоскостях.

Чтобы упростить объяснение и концепцию сложных явлений, которые демонстрируют кристаллы, была изобретена гипотеза, являющаяся отличным примером описательных гипотез, упомянутых ранее (стр. 522). Кристаллографы воображают, что внутри каждого кристалла существуют определенные оси, или линии направления, относительной длиной и взаимным наклоном которых определяется природа кристалла. В одном классе кристаллов есть три такие оси, лежащие в одной плоскости, и четвертая, перпендикулярная этой плоскости; но во всех других классах воображается наличие только трех осей. Теперь эти оси могут варьироваться тремя способами в отношении длины: они могут быть (1) все равны, или (2) две равны и одна неравна, или (3) все неравны. Они также могут варьироваться четырьмя способами в отношении направления: (1) они могут быть все под прямым углом друг к другу; (2) две оси могут быть наклонны друг к другу и под прямым углом к третьей; (3) две оси могут быть под прямым углом друг к другу, а третья наклонна к обеим; (4) три оси могут быть все наклонны. Теперь, если бы все вариации в отношении длины были объединены с вариациями в отношении направления, казалось бы возможным иметь двенадцать классов кристаллов в общей сложности, причем перечисление было бы тогда логически и геометрически полным. Но как предмет эмпирического наблюдения, многие из этих классов не встречаются, так как наклонные оси редко или никогда не бывают равными. Остается семь признанных классов кристаллов, но даже из них один класс не является достоверно известным как представленный в природе.

Первый класс кристаллов определяется наличием трех равных прямоугольных осей и равной упругостью во всех направлениях. Первичной или простой формой кристаллов является куб, но путем удаления углов куба плоскостями, различно наклоненными к осям, мы получаем правильный октаэдр, додекаэдр и различные комбинации этих форм. Теперь законом этого класса кристаллов является то, что, поскольку каждая ось точно такая же, как любая другая ось, каждое изменение любого угла кристалла должно повторяться симметрично по отношению к другим осям; таким образом, получаемые формы являются симметричными или правильными, и класс называется правильной системой кристаллов. Он включает в себя большое разнообразие веществ, некоторые из которых являются элементами, такими как углерод в форме алмаза, другие — более или менее сложными соединениями, такими как каменная соль, йодид и бромид калия, различные виды квасцов, флюорит, бисульфид железа, гранат, шпинель и т. д. Таким образом, никакой корреляции между формой кристаллизации и химическим составом не обнаруживается. Но что нам следует заметить, так это то, что физические свойства кристаллизованных веществ в отношении света, тепла, электричества и т. д. очень похожи. Световые и тепловые волны, где бы они ни входили в кристалл правильной системы, распространяются с равной скоростью во всех направлениях, точно так же, как они распространялись бы в однородной жидкости. Кристаллы правильной системы, соответственно, ни в коем случае не демонстрируют явлений двойного лучепреломления, если только механическим сжатием мы не изменим условия упругости. Эти кристаллы, опять же, расширяются одинаково во всех направлениях при нагревании, и если бы мы могли вырезать достаточно большую пластину из кубического кристалла и исследовать звуковые колебания, на которые она способна, мы обнаружили бы, что они указывают на равную упругость в каждом направлении. Таким образом, мы видим, что большое количество важных свойств коррелирует со свойством кристаллизации в правильной системе, и как только мы узнаем, что первичной формой вещества является куб, мы можем с приблизительной уверенностью сделать вывод, что оно обладает всеми этими свойствами. Класс правильных кристаллов является, таким образом, в высшей степени естественным классом, раскрывающим многие общие законы, связывающие физические и механические свойства классифицируемых веществ.

Во втором классе кристаллов, называемом диметрической, квадратно-призматической или пирамидальной системой, также есть три оси под прямым углом друг к другу; две оси равны, но третья, или главная ось, неравна, будучи либо больше, либо меньше любой из двух других. В таких кристаллах, соответственно, упругость и другие свойства одинаковы во всех направлениях, перпендикулярных главной оси, но варьируются во всех других направлениях. Если нагреть точку внутри кристалла этой системы, тепло распространяется с равной скоростью в плоскостях, перпендикулярных главной оси, но более или менее быстро в направлении этой оси, так что изотермическая поверхность представляет собой эллипсоид вращения вокруг этой оси.

Почти то же самое можно сказать о третьей, или гексагональной, или ромбоэдрической системе кристаллов, в которой есть три оси, лежащие в одной плоскости и встречающиеся под углами 60°, в то время как четвертая ось перпендикулярна остальным трем. Гексагональная призма и ромбоэдр являются наиболее распространенными формами, принимаемыми кристаллами этой системы, и во льду, кварце и известковом шпате у нас есть обилие прекрасных образцов различных форм, полученных путем модификации примитивной формы. Говорят, что один только известковый шпат кристаллизуется по меньшей мере в 700 разновидностях форм. Теперь обо всех кристаллах, принадлежащих как к этому, так и к диметрическому классу, мы знаем, что луч света, проходящий в направлении главной оси, будет преломляться одинарно, как в кристалле правильной системы; но в любом другом направлении свет будет испытывать двойное лучепреломление, разделяясь на два луча, один из которых подчиняется обычному закону преломления, а другой — гораздо более сложному закону. Другие физические свойства варьируются аналогичным образом. Так, известковый шпат расширяется от тепла в направлении главной оси, но немного сжимается в направлениях, перпендикулярных ей. Физические свойства настолько тесно коррелируют, что Мичерлих, наблюдая закон расширения известкового шпата, смог предсказать, что двойная преломляющая способность вещества будет уменьшаться при повышении температуры, что и было доказано экспериментом.

В четвертой системе, называемой триметрической, ромбической или правопризматической системой, есть три оси под прямым углом, но все они неравны по длине. Можно утверждать в общих чертах, что механические свойства варьируются в таких кристаллах в каждом направлении, и тепло распространяется так, что изотермическая поверхность представляет собой эллипсоид с тремя неравными осями.

В оставшихся трех классах, называемых моноклинным, диклинным и триклинным, оси более или менее наклонны и в то же время неравны. Сложность явлений поэтому значительно возрастает, и нужно лишь сказать, что всегда есть два направления, в которых луч преломляется одинарно, но что во всех других направлениях происходит двойное лучепреломление. Проводимость тепла неравномерна во всех направлениях, причем изотермическая поверхность представляет собой эллипсоид с тремя неравными осями. Отношения таких кристаллов к другим явлениям часто очень сложны и едва ли еще сведены к закону. Некоторые кристаллы, называемые пироэлектрическими, проявляют стекловидное электричество в одних точках своей поверхности и смоляное электричество в других точках при повышении температуры, причем характер электричества меняется, когда температура снова падает. Считается, что это производство электричества связано с гемиэдрическим характером кристаллов, проявляющих его. Кристаллическая структура вещества, опять же, влияет на его магнитное поведение, причем общий закон заключается в том, что направление, в котором молекулы кристалла наиболее сближены, стремится расположиться аксиально или экваториально между полюсами магнита, в зависимости от того, является ли тело магнитным или диамагнитным. Дальнейшие вопросы возникают, если мы приложим давление к кристаллам. Так, двоякопреломляющие кристаллы с одной главной осью приобретают две оси, когда давление направлено перпендикулярно главной оси.

Все явления, свойственные кристаллическим телам, таким образом тесно коррелируют с формированием кристалла, или почти наверняка окажутся таковыми по мере продолжения исследований. Действительно, именно на эмпирическом наблюдении в первую очередь основываются законы связи, но простая гипотеза о том, что упругость и сближение частиц варьируются в направлениях кристаллических осей, позволяет применять дедуктивное рассуждение. Постепенно доказывается, что все явления согласуются с этой гипотезой, так что в этом предмете кристаллографии мы имеем прекрасный пример успешной классификации, связанной с почти совершенной физической гипотезой. Более того, эта гипотеза была экспериментально подтверждена в отношении механических колебаний звука Саваром, который обнаружил, что колебания в пластине двуосного кристалла указывают на существование варьирующейся упругости в варьирующихся направлениях.

Классификация как обратная и пробная операция.

Если попытки так называемой естественной классификации на самом деле являются попытками совершенной индукции, из этого следует, что они подлежат замечаниям, которые были сделаны относительно обратного характера индуктивного процесса и относительно трудности каждой обратной операции (стр. 11, 12, 122 и т. д.). Не будет никакого царского пути к открытию наилучшей системы, и будет даже невозможно установить правила процедуры, чтобы помочь тем, кто находится в поиске хорошего упорядочения. Единственное логическое правило было бы следующим: имея данные объекты, сгруппируйте их всеми способами, которыми их можно сгруппировать, а затем наблюдайте, в каком методе группировки корреляция свойств проявляется наиболее отчетливо. Но этот метод исчерпывающей классификации почти в каждом случае будет непрактичным из-за чрезвычайно большого количества способов, которыми можно сгруппировать сравнительно небольшое число объектов. Около шестидесяти трех элементов были классифицированы химиками в шесть основных групп как монады, диады, триады и т. д. элементы, причем количество элементов в классах варьируется от трех до двадцати. Теперь, если бы мы вычислили общее количество способов, которыми шестьдесят три объекта могут быть расположены в шести группах, мы обнаружили бы, что это число настолько велико, что жизни самого долгоживущего человека было бы совершенно недостаточно, чтобы позволить ему перебрать эти возможные группировки. Правило исчерпывающего упорядочения, таким образом, абсолютно непрактично. Из этого следует, что просто случайная проба не может, как общее правило, дать какой-либо полезный результат. Если бы мы записывали имена элементов последовательно на шестидесяти трех карточках, бросали их в избирательную урну и вытаскивали их наугад шестью горстями раз за разом, вероятность того, что мы вытащим их в указанном порядке, например, в том, который в настоящее время принят химиками, чрезвычайно мала.

Обычный способ, которым исследователь приступает к формированию классификации новой группы объектов, по-видимому, состоит в пробном упорядочении их в соответствии с их наиболее очевидными сходствами. Любые два объекта, которые представляют близкое сходство друг с другом, будут объединены и сформированы в зачаток класса, определение которого поначалу будет включать все видимые точки сходства. Другие объекты по мере их появления будут постепенно отнесены к тем группам, с которыми они представляют наибольшее количество точек сходства, и определение класса часто придется изменять, чтобы допустить их. Ранние химики едва ли могли избежать объединения в один класс обычных металлов: золота, серебра, меди, свинца и железа, которые представляют такие заметные точки сходства в отношении плотности, металлического блеска, ковкости и т. д. Однако с прогрессом открытий в такой группировке начали возникать трудности. Сурьма, висмут и мышьяк отчетливо металлические в отношении блеска, плотности и некоторых химических свойств, но лишены ковкости. Недавно открытый теллур представляет большие трудности, ибо он обладает многими физическими свойствами металла, и все же все его химические свойства аналогичны свойствам серы и селена, которые никогда не считались металлами. Большие химические различия, опять же, постепенно обнаруживаются между пятью упомянутыми металлами; и класс, если он должен иметь какую-либо химическую обоснованность, должен быть сделан так, чтобы включать другие элементы, не имеющие ни одного из первоначальных свойств, на которых был основан класс. Водород — это прозрачный бесцветный газ и наименее плотное из всех веществ; однако по своим химическим аналогиям он является металлом, как предположил Фарадей в 1838 году и почти доказал Грэм; он должен быть помещен в тот же класс, что и серебро. Таким образом, случается, что почти каждая классификация, предложенная на ранних стадиях науки, оказывается несостоятельной, когда обнаруживаются более глубокие сходства объектов. Наиболее очевидными точками различия придется пренебречь. Хлор — газ, бром — жидкость, а йод — твердое вещество, и на первый взгляд это могли бы показаться грозными обстоятельствами, чтобы не заметить их; но в химической аналогии вещества тесно объединены. Прогресс органической химии, опять же, дал совершенно новые идеи о сходствах соединений. Кто, например, признал бы без обширных исследований близкое сходство между глицерином и спиртом или между жирными веществами и эфиром? Класс парафинов содержит три вещества, газообразные при обычных температурах, несколько жидкостей и некоторые кристаллические твердые вещества. Потребовалась большая проницательность, чтобы обнаружить аналогию, которая существует между такими, казалось бы, разными веществами.

Наука химия сейчас в значительной степени зависит от правильной классификации элементов, что можно узнать, обратившись к способной статье о классификации профессора Дж. К. Фостера в «Словаре химии» Уоттса. Но нынешняя система химической классификации не была достигнута до тех пор, пока по крайней мере три предыдущие ложные системы долгое время не были приняты. И хотя есть много оснований полагать, что нынешний способ классификации по атомности по существу верен, ошибки все еще могут быть обнаружены в деталях группировки.

Символическое изложение теории классификации.

Теорию классификации можно объяснить наиболее полным и общим образом, вернувшись на время к использованию Логического алфавита, который оказался первостепенно важным в формальной логике. Эта форма выражает необходимую классификацию всех объектов и идей как зависящую от законов мышления, и нет ни одного пункта, касающегося цели и методов классификации, который нельзя было бы изложить точно с помощью буквенных комбинаций, единственным неудобством является абстрактная форма, в которой предмет представлен таким образом.

Если мы обращаем внимание только на три качества, в которых вещи могут напоминать друг друга, а именно качества A, B, C, то согласно законам мышления существует восемь возможных классов объектов, показанных в четвертом столбце Логического алфавита (стр. 94). Если существуют объекты, принадлежащие ко всем этим восьми классам, из этого следует, что качества A, B, C не подлежат никаким условиям, кроме первичных законов мышления и вещей (стр. 5). Тогда нет никакого специального закона природы, который нужно было бы открыть, и если мы располагаем объекты в одном порядке, а не в другом, это должно быть для цели показа того, что комбинации логически полны.

Предположим, однако, что существует только четыре вида объектов, обладающих качествами A, B, C, и что эти виды представлены комбинациями ABC, AbC, aBc, abc. Порядок расположения теперь будет иметь значение; ибо если мы поместим их в порядке

[picture] | ABC | [picture] | AbC
aBc | abc

поместив B первыми, а те, что являются b, последними, мы, возможно, упустим из виду закон корреляции вовлеченных свойств. Но если мы расположим комбинации следующим образом

[picture] | ABC | [picture] | aBc
AbC | abc

становится сразу очевидно, что там, где есть A, и только там, где есть A, можно найти свойство C, причем B присутствует или отсутствует безразлично. Второе упорядочение тогда было бы названо естественным, так как оно делает явными условия, при которых существуют комбинации.

В качестве дальнейшего примера предположим, что нам представлены для классификации восемь объектов, которые демонстрируют комбинации пяти свойств A, B, C, D, E следующим образом:—

ABCdE | aBCdE
ABcde | aBcde
AbCDE | abCDE
AbcDe | abcDe

Они теперь классифицированы так, что те, что содержат A, стоят первыми, а те, что лишены A, — вторыми, но никакое другое свойство, по-видимому, не коррелирует с A. Давайте изменим это упорядочение и сгруппируем комбинации так:—

ABCdE | AbCDE
ABcde | AbcDe
aBCdE | abCDE
aBcde | abcDe

Требуется немного исследований, чтобы обнаружить, что в первой группе B всегда присутствует, а D отсутствует, тогда как во второй группе B всегда отсутствует, а D присутствует. Это результат, который следует из закона вида B = d (стр. 136), так что в этом способе упорядочения мы легко обнаруживаем корреляцию между двумя буквами. Изменяя группы снова следующим образом:—

ABCdE | ABcde
aBCdE | aBcde
AbCDE | AbcDe
abCDE | abcDe,

мы обнаруживаем другую очевидную корреляцию между C и E. Между A и другими буквами, или между двумя парами букв B, D и C, E, нет никакой логической связи.

Этот пример может показаться утомительным, но он окажется поучительным в этом отношении. Мы классифицируем только восемь объектов или комбинаций, в каждой из которых рассматриваются только пять качеств. Существует только два закона корреляции между четырьмя из этих пяти качеств, и эти законы имеют самый простой логический характер. Тем не менее, читатель вряд ли обнаружил бы, что это за законы, и уверенно назначил бы их путем быстрого созерцания комбинаций, как они даны в первой группе. Вероятно, нужно сделать несколько пробных классификаций, прежде чем мы сможем решить этот вопрос. Давайте теперь предположим, что вместо восьми объектов и пяти качеств у нас есть, скажем, пятьсот объектов и пятьдесят качеств. Если бы мы попытались применить тот же метод исчерпывающей группировки, который мы использовали ранее, нам пришлось бы расположить пятьсот объектов пятьюдесятью различными способами, прежде чем мы смогли бы быть уверены, что обнаружили даже более простые законы корреляции. Но даже последовательная группировка всех тех, что обладают каждым из пятидесяти свойств, не обязательно дала бы нам все законы. Могли бы существовать сложные отношения между несколькими свойствами одновременно, для обнаружения которых нельзя дать никакого правила процедуры.

Бифуркационная классификация.

Каждая система классификации должна быть сформирована на принципах Логического алфавита. Каждый высший класс должен быть разделен на два низших класса, различающихся наличием и отсутствием одного указанного различия. Каждый из этих малых классов, опять же, делим по любому другому качеству, которое можно предложить, и таким образом каждая классификация логически состоит из бесконечно расширенной серии субалтерных родов и видов. Классификации, которые мы формируем, на самом деле являются очень маленькими фрагментами тех, что правильно и полно представляли бы отношения существующих вещей. Но если мы принимаем во внимание более четырех или пяти качеств, количество подразделений становится непрактично большим. Наши конечные умы не способны рассматривать любую сложную группу исчерпывающе, и мы вынуждены упрощать и обобщать научные проблемы, часто рискуя упустить из виду частные условия и исключения.

Каждая система классов, отображенная по манере Логического алфавита, может быть названа бифуркационной, потому что каждый класс разветвляется на каждом шаге на два малых класса, существующих или воображаемых. Было бы большой ошибкой рассматривать это упорядочение как какой-либо своеобразный или специальный метод; это не только естественный и важный метод, но это неизбежная и единственная система, которая логически совершенна согласно фундаментальным законам мышления. Все другие упорядочения классов соответствуют бифуркационному упорядочению с подразумеванием того, что некоторые из малых классов не представлены среди существующих вещей. Если мы берем род A и делим его на виды AB и AC, мы подразумеваем два суждения, а именно, что в классе A свойства B и C никогда не встречаются вместе и что они никогда не отсутствуют оба; эти суждения логически эквивалентны одному, а именно AB = Ac. Наша классификация тогда идентична следующей бифуркационной:—

A
| AB |  | Ab |
ABC = 0 | ABc | AbC | Abc = 0

Если, опять же, мы делим род A на три вида, AB, AC, AD, мы либо логически ошибаемся, либо нас следует понимать как подразумевающих, что в отношении других букв существуют только три комбинации, содержащие A, а именно ABcd, AbCd и AbcD.

Логическая необходимость бифуркационной классификации была ясно и правильно изложена в «Очерке новой системы логики» Джорджа Бентама, выдающегося ботаника, работе, логическая ценность которой до недавнего времени была совершенно упущена из виду. Г-н Бентам указывает на стр. 113, что каждая классификация должна быть по существу бифуркационной, и берет в качестве примера деление позвоночных животных на четыре подкласса следующим образом:—

Mammifera— | endowed with mammæ and lungs.
Birds | without mammæ but with lungs and wings.
Fish | deprived of lungs.
Reptiles | deprived of mammæ and wings but with lungs.

У нас есть тогда, как говорит г-н Бентам, три бифидных деления, представленных следующим образом:—

Vertebrata
| Endowed with lungs |  | deprived of lungs = Fish.
Endowed with mammæ = Mammifera. |  | deprived of mammæ |
| with wings = Birds. |  | without wings = Reptiles.

Совершенно очевидно, что согласно законам мышления даже это упорядочение неполно. Подкласс млекопитающих должен либо иметь крылья, либо быть лишенным их; мы должны либо подразделить этот класс, либо предположить, что никто из млекопитающих не имеет крыльев, что, по сути, является фактом, так как крылья летучих мышей не являются настоящими крыльями в значении термина, применяемого к птицам. Рыб, опять же, следует рассматривать в отношении наличия молочных желез и крыльев; и, оставляя их неразделенными, мы на самом деле подразумеваем, что они никогда не имеют ни молочных желез, ни крыльев, причем крылья летучих рыб, опять же, не являются исключением. Если мы прибегнем к использованию наших букв и определим их следующим образом—

A = vertebrata,
B = having lungs,
C = having mammæ,
D = having wings,

тогда существуют четыре существующих класса позвоночных, которые, по-видимому, описаны так—

ABC   ABcD   ABcd   Ab.

Но в действительности подразумевается, что комбинации суть

ABCd = Mammifera,
ABcD = Birds,
ABcd = Reptiles,
Abcd = Fish,

и мы подразумеваем в то же время, что другие четыре мыслимые комбинации, содержащие B, C или D, а именно ABCD, AbCD, AbCd и AbcD, не существуют в природе.

Г-н Бентам указывает, что именно этот метод классификации был использован Ламарком и Декандолем в их так называемом аналитическом упорядочении флоры Франции. Он приводит в качестве примера таблицу основных классов системы Декандоля, а также бифуркационное упорядочение животных по методу, предложенному Дюмерилем в его «Аналитической зоологии», причем этот натуралист отличается ясным восприятием логической важности метода. Бифуркационную классификацию животного царства можно также найти в «Руководстве по кишечнополостным» профессора Рэя Грина, стр. 18.

Бифуркационная форма классификации кажется излишней, когда качество, согласно которому мы классифицируем любую группу вещей, допускает численную дискриминацию. Казалось бы абсурдным располагать вещи в зависимости от того, имеют ли они одну степень качества или не одну степень, две степени или не две степени и так далее. Элементы классифицируются в зависимости от того, насыщает ли атом каждого один, два, три или более атомов элемента-монады, такого как хлор, и их называют соответственно элементами-монадами, диадами, триадами, тетрадами и так далее. Было бы бесполезно применять бифидное упорядочение, таким образом:—

Element
Monad |  | not-Monad |
| Dyad |  | not-Dyad |
| Triad |  | not-Triad |
| Tetrad |  | not-Tetrad.

Причина этого в том, что по природе числа (стр. 157) каждое число логически дискриминировано от любого другого числа. Таким образом, не может быть никакой логической путаницы в численном упорядочении, и серия чисел, бесконечно расширенная, также является исчерпывающей. Каждая вещь, допускающая качество, выразимое в числах, должна найти свое место где-то в серии чисел. Аккорды в музыке соответствуют более простым числовым отношениям и должны допускать полную исчерпывающую классификацию в отношении сложности отношений, формирующих их. Плоские прямолинейные фигуры могут быть классифицированы по количеству их сторон, как треугольники, четырехугольные фигуры, пятиугольники, шестиугольники, семиугольники и т. д. Бифуркационное упорядочение не является ложным при применении к таким сериям объектов; оно даже необходимо вовлечено в упорядочение, которое мы применяем, так что его формальное изложение излишне и утомительно. То же самое можно сказать о делении частей пространства. Рид и Кеймс пытались высмеять бифуркационное упорядочение, предлагая классифицировать части Англии на Мидлсекс и то, что не является Мидлсексом, деля последнее снова на Кент и то, что не является Кентом, Сассекс и то, что не является Сассексом; и так далее. Это, однако, настолько далеко от абсурдного действия, что оно необходимо, чтобы заверить нас в том, что мы сделали исчерпывающее перечисление частей Англии.

Пять предикабилий.

Как правило, весьма желательно предать забвению древние логические имена и выражения, которые заражали науку на протяжении многих веков. Если логика когда-либо станет полезной и прогрессивной наукой, логики должны различать логику и историю логики. Как и в случае любой другой науки, может быть желательно изучить ход мысли, посредством которого логика, до или после времени Аристотеля, была доведена до своего нынешнего состояния; история науки всегда поучительна, давая примеры способа, которым происходят открытия. Но в то же время мы должны тщательно освободить изложение самой науки от всех имен и других пережитков древности, которые не являются фактически полезными в сегодняшний день.

Среди древних выражений, которые вполне могут быть исключены из таких соображений и сохранены в использовании, находятся «Пять слов» или «Пять предикабилий», которые были описаны Порфирием в его введении к «Органону» Аристотеля. Два из них, Род и Вид, являются самыми почтенными именами в философии, вероятно, впервые использованными в их нынешних логических значениях Сократом. В сегодняшний день требуется некоторое умственное усилие, как заметил Грот, чтобы увидеть что-то важное в изобретении понятий, ныне столь знакомых, как Род и Вид. Но в действительности введение таких терминов показало возникновение первых ростков логики и научного метода; оно показало, что люди начинали анализировать свои процессы мышления.

Пять предикабилий — это Род, Вид, Различие, Свойство и Акциденция, или на оригинальном греческом: γένος, εἶδος, διαφορά, ἴδιον, συμβεβηκός. Из них Род можно понимать как любой класс объектов, который рассматривается как разбитый на два малых класса, формирующих его Виды. Род определяется определенным количеством качеств или обстоятельств, которые принадлежат всем объектам, включенным в класс, и которые достаточны, чтобы выделить эти объекты из всех других, которые мы не намерены включать. Интерпретируемый в отношении интенсионала, Род — это группа качеств; интерпретируемый в отношении экстенсионала, это группа объектов, обладающих этими качествами. Если принимается во внимание другое качество, которым обладают некоторые из объектов, а другие нет, это качество становится различием, которое делит Род на два Вида. Мы можем интерпретировать Вид либо в интенсионале, либо в экстенсионале; в первом отношении он больше, чем Род, так как содержит еще одно качество — различие: в последнем отношении он меньше, чем Род, так как содержит только часть группы, составляющей Род. Мы можем сказать тогда, вместе с Аристотелем, что в одном смысле Род находится в Виде, а именно в интенсионале, а в другом смысле Вид находится в Роде, а именно в экстенсионале. Различие, очевидно, может быть интерпретировано только в интенсионале.

Свойство — это качество, которое принадлежит всему классу, но не входит в определение этого класса. Родовое свойство принадлежит каждому отдельному объекту, содержащемуся в роде. Свойством рода параллелограмм является то, что противоположные углы равны. Если мы рассматриваем прямоугольник как вид параллелограмма, где различие состоит в том, что один угол является прямым, то в качестве видового свойства следует, что все углы являются прямыми. Хотя свойство в строгом логическом смысле должно принадлежать каждому из объектов, включенных в класс, свойством которого оно является, оно может принадлежать или не принадлежать другим объектам. Свойство иметь противоположные углы равными может принадлежать многим фигурам, помимо параллелограммов, например, правильным шестиугольникам. Свойством круга является то, что все треугольники, построенные на диаметре с вершиной на окружности, являются прямоугольными треугольниками, и наоборот, все кривые, для которых это верно, должны быть кругами. Свойство, которое таким образом принадлежит всему классу и только этому классу, соответствует ἴδιον Аристотеля и Порфирия; мы могли бы удобно назвать его особенным свойством. Каждое такое свойство позволяет нам сделать утверждение в форме простой идентичности (стр. 37). Таким образом, мы знаем, что особенным свойством круга является то, что для данной длины периметра он заключает в себе большую площадь, чем любая другая возможная кривая; следовательно, мы можем сказать—

Curve of equal curvature = curve of greatest area.

Специфическим свойством равносторонних треугольников является то, что они равноугольны, и наоборот, специфическим свойством равноугольных треугольников является то, что они равносторонни. Свойство кристаллов регулярной системы состоит в том, что они лишены способности к двойному лучепреломлению, однако это свойство не является для них специфическим, поскольку жидкости и газы также лишены этого свойства.

Акциденция, пятое и последнее из предикабилий, — это любое качество, которое может принадлежать или не принадлежать определенным объектам и которое не имеет связи с принятой классификацией. Конкретный размер кристалла ни в малейшей степени не влияет на его форму, как и способ его группировки с другими кристаллами; следовательно, в отношении кристаллографической классификации это акциденции. Относительно химического состава вещества, опять же, является акциденцией, кристаллизовано ли вещество или нет, организовано оно или нет. Что касается ботанической классификации, то абсолютный размер растения является акциденцией. Таким образом, мы видим, что логическая акциденция — это любое качество или обстоятельство, которое, как известно, не коррелирует с теми качествами или обстоятельствами, которые формируют определение вида.

Значения предикабилий могут быть ясно объяснены с помощью наших символов. Пусть A будет любой определенной группой качеств, а B — другим качеством или группой качеств; тогда A будет составлять род, а AB и Ab будут его видами, где B — видовое отличие. Пусть C, D и E будут другими качествами или группами качеств, и при исследовании комбинаций, в которых встречаются A, B, C, D, E, пусть они будут следующими:—

ABCDE | AbCdE
ABCDe | AbCde.

Здесь мы видим, что везде, где есть A, мы также находим C, так что C является родовым свойством; D всегда встречается с B, так что оно составляет видовое свойство, в то время как E присутствует или отсутствует безразлично, не будучи связанным ни с какой другой буквой; следовательно, оно представляет собой акциденцию. Теперь видно, что Логический алфавит представляет собой бесконечную серию подчиненных родов и видов; это лишь краткое символическое изложение того, что подразумевалось в древнем учении о предикабилиях.

Summum genus (высший род) и infima species (низший вид).

Поскольку род означает любой класс, который рассматривается как состоящий из более мелких классов или видов, из этого следует, что один и тот же класс будет родом с одной точки зрения и видом — с другой. Металл — это род по отношению к щелочному металлу и вид по отношению к элементу, и любая обширная система классов состоит из ряда подчиненных, или, как их технически называют, субальтернированных родов и видов. Однако возникает вопрос, имеет ли такая цепь классов определенное завершение на каком-либо конце. Учение старых логиков сводилось к тому, что она завершается наверху genus generalissimum, или summum genus, который не является видом какого-либо более широкого класса. Предполагалось, что некое самое общее понятие, такое как субстанция, объект или вещь, настолько всеобъемлюще, что включает в себя все мыслимые объекты, и для всех практических целей это могло быть так. Но, как я уже объяснял (стр. 74), мы не можем действительно мыслить какой-либо объект или класс, не отделяя его тем самым от того, что не является этим объектом или классом. Всякое мышление относительно и подразумевает различение, так что каждый класс и каждое логическое понятие должны иметь свое отрицание. Если это так, то не существует такого понятия, как summum genus; ибо мы не можем сформировать требуемое понятие класса, образующего его, не подразумевая существования другого класса, отличного от него; добавьте этот новый отрицательный класс к предполагаемому summum genus, и мы сформируем еще более высокий род, что абсурдно.

Хотя абсолютного summum genus не существует, тем не менее, относительно любой отрасли знания или любого конкретного аргумента всегда существует некий класс или понятие, которое, так сказать, ограничивает наш горизонт. Химик ограничивает свой взгляд материальными субстанциями и силами, проявляющимися в них; математик расширяет свой взгляд так, чтобы охватить все понятия, поддающиеся числовому различению. Биолог, с другой стороны, имеет более узкую сферу, содержащую только организованные тела, и из них ботаник и зоолог берут свои части. В других предметах может существовать еще более узкий summum genus, как когда юрист рассматривает только разумных существ своей страны вместе с их собственностью.

При описании Логического алфавита было указано (стр. 93), что каждая серия комбинаций на самом деле является развитием единого класса, обозначаемого через X, каковая буква была соответственно помещена в первый столбец таблицы на стр. 94. Это формальное признание принципа, четко сформулированного Де Морганом, о том, что все рассуждения протекают в рамках предполагаемого summum genus. Но в то же время тот факт, что X как логический термин должен иметь свое отрицание x, показывает, что он не может быть абсолютным summum genus.

Снова возникает вопрос, существует ли такое понятие, как infima species, которое нельзя разделить на более мелкие виды. Древние логики придерживались мнения, что всегда существует некий назначаемый класс, который можно разделить только на индивиды, но это учение представляется теоретически неверным, как давно заявил г-н Джордж Бентам. Мы можем установить произвольный предел подразделения наших классов в любой точке, удобной для нашей цели. Кристаллограф обычно не стал бы рассматривать как разные виды кристаллические формы, которые различаются только степенью развития граней. Натуралист не замечает бесчисленных незначительных различий между животными, которые он относит к одному и тому же виду. Но со строго логической точки зрения классификация могла бы продолжаться до тех пор, пока существует различие, пусть даже самое незначительное, между двумя объектами, и мы могли бы таким образом продолжать, пока не дойдем до индивидуальных объектов, которые численно различны в логическом смысле, приписываемом этому выражению в главе о числе. Следовательно, мы должны либо назвать индивид infima species, либо признать, что такого понятия вообще не существует.

Древо Порфирия.

И Аристотель, и Платон были знакомы со значением бифуркационной классификации, которую они время от времени использовали в явном виде. Невозможно также, чтобы Аристотель изложил законы мышления и использовал предикабилии, не признавая неявно логическую необходимость этого метода. Однако именно в замечательном и во многих отношениях превосходном «Введении к категориям Аристотеля» Порфирия мы находим наиболее отчетливое описание этого метода. Порфирий не только полно и точно описывает предикабилии, но и попутно приводит пример для иллюстрации этих предикабилий, который представляет собой хороший образец бифуркационной классификации. Свободно переводя его слова, мы можем сказать, что он берет Субстанцию как род, подлежащий делению, под которым последовательно помещаются в качестве видов: Тело, Одушевленное тело, Животное, Разумное животное и Человек. Под Человеком, в свою очередь, идут Сократ, Платон и другие конкретные люди. Теперь из этих понятий Субстанция есть genus generalissimum, и является только родом, а не видом. Человек, с другой стороны, есть species specialissima (infima species), и является только видом, а не родом. Тело есть вид субстанции, но род одушевленного тела, которое, в свою очередь, есть вид тела, но род животного. Животное есть вид одушевленного тела, но род разумного животного, которое, в свою очередь, есть вид животного, но род человека. Наконец, человек есть вид разумного животного, но является только видом, а не родом, будучи делимым только на конкретных людей.

Порфирий довольно подробно использует свой пример для дальнейшей иллюстрации предикабилий. Мы не находим в собственной работе Порфирия никакой схемы или диаграммы, демонстрирующей этот любопытный образец классификации, но некоторые из ранних комментаторов и авторов эпитоме нарисовали то, что долгое время называлось Древом Порфирия. Эта диаграмма, которую можно найти в большинстве элементарных работ по логике, также называется Рамическим древом, потому что Рамус настаивал на ценности дихотомии. За исключением Джереми Бентама и Джорджа Бентама, едва ли кто-либо из современных логиков проявил понимание ценности бифуркационной классификации. Последний автор рассматривал этот предмет как в своем «Очерке новой системы логики» (стр. 105–118), так и в своей более ранней работе под названием «Essai sur la Nomenclature et la Classification des Principales Branches d’Art-et-Science» (Париж, 1823), которая состоит из вольного перевода или улучшенной версии «Очерка о классификации» его дяди в «Хрестоматии». Некоторый интерес представляет история Древа Порфирия и Рамуса, потому что оно является прототипом Логического алфавита, который лежит в основе логического метода. Джереми Бентам правдиво говорит о «несравненной красоте Рамического древа». Полностью показав его логическую ценность как исчерпывающего метода классификации и опровергнув возражения Рида и Кеймса на, как я считаю, неверном основании, он переходит к вопросу о том, до какой степени его можно довести. Он правильно указывает на два возражения против широкого использования бифидных (раздвоенных) упорядочений: (1) что они вскоре становятся практически обширными и громоздкими, и (2) что они неэкономичны. В его время зарегистрированное количество различных видов растений составляло 40 000, и он предлагает читателю оценить огромное количество ветвей и огромную площадь бифуркационной таблицы, которая должна была бы представить все эти виды в одной схеме. Он также указывает на кажущуюся потерю труда при составлении любой крупной бифуркационной классификации; но это, по его мнению, полностью вознаграждается логической ценностью результата и логической подготовкой, приобретенной при его выполнении. Джереми Бентам, таким образом, полностью признает ценность Логического алфавита под другим названием, хотя он также осознает предел его использования, обусловленный конечностью наших умственных и физических способностей.

Подразумевает ли абстракция обобщение?

Прежде чем мы сможем приобрести здравое понимание предмета классификации, мы должны ответить на очень трудный вопрос: подразумевает ли логическая абстракция обобщение или нет. Это сводится к тому же самому, если мы спросим, может ли вид быть соразмерным своему роду или же, с другой стороны, род должен содержать больше, чем вид. Абстрагировать логически — значит (стр. 27) не замечать или отвлекать наше внимание от какого-либо пункта различия. Всякий раз, когда мы формируем класс, мы на время абстрагируемся от различий объектов, объединенных таким образом в отношении какого-либо общего качества. Если мы классифицируем большое количество объектов как жилые дома, мы упускаем из виду тот факт, что некоторые жилые дома построены из камня, другие из кирпича, дерева, железа и т. д. Часто, по крайней мере, абстрагирование обстоятельства увеличивает количество объектов, включенных в класс, согласно закону обратной зависимости количеств объема и содержания (стр. 26). «Жилой дом» — более широкий термин, чем «кирпичный жилой дом». «Дом» более общий, чем «жилой дом». Но вопрос перед нами заключается в том, всегда ли абстракция увеличивает количество объектов, включенных в класс, что равносильно вопросу о том, всегда ли верен закон обратной зависимости логических количеств. Интерес к вопросу отчасти возникает из того факта, что такой высокий философский авторитет, как г-н Герберт Спенсер, отрицал, что обобщение подразумевается в абстракции, делая это учение основанием для отказа от предыдущих методов классификации наук и для формирования остроумного, но своеобразного метода собственного сочинения. Этот вопрос также является фундаментальным и имеет высочайшее логическое значение, и включает в себя тонкие трудности, которые заставляли меня долго колебаться в формировании решительного мнения.

Попытаемся ответить на вопрос путем рассмотрения нескольких примеров. Сравним два класса: «пушка» и «железная пушка». Несомненно, существует много пушек, которые не сделаны из железа, так что абстрагирование обстоятельства «сделано из железа» увеличивает объем понятия. Далее сравним «пушку» и «металлическую пушку». Все пушки, изготовленные в настоящее время, состоят из металла, так что два понятия кажутся соразмерными; но пушки сначала делались из кусков дерева, связанных вместе, как бочка, и поскольку логический термин «пушка» не принимает во внимание время, он должен включать все пушки, которые когда-либо существовали. Здесь снова объем увеличивается по мере уменьшения содержания. Сравним еще раз «паровой локомотив» и «локомотив». В настоящее время, насколько мне известно, все локомотивы работают на пару, так что опущение этой квалификации могло бы показаться не расширяющим термин; но вполне возможно, что в каком-то будущем веке в локомотивах может быть использована другая движущая сила; и поскольку в использовании логических терминов нет ограничения по времени, мы, безусловно, должны предположить, что существует класс локомотивов, не работающих на пару, так же как и класс, который работает на пару. Когда был первоначально сформирован естественный класс Euphorbiaceæ (Молочайные), все растения, известные как принадлежащие к нему, были лишены венчиков; поэтому казалось, что два класса «Euphorbiaceæ» и «Euphorbiaceæ, лишенные венчиков» были равны по объему. Впоследствии в тропических странах было найдено множество растений, явно принадлежащих к тому же классу, и они обладали ярко окрашенными венчиками. Натуралисты с величайшей уверенностью полагают, что «Жвачные» и «Жвачные с раздвоенными копытами» — это тождественные термины, потому что еще не было обнаружено ни одного жвачного животного без раздвоенных копыт. Но мы не видим невозможности в соединении жвачности с нераздвоенными копытами, и было бы слишком большим допущением сказать, что мы уверены, что пример этого никогда не встретится. Можно привести бесконечное количество примеров того, как в конечном итоге обнаруживаются объекты, сочетающие свойства, которые никогда раньше не видели вместе. В животном мире черный лебедь, утконос (Ornithorhynchus Paradoxus) и, совсем недавно, необычная рыба под названием Ceratodus Forsteri, все обнаруженные в Австралии, объединили признаки, которые ранее не были известны как сосуществующие. В настоящее время глубоководное драгирование выявляет многих животных беспрецедентной природы. Удивительные исключительные открытия, безусловно, могут происходить и в других отраслях науки. Когда Дэви впервые открыл металлический калий, хорошо установленным эмпирическим законом было то, что все металлические вещества обладают высоким удельным весом, причем наименее плотным из известных тогда металлов был цинк, удельный вес которого составляет 7,1. Однако к удивлению химиков, калий оказался несомненным металлом с плотностью меньше, чем у воды, его удельный вес составил 0,865.

Едва ли требуется доказывать дальнейшими примерами, что наше знание природы неполно, поэтому мы не можем безопасно предполагать несуществование новых комбинаций. Логически говоря, мы должны оставить место для животных, которые пережевывают жвачку, но не имеют раздвоенных копыт, и для каждой возможной промежуточной формы животного, растения или минерала. Чисто логическая классификация должна учитывать не только то, что определенно существует, но и то, что может быть найдено в будущие века.

Я пойду еще дальше и скажу, что в наших научных классификациях должны быть места для чисто воображаемых существований. Большая часть мыслимых математических функций не имеет применения к обстоятельствам этого мира. Физики, безусловно, исследуют природу и последствия сил, которые нигде не существуют. «Начала» Ньютона полны таких исследований. В одной из глав своей «Небесной механики» Лаплас предается замечательному размышлению о том, какими были бы законы движения, если бы импульс, вместо того чтобы просто изменяться как скорость, был бы более сложной функцией от нее. Я уже упоминал (стр. 223), что Эйри рассматривал существование мира, в котором законы силы были бы таковы, что вечное движение было бы возможно, а Закон сохранения энергии не был бы верен.

Мышление не ограничено пределами того, что материально существует, но ограничено только теми Фундаментальными законами тождества, противоречия и двойственности, которые были установлены в самом начале. Это тот пункт, в котором я должен разойтись с г-ном Спенсером. Он, по-видимому, предполагает, что классификация полна, если в ней есть место для каждого существующего объекта, и это, возможно, может показаться практически достаточным; но она подвержена двум глубоким возражениям. Во-первых, мы не знаем всего, что существует, и поэтому, ограничивая наши классы, мы ошибочно опускаем множество объектов неизвестной формы и природы, которые могут существовать либо на этой земле, либо в других частях пространства. Во-вторых, как я объяснил, силы мышления не ограничены материальными существованиями, и мы можем или, для некоторых целей, должны воображать объекты, которые, вероятно, не существуют, и если мы воображаем их, мы должны найти для них места в классификациях науки.

Главная трудность этого предмета, однако, состоит в том, что математические или другие достоверные законы могут полностью запрещать существование некоторых комбинаций. Круг может быть определен как плоская кривая равной кривизны, и свойство круга состоит в том, что он содержит наибольшую площадь при наименьшем возможном периметре. Можем ли мы тогда мысленно рассматривать круг, не являющийся фигурой наибольшей возможной площади? Или, чтобы взять еще более простой пример, параллелограмм обладает свойством иметь равные противоположные углы. Можем ли мы тогда мысленно разделить параллелограммы на два класса в зависимости от того, имеют они или не имеют равные противоположные углы? Это могло бы показаться абсурдным, потому что мы знаем, что один из двух видов параллелограмма был бы несуществующим. Но тогда, если бы студент предварительно не рассматривал существование обоих видов как возможных, в чем смысл тридцать четвертого предложения первой книги Евклида? Мы не можем отрицать или опровергать существование определенной комбинации, не признавая тем самым определенным образом эту комбинацию как объект мысли.

Вывод, к которому я прихожу, противоположен выводу г-на Спенсера. Я думаю, что всякий раз, когда мы абстрагируем качество или обстоятельство, мы обобщаем или расширяем понятие, от которого абстрагируемся. Какими бы ни были термины A, B и C, я придерживаюсь мнения, что в строгой логике AB мысленно является более широким термином, чем ABC, потому что AB включает в себя два вида: ABC и Abc. Термин A еще шире, ибо он включает четыре вида: ABC, AbC, Abc, Abc. Логический алфавит, короче говоря, является единственным пределом классов объектов, которые мы должны рассматривать с чисто логической точки зрения. Какие бы понятия ни были представлены нам, мы должны мысленно комбинировать их всеми способами, санкционированными законами мышления и представленными в Логическом алфавите, и вопрос о том, сколько из этих комбинаций существует во внешней природе или сколько фактически запрещено условиями пространства, является делом последующего рассмотрения. Классификация — это по существу ментальная, а не материальная вещь.

Обнаружение признаков или характеристик.

Хотя главная цель классификации состоит в том, чтобы раскрыть самые глубокие и общие сходства классифицируемых объектов, практическая ценность системы будет отчасти зависеть от легкости, с которой мы можем отнести объект к его надлежащему классу и, таким образом, сделать о нем вывод обо всем, что известно в целом об этом классе. Эта операция обнаружения того, к какому классу системы принадлежит определенный образец или случай, обычно называется Диагностикой — технический термин, привычно используемый врачами, которым постоянно требуется диагностировать или определять природу болезни, от которой страдает пациент. Теперь каждый класс определяется определенными указанными качествами или обстоятельствами, все из которых присутствуют в каждом объекте, содержащемся в классе, и не все присутствуют в любом объекте, исключенном из него. Эти определяющие обстоятельства должны состоять из самых глубоких и важных обстоятельств, под которыми мы смутно подразумеваем те, которые, вероятно, формируют условия, с которыми коррелируют второстепенные обстоятельства. Но часто случается, что так называемые важные моменты объекта — это не те, которые можно наиболее легко наблюдать. Так, два великих класса фанерогамных (цветковых) растений определяются соответственно наличием двух семядолей или одной семядоли. Но когда растение попадает в поле нашего зрения и мы хотим отнести его к нужному классу, часто случается, что у нас вообще нет семян для исследования, чтобы обнаружить, одна семядоля в зародыше или две. Даже если у нас есть семя, оно часто бывает маленьким, и для установления количества семядолей потребуется тщательное препарирование под микроскопом. Иногда исследование зародыша ввело бы нас в заблуждение, ибо семядоли могут быть рудиментарными, как у повилики (Cuscuta), или соединенными вместе, как у клинтонии (Clintonia). Поэтому ботаники редко обращаются к семени за такой информацией. Некоторые другие признаки растения коррелируют с количеством семядолей; так, однодольные растения почти всегда обладают листьями с параллельным жилкованием, как у травы, в то время как двудольные растения имеют листья с сетчатым жилкованием, как у листа дуба. У однодольных растений части цветка также чаще всего кратны трем, в то время как у двудольных растений преобладают числа четыре и пять и их кратные. Ботаники, следовательно, взглянув на листья и цветы, могут почти наверняка отнести растение к нужному классу и сделать вывод не только о количестве семядолей, которые были бы найдены в семени или молодом растении, но также о структуре стебля и других общих характеристиках.

Любое заметное и легко различимое свойство, которое мы таким образом выбираем для цели определения того, к какому классу принадлежит объект, можно назвать характеристикой. Логические условия хорошего характеристического признака очень просты, а именно: он должен быть присущ всем объектам, входящим в определенный класс, и никому другому. Каждая характеристика должна позволять нам утверждать простое тождество; если A — характеристика, а B, рассматриваемый интенсионально, — класс объектов, для которых она является признаком, то A = B должно быть истинным. Характеристика может состоять либо из одного качества или обстоятельства, либо из группы таковых, при условии, что все они постоянны и легко обнаружимы. Так, в классификации млекопитающих зубы оказывают величайшую помощь, не потому, что небольшое изменение в количестве и форме зубов имеет значение в общей экономии животного, а потому, что такие изменения, как доказано эмпирическим наблюдением, совпадают с самыми важными различиями в общих сродствах. Установлено, что второстепенные классы и роды млекопитающих могут быть точно различимы по их зубам, особенно по передним коренным и задним предкоренным. Некоторые зубы, действительно, иногда отсутствуют, поэтому зоологи предпочитают доверять тем характеристическим зубам, которые наиболее постоянны, и делать из них вывод не только о расположении других зубов, но и о всей конформации животного.

Очень трудно провести пограничную линию между животным и растительным царствами, и можно даже усомниться, можно ли установить строгую границу. Самое фундаментальное и важное отличие растительного вещества по сравнению с животным, вероятно, состоит в отсутствии азота в составляющих мембранах. Предполагая, что это так, возникает трудность, что при исследовании мельчайших организмов мы не можем напрямую установить, содержат они азот или нет. Поэтому для различения животных и растений требуется некоторое второстепенное, но легко обнаруживаемое обстоятельство, и это в некоторой степени обеспечивается тем фактом, что образование крахмальных зерен ограничено растительным царством. Таким образом, десмидиевые (Desmidiaceæ) могут быть безопасно отнесены к растительному царству, потому что они содержат крахмал. Но мы не должны использовать эту характеристику отрицательно; диатомовые (Diatomaceæ), вероятно, являются растениями, хотя они и не производят крахмал.

Диагностические системы классификации.

Мы видели, что диагностика — это процесс обнаружения места в любой системе классов, к которому объект был отнесен в результате какого-либо предыдущего исследования, причем цель состоит в том, чтобы воспользоваться информацией, относящейся к такому объекту, которая была накоплена и записана. Очевидно, что это вопрос огромной важности, ибо, если мы не сможем время от времени распознавать объекты или вещества, которые были исследованы, записанные открытия потеряли бы свою ценность. Даже отдельный исследователь должен иметь средства для записи и систематизации своих наблюдений над любыми большими группами объектов, такими как растительное и животное царства.

Теперь, всякий раз, когда класс был должным образом сформирован, должно было быть дано определение, указывающее качества и обстоятельства, присущие всем объектам, которые предполагается включить в класс, и не присущие полностью никаким другим объектам. Диагностика, следовательно, состоит в сравнении качеств определенного объекта с определениями ряда классов; отсутствие в объекте любого одного качества, указанного в определении, исключает его из класса, определенного таким образом; тогда как, если мы находим, что каждая точка определения точно выполнена в образце, мы можем сразу же отнести его к рассматриваемому классу. Конечно, отнюдь не уверенно, что все, что было утверждено о классе, верно для всех объектов, впоследствии отнесенных к этому классу; ибо это был бы случай несовершенного вывода, который никогда не является чем-то большим, чем вопрос вероятности. Определение может только сделать известным конечное число качеств объекта, и всегда остается возможным, что объекты, согласующиеся в этих назначенных качествах, будут различаться в других. Индивид не может быть определен и может быть сделан известным только путем демонстрации самого индивида или материального образца, точно представляющего его. Но этот и другие вопросы, касающиеся определения, должны быть рассмотрены, когда я смогу заняться предметом языка в другой работе.

Диагностические системы классификации должны, как общее правило, быть организованы по бифуркационному методу в явном виде. Может быть выбрано любое качество, которое делит всю группу объектов на две отдельные части, и каждая часть может быть последовательно подразделена любым заметным и хорошо выраженным обстоятельством, которое присутствует в большой части рода и отсутствует в другой. Чтобы отнести объект к его надлежащему месту в таком упорядочении, нам нужно только отметить, обладает ли он последовательными критическими различиями (differentiæ) или нет. Дана разработал классификацию такого рода, с помощью которой можно отнести кристалл к его месту в ряду из шести или семи уже описанных классов. Если кристалл имеет все свои ребра измененными одинаково или углы заменены тремя или шестью подобными гранями, он принадлежит к монометрической системе; если нет, мы наблюдаем, является ли количество подобных граней на конечности кристалла тремя или кратным трем, в каковом случае это кристалл гексагональной системы; и так мы продолжаем с дальнейшими последовательными различениями. Для установления названия минерала путем исследования с помощью паяльной трубки фон Кобель предложил упорядочение, более или менее явно основанное на бифуркационном плане. Минералы делятся в зависимости от того, обладают они или не обладают металлическим блеском; являются ли они плавкими или неплавкими, в зависимости от того, дают они или не дают на угле металлический королек, и так далее.

Пожалуй, лучший пример упорядочения, разработанного просто для цели диагностики, — это «Аналитический ключ к естественным порядкам и аномальным родам британской флоры» г-на Джорджа Бентама, приведенный в его «Справочнике британской флоры». В этой схеме великое сложноцветное семейство растений, вместе с близко примыкающим родом Jasione, сначала отделяются от всех других цветковых растений по сложному характеру их цветов. Оставшиеся растения подразделяются в зависимости от того, является ли околоцветник двойным или простым. Поскольку еще не известно растений, у которых околоцветник можно было бы назвать имеющим три или более отдельных кольца, это деление становится практически тем же самым, что и деление на двойной и недвойной. Цветы с двойным околоцветником затем различаются в зависимости от того, состоит ли венчик из одной части или нет; в зависимости от того, является ли завязь свободной или несвободной; является ли она простой или непростой; является ли венчик правильным или неправильным; и так далее. При просмотре этого упорядочения можно обнаружить, что часто встречаются числовые различения, причем критериями являются количества лепестков, тычинок, коробочек или других частей, в каковых случаях, как уже объяснялось (стр. 697), фактическая демонстрация бифидного деления была бы утомительной.

Линней, по-видимому, был прекрасно знаком с природой и использованием диагностической классификации, которую он описывает под названием «Синопсис», говоря: — «Synopsis tradit Divisiones arbitrarias, longiores aut breviores, plures aut pauciores: a Botanicis in genere non agnoscenda. Synopsis est dichotomia arbitraria, quæ instar viæ ad Botanicem ducit. Limites autem non determinat» (Синопсис представляет произвольные деления, более длинные или более короткие, многочисленные или немногочисленные: ботаниками в целом не признаваемые. Синопсис — это произвольная дихотомия, которая ведет к ботанике подобно пути. Однако границ он не определяет).

Правила и таблицы, составленные химиками для облегчения обнаружения природы вещества при качественном анализе, обычно организованы по бифуркационному методу и представляют собой отличные примеры диагностической классификации, причем качества веществ, получаемых при тестировании, в большинстве случаев являются лишь характеристическими свойствами, не имеющими большого значения в других отношениях. Химик не обнаруживает калий, восстанавливая его до состояния металлического калия, а затем наблюдая, обладает ли он всеми основными качествами, присущими калию. Он выбирает из всего числа соединений калия ту соль, а именно соединение тетрахлорида платины и хлорида калия, которая имеет наиболее отличительный вид, поскольку она сравнительно нерастворима и дает специфический желтый и высококристаллический осадок. Соответственно, калий присутствует всякий раз, когда этот осадок может быть получен путем добавления хлорида платины к раствору. Тонкий пурпурный или фиолетовый цвет, который соли калия сообщают пламени паяльной трубки, долгое время использовался в качестве характеристического признака. Некоторые другие элементы легко обнаруживались по окрашиванию пламени паяльной трубки: барий дает бледно-желто-зеленый цвет, а соли стронция — ярко-красный. С помощью спектроскопа цветной свет, испускаемый раскаленным паром, дает совершенно характеристические признаки элементов, содержащихся в паре.

Диагностика, по-видимому, идентична процессу, называемому древними логиками abscissio infiniti, отсечению бесконечной или отрицательной части рода, когда мы обнаруживаем путем наблюдения, что объект обладает определенным отличием. На каждом шаге бифуркационного деления некоторые объекты, обладающие этим отличием, попадут в утвердительную часть или вид; все остальные объекты в мире попадут в отрицательную часть, которая будет бесконечной по объему. Диагностика состоит в последовательном исключении из дальнейшего рассмотрения тех бесконечных классов, с которыми рассматриваемый образец не согласуется.

Индексные классификации.

Под классификацией мы можем понимать все упорядочения объектов или имен, которые мы делаем для экономии труда при обнаружении объекта. Даже алфавитные указатели являются реальными классификациями. Ни одно такое упорядочение не может быть полезным, если оно не включает некоторую корреляцию обстоятельств, так что, зная одну вещь, мы узнаем другую. Если мы просто раскладываем письма в ячейки секретера, мы устанавливаем корреляцию, ибо все письма в первой ячейке будут написаны лицами, например, чьи имена начинаются с A, и так далее. Зная тогда начальную букву имени автора, мы знаем также место письма, и труд поиска таким образом сокращается до одной двадцать шестой части того, чем он был бы без упорядочения.

Теперь цель каталога — обнаружить место, в котором можно найти объект; но искусство каталогизации включает логические соображения некоторой важности. Мы хотим установить корреляцию между местом объекта и некоторым обстоятельством об объекте, которое позволит нам легко обратиться к нему; это обстоятельство, следовательно, должно быть тем, которое наиболее легко удерживается в памяти ищущего. Поэтическое произведение лучше всего запоминается по первой строке произведения, а имя автора будет следующим наиболее определенным обстоятельством; каталог поэзии должен поэтому быть организован в алфавитном порядке по первому слову произведения, или по имени автора, или, еще лучше, обоими способами. Было бы невозможно организовать стихи по их темам, настолько расплывчатыми и смешанными они оказываются, когда предпринимается такая попытка.

Вопрос о наилучшем способе каталогизации книг, чтобы любую требуемую книгу в библиотеке можно было найти наиболее легко, имеет значительную литературную важность. Книги могут быть классифицированы огромным количеством способов: по предмету, языку, дате или месту публикации, размеру, начальным словам текста или титульного листа, или колофону, имени автора, имени издателя, имени печатника, характеру шрифта и так далее. Каждый из этих способов упорядочения может быть полезен, ибо мы можем случайно запомнить одно обстоятельство о книге, когда забыли все остальные; но поскольку мы обычно не можем позволить себе расходы на создание более двух или трех указателей, мы должны выбрать те обстоятельства, которые будут приводить к обнаружению книги наиболее часто. Многие из упомянутых критериев очевидно неприменимы.

Язык, на котором написана книга, достаточно определен, при условии, что вся книга написана на одном и том же языке; но очевидно, что язык не дает средств для подразделения и упорядочения литературы какого-либо одного народа. Классификация по предметам была бы чрезвычайно полезным методом, если бы она была осуществима, но опыт показывает, что это логический абсурд. Очень трудно классифицировать науки, настолько сложны отношения между ними. Но с книгами сложность значительно больше, поскольку одна и та же книга может трактовать о разных науках или обсуждать проблему, затрагивающую многие отрасли знания. Хорошее описание паровой машины будет антикварным, поскольку оно прослеживает самые ранние попытки открытия; чисто научным, что касается принципов термодинамики; техническим, что касается механических средств применения этих принципов; экономическим, что касается промышленных результатов изобретения; биографическим, что касается жизни изобретателей. История Вестминстерского аббатства могла бы принадлежать либо к истории архитектуры, истории Церкви, либо к истории Англии. Если мы откажемся от попытки осуществить упорядочение в соответствии с естественной классификацией наук и сформируем всеобъемлющие практические группы, мы будем постоянно находиться в недоумении из-за возникновения промежуточных случаев, и мнения будут расходиться ad infinitum относительно деталей. Если, чтобы избежать трудности с Вестминстерским аббатством, мы сформируем класс книг, посвященных Истории зданий, возникнет вопрос, является ли Стоунхендж зданием, и если да, то являются ли таковыми кромлехи, курганы и монолиты. Мы будем не уверены, включать ли маяки, памятники, мосты и т. д. В отношении литературных произведений строгая классификация еще менее возможна. Одно и то же произведение может быть отчасти поэзией, биографией, историей, философией, или, если мы сформируем всеобъемлющий класс Belles-lettres (изящной словесности), никто не сможет точно сказать, что подпадает под этот термин, а что нет.

Мой собственный опыт полностью подтверждает мнение Де Моргана о том, что классификация по имени автора — единственная осуществимая в большой библиотеке, и этот метод был превосходно осуществлен в великом каталоге Британского музея. Имя автора — самое точное обстоятельство, касающееся книги, которое обычно удерживается в памяти. Это лучшая характеристика книги, чем что-либо другое. В алфавитном упорядочении мы имеем исчерпывающую классификацию, включающую место для каждого имени. Следующие замечания Де Моргана представляются поэтому совершенно верными: «Из долгого, почти ежедневного использования каталогов в течение многих лет я совершенно убежден, что классифицированным каталогом труднее пользоваться, чем его составлять. Это теория одного человека о подразделении знания, и шансы против того, что она подойдет кому-то другому. Даже если бы все сомнительные произведения были внесены под несколькими разными заголовками, граница сомнительной области сама по себе была бы лишь предметом сомнения. Я никогда не перехожу от классифицированного каталога к алфавитному без чувства облегчения и безопасности. С последним я всегда могу, приложив надлежащие усилия, заставить библиотеку выдать максимум; с первым я никогда не могу быть уверен, что приложил надлежащие усилия, пока не сделал из него, по сути, столько же разных каталогов, сколько существует разных заголовков, с отдельным трудом для каждого. Те, кому знакомы библиографические исследования, знают, что им гораздо чаще приходится охотиться за автором, чем за предметом: они также знают, что при поиске предмета никогда не бывает безопасно принимать чужой взгляд, каким бы хорошим он ни был, на границы этого предмета применительно к их собственным конкретным целям».

Однако часто желательно, чтобы именной каталог сопровождался подчиненным предметным каталогом, но в этом случае не следует предпринимать попыток разработать теоретически полную классификацию. Каждый основной предмет, рассматриваемый в книге, должен быть внесен отдельно в алфавитный список под именем, которое наиболее вероятно придет на ум ищущему, или под несколькими именами. Этот метод был частично осуществлен в «Bibliotheca Britannica» Уоттса, но он был превосходно применен в замечательном предметном указателе к «Британскому каталогу книг» и столь же хорошо в «Каталоге Манчестерской бесплатной библиотеки» в Кэмпфилде, составленном под руководством г-на Крестадоро, причем последний является самой совершенной моделью печатного каталога, с которой я знаком. Каталог Лондонской библиотеки также имеет правильную форму и имеет полезный указатель предметов, хотя он слишком сжат и сокращен. Публичный каталог Британского музея организован, насколько это возможно, в алфавитном порядке имен авторов, но при написании заголовков для этого каталога несколько копий создаются одновременно с помощью множительного аппарата, так что каталог в порядке книг на полках и другой — по первым словам титульного листа создаются простым переупорядочиванием запасных копий. В «Английской энциклопедии» предлагается, что двадцать копий книжных заголовков могли бы легко быть использованы при формировании дополнительных каталогов, организованных по месту публикации, языку книги, общему характеру предмета и так далее. Также было сделано отличное предложение о том, чтобы каждая книга при публикации имела форзац, содержащий полдюжины печатных копий заголовка, составленных в форме, подходящей для вставки в каталоги. Каждый владелец библиотеки мог бы тогда легко составлять точные печатные каталоги, соответствующие его собственным целям, просто вырезая эти заголовки и вклеивая их в книги в любом желаемом порядке.

Едва ли будет отступлением от темы указать на огромную экономию труда или, что сводится к тому же, на огромное увеличение нашего доступного знания, как литературного, так и научного, которое возникает в результате формирования обширных указателей. «Государственные бумаги», содержащие всю историю нации, были практически закрыты для литературных исследователей, пока правительство не взяло на себя задачу их составления и индексирования. Каталог Британского музея — это еще одна национальная работа, важность которой в продвижении знания невозможно переоценить. Королевское общество оказывает большую услугу, публикуя полный каталог мемуаров по физическим наукам. Возможно, придет время, когда наши взгляды на этот предмет будут расширены, и либо правительство, либо какое-то общественное общество возьмет на себя систематическую каталогизацию и индексирование масс исторической и научной информации, которые сейчас почти закрыты для исследования.

Классификация в биологических науках.

Великие обобщения, установленные в работах Герберта Спенсера и Чарльза Дарвина, пролили много света на другие науки и устранили несколько трудностей с пути логика. Предмет классификации долгое время изучался почти исключительно в отношении упорядочения животных и растений. Систематическая ботаника и зоология были широко известны как классификационные науки, и ученые, по-видимому, полагали, что методы упорядочения, которые подходили для живых существ, должны быть лучшими для всех других классов объектов. Некоторые минералоги, особенно Моос, пытались расположить минералы по родам и видам, как если бы они были животными, способными воспроизводить свой род с вариациями. Это смешение идей между родством живых форм и логическим родством вещей в целом преобладало с самых ранних времен, что проявляется в этимологии слов. Мы привычно говорим о «роде» (kind) вещей, имея в виду класс вещей, и род состоит из тех вещей, которые являются «родственными» (akin) или происходят из одной расы. Когда Сократ и его последователи хотели получить название для класса, рассматриваемого в философском свете, они приняли рассматриваемую аналогию и назвали его γένος, или раса, причем корень γεν- связан с понятием порождения.

До тех пор, пока считалось, что виды растений и животных происходят от отдельных актов Творения, не было очевидной причины, почему методы классификации, подходящие для них, не должны рассматриваться как руководство к классификации других объектов в целом. Но как только мы рассматриваем эти сходства как наследственные по своему происхождению, мы видим, что науки систематической ботаники и зоологии имеют особый характер. Нет оснований полагать, что тот же вид естественной классификации, который является лучшим в биологии, будет применим также в минералогии, химии или астрономии. Логические принципы, лежащие в основе всей классификации, конечно, одинаковы в естественной истории, как и в науках о безжизненной материи, но особые сходства, которые возникают из отношения родителя и потомка, не будут найдены преобладающими между различными видами кристаллов или минеральных тел.

Генеалогический взгляд на отношения животных и растений заставляет нас отбросить все представления о регулярной прогрессии живых форм или любую теорию относительно их симметричных отношений. Одно время был вопрос, приведет ли конечная схема естественной классификации к упорядочению в виде простой линии, или круга, или комбинации кругов. Некогда знаменитая система Маклея была круговой, и каждый круг-класс состоял из пяти кругов-отрядов, каждый из которых, в свою очередь, состоял из пяти кругов-триб, и так далее, причем подразделение на каждом шаге шло на пять меньших кругов. Маклей утверждал, что в животном мире есть пять подцарств — позвоночные (Vertebrata), членистые (Annulosa), лучистые (Radiata), акриты (Acrita) и моллюски (Mollusca). Каждое из них было снова разделено на пять — позвоночные, состоящие из млекопитающих (Mammalia), рептилий (Reptilia), рыб (Pisces), амфибий (Amphibia) и птиц (Aves). Очевидно, что в такой симметричной системе животные были приспособлены к классам, вместо того чтобы классы были приспособлены к животным.

Теперь мы понимаем, что конечная система будет иметь форму бесконечно расширенного генеалогического древа, которое будет способно к представлению линиями на плоской поверхности достаточного размера. Строго говоря, это генеалогическое древо должно представлять происхождение каждого индивидуального живого существа, существующего сейчас или существовавшего когда-либо. Оно должно быть таким же личным и подробным в своих деталях отношений, как Stemma (родословная) королей Англии. Мы не должны предполагать, что любые две формы точно одинаковы, и в любом случае они численно различны. Каждый родитель тогда должен быть представлен на вершине серии расходящихся линий, представляющих порождение стольких же детей. Любая полная система классификации должна рассматривать индивиды как infimæ species (низшие виды). Но поскольку у низших рас животных и растений различия между индивидами незначительны и, по-видимому, неважны, в то время как количество таких индивидов бесконечно велико, вне всякой возможности отдельного рассмотрения, ученые всегда останавливались на какой-то удобной, но произвольной точке и предполагали, что формы, настолько близко напоминающие друг друга, что не представляют постоянного различия, все одного рода. Они, короче говоря, сосредоточили свое внимание исключительно на главных чертах семейного различия. В генеалогическом древе, которое они бессознательно стремились построить, расходящиеся линии означали расы, расходящиеся по характеру, и целью всех усилий по так называемой естественной классификации было проследить происхождение между существующими группами растений или животных.

Теперь очевидно, что наследственное происхождение могло в разных случаях привести к очень разным результатам в отношении проблемы классификации. В некоторых случаях дифференциация признаков могла быть очень частой, и образцы всех произведенных признаков могли быть переданы до настоящего времени. Живая форма будет тогда иметь, так сказать, почти бесконечное количество кузенов различных степеней, и будет огромное количество форм, тонко градуированных в своих сходствах. Точная и четкая классификация будет тогда почти невозможна, и самым мудрым курсом будет не пытаться произвольно различать формы, тесно связанные в природе, а признать, что существуют переходные формы любой степени, отметить, если возможно, крайние пределы семейного родства и, возможно, выбрать наиболее обобщенную форму, или ту, которая представляет наибольшее количество близких сходств с другими членами семьи, в качестве типа всего целого.

Г-н Дарвин в своей интереснейшей работе об орхидеях указывает, что триба Malaxeæ отличается от Epidendreæ отсутствием ножки (caudicle) у поллиниев; но поскольку некоторые из Malaxeæ имеют крошечную ножку, деление на самом деле разрушается в самом существенном пункте. «Это несчастье, — замечает он, — с которым сталкивается каждый натуралист, пытаясь классифицировать широко развитую или так называемую естественную группу, в которой, по сравнению с другими группами, было мало вымирания. Чтобы натуралист мог дать точные и ясные определения своих делений, целые ряды промежуточных или градационных форм должны были быть полностью сметены: если здесь и там член промежуточных рядов избежал уничтожения, это ставит эффективный барьер для любого абсолютно четкого определения».

В других случаях какой-либо конкретный вид растений или животных, возможно, передавал свою форму из поколения в поколение почти без изменений, или же — что приводит к тому же результату — те формы, которые отклонялись по своим признакам от родительского вида, оказывались неприспособленными к своим условиям и погибали. В таком случае мы обнаружим, что определенная форма стоит особняком от всех остальных и отмечена множеством отчетливых признаков. Иногда нам могут встретиться экземпляры вида, который в прошлом был гораздо более распространен, но сейчас находится на грани вымирания и является почти последним в своем роде. Таким образом мы объясняем появление исключительных форм, подобных тем, что встречаются у ланцетника (Amphioxus). Хвощевые (Equisetaceæ) ставят ботаников в тупик отсутствием родства с другими порядками споровых растений. Это, несомненно, указывает на то, что их генеалогическую связь с другими растениями следует искать в самых отдаленных эпохах геологического развития.

Постоянство признаков, как сказал г-н Дарвин, — это то, что больше всего ценится и к чему стремятся натуралисты; иными словами, натуралисты хотят найти какой-то отчетливый семейный признак или группу признаков, по которым они могли бы ясно распознать родство по происхождению между большой группой живых форм. Соответственно, для натуралиста большое облегчение, когда он находит четко выраженную группу, такую как диатомовые водоросли (Diatomaceæ), которые ясно отделены от своих ближайших соседей — десмидиевых водорослей (Desmidiaceæ) — своим кремнеземным скелетом и отсутствием хлорофилла. Но мы не должны больше думать, что если нам не удается обнаружить постоянство признаков, то вина лежит на наших классификационных науках. Там, где действительно существует градация признаков, мы должны посвятить себя определению и регистрации степеней и пределов этой градации. Окончательная естественная система часто будет лишена резких линий разграничения.

Пусть натуралисты составляют свои системы естественной классификации со всей возможной тщательностью, однако время от времени неизбежно будут открываться новые и исключительные формы животных или растений, требующие внесения изменений в систему. Естественная система, как мы видели, направлена на открытие эмпирических законов корреляции, но эти законы, будучи чисто эмпирическими, часто будут опровергаться более обширными исследованиями. Время от времени представления натуралистов значительно расширялись, особенно в случае с австралийскими животными и растениями, благодаря открытию неожиданных комбинаций органов, и подобные события часто будут происходить в будущем. Если действительно настанет время, когда все формы растений будут открыты и точно описаны, наука систематической ботаники окажется в новом и более благоприятном положении, как отметил Альфонс Декандоль.

Следует помнить, что, хотя генеалогическая классификация растений или животных, несомненно, является самой поучительной из всех, она не обязательно является лучшей для всех целей. Могут существовать корреляции свойств, важные для медицинских или других практических целей, которые не соответствуют корреляциям происхождения. Мы должны рассматривать бамбук скорее как дерево, чем как траву, хотя ботанически он является травой. Для юридических целей мы можем с пользой продолжать рассматривать кита, тюленя и других китообразных как рыб. Мы также должны классифицировать растения в зависимости от того, принадлежат ли они к арктическим, альпийским, умеренным, субтропическим или тропическим регионам. Существуют причины сходства, не связанные с наследственным родством, и мы не должны приписывать исключительное превосходство какому-либо одному методу классификации.

Классификация по типам.

Озадаченные трудностями, возникающими в естественной истории из-за открытия промежуточных форм, натуралисты прибегли к тому, что они называют классификацией по типам. Вместо того чтобы формировать один четкий класс, определяемый неизменным обладанием определенными заданными свойствами, и жестко включать или исключать объекты в зависимости от того, обладают ли они всеми этими свойствами, натуралисты выбирают типичный экземпляр и группируют вокруг него все остальные экземпляры, которые напоминают этот тип больше, чем любой другой выбранный тип. «Типом каждого рода», как нам говорят, «должен быть тот вид, в котором признаки его группы представлены наилучшим образом и наиболее сбалансированы». Обычно он состоит из тех потомков формы, которые претерпели незначительные изменения, в то время как другие потомки подверглись легкой дифференциации в различных направлениях.

Было бы большой ошибкой полагать, что эта классификация по типам является логически самостоятельным методом. Это либо вообще не является реальным методом классификации, либо представляет собой лишь сокращенный способ представления сложной системы упорядочивания. Класс должен определяться неизменным наличием определенных общих свойств. Если же мы включаем индивида, у которого одно из этих свойств отсутствует, мы либо впадаем в логическое противоречие, либо формируем новый класс с новым определением. Даже одно исключение само по себе составляет новый класс, и, называя его исключением, мы лишь подразумеваем, что этот новый класс близко напоминает тот, от которого он отклоняется только в одном или двух пунктах. Так, в определении естественного порядка розоцветных (Rosaceæ) мы находим, что семян в каждом плодолистике одно или два, но в роде спирея (Spiræa) их три или четыре; это должно означать либо то, что количество семян не является частью фиксированного определения класса, либо то, что спирея не принадлежит к этому классу, хотя и может быть близка к нему. Натуралисты постоянно оказываются между двух огней: если они ограничивают количество признаков, указанных в определении, так, чтобы каждая форма, предназначенная для включения в класс, обладала всеми этими признаками, то обычно обнаруживается, что класс включает слишком много форм; если же определение сделать более частным, результатом становится появление так называемых аномальных родов, которые, хотя и считаются принадлежащими к классу, не во всех отношениях соответствуют его определению. Отсюда возникла практика допущения значительной широты в определении естественных порядков. Семейство крестоцветных (Cruciferæ), например, образует чрезвычайно хорошо выраженный естественный порядок, и среди его признаков указано, что плод представляет собой стручок, разделенный на две ячейки тонкой перегородкой, от которой створки обычно отделяются при созревании; но нам также сообщают, что у нескольких родов стручок одногнездный, или нераскрывающийся, или разделяется поперечно на несколько члеников. Теперь это должно означать либо то, что формирование стручка не является существенным моментом в определении семейства, либо то, что существует несколько тесно связанных семейств.

То же самое верно и для типической классификации. Сам тип — это индивид, а не класс, и никакой другой объект не может быть в точности похож на тип. Но как только мы абстрагируемся от индивидуальных особенностей типа и тем самым определяем конечное число качеств, в которых другие объекты могут напоминать тип, мы немедленно создаем класс. Если одни объекты напоминают тип в одних пунктах, а другие — в других, то каждая определенная совокупность пунктов сходства составляет интенсионально отдельный класс. Сама идея классификации по типам фактически ошибочна с логической точки зрения. Натуралист постоянно занят попытками выделить определенные группы живых форм там, где сами формы во многих случаях не допускают таких строгих линий разграничения. Таким образом, в логический метод неизбежно проникает некоторая небрежность, единственным средством от которой будет откровенное признание того факта, что, согласно теории наследственного происхождения, градация признаков, вероятно, является правилом, а точное разграничение между группами — исключением.

Естественные роды и виды.

Одним из важных результатов утверждения теории эволюции является опровержение всех представлений о том, что естественные группы представляют собой отдельные акты творения. Натуралисты долгое время придерживались мнения, что каждое растение принадлежит к какому-то виду, отмеченному неизменными признаками, которые не меняются из-за различий в почве, климате, скрещивании или других обстоятельствах. Они не могли отрицать существование таких вещей, как подвиды, разновидности и гибриды, поэтому вид растений часто подразделялся и классифицировался внутри себя. Но тогда различия, от которых зависела эта подклассификация, считались изменчивыми и, таким образом, отличались от неизменных признаков, наложенных на весь вид при его создании. Аналогично, естественный род был группой видов и отличался от других родов вечными различиями еще большей важности.

Теперь, однако, мы понимаем, что существование любых таких групп, как роды и виды, является произвольным созданием ума натуралиста. Все сходства растений естественны, поскольку они выражают наследственные родственные связи; но это относится как к вариациям внутри вида, так и к самому виду или к более крупным группам. Все это вопрос степени. Более глубокие различия между растениями были вызваны дифференцирующим действием обстоятельств в течение миллионов лет, так что естественным образом потребовались бы миллионы лет, чтобы обратить этот результат вспять и экспериментально доказать, что формы могут снова сблизиться. Подвиды иногда могли возникать в исторические времена, а разновидности, приближающиеся к подвидам, часто могут быть получены садоводом за несколько лет. Такие разновидности легко могут быть возвращены к своим исходным формам, или, если их поместить в исходные условия, они сами вернутся к этим формам; но, согласно взглядам Дарвина, все формы способны к неограниченному изменению, и, возможно, к неограниченному возврату, если будут предоставлены подходящие условия и достаточное время.

Было предпринято много бесплодных попыток установить строгий критерий видового и родового различия, чтобы эти классы могли иметь определенное значение и ранг во всех отраслях биологии. Линней принял точку зрения, что вид должен определяться как отдельное творение, говоря: «Species tot numeramus, quot diversæ formæ in principio sunt creatæ» (Мы насчитываем столько видов, сколько различных форм было создано в начале); или, опять же: «Species tot sunt, quot diversas formas ab initio produxit Infinitum Ens; quæ formæ, secundum generationis inditas leges, produxere plures, at sibi semper similes» (Видов столько, сколько различных форм произвело в начале Бесконечное Существо; эти формы, согласно вложенным в них законам размножения, произвели множество других, но всегда подобных себе). О родах он также говорит: «Genus omne est naturale, in primordio tale creatum» (Всякий род естественен, созданный таковым в начале). Общим доктринальным положением, добавленным к теории отдельного творения и существенным для нее, было то, что эти виды не могут производить промежуточные и изменчивые формы, поэтому мы видим, что Линней, вынужденный установленным существованием гибридов, придерживается другой точки зрения в другой работе; он говорит: «Novas species immo et genera ex copula diversarum specierum in regno vegetabilium oriri primo intuitu paradoxum videtur; interim observationes sic fieri non ita dissuadent» (Возникновение новых видов и даже родов от совокупления различных видов в царстве растений на первый взгляд кажется парадоксальным; однако наблюдения не так уж сильно противоречат тому, что это происходит). Даже если предположить в наши дни, что мы могли бы согласиться с понятием определенного числа отдельных актов творения, это понятие не помогло бы нам в теории классификации. Натуралисты никогда не указывали никакого метода определения того, что является результатом отдельных творений, а что нет. Как говорит Дарвин, «определение не должно включать элемент, который невозможно установить, такой как акт творения». На самом деле, именно путем исследования форм и классификации мы должны установить, что было отдельными творениями, а что нет; эта информация была бы результатом, а не средством классификации.

Агассис, по-видимому, считал, что открыл важный принцип, согласно которому общий план или структура являются истинным основанием для различения великих классов животных, которые можно назвать ветвями животного царства. Он также полагал, что роды являются определенными и естественными группами. «Роды, — говорит он, — это наиболее тесно связанные группы животных, различающиеся не формой и не сложностью строения, а просто конечными структурными особенностями некоторых своих частей; и это, я полагаю, лучшее определение, которое можно дать родам». Но совершенно очевидно, что существуют бесконечные степени как структурной особенности, так и сложности строения. Невозможно определить степень структурной особенности, которая составляет род в отличие от вида.

Форма, которую стремится принять любая классификация растений или животных, — это форма неограниченного ряда субалтерных (подчиненных) классов. Первоначально ботаники по большей части ограничивались небольшим числом таких классов. Линней принял Класс, Порядок, Род, Вид и Разновидность и даже, казалось, думал, что в пятикратном расположении групп есть нечто существенно естественное.

С прогрессом ботаники постепенно вводились промежуточные и дополнительные группы. Согласно Законам ботанической номенклатуры, принятым Международным ботаническим конгрессом, состоявшимся в Париже в августе 1867 года, признается не менее двадцати одного названия классов — а именно: Царство, Отдел, Подраздел, Класс, Подкласс, Когорта, Подкогорта, Порядок, Подотряд, Триба, Подтриба, Род, Подрод, Секция, Подсекция, Вид, Подвид, Разновидность, Подразновидность, Вариация, Подвариация. Авторы этой схемы допускают, что ранг или степень важности, приписываемые любому из этих делений, могут в некоторой степени варьироваться в зависимости от индивидуального мнения. Единственный пункт, в котором ботаникам не разрешается проявлять свободу действий, — это порядок последовательных подразделений; любая инверсия расположения, такая как деление рода на трибы или трибы на порядки, совершенно недопустима. Нет оснований полагать, что даже приведенный выше список является полным и нерасширяемым. Сам Ботанический конгресс признал различие между вариациями в зависимости от того, являются ли они сеянцами, помесями или Lusus Naturæ (игрой природы). Сложность низших классов снова увеличивается из-за существования гибридов, возникающих в результате оплодотворения одного вида другим, считающимся отдельным видом, и мы не можем установить никакого предела для точности различения степеней скрещивания, кроме как фактической родословной особей.

Читателю будет очевидно, что в замечаниях о классификации применительно к естественным наукам, приведенных в этом и предыдущих разделах, я ни в коей мере не пытался рассматривать предмет способом, соответствующим его объему и важности. Тома было бы недостаточно для прослеживания принципов научного метода, специально применимых к этим отраслям науки. То, что еще я смогу сказать по этому предмету, будет лучше сказано, если когда-нибудь удастся, когда я смогу взяться за тесно связанные темы научной номенклатуры, терминологии и описательного представления. Тем временем я хотел показать, с отрицательной точки зрения, что естественная классификация в животном и растительном царствах является особой проблемой и что конкретные методы и трудности, к которым она приводит, не являются общими для всех случаев классификации, как полагали многие физики. Генеалогические сходства — это лишь частный случай сходств в целом.

Уникальные или исключительные объекты.

При разработке системы классификации почти в любой отрасли науки мы должны ожидать встречи с уникальными или своеобразными объектами, которые стоят особняком, имея сравнительно мало аналогий с другими объектами. Их также можно назвать sui generis (своеобразными), где каждый уникальный объект образует, так сказать, род сам по себе; или их называют nondescript (неописуемыми), потому что из-за того, что они стоят особняком, трудно найти термины, которыми можно описать их свойства. Кольца Сатурна, например, образуют уникальный объект среди небесных тел. Мы действительно рассматривали этот и многие другие примеры уникальных объектов в предыдущей главе об исключительных явлениях. Кажущиеся, сингулярные и дивергентные исключения особенно аналогичны уникальным объектам.

В классификации элементов углерод стоит особняком как вещество, совершенно уникальное по своей способности образовывать соединения. Он считается четырехвалентным элементом и подчиняется всем обычным законам химического соединения. Тем не менее он проявляет силы сродства в такой высокой степени, что вещества, в которых он присутствует, более многочисленны, чем все остальные соединения, известные химикам. Почти все вещества, которые назывались органическими, содержат углерод и, вероятно, удерживаются вместе атомами углерода, поэтому многие химики сейчас склонны отказаться от названия «органическая химия» и заменить его названием «химия соединений углерода». Раньше считалось, что производство органических соединений может осуществляться только действием жизненной силы или какой-то необъяснимой причины, вовлеченной в явления жизни; но теперь выяснилось, что химики способны начать с элементарных материалов — чистого углерода, водорода и кислорода — и путем строго химических операций соединить их так, чтобы образовать сложные органические соединения. Столько веществ уже было сформировано, что мы могли бы быть склонны обобщить и сделать вывод, что все органические соединения в конечном итоге могут быть получены без участия живых существ. Таким образом, различие между органическим и неорганическим царствами, по-видимому, стирается, но наше удивление перед особыми силами углерода должно при этом возрастать.

При рассмотрении обобщения закон непрерывности применялся главным образом к физическим свойствам, поддающимся математической обработке. Но в классификационных науках тот же важный принцип также часто прекрасно иллюстрируется. Многие объекты или события кажутся совершенно исключительными и ненормальными, и в отношении степени или величины их можно так назвать; но часто легко показать, что они связаны промежуточными звеньями с обычными случаями. В органических царствах существует общая основа сходства, проходящая через все классы, но конкретные действия и процессы заметно проявляются в определенных семействах и классах. Жизнестойкость наиболее выражена у коловраток (Rotifera) и некоторых других видов микроскопических организмов, которые могут быть высушены и сварены без потери жизни. Рептилии отличаются оцепенением и продолжительностью времени, в течение которого они могут жить без пищи. Птицы, напротив, проявляют непрерывную активность и высокую мышечную силу. Муравей так же заметен своим интеллектом и размером мозга среди насекомых, как приматы и человек среди позвоночных. Среди растений бобовые (Leguminosæ) отличаются склонностью к «сну», складывая свои листья с наступлением ночи. В роде мимоза (Mimosa), особенно у Mimosa pudica, обычно называемой чувствительным растением, та же склонность увеличивается до крайней степени раздражимости, почти напоминающей произвольное движение. Более или менее та же раздражимость, вероятно, присуща растительным формам любого вида, но, конечно, ее легче всего исследовать в таком крайнем случае. У гимнотовых (Gymnotus) и электрических скатов (Torpedo) мы обнаруживаем, что органические структуры могут действовать как гальванические батареи. Должны ли мы полагать, что такие животные являются совершенно аномальными исключениями, или не можем ли мы справедливо ожидать обнаружения менее интенсивных проявлений электрического действия у всех животных?

Некоторые необычайные различия между способами размножения животных оказались гораздо менее значительными, чем казалось на первый взгляд. Низшие животные, по-видимому, полностью отличаются от высших способностью к регенерации утраченных конечностей. У одного вида крабов есть привычка отбрасывать части своих клешней, когда они сильно напуганы, но они вскоре вырастают снова. Существует множество мелких животных, которые, подобно гидре, могут быть разрезаны пополам и при этом жить и развиваться в новых полноценных особей. Ни одно млекопитающее животное не может восстановить конечность, и внешне здесь нет никакой аналогии. Но Блуменбах предположил, что заживление раны у высших животных на самом деле представляет собой в меньшей степени способность к регенерации конечности. То, что это верно, можно показать, приведя множество промежуточных случаев, каждая смежная пара которых ясно аналогична, так что мы постепенно переходим от одной крайности к другой. Дарвин утверждает, кроме того, что любое такое восстановление частей тесно связано с тем постоянным замещением частиц, которое заставляет каждое организованное тело через некоторое время стать полностью новым в отношении своего составляющего вещества. Короче говоря, мы приближаемся к великому обобщению, согласно которому все явления роста, восстановления и поддержания органов являются эффектами одной и той же силы. Пожалуй, еще более удивительно обнаружить, что сложный процесс размножения у высших животных может быть постепенно прослежен до все более простой формы, которая в конце концов становится неотличимой от почкования одного растения от стебля другого. Путем великого обобщения мы можем рассматривать все способы размножения органической жизни как сходные по своей природе и различающиеся только сложностью развития.

Пределы классификации.

Наука может простираться лишь настолько, насколько простирается способность к точной классификации. Если мы не можем обнаружить сходства и определить их точный характер и величину, мы не можем обладать тем обобщенным знанием, которое составляет науку; мы не можем делать выводы от случая к случаю. Классификация — это процесс, противоположный различению. Если мы чувствуем, что два вкуса различаются, например, вкусы двух сортов вина, сам факт существования различия препятствует выводу. Обнаружение различия действительно спасает нас от ложного вывода, потому что, поскольку существует различие, вывод невозможен. Но классификация состоит в обнаружении сходств всех степеней общности и установлении того, насколько точно эти сходства простираются, при одновременном точном определении пунктов, в которых начинается различие. Таким образом, она позволяет нам обобщать и делать выводы там, где это возможно, и в то же время спасает нас от того, чтобы заходить слишком далеко. Полная классификация составляет полную запись всех наших знаний об объектах или событиях, подлежащих классификации, и пределы точного знания идентичны пределам классификации.

Ни в коем случае не следует полагать, что любая группа природных объектов окажется способной к строгой классификации. Могут существовать вещества, которые варьируются с незаметными степенями, состоящие, например, из меняющихся смесей более простых веществ. Гранит — это смесь кварца, полевого шпата и слюды, но вряд ли найдется два экземпляра, в которых пропорции этих трех компонентов были бы одинаковы, и было бы невозможно дать определения отдельных видов гранита, не обнаружив бесконечного разнообразия промежуточных видов. Единственная истинная классификация гранитов, таким образом, основывалась бы на пропорциях присутствующих компонентов, и потребовался бы химический или микроскопический анализ, чтобы мы могли присвоить экземпляру его истинное положение в ряду. Граниты, опять же, варьируются с незаметными степенями в отношении величины кристаллов полевого шпата и слюды. Точно такие же замечания можно было бы сделать относительно классификации других плутонических пород, таких как сиенит, базальт, пемза, лава.

Природа луча однородного света строго определена либо его местом в спектре, либо соответствующей длиной волны, но луч смешанного света не допускает простой классификации; любой из бесконечно многочисленных лучей непрерывного спектра может присутствовать или отсутствовать, или присутствовать с различной интенсивностью, так что мы можем классифицировать и определить смешанный цвет только путем определения интенсивности и длины волны каждого луча однородного света, который в нем присутствует. Полный спектроскопический анализ и определение интенсивности каждой части спектра, даваемого смешанным лучом, необходимы для его точной классификации. Почти то же самое можно сказать о сложных звуках. Простая звуковая волна, если бы мы могли встретить такой звук, допускала бы точную и исчерпывающую классификацию в отношении высоты тона, причем длина волны или количество волн, достигающих уха в секунду, были бы достаточным критерием. Но почти все обычные звуки, даже звуки музыкальных инструментов, состоят из сложных совокупностей колебаний разных высот, и для классификации звука нам пришлось бы измерить интенсивности каждого из составляющих звуков — работа, которая была частично выполнена Гельмгольцем в отношении гласных звуков. Различные тембры голоса, характерные для разных индивидов, также должны быть обусловлены смешением мельчайших волн различной высоты, которые, однако, находятся далеко за пределами диапазона экспериментального исследования. Мы не можем, таким образом, в настоящее время пытаться классифицировать различные виды или тембры звука.

Трудности классификации еще больше, когда изменяющееся явление нельзя показать как смесь более простых явлений. Если мы попытаемся классифицировать вкусы, мы можем грубо сгруппировать их в зависимости от того, являются ли они сладкими, горькими, солеными, щелочными, кислыми, вяжущими или жгучими; но очевидно, что эти группы не ограничены никакими четкими линиями определения. Вкусы смешанного или промежуточного характера могут существовать почти ad infinitum (до бесконечности), и, что еще более хлопотно, вкусы, ясно объединенные в одном классе, могут более или менее отличаться друг от друга, без того чтобы мы могли расположить их в подчиненные роды и виды. Те же замечания можно сделать относительно классификации запахов, которые можно грубо сгруппировать согласно расположению Линнея как ароматические, благоухающие, амброзиевые, чесночные, зловонные, ядовитые, тошнотворные. Внутри каждого из этих расплывчатых классов, однако, были бы бесконечные оттенки разнообразия, и каждый класс переходил бы в другие классы. Запахи, которые могут быть различимы острым носом, бесконечны; каждый камень, растение или животное имеет какой-то слабый запах, и хорошо известно, что собаки или даже слепые люди могут различать людей по слабому характерному запаху, который обычно остается незамеченным.

Подобные замечания можно сделать относительно чувств человеческого разума, называемых эмоциями. Мы знаем, что такое гнев, горе, страх, ненависть, любовь; и было предложено много систем классификации этих чувств. Их можно грубо различать в зависимости от того, являются ли они приятными или болезненными, перспективными или ретроспективными, эгоистичными или сочувственными, активными или пассивными, и, возможно, многими другими способами; но каждый способ расположения будет неопределенным и неудовлетворительным, если следовать ему в деталях. Как общее правило, эмоциональное состояние ума в любой момент будет ни чистым гневом, ни чистым страхом, ни каким-либо одним чистым чувством, а неопределенной и сложной совокупностью чувств. Может быть, состояние ума на самом деле является суммой нескольких различных способов возбуждения, точно так же, как смешанный цвет является суммой нескольких лучей спектра. В этом случае может быть больше надежды на то, что какой-то метод анализа будет успешно применен в будущем. Но может оказаться, что состояния ума действительно переходят друг в друга, так что строгая классификация была бы безнадежной.

Немного размышлений покажет, что существуют целые миры существований, которые подобным образом неспособны к логическому анализу и классификации. Один друг может быть способен выделить и идентифицировать другого друга по его лицу среди миллиона других лиц. Лица способны к бесконечному различению, но кто классифицирует и определит их или скажет, по каким именно оттенкам черт он судит? Существуют, конечно, определенные четкие типы лица, но каждый тип связан с каждым другим типом бесконечными промежуточными экземплярами. Мы можем классифицировать мелодии в зависимости от мажорного или минорного лада, характера темпа и некоторых других четких моментов; но каждая мелодия имеет, независимо от таких обстоятельств, свой собственный характерный характер и воздействие на ум. Мы можем обнаружить различия между стилями литературных, музыкальных или художественных произведений. Мы можем даже в некоторых случаях приписать картину ее художнику, а симфонию — ее композитору, благодаря тонкому чувству сходств или различий, которые могут ощущаться, но не могут быть описаны.

Наконец, очевидно, что в человеческом характере существует непостижимое и неисчерпаемое разнообразие. Каждый ум более или менее похож на каждый другой ум; всегда есть основа сходства, но есть надстройка из чувств, импульсов и мотивов, которая является характерной для каждого человека. Мы иногда можем предсказать общий характер чувств и действий, которые будут вызваны данным внешним событием у хорошо известного нам индивида; но мы также знаем, что часто необъяснимо ошибаемся в своих выводах. Никто не может безопасно обобщать тонкие вариации темперамента и эмоций, которые могут возникнуть даже у человека обычного характера. По мере прогресса человеческого знания и цивилизации эти характерные различия имеют тенденцию развиваться и умножаться, а не уменьшаться. Характер становится более многогранным. Двух хорошо образованных англичан гораздо легче отличить друг от друга, чем двух обычных рабочих, а их легче отличить, чем двух австралийских аборигенов. Сложности существующих явлений, вероятно, развиваются быстрее, чем научный метод может их догнать. Несмотря на все хваленые силы науки, мы не можем по-настоящему применить научный метод к нашим собственным умам и характерам, которые важнее для нас, чем все звезды и туманности.

КНИГА VI.

ГЛАВА XXXI. РАЗМЫШЛЕНИЯ О РЕЗУЛЬТАТАХ И ПРЕДЕЛАХ НАУЧНОГО МЕТОДА.

Прежде чем завершить работу о принципах науки, будет нелишним добавить некоторые замечания о пределах и конечных результатах знания, которое мы можем приобрести путем применения научного метода. Вся наука состоит, как уже несколько раз говорилось, в обнаружении тождеств в действии природных агентов. Цель индуктивного исследования — установить кажущееся существование необходимой связи между причинами и следствиями, выраженной в форме законов природы. Теперь, поскольку мы таким образом узнаем неизменный ход природы, будущее становится необходимым следствием настоящего, и мы оказываемся под властью сил, с которыми ничто не может вмешаться.

Постепенно обнаруживается также, что химия организованных веществ не полностью отделена, а непрерывна с химией земли и камней. Жизнь, по-видимому, является лишь особой формой энергии, которая проявляется в тепле, электричестве и механической силе. Может наступить время, кажется, когда нежный механизм мозга будет прослежен, и каждая мысль будет сведена к затрате определенного веса азота и фосфора. Не существует видимого предела успеху научного метода во взвешивании, измерении и подчинении власти закона явлений как материи, так и разума. И если ментальные явления таким образом способны к обработке с помощью весов и микрометра, можем ли мы дольше утверждать, что разум отличен от материи? Не должно ли то же неумолимое царство закона, которое очевидно в движениях грубой материи, быть распространено на тонкие чувства человеческого сердца? Не являются ли растения и животные, и в конечном итоге сам человек, просто кристаллами, так сказать, сложной формы? Если так, то наша хваленая свобода воли становится иллюзией, моральная ответственность — фикцией, дух — просто названием для более любопытных проявлений материальной энергии. Все, что происходит, будь то правильно или неправильно, приятно или болезненно, есть лишь результат необходимых отношений времени, пространства и силы.

Материализм, таким образом, кажется грядущей религией, а смирение перед небытием человеческой воли — единственным долгом. Таковы, возможно, не являются общими размышлениями людей науки, но я верю, что мы можем таким образом описать тайные чувства страха, которые постоянное продвижение научного исследования возбуждает в умах многих. Является ли наука, таким образом, по своей сути атеистической и материалистической по своей направленности? Исключает ли единообразное действие материальных причин, которое мы узнаем с постоянно возрастающим приближением к уверенности, гипотезу о благожелательном Творце, который не только спроектировал существующую вселенную, но который все еще сохраняет силу изменять ее ход время от времени?

Вступать в актуальные теологические дискуссии было бы, очевидно, за пределами объема этой работы. Мы занимаемся научным методом, общим для всех наук, а не какой-либо из отдельных наук. Теология, следовательно, была бы по крайней мере настолько же за пределами моего объема, как химия или геология. Но я верю, что существуют серьезные заблуждения относительно самой природы научного метода. Есть ученые, которые утверждают, что вмешательство Провидения невозможно, а молитва — абсурд, потому что законы природы индуктивно доказаны как неизменные. Выводы делаются не столько из отдельных наук, сколько из логической природы самой науки, чтобы отрицать импульсы и надежды людей. Теперь я могу заявить, что мои собственные исследования в логике заставляют меня поставить под сомнение такие отрицательные выводы. Законы природы — это единообразия, наблюдаемые в действии определенных материальных агентов, но логически невозможно показать, что все другие агенты должны вести себя так же, как эти. Слишком исключительное изучение отдельных отраслей физической науки, по-видимому, порождает самоуверенный и догматический дух. Радуясь успеху, с которым несколько групп фактов приводятся под кажущуюся власть законов, исследователь поспешно предполагает, что он близок к конечным источникам бытия. Частица студенистого вещества обнаруживается подчиняющейся обычным законам химии; однако она движется и живет. Поэтому мир просят поверить, что химия может разрешить тайны существования.

Значение закона природы.

Пиндар называет Закон Правителем смертных и бессмертных, и, по-видимому, принято считать, что так называемые законы природы подобным образом правят человеком и его Творцом. Ход природы рассматривается как определяемый неизменными принципами механики, которые действовали с начала мира и будут действовать вечно. Даже если происхождение всех вещей приписывается разумному творческому уму, это Существо рассматривается как отказавшееся от произвольной власти и подчиняющееся, подобно человеческому законодателю, законам, которые оно само установило. Такие понятия я бы описал как поверхностные и ошибочные, будучи производными, как я думаю, от ложных взглядов на природу научного вывода и степень достоверности знания, которое мы приобретаем путем индуктивного исследования.

Закон природы, как я рассматриваю значение этого выражения, — это не единообразие, которому должны подчиняться все объекты, а просто единообразие, которому на самом деле подчиняются те объекты, которые попали под наше наблюдение. Нет абсолютно ничего несовместимого с логикой в открытии объектов, которые оказались бы исключениями из любого закона природы. Пожалуй, наиболее установленным законом является тот, который утверждает существование неизменной корреляции между гравитацией и инерцией, так что все гравитирующие тела обнаруживаются обладающими инерцией, а все тела, обладающие инерцией, обнаруживаются гравитирующими. Но не было бы упреком нашему научному методу, если бы что-то в конечном итоге было обнаружено обладающим гравитацией без инерции. Строго определенный и правильно интерпретированный, сам закон признал бы эту возможность; ибо с утверждением каждого закона мы должны должным образом соединить оценку числа случаев, в которых он наблюдался как истинный, и вероятность, вычисленную отсюда, что он будет истинным в следующем случае. Теперь, как мы обнаружили (стр. 259), никакое конечное число случаев не может гарантировать нам ожидание с уверенностью, что следующий случай будет той же природы; в формулах, полученных обратным методом вероятностей, всегда появляется единица, представляющая вероятность того, что наш вывод будет ошибочным. Я возражаю против предположения, что существует какая-либо необходимая истина даже в таких фундаментальных законах природы, как неразрушимость материи, сохранение энергии или законы движения. Несомненно, что люди науки признали мыслимость других законов и даже исследовали их математические последствия. Эйри исследовал математические условия вечного двигателя (стр. 223), а Лаплас и Ньютон обсуждали воображаемые законы сил, несовместимые с теми, которые наблюдаются действующими во вселенной (стр. 642, 706).

Законы природы, как я осмеливаюсь их рассматривать, — это просто общие суждения относительно корреляции свойств, которые, как наблюдалось, остаются истинными для тел, наблюдаемых до сих пор. При допущении, что наш опыт имеет адекватный объем и что не происходит произвольного вмешательства, мы затем можем присвоить вероятность, всегда меньшую, чем уверенность, что следующий объект той же кажущейся природы будет соответствовать тем же законам.

Бесконечность вселенной.

Мы можем безопасно принять как удовлетворительную научную гипотезу доктрину, столь величественно выдвинутую Лапласом, который утверждал, что совершенное знание вселенной, какой она существовала в любой данный момент, дало бы совершенное знание того, что должно произойти с тех пор и во веки веков. Научный вывод невозможен, если мы не можем рассматривать настоящее как результат того, что было в прошлом, и причину того, что должно прийти. Для взгляда совершенного интеллекта ничто не является неопределенным. Астроном может вычислить положения небесных тел, когда пройдут тысячи поколений людей, и в этом факте мы имеем некоторую иллюстрацию, как отмечает Лаплас, силы, которой может достичь научное предвидение. Несомненно, также, что все усилия в исследовании природы стремятся приблизить нас к обладанию этой идеально совершенной силой интеллекта. Тем не менее, как Лаплас с глубокой мудростью добавляет, мы всегда должны оставаться на бесконечном расстоянии от цели наших стремлений.

Давайте предположим, хотя бы на время, как высоковероятную гипотезу, что все, что должно произойти, должно быть результатом того, что есть; тогда возникает вопрос: что есть? Теперь наше знание о том, что существует, всегда должно оставаться несовершенным и ошибочным в двух отношениях. Во-первых, мы не знаем всей материи, которая была создана, ни точного способа, которым она была распределена в пространстве. Во-вторых, предполагая, что мы обладали этим знанием, нам все равно не хватало бы совершенного знания о том, как частицы материи будут действовать друг на друга. Сила научного предсказания простирается самое большее до пределов используемых данных. Каждый вывод является чисто гипотетическим и обусловленным невмешательством ранее не обнаруженных агентов. Закон гравитации утверждает, что каждое тело стремится приблизиться к каждому другому телу с определенной детерминированной силой; но, даже предполагая, что закон остается истинным, он не утверждает, что тело будет приближаться. Ни один закон природы не может гарантировать нам возможность сделать абсолютное предсказание. Мы должны знать все законы природы и все существующие агенты, действующие согласно этим законам, прежде чем мы сможем сказать, что произойдет. Предполагать, таким образом, что научный метод может взять все в свои холодные объятия единообразия, значит подразумевать, что Творец не может превзойти интеллект своих творений и что существующая Вселенная не является бесконечной по объему и сложности — предположение, для которого я не вижу никаких логических оснований.

Неопределенная проблема творения.

Теперь можно указать на второе и очень серьезное заблуждение относительно значения закона природы. Нередко предполагается, что закон определяет характер результатов, которые должны иметь место, как, например, что закон гравитации определяет, какая сила гравитации должна действовать на данную частицу. Неужели немного размышлений не должно сделать ясным, что закон сам по себе ничего не определяет? Это закон плюс агенты, подчиняющиеся закону, которые имеют результаты, и не является функцией закона управлять или определять количество и место своих собственных агентов. Будет ли частица материи гравитировать, зависит не только от закона Ньютона, но и от распределения окружающих частиц. Теория гравитации может, возможно, быть истинной во все времена и во всех частях пространства, и Творец может никогда не найти повода создать те возможные исключения из него, которые, как я утверждал, мыслимы. Пусть будет так, как будет; наша наука не может определенно решить этот вопрос. Несомненно, что закон гравитации не определяет в одиночку силы, которые могут быть применены в любой точке пространства. Сила гравитации, действующая на любую частицу, зависит от массы, расстояния и относительного положения всех других частиц материи в пределах границ пространства в рассматриваемый момент. Даже предполагая, что вся материя, будучи однажды распределенной в пространстве при Творении, должна была с тех пор действовать неизменным образом без последующего вмешательства, все же фактическая конфигурация материи в любой момент и последующие результаты закона гравитации должны были быть полностью делом свободного выбора.

Чалмерс наиболее отчетливо указал, что существующие коллокации (расположения) материального мира так же важны, как и законы, которым подчиняются объекты. Он отмечает, что определенный класс писателей полностью упускает из виду это различие и забывает, что одни лишь законы без коллокаций не дали бы никакой гарантии против мутного и беспорядочного хаоса. Милль признал истинность утверждения Чалмерса, не сделав из него надлежащих выводов. Он говорит о распределении материи в пространстве: «Мы не можем обнаружить ничего регулярного в самом распределении; мы не можем свести его ни к какому единообразию, ни к какому закону». Совсем недавно герцог Аргайл в своей известной работе «Царство закона» обратил внимание на глубокое различие между законами и коллокациями причин.

Первоначальная конфигурация материальной вселенной, насколько мы можем судить, была свободна от всех ограничений. Существовало неограниченное пространство, в котором можно было ее создать, и неограниченное количество материальных частиц, каждая из которых могла быть помещена в любое из бесконечного числа различных положений. Следует добавить, что каждая частица могла быть наделена любым из бесконечного числа количеств vis viva (живой силы), действующих в любом из бесконечного числа различных направлений. Проблема Творения была, таким образом, тем, что математик назвал бы неопределенной проблемой, и она была неопределенной во многих отношениях. Бесконечно многочисленные и разнообразные вселенные могли бы тогда быть созданы путем различного распределения первоначальной туманной материи, хотя все частицы материи должны были бы подчиняться закону гравитации.

Лукреций рассказывает нам, как в первоначальном дожде атомов некоторые из этих маленьких тел отклонились от прямолинейного направления и, вступив в контакт с другими атомами, дали начало различным комбинациям веществ, которые существуют. Он забыл сказать нам, откуда взялись атомы или какой силой некоторые из них были заставлены отклониться; но, конечно, эти упущения затрагивают весь вопрос. Я принимаю лукрецианскую концепцию творения, когда она должным образом дополнена. Каждый атом, который существовал в любой точке пространства, должен был существовать там ранее или должен был быть создан там ранее существовавшей Силой. Будучи помещенным туда, он должен был иметь определенную массу и определенную энергию. Теперь, как отмечалось ранее, неограниченное число атомов может быть помещено в неограниченном пространстве в неограниченном числе способов распределения. Из бесконечно бесконечных выборов, которые были открыты Творцу, должен был быть сделан тот один выбор, который дал Вселенную, какой она существует сейчас.

Было бы ошибкой, действительно, полагать, что закон гравитации, когда он остается истинным, не является ограничением на распределение силы. Этот закон является геометрическим законом, и было бы во многих случаях математически невозможно, насколько мы можем видеть, чтобы сила гравитации, действующая на одну частицу, была малой, в то время как на соседнюю частицу — большой. Мы не можем представить, чтобы даже Всемогущая Сила сделала углы треугольника больше двух прямых углов. Первичные законы мышления и фундаментальные понятия математических наук, по-видимому, не допускают ошибки или изменения. В метафизическое происхождение и значение кажущейся необходимости, приписываемой таким законам, я не пытался вникать в этой работе, и это не требуется для моей нынешней цели. Если бы закон гравитации был единственным законом природы и Творец решил сделать всю материю послушной этому закону, несомненно, существовали бы ограничения на эффекты, выводимые из любого одного распределения материи.

Иерархия законов природы.

Представляется дальнейшее соображение. Закон природы, подобный закону гравитации, выражает определенное единообразие в действии агентов, подчиненных ему, и это создает, как мы видели, определенные геометрические ограничения на эффекты, которые эти агенты могут производить. Но существуют другие силы и законы, помимо гравитации. Одна сила может перекрывать другую, и два закона могут каждый соблюдаться и каждый может скрывать действие другого. В интимном строении материи могут быть скрытые пружины, которые, действуя в соответствии со своими собственными фиксированными законами, могут привести к внезапным и неожиданным изменениям. Так, по крайней мере, это обнаруживалось время от времени в прошлом, и есть все основания полагать, что это будет обнаружено в будущем. Древним казалось невероятным, что один безжизненный камень может заставить другой прыгнуть к нему. Кусок железа, подчиняясь магнитной силе магнита, не меньше подчиняется закону гравитации. Растение гравитирует вниз в отношении каждой составляющей клетки или волокна, и все же оно упорно продолжает расти вверх. Жизнь — это совершенно исключение из более простых явлений минеральных веществ, не в смысле опровержения этих законов, а в добавлении сил нового и необъяснимого характера. Несомненно, никакой закон химии не нарушается действием нервных клеток, и никакой закон физики — импульсами нервных волокон, но что-то требует добавления к нашим наукам, чтобы мы могли объяснить эти тонкие явления.

Теперь в науке или в научном методе нет абсолютно ничего, что гарантировало бы нам установление предела этой иерархии законов. Когда во многих несомненных случаях мы обнаруживаем, что закон перекрывает закон, и в определенных точках нашего опыта производит неожиданные результаты, мы не можем осмелиться утверждать, что исчерпали странные явления, которые могли быть предусмотрены в первоначальном строении материи. Вселенная могла быть спроектирована так, чтобы она могла идти долгие интервалы через тот же круг неизменного существования, и все же события исключительного характера могли бы производиться время от времени. Бэббидж показал в той глубокой и красноречивой работе «Девятый Бриджуотерский трактат», что теоретически возможно для человеческих художников спроектировать машину, состоящую из металлических колес и рычагов, которая работала бы неизменно согласно простому закону действия в течение любого конечного числа шагов, и все же в фиксированный момент, как бы далек он ни был, проявила бы единственное нарушение закона. Такой двигатель мог бы продолжать считать, например, натуральные числа, пока они не достигли бы числа, требующего для своего выражения ста миллионов цифр. «Если бы каждая буква в томе, который сейчас перед глазами читателя, — говорит Бэббидж, — была изменена на цифру, и если бы все цифры, содержащиеся в тысяче таких томов, были расположены по порядку, все вместе они все равно не дотянули бы до огромной индукции, которую наблюдатель имел бы в пользу истинности закона натуральных чисел... И все же двигатель, верный предсказанию своего директора, после истечения мириад веков выполнит свою задачу и даст то одно, первое и единственное исключение из этого санкционированного временем закона. Каковы были шансы против появления исключенного случая непосредственно перед его возникновением?»

Как далее показал Бэббидж, вычислительную машину, после того как она совершит любое требуемое число движений согласно первому закону, можно внезапно заставить претерпеть изменение, так что она начнет вычислять согласно совершенно новому закону. После выдачи натуральных чисел в течение конечного времени она могла бы внезапно начать выдавать треугольные, квадратные или кубические числа, и эти изменения теоретически можно представить как происходящие раз за разом. Если подобные события могут быть спроектированы и предвидены человеческим творцом, то, безусловно, в силах Божественного Творца предусмотреть аналогичные изменения закона в механизме атома или устройстве небес.

Физическая наука, насколько можно доверять ее высшим умозрениям, дает некоторые указания на изменение закона в прошлой истории Вселенной. Согласно дедукциям сэра У. Томсона из «Теории теплоты» Фурье, мы можем проследить рассеяние теплоты путем теплопроводности и излучения до бесконечно удаленного времени, когда все вещи станут равномерно холодными. Но мы не можем таким же образом проследить тепловую историю Вселенной до бесконечности в прошлом. Для определенного отрицательного значения времени формулы дают невозможные значения, указывая на то, что существовало некое начальное распределение теплоты, которое не могло возникнуть согласно известным законам природы из какого-либо предыдущего распределения. Существуют и другие случаи, в которых рассмотрение рассеяния энергии приводит к концепции предела древности нынешнего порядка вещей. Человеческая наука, конечно, подвержена ошибкам, и впоследствии может быть обнаружен какой-либо недосмотр или ошибочное упрощение в этих теоретических расчетах; но поскольку нынешнее состояние научных знаний является единственным основанием, на котором строятся ошибочные выводы из единообразия природы и предполагаемого господства закона, я вправе апеллировать к нынешнему состоянию науки в противовес этим выводам. Теперь теория теплоты ставит нас перед дилеммой: либо верить в Сотворение в определенный момент в прошлом, либо предполагать, что тогда произошло некое необъяснимое изменение в действии естественных законов. Физическая наука не дает никаких оснований для представления о бесконечной длительности материи в одном непрерывном ходе существования. И если в прошедшем времени существовала прерывность закона, почему бы подобному событию не ожидать мир в будущем? Бесконечная изобретательность могла внедрить в материю некое начало, так что ее колоссальные силы могли еще никогда не проявиться. У нас есть очень хорошая теория сохранения энергии, но ведущие физики не отрицают, что могут существовать формы энергии, ни кинетические, ни потенциальные, а следовательно, неизвестной природы.

Мы можем представить себе разумных существ, обитающих в мире, где атмосфера представляла собой смесь кислорода и воспламеняющегося газа, подобного рудничному газу в угольных шахтах. Если бы они были лишены огня, они могли бы прожить долгие века, не подозревая о колоссальных силах, которые вызвала бы к действию единственная искра. В мгновение ока в действие могли бы вступить новые законы, и бедные разумные существа, столь уверенные в своем знании господства закона в их мире, не имели бы времени размышлять о крушении всех своих теорий. Можем ли мы с нашим конечным знанием быть уверены, что такое крушение наших теорий невозможно?

Двусмысленное выражение «Единообразие природы».

Я утверждал, что серьезное заблуждение возникает из ошибочной интерпретации выражения «Единообразие природы». Каждый закон природы есть утверждение определенного единообразия, наблюдаемого в явлениях, и поскольку законы природы соблюдаются неизменно, кажется, что из этого следует, что сам ход природы единообразен, так что мы можем безопасно судить о будущем по настоящему. Этот вывод подкрепляется некоторыми результатами физической астрономии. Лаплас доказал, что планетная система устойчива, так что никакое возмущение, которое планета производит на планету, не может стать настолько значительным, чтобы вызвать разрушение и постоянное изменение планетных орбит. Полное понимание закона тяготения показывает, что все подобные возмущения по существу периодичны, так что по прошествии миллионов лет планеты вернутся в те же относительные положения, и тогда начнется новый цикл возмущений.

По мере прогресса других отраслей науки мы, по-видимому, обретаем уверенность в том, что не следует ожидать значительного изменения состояния мира. Столкновение с кометой долгое время было причиной страха, но теперь достоверно утверждается, что мы проходили сквозь хвост кометы, причем этот факт не был известен в то время или не проявился ничем более серьезным, чем легкое свечение неба. Совсем недавно, как говорят, Земля коснулась кометы Биэлы, и единственным результатом было красивое и совершенно безвредное зрелище метеоров. Уменьшение нагревающей способности Солнца представляется следующим наиболее вероятным обстоятельством, из-за которого мы могли бы опасаться исчезновения жизни на Земле. Но расчеты, основанные на разумных физических данных, показывают, что никакого заметного изменения происходить не может, а экспериментальные данные, указывающие на изменение, полностью отсутствуют. Геологические исследования действительно показывают, что в прошлые времена имели место значительные изменения климата; обширные ледники и айсберги в одно время покрывали умеренные широты, а тропическая растительность процветала вблизи полюсов в другое время. Но и здесь превратностям климата присущ периодический характер, так что устойчивость состояния Земли, по-видимому, не находится под угрозой.

Все эти утверждения могут быть разумными, но они не устанавливают Единообразие природы в том смысле, что значительные изменения или внезапные катастрофы невозможны. Во-первых, теория устойчивости планетной системы Лапласа носит абстрактный характер, поскольку не учитывает ничего, кроме взаимного тяготения планетных тел и Солнца. Она упускает из виду несколько физических причин изменения и распада системы, которые в его время были известны не так хорошо, как сейчас, а также предполагает отсутствие какого-либо прерывания хода вещей из-за столкновения с инородными астрономическими телами.

Астрономами теперь признано, что существует по меньшей мере два способа, которыми живая сила (vis viva) планет и спутников может претерпевать потерю. Трение приливов о Землю производит небольшое количество теплоты, которая излучается в пространство, и эта потеря энергии должна приводить к уменьшению скорости вращения, так что в конечном итоге земные сутки станут равны году, точно так же, как периоды обращения Луны вокруг своей оси и вокруг Земли уже стали равными. Во-вторых, не может быть сомнений в том, что некоторые проявления электричества на поверхности Земли зависят от относительных движений планет и Солнца, которые вызывают периоды повышенной интенсивности. Такие электрические явления должны приводить к производству и рассеянию теплоты, энергия которой должна черпаться, по крайней мере частично, из движущихся тел. Этот эффект, вероятно, идентичен (стр. 570) потере энергии комет, приписываемой так называемой сопротивляющейся среде. Но каково бы ни было теоретическое объяснение этих явлений, почти несомненно, что существует тенденция к рассеянию энергии планетной системы, что в неопределенном ходе времени приведет к падению планет на Солнце.

Однако едва ли вероятно, что планетная система останется невозмущенной в течение огромного промежутка времени, необходимого для рассеяния ее энергии таким образом. Столкновение с другими телами настолько далеко от того, чтобы быть невероятным, что оно становится приблизительно достоверным, когда мы принимаем во внимание очень длительные интервалы времени. Что касается кометных столкновений, я отнюдь не удовлетворен отрицательными выводами, сделанными из замечательного зрелища вечером 27 ноября 1872 года. Мы могли часто проходить сквозь хвост кометы, свет которого, вероятно, является электрическим проявлением, не более существенным, чем северное сияние. Каждый примечательный метеорный поток также можно рассматривать как исходящий от кометного тела, так что можно сказать, что мы проходили сквозь более разреженные части бесчисленных комет. Но Земля, вероятно, никогда не проходила, во времена, о которых у нас есть какие-либо записи, сквозь ядро кометы, которое, возможно, состоит из плотного роя мелких метеоритов. Мы можем только строить догадки о последствиях, которые могли бы быть вызваны таким столкновением, но это, вероятно, было бы гораздо более серьезным событием, чем любое из зарегистрированных в истории. Вероятность его возникновения также не может быть определена; ибо хотя вероятность столкновения с любым одним кометным ядром почти бесконечно мала, все же число комет чрезвычайно велико (стр. 408).

Опять же, далеко не невозможно, что планетная система может быть захвачена телами большей массы, чем кометы. Солнце, по-видимому, расположено в столь обширной части пустого пространства, что его собственное движение не привело бы его к ближайшей известной звезде (альфа Центавра) менее чем за 139 200 лет. Но чтобы быть уверенными в том, что этот интервал невозмущенной жизни дарован нашему земному шару, мы должны доказать, что нет звезд, движущихся навстречу нам, и нет темных тел значительного размера, летящих через промежуточное пространство, неизвестных нам. Вторжение комет в нашу систему и тот факт, что многие из них имеют гиперболические орбиты, достаточно показывают, что окружающие части пространства заняты множеством темных тел некоторого размера. Вполне вероятно, что малые солнца могли остыть настолько, чтобы стать несамосветящимися; ибо даже если мы не доверяем теории о том, что изменение яркости периодических звезд обусловлено обращением темных звезд-спутников, все же на нашем собственном земном шаре есть бесспорный пример меньшего тела, которое остыло ниже точки свечения.

Таким образом, в целом, это лишь предположение, что единообразие природы предполагает неизменное существование нашего собственного земного шара. Нет такого рода катастрофы, которая была бы слишком велика или слишком внезапна, чтобы быть теоретически совместимой с господством закона. Насколько может судить наша наука, человеческая история может закончиться в следующее мгновение. Мир может быть разбит вдребезги при столкновении с блуждающей звездой; он может быть вовлечен в туманную атмосферу водорода, чтобы взорваться секундой позже; он может быть сожжен или рассеян в пар в результате какого-то великого взрыва на Солнце; внутри самого земного шара может даже существовать некая тайная причина разрушения, которой нужно лишь время для своего проявления.

Существуют некоторые указания, как уже отмечалось (стр. 660), что в истории Солнечной системы действительно происходили сильные возмущения. Ольберс искал малые планеты в предположении, что они являются осколками взорвавшейся планеты, и был вознагражден открытием некоторых из них. Ретроградное движение спутников более далеких планет, аномальное положение полюсов Урана и чрезмерное расстояние Нептуна — другие указания на некое насильственное событие, о котором у нас нет иных свидетельств. Я привожу все эти факты и аргументы не для того, чтобы показать, что существует какая-либо значительная вероятность, насколько мы можем судить, прерывания в пределах человеческой истории, а чтобы доказать, что Единообразие природы теоретически совместимо с самыми неожиданными событиями, которые мы можем себе представить.

Возможные состояния Вселенной.

Когда мы даем волю научному воображению, становится очевидным, что столкновение тела с телом следует рассматривать не как редкое исключение, а как общее правило и неизбежную судьбу каждой звездной системы. Насколько мы можем проследить результаты закона тяготения и рассеяния энергии, Вселенную следует рассматривать как претерпевающую постепенную конденсацию в единое холодное твердое тело гигантских размеров. Те, кто так часто использует выражение «Единообразие природы», по-видимому, забывают, что Вселенная могла бы существовать в соответствии с законами природы в самых разнообразных условиях. Она могла бы состоять, с одной стороны, из светящейся туманной массы газообразных веществ. Теплота могла бы быть настолько интенсивной, что все элементы, даже углерод и кремний, находились бы в состоянии газа, а все атомы, какой бы природы они ни были, летали бы в химической независимости, рассеиваясь почти равномерно в соседних частях пространства. Тогда не было бы жизни, если только мы не можем применить это название к прохождению через каждую часть пространства подобных средних потоков атомов, причем конкретная последовательность атомов управлялась бы только теорией вероятностей и законом отклонения от среднего, представленным в Арифметическом треугольнике. Такая вселенная частично соответствовала бы лукрециеву дождю атомов и той небулярной гипотезе, из которой Лаплас философски предлагал объяснить эволюцию планетной системы.

Согласно другому крайнему предположению, интенсивная тепловая энергия этой туманной массы могла бы излучаться в неизвестные области внешнего пространства. Сила тяготения проявлялась бы между каждыми двумя частицами, и энергия движения, возникающая отсюда, в результате непрерывных столкновений разрешалась бы в теплоту и рассеивалась. Для завершения этого процесса могли бы потребоваться невообразимые эпохи, но рассеяние энергии, происходящее таким образом, могло бы закончиться лишь созданием холодной и неподвижной вселенной. Отношение причины и следствия, как мы видим его проявленным в жизни и росте, выродилось бы в постоянное существование каждой частицы в фиксированном положении относительно каждой другой частицы. Логические и геометрические сходства по-прежнему существовали бы между атомами и между группами атомов, кристаллизованными в своих соответствующих формах навеки. Но время, великая переменная, не принесло бы никакого изменения, а что касается человеческих надежд и тревог, то они отошли бы к вечному покою.

Наука на самом деле не способна доказать, что такова неизбежная судьба вселенной, ибо мы редко можем доверять нашим наиболее обоснованным теориям вдали от их данных. Тем не менее, наиболее вероятные предположения, которые мы можем сделать относительно истории, особенно нашей собственной планетной системы, заключаются в том, что она возникла из нагретой вращающейся туманной массы газа и находится в состоянии чрезвычайно медленного прогресса к холодному и каменному состоянию. Другие спекулятивные гипотезы, несомненно, могли бы быть приняты во внимание. Каждая гипотеза сталкивается с трудностями. Если вся вселенная остывает, куда уходит теплота? Если мы хотим избавиться от нее полностью, внешнее пространство должно быть бесконечным по протяженности, чтобы она никогда не была остановлена и отражена обратно. Но не говоря уже о метафизических трудностях, если среда тепловых колебаний бесконечна по протяженности, почему материальные тела, помещенные в нее, не должны быть также бесконечными по числу и совокупной массе? Очевидно, что мы пускаемся в спекуляции, которые превосходят наши способности научного вывода. Но ведь я рассуждаю отрицательно; я хочу показать, что те, кто говорит о единообразии природы и господстве закона, неверно истолковывают смысл, заключенный в этих выражениях. Закон не противоречит крайнему разнообразию, и, насколько мы можем прочитать историю этой планетной системы, она, вероятно, действительно возникла из нагретого туманного вещества, и история человека составляет лишь краткий миг в ее прогрессе к холодному и каменному состоянию. Только сомнительными и спекулятивными гипотезами мы можем избежать такого вывода, и я меньше всего отступаю от несомненных фактов и хорошо установленных законов, когда утверждаю, что, какие бы единообразия ни лежали в основе явлений природы, постоянное разнообразие и вечно прогрессирующее изменение есть реальный результат.

Спекуляции о реконцентрации энергии.

Существуют недвусмысленные указания, как я уже говорил, на то, что материальная вселенная, какой мы ее видим в настоящее время, прогрессирует от некоего акта творения или некой прерывности существования, дата которой может быть приблизительно установлена путем научного вывода. Она прогрессирует к состоянию, в котором доступная энергия материи будет рассеяна через бесконечное окружающее пространство, и вся материя станет холодной и безжизненной. Это составляет, так сказать, исторический период физической науки, тот, на который может в той или иной степени распространяться наше научное предвидение. Но в этом, как и в других случаях, мы не имеем права интерпретировать наш опыт отрицательно, чтобы сделать вывод, что, поскольку нынешнее положение вещей началось в определенное время, не было никакого предыдущего существования. Может быть, нынешний период материального существования — лишь один из неопределенной серии подобных периодов. Все, что мы можем видеть, чувствовать, выводить и о чем рассуждать, может быть, так сказать, лишь частью одной-единственной пульсации в существовании вселенной.

После того как сэр У. Томсон указал на преобладающую тенденцию, которая сейчас, по-видимому, существует к превращению всей энергии в тепловую энергию и ее равномерному рассеянию путем излучения по всему пространству, покойный профессор Рэнкин выдвинул замечательную спекуляцию. Он предположил, что эфирная, или, как я ее назвал, адамантовая среда, в которой существуют все звезды и происходит все излучение, может иметь границы, за которыми существует только пустое пространство. Все тепловые колебания, достигающие этой границы, будут полностью отражаться, согласно теории колебаний, и будут реконцентрироваться в фокусы, расположенные в различных частях среды. Всякий раз, когда холодная и угасшая звезда случайно проходит через один из этих фокусов, она будет мгновенно воспламенена и разрешена интенсивной теплотой на свои составные элементы. В истории этой части материи произойдет прерывность, и звезда начнет свою историю заново с обновленным запасом энергии.

Это, несомненно, лишь спекуляция, практически не поддающаяся проверке наблюдением и почти свободная от ограничений, предоставляемых нынешними знаниями. Мы могли бы приписать адамантовой среде различные формы, и последствия были бы различными. Но ценность таких спекуляций заключается в том, что они привлекают внимание к конечности наших знаний. Мы не можем отрицать возможную истинность такой гипотезы, равно как не можем ограничить научное воображение в построении других подобных гипотез. Действительно, невозможно следовать нашим научным выводам, не впадая в спекуляции. Если теплота излучается во внешнее пространство, она должна либо распространяться ad infinitum, либо быть где-то остановлена. В последнем случае мы приходим к гипотезе Рэнкина. Но если материальная вселенная состоит из конечной совокупности нагретой материи, расположенной в конечной части бесконечной адамантовой среды, то либо эта вселенная должна была существовать конечное время, либо она должна была остыть в течение бесконечности прошедшего времени бесконечно близко к абсолютному нулю температуры. Я возразил на аргумент Лукреция против разрушимости материи, что мы не имеем никакого знания о законах, согласно которым она подверглась бы разрушению. Но мы знаем законы, согласно которым, по-видимому, происходит рассеяние теплоты, и вывод неизбежно заключается в том, что конечное нагретое материальное тело, помещенное в совершенно холодную бесконечно протяженную среду, за бесконечное время опустилось бы до нулевой температуры. Теперь наш собственный мир еще не остыл близко к нулю, так что физическая наука, по-видимому, ставит нас перед дилеммой: признать либо конечность прошлой длительности мира, либо конечность той части среды, в которой мы существуем. В любом случае мы оказываемся вовлеченными в метафизические и механические трудности, превосходящие наши умственные способности.

Дивергентный простор для новых открытий.

В трудах некоторых недавних философов, особенно Огюста Конта, и в некоторой степени Джона Стюарта Милля, существует ошибочная и вредная тенденция представлять наше знание как принимающее приблизительно завершенный характер. По крайней мере, эти и многие другие авторы не могут внушить своим читателям истину, которую нельзя не помнить постоянно, а именно: что величайшие успехи, которых может достичь наш научный метод, не позволят нам постичь более чем бесконечно малую долю того, что, несомненно, существует для постижения. Профессор Тиндаль кажется мне открытым для того же обвинения в меньшей степени. Он отмечает, что мы, вероятно, никогда не сможем полностью подчинить природные явления математическим законам, потому что приближение наших наук к завершенности может быть асимптотическим, так что как бы далеко мы ни зашли, все еще могут оставаться некоторые факты, не поддающиеся научному объяснению. Таким образом, он уподобляет запас новых явлений сходящемуся ряду, более ранние и крупные члены которого были успешно устранены, так что для будущих исследователей остаются лишь сравнительно второстепенные группы явлений.

Напротив, как мне представляется, запас новых и необъясненных фактов дивергентен по своему объему, так что чем больше мы объяснили, тем больше остается объяснить. Чем дальше мы продвигаемся в любом обобщении, тем более многочисленны и сложны исключительные случаи, все еще требующие дальнейшей обработки. Эксперименты Бойля, Мариотта, Дальтона, Гей-Люссака и других по физическим свойствам газов могли бы показаться исчерпавшими эту тему, показав, что все газы подчиняются одним и тем же законам в отношении температуры, давления и объема. Но в действительности эти законы верны лишь приблизительно, и расхождения предоставляют широкое и совершенно неисчерпанное поле для дальнейшего обобщения. Недавние открытия профессора Эндрюса суммировали некоторые из этих исключительных фактов под более широким обобщением, но в действительности они открыли нам обширные новые области интересных исследований и оставили совершенно нетронутым вопрос, почему один газ ведет себя иначе, чем другой.

Наука кристаллография, пожалуй, та, в которой были обнаружены наиболее точные и общие законы, но было бы неправдой утверждать, что она уменьшила область будущих открытий. Мы можем показать, что каждая из семи или восьмисот форм кальцита выводима путем геометрических модификаций из гексагональной призмы; но кто пытался объяснить молекулярные силы, производящие эти модификации, или химические условия, в которых они возникают? Закон изоморфизма является важным обобщением, ибо он устанавливает общее сходство между формами кристаллизации естественных классов элементов. Но если мы присмотримся немного внимательнее, то обнаружим, что эти формы лишь приблизительно похожи, а расхождение, присущее каждому веществу, является необъяснимым исключением.

Многими подобными иллюстрациями можно было бы легко показать, что в каком бы направлении мы ни расширяли наши исследования и успешно гармонизировали несколько фактов, результатом является лишь возникновение множества других необъясненных фактов. Может ли какой-либо ученый рискнуть заявить, что сейчас меньше возможностей для новых открытий, чем три столетия назад? Не вернее ли будет сказать, что нам стоит лишь открыть научную книгу и прочитать страницу или две, как мы наткнемся на какое-нибудь зафиксированное явление, которому еще не дано объяснения? В каждом таком факте есть возможная возможность для новых открытий, и это может быть только виной ума исследователя, если он может оглядеться вокруг и не найти простора для упражнения своих способностей.

Бесконечная неполнота математических наук.

Есть одна привилегия, которую должно давать определенное количество знаний; это осознание слабости наших сил по сравнению с задачами, которые они могли бы предпринять, если бы были сильнее. Для бедного дикаря, который не может сосчитать до двадцати, арифметические достижения школьника кажутся чудесно великими. Школьник не может постичь значительно большие силы студента, который приобрел легкость в алгебраических процессах. Студент может лишь смотреть с чувством удивления и благоговения на силы Ньютона или Лапласа. Но сразу же возникает вопрос: имеют ли силы высшего человеческого интеллекта конечное отношение к вещам, которые должны быть поняты и вычислены? Сколько еще шагов мы должны сделать в росте умственных способностей и расширении математических методов, прежде чем начнем исчерпывать познаваемое?

Я склонен винить математиков, потому что они часто торжествуют по поводу того, чего могут достичь, и забывают указать, что то, что они делают, — лишь бесконечно малая часть того, что могло бы быть сделано. Они проявляют общую склонность, за немногими исключениями, даже не упоминать о существовании задач невыполнимого характера. Это может быть извинительно, поскольку речь идет о непосредственном практическом результате их исследований, но этот обычай имеет следствием введение широкой публики в заблуждение относительно того, что математика — это совершенная наука, которая выполняет то, за что берется, полным образом. Напротив, можно сказать, что если бы математическая задача была выбрана случайно из всего числа тех, которые могли бы быть предложены, вероятность того, что человеческий математик мог бы ее решить, бесконечно мала. Точно так же, как числа, которые мы можем сосчитать, — ничто по сравнению с числами, которые могли бы существовать, так и достижения Лапласа или Лагранжа — это, так сказать, маленький уголок таблицы умножения, которая на самом деле имеет бесконечную протяженность.

Я указывал, что грубый характер наших наблюдений мешает нам осознать большее число эффектов и действий в природе. Нужно добавить, что если бы мы их воспринимали, мы обычно были бы неспособны включить их в наши теории из-за недостатка математической силы. Некоторые люди могут удивиться, что, хотя прошло почти два столетия со времени открытий Ньютона, у нас до сих пор нет общей теории молекулярного действия. Были сделаны некоторые приближения к такой теории. Джоуль и Клаузиус измерили скорость газообразных атомов или даже определили среднее расстояние между столкновениями атома и атома. Томсон приблизительно определил число атомов в данном объеме вещества. Рэнкин сформировал некоторые разумные гипотезы относительно фактического строения атомов. Было бы ошибкой полагать, что эти остроумные результаты теории и эксперимента представляют собой какое-либо заметное приближение к полному решению молекулярных движений. Есть все основания полагать, судя по спектрам элементов, их атомным весам и другим данным, что химические атомы являются очень сложными структурами. Атом чистого железа, вероятно, гораздо более сложная система, чем система планет и их спутников. Сложный атом, возможно, можно сравнить со звездной системой, где каждая звезда — малая система сама по себе. Самая маленькая частица твердого вещества будет состоять из большого числа таких звездных систем, объединенных в регулярном порядке, каждая ограничена другой, сообщаясь с ней каким-то образом, пока совершенно непостижимым. Каковы наши математические силы по сравнению с этой задачей?

После двух столетий непрерывного труда самые одаренные люди преуспели в вычислении взаимных эффектов трех тел друг на друга, исходя из простой гипотезы закона тяготения. Относительно этих расчетов мы должны далее помнить, что они чисто приблизительны и что методы не применимы там, где действуют четыре или более тел и все они производят значительные эффекты друг на друга. Есть основания полагать, что каждый компонент химического атома совершает орбиту за миллионную долю мгновения ока. В каждом обороте он последовательно или одновременно находится под влиянием многих других компонентов или, возможно, вступает в столкновение с ними. Не будет преувеличением сказать, что математики имеют самое смутное представление о том, как они могли бы успешно атаковать столь сложную задачу сил и движений. Как заметил Гершель, каждая из этих частиц вечно решает дифференциальные уравнения, которые, если их выписать полностью, могли бы опоясать земной шар.

Некоторые из самых обширных вычислений, когда-либо сделанных, были теми, которые требовались для приведения измерений, выполненных в ходе Тригонометрической съемки Великобритании. Расчеты, вытекающие из главной триангуляции, занимали двадцать вычислителей в течение трех или четырех лет, в ходе которых вычислителям пришлось решать системы уравнений, включающие семьдесят семь неизвестных величин. Приведение нивелировок потребовало решения системы из девяноста одного уравнения. Но эти обширные расчеты не представляют собой никакого приближения к тому, что потребовалось бы для полной обработки любой одной физической задачи. Движение ледников считается умеренно хорошо понятым в настоящее время. Ледник — это вязкая, медленно уступающая масса, ни абсолютно твердая, ни абсолютно жесткая, но Форбсом прямо отмечается, что даже приблизительное решение математических условий такой движущейся массы пока невозможно. «Каждый знает, — говорит он, — что такие задачи лежат за пределами охвата точной математики»; но хотя математики могут знать это, они не достаточно часто внушают это знание другим людям.

Задачи, которые решаются в наших математических книгах, состоят из небольшой выборки тех, которые в силу особых условий оказываются решаемыми. Но самая простая на вид задача часто приводит к невыполнимым вычислениям. Г-н Тодхантер, по-видимому, винит Кондорсе, потому что в одном из своих мемуаров он упоминает задачу, для решения которой потребовалось бы огромное и невыполнимое число последовательных интегрирований. Теперь, если наши математические науки должны справляться с задачами, которые ожидают решения, мы должны быть готовы осуществить неограниченное число последовательных интегрирований; однако в настоящее время, и почти вне сомнения навсегда, вероятность того, что интегрирование, взятое наугад, окажется в пределах наших сил, чрезвычайно мала.

В некоторых отрывках того замечательного труда, «Девятый Бриджуотерский трактат» (стр. 113–115), Бэббидж указал, что если бы мы имели силу проследить и обнаружить мельчайшие эффекты любого возмущения, каждая частица существующей материи предоставляла бы регистр всего, что произошло. «След каждого каноэ — каждого судна, которое когда-либо возмущало поверхность океана, будь то движимое ручной силой или стихийной мощью, остается навсегда зарегистрированным в будущем движении всех последующих частиц, которые могут занять его место. Борозда, которую оно оставило, действительно мгновенно заполняется смыкающимися водами; но они влекут за собой другие и большие части окружающей среды, и эти, однажды приведенные в движение, передают движение другим в бесконечной последовательности». Мы можем даже сказать, что «Сам воздух — это одна обширная библиотека, на страницах которой навеки записано все, что человек когда-либо сказал или даже прошептал. Там, в их изменчивых, но безошибочных знаках, смешанные с самыми ранними, а также самыми последними вздохами смертности, стоят навеки записанными обеты неисполненные, обещания невыполненные, увековечивая в объединенных движениях каждой частицы свидетельство изменчивой воли человека».

Когда мы читаем подобные размышления, мы можем поздравить себя с тем, что мы наделены умами, которые, будучи правильно использованы, могут составить некоторую оценку своей неспособности проследить и объяснить все, что происходит в простейших действиях материальной природы. Следует добавить, что, как ни удивителен объем физических явлений, открытых для нашего исследования, интеллектуальные явления еще значительно обширнее. Об этом я мог бы представить одно удовлетворительное доказательство, если бы позволило место, указав, что математические функции, используемые в расчетах физической науки, составляют бесконечно малую долю функций, которые могли бы быть изобретены. Обычная тригонометрия состоит из большого ряда полезных формул, все из которых возникают из отношения синуса и косинуса, выраженного в одном уравнении, sin2x + cos2x = 1. Но это не единственная тригонометрия, которая может существовать; математики также признают гиперболическую тригонометрию, фундаментальным уравнением которой является cos2x - sin2x = 1. Де Морган указал, что символы обычной алгебры составляют лишь три из бесконечной серии мыслимых систем. Как логарифмическая операция относится к сложению или сложение к умножению, так и последняя относится к более высокой операции, и так далее без предела.

Мы можем быть уверены, что огромные и невообразимые для нас успехи будут сделаны человеческим интеллектом при отсутствии какой-либо катастрофы для вида или земного шара. В пределах исторических периодов мы можем проследить рост математической науки от ее простейших зачатков. Мы можем доказать наше происхождение от предков, которые считали только на пальцах. Насколько бесконечно Ньютон или Лаплас выше тех простых дикарей. Говорят, что Пифагор принес в жертву гекатомбу, когда открыл сорок седьмую теорему Евклида, и случай был достоин жертвы. Архимед был вне себя, когда впервые осознал свой прекрасный способ определения удельных весов. И все же эти великие открытия — общие места наших школьных учебников. Шаг за шагом мы можем проследить вверх приобретение новых умственных сил. Что может быть удивительнее открытия логарифмов Непером, нового способа вычисления, который умножил, возможно, в сто раз рабочие силы каждого вычислителя и сделал легкими вычисления, которые раньше были невыполнимы? Со времени Ньютона и Лейбница были решены миры задач, которые раньше едва ли мыслились как предметы исследования. В наши дни были созданы расширенные методы математического рассуждения, такие как система кватернионов. Какой разумный человек усомнится в том, что глубокие спекуляции Кэли, Сильвестра или Клиффорда могут привести к какому-то новому развитию новой математической силы, простоте которой будет удивляться будущее поколение, и еще больше удивляться тому, что для нас они были столь темны и трудны. Не можем ли мы повторить слова Сенеки: «Veniet tempus, quo ista quæ nunc latent, in lucem dies extrahat, et longioris ævi diligentia: ad inquisitionem tantorum ætas una non sufficit. Veniet tempus, quo posteri nostri tam aperta nos nescisse mirentur».

Господство закона в ментальных и социальных явлениях.

После того как мы переходим от так называемых физических наук к тем, которые пытаются исследовать ментальные и социальные явления, те же общие выводы остаются верными. Никто не станет отрицать, что существуют определенные единообразия мышления и действия, которые можно обнаружить у разумных существ, и постольку, поскольку мы обнаруживаем такие законы, мы успешно применяем научный метод. Но те, кто пытается основать социальные или моральные науки, вскоре осознают, что имеют дело с предметами огромной сложности. Возьмем в качестве примера науку политическую экономию. Если это вообще наука, то она должна быть математической наукой, потому что она имеет дело с количествами товаров. Но как только мы пытаемся вывести уравнения, выражающие законы спроса и предложения, мы обнаруживаем, что они обладают сложностью, полностью превосходящей наши способности математической обработки. Мы можем задать общую форму уравнений, выражающих спрос и предложение на два или три товара среди двух или трех торговых субъектов, но все вовлеченные функции настолько сложны по характеру, что нет большого опасения, что научный метод будет быстро прогрессировать в этом направлении. Если таковы перспективы сравнительно формальной науки, как политическая экономия, что мы скажем о моральной науке? Любая полная теория морали должна иметь дело с количествами удовольствия и страдания, как указал Бентам, и должна суммировать общую тенденцию каждого вида действия на благо общества. Если мы хотим применить научный метод к морали, мы должны иметь исчисление моральных эффектов, своего рода физическую астрономию, исследующую взаимные возмущения индивидов. Но поскольку астрономы еще не полностью решили задачу трех тяготеющих тел, когда у нас будет решение задачи трех моральных тел?

Науки политическая экономия и мораль сравнительно абстрактны и общи, рассматривая человечество с простых точек зрения и пытаясь обнаружить общие принципы действия. Они относятся к социальным явлениям так же, как абстрактные науки химия, теплота и электричество относятся к конкретной науке метеорологии. Прежде чем мы сможем исследовать действия любой совокупности людей, мы должны достаточно хорошо освоить все более абстрактные науки, применяемые к ним, примерно так же, как мы приобрели достаточное понимание более простых истин химии и физики. Но все наши физические науки не позволяют нам предсказать погоду через два дня с какой-либо большой вероятностью, а общая задача метеорологии до сих пор почти не предпринималась. Что же тогда мы скажем об общей задаче социальной науки, которая должна позволить нам предсказать ход событий в нации?

Несколько авторов предложили заложить основы науки истории. Бокль взялся написать «Историю цивилизации в Англии» и показать, как характер нации может быть объяснен природой климата и плодородием почвы. Он упустил из виду объяснение контраста между древней греческой нацией и нынешней; должно быть, произошла необычайная революция в климате или почве. Огюст Конт обнаружил простые законы хода развития, через которые проходят нации. Всегда существуют три фазы интеллектуального состояния — теологическая, метафизическая и позитивная; применяя этот общий закон прогресса к конкретным случаям, Конт смог предсказать, что в иерархии европейских наций Испания обязательно будет занимать высшее место. Таковы пародии на науку, предлагаемые нам позитивными философами.

Наука истории в истинном смысле этого термина — абсурдное понятие. Нация — это не просто сумма индивидов, которых мы можем рассматривать методом средних величин; это органическое целое, удерживаемое вместе связями бесконечной сложности. Каждый индивид действует и реагирует на свой меньший или больший круг друзей, а те, кто приобретает общественное положение, оказывают влияние на гораздо большие части нации. Всегда будет несколько великих лидеров исключительного гения или возможностей, необъяснимые фазы мнений и склонностей которых влияют на все тело. Время от времени возникают критические ситуации, битвы, деликатные переговоры, внутренние беспорядки, в которых малейшие инциденты могут изменить ход истории. Дождливый день может помешать форсированному маршу и изменить ход кампании; несколько неосторожных слов в депеше могут уязвить национальную гордость; случайный выстрел из ружья может спровоцировать столкновение, последствия которого будут длиться столетиями. Говорят, что история Европы зависела в один момент от вопроса, заметит или не заметит наблюдатель на судне Нельсона корабль экспедиции Наполеона в Египет, который проходил недалеко. В человеческих делах, таким образом, малейшие причины могут производить величайшие эффекты, и реальное применение научного метода исключено.

Теория эволюции.

Глубокие философы в последнее время обобщали сведения о производстве живых форм и ментальных и моральных явлениях, рассматриваемых как их высшее развитие. Теория эволюции Герберта Спенсера претендует на объяснение происхождения всех видовых различий, так что даже возникновение Гомера или Бетховена не ускользнуло бы от его широких теорий. Однородное нестабильно и должно дифференцироваться, говорит Спенсер, и отсюда происходит разнообразие человеческих институтов и характеров. Чтобы живая форма продолжала существовать и размножать свой вид, говорит Дарвин, она должна соответствовать своим обстоятельствам, и наиболее подходящие формы будут преобладать над теми, которые менее подходят, и истреблять их. Из этих плодотворных идей развиваются теории эволюции и естественного отбора, которые во многом способствуют объяснению существования огромного числа живых существ — растений и животных. Кажущиеся адаптации органов к полезным целям, которые Пейли рассматривал как отдельные продукты творческого разума, теперь рассматриваются как естественные следствия постоянно действующей тенденции. Даже человек, согласно этим теориям, не является отдельным творением, а скорее крайним случаем развития мозга. Его ближайшие кузены — обезьяны, и его родословная уходит назад, пока не соединяется с родословной самых низших зоофитов.

Теории Дарвина и Спенсера, несомненно, не доказаны; они в некоторой степени гипотетичны, точно так же, как все теории физической науки в некоторой степени гипотетичны и открыты для сомнения. Судя по огромному количеству разнообразных фактов, которые они гармонизируют и объясняют, я решаюсь рассматривать теории эволюции и естественного отбора в их основных чертах как две из наиболее вероятных гипотез, когда-либо предложенных. Я сомневаюсь, что какие-либо научные труды, появившиеся после «Principia» Ньютона, сравнимы по важности с трудами Дарвина и Спенсера, революционизирующими, как они это делают, все наши взгляды на происхождение телесных, ментальных, моральных и социальных явлений.

Признавая все это, я ни на минуту не могу допустить, что теория эволюции уничтожит теологию. Эта теория охватывает несколько законов или единообразий, которые наблюдаются как истинные в производстве живых форм; но эти законы не определяют размер и фигуру живых существ, точно так же, как закон тяготения не определяет величины и расстояния планет. Предположим, что Дарвин прав, говоря, что человек произошел от асцидий: все же точная форма человеческого тела должна была быть под влиянием бесконечной цепи обстоятельств, влияющих на размножение, рост и здоровье всей цепи промежуточных существ. Без сомнения, обстоятельства были таковы, что человек не мог быть иным, чем он есть, и если бы в любой другой части вселенной существовала точно такая же Земля, снабженная точно такими же зародышами жизни, там должна была бы вырасти раса, точно похожая на человеческую расу.

При ином распределении атомов в первобытном мире была бы произведена иная серия живых форм на этой Земле. Из тех же причин, действующих согласно тем же законам, последуют те же результаты; но из разных причин, действующих согласно тем же законам, последуют разные результаты. Насколько мы можем видеть, таким образом, бесконечно разнообразные живые существа могли быть созданы в соответствии с теорией эволюции, и точная причина, почему у нас есть позвоночник, две руки с противопоставленными большими пальцами, прямое положение, сложный мозг, около 223 костей и многие другие особенности, может быть найдена только в первоначальном акте творения. Я не меньше, чем Пейли, верю, что глаз человека проявляет замысел. Я верю, что глаз постепенно развивался, и мы можем, по сути, проследить его постепенное развитие от первого зародыша нерва, на который воздействуют световые лучи в каком-нибудь простом зоофите. По мере того как глаз становился более точным инструментом зрения, он позволял своему обладателю лучше избегать разрушения, но конечный результат должен был содержаться в совокупности причин, и эти причины, насколько мы можем видеть, были предметом произвольного выбора Творца.

Хотя Агассис был явно неправ, утверждая, что каждый вид живого существа появился на Земле путем непосредственного вмешательства Творца, что сводилось бы к утверждению, что никакие законы связи между формами не обнаружимы, все же он, по-видимому, прав, утверждая, что живые формы отличны от тех, которые производятся чисто физическими причинами. «Продукты того, что обычно называют физическими агентами, — говорит он, — везде одни и те же (т.е. на всей поверхности Земли) и всегда были одни и те же (т.е. во все геологические периоды); в то время как организованные существа везде различны и различались во все века. Между двумя такими сериями явлений не может быть причинной или генетической связи». Живые формы, как мы их сейчас рассматриваем, по существу изменчивы, но от постоянных механических причин следовали бы постоянные эффекты. Если растительные клетки образуются по геометрическим принципам, будучи сначала сферическими, а затем путем взаимного сжатия додекаэдрическими, то все клетки должны иметь сходные формы. У фораминифер и некоторых других низших организмов мы, по-видимому, наблюдаем производство сложных форм по геометрическим принципам. Но от сходных причин, действующих согласно сходным законам, могли быть произведены только сходные результаты. Если первоначальный зародыш жизни каждого существа — простая частица протоплазмы, не наделенная никакими отличительными силами, то вся совокупность сложных явлений животной и растительной жизни — это следствия без причин. Протоплазма может быть химически тем же веществом, и зародышевая клетка человека и рыбы может быть, по-видимому, той же самой, насколько может решить микроскоп; но если одни клетки производят людей, а другие столь же единообразно производят вид рыбы, должно существовать скрытое строение, определяющее чрезвычайно разные результаты. Если бы это было не так, зарождение каждого живого существа из единообразного зародыша пришлось бы рассматривать как отдельный акт творения.

Теологи опасались установления теорий Дарвина, Хаксли и Спенсера, как если бы они думали, что эти теории могут объяснить все на чистейших механических и материальных принципах и исключить все представления о замысле. Они не видят, что эти теории открыли больше вопросов, чем закрыли. Учение об эволюции не дает полного объяснения ни одной живой форме. Показывая общие принципы, которые преобладают в вариации живых существ, оно лишь указывает на бесконечную сложность причин и обстоятельств, которые привели к нынешнему положению вещей. Любая из книг г-на Дарвина, сколь бы замечательны они ни были, состоит лишь в изложении множества неопределенных задач. Он доказывает самым прекрасным образом, что каждый цветок орхидеи приспособлен к какому-то насекомому, которое посещает и опыляет его, и эти адаптации — лишь несколько случаев из тех чрезвычайно многочисленных, которые произошли в жизни растений и животных. Но почему орхидеи должны были быть сформированы так иначе, чем другие растения, почему что-либо, в самом деле, должно быть таким, как оно есть, а не в каком-то из других бесконечно многочисленных возможных способов существования, он никогда не сможет показать. Происхождение всего, что существует, завернуто в прошлую историю вселенной. В той или иной точке в прошедшем времени должны были быть произвольные определения, которые привели к производству вещей такими, какие они есть.

Возможность божественного вмешательства.

Теперь я обращу внимание читателя на страницы 149–152. Там я указал, что всякое индуктивное умозаключение предполагает, что наше знание о существующем является полным, а условия вещей остаются неизменными в промежутке между временем нашего опыта и временем, к которому относятся наши выводы. Возвращаясь к иллюстрации с избирательной урной, использованной в главе об обратном методе вероятностей, мы предполагаем при прогнозировании вероятной природы следующего извлечения, во-первых, что наши предыдущие извлечения были достаточно многочисленны, чтобы дать нам знание о содержимом урны; и, во-вторых, что между предыдущим и следующим извлечениями не происходит никакого вмешательства в содержимое урны. Результаты, даваемые теорией вероятностей, совершенно ясны. Никакое конечное число случайных извлечений не может дать нам достоверного знания о содержимом урны, так что даже при отсутствии всякого вмешательства наши выводы являются лишь наилучшими из возможных и не приближаются к непогрешимости. Если же вмешательство возможно, то даже теория вероятностей перестает быть применимой, ибо, поскольку величина и природа этого вмешательства произвольны и неизвестны, между посылками и заключением перестает существовать какая-либо связь. Многие годы размышлений не позволили мне найти способ избежать этого пробела в научной достоверности. Выводы научного умозаключения, по-видимому, всегда носят гипотетический и предварительный характер. При наличии определенного опыта теория вероятностей дает нам верную интерпретацию этого опыта и является самым надежным руководством, доступным нам. Но наилучшие расчетные результаты, которые она может дать, никогда не являются абсолютными вероятностями; они чисто относительны по отношению к объему нашей информации. Нам, по-видимому, невозможно судить, насколько наш опыт дает нам адекватную информацию о Вселенной в целом и обо всех силах и явлениях, которые могут иметь в ней место.

Я чувствую, что не могу в рамках оставшегося мне в настоящем томе места достаточно проследить намеченные линии мысли или с точностью определить свои собственные выводы. Эта глава содержит лишь размышления о предметах столь весомого характера, что я сам пожелал бы посвятить им многие годы — нет, более чем целую жизнь дальнейших размышлений. Моя цель, как я неоднократно говорил, чисто отрицательная: показать, что атеизм и материализм не являются необходимыми результатами научного метода. Из предшествующих обзоров ценности нашего научного знания я делаю один четкий вывод: мы не можем опровергнуть возможность божественного вмешательства в ход природы. Такое вмешательство могло бы возникнуть, насколько простираются наши знания, двумя путями. Оно могло бы состоять в обнаружении существования какого-либо агента или источника энергии, ранее неизвестного, но осуществляющего определенную цель в определенный момент. Подобно заранее спланированному изменению закона в воображаемой вычислительной машине Бэббиджа, в порядке природы, каким он предстает перед нами, могут существовать заранее спланированные сюрпризы. Во-вторых, та же Сила, которая создала материальную природу, могла бы, насколько я могу судить, создавать дополнения к ней или уничтожать части, которые уже существуют. Такие события в некотором смысле непостижимы для нас; однако они не более непостижимы, чем само существование мира в том виде, в каком он есть. Неуничтожимость материи и сохранение энергии — весьма вероятные научные гипотезы, которые удовлетворительно согласуются с экспериментами ученых за последние несколько лет, но было бы грубым заблуждением относительно научного умозаключения полагать, что они достоверны в том же смысле, в каком достоверно геометрическое положение. Философы, несомненно, придерживаются мнения, что de nihilo nihil fit, то есть их чувства не дают им средств вообразить, как может произойти творение. Но мы находимся между рогами трилеммы: мы должны либо отрицать, что что-либо существует, либо признать, что оно было создано из ничего в какой-то момент прошлого времени, либо что оно существовало вечно. Первая альтернатива абсурдна; две другие кажутся мне одинаково мыслимыми.

Заключение.

Может показаться, что существует одна точка, где наши спекуляции должны закончиться, а именно там, где начинается противоречие. Законы тождества, различия и двойственности были фундаментами, с которых мы начали, и это, насколько я могу судить, те фундаменты, которые мы никогда не можем покинуть, не пошатнувшись. Научный метод должен начинаться и заканчиваться законами мышления, но из этого не следует, что он избавит нас от столкновения с необъяснимыми и, по крайней мере, кажущимися противоречивыми результатами. Природа непрерывной величины приводит нас к крайним трудностям. Любое конечное пространство состоит из бесконечного числа бесконечно малых пространств, каждое из которых, в свою очередь, состоит из бесконечного числа пространств второго порядка малости; эти пространства второго порядка состоят, опять же, из бесконечно малых пространств третьего порядка. Даже эти пространства третьего порядка не являются абсолютными геометрическими точками, отвечающими определению точки Евклида как положения без величины. Как бы далеко мы ни заходили в делении непрерывной величины, мы никогда не дойдем до абсолютной точки. Таким образом, научный метод приводит нас к неизбежной концепции бесконечного ряда последовательных порядков бесконечно малых величин. Если это так, то нет ничего невозможного в существовании мириадов вселенных в пределах острия иглы, каждая со своими звездными системами, своими солнцами и планетами, в неограниченном количестве и разнообразии. Наука ничего не делает для уменьшения числа странных вещей, в которые мы можем верить. Будучи последовательно проводимой, она предъявляет абсурдные требования к нашим способностям понимания и веры.

Некоторые из наиболее точных и красивых теорем в математической науке, как мне кажется, содержат явное противоречие. Можем ли мы представить, что точка, движущаяся по совершенно прямой линии на запад, когда-нибудь обогнет ее до востока и вернется обратно, совершив, так сказать, кругосветное путешествие через бесконечное пространство, не отклоняясь при этом от совершенно прямого направления? И все же именно это происходит с точкой пересечения двух прямых линий в одной плоскости, когда одна линия вращается. Тот же парадокс проявляется в гиперболе, рассматриваемой как бесконечный эллипс, одна из оконечностей которого ушла на бесконечное расстояние и вернулась в противоположном направлении. Изменяющаяся величина может изменить свой знак, проходя либо через ноль, либо через бесконечность. В последнем случае должно существовать одно промежуточное значение переменной, для которого вариант является безразлично отрицательной бесконечностью и положительной бесконечностью. Профессор Клиффорд говорит мне, что он нашел математическую функцию, которая приближается к бесконечности по мере приближения переменной к определенному пределу; однако в пределе функция конечна! Математики могут уклоняться от трудностей, но они не могут сделать так, чтобы такие результаты математических принципов не казались противоречащими нашим обычным представлениям о пространстве.

Гипотеза о том, что существует Творец, одновременно всемогущий и всеблагой, сталкивается, как это должно показаться любому беспристрастному исследователю, с трудностями, граничащими с логическим противоречием. Существование малейшего количества боли и зла, по-видимому, показывает, что Он либо не является совершенно благим, либо не является всемогущим. Никто не мог прожить долго, не испытав печальных событий, значение которых необъяснимо. Но если мы не можем избежать противоречия в наших понятиях об элементарной геометрии, можем ли мы ожидать, что конечные цели существования предстанут перед нами с полной ясностью? Я не вижу ничего, что запрещало бы мысль о том, что в высшем состоянии интеллекта многое из того, что сейчас неясно, может стать ясным. Мы постоянно оказываемся в положении конечных умов, пытающихся решить бесконечные проблемы, и можем ли мы быть уверены, что там, где мы видим противоречие, бесконечный разум не обнаружил бы совершенную логическую гармонию?

От науки, если заниматься ею скромно, с должным осознанием крайней ограниченности наших интеллектуальных способностей, могут возникнуть только более благородные и широкие представления о цели Творения. Наша философия будет утвердительной, а не ложными и негативными догмами Огюста Конта, которые узурпировали это имя и исказили тенденции истинной позитивной философии. Истинная наука не будет отрицать существование вещей только потому, что их нельзя взвесить и измерить. Она скорее приведет нас к убеждению, что чудеса и тонкости возможного существования превосходят все, что наши ментальные способности позволяют нам ясно воспринимать. Изучение логических и математических форм убедило меня, что даже само пространство не является необходимым условием мыслимого существования. Все, говорят нам материалисты, должно быть здесь или там, ближе или дальше, до или после. Я отрицаю это и указываю на логические отношения как на свое доказательство.

Раньше мне казалось, что есть нечто таинственное в знаменателях биномиального разложения (стр. 190), которые воспроизводятся в натуральной константе ε, или

1 + 1/1 + 1/1 . 2 + 1/1 . 2 . 3 + . . .

и во многих результатах математического анализа. Теперь я осознаю, как уже объяснялось (стр. 33, 160, 383), что они возникают из того факта, что отношения пространства не применимы к логическим условиям, управляющим числами сочетаний в отличие от чисел перестановок. Я настолько далек от принятия доктрины Канта о том, что пространство является необходимой формой мышления, что рассматриваю его как случайность и препятствие для чисто логического рассуждения. Материальные сущности, несомненно, должны существовать в пространстве, но интеллектуальные сущности могут не находиться ни в пространстве, ни вне пространства; они могут вообще не иметь отношения к пространству, точно так же, как само пространство не имеет отношения ко времени. Насколько я могу судить, могут существовать интеллектуальные сущности, для которых и время, и пространство являются ничто.

Теперь, среди самых неоспоримых правил научного метода, первым законом является то, что всякое явление, которое есть, есть. Мы не должны игнорировать никакое существование; мы можем по-разному интерпретировать или объяснять его смысл и происхождение, но если явление действительно существует, оно требует какого-то объяснения. Если же существует конкуренция за научное признание, мир вне нас должен уступить несомненному существованию духа внутри нас. Наши собственные надежды, желания и решимость являются самыми несомненными явлениями в сфере сознания. Если люди действуют, чувствуют и живут так, как если бы они были не просто краткими продуктами случайного соединения атомов, а инструментами далеко идущей цели, должны ли мы регистрировать все другие явления и игнорировать эти? Мы исследуем инстинкты муравья, пчелы и бобра и обнаруживаем, что они ведомы непостижимым агентом для работы ради отдаленной цели. Давайте будем верны нашему научному методу и исследуем также те инстинкты человеческого разума, посредством которых человек побуждается работать так, как если бы одобрение Высшего Существа было целью жизни.

УКАЗАТЕЛЬ.

альфа-таблица

A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M
N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z

A

Abacus, logical, 104;

arithmetical, 107;

Panchrestus, 182.

Aberration of light, 561;

systematic, 547.

Abscissio infiniti, 79, 713.

Abstract terms, 27;

number, 159.

Abstraction, 704;

logical, 25;

numerical, 158;

of indifferent circumstances, 97.

Accademia del Cimento, 427, 432, 436, 527.

Accident, logical, 700.

Accidental discovery, 529.

Achromatic lenses, 432.

Actinometer, 337.

Adamantine medium, 605, 751.

Adjectives, 14, 30, 31, 35;

indeterminate, 41.

Adrain, of New Brunswick, 375.

Affirmation, 44.

Agassiz, on genera, 726;

on creation of species, 763.

Agreement, 44.

Airy, Sir George Biddell, on perpetual motion, 223;

new property of sphere, 232;

pendulum experiments, 291, 304, 348, 567;

standard clock, 353;

book on Errors of Observation, 395;

tides, 488;

extra-polation, 495;

Thales’ eclipse, 537;

interference of light, 539;

density of earth, 291.

Alchemists, 505;

how misled, 428.

Algebra, 123, 155, 164;

Diophantine, 631.

Algebraic, equations, 123;

geometry, 633.

Allotropic state, 663, 670.

Alloys, possible number, 191;

properties, 528.

Alphabet, the Logical, 93, 104, 125;

Morse, 193.

Alphabet, permutations of letters of the, 174, 179.

Alphabetic indexes, 714.

Alternative relations, 67;

exclusive and unexclusive, 205.

Ampère, electricity, 547;

classification, 679.

Anagrams, 128.

Analogy, 627;

of logical and numerical terms, 160;

and generalisation, 596;

in mathematical sciences, 631;

in theory of undulations, 635;

in astronomy, 638;

failure of, 641.

Analysis, logical, 122.

Andrews, Prof. Thomas, experiments on gaseous state, 71, 613, 665, 753.

Angström, on spectrum, 424.

Angular magnitude, 305, 306, 326.

Antecedent defined, 225.

Anticipation of Nature, 509.

Anticipations, of Principle of Substitution, 21;

of electric telegraph, 671.

Apparent, equality, 275;

sequence of events, 409.

Approximation, theory of, 456;

to exact laws, 462;

mathematical principles of, 471;

arithmetic of, 481.

Aqueous vapour, 500.

Aquinas, on disjunctive propositions, 69.

Arago, photometer, 288;

rotating disc, 535;

his philosophic character, 592.

Archimedes, De Arenæ Numero, 195;

centre of gravity, 363.

Arcual unit, 306, 330.

Argyll, Duke of, 741.

Aristarchus on sun’s and moon’s distances, 294.

Aristotelian doctrines, 666.

Aristotle, dictum, 21;

singular terms, 39;

overlooked simple identities, 40;

order of premises, 114;

logical error, 117;

definition of time, 307;

on science, 595;

on white swans, 666.

Arithmetic, reasoning in, 167;

of approximate quantities, 481.

Arithmetical triangle, 93, 143, 182, 202, 378, 383;

diagram of, 184;

connection with Logical Alphabet, 189;

in probability, 208.

Asteroids, discovery of, 412, 748.

Astronomy, physical, 459.

Atmospheric tides, 553.

Atomic theory, 662.

Atomic weights, 563.

Atoms, size of, 195;

impossibility of observing, 406.

Augustin on time, 307.

Average, 359, 360;

divergence from, 188;

etymology of, 363.

Axes of crystals, 686.

Axioms of algebra, 164.

B

Babbage, Charles, calculating machine, 107, 231, 743;

lighthouse signals, 194;

natural constants, 329;

Mosaic history, 412;

universal and general truths, 646;

change of law, 230;

persistence of effects, 757.

Bacon, Francis Lord, Novum Organum, 107;

on induction, 121;

biliteral cipher, 193;

First Aphorism, 219;

on causes, 221;

Copernican system, 249, 638;

deficient powers of senses, 278;

observation, 402;

Natural History, 403;

use of hypothesis, 506;

his method, 507;

experimentum crucis, 519;

error of his method, 576;

ostensive, clandestine instances, &c., 608, 610;

latens precessus, 619.

Bacon, Roger, on the rainbow, 526, 598.

Baily, Francis, 272;

density of earth, 342, 566;

experiments with torsion balance, 370, 397, 432, 567–8;

motions of stars, 572.

Bain, Alexander, on powers of mind, 4;

Mill’s reform of logic, 227.

Baker’s poem, The Universe, 621.

Balance, use of the chemical, 292, 351, 354, 369;

delicacy of, 304;

vibrations of, 369.

Ballot, Buys, experiment on sound, 541.

Ballot-box, simile of, 150, 251–6, 765.

Barbara, 55, 57, 88, 105, 141.

Baroko, 85.

Barometer, 659;

Gay Lussac’s standard, 346;

variations, 337, 346, 349.

Bartholinus on double refraction, 585.

Base-line, measurement of, 304.

Bauhusius, verses of, 175.

Baxendell, Joseph, 552.

Beneke, on substitution, 21.

Bennet, momentum of light, 435.

Bentham, George, 15;

bifurcate classification, 695;

infima species, 702;

works on classification, 703;

analytical key to flora, 712.

Bentham, Jeremy, on analogy, 629;

bifurcate classification, 703.

Benzenberg’s experiment, 388.

Bernoulli, Daniel, planetary orbits, 250;

resisting media and projectiles, 467;

vibrations, 476.

Bernoulli, James, 154;

numbers of, 124;

Protean verses, 175;

De Arte Conjectandi quoted, 176, 183;

on figurate numbers, 183;

theorem of, 209;

false solution in probability, 213;

solution of inverse problem, 261.

Bessel, F. W., 375;

law of error, 384;

formula for periodic variations, 488;

use of hypothesis, 506;

солнечный параллакс, 560–2;

ellipticity of earth, 565;

pendulum experiments, 604.

Bias, 393, 402.

Biela’s comet, 746.

Bifurcate classification, 694.

Binomial theorem, 190;

discovery of, 231.

Biot, on tension of vapour, 500.

Blind experiments, 433.

Bode’s law, 147, 257, 660.

Boethius, quoted, 33;

on kinds of mean, 360.

Boiling point, 442, 659.

Bonnet’s theory of reproduction, 621.

Boole, George, on sign of equality, 15;

his calculus of logic, 23, 113, 634;

on logical terms, 33;

law of commutativeness, 35;

использование some, 41–2;

disjunctive propositions, 70;

Venn on his method, 90;

Laws of Thought, 155;

statistical conditions, 168;

propositions numerically definite, 172;

on probability, 199;

general method in probabilities, 206;

Laplace’s solution of inverse problem, 256;

law of error, 377.

Borda, his repeating circle, 290.

Boscovich’s hypothesis, 512.

Botany, 666, 678, 681;

modes of classification, 678;

systematic, 722;

nomenclature of, 727.

Bowen, Prof. Francis, on inference, 118;

classification, 674.

Boyle’s, Robert, law of gaseous pressure, 468, 470, 619;

on hypothesis, 510;

barometer, 659.

Bradley, his observations, 384;

accuracy of, 271;

aberration of light, 535.

Bravais, on law of error, 375.

Brewer, W. H., 142.

Brewster, Sir David, iridescent colours, 419;

spectrum, 429;

Newton’s theory of colours, 518;

refractive indices, 10, 527;

optic axes, 446.

British Museum, catalogue of, 717.

Brodie, Sir B. C., on errors of experiment, 388, 464;

ozone, 663.

Brown, Thomas, on cause, 224.

Buckle, Thomas, on constancy of average, 656;

science of history, 760.

Buffon, on probability, 215;

definition of genius, 576.

Bunsen, Robert, spectrum, 244;

photometrical researches, 273, 324, 441;

calorimeter, 343.

Butler, Bishop, on probability, 197.

C

Calorescence, 664.

Camestres, 84.

Canton, on compressibility of water, 338.

Carbon, 640, 728;

conductibility of, 442.

Cardan, on inclined plane, 501.

Cards, combinations of, 190.

Carlini, pendulum experiments, 567.

Carnot’s law, 606.

Carpenter, Dr. W. B., 412.

Catalogues, art of making, 714.

Cauchy, undulatory theory, 468.

Cause, 220;

definition of, 224.

Cavendish’s experiment, 272, 566.

Cayley, Professor, 145;

on mathematical tables, 331;

numbers of chemical compounds, 544.

Celarent, 55.

Centre of gravity, 363, 524;

of oscillation, gyration, &c., 364.

Centrobaric bodies, 364.

Certainty, 235, 266.

Cesare, 85.

Chalmers, on collocations, 740.

Chance, 198.

Character, human, 733.

Characteristics, 708.

Chauvenet, Professor W., on treatment of observations, 391.

Chemical affinity, 614;

analysis, 713.

Chladni, 446.

Chloroform, discovery of, 531.

Chronoscope, 616.

Cipher, 32;

Bacon’s, 193.

Circle, circumference of, 389.

Circumstances, indifferent, 419.

Circumstantial evidence, 264.

Clairaut, 650, 651;

on gravity, 463.

Classes, 25;

problem of common part of three, 170.

Classification, 673;

involving induction, 675;

multiplicity of modes, 677;

natural and artificial systems, 679;

in crystallography, 685;

symbolic statement of, 692;

bifurcate, 694;

an inverse and tentative operation, 689;

diagnostic, 710;

by indexes, 714;

of books, 715;

in biological sciences, 718;

genealogical, 719;

by types, 722;

limits of, 730.

Clifford, Professor, on types of compound statements, 143, 529;

first and last catastrophe, 744;

mathematical function, 768.

Clocks, astronomical, 340, 353.

Clouds, 447;

cirrous, 411.

Coincidences, 128;

fortuitous, 261;

measurement by, 292;

method of, 291.

Collective terms, 29, 39.

Collocations of matter, 740.

Colours, iridescent, 419;

natural, 518;

perception of, 437;

of spectrum, 584.

Combinations, 135, 142;

doctrine of, 173;

of letters of alphabet, 174;

calculations of, 180;

higher orders of, 194.

Combinatorial analysis, 176.

Comets, 449;

number of, 408;

hyperbolic, 407;

classification of, 684;

конфликт с, 746–7;

Halley’s comet, 537;

Lexell’s comet, 651.

Commutativeness, law of, 35, 72, 177.

Comparative use of instruments, 299.

Compass, variations of, 281.

Complementary statements, 144.

Compossible alternatives, 69.

Compound statements, 144;

events, 204.

Compounds, chemical, 192.

Comte, Auguste, on probability, 200, 214;

on prevision, 536;

his positive philosophy, 752, 760, 768.

Concrete number, 159.

Conditions, of logical symbols, 32;

removal of usual, 426;

interference of unsuspected, 428;

maintenance of similar, 443;

approximation to natural, 465.

Condorcet, 2;

his problem, 253.

Confusion of elements, 237.

Conical refraction, 653.

Conjunction of planets, 293, 657.

Consequent, definition of, 225.

Conservation of energy, 738.

Constant numbers of nature, 328;

mathematical, 330;

physical, 331;

astronomical, 332;

terrestrial, 333;

organic, 333;

social, 334.

Continuity, law of, 615, 729;

sense of, 493;

detection of, 610;

failure of, 619.

Continuous quantity, 274, 485.

Contradiction, law of, 31, 74.

Contrapositive, proposition, 84, 136;

conversion, 83.

Conversion of propositions, 46, 118.

Copernican theory, 522, 625, 638, 647.

Copula, 16.

Cornu, velocity of light, 561.

Corpuscular theory, 520, 538, 667.

Correction, method of, 346.

Correlation, 678, 681.

Cotes, Roger, use of mean, 359;

method of least squares, 377.

Coulomb, 272.

Couple, mechanical, 653.

Creation, problem of, 740.

Crookes’ radiometer, 435.

Cross divisions, 144.

Crystallography, 648, 654, 658, 678, 754;

systems of, 133;

classification in, 685.

Crystals, 602;

Dana’s classification of, 711;

pseudomorphic, 658.

Curves, use of, 392, 491, 496;

of various degrees, 473.

Cuvier, on experiment, 423;

on inferences, 682.

Cyanite, 609.

Cycloid, 633.

Cycloidal pendulum, 461.

Cypher, 124.

D

D’Alembert, blunders in probability, 213, 214;

on gravity, 463.

Dalton, laws of, 464, 471;

atomic theory, 662.

Darapti, 59.

Darii, 56.

Darwin, Charles, his works, 131;

negative results of observation, 413;

arguments against his theory, 437;

cultivated plants, 531;

his influence, 575;

classification, 718;

постоянство характера в классификации, 720–1;

on definition, 726;

restoration of limbs, 730;

tendency of his theory, 762, 764.

Davy, Sir H., on new instruments, 270;

nature of heat, 343, 417;

detection of salt in electrolysis, 428.

Day, sidereal, 310;

length of, 289.

Decandolle, on classification, 696.

Decyphering, 124.

Deduction, 11, 49.

Deductive reasoning, 534;

miscellaneous forms of, 60;

probable, 209.

Definition, 39, 62, 711, 723;

purpose of, 54;

of cause and power, 224.

De Morgan, Augustus, negative terms, 14;

Aristotle’s logic, 18;

relatives, 23;

logical universe, 43;

complex propositions, 75;

contraposition, 83;

formal logic quoted, 101;

error of his system, 117;

anagram of his name, 128;

численно определенное рассуждение, 168–172;

probability, 198;

belief, 199;

experiments in probability, 207;

вероятные дедуктивные аргументы, 209–210;

trisection of angle, 233;

probability of inference, 259;

arcual unit, 306;

mathematical tables, 331;

personal error, 348;

average, 363;

его работы по вероятности, 394–395;

apparent sequence, 409;

sub-equality, 480;

rule of approximation, 481;

negative areas, 529;

generalisation, 600;

double algebra, 634;

bibliography, 716;

catalogues, 716;

extensions of algebra, 758.

Density, unit of, 316;

of earth, 387;

negative, 642.

Descartes, vortices, 517;

geometry, 632.

Description, 62.

Замысел, 762–763.

Determinants, inference by, 50.

Development, logical, 89, 97.

Diagnosis, 708.

Dichotomy, 703.

Difference, 44;

law of, 5;

sign of, 17;

representation of, 45;

inference with, 52, 166;

form of, 158.

Differences of numbers, 185.

Differential calculus, 477.

Differential thermometer, 345.

Diffraction of light, 420.

Dimensions, theory of, 325.

Dip-needle, observation of, 355.

Direct deduction, 49.

Direction of motion, 47.

Discontinuity, 620.

Discordance, of theory and experiment, 558;

of theories, 587.

Discoveries, accidental, 529;

predicted, 536;

scope for, 752.

Discrimination, 24;

power of, 4.

Disjunctive, terms, 66;

conjunction, 67;

propositions, 66;

syllogism, 77;

argument, 106.

Dissipation of energy, 310.

Distance of statements, 144.

Divergence from average, 188.

Diversity, 156.

Divine interference, 765.

Dollond, achromatic lenses, 608.

Donkin, Professor, 375;

on probability, 199, 216;

principle of inverse method, 244.

Double refraction, 426.

Dove’s law of winds, 534.

Draper’s law, 606.

Drobitsch, 15.

Duality, 73, 81;

law of, 5, 45, 92, 97.

Dulong and Petit, 341, 471.

Duration, 308.

E

ε, 330, 769.

Earth, density of, 387;

ellipticity, 565.

Eclipses, 656;

Egyptian records of, 246;

of Jupiter’s satellites, 294, 372;

solar, 486.

Electric, sense, 405;

acid, 428;

fluid, 523.

Electric telegraph, anticipations of, 671.

Electricity, theories of, 522;

duality of, 590.

Electrolysis, 428, 530.

Electro-magnet, use of, 423.

Elements, confusion of, 237;

definition, 427;

classification, 676, 677, 690.

Elimination, 58.

Ellicott, observation on clocks, 455.

Ellipsis, 41;

of terms, 57.

Elliptic variation, 474.

Ellipticity of earth, 565.

Ellis, A. J., contributions to formal logic, 172.

Ellie, Leslie, 23, 375.

Ellis, W., on moon’s influence, 410.

Emanation, law of, 463.

Emotions, 732.

Empirical, knowledge, 505, 525–526;

measurement, 552.

Encke, on mean, 386, 389;

his comet, 570, 605;

on resisting medium, 523;

solar parallax, 562.

Energy, unit of, 322;

conservation of, 465;

reconcentration of, 751.

English language, words in, 175.

Eözoon canadense, 412, 668.

Equality, sign of, 14;

axiom, 163;

four meanings of, 479.

Equations, 46, 53, 160;

solution of, 123.

Equilibrium, unstable, 276, 654.

Equisetaceæ, 721.

Equivalence of propositions, 115, 120, 132;

remarkable case of, 529, 657.

Eratosthenes, sieve of, 82, 123, 139;

measurement of degree, 293.

Error, function, 330, 376, 381;

elimination of, 339, 353;

personal, 347;

law of, 374;

origin of law, 383;

verification of law, 383;

probable, 386;

mean, 387;

constant, 396;

variation of small errors, 479.

Ether, luminiferous, 512, 514, 605.

Euclid, axioms, 51, 163;

indirect proof, 84;

10th book, 117th proposition, 275;

on analogy, 631.

Euler, on certainty of inference, 238;

corpuscular theory, 435;

gravity, 463;

on ether, 514.

Everett, Professor, unit of angle, 306;

metric system, 328.

Evolution, theory of, 761.

Exact science, 456.

Exceptions, 132, 644, 728;

classification of, 645;

imaginary, 647;

apparent, 649;

singular, 652;

divergent, 655;

accidental, 658;

novel, 661;

limiting, 663;

real, 666;

unclassed, 668.

Excluded middle, law of, 6.

Exclusive alternatives, 68.

Exhaustive investigation, 418.

Expansion, of bodies, 478;

of liquids, 488.

Experiment, 400, 416;

in probability, 208;

test or blind, 433;

negative results of, 434;

limits of, 437;

collective, 445;

simplification of, 422;

failure in simplification, 424.

Experimentalist, character of, 574, 592.

Experimentum crucis, 518, 667.

Explanation, 532.

Extent of meaning, 26;

of terms, 48.

Extrapolation, 495.

F

Factorials, 179.

Facts, importance of false, 414;

conformity with, 516.

Fallacies, 62;

analysed by indirect method, 102;

of observation, 408.

Faraday, Michael, measurement of gold-leaf, 296;

on gravity, 342, 589;

magnetism of gases, 352;

vibrating plate, 419;

electric poles, 421;

circularly polarised light, 424, 588, 630;

freezing mixtures, 427;

magnetic experiments, 431, 434;

lines of magnetic force, 446, 580;

errors of experiment, 465;

electrolysis, 502;

velocity of light, 520;

prediction, 543;

relations of physical forces, 547;

character of, 578, 587;

ray vibrations, 579;

mathematical power, 580;

philosophic reservation of opinion, 592;

use of heavy glass, 609;

electricity, 612;

radiant matter, 642;

hydrogen, 691.

Fatality, belief in, 264.

Ferio, 56.

Figurate numbers, 183, 186.

Figure of earth, 459, 565.

Fizeau, use of Newton’s rings, 297, 582;

fixity of properties, 313;

velocity of light, 441, 561.

Flamsteed, use of wells, 294;

standard stars, 301;

parallax of pole-star, 338;

selection of observations, 358;

astronomical instruments, 391;

solar eclipses, 486.

Fluorescence, 664.

Fontenelle on the senses, 405.

Forbes, J. D., 248.

Force, unit of, 322, 326;

emanating, 464;

representation of, 633.

Formulæ, empirical, 487;

rational, 489.

Fortia, Traité des Progressions, 183.

Fortuitous coincidences, 261.

Fossils, 661.

Foster, G. C., on classification, 691.

Foucault, rotating mirror, 299;

pendulum, 342, 431, 522;

on velocity of light, 441, 521, 561.

Fourier, Joseph, theory of dimensions, 325;

theory of heat, 469, 744.

Fowler, Thomas, on method of difference, 439;

reasoning from case to case, 227.

Frankland, Professor Edward, on spectrum of gases, 606.

Franklin’s experiments on heat, 424.

Fraunhofer, dark lines of spectrum, 429.

Freezing-point, 546.

Freezing mixtures, 546.

Fresnel, inflexion of light, 420;

corpuscular theory, 521;

on use of hypothesis, 538;

double refraction, 539.

Friction, 417;

determination of, 347.

Function, definitions of, 489.

Functions, discovery of, 496.

G

Galileo, 626;

on cycloid, 232, 235;

differential method of observation, 344;

projectiles, 447, 466;

use of telescope, 522;

gravity, 604;

principle of continuity, 617.

Gallon, definition of, 318.

Galton, Francis, divergence from mean, 188;

works by, 188, 655;

on hereditary genius, 385, 655.

Galvanometer, 351.

Ganières, de, 182.

Gases, 613;

properties of, 601, 602;

perfect, 470;

liquefiable, 665.

Gauss, pendulum experiments, 316;

закон ошибок, 375–6;

detection of error, 396;

on gravity, 463.

Gay Lussac, on boiling point, 659;

law of, 669.

Genealogical classification, 680, 719.

General, terms, 29;

truths, 647;

notions, 673.

Generalisation, 2, 594, 704;

mathematical, 168;

two meanings of, 597;

value of, 599;

hasty, 623.

Genius, nature of, 575.

Genus, 433, 698;

generalissimum, 701;

natural, 724.

Geology, 667;

records in, 408;

slowness of changes, 438;

exceptions in, 660.

Geometric mean, 361.

Geometric reasoning, 458;

certainty of, 267.

Giffard’s injector, 536.

Gilbert, on rotation of earth, 249;

magnetism of silver, 431;

experimentation, 443.

Gladstone, J. H., 445.

Glaisher, J. W. L., on mathematical tables, 331;

law of error, 375, 395.

Gold, discovery of, 413.

Gold-assay process, 434.

Gold-leaf, thickness of, 296.

Graham, Professor Thomas, on chemical affinity, 614;

continuity, 616;

nature of hydrogen, 691.

Grammar, 39;

rules of, 31.

Grammatical, change, 119;

equivalence, 120.

Gramme, 317.

Graphical method, 492.

Gravesande, on inflection of light, 420.

Gravity, 422, 512, 514, 604, 740;

determination of, 302;

elimination of, 427;

law of, 458, 462, 474;

inconceivability of, 510;

Newton’s theory, 555;

variation of, 565;

discovery of law, 581;

Faraday on, 589;

discontinuity in, 620;

Aristotle on, 649;

Hooke’s experiment, 436.

Grimaldi on the spectrum, 584.

Grove, Mr. Justice, on ether, 514;

electricity, 615.

Guericke, Otto von, 432.

H

Habit, formation of, 618.

Halley, trade-winds, 534.

Halley’s comet, 537, 570.

Hamilton, Sir William, disjunctive propositions, 69;

inference, 118;

free-will, 223.

Hamilton, Sir W. Rowan, on conical refraction, 540;

quaternions, 634.

Harley, Rev. Robert, on Boole’s logic, 23, 155.

Harris, standards of length, 312.

Hartley, on logic, 7.

Hatchett, on alloys, 191.

Haughton, Professor, on tides, 450;

muscular exertion, 490.

Haüy, on crystallography, 529.

Hayward, R. B., 142.

Heat, unit of, 324;

measurement of, 349;

experiments on, 444;

mechanical equivalent of, 568.

Heavy glass, 588, 609.

Helmholtz, on microscopy, 406;

undulations, 414;

sound, 476.

Hemihedral crystals, 649.

Herschel, Sir John, on rotation of plane of polarisation of light, 129, 630;

quartz crystals, 246;

numerical precision, 273;

photometry, 273;

light of stars, 302;

actinometer, 337;

mean and average, 363;

eclipses of Jupiter’s satellites, 372;

law of error, 377;

error in observations, 392;

on observation, 400;

moon’s influence on clouds, 410;

comets, 411;

spectrum analysis, 429;

collective instances, 447;

principle of forced vibrations, 451, 663;

meteorological variations, 489;

double stars, 499, 685;

direct action, 502;

use of theory, 508;

ether, 515;

experimentum crucis, 519;

interference of light, 539;

interference of sound, 540;

density of earth, 567;

residual phenomena, 569;

helicoidal dissymmetry, 630;

fluorescence, 664.

Hindenburg, on combinatorial analysis, 176.

Hipparchus, used method of repetition, 289;

longitudes of stars, 294.

Hippocrates, area of lunule, 480.

History, science of, 760.

Hobbes, Thomas, definition of cause, 224;

definition of time, 307;

on hypothesis, 510.

Hofmann, unit called crith, 321;

on prediction, 544;

on anomalies, 670.

Homogeneity, law of, 159, 327.

Hooke, on gravitation, 436, 581;

philosophical method, 507;

on strange things, 671.

Hopkinson, John, 194;

method of interpolation, 497.

Horrocks, use of mean, 358;

use of hypothesis, 507.

Hume on perception, 34.

Hutton, density of earth, 566.

Huxley, Professor Thomas, 764;

on hypothesis, 509;

classification, 676;

mammalia, 682;

palæontology, 682.

Huyghens, theory of pendulum, 302;

pendulum standard, 315;

cycloidal pendulum, 341;

differential method, 344;

distant stars, 405;

use of hypothesis, 508;

philosophical method of, 585;

on analogy, 639.

Hybrids, 727.

Hydrogen, expansion of, 471;

refractive power, 527;

metallic nature of, 691.

Hygrometry, 563.

Hypotheses, use of, 265, 504;

substitution of simple hypotheses, 458;

working hypotheses, 509;

requisites of, 510;

descriptive, 522, 686;

representative, 524;

probability of, 559.

I

Identical propositions, 119.

Identities, simple, 37;

partial, 40;

limited, 42;

simple and partial, 111;

inference from, 51, 55.

Identity, law of, 5, 6, 74;

expression of, 14;

propagating power, 20;

reciprocal, 46.

Illicit process, of major term, 65, 103;

of minor term, 65.

Immediate inference, 50, 61.

Imperfect induction, 146, 149.

Inclusion, relation of, 40.

Incommensurable quantities, 275.

Incompossible events, 205.

Independence of small effects, 475.

Independent events, 204.

Indestructibility of matter, 465.

Indexes, classification by, 714;

formation of, 717.

India-rubber, properties of, 545.

Indirect method of deduction, 49, 81;

illustrations of, 98;

fallacies analysed by, 102;

the test of equivalence, 115.

Induction, 11, 121;

symbolic statement of, 131;

perfect, 146;

imperfect, 149;

philosophy of, 218;

grounds of, 228;

illustrations of, 229;

quantitative, 483;

problem of two classes, 134;

problem of three classes, 137.

Inductive truths, classes of, 219.

Inequalities, reasoning by, 47, 163, 165–166.

Inference, 9;

general formula of, 17;

immediate, 50;

with two simple identities, 51;

from simple and partial identity, 53;

with partial identities, 55;

by sum of predicates, 61;

by disjunctive propositions, 76;

indirect method of, 81;

nature of, 118;

principle of mathematical, 162;

certainty of, 236.

Infima species, 701, 702.

Infiniteness of universe, 738.

Inflection of light, 420.

Instantiæ, citantes, evocantes, radii, curriculi, 270;

monodicæ, irregulares, heteroclitæ, 608;

clandestinæ, 610.

Instruments of measurement, 284.

Insufficient enumeration, 176.

Integration, 123.

Intellect, etymology of, 5.

Intension of logical terms, 26, 48;

of propositions, 47.

Interchangeable system, 20.

Interpolation, 495;

in meteorology, 497.

Inverse, process, 12;

operation, 122, 689;

problem of two classes, 134;

problem of three classes, 137;

problem of probability, 240, 251;

rules of inverse method, 257;

simple illustrations, 253;

general solution, 255.

Iodine, the substance X, 523.

Iron, properties of, 528, 670.

Is, ambiguity of verb, 16, 41.

Isomorphism, 662.

Ivory, 375.

J

James, Sir H., on density of earth, 567.

Jenkin, Professor Fleming, 328.

Jevons, W. S., on use of mean, 361;

on pedesis or molecular movement of microscopic particles, 406, 549;

cirrous clouds, 411;

spectrum analysis, 429;

elevated rain-gauges, 430;

experiments on clouds, 447;

on muscular exertion, 490;

resisting medium, 570;

anticipations of the electric telegraph, 671.

Jones, Dr. Bence, Life of Faraday, 578.

Jordanus, on the mean, 360.

Joule, 545;

on thermopile, 299, 300;

mechanical equivalent of heat, 325, 347, 568;

temperature of air, 343;

rarefaction, 444;

on Thomson’s prediction, 543;

molecular theory of gases, 548;

friction, 549;

thermal phenomena of fluids, 557.

Jupiter, satellites of, 372, 458, 638, 656;

long inequality of, 455;

figure of, 556.

K

Kames, Lord, on bifurcate classification, 697.

Kant, disjunctive propositions, 69;

analogy, 597;

doctrine of space, 769.

Kater’s pendulum, 316.

Keill, law of emanating forces, 464;

axiom of simplicity, 625.

Kepler, on star-discs, 390;

comets, 408;

laws of, 456;

refraction, 501;

character of, 578.

Kinds of things, 718.

King Charles and the Royal Society, 647.

Kirchhoff, on lines of spectrum, 245.

Kohlrausch, rules of approximate calculation, 479.

L

Lagrange, formula for interpolation, 497;

accidental discovery, 531;

union of algebra and geometry, 633.

Lambert, 15.

Lamont, 452.

Language, 8, 628, 643.

Laplace, on probability, 200, 216;

principles of inverse method, 242;

solution of inverse problem, 256;

planetary motions, 249, 250;

conjunctions of planets, 293;

observation of tides, 372;

atmospheric tides, 367;

law of errors, 378;

dark stars, 404;

hyperbolic comets, 407;

his works on probability, 395;

velocity of gravity, 435;

stability of planetary system, 448, 746;

form of Jupiter, 556;

corpuscular theory, 521;

ellipticity of earth, 565;

velocity of sound, 571;

analogy, 597;

law of gravity, 615;

inhabitants of planets, 640;

laws of motion, 706;

power of science, 739.

Lavoisier, mistaken inference of, 238;

pyrometer, 287;

on experiments, 423;

prediction of, 544;

theory, 611;

on acids, 667

Law, 3;

of simplicity, 33, 72, 161;

commutativeness, 35, 160;

disjunctive relation, 71;

unity, 72, 157, 162;

identity, 74;

contradiction, 74, 82;

duality, 73, 74, 81, 97, 169;

homogeneity, 159;

error, 374;

continuity, 615;

of Boyle, 619;

natural, 737.

Laws, of thought, 6;

empirical mathematical, 487;

of motion, 617;

of botanical nomenclature, 727;

natural hierarchy of, 742.

Least squares, method of, 386, 393.

Legendre, on geometry, 275;

rejection of observations, 391;

method of least squares, 377.

Leibnitz, 154, 163;

on substitution, 21;

propositions, 42;

blunder in probability, 213;

on Newton, 515;

continuity, 618.

Leslie, differential thermometer, 345;

radiating power, 425;

on affectation of accuracy, 482.

Letters, combinations of, 193.

Leverrier, on solar parallax, 562.

Lewis, Sir G. C., on time, 307.

Life is change, 173.

Light, intensity of, 296;

unit, 324;

velocity, 535, 560, 561;

science of, 538;

total reflection, 650;

waves of, 637;

classification of, 731.

Lighthouses, Babbage on, 194.

Limited identities, 42;

вывод 59.

Lindsay, Prof. T. M., 6, 21.

Linear variation, 474.

Linnæus on synopsis, 712;

genera and species, 725.

Liquid state, 601, 614.

Locke, John, on induction, 121;

origin of number, 157;

on probability, 215;

the word power, 221.

Lockyer, J. Norman, classification of elements, 676.

Logarithms, 148;

errors in tables, 242.

Logic, etymology of name, 5.

Logical abacus, 104.

Logical alphabet, 93, 116, 173, 417, 701;

table of, 94;

connection with arithmetical triangle, 189;

in probability, 205.

Logical conditions, numerical meaning of, 171.

Logical machine, 107.

Logical relations, number of, 142.

Logical slate, 95.

Logical truths, certainty of, 153.

Lottery, the infinite, 2.

Lovering, Prof., on ether, 606.

Lubbock and Drinkwater-Bethune, 386, 395.

Lucretius, rain of atoms, 223, 741;

indestructibility of matter, 622.

M

Machine, logical, 107.

Macleay, system of classification, 719.

Magnetism of gases, 352.

Mallet, on earthquakes, 314.

Malus, polarised light, 530.

Mammalia, characters of, 681.

Manchester Literary and Philosophical Society, papers quoted, 137, 143, 168.

Mansel, on disjunctive propositions, 69.

Mars, white spots of, 596.

Maskelyne, on personal error, 347;

deviation of plumbline, 369;

density of earth, 566.

Mass, unit of, 317, 325.

Mathematical science, 767;

incompleteness of, 754.

Matter, uniform properties of, 603;

variable properties, 606.

Matthiessen, 528.

Maximum points, 371.

Maxwell, Professor Clerk, on the balance, 304;

natural system of standards, 311, 319;

velocity of electricity, 442;

on Faraday, 580;

his book on Matter and Motion, 634.

Mayer, proposed repeating circle, 290;

on mechanical equivalent of heat, 568, 572.

Mean (среднее), этимология, 359–360;

geometric, 362;

fictitious, 363;

precise, 365;

probable, 385;

rejection of, 389;

method of, 357, 554.

Mean error, 387.

Meaning, of names, 25;

of propositions, 47.

Measurement, of phenomena, 270;

methods of, 282;

instruments, 284;

indirect, 296;

accuracy of, 303;

units and standards of, 305;

explained results of, 554;

agreement of modes of, 564.

Mediate statements, 144.

Melodies, possible number of, 191.

Melvill, Thomas, on the spectrum, 429.

Membra dividentia, 68.

Metals, probable character of new, 258;

transparency, 548;

classification, 675;

density, 706.

Method, indirect, 98;

of avoidance of error, 340;

differential, 344;

correction, 346;

compensation, 350;

reversal, 354;

means, 357;

least squares, 377, 386, 393;

variations, 439;

graphical, 492;

Baconian, 507.

Meteoric streams, 372.

Meteoric cycle, 537.

Metre, 349;

error of, 314.

Metric system, 318, 323.

Michell, speculations, 212;

on double stars, 247;

Pleiades, 248;

torsion balance, 566.

Middle term undistributed, 64.

Mill, John Stuart, disjunctive propositions, 69;

induction, 121, 594;

music, 191;

probability, 200–201, 222;

supposed reform of logic, 227;

deductive method, 265, 508;

elimination of chance, 385;

joint method of agreement and difference, 425;

method of variations, 484;

on collocations, 740;

erroneous tendency of his philosophy, 752.

Miller, Prof. W. H., kilogram, 318.

Mind, powers of, 4;

phenomena of, 672.

Minerals, classification of, 678.

Minor term, illicit process of, 65.

Mistakes, 7.

Modus, tolendo ponens, 77;

ponendo tollens, 78.

Molecular movement, or pedesis, 406.

Molecules, number of, 195.

Momentum, 322, 326.

Monro, C. J., correction by, 172;

on Comte, 753.

Monstrous productions, 657.

Moon, supposed influence on clouds, 410;

atmosphere of, 434;

motions, 485;

fall towards earth, 555.

Morse alphabet, 193.

Mother of pearl, 419.

Müller, Max, on etymology of intellect, 5.

Multiplication in logic, 161.

Murphy, J. J., on disjunctive relation, 71.

Murray, introduced use of ice, 343.

Muscular susurrus, 298.

Music, possible combinations of, 191.

N

Names, 25;

of persons, ships, &c., 680.

Nature, 1;

laws of, 737;

uniformity of, 745.

Nebular theory, 427.

Negation, 44.

Negative arguments, 621.

Negative density, 642.

Negative premises, 63, 103.

Negative propositions, 43.

Negative results of experiment, 434.

Negative terms, 14, 45, 54, 74.

Neil on use of hypothesis, 509.

Neptune, discovery of, 537, 660.

Newton, Sir Isaac, binomial theorem, 231;

spectrum, 262, 418, 420, 424, 583;

rings of, 288, 470;

velocity of sound, 295;

wave-lengths, 297;

use of pendulum, 303;

on time, 308;

definition of matter, 316;

pendulum experiment, 348, 443, 604;

centrobaric bodies, 365;

on weight, 422;

achromatic lenses, 432;

resistance of space, 435;

absorption of light, 445;

planetary motions, 249, 457, 463, 466, 467;

infinitesimal calculus, 477;

as an alchemist, 505;

his knowledge of Bacon’s works, 507;

hypotheses non fingo, 515;

on vortices, 517;

theory of colours, 518;

corpuscular theory of light, 520;

fits of easy reflection, &c., 523;

combustible substances, 527;

gravity, 555, 650;

density of earth, 566;

velocity of sound, 571;

third law of motion, 622;

his rules of philosophising, 625;

fluxions, 633;

theory of sound, 636;

negative density, 642;

rays of light having sides, 662.

Newtonian Method, 581.

Nicholson, discovery of electrolysis, 530.

Ninth Bridgewater Treatise quoted, 743, 757.

Nipher, Professor, on muscular exertion, 490.

Noble, Captain, chronoscope, 308, 616.

Nomenclature, laws of botanical, 727.

Non-observation, arguments from, 411.

Norwood’s measurement of a degree, 272.

Nothing, 32.

Number, nature of, 153, 156;

concrete and abstract, 159, 305.

Numbers, prime, 123;

of Bernoulli, 124;

figurate, 183;

triangular, &c., 185.

Numerical abstraction, 158.

O

Observation, 399;

mental conditions, 402;

instrumental and sensual conditions, 404;

external conditions, 407.

Obverse statements, 144.

Ocean, depth of, 297.

Odours, 732.

Oersted, on electro-magnetism, 530, 535.

Or, meaning of, 70.

Order, of premises, 114;

of terms, 33.

Orders of combinations, 194.

Original research, 574.

Oscillation, centre of, 364.

Ostensive instances, 608.

Ozone, 663.

P

π, value of, 234, 529.

Pack of cards, arrangement of, 241.

Paley on design, 762, 763.

Parallax, of stars, 344;

of sun, 560.

Parallel forces, 652.

Paralogism, 62.

Parity of reasoning, 268.

Partial identities, 40, 55, 57, 111;

induction of, 130.

Particular quantity, 56.

Particulars, reasoning from, 227.

Partition, 29.

Pascal, 176;

arithmetical machine, 107;

arithmetical triangle, 182;

binomial formula, 182;

error in probabilities, 213;

barometer, 519.

Passive state of steel, 659.

Pedesis, or molecular movement of microscopic particles, 406, 612.

Peirce, Professor, 23;

on rejection of observations, 391.

Pendulum, 290, 302, 315;

faults of, 311;

vibrations, 453, 454;

cycloidal, 461.

Perfect induction, 146, 149.

Perigon, 306.

Permutations, 173, 178;

distinction from combinations, 177.

Personal error, 347.

Photometry, 288.

Physiology, exceptions in, 666.

Planets, conjunctions of, 181, 187, 657;

discovery of, 412;

motions, 457;

perturbations of, 657;

classification, 683;

system of, 748.

Plants, classification of, 678.

Plateau’s experiments, 427.

Plato on science, 595.

Plattes, Gabriel, 434, 438.

Pliny on tides, 451.

Plumb-line, divergence of, 461.

Plurality, 29, 156.

Poinsot, on probability, 214.

Poisson, on principle of the inverse method, 244;

work on Probability, 395;

Newton’s rings, 470;

simile of ballot box, 524.

Polarisation, 653;

discovery of, 530.

Pole-star, 652;

observations of, 366.

Poles, of magnets, 365;

of battery, 421.

Political economy, 760.

Porphyry, on the Predicables, 698;

tree of, 702.

Port Royal logic, 22.

Positive philosophy, 760, 768.

Pouillet’s pyrheliometer, 337.

Powell, Baden, 623;

on planetary motions, 660.

Power, definition of, 224.

Predicables, 698.

Prediction, 536, 739;

in science of light, 538;

theory of undulations, 540;

other sciences, 542;

by inversion of cause and effect, 545.

Premises, order of, 114.

Prime numbers, 123, 139;

formula for, 230.

Principia, Newton’s, 581, 583.

Principle, of probability, 200;

inverse method, 242;

forced vibrations, 451;

approximation, 471;

co-existence of small vibrations, 476;

superposition of small effects, 476.

Probable error, 555.

Probability, etymology of, 197;

theory of, 197;

principles, 200;

calculations, 203;

difficulties of theory, 213;

application of theory, 215;

in induction, 219;

in judicial proceedings, 216;

works on, 394;

results of law, 656.

Problems, to be worked by reader, 126;

inverse problem of two classes, 135;

of three classes, 137.

Proclus, commentaries of, 232.

Proctor, R. A., star-drifts, 248.

Projectiles, theory of, 466.

Proper names, 27.

Properties, generality of, 600;

uniform, 603;

extreme instances, 607;

correlation, 681.

Property, logical, 699;

peculiar, 699.

Proportion, simple, 501.

Propositions, 36;

negative, 43;

conversion of, 46;

twofold meaning, 47;

disjunctive, 66;

equivalence of, 115;

identical, 119;

tautologous, 119.

Protean verses, 175.

Protoplasm, 524, 764.

Prout’s law, 263, 464.

Provisional units, 323.

Proximate statements, 144.

Pyramidal numbers, 185.

Pythagoras, on duality, 95;

on the number seven, 262, 624.

Q

Quadric variation, 474.

Qualitative, reasoning, 48;

propositions, 119.

Quantification of predicate, 41.

Quantitative, reasoning, 48;

propositions, 119;

questions, 278;

induction, 483.

Quantities, continuous, 274;

incommensurable, 275.

Quaternions, 160, 634.

Quetelet, 188;

experiment on probability, 208;

on mean and average, 363;

law of error, 378, 380;

verification of law of error, 385.

R

Radian, 306.

Radiant matter, 642.

Radiation of heat, 430.

Radiometer, 435.

Rainbow, theory of, 526, 533.

Rainfall, variation of, 430.

Ramean tree, 703, 704.

Ramsden’s balance, 304.

Rankine, on specific heat of air, 557;

reconcentration of energy, 751.

Rational formulæ, 489.

Rayleigh, Lord, on graphical method, 495.

Reasoning, arithmetical, 167;

numerically definite, 168;

geometrical, 458.

Recorde, Robert, 15.

Reduction, of syllogisms, 85;

ad absurdum, 415;

of observations, 552, 572.

Reflection, total, 650.

Refraction, atmospheric, 340, 356, 500;

law of, 501;

conical, 540;

double, 585.

Regnault, dilatation of mercury, 342;

measurement of heat, 350;

exact experiment, 397;

on Boyle’s law, 468, 471;

latent heat of steam, 487;

graphical method, 494;

specific heat of air, 557.

Reid, on bifurcate classification, 697.

Reign of law, 741, 759.

Rejection of observations, 390.

Relation, sign of, 17;

logic of, 22;

logical, 35;

axiom of, 164.

Repetition, method of, 287, 288.

Representative hypotheses, 524.

Reproduction, modes of, 730.

Reservation of judgment, 592.

Residual effects, 558;

phenomena, 560, 569.

Resisting medium, 310, 523, 570.

Resonance, 453.

Reusch, on substitution, 21.

Reversal, method of, 354.

Revolution, quantity of, 306.

Robertson, Prof. Croom, 27, 101.

Robison, electric curves, 446.

Rock-salt, 609.

Rœmer, divided circle, 355;

velocity of light, 535.

Roscoe, Prof., photometrical researches, 273;

solubility of salts, 280;

constant flame, 441;

absorption of gases, 499;

vanadium, 528;

atomic weight of vanadium, 392, 649.

Rousseau on geometry, 233.

Rules, of inference, 9, 17;

indirect method of inference, 89;

for calculation of combinations, 180;

of probabilities, 203;

of inverse method, 257;

for elimination of error, 353.

Rumford, Count, experiments on heat, 343, 350, 467.

Ruminants, Cuvier on, 683.

Russell, Scott, on sound, 541.

S

Sample, use of, 9.

Sandeman, on perigon, 306;

approximate arithmetic, 481.

Saturn, motions of satellites, 293;

rings, 293.

Schehallien, attraction of, 369, 566.

Schottus, on combinations, 179.

Schwabe, on sun-spots, 452.

Science, nature of, 1, 673.

Selenium, 663, 670.

Self-contradiction, 32.

Senior’s definition of wealth, 75.

Senses, fallacious indications of, 276.

Seven, coincidences of number, 262;

fallacies of, 624.

Sextus, fatality of name, 264.

Sieve of Eratosthenes, 82, 123, 139.

Similars, substitution of, 17.

Simple identity, 37, 111;

inference of, 58;

contrapositive, 86;

induction of, 127.

Simple statement, 143.

Simplicity, law of, 33, 58, 72.

Simpson, discovery of property of chloroform, 531.

Simultaneity of knowledge, 34.

Singular names, 27;

terms, 129.

Siren, 10, 298, 421.

Slate, the logical, 95.

Smeaton’s experiments, on water-wheels, 347;

windmills, 401, 441.

Smee, Alfred, logical machines, 107.

Smell, delicacy of, 437.

Smithsonian Institution, 329.

Smyth, Prof. Piazzi, 452.

Socrates, on the sun, 611.

Solids, 602.

Solubility of salts, 279.

Some, the adjective, 41, 56.

Sorites, 60.

Sound, observations on, 356;

undulations, 405, 421;

velocity of, 571;

classification of sounds, 732.

Space, relations of, 220.

Species, 698;

infima, 701;

natural, 724.

Specific gravities, 301;

heat of air, 557.

Spence, on boiling point, 546.

Spencer, Herbert, nature of logic, 4, 7;

sign of equality, 15;

rhythmical motion, 448;

abstraction, 705;

philosophy of, 718, 761, 762.

Spectroscope, 437.

Spectrum, 583.

Spiritualism, 671.

Spontaneous generation, 432.

Standards of measurement, 305;

the bar, 312;

terrestrial, 314;

pendulum, 315;

provisional, 318;

natural system, 319.

Stars, discs of, 277;

motions of, 280, 474;

variations of, 281;

approach or recess, 298;

standard stars, 301;

apparent diameter, 390;

variable, 450;

proper motions, 572;

Bruno on, 639;

new, 644;

pole-star, 652;

conflict with wandering stars, 748.

Stas, M., his balance, 304;

on atomic weights, 464.

Statements, kinds of, 144.

Statistical conditions, 168.

Stevinus, on inclined plane, 622.

Stewart, Professor Balfour, on resisting medium, 570;

theory of exchanges, 571.

Stifels, arithmetical triangle, 182.

Stokes, Professor, on resistance, 475;

fluorescence, 664.

Stone, E. J., heat of the stars, 370;

temperature of earth’s surface, 452;

transit of Venus, 562.

Struve on double stars, 247.

Substantial terms, 28.

Substantives, 14.

Substitution of similars, 17, 45, 49, 104, 106;

anticipations of, 21.

Substitutive weighing, 345.

Sui generis, 629, 728.

Sulphur, 670.

Summum genus, 93, 701.

Sun, distance, 560;

variations of spots, 452.

Superposition, of small effects, 450;

small motions, 476.

Swan, W., on sodium light, 430.

Syllogism, 140;

moods of, 55, 84, 85, 88, 105, 141;

numerically definite, 168.

Symbols, use of, 13, 31, 32;

of quantity, 33.

Synthesis, 122;

of terms, 30.

T

Table-turning, 671.

Tacit knowledge, 43.

Tacquet on combinations, 179.

Tait, P. G., 375;

theory of comets, 571.

Talbot on the spectrum, 429.

Tartaglia on projectiles, 466.

Tastes, classification of, 732.

Tautologous propositions, 119.

Teeth, use in classification, 710.

Temperature, variations of, 453.

Tension of aqueous vapour, 500.

Terms, 24;

abstract, 27;

substantial, 28;

collective, 29;

synthesis of, 30;

negative, 45.

Terrot, Bishop, on probability, 212.

Test experiments, 347, 433.

Tetractys, 95.

Thales, predicted eclipse, 537.

Theory, results of, 534;

facts known by, 547;

quantitative, 551;

of exchanges, 571;

freedom of forming, 577;

of evolution, 761.

Thermometer, differential, 345;

reading of, 390;

change of zero, 390.

Thermopile, 300.

Thomas, arithmetical machine, 107.

Thomson, Archbishop, 50, 61.

Thomson, James, prediction by, 542;

on gaseous state, 654.

Thomson, Sir W., lighthouse signals, 194;

size of atoms, 195;

tides, 450;

capillary attraction, 614;

magnetism, 665;

dissipation of energy, 744.

Thomson and Tait, chronometry, 311;

standards of length, 315;

the crowbar, 460;

polarised light, 653.

Thomson, Sir Wyville, 412.

Thunder-cloud, 612.

Tides, 366, 450, 476, 541;

velocity of, 298;

gauge, 368;

atmospheric, 367, 553.

Time, 220;

definition of, 307.

Todhunter, Isaac, History of the Theory of Probability, 256, 375, 395;

on insoluble problems, 757.

Tooke, Horne, on cause, 226.

Torricelli, cycloid, 235;

his theorem, 605;

on barometer, 666.

Torsion balance, 272, 287.

Transit of Venus, 294, 348, 562.

Transit-circle, 355.

Tree of Porphyry, 702;

of Ramus, 703.

Triangle, arithmetical, 93, 182.

Triangular numbers, 185.

Trigonometrical survey, 301;

calculations of, 756.

Trisection of angles, 414.

Tuning-fork, 541.

Tycho Brahe, 271;

on star discs, 277;

obliquity of earth’s axis, 289;

circumpolar stars, 366;

Sirius, 390.

Tyndall, Professor, on natural constants, 328;

magnetism of gases, 352;

precaution in experiments, 431;

use of imagination, 509;

on Faraday, 547;

magnetism, 549, 607;

scope for discovery, 753.

Types, of logical conditions, 140, 144;

of statements, 145;

classification by, 722.

U

Ueberweg’s logic, 6.

Ultimate statements, 144.

Undistributed, attribute, 40;

middle term, 64, 103.

Undulations, of light, 558;

analogy in theory of, 635.

Undulatory theory, 468, 520, 538, 540;

inconceivability of, 510.

Unique objects, 728.

Unit, definition of, 157;

groups, 167;

of measurement, 305;

arcual, 306;

of time, 307;

space, 312;

density, 316;

mass, 317;

subsidiary, 320;

derived, 321;

provisional, 323;

of heat, 325;

magnetical and electrical units, 326, 327.

Unity, law of, 72.

Universe, logical, 43;

infiniteness of, 738;

heat-history of, 744, 749;

possible states of, 749.

Uranus, anomalies of, 660.

V

Vacuum, Nature’s abhorrence of, 513.

Vapour densities, 548.

Variable, variant, 440, 441, 483.

Variation, linear, elliptic, &c., 474;

method of, 439.

Variations, logical, 140;

periodic, 447;

combined, 450;

integrated, 452;

simple proportional, 501.

Variety, of nature, 173;

of nature and art, 190;

higher orders of, 192.

Velocity, unit of, 321.

Venn, Rev. John, logical problem by, 90;

on Boole, 155;

his work on Logic of Chance, 394.

Venus, 449;

transits of, 294.

Verses, Protean, 175.

Vibrations, law of, 295;

principle of forced, 451;

co-existence of small, 476.

Vital force, 523.

Voltaire on fossils, 661.

Vortices, theory of, 513, 517.

Vulcan, supposed planet, 414.

W

Wallis, 124, 175.

Water, compressibility of, 338;

properties of, 610.

Watt’s parallel motion, 462.

Waves, 599, 635;

nature of, 468;

in canals, 535;

earthquake, 297.

Weak arguments, effect of, 211.

Wells, on dew, 425.

Wenzel, on neutral salts, 295.

Whately, disjunctive propositions, 69;

probable arguments, 210.

Wheatstone, cipher, 124;

galvanometer, 286;

revolving mirror, 299, 308;

kaleidophone, 445;

velocity of electricity, 543.

Whewell, on tides, 371, 542;

method of least squares, 386.

Whitworth, Sir Joseph, 304, 436.

Whitworth, Rev. W. A., on Choice and Chance, 395.

Wilbraham, on Boole, 206.

Williamson, Professor A. W., chemical unit, 321;

prediction by, 544.

Wollaston, the goniometer, 287;

light of moon, 302;

spectrum, 429.

Wren, Sir C., on gravity, 581.

X

X, the substance, 523.

Y

Yard, standard, 397.

Young, Dr. Thomas, tension of aqueous vapour, 500;

use of hypotheses, 508;

ethereal medium, 515.

Z

Zero point, 368.

Zodiacal light, 276.

Zoology, 666.

ЛОНДОН: R. CLAY, SONS, AND TAYLOR, ПЕЧАТНИКИ,

ТОГО ЖЕ АВТОРА.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ УРОКИ ЛОГИКИ: ДЕДУКТИВНОЙ И ИНДУКТИВНОЙ. С обильными вопросами и примерами, а также словарем логических терминов. Девятое издание. Fcap. 8vo. 3 с. 6 д.

БУКВАРЬ ЛОГИКИ. С иллюстрациями и вопросами. Новое издание. 18mo. 1 с.

ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ДЕДУКТИВНОЙ ЛОГИКЕ. Руководство для студентов. Crown 8vo. 6 с.

ПОДСТАНОВКА ПОДОБНЫХ — ИСТИННЫЙ ПРИНЦИП РАССУЖДЕНИЯ. Получен из модификации изречения Аристотеля. Fcap. 8vo. 2 с. 6 д.

УГОЛЬНЫЙ ВОПРОС: исследование о прогрессе нации и вероятном истощении наших угольных шахт. Второе издание, исправленное. 8vo. 10 с. 6 д.

ТЕОРИЯ ПОЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИИ. Второе издание, исправленное и дополненное, с новым предисловием. 8vo. 10 с. 6 д.

БУКВАРЬ ПОЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИИ. Новое издание. 18mo. 1 с.

ИССЛЕДОВАНИЯ В ОБЛАСТИ ВАЛЮТЫ И ФИНАНСОВ. С диаграммами и т. д. 8vo. [Скоро выйдет.]

ГОСУДАРСТВО В ОТНОШЕНИИ К ТРУДУ (Серия «Английский гражданин»). Crown 8vo. 3 с. 6 д.

MACMILLAN AND CO., ЛОНДОН.

Элементарное руководство по принципам валюты.

ДЕНЬГИ И МЕХАНИЗМ ОБМЕНА. Четвертое издание. Crown 8vo. 5 с. (Международная научная серия.)

HENRY S. KING AND CO.

СНОСКИ:

1 С тех пор как вышеизложенное было написано, г-н Харли зачитал отчет о логическом наследии Стэнхоупа на Дублинском собрании (1878 г.) Британской ассоциации. Статья будет напечатана в Mind. (Примечание добавлено в ноябре 1878 г.)

2 Leibnitii Opera Philosophica quæ extant. Erdmann, Pars I. Berolini, 1840, стр. 94.

3 Erdmann, стр. 102.

4 Ibid. стр. 98.

5 Erdmann, стр. 100.

6 Пятое издание, 1860, стр. 158.

7 Раздел 120.

8 См. его «Замечания о математическом анализе логики Буля». Отчет о 36-м собрании Британской ассоциации, Труды секций, стр. 3–6.

9 Лекции Гамильтона, том IV, стр. 319.

10 Ibid. стр. 326.

11 Чистая логика, или логика качества в отрыве от количества; с замечаниями о системе Буля и о связи логики и математики. Лондон, 1864, стр. 3.

12 La Philosophie Positive, май-июнь 1877 г., том XVIII, стр. 456.

13 Inventum Novum Quadrati Logici и др., Gissæ Hassorum, 1714, 8vo.

14 См. Систему логики Убервега и др., перевод Линдси, стр. 302.

15 С тех пор как вышеизложенное было написано, М. Лиар переиздал это изложение как одну главу интересного и удивительно ясного отчета о прогрессе логической науки в Англии. После краткого, но ясного введения, рассматривающего взгляды Гершеля, Милля и других относительно индуктивной логики, М. Лиар последовательно описывает логические системы Джорджа Бентама, Гамильтона, Де Моргана, Буля и ту, что содержится в настоящей работе. Название книги следующее: Les Logiciens Anglais Contemporains. Par Louis Liard, Professeur de Philosophie à la Faculté des Lettres de Bordeaux. Paris: Librairie Germer Baillière. 1878. (Примечание добавлено в ноябре 1878 г.)

16 Spectator, 19 сентября 1874 г., стр. 1178. Вторая часть обзора появилась в том же журнале 26 сентября 1874 г., стр. 1204.

17 Mind: ежеквартальный обзор психологии и философии. № II. Апрель 1876 г. Том I, стр. 206.

18 Части этой работы уже были опубликованы в моих статьях под названием «Философия Джона Стюарта Милля проверена», напечатанных в Contemporary Review за декабрь 1877 г., том XXXI, стр. 167, и за январь и апрель 1878 г., том XXXI, стр. 256, и том XXXII, стр. 88. (Примечание добавлено в ноябре 1878 г.)

19 Mind, том I, стр. 222.

20 Fortnightly Review, новая серия, апрель 1875 г., стр. 480. Лекция переиздана Обществом воскресных лекций, стр. 24.

21 Слова сэра У. Томсона следующие (Cambridge Mathematical Journal, ноябрь 1842 г., том III, стр. 174): «Когда x отрицательно, представленное состояние не может быть результатом какого-либо возможного распределения температуры, которое существовало ранее». В предложении нет ограничения законами теплопроводности, но, поскольку вся статья рассматривает результаты теплопроводности в твердом теле, можно, несомненно, понимать, что существует негласное ограничение. См. также вторую статью по этому вопросу в том же журнале за февраль 1844 г., том IV, стр. 67, где снова нет выраженного ограничения.

22 Стр. 25–26. Скобки стоят в оригинале и показывают исправления профессора Тейта в дословных отчетах о его лекциях. Предмет снова рассматривается на стр. 168–9.

23 Теория тепла, 1871, стр. 245.

24 Чувства и интеллект, второе издание, стр. 5, 325 и др.

25 Макс Мюллер, Лекции по науке о языке, вторая серия, том II, стр. 63; или шестое издание, том II, стр. 67. Взгляд на этимологическое значение «интеллекта» приведен выше со ссылкой на авторитет профессора Макса Мюллера. Он, по-видимому, противоположен обычному мнению, согласно которому латинское intelligere означает выбирать между, видеть разницу между, различать, вместо того чтобы объединять.

26 Хартли о человеке, том I, стр. 359.

27 Принципы психологии, второе издание, том II, стр. 86.

28 Чистая логика, или логика качества в отрыве от количества, 1864, стр. 10, 16, 22, 29, 36 и др.

29 Брюстер, Трактат о новых философских инструментах, стр. 273. Об этом методе см. также Уэвелл, Философия индуктивных наук, том II, стр. 355; Томлинсон, Philosophical Magazine, четвертая серия, том XL, стр. 328; Тиндаль в книге Юманса «Современная культура», стр. 16.

30 Формальная логика, стр. 38.

31 Литература Европы Халлама, первое издание, том II, стр. 444.

32 Очерк новой системы логики, Лондон, 1827, стр. 133 и др.

33 Исследование законов мышления, стр. 27 и др.

34 Формальная логика, стр. 82, 106. В своей более поздней работе, «Силлабус новой системы логики», он прекратил использование знака.

35 Принципы психологии, второе издание, том II, стр. 54, 55.

36 Чистая логика, или логика качества, стр. 14.

37 Чистая логика, стр. 18, 19.

38 Система логики Убервега, перевод Линдси, стр. 442–446, 571, 572. Предвосхищения принципа подстановки, которые можно найти в работах Лейбница, Рейша и, возможно, других немецких логиков, будут отмечены в предисловии ко второму изданию.

39 Подстановка подобных (1869), стр. 9.

40 Логика Пор-Рояля, перевод Спенсера Бейнса, стр. 212–219. Часть III, гл. X и XI.

41 Описание нотации для логики отношений, являющейся результатом расширения концепций исчисления логики Буля. Ч. С. Пирс. Мемуары Американской академии, том IX. Кембридж, США, 1870.

42 О силлогизме № IV и о логике отношений. Огастес Де Морган. Труды Кембриджского философского общества, том X, часть II, 1860.

43 Наблюдения над законами мышления Буля. Р. Лесли Эллис; передано преподобным Робертом Харли, F.R.S. Отчет Британской ассоциации, 1870. Отчет секций, стр. 12. Также: О законах мышления Буля. Преподобный Роберт Харли, F.R.S., там же, стр. 14.

44 Элементарные уроки логики Джевонса, стр. 41–43; Чистая логика, стр. 6. См. также Дж. С. Милль, Система логики, книга I, гл. II, раздел 5, и Элементы логики Шеддена, Лондон, 1864, стр. 14 и др. Профессор Робертсон возражает (Mind, том I, стр. 210), что я путаю единичные и собственные имена; если так, то это потому, что я придерживаюсь мнения, что те же замечания применимы к собственным именам, которые, как мне кажется, логически не отличаются от единичных имен.

45 Профессор Робертсон критиковал мое введение «субстанциальных терминов» (Mind, том I, стр. 210) и возражает, возможно, справедливо, что это различие, если оно действительно, является экстралогическим. Я склонен думать, однако, что доктрина терминов, строго говоря, по большей части экстралогична.

46 Математический анализ логики, Кембридж, 1847, стр. 17. Исследование законов мышления, Лондон, 1854, стр. 31.

47 Чистая логика, стр. 15.

48 «Velut si dicam, Sol, Sol, Sol, non tres soles effecerim, sed uno toties prædicaverim».

49 Книга I, часть IV, раздел 5.

50 Законы мышления, стр. 29. В предисловии ко второму изданию указано, что Лейбниц был знаком с законами простоты и коммутативности.

51 Первая аналитика, I, гл. XXVII, 3.

52 Британская энциклопедия, восьмое издание, ст. «Логика», раздел 37, примечание. Репринт 8vo, стр. 79.

53 Де Морган, О корне любой функции. Труды Кембриджского философского общества, 1867, том XI, стр. 25.

54 Силлабус предложенной системы логики, §§ 122, 123.

55 Элементарные уроки логики, стр. 86.

56 Очерк законов мышления, § 87.

57 Трактат по натурфилософии, том I, стр. 161.

58 Трактат по натурфилософии, том I, стр. 6.

59 Плоская аналитическая геометрия Тодхантера, гл. II, стр. 11–14.

60 Объяснение этого и других технических терминов старой логики можно найти в моих «Элементарных уроках логики», шестое издание, 1876; Macmillan.

61 Элементарные уроки логики, стр. 67, 79.

62 Чистая логика, стр. 19.

63 Очерк необходимых законов мышления, пятое издание, стр. 161.

64 Олдрич Мансела, стр. 103, и Prolegomena Logica, стр. 221.

65 Элементы логики, книга II, гл. IV, раздел 4.

66 Олдрич, Artis Logicæ Rudimenta, стр. 104.

67 Исследование философии сэра У. Гамильтона, стр. 452–454.

68 Чистая логика, стр. 76, 77.

69 Чистая логика, стр. 65. См. также критику этого пункта Де Морганом в Athenæum, № 1892, 30 января 1864 г., стр. 155.

70 Законы мышления Буля, стр. 106. Чистая логика Джевонса, стр. 69.

71 О силлогизме, № III, стр. 12. Труды Кембриджского философского общества, том X, часть I.

72 См. Хорсли, Философские труды, 1772, том LXII, стр. 327. Монтюкла, История математики, том I, стр. 239. Пенни-циклопедия, статья «Эратосфен».

73 Евклид, книга X, предложение 117.

74 Philosophical Magazine, декабрь 1852 г.; четвертая серия, том IV, стр. 435, «О косвенном доказательстве».

75 Philosophical Magazine, декабрь 1852 г., стр. 437.

76 Mind; ежеквартальный обзор психологии и философии; октябрь 1876 г., том I, стр. 487.

77 Уэвелл, История индуктивных наук, том I, стр. 222.

78 Формальная логика, стр. 124. Как указал мне профессор Крум Робертсон, вторая и третья посылки могут быть сведены в одно суждение, D = De BC ꖌ DE bc.

79 Стр. 55–59, 81–86.

80 См. его работу под названием «Процесс мышления, адаптированный к словам и языку, вместе с описанием реляционных и дифференциальных машин». Также Философские труды, [1870] том 160, стр. 518.

81 Философские труды [1870], том 160, стр. 497. Труды Королевского общества, том XVIII, стр. 166, 20 января 1870 г. Nature, том I, стр. 343.

82 Силлабус предложенной системы логики, §§ 57, 121 и др. Формальная логика, стр. 66.

83 Лекции по метафизике, том IV, стр. 369.

84 Боуэн, Трактат по логике, Кембридж, США, 1866, стр. 362.

85 Содержание этого и следующего раздела почти соответствует содержанию статьи, прочитанной перед Манчестерским литературно-философским обществом 26 декабря 1871 г. См. Труды общества, том XI, стр. 65–68, и Мемуары, третья серия, том V, стр. 119–130.

86 Труды Манчестерского литературно-философского общества, 6 февраля 1877 г., том XVI, стр. 113.

87 Монтюкла, История математики, том III, стр. 373.

88 Британский ежеквартальный обзор, № LXXXVII, июль 1866 г.

89 Mind, октябрь 1876 г., том I, стр. 484.

90 Чистая логика, приложение, стр. 82, § 192.

91 Элементарные уроки логики (Macmillan), стр. 123. В предисловии ко второму изданию указано, что взгляды, изложенные здесь, были частично сформулированы Лейбницем.

92 Силлабус предложенной системы логики, стр. 29.

93 Г-н К. Дж. Монро указал мне, что раздел 14 (стр. 339) этой статьи ошибочен и должен быть аннулирован. Задача о количестве нищих иллюстрирует ответ, который должен был быть получен. Г-н А. Дж. Эллис, F.R.S., ранее заметил, что мое решение в статье задачи Де Моргана о «людях в доме» не отвечало условиям, задуманным Де Морганом, и поэтому я привожу в тексте более удовлетворительное решение.

94 Монтюкла, История и др., том III, стр. 388.

95 Уоллис, О сочетаниях и др., стр. 119.

96 Якоб Бернулли, De Arte Conjectandi, перевод барона Масереса. Лондон, 1795, стр. 35, 36.

97 Arithmeticæ Theoria. Изд. Амстердам, 1704, стр. 517.

98 Циклопедия Риса, ст. «Шифр».

99 Полное собрание сочинений Паскаля (1865), том III, стр. 302. Монтюкла указывает имя как Де Грюйер, История математики, том III, стр. 389.

100 История математики, том III, стр. 378.

101 Бернулли, De Arte Conjectandi, перевод Фрэнсиса Масереса. Лондон, 1795, стр. 75.

102 Алгебра Уоллиса, Рассуждение о сочетаниях и др., стр. 109.

103 Полное собрание сочинений, том III, стр. 251.

104 См. также лекцию Гальтона в Королевском институте, 27 февраля 1874 г.; Каталог специальной коллекции научных инструментов, Южный Кенсингтон, № 48, 49; и Гальтон, Philosophical Magazine, январь 1875 г.

105 Уоллис, О сочетаниях, стр. 116, цитируя Воссиуса.

106 Философские труды (1803), том XCIII, стр. 193.

107 Введение в химию Гофмана, стр. 36.

108 Сочинения, под ред. Шоу, том I, стр. 141–145, цитируется в Циклопедии Риса, ст. «Шифр».

109 Nature, том I, стр. 553.

110 Формальная логика, стр. 172.

111 Philosophical Magazine, 4-я серия, том I, стр. 355.

112 Труды Королевского общества Эдинбурга, том XXI, часть 4.

113 Philosophical Magazine, 4-я серия, том VII, стр. 465; том VIII, стр. 91.

114 Мемуары Манчестерского литературно-философского общества, 3-я серия, том IV, стр. 347.

115 Письма о теории вероятностей, перевод Даунса, 1849, стр. 36, 37.

116 Энциклопедия Метрополитана, ст. «Вероятности», стр. 396.

117 Элементы логики, книга III, разделы 11 и 18.

118 Энциклопедия Метрополитана, ст. «Вероятности», стр. 400.

119 Философские труды (1767). Сокращ. том XII, стр. 435.

120 Труды Эдинбургского философского общества, том XXI, стр. 375.

121 Монтюкла, История математики, том III, стр. 386.

122 Опера Лейбница, издание Дютанса, том VI, часть I, стр. 217. История теории вероятностей Тодхантера, стр. 48. Последней работе я обязан многими утверждениями в тексте.

123 Позитивная философия, перевод Мартино, том II, стр. 120.

124 Система логики, кн. III, гл. 18, 5-е изд., том II, стр. 61.

125 Монтюкла, История, том III, стр. 405; Тодхантер, стр. 263.

126 Опыт о человеческом разумении, кн. IV, гл. 14, § 1.

127 Philosophical Magazine, 4-я серия, том I, стр. 354.

128 Опыт о человеческом разумении, кн. II, гл. XXI.

129 О природе вещей, кн. II, ст. 216–293.

130 Труды Кембриджского философского общества (1830), том III, стр. 369–372.

131 Наблюдения о природе и тенденции доктрины г-на Юма относительно отношения причины и следствия. Второе изд., стр. 44.

132 Ibid. стр. 97.

133 Система логики, кн. II, гл. III.

134 Индуктивная логика, стр. 13, 14.

135 Бэйн, Дедуктивная логика, стр. 208, 209.

136 Система логики. Введение, § 4. Пятое изд., стр. 8, 9.

137 Ibid. кн. II, гл. III, § 5, стр. 225 и др.

138 Это фигурные числа, рассматриваемые на стр. 183, 187 и др.

139 Commercium Epistolicum. Epistola ad Oldenburgum, 24 окт. 1676 г. Сочинения Ньютона Хорсли, том IV, стр. 541. См. Де Морган в Пенни-циклопедии, ст. «Биномиальная теорема», стр. 412.

140 Кн. II, гл. IV.

141 Философские труды (1866), том 146, стр. 334.

142 Бюджет парадоксов, стр. 257.

143 Труды Королевского общества (1872–3), том XXI, стр. 319.

144 Жизнь Галилея, Общество распространения полезных знаний, стр. 102.

145 Профессор Боуэн превосходно изложил этот взгляд. Трактат по логике. Кембридж, США, 1866, стр. 354.

146 Спектральный анализ Роско, 1-е изд., стр. 98.

147 Письма Эйлера к немецкой принцессе, перевод Хантера. 2-е изд., том II, стр. 17, 18.

148 Химия Лавуазье, перевод Керра. 3-е изд., стр. 114, 121, 123.

149 Письма Эйлера, том II, стр. 21.

150 Ларднер, Эдинбургский обзор, июль 1834 г., стр. 277.

151 Mémoires par divers Savans, том VI; цитируется Тодхантером в его Истории теории вероятностей, стр. 458.

152 Пуассон, Recherches sur la Probabilité des Jugements, Париж, 1837, стр. 82, 83.

153 Исследования Кирхгофа о солнечном спектре. Первая часть, перевод Роско, стр. 18, 19.

154 Эдинбургский обзор, № 185, том XCII, июль 1850 г., стр. 32; Эссе Гершеля, стр. 421; Труды Кембриджского философского общества, том I, стр. 43.

155 Evans’ Ancient Stone Implements of Great Britain. London, 1872 (Longmans).

156 Гершель, Очерки астрономии, 1849, стр. 565; но Тодхантер в своей Истории теории вероятностей, стр. 335, утверждает, что расчеты не согласуются с теми, что опубликованы Струве.

157 Философские труды, 1767, том LVII, стр. 431.

158 Philosophical Magazine, 3-я серия, том XXXVII, стр. 401, декабрь 1850 г.; также август 1849 г.

159 История и др., стр. 334.

160 Философское эссе, стр. 57.

161 Труды Королевского общества; 20 января 1870 г.; Philosophical Magazine, 4-я серия, том XXXIX, стр. 381.

162 Начала, кн. II. Общая схолия.

163 Философское эссе, стр. 55. Лаплас, по-видимому, считает кольца Сатурна дающими два независимых движения.

164 Лаббок, Эссе о вероятности, стр. 14. Де Морган, Энциклопедия Метрополитана, ст. «Вероятность», стр. 412. История теории вероятностей Тодхантера, стр. 543. Относительно возражений, выдвинутых против этих выводов Булем, см. Philosophical Magazine, 4-я серия, том II, стр. 98. Законы мышления Буля, стр. 364–375.

165 Лаплас, Философское эссе, стр. 55, 56.

166 Астрономия Чемберса, 2-е изд., стр. 346–49.

167 Элементарный трактат по исчислению вероятностей, 3-е изд. (1833), стр. 148.

168 Законы мышления, стр. 368–375.

169 Эссе о вероятностях Де Моргана, Циклопедия Кабинета, стр. 67.

170 Эссе о вероятностях, стр. 128.

171 Дж. С. Милль, Система логики, 5-е издание, кн. III, гл. XVIII, § 3.

172 История Тодхантера, стр. 472, 598.

173 История Тодхантера, стр. 378, 379.

174 Философские труды, [1763], том LIII, стр. 370, и [1764], том LIV, стр. 296. Тодхантер, стр. 294–300.

175 Ньютон, «Оптика», кн. I, ч. II, предл. 3; «Nature», т. I, стр. 286.

176 Аристотель, «Метафизика», XIII, 6, 3.

177 Possunt autem omnes testes et uno annulo signare testamentum. Quid enim si septem annuli una sculptura fuerint, secundum quod Pomponio visum est? — Юстиниан, II, тит. X, 5.

178 См. Уиллс, «Косвенные улики» (Wills on Circumstantial Evidence), стр. 148.

179 «Мемуары Королевского астрономического общества», т. IV, стр. 290, цитируется по Ларднеру, «Эдинбургское обозрение», июль 1834 г., стр. 278.

180 Бейли, «Каталог звезд Британской ассоциации», стр. 7, 23.

181 «Очерки астрономии», 4-е изд., разд. 781, стр. 522. «Результаты наблюдений на мысе Доброй Надежды» и др., стр. 37.

182 См. Де Морган, «Изучение математики», в библиотеке U.K.S., стр. 81.

183 Лумис, «О северном сиянии». «Труды Смитсоновского института», цитируется по «Третьему путешествию Парри», стр. 61.

184 «Словарь химии» Уоттса, т. II, стр. 790.

185 «Философские труды» (1856), т. 146, ч. I, стр. 297.

186 Эйри, «О приливах и волнах», «Энциклопедия Метрополитана», стр. 345. Скотт Рассел, «Отчет Британской ассоциации», 1837 г., стр. 432.

187 Гюйгенс, «Космотеорос», стр. 117, 118. Лаплас, «Система мира», перевод, т. I, стр. 67.

188 Грант, «История физической астрономии», стр. 129.

189 Бейли, «Описание Флемстида», стр. lix.

190 Жамен, «Курс физики», т. I, стр. 152.

191 Фарадей, «Химические исследования», стр. 393.

192 «Протоколы Королевского общества», 30 ноября 1866 г.

193 Гершель, «Физическая география», § 40.

194 Principia, bk. iii. Prop. 37, Corollaries, 2 and 3. Motte’s translation, vol. ii. p. 310.

195 Роско, «Спектральный анализ», 1-е изд., стр. 296.

196 «Философские труды» (1859), т. CXLIX, стр. 94.

197 «Словарь химии» Уоттса, т. II, стр. 393.

198 «Философские труды» (1859), т. CXLIX, стр. 119 и сл.

199 Бейли, «Описание Флемстида», стр. 378–380.

200 Гершель, «Астрономия», § 817, 4-е изд., стр. 553.

201 «Математические начала натуральной философии», кн. II, разд. 6, предл. 31. Перевод Мотта, т. II, стр. 107.

202 Там же, кн. I, закон III, следствие 6. Перевод Мотта, т. I, стр. 33.

203 Томсон и Тэйт, «Натуральная философия», т. I, стр. 333.

204 «Философские труды» (1856), т. CXLVI, стр. 330, 331.

205 «Первый ежегодный отчет Монетного двора», стр. 106.

206 Джевонс, в «Словаре химии» Уоттса, т. I, стр. 483.

207 Британская ассоциация, Глазго, 1856 г. Обращение президента механической секции.

208 «Пеликотетика, или наука о количестве; элементарный трактат по алгебре и ее основам — арифметике». Арчибальд Сандеман, магистр искусств, Кембридж (Deighton, Bell, and Co.), 1868 г., стр. 304.

209 Де Морган, «Тригонометрия и двойная алгебра», стр. 5.

210 «Английские сочинения Томаса Гоббса», под ред. Молсуорта, т. I, стр. 95.

211 «Исповедь», кн. XI, главы 20–28.

212 Сэр Дж. К. Льюис приводит много любопытных подробностей относительно измерения времени в своей «Астрономии древних», стр. 241 и сл.

213 «Математические начала натуральной философии», кн. I, схолия к определениям. Перевод Мотта, т. I, стр. 9. См. также стр. 11.

214 Рэнкин, «Философский журнал», февраль 1867 г., т. XXXIII, стр. 91.

215 «Трактат по натуральной философии», т. I, стр. 179.

216 «Протоколы Манчестерского философского общества», 28 ноября 1871 г., т. XI, стр. 33.

217 «Элементы натуральной философии», ч. I, стр. 119.

218 См. Харрис, «Эссе о деньгах и монетах», ч. II [1758], стр. 127.

219 «Философский журнал» (1868), 4-я серия, т. XXXVI, стр. 32.

220 «Протоколы Королевского общества», 20 июня 1872 г., т. XX, стр. 438.

221 Кейтер, «Трактат по механике», «Кабинетная циклопедия», стр. 154.

222 Грант, «История физической астрономии», стр. 156.

223 Клерк Максвелл, «Теория теплоты», стр. 79.

224 «Трактат по электричеству и магнетизму», т. I, стр. 3.

225 «Химия для студентов», А. У. Уильямсон. Серия «Кларендон Пресс», 2-е изд., предисловие, стр. vi.

226 «Введение в химию», стр. 131.

227 «Философские труды» (1859), т. CXLIX, стр. 884 и сл.

228 «Аналитическая теория теплоты», Париж, 1822 г., §§ 157–162.

229 Тиндаль, «Звук», 1-е изд., стр. 26.

230 Британская ассоциация, Кембридж, 1833 г. Отчет, стр. 484–490.

231 «Смитсоновские сборники», т. XII, «Константы природы», ч. I. Удельные веса, составленные Ф. У. Кларком, 8-ка, Вашингтон, 1873 г.

232 Дж. У. Л. Глейшер, «Философский журнал», 4-я серия, т. XLII, стр. 421.

233 Стокс, «Философские труды» (1852), т. CXLII, стр. 529.

234 «Адмиралтейское руководство по научным исследованиям», 2-е изд., стр. 299.

235 Пуйе, «Научные мемуары Тэйлора», т. IV, стр. 45.

236 Бейли, «Описание преподобного Джона Флемстида», стр. 58.

237 Жамен, «Курс физики», т. II, стр. 15–28.

238 «Философский журнал», 1851 г., 4-я серия, т. II, passim.

239 Херн, «Философские труды», 1847 г., т. CXXXVII, стр. 217–221.

240 «Корреляция физических сил», 3-е изд., стр. 159.

241 «Собрание сочинений сэра Г. Дэви», т. II, стр. 12–14. «Элементы химической философии», стр. 94.

242 «Журнал Николсона», т. I, стр. 241; цитируется в «Трактате о теплоте», Общество полезных знаний, стр. 24.

243 Клерк Максвелл, «Теория теплоты», стр. 228. «Протоколы Манчестерского философского общества», 26 ноября 1867 г., т. VII, стр. 35.

244 Лесли, «Исследование природы теплоты», стр. 10.

245 Джевонс, «Словарь химии» Уоттса, т. I, стр. 513–515.

246 «Философские труды», т. LI, стр. 100.

247 «Философский журнал», 3-я серия, т. XXVI, стр. 372.

248 «Гринвичские наблюдения за 1866 г.», стр. xlix.

249 «Философские труды», 1856 г., стр. 309.

250 «Пенни циклопедия», ст. «Прохождение», т. XXV, стр. 129, 130.

251 Там же, ст. «Наблюдение», стр. 390.

252 «Nature», т. I, стр. 85.

253 «Nature», т. I, стр. 337. См. ссылки на мемуары, описывающие этот метод.

254 «Математические начала натуральной философии», кн. I, закон III, следствие VI, схолия. Перевод Мотта, т. I, стр. 33.

255 «Химические отчеты и мемуары» Грэма, Кавендишское общество, стр. 247, 268 и сл.

256 Реньо, «Элементарный курс химии», 1851 г., т. I, стр. 141.

257 Тиндаль, «Фарадей», стр. 114, 115.

258 См., например, «Компенсированный симпиезометр», «Философский журнал», 4-я серия, т. XXXIX, стр. 371.

259 Грант, «История физической астрономии», стр. 146, 147.

260 Кетле, «О физике земного шара», стр. 174. Жамен, «Курс физики», т. I, стр. 504.

261 Бейли, «Описание Флемстида», стр. 376.

262 «Прохождение Венеры по диску Солнца», Хоррокс, Лондон, 1859 г., стр. 146.

263 Де Морган, дополнение к «Пенни циклопедии», ст. «Старые названия чисел».

264 «Пенни циклопедия», ст. «Среднее».

265 Джевонс, «Журнал Статистического общества», июнь 1865 г., т. XXVIII, стр. 296.

266 «Письма о теории вероятностей», пер. Даунса, ч. II.

267 Гершель, «Эссе» и др., стр. 404, 405.

268 «О теории ошибок наблюдений», «Труды Кембриджского философского общества», т. X, ч. II, 416.

269 Томсон и Тэйт, «Трактат по натуральной философии», т. I, стр. 394.

270 «Философское эссе о вероятностях», стр. 49, 50.

271 Грант, «История физической астрономии», стр. 163.

272 Гаусс, «Научные мемуары Тэйлора», т. II, стр. 43 и сл.

273 «Протоколы Королевского общества», т. XVIII, стр. 159 (13 января 1870 г.). «Философский журнал» (4-я серия), т. XXXIX, стр. 376.

274 Эйри, «О приливах и волнах», «Энциклопедия Метрополитана», стр. 364*–366*.

275 «Очерки астрономии», 4-е издание, § 538.

276 «Философский журнал», 3-я серия, т. XXXVII, стр. 324.

277 «Письма о теории вероятностей» Кетле, перевод О. Г. Даунса, примечания к письму XXVI, стр. 286–295.

278 «О законе вероятности ошибок наблюдений и о методе наименьших квадратов», «Мемуары Королевского астрономического общества», т. XXXIX, стр. 75.

279 «Метод наименьших квадратов. Мемуары о комбинации наблюдений», К. Ф. Гаусс. Перевод на французский Ж. Бертрана, Париж, 1855 г., стр. 6, 133 и сл.

280 Де Морган, «Пенни циклопедия», ст. «Наименьшие квадраты».

281 «Эдинбургское обозрение», июль 1850 г., т. XCII, стр. 17. Перепечатано в «Эссе», стр. 399. Этот метод доказательства обсуждается Булем, «Труды Королевского общества Эдинбурга», т. XXI, стр. 627–630.

282 «Письма о теории вероятностей», письмо XV и приложение, примечание, стр. 256–266.

283 Энке, «О методе наименьших квадратов», «Научные мемуары Тэйлора», т. II, стр. 338, 339.

284 Кетле, «Письма о теории вероятностей», перевод Даунса, письмо XIX, стр. 88. См. также «Наследственный гений» Гальтона, стр. 379.

285 «Система логики», кн. III, гл. 17, § 3. 5-е изд., т. II, стр. 56.

286 «Философия индуктивных наук», 2-е изд., т. II, стр. 408, 409.

287 «Эссе о вероятности», Общество полезных знаний, 1833 г., стр. 41.

288 «Научные мемуары Тэйлора», т. II, стр. 333.

289 «Философские труды», 1873 г., стр. 83.

290 «Научные мемуары Тэйлора», т. II, стр. 330, 347 и сл.

291 Кетле, «Письма» и др., стр. 116.

292 Бейли, «Описание Флемстида», стр. 56.

293 «Астрономический журнал» Гулда, Кембридж, Массачусетс, т. II, стр. 161.

294 Филадельфия (Лондон, Trübner), 1863 г. Приложение, т. II, стр. 558.

295 Бейкеровская лекция, «Философские труды» (1868), т. CLVIII, стр. 6.

296 «Результаты наблюдений на мысе Доброй Надежды», стр. 283.

297 «Логика случая», эссе об основаниях и области теории вероятностей, с особым вниманием к ее логическим аспектам и применению в моральных и социальных науках (Macmillan), 1876 г.

298 Гаусс, перевод Бертрана, стр. 25.

299 Жамен, «Курс физики», т. II, стр. 60.

300 «Предварительное рассуждение об изучении натуральной философии», стр. 77.

301 «Элементы химии» Лавуазье, перевод Керра, 3-е изд., стр. 148.

302 Бэббидж, «Экономика производства», стр. 194.

303 «Система мира», перевод Харта, т. II, стр. 335.

304 Это любопытное явление, которое я предлагаю назвать педезисом, или педетическим движением, от πηδόω — прыгать, тщательно описано в моей статье, опубликованной в «Ежеквартальном научном журнале» за апрель 1878 г., т. VIII (новая серия), стр. 167. См. также «Протоколы Литературно-философского общества Манчестера», 25 января 1870 г., т. IX, стр. 78, «Nature», 22 августа 1878 г., т. XVIII, стр. 440, или «Ежеквартальный научный журнал», т. VIII (новая серия), стр. 514.

305 Максвелл, «Теория теплоты», стр. 301.

306 Лаплас, «Философское эссе», стр. 59. «История» Тодхантера, стр. 491–494.

307 «Астрономия» Чемберса, 1-е изд., стр. 203.

308 «Эссе о вероятностях», «Кабинетная циклопедия», стр. 121.

309 «Философский журнал», 4-я серия (1867), т. XXXIV, стр. 64.

310 См. «Примечания к измерениям двойных звезд», 1204, 1336, 1477, 1686, 1786, 1816, 1835, 1929, 2081, 2186, стр. 265 и сл. См. также «Популярные лекции по научным предметам» Гершеля, стр. 147, и «Очерки астрономии», 7-е изд., стр. 285.

311 Джевонс, «О перистой форме облаков», «Философский журнал», июль 1857 г., 4-я серия, т. XIV, стр. 22.

312 «Астрономия», 4-е изд., стр. 358.

313 Бэббидж, «Девятый Бриджуотерский трактат», стр. 67.

314 Кювье, «Эссе о теории Земли», перевод, стр. 61 и сл.

315 «Силурия» Мурчисона, 1-е изд., стр. 432.

316 «Оплодотворение орхидей» Дарвина, стр. 48.

317 Пикок, «Алгебра», т. II, стр. 344.

318 Там же, стр. 359. Серре, «Высшая алгебра», 2-е изд., стр. 304.

319 «Трактат по оптике», Брюстер, «Кабинетная циклопедия», стр. 117.

320 «Оптика», 3-е изд., стр. 25.

321 «Экспериментальные исследования по электричеству», т. I, стр. 133, 134.

322 Там же, т. I, стр. 127, 162 и сл.

323 «Математические начала натуральной философии», кн. III, предл. VI, следствие I.

324 «Химия» Лавуазье, перевод Керра, стр. 103.

325 «Царство животных» Кювье, введение, стр. 1, 2.

326 «Экспериментальные исследования по электричеству», т. III, стр. 4.

327 «Философский журнал», 4-я серия, т. IX, стр. 327.

328 «Исследование природы теплоты», стр. 95.

329 Гершель, «Предварительное рассуждение», стр. 161.

330 «Система логики», кн. III, гл. VIII, § 4, 5-е изд., т. I, стр. 433.

331 «Очерки естественных экспериментов, проведенных в Академии дель Чименто». Перевод на английский Ричарда Уоллера, 1684 г., стр. 40 и сл.

332 Плато, «Научные мемуары Тэйлора», т. IV, стр. 16–43.

333 «Философские труды» [1826], т. CXVI, стр. 388, 389. Сочинения сэра Гемфри Дэви, т. V, стр. 1–12.

334 «Национальное обозрение», июль 1861 г., стр. 13.

335 Его опубликованные работы содержатся в «Эдинбургских физических и литературных эссе», т. II, стр. 34; «Философских трудах» [1753], т. XLVIII, стр. 261; см. также статьи Моргана в «Философских трудах» [1785], т. LXXV, стр. 190.

336 «Эдинбургский научный журнал», т. V, стр. 79.

337 «Энциклопедия Метрополитана», ст. «Свет», § 524; «Популярные лекции» Гершеля, стр. 266.

338 Тальбот, «Философский журнал», 3-я серия, т. IX, стр. 1 (1836); Брюстер, «Труды Королевского общества Эдинбурга» [1823], т. IX, стр. 433, 455; Суон, там же [1856], т. XXI, стр. 411; «Философский журнал», 4-я серия, т. XX, стр. 173 [сентябрь 1860]; Роско, «Спектральный анализ», лекция III.

339 Бальфур Стюарт, «Элементарный трактат по теплоте», стр. 192.

340 Британская ассоциация, Ливерпуль, 1870 г. Отчет об осадках, стр. 176.

341 «Философский журнал», декабрь 1861 г., 4-я серия, т. XXII, стр. 421.

342 «Экспериментальные исследования по электричеству», т. III, стр. 84 и сл.

343 «Лекции по теплоте», стр. 21.

344 Бейли, «Мемуары Королевского астрономического общества», т. XIV, стр. 29, 30.

345 Грант, «История физической астрономии», стр. 531.

346 «Философские труды», сокращенно Лоуторпом, 4-е издание, т. I, стр. 202.

347 Джевонс в «Словаре химии» Уоттса, т. II, стр. 936, 937.

348 «Открытие подземных сокровищ». Лондон, 1639 г., стр. 48.

349 Лаплас, «Система мира», перевод Харта, т. II, стр. 322.

350 «Математические начала натуральной философии», кн. II, разд. 6, предл. XXXI. Перевод Мотта, т. II, стр. 108.

351 «Очерки естественных экспериментов» и др., стр. 117.

352 «Посмертные сочинения» Гука, стр. 182.

353 «Математические начала натуральной философии», кн. III, предл. VII, следствие 1.

354 Кейл, «Введение в натуральную философию», 3-е изд., Лондон, 1733 г., стр. 48–54.

355 «Открытие подземных сокровищ», 1639 г., стр. 52.

356 «Элементы индуктивной логики», 1-е изд., стр. 175.

357 «Философские труды», т. LI, стр. 138; сокращение, т. XI, стр. 355.

358 См. исследования Бунзена и Роско в «Философских трудах» (1859), т. CXLIX, стр. 880 и сл., где они описывают постоянное пламя оксида углерода.

359 «Космос» Гумбольдта (Bohn), т. I, стр. 7.

360 Гильберт, «О магните», стр. 109.

361 «Математические начала натуральной философии», кн. III, предл. VI.

362 «Философский журнал», 3-я серия, т. XXVI, стр. 375.

363 «Оптика», 3-е изд., стр. 159.

364 Уоттс, «Словарь химии», т. III, стр. 637.

365 «Жизнь Фарадея», Бэнс Джонс, т. II, стр. 5.

366 «Предварительное рассуждение» и др., стр. 185.

367 «Философский журнал», июль 1857 г., 4-я серия, т. XIV, стр. 24.

368 «Основные начала», 3-е изд., гл. X, стр. 253.

369 Лаплас, «Система мира», т. I, стр. 50, 54 и сл.

370 «Очерки астрономии» Гершеля, 4-е изд., стр. 555–557.

371 «Космос» Гумбольдта (Bohn), т. III, стр. 229.

372 «Энциклопедия Метрополитана», ст. «Звук», § 323; «Очерки астрономии», 4-е изд., § 650, стр. 410, 487–88; «Метеорология», «Британская энциклопедия», перепечатка, стр. 197.

373 «Философские труды» (1739), т. XLI, стр. 126.

374 «Математические начала натуральной философии», кн. III, предл. 15.

375 «Уроки элементарной астрономии» Локьера, стр. 301.

376 «Трактат по натуральной философии», т. I, стр. 337 и сл.

377 «Введение в натуральную философию», 3-е изд., 1733 г., стр. 5.

378 Уоттс, «Словарь химии», т. I, стр. 455.

379 «Философские труды» (1866), т. CLVI, стр. 809.

380 «Экспериментальные исследования по электричеству», т. I, стр. 246.

381 «Математический словарь» Хаттона, т. II, стр. 287–292.

382 «Математические начала натуральной философии», кн. III, предл. 13.

383 Жамен, «Курс физики», т. I, стр. 282, 283.

384 «Лекции по волновой теории» Ллойда, стр. 22, 23.

385 «Термодинамика» Тэйта, стр. 10.

386 «Лекции по волновой теории» Ллойда, стр. 82, 83.

387 Жамен, «Курс физики», т. I, стр. 283–288.

388 Джоуль и Томсон, «Философские труды», 1854 г., т. CXLIV, стр. 337.

389 Свойства идеального газа были описаны Рэнкином, «Труды Королевского общества Эдинбурга», т. XXV, стр. 561.

Томсон и Тейт, «Натуральная философия», том I, стр. 60.

Чаллис, «Заметки о принципах чистых и прикладных вычислений», 1869, стр. 83.

«Введение в физические измерения», перевод Уоллера и Проктера, 1873, стр. 10.

«Труды Кембриджского философского общества» (1865), том XI, часть I.

Сендемен, «Пеликотетика», стр. 214.

«Наука и искусство арифметики для использования в школах». (Издательство «Уитакер и Ко»).

«Принципы приближенных вычислений», Дж. Дж. Скиннер, гражданский инженер (Нью-Йорк, Генри Холт), 1876.

Лесли, «Исследование природы теплоты», стр. 505.

«Система логики», кн. III, гл. VIII, § 6.

Лаплас, «Система мира», перевод Харта, том II, стр. 366.

«Химические отчеты и мемуары», Кавендишское общество, стр. 294.

Жамен, «Курс физики», том II, стр. 38.

«О приливах и волнах», «Энциклопедия Метрополитана», стр. 366*.

«Британская энциклопедия», статья «Метеорология». Переиздание, §§ 152–156.

Лагранж, «Уроки по исчислению функций», 1806, стр. 4.

Хотон, «Принципы механики животных», 1873, стр. 444–450. Джевонс, «Nature», 30 июня 1870, том II, стр. 158. См. также эксперименты профессора Найфера из Вашингтонского университета в Сент-Луисе в «Американском журнале науки», том IX, стр. 130, том X, стр. 1; «Nature», том XI, стр. 256, 276.

Жамен, «Курс физики», том II, стр. 50.

«Философские труды», 1826, стр. 544.

Жамен, «Курс физики», том II, стр. 24 и сл.

Дж. У. Стретт, «О поправке, иногда требуемой в кривых, претендующих на представление связи между двумя физическими величинами». «Философский журнал», 4-я серия, том XLII, стр. 441.

Гершель: «Дифференциальное исчисление» Лакруа, стр. 551.

«Полный курс метеорологии», примечание А, стр. 449.

«О вычислении эмпирических формул». «Вестник математики», новая серия, № 17, 1872.

«Словарь химии» Уоттса, том II, стр. 790.

«Ежеквартальный журнал Химического общества», том VIII, стр. 15.

«Результаты наблюдений на мысе Доброй Надежды», стр. 293.

Жамен, «Курс физики», том II, стр. 138.

«Предварительное рассуждение» и др., стр. 152.

Тиндаль, «О кометной теории», «Философский журнал», апрель 1869. 4-я серия, том XXXVII, стр. 243.

См. «Философские труды», сокращенно Лоуторпом. 4-е изд., том I, стр. 130. Я обнаружил, что мнения, подобные изложенным в тексте, были кратко выражены Де Морганом в его примечательном предисловии к книге К. Д. «От материи к духу», стр. XXI, XXII.

Горрокс, «Посмертные сочинения» (1673), стр. 276.

«Сочинения» Юнга, том I, стр. 593.

«Физический экзамен» Бойля, стр. 84.

«Сочинения» Юнга, том I, стр. 415.

«Популярные лекции по научным предметам», стр. 282.

«Сочинения» Юнга, том I, стр. 417.

«Начала», кн. III, предл. 43. Общая схолия.

Там же, кн. II, разд. IX, предл. 53.

«Жизнь Ньютона» Брюстера, 1-е изд., гл. VII.

«Рассуждение об изучении натурфилософии», стр. 151.

Там же, стр. 229.

«Новый Органон», кн. II, афоризм 36.

«Начала», кн. I, разд. XIV, предл. 96. Схолия. «Оптика», предл. VI, 3-е изд., стр. 70.

«Математические трактаты» Эри, 3-е изд., стр. 286–288.

Жамен, «Курс физики», том III, стр. 372.

«Лекции по натурфилософии» Юнга (1845), том I, стр. 361.

Пэрис, «Жизнь Дэви», стр. 274.

«Opus Majus». Изд. 1733 г. Гл. X, стр. 460.

«Оптика» Ньютона. 3-е изд., стр. 249.

Брюстер. «Трактат о новых философских инструментах», стр. 266 и сл.

Роско, Бейкерианская лекция, «Философские труды» (1868), том CLVIII, стр. 6.

«Жизнь Фарадея», том II, стр. 104.

Уоттс, «Словарь химии», том II, стр. 39 и сл.

«Бюджет парадоксов» Де Моргана, стр. 291.

«Жизнь Фарадея», том II, стр. 396.

«Экспериментальные исследования по электричеству», 1-я серия, стр. 24–44.

Эри, «О приливах и волнах», «Энциклопедия Метрополитана», стр. 348*.

Кн. I, гл. 74.

«Научные мемуары» Тейлора, том V, стр. 241.

«Математические трактаты» Эри, 3-е изд., стр. 312.

«Сочинения» Юнга, том I, стр. 412.

«Волновая теория» Ллойда, часть II, стр. 52–58. Бэббидж, «Девятый Бриджуотерский трактат», стр. 104, цитирующий Ллойда, «Труды Королевской ирландской академии», том XVII. Клифтон, «Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики», январь 1860.

«Энциклопедия Метрополитана», статья «Звук», стр. 753.

«Звук» Тиндаля, стр. 261, 273.

«История индуктивных наук» Уэвелла, том II, стр. 471. «Физическая география» Гершеля, § 77.

«Теория теплоты» Максвелла, стр. 174. «Философский журнал», август 1850. 3-я серия, том XXXVII, стр. 123.

«Философские труды», 1858, том CXLVIII, стр. 127.

«Фарадей» Тиндаля, стр. 73, 74; «Жизнь Фарадея», том II, стр. 82, 83.

«Термодинамика» Тейта, стр. 77.

«Об аналитических формах, называемых деревьями, с приложением к теории химических соединений». Отчет Британской ассоциации, 1875, стр. 257.

«Введение в химию» Гофмана, стр. 224, 225.

«Философские труды» (1855), том CXLV, стр. 100 и сл.

«Труды Манчестерского философского общества», февраль 1870.

Бальфур Стюарт, «Элементарный трактат о теплоте», 1-е изд., стр. 198.

Джевонс, «Труды Манчестерского литературно-философского общества», 25 января 1870, том IX, стр. 78.

«Философские труды», том CXLVI, стр. 249.

«История физической астрономии» Гранта, стр. 162.

«Философские труды» (1854), том CXLIV, стр. 364.

«Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества», том XXVIII, стр. 264.

Казалось бы, абсурдно повторять расточительные расходы 1874 года при приближающемся прохождении в 1882 году. Совокупная сумма, потраченная в 1874 году различными правительствами и частными лицами, вряд ли меньше 200 000 фунтов стерлингов — сумма, которая, будучи разумно потраченной на научные исследования, дала бы сотню важных результатов.

«Философские труды» (1856), том CXLVI, стр. 342.

«Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества» за 8 ноября 1844, № X, том VI, стр. 89.

«Философский журнал», 2-я серия, том XXVI, стр. 61.

Клаузиус в «Философском журнале», 4-я серия, том II, стр. 119.

«Словарь химии» Уоттса, том III, стр. 129.

«Предварительное рассуждение», §§ 158, 174. «Очерки астрономии», 4-е изд., § 856.

«Труды Манчестерского литературно-философского общества», 28 ноября 1871, том XI, стр. 33. С тех пор как были написаны вышеприведенные замечания, профессор Бальфур Стюарт указал мне на свою статью в «Трудах Манчестерского литературно-философского общества» от 15 ноября 1870 (том X, стр. 32), в которой он показывает, что тело, движущееся в среде с равномерной температурой, вероятно, испытывало бы сопротивление независимо от присутствия весомой среды, такой как газ, между движущимся телом и оболочкой. Доказательство основано на теории диссипации энергии, и этот взгляд, как говорят, принят профессорами Томсоном и Тейтом. Оболочка в данном случае используется профессором Стюартом просто как средство получения доказательства, точно так же, как она использовалась им ранее для получения доказательства некоторых следствий из теории обменов. Он придерживается мнения, что в обоих этих случаях, как только доказательство получено, от оболочки можно отказаться. Мы знаем, например, что связь между индуктивной и абсорбционной способностями тел — хотя эта связь могла быть доказана с помощью оболочки — не зависит от ее присутствия, и профессор Стюарт полагает, что точно так же два тела, или, по крайней мере, два тела, обладающие теплотой, такие как Солнце и Земля, находящиеся в относительном движении, будут испытывать замедление дифференциального движения, пока оно, возможно, в конечном итоге не прекратится.

«Каталог звезд Британской ассоциации», стр. 49.

«Экспериментальные исследования по химии и физике», стр. 372. «Философский журнал», 3-я серия, май 1846, том XXVIII, стр. 350.

См. также «Nature», 18 сентября 1873, том VIII, стр. 398.

«Теория политической экономии», стр. 3–14.

«Начала», кн. I, предл. IV.

«Оптика», кн. I, часть II, предл. 3. 3-е изд., стр. 115.

«Экспериментальное исследование природы теплоты». Предисловие, стр. XV.

Бенс Джонс, «Жизнь Фарадея», том I, стр. 362.

Там же, том II, стр. 199.

См. также его более формальное изложение в «Экспериментальных исследованиях по электричеству», 24-я серия, § 2702, том III, стр. 161.

Напечатано в «Современной культуре» под ред. Юманса, стр. 219.

«Жизнь Фарадея», том I, стр. 225.

«Риторика» Аристотеля, кн. I, 2, 11.

«Философское эссе о вероятностях», стр. 86.

«Логика» Канта, § 84, Кёнигсберг, 1800, стр. 207.

«Силлабус предлагаемой системы логики», стр. 34.

«Начала», кн. III, предл. VI. Перевод Мотта, том II, стр. 220.

Профессор Лаверинг указал на то, насколько неясны и неопределенны представления ученых об этом эфире, в своем интересном президентском обращении к Американской ассоциации в Хартфорде, 1874. «Журнал Силлимана», октябрь 1874, стр. 297. «Философский журнал», том XLVIII, стр. 493.

«Новый Органон», кн. II, афоризмы 24, 25.

Там же, аф. 28.

«Философские труды» (1856), том CXLVI, стр. 246.

«Философский журнал», 4-я серия, январь 1870, том XXXIX, стр. 2.

«Новый Органон», кн. II, афоризм 25.

«Экспериментальные исследования по химии и физике» Фарадея, стр. 93.

«Воспоминания», IV, 7.

«Экспериментальные исследования по электричеству», серия XII, том I, стр. 420.

«Жизнь Фарадея», том II, стр. 7.

«Nature», том II, стр. 278.

«Журнал Химического общества», том VIII, стр. 51.

«Корреляция физических сил», 3-е изд., стр. 184.

«Философский журнал», 4-я серия, том XLII, стр. 451.

Гроув, «Корреляция физических сил», 3-е изд., стр. 118.

Там же, стр. 166, 199 и сл.

«Философские труды», 1861. «Химические и физические исследования», стр. 598.

«Жизнь сэра У. Гамильтона», стр. 439.

«История натурфилософии» Пауэлла, стр. 201. «Новый Органон», кн. II, афоризмы 5–7.

Томсон и Тейт, «Трактат по натурфилософии», том I, стр. 346–351.

«Философские труды» (1740), том XLI, стр. 454.

«Начала», кн. I, закон III, следствие 6.

Гельмгольц, «Научные мемуары» Тейлора (1853), том VI, стр. 118.

Лукреций, кн. I, строки 232–264.

«Новый Органон», кн. I, афоризм 104.

«Единство миров и природы», 2-е изд., стр. 116.

«Начала», кн. III, ad initium (в начале).

Кейлл, «Введение в натурфилософию», стр. 89.

«Посмертные сочинения» Иеремии Горрокса (1673), стр. 26, 27.

«Сочинения» Юнга, том II, стр. 564.

«Эссе о логике», «Сочинения», том VIII, стр. 276.

«Жизнь Фарадея» Бенса Джонса, том II, стр. 206.

526 Lacroix, Traité Élémentaire de Calcul Différentiel et de Calcul Intégral, 5me édit. p. 699.

«История математики», том I, стр. 298.

См. Гудвин, «Труды Кембриджского философского общества» (1845), том VIII, стр. 269. О’Брайен, «О символической статике», «Философский журнал», 4-я серия, том I, стр. 491 и сл. См. также восхитительное «Руководство по элементарной науке» профессора Клерка Максвелла под названием «Материя и движение», опубликованное Обществом содействия христианскому знанию. В этой замечательной небольшой работе некоторые из самых передовых результатов механической и физической науки объясняются согласно методу кватернионов, но почти без использования алгебраических символов.

Берч, «История Королевского общества», том III, стр. 262, цитируется Юнгом, «Сочинения», том I, стр. 246.

«Оптика», вопрос 28, 3-е изд., стр. 337.

Рэнкин, «Философские труды» (1856), том CXLVI, стр. 282.

«Космотеорос» (1699), стр. 16.

Лаплас, «Система мира», том II, стр. 316.

«Космотеорос» (1699), стр. 17.

Там же, стр. 36.

«Система мира», том II, стр. 326. «Философское эссе», стр. 87.

«Начала», кн. II, раздел II, предл. X.

Де Морган, «Труды Кембриджского философского общества», том XI, часть II, стр. 246.

«Жизнь Фарадея», том I, стр. 216.

Бэббидж, «Выставка 1851 года», стр. 1.

«Атомная теория» Даубени, стр. 76.

Бейкерианская лекция, «Философские труды» (1868), том CLVIII, стр. 2.

543 Principia, bk. ii. Prop. 20. Corollaries, 5 and 6.

«Трактат по натурфилософии», том I, стр. 50.

«Теория теплоты» Максвелла (1871), стр. 175.

Гальтон, о росте и весе мальчиков. «Журнал Антропологического института», 1875, стр. 174.

«История физической астрономии» Гранта, стр. 116.

Рассуждение перед Королевским обществом, 28 мая 1684.

«Посмертные сочинения» Роберта Гука, стр. 365.

«Экспериментальные исследования по электричеству», том II, стр. 240–245.

«Силурийская система» Мурчисона, том II, стр. 733 и сл.

«Философские труды» (1872), том CLXII, № 23.

«Философские труды» (1852), том CXLII, стр. 465, 548 и сл.

«Философский журнал», 4-я серия, том I, стр. 182.

Максвелл, «Теория теплоты», стр. 123.

«Первая аналитика», II, 2, 8 и в других местах.

«Введение в химию» Гофмана, стр. 198.

«Элементарный трактат о теплоте» Стюарта, стр. 80.

Джевонс, «Труды Манчестерского литературно-философского общества», 6 марта 1877, том XVI, стр. 164. См. также заметку г-на У. Э. А. Аксона по тому же предмету, там же, стр. 166.

«Трактат по логике, или законы чистого мышления», Фрэнсис Боуэн, профессор моральной философии в Гарвардском колледже, Кембридж, Соединенные Штаты, 1866, стр. 315.

«Труды Королевского общества», ноябрь 1873, том XXI, стр. 512.

«Лекции по элементам сравнительной анатомии», 1864, стр. 1.

«Эссе о философии наук», стр. 9.

«Лекции по элементам сравнительной анатомии и классификации животных», 1864, стр. 3.

«Ископаемые кости», 4-е изд., том I, стр. 164. Цитируется Хаксли, «Лекции» и др., стр. 5.

Чамберс, «Описательная астрономия», 1-е изд., стр. 23.

«Философский журнал», 4-я серия, том XXXIX, стр. 396; том XL, стр. 183; том XLI, стр. 44. См. также Проктор, «Обзор популярной науки», октябрь 1874, стр. 350.

Гумбольдт, «Космос» (Бон), том III, стр. 224.

Бейли, «Каталог Британской ассоциации», стр. 48.

«Очерки астрономии», § 850, 4-е изд., стр. 578.

«Жизнь Фарадея», том II, стр. 87.

«Труды Королевского общества», том XVII, стр. 212. «Химические и физические исследования», переиздание, Юнг и Ангус Смит, стр. 290.

«Эссе о номенклатуре и классификации», Париж, 1823, стр. 107, 108.

Джордж Бентам, «Очерк новой системы логики», стр. 115.

«Очерк новой системы логики», 1827, стр. 117.

«Введение» Порфирия, глава II, 24.

Джевонс, «Элементарные уроки логики», стр. 104.

«Хрестоматия; будучи сборником статей и т. д.», Лондон, 1816, приложение V.

«Классификация наук» и др., 3-е изд., стр. 7. «Эссе: научные, политические и спекулятивные», том III, стр. 13.

Оуэн, «Эссе о классификации и географическом распределении млекопитающих», стр. 20.

«Минералогия» Даны, том I, стр. 123; цитируется в «Словаре химии» Уоттса, том II, стр. 166.

«Инструкции по распознаванию минералов с помощью простых химических экспериментов», Франц фон Кобель, перевод с немецкого Р. К. Кэмпбелла. Глазго, 1841.

Издание 1866 года, стр. LXIII.

«Ботаническая философия» (1770), § 154, стр. 98.

«Философский журнал», 3-я серия (1845), том XXVI, стр. 522. См. также показания Де Моргана перед Королевской комиссией по Британскому музею в 1849 году, Отчет (1850), вопросы 5704*-5815*, 6481–6513. Эти показания должен изучить каждый, кто желает понять основы библиографии.

«Английская энциклопедия, Искусства и науки», том V, стр. 233.

Суэйнсон, «Трактат о географии и классификации животных», «Кабинетная энциклопедия», стр. 201.

Дарвин, «Оплодотворение орхидей», стр. 159.

«Происхождение человека», том I, стр. 214.

«Законы ботанической номенклатуры», стр. 16.

Уотерхаус, цитируется Вудвордом в его «Рудиментарном трактате о современных и ископаемых раковинах», стр. 61.

«Справочник британской флоры» Бентама (1866), стр. 25.

«Ботаническая философия» (1770), § 157, стр. 99.

Там же, § 159, стр. 100.

«Академические упражнения» (1744), том I, стр. 70. Цитируется в «Эдинбургском обозрении», октябрь 1868, том CXXVIII, стр. 416, 417.

«Происхождение человека», том I, стр. 228.

Агассис, «Эссе о классификации», стр. 219.

Там же, стр. 249.

«Ботаническая философия», § 155, стр. 98.

«Законы ботанической номенклатуры», Альфонс Декандоль, перевод с французского, 1868, стр. 19.

Дарвин, «Изменчивость животных и растений», том II, стр. 293, 359 и сл.; цитируется Пэджет, «Лекции по патологии», 1853, стр. 152, 164.

Там же, том II, стр. 372.

«Аналитическая теория вероятностей», цитируется Бэббиджем, «Девятый Бриджуотерский трактат», стр. 173.

«Первый Бриджуотерский трактат» (1834), стр. 16–24.

«Система логики», 5-е изд., кн. III, гл. V, § 7; гл. XVI, § 3.

«Система логики», том I, стр. 384.

«Девятый Бриджуотерский трактат», стр. 140.

Там же, стр. 34–43.

Профессор Клиффорд в своей весьма интересной лекции «Первая и последняя катастрофа» («Fortnightly Review», апрель 1875, стр. 480, переиздание Обществом воскресных лекций, стр. 24) возражает, что я ошибочно заменил «известные законы природы» на «известные законы теплопроводности». Я вполне признаю ошибку, не признавая при этом всех выводов, которые профессор Клиффорд делает далее; но я оставляю параграф без изменений, чтобы его можно было обсудить в предисловии.

«Термодинамика» Тейта, стр. 38. «Кембриджский математический журнал», том III, стр. 174.

«Теория теплоты» Клерка Максвелла, стр. 245.

«Теория теплоты» Максвелла, стр. 92.

Отчет Британской ассоциации (1852), Отчет секций, стр. 12.

Г-н К. Дж. Монро возражает, что в этом утверждении я поступаю несправедливо по отношению к Конту, который, по его мнению, внушал своим читателям мысль о неадекватности наших умственных способностей по сравнению с необъятностью предмета науки. Ошибка Конта, по его мнению, заключалась в утверждении, что наука продвинулась примерно настолько, насколько стоит ее продвигать, что является другим вопросом. В любом случае позиция Конта настолько несостоятельна, что я довольствуюсь тем, что оставляю вопрос нерешенным.

«Фрагменты науки», стр. 362.

«Популярные лекции по научным предметам», стр. 458.

«Философский журнал», 3-я серия, том XXVI, стр. 406.

«История теории вероятностей», стр. 398.

«Тригонометрия и двойная алгебра», гл. IX.

Агассис, «Эссе о классификации», стр. 75.

Вернуться к примечаниям транскриптора

Исправления орфографии: acording → according, aklaline → alkaline, an an → an, aws → laws, beween → between, BOOK III → BOOK IV, errror → error, incapadle → incapable, interpretion → interpretation, justifed → justified, longtitude → longitude, Marriotte → Mariotte, melecules → molecules, Meropolitana → Metropolitana, necesssarily → necessarily, nnmber → number, or → of, probabilty → probability, quantites → quantities, secresy → secrecy, sucession → succession, suficiently → sufficiently, telecope → telescope, verifiy → verify

Вернуться к примечаниям транскриптора