ЛОГИКА СЛУЧАЯ

ОЧЕРК ОБ ОСНОВАНИЯХ И ПРЕДЕЛЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, С ОСОБЫМ УПОМИНАНИЕМ ЕЕ ЛОГИЧЕСКОГО ЗНАЧЕНИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ К МОРАЛЬНЫМ И СОЦИАЛЬНЫМ НАУКАМ И К СТАТИСТИКЕ,

ДЖОНА ВЕННА, ДОКТОРА ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК, ЧЛЕНА КОРОЛЕВСКОГО ОБЩЕСТВА,

ЧЛЕНА И ЛЕКТОРА ПО МОРАЛЬНЫМ НАУКАМ КОЛЛЕДЖА ГОНВИЛЛ И КИЗ, КЕМБРИДЖ. БЫВШЕГО ЭКЗАМЕНАТОРА ПО ЛОГИКЕ И МОРАЛЬНОЙ ФИЛОСОФИИ В ЛОНДОНСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ.

«Так заботлива о виде она, Столь небрежна к отдельной жизни».

ТРЕТЬЕ ИЗДАНИЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ.

Лондон: МАКМИЛЛАН И КО. И НЬЮ-ЙОРК 1888

[ Все права защищены. ]

Первое издание напечатано 1866. Второе издание 1876. Третье издание 1888.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.

Любая работа по теории вероятностей, написанная кембриджским ученым, с такой вероятностью будет заранее предвзято оценена в плане ее охвата и общего подхода к предмету, что, возможно, стоит сразу заявить: данный очерк ни в коем смысле не является математическим. Не только, если процитировать распространенное, но часто обманчивое заверение, «никаких знаний математики, выходящих за рамки простых правил арифметики», не потребуется для понимания этих страниц, но и не предполагается, что такие знания должны быть приобретены в процессе их чтения. Те два или три случая, когда встречаются алгебраические формулы, не составляют какой-либо существенной части текста.

Наука о вероятности занимает в настоящее время несколько аномальное положение. Мне кажется, невозможно не заметить в ней некоторые признаки и, как следствие, недостатки узкоспециального исследования. Небольшой группой увлеченных исследователей она культивировалась с большим усердием, и полученные ими результаты всегда будут считаться одними из самых выдающихся продуктов математического гения. Но широким кругом мыслящих людей ее принципы, по-видимому, воспринимаются с безразличием или подозрением. Такие люди могут восхищаться проявленной изобретательностью и быть поражены глубиной многих расчетов, но им, если можно так выразиться, кажется, что во всем подходе к предмету есть некая нереальность. Многим упоминание вероятности не говорит почти ничего, кроме представления о наборе правил — несомненно, очень остроумных и глубоких правил, — с помощью которых математики развлекаются, составляя и решая головоломки.

Следует признать, что для такого мнения есть некоторые основания. Примеры, обычно выбираемые авторами по данному предмету, хотя и очень хорошо подходят для иллюстрации его правил, по большей части носят особый и специфический характер, например, те, что относятся к костям и картам. Когда они искали иллюстрации, взятые из практической жизни, они очень часто, но, к сожалению, натыкались именно на те примеры, которые, как я постараюсь показать далее, являются одними из самых неудачных, которые можно было выбрать для этой цели. Вряд ли какой-либо непредвзятый человек может прочитать то, что было написано о достоверности свидетелей выдающимися авторами, не испытав непреодолимого недоверия к принципам, которые они принимают. Сказать, что правила доказательств, иногда приводимые такими авторами, нарушаются на практике, было бы едва ли верно; ибо правила эти таковы, что, как правило, бросают вызов любой попытке применить их на практике.

Это предполагаемое отсутствие гармонии между вероятностью и другими отраслями философии совершенно ошибочно. Оно проистекает из убеждения, что вероятность — это отрасль математики, пытающаяся вторгнуться на территорию, которая ей не совсем принадлежит. Я постараюсь показать, что это убеждение необоснованно. Чтобы правильно ответить на вопросы, к которым нас подводит эта наука, обычно требуется некоторое знание математики, часто глубокое, но обсуждение фундаментальных принципов, на которых основаны правила, не обязательно требует такой квалификации. В других науках, например, в геологии, могут возникнуть вопросы, на которые можно ответить только с помощью арифметических расчетов. В таком случае любой признает, что арифметика здесь была чем-то внешним и случайным. Как бы много ни было здесь вопросов такого рода, те, кто не хочет самостоятельно выводить специальные результаты, все равно могут иметь точное знание принципов науки и даже значительное знакомство с ее деталями. То же самое верно и для вероятности; ее связь с математикой, хотя, безусловно, гораздо более тесная, чем у большинства других наук, все же того же рода. Математические знания требуются главным образом тогда, когда мы хотим самостоятельно получить результаты; без таких знаний студент все еще может иметь твердое понимание принципов и даже видеть путь ко многим производным результатам.

Мнение о том, что вероятность, вместо того чтобы быть отраслью общей науки о доказательствах, которая случайно делает большое использование математики, является частью математики, при всей своей ошибочности, все же была весьма невыгодна для науки в нескольких отношениях. Студенты философии в целом прониклись предубеждением против вероятности, что по большей части удержало их от ее изучения. Как только предмет начинают считать «математическим», его притязания, как правило, в глазах массы читателей либо, с одной стороны, высмеиваются или, по крайней мере, вежливо отвергаются, либо, с другой стороны, слепо принимаются со всеми их предполагаемыми последствиями. Беспристрастной и либеральной критики он получает мало или не получает вовсе.

Последствия такого положения дел были, я думаю, катастрофическими для самих изучающих вероятность. Никакую науку нельзя безопасно оставлять полностью на попечение ее приверженцев. Ее детали, конечно, могут быть изучены только теми, кто сделал ее своим специальным занятием, но ее общие принципы неизбежно будут стеснены, если она не будет время от времени подвергаться свободной критике тех, чье основное образование носило более общий характер. Вероятность была в значительной степени отдана на откуп математикам, которые как математики, как правило, не желали рассматривать ее всесторонне. Они, правда, разработали ее результаты с удивительной остротой, и была проявлена величайшая изобретательность в решении различных возникающих проблем и выведении подчиненных правил. И это было все, что от них можно было справедливо ожидать. Любой предмет, который обсуждался такими людьми, как Лаплас и Пуассон, и на котором они исчерпали все свои аналитические способности, не мог не быть глубоко рассмотрен, насколько это входило в их компетенцию. Но из этой компетенции реальные принципы науки были обычно исключены или обсуждались настолько скудно, что их лучше было бы вообще опустить. Рассматривая предмет как математики, такие авторы естественно брались за него с того места, где их математика могла бы лучше всего проявиться, а это, конечно, было не в основаниях. В работах большинства авторов по этому предмету мы тщетно искали бы что-то похожее на критическое обсуждение фундаментальных принципов, на которых покоятся ее правила, класса исследований, к которым она наиболее правильно применима, или отношения, которое она имеет к логике и общим правилам индуктивного доказательства.

Этот недостаток точности в отношении конечных принципов вполне совместим здесь, как и в областях морали и политики, с общим согласием относительно процессов и результатов. Но это, по меньшей мере, нефилософски и указывает на положение дел, при котором положительная ошибка всегда может возникнуть всякий раз, когда процесс спора вынуждает нас апеллировать к основаниям науки.

Что касается замечаний в последних нескольких абзацах, то необходимо сделать важные исключения, по крайней мере, для двух недавних работ.[1] Первая из них — «Формальная логика» профессора Де Моргана. Он дал там исследование оснований вероятности, как он их понимает, и ничто не может быть более полным и точным, чем его изложение принципов и его выводы из них. Если бы я мог хоть в чем-то согласиться с этими принципами, не было бы необходимости в следующем очерке, так как я не мог бы надеяться добавить что-либо к их основанию и был бы очень далек от того, чтобы соперничать с его ясным изложением. Но в его схеме вероятность рассматривается в значительной степени с концептуалистской точки зрения; как сказано в предисловии, он считает, что вероятность имеет дело с формальными выводами, в которых посылки принимаются с убеждением, не достигающим абсолютной достоверности. С этим взглядом я не могу согласиться. Поскольку я уже критиковал некоторые моменты его схемы в одной из следующих глав и буду часто ссылаться на его работу, мне не нужно больше говорить об этом здесь. Другая работа, на которую я ссылаюсь, — это глубокие «Законы мышления» покойного профессора Буля, к которым в некоторой степени могут быть применены схожие замечания. Однако из-за его своеобразного подхода к предмету я почти нигде не сталкивался с какими-либо из его высказанных мнений.

Взгляд на область вероятности, принятый в этом очерке, настолько радикально отличается от взглядов большинства других авторов по этому предмету, и особенно от взглядов тех, на кого только что ссылались, что я счел лучшим, что касается деталей, избегать всякой критики мнений других, за исключением случаев, когда конфликт был неизбежен. Что касается самого этого радикального отличия, то здесь применимо замечание Бэкона, за которым я должен укрыться от любого обвинения в самонадеянности: «Quod ad universalem istam reprehensionem attinet, certissimum vere est rem reputanti, eam et magis probabilem esse et magis modestam, quam si facta fuisset ex parte».

Почти единственный автор, который, как мне кажется, выразил справедливый взгляд на природу и основание правил вероятности, — это г-н Милль в своей «Системе логики».[2] Его рассмотрение предмета, однако, очень кратко, и значительная часть места, которое он ему уделил, занята обсуждением одного или двух специальных примеров. Более того, в том, что он написал, есть некоторые ошибки, как мне кажется, о которых будет сказано в некоторых из следующих глав.

Ссылка на только что упомянутую работу послужит для передачи общего представления о взгляде на вероятность, принятом в этом очерке. С тем, что можно назвать материалистическим взглядом на логику в противовес формальному или концептуалистскому — с тем, который рассматривает ее как познающую законы вещей, а не законы нашего собственного ума при мышлении о вещах, — я полностью согласен. Область логики, рассматриваемая с этой точки зрения и в ее самом широком аспекте, может, по моему мнению, считаться частью вероятности. Основные цели этого очерка — установить, какую большую часть она охватывает, где мы должны провести границу между ней и смежными отраслями общей науки о доказательствах, каковы конечные основания, на которых покоятся ее правила, какова природа доказательств, которые они способны предоставить, и к какому классу предметов они могут быть наиболее применимы. То, что наука о вероятности, с этой точки зрения, содержит нечто более важное, чем результаты системы математических допущений, очевидно. Я убежден, более того, что она может и должна быть сделана интересной и понятной для обычных читателей, имеющих вкус к философии. Другими словами, если большая и растущая группа читателей, которые могут найти удовольствие в изучении таких книг, как «Логика» Милля и «Индуктивные науки» Уэвелла, отворачивается с отвращением от работы по вероятности, причина в последнем случае должна заключаться либо во взгляде на предмет, либо в манере и стиле книги.

Я пользуюсь этой возможностью, чтобы поблагодарить нескольких друзей, среди которых я должен особенно упомянуть г-на Тодхантера из колледжа Св. Иоанна и г-на Г. Сиджвика из Тринити-колледжа, за труд, который они любезно взяли на себя, просматривая корректурные листы, пока эта работа проходила через печать. Первому в особенности я обязан благодарностью за то, что он добавил к обязательствам, которые я, как старый ученик, уже имел перед ним, взяв на себя объем работы по внесению предложений и исправлений на благо другого, который немногие захотели бы взять на себя ради чего-либо, кроме своей собственной работы. Его обширные знания предмета и его чрезвычайно точное суждение делают услугу, которую он мне таким образом оказал, величайшей ценности.

Колледж Гонвилл и Киз, сентябрь 1866 г.

1 Я здесь говорю, конечно, только о тех, кто специально рассматривал основания науки. Поскольку замечательная работа г-на Тодхантера «История теории вероятностей» является, как следует из названия, в основном исторической, такие исследования напрямую не входили в его компетенцию.

2 Это замечание, как и замечание в начале последнего абзаца, были поняты неправильно, поэтому я должен сказать, что единственный смысл, в котором для этого очерка заявлена оригинальность, — это тщательная проработка материалистического взгляда на логику применительно к вероятности. Я дал довольно полное обсуждение общих принципов этого взгляда в десятой главе и указал там на некоторые особенности, к которым он приводит.

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ.

Основная причина обозначения этого тома как второго издания заключается в том, что большая часть того, что можно назвать первым изданием, включена в него. Помимо различных пропусков (главным образом там, где прежнее изложение с тех пор показалось мне излишне многословным), я добавил новый материал, не намного уступающий по объему всей первоначальной работе. Кроме того, в дополнение к этим изменениям в материале, общее расположение предмета в отношении последовательных глав было полностью изменено; прежнее расположение (как мне теперь кажется) справедливо критиковалось как недостаточное и неуклюжее по методу.

После сказанного следует пояснить, будут ли в настоящем изложении найдены какие-либо изменения общего взгляда или результатов.

Общий взгляд на вероятность, принятый здесь, совершенно не изменился, дальнейшее чтение и размышления лишь укрепили меня в убеждении, что это самый здравый и плодотворный способ рассмотрения предмета. Это тем более необходимо сказать, что для беглого читателя это могло бы показаться иначе; из-за того, что я старался избежать излишне полемического тона, который, как это часто бывает с теми, кто делает свою первую попытку писать на какую-либо тему, был, несомненно, слишком заметен в предыдущем издании. Я не счел необходимым, конечно, за исключением одного или двух случаев, указывать детали, которые показалось нужным исправить.

Был введен ряд новых дискуссий по темам, которые ранее рассматривались мало или вовсе не рассматривались. Основные из них относятся к природе и физическому происхождению законов ошибок (гл. II); общему взгляду на логику и, следовательно, на вероятность, называемому материалистическим взглядом, принятому здесь (гл. X); краткой истории и критике различных мнений, существующих по вопросу модальности (гл. XII); логическим принципам, лежащим в основе метода наименьших квадратов (гл. XIII); и практике страхования и азартных игр, насколько это касается вовлеченных в них принципов (гл. XV). Глава о достоверности необычайных историй также в основном новая; это была та часть прежней работы, которая с тех пор показалась мне наименее удовлетворительной, но из-за чрезвычайной сложности предмета я далеко не чувствую себя полностью удовлетворенным ею даже сейчас.

Я снова должен поблагодарить нескольких друзей за помощь, которую они так любезно оказали. Среди них я должен особо упомянуть г-на К. Дж. Монро, бывшего члена Тринити-колледжа. Будет правдой сказать, что я получил больше помощи от его предложений и критики, чем сознательно получил из всех других внешних источников вместе взятых. Большая часть этой критики была дана в частном порядке в письмах и заметках на корректурных листах; но одно из самых подробных его обсуждений предмета было представлено Кембриджскому философскому обществу несколько лет назад; однако, поскольку оно не было опубликовано, я, к сожалению, не могу сослаться на него. Я должен добавить, что он никоим образом не связан ни с одним из моих мнений по этому вопросу, с некоторыми из которых он, по сути, более или менее не согласен. Я также очень обязан г-ну Дж. У. Л. Глейшеру, также из Тринити-колледжа, за многие подсказки и ссылки на различные публикации по вопросу наименьших квадратов, а также за тщательную критику (данную посреди многих других трудов) главы, в которой рассматривается этот предмет.

Мне не нужно добавлять, что, как и все остальные, кому приходилось обсуждать предмет вероятности в течение последних десяти лет, я постоянно пользовался «Историей» г-на Тодхантера.

Я могу воспользоваться этой возможностью, чтобы добавить, что значительная часть десятой главы недавно появилась в январском номере журнала «Mind», и что содержание нескольких глав, особенно в более логических частях, составляло часть моих обычных лекций в Кембридже; основание и логическое рассмотрение вероятности теперь прямо включены в расписание предметов для трипоса по моральным наукам.

Март 1876 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ.

Настоящее издание было пересмотрено полностью и, по сути, переписано. Три главы новые, а именно пятая (О концепции случайности) и восемнадцатая и девятнадцатая (О природе и об использовании средних значений). Восьмая, десятая, одиннадцатая и пятнадцатая главы были переработаны, добавлено много нового материала, а в оставшихся частях сделаны многочисленные изменения.[1] С другой стороны, три главы последнего издания были почти или полностью опущены.

Эти изменения не подразумевают какого-либо заметного изменения взглядов с моей стороны относительно оснований и области вероятности. Некоторые из них, конечно, обусловлены необходимыми изменениями, связанными с попыткой написать актуальный текст по предмету, который не стоял на месте в течение последних одиннадцати лет. Например, значительно возросший интерес к тому, что можно назвать теорией статистики, сделал желательным гораздо более полное рассмотрение природы и обработки законов ошибок. Пропуски в основном связаны с желанием избежать увеличения объема этого тома больше, чем это действительно необходимо, и с чувством, что части, специально посвященные индуктивной логике (которые занимали некоторое место в последнем издании), были бы более уместны в регулярной работе по этому предмету. В настоящее время я работаю над такой книгой.

Публикации, которые мне довелось заметить, в основном появлялись в различных научных журналах. Основными авторами их были г-н Ф. Гальтон и г-н Ф. И. Эджуорт: последнему из которых я также лично очень обязан за многие дискуссии, устные и письменные, и за его любезность при просмотре корректурных листов. Его опубликованные статьи слишком многочисленны, чтобы упоминать их здесь отдельно, но я могу сказать в целом, в дополнение к особо отмеченным обязательствам, что я был значительно обязан им при написании последних двух глав. Два автора работ несколько более существенного характера, а именно проф. Лексис и фон Криз, к сожалению, попали в поле моего зрения только после того, как эта работа уже была в руках печатника. С последним из этих авторов я нахожу себя в большем согласии, чем с большинством других, в отношении его общего понимания и подхода к вероятности.

Декабрь 1887 г.

1 Я обозначил новые главы и разделы, напечатав их курсивом в оглавлении.

ОГЛАВЛЕНИЕ.[*]

* Главы и разделы, которые являются почти или полностью новыми, напечатаны курсивом.

ЧАСТЬ I.

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ НАУКИ О ВЕРОЯТНОСТИ. Гл. I–V.

ГЛАВА I.

СЕРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ.

§§ 1, 2. Различие между пропорциональными суждениями вероятности и суждениями логики.

3, 4. Первые лучше всего рассматривать как представляющие серию индивидов,

5. Которые могут происходить в любом порядке времени,

6, 7. И которые проявляются в группах.

8. Сравнение вышесказанного с обычной фразеологией.

9, 10. Эти серии в конечном итоге колеблются,

11. Особенно в случае моральных и социальных явлений,

12. Хотя в случае азартных игр колебания практически незаметны.

13, 14. Только в этом последнем случае можно сделать строгие выводы.

15, 16. Петербургская задача.

ГЛАВА II.

РАСПОЛОЖЕНИЕ И ФОРМИРОВАНИЕ СЕРИИ. ЗАКОНЫ ОШИБОК.

§§ 1, 2. Указание природы закона ошибок или отклонения.

3. Существует ли обязательно только один такой закон,

4. Применимый к широко различающимся классам вещей?

5, 6. Это нельзя доказать непосредственно статистикой;

7, 8. Которая в определенных случаях показывает фактическую асимметрию.

9, 10. Ни дедуктивно;

11. Ни методом наименьших квадратов.

12. Различие между законами ошибок и методом наименьших квадратов.

13. Предполагаемое существование типов.

14–16. Однородные и неоднородные классы.

17, 18. Тип в случае роста человека и т. д.

19, 20. Тип в психических характеристиках.

21, 22. Приложения вышеизложенных принципов и результатов.

ГЛАВА III.

ПРОИСХОЖДЕНИЕ ИЛИ ПРОЦЕСС ПРИЧИННОСТИ СЕРИИ.

§ 1. Причины состоят из (1) «объектов»,

2, 3. Которые могут быть или не быть различимы на естественные виды,

4–6. И (2) «агентств».

7. Требования, предъявляемые к вышесказанному:

8, 9. Последствия их отсутствия.

10. Где находятся требуемые причины?

11, 12. Не в прямых результатах человеческой воли.

13–15. Исследование кажущихся исключений.

16–18. Дальнейший анализ некоторых естественных причин.

ГЛАВА IV.

КАК ОБНАРУЖИТЬ И ДОКАЗАТЬ СЕРИЮ.

§ 1. Данные вероятности устанавливаются опытом;

2. Хотя на практике большинство задач решаются дедуктивно.

3–7. Механический пример, чтобы показать неадекватность любого априорного доказательства.

8. Принцип достаточного основания неприменим.

9. Свидетельство фактического опыта.

10, 11. Дальнейшее исследование причин.

12, 13. Различие между последовательностью физических событий и доктриной комбинаций.

14, 15. Замечания Лапласа по этому предмету.

16. Теорема Бернулли;

17, 18. Ее неприменимость к социальным явлениям.

19. Суммирование предыдущих результатов.

ГЛАВА V.

КОНЦЕПЦИЯ СЛУЧАЙНОСТИ.

§ 1. Общее указание.

2–5. Постулат окончательного равномерного распределения на том или ином этапе.

6. Эта область распределения должна быть конечной:

7, 8. Геометрические иллюстрации в поддержку:

9. Можем ли мы представить здесь какое-либо исключение?

10, 11. Экспериментальное определение случайного характера, когда событий много:

12. Соответствующее определение, когда их мало.

13, 14. Иллюстрация на основе константы π.

15, 16. Концепция линии, проведенной случайно.

17. Графическая иллюстрация.

ЧАСТЬ II.

ЛОГИЧЕСКАЯ НАДСТРОЙКА НА ВЫШЕУКАЗАННЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ОСНОВАНИЯХ. Гл. VI–XIV.

ГЛАВА VI.

ИЗМЕРЕНИЕ ВЕРЫ.

§§ 1, 2. Предварительные замечания.

3, 4. Осознаем ли мы точно градации веры?

5. Вероятность касается только части этого исследования.

6. Трудность измерения нашей веры;

7. Из-за вторжения эмоций,

8. И сложности доказательств.

9. И когда она измерена, всегда ли она верна?

10, 11. Различие между логическими и психологическими взглядами.

12–16. Аналогия формальной логики не показывает, что мы можем таким образом отделить и измерить нашу веру.

17. Кажущееся свидетельство популярного языка об обратном.

18. Как оправдана полная вера в индуктивном исследовании?

19–23. Попытка показать, как частичная вера может быть оправдана аналогичным образом.

24–28. Распространение этого объяснения на случаи, которые нельзя повторить в опыте.

29. Могут ли другие эмоции, помимо веры, быть измерены таким образом?

30. Ошибки, возникающие в связи с Петербургской задачей.

31, 32. Эмоция удивления является частичным исключением.

33, 34. Объективная и субъективная фразеология.

35. Определение вероятности,

36. Вводит понятие «предела»,

37. И подразумевает, смутно, некоторую степень веры.

ГЛАВА VII.

ПРАВИЛА ВЫВОДА В ВЕРОЯТНОСТИ.

§ 1. Природа этих выводов.

2. Выводы путем сложения и вычитания.

3. Выводы путем умножения и деления.

4–6. Правило для независимых событий.

7. Другие правила, иногда вводимые.

8. Все вышеперечисленные правила могут быть интерпретированы субъективно, т. е. в терминах веры.

9–11. Правила так называемой обратной вероятности.

12, 13. Природа допущения, вовлеченного в них:

14–16. Произвольный характер этого допущения.

17, 18. Физические иллюстрации.

ГЛАВА VIII.

ПРАВИЛО ПРЕДОСТОРОЖНОСТИ.

§ 1. Причины для желания иметь такое правило:

2. Хотя оно вряд ли могло бы принадлежать к вероятности.

3. Различие между вероятностью и индукцией.

4, 5. Невозможность сведения различных правил последней под одну главу.

6. Изложение правила предосторожности;

7. Предложенное для него доказательство.

8. Является ли оно строгим правилом вывода?

9. Или это психологический принцип?

ГЛАВА IX.

ИНДУКЦИЯ.

§§ 1–5. Изложение индуктивной проблемы и происхождение индуктивного вывода.

6. Отношение вероятности к индукции.

7–9. Эти две иногда сливаются в одну.

10. Степень, в которой причинность необходима в вероятности.

11–13. Трудность отнесения индивида к классу:

14. Эта трудность невелика в логике,

15, 16. Но приводит к недоумению в вероятности:

17–21. Мягкая форма этого недоумения;

22, 23. Серьезная форма.

24–27. Иллюстрация на основе страхования жизни.

28, 29. Значение «ценности жизни».

30, 31. Последовательная специализация классов, к которым относятся объекты.

32. Резюме результатов.

ГЛАВА X.

СЛУЧАЙ, ПРИЧИННОСТЬ И ЗАМЫСЕЛ.

§ 1. Старое теологическое возражение против случая.

2–4. Научная версия того же самого.

5. Статистика в отношении свободы воли.

6–8. Неубедительность обычных аргументов здесь.

9, 10. Случай в противовес физической причинности.

11. Случай в противовес замыслу в случае числовых констант.

12–14. Теоретическое решение между случаем и замыслом.

15. Иллюстрация на основе размеров пирамиды.

16, 17. Обсуждение некоторых трудностей здесь.

18, 19. Иллюстрация на основе психических явлений.

20. Задача Арбетнота о соотношении полов.

21–23. Случайное или задуманное распределение звезд.

(Примечание о соотношении полов.)

ГЛАВА XI.

МАТЕРИАЛИСТИЧЕСКАЯ И ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА.

§§ 1, 2. Широкое различие между этими взглядами;

2, 3. Трудность последовательного придерживания объективного взгляда;

4. Особенно в случае гипотез.

5. Сомнительная стадия наших фактов случается лишь изредка в индуктивной логике.

6–9. Но нормальна и постоянна в вероятности.

10, 11. Как следствие, трудность избегания концептуалистской фразеологии.

ГЛАВА XII.

ПОСЛЕДСТВИЯ РАЗЛИЧИЙ ПРЕДЫДУЩЕЙ ГЛАВЫ.

§§ 1, 2. Вероятность не имеет отношения ко времени.

3, 4. Батлер и Милль о вероятности до и после события.

5. Другие попытки объяснения трудности.

6–8. Что на самом деле имеется в виду под этим различием.

9. Происхождение распространенной ошибки.

10–12. Примеры для иллюстрации этого взгляда,

13. Относительна ли вероятность?

14. Что на самом деле имеется в виду под этим выражением.

15. Возражения против называния вероятности относительной.

16, 17. В подходящих примерах трудность почти не возникает.

ГЛАВА XIII.

О МОДАЛЬНОСТИ.

§ 1. Различные смыслы модальности;

2. В основном имеющие некоторое отношение к вероятности.

3. Модальность должна быть признана.

4. Иногда относимая к предикату,

5, 6. Иногда неправильно отвергаемая вовсе.

7, 8. Обычное практическое признание ее.

9–11. Модальные суждения в логике и в вероятности.

12. Аристотелевский взгляд на модальности;

13, 14. Основанный на вымерших философских взглядах;

15. Но долго и широко поддерживаемый.

16. Общий взгляд Канта.

17–19. Количество модальных делений, допускаемых различными логиками.

20. Влияние теории вероятности.

21, 22. Модальные силлогизмы.

23. Популярная модальная фразеология.

24–26. Вероятные и диалектические силлогизмы.

27, 28. Модальные трудности возникают в юриспруденции.

29, 30. Предлагаемые стандарты юридической достоверности.

31. Формально отвергнутые в английском праве, но, возможно, признанные практически.

32. Как, если это так, это может быть определено.

ГЛАВА XIV.

ЛОГИЧЕСКИЕ ОШИБКИ.

§§ 1–3. (I.) Ошибки в суждении о событиях после того, как они произошли.

4–7. Очень различные суждения могут быть таким образом вовлечены.

8, 9. (II.) Путаница между случайными и выбранными подборками.

10, 11. (III.) Неоправданное ограничение понятия вероятности.

12–16. (IV.) Удвоение или ничего: мартингейл.

17, 18. Физическая иллюстрация.

19, 20. (V.) Неадекватное осознание больших чисел.

21–24. Создание произведений искусства случайно.

25. Иллюстрация на основе доктрины наследственности.

26–30. (VI.) Путаница между вероятностью и индукцией.

31–33. (VII.) Неоправданное пренебрежение малыми шансами.

34, 35. (VIII.) Суждение по событию в вероятности и в индукции.

ЧАСТЬ III.

РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ. Гл. XV–XIX.

ГЛАВА XV.

СТРАХОВАНИЕ И АЗАРТНЫЕ ИГРЫ.

§§ 1, 2. Достоверности и неопределенности жизни.

3–5. Страхование как средство уменьшения неопределенностей.

6, 7. Азартные игры как средство их увеличения.

8, 9. Различные формы азартных игр.

10, 11. Сравнение между этими практиками.

12–14. Доказательства невыгодности азартных игр:—

 (1) на арифметических основаниях:

15, 16. Иллюстрация на основе фамилий.

17. (2) из «морального ожидания».

18, 19. Неубедительность этих доказательств.

20–22. Более широкие вопросы, поднятые этими попытками.

ГЛАВА XVI.

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ К СВИДЕТЕЛЬСТВАМ.

§§ 1, 2. Сомнительная применимость вероятности к свидетельствам.

3. Условия такой применимости.

4. Причины вышеуказанных условий.

5, 6. Выполняются ли эти условия в случае свидетельств?

7. Апелляция здесь не идет непосредственно к статистике.

8, 9. Иллюстрации вышесказанного.

10, 11. Является ли какое-либо применение вероятности к свидетельствам обоснованным?

ГЛАВА XVII.

ДОСТОВЕРНОСТЬ НЕОБЫЧАЙНЫХ ИСТОРИЙ.

§ 1. Невероятность до и после события.

2, 3. Приводит ли отказ от этого к выводу, что достоверность истории не зависит от ее природы?

4. Общая и специальная достоверность свидетеля.

5–8. Различие между альтернативными и открытыми вопросами и обычные правила применения свидетельств к каждому из них.

9. Обсуждение возражения.

10, 11. Свидетельства никчемных свидетелей.

12–14. Обычные практические способы рассмотрения таких проблем.

15. Необычайные истории не обязательно менее вероятны.

16–18. Значение термина «необычайный» и его отличие от «чудесного».

19, 20. Комбинация свидетельств.

21, 22. Научное значение чуда.

23, 24. Две различные предубежденности в отношении чудес и логические последствия этого.

25. Трудность обсуждения по нашим правилам случаев, в которых может быть постулировано произвольное вмешательство.

26, 27. Как следствие, неуместность многих аргументов.

ГЛАВА XVIII.

О ПРИРОДЕ И ИСПОЛЬЗОВАНИИ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ И О РАЗЛИЧНЫХ ВИДАХ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ.

§ 1. Предварительное грубое понятие среднего значения,

2. Более точное количественное понятие, дающее

 (1) Арифметическое среднее,

3. (2) Геометрическое.

4. В асимметричных кривых ошибок арифметическое среднее должно быть отделено от,

5. (3) Среднего значения максимальной ординаты,

6. (4) И медианы.

7. Диаграмма для иллюстрации.

8–10. Среднее отклонение от среднего значения, рассматриваемое под вышеуказанными заголовками и под заголовком

11. (5) (Среднее) среднеквадратичной ошибки,

12–14. Цели взятия средних значений.

15. Практический метод г-на Гальтона определения среднего значения.

16, 17. Нет различия между средним и средним значением.

18–20. Различие между тем, что необходимо, и тем, что экспериментально здесь.

21, 22. Теоретические дефекты в определении «ошибок».

23. Практическое избавление от них.

(Примечание о единицах в экспоненциальном уравнении и интеграле.)

ГЛАВА XIX.

ТЕОРИЯ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ КАК СРЕДСТВО ПРИБЛИЖЕНИЯ К ИСТИНЕ.

§§ 1–4. Общее указание проблемы: т. е. обратной, требующей предварительного рассмотрения прямой.

[I. Прямая проблема: — дано центральное значение и закон дисперсии отдельных ошибок, определить таковые для средних значений. §§ 6–20.]

6. (i) Закон дисперсии может быть определим априорно,

7. (ii) или экспериментально, статистикой.

8, 9. Отсюда определить модуль кривой ошибки.

10–14. Численный пример для иллюстрации природы и величины сокращения модуля кривой средней ошибки.

15. Эта кривая того же общего вида, что и кривая отдельных ошибок;

16. Столь же симметричная,

17, 18. И более сгруппированная к центру.

19, 20. Алгебраическое обобщение вышеизложенных результатов.

[II. Обратная проблема: — дано лишь несколько ошибок, определить их центр и закон, и отсюда сделать вышеуказанные выводы. §§ 21–25.]

22, 23. Фактические расчеты те же, что и раньше,

24. С дополнительным требованием, что мы должны определить, насколько вероятны результаты.

25. Резюме.

[III. Рассмотрение тех же вопросов применительно к некоторым специфическим законам ошибок. §§ 26–37.]

26. (i) Все ошибки одинаково вероятны.

27, 28. (ii) Некоторые специфические законы ошибок.

29, 30. Дальнейший анализ причин взятия средних значений.

31–35. Иллюстративные примеры.

36, 37. Кривые с двойным центром и отсутствием симметрии.

38, 39. Заключение.

ЛОГИКА СЛУЧАЯ.

ГЛАВА I.

О НЕКОТОРЫХ ВИДАХ ГРУПП ИЛИ СЕРИЙ КАК ОСНОВАНИИ ВЕРОЯТНОСТИ.

§ 1. Порой бывает непросто дать четкое определение науки в самом начале, чтобы в нескольких словах очертить ее предмет и область перед читателем. В случае тех наук, которые имеют дело скорее с тем, что называют объектами, нежели с тем, что называют процессами, эта трудность не столь серьезна. Если читатель уже знаком с объектами, простое упоминание о них даст ему достаточно точное представление о направлении и характере его исследований. Даже если он с ними не знаком, они все равно зачастую будут в какой-то мере связаны и ассоциироваться в его сознании с названием, и одно лишь произнесение этого названия может таким образом передать изрядную долю предварительной информации. Это в большей или меньшей степени справедливо для многих естественных наук; мы часто можем заранее сказать читателю, что именно он будет изучать. Но когда наука занимается не столько объектами напрямую, сколько процессами и законами, или когда она берет предметом своего исследования некую сравнительно неясную черту, извлеченную из явлений, которые имеют мало общего или не имеют ничего общего, трудность предоставления предварительной информации возрастает. Признанные классы объектов тогда приходится игнорировать и даже расчленять, а объекты — располагать в совершенно новом порядке. В таких случаях именно изучение науки впервые придает ей единство, ибо до того, как ее начали изучать, объекты, с которыми она имеет дело, вероятно, никогда не рассматривались вместе. Здесь определение невозможно дать в самом начале, и процесс его получения может стать по сравнению с этим несколько более трудоемким.

Наука о вероятности, по крайней мере в том виде, в каком она рассматривается на следующих страницах, относится к последнему типу. Читатель, который в настоящее время не знаком с этой наукой, не может быть сразу осведомлен о ее области применения через отсылку к объектам, с которыми он уже знаком. Его, так сказать, придется взять за руку, и потребуется потратить некоторое время и усилия, чтобы направить его внимание на наш предмет, прежде чем можно будет ожидать, что он его узнает. Это и будет нашей первой задачей.

§ 2. Изучая природу в любой форме, мы постоянно получаем информацию, которую обобщаем в виде общих суждений. В очень многих случаях эти общие суждения не более и не менее достоверны и точны, чем детали, которые они охватывают и из которых они состоят. В настоящее время мы исходим из того, что истинность этих обобщений не оспаривается; на самом деле они могут опираться на слабые доказательства или быть недостоверными из-за того, что они широко распространены путем индукции; имеется в виду, что когда мы разлагаем их на составные части, мы имеем точно такую же уверенность в истинности деталей, как и в истинности целого. Когда я знаю, например, что все коровы жвачные, я чувствую себя столь же уверенным в том, что любая конкретная корова или коровы являются жвачными, как и в том, что весь класс таков. Я могу быть прав или неправ в своем первоначальном утверждении, и я мог получить его любым мыслимым способом, которым могут быть получены истины; но какова бы ни была ценность общего суждения, ценность частностей не больше и не меньше. Процесс вывода частного из общего не сопровождается ни малейшим уменьшением уверенности. Если одно из таких «непосредственных умозаключений» вообще оправдано, оно будет одинаково верным в каждом случае.

Но вовсе не обязательно, чтобы эта характеристика существовала во всех случаях. Существует класс непосредственных умозаключений, почти не признаваемый в логике, но постоянно используемый на практике, характеристика которого заключается в том, что по мере возрастания их частного характера они уменьшаются в достоверности. Допустим, мне говорят, что некоторые коровы жвачные; я не могу логически вывести из этого, что какая-то конкретная корова является таковой, хотя я чувствовал бы себя несколько удаленным от абсолютного неверия или даже безразличия к согласию по этому вопросу; но если бы я увидел стадо коров, я был бы более уверен в том, что некоторые из них жвачные, чем в случае с одной коровой, и моя уверенность возрастала бы с увеличением численности стада, о котором мне нужно было составить мнение. Итак, перед нами класс вещей, относительно индивидов которого мы пребываем в полной неопределенности, в то время как по мере того, как мы охватываем своими утверждениями все большее число, мы придаем нашим выводам больший вес. Именно с такими классами вещей и такими выводами имеет дело наука о вероятности.

§ 3. В вышеприведенных замечаниях, которые призваны быть чисто предварительными, мы не смогли полностью избежать упоминания субъективного элемента, а именно степени нашей уверенности или веры в вещи, которые мы предполагаем рассматривать. Читатель может знать, что некоторыми авторами этот элемент рассматривается как предмет данной науки. Следовательно, он будет обсуждаться в будущей главе. Однако, поскольку я не согласен с мнением только что упомянутых авторов, по крайней мере в том, что касается рассмотрения этого элемента как имеющего первостепенное значение, здесь не будет сделано никаких дальнейших намеков на него, но мы сразу перейдем к более детальному исследованию той отличительной характеристики определенных классов вещей, которая была представлена вниманию в последнем разделе.

В этих классах вещей, которые являются теми, с которыми имеет дело вероятность, фундаментальной концепцией, которую читатель должен зафиксировать в своем сознании как можно яснее, является, на мой взгляд, концепция серии. Но это серия особого рода, для которой нельзя дать лучшего краткого описания, чем то, которое содержится в утверждении, что она сочетает индивидуальную нерегулярность с совокупной регулярностью. Это утверждение, вероятно, потребует некоторых пояснений. Вернемся к примеру того рода, который уже упоминался, выбрав тот, который будет соответствовать опыту. Некоторые дети не доживут до тридцати лет. Если рассматривать это суждение как чисто неопределенное или, как сказали бы в логике, «частное» суждение, то, несомненно, понятие серии не возникает в связи с ним само собой. Оно содержит утверждение о некоторой неизвестной пропорции целого, и это все. Но мы будем иметь дело не с этими чисто неопределенными суждениями. Предположим, напротив, что утверждение носит численный характер и относится к заданной пропорции целого, и тогда нам будет трудно исключить понятие серии. Я думаю, мы сочтем это невозможным, как только поставим перед собой цель получения точных или хотя бы умеренно правильных выводов. Что, например, означает утверждение, что двое из трех новорожденных детей не доживают до шестидесяти трех лет? Оно, конечно, не гласит, что в любой данной группе, скажем, из тридцати, мы найдем ровно двадцать тех, кто не доживает: каким бы ни было строгое значение слов, это не является смыслом утверждения. Оно скорее предполагает наше исследование большого числа, длинной последовательности случаев, и утверждает, что в такой последовательности мы найдем численную пропорцию, не фиксированную и точную поначалу, но которая в долгосрочной перспективе стремится стать таковой. В каждом примере, с которым мы будем иметь дело, мы обнаружим эту отсылку к большому числу или последовательности объектов, или, как мы будем называть это, серии их.

Несколько дополнительных примеров могут помочь прояснить это.

Предположим, что мы подбрасываем монету много раз; результаты последовательных бросков можно представить как серию. Отдельные броски этой серии, по-видимому, происходят в полном беспорядке; именно этот беспорядок вызывает нашу неуверенность в них. Иногда выпадает орел, иногда решка; иногда происходит повторение одной и той же стороны, иногда нет. Пока мы ограничиваем наше наблюдение несколькими бросками за раз, серия кажется просто хаотичной. Но когда мы рассматриваем результат длинной последовательности, мы находим заметное различие; своего рода порядок постепенно начинает проявляться и в конце концов принимает отчетливый и поразительный вид. Мы обнаруживаем в этом случае, что орлы и решки выпадают примерно в равном количестве, что подобные повторения разных сторон также происходят и так далее. Одним словом, несмотря на индивидуальный беспорядок, начинает преобладать совокупный порядок. Так же, если мы исследуем продолжительность человеческой жизни, различные жизни, которые попадают в поле нашего зрения, составляют серию, представляющую те же черты. Продолжительность отдельной жизни привычно неопределенна, но средняя продолжительность группы жизней становится в почти равной степени привычно определенной. Чем большее число мы берем из любой смешанной толпы, тем яснее становятся признаки порядка, тем ближе будет средняя продолжительность каждого выбранного класса. Эти несколько случаев послужат простыми примерами свойства вещей, которое можно проследить почти везде, в большей или меньшей степени, во всем поле нашего опыта. Пожары, кораблекрушения, урожаи, рождения, браки, самоубийства; кажется, почти не имеет значения, какую черту мы выделим для наблюдения. [1] Нерегулярность отдельных случаев уменьшается, когда мы берем большое число, и в конце концов, для всех практических целей, кажется, исчезает.

Говоря о влиянии среднего значения на уменьшение нерегулярностей, которые проявляются в деталях, внимание студента должно быть решительно направлено на тот момент, что именно не абсолютные, а относительные нерегулярности имеют тенденцию уменьшаться без предела. Эта идея будет достаточно знакома математику, но другим может потребоваться некоторое размышление, чтобы ясно ее уловить. Абсолютные расхождения и нерегулярности, отнюдь не уменьшаясь, проявляют склонность к увеличению, и это (возможно) без предела, хотя их относительная важность проявляет соответствующую склонность к уменьшению без предела. Так, в случае подбрасывания монеты, если мы сделаем несколько бросков, скажем десять, крайне маловероятно, что разница между количеством орлов и решек составит шесть; то есть, что выпадет восемь орлов и, следовательно, всего две решки, или наоборот. Но возьмем тысячу бросков, и станет, в свою очередь, чрезвычайно вероятным, что разница между соответствующими числами составит шесть или более. С другой стороны, пропорция орлов к решкам в случае тысячи бросков будет в большинстве случаев гораздо ближе к единице, чем когда мы брали только десять. Другими словами, чем дольше продолжается азартная игра, тем больше сами по себе серии и полосы удачи, но тем меньше их относительные пропорции к общим вовлеченным суммам.

§ 4. Говоря выше о событиях или вещах, о деталях которых мы знаем мало или ничего, мы, конечно, не подразумеваем, что наше невежество относительно них является полным и всеобщим, или, что сводится к тому же, что нерегулярность может наблюдаться во всех их качествах. Все, что имеется в виду, — это то, что существуют некоторые качества или признаки в них, существование которых мы не можем с уверенностью предсказать у индивидов. Что касается всех остальных их качеств, может существовать величайшее единообразие и, следовательно, самая полная определенность. Нерегулярность в продолжительности человеческой жизни общеизвестна, но никто не сомневается в наличии таких органов, как сердце и мозг, у любого человека, которого он встречает. И даже в тех качествах, в которых наблюдается нерегулярность, часто, даже обычно, существуют положительные пределы, в которых она, как обнаружится, ограничена. Никто, например, не может рассчитать, какова может быть продолжительность любой конкретной жизни, но мы чувствуем полную уверенность в том, что она не растянется до 150 лет. Нерегулярность отдельных случаев проявляется только в определенных отношениях, как, например, продолжительность жизни, и даже в этих отношениях она имеет свои пределы. То же замечание применимо к большинству других примеров, с которыми мы будем иметь дело. Беспорядок, по сути, не является всеобщим и неограниченным, он преобладает только в определенных направлениях и до определенных точек.

§ 5. Говоря выше о серии, вряд ли нужно указывать, что мы не подразумеваем, что сами объекты, составляющие серию, должны происходить последовательно во времени; серия может быть сформирована просто их последовательным попаданием в поле нашего зрения, что, по сути, может происходить в любом порядке. Реестр смертности, например, может состоять из смертей, которые произошли одновременно или последовательно; или мы могли бы, если бы захотели, расположить смерти в порядке, совершенно отличном от обоих этих. Это совершенно безразлично; во всех этих случаях серия, для любых целей, которые нам нужно учитывать, может рассматриваться как имеющая точно такое же описание. Объекты, заметьте, даны нам в природе; порядок, в котором мы их рассматриваем, — это наше собственное частное устройство. Это упоминается здесь просто в качестве предостережения, значение этого утверждения станет более ясным в дальнейшем.

Я осознаю, что слово «серия» в том применении, в котором оно используется здесь, подвержено некоторому неверному толкованию, но я не могу найти лучшего слова, или, по правде говоря, какого-либо столь же подходящего во всех отношениях. Как отмечалось выше, события не обязательно должны были происходить в регулярной последовательности времени, хотя часто так и будет. Во многих случаях (например, броски монеты или кости) они действительно происходят последовательно; в других случаях (например, рост людей или продолжительность их жизни), каким бы ни был порядок их фактического возникновения, они обычно попадают в поле нашего зрения последовательно, будучи расположенными в статистических таблицах. Во всех случаях наши процессы вывода включают необходимость исследования одного за другим членов, составляющих группу, или, по крайней мере, готовность сделать это, если мы хотим быть в состоянии оправдать наши выводы. Сила этих соображений проявится в ходе исследования в Главе VI.

Покойный Лесли Эллис [2] выразил то, что кажется мне по существу схожим взглядом в терминах рода и вида, вместо того чтобы говорить о серии. Он говорит: «Когда рассматриваются отдельные случаи, у нас нет убеждения, что отношения частоты возникновения зависят от обстоятельств, общих для всех испытаний. Напротив, мы признаем в определяющих обстоятельствах их возникновения посторонний элемент, элемент, то есть посторонний идее рода и вида. Случайность и ограничение приходят (так сказать) вместе; и оба они исчезают, когда мы рассматриваем род в его целостности, или (что то же самое) в том, что можно назвать идеальной и практически невозможной реализацией всего, что он потенциально содержит. Если это будет признано, кажется, следует, что фундаментальный принцип Теории вероятностей может рассматриваться как включенный в следующее утверждение: — Концепция рода подразумевает концепцию численных отношений между видами, подчиненными ему». Как отмечалось выше, это представляется по существу схожей доктриной с той, что объяснена в этой главе, но я не думаю, что термины род и вид подходят для того, чтобы выявить концепцию тенденции или предела, так же хорошо, как когда мы говорим о серии, и поэтому я гораздо больше предпочитаю последнее выражение.

§ 6. Читатель теперь будет иметь в своем сознании концепцию серии или группы вещей или событий, об индивидах которых мы знаем мало, по крайней мере в определенных отношениях, в то время как мы находим постоянно возрастающее единообразие по мере того, как берем под наше наблюдение большие числа. Это достаточно определенно, чтобы довольно ясно указать на род вещей, с которыми мы имеем дело, но недостаточно определенно для целей точного мышления. Поэтому мы должны попытаться провести несколько более близкий анализ.

Существуют определенные фразы, настолько общепринятые, что они стали частью технического словаря предмета, такие как «событие» и «способ, которым оно может произойти». Так, акт подбрасывания монеты назывался бы событием, а факт выпадения орла или решки назывался бы способом, которым событие произошло. Если бы мы обсуждали таблицы смертности, первый термин обозначал бы сам факт смерти, второй — возраст, в котором она произошла, или способ, которым она была вызвана, или что-либо еще в ней, что могло бы быть конкретным обстоятельством, обсуждаемым в данный момент. Эта фразеология очень удобна и часто будет использоваться в этой работе, но без объяснения она может привести к путанице. Ибо во многих случаях способ, которым происходит событие, имеет такое большое относительное значение, что в зависимости от того, происходит ли оно одним или другим способом, событие имело бы другое название; другими словами, в двух случаях это было бы номинально не одно и то же событие. Поэтому фразу придется значительно растянуть, прежде чем она удобно покроет все случаи, к которым нам, возможно, придется ее применить. Если, например, мы рассматривали серию человеческих существ, мужского и женского пола, звучало бы странно называть их человечность событием, а их пол — способом, которым событие произошло.

Если мы, однако, вернемся к любому из классов объектов, уже упомянутых, мы сможем увидеть наш путь к получению более точной концепции того, что мы хотим. Легко будет увидеть, что в каждом из них есть смесь сходства и различия; есть серия событий, которые имеют определенное количество общих черт или атрибутов — без этого они не были бы классифицированы вместе. Но между ними также существует различие; определенное количество других атрибутов можно найти в одних и нельзя найти в других. Другими словами, индивиды, которые формируют серию, являются сложными, каждый из них состоит из коллекции вещей или атрибутов; некоторые из этих вещей существуют во всех членах серии, другие встречаются только в некоторых. До сих пор нет ничего специфического для науки о вероятности; то, в чем заключается отличительная характеристика, состоит в следующем: — что случайные атрибуты, в отличие от постоянных, при расширенном исследовании имеют тенденцию существовать в определенной фиксированной пропорции от общего числа случаев. Мы не можем сказать в любом данном случае, будут ли они найдены или нет, но по мере того, как мы продолжаем исследовать больше случаев, мы находим растущее единообразие. Мы обнаруживаем, что пропорция случаев, в которых они найдены, к случаям, в которых они отсутствуют, постепенно подвержена все меньшему и меньшему сравнительному изменению и постоянно приближается к некоторому, по-видимому, фиксированному значению.

Вышеприведенное является наиболее всеобъемлющей формой описания; на самом деле группы во многих случаях будут принимать гораздо более простую форму; они могут появляться, например, просто как последовательность вещей одного и того же рода, скажем, человеческих существ, с или без случайного атрибута, скажем, того, что они левши. Мы используем слово атрибут, конечно, в его самом широком смысле, намереваясь включить в него каждую отличительную черту, которую можно наблюдать в вещи, от существенных качеств до самых простых случайностей времени и места.

§ 7. При исследовании нашей серии, следовательно, мы обнаружим, что ее лучше всего представлять не обязательно как последовательность событий, происходящих разными способами, а как последовательность групп вещей. Эти группы, при анализе, обнаруживаются в каждом случае как разложимые на коллекции субстанций и атрибутов. То, что придает единство последовательности групп, — это факт того, что некоторые из этих субстанций или атрибутов являются общими для всей последовательности; то, что придает различие группам в последовательности, — это факт того, что некоторые из них содержат только часть этих субстанций и атрибутов, а другая часть или части иногда отсутствуют. Понятая таким образом, наша фразеология может быть сделана охватывающей каждый класс вещей, который может принять во внимание вероятность.

§ 8. Легко будет увидеть, что обычное выражение (а именно, «событие» и «способ, которым оно происходит») может быть включено в вышесказанное. Когда случайные атрибуты неважны, постоянных достаточно, чтобы зафиксировать и присвоить название, присутствие или отсутствие других просто обозначается некоторой модификацией названия или добавлением некоторого предиката. Мы можем, следовательно, во всех таких случаях говорить о коллекции атрибутов как о «событии» — том же событии по существу, то есть — только говоря, что оно (чтобы сохранить свою номинальную идентичность) происходит разными способами в разных случаях. Когда случайные атрибуты, однако, важны или составляют большинство, этот способ речи становится менее уместным; язык несколько напрягается из-за того, что мы подразумеваем, что два чрезвычайно разных собрания являются в действительности одним и тем же событием, с разницей только в способе его протекания. Фраза, однако, является очень удобной, и с этим предостережением против того, чтобы она была неправильно понята, она часто будет использоваться здесь.

§ 9. Серия вышеупомянутого рода является, я полагаю, конечным основанием, на котором должны базироваться все правила вероятности. Существенно для ясного понимания предмета довести наш анализ до этой точки, но любая попытка дальнейшего анализа внутренней природы событий, составляющих серию, не требуется. Совершенно излишне, например, формировать какое-либо мнение по вопросам, обсуждаемым в метафизике относительно независимого существования субстанций. Мы обнаружили при исследовании серию, состоящую из групп субстанций и атрибутов, или только атрибутов. На такой серии мы останавливаемся и оттуда исследуем наши правила вывода; во что эти субстанции или атрибуты были бы сами по себе в конечном счете проанализированы, если бы ими занялся психолог или метафизик, не наше дело здесь спрашивать.

§ 10. Стадия, которой мы теперь достигли, — это стадия обнаружения множества вещей (они оказываются при анализе группами вещей), которые способны быть классифицированы вместе и лучше всего рассматриваются как составляющие серию. Отличительной особенностью этой серии является наше обнаружение в ней порядка, постепенно возникающего из беспорядка и показывающего со временем заметное и безошибочное единообразие.

Впечатление, которое, возможно, может быть получено из описания такой серии и которое читатель, вероятно, уже будет иметь, если он изучал вероятность раньше, заключается в том, что постепенная эволюция этого порядка является неопределенной, и его приближение, следовательно, к совершенству — неограниченным. И многие из примеров, обычно выбираемых, конечно, имеют тенденцию подтверждать такое впечатление. Но в отношении теории предмета это, я убежден, ошибка, и ошибка, способная привести к большой путанице.

Строки, которые были поставлены в качестве эпиграфа к этой работе: «Так заботлива о типе она кажется, так небрежна к отдельной жизни», вскоре после этого исправляются утверждением, что сам тип, если мы рассматриваем его в течение долгого времени, меняется, а затем исчезает и сменяется другими. Так и в вероятности; то единообразие, которое обнаруживается в долгосрочной перспективе и которое представляет такой большой контраст с индивидуальным беспорядком, хотя и долговечно, но не вечно. Продолжайте наблюдать за ним достаточно долго, и будет обнаружено, что оно почти неизменно колеблется, и со временем может оказаться столь же совершенно не поддающимся правилу и, следовательно, столь же неспособным к предсказанию, как и сами индивидуальные случаи. Полное значение этого факта для теории предмета и для некоторых общих способов вычисления, связанных с ним, проявится более полно в некоторых из следующих глав; в настоящее время мы ограничимся лишь очень кратким установлением и иллюстрированием его.

Возьмем, например, среднюю продолжительность жизни. Это, при условии, что наши данные достаточно обширны, как известно, довольно регулярно и единообразно. Этот факт уже был указан в предыдущих разделах и является истиной, которую популярный ум довольно ясно улавливает в наши дни. Но очень небольшое размышление покажет, что может существовать как верхний, так и нижний предел степени, в которой это единообразие может наблюдаться; другими словами, хотя мы можем впасть в ошибку, взяв слишком мало случаев, мы можем также не достичь нашей цели, хотя и совсем по-другому и по совсем другим причинам, взяв слишком много. В настоящее время средняя продолжительность жизни в Англии может составлять, скажем, сорок лет; но столетие назад она была определенно меньше; несколько столетий назад она была, по-видимому, гораздо меньше; в то время как если бы мы обладали статистикой, относящейся к еще более раннему населению страны, мы, вероятно, обнаружили бы, что с того времени произошло еще более заметное улучшение. Какова может быть будущая тенденция, никто не может сказать наверняка. Может быть, и мы надеемся, что так оно и будет, что благодаря санитарным и другим улучшениям продолжительность жизни будет неуклонно расти; по крайней мере, мыслимо, хотя, несомненно, невероятно, что она будет делать это без предела. С другой стороны, и с гораздо большей вероятностью, эта продолжительность могла бы постепенно стремиться к некоторой фиксированной длине. Или, опять же, вполне возможно, что будущие поколения предпочли бы короткую и веселую жизнь и, следовательно, уменьшили бы свою среднюю долговечность. Продолжительность жизни не может не зависеть в некоторой степени от общих вкусов, привычек и занятий людей, то есть от идеала, который они сознательно или бессознательно ставят перед собой, и был бы безрассудным человек, который взялся бы предсказать, каким будет этот идеал через несколько столетий. Все, что здесь необходимо, однако, указать, это то, что это конкретное единообразие (как мы до сих пор называли его, чтобы отметить его относительный характер) варьировалось и, под влиянием будущих вихрей в мнении и практике, может варьироваться до сих пор; и это в любой степени и с любой степенью нерегулярности. Чтобы заимствовать термин из астрономии, мы находим наше единообразие подверженным тому, что можно было бы назвать нерегулярным вековым изменением.

§ 11. Вышеприведенное является справедливым типичным примером. Если бы мы взяли менее простую черту, чем продолжительность жизни, или менее тесно связанную с тем, что можно назвать по сравнению с этим великими постоянными единообразиями природы, мы обнаружили бы особенность, находящуюся под наблюдением, проявленную в гораздо более поразительной степени. Смерти от оспы, например, или случаи дуэлей или обвинения в колдовстве, если их исследовать в течение нескольких последовательных десятилетий, могли бы показать очень сносную степень единообразия. Но эти единообразия поднялись, возможно, с нуля; после различных и очень больших колебаний, по-видимому, снова стремятся к нулю, по крайней мере в этом столетии; и могут, насколько мы знаем, претерпеть еще более быстрые колебания в будущем. Теперь эти примеры должны рассматриваться как лишь крайние, и не такие уж крайние, того, что является почти всеобщим правилом в природе. Я постараюсь показать, что даже немногие кажущиеся исключения, такие как пропорции между рождениями мальчиков и девочек и т. д., могут не быть, и, вероятно, в действительности не являются, строго говоря, исключениями. Тип, то есть, который должен быть в самом полном смысле слов постоянным и неизменным, едва ли можно найти в природе. Полное значение этого вывода будет видно в будущих главах. Внимание здесь направлено только на важный вывод, что, хотя статистика, как известно, не имеет никакой ценности, если она не в достаточном количестве, тем не менее не следует, что в определенных случаях мы можем иметь ее слишком много. Если она сделана слишком обширной, она может снова оказаться недостаточной, по крайней мере для любого конкретного времени или места, для своей величайшей достижимой точности.

§ 12. Эти естественные единообразия, таким образом, оказываются в конечном счете подверженными колебаниям. Теперь противопоставьте им любые единообразия, предоставляемые азартными играми; последние, по-видимому, не показывают никаких следов векового колебания, как долго бы мы ни продолжали наше исследование их. Критика будет предложена в ходе следующих глав на некоторые из обычных попыток доказать априори, что должна быть эта фиксированность в единообразии, о котором идет речь, но в его существовании едва ли может быть много сомнений. Пенни дают орлов и решек примерно одинаково часто сейчас, как они делали, когда их впервые подбрасывали, и как, мы верим, они будут продолжать делать, пока продолжается нынешний порядок вещей. Фиксированность этих единообразий может быть не столь абсолютной, как обычно предполагается, но никакое количество опыта, которое нам нужно учитывать, вряд ли в какой-либо заметной степени помешает им. Отсюда очевидный контраст, что, тогда как естественные единообразия в конечном счете колеблются, те, что предоставляются азартными играми, кажутся фиксированными навсегда.

§ 13. Вот, таким образом, серии, по-видимому, двух разных видов. Они похожи в своей начальной нерегулярности, похожи в своей последующей регулярности; именно в том, что мы можем назвать их конечной формой, они начинают расходиться друг от друга. Одна стремится без какого-либо нерегулярного изменения к фиксированной численной пропорции в своем единообразии; в другой единообразие оказывается в конце концов колеблющимся, и колеблющимся, может быть, способом, совершенно не поддающимся правилу.

Поскольку эта глава призвана быть немногим более чем объяснительной и иллюстративной основ науки, здесь можно сделать замечание (для которого будет предложено последующее оправдание), что именно в случае серий первого рода только мы способны сделать что-либо, что может быть интерпретировано в строгие научные выводы. Мы будем способны, однако, в общем виде увидеть род и степень ошибки, которая была бы совершена, если бы в любом примере мы заменили воображаемой серией первого рода любую фактическую серию второго рода, которую опыт может представить нам. Две серии, конечно, должны быть как можно более похожими во всех отношениях, за исключением того, что переменное единообразие было заменено фиксированным. Разница тогда между ними не проявилась бы на начальной стадии, ибо на этой стадии отличительные характеристики серии вероятности не очевидны; все там нерегулярность, и было бы так же невозможно показать, что они похожи, как и то, что они различны; мы можем только сказать в общем, что каждая показывает один и тот же род нерегулярности. Не проявилась бы она и на следующей последующей стадии, ибо реальная изменчивость единообразия не имеет некоторое время возможности сделать себя замеченной. Она проявилась бы только на том, что мы назвали конечной стадией, когда мы предполагаем, что серия простирается на очень долгое время, что разница начала бы давать о себе знать. [3] Пропорция лиц, например, которые умирают каждый год в возрасте шести месяцев, является, когда рассматриваемые числа в малом масштабе, совершенно нерегулярной; она становится, однако, регулярной, когда рассматриваемые числа в большем масштабе; но если бы мы продолжали наше наблюдение в течение очень долгого времени или на очень большом пространстве страны, мы обнаружили бы, что эта регулярность сама меняется нерегулярным образом. Замена, только что упомянутая, действительно эквивалентна тому, чтобы сказать: Давайте предположим, что регулярность фиксирована и постоянна. Это создание гипотезы, которая может быть не совсем согласующейся с фактом, но которая навязывается нам с целью обеспечения точности утверждения и определения.

§ 14. Полное значение и смысл такой замены станут очевидными только в некоторых из последующих глав, но можно сразу указать, что именно таким образом только мы можем с совершенной строгостью ввести понятие «предела» в наш отчет о деле, во всяком случае в отношении многих применений предмета к чисто статистическим исследованиям. Мы говорим, что определенная пропорция начинает преобладать среди событий в долгосрочной перспективе; но затем, присмотревшись к фактам, мы обнаруживаем, что мы должны выражать себя гипотетически и говорить, что если нынешние обстоятельства останутся такими, как они есть, долгосрочная перспектива покажет свои характеристики без нарушения. Когда, как это часто бывает, мы ничего не знаем точно об обстоятельствах, которыми вызывается последовательность событий, но имеем веские причины подозревать, что эти обстоятельства, вероятно, претерпят некоторые изменения, действительно ничего другого не остается делать. Мы можем только ввести концепцию предела, к которому стремятся числа, предполагая, что эти обстоятельства не меняются; другими словами, заменяя серию с фиксированным единообразием на фактическую с варьирующимся единообразием. [4]

§ 15. Если читатель изучит следующий пример, хорошо известный математикам под названием Петербургской задачи [5], он обнаружит, что он служит для иллюстрации нескольких соображений, упомянутых в этой главе. Он служит особенно для того, чтобы выявить факты, что серия, с которой мы имеем дело, должна рассматриваться как неопределенно обширная в отношении числа или продолжительности; и что, когда так рассматривается, определенные серии, но только определенные серии (та, о которой идет речь, является примером), пользуются неопределенным диапазоном, чтобы продолжать производить индивидов в ней, чье отклонение от предыдущего среднего значения не имеет никакого конечного предела вообще. При правильном рассмотрении это очень простая задача, но она породила, в то или иное время, немало путаницы и недоумения.

Задачу можно сформулировать так: — подбрасывается монета; если выпадает орел, я получаю один фунт; если орлы два раза подряд — два фунта; если орлы три раза подряд — четыре фунта, и так далее; сумма, которую нужно получить, удваивается каждый раз, когда новый орел следует за предыдущим. То есть, я должен продолжать, пока она продолжает давать последовательность орлов, рассматривать эту последовательность как «ход» или набор, а затем делать другой ход, и так далее; и за каждый такой ход я должен получать оплату; выпадение решки, как понимается, не дает ничего, по сути, исключается из нашего рассмотрения. Сколько бы раз орел ни выпадал подряд, число фунтов, на которые я могу претендовать, находится путем возведения двойки в степень на единицу меньшую, чем это число раз. Вот, таким образом, серия, сформированная последовательностью бросков. Мы предположим, — что многие люди сочтут допускающим доказательство, и что, конечно, опыт подтверждает в значительных пределах, — что редкость этих «серий» одной и той же стороны находится в прямой пропорции к сумме, которую я получаю за них, когда они действительно происходят. Другими словами, если мы рассматриваем только случаи, в которых я получаю выплаты, мы обнаружим, что каждый второй раз я получаю один фунт, раз в четыре раза я получаю два фунта, раз в восемь раз — четыре фунта, и так далее без конца. Вопрос тогда задается, что я должен заплатить за эту привилегию? Рискуя небольшим предвосхищением результатов последующей главы, мы можем предположить, что это эквивалентно вопросу, какая сумма, выплачиваемая каждый раз, в среднем не оставила бы меня ни победителем, ни проигравшим? Другими словами, какова средняя сумма, которую я должен был бы получить на вышеуказанных условиях? Теория провозглашает, что я должен дать бесконечную сумму: то есть, никакая конечная сумма, какой бы большой она ни была, не была бы адекватным эквивалентом. И это действительно вполне понятно. Перед мной серия неопределенной длины, и чем дольше я продолжаю работать с ней, тем богаче мои доходы, и это без какого-либо предела вообще. Это правда, что очень богатые уловы чрезвычайно редки, но все же они приходят, и когда они приходят, они компенсируют это своей большей богатством. В каждом случае, когда люди посвящали себя преследованию, о котором идет речь, они знакомились, конечно, только с ограниченной частью этой серии; но серия, на которой мы основываем наш расчет, неограниченна; и выводы, обычно делаемые относительно суммы, которая должна в долгосрочной перспективе быть выплачена за привилегию, о которой идет речь, находятся в полном соответствии с этим предположением.

Обычная форма возражения приводится в ответе, что, далеко не платя бесконечную сумму, ни один здравомыслящий человек не дал бы ничего, приближающегося к 50 фунтам за такой шанс. Вероятно, нет, потому что никто не увидел бы достаточно серии, чтобы сделать это стоящим для него. То, на чем большинство людей формирует свое практическое мнение, — это такие небольшие части серии, которые они фактически видели или могут разумно ожидать. Теперь в любой такой части, скажем, той, которая охватывает 100 ходов, самая длинная последовательность орлов не составила бы в среднем более семи или восьми. Это наблюдается, но забывается, что формула, которая произвела их, если бы она имела больший размах, продолжала бы производить все лучшие и лучшие без какого-либо предела. Отсюда возникает, что некоторые люди озадачены, потому что поведение, которое они приняли бы в отношении сокращенной части серии, с которой они практически, вероятно, встретятся, не находит своего оправдания в выводах, которые обязательно основаны на серии в полноте ее бесконечности.

§ 16. Это будет более ясно видно при рассмотрении различных возможностей и размаха, требуемого для того, чтобы исчерпать их, когда мы ограничиваемся ограниченным числом бросков. Начните с трех. Это дает восемь одинаково вероятных возможностей. В четырех из этих случаев бросающий начинает с решки и поэтому проигрывает: в двух он выигрывает один пункт (т. е. 1 фунт); в одном он выигрывает два пункта, и в одном он выигрывает четыре пункта. Следовательно, его общий выигрыш, составляющий восемь фунтов, достигнутый в четырех разных непредвиденных обстоятельствах, его средний выигрыш составил бы два фунта.

Теперь предположим, что ему позволено дойти до n бросков, так что мы должны рассматривать 2^n возможностей. Все они должны быть приняты во внимание, если мы хотим рассмотреть, что происходит в среднем. Легко будет увидеть, что, когда все возможные случаи были подсчитаны один раз, его общий выигрыш будет (подсчитанный в фунтах),

2n−2 + 2n−3·2 + 2n−4·2² + … + 2·2n−3 + 2n−2 + 2n−1,

viz.

(n + 1) 2n−2.

Это будучи распределенным по 2^(n-1) различным случаям выигрыша, его средний выигрыш будет 1/2(n+1).

Теперь, когда мы ссылаемся на средние значения, нужно помнить, что минимальное число различных событий, необходимых для того, чтобы оправдать среднее значение, — это то, которое позволяет каждому из них проявиться один раз. Человек предлагает остановиться на последовательности из десяти орлов. Хорошо и хорошо. Мы говорим ему, что его средний выигрыш будет 5 фунтов 10 шиллингов 0 пенсов: но мы также внушаем ему, что для того, чтобы оправдать это утверждение, он должен начать подбрасывать по крайней мере 1024 раза, ибо не в меньшем числе могут быть продемонстрированы и сбалансированы все непредвиденные обстоятельства выигрыша и проигрыша. Если он предлагает достичь среднего выигрыша в 20 фунтов, он должен быть готов дойти до 39 бросков. Чтобы оправдать эту выплату, он должен начать бросать 2^39 раз, т. е. около миллиона миллионов раз. Не раньше, чем он совершит это, он будет в состоянии доказать любому скептику, что это истинное среднее значение «хода», простирающегося до 39 последовательных бросков.

Конечно, если он решит подбрасывать до скончания веков, мы должны принять линию объяснения, которая единственно возможна там, где вовлечены вопросы бесконечности в отношении числа и величины. Мы не можем сказать ему выплатить «бесконечную сумму», ибо это не имеет строгого значения. Но мы говорим ему, что, как бы много он ни согласился платить каждый раз, когда происходят серии орлов, он достигнет наконец стадии, в которой он отыграет свои общие выплаты своими общими поступлениями. Как бы велико ни было n, если он упорствует в попытках 2^n раз, он может иметь истинное среднее поступление 1/2(n+1) фунтов, и если он продолжает достаточно долго вперед, он будет иметь его.

Задача вернется для рассмотрения в будущей главе.

1 Следующая статистика даст справедливое представление о широком диапазоне опыта, в котором, как обнаруживается, существует такая регулярность: «В качестве иллюстраций равных количеств колебаний от совершенно несхожих причин, возьмите смерти в Западном округе Лондона за семь лет (колебание 13.66) и правонарушения против личности (колебание 13.61); или смерти от апоплексии (колебание 5.54) и правонарушения против собственности без насилия (колебание 5.48); или студентов, зарегистрированных в Колледже хирургов (колебание 1.85), и количество фунтов произведенного табака, взятого для внутреннего потребления (колебание 1.89); или уличных нищих (колебание 3.45) и тоннаж британских судов, вошедших в балласте (колебание 3.43) и т. д.» [Извлечено из статьи в Журнале Статистического общества, г-ном Гаем, март 1858 г.; «колебание», приведенное здесь, является мерой количества нерегулярности, то есть отклонения от среднего значения, оцененного способом, который будет описан далее.]

2 Труды Кембриджского философского общества, том IX, стр. 605. Перепечатано в собранном издании его сочинений, стр. 50.

3 Мы могли бы выразить это так: — несколько случаев недостаточно, чтобы проявить закон вообще; значительное число будет достаточно, чтобы проявить его; но требуется очень большое число, чтобы установить, что изменение происходит в законе.

4 Математик может проиллюстрировать природу этой замены аналогиями «круга кривизны» в геометрии и «мгновенного эллипса» в астрономии. В случаях, в которых используются эти концепции, мы имеем явление, которое непрерывно варьируется, а также меняет свою скорость изменения. Мы берем его в какой-то данный момент, предполагаем, что его скорость в этот момент фиксирована, а затем завершаем его карьеру на этом предположении.

5 Так названа от того, что ее первая математическая обработка появилась в Commentarii Петербургской академии; множество заметок о ней можно найти в Истории теории вероятностей г-на Тодхантера.

ГЛАВА II.

ДАЛЬНЕЙШЕЕ ОБСУЖДЕНИЕ ПРИРОДЫ СЕРИЙ, УПОМЯНУТЫХ В ПОСЛЕДНЕЙ ГЛАВЕ.

§ 1. В ходе последней главы природа особого рода серии, а именно той, которая должна рассматриваться как составляющая основание науки о вероятности, получила достаточно общее объяснение для предварительной цели введения. Можно было бы, действительно, сказать больше этого; ибо характеристики, которые были там указаны, действительно достаточны сами по себе, чтобы дать справедливое общее представление о природе вероятности и о роде проблем, с которыми она имеет дело. Но в заключительных параграфах было дано указание, что серии этого рода, как они фактически происходят в природе или как результаты более или менее искусственного производства, редко или никогда не встречаются в такой простой форме, как можно было бы ожидать из того, что было сказано ранее; но что они почти всегда рассматриваются как связанные вместе в группы несколько сложным образом. Более полное обсуждение этой темы должно теперь быть предпринято.

Мы возьмем для исследования пример рода, с которым исследования Кетле послужат для ознакомления некоторых читателей. Предположим, что мы измеряем рост большого числа взрослых мужчин в любом городе или стране. Эти показатели роста, конечно, будут лежать между определенными крайностями в каждом направлении, и если мы продолжим накапливать наши измерения, будет обнаружено, что они имеют тенденцию лежать непрерывно между этими крайностями; то есть, что при этих обстоятельствах никакой промежуточный рост не будет обнаружен как постоянно не представленный в такой коллекции измерений. Теперь предположим, что эти показатели роста выстроены в порядке их величины. Что мы всегда находим, так это нечто следующего рода: — около средней точки между крайностями, большое число результатов будет обнаружено скученными вместе: немного по каждую сторону от этой точки все еще будет избыток, но не в такой большой степени; и так далее, в некоторой уменьшающейся шкале пропорции, пока по мере того, как мы добираемся к крайним результатам, числа редеют и становятся относительно чрезвычайно малыми.

Точка, к которой здесь направляется внимание, — это не просто факт того, что числа таким образом имеют тенденцию уменьшаться от середины в каждом направлении, но, как будет более полно объяснено непосредственно, закон, согласно которому происходит это прогрессивное уменьшение. Слово «закон» здесь используется в его математическом смысле, чтобы выразить формулу, соединяющую вместе два элемента, о которых идет речь, а именно, сам рост и относительное число, которое найдено этого роста. Мы должны будем спросить, является ли один из этих элементов функцией другого, и, если да, то какой функцией.

§ 2. После того, что было сказано в последней главе, вряд ли нужно настаивать на том, что интерес и значимость таких исследований, как эти, почти полностью зависят от того, что статистика является очень обширной. В той или иной работе Кетле по Социальной физике [1] будет найдена подборка измерений почти каждого элемента, который может предоставить физическая рамка человека: — его рост, его вес, мышечная сила различных конечностей, размеры почти каждой части и органа, и так далее. Некоторые из наиболее обширных из них выражают рост 25 000 федеральных солдат из Армии Потомака и окружности груди 5738 шотландских ополченцев, взятые много лет назад. Те, кто желает проконсультироваться с большим репертуаром такой статистики, не могут быть направлены к каким-либо лучшим источникам, чем к этим и другим работам того же автора. [2]

Интересными и ценными, однако, как являются статистические исследования Кетле (и большая часть важности, теперь заслуженно придаваемой таким исследованиям, возможно, обязана больше его усилиям, чем усилиям любого другого лица), я не могу не чувствовать убежденности, что есть много в том, что он написал по предмету, что является ошибочным и запутывающим в отношении оснований науки о вероятности и философских вопросов, которые она включает. Эти ошибки отнюдь не ограничиваются им, но по разным причинам они будут лучше обсуждены в форме критики его явного или неявного выражения их, чем каким-либо более независимым способом.

§ 3. Прежде всего, он всегда или почти всегда исходит из того, что в подобных статистических исследованиях может существовать лишь один и тот же закон распределения для результатов наших наблюдений, измерений и так далее. Иными словами, он предполагает, что всякий раз, когда мы получаем группу таких величин, группирующихся вокруг среднего значения и становящихся менее частыми по мере удаления от этого среднего, мы обнаружим, что это уменьшение частоты происходит согласно одному неизменному закону, какова бы ни была природа этих величин и каков бы ни был процесс, с помощью которого они были получены.

То, что подобная единообразность должна преобладать среди многих и различных классов явлений, вероятно, показалось бы удивительным в любом случае. Но полное значение такого факта (если бы это действительно был факт) становится очевидным лишь тогда, когда внимание направляется на глубокие различия в природе и происхождении явлений, которые, как предполагается, гармонизируются путем подведения их под один всеобъемлющий принцип. Это будет лучше оценено, если мы кратко взглянем на некоторые из основных классов, на которые можно разделить вещи, с которыми главным образом имеет дело вероятность. Они бывают трех видов.

§ 4. Во-первых, существуют различные комбинации и серии удач, предоставляемые азартными играми. Предположим, что горсть из десяти монет подбрасывалась много раз подряд, а результаты были сведены в таблицу. То, что мы получили бы, было бы чем-то вроде следующего. В определенной доле случаев, причем самых многочисленных из всех, мы обнаружили бы, что получили пять орлов и пять решек; в несколько меньшей доле случаев мы имели бы в качестве одинаково частых результатов четыре орла и шесть решек, а также четыре решки и шесть орлов; и так далее, в постоянно уменьшающейся пропорции, пока, наконец, мы не дошли бы, в очень малом относительном числе случаев, до девяти орлов и одной решки, а также девяти решек и одного орла; в то время как наименее частыми результатами были бы те, которые давали все орлы или все решки. [3] Здесь рассматриваемые статистические элементы, по крайней мере в том, что касается их происхождения, являются произвольными или вызванными человеческим выбором. Поэтому их обычно описывали бы как преимущественно искусственные, но их результаты в конечном счете — целиком дело случая.

Далее, во-вторых, мы могли бы взять точные измерения — т.е. сами фактические величины — множества природных объектов, принадлежащих к одному роду или классу; например, уже упоминавшиеся случаи роста или других характеристик жителей какого-либо района. Здесь человеческая воля или вмешательство любого рода, по-видимому, имеют мало общего с делом или не имеют ничего общего вовсе. Нам решать, собирать ли эти измерения, но измеряемые вещи находятся вне нашего контроля. Поэтому их обычно описывали бы как целиком порождение природы, и не предполагалось бы, что в строгом смысле случай имеет хоть какое-то отношение к делу.

В-третьих, результат, к которому мы стремимся, может представлять собой некоторую фиксированную величину, одну и ту же в каждой из наших последовательных попыток, так что если бы наши измерения были строго точными, мы просто получали бы один и тот же результат, повторяющийся снова и снова. Но поскольку все наши методы достижения целей практически подвержены бесчисленным несовершенствам, фактически полученные результаты будут в той или иной степени отклоняться почти в каждом случае от реального и фиксированного значения, которое мы пытаемся получить. Они будут иногда дальше от цели, иногда ближе, причем худшие попытки, разумеется, будут менее частыми. Если человек целится в мишень, он редко или никогда не попадет точно в центр, но его удачные выстрелы будут более [4] многочисленны, чем неудачные. Здесь, следовательно, мы снова имеем ряд величин (т.е. отклонения выстрелов от точки прицеливания), группирующихся вокруг среднего значения, но полученных совсем иным способом, чем в двух предыдущих случаях. В этом примере элементы обычно рассматривались бы как лишь частично являющиеся результатами человеческой воли, а случай, следовательно, как лишь соучастник произведенных эффектов. С ними должны быть классифицированы то, что можно назвать оценками, в отличие от измерений. Под последними обычно понимаются результаты некоторого количества механизмов или манипуляций; под первыми мы можем понимать те случаи, в которых рассматриваемая величина определяется путем прямого наблюдения или интроспекции. Интерес и важность этого класса, насколько это касается научных принципов, восходят главным образом к исследованиям Фехнера. Его главная область, естественно, находится среди психологических данных.

Можно было бы легко привести и другие классы вещей, помимо упомянутых выше. Однако это те классы, о которых можно получить наиболее обширную статистику или которым придается наибольшее практическое значение и интерес. Глубокие различия, разделяющие их происхождение и характер, очевидны. Если бы все они действительно демонстрировали в точности один и тот же закон вариации, это был бы весьма примечательный факт, несомненно указывающий на некое глубокое тождество, лежащее в основе различных способов, по-видимому, столь широко различающихся, которыми они были порождены. Вопросы, которые теперь предстоит обсудить, таковы: верно ли, с какой-либо значительной степенью строгости, что действительно преобладает только один закон распределения? И, поскольку это так, как это происходит?

§ 5. В поддержку утвердительного ответа на первый из этих двух вопросов предлагаются или могут быть предложены доказательства нескольких различных видов.

(I.) В качестве одного из способов мы можем обратиться непосредственно к опыту, собирая наборы статистических данных и наблюдая, каков их закон распределения. Как было отмечено выше, это было сделано в самых разных случаях, а в некоторых примерах — в весьма значительной степени — Кетле и другими. Его исследования сделали вполне убедительным то, что многие классы вещей и процессов, сильно различающиеся по своей природе и происхождению, тем не менее, по-видимому, соответствуют с довольно высокой степенью точности одному и тому же [5] закону. По крайней мере, это становится ясным для более центральных значений, то есть для тех, которые расположены наиболее близко к среднему значению. Что касается экстремальных значений, то здесь, с другой стороны, есть некоторые трудности. Например, в распределении роста ряда людей эти крайности являются скорее камнем преткновения; действительно, было предложено исключить их с обоих концов шкалы под тем предлогом, что они являются отклонениями, тогда как на самом деле их относительные числа, по-видимому, отнюдь не являются теми, которые приписала бы теория. [6] Такой план исключения, однако, совершенно неправомочен, ибо эти карлики и гиганты рождаются в мир, как и их более нормально сложенные собратья, и имеют точно такое же право, как и любые другие, быть включенными в формулы, которые мы составляем.

Помимо примера с ростом людей, уже упоминались другие классы наблюдений несколько схожего характера, собранные и систематизированные Кетле. Однако, в силу природы самого дела, под рукой не так много подходящих примеров; ибо когда наша цель состоит не в том, чтобы проиллюстрировать закон, который может быть доказан иным способом, а в том, чтобы получить его фактическое прямое доказательство, сбор наблюдений и измерений должен производиться в таком большом масштабе, чтобы удержать любого, кроме самых упорных вычислителей, от выполнения необходимой работы. Некоторые замечания, сделанные в примечании на противоположной странице, послужат иллюстрацией трудностей, которые могли бы возникнуть на пути такого способа доказательства.

Мы говорим здесь, следует понимать, только о симметричных кривых: если существует асимметрия, т.е. если закон ошибок различен по разные стороны от среднего значения, — сравнительно очень небольшого числа наблюдений было бы достаточно, чтобы обнаружить этот факт. Но, при условии симметрии и быстрого убывания частоты по обе стороны от среднего значения, мы могли бы обычно выбрать некоторый вид экспоненциальной кривой, который довольно точно представлял бы нашу статистику в окрестности среднего значения. То есть там, где статистических данных много, мы могли бы обеспечить согласие; а там, где мы не могли бы обеспечить согласие, статистические данные были бы сравнительно настолько скудны, что нам пришлось бы продолжать наблюдения в течение очень долгого времени, чтобы доказать отсутствие согласия.

§ 6. Предоставляя различным статистическим данным такой кредит, которого они заслуживают в отношении их объема, уместности, точности и так далее, общий вывод, который в целом сделает почти каждый, кто возьмет на себя труд ознакомиться с ними, заключается в том, что они в значительной степени приблизительно соответствуют одному типу или закону, по крайней мере для всех, кроме экстремальных значений. Столь многое должно быть полностью признано. Но то, что они не всегда делают это, — более того, можно сказать, что они не могут всегда делать это в случае экстремальных значений, — станет очевидным при небольшом размышлении. В некоторых классах вещей, к которым, как предполагается, применим этот закон, например, в последовательностях орлов и решек при подбрасывании монеты, нет предела величине флуктуаций, которые могут и будут происходить. Постулируйте сколь угодно длинную последовательность орлов или решек, и если бы мы могли жить и подбрасывать достаточно долго, мы бы в конце концов преуспели в ее получении. В других случаях, включая многие приложения вероятности к естественным явлениям, такие пределы почти неизбежно должны существовать. Отклонения, превышающие определенный диапазон, могут быть не просто маловероятными, то есть очень редкими, но часто, в силу природы самого дела, могут быть фактически невозможными. И даже когда они не являются фактически невозможными, часто при рассмотрении может оказаться, что они становятся возможными только благодаря случайному введению факторов, которые, как предполагается, не участвуют в создании более обычных или промежуточных значений. Когда, например, мы проводим наблюдения с помощью какого-либо инструмента, характер его конструкции может наложить абсолютный предел на возможную величину ошибки. И даже если нет абсолютного предела при всех видах использования, тем не менее может оказаться, что он существует при честном и надлежащем использовании; дело в том, что только тогда, когда инструмент намеренно или небрежно повреждается, будут введены новые причины расхождения, которые не были ограничены старыми пределами.

Предположим, например, что человек стреляет в мишень. Его худшие выстрелы должны считаться вызванными комбинацией таких причин, которые действовали или были готовы действовать в любом другом случае; крайний пример того, что мы можем таким образом назвать «честным использованием», — это когда ряд различных причин случайно совпал, так что они стремятся в одном направлении, вместо того чтобы, как в других случаях, более или менее нейтрализовать работу друг друга. Но совокупный эффект таких причин вполне может считаться ограниченным. Человек не произведет выстрел почти под прямым углом к истинной линии огня, если не вмешается какая-то совершенно новая причина, например, из-за какого-то необычного обстоятельства, отвлекшего его внимание, или из-за спазматического приступа. Но влияния такого рода, как предполагалось, не были доступны ранее; и даже если они были, мы делаем смелый шаг, предполагая, что эти случайные великие возмущения подчиняются тем же видам законов, что и совокупности бесчисленных малых.

Мы действительно не можем придавать большого значения примеру последнего рода по сравнению с теми, в которых мы можем с уверенностью видеть, что существует фиксированный предел диапазона ошибки. Поэтому он предлагается скорее для иллюстрации, чем для доказательства. Огромная, фактически невообразимая величина чисел, выражающих вероятность очень редких комбинаций, подобных рассматриваемым, оказывает такое ошеломляющее воздействие на ум, что иногда можно быть склонным смешивать невозможное с высшими степенями просто математически маловероятного.

§ 7. Во время написания первого издания этого эссе авторы по статистике, я думаю, все еще по большей части находились под влиянием Кетле и были склонны переоценивать его авторитет в этом конкретном вопросе: однако в последнее время внимание неоднократно обращалось на необходимость учета иных законов распределения, нежели биномиальный или экспоненциальный.

Мистер Гальтон, например, — которому так многим обязана каждая ветвь теории статистики, — настаивал [7] на том, что «предположение, лежащее в основе хорошо известного закона 'Частоты ошибок'... является неверным во многих группах жизненных и социальных явлений... Например, предположим, что мы пытаемся подобрать оттенок; закон Фехнера в его аппроксимативной и простейшей форме ощущение = log стимула говорит нам, что ряд оттенков, в которых количества белого, рассеянного на черном фоне, относятся как 1, 2, 4, 8, 16, 32 и т.д., будут казаться глазу разделенными равными интервалами оттенка. Поэтому, подбирая серый цвет, содержащий 8 порций белого, мы с такой же вероятностью можем ошибиться, выбрав тот, в котором 16 порций, как и тот, в котором 4 порции. В первом случае будет ошибка в избытке на 8; во втором — ошибка в недостатке на 4. Следовательно, ошибка той же величины в избытке или в недостатке не является одинаково вероятной». Последствия этого предположения разработаны в замечательной статье доктора Д. Макалистера, к которой нам еще придется вернуться в дальнейшем. Все, что нам здесь важно отметить, это то, что когда результаты статистики такого характера располагаются графически, мы не получаем кривую, которая была бы симметричной по обе стороны от центральной оси.

§ 8. Совсем недавно мистер Ф. И. Эджуорт (в отчете комитета Британской ассоциации, назначенного для расследования изменения денежного стандарта) выдвинул те же соображения в отношении цен на товары. Он приводит ряд статистических данных, «взятых из цен на двенадцать товаров в течение двух периодов 1782–1820, 1820–1865 гг. После того как были отмечены максимальное и минимальное значения для каждой серии, было обнаружено, что количество записей выше 'средней точки', находящейся на полпути между максимумом и минимумом, [8] в каждом случае меньше половины общего числа записей в серии. В двадцати четырех испытаниях нет ни одного исключения из этого правила, и в очень немногих случаях даже приближения к исключению. Мы можем предположить, следовательно, что кривые имеют однобокий характер, указанный на прилагаемой диаграмме». Те же факты установлены и в отношении пространственных вариаций в отличие от временных. К этому можно добавить некоторые мои собственные статистические данные, относящиеся к высоте барометра, измеренной в один и тот же час в течение более 4000 последовательных дней (см. Nature, 2 сентября 1887 г.). Насколько они позволяют судить, они показывают заметную асимметрию распределения.

На самом деле мне кажется, что эту нехватку симметрии следует искать во всех случаях, когда измеряемые явления имеют «односторонний» характер; в том смысле, что они измеряются только с одной стороны от некоторой фиксированной точки, от которой, как предполагается, начинается их возможность. Ибо они не только не могут опуститься ниже этой точки: задолго до того, как они достигают ее, влияние ее близости ощущается в усилении трудности и важности той же величины абсолютной разности.

Взгляните, например, на таблицу роста со средним значением 69 дюймов. Уменьшение на три фута (если бы это было возможно) гораздо более значительно — значит гораздо больше во всех смыслах этого слова, — чем прибавление такой же величины; ибо первое не удваивает среднее значение, тогда как второе более чем уменьшает его вдвое. Вернемся к иллюстрации. Если бы огромное количество мелких влияющих обстоятельств описанного типа воздействовало на качающийся маятник, мы ожидали бы, что отклонения в каждом направлении будут демонстрировать симметрию; но если бы они воздействовали на пружину, мы не ожидали бы такого результата. Любые явления, для которых последняя является более подходящей иллюстрацией, вряд ли могут располагаться симметрично вокруг среднего значения. [9]

§ 9. (II.) Последние замечания подскажут другой вид доказательства, который можно было бы предложить для установления неизменного характера закона ошибок. Он носит прямой дедуктивный характер, не апеллируя непосредственно к статистике, но включая исследование фактической или предполагаемой природы причин, которыми вызываются события. Представьте, что рассматриваемое событие происходит, во-первых, по какой-то фиксированной причине или группе фиксированных причин. Если бы это охватывало все влияющие обстоятельства, событие неизменно происходило бы в точности одинаково: не было бы никаких ошибок или отклонений, которые нужно было бы принимать во внимание. Но теперь предположим, что существовало также огромное количество очень малых причин, которые стремились вызвать отклонения; что эти причины действовали в полной независимости друг от друга; и что каждая из них в конечном счете сказывалась так же часто в одном направлении, как и в противоположном. Легко [10] увидеть в общем виде, что последовало бы из этих предположений. В очень немногих случаях почти все причины действовали бы в одном направлении; иными словами, в очень немногих случаях отклонение было бы экстремальным. Однако в большем числе случаев только большая их часть действовала бы в одном направлении, в то время как немногие делали бы все возможное, чтобы противодействовать остальным; результатом было бы сравнительно большее число несколько меньших отклонений. И так далее, во все возрастающих числах, пока мы не приблизимся к средней точке. Здесь мы будем иметь очень большое число очень малых отклонений: случаи, в которых противоположные влияния как раз успевают уравновесить друг друга, так что не производится никакой ошибки, будут, хотя фактически и редкими, относительно самыми частыми из всех.

Теперь, если бы все отклонения от среднего значения вызывались способом, только что указанным (указанием, которое должно быть достаточным для настоящего момента), мы всегда имели бы один и тот же закон распределения частоты для этих отклонений или ошибок, а именно экспоненциальный [11] закон, упомянутый в § 5.

§ 10. Можно легко признать, исходя из того, что мы знаем о возникновении событий, что нечто, напоминающее эти предположения, а следовательно, и нечто, напоминающее последствия, которые из них вытекают, действительно обеспечивается в очень большом числе случаев. Но хотя это может преобладать приблизительно, в высшей степени маловероятно, что это когда-либо могло быть обеспечено, даже искусственно, с чем-то, приближающимся к строгой точности. Во-первых, причины отклонения редко или никогда не будут действительно независимыми друг от друга. Некоторые из них, как правило, будут такого рода, что предположение о том, что несколько из них колеблются в одном направлении, может повлиять на способность каждой из них произвести тот полный эффект, который она была бы способна произвести, если бы была оставлена выполнять свою работу в одиночку. В обычном примере, например, стрельбы в мишень, пока мы рассматриваем случай довольно хороших выстрелов, эффект ветра (одна из причин ошибки) будет приблизительно одинаковым, каково бы ни было точное направление пули. Но когда выстрел значительно отклоняется от цели, ветер уже нельзя рассматривать как действующий под прямым углом к линии полета, и его эффект, как следствие, не будет в точности таким же, как раньше. Другими словами, причины здесь не являются строго независимыми, как предполагалось; и, следовательно, результаты, которые следует приписать каждой из них, не являются абсолютно не подверженными влиянию результатов других. Несомненно, эффект здесь ничтожен, но я опасаюсь, что если бы мы тщательно изучили способы, которыми несколько элементов общей причины объединяются, мы обнаружили бы, что предположение об абсолютной независимости было рискованным, если не сказать неоправданным, в очень большом числе случаев. Эти краткие замечания о процессе, с помощью которого вызываются отклонения, должны быть достаточными для настоящей цели, так как эта тема получит более полное исследование в ходе следующей главы.

Согласно, следовательно, наилучшему рассмотрению, которое может быть предоставлено этой теме на данном этапе, мы можем сделать аналогичный вывод из этой дедуктивной линии аргументации, что и из прямого обращения к статистике. По-видимому, установлен тот же общий результат; а именно, что приблизительно, с достаточной точностью для всех практических целей, мы можем сказать, что исследование причин, которыми обычно вызываются отклонения, показывает, что они по большей части таковы, что привели бы к получению общепринятого «Закона ошибок», как он называется. [12] Две линии исследования, следовательно, в установленных пределах, обеспечивают друг другу решительное взаимное подтверждение.

§ 11. (III.) Остается еще третья, косвенная и математическая линия доказательства, которую можно было бы предложить для установления вывода о том, что Закон ошибок всегда один и тот же. Можно утверждать, что признанное и повсеместное применение одного и того же метода, известного математикам и астрономам как метод наименьших квадратов, во всех возможных различных случаях с весьма удовлетворительными результатами, совместимо только с предположением, что ошибки, к которым применяется этот метод, должны группироваться согласно одному неизменному закону. Если бы все «законы ошибок» не были одного и того же типа, то есть если бы относительная частота больших и малых расхождений (о которых мы говорили) не была организована по одному шаблону, как мог бы один метод или правило одинаково подходить им всем?

Чтобы сохранить непрерывность изложения, здесь необходимо уделить некоторое внимание этому исследованию, хотя, как и в случае с последним аргументом, тщательное обсуждение темы на данном этапе невозможно. Во-первых, это потребовало бы слишком большого использования математики, или, по крайней мере, математических концепций, чтобы соответствовать общему плану этого трактата: я, соответственно, посвятил специальную главу его рассмотрению.

Основная причина, однако, против обсуждения этого аргумента здесь заключается в том, что это потребовало бы предвосхищения совершенно иной стороны науки о вероятности, чем та, что рассматривалась до сих пор. На этом необходимо особо настаивать, так как пренебрежение этим влечет за собой большую путаницу и некоторую ошибку. В течение этих ранних глав мы были полностью заняты тем, что можно назвать физическими основами вероятности. Мы не делали ничего иного, кроме как устанавливали, тем или иным способом, существование определенных групп или расположений вещей, которые, как обнаруживается, проявляются в природе; мы пытались объяснить, как они происходят, и мы проиллюстрировали их основные характеристики. Но это лишь основы вывода, мы еще не сказали ни слова о логических процессах, которые должны быть воздвигнуты на этих основах. Мы, следовательно, еще не вступили в логику случая.

§ 12. Теперь то, как иногда говорят о методе наименьших квадратов, имеет тенденцию скрывать масштаб этого различия. Авторы рассматривали его как синоним Закона ошибок, тогда как на самом деле эти две вещи не только совершенно различны, но и едва ли имеют какую-либо необходимую связь друг с другом. Закон ошибок — это утверждение физического факта; он просто приписывает, с большей или меньшей точностью, относительную частоту, с которой ошибки или отклонения любого рода обнаруживаются на практике. Поэтому он принадлежит к тому, что можно назвать физическими основами науки. Метод наименьших квадратов, с другой стороны, вообще не является законом в научном смысле этого термина. Это просто правило или указание, информирующее нас о том, как мы можем наилучшим образом поступить, чтобы обработать любую группу этих ошибок, которые могут быть представлены нам, чтобы извлечь истинный результат, к которому они стремились. Ясно, следовательно, что он принадлежит к логической или выводной части предмета.

Нельзя, конечно, отрицать, что методы, которые мы применяем, должны иметь некоторую связь с расположением фактов, к которым они применяются; но эти две вещи тем не менее различны по своей природе, и в данном случае связь не кажется вовсе необходимой, а в лучшем случае — связью уместности и удобства. Метод наименьших квадратов обычно применяется, без сомнения, к наиболее знакомой и распространенной форме Закона ошибок, а именно к экспоненциальной форме, которой мы недавно занимались. Но могут существовать и другие формы законов ошибок, и если бы они существовали, рассматриваемый метод мог бы с таким же успехом быть применен к ним. Я не утверждаю, что это обязательно был бы лучший метод в каждом случае, но он был бы возможным; действительно, мы можем пойти дальше и сказать, как будет показано в будущей главе, что это был бы хороший метод почти в каждом случае. Но его конкретные достоинства или недостатки не мешают его возможному применению в каждом случае, в котором мы можем пожелать прибегнуть к нему. Таким образом, будет видно, даже из немногих замечаний, которые можно сделать по этому предмету здесь, что тот факт, что один и тот же метод очень часто применяется с удовлетворительными результатами, дает мало или вообще не дает доказательств того, что ошибки, к которым он применяется, должны быть организованы согласно одному фиксированному закону.

§ 13. Столько, следовательно, о попытке доказать повсеместность, во всех случаях, этого конкретного закона расхождения. Следующий момент в подходе Кетле к предмету, который заслуживает внимания как ошибочный или запутывающий, — это доктрина, поддерживаемая им и другими относительно существования того, что он называет типом в рассматриваемых группах вещей. Это не является неестественным следствием некоторых данных и выводов последних нескольких параграфов. Обратитесь назад к двум из трех классов вещей, уже упомянутых в § 4. Если бы действительно было так, что при расположении в порядке серии наших собственных неверных наблюдений или попыток, а также коллекции природных объектов, принадлежащих к одному и тому же виду или классу, мы обнаружили бы, что закон их расхождения в каждом случае идентичен в конечном счете, мы были бы естественно склонны применять одно и то же выражение «Закон ошибок» к обоим примерам одинаково, хотя в строгом смысле оно могло бы быть уместным только для первого. Когда мы выполняем операцию сами с ясным осознанием того, к чему мы стремимся, мы можем вполне правильно говорить о каждом отклонении от этого как об ошибке; но когда природа представляет нам группу объектов любого рода, использование в этом случае также метафоры «закон ошибок» является довольно смелым, как если бы она все время стремилась к чему-то и, подобно остальным из нас, промахнулась мимо своей цели более или менее в почти каждом случае. [13]

Предположим, мы делаем длинную последовательность попыток точно измерить рост человека, мы по той или иной причине редко или никогда не преуспели бы в этом с абсолютной точностью. Но мы не имеем права предполагать, что эти наши несовершенные измерения отклонялись бы согласно одному конкретному закону ошибок, представляя точный аналог серии фактических ростов разных людей, если предположить, что последние были определены с абсолютной точностью. Каков мог бы быть фактический закон ошибок в серии прямых измерений любой заданной величины, едва ли можно утверждать заранее, и, вероятно, попытка определить его опытным путем не предпринималась достаточно часто, чтобы позволить нам установить его; но на общих основаниях кажется отнюдь не уверенным, что он следовал бы так называемому экспоненциальному закону. Как бы то ни было, это скорее вольность языка — говорить так, как если бы природа работала так же, как один из нас; стремясь (по большей части безуспешно) к заданному результату, то есть к созданию человека, наделенного определенным ростом, пропорциями и так далее, который поэтому мог бы рассматриваться как типичный человек.

§ 14. Сформулированная как выше, а именно, что существует фиксированный неизменный человеческий тип, которого, как можно считать, были призваны достичь все отдельные экземпляры человечества, но от которого они отклонились в том или ином направлении согласно закону отклонения, поддающемуся априорному определению, эта доктрина является немногим более чем абсурдной. Но если мы присмотримся немного ближе к фактам дела и вероятному объяснению этих фактов, мы можем увидеть путь к важной истине. Факты, согласно авторитету статистики Кетле (великий интерес и ценность которой должны быть откровенно признаны), очень кратко таковы: если мы возьмем любой элемент нашего физического строения, который допускает точное измерение, скажем, рост, и определим эту меру у большого числа различных индивидов, принадлежащих к любому достаточно однородному классу людей, мы обнаружим, что эти показатели роста действительно допускают упорядоченное расположение вокруг среднего значения, на манер, который уже неоднократно упоминался. Что подразумевается под однородным классом? — это уместный и значимый вопрос, но при применении этого условия к любым простым случаям его значение легко формулируется. Это подразумевает, что рассматриваемое среднее значение будет различным в зависимости от национальности лиц, подвергаемых измерению. Согласно Кетле, [14] в случае англичан среднее значение составляет около 5 футов 9 дюймов; для бельгийцев около 5 футов 7 дюймов; для французов около 5 футов 4 дюйма. Едва ли стоит добавлять, что эти меры — меры взрослых мужчин.

§ 15. Здесь можно справедливо спросить, каково было бы последствие, если бы мы, вместо того чтобы держать англичан и французов отдельно, смешали результаты наших измерений их всех вместе? Вопрос важный, так как он заставит нас более ясно понять, что мы подразумеваем под однородными классами. Ответ, который обычно давался бы на него, хотя и является по существу правильным, несколько слишком решителен и краток. Сказали бы, что мы здесь смешиваем отчетливо неоднородные элементы и что, как следствие, результирующий закон ошибок отнюдь не будет иметь того простого характера, который был продемонстрирован ранее. Насколько такой ответ должен быть принят, его основания легко оценить. В соответствии с обычным законом ошибок отклонения от среднего значения становятся непрерывно менее многочисленными по мере увеличения их величины. Теперь, если мы смешаем показатели роста французов и англичан, что последует? Начиная со среднего значения англичан в 5 футов 9 дюймов, показатели роста поначалу будут почти полностью следовать закону, определенному этими английскими условиями, ибо в этой точке английских данных очень много, а французских, для сравнения, очень мало. Но по мере того, как мы начинаем приближаться к среднему значению французов, числа перестанут показывать то постоянное уменьшение, которое они должны были бы показывать согласно английской шкале расположения, ибо здесь французские данные, в свою очередь, очень многочисленны, а английские, для сравнения, малочисленны. Результат такой комбинации неоднородных элементов проиллюстрирован прилагаемым рисунком, конечно, в очень преувеличенной форме.

§ 16. В вышеприведенном случае природа неоднородности и причины, по которым статистические данные должны собираться и располагаться так, чтобы избежать ее, казались довольно очевидными. Это будет видно еще яснее, если мы возьмем параллельный случай, взятый из искусственных действий. Предположим, что после того, как человек произвел несколько тысяч выстрелов в определенную точку, скажем, в пластинку, закрепленную где-то на стене, положение точки, в которую он целится, было смещено, и он произвел еще несколько тысяч выстрелов в пластинку в ее новом положении. Теперь давайте соберем и расположим все выстрелы обеих серий в порядке их удаления от любого из центров, скажем, нового. Здесь мы действительно смешивали бы два несогласованных набора элементов, каждый из которых, если бы его держали отдельно от другого, имел бы простой и однородный характер. Мы обнаружили бы, как следствие, что результирующий закон ошибок выдал свое составное или неоднородное происхождение вопиющим отклонением от обычной формы, несколько на манер, указанный на вышеприведенной диаграмме.

Пример с ростом англичан и французов напоминает только что приведенный, но значительно уступает ему в строгости, с которой обеспечиваются необходимые условия. Дело в том, что у нас здесь нет наиболее подходящих требований, а именно группы, состоящей из нескольких фиксированных причин, дополненных бесчисленными мелкими возмущающими влияниями. То, что мы называем нацией, на самом деле является в высшей степени искусственным телом, члены которого подвержены значительному числу местных или случайных возмущающих причин. Среди французов были включены, по-видимому, бретонцы, провансальцы, эльзасцы и так далее, тем самым смешивая различия, которые, хотя и меньше, чем различия между французами и англичанами, рассматриваемыми как целое, очень далеки от того, чтобы быть незначительными. И к этим различиям в расе должны быть добавлены другие возмущения, также весьма важные, зависящие от меняющегося климата, пищи и рода занятий. Очевидно, следовательно, что любые возражения, существующие против смешивания статистики французов и англичан, существуют также, хотя, конечно, в меньшей степени, против смешивания статистики различных провинциальных и других компонентов, которые составляют французский народ.

§ 17. Из огромного разнообразия важных причин, которые влияют на рост людей, вероятно, те, которые наиболее полно удовлетворяют основным условиям, требуемым «Законом ошибок», — это те, о которых мы знаем меньше всего. О влиянии пищи и занятий наблюдение имеет что сказать, но о чисто физиологических причинах, с помощью которых рост родителей влияет на рост потомства, у нас, вероятно, нет ничего, что заслуживало бы называться знанием. Возможно, лучшее предположение, которое мы можем сделать, — это то, которое, в соответствии с поговоркой «подобное порождает подобное», предполагало бы, что чисто физиологические причины представляют собой постоянный элемент; то есть, если начать с однородной расы людей, которые свободно вступают в браки и подвержены сходным обстоятельствам климата, пищи и рода занятий, стандарт оставался бы в целом постоянным. [15] В таком случае человека, который обладал средним ростом, средним весом, средней силой и так далее, можно было бы тогда назвать, в некотором роде, «типом». Отклонения от этого типа тогда производились бы бесчисленными мелкими влияниями, частично физиологическими, частично физическими и социальными, действующими по большей части независимо друг от друга и приводящими к Закону ошибок обычного описания. При таких ограничениях и объяснениях, как эти, по-видимому, нет разумных возражений против того, чтобы говорить о французском или английском типе или среднем значении. Но всегда следует помнить, что при нынешних обстоятельствах каждой политической нации эти несколько неоднородные тела могли бы быть подразделены на различные меньшие группы, каждая из которых часто демонстрировала бы характеристики такого типа в еще более выраженной степени.

§ 18. По этому пункту отчеты Антропометрического комитета, уже упоминавшиеся, наиболее поучительны. Они иллюстрируют степень, до которой это подразделение могло бы быть осуществлено, и доказывают — если бы требовалось какое-либо доказательство, — что открытие homme moyen Кетле привело бы нас в долгую погоню. Насколько позволяют судить их результаты, средний «английский» рост (в дюймах) составляет 67,66. Но это состоит из шотландских, ирландских, английских и валлийских составляющих, отдельные средние значения которых соответственно: 68,71, 67,90, 67,36 и 66,66. Но они, в свою очередь, могут быть подразделены; ибо тщательное наблюдение показывает, что средний английский рост отчетливо больше в определенных районах (например, в северо-восточных графствах), чем в других. Затем, опять же, среднее значение профессиональных классов значительно больше, чем у рабочих; а среднее значение честных и интеллигентных людей очень намного больше, чем у преступных и душевнобольных составляющих населения. И, насколько наблюдения достаточно обширны для этой цели, оказывается, что каждая характеристика в отношении группировки вокруг среднего значения, которая может быть обнаружена в более обширных из этих классов, может быть обнаружена также и в более узких. И нет никаких оснований полагать, что тот же процесс подразделения не мог бы быть осуществлен настолько дальше, насколько мы пожелали бы его продлить.

§ 19. Едва ли стоит добавлять к вышеприведенным замечаниям, что никто, кто дает малейшее согласие с доктриной эволюции, не мог бы рассматривать тип, в вышеприведенном квалифицированном смысле этого термина, как обладающий какой-либо реальной постоянностью и фиксированностью. Если постоянные причины, каковы бы они ни были, остаются неизменными, а переменные продолжают в конечном счете уравновешивать друг друга, результаты будут продолжать группироваться вокруг того же среднего значения. Но если постоянные претерпевают постепенное изменение, или если переменные, вместо того чтобы уравновешивать друг друга, позволяют одному или нескольким из своего числа начать приобретать преобладающее влияние, так чтобы наложить своего рода смещение на их совокупный эффект, среднее значение сразу же начнет, так сказать, менять свое основание. И, начав однажды меняться, оно может продолжать делать это в той степени, в какой мы признаем, что виды изменчивы, а развитие — факт. Это как если бы точка на мишени, в которую мы целимся, вместо того чтобы быть фиксированной, медленно меняла свое положение, пока мы продолжаем стрелять в нее; меняясь почти наверняка в некоторой степени и временно, и, не исключено, в значительной степени и постоянно.

§ 20. Наши примеры на протяжении этой главы были почти исключительно взяты из физических характеристик, будь то человека или неодушевленных вещей; но не следует предполагать, что мы обязательно ограничены такими примерами. Мистер Гальтон, например, предложил распространить те же принципы расчета на ментальные явления с целью их более точного определения. Цели, которые должны быть достигнуты этим, принадлежат скорее к выводной части нашего предмета и будут лучше указаны далее; но они не включают никакого отдельного принципа. Как и другие попытки применить методы науки в области разума, это предложение встретило некоторое сопротивление; с очень незначительным основанием, как мне кажется. То, что наши ментальные качества, если бы их можно было подвергнуть точному измерению, обнаружили бы следование обычному Закону ошибок, можно предположить без особых колебаний. Известная степень корреляции ментальных и телесных характеристик придает высокую вероятность предположению, что то, что, как доказано, преобладает, по крайней мере приблизительно, среди большинства телесных элементов, которые были подвергнуты измерению, будет преобладать также и среди ментальных элементов.

В какой степени такие измерения могли бы быть осуществлены практически — это другой вопрос. Мне не кажется, что это могло бы быть сделано с большим успехом; отчасти потому, что наши ментальные качества так тесно связаны, более того, так переходят друг в друга, что невозможно изолировать их для целей сравнения. [16] Это до некоторой степени, действительно, трудность в телесных измерениях, но это гораздо большая трудность в измерениях разума, где мы едва ли можем выйти за пределы того, что можно назвать хорошей догадкой. Доктрина, следовательно, что ментальные качества следуют теперь знакомому закону расположения, едва ли может быть основана на чем-то большем, чем сильная аналогия. Тем не менее эта аналогия достаточно сильна, чтобы оправдать нас в принятии доктрины и всех выводов, которые следуют из нее, в той мере, в какой наши оценки и измерения могут рассматриваться как заслуживающие доверия. Поэтому не кажется неразумным попытка установить систему естественной классификации человечества путем распределения их на определенное число групп выше и ниже среднего, причем каждая группа предназначена соответствовать определенным пределам превосходства или недостаточности. [17] Все, что необходимо для такой цели, — это чтобы скорость отклонения от среднего значения была довольно постоянной при широко различных обстоятельствах: в данном случае среди всех рас человека. Конечно, если закон расхождения такой же, как тот, который преобладает в неодушевленной природе, у нас под рукой есть еще более широкая и естественная система классификации, и та, которая должна быть знакома, более или менее, каждому, кому приходится таким образом оценивать качества.

§ 21. Возможно, одна из лучших иллюстраций законного применения таких принципов может быть найдена в работе мистера Гальтона «Наследственный гений». Действительно, полная сила и смысл некоторых его рассуждений там едва ли могут быть оценены, кроме как теми, кто знаком с концепциями, которые мы обсуждали в этой главе. Мы можем позволить себе место только для того, чтобы отметить один или два пункта, но студент найдет при прочтении, по крайней мере, более аргументированных частей этого тома [18] интересную иллюстрацию доктрин, обсуждаемых сейчас. Во-первых, можно с уверенностью утверждать, что никто, не знакомый с Законом ошибок, никогда ни в малейшей степени не оценил бы чрезмерную быстроту, с которой высшие степени превосходства имеют тенденцию становиться редкими. Каждый, конечно, может сразу увидеть, по крайней мере в числовом отношении, что подразумевается под тем, чтобы быть «одним из миллиона»; но они вовсе не поняли бы, как мало дополнительного превосходства следует ожидать от человека, который является «одним из двух миллионов». Они смешали бы простое числовое различие, которое, кажется, в некотором роде подразумевает двойное превосходство, с внутренним превосходством, которое по большей части было бы представлено очень малым дробным преимуществом. Быть «одним из десяти миллионов» звучит очень грандиозно, но если бы рассматриваемые качества можно было оценить сами по себе без знания значительно более широкой области, из которой был сделан выбор, и, следовательно, в свободе от любого вытекающего из этого числового смещения, люди были бы удивлены, обнаружив, какое очень незначительное сравнительное превосходство, как правило, таким образом получалось.

§ 22. Пункт, только что упомянутый, является важным в аргументах, основанных на статистике. Если, например, мы находим небольшую группу лиц, связанных кровным родством и все обладающие некоторой ментальной характеристикой в заметном превосходстве, многое зависит от сравнительной редкости такого превосходства, когда мы пытаемся решить, было ли общее обладание этими качествами случайным или нет. Такое решение никогда не может быть более чем грубым, но если оно вообще должно быть принято, это соображение должно войти в качестве фактора. Далее, когда мы сравниваем одну нацию с другой, [19] скажем, афинян с любым современным европейским народом, оценивает ли популярный ум вообще, какой вид доказательства общего превосходства подразумевается производством из одной нации такой группы, как та, которая может быть составлена из Сократа, Платона и нескольких их современников? В этом последнем случае мы также, следует отметить, используем «Закон ошибок» вторым способом; ибо мы предполагаем, что там, где крайности велики, таковыми будут и средние значения, другими словами, мы предполагаем, что каждая величина отклонения от среднего значения происходит с (грубо) вычислимой степенью относительной частоты. Как бы широко ни принималась эта истина в расплывчатом виде, ее доказательство может быть оценено только теми, кто знает причины, которые могут быть приведены в ее пользу.

Но те же принципы также предоставят предостережение в случае последнего примера. Они напоминают нам, что для простой цели сравнения средний человек любой группы или класса является гораздо лучшим объектом для выбора, чем выдающийся. На пути его обнаружения могут быть большие трудности, но когда мы сделали это, мы получили владение более надежным и стабильным основанием для сравнения. Он выбран, по природе дела, из наиболее многочисленного слоя своего общества; выдающийся человек — из редко населенного слоя. В соответствии, следовательно, с теперь знакомыми законами средних значений и больших чисел флуктуации среди первых, как правило, будут очень немногими и малыми по сравнению с таковыми среди последних.

1 Essai de Physique Sociale, 1869. Anthropométrie, 1870.

2 Что касается более поздней статистики по той же теме, читатель может обратиться к отчетам Антропометрического комитета Британской ассоциации (1879, 1880, 1881, 1883; — особенно последний). Эти отчеты кажутся мне представляющими большой прогресс по сравнению с результатами, полученными Кетле, и полностью оправдывающими утверждение секретаря (мистера К. Робертса), что их статистика является «уникальной по охвату и числам». Они охватывают не только военных новобранцев — как большинство предыдущих таблиц, — но почти каждый класс и возраст, и оба пола. Более того, они относятся не только к росту, но и к ряду других физических характеристик.

3 Как знает каждый математик, относительные числа каждого из этих возможных бросков даются последовательными членами разложения (1 + 1)^10, а именно: 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1.

4 То есть они будут более плотно сгруппированы. Если исследовать пространство размером с «яблочко» в каждом последовательном круге, количество отметин от выстрелов, которые оно содержит, будет последовательно меньше. Фактическое количество выстрелов, которые попадают в «яблочко», не будет наибольшим, поскольку оно покрывает гораздо меньшую поверхность, чем любой из других кругов.

5 Обычно называемый экспоненциальным законом; его уравнение имеет вид y = A e^(-h x^2). Кривая, соответствующая ему, пересекает ось y под прямыми углами (выражая тот факт, что вблизи среднего значения имеется большое число значений, приблизительно равных); через некоторое время она начинает быстро наклоняться к оси x (выражая тот факт, что результаты вскоре начинают становиться менее распространенными по мере того, как мы удаляемся от среднего значения); и ось x является асимптотой в обоих направлениях (выражая тот факт, что никакая величина, как бы далека она ни была от среднего значения, не является строго невозможной; то есть каждое отклонение, как бы чрезмерно оно ни было, в конечном счете должно быть встречено в пределах опыта достаточно долгого времени). Кривая очевидно симметрична, выражая тот факт, что равные отклонения от среднего значения, в избытке и в недостатке, имеют тенденцию происходить одинаково часто в конечном счете.

Приблизительное графическое изображение кривой приведено выше. Для тех, кто не знаком с математикой, здесь можно добавить одно или два кратких замечания относительно некоторых ее свойств. (1) Не следует полагать, что все экземпляры этой кривой подобны друг другу. Пунктирные линии в равной степени являются ее экземплярами. Фактически, варьируя по существу произвольные единицы, в которых соответственно оцениваются x и y, мы можем сделать часть кривой у вершины настолько тупой или острой, насколько пожелаем. Это соображение важно, поскольку оно напоминает нам, что, варьируя одну из этих произвольных единиц, мы могли бы получить «экспоненциальную кривую», которая довольно точно напоминала бы любую симметричную кривую ошибок, при условии, что последняя признавала и основывалась на допущении, что крайние отклонения крайне редки. Следовательно, было бы трудно путем простого наблюдения доказать, что закон ошибок в любом данном случае не является экспоненциальным, если только статистика не была очень обширной или фактические результаты значительно не отклонялись от экспоненциальной формы. (2) Совершенно невозможно с помощью какого-либо графического изображения дать адекватное представление о чрезмерной быстроте, с которой кривая через некоторое время приближается к оси x. В точке R, на нашей шкале, кривая приближается к оси x на расстояние в пятнадцатитысячную долю дюйма — расстояние, которое может обнаружить только очень хороший микроскоп. В то время как у гиперболы, например, скорость приближения кривой к своей асимптоте постоянно уменьшается, здесь все как раз наоборот: эта скорость постоянно увеличивается. Следовательно, через очень короткое время кривая и ось x визуально сливаются в одну линию.

6 Как отмечено Кетле: среди прочих, Гершелем, Essays, стр. 409.

7 Proc. R. Soc. 21 октября 1879 г.

8 Напомним, что мы рассматриваем здесь случай конечного объема статистики, так что на обоих концах существуют фактические пределы.

9 Следует признать, что опыт (как я полагаю) еще не показал такой асимметрии в отношении роста.

10 Приведенное выше рассуждение, вероятно, будет принято как обоснованное на данном этапе исследования. Но строго говоря, здесь делаются допущения, которые, какими бы оправданными они ни были сами по себе, содержат в себе некое предвосхищение. Они требуют, и в будущей главе получат, более тщательного изучения и критики.

11 Определенный численный пример такой концентрации частоты вокруг среднего значения был приведен в примечании к § 4. Он имел биномиальную форму, состоящую из последовательных членов разложения (1 + 1)m. Теперь можно показать (Кетле, Letters, стр. 263; Лиагр, Calcul des Probabilités, § 34), что разложение такого бинома по мере того, как m становится неопределенно большим, приближается в качестве своего предела к экспоненциальной форме; то есть, если мы возьмем ряд равноотстоящих ординат, пропорциональных соответственно 1, m, m(m − 1) / 1·2 и т. д., и соединим их вершины, то полученная фигура будет приблизительно представлять некоторую форму кривой y = Ae−hx2 и стремиться стать идентичной ей по мере увеличения m без предела. Другими словами, если мы предположим, что ошибки порождаются ограниченным числом конечных, равных и независимых причин, мы получим приближение к экспоненциальному закону ошибок, которое переходит в тождество по мере того, как число причин увеличивается, а их величина уменьшается без предела. Джевонс привел (Principles of Science, стр. 381) диаграмму, начерченную в масштабе, чтобы показать, насколько быстро происходит это приближение. Здесь следует тщательно помнить один момент, поскольку его часто упускают из виду (например, Кетле). Коэффициенты бинома из двух равных членов — как (1 + 1)m в предыдущем абзаце — симметричны в своем расположении с самого начала и очень быстро становятся неотличимыми по (графическому) очертанию от окончательной экспоненциальной формы. Но если, с другой стороны, мы рассмотрим последовательные члены такого бинома, как (1 + 4)m (которые пропорциональны относительным шансам 0, 1, 2, 3, … неудач в m попытках события, имеющего один шанс в свою пользу против четырех против него), мы получим несимметричную последовательность. Однако если мы предположим, что m увеличивается без предела, как в предыдущем допущении, несимметрия постепенно исчезает, и мы стремимся к точно такой же экспоненциальной форме, как если бы мы начали с двух равных членов. Единственная разница заключается в том, что положение вершины кривой больше не находится в центре: другими словами, наиболее вероятный член или событие — это не равное число успехов и неудач, а успехи и неудачи в соотношении 1 к 4.

12 «Закон ошибок» — это обычный технический термин для того, что выше в других местах называлось законом отклонения от среднего значения. Строго говоря, он уместен только в случае одного, а именно третьего, из трех классов явлений, упомянутых в § 4, но путем удобного обобщения он в равной степени применяется и к двум другим; так что мы называем величину отклонения от среднего значения «ошибкой» в каждом случае, как бы она ни была вызвана.

13 Однако это, по-видимому, является смыслом, либо путем прямого утверждения, либо по смыслу, двух фундаментальных работ Кетле, а именно его Physique Sociale и Anthropométrie.

14 Он, однако, едва ли претендует на то, чтобы представить их как точную меру среднего роста, и не всегда дает одну и ту же меру. Практически, поскольку в больших количествах измерялись только солдаты, английский рост не давал точных данных в сколько-нибудь широком масштабе. Статистика, приведенная несколькими страницами далее, вероятно, гораздо более достоверна.

15 Это утверждение получит некоторое объяснение и исправление в следующей главе.

16 Я не говорю здесь о ставших теперь привычными результатах психофизики, которые в основном заняты измерением восприятий и других простых состояний сознания.

17 Пожалуй, лучший краткий отчет о методе г-на Гальтона можно найти в статье в Mind (июль 1880 г.) о статистике мысленных образов. Предмет сравнения здесь — а именно относительная способность, которой обладают разные люди, вызывать ясные зрительные образы объектов, более не присутствующих перед нами, — это то, что кажется невозможным «измерить» в обычном смысле этого слова. Но, расположив все ответы в порядке, в котором, по-видимому, проявляется данная способность, мы можем с некоторым приближением к точности выбрать среднего человека в ряду и использовать его в качестве основы для сравнения с соответствующим человеком в любой другой группе. И точно так же с теми, кто занимает иные относительные позиции, чем позиция среднего.

18 Я имею в виду вводную и заключительную главы: основная часть книги, в силу природы предмета, в основном занята статистическими и биографическими деталями.

19 См. Hereditary Genius Гальтона, стр. 336–350, «Об относительной ценности различных рас».

ГЛАВА III.

О ПРИЧИННОМ ПРОЦЕССЕ, ПОСРЕДСТВОМ КОТОРОГО ВОЗНИКАЮТ ГРУППЫ ИЛИ СЕРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

§ 1. Обсуждая вопрос о том, являются ли все различные группы и серии, с которыми имеет дело теория вероятностей, точно одного и того же типа, мы провели некоторое исследование процесса, посредством которого они естественным образом возникают, но теперь мы должны немного углубиться в детали этого процесса. Все события являются результатами многочисленных и сложных предшествующих факторов, на самом деле слишком многочисленных и сложных для того, чтобы мы могли определить их все или принять их во внимание. Теперь, хотя это строго верно, что мы никогда не сможем определить их все, существует широкое различие между случаем индукции, в котором мы можем выявить их достаточное количество и с достаточной точностью, чтобы удовлетворить разумную уверенность, и вероятностью, в которой мы не можем этого сделать. К индукции мы вернемся в будущей главе, и поэтому здесь больше не нужно ничего говорить о ней.

Нам будет удобно начать с деления, которое, хотя и не претендует на философскую точность, послужит предварительным руководством. Это простое деление на объекты и воздействующие на них факторы. Все явления, с которыми имеет дело теория вероятностей (как, впрочем, и большинство тех, с которыми имеет дело наука любого рода), являются продуктом определенных объектов, естественных и искусственных, действующих под влиянием определенных факторов, естественных и искусственных. При подбрасывании монеты, например, объектами были бы монета или монеты, которые последовательно подбрасывались; факторами были бы акт подбрасывания и все, что прямо или косвенно сочеталось с этим, чтобы какая-либо конкретная сторона выпала вверх. Это простое и понятное деление, и его можно легко расширить по смыслу так, чтобы оно охватывало каждый класс объектов, с которыми мы имеем дело.

Теперь, если в любых двух или более случаях у нас был бы один и тот же объект или объекты, неотличимо похожие, и если бы они подвергались влиянию факторов, во всех отношениях точно таких же, мы ожидали бы, что результаты будут точно такими же. Используя одно из применений знакомого принципа единообразия природы, мы были бы уверены, что за точным сходством предшествующих факторов последует точное сходство последующих. Если бы одна и та же монета или похожие монеты подбрасывались точно таким же образом, мы неизменно обнаруживали бы, что одна и та же сторона падает вверх.

§ 2. То, что мы находим на самом деле, конечно, очень далеко от этого. В случае объектов, когда они являются искусственными конструкциями, например, игральные кости, монеты, карты, верно, что они намеренно делаются как можно более неотличимо похожими. Мы либо используем одну и ту же вещь снова и снова, либо разные, сделанные по точно такой же модели. Но в естественных объектах ничего подобного не преобладает. На самом деле, когда мы начинаем их исследовать, мы обнаруживаем в них воспроизведенными точно те же характеристики, что и те, которые проявляются в конечном результате, который нас просили объяснить, так что если мы не исследуем их на стадию дальше, как нам придется сделать, по крайней мере, в некоторой степени, мы, кажется, просто постулируем ту самую особенность явлений, которую мы взялись объяснить. Будет обнаружено, например, что они состоят из больших классов объектов, во всех отдельных членах которых распространяется общее сходство. Предположим, мы рассматриваем продолжительность жизни. Объекты здесь — это человеческие существа или тот избранный класс из них, чьи жизни мы рассматриваем. Сходство, существующее между ними, заключается в силе и здоровье их основных жизненно важных органов, вместе со всеми обстоятельствами, которые в совокупности составляют то, что мы называем добротностью их конституций. Это правда, что большинство этих обстоятельств не допускают никакого приближения к фактическому измерению; но, как было указано в последней главе, очень многие из обстоятельств, которые допускают такое измерение, были измерены и обнаружено, что они проявляют рассматриваемые характеристики. Следовательно, исходя из известной аналогии и корреляции между нашими различными органами, не может быть разумных сомнений в том, что если бы мы могли расположить человеческие конституции в целом или различные элементы, из которых они состоят, в частности, в порядке их силы, мы обнаружили бы именно такую совокупную регулярность и именно такие группировки вокруг среднего значения, какие конечный результат (а именно, в данном случае, продолжительность их жизни) представляет нашему вниманию.

§ 3. Таким образом, будет замечено, что для этой цели необходимо существование естественных видов или групп. В наших азартных играх, конечно, можно бросать одну и ту же кость или вытягивать карту из одной и той же колоды столько раз, сколько мы пожелаем; но многие события, которые происходят с людьми, либо не могут быть повторены вовсе, либо не достаточно часто, чтобы обеспечить в случае отдельного индивида какую-либо достаточную статистическую единообразность. Такая регулярность, которую мы прослеживаем в природе, обязана, гораздо больше, чем часто подозревают, расположению вещей в естественные виды, каждый из которых содержит большое количество индивидов. Если бы каждый вид животных или растений ограничивался одной парой или даже всего несколькими парами, у нас не было бы много возможностей для сбора статистических таблиц среди них. Или, если взять менее радикальное предположение, если бы числа в каждом естественном классе объектов были намного меньше, чем они есть в настоящее время, или различия между их разновидностями и подвидами были бы гораздо более выраженными, вытекающая отсюда трудность извлечения из них сколько-нибудь достаточного количества статистических таблиц, хотя и не фатальная, могла бы быть очень серьезной. Большое количество объектов в классе, вместе с тем общим сходством, которое дает право справедливо включать объекты в один класс, кажутся важными условиями для применимости теории вероятностей к любому явлению. Нечто аналогичное этой чрезмерной нехватке объектов в классе можно было бы обнаружить при попытке применить специальные страховые конторы к случаю тех профессий, где числа очень ограничены, а занятость настолько опасна, что выделяет их в отдельный класс. Если бы страховое общество было создано только для рабочих пороховых заводов, пришлось бы взимать такую высокую премию, чтобы избежать возможного разорения, что это проиллюстрировало бы крайнюю нехватку соответствующей статистики.

§ 4. Столько (на данный момент) об объектах. Если мы обратимся к тому, что мы назвали факторами, мы снова обнаружим здесь примерно то же самое. Благодаря регулированию их относительной интенсивности и соответствующей частоты их возникновения, общие эффекты, которые они производят, также оказываются довольно единообразными. Конечно, можно представить, что это могло бы быть иначе. Могло бы оказаться, что вторая группа условий настолько точно корректировала первую, чтобы превратить просто общее единообразие в абсолютное; или, с другой стороны, могло бы оказаться, что вторая группа должна усугубить или нарушить влияние первой до такой степени, чтобы уничтожить все единообразие ее эффектов. Практически ни то, ни другое не является верным. Второе условие просто варьирует детали, оставляя единообразие в целом точно такого же общего описания, каким оно было раньше. Или если предположить, что объекты абсолютно одинаковы, как в случае последовательных подбрасываний монеты, это может способствовать достижению единообразия. Анализ покажет, что эти факторы таким образом состоят из почти бесконечного числа различных компонентов, но он обнаружит ту же особенность, к которой нам так часто приходилось обращаться, пронизывающую почти все эти компоненты. Пропорции, в которых они объединены, окажутся почти, хотя и не совсем, одинаковыми; интенсивность, с которой они действуют, будет почти, хотя и не совсем, равной. И все они будут объединяться и сливаться во все более совершенную регулярность по мере того, как мы будем брать среднее значение из большего числа случаев.

Возьмем, к примеру, продолжительность жизни. Как мы видели, конституции очень большого числа людей, выбранных случайным образом, будут обнаруживать примерно одну и ту же черту: общее единообразие, сопровождаемое индивидуальной нерегулярностью. Теперь, когда эти люди выходят в мир, они подвергаются воздействию множества факторов, совокупное влияние которых определит каждому отведенную ему продолжительность жизни. Эти факторы, конечно, бесчисленны, а их взаимное взаимодействие настолько сложно, что его невозможно распутать никаким анализом. Каждый эффект в свою очередь становится причиной, неразрывно переплетается с неопределенным числом других причин и реагирует на конечный результат. Климат, пища, одежда — вот некоторые из этих факторов, или, скорее, они включают в себя совокупные группы таковых. Характер работы человека также важен. Один человек переутомляется, другой занимается нездоровым ремеслом, третий подвергает себя инфекции и так далее.

Результатом всего этого взаимодействия между тем, что мы назвали объектами и факторами, является то, что конечный исход представляет те же общие характеристики единообразия, которые могут быть обнаружены отдельно в двух составляющих элементах. Или, скорее, как мы сейчас покажем, это происходит в подавляющем большинстве случаев.

§ 5. Можно возразить, что такое объяснение, как приведенное выше, на самом деле не сводится ни к чему, заслуживающему этого названия, ибо вместо того, чтобы объяснять, как вызвано конкретное положение вещей, оно лишь указывает на то, что такое же состояние существует где-то еще. Единообразие обнаруживается в объектах на стадии, когда они обычно представляются для вычисления; затем мы блуждаем среди их причин и в конце концов обнаруживаем лишь точно такое же единообразие, существующее среди этих причин. Это в некоторой степени верно, ибо, хотя часть возражения может быть устранена, всегда будет оставаться фактом, что основы объективной науки в конечном счете будут покоиться на простом факте, что вещи оказываются такого-то и такого-то характера.

§ 6. Это деление на объекты и воздействующие на них факторы предназначено лишь для грубого практического упорядочения, достаточного для того, чтобы указать читателю непосредственную природу причин, которые вызывают наши привычные единообразия. Если мы сделаем шаг назад, можно было бы справедливо утверждать, что их можно свести к одному, а именно к факторам. Объекты, как мы их назвали, не являются первоначальным творением в том состоянии, в котором мы находим их сейчас. Никто не предполагает, что целые группы или классы были приведены в существование одновременно, со всеми их общими сходствами и частными различиями, полностью развитыми. Даже если бы это было так, что первые родители каждого естественного вида были специально созданы, вместо того чтобы развиться из ранее существовавших форм, все равно было бы верно, что среди множества каждого из них, которые сейчас представлены, характерные различия и сходства являются результатом того, что мы назвали факторами. Возьмем, например, только одну характеристику, скажем, рост; что определяет его в том виде, в каком мы находим его в любой данной группе людей? Отчасти, несомненно, природа их собственной пищи, одежды, занятости и так далее, особенно в самые ранние годы их жизни; отчасти также, весьма вероятно, подобные условия и обстоятельства со стороны их родителей в то или иное время. Никто, я полагаю, в нынешнем состоянии знаний не стал бы пытаться перечислить остальные причины или даже дать какое-либо указание на их точную природу; но в то же время мало кто усомнился бы в том, что факторы этого общего описания были определяющими причинами в действии.

Если снова спросить, к чему могут быть в конечном счете проанализированы эти факторы, ответ на этот вопрос, поскольку он предполагает какое-либо детальное их исследование, был бы чужд плану этого эссе. Поскольку требуются какие-либо общие замечания, применимые почти ко всем классам таких факторов, мы возвращаемся к точке, с которой начали в предыдущей главе, когда обсуждали, существует ли обязательно один фиксированный закон, согласно которому формируются все наши серии. Мы видели там, что каждое событие можно рассматривать как вызванное сравнительно немногими важными причинами, того рода, который включает все, на что обращает внимание обычное наблюдение, и неопределенно многочисленной группой малых причин, слишком многочисленных, мелких и неопределенных в своем действии, чтобы мы могли оценить их или, действительно, принять их индивидуально во внимание вообще. Важные из них, правда, также в свою очередь могут быть представлены как состоящие из совокупностей малых компонентов, но их все же лучше рассматривать как сравнительно простые и отчетливые, ибо их составные части действуют в основном группами коллективно, появляясь и исчезая вместе, так что они обладают существенными характеристиками единства.

§ 7. Теперь, говоря в широком смысле, мне кажется, что наиболее подходящие условия для вероятности таковы: чтобы важные причины были сравнительно фиксированными и постоянными, а остальные в среднем продолжали действовать так же часто в одном направлении, как и в другом. Это они могут делать двумя способами. Во-первых, мы можем быть не в состоянии утверждать о них ничего, кроме самого факта, что они действуют так же часто в одном направлении, как и в другом; то, что мы тогда получили бы, было бы лишь простым статистическим единообразием, которое описано в первой главе. Но может оказаться, и на практике это обычно так, более или менее приблизительно, что эти второстепенные причины действуют также независимо друг от друга. То, что мы тогда получаем, — это группа единообразий, как это было объяснено и проиллюстрировано во второй главе. Поскольку каждая возможная комбинация этих причин тогда происходит с регулярной степенью частоты, мы обнаруживаем один своеобразный вид единообразия, проявляющийся не только в самом факте избытка и недостатка (того, что является переменным качеством), но также и в каждой конкретной величине избытка и недостатка. Следовательно, в этом случае мы получаем то, что некоторые авторы называют «средним» или «типом», вместо простого среднего арифметического. Например, предположим, человек бросает квоит в цель. Здесь наши фиксированные причины — это его сила, вес квоита и намерение целиться в данную точку. Эти, конечно, мы должны предположить, остаются неизменными, если мы хотим получить какое-либо единообразие, которое мы ищем. Второстепенные и переменные причины — это все те бесчисленные маленькие беспокоящие влияния, о которых говорилось в последней главе. Можно было бы представить, что мы могли бы только установить, что они действовали так же часто в одном направлении, как и в другом; то, что мы тогда обнаружили бы, заключалось в том, что квоит стремился упасть не долетев до цели так же часто, как и перелетев ее. Но благодаря тому, что эти маленькие причины по большей части независимы друг от друга и более или менее равны по своему влиянию, мы обнаруживаем также, что каждая величина избытка и недостатка представляет те же общие характеристики, и что в большом числе бросков количество отклонений от цели, любой данной величины, является довольно определенной функцией, согласно регулярному закону, этой величины отклонения.

§ 8. Необходимость только что упомянутых условий лучше всего будет видна при обращении к случаям, в которых какое-либо из них случайно отсутствует. Так, мы знаем, что продолжительность жизни в целом довольно регулярна, как и число тех, кто умирает в последовательные годы или столетия от большинства распространенных болезней. Но, по-видимому, это не так со всеми болезнями. Что, например, со «потливой лихорадкой», «черной смертью», азиатской холерой? Две первые либо не повторяются, либо, если повторяются, то в такой мягкой форме, что не заслуживают того же названия. Что, по сути, с любой из болезней, которые являются скорее эпидемическими, чем эндемическими? У всех них, несомненно, есть свои причины, и они были бы вызваны снова повторением условий, которые вызывали их раньше. Но некоторые из них, по-видимому, не повторяются вовсе. Они, кажется, зависели от таких редких условий, что их возникновение было почти уникальным. А из тех, которые повторяются, течение часто настолько эксцентрично и нерегулярно, часто настолько зависит от человеческой воли или отсутствия таковой, что полностью лишает их результаты (то есть ежегодное число смертей, которые они вызывают) статистического единообразия, о котором мы говорим.

Объяснение, вероятно, заключается в том, что одной из главных причин в таких случаях является то, что мы обычно называем заражением. Если так, то у нас сразу есть причина, которая, будучи далекой от того, чтобы быть фиксированной, подвержена величайшей изменчивости. Строгая осторожность может уничтожить ее, неосторожность может усугубить ее в любой степени. Воля человека, находящая свое выражение либо со стороны правительства, врачей или общественности, может сделать из нее почти то, что пожелает, хотя против возможности ее проникновения в любое сообщество никакие меры предосторожности не могут нас абсолютно застраховать.

§ 9. Если ответят, что эта нехватка статистической регулярности возникает только из факта нашего ограничения слишком ограниченным временем, и что мы обнаружили бы, что нерегулярность исчезает здесь, как и везде, если бы мы держали наши таблицы открытыми достаточно долго, мы обнаружим, что ответ предложит другой случай, в котором отсутствуют необходимые условия для вероятности. Такой ответ был бы убедительным только при допущении, что пути и мысли людей в конечном счете неизменны, или, если изменчивы, подвержены только периодическим изменениям. При допущении устойчивого прогресса в обществе, либо к лучшему, либо к худшему, аргумент сразу же рассыпается. Из того, что мы знаем о ходе мира, эти страшные бедствия прошлого можно рассматривать как единичные события в нашей истории, или, по крайней мере, события, которые не будут повторены. Поэтому никакого постоянного единообразия не было бы найдено в смертях, которые они вызывают, даже если бы книги регистратора держались открытыми в течение тысячи лет. Причину здесь, вероятно, следует искать в постепенном изменении тех неопределенно многочисленных условий, которые мы называем коллективно прогрессом или цивилизацией. Каждое маленькое обстоятельство такого рода имеет некоторое отношение к подверженности любого человека заболеванию. Но когда начинается своего рода медленный и устойчивый прилив, в результате которого эти влияния больше не остаются примерно на одной и той же средней силе, борясь примерно на равных условиях с враждебными влияниями, а, напротив, проявляют устойчивую тенденцию к увеличению своей силы, статистика будет с соответствующей устойчивостью и постоянством принимать отпечаток такого изменения.

§ 10. Итак, вкратце, если бы нас спросили, где наиболее заметно проявляются отличительные характеристики вероятности и где они наиболее заметно отсутствуют, мы могли бы сказать, что (1) они преобладают главным образом в свойствах естественных видов, как в конечных, так и в производных или случайных свойствах. Во всех характеристиках естественных видов, во всем, что они делают, и во всем, что с ними происходит, поскольку это зависит от их свойств, мы редко не обнаруживаем этой регулярности. Так у людей: их рост, сила, вес, возраст, до которого они доживают, болезни, от которых они умирают — все это представляет хорошо известное единообразие. Таблицы страхования жизни предлагают самый знакомый пример важности этих применений вероятности.

(2) Та же особенность преобладает снова в силе и частоте большинства естественных факторов. Видно, что ветер и погода теряют свою пресловутую нерегулярность, если рассматривать их в большом масштабе. Работа человека, следовательно, когда на нее воздействуют такие факторы, как эти, даже если бы она была сделана в разных случаях абсолютно одинаковой с самого начала, впоследствии показывает только общее единообразие. Я могу сеять точно такое же количество семян на своем поле каждый год. Урожай может в один год быть умеренным, в следующий год обильным из-за благоприятной погоды, а затем снова в свою очередь быть уничтоженным градом. Но в конечном счете эти нерегулярности будут уравновешены в результате моих урожаев, потому что они уравновешены в силе и частоте продуктивных факторов. Бизнес андеррайтеров и контор, которые страхуют урожаи от града, подпадал бы под этот класс; хотя, как уже отмечалось, нет очень глубокого различия между ними и предыдущим классом.

Читателю необходимо снова напомнить, что эта фиксация является лишь временной, то есть что даже здесь серии принадлежат к классу тех, которые обладают флуктуирующим типом. Те, кто верит в неизменность естественных видов, действительно будут иметь лучший шанс найти серию действительно постоянного типа среди них, хотя даже они признают, что некоторое изменение характеристики достижимо с течением времени. В случае основных естественных факторов, конечно, неоспоримо, что нынешнее среднее значение относится только к нынешнему геологическому периоду. Наша средняя температура и среднее количество осадков в прежние времена были совершенно иными, чем они есть сейчас, и, несомненно, будут такими снова.

Любое более полное исследование процесса, посредством которого, согласно теории эволюции, из первобытной простоты и единообразия было выведено нынешнее разнообразие, едва ли относится к сфере данной работы: самое большее, нескольких намеков должно быть достаточно.

§ 11. Вышеприведенное, таким образом, являются примерами естественных объектов и естественных факторов. Есть основания полагать, что именно в таких вещах, в отличие от вещей искусственных, и обнаруживается рассматриваемое свойство. Это утверждение, которое потребует некоторого обсуждения и объяснения. Два примера, находящиеся в явном противоречии, сразу придут на ум некоторым читателям; один из которых, в силу своей большой внутренней важности, а другой, в силу частоты задач, которые он предоставляет, потребует нескольких минут отдельного рассмотрения.

(1) Первый из них — это уже упомянутый случай инструментальных наблюдений. При использовании астрономических и других инструментов часто желательна максимально возможная степень точности, степень, на которую нельзя разумно надеяться при любом одном отдельном наблюдении. Поэтому в этих случаях мы делаем большое количество последовательных наблюдений, которые, естественно, оказываются несколько отличающимися друг от друга по своим результатам; с помощью них истинное значение (как объяснено в будущей главе о методе наименьших квадратов) должно быть определено как можно точнее. Предметами вычисления здесь являются некоторое количество элементов, слегка неточных элементов, данных последовательными наблюдениями. Разве эти наблюдения не искусственны или не являются прямым продуктом добровольного действия? Конечно, нет: или, скорее, ответ зависит от того, что мы понимаем под добровольным. То, что действительно намеревается и к чему стремится наблюдатель, — это, конечно, идеальная точность, то есть истинное наблюдение, или добровольные шаги и предварительные условия, от которых зависит это наблюдение. Добровольный он или нет, только этот результат можно назвать преднамеренным. Но этот результат не получен. То, что мы фактически получаем взамен, — это серия отклонений от него, содержащая результаты, более или менее далекие от истины. Теперь чем вызваны эти отклонения? Именно такими факторами, которые мы рассматривали в некоторых из предыдущих разделов этой главы. Тепло и его нерегулярное деформирующее влияние, потоки воздуха, производящие соответствующие эффекты, пыль и последующее трение в той или иной части, легкое искажение инструмента из-за напряжений или медленное неравномерное сжатие, которое продолжается долго после того, как металл был отлит; эти и подобные им являются некоторыми из причин, которые отвлекают нас от истины. Помимо этой группы, существуют другие, которые, безусловно, зависят от человеческого фактора, но которые не являются, строго говоря, добровольными. Это такие, как нерегулярное действие мышц, неспособность заставить наши различные органы и члены выполнять именно те цели, которые мы имеем в виду, возможно, разные скорости в быстроте нервных токов или в реакции на стимулы у одного и того же или разных наблюдателей. Эффект, производимый некоторыми из них, и допущение, которое в результате должно быть сделано, становятся знакомыми даже внешнему миру под названием «личного уравнения» в астрономических, психофизических и других наблюдениях.

§ 12. (2) Другой пример, упомянутый выше, — это стандартный пример с картами и костями. Здесь, как и в последнем случае, результат отдаленно добровольный, в том смысле, что преднамеренная воля проявляется на одной стадии. Но после этой стадии результат производится или затрагивается столь многими непроизвольными факторами, что он обязан своими характерными свойствами именно им. Выпадение, например, определенной грани кости является результатом добровольного действия, но это не непосредственный результат. Эта конкретная грань не была выбрана, хотя факт ее выбора был отдаленным следствием акта выбора. Был промежуточный хаос конфликтующих факторов, который никто не может рассчитать заранее или различить впоследствии. Эти факторы, по-видимому, показывают единообразие в долгосрочной перспективе и, следовательно, производят подобное единообразие в результате. Вытягивание карты из колоды действительно более непосредственно волевое, как при снятии для партнеров в игре в вист. Но никто не продолжает делать это долго, не имея колоды, хорошо перетасованной в промежутке, благодаря чему допускается множество непроизвольных влияний.

§ 13. Однажды поразительные, но теперь привычные единообразия, проявляющиеся в случаях самоубийств и неправильно направленных писем, не принадлежат к тому же классу. Окончательное решение, или его отсутствие, которое ведет к этим результатам, является в каждом случае, действительно, важным ингредиентом в действии или бездействии индивида; но, поскольку воля имеет какое-либо отношение к результатам в целом, она мгновенно нарушает их. Если голос законодательного органа высказывается, или какой-либо великий проповедник или моралист преуспевает в сдерживании, или какой-либо впечатляющий пример во влиянии, наша моральная статистика мгновенно подвергается вмешательству. Некоторое дальнейшее обсуждение будет посвящено этому предмету в будущей главе; здесь нужно лишь заметить, что (всегда исключая такое общее или обычное влияние, как только что упомянутые) средняя воля, какой бы мощной она ни была в каждом отдельном случае, в целом определяется невольными условиями, такими как условия здоровья, случайности занятости и т. д., фактически различными обстоятельствами, которые влияют на продолжительность жизни человека.

§ 14. Такие различия, как те, на которых только что настаивали, могут показаться некоторым людям излишними, но серьезные ошибки иногда возникали из-за пренебрежения ими. Непосредственные продукты человеческого разума, насколько мы можем сделать попытку получить их, по-видимому, не обладают этой существенной характеристикой вероятности. Их характеристика, кажется, скорее, либо идеальная математическая точность, либо полное ее отсутствие, либо закон безотказный, либо просто каприз. Если, например, мы обнаруживаем деревья в лесу, растущие по прямым линиям, мы без колебаний заключаем, что они были посажены человеком в том виде, в каком они стоят. С другой стороны, верно, что если мы обнаруживаем их не регулярно посаженными, мы не можем заключить, что они не были посажены человеком; отчасти потому, что сажающий мог работать без плана, отчасти потому, что последующие нерегулярности, вызванные природой, могли скрыть план. Практически разум должен работать с помощью несовершенных инструментов и подвергается многим препятствиям через различные и конфликтующие факторы, и этими средствами работа теряет свои первоначальные свойства. Предположим, например, что человек, вместо того чтобы производить численные результаты с помощью несовершенных наблюдений или броска костей, выбирал бы их из первых рук для себя, просто думая о них сразу; какой ряд он получил бы? Было бы примерно так же трудно получить таким образом любую такую серию, как те, что подходят для вероятности, как было бы трудно поддерживать работу сердца или пульса регулярно прямыми актами воли, предполагая, что он имел бы необходимый контроль над этими органами. Но само предположение абсурдно. Человек должен иметь цель в мышлении, он должен мыслить согласно правилу или формуле; но если он не берет какую-либо естественную серию в качестве копии, он никогда не сможет сконструировать ее мысленно, чтобы она постоянно имитировала оригиналы. Или возьмем другой продукт человеческих усилий, в котором намерение может быть выполнено с терпимым успехом. Когда кто-то строит дом, в работе участвует много легких беспокоящих влияний, таких как усадка кирпичей и раствора, оседание фундамента и т. д. Но эффект, который эти беспокойства способны произвести, настолько ничтожно мал, что мы можем справедливо считать, что полученный результат является прямым продуктом разума, точной реализацией его намерения. Каково следствие? Каждый дом в ряду, если спроектирован одним человеком и в одно время, имеет точно такую же высоту, ширину и т. д., как его соседи; или если есть вариации, они немногочисленны, определенны и регулярны. Результат не предлагает никакого сходства вообще с высотами, весами и т. д. ряда людей, выбранных случайным образом. Строитель, вероятно, имел в виду какой-то регулярный проект, и ему удалось его выполнить.

§ 15. Можно ответить, что если мы расширим наши наблюдения, скажем, до домов большого города, мы тогда обнаружим обсуждаемое свойство. Различные высоты большого числа, когда они сгруппированы вместе, могут оказаться похожими на высоты большого числа человеческих существ при аналогичном обращении. Что-то в этом роде, не исключено, может оказаться верным, хотя сходство будет далеко не близким. Но поднять этот вопрос — значит выйти на другую почву, ибо мы говорили (как отмечено выше) не о работе разных умов с их разными целями, а о работе одного ума. В множественности проектов может быть то переменное единообразие, которое мы можем тщетно искать в одном проекте. Высоты, которые предполагали разные строители, могут оказаться группирующимися в нечто того же рода единообразия, что преобладает в большинстве других вещей, которые они должны были бы предпринять независимо. Мы могли бы тогда проследить действие тех же двух условий — единообразия в множестве их различных проектов, единообразия также в бесконечном разнообразии влияний, которые модифицировали эти проекты. Но это очень отличается от утверждения, что работа одного человека покажет такой результат, как этот. Разница очень похожа на разницу между шагом тысячи людей, которые идут, не думая друг о друге, и их шагом, когда они вымуштрованы в полк. В первом случае происходит работа, так или иначе, тысячи умов; во втором — только одного.

Исследования этой и предыдущей глав составляют достаточно близкое рассмотрение детальных причин, посредством которых фактически производится специфическая форма статистических результатов, с которыми мы имеем дело, чтобы служить цели работы, которая занята главным образом методами науки о вероятности. Большая важность, однако, некоторых статистических или социологических исследований потребует возвращения в будущей главе к одному конкретному применению этой статистики, а именно к тем, которые касаются некоторых классов человеческих действий.

§ 16. Единственное важное дополнение к вышеизложенным замечаниям или их модификация, которую я нашел повод сделать, принадлежит г-ну Гальтону. Он недавно указал — и был, я полагаю, первым, кто это сделал, — что в определенных случаях некоторый анализ причинных процессов может быть осуществлен и на самом деле абсолютно необходим для того, чтобы объяснить наблюдаемые факты. Возьмем, например, рост населения любой страны. Если бы распределение или дисперсия этих значений вокруг их среднего значения были оставлены на волю беспрепятственного действия тех мириад продуктивных факторов, о которых говорилось выше, мы бы, безусловно, получили в потомстве любого одного поколения такое же расположение, какое уже было продемонстрировано у родителей. То есть мы обнаружили бы повторенным на предыдущей стадии тот же вид порядка, который мы пытались объяснить на следующей стадии.

Но затем, как настаивает г-н Гальтон, если бы такие факторы действовали свободно и независимо, хотя мы получили бы тот же вид расположения или распределения, мы не получили бы той же степени его: напротив, существовала бы тенденция к дальнейшей дисперсии. «Кривая вероятности» (см. диаграмму на стр. 29) принадлежала бы к тому же классу, но имела бы другой модуль. Мы увидим это сразу, если возьмем для сравнения случай, в котором подобные факторы работают своим путем без какого-либо противодействия вообще. Предположим, например, что большое число людей, чьи состояния были равны с самого начала, начали бы постоянно играть в азартные игры или делать ставки на некоторую небольшую сумму. Если мы исследуем их обстоятельства через последовательные интервалы времени, мы ожидали бы обнаружить их состояния распределенными согласно тому же общему закону — т. е. теперь привычному закону, о котором идет речь, — но мы также ожидали бы обнаружить, что самые бедные стали немного беднее, а самые богатые — немного богаче, при каждом последовательном случае. Мы увидим больше об этом в будущей главе (об азартных играх), но здесь можно принять как должное, что в законах случая нет ничего, что могло бы противостоять этой тенденции к усилению крайностей.

Теперь обнаруживается, напротив, в случае жизненных явлений — например, в случае роста и, по-видимому, большинства других качеств, которые каким-либо образом характерны для естественных видов, — что существует, на протяжении ряда последовательных поколений, замечательная степень фиксации. Высокие люди не становятся выше, а низкие люди не становятся ниже, в процентах от населения в последовательных поколениях: всегда предполагая, конечно, что не началось какое-либо общее изменение обстоятельств, таких как климат, диета и т. д. Следовательно, здесь должна действовать какая-то причина, которая стремится, так сказать, втянуть крайности и тем самым сдержать в остальном постоянно увеличивающуюся дисперсию.

§ 17. Факты были впервые проверены тщательным экспериментом. На дату первоначальной статьи г-на Гальтона по этому предмету [3] не было доступной статистики роста человеческих существ; поэтому физический элемент, допускающий тщательный эксперимент (а именно размер или вес определенных семян), был точно оценен. Из этих данных была определена фактическая величина возврата от крайностей, то есть того легкого давления, которое постоянно оказывается на крайних членов с результатом вытеснения их обратно к среднему значению, и это было сравнено с тем, что потребовала бы теория для того, чтобы сохранить характеристики вида постоянно фиксированными. С тех пор была получена статистика в большом масштабе, которая имеет дело непосредственно с ростом человеческих существ.

Общий вывод, к которому мы приходим, заключается в том, что действуют несколько причин, которые не являются ни незначительными, ни независимыми. Существует, например, наблюдаемый факт, что крайности, как правило, не столь же фертильны, как средние значения, и не столь же способны сопротивляться смерти и болезням. Следовательно, что касается их простого числа, существует тенденция к некоторому их прореживанию. Затем, опять же, существует отчетливая положительная причина в отношении «возврата». Не только потомство крайностей менее многочисленно, но это потомство также имеет тенденцию группироваться вокруг среднего значения, которое, так сказать, смещено немного к истинному центру всей группы; т. е. к среднему потомству средних родителей.

§ 18. Для полного обсуждения этих характеристик и для множества самых остроумных иллюстраций их способа действия и их сравнительной эффективности читателя можно отослать к оригинальным статьям г-на Гальтона. Для нашей нынешней цели будет достаточно сказать, что эти характеристики стремятся к поддержанию неизменности видов; и что, хотя они не влияют на то, что можно назвать общим характером «кривой вероятности» или «закона вероятности», они определяют ее точное значение в рассматриваемых случаях. Если, действительно, спросить, почему нет необходимости в каком-либо таком корректирующем влиянии в случае, скажем, стрельбы по цели: ответ заключается в том, что для него нет возможности, кроме случаев, где вводится кумулятивное влияние. Причина, по которой состояния нашей группы игроков показывали все возрастающее расхождение и почему требовалась какая-то специальная коррекция, чтобы предотвратить такую тенденцию в случае жизненных явлений, заключалась в том, что новая отправная точка на каждом шаге была слегка определена результатами предыдущего шага. Человек, который проиграл шиллинг один раз, начинает в следующий раз, будучи в худшем положении ровно на шиллинг; и, если бы не те коррекции, которые мы указали, человек, который родился высоким, так сказать, выбрасывал бы своих потомков с выгодной позиции превосходного роста. Истинной параллелью в случае стрелков было бы предположение, что их новые точки прицеливания всегда смещались немного в направлении последнего отклонения. Расширение отметок от выстрелов тогда продолжалось бы без предела, точно так же, как и расхождение состояний предполагаемых игроков.

1 Как было сказано выше, это на самом деле немногим больше, чем переформулировка, на стадию дальше, существования того же вида единообразия, что и то, которое мы призваны объяснить в конкретных деталях, представленных нам в опыте.

2 «Казалось бы, на самом деле, что в грубых и простых наблюдениях ошибки происходят от очень немногих главных причин, и, как следствие, наша гипотеза [относительно экспоненциального закона ошибок], вероятно, будет представлять факты лишь несовершенно, и частота ошибок будет лишь грубо и смутно приближаться к закону, который следует из нее. Но когда астрономы, не довольствуясь достигнутой степенью точности, продолжили свои исследования оставшихся источников ошибок, они обнаружили, что не три или четыре, а большое число второстепенных источников ошибок почти координатной важности начали обнаруживать себя, будучи до тех пор замаскированными и затмеваемыми более серьезными ошибками, которые были теперь приблизительно устранены…. Были ошибки градуировки и многие другие в сжатии инструментов; другие ошибки их регулировок; ошибки (технически так называемые) наблюдения; ошибки от изменений температуры, погоды, от легких нерегулярных движений и вибраций; короче говоря, тысячи мелких беспокоящих влияний, с которыми знакомы современные астрономы». (Извлечено из статьи г-на Крофтона в томе Philosophical Transactions за 1870 г., стр. 177.)

3 Typical Laws of Heredity; прочитано перед Королевским институтом, 9 февраля 1877 г. См. также Journal of the Anthrop. Inst. ноябрь 1885 г.

ГЛАВА IV.

О СПОСОБАХ УСТАНОВЛЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЧИСЛЕННЫХ ПРОПОРЦИЙ ХАРАКТЕРНЫХ СВОЙСТВ НАШИХ СЕРИЙ ИЛИ ГРУПП.

§ 1. В точке, которой мы сейчас достигли, мы предполагаемся обладающими сериями или группами определенного рода, лежащими в основе, как можно сказать, и формирующими фундамент, на котором должна быть воздвигнута наука о вероятности. Мы описали с достаточной подробностью характеристики такой серии и указали процесс, посредством которого она, как правило, фактически вызывается в природе. Следующие вопросы, которые должны быть последовательно заданы, таковы: как в любом конкретном случае мы должны установить их существование и определить их особый характер и свойства? и во-вторых, [1] когда мы получили их, каким образом они должны быть использованы для логических целей?

Ответ на этот вопрос не кажется сложным. Опыт — наш единственный проводник. Если мы хотим обнаружить то, что в действительности является серией вещей, а не серией наших собственных представлений, мы должны обратиться к самим вещам, чтобы получить его, ибо в другом месте мы не найдем большой помощи. Мы не можем сказать, сколько людей родится или умрет за год, или сколько домов сгорит или кораблей потерпит крушение, не подсчитав их на самом деле. Когда мы говорим об «опыте» таким образом, мы подразумеваем использование этого термина в его самом широком значении; мы подразумеваем опыт, дополненный всеми вспомогательными средствами, которые может предоставить индуктивная или дедуктивная логика. Когда, например, мы находим серию, которая включает числа людей определенного класса, умирающих в последовательные годы, мы без колебаний распространяем ее на некоторое время в будущее, так же как и в прошлое. Обоснование такой процедуры следует искать в обычных канонах индукции. Поскольку специальное обсуждение связи между вероятностью и индукцией будет приведено далее, здесь больше не нужно ничего говорить по этому предмету; но там не будет найдено ничего, что противоречило бы только что сделанному утверждению о том, что серии, которые мы используем, в конечном счете получаются только из опыта.

§ 2. Во многих случаях, несомненно, верно, что мы вовсе не прибегаем к прямому опыту. Если я хочу узнать, каков мой шанс получить десять козырей в игре в вист, я не спрашиваю, как часто такое случалось раньше. Если бы все жители земного шара разделились на партии для игры в вист, им пришлось бы продолжать это в течение многих лет, если бы они хотели удовлетворительно решить этот вопрос таким образом. Конечно, мы делаем то, что алгебраически вычисляем пропорцию возможных комбинаций, в которых могут встретиться десять козырей, и принимаем это как ответ на нашу задачу. Так же, если бы я хотел узнать шанс выпадения шестерки на игральной кости, грани которой неравны, возник бы вопрос, не будет ли моим лучшим способом геометрически вычислить телесный угол, стягиваемый противоположной гранью в центре тяжести, и отношение этого угла ко всей поверхности сферы достаточно точно представляло бы требуемый шанс.

Совершенно верно, что в таких примерах, как приведенные выше, особенно в первом, никто никогда не подумал бы обращаться к статистике. Это был бы утомительный процесс, когда, как здесь, механические и другие условия, от которых зависит возникновение событий, сравнительно немногочисленны, детерминированы и допускают изолированное рассмотрение, в то время как огромное число комбинаций, которые могут быть построены из них, вызывает огромное последующее многообразие способов, которыми события могут произойти. Следовательно, на практике определение априори часто бывает легким, тогда как обращение к опыту апостериори было бы не просто утомительным, но совершенно невыполнимым. Это, в сочетании с частой простотой и привлекательностью таких примеров при дедуктивном рассмотрении, сделало их очень популярными и создало во многих кругах впечатление, что они являются надлежащими типичными примерами для иллюстрации теории вероятностей. В то время как, если бы наука занималась только теми видами событий, которые на практике обычно становятся предметом страхования, вероятно, никогда не возникло бы иного взгляда, кроме того, что она основана на прямом обращении к опыту.

§ 3. Однако, присмотревшись внимательнее, мы обнаружим, что нет повода для столь резкого различия, как то, которое, по-видимому, подразумевается между двумя классами только что указанных примеров. Даже в таких случаях, как игральные кости и карты, в которых мы, кажется, рассуждаем непосредственно исходя из определяющих условий или возможного разнообразия событий, а не из фактического наблюдения их появления, мы обнаружим, что эта процедура действительна только при помощи молчаливого предположения, которое никогда не может быть определено иначе, чем прямым опытом. Это, несомненно, чрезвычайно естественное и очевидное предположение, которое постоянно получает новый вес из повседневных наблюдений, но оно не должно приниматься без рассмотрения. Поскольку это очень важный вопрос, не столько сам по себе, сколько в связи с тем светом, который он проливает на теорию предмета, мы проведем его несколько более детальное исследование.

Возьмем очень простой пример — подбрасывание монеты. Предположим, я рассматриваю последовательность из двух бросков; я вижу, что единственно возможные события — это [2] ОР, ОО, РО, РР. Это достоверно. Более того, мы достаточно хорошо убеждены из опыта, что эти события происходят в долгосрочной перспективе примерно одинаково часто. Это, конечно, признается всеми. Но согласно общепринятому взгляду утверждается, что мы могли бы знать этот факт заранее на основаниях, применимых к неопределенному числу других и более сложных случаев. Форма, в которой этот взгляд обычно выдвигается, заключается в том, что мы способны заранее утверждать, что четыре вышеупомянутых броска «равновероятны». Если в ответ мы спросим, что подразумевается под выражением «равновероятны», оказывается, что существуют два и только два возможных вида ответа. Один из них ищет объяснение в состоянии ума наблюдателя, другой ищет его в какой-то характеристике наблюдаемых вещей.

(1) Можно, например, сказать, с одной стороны, что имеется в виду, что четыре рассматриваемых события одинаково легко представить, или, точнее, что наше ожидание или вера в их возникновение равны. Мы вряд ли могли бы удовлетвориться этим ответом, ибо немедленно возник бы дальнейший вопрос: на каком основании в это следует верить? Каковы характеристики событий, ожидание которых у нас равно? Если бы мы согласились дать ответ на этот дальнейший вопрос, мы пришли бы ко второй форме ответа, которую рассмотрим непосредственно; если бы мы не согласились, мы, по-видимому, признали бы, что вероятность — это лишь часть психологии, ограниченная поэтому рассмотрением состояний ума самих по себе, а не в их отношении к фактам, т.е. как истинных или ложных. То есть мы перестали бы делать ее наукой о выводе относительно вещей. Этот момент придется более тщательно рассмотреть в другой главе; но невозможно слишком акцентировать внимание на том факте, что логика (а следовательно, и вероятность как отрасль логики) занимается не тем, во что люди верят, а тем, во что они должны верить, если хотят верить правильно.

(2) В другой форме ответа объяснение рассматриваемой фразы искалось бы не в состоянии ума, а в качестве рассматриваемых вещей. Мы могли бы приписать следующее значение, а именно: что события действительно происходили бы с равной частотой в долгосрочной перспективе. Основание этого утверждения, вероятно, было бы найдено в прошлом опыте, и, несомненно, было бы невозможно сформулировать ответ так, чтобы полностью исключить понятие нашей веры. Но все же существует широкое различие между поиском равенства в степени нашей веры, как прежде, и в частоте возникновения самих событий, как здесь.

§ 4. Когда мы дошли до этого, можно легко показать, что обращения к опыту нельзя долго избегать. Ибо можно ли с уверенностью сделать утверждение (а именно, что броски монеты будут происходить одинаково часто) априори? Те, кто считает, что можно, кажется, не полностью осознали трудности, с которыми они сталкиваются. Ибо, когда мы начинаем серьезно спрашивать, будет ли монета действительно делать то, что от нее ожидается, мы обнаруживаем, что необходимо ввести ограничения. Во-первых, это должна быть идеальная монета, с равными и честными сторонами. Это ограничение вполне понятно; изучение стереометрии позволяет нам идеализировать монету в круговую или цилиндрическую пластинку. Но этого условия самого по себе недостаточно, нужны и другие. Предполагалось, что монета подбрасывается, как мы говорим, «случайно». Что под этим подразумевается и как этот процесс можно идеализировать? Спрашивать об этом — значит не вводить праздную тонкость; ибо вряд ли можно было бы утверждать, что орлы и решки получили бы свои честные шансы, если бы непосредственно перед броском мы поместили монету в руки так, чтобы всегда начинать одной и той же стороной вверх. Разница, которая возникла бы в результате, какой бы незначительной ни была ее причина, со временем имела бы тенденцию проявиться в результатах. Или, если бы мы упорно начинали с каждой из двух сторон попеременно вверх, получили бы более длительные повторения одной и той же стороны свой честный шанс?

Возможно, ответят, что если мы вообще не будем думать об этих вещах, все уладится само собой. Это может быть, и, несомненно, так и будет, но это возврат к опыту. Именно здесь мы обнаруживаем, что опираемся на вышеупомянутое экспериментальное предположение, которого, действительно, нельзя избежать. Ибо предположим, наконец, что обстоятельства природы или мое физическое или психическое устройство были таковы, что одна и та же сторона всегда начинает движение вверх, или, действительно, что они начинаются в любом произвольном порядке по нашему усмотрению? Что ж, ответят, тогда это не было бы честным испытанием. Если мы будем настаивать таким образом на ответе на такие вопросы, мы обнаружим, что эти молчаливые ограничения — не что иное, как способ обеспечения экспериментального результата. Это лишь другой способ сказать: пусть серия действий будет выполнена таким образом, чтобы обеспечить последовательность определенного рода, а именно, того рода, который описан в предыдущих главах.

§ 5. Промежуточный способ избежать прямого обращения к опыту иногда находится путем определения вероятности события как измеряемой отношением числа случаев, благоприятных для события, к общему числу возможных случаев. Это кажется несколько расплывчатым и двусмысленным способом выражения. Ясно, что недостаточно просто подсчитать число случаев, их необходимо также оценить, поскольку не факт, что каждый из них одинаково эффективен в производстве эффекта. Это, конечно, никогда не будет отрицаться, но, по-видимому, не придается достаточного значения тому факту, что у нас действительно нет другого способа оценить их, кроме как путем оценки эффектов, которые они действительно производят или произвели бы. Вместо того чтобы таким образом апеллировать к пропорции случаев, благоприятных для события, гораздо лучше (по крайней мере, что касается основ науки, ибо мы в данный момент не обсуждаем практический метод облегчения наших вычислений) сразу апеллировать к пропорции случаев, в которых событие действительно происходит.

§ 6. Вышеприведенные замечания, конечно, применимы к большинству других распространенных примеров случайности: бросанию костей, вытягиванию карт, шаров из мешков и т. д. В последнем случае, например, человек естественно был бы склонен предположить, что шар, который только что положили обратно, тем самым будет иметь больше шансов выйти снова в следующий раз, поскольку он будет более «под рукой» для этой цели. Как это предотвратить? Если мы намеренно протолкнем его в середину или на дно остальных, мы можем перестараться с предосторожностью; и в любом случае мы вводим человеческий замысел, этот элемент, столь существенно враждебный всему, что мы понимаем под случайностью. Если мы доверимся тому, что хорошее встряхивание исправит дело, мы можем легко обмануться; ибо встряхивание мешка вряд ли может сделать больше, чем уменьшить склонность тех шаров, которые уже находились по соседству друг с другом, оставаться таковыми. В последующем взаимодействии каждого со всеми расположение, в котором они начинают, не может не оставить свой отпечаток в некоторой степени на их окончательных позициях. Во всех таких случаях, следовательно, если мы проанализируем наш язык, мы обнаружим, что любой предполагаемый априорный способ постановки задачи — не что иное, как краткий способ сказать: пусть будут приняты меры для получения заданного результата. Поскольку именно на этом результате в конечном счете основываются наши выводы, кажется более простым и философским сразу апеллировать к нему как к основе нашей науки.

§ 7. Возьмем снова пример подбрасывания монеты и исследуем его несколько более детально, чтобы увидеть, что можно действительно доказать относительно результатов, которые мы получим. Мы готовы дать монетам честное обращение, предположив, что они совершенны, то есть что в долгосрочной перспективе они не проявляют предпочтения ни к орлу, ни к решке; тогда остается вопрос: получат ли повторения одной и той же стороны пропорциональные доли, на которые они имеют право согласно обычным интерпретациям теории? Полагая тогда, как и прежде, для краткости, О для орла, и ОО для орлов два раза подряд, мы приходим к такому вопросу: если шанс О равен 1/2, следует ли из этого обязательно, что шанс ОО (с двумя монетами) равен 1/4? Не говоря уже об «О десять раз», встречающемся один раз в 1024 раза (с десятью монетами), должно ли оно вообще встречаться? Математики, по большей части, по-видимому, думают, что этот вывод с необходимостью следует из первых принципов; мне же кажется, что он основывается не на более достоверных доказательствах, чем разумное расширение путем индукции.

Взяв тогда возможные результаты, которые можно получить от пары монет, что мы обнаружим? Могут последовать четыре различных результата, а именно: (1) ОР, (2) ОО, (3) РО, (4) РР. Если можно доказать, что эти четыре равновероятны, то есть встречаются одинаково часто, то общепринятые выводы последуют, ибо точно такой же аргумент был бы применим ко всем большим числам.

§ 8. Доказательство, обычно выдвигаемое, использует то, что называется принципом достаточного основания. Оно принимает такую форму: здесь есть четыре вида бросков, которые могут произойти; однажды признав, что отдельные элементы их, а именно О и Р, встречаются одинаково часто, отсюда следует, что вышеуказанные комбинации также будут встречаться одинаково часто, ибо нельзя привести никакой причины в пользу одной из них, которая не была бы в равной степени справедлива в пользу других.

В некоторой степени мы должны признать справедливость этого принципа для данной цели. В случае бросков, приведенных выше, было бы справедливо доказать равную частоту (1) и (3), а также (2) и (4); ибо между этими парами нет никакой разницы, кроме той, что внесена нашей собственной нотацией. [3] РО — это то же самое, что ОР, за исключением порядка появления символов О и Р, который мы не принимаем во внимание. Но любая из пар (1) и (3) отличается от любой из пар (2) и (4). Переставьте нотацию, и здесь все равно останется различие, которое ум может распознать. Последовательность одной и той же вещи дважды подряд отличается от соединения двух разных вещей различием, которое не зависит только от нашей произвольной нотации и осталось бы совершенно неизменным при изменении этой нотации. Принцип достаточного основания, следовательно, если его допустить, доказал бы только то, что дуплеты двух видов, например (2) и (4), встречаются одинаково часто, но он не доказал бы, что каждый из них должен встречаться один раз из четырех. Действительно, таким способом нельзя доказать, что они вообще должны когда-либо встречаться.

§ 9. Формула, следовательно, не будучи доказуемой априори (как можно было бы заключить), может ли она быть получена из опыта? В некоторой степени может; нынешний опыт человечества с монетами и костями, по-видимому, показывает, что меньшие последовательности бросков действительно встречаются примерно в пропорциях, предписанных теорией. Но насколько близко они это делают, никто не может сказать, ибо количество времени и труда, которые нужно затратить, прежде чем мы сможем почувствовать, что проверили этот факт даже для малых чисел, очень велико, тогда как для больших чисел оно было бы просто невыносимым. Эксперимент с бросанием достаточно часто, чтобы получить «орлов десять раз», был фактически проведен двумя или тремя лицами, и результаты приведены Де Морганом и Джевонсом. [4] Это, однако, будучи достаточным в среднем только для того, чтобы дать «орлам десять раз» один шанс, доказательство очень слабое; потребовалось бы значительное число таких экспериментов, чтобы почти полностью прояснить этот вопрос.

Любое такое правило, как то, которое мы только что обсуждали, которое претендует на описание того, что произойдет в длинной последовательности бросков, окончательно подтверждается опытом только в очень узких пределах, то есть для малых повторений одной и той же стороны; в пределах менее узких, действительно, мы чувствуем уверенность, что правило не может быть грубо ошибочным, иначе вариация почти наверняка была бы обнаружена. Из этого мы чувствуем сильную склонность сделать вывод, что тот же закон будет соблюдаться повсюду. Другими словами, мы склонны распространять правило путем индукции и аналогии. Тем не менее, в природе существует так много примеров предлагаемых законов, которые соблюдаются в узких пределах, но сильно сбиваются с пути, когда мы пытаемся довести их до больших длин, что мы должны дать в лучшем случае лишь квалифицированное согласие с истинностью формулы.

§ 10. Цель вышеприведенного рассуждения — просто показать, что мы не можем быть уверены в истинности правила. Давайте теперь на минуту обратимся к рассмотрению причин, которыми порождается последовательность орлов и решек, и, возможно, мы увидим причины, которые заставят нас еще больше сомневаться.

Уже было указано, что при расчете вероятностей априори, как это называется, мы способны сделать это только путем введения ограничений и предположений, которые в действительности равносильны принятию ожидаемых результатов. Мы используем слова, которые в строгом смысле означают: пусть будет выполнен заданный процесс; но анализ нашего языка и исследование различных молчаливых предположений, которые дают о себе знать, как только они не соблюдаются, вскоре показывают, что наш реальный смысл: пусть будет получена серия заданного рода; именно к этой серии, а не к условиям ее производства, правильно применяются все наши последующие вычисления. Физический процесс выполнен, мы хотим знать, будет ли действительно получено что-либо, напоминающее рассматриваемую серию.

Теперь, если бы монета неизменно устанавливалась одной и той же стороной вверх и подбрасывалась с одной и той же скоростью вращения и на одну и ту же высоту и т. д. — одним словом, подвергалась одним и тем же условиям, — она всегда падала бы одной и той же стороной вверх. Практически мы знаем, что ничего подобного не происходит, ибо индивидуальные вариации в результатах бросков бесконечны. Тем не менее, будет существовать среднее значение этих условий, вокруг которого броски, как обнаружится, будут группироваться гораздо плотнее, чем где-либо еще. Поэтому мы были бы склонны сделать вывод, что если бы одна и та же сторона всегда устанавливалась вверх, действительно имело бы место отклонение от того рода серии, который мы обычно ожидаем. В очень большом числе бросков мы, вероятно, начали бы обнаруживать при таких обстоятельствах, что либо орел, либо решка имеют предпочтение. Если так, не обнаружились бы подобные эффекты, связанные с тем, как мы начинали каждую последовательную пару бросков? В зависимости от того, решили ли мы взять за правило ставить ОО или РР вверх, не могло бы возникнуть нарушение в пропорции последовательностей двух орлов или двух решек? Следуя этому ходу рассуждений, казалось бы, с некоторой вероятностью можно указать на вывод, что для получения серии того рода, который мы ожидаем, нам пришлось бы расположить антецеденты в аналогичной серии в самом начале. Изменения и случайности, порождаемые актом подбрасывания, могли бы внести бесконечные индивидуальные вариации, и все же в очень долгосрочной перспективе могло бы обнаружиться тесное сходство между этими двумя сериями.

§ 11. Это, в некоторой степени, лишь перекладывание трудности, признаю; ибо утверждение, ранее выдвинутое о возможности доказательства пропорций бросков в первой серии, вероятно, теперь будет повторено в пользу таковых во второй. Тем не менее, вопрос очень сильно сужен, ибо мы свели его к серии добровольных актов. Человек может поставить любой стороной вверх, какой пожелает. Он может действовать сознательно, как я сказал, или он может вообще ни о чем не думать, то есть бросать случайно; если так, то многими, вероятно, будет утверждаться, что он непроизвольно произведет серию рассматриваемого рода. Может быть, так, а может, и нет; не кажется, что существуют какие-либо легкодоступные данные, с помощью которых можно было бы решить. Все, что меня здесь заботит, — это показать вероятность того, что общепринятый результат в действительности зависит от выполнения определенного условия в самом начале, условия, которое, безусловно, является опциональным для любого, выполнять его или нет, как он пожелает. Короткие последовательности, несомненно, позаботятся о себе сами, благодаря бесконечным осложнениям, порождаемым случайными вариациями при подбрасывании; но длинные могут пострадать, если их интерес не будет сознательно или бессознательно учтен в самом начале.

§ 12. Совет: «Просто пробуй достаточно долго, и рано или поздно ты получишь любой результат, который возможен», правдоподобен, но он основывается только на индукции и аналогии; математика этого не доказывает. Как неоднократно заявлялось, существуют два различных взгляда на предмет. Либо мы можем, с одной стороны, взять серию символов, назвать их орлами и решками; О, Р и т. д.; и сделать предположение, что каждый из них, и каждая пара из них, и так далее, будут встречаться в долгосрочной перспективе с регулируемой степенью частоты. Мы можем затем вычислить их различные комбинации и последствия, которые могут быть извлечены из принятых данных. Это чисто алгебраический процесс; он непогрешим; и нет никакого предела тому, до какой степени он может быть доведен. Этот способ рассмотрения предмета может быть, и, несомненно, должен быть, не чем иным, как аналогом того, что я назвал замещенной или идеализированной серией, которая обычно должна вводиться как основа нашего вычисления. Опасность, которой следует остерегаться, — это опасность рассмотрения ее слишком чисто как алгебраической концепции и, следовательно, погружения в очень естественные ошибки: как слишком легкого выведения ее из нашего собственного сознания, так и слишком свободного доведения ее до неоправданных длин.

Или, с другой стороны, мы можем считать, что мы имеем дело с поведением вещей — шаров, костей, рождений, смертей и т. д.; и делаем выводы о них. Но тогда то, что в первом случае было допустимыми предположениями, становится здесь положениями, которые должны быть проверены опытом. Теперь вся теория вероятностей как практическая наука, фактически как нечто большее, чем алгебраическая истина, зависит, конечно, от наличия тесного соответствия между этими двумя взглядами на предмет, другими словами, от того, чтобы наша замещенная серия поддерживалась в соответствии с фактической серией. Опыт в изобилии доказывает, что в значительных пределах, в рассматриваемом примере, такое соответствие существует. Но пусть никто не пытается принудить нас к согласию с каждым отдаленным выводом, который математики могут сделать из своих формул. Когда предпринимается такая попытка, только что проведенное различие становится заметным и важным, и мы должны выбрать свою сторону. Либо мы переходим на сторону математики и тем самым теряем всякое право на дискуссию о вещах; либо мы принимаем сторону вещей и тем самым бросаем вызов математике. Мы не ставим под сомнение формальную точность последней в ее собственной области, но либо мы отбрасываем ее как несколько неуместную, как применяемую к данным, в правильности которых мы не можем быть уверены, либо мы берем на себя свободу переделывать ее так, чтобы привести в соответствие с фактами.

§ 13. Критика любой доктрины вряд ли может считаться выполнением более чем половины своего долга, когда он объяснил и обосновал свои основания для возражения против нее. Ему еще остается указать, пусть даже в нескольких словах, что он считает ее законными функциями и положением, ибо редко может случиться, что он рассматривает ее как абсолютно бесполезную или бессмысленную. Я сказал бы, следовательно, что когда вероятность таким образом отделена от прямой отсылки к объектам, как это по существу и происходит, поскольку она не основана на опыте, она просто сводится к обычной алгебраической или арифметической доктрине перестановок и комбинаций. [5] Соображения, от которых они зависят, чисто формальны и необходимы, и могут быть полностью продуманы без какого-либо обращения к опыту. Мы начинаем там с чистых соображений числа или величины, и заканчиваем ими, имея только арифметические вычисления, чтобы соединить их вместе. Я хочу, например, найти шанс выпадения орлов три раза подряд с монетой. Все, что мне нужно сделать, — это сначала установить возможное число бросков. Перестановки говорят мне, что с двумя вещами, таким образом, в вопросе (а именно, орел и решка) и тремя разами выполнения процесса, существует восемь возможных форм результата. Из этих восьми только одна является благоприятной, шанс в вопросе объявляется равным одной восьмой.

Хотя совершенно верно, что фактический расчет каждой вероятностной задачи должен быть вышеуказанного характера, т.е. алгебраическим или арифметическим процессом, все же, как мне кажется, существует широкое и важное различие между материальной наукой, которая использует математику, и формальной, которая состоит из ничего, кроме математики. Когда мы отрезаем себя от необходимости какого-либо обращения к опыту, мы сохраняем только промежуточную или вычислительную часть исследования; мы можем говорить о костях, или монетах, или картах, но это на самом деле только имена, которые мы выбираем для наших символов. О и Р, с которыми мы имеем дело, не имеют отношения к объективным событиям, а подобны x и y, с которыми имеет дело остальная алгебра. Вероятность, фактически, при таком обращении, кажется, является абсолютно ничем иным, как системой прикладных перестановок и комбинаций.

Теперь легко будет увидеть, насколько узок круг случаев, к которым может быть применен любой чисто дедуктивный метод лечения. Он почти полностью ограничен такими применениями, как азартные игры, и, как уже указывалось, может считаться действительно заслуживающим доверия даже там только с помощью различных молчаливых ограничений. Одно это было бы решающим аргументом против того, чтобы теория предмета основывалась на такой базе. Экспериментальный метод, с другой стороны, в том же теоретическом смысле, является универсально применимым. Он включал бы обычные задачи, предоставляемые азартными играми, а также те, где кости нагружены, а монеты не идеальны, а также бесконечно многочисленные применения статистики к различным видам социальных явлений.

§ 14. Конкретный взгляд на дедуктивный характер вероятности, обсуждавшийся выше, вряд ли мог проникнуть в какие-либо другие примеры, кроме тех, что имеют природу азартных игр, в которых условия возникновения сравнительно немногочисленны и просты и поддаются точному числовому определению. Но доктрина, которая в действительности является немногим большим, чем та же теория в слегка замаскированной форме, очень распространена и была применена к истинам самого чисто эмпирического характера. Эта доктрина будет лучше всего представлена цитатой из Лапласа. После разговора о нерегулярности и неопределенности природы, какой она кажется на первый взгляд, он продолжает замечать, что когда мы смотрим ближе, мы начинаем обнаруживать «поразительную регулярность, которая, кажется, предполагает замысел и которую некоторые считали доказательством Провидения. Но при размышлении вскоре замечается, что эта регулярность — не что иное, как развитие соответствующих вероятностей простых событий, которые должны происходить чаще по мере того, как они более вероятны». [6]

Если бы это замечание было сделано о последовательности орлов и решек при подбрасывании монеты, оно было бы понятным. Оно просто означало бы следующее: что устройство тела было таково, что мы могли с некоторой уверенностью предвидеть, каким будет результат, когда с ним обращаются определенным образом, и что опыт оправдал бы наше предвидение в долгосрочной перспективе. Но примененное, как оно есть, в более общей форме к фактам природы, оно, кажется, действительно имеет мало смысла. Давайте проверим его на примере. Среди нерегулярности индивидуальных рождений мы обнаруживаем, что мальчиков по отношению к девочкам в долгосрочной перспективе примерно в пропорции 106 к 100. Теперь, если бы нам сказали, что в этом нет ничего, кроме «развития их соответствующих вероятностей», было бы в таком утверждении что-либо, кроме несколько претенциозного пересказа уже утвержденного факта? Вероятность — это не что иное, как эта пропорция, и, несомненно, в данном случае она получена не из иного источника, кроме самой статистики; в вышеприведенном замечании, кажется, делается попытка инвертировать этот процесс и вывести последовательность событий из простого числового утверждения пропорций, в которых они происходят.

§ 15. Очень вероятно, ответят, что под вероятностью, упомянутой выше, подразумевается не просто числовая пропорция между рождениями, а какой-то факт в нашем устройстве, от которого зависит эта пропорция; что точно так же, как существовало отношение равенства между двумя сторонами монеты, которое порождало окончательное равенство в числе орлов и решек, так может быть что-то в нашем устройстве или обстоятельствах в пропорции 106 к 100, что порождает наблюдаемый статистический результат. Когда это «что-то», чем бы оно ни было, было обнаружено, наблюдаемые числа могли бы считаться способными быть определенными заранее. Даже если бы это было так, однако, не следует забывать, что в сочетании с такими причинами вряд ли могли бы не существовать другие сопутствующие условия для производства окончательного результата; точно так же, как помимо формы монеты, нам приходилось учитывать природу «случайности», с которой она подбрасывалась. Что это может быть, никто в настоящее время не может взяться сказать, ибо лучшие физиологи, кажется, не склонны рисковать даже догадкой по этому предмету. [7] Но не вдаваясь в подробности, можно с некоторой уверенностью утверждать, что эти условия вряд ли могут быть полностью независимыми от здоровья, обстоятельств, нравов и обычаев и т. д. (выражаясь самым расплывчатым образом) родителей; и если однажды эти влияющие элементы введены, даже как очень незначительные факторы, результаты перестают зависеть только от фиксированных и постоянных условий. Мы сразу впускаем другие условия, которые, если они также обладают характеристиками, отличающими вероятность (чрезвычайно сомнительное предположение), должны иметь этот факт специально доказанным относительно них. То, что это должно быть так, действительно кажется не просто сомнительным, но почти наверняка невозможным; ибо эти условия, участвующие в природе того, что мы называем в целом прогрессом и цивилизацией, не могут ожидать проявления какой-либо постоянной склонности к колебаниям вокруг среднего значения.

§ 16. Читатель, знакомый с вероятностью, конечно, знаком со знаменитой теоремой Якова Бернулли. Эта теорема, примерами которой являются только что приведенные примеры, обычно выражается примерно так: в долгосрочной перспективе все события будут стремиться происходить с относительной частотой, пропорциональной их объективным вероятностям. С математическим доказательством этой теоремы нам не нужно утруждать себя, так как оно лежит вне области этой работы; но, действительно, если есть какая-то ценность в вышеприведенной критике, основа, на которой покоится математика, ошибочна из-за того, что на самом деле нет ничего, что мы могли бы с полным правом назвать объективной вероятностью.

Если можно судить по интерпретации и использованию, которым иногда подвергается эта теорема, мы должны рассматривать ее как один из последних оставшихся реликтов реализма, который, будучи изгнанным в других местах, все еще умудряется задерживаться в отдаленной провинции вероятности. Это было бы иллюстрацией вкоренившейся склонности объективировать наши концепции, даже в тех случаях, когда концепции не имели права на существование вообще. Наблюдается единообразие; иногда, как в азартных играх, оно оказывается настолько связанным с физическим устройством используемых тел, что может быть выведено заранее; хотя даже здесь связь отнюдь не так необходима, как обычно предполагается, из-за того факта, что в дополнение к этим телам самим по себе мы должны также учитывать их отношение к агентствам, которые на них влияют. Это устройство затем преобразуется в «объективную вероятность», которая, как предполагается, развивается в последовательность, демонстрирующую единообразие. Наконец, эта весьма сомнительная объективная вероятность принимается существующей, с той же способностью к развитию, во всех случаях, в которых наблюдается единообразие, как бы мало сходства ни было между ними и азартными играми.

§ 17. Насколько совершенно неуместна любая такая концепция в большинстве случаев, в которых мы находим статистическое единообразие, будет очевидно при минутном рассмотрении. Наблюдаемые явления обычно являются продуктом, в этих случаях, очень многочисленных и сложных антецедентов. Число преступлений, например, ежегодно совершаемых в любом обществе, является функцией, среди прочего, строгости закона, морали людей, их социального положения и бдительности полиции, причем каждый из этих элементов сам по себе почти бесконечно сложен. Теперь, как результат всех этих агентств, существует некоторая степень единообразия; но то, что было названо выше изменением типа, которое оно рано или поздно стремится проявить, безошибочно. Средние годовые числа не показывают устойчивого постепенного приближения к тому, что можно было бы считать в некотором смысле предельным значением, но, напротив, колеблются таким образом, который, как бы он ни зависел от причин, не показывает никакого постоянного единообразия, характерного для азартных игр. Этот факт, в сочетании с очевидной произвольностью выделения из многих и различных антецедентов, которые произвели наблюдаемую регулярность, лишь немногих, которые должны составлять объективную вероятность (если бы мы взяли все, события были бы абсолютно определены, не было бы повода для обращения к вероятности в этом случае), был бы достаточен, чтобы предотвратить кого-либо от предположения о существовании какой-либо такой вещи, если бы ошибочная аналогия других случаев не предрасположила его к поиску ее.

Существует знакомая практическая форма той же ошибки, склонность к которой, не исключено, может быть получена из аналогичного теоретического источника. Это склонность к продолжению накопления наших статистических данных в чрезмерной степени. Если бы тип был абсолютно фиксированным, мы не могли бы иметь слишком много статистики; чем дольше мы решали бы взять на себя труд их сбора, тем точнее были бы наши результаты. Но если тип меняется, другими словами, если некоторые из главных причин, которые помогают в их производстве, имеют, в отношении их нынешней степени интенсивности, строгие пределы времени или пространства, мы принесем вред, а не пользу, если переступим эти пределы. Опасность слишком ранней остановки легко увидеть, но, избегая ее, мы не должны впадать в противоположную ошибку слишком долгого продолжения и, таким образом, попадания постепенно или внезапно под влияние измененного набора обстоятельств.

§ 18. Эта глава предназначалась для рассмотрения не процессов, посредством которых природа производит серию, с которой мы имеем дело, а теоретической основы методов, с помощью которых мы можем определить существование таких серий. Но невозможно держать эти два исследования отдельно, ибо здесь, во всяком случае, преобладает старая максима, что для познания вещи мы должны знать ее причины. Вернитесь на минуту к соображениям последней главы. Мы увидели там, что существует большой класс событий, условия производства которых можно сказать состоящими из (1) сравнительно немногих почти неизменных элементов и (2) огромного числа независимых и очень изменчивых элементов. По крайней мере, если существовали какие-либо другие элементы, помимо этих, мы предполагаемся либо делать для них специальную скидку, либо опускать их из нашего исследования. Теперь в определенных случаях, таких как азартные игры, неизменные элементы могут без практической ошибки рассматриваться как действительно неизменные на протяжении любого диапазона времени и пространства. Следовательно, как результат, дедуктивный метод лечения становится в их случае сразу наиболее простым, естественным и убедительным; но, как дальнейшее следствие, статистика событий, если мы решим апеллировать к ней, может быть собрана ad libitum с все лучшим и лучшим приближением к истине. С другой стороны, во всех социальных применениях вероятности неизменные причины могут рассматриваться как действительно неизменные только при многих оговорках. Мы мало или ничего не знаем о них непосредственно; они часто в действительности многочисленны, неопределенны и изменчивы; и только под гарантией строгих ограничений времени и места мы можем с некоторой безопасностью приписать им достаточную фиксированность, чтобы оправдать нашу теорию. Следовательно, как результат, дедуктивный метод, под каким бы именем он ни шел, становится совершенно неприменимым как в теории, так и на практике; и, как дальнейшее следствие, обращение к статистике должно делаться с осторожностью, имея в виду, что мы принесем вред, а не пользу, если продолжим собирать слишком много ее.

§ 19. Результаты последних двух глав могут быть суммированы следующим образом: мы расширили концепцию серии, полученную в первой главе; ибо мы обнаружили, что эти серии по большей части представлены нам в группах. Эти группы при исследовании оказываются сформированными по приблизительно одному и тому же типу на протяжении очень широкого и разнообразного диапазона опыта; причины этого согласия мы обсудили и объяснили довольно подробно. Когда, однако, мы расширяем наше исследование, предполагая, что серии идут на очень большую длину, мы обнаруживаем, что они могут быть разделены на два класса, разделенных важными различиями. В одном из этих классов (содержащем результаты азартных игр) условия производства и, следовательно, законы статистического возникновения могут практически рассматриваться как абсолютно фиксированные; и степень расхождений от среднего значения, кажется, не знает конечного предела. В другом классе, напротив (содержащем основную массу обычных статистических исследований), условия производства варьируются с большей или меньшей быстротой, и так, следовательно, и результаты. Более того, часто невозможно, чтобы вариации от среднего значения превышали определенную величину. Первые мы можем назвать идеальными сериями. Только они демонстрируют требуемые характеристики с каким-либо близким приближением к точности, и чтобы сделать теорию предмета состоятельной, мы действительно должны заменить одну из этого рода одной из менее совершенных другого класса, когда последние находятся в обработке. Первый класс, однако, рассматривался слишком исключительно писателями по предмету; и концепции, подходящие только для них, а не всегда даже для них, были импортированы в другой класс. Именно таким образом поощрялась общая склонность к чрезмерному дедуктивному или априорному лечению науки.

1 Это последнее исследование принадлежит к тому, что можно назвать более чисто логической частью этого тома, и начинается в ходе Главы VI.

2 Для использования теми, кто не знаком с общей нотацией, применяемой в этом предмете, можно заметить, что ОО — это просто сокращенный способ сказать, что два последовательных броска монеты дают орла; ОР — что первый из них дает орла, а второй решку; и так далее с оставшимися символами.

3 Я пытаюсь трактовать это правило достаточного основания таким образом, чтобы оно было законным по мнению тех, кто его принимает, но, кажется, существуют очень большие сомнения, не вовлечено ли противоречие, когда мы пытаемся извлечь из него результаты. Если стороны абсолютно одинаковы, как может быть какая-либо разница между членами серии? Последовательность тогда кажется сведенной к тупому единообразию, простому повторению одной и той же вещи много раз; серия, которую мы рассматривали, исчезла. Если стороны не абсолютно одинаковы, что становится с применимостью правила?

4 Formal Logic, стр. 185. Principles of Science, стр. 208.

5 Тесная связь между этими предметами хорошо указана в названии трактата г-на Уитворта «Выбор и случай».

6 Essai Philosophique. Изд. 1825, стр. 74.

7 Одно время преобладало мнение (цитируемое и поддерживаемое, среди прочих, Кетле), что относительный возраст родителей имеет отношение к полу потомства. Если бы это было так, это вполне подтвердило бы вышеприведенные замечания. На самом деле следует заметить, что пропорция 106 к 100 не кажется отнюдь универсальной во всех странах или во все времена. Различные статистические таблицы по этому предмету см. Кетле, Physique Sociale, Том I. 166, 173, 238.

ГЛАВА V.

КОНЦЕПЦИЯ СЛУЧАЙНОСТИ И ЕЕ НАУЧНАЯ ОБРАБОТКА.

§ 1. Существует термин, часто встречающийся в трактатах по вероятности, который мы уже имели неоднократный повод использовать, а именно обозначение «случайный», применяемое к событию, как в выражении «случайное распределение». Научная концепция, вовлеченная в правильное использование этого термина, есть, я полагаю, не что иное, как концепция совокупного порядка и индивидуальной нерегулярности (или кажущейся нерегулярности), которая уже была описана в предыдущих главах. Краткое обсуждение требований к этой научной концепции и, в частности, природы и некоторых причин отхода от популярной концепции может послужить прояснению некоторых из основных оставшихся трудностей, которые сопровождают эту часть нашего предмета.

Первоначальное [1] и все еще популярное значение термина, конечно, широко отличается от научного. То, на что оно смотрит, — это происхождение, а не результаты случайного исполнения, и оно имеет отношение скорее к отдельному действию, чем к группе или серии действий. Таким образом, когда человек пускает стрелу «на удачу» или «случайно», мы имеем в виду только указать на бесцельный характер исполнения; мы противопоставляем его определенному намерению попасть в определенную цель. Но тем не менее верно, как уже указывалось, что мы можем применять процессы вывода к таким исполнениям, как эти, только тогда, когда мы рассматриваем их как способные к частому, или, скорее, к неопределенно расширенному повторению.

Начнем с иллюстрации. Пожалуй, лучший типичный пример, который мы можем дать научного значения случайного распределения, предоставляется расположением капель дождя во время ливня. Никто не может угадать, где в любой момент упадет капля, но мы знаем, что если мы выставим лист бумаги, он постепенно станет равномерно покрыт пятнами; и что если бы мы наметили любые две равные области на бумаге, они постепенно стремились бы быть пораженными одинаково часто.

§ 2. I. Любая попытка сделать выводы из предположения о случайном расположении должна постулировать возникновение этого конкретного состояния вещей на той или иной стадии. Но часто существует значительная трудность, приводящая иногда к некоторой произвольности, в решении конкретной стадии, на которой оно должно быть введено.

(1) Таким образом, во многих задачах, обсуждаемых математиками, мы смотрим так же полностью на полученные результаты и думаем так же мало о фактическом процессе, посредством которого они получены, как когда мы рассматриваем расположение капель дождя. Простым примером такого рода было бы следующее. Пешка, диаметр основания один дюйм, помещается случайно на шахматную доску, диаметр квадратов которой составляет один дюйм с четвертью: найти шанс того, что ее основание ляжет поперек одной из пересекающихся линий. Здесь мы можем представить пешки как бы пролитыми вертикально на доску, и вопрос в том, чтобы найти окончательную пропорцию тех, которые встречают граничную линию, к общему числу тех, которые падают. Задача поэтому становится чисто геометрической, а именно: определить отношение определенной области на доске ко всей области. Определение этого отношения — это все, что математик когда-либо принимает во внимание.

Теперь возьмите следующее. Прямой хрупкий стержень ломается случайно в двух местах: найти шанс того, что куски могут составить треугольник. [2] Поскольку единственным условием для составления треугольника из трех прямых линий является то, что каждая из двух должна быть больше третьей, задача, кажется, включает ту же общую концепцию, что и в предыдущем случае. Мы должны представить такие стержни, ломающиеся в одной паре точек за другой — никто не может сказать точно где, — но показывающие ту же окончательную тенденцию распределять эти точки по всей длине равномерно. Как и в последнем случае, математик не думает ни о чем, кроме этого окончательного результата, и не обращает внимания на процесс, посредством которого он может быть достигнут. Соответственно, задача снова сводится к задаче измерения, хотя и несколько более сложного характера.

§ 3. (2) В другом классе случаев мы должны созерцать промежуточный процесс, а не окончательный результат; но та же концепция должна быть введена здесь, хотя теперь она применяется к предыдущей стадии и, следовательно, в общем случае не будет применяться к последней.

Например: выстрел производится случайно из пушки, чей максимальный радиус действия (т.е. при угле возвышения 45°) составляет 3000 ярдов: каков шанс того, что фактическая дальность превысит 2000 ярдов? Окончательно равномерное (или случайное) распределение здесь обычно предполагается применимым к различным направлениям, в которых может быть наведена пушка; все возможные направления выше горизонта одинаково представлены в долгосрочной перспективе. Мы должны поэтому созерцать поверхность равномерного распределения, но это будет поверхность не земли, а полусферы, центр которой занят человеком, который стреляет. Окончательное распределение пуль в точках, где они ударяются о землю, не будет равномерным. Задача, фактически, состоит в том, чтобы открыть закон изменения плотности распределения.

Вышеприведенный метод, полагаю, является общепринятым при решении подобных задач. Однако нет никакой абсолютной необходимости в столь специфическом выборе. Безусловно, каждый волен утверждать, что его представление о случайности выстрела определяется утверждением о том, что человек должен начать, равновероятно повернувшись в любую сторону света, а затем поднять ружье под любым углом также равновероятно. Стадия окончательно равномерного распределения здесь отодвигается на шаг назад. Она приписывается не непосредственно поверхности воображаемой полусферы, а линиям высоты и азимута, проведенным на этой поверхности. Соответственно, распределение по самой полусфере теперь не будет равномерным — возникнет относительное сгущение к полюсу, — и итоговое распределение по земле будет не таким, как прежде.

§ 4. Трудности такого рода, возникающие из-за неопределенности относительно того, какую стадию следует выбрать в качестве стадии равномерного распределения, будут время от времени возникать. Например: пусть из книжного шкафа наугад берется книга; какова вероятность наткнуться на какой-то определенный том? Я едва ли знаю, как обычно рассматривался бы этот вопрос. Если бы мы поставили человека напротив середины полки и спросили, что обычно происходит на практике, предположив, что у него завязаны глаза, вряд ли можно сомневаться, что тома выбирались бы не с одинаковой частотой. Напротив, вероятно, что существовала бы тенденция к повышенной частоте выбора около центра, определяемого высотой его плеча, и (если он не левша) немного правее точки, находящейся прямо напротив его исходного положения.

Если бы этот вопрос стоило прорабатывать в таком ключе, мы бы зашли очень далеко. Подобно тому как мы представляли положение нашего стрелка (во втором предположении) определяемым двумя независимыми координатами с предполагаемой непрерывной и равной вероятностью, мы могли бы представить, что пытаемся разложить движения человека на определенное количество независимых составляющих. Мы могли бы предположить, что все различные направления от его исходной точки вдоль земли равновероятны, а когда он добирается до полок, случайное движение его руки регулируется по типу выстрела, произведенного наугад.

Вышесказанное было бы одним из способов постановки задачи. Но читатель поймет, что все, что я здесь предлагаю утверждать, заключается в том, что в этих, как и в любых подобных случаях, мы всегда сталкиваемся, при такой концепции «случайности», на той или иной стадии с этим постулатом об окончательной равномерности распределения по какой-то заданной величине: будь то время или пространство — линейное, поверхностное или объемное. Однако выбор стадии, на которой это должно применяться, может вызвать значительные трудности и даже произвол в выборе.

§ 5. Несколько лет назад в математическом разделе Educational Times (см., в частности, том VII) велась весьма интересная дискуссия по этому вопросу. Как нередко случается в математике, среди различных авторов существовало почти полное согласие относительно допущений, которые практически должны быть сделаны в любом конкретном случае, а следовательно, и относительно выводов, которые должны быть сделаны, в сочетании с весьма значительными расхождениями относительно аксиом и определений, которые следует использовать. Так, г-н М. У. Крофтон при существенном согласии г-на Вулхауса без колебаний заявил, что «наугад» имеет «очень ясное и определенное значение; значение, которое нельзя передать лучше, чем определением г-на Уилсона: «без какого-либо закона»; и только в этом смысле я намерен его использовать». Согласно любой научной интерпретации «закона», я бы сказал, что там, где нет закона, не может быть и вывода. Но окончательная тенденция к равенству распределения принимается как должное г-ном Крофтоном, как и кем-либо другим: фактически он делает это дедукцией из своего определения: «Поскольку эта бесконечная система параллелей проведена без какого-либо закона, они так же густо расположены вдоль любой части [общего] перпендикуляра, как и вдоль любой другой» (VII, стр. 85). Г-н Крофтон утверждает, что любой вид неравномерного распределения подразумевал бы закон: «Если бы точки [на плоскости] стремились стать более плотными в какой-то части плоскости, чем в другой, должен был бы существовать какой-то закон, притягивающий их туда» (там же, стр. 84). Тот же взгляд подкрепляется в его статье «Локальная вероятность» (в Phil. Trans., том 158). Безусловно, если они стремятся стать одинаково плотными, это точно такой же случай регулярности или закона.

Можно заметить, что везде, где серьезные практические последствия зависят от должного обеспечения желаемой случайности, всегда принимаются меры к тому, чтобы никакой замысел, неловкость или бессознательная односторонность не нарушили результат. Основной случай здесь, конечно, предоставляют азартные игры. Что нам нужно, когда мы бросаем игральную кость, так это обеспечить, чтобы все числа от 1 до 6 в долгосрочной перспективе выпадали одинаково часто, но чтобы никто не мог предсказать отдельный случай. Мы могли бы в нашей постановке задачи с таким же успехом постулировать «число, задуманное наугад», как и «выстрел, произведенный наугад», но никто не стал бы рисковать своим выигрышем или проигрышем в предположении, что это будет сделано с постоянной честностью. Соответственно, мы изготавливаем кость, грани которой точно одинаковы, и обнаруживается, что мы можем делать с ней почти все что угодно на любом этапе, предшествующем ее выходу из стаканчика для костей на стол, не нарушая случайного характера результата.

§ 6. II. Еще одна характеристика, в которой научная концепция, как мне кажется, отходит от популярного или первоначального значения, заключается в следующем. Область распределения, которую мы принимаем во внимание, должна быть конечной или ограниченной. Необходимость этого ограничения может быть не очевидна на первый взгляд, но рассмотрение одного или двух примеров послужит указанием на тот момент, когда она дает о себе знать. Предположим, кого-то попросили выбрать число наугад не из конечного диапазона, а из неисчерпаемых возможностей счета. В популярном смысле этого термина — т. е. произнесения числа без паузы для выбора — нет никакой сложности. Но минутное размышление покажет, что никакое расположение, даже стремящееся к окончательно равномерному распределению, не может быть обеспечено таким образом. Никакое среднее значение не могло бы быть выведено с постоянно возрастающей устойчивостью. То же самое касается пространственной бесконечности. Мы можем рационально говорить о выборе точки наугад на данной прямой, площади или в объеме. Но если мы предположим, что линия не имеет конца, или выбор делается в бесконечном пространстве, основа для окончательной тенденции к тому, что можно назвать одинаково плотным отложением наших случайных точек, полностью нас подводит.

Точно так же и в любом другом примере, в котором одна из величин не ограничена. Предположим, я бросаю палку наугад в горизонтальной плоскости в ряд железных перил и спрашиваю о вероятности того, что она пройдет сквозь них, не задев их. Задача имеет некоторую аналогию с задачей о шахматных фигурах, и, поскольку речь идет о поступательном движении палки (если мы начнем с этого), она не представляет сложности. Но что касается вращения, то дело обстоит иначе. Для любой заданной линейной скорости существует определенная угловая скорость, ниже которой палка может пройти без контакта, но выше которой она не может. И поскольку первый диапазон ограничен, а второй — нет, мы сталкиваемся с той же невозможностью, что и раньше, пытаясь представить равномерное распределение. Конечно, мы могли бы избежать этой конкретной трудности, начав с оценки угловой скорости, когда нам пришлось бы повторить то, что только что было сказано, mutatis mutandis, в отношении линейной скорости.

§ 7. Я, конечно, осознаю, что существует множество распространенных задач, которые, по-видимому, противоречат только что сказанному, но все они поддаются объяснению. Например: какова вероятность того, что три прямые линии, взятые или проведенные наугад, будут иметь такую длину, что позволят образовать треугольник? Есть два способа, которыми мы можем рассматривать эту задачу. Мы можем, во-первых, начать с предположения о трех линиях, не превышающих определенной длины n, а затем определить, к какому пределу стремится вероятность по мере того, как n бесконечно возрастает. Или же мы можем утверждать, что вопрос заключается лишь в относительном соотношении трех линий. Тогда мы можем начать с любой величины, которую пожелаем, чтобы представить одну из линий (для простоты, скажем, самую длинную из них), и считать, что все возможные формы треугольника будут представлены путем изменения длин двух других. В любом случае мы получаем определенный результат без необходимости пытаться представить какой-либо случайный выбор из бесконечности возможных длин.

Так и в том, что называется «задачей о трех точках»: три точки в пространстве выбираются наугад; найти вероятность того, что они образуют остроугольный треугольник. Что делается, так это начинается с замкнутого объема — скажем, сферы, из-за ее превосходной простоты — находится вероятность (в предположении равномерного распределения внутри этого объема), а затем предполагается непрерывное увеличение этой сферы без предела. В таком рассмотрении задача совершенно последовательна и понятна, хотя я не вижу, почему ее следует называть случайным выбором в пространстве, а не в сфере. Конечно, если бы мы начали с другого объема, скажем, куба, мы получили бы другой результат; и поэтому утверждается (например, г-ном Крофтоном в Educational Times, как уже упоминалось), что бесконечное пространство более естественно и уместно рассматривать как то, к чему стремятся путем увеличения сферы, чем путем увеличения куба или любой другой фигуры.

Далее: группа целых чисел берется наугад; показать, что число, взятое таким образом, скорее всего, будет нечетным, чем четным. Что мы делаем, отвечая на это, так это начинаем с любого конечного числа n и показываем, что из всех возможных комбинаций, которые могут быть сделаны в этом диапазоне, нечетных больше, чем четных. Поскольку это верно независимо от величины n, мы склонны говорить так, как если бы могли представить себе выбор, сделанный наугад из истинной бесконечности, рассматриваемой в счете.

§ 8. Там, где эти условия не могут быть обеспечены, мне кажется, что попытка приписать вероятности какое-либо конечное значение терпит неудачу. Например, в следующей задаче, предложенной г-ном Дж. М. Уилсоном: «Три прямые линии проведены наугад на бесконечной плоскости, и четвертая линия проведена наугад так, чтобы пересечь их: найти вероятность того, что она пройдет через треугольник, образованный тремя другими» (Ed. Times, Reprint, том V, стр. 82), он предлагает следующее решение: «Из четырех линий две должны, а две не должны проходить внутри треугольника, образованного остальными тремя. Поскольку все они проведены наугад, вероятность того, что последняя проведенная линия пройдет через треугольник, образованный тремя другими, следовательно, равна 1/2».

Я привожу это решение, потому что оно, как мне кажется, иллюстрирует трудность, на которую я хочу обратить внимание. Поскольку задача сформулирована именно так, предполагается, что треугольник задан тремя прямыми линиями. Каким бы большим он ни был, его размер не имеет никакого конечного отношения к бесконечно большей области вне его; и, насколько я могу дать какое-либо понятное толкование этому предположению, вероятность проведения четвертой случайной линии, которая случайно пересекла бы эту конечную область, должна считаться равной нулю. Задача, которую решил г-н Уилсон, кажется мне совершенно другой, а именно: «Даны четыре пересекающиеся прямые линии, найти вероятность того, что мы наугад выберем ту, которая проходит через треугольник, образованный тремя другими».

Та же трудность, как мне кажется, возникает в большинстве других попыток применить эту концепцию случайности к реальной бесконечности. Следующее кажется точным аналогом вышеприведенной задачи: число выбрано наугад, найти вероятность того, что другое число, выбранное наугад, будет больше первого; ответ, безусловно, должен заключаться в том, что вероятность равна единице, т. е. достоверности, потому что диапазон выше любого заданного числа бесконечно больше, чем диапазон ниже него. Или, выражаясь на единственном языке, на котором я могу понять термин «бесконечность», я имею в виду следующее. Если первое число равно m, и я ограничен выбором до n (n > m), то вероятность превышения m равна (n - m) : n; если я ограничен 2n, то она равна (2n - m) : 2n и так далее. То есть, какими бы большими ни были n и m, выражение всегда понятно; но, поскольку m выбрано первым, n может быть сделано настолько больше m, насколько мы пожелаем: т. е. вероятность может быть сделана приближающейся к единице настолько, насколько мы пожелаем.

Я не могу не думать, что существует аналогичная ошибка в удивительно наводящей на размышления статье Де Моргана о бесконечности (Camb. Phil. Trans., том 11), когда он обсуждает «задачу о трех точках», т. е. даны три точки, взятые наугад, найти вероятность того, что они образуют остроугольный треугольник. Все, что он показывает, это то, что если мы начнем с одной заданной стороны и рассмотрим последующие возможные положения противоположной вершины, то существует бесконечно много таких положений, которые образуют остроугольный треугольник, как и тупоугольный: но, как и прежде, это решение другой задачи.

§ 9. Наиболее близкий подход, который я могу сделать к истинной неопределенной случайности, или случайному выбору из истинной неопределенности, заключается в следующем. Предположим, есть круг с касательной линией, продолженной бесконечно в каждом направлении. Теперь из центра проведем радиусы наугад; другими словами, пусть полуокружность, которая лежит по направлению к касательной, будет в конечном счете равномерно пересекаться радиусами. Пусть эти радиусы затем будут продолжены так, чтобы пересечь касательную линию, и рассмотрим распределение этих точек пересечения. Мы получим в результате одну характеристику нашего случайного распределения; т. е. никакая часть этой касательной, как бы мала или как бы удалена она ни была, не окажется в конечном счете в положении любой малой части тротуара при нашем предполагаемом непрерывном дожде. То есть любой такой элементарный участок будет становиться все более и более густо усеянным точками пересечения. Но другая существенная характеристика, а именно характеристика окончательно равномерного распределения, будет отсутствовать. Будет существовать особая форма распределения — то, что фактически должно быть обсуждено в будущей главе под названием «закон ошибок» — в силу которой концентрация будет стремиться быть наибольшей в определенной точке (точке контакта с кругом) и будет редеть отсюда в каждом направлении согласно легко вычисляемой формуле. Существование такого положения вещей совершенно противоречит концепции истинной случайности.

§ 10. III. Помимо определений и того, что из них следует, пожалуй, самый важный вопрос, связанный с концепцией случайности, заключается в следующем: как в любом данном случае мы должны определить, следует ли считать наблюдаемое расположение случайным или нет? Этот вопрос должен быть более полно обсужден в будущей главе, но мы уже в состоянии увидеть путь решения некоторых трудностей, связанных с ним.

(1) Если предполагается, что рассматриваемые события или объекты продолжаются бесконечно, или если мы знаем достаточно о способе, которым они осуществляются, чтобы обнаружить их окончательную тенденцию — или даже, не доходя до этого, если они достаточно многочисленны, чтобы не поддаваться практическому подсчету, — то нет большой трудности. Мы просто сталкиваемся с вопросом факта, который должен быть решен, как и другие вопросы факта. В случае с каплями дождя наблюдайте за двумя равными квадратами тротуара или другими поверхностями и отметьте, становятся ли они все более густо, равномерно и ровно усеянными: если становятся, то расположение является тем, что мы называем случайным. Если я хочу знать, действительно ли курительная трубка ломается наугад, и поэтому послужила бы иллюстрацией задачи, предложенной несколько страниц назад, мне нужно только уронить достаточное их количество и посмотреть, одинаково ли представлены в долгосрочной перспективе куски всех возможных длин. Или я могу рассуждать дедуктивно, исходя из того, что я знаю о прочности материалов и молекулярном строении таких тел, относительно того, одинаково ли вероятно возникновение изломов малых и больших кусков.

§ 11. Внимание читателя должно быть тщательно направлено на источник путаницы здесь, возникающий из-за определенного перекрестного деления. То, что мы сейчас обсуждаем, — это вопрос факта, а именно природа определенного окончательного расположения; мы не обсуждаем конкретный способ, которым оно достигается. Другими словами, антитеза заключается в том, что является и что не является случайным: это не антитеза между тем, что случайно, и тем, что задумано. Как мы увидим через несколько мгновений, вполне возможно, что расположение, которое является результатом — если бы когда-либо что-то было таковым — «замысла», может тем не менее представлять безошибочный отпечаток случайности расположения.

Рассмотрим случай, который много обсуждался и к которому мы еще вернемся: расположение звезд. Вопрос здесь несколько усложняется тем фактом, что мы ничего не знаем о фактическом взаимном положении звезд, все, что мы можем принять к сведению, — это их кажущиеся или видимые места, спроецированные на поверхность предполагаемой сферы. Апеллируя к тому, что мы можем таким образом наблюдать, очевидно, что расположение в целом не является случайным. Млечный Путь и другие разрешимые туманности, какими они предстают перед нами, являются таким же очевидным нарушением такого расположения, каким было бы появление здесь и там участков земли во время дождя, которые получили гораздо больше капель, чем окружающие их пространства. Если мы оставим эти исключительные области вне вопроса и рассмотрим только те звезды, которые видны невооруженным глазом или при небольшом телескопическом увеличении, кажется столь же несомненным, что расположение является, по большей части, довольно репрезентативным случайным. Под этим мы не подразумеваем ничего, кроме того факта, что когда мы отмечаем любое количество равных областей на видимой сфере, они содержат приблизительно одинаковое количество звезд.

Фактическое расположение звезд в пространстве также может быть того же характера: то есть кажущаяся более плотная агрегация может быть только кажущейся, возникающей из-за того, что мы смотрим через области, которые не более густо заселены, а просто более обширны. Альтернатива перед нами, фактически, такова. Если весь объем, так сказать, звездного неба довольно правилен по форме, то расположение звезд не является случайным; если этот объем очень неправилен по форме, возможно, что расположение внутри него может быть повсюду такого порядка.

§ 12. (2) Когда рассматриваемое расположение включает лишь сравнительно небольшое количество событий или объектов, становится гораздо труднее определить, следует ли его называть случайным. Фактически мы должны изменить нашу позицию и решать не на основе того, что было фактически наблюдаемо, а на основе того, что, как мы имеем основания заключить, наблюдалось бы, если бы мы могли продолжать наше наблюдение гораздо дольше. Это вводит то, что называется «обратной вероятностью», т. е. определение природы причины по природе наблюдаемого следствия; вопрос, который будет полностью обсужден в будущей главе. Но некоторые вводные замечания могут быть удобно сделаны здесь.

Каждая задача вероятности, как этот предмет понимается здесь, вводит концепцию окончательного предела и, следовательно, предполагает неопределенную возможность повторения. Когда перед нами только конечное число случаев, прямое доказательство характера их расположения подводит нас, и мы должны вернуться к природе агентства, которое их производит. И по мере того, как число становится меньше, уверенность, с которой мы можем оценить природу агентства, постепенно уменьшается.

Начнем с промежуточного случая. Есть небольшая лужайка, усеянная маргаритками: является ли это случайным расположением? Мы чувствуем некоторую уверенность в том, что это так, при простом осмотре; подразумевая под этим, что (отрицательно) не прослеживается никаких следов какого-либо регулярного узора и (положительно), что если мы возьмем любую умеренно малую область, скажем, квадратный ярд, мы обнаружим примерно одинаковое количество растений, включенных в нее. Но мы можем помочь себе, апеллируя к известному агентству распределения здесь. Мы знаем, что маргаритка распространяется семенами, и, учитывая влияние ветра и постоянное подметание и стрижку лужайки, мы можем обнаружить действующие причины, которые аналогичны тем, которыми регулируется раздача карт и подбрасывание игральных костей.

В вышеприведенном случае апелляция к процессу производства была вспомогательной, но когда мы переходим к рассмотрению природы очень небольшой последовательности или группы, эта апелляция становится гораздо более важной. Пусть нам расскажут о некоторой последовательности «орлов» и «решек» в количестве десяти. Диапазон здесь слишком мал для решения, и если нам не скажут, подбрасывал ли агент, который их получил, или задумывал, мы совершенно не в состоянии сказать, следует ли применять обозначение «случайный» к полученному результату. Никогда нельзя забывать истину, что хотя «замысел» обязательно потерпит неудачу в долгосрочной перспективе, если он попытается непосредственно создать подобие случайности, все же на короткий срок он может имитировать ее идеально. Любая короткая последовательность, скажем, орлов и решек, могла быть с равным успехом получена как подбрасыванием, так и преднамеренным выбором.

§ 13. Читатель заметит, что этот вопрос о случайности здесь рассматривается просто как вопрос окончательного статистического факта. Я полностью признал, что это не примитивная концепция и не популярная интерпретация, но принятие ее кажется единственным курсом, открытым для нас, если мы хотим делать выводы, подобные тем, что рассматриваются в вероятности. Когда мы смотрим на производящее агентство окончательного расположения, мы можем обнаружить, что оно очень различно. Оно может оказаться (несколько этапов назад) результатом сознательной преднамеренной цели, как при вытягивании карты или подбрасывании кости: оно может быть результатом чрезвычайно сложного взаимодействия многих естественных причин, как при расположении цветов, разбросанных по лужайке или лугу: оно может быть такого рода, о котором мы буквально ничего не знаем, как в случае с фактическим расположением звезд относительно друг друга.

Это было положение вещей, имевшееся в виду, когда несколько страниц назад было сказано, что случайность и замысел приведут к чему-то вроде перекрестного деления. Можно упомянуть множество расположений, к которым приложил руку замысел, этап или два назад, которые были бы совершенно неотличимы по своим результатам от тех, в которых нельзя было проследить никакого замысла. Пожалуй, самый яркий случай здесь можно найти в расположении цифр в одной из естественных арифметических констант, таких как π или e, или в таблице логарифмов. Если мы посмотрим на процесс получения этих цифр, нельзя найти более крайнего примера того, что мы подразумеваем под антитезой случайности: каждая цифра имеет свое обязательно предопределенное положение, и минутное ослабление намерения разрушило бы всю цель вычислителя. И все же, если мы смотрим только на результаты, нельзя найти лучшего примера, чем один из этих рядов цифр, если бы он предназначался для иллюстрации того, что мы практически понимаем под случайным расположением ряда объектов. Каждая цифра встречается приблизительно одинаково часто, и эта тенденция развивается по мере того, как мы продвигаемся дальше: взаимное соположение цифр также показывает ту же тенденцию, то есть любая цифра (скажем, 5) так же часто сопровождается 6 или 7, как и любой из других. Фактически, если бы мы взяли весь ряд до сих пор вычисленных цифр, отсекли первые пять как знакомые нам всем и рассмотрели остальные, ни у кого не было бы ни малейшего основания предполагать, что они не получились как результаты броска кости с десятью равными гранями.

§ 14. Если спросить, почему это так, возникает довольно озадачивающий вопрос. Везде, где замешана физическая причинность, мы, как правило, считаем, что удовлетворили требование, подразумеваемое в этом вопросе, если укажем антецеденты, за которыми будет регулярно следовать событие перед нами; но в геометрии и арифметике нет места для антецедентов. То, что мы тогда обычно ищем, — это демонстрация, т. е. разрешение наблюдаемого факта в аксиомы, если возможно, или, во всяком случае, в признанные истины большей общности. Я не знаю, можно ли дать демонстрацию существования этой характеристики статистической случайности в таких последовательностях цифр, как рассматриваемые. Но следующие замечания могут послужить для того, чтобы переложить бремя невероятности, предположив, что преобладание аналогии скорее в пользу существования.

Возьмем для рассмотрения хорошо известную константу π. Она обозначает величину, которая проявляется в огромном количестве арифметических и геометрических отношений; возьмем для исследования наиболее известное из них, рассматривая ее как отношение окружности к диаметру круга. В таком рассмотрении это не что иное, как простой случай измерения величины произвольно выбранной единицей. Представьте тогда, что перед нами стержень или линия, и мы хотим измерить ее с абсолютной точностью. Мы должны предположить — если мы хотим иметь подходящий аналог определению π до нескольких сотен цифр, — что путем применения постоянно более высокого увеличительного стекла мы можем обнаружить все более тонкие подразделения в градуировке. Мы прикладываем наш стержень к шкале и обнаруживаем, скажем, что он попадает между 31 и 32 дюймами; затем мы смотрим на следующее деление шкалы, т. е. на деление на десятые доли дюйма. Можем ли мы увидеть хоть малейшую причину, почему количество этих десятых долей должно быть иным, чем независимым от количества целых дюймов? «Кусок сверх», который мы измеряем, может, фактически, рассматриваться как совершенно новый кусок, который попал нам в руки после того, как кусок в 31 дюйм был измерен и с ним было покончено; и аналогично с каждым последующим куском сверх, по мере того как мы переходим к все более и более тонким делениям.

Подобные замечания можно сделать о большинстве других несоизмеримых величин, таких как иррациональные корни. Представьте две прямые линии под прямым углом, и что мы откладываем определенное количество дюймов вдоль каждой из них от точки пересечения; скажем, два и пять дюймов, и соединяем их концы так, чтобы образовать диагональ прямоугольного треугольника. Если мы приступим к измерению этой диагонали в терминах любой из других линий, мы, по сути, извлекаем квадратный корень. Мы ожидали бы, скорее, чем что-либо другое, обнаружить здесь, как и в случае с π, что несоизмеримость и результирующая случайность порядка в цифрах были правилом, а соизмеримость — исключением. Время от времени, как когда две стороны были три и четыре, мы обнаруживали бы диагональ соизмеримой с ними; но это были бы случайные исключения, или, скорее, это были бы сравнительно конечные исключения среди бесконечно многочисленных случаев, которые составляли правило.

§ 15. Лучший способ, пожалуй, проиллюстрировать истинно случайный характер такого ряда цифр — это прибегнуть к графической помощи. Здесь нелегко, как и в обычной статистике, уловить значение одних лишь цифр; тогда как расположение групп точек или линий схватывается гораздо легче. Глаз очень быстро обнаруживает любые симптомы регулярности в расположении или любую тенденцию к более плотной агрегации в одном направлении, чем в другом. Как же тогда нам расположить наши цифры, чтобы заставить их проявить свой истинный характер? Я бы предложил, чтобы мы занялись проведением линии наугад; и, поскольку мы не можем доверить нашим собственным усилиям без посторонней помощи сделать это, чтобы мы полагались на помощь такой таблицы цифр, чтобы сделать это за нас, а затем исследовали, с какой эффективностью они могут выполнить задачу. Задача проведения прямых линий наугад, при различных ограничениях направления или пересечения, достаточно знакома, но я не знаю, чтобы кто-то предлагал проведение линии, форма которой, как и положение, была бы чисто случайного характера. Для простоты мы предполагаем, что линия ограничена плоскостью.

Определение такой линии, по-видимому, не содержит никакой особой трудности. Выражаясь в соответствии с обычным языком, мы описали бы ее как путь (т. е. любой путь), прочерченный точкой, которая в каждый момент с равной вероятностью может двигаться в любом направлении, как и в любом другом. То, что мы сами не могли бы провести такую линию, и то, что мы не могли бы получить ее прочерченной каким-либо физическим агентством, несомненно. Сама инерция любого движущегося тела всегда будет придавать ему тенденцию, какой бы слабой она ни была, продолжать движение по прямой линии в каждый момент, вместо того чтобы мгновенно реагировать на мгновенно меняющиеся указания относительно направления движения. Мы также не можем представить или вообразить такую линию в ее окончательном или идеальном состоянии. Но легко дать графическое приближение к ней, и легко также показать, как это приближение может быть продолжено так далеко, как мы пожелаем, к идеалу, о котором идет речь.

Мы можем действовать следующим образом. Возьмем лист обычной разлинованной бумаги, подготовленной для графического изображения кривых. Выберем в качестве нашей отправной точки пересечение двух из этих линий и рассмотрим восемь «точек компаса», указанных этими линиями и биссектрисами содержащихся прямых углов. Для предложения случайного выбора среди этих направлений пусть они будут пронумерованы от 0 до 7, и скажем, что линия, измеренная строго на «север», будет обозначена цифрой 0, «северо-восток» — 1 и так далее. Выбор среди этих чисел, а следовательно, и направлений, в каждом углу мог бы быть передан игральной кости с восемью гранями; но для цели рассматриваемой иллюстрации мы выбираем цифры от 0 до 7, как они представлены в вычисленном значении π. Род пути, вдоль которого мы должны были бы путешествовать серией таких шагов, сделанных таким образом наугад, может быть легко представлен; он приведен в конце этой главы.

Для цели, с которой была предложена эта иллюстрация, а именно графического отображения последовательности цифр в любой из несоизмеримых констант арифметики или геометрии, вышесказанного может быть достаточно. После фактического тестирования некоторых из них таким образом, они кажутся мне, насколько глаз или теоретические принципы, которые будут упомянуты в ближайшее время, являются каким-либо руководством, вполне справедливо отвечающими описанию случайности.

§ 16. Поскольку мы на эту тему, однако, кажется, стоит пойти дальше, спросив, насколько близко мы могли бы подобраться к идеалу случайности направления. Чтобы выполнить это полностью, должны быть сделаны два улучшения. Во-первых, вместо того чтобы ограничиваться восемью направлениями, мы должны допустить бесконечное число. Это не представило бы большой трудности; ибо вместо использования небольшого количества цифр нам нужно было бы просто использовать какой-то круговой волчок, который покоился бы равновероятно в любом направлении. Но, во-вторых, вместо коротких конечных шагов мы должны предположить их бесконечно короткими. Именно здесь дает о себе знать фактическая недостижимость. Мы достаточно знакомы с устройством, использованным Ньютоном, перехода от прерывистого многоугольника к непрерывной кривой. Но мы можем прибегнуть к этому устройству, потому что идеал, т. е. кривая, так же легко рисуется (и, я бы сказал, так же легко представляется или воображается), как и любой из шагов, которые ведут нас к нему. Но в рассматриваемом нами случае дело обстоит иначе. Линия, о которой идет речь, будет оставаться прерывистой, или, скорее, угловатой, до самого конца: ибо ее углы не стремятся даже потерять свою остроту, хотя фрагменты, которые их составляют, увеличиваются в количестве и уменьшаются в величине без какого-либо предела. И такой идеал немыслим как идеал. Это как если бы мы имели грубое тело под микроскопом и обнаружили, что по мере того, как мы подвергали его все более и более высоким увеличениям, не было никакой тенденции к тому, чтобы углы скруглялись. Наша «случайная линия» должна оставаться такой же «колючей», как и всегда, хотя размер ее шипов, конечно, уменьшается без какого-либо предела.

Случай, следовательно, кажется таким. Легко, словами, указать на концепцию, говоря о линии, которая в каждый момент с равной вероятностью может принять одно направление, как и другое. Более того, легко провести такую линию с любой степенью точности, которую мы пожелаем потребовать. Но невозможно представить или вообразить линию в ее окончательной форме. Фактически здесь нет никакого «предела», понятного для разума или представимого воображением (соответствующего асимптоте кривой или непрерывной кривой для постоянно развивающегося многоугольника), к которому мы постоянно приближаемся и который, следовательно, склонны считать себя в конечном счете достигающими. Обычное допущение, следовательно, которое лежит в основе ньютоновской инфинитезимальной геометрии и дифференциального исчисления, перестает применяться здесь.

§ 17. Если нам нравится рассматривать такую линию на одной из ее приблизительных стадий, как указано выше, мне кажется, что некоторые из обычных теорем вероятности, где задействованы большие числа, могут быть безопасно применены. Если спросить, например, будет ли такая линия в конечном счете стремиться отклониться бесконечно далеко от своей отправной точки, можно апеллировать к «Закону больших чисел» Бернулли, в силу которого мы сказали бы, что крайне маловероятно, чтобы ее расхождение было относительно большим. Вернемся к нашей графической иллюстрации и рассмотрим сначала результирующее отклонение точки (после большого количества шагов) вправо или влево от вертикальной линии через отправную точку. Из восьми допустимых движений на каждом этапе два не повлияют на это относительное положение, в то время как остальные шесть равновероятно переместят нас на шаг вправо или влево. Наш результирующий «дрейф» вправо или влево будет, следовательно, аналогичен результирующей разнице между количеством орлов и решек после большого количества подбрасываний монеты. Теперь хорошо известный результат такого количества подбрасываний заключается в том, что в конечном счете пропорциональное приближение к априорной вероятности, т. е. к равенству орлов и решек, осуществляется все более и более точно, но что абсолютное отклонение проявляется все более и более широко.

Применяя это к рассматриваемому случаю и помня, что результаты в равной степени применимы к горизонтальному и вертикальному направлениям, мы сказали бы, что после любого очень большого количества таких «шагов», как рассматриваемые, отношение нашего расстояния от отправной точки ко всему пройденному расстоянию будет почти наверняка малым, тогда как фактическое расстояние от нее будет большим. Мы сказали бы также, что чем дольше мы продолжали бы проводить такую линию, тем более выраженными становились бы эти тенденции. Насколько это касается этого теста и того, который предоставляется общим видом проведенных линий — последнее, как было отмечено выше, является довольно заслуживающим доверия, — я не сомневаюсь в общем «случайном» характере рядов цифр, отображаемых рассматриваемыми несоизмеримыми или иррациональными отношениями.

Поскольку читателю может быть интересно увидеть фактический образец такого пути, я прилагаю один, представляющий расположение восьми цифр от 0 до 7 в значении π. Данные взяты из поразительного достижения г-на Шенкса в вычислении этой константы до 707 знаков (Proc. of R. S., XXI, стр. 319). Из них, после исключения 8 и 9, остается 568; диаграмма представляет курс, прочерченный путем следования направлению этих цифр как ключу к нашему пути. Многие из шагов, конечно, были сделаны в противоположных направлениях дважды или чаще. Результат, как мне кажется, дает очень справедливое графическое указание на случайность. Я сравнил его с соответствующими путями, предоставленными рядами цифр, взятыми из логарифмических таблиц и другими способами, и нахожу, что результаты примерно такие же.

1 Согласно проф. Скиту (Etymological Dictionary), самое раннее известное значение — это значение яростного действия, как в кавалерийской атаке. Этимологию, считает он, связывают с тевтонским словом rand (край), и она подразумевает яростное и нерегулярное действие реки, полной до краев.

2 См. экзаменационный лист от 18 января 1854 г. в Кембриджском математическом трипосе.

3 Как, по словам г-на Г. Годфрея, большинство кандидатов и предположили, когда задача была однажды предложена на экзамене. См. Educational Times (Reprint, том VII, стр. 99).

4 См. стр. 68.

5 Конечно, было бы полнее взять десять альтернатив направления и, таким образом, не пропустить ни одной из цифр; но это гораздо хлопотнее на практике, чем ограничиться восемью.

6 Не более чем мы представляем форму равноугольной спирали в центре.

ГЛАВА VI.

СУБЪЕКТИВНАЯ СТОРОНА ВЕРОЯТНОСТИ. ИЗМЕРЕНИЕ ВЕРЫ.

* Первоначально написано в некотором духе протеста против того, что казалось мне преобладающей склонностью следовать Де Моргану в принятии слишком субъективного взгляда на науку. Читая это сейчас, я не могу найти ни одного предложения, против которого я мог бы решительно возразить, хотя должен признать, что если бы я писал это совершенно заново, я бы постарался выразиться с меньшим акцентом, и я внес изменения в этом направлении. Читатель, который желает увидеть взгляд, не существенно отличающийся от моего, но выраженный с несколько противоположным акцентом, может обратиться к статье г-на Ф. И. Эджуорта «Философия случая» (Mind, том IX).

§ 1. Получив теперь ясное представление об определенном виде серии, следующее исследование заключается в том, что делать с этой серией? Как ее использовать в качестве средства для совершения выводов? Общий шаг, который мы сейчас собираемся сделать, можно описать как переход от объективного к субъективному, от самих вещей к состоянию нашего ума при их созерцании.

Читатель должен заметить, что подстановка во многих случаях уже была сделана в качестве первого этапа на пути к приведению вещей в форму, пригодную для вычисления. Эта подстановка, как описано в предыдущих главах, является в некоторой мере процессом идеализации. Серии, с которыми мы фактически сталкиваемся, склонны демонстрировать изменчивый тип, и их индивиды иногда нарушают свою лицензированную нерегулярность. Следовательно, их приходится немного подрезать, чтобы придать форму, как это почти всегда бывает с естественными объектами, прежде чем о них можно будет точно рассуждать. Форма, в которой появляется серия, — это форма серии с фиксированным типом. Эта воображаемая или идеальная серия является основой нашего вычисления.

§ 2. Не следует полагать, что это хоть сколько-нибудь противоречит ранее сделанному утверждению, что вероятность — это наука о выводе о реальных вещах; только путем подстановки вышеуказанного рода мы получаем возможность рассуждать о вещах. В природе почти все явления предстают в форме, которая отходит от той строго точной, которой требуют научные цели, поэтому мы должны ввести воображаемую серию, которая была бы свободна от любых таких дефектов. Единственное условие, которое должно быть выполнено, заключается в том, что подстановка должна быть как можно менее произвольной, то есть как можно меньше отклоняться от истины. Этот вид подстановки обычно проходит незамеченным, когда естественные объекты любого рода делаются предметами точной науки. Я направляю на это особое внимание здесь просто из опасения, что недостаток знакомства с предметом может привести некоторых читателей к предположению, что это влечет за собой в данном случае исключительное отклонение от точности в формальном процессе вывода.

Можно также заметить, что принятие этой воображаемой серии не дает никакой поддержки доктрине, критикуемой в последней главе, в соответствии с которой предполагалось, что наша серия обладает фиксированным неизменным типом, который был просто «развитием вероятностей» вещей, если использовать выражение Лапласа. Она отличается от всего, что рассматривалось в этой гипотезе, тем фактом, что она должна быть признана необходимой подстановкой нашей собственной для фактической серии и должна поддерживаться в как можно более тесном соответствии с фактами. Это просто фикция или уловка, к которой необходимо прибегать для целей вычисления, и только для этой цели.

Это предостережение тем более необходимо, что в примере, который я выберу и который принадлежит к самому любимому классу примеров в этом предмете, подстановка становится случайно ненужной. Вещи, как неоднократно указывалось, иногда могут не нуждаться в подрезании, потому что в той форме, в которой они фактически предстают, они почти идеализированы. В большинстве случаев необходимо немало изменений, чтобы придать серии форму, но в некоторых — особенно в случае азартных игр — мы находим изменения, для всех практических целей, ненужными.

§ 3. Начнем тогда с такой серии, как эта, с исследования: какой вывод можно сделать о ней? Логическому читателю может помочь информация о том, что наш первый шаг будет аналогичен одному классу того, что обычно известно как непосредственные выводы, — выводы, то есть, типа: «Все люди смертны, следовательно, любой конкретный человек или люди смертны». Этот случай, простой и очевидный, как он есть в логике, требует очень тщательного рассмотрения в вероятности.

Очевидно, что мы должны быть готовы сформировать мнение о правильности совершения шага, вовлеченного в такой вывод. До сих пор мы имели как можно меньше дел с нерегулярными индивидами; мы рассматривали их просто как фрагменты регулярной серии. Но мы не можем долго продолжать пренебрегать всяким их рассмотрением. Даже если эти события в совокупности довольно достоверны, не только в совокупности мы должны иметь с ними дело; они постоянно предстают перед нами по несколько штук за раз или даже как индивиды, и мы должны сформировать какое-то мнение о них в этом состоянии. Страховая компания, например, имеет дело с числами, достаточно большими, чтобы устранить большую часть неопределенности, но каждая из их транзакций имеет другую сторону, заинтересованную в ней — что может сказать человек, который страхуется, об их действиях? ибо для него этот вопрос становится индивидуальным. И даже сама компания получает свои дела по отдельности и поэтому хотела бы иметь как можно более ясные взгляды на эти отдельные дела. Теперь замечания, сделанные в предыдущих главах о предметах, которые обсуждает вероятность, могли бы показаться исключающими всякие исследования такого рода, ибо разве незнание индивида не было предпослано до такой степени, что даже (как будет видно далее) причинность могла быть отрицаема, в значительных пределах, не влияя на наши выводы? Ответ на этот вопрос потребует от нас теперь обратиться к рассмотрению совершенно отдельной стороны вопроса, которая еще не предстала перед нами. Нашим лучшим введением к ней будет обсуждение специального примера.

§ 4. Пусть монета подбрасывается очень много раз; тогда можно предположить, что мы знаем наверняка этот факт (среди многих других), что в долгосрочной перспективе орел и решка будут выпадать примерно одинаково часто. Но предположим, что мы рассматриваем только умеренное количество бросков, или еще меньше, и так продолжаем ограничивать число, пока не дойдем до трех или двух, или даже одного? У нас есть, как крайние случаи, достоверность или что-то неотличимо близкое к ней, и полная неопределенность. Разве у нас нет между этими крайностями всех градаций веры? Существует большая группа авторов, включая некоторых из самых выдающихся авторитетов по этому предмету, которые утверждают или подразумевают, что мы отчетливо осознаем такое изменение количества нашей веры и что это состояние нашего ума может быть измерено и определено почти с той же точностью, что и внешние события, к которым они относятся. Главным математическим сторонником этого взгляда является Де Морган, который решительно настаивал на нем во всех своих работах по этому предмету. Самое ясное изложение его мнений можно найти в его «Формальной логике», в которой он сделал взгляд, который мы сейчас обсуждаем, основой своей системы. Он утверждает, что мы имеем определенное количество веры в каждое предложение, которое может быть поставлено перед нами, количество, которое по своей природе допускает определение, хотя мы можем практически найти трудным в любом конкретном случае определить его. Он считает, фактически, что вероятность — это своего рода сестринская наука к формальной логике, говоря о ней следующими словами: «Я не могу понять, почему изучение эффекта, который частичная вера в посылки производит в отношении вывода, должно быть отделено от изучения последствий предположения, что первые абсолютно истинны». Другими словами, существует наука — формальная логика, — которая исследует правила, согласно которым одно предложение может быть необходимо выведено из другого; в тесном соответствии с этим существует наука, которая исследует правила, согласно которым количество нашей веры в одно предложение варьируется с количеством нашей веры в другие предложения, с которыми оно связано.

Эту же точку зрения поддерживает другой авторитетный ученый, покойный профессор Донкин, который пишет (Phil. Mag., май 1851 г.): «Я полагаю, будет общепризнано, и часто более или менее явно утверждалось, что предметом вычислений в математической теории вероятностей является величина убежденности».

§ 5. Прежде чем приступить к критике этого мнения, следует сделать одно замечание, которое слишком часто упускалось из виду. Необходимо помнить, что даже если бы этот взгляд на предмет не был фактически неверным, его можно было бы оспорить как недостаточный для целей определения на том основании, что изменение убежденности не ограничивается только вероятностью. Безусловно, это свойство, с которым имеет дело данная наука, но это свойство, с которым мы сталкиваемся и в других областях. В каждом случае, когда мы расширяем наши выводы посредством индукции или аналогии, полагаемся на свидетельства других, доверяем собственной памяти о прошлом, приходим к заключению через противоречивые аргументы или даже совершаем длинное и сложное дедуктивное умозаключение в математике или логике, мы получаем результат, в котором вряд ли можем быть так же уверены, как в предпосылках, из которых он был получен. Итак, во всех этих случаях мы осознаем варьирующиеся величины убежденности, но являются ли законы, согласно которым эта убежденность формируется и варьируется, одними и теми же? Если их нельзя свести к одной гармоничной схеме, если, по сути, их в лучшем случае можно свести лишь к ряду различных схем, каждая со своим собственным сводом законов и правил, то тщетно пытаться объединить их в одну науку.

Это мнение подкрепляется тем фактом, что большинство авторов, принимающих данное определение, на практике исключают из рассмотрения большинство вышеупомянутых примеров уменьшения убежденности и ограничивают свое внимание классами событий, обладающих свойством, обсуждавшимся в гл. I, а именно: «незнание немногих, знание многих». Совершенно верно, что к некоторым из этих примеров приходится применять значительное насилие, вводя в них крайне произвольные допущения, прежде чем их можно будет заставить принять подходящую форму. Но все же нет сомнений в том, что если мы внимательно изучим используемый язык, то обнаружим, что почти в каждом случае делаются допущения, которые фактически подразумевают, что наше знание об отдельном событии выводится из суждений, данных в типичной форме, описанной в гл. I. Это будет более полно доказано, когда мы перейдем к рассмотрению некоторых распространенных случаев неправильного применения этой науки.

§ 6. Даже если бы вышеупомянутый взгляд на предмет был верным, он, на мой взгляд, все равно был бы недостаточен для целей определения; но по меньшей мере очень сомнительно, является ли он верным. Прежде чем мы могли бы должным образом придать стороне убежденности в этом вопросе ту значимость, которую ей придают Де Морган и другие, и, безусловно, прежде чем науку можно было бы определить с этой стороны, по-видимому, необходимо было бы обосновать два следующих положения, против каждого из которых можно привести веские возражения.

(1) Что наша убежденность в каждом суждении — это нечто такое, что мы, строго говоря, можем измерить; что в каждом случае должна существовать определенная ее величина, которую мы можем каким-то образом осознать и соотнести с неким стандартом, чтобы вынести суждение о ее значении.

(2) Что значение, воспринятое таким образом, является правильным согласно теории, а именно: что это именно та доля полной уверенности, которой оно должно соответствовать. Это утверждение поначалу может показаться несколько неясным; оно будет объяснено далее.

§ 7. (I.) Теперь, во-первых, что касается трудности получения какой-либо меры величины нашей убежденности. Один источник этой трудности слишком очевиден, чтобы остаться незамеченным; это возмущающее влияние, оказываемое на величину убежденности любой сильной эмоцией или страстью. Глубокий интерес к предмету спора, будь то возбуждение надежды или страха, наносит огромный ущерб «измерителю убежденности», поэтому мы должны предполагать, что разум совершенно бесстрастен при взвешивании доказательств. Это замечено и признано Лапласом и другими; но эти авторы, как мне кажется, полагают, что это единственный источник ошибки, и к тому же сравнительно маловажный. Даже если бы это был единственный источник ошибки, я не вижу, чтобы он был маловажным. Мы испытываем надежду или страх в столь многих случаях, что исключение таких влияний из рассмотрения было бы почти равносильно заявлению о том, что, претендуя на рассмотрение всей величины нашей убежденности, мы в действительности будем рассматривать лишь ее часть. Очень сильные чувства, конечно, являются исключением, но мы тем не менее обнаружили бы, что эмоциональный элемент в той или иной форме дает о себе знать почти по любому поводу. Очень редко мы не можем говорить о своем удивлении или ожидании в отношении какого-либо конкретного события. Оба этих выражения, но особенно первое, по-видимому, указывают на нечто большее, чем просто убежденность. Правда, слово «ожидание» обычно определяется в трактатах по теории вероятностей как эквивалентное убежденности; но кажется сомнительным, чтобы кто-либо, кто обращает внимание на популярное использование этих терминов, признал бы их точно синонимичными. Как бы то ни было, эмоциональный элемент присутствует почти по любому поводу, и поэтому его возмущающее влияние постоянно действует.

§ 8. Другая причина, которая взаимодействует с предыдущей, заключается в чрезвычайной сложности и разнообразии доказательств, от которых зависит наша убежденность в каком-либо суждении. Отсюда следует, что наша фактическая убежденность в любой данный момент является одной из самых мимолетных и изменчивых вещей, так что мы почти никогда не можем ухватить ее достаточно ясно, чтобы измерить. Это не ограничивается временами, когда наш разум находится в смятении от волнения из-за надежды или страха. В самые спокойные моменты мы обнаружим, что нелегко дать точный ответ на вопрос: насколько твердо я придерживаюсь того или иного убеждения? В его пользу может быть один или два веских аргумента, а против него — одно или два соответствующих возражения, но это далеко не исчерпывает всех причин, которыми порождается наше состояние убежденности. Поскольку такие причины — это все, что можно практически привнести в устные или письменные дискуссии, мы не должны делать вывод, что только ими определяется наша уверенность. Напротив, наша уверенность обычно покоится на своего рода хаотическом фундаменте, состоящем из бесконечного числа выводов и аналогий всякого рода, к тому же искаженных нашим состоянием чувств в данный момент, притупленных степенью нашего воспоминания о них впоследствии и, вероятно, воспринимаемых время от времени с разной силой в зависимости от того, как они случайно сочетаются в нашем сознании в данный момент. Заимствуя яркую иллюстрацию у Абрахама Такера, подструктуру наших убеждений следует сравнивать не столько с прочным фундаментом обычного здания, сколько со сваями домов в Роттердаме, которые каким-то образом покоятся в глубоком слое мягкого ила. Они достаточно надежно несут свой вес, но было бы нелегко точно указать зависимость различных частей друг от друга. Как только мы начинаем думать о величине нашей убежденности, мы вынуждены думать об аргументах, которыми она порождается — на самом деле, эти аргументы будут навязываться без нашего выбора. Когда каждый из них по очереди вспыхивает в уме, он изменяет силу нашей уверенности; мы подобны человеку, слушающему сбивчивый шум толпы, где всегда есть нечто произвольное в том конкретном звуке, который мы выбираем для прослушивания. Причин может быть достаточно для нашего окончательного выбора, но при проверке мы обнаружим, что они отнюдь не воспринимаются с одинаковой силой в разное время. Убежденность, порожденная каким-то сильным аргументом, может быть очень решительной в данный момент, но она часто начинает ослабевать, когда аргумент фактически не находится в уме. Это похоже на ослепление ярким светом; впечатление все еще остается, но почти сразу начинает угасать. Я думаю, что это так, как бы мы ни пытались ограничить источники нашей уверенности.

§ 9. (II.) Но если предположить, что можно вывести своего рода среднее значение этого колеблющегося состояния, нашли бы мы это среднее значение равным величине, приписываемой теорией? Другими словами, находится ли наша естественная убежденность в наступлении двух различных событий в прямой пропорции к частоте, с которой эти события происходят в долгосрочной перспективе? Существует лотерея со 100 билетами и десятью призами; справедливо ли убеждение человека в том, что он получит приз, представлено одной десятой уверенности? Одно лишь упоминание лотереи должно быть достаточным, чтобы опровергнуть это. Лотереи процветали во все времена и никогда не испытывали недостатка в поддержке, несмотря на самое полное убеждение многих, если не большинства, тех, кто в них участвует, что в долгосрочной перспективе все проиграют. Безусловно, следует сделать скидку на тех, кто действует из суеверных побуждений, из веры в приметы, сны и так далее. Но помимо них, и если предположить, что кто-то приходит, вооружившись всем, что может сделать для него математика, трудно поверить, что его естественные впечатления об отдельных событиях всегда будут такими, какими они должны быть согласно теории. Много ли найдется таких, кто может честно заявить, что у них не было бы желания купить хотя бы один билет? Они, вероятно, сказали бы себе, что сумма, которую они отдали, — это ничто, о чем стоит жалеть, и что есть шанс выиграть очень много; другими словами, они не распределяют свою убежденность так, как предписывает теория.

Что подтверждает этот взгляд, так это то, что те же самые люди, которые действовали бы таким образом в единичных случаях, часто не подумали бы делать это иначе, как в единичных случаях. Другими словами, естественная склонность здесь состоит в том, чтобы приписывать слишком большую величину убежденности там, где она мала или должна быть мала; т.е. преуменьшать риск по сравнению с возможной выгодой. Они, скорее всего, при споре применили бы к этому состоянию чувств пренебрежительные эпитеты, назвав его необъяснимым очарованием или чем-то в этом роде, но в его существовании вряд ли можно сомневаться. Мы говорим сейчас о том, какова естественная склонность нашего разума, а не о том, к чему он может быть в конечном итоге дисциплинирован образованием и мышлением. Если, однако, образованные люди по большей части преуспели в контроле над этой склонностью в азартных играх, то дух безрассудных спекуляций едва ли еще изгнан из коммерции. При рассмотрении эта склонность окажется настолько распространенной во все времена, во всех рангах и характерах, что было бы недопустимо пренебрегать ею ради того, чтобы привести наши предполагаемые инстинкты в более тесное соответствие с общепринятыми теориями вероятности.

§ 10. Существует еще один аспект этого вопроса, который часто упускался из виду, но который, по-видимому, заслуживает некоторого внимания. Допустим, у нас есть инстинкт доверия, почему следует предполагать, что он должен быть именно той интенсивности, которую оправдает последующий опыт? Наши инстинкты заложены в нас для благих целей и предназначены действовать немедленно и бессознательно. Однако они подлежат контролю и должны быть приведены в соответствие с тем, что мы считаем истинным и правильным. В других областях психологии мы не предполагаем, что каждое спонтанное побуждение природы должно быть оставлено таким, каким мы его находим, или даже что в среднем, опуская индивидуальные вариации, оно установлено на том уровне, который в конечном итоге окажется наилучшим, когда мы начнем размышлять об этом и устанавливать его правила. Возьмем, например, случай негодования. Здесь у нас есть инстинктивная склонность, и та, которая в целом дает хорошие результаты. Но моралисты согласны с тем, что почти все наши усилия по самоконтролю должны быть направлены на его подавление и удержание в правильном русле. Предполагается, что он дан как своего рода грубая защита и установлен, если можно так выразиться, на слишком высокий уровень, чтобы действовать на него в обществе обдуманно и сознательно. Не может ли нечто подобное происходить и с нашей убежденностью? Я делаю здесь лишь мимолетную ссылку на этот пункт, так как в теории вероятностей, принятой в этой работе, это не кажется сколько-нибудь существенным для науки. Но это кажется веским аргументом против целесообразности начала изучения науки с субъективной стороны или даже придания этой стороне какой-либо большой значимости.

То, что люди не верят в точном соответствии с этой теорией, должно было поразить почти каждого, но это, вероятно, рассматривалось как простое исключение и нерегулярность; при этом делалось допущение, что в среднем и в подавляющем большинстве случаев они верят именно так. Как было сказано выше, весьма сомнительно, не является ли склонность, которая только что обсуждалась, настолько широко распространенной, что ее можно было бы с гораздо большим основанием назвать правилом, чем исключением. И, возможно, лучше, чтобы это было так: много хороших результатов может проистекать из того жизнерадостного расположения духа, которое побуждает человека иногда продолжать попытки добиться какого-то великого блага, шанс на которое он переоценивает. Он будет продолжать путь через трудности и разочарования, возможно, без серьезного вреда, когда хладнокровный и расчетливый наблюдатель ясно видит, что его «мера убежденности» намного выше, чем должна быть. Так же и склонность, столь распространенная, недооценивать шанс великого зла, также может работать во благо. Многими людьми смерть может рассматриваться как почти бесконечное зло, по крайней мере, они сами так бы ее рассматривали; предположим, они постоянно держали бы эту возможность перед собой в ее истинном значении, как было бы возможно справляться с практической работой жизни? Люди сидели бы дома, потому что, если бы они вышли, их могли бы убить или укусить бешеная собака. Сказать это — не значит призывать к возврату к нашим инстинктам; действительно, когда мы однажды достигли критического и сознательного состояния, это вряд ли возможно; но следует заметить, что преимущество, полученное от их исправления, в лучшем случае является лишь сбалансированным. Что наиболее важно для наших текущих целей, это предполагает нецелесообразность попыток основать точную теорию на том, что впоследствии может оказаться лишь инстинктом, не санкционированным в полной мере опытом.

§ 11. Можно ответить, что хотя люди, по сути дела, не распределяют убежденность таким точным образом, они должны это делать. Смысл этого замечания будет рассмотрен далее; здесь нужно лишь сказать, что оно признает все, за что сейчас ведется спор. Ибо оно признает, что степень нашей убежденности способна к модификации и может нуждаться в ней. Но в соответствии с чем должна модифицироваться убежденность? Очевидно, в соответствии с опытом; ей нельзя доверять самой по себе, но доля, в которой она должна оцениваться, должна определяться сравнительной частотой событий, к которым она относится. Опыт, таким образом, предоставляя стандарт, безусловно, наиболее разумно исходить из этого опыта и основывать на нем теорию наших процессов.

Если мы не делаем этого, следует заметить, что мы полностью отделяем вероятность от изучения вещей, внешних по отношению к нам, и делаем ее, по сути, ничем иным, как частью психологии. Если мы отказываемся контролироваться опытом, а ограничиваем свое внимание законами, согласно которым убежденность естественно или инстинктивно складывается и распределяется в нашем уме, то у нас нет права впоследствии апеллировать к опыту даже для иллюстраций, если только не под явным пониманием того, что мы не гарантируем его точность. Наша убежденность в некоторых единичных событиях, например, могла бы быть правильной, и все же убежденность в совокупности нескольких (если она выведена просто из наших инстинктивных законов убежденности) очень возможно могла бы не быть правильной, а могла бы привести нас к практическим ошибкам, если бы мы решили действовать на ее основе. Даже если бы они соответствовали друг другу, это соответствие пришлось бы доказывать, что привело бы нас по кругу, тем, что я не могу не считать окольным путем, к точке, которая уже была выбрана для начала.

§ 12. Де Морган, по-видимому, подразумевает, что доктрина, подвергнутая критике выше, находит оправдание в аналогии с формальной логикой. Если законы необходимого вывода можно изучать отдельно от всякой ссылки на внешние факты (кроме как в качестве иллюстрации), почему бы не изучать законы вероятностного вывода? Однако в такой аналогии, по-видимому, нет большой силы. Формальная логика, во всяком случае, в ее современном или кантовском способе трактовки, основана на допущении, что существуют законы мышления, в отличие от законов вещей, и что эти законы мышления могут быть установлены и изучены без учета их отношения к какому-либо конкретному объекту. Теперь, пока мы ограничены необходимыми или необратимыми законами, как это, конечно, имеет место в обычной формальной логике, это допущение не приводит к особым трудностям. Мы имеем в виду под этим, что не возникает конфликта между этими субъективными и объективными необходимостями. Они существуют в идеальной гармонии бок о бок, причем одна является точным аналогом другой. Настолько точно соответствие между ними, что немногие люди заметили бы, пока изучение метафизики не обратило их внимание на такие моменты, что у вопроса есть эти две стороны. Они апеллировали бы к любой из них с равной уверенностью, говоря безразлично: «вещь должна быть такой» или «мы не можем представить ее иной». Фактически, только со времен Канта этот ментальный анализ был в какой-то мере оценен и принят. И даже сейчас доминирующая эмпирическая школа философии не признала бы, что здесь существуют две действительно различные стороны явления; они утверждают либо то, что субъективная необходимость есть не что иное, как следствие в силу укоренившейся ассоциации объективной единообразности, либо то, что эта так называемая необходимость (скажем, в законе противоречия) является в конечном счете лишь словесной, лишь иным способом сказать то же самое другими словами. Какое бы объяснение ни было принято, общий результат заключается в том, что логические ошибки, как реальные акты мышления, невозможны в рамках чистой логики; ошибка в этой области возможна только из-за мгновенного ослабления внимания, то есть сознания.

§ 13. Но хотя эта идеальная гармония между субъективными и объективными единообразиями или законами может существовать в рамках чистой логики, она далеко не существует в рамках вероятности. Как только мы делаем величину нашей убежденности неотъемлемой частью изучаемого предмета, любое такое неизменное соответствие перестает существовать. В первом случае мы не могли бы сознательно мыслить ошибочно, даже если бы попытались это сделать; во втором случае мы не только можем верить ошибочно, но и постоянно делаем это. Далеко от того, чтобы величина нашей убежденности была настолько точно скорректирована в соответствии с фактами, к которым она относится, что мы не можем даже в воображении сбиться с пути, мы обнаруживаем, что она часто существует в избытке или недостатке по сравнению с тем, что одобрит последующее суждение. Наши инстинкты доверия, несомненно, часто находятся во вражде с опытом; и что мы тогда делаем? Мы просто модифицируем инстинкты в соответствии с вещами. Мы постоянно практикуем это, и ни один культурный ум не нашел бы возможным делать что-либо другое. Ни один человек не подумал бы о разрыве своей убежденности с вещами, на которые она была направлена, или не предположил бы, что первая имеет какое-либо другое дело, кроме как следовать за вторыми. Отсюда следует, что то отделение субъективной необходимости от объективной и та решимость рассматривать первую как науку отдельно саму по себе, для чего можно было бы привести правдоподобную защиту в случае чистой логики, совершенно недопустимы в случае вероятности. Как бы мы ни ухитрялись «мыслить» правильно без обращения к фактам, мы не можем верить правильно, не проверяя постоянно свои действия такими обращениями. Каковы бы ни были претензии формальной логики на статус отдельной науки, не похоже, что она может оказать какую-либо поддержку теории вероятностей, рассматриваемой в настоящее время.

§ 14. Рассматриваемый вопрос иногда выдвигается следующим образом. Предположим, у человека есть две, и только две, альтернативы, одна из которых, как он знает, должна привести к успеху, а другая — к неудаче. Он не знает о них ничего, кроме этого, и он вынужден действовать. Не относился бы он к ним с абсолютно одинаковыми и равными чувствами уверенности, без необходимости соотносить их с каким-либо реальным или воображаемым рядом? Если так, не равносильно ли это утверждению, что его убежденность в любой из них, поскольку одна из них должна произойти, равна убежденности в другой, и поэтому его убежденность в каждой равна половине полной уверенности? Аналогично, если альтернатив больше двух: пусть предполагается, что их любое количество, среди которых невозможно различить никаких различий, кроме тех деталей, которые, как мы точно знаем, не повлияют на результат; не чувствовали бы мы себя одинаково уверенно в отношении каждой из них? И так здесь снова, не имели бы мы дробную оценку нашей абсолютной величины убежденности? Таким образом, делается попытка заложить основу чистой науки о вероятности, определяя распределение и комбинацию нашей убежденности гипотетически; а именно: если случайности точно одинаковы, то наша убежденность распределяется таким образом, причем вопрос о том, равны ли случайности, конечно, решается так же, как решаются объективные данные логики или математики.

Для полного обсуждения этого вопроса потребовалось бы изложение причин в пользу объективного или материалистического взгляда на логику, в противовес формальному или концептуалистскому, в некотором объеме. Мне придется говорить на эту тему в другой главе, поэтому я не буду касаться ее здесь. Но одно решающее возражение, которое применимо более специфически к вероятности, может быть предложено сразу. Следовать линии исследования, только что указанной, — это, как уже было отмечено, покинуть строго логическую почву и занять ту, которая подходит для психологии; правильный вопрос во всех этих случаях — не то, во что верят люди, а во что они должны верить? Признавая, как было сделано выше, что в случае формальной логики эти два исследования, или, скорее, те, что соответствуют им, практически сливаются в одно, благодаря тому факту, что люди не могут сознательно «мыслить» неправильно; нельзя слишком сильно настаивать на том, что в вероятности они совершенно разделимы и различны. Нет смысла говорить, во что люди верят или будут верить, мы хотим знать, во что им будет правильно верить; и это никогда не может быть решено без обращения к самим явлениям.

§ 15. Но помимо вышеуказанных соображений, такой способ постановки вопроса не кажется мне сколько-нибудь убедительным. Возьмем следующий пример. Человек оказывается на песках Уоша или залива Моркам в густом тумане, когда наступает прилив; и поэтому знает, что быть однажды застигнутым приливом было бы фатально. Он слышит церковный колокол вдалеке, но не имеет возможности узнать, находится ли он на той же стороне воды, что и он сам, или на противоположной. Поэтому он не может сказать, приведет ли его следование за звуком к выходу на середину потока и гибели, или обратно на сушу и в безопасность. Здесь не может быть повторения события, и случаи для него неразличимо одинаковы в единственных обстоятельствах, которые могут повлиять на исход: не является ли тогда его перспектива смерти, скажут, обязательно равной одной второй? Правильный анализ его состояния ума был бы психологическим, а не логическим исследованием, и в любом случае, как было отмечено выше, решение этого вопроса не затрагивает нашу логическую позицию. Но согласно лучшей интроспекции, которую я могу дать, я бы сказал, что то, что действительно проходит через ум в таком случае, — это нечто подобное: в большинстве сомнительных положений и обстоятельств мы привыкли решать свое поведение путем рассмотрения относительных преимуществ и недостатков каждой стороны, то есть путем наблюдаемой или выведенной частоты, с которой та или иная альтернатива имела успех. По мере того как они становятся более близкими к равновесию, мы чаще ошибаемся в отдельных случаях; то есть становится все более и более близким к тому, что назвали бы «простым жребием», правы мы или нет. Рассматриваемый случай кажется просто предельным случаем, в котором было устроено так, что не должно быть заметной разницы между альтернативами, по которой можно было бы решить в пользу одной или другой, и мы, соответственно, не чувствуем уверенности в конкретном результате. Однако, будучи вынужденными решать, мы решаем в соответствии с прецедентом подобных случаев, которые происходили ранее. Стоять на месте и ждать лучшей информации — это верная смерть, и поэтому мы апеллируем к единственному правилу, которое знаем, и применяем его; или, скорее, мы чувствуем, или пытаемся чувствовать, так, как чувствовали раньше, действуя в присутствии альтернатив, максимально сбалансированных. Но я не могу ни заметить в своем собственном случае, ни почувствовать убежденность в случае других, что это обращение в случае, который не может быть повторен, к правилу, на которое действовали и которое оправдано в случаях, которые могут быть и повторяются, вообще заставляет нас признать, что наше состояние ума одинаково в каждом случае.

§ 16. Этот пример служит для того, чтобы очень ясно выявить момент, который уже был упомянут и на котором придется настаивать снова, а именно: что все, что обсуждает вероятность, — это статистическая частота событий, или, если мы предпочитаем так выразиться, величина убежденности, с которой любое из этих событий должно рассматриваться индивидуально, но оставляет все последующее поведение, зависящее от этой частоты или этой убежденности, на выбор агентов. Предположим, есть два путешественника в рассматриваемом затруднительном положении: должны ли они держаться вместе или разделиться в противоположных направлениях? В любом случае шанс на безопасность для каждого одинаков, а именно: одна вторая, но ясно, что их обстоятельства должны решить, какой курс предпочтительнее принять. Если они муж и жена, они, вероятно, предпочтут остаться вместе; если они единственные хранители важной государственной тайны, они могут решить разделиться. Другими словами, мы должны выбрать здесь между двумя альтернативами: уверенностью в единичной потере и равным шансом двойной потери; альтернативами, которые обычное математическое утверждение об их шансах имеет решительную тенденцию заставлять нас рассматривать как неразличимые друг от друга. Но ясно, что решение должно быть основано на желаниях, чувствах и совести агентов. Вероятность не может сказать ни слова по этому вопросу. Как я отмечал в другом месте, в этой области было много путаницы в приложениях науки к ставкам и в обсуждении Петербургской задачи.

Мы, таким образом, исследовали рассматриваемую доктрину с тщательностью, которая может показаться утомительной, но из-за выдающегося положения ее сторонников было бы самонадеянно отвергнуть ее без самых веских оснований. Возражения, которые были выдвинуты, можно суммировать следующим образом: величина нашей убежденности в любом данном суждении, если предположить, что она по своей природе способна к точному определению (что не кажется таковым), зависит от большого разнообразия причин, из которых статистическая частота — предмет вероятности — является лишь одной. Что даже если мы ограничим наше внимание этой одной причиной, естественная величина нашей убежденности не обязательно является той, которую назначила бы теория, а должна быть проверена обращением к опыту. Субъективная сторона вероятности, поэтому, хотя и очень интересная и вполне заслуживающая изучения, кажется лишь придатком объективной и сама по себе не дает надежной почвы для науки о выводе.

§ 17. Концепция науки о вероятности как науки о законах убежденности, таким образом, по-видимому, рушится в каждой точке. Мы не должны, однако, довольствоваться такой чисто негативной критикой. Степень убежденности, которую мы питаем к суждению, может быть трудно получить точно, и, будучи полученной, может часто быть неверной, и поэтому может нуждаться в проверке обращением к объектам убежденности. Тем не менее, в общественном мнении мы, кажется, способны с большей или меньшей точностью сформировать градуированную шкалу интенсивности убежденности. Что мы должны исследовать сейчас, так это то, возможно ли это, и если да, то каково объяснение этого факта?

То, что общепринято мнение, что мы можем сформировать такую шкалу, едва ли допускает сомнения. Существует целый словарь обычных выражений, таких как: «я почти уверен», «я не чувствую себя вполне уверенным», «я менее уверен в этом, чем в том» и так далее. Когда мы используем любую из этих фраз, мы редко сомневаемся, что имеем в виду нечто отчетливое, передаваемое с ее помощью. Мы также не чувствуем большой растерянности при любых данных обстоятельствах относительно того, какие из этих выражений нам следует использовать в предпочтение другим. Если бы нас попросили расположить в порядке, согласно интенсивности убежденности, с которой мы соответственно придерживаемся их, вещи, широко отличающиеся друг от друга, мы могли бы сделать это из одного только нашего сознания убежденности, без нового обращения к доказательствам, от которых зависела убежденность. Опуская более свободные суждения, которые используются в обычном разговоре, возьмем лишь один простой пример из тех, которые дают числовые данные. Разве я не чувствую себя более уверенным в том, что кто-то умрет на этой неделе во всем городе, чем на конкретной улице, на которой я живу? И если известно, что город содержит население в сто раз большее, чем на улице, разве не был бы почти любой готов утверждать при размышлении, что он чувствует себя в сто раз более уверенным в первом суждении, чем во втором? Или, чтобы взять нечисловой пример, разве мы не часто способны сказать без колебаний, в какое из двух суждений мы верим больше, и до некоторой грубой степени, насколько больше мы верим в одно, чем в другое, в то время, когда все доказательства, на которых каждое покоится, стерлись из ума, так что каждое должно быть судимо, как мы можем сказать, исключительно по своим собственным достоинствам?

Здесь, таким образом, возникает проблема. Если общественное мнение, как проиллюстрировано в обычном языке, верно — а очень значительный вес, конечно, должен быть приписан ему, — то действительно существует нечто, что мы называем частичной убежденностью в отношении любого суждения числового рода, описанного выше. Теперь, что мы хотим сделать, это найти какой-то тест или оправдание этой убежденности, получить, по сути, какой-то понятный ответ на вопрос: верно ли это? Мы обнаружим попутно, что ответ на этот вопрос прольет много света на другой вопрос, почти такой же важный и гораздо более запутанный, а именно: каков смысл этой частичной убежденности?

§ 18. Мы сочтем целесообразным начать с выяснения того, как на такие вопросы, как выше, был бы дан ответ в случае обычной полной убежденности. Такой шаг не предложил бы ни малейшей трудности. Предположим, чтобы взять простой пример, что мы получили следующее суждение — будь то посредством индукции или по правилам обычной дедуктивной логики, не имеет значения для нашей текущей цели — что определенная смесь кислорода и водорода является взрывоопасной. Здесь у нас есть вывод и, как следствие, убежденность в суждении. Теперь предположим, возник бы какой-либо вопрос о том, верна ли наша убежденность, что бы мы сделали? Самый простой способ решения вопроса состоял бы в том, чтобы выяснить путем четкого обращения к опыту, верно ли суждение. Поскольку мы рассуждаем о вещах, оправдание убежденности, то есть тест ее правильности, было бы наиболее легко найдено в истинности суждения. Если посредством какого-либо процесса вывода я пришел к убеждению, что определенная смесь взорвется, я считаю свою убежденность оправданной, то есть правильной, если при надлежащих обстоятельствах взрыв действительно всегда происходит; если он не происходит, убежденность была неверной.

Такой ответ, несомненно, делает лишь малый шаг, или, скорее, вообще не делает шага, к объяснению того, какова природа убежденности сама по себе; но он достаточен для нашей текущей цели, которая состоит лишь в определении того, что подразумевается под правильностью нашей убежденности и тестом ее правильности. Во всех выводах о вещах, в которых величина нашей убежденности не принимается во внимание, такое объяснение вполне достаточно; оно было бы обычным в любом вопросе науки. Оно, более того, совершенно понятно, является ли заключение частным или всеобщим. Верим ли мы, что «некоторые люди умирают» или что «все люди умирают», наша убежденность может с равной легкостью быть проверена соответствующим рядом опыта.

§ 19. Но когда мы пытаемся применить тот же тест к частичной убежденности, мы обнаружим, что сведены к неловкому недоумению. Теперь возникает трудность, которая была удивительно упущена из виду теми, кто рассматривал этот предмет. Поскольку простой пример послужит нашей цели, мы возьмем случай с пенни. Я собираюсь подбросить его, и поэтому наполовину верю, чтобы принять текущий язык, что он даст «орел». Теперь кажется, что упускается из виду, что если мы апеллируем к событию, как мы сделали в случае, который только что рассматривали, наша убежденность неизбежно должна быть неверной, и поэтому тест, упомянутый выше, не удастся. Ибо вещь должна либо произойти, либо не произойти: т.е. в этом случае пенни должен либо дать «орел», либо не дать его; нет третьей альтернативы. Но каким бы образом это ни произошло, наша полуубежденность, насколько такое состояние ума допускает интерпретацию, должна быть неверной. Если «орел» действительно выпадает, я неправ, что не ожидал его достаточно; ибо я лишь наполовину верил в его наступление. Если он не происходит, я в равной степени неправ, что ожидал его слишком сильно; ибо я наполовину верил в его наступление, когда на самом деле он не произошел вовсе.

Та же трудность возникнет в каждом случае, в котором мы пытаемся оправдать наше состояние частичной убежденности в единичном случайном событии. Давайте возьмем другой пример, слегка отличающийся от последнего. Человек должен получить 1 фунт стерлингов, если игральная кость дает шесть, и заплатить 1 шиллинг, если она дает любое другое число. Обычно признается, что он должен дать 2 шиллинга 6 пенсов за шанс, и что если он это сделает, он будет платить справедливую сумму. Этот пример отличается от последнего только тем фактом, что вместо простой убежденности в суждении мы взяли то, что математики называют «значением ожидания». Другими словами, мы выдвинули на первый план не просто убежденность, а поведение, которое основано на убежденности. Но точно та же трудность повторяется здесь. Ибо, апеллируя к событию — единичному событию, то есть — мы видим, что одна или другая сторона должна потерять свои деньги без компенсации. В каком смысле тогда такое ожидание можно назвать справедливым?

§ 20. Возможный ответ на это, и, насколько представляется, единственный возможный ответ, будет заключаться в том, что то, что мы действительно имеем в виду, говоря, что мы наполовину верим в наступление «орла», — это выразить наше убеждение, что «орел» обязательно будет выпадать в среднем каждый второй раз. И аналогично, во втором примере, называя сумму справедливой, имеется в виду, что в долгосрочной перспективе ни одна из сторон не выиграет и не проиграет. Поскольку мы вернемся далее к пункту, поднятому в этой форме ответа, единственное замечание, которое нужно сделать по нему в этом месте, — это обратить внимание на тот факт, что он полностью оставляет весь вопрос в споре, ибо он признает, что эта частичная убежденность не применяется в каком-либо строгом смысле к индивидуальному событию, поскольку она явно не может быть оправдана там. Такому результату, действительно, мы не можем удивляться; по крайней мере, мы не можем на теории, принятой на протяжении всего этого эссе. Ибо, помня, что использование вероятности постулирует незнание единичного события, нелегко увидеть, как мы собираемся оправдать любое другое мнение или утверждение об единичном событии, кроме признания такого незнания.

§ 21. До сих пор, поэтому, мы, кажется, не сделали ни малейшего приближения к решению конкретного вопроса, который сейчас исследуется. Чем ближе мы анализировали специальные примеры, тем более недвусмысленно мы приходим к заключению, что в индивидуальном случае не найти оправдания чему-либо похожему на количественную убежденность; по крайней мере, его не найти в том же смысле, в каком мы ожидаем его в обычных научных заключениях, будь то индуктивных или дедуктивных. И все же мы должны встретить лицом к лицу и объяснить тот факт, что обычные впечатления, как засвидетельствовано целым словарем обычных фраз, в пользу существования этой количественной убежденности. Как мы должны объяснить это? Если мы снова апеллируем к примеру и проанализируем его несколько ближе, мы, возможно, еще найдем путь к какому-то удовлетворительному объяснению.

В нашем предыдущем анализе (§ 18) мы сочли достаточным остановиться на ранней стадии и дать в качестве оправдания нашей убежденности факт истинности суждения. Остановившись, однако, на этой стадии, мы обнаружили, что это объяснение вообще не дает оправдания частичной убежденности; не дает, то есть, при применении к индивидуальному случаю. Два состояния убежденности и неверия соответствуют удивительно хорошо двум результатам: событие происходит и не происходит соответственно, и если не для психологических целей, мы не видели причин анализировать дальше; но частичной убежденности нет ничего соответствующего в результате, ибо событие не может частично произойти в таких случаях, с которыми мы имеем дело. Предположим тогда, что мы продвинемся на шаг дальше в анализе и спросим снова, что подразумевается под истинностью суждения? Это вводит нас, конечно, на очень длинный и запутанный путь; но на коротком расстоянии по нему, которое мы пройдем, мы, будем надеяться, не найдем никаких очень серьезных трудностей. Как и прежде, мы проиллюстрируем анализ, сначала применив его к случаю обычной полной убежденности.

§ 22. Какое бы мнение ни было принято относительно сущностной природы убежденности, вероятно, будет признано, что готовность действовать на основе суждения, в которое верят, является неотъемлемым сопровождением этого состояния ума. Не может быть изменения в нашей убежденности (во всяком случае, в случае здравомыслящих людей) без возможного изменения в нашем поведении, ни чего-либо в нашем поведении, что не было бы связано с чем-то в нашей убежденности. Мы сначала возьмем пример в связи с пенни, в котором есть полная убежденность; мы проанализируем его на шаг дальше, чем мы делали раньше, а затем попытаемся применить тот же анализ к примеру подобного рода, но в котором убежденность является частичной, а не полной.

Предположим, что я собираюсь подбросить пенни и созерцаю перспективу его падения на одну из своих сторон, а не на ребро. Мы чувствуем себя совершенно уверенными, что он сделает это. Теперь, что бы еще ни подразумевалось в нашей убежденности, мы, безусловно, имеем в виду это; что мы готовы поставить свое поведение на то, что он упадет таким образом. Все наши ставки и все остальное, что мы делаем, осуществляется на этом допущении. Любой риск, который мог бы последовать из его падения иначе, будет понесен без страха. Это, должно быть замечено, в равной степени имеет место, говорим ли мы об одном броске или о длинной последовательности бросков.

Но теперь давайте возьмем случай падения пенни не на одну или другую сторону, а на данную сторону, «орел». В некоторой степени этот пример напоминает последний. Мы совершенно готовы поставить свое поведение на то, что происходит в долгосрочной перспективе. Когда мы рассматриваем результат большого количества бросков, мы готовы действовать на допущении, что «орел» выпадает каждый второй раз. Если, например, мы делаем ставку на это, мы не будем возражать против выплаты 1 фунта стерлингов каждый раз, когда выпадает «орел», при условии получения 1 фунта стерлингов каждый раз, когда «орел» не выпадает. Это не что иное, как перевод, как мы можем назвать его, на практику нашей убежденности в том, что «орел» и «решка» происходят одинаково часто.

Теперь будет очевидно, при минутном рассмотрении, что наше поведение способно быть слегка измененным: быть измененным, то есть, по форме, в то время как оно остается идентичным в отношении своих результатов. Ясно, что платить 1 фунт стерлингов каждый раз, когда мы проигрываем, и получать 1 фунт стерлингов каждый раз, когда мы выигрываем, сводится к точно тому же самому в рассматриваемом случае, что и платить десять шиллингов каждый раз без исключения и получать 1 фунт стерлингов каждый раз, когда выпадает «орел». Это так, потому что «орлы» выпадают, в среднем, каждый второй раз. В долгосрочной перспективе два результата совпадают; но существует заметная разница между двумя случаями, рассматриваемыми индивидуально. Разница двояка. Во-первых, мы отходим от понятия выплаты каждый второй раз и приходим к понятию выплаты каждый раз. Во-вторых, то, что мы платим каждый раз, составляет половину того, что мы получаем в случаях, в которых мы действительно получаем что-либо. Разница может показаться незначительной; но заметьте эффект, когда наше поведение переводится обратно в субъективное состояние, от которого оно зависит, т.е. в нашу убежденность. Именно вследствие такого перевода, как мне кажется, было приобретено понятие о том, что мы имеем точно определяемую величину убежденности в отношении каждого такого суждения. Иметь потери и выигрыши равной величины и нести их одинаково часто — это был опыт, связанный с нашей убежденностью в том, что два события, «орел» и «решка», будут происходить одинаково часто. Это было вполне понятно, ибо относилось к долгосрочной перспективе. Обнаружение того, что это можно было заменить выплатой, производимой каждый раз без исключения, выплатой, заметьте, половины суммы того, что мы иногда получаем, было очень естественно интерпретировано как означающее, что должно существовать состояние полуубежденности, которое относится к каждому индивидуальному броску.

§ 23. Один такой пример, конечно, не идет далеко к установлению теории. Но читатель будет помнить, что почти все наше поведение стремится к тому же результату; что не только в ставках, но и в каждом курсе действий, в котором мы должны считать события, такое числовое распределение нашего поведения возможно. Следовательно, по обычным принципам ассоциации, казалось бы чрезвычайно вероятным, что не точно числовое состояние ума, а скорее числовые ассоциации становятся неразрывно связанными с каждым конкретным событием, которое, как мы знаем, происходит в определенной пропорции раз. Раз в шесть раз игральная кость дает туз; знание этого факта, взятое в сочетании со всеми практическими результатами, к которым оно ведет, порождает, нельзя сомневаться, неразрывное понятие одной шестой, связанное с каждым единичным броском. Но это, безусловно, нельзя назвать убежденностью в величине одной шестой; по крайней мере, это не допускает ни оправдания, ни объяснения в этих единичных случаях, к которым только дробная убежденность, если бы таковая существовала, должна была бы применяться.

Именно вследствие, я полагаю, такой ассоциации мы действуем таким нерешительным образом в отношении любого единичного случайного события, даже когда у нас нет ожидания его повторения. Игральная кость будет брошена один раз, и только один раз. Я ставлю 5 к 1 против туза, не, как обычно утверждается, потому что я чувствую одну шестую часть уверенности в наступлении туза; а потому что я знаю, что такое поведение было бы оправдано в долгосрочной перспективе таких случаев, и я применяю к одиночному индивиду то же правило, которое я применил бы к нему, если бы знал, что он является одним из длинного ряда. Это объясняет, почему мое поведение одинаково в двух случаях; по ассоциации, более того, мы, вероятно, испытываем очень похожие чувства в отношении их обоих.

§ 24. И здесь, на взгляде на предмет, принятом в этом эссе, мы могли бы остановиться. Мы обязаны объяснить «меру нашей убежденности» в наступлении единичного события, когда мы судим исключительно по статистической частоте, с которой такие события происходят, ибо такой ряд событий был нашей отправной точкой; но мы не обязаны спрашивать, должен ли в каждом случае, в котором люди имеют или претендуют на то, чтобы иметь определенную меру убежденности, существовать такой ряд, к которому ее отнести и которым ее оправдать. Те, кто исходит из субъективной стороны и рассматривает вероятность как науку о количественной убежденности, обязаны делать это, но мы свободны от этой обязанности.

Тем не менее вопрос — это тот, который так естественно возникает в связи с этим предметом, что его нельзя полностью обойти. Я думаю, что в значительной степени такое оправдание, как упомянутое выше, окажется применимым в других случаях. Факт в том, что нас очень редко призывают решать и действовать на основе единичной случайности, которую нельзя рассматривать как одну из ряда. Опыт знакомит нас, должно быть помнимо, не просто с последовательностью событий, аккуратно расположенных в одном ряду (как мы до сих пор предполагали их для целей иллюстрации), а с бесконечным числом, принадлежащим к огромному разнообразию различных рядов. Человек обязан действовать, и поэтому упражнять свою убежденность в отношении того или иного, почти весь каждый день своей жизни. Любой один человек должен будет решать в свое время о множестве событий, каждое из которых может никогда не повториться снова в его собственном опыте. Но самим фактом существования множества, хотя они все разных видов, мы все равно обнаружим, что порядок поддерживается, и поэтому курс поведения может быть оправдан. В плантации деревьев мы обнаружили бы, что существует порядок определенного рода, если мы измерим их в любом одном направлении, деревья находятся в среднем на одинаковом расстоянии друг от друга. Но несколько похожий порядок был бы обнаружен, если бы мы исследовали их в любом другом направлении вообще. Так в природе вообще; существует регулярность в последовательности событий одного и того же рода. Но может также быть регулярность, если мы сформируем ряд, беря последовательно число из совершенно различных видов.

Именно в этом обстоятельстве мы находим расширение практического оправдания меры нашей убежденности. Человек, скажем, покупает пожизненную ренту, страхует свою жизнь в железнодорожной поездке, участвует в лотерее и так далее. Теперь мы можем составить ряд из этих его действий, хотя каждое само по себе является единичным событием, которое он может никогда не намереваться повторить. Его поведение, и поэтому его убежденность, измеренная результатом в каждом индивидуальном случае, не будет оправдана, а наоборот, как показано в § 19. Мог бы он действительно повторять каждый вид действия достаточно часто, оно было бы оправдано; но от этого, по условиям жизни, он отстранен. Теперь совершенно мыслимо, что в новом ряду, сформированном его последовательными действиями различных видов, не должно быть регулярности. Как факт, однако, обнаружено, что регулярность есть. Таким образом, выравнивание его выигрышей и потерь, на которое он не может надеяться в рентах, страховках и лотереях, взятых отдельно, может все же быть обеспечено ему из этих событий, взятых коллективно. Если в каждом случае он оценивает свой шанс в его правильной пропорции (и действует соответственно), он в течение своей жизни не выиграет и не проиграет. И таким же образом, если, всякий раз, когда у него есть альтернатива различных курсов поведения, он действует в соответствии с оценкой своей убежденности, описанной выше, т.е. выбирает событие, чей шанс наилучший, он в конечном итоге выиграет больше таким образом, чем любым другим курсом. Существованием, поэтому, этих перекрестных рядов, как мы можем назвать их, существует огромное дополнение к числу действий, которые могут быть справедливо рассмотрены как принадлежащие к тем курсам поведения, которые предлагают много последовательных возможностей выравнивания выигрышей и потерь. Все эти случаи тогда могут быть рассмотрены как допускающие оправдание способом, обсуждаемым сейчас.

§ 25. В приведенных выше замечаниях можно заметить, что мы представили то, что следует рассматривать как обоснование его убеждения с точки зрения самого действующего лица. Если мы допустим существование расширенного чувства сопричастности, применимость такого обоснования станет еще более широкой. Мы можем придать вполне понятный смысл утверждению о том, что вероятность того, что я не выиграю приз в лотерею, составляет 999 к 1, даже если это выражено в форме, что моя уверенность в этом представлена дробью 1/1000 от полной достоверности. В строгом смысле это означает, что в очень большом числе попыток я должен выигрывать один раз из 1000. Если мы включим другие подобные случайности, как описано в предыдущем разделе, можно предположить, что каждый индивид может достичь чего-то подобного в пределах своей собственной жизни. Он не смог бы сделать это только в рамках одного конкретного вида деятельности, но мог бы сделать это, сочетая его с другими. Теперь введем возможность того, что каждый человек чувствует, что выигрыши других предлагают некоторую аналогию его собственным выигрышам, что мы можем допустить, за исключением случаев выигрышей тех, с кем он непосредственно конкурирует, и вышеупомянутое обоснование становится еще более широко применимым.

Следующий пример был бы справедливой иллюстрацией для проверки этого взгляда. Я знаю, что должен умереть в какой-то день недели, а дней всего семь. Мое убеждение, следовательно, в том, что я умру в воскресенье, составляет одну седьмую. Здесь случайное событие явно является таким, которое не допускает повторения; и все же не будет ли убеждение каждого человека иметь значение, присвоенное ему формулой? По-видимому, здесь действует тот же принцип, что и в предыдущих примерах. Совершенно верно, что у меня есть возможность умереть самому только один раз, но я являюсь членом класса, в котором смерти происходят с определенной частотой, и я формирую свое мнение на основе данных, взятых из этого класса. Если бы, например, я застраховал свою жизнь на 1000 фунтов стерлингов, я бы почувствовал определенную правомерность в требовании 7000 фунтов стерлингов в случае, если бы страховая компания заявила, что выплатит их только в том случае, если я умру в воскресенье. Я, конечно, в своем частном порядке, мог бы не счесть это соглашение справедливым; но человечество в целом, в случае если бы оно действовало на основе такого принципа, могло бы справедливо распределить свои совокупные выигрыши таким образом, в то время как для страховой компании это не имело бы никакого значения.

§ 26. Результаты последних нескольких разделов можно резюмировать следующим образом: различные степени убежденности, которые мы испытываем относительно различных событий и которые распознаются с помощью различных общеупотребительных фраз, несомненно, имеют определенный смысл. Но большая часть их смысла, и, безусловно, их единственное обоснование, должны быть найдены в серии соответствующих событий, к которым они принадлежат; относительно чего можно показать, что гораздо больше событий способны быть отнесены к серии, чем можно было бы предположить на первый взгляд. Проверка и обоснование убеждения должны быть найдены в поведении; в этом тесте, примененном к серии в целом, нет ничего особенного, он ничем не отличается от аналогичного теста, когда мы действуем на основе нашего убеждения относительно любого отдельного события. Но будучи примененным таким образом, в силу природы самого случая, он применяется последовательно к каждому из индивидов серии; здесь наше поведение в целом допускает возможность отдельного рассмотрения в отношении каждого конкретного события; и это понималось как обозначение определенной степени убежденности, которая должна быть дробью от достоверности. Вероятно, на принципах ассоциации в отношении каждого отдельного события создается особое состояние ума. И эти ассоциации не без оснований сохраняются, даже когда мы рассматриваем любое из этих отдельных событий в отрыве от любой серии, к которой оно принадлежит. Когда оно обнаруживается в одиночестве, мы относимся к нему и чувствуем по отношению к нему так же, как когда оно находится в компании остальных членов серии.

§ 27. Теперь мы можем увидеть, более ясно, чем прежде, почему мы свободны от необходимости предполагать существование причинности, в смысле необходимой неизменной последовательности, в случае событий, составляющих наши серии. Против такого взгляда можно было бы весьма убедительно возразить, что мы постоянно говорим о вероятности отдельного события; но как это может быть сделано, можно разумно сказать, если мы однажды допустим возможность того, что это событие произойдет случайно? Возьмем пример из человеческой жизни; средняя продолжительность жизни группы людей в возрасте тридцати лет составит около тридцати четырех лет. Поэтому мы говорим любому индивиду из них: «Ваше ожидание жизни составляет тридцать четыре года». Но как это можно сказать, если мы допускаем, что цепочка событий, составляющих его жизнь, может быть лишена всякой регулярной последовательности причины и следствия? На это можно ответить, что отрицание причинности позволяет нам сказать ни больше, ни меньше, чем ее утверждение, в отношении продолжительности индивидуальной жизни, ибо об этом мы в каждом случае одинаково невежественны. Присваивая, как указано выше, ожидание в отношении индивида, мы не имеем в виду ничего иного, кроме как сделать утверждение о среднем значении для его класса. Существует ли причинность в этих индивидуальных случаях или нет, не влияет на наше знание среднего значения, ибо оно, по предположению, опирается на независимый опыт. Законные выводы одинаковы при любой гипотезе и имеют равную ценность. Единственная разница заключается в том, что при гипотезе отсутствия причинности мы вынуждены обратить внимание на неуместность разговоров о «собственном» ожидании индивида, из-за того факта, что любое знание о его величине формально невозможно; при другой гипотезе эта неуместность упускается из виду из-за того, что такое знание практически недостижимо. По сути, объем наших знаний в обоих случаях одинаков; это знание среднего значения, и только его. [6]

§ 28. Мы можем заключить, таким образом, что пределы, в которых мы способны обосновать степень нашей убежденности, гораздо шире, чем может показаться на первый взгляд. Является ли каждый случай, в котором люди испытывают степень убежденности, не достигающую полной уверенности, принудительно втискиваемым в область вероятности — это более широкий вопрос. Однако даже если бы можно было предположить, что убеждение способно быть обосновано на ее принципах, ее правила никогда не могли бы быть использованы в таких случаях. Предположим, например, что отец сомневается, давать ли определенное лекарство своему больному ребенку. С одной стороны, врач заявил, что ребенок умрет, если не дать лекарство; с другой стороны, из-за ошибки отец не может быть вполне уверен, что лекарство, которое у него есть, является правильным. Можно представить, что некоторые математики, в своем убеждении, что все имеет свою определенную числовую вероятность, заявили бы, что убеждение человека имеет некоторую «ценность» (если бы они только могли выяснить, какую именно), скажем, девять десятых; под чем они имели бы в виду, что в девяти случаях из десяти, когда он испытывал убеждение такой конкретной величины, он оказывался прав. Так же и с его убеждением и сомнением с другой стороны вопроса. Складывая их вместе, существует только один путь, которому, как благоразумный человек и хороший отец, он может следовать. Возможно, это так, но когда (как здесь) идентификация события в серии зависит от чисто субъективных условий, как в данном случае от степени яркости его убеждения, о которой никто другой не может судить, никакой тест невозможен, а следовательно, не может быть найдено и доказательства.

§ 29. Итак, вот и все о попытках, так часто предпринимаемых, основать науку на субъективной основе; они могут привести, как здесь пытались показать, к неудовлетворительному результату. Тем не менее наше убеждение настолько неразрывно связано с нашим действием, что можно найти некоторое оправдание для описанных выше попыток; но когда предпринимается попытка, как это часто бывает, привнести другие чувства, помимо чистого убеждения, и найти оправдание для них также в результатах нашей науки, путаница становится гораздо хуже. Следующая выдержка из «Законов мышления» архиепископа Томсона (§ 122, изд. II) покажет, какие виды применения науки здесь рассматриваются: «При применении доктрины шансов к тому предмету, в связи с которым она была изобретена — азартным играм, — нельзя забывать принципы того, что было удачно названо «моральной арифметикой». Не только игроку было бы трудно найти противника на условиях, в отношении состояния и потребностей, точно равных, но также невозможно, чтобы при таком равенстве преимущество значительного выигрыша уравновешивало вред серьезного проигрыша. «Если бы два человека», — говорит Бюффон, — «решили играть на все свое имущество, каков был бы эффект этого соглашения? Один только удвоил бы свое состояние, а другой свел бы свое к нулю. Какая пропорция существует между проигрышем и выигрышем? Та же, что существует между всем и ничем. Выигрыш одного — лишь умеренная сумма, — проигрыш другого численно бесконечен, и морально настолько велик, что труда всей его жизни, возможно, не хватит, чтобы восстановить его имущество».

Как моральный совет, это все очень верно и хорошо. Но если рассматривать это как вклад в науку о предмете, это совершенно неуместно и, кажется, рассчитано на то, чтобы вызвать путаницу. Доктрина шансов выносит суждения об определенных видах событий в отношении числа и величины; она абсолютно не имеет ничего общего с чувствами какого-либо конкретного человека по поводу этих отношений. Мы могли бы с таким же успехом добавить следствие к правилам арифметики, чтобы указать, что, хотя это очень верно, что дважды два — четыре, из этого не следует, что четыре лошади доставят владельцу вдвое больше удовольствия, чем две. Если два человека играют на равных условиях, их шансы равны; другими словами, если бы они часто играли таким образом, каждый проигрывал бы так же часто, как и выигрывал. Это все, что может сказать вероятность; каковы при данных обстоятельствах могут быть решимость и мнения рассматриваемых людей, решать им и только им. Есть много людей, которые не выносят посредственности любого рода и для которых перспектива удвоения своего состояния перевесила бы больший шанс потерять его целиком. Они — единственные судьи.

Если мы введем такой баланс удовольствия и боли, индивид должен произвести расчет самостоятельно. Предположение состоит в том, что полное разорение очень болезненно, частичная потеря болезненна в меньшей пропорции, чем та, что назначена отношением самих потерь; поэтому делается вывод, что в среднем больше боли причиняется случайными большими потерями, чем частыми малыми, хотя денежная стоимость потерь в долгосрочной перспективе может быть одинаковой в каждом случае. Но если мы предположим страну, где желание много тратить очень сильно и где из-за обильного производства потерю легко восполнить, расчет может склониться в другую сторону. При таких обстоятельствах вполне возможно, что больше счастья могло бы возникнуть от игры на высокие, чем на низкие ставки. Дело в том, что все эмоциональные соображения такого рода неуместны; они являются, в лучшем случае, простыми применениями теории, и такими, которые каждый индивид способен сделать только для себя. Еще несколько замечаний по этому предмету будет сделано в главе о страховании и азартных играх.

§ 30. Именно введением таких соображений Петербургская задача была так запутана. Уже дав некоторое описание этой задачи, мы здесь сошлемся на нее очень кратко. Она представляет нам последовательность наборов бросков, за каждый из которых я должен получить что-то, скажем, шиллинг, в качестве минимального поступления. Мои поступления увеличиваются пропорционально редкости каждого конкретного вида набора, и наблюдается или выводится, что каждый вид становится все более редким в определенном, но неограниченном порядке. Согласно формулировке задачи, если ее правильно интерпретировать, я предполагается, никогда не останавливаюсь. Очевидно, поэтому, какую бы большую плату я ни вносил за каждый из этих наборов, я буду уверен, что со временем ее возмещу. Математическое выражение этого заключается в том, что я должен всегда платить бесконечную сумму. Этому противопоставляется возражение, что ни один здравомыслящий человек не стал бы думать о том, чтобы вносить даже большую конечную сумму, скажем, 50 фунтов стерлингов. Конечно, он бы не стал; но почему? Потому что ни он, ни те, кто должен ему платить, вряд ли проживут достаточно долго, чтобы он получил броски, достаточно хорошие, чтобы вознаградить его за одну десятую его затрат; не говоря уже о его беспокойстве и потере времени. Мы не должны предполагать, что задача, как она сформулирована в идеальной форме, будет совпадать с практической формой, в которой она представляется в жизни. Плотник мог бы с таким же успехом возразить против второго постулата Евклида, потому что его рубанок остановился на шести футах на доске, над которой он работал. Многие люди не смогли осознать это и предположили, что, помимо возможности делать числовые выводы о членах серии, теория должна также быть призвана обосновать все мнения, которые средние респектабельные люди могли бы быть склонны сформировать о них, а также поведение, которое они могли бы выбрать в результате. Очевидно, что вступать в такие соображения — значит отклоняться от нашей надлежащей почвы. Мы имеем дело, в этих случаях, только с действиями людей, как они представлены в статистике; с эмоциями, которые они испытывают при совершении этих действий, мы не имеем никакого прямого дела. Ошибка та же, как если бы кто-то смешал в политической экономии потребительную стоимость с меновой стоимостью и возражал против измерения стоимости буханки по ее себестоимости производства, потому что хлеб стоит человеку больше, когда он голоден, чем сразу после обеда. [6]

§ 31. Один класс эмоций, действительно, следует исключить, который, из-за очевидной единообразия и последовательности, с которыми они проявляются у разных людей и в разное время, действительно представляет некоторые лучшие претензии на рассмотрение. В связи с наукой о выводе они никогда, действительно, не могут рассматриваться как нечто большее, чем случайность того, что является существенным для предмета, но по сравнению с другими эмоциями они кажутся неразлучными случайностями.

Читатель помнит, что в начале этой главы было обращено внимание на сложную природу состояния ума, которое мы называем убеждением. Оно частично интеллектуальное, частично также эмоциональное; оно претендует на то, чтобы опираться на опыт, но в действительности опыт действует через искажающие среды надежд, страхов и других тревожных факторов. Пока мы ограничиваем наше внимание состоянием ума человека, который верит, мне кажется, что эти две части убеждения совершенно неразделимы. Действительно, говорить о них как о двух частях может создать ложное впечатление; ибо, хотя они проистекают из разных источников, они настолько полностью сливаются в один результат, что производят то, что можно было бы назвать неразличимым соединением. Любой вид вывода, будь то в вероятности или нет, подвержен нарушению таким образом. Робкий человек может искренне верить, что он будет ранен в грядущей битве, когда другие, с тем же опытом, но более спокойными суждениями, видят, что шанс слишком мал, чтобы заслуживать рассмотрения. Но убеждение такого человека, если мы смотрим только на него, не будет отличаться по своей природе от здравого убеждения. Его поведение также в результате его убеждения само по себе не даст оснований для дискриминации; он составит свое завещание так же искренне, как человек, который несомненно находится на смертном одре. Единственный ресурс — это проверить и исправить его убеждение, обратившись к прошлому и текущему опыту. [7] Это было выдвинуто как возражение против теории, в которой вероятность рассматривается прежде всего как связанная с законами убеждения. Но с точки зрения, принятой в этом Эссе, в котором мы предполагаем, что имеем дело с законами вывода о вещах, ошибка и трудность из этого источника исчезают. Давайте ясно помнить, что мы имеем дело с выводами о вещах, и все, что может быть в убеждении, что не зависит от опыта, исчезнет из поля зрения.

§ 32. Эти эмоции, следовательно, не могут претендовать на внимание как неотъемлемая часть какой-либо науки о выводе и должны в строгом смысле быть жестко исключены из нее. Но если какие-либо из них единообразны и регулярны в своем возникновении и величине, они могут быть справедливо допущены как случайные и посторонние дополнения. Это действительно в некоторой степени относится к нашему удивлению. Эта эмоция действительно демонстрирует значительную степень единообразия. Чем реже событие, тем больше я, как и большинство других людей, удивлен им, когда оно действительно происходит. Это удивление может варьироваться во всех степенях, от самой вялой формы интереса до состояния, которое мы называем «быть пораженным». И поскольку удивление кажется довольно похожим при схожих обстоятельствах, в разное время и в случае разных людей, оно свободно от той крайней нерегулярности, которая обнаруживается в большинстве других психических состояний, сопровождающих созерцание неожиданных событий. Следовательно, наше удивление, хотя, как сказано выше, не имеющее надлежащих претензий на допуск в науку о вероятности, является настолько постоянным и регулярным дополнением того, с чем связана вероятность, что на него часто приходится обращать внимание. Ссылки на этот аспект вопроса будут время от времени встречаться в следующих главах.

Можно заметить мимоходом, ради дальнейшей иллюстрации предмета, что это эмоциональное сопровождение удивления, которому мы таким образом способны приписать нечто вроде дробного значения, отличается в двух важных отношениях от общепринятой дроби убеждения. Во-первых, оно имеет то, что можно назвать независимым существованием; оно понятно само по себе. Убеждение, как мы пытались показать, нуждается в объяснении и находит его в нашем последующем поведении. Не так с эмоцией; она стоит на собственных ногах и может быть исследована сама по себе. Следовательно, во-вторых, она так же применима и так же способна к любому виду обоснования в отношении отдельного события, как и к серии событий. В этом отношении, как помнится, она предлагает полный контраст нашему состоянию убеждения относительно любого одного случайного события. Не могут ли эти соображения помочь объяснить общее признание доктрины, что мы имеем определенную и измеримую степень убеждения относительно этих событий? Я не могу не думать, что то, что так очевидно верно в отношении эмоциональной части убеждения, было бессознательно перенесено на другую или интеллектуальную часть сложного состояния, к которой оно неприменимо и где оно не может найти обоснования.

§ 33. Дальнейшая иллюстрация может быть теперь дана субъективного взгляда на вероятность, обсуждаемого в настоящее время.

Обращение к общему языку всегда полезно, так как использование любого отчетливого слова обычно является доказательством того, что человечество наблюдало некоторые отчетливые свойства в вещах, которые заставили их быть выделенными и иметь это имя, присвоенное им. Существует такой класс слов, присвоенных популярным употреблением к виду событий, которые учитывает вероятность. Если мы исследуем их, мы обнаружим, я думаю, что они направляют нас несомненно к двоякому аспекту вопроса — объективному и субъективному, качеству в событиях и состоянию наших умов при их рассмотрении, — которые занимали наше внимание в течение предыдущих глав.

Слово «экстраординарный», например, кажется, указывает на наблюдаемый факт, что события расположены в своего рода ordo или ранге. Ни одно из них не может быть так точно размещено, чтобы мы могли вывести его положение, но когда мы принимаем во внимание множество их вместе, пробегая глазами, так сказать, вдоль линии, мы начинаем видеть, что они действительно по большей части стоят в порядке. Те, которые стоят в стороне от линии, имеют это расхождение наблюдаемым, и называются экстраординарными, остальные — ординарными, или в линии. Так же «нерегулярный» и «аномальный» несомненно используются из-за появления вещей, когда они исследуются в больших числах, будучи таковыми, что они расположены по правилу или мере. Это верно только тогда, когда их довольно много; мы не могли бы говорить об отдельных событиях, будучи так расположены. Опять же, слово «закон», в его философском смысле, стало теперь вполне популяризированным. Как термин стал введен, неясно, но не может быть сомнения, что это было несколько таким образом: — Эффект закона, в его обычном применении к человеческому поведению, заключается в создании регулярности там, где ее ранее не существовало; когда затем регулярность начала быть замеченной в природе, то же слово было использовано, была ли причина предположена той же самой или нет. В каждом случае было то же самое общее согласие, при условии случайного отклонения. [8]

С другой стороны, наблюдайте слова «удивительный», «неожиданный», «невероятный». Их коннотация описывает состояния ума просто; они, конечно, не ограничены вероятностью, в смысле статистической частоты, но подразумевают просто, что события, которые они обозначают, таковы, что по какой-то причине мы не ожидали, что они произойдут, и чему поэтому, когда они действительно происходят, мы удивлены.

Теперь, когда мы помним, что эти два класса слов по своему происхождению совершенно различны; — один обозначает просто события определенного характера; другой, хотя также обозначает события, коннотирует просто состояния ума; — и все же, что они повсеместно применяются к одним и тем же событиям, так что используются как совершенно синонимичные, мы имеем в этом поразительную иллюстрацию двух сторон, под которыми может рассматриваться вероятность, и всеобщего признания тесной связи между ними. Слова популярно используются как синонимы, и мы не должны слишком сильно давить на их значение; но если бы было замечено, как я скорее склонен думать, что это могло бы быть, что применение слов, которые обозначают ментальные состояния, шире, чем у других, мы имели бы иллюстрацию того, что уже было замечено, а именно, что область вероятности не так обширна, как та, над которой может наблюдаться изменение убеждения. Вероятность только рассматривает случай, в котором это изменение вызвано определенным определенным статистическим способом.

§ 34. В конце концов, будет интересно и важно уделить некоторое внимание этой субъективной стороне вопроса. Во-первых, как чисто умозрительное исследование, количество нашего убеждения в любом утверждении заслуживает внимания. Изучать его сколько-нибудь глубоко означало бы вторгнуться в область психологии, но оно настолько тесно связано с нашим собственным предметом, что мы не можем избежать всякого упоминания о нем. Поэтому мы обсуждаем законы, по которым наше ожидание и удивление по поводу изолированных событий увеличивается или уменьшается, чтобы объяснить эти состояния ума в любом индивидуальном случае и, при необходимости, исправить их, когда они отклоняются от своей надлежащей величины.

Но есть другая, более важная причина, чем эта. Совершенно верно, что когда предметы нашего обсуждения в любом конкретном случае лежат полностью в пределах области вероятности, они могут быть рассмотрены без всякого упоминания о нашем убеждении. Мы можем или не можем использовать эту сторону вопроса по нашему усмотрению. Если, например, меня спрашивают, более ли вероятно, что А. Б. умрет в этом году, чем то, что завтра пойдет дождь, я могу рассчитать шанс (который на самом деле в основе своей то же самое, что и мое убеждение) каждого, найти их соответственно, одну шестую и одну седьмую, скажем, и поэтому решить, что мое «ожидание» первого больше, а именно, что это более вероятное событие. В этом случае процесс точно такой же, предполагаем ли мы, что наше убеждение введено или нет; наше ментальное состояние, по сути, совершенно несущественно для вопроса. Но в других случаях это может быть иначе. Предположим, что мы сравниваем две вещи, из которых одна полностью чужда вероятности, в том смысле, что безнадежно пытаться приписать ей какую-либо степень числовой частоты, единственная почва, которую они имеют общую, может быть степень убеждения, на которую они соответственно имеют право. Мы не можем сравнить частоту их возникновения, ибо одна может происходить слишком редко, чтобы судить по ней, возможно, она может быть уникальной. Уже было сказано, что наше убеждение во многих событиях опирается на очень сложную и обширную основу. Мое убеждение может быть продуктом многих противоречивых аргументов и многих аналогий, более или менее отдаленных; эти доказательства сами по себе могли в основном исчезнуть из моего ума, но они оставят свой эффект позади себя в слабом или сильном убеждении. В то время, следовательно, я все еще могу быть в состоянии сказать, с некоторой степенью точности, хотя и очень слабой степени, какую степень убеждения я испытываю по предмету. Теперь мы не можем сравнивать вещи, которые являются гетерогенными: если, следовательно, мы должны решить между этим и событием, определенным естественно и правильно вероятностью, невозможно апеллировать к шансам или частоте возникновения. Мера убеждения — единственная общая почва, и мы должны поэтому сравнить это количество в каждом случае. Тест, предоставленный, будет чрезвычайно грубым, по причинам, упомянутым выше, но он будет лучше, чем никакой; в некоторых случаях будет обнаружено, что он предоставляет все, что нам нужно.

Предположим, например, что одно письмо из миллиона теряется в почтовом отделении, и что в любом данном случае я хочу знать, что более вероятно, что письмо было так потеряно, или что мой слуга украл его? Если бы последняя альтернатива могла, как первая, быть выражена в числовой форме, сравнение было бы простым. Но она не может быть сведена к этой форме, по крайней мере не сознательно и прямо. Тем не менее, если бы мы могли чувствовать, что наше убеждение в нечестности человека было больше, чем одна миллионная, мы имели бы тогда перед собой гомогенные вещи, и поэтому сравнение было бы возможно.

§ 35. Мы теперь в состоянии дать довольно точное определение фразы, которую мы часто были вынуждены использовать, или случайно предлагать, и от которой читатель, возможно, уже ожидал определения, а именно: вероятность события, или что эквивалентно этому, шанс любого данного события произойти. Я считаю, что эти термины предполагают серию; внутри бесконечно многочисленного класса, который составляет эту серию, меньший класс выделяется присутствием или отсутствием какого-либо атрибута или атрибутов, как это было полностью проиллюстрировано и объяснено в предыдущей главе. Эти большие и меньшие классы соответственно обычно называются примерами «события» и «его происшествия данным конкретным способом». Принимая эту фразеологию, которая с надлежащими объяснениями вполне подходит, мы можем определить вероятность или шанс (термины здесь рассматриваются как синонимы) события, происходящего таким конкретным способом, как числовая дробь, которая представляет пропорцию между двумя разными классами в долгосрочной перспективе. Так, например, пусть вероятность будет вероятностью того, что данный младенец доживет до восьмидесяти лет. Большая серия будет включать всех младенцев, меньшая — всех, кто доживет до восьмидесяти. Пусть пропорция первых ко вторым будет 9 к 1; другими словами, предположим, что один младенец из десяти доживает до восьмидесяти. Тогда шанс или вероятность того, что любой данный младенец доживет до восьмидесяти, есть числовая дробь 1/10. Это предполагает, что серии имеют неопределенную протяженность и того вида, который мы описали как обладающий фиксированным типом. Если это не так, но серия предполагается завершаемой, или регулярно или нерегулярно колеблющейся, как могло бы быть, например, в обществе, где из-за санитарных или других причин среднее долголетие постоянно претерпевало изменение, тогда в той мере, в какой это так, серия перестает быть предметом науки. Что мы должны сделать при этих обстоятельствах, это заменить серию правильного вида на неподходящую, представленную природой, выбирая ее, конечно, с как можно меньшим отклонением от наблюдаемых фактов. Это не что иное, как то, что должно быть сделано, и неизменно делается, всякий раз, когда природные объекты делаются предметами строгой науки.

§ 36. Слово или два объяснения могут быть добавлены о выражении, использованном выше, «пропорция в долгосрочной перспективе». Пробег должен предполагаться очень длинным, на самом деле никогда не останавливающимся. Поскольку мы продолжаем брать больше членов серии, мы обнаружим, что пропорция все еще немного колеблется, но ее колебания будут уменьшаться. Пропорция, на самом деле, будет постепенно приближаться к некоторому фиксированному числовому значению, тому, что математики называют ее пределом. Это дробное значение — то, о котором говорилось выше. В случаях, в которых дедуктивное рассуждение возможно, эта дробь может быть получена без прямого обращения к статистике, из рассуждения об условиях, при которых события происходят, как это было объяснено в четвертой главе.

Здесь становится очевидной полная важность различия, на котором так часто настаивали, между фактической нерегулярной серией перед нами и замещенной серией вычисления, и смысл утверждения (Гл. I. § 13), что именно в случае последней только строгие научные выводы могли быть сделаны. Ибо как мы можем иметь «предел» в случае тех серий, которые в конечном итоге демонстрируют нерегулярные колебания? Когда мы говорим, например, что это равный шанс, что данный человек выздоравливает от холеры, смысл этого утверждения заключается в том, что в долгосрочной перспективе одна половина лиц, пораженных этой болезнью, выздоравливает. Но если бы мы исследовали достаточно обширный диапазон статистики, мы могли бы обнаружить, что нравы и обычаи общества произвели такое изменение в типе болезни или ее лечении, что мы были не ближе к приближению к фиксированному пределу, чем были вначале. Концепция окончательного предела в отношении между числами двух классов в серии обязательно включает абсолютную фиксацию типа. Когда, следовательно, природа не представляет нам этой абсолютной фиксации, как она редко или никогда не делает, за исключением азартных игр (и не доказуемо там), наш единственный ресурс — это ввести такую серию, другими словами, как так часто говорилось, заменить серию правильного вида.

§ 37. Вышеизложенное, которое может считаться довольно полным как определение, могло бы с равным успехом быть дано в последней главе. Оно было отложено, однако, до настоящего места, чтобы соединить с ним сразу предложение, включающее концепции, введенные в этой главе; а именно: состояние наших собственных умов, в отношении степени убеждения, которую мы испытываем при созерцании любого из событий, чья вероятность была только что описана. Были приведены причины против мнения, что наше убеждение допускает какое-либо точное распределение, подобное числовому, только что упомянутому. Тем не менее, было показано, что разумное объяснение может быть дано такому выражению, как «мое убеждение составляет 1/10 от достоверности», хотя это было объяснение, которое указывало несомненно на серию событий и переставало быть понятным, или, во всяком случае, оправданным, когда оно не рассматривалось в таком отношении к серии. В той мере, следовательно, в какой это объяснение принято, мы можем сказать, что наше убеждение пропорционально вышеупомянутой дроби. Это относилось к чисто интеллектуальной части убеждения, которая не может быть задумана как отделимая, даже в мысли, от вещей, на которые она упражняется. С этой интеллектуальной частью обычно связаны различные эмоции. Их мы можем до некоторой степени отделить и, когда отделены, можем измерить с той степенью точности, которая возможна в случае других эмоций. Они, более того, понятны в отношении индивидуальных событий. Будет обнаружено, что они увеличиваются и уменьшаются в соответствии, до некоторой степени, с дробью, которая представляет редкость события. Эмоция удивления делает это с некоторой степенью точности.

Вышеупомянутое исследование описывает, хотя и в очень краткой форме, объем истины, который, как мне кажется, содержится в утверждении, часто делаемом, что дробь, выражающая вероятность, представляет также дробную часть полной достоверности, до которой доходит наше убеждение в индивидуальном событии. Любой дальнейший анализ этого вопроса, по-видимому, относится к психологии, а не к вероятности.

1 В обычном значении этого термина. Как Де Морган использует его, он делает формальную логику включающей вероятность, как одну из ее ветвей, как указано в его названии «Формальная логика, или Исчисление вывода, необходимого и вероятного».

2 Формальная логика. Предисловие, страница v.

3 Иллюстрация пунктов, на которых здесь настаивали, была недавно [1876] дана в месте, где немногие ожидали бы ее; я имею в виду, как многие читатели легко выведут, очень интересные Эссе о теизме Дж. С. Милля. Не в нашей компетенции здесь критиковать какие-либо из их выводов, но они выразили очень значимым образом убеждение, разделяемое им, что убеждения, которые не оправданы доказательствами и, возможно, не могут быть способны к оправданию (те, например, о бессмертии и существовании Божества), могут тем не менее не только продолжать существовать в культурных умах, но могут также с пользой поощряться там, во всяком случае в форме надежд, ради определенных предполагаемых преимуществ, сопутствующих их сохранению, независимо даже от их истинности.

4 Необходимо взять пример, в котором человек вынужден действовать, иначе мы не смогли бы показать, что он вообще имеет какое-либо убеждение по этому предмету. Он может заявить, что он ничего не знает и не заботится ни о чем по этому вопросу, и что поэтому в его ментальном состоянии нет ничего от природы убеждения, что можно было бы извлечь. Он, весьма вероятно, занял бы эту позицию, если бы мы спросили его, как это делает Де Морган, с немного другой ссылкой (Формальная логика, стр. 183), считает ли он, что на невидимой стороне луны есть вулканы, большие, чем те, что на стороне, повернутой к нам; или, с Джевонсом (Принципы науки, изд. II, стр. 212), считает ли он, что Платитлиптический коэффициент является положительным. Поэтому они не кажутся хорошими примерами для иллюстрации позиции, что мы всегда испытываем определенную степень убеждения по каждому вопросу, который может быть поставлен, и что полная неспособность дать причину в пользу любой альтернативы соответствует половинному убеждению.

5 За исключением, действительно, на принципах, указанных далее в §§ 24, 25.

6 Для более полного обсуждения этого см. Главу о причинности.

7 Лучший пример, который я могу вспомнить, различия между суждением с субъективной и объективной стороны, в таких случаях, как эти, произошел однажды в поезде. Я встретил робкую пожилую леди, которая была в большом страхе перед несчастными случаями. Я попытался успокоить ее на обычном статистическом основании крайней редкости таких событий. Она выслушала терпеливо, а затем ответила: «Да, сэр, это все очень хорошо; но я не вижу, как реальная опасность станет хоть немного меньше от того, что я не верю в нее».

8 Это все еще было бы верно для эмпирических законов, которые могут быть способны быть нарушенными: мы теперь очень сильно сместили слово, чтобы обозначить окончательный закон, который, как предполагается, не может быть нарушен.

ГЛАВА VII.

ПРАВИЛА ВЫВОДА В ВЕРОЯТНОСТИ.

§ 1. В предыдущей главе было проведено исследование того, что можно назвать, по аналогии с логикой, непосредственными выводами. Дано, что девять человек из десяти, любого назначенного возраста, доживают до сорока, что можно было бы вывести о перспективе жизни любого конкретного человека? Было показано, что, хотя этот шаг был очень далек от того, чтобы быть таким простым, как часто предполагается, и как соответствующий шаг действительно является в логике, тем не менее существовал понятный смысл, в котором мы могли бы говорить о степени нашей убежденности в любом из этих «пропорциональных предложений», как их можно кратко назвать, и обосновать эту степень. Мы должны теперь перейти к рассмотрению выводов, более собственно так называемых, я имею в виду выводы вида, аналогичного тем, которые составляют основу обычных логических трактатов. Другими словами, установив, каким образом конкретные предложения могли быть выведены из общих предложений, которые включали их, мы должны теперь исследовать, в каких случаях одно общее предложение может быть выведено из другого. Под общим предложением здесь понимается, конечно, общее предложение статистического вида, рассматриваемое в вероятности. Правила такого вывода будучи очень немногими и простыми, их рассмотрение не задержит нас надолго. Из данных, находящихся теперь в нашем распоряжении, мы можем вывести правила вероятности, данные в обычных трактатах по науке. Было бы более правильно сказать, что мы можем вывести некоторые из этих правил, ибо, как покажет исследование, они бывают двух очень разных видов, покоящихся на совершенно различных основаниях. Их можно было бы разделить на те, которые являются формальными, и те, которые являются более или менее экспериментальными. Это может быть иначе выражено, сказав, что из вида серии, описанной в первых главах, некоторые правила будут следовать необходимо простым применением арифметики; в то время как другие либо зависят от особых гипотез, либо требуют для своего установления постоянно возобновляемых обращений к опыту и расширения с помощью различных ресурсов индукции. Мы ограничим наше внимание в настоящее время главным образом первым классом; последние могут быть полностью поняты только тогда, когда мы рассмотрели связь нашей науки с индукцией.

§ 2. Фундаментальные правила вероятности, строго так называемые, то есть формальные правила, могут быть разделены на два класса — те, которые получены сложением или вычитанием, с одной стороны, соответствующие тому, что обычно называют связью исключительных или несовместимых событий; [1] и те, которые получены умножением или делением, с другой стороны, соответствующие тому, что обычно называют зависимыми событиями. Мы рассмотрим их по порядку.

(1) Мы можем делать выводы простым сложением. Если, например, существуют два отчетливых свойства, наблюдаемые у различных членов серии, которые свойства не встречаются у одного и того же индивида; ясно, что в любой партии число тех, которые относятся к одному или другому виду, будет равно сумме тех, которые относятся к двум видам отдельно. Так, 36,4 младенца из 100 доживают до более чем шестидесяти, 35,4 из 100 умирают до десяти лет; [2] возьмем большое число, скажем 10 000, тогда будет около 3640, которые доживут до более чем шестидесяти, и около 3540, которые не достигнут десяти; следовательно, общее число тех, кто не умрет в пределах назначенных пределов, составит около 2820 в целом. Конечно, если бы эти пропорции были точно назначены, результирующая сумма была бы столь же точной: но, как читатель знает, в вероятности эта пропорция является лишь пределом, к которому числа стремятся в долгосрочной перспективе, а не точным результатом, назначенным в любом конкретном случае. Следовательно, мы можем только рискнуть сказать, что это предел, к которому мы стремимся, по мере того как числа становятся все больше и больше.

Это правило, в своей общей алгебраической форме, было бы выражено на языке вероятности следующим образом: — Если шансы двух исключительных или несовместимых событий соответственно 1/m и 1/n, шанс того, что одно или другое из них произойдет, будет 1/m + 1/n или (m+n)/mn. Аналогично, если бы было больше двух событий рассматриваемого вида. На принципах, принятых в этой работе, правило, когда оно выражено таким образом алгебраически, означает точно то же самое, что и когда оно выражено в статистической форме. В заключении последней главы было показано, что сказать, например, что шанс данного события произойти определенным образом есть 1/6, есть только другой способ сказать, что в долгосрочной перспективе оно действительно стремится произойти таким образом один раз в шесть раз.

Ясно, что своего рода следствие из этого правила могло бы быть получено, точно таким же образом, вычитанием вместо сложения. Сформулированное в общем виде, оно было бы следующим: — Если шанс одного или другого из двух несовместимых событий есть 1/m, а шанс одного только есть 1/n, шанс оставшегося будет 1/m - 1/n или (n-m)/nm.

Например, если шанс любого умереть в течение года есть 1/10, а его шанс умереть от какой-то конкретной болезни есть 1/100, его шанс умереть от любой другой болезни есть 9/100.

Читатель заметит здесь, что существуют два по-видимому разных способа формулирования этого правила, в зависимости от того, говорим ли мы о «происхождении одного или другого из двух или более событий» или о «происхождении того же события одним или другим из двух или более способов». Но никакой путаницы не должно возникнуть на этом основании; любой способ речи является законным, разница является чисто словесной и зависит (как было показано в первой главе, § 8) от того, являются ли различия между «способами» слишком глубокими и многочисленными, чтобы дать событию право быть условно рассматриваемым как то же самое.

Мы можем также здесь указать обоснование для общей доктрины, что достоверность представлена единицей, точно так же, как любая данная степень вероятности представлена своей соответствующей дробью. Если утверждение, что событие происходит один раз в m раз, эквивалентно выражается словами, что его шанс есть 1/m, из этого следует, что сказать, что оно происходит m раз в m раз, или каждый раз без исключения, эквивалентно словам, что его шанс есть m/m или 1. Теперь событие, которое происходит каждый раз, есть, конечно, то, в чьем происхождении мы уверены; следовательно, дробь, которая представляет «шанс» события, которое является достоверным, становится единицей.

Будет столь же очевидно, что при условии, что шанс того, что событие произойдет, есть 1/m, шанс того, что оно не произойдет, есть 1 - 1/m или (m-1)/m.

§ 3. (2) Мы можем также делать выводы умножением или делением. Предположим, что два события, вместо того чтобы быть несовместимыми, связаны вместе в том смысле, что одно зависит от возникновения другого. Пусть нам скажут, что данная пропорция членов серии обладает определенным свойством, а данная пропорция опять из них обладает другим свойством, тогда пропорция целого, которые обладают обоими свойствами, будет найдена умножением вместе двух дробей, которые представляют вышеупомянутые две пропорции. Из жителей Лондона, двадцать пять на тысячу, скажем, умрут в течение года; мы предполагаем, что известно также, что одна смерть из пяти вызвана лихорадкой; мы должны тогда вывести, что один из 200 жителей умрет от лихорадки в течение года. Было бы, конечно, столь же просто, делением, сделать своего рода обратный вывод. Зная общую смертность в процентах населения от лихорадки и пропорцию случаев лихорадки к совокупности других случаев смертности, мы могли бы вывести, делением одной дроби на другую, какова была общая смертность в процентах от всех причин.

Правило, как оно дано выше, по-разному выражается на языке вероятности. Пожалуй, самая простая и лучшая формулировка заключается в том, что оно дает нам правило зависимых событий. То есть: если шанс одного события есть 1/m, а шанс того, что если оно произойдет, другое также произойдет, есть 1/n, тогда шанс последнего есть 1/mn. В этом случае предполагается, что последнее настолько полностью зависит от первого, что хотя оно не всегда происходит с ним, оно, безусловно, не произойдет без него; необходимость этого предположения, однако, может быть обойдена, сказав, что то, о чем мы говорим в последнем случае, есть совместное событие, а именно: оба вместе, если они являются одновременными событиями, или последнее вследствие первого, если они являются последовательными.

§ 4. Вышеупомянутые выводы являются необходимыми, в том смысле, в котором арифметические выводы являются необходимыми, и они не требуют для своего установления никакой произвольной гипотезы. Мы предполагаем в них не более, чем оправдано, и на самом деле необходимо, данными, фактически данными нам, и делаем наши выводы из этих данных с помощью арифметики. В простых примерах, приведенных выше, ничего не требуется, кроме арифметики в ее самой знакомой форме, но едва ли нужно добавлять, что на практике примеры могут часто представляться, которые потребуют гораздо более глубоких методов, чем эти. Это может потребовать всех ресурсов той высшей и более абстрактной арифметики, известной как алгебра, чтобы извлечь решение. Но поскольку необходимость обращения к таким методам, как эти, не затрагивает принципы этой части предмета, нам не нужно входить в них здесь.

§ 5. Формула, которую предстоит обсудить далее, стоит на несколько ином основании, чем вышеупомянутые, в отношении своей убедительности и свободы от обращения к опыту или к гипотезе. В двух предыдущих случаях мы рассматривали случаи, в которых данные предполагались данными при условиях, что свойства, которые отличали разные виды событий, чья частота обсуждалась, были соответственно известны как разъединенные и известны как связанные. Давайте теперь предположим, что никакие такие условия нам не даны. Один человек из десяти, скажем, имеет черные волосы, и один из двенадцати близорук; какие выводы мы могли бы тогда сделать относительно шанса любого данного человека иметь только одно из этих двух свойств, или ни одного, или оба? Ясно возможно, что рассматриваемые свойства могли быть несовместимы друг с другом, так чтобы никогда не быть найденными объединенными в одном и том же человеке; или все близорукие могли иметь черные волосы; или свойства могли быть распределены [3] почти в любой другой пропорции вообще. Если мы совершенно невежественны по этим пунктам, казалось бы, что никакие выводы вообще не могли быть сделаны относительно требуемых шансов.

Тем не менее выводы делаются, и на практике в большинстве случаев вполне справедливо. Выход из кажущейся неопределенности задачи, описанной выше, находится в предположении, что не только одна десятая от общего числа людей имеет черные волосы (ибо это было дано в качестве одного из исходных данных), но также и то, что одна десятая как тех, кто близорук, так и тех, кто не близорук, имеют черные волосы. Возьмем группу из 1200 человек в качестве выборки из общего числа. Теперь, исходя из данных, которые были первоначально предоставлены нам, легко увидеть, что в каждой такой группе в среднем будет 120 человек с черными волосами и, следовательно, 1080 человек без них. И здесь, по строгой справедливости, нам следовало бы остановиться, по крайней мере до тех пор, пока мы снова не обратимся к опыту; но мы не останавливаемся на этом. Из данных, которые мы принимаем, мы переходим к выводу, что из 120 человек 10 (т.е. одна двенадцатая от 120) будут близорукими, а 110 (остальные) — нет. Аналогично мы делаем вывод, что из 1080 человек 90 близоруки, а 990 — нет. Таким образом, в целом 1200 человек распределяются следующим образом: близорукие с черными волосами — 10; близорукие без черных волос — 90; люди с черными волосами, не являющиеся близорукими, — 110; люди, которые не являются ни близорукими, ни имеют черных волос, — 990.

Это правило, выраженное в наиболее общей форме на языке теории вероятностей, выглядело бы следующим образом: если шансы того, что нечто является p и q, равны соответственно 1/m и 1/n, то шанс того, что оно является и p, и q, равен 1/mn; что оно является p и не является q, равен (n-1)/mn; что оно является q и не является p, равен (m-1)/mn; что оно не является ни p, ни q, равен (m-1)(n-1)/mn, где p и q независимы. Сумма этих шансов очевидно равна единице, как и должно быть, поскольку одна из четырех альтернатив должна обязательно существовать.

§ 6. Я намеренно подчеркнул различие между выводом в данном случае и выводами в двух предыдущих до такой степени, которая многим читателям может показаться неоправданной. Но мне представляется, что там, где наука использует, как это делает теория вероятностей, два столь различных источника убеждения, как необходимые правила арифметики и лишь более или менее убедительные правила индукции, едва ли возможно придавать слишком большое значение этому различию. Мало кто готов будет отрицать, что многими авторами по данному предмету делались весьма произвольные допущения, и никто не станет отрицать, что в случае так называемых «обратных вероятностей» иногда делаются предположения, которые, по меньшей мере, решительно открыты для сомнений. Поэтому лучший путь — сделать паузу и провести строгий анализ в той точке, где впервые проявляется возможность такой ошибки и сомнительности. Эти замечания применимы к некоторым из лучших авторов по данному предмету; в случае же менее значительных авторов или тех, кто обращается к теории вероятностей, не усвоив должным образом ее принципов, мы можем пойти дальше. Действительно, не будет преувеличением сказать, что они, по-видимому, считают себя вправе предполагать, что там, где мы ничего не знаем о распределении упомянутых свойств, мы должны исходить из того, что они распределены так, как описано выше, и, следовательно, распределять нашу веру в той же пропорции. Это называется «предположением о независимости событий», при этом делается допущение, что правило обязательно вытекает из этой независимости и что мы имеем право, если не знаем ничего противного, предполагать, что события независимы.

Обоснованность этого последнего утверждения уже обсуждалась в первой главе; это лишь еще одна из попыток сконструировать априорно серию, которую представит нам опыт, и попытка, в пользу которой нельзя привести столь веских доводов, как в пользу равенства орлов и решек при подбрасывании монеты. Но значение, которое следует придать «независимости» рассматриваемых событий, требует некоторого размышления.

Обстоятельства задачи таковы. Существуют два различных качества, благодаря наличию или отсутствию каждого из которых среди индивидов серии образуются две различные пары классов этих индивидов. Для установления обсуждаемого правила было найдено, что одно допущение является одновременно необходимым и достаточным, а именно: разделение на классы, вызванное каждым из вышеуказанных различий, должно подразделять каждый из классов, созданных другим различием, в той же пропорции, в какой оно подразделяет целое. Если независимость признана и определена именно так, то правило, конечно, останется в силе, но без особого внимания к этому пункту не кажется, что слово «независимость» естественно понималось бы именно так.

§ 7. Поскольку вышеизложенное является фундаментальными правилами вывода в теории вероятностей, сразу возникает вопрос: каково их отношение к огромному массиву формул, которые используются в трактатах по этой науке и в ее практических приложениях? Ответ заключался бы в том, что эти формулы, поскольку они должным образом принадлежат к данной науке, в действительности являются не чем иным, как приложениями вышеуказанных фундаментальных правил. Такие приложения могут принимать любую степень сложности, ибо из-за трудности конкретных примеров в том виде, в каком они фактически представлены, иногда приходится прибегать к глубочайшим теоремам математики. Тем не менее мы не должны рассматривать эти теоремы как что-либо иное, кроме как удобные и необходимые сокращения арифметических процессов, которые на практике стали слишком громоздкими, чтобы их можно было выполнять иначе.

Это объяснение позволит обосновать некоторые правила в том виде, в каком они обычно приводятся, но отнюдь не все из них. Оно объяснит те, которые доказуемы достоверными законами арифметики, но не те, которые в действительности покоятся лишь на индуктивных обобщениях. И едва ли можно сомневаться в том, что многие правила последнего рода стали ассоциироваться с правилами первого рода, так что в общественном мнении они слились в одну систему, в которой все отдельные правила, как предполагается, имеют схожее происхождение и равную достоверность. На эту тенденцию уже часто указывалось, но предмет этот имеет столь исключительную важность, что его рассмотрению должна быть посвящена отдельная глава (глава об индукции).

§ 8. При установлении обоснованности вышеуказанных правил мы взяли за основу наших исследований, в соответствии с общей схемой этой работы, статистическую частоту упоминаемых событий; но было также показано, что каждая формула, будучи установленной, может с равным основанием быть выражена в более привычной форме дроби, представляющей «шанс» наступления конкретного события. Поэтому теперь можно поставить вопрос: могут ли те авторы, которые (как описано в последней главе) берут в качестве основного предмета науки не степень статистической частоты, а количество веры, с такой же последовательностью сделать это основой своих правил и, следовательно, также рассматривать дробь, выражающую шанс, как просто синонимичное выражение? Де Морган утверждает, что в то время как в обычной логике мы предполагаем посылки абсолютно истинными, область теории вероятностей заключается в изучении «эффекта, который частичная вера в посылки производит в отношении заключения». По-видимому, поэтому, если следовать этому взгляду, мы должны быть в состоянии определить это результирующее уменьшение из первых рук, путем самонаблюдения разума, то есть концепций и убеждений, которые он содержит, вместо того чтобы прибегать к статистике, чтобы сказать нам, насколько мы должны верить в заключение.

Любые читатели, которые согласились со мной в общих результатах последней главы, естественно, придут к выводу, что из любого обращения к нашему сознанию относительно количества веры, которую мы питаем к тому или иному суждению, нельзя извлечь ничего, заслуживающего названия логической науки. Предположим, например, что один человек из 100 умирает во время морского перехода в Индию, и что один из 9 умирает в течение 5 лет проживания там. Обычно говорят, что шанс того, что кто-либо, кто сейчас отправляется туда, доживет до начала обратного пути через 5 лет, составляет 88/100; ибо его шанс добраться туда составляет 99/100, а шанс выжить, если он туда доберется, — 8/9; следовательно, результат или зависимое событие получается путем перемножения этих дробей, что дает 88/100. Здесь реальной основой рассуждения является статистика, а процессы или результаты впоследствии лишь переводятся в дроби. Но можем ли мы сказать то же самое, когда смотрим на сторону веры в этом вопросе? Я вполне признаю психологический факт, что у нас есть степени веры, более или менее соответствующие частоте событий, к которым они относятся. В приведенном выше примере, например, мы, несомненно, признали бы при исследовании, что наша вера в возвращение человека была затронута каждым из рассматриваемых рисков, так что у нас было меньше ожиданий этого, чем если бы он был подвержен любому из рисков по отдельности; то есть мы бы каким-то образом скомбинировали риски. Но чего я не могу признать, так это того, что мы были бы способны выполнить этот процесс с какой-либо степенью точности без обращения к статистике, или что, даже если предположить, что мы могли бы это сделать, у нас была бы какая-либо гарантия правильности результата без аналогичного обращения. Мне на самом деле кажется, что мало смысла, и уж точно никакой надежности, можно достичь, рассматривая процесс вывода таким образом. Вероятности, выраженные как степени веры, точно так же, как те, которые выражены как дроби, должны, когда нас призывают к оправданию, сначала быть переведены в соответствующие им факты статистической частоты возникновения событий, и только затем выводы должны быть сделаны и обоснованы там. Эта часть операции, как мы уже показали, в основном осуществляется по обычным правилам арифметики. Когда мы получили наш вывод, мы можем, если хотим, перевести его обратно в субъективную форму, точно так же, как мы можем и делаем это для удобства в дробную, но я не вижу, как процесс вывода может быть представлен происходящим в этой форме, и тем более как может быть дано какое-либо доказательство этого. Если поэтому процесс вывода выражается таким образом, он должен рассматриваться как символический процесс, символизирующий такой вывод о вещах, который был описан выше, и поэтому мне кажется более целесообразным излагать и разъяснять его в этой последней форме.

Об обратной вероятности и необходимых для нее правилах.

§ 9. Уже было сказано, что единственными фундаментальными правилами вывода в теории вероятностей являются два, описанные в §§ 2, 3, но, конечно, существует множество производных правил, характер и использование которых лучше всего почерпнуть из изучения любого руководства по данному предмету. Однако один класс этих производных правил достаточно своеобразен в отношении вопросов, к которым он может привести, чтобы заслужить особого рассмотрения. Он включает в себя различие, обычно признаваемое как различие между прямой и обратной вероятностью. Оно вводится Де Морганом следующим образом:

«В предыдущей главе мы вычислили шансы события, зная обстоятельства, при которых оно должно произойти или не произойти. Теперь мы должны поставить себя в обратное положение: мы знаем событие и спрашиваем, какова вероятность, которая вытекает из этого события в пользу любого набора обстоятельств, при которых оно могло бы произойти». [4] Таким образом, различие можно кратко описать как различие между поиском следствия, когда нам даны причины, и поиском причины, когда нам даны следствия.

Основываясь на принципах науки, заложенных в определении, которое обсуждалось и было принято в ранних главах этой работы, читатель легко сделает вывод, что никакое различие, подобное этому, не может считаться фундаментальным. Одна общая черта была прослежена во всех объектах, которые должны были быть отнесены к теории вероятностей, и из этой черты можно непосредственно вывести возможные правила вывода. Все остальные различия являются лишь различиями в организации или управлении.

Но хотя это различие отнюдь не является фундаментальным, тем не менее верно, что практическое рассмотрение таких задач, как те, что в основном встречаются в обратной вероятности, соответствует очень серьезному источнику двусмысленности и недоумения. Произвольные допущения, которые появляются в прямой вероятности, отнюдь не являются серьезными, но те, которые вторгаются в большую часть задач, предлагаемых обратной вероятностью, являются одновременно серьезными и неизбежными.

§ 10. Это лучше всего видно на примере специальных задач; поскольку любая, даже самая простая, послужит нашей цели, давайте возьмем две следующие:

(1) Из мешка, содержащего девять черных шаров и один белый, вынимается шар: каков шанс того, что это белый шар?

(2) Из мешка, содержащего десять шаров, вынимается шар, и он оказывается белым; каков шанс того, что в мешке был только этот один белый шар?

Класс, простым примером которого является первая задача, уже был подробно обсужден. Его интерпретация заключается в следующем: если шары постоянно вынимаются и заменяются, пропорция белых к общему числу вынутых будет стремиться к дроби 1/10. Рассматриваемое действие является единичным, но мы рассматриваем его как одно из вышеупомянутой серии; по крайней мере, наше мнение формируется на этом допущении. Мы заключаем, что собираемся взять одно из серии событий, которые могут казаться индивидуально случайными, но в которых в долгосрочной перспективе события данного вида составляют одну десятую от целого; этот вид (белый) затем выделяется по предвосхищению. Утверждая, что его шанс равен 1/10, мы просто имеем в виду утверждение этого физического факта вместе с другими ментальными фактами, эмоциями, выводами и т. д., которые могут быть должным образом связаны с ним.

§ 11. Должны ли мы интерпретировать вторую задачу иным образом? Здесь также мы имеем единичный случай, но природа вопроса, по-видимому, решает, что единственная серия, к которой он может быть правильно отнесен, — это следующая: шары постоянно вынимаются из разных мешков, каждый из которых содержит десять, и всегда оказываются белыми; какова в конечном итоге пропорция случаев, в которых они окажутся взятыми из мешков только с одним белым шаром? Теперь можно легко показать [5], что время не имеет никакого отношения к вопросу; поэтому, опуская рассмотрение этого элемента, мы имеем для двух серий, из которых должны быть сформированы наши мнения в этих двух примерах соответственно: (1) шары разных цветов, представленные нам в данном конечном соотношении; (2) мешки с разным содержимым, представленные аналогичным образом. Из этих данных соответственно мы должны приписать должный вес нашим ожиданиям (1) белого шара; (2) мешка, содержащего только один белый шар. Так поставленные, задачи казались бы формально идентичными.

Однако, когда мы начинаем практическую работу по их решению, мы замечаем очень важное различие. В первом примере нет ничего особенно произвольного; шары в таких обстоятельствах действительно выходили бы более или менее точно в ожидаемой пропорции. Более того, в случае, если возникнет возражение, что трудно доказать, что они будут это делать, не кажется несправедливым требование сказать, что шары должны быть «хорошо перемешаны» или «справедливо распределены», или ввести любые другие условия, с помощью которых под видом априорного суждения мы заботимся о том, чтобы обеспечить нашу перспективу серии желаемого рода. Но мы не можем сказать то же самое в случае со вторым примером.

§ 12. Линия доказательства, с помощью которой обычно пытаются решить вторую задачу, такова: показывается, что поскольку в мешке заведомо есть один белый шар, единственно возможные предшествующие условия бывают десяти видов, а именно: мешки, каждый из которых содержит десять шаров, но в которых число белых шаров варьируется соответственно от одного до десяти. Это, конечно, накладывает ограничения на вид членов, которые должны быть найдены в нашей серии. Но нам нужно больше, чем такие ограничения, мы должны знать пропорции, в которых эти члены в конечном итоге располагаются в серии. Теперь это требует опыта относительно мешков, который может не быть, и, действительно, в большой доле подобных случаев не может быть нам дан. Если поэтому мы вообще собираемся решить вопрос, мы должны сделать допущение; давайте сделаем следующее: что каждый из описанных выше мешков встречается одинаково часто, — и посмотрим, что из этого выйдет. Поскольку мешки вынимаются одинаково часто, из этого не следует, что каждый из них даст равное количество белых шаров. Напротив, они, как и в последнем примере, будут давать их в прямой пропорции к количеству таких шаров, которые они содержат. Мешок с одним белым и девятью черными даст белый шар один раз из десяти; мешок с двумя белыми — дважды; и так далее. Результатом этого, как легко увидеть, будет то, что в 100 выниманиях в среднем будет получено 55 белых шаров и 45 черных. Теперь с теми выниманиями, которые не дают белых шаров, мы, согласно вопросу, не имеем ничего общего, ибо этот вопрос постулировал вынимание белого шара как свершившийся факт. Серия, которая нам нужна, поэтому состоит из тех, которые действительно дают белые шары. Теперь, какой дополнительный атрибут обнаруживается у некоторых членов, и только у некоторых членов этой серии, и который мы мысленно предвосхищаем? Ясно, что это атрибут того, что шар был вынут из мешка, который содержал только один из этих белых шаров. Из 55 выниманий такой случай только один. Соответственно, требуемый шанс равен 1/55. То есть белый шар будет вынут из мешка, содержащего только этот один белый шар, один раз из 55.

§ 13. Теперь, за исключением отрывка, выделенного курсивом, процесс здесь точно такой же, как и в другом примере; он несколько длиннее только потому, что мы не можем немедленно обратиться к опыту, а вынуждены пытаться вывести, каким будет результат, хотя обоснованность этого вывода сама по себе, конечно, в конечном итоге покоится на опыте. Но вышеуказанный отрывок очень важен. Едва ли нужно указывать, насколько он произволен.

Ибо является ли допущение, что различные указанные виды мешков одинаково вероятны, наиболее разумным допущением при рассматриваемых обстоятельствах? Один человек может думать, что это так, другой может придерживаться противоположного мнения. На самом деле, в отличном руководстве [6] по данному предмету делается совершенно иное допущение, по крайней мере в одном примере; в этом случае принимается как должное не то, что каждое возможное число черных и белых шаров соответственно одинаково вероятно, а то, что каждый возможный способ получения каждого числа одинаково вероятен, откуда следует, что мешки с промежуточным числом черных и белых шаров гораздо более вероятны, чем те, у которых крайнее число тех или других. На этом допущении пять черных и пять белых шаров могут быть получены 252 способами против десяти способов получения одного белого и девяти черных, из чего следует, что шанс того, что мы вытянули из мешка последнего описания, гораздо меньше, чем при первой сделанной гипотезе. Шанс, по сути, становится теперь 1/512 вместо 1/55. В одном случае каждый отдельный результат считается одинаково вероятным, в другом — каждый отдельный способ получения каждого результата.

§ 14. Неопределенности такого рода особенно склонны возникать в этих обратных вероятностях, потому что, когда нам просто дано следствие и велено искать шанс какой-то назначенной причины, нам часто не дается никаких ключей относительно относительной распространенности этих причин, а предоставляется определять их на основе общих принципов. Дайте нам либо их фактическую распространенность в статистике, либо условия, при которых такая распространенность достигается, и мы будем знать, что делать; но без помощи таких данных мы вынуждены гадать. В приведенном выше примере, если бы нам сказали, как мешок был первоначально наполнен, то есть каким процессом или при каких обстоятельствах, мы бы знали, что делать. Если бы он был наполнен случайным образом из коробки, содержащей равное количество черных и белых шаров, допущение в примере г-на Уитворта было бы наиболее разумным; но в отсутствие какой-либо информации, подобной этой, мы находимся в полном неведении, и допущение, сделанное в § 12, не более и не менее заслуживает доверия и разумно, чем многие другие, хотя оно, несомненно, обладает достоинством превосходной простоты. [7] Если читатель вернется к гл. V, §§ 4, 5, он найдет эту конкретную трудность полностью объясненной. Все практически признают, что определенное характерное расположение или распределение должно быть введено на какой-то предшествующей стадии; и что, как только эта стадия выбрана, больше нет никаких теоретических трудностей, с которыми можно столкнуться. Но когда мы приходим к решению, в примерах рассматриваемого класса, на какой стадии наиболее разумно сделать наш постулат, мы часто остаемся без какого-либо очень определенного или рационального руководства.

§ 15. Однако, когда мы берем то, что можно назвать, по сравнению с вышеупомянутыми чисто искусственными примерами, случаями, представленными природой, большая часть этой неопределенности исчезнет, и тогда всякое реальное различие между прямой и обратной вероятностью часто исчезнет. В таких случаях причины в основном определяются довольно определенными правилами, вместо того чтобы быть просто облаком капризных догадок. Мы можем либо найти их относительную частоту возникновения путем обращения к таблицам, либо быть в состоянии вывести ее путем изучения обстоятельств, при которых они возникают. Почти любой простой пример тогда послужил бы иллюстрацией того факта, что при таких обстоятельствах различие между прямой и обратной вероятностью исчезает вовсе или просто сводится к различию во времени, которое, как будет более полно показано в будущей главе, совершенно чуждо нашему предмету.

Конечно, не предполагается, что трудности, подобные упомянутым выше, не вторгаются в нас иногда и здесь. Как уже упоминалось, они, если не присущи предмету, то, по крайней мере, почти неизбежны по сравнению с более простой и прямой процедурой определения того, что, вероятно, последует из назначенных условий. Имеется в виду, что до тех пор, пока мы ограничиваемся сравнительно регулярной и однородной областью естественных последовательностей и сосуществований, статистика причин может быть столь же легко доступна, как и статистика следствий. В одном будет не намного больше произвольного, чем в другом. Но, конечно, эта уверенность теряется, когда, как будет почти немедленно замечено, в исследование вводятся то, что можно назвать метафизическими, а не естественными причинами.

Например, известно, что в Лондоне ежегодно умирает около 20 человек на тысячу. Предположим, также известно, что из каждых 100 смертей около 4 приходятся на бронхит. Шансы против того, что любой неизвестный человек умрет от бронхита в данном году, составляют 1249 к 1. Точно такая же статистика доступна для решения обратной задачи: человек умер, каков шанс, что он умер от бронхита? Здесь, поскольку смерть человека принимается как должное, нам не нужно знать общую среднюю смертность. Все, что нам нужно, — это пропорциональная смертность от рассматриваемого заболевания, как указано выше. Если бы теория вероятностей имела дело только с выводами, основанными таким образом на фактической статистике, и притом довольно обширной, едва ли вероятно, что когда-либо было бы проведено какое-либо различие, подобное этому, между прямыми и обратными задачами.

§ 16. Рассматриваемое, следовательно, как вклад в теорию предмета, различие между прямой и обратной вероятностью должно быть отброшено. Когда под рукой имеется соответствующая статистика, два класса задач становятся идентичными по методу рассмотрения, а когда ее нет, мы не имеем большего права извлекать решение в одном случае, чем в другом. Однако дискуссия может послужить направлению обновленного внимания на другое и гораздо более важное различие. Она напомнит нам, что существует один класс примеров, к которым исчисление вероятностей применяется по праву, потому что статистические данные — это все, чем мы располагаем для суждения; в то время как существуют другие примеры, в отношении которых, если мы будем настаивать на использовании этих правил, мы можем либо сознательно отказываться от возможности получения гораздо более достоверной информации другими средствами, либо мы можем получать решения по вопросам, по которым человеческий интеллект не имеет права на какое-либо определенное количественное мнение.

§ 17. Наиболее близкий подход к какому-либо практическому оправданию таких суждений, который я помню, предоставляется случаями, образцом которых является следующий пример: «Из 10 случаев, леченных по методу Листера, 7 прошли хорошо, а 3 страдали от заражения крови: из 14, леченных обычными повязками, 9 прошли хорошо, а 5 имели заражение крови; каковы шансы, что успех метода Листера был обусловлен случайностью?». [8] Или, другими словами, короткий опыт показал фактическое превосходство одного метода над другим: каковы шансы, что бесконечно долгий опыт при схожих условиях подтвердит это превосходство?

Предлагающий рассматривал это как задачу о «мешке и шарах», аналогичную следующей: 10 шаров из одного мешка дали 7 белых и 3 черных, 14 из другого мешка дали 9 белых и 5 черных: каков шанс, что фактическое соотношение белых шаров к черным было больше в первом, чем во втором? — это фактическое соотношение, конечно, рассматривается как верный показатель того, каковы были бы конечные пропорции белых и черных выниманий. Это кажется мне единственным разумным способом рассмотрения задачи, если вообще считать ее способной к численному решению.

Конечно, здесь должно быть сделано неизбежное допущение о равной распространенности различных возможных видов мешков — или, как выразились бы сторонники справедливости вычисления, об обязательстве предполагать равную априорную вероятность каждого вида, — но я думаю, что в этом конкретном примере произвольность допущения меньше, чем обычно. Это потому, что задача обсуждает просто баланс между двумя чрезвычайно похожими случаями, и существует определенное взаимное погашение нежелательных допущений с каждой стороны. Если бы был предложен только один набор экспериментов и нас попросили бы оценить вероятность того, что их постоянное повторение подтвердит их вердикт, я бы испытал все те сомнения, о которых уже упоминал. Но здесь у нас есть два набора экспериментов, проведенных при почти точно схожих обстоятельствах, и поэтому меньше произвольности в допущении, что их неизвестные условия довольно одинаково распространены.

§ 18. Примеры описанного рода кажутся достаточно сомнительными, но если мы хотим осознать в полной мере расплывчатость некоторых задач, представленных этой обратной вероятности, нам не нужно далеко ходить. В естественных, как и в искусственных примерах, где статистика недостижима, исследование становится совершенно безнадежным, и все попытки установления правил для вычисления должны быть отброшены. Возьмем, например, вопрос, который вызвал некоторые дискуссии [9], следует или не следует считать такие-то группы звезд результатами случайного распределения; или еще более широкий и расплывчатый вопрос, были ли такие-то вещи, или, скажем, сам мир, произведены случайно?

В случаях такого рода непреодолимая трудность заключается в определении того, какой именно смысл следует придавать словам «случайный» и «произвольный», которые входят в дискуссию. В четвертой главе было дано некоторое описание их научного и конвенционального значения в теории вероятностей. По-видимому, существуют те же возражения против обобщения их вне такой связи, какие существуют в метафизике против разговоров о Бесконечном или Абсолютном. Бесконечную величину или бесконечную силу можно до некоторой степени постичь, или, по крайней мере, можно понять, о чем идет речь, но «бесконечное» кажется мне термином, лишенным смысла. Так же и с чем-либо, что предположительно было произведено случайно: скажите нам природу агентства, пределы его случайности и так далее, и мы сможем взяться за задачу, но без таких данных мы не знаем, что делать. Дальнейшее рассмотрение такой задачи могло бы, я думаю, без высокомерия быть отнесено к главе об ошибках. Соответственно, любые дальнейшие замечания, которые я должен сделать по этому предмету, будут найдены там, а также в заключении главы о причинности и дизайне.

1 Было бы точнее говорить о «несовместимых гипотезах в отношении любого индивидуального случая» или «взаимно исключающих классах событий».

2 Примеры этого рода, относящиеся к смертности людей, взяты из таблиц Карлайла. Они значительно отличаются, как хорошо известно, от других таблиц, но у нас есть высокий авторитет Де Моргана, чтобы рассматривать их как лучший представитель средней смертности английских средних классов в настоящее время.

3 Я говорю «почти любая пропорция», потому что, как легко увидеть, арифметика накладывает определенные ограничения на допущения, которые могут быть сделаны. Мы не могли бы, например, предположить, что все черноволосые люди близоруки, ибо в любой данной группе людей первые более многочисленны. Но диапазон этих ограничений ограничен, и их существование не имеет значения в вышеприведенной дискуссии.

4 Essay on Probabilities, стр. 53. Мне напомнили, что в своей статье о вероятности в Encyclopædia Metropolitana он заявил, что такие правила не включают никакого нового принципа.

5 Этот пункт будет полностью обсужден в будущей главе, после того как общая точка зрения объективной системы логики будет объяснена и проиллюстрирована.

6 Whitworth's Choice and Chance, изд. II, стр. 123. См. также Boole's Laws of Thought, стр. 370.

7 Мнения расходятся относительно защиты таких допущений, как и относительно их природы. Некоторые авторы, признавая вышеуказанное допущение сомнительным, называют его наиболее беспристрастной гипотезой. Другие рассматривают его как своего рода среднюю гипотезу.

8 Educational Times; Reprint, том xxxvii, стр. 40. Вопрос был предложен д-ром Макалистером и вызвал значительные споры. Как обычно с задачами такого обратного рода, едва ли два автора были согласны относительно допущений, которые должны быть сделаны, или, следовательно, относительно численной оценки шансов.

9 См. Todhunter's History, стр. 333, 4.

Существует интересная дискуссия по этому вопросу покойного Дж. Д. Форбса в статье в Philosophical Magazine за дек. 1850 г. На нее ответил в последующем номере проф. Донкин.

ГЛАВА VIII.

ПРАВИЛО ПРЕЕМСТВЕННОСТИ. [*]

* Здесь можно принести слово извинения за введение нового названия. Единственной другой альтернативой было бы озаглавить правило как правило индукции. Но такое название я не могу допустить по причинам, которые будут почти немедленно объяснены.

§ 1. В последней главе мы довольно подробно обсудили природу тех видов вывода в теории вероятностей, которые соответствуют тем, что в логике называются непосредственными и опосредованными выводами. Мы установили, что означало, например, утверждение, что шанс любого данного человека А. Б. умереть в течение года равен 1/3, когда это заключение делается из общего положения, что один человек из трех в его обстоятельствах умирает. Мы также обсудили природу и доказательства правил более полностью выводного характера. Но остановиться на этом пункте означало бы принять очень несовершенный взгляд на предмет. Если теория вероятностей — это наука о реальном выводе о вещах, она, безусловно, должна вести к чему-то большему, чем такие чисто формальные заключения; мы должны быть в состоянии, если не с помощью нее, то, по крайней мере, какими-то средствами, выйти за пределы того, что было фактически наблюдаемо, и сделать выводы о том, что еще не наблюдалось. Это сразу ведет к вопросу: какова связь теории вероятностей с индукцией? Это вопрос, в который необходимо теперь вникнуть с некоторой тщательностью.

То, что существует тесная связь между теорией вероятностей и индукцией, должно было быть замечено почти каждым, кто занимался тем или другим предметом; однако я не видел никакого описания этой связи, которое показалось бы мне удовлетворительным. Явное описание ее следует скорее искать в трактатах по более узкому предмету — теории вероятностей; но именно здесь и обнаруживается наибольшая путаница. Область теории вероятностей, будучи несколько узкой, постоянно подвергалась вторжениям с ее стороны на прилегающую территорию индукции. Таким образом, среди арифметических правил, обсуждавшихся в последней главе, часто вводились другие, которые в строгом смысле не должны классифицироваться вместе с ними, так как они покоятся на совершенно иной основе.

§ 2. Происхождение такой путаницы легко объяснимо; она возникает, несомненно, из привычки придавать чрезмерное значение субъективной стороне теории вероятностей, той, которая трактует о количестве нашей веры в различные предметы и вариациях, которым это количество подвержено. Уже было настоятельно заявлено, что это изменение веры является самое большее лишь постоянным сопровождением того, что действительно существенно для теории вероятностей, и, более того, является общим и для других предметов. Поэтому, определяя науку с этой стороны, эти другие предметы претендовали бы на допуск в нее; некоторые из них, как индукция, были приняты, но другие были несколько произвольно отвергнуты. Наша вера в более широкое суждение, полученное путем индукции, до проверки не так сильна, как вера в более узкое обобщение, из которого оно выведено. Это будучи замеченным, было дано так называемое правило вероятности, с помощью которого предполагается, что это уменьшение согласия могло бы во многих случаях быть вычислено.

Но время также производит изменения в нашем убеждении; наша вера в наступление почти каждого события, если мы возвращаемся к нему долгое время спустя, когда доказательства стерлись из памяти, менее сильна, чем она была в то время. Почему правила забвения не включены в трактаты по теории вероятностей? Если человеку говорят, насколько твердо он должен ожидать, что прилив поднимется снова, потому что он уже поднимался десять раз, не мог бы он также попросить правило, которое сказало бы ему, насколько твердой должна быть его вера в событие, которое покоится на десятилетнем воспоминании? [1] Нарушения правила этого последнего рода едва ли могли бы быть более многочисленными и обширными, как мы увидим сейчас, чем те, которые, как признано, существуют у первого. Дело в том, что агентства, которыми модифицируется сила нашего убеждения, настолько бесконечно многочисленны, что их нельзя все собрать в одну науку; поэтому для целей определения количество веры лучше исключить из рассмотрения, или, по крайней мере, рассматривать как простое приложение, а науку определить с другой или статистической стороны предмета, в которой, как было показано, можно прочертить довольно четкую пограничную линию.

§ 3. Индукция, однако, в силу своей важности заслуживает отдельного обсуждения; один пример покажет ее отношение к этой части нашего предмета. Мы рассматриваем перспективу того, что данный человек, А. Б., проживет еще год, и мы находим, что девять из десяти людей его возраста действительно выживают. Однако при формировании мнения о его выживании мы обнаружим, что в действительности существуют две очень разные причины, которые помогают определить силу нашего убеждения; различные, но на практике настолько тесно связанные, что мы очень склонны упустить из виду одну и приписать эффект целиком другой.

(I.) Существует то, что строго принадлежит к теории вероятностей; то, что (как было объяснено в гл. VI) измеряет нашу веру в индивидуальный случай, как выведенную из общего положения. Допустим, что девять человек из десяти того вида, к которому принадлежит А. Б., действительно живут еще год, из этого, очевидно, вовсе не следует с необходимостью, что он будет жить. Мы описываем это положение дел, говоря, что наша вера в его выживание уменьшена по сравнению с уверенностью в отношении 10 к 9, или, другими словами, измеряется дробью 9/10.

(II.) Но уверены ли мы, что девять человек из десяти, подобных ему, будут жить еще год? Мы знаем, что они так выживали в прошлом, но будут ли они продолжать это делать? Поскольку А. Б. все еще жив, ясно, что это положение в определенной степени принято, или, скорее, получено путем индукции. Однако мы не можем быть так уверены в индуктивном выводе, как в данных, из которых он был выведен. Здесь, следовательно, есть вторая причина, которая имеет тенденцию уменьшать нашу веру; на практике эти две причины всегда сопровождают друг друга, но в мысли они могут быть разделены.

Две различные причины, описанные выше, очень легко перепутать друг с другом, и класс случаев, из которых примеры по большей части неизбежно берутся, увеличивает эту подверженность. Шаг от утверждения «все люди умирали в определенной пропорции» к выводу «они будут продолжать умирать в этой пропорции» — настолько малый шаг, что он остается незамеченным, а уменьшение убежденности, которое должно сопровождать его, не подозревается. В так называемых априорных примерах шаг еще меньше. Мы чувствуем себя настолько уверенными в постоянстве законов механики, что немногие люди подумали бы рассматривать это как вывод, когда они верят, что кость в долгосрочной перспективе будет выпадать всеми своими гранями одинаково часто, потому что другие кости делали это в прошлом.

§ 4. Уже было указано (в главе VI), что, насколько это касается того определения теории вероятностей, которое рассматривает ее как науку, обсуждающую степень и модификации нашей веры, вопрос, по-видимому, заключается просто в следующем: способны ли причины, упомянутые выше в (II), быть сведены к одной простой связной схеме, так чтобы из них могли быть получены какие-либо универсальные правила для модификации согласия? Если они способны, то будут показаны веские основания для классификации их вместе с (I), другими словами, для рассмотрения их как правил вероятности. Даже тогда это были бы правила практически очень иного рода, условные вместо необходимых (если можно использовать эти термины, не связывая себя с какой-либо философской системой), но это возражение, возможно, могло бы быть преодолено большей простотой, обеспеченной их классификацией вместе. Этот взгляд, с различными модификациями, обычно принимается авторами по теории вероятностей, или, по крайней мере, как я понимаю этот вопрос, подразумевается их методами определения и рассмотрения. Или, с другой стороны, должны ли эти причины рассматриваться как обширная система, можно почти сказать хаос, совершенно различных агентств; которые, правда, могут быть классифицированы и организованы до некоторой степени, но из которых мы никогда не можем надеяться получить какие-либо правила совершенной общности, которые не были бы подвержены постоянному исключению? Если так, то остается только один путь: исключить их все одинаково из теории вероятностей. Другими словами, мы должны принять общее положение, а именно то, которое описывалось повсюду как наша отправная точка, как данное нам; оно может быть получено любым из многочисленных правил, предоставляемых индукцией, или оно может быть выведено дедуктивно, или дано нашим собственным наблюдением; его ценность может быть уменьшена тем, что оно зависит от свидетельства очевидцев, или тем, что оно вспоминается нашей собственной памятью. На его реальную ценность могут влиять эти причины или любые их комбинации; но все это предварительные вопросы, с которыми мы не имеем ничего общего напрямую. Мы принимаем наше статистическое положение как истинное, пренебрегая уменьшением его ценности процессом достижения; мы берем его сначала в этой точке, а затем применяем к нему наши правила. Мы получаем его, по сути, если можно использовать это выражение, готовым, и не задаем никаких вопросов о процессе или полноте его изготовления.

§ 5. Не следует, конечно, предполагать, что какие-либо авторы серьезно пытались свести к одной системе вычисления все упомянутые выше причины и охватить одной формулой уменьшение уверенности, которому подвергает нас их включение. Но, с другой стороны, они не желали удерживаться от всякого обращения к ним. С раннего периода изучения науки предпринимались попытки перейти, с помощью исчисления вероятностей, от наблюдаемых случаев к соседним и схожим случаям. На практике, как уже было сказано, невозможно избежать некоторого расширения такого рода. Но следует заметить, что в этих случаях отклонение от строгой почвы опыта в действительности не признается, по крайней мере не как часть нашей логической процедуры. Мы, правда, несколько отклонились от нее и тем самым получили более широкое положение, чем наши данные строго требовали, и, следовательно, положение меньшей достоверности. Тем не менее мы предполагаем, что заключение, данное индукцией, столь же достоверно, как и данные, или, скорее, опускаем всякое замечание об отклонении из рассмотрения. Предполагается, что неисследованные случаи будут напоминать исследованные, — допущение, для которого может существовать обильное основание; теория вычисления покоится на предположении, что между ними не будет никакой разницы, и практическая ошибка незначительна просто потому, что эта разница мала.

§ 6. Но правило, которое мы сейчас собираемся обсудить и которое можно назвать правилом преемственности, — иного рода. Оно не только признает тот факт, что мы покидаем почву прошлого опыта, но и берет последствия этого отклонения в качестве прямого предмета своего вычисления. Оно претендует на то, чтобы дать общее правило для меры ожидания, которое мы должны иметь относительно повторного появления явления, которое уже наблюдалось любое количество раз. Это правило обычно формулируется примерно следующим образом: «Чтобы найти шанс повторения уже наблюдаемого события, разделите число раз, которое событие наблюдалось, увеличенное на единицу, на то же число, увеличенное на два».

§ 7. Будет поучительно указать на происхождение этого правила; хотя бы для того, чтобы напомнить читателю о необходимости удерживать математические формулы в их надлежащей области и показать, какие поразительные заключения склонны приниматься на предполагаемом основании математики. Вернитесь тогда к примеру обратной вероятности на стр. 182. Мы видели, что при определенных допущениях следовало бы, что когда из мешка, заведомо содержащего 10 шаров, которые были белыми или черными, был вынут один белый шар, можно было определить шанс того, что в нем был только один белый шар. Сделав это, мы легко вычисляем «прямо» шанс того, что этот белый шар будет вынут в следующий раз. Аналогично мы можем рассчитать шансы того, что в нем есть два, три и т. д. до десяти белых шаров, и определить на каждом из этих допущений шанс того, что белый шар будет вынут в следующий раз. Складывая их вместе, мы получаем ответ на вопрос: белый шар был вынут один раз из мешка, заведомо содержащего десять шаров, белых или черных; каков шанс второго раза вынуть белый шар?

До сих пор требуется только арифметика. Для следующего шага нам нужна высшая математика, и с ее помощью мы решаем эту задачу: белый шар был вынут m раз из мешка, который содержит любое число, мы не знаем какое, шаров, каждый из которых белый или черный, найти шанс того, что следующее вынимание также даст белый шар. Ответ таков:

m + 1/m + 2.

До сих пор математика. Затем вступает физическое допущение, что вселенную можно уподобить такому мешку, как выше, в том смысле, что вышеуказанное правило может быть применено для решения этого вопроса: событие наблюдалось происходящим m раз определенным образом, найти шанс того, что оно произойдет таким образом в следующий раз. Лаплас, например, указал, что на дату написания его Essai Philosophique шансы в пользу того, что солнце взойдет снова (на старом допущении относительно возраста мира), составляли 1 826 214 к 1. Де Морган говорит, что человек, стоящий на берегу реки и видевший десять кораблей, проходящих с флагами, должен судить, что шансы 11 к 1, что следующий корабль также будет нести флаг.

§ 8. Трудно воспринимать такое правило всерьез, ибо, по-видимому, нет даже того умеренного подтверждения его, которое, как мы обнаружим, справедливо в случае применения абстрактных формул к оценке свидетельств очевидцев. Если, однако, его обоснованность должна быть обсуждена, по-видимому, существуют две очень разные линии исследования, по которым мы можем быть направлены.

(1) Во-первых, мы можем принять его за то, чем оно претендует быть, и за то, чем оно обычно понимается, а именно: правило, которое назначает меру ожидания, которое мы должны питать относительно повторения события при рассматриваемых обстоятельствах. Конечно, на взгляде, принятом в этой работе, мы настаиваем на исследовании, действительно ли верно, что в среднем события таким образом повторяют свое исполнение в соответствии с этим законом. Проверенное таким образом, никто, конечно, не попытался бы защищать такую формулу. Столь далеко от того, чтобы прошлое событие было основанием для веры в будущее повторение, существуют (как будет более полно указано в главе об ошибках) множество случаев, в которых верно прямо противоположное. Затем, опять же, правило такого рода подвержено очень серьезному недоумению, которое будет объяснено в нашей следующей главе, возникающему из необходимой произвольности такого обратного отнесения. То есть, когда событие произошло лишь несколько раз, у нас нет верного руководства; и когда оно произошло лишь однажды [2], у нас нет никакого руководства относительно класса случаев, к которому оно должно быть отнесено. В примере выше, о флагах, почему мы остановились на этом понятии просто, вместо того чтобы уточнить размер, форму и т. д. флагов?

Следует помнить, что Де Морган принимает это правило лишь с оговорками. Он рассматривает его как обеспечивающее минимальное значение для величины нашего ожидания. Он называет его «правилом вероятности чистой индукции» и говорит о нем: «Вероятности, показываемые вышеуказанными правилами, являются лишь минимумами, которые могут быть увеличены за счет других источников знания». То есть он признает только те случаи, в которых наша вера в единообразие природы и в существование особых законов причинности приходит на помощь тому, что возникает из простой частоты прошлых событий. Однако это не охватывает те случаи, когда прошлые события служат позитивным основанием для неверия в повторение события в будущем.

§ 9. (2) Существует, однако, другой и весьма отличный взгляд, который можно было бы принять в отношении такого правила. Это взгляд, смутное признание которого, весьма вероятно, сыграло большую роль в том принятии, которое получило это правило.

То, что мы могли бы предположить, что выражаем таким образом, — это не мера рационального ожидания, которой могли бы придерживаться умы, достаточно развитые, чтобы быть способными классифицировать и делать осознанные выводы, а закон, согласно которому зарождались и развивались примитивные элементы веры. Конечно, такая интерпретация была бы равносильна полному выходу за пределы логики и переходу в область психологии; но это был бы вполне обоснованный путь исследования. Мы не пытались бы сделать ничего иного, кроме как развить исследования Фехнера и его последователей в области психофизических измерений. Только тогда нам следовало бы, подобно им, не начинать с какой-либо аналогии с избирательной урной и ее содержимым, а основывать наше исследование на тщательном определении фактически переживаемых ментальных явлений. Мы знаем, как был определен закон, в соответствии с которым интенсивность ощущения света варьируется в зависимости от интенсивности его объективного источника. Мы видим, как возможно измерить рост памяти в зависимости от количества повторений предложения или последовательности простых слогов. В этом последнем случае, например, мы просто проводим эксперименты и определяем, насколько лучше человек может запомнить какие-либо высказывания после восьми прослушиваний, чем после семи. [3]

Теперь этот случай представляет собой очень близкую параллель к нашей предполагаемой попытке измерить увеличение интенсивности веры после повторного возникновения события. То есть, если бы было возможно экспериментировать в этом порядке ментальных явлений, мы должны были бы просто повторить явление определенное количество раз, а затем установить путем фактической интроспекции или с помощью какого-либо простого теста, как быстро возрастала вера. В таком виде проблема кажется мне безнадежной. Трудности, возникающие при попытке измерить наши простые ощущения, отбросить последствия прошлого опыта и попытаться, так сказать, оставить ум открытым и пассивным для простого восприятия стимулов, достаточно серьезны. Но если бы мы попытались таким образом измерить нашу веру, эти трудности стали бы совершенно непреодолимыми. Мы не можем здесь избавиться от прошлого опыта в большей степени, чем от интеллекта или мышления. Я не вижу, как кто-либо мог бы избежать классификации наблюдаемых повторений с другими, которые он испытал, и, таким образом, руководствоваться особыми аналогиями и индукциями, вместо того чтобы полагаться исключительно на «чистую индукцию» Де Моргана. Те же соображения направлены на опровержение другой формы защиты рассматриваемого правила. Утверждается, например, что мы можем, по крайней мере, прибегнуть к нему в тех случаях, когда мы находимся в полном неведении относительно количества и природы предшествующих обстоятельств. Это позиция, к которой, как мне трудно представить, мы могли бы когда-либо быть сведены. Каким бы отдаленным или исключительным ни было выбранное явление, мы все же можем соотнести его с некоторыми принятыми обобщениями и, таким образом, сделать наши выводы на основе их, а не на основе чисто априорных соображений.

§ 10. Поскольку прошлые приобретения не могут быть отброшены или учтены, единственным оставшимся ресурсом было бы экспериментирование на детском уме. Не хотелось бы утверждать, что какой-либо путь исследования невозможен; но трудности были бы, безусловно, огромны. И какими бы интересными ни были факты, если бы нам удалось их получить, они не имели бы ни малейшего значения в логике. Как бы ни был решен вопрос: доказали ли мы, например, что чувство или эмоция веры медленно и постепенно вырастали из своего рода нулевой точки под впечатлением повторения опыта; или доказали ли мы, что единичное событие порождало полную веру в повторение события, так что опыт постепенно отучал нас и ослаблял наши убеждения; — ни в каком случае зрелый ум не получил бы никакой помощи в том, во что он должен верить.

Я не могу не думать, что какой-то подобный взгляд должен время от времени лежать в основе того принятия, которое получило это правило. Например, Лаплас, хотя и принимал его без колебаний как реальное, то есть объективное правило вывода, в конце своего обсуждения («Философское эссе») углубился в столь значительный объем физиологического и психологического материала, что это наводит на мысль, что он имел в виду естественную историю веры, а не ее последующее обоснование.

Опять же, любопытная доктрина, принятая Джевонсом, о том, что принципы индукции полностью основываются на теории вероятностей — доктрина, весьма отличная от той, которая передается утверждением, что все знание фактов является лишь вероятным, т.е. не необходимым, — кажется непонятной, за исключением какой-то подобной интерпретации. Мы еще скажем об этом предмете в нашей следующей главе. Здесь будет достаточно заметить, что на нашей нынешней рефлексивной и рациональной стадии мы обнаруживаем, что каждый вывод в теории вероятностей включает в себя некоторое обращение к индукции или поддержку с ее стороны, но что невозможно основывать одно на другом. Как бы далеко назад мы ни пытались продвинуться и как бы склонны мы ни были объяснять наши конечные убеждения через ассоциацию, мне кажется, что до тех пор, пока мы считаем, что имеем дело с правилами вывода, мы все же должны различать индукцию и вероятность.

1 Джон Крейг в своей часто упоминаемой работе «Математические начала христианского богословия» (Лондон, 1699) предпринял попытку в этом направлении, когда предложил решить такие задачи, как: «Определить, когда исчезнет вероятность любой истории, предмет которой является преходящим и передается только устным преданием».

2 Когда m = 1, дробь становится равной 2/3; т.е. шансы составляют 2 к 1 в пользу повторения. И есть авторы, которые принимают этот результат. Например, Джевонс («Принципы науки», стр. 258) говорит: «Таким образом, в первый раз, когда человек видит акулу и замечает, что ее сопровождает маленькая рыба-лоцман, шансы составляют 2 к 1, что следующая акула будет сопровождаться такой же». Не говоря уже о том, что распознавание и называние рыбы подразумевает, что их видели часто и раньше, сколько из наблюдаемых характеристик этого единственного «события» следует считать существенными? Должен ли лоцман предшествовать, и на том же расстоянии? Должны ли мы рассматривать широту, океан, сезон, вид акулы как предмет повторения и в следующий раз? и так далее. Я не вижу, как индуктивная проблема может быть даже вразумительно сформулирована для количественных целей при первом возникновении какого-либо события.

3 См. в журнале «Mind» (x. 454) отчет г-на Джейкоба об исследованиях г-на Эббингауза, описанных в его работе «О памяти».

ГЛАВА IX.

ИНДУКЦИЯ И ЕЕ СВЯЗЬ С ВЕРОЯТНОСТЬЮ.

§ 1. В течение последней главы мы были заняты изучением правила, целью которого было дать нам возможность делать выводы о еще не исследованных случаях. Следовательно, это было, по определению, правило индуктивного характера. Но в той форме, в которой оно обычно выражается, оно оказалось совершенно несостоятельным. Поэтому разумно спросить в этом месте, является ли вероятность полностью формальной или дедуктивной наукой, или же, с другой стороны, мы способны с ее помощью делать обоснованные выводы о еще не исследованных случаях. На этот вопрос уже был частично дан ответ по смыслу в ходе последних двух глав. В настоящей главе предлагается посвятить более полное исследование этому предмету и описать, насколько позволяют рамки, природу связи между вероятностью и индукцией. Мы сочтем целесообразным для ясности концепции начать наше исследование с довольно ранней стадии. Однако мы пройдем этот путь так быстро, как это возможно, пока не приблизимся к границе того, что можно правильно назвать вероятностью.

§ 2. Давайте представим себе кого-то, кто приступает к исследованию природы в ее самом широком аспекте с целью систематизации известных фактов опыта и отсюда (в случае, если он обнаружит, что это возможно) открытия других, которые в настоящее время неизвестны. Он наблюдает множество явлений, физических и ментальных, одновременных и последовательных. Он спрашивает, какие связи существуют между ними? какие правила можно найти, чтобы, наблюдая некоторые из этих вещей, я мог вывести из них другие? Мы предполагаем, заметим, что он сознательно решает исследовать сами вещи, а не отвлекаться на какое-либо предварительное исследование того, существуют ли законы, согласно которым ум вынужден судить о вещах. Это может проистекать либо из неверия в существование каких-либо независимых и необходимых ментальных законов и, как следствие, убеждения, что ум вполне компетентен наблюдать и верить во все, что предлагает опыт, и не должен верить ни во что другое, либо просто из предпочтения исследований последнего рода. Другими словами, мы предполагаем, что он отвергает формальную логику и посвящает себя изучению объективных сущностей.

Ни на мгновение нельзя предполагать, что мы здесь делаем что-то большее, чем создание фиктивного случая с целью более ярко представить читателю природу индуктивного процесса, допущения, которые он должен сделать, и характер материалов, к которым он применяется. Психологически невозможно, чтобы кто-либо пришел к изучению природы со всеми своими ментальными способностями в полном совершенстве, но лишенным всех материалов знания и свободным от какой-либо предвзятости относительно единообразия, которое может преобладать вокруг него. На практике, конечно, форма и содержание — законы веры или ассоциации и объекты, к которым они применяются, — действуют и взаимодействуют друг с другом, и ни то, ни другое не может существовать в какой-либо степени, кроме низкой, без предположения о существовании другого. Но это допущение вполне законно для цели привлечения внимания к требованиям такой системы логики и, по сути, является не чем иным, как тем, что приходится делать почти на каждом шагу в психологическом исследовании. [1]

§ 3. Его задачу поначалу можно было бы представить как медленную и утомительную. Она состояла бы из постепенного накопления отдельных случаев, отмеченных друг от друга различными точками различия и связанных друг с другом точками сходства. Их нужно было бы соответственно различать и ассоциировать в уме, а полученные результаты затем суммировались бы в общие положения, из которых впоследствии можно было бы делать выводы. Эти выводы, конечно, не могли бы содержать никаких новых фактов, они были бы лишь повторениями того, что он или другие наблюдали ранее. Все, что мы бы сделали к этому моменту, — это классифицировали вещи, а затем снова обратились к ним. Поэтому мы оставались бы в пределах обычной логики, процессы которой (каково бы ни было их конечное объяснение), конечно, всегда могут быть выражены, в соответствии с изречением Аристотеля, как способы определения того, можем ли мы показать, что один данный класс полностью или частично включен в другой, или исключен из него, в зависимости от обстоятельств.

§ 4. Но очень короткий курс наблюдений подсказал бы возможность широкого расширения его информации. Сам опыт вскоре обнаружил бы, что события связаны друг с другом регулярным образом; он установил бы, что существуют «законы природы». Не имея априорной необходимости верить в них, он вскоре обнаружил бы, что на самом деле они существуют, хотя он не мог бы чувствовать никакой уверенности относительно степени их распространенности. Открытие этого порядка в природе сразу изменило бы план его действий и задало бы тон всему спектру его методов исследования. Его главной работой теперь было бы выяснить, какими средствами он мог бы лучше всего обнаружить эти законы природы.

Иллюстрация может помочь. Предположим, я был занят тем, что разбивал огромный кусок скалы, скажем, сланца, на мелкие части. Я начал бы с того, что утомительно работал бы дюйм за дюймом. Но вскоре я обнаружил бы, что процесс полностью изменился благодаря существованию расщепляемости. Благодаря такому устройству вещей несколько ударов выполнили бы работу — не, как я, возможно, поначалу предполагал, на несколько дюймов, — а прямо через всю массу. Другими словами, самим процессом резания, как показано в опыте, и ничем иным, в вещах была бы обнаружена конституция, которая сделала бы этот процесс значительно более легким и обширным. Такое открытие, конечно, изменило бы нашу тактику. Нашей главной целью с этого момента было бы установление степени и направления этой расщепляемости.

Нечто подобное обнаруживается в индукции. Открытие законов природы позволяет уму перескакивать со своими выводами от нескольких фактов прямо через целый класс объектов и, таким образом, получать результаты, последовательное индивидуальное достижение которых потребовало бы долгого и утомительного исследования и, действительно, во множестве случаев было бы исключено. У нас нет доказательного подтверждения того, что это положение вещей является универсальным; но, обнаружив, что оно широко распространено, мы продолжаем с решимостью, по крайней мере, пытаться применить его везде, и мы не разочаровываемся. Из положений, полученных таким образом, или, скорее, из первоначальных фактов, на которых основываются эти положения, мы можем делать новые выводы, не с абсолютной уверенностью, конечно, но со степенью убежденности, которая имеет величайшую практическую пользу. Мы сделали большой шаг, став способными делать заслуживающие доверия обобщения. Мы заключаем, например, не просто то, что Джон и Генри умирают, а то, что все люди умирают.

§ 5. Вышеприведенное краткое исследование содержит, как мы надеемся, довольно правильный очерк природы индуктивного вывода, каким он представляется в материальной или научной логике. Оно включает различие, проведенное Миллем, с которым читатель его «Системы логики» будет знаком, между выводом, сделанным согласно формуле, и выводом, сделанным из формулы. Мы в действительности делаем наш вывод из данных, предоставленных опытом, непосредственно к заключению; это лишь удобное соглашение — делать это, проходя через обобщение. Но это такое крайнее удобство, и оно так необходимо навязывается нам, когда мы апеллируем к нашему собственному прошлому опыту или к опыту других в качестве оснований для нашего заключения, что на практике мы находим лучшим планом разделить процесс вывода на две части. Первая часть касается установления обобщения; вторая (которая содержит правила обычной логики) определяет, какие выводы могут быть сделаны из этого обобщения.

§ 6. Теперь мы можем увидеть путь к установлению области вероятности и ее отношения к родственным наукам. Индуктивная логика дает правила для обнаружения таких обобщений, как те, о которых говорилось выше, и для проверки их правильности. Если они выражены в универсальных суждениях, то дело обычной логики — определить, какие выводы могут быть сделаны из них и с их помощью; если же, с другой стороны, они выражены в пропорциональных суждениях, то есть суждениях того типа, который описан в нашей первой главе, они передаются в ведение теории вероятностей. Мы обнаруживаем, например, что трое младенцев из десяти умирают в первые четыре года жизни. К индукции относится вопрос о том, оправданы ли мы в обобщении нашего наблюдения до утверждения: «Все младенцы умирают в такой пропорции». Когда такое суждение получено, какое бы значение ему ни следовало придать, мы узнаем в нем серию знакомого типа, и оно сразу же востребовано теорией вероятностей.

В этом последнем случае разделение на две части, индуктивную и рассудочную, кажется определенно чем-то большим, чем просто удобством; оно действительно настоятельно необходимо для ясности мышления и убедительности изложения. Правда, почти в каждом примере, который можно выбрать, мы обнаружим, что оба вышеуказанных элемента существуют вместе и объединяются, чтобы определить степень нашей убежденности, но когда мы начинаем рассматривать их внимательно, мне кажется, что основания их убедительности, тип убеждения, которое они производят, и, следовательно, правила, к которым они приводят, настолько совершенно различны, что их невозможно гармонизировать в единую последовательную систему.

Поэтому мнение, согласно которому некоторые индуктивные формулы рассматриваются как составляющие часть теории вероятностей и которое находит выражение в правиле преемственности, подвергнутом критике в нашей последней главе, не может, я думаю, быть поддержано. Было бы правильнее сказать, как было заявлено выше, что индукция совершенно отлична от вероятности, хотя и сотрудничает почти во всех ее выводах. С помощью индукции мы определяем, например, можем ли мы и насколько безопасно обобщить суждение о том, что четверо мужчин из десяти доживают до пятидесяти шести лет; предполагая, что такое суждение безопасно обобщено, мы передаем его в ведение теории вероятностей, чтобы сказать, какие выводы могут быть из него дедуцированы.

§ 7. Вот и все, что касается мнения, которое склонно рассматривать чистую индукцию как подраздел теории вероятностей. Большинством философских и логических авторов, конечно, придерживался совершенно иной взгляд. Они в основном склонны очень резко различать эти науки, если не противопоставлять их друг другу; одна принимается как философская или логическая, а другая отвергается как математическая. Это можно без обиды назвать популярным предубеждением против теории вероятностей.

Здесь, однако, следует отметить несколько иной взгляд, который в силу своего рода реакции против последнего, кажется, даже выходит за рамки первого; и который иногда находит выражение в утверждении, что всякое индуктивное рассуждение любого рода является лишь вопросом вероятности. Можно привести два примера этого.

Начиная со старого авторитета, существует часто цитируемое высказывание Батлера в начале его «Аналогии» о том, что «вероятность — это сам путеводитель жизни»; высказывание, которое часто понимается как означающее, что правила или принципы вероятности всесильны, когда мы делаем выводы в практической жизни. Судя по направленности контекста, действительно, это кажется справедливой интерпретацией его смысла, насколько, конечно, можно было сказать, что в те дни существовала такая вещь, как наука о вероятности. Профессор Джевонс в своих «Принципах науки» (стр. 197) выразил несколько схожий взгляд, конечно, способом, более соответствующим принципам современной науки, физической и математической. Он говорит: «Я убежден, что невозможно изложить методы индукции здравым образом, не основывая их на теории вероятностей. Только совершенное знание может дать уверенность, а в природе совершенное знание было бы бесконечным знанием, что явно выходит за пределы наших способностей. Мы должны, следовательно, довольствоваться частичным знанием — знанием, смешанным с невежеством, порождающим сомнение». [2]

§ 8. Существует два смысла, в которых можно понимать эту склонность к слиянию двух наук в одну. Используя слово «вероятность» в его расплывчатом популярном значении, можно не иметь в виду ничего иного, кроме как привлечь внимание к тому факту, что в каждом случае наши выводы — это не что иное, как «вероятные», то есть что они не являются и не могут быть абсолютно достоверными. Это должно быть полностью признано, ибо, конечно, никто, знакомый со сложностью физических и других доказательств, не стал бы всерьез утверждать, что абсолютная идеальная достоверность может быть достигнута в какой-либо области прикладной логики. Гипотетическая достоверность в абстрактной науке возможна, но не абсолютная достоверность в области конкретного. Это уже было отмечено в предыдущей главе, где, однако, было указано, что какое бы оправдание ни существовало, с субъективной точки зрения логики, для рассмотрения этой общей распространенности отсутствия достоверности как оправдывающей нас в слиянии наук в одну, никакое такое оправдание не допускается, когда мы принимаем объективный взгляд.

§ 9. Однако может иметься в виду, что основания этого отсутствия достоверности всегда имеют один и тот же общий характер. Этот аргумент, если его принять, имел бы реальную силу и поэтому должен быть кратко отмечен. Мы в изобилии видели, что когда мы говорим о заключении в строгих пределах теории вероятностей, что оно не является достоверным, все, что мы имеем в виду, — это то, что только в некоторой пропорции случаев такое заключение будет верным, в других случаях оно будет ошибочным. Теперь, когда мы говорим в отношении любого индуктивного заключения, что мы чувствуем неуверенность в его абсолютной убедительности, осознаем ли мы ту же интерпретацию? Мне кажется, что нет. Действительно, вполне возможно, что при конечном анализе можно было бы доказать, что опыт неудач в прошлом применении наших методов исследования был главной причиной нашего нынешнего отсутствия полной уверенности в них. Но это, как мы неоднократно настаивали, относится не к области логического, а к области психологического исследования. Конечно, это не тот случай, когда мы, как правило, сознательно руководствуемся такими случайными или повторяющимися примерами прошлых неудач. Насколько они вообще влияют, они, кажется, делают свою работу, внушая смутное отсутствие уверенности, которое не может быть отнесено к каким-либо статистическим основаниям для своего оправдания, по крайней мере, не количественным образом. Часть нашего отсутствия уверенности проистекает сочувственно от тех, кто исследовал этот вопрос более непосредственно из первых рук. Здесь опять же анализ мог бы обнаружить, что определенная доля прошлых неудач лежит в основе недоверия, но на поверхности это не проявляется. Более того, одна из причин, по которой мы не можем чувствовать себя полностью уверенными в наших индукциях, заключается в том, что приходится апеллировать к памяти для получения некоторых наших данных; и станет ли кто-либо утверждать, что единственная причина, по которой мы не полагаемся абсолютно на нашу память о событиях давно минувших дней, заключается в том, что нас уже обманывали таким образом?

В любом другом смысле, кроме как в качестве необходимого протеста против придания слишком большой доказательной силы выводам индуктивной логики, кажется определенно вводящим в заблуждение говорить о ее рассуждениях как об основывающихся на вероятности.

§ 10. Теперь мы можем ясно увидеть причины ограничений, в пределах которых причинность [3] обязательно требуется, но за пределами которых она не нужна. Чтобы иметь возможность обобщить формулу так, чтобы распространить ее с наблюдаемого на ненаблюдаемое, совершенно необходимо, чтобы существовало определенное постоянство в порядке природы; это постоянство является одной из форм того, что подразумевается под термином «причинность». Если при неизменности обстоятельств, в которых люди живут и умирают, мы не чувствовали бы себя вправе сделать вывод, что четверо из десяти мужчин доживут до пятидесяти лет, потому что в случае тех, кого мы наблюдали, эта пропорция доживала до этого возраста, ясно, что мы признали бы, что за одними и теми же предшествующими обстоятельствами не обязательно должны следовать одни и те же следствия. Поскольку это единообразие является тем, что утверждает закон причинности, истинность закона явно необходима для того, чтобы позволить нам получить наши обобщения: другими словами, она необходима для индуктивной части процесса. Но кажется столь же ясным, что причинность не является необходимой для той части процесса, которая относится к вероятности. При условии, что истинность наших обобщений обеспечена нам упомянутым способом, какое нам дело до того, подчиняются ли отдельные члены причинности или нет? Ибо в действительности не об этих индивидах мы делаем выводы. Поскольку этот последний пункт уже был полностью рассмотрен в главе VI, здесь не нужно делать никаких дальнейших упоминаний о нем.

§ 11. Вышеприведенного описания, или, скорее, указания, процесса получения этих обобщений должно быть достаточно для настоящего времени. Давайте теперь обратимся к рассмотрению средств, с помощью которых мы практически должны использовать их, когда они получены. Точка, которой мы достигли в ходе исследований, проведенных в шестой и седьмой главах, была такова: — Дана серия определенного рода, мы могли делать выводы о членах, которые ее составляли; выводы, то есть, особого рода, значение и смысл которых были полностью обсуждены на своем месте.

Теперь мы должны немного сместить нашу точку зрения; вместо того чтобы начинать, как в предыдущих главах, с детерминированной серии, которая, как предполагается, дана нам, давайте предположим, что дан только индивид, и что на нас возложена задача поиска соответствующей серии. Как нам приступить к этой задаче? В предыдущем случае наши данные были такого рода: — Восемь из десяти мужчин в возрасте пятидесяти лет проживут еще одиннадцать лет, и мы установили, в каком смысле и с какой уверенностью мы могли сделать вывод, что, скажем, Джон Смит в возрасте пятидесяти лет доживет до шестидесяти одного года.

§ 12. Давайте тогда предположим, вместо этого, что появляется Джон Смит, как нам в этом случае приступить к получению серии для него? Другими словами, как нам собрать соответствующую статистику? Следует помнить, что когда мы пытаемся делать реальные выводы о вещах, еще не известных, именно в такой форме проблема будет практически представлена.

На первый взгляд ответ на этот вопрос может показаться полученным очень простым процессом, а именно путем подсчета того, сколько мужчин возраста Джона Смита живут и не живут в течение одиннадцати лет. В действительности, однако, процесс далеко не так прост, как кажется. Ибо следует помнить, что каждая отдельная вещь не имеет одного четкого и соответствующего класса или группы, к которой она и только к которой она должным образом принадлежит. Мы можем, конечно, практически привыкнуть рассматривать ее под таким единственным аспектом, и поэтому она может казаться нам более знакомой, когда занимает место в одной серии, а не в другой; но такая практика является лишь обычаем с нашей стороны, а не обязательной. Очевидно, что каждая отдельная вещь или событие имеет неопределенное количество свойств или атрибутов, наблюдаемых в ней, и поэтому может рассматриваться как принадлежащая к неопределенному количеству различных классов вещей. Принадлежа к любому одному классу, она, конечно, становится в то же время членом всех высших классов, родов, видом которых был этот класс. Но, более того, в силу каждого случайного атрибута, которым она обладает, она становится членом класса, пересекающего, так сказать, некоторые из других классов. Джон Смит — чахоточный человек, скажем, и уроженец северного климата. Будучи человеком, он, конечно, включен в класс позвоночных, также в класс животных, а также в любые высшие такие классы, которые могут существовать. Свойство быть чахоточным относит его к другому классу, более узкому, чем любой из вышеперечисленных; в то время как свойство быть рожденным в северном климате относит его к новому и отдельному классу, не совпадающему с остальными, ибо есть вещи, рожденные на севере, которые не являются людьми.

§ 13. Поэтому, когда Джон Смит предстает перед нашим вниманием без, так сказать, какой-либо прикрепленной к нему особой этикетки, информирующей нас, под каким из его различных аспектов его следует рассматривать, процесс отнесения его таким образом к классу становится в значительной степени произвольным. Если бы он был указан нам общим именем, это, конечно, было бы некоторой подсказкой; ибо имя, имеющее определенную коннотацию, специфицировало бы во всяком случае фиксированную группу атрибутов, в пределах которой наш выбор должен был быть ограничен. Но поскольку имена и атрибуты связаны друг с другом, мы здесь предполагаемся столь же невежественными относительно того, как его называть, как и относительно того, какую группу из всех его бесчисленных атрибутов следует принимать во внимание; ибо сказать нам одну из этих вещей было бы в точности тем же самым по эффекту, что и сказать нам другую. Говоря, что это таким образом произвольно, к какому классу он отнесен, мы имеем в виду, конечно, что нет никаких логических оснований для решения; выбор должен быть определен некоторыми внешними соображениями. Простое наблюдение индивида просто показало бы нам, что он мог бы быть в равной степени отнесен к неопределенному количеству классов, но само по себе не дало бы никакого побуждения предпочесть для нашей специальной цели один из этих классов другому.

Это разнообразие классов, к которым индивид может быть отнесен благодаря обладанию множеством атрибутов, имеет важное значение для процесса вывода, который был указан в более ранних разделах этой главы и который мы теперь должны рассмотреть в более специальной связи с нашим конкретным предметом.

§ 14. Это послужит более ясному выявлению природы некоторых из тех особенностей шага, который мы сейчас собираемся сделать в случае вероятности, если мы сначала рассмотрим форму, которую соответствующий шаг принимает в случае обычной логики. Предположим, что мы хотели установить, будет ли некий Джон Смит, тридцатилетний мужчина, который среди прочего является жителем Индии и отчетливо поражен раком, продолжать выживать там еще двадцать лет. Термины, в которых человек таким образом представлен нам, относят его к различным классам способом, уже указанным. Соответственно этим классам будет ряд суждений, которые были получены предыдущими наблюдениями и индукциями и которые мы поэтому можем предположить доступными и готовыми под рукой, когда мы хотим их использовать. Давайте представим их такими, как следующие: — Некоторые люди доживают до пятидесяти; некоторые жители Индии доживают до пятидесяти; ни один человек, страдающий таким образом от рака, не живет пять лет. Из первой и второй из этих посылок ничего нельзя вывести, ибо они обе [4] являются частными суждениями и поэтому не приводят ни к какому заключению в этом случае. Третья отвечает на наш запрос решительно.

Логически мыслящему читателю вряд ли будет необходимо указывать, что процесс, рассматриваемый здесь, — это поиск средних терминов, которые послужат для соединения субъекта и предиката нашего заключения. Этот субъект и предикат в рассматриваемом случае — это индивид перед нами и его смерть в течение указанного периода. Рассматриваемые сами по себе, они не имеют ничего общего, и поэтому нет связи, посредством которой они могут быть соединены или разъединены друг с другом. Различные классы, упомянутые выше, представляют собой набор таких средних терминов, а суждения, относящиеся к ним, — соответствующий набор больших посылок. С помощью любого из них мы способны, при подходящих обстоятельствах, соединить субъект и предикат заключения, то есть сделать вывод, будет ли человек жить двадцать лет или нет.

§ 15. Теперь при выполнении такого логического процесса есть два соображения, на которые внимание читателя должно быть на мгновение направлено. Они достаточно просты в этом случае, но потребуют тщательного объяснения в соответствующем случае в теории вероятностей. Во-первых, ясно, что всякий раз, когда мы можем сделать какой-либо вывод вообще, мы можем сделать это с абсолютной уверенностью. Логика в пределах своей собственной области не знает колебаний или сомнений. Если средний термин уместен, он служит для соединения крайностей таким образом, чтобы исключить всякую неопределенность относительно заключения; если нет, то на этом дело заканчивается: никакого вывода сделать нельзя, и мы, следовательно, остаемся там, где были. Предполагая, что наши посылки верны, мы либо знаем наше заключение наверняка, либо не знаем о нем ничего вообще. Во-вторых, следует заметить, что ни одна из возможных альтернатив в виде таких больших посылок, как приведенные выше, никогда не может противоречить любой из других или быть вообще несовместимой с ними. Рассматриваемые как изолированные суждения, конечно, нет ничего, что обеспечило бы такую гармонию; они имеют очень разные предикаты и могут казаться совершенно недосягаемыми друг для друга ни для поддержки, ни для оппозиции. Но посредством другой посылки они в каждом случае приводятся в отношение друг с другом, и общие интересы истины и последовательности предотвращают их, следовательно, от противоречия друг другу. Как изолированные суждения, могло бы быть так, что все люди доживают до пятидесяти, и что ни один житель Индии этого не делает, но, признав, что некоторые люди являются жителями Индии, мы сразу видим, что эти посылки несовместимы, и поэтому одна или другая из них должна быть отвергнута. Во всей прикладной логике эта необходимость избегания самопротиворечия настолько очевидна и властна, что никто не счел бы необходимым постулировать формальный постулат о том, что все такие возможные большие посылки должны быть взаимно последовательными. Предположить, что этот постулат не соблюдается, означало бы на деле сделать два или более противоречивых допущения о фактах.

§ 16. Но теперь заметьте разницу, когда мы пытаемся сделать соответствующий шаг в теории вероятностей. Вместо обычных суждений, универсальных или частных, подставьте статистические суждения того, что мы привыкли называть «пропорциональным» типом. Другими словами, вместо того чтобы спрашивать, будет ли человек жить двадцать лет, давайте спросим, будет ли он жить один год? Мы не сможем найти никаких универсальных суждений, которые покрыли бы этот случай, но мы можем без труда получить изобилие подходящих пропорциональных суждений. Они будут следующего описания: — Из мужчин в возрасте 30 лет 98 из 100 живут еще один год; из жителей Индии меньшая пропорция выживает, давайте, например, скажем 90 из 100; из мужчин, страдающих от рака, еще меньшая пропорция, давайте скажем 20 из 100.

Теперь в обоих отношениях, на которые только что было обращено внимание, суждения такого рода предлагают заметный контраст с теми, которые рассматривались последними. Во-первых, они не, подобно обычным суждениям, либо утверждают недвусмысленно «да» или «нет», либо отказываются открывать рот; но они дают вместо этого своего рода квалифицированный или колеблющийся ответ относительно индивидов, включенных в них. Это, конечно, не что иное, как знакомая характеристика того, что можно назвать «вероятностными суждениями». Но это ведет к, и действительно делает возможным, второй и более важный пункт; а именно, что эти различные ответы, хотя они не могут прямо и формально противоречить друг другу (этого их природа как пропорциональных суждений, как правило, не позволит), могут все же, способом, который теперь должен быть указан, оказаться в большей или меньшей степени в конфликте друг с другом.

Отсюда следует, что при попытке сделать вывод из посылок рассматриваемого рода мы можем оказаться в положении некоторого недоумения; но это недоумение, которое может представиться в двух формах, мягкой и обостренной. Мы заметим их по очереди.

§ 17. Мягкая форма возникает, когда различные классы, к которым индивидуальный случай может быть надлежащим образом отнесен, последовательно включены один в другой; ибо здесь наши наборы статистики, хотя и ведущие к различным результатам, не часто будут оказываться в очень серьезном противоречии друг с другом. Все, что из этого следует, — это то, что по мере того, как мы поднимаемся по шкале, апеллируя к все более высоким родам, статистика становится постоянно менее подходящей для конкретного рассматриваемого случая, и такая информация, следовательно, которую они предоставляют, становится постепенно менее явной и точной.

Вопрос, который мы первоначально хотели определить, напомним, заключается в том, умрет ли Джон Смит в течение одного года. Но поскольку всякое знание этого факта недостижимо из-за отсутствия подходящих индукций, мы чувствовали себя оправданными (с объяснением и при ограничениях, упомянутых в гл. VI) в подстановке, в качестве единственного доступного эквивалента такого индивидуального знания, ответа на следующий статистический запрос: Какая пропорция мужчин в его обстоятельствах умирает?

§ 18. Но тогда сразу начинает возникать некоторое сомнение и двусмысленность относительно того, что именно следует понимать под его обстоятельствами. Мы можем очень хорошо знать, что это за обстоятельства сами по себе, и все же быть в недоумении относительно того, сколько из них мы должны принимать во внимание, пытаясь оценить его судьбу. Мы могли бы, помыслимо, для начала выбрать ограничение нашего внимания только теми свойствами, которые он имеет общего со всеми животными. Если так, и статистика по этому предмету была достижима, они, по-видимому, были бы такого характера: Девяносто девять животных из ста умирают в течение года. Необычным, как такая ссылка была бы, мы бы, логически говоря, делали не что иное, как брали более широкий класс, чем тот, к которому мы привыкли. Аналогично мы могли бы, если бы пожелали, занять нашу позицию на классе позвоночных, или на классе млекопитающих, если бы зоологи были способны дать нам требуемую информацию. Конечно, мы отвергаем эти широкие классы и предпочитаем более узкий. Если спросят, почему мы отвергаем их, естественный ответ заключается в том, что они настолько общие и напоминают конкретный случай перед нами в столь немногих точках, что мы были бы чрезвычайно склонны сбиться с пути, доверяя им. Хотя точность не может быть гарантирована, мы можем, по крайней мере, избежать любого ненужного преувеличения относительного числа и величины наших ошибок.

§ 19. Вышеприведенный ответ вполне обоснован; но, предостерегая нас против апелляции к слишком широкому классу, он, кажется, предполагает, что мы не можем ошибиться в противоположном направлении, то есть в принятии слишком узкого класса. И все же мы избегаем таких крайностей. Джон Смит не только англичанин; он может также быть уроженцем такой-то части Англии, жить в таком-то президентстве и так далее. Неопределенное количество таких дополнительных характеристик может быть выведено на свет, многие из которых, во всяком случае, имеют некоторое отношение к вопросу о жизненной силе. Почему мы отвергаем любое рассмотрение этих более узких классов? Мы действительно отвергаем их, но это по причине, которую можно назвать практической, а не теоретической. Как было объяснено в первых главах, существенно, чтобы наша серия содержала значительное количество членов, если они должны быть хоть сколько-нибудь полезны нам. Теперь многие из атрибутов любого индивида настолько редки, что принятие их во внимание противоречило бы фундаментальному допущению нашей науки, а именно, что мы должным образом озабочены только средними значениями больших чисел. Чем более специальные и мелкие наши статистические данные, тем лучше, при условии только, что мы можем получить их достаточно, и таким образом составить требуемое большое количество случаев. Это, однако, невозможно во многих случаях. Мы поэтому вынуждены пренебрегать одним атрибутом за другим, и таким образом расширять содержание нашего класса; при явном риске несколько возросшего разнообразия и неподходящести членов в нем, ибо на каждом шагу такого рода мы расходимся все больше и больше с тем типом случаев, которые нам действительно нужны. Мы продолжаем делать это до тех пор, пока мы больше не выигрываем в количестве, чем теряем в качестве. Мы наконец занимаем нашу позицию в точке, где мы впервые получаем статистику, взятую из достаточно широкого диапазона наблюдений, чтобы обеспечить требуемую степень стабильности и единообразия.

§ 20. В таком примере, как только что упомянутый, где один из последовательных классов — человек — является хорошо определенным естественным видом или родом, в этой точке существует такой полный разрыв в каждом направлении, что каждый побуждается занять свою позицию здесь. С одной стороны, ни один исследователь никогда не подумал бы о введении какой-либо ссылки на высшие классы с меньшим количеством атрибутов, такие как животное или организованное существо: и с другой стороны, низшие классы, созданные нашим принятием во внимание его занятости или места жительства и т.д., как правило, не отличаются достаточно в своих характеристиках от класса «человек», чтобы сделать стоящим наше внимание к ним.

Время от времени, действительно, эти характеристики возрастают в важности, и всякий раз, когда это имеет место, мы концентрируем наше внимание на классе, которому они соответствуют, то есть классе, который отмечен их присутствием. Так, например, качество чахоточности отделяет любого человека настолько широко от большинства его собратьев во всех вопросах, касающихся смертности, что статистика о жизнях чахоточных людей существенно отличается от той, которая относится к людям в целом. И мы видим результат; если чахоточный человек вообще может оформить страховку, он должен сделать это за гораздо более высокую премию, рассчитанную на основе его особых обстоятельств. Другими словами, атрибут достаточно важен, чтобы отметить свежий класс или серию. Так и со страхованием от несчастных случаев. Действительно, не предпринимается попытка сделать специальную ставку страхования для членов каждой отдельной профессии, но различия в риске, которым они подвержены, обязывают нас принимать такие факты в некоторой степени во внимание. Следовательно, профессии грубо делятся на два или три класса, такие как обычные, опасные и особо опасные, каждый из которых должен платить свою собственную ставку премии.

§ 21. Там, где один или другой из классов таким образом соответствует естественным видам или включает различия, сопоставимые по важности с различиями естественных видов, процесс не труден; почти всегда существует какой-то один из этих классов, который настолько универсально признан подходящим, что большинство людей совершенно не осознают необходимости процесса выбора. За исключением случаев, когда человек имеет болезненную конституцию или следует опасной профессии, мы редко имеем повод собирать статистику для него из какого-либо класса, кроме класса людей в целом его возраста в стране.

Когда, однако, эти последовательные классы не отмечены заранее для нас природой и затем не организованы в легко различимые группы, процесс более очевидно произволен. Предположим, мы рассматривали шанс того, что дом человека сгорит, с какой коллекцией атрибутов мы должны довольствоваться в этом случае? Должны ли мы включать все виды зданий, или только жилые дома, или ограничиться теми, где много дерева, или теми, где есть печи? Все эти атрибуты и множество других могут присутствовать, и если так, то все они являются обстоятельствами, которые помогают модифицировать наше суждение. Мы должны руководствоваться здесь статистикой, которую нам случается получить в достаточном количестве. Здесь опять же грубые различия такого рода практически проводятся в страховых конторах путем деления рисков на обычные, опасные и особо опасные. Мы исследуем наш случай, относим его к одному или другому из этих классов, а затем формируем наше суждение о его перспективах по статистике, подходящей для его класса.

§ 22. Вот и все, что касается того, что можно назвать мягкой формой, в которой возникает двусмысленность; но существует обостренная форма, в которой она может проявиться и которая на первый взгляд кажется ставящей нас в гораздо большее недоумение.

Предположим, что различные классы, упомянутые выше, не включены последовательно один в другой. Мы можем тогда быть совершенно в недоумении, какую из статистических таблиц использовать. Давайте предположим, например, что девять из десяти англичан страдают от проживания на Мадейре, но что девять из десяти чахоточных лиц получают пользу от такого проживания. Эти статистические данные, хотя и причудливы, мыслимы и совершенно совместимы. Джон Смит — чахоточный англичанин; должны ли мы рекомендовать визит на Мадейру в его случае или нет? Другими словами, какие выводы мы должны сделать о вероятности его смерти? Обе статистические таблицы применимы к его случаю, но они привели бы нас к прямо противоположным заключениям. Это не означает, конечно, противоречивых в точном логическом смысле этого слова, ибо одно из этих суждений не утверждает, что событие должно произойти, а другое не отрицает, что оно должно; но противоречивых в том смысле, что одно заставило бы нас в некоторой значительной степени верить в то, во что другое заставило бы нас в некоторой значительной степени не верить. Это относится, конечно, к индивидуальным событиям; статистика по предположению ни в какой степени не противоречива. Без дальнейших данных, следовательно, мы не можем прийти ни к какому решению.

Практически, конечно, если бы мы были вынуждены принять решение только с этими данными перед нами, мы сделали бы наш выбор на основе соображения, что состояние легких человека, вероятно, имеет больше общего с его здоровьем, чем место его рождения; то есть мы заключили бы, что продолжительность жизни чахоточных англичан соответствует гораздо более тесно продолжительности жизни чахоточных лиц в целом, чем продолжительности жизни их здоровых соотечественников. Но это, конечно, означает привнесение эмпирических соображений в вопрос. Данные, как они даны нам, и если мы ограничиваемся ими, оставляют нас в абсолютной неопределенности по этому пункту. Может быть, чахоточные англичане почти все умирают при транспортировке в другой климат; может быть, они почти все выздоравливают. Если они умирают, это в очевидном соответствии с первым набором статистики; это будет найдено в соответствии со вторым набором через тот факт, что иностранные чахоточные извлекают выгоду из смены климата в большей пропорции, чем то, что можно было бы назвать их должной пропорцией. Подобное объяснение применимо к другой альтернативе, а именно к предположению, что чахоточные англичане в основном выздоравливают. Проблема, следовательно, остается абсолютно неопределенной, ибо мы не можем здесь апеллировать к какому-либо общему правилу, столь простому и столь очевидно применимому, как то, которое в предыдущем случае рекомендовало нам всегда предпочитать более специальную статистику, когда она достаточно обширна, той, которая является более широкой и более общей. У нас нет средств здесь знать, является ли один набор более специальным, чем другой.

И в этом не может быть найдено никакой трудности, до тех пор, пока мы ограничиваемся справедливым взглядом на предмет. Позвольте мне снова напомнить читателю, каково наше нынешнее положение; мы заменили знание индивида (обнаружив, что оно недостижимо) знанием того, что происходит в среднем в подобных случаях. Этот шаг должен был быть сделан в тот момент, когда проблема была передана в ведение теории вероятностей. Но концепция сходства в случаях вводит нас в недоумение; нам удается, действительно, избежать его во многих случаях, но здесь оно неизбежно навязывается нашему вниманию. Здесь есть два аспекта этого сходства, и они вводят нас в два различных средних значения. Делаются два утверждения о том, что происходит в долгосрочной перспективе, и оба этих утверждения, по предположению, подтверждаются. В их истинности не должно быть сомнений, ибо оба, как предполагалось, были получены из опыта.

§ 24. Возможно, кто-то предположит, что подобный пример является reductio ad absurdum принципа, на котором основано страхование жизни и другие виды страхования. Однако мгновенное размышление покажет, что это глубокое заблуждение и что принцип страхования точно так же применим к примерам такого рода, как и к любым другим. У страховой компании не должно возникнуть трудностей в предполагаемом случае. Она могла бы (хотя по причине, которая будет упомянута далее, вероятно, не стала бы) застраховать этого человека без противоречий по ставке, определяемой любым из средних значений. Она могла бы сказать ему: «Вы англичанин. Из множества англичан, которые обращаются к нам, девять из десяти умирают, если отправляются на Мадейру. Мы застрахуем вас по ставке, установленной на основе этой статистики, зная, что в долгосрочной перспективе, что касается нас, все будет верно. Вы также больны чахоткой, это правда, и мы не знаем, какова доля англичан, больных чахоткой, и какова доля английских чахоточных больных, умирающих на Мадейре. Но для наших целей это не имеет значения. Формула “девять из десяти умирают” в действительности рассчитана с учетом этих неизвестных пропорций; ибо, хотя мы не знаем их самих по себе, статистика сообщает нам все, что нам нужно знать об их результатах. Иными словами, какие бы неизвестные элементы ни существовали, они, в отношении всех эффектов, которые могут произвести, должны быть уже учтены, так что наше незнание о них не может ни в малейшей степени обесценить те выводы, которые мы способны сделать. И этого достаточно для наших целей». Но точно такие же слова можно было бы сказать ему, если бы он представился как человек, больной чахоткой; то есть компания могла бы безопасно вести свои дела при любом из этих вариантов.

Конечно, это было бы весьма несовершенное состояние дел. Единственным рациональным планом было бы выделить случай англичан, больных чахоткой, чтобы произвести отдельный расчет для их обстоятельств. Этот расчет тогда сразу же вытеснил бы все остальные таблицы, насколько это их касается; ибо хотя в конечном счете он не мог бы претендовать на какое-либо превосходство над другими, тем временем он отличался бы меньшими и более незначительными отклонениями от истины.

§ 25. Истинная причина, по которой страховая компания не могла бы долго работать на вышеуказанных условиях, совершенно иного рода, чем та, которую могли бы предположить некоторые читатели, и относится к классу соображений, которыми часто пренебрегали при попытках построить науки о различных отраслях человеческого поведения. Это не что иное, как та досадная случайность, которой подвержены пророки со времен Ионы: произнесение самоубийственных пророчеств; публикация выводов, которые совершенно верны, когда учтены все условия и причины, кроме одной, а именно — эффекта самого пророчества на тех, к кому оно относится.

В нашем примере выше компания (поскольку речь идет о конкретных случаях на Мадейре) преуспевала бы до тех пор, пока соответствующие англичане, больные чахоткой, не узнали бы, на каких гораздо лучших условиях они могли бы договориться, объявив себя чахоточными и уплатив страховой взнос, соответствующий этому классу, вместо того чтобы объявлять себя англичанами. Но если бы они сделали это, они, конечно, нарушили бы статистику. Таблицы основывались на предположении, что определенная фиксированная доля (неважно, какая) английских жизней будет оставаться чахоточными жизнями, что при предполагаемых обстоятельствах, вероятно, вскоре перестало бы быть правдой. Когда говорят, что девять англичан из десяти умирают на Мадейре, имеется в виду, что из тех, кто приходит в компанию, как говорится, случайно или в своей справедливой пропорции, девять десятых умирают. Предполагается, что чахоточные едут туда так же, как рыжие люди, поэты или любой другой особый класс. Или они могли бы ехать в любых пропорциях, больших или меньших, чем у других классов, до тех пор, пока они придерживаются одной и той же пропорции повсюду. Тогда таблицы рассчитываются исходя из сохранения такого положения вещей; практическое противоречие заключается в допущении, что такое положение вещей сохранится после того, как люди однажды взглянули на таблицы. Если мы просто сделаем допущение, что публикация этих таблиц не внесла никаких изменений в поведение тех, к кому она относилась, то никаких подобных затруднений не возникнет.

§ 26. Сделанные здесь допущения, как уже было сказано, никоим образом не противоречивы, но требуют некоторого пояснения. Легко заметить, что в совокупности они несовместимы с предположением, что каждый из этих классов является однородным, то есть что статистические пропорции, справедливые для целого любого из них, будут также справедливы для любой их части, которую мы можем взять. Существуют определенные индивиды (а именно, англичане, больные чахоткой), которые принадлежат к каждому классу, и, конечно, два разных набора статистики не могут быть оба верны для них, если рассматривать их отдельно. Они могли бы совпадать по своим характеристикам с любым из классов, но не с обоими; вероятно, в большинстве практических случаев они не будут совпадать ни с одним из них, а будут иметь несколько промежуточный характер. Теперь, когда о таком неоднородном теле говорят, что, скажем, девять десятых умирают, имеется в виду (или, скорее, подразумевается), что класс может быть разбит на более мелкие подразделения более однородного характера, в некоторых из которых, конечно, умирает более девяти десятых, в то время как в других — меньше, причем различия зависят от их характера, конституции, профессии и т. д.; число таких делений и степень их расхождения друг с другом могут быть весьма значительными.

Теперь, когда мы говорим о любом классе как о целом и утверждаем, что девять десятых умирают, наиболее естественный и здравый смысл заключается в том, что такова была бы пропорция, если бы все без исключения отправились за границу, или (что сводится к тому же) если бы каждое из этих различных подразделений было представлено в справедливой пропорции к своей численности. Или же может иметься в виду только то, что они едут в какой-то другой пропорции, зависящей от их вкусов, занятий и так далее. Но какой бы смысл ни был принят, необходимо одно условие, а именно: пропорция каждого класса, которая существовала в то время, когда составлялась статистика, должна соблюдаться повсеместно. Когда класс однороден, это не требуется, но когда он неоднороден, статистика была бы нарушена, если бы это условие не было обеспечено.

Мы предполагаем здесь наличие двух наборов статистики: одного для англичан и одного для чахоточных, так что английские чахоточные в некотором смысле посчитаны дважды. Если их смертность имеет промежуточное значение, то они служат для снижения смертности одного класса и повышения смертности другого. Если предполагается, что статистика является исчерпывающей, относясь ко всему классу, то следует, что фактически одни и те же индивиды должны быть посчитаны каждый раз; но если берутся только представители каждого класса, то одни и те же индивиды не обязательно должны быть включены в каждый набор таблиц.

§ 27. Поэтому, когда они приходят страховаться (наши замечания все еще ограничены нашим предполагаемым случаем на Мадейре), у нас есть некоторые английские чахоточные, посчитанные как англичане и платящие высокую ставку; и другие, посчитанные как чахоточные и платящие низкую ставку. Логически, действительно, мы можем предположить, что все они внесены в каждый класс и, следовательно, платят каждую ставку. То, что мы сказали выше, заключается в том, что любой индивид может быть представлен как претендующий на любой из этих классов. Представьте, что кто-то другой платит за него страховой взнос, так что для него лично безразлично, по какой ставке он страхуется, и ничто не мешает некоторым из класса (или, если на то пошло, всем) перейти в один класс, а другим (или снова всем) — в другой класс.

Поэтому до тех пор, пока мы делаем логически возможное, хотя практически абсурдное предположение, что некоторые люди будут продолжать платить более высокую ставку, чем им нужно, ничто не мешает английским чахоточным (некоторым или всем) страховаться в каждой категории и платить соответствующий взнос. Как только они задумаются об этом, конечно, они все предпочли бы в предполагаемом случае страховаться как чахоточные. Но их действия нарушили бы каждый набор статистики. Английская смертность на Мадейре мгновенно стала бы выше, насколько это касается страховой компании, из-за потери всех их лучших жизней; в то время как статистика чахоточных (если только все английские чахоточные уже не были взяты для страхования) была бы таким же образом ухудшена. [5] Поэтому потребовалась бы небольшая корректировка каждой шкалы страхования; это и есть нарушение, упомянутое чуть выше. Однако должно быть ясно понято, что не наша исходная статистика оказалась противоречивой, а просто существовали практические препятствия для осуществления системы страхования на ее основе.

§ 28. Примеры, подверженные рассматриваемой здесь трудности, несомненно, покажутся озадачивающими студенту, не знакомому с предметом. Их трудно примирить с любым другим взглядом на науку, кроме того, на котором настаивают в этом Эссе, а именно: что нас интересуют только средние значения. Возможно, будет выдвинуто возражение, что в этих случаях существуют две разные ценности жизни человека и что они не могут быть обе верными. Почему нет? «Ценность» его жизни — это просто количество лет, до которых люди в его обстоятельствах доживают в среднем; мы видим человека перед собой в двух разных обстоятельствах; что удивительного, следовательно, в том, что они предлагают разные средние значения? В таком возражении забывается, что нам пришлось заменить недостижимый результат в отношении индивида действительно достижимым результатом в отношении набора людей, максимально похожих на него. Трудность и кажущееся противоречие возникают только тогда, когда люди пытаются найти какое-то оправдание своей вере в индивидуальном случае. Что мы можем, возможно, заключить, могут спросить, о перспективах этого конкретного человека Джона Смита, когда нам предлагают две разные ценности для его жизни? Ничего, должен быть ответ; и не могли бы мы в действительности сделать вывод, следует помнить, и в предыдущем случае, когда мы были практически ограничены одним набором статистики. Там у нас также было то, что мы называли «ценностью» его жизни, и, поскольку мы знали только одну такую ценность, мы стали рассматривать ее как в некотором смысле подходящую для него как для индивида. Здесь, с другой стороны, у нас есть две ценности, принадлежащие к разным сериям, и, поскольку эти ценности действительно различны, можно пожаловаться, что они противоречивы, но такая жалоба может быть сделана только тогда, когда мы делаем то, на что не имеем права, а именно: приписываем индивиду ценность, которая допускает индивидуальное оправдание.

§ 29. Является ли тогда совершенно произвольным, какую серию или класс случаев мы выбираем для суждения? Отнюдь нет; неоднократно заявлялось, что при выборе серии мы должны искать такую, члены которой будут напоминать нашего индивида во многих его атрибутах, насколько это возможно, при условии лишь ограничения, что это должна быть достаточно обширная серия. Имеется в виду, что в вышеупомянутом случае, где у нас есть две серии, мы не можем справедливо назвать их противоречивыми; единственное обоснованное обвинение — это обвинение в неполноте или недостаточности для их цели, обвинение, которое применяется в точно таком же смысле, следует помнить, ко всей статистике, которая включает роды, неоправданно более широкие, чем виды, с которыми мы имеем дело. Единственная разница между двумя разными классами случаев заключается в том, что в одном случае мы находимся на пути, который, как мы знаем, приведет в конце концов, через многие ошибки, к истине (в том смысле, в каком истина может быть достигнута здесь), и мы выбрали его за неимением лучшего. В другом случае у нас есть два таких пути, совершенно разных пути, любой из которых, однако, приведет нас к истине, как и прежде. Противоречие может казаться возникающим только тогда, когда предпринимается попытка оправдать каждый отдельный шаг на наших путях, а также их конечную тенденцию.

Тем не менее нельзя отрицать, что эти возражения являются серьезным недостатком для полноты и обоснованности любых ожиданий, которые основаны исключительно на статистической частоте, по крайней мере на ранней стадии опыта, когда было собрано лишь немного статистических данных. Такие знания, которые может дать Вероятность, не являются в каком-либо индивидуальном случае высокого порядка, будучи подверженными характерной немощи повторяющейся ошибки; но даже если измерять их по их собственному стандарту, они начинаются с очень низкой стадии мастерства. Ошибки тогда относительно очень многочисленны и велики по сравнению с тем, до чего они могут быть в конечном итоге сведены.

§ 30. Здесь, как и везде, происходит непрерывный процесс специализации. Потребности постепенно расширяющегося опыта постоянно призывают нас подразделять классы, которые оказываются слишком неоднородными. Иногда единственная жалоба, которую приходится высказывать, заключается в том, что класс, к которому мы вынуждены обращаться, оказывается несколько слишком широким для наших целей и что его можно было бы удобно подразделить. Это случай, как было показано выше, когда страховая компания обнаруживает, что ее растущий бизнес делает возможным и желательным отделение людей, занимающихся определенными профессиями, от остальных их соотечественников. Точно так же и в любой другой области, в которой используется статистика. Этот возросший спрос на конкретность ведет, по сути, так же естественно в этом направлении, как прогресс цивилизации ведет к разделению профессий в любом городе или стране. Так и в отношении другого вида недоумения, упомянутого выше. Нет ничего более обычного в тех науках или практических искусствах, в которых дедукция малоприменима и где, как следствие, наши знания по большей части эмпирического рода, чем встречать предложения, которые указывают более или менее прямо в противоположных направлениях. Всякий раз, когда открывается или вводится в более широкое употребление какое-то новое вещество, те, кому приходится иметь с ним дело, должны быть знакомы с таким положением дел. Врач, которому приходится применять новое лекарство, часто может оказаться перед лицом двух различных рекомендаций: что, с одной стороны, его следует применять при определенных заболеваниях, а с другой стороны, его не следует пробовать на определенных конституциях. Человек с такой конституцией, но страдающий от такой болезни, обращается к нему; какой рекомендации следовать врачу? Он сразу чувствует себя обязанным взяться за сбор более узкой и специальной статистики, чтобы избежать такой двусмысленности.

§ 31. В этом и множестве аналогичных случаев, предоставляемых более практическими искусствами, конечно, не обязательно, чтобы приводились и использовались числовые данные; достаточно того, что суждение более или менее сознательно определяется ими. Все, что необходимо для того, чтобы сделать примеры подходящими, — это признать, что в их случае статистические данные являются нашим последним доводом в нынешнем состоянии знаний. Конечно, если эмпирические законы могут быть сведены к их составляющим причинам, мы можем обратиться к прямой дедукции, и в этом случае использование статистики, а следовательно, и использование теории Вероятности, может быть вытеснено.

В этом направлении, следовательно, по мере того как время идет, прогресс статистического уточнения путем непрерывного подразделения классов для удовлетворения развивающихся потребностей человека вполне очевиден. Но если мы взглянем назад на более примитивную стадию, мы вскоре увидим, в каком очень несовершенном состоянии начинается эта операция. На этой ранней стадии, однако, Вероятность и Индукция настолько тесно связаны друг с другом, что очень склонны сливаться в одно, или, по крайней мере, их функции путаются.

§ 32. Поскольку обобщение нашей статистики, как выясняется, относится к Индукции, этот процесс обобщения может рассматриваться как предшествующий Вероятности или, по крайней мере, независимый от нее. Мы, кроме того, уже обсудили (в главе VI) шаг, соответствующий тому, что называется непосредственными выводами, и (в главе VII) тот, что соответствует силлогистическим выводам. Наша нынешняя позиция, следовательно, такова, в которой мы можем считать себя обладающими любым количеством обобщений, но желаем использовать их так, чтобы делать выводы о данном индивиде; точно так же, как в одном отделе общей логики мы заняты поиском средних терминов для установления желаемого вывода. В последнем случае процесс оказывается чрезвычайно простым, никакое накопление различных средних терминов не способно привести к какой-либо реальной двусмысленности или противоречию. В Вероятности, однако, дело обстоит иначе. Здесь, если мы попытаемся сделать выводы об индивидуальном случае перед нами, как часто пытаются — в Правиле преемственности, например, — мы столкнемся с полной силой этой двусмысленности и противоречия. Однако отнеситесь к вопросу справедливо, и вся трудность исчезнет. Наш вывод на самом деле не об индивидах как таковых, а о сериях или последовательностях их. Мы хотели знать, умрет ли Джон Смит в течение года; это, однако, не может быть известно. Но Джон Смит, обладая многими атрибутами, принадлежит ко многим различным сериям. Множество средних терминов, следовательно, — это то, чего следует ожидать. Мы можем знать, умирает ли последовательность людей, жителей Индии, чахоточных и т. д. в течение года. Мы можем, следовательно, сделать наш выбор среди них, и в долгосрочной перспективе вера и последующее поведение нас самих и других лиц (как описано в главе VI) станут способными к оправданию. Что касается выбора одной из этих серий, а не другой, у нас есть два противоположных принципа руководства. С одной стороны, чем специальнее серия, тем лучше; ибо, хотя в конце концов это не более правильно, мы будем таким образом более близки к истине все время. Но, с другой стороны, если мы попытаемся сделать серию слишком специальной, мы, как правило, столкнемся с практическим возражением, возникающим из-за недостаточной статистики.

1 Некоторые из моих читателей могут быть знакомы с очень поразительным отступлением в «Естественной истории» Бюффона (Natural Hist. of Man, § VIII.), в котором он предполагает первого человека в полном владении своими способностями, но которому еще предстоит получить весь свой опыт, и размышляет о постепенном приобретении им знаний. Что бы ни думали о его конкретных выводах, этот отрывок очень интересен и наводит на размышления любого студента психологии.

2 См. также Дугалд Стюарт (ред. Гамильтона; VII. стр. 115–119).

3 То есть требуется для целей логического вывода в пределах Вероятности; не предполагается выражать какие-либо сомнения относительно ее фактической всеобщей распространенности или ее всеважности для научных целей. Предмет более полно обсуждается в будущей главе.

4 Как частные суждения, они оба, конечно, идентичны по форме. Тот факт, что «некоторые» в первом соответствует большей пропорции, чем во втором, является различием, чуждым чистой Логике.

5 Причина очевидна. Самые здоровые английские жизни на Мадейре (а именно чахоточные) теперь перестали считаться английскими; в то время как худшие чахоточные жизни там (а именно английские) теперь увеличились в относительных числах.

ГЛАВА X.

СЛУЧАЙНОСТЬ В ПРОТИВОПОСТАВЛЕНИИ ПРИЧИННОСТИ И ЗАМЫСЛУ.

§ 1. Замечания в предыдущей главе послужат для того, чтобы расчистить путь для исследования, которое, вероятно, вызывает больше популярного интереса, чем любое другое в рамках нашего предмета, а именно: определение того, следует ли приписывать те или иные события Случайности, с одной стороны, или Причинности или Замыслу — с другой. Поскольку основная трудность, по-видимому, возникает из-за двусмысленности, с которой проблема обычно понимается и формулируется, из-за крайней общности вовлеченных концепций, становится необходимым четко различать несколько отдельных вопросов, которые могут быть вовлечены.

I. Прежде всего, существует очень старое возражение, основанное на допущении, которое, как предполагается, делает наша наука, о существовании Случайности. Возражение против случайности, конечно, на много веков старше Теории Вероятности; и поскольку в наши дни это почти устаревшее возражение, нам не нужно долго останавливаться на его рассмотрении. Если бы мы писали слово с большой буквы С и утверждали, что оно является представителем какого-то отдельного творческого или административного агентства, мы, по-видимому, были бы виновны в какой-то форме манихейства. Но единственным рациональным смыслом возражения, по-видимому, было бы то, что принципы науки заставляют нас предполагать, что события (только некоторые события, то есть) происходят без причин и тем самым удаляются из обычного контроля Божества. Как уже неоднократно указывалось, это полное заблуждение. Наука о Вероятности не делает никаких допущений относительно того, каким образом события осуществляются, будь то по причинности или без нее. Все, что мы обязуемся сделать, — это установить и объяснить свод правил, которые применимы к классам случаев, в которых мы не делаем или не можем делать выводы об индивидах. Возражение, следовательно, должно быть сформулировано несколько иначе и, по-видимому, в конечном итоге сводится к следующему: что допущения, на которых покоится наука о Вероятности, несовместимы с неверием в причинность в определенных пределах; причинность, конечно, понимается просто в смысле регулярной последовательности. Так сформулированное возражение кажется вполне обоснованным, или, скорее, факты, на которых оно основано, должны быть признаны; хотя какая связь была бы между таким отсутствием причинности и отсутствием Божественного надзора, я совершенно не вижу.

По мере того как это теологическое возражение угасало, люди физической науки и те, кто им сочувствовал, начали настаивать на том же протесте; и подобные предостережения все еще время от времени встречаются в современных трактатах. Юм, например, в своем коротком эссе о Вероятности начинает с замечания: «хотя в мире нет такой вещи, как случайность, наше незнание реальной причины любого события имеет то же влияние на понимание и т. д.». Де Морган, действительно, заходит так далеко, что заявляет, что «основания теории Вероятности перестали существовать в уме, который сформировал концепцию», «что что-либо когда-либо случалось или случится без какой-то конкретной причины, почему это должно было быть именно тем, чем оно было, а не чем-то другим». [1] Подобные замечания можно было бы процитировать у Лапласа и других.

§ 2. В конкретной форме вышеупомянутой полемики, которая чаще всего встречается в области естественных и физических наук, утверждение о том, что случайность и причинность непримиримы, занимает скорее оборонительную позицию; основной факт, на котором настаивают, заключается в том, что всякий раз, когда в этих предметах мы можем быть невежественны в деталях, у нас нет оснований предполагать как следствие, что детали беспричинны. Но эта предполагаемая непримиримость иногда выдвигается в гораздо более агрессивном духе в отношении социальных исследований. Здесь часто делается попытка доказать причинность в деталях, исходя из известной и признанной регулярности в средних значениях. Значительное количество споров было вызвано несколько лет назад по этой теме, в значительной степени инициированных энергичной и откровенной поддержкой необходимости со стороны Бокля в его «Истории цивилизации».

Следует отметить, что в этих случаях иногда делается попытка как бы поразить читателя согласием с помощью сингулярности выбранных примеров. Выбираются случаи, которые, хотя и не обладают большей логической ценностью, являются, если можно так выразиться, эмоционально более эффективными. Каждый читатель «Истории» Бокля, например, помнит, какой упор он делал на наблюдаемый факт, что число самоубийств в Лондоне остается примерно одинаковым из года в год; и он может также помнить своего рода панику, с которой обнародование этого факта сопровождалось во многих кругах. Так же и то, как Лаплас замечает, что число адресованных не по адресу писем, ежегодно отправляемых в почтовое отделение, остается примерно одинаковым, и комментарии Дугалда Стюарта по поводу этой конкретной единообразия, по-видимому, подразумевают, что они считали этот пример более примечательным, чем многие аналогичные, взятые из других областей.

То, что существует определенное основание истины в рассуждениях, в поддержку которых выдвигаются вышеуказанные примеры, нельзя отрицать, но их авторы, как мне кажется, очень сильно переоценивают тот род оппозиции, который существует между теорией Случайностей и доктриной Причинности. Что касается, во-первых, той более широкой концепции порядка или регулярности, которую мы назвали единообразием, то все, что можно было бы назвать объективной случайностью, безусловно, противоречило бы этому в одном отношении. В Вероятности всегда постулируется конечная регулярность; при подбрасывании кости, если бы не только индивидуальные броски были неопределенны в своих результатах, но даже среднее значение также, из-за природы кости или количества отметок на ней, подвергаясь произвольному вмешательству, конечно, никакая наука не пыталась бы принимать это во внимание.

§ 3. Столько, несомненно, должно быть предоставлено; но должно ли быть сделано такое же допущение в отношении последовательности индивидуальных событий? Может ли причинность, в смысле неизменной последовательности (ибо мы здесь переходим на эту более узкую почву), быть отрицаема, не то чтобы без подозрения в научной ереси, но, по крайней мере, без внесения неопределенности в основания Вероятности? Де Морган, как мы видели, решительно утверждает, что это не может быть так. Я не могу согласиться с ним здесь, но это несогласие проистекает не столько из различий в деталях, сколько из различий в точке зрения, с которой мы рассматриваем науку. Он всегда, по-видимому, склоняется к мнению, что индивидуальное суждение в вероятности должно допускать оправдание; что когда мы говорим, например, что шансы в пользу какого-то события составляют три к двум, мы можем объяснить и оправдать наше утверждение без какой-либо необходимости ссылки на серию или класс таких событий. Нелегко увидеть, как это можно сделать в любом случае, но препятствия, несомненно, были бы еще больше, чем они есть, если бы знание об индивидуальном событии было не просто недостигнутым, но, из-за отсутствия какой-либо причинной связи, существенно недостижимым. В теории, принятой в этой работе, мы просто постулируем незнание деталей, но не считается важным, на каких основаниях это незнание базируется. Может быть, знание исключено из-за природы случая, причинная связь, так сказать, отсутствует. Может быть, известно, что такие связи существуют, но либо мы не можем их установить, либо нам было бы хлопотно это сделать. Именно факт этого незнания заставляет нас обращаться к теории Вероятности, основания его не имеют значения.

§ 4. На принятой здесь точке зрения нас интересуют только средние значения или единичное событие, выведенное из среднего значения и задуманное как составляющее часть серии. Мы начинаем с допущения, основанного на опыте, что в этом среднем значении есть единообразие, и, пока это обеспечено для нас, мы можем позволить себе быть совершенно безразличными к судьбе, в отношении причинности, индивидов, которые составляют среднее значение. Вопрос тогда принимает следующую форму: — Является ли это допущение, о средней регулярности в совокупности, несовместимым с допущением того, что можно назвать беспричинной нерегулярностью в деталях? Мне не кажется, что было бы совсем легко доказать, что это так. На самом деле эти два убеждения постоянно сосуществовали в одних и тех же умах. Это может мало что значить, но это предполагает, что если между ними и есть противоречие, то оно отнюдь не ощутимо и очевидно. Миллионы, например, верили в общую регулярность сезонов, взятых один с другим, которые, конечно, не верили в, и, весьма вероятно, были бы готовы отчетливо отрицать, существование необходимых последовательностей в различных явлениях, которые составляют то, что мы называем сезоном. Так же с картами и костями; почти каждый игрок должен был признать, что суждение и предвидение полезны в долгосрочной перспективе, но авторы о случайности, по-видимому, думают, что игрокам нужно много рассуждений, чтобы убедить их, что каждый отдельный бросок по своей природе существенно предсказуем.

§ 5. В своем применении к моральным и социальным предметам то, что придает этой полемике ее главный интерес, — это ее реальное или предполагаемое влияние на спорный вопрос о свободе воли; ибо в этой области Причинность и Фатализм или Необходимость рассматриваются как одно и то же.

Здесь, как и в последнем случае, тот широкий и несколько расплывчатый род регулярности, который мы назвали Единообразием, должен быть признан как общеизвестный факт. Статистика лишила возможности любого разумно информированного человека чувствовать какие-либо колебания по этому пункту. Некоторое представление уже было получено в более ранних главах о природе и количестве доказательств, которые могли бы быть предоставлены этого факта, и любое количество еще могло бы быть предоставлено из работ профессиональных авторов по этому предмету. Если, следовательно, Свобода воли интерпретируется так, чтобы подразумевать такую существенную нерегулярность, которая бросает вызов предсказанию как в среднем, так и в единичном случае, тогда отрицание свободы воли следует не как отдаленное логическое следствие, а как очевидный вывод из неоспоримых фактов опыта.

Немногие люди, однако, зашли бы так далеко, чтобы интерпретировать ее в этом смысле. Все, что их беспокоит, — это страх, что каким-то образом эта общая регулярность может оказаться несущей с собой причинность, безусловно, в смысле регулярной неизменной последовательности, и, вероятно, также с дальнейшей ассоциацией принуждения. Отвергая последнюю ассоциацию как совершенно нефилософскую, я даже не могу видеть, что первое следствие может быть признано действительно доказанным, хотя оно, несомненно, получает некоторое подтверждение из этого источника.

§ 6. Природа аргумента против свободы воли, почерпнутого из статистики, по крайней мере в той форме, в которой он очень часто выражается, кажется мне чрезвычайно дефектной. Антецеденты и консеквенты, в случае наших волеизъявлений, должны, очевидно, предполагаться очень близкими по времени, если должно быть установлено что-то приближающееся к причинности: тогда как в статистических исследованиях данные часто широко разделены, если они вообще не применяются только к отдельным группам действий или результатов. Например, в случае с неверно направленными письмами, то, что пытаются доказать, заключается в том, что каждый автор был настолько «жертвой обстоятельств» (используя общее, но вводящее в заблуждение выражение), что он не мог поступить иначе, чем он поступил при своих обстоятельствах. Но на самом деле никакое накопление цифр, доказывающее, что число таких писем остается одинаковым из года в год, не может иметь большого значения для этой доктрины, даже если бы они сопровождались соответствующими цифрами, которые связали бы забывчивость, таким образом указанную, с некоторыми другими характеристиками у авторов. Так же с числом самоубийств. Если 250 человек ежегодно лишают себя жизни в Лондоне, факт, как он стоит сам по себе, может быть важным для филантропа и государственного деятеля, но он требует приведения в гораздо более тесную связь с психологическими элементами, если он должен убедить нас, что действия людей всегда являются примерами негибкого порядка. Фактически, вместо того чтобы обеспечить наши А и Б здесь в теснейшей близости последовательности друг к другу — чтобы использовать символическую нотацию, обычно используемую в работах по Индуктивной Логике для иллюстрации причинной связи, — мы находим их разделенными значительным интервалом; часто, действительно, у нас есть просто А или Б само по себе.

§ 7. Опять же, еще один недостаток в таких рассуждениях, по-видимому, заключается в придании чрезмерного веса простой регулярности или устойчивости статистики. Они могут привести к очень важным результатам, но они не совсем то, что требуется для цели доказательства чего-либо против свободы воли; нелегко, действительно, увидеть, какая связь это имеет с такими фактами, как то, что ежегодное число краж или самоубийств остается примерно на одной и той же цифре. Статистическое единообразие, кажется мне, не устанавливает ничего другого, по крайней мере прямо, в случае человеческих действий, чем в случае физических характеристик. Возьмем лишь один пример, пример неверно направленных писем. Мы уже знали, что рост, вес, объем груди и так далее большого числа лиц сохраняли довольно регулярное среднее значение среди бесчисленных отклонений, и мы были подготовлены по аналогии ожидать ту же регулярность в их ментальных характеристиках. Все, что мы получаем, подсчитывая количество писем, которые отправляются без адресов, — это определенное количество прямых доказательств того, что это так. Точно так же, как наблюдения первого рода уже показали, что статистика силы и роста человеческого тела группируется вокруг среднего значения, так и статистика второго рода показывает, что подобное положение вещей преобладает в отношении готовности и общей надежности памяти. Доказательство не столь прямое и убедительное в последнем случае, ибо память не выделяется и не подвергается измерению сама по себе, а берется в сочетании с бесчисленными другими влияющими обстоятельствами. Тем не менее, нет сомнений в том, что статистика в целом говорит в этом направлении и что путем должного варьирования и расширения ее они могут получить значительную доказательную силу.

Дело в том, что Вероятность не имеет большего отношения к Естественной Теологии, ни в ее пользу, ни против нее, чем общие принципы Логики или Индукции. Это просто свод правил для вывода заключений о классах событий, которые отличаются определенным качеством. Верующий в Божество будет, путем изучения природы, приведен к формированию мнения о Его делах, и, таким образом, в определенной степени о Его атрибутах. Но разве разумно предлагать, чтобы он отказался от своей веры, потому что последовательность событий — не, заметьте, их общая тенденция к счастью или несчастью, добру или злу — осуществляется способом, отличным от того, что он ожидал; будь то путем отображения порядка там, где он ожидал нерегулярности, или путем вовлечения механизма вторичных причин там, где он ожидал немедленного агентства.

§ 8. Забавно и поучительно рассмотреть, какие очень разные чувства могли бы быть возбуждены в наших умах этим сосуществованием, того, что можно назвать, незнания индивидов и знания совокупностей, если бы они представились нашему наблюдению в обратном порядке. Будучи совершенно неспособными делать уверенные предсказания об одной жизни или поведении индивидов, люди иногда поражаются, а иногда даже приходят в ужас от неожиданного открытия, что такие предсказания могут быть уверенно сделаны, когда мы говорим о больших числах. И так некоторые побуждаются воскликнуть: «Это отрицание Провидения! это полный Фатализм!». Но давайте предположим на мгновение, что наше знакомство с предметом было испытано, в первую очередь, в отношении совокупностей, а не индивидуальных жизней. Трудно, возможно, осуществить такое допущение полностью; хотя мы можем легко представить нечто приближающееся к нему в случае невежественного клерка в Офисе Страхования Жизни, который никогда не думал о жизни, кроме как имеющей такую «ценность» в таком возрасте, и который едва ли оценивал ее, кроме как в форме средних значений. Не могли бы мы предположить его, в какой-то момент рефлексии, удивленным и пораженным внезапным осознанием полной неопределенности, в которую вовлечена единичная жизнь? И не могло бы его восклицание в свою очередь быть: «Почему это отрицание Провидения! Это полный хаос и случайность!». Вера в Творца и Администратора мира не ограничивается каким-либо конкретным допущением о природе немедленной последовательности событий, но те, кто привык до сих пор рассматривать события под одним из аспектов, упомянутых выше, часто будут некоторое время чувствовать себя в недоумении, как связать их с другим.

§ 9. До сих пор мы касались очень общего вопроса; а именно: отношения фундаментальных постулатов Вероятности к концепции Порядка или Единообразия в мире, физическом или моральном. Трудности, которые отсюда возникают, в основном теологические, метафизические или психологические. Что мы должны теперь рассмотреть, так это проблемы более детального или логического характера. Они в основном следующие два: (1) различие между случайным расположением и причинным расположением в физических явлениях; и (2) различие между случайным расположением и задуманным расположением, где мы, как предполагается, созерцаем рациональное агентство, действующее по крайней мере с одной стороны.

II. Первый из этих вопросов поднимает антитезу между случайностью и причинностью, не как общую характеристику, пронизывающую все явления, а в отношении какого-то конкретного события: — Является ли это случайностью или нет? Самые ярые сторонники всеобщей распространенности причинности и порядка признают, что вопрос является уместным, и они, следовательно, должны рассматриваться как имеющие какое-то правило для проверки ответов на него.

Предположим, например, что человека схватил приступ в доме, куда он пришел обедать, и он умирает там; и кто-то замечает, что это был тот самый дом, в котором он родился. Мы начинаем задаваться вопросом, было ли это странным совпадением и не более того. Но если наш информатор продолжает рассказывать нам, что дом был старым семейным, и был занят братом покойного, мы сразу почувствовали бы, что эти факты ставят дело в несколько ином свете. Или опять же, как предполагает Курно, если мы слышим, что два брата были убиты в бою в один и тот же день, это имеет большое значение в нашей оценке случая, были ли они убиты, сражаясь в одном и том же сражении, или один пал на севере Франции, а другой на юге. Последнее мы сразу отнесли бы к простым совпадениям, тогда как первое могло бы допускать объяснение.

§ 10. Проблема, как она задумана таким образом, кажется скорее проблемой Индуктивной Логики, чем Вероятности, потому что нет ни малейшей попытки рассчитать шансы. Но она заслуживает некоторого внимания здесь. Конечно, никакой точный мыслитель, который находился под властью современных физических понятий, ни на мгновение не усомнился бы в том, что каждый из двух рассматриваемых элементов имел свою «причину» позади него, из которой (предполагая совершенное знание) можно было бы уверенно сделать вывод. Не более он усомнился бы, я полагаю, что если бы мы могли принять достаточно детальный и всеобъемлющий взгляд и проникнуть достаточно далеко в прошлое, мы достигли бы стадии, на которой (опять же предполагая совершенное знание) сосуществование двух событий могло бы быть одинаково предвидено. Использование слова «случайный», следовательно, не подразумевает никакого отказа от причины; но оно, тем не менее, соответствует различию некоторого практического значения. Мы называем совпадение случайным, я полагаю, когда мы имеем в виду, что никакое знание об одном из двух элементов, которое мы можем предположить практически достижимым, не позволило бы нам ожидать другого. Мы не знаем никакого обобщения, которое охватывало бы их обоих, кроме, конечно, тех, которые принимаются как недействующие. В таком применении кажется, что слово «случайный» используется не в антитезе к «причинному» или «задуманному», а скорее к той более широкой концепции порядка или регулярности, к которой я применил бы термин Единообразие. Случайное совпадение — это то, которое мы не можем подвести под какое-либо специальное обобщение; достоверное, вероятное или даже правдоподобное.

Немного другой способ выражения этого различия состоит в том, чтобы рассматривать эти «простые совпадения» как просто случаи независимых событий, в том смысле, в котором независимость была описана в предыдущей главе. Мы видели, что любые два события, А и Б, были так описаны, когда каждое происходит с точно такой же относительной статистической частотой, происходит ли другое или нет. Это положение вещей, по-видимому, справедливо для последовательностей орлов и решек при подбрасывании монет, как и для рождения мальчиков и девочек в городе, или для цифр во многих математических таблицах. Таким образом, мы предполагаем, что когда людей подбирают на улице и забирают в дом умирать, в долгосрочной перспективе не будет никакого предпочтительного выбора за или против дома, в котором они родились. И все, что мы обязательно имеем в виду, утверждая об таком происшествии, в любом конкретном случае, что это простое совпадение, заключается в том, что этот конкретный случай должен быть изъят из общего списка и перенесен в тот, в котором есть какой-то такой предпочтительный выбор.

§ 11. III. Следующая проблема несколько более сложная и поэтому потребует довольно тщательного подразделения. Она включает антитезу между Случайностью и Замыслом. То есть мы сейчас (как в предыдущем случае) не рассматриваем объекты только в их физическом аспекте и принимаем во внимание только относительную частоту их сосуществования или последовательности; но мы рассматриваем агентство, которым они производятся, и мы спрашиваем, доверяло ли это агентство тому, что мы называем случайностью, или оно использовало то, что мы называем замыслом.

Читатель должен ясно понимать, что мы сейчас не обсуждаем простой вопрос факта, является ли определенное назначенное расположение тем, что мы называем случайным. Это, как было полностью указано в четвертой главе, может быть решено простым осмотром, при условии, что материалы достаточно обширны. Что мы сейчас предлагаем сделать, так это продолжить исследование с того момента, на котором мы тогда должны были его оставить, решив вопрос: Учитывая определенное расположение, более вероятно, что оно было произведено замыслом или одним из методов, обычно называемых случайными методами? Различие будет очевидным, если мы вернемся к последовательности цифр, которые составляют отношение π. Как я сказал, это расположение, рассматриваемое как простая последовательность цифр, по-видимому, идеально выполняет характеристики случайного расположения. Если бы мы опустили первые четыре или пять цифр, которые знакомы большинству из нас, мы могли бы смело бросить вызов любому, кому это было показано, сказать, что это не было получено простым вытягиванием цифр из мешка. Он мог бы смотреть на это всю свою жизнь, не обнаружив, что это что-то иное, кроме результата такого случайного выбора. И справедливо так, потому что, рассматриваемое как простое расположение, оно является случайным: оно выполняет все требования такого расположения. [2] Вопрос, который мы сейчас приступаем к обсуждению, таков: Учитывая любое такое расположение, как нам определить процесс, с помощью которого оно было достигнуто?

Мы предполагаем, что перед нами есть некоторое событие, которое могло быть произведено одним из двух альтернативных способов, т.е. случайно или каким-то видом преднамеренного замысла; и нас просят определить шансы в пользу одной или другой из этих альтернатив. Это, следовательно, проблема Обратной Вероятности и подвержена всем трудностям, которым склонны подвергаться проблемы этого класса.

§ 12. Для теоретического решения такого вопроса нам требуются следующие два данных: —

(1) Относительная частота двух классов агентств, а именно: того, которое должно действовать случайным образом, и того, которое должно действовать преднамеренно.

(2) Вероятность того, что каждое из этих агентств, если бы оно было действительно действующим, произвело бы рассматриваемое событие.

Последнее из этих данных обычно может быть обеспечено без каких-либо трудностей. Определение различных случайностей в случайной гипотезе не должно, если пример был подходящим, предлагать какие-либо иные, кроме арифметических трудностей. И что касается альтернативы замысла, обычно принимается как должное, что если бы она была действующей, она определенно произвела бы результат, к которому стремились. Например, если на столе найдены десять пенсов, все орлом вверх, и спрашивается, случайность или замысел работали здесь; мы не чувствуем трудностей до определенного момента. Если бы пенсы были подброшены, мы получили бы десять орлов только один раз в 1024 бросках; но если бы они были помещены преднамеренно, результат был бы достигнут с уверенностью.

Но другой постулат, а именно: постулат относительной распространенности этих двух классов агентств, открывает гораздо более серьезный класс трудностей. Случаи могут быть найдены, без сомнения, хотя они не очень часты, в которых на этот вопрос можно ответить приблизительно, и тогда нет дальнейших хлопот. Например, если в школьном списке класса я увидел бы четыре имени Браун, Джонс, Робинсон, Смит, стоящие в этом порядке, мне могло бы прийти в голову спросить, было ли это расположение алфавитным или по заслугам. В нашем расширенном смысле терминов это эквивалентно случайности и замыслу как альтернативам; ибо, поскольку начальная буква имени мальчика не имеет известной связи с его достижениями, последовательное расположение этих букв по любому другому, кроме алфавитного плана, будет отображать случайные черты, точно так же, как мы обнаружили, что это имеет место с цифрами несоизмеримой величины. Шансы 23 к 1 против того, что 4 имени придут непреднамеренно в алфавитном порядке; они эквивалентны уверенности в пользу того, что они сделают это, если этот порядок был задуман. Что касается относительной частоты двух видов порядков в школьных экзаменах, я не знаю, чтобы статистика была под рукой, хотя ее можно было бы легко получить при необходимости, но довольно уверенно, что большинство принимает порядок по заслугам. Поставьте для гипотезы пропорцию такой высокой, как 9 к 1, и все равно было бы найдено более вероятным, чем нет, что в рассматриваемом случае порядок был действительно алфавитным.

§ 13. Но в подавляющем большинстве случаев у нас нет такой статистики под рукой, и тогда мы оказываемся подверженными очень серьезным двусмысленностям. Они могут быть разделены на два отдельных класса, природа которых лучше всего будет видна при обсуждении примеров.

Во-первых, мы особенно подвержены недостатку, уже описанному в предыдущей главе как делающему простую статистику столь ненадежной, который состоит в том факте, что пропорции так склонны нарушаться почти из момента в момент обладанием свежими намеками или информацией. Мы видели, например, почему статистика смертности была столь бесполезной в разгар болезни или в кризис битвы. Предположим теперь, что, входя в комнату, я вижу на столе десять монет, лежащих орлом вверх, и меня спрашивают, какова была вероятность того, что расположение было вызвано замыслом. Все зависит от специальных знаний обстоятельств случая. Кто был в комнате? Были ли это дети, или коллекционеры монет, или лица, которые могли бы быть предположены как предававшиеся подбрасыванию для спорта или для целей азартных игр? Были ли монеты новыми или старыми? Различие такого рода было бы очень уместным, когда мы рассматривали существование какого-либо мотива для расположения их одинаково вверх. И так далее; мы чувствуем, что наша статистика находится во власти любого мгновенного фрагмента информации.

§ 14. Но помимо этого существует еще одно соображение. На нас должны оказывать влияние не только так называемые внешние обстоятельства общего характера, такие как характер и положение действующих лиц, но и то, что мы считаем общепринятой оценкой, с которой в то время рассматривалось то или иное конкретное случайное сочетание. Так, по мере того как время от времени становятся популярными новые карточные игры, новые комбинации приобретают значимость; и поэтому, когда вопрос о замысле принимает форму возможного мошенничества, знание текущей оценки таких комбинаций становится чрезвычайно важным.

§ 15. Полное значение этих трудностей лучше всего будет понято при обсуждении случая, который не является вымышленным или придуманным для этой цели, а который на самом деле вызвал серьезные споры. Несколько лет назад профессор Пиацци Смит опубликовал работу о Великой пирамиде в Гизе, общая цель которой состояла в том, чтобы показать, что это сооружение содержит в своих размерах, пропорциях и содержании ряд почти неразрушимых природных эталонов длины, объема и т. д. Среди прочего было определено, что значение π точно (степень точности, я думаю, не указана) указывается отношением сторон к высоте. Утверждалось, что этот результат не мог быть случайным, а должен был быть задуман.

Что касается оценки значения гипотезы о случайности, то расчет здесь не столь ясен, как в случае с костями или картами. Мы действительно не можем предположить, что для данной длины основания любая высота может быть одинаково возможной. Мы должны ограничить себя здесь определенным диапазоном; ибо если здание будет слишком высоким, оно будет ненадежным, а если слишком низким — нелепым. Далее, мы должны решить, с какой степенью приближения сделаны измерения. Если они гарантированы с точностью до сотой доли дюйма, совпадение будет совсем иного порядка, чем в том случае, когда гарантия распространяется только на дюйм. Предположим, что это решено и что мы установили, что из 10 000 возможных высот для пирамиды с данным основанием была выбрана именно та, которая наиболее близко дает отношение радиуса к окружности круга.

Оставшимся соображением была бы относительная частота альтернативы «замысла» — то, что называется априорной вероятностью, — то есть относительная частота, с которой можно предположить, что такие строители стремились к этому отношению; с очевидным подразумеваемым допущением, что если бы они стремились к нему, то они бы его, безусловно, обеспечили. Учитывая наше крайнее невежество относительно достижений строителей, очевидно, что никакая попытка численной оценки здесь невозможна. Если бы «замысел» интерпретировался как сознательное решение создать это отношение, а не просто решение использовать какой-то метод, который случайно привел к нему, немногие люди испытывали бы большие колебания. Мы не только чувствуем себя достаточно уверенными в том, что строители не знали значения π, за исключением того грубого способа, которым все ремесленники должны знать его; но мы не видим никакого разумного мотива, если бы они знали его, который побудил бы их увековечить его в своем здании. Если, однако, принять остроумное предположение, мы предположим, что строитель мог действовать следующим образом, дело принимает иной оборот. Предположим, что, решив высоту своей пирамиды, он начертил круг с этим радиусом: что, проложив шнур вдоль линии этого круга, он вытянул этот шнур в квадрат, который и обозначил основание здания. В сравнительно грубую эпоху вряд ли можно было придумать более простые средства; и очевидно, что окружность основания, будучи равной длине шнура, находилась бы в точном, принятом отношении к высоте. Другими словами, точное достижение геометрического значения не подразумевает знания этого отношения, а лишь знание некоторого метода, который включает и демонстрирует его. Корабельный червь может просверлить, так же хорошо, как любой из нас, отверстие, которое демонстрирует геометрические свойства круга, но мы не приписываем ему соответствующего знания.

Как было сказано ранее, любая численная оценка вероятности альтернативы замысла исключена. Но если точность равна той, на которую претендовал г-н Смит, я полагаю, что большинство людей (имея перед собой вышеупомянутое предположение) сочтут несколько более вероятным, что совпадение не было случайным.

§ 16. Остается еще одно серьезное и весьма интересное умозрительное соображение. В приведенном выше аргументе мы приняли как должное при расчете альтернативы случайности, что только одно из 10 000 возможных значений является благоприятным; то есть мы приняли как должное, что отношение π было единственным, чьи претензии, так сказать, были перед судом. Но ясно, что если бы мы получили ровно удвоенное это отношение, результат имел бы аналогичное значение, ибо это было бы просто отношение окружности к диаметру. Фактически, выбранное г-ном Смитом отношение — высота к удвоенной ширине основания по сравнению с диаметром к окружности — очевидно, является лишь одним из множества отношений. Далее, если бы измеренные результаты показали, что отношение высоты к одной стороне основания равно 1 : √2 (т. е. отношению стороны к диагонали квадрата) или 1 : √3 (т. е. отношению стороны к диагонали куба), не свидетельствовали ли бы такие результаты в равной степени о замысле? Действуя таким образом, мы могли бы предлагать одно известное математическое отношение за другим, пока не были бы приняты во внимание почти все 10 000 предполагаемых возможных значений. Мы могли бы тогда рассуждать так: поскольку почти каждая возможная высота пирамиды соответствовала бы какому-то математическому отношению, строителю, невежественному в отношении их всех в равной степени, было бы совсем не маловероятно наткнуться на то или иное из них: почему тогда приписывать ему замысел в одном случае, а не в другом?

§ 17. Ответ на это возражение уже был намечен. Все зависит от общепринятой оценки одного результата по сравнению с другим. Вернемся для простоты к монетам. Десять орлов так же вероятны, как чередование орлов и решек, или пять орлов, за которыми следуют пять решек; или, фактически, как любой из оставшихся 1023 возможных случаев. Но всеобщая конвенция выделила серию из десяти как примечательную. Здесь, конечно, конвенция кажется очень естественной и даже неизбежной, но в других случаях она совершенно произвольна. Например, в картах «пиковая дама и бубновый валет» столь же необычны, как и любая другая подобная пара: более того, до введения безика она, по-видимому, не представляла большего интереса, чем любая другая указанная пара. Но в то время, когда эта игра была очень популярна, эта комбинация попала в категорию совпадений, к которым проявлялся интерес; и, учитывая нечестность среди игроков, ее шанс быть задуманной сразу же оказался на гораздо более прочной основе.

Возвращаясь затем к пирамиде, мы видим, что, взвешивая претензии случайности и замысла, мы должны, ради справедливости к последнему, учесть на его счет несколько других значений, помимо π, например √2 и √3, и еще несколько таких простых и знакомых отношений, а также некоторые из их кратных. Но хотя число таких значений, которые можно было бы учесть на том основании, что они действительно известны нам, бесконечно, число тех, которые следует учесть на том основании, что они могли быть знакомы строителям пирамиды, очень мало. Поэтому порядок вероятности за или против существования замысла не будет серьезно изменен здесь такими соображениями.

§ 18. До этого момента будет замечено, что то, что мы взвешивали друг против друга, — это две формы воздействия, а именно человеческого воздействия: одна, действующая через случайность, а другая — посредством прямого замысла. В этом случае мы знаем, где находимся, ибо можем полностью понять воздействие такого рода. Проблема, правда, редко бывает численно разрешимой, а в большинстве случаев вовсе не разрешимой, но она, по крайней мере, может быть четко сформулирована. Мы знаем, какого рода ответа следует ожидать, и причины, которые послужили бы для его определения, если бы они были достижимы.

Следующим этапом исследования было бы взвешивание обычного человеческого случайного воздействия против — я не назову это прямым спиритуалистическим воздействием, ибо это было бы излишним сужением гипотезы, — но против всех других возможных причин. Некоторые из исследований Общества психических исследований дадут замечательную иллюстрацию того, что имеется в виду под этим утверждением. Существует полное обсуждение этих применений в недавнем эссе г-на Ф. И. Эджуорта; но поскольку его изложение этого вопроса связано с другими расчетами и диаграммами, я могу процитировать его лишь частично. Но я в значительной степени согласен с ним.

«Зафиксировано, что 1833 догадки были сделаны «воспринимающим» относительно масти карт, которую «агент» выбрал. Число успешных догадок составило 510, что значительно выше 458, числа, которое, будучи четвертью от 1833, было бы, исходя из предположения о чистой случайности, более вероятным, чем любое другое число. Теперь, согласно Закону ошибок, мы можем приблизительно определить вероятность того, что такое превышение произойдет случайно. Она равна конечности хвоста кривой вероятности, такой как [те, которые мы уже имели случай изучить]…. Отношение этой конечности хвоста ко всему телу составляет 0,003 к 1. Эта дробь, следовательно, является вероятностью того, что случайный выстрел попадет в эту конечность хвоста; вероятностью того, что, если бы угадывание управлялось чистой случайностью, произошло бы число успешных догадок, равное или большее 510»: то есть шансы примерно 332 к 1 против такого события.

§ 19. Г-н Эджуорт придерживается, так же твердо, как и я, того мнения, что для целей расчета, в любом строгом смысле этого слова, мы должны иметь некоторое определение данных на неслучайной стороне гипотезы. Мы должны знать ее относительную частоту возникновения и относительную частоту, с которой она достигает своих целей. Я также согласен с ним в том, что «чем может быть эта другая причина — будь то какой-то трюк, или бессознательная иллюзия, или передача мыслей того рода, который оправдывается исследователями, — это дело здравого смысла и обычной логики».

Поэтому я согласен с теми, кто считает, что, хотя мы не можем сформировать количественное мнение, мы можем в определенных случаях сформировать довольно решительное. Конечно, если мы предоставим последнее слово сторонникам гипотезы случайности, мы никогда не сможем достичь доказательства, ибо им всегда будет открыто пересмотреть и заново установить априорную вероятность контргипотезы. Что мы можем справедливо потребовать, так это чтобы те, кто отрицает случайное объяснение, назначили некоторого рода минимальное значение вероятности возникновения при другом предположении, и мы сможем тогда попытаться преодолеть это, увеличив редкость фактически произведенного явления при гипотезе случайности. Если, например, они заявят, что, по их оценке, шансы против того, что действует не случайное воздействие, больше чем 332 к 1, мы должны попытаться обеспечить еще более редкое событие, чем рассматриваемое. Если сторонники передачи мыслей имеют мужество своих убеждений — как они, безусловно, имеют, — они не уклонились бы от принятия этого теста. Я склонен думать, что даже сейчас, на основании таких доказательств, как вышеприведенные, вероятность того, что результаты были получены путем обычного угадывания, очень мала.

§ 20. Проблемы, обсуждаемые в предыдущих разделах, по крайней мере понятны, даже если они не всегда разрешимы. Но перед окончанием этой главы мы должны обратить внимание на некоторые спекуляции по этой части предмета, которые, по-видимому, не совсем укладываются в рамки того, что является понятным. Возьмем, например, вопрос, обсуждавшийся Арбетнотом (в статье в Phil. Transactions, Vol. XXVII.) под названием «Аргумент в пользу Божественного Провидения, взятый из постоянной регулярности, наблюдаемой при рождении обоих полов». Если бы его аргумент был обычного телеологического рода; то есть, если бы он просто утверждал, что существующее отношение приблизительного равенства, с шестипроцентным избытком мужчин, было благотворным, здесь не было бы ничего, против чего можно было бы возразить. Но то, что он рассматривал, было именно таким балансом альтернативных гипотез между случайностью и замыслом, который мы здесь рассматриваем. Его вывод в его собственных словах таков: «именно искусство, а не случайность, управляет».

Трудно сделать такой аргумент точным, не сделав его просто нелепым. В строгом понимании он, несомненно, может выдержать только одну из двух интерпретаций. С одной стороны, мы можем олицетворять Случайность: рассматривая ее как агента, с которым нужно считаться как с вполне способным породить человека, или, по крайней мере, организовать пропорцию полов. И тогда решение должно быть принято, как между этим агентом и Творцом, кто из них двоих произвел существующее устройство. Если так, и Случайность определяется как любой агент, который производит случайное или беспорядочное устройство, я боюсь, что вряд ли может быть сомнение, что именно этот агент действовал в рассматриваемом случае. Устройство мужских и женских рождений представляет, насколько мы можем видеть, один из самых совершенных примеров случайности: существует конечная однородность, возникающая из индивидуальной нерегулярности: все «серии» или последовательности каждой альтернативы должным образом представлены: факт, скажем, рождения уже пяти сыновей в семье, по-видимому, не имеет никакого определенного эффекта в уменьшении вероятности того, что следующий будет сыном, и так далее. Такой почти идеальный пример «независимых событий» сравнительно очень редок в физических явлениях. Это все, на что мы можем претендовать от случайного устройства. Единственная другая интерпретация, которую я вижу, — это предположить, что был только один агент, который мог, как любой из нас, либо подбросить монету, либо спроектировать, и мы должны установить, какой курс он, вероятно, принял в рассматриваемом случае. Здесь тоже, если мы должны судить о его способе действия по тестам, которые мы применили бы к любой из наших собственных работ, это, безусловно, выглядело бы очень похоже на то, что он принял некоторую схему подбрасывания.

§ 21. Простой факт заключается в том, что любая рациональная попытка решить между случайностью и замыслом как воздействиями должна быть ограничена случаем конечных интеллектов. Одним из важных определяющих элементов здесь, как мы видели, является состояние знаний агента и общепринятая оценка, сложившаяся относительно того или иного конкретного устройства; и они могут быть оценены только тогда, когда мы имеем дело с существами, подобными нам самим.

Например, возвращаясь к тому много обсуждавшемуся вопросу о расположении звезд, вряд ли может быть сомнение, что то, что имел в виду Митчелл, который начал обсуждение, — это решение между Случайностью и Замыслом. Он говорит (Trans. Roy. Soc. 1767): «Аргумент, который я намерен использовать… относится к тому роду, который выводит либо замысел, либо некоторый общий закон из общей аналогии и из величины шансов против того, что вещи оказались бы в нынешней ситуации, если бы это не было обязано какой-то такой причине». И он заключает, что если бы звезды «были рассеяны простой случайностью, как это могло бы случиться», были бы «шансы около 500 000 к 1, что никакие шесть звезд из этого числа [1500], рассеянных случайным образом по всему небу, не оказались бы на таком малом расстоянии друг от друга, как Плеяды». При любой такой интерпретации спор кажется мне праздным. Я ни на мгновение не оспариваю, что есть некоторая сила в обычном телеологическом аргументе, который стремится проследить признаки доброты и мудрости в общей тенденции вещей. Но что мы вообще понимаем о природе творения или замыслах Творца, что позволило бы нам судить о вероятности того, что он придал звездам одну форму, а не другую, или что позволило бы придать какое-либо значение «простой случайности» в противоположность его предполагаемому всепроникающему воздействию?

§ 22. Сведенные к понятным терминам, из спора, как мне кажется, вытекают два следующих вопроса:—

(I.) Поскольку звезды распределены в пространстве, некоторые из них, конечно, находились бы почти на прямой линии за другими, если смотреть с нашей планеты. Предполагая, что они были довольно равномерно распределены, мы могли бы рассчитать, сколько из них таким образом было бы видно в кажущейся близости друг к другу. Затем ставится вопрос: больше ли их рядом друг с другом, по две, чем такой расчет мог бы объяснить? Ответ заключается в том, что их гораздо больше. Насколько я вижу, единственный прямой вывод, который можно сделать из этого, заключается в том, что они не распределены равномерно, а имеют тенденцию идти парами. Это, однако, совершенно здравое и разумное применение теории. Любые дальнейшие выводы, такие как то, что эти пары звезд будут образовывать системы, как бы сами по себе, вращающиеся друг вокруг друга и практически не затронутые остальной звездной системой, конечно, выведены из астрономических соображений. Вероятность ограничивается простым ответом, что распределение не является равномерным; она не может претендовать на то, чтобы сказать, были ли эти двойные системы звезд «вызваны» и каким физическим процессом.

§ 23. (II.) Второй вопрос таков: напоминает ли распределение звезд, после учета случая только что упомянутых двойных звезд, то, которое было бы произведено человеческим воздействием, разбрасывающим вещи «случайным образом»? (Мы говорим, конечно, об их распределении, как оно представляется нам, на видимом небе, ибо это почти все, что мы можем наблюдать; но если они простираются за пределы телескопического диапазона во всех направлениях, это привело бы практически к тому же обсуждению, как если бы мы рассматривали их фактическое расположение в пространстве.) Мы полностью обсудили в предыдущей главе значение «случайности». Применяя его к рассматриваемому случаю, вопрос становится таким: является ли распределение довольно равномерным в целом, но с бесчисленными индивидуальными отклонениями? То есть, когда мы сравниваем большие области, являются ли отношения числа звезд в каждой равной области приблизительно равными, в то время как, когда мы сравниваем все меньшие и меньшие области, становятся ли относительные числа все более и более нерегулярными? За некоторыми исключениями, такими как Млечный Путь и другие туманные скопления, это, по-видимому, в значительной степени так, по крайней мере, что касается основной массы звезд.

Все дальнейшие вопросы: решение, например, за или против любой формы Небулярной гипотезы: или, допуская это, решение, произошли ли такие-то части видимого неба из той же туманности, должны быть оставлены на усмотрение Астрономии.

ПРИМЕЧАНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ ПОЛОВ.

Следующие замечания были слишком длинными для удобного включения на стр. 259, и поэтому добавлены здесь.

«Случайный» характер мужских и женских рождений обычно основывался почти исключительно на статистике места и времени. Но что более необходимо, безусловно, так это пропорция, отображаемая, когда мы сравниваем ряд семей. Это кажется настолько очевидным, что я не могу не предположить, что исследование должно было быть уже сделано где-то, хотя я не нашел никаких следов этого в наиболее вероятных местах. Так, профессор Лексис (Massenerscheinungen), поддерживая свой взгляд на то, что пропорция между полами при рождении является почти единственным известным ему примером в природных явлениях истинной нормальной дисперсии вокруг среднего значения, основывает свои выводы на обычной статистике регистров разных стран.

Безусловно, требуется доказательство того, что те же характеристики будут верны, когда семья берется в качестве единицы, особенно потому, что некоторые теории (например, теория Садлера) подразумевали бы, что «серии» мальчиков или девочек были бы пропорционально более обычными, чем назначила бы чистая случайность. Лексис показал, что это наиболее заметно в случае с близнецами: т. е., используя очевидно понятную нотацию (M для мужского, F для женского), что M.M. и F.F. гораздо более обычны в пропорции, чем M.F.

Я собрал статистику, включающую более 13 000 мужских и женских рождений, организованных в семьи из четырех и более человек. Они были взяты из родословных в Посещениях Герольдов и поэтому представляют, как правило, несколько избранный класс, а именно семьи старших сыновей английских сельских джентльменов в шестнадцатом веке. Они еще недостаточно обширны для публикации, но я привожу краткое изложение результатов, чтобы указать на их тенденцию на данный момент. Верхняя строка цифр в каждом случае дает наблюдаемые результаты: т. е. в случае семьи из четырех человек, числа, которые имели четыре мужских, три мужских и одну женскую, две мужских и две женских, и так далее. Нижняя строка дает рассчитанные результаты; т. е. соответствующие числа, которые были бы получены, если бы партии M. и F. были извлечены из мешка, в котором они были смешаны в пропорции, назначенной общими наблюдаемыми числами для этих семей.

512 families of 4;

yielding

1188 M. : 860 F.

m⁴

m³f

m²f²

mf³

f⁴

81
+
148
+
161
+
98
+
24 (observed.)

57
+
168
+
184
+
88
+
15 (calculated.)

512 families of 5;

yielding

 1402 M. : 1158 F. 

m⁵

m⁴f

m³f²

m²f³

mf⁴

f⁵

50
+
82
+
161
+
143
+
61
+
15 (obs.)

25
+
103
+
172
+
143
+
59
+
10 (calc.)

512 families of 6;

yielding

1612 M. : 1460 F.

m⁶

m⁵f

m⁴f²

m³f³

m²f⁴

mf⁵

f⁶

30
+
48
+
115
+
146
+
126
+
40
+
7 (obs.)

10
+
56
+
133
+
159
+
108
+
41
+
5 (calc.)

Числа для больших семей пока слишком малы, чтобы их стоило приводить, но они показывают ту же тенденцию. Будет видно, что в каждом случае наблюдаемые центральные значения меньше рассчитанных; и что наблюдаемые экстремальные значения намного больше рассчитанных. Результаты, по-видимому, предполагают (пока что), что семью нельзя уподобить случайному извлечению необходимого числа из одного мешка. Лучшей аналогией было бы предположить два мешка, один с избытком M. и другой с меньшим избытком F., и что некоторые люди тянут из одного, а некоторые из другого. Но нужны более полные статистические данные.

Будет замечено, что общий избыток мужских рождений велик. Это может возникнуть из-за чрезмерного пропуска женщин; но я тщательно ограничил себя двумя или тремя последними поколениями в каждой родословной для большей безопасности.

1 Essay on Probabilities, стр. 114.

2 Выражались сомнения относительно истинно случайного характера цифр в этом случае (см. Де Морган, Budget of Paradoxes, стр. 291), и Джевонс зашел так далеко, что спросил (Principles of Science, стр. 529): «Почему значение π, выраженное большим числом цифр, содержит цифру 7 гораздо реже, чем любую другую цифру!» Я не совсем понимаю, что это значит. Если бы такой вопрос был задан в отношении любого необычного расхождения с априорной случайностью в случае бросания костей, скажем, мы, вероятно, заменили бы его следующим, как более подходящим для нашей науки: — Назначьте степень невероятности рассматриваемого события; т. е. его статистическую редкость. И мы тогда приступили бы к суждению, способом, указанным в тексте, дает ли эта невероятность основания для подозрений.

Расчет прост. Фактическое число 7-к в 708 цифрах равно 53: в то время как справедливое среднее было бы 71. Вопрос в том, каков шанс такого отклонения от среднего в 708 поворотах? Обычными методами расчета (см. Гэллоуэй о Вероятности) шансы против избытка или недостатка 18 составляют около 44 : 1 в отношении любой указанной цифры. Но, конечно, что мы хотим решить, так это шансы против того, что какая-то одна из десяти покажет это расхождение. Это я оцениваю как приблизительно определяемое дробью (44/45)10, т. е. 0,8. Это представляет шансы всего около 4 : 1 против такого события, что не является чем-то примечательным. На самом деле несколько цифр в двух других величинах, которые г-н Шанкс рассчитал до той же длины, т. е. Tan−1 1/5 и Tan−1 1/239, показывают те же расхождения (см. Proc. Roy. Soc. xxi. 319).

Я могу обратить внимание здесь на момент, который следовало бы заметить в главе о Случайности. Мы должны быть осторожны, когда решаем о случайном характере простым осмотром. Очень поучительно здесь сравнить цифры в π с теми, что находятся внутри «периода» циркулирующей десятичной дроби очень длинного периода. Та, что 1 ÷ 7699, которая дает полный период из 7698 цифр, была рассчитана несколько лет назад двумя выпускниками Кембриджа (г-ном Ланном и г-ном Саффилдом) и напечатана частным образом. Если мы ограничим наше исследование частью последовательности, случайный характер кажется правдоподобным; т. е. цифры и их различные комбинации выходят почти, но не точно, в равных числах. Так, если мы берем партии по 10; средние значения приятно колеблются около 45. Но если бы мы взяли весь период, который «циркулирует», мы обнаружили бы, что эти характеристики преувеличены, и случайный характер исчез бы. То есть, вместо просто конечного приближения к равенству, мы имели бы (насколько это возможно) абсолютное достижение его.

3 Конечно, эта общепринятая оценка ничем не отличается по роду от той, которая может быть приложена к любому порядку или последовательности. Десять орлов подряд внутренне или объективно неотличимы по характеру от чередования орлов и решек, или семи орлов и трех решек и т. д. Его отличие состоит только в его почти всеобщем принятии как примечательного.

4 Our Inheritance in the Great Pyramid, изд. III. 1877.

5 Сделано в Nature (24 января 1878 г.) г-ном Дж. Г. Джексоном. Необходимо заметить, что альтернативное изложение г-ном Смитом своего дела ведет к этому объяснению: — «Вертикальная высота великой пирамиды есть радиус теоретического круга, длина изогнутой окружности которого в точности равна сумме длин четырех прямых сторон фактического и практического квадратного основания». Что касается альтернатив случайности и замысла, здесь, должно быть помнимо в справедливость к аргументу г-на Смита, что антитеза, которую он допускает к случайности, не человеческий, а божественный замысел.

6 См. Cournot, Essai sur les fondements de nos connaissances. Vol. I. стр. 71.

7 Заслуживает внимания, что соображения такого рода нашли путь в суды, хотя, конечно, без какой-либо попытки численной оценки. Так, в знаменитом процессе Де Роса, поскольку доказательства были косвенными, одним из главных оснований для подозрения, по-видимому, было то, что лорд Де Рос, сдавая в вист, получал гораздо больше придворных карт, чем случайность могла бы ожидать назначить ему; и что, как следствие, его средние выигрыши в течение нескольких лет подряд были необычно большими. Адвокат защиты настаивал, что еще большие выигрыши были обеспечены другими игроками без подозрения в нечестности — (я не могу найти, чтобы было объяснено, по какой большой области опыта эти случаи были разыскиваемы; ни насколько величина ставок, в отличие от числа успехов, объясняла величину фактических выигрышей), — и что большая скидка должна быть сделана на мастерство, где фактические выигрыши были вычислены. (См. отчет Times, 11 февраля 1837 г.)

8 Metretike. В конце этого тома будет найден полезный список ряда других публикаций того же автора по смежным темам.

9 То есть, если мы смотрим просто на статистические результаты, как это делал Арбетнот, и как мы должны были бы делать, если бы мы исследовали подбрасывания пенни. Если удивительная теория д-ра Дюзинга (Die Regulierung des Geschlechts-verhältnisses… Jena, 1884) будет подтверждена, дело приняло бы несколько иной аспект. Он пытается показать, как на физиологических основаниях, так и путем анализа статистики, относящейся к людям и животным, что действует решительно компенсаторный процесс. То есть, если по какой-либо причине любой пол достигает преобладания, немедленно приводятся в действие воздействия, которые стремятся восстановить баланс. Это модификация и улучшение старой теории, что относительный возраст родителей имеет какое-то отношение к полу потомства.

Кетле (Letters, стр. 61) попытался доказать положение о последовательности мужских и женских рождений с помощью определенных экспериментов, предположительно опробованных на урне с черными и белыми шарами в ней. Но это заходит слишком далеко. (См. примечание в конце этой главы.)

10 Это в точности аналогично выводу, что цветы маргариток (в отличие от растений, см. стр. 109) не распределены случайным образом, а имеют тенденцию идти группами по два или более. Простое наблюдение показывает это: и затем, из нашего знания о росте растений мы можем сделать вывод, что эти маленькие группы происходят из одного корня.

11 В этом обсуждении авторы часто говорят о вероятности «физической связи» между этими двойными звездами. Фраза кажется вводящей в заблуждение, ибо при обычной гипотезе всемирного тяготения все звезды физически связаны гравитацией. Поэтому лучше, как выше, сделать это просто вопросом относительной близости и оставить астрономии делать выводы из необычной близости.

12 Профессор Форбс в статье в Philosophical Magazine, уже упомянутой (Гл. VII. § 18), привел несколько диаграмм, чтобы показать, каковы были фактические расположения случайного распределения. Он разбросал горошины по шахматной доске, а затем подсчитал число, которое остановилось на каждой клетке. Его цифры, по-видимому, показывают, что общий вид звезд во многом такой же, как тот, который произведен таким планом рассеивания.

Некоторые недавние исследования г-на Р. А. Проктора, однако, по-видимому, показывают, что существуют по крайней мере два исключения из этого довольно равномерного распределения. (1) Он установил, что звезды решительно более густо агрегированы в Млечном Пути, чем где-либо еще. Насколько на это можно положиться, аргумент тот же, что и в случае с двойными звездами; он стремится доказать, что близость звезд в Млечном Пути не только кажущаяся, но и фактическая. (2) Он установил, что существуют две большие области, в Северном и Южном полушариях, в которых звезды гораздо более густо агрегированы, чем где-либо еще. Здесь, мне кажется, Вероятность ничего не доказывает: мы просто отрицаем, что распределение равномерно. Что может последовать в плане выводов относительно физического процесса причинности, посредством которого звезды были расположены, — это вопрос для Астронома. См. Essays on Astronomy г-на Проктора, стр. 297. Также серию эссе в The Universe and the coming Transits.

ГЛАВА XI.

О НЕКОТОРЫХ ПОСЛЕДСТВИЯХ ОБЪЕКТИВНОГО РАССМОТРЕНИЯ НАУКИ О ВЫВОДЕ. [*]

* В предыдущем издании большая часть этой главы была посвящена общему рассмотрению различия между материалистическим и концептуалистским взглядом на логику. Я опустил большую часть этого здесь, как и большую часть главы, посвященной детальному обсуждению Закона причинности, так как надеюсь в скором времени выразить свои мнения по этим предметам более полно и более уместно в трактате об общих принципах индуктивной логики.

§ 1. Студенты логики знакомы с тем широким различием между двумя методами рассмотрения, к которым могут быть применены названия материалистического и концептуалистского. Различие было тем, которое постепенно росло под другими названиями, прежде чем оно было подчеркнуто и рассмотрено как различие внутри области логики как таковой, публикацией известной работы Милля. Никто, например, не может читать трактаты Уэвелла об индукции или «Рассуждение» Гершеля, не видя, что они рассматривают во многом тот же предмет и рассматривают его во многом так же, как то, что Милль обсуждал под названием логики, хотя они не были склонны давать ему это название. То есть эти авторы повсюду принимали как должное, что то, что они должны были сделать, — это систематизировать факты природы в их объективной форме и при их максимально широком рассмотрении, и изложить основные способы вывода и основные практические вспомогательные средства в исследовании этих способов вывода, которые разум мог предложить и которые опыт мог оправдать. То, что сделал Милль, — это приведение этих методов в тесную связь с такими частями старой схоластической логики, которые он счел возможным сохранить, разработка их в гораздо более полных деталях, систематизация их путем придания им некоторого философского и психологического основания — и озаглавливание результата Логикой.

Практическое рассмотрение науки редко будет тесно соответствовать идеалу, который ее сторонники предлагают себе, и еще реже тому, который ее антагонисты настаивают требовать от сторонников. Если бы мы взяли наш отчет о различии между двумя взглядами на логику, изложенными соответственно Гамильтоном и Миллем, от Милля и Гамильтона соответственно, мы бы, конечно, не нашли легким привести их под одно общее определение. По такому тесту материалистическая логика рассматривалась бы не более чем как несколько произвольный выбор из области физической науки в целом, а концептуалистская логика — не более чем как несколько произвольный выбор из области психологии. Первая опустила бы всякое рассмотрение законов мышления, а вторая — всякое рассмотрение истинности или ложности наших выводов.

Конечно, на практике такие крайности вскоре оказываются избегаемыми, и, несмотря на все полемические преувеличения, толкователи противоположных взглядов ухитряются сохранить большую область спекуляций в общем. Я не предлагаю здесь подробно рассматривать ограничения, посредством которых достигается это приспособление, или очень реальные и важные различия в методе, цели, тестах и пределах, которые, несмотря на все приближение к согласию, все еще обнаруживаются. Попытка сделать это означала бы открыть слишком широкое исследование, чтобы быть подходящим в трактате об одном подразделении только общей науки о Выводе.

§ 2. Одно подразделение этого исследования, однако, действительно навязывается нашему вниманию. Становится важным рассмотреть ограничения, которым должен быть подвергнут ультраматериалистический отчет о провинции логики, потому что мы таким образом привлечем наше внимание к аспекту предмета, который, будучи незначительным и мимолетным в области индукции, становится очень заметным и сравнительно постоянным в области вероятности. Согласно этому ультраматериалистическому взгляду, индуктивная логика обычно считается не имеющей ничего общего ни с чем, кроме объективных фактов: ее обязанность — начинать с фактов и ограничивать себя такими методами, которые не дадут ничего, кроме фактов. То, что сомнительно, она либо устанавливает, либо оставляет в покое на данный момент, то, что недостижимо, она отвергает, и таким образом она продолжает строить путем медленного накопления обширную ткань достоверного знания.

Но, конечно, все это предполагается делать человеческими умами, и поэтому, если мы спросим, не имеют ли понятия или концепции — назовем их как угодно — места в такой схеме, необходимо признать, что они имеют некоторое место. Факты, которые формируют нашу отправную точку, должны быть схвачены разумным существом, прежде чем вывод может быть построен на них; и «факты», которые формируют заключение, часто, по крайней мере некоторое время, не имеют места нигде, кроме как в уме человека. Но никто не может читать трактат Милля, например, не заметив, как незначительно его обращение к этому аспекту вопроса. Он замечает, почти с презрительным безразличием, что человек, который копает, должен, конечно, иметь понятие о земле, которую он копает, и о лопате, которую он вставляет в нее, но он, очевидно, считает, что эти «понятия» не должны занимать внимание спекулятивного логика, поскольку его простые выводы касаются, больше, чем они занимают внимание земледельца.

§ 3. Должно быть признано, что есть некоторое оправдание для этого опущения всякого упоминания о субъективной стороне вывода, пока мы имеем дело с индуктивной логикой. Индуктивный первооткрыватель, конечно, находится в очень другом положении. Если он достоин этого имени, его ум в каждый момент будет кишить понятиями, которые он был бы так же далек, как кто-либо, от того, чтобы называть фактами: он занят тем, чтобы сделать их таковыми в меру своих сил. Но логик, который следует по его стопам и чье дело — объяснить и оправдать то, что открыл его лидер, скорее склонен упускать из виду эту ментальную или неопределенную стадию. То, с чем он в основном имеет дело, — это «полные индукции» и «хорошо обоснованные обобщения» и так далее, или разоблаченные ошибки, которые противоречат им: заключенные и трупы соответственно, которых настоящий первооткрыватель оставляет на поле позади себя, пока он нажимает, чтобы завершить свою победу. Весь метод науки — экспозиционный в отличие от воинствующего — состоит в том, чтобы подчеркнуть различие между фактом и не-фактом и рассматривать мало что другое, кроме этих двух. Другими словами, трактат по индуктивной логике может быть написан без того, чтобы был найден повод определить, что подразумевается под понятием или концепцией, или даже использовать такие термины.

§ 4. И все же, когда мы приходим к тому, чтобы посмотреть ближе, признаки могут быть обнаружены даже внутри области индуктивной логики, случайного разрушения резкого различия, о котором идет речь; мы можем встретить время от времени сущности (используя самый широкий достижимый термин), в отношении которых было бы трудно сказать, что они являются либо фактами, либо концепциями. Например, индуктивная логика часто имеет повод использовать Гипотезы: к какому из вышеуказанных двух классов они должны быть отнесены? Они, по-видимому, в строгом смысле не принадлежат ни к одному; и не являются они, как будет вскоре указано, ни в коем случае единственным примером такого рода.

Правда, внутри провинции индуктивной логики эти гипотезы не доставляют много хлопот по этому счету. Как бы ни была расплывчата форма, в которой они впервые представляются уму философа, они не имеют много дела предстать перед нами в нашей способности логиков, пока они не на пути, так сказать, к тому, чтобы стать фактами: пока они не начинают твердеть в ту твердую осязаемую форму, в которой они в конечном итоге появятся. Мы обычно имеем некоторые такие рекомендации, данные нам, что наши гипотезы должны быть хорошо обоснованными и разумными. Это кажется лишь другим способом сказать нам, что как бы свободно философ ни делал свои догадки в уединении своего собственного кабинета, ему лучше не выносить их на публику, пока они не могут с достаточной уместностью быть названы фактами, даже если имя дается с некоторой квалификацией, как называя их «вероятными фактами». Причина, поэтому, почему мы не принимаем много в расчет это промежуточное состояние в гипотезе, когда мы имеем дело с индуктивными процессами, заключается в том, что здесь, по крайней мере, она играет только временную роль; ее появление в этом обличье — лишь очень мимолетное. Если гипотеза здравая, она скоро займет свое место как признанный факт; если нет, она скоро будет отвергнута вовсе. Ее состояние как гипотезы не является нормальным, и поэтому у нас нет много повода рассматривать ее характеристики. Говоря так, должно, конечно, пониматься, что мы говорим как индуктивные логики; философ в своей мастерской должен, как уже замечено, быть достаточно знаком с гипотезой на каждой стадии ее существования от ее происхождения; но обязанность логика иная, имея дело, как он делает, с доказательством, а не с процессами первоначального исследования и открытия.

Мы могли бы, действительно, даже пойти дальше и сказать, что во многих случаях гипотеза не представляется читателю, то есть получателю знания, пока она не перестала заслуживать этого имени вовсе. Она может быть впервые предложена ему вместе с доказательством, которое устанавливает ее, он не имея повода думать о ней раньше. Она таким образом выходит за один шаг из неясности неизвестного в полное владение своими правами как факт, пропуская практически промежуточную или гипотетическую стадию вовсе. Первоначальный исследователь сам мог долго размышлять над ней и держать ее присутствующей в своем уме, в этой ее сомнительной стадии, но наконец дать ее миру с тем количеством доказательств, которое поднимает ее сразу в умах других до уровня общепринятых фактов.

Все же эта сомнительная стадия существует в каждой гипотезе, хотя для логических целей, и для большинства умов, она существует в очень мимолетном пути только. Когда внимание было направлено на нее, она может быть также обнаружена в другом месте в Логике. Возьмем случай, например, ссылки имен. Милль дает примеры солнца и битвы, в отличие от идей о них, которые мы, или дети, можем иметь. Здесь различие ясно и очевидно достаточно. Но если, с другой стороны, мы возьмем случай вещей, чье существование сомнительно или оспаривается, трудность вышеупомянутая начинает показывать себя. Случай просто вымерших вещей, или таких, которые еще не пришли в существование, предлагает действительно никакой трудности, так как конечно фактически настоящее существование не необходимо, чтобы составить факт. Обычное различие может даже быть сохранено также в случае мифических существований. Кентавр и Грифон имеют как всеобще признанную значимость среди поэтов, художников и герольдов, как лев и леопард имеют. Следовательно, мы можем требовать, даже здесь, чтобы наши концепции были «правдивыми», «согласующимися с фактом» и так далее, под чем мы подразумеваем, что они должны быть в соответствии с всеобщей конвенцией по таким предметам. Необходимое и всеобщее соответствие иногда утверждается быть всем, что подразумевается под «объективным», и так как всеобщее соответствие достижимо в случае заведомо фиктивного, наше фундаментальное различие между фактом и концепцией, и наше определение, что наши термины должны ссылаться на то, что объективно, а не на то, что субъективно, может с некоторой степенью напряжения быть все еще мыслимо быть состоятельным даже здесь.

§ 5. Но когда мы приходим к случаю оспариваемых явлений, трудность вновь возникает. Предполагаемая планета или новый минерал, сомнительный факт в истории, оспариваемая теологическая доктрина — это лишь несколько примеров из многих, которые могли бы быть предложены. То, что некоторые люди решительно утверждают, другие так же решительно отрицают, и какая бы надежда ни была на скорое согласие в случае физических явлений, опыт показывает, что нет много перспективы этого в случае тех, которые моральны и историчны, не говоря уже о теологических. Пока те, кто в согласии, ограничивают свое общение собой, их «факты» принимаются как таковые, но как только они приходят к общению с другими, всякое различие между фактом и концепцией теряется сразу, «факты» одной стороны будучи просто беспочвенными «концепциями» для их оппонентов. Существует поэтому, я думаю, в этих случаях реальная трудность в выполнении отчетливо и последовательно отчета, который материалистический логик предлагает относительно ссылки имен. Не нужно едва ли быть указано, что то, что таким образом применяется к именам или терминам, применяется одинаково к предложениям, в которых делаются частные или общие утверждения, вовлекающие имена.

§ 6. Но когда мы вступаем в Вероятность и рассматриваем это с той же материальной или Феноменальной точки зрения, мы не можем больше пренебрегать вопросом, который таким образом представлен нам. Трудность не может здесь быть отвергнута, как относящаяся к тому, что является лишь временным или случайным. Промежуточное состояние между догадкой и фактом, так далеко от того, чтобы быть временным или случайным только, здесь нормально. Это как раз состояние, которое специально характерно для Вероятности. Следовательно, из этого следует, что как бы решительно мы ни отвергали концептуалистскую теорию, мы не можем вовсе отвергнуть использование концептуалистского языка. Если мы можем доказать, что данный человек умрет в следующем году, или достигнем достаточно близко к доказательству, чтобы оставить нас практически уверенными в пункте, мы можем говорить о его смерти как о (будущем) факте. Но если мы просто созерцаем его смерть как вероятную? Это тот род вывода, или замены для вывода, с которым Вероятность специально озабочена. Мы можем, если мы так пожелаем, говорить о «вероятных фактах», но если мы исследуем значение слов, мы можем найти их не просто неясными, но самопротиворечивыми. Несомненно, есть факты здесь, в полнейшем смысле термина, а именно статистика, на которой наше мнение в конечном итоге основано, ибо они известны и приняты всеми, кто посмотрел в дело. Тот же язык может также быть применен к тому расширению этой статистики индукцией, которое вовлечено в утверждение, что подобная статистика будет найдена преобладающей в другом месте, ибо они также могут справедливо требовать всеобщего принятия. Но эти утверждения, как было обильно показано в более ранних главах, стоят на очень другой основе, чем утверждение относительно индивидуального события; установление и обсуждение первого принадлежат по правам Индукции, и только последнее — Вероятности.

§ 7. Действительно, из-за отсутствия подходящих терминов для выражения подобных вещей мы часто бываем вынуждены, и даже принуждены, применять одно и то же название «фактов» к таким единичным случайностям. Мы бы, например, не колеблясь, стали говорить о том, что факт смерти человека является вероятным, возможным, маловероятным или каким-либо еще. Но я не могу не рассматривать подобные выражения как строго некорректное словоупотребление, возникающее из-за нехватки соответствующих технических терминов. Вне всякого сомнения, должна произойти та или иная из двух альтернатив, но эта альтернативная определенность не является предметом нашего рассмотрения; перед нами — единичная альтернатива, которая заведомо неопределенна. Именно она, и только она, в данный момент находится под наблюдением, и ее наступление должно быть оценено. У нас, безусловно, нет права удостаивать это названием факта, при любых оговорках, когда противоположная альтернатива имеет притязания, пусть, возможно, и не равные, но во всяком случае не намного уступающие притязаниям первой. Такой язык, как уже было отмечено, может быть вполне уместен в индуктивной логике, где нас интересуют лишь предположения столь высокой степени правдоподобности, что их ненаступление не нужно принимать в практический расчет, и которые, кроме того, рассматриваются как лишь временные. Но в теории вероятностей предположение может обладать любой степенью правдоподобности; оно может быть столь же вероятным, как и другая альтернатива, более того, оно может быть гораздо менее вероятным. В этих последних случаях, например, если шансы очень сильно против смерти человека, безусловно, является злоупотреблением языком говорить о «факте» его смерти, даже если мы делаем оговорку, объявляя это крайне маловероятным. Поскольку предмет, существенный для теории вероятностей, — это неопределенное, мы никогда не можем с должной уместностью применять к нему язык, который в своем первоначальном и правильном употреблении подходит только к тому, что является фактически или приблизительно достоверным.

§ 8. Следует также помнить, что это положение дел, столь характерное для теории вероятностей, является там постоянным. Пока они остаются в рамках рассмотрения этой науки, наши предположения, или как бы мы их ни называли, никогда не превращаются в факты. Я вычисляю, например, вероятность того, что игральная кость даст туза, или того, что человек проживет дольше определенного возраста. Такое приближение к знанию, которое таким образом приобретается, — это максимум, на который мы можем надеяться в дальнейшем, если не прибегнем к другим методам исследования. Мы не чувствуем себя, как в индукции, на пороге какого-либо экспериментального или иного доказательства, которое в любой момент может возвести это в степень достоверности. Это не что иное, как предположение определенной степени силы, и таким оно останется всегда, пока теория вероятностей будет иметь с ним дело. Если из этого когда-либо должно получиться что-то большее, мы должны апеллировать к прямому опыту или к какому-либо виду индуктивного доказательства. Как мы уже часто говорили, единичные факты здесь никогда не могут быть определены, а лишь конечные тенденции и средние значения множества событий. Я могу, конечно, посредством повторного обращения к теории вероятностей улучшить характер своего предположения, будучи в состоянии отнести его к более узкому и лучшему классу статистики; но его сущностная природа остается на протяжении всего времени такой, какой была.

Поэтому мне кажется, что изложение материалистического взгляда на логику, указанного в начале этой главы, хотя и является по существу верным, нуждается в некотором пересмотре и переформулировании. Оно прекрасно подходит для обычной индукции, но нуждается в некоторой ревизии, если должно быть в равной степени применимо к тому более широкому взгляду на природу и процессы приобретения знаний, в котором наука логика считается включающей в себя как теорию вероятностей, так и индукцию.

§ 9. Вкратце, это выглядит так. Мы рассматриваем научного мыслителя, будь то первооткрыватель, который совершает открытия, или логик, который анализирует и описывает доказательства, которые могут быть предложены, как окруженного миром объективных явлений, простирающихся бесконечно в обоих направлениях во времени и во всех направлениях в пространстве. Большинство из них являются и всегда будут оставаться неизвестными. Если мы говорим о них как о фактах, мы имеем в виду, что они являются потенциальными объектами человеческого знания, что при соответствующих обстоятельствах люди могли бы прийти к определенному и окончательному согласию относительно них. Научный или материалистический логик должен руководить процессом превращения как можно большего числа этих неизвестных явлений в то, что известно, агрегируя их, как мы сказали выше, вокруг ядра определенных данных, с которых пришлось начинать опыту и наблюдению. При этом его главными ресурсами являются методы индукции, о которых кое-что было сказано в предыдущей главе; другой ресурс находится в теории вероятностей, а еще один — в дедукции.

Теперь, как бы ни возражали против такого языка, утверждая, что он отдает концептуализмом, я не вижу лучшего краткого способа описания этих процессов, чем сказать, что мы заняты получением концепций этих внешних явлений и, насколько это возможно, превращением этих концепций в факты. Какова естественная история «фактов», если мы проследим их до самого происхождения? Они впервые возникают как простые догадки или предположения, как рассматриваемые возможности, чье соответствие реальности либо вовсе не принимается на веру, либо считается совершенно сомнительным. На этой стадии, конечно, их контраст с фактами достаточно резок. Как они возникают — это дело не логики, а психологии. Логика, по сути, имеет мало или вовсе не имеет дела с ними, пока они находятся в этой форме. Каждый человек всю свою жизнь занят тем, что строит такие догадки по различным вопросам, причем превосходство философа над обычным человеком заключается главным образом в качестве его догадок, а также в умении и настойчивости, с которыми он их просеивает и исследует. На следующей стадии они чаще всего идут под названием теорий или гипотез, когда они всеобъемлющи по своему охвату или каким-либо образом масштабны и важны: однако, когда они тривиальны или относятся к деталям, у нас действительно нет для них отличительного или подходящего названия, и мы должны поэтому довольствоваться тем, чтобы называть их «концепциями». Через эту стадию они с большой быстротой пролетают в индуктивной логике; часто логик придерживает их до тех пор, пока их доказательства не станут настолько сильными, что они предстанут перед миром сразу во всем достоинстве фактов. Поэтому, как уже отмечалось, на этой стадии их карьеры в логике не останавливаются. Но все дело теории вероятностей состоит в том, чтобы обсуждать и оценивать их именно в этот момент. Следовательно, насколько это касается данной науки, объяснение материалистического логика относительно отсылки имен и суждений должно быть модифицировано.

§ 10. Лучший способ описания нашей позиции в теории вероятностей поэтому таков: мы рассматриваем концепцию некоторого события, прошлого, настоящего или будущего. В силу природы дела эта концепция — все, что может быть фактически воспринято разумом. В нынешнем состоянии было бы некорректно называть ее фактом, хотя мы охотно, если бы могли, превратили бы ее в таковой, удостоверившись в ней тем или иным образом. Но пока наши выводы должны осуществляться только соображениями вероятности, мы не можем этого сделать. Максимум, что мы можем сделать, — это оценить ее. Вся функция теории вероятностей заключается в предоставлении правил для этого. Посредством обращения к статистике или путем прямой дедукции, в зависимости от случая, мы получаем возможность сказать, насколько следует верить в эту концепцию, то есть в какой пропорции от общего числа случаев мы будем правы, делая это. Наша позиция, следовательно, в этих случаях представляется отчетливо позицией рассмотрения концепции, а процесс вывода — это процесс установления того, в какой степени мы оправданы в добавлении этой концепции к уже принятому корпусу истины и фактов.

Итак, пока мы ограничены теорией вероятностей, эти концепции остаются таковыми. Но если мы обратимся к индукции, то увидим, что они призваны сделать шаг дальше. Их конечная стадия не достигнута, пока они не созреют в факты и тем самым не займут свое место среди неоспоримых истин. Это их конечное предназначение в логике, и наша задача не выполнена, пока они его не достигли.

§ 11. Подобный язык, в котором мы говорим о нашей позиции в теории вероятностей как о позиции рассмотрения концепции и занятия определением того, какая степень веры должна быть ей присвоена, может отдавать концептуализмом, но по духу совершенно отличен от него. Наша конечная отсылка всегда к фактам. Мы начинаем с них как с наших данных и в конечном итоге снова приходим к ним в наших результатах, когда это возможно. В теории вероятностей, конечно, мы не можем сделать это в единичном результате, но даже тогда (как показано в гл. VI) мы всегда оправдываем наши выводы апелляцией к фактам, а именно к тому, что происходит в долгосрочной перспективе.

Обсуждение, которое было таким образом уделено этой части предмета, может показаться несколько утомительным, но оно было столь очевидно навязано нам при рассмотрении различия между двумя основными взглядами на логику, что было невозможно обойти его без страха перед недопониманием и путаницей. Более того, как будет видно в ходе следующей главы, многие важные выводы не могли бы быть должным образом объяснены и обоснованы без предварительных усилий сделать эту часть нашей почвы совершенно ясной и удовлетворительной.

ГЛАВА XII.

ПОСЛЕДСТВИЯ ПРЕДЫДУЩИХ РАЗЛИЧИЙ.

§ 1. Мы теперь в состоянии объяснить и обосновать некоторые важные выводы, которые, если и не являются прямыми следствиями различий, установленных в последней главе, будут, во всяком случае, более легко оценены и приняты после этого изложения.

Во-первых, будет видно, что в теории вероятностей время не имеет никакого отношения к вопросу; другими словами, не имеет значения, является ли событие, вероятность которого мы обсуждаем, прошлым, настоящим или будущим. Задача, стоящая перед нами в ее простейшей форме, такова: статистика (расширенная индукцией и практически часто получаемая дедукцией) информирует нас о том, что определенное событие произошло, происходит или произойдет определенным образом в определенной пропорции случаев. Мы формируем концепцию этого события и рассматриваем его как возможное; но мы хотим большего; мы хотим знать, насколько мы должны ожидать его (согласно объяснениям, данным в предыдущей главе о количестве веры). Таким образом, существует своего рода относительная будущность события, поскольку наше знание факта, а следовательно, наше оправдание или иное подтверждение правильности нашей догадки, почти неизбежно приходит после того, как догадка была сформирована; но будущность лишь относительна. Доказательства, которыми должен быть решен вопрос, могут еще не появиться, или они могут быть у нас под рукой, но мы консультируемся с ними только впоследствии. Именно из факта, что будущность, как описано выше, является лишь относительной, я предпочел говорить о концепции события, а не о его предвосхищении. Последний термин, который в некоторых отношениях казался бы более понятным и уместным, открыт для возражения, что он, по популярному мнению, действительно передает понятие абсолютной, в противоположность относительной, будущности.

§ 2. Например, бросается игральная кость. Один раз из шести она дает туза; если поэтому мы предположим, без проверки, что выпал туз, мы будем правы один раз из шести. Делая это, мы можем, согласно обычному плану, двигаться вперед во времени; то есть формировать наше мнение о броске заранее, когда никто не может сказать, что это будет. Или мы могли бы двигаться назад; то есть сформировать мнение о костях, которые были брошены в какой-то момент в прошлом, а затем исправить наше мнение свидетельством кого-то, кто был очевидцем бросков. В любом случае мыслительная операция точно такая же; мнение, сформированное исключительно на статистических основаниях, впоследствии корректируется конкретными доказательствами. Мнение могло быть сформировано о прошлом, настоящем или будущем событии; доказательство, которое корректирует его впоследствии, может быть нашим собственным зрением, или свидетельством других, или любым видом вывода; под доказательством просто подразумевается такое последующее исследование случая, которое, как предполагается, ставит точку в деле. Вполне возможно, конечно, что это конкретное доказательство никогда не появится; концепция в этом случае остается концепцией и никогда не достигает той степени убежденности, которая квалифицирует ее как «факт». Это явно случай со всеми прошлыми бросками костей, результаты которых не были записаны.

При обсуждении азартных игр есть очевидные преимущества в том, чтобы ограничиваться тем, что является действительно, а также относительно будущим, ибо в этом случае, поскольку прямая информация относительно предполагаемого результата невозможна, все люди находятся в точно таком же положении сравнительного невежества и должны формировать свое мнение исключительно на основе известной или выведенной частоты возникновения рассматриваемого события. С другой стороны, если событие прошло, почти всегда есть доказательства какого-то рода и какой-то ценности, пусть даже незначительной, чтобы сообщить нам, чем событие было на самом деле; если эти доказательства не находятся под рукой, мы обычно можем, немного подождав, получить что-то, что будет по крайней мере полезно нам в формировании нашего мнения. Практически поэтому мы обычно ограничиваемся, в предвосхищениях такого рода, тем, что действительно является будущим, и так в популярном представлении будущность становится неразрывно связанной с вероятностью.

§ 3. Существует, однако, ошибка, тесно связанная с вышеуказанным взглядом на предмет, или, по крайней мере, неточность выражения, которая постоянно чревата ошибками, которая нашла широкое признание и была санкционирована авторами величайшего авторитета. Например, как Батлер в своей «Аналогии», так и Милль обращали внимание, в той или иной форме выражения, на различие между невероятностью до события и невероятностью после события, которые они считают совершенно разными вещами. То, что эта фразеология указывает на различие важности, нельзя отрицать, но мне кажется, что язык, на котором она часто выражается, требует исправления.

Замечания Батлера по этому предмету встречаются в его «Аналогии», в главе о чудесах. Признавая, что существует сильная презумпция против чудес (его эквивалент обычного выражения «невероятность до события»), он стремится получить согласие на них, показывая, что другие события, которые также имеют сильную презумпцию против них, принимаются на основе того, что в действительности является очень слабым доказательством. Он говорит: «Существует очень сильная презумпция против обычных умозрительных истин и против самых обычных фактов до их доказательства; которая, однако, преодолевается почти любым доказательством. Существует презумпция в миллионы против одного против истории Цезаря или любого другого человека. Ибо, предположим, ряд обычных фактов, так и так обстоящих, о которых у кого-то не было никакого доказательства, если бы они пришли кому-то в голову, каждый без всякого возможного сомнения заключил бы их ложными. И то же самое можно сказать об одном обычном факте».

§ 4. Эти замечания подверглись немалой критике, и они, безусловно, кажутся мне вводящими в заблуждение и неясными в своей отсылке. Если судить по контексту и по другому отрывку, в котором тот же аргумент упоминается впоследствии, [1] безусловно, кажется, что Батлер не проводил различия между чудесными рассказами и другими рассказами, которые, используя любые из различных выражений, находящихся в общем употреблении, являются маловероятными или невероятными, или имеют презумпцию против них; и заключил, что, поскольку некоторые из последних были мгновенно приняты на основе довольно посредственного свидетельства, было совершенно иррационально отвергать первые, когда они аналогично или лучше подкреплены. [2] Этот предмет снова попадет в поле нашего зрения и потребует более полного обсуждения в главе о достоверности необычайных историй. Здесь будет достаточно заметить, что, как бы удовлетворительно такой взгляд на дело ни был для некоторых теологов, ни один противник чудес ни на мгновение не принял бы его. Он естественно возразил бы, что вместо того, чтобы чудесный элемент был (как считает Батлер) «небольшой дополнительной презумпцией» против повествования, он вовлекал события в совершенно отличный класс невероятности; что он умножал, а не просто добавлял к трудностям и возражениям на пути принятия рассказа.

Замечания Милля («Логика», кн. III, гл. XXV, § 4) носят другой характер. Обсуждая основания неверия, он говорит о людях, совершающих ошибку «упускания из виду различия между (тем, что можно назвать) невероятностью до факта и невероятностью после него, двумя разными свойствами, последнее из которых всегда является основанием для неверия, первое — не всегда». Он приводит пример бросания игральной кости. Невероятно заранее, что выпадет туз, и все же впоследствии «нет причин не верить этому, если какой-либо заслуживающий доверия свидетель утверждает это». Так же, «шансы сильно против смерти А. Б., но если кто-то говорит нам, что он умер вчера, мы верим этому».

§ 5. То, что существует некоторая трудность с такими проблемами, как эти, должно быть признано. Тот факт, что так много людей находят их источником недоумения, и что предлагаются столь различные объяснения для разрешения этого недоумения, являются достаточным доказательством этого. [3] Соображения последней главы, однако, какими бы чрезмерно техническими и даже схоластическими ни казались читателю некоторые выражения, в которых они были выражены, я надеюсь, направят нас к более удовлетворительному способу рассмотрения этого дела.

Когда мы говорим о невероятном событии, следует помнить, что, объективно рассматриваемое, событие может быть только более или менее редким; крайняя степень редкости, конечно, та, при которой событие не происходит вовсе. Теперь, как было показано в последней главе, наша позиция при формировании суждений о рассматриваемом времени — это позиция рассмотрения концепции или догадки (назовем ее как угодно) и присвоения ей определенного веса достоверности. Реальное различие, следовательно, между двумя классами примеров соответственно, которые приводятся как Батлером, так и Миллем, состоит в способе, которым эти концепции получены; они получены в одном случае процессом угадывания, а в другом — процессом придания значения сообщениям свидетелей.

§ 6. Возьмем сначала пример Батлера. В «презумпции до доказательства» нам представлен человек, думающий об истории Цезаря, то есть делающий догадку о некоторых исторических событиях без каких-либо определенных оснований для нее, а затем размышляющий о том, какое значение следует придать вероятности ее истинности. Такая догадка, конечно, как он говорит, признается ложной. Но что он понимает под «презумпцией после доказательства»? Что история, принятая не случайно, а фактически предложенная и подкрепленная свидетелями, должна быть истинной. Последнее может быть принято, в то время как первое, несомненно, будет отвергнуто; но все, что это доказывает, или скорее иллюстрирует, — это то, что свидетельство почти любого свидетеля в большинстве случаев значительно лучше, чем просто догадка. [4] Мы можем в обоих случаях одинаково говорить о «событии», если хотим; фактически, как было признано в последней главе, обычный язык нелегко поддастся любому другому способу выражения. Но следует четко понимать, что, как бы мы это ни формулировали, то, что действительно присутствует в уме человека и чему должно быть присвоено вероятное значение, — это концепция события в том смысле, в котором это выражение уже было объяснено. И, безусловно, никаким двум концепциям нельзя приписать более важное различие, чем то, которое вовлечено в предположение, что одна покоится на простой догадке, а другая — на сообщении свидетеля. Точно такие же замечания применимы к примеру, приведенному Миллем. До смерти А. Б. наше мнение по этому предмету было не чем иным, как нашей собственной догадкой, основанной на статистике жизни; после его смерти оно основывалось на свидетельстве кого-то, кто, по-видимому, имел приемлемые возможности знать, каковы факты на самом деле.

§ 7. То, что различие перед нами не имеет никакой существенной связи со временем, действительно очевидно при минутном размышлении. Представьте на мгновение, что у кого-то были возможности знать, умрет А. Б. или нет. Если бы он сказал нам, что А. Б. умрет завтра, мы были бы в этом случае столь же готовы верить ему, как и тогда, когда он говорит нам, что А. Б. умер. Если бы мы продолжали испытывать какие-либо сомнения относительно этого утверждения (полагая всегда, что у нас была полная уверенность в его правдивости в вопросах, в которые он должным образом вник), это было бы потому, что мы думали, что в его случае, как и в нашем, это было равносильно догадке, и не более того. Так и с событием, когда оно в прошлом, факт его прошедшего времени не делает никакой разницы вообще; пока заслуживающий доверия свидетель не сообщит нам о том, что, как он знает, произошло, мы сомневались бы в этом, если бы это случайно пришло нам в голову, точно так же, как если бы это было будущее.

Различие, следовательно, между вероятностью до события и вероятностью после события, кажется, сводится просто к следующему: до события у нас часто нет лучших средств информации, чем апелляция к статистике в той или иной форме, и, таким образом, гадание среди различных возможных альтернатив; после события догадка может чаще всего быть улучшена или заменена апелляцией к конкретным доказательствам в форме свидетельства или наблюдения. Отсюда, естественно, наша оценка в последнем случае обычно гораздо более ценна. Но если бы эти характеристики были как-то инвертированы; если бы, то есть, мы ограничились гаданием о прошлом, и если бы мы могли найти какие-либо дополнительные доказательства о будущем, соответствующие значения различных оценок также были бы инвертированы. Разница между этими значениями не имеет необходимой связи со временем, но зависит исключительно от различных оснований, на которых покоится наша концепция или догадка о рассматриваемом событии.

§ 8. Следующий воображаемый пример послужит для того, чтобы выявить указанный выше момент. Представьте народ с очень короткой памятью, который не сохранял никаких записей, чтобы увековечить свое удержание событий, которые происходили среди них. [5] Вся область прошлого была бы тогда для них тем, чем большая часть будущего является для нас; а именно, областью догадок и предположений, той, в отношении которой они могли бы судить только на основе общих соображений вероятности, а не на основе прямых и конкретных доказательств. Но представьте также, что у них была среди них раса пророков, которые могли бы преуспеть в предсказании будущего с таким же приближением к точности и достоверности, как наши различные истории, биографии и воспоминания могут достичь в отношении прошлого. Настоящие и обычные функции прямого доказательства или свидетельства и вероятности были бы тогда просто инвертированы; и так, как следствие, были бы инвертированы нынешние случайные характеристики невероятности до и после события. Тогда именно последнее сравнительно рассматривалось бы как «не всегда основание для неверия», тогда как в случае первого мы бы тогда имели утверждение, что оно всегда таковым было.

§ 9. Происхождение ошибки, только что обсужденной, стоит исследовать. Я полагаю, что оно таково. Часто бывает, как отмечено выше, когда мы размышляем о будущем событии, и почти всегда бывает, когда это будущее событие взято из азартной игры, что все люди находятся в точно таком же состоянии невежества в отношении него. Предел доступной информации ограничен статистикой и сводится к знанию того, что неизвестное событие должно принять одну из различных альтернативных форм. Догадка, следовательно, одного человека о нем столь же ценна, как и догадка любого другого. Но в отношении прошлого дело обстоит совсем иначе. Здесь мы не привыкли полагаться на статистическую информацию. Отсюда догадки разных людей имеют чрезвычайно разные значения; в случае многих они сводятся к тому, что мы называем положительным знанием. Это ставит широкое различие, в популярном представлении, между тем, что можно назвать объективной определенностью прошлого и будущего, различие, однако, которое с точки зрения науки вывода не должно иметь места.

Вследствие этого, когда мы применяем к прошлому и будущему соответственно несколько двусмысленное выражение «шанс события», оно обычно приобретает очень разные значения. Примененное к будущему, оно несет свое собственное значение, а именно значение, которое должно быть присвоено догадке на статистических основаниях. Оно делает это, потому что в этом случае едва ли у кого-то есть больше оснований для суждения, чем такие догадки. Но примененное к прошлому, оно меняет свое значение, из-за того факта, что в то время как у одних людей есть только догадки, у других есть положительное знание. Под шансом события теперь часто понимается не значение, которое должно быть присвоено догадке, основанной на статистике, а такой догадке, полученной из и подкрепленной чьей-либо еще догадкой, то есть его знанием и его свидетельством.

§ 10. Существует класс случаев в явном противоречии с некоторыми утверждениями в этой главе, но которые, как будет обнаружено при внимательном рассмотрении, решительно подтверждают их. Я иду, скажем, в отдаленной части страны и внезапно встречаю друга. Этому я естественно удивлен. Тем не менее, если верен взгляд, что мы не можем должным образом говорить о событиях самих по себе как о вероятных или невероятных, а только говорить это о наших догадках о них, как мы объясним это? Мы не сформировали никакой догадки заранее, ибо мы не думали ни о чем подобном, но все же немногие не почувствовали бы удивления при таком инциденте.

Ответ мог бы справедливо состоять в том, что мы сформировали такие предвосхищения молчаливо. В любом таком случае каждый бессознательно делит вещи на те, которые известны ему, и те, которые нет. В течение значительного предыдущего периода бесчисленное количество людей встречало нас, и все они попадали в список неизвестных нам. Не было ничего, что напоминало бы нам о формировании предвосхищения или различия вообще, пока оно не было внезапно вызвано к живому сознанию исключительным событием. Слова, которые мы инстинктивно использовали бы в нашем удивлении, кажется, показывают это: «Кто бы подумал увидеть тебя здесь?», а именно: кто бы придал какой-либо вес скрытой мысли, если бы она была вызвана к сознанию заранее? Мы ставим наши слова в прошедшее время, показывая, что мы имели это различие, скрывающееся в наших умах все время. У нас всегда есть множество таких готовых классов событий в наших умах, и когда вещь случайно попадает в один из тех классов, которые очень малы, мы не можем не заметить этот факт.

Или предположим, я один из полка, в который летит снаряд, и он попадает в меня, и только в меня. Этому я удивлен, и почему? Наш обычный язык направит нас к причине. «Как странно, что он попал именно в меня из всех людей!» Мы думаем о вполне естественном двукратном делении человечества на нас самих и всех остальных; наше удивление снова, так сказать, ретроспективно и в отношении этого деления. Никакого предвосхищения не было отчетливо сформировано, потому что мы не думали заранее о событии, но событие, когда оно произошло, сразу же относится к своему соответствующему классу.

§ 11. Этот взгляд подтверждается следующими соображениями. Расскажите историю другу, и он будет немного удивлен, но меньше, чем мы, так как его деление в этом конкретном случае — его друзья (одним из которых мы являемся) и остальное человечество. Это не необходимое деление, но это то, которое, скорее всего, будет предложено ему.

Расскажите ее снова совершенно незнакомому человеку, и поскольку его деление будет другим (а именно, мы попадаем в большинство), мы не сможем заставить его заметить, что в событии есть что-то примечательное вообще.

Конечно, в этих замечаниях не делается попытки оправдать наше удивление в каждом случае, в котором оно существует. Разные люди могли бы быть по-разному затронуты в предполагаемых случаях, и примеры поэтому приведены главным образом для иллюстрации. Тем не менее, на принципах, уже обсужденных (гл. VI, § 32), мы могли бы ожидать найти что-то вроде общего оправдания степени удивления.

§ 12. Ответ, обычно даваемый в этих случаях, ограничивается попыткой показать, что удивление не должно возникать, а не объяснением того, как оно возникает. Он принимает следующую форму: «У вас нет права удивляться, ибо ничего примечательного на самом деле не произошло. Если бы эта конкретная вещь не произошла, должна была бы произойти другая, столь же невероятная. Если бы снаряд не попал в вас или вашего друга, он должен был бы попасть в кого-то другого, кто был априори столь же маловероятным для попадания».

Во-первых, этот ответ не объясняет тот факт, что почти каждый удивлен в таких случаях, и удивлен несколько в разных пропорциях, упомянутых выше. Более того, он имеет присущую неудовлетворительность признания того, что что-то невероятное действительно произошло, но преодоления трудности утверждением, что все другие альтернативы были столь же невероятными. Естественный вывод из этого заключается в том, что существует класс вещей, самих по себе действительно невероятных, которые все же могут быть установлены на основе очень слабых доказательств. Батлер принял этот вывод и довел его до странного заключения, приведенного выше. Милль пытается избежать его рассмотрением очень разных значений, которые должны быть присвоены невероятности до и после события. Дальнейшее обсуждение этого момента будет найдено в главе о заблуждениях и в главе о достоверности необычайных историй.

§ 13. В связи с предметом, находящимся в настоящее время под обсуждением, мы теперь обратим внимание на различие, на котором мы часто будем находить настаивание в работах по теории вероятностей, но которому, по-видимому, придавалось излишнее значение. Часто говорят, что вероятность относительна, в том смысле, что она имеет разное значение для разных людей в зависимости от их соответствующей информации по рассматриваемому предмету. Например, два человека, А и Б, собираются вытянуть шар из мешка, содержащего 4 шара: А знает, что шары черные и белые, но не знает большего; Б знает, что три черные и один белый. Сказали бы, что вероятность белого шара для А составляет 1/2, а для Б — 1/4.

Когда, однако, мы рассматриваем предмет с материалистической точки зрения, мне действительно не кажется, что в этом есть много больше, чем принцип, одинаково верный в любой другой науке, что наши выводы будут варьироваться в зависимости от данных, которые мы предполагаем. Мы могли бы на логических основаниях с почти равной уместностью говорить о площади поля или высоте горы как об относительных, и поэтому имеющих одно значение для одного человека и другое для другого. Реальное значение примера, приведенного выше, таково: А предполагает, что он выбирает белый шар случайно из серии, которая в долгосрочной перспективе давала бы белый и черный одинаково часто; Б предполагает, что он выбирает белый шар из серии, которая в долгосрочной перспективе давала бы три черных к одному белому. Применяя, следовательно, точно такое же правило, они делают разные выводы; но так они делали бы при тех же обстоятельствах в любой другой науке. Если два человека измеряют высоту горы, и один предполагает, что его база составляет 1000 футов, в то время как другой принимает ее за 1001, они, конечно, сформировали бы разные мнения о высоте. Наука измерения не считается имеющей что-либо общее с истинностью данных, но предполагает, что они были правильно взяты; почему бы этому не быть в равной степени случаем с теорией вероятностей, делая, конечно, должную скидку на особый характер данных, с которыми она имеет дело?

§ 14. Этот взгляд на относительность вероятности связан, как мне кажется, с субъективным взглядом на науку и действительно характерен для него. Кажется справедливой иллюстрацией слабой стороны этого взгляда то, что он должен заставлять нас делать какой-либо акцент на таком выражении. Как было полностью объяснено в последней главе, в той мере, в какой мы прорабатываем концептуалистский принцип, мы уводимся от фундаментального вопроса материалистической логики, а именно: является ли наша вера фактически правильной или нет? И, если первое, в какой степени и мере она правильна? Мы направляемся скорее к вопросу: какую веру кто-либо на самом деле держит? И, поскольку вера, таким образом, развлекаемая, естественно варьируется в зависимости от обстоятельств и других источников информации рассматриваемого человека, ее относительность приходит к тому, чтобы быть признанной неизбежной, или, по крайней мере, не стоит удивляться, если такое должно быть случаем.

На наш взгляд на теорию вероятностей, следовательно, ее «относительность» в любом данном случае является вводящим в заблуждение выражением, и будет найдено гораздо предпочтительнее говорить об эффекте, произведенном вариациями в природе и количестве данных, которые мы имеем перед нами. Теперь должно быть признано, что часто бывают случаи в нашей науке, в которых такие вариации особенно вероятно будут найдены. Например, я ожидаю друга, который является пассажиром на океанском пароходе. На борту сто пассажиров, и экипаж также насчитывает сто человек. Я читаю в газетах, что один человек был потерян, упав за борт; мое предвосхищение, что это был мой друг, который был потерян, конечно, лишь малое. Обращаясь к другой газете, я вижу, что человек, который был потерян, был пассажиром, а не одним из экипажа; мое легкое беспокойство сразу удваивается. Но другой отчет добавляет, что это был англичанин, и на той линии в то время года английских пассажиров, как известно, мало; я сразу начинаю испытывать решительные страхи. И так далее, каждая пустяковая информация мгновенно влияет на мои ожидания.

§ 15. Теперь, поскольку это особенно характерно для теории вероятностей, в отличие от индукции, быть таким образом во власти, так сказать, каждого маленького факта, который может плавать вокруг, когда мы находимся в акте формирования нашего мнения, какой может быть вред (можно настаивать) в выражении этого положения дел называнием нашего состояния ожидания относительным?

Мне кажется, есть два возражения. Во-первых, как только что упомянуто, мы побуждаемся отвергнуть такое выражение на основаниях последовательности. Оно несовместимо с общим духом и лечением предмета, принятым до сих пор, и имеет тенденцию разводить теорию вероятностей с индуктивной логикой, вместо того чтобы рассматривать их как родственные науки. Мы стремимся к истине, насколько эта цель может быть достигнута нашей дорогой, и поэтому мы не любим рассматривать наши выводы как относительные в каком-либо ином смысле, чем тот, в котором сама истина может быть сказана быть относительной.

Во-вторых, это состояние нестабильного согласия, эта постоянная подверженность тому, чтобы наше суждение было затронуто, в любой степени и в любой момент, приходом нового знания, хотя, несомненно, характерно для теории вероятностей, не кажется мне характерным для нее в ее более здравых и более легитимных применениях. Оно кажется скорее подходящим для поспешного суждения, сформированного в соответствии с правилами, чем строгим примером их естественного применения. Такие поспешные суждения могут иметь место в случае обычных дедуктивных выводов. В практических требованиях жизни мы постоянно имеем привычку формировать поспешное мнение с почти полной уверенностью, во всяком случае временно, на силе доказательства, которое мы должны хорошо знать в то время, не может быть окончательным. Мы ждем короткое время, и что-то еще появляется, что побуждает нас изменить наше мнение, возможно, обратить его. Здесь наши выводы могли быть совершенно здравыми при данных обстоятельствах, то есть они могут быть такими, какими каждый другой сделал бы, кто был обязан принять решение на данных перед нами, и они, несомненно, являются «относительными» суждениями в смысле, обсуждаемом сейчас. И все же, я думаю, каждый съежился бы от такого именования их, кто хотел систематически осуществлять взгляд, что логика должна рассматриваться как органон истины.

§ 16. В примерах теории вероятностей, которые мы до сих пор использовали, мы по большей части предполагали, что перед нами был определенный корпус статистики, на котором должен был покоиться наш вывод. Предполагалось, с одной стороны, что никакое прямое конкретное доказательство не могло быть получено, так что суждение действительно должно было быть суждением вероятности и покоиться на этой статистике; другими словами, что ничего лучше них не было доступно для нас. Но в равной степени предполагалось, с другой стороны, что эта статистика была открыта для наблюдения каждого, так что нам не нужно было мириться с чем-то худшим, чем они, при формировании нашего мнения. Другими словами, мы предполагали, что здесь, как и в случае большинства других наук, те, кто должен сделать вывод, начинают с той же основы возможности и информации. Это, например, ясно есть или должно быть случаем, когда мы имеем дело с азартными играми; невежество или неверное понимание общих данных никогда не рассматривается там. Так со статистикой жизни или другого страхования: пока наше суждение должно быть точным (на свой манер) или оправданным, общие таблицы смертности — это все, на что кто-либо должен опираться.

§ 17. Это правда, что в случае перспективы смерти человека мы каждый квалифицировали бы наше суждение тем, что мы знали или разумно предполагали относительно его здоровья, привычек, профессии и так далее, и таким образом пришли бы к варьирующимся оценкам. Но никто не мог бы оправдать свою собственную оценку, не апеллируя явно или неявно к статистическим основаниям, на которые он полагался, и если они не были ранее доступны другим лицам, он должен теперь поставить их перед их вниманием. Другими словами, суждения, которые мы развлекаем, здесь, как и везде, являются только относительными, пока мы опираем их на основания, специфичные для нас самих. Процесс оправдания, который я считаю существенным для логики, имеет тенденцию исправлять такие индивидуальности суждения и ставить всех наблюдателей на ту же основу в отношении их данных.

Лучше поэтому рассматривать выводы теории вероятностей как абсолютные и объективные, в том же смысле, как, хотя, несомненно, в гораздо меньшей степени, чем они есть в индукции. Полностью признавая, что наши выводы будут во многих случаях варьироваться чрезвычайно от времени к времени новыми приходами знания, предпочтительнее рассматривать такие флуктуации согласия как участвующие в природе поспешных суждений, основанных на специальной статистике, вместо того чтобы зависеть только от тех, которые общи для всех наблюдателей. Называя такие суждения поспешными, не подразумевается, что есть какая-либо вина в их развлечении, но просто что, по той или иной причине, мы были побуждены сформировать их, не дожидаясь обладания полным количеством доказательств, статистических или иных, которые могли бы в конечном итоге быть искомы. Это объяснение подойдет фактам одинаково хорошо и более последовательно с общей философской позицией, поддерживаемой в этой работе.

1 «Разве не самоочевидно, что внутренние невероятности всех видов ослабляют внешнее доказательство? Несомненно, но к какой практической цели это может быть заявлено здесь, когда было доказано ранее, что реальные внутренние невероятности, которые поднимаются даже до моральной достоверности, преодолеваются самым обычным свидетельством». Часть II, гл. III.

2 «Чудеса не должны сравниваться с обычными естественными событиями; или с событиями, которые, хотя и необычны, подобны тому, что мы ежедневно испытываем; но с необычайными явлениями природы. И тогда сравнение будет между презумпцией против чудес и презумпцией против таких необычных появлений, предположим, как кометы»…. Часть II, гл. II.

3 Например, сэр Дж. Ф. Стивен объясняет это, проводя различие между шансами и вероятностями, которые, по его словам, Батлер смешал вместе; «возражение, что очень обычное доказательство преодолеет презумпцию в миллионы против одного, основано на путанице между вероятностями и шансами. Вероятность события — это его способность быть доказанным. Его шанс — это числовая пропорция между количеством возможных случаев — предполагаемых быть одинаково благоприятными — благоприятными для его возникновения; и количеством возможных случаев, неблагоприятных для его возникновения» (General view of the Criminal Law of England, стр. 255). Донкин, опять же (Phil. Magazine, июнь 1851), использует термины невероятность и неправдоподобность, чтобы отметить то же различие.

4 В крайнем случае, когда сам свидетель просто угадывает или является столь же ненадежным, как если бы он просто угадывал, две истории, конечно, будут стоять на точно такой же основе. Этот случай будет замечен снова в главе XVII. Можно заметить, что здесь есть несколько тонкостей, которые не могут быть адекватно замечены без некоторого предварительного исследования вопроса о достоверности свидетелей.

5 Согласно Данте, что-то похожее на это преобладало среди обитателей Ада. Кардиналы и другие, которых он там встречает, способны дать информацию о многих событиях, которые еще должны были произойти на земле, но они должны были спрашивать ее для многих событий, которые фактически произошли.

ГЛАВА XIII.

О КОНЦЕПЦИИ И ЛЕЧЕНИИ МОДАЛЬНОСТИ.

§ 1. Читатель, который знает что-либо о схоластической логике, уже понял, что мы касались в различных местах того самого тернистого и отталкивающего из районов в логической территории — модальности. Будет целесообразно, однако, собрать вместе, несколько более определенно, то, что должно быть сказано по этому предмету. Я предлагаю, поэтому, посвятить эту главу краткому изложению основных разновидностей лечения, которые модальные суждения получили от рук профессиональных логиков.

Должно быть замечено с самого начала, что смысл, в котором модальность и модальные суждения были в разное время поняты, отнюдь не фиксирован и неизменно один и тот же. Это разнообразие взглядов возникло частично из соответствующих различий во взгляде, принятом на провинцию и природу логики, и частично из различий в философских и научных мнениях, развлекаемых относительно конституции и порядка природы. В более поздние времена, более того, другой очень мощный агент в приведении к изменению в лечении предмета должен быть признан в постепенном и устойчивом росте теории вероятностей, как проработанной математиками с их собственной точки зрения.

§ 2. Несмотря, однако, на эти различия в лечении, всегда была некоторая общность предмета в дискуссиях по этой теме. Почти всегда была некоторая отсылка к количеству веры; достаточно, возможно, чтобы оправдать замечание Де Моргана [1], что вероятность была «неизвестным Богом, которому схоласты невежественно поклонялись, когда они так обращались с этим видом высказывания, что было сказано, что это вне человеческого определения, мучили ли они больше модальные суждения, или модальные суждения их». Но эта отсылка к количеству веры иногда была прямой и непосредственной, иногда косвенной и возникающей из природы предмета суждения. Факт в том, что то различие между чисто субъективными и чисто объективными взглядами на логику, которое я пытался вывести на передний план в одиннадцатой главе, отнюдь не было ясно признано в ранние времена, ни действительно до времени Канта, и взгляд, который должен быть принят на модальность, естественно разделял последующую путаницу. Это будет, я надеюсь, сделано ясным в ходе следующей главы, которая предназначена дать краткий очерк основных различных способов, которыми модальность суждений была обработана в логике. Поскольку не предлагается дать что-либо похожее на регулярную историю предмета, не будет необходимости придерживаться какой-либо строгой последовательности времени или обсуждать мнения каких-либо авторов, кроме тех, которые могут быть взяты как представители довольно отчетливых взглядов. Результатом такого исследования будет, я надеюсь, убеждение читателя (если, действительно, он не пришел к этому убеждению раньше), что логики, после того как имели долгое и справедливое испытание, не смогли сделать ничего удовлетворительного из этого предмета модальных суждений своими методами исследования и лечения; и что он должен, поэтому, быть изгнан полностью из этой науки и переведен в теорию вероятностей.

§ 3. С самого раннего изучения силлогистического процесса было видно, что, сколь бы полным этот процесс ни был в своей собственной области, область, во всяком случае при его простейшем лечении, является очень ограниченной. Суждения чистой формы — Все (или некоторые) А есть (или не есть) Б — обнаруживаются на практике формирующими лишь малую часть даже наших категорических утверждений. Мы постоянно встречаем другие, которые выражают отношение Б к А с различными степенями необходимости или вероятности; например, А должно быть Б, А может быть Б; или эффект таких фактов на наше суждение, например, я совершенно уверен, что А есть Б, я думаю, что А может быть Б; со многими другими более или менее похожего типа. Вопрос сразу возникает, как такие суждения должны быть обработаны? Не кажется, что старым логикам, как некоторым их преемникам в современные времена, приходило в голову просто отвергнуть всякое рассмотрение этой темы. Их вера в истинность и полноту их системы вывода была слишком твердой для них, чтобы предполагать возможным, что формы суждения, повсеместно признанные значимыми в популярной речи, и формы вывода, повсеместно признанные там как валидные, должны были быть опущены, потому что они были неудобными или сложными.

§ 4. Напрашивается один очень простой план, который, собственно, неоднократно предлагался, а именно: просто перенести все, что характерно для таких суждений, в тот удобный вместилище для всего, что вызывает затруднения в других местах, — в предикат. Разве не избавились таким образом от другой так называемой модальности? И разве не пытались тем же приемом упразднить отличительную характеристику отрицательных суждений, а именно путем переноса отрицательной частицы в предикат? Следует признать, что до определенной степени кое-что можно сделать таким образом. Если дано рассуждение: «Те, кто принимает мышьяк, вероятно, умрут; А принял его, следовательно, он, вероятно, умрет», — его легко превратить в обычный силлогизм чистого типа, просто сформулировав большую посылку так: «Те, кто принимает мышьяк, — это люди, которые, вероятно, умрут», — тогда заключение следует в той же форме: «А — это тот, кто, вероятно, умрет». Но этот прием продвинет нас лишь на очень небольшое расстояние. Предположим, что меньшая посылка также относится к этому модальному описанию, например: «А, вероятно, принял мышьяк», — и станет ясно, что мы не можем перенести модальность и здесь в предикат, не столкнувшись с тем, что в силлогизме окажется четыре термина.

Но даже если бы не было этого конкретного возражения, не похоже, чтобы такой прием, как описанный выше, давал что-либо в плане ясности или метода. Ибо что подразумевается под модальным предикатом, например, под предикатом «вероятно смертельный» в суждении «Все отравления мышьяком, вероятно, смертельны»? Если аналогия с обычными чистыми суждениями должна сохраняться, то это должен быть предикат, относящийся ко всему субъекту, поскольку субъект распределен. Но тогда мы сразу же погружаемся в трудности, обсуждавшиеся в предыдущей главе (гл. VI, §§ 19–25), когда пытаемся обосновать или верифицировать применение предиката. Мы должны выяснить (по крайней мере, с точки зрения, принятой в этой работе), означает ли по сути применение предиката «вероятно смертельный» ко всему субъекту что-либо иное, кроме того, что предикат «смертельный» должен быть применен к части (более чем половине) членов, обозначаемых субъектом. Когда перенос модальности в предикат порождает столь запутанные вопросы относительно того, в каком смысле следует интерпретировать предикат, этот шаг, безусловно, ничего не дает.

§ 5. Второй и более краткий способ отложить в сторону все трудности предмета, по крайней мере в том, что касается логики или авторов, пишущих о логике, заключается в простом отрицании того, что модальность вообще имеет какое-либо отношение к логике. Этот путь принят многими современными авторами, например, Гамильтоном и Манселом, в отношении которых нельзя не заметить, что неоправданно большая часть их логических трудов, по-видимому, занята тем, что они говорят нам, что не принадлежит к логике. Они оправдывают свое неприятие тем, что модус относится к материи и должен определяться рассмотрением материи, а следовательно, является внелогическим. В некоторой степени я согласен с их основаниями для неприятия, ибо (как объяснено в главе VI) трудно понять, как степень модальности любого суждения, будь то посылка или заключение, может быть обоснована без обращения к материи. Но тогда вопросы обоснования в любом адекватном смысле этого термина относятся к кругу соображений, несколько чуждых взгляду Гамильтона и Мансела на эту науку. Полное обоснование наших выводов — это вопрос, который включает в себя их истинность или ложность, — момент, которым эти авторы не слишком озабочены, будучи заняты лишь последовательностью наших рассуждений, а не их соответствием фактам. Если бы я говорил как гамильтонианец, я бы сказал, что модальность скорее формальна, чем материальна, ибо, хотя мы не можем обосновать степень нашей веры в суждение без обращения к материи, мы можем с умеренной точностью оценить ее без какого-либо такого обращения; и этого, по-видимому, вполне достаточно, чтобы оправдать ее рассмотрение как формальной.

Следует признать, что изложение Гамильтоном этого вопроса, когда он рекомендует отказ от модальностей, отнюдь не является ясным и последовательным. Он не только не может, как уже отмечалось, провести различие между формальной и материальной (иными словами, истинной и ложной) модальностью; но, рассматривая первую, он не может провести различие между чрезвычайно разнообразными аспектами модальности при взгляде на нее с аристотелевской и кантианской точек зрения. О величине и значении этого различия мы поговорим позже, но здесь можно лишь указать, что Гамильтон начинает (т. I, с. 257) с отказа от модальностей на том основании, что различия между необходимым, случайным, возможным и невозможным должны полностью основываться на обращении к материи суждений, в чем он, я думаю, совершенно прав. Но затем, немного далее (с. 260), объясняя «значение трех терминов, которые используются в отношении чистых и модальных суждений», он приводит совершенно иное кантианское, или тройное деление на аподиктические, ассерторические и проблематические. Он не берет на себя труд указать своим слушателям на весьма различные общие взгляды на логику, из которых проистекают эти два описания модальности.

§ 6. Существует один вид модального силлогизма, который казалось бы неразумным отвергать на основании того, что он не является формальным, и который мы можем заметить мимоходом. Посылка «Любой А есть вероятно B» эквивалентна «Большинство A суть B». Теперь очевидно, что из двух таких посылок, как «Большинство A суть B», «Большинство A суть C», мы можем вывести следствие: «Некоторые C суть B». Поскольку это справедливо независимо от природы A, B и C, это, согласно обычному употреблению термина, формальный силлогизм. Мансел, однако, отказывается признать, что любые такие силлогизмы принадлежат к формальной логике. Его доводы приведены в довольно обстоятельном обзоре и критике некоторых логических работ Де Моргана, которому в основном и обязано введение «численно определенных силлогизмов». Мансел не берет конкретный пример, приведенный выше, так как он обсуждает несколько более всеобъемлющую алгебраическую форму. Он исследует его на специальном числовом примере: 18 из 21 Y суть X; 15 из 21 Y суть Z; заключение, что 12 Z суть X, исключается из формальной логики на том основании, что вовлеченное арифметическое суждение является синтетическим, а не аналитическим, и основывается на интуиции количества. Мы не можем здесь вдаваться в рассмотрение этих причин; но можно лишь заметить, что его критика требует принятия кантианских доктрин относительно природы арифметических суждений, и что было бы лучше основывать отказ не на том основании, что силлогизм не является формальным, а на том, что он не является аналитическим.

§ 7. Существует еще один практический способ избавиться от трудностей модального рассуждения, который необходимо здесь отметить. Это скорее ресурс обычных рассуждающих, чем решение профессиональных логиков, и, подобно первому методу уклонения, уже указанному в этой главе, он имеет весьма ограниченное применение. Он заключается в том, чтобы рассматривать посылки в процессе рассуждения так, как если бы они были чистыми, а затем вновь вводить модальность в заключение как своего рода квалификацию его полной достоверности. Когда каждая из посылок почти достоверна, или когда по какой-либо причине нас не беспокоит степень их отклонения от полной достоверности, этот грубый прием вполне подойдет. Я полагаю, что именно этот процесс происходит в умах большинства людей в таких случаях, насколько они рассуждают сознательно. Они бы, по-видимому, в таком примере, как приведенный ранее (§ 4), действовали так, как если бы посылки о том, что «те, кто принимает мышьяк, умрут», и что «человек, о котором идет речь, принял его», были совершенно истинными, а не только вероятно истинными, и они, следовательно, сделали бы вывод, что «он умрет». Но, помня, что посылки не являются достоверными, они бы помнили, что заключение следует принимать лишь с оговоркой. Это они выразили бы совершенно правильно, если учитывать только природу, а не степень этого согласия, сказав, что «он, вероятно, умрет». В этом случае модальность временно отбрасывается из посылок, чтобы быть вновь введенной в заключение.

Очевидно, что такой процесс является весьма грубым и несовершенным. Он, по сути, оставляет без точного рассмотрения именно тот момент, который сейчас обсуждается. Он не принимает во внимание различные оттенки выражения, которыми указывается степень отклонения от полного убеждения, что, конечно, и есть то самое, чем модальность призвана заниматься. В лучшем случае, поэтому, он мог бы претендовать лишь на то, чтобы быть крайне грубым способом решения вопросов, для которых от нас требуются точные и научные методы обработки.

§ 8. При любом применении прикладной логики мы, конечно, должны пройти через такой процесс, как только что упомянутый. Вне чистой математики вряд ли когда-либо может быть так, чтобы посылки, из которых мы рассуждаем, принимались с абсолютной убежденностью. Следовательно, должно быть отклонение от абсолютной убежденности в заключении. Но мы рассуждаем на гипотезе, что посылки истинны, и любое незначительное отклонение от достоверности, которое мы можем осознавать, мысленно резервируется как оговорка к заключению. Но такие соображения относятся скорее к обычной прикладной логике; они сводятся не более чем к предостережению или намеку, который следует иметь в виду, когда правила силлогизма или индукции применяются на практике. Однако, когда мы имеем дело с модальностью, степень отклонения от полной достоверности предполагается достаточно большой, чтобы наш язык мог указать и оценить ее. Что нам тогда нужно, так это, конечно, научное обсуждение принципов, в соответствии с которыми это отклонение должно измеряться и выражаться как в наших посылках, так и в нашем заключении. Такой план обработки модальности, как обсуждаемый, является, следовательно, таким же изгнанием ее из области реального логического исследования, как если бы мы решительно постановили исключить ее из рассмотрения.

§ 9. Прежде чем перейти к обсуждению различных способов, которыми модальность может трактоваться теми, кто допускает ее в логику, необходимо сказать кое-что, чтобы прояснить возможный источник путаницы в этой части предмета. В случаях, с которыми мы до сих пор были в основном связаны в ранних главах этой работы, характеристика модальности (ибо в этой главе мы можем с полным правом использовать этот логический термин) обычно обнаруживалась в единичных и частных суждениях. Она проявлялась, когда нам приходилось судить об отдельных случаях на основе знания среднего значения, и была выражением того факта, что суждение, относящееся к этим индивидам, относилось лишь к части всего класса, из которого бралось среднее значение. Если дано, что из людей пятидесяти пяти лет трое из пяти умрут в течение двадцати лет, мы имели дело с суждениями в неопределенной форме: «Вероятно, что AB (этого возраста) умрет», или в более точной форме: «Три к двум, что AB умрет» в течение указанного времени. Здесь модальное суждение естественно представляется в форме единичного или частного суждения.

§ 10. Но когда мы обращаемся к обычной логике, мы можем обнаружить, что общие суждения называются модальными. Это в основном должно быть так с теми, которые называются необходимыми или невозможными, но это может быть так и с вероятными. Мы можем встретить форму «Все X, вероятно, суть Y». Принимая здесь то же объяснение, которое было принято во всех аналогичных случаях, мы должны сказать, что под модальностью такого суждения подразумевается пропорциональное число раз, когда общее суждение было бы сделано правильно. И в этом пока нет никакой трудности. Единственная разница заключается в том, что в то время как обоснование первого, т. е. частного или индивидуального вида модального суждения, было достижимо в пределах общего суждения, которое его включало, обоснование модальности общего суждения должно быть найдено в группе или последовательности других суждений. Суждение должно быть отнесено к некоторой группе подобных, и мы должны рассмотреть пропорцию случаев, в которых оно будет истинным. Но это различие вовсе не является фундаментальным.

Совершенно верно, что общие суждения по своей природе гораздо реже, чем индивидуальные, обосновываются на практике таким обращением. Но, как уже часто указывалось, нас не интересует способ, которым наши суждения практически получаются, ни способ, которым людям было бы наиболее естественно их проверять; но то окончательное обоснование, к которому мы обращаемся в последней инстанции и которое, как было в изобилии показано, носит статистический характер. Поэтому, когда мы говорим, что «вероятно, что все X суть Y», мы имеем в виду, что более чем в половине случаев, с которыми мы сталкиваемся, мы были бы правы, судя так, и менее чем в половине случаев мы были бы неправы.

§ 11. Именно на этом шаге встречается возможная двусмысленность. Когда мы говорим о шансе того, что все X суть Y, мы рассматриваем или подразумеваем дополнительный шанс того, что это не так. Теперь эта последняя альтернатива не свободна от двусмысленности. Может случиться, например, в случаях неудачи, что ни один X не есть Y, или может случиться, что только некоторые X не суть Y; ибо оба этих предположения противоречат исходному суждению и, следовательно, являются примерами его неудачи. На практике, несомненно, у нас были бы различные признанные правила и индукции, к которым можно было бы прибегнуть, чтобы решить между этими альтернативами, хотя, конечно, обращение к ним было бы строго внелогическим. Но само существование такой двусмысленности и тот факт, что она может быть прояснена только обращением к предмету, сами по себе не представляют реальной трудности в применении концепции модальности к общим суждениям, так же как и к индивидуальным.

§ 12. Заметив некоторые способы, которыми введение модальности в логику обходилось или отвергалось, мы должны теперь кратко изложить ее трактовку теми, кто более или менее сознательно признал ее права на принятие.

Первым вопросом будет: какие мнения существовали относительно природы модальности? То есть, является ли она прежде всего аффекцией материи суждения, и если нет, то что именно она такое? В отношении этого исследования мне кажется, как уже отмечалось, что среди ранних логиков нельзя обнаружить такого ясного и последовательного различия между субъективными и объективными взглядами на логику, как то, которое поддерживается сейчас. Результат этого проявляется в их трактовке модальности. Она всегда имела некоторое отношение к субъективной стороне суждения, а именно в данном случае к природе или количеству веры, с которой оно принималось; но столь же ясно, что эта характеристика оценивалась не из первых рук, так сказать, и сама по себе, а скорее из рассмотрения материи, определяющей, какой она должна быть. Общепринятое схоластическое или аристотелевское деление, например, — на необходимое, случайное, возможное и невозможное. Это явно деление почти полностью согласно материи, ибо на чисто ментальной стороне необходимое и невозможное были бы точно такими же; одно подразумевает полную убежденность в истинности суждения, а другое — в истинности его противоречия. Точно так же на той же стороне было бы нелегко провести различие между случайным и возможным. Поэтому, согласно рассматриваемому взгляду, модальность суждения определялась обращением к природе предмета. В некоторых суждениях природа предмета решала, что предикат необходимо соединен с субъектом; в других — что невозможно, чтобы они были соединены; и так далее.

§ 13. Искусственный характер такого четырехчастного деления будет слишком очевиден для современных умов, чтобы его нужно было критиковать. Очень небольшого изучения природы и последующей оценки индуктивных доказательств достаточно, чтобы убедить нас в том, что те единообразия, от которых зависят все связи явлений, называемые необходимыми или случайными, требуют чрезвычайно глубокого и обширного исследования; что они не допускают такого простого деления на четко обозначенные группы; и что, следовательно, чистому логику лучше не вмешиваться в них.

Следующий отрывок из «Аристотеля» Грота (т. I, с. 192) послужит для того, чтобы показать происхождение этого четырехчастного деления, его соответствие науке того времени и, следовательно, его полное несоответствие науке нашего времени: «Различие проблематических и необходимых суждений соответствует, в уме Аристотеля, той главной и характерной доктрине его онтологии и физики, уже затронутой в этой главе. Он полагал, как мы видели, что в обширной окружной области Космоса, от внешней звездной сферы до лунной сферы, небесная субстанция была необходимым существованием и энергией, вечной и единообразной в своих вращениях и влиянии; и что благодаря ее благотворному влиянию, пронизывающему вогнутость между лунной сферой и земным центром (который включал четыре элемента с их соединениями), преобладала регулирующая тенденция, называемая Природой; модифицированная, однако, и частично нейтрализованная независимыми и нерегулярными силами, называемыми Спонтанностью и Случаем, по существу непознаваемыми и непредсказуемыми. Нерегулярные последовательности, названные таким образом Аристотелем, были объективным коррелятом проблематического суждения в логике. В этих подлунных последовательностях, что касается будущего времени, «может или не может» было всем, чего можно было достичь даже при самом высоком знании; достоверность, будь то утверждения или отрицания, была исключена. С другой стороны, необходимые и единообразные энергии небесной субстанции формировали объективный коррелят необходимого суждения в логике; эта субстанция была не просто существованием, а существованием необходимым и неизменным... он считает проблематическое суждение в логике не чисто субъективным, как выражение невежества говорящего, а чем-то большим, а именно коррелирующим с объективным, по существу непознаваемым для всех».

§ 14. Даже после того, как эта философия начала уходить в прошлое, деления модальности, первоначально основанные на ней, могли, как заметил Де Морган, оказаться весьма полезными в средневековые времена. Как он говорит, от людей гораздо чаще требовалось принимать решение в ту или иную сторону на основе одного свидетельства, без достаточного количества специфических знаний для проверки сделанных заявлений. Старый логик «не знал, не принесет ли любой день недели из Катая или Тартарии рассказ о людях, которые бегали на четырех колесах из плоти и крови, или росли, посаженные в землю, как Полидор в Энеиде, подтвержденный так же хорошо, как многие почти столь же чудесные истории». Следовательно, за неимением лучших индукций, могло быть удобно делать грубые классификации фактов, которые следовало и которые не следовало принимать на веру (необходимое, невозможное и т. д.), и использовать эти предварительные индукции (что есть все, чем мы сейчас их считали бы) в качестве проверки историй, которые доходили до него. Суждения, принадлежащие к классу невозможного, могли рассматриваться как имеющие против себя априорную презумпцию, настолько сильную, что она перевешивала почти любое свидетельство, заслуживающее внимания, и так далее.

§ 15. Но это старое четырехчастное деление модальностей продолжало приниматься и увековечиваться логиками еще долго после того, как всякое философское оправдание для него исчезло. Насколько мне удалось выяснить, едва ли кто-либо из авторитетных или популярных логиков до Канта был достаточно смел, чтобы внести какие-либо важные изменения в способ их рассмотрения. Даже логика Пор-Рояля, основанная, как она есть, на картезианстве, повторяет традиционные утверждения, хотя и с предельной краткостью. Это приверженность старым формам привела, не нужно и говорить, к значительной непоследовательности и путанице во многих случаях. Эти формы были основаны, как мы видели, на объективном взгляде на область логики, и этот взгляд отнюдь не был жестко реализован во многих случаях. На самом деле, он начал отбрасываться в степени и направлениях, которые у нас здесь нет возможности обсуждать, еще до того, как влияние Канта стало ощутимым. Многие, например, добавляли к списку из четырех, включая истинное и ложное; иногда также добавлялись вероятное, предполагаемое и достоверное. Это, по-видимому, показывает некоторую тенденцию к отказу от объективного взгляда в пользу субъективного, или, по крайней мере, указывает на колебания между ними.

§ 16. Со взглядом Канта на модальность знаком почти каждый. Он делит суждения в этой рубрике на аподиктические, ассерторические и проблематические. Нам придется сказать кое-что о количестве и взаимных отношениях этих делений позже; сейчас нас интересует только общий взгляд, который они реализуют. В этом отношении сразу станет очевидно, какое полное изменение позиции было достигнуто. «Необходимое» и «невозможное» требовали обращения к материи суждения, чтобы распознать их; «аподиктическое» и «ассерторическое», с другой стороны, могут быть истинными почти для любой материи, ибо они не требуют ничего, кроме обращения к нашему сознанию, чтобы различить их. Более того, различие между ассерторическим и проблематическим настолько полностью субъективно и лично, что оно может варьироваться не только между одним человеком и другим, но и в случае одного и того же человека в разное время. То, что один человек знает как истинное, другой может случайно подвергать сомнению. Аподиктическое суждение — это то, которое мы не только принимаем, но которое мы находим невозможным отменить в мысли; ассерторическое просто принимается; проблематическое — это то, в чем мы сомневаемся.

Такой взгляд на вещи является необходимым результатом концептуалистского или кантианского взгляда на логику. Ему следовали многие логики, не только те, кого можно назвать последователями Канта, но почти все, кто ощутил его влияние. Убервег, например, который во всем расходится с Кантом по некоторым фундаментальным пунктам, принимает его.

§ 17. Следующий вопрос, который нужно обсудить: сколько подразделений модальности следует признать? Аристотелевские или схоластические логики, как мы видели, приняли четырехчастное деление. Точные отношения некоторых из них друг к другу, особенно возможного и случайного, являются крайне неясным моментом, и тем, о котором комментаторы отнюдь не согласны. Поскольку, однако, кажется довольно ясным, что сознательно не предполагалось использованием этих четырех терминов показать градуированную шкалу интенсивности убеждения, их соответствие области современной вероятности лишь незначительно, и обсуждение их, следовательно, становится скорее вопросом специального или антикварного интереса. Де Морган, действительно (Formal Logic, с. 232), говорит, что схоласты понимали под случайным «более вероятно, чем нет», а под возможным «менее вероятно, чем нет». Я не знаю, на каком авторитете основывается это утверждение, но оно приписывает им гораздо более близкий подход к современным взглядам на вероятность, чем можно было ожидать, и определенно более близкий, чем у большинства их преемников. Общий вывод, к которому я пришел после разумного количества исследований, заключается в том, что по этому вопросу существовало два преобладающих взгляда. Некоторые (например, Бургерсдейк, кн. I, гл. 32) признавали, что в основе лежит только два вида модальности; случайное и возможное равносильны, как и необходимое и невозможное, при условии, что одно утверждает, а другое отрицает. Это взгляд, к которому естественно пришли бы те, кто смотрел главным образом на природу предмета. С другой стороны, те, кто смотрел главным образом на форму выражения, были бы приведены аналогией четырех форм суждения и необходимостью того, чтобы каждая из них находилась в определенном противопоставлении друг другу, к тому, чтобы настаивать на различии между четырьмя модальностями. Они, следовательно, пытались ввести различие, утверждая (например, Краканторп, кн. III, гл. 11), что случайное — это то, что сейчас есть, но может не быть, а возможное — то, что сейчас нет, но может быть. Некоторые, по-видимому, сделали различие соответствующим различию между физически и логически возможным.

§ 18. Когда мы доходим до кантианского деления, мы достигаем гораздо более ясной почвы. Значение каждого из этих терминов вполне эксплицитно, и также вне сомнения, что они имеют более определенную тенденцию в направлении назначения градуированной шкалы убеждения. Пока они рассматриваются с метафизической, а не логической точки зрения, многое можно сказать в их пользу. Если мы используем только интроспекцию, ограничиваясь изучением самих суждений, исключая основания, на которых они покоятся, то, безусловно, кажется, что существует ясное и хорошо выраженное различие между суждениями, которые мы не можем даже представить себе отмененными в мысли; теми, которые мы могли бы отменить, но которые принимаем как истинные; и теми, которые мы просто рассматриваем как возможные.

Рассматриваемое, однако, как логическое деление, устройство Канта кажется мне очень малополезным. Ибо для таких логических целей, с которыми мы сейчас имеем дело, оно действительно, кажется, сводится к двухчастному делению. Различие между аподиктическим и ассерторическим будет признано, я полагаю, даже теми, кто принимает метафизическую или психологическую теорию, на которой оно основывается, как различие, которое касается не количества веры, с которой принимаются суждения, а скорее насилия, которое пришлось бы совершить над умом попыткой опровергнуть их. Каждому полностью верят, но одно может быть опровергнуто, а другое — нет. Вера, с которой принимается ассерторическое суждение, есть полная вера, иначе оно не отличалось бы от проблематического; и поэтому в отношении количества веры, в отличие от качества или характера ее, нет никакой разницы между ним и аподиктическим. Это как если бы, чтобы предложить иллюстрацию, индекс был уже перемещен к верхней части шкалы в ассерторическом суждении, и все, что было сделано, чтобы превратить это в аподиктическое, — это закрепить его там. Единственная логическая разница, которая тогда остается, — это разница между проблематическим и ассерторическим, первое охватывает все суждения, относительно истинности которых у нас есть какая-либо степень сомнения, а второе — те, относительно которых у нас нет сомнения. Весь диапазон первого, следовательно, с которым уместно занята вероятность, брошен неразделенным в один отсек. Мы едва ли можем говорить о «делении», где один класс включает все до граничной линии, а другой ограничен этой граничной линией. Практически, следовательно, с этой точки зрения, модальность, как математический студент вероятности ожидал бы ее найти, исчезает так же полностью, как если бы предполагалось отвергнуть ее.

§ 19. Менее последовательными и систематическими мыслителями, а также теми, у кого изобретательность была чрезмерно выраженной чертой, был принят или предложен ряд других устройств. Существует, конечно, некоторое оправдание для таких попыток в похвальном желании привести наши логические формы в лучшее согласие с обычным мышлением и языком. На практике, как было указано в более ранней главе, каждый признает большое разнообразие модальных форм, таких как «вероятно», «очень вероятно», «почти наверняка» и так далее, почти без ограничений в каждом направлении. Несомненно, предполагалось, что, пренебрегая использованием технических эквивалентов для некоторых из этих форм, мы потеряем наш логический контроль над некоторыми возможными видами вывода и, таким образом, не дотянем даже до точности обычного мышления.

Что касается таких дополнительных форм, мне кажется, что все те, которые были введены авторами, не находившимися под влиянием теории вероятностей, сделали мало что иное, как создали дополнительную путаницу, поскольку такие авторы не пытаются выстроить свои термины по порядку или установить их взаимные отношения. Опуская, конечно, формы, очевидно, материальной модальности, мы уже упоминали истинное и ложное; вероятное, предполагаемое и достоверное. Эти подразделения, по-видимому, достигли своей кульминации на очень ранней стадии у Оккама (Prantl, III. 380), который считал, что суждение может быть модально затронуто, будучи «vera, scita, falsa, ignota, scripta, prolata, concepta, credita, opinata, dubitata».

§ 20. С момента развития науки о вероятности логики имели лучшие возможности знать, к чему они должны стремиться; и, хотя нельзя сказать, что их попытки были действительно успешными, они, по крайней мере, являются решительным улучшением по сравнению с попытками их предшественников. Д-р Томсон, например, дает девятичастное деление. Он говорит, что, располагая степени модальности в восходящей шкале, мы обнаруживаем, что суждение может быть либо возможным, сомнительным, вероятным, морально достоверным для самого мыслителя, морально достоверным для класса или школы, морально достоверным для всех, физически достоверным с ограничением, физически достоверным без ограничения и математически достоверным. Многие другие деления, несомненно, могли бы быть упомянуты, но, как признает каждый математик, попытка добиться какого-либо общего согласия в таком вопросе устройства совершенно безнадежна. Именно здесь следует с благодарностью признать благотворное влияние математической теории вероятности. Как только это стали изучать, должно было быть осознано, что, пытаясь четко разграничить друг от друга определенные градации веры, мы будем искать разрывы в непрерывной величине. В продвижении от легкой презумпции к сильной презумпции и от нее к моральной достоверности мы совершаем постепенный подъем, в ходе которого нет естественных остановок. Доказательство этой непрерывности не нужно приводить здесь, ибо материалы для него будут собраны почти из каждой главы этой работы. Читателю нужно лишь напомнить, что основания нашей веры, во всех случаях, которые допускают число и измерение, ясно видны как таковые; и что, следовательно, если только сама вера не должна быть отделена от оснований, на которых она покоится, то, что таким образом справедливо в отношении их характеристик, должно быть справедливо и в отношении ее собственной.

Следовательно, из этого следует, что модальность в старом смысле слова, в котором предпринималась попытка получить определенные естественные деления в шкале убеждения, должна быть окончательно отброшена. Все, что она пыталась сделать, теперь может быть сделано несравненно лучше теорией вероятности с ее числовой шкалой, которая допускает неопределенное подразделение. Ни одна из старых систем деления не может рассматриваться как действительно естественная; те, которые допускают лишь немногие деления, оказываются оставляющими весь диапазон вероятного в одном неразделенном классе, а те, которые принимают много делений, впадают в неизбежную расплывчатость и неопределенность.

§ 21. Соответствующим различию между чистыми и модальными суждениями, но еще более сложным и неудовлетворительным в своей трактовке, было различие между чистыми и модальными силлогизмами. То, что обсуждалось в случае последних, было, конечно, эффект, производимый на заключение в отношении модальности модальной аффекцией одной или обеих посылок. Только когда мы доходим до таких соображений, мы вообще выходим на почву, подходящую для вероятности; но очевидно, что очень мало можно было сделать с такими грубыми материалами, и присущая неуклюжесть и сложность всей модальной системы очень ясно проявляются здесь. Именно в связи с этой сложностью, вероятно, были произнесены некоторые из горьких высказываний схоластов и других, которые были записаны.

Аристотель дал запутанное исследование этого предмета, и его последователи естественно были приведены на аналогичный путь. Было бы совершенно чуждо моей цели в этом кратком очерке в этой главе пытаться дать какое-либо описание этих исследований, даже если бы я был компетентен сделать это; ибо, как было указано, связь между аристотелевскими модальностями и современным взглядом на природу вероятности, хотя и реальна, чрезвычайно слаба. Нужно лишь заметить, что то, что было достаточно сложным с четырьмя модальностями, чтобы быть принятым во внимание, становится запутанным сверх всякой меры, когда такие, как «вероятное», «истинное» и «ложное», также должны занять место в списке. Следующие примеры покажут вид дискуссий, которыми логики упражняли себя. «Может ли при одной достоверной посылке и другой вероятной быть выведено достоверное заключение»: «Может ли из невозможного быть выведено необходимое»; «Может ли при одной необходимой посылке и другой de inesse заключение быть необходимым», и так далее, бесконечно.

§ 22. При кантианском взгляде на модальность обсуждение таких видов силлогизмов становится сразу решительно более простым (ибо здесь признаются только три модуса), а также несколько более тесно связанным со строгой вероятностью (ибо модусы ближе к природе градаций убеждения). Но, с другой стороны, меньше оправдания для их введения, так как от логиков действительно можно было бы ожидать знания того, что то, чего они стремятся достичь своими неуклюжими приспособлениями, — это именно то, что вероятность может выполнить с высочайшей желаемой степенью точности. Прежние методы столь же грубы и неточны по сравнению с последними, как были грубейшие измерения вавилонских ночных наблюдателей по сравнению с утонченными расчетами современного астронома. Действительно, только некоторые из общих приверженцев кантианской логики вступают в какие-либо подобные соображения; некоторые, такие как Гамильтон и Мансел, полностью отвергают их, как мы видели. Теми, кто все же трактует этот предмет, устанавливаются такие заключения, как следующие: что когда обе посылки аподиктические, заключение будет таким же; так же, когда обе ассерторические или проблематические. Если одна аподиктическая, а другая ассерторическая, то последняя, или «более слабая», — это все, что должно быть допущено для заключения; и так далее. Английский читатель найдет некоторое описание этих правил в «Логике» Убервега.

§ 23. Но хотя эти модальности, рассматриваемые как инструменты точного мышления, были таким образом вытеснены точными арифметическими выражениями вероятности, вопрос остается, нельзя ли улучшить то, что можно назвать нашими популярными модальными выражениями, и адаптировать их к более точному использованию. Правда, попытка отделить их друг от друга какими-либо фундаментальными различиями тщетна, ибо величина, которую они осознают, является, как мы заметили, непрерывной; но, учитывая огромное значение точной терминологии и признания числовых различий везде, где это возможно, было бы реальным прогрессом, если бы можно было достичь какого-либо согласия относительно использования модальных выражений. Мы уже заметили (гл. II, § 16) некоторые предложения г-на Гальтона относительно возможности естественной системы классификации, основанной на регулярности, с которой большинство видов величин стремятся группироваться вокруг среднего значения. Можно было бы предложить, например, чтобы мы согласились применять термин «хороший» к первой четверти, измеряя от лучшего вниз; «безразличный» — к средней половине, и «плохой» — к последней четверти. Нет причин, почему аналогично улучшенная терминология не могла бы когда-нибудь быть введена в обычный модальный язык повседневной жизни. Можно было бы договориться, например, что «очень маловероятно» должно, насколько это возможно, ограничиваться теми событиями, которые имели шансы (скажем) более 99 к 1 против них; и так далее, с другими подобными выражениями. Несомненно, на пути возникли бы трудности, ибо во всех применениях классификации мы должны преодолевать двойные препятствия, которые лежат на пути, во-первых (используя выражение Канта), способности составлять правила, и во-вторых — способности подведения под правила. То есть, даже если бы мы договорились о наших классах, все равно оставалось бы много сомнений и споров в случае вещей, которые не легко поддаются подсчету или измерению, относительно того, были ли шансы больше или меньше назначенной величины.

Правда, когда мы знаем шансы за или против события, мы всегда можем заявить их эксплицитно без необходимости сначала договариваться об использовании терминов, которые будут подразумевать их. Но при этом часто были бы многословие и педантизм, и пока модальные термины находятся в практическом использовании, казалось бы, не могло бы быть никакого вреда, и могло бы быть большое благо, в достижении некоторого согласия относительно степени вероятности, которую они должны, как правило, пониматься указывать. Бентам, как хорошо известно, в отчаянии от получения чего-либо точного из языка повседневной жизни по этому предмету, был сторонником прямого обращения к числовому стандарту. Он предложил использование в судебных процессах инструмента, градуированного от 0 до 10, по шкале которого свидетеля просили указать степень его веры в факты, которые он подтверждал: аналогично судья мог выразить силу, с которой он держался своего заключения. Использование такой числовой шкалы, однако, должно было быть только опциональным, а не обязательным, так как Бентам признавал, что многие люди могли чувствовать себя в затруднении таким образом измерять степень своей веры. (Rationale of Judicial Evidence, кн. I, гл. VI.)

§ 24. На протяжении всей этой главы мы рассматривали модальности как ближайший аналог современной вероятности, который был предоставлен старыми системами логики. Причина такого рассмотрения их заключается в том, что они представляли собой некоторую слабую попытку, грубую, как она была, распознать и измерить определенные градации в степени нашего убеждения и изучить влияние таких соображений на наши логические выводы.

Но хотя именно среди модальностей следует искать зачатки методов вероятности; истинный предмет нашей науки, то есть классы объектов, с которыми она наиболее уместно связана, скорее представлены другой частью схоластической логики. Это была ветвь, обычно называемая диалектикой, в старом смысле этого термина. Диалектика, согласно Аристотелю, по-видимому, была своего рода сестринским искусством риторики. Она была связана с силлогизмами, ничем не отличающимися от демонстративных силлогизмов, за исключением того, что их посылки были вероятными, а не достоверными. Посылки такого рода он называл топиками, а силлогизмы, которые имели с ними дело, — энтимемами. Говорили, что они исходят из «знаков и вероятностей», а не из аксиом.

§ 25. Термины, в которых такие рассуждения обычно описываются, звучат очень похоже на те, которые применимы к вероятности, как мы понимаем ее сейчас. Когда мы слышим о вероятности и о вероятных силлогизмах, наше первое впечатление могло бы быть таким, что вовлеченные выводы будут аналогичного характера. Это, однако, было бы ошибочно. Во-первых, область этой диалектики была слишком широкой, ибо она охватывала в дополнение всю область того, что мы сейчас назвали бы научной или материальной индукцией. Отличительной характеристикой диалектических посылок было их отсутствие достоверности, и из таких неопределенных посылок вероятность (как я часто настаивал) принимает во внимание только один класс, индукция же занимается другим классом. Опять же, не было сделано ни малейшей попытки вступить в исследование: насколько неопределенны посылки? Только когда это предпринимается, можно считать, что мы вступаем в область вероятности, и именно потому, что, грубым образом, модальности пытались справиться с этой проблемой, мы рассматривали их как в какой-то мере занятые нашим специальным предметом.

§ 26. Среди старых логик, с которыми я познакомился, логика Краканторпа дает наиболее полное обсуждение по этому предмету. Он делит свою трактовку силлогизма на две части, занятые соответственно «демонстративным» и «вероятным» силлогизмом. Последнему посвящена целая книга. В ней исследуются природа и следствия тринадцати различных «loci», хотя не очень ясно, в каком смысле каждый из них может рассматриваться как «вероятный».

Несомненно верно, что если бы старые логики обладали такими посылками, с которыми имеет дело современная вероятность, и придерживались бы своего собственного способа их обработки, им пришлось бы поместить их среди таких loci и, таким образом, сделать их рассмотрение частью своей диалектики. Но поскольку не похоже, чтобы с их стороны была сделана хоть малейшая попытка сделать здесь больше, чем признать факт вероятности посылок; то есть, поскольку не предпринималось попытки измерить их вероятность и вероятность заключения, я не могу не рассматривать эту часть логики как имеющую лишь самую слабую связь с вероятностью, как она понимается сейчас. Мне это кажется немногим более чем одним из способов (описанных в начале этой главы), которыми проблема модальности не то чтобы отвергается, но практически обходится.

§ 27. Поскольку логика — не единственная наука, которая прямо и заметно занята вопросами о вере и доказательствах, трудности, возникшие там, были отнюдь не неизвестны в других местах. В отношении модальностей это, по-видимому, было явно так в юриспруденции. Некоторые замечания, поэтому, могут быть удобно сделаны здесь по поводу этого применения предмета, хотя, конечно, с краткостью, подобающей мирянину, которому приходится касаться профессиональных тем.

Вспомните на мгновение, что является существенным для модальности. Это, как я понимаю, попытка разграничить друг от друга, без какого-либо прибегания к числовой нотации, варьирующиеся степени убеждения или веры, и определить последующий эффект посылок, таким образом затронутых, на наши заключения. Более того, поскольку мы не можем построить или сохранить шкалу любого рода без использования стандарта, от и по которому измерять ее, достижение и признание стандарта достоверности, или одного из других степеней убеждения, почти неразрывно вовлечено в то же исследование. В этом смысле термина модальные трудности, безусловно, проявились в области права. Здесь были подобные попытки, встреченные подобными трудностями, прийти к некоторому определенному согласию относительно шкалы устройства степеней нашего согласия. Конечно, гораздо более практично обеспечить такое согласие в случае специальной науки, ограниченной более или менее экспертами, чем в предметах, в которые все классы посторонних имеют почти равное право входа. Область применения при первых обстоятельствах уже, и профессиональные эксперты приобрели привычки и традиции, с помощью которых стандарты могут сохраняться в значительной целостности. Не похоже, однако, согласно всем отчетам, чтобы какой-либо очень поразительный успех был достигнут в этом направлении юристами.

§ 28. Трудность в ее научной, или строго юриспруденческой форме, по-видимому, проявилась главным образом в попытке организовать юридические доказательства в классы в отношении степени их убедительности. Это, как я понимаю, было так в римском праве и в некоторых континентальных системах юриспруденции, которые возникли из римского права. «Прямое свидетельство стольких-то свидетелей было plena probatio. Затем шло minus plena probatio, затем semiplenâ major и semiplenâ minor; и путем сложения вместе определенного числа полудоказательств — например, путем предъявления торговых бухгалтерских книг плюс их дополнительная присяга — могло быть составлено полное доказательство. Именно на этом принципе пытка использовалась для получения признания. Признание было доказательством, дополняющим обстоятельства, которые считались оправдывающими его применение».

Согласно Бентаму, соответствующая шкала в английской школе была: — Позитивное доказательство, Сильная презумпция, Вероятная презумпция, Легкая или Поспешная презумпция. Хотя они признавались Блэкстоном и другими, я понимаю, что эти деления отнюдь не общеприняты в настоящее время.

§ 29. В вышесказанном нам скорее напоминают модальные силлогизмы. Основная практическая форма, в которой трудность, лежащая в основе простых модальных суждений, проявляется, — это попытка получить некоторый критерий судебной достоверности. Под «достоверностью» здесь мы подразумеваем, конечно, не то, что метафизики называют аподиктическим, ибо это редко или никогда не может быть обеспечено в практических делах, но такую степень убеждения, не доходящую до этого, которую каждый разумный человек будет чувствовать достаточной для всех своих нужд. Здесь опять, можно подумать, поиск должен казаться точным мыслителям совершенно безнадежным; попытка обнаружить естественные разрывы в непрерывной величине. Не может быть, действительно, ни малейшего сомнения, что среди ограниченных классов острых и практикующих интеллектов стандарт достоверности, как и всего остального, мог бы сохраняться и передаваться с значительной точностью: это возможно в вопросах вкуса и мнения, где личные особенности суждения гораздо более склонны вызывать разногласия и путаницу. Но тогда такой консенсус — это почти полностью дело такта и обычая; тогда как то, что требуется в обсуждаемом случае, — это некоторый критерий, к которому сравнительно непосвященные могли бы иметь возможность обратиться. Стандарт, следовательно, должен не просто сохраняться памятью, но быть общепризнаваемым по своим характеристикам. Если бы такой критерий мог быть обеспечен, его важность трудно было бы переоценить. Но, насколько можно судить по речам адвокатов, обвинениям судей и вердиктам присяжных, ничего действительно заслуживающего названия никогда не достигается.

§ 30. Пожалуй, наиболее близким к признанному стандарту можно считать часто встречающееся заверение в том, что присяжные не обязаны выносить обвинительный вердикт только в том случае, если у них нет никаких сомнений в виновности обвиняемого; ибо абсолютное исключение всякого сомнения, полная невозможность предложить какую-либо контргипотезу, которую это предполагает, недостижимы в человеческих делах. Однако часто говорят, что они должны выносить обвинительный вердикт, если у них нет «разумного сомнения», то есть такого сомнения, которое служило бы «препятствием для действий в важных жизненных делах». В качестве предостережения против стремления к недостижимой достоверности такой совет может быть весьма полезен; но вряд ли стоит отмечать, что достоверность, на основе которой мы действуем в важных жизненных делах, не является фиксированным стандартом, а чрезвычайно варьируется в зависимости от характера этих дел. Чем больше поставленная на кон награда, тем на больший риск мы готовы пойти, и наоборот. Едва ли существует такая степень достоверности, при наличии которой мы не были бы готовы действовать при соответствующих обстоятельствах.

Некоторые авторы, действительно, полностью отрицают, что в судебных разбирательствах преследуется или должен преследоваться какой-либо стандарт в обычном смысле этого слова. Например, сэр Дж. Ф. Стивен в своей работе по английскому уголовному праву, отметив и отвергнув стандарты, подобные последнему, приходит к выводу, что единственным стандартом, признаваемым нашим законом, является тот, который побуждает присяжных выносить обвинительный вердикт: «Что такое судебное доказательство? То, что, будучи разрешенным законом к представлению в качестве доказательства, побуждает двенадцать человек, выбранных в соответствии с Законом о присяжных, заявить, что, выслушав его, их умы удовлетворены истинностью утверждения, которое оно подтверждает. Они могут быть предубеждены, они могут быть робки, они могут быть опрометчивы, они могут быть невежественны; но присяга, число и имущественный ценз призваны, насколько это возможно, нейтрализовать эти недостатки и в точности соответствовать условиям, налагаемым на стандарты стоимости или длины» (стр. 263).

Признать это — почти то же самое, что отказаться от такого стандарта как от недостижимого. Доказательство, которое побуждает присяжных вынести обвинительный вердикт, несомненно, может служить для меня и других стандартом того, что мы должны считать «разумно достоверным», при условии, конечно, что заключения различных присяжных достаточно единообразны. Но оно явно не может быть предложено в качестве стандарта самим присяжным; если их решения должны быть последовательными и единообразными, им требуется некий внешний ориентир, который направлял бы их. Когда человек спрашивает: «Насколько уверенным я должен себя чувствовать?», дать такой ответ, как приведенный выше, — значит, безусловно, просто сказать ему, что он должен быть настолько уверенным, насколько он есть. Если бы присяжные действительно составляли закрытую профессиональную группу, они могли бы, как было сказано выше, сохранить традиционный стандарт. Но будучи, как они есть, выборкой из обычных мирян, их собственные решения в прошлом вряд ли могут быть представлены им как руководство к тому, что они должны делать в будущем.

§ 31. По-видимому, поэтому мы можем справедливо сказать, что английское право, во всяком случае, определенно отвергает основное допущение, на котором базируются логическое учение о модальности и его правовой аналог: а именно допущение, что различные степени убежденности можно отделить друг от друга с достаточной точностью, чтобы мы могли относить отдельные случаи к соответствующим им классам. И что в отношении сопутствующего вопроса об установлении стандарта достоверности оно не идет дальше провозглашения или подразумевания того, что мы должны довольствоваться не чем иным, как «разумной достоверностью», но не обязаны выходить за ее пределы.

Это утверждение стандарта, с которым логик и ученый могут легко поспорить; и они могут с полным основанием утверждать, что оно не имеет ни малейших претензий на точность, даже если бы имело их на строгую понятность. Если человек хочет знать, является ли его нынешняя степень уверенности разумной, к чему он должен апеллировать? Он вряд ли может сравнить свое психическое состояние с тем, которое испытывается в «важных жизненных делах», ибо они, как уже отмечалось, не указывают на фиксированную величину. В то же время нельзя предположить, что такое выражение лишено всякого смысла. Люди не продолжали бы использовать язык, особенно в вопросах первостепенной важности и интереса, не вкладывая в него никакого значения. Поэтому мы вынуждены заключить, что «разумная достоверность» в грубом приближении представляет собой традиционный стандарт, которого пытаются придерживаться. Как уже отмечалось, это вполне осуществимо в случае любой категории профессионалов, а следовательно, не совсем невозможно в случае тех, кто часто и тесно связан с такой категорией. Хотя трудно поверить, что любые подобные выражения при использовании в повседневной жизни достигают хоть сколько-нибудь близкого соответствия какому-либо условному стандарту, чтобы стоить обсуждения; тем не менее, в особом случае присяжных, действующих под прямым влиянием судьи, представляется вполне возможным, что их осознанное утверждение о том, что они «полностью убеждены», может достигать несколько более близкого соответствия довольно фиксированному стандарту, чем обычные сторонние наблюдатели могли бы сначала предположить.

§ 32. Существуют ли тогда какие-либо средства, с помощью которых мы могли бы установить, что это за стандарт; иными словами, с помощью которых мы могли бы определить, какова реальная ценность, в отношении точности, этой «разумной достоверности», которую, как предполагается, обеспечивают присяжные? В отсутствие авторитетных деклараций по этому вопросу изучающий логику и теорию вероятностей естественным образом прибег бы к двум средствам, кратким упоминанием которых мы завершим это исследование.

Первое из них было бы направлено на определение стандарта судебной достоверности косвенным путем, просто посредством определения статистической частоты, с которой решения (скажем) присяжных оказывались правильными. Это может показаться безнадежной задачей; и так оно, по сути, и есть, но не столько из-за какой-либо теоретической недостаточности определяющих элементов, сколько из-за многочисленных произвольных допущений, которые сопровождают большинство задач, имеющих дело с вероятностью свидетельских показаний и суждений. Для этой цели не обязательно иметь непогрешимый вышестоящий суд, который пересматривал бы решения рассматриваемого суда; достаточно, если большое количество обычных репрезентативных дел будет представлено суду, состоящему даже из точно таких же материалов, что и тот, чьи решения мы хотим проверить. При условии, конечно, что мы сделаем чудовищное допущение, что суждения людей о делах, которые глубоко их затрагивают, являются «независимыми» в том смысле, в каком независимы броски монет, тогда статистика простого согласия и несогласия послужит нашей цели. Мы могли бы сказать, например, что присяжные определенного состава, принимающие решение определенным большинством голосов, были правы в девяти случаях из десяти в своем вердикте. Выводы такого рода в отношении французских судов — это то, что Пуассон попытался сделать в конце своего великого труда о вероятности суждений; хотя я не думаю, что он придавал своим результатам большую численную точность.

Едва ли более обнадеживающее средство можно было бы найти, обратившись к определенным случаям правовых «презумпций». «Окончательная презумпция» определяется следующим образом: «Окончательные, или, как их называют в других местах, императивные или абсолютные презумпции права — это правила, определяющие количество доказательств, необходимых для подтверждения любого конкретного утверждения, которое не разрешается опровергать никаким доказательством того, что факт обстоит иначе». Большое количество таких презумпций можно найти в учебниках, но они, по большей части, относятся к вопросам, слишком расплывчатым, чтобы допускать какое-либо сведение к статистической частоте возникновения. Некоторые авторитеты даже утверждают, что присвоение степени вероятности не является их текущей целью, а что они просто призваны исключить обременительные задержки, которые возникли бы, если бы все считалось открытым для сомнений и вопросов. Более того, даже если бы они присваивали степень достоверности, это скорее было бы показателем того, что законодатели или судьи считали разумным, а не того, что считали таковым сами присяжные.

Существуют, действительно, презумпции относительно времени, по истечении которого человек, если о нем нет известий, считается умершим (что, конечно, может быть опровергнуто его появлением). Если бы это время варьировалось в зависимости от возраста рассматриваемого человека, мы сразу получили бы некий стандарт, подобный тому, который мы ищем, ибо обращение к таблицам смертности зафиксировало бы его вероятную продолжительность жизни и тем самым косвенно определило бы меру вероятности, которая удовлетворяла бы закон. Но это не так; выбранный период совершенно не зависит от возраста. Ближайший случай по существу (и он не так уж много значит), который мне удалось установить, — это возраст, после которого предполагалось, что женщина неспособна к деторождению. Это был возраст 53 лет. Определенный подход к статистическому определению шансов в этом случае можно найти в «Physique Sociale» Кетле (том I, стр. 184, примечание). Согласно авторитетам, которых он там цитирует, по-видимому, примерно в одних родах из 5500 мать была в возрасте 50 лет или старше. Это не совсем определяет степень того, что можно назвать априорным шансом против рождения ребенка в этом возрасте, поскольку факт начала семейной жизни в раннем возрасте представляет собой некоторое уменьшение вероятности ее продолжения в более позднем возрасте. Но это служит некоторым указанием на то, что можно назвать шансами против такого события.

Не стоит и говорить, что любые подобные ключи к мере судебной достоверности слишком слабы, чтобы иметь какую-либо реальную ценность. Они заслуживают лишь мимолетного внимания как возможное логическое решение рассматриваемой проблемы, или, скорее, как указание на способ, которым в теории пришлось бы искать такое решение, если бы английское право по этим вопросам было совершенно последовательной системой научных доказательств. Это тот способ, которым в таких обстоятельствах можно было бы попытаться извлечь из его разбирательств признание точной меры того стандарта достоверности, который оно приняло, но который отказалось открыто провозгласить.

1 Formal Logic, стр. 232.

2 Это, по-видимому, является смыслом некоторых утверждений в очень запутанном отрывке из «Логики» Уэйтли (кн. II, гл. IV, § 1). «Модальное суждение может быть сформулировано как чистое путем присоединения модальности к одному из терминов, и суждение во всех отношениях подпадет под вышеуказанные правила;... “Вероятно, что все знание полезно”; “вероятно полезно” здесь является предикатом». Он, по-видимому, не проводит такого различия, как между истинной и ложной модальностью, о которой говорится в следующем примечании. Что действительно удивительно, так это то, что даже Гамильтон ставит их оба (истинную и ложную модальность) на одну ступень. «В отношении этих [первых] дело обстоит точно так же; модальность — это просто часть предиката». Logic, I. 257.

3 Я имею в виду, конечно, такие примеры, как «А убил Б несправедливо», в которых убийство Б субъектом А иногда, как говорили, утверждалось не просто, а с модификацией. (Hamilton's Logic, I. 256.) Очевидно, что модификация в таких случаях по праву является лишь частью предиката, поскольку нет формального различия между «А есть убийца Б» и «А есть несправедливый убийца Б». Действительно, некоторые логики, которые были слишком консервативны, чтобы отвергнуть родовое название модальности в этом применении, приняли обычный способ введения специфического различия, которое сводило на нет его значение, называя ложный вид «материальной модальностью», а подлинный вид — «формальной модальностью». Первая включала все случаи, в которых модификация по праву принадлежала либо предикату, либо субъекту; вторая была зарезервирована для случаев, в которых модификация затрагивала реальное соединение предиката с субъектом. (Keckermann, Systema Logicæ, Lib. II. ch. 3.) Это было, я полагаю, обычное схоластическое различие.

Об отчете о споре относительно того, следует ли считать отрицательную частицу принадлежащей связке или предикату, см. Hamilton's Logic, I. 253.

4 Он также дал краткое обсуждение этого предмета в другом месте (Discussions, Ed. II. стр. 702), где принята несколько иная точка зрения. Модальности здесь действительно допускаются в логику, но только в той мере, в какой они подпадают под подразделение отношения рода и вида, что, конечно, равносильно их полному отвержению; ибо тогда они ничем существенным не отличаются от любых других примеров этого отношения.

5 Letters, Lectures and Reviews, стр. 61. В другом месте обзора (стр. 45) он дает то, что мне кажется несколько иным решением.

6 Следует помнить, что это не одно из пропорциональных суждений, с которыми мы имели дело в предыдущих главах: имеется в виду, что существует ровно 21 Y, из которых ровно 18 являются X, а не то, что в среднем 18 из 21 могут рассматриваться таким образом.

7 Я считаю, однако, как я сказал далее (стр. 320), что трактовка в старых логиках вероятных силлогизмов и диалектических силлогизмов сводилась примерно к тому же, хотя они смотрели на дело с другой точки зрения и выражали его на очень другом языке.

8 Это различие, однако, отнюдь не полностью игнорируется. Так, Смиглеций, обсуждая модальные аффекты достоверности и необходимости, говорит: «certitudo ad cognitionem spectat: necessitas vero est in re» (Disputationes; Disp. XIII., Quæst. XII.).

9 Можно отметить, что Уэйтли (Logic, Bk. II. ch. II. § 2) говорит о необходимой, невозможной и случайной материи, без какого-либо подозрения, что они полностью принадлежат к устаревшей точке зрения.

10 Formal Logic, стр. 233.

11 Предмет иногда полностью опускался, как у Вольфа. Однако он много говорит о вероятных суждениях и силлогизмах и, подобно Лейбницу до него, с нетерпением ожидал «logica probabilium» как чего-то нового и желательного. Я полагаю, что на него повлияли авторы, писавшие о шансах, так как из немногих, кто уже рассматривал этот предмет, почти все наиболее важные упоминаются в одном отрывке (Philosophia Rationalis sive Logica, § 593).

Ламберт стоит совершенно особняком. В этом отношении, как и в большинстве других, где задействованы математические концепции и символы, его логическая позиция совершенно нетрадиционна. См., например, его главу «Von dem Wahrscheinlichen» в его «Neues Organon».

12 Я не могу найти ни малейшего основания для этого утверждения в обстоятельной истории логики Прантля.

13 «Hi quatuor modi magnam censeri solent analogiam habere cum quadruplici propositionum in quantitate et qualitate varietate» (Wallis's Instit. Logic. Bk. II. ch. 8).

14 Laws of Thought, § 118.

15 «Haud scio magis ne doctrinam modalium scholastici exercuerint, quam ea illos vexarit. Certe usque adeo sudatum hic fuit, ut dicterio locus sit datus; De modalibus non gustabit asinus». Keckermann, Syst. Log. Bk. II. ch. 3.

16 Smiglecii Disputationes, Ингольштадт, 1618.

См. также «Geschichte der Logik» Прантля (под заголовками Occam и Buridan) для описания чрезмерной сложности, которую тонкость тех ученых схоластов развила из столь подходящих материалов.

17 Перевод Т. М. Линдси, стр. 439.

18 «Сами εἰκòς и σημεῖον являются суждениями; первые выражают общую вероятность, вторые — факт, который, как известно, является указанием, более или менее достоверным, на истинность какого-либо дальнейшего утверждения, будь то отдельный факт или общее убеждение. Первое — это общее суждение, почти, хотя и не совсем, универсальное; как “большинство людей, которые завидуют, ненавидят”; второе — это единичное суждение, которое, однако, не рассматривается как знак, кроме как относительно какого-либо другого суждения, которое, как предполагается, может быть выведено из него». (Mansel's Aldrich; Приложение F, где можно найти отчет об аристотелевском энтимеме и диалектическом силлогизме. Также, конечно, Grote's Aristotle, Topics и в других местах.)

19 «Nam in hoc etiam differt demonstratio, sen demonstrativa argumentatio, à probabili, quia in illâ tam conclusio quam præmissæ necessariæ sunt; in probabili autem argumentatione sicut conclusio ut probabilis infertur ita præmissæ ut probabiles afferuntur» (Crackanthorpe, Bk. V., Ch. 1); почти слова, которыми Де Морган различает логику и вероятность в уже цитировавшемся отрывке (см. гл. VI. § 3).

Возможно, именно развитие какой-то подобной точки зрения и предвидел Лейбниц. «J'ai dit plus d'une fois qu'il faudrait une nouvelle espèce de Logique, qui traiteroit des degrés de Probabilité, puisqu'Aristote dans ses Topiques n'a rien moins fait que cela» (Nouveaux essais, Lib. IV. ch. XVI). Возможно, действительно, что он имел в виду скорее то, что мы сейчас понимаем под математической теорией вероятностей, но в младенчестве науки, конечно, трудно сказать, рассматривается ли определенно какой-либо конкретный предмет или нет. Лейбниц (как показал Тодхантер в своей истории) проявлял величайший интерес к таким задачам о шансах, которые уже обсуждались.

20 Под loci понимались определенные общие классы посылок. Они стояли, по сути, по отношению к большей посылке в некотором роде в том же отношении, что Категория или Предикамент к термину. Крэканторп говорит о них: «sed duci a loco probabiliter arguendi, hoc vere proprium est Argumentationis probabilis; et in hoc a Demonstratione differt, quia Demonstrator utitur solummodo quatuor Locis eisque necessariis…. Præter hos autem, ex quibus quoque probabiliter arguere licet, sunt multo plures Loci arguendi probabiliter; ut a Genere, a Specie, ab Adjuncto, ab Oppositis, et similia» (Logica, Lib. V., ch. II.).

21 Stephen's General View of the Criminal Law of England, стр. 241.

22 Rationale of Judicial Evidence; кн. I, гл. VI.

23 Хотя на это претендуют некоторые кантовские логики: «Nie darf an einem angeblichen Verbrecher die gesetzliche Strafe vollzogen werden, bevor er nicht selbst das Verbrechen eingestanden. Denn wenn auch alle Zeugnisse und die übrigen Anzeigen wider ihn wären, so bleibt doch das Gegentheil immer möglich» (Krug, Denklehre, § 131).

24 Как выразился г-н К. Дж. Монро: «Предположим, что человек подозревается в убийстве своей дочери. Доказательства, которые не убедили бы обычных присяжных, могли бы заставить большое жюри вынести обвинительный акт; доказательства, которых не хватило бы для этого, могли бы заставить жюри коронера вынести вердикт против него; доказательства, которых не хватило бы для этого, очень часто помешали бы судье Канцлерского суда назначить этого человека опекуном подопечного суда; доказательства, которые не повлияли бы на мнение судьи, могли бы заставить отца на смертном одре дважды подумать, прежде чем назначить этого человека опекуном своей дочери».

25 Части этой работы, которые рассматривают природу доказательства в целом и судебного доказательства в частности, стоят того, чтобы их прочитал каждый изучающий логику. Мне кажется, однако, что автор заходит слишком далеко в направлении рассмотрения доказательства как субъективного, то есть как того, что действительно удовлетворяет людей, а не того, что должно их удовлетворять. Он сравнивает законодательный стандарт достоверности со стандартом стоимости; последний объявляется определенным весом золота, независимо от редкости или распространенности этого металла. Так и с достоверностью; если люди становятся более доверчивыми, внутренняя ценность стандарта будет меняться.

26 Вопрос будет более полно обсужден в будущей главе, но здесь можно вставить несколько слов в качестве указания. Сведите случай к простейшим возможным элементам, предположив только двух судей или суда с одинаковой средней правильностью решения. Пусть это будет обозначено через x. Тогда шанс их согласия равен x2 + (1 − x)2, ибо они согласны, если оба правы или оба неправы. Если известна статистическая частота этого согласия, то есть частота, с которой первое суждение подтверждается вторым, у нас есть средства для определения x.

27 Taylor on Evidence: последняя часть выдержки кажется не очень ясной.

ГЛАВА XIV.

ЛОГИЧЕСКИЕ ОШИБКИ.

§ 1. В работах по логике глава обычно посвящается обсуждению логических ошибок, то есть описанию и классификации различных способов, которыми могут быть нарушены правила логики. Аналогия вероятности с логикой достаточно близка, чтобы сделать целесообразным принятие того же плана и здесь. Описывая свои собственные взгляды, автор, конечно, постоянно вынужден описывать и критиковать взгляды других, которые он считает ошибочными. Но некоторые из наиболее широко распространенных ошибок не находят сторонников, заслуживающих упоминания, и существуют только в расплывчатых популярных заблуждениях. Поэтому лучшим решением, при риске случайных повторений, будет собрать несколько наиболее часто встречающихся ошибок и, насколько это возможно, проследить их источники; но вряд ли стоит пытаться создать какую-либо регулярную систему расположения и классификации. Мы будем в основном ограничиваться, в соответствии со специальной областью этой работы, задачами, которые включают вопросы логического интереса, или теми, которые относятся к применению вероятности в моральных и социальных науках. Мы будем избегать обсуждения изолированных задач в играх на удачу и мастерство, за исключением случаев, когда в них, по-видимому, замешана какая-то ошибка в принципе.

§ 2. (I.) Один из наиболее плодотворных источников ошибок и путаницы по этому предмету уже несколько раз упоминался и частично обсуждался в предыдущей главе. Он заключается в выборе класса, к которому следует отнести событие, и, следовательно, в суждении о редкости события и вытекающей отсюда невероятности его предсказания уже после того, как оно произошло, а затем в переносе впечатлений, которые мы испытываем, на предполагаемое созерцание события заранее. Сам процесс вполне законен (как бы излишен он ни был), поскольку время, строго говоря, вообще не входит в вопросы вероятности. Поэтому никакой ошибки не должно возникнуть таким образом, если бы мы были осторожны в отношении класса, который мы таким образом выбрали; но такой осторожностью часто пренебрегают.

Иллюстрация может помочь здесь. Один человек как-то указал на небольшую мишень, нарисованную мелом на двери, причем в центре мишени было пулевое отверстие, и удивил некоторых зрителей, заявив, что он произвел этот выстрел из старого охотничьего ружья с расстояния в сто ярдов. Его утверждение было вполне правдивым, но он умолчал об одном довольно важном факте. Выстрел на самом деле был направлен в общем направлении на дверь сарая и попал в нее; мишень была нарисована мелом уже после того, как пуля попала в цель. Обман, аналогичный этому, я думаю, часто практикуется бессознательно и в других делах. Мы судим о событиях по аналогичному принципу, чувствуя и выражая удивление столь же необоснованным образом и решая вопрос об их возникновении на основаниях, которые на самом деле являются лишь последующим дополнением нашего собственного ума. Замечания Батлера о «истории Цезаря», уже обсуждавшиеся в двенадцатой главе, носят именно такой характер. Он выбирает ряд событий из истории, а затем воображает человека, угадывающего их правильно, который в то время не имел перед глазами истории. Как я уже отмечал, одно дело — иметь малую вероятность угадать событие правильно без конкретных доказательств; другое и совсем иное дело — оценить истинность истории, которая основана частично или полностью на доказательствах. Но большая ошибка — переносить на один из этих способов рассмотрения дела те психические впечатления, которые должным образом принадлежат другому. Это все равно что рисовать мишень после выстрела, а затем удивляться, обнаружив, что пуля находится в ее центре.

§ 3. Один аспект этой ошибки уже обсуждался, но для прояснения трудностей, которые часто ощущаются по этому предмету, будет полезно пересмотреть вопрос в несколько более общей форме.

В классе примеров, находящихся на обсуждении, нам обычно представляется индивид, который, правда, не отнесен определенно к какому-либо классу, но в отношении которого у нас нет больших трудностей с выбором подходящего класса. Теперь предположим, что мы созерцаем такое событие, как выпадение шестерок на паре игральных костей четыре раза подряд. Такой бросок был бы назван очень маловероятным событием, так как шансы против его выпадения составили бы 36 × 36 × 36 × 36 − 1 к 1, или 1679615 к 1. Смысл этих фраз, как было многократно указано, заключается просто в том, что рассматриваемое событие происходит очень редко; что, выраженное с численной точностью, оно происходит один раз в 1679616 случаев.

§ 4. Но теперь давайте сделаем допущение, что бросок действительно произошел; давайте поставим себя в положение созерцания выпадения шестерок четыре раза подряд, когда известно или сообщается, что этот бросок случился. Та же фраза, а именно, что событие является очень маловероятным, часто будет использоваться в отношении него, но мы обнаружим, что эта фраза может быть использована для обозначения, в том или ином случае, совершенно разных смыслов.

(1) Существует, во-первых, наиболее правильное значение. Событие, правда, произошло, и мы знаем, что это такое, и поэтому у нас нет реальной необходимости прибегать к правилам вероятности; но мы можем, тем не менее, представить себя в положении человека, который не знает и который может апеллировать только к вероятности. Называя шансы 1679615 к 1 против броска, мы тем самым подразумеваем тот факт, что, поскольку такой бросок происходит только один раз в 1679616 случаев, наше предположение, если бы мы угадывали, было бы правильным только один раз в том же числе случаев; при условии, конечно, что это справедливое предположение, основанное просто на этих статистических данных.

§ 5. (2) Но существует вторая и очень отличающаяся концепция, иногда вводимая, особенно когда рассматриваемое событие предполагается известным не, как выше, по опыту, а по сообщению свидетеля. Мы можем тогда подразумевать под «шансами против события» (как было указано в главе XII) не пропорциональное число раз, когда мы были бы правы в угадывании события, а пропорциональное число раз, когда свидетель будет прав в сообщении о нем. Основания нашего вывода здесь перенесены на новую почву. В первом случае статистикой были броски и их соответствующая частота, теперь это заявления свидетелей и их соответствующая правдивость.

§ 6. (3) Но существует еще одно значение, которое иногда пытаются передать, когда люди говорят о шансах против такого события, как рассматриваемый бросок. Они могут иметь в виду — не: «Вот событие, как часто я должен был бы его угадать?», и не: «Вот сообщение, как часто оно будет правильным?», а нечто отличное от того и другого, а именно: «Вот событие, как часто оно будет оказываться произведенным каким-то одним конкретным видом причины?»

Когда, например, человек слышит, что игральные кости дают один и тот же бросок несколько раз подряд, и говорит об этом как о чем-то чрезвычайном, мы часто обнаружим, что он не просто думает о невероятности того, что его догадка окажется верной, или того, что сообщение окажется правдивым, но что наряду с этим он вводит вопрос о том, был ли бросок произведен честными костями. Конечно, нет никаких причин, почему такой вопрос, как этот, не должен быть также отнесен к вероятности, при условии, конечно, что мы могли бы найти соответствующие статистические данные, по которым можно судить. Эта статистика состояла бы не из бросков конкретных костей и не из сообщений конкретного свидетеля, а из случаев, в которых такой бросок, как рассматриваемый, соответственно был и не был произведен честно. Возражение против принятия этого взгляда на вопрос заключалось бы в том, что никакой такой статистики получить невозможно, и что если бы она была, мы предпочли бы сформировать наше мнение (на принципах, которые будут описаны в главе XVI) исходя из особых обстоятельств дела, а не из обращения к среднему значению.

§ 7. Читатель легко сможет привести примеры в иллюстрацию только что данных различий; мы кратко рассмотрим лишь один. Я прячу банкноту в определенной книге в большой библиотеке и выхожу из комнаты. Человек говорит мне, что после того, как я вышел, вошел незнакомец, подошел прямо к этой конкретной книге и унес ее с собой. Многие люди, услышав этот рассказ, ответили бы: «Как крайне невероятно!». Анализируя эту фразу, я думаю, мы обнаружим, что, безусловно, два, а возможно, и все три из вышеперечисленных значений могут быть вовлечены в это восклицание. (1) Что может иметься в виду, так это следующее: — Предполагая, что сообщение правдиво, а незнакомец невиновен, произошло редкое событие. Многие книги могли быть взяты таким образом, не будучи выбранной именно этой. Поэтому я не ожидал бы такого события, и когда оно произошло, я удивлен. Теперь человек имеет полное право быть удивленным, но он не имеет логического права (пока мы ограничиваемся этим взглядом) делать свое удивление основанием для неверия в событие. Делать это — значит впасть в ошибку, описанную в начале этой главы. Тот факт, что я не был склонен угадать что-то заранее, сам по себе не является причиной для сомнения в этом, когда меня информируют об этом. (2) Или я могу остановиться, не доходя до сообщаемых событий, и применить правила вероятности к самому сообщению. Если так, то я имею в виду, что такая история, как эта, находящаяся сейчас передо мной, относится к разряду очень часто ложных, и поэтому я не могу придать ей большого доверия сейчас. (3) Или я могу принять истинность сообщения, но усомниться в факте того, что незнакомец взял книгу случайно. Если так, то я имею в виду, что из людей, которые берут книги описанным способом, лишь небольшая часть окажется взявшей их действительно случайно; большинство сделает это потому, что они каким-то образом выяснили или начали подозревать, что находится внутри книги.

Каждое из вышеперечисленных трех значений является возможным и законным значением. Единственное требование состоит в том, чтобы мы были осторожны при установлении того, какое из них присутствует в уме, чтобы выбрать соответствующую статистику. Первое само по себе делает наиболее законное использование вероятности; недостаток заключается в том, что в рассматриваемое время функции вероятности вытесняются тем, что событие известно иным образом. Второе или третье, следовательно, является более вероятным значением, присутствующим в уме, ибо в этих случаях вероятность, если бы ее можно было практически использовать, была бы в рассматриваемое время средством получения действительно важных выводов. Недостатками являются трудность нахождения такой статистики и чрезвычайное искажающее влияние на эту статистику обстоятельств особого случая.

§ 8. (II.) Тесно связана с только что упомянутой тенденцией та, которая побуждает нас путать истинно случайный выбор с тем, который в той или иной степени является отобранным. Когда мы имеем дело с привычными объектами в конкретном плане, особенно когда большая редкость соответствует превосходству качества, почти каждый научился распознавать это различие. Никто, например, наблюдая прекрасный отряд войск в иностранном городе, не удержался бы от вопроса, пришли ли они из обычного полка или из отобранного. Однако, когда различие относится к непривычным объектам, и особенно когда речь идет только о сравнительной редкости, ошибка может принять довольно тонкую и вводящую в заблуждение форму и, по-видимому, заслуживает особого внимания путем рассмотрения нескольких примеров.

Иногда результат представляет собой не столько фактическую ошибку, сколько небольшой просчет порядка вероятности рассматриваемого события. Например, в вопросе о пирамиде мы видели, что имело некоторое значение, считали ли мы, что следует учитывать только π, или мы поместили эту константу в класс с небольшим числом других подобных. Однако при решении вопроса о том, есть ли что-то примечательное в фактическом недоборе представления числа 7 при вычислении π (см. стр. 247), весь вопрос сводится к соображениям такого рода. Единственный возникающий вопрос заключается в том, есть ли что-то примечательное в этом отклонении от среднего значения, и ответ зависит от того, предполагаем ли мы, что ссылаемся на заранее определенную цифру или на любую цифру из десяти, которая оказывается наиболее выше или ниже среднего. Или возьмем случай, поднятый Курно (Exposition de la Théorie des Chances, §§ 102, 114), о том, что определенное отклонение от среднего значения в случае ведомственных отчетов о пропорции между мужскими и женскими рождениями является значимым и указывает на различие в роде, при условии, что мы выбираем наугад один французский департамент; но что то же самое отклонение может быть случайным, если оно является максимумом соответствующих отчетов для нескольких департаментов. Ответ может быть дан в ту или иную сторону в зависимости от того, учитываем ли мы это соображение.

§ 9. Мы особенно подвержены введению в заблуждение таким образом, когда пытаемся определить причину какого-либо явления с помощью простой статистики, находясь в полном неведении относительно направления, в котором следует ожидать причину. В таких случаях изобретательный человек, который решает осмотреться на обширном поле, никогда не упустит возможности найти объяснение, которое является правдоподобным в том смысле, что оно согласуется с до сих пор наблюдавшимися фактами. С десятой долей тех усилий, которые г-н Пиацци Смит потратил на измерение великой пирамиды, я думаю, я взялся бы найти правдоподобные намеки на несколько важных констант и стандартов, которые он там обнаружил, в размерах стола, за которым я пишу. Самый странный пример такого рода выводов, пожалуй, можно найти в исследованиях автора, который обнаружил, что существует поразительная связь между соответствующими успехами лодки Оксфорда и Кембриджа в ежегодной гонке и большей или меньшей частотой солнечных пятен.

Конечно, наш обычный практический ресурс в таких случаях — это апелляция к нашим предыдущим знаниям о рассматриваемом предмете, что позволяет нам отвергнуть как абсурдные большое количество гипотез, которые, тем не менее, могут выглядеть вполне правдоподобно, когда им позволяют опираться на ограниченное количество ловко отобранных примеров. Но следует помнить, что если какая-либо теория решает апеллировать к статистике, то к статистике она должна быть допущена для вынесения суждения. Даже теория лодочных гонок могла бы быть установлена (если она верна) только на этом основании. То есть, если бы действительно можно было показать, что опыт в долгосрочной перспективе подтверждает преобладание успехов на той или иной стороне в зависимости от относительной частоты солнечных пятен, мы должны были бы принять факт, что два класса событий не были на самом деле независимыми. Одно из двух, какое бы оно ни было, должно быть заподозрено в том, что оно вызывает или влияет на другое; или оба должны быть вызваны или под влиянием каких-то общих обстоятельств.

§ 10. (III.) Ошибка, описанная в начале этой главы, возникла из решения судить о наблюдаемом или сообщенном событии по правилам вероятности, но использования неверного набора статистики в процессе суждения. Другая ошибка, тесно связанная с этой, возникает из практики взятия лишь некоторых характеристик такого события и произвольного ограничения ими апелляции к вероятности. Предположим, я подбрасываю двенадцать монет и обнаруживаю, что одиннадцать из них дают «орлов». Многие люди, став свидетелями такого случая, испытали бы чувство, которое они выразили бы замечанием: «Как близко это было к тому, чтобы получить всех орлов!». И если бы на бросок было поставлено что-то очень важное, они были бы очень взволнованы этим случаем. Но в каком смысле мы были близки к двенадцати? Существует не такая уж редкая ошибка, как я полагаю, которая состоит в бессознательном рассмотрении одиннадцати орлов как вещи, которая уже каким-то образом обеспечена, так что можно было бы, так сказать, сохранить их, а затем рискнуть, чтобы обеспечить оставшийся один. Одиннадцать мысленно откладываются в сторону, рассматриваются как нечто достоверное (ибо они уже произошли), и мы затем вводим понятие шанса только для двенадцатого. Но этот двенадцатый, также произошедший, не имеет лучших прав на такое отличие, чем любой из остальных. Если мы вводим понятие шанса в случае того, который дал «решку», мы должны сделать то же самое и в случае всех остальных. Иными словами, если бросающий недоволен появлением одной «решки» и хочет отменить ее и попытать счастья снова, он должен подбросить всю партию монет снова честно вместе. В этом случае, конечно, далеко не имея лучших перспектив для следующего броска, он может считать, что ему очень повезло, если он сделает снова такой же хороший бросок, как тот, который он отверг. То, что он делает, — это смешение этого случая с тем, в котором броски действительно последовательны. Если одиннадцать орлов были подброшены по очереди, мы, конечно, находимся в пределах равного шанса получить двенадцатого; но обстоятельства совершенно иные в предложенном примере.

§ 11. В приведенном выше примере ошибка прозрачна. Но при формировании суждения о делах большей сложности, чем игральные кости и монеты, особенно в случае того, что называют «чудесными спасениями», ошибка аналогичного рода, я полагаю, далеко не редкость. Человек, например, который только что пережил чудесное спасение, часто будет полон удивления и тревоги, доходящей почти до ужаса. Событие уже в прошлом, эти чувства в то время, строго говоря, неуместны. Если, как вполне возможно, они являются просто инстинктивными или результатом ассоциации, они не подпадают под область какого-либо вида логики. Если, однако, как кажется более вероятным, они частично возникают из предполагаемого переноса нас в тот момент прошлого времени, когда событие вот-вот должно было произойти, и создания воображением чувств, которые мы тогда ожидали бы испытать, этот процесс носит характер вывода и может быть правильным или неправильным. Иными словами, тревога может быть соразмерна или несоразмерна той степени опасности, на которую можно было бы справедливо рассчитывать в таком гипотетическом предвосхищении. Если бы предполагаемый перенос был полностью осуществлен, ошибки не было бы; но это часто делается очень неполно, причем некоторые из составных частей события предполагаются определенными или «организованными» (используя спортивный термин) в той форме, в которой мы теперь знаем, что они действительно произошли, и только оставшиеся справедливо созерцаются как будущие шансы.

Человек, например, находится на прогулке с другом, чья винтовка случайно стреляет, и пуля проходит через его шляпу. Он дрожит от тревоги, думая о том, что могло бы случиться, и, возможно, замечает: «Как близко я был к тому, чтобы быть убитым!». Теперь мы можем смело предположить, что он имеет в виду нечто большее, чем то, что выстрел прошел очень близко от него. У него есть какое-то смутное представление, что, как он, вероятно, сказал бы, «его шанс быть убитым тогда был очень велик». Его удивление и ужас могут быть в значительной степени физическими и инстинктивными, возникающими просто из знания того, что выстрел прошел очень близко от него. Но его психическое состояние может быть проанализировано, и мы тогда, скорее всего, обнаружим в основе ошибку того рода, который описан выше. Говорить или думать о шансе в связи с инцидентом — значит отнести конкретный инцидент к классу инцидентов аналогичного характера, а затем рассмотреть сравнительную частоту, с которой наступает рассматриваемый результат. Теперь серия, которую мы можем предположить наиболее естественно выбранной в этом случае, — это серия, состоящая из стрелковых прогулок с его другом; до этого момента действия предполагаются запланированными, только за его пределами, в последующем событии, был несчастный случай. Раз в тысячу раз, возможно, в таких случаях ружье выстрелит случайно; один из тысячи только из этих выстрелов будет направлен близко к голове его друга. Если мы хотим сделать несчастный случай вопросом вероятности, мы должны по праву таким образом (принять язык первого примера) «подбросить снова» честно. Но мы не делаем этого; мы, кажется, принимаем как должное, что выстрел проходит в дюйме от наших голов, отделяем это от понятия шанса вообще, а затем начинаем вводить это понятие снова для возможных отклонений от этого спасительного дюйма.

§ 12. (IV.) Мы теперь заметим ошибку, связанную с предметами ставок и азартных игр. Многие или большинство популярных заблуждений на этот предмет подразумевают такое полное невежество и путаницу в отношении основ науки, что было бы излишне обсуждать их здесь. Следующее, однако, носит гораздо более правдоподобный характер и было источником недоумения для людей значительной остроты ума.

Случай, приведенный в простейшей форме, выглядит следующим образом. Предположим, что человек А играет против Б, причем Б является либо другим индивидом, либо группой индивидов, скажем, игорным банком. Они начинают с подбрасывания монеты на шиллинг, и А утверждает, что он владеет устройством, которое обеспечит его выигрыш. Если он выигрывает в первом случае, он явно добился своего до сих пор. Если он проигрывает, он ставит в следующий раз два шиллинга вместо одного. Результат, конечно, в том, что если он выигрывает во втором случае, он возмещает свой прежний проигрыш и остается с одним шиллингом прибыли также. Так он продолжает, удваивая свою ставку после каждого проигрыша, с очевидным результатом, что в первом случае успеха он возмещает все свои предыдущие проигрыши и остается с шиллингом сверху. Но такой случай должен наступить рано или поздно, согласно допущениям шанса, на которых основана игра. Отсюда следует, что он может обеспечить, рано или поздно, остаться в конечном итоге победителем. Более того, он может выиграть любую сумму; во-первых, из очевидного соображения, что он мог бы сделать свою начальную ставку такой большой, как ему угодно, сто фунтов, например, вместо шиллинга; и во-вторых, потому что то, что он сделал однажды, он может сделать снова. Он может отложить свой шиллинг и иметь второй сеанс игры, длинный или короткий, как получится, с тем же завершением. Соответственно, просто упорством он может накопить любую сумму денег, какую пожелает, в явный вызов всему тому, что подразумевается под удачей.

§ 13. Я отнес это мнение к числу заблуждений, поскольку сейчас наиболее удобный момент для его обсуждения, хотя, строго говоря, его следовало бы назвать парадоксом, так как сам вывод совершенно верен. Единственное заблуждение заключается в том, чтобы считать такой способ получения результата таинственным. Напротив, нет ничего проще, чем обеспечить конечный успех при заданных условиях. Этот вопрос заслуживает изучения как из-за принципов, которые он затрагивает, так и потому, что ответы, которые обычно даются, не совсем решают возникшую трудность. Иногда, например, утверждают, что ни один банк не позволит и не позволяет спекулянту выбирать размер своей ставки по своему усмотрению, а устанавливает предел суммы, на которую он согласен играть. Это совершенно верно, но, конечно, не является ответом на поставленный перед нами гипотетический вопрос, в котором предполагается, что такое положение дел допустимо. Далее, утверждалось, что рассматриваемая возможность целиком зависит от того факта, что необходимо предполагать предоставление кредита, иначе состояние игрока может не продержаться до тех пор, пока не придет его очередь на удачу: что, по сути, рано или поздно, если он будет продолжать достаточно долго, его состояние не продержится достаточно долго, и все его выигрыши будут сметены. Совершенно верно, что кредит является условием успеха, но он ни в коем случае не является его причиной. Мы можем предположить, что обе стороны в самом начале договорились о том, что никаких выплат не будет до окончания игры, причем А имеет право решать, когда она должна считаться оконченной. По-прежнему остается верным, что в то время как в обычной азартной игре, т.е. с фиксированными или случайными ставками, А не мог бы обеспечить себе выигрыш в конечном итоге в каком-либо размере, он может сделать это, если применит такую схему, как рассматриваемая. И именно это положение дел, по-видимому, требует объяснения.

§ 14. Что вызывает здесь недоумение, так это предполагаемый факт, что каким-то таинственным образом из неопределенности была сотворена определенность; что в игре, где детальные события совершенно непостижимы и где среднее значение, по предположению, не показывает предпочтения ни одной из сторон, одна сторона, тем не менее, каким-то образом преуспевает в том, чтобы неуклонно склонять удачу на свою сторону. Это выглядит так, как если бы это был параллельный случай с человеком, который преуспел бы с помощью какого-то устройства в том, чтобы постоянно обеспечивать себе более половины выпадений орла при подбрасывании монеты, которую, тем не менее, следовало бы считать совершенно честной.

Это совершенно ошибочно. На самом деле А вовсе не подвергает свои выигрыши случайности; все, что он так подвергает, — это количество раз, которое он должен ждать, пока не выиграет. Представим такой случай. Я предлагаю дать человеку любую сумму денег, которую он пожелает назвать, при условии, что он немедленно вернет ее мне с добавлением одного фунта. Не нужно много проницательности, чтобы увидеть, что мне безразлично, решит ли он назвать один фунт, десять или сто. Теперь предположим, что вместо того, чтобы оставлять выбор каждой из этих сумм на его усмотрение, обе стороны соглашаются предоставить это случаю. Пусть они, например, каждый раз вытягивают число из мешка, и пусть это будет сумма, которую А отдает Б при предписанных условиях. Случай не меняется. А по-прежнему выигрывает свой фунт каждый раз, ибо введение элемента случайности никак не затронуло это. Все, что оно делает, — это превращает этот фунт в результат неопределенного вычитания, иногда 10 минус 9, иногда 50 минус 49 и так далее. Именно эти числа, а не их разность, он отдает на волю случая, и это не имеет никакого значения.

Предложить какому-либо лицу или компании согласиться продолжать играть на таких условиях было бы слишком бесстыдным предложением. И все же рассматриваемый случай идентичен по принципу и почти идентичен по форме этому. Предложить дать человеку любую сумму, которую он пожелает назвать, при условии, что он вернет вам ту же самую сумму плюс один, и предложить ему любое количество членов ряда 1, 2, 4, 8, 16 и т. д. при условии, что вы получаете следующий член ряда, равносильны. Единственная разница заключается в том, что в последнем случае результат достигается с несколько большим арифметическим парадом. Аналогично эквивалентны процессы в случае, если мы предпочитаем предоставить случаю, а не выбору, решение о том, какая сумма или какое количество членов должны быть зафиксированы. Последнее и делается на самом деле в рассматриваемом случае. Человек, который соглашается продолжать удваивать свою ставку каждый раз, когда он выигрывает, не оставляет на волю случая ничего, кроме определения конкретного количества членов такой геометрической прогрессии, которое будет позволено пройти, прежде чем он остановится.

§ 15. Можно добавить, что нет никакой особой заслуги в конкретном рассматриваемом ряде, а именно в том, в соответствии с которым ставка удваивается каждый раз. Все, что нужно, — это чтобы последний член ряда более чем уравновешивал все предыдущие. Любой другой ряд, который возрастал бы быстрее, чем эта геометрическая прогрессия, подошел бы для этой цели так же хорошо или лучше. Также нет необходимости в том, чтобы игра была равной или «честной». Случай, следует помнить, здесь ни на что не влияет, кроме количества членов, которых ряд достигает в каждом случае, причем его конечный результат всегда арифметически фиксирован. Когда подбрасывается монета, только в одном из каждых двух случаев ряд доходит до более чем двух членов, и поэтому его фиксированные выигрыши приходят довольно регулярно. Но если бы он играл не в течение ограниченного времени, на него не повлияло бы, если бы ряд дошел до двухсот членов; это просто заняло бы у него несколько больше времени, чтобы выиграть свои ставки. Человек мог бы, например, безопасно продолжать делать равную ставку на то, что он получит единственный приз в лотерее из тысячи билетов, при условии, что он таким образом удваивал или более чем удваивал свою ставку каждый раз и предоставлялся неограниченный кредит.

§ 16. В таком рассмотрении задача достаточно проста, но есть два момента, на которые можно с удобством обратить внимание.

Во-первых, она очень четко напоминает нам о различии между серией событий (в данном случае подбрасывания монеты), которые действительно являются предметом случая, и нашим поведением, основанным на этих событиях, которое может быть или не быть таковым. Вполне возможно, что последнее может быть устроено таким образом, чтобы во многих отношениях быть делом абсолютной определенности, — соображение, которое, полагаю, достаточно хорошо знакомо профессиональным игрокам. Почему обычный способ ставок на подбрасывание монеты является честным для обеих сторон? Потому что «честная» серия «честно» обрабатывается. Орлы и решки выпадают случайно, но в среднем одинаково часто, а ставки либо фиксированы, либо также организованы случайным образом. Если человек каждый раз ставит на орла одну и ту же сумму, он, конечно, в долгосрочной перспективе не выиграет и не проиграет. Не выиграет и не проиграет он и в том случае, если он каждый раз меняет ставку, при условии, что он не меняет ее таким образом, чтобы ее размер зависел от того, выиграл он или проиграл в прошлый раз. Но он может, если захочет, и другая сторона согласится, так организовать свои ставки (как в рассматриваемом случае), что Случай, если можно так выразиться, не получит честного шанса. Здесь человеческие элементы выбора и замысла были настолько применены к серии событий, которые, рассматриваемые сами по себе, демонстрируют лишь физические характеристики случайности, что последние элементы исчезают, и мы получаем результат, который арифметически достоверен. Можно было бы предложить и другие аналогичные примеры, но рассматриваемый нами имеет достоинство наиболее изобретательной маскировки фактического процесса.

§ 17. Смысл только что сделанного замечания будет лучше понят при сравнении со следующим случаем. Была предпринята попытка объяснить преобладание рождений мальчиков над девочками предположением, что шансы на то и другое равны, но что общее желание иметь наследника мужского пола имеет тенденцию побуждать многие союзы продолжаться до тех пор, пока не произойдет это событие, и не дольше. Предполагается, что таким образом возникло бы небольшое преобладание семей, состоящих только из одного сына или из двух сыновей и одной дочери и так далее.

Это совершенно ошибочно (как было замечено Лапласом в его «Essai»); и нельзя было бы выбрать лучшего примера, чем этот, чтобы показать, что именно мы можем и чего не можем сделать в плане изменения удачи в реальной случайной последовательности событий. Предполагать, что на количество фактических рождений можно повлиять таким образом, — это то же самое, что предполагать, будто ряд игроков мог бы увеличить отношение орлов к решкам до чего-то большего, чем одна вторая, если бы каждый передавал монету своему соседу, как только у него выпадал орел: что им нужно только прекратить игру, как только выпал орел; абсурд, который нам не нужно останавливаться объяснять на данном этапе. Существенный момент относительно «Мартингейла» заключается в том, что, хотя на возникновение событий, на которые делаются ставки, это не влияет, сами ставки могут быть скорректированы таким образом, чтобы удача качнулась в одну сторону.

§ 18. Во-вторых, этот пример ставит перед нами то, что уже так часто приходилось упоминать, а именно, что серии Вероятности, строго говоря, предполагаются бесконечными. Поэтому, если мы позволим любой из сторон потребовать от нас остановиться, особенно в момент, который как раз устраивает ее, мы можем получить результаты, решительно противоречащие целостности теории. В рассматриваемом случае необходимым условием для А является то, что ему может быть позволено прекратить игру, когда он пожелает, то есть в один из моментов, когда бросок в его пользу. Без этого условия он может остаться проигравшим в любом размере.

Введите предположение, что одна сторона может произвольно потребовать остановки, когда ей это удобно, и отказаться разрешить ее раньше, и почти любая система того, что в противном случае было бы честной игрой, может быть превращена в очень одностороннюю договоренность. Действительно, в рассматриваемом случае А не нужно прибегать к этому приему удвоения ставок каждый раз, когда он проигрывает. Он может играть с фиксированной ставкой и тем не менее обеспечить, чтобы одна сторона выиграла любую назначенную сумму, предполагая, что игра равная и что ему разрешено играть в кредит.

§ 19. (V.) Распространенная ошибка — предполагать, что очень маловероятная вещь не произойдет вовсе. Это ошибка, которая, будучи так сформулирована словами, слишком очевидна, чтобы ее совершать, ибо значение маловероятной вещи — это то, что происходит с редкими интервалами; если бы не предполагалось, что событие произойдет когда-нибудь, его назвали бы не маловероятным, а невозможным. Это ошибка, которая вряд ли могла бы возникнуть, за исключением смутного популярного недопонимания, и она настолько обильно опровергнута в работах по Вероятности, что здесь ее нужно лишь кратко затронуть. Из нашего определения Вероятности, конечно, следует, что говорить об очень редкой комбинации событий как о той, что «точно никогда не произойдет», — значит использовать язык неправильно. Такая фраза может иметь хождение как свободное популярное преувеличение, но в строгом смысле она содержит противоречие. Истину о таких редких событиях нельзя описать лучше, чем в следующей цитате из Де Моргана:

«Говорят, что никто никогда не сталкивается с такими крайне маловероятными случаями, как только что приведенный [вытягивание одного и того же шара пять раз подряд из мешка, содержащего двадцать шаров]. То, что данный индивид никогда не выбросит туз двенадцать раз подряд на одной кости, — это наиболее вероятно; действительно, настолько отдаленны шансы такого события в любых двенадцати попытках (более 2 000 000 000 к 1 против него), что маловероятно, чтобы опыт любой данной страны в любом данном столетии предоставил его. Но давайте остановимся на мгновение и спросим себя, к чему относится этот аргумент. Человек, который редко касается костей, вряд ли поверит, что дубли иногда выпадают три раза подряд; тот, кто часто ими пользуется, знает, что иногда это факт. Каждый очень практикующий пользователь этих инструментов видел еще более редкие последовательности. Теперь предположим, что общество лиц бросало кости так часто, что обеспечило серию из шести тузов, наблюдаемую и записанную, предыдущий аргумент все равно использовался бы против двенадцати. И если бы другое общество практиковалось достаточно долго, чтобы увидеть двенадцать тузов, следующих друг за другом, они могли бы все еще использовать тот же метод сомнения относительно серии из двадцати четырех; и так далее, ad infinitum. Способность воображать случаи, которые содержат длинные комбинации, настолько превышает способность демонстрировать и организовывать их, что легко назначить телеграф, который делал бы отдельный сигнал для каждой песчинки в земном шаре, таком же большом, как видимая Вселенная, исходя из гипотезы самого проницательного астронома. Заблуждение предыдущего возражения заключается в предположении событий в количестве, превышающем наш опыт, состоящих целиком из последовательностей, таких как те, что попадают в наш опыт. Оно заставляет прошлое обязательно содержать целое, что касается качества его компонентов; и судит по образцам. Теперь наименее осторожный покупатель зерна требует осмотреть горсть, прежде чем судить о бушеле, и бушель, прежде чем судить о грузе. Но относительно таких огромных количеств комбинаций, как те, что часто предлагаются, наш опыт не заслуживает названия горсти по сравнению с бушелем или даже одной песчинкой».

§ 20. Происхождение этой закоренелой ошибки нетрудно объяснить. Она, несомненно, возникает из потребностей нашей практической жизни. Ни один человек не может держать в уме каждую непредвиденную ситуацию, которой он может быть подвержен. Поэтому, если мы вообще хотим что-то делать в мире, большое количество более редких непредвиденных ситуаций должно быть полностью исключено из рассмотрения. И необходимость этого забвения усиливается краткостью нашей жизни. Математически говоря, можно было бы сказать, что достоверно то, что любой, кто живет достаточно долго, будет укушен бешеной собакой, ибо событие это не невозможное, а только маловероятное, и поэтому должно произойти со временем. Но это и неопределенное количество других неприятных непредвиденных ситуаций в большинстве случаев должны полностью игнорироваться на практике, и отсюда они почти неизбежно выпадают в равной степени из наших мыслей и ожиданий. И когда событие само по себе не имеет значения, как редкий бросок костей, от лиц, не привыкших к абстрактным математическим вычислениям, может потребоваться большое усилие воображения, чтобы позволить им осознать бросок как хотя бы возможный.

Иногда предпринимались попытки оценить, какая крайность маловероятности должна считаться эквивалентной этой практической нулевой точке веры. Поскольку такие попытки осуществляются логиками или теми, кто не желает прибегать к математической оценке шансов, их следует рассматривать лишь как особую форму модальных трудностей, обсуждавшихся в последней главе, и поэтому их не нужно пересматривать здесь; но можно добавить пару слов относительно взглядов некоторых, кто рассматривал этот вопрос с точки зрения математика.

Главным из них является, пожалуй, Бюффон. Он пришел к оценке (Arithmétique Morale § VIII.), что этот практический ноль эквивалентен шансу 1/10 000. Основания для выбора этой дроби кроются в том факте, что, согласно доступным ему таблицам смертности, она представляет шанс человека 56 лет умереть в течение следующего дня. Но поскольку ни один человек при обычных обстоятельствах не принимает этот шанс во внимание ни в малейшей степени, из этого следует, что он практически оценивается как не имеющий никакой ценности.

Очевидно, что этот результат почти полностью произволен, и на самом деле его причины нельзя рассматривать как нечто большее, чем слабое оправдание на основе опыта для принятия удобно простой дроби; оправдание, однако, которое, по-видимому, было бы в равной степени доступно в случае любых других дробей, лежащих в широких пределах от выбранной.

§ 21. Существует одна конкретная форма этой ошибки, которая, в силу важности, иногда придаваемой ей, заслуживает, возможно, более специального рассмотрения. Как было сказано выше, нет сомнений в том, что, как бы маловероятно ни было событие, если мы (грубо говоря) достаточно варьируем обстоятельства или, другими словами, если мы продолжаем пытаться достаточно долго, мы в конце концов встретимся с таким событием. Если мы подбросим пару костей несколько раз, мы получим дубли; если мы попробуем дольше с тремя, мы получим триплеты и так далее. Как бы необычно ни было событие, даже если бы это были шестерки тысячу раз подряд, оно придет рано или поздно, если у нас хватит терпения и жизненных сил. Теперь примените этот результат к буквам алфавита. Предположим, что по одной букве вытягивается из мешка, который содержит их все, а затем возвращается обратно. Если бы буквы записывались одна за другой по мере их появления, обычно ожидалось бы, что они составят просто бессмыслицу и никогда не сложатся в слова какого-либо языка, известного людям. Больше они бы этого в общем и не сделали, но это общепринятый результат теории, и тот, который мы можем предположить, читатель готов признать без дальнейшего обсуждения, что, если бы процесс продолжался достаточно долго, появились бы слова, имеющие смысл; более того, любая книга, которую мы пожелали бы упомянуть, — «Потерянный рай» Мильтона или пьесы Шекспира, например, — была бы произведена таким образом в конце концов. Потребовалось бы больше дней, чем у нас есть места в этом томе, чтобы представить в цифрах, чтобы сделать достаточно достоверным получение первой из этих работ путем такого вытягивания букв из мешка, но желаемый результат был бы получен в конце концов. Теперь многие люди не без оснований считали унизительным для гения предполагать, что его произведения могли быть получены также случайно, в то время как другие продолжали рассуждать: если это так, не мог ли сам мир быть произведен таким образом случайно?

§ 22. Мы начнем с относительно простой, детерминированной и понятной задачи возможного случайного создания произведений великого человеческого гения. Что касается этой возможности, некоторым робким умам может быть утешением напомнить, что способность создавать произведения Шекспира со временем не ограничивается совершенным гением и чистой случайностью. Существует третья альтернатива, а именно: чисто механическая процедура. Любой, вплоть до почти идиота, мог бы сделать это, если бы уделил задаче достаточно времени. Ибо предположим, что требуемое количество букв было получено и расположено не случайно, а намеренно и в соответствии с правилами, предложенными теорией перестановок: буквы алфавита и их количество, которое должно быть использовано, будучи конечными, каждый порядок, в котором они могли бы появиться, пришел бы в свою очередь, и поэтому все, что может быть выражено на языке, было бы достигнуто рано или поздно.

На самом деле нет ничего, что должно шокировать кого-либо в таком результате. Его возможность возникает по следующей причине. Количество букв, а следовательно, и слов, находящихся в нашем распоряжении, ограничено; поэтому все, что мы можем пожелать выразить на языке, неизбежно становится предметом соответствующего ограничения. Возможные вариации мысли буквально бесконечны, как и вариации разговорного языка (по интонации голоса и т. д.); но когда мы переходим к словам, существует ограничение, природа которого отчетливо постижима умом, хотя это ограничение, которое на практике никогда не будет ощутимым, из-за того факта, что количество комбинаций, которые могут быть произведены, настолько огромно, что превосходит всякую способность воображения осознать его. Ответ поэтому ясен, и это тот, который будет применим ко многим другим случаям, что поставить конечный предел количеству способов, которыми может быть сделана вещь, — значит определить, что любой, кто способен и желает пробовать достаточно долго, преуспеет в ее выполнении. Если великий гений снисходит до того, чтобы выполнить ее при этих обстоятельствах, он должен смириться с возможностью того, что его притязания будут оспорены или поставлены под сомнение случайным человеком и идиотом. Если бы Шекспир был ограничен использованием восьми или девяти назначенных слов, время, в течение которого последние агенты могли бы претендовать на равенство с ним, было бы не очень большим. Как есть, имея в своем распоряжении диапазон английского языка, его репутация не находится в опасности быть атакованной любыми такими методами.

§ 23. Случай возможного случайного создания мира ведет нас в совершенно иную область дискуссии. Мы здесь имеем дело не с цифрами, природа и использование которых находятся в пределах справедливых способностей понимания, как бы воображение ни ломалось при попытке осознать малейшую долю их полного значения. Само понимание выходит за пределы своей надлежащей области, ибо условия задачи не могут быть назначены. Когда мы вытягиваем буквы из мешка, мы очень хорошо знаем, что делаем; но что на самом деле означает создание мира случайно? По аналогии с предыдущим случаем мы можем предположить, что подразумевается какой-то агент; — возможно, поэтому следующее предположение менее абсурдно, чем любое другое. Представьте себе какое-то существо, не Творца, а своего рода Демиурга, которому дали в руки количество материалов, и он назначает им их расположение и их законы действия, слепо и наугад: каковы шансы, что такой мир, который мы фактически испытываем, был создан таким образом?

Если бы стоило всерьез заняться ответом на такой вопрос, и если бы кто-то предоставил нам количество букв такого алфавита и длину работы, которая должна быть написана ими, мы могли бы указать результат. Но можно, безусловно, утверждать следующее: — что, далеко не просто находя длину этого небольшого тома недостаточной для содержания цифр, в которых были бы даны неблагоприятные шансы, вся бумага, которую мир произвел до сих пор, была бы израсходована, прежде чем мы продвинулись бы далеко на своем пути в их записи.

§ 24. Самая соблазнительная форма, в которой обычно представляется трудность относительно возникновения очень редких событий, вероятно, такова. «Вы признаете (некоторые люди будут склонны сказать), что такое событие может иногда произойти; более того, что оно иногда происходит в бесконечном течении времени. Как же тогда мне знать, что этот случай не является одним из этих возможных происшествий?» На это можно дать только один ответ, — тот же, который всегда должен быть дан, когда речь идет о статистике и вероятности, — «Настоящий момент может быть таким случаем, но невероятно маловероятно, чтобы он был таковым. Среди бесчисленных миллиардов раз, когда вы и такие, как вы, настаиваете на этом, оправдан будет только один человек; и маловероятно, что вы — тот самый, или что это — тот самый случай».

§ 25. Существует еще одна форма этой практической неспособности различать одно большое число от другого при оценке шансов, которая заслуживает мимолетного внимания из-за своей важности в спорах о наследственности. Люди часто выдвигают возражение против доктрины о том, что качества, умственные и телесные, передаются от родителей к потомству, на том основании, что существует множество примеров обратного, фактически подавляющее большинство таких примеров. Выдвижение этого возражения подразумевает полное отсутствие понимания очень больших шансов, которые, возможно, могут существовать и которые аргумент в поддержку наследственности подразумевает, что существуют против того, чтобы какой-либо данный человек отличался интеллектуальной или иной выдающейся чертой. Это, несомненно, отчасти вопрос определения, зависящий от степени редкости, которую мы считаем подразумеваемой выдающейся чертой; но принимая любой разумный смысл этого термина, мы легко увидим, что очень большая доля неудач может все еще оставить огромное преобладание доказательств в пользу доктрины наследственности. Возьмем, например, ту степень выдающейся черты, которая подразумевается тем, чтобы быть одним из четырех тысяч. Это значительное отличие, хотя, поскольку среди общего взрослого мужского населения Великобритании можно найти около двух тысяч таких лиц, это далеко не подразумевает какого-либо выдающегося гения. Теперь предположим, что при изучении случаев большого числа детей таких лиц мы обнаружили, что 199 из 200 из них не достигли того же отличия. Многие люди пришли бы к выводу, что это довольно убедительное доказательство против любой наследственной передачи. Быть в состоянии привести только один благоприятный пример против 199 враждебных для них представляло бы собой полный крах любой такой теории. Ошибка, конечно, достаточно очевидна, и та, которую, имея перед собой такие цифры, вряд ли кто-то мог бы избежать. Но если судить по обычному разговору и другим таким источникам информации, на практике оказывается чрезвычайно трудно адекватно сохранить убеждение, что даже если только один из 200 случаев был благоприятным, это представляло бы шансы около 20 к 1 в пользу теории. Если бы наследственная передача не преобладала, только один из 4000 сыновей таким образом соперничал бы со своими отцами; но мы находим на самом деле, скажем (мы, конечно, берем здесь воображаемые пропорции), что один из 200 соперничает. Следовательно, если статистика достаточно велика, чтобы быть удовлетворительной, имело место какое-то влияние, которое улучшило шансы простого совпадения в отношении 20 к 1. Мы, по сути, настолько мало способны осознать значение очень больших чисел, — то есть сохранить пропорции в уме, когда речь идет о больших числах, — что если мы неоднократно не проверяем себя арифметическими соображениями, мы слишком склонны рассматривать и оценивать все, что выходит за определенные пределы, как одинаково обширное и расплывчатое.

§ 26. (VI.) Обсуждая природу связи между Вероятностью и Индукцией, мы исследовали притязания правила, обычно даваемого для вывода вероятности того, что событие, которое неоднократно наблюдалось, повторится снова. Я попытался показать, что все попытки получить и доказать такое правило были неизбежно тщетными; если эти причины были убедительными, использование такого правила должно, конечно, рассматриваться как ошибочное. Несколько примеров могут быть удобно добавлены здесь, стремясь показать, как вместо того, чтобы существовать просто единое правило последовательности, мы могли бы лучше разделить возможные формы на три класса.

(1) В некоторых случаях, когда наблюдалось, что вещь происходит несколько раз, становится вследствие этого более вероятным, что вещь произойдет снова. Это согласуется с обычной формой правила и, вероятно, является случаем наиболее частого возникновения. Необходимая расплывчатость выражения, когда мы говорим о «происхождении вещи», делает совершенно невозможным терпимость к правилу в этой общей форме, но если мы немного специализируем его, мы обнаружим, что оно принимает более знакомую форму. Если, например, мы наблюдали, что два или более свойства часто ассоциируются вместе в последовательности индивидов, мы с некоторой силой придем к выводу, что они будут найдены связанными таким образом в будущем. Сила нашего убеждения, однако, будет зависеть не только от количества наблюдаемых совпадений, но от гораздо более сложных соображений; для обсуждения которых читатель должен быть направлен к регулярным трактатам об Индуктивном доказательстве. Или, опять же, если мы наблюдали, что одно из двух событий следует за другим несколько раз, возникновение первого вызовет в большинстве случаев некоторую степень ожидания второго. Как и прежде, однако, степень нашего ожидания не должна быть назначена какой-либо простой формулой; она будет зависеть отчасти от предполагаемой близости, с которой события связаны. Попытка установить определенные правила по этому предмету привела бы к дискуссии о законах причинности и обстоятельствах, при которых их существование может быть выведено, и поэтому любое дальнейшее рассмотрение этого вопроса должно быть оставлено здесь.

§ 27. (2) Или, во-вторых, прошлое повторение может само по себе не давать никаких веских оснований для вывода о будущем; это случай, который наиболее правильно относится к Вероятности. То, что он действительно относится к ней, будет легко видно, если мы будем иметь в виду фундаментальную концепцию науки. Мы там представлены серии, — для целей вывода неопределенно расширенной серии, — членов, о деталях которых, за исключением некоторых моментов, информация не дается; наше знание ограничивается статистическим фактом, что, скажем, один из десяти из них имеет некоторый атрибут, который мы назовем X. Предположим теперь, что пять из этих членов подряд были X, какой намек это дает о том, что шестой также является X? Явно никакого; этот прошлый факт не говорит нам ничего; формула для нашего вывода все еще точно такая же, какой была раньше, что один из десяти является X, это один к девяти, что следующий член является X. И сколько бы членов подряд ни было одного вида, точно такая же формула была бы дана все равно.

§ 28. То, как события оправдают ответ, данный этой формулой, часто понимается неправильно. Поэтому для пользы тех, кто не знаком с некоторыми концепциями, знакомыми математикам, можно добавить несколько слов объяснения. Предположим тогда, что у нас был X двенадцать раз подряд. Это явно аномальное положение дел. Предполагать, что что-то подобное продолжает происходить, было бы явно в противоречии со статистикой, которая утверждает, что в долгосрочной перспективе только один из десяти является X. Но как преодолевается эта аномалия? Другими словами, как мы предотвращаем вывод, что X должны происходить чаще, чем один раз в десять раз, после такой долгой последовательности их, как у нас была сейчас? Многие люди, кажется, верят, что должно быть уменьшение X впоследствии, чтобы уравновесить их прошлое преобладание. Это, однако, было бы совершенно ошибочно; пропорция, в которой они происходят в будущем, должна оставаться той же самой на протяжении всего времени; она не может быть изменена, если мы должны придерживаться нашей статистической формулы. Факт в том, что исправление исключительного нарушения в пропорции будет достигнуто просто постоянным притоком свежих членов в серии. Они в долгосрочной перспективе нейтрализуют нарушение, не какой-либо специальной адаптацией, как бы для этой цели, а просто весом их подавляющих чисел. На каждом этапе, следовательно, в последовательности, каким бы ни было количество и природа предыдущих членов, все еще будет верно сказать, что один из десяти членов будет X.

Если бы мы имели дело только с конечным числом членов, каким бы большим ни было это число, такое нарушение, о котором мы говорили, действительно нуждалось бы в специальном изменении в последующих пропорциях, чтобы нейтрализовать его эффекты. Но когда мы имеем дело с бесконечным числом членов, это не так; «предел» серии, с которым мы тогда имеем дело, не затрагивается этими временными нарушениями. В продолжении прогресса серии мы обнаружим, как факт, все больше и больше таких нарушений, и эти все более и более исключительного характера. Но какой бы ни была точка, которую мы можем занимать в любое время, если мы посмотрим вперед или назад в неопределенное расширение серии, мы все еще увидим, что конечный предел пропорции, в которой расположены ее члены, остается тем же самым; и именно с этим пределом, как упомянуто выше, мы имеем дело в строгих правилах Вероятности.

Наиболее знакомым примером, пожалуй, этого вида является подбрасывание монеты. Предположим, у нас было четыре орла подряд; люди теперь достаточно осознали, что «орел в пятый раз» — это все еще равный шанс, как «орел» был каждый раз до этого, и будет всегда после. Предыдущий параграф объясняет, как это происходит, что эти случайные нарушения в среднем становятся нейтрализованными в долгосрочной перспективе.

§ 29. (3) Существуют другие случаи, которые, хотя и редки, отнюдь не неизвестны, в которых такой вывод, как тот, что получен из Правила Последовательности, был бы прямой противоположностью истины. Чем чаще вещь происходит, может быть, тем более маловероятно, что она произойдет снова. Это случай всякий раз, когда мы вытягиваем вещи из ограниченного источника (как шары из мешка, не заменяя их), или всякий раз, когда сам акт повторения имеет тенденцию предотвращать последовательность (как при подаче ложных тревог).

Я вполне готов признать, что мы верим в результаты, описанные в последних двух классах, на основе некоторого такого общего Индуктивного правила, или скорее принципа, как тот, что вовлечен в первый. Но было бы большой ошибкой смешивать это с признанием справедливости правила в каждом специальном случае. Мы говорим о применении правила к индивидуальным случаям, или классам случаев; это совершенно иная вещь, как было указано в предыдущей главе, от предоставления оснований, на которых мы основываем само правило. Если бы человек установил как универсальное правило, что свидетельству всех лиц следует верить, и мы привели бы пример человека, который солгал, не считалось бы, что он спас свое правило, показав, что мы поверили, что это ложь, на слово других лиц. Но совершенно последовательно давать как просто общее, но не универсальное правило, что свидетельство людей заслуживает доверия; затем отделить второй класс людей, чьему слову нельзя доверять, и, наконец, если кто-то хочет знать наше основание для второго правила, основывать его на первом. Если бы мы говорили о необходимых законах, такой конфликт, как этот, был бы таким же безнадежным, как старая «Критская» головоломка в логике; но в случаях Индуктивного и Аналогического расширения это совершенно безвредно.

Знакомый пример послужит для того, чтобы выявить три различных возможных вывода, упомянутых выше. Мы наблюдали, что дождь шел десять дней подряд. А и Б заключают соответственно за и против дождя на одиннадцатый день; С утверждает, что прошлый дождь не дает никаких данных вообще для мнения. Кто прав? Мы действительно не можем определить à priori. Должно быть сделано обращение к прямому наблюдению, или должны быть найдены средства для решения на независимых основаниях, к какому классу мы должны отнести случай. Если, например, было известно, что каждая страна производит свой собственный дождь, мы выбрали бы третье правило, ибо это был бы случай вытягивания из ограниченного запаса. Если опять же у нас были причины полагать, что дождь для нашей страны может быть произведен где угодно на земном шаре, мы, вероятно, пришли бы к выводу, что прошлые осадки не проливают никакого света вообще на перспективу продолжения влажной погоды, и поэтому приняли бы второе. Или если, наконец, мы знали, что дождь приходит длинными периодами или сезонами, как в тропиках, тогда возникновение десяти влажных дней подряд заставило бы нас поверить, что мы вступили в один из этих сезонов, и что поэтому следующий день, вероятно, будет напоминать предыдущие десять.

Поскольку, следовательно, все эти формы такого Индуктивного правила возможны, и у нас часто нет à priori оснований для предпочтения одного другому, казалось бы неразумным пытаться установить какую-либо универсальную формулу предвосхищения. Все, что мы можем сделать, — это установить, каковы обстоятельства, при которых то или иное из этих правил, как факт, оказывается применимым, и использовать его при этих обстоятельствах.

§ 31. (VII.) В случаях, обсуждавшихся в (V.), почти бесконечно малые шансы, с которыми мы имели дело, справедливо игнорировались из всякого практического рассмотрения, как бы правильно ни было, на умозрительных основаниях, держать наши умы открытыми для их фактического существования. Но мне часто приходило в голову, что существует распространенная ошибка в пренебрежении принятием их во внимание, когда они могут, хотя индивидуально малы, компенсировать свою миниатюрность своим количеством. Как выразился бы математик, они могут иногда быть способны быть интегрированными в конечную или даже значительную величину.

Например, мы можем столкнуться с трудностью, из которой, по-видимому, существует только один ощутимо возможный способ выхода. Предпринимается попытка заставить нас принять это, как бы велики ни были шансы, по-видимому, против него, на том основании, что, как бы маловероятно это ни казалось, это во всяком случае значительно более вероятно, чем любое из других. Я вполне могу признать, что на практических основаниях мы часто можем найти разумным принять этот курс; ибо мы можем действовать только на одном предположении, и мы естественно и справедливо выбираем, из количества маловероятностей, наименее маловероятную. Но когда мы не вынуждены действовать, никакого такого решительного предпочтения от нас не требуется. Тогда совершенно разумно отказаться от согласия на предложенное объяснение; даже сказать отчетливо, что мы не верим в него, и в то же время отказаться, в настоящее время, принять любое другое объяснение. Мы остаемся, по сути, в состоянии приостановки суждения, состоянии совершенно правильном и разумном до тех пор, пока никакое действие, требующее специфического выбора, не навязано нам. Одна альтернатива может быть решительно вероятной по сравнению с любой другой индивидуально, но решительно маловероятной по сравнению со всеми другими коллективно. Это само по себе достаточно понятно; чего люди часто не видят, так это того, что нет необходимого противоречия между тем, чтобы говорить и чувствовать это, и все же быть готовым энергично действовать, когда действие навязано нам, как будто эта альтернатива была действительно истинной.

§ 32. Чтобы взять конкретный пример, этот способ рассмотрения вопроса часто приходил мне в голову в спорах о «Спиритуалистических» проявлениях. Согласие навязывается нам, потому что, говорят, никакое другое возможное решение не может быть предложено. Может быть совершенно верно, что по-видимому подавляющие трудности могут лежать против каждого отдельного альтернативного решения; но достаточно ли всегда осознается, как многочисленны такие решения могут быть? Неважно, что каждое индивидуально может быть почти невероятным: они все должны быть собраны вместе и брошены на весы против предложенного решения, когда единственный заданный вопрос: Должны ли мы принять это решение? Нет никакой несправедливости в таком курсе. Мы совершенно готовы принять тот же план против любой другой индивидуальной альтернативы, всякий раз, когда кто-либо начинает претендовать на это как на решение трудности. Мы смотрим на вопрос с чисто логической точки зрения и совершенно готовы, до сих пор, поставить каждое решение, спиритуалистическое или иное, на ту же основу. Партизаны каждой альтернативы находятся в несколько том же положении, что и члены совещательного собрания, в котором никто не поддержит предложение любого другого члена. Каждый может эффективно помочь в отклонении каждого другого предложения, но никто не может преуспеть в принятии своего собственного. Давление неотложной необходимости может, возможно, вытолкнуть их из этого состояния практического бездействия, так сказать, прорвав оппозицию в какой-то точке наименьшего сопротивления; но если не подкрепленные каким-то таким давлением, они остаются в состоянии безнадежного тупика.

§ 33. Предполагая, что спиритуалистическое решение допускает и должно получить научную обработку, это, как мне кажется, вывод, к которому можно было бы иногда прийти перед лицом предложенных доказательств. Нам, возможно, пришлось бы сказать каждому индивидуальному объяснению: Это невероятно, я не могу принять его; и если обстоятельства не должны (что вряд ли возможно, чтобы они должны были) заставить нас к поспешному решению, — решению, помните, которое не должно указывать на предпочтение суждения, выходящее за рамки того, что просто достаточно, чтобы склонить чашу весов в его пользу по сравнению с любой другой единственной альтернативой, — мы оставляем вопрос таким образом в подвешенном состоянии. Очень вероятно, будет настаиваться, что одно из объяснений (предполагая, что все возможные были включены) должно быть истинным; это мы охотно признаем. Вероятно, также будет настаиваться, что (на часто цитируемом принципе Батлера) мы должны немедленно принять то, которое по сравнению с другими является наиболее правдоподобным, какова бы ни была его абсолютная ценность. Это кажется отчетливо ошибкой. Сказать, что такое-то объяснение — то, которое мы должны принять, если обстоятельства заставили бы нас предвосхитить наше решение, вполне совместимо с его нынешним отклонением. Единственная рациональная позиция, безусловно, — это признание того, что истина находится где-то среди различных альтернатив, но признание прямо, что у нас нет такого предпочтения одного перед другим, чтобы позволить нам сказать что-либо иное, кроме того, что мы не верим в каждое из них.

§ 34. (VIII.) Очень распространенное заблуждение «суждения по событию», как его обычно называют, заслуживает мимолетного внимания здесь, так как оно явно относится к Вероятности, а не к Логике; хотя его природа настолько очевидна для тех, кто ухватил общие принципы нашей науки, что очень немногих слов замечания будет достаточно. В одном смысле каждое предложение должно согласиться быть судимым по событию, так как это просто, другими словами, представление его на проверку опыта. Но существует широчайшая разница между проверкой, подходящей для универсального предложения, и той, которая подходит для просто пропорционального или статистического. Первое подрывается единственным исключением; второе не только допускает исключения, но подразумевает их. Ничто, однако, не является более распространенным, чем винить совет (у других), потому что он случайно обернулся неудачно, или претендовать на заслугу за него (у себя), потому что он случайно преуспел. Конечно, если вывод был заведомо вероятного рода, мы должны быть готовы с самодовольством принять враждебное событие, или даже последовательность их; это не до тех пор, пока последовательность не показывает склонность продолжаться долго, что подозрение и сомнение должны возникнуть, и тогда только путем сравнения степени назначенной вероятности и величины отклонения от нее, которое демонстрирует опыт. Для любой единственной неудачи ответом должно быть: «совет был здравым» (предполагая, то есть, что он должен был быть оправдан в долгосрочной перспективе), «и я предложу его снова при тех же обстоятельствах».

§ 35. Различие, проведенное в вышеуказанном примере, заслуживает тщательного рассмотрения; ибо из-за широкой разницы между видом предложений, рассматриваемых в Вероятности и в обычной Логике, и последующей разницы в природе предложенного доказательства, вполне возможно для аргументов того же общего вида быть обоснованными в первом и ошибочными во втором, и наоборот.

Например, возьмем хорошо известное заблуждение, которое состоит в простом обращении универсального утвердительного, т.е. в переходе от «Все А есть Б» к «Все Б есть А». Когда, как в обычной Логике, вывод должен быть таким же достоверным, как посылка, нет ни слова, что можно сказать за такой шаг. Но если мы посмотрим на процесс более снисходительным глазом Индукции или Вероятности, мы увидим, что очень справедливый случай иногда может быть сделан для него. Сам факт, что «Некоторое Б есть А», вызывает определенную презумпцию, что любое конкретное Б, взятое наугад, будет А. Есть некоторая причина, во всяком случае, для веры, хотя в отсутствие статистики относительно относительной частоты А и Б мы не способны назначить значение этой вере. Я подозреваю, что может быть много случаев, в которых человек сделал вывод, что некоторое конкретное Б есть А на том основании, что «Все А есть Б», который мог бы справедливо просить в свою пользу, что он никогда не имел в виду, чтобы это был необходимый, а только вероятный вывод. Те же замечания, конечно, будут применимы также к логическому заблуждению Нераспределенной Середины.

Теперь для случая противоположного рода, т.е. того, в котором Вероятность подводит нас, тогда как обстоятельства кажутся тесно аналогичными тем, в которых обычный вывод был бы способен сделать стойку. Предположим, что я знаю, что одно письмо из миллиона теряется, когда находится на попечении почты. Я пишу другу и не получаю ответа. Есть ли у меня какая-либо причина предполагать, что вина лежит на нем? Вот событие (т.е. потеря письма), которое определенно произошло; и мы предполагаем, что из двух единственных причин, к которым оно может быть отнесено, «значение», т.е. статистическая частота, одной точно назначено, не кажется ли естественным предполагать, что что-то может быть выведено относительно вероятности того, что другая причина была оперативной? Сказать, что ничего нельзя знать о ее адекватности при этих обстоятельствах, выглядит на первый взгляд как утверждение, что уравнение, в котором есть только один неизвестный член, теоретически неразрешимо.

Поскольку примеры такого рода были широко обсуждены в главе об Обратных правилах Вероятности, мне не нужно делать здесь ничего больше, чем напомнить читателю, что никакой вывод вообще не может быть сделан относительно вероятности того, что вина лежала на моем друге, а не на Почте. Если мы либо не знаем, либо не делаем какого-либо предположения о частоте, с которой он пренебрегает отвечать на письма, которые получает, задача остается неразрешимой.

Причина, по которой кажущаяся аналогия, указанная выше, к уравнению только с одной неизвестной величиной, не выдерживает проверки, заключается в том, что для целей Вероятности на самом деле существуют две неизвестные величины. То, с чем мы имеем дело, — это пропорциональные или статистические предложения. Теперь нам только сказано, что в рассматриваемом случае письмо было потеряно, а не то, что они были найдены потерянными в такой-то пропорции случаев. Если бы эта последняя информация была дана нам, мы действительно имели бы только одну неизвестную величину для определения, т.е. относительную частоту, с которой мой корреспондент пренебрегает отвечать на свои письма, и мы могли бы тогда определить это с величайшей легкостью.

1 Обсуждено г-ном Ф. И. Эджуортом в Phil. Mag. за апрель 1887 г.

2 Journal of the Statistical Soc. (Vol. XLII. p. 328) Осмелиться ли заподозрить шутку?

3 По-видимому, давно известно игрокам под названием Мартингейл. Существует статья Бэббиджа (Trans. of Royal Soc. of Edinburgh, за 1823 г.), которая обсуждает некоторые моменты, связанные с ним, но едва затрагивает предмет следующих разделов.

4 Внимание будет далее направлено на это различие в главе о Страховании и Азартных играх.

5 Как отмечено Прево в Bibliothèque Universelle de Genève, октябрь 1829 г. Это объяснение было замечено и, по-видимому, принято Кетле (Physique Sociale, I. 171).

6 Essay on Probabilities, стр. 126.

7 Этим теоретическим или абсолютным пренебрежением тем, что встречается крайне редко, не следует путать с практическим пренебрежением, которое иногда рекомендуют астрономы и другие наблюдатели. Критерий, известный как критерий Шовене, для указания пределов такого отсечения, описан в книге г-на Мерримана «Метод наименьших квадратов» (стр. 166). Но это основывается на понимании того, что в долгосрочной перспективе это приведет к меньшему остатку ошибок. Крайне редкое событие отбрасывается намеренно, а не упускается из виду.

8 Процесс вычисления можно легко обозначить. Скажем, в рассматриваемом произведении около 350 000 букв. Поскольку каждый раз может быть выбрана любая из 26 букв алфавита, возможное число комбинаций составило бы 26 в степени 350 000; число, которое, как легко заключить из таблицы логарифмов, потребовало бы для своего выражения почти 500 000 цифр. Только одна из этих комбинаций является благоприятной, если мы отбросим варианты написания. Следовательно, единица, деленная на это число, представляла бы собой вероятность получения желаемого результата путем последовательного случайного выбора требуемого количества из 350 000 букв.

Если эта вероятность кажется слишком малой, и кто-то спросит, сколько раз нужно повторить вышеуказанный случайный выбор, чтобы получить шансы 2 к 1 в пользу успеха, это также можно легко показать. Если вероятность события в каждом случае равна 1/n, то вероятность получить его хотя бы один раз в n испытаниях равна 1 − ((n − 1)/n) в степени n; ибо мы будем делать это, пока не потерпим неудачу n раз подряд. Когда (как в рассматриваемом случае) n очень велико, алгебраически можно показать, что это эквивалентно шансам примерно 2 к 1. То есть, когда мы извлекли необходимое количество букв число раз, равное невообразимо большому числу, представленному выше, шансы на то, что мы получим желаемое, все еще составляют только 2 к 1, — и тогда нам еще нужно это распознать.

9 Самая долгая жизнь, которую можно было бы разумно приписать любому языку, конечно, свелась бы к полному ничтожеству перед лицом таких периодов времени, которые здесь рассматриваются арифметически.

10 Мы здесь, конечно, предполагаем, что конечный предел, к которому стремится наше среднее значение, известен либо из знания причин, либо из обширного предыдущего опыта. Мы предполагаем, например, что игральная кость, как известно, является правильной; если это не известно, но возможное смещение должно быть выведено из наблюдаемых результатов, случай подпадает под предыдущий пункт.

11 За исключением, пожалуй, игроков. Согласно знакомому игроку, которого фокусник Уден описывает как встреченного им в Спа, «чем чаще выпадала определенная комбинация, тем более вероятно, что она не повторится в следующем туре: это основа всех теорий вероятностей, называемая зрелостью шансов» (Card-sharping exposed, стр. 85).

ГЛАВА XV.

СТРАХОВАНИЕ И АЗАРТНЫЕ ИГРЫ.

§ 1. Если читатель вспомнит фундаментальный постулат теории вероятностей, установленный и объясненный в первых нескольких главах и с тех пор столь обильно проиллюстрированный, он легко признает, что две противоположные характеристики индивидуальной нерегулярности и средней регулярности будут по-разному оцениваться разными умами. Для некоторых людей элементы неопределенности могут быть настолько болезненными, либо сами по себе, либо по своим последствиям, что они стремятся принять какие-то меры для их уменьшения. Для других конечная регулярность жизни, по крайней мере в определенных сферах, или, как они считают, ее монотонность, может быть настолько утомительной, что они в равной степени желают внести в ее характеристики некоторые изменения и улучшения. Мы кратко обсудим эти ментальные склонности, а также самые простые и очевидные способы их удовлетворения.

Некоторым людям, как мы уже сказали, мир кажется слишком полным перемен, нерегулярности и, как следствие, неопределенности. Цивилизация сделала многое для уменьшения этих характеристик в определенных направлениях, но она, несомненно, усугубила их в других, и, возможно, нелегко сказать с уверенностью, в каком из этих аспектов ее действие было на данный момент в целом наиболее эффективным. Уменьшение нерегулярности проявляется, среди прочего, в случае с основными продуктами, обеспечивающими наше необходимое питание и одежду. В отношении них голод и нехватка теперь сравнительно почти неизвестны, по крайней мере в достаточно цивилизованных сообществах. Как следствие этого, а также огромных улучшений в средствах транспортировки товаров и передачи информации, колебания цен на такие товары стали гораздо меньше, чем когда-то. В других направлениях, однако, дело обстоит иначе. Мода, например, теперь побуждает так много людей в каждом большом сообществе одновременно желать одного и того же, что могут возникнуть большие колебания стоимости. Более того, целая группа причин (обсуждение которых означало бы вторжение в область политической экономии) объединяется, чтобы вызвать большие и частые изменения в вопросах, касающихся кредита и валюты, которых раньше не существовало. Банкротство, например, по самой своей природе является почти полностью порождением современных времен. Мы не будем пытаться подвести какой-либо баланс между этими противоположными результатами современной цивилизации, кроме как заметить, что в вопросах первостепенной важности фактические неопределенности, вероятно, в целом уменьшились, тогда как в тех, что затрагивают кошелек, а не жизнь, они скорее увеличились. Можно также с некоторой долей правдоподобия утверждать, что в тех случаях, когда фактические неопределенности не стали больше, они стали таковыми для всех практических целей, поскольку их последствия часто становились более серьезными или наша оценка этих последствий становилась выше.

§ 2. Как бы ни был решен вышеуказанный вопрос об окончательном балансе выигрыша или проигрыша, нет сомнений в том, что многие люди находят нынешнюю степень неопределенности в некоторых делах жизни большей, чем им хотелось бы. Как им ее уменьшить? Что-то, конечно, можно сделать в отношении отдельных случаев с помощью благоразумия и предусмотрительности. Наши дома могут быть построены так, чтобы не загораться так легко, или могут быть приняты меры предосторожности, чтобы пожарные машины были под рукой. В деле предотвращения смерти от болезней и несчастных случаев каждый, кто решит жить благоразумно, может что-то сделать. Однако меры предосторожности такого рода не затрагивают вопросов вероятности. Последние соображения вступают в силу только тогда, когда мы начинаем призывать на помощь регулярность среднего значения, чтобы спасти нас от нерегулярностей деталей. Мы не можем, правда, устранить неопределенность саму по себе, но мы можем действовать так, чтобы последствия этой неопределенности были меньше для нас или для тех, в ком мы заинтересованы. Возьмем случай страхования жизни. Профессиональный человек, который зависит только от заработанного им дохода, знает, что весь этот доход может исчезнуть в одно мгновение из-за его смерти. Это положение вещей, которое он не может предотвратить; и если бы он был единственным в таком положении или был неспособен или не желал объединиться со своими собратьями, в этом деле ничего больше нельзя было бы сделать, кроме как жить по средствам, насколько это возможно, и таким образом оставлять запас сбережений.

§ 3. Однако для него существует простой способ избежать этого. Все, что ему нужно сделать, — это договориться с рядом других людей, находящихся в таком же положении, как он сам, чтобы, так сказать, составить общий кошелек. Они могут решить, что те из них, кто доживет до работы дольше средней продолжительности жизни, будут вносить вклад в поддержку семей тех, кто умрет раньше. Если бы в таком решении участвовало лишь несколько человек, они бы не получили большой выгоды, ибо они все равно оставались бы лишь на шаг от той неопределенности, которой стремятся избежать. Существенно то, что значительное число людей должно объединиться таким образом, чтобы получить выгоду от той сравнительной регулярности, которую, как хорошо известно, среднее значение почти всегда стремится демонстрировать.

§ 4. Вышеприведенные простые соображения действительно содержат сущность всего страхования. Такие моменты, как тот факт, что соглашение о возмещении распространяется только на определенную фиксированную сумму денег; и что вместо требования периодического общего взноса во время смерти каждого члена они заменяют его фиксированной ежегодной премией, из поступлений от которой должен производиться платеж, являются лишь случайностями удобства и организации. Страхование просто эквивалентно взаимному контракту между теми, кто боится последствий неопределенности своей жизни или занятости, что они будут использовать совокупную регулярность, чтобы максимально нейтрализовать индивидуальную нерегулярность. Они знают, что за каждого, кто выигрывает по такому контракту, другой потеряет столько же; или если один выигрывает много, многие должны были потерять немного. Они также знают, что вряд ли кто-либо из них может ожидать, что это соглашение будет «справедливым» в том смысле, что они просто получат обратно то, что заплатили в виде премий, после вычета необходимых расходов на управление; но они сознательно предпочитают такое положение дел. Они состоят из группы лиц, которые считают, что определенно лучше оставить после себя сравнительно фиксированное состояние, чем то, которое крайне неопределенно по сумме; хотя они прекрасно осознают, что из-за неизбежных расходов на управление делами такого общества сравнительно фиксированная сумма, которая будет оставлена, будет немного меньше, чем средние состояния, которые были бы оставлены, если бы такая система страхования не была принята.

Поскольку это не является регулярным трактатом о страховании, больше не нужно ничего говорить о точной природе таких обществ, кроме того, что они бывают разных видов. Иногда они действительно являются тем, с чем мы их сравнили, а именно взаимными соглашениями между группой лиц о возмещении потерь друг друга в определенной степени. В эту категорию попадают общества взаимного страхования, общества взаимопомощи, профсоюзы (в отношении некоторых своих функций), вместе с бесчисленными другими обществами, которые носят разные названия. Иногда это компании, управляемые собственниками или акционерами ради прибыли, как и любое другое промышленное предприятие. Это случай, я полагаю, большинства обычных обществ страхования жизни. Иногда, опять же, управление берет на себя государство, как в случае с нашим бизнесом страхования почтовых отделений.

§ 5. Ясно, что нет необходимого предела для сферы применения этого принципа. Вполне мыслимо, что большинство жителей какой-либо нации могли бы быть настолько влюблены в безопасность, что они разработали бы грандиозное страховое общество, чтобы охватить почти каждую заботу в жизни. Они не могли бы, конечно, устранить неопределенность, ибо условия жизни очень далеки от того, чтобы позволить это, но они могли бы без особого труда избавиться от худших ее последствий. Они могли бы решить страховать не только свои жизни, дома, корабли и другие вещи, в отношении которых возможна внезапная и полная потеря, но также страховать свой бизнес; в смысле избежания не только банкротства, но даже случайных плохих лет, по тому же принципу коммутации. Как бы незнакомо ни казалась такая цель, когда она представлена на этом языке, тем не менее, это та цель, которая под названием, вызывающим подозрение у консервативных классов, привлекла к себе немало внимания. Это действительно едва ли что иное, как коммунизм, который можно было бы, по сути, определить как универсальное и обязательное страховое общество, которое должно учитывать все сферы бизнеса и, по крайней мере в некоторых своих формах, вторгаться также в сферу общественной и семейной жизни.

Хотя вряд ли что-то столь всеобъемлющее будет практически осуществлено в очень больших масштабах, заслуживает внимания тот факт, что сам принцип неуклонно распространяется во всех направлениях в деталях. Например, главная жалоба на профсоюзы заключается в том, что они слишком часто стремятся обеспечить эти результаты в отношении выравнивания заработной платы рабочих, тем самым страхуя в некоторой степени от некомпетентности, как они справедливо и мудро делают от болезней и потери работы. Опять же, существует Общество взаимной защиты торговцев, которое страхует от случайных потерь, связанных с необходимостью вести судебные преследования. Во многих городах существуют общества для преследования мелких краж с целью избежать той же неопределенной и, возможно, серьезной потери. Среди примеров страхования для людей, а не ими самими, есть, конечно, гигантский пример английского закона о бедных, в котором сходство с начальной коммунистической системой становится очень заметным. Бедные застрахованы от потери работы, возникающей не только из-за болезни и старости, но и по любой причине, кроме умышленной праздности. Они не платят, правда, всю премию, но поскольку они в основном несут некоторую часть бремени муниципальных и окружных налогов, их, безусловно, следует считать платящими часть премии. В некоторых отраслях государственной и частной службы также принята система вычета процента из заработной платы или оклада с целью полуобязательного страхования от смерти, болезни или выхода на пенсию.

§ 6. Тесно связанными со страхованием как применением теории вероятностей, хотя, конечно, по контрасту, являются азартные игры. Хотя мы не можем, строго говоря, назвать ни одну из этих практик противоположностью другой, тем не менее кажется правильным сказать, что они проистекают из противоположных ментальных склонностей. Некоторые люди, как уже было сказано, находят жизнь слишком монотонной для своего вкуса, или, скорее, область того, что можно предсказать с уверенностью, слишком велика и доминирует в их оценке. Они могут легко выбрать два пути для обеспечения желаемых ими перемен. Они могут, во-первых, усугубить и усилить результаты событий, которые сравнительно не поддаются предвидению, причем эти события сами по себе недостаточно важны, чтобы вызвать какие-либо сильные эмоции. Самый очевидный способ сделать это — делать на них ставки. Или, опять же, они могут изобрести игры или другие занятия, индивидуальные случайности которых полностью удалены от всякого возможного человеческого предвидения, а затем сделать тяжелые денежные последствия зависимыми от этих случайностей. Это азартные игры в собственном смысле слова, проводимые в основном с помощью карт, костей и рулетки.

Азартный дух, как мы уже сказали, ищет возбуждения от неопределенности и разнообразия. Поэтому, когда люди делают долго продолжающуюся практику игры, особенно если ставки, на которые они играют, умеренны по сравнению с их состоянием, эта неопределенность по самой природе дела начинает уменьшаться. Тщательно практикующий игрок, если он обладает более чем обычным мастерством (в играх, где мастерство имеет значение), должен рассматриваться как человек, следующий профессии, хотя и профессии по большей части рискованного и захватывающего рода, не говоря уже о ее низком и часто нечестном характере. Если, с другой стороны, его мастерство ниже среднего, или игра такова, в которой мастерство не имеет значения, а шансы немного в пользу его противника, как в игорных домах, один из взглядов, под которым его можно рассматривать, — это взгляд человека, который следует любимому развлечению; если это развлечение предполагает постоянные ежегодные расходы с его стороны, это не более чем то, что можно сказать о большинстве других развлечений.

§ 7. Мы не можем, конечно, дать такое рациональное объяснение, как выше, в каждом случае. Есть много новичков и много фанатиков, которые продолжают постоянно проигрывать в полной уверенности, что в конечном итоге они выйдут победителями. Но трудно поверить, что такое невежество или такой интеллектуальный сдвиг могут быть действительно настолько широко распространены, как это потребовалось бы, чтобы сделать их правилом, а не исключением. Должен, безусловно, существовать какой-то очень общий импульс, который удовлетворяется такими ресурсами, и нетрудно увидеть, что еще это может быть, кроме любви к тому разнообразию и последующему возбуждению, которые можно найти в совершенстве только там, где точное предвидение невозможно.

Конечно, очень трудно сделать здесь какое-либо обобщение относительно сравнительной распространенности различных мотивов среди человечества; но когда рассматриваешь, в чем заключается разница, которую большинство спокойных обычных игроков в вист чувствуют между игрой «на интерес» и игрой, в которой есть небольшая ставка, нельзя не придать высокую ценность влиянию желания подчеркнуть возбуждение от проигрыша и выигрыша.

Я бы ни на минуту не стал преуменьшать практические опасности, которые, как обнаруживается, сопровождают практику азартных игр. Замечено, что игрок, если он продолжает играть в течение долгого времени, находится под почти непреодолимым импульсом увеличивать свои ставки и, таким образом, вновь вводить элемент неопределенности. Именно эта склонность быть таким образом увлеченным и составляет главную опасность и вред этой практики. Риск и неопределенность все еще являются такими нормальными характеристиками даже цивилизованной жизни, что простое распространение таких тенденций в новые области само по себе не предлагает какой-либо очень тревожной перспективы. Это следует осуждать только в той мере, в какой существует опасность, которая, как показывает опыт, не является пустяковой, что очарование, найденное в этом занятии, может привести людей к тому, что они будут следовать ему до чрезмерных пределов.

§ 8. Вышеприведенная общая трактовка азартных игр и страхования кажется мне единственным рациональным и здравым принципом деления; — а именно тем, на котором различные практики, которые под разными названиями известны как азартные игры или страхование, располагаются в соответствии с духом, результатом которого они являются, и, следовательно, результатами, которые они призваны обеспечить. Если бы мы попытались судить и классифицировать их в соответствии с названиями, которые они в настоящее время носят, мы обнаружили бы, что это не ведет ни к какому систематическому делению вообще; дело в том, что, поскольку все они одинаково включают в себя, как свою существенную характеристику, платежи и поступления, один или оба из которых обязательно неопределенны по своей дате или сумме, названия часто могут быть взаимозаменяемы.

Например, лотерея и обычное страховое общество от несчастных случаев, если мы просто смотрим на процессы, выполняемые в них, во всех отношениях идентичны. В каждом из них одинаково есть небольшой платеж, который определен по сумме, и большое поступление, которое неопределенно по сумме. Очень многие люди платят небольшую премию, тогда как лишь немногие из них получают приз, остальные не получают никакой отдачи за свои расходы. В каждом случае одинаково совокупные поступления и потери призваны уравновешивать друг друга после учета прибыли тех, кто осуществляет предприятие. Но, конечно, когда мы принимаем во внимание случаи, когда страхователи получают свои призы, мы видим, что есть огромная разница между получением их наугад, как в лотерее, и получением их в качестве частичного возмещения за сломанную конечность или подорванное здоровье, как в страховом обществе.

Опять же, язык ставок может быть легко использован для охвата почти каждого вида страхования. Действительно, Де Морган описал страхование жизни как пари, которое индивид заключает с компанией, что он не проживет дольше определенного возраста. Если он умирает молодым, он в денежном отношении выигрывает, если он умирает поздно, он проигрывает. Здесь тоже, хотя выражение технически вполне корректно (поскольку любой такой преднамеренный риск денег в непроизводительном предприятии может подпадать под определение пари), существует широчайшее различие между ставками без какой-либо иной цели, кроме риска денег, и ставками с целью максимально возможного уменьшения риска и потерь. Фактически, если в это дело нужно вводить язык спортивной жизни, мы должны, полагаю, говорить о страхователе как о «хеджирующем» против своей смерти.

§ 9. Опять же, в тонтинах у нас есть система того, что часто называют страхованием, и в определенных пунктах справедливо так, но которая во всех отношениях является просто и абсолютно азартной сделкой. Они были полностью заброшены, я полагаю, некоторое время назад, но когда-то были довольно популярны, особенно во Франции. По этому плану государство или любое общество, которое управляет бизнесом, не получает ничего, пока не умрет последний член тонтины. По мере того как число выживших уменьшается, та же общая сумма аннуитетов продолжает выплачиваться между ними, пока кто-то остается в живых, так что каждый получает постепенно увеличивающуюся сумму. Следовательно, те, кто умирает рано, вместо того чтобы получать больше всех, как по обычному плану, получают меньше всех; ибо со смертью каждого члена аннуитет прекращается абсолютно, насколько это касается его и его родственников. Все дело, следовательно, во всех отношениях является гигантской системой ставок, чтобы увидеть, кто сможет прожить дольше всех; государство является общим держателем ставок и получает большую комиссию за свое руководство, причем эта комиссия является, естественно, его единственным мотивом для поощрения такой сделки. Записано об одной из французских тонтин, что вдова 97 лет осталась последней выжившей, чтобы получать аннуитет в 73 500 ливров в течение остатка жизни, которую она могла влачить после этого возраста; — она первоначально подписалась на единую сумму всего в 300 ливров. Очевидно, что такая система, хотя она иногда может носить название страхования, совершенно противоположна духу истинного страхования, поскольку она стремится усугубить существующее неравенство состояний, а не смягчить его. Страхователь здесь держит пари, что он умрет старым; при обычном страховании он держит пари, что он умрет молодым.

Опять же, чтобы привести один последний пример, общее мнение часто рассматривает банк или компанию, которая держит стол rouge et noir, и лиц, которые рискуют своими деньгами за ним, как одинаково вовлеченных в азартные игры. Так они могут быть, технически, но для всех практических целей такой банк является столь же верным и безопасным бизнесом, как и любое обычное страховое общество, и, вероятно, гораздо более устойчивым в своих поступлениях, чем большинство обычных профессий в производственном или коммерческом городе. Банк идет на множество мелких сделок по отношению к своему капиталу; их клиенты, очень часто, по отношению к своим доходам идут на очень крупные сделки. То, что первый выходит победителем год за годом, зависит, конечно, от того факта, что столы, как известно, немного в их пользу. Но устойчивость этих выигрышей по сравнению с неустойчивостью индивидуальных потерь зависит просто от — фактически, является лишь иллюстрацией — того одного великого постоянного контраста, который лежит в основе всех рассуждений в теории вероятностей.

§ 10. Мы до сих пор рассматривали страхование и азартные игры как продукт естественного импульса, и как имеющие каждый, если мы смотрим только на опыт, огромную массу человеческого суждения в свою пользу. Популярное моральное суждение, однако, которое одобряет одно и осуждает другое, основывается в значительной части на предположении, которое, несомненно, содержит много истины, но которое часто интерпретируется с такой абсолютностью, которая ведет к ошибке в каждом направлении; — долг страхования слишком настойчиво навязывается каждому, а практика азартных игр слишком универсально рассматривается как включающая в себя жертву реальным собственным интересом, как, по сути, немногим лучшая, чем постоянная ошибка. Рассматриваемое предположение, по-видимому, извлечено из признанных преимуществ страхования, а затем призвано осудить практику азартных игр. Но при этом, по-видимому, недостаточно признается тот факт, что последняя практика, если мы просто смотрим на степень и древность молчаливого голосования человечества в ее пользу, могла бы, безусловно, претендовать на победу.

Конечно, очевидно, что во всех случаях, с которыми мы имеем дело, совокупное богатство остается неизменным; деньги просто передаются от одного человека к другому. Потеря одного точно эквивалентна выигрышу другого. По крайней мере, это то приближение к истине, с которого нам удобно начать. Теперь, если бы счастье, приносимое богатством, всегда было прямо пропорционально его количеству, нетрудно увидеть, почему страхование должно быть предметом защиты, а азартные игры — осуждения. В случае последних это достаточно очевидно. Я потерял 50 фунтов, скажем, но другие (один или несколько, в зависимости от обстоятельств) получили их, и увеличение их счастья точно уравновесило бы уменьшение моего. В случае страхования есть небольшое осложнение, возникающее из того факта, что наступление страхового случая не происходит случайно (иначе, как уже указывалось, это была бы просто лотерея), а обусловлено каким-то видом потери, которую оно призвано, насколько это возможно, уравновесить. Я страхую себя в железнодорожной поездке, ломаю ногу в аварии и, заплатив три пенса за билет, получаю, скажем, 200 фунтов компенсации от страховой компании. Те же замечания, однако, применимы и здесь; счастье, которое я приобретаю этими 200 фунтами, лишь точно уравновесило бы совокупную потерю 16 000 человек, которые заплатили свои три пенса и не получили никакой отдачи, если бы счастье всегда было прямо пропорционально богатству.

§ 11. Практика страхования, я думаю, не порождает много вопросов теоретического интереса и поэтому не должна задерживать нас дольше. Дело в том, что она едва ли еще применялась достаточно долго и широко, или к вопросам, которые допускают достаточно точную статистическую обработку, за исключением одной сферы. Это, конечно, страхование жизни; но предмет требует постоянного внимания к деталям статистики и (справедливо) в основном осуществляется в строгом соответствии с рутиной. В качестве иллюстрации этого нам достаточно сослаться на работы Де Моргана — профессионального актуария, а также писателя по теории вероятностей, — который нашел мало возможностей помочь своей спекулятивной трактовке вероятности примерами, взятыми из этого класса соображений.

С азартными играми дело обстоит иначе. Было обсуждено не только множество интересных отдельных задач (из которых Петербургская задача является наиболее известной), но и поднято несколько спекулятивных вопросов значительной важности. Один из них касается недостатков практики азартных игр. Было немало авторов, которые, не довольствуясь тем, чтобы останавливаться на очевидном моральном и косвенном вреде, который возникает в форме чрезмерного возбуждения, последующей жадности, отказа от устойчивых деловых привычек, которые одни обеспечивают процветание в долгосрочной перспективе, отвлечения богатства в нечестные руки и т. д., пытались продемонстрировать неизбежную потерю, вызванную этой практикой.

§ 12. Эти попытки можно разделить на два класса. Существуют (1) те, которые апеллируют к чисто числовым соображениям, и (2) те, которые вводят то, что называется «моральной», в отличие от математической, ценностью будущей случайности.

(1) Например, остроумная попытка была предпринята г-ном Уитвортом, чтобы доказать, что азартные игры обязательно невыгодны по чисто математическим основаниям.

Когда два человека играют друг против друга, один из них должен быть разорен рано или поздно, даже если игра честная, при условии, что они продолжают играть достаточно долго; у того, у кого доход меньше, конечно, меньше шансов стать удачливым выжившим. Если у одного из них конечный, а у другого бесконечный доход, то, очевидно, именно первый будет окончательным страдальцем, если они будут продолжать достаточно долго. Тогда утверждается, что это, по сути, положение каждого отдельного игрока: «никто не ограничен игрой с одним единственным противником; спекулянт имеет дело с публикой в целом, с миром, чьи ресурсы практически неограниченны. Существует перспектива, что его операции могут закончиться к его собственному невыгодному положению из-за того, что ему нечего больше ставить; но нет перспективы, что это закончится к его выгоде из-за исчерпания ресурсов мира. Каждый, кто играет, ведет неравную войну: он выступает с ограниченным капиталом против противника, чьи средства бесконечны».

В вышеприведенном аргументе, безусловно, упускается из виду, что противники, против которых он играет, не являются одним органом с общим кошельком, как банк в игорном заведении. Каждый из этих противников находится в точно таком же положении, как и он сам, и точно такое же доказательство можно было бы использовать, чтобы показать, что каждый из них должен быть в конечном итоге разорен, что, конечно, является доведением до абсурда. Азартные игры могут только передавать деньги от одного игрока к другому, и поэтому ничего из них не может быть фактически потеряно.

§ 13. Что на самом деле происходит с деньгами, когда они играют до крайности, нетрудно увидеть. Сначала предположим ограниченное число игроков. Если они будут продолжать достаточно долго, деньги в конце концов найдут свой путь в карман кого-то одного из них. Если их состояния были первоначально равны, каждый имеет одинаковый шанс стать удачливым выжившим; в этом случае мы не можем утверждать на каких-либо числовых основаниях, что перспектива игры невыгодна для любого из них. Если их состояния были неравны, можно показать, что тот, у кого была большая сумма в начале, имеет лучший шанс, согласно некоторому назначаемому закону, остаться окончательным победителем; в этом случае это должно быть столь же выгодно для него, сколь невыгодно для его менее богатых конкурентов.

Когда вместо ограниченного числа игроков мы предполагаем неограниченное число, каждый из которых по мере разорения уходит со стола и позволяет прийти другому, результаты более сложны, но их общая тенденция может быть легко различима. Если бы мы предположили, что никто не уходит, кроме как при разорении, мы имели бы положение вещей, при котором все старые игроки постепенно становились бы богаче. В этом случае перспектива перед новичками неуклонно ухудшалась бы, ибо их шанс на выигрыш против таких богатых противников был бы чрезвычайно мал. Но поскольку это неразумное предположение, мы должны скорее предположить, что не только разоренные жертвы уходят, но и те, кто накопил состояния определенного размера, также уходят, так что совокупное и среднее богатство игорного сообщества остается довольно устойчивым. Какой шанс у любого данного игрока быть разоренным и как долго он может ожидать продержаться до разорения, будет зависеть, конечно, от начальных доходов игроков, правил игры, ставок, на которые они играют, и других соображений. Но ясно, что за все, что потеряно одним, точно такая же сумма должна быть получена другими, и что, следовательно, любого конкретного игрока можно только заранее предостеречь, что его поведение не рекомендуется, апеллируя к некоторым таким предположениям, как те, что уже упоминались в предыдущем разделе.

§ 14. В качестве дополнительного оправдания этого взгляда читатель может заметить, что положение вещей в последнем примере — это то, что, выраженное несколько иным языком и с небольшим изменением обстоятельств, непрерывно осуществляется в гигантском масштабе вокруг нас. Назовите это конкуренцией купцов и торговцев в коммерческой стране, и общие результаты достаточно знакомы. Правда, поскольку в вопрос вступает мастерство, они не являются собственно игроками; но поскольку вступают случай и риск, их можно справедливо так назвать, и во многих отраслях бизнеса это неизбежно должно быть в значительной степени. Всякий раз, когда бизнес ведется безрассудным образом, сравнение на общих основаниях вполне справедливо. В каждом случае одинаково мы находим некоторых уходящих разоренными, а некоторых — делающими свои состояния; и в каждом случае одинаково также шансы, cœteris paribus, на стороне тех, у кого самые большие состояния. Каждый, в некотором смысле, борется против коллективного коммерческого мира, но поскольку каждый из его конкурентов делает то же самое, мы, очевидно, не могли бы предостеречь никого из них (кроме, конечно, более бедных), что их усилия должны в конечном итоге закончиться невыгодно.

§ 15. Если мы хотим увидеть этот результат, отображенный в его наиболее решительной форме, мы можем найти хорошую аналогию в совершенно ином классе событий, а именно в судьбе фамилий. Мы все игроки в этом отношении, и игра ведется до последнего фартинга с суровостью, неизвестной в Ньюмаркете или Монте-Карло. В своей полной трактовке предмет очень сложен, но простой пример послужит для отображения общей тенденции. Предположим, колонию, состоящую из 1000 пар с разными фамилиями, и предположим, что у каждой из них есть четыре ребенка, которые вырастают, чтобы вступить в брак. Приблизительно одна из 16 этих семей будет состоять только из девочек; и поэтому, согласно обычным условностям, около 62 имен исчезнут навсегда после следующего поколения. Четыре опять же из 16 будут иметь только одного мальчика, каждый из которых, конечно, будет в том же положении, что и его отец, а именно единственный представитель своего имени. Соответственно, в следующем поколении одно из 16 этих имен снова выпадет, и так процесс продолжается. Число, которое исчезает в каждом последующем поколении, становится меньше, так как стабильность выживших становится больше из-за их большей численности. Но нет никакой преграды этому процессу.

§ 16. Аналогия здесь очень близкая, имена, которые таким образом исчезают, соответствуют игрокам, которые уходят разоренными, а те, которые увеличиваются в числе, соответствуют удачливым победителям. Конечная цель в каждом случае одинаково — конечно, чрезвычайно отдаленная — это исключительное выживание одного за счет всех остальных. То, что одна фамилия таким образом выпадает вслед за другой, должно было поразить каждого, кто делал какие-либо запросы в семейную генеалогию, и различные причудливые объяснения были даны теми, кто не знаком с теорией вероятностей. Что часто склонны упускать из виду, так это крайняя незначительность того, что можно назвать «поворотом стола» в пользу выживания в каждом поколении. В вышеприведенном числовом примере мы сделали экстравагантно благоприятное предположение, предположив, что население удваивается в каждом поколении. В старой и густонаселенной стране, где численность увеличивается очень медленно, мы были бы гораздо ближе к цели, предположив, что средняя эффективная семья — то есть среднее число детей, которые доживают до брака — была только два. В этом случае каждая семья, которая была представлена в любое время только одним мужчиной, имела бы только три шанса из четырех на выживание от вымирания, и, конечно, процесс прореживания был бы более быстрым.

§ 17. Наиболее интересный класс попыток доказать недостатки азартных игр апеллирует к тому, что технически называется «моральным ожиданием», в отличие от «математического ожидания». Последнее можно определить просто как среднюю денежную стоимость рассматриваемого предприятия; то есть это произведение суммы, которую нужно получить (или потерять), и шанса получения (или потери) ее. Например, если я поставлю четыре к одному в соверенах против выпадения туза с одной костью, в среднем при многих бросках будет потеря четырех фунтов против выигрыша пяти фунтов на каждые шесть случаев; т. е. будет средний выигрыш в три шиллинга и четыре пенса на каждый бросок. Это называется истинным или математическим ожиданием. Так называемое «моральное ожидание», с другой стороны, является субъективной ценностью этого математического ожидания. То есть, вместо того чтобы считать денежное состояние обычным способом, как то, чем оно является, делается попытка считать его по тому, чем оно ощущается. Элементы вычисления, следовательно, становятся не фунтами и шиллингами, а суммами удовольствия, получаемого фактически или в перспективе. Соответственно, при расчете текущей стоимости будущего выигрыша мы должны теперь умножить не объективную, а субъективную стоимость на шанс, который мы имеем на получение этого выигрыша.

Что касается точного отношения этого морального состояния к физическому, были сделаны различные более или менее произвольные предположения. Один автор (Бюффон) считает, что моральная ценность любой данной суммы изменяется обратно пропорционально общему богатству человека, который ее получает. Другой (Д. Бернулли), исходя из другого предположения, которое мы вскоре должны будем заметить более подробно, делает моральную ценность состояния изменяющейся как логарифм его фактической суммы. Третий (Крамер) делает ее изменяющейся с квадратным корнем из суммы.

§ 18. Исторически эти предложения возникли из желания примирить выводы Петербургской задачи с диктатами практического здравого смысла; ибо, заменив моральную оценку физической, общую стоимость ожидания можно было бы свести к конечной сумме. На этом основании, следовательно, такие предложения не представляют большого интереса, ибо, как мы видели, нет серьезной трудности в задаче, когда она правильно понята.

Эти же предложения, однако, были использованы для того, чтобы доказать, что азартные игры обязательно невыгодны, причем для обеих сторон. Возьмем, например, предположение Бернулли. Можно легко показать, что если два человека, каждый с суммой в 50 фунтов в начале, решат рискнуть, скажем, 10 фунтами на равное пари, результатом будет потеря счастья; ибо удовольствие, полученное обладателем 60 фунтов, не будет равно тому, которое потеряно человеком, который остается с 40 фунтами.

§ 19. Это форма аргумента, обычно принимаемая; но в том виде, в каком она есть, она не кажется убедительной. Можно, безусловно, ответить, что все, что таким образом доказано, — это то, что неравенство плохо, на том основании, что два состояния по 50 фунтов лучше, чем одно в 60 и одно в 40. Представьте, например, что первоначальные состояния были 60 и 40 фунтов соответственно, событие может привести к увеличению счастья; ибо это, безусловно, будет так, если более богатый человек проиграет и состояния таким образом уравняются. Это совершенно верно; и мы поэтому обязаны показать — что можно очень легко показать — что если бы произошла другая альтернатива и два состояния стали еще более неравными (а именно 65 и 35 фунтов соответственно), потерянное таким образом счастье более чем уравновесило бы то, что было бы получено уравниванием. И поскольку эти два предположения одинаково вероятны, в долгосрочной перспективе будет потеря.

Рассмотрение, только что приведенное, кажется, однако, показывает, что обычный способ изложения вывода довольно вводит в заблуждение; и что, при рассматриваемом предположении о законе зависимости счастья от богатства, действительно имеет место то, что эффективным элементом, делающим азартные игры невыгодными, является их тенденция к увеличению неравенства в распределении богатства.

§ 20. Это поднимает два вопроса, один из которых представляет некоторый спекулятивный интерес в связи с нашим предметом, а другой — высшую важность в ведении жизни. Первый таков: совершенно независимо от любого конкретного предположения, которое мы делаем о моральных состояниях или законах изменения счастья, является ли фактом, что азартные игры имеют тенденцию увеличивать существующее неравенство богатства? Теоретически нет сомнений, что это так. Возьмем самый простой случай и предположим, что два человека подбрасывают монету на фунт. Если их состояния были равны в начале, должно возникнуть результирующее неравенство. Если они были неравны, есть равный шанс, что неравенство будет увеличено или уменьшено; но поскольку увеличение пропорционально больше, чем уменьшение, конечный результат остается того же рода, что и когда состояния были равны. Принимая более общий взгляд, тот же вывод лежит в основе всех наших рассуждений о средних значениях больших чисел, а именно, что результирующие расхождения увеличиваются абсолютно (как бы они ни уменьшались относительно) по мере того, как числа становятся больше. И, конечно, мы ссылаемся на эти абсолютные расхождения, когда говорим о распределении богатства.

§ 21. Это теоретический вывод. Насколько фактическая практика азартных игр вводит противодействующие агентства, должно быть оставлено на усмотрение тех, кто компетентен выносить суждения. Насколько посторонние уполномочены судить по тому, что они читают в газетах и других публичных источниках информации, казалось бы, что эти противодействующие агентства весьма значительны и что, как следствие, это довольно ненадежный аргумент для выдвижения против азартных игр. Многие большие состояния, как известно, были растрачены на иppodrom или в игорных залах, и, безусловно, большая часть, если не большая часть, пошла на увеличение доходов многих, кто был сравнительно беден. Но решение этого вопроса должно быть ясно оставлено тем, кто имеет лучшие возможности знать факты, чем можно ожидать от авторов по теории вероятностей.

§ 22. Общий вывод, который следует сделать, заключается в том, что те, кто призывал этот принцип морального состояния как аргумент против азартных игр, на самом деле поднимали гораздо более сложную и далеко идущую проблему, чем они осознавали. Над чем они работали, так это над вопросом: каково распределение богатства, которое стремится обеспечить максимум счастья? Лучше ли это обеспечивается равенством или неравенством? Если бы они действительно следовали доктрине, на которой основывалось их осуждение азартных игр, они должны были бы принять идеал социалиста как отчетливо тот, который стремится увеличить счастье. И они должны были бы подвергнуть тому же неодобрению, которое они выразили против азартных игр, все те тенденции современной цивилизованной жизни, которые работают в том же направлении. Например: острая конкуренция, спекулятивные операции, расширенные возможности кредита, механические изобретения, расширение деловых операций в огромные фирмы — все эти и другие подобные тенденции, слишком многочисленные, чтобы упоминать здесь, имели некоторое влияние в сторону добавления к существующим неравенствам. Они являются или были, как следствие, осуждены социалистами: должны ли мы честно подвергнуть их этому испытанию, чтобы установить, подлежат ли они осуждению или нет? Читателю, который хочет увидеть, какие проблемы должно вводить это предположение о «моральном состоянии», можно рекомендовать прочитать «Математическую психику» г-на Ф. И. Эджуорта, единственную работу, с которой я знаком, которая рассматривает эти вопросы.

1 Вопрос о целесообразности прививки от оспы, который вызвал много дискуссий среди авторов по теории вероятностей в прошлом веке, является примером тех же принципов, примененных к совершенно другому виду случая. Потеря, против которой было направлено страхование, была смерть от оспы, уплаченная премия была болезнью и другими неудобствами, а также очень малым риском смерти от прививки. Споры, которые отсюда возникли среди авторов по предмету, включали те же трудности относительно баланса между определенной умеренной потерей и случайной большой потерей. В семнадцатом веке, кажется, была случайная практика, перед путешествием в Средиземноморье, страховаться против захвата мавританскими пиратами с целью обеспечить выплату выкупа. (См. для отчета о некоторых необычайных развитиях принципа страхования «Руководство и справочник по страхованию» Уолфорда. Оно написано не в очень научном духе, но содержит много информации по всем вопросам, связанным со страхованием.)

2 Все, что подразумевается вышеприведенным сравнением, заключается в том, что идеал, к которому стремится коммунизм, подобен идеалу страхования. Если мы посмотрим на процессы, посредством которых он будет осуществляться, и средства для его обеспечения, дело, конечно, примет совершенно иной аспект. Аналогично с действием профсоюзов, упомянутым в следующем параграфе.

3 Одно из лучших обсуждений, которые я недавно видел по этим предметам, автором, одновременно полностью компетентным и хорошо информированным, находится в книге г-на Проктора «Шанс и удача». Мне кажется, однако, что он впадает в крайность в своем осуждении не глупости, а нечестности всех азартных игр. Безусловно, также является натянутым использованием языка говорить обо всех лотереях как о «несправедливых» и даже «мошеннических» на том основании, что общая сумма того, что они распределяют в виде призов, меньше той, что они получают в виде платежей. Разница в отношении информации, намеренно скрываемой, и ложных отчетов, умышленно распространяемых, между большинством лотерей, которые поддерживались, и компаниями-пустышками, которые справедливо заслуживают названия мошенничеств, должна предотвратить применение одного и того же названия к обоим.

4 «Страхование от пожара — это простое пари между офисом и стороной, а страхование жизни — это коллекция пари. Есть нечто от принципа пари в каждой сделке, в которой результаты будущего события должны принести выигрыш или проигрыш». Penny Cyclopædia, под заголовком Wager.

5 Encyclopédie Methodique, под заголовком Tontines.

6 Конечно, если мы введем соображения политической экономии, должны будут быть сделаны корректировки. Во-первых, каждый страховой офис является, как неоднократно настаивает Де Морган, сберегательным банком, а также страховым офисом. Офис инвестирует премии и поэтому может позволить себе выплатить большую сумму, чем это было бы в противном случае. Опять же, в случае азартных игр большая потеря капитала кем-либо почти неизбежно повлечет за собой фактическое уничтожение богатства; не говоря уже о том факте, что, практически, азартные игры часто вызывают постоянную передачу богатства от производительных к непроизводительным целям.

7. Выбор и случай, изд. II, стр. 208.

8. Полагаю, что впервые как серьезная проблема она была рассмотрена мистером Гальтоном. (См. Journal Anthrop. Inst., том IV, 1875 г., где мистер Г. У. Уотсон указывает полное математическое решение.)

9. Сам Бернулли, по-видимому, не основывал свои выводы на фактическом опыте. Однако примечателен тот факт, что допущение, с которого он начинает, а именно: что субъективная ценность любого малого приращения (dx) обратно пропорциональна сумме, которой человек обладает в данный момент (x), и которое сразу приводит к вышеупомянутому логарифмическому закону, идентично тому, которое сейчас достаточно хорошо знакомо каждому психологу. Это то, что обычно называют законом Фехнера, который он установил с помощью огромного количества тщательных экспериментов в случае ряда наших простых ощущений. Но я не верю, что он когда-либо утверждал, что такой закон справедлив в гораздо более сложной зависимости счастья от богатства.

10. Формула, выражающая это моральное счастье, имеет вид c log x/a, где x обозначает физическое состояние, которым человек обладает в данный момент, а a — то его малое значение, при котором счастье, как предполагается, исчезает; c — произвольная константа. Пусть два человека, чье состояние равно x, рискуют суммой y в пари с равными шансами. Тогда баланс в отношении счастья должен быть подведен между

c log x/a and ¹/₂c log x + y/a + ¹/₂c log x − y/a,

или log x^2 и log(x + y)(x − y), или x^2 и x^2 − y^2, из которых первое неизбежно больше.

11. Это можно увидеть более ясно следующим образом. Предположим, есть две пары игроков, каждая из которых состоит из людей, обладающих 50 и 30 фунтами стерлингов соответственно. Если мы предположим, что в одном случае выигрывает более богатый человек, а в другом — более бедный, эти два результата будут справедливым представлением среднего значения; ибо существует только две альтернативы, и в долгосрочной перспективе они будут встречаться одинаково часто. Очевидно, что у нас было два состояния по 50 фунтов и два по 30 фунтов, которые превратились в одно по 20 фунтов, два по 40 фунтов и одно по 60 фунтов. И это явно увеличение неравенства.

ГЛАВА XVI.

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ К СВИДЕТЕЛЬСКИМ ПОКАЗАНИЯМ.

§ 1. Исходя из принципов, принятых в данной работе, становится сомнительным, не следует ли исключить из науки о вероятности несколько классов задач, которые, по-видимому, приобрели право на включение. Наиболее важные из них, пожалуй, относятся к тому, что обычно называют достоверностью свидетельских показаний, оцениваемой либо из первых рук и напрямую, либо как влияющая на присяжного, и таким образом доходящая до нас через его проницательность и надежность. Почти каждый трактат по этой науке содержит обсуждение принципов, согласно которым следует придавать доверие комбинациям сообщений свидетелей различной степени надежности или вердиктам присяжных, состоящих из большего или меньшего числа человек. Великий современный математик Пуассон написал подробный трактат, специально посвященный этой теме; в то время как значительная часть работ Лапласа, Де Моргана и других посвящена исследованию подобных вопросов. Было бы самонадеянно не соглашаться с такими авторитетами, кроме как на самых веских основаниях; но я признаю, что необычайная изобретательность и математические способности, которые были посвящены этим проблемам, рассматриваемым как вопросы теории вероятностей, не убеждают меня в том, что их следовало так рассматривать. Ниже приведены основные основания для этого мнения.

§ 2. Следует помнить, что в ходе главы об индукции мы провели детальное исследование процесса, требуемого от нас, когда вместо того, чтобы перед нами были представлены соответствующие суждения, из которых должен быть сделан вывод, перед нами предстает индивид, и на нас возлагается задача выбора необходимых групп или серий, к которым его отнести. Иными словами, вместо вычисления шанса события на основе определенных условий частоты его возникновения (полученных либо путем прямого опыта, либо дедуктивно выведенных) мы должны выбрать условия частоты из множества более или менее подходящих. Когда задача представлена нам на такой стадии, мы, конечно, можем предположить, что предварительный процесс получения статистики, которая расширяется до пропорциональных суждений, уже выполнен; поэтому мы можем предположить, что мы уже располагаем количеством таких суждений, причем наше главное оставшееся сомнение заключается в том, какое из них нам следует использовать. Было показано, что этот выбор в определенной степени произволен; ибо, благодаря тому факту, что индивид обладает большим количеством различных свойств, он в результате становится членом различных серий или групп, которые могут представлять разные средние значения. Теперь мы должны более полно, чем раньше, изучить практические условия, при которых любая трудность, возникающая из этого источника, перестает иметь значение.

§ 3. Одно условие такого рода очень просто и очевидно. Оно заключается в том, что различные статистические данные, которые нам представлены, не должны в действительности предлагать существенно разные результаты. Если, например, мы исследуем вероятность смерти сорокалетнего мужчины в течение года, мы могли бы, если бы захотели, принять во внимание тот факт, что у него рыжие волосы или что он родился в определенном округе или городе. Каждое из этих обстоятельств послужило бы для специализации индивида и, следовательно, для ограничения пределов статистики, применимой к его случаю. Но рассмотрение таких качеств либо оставило бы среднее значение точно таким, каким оно было, либо привело бы к такому незначительному изменению в нем, которое никто не стал бы принимать во внимание. Хотя мы вряд ли могли бы с уверенностью сказать о какой-либо мыслимой характеристике, что она абсолютно не влияет на результат, мы все же можем быть очень уверены, что влияние таких характеристик совершенно незначительно. Конечно, в крайнем случае вещей, наиболее идеально подходящих для исчисления вероятностей, а именно игр чистого случая, эти побочные характеристики совершенно неактуальны. Любые дальнейшие подробности о характеристиках карт в действительно честной колоде, помимо тех, которые знакомы всем игрокам, не дали бы никакой информации о результате.

Или, опять же, хотя различные наборы статистических данных могут не давать почти идентичных результатов, как указано выше, они могут делать то, что практически сводится к тому же самому, то есть организовываться в небольшое количество групп, причем вся статистика в любой одной группе практически совпадает в своих результатах. Если, например, больной чахоткой человек пожелает застраховать свою жизнь, была бы заметная разница в статистике в зависимости от того, принимаем ли мы во внимание его особое состояние здоровья или нет. Здесь у нас были бы два набора статистических данных, настолько четко разграниченных друг от друга, что они могли бы почти сравниться с различиями естественных видов, и которые, как следствие, предлагали бы решительно разные результаты. Если бы мы специализировались еще больше, принимая во внимание незначительные качества, подобные тем, что упоминались в последнем абзаце, мы могли бы действительно получить более ограниченные наборы статистических данных, применимые к лицам, еще более близко напоминающим рассматриваемого индивида, но они не отличались бы достаточно в своих результатах, чтобы стоило это делать. Иными словами, различные суждения, применимые к данному случаю, организуются в ограниченное количество групп, которые — и только которые — необходимо принимать во внимание; откуда диапазон выбора между ними на практике значительно уменьшается.

§ 4. Причины условий, описанных выше, нетрудно обнаружить. Там, где существуют эти условия, процесс выбора серии или класса, к которому отнести любого индивида, очень прост, и выбор является окончательным для конкретных целей вывода. В любом случае страхования, например, вопрос, который мы должны решить, относится к очень простому типу: является ли А. Б. человеком определенного возраста? Если так, то один из пятидесяти в его обстоятельствах умрет в течение года. Если необходимо решить какие-либо дальнейшие вопросы, они будут следующего характера: является ли А. Б. здоровым человеком? Занимается ли он опасным ремеслом? Но и здесь рассматриваемых классов немного, а пределы, которыми они ограничены, довольно точны; так что отнесение индивида к тому или иному из них легко. И когда мы однажды выбрали наш класс, мы остаемся свободными от каких-либо дальнейших соображений; ибо, поскольку никакая другая статистика не должна предлагать существенно иное среднее значение, у нас нет повода принимать во внимание какие-либо другие свойства, кроме тех, что уже были замечены.

Случай азартных игр, о котором уже упоминалось, конечно, предлагает пример этих условий в почти идеальном состоянии совершенства; те же обстоятельства, которые делают их столь выдающимися для целей честной игры, делают их в равной степени примерами в теории вероятностей. Когда нужно бросить кость, все люди одинаково находятся в совершенно одинаковом положении знания и незнания о результате; единственные данные, к которым кто-либо мог бы апеллировать, заключаются в том, что каждая грань выпадает в среднем один раз из шести.

§ 5. Давайте теперь рассмотрим, насколько вышеуказанные условия выполняются в случае проблем, обсуждающих то, что называется достоверностью свидетельских показаний. Следующее было бы справедливым образцом одного из элементарных исследований, из которых состоят эти проблемы: вот утверждение, сделанное свидетелем, который лжет один раз из десяти, что я должен заключить о его истинности? Возражения могли бы справедливо возникнуть против возможности таким образом назначить человеку его место на градуированной шкале лживости. Однако мы пропустим это и предположим, что свидетель ходит по миру, неся каким-то образом на своем лице штамп соответствующего класса, к которому он принадлежит, и, следовательно, степень доверия, на которую он имеет право на таких общих основаниях. Но существуют другие и более веские причины против допустимости этого класса проблем.

§ 6. То, что было описано в предыдущих разделах как «индивид», которого нужно было отнести к соответствующему классу или серии статистических данных, является, конечно, в данном случае утверждением. В конкретном рассматриваемом случае это индивидуальное утверждение уже отнесено к классу, а именно к классу утверждений, сделанных свидетелем данной степени правдивости; но для нас явно остается на усмотрение, выбирать ли нам ограничивать наше внимание этим классом при формировании нашего суждения; по крайней мере, это было бы на наше усмотрение всякий раз, когда нас практически призывали сформировать мнение. Но в случае этого утверждения, как и в случае смертности человека, чье страхование мы обсуждали, существует множество других наблюдаемых свойств, помимо того, которое, как предполагается, отмечает данный класс. Так же, как в последнем случае были (помимо его возраста) место его рождения, характер его занятий и так далее; так и в первом случае есть (помимо того, что это утверждение определенного рода свидетеля) факт того, что оно было произнесено в определенное время и в определенном месте и при определенных обстоятельствах. В момент, когда делается утверждение, все эти качества или атрибуты утверждения присутствуют перед нами, и мы явно имеем право принять во внимание столько из них, сколько пожелаем. Теперь вопрос, стоящий перед нами в настоящее время, кажется просто таким: являются ли соображения, которые мы могли бы таким образом ввести, столь же несущественными для результата в случае истинности утверждения свидетеля, как соответствующие соображения в случае страхования жизни? В ответе на такой вопрос, безусловно, не может быть колебаний. При обычных обстоятельствах мы вскоре узнаем все, что можем знать об условиях, которые определяют нас при суждении о перспективе смерти человека, и поэтому мы довольствуемся общей статистикой смертности; но никто, кто слышал, как свидетель говорит, не подумал бы просто апеллировать к его показателю правдивости, даже если бы это было авторитетно сообщено нам. Обстоятельства, при которых делается утверждение, вместо того чтобы быть незначительными, имеют огромное значение. Внешний вид свидетеля, тон его голоса, факт наличия у него целей, которых нужно достичь, вместе с бесчисленным множеством других обстоятельств, которые постепенно прояснились бы, когда мы размышляем над этим вопросом, заставили бы любого здравомыслящего человека отбросить назначенное среднее значение из своего рассмотрения. Он, по сути, не больше думал бы судить таким образом, чем апеллировать к таблицам смертности Карлайла или Нортгемптона, чтобы определить вероятную продолжительность жизни солдата, который уже находится в разгаре битвы.

§ 7. Нельзя ответить, что при этих обстоятельствах мы все еще относим свидетеля к классу и судим о его правдивости по среднему значению более ограниченного рода; что мы делаем вывод, например, что из людей, которые выглядят и действуют как он при таких обстоятельствах, гораздо большая доля, скажем, девять десятых, оказываются лжецами. Здесь вообще нет апелляции к классу таким образом, нет непосредственной ссылки на статистику какого-либо рода; по крайней мере, такой, которую мы осознанно используем в то время или к которой мы подумали бы прибегнуть для оправдания впоследствии. Решение, по-видимому, зависит от быстроты чувств наблюдателя и его понимания в целом.

Статистика о правдивости свидетелей, по сути, кажется постоянно столь же неуместной, как и всякая другая статистика иногда может быть. Мы можем точно знать процент выздоровлений после ампутации ноги; но какой хирург подумал бы формировать свое суждение исключительно по таким таблицам, когда у него перед глазами случай? Мы не должны, конечно, отрицать, что мнение, которое он мог бы сформировать о перспективах выздоровления пациента, могло бы в конечном итоге основываться на пропорциях смертей и выздоровлений, которые он мог наблюдать ранее. Но если бы это было так, эти данные лежат, как можно сказать, неясно на заднем плане. Он не апеллирует к ним прямо и непосредственно при формировании своего суждения. Произошел гораздо более важный промежуточный процесс понимания и оценки того, что является существенным для случая, а что нет. Острые чувства, память, суждение и практическая проницательность должны были быть задействованы, и поэтому нет той же прямой сознательной и единственной апелляции к статистике, которая была раньше. У хирурга в уме могут быть два или три примера, в которых выполненная операция была одинаково тяжелой, но в которых конституция пациента была другой; поэтому этот последний элемент должен быть должным образом учтен. Могут быть другие примеры, в которых конституция была схожей, но операция более тяжелой; и так далее. Следовательно, хотя окончательная апелляция может быть к статистике, это происходит не так прямо; их ценность должна быть оценена через несколько туманную среду нашего суждения и памяти, что ставит их в совершенно ином свете.

§ 8. Любой, кто знает что-либо об игре в вист, может привести подходящий пример различия, на котором здесь настаивают, вспомнив изменение в характере наших выводов по мере развития игры. В начале игры наша единственная апелляция по праву делается к теории вероятностей. Все правила, на которых действует каждый игрок и, следовательно, на которых он делает вывод, что другие будут действовать, основываются на наблюдаемой частоте (или, скорее, на частоте, которую расчет уверяет нас будет наблюдаться), с которой встречаются такие-то комбинации карт. Почему нам говорят, если у нас более четырех козырей, выводить их сразу? Потому что мы убеждены на чистых основаниях вероятности, способных быть изложенными в строжайшей статистической форме, что в большинстве случаев мы вытянем козыри нашего противника и, следовательно, останемся с преимуществом. Точно так же и с любым другим правилом, которое признается в начале игры.

Но по мере развития игры все это меняется, и к ее завершению остается мало надежды на какие-либо правила, которые мы или другие могли бы основывать на статистической частоте возникновения, наблюдаемой или выведенной. Вступило множество других соображений; мы начинаем находиться под влиянием отчасти нашего знания характера и практики нашего партнера и противников; отчасти быстрой комбинации множества суждений, основанных на нашем наблюдении за фактическим ходом игры, основания которых мы вряд ли могли бы осознать или описать в то время и которые могли быть забыты с тех пор. То есть конкретная комбинация карт, которая сейчас перед нами, не попадает легко в какой-либо хорошо выраженный класс, к которому ее может разумно отнести каждый, у кого есть факты перед глазами.

§ 9. Критика, несколько напоминающая вышеприведенную, была дана Миллем (Логика, кн. III, гл. XVIII, § 3) относительно применимости теории вероятностей к достоверности свидетелей. Но он добавил другие причины, которые не кажутся мне столь же обоснованными; он говорит: «здравый смысл продиктовал бы, что невозможно вывести общее среднее значение правдивости и других качеств для истинного свидетельства человечества или любого их класса; и если бы это было возможно, такое среднее значение не было бы руководством, так как достоверность почти каждого свидетеля либо ниже, либо выше среднего». Последнее возражение, однако, с равной силой применимо к оценке продолжительности жизни человека по таблицам смертности; ибо достоверность разных свидетелей вряд ли может иметь более широкий диапазон вариаций, чем продолжительность разных жизней. Если бы можно было получить статистику достоверности и к ней можно было бы удобно апеллировать, когда она получена, она могла бы в долгосрочной перспективе дать нам столь же точные выводы, как и любая другая статистика того же общего описания. Однако этой статистикой на практике естественно и справедливо пренебрегали бы, потому что в каждом индивидуальном утверждении вряд ли не найдутся обстоятельства, которые более уместно отнесли бы его к какому-то новому классу, зависящему от другой статистики и предоставляющему гораздо лучший шанс того, что мы окажемся правы в этом конкретном случае. В большинстве случаев подобного рода, действительно, такое изменение таким образом производится в способе формирования нашего мнения, что, как уже указывалось, умственная операция перестает быть в каком-либо надлежащем смысле основанной на апелляции к статистике. [1]

§ 10. Задачи на случай, которые связаны со свидетельствами, не ограничиваются только такими примерами, как те, о которых упоминалось до сих пор. Хотя мы должны, как мне кажется, отвергнуть все попытки оценить достоверность любого конкретного свидетеля или отнести его к какому-либо назначенному классу в отношении его надежности, и, следовательно, отказаться как от неподходящих от любой из многочисленных задач, которые начинаются с таких данных, как «свидетель, который ошибается один раз из десяти», все же из этого не следует, что свидетельства не могут в некоторой степени рассматриваться нашей наукой несколько иным образом. Мы можем быть совершенно не в состоянии оценить, за исключением самого грубого возможного способа, правдивость любого конкретного свидетеля, и все же может быть возможно сформировать какое-то мнение о правдивости определенных классов свидетелей; сказать, например, что европейцы превосходят в этом отношении восточных людей. Так мы могли бы попытаться объяснить, почему и в какой степени мнение, в котором сходятся суждения десяти человек, скажем, присяжных, превосходит то, в котором сходятся только пять. Нечто может быть также сделано в направлении установления принципов, в соответствии с которыми мы должны решать, заслуживают ли необычайные истории меньшего доверия, чем обычные, даже если мы не можем прийти к какому-либо точному и определенному решению по этому вопросу. Этот последний вопрос далее обсуждается в ходе следующей главы.

§ 11. Изменение взгляда, в соответствии с которым следует, что вопросы упомянутого рода не нужно полностью исключать из научного рассмотрения, проявляется и в других направлениях. Например, уже было указано, что индивидуальные характеристики болезни любого больного человека были бы вполне достаточно важны в большинстве случаев, чтобы помешать любому хирургу судить о его выздоровлении путем подлинной и прямой апелляции к статистике, как бы такие соображения ни влияли косвенно на его суждение. Но если бы мнение должно было быть сформировано о значительном количестве случаев, скажем, в большой больнице, статистика могла бы снова стать заметной и по праву признаваться основным источником апелляции. Мы чувствовали бы себя способными сравнить одну больницу или один метод лечения с другим. Основание различия очевидно. Оно возникает из того факта, что характеристики индивидов, которые заставляли нас так легко отказываться от среднего значения, когда нам приходилось судить о них отдельно, не производят того же возмущения, когда нам приходится судить о группе случаев. Средние значения тогда становятся наиболее надежным и доступным основанием для формирования мнения, и поэтому вероятность снова становится применимой.

Но хотя некоторое обращение к вероятности может быть допущено в таких случаях, как эти, тем не менее мне не кажется, что их можно когда-либо рассматривать как особенно подходящие примеры для иллюстрации методов и ресурсов теории. Действительно, едва ли возможно сопротивляться убеждению, что тонкости математического расчета здесь были доведены до совершенно неоправданных пределов, когда мы помним о невозможности получить какую-либо соответствующую степень точности и определенности в данных, с которых мы должны начать. Чтобы привести только один пример. Было бы трудно найти случай, в котором любовь к последовательности преобладала бы над здравым смыслом в такой степени, как в допущении вывода о том, что неважно, каковы числа за и против конкретного утверждения, при условии, что фактическое большинство то же самое. То есть единогласное решение жюри из восьми человек должно считаться за то же самое, что и большинство десять к двум в жюри из двенадцати. И все же этот вывод допускается Пуассоном. Допущения, при которых это следует, будут указаны в ходе следующей главы.

Опять же, полная независимость между свидетелями или присяжными является почти необходимым постулатом. Но где это может быть обеспечено? Не говоря уже о прямом сговоре, человеческие существа почти во всех случаях находятся под сильным влиянием симпатии при формировании своих мнений. Это влияние, под различными названиями политической предвзятости, классовых предрассудков, местных чувств и так далее, всегда существует в достаточной степени, чтобы побудить осторожного человека сделать многие из тех индивидуальных исправлений, которые, как мы видели, необходимы, когда мы оценивали надежность в любом данном случае одного свидетеля; то есть они достаточны, чтобы разрушить большую часть, если не всю уверенность, с которой мы прибегаем к статистике и средним значениям при формировании нашего суждения. Поскольку это эссе в основном посвящено объяснению и установлению общих принципов науки о вероятности, нас можно вполне справедливо извинить от любого дальнейшего рассмотрения этого предмета, помимо кратких обсуждений, которые даны в следующей главе.

1. Можно также отметить, что существует еще одна причина, которая склоняет нас к тому, чтобы не апеллировать к принципам вероятности в большинстве случаев, когда необходимо оценивать свидетельства. Часто, возможно, обычно случается, что мы не абсолютно вынуждены прийти к решению; по крайней мере, в той мере, в какой оправдание обвиняемого может рассматриваться как избегание решения. Для нас может быть гораздо важнее достичь не просто истины в среднем, а истины в каждом отдельном случае, так что мы предпочли бы вообще не формировать мнение, чем формировать такое, о котором мы можем только сказать в его оправдание, что оно будет иметь тенденцию вести нас правильно в долгосрочной перспективе.

ГЛАВА XVII.

О ДОСТОВЕРНОСТИ НЕОБЫЧАЙНЫХ ИСТОРИЙ.

§ 1. Пришло время вернуться для более полного исследования к вопросу, который уже кратко затрагивался более одного раза; то есть к обоснованности свидетельства для установления, как часто выражаются, в остальном невероятной истории. Следует помнить, что в предыдущей главе (двенадцатой) мы посвятили некоторое рассмотрение утверждению Батлера, которое, по-видимому, в некоторой степени поддерживалось Миллем, что большая невероятность до доказательства может стать лишь очень малой невероятностью после доказательства. В противовес этому было указано, что различные оценки, которые мы, несомненно, формировали о достоверности приведенных примеров, не имеют ничего общего с фактом того, что событие было прошлым или будущим, а возникли из совершенно другой причины; что концепция события, которую мы имеем в данный момент (которая является всем, что тогда и там фактически присутствует перед нами, и относительно правильности которой как представления фактов мы должны принять решение), предстает перед нами двумя очень разными способами. В одном случае это была просто наша собственная догадка, которая, как мы знали из статистики, была бы правильной в определенной пропорции случаев; в другом случае это было утверждение свидетеля, и поэтому апелляция была теперь не в первую очередь к статистике события, а к надежности свидетеля. Концепция, или «событие», если мы так его назовем, фактически перешла из категории догадок (на статистических основаниях) в категорию утверждений (скорее всего, опирающихся на некоторые конкретные доказательства) и поэтому естественно рассматривалась бы в совершенно ином свете.

§ 2. Но может показаться, что этот принцип приведет нас к несколько поразительным выводам. Ибо, перенося апелляцию с частоты, с которой происходит событие, на надежность свидетеля, который делает утверждение, не подразумевается ли, что вероятность или невероятность утверждения зависит исключительно от правдивости свидетеля? Если так, не следует ли верить любой истории, когда она утверждается правдивым человеком?

Чтобы решить этот вопрос, мы должны немного внимательнее присмотреться к обстоятельствам, при которых такие свидетельства обычно представляются нам. Поскольку, конечно, необходимо для ясности изложения взять числовой пример, давайте предположим, что данное утверждение сделано свидетелем, который в целом и в долгосрочной перспективе прав в том, что он говорит, девять раз из десяти. [1] Вот тогда нам дано среднее значение, средняя правдивость, то есть, которая включает все конкретные утверждения, которые свидетель сделал или сделает.

§ 3. Теперь в предыдущей главе (гл. IX, §§ 14–32) было в изобилии показано, что сам факт назначения конкретного среднего значения не является причиной для того, чтобы мы были вынуждены неизменно придерживаться его, даже в тех случаях, когда наше самое естественное и подходящее основание для суждения находится в апелляции к статистике и средним значениям. Общее среднее значение может постоянно нуждаться в корректировке, чтобы более точно соответствовать обстоятельствам конкретных случаев. В статистике смертности, например, вместо того чтобы прибегать к более широким таблицам, предоставляемым людьми в целом определенного возраста, мы часто предпочитаем более узкие таблицы, предоставляемые людьми определенной профессии, места жительства или образа жизни. Читателю, однако, можно удобно напомнить здесь, что, делая это, мы не должны предполагать, что мы способны с помощью какого-либо такого устройства каким-то особым или своеобразным способом обеспечить истину. Общее среднее значение, если настойчиво придерживаться его на протяжении достаточно широкого и разнообразного опыта, в долгосрочной перспективе имело бы тенденцию дать нам истину; все преимущество, которое могут обеспечить нам более специальные средние значения, заключается в том, чтобы дать нам ту же тенденцию к истине с меньшими и более слабыми отклонениями.

§ 4. Возвращаясь затем к нашему свидетелю, мы знаем, что если у нас есть очень много утверждений от него по всем возможным предметам, мы можем почувствовать убежденность, что в девяти из десяти из них он скажет нам правду, а в десятом случае он ошибется. Это не что иное, как вопрос определения или последовательности. Но не можем ли мы сделать лучше, чем так полагаться на его общее среднее значение? Не можем ли мы почти в любом данном случае специализировать его, обращая внимание на различные характерные обстоятельства в природе утверждения, которое он делает; точно так же, как мы специализируем его перспективы смертности, обращая внимание на обстоятельства в его конституции или образе жизни?

Несомненно, мы можем сделать это; и в любых практических непредвиденных обстоятельствах жизни, предполагая, что мы вообще руководствовались соображениями такого рода, мы поступили бы очень глупо, если бы не приняли какой-то такой план. Можно предложить два метода такой корректировки среднего значения: один из них — тот, который практическая проницательность, скорее всего, использовала бы, другой — тот, который почти повсеместно принят авторами по теории вероятностей. Первый пытается сделать корректировку с помощью следующих соображений: вместо того чтобы полагаться на общее среднее значение свидетеля, мы присваиваем ему своего рода конъектурную корректировку, чтобы соответствовать рассматриваемому случаю, основанную на нашем опыте или наблюдении; то есть мы апеллируем к опыту, чтобы установить, что истории такого-то рода более или менее вероятно истинны, как может быть, чем истории в целом. Другой действует по иному и несколько более методичному плану. Здесь предпринимается попытка показать, путем анализа природы и количества источников ошибки в рассматриваемых случаях, что такие-то виды историй должны быть более или менее вероятно правильно сообщены, и это в определенных числовых пропорциях.

§ 5. Перед переходом к обсуждению этих методов необходимо указать различие, на которое авторы по этому предмету не всегда обращали внимание, или, во всяком случае, на которое они обычно не направляли достаточно внимания своих читателей. [2] Существуют, в широком смысле, два разных способа, которыми мы можем предположить, что дается свидетельство. Оно может, во-первых, принимать форму ответа на альтернативный вопрос, вопрос, то есть, сформулированный так, чтобы на него ответили «да» или «нет». Здесь, конечно, возможные ответы взаимно противоречивы, так что если один из них не верен, другой должен быть таковым: произошло ли А, да или нет? Обычный способ иллюстрации этого вида свидетельства численно заключается в предположении лотереи с призом и пустыми билетами, или мешка с шарами только двух цветов, причем свидетель знает, что их только два, или, во всяком случае, ограничен называнием одного или другого из них. Если они черные и белые, и он ошибается, когда вытянут черный, он должен сказать «белый». Причина известности, приписываемой примерам этого класса, вероятно, в том, что они соответствуют очень важному случаю вердиктов присяжных; присяжные, как предполагается, не имеют ничего другого делать, кроме как сказать «виновен» или «не виновен».

С другой стороны, свидетельство может принимать форму более оригинального утверждения или информации. Вместо того чтобы говорить: «Произошло ли А?», мы можем спросить: «Что произошло?». Здесь, если свидетель говорит правду, он должен предполагаться, как и раньше, имеющим только один способ сделать это; ибо, конечно, предполагалось возникновение какого-то конкретного события. Но если он ошибается, у него есть много способов ошибиться, возможно, бесконечное число. Обычно, однако, предполагается, что его возможные ложные утверждения ограничены в числе, как это должно быть в целом более или менее результатом на практике. Этот случай представлен численно предположением, что шары в мешке не только двух цветов, но все отличны друг от друга; скажем, тем, что они все пронумерованы последовательно. Конечно, можно возразить, что большое количество утверждений, которые делаются в мире, не являются каким-либо образом ответами на вопросы, ни альтернативного, ни открытого типа. Например, человек просто утверждает, что он вытянул семерку пик из колоды карт; и мы, возможно, не знаем, спрашивали ли его «Была ли вытянута эта карта?» или «Какая карта была вытянута?» или, действительно, спрашивали ли его вообще о чем-либо. Еще больше это могло бы быть в случае любого обычного исторического утверждения.

Это возражение вполне по существу и должно быть признано как представляющее дополнительную трудность. Все, что мы можем сделать, это попытаться, как можем, установить из обстоятельств случая, какое количество альтернатив, как можно предположить, было перед свидетелем. Когда он просто свидетельствует о каком-то деле, хорошо известном как спорное, и не вдается в детали, мы можем справедливо считать, что практически перед ним были только две альтернативы: сказать «да» или «нет». Когда, с другой стороны, он рассказывает историю более оригинального рода или (что сводится к тому же самому) вдается в детали, мы должны рассматривать его как имеющего перед собой широкий сравнительный диапазон альтернатив.

Эти два класса примеров, а именно: пример с черными и белыми шарами, в котором возможна только одна форма ошибки, и с пронумерованными шарами, в котором может быть много форм ошибки, — единственные два, которые нам нужно заметить. На практике казалось бы, что они могут постепенно сливаться друг с другом, в зависимости от варьирующихся способов, которыми мы выбираем формулировать наш вопрос. Помимо вопроса «Видели ли вы, как А ударил Б?» и «Что вы видели?», мы можем ввести любое количество промежуточных наводящих вопросов, таких как «Что сделал А?», «Что он сделал Б?» и так далее. Таким образом, мы можем постепенно сузить возможные возможности для ложного утверждения и, таким образом, приблизиться к прямому альтернативному вопросу. Но ясно, что все эти случаи могут быть представлены численно предполагаемым уменьшением числа шаров, которые таким образом отличаются друг от друга.

§ 6. Из двух планов, упомянутых в § 4, мы начнем с последнего, так как это единственный методичный и научный, который был предложен. Предположим, что есть мешок с 1000 шаров, только один из которых белый, остальные все черные. Шар вытягивается наугад, и наш свидетель, чья правдивость 9/10, сообщает, что был вытянут белый шар. Возьмите очень много его утверждений по этому конкретному предмету, скажем 10 000; то есть предположим, что 10 000 шаров были последовательно вытянуты из этого мешка или мешков точно такого же рода, и он делает свой отчет в каждом случае. Поскольку его 10 000 утверждений принимаются как справедливая выборка его общего среднего значения, мы обнаружим, по предположению, что 9 из каждых 10 из них истинны, а оставшееся одно ложно. Какова будет природа этих ложных утверждений? При рассматриваемых обстоятельствах, когда у него есть только один способ ошибиться, ответ прост. В 10 000 вытягиваниях белый шар выходил бы 10 раз и, следовательно, был бы правильно утвержден 9 раз, в то время как в одном из этих случаев, когда он ошибается, ему нечего сказать, кроме «черный». Так же и с 9990 случаями, когда вытягивается черный; он прав и говорит «черный» в 8991 из них, и ошибается и, следовательно, говорит «белый» в 999 из них. В целом, следовательно, мы заключаем, что из каждых 1008 раз, когда он говорит, что вытянут белый, он ошибается 999 раз и прав только 9 раз. То есть его специальная правдивость, как мы можем ее назвать, для случаев такого описания была снижена с 9/10 до 9/1008. Как это обычно выражается, последняя дробь представляет шанс того, что это его конкретное утверждение истинно. [3]

§ 7. Мы теперь возьмем случай, в котором у свидетеля есть много способов ошибиться, вместо только одного. Предположим, что шары были все пронумерованы от 1 до 1000, и свидетель знает этот факт. Шар вытягивается, и он говорит мне, что он был пронумерован 25, каковы шансы, что он прав? Действуя как раньше, в 10 000 вытягиваниях этот шар был бы получен 10 раз и правильно назван 9 раз. Но в 9990 случаях, когда он не был вытянут, была бы разница, ибо у свидетеля теперь много возможностей для ошибки перед ним. Однако обычно считается разумным предположить, что все его ошибки примут форму объявления неправильных чисел; и что, поскольку нет очевидной причины, почему он должен выбрать одно число, а не другое, он, вероятно, будет объявлять все неправильные одинаково часто. Следовательно, его 999 ошибок, вместо того чтобы все возвращать его теперь обратно к одному месту, будут равномерно распределены по стольким же различным способам ошибиться. Только в одном из этих случаев, следовательно, он упомянет 25 как вытянутый. Из этого следует, следовательно, что из каждых 10 раз, когда он называет 25, он прав 9 раз; так что в этом случае его средняя или общая правдивость применяется в равной степени хорошо к специальному рассматриваемому случаю.

§ 8. Что касается истинности этих выводов, необходимо, конечно, признать, что если мы признаем обоснованность допущений о пределах, в которых ограничены заблуждение или лживость свидетеля, и полной беспристрастности, с которой его ответы распределены в этих пределах, рассуждение совершенно здраво. Но не являются ли эти допущения крайне произвольными, то есть не являются ли наши лотереи и мешки с шарами совершенно точными во многих отношениях, в которых в обычной жизни условия, предполагаемые соответствующими им, настолько расплывчаты и неопределенны, что никакой такой метод рассуждения не становится практически доступным? Предположим, что человек, которого я давно знаю и о чьей мере правдивости и суждения я, следовательно, могу предположить, что приобрел некоторое знание, сообщает мне, что есть что-то в мою пользу, если я решу пойти на определенные хлопоты или расходы, чтобы обеспечить это. Что касается общей правдивости свидетеля, то здесь нет трудности; мы предполагаем, что это определено для нас. Но что касается его истории, трудность и расплывчатость возникают в каждом пункте. Каково число шаров в мешке здесь? Каковы, по сути, природа и содержимое мешка, из которого мы предполагаем, что было сделано вытягивание? Не кажется, что материалы для какого-либо рационального суждения существуют здесь. Но если мы хотим прийти к какой-либо такой измененной цифре правдивости, как те, что достигнуты в вышеприведенном примере, эти вопросы должны обязательно быть отвечены с некоторой степенью точности; ибо главный пункт метода состоит в определении того, как часто событие должно считаться не происходящим, и оттуда выводя, как часто свидетель будет ошибочно приведен к утверждению, что оно произошло.

Конечно, не отрицается, что соображения рассматриваемого рода имеют некоторое влияние на наше решение, а только то, что это влияние могло бы при любых обычных обстоятельствах быть представлено на числовое определение. Мы, несомненно, подвержены тому, что нам дают информацию о том, что мы получили какое-то состояние, например, когда никакой такой удачи на самом деле не постигло нас; и это не один раз, а неоднократно. Но кто может дать малейший намек на природу и количество случаев, в которых, когда на самом деле вытянут пустой билет, приз тем не менее будет ложно объявлен? Мне кажется, следовательно, что числовых результатов какой-либо практической ценности редко, если вообще когда-либо, можно ожидать от этого метода процедуры.

§ 9. Наш вывод в случае лотереи, или, что сводится к тому же самому, в случае мешка с черными и белыми шарами, был поставлен под сомнение или возражен [4] на том основании, что противоречит всему опыту предполагать, что свидетельство умеренно хорошего свидетеля могло быть так колоссально обесценено при таких обстоятельствах. Я предпочел бы основывать возражение на том основании, что опыт едва ли когда-либо представляет такие обстоятельства, как предполагаемые; но если мы постулируем их существование, данный вывод кажется достаточно правильным. Предположим, что от человека требуется просто сказать «да» или «нет»; предположим также группу или последовательность случаев, в которых «нет» должно было бы справедливо говориться гораздо чаще, чем «да». Тогда, предполагая почти любую общую правдивость свидетеля, мы можем легко предположить, что законные случаи для отрицания будут настолько более частыми, что большинство его утвердительных ответов на самом деле произойдет как ложные «нет», а не как правильные «да». Это, конечно, снижает среднюю ценность его «да» и делает их сравнительно ненадежными.

Рассмотрим следующий пример. У меня есть садовник, которому я доверяю во всех обычных вопросах факта. Если бы он сказал мне однажды утром, что моя собака убежала, я бы полностью поверил ему. Он говорит мне, однако, что собака взбесилась. Конечно, я принял бы это утверждение с большим колебанием и на основаниях, указанных выше. Не то чтобы он был более склонен ошибаться, когда собака действительно бешена; но опыт показывает, что есть другие жалобы (например, припадки), которые гораздо более распространены, чем бешенство, и что большинство утверждений о бешенстве являются ошибочными утверждениями, относящимися к ним. Это кажется несколько параллельным случаем тому, в котором мы обнаруживаем, что большинство утверждений о том, что был вытянут белый шар, на самом деле являются ложными утверждениями, относящимися к вытягиванию черного шара. Практически я не думаю, что кто-либо почувствовал бы трудность в том, чтобы так непомерно обесценить какое-то конкретное утверждение свидетеля, которому во всех других отношениях он полностью доверял.

§ 10. Существует один конкретный случай, который рассматривался как трудность на пути этого подхода к проблеме, но который кажется мне решительным подтверждением его; всегда, да будет понято, в очень узких и искусственных пределах, к которым мы должны предполагать себя ограниченными. Это случай свидетеля, чья правдивость составляет ровно половину; то есть того, кто, когда от него требуется просто «да» или «нет», ошибается так же часто, как и прав. В случае любой другой назначенной степени правдивости крайне трудно получить что-либо приближающееся к подтверждению из практического суждения и опыта. Мы не привыкли оценивать достоинства свидетелей таким образом и едва ли понимаем, что имеется в виду под его числовой степенью правдивости. Но что касается человека, чья правдивость составляет половину, мы (как очень остроумно предположил мистер К. Дж. Монро) только слишком хорошо знакомы с такими свидетелями, хотя и под несколько другим именем; ибо это на самом деле не что иное, как случай человека, уверенно отвечающего на вопрос о предмете, о котором он ничего не знает и может поэтому дать только простую догадку.

Теперь в случае лотереи с одним призом, когда свидетель, чья правдивость составляет половину, говорит нам, что мы выиграли приз, мы находим при расчете, что его свидетельство не идет ни в какое сравнение; шансы на то, что мы получили приз, точно такие же, какими они были бы, если бы он никогда не открывал рта, а именно 1/1000. Но ясно, что это то, что должно быть результатом, ибо свидетель, который ничего не знает об этом деле, оставляет его точно таким, каким нашел. Он действительно, строго говоря, едва ли вообще свидетель; ибо естественная функция свидетеля — исследовать дело и, таким образом, добавить подтверждение, более или менее, в соответствии с его суждением и честностью, но во всяком случае предложить улучшение по сравнению с простой догадкой. Если, однако, мы будем обращать внимание на его простую догадку, мы делаем точно то же самое, как если бы мы сами догадывались, и в этом случае, конечно, шансы на то, что мы правы, просто измеряются частотой возникновения событий.

Мы не можем так же легко применить то же правило к другому случаю, а именно к случаю пронумерованных шаров, ибо там свидетель, который прав каждый второй раз, может на самом деле быть очень справедливым или даже отличным свидетелем. Если у него много способов ошибиться, и все же он прав в половине своих утверждений, ясно, что он должен был проявить некоторую степень осторожности и не мог просто догадываться. В случае «да» или «нет» любой может быть прав каждый второй раз, но это иначе, где истина едина, а ошибка многообразна. Чтобы представить случай просто бесполезного свидетеля, когда было 1000 шаров и вытягивание одного назначенного шара было под вопросом, мы должны были бы поставить его показатель правдивости на 1/1000. Если бы это было сделано, мы бы, конечно, получили аналогичный результат.

§ 11. Заслуживает внимания, следовательно, что показатель правдивости, или дробь, представляющая общую правдивость свидетеля, является в некотором роде относительным, а не абсолютным; то есть он зависит от общего характера ответа, который, как предполагается, он должен дать, и меняется вместе с ним. Два свидетеля равной внутренней правдивости и достоинства, один из которых ограничивался тем, что говорил «да» и «нет», в то время как другой осмеливался делать более оригинальные утверждения, были бы представлены разными дробями; первый поставил перед собой гораздо более легкую задачу, чем второй. Настоящая осторожность и правдивость свидетеля являются, следовательно, только одним фактором в его фактическом показателе правдивости; другой фактор состоит из природы его утверждений, как только что было указано. Обычный план, следовательно, в таких задачах, назначения средней правдивости свидетелю и принятия этого одинаково в случае каждого из двух видов ответов, хотя и удобен, кажется едва ли обоснованным. Это соображение, однако, имело бы гораздо большее значение, если бы дискуссии по этому предмету не были в основном связаны только с одним описанием ответа, а именно с типом «да или нет».

§ 12. Вот и все о методичном способе решения такой задачи. Способ, которым за это взялись бы те, кто не изучал теорию вероятностей, очень отличается. Я полагаю, что это поразило бы их следующим образом. Они сказали бы себе: «Вот история, рассказанная свидетелем, который говорит правду, скажем, девять раз из десяти. Но это история такого рода, которая, как показывает опыт, очень часто рассказывается неправдиво, скажем, 99 раз из 100». Имея затем эти противоположные побуждения к вере, они попытались бы каким-то образом подвести баланс между ними. Ничего похожего на строгое правило нельзя было бы дать, чтобы позволить им решить, как они могли бы выбраться из трудности. Вероятно, в той мере, в какой они не судили наугад, они руководствовались бы дальнейшим обращением к опыту или бессознательными воспоминаниями о его предыдущих уроках, чтобы решить, какая из двух противоположных индукций лучше заслуживает того, чтобы одержать верх в конкретном случае перед ними. Читатель легко увидит, что любое общее решение задачи, когда она представлена таким образом, невозможно. Это просто теперь знакомый случай (гл. IX, §§ 14–32) индивида, который в равной степени принадлежит к двум различным или даже, в отношении их характеристик, противоположным классам. Мы не можем с ходу решить, к какому из двух его характеристики относятся наиболее естественно и справедливо. Нужна свежая индукция, чтобы решить этот вопрос.

§ 13. Действительно, различными авторами были предложены правила, чтобы избавить нас от этой трудности. Спор о чудесах, вероятно, был наиболее плодотворным поводом для предложений такого рода с той или иной стороны. По-видимому, именно этой полемике обязан своим появлением термин, столь часто используемый в дискуссиях на подобные темы: «состязание противоположных невероятностей». Смысл этого выражения заключается в следующем: при формировании суждения об истинности определенных утверждений мы можем обнаружить, что они входят в два весьма различных класса, так что, в зависимости от того, к какому из этих классов мы их относим, наше мнение об их истинности будет сильно различаться. Такое утверждение, разумеется, принадлежит к одному классу в силу того, что оно исходит от конкретного свидетеля или определенного типа свидетелей; оно принадлежит к другому классу в силу того, что представляет собой особый вид истории, которую называют невероятной по своей природе. Принадлежность к первому классу в некоторой степени благоприятствует его истинности, принадлежность ко второму — в некоторой степени ей противоречит. При обсуждении состязания противоположных невероятностей, по-видимому, предполагается, что когда эти различные источники убеждения сосуществуют, каждый из них каким-то образом сохраняет свою доказательную силу, создавая состязание, которое обычно заканчивается победой одного из них. Юм, например, говорит о том, что мы «вычитаем» одну вероятность из другой и распределяем нашу веру в соответствии с остатком. Томсон в своих «Законах мышления» говорит об одной вероятности, полностью вытесняющей другую.

§ 14. Мне не кажется, что каким-либо подобным правилам можно приписать хоть малейшую философскую ценность. Они, несомненно, могут — и даже будут — соблюдаться в отдельных случаях, но не могут претендовать на какую-либо общность. Даже понятие состязания как необходимого элемента в данном случае должно быть отброшено. Ибо давайте снова обратимся к тому, как возникает эта неразрешимая задача, и мы легко увидим, как только что было отмечено, что это не что иное, как частный пример трудности, которая уже была признана не поддающейся решению никаким общим априорным методом. Все, что, как предполагается, находится перед нами, — это утверждение. В данном случае оно сделано свидетелем, который, скажем, в долгосрочной перспективе лжет один раз из десяти; то есть он по большей части говорит правду. Но, с другой стороны, это утверждение, которое, как нас уверяет опыт, полученный от множества свидетелей в различных случаях, по большей части ложно; выраженное численно, оно, предположим, оказывается ложным в 99 случаях из ста.

Теперь, как было показано в главе об индукции, мы таким образом заходим в полный тупик. Наша наука не предлагает принципов, с помощью которых мы могли бы сформировать мнение или попытаться решить этот вопрос в ту или иную сторону; ибо, как мы обнаружили, существует неопределенное количество выводов, которые все одинаково возможны. Например, все необычайные утверждения свидетеля могут быть истинными, или они могут быть все ложными, или они могут быть разделены на истинные и ложные в любой пропорции. Зайдя так далеко в нашем обращении к статистике, чтобы признать, что свидетель, как правило, прав, но его история, как правило, ложна, мы не можем на этом остановиться. Мы должны сделать еще более глубокий запрос к опыту и выяснить, как обстоят дела с его историями, когда они носят такой особый характер: или, скорее — поскольку это было бы излишне узким обращением, — как обстоят дела с историями такого рода, когда они выдвигаются свидетелями его общего характера, положения, симпатий и так далее.

§ 15. То, что необычайные истории во многих случаях, вероятно, в подавляющем большинстве случаев, менее заслуживают доверия, чем другие, должно быть полностью признано. То есть, если бы мы разделили такие истории на два отдельных класса, мы обнаружили бы, что один и тот же свидетель или подобные свидетели пропорционально чаще ошибались, утверждая первое, чем когда утверждали второе. Но мне отнюдь не кажется, что так должно быть всегда. Мы вполне можем представить, например, что для некоторых людей сам факт того, что история носит весьма необычный характер, может заставить их быть более осторожными в своих высказываниях, что фактически повышает их правдивость. Если бы это было так, мы могли бы быть готовы принять их необычайные истории даже с большей готовностью, чем обычные.

Такое предположение, как только что сделанное, не кажется мне отнюдь надуманным. Представим себе такой случай: допустим, что два человека, один из которых обладает лишь обычными честностью и интеллектом, а другой — ученый-натуралист, делают заявление о каком-то обычном событии. Мы верим им обоим. Пусть теперь каждый из них сообщит о каком-то необычайном lusus naturæ (игре природы) или уродстве, которые они якобы видели. Большинство людей, можно предположить, приняли бы заявление натуралиста в этом последнем случае почти так же охотно, как и в первом: тогда как, если бы та же история исходила от ненаучного наблюдателя, она была бы встречена со значительным колебанием. Откуда возникает эта разница? Из убеждения, что натуралист будет гораздо более осторожным, а значит, столь же точным в делах такого рода, как и в делах самого обычного описания, тогда как к другому человеку мы отнюдь не испытываем такого же доверия. Даже если кто-то не готов зайти так далеко, он, вероятно, признает, что разница в доверии, которое он приписал бы двум видам историй соответственно, когда они исходят от натуралиста, была бы гораздо меньше, чем когда они исходят от другого человека.

§ 16. Пока мы находимся в этой части предмета, необходимо указать, что существует значительная двусмысленность и, как следствие, путаница в использовании термина «необычайная история». В рамках чистой теории вероятностей он должен означать просто историю, которая утверждает необычное событие. По крайней мере, это тот взгляд, который был принят и поддерживался, будем надеяться, последовательно, на протяжении всей этой работы. Пока мы придерживаемся этого смысла, мы точно знаем, что подразумеваем под этим термином. Он имеет чисто объективную отсылку; он просто обозначает очень низкую степень относительной статистической частоты, фактической или ожидаемой. Из большого числа событий мы предполагаем рассмотрение некоторого конкретного вида, который встречается относительно очень редко, и это называется необычным или необычайным событием. Из этого следует, как было подробно показано в предыдущей главе, что из-за редкости события мы очень мало склонны ожидать его появления в любом данном случае. Наше предположение о нем, если бы мы таким образом предвидели его, очень редко оправдывалось бы, и поэтому мы склонны сильно удивляться, когда оно все же происходит. Это, я полагаю, единственный законный смысл «необычайного», насколько это касается теории вероятностей.

Но существует другое и весьма отличное использование этого слова, которое относится к индукции, или, скорее, к науке о доказательствах в целом, больше, чем к той ограниченной ее части, которая называется теорией вероятностей. В этом смысле «необычайное», и тем более «невероятное» событие — это не просто событие крайней статистической редкости, которое мы не могли бы ожидать угадать правильно, но которое при умеренных доказательствах мы можем довольно легко принять; это скорее то, что обладает, так сказать, фактической силой сопротивления доказательствам. Это может быть что-то, что влияет на доверие к свидетелю в самом источнике, что делает, то есть, его заявления по такому предмету существенно уступающими тем, что касаются других предметов. Это имеет место, например, со всем, что возбуждает его предрассудки, страсти или суеверия. В этих случаях казалось бы неразумным пытаться оценить доверие к свидетелю путем вычисления (как в § 6), как часто его ошибки вводили бы нас в заблуждение из-за того, что он был ошибочно приведен к утверждению вместо того, чтобы правильно придерживаться отрицания. Мы были бы скорее склонны сразу внести поправку на среднюю правдивость свидетеля.

§ 17. В истинной теории вероятностей, как только что было отмечено, каждое событие имеет свою собственную определенно распознаваемую степень частоты возникновения. Оно может быть чрезвычайно редким, редким до любой крайности, которую мы пожелаем постулировать, но все же каждый, кто понимает и признает данные, от которых зависит его возникновение, сможет оценить, в каком диапазоне опыта можно ожидать его появления. Мы не ожидаем его ни в каком отдельном случае, ни в каком-либо кратком диапазоне, но мы уверенно ожидаем его в достаточно обширном диапазоне. Как же тогда можно учитывать чудесные истории, когда спорящие стороны, по крайней мере с одной стороны, не готовы признать их фактическое происшествие где-либо или когда-либо? Как можно допустить какое-либо расположение мешков и шаров или другие механические или численные иллюстрации маловероятных событий в качестве справедливой иллюстрации чудесных событий или, действительно, многих из тех, которые подпадают под обозначение «весьма необычайных» или «крайне невероятных»? Те, кто оспаривает происшествие конкретного чуда, как сообщается тем или иным рассказчиком, не признают, что чудеса следует уверенно ожидать рано или поздно. Это не вопрос о том, произошло ли то, что должно случаться иногда, в какой-то конкретный раз, и поэтому никакая иллюстрация такого рода не может считаться уместной.

Насколько непригодны эти просто редкие события, какой бы чрезмерной ни была их редкость, в качестве примеров чудесных событий, будет очевидно из одного соображения. Никто, я полагаю, кто признавал бы случайное происшествие чрезвычайно необычной комбинации, не сомневался бы, если бы считал, что действительно видел ее сам. С другой стороны, немногие люди, обладающие действительно научным складом ума, легко приняли бы чудо, даже если бы оно, казалось, происходило на их глазах. Они могли бы быть ошеломлены в то время, но, вероятно, вскоре пришли бы к тому, чтобы не доверять ему впоследствии, или объяснили бы его так, чтобы лишить его всего того, что подразумевается под чудесным.

§ 18. Поэтому мне кажется, в целом, что очень мало можно извлечь из этих проблем свидетельства тем способом, которым обычно предполагается, что их следует рассматривать; то есть в получении конкретных правил для оценки свидетельства при любых данных обстоятельствах. Предполагая, что правдивость свидетеля может быть измерена, мы сталкиваемся с реальной трудностью в полной невозможности определить пределы, в которых следует считать лежащими неудачи рассматриваемого события, и степень четкости, с которой свидетель, как предполагается, отвечает на обращенный к нему запрос; оба эти фактора являются характеристиками, для которых необходимо иметь численную оценку, прежде чем мы сможем считать себя обладающими необходимыми данными.

Поскольку, следовательно, практический ресурс большинства людей, а именно: внесение прямой и непосредственной поправки, конечно, несколько предположительного характера, на общую надежность свидетеля путем рассмотрения характера обстоятельств, при которых сделано его заявление, является по существу ненаучным и не поддающимся правилам; мне действительно кажется, что есть что сказать в пользу простого плана доверять во всех случаях одинаково общей правдивости свидетеля. То есть, является ли его история обычной или необычайной, мы можем решить поставить ее на одну и ту же основу доверия, при условии, конечно, что событие полностью признано как такое, которое происходит или может иногда происходить. Это правда, что мы будем таким образом постоянно сбиваться с пути и можем делать это в значительной степени, так что если бы существовал какой-либо рациональный и точный метод специализации его надежности в соответствии с характером его истории, мы были бы на гораздо более твердой почве. Но по крайней мере мы можем таким образом знать, чего ожидать в среднем. При условии, что у нас есть достаточное количество и разнообразие заявлений от него и мы всегда принимаем их с одной и той же постоянной скоростью или степенью надежности, мы можем преуспеть в балансировке и корректировке нашего поведения в долгосрочной перспективе, чтобы избежать любого катастрофического заблуждения.

§ 19. Теперь можно добавить несколько слов о комбинации свидетельств. Здесь не вводятся никакие новые принципы, хотя возникающая сложность, естественно, больше. Предположим, что есть два свидетеля, правдивость каждого из которых равна 9/10. Теперь предположим, что пара сделала 100 заявлений; согласно принятому ранее плану действий, мы должны были бы иметь их обоих правыми 81 раз и обоих неправыми один раз, в оставшихся 18 случаях один прав, а другой неправ. Но поскольку предполагается, что они оба дают один и тот же отчет, то, что мы должны сравнить вместе, — это количество случаев, в которых они согласны и правы, и общее количество, в которых они согласны, независимо от того, правы они или нет. Отношение первого ко второму — это дробь, которая выражает надежность их комбинации свидетельств в рассматриваемом случае.

При попытке решить этот вопрос единственная трудность заключается в определении того, как часто они будут соглашаться, когда оба неправы, ибо ясно, что они должны соглашаться, когда оба правы. Этот запрос, конечно, сводится к количеству способов, которыми они могут преуспеть в том, чтобы ошибиться. Предположим сначала случай простого «да» или «нет» (как в § 6) и возьмем тот же пример с мешком с 1000 шаров, в котором только один белый. Действуя как прежде, мы обнаружили бы, что из 100 000 извлечений (количество, необходимое для получения полного цикла всех возможных событий, а также всех возможных отчетов о них) два свидетеля соглашаются в правильном отчете о появлении белого в 81 случае и соглашаются в неправильном отчете о нем в 999 случаях. Вероятность истории при таком свидетельстве, следовательно, составляет 81/1080; факт, следовательно, того, что два таких свидетеля равной правдивости совпали, делает отчет почти в 9 раз более вероятным, чем когда он опирался на авторитет только одного из них.

§ 20. Однако, когда у свидетелей есть много способов ошибиться, факт их согласия делает отчет гораздо более вероятным. Например, в случае с 1000 пронумерованными шарами очень маловероятно, что, когда они оба ошибаются в числе, они (без сговора) случайно сделают одно и то же неверное утверждение. В то время как в последнем случае каждое комбинированное неверное утверждение неизбежно приводило их обоих к утверждению, что рассматриваемое событие произошло, теперь мы обнаружили бы, что только один раз из 999 × 999 случаев они оба были бы приведены к утверждению, что было извлечено некое данное число (скажем, как прежде, 25). Шансы в пользу события на самом деле теперь становятся 80919/80920, что несоизмеримо больше, чем когда был только один свидетель.

Таким образом, оказывается, что когда два, и, конечно, тем более когда многие свидетели соглашаются в заявлении по вопросу, в котором они могли бы сделать много и различных ошибок, комбинация их благоприятных свидетельств несоизмеримо увеличивает вероятность события; при условии, конечно, что нет шанса сговора. И в крайнем случае, когда возможности для ошибки, как они вполне могут быть, практически бесконечны по количеству, такая комбинация произвела бы почти полную уверенность. Но тогда это условие, а именно: отсутствие сговора, очень редко может быть обеспечено. Практически наш главный источник ошибки и подозрения заключается в возможном существовании какого-либо рода сговора. Поскольку мы редко можем полностью избавиться от этой опасности, а когда она существует, она никогда не может быть подвергнута численному расчету, мне кажется, что комбинация свидетельств в отношении подробных отчетов еще менее пригодна для рассмотрения в теории вероятностей, чем даже комбинация одиночного свидетельства.

§ 21. Невозможность какого-либо адекватного или даже подходящего рассмотрения достоверности чудесных историй по правилам теории вероятностей уже была отмечена в § 17. Но, поскольку основания этой невозможности часто очень недостаточно оцениваются, здесь можно удобно добавить несколько страниц с целью усиления этого пункта. Если это будет рассматриваться как отступление, важность предмета и настойчивость, с которой различные авторы в то или иное время пытались трактовать его по правилам нашей науки, должны быть оправданием для того, чтобы приступить к нему.

Необходимым предварительным условием будет решение о некотором определении чуда. Можно предположить, что большинство людей признает, что, называя чудо «приостановкой закона причинности», мы даем то, что, хотя и не может быть адекватным определением, по крайней мере верно как описание. Это верно, хотя это может быть не вся правда. Чем бы еще ни было чудо, это его физический аспект: это та точка, в которой оно вступает в контакт с предметом науки. Если бы не считалось, что вовлечена какая-либо приостановка причинности, событие рассматривалось бы просто как обычное, которому придавалось некоторое особое значение, то есть как тип или символ, а не как чудо. Более того, именно этот аспект чуда сейчас подвергается основному удару атаки, и в поддержку которого, следовательно, защита обычно велась.

Теперь очевидно, что это, как и большинство других определений или описаний, делает некоторое допущение относительно фактов и включает в себя нечто от теории. Допущение ясно состоит в том, что законы причинности преобладают повсеместно, или почти повсеместно, во всей природе, так что нарушения их являются заметными и исключительными. Это допущение сделано, но не кажется, что что-то большее, чем это, обязательно требуется; то есть нет ничего, что должно было бы обязательно заставить нас встать на сторону одной из двух основных школ, которые разделены относительно природы этих законов причинности. Определение будет служить одинаково хорошо, понимаем ли мы под законом не что иное, как единообразие предшествующего и последующего, или мы утверждаем, что существует какая-то более глубокая и более таинственная связь между событиями, чем просто последовательность. Использование термина «причинность» в этом минимуме значения является общим для обеих школ, хотя одна могла бы счесть его неадекватным; мы можем, следовательно, говорить о «приостановках причинности», не связывая себя ни с одной из них.

§ 22. Следует заметить, что аспект вопроса, предложенный этим определением, является тем, от которого мы едва ли можем уйти. Попытки, действительно, иногда предпринимались избежать необходимости какого-либо допущения относительно всеобщего преобладания закона и порядка в природе, определяя чудо с другой точки зрения. Чудо можно назвать, например, «непосредственным проявлением творческой силы», «знаком откровения» или, еще более расплывчато, «необычайным событием». Но ничего не было бы достигнуто принятием любых таких определений. Как бы они ни удовлетворяли теолога, исследователь физической науки не удовлетворился бы ими ни на мгновение. Он немедленно заявил бы о своей собственной вере, и вере других ученых, в существование всеобщего закона и спросил бы, какова связь определения с этой доктриной. Императивно потребовался бы ответ на вопрос: подразумевает ли чудо, как вы его описали, нарушение одного из этих законов, или нет? И ответ должен быть дан, если только мы не отвергнем его допущение, отрицая нашу веру в существование этого всеобщего закона, в каковом случае, конечно, мы ставим себя вне рамок аргументации с ним. Необходимость признания этого факта растет с каждым днем с увеличением изучения физической науки. И поскольку этот аспект вопроса должен быть встречен рано или поздно, так же хорошо поместить его на передний план. Трудность в ее научной форме, конечно, является современной, ибо доктрина, из которой она возникает, является современной. Но это лишь один пример из многих, которые можно было бы упомянуть, в которых рост некоторой философской концепции постепенно влиял на природу спора и, наконец, смещал позицию поля битвы в некоторой дискуссии, с которой она, возможно, сначала не имела никакой связи вообще.

§ 23. До сих пор наш путь ясен. До этого момента последователи весьма различных школ могут продвигаться вместе; ибо, излагая вышеуказанную доктрину, мы тщательно воздерживались от того, чтобы подразумевать или признавать, что она содержит всю истину. Но с этого момента перед нами разветвляются два пути, пути, столь же различные друг от друга по своему характеру, происхождению и направлению, как только можно себе представить. Поскольку этот запрос — лишь отступление, мы можем ограничиться кратким изложением того, что кажется характеристиками каждого, не пытаясь привести аргументы, которые могли бы быть использованы в их поддержку.

(I.) С одной стороны, мы можем предположить, что этот принцип причинности является окончательным. Называя его так, мы не имеем в виду, что это то, с чего мы сознательно начинаем наши исследования, как мы делаем с аксиомами геометрии, а скорее то, что это конечный результат, к которому мы обнаруживаем себя влекомыми изучением природы. Обнаруживая, что на протяжении всего объема наших исследований событие следует за событием в неизменном единообразии, и обнаруживая, кроме того (некоторые могли бы добавить), что этот опыт поддерживается или даже требуется тенденцией или законом нашей природы (здесь не имеет значения, как мы это описываем), мы можем прийти к тому, чтобы рассматривать это как единственный фундаментальный принцип, на котором должны основываться все наши исследования.

(II.) Или, с другой стороны, мы можем допустить класс принципов совсем другого рода. Допуская, что существует это единообразие, насколько простирается наш опыт, мы можем все же допустить то, что едва ли может быть описано иначе, чем называя это Руководящим Провидением, то есть Схемой или Порядком, в отношении которого Замысел может быть предикатирован без использования просто метафорического языка. Чтобы принять удачно выбранное различие, это следует понимать не как господствующее над событиями, а скорее как лежащее в их основе.

§ 24. Теперь совершенно ясно, что в зависимости от того, подходим ли мы к обсуждению любого конкретного чуда или необычайной истории под влиянием одного или другого из этих предубеждений, вопрос об их достоверности примет весьма различный аспект. Иногда упускается из виду, что, хотя различие во мнениях о фактах является одним из условий добросовестного аргумента, различие, которое доходит до конечных принципов, является фатальным для всякого аргумента. Возможность настоящего конфликта изгнана в таком случае так же абсолютно, как и возможность будущего согласия. Большое количество популярной литературы на тему чудес, по-видимому, страдает этим недостатком. Аргументы за и против достоверности чудесных историй излагаются и рассматриваются без того, чтобы спорящие стороны, по-видимому, имели какое-либо адекватное представление о пропасти, которая отделяет одну сторону от другой.

§ 25. Следующая иллюстрация может в некоторой степени послужить для того, чтобы показать род непоследовательности, о которой мы говорим. Моряк сообщает, что на некотором отдаленном коралловом острове в Тихом океане, на который он высадился в одиночку, он нашел множество камней на пляже, расположенных в точной форме креста. Теперь, если мы представим, что возникает дебаты о правдивости его истории, в которых делается попытка решить вопрос просто соображениями о силе свидетельства, без введения вопроса о существовании жителей и характере их обычаев, мы получим некоторое представление о неудовлетворительном характере многих текущих аргументов о чудесах. Все иллюстрации этого предмета несовершенны, но случай, подобный этому, в котором предполагаемый след человеческого воздействия обнаруживается, вмешиваясь в упорядоченную последовательность других и неразумных естественных причин, настолько же уместен, насколько может быть любая иллюстрация. Вещь, опущенная здесь из обсуждения, — это, очевидно, одна важная вещь. Если мы предположим, что жителей нет, мы, вероятно, не поверим истории или сочтем ее грубо преувеличенной. Если мы предположим, что жители есть, вопрос сразу же разрешается в другой и несколько более запутанный. Достоверность свидетеля — не единственный элемент, но мы должны были бы обязательно принять во внимание характер предполагаемых жителей и цель такого действия с их стороны.

§ 26. Соображения такого характера, несомненно, часто вводятся в обсуждение, но мне кажется, что они вводятся в очень недостаточной степени. Часто настаивают, вслед за Пейли: «Раз поверьте в Бога, и чудеса не будут невероятными». Такое допущение, безусловно, требует некоторой модификации и расширения. Его следует скорее сформулировать так: «Верьте в Бога, чья работа может быть прослежена во всем моральном и физическом мире». Это сводится, по сути, к следующему: признайте, что может существовать замысел, который мы можем проследить так или иначе в ходе вещей; признайте, что мы не ограничены полностью прослеживанием связи событий или следованием за их эффектами, но что мы можем сформировать некоторое представление, пусть слабое и несовершенное, о схеме. Совет Пейли звучит слишком похоже на то, как если бы сказали: «Признайте, что существуют феи, и мы сможем объяснить, почему наши чашки треснули». Допущение не должно делаться столь небрежным образом. Для любого, кто страдает от трудности, о которой мы говорим, эта вера в Бога почти вне какой-либо постоянной связи с природой, которого мы затем воображаем иногда проявляющим себя в, возможно, нерегулярной манере, совершенно невозможна. Единственная форма, под которой вера в Божество может получить доступ в его разум, — это как контролирующий Дух бесконечной и упорядоченной системы. На самом деле, мне кажется, парадоксальным, как бы ни выглядело это предположение, что для человека, глубоко проникнутого духом индуктивной науки, хотя и атеиста, могло бы быть даже легче поверить в чудо, которое составляло часть обширной системы, чем для такого человека, как теиста, принять изолированное чудо.

§ 27. Поэтому с большой осторожностью Юм и другие после него практически настаивали на начале с обсуждения достоверности отдельного чуда, рассматривая вопрос так, как если бы христианское Откровение могло быть адекватно рассмотрено как последовательность таких событий. С таким же успехом можно было бы считать живое тело представленным совокупностью конечностей, которые его составляют. На что следует жаловаться в столь многих популярных дискуссиях на эту тему, так это на полное отсутствие какого-либо признания различной почвы, на которой так часто действительно стоят нападающие и защитники чудес. Доказательства и иллюстрации производятся в бесконечном количестве, которые, вовлекая, как они почти все делают в уме спорящих сторон, по крайней мере с одной стороны, тот самый принцип причинности, отсутствие которого в рассматриваемом случае они призваны установить, терпят неудачу в единственном существенном пункте. Пытаться побудить кого-либо не верить в существование физической причинности в данном случае с помощью иллюстраций, которые ему кажутся лишь дополнительными примерами рассматриваемого принципа, — это все равно что пытаться сделать плотину, чтобы остановить течение реки, забрасывая снег. Такие иллюстрации обильны во времена полемики, но, будучи в действительности лишь модифицированными формами того, чему они призваны противодействовать, они меняют свою форму при первом контакте с умом неверующего и только помогают раздуть поток, который они были призваны сдержать.

1 В последней главе были приведены причины против уместности применения правил теории вероятностей с какой-либо строгостью к таким примерам, как эти. Но хотя всякое приближение к численной точности недостижимо, мы, несомненно, признаем в обычной жизни различие между достоверностью одного свидетеля и другого; такое грубое практическое различие будет вполне достаточным для целей этой главы. Для удобства и для иллюстрации теории примеры лучше всего излагать в численной форме, но не предполагается тем самым подразумевать, что какая-либо такая точность действительно достижима на практике.

2 Я должен признать себя виновным в этом обвинении в первом издании этой работы. Результатом стало то, что трактовка этой части предмета стала неясной и несовершенной, а в некоторых отношениях ошибочной.

3 Обобщенная алгебраическая форма этого результата выглядит следующим образом. Пусть p — априорная вероятность события, а x — достоверность свидетеля. Тогда, если он утверждает, что событие произошло, вероятность того, что оно действительно произошло, равна

px/px + (1 − p)(1 − x);

тогда как если он утверждает, что оно не произошло, вероятность того, что оно произошло, равна

p(1 − x)/p(1 − x) + (1 − p)x.

В иллюстрацию некоторых замечаний, которые будут сделаны в настоящее время, читатель заметит, что, приравнивая любое из этих выражений к p, мы получаем в каждом случае x = 1/2. То есть свидетель, чья правдивость = 1/2, оставляет априорную вероятность события (такого рода) незатронутой.

Если, с другой стороны, мы приравняем эти выражения к x и 1 − x соответственно, мы получим в каждом случае p = 1/2. То есть, когда событие (такого рода) столь же вероятно, как и нет, обычная правдивость свидетеля в отношении него остается незатронутой.

4 Тодхантер, «История», стр. 400. «Философский журнал», июль 1864 г.

5 «Когда, следовательно, эти два вида опыта противоречат друг другу, нам не остается ничего другого, как вычесть один из другого и принять мнение, либо с одной, либо с другой стороны, с той уверенностью, которая возникает из остатка». (Эссе о чудесах.)

6 Соображения такого рода действительно были введены в математическую трактовку предмета. Обычное алгебраическое решение задачи в § 5 (начиная с простейшего случая), конечно, выглядит следующим образом. Пусть p — предшествующая вероятность события, а t — мера правдивости свидетеля; тогда шанс того, что его заявление истинно, равен pt / pt + (1 − p)(1 − t). Это предполагает, что он лжет так же часто, когда событие не происходит, как и когда оно происходит. Но мы можем встретить случаи, предполагаемые в тексте, предположив, что t' — это мера его правдивости, когда событие не происходит, так что вышеуказанная формула становится pt / pt + (1 − p)(1 − t'). Здесь t' и t измеряют соответственно его надежность в обычных и необычных событиях. Как формальное решение это, безусловно, отвечает на возражения, изложенные выше в §§ 14 и 15. Определение, однако, t' потребовало бы, как я заметил, постоянно возобновляемого обращения к опыту. В любом случае практические методы, которые были бы приняты, если бы были прибегнуты к каким-либо планам указанного выше рода, кажутся мне сильно отличающимися от тех, что приняты математиками, по своему духу и плану.

7 Лаплас, например (Essai, изд. 1825 г., стр. 149), говорит, что если бы мы увидели 100 игральных костей (известно, конечно, что они честные), все дающие одну и ту же грань, мы были бы ошеломлены в то время и нуждались бы в подтверждении от других, но что после должного рассмотрения никто не почувствовал бы себя обязанным постулировать галлюцинацию в этом деле. Но шанс этого события представлен дробью, числитель которой равен 1, а знаменатель содержит 77 цифр и поэтому совершенно не поддается воображению. Следует признать, однако, что в таком примере есть нечто гипотетическое, ибо мы не могли бы действительно знать, что кости были честными, с уверенностью, даже отдаленно приближающейся к таким колоссальным шансам. Другими словами, здесь трудно разделить те различные аспекты вопроса, обсуждаемые в гл. XIV. §§ 28–33.

8 В первом издании это было изложено, как мне теперь кажется, в решительно слишком неквалифицированной манере. Следует помнить, однако, что (как было показано в § 7) этот план действительно является лучшим теоретическим, который может быть принят в определенных случаях.

9 Именно на этом принципе основан замечательный вывод, упомянутый на стр. 405. Предположим событие, вероятность которого равна p; и что из числа свидетелей той же правдивости (y) m утверждают, что оно произошло, а n отрицают это. Обобщая арифметическое рассуждение, приведенное выше, мы видим, что шанс того, что событие утверждается, варьируется как

pym(1 − y)n + (1 − p)yn(1 − y)m;

(а именно: как шанс того, что событие происходит и что m правы, а n неправы; плюс шанс того, что оно не происходит и что n правы, а m неправы). И шанс того, что оно правильно утверждается, равен p y^m (1 − y)^n. Поэтому шанс того, что когда у нас перед глазами утверждение, оно является истинным, равен

pym (1 − y)n/pym (1 − y)n + (1 − p) yn (1 − y)m,

что равно

pym−n/pym−n + (1 − p) (1 − y)m−n.

Но это последнее выражение представляет вероятность утверждения, которое единогласно поддерживается m − n такими свидетелями.

10 Акцент, который Батлер делает на этом понятии схемы, является, я думаю, одной большой заслугой его «Аналогии».

ГЛАВА XVIII.

ПРИРОДА И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ, И О РАЗЛИЧНЫХ ВИДАХ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ. [*]

* Существует большая потребность в хорошем изложении, доступном обычному английскому читателю, природы и свойств основных видов среднего значения. Обычные учебники алгебры предполагают, что их всего три, а именно: арифметическое, геометрическое и гармоническое: — включая таким образом два, с которыми статистик имеет мало или ничего общего, и исключая два или более, с которыми он должен иметь много общего. Три лучшие ссылки, которые я могу дать читателю, следующие. (1) Статья «Moyenne» в «Dictionnaire des Sciences Médicales», д-ра Бертильона. Это написано несколько с точки зрения Кетле. (2) Статья Фехнера в «Abhandlungen d. Math. phys. Classe d. Kön. Sächs. Gesellschaft d. Wiss.» 1878; стр. 1–76. Она содержит очень интересную дискуссию, особенно для статистика, о ряде различных видов среднего значения. Его описание медианы удивительно полное и ценное. Но требуется мало математических знаний. (3) Статья г-на Ф. И. Эджуорта в «Camb. Phil. Trans.» за 1885 г., озаглавленная «Observations and Statistics». Это требует некоторых математических знаний. Вместо того чтобы иметь дело, как это обычно делают такие исследования, только с одним законом ошибок и только с одним видом среднего значения, она охватывает широкое поле исследований.

§ 1. У нас был столь частый повод ссылаться на средние значения и на тот вид единообразия, который они склонны демонстрировать в отличие от отдельных объектов или событий, что теперь будет удобно обсудить более детально, каковы различные виды доступных средних значений и каковы именно функции, которые они выполняют.

Первое смутное понятие среднего значения, как мы его сейчас понимаем, кажется мне включающим не более чем понятие чего-то промежуточного между рядом объектов. Объекты должны, конечно, напоминать друг друга в определенных отношениях, иначе мы не думали бы классифицировать их вместе; и они должны также различаться в определенных отношениях, иначе мы не различали бы их. То, что среднее значение делает для нас в этой примитивной форме, — это позволяет нам удобно удерживать группу вместе как целое. То есть оно предоставляет своего рода репрезентативную величину количественного аспекта рассматриваемых вещей, которая послужит для определенных целей заменой любого отдельного члена группы.

Казалось бы, тогда, что первая заря концепции, которую наука сводит к точности под обозначением среднего значения или среднего, а затем приступает к подразделению на различные отдельные виды средних, представляется выполняющей некоторые функции общего имени. Ибо каково главное использование общего имени? Это сведение множества объектов к единству; группировка ряда вещей вместе путем ссылки на некоторые качества, которыми они обладают в общем. Обычное общее имя опирается на значительное разнообразие атрибутов, в основном качественного характера, тогда как среднее значение, поскольку оно служит тому же роду цели, опирается скорее на один количественный атрибут. Оно направляет внимание на определенный вид и степень величины. Когда животновод говорит о своих овцах, что «одна с другой они принесут около 50 шиллингов», или фермер покупает партию шестов, которые «доходят до около 10 футов», это правда, что они не используют строго эквивалент ни общего, ни собирательного имени. Но они очень близки к такому использованию, выбирая своего рода тип или образец величины, на которую должно быть направлено внимание, и классифицируя всю группу по ее сходству с этим типом. Животновод думает о своих овцах: не в чисто общем смысле, как об овцах, и, следовательно, под этим именем или концепцией, а как об овцах определенной приблизительной денежной стоимости. Некоторые будут больше, некоторые меньше, но все они достаточно близки к назначенной стоимости, чтобы быть удобно классифицированными вместе, как если бы по имени. Многие из наших грубых количественных обозначений кажутся такого рода, как когда мы говорим о «восьмидневных часах» или «двенадцатистоунных людях» и т. д.; если, конечно, мы не намерены (как мы иногда делаем в этих случаях) назначить максимальное или минимальное значение. Действительно, нелегко увидеть, как еще мы могли бы легко передать чисто общее понятие количественного аспекта вещей, кроме как путем выбора типа, как выше, или путем назначения определенных пределов, в которых, как предполагается, лежат вещи.

§ 2. До сих пор не обязательно вводится какая-либо идея сравнения — сравнения, то есть одной группы с другой — с помощью такого среднего значения. Как только мы начинаем думать об этом, мы должны быть более точными в том, что мы подразумеваем под средним значением. Мы легко можем видеть, что количество возможных видов среднего значения, в смысле промежуточных величин, очень велико; оно, по сути, неопределенно велико. Из общего понятия промежуточной величины, полученной некоторой обработкой исходных величин, мы можем извлечь столько подразделений, сколько пожелаем, различными способами обработки. Однако есть только три или четыре, которые для наших целей необходимо принять во внимание.

(1) В первую очередь существует арифметическое среднее или среднее значение. Правило для получения этого очень простое: сложите все величины вместе и разделите сумму на их количество. Это единственный вид среднего значения, с которым ненаучный ум полностью знаком. Но мы не должны позволять этой простоте и знакомству ослеплять нас фактом, что существуют определенные причины для использования этого среднего значения и что оно, следовательно, уместно только в определенных обстоятельствах. Причина, по которой оно дает безопасную и точную промежуточную величину для фактических расходящихся значений, заключается в том, что для многих обычных целей жизни, таких как покупка и продажа, мы приходим к точно такому же результату, учитываем ли мы эти существующие расхождения или предполагаем, что все объекты приравнены к их среднему значению. То, что животновод должен подразумевать, если он хочет быть точным, говоря, что средняя цена его овец составляет 50 шиллингов, — это то, что, насколько касается этого стада (и насколько касается его), выходит точно то же самое, продаются ли они каждая по разным ценам или все продаются по «средней» цене. Соответственно, когда он сравнивает свои продажи одного года с продажами другого; когда он говорит, что в прошлом году овцы стоили в среднем 48 шиллингов против 50 в этом году; использование этого репрезентативного или среднего значения является большим упрощением и является совершенно точным для рассматриваемой цели.

§ 3. (2) Теперь рассмотрим этот случай. Установлено, что определенное население удвоилось за 100 лет: можем ли мы говорить о «среднем» приросте здесь в 1 процент ежегодно? Обстоятельства не совсем такие же, как в предыдущем случае, но аналогия достаточно близка для нашей цели. Ответ решительно: нет. Если 100 товаров любого вида проданы за 100 фунтов стерлингов, мы говорим, что средняя цена составляет 1 фунт стерлингов. Под этим мы подразумеваем, что общая сумма та же, продается ли вся партия за 100 фунтов стерлингов или мы разбиваем партию на отдельные единицы и продаем каждую из них за 1 фунт стерлингов. Средняя цена здесь — это удобный фиктивный заменитель, который может быть применен для каждой единицы без изменения совокупного итога. Если, следовательно, вопрос в том, будет ли предполагаемый прирост в 1 процент в каждый из 100 лет эквивалентен общему увеличению до двойного первоначального количества? мы предлагаем тесно аналогичный вопрос. И ответ, как только что было отмечено, должен быть отрицательным. Ежегодный прирост в 1 процент, продолжающийся в течение 100 лет, более чем удвоит итог; он умножит его примерно на 2,7. Истинный ежегодный прирост, требуемый, измеряется 100√2; то есть можно сказать, что население увеличилось «в среднем» на 0,7 процента ежегодно.

Мы таким образом направляемся ко второму виду среднего значения, обсуждаемому в обычных учебниках алгебры, а именно: геометрическому. Когда задействованы только две величины с единственной промежуточной величиной между ними, геометрическое среднее, составляющее последнюю, лучше всего описывается как среднее пропорциональное между двумя первыми. Таким образом, поскольку 3 : √15 :: √15 : 5, √15 является геометрическим средним между 3 и 5. Когда ряд геометрических средних должен быть вставлен между двумя величинами, они должны быть выбраны так, чтобы каждый член во всей последовательности имел одно и то же постоянное отношение к своему предшественнику. Таким образом, в примере в последнем абзаце 99 промежуточных шагов должны были быть вставлены между 1 и 2, с условием, что 100 отношений, таким образом произведенных, должны быть все равны.

Казалось бы, тогда, что везде, где задействованы точные количественные результаты, выбор соответствующего вида среднего значения должен зависеть от ответа на вопрос: какая конкретная промежуточная величина может быть безопасно заменена фактическим разнообразием значений, насколько касается точной цели? Это аспект предмета, который должен быть более полно рассмотрен в следующей главе. Но можно безопасно утверждать, что для целей общего сравнения, где точные численные отношения не требуются, почти любой вид промежуточной величины ответит нашей цели, при условии, что мы придерживаемся одного и того же на протяжении всего процесса. Таким образом, если мы хотим сравнить рост жителей разных графств или районов в Англии, или англичан в целом с французами, или установить, увеличивается или уменьшается рост какого-то конкретного класса или района, действительно не кажется важным, какой сорт среднего значения мы выбираем, при условии, конечно, что мы придерживаемся одного и того же на протяжении наших исследований. Очень большое количество работы, выполняемой средними значениями, является этого чисто сравнительного или неколичественного описания; или, во всяком случае, ничего большего, чем это, действительно не требуется. Будучи так, мы должны естественно прибегнуть к арифметическому среднему; отчасти потому, что, долго находясь в поле, оно повсеместно понимается и к нему апеллируют, и отчасти потому, что оно оказывается удивительно простым и легким для вычисления.

§ 4. Арифметическое среднее для большинства обычных целей является самым простым и лучшим. Действительно, когда мы имеем дело с небольшим количеством несколько искусственно выбранных величин, это единственное среднее значение, которое кто-либо подумал бы использовать. Мы не стали бы, например, применять никакой другой метод к результатам нескольких дюжин измерений длин или оценок цен.

Когда, однако, мы приходим к рассмотрению результатов очень большого числа измерений того рода, которые могут быть сгруппированы вместе в некоторого рода «кривую вероятности», мы начинаем обнаруживать, что перед нами есть более чем одна альтернатива. Начните с возвращения к знакомой кривой, представленной на стр. 29; или, еще лучше, к начальной форме ее, представленной в следующей главе (стр. 476). Мы видим, что есть три различных способа, которыми мы можем описать вершину кривой. Мы можем назвать ее положением максимальной ординаты; или положением центра кривой; или (как будет видно далее) точкой, к которой направляет нас арифметическое среднее всех различных значений переменной величины. Эти три — все различные способы описания положения; но когда мы имеем дело с симметричной кривой, хоть сколько-нибудь напоминающей биномиальную или экспоненциальную форму, они все три совпадают в даче одного и того же результата: как они очевидно делают в рассматриваемом случае.

Однако, как только мы переходим к рассмотрению случая асимметричных или скошенных кривых, показатели, даваемые этими тремя методами, как правило, будут совершенно различными; и поэтому два первых из них заслуживают краткого упоминания, поскольку они представляют собой иные виды средних значений, нежели арифметическое или обычное среднее. Мы увидим, что в каждом из них есть нечто такое, что делает его привлекательным для здравого смысла как в некотором роде естественное и подходящее.

§ 5. (3) Первый из этих методов выбирает из множества различных величин ту конкретную, которая встречается наиболее часто. Он не получил никакого технического обозначения, за исключением тех случаев, когда на него ссылаются через его графическое представление как на метод «максимальной ординаты». Но я подозреваю, что обращение к такому среднему или стандарту на самом деле встречается довольно часто, и если бы мы могли прояснить концепции, скрытые в суждениях сравнительно необразованных людей, мы обнаружили бы, что существуют различные классы случаев, в которых это среднее значение использовалось естественным образом. Предположим, например, что существует рыбный промысел, где рыба сильно варьируется по размеру, но при этом наиболее распространенный размер близок к самому большому или самому маленькому. Если бы люди привыкли продавать рыбу на вес, вероятно, они вскоре начали бы приобретать некоторое представление о том, что подразумевается под арифметическим средним, и поняли бы, что это наиболее подходящий критерий. Но если бы рыбу сортировали по размерам и продавали по количеству штук в каждом из этих размеров, я подозреваю, что это обращение к максимальной ординате начало бы вытеснять другое. То есть наиболее многочисленный класс стал бы выбираться в качестве своего рода типа, по которому можно сравнивать один и тот же промысел в разное время или один промысел с другими. Существует также, как мы увидим в следующей главе, некоторое научное основание для предпочтения этого вида среднего в особых случаях, а именно: когда величины, с которыми мы имеем дело, являются истинными «ошибками» в оценке какой-либо величины, и когда также гораздо важнее быть точно правым или очень близким к истине, чем просто иметь низкое среднее значение ошибки.

§ 6. (4) Оставшийся вид среднего — это то, что сейчас начинают называть «медианой». Это понятие, с которым работы г-на Гальтона сделали статистиков весьма знакомыми, и его лучше всего описать следующим образом. Представьте себе, что все рассматриваемые объекты выстроены в порядке возрастания их величины; или, что сводится к тому же самому, представьте, что они отсортированы на ряд равночисленных классов; тогда средний объект в этом ряду или средний объект в среднем классе и будет медианой. Я не думаю, что этот вид среднего в настоящее время является общепризнанным, но если схема естественного измерения г-на Гальтона с помощью того, что он называет «перцентилями», станет общепринятой, такой критерий станет важным. У этого вида среднего есть некоторые заметные преимущества. Во-первых, в большинстве статистических исследований его вычислить гораздо проще; и, более того, процесс его определения также служит для установления другого важного элемента, который будет рассмотрен далее, а именно «вероятной ошибки». Кроме того, как отмечает Фехнер, в то время как при использовании арифметического среднего несколько исключительных и экстремальных значений часто вызывают затруднения из-за их относительного преобладания, в случае медианы (где учитывается только их количество, а не их экстремальная величина) важность такого искажения уменьшается.

§ 7. Простая иллюстрация послужит для того, чтобы показать, как эти три вида среднего сливаются в один, когда мы имеем дело с симметричными законами ошибок, но становятся совершенно различными, как только мы переходим к рассмотрению тех, которые являются асимметричными.

Предположим, что при измерении величины вдоль OBDC, где крайними пределами являются OB и OC, закон ошибок представлен треугольником BAC: длина OD будет одновременно арифметическим средним, медианой и наиболее часто встречающейся длиной: ее частота представлена максимальной ординатой AD. Но теперь предположим, с другой стороны, что крайние длины равны OD и OC, и что треугольник ADC представляет закон ошибок. Наиболее часто встречающаяся длина будет такой же, как и раньше, OD, отмеченная максимальной ординатой AD. Но среднее значение теперь будет OX, где DX = 1/3 DC; а медианой будет OY, где DY = (1 − 1/√2) DC.

Другой пример, взятый из природных явлений, можно найти в показаниях барометра, снятых в один и тот же час в последовательные дни. Поскольку 4857 таких наблюдений могут рассматриваться как обеспечивающие достаточно стабильную основу опыта, определенно кажется, что результирующая кривая частоты является асимметричной. Средняя высота здесь оказалась равной 29,98: медиана — 30,01: наиболее часто встречающаяся высота — 30,05. Близкое совпадение между ними является признаком того, что асимметрия невелика.

§ 8. Необходимо четко понимать, что среднее значение, какого бы рода оно ни было, в силу самого факта того, что оно является единичной заменой для фактического множества наблюдаемых значений, должно упускать значительный объем информации. На самом деле оно вводится только ради экономии. Оно может не повлечь за собой никаких потерь при использовании для какой-то одной поставленной цели, как в нашем примере с овцами; но для целей в целом оно никак не может заменить исходное разнообразие, предоставив всю информацию, которую оно содержало. Если все это должно быть сохранено, мы должны прибегнуть к какому-то другому методу. На практике мы обычно делаем одно из двух: либо (1) записываем все цифры в статистические таблицы, либо (2) обращаемся к диаграмме. Этот последний план удобен, когда данных очень много или когда мы хотим отобразить или обнаружить природу закона распределения, которому они подчиняются.

Простое указание среднего значения отбрасывает почти все это, ограничиваясь лишь обозначением промежуточной величины. Оно дает «среднюю точку» того или иного рода, но ничего не говорит о том, как исходные величины группировались вокруг этой точки. Например, независимо от того, были ли две величины соответственно 25 и 27 или 15 и 37, они дали бы одно и то же арифметическое среднее, равное 26.

§ 9. Прерваться на этом этапе означало бы оставить проблему в очень несовершенном состоянии. Поэтому мы естественным образом ищем какой-то простой критерий, который укажет, насколько тесно отдельные результаты группировались вокруг своего среднего, чтобы восстановить часть информации, которая была упущена.

Если бы кто-то подходил к этой проблеме совершенно заново — то есть если бы он не имел знаний о математических требованиях, которые сопровождают теорию «метода наименьших квадратов», — я полагаю, что есть только один способ, которым он взялся бы за это дело. Он сказал бы: среднее значение, которое мы уже получили, дало нам грубое указание, назначив промежуточную точку среди исходных величин. Если мы хотим дополнить это грубым указанием на то, насколько близко друг к другу лежат эти величины, лучший способ — это обработать их отклонения от среднего (то, что технически называется «ошибками») точно таким же образом, а именно: назначив их среднее значение. Предположим, есть 13 человек, чей рост варьируется с равными интервалами от 5 футов до 6 футов, мы бы сказали, что их средний рост составляет 66 дюймов, а их среднее отклонение от этого среднего составляет 3 3/13 дюйма.

Рассматривая вопрос с этой точки зрения, мы затем перешли бы к тому, чтобы проверить, как каждое из вышеупомянутых средних ответило бы этой цели. Два из них — а именно арифметическое среднее и медиана — подойдут идеально; и, как мы сейчас увидим, часто используются для этой цели. Точно так же мы могли бы, если бы захотели, использовать геометрическое среднее, хотя такое использование было бы утомительным из-за сложности вычислений. «Максимальная ордината», очевидно, не подошла бы, поскольку она обычно (см. диаграмму на стр. 443) отсылала бы нас обратно к уже полученному среднему значению и, следовательно, не дала бы никакой информации.

Единственный момент здесь, по поводу которого могло бы возникнуть сомнение, касается того, что в алгебре называется знаком ошибок. Две равные и противоположные ошибки, сложенные алгебраически, взаимно уничтожились бы. Но когда, как здесь, мы рассматриваем ошибки как самостоятельные величины, которые должны учитываться сами по себе, мы обращаем внимание только на их реальную величину, и тогда эти равные и противоположные ошибки должны быть поставлены в совершенно одинаковые условия.

§ 10. Из различных средних значений, уже обсужденных, два, как только что было отмечено, находятся в обычном употреблении. Одно из них привычно известно в астрономических и других расчетах как «средняя ошибка» и является настолько абсолютным применением того же принципа арифметического среднего к ошибкам, который уже был применен к исходным величинам, что не нуждается в дальнейшем объяснении. Так, в примере из последнего раздела среднее значение роста составляло 66 дюймов, среднее значение ошибок — 3 3/13 дюйма.

Другое — это медиана, хотя здесь она всегда известна под другим названием, т.е. как «вероятная ошибка»; — технический и определенно вводящий в заблуждение термин. Она кратко определяется как та ошибка, которую мы с равной вероятностью можем как превысить, так и не достичь: иначе говоря, если бы мы расположили все ошибки в порядке их величины, она соответствует той из них, которая как раз делит ряд пополам. Следовательно, это «медианная» ошибка: или, если мы расположим все величины в последовательном порядке и разделим их на четыре равночисленных класса — то, что г-н Гальтон называет «квартилями», — первое и третье из последующих делений будут отмечать пределы «вероятной ошибки» с каждой стороны, в то время как среднее будет отмечать «медиану». Эта медиана, как было отмечено, совпадает в симметричных кривых с арифметическим средним.

Лучше придерживаться принятой номенклатуры, но читатель должен понимать, что такая ошибка не является «вероятной» в каком-либо строгом смысле. Действительно, крайне маловероятно, что в каком-либо конкретном случае мы случайно получим именно эту ошибку: на самом деле, если бы мы захотели быть точными и рассматривать ее как одну точную величину из бесконечного числа, было бы бесконечно маловероятно, что мы попадем именно в нее. Нельзя также сказать, что вероятно, что мы окажемся в пределах этого лимита от истины, ибо, по определению, мы с равной вероятностью можем как превысить, так и не достичь его. Как уже отмечалось (см. примечание на стр. 441), «максимальная ордината» имела бы больше всего прав считаться указывающей на действительно наиболее вероятное значение.

§ 11. (5) Среднеквадратичная ошибка. Как предполагалось ранее, план, который естественным образом принял бы любой человек, не имеющий дела с высшей математикой предмета, состоял бы в том, чтобы взять «среднюю ошибку» для цели, которую мы имеем в виду. Но совсем другой вид среднего обычно принимается на практике, чтобы служить критерием величины расхождения или дисперсии. Предположим, у нас есть величины x1, x2, … xn; их обычное среднее равно 1/n (x1 + x2 + … + xn), а их «ошибки» — это разности между этим средним и x1, x2, … xn. Назовем эти ошибки e1, e2, … en, тогда арифметическое среднее этих ошибок (независимо от знака) равно 1/n (e1 + e2 + … + en). Среднеквадратичная ошибка, с другой стороны, является квадратным корнем из 1/n (e1^2 + e2^2 + … + en^2).

Причины использования этого последнего вида среднего в предпочтение любому другому будут указаны в следующей главе. В настоящее время нас интересует только общая логическая природа среднего, и поэтому достаточно указать, что любая такая промежуточная величина ответит цели получения грубого и суммарного указания на степень близости приближения, которую наши различные измерения демонстрируют друг к другу и к их общему среднему. Если бы мы говорили соответственно о «первом» и «втором среднем», мы могли бы сказать, что первое из них назначает грубую единичную замену для множества исходных значений, в то время как второе дает аналогичную грубую оценку степени их отклонения от первого.

§ 12. До сих пор мы рассматривали только общую природу среднего и основные виды среднего, практически используемые. Теперь мы должны более подробно исследовать, каковы основные цели, для которых используются средние значения.

В этом отношении первое, что мы должны сделать, — это посеять сомнения в уме читателя по предмету, в котором он, возможно, до сих пор не испытывал ни малейшего сомнения. Каждый более или менее знаком с практикой обращения к среднему значению для обеспечения точности. Но, строго говоря, то, с чего мы начинаем, — это принесение в жертву точности; ибо вместо множества фактических результатов мы получаем единый результат, который вполне возможно не согласуется ни с одним из них. Если я обнаружу, что температура в разных частях комнаты различна, но скажу, что средняя температура составляет 61°, возможно, найдется лишь несколько мест в комнате, где эта точная температура реализуется. И если я скажу, что средний рост определенной небольшой группы людей составляет 68 дюймов, вероятно, никто из них не будет иметь именно такой рост.

Основной способ, которым точность может быть таким образом обеспечена, заключается в том, когда мы на самом деле стремимся не к величинам перед нами, а к чему-то другому, показателем чего они являются. Если они сами по себе «неточны» — мы увидим вскоре, что это требует некоторого объяснения, — тогда единое среднее, которое само по себе, возможно, не согласуется ни с одним из них, может быть гораздо ближе к тому, что нам действительно нужно. Мы найдем удобным подразделить этот взгляд на предмет на две части: рассмотрев сначала те случаи, в которых количественные соображения входят лишь незначительно и в которых не требуется определение конкретного закона ошибок, и, во-вторых, те, в которых такого определения нельзя избежать. Последние здесь упоминаются лишь вскользь, так как отдельная глава зарезервирована для их более полного рассмотрения.

§ 13. Процесс, как практический, достаточно знаком почти каждому, кому приходится работать с измерениями любого рода. Предположим, например, что я измеряю какой-либо объект латунным стержнем, который, как мы знаем, расширяется и сжимается в зависимости от температуры. Результаты будут немного варьироваться, будучи иногда немного больше, а иногда немного меньше. Все эти вариации являются физическими фактами, и если бы нас интересовали свойства латуни, они были бы для нас единственным важным фактом. Но когда нас интересует длина измеряемого объекта, эти факты становятся излишними и вводящими в заблуждение. Что мы хотим сделать, так это избежать их влияния, и это мы можем осуществить, взяв их (арифметическое) среднее, при условии только, что они так же часто бывают в избытке, как и в недостатке. Для этой цели все, что необходимо, — это чтобы равные избытки и недостатки были одинаково распространены. Нет необходимости знать, каков закон вариации, или даже быть уверенным, что он одного конкретного вида. При условии только, что он, на языке диаграммы на стр. 29, симметричен, тогда арифметическое среднее подходящего и должным образом варьируемого числа измерений будет свободно от этого источника возмущения. И то, что справедливо для этой причины вариации, будет справедливо для всех остальных, которые подчиняются тем же общим условиям. На самом деле, одинаковая распространенность равных и противоположных ошибок кажется единственным и достаточным оправданием привычного процесса взятия среднего для обеспечения точности.

§ 14. Мы должны теперь провести различие, на которое так часто требуется обращать внимание в этих предметах, между случаями, в которых соответственно есть и нет некоторой объективной величины, к которой стремятся: различие, которое общее использование одного и того же слова «ошибки» так склонно затемнять. Когда мы говорили в случае с латунным стержнем о том, что избытки и недостатки равны, мы имели в виду именно то, что сказали, а именно: что для каждого случая, в котором «истинная» длина (т.е. определенная авторизованным стандартом) превышается на заданную долю дюйма, будет соответствующий случай, в котором есть равный недостаток.

С другой стороны, когда нет такого фиксированного объективного стандарта отсчета, по-видимому, все, что мы подразумеваем под равными избытками и недостатками, — это постоянная симметрия расположения. В случае с измерительным стержнем мы могли начать с чего-то, что существовало, так сказать, до его вариаций; но во многих случаях любая отправная точка, которую мы можем найти, определяется исключительно средним значением.

Предположим, например, мы берем большое количество наблюдений высоты барометра в определенном месте, во все времена и сезоны и при любой погоде, мы обычно считали бы, что среднее всех этих наблюдений показывает «истинную» высоту для этого места. Что мы на самом деле подразумеваем, так это то, что высота в любой момент определяется частично (и главным образом) высотой столба воздуха над ним, но частично также рядом других факторов, таких как местная температура, влажность, ветер и т.д. Они иногда более, а иногда менее эффективны, но поскольку их диапазон довольно постоянен, а их распределение по этому диапазону довольно симметрично, среднее одной большой партии наблюдений будет почти точно таким же, как и любой другой. Это постоянство среднего и есть его истина. Я прекрасно осознаю, что нам трудно не предполагать, что должно быть что-то большее, чем это постоянство, но мы, вероятно, склонны впадать в заблуждение по аналогии с другим классом случаев, а именно теми, в которых мы действительно стремимся к какой-то цели.

§ 15. Что касается практических методов, доступных для определения различных видов среднего, то здесь мало что можно сказать; поскольку арифметические правила просты и определенны и не включают ничего, кроме неизбежной рутины, связанной с работой с длинными рядами цифр. Пожалуй, наиболее важный вклад в эту часть предмета внесен предложением г-на Гальтона заменить среднее значение медианой и, таким образом, получить среднее с достаточной точностью простым актом группировки ряда объектов вместе. Так, он дал остроумное предложение для получения среднего роста ряда людей без хлопот и риска измерять их всех. «Варварского вождя часто можно было бы склонить выстроить своих людей в порядке их роста или в порядке популярной оценки их мастерства в любой области; но потребовалось бы некоторое оборудование и много времени, чтобы измерить каждого человека отдельно, даже если предположить возможность преодоления обычно сильного отвращения нецивилизованных людей к любой такой процедуре» (Phil. Mag. Jan. 1875). То есть, поскольку из широкого опыта известно, что рост любого достаточно однородного набора людей склонен группироваться симметрично — условие для совпадения трех основных видов среднего, — средний человек в ряду, таким образом, расположенном по порядку, будет представлять среднего или усредненного человека, и его мы можем подвергнуть измерению. Более того, поскольку промежуточные значения роста представлены гораздо гуще, чем экстремальные, умеренная ошибка в выборе центрального человека длинного ряда повлечет за собой лишь очень небольшую ошибку в выборе соответствующего роста.

§ 16. Мы можем теперь удобно вернуться к предмету, который уже был отмечен в предыдущей главе, а именно к попытке, которая иногда предпринимается, установить различие между средним (average) и средним (mean). Было предложено ограничить первый термин случаями, в которых мы имеем дело с фиктивным результатом нашего собственного построения, то есть с простым арифметическим выводом из наблюдаемых величин, и применять второй к случаям, в которых предполагается наличие некоторой объективной величины, особенно репрезентативной для среднего.

Вернемся к трем основным классам вещей, подходящих для вероятности, которые были намечены в гл. II. § 4. Первый из них включал результаты азартных игр. Подбросьте кость десять раз: общее количество очков на верхней стороне может варьироваться от десяти до шестидесяти. Предположим, оно равно тридцати. Мы тогда говорим, что среднее этой партии из десяти равно трем. Возьмите другой набор из десяти бросков, и мы можем получить другое среднее, скажем, четыре. Очевидно, нет ничего объективного, что каким-либо образом особенно соответствовало бы этим средним. Несомненно, если мы будем продолжать достаточно долго, мы обнаружим, что средние стремятся к центру около 3,5: мы тогда называем это средним, или «вероятным» числом очков; и это окончательное среднее могло быть довольно постоянно утверждено заранее из нашего знания о строении кости. Однако оно не имеет другой истины или реальности в себе по своей природе типа: это просто предел, к которому стремятся средние.

Следующий класс занят членами большинства естественных групп объектов, особенно в отношении характеристик естественных видов. Несколько похожие замечания можно повторить здесь. Очень часто существует «предел», к которому стремятся средние возрастающих чисел индивидов; и, безусловно, есть некоторое искушение рассматривать этот предел как своего рода тип, которому все должны были быть подобны как можно ближе. Но когда мы присмотрелись внимательнее, мы обнаружили, что этот взгляд едва ли может быть оправдан; все, что можно было безопасно утверждать, это то, что этот тип представлял, на данный момент, наиболее многочисленные экземпляры или те, которые при существующих условиях могли быть наиболее легко произведены.

Оставшийся класс стоит на несколько иной почве. Когда мы делаем последовательность более или менее успешных попыток любого рода, мы получаем соответствующую серию отклонений от цели, к которой мы стремились. Мы можем рассматривать их арифметически и получать их средние, точно так же, как в предыдущих случаях. Эти средние являются фикциями, то есть они являются искусственными выводами нашего собственного построения, которые не обязательно должны иметь что-либо объективное, соответствующее им. На самом деле, если они являются средними лишь немногих, они, скорее всего, не будут иметь ничего подобного, соответствующего им. Что-либо, отвечающее типу, можно искать только в «пределе», к которому они в конечном итоге стремятся, ибо этот предел совпадает с фиксированной точкой или объектом, к которому стремились.

§ 17. Полностью признавая большую ценность и интерес работы Кетле в этом направлении — он, безусловно, первым обратил внимание общественности на тот факт, что так много классов естественных объектов демонстрируют одно и то же характерное свойство, — тем не менее, не кажется желательным пытаться отметить такое различие каким-либо специальным использованием этих технических терминов. Возражения в основном следующие.

Во-первых, единая антитеза, подобная этой между средним (average) и средним (mean), по-видимому, предполагает гораздо более простое положение вещей, чем то, которое на самом деле существует в природе. Ссылка на три только что упомянутых класса вещей и рассмотрение широкого диапазона и разнообразия, включенных в каждый из них, послужат напоминанием нам не только об очень постепенном и незаметном переходе от того, что таким образом рассматривается как «фиктивное», к тому, что претендует на «реальное»; но также и о важном факте, что в то время как «реальный тип» может быть изменчивого и эфемерного характера, «фикция» может (как в азартных играх) быть, по-видимому, фиксированной навсегда. При условии только, что условия производства остаются стабильными, средние больших чисел всегда будут практически представлять почти одни и те же общие характеристики. Гораздо более важное различие лежит между средним немногих, с его колеблющимися значениями и очень несовершенным и случайным достижением своей конечной цели, и средним многих и его постепенно близким приближением к своему конечному значению: т.е. к своей объективной точке цели, если таковая имеется.

Затем, опять же, соображения, приведенные в этой главе, покажут, что в области самого среднего существует гораздо больше разнообразия, чем, по-видимому, признавал Кетле. Он действительно не совсем игнорировал это разнообразие, но практически ограничивался почти исключительно теми симметричными расположениями, в которых три из основных средних сливаются в одно. Нам было бы трудно провести его различие в менее простых случаях. Например, когда существует некоторая степень асимметрии, именно «максимальная ордината» должна была бы рассматриваться как «среднее» в исключение других; ибо никакое обращение к арифметическому среднему не привело бы нас к этой точке, которая, однако, должна рассматриваться, если какая-либо может быть так рассмотрена, как отмечающая положение конечного типа.

§ 18. Мы несколько раз указывали, что характеристикой вещей, с которыми имеет дело вероятность, является проявление в долгосрочной перспективе постоянно усиливающейся однородности. И это часто описывалось как то, что происходит «в среднем». Теперь может возникнуть возражение против рассмотрения расположения вещей, благодаря которому порядок таким образом возникает из беспорядка, как заслуживающего какого-либо особого внимания, на том основании, что по природе арифметического среднего это не могло бы быть иначе. Процесс, с помощью которого получается среднее, можно утверждать, обеспечивает эту тенденцию к выравниванию среди величин, с которыми оно имеет дело. Например, пусть будет группа из десяти человек, из которых четверо высокие и четверо низкие, и возьмем среднее любых пяти из них. Поскольку это число не может состоять только из высоких или только из низких людей, само собой разумеется, что средние не могут различаться между собой так сильно, как отдельные измерения. Не является ли тогда процесс выравнивания, который наблюдается при увеличении диапазона наших наблюдений, тем, который, как можно показать, следует из необходимых законов арифметики, и, следовательно, тем, который можно было бы утверждать априори?

Какая бы сила ни была в вышеупомянутом возражении, она возникает главным образом из ограничений выбранного примера, в котором выбранное число было такой большой долей от общего, что исключало саму возможность того, что в нем содержатся только экстремальные случаи. Поскольку здесь часто чувствуется большая путаница между тем, что необходимо, и тем, что является предметом опыта, будет хорошо рассмотреть пример несколько ближе, чтобы определить точно, каковы действительно необходимые последствия процесса усреднения.

§ 19. Предположим тогда, что мы берем десять цифр наугад из таблицы (скажем) логарифмов. Если не считать крайне маловероятного случая, когда мы случайно получили одну и ту же цифру десять раз подряд, среднее десяти должно быть промежуточным между возможными крайностями. Каждая концепция среднего любого рода не просто включает, но фактически означает взятие чего-то промежуточного между крайностями. Поэтому среднее десяти должно лежать ближе к 4,5 (среднему крайних значений), чем некоторые из отдельных цифр.

Теперь предположим, что мы берем 1000 таких цифр вместо 10. Мы не можем сказать ничего больше о большем числе, с демонстративной уверенностью, чем мы могли раньше о меньшем. Если они были неравны с самого начала (т.е. если они не были все одинаковыми), то среднее должно быть промежуточным, но больше этого нельзя доказать арифметически. По сравнению с такими чисто арифметическими соображениями существует то, что можно назвать физическим фактом, лежащим в основе нашей уверенности в растущей стабильности среднего большего числа. Это то, что составляющие элементы, из которых выводится среднее, сами будут обнаруживать растущую однородность: — что пропорции, в которых выходят разные цифры, будут становиться все более и более равными по мере того, как мы берем большие их числа. Если бы пропорции, в которых распределялись 1000 цифр, были такими же, как у 10, средние были бы такими же. Очевидно, поэтому, что арифметический процесс получения среднего очень мало способствует обеспечению поразительного вида однородности, который, как мы обнаруживаем, на самом деле представлен.

§ 20. Есть еще один способ, которым можно выразить то же самое. Иногда говорят, что каким бы ни было расположение исходных элементов, процесс постоянного усреднения обязательно приведет к особому биномиальному или экспоненциальному закону расположения. Это утверждение совершенно верно (с определенными оговорками), но оно никоим образом не противоречит тому, что было сказано выше. Давайте возьмем для рассмотрения пример, упомянутый выше. Расположение отдельных цифр в долгосрочной перспективе является самым простым из возможных. Оно было бы представлено на диаграмме не кривой, а конечной прямой линией, ибо каждая цифра встречается примерно так же часто, как любая другая, и это исчерпывает все «расположение», которое можно обнаружить. Теперь, когда мы рассматриваем результаты взятия средних десяти таких цифр, мы сразу видим, что открывается возможность для более обширного расположения. Итоговые значения могут варьироваться от 0 до 100, и поэтому среднее будет иметь 100 значений от 0 до 9; и что мы обнаруживаем, так это то, что частота этих чисел определяется в соответствии с биномиальным или экспоненциальным законом. Наиболее частый результат — это истинное среднее, а именно 4,5, и от него они уменьшаются в каждом направлении к 0 и 10, каждое из которых будет встречаться лишь однажды (в среднем) в 10^10 случаях.

Объяснение здесь того же рода, что и в предыдущем случае. Результирующее расположение, насколько это касается средних, является «необходимым» только в том смысле, что оно является необходимым результатом определенных физических предположений или опытов. Если все цифры стремятся встречаться с равной частотой и если они «независимы» (т.е. если каждая ассоциируется безразлично с каждой другой), то арифметическим следствием является то, что средние, когда они расположены в отношении своей величины и распространенности, будут демонстрировать закон распределения, указанный выше. Опыт, насколько к нему можно апеллировать, показывает, что истинная случайность выбора цифр — т.е. их одинаково частая повторяемость и беспристрастность их комбинации — довольно хорошо обеспечена на практике. Соответственно, теоретический вывод о том, что каким бы ни был исходный закон распределения отдельных результатов, мы всегда обнаружим, что привычный экспоненциальный закон утверждает себя как закон средних, довольно хорошо оправдывается опытом в таком случае.

Дальнейшее обсуждение определенных исправлений и уточнений зарезервировано для следующей главы.

§ 21. Что касается трех видов среднего, используемых для проверки величины дисперсии — т.е. средней ошибки, вероятной ошибки и среднеквадратичной ошибки, — необходимо иметь в виду два важных соображения. Оба они вернутся для более полного обсуждения и обоснования в ходе следующей главы, когда мы коснемся метода наименьших квадратов, но их значение для логических целей настолько велико, что их не следует полностью обходить вниманием в настоящее время.

(1) Во-первых, тогда, следует отметить, что для того, чтобы знать, каково в любом случае реальное значение ошибки, мы должны в строгом смысле знать, каково положение предела или окончательного среднего, ибо величина ошибки всегда теоретически измеряется от этой точки. Но это информация, которой мы не всегда обладаем. Возвращаясь еще раз к трем основным классам событий, с которыми мы имеем дело, мы можем легко увидеть, что в случае азартных игр мы по большей части обладаем этим знанием. Вместо того чтобы обращаться к опыту для установления предела, мы практически выводим его простыми механическими или арифметическими соображениями, и тогда «ошибка» в любом индивидуальном случае или группе случаев очевидно находится путем сравнения результатов, таким образом полученных, с тем, что теория сообщает нам, будет в конечном итоге получено в долгосрочной перспективе. В случае преднамеренных усилий при цели (третий класс) мы можем знать или не знать точно значение или положение этой цели. В астрономических наблюдениях мы не знаем его, и метод наименьших квадратов — это метод, помогающий нам установить его как можно лучше; в таких экспериментальных результатах, как стрельба по мишени, мы знаем его и можем таким образом проверить природу и величину нашей неудачи прямым опытом. В оставшемся случае, а именно в том, что мы назвали естественными видами или группами вещей, мы не только не знаем конечного предела, но его существование всегда по крайней мере сомнительно, а во многих случаях может быть уверенно отрицаемо. Там, где он существует, то есть где тип кажется для всех практических целей постоянно фиксированным, мы можем установить его только трудоемким обращением к статистике. Сделав это, мы можем затем проверить им результаты наблюдений в малом масштабе. Например, если мы обнаружим, что окончательная пропорция рождений мальчиков к девочкам составляет около 106 к 100, мы можем затем сравнить статистику какого-либо конкретного района или города и говорить о последующей «ошибке», а именно об отклонении в этом конкретном и специальном районе от общего среднего.

Что нам поэтому приходится делать в подавляющем большинстве практических случаев, так это брать среднее конечного числа измерений или наблюдений — всех тех, фактически, которые у нас есть под рукой, — и принимать это как нашу отправную точку для измерения ошибок. Ошибки, фактически, не известны наверняка, а лишь вероятно рассчитаны. Это, однако, не такой уж теоретический дефект, как может показаться на первый взгляд; ибо поскольку нам редко приходится использовать эти методы — для целей расчета, то есть, в отличие от простого иллюстрирования, — кроме как для цели обнаружения того, каково окончательное среднее, было бы своего рода petitio principii предполагать, что мы его уже обеспечили. Но стоит рассмотреть, желательно ли использовать один и тот же термин для «ошибок», известных как таковые, величина которых может быть назначена с уверенностью, и для «ошибок», которые являются лишь вероятно таковыми и величина которых может быть назначена лишь вероятно. Фактически было предложено использовать два термина «ошибка» и «остаток» соответственно, чтобы различать величины, таким образом определенные, то есть между (обычно неизвестной) фактической ошибкой и наблюдаемой ошибкой.

§ 22. (2) Другой момент включает вопрос о том, в какой степени любой из первых двух критериев (стр. 446, 7) близости, с которой различные результаты сгруппировались вокруг своего среднего, является заслуживающим доверия или полным. Ответ заключается в том, что они обязательно неполны. Никакая единичная оценка или величина не может дать нам адекватного отчета о ряде различных величин. Этот момент очень важен; и, я думаю, ему не уделяется достаточного внимания, следствием чего является, как мы увидим далее, что слишком поспешно предполагается, что метод, который дает результат с наименьшей «среднеквадратичной ошибкой», должен обязательно быть лучшим результатом для всех целей. Однако отнюдь не ясно, что критерий, который лучше всего подходит для одной цели, должен делать это для всех.

Необходимо четко понимать, что каждый из этих критериев является «средним» и что каждое среднее обязательно отвергает массу разнообразных деталей, заменяя их единым результатом. У нас было, скажем, множество значений роста: столько-то по 60 дюймов, столько-то по 61 и т.д. Мы заменяем их «средним» 68 и тем самым отбрасываем массу информации. Часть ее мы затем стремимся восстановить, пересматривая «ошибки» или отклонения этих значений роста от их среднего. Как и прежде, однако, вместо предоставления полных деталей мы подставляем среднее ошибок. Единственная разница в том, что вместо взятия того же вида среднего (т.е. арифметического) мы часто предпочитаем принять то, которое называется «среднеквадратичной ошибкой».

§ 23. Здесь может быть поднят вопрос, который имеет достаточную важность, чтобы заслужить краткого рассмотрения. Когда у нас есть набор измерений перед нами, почему обычно считается достаточным просто назначить: (1) среднее значение; и (2) среднее отклонение от этого среднего? Ответ, конечно, частично дается тем фактом, что предполагается, что нам нужно лишь грубое приближение: но здесь есть что сказать и помимо этого. Дальнейшее оправдание можно найти в том факте, что мы предполагаем, что нам нужно лишь рассматривать возможность одного закона ошибок, или, во всяком случае, что отклонения от привычного закона будут лишь незначительными. Другими словами, если мы вернемся к рисунку на стр. 29, мы предполагаем, что есть только две неизвестные величины или свободные константы, которые должны быть назначены; а именно: во-первых, положение центра, и, во-вторых, степень эксцентричности, если можно так выразиться, кривой. Определение среднего значения прямо и сразу назначает первое, а определение средней ошибки (любым из уже упомянутых способов) косвенно назначает второе, ограничивая нас только одной из возможных кривых, указанных на рисунке.

За исключением предположения об одном таком законе ошибок, определение средней ошибки дало бы лишь слабое представление о своего рода контуре нашей кривой распределения. Мы могли бы тогда найти удобным принять какой-то план последовательного приближения, добавив третье или четвертое «среднее». Точно так же, как мы назначаем среднее значение величины и ее среднее отклонение от этого среднего; так мы могли бы взять эту среднюю ошибку (как бы она ни была определена) как новую отправную точку и назначить среднее отклонение от нее. Если бы вопрос стоил дальнейшего обсуждения, мы могли бы легко проиллюстрировать с помощью диаграммы своего рода последовательные приближения, которые такие показатели дали бы относительно окончательной формы кривой распределения или закона ошибок.

Поскольку этот том написан главным образом для тех, кто интересуется вовлеченными логическими вопросами, а не как введение в фактические процессы вычисления, математические детали были повсюду избегаемы насколько возможно. По этой причине сравнительно мало ссылок было сделано на экспоненциальное уравнение закона ошибок или на соответствующий «интеграл вероятности», таблицы которого даны в нескольких справочниках по предмету. Есть, однако, два момента в связи с этими конкретными темами, по поводу которых трудности чувствуются, или должны чувствоваться, столь многими студентами, что некоторое внимание может быть уделено им здесь.

(1) Что касается обычного алгебраического выражения для закона ошибок, а именно y = h/√π e^-h^2x^2, можно было заметить, что я всегда говорил о y как о пропорциональном числу ошибок конкретной величины x. Было бы едва ли правильно говорить абсолютно, что y представляет это число, потому что, конечно, фактическое число ошибок любой точной величины, где предполагается непрерывность возможности, должно быть бесконечно малым. Если поэтому мы хотим перейти от непрерывного к дискретному, установив фактическое число ошибок между двумя последовательными делениями нашей шкалы, когда, как обычно при измерениях, все в определенных пределах относятся к какой-то одной точной точке, мы должны изменить нашу формулу. В соответствии с обычной дифференциальной нотацией, мы должны сказать, что число ошибок, попадающих в одно подразделение (dx) нашей шкалы, есть dx h/√π e^-h^2x^2, где dx — это (малая) единица длины, в которой должны быть измерены как h^-1, так и x.

Трудность, которую чувствует большинство студентов, заключается в применении формулы к фактической статистике, другими словами, в подстановке правильных единиц. Чтобы взять фактический численный пример, предположим, что 1460 человек были измерены в отношении их роста «точно до ближайшего дюйма», и пусть будет известно, что модуль здесь равен 3,6 дюйма. Тогда dx = 1 (дюйм); h^-1 = 3,6 дюйма. Теперь Σ h/√π e^-h^2x^2 dx = 1; то есть сумма всех последовательных возможных значений равна единице. Когда поэтому мы хотим, чтобы сумма, как здесь, была 1460, мы должны выразить формулу так: y = 1460/√π * 3,6 e^-(x/3,6)^2, или y = 228 e^-(x/3,6)^2.

Здесь x означает число дюймов, измеренных от центрального или среднего роста, а y означает число людей, отнесенных к этому росту в нашей статистической таблице. (Значения e^-t^2 для последовательных значений t даны в справочниках.)

Для иллюстрации я привожу вычисленные числа по этой формуле для значений x от 0 до 8 дюймов с фактическими числами, наблюдаемыми в кембриджских измерениях, недавно начатых г-ном Гальтоном.

inches | calculated | observed
x = 0 | y = 228 | = 231
x = 1 | y = 212 | = 218
x = 2 | y = 166 | = 170
x = 3 | y = 111 | = 110
x = 4 | y =  82 | =  66
x = 5 | y =  32 | =  31
x = 6 | y =  11 | =  10
x = 7 | y =   4 | =   6
x = 8 | y =   1 | =   3

Здесь средний рост составлял 69 дюймов: dx, как указано, = 1 дюйм. Говоря «положим x = 0», мы имеем в виду: вычислить число людей, которые отнесены к 69 дюймам; т.е. которые попадают между 68,5 и 69,5. Говоря «положим x = 4», мы имеем в виду: вычислить число тех, кто отнесен к 65 или к 73; т.е. которые лежат между 64,5 и 65,5 или между 72,5 и 73,5. Наблюдаемые результаты, как будет видно, держатся довольно близко к вычисленным: в случае первых были взяты средние равных и противоположных отклонений от среднего, так как фактические результаты не всегда одинаковы в противоположных направлениях.

(2) Другой момент касается интерпретации привычного интеграла вероятности, 2/√π ∫0^t e^-t^2 dt. Каждый, кто вычислял шанс события с помощью таблиц этого интеграла, данных во многих справочниках, знает, что если мы назначим любое числовое значение t, соответствующее значение вышеуказанного выражения назначает шанс того, что ошибка, взятая наугад, будет лежать в пределах этого же предела, а именно t. Так, положим t = 1,5, и мы получим результат 0,96; то есть только 4 процента ошибок превысят «полтора». Но когда мы спрашиваем, «полтора» чего? ответ не всегда был бы очень готов. Как обычно, главная трудность новичка не в том, чтобы манипулировать формулами, а в том, чтобы быть совершенно ясным относительно своих единиц.

Сразу будет видно, что этот случай отличается от предыдущего тем, что мы не можем теперь выбирать нашу единицу, как нам угодно. Там, где, как здесь, есть только одна переменная (t), если бы нам разрешили выбрать нашу собственную единицу, дюйм, фут или что бы то ни было, мы могли бы получить совершенно разные результаты. Соответственно, какая-то сравнительно естественная единица должна была быть выбрана для нас, в которой мы обязаны считать, точно так же, как в круговом измерении угла в отличие от измерения в градусах.

Ответ заключается в том, что единица здесь — это модуль, и что положить «t = 1,5» — значит сказать: «предположим, ошибка в полтора раза больше модуля»; сам модуль является ошибкой определенной назначаемой величины, зависящей от природы рассматриваемых измерений или наблюдений. Мы увидим это лучше, если представим интеграл в форме 2/√π ∫0^hx e^-h^2x^2 d(hx); что является точно эквивалентным, поскольку значение определенного интеграла не зависит от используемой конкретной переменной. Здесь hx — это то же самое, что x : 1/h; т.е. это отношение x к 1/h, или x, измеренное в терминах 1/h. Но 1/h — это модуль в уравнении (y = h/√π e^-h^2x^2) для закона ошибок. Другими словами, числовое значение ошибки в этой формуле — это число раз, целых или дробных, которое она содержит в себе модуль.

Этот вид среднего значения Фехнер и другие называют «dichteste Werth» (наиболее плотное значение). Наиболее подходящий пример его использования, который мне встречался, приведен проф. Лексисом (Massenerscheinungen, стр. 42), где он показывает, что оно четко указывает на своего рода нормальную продолжительность человеческой жизни, составляющую около 70 лет; результат, который почти полностью скрыт, когда мы обращаемся к арифметическому среднему.

Это среднее значение следовало бы называть «вероятным» значением (название, однако, уже занятое другим), на том основании, что оно указывает на точку наиболее вероятного появления; т.е. если мы сравним все бесконечно малые и равные единицы вариации, то та, что соответствует этому значению, будет иметь тенденцию встречаться наиболее часто.

Диаграмма, иллюстрирующая это количество результатов, была приведена в журнале Nature (1 сентября 1887 г.). При вычислении различных средних значений, как указано выше, замечу, что исходные результаты были даны с тремя десятичными знаками; но при их классификации учитывался только один знак. То есть 29,9 включает все значения от 29,900 до 29,999. Таким образом, значением, наиболее часто встречающимся в моих таблицах, было 30,0, но по обычным принципам интерполяции оно считается равным 30,05.

В используемой здесь фразеологии есть некоторая двусмысленность. Так, Эри обычно использует выражение «среднеквадратичная ошибка» (Error of Mean Square) для обозначения, как и здесь, √∑e²/n. Гэллоуэй обычно говорит о «среднем квадрате ошибок» (Mean Square of the Errors) для обозначения ∑e²/n. Я буду придерживаться первого словоупотребления и кратко обозначать его как E.M.S. Еще более неудачным (на мой взгляд) является использование г-ном Мерриманом и другими выражения «средняя ошибка» (Mean Error) (широко используемого в своем более естественном значении) в качестве эквивалента этого E.M.S.

Технический термин «флуктуация» применяется г-ном Ф. И. Эджуортом к выражению 2∑e²/n.

На практике, конечно, мы должны учитывать расширение или сжатие. Но для целей логического объяснения мы можем удобно принять эту вариацию в качестве образца одного из тех возмущений, которые могут быть нейтрализованы путем обращения к среднему значению.

Точнее, полиномиальное: относительная частота различных чисел указывается коэффициентами степеней x в разложении

(1 + x + x² + … + x⁹)¹⁰.

Г-ном Мерриманом в его работе по методу наименьших квадратов.

ГЛАВА XIX.

ТЕОРИЯ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ КАК СПОСОБ ПРИБЛИЖЕНИЯ К ИСТИНЕ.

§ 1. В последней главе мы рассматривали среднее значение преимущественно в его качественном, а не количественном аспекте. То есть мы обсуждали его общую природу, основные разновидности и главные способы применения в повседневной жизни или в процессах рассуждения, которые не претендуют на особую точность. Теперь пришло время более детально рассмотреть специфический вопрос применения среднего значения способом, который является особо подходящим для теории вероятностей. То есть мы должны предполагать, что перед нами имеется определенное количество измерений — в самом широком смысле этого термина — и мы готовы ответить на такие вопросы, как: Почему мы берем их среднее значение? С какой степенью уверенности? Должны ли мы во всех случаях брать среднее значение, и если да, то всегда ли одного и того же вида?

Предмет, к которому мы приступаем, является тем, который при его самом общем теоретическом рассмотрении, возможно, породил более глубокие исследования, большее разнообразие мнений и, как следствие, более обширную историю и литературу, чем любая другая отдельная проблема в области математики. [1] Но, несмотря на это, основные логические принципы, лежащие в основе рассматриваемых методов и процессов, как я полагаю, не особенно сложны для понимания: хотя из-за чрезвычайно технического стиля изложения, принятого даже в сравнительно элементарных дискуссиях по этому предмету, тем, кто обладает лишь умеренными математическими ресурсами, далеко не просто отделить эти принципы от символов, в которые они облечены. Настоящая глава содержит попытку устранить эти трудности, насколько это касается общего понимания предмета. Поскольку принятое таким образом изложение включает значительное количество подразделов, читателю, вероятно, будет удобно время от времени обращаться к оглавлению в начале этого тома.

§ 2. Предмет, в том виде, в котором мы будем его обсуждать, будет сужен до рассмотрения среднего значения ввиду относительной простоты и очень широкой распространенности этого аспекта проблемы. Однако эту проблему очень часто называют, даже в нематематических трактатах, правилом или методом наименьших квадратов; дело в том, что в тех случаях, с которыми мы будем иметь дело, правило наименьших квадратов сводится к более простому и привычному процессу взятия арифметического среднего. Очень простой пример — приведенный Гершелем — объяснит общую природу задачи при несколько более широком рассмотрении и послужит оправданием привычного обозначения.

Предположим, что человек некоторое время стрелял из пистолета по небольшой мишени, скажем, по облатке на стене. Мы можем принять как должное, что следы от выстрелов будут стремиться сгруппироваться вокруг облатки как центра, с плотностью, изменяющейся некоторым образом обратно пропорционально расстоянию от центра. Но теперь предположим, что облатка, отмечавшая центр, была удалена, так что мы не видим ничего, кроме поверхности стены, испещренной следами от выстрелов; и нас просят угадать положение облатки. Если бы был только один выстрел, здравый смысл подсказал бы нам предположить (конечно, очень неуверенно), что он отмечает истинный центр. Если бы их было два, здравый смысл подсказал бы нам взять среднюю точку между ними. Но если бы их было три или более, здравый смысл оказался бы в тупике. Он почувствовал бы, что следует выбрать некоторую промежуточную точку, но не увидел бы способа для более точного определения, потому что его привычная опора — арифметическое среднее — здесь, по-видимому, неприменима. Рассматриваемое правило говорит нам, как действовать. Оно предписывает нам выбрать ту точку, которая сделает сумму квадратов всех расстояний от нее до различных следов выстрелов наименьшей возможной. [2]

Это лишь для иллюстрации и для оправдания привычного обозначения правила. Те виды случаев, которыми мы будем заниматься исключительно, — это сравнительно простые случаи, в которых объектом рассмотрения является только линейная величина или некоторое качество, которое может быть адекватно представлено линейной величиной. В отношении них правило наименьших квадратов сводится к процессу взятия среднего значения в самом привычном смысле этого термина, а именно арифметического среднего; и единого закона ошибок или его графического эквивалента, кривой распределения, будет достаточно, чтобы точно указать сравнительную частоту различных величин одной вовлеченной переменной величины.

§ 3. Мы можем здесь снова удобно обратить внимание на заблуждение или путаницу, которые уже были отмечены в предыдущей главе. Это смешение закона ошибок с методом наименьших квадратов. Это вещи совершенно разного рода. Первый имеет природу физического факта, и его возникновение во многих случаях полностью вне нашего контроля. Последний — или любое его упрощенное применение, такое как арифметическое среднее — не является никаким законом в физическом смысле. Это скорее предписание или правило для нашего руководства. Закон указывает в любом данном случае, как ошибки имеют тенденцию возникать в отношении их величины и частоты. Метод указывает нам, как обращаться с этими ошибками, когда нам представлено их любое количество. Несомненно, существует связь между ними, как будет указано в ходе следующих страниц; но нет ничего, что действительно мешало бы нам использовать один и тот же метод для разных законов ошибок или разные методы для одного и того же закона. При этом вопрос о четком «правильно» или «неправильно» возникал бы редко, скорее вопрос о большей или меньшей целесообразности.

§ 4. Читатель должен понимать — как это подразумевалось в иллюстрации с выстрелами из пистолета, — что конечная проблема, стоящая перед нами, является обратной. То есть предполагается, что перед нами имеется умеренное количество «ошибок» и мы должны взяться сказать, где находится центр, от которого они расходятся. Это напоминает определение причины по наблюдению следствия. Но, как это чаще всего бывает в обратных задачах, мы должны начать с рассмотрения прямой задачи. Другими словами, что касается рассматриваемого случая, нам придется начать с предположения, что конечная цель нашего стремления — то есть истинный центр нашей кривой частоты — нам уже известна: в этом случае все, что остается сделать, это изучить последствия взятия средних значений величин, которые составляют ошибки.

§ 5. Мы пока ограничим наши замечания тем, что должно рассматриваться как типичный случай, когда затрагиваются соображения вероятности; а именно тем, в котором закон расположения или развития является биномиального типа. Природа этого закона была объяснена в гл. II, где было показано, что частота соответствующих чисел появлений регулировалась в соответствии с величиной последовательных членов разложения бинома (1 + 1)ⁿ. Было также указано, что когда n становится очень большим, то есть когда число влияющих обстоятельств очень велико, а их относительное индивидуальное влияние соответственно мало, форма, принимаемая кривой, проведенной через вершины ординат, представляющих эти последовательные члены бинома, стремится к той, которая задается уравнением

y = Ae−h²x².

Поэтому для всех практических целей мы можем безразлично говорить о биномиальном или экспоненциальном законе; хотя бы на том основании, что расположение фактических явлений по одной или другой из этих двух схем вскоре стало бы неразличимым, когда вовлеченные числа велики. Но есть и другое основание, помимо этого. Даже когда сами явления представляют собой непрерывную величину, наши измерения их — с которыми мы только и можем иметь дело — являются дискретными. Предположим, перед нами точные значения роста миллиона взрослых мужчин. Для всех практических целей они представляли бы вариации непрерывной величины, ибо различия между двумя последовательными величинами, особенно вблизи среднего значения, были бы пренебрежимо малы. Но наши таблицы, вероятно, будут представлять их только с точностью до дюйма. У нас есть столько-то человек с ростом 69 дюймов; столько-то с 70; и так далее. Табличное изложение, по сути, имеет тот же характер, как если бы мы определяли количество «орлов» при подбрасывании горсти монет; то есть как если бы мы имели дело с дискретными числами по биномиальному закону, а не с непрерывной величиной по экспоненциальному распределению.

§ 6. Ограничиваясь тогда, на данный момент, этой общей главой о биномиальном или экспоненциальном законе, мы должны различать два отдельных случая в отношении знаний, которыми мы можем обладать относительно порождающих обстоятельств переменных величин.

(1) Существует, во-первых, случай, в котором условия задачи определимы априори: то есть, когда мы способны сказать, до конкретного опыта, как часто каждая комбинация будет встречаться в долгосрочной перспективе. В этом случае главная или конечная цель, для которой, как мы предполагаем, используется среднее значение — т.е. обнаружение истинного среднего значения — отпадает. Мы способны сказать, каким будет среднее или центральное значение в долгосрочной перспективе; и поэтому нет необходимости приступать к его определению, с некоторым трудом и неопределенностью, по небольшому количеству наблюдений. Тем не менее, необходимо тщательно обсудить этот случай, потому что его допущение является необходимым звеном в рассуждениях в других случаях.

Это сравнительно априорное знание может представляться в двух различных степенях в отношении своей полноты. Во-первых, оно может быть абсолютно полным, насколько это касается рассматриваемых обстоятельств. Рассмотрим результаты, когда горсть из десяти пенсов неоднократно подбрасывается. Мы точно знаем, каково здесь среднее значение, а именно равное деление орлов и решек: мы также знаем вероятность шести орлов и четырех решек и так далее. То есть, если бы нам пришлось построить диаграмму, показывающую относительную частоту каждой комбинации, мы могли бы сделать это, не прибегая к опыту. Мы могли бы нарисовать соответствующую биномиальную кривую из порождающих условий, данных в постановке задачи.

Но теперь рассмотрим результаты стрельбы по мишени, состоящей из длинной и узкой полоски, одна точка которой отмечена как центр прицеливания. [3] Здесь (при условии, что нет причин, вызывающих постоянное смещение) мы знаем, что этот центр будет соответствовать среднему значению. И мы также знаем, в общем виде, что рассеивание по обе стороны от него будет следовать биномиальному закону. Но если бы мы попытались построить пропорции, как в предыдущем случае, путем возведения ординат, которые должны представлять каждую степень частоты по мере удаления от среднего, мы обнаружили бы, что не можем этого сделать. Должны быть даны или выведены новые данные. Хороший стрелок и плохой стрелок будут распределять свои выстрелы согласно одному и тому же общему закону; но быстрота, с которой выстрелы редеют по мере удаления от центра, будет разной в этих двух случаях. Требуется еще одна «константа», прежде чем кривая частоты может быть правильно начерчена.

§ 7. (2) Второй раздел, который будет рассмотрен далее, соответствует во всех логических целях первому. Он включает случаи, в которых, хотя у нас нет априорных знаний относительно положения, вокруг которого значения будут стремиться группироваться в долгосрочной перспективе, тем не менее у нас под рукой достаточно опыта, чтобы определить его с практической уверенностью. Рассмотрим, например, таблицы человеческого роста. Они часто очень обширны, включая десятки или сотни тысяч. В таких случаях среднее или центральное значение определяется с такой же большой уверенностью, как и по любому априорному правилу. То есть, если бы мы взяли еще сто тысяч измерений из той же группы населения, мы были бы уверены, что среднее значение не изменилось бы на какую-либо величину, которую наши измерительные приборы могли бы практически оценить.

§ 8. Но простое определение среднего или центрального значения не дает нам здесь, как и в предыдущем случае, всего, что мы хотим знать. Может случиться так, что средний рост двух групп населения одинаков, но закон рассеивания вокруг этого среднего значения очень различен: так что человек, который в одной серии был исключительным гигантом или карликом, в другой не был бы ничем примечательным.

Объяснение процесса определения фактической величины рассеивания потребовало бы слишком много математических деталей; но можно дать некоторое указание. Что нам нужно сделать, так это определить константу h в уравнении [4] y = h/√π e⁻h²x². На техническом языке нам нужно определить модуль этого уравнения. Величина 1/h в вышеприведенном выражении называется модулем. Она измеряет степень сжатия или рассеивания вокруг среднего значения, указанного этим уравнением. Когда она велика, рассеивание значительно; то есть величины не плотно сгруппированы к центру, когда она мала, они плотно сгруппированы. Чем меньше модуль в кривой, представляющей плотность, с которой следы от выстрелов группировались вокруг центра мишени, тем лучше стрелок.

§ 9. Существует несколько способов определения модуля. В первом из рассмотренных выше случаев, где наши теоретические знания полны, мы способны вычислить его априори из нашего знания вероятностей. Мы бы естественно приняли этот план, если бы подбрасывали большую горсть пенсов.

Обычный апостериорный план, когда у нас перед глазами есть измерения величин или наблюдений, таков: возьмите средний квадрат ошибок и удвойте его; результат дает квадрат модуля. Предположим, например, что у нас есть пять величин: 4, 5, 6, 7, 8. Среднее из них равно 6: «ошибки» соответственно равны 2, 1, 0, 1, 2. Следовательно, «квадрат модуля» равен 10/5; т.е. модуль равен √2. Если бы величины были 2, 4, 6, 8, 10, представляя то же среднее (6), что и раньше, но демонстрируя большее рассеивание вокруг него, модуль был бы больше, а именно √8 вместо √2.

Метод г-на Гальтона носит более графический характер. Он описан в статье по статистике путем взаимного сравнения (Phil. Mag. 1875) и в других местах. Его можно обозначить следующим образом. Предположим, что мы имеем дело с большим количеством измерений человеческого роста, и представим, что все рассматриваемые лица выстроены в порядке их роста. Выберите средний рост, отмеченный центральным человеком в ряду. Предположим, он равен 69 дюймам. Затем поднимите (или опустите) шкалу от этой точки до такой высоты, чтобы она как раз включала одну половину людей выше (или ниже) среднего значения. (На практике было бы обнаружено, что для этого требуется около 1,71 дюйма: то есть одна четверть любой большой группы таких людей попадет в диапазон между 69 и 70,71 дюймами.) Разделите это число на 0,4769, и мы получим модуль. В рассматриваемом случае он был бы равен примерно 3,6 дюйма.

При допущении, с которого мы начинаем, а именно, что закон ошибок проявляется в привычной биномиальной форме или в некоторой форме, приближающейся к ней, три указанных выше метода совпадут в своем результате. Там, где есть какие-либо сомнения на этот счет, или где мы не чувствуем себя способными заранее рассчитать, какова будет скорость рассеивания, мы должны принять второй план определения модуля. Это единственный универсально применимый способ расчета: фактически, то, что он должен давать модуль, является истиной по определению; ибо при определении среднеквадратичной ошибки мы на самом деле не делаем ничего иного, кроме определения модуля, как было указано в последней главе.

§ 10. Позиция, к которой мы теперь пришли, такова. Принимая как должное, что закон ошибок примет символическую форму, выраженную уравнением y = h/√π e⁻h²x², у нас под рукой есть правила, с помощью которых h может быть определено. Поэтому для рассматриваемых целей мы знаем все о кривой частоты: мы можем начертить ее на бумаге: имея одно значение — скажем, центральное — мы можем определить любое другое значение на любом расстоянии от него. То есть, зная, сколько человек в миллионе, скажем, имеют рост 69 дюймов, мы можем определить без прямого наблюдения, сколько будет иметь рост 67, 68, 70, 71 и так далее.

Теперь мы можем адекватно обсудить главный вопрос логического интереса, стоящий перед нами; а именно: почему мы берем средние значения? Какова точная природа и величина преимущества, получаемого при этом? Продвинутый студент, конечно, предпочел бы получить ответы на эти вопросы, обратившись сразу к закону ошибок в его конечной или экспоненциальной форме. Но я убежден, что лучший метод для тех, кто хочет получить ясное представление о логической природе вовлеченного процесса, — это начать с рассмотрения его как вопроса о комбинациях, с которыми мы знакомы в элементарной алгебре; другими словами, взять конечное число ошибок и посмотреть, что получится из их усреднения. Затем мы можем приступить к арифметическому вычислению результатов объединения двух или более ошибок вместе, чтобы получить новую серию, не довольствуясь лишь общим характером нового закона ошибок, а фактически вычисляя, что он представляет собой в данном случае. Ради простоты мы не будем брать серию с очень большим количеством членов, но будет хорошо иметь их достаточно, чтобы гарантировать, что наш закон ошибок будет грубо приближаться по своей форме к стандартному или экспоненциальному закону.

Для этой цели будет достаточно закона ошибок или расхождения, полученного при допущении, что на наше усилие влияют десять причин, каждая из которых производит равную ошибку, но эта ошибка с равной вероятностью может быть положительной и отрицательной (или, как это можно было бы выразить, «десять равных и безразлично аддитивных и субтрактивных причин»). Это наименьшее число, сформированное согласно биномиальному закону, которое даст глазу справедливое представление о предельном или экспоненциальном законе. [5] Общее число возможных случаев здесь равно 2¹⁰ или 1024; то есть это число, необходимое для демонстрации не только всех случаев, которые могут произойти (ибо существует всего одиннадцать действительно различных случаев), но также относительной частоты, с которой каждый из этих случаев встречается в долгосрочной перспективе. Из этого общего числа 252 будут расположены в среднем значении, представляя «истинный» результат, или тот, который получается, когда пять причин возмущения просто нейтрализуют другие пять. Далее, 210 будут на расстоянии, которое мы назовем одной единицей от среднего значения, или то, которое получается при объединении шести причин против четырех; и так далее; пока на крайнем расстоянии пяти мест от среднего значения мы не получим только один результат, поскольку только в одном случае из 1024 все причины объединятся вместе в одном направлении. Набор из 1024 усилий является, следовательно, справедливым представлением распределения бесконечного числа таких усилий. Графическое представление этого расположения приведено здесь.

§ 11. Это представляет собой полный набор отдельных наблюдений или усилий, каким будет число и расположение в соответствующем наборе комбинированных или редуцированных наблюдений, скажем, двух вместе? Что касается числа, мы должны иметь в виду, что это не случай комбинаций вещей, которые нельзя повторить; ибо любая данная ошибка, скажем, крайняя в F, может, очевидно, повторяться дважды подряд. Такое повторение было бы, конечно, большим невезением, но, будучи возможным, оно должно иметь свое место в наборе. Теперь возможное число способов комбинирования 1024 вещей по две вместе, где одна и та же вещь может повторяться дважды подряд, равно 1024 × 1024 или 1048576. Это и есть число в полном цикле результатов, взятых по два вместе.

§ 12. Столько об их числе; теперь об их расположении или распределении. Что мы должны установить, это, во-первых, сколько раз каждая возможная пара наблюдений будет представляться; и, во-вторых, где должны быть размещены новые результаты, полученные из комбинации каждой пары. Что касается первого из этих запросов — будет легко увидеть, что в одном случае мы будем иметь F, повторенное дважды; в 20 случаях мы будем иметь F, объединенное с E (ибо F, идущее первым, может сопровождаться любым из 10 в E, или любое из них может сопровождаться F); E может повторяться 10 × 10, или 100 способами, и так далее.

Теперь о положении каждой из этих редуцированных наблюдений, относительная частота компонентов которых была таким образом указана. Это легко определить, ибо когда мы берем две ошибки, почти нет (как было видно) другого способа обработки, кроме выбора средней точки между ними; эта средняя точка, конечно, становится идентичной каждой из них, когда они случайно совпадают. Поэтому будет видно, что F будет повторяться один раз в новом расположении, т.е. путем его повторения дважды в старом. G, посередине между E и F, будет дано 20 раз. E, в нашем новом расположении, может быть получено двумя способами, т.е. путем его повторения дважды (что произойдет 100 раз) и путем его получения как средней точки между D и F (что произойдет 90 раз). Следовательно, E будет встречаться 190 раз в общей сложности.

Читатель, который решит взять на себя труд, может вычислить частоту всех возможных появлений таким образом, и если бы целью было просто проиллюстрировать принцип, в соответствии с которым они происходят, это мог бы быть лучший способ действий. Но, как он вскоре сможет заметить, и как математик сразу смог бы доказать, новый «закон легкости ошибок» может быть получен быстрее дедуктивно, т.е. путем взятия последовательных членов разложения (1 + 1)²⁰. Они приведены ниже линии на рисунке на стр. 476.

§ 13. Существуют два очевидных препятствия для любого прямого сравнения между распределением старого набора простых наблюдений и нового набора комбинированных или редуцированных. Во-первых, число последних намного больше. Это, однако, легко решается путем приведения их обоих к одному масштабу, то есть путем создания одинакового общего числа каждого. Во-вторых, половина новых позиций не имеет представителей среди старых, т.е. те, которые встречаются посередине между F и E, E и D и так далее. Это может быть решено обычным планом интерполяции, т.е. путем заполнения таких пробелов путем оценки того, каким было бы число в отсутствующих точках, в том же масштабе, если бы они были заняты. Проведите кривую через вершины ординат в A, B, C и т.д., и длины ординат в промежуточных точках будут вполне справедливо представлять соответствующую частоту ошибок этих величин соответственно. Когда пробелы таким образом заполнены, а числа таким образом приведены к одному масштабу, мы имеем совершенно справедливую основу для сравнения. (См. рисунок на следующей странице.)

Аналогично мы могли бы приступить к группировке или «редукции» трех наблюдений или любого большего числа. Число возможных группировок естественно становится очень намного больше, будучи (1024)³ когда они взяты по три вместе. Как только мы доходим до трех или более наблюдений, у нас есть (как уже было указано) разнообразие возможных способов обработки или редукции, из которых взятие арифметического среднего является лишь одним.

§ 14. Следующий рисунок предназначен для иллюстрации природы преимущества, обеспечиваемого таким взятием арифметического среднего нескольких наблюдений.

Кривая ABCD представляет расположение заданного числа «ошибок», предполагаемых распределенными согласно уже упомянутому биномиальному закону, когда углы были сглажены путем проведения через них кривой. A'CD' представляет аналогичное расположение того же числа, когда они даны не как простые ошибки, а как средние значения пар ошибок. A"BD", опять же, представляет аналогичное расположение, полученное как средние значения ошибок, взятых по три вместе. Они начерчены в масштабе настолько тщательно, насколько позволяет малый размер рисунка.

§ 15. Взгляд на вышеприведенный рисунок объяснит читателю лучше, чем любое словесное описание, полное значение утверждения, что результат объединения двух или более измерений или наблюдений вместе и взятия их среднего значения, вместо того чтобы останавливаться на отдельных элементах, делает большие ошибки сравнительно более редкими. Преимущество того же общего описания, что и при ловле рыбы в озере, где при том же количестве рыбы больше крупной и меньше мелкой, чем в другом водоеме: при опускании в мешок, где при том же количестве монет больше соверенов и меньше шиллингов; и так далее. Чрезвычайная важность, однако, получения совершенно ясного представления о предмете может сделать желательным проработать это немного более подробно.

Во-первых, тогда, должно быть ясно понято, что результат набора «средних значений» ошибок есть не что иное, как другой набор «ошибок». Никакое устройство не может сделать достижение истинного результата достоверным — предполагать обратное означало бы неверно понимать самые основы теории вероятностей — никакое устройство даже не может исключить возможность оказаться в худшем положении в результате нашего труда. Среднее значение двух, трех или любого большего числа отдельных результатов может дать худший результат, т.е. более далекий от конечного среднего значения, чем был дан первым сделанным нами наблюдением. Мы должны просто вернуться к оправданию, что большие отклонения становятся более редкими в долгосрочной перспективе.

Опять же; можно указать, что хотя в вышеприведенном исследовании мы говорили только об арифметическом среднем, как оно обычно понимается и используется, те же общие результаты были бы получены путем прибегания почти к любому симметричному и регулярному способу комбинирования наших наблюдений или ошибок. Двумя главными особенностями регулярности, демонстрируемой биномиальным законом легкости, были (1) конечная симметрия относительно центрального или истинного результата и (2) возрастающая относительная частота по мере приближения к этому центру. Очень небольшое размышление покажет, что это не является исключительной прерогативой арифметического среднего — сохранять первое из них и увеличивать второе. Говоря это, однако, следует обратить внимание на различие, для которого будет удобно обратиться к рисунку.

§ 16. Предположим, что O, на линии D'OD, было точкой, на которую целились при любой серии измерений; или, что сводится к тому же для нашей нынешней цели, было конечным средним всех сделанных измерений. Что мы подразумеваем под симметричным расположением значений относительно O, это то, что для каждой ошибки OB должно в долгосрочной перспективе существовать точно соответствующая противоположная OB'; так что когда мы возводим ординату BQ, указывающую частоту, с которой получается B, мы должны возвести равную ей B'Q'. Соответственно, две половины кривой по обе стороны от P, а именно PQ и PQ', точно одинаковы.

Тогда легко следует, что вторичная кривая, а именно та, которая отмечает закон частоты средних значений двух или более простых ошибок, также будет симметричной. Рассмотрим любые три точки B, C, D: им соответствуют другие три B', C', D'. Поэтому очевидно, что любой регулярный и симметричный способ обращения со всеми группами, образцом которых является BCD, приведет к симметричному расположению относительно центра O. Обычное привычное арифметическое среднее — лишь один из многих таких способов. Один из способов описания его заключается в том, что среднее значение B, C, D определяется путем выбора точки такой, что сумма квадратов ее расстояний от B, C, D является минимальной. Но мы могли бы выбрать точку такую, что кубы, или четвертые степени, или любые более высокие степени были бы минимальными. Все они дали бы кривые, напоминающие в общем виде пунктирную линию на нашем рисунке. Конечно, существовали бы непреодолимые практические возражения против любых таких курсов, как эти; ибо труд по вычислению был бы огромным, а результаты, будучи далекими от того, чтобы быть лучше, были бы хуже, чем те, что предоставляются использованием обычного среднего значения. Но что касается общего принципа обращения с диссонирующими и ошибочными результатами, следует помнить, что привычное среднее значение — лишь один из бесчисленных возможных ресурсов, все из которых дали бы тот же вид помощи.

§ 17. Еще раз. Мы видели, что обращение к среднему значению имело эффект «выпучивания» нашей кривой больше к центру, выражая тот факт, что ошибки средних значений являются лучшего, т.е. меньшего вида. Но следует заметить, что точно такие же характеристики будут следовать, как общее правило, из любого другого такого способа обращения с индивидуальными ошибками. Строгого доказательства этого факта здесь дать нельзя, но ссылка на один из привычных результатов взятия комбинаций вещей покажет, откуда возникает эта тенденция. Крайние результаты, как они получаются средним значением любого вида, могут быть получены только одним способом, т.е. путем повторений крайностей в индивидах, из которых были получены средние значения. Но промежуточные результаты могут быть получены двумя способами, т.е. либо промежуточными индивидами, либо комбинациями индивидов в противоположных направлениях. В случае биномиального закона ошибок эта тенденция к утолщению к центру была уже сильно преобладающей в индивидуальных значениях, прежде чем мы взяли их в руки для нашего среднего значения; но благодаря этой характеристике комбинаций мы можем утверждать (говоря широко), что любой вид среднего значения, примененный к любому виду закона распределения, даст результат, который имеет то же общее отношение к индивидуальным значениям, что пунктирные линии выше имеют к черной линии. [6]

§ 18. Раз это так, спекулятивные преимущества одного метода комбинирования, или усреднения, или редукции наших наблюдений перед другим методом — независимо, то есть, от практических удобств в их осуществлении — будут состоять исключительно в степени быстроты, с которой он стремится таким образом сгруппировать результат вокруг центра. Мы должны будем подвергнуть это достоинство несколько более глубокому анализу, но для нынешней цели будет достаточно сказать, что если один вид среднего значения давал более высокую пунктирную линию на рисунке на стр. 479, а другой давал более низкую пунктирную линию, мы сказали бы, что первый был лучшим. Преимущество того же общего вида, что и то, которое предоставляется в алгебраическом вычислении рядом, который быстро сходится к истинному значению, по сравнению с тем, который сходится медленно. Мы можем выполнить работу рано или поздно с помощью любого из них; но мы приближаемся к истине на ту же величину труда, или получаем столь же близко на меньшую величину труда, по одному плану, чем по другому.

Поскольку мы здесь рассматриваем случай, в котором индивидуальные наблюдения предполагаются сгруппированными в соответствии с биномиальным законом, будет достаточно сказать, что в этом случае нет сомнений, что арифметическое среднее является не только самым простым и легким для работы, но и лучшим в вышеуказанном смысле этого термина. И поскольку этот биномиальный закон, или что-то приближающееся к нему, имеет очень широкое распространение, создается сильное prima facie основание для общего использования привычного среднего значения.

§ 19. Анализ нескольких страниц назад довел результаты процесса усреднения настолько далеко, насколько это можно было удобно сделать с помощью простой арифметики. Чтобы идти дальше, мы должны обратиться к высшей математике, но следующего указания рода полученных результатов будет достаточно для нашей нынешней цели. В конце концов, последовательные шаги, хотя и требующие сложного рассуждения для их доказательства, являются не чем иным, как обобщениями процессов, которые могли бы быть установлены простой арифметикой. [7] Кратко, что мы делаем, это следующее:—

(1) Мы сначала расширяем доказательство от биномиальной формы, с ее конечным числом элементов, до предельной или экспоненциальной формы. Вместо того чтобы ограничиваться небольшим числом дискретных ошибок, мы затем признаем возможность любого числа ошибок любой величины вообще.

(2) В следующем месте, вместо того чтобы ограничиваться рассмотрением среднего значения только двух или трех — уже, как мы видели, утомительного куска арифметики — мы вычисляем результат среднего значения любого числа n. Фактический результат чрезвычайно прост. Если модуль отдельных ошибок равен c, то модуль среднего значения n из них будет c ÷ √n.

(3) Наконец, мы делаем аналогичные выводы в отношении суммы или разности двух средних значений любых чисел. Предположим, например, что m ошибок были сначала взяты и усреднены, а затем n аналогично взяты и усреднены. Эти средние значения будут почти, но не совсем, равны. Их сумма или разность — эти, конечно, неразличимы в конце, поскольку положительные и отрицательные ошибки предполагаются равными и противоположными — сама по себе будет «ошибкой», каждая величина которой будет иметь определенную приписываемую вероятность или легкость появления. Что мы делаем, это приписываем модуль этих ошибок. Фактический результат опять прост. Если c был модулем отдельных ошибок, то модуль суммы или разности средних значений m и n из них будет

c √ ¹/m + ¹/n.

§ 20. До сих пор проблема, находящаяся под исследованием, была прямого вида. Мы предполагали, что конечное среднее значение или центральное положение было дано нам; либо априори (как во многих играх случая), либо из более непосредственных физических соображений (как при прицеливании в мишень), либо из обширной статистики (как в таблицах человеческого роста). Во всех таких случаях, следовательно, главное desideratum уже принято как должное, и можно разумно спросить, что остается сделать. Ответы различны. Во-первых, мы можем захотеть оценить значение среднего значения многих при сравнении со средним значением немногих. Предположим, что один человек собрал статистику, включающую 1000 случаев, а другой собрал 4000 аналогичных случаев. Здравый смысл может признать, что последние лучше первых; но он не имеет представления, насколько они лучше. Здесь, как и везде, количественная точность — привилегия науки. Ответ, который мы получаем из этого источника, заключается в том, что в долгосрочной перспективе модуль — а вместе с ним вероятная ошибка, средняя ошибка и среднеквадратичная ошибка, которые все варьируются пропорционально — уменьшается обратно пропорционально квадратному корню из числа измерений или наблюдений. (Это следует из второй из вышеприведенных формул.) Соответственно, вероятная ошибка более обширной статистики здесь в два раза меньше, чем менее обширной. Возьмем другой пример. Наблюдение показывает, что «средний рост 2315 преступников отличается от среднего роста 8585 членов общего взрослого населения примерно на два дюйма» (см. Эджуорт, Методы статистики: Stat. Soc. Journ. 1885). Как и раньше, здравый смысл чувствовал бы мало сомнений в том, что такая разница была значимой, но он не мог дать никакой численной оценки значимости. Обращаясь к науке, мы видим, что это иллюстрация третьей из вышеприведенных формул. Что мы действительно хотим знать, так это шансы против того, что средние значения двух больших партий различаются на заданную величину: в данном случае на величину, равную двадцати пяти раз модулю переменной величины. Шансы против этого составляют многие миллиарды к одному.

§ 21. Число прямых задач, которые таким образом допустят решение, очень велико, но мы должны ограничиться здесь главной обратной задачей, к которой вышеприведенная дискуссия является предварительной. Она такова. Дано лишь несколько из одной из этих групп измерений или наблюдений; что мы можем сделать с ними в плане определения того среднего значения, вокруг которого они в конечном итоге будут группироваться? Дано большое их число, они выдали бы положение своего конечного центра с постоянно возрастающей уверенностью: но мы сейчас предполагаем, что под рукой есть только несколько из них, скажем полдюжины, и что у нас нет силы в настоящее время увеличить число.

Другими словами — выражая себя с помощью графической иллюстрации, которая, возможно, является лучшим методом для новичка и для логического студента — в прямой задаче мы просто должны начертить кривую частоты из знания ее определяющих элементов; а именно положения центра и численного значения модуля. В обратной задаче, с другой стороны, у нас есть по крайней мере три элемента для определения. Ибо не только мы должны (1), как раньше, определить, где можно предположить, что лежит центр; и (2), как раньше, определить значение модуля или степени рассеивания вокруг этого центра. Это не завершает наше знание. Поскольку ни один из этих двух элементов не задан с уверенностью, нам нужно то, что всегда требуется в теории вероятностей, а именно некоторая оценка их вероятной истинности. То есть, сделав наилучшее назначение, какое мы можем, относительно значения этих элементов, мы хотим также назначить численно «вероятную ошибку», совершенную в таком назначении. Ничего больше этого нельзя достичь в теории вероятностей, но ничего меньше этого не должно быть поставлено перед нами.

§ 22. (1) Что касается первого из этих вопросов, ответ очень прост. Будь число измерений или наблюдений малым или большим, мы должны сделать допущение, что их среднее значение и есть та точка, которую мы хотим; то есть, что среднее значение немногих совпадет с конечным средним значением. Это лучшее, фактически единственное допущение, которое мы можем сделать. Мы должны принять этот план, конечно, в крайнем случае, когда перед нами только одно значение, просто взяв это одно; и наша уверенность медленно возрастает с числом значений перед нами. Единственная разница, следовательно, здесь между знанием, опирающимся на такие данные, и знанием, опирающимся на полные данные, заключается не в полученном результате, а в уверенности, с которой мы его придерживаемся.

§ 23. (2) Что касается второго вопроса, т.е. определения модуля или степени рассеивания вокруг среднего значения, можно сказать почти то же самое. То есть мы принимаем то же правило для определения E.M.S. (среднеквадратичной ошибки), по которому назначается модуль, какое мы приняли бы, если бы обладали полной информацией. Или, скорее, мы ограничены одним из правил, данных на стр. 473, а именно вторым, ибо по предположению у нас нет ни априорного знания, которое могло бы предоставить первое, ни достаточного числа наблюдений, чтобы оправдать третье. То есть мы считаем ошибки, измеренные от среднего значения, и вычисляем их средний квадрат: удвоенный он равен квадрату модуля вероятной кривой распределения. [8]

§ 24. (3) Третий вопрос требует для своего решения несколько продвинутой математики; но результаты могут быть указаны без особых трудностей. Популярным способом изложения нашего требования было бы сказать, что мы хотим знать, насколько вероятно, что среднее значение немногих, которое мы таким образом приняли, совпадет с истинным средним значением. Но это было бы говорить небрежно, ибо шансы, конечно, бесконечно велики против такого точного совпадения. Что мы действительно делаем, это назначаем «вероятную ошибку»; то есть назначаем предел, который, как вероятно, так и нет, что расхождение между выведенным средним значением и истинным средним значением превысит. [9] Чтобы взять численный пример: предположим, мы сделали несколько измерений стены с помощью ленты, и что среднее из них было 150 футов. Скрупулезный геодезист дал бы нам этот результат с добавлением некоторой такой поправки, как эта — «вероятная ошибка 3 дюйма». Все, что это означает, это то, что мы можем предположить, что истинное значение равно 150 футам, с уверенностью, что в половине случаев (этого описания), в которых мы это делали, мы действительно были бы в пределах трех дюймов от истины.

Выражение для этой вероятной ошибки является простым кратным модуля: это модуль, умноженный на 0,4769…. То, что это должно быть некоторой функцией модуля, или E.M.S., кажется достаточно правдоподобным; ибо чем больше ошибки — другими словами, чем шире наблюдаемое расхождение среди наших измерений — тем меньше должна быть уверенность, которую мы можем чувствовать в точности нашего определения среднего значения. Но, конечно, без математики мы были бы совершенно неспособны предпринять какое-либо численное назначение.

§ 25. Общий вывод, следовательно, заключается в том, что определение кривой распределения — и, следовательно, в конечном итоге каждого вывода, который опирается на знание этой кривой — когда доступно лишь несколько наблюдений, является точно того же вида, что и когда доступна бесконечность. Правила для его получения те же, но уверенность, с которой оно может быть принято, меньше.

Следовательно, знание, получаемое путем усреднения небольшого числа измерений любого рода, почти не отличается, за исключением степени, от того, которое было бы достижимо при бесконечно обширной серии таких измерений. Мы знаем тот же род фактов, только мы менее уверены в них. Но, с другой стороны, знание, даваемое средним значением даже небольшого числа измерений, отличается по своему роду от того, которое дает единичное измерение. Вернемся к нашему стрелку, чья мишень, как предполагается, была впоследствии убрана. Если бы он сделал только один выстрел, мы не только были бы менее уверены в точке, в которую он целился, но у нас не было бы никаких средств, чтобы угадать качество его стрельбы или сделать из этого какой-либо вывод о вероятной удаленности следующего выстрела от предыдущего. Но как только перед нами оказывается множество выстрелов, мы не только чувствуем себя более уверенно относительно того, где находился центр прицеливания, но и получаем некоторое знание о том, как будущие выстрелы будут группироваться вокруг указанной таким образом точки. Качество его стрельбы сразу же начинает обнаруживаться по результатам.

§ 26. До сих пор мы предполагали, что закон вероятности ошибок относится к биномиальному типу. Существует несколько причин для обсуждения этого вопроса со столь сравнительной подробностью. Во-первых, это единственный тип — или нечто приблизительно его напоминающее, — который фактически преобладает в широком спектре явлений. Кроме того, несмотря на свою кажущуюся сложность, он на самом деле является одним из самых простых для работы, благодаря тому факту, что каждая кривая вероятности ошибок, полученная из него путем взятия средних значений, просто повторяет тот же тип. Кривая среднего значения отличается от кривой отдельных элементов только меньшим модулем; и его модуль меньше в отношении, которое чрезвычайно легко привести. Если модуль одного равен c, то модуль другого (полученного путем усреднения n отдельных элементов) равен c/√n.

Но для понимания теории средних значений мы должны рассмотреть и другие случаи. Возьмем тот, который по своей сути является настолько простым, насколько это возможно, а именно тот, в котором все значения в определенных заданных пределах равновероятны. Это случай, достаточно хорошо знакомый в абстрактной теории вероятностей, хотя, как только что было отмечено, он не так часто встречается в природных явлениях. Это положение вещей, когда мы действуем случайным образом непосредственно с объектами выбора; как, например, когда мы выбираем цифры случайным образом из таблицы логарифмов.

Читатель, который желает это сделать, может без особого труда вычислить результат взятия среднего из двух или трех результатов, действуя точно так же, как мы приняли на стр. 476. «Кривая вероятности ошибок», с которой мы должны начать в этом случае, стала, конечно, просто конечной прямой линией. Рассматривая вопрос как задачу о простых комбинациях, мы можем разделить линию на ряд равных частей равноотстоящими точками; а затем продолжить брать их по две вместе всеми возможными способами, как мы делали в случае, обсуждавшемся несколько страниц назад.

Если бы мы это сделали, то обнаружили бы следующее. Когда берется среднее из двух, «кривая вероятности ошибок» среднего значения становится треугольником с исходной прямой линией в качестве основания; так что конечное среднее или центральная точка становится наиболее вероятным результатом даже при таком начале процесса усреднения. Если бы мы взяли средние из трех, четырех и так далее, то обнаружили бы, что здесь начинает проявляться биномиальный закон. Знакомая колоколообразная форма экспоненциальной кривой приближалась бы все ближе и ближе, пока мы не получили бы нечто совершенно неотличимое от нее.

§ 27. Таким образом, вывод заключается в том, что когда мы имеем дело со средними значениями, включающими значительное число, в общем случае нет необходимости заранее предполагать биномиальный закон распределения в наших исходных данных. Закон расположения того, что мы можем назвать производной кривой, а именно той, которая соответствует средним значениям, не будет заметно затронут этим. Соответственно, мы, по-видимому, оправданы в применении всего того же аппарата вычислений, что и в предыдущем случае. Мы принимаем начальное среднее значение за вероятное положение истинного центра или конечного среднего значения: мы оцениваем вероятность того, что мы находимся в пределах допустимого расстояния от истины при этом, вычисляя «среднеквадратичную ошибку»; и мы обращаемся к этому же элементу для определения модуля, т.е. величины сжатия или рассеяния нашей производной кривой вероятности ошибок.

Те же общие соображения будут применимы к большинству других видов закона вероятности ошибок. В широком смысле — мы вскоре перейдем к рассмотрению некоторых исключений — каким бы ни было первоначальное расположение (т.е. расположение отдельных результатов), расположение производных результатов (т.е. расположение средних значений) будет более скученным к центру. Это следует из уже отмеченной характеристики комбинаций, а именно того, что экстремальные значения могут быть получены только путем повторения нескольких экстремумов, тогда как промежуточные значения могут быть получены либо путем повторения промежуточных, либо через противодействие противоположных экстремумов. При условии, что исходное распределение симметрично относительно центра, и при условии, что пределы возможной ошибки конечны, или, если они бесконечны, что падение частоты по мере удаления от среднего значения происходит очень быстро, тогда результаты взятия средних будут лучше, чем результаты, основанные на доверии к единичным результатам.

§ 28. Теперь мы обратим внимание на исключительный случай. Мы сделаем это не потому, что он часто может встречаться на самом деле, а потому, что его рассмотрение заставит нас с некоторой тщательностью спросить себя, что мы подразумеваем в вышеприведенных примерах, называя результаты усреднения «лучшими», чем результаты отдельных значений. Диаграмма донесет до нас суть трудности лучше, чем любое словесное или символическое описание.

Черная линия представляет закон ошибок, легко выразимый словами, и такой, который, как мы увидим впоследствии, можно представить как встречающийся на практике. Он представляет положение вещей, при котором до определенного расстояния от O с каждой стороны, а именно до A и B, вероятность ошибки уменьшается равномерно с расстоянием от O; в то время как за пределами этих точек, до E и F, вероятность ошибки остается постоянной. Пунктирная линия представляет результирующий закон ошибок, полученный путем взятия среднего из предыдущих двух по два вместе. Является ли последний «лучшим», чем первый? При нем, безусловно, большие ошибки встречаются реже, а промежуточные — чаще; но тогда, с другой стороны, малые ошибки встречаются реже: является ли такое положение вещей в целом улучшением или нет? Это требует от нас пересмотра всего вопроса.

§ 29. Во всех случаях, обсуждавшихся в предыдущих разделах, превосходство кривой средних значений над кривой отдельных результатов проявлялось в каждой точке. Большие ошибки были реже, а малые ошибки — чаще; только в одной промежуточной точке они были равны, и эта точка не предполагалась обладающей каким-либо особым значением или важностью. Соответственно, у нас не было повода анализировать различные случаи, включенные в общее отношение. Было достаточно сказать, что один лучше другого, и для всех целей было достаточно принять «модуль» в качестве меры этого превосходства. Фактически, мы вполне можем просто сказать, что среднее значение этих средних результатов лучше, чем среднее значение отдельных.

Однако, когда мы приступаем к тому, что Юм называет «просеивающим настроением», и спрашиваем, почему достаточно так доверять среднему значению, мы обнаруживаем, в дополнение к выдвинутым до сих пор соображениям, что требовался некоторый постулат относительно последствий ошибок, которые мы совершаем. Это включало оценку того, что иногда называют «ущербом» от ошибки. По-видимому, принималось как должное, что большие и малые ошибки стоят на одной и той же общей основе, будучи вредными по своим последствиям, но что их пагубные эффекты возрастают в большей пропорции, чем их собственная величина.

§ 30. Предположим для сравнения случай, в котором важность ошибки прямо пропорциональна ее величине (конечно, мы предполагаем, что положительные и отрицательные ошибки уравновешивают друг друга в долгосрочной перспективе): не похоже, чтобы взятие средних давало какое-либо преимущество. Нечто подобное можно считать преобладающим в случаях простой купли-продажи. Предположим, что кому-то пришлось купить очень большое количество ярдов ткани по постоянной цене за ярд: что ему приходилось делать это, скажем, пять раз в день в течение многих дней подряд. И представим, что измерение ткани каждый раз оценивалось грубо, с результирующими ошибками, которые с равной вероятностью могут быть как в избытке, так и в недостатке. Имело бы для него хоть малейшее значение, платил ли он отдельно за каждый кусок; или если бы пять оценочных длин были сложены вместе, их среднее значение взято, и с него взималась бы эта средняя цена за каждый кусок? В последнем случае ошибки, которые будут допущены при оценке каждого куска, будут, конечно, меньше в долгосрочной перспективе, чем они были бы в первом: будет ли это иметь какое-либо значение? Ответ, безусловно, заключается в том, что это не будет иметь ни малейшего значения ни для одной из сторон сделки. В долгосрочной перспективе, поскольку участвуют одни и те же стороны, не будет иметь значения, были ли промежуточные ошибки малыми или большими.

Конечно, ничто из этого нельзя считать общим правилом. Почти в каждом случае, когда нам приходится производить измерения, мы обнаружим, что большие ошибки гораздо более вредны, чем малые, то есть вредны в большей пропорции, чем их простая величина. Даже при купле-продаже, где участвуют разные покупатели, это должно быть так, ибо удовольствие того, кто получил больше, вряд ли сравнится с болью того, кто получил меньше. И во многих случаях научных измерений большие ошибки могут быть просто фатальными в том смысле, что если бы не было разумной перспективы их избежать, мы бы вообще не стали предпринимать измерения.

§ 31. Если бы нас заботили только практические соображения, мы могли бы остановиться на этом этапе; но если мы хотим осознать полное логическое значение взятия среднего как средства для этой конкретной цели, а именно оценки некоторой заданной величины, мы должны более внимательно рассмотреть такой исключительный случай, как тот, который был указан на рисунке на стр. 493. То, что мы там предположили, — это положение вещей, при котором чрезвычайно малые ошибки были очень частыми, но как только мы выходили за пределы небольшого диапазона, все остальные ошибки в значительных пределах были равновероятны.

Нетрудно представить пример, который удачно проиллюстрирует данный случай: в худшем случае он может показаться немного надуманным. Представьте себе, что некая фирма в Англии получила срочный заказ на поставку части машины, скажем, парового двигателя, клиентам в отдаленное место; и что было абсолютно необходимо, чтобы работа была точной до десятой доли дюйма, чтобы она была хоть сколько-нибудь полезна. Но представьте также, что были присланы две спецификации, основанные на разных измерениях, в одной из которых длина требуемой детали была описана как шестьдесят, а в другой — шестьдесят один дюйм. При допущении любого обычного закона ошибок, биномиального типа или нет, нет сомнений, что фирма лучше всего справилась бы с очень плохой работой, сконструировав деталь в 60 с половиной дюймов: т.е. у них было бы больше шансов оказаться в пределах требуемой десятой доли дюйма, поступив так, чем выбрав любую из двух спецификаций наугад и сконструировав ее точно по ней. Но если бы закон был того типа, который указан на нашей диаграмме, то кажется столь же несомненным, что у них было бы меньше шансов оказаться в пределах требуемого узкого допуска, поступив так. Как простой вопрос вероятности — то есть, если бы такие оценки применялись снова и снова — было бы меньше неудач, если бы просто выбрали одно из противоречивых измерений наугад и работали точно по нему, чем если бы доверились среднему значению из двух.

Это наводит на некоторые дальнейшие размышления относительно взятия средних значений. Теперь мы перейдем к другому исключительному случаю, но включающему несколько иные соображения, чем те, которые только что обсуждались. Как и прежде, его удобнее всего представить, начав с примера.

§ 32. Предположим, что два разведчика были посланы определить калибр пушки во вражеском форте — мы можем представить, что форт должен был быть занят на следующий день и использован против врага, и что было важно иметь запас ядер или снарядов — и что результат таков: один из них сообщает, что калибр равен 8 дюймам, а другой — 9. Было бы разумно предположить, что среднее из этих двух, а именно 8 1/2 дюймов, является более вероятным значением, чем каждое из них в отдельности?

Ответ, по-видимому, таков. Если у нас есть основания полагать, что возможные калибры имеют природу непрерывной величины — т.е. что все значения в определенных пределах должны считаться допустимыми (предположение, которое мы всегда делаем в нашем обычном обратном переходе от наблюдения или величины к объекту, который наблюдается или измеряется) — тогда мы были бы оправданы в выборе среднего значения как более вероятного. Но если, с другой стороны, у нас были основания полагать, что целые дюймы всегда или обычно предпочтительнее, как это на самом деле имеет место сейчас с тяжелыми орудиями, нам было бы лучше взять, даже наугад, одну из двух представленных нам оценок и довериться только ей, вместо того чтобы брать среднее из двух.

§ 33. Принцип, на основе которого мы здесь действуем, можно сформулировать так. Точно так же, как в прямом процессе вычисления или отображения «ошибок», будь то в алгебраической формуле или на диаграмме, мы обычно предполагаем, что их возможность непрерывна, т.е. что все промежуточные значения возможны; так и в обратном процессе определения вероятного положения оригинала по известному значению двух или более ошибок мы предполагаем, что это положение способно оказаться в любой точке между определенными пределами. В таком примере, как приведенный выше, где мы знаем или подозреваем разрывность этой возможности положения, ценность среднего значения может быть полностью сведена на нет.

В вышеприведенном примере предполагалось, что мы знаем, что калибр пушек, вероятно, будет измеряться в английских дюймах или в каких-то других признанных единицах. Но если бы батарея находилась в Китае или Японии, и мы ничего не знали бы об используемых там эталонах длины, мы больше не могли бы апеллировать к этому принципу. Несомненно, весьма вероятно, что эти калибры не являются величинами, непрерывно изменяющимися; но в полном неведении относительно фактически принятых эталонов мы во всех отношениях находимся в таком же положении, как если бы они были этой непрерывной природы. Когда это так, возражения против доверия к среднему значению больше не будут иметь силы, и если бы у нас была только одна возможность или очень мало возможностей, нам лучше всего было бы придерживаться обычной практики.

§ 34. Однако, когда мы можем собрать и сравнить большое количество измерений различных объектов, это соображение о вероятной разрывности объектов, которые мы таким образом измеряем — то есть их тенденция принимать ту или иную из конечного числа различных величин, вместо того чтобы проявлять равную готовность приспосабливаться ко всем промежуточным значениям — снова приобретает важность. Фактически, имея достаточное количество измеримых объектов, мы можем с большой вероятностью вывести эталон, в соответствии с которым были сделаны рассматриваемые вещи.

Это проблема, которую г-н Флиндерс Питри атаковал с такой проницательностью и прилежанием в своей работе по индуктивной метрологии, работе, которую, просто в силу ее спекулятивного интереса, вполне можно рекомендовать изучающему теорию вероятностей. Основные принципы, на которых основано рассуждение, следующие: (1) все мастера склонны строить свои работы в соответствии с круглыми числами или простыми дробями своих единиц измерения; и (2) стремясь обеспечить это, они будут отклоняться от него в терпимом соответствии с законом ошибок. Результатом этих двух предположений является то, что если мы соберем очень большое количество измерений различных частей и пропорций какого-либо древнего здания — скажем, египетского храма — хотя никакая заданная длина вряд ли будет постоянно не представлена, все же мы обнаружим заметную тенденцию измерений группироваться вокруг определенных детерминированных точек в нашей собственной или любой другой стандартной шкале измерений. Эти точки отмечают длину эталона или некоторого кратного или дольного эталона, используемого старыми строителями. Едва ли стоит говорить, что существует множество практических соображений, которые необходимо принять во внимание, прежде чем можно будет ожидать, что этот метод даст заслуживающие доверия результаты, но ведущие принципы, на которых он основан, сравнительно просты.

§ 35. Рассмотренный только что случай — это, по сути, не что иное, как повторение, при ином применении, того, что занимало наше внимание на очень ранней стадии. Мы отметили (гл. II) возможность кривой вероятности ошибок, которая вместо того, чтобы иметь одну вершину, как та, что соответствует обычному закону ошибок, должна отображать два горба или вершины. Можно легко показать, что эта проблема измерений древних зданий — не что иное, как возобновление того же вопроса, в несколько более сложной форме, в отношении вопроса о функциях среднего значения.

Возьмем простой пример. Предположим случай, в котором большие ошибки, определенной приблизительной величины, явно более вероятны, чем малые, так что кривая вероятности ошибок, вместо того чтобы подниматься в один пик к центру, как в случае знакомого закона ошибок, показывает там углубление или долину. Представьте, по сути, две биномиальные кривые с коротким интервалом между их центрами. Теперь, если бы мы вычислили результат взятия средних значений здесь, мы обнаружили бы, что это сразу же стремится заполнить долину; и если бы мы продолжали достаточно долго, то есть если бы мы продолжали брать средние из достаточно больших чисел, в центре начал бы появляться пик. Фактически, начала бы появляться знакомая одиночная биномиальная кривая.

§ 36. Тогда сразу возникает вопрос: должны ли мы это делать? Дадим ли мы среднему значению свободу действий для выполнения его назначенной функции — таким образом скучивать вещи к центру? Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны ввести различие. Если бы эта своеобразная двухвершинная кривая была, как это мыслимо могло бы быть, истинной кривой ошибок — то есть, если бы она представляла отклонения, фактически сделанные при прицеливании в реальный центр — результат был бы именно тем, что нам нужно. Это послужило бы примером преимуществ, которые можно получить путем взятия средних значений даже в обстоятельствах, которые первоначально были неблагоприятными. Нетрудно предложить подходящую иллюстрацию. Предположим, человек стреляет в мишень из какого-то укрытого места, но так, что линия огня пересекает широкую открытую долину, вдоль которой обычно дует сильный ветер. Если бы следы от выстрелов наблюдались, мы обнаружили бы, что они группируются вокруг двух центров справа и слева от яблочка. И если бы результаты были нанесены на кривую, они дали бы такую двухвершинную кривую, как мы описали. Но если бы ветры были одинаково сильными и преобладающими в противоположных направлениях, мы обнаружили бы, что процесс усреднения исправил бы последующее возмущение.

Однако, если бы кривая представляла, как это определенно более вероятно, некоторый результат природных явлений, в которых существовала, так сказать, реальная двойная цель со стороны природы, было бы иначе. Возьмем, например, результаты измерения большого количества людей, принадлежащих к двум очень неоднородным расам. Кривая вероятности ошибок была бы здесь того типа, который указан на стр. 45, и если бы численность двух смешанных рас была равна, она отобразила бы пару двойных пиков. Снова возникает вопрос: «должны» ли мы включать весь диапазон в сферу одного среднего значения? Ответ заключается в том, что обязательство зависит от цели, которую мы преследуем. Если мы хотим сравнить эту неоднородную расу в целом с какой-то другой или с ней самой в другое время, мы сделаем хорошо, если усредним без анализа. Вся статистика населения, как мы уже видели (см. стр. 47), вынуждена игнорировать множество различающих характеристик рассматриваемого рода. Но если бы нашей целью было интерпретировать причины этой аномальной кривой ошибок, мы сделали бы хорошо, если бы разбили статистику на соответствующие части и подвергли их анализу отдельно.

Точно так же и с измерениями древних зданий. В этом случае, если бы все наши различные «ошибки» были собраны вместе в одну группу статистики, мы обнаружили бы, что результирующая кривая вероятности ошибок отображает не два пика, а их последовательность; и притом различной величины, соответствующей частоте появления каждого конкретного измерения. Мы могли бы взять среднее значение всего, но вряд ли это послужило бы какой-либо рациональной цели; тогда как каждая отдельная точка максимальной частоты появления имеет нечто значимое, чему нас научить.

§ 37. В заключение можно отметить еще один своеобразный случай. Предположим, отчетливо асимметричную или перекошенную кривую вероятности ошибок, такую как эта:

Законы ошибок, графическим представлением которых это является, я полагаю, далеко не редкость. Рассматриваемая кривая, по сути, является лишь небольшим преувеличением кривой барометрических высот, о которой упоминалось в последней главе; когда объяснялось, что в таких случаях среднее значение, медиана и максимальная ордината будут демонстрировать взаимное расхождение. Сомнение здесь заключается не в том, как в предыдущих случаях, следует ли брать одно среднее значение или нет, а скорее в том, какой вид среднего значения следует выбрать. Как и прежде, ответ должен зависеть от специальной цели, которую мы преследуем. Для всех обычных целей сравнения между одним временем или местом и другим любое среднее значение подойдет, и поэтому мы естественным образом взяли бы арифметическое, как наиболее знакомое, или медиану, как самую простую.

§ 38. Однако могут возникнуть случаи, при которых другие виды среднего значения могли бы оправдать себя, с кратким упоминанием которых мы теперь можем закончить. Предположим, например, что рассматриваемый здесь вопрос был вопросом желательности климата. Обычное среднее значение, зависящее в такой большой степени от количества и величины экстремальных значений, вполне могло бы считаться менее подходящим критерием, чем суждение просто по относительно наиболее частому значению: другими словами, по максимальной ординате. И можно предложить различные другие точки зрения, в отношении которых это конкретное значение было бы наиболее подходящим и значимым.

В предыдущем случае, а именно в случае кривой погоды, не было объективного или «истинного» значения, к которому стремились. Но кривая, близко напоминающая эту, была бы репрезентативной для того особого класса оценок, на который указал г-н Гальтон и для которого, как он отметил, геометрическое среднее становится единственно подходящим. В этом случае кривая вероятности ошибок заканчивается резко в O: она напоминает сильно укороченную модификацию обычной экспоненциальной формы. Ее характеристики обсуждались в статье д-ра Макалистера, на которую уже ссылались, но любая попытка исследовать ее свойства здесь привела бы нас к слишком сложным деталям.

§ 39. Общий вывод из всего этого кажется вполне соответствующим природе и функциям среднего значения, как было указано в последней главе. Каждое среднее значение, настаивалось, есть лишь одно репрезентативное промежуточное значение, подставленное вместо множества фактических значений. Соответственно, оно должно упустить большую часть информации, содержащейся в последних. Иногда, как в большинстве обычных измерений, одна вещь, которую оно представляет, очевидно является той вещью, которая нам нужна; и тогда единственным вопросом может быть, какое среднее значение будет наиболее соответствовать «истинному» значению, которое мы ищем. Но когда, как это может случиться в большинстве обычных применений статистики, за явлениями действительно нет «истинного значения» объективного рода, проблема может разветвляться в различных направлениях. У нас может быть множество целей для реализации, и они могут потребовать некоторой разборчивости в отношении среднего значения, наиболее подходящего для них. Поэтому всякий раз, когда у нас есть какие-либо сомнения, подходит ли знакомое арифметическое среднее значение для поставленной цели, мы должны сначала точно решить, что это за цель.

1 Г-н Мэнсфилд Мерриман опубликовал в 1877 г. (Trans. of the Connecticut Acad.) список из 408 работ по предмету метода наименьших квадратов.

2 Другими словами, мы должны взять «центр тяжести» следов от выстрелов, рассматривая их все как имеющие равный вес. Это, в действительности, «среднее» всех следов, как покажет элементарное геометрическое построение для получения центра тяжести системы точек; но это не считается таковым в обычном понимании. Конечно, когда мы имеем дело с такими случаями, как те, что встречаются в мензурации, где нам приходится комбинировать или согласовывать три или более противоречивых уравнения, становится обязательным какое-то такое правило, как метод наименьших квадратов. Никакое взятие среднего значения не избавит нас от трудности.

3 Единственная причина предполагать эту исключительную форму — обеспечить простоту. Обычная мишень, допускающая ошибки в двух измерениях, дала бы несколько более сложные результаты.

4 При первом упоминании была дана общая форма этого уравнения (см. стр. 29). Специальная форма, назначенная здесь, в которой h/√π подставлено вместо A, обычно используется в теории вероятностей, потому что интеграл y dx между +∞ и −∞ становится равным единице. То есть сумма всех взаимоисключающих возможностей представлена, как обычно, единицей. В этой форме выражения h является величиной порядка x−1; ибо hx должно быть числовой величиной, стоящей как показатель. Модуль, будучи обратной величиной этого, является того же порядка величин, что и сами ошибки. Фактически, если мы умножим его на 0.4769…, мы получим так называемую «вероятную ошибку».

5 См. для объяснения этого и графического метода его иллюстрации примечание на стр. 29.

6 В широком смысле можно сказать, что вышеприведенные замечания справедливы для любого закона частоты ошибок, в котором существуют фактические пределы, как бы широки они ни были, для возможной величины ошибки. Если нет пределов для возможных ошибок, эта характеристика среднего значения накапливать свои результаты к центру будет зависеть от обстоятельств. Когда, как в экспоненциальной кривой, приближение к основанию как асимптоте чрезвычайно быстрое — то есть, когда экстремальные ошибки относительно очень редки — это все еще остается верным. Но если бы мы взяли в качестве нашего закона вероятности ошибок такое уравнение, как y = π / 1+x2 (как намекнул Де Морган и отметил г-н Эджуорт: Camb. Phil. Trans. том X, стр. 184, и том XIV, стр. 160), это не остается верным. Результатом усреднения является уменьшение тенденции к группировке к центру.

7 Читатель найдет доказательства этих и других подобных формул в работе Гэллоуэя по теории вероятностей и в работе Эйри об ошибках.

8 Формула, обычно используемая для СКО в этом случае, есть Σe2 / n−1, а не Σe2 / n. Разница ничтожна, если только n не мало; оправдание, предложенное для нее, состоит в том, что, поскольку сумма квадратов, измеренных от истинного центра, является минимальной (этот центр является конечным арифметическим средним), сумма квадратов, измеренных от несколько неверно назначенного центра, будет несколько больше.

9 Мне кажется, что в строгом логическом смысле нам хотелось бы знать вероятную ошибку, допущенную в обоих назначениях предыдущих двух разделов. Но глубокие математики, которые обсуждали этот вопрос и которые одни компетентны его рассматривать, в основном писали, имея в виду практические потребности астрономии; и для этой цели достаточно принять во внимание один великий дезидератум, а именно искомые истинные значения. Соответственно, единственные правила, обычно приводимые, относятся к вероятной ошибке среднего значения.

10 т.е. в отличие от воздействия на них косвенно. Это последнее действие, как объяснено в главе о случайности, может привести к неравномерному распределению.

11 Нетрудно представить обстоятельства, при которых преобладал бы закон, очень близко напоминающий этот. Предположим, например, что одно из двух измерений было сделано осторожным и квалифицированным механиком, а другое — человеком, который, чтобы сэкономить себе хлопоты, сделал оценку наугад (в определенных пределах) — фирма, обладая знанием этого факта, но, конечно, будучи не в состоянии приписать эти два измерения их авторам, — мы получили бы очень похожий закон ошибок, как предполагается выше.

УКАЗАТЕЛЬ.

Несчастные случаи 342

Airy, G. B. 447, 484

Ожидания, молчаливые 287

Арбетнот 258

Aristotle 205, 307

Average

арифметическое 437

геометрическое 439

медиана 442

последствия 482

необходимые результаты 457

uses of 439, 489

Бэббидж 343

Bags and balls 180, 411

Belief

correctness of 125, 131, 178

градации 139

рост 199

язык 143

measurement of 119, 125, 146

количество 133

test of 140, 149, 294

ненадлежащее 129

расплывчатость 127

Bentham 319, 323

Bernoulli 91, 117, 389

Бертильон 435

Births, male and female 90, 258, 263

Лодочная гонка, Оксфорд и Кембридж 339

Буль 183

Бакль 237

Buffon 153, 205, 352, 389

Бургерсдейк 311

Butler 209, 281, 333, 366

Таблицы Карлайла 169

Случайный, значение 245

Causation

потребность 237

доказательство 244

Центр тяжести 467

Certainty, in Law 324

разумный 327

гипотетический 210

Chance

and

Причинность 244

Творение 258

Замысел 256

Гений 353

пренебрежение малыми 363

выборы 338

Шовене 352

Классификация, числовая схема 48

Совпадения 245

Комбинации и перестановки 87

Communism 375, 392

Концептуализм 275

Конфликт шансов 418

Чахоточные, страхование 227

Cournot 245, 255, 338

Crackanthorpe 312, 320

Крейг, Дж. 192

Crofton, M. W. 61, 101, 104

Данте 285

Deflection

причины 57

от цели 38

De Morgan 83, 106, 119, 122, 135, 177, 179, 197, 236, 247, 296, 308, 350, 379, 382, 483

Судебный процесс Де Ро 255

Digits, random 111, 114

Разрывность 116

Распределение, случайное 106

Diagrams 29, 45, 118, 443, 476, 481, 493, 501

Dialectic 302, 320

Donkin 123, 188, 283

Duration of life 15, 441

Дюзинг 259

Эббингауз 199

Edgeworth, F. Y. 34, 119, 256, 339, 393, 435, 483

Эллис, Л. 9

Эпидемии 62

Error, law of 29

asymmetrical 34, 441, 443

binomial 37, 457, 469, 480

geometrical 34, 502

неоднородный 45

производство 36

Error

среднее 446

probable 446, 472, 488

of mean square 447, 488

Спасения, чудесные 341

Ожидание, моральное 388

Опыт и вероятность 74

Экспоненциальная кривая 29

Extraordinary

sense of 159, 423

stories 407, 421

Ошибки в логике и теории вероятностей 367

Фатализм 243

Fechner 34, 389, 435, 441

Fluctuation 448

неограниченный 73

Forbes, J. D. 188, 262

Формальная логика 123

Формальная и материальная трактовка 86

Свобода воли 240

Galloway 248, 448, 484

Galton, F. 33, 50, 70, 318, 442, 451, 473, 502

Gambling

и страхование 370

невыгодность 384

final results of 385, 391

Годфрей, Г. 99

Грот, Дж. 307

Гай 6

Hamilton, W. 266, 297

Счастье, человеческое 382

Орел и решка 77

Heredity 50, 357

Herschel 30, 466

Уден 361

Hume 236, 419, 433

Гипотезы 268

Непосредственные выводы 121

Independent events 175, 246

Induction

and Probability 194, 201, 208, 233, 358

трудность 213

чистые 200

Неравенство богатства 382

Вывод, правила 167

Прививка 374

Insurance

оправдание 149

трудности 221

жизнь 151

особый случай 224

теория 372

разновидности 374

Inverse probability 179, 196, 249

Нерегулярность, абсолютная и относительная 6

Джейкобс, Дж. 199

Джексон, Дж. Г. 253

Jevons 37, 83, 136, 198, 201, 209, 247

Kant 310, 317

Keckermann 298, 316

Виды, естественные 55

Круг 324

Ламберт 309

Язык случая 159

Laplace 89, 120, 197, 237, 424

Law

отсутствие 101

эмпирический 160

причинности 206

Least squares 41, 467

Leibnitz 309, 320

Letters

lost 162, 368

misdirected 67, 237, 241

Lexis, W. 263, 441

Likely, equally 77, 183

Limit

conception of 18, 109, 164

возможной флуктуации 32

Линии, случайные 113

Метод Листера 187

Лотереи 128

Ланн, Дж. Р. 248

McAlister, D. 34, 187, 502

Mansel, H. L. 299, 301, 320

Мартингейл 343

Материальная и формальная логика 265

Maximum ordinate 441, 455

Measurement of

Вера 119

Память 192

Умственные качества, измерение 49

Merriman, M. 352, 448, 460, 465

Mill, J. S. 131, 207, 266, 282, 402

Мильтон, случайное создание 353

Чудеса 428

Мичелл, Дж. 260

Modality 295

разделы 307

ложные 297

формальные 298

в праве 319

Modulus 464, 472, 484

Monro, C. J. 325, 416

Имена, отсылка 270

Нации, сравнение 51

Natural Kinds 55, 63, 71

Необходимая и невозможная материя 310

Объекты и агенты 53

Оккам 314

Пейли 433

Пенни, подбрасывания 144

Питри, Ф. 498

Petersburg Problem 19, 154

Пуассон 405

Прантль 311

Презумпция, правовая 329

Прево 348

Probability

определение 165

относительная 290

интегральная 463

Probable

факты 269

значение 441

error 446, 472

Задача о трех точках 104

Proctor, R. A. 262, 378

Пророчества, самоубийственные 226

Providence 89, 431

Пропорциональные суждения 2

Психические исследования 256

Пирамида, великая 251

π, digits in 111, 247

Квартили 446

Quetelet 23, 30, 43, 91, 259, 330, 348, 454

Randomness

этимология 96

при стрельбе 98

доказательство 107

Редкие события 349

Реализм 92

Достаточное основание 82

Остатки 460

Робертс, К. 25

Rod

сломанные наугад 98

брошенные наугад 103

Rules

Индуктивный и дедуктивный 176

последовательности 191

конфликт 222

множественность 217

Series

определенные пропорции 11

фиксированные и переменные 16

идеальные 95

своеобразные 12

Шанкс 248

Скит, У. У. 96

Smiglecius 306, 316

Смит, П. 251

Социализм 392

Спиритизм 365

Stars, random arrangement of 108, 260

Statistics

путем взаимного сравнения 473

бессознательная апелляция 400

Статистический журнал 6

Stature

human 25, 471

Французский и английский 44

Stephen, J. F. 282, 323, 326

Stewart, D. 209, 237

Субъективные и объективные термины 160

Succession

длинные 360

Rule of 190, 362

Саффилд, Г. 248

Suicides 67, 237

Фамилии, вымирание 387

Удивление, эмоция 157

Силлогизмы, чистые и модальные 316

Тейлор 329

Testimony

единичные 411

комбинированные 426

два вида 409

бесполезные 416

Thomson, W. 153, 314, 419

Time

влияние 191

в теории вероятностей 279

Тодхантер 415

Тонтины 380

Треугольник, случайный 103

Такер, А. 127

Types

existence of 42, 60, 453

fixed and fluctuating 64, 93

Юбервег 311

Неопределенность в жизни 370

Равномерность 240

Единицы вычисления 464

Voluntary agency 65, 68, 85

Уотфорд 374

Уоллис, Дж. 312

Уотсон, Г. У. 387

Whately 297, 307

Вист 401

Whitworth, W. A. 87, 183, 384

Уилсон, Дж. М. 104

Свидетели, независимые 405

Вольф 309

Вулхаус 101

CAMBRIDGE: PRINTED BY C.J. CLAY, M.A. AND SONS, AT THE UNIVERSITY PRESS.

Примечание транскрибатора

Незначительные типографские исправления и изменения в оформлении были внесены без комментариев.

Диаграмма на стр. 118 была перерисована с использованием первых 707 цифр современного значения π.