Примечания корректора

Очевидные опечатки были исправлены без уведомления. Вся остальная орфография и пунктуация оставлены без изменений.

Обложка была подготовлена корректором и передана в общественное достояние.

THE FOURTH DIMENSION

НЕКОТОРЫЕ ОТЗЫВЫ ПРЕССЫ

«Г-н Ч. Г. Хинтон обсуждает тему высшей размерности пространства, стремясь избежать математических тонкостей и технических сложностей, чтобы его аргументацию могли проследить читатели, недостаточно сведущие в математике, чтобы следовать за этими процессами рассуждения». — Notts Guardian.

«Четвертое измерение — это предмет, который вызывает огромное восхищение у многих преподавателей, и хотя нельзя притворяться, что полностью постиг концепции и аргументы г-на Хинтона, все же следует признать, что он раскрывает эту неуловимую идею в весьма увлекательном свете. Помимо основного тезиса книги, многие главы представляют большой самостоятельный интерес. В целом, интересная, умная и оригинальная книга». — Dundee Courier.

«Книга будет весьма полезна для изучения людьми, которые любят упражнять свой ум на задачах абстрактного мышления». — Scotsman.

«Профессор Хинтон поступил правильно, предприняв попытку написать трактат умеренного объема, который был бы одновременно ясным по методу и свободным от школьных технических сложностей». — Pall Mall Gazette.

«Он сделал из этого очень интересную книгу». — Publishers’ Circular.

«Г-н Хинтон пытается объяснить теорию четвертого измерения так, чтобы обычный рассуждающий ум мог уловить, что имеют в виду под этим математики-метафизики. Если он не совсем преуспел, то не из-за отсутствия ясности с его стороны, а потому, что вся теория является таким абсолютным потрясением для всех наших предвзятых идей». — Bristol Times.

«Энтузиазм г-на Хинтона — лишь результат исчерпывающего исследования, которое позволило ему представить свой предмет читателю с гораздо большей ясностью, чем та, к которой он привык». — Pall Mall Gazette.

«Книга на всем своем протяжении представляет собой очень солидное рассуждение в области высшей математики». — Glasgow Herald.

«Тем, кто желает постичь смысл этого несколько сложного предмета, было бы полезно прочитать "Четвертое измерение". От читателя не требуется никаких математических знаний, и любой, кто не боится немного напрячь мышление, должен быть в состоянии проследить за аргументацией». — Light.

«Блестяще ясное изложение старой проблемы четвертого измерения. Все, кто интересуется этой темой, найдут работу не только увлекательной, но и понятной, поскольку она написана легкодоступным стилем. Иллюстрации делают текст еще более ясным, и в целом книга самым замечательным образом адаптирована к требованиям новичка или студента». — Two Worlds.

«Те, кто ищет умственной гимнастики, найдут изобилие упражнений в "Четвертом измерении" г-на Ч. Г. Хинтона». — Westminster Review.

Первое издание, апрель 1904 г.; второе издание, май 1906 г.

Views of the Tessaract.

ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ

АВТОР:

Ч. ГОВАРД ХИНТОН, магистр искусств, АВТОР «НАУЧНЫХ РОМАНОВ», «НОВОЙ ЭРЫ МЫСЛИ» И Т. Д.

ЛОНДОН, SWAN SONNENSCHEIN & CO., LIMITED, 25 ХАЙ-СТРИТ, БЛУМСБЕРИ, 1906

ОТПЕЧАТАНО В HAZELL, WATSON AND VINEY, LD., ЛОНДОН И ЭЙЛСБЕРИ.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Я постарался представить тему высшей размерности пространства в ясной манере, лишенной математических тонкостей и технических сложностей. Чтобы привлечь интерес читателя, в первых главах я остановился на перспективе, которую открывает гипотеза о четвертом измерении, и рассмотрел множество связей, существующих между этой гипотезой и обычными темами наших размышлений.

Отсутствие математических знаний не станет помехой для читателя, поскольку я не использовал никаких математических процессов рассуждения. Я придерживаюсь того взгляда, что пространство, о котором мы обычно думаем, пространство реальных вещей (которое я назвал бы проницаемой материей), отличается от пространства, рассматриваемого математикой. Математика многое расскажет нам о пространстве, подобно тому как атомная теория многое расскажет нам о химических соединениях тел. Но, в конце концов, теория не является в точности эквивалентной предмету, в отношении которого она выдвигается. Поэтому со стороны наших обычных пространственных восприятий открывается возможность для простого, вполне рационального, механического и наблюдательного способа рассмотрения этого предмета высшего пространства, и этой возможностью я воспользовался.

Детали, приведенные в первых главах, особенно в главах VIII, IX, X, возможно, покажутся утомительными. Они не имеют существенного значения для основной линии аргументации, и если оставить их до прочтения глав XI и XII, то они послужат интересными и наглядными иллюстрациями свойств, обсуждаемых в последующих главах.

Я выражаю благодарность друзьям, которые помогали мне в проектировании и подготовке модификаций моих предыдущих моделей, и в немалой степени издателю этого тома, г-ну Зонненшайну, чьей уникальной оценке хода мыслей этого, как и моих предыдущих эссе, обязана их публикация. Предоставив цветную пластину в дополнение к другим иллюстрациям, он значительно повысил удобство для читателя.

Ч. Говард Хинтон.

CONTENTS

CHAP.

PAGE

I.
Four-Dimensional Space
1

II.
The Analogy of a Plane World
6

III.
The Significance of a Four-Dimensional
Existence
15

IV.
The First Chapter in the History of Four
Space
23

V.
The Second Chapter in the History Of Four Space
41

Lobatchewsky, Bolyai, and Gauss

Metageometry

VI.
The Higher World
61

VII.
The Evidence for a Fourth Dimension
76

VIII.
The Use of Four Dimensions in Thought
85

IX.
Application to Kant’s Theory of Experience
107

X.
A Four-Dimensional Figure
122

XI.
Nomenclature and Analogies
136

XII.
The Simplest Four-Dimensional Solid
157

XIII.
Remarks on the Figures
178

XIV.
A Recapitulation and Extension of the
Physical Argument
203

APPENDIX I.—The Models
231

APPENDIX II.—A Language of Space
248

ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ

ГЛАВА I. ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Нет ничего более неопределенного и в то же время более реального, чем то, на что мы указываем, когда говорим о «высшем». В нашей социальной жизни мы видим это проявленным в большей сложности отношений. Но эта сложность — не все. В то же время существует контакт с чем-то более фундаментальным, более реальным, постижение этого.

С большим развитием человека приходит осознание чего-то большего, чем все формы, в которых оно проявляется. Появляется готовность отказаться от всего видимого и осязаемого ради тех принципов и ценностей, представлением которых являются видимое и осязаемое. Физическая жизнь цивилизованного человека и просто дикаря практически одинаковы, но цивилизованный человек обнаружил глубину в своем существовании, которая заставляет его чувствовать, что то, что кажется всем для дикаря, является лишь внешней стороной и принадлежностью его истинного бытия.

Итак, это высшее — как нам его постичь? Оно обычно охватывается нашими религиозными способностями, нашей идеализирующей тенденцией. Но высшее существование имеет две стороны. У него есть бытие, а также качества. И, пытаясь осознать его через наши эмоции, мы всегда принимаем субъективный взгляд. Наше внимание всегда приковано к тому, что мы чувствуем, что мы думаем. Есть ли какой-либо способ постижения высшего согласно чисто объективному методу естественной науки? Я думаю, что есть.

Платон в чудесной аллегории говорит о людях, живущих в таком состоянии, что они были практически низведены до положения обитателей мира теней. Они были скованы и воспринимали лишь тени самих себя и всех реальных объектов, проецируемые на стену, к которой были обращены их лица. Все движения для них были лишь движениями по поверхности, все формы — лишь формами очертаний без какой-либо субстанциональности.

Платон использует эту иллюстрацию, чтобы изобразить отношение между истинным бытием и иллюзиями чувственного мира. Он говорит, что подобно тому, как человек, освобожденный от своих цепей, мог бы узнать и обнаружить, что мир тверд и реален, и мог бы вернуться и рассказать своим скованным товарищам об этой большей высшей реальности, так и философ, который был освобожден, который погрузился в мысль об идеальном мире, в мир идей, более великих и более реальных, чем вещи чувств, может прийти и рассказать своим ближним о том, что более истинно, чем видимое солнце — более благородно, чем Афины, видимое государство.

Теперь я принимаю предложение Платона, но буквально, а не метафорически. Он воображает мир, который ниже этого мира, поскольку теневые фигуры и теневые движения являются его составляющими; и ему он противопоставляет реальный мир. Как реальный мир по отношению к этому теневому миру, так и высший мир по отношению к нашему миру. Я принимаю его аналогию. Как наш мир в трех измерениях по отношению к теневому или плоскому миру, так и высший мир по отношению к нашему трехмерному миру. То есть высший мир является четырехмерным; высшее бытие, поскольку его существование касается его качеств, должно быть найдено через концепцию актуального существования, пространственно более высокого, чем то, которое мы осознаем нашими чувствами.

Здесь вы заметите, что я неизбежно опускаю все то, что придает очарование и интерес сочинениям Платона. Все те концепции прекрасного и доброго, которые бессмертно живут на его страницах.

Все, что я сохраняю из его великой сокровищницы богатств, — это просто одна вещь: мир, пространственно более высокий, чем этот мир, мир, к которому можно приблизиться только через его камни и деревья, мир, который должен быть постигнут кропотливо, терпеливо, через его материальные вещи, его формы, его движения, его фигуры.

Мы должны научиться осознавать формы объектов в этом мире высшего человека; мы должны ознакомиться с движениями, которые объекты совершают в его мире, чтобы мы могли узнать что-то о его повседневном опыте, его мыслях о материальных объектах, его механизмах.

Средства для проведения этого исследования даны в самой концепции пространства.

Часто случается, что то, что мы считаем уникальным и не связанным, дает нам внутри себя те отношения, посредством которых мы способны увидеть его как связанное с другими, определяющее их и определяемое ими.

Так, на Земле дано явление веса, посредством которого Ньютон привел Землю в ее истинное отношение к Солнцу и другим планетам. Наш земной шар был определен по отношению к другим телам Солнечной системы посредством отношения, которое существовало на самой Земле.

И так само пространство несет в себе отношения, посредством которых мы можем определить его как связанное с другим пространством. Ибо внутри пространства даны концепции точки и линии, линии и плоскости, которые действительно включают в себя отношение пространства к высшему пространству.

Там, где заканчивается один отрезок прямой линии и начинается другой, находится точка, и сама прямая линия может быть порождена движением точки.

Одна часть плоскости ограничена от другой прямой линией, и сама плоскость может быть порождена прямой линией, движущейся в направлении, не содержащемся в ней самой.

Далее, две части твердого пространства ограничены друг относительно друга плоскостью; и плоскость, движущаяся в направлении, не содержащемся в ней самой, может порождать твердое пространство.

Таким образом, продолжая, мы можем сказать, что пространство — это то, что ограничивает две части высшего пространства друг от друга, и что наше пространство будет порождать высшее пространство, двигаясь в направлении, не содержащемся в нем самом.

Еще одно указание на природу четырехмерного пространства можно получить, рассмотрев проблему расположения объектов.

Если у меня есть ряд мечей различной степени яркости, я могу представить их в отношении этого качества точками, расположенными вдоль прямой линии.

Fig. 1.

Если я помещу меч в A, рис. 1, и буду рассматривать его как обладающий определенной яркостью, то другие мечи могут быть расположены в ряд вдоль линии, как в A, B, C и т. д., в соответствии с их степенями яркости.

Fig. 2.

Если теперь я приму во внимание другое качество, скажем, длину, их можно расположить на плоскости. Начиная от A, B, C, я могу найти точки для представления различных степеней длины вдоль таких линий, как AF, BD, CE, проведенных из A, B и C. Точки на этих линиях представляют различные степени длины при одной и той же степени яркости. Таким образом, вся плоскость занята точками, представляющими все мыслимые разновидности яркости и длины.

Fig. 3.

Вводя третье качество, скажем, остроту, я могу провести, как на рис. 3, любое количество вертикальных линий. Пусть расстояния вдоль этих вертикальных линий представляют степени остроты, таким образом, точки F и G будут представлять мечи определенных степеней трех упомянутых качеств, и все пространство послужит для представления всех мыслимых степеней этих трех качеств.

Если теперь я введу четвертое качество, такое как вес, и попытаюсь найти способ представить его, как я сделал с другими тремя качествами, я столкнусь с трудностью. Каждая точка в пространстве занята какой-то мыслимой комбинацией трех уже взятых качеств.

Чтобы представить четыре качества таким же образом, как я представил три, мне потребовалось бы еще одно измерение пространства.

Таким образом, мы можем указать природу четырехмерного пространства, сказав, что это своего рода пространство, которое дало бы позиции, представляющие четыре качества, так же как трехмерное пространство дает позиции, представляющие три качества.

ГЛАВА II. АНАЛОГИЯ ПЛОСКОГО МИРА

Рискуя некоторой многословностью, я подробно разберу опыт гипотетического существа, ограниченного движением на плоской поверхности. Поступая так, я получу аналогию, которая послужит в наших последующих исследованиях, потому что изменение в нашей концепции, которое мы делаем при переходе от форм и движений в двух измерениях к тем, что в трех, дает образец, по которому мы можем перейти еще дальше к концепции существования в четырехмерном пространстве.

Лист бумаги на гладком столе дает готовый образ двухмерного существования. Если мы предположим, что существо, представленное листом бумаги, не имеет знаний о толщине, на которую он выступает над поверхностью стола, очевидно, что он не может иметь знаний об объектах подобного описания, кроме как через контакт с их краями. Его тело и объекты в его мире имеют толщину, о которой, однако, он не имеет сознания. Поскольку направление, простирающееся вверх от стола, ему неизвестно, он будет думать об объектах своего мира как простирающихся только в двух измерениях. Фигуры для него полностью ограничены их линиями, точно так же, как твердые объекты для нас — их поверхностями. Он не может представить себе приближение к центру круга, кроме как прорвавшись через окружность, ибо окружность заключает центр в направлениях, в которых движение возможно для него. Плоская поверхность, по которой он скользит и с которой он всегда находится в контакте, будет ему неизвестна; нет никаких различий, по которым он мог бы распознать ее существование.

Но для целей нашей аналогии это представление является недостаточным.

Существо, описанное таким образом, не имеет ничего, от чего можно было бы оттолкнуться; поверхность, по которой он скользит, не дает средств, с помощью которых он мог бы двигаться в одном направлении, а не в другом. Помещенный на поверхность, по которой он свободно скользит, он находится в состоянии, аналогичном тому, в котором мы были бы, если бы мы были подвешены свободно в пространстве. Нет ничего, от чего он мог бы оттолкнуться в любом известном ему направлении.

Давайте поэтому изменим наше представление. Давайте предположим вертикальную плоскость, по которой скользят частицы тонкой материи, никогда не покидая поверхности. Пусть эти частицы обладают силой притяжения и сцепляются вместе в диск; этот диск будет представлять глобус плоского существа. Его нужно представлять как существующего на ободе.

Fig. 4.

Пусть 1 представляет этот вертикальный диск плоской материи, а 2 — плоское существо на нем, стоящее на его ободе, как мы стоим на поверхности нашей Земли. Направление силы притяжения его материи даст существу знание о верхе и низе, определяя для него одно направление в его плоском пространстве. Также, поскольку он может двигаться вдоль поверхности своей Земли, у него будет чувство направления, параллельного ее поверхности, которое мы можем назвать вперед и назад.

У него не будет чувства право и лево — то есть направления, которое мы распознаем как простирающееся из плоскости вправо и влево от нас.

Различие право и лево — это то, что мы должны предположить отсутствующим, чтобы спроецировать себя в состояние плоского существа.

Пусть читатель представит себя, глядя вдоль плоскости, рис. 4, все более отождествляющимся с тонким телом на ней, пока он наконец не посмотрит вдоль, параллельно поверхности плоской Земли, и вверх и вниз, теряя чувство направления, которое простирается вправо и влево. Это направление будет для него неизвестным измерением.

Наши пространственные концепции настолько тесно связаны с теми, которые мы выводим из существования гравитации, что трудно осознать состояние плоского существа, не представляя его в материальном окружении с определенным направлением верха и низа. Отсюда необходимость нашей несколько сложной схемы представления, от которой, когда ее смысл будет понят, можно отказаться в пользу более простой — тонкого объекта, скользящего по гладкой поверхности, которая лежит перед нами.

Очевидно, что мы должны предположить некоторые средства, с помощью которых плоское существо удерживается в контакте с поверхностью, по которой он скользит. Самое простое предположение, которое можно сделать, — это наличие поперечной гравитации, которая удерживает его на плоскости. Эту гравитацию нужно считать отличной от притяжения, осуществляемого его материей, и не воспринимаемой им.

На этой стадии нашего исследования я не хочу входить в вопрос о том, как плоское существо могло бы прийти к знанию о третьем измерении, а просто исследовать его плоское сознание.

Очевидно, что существование плоского существа должно быть очень ограниченным. Прямая линия, стоящая вертикально от поверхности его Земли, создает преграду для его прогресса. Объект, подобный колесу, которое вращается вокруг оси, был бы ему неизвестен, ибо нет мыслимого способа, которым он может добраться до центра, не пройдя через окружность. У него были бы вращающиеся диски, но он не мог бы добраться до их центра. Плоское существо может представить движение из любой одной точки своего пространства в любую другую посредством двух прямых линий, проведенных под прямым углом друг к другу.

Fig. 5.

Пусть AX и AY будут двумя такими осями. Он может совершить перемещение из A в B, двигаясь вдоль AX к C, а затем из C вдоль CB параллельно AY.

Тот же результат, конечно, может быть получен путем перемещения к D вдоль AY, а затем параллельно AX от D к B, или, конечно, любым диагональным движением, составленным из этих осевых движений.

Посредством движений, параллельных этим двум осям, он может проследовать (за исключением материальных препятствий) из любой одной точки своего пространства в любую другую.

Fig. 6.

Если теперь мы предположим третью линию, проведенную из A под прямым углом к плоскости, очевидно, что никакое движение ни в одном из двух известных ему измерений не перенесет его ни в малейшей степени в направлении, представленном AZ.

Линии AZ и AX определяют плоскость. Если бы его можно было снять с его плоскости и перенести на плоскость AXZ, он оказался бы в мире, точно таком же, как его собственный. От каждой линии в его мире отходит пространственный мир, точно такой же, как его собственный.

Fig. 7.

От каждой точки в его мире можно провести линию, параллельную AZ, в направлении, неизвестном ему. Если мы предположим, что квадрат на рис. 7 является геометрическим квадратом, то от каждой его точки, как внутри, так и на контуре, можно провести прямую линию, параллельную AZ. Совокупность этих линий образует твердую фигуру, основанием которой является квадрат на плоскости. Если мы рассмотрим квадрат как представляющий объект в мире плоского существа, то мы должны приписать ему очень малую толщину, ибо каждая реальная вещь должна обладать всеми тремя измерениями. Эту толщину он не воспринимает, но думает об этом реальном объекте как о геометрическом квадрате. Он думает о нем как об обладающем только площадью, а не степенью твердости. Края, которые выступают из плоскости на очень малую величину, он считает имеющими только длину и не имеющими ширины — являющимися, по сути, геометрическими линиями.

С первым шагом в постижении третьего измерения к плоскому существу пришло бы убеждение, что он ранее сформировал неправильную концепцию о природе своих материальных объектов. Он представлял их как геометрические фигуры только двух измерений. Если существует третье измерение, такие фигуры не способны к реальному существованию. Таким образом, он признал бы, что все его реальные объекты имели определенную, хотя и очень малую толщину в неизвестном измерении, и что условия его существования требовали предположения о протяженном листе материи, от контакта с которым в своем движении его объекты никогда не отклоняются.

Аналогичные концепции должны быть сформированы нами на предположении о четырехмерном существовании. Мы должны предположить направление, в котором мы никогда не можем указать, простирающееся от каждой точки нашего пространства. Мы должны провести различие между геометрическим кубом и кубом из реальной материи. Куб из реальной материи, мы должны предположить, имеет протяженность в неизвестном направлении, реальную, но настолько малую, что она не воспринимается нами. От каждой точки куба, как внутренней, так и внешней, мы должны вообразить, что возможно провести линию в неизвестном направлении. Совокупность этих линий составила бы высшее твердое тело. Линии, уходящие в неизвестном направлении от грани куба, составили бы куб, начинающийся от этой грани. Из этого куба все, что мы увидели бы в нашем пространстве, было бы гранью.

Опять же, точно так же, как плоское существо может представить любое движение в своем пространстве двумя осями, так и мы можем представить любое движение в нашем трехмерном пространстве посредством трех осей. Нет точки в нашем пространстве, в которую мы не могли бы переместиться какой-либо комбинацией движений в направлениях, отмеченных этими осями.

При допущении четвертого измерения мы должны предположить четвертую ось, которую мы назовем AW. Она должна предполагаться под прямым углом к каждой из трех осей AX, AY, AZ. Точно так же, как две оси, AX, AZ, определяют плоскость, которая похожа на исходную плоскость, на которой мы предполагали существование плоского существа, но которая отходит от нее и встречается с ней только в линии; так и в нашем пространстве, если мы возьмем любые три оси, такие как AX, AY и AW, они определяют пространство, подобное нашему пространственному миру. Это пространство отходит от нашего пространства, и если бы мы были перенесены в него, мы обнаружили бы себя в пространстве, точно похожем на наше собственное.

Мы должны отказаться от любой попытки представить это пространство в его отношении к нашему, точно так же, как плоское существо должно было бы отказаться от любой попытки представить плоскость под прямым углом к своей плоскости.

Такое пространство и наше идут в разных направлениях от плоскости AX и AY. Они встречаются в этой плоскости, но не имеют ничего другого общего, точно так же, как плоское пространство AX и AY и пространство AX и AZ идут в разных направлениях и имеют общую только линию AX.

Опуская все обсуждение того, каким образом плоское существо могло бы быть задумано для формирования теории трехмерного существования, давайте исследуем, как, имея в своем распоряжении средства, он мог бы представить свойства трехмерных объектов.

Fig. 8.

Есть два способа, которыми плоское существо может думать об одном из наших твердых тел. Он может думать о кубе, рис. 8, как о состоящем из ряда сечений, параллельных его плоскости, каждое из которых лежит в третьем измерении немного дальше от его плоскости, чем предыдущее. Эти сечения он может представить как ряд плоских фигур, лежащих в его плоскости, но, представляя их так, он разрушает их связность в высшей фигуре. Набор квадратов, A, B, C, D, представляет сечение, параллельное плоскости куба, показанного на рисунке, но они не находятся в своих надлежащих относительных позициях.

Плоское существо может проследить движение в третьем измерении, предполагая прерывистые скачки от одного сечения к другому. Таким образом, движение вдоль края куба слева направо было бы представлено в наборе сечений на плоскости как последовательность углов сечений A, B, C, D. Точка, движущаяся от A через BCD в нашем пространстве, должна быть представлена на плоскости как появляющаяся в A, затем в B и так далее, не проходя через промежуточное плоское пространство.

В этих сечениях плоское существо опускает, конечно, протяженность в третьем измерении; расстояние между любыми двумя сечениями не представлено. Чтобы осознать это расстояние, можно использовать концепцию движения.

Fig. 9.

Пусть рис. 9 представляет куб, проходящий поперечно плоскости. Он покажется плоскому существу как квадратный объект, но материя, из которой состоит этот объект, будет постоянно изменяться. Одна материальная частица занимает место другой, но она не приходит откуда-либо и не уходит куда-либо в пространстве, которое знает плоское существо.

Аналогичный способ представления высшего твердого тела в нашем случае — это представить его как состоящее из ряда сечений, каждое из которых лежит немного дальше в неизвестном направлении, чем предыдущее.

Fig. 10.

Мы можем представить эти сечения как ряд твердых тел. Таким образом, кубы A, B, C, D могут рассматриваться как сечения на разных интервалах в неизвестном измерении высшего куба. Расположенные таким образом, их связность в высшей фигуре разрушается, они являются лишь представлениями.

Движение в четвертом измерении от A через B, C и т. д. было бы непрерывным, но мы можем представить его только как занятие позиций A, B, C и т. д. последовательно. Мы можем показать результаты движения на разных стадиях, но не более того.

В этом представлении мы опустили расстояние между одним сечением и другим; мы рассмотрели высшее тело просто как ряд сечений и, таким образом, опустили его содержимое. Единственный способ показать его содержимое — это призвать на помощь концепцию движения.

Fig. 11.

Если высший куб проходит поперечно нашему пространству, он появится как куб, изолированный в пространстве, часть, которая не вошла в наше пространство, и часть, которая прошла сквозь него, не будут видны. Постепенное прохождение через наше пространство проявится как изменение материи куба перед нами. Одна материальная частица в нем сменяется другой, не приходя и не уходя ни в каком направлении, на которое мы можем указать. Таким образом, посредством длительности фигуры мы можем показать ее высшую размерность; куб из нашей материи, при предполагаемых обстоятельствах, а именно, что он имеет движение поперечно нашему пространству, мгновенно исчез бы. Высший куб длился бы до тех пор, пока не прошел бы поперечно нашему пространству на все свое расстояние протяженности в четвертом измерении.

Как плоское существо может думать о кубе как о состоящем из сечений, каждое из которых подобно фигуре, которую он знает, простирающейся от его плоскости, так и мы можем думать о высшем твердом теле как о состоящем из сечений, каждое из которых подобно твердому телу, которое мы знаем, но простирающемуся от нашего пространства.

Таким образом, взяв высший куб, мы можем рассматривать его как начинающийся от куба в нашем пространстве и простирающийся в неизвестном измерении.

Fig. 12.

Возьмем грань A и представим, что она существует просто как грань, квадрат без толщины. От этой грани куб в нашем пространстве простирается путем занятия пространства, которое мы можем видеть.

Но от этой грани одинаково простирается куб в неизвестном измерении. Мы можем думать о высшем кубе, тогда, взяв набор сечений A, B, C, D и т. д. и рассматривая, что от каждого из них идет куб. Эти кубы не имеют ничего общего друг с другом, и от каждого из них в его актуальной позиции все, что мы можем иметь в нашем пространстве, — это изолированный квадрат. Очевидно, что мы можем взять наш ряд сечений любым способом, каким пожелаем. Мы можем взять их параллельно, например, любой из трех изолированных граней, показанных на рисунке. Соответственно трем сериям сечений под прямым углом друг к другу, которые мы можем сделать из куба в пространстве, мы должны представить высший куб как состоящий из кубов, начинающихся от квадратов, параллельных граням куба, и из этих кубов все, что существует в нашем пространстве, — это изолированные квадраты, от которых они начинаются.

ГЛАВА III. ЗНАЧЕНИЕ ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО СУЩЕСТВОВАНИЯ

Получив теперь концепцию четырехмерного пространства и сформировав аналогию, которая без каких-либо дальнейших геометрических трудностей позволяет нам исследовать его свойства, я отсылаю читателя, чей интерес заключается главным образом в механическом аспекте, к главам VI и VII. В настоящей главе я рассмотрю общее значение исследования, а в следующей — историческое происхождение этой идеи.

Во-первых, что касается вопроса о том, есть ли какие-либо доказательства того, что мы действительно находимся в четырехмерном пространстве, я вернусь к аналогии плоского мира.

Существо в плоском мире не могло бы иметь никакого опыта трехмерных форм, но оно могло бы иметь опыт трехмерных движений.

Мы видели, что его материя должна предполагаться имеющей протяженность, хотя и очень малую, в третьем измерении. И таким образом, в малых частицах его материи вполне можно представить, что происходят трехмерные движения. Из этих движений он воспринимал бы только равнодействующие. Поскольку все движения наблюдаемого размера в плоском мире являются двухмерными, он воспринимал бы только равнодействующие в двух измерениях малых трехмерных движений. Таким образом, существовали бы явления, которые он не смог бы объяснить своей теорией механики — происходили бы движения, которые он не смог бы объяснить своей теорией движения. Следовательно, чтобы определить, находимся ли мы в четырехмерном мире, мы должны исследовать явления движения в нашем пространстве. Если происходят движения, которые не объяснимы на основе предположений нашей трехмерной механики, мы получили бы указание на возможное четырехмерное движение, и если, более того, можно было бы показать, что такие движения были бы следствием четырехмерного движения в мельчайших частицах тел или эфира, мы получили бы сильное предположение в пользу реальности четвертого измерения.

Продвигаясь в направлении все более и более мелкого дробления, мы приходим к формам материи, обладающим свойствами, отличными от свойств более крупных масс. Вероятно, что на некоторой стадии этого процесса мы пришли бы к форме материи столь мелкого дробления, что ее частицы обладают свободой движения в четырех измерениях. Эту форму материи я называю четырехмерным эфиром и приписываю ей свойства, приближающиеся к свойствам идеальной жидкости.

Откладывая подробное обсуждение этой формы материи до главы VI, мы теперь исследуем средства, с помощью которых плоское существо пришло бы к выводу, что в его мире существуют трехмерные движения, и укажем аналогию, по которой мы можем заключить о существовании четырехмерных движений в нашем мире. Поскольку размеры материи в его мире малы в третьем направлении, явления, в которых он обнаружил бы движение, были бы явлениями малых частиц материи.

Предположим, что в его плоскости есть кольцо. Мы можем представить токи, текущие вокруг кольца в любом из двух противоположных направлений. Они произвели бы несхожие эффекты и дали бы начало двум различным полям влияния. Если кольцо с током в нем в одном направлении взять, перевернуть и снова положить на плоскость, оно было бы идентично кольцу с током в противоположном направлении. Операция такого рода была бы невозможна для плоского существа. Следовательно, у него в пространстве были бы два непримиримых объекта, а именно, два поля влияния, обусловленные двумя кольцами с токами в них в противоположных направлениях. Под непримиримыми объектами в плоскости я подразумеваю объекты, которые нельзя представить как преобразованные один в другой любым движением в плоскости.

Вместо токов, текущих в кольцах, мы можем представить другой вид тока. Представьте ряд маленьких колец, нанизанных на исходное кольцо. Ток вокруг этих вторичных колец дал бы две разновидности эффекта, или два разных поля влияния, в зависимости от его направления. Эти две разновидности тока можно было бы превратить одну в другую, взяв одно из колец, перевернув его и снова положив на плоскость. Эта операция невозможна для плоского существа, следовательно, и в этом случае в плоскости были бы два непримиримых поля. Теперь, если бы плоское существо обнаружило два таких непримиримых поля и могло доказать, что их нельзя объяснить токами в кольцах, ему пришлось бы признать существование токов вокруг колец — то есть в кольцах, нанизанных на первичное кольцо. Таким образом, он пришел бы к признанию существования трехмерного движения, ибо такое расположение токов находится в трех измерениях.

Теперь в нашем пространстве есть два поля разных свойств, которые могут быть произведены электрическим током, текущим в замкнутой цепи или кольце. Эти два поля могут быть изменены одно в другое путем изменения направления токов, но они не могут быть изменены одно в другое любым поворотом колец в нашем пространстве; ибо расположение поля по отношению к самому кольцу различно, когда мы переворачиваем кольцо и когда мы меняем направление тока в кольце.

В качестве гипотез для объяснения различий этих двух полей и их эффектов мы можем предположить следующие виды пространственных движений: во-первых, ток вдоль проводника; во-вторых, ток вокруг проводника — то есть колец токов, нанизанных на проводник как на ось. Ни одно из этих предположений не объясняет факты наблюдения.

Следовательно, мы должны сделать предположение о четырехмерном движении. Мы обнаруживаем, что четырехмерное вращение природы, объясненной в последующей главе, имеет следующие характеристики: во-первых, оно дало бы нам два поля влияния, одно из которых можно было бы превратить в другое, подняв цепь в четвертое измерение, перевернув ее и снова положив в наше пространство, точно так же, как два вида полей в плоскости можно было бы превратить одно в другое путем изменения направления тока в нашем пространстве. Во-вторых, оно включает в себя явление, точно идентичное той самой замечательной и таинственной особенности электрического тока, а именно, что это поле действия, край которого обязательно упирается в непрерывную границу, образованную проводником. Следовательно, при допущении четырехмерного движения в области мельчайших частиц материи мы должны ожидать обнаружить движение, аналогичное электричеству.

Теперь, явление столь универсального распространения, как электричество, не может быть обусловлено материей и движением в каком-либо очень сложном отношении, но должно рассматриваться как простое и естественное следствие их свойств. Я делаю вывод, что трудность в его теории обусловлена попыткой объяснить четырехмерное явление трехмерной геометрией.

В свете этого доказательства мы не можем игнорировать то, которое предоставляется существованием симметрии. В этой связи я упомяну простой способ создания изображений насекомых, иногда практикуемый детьми. Они ставят несколько клякс чернил на прямой линии на листе бумаги, складывают бумагу вдоль клякс, и при открытии получается реалистичное изображение насекомого. Если бы мы нашли множество таких фигур, мы бы заключили, что они возникли в результате процесса складывания; шансы против такого рода дублирования частей слишком велики, чтобы допустить предположение, что они были сформированы каким-либо иным способом.

Создание симметричных форм организованных существ, хотя, конечно, не обусловленное переворачиванием тел какого-либо значительного размера в четырехмерном пространстве, вполне можно представить как обусловленное расположением таким образом мельчайших живых частиц, из которых они построены. Таким образом, не только электричество, но и жизнь, и процессы, посредством которых мы думаем и чувствуем, должны быть приписаны той области величины, в которой происходят четырехмерные движения.

Я не имею в виду, однако, что жизнь можно объяснить как четырехмерное движение. Мне кажется, что весь уклон мысли, который стремится объяснить явления жизни и воли как обусловленные материей и движением в каком-то особом отношении, принят скорее в интересах объяснимости вещей, чем с каким-либо вниманием к вероятности.

Конечно, если бы мы могли показать, что жизнь является явлением движения, мы смогли бы объяснить многое, что в настоящее время неясно. Но на пути стоят две большие трудности. Необходимо было бы показать, что в зародыше, способном развиться в живое существо, были модификации структуры, способные определить в развитом зародыше все характеристики его формы, и не только это, но и определить характеристики всех потомков такой формы в бесконечном ряду. Такая сложность механических отношений, какой бы неоспоримой она ни была, не может, безусловно, быть лучшим способом группировки явлений и дачи практического отчета о них. И другая трудность заключается в том, что никакое количество механической адаптации не дало бы того элемента сознания, которым мы обладаем и который в модифицированной степени разделяется животным миром.

В тех сложных структурах, которые люди строят и направляют, таких как корабль или железнодорожный поезд (и которые, если бы их увидел наблюдатель такого размера, что люди, направляющие их, были бы невидимы, казались бы представляющими некоторые явления жизни), видимость одушевленности обусловлена не какой-либо диффузией жизни в материальных частях структуры, а присутствием живого существа.

Старая гипотеза о душе, живом организме внутри видимого, кажется мне гораздо более рациональной, чем попытка объяснить жизнь как форму движения. И когда мы рассматриваем область экстремальной миниатюрности, характеризующуюся четырехмерным движением, трудность представления такого организма рядом с телесным исчезает. Лорд Кельвин предполагает, что материя образована из эфира. Мы вполне можем предположить, что живые организмы, направляющие материальные, являются координационными с ними, не состоящими из материи, а состоящими из эфирных тел, и как таковые способными к движению через эфир и способными порождать материальные живые тела по всему минеральному миру.

Гипотезы, подобные этим, не находят непосредственного основания для доказательства или опровержения в физическом мире. Давайте поэтому обратимся к другой области и, предположив, что человеческая душа является четырехмерным существом, способным в себе к четырехмерным движениям, но в своем опыте через чувства ограниченным тремя измерениями, спросим, соответствует ли история мысли, этих продуктивностей, которые характеризуют человека, нашему предположению. Давайте рассмотрим те шаги, посредством которых человек, предположительно четырехмерное существо, несмотря на свое телесное окружение, пришел к признанию факта четырехмерного существования.

Откладывая это исследование до другой главы, я здесь резюмирую аргумент, чтобы показать, что наша цель является полностью практической и независимой от каких-либо философских или метафизических соображений.

Если два выстрела сделаны по мишени, и вторая пуля попадает в другое место, чем первая, мы предполагаем, что была какая-то разница в условиях, при которых был сделан второй выстрел, по сравнению с теми, которые влияли на первый выстрел. Сила пороха, направление прицеливания, сила ветра или какое-то условие должны были быть другими во втором случае, если курс пули был не точно таким же, как в первом случае. Соответственно каждой разнице в результате должна быть какая-то разница в предшествующих материальных условиях. Прослеживая эту цепь отношений, мы объясняем природу.

Но есть также другой способ объяснения, который мы применяем. Если мы спросим, что было причиной того, что был построен определенный корабль или что была возведена определенная структура, мы могли бы приступить к исследованию изменений в клетках мозга людей, которые проектировали работы. Каждое изменение в одном корабле или здании по сравнению с другим кораблем или зданием сопровождается изменением в процессах, которые происходят в мозговом веществе проектировщиков. Но практически это была бы очень долгая задача.

Более эффективным способом объяснения производства корабля или здания было бы исследование мотивов, планов и целей людей, которые их конструировали. Мы получаем кумулятивный и последовательный корпус знаний гораздо легче и эффективнее последним способом.

Иногда мы применяем один, иногда другой способ объяснения.

Но следует заметить, что метод объяснения, основанный на цели, намерении, воле, всегда предполагает механическую систему, на которой работает воля и цель. Концепция человека как желающего и действующего из мотивов включает в себя концепцию ряда единообразных процессов природы, которые он может модифицировать и применение которых он может осуществить. В механических условиях трехмерного мира единственным волевым агентством, которое мы можем продемонстрировать, является человеческое агентство. Но когда мы рассматриваем четырехмерный мир, вывод остается совершенно открытым.

Метод объяснения, основанный на цели и намерении, не начинается, конечно, внезапно с человека и не заканчивается на нем. Есть столько же позади проявления воли и мотива, которые мы видим в человеке, сколько позади явлений движения; они являются координационными, ни одно из них не может быть сведено к другому. И начало исследования той воли и мотива, которые лежат позади воли и мотива, проявленных в трехмерном механическом поле, находится в концепции души — четырехмерного организма, который выражает свое высшее физическое бытие в симметрии тела и дает цели и мотивы человеческого существования.

Наша первичная задача — сформировать систематическое знание явлений четырехмерного мира и найти те точки, в которых это знание должно быть призвано для завершения нашего механического объяснения вселенной. Но вспомогательный вклад в верификацию гипотезы может быть сделан путем обзора истории человеческой мысли и исследования того, представляет ли она такие черты, которые естественно ожидались бы при этом допущении.

ГЛАВА IV. ПЕРВАЯ ГЛАВА В ИСТОРИИ ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА

Парменид и азиатские мыслители, с которыми он находится в тесном родстве, выдвигают теорию существования, которая находится в тесном согласии с концепцией возможного отношения между высшим и низшим размерным пространством. Эта теория, предшествующая и находящаяся в заметном контрасте с основным потоком мысли, который мы опишем впоследствии, образует замкнутый круг сама по себе. Это та теория, которая во все века имела сильное притяжение для чистого интеллекта и является естественным способом мышления для тех, кто воздерживается от проецирования своей собственной воли в природу под видом причинности.

Согласно Пармениду из Элейской школы, все есть одно, неподвижное и неизменное. Постоянное среди преходящего — эта точка опоры для мысли, эта твердая почва для чувства, от открытия которой зависит вся наша жизнь — не является призраком; это образ среди обмана истинного бытия, вечного, неподвижного, единого. Так говорит Парменид.

Но как объяснить меняющуюся сцену, эти мутации вещей!

«Иллюзия», — отвечает Парменид. Различая истину и заблуждение, он рассказывает об истинном учении об одном — ложном мнении о меняющемся мире. Он не менее памятен манерой своей защиты, чем делом, которое он защищает. Это как если бы со своей твердой опоры бытия он мог играть с мыслями, под бременем которых трудились другие, ибо от него исходит та беглость предположений и гипотез, которая образует текстуру диалектики Платона.

Может ли разум представить себе более восхитительную интеллектуальную картину, чем картина Парменида, указывающего на единое, истинное, неизменное и в то же время готового обсуждать всякого рода ложные мнения, формируя также космогонию, ложную, «но мою собственную», на манер того времени?

В поддержку истинного мнения он двигался отрицательным путем, показывая внутренние противоречия в идеях изменения и движения. Сомнительно, чтобы его критика, за исключением второстепенных моментов, когда-либо была успешно опровергнута. Чтобы выразить его доктрину тяжеловесным современным языком, мы должны сделать утверждение, что движение является феноменальным, а не реальным.

Давайте представим его доктрину.

Fig. 13.

Представьте лист неподвижной воды, в который опускается наклонная палка с движением вертикально вниз. Пусть 1, 2, 3 (рис. 13) будут тремя последовательными положениями палки. A, B, C будут тремя последовательными положениями точки встречи палки с поверхностью воды. По мере того как палка опускается, точка встречи будет перемещаться от A к B и C.

Предположим теперь, что вся вода удалена, осталась только пленка. В месте встречи пленки и палки произойдет разрыв пленки. Если мы предположим, что пленка обладает свойством, подобным мыльному пузырю, смыкаться вокруг любого проникающего объекта, то по мере того, как палка движется вертикально вниз, разрыв в пленке будет перемещаться.

Fig. 14.

Если мы пропустим спираль через пленку, пересечение даст точку, движущуюся по кругу, показанному пунктирными линиями на рисунке. Предположим теперь, что спираль неподвижна, а пленка движется вертикально вверх; вся спираль будет представлена в пленке последовательными положениями точки пересечения. В пленке постоянное существование спирали воспринимается как временная последовательность — запись прохождения спирали представляет собой точку, движущуюся по кругу. Если теперь мы предположим сознание, связанное с пленкой таким образом, что пересечение спирали с пленкой порождает осознанный опыт, мы увидим, что в пленке у нас будет точка, движущаяся по кругу, осознающая свое движение, ничего не знающая о той реальной спирали, записью последовательных пересечений которой пленкой является движение точки.

Легко представить сложные структуры природы спирали, структуры, состоящие из нитей, и предположить также, что эти структуры различимы друг от друга в каждом сечении. Если мы будем рассматривать пересечения этих нитей с пленкой по мере ее прохождения как атомы, составляющие пленочную вселенную, мы получим в пленке мир кажущегося движения; у нас будут тела, соответствующие нитевидной структуре, и положения этих структур по отношению друг к другу порождают тела в пленке, движущиеся среди друг друга. Это взаимное движение является лишь кажущимся. Реальность состоит из постоянных неподвижных структур, а все относительные движения объясняются одним равномерным движением пленки в целом.

Таким образом, мы можем представить плоский мир, в котором все разнообразие движения является феноменом структур, состоящих из нитевидных атомов, пересекаемых плоскостью сознания. Переходя к четырем измерениям и нашему пространству, мы можем представить, что все вещи и движения в нашем мире являются считыванием постоянной реальности пространством сознания. Каждый атом в каждый момент времени — это не то, чем он был, а новая часть той бесконечной линии, которой он является сам. И вся эта система, последовательно раскрывающаяся во времени, которое есть лишь последовательность сознания, раздельная в своих частях, в своей целостности является одним огромным единством. Представляя доктрину Парменида таким образом, мы получаем более твердую опору в ней, чем если бы мы просто позволили его словам покоиться, величественным и массивным, в наших умах. И мы также получили средства для представления фаз той восточной мысли, которой Парменид был не чужд. Модифицируя его бескомпромиссную доктрину, давайте предположим, возвращаясь к плоскости сознания и структуре нитевидных атомов, что эти структуры сами движутся — действуют, живут. Тогда в поперечном движении пленки возникли бы два феномена движения: один, обусловленный считыванием в пленке постоянных существований, каковы они сами по себе, и другой феномен движения, обусловленный модификацией записи самих вещей их собственным движением в процессе их прохождения.

Таким образом, сознательное существо в плоскости имело бы, так сказать, двоякий опыт. При полном прохождении структуры, пересечение которой с пленкой дает все его сознание, основные и главные движения и действия, которые он совершал, были бы записью его высшего «я», каким оно существовало неподвижным и бездействующим. Незначительные модификации и отклонения от этих движений и действий представляли бы активность и самоопределение полного существа, его высшего «я».

Допустимо предположить, что сознание в плоскости имеет долю в той воле, посредством которой полное существо определяет себя. Таким образом, побуждение и воля, инициатива и жизнь высшего существа были бы представлены в случае существа в пленке инициативой и волей, способными не определять какие-либо великие вещи или важные движения в его существовании, а только малые и относительно незначительные действия. Во всех главных чертах своей жизни его опыт был бы репрезентативным для одного состояния высшего существа, чье существование определяет его по мере прохождения пленки. Но в своих мелких и кажущихся неважными действиях он участвовал бы в той воле и определении, посредством которых действует и живет все то существо, которым он является на самом деле.

Изменение высшего существа соответствовало бы другой жизненной истории для него. Давайте теперь сделаем предположение, что пленка за пленкой проходит через эти высшие структуры, что жизнь реального существа считывается снова и снова в последовательных волнах сознания. Существовала бы последовательность жизней в различных продвигающихся плоскостях сознания, каждая из которых отличалась бы от предыдущей, и отличалась бы в силу той воли и активности, которые в предыдущей не были посвящены более великим и кажущимся наиболее значительными вещам в жизни, а мелким и кажущимся неважными. Во всех великих вещах существо пленки разделяет существование своего высшего «я», каким оно является в любой момент времени. В малых вещах он разделяет ту волю, посредством которой высшее существо изменяется и меняется, действует и живет.

Таким образом, мы получаем концепцию жизни, изменяющейся и развивающейся в целом, жизни, в которой наше разделение, прекращение и мимолетность являются лишь кажущимися, но которая в своих событиях и ходе изменяется, меняется, развивается; и сила изменения и преобразования этого целого заключается в воле и силе, которыми ограниченное существо обладает для направления, руководства, изменения самого себя в мелких вещах своего существования.

Перенося наши концепции на концепции существования в высшей размерности, пересекаемой пространством сознания, мы получаем иллюстрацию мысли, которая находила частое и разнообразное выражение. Однако, когда мы спрашиваем себя, какая степень истины в ней заключена, мы должны признать, что, насколько мы можем видеть, она является лишь символической. Истинный путь в исследовании высшей размерности лежит в другом направлении.

Значение парменидовской доктрины заключается в том, что здесь, как и снова и снова, мы обнаруживаем, что те концепции, которые человек вводит сам, которые он не выводит из простой записи своего внешнего опыта, имеют поразительное и значимое соответствие с концепцией физического существования в мире высшего пространства. Насколько близко мы подходим к мысли Парменида этим способом представления, сказать невозможно. Что я хочу отметить, так это адекватность иллюстрации, не только для того, чтобы дать статическую модель его доктрины, но и такую, которая способна, так сказать, к пластической модификации в соответствие с родственными формами мысли. Либо одно из двух должно быть истинным — либо четырехмерные концепции дают удивительную силу представления мысли Востока, либо мыслители Востока должны были смотреть на четырехмерное существование и рассматривать его.

Переходя теперь к основному потоку мысли, мы должны подробно остановиться на Пифагоре, не из-за его прямого отношения к предмету, а из-за его отношения к исследователям, которые пришли позже.

Пифагор изобрел двухсторонний счет. Давайте представим односторонний счет позициями aa, ab, ac, ad, используя эти пары букв вместо чисел 1, 2, 3, 4. Я ставлю «a» в каждом случае первым по причине, которая сразу станет ясной.

У нас есть последовательность и порядок. Здесь не обязательно задействована концепция расстояния. Разница между позициями — это разница порядка, а не расстояния; только при отождествлении с числом равных материальных вещей, находящихся в соположении, возникает понятие расстояния.

Теперь, помимо простого ряда, я могу иметь, начиная с aa, ba, ca, da, с ab, bb, cb, db и так далее, формируя схему:

da
db
dc
dd

ca
cb
cc
cd

ba
bb
bc
bd

aa
ab
ac
ad

Этот комплекс или многообразие дает двухсторонний порядок. Я могу представить его набором точек, если буду остерегаться предположения о каком-либо отношении расстояния.

Fig. 15.

Пифагор изучал этот двоякий способ счета применительно к материальным телам и открыл то самое замечательное свойство комбинации числа и материи, которое носит его имя.

Пифагорейское свойство протяженной материальной системы может быть продемонстрировано способом, который будет полезен нам впоследствии, и который поэтому я буду использовать сейчас вместо того, чтобы использовать тот вид фигуры, который использовал он сам.

Рассмотрим двухстороннее поле точек, расположенных правильными рядами. Такое поле будет предполагаться в следующем аргументе.

Fig. 16.

Очевидно, что на рис. 16 четыре точки определяют квадрат, который мы можем принять за единицу измерения площадей. Но мы можем измерять площади и другим способом.

Рис. 16 (1) показывает четыре точки, определяющие квадрат.

Но четыре квадрата также сходятся в одной точке, рис. 16 (2).

Следовательно, точка в углу квадрата в равной степени принадлежит четырем квадратам.

Таким образом, мы можем сказать, что точечное значение показанного квадрата равно одной точке, ибо если мы возьмем квадрат на рис. 16 (1), он имеет четыре точки, но каждая из них в равной степени принадлежит четырем другим квадратам. Следовательно, одна четвертая каждой из них принадлежит квадрату (1) на рис. 16. Таким образом, точечное значение квадрата равно одной точке.

Результат подсчета точек такой же, как и тот, который получен при подсчете заключенных в них квадратных единиц.

Следовательно, если мы хотим измерить площадь любого квадрата, мы можем взять число точек, которые он заключает, посчитать их как по одной, и взять одну четвертую числа точек в его углах.

Fig. 17.

Теперь нарисуйте диагональный квадрат, как показано на рис. 17. Он содержит одну точку, а четыре угла дают еще одну точку; следовательно, его точечное значение равно 2. Значение является мерой его площади — размер этого квадрата равен двум единичным квадратам.

Глядя теперь на стороны этой фигуры, мы видим, что на каждой из них есть единичный квадрат — два квадрата не содержат точек, но имеют по четыре угловые точки каждый, что дает точечное значение каждого как одну точку.

Следовательно, мы видим, что квадрат на диагонали равен квадратам на двух сторонах; или, как это обычно выражается, квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов на сторонах.

Fig. 18.

Заметив этот факт, мы можем перейти к вопросу, всегда ли это верно. Нарисовав квадрат, показанный на рис. 18, мы можем посчитать количество его точек. Всего их пять. Внутри квадрата на диагонали находятся четыре точки, и, следовательно, вместе с четырьмя точками в его углах точечное значение равно 5 — то есть площадь равна 5. Теперь квадраты на сторонах имеют соответственно площадь 4 и 1. Следовательно, и в этом случае квадрат на диагонали равен сумме квадратов на сторонах. Это свойство материи является одним из первых великих открытий прикладной математики. Мы докажем впоследствии, что это не свойство пространства. На данный момент достаточно заметить, что положения, в которых расположены точки, являются чисто экспериментальными. Именно с помощью равных кусков какого-либо материала или одного и того же куска материала, перемещаемого с одного места на другое, точки располагаются.

Затем Пифагор исследовал, каким должно быть отношение, чтобы квадрат, нарисованный наклонно, был равен квадрату, нарисованному прямо. Он обнаружил, что квадрат, сторона которого равна пяти, может быть помещен либо прямоугольно вдоль линий точек, либо в наклонном положении. И этот квадрат эквивалентен двум квадратам со сторонами 4 и 3.

Здесь он натолкнулся на числовое отношение, воплощенное в свойстве материи. Числа, имманентные объектам, порождали равенство, столь удовлетворительное для интеллектуального постижения. И он обнаружил, что числа, когда они имманентны звуку — когда струны музыкального инструмента имели определенные точные пропорции длины — были не менее захватывающими для слуха, чем равенство квадратов для разума. Что же удивительного в том, что он приписывал активную силу числу!

Мы должны помнить, что, разделяя, подобно нам, поиск постоянного в изменяющихся явлениях, греки не имели той концепции постоянного в материи, которую имеем мы. Для них материальные вещи не были постоянными. В огне твердые вещи исчезали; абсолютно исчезали. Скалы и земля имели более стабильное существование, но и они росли и разрушались. Постоянство материи, сохранение энергии были им неизвестны. И то различие, которое мы так легко проводим между мимолетными и постоянными причинами ощущения, например, между звуком и материальным объектом, не имело для них того же значения, которое оно имеет для нас. Давайте лишь на мгновение представим, что материальные вещи мимолетны, исчезают, и мы с гораздо большей признательностью войдем в тот поиск постоянного, который у греков, как и у нас, является первичным интеллектуальным требованием.

Что есть то, что среди тысячи форм всегда одно и то же, что мы можем узнать при всех его превратностях, чьими проявлениями являются разнообразные феномены?

Думать, что это число, не так уж далеко от истины. С интеллектуальным постижением, которое намного опережало доказательства для его применения, атомисты утверждали, что существуют вечные материальные частицы, которые своим соединением порождали все изменяющиеся формы и состояния тел. Но ввиду наблюдаемых фактов природы, как они были известны тогда, Аристотель с полным основанием отказался принять эту гипотезу.

Он прямо заявляет, что существует изменение качества и что изменение, обусловленное движением, является лишь одним из возможных способов изменения.

Не имея вокруг нас постоянного материального мира, с мимолетным, непостоянным повсюду вокруг, мы, я думаю, были бы готовы последовать за Пифагором в его отождествлении числа с тем принципом, который существует среди всех изменений, который в бесчисленных формах мы постигаем имманентным в изменяющейся и исчезающей субстанции вещей.

И от числового идеализма Пифагора лишь один шаг до более богатого и полного идеализма Платона. То, что постигается чувством осязания, мы ставим как первичное и реальное, а о других чувствах говорим, что они касаются лишь явлений. Но Платон принимал их все как значимые, как дающие качества существования. То, что качества не были постоянными в мире, данном чувствам, заставило его приписать им другой вид постоянства. Он сформировал концепцию мира идей, в котором все, что действительно есть, все, что влияет на нас и дает богатое и чудесное богатство нашего опыта, не является мимолетным и преходящим, а вечным. И этого реального и вечного мы видим в вещах вокруг нас мимолетные и преходящие образы.

И этот мир идей не был исключительным, в котором не было места для сокровенных убеждений души и ее самых авторитетных утверждений. Там существовали справедливость, красота — единое, благое, все, чем душа требовала быть. Мир идей, чудесное творение Платона, сохранил для человека, для его сознательного исследования и их верного развития все то, что грубые непостижимые изменения сурового опыта рассеивают и разрушают.

Платон верил в реальность идей. Он встречает нас честно и прямо. Разделите линию на две части, говорит он; одну, чтобы представить реальные объекты в мире, другую, чтобы представить преходящие явления, такие как изображение в неподвижной воде, блеск солнца на яркой поверхности, тени на облаках.

Real things:
 e.g., the sun.

Appearances:
 e.g., the reflection of the sun.

Возьмите другую линию и разделите ее на две части, одну, представляющую наши идеи, обычных обитателей наших умов, таких как белизна, равенство, и другую, представляющую наше истинное знание, которое касается вечных принципов, таких как красота, добро.

Eternal principles,

as beauty.

 Appearances in the mind,

as whiteness, equality

Тогда как A относится к B, так A1 относится к B1.

То есть душа может продвигаться, уходя от реальных вещей к области совершенной уверенности, где она созерцает то, что есть, а не рассеянные отражения; созерцает солнце, а не блеск на песках; истинное бытие, а не случайное мнение.

Теперь это для нас, как и для Аристотеля, абсолютно немыслимо с научной точки зрения. Мы можем понять, что существо познается в полноте его отношений; именно в его отношениях к обстоятельствам познается характер человека; именно в его действиях при его условиях существует его характер. Мы не можем ухватить или представить какой-либо принцип индивидуации отдельно от полноты отношений к окружению.

Но предположим теперь, что Платон говорит о высшем человеке — четырехмерном существе, которое ограничено в нашем внешнем опыте трехмерным миром. Не начинают ли его слова обретать смысл? Такое существо обладало бы сознанием движения, которое не похоже на движение, которое он может видеть глазами тела. Он в своем собственном бытии знает реальность, по сравнению с которой внешняя материя этой слишком твердой земли является хрупкой поверхностностью. Он тоже знает способ бытия, полноту отношений, которая может быть представлена в ограниченном мире чувств только так, как художник несущественно изображает глубины лесов, равнин и воздуха. Думая о таком существе в человеке, не была ли линия Платона хорошо разделена?

Примечательно, что если бы Платон опустил свою доктрину независимого происхождения идей, он представил бы в точности четырехмерный аргумент; реальная вещь, какой мы ее мыслим, — это идея. Идея плоского существа о квадратном объекте — это идея абстракции, а именно геометрического квадрата. Точно так же наша идея о твердом предмете — это абстракция, ибо в нашей идее нет четырехмерной толщины, которая необходима, пусть даже незначительная, чтобы придать реальность. Аргумент тогда звучал бы так: как тень относится к твердому объекту, так твердый объект относится к реальности. Таким образом, A и B´ были бы отождествлены.

В аллегории, на которую я уже ссылался, Платон почти теми же словами показывает отношение между существованием в поверхности и в твердом пространстве. И он использует это отношение, чтобы указать на условия высшего бытия.

Он представляет себе ряд людей-узников, закованных так, что они смотрят на стену пещеры, в которой они заключены, спиной к дороге и свету. По дороге проходят мужчины и женщины, фигуры и процессии, но из всего этого зрелища все, что видят узники, — это тень его на стене, на которую они смотрят. Их собственные тени и тени вещей в мире — это все, что они видят, и, отождествляя себя со своими тенями, связанными как тени с миром теней, они живут в своего рода сне.

Платон представляет себе, как один из них выходит из их среды в мир реального пространства, а затем возвращается, чтобы рассказать им об их состоянии.

Здесь он наиболее ясно представляет отношение между существованием в плоском мире и существованием в трехмерном мире. И он использует эту иллюстрацию как тип того способа, которым мы должны продвигаться к высшему состоянию от трехмерной жизни, которую мы знаем.

Должно быть, от веса тени зависело, какой путь он выбрал! — тот ли, которому мы последуем к высшему твердому телу и четырехмерному существованию, или тот, который делает идеи высшими реальностями, а прямое их восприятие — контактом с более истинным миром.

Переходя к Аристотелю, мы коснемся моментов, которые наиболее непосредственно касаются нашего исследования.

Точно так же, как ученый наших дней, рассматривая спекуляции древнего мира, относился бы к ним с любопытством, наполовину насмешливым, но полностью уважительным, спрашивая у каждого и у всех, в чем заключается их отношение к факту, так и Аристотель, обсуждая философию Греции, как он ее нашел, спрашивает прежде всего: «Представляет ли это мир? Есть ли в этой системе адекватное представление того, что есть?»

Он находит их все дефектными, некоторые по тем самым причинам, по которым мы ценим их наиболее высоко, как когда он критикует атомную теорию за ее сведение всех изменений к движению. Но в высоком марше своего разума он никогда не упускает из виду целое; и то, в чем наши взгляды отличаются от его, заключается не столько в превосходстве нашей точки зрения, сколько в факте, который он сам провозглашает — что невозможно, чтобы один принцип был действителен во всех отраслях исследования. Концепции одного метода исследования не являются концепциями другого; и наше расхождение заключается в нашем исключительном внимании к концепциям, полезным в одном способе постижения природы, а не в какой-либо возможности, которую мы находим в наших теориях дать взгляд на целое, превосходящий взгляд Аристотеля.

Он принимает во внимание все; он не разделяет материю и проявление материи; он соединяет все вместе в концепции огромного мирового процесса, в котором все принимает участие — движение пылинки, раскрытие листа, упорядоченное движение сфер на небе — все это части одного целого, которое он не хочет разделять на мертвую материю и привходящие модификации.

И точно так же, как наши теории, как репрезентативные для действительности, падают перед его непревзойденным охватом фактов, так пала и доктрина идей. Это не адекватное описание существования, как показывает сам Платон в своем «Пармениде»; она только объясняет вещи, ставя их двойников рядом с ними.

Со своей стороны Аристотель изобрел великое марширующее определение, которое с присущей ему своего рода силой прокладывает себе путь сквозь явления к ограничивающим концепциям с обеих сторон, на существование которых указывает весь опыт.

В определении Аристотелем материи и формы как составляющей реальности, как и в мистическом видении Платоном царства идей, существование высшей размерности неявно вовлечено.

Субстанция, согласно Аристотелю, относительна, а не абсолютна. Во всем, что есть, есть материя, из которой оно состоит, форма, которую оно демонстрирует; но они неразрывно связаны, и ни одна из них не может быть помыслена без другой.

Каменные блоки, из которых строится дом, являются материалом для строителя; но, что касается каменотесов, они являются материей скал с формой, которую он наложил на них. Слова — конечный продукт грамматика, но лишь материя оратора или поэта. Атом для нас — то, из чего строятся химические вещества, но, если посмотреть с другой точки зрения, является результатом сложных процессов.

Нигде мы не находим окончательности. Материя в одной сфере является материей плюс формой другой сферы мысли. Делая очевидное применение к геометрии, плоские фигуры существуют как ограничение различных частей плоскости друг другом. В ограничивающих линиях разделенная материя плоскости показывает свое определение в форму. И как плоскость является материей относительно определений в плоскости, так и сама плоскость существует в силу определения пространства. Плоскость — это то, в чем бесформенное пространство имеет наложенную на него форму, и дает актуальность реальных отношений. Мы не можем отказаться продвинуть этот процесс рассуждения на шаг дальше и сказать, что само пространство — это то, что дает форму высшему пространству. Как линия является определением плоскости, а плоскость — твердого тела, так и твердое пространство само является определением высшего пространства.

Как линия сама по себе немыслима без той плоскости, которую она разделяет, так и плоскость немыслима без твердых тел, которые она ограничивает с обеих сторон. И так само пространство не может быть положительно определено. Это отрицание возможности движения более чем в трех измерениях. Концепция пространства требует концепции высшего пространства. Как поверхность тонка и несущественна без субстанции, поверхностью которой она является, так и сама материя тонка без высшей материи.

Точно так же, как Аристотель изобрел тот алгебраический метод представления неизвестных величин простыми символами, а не линиями, обязательно определенными по длине, как это было в обычае греческих геометров, и тем самым проложил путь к тем объективациям мысли, которые, подобно независимым машинам для рассуждения, снабжают математика его аналитическим оружием, так и в формулировке доктрины материи и формы, потенциальности и актуальности, относительности субстанции он произвел другой вид объективации разума — определение, которое имело жизненную силу и активность само по себе.

Ни в одном из своих трудов, насколько нам известно, он не довел ее до логического завершения со стороны материи, но в направлении формальных качеств он был приведен к своей ограничивающей концепции того существования чистой формы, которое лежит за пределами всякого известного определения материи. Неподвижный двигатель всего сущего — высший принцип Аристотеля. К нему, чтобы приобщиться к его совершенству, движутся все вещи. Вселенная, согласно Аристотелю, — это активный процесс; он не принимает нелогичную концепцию, что она была однажды приведена в движение и с тех пор продолжает двигаться. В системе Аристотеля есть место для активности, воли, самоопределения, а также для случайного и непредвиденного. Мы не следуем за ним, потому что привыкли находить в природе бесконечные ряды и не чувствуем себя обязанными переходить к вере в конечные пределы, на которые они, по-видимому, указывают.

Но помимо доведения до предела, как относительный принцип эта доктрина Аристотеля об относительности субстанции неопровержима в своей логике. Он был первым, кто показал необходимость того пути мысли, который при следовании ведет к вере в четырехмерное пространство.

Будучи антагонистом Платона в своей концепции практического отношения разума к миру явлений, он все же в одном пункте совпал с ним. И в этом он проявил искренность своего интеллекта. Он был более озабочен тем, чтобы ничего не потерять, чем тем, чтобы все объяснить. И то, в чем многие обнаружили непоследовательность, неспособность освободиться от школы Платона, представляется нам в связи с нашим исследованием как пример остроты его наблюдения. Ибо за пределами всякого знания, данного чувствами, Аристотель полагал, что существует активный интеллект, разум, не пассивный получатель впечатлений извне, а активное и творческое существо, способное постигать знание из первых рук. В активной душе Аристотель признавал нечто в человеке, не произведенное его физическим окружением, нечто, что творит, чья активность есть знание, не выведенное из чувств. Это, говорит он, бессмертное и неумирающее существо в человеке.

Таким образом, мы видим, что Аристотель был недалеко от признания четырехмерного существования, как вне, так и внутри человека, и процесс адекватного осознания фигур высшей размерности, к которым мы придем впоследствии, является простым сведением к практике его гипотезы о душе.

Следующий шаг в развертывании драмы признания души как связанной с нашей научной концепцией мира и, в то же время, признания того высшего, поверхностным проявлением которого является трехмерный мир, произошел много веков спустя. Если мы пропускаем промежуточное время без слова, то это потому, что душа была занята утверждением себя иными способами, нежели способом знания. Когда она всерьез взялась за задачу познания этого материального мира, в котором она себя обнаружила, и управления ходом неживой природы, из этой наиболее объективной цели пришло, отраженное назад, как из зеркала, ее знание о самой себе.

ГЛАВА V ВТОРАЯ ГЛАВА В ИСТОРИИ ЧЕТЫРЕХ ПРОСТРАНСТВ

Лобачевский, Бойяи и Гаусс. Прежде чем приступить к описанию работы Лобачевского и Бойяи, будет не лишним дать краткий отчет о них, материалы для которого можно найти в статье Франца Шмидта в сорок втором томе Mathematische Annalen и в издании Энгеля работ Лобачевского.

Лобачевский был человеком самых полных и чудесных талантов. В юности он был полон живости, доводя свою эксuberance до того, что попадал в серьезные неприятности за дедовщину над профессором и другие выходки. Спасенный благодаря добрым услугам математика Бартельса, который оценил его способности, он сумел удержать себя в рамках благоразумия. Назначенный профессором в своем собственном университете, в Казани, он приступил к своим обязанностям при режиме пиетистского реакционера, который окружил себя подхалимами и лицемерами. Вероятно, считая интересы своих учеников выше любой попытки тщетного сопротивления, он стал правой рукой тирана, выполняя невероятный объем преподавания и выполняя самые разнообразные официальные обязанности. Среди всей своей деятельности он находил время делать важные вклады в науку. Его теория параллельных линий наиболее тесно связана с его именем, но изучение его трудов показывает, что он был человеком, способным продолжать математику по ее основным линиям продвижения, и суждения, равного тому, чтобы различать, что это за линии. Назначенный ректором своего университета, он умер в преклонном возрасте, окруженный друзьями, почитаемый, с результатами своей благотворной деятельности повсюду вокруг него. Для него не было неподходящего предмета, от основ геометрии до улучшения печей, которыми крестьяне отапливали свои дома.

Он родился в 1793 году. Его научная работа оставалась незамеченной до 1867 года, когда Уэль, французский математик, обратил внимание на ее важность.

Янош Бойяи де Бойяи родился в Клаузенбурге, городе в Трансильвании, 15 декабря 1802 года.

Его отец, Вольфганг Бойяи, профессор Реформатского колледжа в Марош-Вашархей, сохранил пыл в математических исследованиях, который сделал его избранным спутником Гаусса в их ранние студенческие годы в Геттингене.

Он нашел в Яноше жадного ученика. Он рассказывает, что мальчик выпрыгнул перед ним, как черт. Как только он формулировал задачу, ребенок давал решение и приказывал ему идти дальше. Будучи тринадцатилетним мальчиком, отец иногда посылал его заменять себя, когда был не в состоянии вести занятия. Ученики слушали его с большим вниманием, чем отца, ибо находили его более понятным.

В письме к Гауссу Вольфганг Бойяи пишет:—

«Мой мальчик крепко сложен. Он научился распознавать многие созвездия и обычные фигуры геометрии. Он делает уместные применения своих понятий, рисуя, например, положения звезд с их созвездиями. Прошлой зимой в деревне, увидев Юпитер, он спросил: «Как это мы можем видеть его отсюда так же хорошо, как из города? Он должен быть далеко». И относительно трех разных мест, в которых он был, он попросил меня рассказать ему о них одним словом. Я не знал, что он имел в виду, а потом он спросил меня, находится ли одно на линии с другим и все в ряд, или они находятся в треугольнике.

«Ему нравится вырезать бумажные фигурки ножницами, и, не будучи мной наученным о треугольниках, заметил, что прямоугольный треугольник, который он вырезал, был половиной прямоугольника. Я упражняю его тело с осторожностью, он может хорошо копать землю своими маленькими ручками. Цветок может упасть, и плода не останется. Когда ему будет пятнадцать, я хочу послать его к вам, чтобы он был вашим учеником».

В автобиографии Яноша он говорит:—

«Мой отец обратил мое внимание на несовершенства и пробелы в теории параллельных линий. Он сказал мне, что получил более удовлетворительные результаты, чем его предшественники, но не получил идеального и удовлетворяющего заключения. Ни одно из его предположений не имело необходимой степени геометрической достоверности, хотя они были достаточны, чтобы доказать одиннадцатую аксиому и казались приемлемыми на первый взгляд.

«Он умолял меня, тревожась не без причины, держаться в стороне и избегать всякого исследования на эту тему, если я не хочу прожить всю свою жизнь впустую».

Янош, после неудачи отца получить какой-либо ответ от Гаусса в ответ на письмо, в котором он просил великого математика сделать из его сына «апостола истины в далекой стране», поступил в Инженерную школу в Вене. Он пишет из Темешвара, куда был назначен младшим лейтенантом в сентябре 1823 года:—

«Темешвар, 3 ноября 1823 года.

«Дорогой добрый отец,

«Мне так невероятно много нужно написать о моем открытии, что я не знаю иного способа сдержать себя, кроме как взять четверть листа только для письма. Мне нужен ответ на мое письмо из четырех листов.

«Я непоколебим в своем решении опубликовать работу о параллельных линиях, как только приведу свой материал в порядок и буду иметь средства.

«В настоящее время я не сделал никакого открытия, но путь, по которому я следовал, почти наверняка обещает мне достижение моей цели, если какая-либо возможность ее существует.

«Я еще не достиг своей цели, но я произвел такие ошеломляющие вещи, что был потрясен сам, и было бы вечным позором, если бы они пропали. Когда вы их увидите, вы обнаружите, что это так. Сейчас я могу только сказать, что я создал новый мир из ничего. Все, что я посылал вам раньше, — это карточный домик по сравнению с башней. Я убежден, что это будет не менее к моей чести, чем если бы я уже открыл это».

Открытие, о котором здесь говорит Янош, было опубликовано в качестве приложения к Tentamen Вольфганга Бойяи.

Посылая книгу Гауссу, Вольфганг пишет, после перерыва в восемнадцать лет в их переписке:—

«Мой сын — первый лейтенант инженеров и скоро будет капитаном. Он прекрасный юноша, хороший скрипач, искусный фехтовальщик и храбр, но у него было много дуэлей, и он дикий даже для солдата. И все же он выдающийся — свет во тьме и тьма в свете. Он страстный математик с необычайными способностями... Он будет думать больше о вашем суждении о его работе, чем обо всей Европе».

Вольфганг не получил ответа от Гаусса на это письмо, но, послав второй экземпляр книги, получил следующий ответ:—

«Вы обрадовали меня, мой незабвенный друг, своими письмами. Я задержал ответ на первое, потому что хотел дождаться прибытия обещанной маленькой книги.

«Теперь кое-что о работе вашего сына.

«Если я начну с того, что «я не должен хвалить ее», вы будете ошеломлены на мгновение. Но я не могу сказать ничего другого. Хвалить ее — значит хвалить самого себя, ибо путь, который проложил ваш сын, и результаты, к которым он был приведен, почти в точности такие же, как мои собственные размышления, некоторые из которых датируются тридцатью — тридцатью пятью годами назад.

«На самом деле я удивлен до крайности. Моим намерением было не давать ничего знать при моей жизни о моей собственной работе, из которой, впрочем, мало что предано бумаге. Большинство людей имеют лишь слабое представление о проблеме, и я нашел очень немногих, кто проявил какой-либо интерес к взглядам, которые я им выражал. Чтобы быть способным на это, нужно прежде всего иметь реальное живое чувство того, чего не хватает, а в этом большинство людей находятся в полной темноте.

«Все же моим намерением было предать все бумаге с течением времени, чтобы, по крайней мере, это не погибло вместе со мной.

«Я глубоко удивлен, что эта задача может быть избавлена от меня, и я больше всего доволен тем, что именно сын моего старого друга так замечательным образом опередил меня».

Впечатление, которое мы получаем от необъяснимого молчания Гаусса по отношению к своему старому другу, сметается этим письмом. Следовательно, мы дышим чистым воздухом горных вершин. Гаусс не преминул бы осознать огромное значение своих мыслей, которые наверняка будут иметь еще больший эффект на будущие века из-за отсутствия понимания в настоящем. И все же в его письме нет ни слова, ни знака, чтобы претендовать на эту мысль для себя. Он не опубликовал ни одной строки на эту тему. Мерой того, от чего он так молчаливо отказывается, такой мерой всемирно преобразующей мысли, мы можем оценить его величие.

Это долгий путь от безмятежности Гаусса до тревожной и страстной жизни Яноша Бойяи — он и Галуа, две самые интересные фигуры в истории математики. Ибо Бойяи, дикий солдат, дуэлянт, оказался в разладе с миром. Рассказывают о нем, что он был вызван на дуэль тринадцатью офицерами своего гарнизона, что вполне могло случиться, учитывая, как иначе он думал, чем все остальные. Он сразился со всеми ними по очереди — поставив своим единственным условием, чтобы ему разрешили играть на своей скрипке в интервале между встречами с каждым противником. Он обезоружил или ранил всех своих антагонистов. Легко представить, что темперамент, подобный его, не был близок его военному начальству. Он был отправлен в отставку в 1833 году.

Его эпохальное открытие не вызвало никакого внимания. Похоже, он пришел к мысли, что его отец предал его каким-то необъяснимым образом своими сообщениями с Гауссом, и вызвал превосходного Вольфганга на дуэль. Он провел свою жизнь в бедности, много раз, говорит его биограф, пытаясь вырвать себя из распутства и снова применить себя к математике. Но его усилия не имели результата. Он умер 27 января 1860 года, в разладе с миром и с самим собой.

Метагеометрия

Теории, которые обычно связываются с именами Лобачевского и Бойяи, имеют своеобразное и любопытное отношение к предмету высшего пространства.

Чтобы показать, что это за отношение, я должен попросить читателя потрудиться тщательно посчитать наборы точек, с помощью которых я буду оценивать объемы определенных фигур.

Никаких математических процессов, кроме этого простого процесса счета, не потребуется.

Fig. 19.

Предположим, что перед нами на рис. 19 плоскость, покрытая точками через равные интервалы, расположенными так, что каждые четыре определяют квадрат.

Теперь очевидно, что как четыре точки определяют квадрат, так и четыре квадрата сходятся в одной точке.

Fig. 20.

Таким образом, рассматривая точку внутри квадрата как принадлежащую ему, мы можем сказать, что точка на углу квадрата принадлежит ему и трем другим в равной степени: принадлежит четверть ее каждому квадрату.

Таким образом, квадрат ACDE (рис. 21) содержит одну точку и имеет четыре точки в четырех углах. Поскольку одна четвертая каждой из этих четырех принадлежит квадрату, все четыре вместе считаются как одна точка, и точечное значение квадрата равно двум точкам — одна внутри и четыре в углу составляют две точки, принадлежащие ему исключительно.

Fig. 21.

Fig. 22.

Теперь площадь этого квадрата равна двум единичным квадратам, что можно увидеть, нарисовав две диагонали на рис. 22.

Мы также замечаем, что рассматриваемый квадрат равен сумме квадратов на сторонах AB, BC прямоугольного треугольника ABC. Таким образом, мы признаем предложение, что квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов на двух сторонах прямоугольного треугольника.

Теперь предположим, что мы зададимся вопросом определения местонахождения в упорядоченной системе точек, где окажется конец линии, когда она поворачивается вокруг точки, удерживая один конец зафиксированным в точке.

Мы можем решить эту задачу в частном случае. Если мы сможем найти квадрат, лежащий наклонно среди точек, который равен тому, который идет регулярно, мы будем знать, что две стороны равны, и что наклонная сторона равна прямолинейной стороне. Таким образом, объем и форма фигуры, остающиеся неизменными, будут тестом того, что она повернулась вокруг точки, так что мы можем сказать, что ее сторона в первом положении повернулась бы в ее сторону во втором положении.

Теперь такой квадрат можно найти в том, сторона которого равна пяти единицам длины.

Fig. 23.

На рис. 23 в квадрате на AB есть—

9 points interior
9

4 at the corners
1

  4 sides with 3 on each side, considered as
1½ on each side, because belonging
equally to two squares
6

Итого 16. В квадрате на BC есть 9 точек.

В квадрате на AC есть—

24 points inside
24

  4 at the corners
1

или 25 всего.

Следовательно, мы видим снова, что квадрат на гипотенузе равен квадратам на сторонах.

Теперь возьмите квадрат AFHG, который больше квадрата на AB. Он содержит 25 точек.

16 inside
16

16 on the sides, counting as
8

 4 on the corners
1

составляя 25 всего.

Если два квадрата равны, мы заключаем, что стороны равны. Следовательно, линия AF, поворачиваясь вокруг A, двигалась бы так, что после определенного поворота совпала бы с AC.

Это предварительно, но это включает все математические трудности, которые представятся.

Существуют два изменения тела, при которых его объем не меняется.

Одно — то, которое мы только что рассмотрели, вращение, другое — то, что называется сдвигом.

Рассмотрим книгу или стопку свободных страниц. Их можно сдвинуть так, что каждая будет скользить по предыдущей, и целое примет форму b на рис. 24.

Fig. 24.

Эта деформация — не только сдвиг, но сдвиг, сопровождаемый вращением.

Сдвиг можно рассматривать как произведенный другим способом.

Возьмите квадрат ABCD (рис. 25) и предположите, что он вытягивается вдоль одной из своих диагоналей в обе стороны и пропорционально сжимается вдоль другой диагонали. Он примет форму на рис. 26.

Такое сжатие и растяжение вдоль двух взаимно перпендикулярных линий называется сдвигом; оно эквивалентно проиллюстрированному выше скольжению в сочетании с поворотом.

Fig. 25.

Fig. 26.

При чистом сдвиге тело сжимается и растягивается в двух взаимно перпендикулярных направлениях, так что его объем остается неизменным.

Теперь мы знаем, что наши материальные тела сопротивляются сдвигу — сдвиг нарушает внутреннее расположение их частиц, но они поворачиваются как целое без такого внутреннего сопротивления.

Но есть исключение. В жидкости сдвиг и вращение происходят одинаково легко, сопротивление сдвигу не больше, чем сопротивление вращению.

Теперь предположим, что все тела были бы приведены в жидкое состояние, в котором они одинаково легко поддаются сдвигу и вращению, а затем были бы воссозданы как твердые тела, но таким образом, чтобы сдвиг и вращение поменялись местами.

Иными словами, предположим, что, став снова твердыми, они могли бы подвергаться сдвигу, не оказывая никакого внутреннего сопротивления, но вращение нарушало бы их внутреннее расположение.

То есть у нас был бы мир, в котором сдвиг занял бы место вращения.

Сдвиг не изменяет объем тела: таким образом, житель такого мира смотрел бы на сдвинутое тело так же, как мы смотрим на повернутое тело. Он сказал бы, что оно той же формы, но немного повернулось.

Давайте представим себе Пифагора в этом мире, который принимается за работу, чтобы исследовать его, как он привык.

Fig. 27.

Fig. 28.

На рис. 27 изображен квадрат без сдвига. На рис. 28 изображен сдвинутый квадрат. Это не та фигура, в которую превратился бы квадрат с рис. 27, а результат сдвига некоторого не нарисованного квадрата. Это простая наклонно расположенная фигура, рассматриваемая теперь так же, как мы рассматривали простой наклонно расположенный квадрат ранее. Поскольку тела в этом мире сдвига не оказывают внутреннего сопротивления сдвигу и сохраняют свой объем при сдвиге, житель, привыкший к ним, не считал бы, что они меняют свою форму при сдвиге. Он назвал бы ACDE таким же квадратом, как квадрат на рис. 27. Мы будем называть такие фигуры квадратами сдвига. Подсчитав точки в ACDE, мы обнаружим —

2 inside
=
2

4 at corners
=
1

или в общей сложности 3.

Теперь квадрат на стороне AB имеет 4 точки, а квадрат на стороне BC имеет 1 точку. Здесь квадрат сдвига на гипотенузе имеет не 5 точек, а 3; это не сумма квадратов на сторонах, а разность.

Fig. 29.

Это соотношение всегда верно. Посмотрите на рис. 29.

Квадрат сдвига на гипотенузе —

7 internal
   7

4 at corners
1

8

Fig. 29 bis.

Квадрат на одной стороне — который читатель может нарисовать сам —

4 internal
   4

8 on sides
4

4 at corners
1

9

а квадрат на другой стороне равен 1. Следовательно, и в этом случае разность равна квадрату сдвига на гипотенузе, 9 - 1 = 8.

Таким образом, в мире сдвига квадрат на гипотенузе был бы равен разности квадратов на сторонах прямоугольного треугольника.

На рис. 29 bis нарисован еще один квадрат сдвига, на котором можно проверить вышеуказанное соотношение.

Какое положение заняла бы линия при повороте посредством сдвига?

Мы должны решить это так же, как и ранее с нашим поворотом.

Поскольку сдвинутое тело остается прежним, мы должны найти два равных тела, одно в прямом положении, другое в наклонном, которые имеют одинаковый объем. Тогда сторона одного при повороте станет стороной другого, ибо две фигуры являются тем, во что превращается каждая из них при повороте сдвигом.

Мы можем решить эту задачу в частном случае —

Fig. 30.

В фигуре ACDE (рис. 30) имеется —

15 inside
15

4 at corners
  1

в общей сложности 16.

Теперь в квадрате ABGF имеется 16 —

9 inside
   9

12 on sides
6

4 at corners
1

16

Следовательно, квадрат на AB при повороте сдвигом превратился бы в квадрат сдвига ACDE.

А значит, житель этого мира сказал бы, что линия AB превратилась в линию AC. Эти две линии были бы для него двумя линиями равной длины, одна из которых немного повернута относительно другой.

То есть, заменив вращение сдвигом, мы получаем иной вид фигуры как результат поворота сдвигом, нежели тот, который мы получили при нашем обычном вращении. И, как следствие, мы получаем для конца линии неизменной длины при ее повороте посредством поворота сдвигом положение, отличное от того, которое она заняла бы при повороте посредством нашего вращения.

Реальный материальный стержень в мире сдвига при повороте вокруг A перешел бы из положения AB в положение AC. Мы говорим, что его длина изменяется, когда он становится AC, но это преобразование AB показалось бы жителю мира сдвига поворотом AB без изменения длины.

Если теперь мы предположим обмен идеями между одним из нас и жителем мира сдвига, то, очевидно, возникнет разница между его взглядами на расстояние и нашими.

Мы бы сказали, что его линия AB увеличилась в длине при повороте в AC. Он бы сказал, что наша линия AF (рис. 23) уменьшилась в длине при повороте в AC. Он бы подумал, что то, что мы называли равной линией, на самом деле является более короткой.

Мы бы сказали, что у вращающегося стержня его концы находились бы в положениях, которые мы называем равноудаленными. Так же сказал бы и он — но положения были бы другими. Он мог бы, как и мы, апеллировать к свойствам материи. Его стержень для него изменяется так же мало, как наш для нас.

Теперь, есть ли какой-либо эталон, к которому мы могли бы апеллировать, чтобы сказать, кто из двоих прав в этом споре? Такого эталона нет.

Мы бы сказали, что при изменении положения конфигурация и форма его объектов изменялись. Он бы сказал, что конфигурация и форма наших объектов изменялись при том, что мы называли просто изменением положения. Следовательно, расстояние, независимое от положения, немыслимо, или, практически, расстояние является исключительно свойством материи.

Нет принципа, к которому могла бы апеллировать любая из сторон в этом споре. Нет ничего, что связывало бы определение расстояния с нашими идеями, а не с его, кроме поведения реального куска материи.

Для изучения процессов, происходящих в нашем мире, определение расстояния, данное путем взятия суммы квадратов, имеет для нас первостепенное значение. Но как вопрос о чистом пространстве, без каких-либо ненужных допущений, мир сдвига столь же возможен и столь же интересен, как и наш мир.

Именно геометрию таких мыслимых миров изучали Лобачевский и Бойяи.

Этот вид геометрии, очевидно, не имеет прямого отношения к четырехмерному пространству.

Но связь возникает следующим образом. Очевидно, что вместо того, чтобы брать простой сдвиг, как это сделал я, и определять его как то изменение расположения частиц твердого тела, которому они подвергаются, не оказывая сопротивления, обусловленного их взаимным действием, я мог бы взять сложное движение, состоящее из сдвига и вращения вместе, или какой-либо другой вид деформации.

Предположим, что такое изменение выделено и определено как то, которое означает простое вращение, тогда тип, согласно которому все тела будут изменяться при этом вращении, зафиксирован.

Глядя на движения такого рода, мы бы сказали, что объекты меняют свою форму, а также вращаются. Но жителям того мира они казались бы неизменными, а наши фигуры при их движениях казались бы им изменяющимися.

В таком мире черты геометрии иные. Мы видели одно такое различие в случае нашей иллюстрации мира сдвига, где квадрат на гипотенузе был равен разности, а не сумме квадратов на сторонах.

В нашей иллюстрации мы имеем те же законы параллельных линий, что и в нашем обычном мире вращения, но в целом законы параллельных линий иные.

В одном из этих миров с иным строением материи через одну точку могут проходить две параллели к данной линии, в другом из них их может не быть вовсе, то есть, хотя линия и проведена параллельно другой, через некоторое время она встретится с ней.

Именно в этом отношении параллельных линий Лобачевский и Бойяи открыли эти различные миры. Они не думали о них как о мирах материи, но они обнаружили, что пространство не обязательно означает, что наш закон параллельных линий верен. Они провели различие между законами пространства и законами материи, хотя это и не та форма, в которой они изложили свои результаты.

Путь, которым они пришли к этим результатам, был следующим. Евклид постулировал существование параллельных линий — откровенно выдвигая это недоказанное положение — что через точку вне прямой можно провести одну и только одну параллель к данной прямой, как требование, как нечто, что должно быть принято за аксиому. Слова его девятого постулата таковы: «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся».

Математикам более поздних эпох не нравилось это голое допущение, и, будучи не в состоянии доказать это положение, они назвали его аксиомой — одиннадцатой аксиомой.

Было предпринято много попыток доказать эту аксиому; никто не сомневался в ее истинности, но не было найдено средств для ее демонстрации. Наконец, итальянец Саккери, не сумев найти доказательство, сказал: «Предположим, что это неверно». Он вывел результаты того, что через данную точку могут проходить две параллели к одной данной линии, но, чувствуя, что воды слишком глубоки для человеческого разума, он посвятил вторую половину своей книги опровержению того, что он предположил в первой части.

Затем Бойяи и Лобачевский твердым шагом вступили на запретный путь. Не может быть большего свидетельства неукротимой природы человеческого духа или его явного предназначения покорить все те ограничения, которые связывают его в сфере чувств, чем это великое утверждение Бойяи и Лобачевского.

Fig. 31.

Возьмем линию AB и точку C. Мы говорим, видим и знаем, что через C можно провести только одну линию, параллельную AB.

Но Бойяи сказал: «Я проведу две». Пусть CD будет параллельна AB, то есть не встретит AB, как бы далеко ее ни продолжали, и пусть линии за пределами CD также не встретят AB; пусть существует некоторая область между CD и CE, в которой ни одна проведенная линия не встречает AB. CE и CD, продолженные назад через C, дадут аналогичную область на другой стороне C.

Fig. 32.

Ничего столь триумфально, можно почти сказать столь дерзко игнорирующего чувства, никогда не было написано прежде. Люди боролись с ограничениями тела, сражались с ними, презирали их, побеждали их. Но никто никогда не думал просто так, как если бы тело, телесные глаза, органы зрения, весь этот огромный опыт пространства никогда не существовали. Вековая борьба души с телом, борьба за господство достигла кульминации. Бойяи и Лобачевский просто думали так, как если бы тела не существовало. Борьба за господство, раздор и бой души были окончены; они овладели, и венгр провел свою линию.

Можем ли мы указать какую-либо связь, как в случае с Парменидом, между этими спекуляциями и высшим пространством? Можем ли мы предположить, что это было какое-то внутреннее восприятие душой движения, не известного чувствам, которое привело к этой теории, столь свободной от оков чувств? Никакое такое предположение не представляется возможным.

Практически, однако, метагеометрия оказала большое влияние на выдвижение высшего пространства на передний план в качестве рабочей гипотезы. Это можно проследить по склонности ума двигаться в направлении наименьшего сопротивления. Результатами новой геометрии нельзя было пренебречь, проблема параллельных линий занимала слишком видное место в развитии математической мысли, чтобы ее окончательное решение было проигнорировано. Но эта полная независимость от всех механических соображений, этот полный разрыв с привычными интуициями был настолько труден, что почти любая другая гипотеза была более легкой для принятия, и когда Бельтрами показал, что геометрия Лобачевского и Бойяи — это геометрия кратчайших линий, проведенных на определенных кривых поверхностях, при сохранении обычных определений измерения, внимание было привлечено к теории высшего пространства. Иллюстрация теории Бельтрами дается простым рассмотрением гипотетических существ, живущих на сферической поверхности.

Fig. 33.

Пусть ABCD будет экватором шара, а AP, BP — меридианными линиями, проведенными к полюсу P. Линии AB, AP, BP казались бы совершенно прямыми человеку, движущемуся по поверхности сферы и не осознающему ее кривизны. Теперь AP и BP образуют прямые углы с AB. Следовательно, они удовлетворяют определению параллелей. Тем не менее, они встречаются в P. Следовательно, существо, живущее на сферической поверхности и не осознающее ее кривизны, обнаружило бы, что параллельные линии встречаются. Он также обнаружил бы, что углы в треугольнике больше двух прямых углов. В треугольнике PAB, например, углы при A и B являются прямыми углами, поэтому три угла треугольника PAB больше двух прямых углов.

Теперь в одной из систем метагеометрии (ибо после того, как Лобачевский показал путь, было обнаружено, что возможны и другие системы, помимо его) углы треугольника больше двух прямых углов.

Таким образом, существо на сфере пришло бы к выводам о своем пространстве, которые такие же, как если бы оно жило на плоскости, материя в которой обладала бы такими свойствами, которые предполагаются одной из этих систем геометрии. Бельтрами также обнаружил определенную поверхность, на которой можно было бы провести более одной «прямой» линии через точку, которая не встретила бы другую данную линию. Я использую слово «прямая» как эквивалент линии, обладающей свойством давать кратчайший путь между любыми двумя точками на ней. Следовательно, не отказываясь от обычных методов измерения, можно было найти условия, в которых плоское существо неизбежно имело бы опыт, соответствующий геометрии Лобачевского. И путем рассмотрения высшего пространства и тела, искривленного в таком высшем пространстве, можно было объяснить подобный опыт в пространстве трех измерений.

Теперь гораздо легче представить себе высшую размерность пространства, чем вообразить, что стержень при вращении не движется так, что его конец описывает круг. Следовательно, поскольку логическая концепция оказалась более трудной, чем концепция четырехмерного пространства, мысль обратилась к последней как к простому объяснению возможностей, к которым ее пробудил Лобачевский. Мыслители привыкли иметь дело с геометрией высшего пространства — это был Кант, говорит Веронезе, кто первым использовал выражение «различные пространства» — и с привычкой неизбежность этой концепции стала ощутимой.

С этого момента остается лишь небольшой шаг до адаптации обычных механических концепций к высшему пространственному существованию, и тогда признание его объективного существования не могло быть отложено дольше. Здесь тоже, как и во многих других случаях, оказывается, что порядок и связь наших идей — это порядок и связь вещей.

В чем заключается значимость работы Лобачевского и Бойяи?

Ее следует признать чем-то совершенно отличным от концепции высшего пространства; она применима к пространствам любого числа измерений. Погружая концепцию расстояния в материю, к которой она должным образом принадлежит, она обещает быть величайшим подспорьем в анализе, ибо эффективное расстояние между любыми двумя частицами является продуктом сложных материальных условий и не может быть измерено жесткими и быстрыми правилами. Ее окончательная значимость совершенно неизвестна. Это разрыв с оковами чувств, не совпадающий с признанием высшей размерности, но косвенно способствующий ему.

Таким образом, наконец, мы пришли к принятию того, что Платон держал в ладони; что подразумевает учение Аристотеля об относительности субстанции. Огромная вселенная также имеет свое высшее, и, признавая его, мы обнаруживаем, что направляющее существо внутри нас больше не стоит неизбежно вне нашего систематического знания.

ГЛАВА VI ВЫСШИЙ МИР

Действительно странно, каким образом мы должны начать думать о высшем мире.

Те простейшие объекты, аналогичные тем, что окружают нас со всех сторон в нашем повседневном опыте, такие как дверь, стол, колесо, являются отдаленными и непознаваемыми в мире четырех измерений, в то время как абстрактные идеи вращения, напряжения и деформации, упругости, в которые анализ разлагает привычные элементы нашего повседневного опыта, переносимы и применимы без каких-либо трудностей. Таким образом, мы находимся в необычном положении, будучи вынужденными конструировать повседневный и привычный опыт четырехмерного существа из знания абстрактных теорий пространства, материи, движения его; вместо того чтобы, как в нашем случае, переходить к абстрактным теориям от богатства чувственных вещей.

Чем было бы колесо в четырех измерениях? Чем был бы вал для передачи энергии, который использовало бы четырехмерное существо?

Четырехмерное колесо и четырехмерный вал — вот что займет нас на этих нескольких страницах. И это не тщетное или незначительное исследование. Ибо в попытке проникнуть в природу высшего, охватить нашим взором то, что превосходит все аналогии, потому что то, что мы знаем, — это лишь частичные взгляды на него, чисто материальный и физический путь дает средство подхода, следуя которому мы с меньшей вероятностью совершим ошибку, чем если бы мы использовали более часто проторенный путь формирования концепций, которые в своей возвышенности и красоте кажутся нам идеально совершенными.

Ибо там, где мы имеем дело с нашими собственными мыслями, развитием наших собственных идеалов, мы находимся как бы на кривой, двигаясь в любой момент в направлении касательной. Куда мы идем, что мы устанавливаем и превозносим как совершенное, представляет не истинный тренд кривой, а наше собственное направление в настоящем — тенденцию, обусловленную прошлым и жизненной энергией движения, существенной, но истинной только тогда, когда она постоянно модифицируется. Тот вечный корректор наших стремлений и идеалов, материальная вселенная, возвышенно удаляется от простейших вещей, которых мы можем коснуться или подержать, к бесконечным глубинам звездного пространства, во всем и каждом не подверженная влиянию того, что мы думаем или чувствуем, представляя невозмутимый факт, которому, считаем ли мы его добром или злом, мы можем только соответствовать, но из всей этой бесстрастности, с отсылкой к чему-то за пределами наших индивидуальных надежд и страхов, поддерживая нас и давая нам наше бытие.

И к этому великому существу мы приходим с вопросом: «Ты тоже, что есть твое высшее?»

Или, чтобы выразить это в форме, которая оставит наши выводы не в виде бесплодной формулы, и атакуя проблему с ее наиболее уязвимой стороны: «Что такое колесо и вал четырехмерного механика?»

Приступая к этому исследованию, мы должны составить план действий. Метод, который я приму, состоит в том, чтобы проследить шаги рассуждения, с помощью которых существо, ограниченное движением в двухмерном мире, могло бы прийти к концепции нашего поворота и вращения, а затем применить аналогичный процесс к рассмотрению высших движений. Плоское существо должно представляться не как абстрактная фигура, а как реальное тело, обладающее всеми тремя измерениями. Его ограничение плоскостью должно быть результатом физических условий.

Поэтому мы будем думать о нем как о фигуре, вырезанной из бумаги и помещенной на гладкую плоскость. Скользя по этой плоскости и вступая в контакт с другими фигурами, столь же тонкими, как он, в третьем измерении, он будет воспринимать их только по их краям. Для него они будут полностью ограничены линиями. «Твердое» тело будет для него двухмерным протяжением, внутрь которого можно попасть, только проникнув сквозь ограничивающие линии.

Теперь такое плоское существо может думать о нашем трехмерном существовании двумя способами.

Во-первых, он может думать о нем как о серии сечений, каждое из которых подобно твердому телу, которое он знает, простирающемуся в неизвестном ему направлении, которое лежит поперек его осязаемой вселенной, которое лежит в направлении под прямым углом к каждому движению, которое он совершал.

Во-вторых, отказавшись от попытки думать о трехмерном твердом теле в его целостности, он может рассматривать его как состоящее из ряда плоских сечений, каждое из которых само по себе точно такое же, как двухмерные тела, которые он знает, но простирающееся прочь от его двухмерного пространства.

Квадрат, лежащий в его пространстве, он рассматривает как твердое тело, ограниченное четырьмя линиями, каждая из которых лежит в его пространстве.

Квадрат, стоящий под прямым углом к его плоскости, представляется ему просто линией в его плоскости, ибо все его части, кроме линии, простираются в третьем измерении.

Он может думать о трехмерном теле как о состоящем из ряда таких сечений, каждое из которых начинается с линии в его пространстве.

Теперь, поскольку в своем мире он может сделать любой чертеж или модель, которые включают только два измерения, он может представить каждое такое вертикальное сечение таким, какое оно есть на самом деле, и может представить поворот из известного в неизвестное измерение как поворот из одного в другое из своих известных измерений.

Чтобы увидеть целое, он должен отказаться от части того, что у него есть, и взять целое по частям.

Fig. 34.

Рассмотрим теперь плоское существо перед квадратом, рис. 34. Квадрат может поворачиваться вокруг любой точки на плоскости — скажем, точки A. Но он не может поворачиваться вокруг линии, такой как AB. Ибо, чтобы повернуться вокруг линии AB, квадрат должен покинуть плоскость и двигаться в третьем измерении. Это движение находится вне диапазона его наблюдения и поэтому, за исключением процесса рассуждения, немыслимо для него.

Вращение, следовательно, будет для него вращением вокруг точки. Вращение вокруг линии будет для него немыслимым.

Результат вращения вокруг линии он может постичь. Он может видеть первое и последнее положения, занимаемые за пол-оборота вокруг линии AC. Результат такого полуоборота состоит в том, чтобы поместить квадрат ABCD с левой стороны вместо правой стороны линии AC. Это соответствовало бы протаскиванию всего тела ABCD через линию AC или созданию твердого тела, которое было бы его точным отражением в линии AC. Это было бы так, как если бы квадрат ABCD превратился в свое изображение, причем линия AB действовала бы как зеркало. Такое изменение положений частей квадрата было бы невозможно в его пространстве. Происхождение этого было бы доказательством существования высшей размерности.

Fig. 35.

Пусть он теперь, приняв концепцию трехмерного тела как серии сечений, каждое из которых удалено немного дальше, чем предыдущее, в направлении под прямым углом к его плоскости, рассматривает куб, рис. 36, как серию сечений, каждое из которых подобно квадрату, образующему его основание, все жестко соединенные вместе.

Если теперь он поворачивает квадрат вокруг точки A в плоскости xy, каждое параллельное сечение поворачивается вместе с квадратом, который он перемещает. В каждом из сечений есть точка покоя, та, что вертикально над A. Следовательно, он пришел бы к выводу, что при повороте трехмерного тела есть одна линия, которая находится в покое. Это трехмерное вращение при повороте вокруг линии.

Подобным образом давайте представим себя ограниченными трехмерным миром физическим условием. Давайте представим, что существует направление под прямым углом к каждому направлению, в котором мы можем двигаться, и что мы не можем двигаться в этом направлении из-за огромного твердого тела, о которое при каждом нашем движении мы скользим, как плоское существо скользит по своему плоскому листу.

Мы можем тогда рассматривать четырехмерное тело как состоящее из серии сечений, каждое из которых параллельно нашему пространству и каждое немного дальше, чем предыдущее, в неизвестном измерении.

Fig. 36.

Возьмем простейшее четырехмерное тело — то, которое начинается как куб, рис. 36, в нашем пространстве и состоит из сечений, каждое из которых является кубом, подобным рис. 36, лежащим вне нашего пространства. Если мы поворачиваем куб, который является его основанием в нашем пространстве, вокруг линии, если, например, на рис. 36 мы поворачиваем куб вокруг линии AB, не только он, но и каждый из параллельных кубов движется вокруг линии. Куб, который мы видим, движется вокруг линии AB, куб за ним — вокруг линии, параллельной AB, и так далее. Следовательно, все четырехмерное тело движется вокруг плоскости, ибо совокупность этих линий — наш способ мышления о плоскости, которая, начинаясь от линии AB в нашем пространстве, уходит в неизвестном направлении.

В этом случае все, что мы видим от плоскости, вокруг которой происходит поворот, — это линия AB.

Но очевидно, что плоскость оси может лежать в нашем пространстве. Точка вблизи плоскости определяет вместе с ней трехмерное пространство. Когда она начинает вращаться вокруг плоскости, она не движется нигде в этом трехмерном пространстве, а выходит из него. Точка не может вращаться вокруг плоскости в трехмерном пространстве так же, как точка не может двигаться вокруг линии в двухмерном пространстве.

Мы теперь применим второй из способов представления к этому случаю поворота вокруг плоскости, выстраивая нашу аналогию шаг за шагом, от вращения в плоскости вокруг точки и вращения в пространстве вокруг линии и так далее.

Чтобы свести наши соображения к максимально возможной простоте, давайте осознаем, как плоское существо думало бы о движении, посредством которого квадрат поворачивается вокруг линии.

Пусть, рис. 34, ABCD будет квадратом на его плоскости, и представим два измерения его пространства осями Ax, Ay.

Теперь движение, посредством которого квадрат переворачивается вокруг линии AC, включает третье измерение.

Он не может представить движение всего квадрата при его повороте, но он может представить движения его частей. Пусть третья ось, перпендикулярная плоскости бумаги, называется осью z. Из трех осей x, y, z плоское существо может представить любые две в своем пространстве. Пусть он тогда нарисует, на рис. 35, две оси, x и z. Здесь он имеет на своей плоскости представление того, что существует в плоскости, которая уходит перпендикулярно его пространству.

В этом представлении квадрат не был бы показан, ибо в плоскости xz содержится просто линия AB квадрата.

Тогда плоское существо имело бы перед собой, на рис. 35, представление одной линии AB своего квадрата и двух осей, x и z, под прямым углом. Теперь для него было бы очевидно, что посредством поворота, такого как он знает, посредством вращения вокруг точки, линия AB может повернуться вокруг A и, занимая все промежуточные положения, такие как AB1, после полуоборота лечь как Ax, продолженная через A.

Опять же, точно так же, как он может представить вертикальную плоскость через AB, он может представить вертикальную плоскость через A'B', рис. 34, и подобным образом может видеть, что линия A'B' может повернуться вокруг точки A' до тех пор, пока она не ляжет в противоположном направлении от того, в котором она шла сначала.

Теперь эти два поворота не являются противоречивыми. На его плоскости, если бы AB повернулась вокруг A, а A'B' вокруг A', целостность квадрата была бы разрушена, это было бы невозможное движение для твердого тела. Но при повороте, который он изучает часть за частью, нет ничего противоречивого. Каждая линия в квадрате может повернуться таким образом, следовательно, он осознал бы поворот всего квадрата как сумму ряда поворотов изолированных частей. Такие повороты, если бы они происходили на его плоскости, были бы противоречивыми, но в силу третьего измерения они согласованы, и результат их всех состоит в том, что квадрат поворачивается вокруг линии AC и ложится в положение, в котором он является зеркальным отражением того, чем он был в своем первом положении. Таким образом, он может осознать поворот вокруг линии, отказавшись от одной из своих осей и представляя свое тело часть за частью.

Давайте применим этот метод к повороту куба так, чтобы он стал зеркальным отражением самого себя. В нашем пространстве мы можем построить три независимые оси, x, y, z, показанные на рис. 36. Предположим, что существует четвертая ось, w, под прямым углом к каждой из них. Мы не можем, сохраняя все три оси, x, y, z, представить w в нашем пространстве; но если мы откажемся от одной из наших трех осей, мы можем позволить четвертой оси занять ее место, и мы можем представить то, что лежит в пространстве, определяемом двумя осями, которые мы сохраняем, и четвертой осью.

Fig. 37.

Предположим, что мы позволим оси y исчезнуть и что мы представим ось w как занимающую ее направление. У нас есть на рис. 37 чертеж того, что мы увидели бы тогда от куба. Квадрат ABCD остается неизменным, ибо он находится в плоскости xz, и у нас все еще есть эта плоскость. Но от этой плоскости куб простирается в направлении оси y. Теперь ось y исчезла, и поэтому у нас нет от куба ничего, кроме грани ABCD. Рассматривая теперь эту грань ABCD, мы видим, что она свободна вращаться вокруг линии AB. Она может вращаться в направлении от x к w вокруг этой линии. На рис. 38 она показана на своем пути, и она может, очевидно, продолжать это вращение до тех пор, пока не ляжет на другую сторону оси z в плоскости xz.

Fig. 38.

Мы можем также взять сечение, параллельное грани ABCD, и затем, отбросив все наше пространство, кроме плоскости этого сечения, ввести ось w, идущую в старом направлении y. Это сечение может быть представлено тем же чертежом, рис. 38, и мы видим, что оно может вращаться вокруг линии слева от него, пока не повернется наполовину и не пойдет в направлении, противоположном тому, в котором оно шло раньше. Эти повороты различных сечений не являются противоречивыми, и, взятые все вместе, они приведут куб из положения, показанного на рис. 36, к тому, что показано на рис. 41.

Поскольку в нашем распоряжении три оси в нашем пространстве, мы не обязаны представлять ось w какой-либо конкретной. Мы можем позволить любой оси, какой захотим, исчезнуть и позволить четвертой оси занять ее место.

Fig. 39.

Fig. 40.

Fig. 41.

На рис. 36 предположим, что ось z исчезла. У нас тогда просто плоскость xy, и квадратное основание куба ACEG, рис. 39, — это все, что можно было бы увидеть от него. Пусть теперь ось w займет место оси z, и у нас есть, снова на рис. 39, представление пространства xyw, в котором все, что существует от куба, — это его квадратное основание. Теперь, посредством поворота от x к w, это основание может вращаться вокруг линии AE, оно показано на своем пути на рис. 40, и, наконец, после полуоборота оно ляжет на другую сторону оси y. Подобным образом мы можем вращать сечения, параллельные основанию, при вращении xw, и каждое из них начинает идти в направлении, противоположном тому, которое они занимали сначала.

Таким образом, снова куб приходит из положения рис. 36 к положению рис. 41. В этом повороте от x к w мы видим, что он происходит посредством вращений сечений, параллельных передней грани, вокруг линий, параллельных AB, или же мы можем рассматривать его как состоящий из вращения сечений, параллельных основанию, вокруг линий, параллельных AE. Это вращение всего куба вокруг плоскости ABEF. Два отдельных сечения не могли бы вращаться вокруг двух отдельных линий в нашем пространстве, не конфликтуя, но их движение согласовано, когда мы рассматриваем другое измерение. Точно так же, как плоское существо может думать о вращении вокруг линии как о вращении вокруг ряда точек, причем эти вращения не мешают друг другу, как они мешали бы, если бы происходили в его двухмерном пространстве, так и мы можем думать о вращении вокруг плоскости как о вращении ряда сечений тела вокруг ряда линий в плоскости, причем эти вращения не являются противоречивыми в четырехмерном пространстве, как они противоречивы в трехмерном пространстве.

Мы не ограничены каким-либо конкретным направлением для линий в плоскости, вокруг которых мы предполагаем вращение конкретных сечений. Давайте нарисуем сечение куба, рис. 36, через A, F, C, H, образующее наклонную плоскость. Теперь, поскольку четвертое измерение находится под прямым углом к каждой линии в нашем пространстве, оно находится под прямым углом и к этому сечению. Мы можем представить наше пространство, нарисовав ось под прямым углом к плоскости ACEG, наше пространство тогда определяется плоскостью ACEG и перпендикулярной осью. Если мы позволим этой оси исчезнуть и предположим, что четвертая ось, w, займет ее место, мы получим представление пространства, которое уходит в четвертое измерение от плоскости ACEG. В этом пространстве мы увидим просто сечение ACEG куба и ничего больше, ибо один куб не простирается на какое-либо расстояние в четвертом измерении.

Fig. 42.

Если, сохраняя эту плоскость, мы введем четвертое измерение, у нас будет пространство, в котором существует просто это сечение куба и ничего больше. Сечение может поворачиваться вокруг линии AF, а параллельные сечения могут поворачиваться вокруг параллельных линий. Таким образом, при рассмотрении вращения вокруг плоскости мы можем нарисовать любые линии, какие захотим, и рассматривать вращение как происходящее в сечениях вокруг них.

Чтобы прояснить этот момент, давайте возьмем две параллельные линии, A и B, в пространстве xyz, и пусть CD и EF будут двумя стержнями, идущими выше и ниже плоскости xy от этих линий. Если мы повернем эти стержни в нашем пространстве вокруг линий A и B, то по мере того, как верхний конец одного, F, будет опускаться, нижний конец другого, C, будет подниматься. Они встретятся и столкнутся. Но вполне возможно, чтобы эти два стержня каждый из них поворачивался вокруг двух линий, не изменяя своих относительных расстояний.

Чтобы увидеть это, предположим, что ось y исчезла, и позволим оси w занять ее место. Мы больше не увидим линии A и B, ибо они идут в направлении y от точек G и H.

Fig. 43.

Рис. 43 — это изображение двух стержней, видимых в пространстве xzw. Если они вращаются в направлении, показанном стрелками — в направлении от z к w — они движутся параллельно друг другу, сохраняя свои относительные расстояния. Каждый будет вращаться вокруг своей собственной линии, но их вращение не будет противоречить тому, что они являются частью жесткого тела.

Теперь нам остается только предположить центральную плоскость со стержнями, пересекающими ее в каждой точке, подобно тому как CD и EF пересекают плоскость xy, чтобы получить образ массы материи, простирающейся на равные расстояния по обе стороны от диаметральной плоскости. Как два из этих стержней могут вращаться вокруг, так могут и все, и вся масса материи может вращаться вокруг своей диаметральной плоскости.

Это вращение вокруг плоскости соответствует в четырех измерениях вращению вокруг оси в трех измерениях. Вращение тела вокруг плоскости является аналогом вращения стержня вокруг оси.

В плоскости мы имеем вращение вокруг точки, в трехмерном пространстве — вращение вокруг осевой линии, в четырехмерном пространстве — вращение вокруг осевой плоскости.

Вал четырехмерного существа, посредством которого он передает энергию, — это диск, вращающийся вокруг своей центральной плоскости — весь контур соответствует концам оси вращения в нашем пространстве. Он может передать вращение в любой точке и снять его в любой другой точке на контуре, точно так же, как вращение вокруг линии может в трехмерном пространстве быть передано на одном конце стержня и снято на другом конце.

Четырехмерное колесо можно легко описать по аналогии с представлением, которое плоское существо сформировало бы для себя об одном из наших колес.

Предположим, что колесо движется поперек плоскости, так что весь диск, который я буду считать твердым и без спиц, одновременно вошел в контакт с плоскостью. Он предстал бы как круглая часть плоской материи, полностью заключающая в себе другую и меньшую часть — ось.

Это явление продолжалось бы, если предположить, что движение колеса продолжается до тех пор, пока оно не пересечет плоскость на величину своей толщины, когда в плоскости останется только маленький диск, который является сечением оси. Сначала в плоскости не было бы очевидных средств, с помощью которых можно было бы добраться до оси, кроме как пройдя сквозь субстанцию колеса. Но возможность добраться до нее, не разрушая субстанцию колеса, была бы показана продолжающимся существованием сечения оси после того, как сечение колеса исчезло.

Подобным образом четырехмерное колесо, движущееся поперек нашего пространства, предстало бы сначала как твердая сфера, полностью окружающая меньшую твердую сферу. Внешняя сфера представляла бы колесо и существовала бы до тех пор, пока колесо не пересечет наше пространство на расстояние, равное его толщине. Затем осталась бы только маленькая сфера, представляющая сечение оси. Большая сфера могла бы двигаться вокруг маленькой совершенно свободно. Любая линия в пространстве могла бы быть взята как ось, и вокруг этой линии внешняя сфера могла бы вращаться, в то время как внутренняя сфера оставалась бы неподвижной. Но во всех этих направлениях вращения в действительности была бы одна линия, которая оставалась бы неизменной, то есть линия, которая простирается в четвертом направлении, образуя ось оси. Четырехмерное колесо может вращаться в любом количестве плоскостей, но все эти плоскости таковы, что существует линия под прямым углом ко всем им, не затронутая вращением в них.

Иногда возникает возражение против этого способа рассуждения от плоского мира к высшей размерности. Как искусственна, утверждается, эта концепция плоского мира. Если бы можно было показать существование какого-либо реального бытия, ограниченного поверхностью, был бы аргумент для того, относительно которого наше трехмерное существование является поверхностным. Но как с одной, так и с другой стороны пространства, с которым мы знакомы, пространства с меньшим или большим количеством измерений являются лишь произвольными концепциями.

В ответ на это я бы заметил, что плоское существо, имеющее на одно измерение меньше, чем наши три, имело бы одну треть наших возможностей движения, в то время как у нас только на одну четверть меньше, чем у высшего пространства. Вполне может быть, что может существовать определенная степень свободы движения, которая требуется как условие организованного существования, и что никакое материальное существование невозможно с более ограниченной размерностью, чем наша. Это хорошо видно, если мы попытаемся построить механику двухмерного мира. Никакая трубка не могла бы существовать, ибо, если они не соединены полностью на одном конце, две параллельные линии были бы полностью разделены. Возможность органической структуры, подчиняющейся таким условиям, весьма проблематична; тем не менее, возможно, в извилинах мозга может существовать способ существования, который можно описать как двухмерный.

Нам остается только предположить, что увеличение поверхности и уменьшение массы доведены до определенной степени, чтобы найти область, которая, хотя и без подвижности составляющих, должна была бы быть описана как двухмерная.

Но, как бы искусственна ни была концепция плоского существа, она тем не менее должна использоваться при переходе к концепции большей размерности, чем наша, и поэтому обоснованность первой части этого возражения полностью исчезает, как только мы находим доказательства такого состояния бытия.

Вторая часть возражения имеет больший вес. Как возможно представить, что в четырехмерном пространстве какие-либо существа должны быть ограничены трехмерным существованием?

В ответ я бы сказал, что мы знаем как факт, что жизнь — это по существу явление поверхности. Амплитуда движений, которые мы можем совершать, гораздо больше вдоль поверхности земли, чем вверх или вниз.

Теперь нам остается только представить протяженность твердой поверхности увеличенной, в то время как движения, возможные поперек нее, уменьшены в той же пропорции, чтобы получить образ трехмерного мира в четырехмерном пространстве.

И поскольку наше место обитания — это встреча воздуха и земли на мире, так мы должны думать о месте встречи двух как о предоставлении условия для нашей вселенной. Встреча каких двух? Что может быть той обширностью в высшем пространстве, которая простирается на таком идеальном уровне, что наши астрономические наблюдения не могут обнаружить малейшей кривизны?

Совершенство уровня предполагает жидкость — озеро посреди какого обширного пейзажа! — на котором материя вселенной плавает, подобно пылинке.

Но этот аспект проблемы подобен тому, что в математике называется граничными условиями.

Мы можем проследить все последствия четырехмерных движений до мельчайших деталей. Затем, зная способ действия, который был бы характерен для мельчайших частиц, если бы они были свободны, мы можем сделать выводы из того, что они делают на самом деле, о том, каково ограничение на них. Из двух вещей, материальных условий и движения, одна известна, а другая может быть выведена. Если место этой вселенной — встреча двух, то была бы односторонность пространства. Если она лежит так, что то, что простирается в одном направлении в неизвестном, не похоже на то, что простирается в другом, тогда, насколько это касается движений, которые участвуют в этом измерении, была бы разница в том, в какую сторону происходило движение. Это проявилось бы в несходстве явлений, которые, насколько это касается всех движений трехмерного пространства, были совершенно симметричными. Чтобы привести пример, просто ради уточнения наших идей, а не из-за какой-либо присущей ему вероятности; если бы можно было показать, что электрический ток в положительном направлении был точно таким же, как электрический ток в отрицательном направлении, за исключением обращения компонентов движения в трехмерном пространстве, тогда несходство разряда от положительного и отрицательного полюсов было бы указанием на односторонность нашего пространства. Единственной причиной разницы в двух разрядах был бы компонент в четвертом измерении, который, будучи направленным в одном направлении поперек нашего пространства, встречал бы иное сопротивление, чем то, которое он встречал, будучи направленным в противоположном направлении.

ГЛАВА VII. СВИДЕТЕЛЬСТВА В ПОЛЬЗУ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Метод, который необходимо использовать при поиске свидетельств в пользу четвертого измерения, заключается прежде всего в формировании представлений о четырехмерных формах и движениях. Когда мы овладеем ими, можно будет прибегнуть к помощи наблюдения; без них мы могли бы всю жизнь находиться в привычном присутствии четырехмерного явления, так и не осознав его природы.

Если взять одно из уже сформированных нами представлений, то превращение реального объекта в его зеркальное отражение было бы событием, которое трудно объяснить, не опираясь на допущение о существовании четвертого измерения.

Нам не известно о таком превращении. Однако существует множество форм, которые обнаруживают определенное отношение к плоскости — отношение симметрии, указывающее на нечто большее, чем случайное расположение частей. В органической жизни универсальным типом является право- и левосторонняя симметрия: существует плоскость, по обе стороны от которой части соответствуют друг другу. Мы видели, что в четырех измерениях плоскость занимает место линии в трех измерениях. В нашем пространстве вращение вокруг оси является типом вращения, и происхождение тел, симметричных относительно линии (как Земля симметрична относительно оси), легко объяснимо. Но там, где есть симметрия относительно плоскости, простого физического движения, к которому мы привыкли, недостаточно для ее объяснения. В нашем пространстве симметричный объект должен быть построен путем равных приращений по обе стороны от центральной плоскости. Такие приращения вокруг такой плоскости столь же маловероятны, как и любые другие. Вероятность существования симметричной формы в неорганической природе в нашем пространстве ничтожна, а в органических формах их создание было бы столь же затруднительно, как и любой другой разновидности конфигурации. Чтобы проиллюстрировать этот момент, можно взять детскую забаву: сделать из капель чернил на листе бумаги реалистичное изображение насекомого, просто сложив бумагу пополам. Капли распределяются вдоль симметричной линии и создают впечатление сегментированной формы с усиками и ножками.

Видя множество таких фигур, мы естественным образом предположили бы складывание. Может ли тогда складывание в четырехмерном пространстве объяснить симметрию органических форм? Складывание, конечно, не может относиться к телам, которые мы видим, но оно может касаться тех мельчайших составляющих, предельных элементов живой материи, которые, будучи повернуты тем или иным образом, становятся право- или левосторонними и тем самым создают соответствующую структуру.

В жизни есть нечто, не включенное в наши представления о механическом движении. Является ли это нечто четырехмерным движением?

Если взглянуть на это с самой широкой точки зрения, поразителен тот факт, что там, где появляется жизнь, возникает совершенно иной набор явлений, отличный от явлений неорганического мира.

Интерес и ценность жизни, какой мы знаем ее в самих себе и какой мы знаем ее, существующую вокруг нас в подчиненных формах, совершенно иные, чем все, что демонстрирует неорганическая природа. И в живых существах мы имеем своего рода форму, расположение материи, которое полностью отличается от того, что показано в неорганической материи. Право- и левосторонняя симметрия не встречается в конфигурациях мертвой материи. У нас есть примеры симметрии относительно оси, но не относительно плоскости. Можно утверждать, что возникновение симметрии в двух измерениях предполагает существование трехмерного процесса, как когда камень падает в воду и образует кольца ряби, или как когда масса мягкого материала вращается вокруг оси. Можно утверждать, что симметрия в любом количестве измерений является свидетельством действия в высшей размерности. Таким образом, рассматривая живые существа, мы находим свидетельство как в их структуре, так и в их ином способе активности, некоего начала, проникающего извне в неорганический мир.

И возражения, которые легко приходят на ум, такие как те, что вытекают из форм двойниковых кристаллов и теоретической структуры химических молекул, не опровергают этот аргумент; ибо и в этих формах предполагаемый центр активности, порождающей их, лежит в той самой мельчайшей области, в которой мы неизбежно помещаем центр четырехмерной подвижности.

В другом отношении существование симметричных форм также примечательно. Загадочно представить, как могут существовать две совершенно равные формы, которые невозможно наложить друг на друга. Такая пара симметричных фигур, как две руки, правая и левая, показывает либо ограничение в нашей способности к движению, из-за чего мы не можем наложить одну на другую, либо определенное влияние и принуждение пространства на материю, налагающее ограничения, которые являются дополнительными к ограничениям пропорций частей.

Однако мы отложим аргументы, вытекающие из рассмотрения симметрии, как неубедительные, сохранив одно ценное указание, которое они дают. Если симметрия существует благодаря четырехмерному движению, то это движение можно найти только в мельчайших частицах тел, ибо не существует такого понятия, как изгибание в четырех измерениях любого объекта такого размера, который мы можем наблюдать. Область крайне малого — это та область, которую нам предстоит исследовать. Мы должны искать некое явление, которое, вызывая движения известного нам типа, само по себе остается необъяснимым как любая форма движения, которую мы знаем.

Теперь, в теориях о взаимодействии мельчайших частиц тел друг с другом и в движениях эфира, математики молчаливо предполагали, что механические принципы те же, что преобладают в случае тел, которые можно наблюдать; без доказательств предполагалось, что концепция трехмерности движения сохраняется и за пределами области, на основе наблюдений в которой она была сформирована.

Следовательно, мы не можем получить доказательство четырех измерений ни из одного явления, объясненного математикой. Каждое объясненное явление объясняется как трехмерное. Более того, поскольку в области крайне малого мы не находим твердых тел, действующих друг на друга на расстоянии, а находим упругие вещества и непрерывные жидкости, такие как эфир, перед нами будет стоять двойная задача.

Мы должны сформировать представления о возможных движениях упругой и жидкой четырехмерной материи, прежде чем сможем начать наблюдение. Давайте поэтому возьмем четырехмерное вращение вокруг плоскости и спросим, чем оно становится в случае растяжимых жидких веществ. Если существуют четырехмерные движения, то этот вид вращения должен существовать, и более тонкие части материи должны его демонстрировать.

Рассмотрим на мгновение стержень из гибкого и растяжимого материала. Он может вращаться вокруг оси, даже если он не прямой; кольцо из индийской резины может вывернуться наизнанку.

Чем это было бы в случае четырех измерений?

Fig. 44.

Axis of x running towards
the observer.

Рассмотрим сферу из нашей трехмерной материи, имеющую определенную толщину. Чтобы представить эту толщину, предположим, что из каждой точки сферы на рис. 44 выступают стержни в обе стороны, внутрь и наружу, как D и F. Мы можем видеть только внешнюю часть, потому что внутренние части скрыты сферой.

В этой сфере ось x предполагается направленной к наблюдателю, ось z — вверх, ось y — вправо.

Fig. 45.

Теперь возьмем сечение, определяемое плоскостью zy. Это будет круг, как показано на рис. 45. Если мы отбросим ось x, этот круг — все, что у нас есть от сферы. Если теперь ось w будет проходить на месте старой оси x, мы получим пространство yzw, и в этом пространстве все, что у нас есть от сферы, — это круг. Таким образом, рис. 45 представляет все, что есть от сферы в пространстве yzw. В этом пространстве очевидно, что стержни CD и EF могут вращаться вокруг окружности как вокруг оси. Если материя сферической оболочки достаточно растяжима, чтобы позволить частицам C и E стать настолько широко разнесенными, насколько они были бы в положениях D и F, то полоса материи, представленная CD и EF, и множество подобных им стержней могут вращаться вокруг круговой окружности.

Таким образом, это конкретное сечение сферы может вывернуться наизнанку, и то, что справедливо для любого одного сечения, справедливо для всех. Следовательно, в четырех измерениях вся сфера может, если она растяжима, вывернуться наизнанку. Более того, любая ее часть — например, чашеобразная часть — может вывернуться наизнанку, и так далее, снова и снова.

Это, по сути, не более чем то, что мы имели ранее при вращении вокруг плоскости, за исключением того, что мы видим, что плоскость может, в случае растяжимой материи, быть искривленной и все же играть роль оси.

Если мы предположим, что сферическая оболочка состоит из четырехмерной материи, наше представление будет немного другим. Предположим, что материя имеет небольшую толщину в четвертом измерении. Это не изменило бы ничего на рис. 44, ибо он лишь показывает вид в пространстве xyz. Но когда ось x отбрасывается и появляется ось w, тогда стержни CD и EF, которые представляют материю оболочки, будут иметь определенную толщину, перпендикулярную плоскости бумаги, на которой они нарисованы. Если они имеют толщину в четвертом измерении, они покажут эту толщину, если смотреть на них с направления оси w.

Предполагая, что эти стержни являются небольшими пластинами, нанизанными на окружность круга на рис. 45, мы видим, что и в этом случае не будет никаких препятствий для их вращения вокруг окружности. Мы можем иметь оболочку из растяжимого или жидкого материала, выворачивающуюся наизнанку в четырех измерениях.

И мы должны помнить, что в четырех измерениях не существует вращения вокруг оси. Если мы хотим исследовать движение жидкостей в четырех измерениях, мы должны взять движение вокруг оси в нашем пространстве и найти соответствующее движение вокруг плоскости в четырехмерном пространстве.

Теперь, из всех движений, происходящих в жидкостях, наиболее важным с физической точки зрения является вихревое движение.

Вихрь — это кружение или водоворот; он виден в кружащихся столбах пыли в летний день; он проявляется в большем масштабе в разрушительном движении циклона.

Вращающееся колесо будет разбрызгивать воду. Но когда это круговое движение происходит в самой жидкости, оно удивительно устойчиво. Существует, конечно, определенное сцепление между частицами воды, благодаря которому они взаимно препятствуют своим движениям. Но в жидкости, лишенной трения, такой, что каждая частица свободна от бокового сцепления на своем пути движения, можно показать, что вихрь или водоворот отделяет от массы жидкости определенную часть, которая всегда остается в этом вихре.

Форма вихря может меняться, но он всегда состоит из одних и тех же частиц жидкости.

Теперь, весьма примечательный факт о таком вихре заключается в том, что концы вихря не могут оставаться подвешенными и изолированными в жидкости. Они всегда должны устремляться к границе жидкости. Водоворот в воде, который остается на полпути, не доходя до поверхности, невозможен.

Концы вихря должны достигать границы жидкости — граница может быть внешней или внутренней; вихрь может существовать между двумя объектами в жидкости, заканчиваясь одним концом на каждом объекте, причем объекты являются внутренними границами жидкости. Опять же, концы вихря могут быть соединены вместе, так что он образует кольцо. Круговые вихревые кольца такого рода часто наблюдаются в клубах дыма, и то, что дым движется в кольце, является доказательством того, что вихрь всегда состоит из одних и тех же частиц воздуха.

Давайте теперь спросим, чем был бы вихрь в четырехмерной жидкости.

Мы должны заменить линейную ось плоскостной осью. Следовательно, у нас была бы часть жидкости, вращающаяся вокруг плоскости.

Мы видели, что контур этой плоскости соответствует концам осевой линии. Следовательно, такой четырехмерный вихрь должен иметь свой край на границе жидкости. Существовала бы область вихревого движения с контуром. Если бы такое вращение началось в одной части круговой границы, его края распространялись бы по границе в обоих направлениях, пока вся внутренняя область не заполнилась бы вихревым слоем.

Вихрь в трехмерной жидкости может состоять из ряда вихревых нитей, лежащих вместе и образующих трубку или стержень вихревого движения.

Таким же образом мы можем иметь в четырех измерениях ряд вихревых слоев рядом друг с другом, каждый из которых можно представить как чашеобразную часть сферической оболочки, выворачивающуюся наизнанку. Вращение происходит в любой точке, не в пространстве, занятом оболочкой, а из этого пространства в четвертое измерение и обратно.

Есть ли что-то аналогичное этому в пределах нашего наблюдения?

Электрический ток отвечает этому описанию во всех отношениях. Электричество не течет по проводу. Его эффект распространяется в обе стороны от начальной точки вдоль провода. Искра, которая показывает его прохождение на полпути в цепи, появляется позже, чем та, которая возникает в точках вблизи начальной точки по обе стороны от нее.

Более того, известно, что действие тока происходит не в проводе. Оно происходит в области, заключенной проводом; это поле силы, место проявления эффектов тока.

И необходимость проводящей цепи для тока — это именно то, чего мы ожидали бы, если бы это был четырехмерный вихрь. Согласно Максвеллу, каждый ток образует замкнутую цепь, и это, с четырехмерной точки зрения, то же самое, что сказать, что вихрь должен иметь свои концы на границе жидкости.

Таким образом, на гипотезе о четвертом измерении вращение жидкого эфира дало бы явление электрического тока. Мы должны предположить, что эфир полон движения, ибо чем больше мы исследуем условия, преобладающие в неясности мельчайшего, тем больше мы обнаруживаем, что там царит непрерывное и вечное движение. Таким образом, мы можем сказать, что концепция четвертого измерения означает, что должно существовать явление, обладающее характеристиками электричества.

Мы знаем теперь, что свет — это электромагнитное действие, и что, будучи далеко не особым и изолированным явлением, это электрическое действие является универсальным в царстве мельчайшего. Следовательно, не можем ли мы сделать вывод, что, будучи далеко не отдаленным и далеким, будучи вещью символического значения, термином для объяснения сомнительных фактов более неясной теорией, четвертое измерение на самом деле является самым важным фактом в пределах нашего знания. Наш трехмерный мир поверхностен. Эти процессы, которые действительно лежат в основе всех явлений материи, ускользают от нашего наблюдения из-за своей миниатюрности, но открывают нашему интеллекту амплитуду движения, превосходящую любую, которую мы можем видеть. В таких формах и движениях есть царство величайшей интеллектуальной красоты, и то, к которому наши символические методы применяются с большей грацией, чем к тем, что в трех измерениях.

ГЛАВА VIII. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЧЕТЫРЕХ ИЗМЕРЕНИЙ В МЫШЛЕНИИ

Удерживая перед собой этот набросок гипотезы о мире как четырехмерном, грубо собрав те факты движения, которые, как мы видим, применимы к нашему реальному опыту, давайте перейдем к другой ветви нашего предмета.

Инженер использует чертежи, графические построения, самыми разными способами. У него есть, например, диаграммы, которые представляют расширение пара, эффективность его клапанов. Они существуют наряду с реальными планами его машин. Они не являются изображениями чего-то реально существующего, но позволяют ему думать об отношениях, которые существуют в его механизмах.

И так, помимо того, что четырехмерное пространство показывает нам реальное существование того мира, который лежит под миром видимых движений, оно позволяет нам делать идеальные конструкции, которые служат для представления отношений вещей и облекают то, что в противном случае было бы неясным, в определенную и наводящую на размышления форму.

Из великого множества примеров, которые лежат передо мной, я выберу два: один касается предмета, имеющего небольшой внутренний интерес, который, однако, дает в ограниченной области поразительный пример метода вывода заключений и использования фигур высшего пространства. [1]

[1] Это наводит на размышления и в другом отношении, поскольку ясно показывает, что в наших мыслительных процессах задействованы способности, отличные от логических; в нем происхождение идеи, которая оказывается оправданной, почерпнуто из рассмотрения симметрии, отрасли прекрасного.

Другой пример выбран из-за того значения, которое он имеет для наших фундаментальных концепций. В нем я пытаюсь обнаружить реальный смысл теории опыта Канта.

Исследование свойств чисел значительно облегчается тем фактом, что отношения между числами сами могут быть представлены как числа — например, 12 и 3 — оба числа, и отношение между ними равно 4, другому числу. Таким образом, открывается путь для процесса конструктивной теории без необходимости прибегать к другому классу концепций, помимо того, который дан в изучаемых явлениях.

Созданная таким образом дисциплина числа имеет большое и разнообразное применение, но мы учимся понимать явления природы не только как количественные. Невозможно объяснить свойства материи только числом, но все виды деятельности материи являются энергиями в пространстве. Они численно определенны, а также, можно сказать, направленно определенны, т.е. определенны по направлению.

Существует ли тогда совокупность доктрин о пространстве, которая, подобно доктрине числа, доступна в науке? Излишне отвечать: да, геометрия. Но существует метод, лежащий рядом с обычными методами геометрии, который, молчаливо используемый и представляющий аналогию с методом численного мышления, заслуживает того, чтобы быть выдвинутым на более видное место, чем то, которое он обычно занимает.

Отношение чисел — это число.

Можем ли мы сказать таким же образом, что отношение форм — это форма?

Мы можем.

Fig. 46.

Возьмем пример, выбранный из-за его легкой доступности. Давайте возьмем два прямоугольных треугольника с заданной гипотенузой, но имеющих стороны разной длины (рис. 46). Эти треугольники — формы, которые имеют определенное отношение друг к другу. Давайте представим их отношение как фигуру.

Fig. 47.

Проведите две прямые линии под прямым углом друг к другу, одну HL — горизонтальный уровень, другую VL — вертикальный уровень (рис. 47). С помощью этих двух координирующих линий мы можем представить двойной набор величин; один набор как расстояния вправо от вертикального уровня, другой как расстояния выше горизонтального уровня, при выборе подходящей единицы измерения.

Таким образом, линия, отмеченная 7, выделит совокупность точек, расстояние которых от вертикального уровня равно 7, а линия, отмеченная 1, выделит точки, расстояние которых выше горизонтального уровня равно 1. Точка встречи этих двух линий, 7 и 1, определит точку, которая по отношению к одному набору величин равна 7, по отношению к другому — 1. Давайте возьмем стороны наших треугольников в качестве двух рассматриваемых наборов величин.

Fig. 48.

Тогда точка 7, 1 будет представлять треугольник, стороны которого равны 7 и 1. Аналогично, точка 5, 5 — 5, то есть вправо от вертикального уровня и 5 выше горизонтального уровня — будет представлять треугольник, стороны которого равны 5 и 5 (рис. 48).

Таким образом, мы получили фигуру, состоящую из двух точек 7, 1 и 5, 5, представляющих наши два треугольника. Но мы можем пойти дальше и, начертив дугу окружности вокруг O, точки встречи горизонтального и вертикального уровней, которая проходит через 7, 1 и 5, 5, утверждать, что все треугольники, которые являются прямоугольными и имеют гипотенузу, квадрат которой равен 50, представлены точками на этой дуге.

Таким образом, каждый индивид класса представляется точкой, весь класс представляется совокупностью точек, образующих фигуру. Принимая это представление, мы можем придать определенное и вычислимое значение выражению «сходство» или «подобие» между двумя индивидами представленного класса, причем разница измеряется длиной линии между двумя репрезентативными точками. Излишне умножать примеры или показывать, как, соответствуя различным классам треугольников, мы получаем различные кривые.

Представление такого рода, в котором объект, вещь в пространстве, представляется как точка, а все его свойства опускаются, их эффект остается только в относительном положении, которое репрезентативная точка занимает по отношению к репрезентативным точкам других объектов, может быть названо, по аналогии с годографом сэра Уильяма Р. Гамильтона, «Пойографом».

Сделанные таким образом представления имеют характер естественных объектов; они имеют свой собственный детерминированный и определенный характер. Любой недостаток полноты в них, вероятно, обусловлен отсутствием полноты тех наблюдений, которые составляют основу их построения.

Каждая система классификации — это пойограф. В схеме элементов Менделеева, например, каждый элемент представлен точкой, а отношения между элементами представлены отношениями между точками.

До сих пор я просто выдвигал на первый план процессы и соображения, с которыми мы все знакомы. Но стоит привлечь к нашим привычным предположениям и процессам полное внимание. Часто случается, что мы обнаруживаем, что есть два из них, которые имеют отношение друг к другу, которые, без этого вытаскивания на свет, мы позволили бы остаться без взаимного влияния.

Существует факт, который нам важно принять во внимание при обсуждении теории пойографа.

Что касается нашего знания о мире, мы далеки от того состояния, которое воображал Лаплас, когда утверждал, что всезнающий разум мог бы определить будущее состояние каждого объекта, если бы он знал координаты его частиц в пространстве и их скорость в любой конкретный момент.

Напротив, в присутствии любого естественного объекта перед нами предстает великая сложность условий, которую мы не можем свести к положению в пространстве и дате во времени.

Существует масса, притяжение, по-видимому, спонтанное, электрические и магнитные свойства, которые должны быть добавлены к пространственной конфигурации. Чтобы сократить список, мы должны сказать, что практически явления мира представляют нам проблемы, включающие много переменных, которые мы должны принимать как независимые.

Из этого следует, что при создании пойографов мы должны быть готовы использовать пространство более чем трех измерений. Если симметрия и полнота нашего представления должны быть нам полезны, мы должны быть готовы оценить и критиковать фигуры сложности большей, чем те, что в трех измерениях. Невозможно привести пример такого пойографа, который не был бы просто тривиальным, не вдаваясь в детали, в некотором роде не относящиеся к нашему предмету. Я предпочитаю ввести не относящиеся к делу детали, чем относиться к этой части предмета поверхностно.

Чтобы взять пример пойографа, который не ведет нас в сложности, присущие его применению в классификационной науке, давайте последуем за миссис Алисией Буль Стотт в ее представлении силлогизма с его помощью. Ей будет интересно обнаружить, что любопытный пробел, который она обнаружила, имеет значение.

Fig. 49.

Силлогизм состоит из двух утверждений, большей и меньшей посылок, с выводом, который можно из них сделать. Таким образом, чтобы взять пример, рис. 49. Очевидно, глядя на последовательные фигуры, что если мы знаем, что область M лежит целиком внутри области P, а также знаем, что область S лежит целиком внутри области M, мы можем заключить, что область S лежит целиком внутри области P. M есть P — большая посылка; S есть M — меньшая посылка; S есть P — вывод. Имея первые два данных, мы должны заключить, что S лежит в P. Вывод S есть P включает два термина, S и P, которые соответственно называются субъектом и предикатом, причем буквы S и P выбраны со ссылкой на части, которые играют понятия, обозначаемые ими в выводе. S — субъект вывода, P — предикат вывода. Большую посылку мы принимаем за ту, которая не включает S, и здесь мы всегда пишем ее первой.

Существует несколько разновидностей утверждений, обладающих разными степенями универсальности и манерами утвердительности. Эти различные формы утверждения называются модусами.

Мы возьмем большую посылку как одну переменную, как вещь, способную к различным модификациям одного и того же рода, меньшую посылку как другую, и различные модусы мы будем рассматривать как определяющие вариации, которые претерпевают эти переменные.

Существует четыре модуса:—

1. Универсальный утвердительный; все M есть P, называется модус A.

2. Универсальный отрицательный; ни одно M не есть P, модус E.

3. Частный утвердительный; некоторые M есть P, модус I.

4. Частный отрицательный; некоторые M не есть P, модус O.

Figure 50.

Пунктирные линии в 3 и 4, рис. 50, обозначают, что неизвестно, существуют ли какие-либо объекты, соответствующие пространству, границей которого является пунктирная линия; таким образом, в модусе I мы не знаем, есть ли какие-либо M, которые не являются P, мы знаем только, что некоторые M являются P.

Fig. 51.

Представляя первую посылку в ее различных модусах областями, отмеченными вертикальными линиями справа от PQ, мы имеем на рис. 51, идущие вверх от четырех букв AEIO, четыре столбца, каждый из которых указывает, что большая посылка находится в модусе, обозначенном соответствующей буквой. В первом столбце справа от PQ находится модус A. Теперь над линией RS пусть будут отмечены четыре области, соответствующие четырем модусам меньшей посылки. Таким образом, в первом ряду над RS вся область между RS и первой горизонтальной линией над ней обозначает, что меньшая посылка находится в модусе A. Буквы E, I, O таким же образом показывают модус, характеризующий меньшую посылку в рядах напротив этих букв.

Нам еще предстоит представить вывод. Чтобы сделать это, мы должны рассматривать вывод как третью переменную, характеризуемую в ее различных разновидностях четырьмя модусами — это силлогистическая классификация. Введение третьей переменной влечет за собой изменение в нашей системе представления.

Fig. 52.

Ранее мы начинали с областей справа от определенной линии как представляющих последовательно большую посылку в ее модусах; теперь мы должны начать с областей справа от определенной плоскости. Пусть LMNR будет плоской гранью куба, рис. 52, и пусть куб будет разделен на четыре части вертикальными сечениями, параллельными LMNR. Переменная, большая посылка, представлена последовательными областями, которые встречаются справа от плоскости LMNR — та область, которой противостоит A, тот срез куба, является значимым для модуса A. Эта целая четверть-часть куба представляет, что для каждой ее части большая посылка находится в модусе A.

Подобным образом следующее сечение, второе с буквой E напротив него, представляет, что для каждого из шестнадцати малых кубических пространств в нем большая посылка находится в модусе E. Третье и четвертое отделения, сделанные вертикальными сечениями, обозначают большую посылку в модусах I и O. Но куб может быть разделен другими способами другими плоскостями. Пусть деления, четыре из которых тянутся от передней грани, соответствуют меньшей посылке. Первая стена из шестнадцати кубов, обращенная к наблюдателю, имеет характеристику, что в каждом из малых кубов, что бы ни было в остальном, меньшая посылка находится в модусе A. Переменная — меньшая посылка — варьируется через фазы A, E, I, O, вдали от передней грани куба или передней плоскости, частью которой является передняя грань.

И теперь мы можем представить третью переменную точно таким же образом. Мы можем взять вывод как третью переменную, проходящую через свои четыре фазы от базовой плоскости вверх. Каждый из малых кубов в основании всего куба имеет это истинным о себе, что бы ни было в остальном, что вывод в нем находится в модусе A. Таким образом, чтобы подвести итог, первая стена из шестнадцати малых кубов, первая из четырех стен, которые, продвигаясь слева направо, строят весь куб, характеризуется в каждой своей части тем, что большая посылка находится в модусе A.

Следующая стена обозначает, что большая посылка находится в модусе E, и так далее. Продвигаясь спереди назад, первая стена представляет область, в каждой части которой меньшая посылка находится в модусе A. Вторая стена — это область, на протяжении которой меньшая посылка находится в модусе E, и так далее. В слоях, снизу вверх, вывод проходит через свои различные модусы, начиная с A в самом нижнем, E во втором, I в третьем, O в четвертом.

В общем случае, в котором переменные, представленные в пойографе, проходят через широкий диапазон значений, плоскости, от которых мы измеряем их степени вариации в нашем представлении, принимаются бесконечно расширенными. В этом случае, однако, все, что нас беспокоит, — это конечная область.

Нам теперь нужно представить, путем некоторого ограничения комплекса, который мы получили, тот факт, что не каждая комбинация посылок оправдывает любой вид вывода. Это может быть просто осуществлено путем маркировки областей, в которых посылки, будучи такими, как определено позициями, обнаруживается вывод, который является действительным.

Принимая конъюнкцию большей посылки, все M есть P, и меньшей, все S есть M, мы заключаем, что все S есть P. Следовательно, та область должна быть отмечена, в которой мы имеем конъюнкцию большей посылки в модусе A; меньшей посылки, модус A; вывод, модус A. Это куб, занимающий самый нижний левый угол большого куба.

Fig. 53.

Продвигаясь таким образом, мы обнаруживаем, что области, которые должны быть отмечены, — это те, что показаны на рис. 53. Обсудить случай, показанный в отмеченном кубе, который появляется в верхней части рис. 53. Здесь большая посылка находится во второй стене справа — она в модусе E и типа «ни одно M не есть P». Меньшая посылка находится в модусе, характеризуемом третьей стеной спереди. Она типа «некоторые S есть M». Из этих посылок мы делаем вывод, что некоторые S не есть P, вывод в модусе O. Теперь модус O вывода представлен в верхнем слое. Следовательно, мы видим, что маркировка в этом отношении правильна.

Fig. 54.

Конечно, было бы возможно представить куб на плоскости с помощью четырех квадратов, как на рис. 54, если мы рассмотрим каждый квадрат как представляющий просто начало области, за которую он стоит. Таким образом, весь куб может быть представлен четырьмя вертикальными квадратами, каждый из которых стоит за своего рода вертикальный лоток, и маркировки были бы такими, как показано. В № 1 большая посылка находится в модусе A для всей области, указанной вертикальным квадратом из шестнадцати делений; в № 2 она в модусе E, и так далее.

Существо, ограниченное плоскостью, должно было бы принять какой-то такой дизъюнктивный способ представления всего куба. Он был бы обязан представить то, что мы видим как целое, в отдельных частях, и каждая часть лишь представляла бы, не являлась бы, тем твердым содержанием, которое мы видим.

Вид этих четырех квадратов, который имело бы плоское существо, не был бы таким, как наш. Он не видел бы внутренности четырех квадратов, представленных выше, но каждый был бы полностью заключен внутри своего контура, внутренние границы отдельных малых квадратов он не мог бы видеть, кроме как удалив внешние квадраты.

Мы теперь готовы ввести четвертую переменную, вовлеченную в силлогизм.

При назначении букв для обозначения терминов силлогизма мы взяли S и P для представления субъекта и предиката в выводе, и таким образом в выводе их порядок неизменен. Но в посылках мы взяли произвольно порядок «все M есть P» и «все S есть M». Нет причин, почему M, а не P, не должен быть предикатом большей посылки, и так далее.

Соответственно, мы берем порядок терминов в посылках как четвертую переменную. Об этом порядке есть четыре разновидности, и эти разновидности называются фигурами.

Используя порядок, в котором написаны буквы, чтобы обозначить, что буква, написанная первой, является субъектом, та, что написана второй, — предикатом, мы имеем следующие возможности:—

1st Figure.
2nd Figure.
3rd Figure.
4th Figure.

Major
M P
P M
M P
P M

Minor
S M
S M
M S
M S

Таким образом, существуют четыре возможности в отношении этой четвертой переменной, как и в отношении посылок.

Мы использовали наши измерения пространства для представления фаз посылок и вывода в отношении модуса, и чтобы представить аналогичным образом вариации в фигуре, нам требуется четвертое измерение.

Теперь, вводя это четвертое измерение, мы должны сделать изменение в наших началах измерения, аналогичное тому, которое мы сделали при переходе от плоскости к твердому телу.

Это четвертое измерение предполагается проходящим под прямым углом к любому из трех пространственных измерений, как третье пространственное измерение проходит под прямым углом к двум измерениям плоскости, и таким образом оно дает нам возможность генерировать новый вид объема. Если весь куб движется в этом измерении, само твердое тело прочерчивает путь, каждое сечение которого, сделанное под прямым углом к направлению, в котором оно движется, является твердым телом, точным повторением самого куба.

Куб, каким мы его видим, является началом твердого тела такого рода. Он представляет своего рода лоток, как квадратная грань куба является своего рода лотком, против которого куб покоится.

Предположим, куб движется в этом четвертом измерении в четыре этапа, и пусть гипер-твердая область, прочерченная на первом этапе его прогресса, характеризуется тем, что термины силлогизма находятся в первой фигуре, тогда мы можем представить на каждом из трех последующих этапов оставшиеся три фигуры. Таким образом, весь куб формирует основу, от которой мы измеряем вариацию в фигуре. Первая фигура верна для куба, каким мы его видим, и для того гипер-твердого тела, которое лежит внутри первого этапа; вторая фигура верна на втором этапе, и так далее.

Таким образом, мы измеряем от всего куба, что касается фигур.

Но мы видели, что когда мы измеряли в самом кубе, имея три переменные, а именно две посылки и вывод, мы измеряли от трех плоскостей. База, от которой мы измеряли, была в каждом случае одной и той же.

Следовательно, при измерении в этом высшем пространстве мы должны иметь базы того же рода, от которых измерять, мы должны иметь твердые базы.

Первая твердая база легко видна, это сам куб. Другая может быть найдена из этого соображения.

То твердое тело, от которого мы измеряем фигуру, — это то, в котором остальные переменные проходят через свой полный диапазон разновидностей.

Теперь, если мы хотим измерять в отношении модусов большей посылки, мы должны позволить меньшей посылке, выводу, пройти через их диапазон, а также порядок терминов. То есть мы должны взять в качестве основы измерения в отношении модусов большей то, что представляет вариацию модусов меньшей, вывода и вариацию фигур.

Теперь вариация модусов меньшей и вывода представлены в квадратной грани слева от куба. Здесь все разновидности меньшей посылки и вывода. Разновидности фигур представлены этапами в движении, происходящем под прямым углом ко всем пространственным направлениям, следовательно, под прямым углом к рассматриваемой грани, левой грани куба.

Следовательно, позволяя левой грани двигаться в этом направлении, мы получаем куб, и в этом кубе представлены все разновидности меньшей посылки, вывода и фигуры.

Таким образом, кубу дается другая кубическая база измерения, генерируемая движением левого квадрата в четвертом измерении.

Мы находим другие базы подобным образом, одна — это куб, генерируемый передним квадратом, движущимся в четвертом измерении так, чтобы генерировать куб. От этого куба измеряются вариации в модусе меньшей. Четвертая база — та, что найдена путем движения нижнего квадрата куба в четвертом измерении. В этом кубе даны вариации большей, меньшей и фигуры. Рассматривая это как основу в четырех этапах, исходящих от нее, даны вариации в модусах вывода.

Любая из этих кубических баз может быть представлена в пространстве, и тогда высшее твердое тело, генерируемое от них, лежит вне нашего пространства. Оно может быть представлено только устройством, аналогичным тому, с помощью которого плоское существо представляет куб.

Он представляет куб, показанный выше, взяв четыре квадратных сечения и поместив их произвольно на удобных расстояниях одно от другого.

Так и мы должны представить это высшее твердое тело четырьмя кубами: каждый куб представляет только начало соответствующего высшего объема.

Нам достаточно, тогда, если мы нарисуем четыре куба, первый представляет ту область, в которой фигура первого рода, второй — ту область, в которой фигура второго рода, и так далее. Эти кубы — лишь начала соответствующих областей — они являются лотками, как бы, против которых реальные твердые тела должны быть представлены как покоящиеся, от которых они начинаются. Первый из них, так как он является началом области первой фигуры, характеризуется порядком терминов в посылках, являющимся порядком первой фигуры. Второй аналогично имеет термины посылок в порядке второй фигуры, и так далее.

Эти кубы показаны ниже.

Ради показа свойств метода представления, а не для логической проблемы, я сделаю отступление. Я представлю в пространстве модусы меньшей и вывода и различные фигуры, сохраняя большую всегда в модусе A. Здесь у нас три переменные на разных этапах: меньшая, вывод и фигура. Пусть квадрат левой стороны исходного куба будет воображен стоящим сам по себе, без твердой части куба, представленной (2) рис. 55. A, E, I, O, которые убегают, представляют модусы меньшей, A, E, I, O, которые бегут вверх, представляют модусы вывода. Весь квадрат, так как он является началом области в большей посылке, модус A, должен рассматриваться как в большей посылке, модус A.

От этого квадрата пусть будет предположено, что то направление, в котором представлены фигуры, идет к левой руке. Таким образом, мы имеем куб (1), идущий от квадрата выше, в котором сам квадрат скрыт, но буквы A, E, I, O вывода видны. В этом кубе мы имеем меньшую посылку и вывод во всех их модусах, и все фигуры представлены. Что касается большей посылки, так как грань (2) принадлежит первой стене слева в исходном расположении, и в этом расположении характеризовалась большей посылкой в модусе A, мы можем сказать, что весь куб, который мы теперь поставили, представляет модус A большей посылки.

Fig. 55.

Следовательно, малый куб внизу справа в 1, ближайший к зрителю, — это большая посылка, модус A; меньшая посылка, модус A; вывод, модус A; и фигура первая. Куб рядом с ним, идущий влево, — это большая посылка, модус A; меньшая посылка, модус A; вывод, модус A; фигура 2.

Так в этом кубе мы имеем представления всех комбинаций, которые могут возникнуть, когда большая посылка, оставаясь в модусе A, меньшая посылка, вывод и фигуры проходят через свои разновидности.

В этом случае в пространстве нет места для естественного представления модусов большей посылки. Чтобы представить их, мы должны предположить, как и прежде, что существует четвертое измерение, и, начиная от этого куба как базы в четвертом направлении в четыре равных этапа, весь первый объем соответствует большей посылке A, второй — большей посылке, модус E, следующий — модусу I, и последний — модусу O.

Куб, который мы видим, — это как бы просто лоток, против которого покоится четырехмерная фигура. Его сечение на любом этапе — куб. Но переход в этом направлении, будучи поперечным ко всему нашему пространству, не представлен никаким пространственным движением. Мы можем показать последовательные этапы результата переноса куба в этом направлении, но не можем показать продукт переноса, как бы мал он ни был, в этом направлении.

Fig. 56.

Чтобы вернуться к исходному методу представления наших переменных, рассмотрим рис. 56. Эти четыре куба представляют четыре сечения фигуры, полученной из первого из них путем движения его в четвертом измерении. Первая часть движения, которая начинается с 1, прочерчивает более чем твердое тело, которое все в первой фигуре. Начало этого тела показано в 1. Следующая часть движения прочерчивает более чем твердое тело, все из которого во второй фигуре; начало этого тела показано в 2; 3 и 4 следуют подобным образом. Здесь, тогда, в одной четырехмерной фигуре мы имеем все комбинации четырех переменных: большая посылка, меньшая посылка, фигура, вывод, представленные, каждая переменная проходит через свои четыре разновидности. Нарисованные несвязанные кубы — это наше представление в пространстве посредством несвязанных сечений этого высшего тела.

В настоящее время истинными является лишь ограниченное число выводов — их истинность зависит от конкретных комбинаций посылок и фигур, которые они сопровождают. Общую фигуру, представленную таким образом, можно назвать универсумом мысли в отношении этих четырех составляющих, и из универсума всех возможных комбинаций логике надлежит выбирать те, которые соответствуют результатам наших мыслительных способностей.

Мы можем проанализировать каждую из посылок в каждом из модусов и выяснить, какой вывод логически следует из них. Однако это уже сделано в трудах по логике; наиболее просто и ясно, на мой взгляд, — в «Логике Джевонса». Поскольку нас интересует лишь формальное представление результатов, мы воспользуемся приведенными ниже мнемоническими строками, в которых слова, заключенные в скобки, относятся к фигурам и не несут смысловой нагрузки:

Barbara celarent Darii ferio [prioris].

Caesare Camestris Festino Baroko [secundae].

[Tertia] darapti disamis datisi felapton.

Bokardo ferisson habet [Quarta insuper addit].

Bramantip camenes dimaris ferapton fresison.

В этих строках каждое значимое слово содержит три гласные: первая гласная относится к большей посылке и указывает на ее модус (например, «a» означает, что большая посылка находится в модусе A). Вторая гласная относится к меньшей посылке и указывает на ее модус. Третья гласная относится к выводу и указывает на его модус. Так, для (prioris) — первой фигуры — первое мнемоническое слово «barbara» дает: большая посылка — модус A, меньшая посылка — модус A, вывод — модус A. Соответственно, в первом из наших четырех кубов мы отмечаем нижний левый передний куб. Возьмем другой пример из третьей фигуры «Tertia»: слово «ferisson» дает нам большую посылку в модусе E (например, «ни одно M не есть P»), меньшую посылку в модусе I («некоторое M есть S»), вывод в модусе O («некоторое S не есть P»). Область, которую нужно отметить в третьем репрезентативном кубе, — это область во второй стенке справа для большей посылки, в третьей стенке от передней части для меньшей посылки и в верхнем слое для вывода.

Легко заметить, что на диаграмме этот куб отмечен, как и все остальные правильные выводы. Области, отмеченные в общей совокупности, показывают, какие комбинации четырех переменных — большей посылки, меньшей посылки, фигуры и вывода — существуют.

Иными словами, мы объективируем все возможные выводы и выстраиваем идеальное многообразие, содержащее все возможные их комбинации с посылками, а затем исключаем из него все то, что не удовлетворяет законам логики. Остаток представляет собой силлогизм, рассматриваемый как канон рассуждения.

Если посмотреть на форму, представляющую совокупность правильных выводов, то она не обнаруживает какой-либо очевидной симметрии или легко характеризуемой природы. Однако поразительная конфигурация получается, если спроецировать полученную четырехмерную фигуру в трехмерную; то есть, если мы возьмем в базовом кубе все те кубы, которые имеют отмеченное пространство где-либо в ряду из четырех областей, начинающихся от этого куба.

Это соответствует абстрагированию от фигур, дающему все выводы, которые являются правильными независимо от того, какова фигура.

Fig. 57.

Действуя таким образом, мы получаем расположение отмеченных кубов, показанное на рис. 57. Мы видим, что правильные выводы расположены почти симметрично вокруг одного куба — того, что находится на вершине колонны, начинающейся с AAA. Однако в этой схеме есть один разрыв непрерывности. Один куб не отмечен, хотя, будь он отмечен, это обеспечило бы симметрию. Это куб, который обозначался бы буквами I, E, O в третьей стенке справа, второй стенке в глубине, верхнем слое. Но эта комбинация посылок в модусе IE с выводом в модусе O не упоминается ни в одной известной мне книге по логике. Давайте рассмотрим ее самостоятельно, поскольку кажется, что в связи с этим разрывом непрерывности в пойографе должно быть что-то любопытное.

Fig. 58.

Суждения I, E в различных фигурах выглядят следующим образом, как показано на прилагаемой схеме, рис. 58: Первая фигура: некоторое M есть P; ни одно S не есть M. Вторая фигура: некоторое P есть M; ни одно S не есть M. Третья фигура: некоторое M есть P; ни одно M не есть S. Четвертая фигура: некоторое P есть M; ни одно M не есть S.

Изучая эти фигуры, мы видим, взяв первую, что если некоторое M есть P и ни одно S не есть M, то мы не получаем вывода формы «S есть P» в различных модусах. Совершенно неопределенно, как круг, представляющий S, расположен по отношению к кругу, представляющему P. Он может лежать внутри, снаружи или частично внутри P. То же самое верно для других фигур 2 и 3. Но когда мы переходим к четвертой фигуре, поскольку M и S лежат полностью вне друг друга, та часть P, которая лежит внутри M, не может лежать внутри S. Теперь мы знаем из большей посылки, что некоторая часть P действительно лежит в M. Следовательно, S не может содержать P целиком. Иными словами: некоторое P есть M, ни одно M не есть S, следовательно, S не содержит P целиком. Если мы возьмем P в качестве субъекта, это даст нам вывод в модусе O относительно P: «некоторое P не есть S». Но это не дает нам вывода относительно S ни в одной из четырех форм, признанных в силлогизме и называемых его модусами. Таким образом, разрыв непрерывности в пойографе позволил нам обнаружить неполноту отношений, рассматриваемых в силлогизме.

Приведем пример: некоторые американцы (P) принадлежат к африканскому происхождению (M); ни один ариец (S) не принадлежит к африканскому происхождению (M); арийцы (S) не включают в себя всех американцев (P).

Чтобы сделать вывод относительно S, мы должны признать утверждение «S не содержит P целиком» в качестве правильной логической формы — это утверждение об S, которое может быть сделано. Логика, которая дает нам форму «некоторое P не есть S» и не позволяет нам дать точно эквивалентную и столь же первичную форму «S не содержит P целиком», является искусственной.

И я хочу отметить, что эта искусственность ведет к ошибке.

Если полагаться на приведенные выше мнемонические строки, можно было бы сделать вывод, что из утверждения «некоторое P есть M, ни одно M не есть S» нельзя сделать никакого логического вывода относительно S.

Но вывод сделать можно: S не содержит P целиком.

Дело не в том, что результат выражен в другой форме. Мнемонические строки отрицают, что из посылок в модусах I, E соответственно можно сделать какой-либо вывод.

Таким образом, простой четырехмерный пойограф позволил нам обнаружить ошибку в мнемонических строках, которые передавались без возражений со средневековых времен. Чтобы обсудить предмет этих строк более полно, логик, защищающий их, вероятно, сказал бы, что частное суждение не может быть большей посылкой, и тем самым отрицал бы существование четвертой фигуры в комбинации модусов.

Возьмем наш пример: некоторые американцы принадлежат к африканскому происхождению; ни один ариец не принадлежит к африканскому происхождению. Он сказал бы, что вывод — «некоторые американцы не являются арийцами» и что второе утверждение является большим. Он отказался бы сказать что-либо об арийцах, обрекая нас на вечное молчание о них, насколько это касается данных посылок! Но если существует утверждение, затрагивающее отношение двух классов, оно должно быть выразимо как утверждение о любом из них.

Запрет на вывод «арийцы не включают в себя всех американцев» — это чисто временная мера в пользу ложной классификации.

И аргумент, основанный на универсальности большей посылки, не может последовательно поддерживаться. Он исключил бы такие комбинации, как большая посылка O, меньшая A, вывод O — т. е. такие, как «некоторые горы (M) не являются постоянными (P); все горы (M) являются пейзажем (S); некоторый пейзаж (S) не является постоянным (P)».

Это допускается в «Логике Джевонса», и его упущение в обсуждении I, E, O в четвертой фигуре необъяснимо. Удовлетворительный пойограф логической схемы может быть создан путем допущения использования слов «некоторые», «никакие» или «все» как относительно предиката, так и относительно субъекта. Тогда мы сможем выразить утверждение «арийцы не включают в себя всех американцев» неуклюже, но, когда его неясность будет преодолена, корректно: «некоторые арийцы не являются всеми американцами». И этот метод называется «квантификацией предиката».

Законы формальной логики совпадают с выводами, которые можно сделать относительно областей пространства, перекрывающихся друг с другом различными возможными способами. Нетрудно сформулировать эти отношения или получить симметричный пойограф. Но углубляться в эту ветвь геометрии выходит за рамки нашей текущей цели, которая состоит в том, чтобы показать применение пойографа в конечной и ограниченной области без тех сложностей, которые сопровождают его использование в отношении природных объектов.

Если мы возьмем последние — например, растения — и, не предполагая фиксированных направлений в пространстве в качестве репрезентативных для определенных вариаций, расположим репрезентативные точки таким образом, чтобы они соответствовали сходствам объектов, мы получим конфигурацию исключительного интереса; и, возможно, таким образом, при создании форм форм, тел с опущенными телами, можно было бы получить некоторое представление о структуре видов и родов.

ГЛАВА IX ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ОПЫТА КАНТА

Наблюдая за небесными телами, мы осознаем, что все они участвуют в одном универсальном движении — суточном вращении вокруг полярной оси.

В случае неподвижных звезд это верно в самой безусловной степени, но в случае Солнца, а также планет, можно различить единое движение вращения, модифицированное и слегка измененное другими, вторичными движениями.

Следовательно, универсальной характеристикой небесных тел является то, что они движутся по суточному кругу.

Но мы знаем, что этот один великий факт, верный для них всех, в действительности не имеет к ним никакого отношения. Суточное вращение, которое они совершают на наших глазах, является результатом состояния наблюдателя. Именно потому, что наблюдатель находится на вращающейся Земле, можно сделать универсальное утверждение обо всех небесных телах.

Универсальное утверждение, справедливое для каждого из небесных тел, — это то, которое вообще их не касается, а является лишь констатацией состояния наблюдателя.

Теперь существуют универсальные утверждения других видов, которые мы можем сделать. Мы можем сказать, что все объекты опыта находятся в пространстве и подчиняются законам геометрии.

Означает ли это, что пространство и все, что оно подразумевает, обусловлено состоянием наблюдателя?

Если универсальный закон в одном случае не означает ничего, затрагивающего сами объекты, а лишь состояние наблюдения, верно ли это в каждом случае? В астрономии нам показана vera causa для утверждения универсалии. Следует ли искать ту же причину повсюду?

Таково первое приближение к доктрине критики Канта.

Это постижение отношения, в которое с той и другой стороны входят совершенно определенные составляющие — человеческий наблюдатель и звезды, — и перенос этого отношения в область, в которой составляющие с обеих сторон совершенно неизвестны.

Если пространственность обусловлена состоянием наблюдателя, то наблюдатель не может быть этим нашим телесным «я» — тело, подобно окружающим его объектам, в равной степени находится в пространстве.

Эту концепцию Кант применил не только к созерцаниям чувств, но и к понятиям разума — везде, где делается универсальное утверждение, ему предоставляется возможность для применения своего принципа. Он построил систему, в которой трудно сказать, чему больше удивляться: архитектурному мастерству или сдержанности в отношении вещей в себе и наблюдателя в самом себе.

Его систему можно сравнить с садом, возможно, несколько формальным, но обладающим очарованием качества, выходящего за рамки интеллектуального, — besonnenheit, изысканной умеренностью во всем. И из почвы, которую он так тщательно подготовил, скрыв в ней то, что должно быть скрыто, расцветает наука и растет древо подлинного знания.

Критика — это сокровищница идей глубокого интереса. Та из них, о которой я дал частичное изложение, ведет, как мы увидим при ее детальном изучении, к теории математики, наводящей на размышления во многих направлениях.

Обоснование моего подхода можно найти, среди прочих отрывков, в той части трансцендентальной аналитики, где Кант говорит об объектах опыта, подчиненных формам чувственности, но не подчиненных понятиям разума.

Кант утверждает, что всякий раз, когда мы мыслим, мы мыслим об объектах в пространстве и времени, но он отрицает, что пространство и время существуют как независимые сущности. Он берется объяснить их и их универсальность не путем их допущения, как делают большинство других философов, а путем постулирования их отсутствия. Как же тогда получается, что мир для нас находится в пространстве и времени?

Кант занимает ту же позицию в отношении того, что мы называем природой — великой системы, подчиненной закону и порядку. «Как вы объясняете закон и порядок в природе?» — спрашиваем мы философов. Все, кроме Канта, отвечают, предполагая наличие закона и порядка где-то, а затем показывая, как мы можем их распознать.

Объясняя наши понятия, философы, стоящие на позициях, отличных от кантовских, предполагают, что понятия существуют вне нас, и тогда нетрудно показать, как они приходят к нам — либо через вдохновение, либо через наблюдение.

Мы спрашиваем: «Почему у нас есть идея закона в природе?» «Потому что природные процессы идут согласно закону, — отвечают нам, — и опыт, унаследованный или приобретенный, дает нам это понятие».

Но когда мы говорим о законе в природе, мы говорим о нашем собственном понятии. Так что все, что делают эти толкователи, — это объясняют наше понятие через его же допущение.

Кант совсем другой. Он ничего не предполагает. Опыт, подобный нашему, сильно отличается от опыта в абстракции. Представьте себе просто опыт, последовательность состояний сознания! Да ведь не было бы никакой связи между двумя из них, не было бы никакой личной идентичности, никакой памяти. Именно из общего опыта, подобного этому, который в отношении всего, что мы называем реальным, меньше, чем сон, Кант показывает генезис опыта, подобного нашему.

Кант берется за проблему объяснения пространства, времени, порядка и поэтому вполне логично не предполагает их заранее.

Но как, когда каждый акт мышления касается вещей в пространстве и времени и является упорядоченным, мы представим себе то совершенно неопределенное нечто, которое является необходимой гипотезой Канта — то, что не находится в пространстве или времени и не является упорядоченным? Это наша проблема: представить то, что Кант предполагает не подчиненным ни одной из наших форм мышления, а затем показать некую функцию, которая, воздействуя на это, превращает его в «природу», подчиненную закону и порядку, в пространстве и времени. Такую функцию Кант называет «единством апперцепции», т. е. то, что делает наше состояние сознания способным быть вплетенным в систему с «я», внешним миром, памятью, законом, причиной и порядком.

Трудность, с которой мы сталкиваемся при обсуждении гипотезы Канта, заключается в том, что все, о чем мы думаем, находится в пространстве и времени — как же тогда нам представить в пространстве существование, не находящееся в пространстве, и во времени существование, не находящееся во времени? Эта трудность еще более очевидна, когда мы переходим к построению пойографа, ибо пойограф — это по существу пространственная структура. Но именно потому, что трудность более очевидна, она ближе к решению. Если мы всегда мыслим в пространстве, т. е. используя пространственные понятия, то первое условие, необходимое для их адаптации к представлению непространственного существования, — это осознание ограниченности нашего мышления, чтобы иметь возможность предпринять надлежащие шаги для ее преодоления. Проблема, стоящая перед нами, таким образом, состоит в том, чтобы представить в пространстве существование, не находящееся в пространстве.

Решение простое. Оно обеспечивается концепцией альтернативности.

Чтобы прояснить наши идеи, давайте вернемся назад, за пределы различий между внутренним и внешним миром. И то, и другое, говорит Кант, есть продукты. Давайте возьмем просто состояния сознания и не будем задаваться вопросом, произведены ли они или привнесены — задавать такой вопрос означает зайти слишком далеко, предположить нечто, происхождение чего мы не проследили. Относительно этих состояний давайте просто скажем, что они происходят. Давайте теперь будем использовать слово «позит» для фазы сознания, сведенной к последней возможной стадии исчезновения; пусть позит будет той фазой сознания, о которой можно сказать лишь то, что она происходит.

Пусть a, b, c будут тремя такими позитами. Мы не можем представить их в пространстве, не поместив в определенном порядке, как a, b, c. Но Кант проводит различие между формами чувственности и понятиями разума. Сон, в котором все происходит наугад, был бы опытом, подчиненным форме чувственности и лишь частично подчиненным понятиям разума. Он частично подчинен понятиям разума, потому что, хотя нет порядка последовательности, все же в любой данный момент есть порядок. Восприятие вещи как находящейся в пространстве — это форма чувственности, восприятие порядка — это понятие разума.

Мы должны, следовательно, чтобы добраться до того процесса, который Кант считает конститутивным для упорядоченного опыта, представить позиты как находящиеся в пространстве без порядка.

Поскольку мы их знаем, они должны быть в каком-то порядке: abc, bca, cab, acb, cba, bac — в том или ином.

Чтобы представить их как не имеющие порядка, вообразите, что все эти различные порядки существуют в равной степени. Введите концепцию альтернативности — давайте предположим, что порядок abc и bac, например, существуют в равной степени, так что мы не можем сказать об a, что оно идет до или после b. Это соответствовало бы внезапному и произвольному превращению a в b и b в a, так что, используя слова Канта, было бы возможно называть одну вещь одним именем в одно время, а в другое время — другим именем.

В опыте такого рода мы имеем своего рода хаос, в котором не существует никакого порядка; это многообразие, не подчиненное понятиям разума.

Существует ли теперь какой-либо процесс, с помощью которого в такое многообразие можно внести порядок — существует ли какая-либо функция сознания, благодаря которой мог бы возникнуть упорядоченный опыт?

В том точном состоянии, в котором находятся позиты, как описано выше, это не представляется возможным. Но если мы вообразим, что в многообразии существует двойственность, можно легко обнаружить функцию сознания, которая произведет порядок из отсутствия порядка.

Давайте представим каждый позит как имеющий двойственный аспект. Пусть a будет 1a, в котором двойственный аспект представлен комбинацией символов. И аналогично пусть b будет 2b, c будет 3c, в которых 2 и b представляют двойственные аспекты b, 3 и c — аспекты c.

Поскольку a может произвольно превратиться в b или в c и так далее, вышеуказанные конкретные комбинации не могут быть сохранены. Мы должны предположить равновозможную встречаемость форм, таких как 2a, 2b и так далее; и чтобы получить представление обо всех тех комбинациях, из которых любой набор является альтернативно возможным, мы должны взять каждый аспект с каждым аспектом. Мы должны, то есть, иметь каждую букву с каждым числом.

Давайте теперь применим метод пространственного представления.

Примечание. — В начале следующей главы те же структуры, что и ниже, представлены более подробно, и ссылка на них устранит любую неясность, которая может возникнуть в непосредственно следующих отрывках. Там они доведены до большего многообразия измерений, и значение процесса, кратко объясненного здесь, становится более очевидным.

Fig. 59.

Возьмем три взаимно перпендикулярные оси в пространстве 1, 2, 3 (рис. 59) и на каждой отметим три точки, причем общая точка встречи является первой на каждой оси. Затем с помощью этих трех точек на каждой оси мы определяем 27 положений, 27 точек в кубическом кластере, показанном на рис. 60, используя тот же метод координации, который был описан ранее. Каждое из этих положений можно назвать с помощью осей и точек в комбинации.

Fig. 60.

Так, например, положение, отмеченное звездочкой, можно назвать 1c, 2b, 3c, потому что оно противоположно c на 1, b на 2, c на 3.

Давайте теперь рассмотрим состояния сознания, соответствующие этим положениям. Каждая точка представляет собой композит позитов, и соответствующее им многообразие сознания обладает определенной сложностью.

Предположим теперь, что составляющие — точки на осях — произвольно меняются местами, любая из них становится любой другой, а также оси 1, 2 и 3 меняются местами между собой, любая из них становится любой другой, и они не подчиняются никакой системе или закону, то есть порядок не существует, и точки, которые идут abc на каждой оси, могут идти bac и так далее.

Тогда любое из состояний сознания, представленных точками в кластере, может стать любым другим. Мы имеем представление случайного сознания определенной степени сложности.

Теперь давайте внимательно рассмотрим один конкретный случай произвольной перестановки точек a, b, c; так как один такой случай, тщательно рассмотренный, проясняет все.

Fig. 61.

Рассмотрим точки, названные на рисунке 1c, 2a, 3c; 1c, 2c, 3a; 1a, 2c, 3c и изучим эффект, оказываемый на них при изменении порядка. Предположим, например, что a меняется на b, и назовем два набора точек, которые мы получаем — один до и один после их изменения — сопряженными.

Before the change
1c 2a 3c
1c 2c 3a
1a 2c 3c
} Conjugates.

After the change
1c 2b 3c
1c 2c 3b
1b 2c 3c

Точки, окруженные кольцами, представляют сопряженные точки.

Очевидно, что сознание, представленное сначала первым набором точек, а затем вторым, не имело бы ничего общего в своих двух фазах. Оно не было бы способно дать отчет о самом себе. Не было бы никакой идентичности.

Fig. 62.

Если, однако, мы сможем найти любой набор точек в кубическом кластере, который при любом произвольном изменении точек на осях или самих осей повторяет себя, воспроизводится, тогда сознание, представленное этими точками, обладало бы постоянством. Оно имело бы принцип идентичности. Несмотря на отсутствие закона, отсутствие порядка у конечных составляющих, оно имело бы порядок, оно сформировало бы систему, условие личной идентичности было бы выполнено.

Вопрос сводится, таким образом, к следующему. Можем ли мы найти систему точек, которая является самосопряженной, то есть такую, что когда любой позит на осях становится любым другим или когда любая ось становится любой другой, такой набор преобразуется в самого себя, его идентичность не поглощается, а возвышается над хаосом его составляющих?

Такой набор можно найти. Рассмотрим набор, представленный на рис. 62 и записанный в первой из двух строк —

Self-

conjugate
{
1a 2b 3c
1b 2a 3c
1c 2a 3b
1c 2b 3a
1b 2c 3a
1a 2c 3b

1c 2b 3a
1b 2c 3a
1a 2c 3b
1a 2b 3c
1b 2a 3c
1c 2a 3b

Если теперь a меняется на c, а c на a, мы получаем набор во второй строке, который имеет те же члены, что и в верхней строке. Глядя на диаграмму, мы видим, что это соответствовало бы просто повороту фигур как целого. [2] Любое произвольное изменение точек на осях или самих осей воспроизводит тот же набор.

[2] Эти фигуры описаны более полно и расширены в следующей главе.

Таким образом, функция, с помощью которой случайное, неупорядоченное сознание могло бы дать упорядоченное и систематическое, может быть представлена. Примечательно, что это система отбора. Если из всех альтернативных форм внимание уделяется только той, которая является самосопряженной, формируется упорядоченное сознание. Отбор дает признак постоянства.

Можем ли мы сказать, что постоянное сознание — это и есть данный отбор?

Обнаруживается аналогия между Кантом и Дарвином. То, что есть, отделяется от мимолетного в силу того, что оно представляет собой признак постоянства. Нет необходимости предполагать какую-либо функцию «внимания». Сознание, способное дать отчет о самом себе, — это сознание, характеризующееся данной комбинацией. Все комбинации существуют — сознание, которое может дать отчет о самом себе, относится к этому типу. И сама двойственность, которую мы предположили, может рассматриваться как возникшая в результате процесса отбора.

Дарвин поставил перед собой задачу объяснить происхождение флоры и фауны мира. Он отрицал специфические тенденции. Он предположил неопределенную изменчивость — то есть случайность, — но случайность, ограниченную узкими пределами в отношении величины любых последовательных вариаций. Он показал, что организмы, обладающие признаками постоянства, если они возникали, сохранялись. Таким образом, его объяснение любой структуры или организованного существа заключалось в том, что оно обладает признаками постоянства.

Кант, взявшись не за объяснение каких-либо конкретных явлений, а того, что мы называем природой в целом, имел свое собственное происхождение видов, свое объяснение флоры и фауны сознания. Он отрицал какую-либо специфическую тенденцию элементов сознания, но, взяв наше собственное сознание, указал на то, в чем оно напоминало любое сознание, которое могло бы выжить, которое могло бы дать отчет о самом себе.

Он предполагает случайный или хаотичный мир, и поскольку «большое» и «малое» не были для него данными понятиями, которые он мог бы использовать, он никак не ограничивал случайность, хаотичность. Но любое сознание, которое является постоянным, должно обладать определенными признаками — а именно теми атрибутами, которые придают ему постоянство. Любое сознание, подобное нашему, — это просто сознание, которое обладает этими атрибутами. Главное — это то, что он называет единством апперцепции, что, как мы видели выше, является просто утверждением того, что конкретный набор фаз сознания на основе полной случайности будет самосопряженным, а значит, постоянным.

Как у Дарвина, так и у Канта причина существования любого признака сводится к следующему: покажите, что он способствует постоянству того, кто им обладает.

Мы можем таким образом рассматривать Канта как создателя первой из современных теорий эволюции. И, как это часто бывает, первая попытка была самой грандиозной по своему охвату. Кант не исследует происхождение какой-либо особой части мира, такой как его организмы, его химические элементы, его социальные сообщества людей. Он просто исследует происхождение целого — всего, что включено в сознание, происхождение той «мыслящей вещи», прогрессирующая реализация которой есть познаваемая вселенная.

Эта точка зрения сильно отличается от обычной, в которой человек якобы помещен в мир, подобный тому, о котором он пришел к мысли, а затем узнает то, что он обнаружил из этой модели, которую он сам поместил на сцену.

Мы все знаем, что существует ряд вопросов, при попытке ответить на которые такое допущение недопустимо.

Милль, например, объясняет наше понятие «закона» неизменной последовательностью в природе. Но то, что мы называем природой, — это нечто, данное в мысли. Так что он объясняет мысль о законе и порядке мыслью о неизменной последовательности. Он оставляет проблему там, где ее нашел.

Теория Канта не является уникальной и единственной. Это одна из ряда теорий эволюции. Представление о ее важности и значении можно получить путем сравнения ее с другими теориями.

Так, в теоретическом мире естественного отбора Дарвина делается определенное допущение — допущение неопределенной изменчивости (незначительной изменчивости, правда, за любой ощутимый промежуток времени, но неопределенной в постулируемые эпохи трансформации) — и показывается, что из этого следует целая цепь результатов.

Этот элемент случайной вариации, однако, не является конечной точкой. Это предварительная стадия. Это допущение «всего» является предварительным шагом к выяснению того, что «есть». Если может возникнуть любой вид организма, те, что выживут, будут обладать такими-то и такими-то характеристиками. Это необходимое начало для установления того, какие виды организмов действительно возникают. И так гипотеза Канта о случайном сознании является необходимым началом для рационального исследования сознания как такового. Его допущение обеспечивает, так сказать, пространство, в котором мы можем наблюдать явления. Оно дает общие законы, конституирующие любой опыт. Если при допущении абсолютной случайности составляющих опыт будет характеризоваться тем-то и тем-то, то, каковы бы ни были составляющие, эти характеристики должны быть универсально верными.

Теперь мы перейдем к более тщательному изучению пойографа, сконструированного с целью демонстрации иллюстрации единства апперцепции Канта.

Чтобы показать выведение порядка из отсутствия порядка, необходимо было предположить принцип двойственности — у нас были оси и позиты на осях — существуют два набора элементов, каждый из которых не упорядочен, и именно в их взаимном отношении возникает порядок, определенная система.

Есть ли в нашем опыте что-то, имеющее природу двойственности?

В нашем опыте, безусловно, есть объекты, обладающие порядком, и те, которые не способны к порядку. Два корня квадратного уравнения не имеют порядка. Никто не может сказать, какой идет первым. Если тело поднимается вертикально, а затем движется под прямым углом к своему прежнему курсу, никто не может приписать какой-либо приоритет направлению на север или на восток. Нет приоритета в направлениях поворота. Мы связываем повороты с отсутствием порядка, прогрессии на линии — с порядком. Но в осях и точках, которые мы предположили выше, нет такого различия. Одно и то же, предполагаем ли мы порядок среди поворотов и отсутствие порядка среди точек на осях или, наоборот, порядок в точках и отсутствие порядка в поворотах. Существо с бесконечным числом осей, взаимно расположенных под прямым углом, с определенной последовательностью между ними и отсутствием последовательности между точками на осях, находилось бы в состоянии, формально неотличимом от состояния существа, которое, согласно более естественному для нас допущению, имело бы на каждой оси бесконечное число упорядоченных точек и отсутствие порядка приоритета между осями. Существо в таком мире не смогло бы сказать, что является поворотом, а что — длиной вдоль оси, чтобы различить их. Таким образом, чтобы привести уместную иллюстрацию, мы можем находиться в мире бесконечного числа измерений с тремя произвольными точками на каждом — тремя точками, порядок которых безразличен, — или в мире трех осей произвольной последовательности с бесконечным числом упорядоченных точек на каждой. Мы не можем сказать, что есть что, чтобы отличить одно от другого.

Таким образом, оказывается, что использованный нами способ иллюстрации не является искусственным. В природе действительно существует двойственность того рода, которая необходима для объяснения происхождения порядка из отсутствия порядка — а именно двойственность измерения и положения. Давайте будем использовать термин «группа» для той системы точек, которая остается неизменной, какое бы произвольное изменение ее составляющих ни происходило. Мы замечаем, что группа включает в себя двойственность, она немыслима без двойственности.

Таким образом, согласно Канту, первичным элементом опыта является группа, и теория групп была бы самой фундаментальной отраслью науки. Из-за одного выражения в «Критике» авторитет Канта иногда приводится против допущения более чем трех измерений пространства. Мне кажется, однако, что вся тенденция его теории лежит в противоположном направлении и указывает на совершенную двойственность между измерением и положением в измерении.

Если порядок и закон, которые мы видим, обусловлены условиями сознательного опыта, мы должны мыслить природу спонтанной, свободной, не подлежащей никакой предикации, которую мы можем придумать, но, как бы она ни постигалась, подчиненной нашей логике.

А наша логика — это просто пространственность в общем смысле, тот результат отбора постоянного из непостоянного, упорядоченного из неупорядоченного посредством группы и лежащей в ее основе двойственности.

Мы не можем ничего предикатировать о природе, только о том, как мы можем постигать природу. Все, что мы можем сказать, — это то, что все, что дает нам опыт, будет обусловлено как пространственное, подчиненное нашей логике. Таким образом, исследуя факты геометрии от простейших логических отношений до свойств пространства любого числа измерений, мы просто наблюдаем самих себя, осознавая условия, при которых мы должны воспринимать. Если какие-либо явления оказываются неспособными к объяснению в рамках допущения пространства, с которым мы имеем дело, тогда мы должны приучить себя к концепции высшего пространства, чтобы наша логика могла соответствовать стоящей перед нами задаче.

Мы получаем повторение мысли, которая приходила ранее, экспериментально предложенной. Если законы интеллектуального постижения природы — это те, что выведены из рассмотрения ее как абсолютной случайности, не подчиненной никакому закону, кроме того, что выведен из процесса отбора, то, возможно, порядок природы требует для своего постижения иных способностей, нежели интеллектуальные. Источник и происхождение идей, возможно, придется искать не в рассуждении.

Общий итог «Критики» состоит в том, чтобы оставить обычного человека там, где он есть, оправданным в своем практическом отношении к природе, освобожденным от оков его собственных ментальных представлений.

Истина картины заключается в ее общем эффекте. Тщетно искать информацию о ландшафте, изучая пигменты. И в любом методе мышления именно сложность целого приводит нас к познанию природы. Измерения достаточно искусственны, но в их многообразии мы ловим некоторое дыхание природы.

Мы должны поэтому — и это кажется мне практическим выводом из всего дела — приступить к формированию средств интеллектуального постижения все большей и большей степени сложности, как в размерном отношении, так и по протяженности в любом измерении. Такие средства представления всегда должны быть искусственными, но в многообразии элементов, с которыми мы имеем дело, как бы зачаточно произвольны они ни были, заключается наш шанс постижения природы.

И в качестве заключительной главы к этой части книги я расширю фигуры, которые использовались для представления теории Канта, на два шага, чтобы читатель имел возможность взглянуть на четырехмерную фигуру, которую можно начертить без какого-либо специального аппарата, к рассмотрению которого я впоследствии перейду.

ГЛАВА X ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ФИГУРА

Метод, использованный в предыдущей главе для иллюстрации проблемы критики Канта, дает исключительно простой и прямой способ построения серии важных фигур в любом количестве измерений.

Мы видели, что для представления нашего пространства плоское существо должно отказаться от одной из своих осей, и аналогично, чтобы представить высшие формы, мы должны отказаться от одной из наших трех осей.

Но существует другой вид отказа, который сводит построение высших форм к вопросу величайшей простоты.

Обычно мы имеем на прямой линии любое количество положений. Богатство пространства в положении безгранично, в то время как существует только три измерения.

Я предлагаю отказаться от этого богатства положений и рассмотреть фигуры, полученные путем взятия ровно стольких положений, сколько имеется измерений.

Таким образом, я рассматриваю измерения и положения как два «вида» и, применяя простое правило выбора каждого из одного вида с каждым другим из каждого другого вида, получаю серию фигур, которые примечательны тем, что они точно заполняют пространство любого количества измерений (как шестиугольник заполняет плоскость) путем равных повторений самих себя.

Правило станет более очевидным при простом применении.

Давайте рассмотрим одно измерение и одно положение. Я назову ось i, а положение — o.

———————————————- i o

Здесь фигура — это положение o на линии i. Возьмем теперь два измерения и два положения на каждом.

Fig. 63.

Мы имеем два положения o; 1 на i и два положения o, 1 на j, рис. 63. Они порождают определенную сложность. Я позволю двум линиям i и j встретиться в положении, которое я называю o на каждой, и я буду рассматривать i как направление, начинающееся одинаково из каждого положения на j, а j — как начинающееся одинаково из каждого положения на i. Мы таким образом получаем следующую фигуру: A — это и oi, и oj, B — это 1i и oj, и так далее, как показано на рис. 63b. Положения на AC — это все положения oi. Они, если мы хотим рассматривать это таким образом, являются точками на нулевом расстоянии в направлении i от линии AC. Мы можем назвать линию AC линией oi. Аналогично, точки на AB — это те, что находятся на нулевом расстоянии от AB в направлении j, и мы можем назвать их точками oj, а линию AB — линией oj. Опять же, линию CD можно назвать линией 1j, потому что точки на ней находятся на расстоянии 1 в направлении j.

Fig. 63b.

Мы имеем тогда четыре положения или точки, названные как показано, и, рассматривая направления и положения как «виды», мы имеем комбинацию двух видов с двумя видами. Теперь выбор каждого из одного вида с каждым другим из каждого другого вида будет означать, что мы берем 1 вида i и с ним o вида j; а затем, что мы берем o вида i и с ним 1 вида j.

Fig. 64.

Таким образом, мы получаем пару положений, лежащих на прямой линии BC, рис. 64. Мы можем назвать эту пару 10 и 01, если примем план мысленного добавления i к первому и j ко второму из символов, записанных таким образом — 01 является кратким выражением для Oi, 1j.

Fig. 65.

Переходя теперь к нашему пространству, мы имеем три измерения, поэтому мы берем три положения на каждом. Эти положения, я предполагаю, находятся на равных расстояниях вдоль каждой оси. Три оси и три положения на каждой показаны на прилагаемых диаграммах, рис. 65, из которых первая представляет куб с видимыми передними гранями, вторая — задние грани того же куба; положения я назову 0, 1, 2; оси — i, j, k. Я беру основание ABC в качестве отправной точки, от которой определяются расстояния в направлении k, и, следовательно, каждая точка в основании ABC будет положением ok, а основание ABC можно назвать плоскостью ok.

Таким же образом, измеряя расстояния от грани ADC, мы видим, что каждое положение в грани ADC является положением oi, и всю плоскость грани можно назвать плоскостью oi. Таким образом, мы видим, что с введением нового измерения значение составного символа, такого как «oi», меняется. В плоскости это означало линию AC. В пространстве это означает всю плоскость ACD.

Теперь очевидно, что у нас есть двадцать семь положений, каждое из которых названо. Если читатель проследит эту номенклатуру в отношении положений, отмеченных на рисунках, у него не возникнет трудностей с присвоением имен каждому из двадцати семи положений. A — это oi, oj, ok. Оно находится на расстоянии 0 вдоль i, 0 вдоль j, 0 вдоль k, и io можно записать кратко 000, где символы ijk опущены.

Точка непосредственно над ним — 001, ибо она находится на нулевом расстоянии в направлении i и на расстоянии 1 в направлении k. Опять же, глядя на B, она находится на расстоянии 2 от A, или от плоскости ADC, в направлении i, 0 в направлении j от плоскости ABD и 0 в направлении k, измеренном от плоскости ABC. Следовательно, это 200, записанное для 2i, 0j, 0k.

Теперь из этих двадцати семи «вещей» или соединений положения и измерения выберите те, которые даны правилом: каждый из одного вида с каждым другим из каждого другого вида.

Fig. 66.

Возьмите 2 вида i. С этим мы должны иметь 1 вида j, а затем по правилу мы можем иметь только 0 вида k, ибо если бы мы имели любой другой из вида k, мы бы повторили один из видов, который у нас уже был. В 2i, 1j, 1k, например, 1 повторяется. Точка, которую мы получаем, — это точка, отмеченная 210, рис. 66.

Fig. 67.

Действуя таким образом, мы выбираем следующий кластер точек, рис. 67. Они соединены линиями, пунктирными там, где они скрыты телом куба, и мы видим, что они образуют фигуру — шестиугольник, который можно было бы вынуть из куба и поместить на плоскость. Это фигура, которая заполнит плоскость путем равных повторений самой себя. Плоское существо, представляющее эту конструкцию в своей плоскости, взяло бы три квадрата, чтобы представить куб. Давайте предположим, что он берет оси ij в своем пространстве, а k представляет ось, выходящую из его пространства, рис. 68. В каждом из трех квадратов, показанных здесь как нарисованные отдельно, он мог бы выбрать точки, заданные правилом, и тогда ему пришлось бы попытаться обнаружить фигуру, определенную тремя проведенными линиями. Линия от 210 до 120 дана на рисунке, но линия от 201 до 102 или GK не дана. Он может определить GK, сделав другой набор рисунков и обнаружив в них, каково отношение между этими двумя конечностями.

Fig. 68.

Fig. 69.

Пусть он проведет оси i и k в своей плоскости, рис. 69. Ось j тогда уходит в сторону, и он получает прилагаемый рисунок. В первом из этих трех квадратов, рис. 69, он может по правилу выбрать две точки 201, 102 — G и K. Здесь они находятся в одной плоскости, и он может измерить расстояние между ними. В его первом представлении они находятся в точках G и K на отдельных рисунках.

Таким образом, плоское существо обнаружило бы, что концы каждой из линий удалены на расстояние, равное диагонали единичного квадрата, от соответствующего конца предыдущей, и тогда он смог бы расположить три линии в их правильном относительном положении. Соединив их, он получил бы фигуру шестиугольника.

Fig. 70.

Мы также можем заметить, что плоское существо могло бы одновременно создать представление всего куба. Три квадрата, показанные в перспективе на рис. 70, лежат в одной плоскости, и на них плоское существо могло бы выбрать любую совокупность точек так же легко, как и на трех отдельных квадратах. Он получил бы шестиугольник, соединив отмеченные точки. Этот шестиугольник, как он нарисован, имеет правильную форму, но это было бы не так, если бы вместо перспективы использовались реальные квадраты, поскольку отношение между отдельными квадратами, как они лежат на плоском рисунке, не является их реальным отношением. Однако фигура, построенная таким образом, дала бы ему представление о правильной фигуре, и он мог бы определить ее точно, помня, что расстояния в каждом квадрате были верными, но при переходе от одного квадрата к другому необходимо было учитывать их расстояние в третьем измерении.

Переходя теперь к фигуре, созданной путем выбора согласно нашему правилу из всей массы точек, заданных четырьмя осями и четырьмя положениями на каждой, мы должны сначала нарисовать каталожную фигуру, в которой показана вся совокупность.

Мы можем представить эту совокупность точек четырьмя твердыми фигурами. Первая дает все те положения, которые находятся на расстоянии 0 от нашего пространства в четвертом измерении, вторая показывает все те, которые находятся на расстоянии 1, и так далее.

Эти фигуры будут каждая кубами. Первые два нарисованы с показом передних граней, вторые два — задних граней. Мы отметим точки 0, 1, 2, 3, расставив точки на этих расстояниях вдоль каждой из этих осей, и предположим, что все точки, определенные таким образом, содержатся в твердых моделях, представителями которых являются наши чертежи на рис. 71. Здесь мы замечаем, что, как на плоскости 0i означало всю линию, от которой измерялись расстояния в направлении i, и как в пространстве 0i означает всю плоскость, от которой измеряются расстояния в направлении i, так теперь 0h означает все пространство, в котором стоит первый куб — отмеряя от этого пространства расстояние, равное единице, мы приходим ко второму представленному кубу.

Fig. 71.

Теперь, выбирая согласно правилу каждую точку одного вида с каждой другой точкой любого другого вида, мы должны взять, например, 3i, 2j, 1k, 0h. Эта точка отмечена 3210 у нижней звезды на рисунке. Она находится на расстоянии 3 в направлении i, 2 в направлении j, 1 в направлении k, 0 в направлении h.

With 3i we must also take 1j, 2k, 0h. This point
is shown by the second star in the cube 0h.

Fig. 72.

В первом кубе, поскольку все точки являются точками 0h, мы можем иметь только такие варианты, в которых i, j, k сопровождаются 3, 2, 1.

Определенные точки отмечены на диаграмме рис. 72, и проведены линии, соединяющие соседние пары на каждой фигуре; линии пунктирные, когда они проходят внутри объема куба на первых двух диаграммах.

Напротив каждой точки, с той или другой стороны каждого куба, написано ее название. Будет замечено, что фигуры симметричны справа и слева; и справа и слева первые две цифры просто меняются местами.

Теперь, когда это наш выбор точек, какую фигуру они образуют, когда все они собраны в своих надлежащих относительных положениях?

Чтобы определить это, мы должны найти расстояние между соответствующими углами отдельных шестиугольников.

Fig. 73.

Чтобы сделать это, давайте сохраним оси i, j в нашем пространстве и нарисуем h вместо k, позволив k уходить в четвертое измерение, рис. 73.

Fig. 74.

Здесь у нас снова четыре куба, в первом из которых все точки являются точками 0k; то есть точками на расстоянии ноль в направлении k от пространства трех измерений ijh. У нас есть все точки, выбранные ранее, и некоторые из расстояний, которые на последней диаграмме вели от фигуры к фигуре, показаны здесь на той же самой фигуре и, таким образом, поддаются измерению. Возьмем, к примеру, точки 3120 и 3021, которые на первой диаграмме (рис. 72) лежат в первой и второй фигурах. Их фактическое отношение показано на рис. 73 в кубе, отмеченном 2K, где рассматриваемые точки отмечены *. Мы видим, что рассматриваемое расстояние — это диагональ единичного квадрата. Подобным образом мы находим, что расстояние между соответствующими точками любых двух шестиугольных фигур — это диагональ единичного квадрата. Общая фигура теперь легко конструируется. Представление о ней можно получить, нарисовав все четыре куба из каталожной фигуры в одном (рис. 74). Эти кубы являются точными повторениями друг друга, поэтому один чертеж послужит представлением всей серии, если мы позаботимся запомнить, где мы находимся, в фигуре 0h, 1h, 2h или 3h, когда выбираем нужные точки. Рис. 74 — это представление всех каталожных кубов, собранных в один. Для ясности передние и задние грани этого куба представлены отдельно.

Фигура, определенная выбранными точками, показана ниже.

При сборке сечений некоторые из их контуров исчезают. Линия TW, например, не нужна.

Мы замечаем, что PQTW и TWRS — это каждая половина шестиугольника. Теперь QV и VR лежат на одной прямой линии. Следовательно, эти два шестиугольника соединяются вместе, образуя один шестиугольник, и линия TW нужна только тогда, когда мы рассматриваем сечение всей фигуры; таким образом мы получаем тело, представленное в нижней части рис. 74. Равные повторения этой фигуры, называемой тетрадекагоном, заполнят трехмерное пространство.

Чтобы создать соответствующую четырехмерную фигуру, мы должны взять пять осей, взаимно перпендикулярных друг другу, с пятью точками на каждой. Каталог положений, определенных в пятимерном пространстве, можно найти таким образом.

Fig. 75.

Возьмем куб с пятью точками на каждой из его осей, пятая точка находится на расстоянии четырех единиц длины от первой на любой из осей. И поскольку четвертое измерение также простирается на расстояние четырех, нам потребуется представить последовательные наборы точек на расстояниях 0, 1, 2, 3, 4 в четвертом измерении — пять кубов. Теперь все они не простираются ни на какое расстояние в пятом измерении. Чтобы представить то, что лежит в пятом измерении, нам придется нарисовать, начиная от каждого из наших кубов, пять подобных кубов, чтобы представить четыре шага в пятом измерении. С помощью этой совокупности мы получаем каталог всех точек, показанных на рис. 75, где L представляет пятое измерение.

Теперь, как мы видели ранее, ничто не мешает нам поместить все кубы, представляющие различные стадии в четвертом измерении, в одну фигуру, если мы будем отмечать, когда смотрим на нее, рассматриваем ли мы ее как куб 0h, 1h, 2h и т. д. Соединив затем кубы 0h, 1h, 2h, 3h, 4h каждого ряда в один, мы получим пять кубов, стороны каждого из которых содержат пять положений; первый из этих пяти кубов представляет точки 0l и содержит в себе точки i от 0 до 4, точки j от 0 до 4, точки k от 0 до 4, в то время как мы должны уточнить в отношении любого выбора, который мы делаем из него, рассматриваем ли мы его как фигуру 0h, 1h, 2h, 3h или 4h. На рис. 76 каждый куб представлен двумя чертежами: один — передней части, другой — задней части.

Пусть тогда наши пять кубов будут расположены перед нами, и наш выбор будет сделан согласно правилу. Возьмем первую фигуру, в которой все точки являются точками 0l. Мы не можем иметь 0 с какой-либо другой буквой. Затем, оставаясь в первой фигуре, которая является фигурой положений 0l, возьмем прежде всего тот выбор, который всегда содержит 1h. Мы предполагаем, следовательно, что куб является кубом 1h, и в нем мы берем i, j, k в сочетании с 4, 3, 2 согласно правилу.

Фигура, которую мы получаем, — это шестиугольник, как показано, тот, что спереди. Точки справа имеют те же цифры, что и слева, с первыми двумя цифрами, поменянными местами. Затем, оставаясь по-прежнему в фигуре 0l, давайте предположим, что куб перед нами представляет сечение на расстоянии 2 в направлении h. Пусть все точки в нем рассматриваются как точки 2h. Тогда у нас есть область 0l, 2h, и остаются наборы ijk и 431. Мы должны затем выбрать в соответствии с нашим правилом все такие точки, как 4i, 3j, 1k.

Они показаны на рисунке, и мы обнаруживаем, что можем нарисовать их без путаницы, формируя второй шестиугольник спереди. Продолжая таким образом, можно увидеть, что в каждой из пяти фигур выделяется набор шестиугольников, которые, будучи сложенными вместе, образуют трехмерную фигуру, чем-то похожую на тетрадекагон.

Fig. 76.

Эти отдельные фигуры являются последовательными стадиями, в которых может быть воспринята вся четырехмерная фигура, в которой они связаны.

Первая и последняя фигуры — это тетрадекагоны. Это две из твердых границ фигуры. Другие твердые границы можно легко проследить. Некоторые из них являются полными от одной грани в фигуре до соответствующей грани в следующей, как, например, тело, которое простирается от шестиугольного основания первой фигуры до равного шестиугольного основания второй фигуры. Этот вид границы — шестиугольная призма. Шестиугольная призма также встречается в другой серийной последовательности сечений, как, например, в квадрате в нижней части первой фигуры, прямоугольнике в основании второй и квадрате в основании третьей фигуры.

Другие твердые границы можно проследить через четыре из пяти сеченных фигур. Так, взяв шестиугольник в верхней части первой фигуры, мы находим в следующей также шестиугольник, некоторые чередующиеся стороны которого удлинены. Верхняя часть третьей фигуры — это также шестиугольник с другим набором удлиненных чередующихся сторон, и, наконец, в четвертой фигуре мы приходим к правильному шестиугольнику.

Эти четыре сечения являются сечениями тетрадекагона, что можно распознать по сечениям этой фигуры, которые у нас были ранее. Следовательно, границы бывают двух видов: шестиугольные призмы и тетрадекагоны.

Эти четырехмерные фигуры точно заполняют четырехмерное пространство путем равных повторений самих себя.

ГЛАВА XI. НОМЕНКЛАТУРА И АНАЛОГИИ, ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ К ИЗУЧЕНИЮ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ ФИГУР

На следующих страницах принят метод обозначения различных областей пространства с помощью систематической цветовой схемы. Объяснения даны таким образом, чтобы не ссылаться на модели; диаграмм будет достаточно. Но для облегчения изучения в приложении приведено описание набора моделей, которые читатель может либо изготовить сам, либо приобрести. Если используются модели, диаграммы в главах XI и XII послужат руководством, достаточным для указания их использования. Кубы цветов, обозначенных на диаграммах, следует подобрать и использовать для подкрепления диаграмм. Читателю в следующем описании следует предположить, что доска или стена простирается от него, против которой размещены фигуры.

Fig. 77.

Возьмите квадрат, один из тех, что показаны на рис. 77, и придайте ему нейтральный цвет; пусть этот цвет называется «нулевым» и будет таким, чтобы он не вносил заметных различий в любой цвет, с которым смешивается. Если такого реального цвета нет, давайте представим такой цвет и припишем ему свойства числа ноль, которое не вносит никаких изменений в любое число, к которому оно прибавляется.

Над этим квадратом поместите красный квадрат. Таким образом, мы символизируем движение вверх путем добавления красного к нулевому.

В стороне от этого нулевого квадрата поместите желтый квадрат и представьте движение в сторону путем добавления желтого к нулевому.

Fig. 78.

Чтобы завершить фигуру, нам нужен четвертый квадрат. Окрасьте его в оранжевый цвет, который является смесью красного и желтого, и поэтому соответствующим образом представляет движение в направлении, составленном из «вверх» и «в сторону». Таким образом, у нас есть цветовая схема, которая послужит для именования набора нарисованных квадратов. У нас есть две оси цветов — красная и желтая — и они могут занимать, как на рисунке, направление вверх и в сторону, или они могут быть повернуты; в любом случае они позволяют нам назвать четыре квадрата, нарисованные в их отношении друг к другу.

Теперь возьмите на рис. 78 девять квадратов и предположим, что в конце движения в любом направлении цвет, с которого начали, повторяется.

Мы получаем квадрат, названный так, как показано.

Давайте теперь, на рис. 79, предположим, что количество квадратов увеличивается, придерживаясь принципа раскраски, который уже использовался.

Здесь нулевых квадратов остается четыре. Между первым нулевым и нулевым над ним находятся три красных, между первым нулевым и нулевым за ним — три желтых, в то время как оранжевые увеличиваются двойным образом.

Fig. 79.

Предположим, что этот процесс увеличения количества квадратов продолжается бесконечно, а общая фигура уменьшается в размере; мы получили бы квадрат, внутренняя часть которого была бы вся оранжевой, в то время как линии вокруг него были бы красными и желтыми, а просто точки — нулевого цвета, как на рис. 80. Таким образом, все точки, линии и площадь имели бы цвет.

Fig. 80.

Мы можем считать, что эта схема возникает следующим образом: пусть нулевая точка движется в желтом направлении и очерчивает желтую линию, заканчиваясь в нулевой точке. Затем пусть вся линия, очерченная таким образом, движется в красном направлении. Нулевые точки на концах линии создадут красные линии и закончатся в нулевых точках. Желтая линия очертит желто-красный, или оранжевый, квадрат.

Теперь, возвращаясь к рис. 78, мы видим, что эти два способа именования, тот, с которого мы начали, и тот, к которому мы пришли, могут быть объединены.

Благодаря своему положению в группе из четырех квадратов на рис. 77, нулевой квадрат имеет отношение к желтому и красному направлениям. Мы можем, следовательно, говорить о красной линии нулевого квадрата без путаницы, подразумевая под этим линию AB, рис. 81, которая идет вверх от начальной нулевой точки A на рисунке, как он нарисован. Желтая линия нулевого квадрата — это его нижняя горизонтальная линия AC, как она расположена на рисунке.

Fig. 81.

Если мы хотим обозначить верхнюю желтую линию BD, рис. 81, мы можем называть ее желтой γ-линией, подразумевая желтую линию, которая отделена от первичной желтой линии красным движением.

Подобным образом каждый из других квадратов имеет нулевые точки, красные и желтые линии. Хотя желтый квадрат весь желтый, его линию CD, например, можно назвать его красной линией.

Эта номенклатура может быть расширена.

Если восемь кубов, нарисованных на рис. 82, поставить близко друг к другу, как на правой стороне диаграммы, они образуют куб, и в них, расположенных таким образом, движение вверх представлено добавлением красного к нулевому цвету, движение в сторону — добавлением желтого, движение вправо — добавлением белого. Белый используется как цвет, как пигмент, который вызывает изменение цвета пигментов, с которыми он смешивается. С какого бы куба нижнего набора мы ни начали, движение вверх приводит нас к кубу, показывающему изменение на красный, таким образом светло-желтый становится светло-желто-красным, или светло-оранжевым, который называется охристым. А при движении вправо от нулевого слева у нас происходит изменение, включающее введение белого, в то время как желтое изменение идет спереди назад. Существует три цветовые оси — красная, белая, желтая — и они проходят в положении, которое кубы занимают на чертеже — вверх, вправо, в сторону, — но их можно было бы повернуть, чтобы они занимали любые положения в пространстве.

Fig. 82.

Fig. 83.

Мы можем удобно представить блок кубов тремя наборами квадратов, каждый из которых представляет основание куба.

Таким образом, блок, рис. 83, может быть представлен слоями справа. Здесь, как и в случае с плоскостью, начальные цвета повторяются в конце серии.

Fig. 84.

Переходя теперь к увеличению количества кубов, мы получаем рис. 84, в котором даны начальные буквы цветов вместо их полных названий.

Здесь мы видим, что нулевых кубов четыре, как и раньше, но серии, которые исходят из начального угла, будут стремиться стать линиями кубов, как и наборы кубов, параллельные им, начинающиеся от других углов. Таким образом, из начального нулевого исходит линия красных кубов, линия белых кубов и линия желтых кубов.

Если количество кубов значительно увеличить, а размер всего куба уменьшить, мы получим куб с нулевыми точками и ребрами, окрашенными в эти три цвета.

Светло-желтые кубы увеличиваются двумя способами, образуя в конечном итоге слой кубов, то же самое верно для оранжевых и розовых наборов. Следовательно, в конечном итоге куб, сформированный таким образом, имел бы красные, белые и желтые линии, окружающие розовые, оранжевые и светло-желтые грани. Охристые кубы увеличиваются тремя способами, и, следовательно, в конечном итоге вся внутренняя часть куба была бы окрашена в охристый цвет.

Таким образом, у нас есть номенклатура для точек, линий, граней и твердого содержимого куба, и его можно назвать так, как показано на рис. 85.

Fig. 85.

Мы можем считать, что куб создается следующим образом. Нулевая точка движется в направлении, которому мы придаем цветовое обозначение «желтый»; она создает желтую линию и заканчивается в нулевой точке. Желтая линия, созданная таким образом, движется в направлении, которому мы даем цветовое обозначение «красный». Это направление вверх на рисунке. Желтая линия очерчивает желто-красный, или оранжевый, квадрат, и каждая из ее нулевых точек очерчивает красную линию и заканчивается в нулевой точке.

Этот оранжевый квадрат движется в направлении, которому мы приписываем цветовое обозначение «белый», в данном случае это направление вправо. Квадрат очерчивает куб, окрашенный в оранжевый, красный или охристый цвет, красные линии очерчивают красно-белые, или розовые, квадраты, а желтые линии очерчивают светло-желтые квадраты, каждая линия заканчивается линией своего цвета. В то время как точки каждая очерчивают нулевую + белую, или белую, линию, чтобы закончиться в нулевой точке.

Теперь, возвращаясь к первому блоку из восьми кубов, мы можем назвать каждую точку, линию и квадрат в них, ссылаясь на цветовую схему, которую они определяют своим отношением друг к другу.

Таким образом, на рис. 86 нулевой куб касается красного куба светло-желтым квадратом; он касается желтого куба розовым квадратом и касается белого куба оранжевым квадратом.

Fig. 86.

Существует три оси, которым присвоены цвета красный, желтый и белый; грани каждого куба обозначаются путем взятия этих цветов парами. Взяв все цвета вместе, мы получаем цветовое название для твердости куба.

Давайте теперь спросим себя, как куб мог бы быть представлен плоскому существу. Не вдаваясь в вопрос о том, как он мог бы иметь реальный опыт этого, давайте посмотрим, как, если бы мы могли повернуть его и показать ему, он, в силу своих ограничений, мог бы получить информацию о нем. Если бы куб был помещен своими красной и желтой осями против плоскости, то есть опирался бы на нее своей оранжевой гранью, плоское существо наблюдало бы квадрат, окруженный красными и желтыми линиями и имеющий нулевые точки. См. пунктирный квадрат, рис. 87.

Fig. 87.

Мы могли бы повернуть куб вокруг красной линии так, чтобы другая грань оказалась в соприкосновении с плоскостью.

Предположим, куб повернут вокруг красной линии. Когда он поворачивается из своего первого положения, вся его часть, кроме красной линии, покидает плоскость — выходит абсолютно за пределы восприятия плоского существа. Но когда желтая линия указывает прямо из плоскости, тогда розовая грань входит с ней в контакт. Таким образом, та же красная линия остается такой, какой он видел ее сначала, теперь к нему обращена грань, окруженная белыми и красными линиями.

Fig. 88.

Если мы назовем направление вправо неизвестным направлением, то линия, которую он видел раньше, желтая линия, уходит в это неизвестное направление, а линия, которая раньше шла в неизвестное направление, входит. Она входит в направлении, противоположном тому, в котором шла желтая линия раньше; внутренняя часть грани, теперь прижатой к плоскости, розовая. Свойство двух линий под прямым углом заключается в том, что если одна поворачивается из заданного направления и встает под прямым углом к нему, то другая из двух линий входит, но идет в противоположном направлении в этом заданном направлении, как на рис. 88.

Теперь эти два представления куба казались бы плоскому существу совершенно разными материальными телами, имеющими общую только ту линию, в которой они оба встречаются.

Опять же, наш куб можно повернуть вокруг желтой линии. В этом случае желтый квадрат исчез бы, как и раньше, но новый квадрат вошел бы в плоскость после того, как куб повернулся бы на угол 90° вокруг этой линии. Нижний квадрат куба вошел бы таким образом на рис. 89. Куб, предполагаемый в контакте с плоскостью, вращается вокруг нижней желтой линии, и тогда нижняя грань оказывается в контакте с плоскостью.

Здесь, как и раньше, красная линия, уходящая в неизвестное измерение, белая линия, которая раньше шла в неизвестном измерении, вошла бы вниз в противоположном смысле тому, в котором шла красная линия раньше.

Fig. 89.

Теперь, если мы используем i, j, k для трех пространственных направлений: i — слева направо, j — от близкого к далекому, k — снизу вверх; тогда, используя цветовые названия для осей, мы имеем, что прежде всего белый идет по i, желтый идет по j, красный идет по k; затем после первого поворота вокруг оси k белый идет по отрицательному j, желтый идет по i, красный идет по k; таким образом, у нас есть таблица:

i
j
k

1st position
white
yellow
red

2nd position
yellow
white—
red

3rd position
red
yellow
white—

Здесь белый со знаком минус после него в столбце под j означает, что белый идет в отрицательном смысле направления j.

Мы можем выразить этот факт следующим образом: в плоскости есть место для двух осей, в то время как у тела их три. Поэтому в плоскости мы можем представить любые две. Если мы хотим сохранить ось, которая идет в неизвестном измерении, всегда идущей в положительном смысле, то ось, которая первоначально шла в неизвестном измерении (белая ось), должна входить в отрицательном смысле той оси, которая выходит из плоскости в неизвестное измерение.

Очевидно, что неизвестное направление, направление, в котором сначала идет белая линия, совершенно отлично от любого направления, которое знает плоское существо. Белая линия может входить к нему или идти вниз. Если он смотрит на квадрат, который является гранью куба (глядя на него вдоль линии), то при любой одной из ограничивающих линий, остающейся неподвижной, может войти другая грань куба, а именно любая из граней, в которых есть белая линия. И белая линия входит иногда в одном из пространственных направлений, которые он знает, иногда в другом.

Теперь этот поворот, который оставляет линию неизменной, — это нечто совершенно отличное от любого поворота, который он знает в плоскости. В плоскости фигура поворачивается вокруг точки. Квадрат может поворачиваться вокруг нулевой точки в его плоскости, и красная и желтая линии меняются местами, только, конечно, как и при любом вращении линий под прямым углом, если красный идет туда, где был желтый, желтый входит в отрицательном смысле старого направления красного.

Этот поворот, как его представляет себе плоское существо, мы назвали бы поворотом вокруг оси, перпендикулярной плоскости. То, что он называет поворотом вокруг нулевой точки, мы называем поворотом вокруг белой линии, как она выступает из его плоскости. Нет такой вещи, как поворот вокруг точки, всегда есть ось, и на самом деле поворачивается гораздо больше, чем осознает плоское существо.

Принимая теперь другую точку зрения, давайте предположим, что кубы представлены плоскому существу путем прохождения поперек его плоскости. Давайте предположим, что слой материи, по которому скользит плоское существо и все объекты в его мире, имеет такую природу, что объекты могут проходить сквозь него, не разрушая его. Давайте предположим, что он имеет ту же природу, что и пленка мыльного пузыря, так что он смыкается вокруг объектов, проталкиваемых сквозь него, и, как бы объект ни менял свою форму при прохождении сквозь него, давайте предположим, что эта пленка доходит до контура объекта в каждой части, сохраняя свою плоскую поверхность неповрежденной.

Тогда мы можем протолкнуть куб или любой объект сквозь пленку, и плоское существо, которое скользит в пленке, узнает контур куба именно там, где пленка встречается с ним.

Fig. 90.

Рис. 90 представляет куб, проходящий сквозь плоскую пленку. Плоское существо теперь входит в контакт с очень тонким срезом куба где-то между левой и правой гранями. Этот очень тонкий срез он считает не имеющим толщины, и, следовательно, его представление о нем — это то, что мы называем сечением. Оно ограничено для него розовыми линиями спереди и сзади, исходящими от части розовой грани, с которой он находится в контакте, и сверху и снизу — светло-желтыми линиями. Его углы — это не нулевые точки, а белые точки, и его внутренняя часть — охристая, цвет внутренней части куба.

Если теперь мы предположим, что куб имеет дюйм в каждом измерении и проходит справа налево сквозь плоскость, то мы объяснили бы явления, представленные плоскому существу, сказав: «Прежде всего, у вас есть грань куба, это длится всего мгновение; затем у вас есть фигура той же формы, но иначе окрашенная. Это, что, кажется, не движется для вас ни в каком направлении, которое вы знаете, на самом деле движется поперек вашего плоского мира. Его внешний вид неизменен, но каждый момент это нечто иное — сечение дальше, в белом, неизвестном измерении. Наконец, в конце минуты входит грань, точно такая же, как грань, которую вы видели первой. Это завершает куб — это дальняя грань в неизвестном измерении».

Белую линию, которая простирается в длину точно так же, как красная или желтая, вы не видите как протяженную; вы воспринимаете ее просто как устойчивую белую точку. Нулевая точка при условии движения куба исчезает в мгновение ока, длящаяся белая точка — это на самом деле ваше восприятие белой линии, идущей в неизвестном измерении. Таким же образом красная линия грани, которой куб впервые входит в контакт с плоскостью, длится всего мгновение, за ней следует розовая линия, и эта розовая линия длится в течение минуты. Эта длящаяся розовая линия — ваше восприятие поверхности, которая простирается в двух измерениях точно так же, как оранжевая поверхность простирается, как вы знаете, когда куб находится в покое.

Но плоское существо могло бы ответить: «Этот оранжевый объект — это субстанция, твердая субстанция, ограниченная полностью и со всех сторон».

Здесь, конечно, возникает трудность. Его твердое тело — это наша поверхность; его понятие твердого тела — это наше понятие абстрактной поверхности без какой-либо толщины.

Мы должны были бы объяснить ему, что от каждой точки того, что он называл твердым телом, уходит новое измерение. От каждой точки можно провести линию в направлении, неизвестном ему, и существует твердость рода, большего, чем та, которую он знает. Эта твердость может быть осознана им только путем предположения неизвестного направления, при движении в котором то, что он считает твердой материей, мгновенно исчезает. Высшее твердое тело, однако, которое простирается в этом измерении так же, как и в тех, которые он знает, длится, когда происходит движение такого рода, различные его сечения последовательно входят в плоскость его восприятия и занимают место твердого тела, которое он сначала считает всем. Таким образом, высшее твердое тело — наше твердое тело в отличие от его площадного твердого тела, его двухмерного твердого тела — должно быть представлено им как нечто, имеющее в себе длительность, при обстоятельствах, в которых его материя исчезает из его мира.

Мы можем изложить дело так, используя концепцию движения.

Нулевая точка, движущаяся в направлении «в сторону», порождает желтую линию, и желтая линия заканчивается в нулевой точке. Мы предполагаем, то есть, что точка движется и отмечает продукты этого движения таким образом. Теперь предположим, что вся эта линия, созданная таким образом, движется в направлении «вверх»; она очерчивает двухмерное твердое тело, и плоское существо получает оранжевый квадрат. Нулевая точка движется по красной линии и заканчивается в нулевой точке, желтая линия движется и порождает оранжевый квадрат и заканчивается желтой линией, дальняя нулевая точка порождает красную линию и заканчивается в нулевой точке. Таким образом, движением в двух последовательных направлениях, известных ему, он может представить свое двухмерное твердое тело, созданное со всеми его границами.

Теперь мы говорим ему: «Все это двухмерное твердое тело может двигаться в третьем, или неизвестном для вас, измерении. Нулевая точка, движущаяся в этом измерении из вашего мира, порождает белую линию и заканчивается в нулевой точке. Желтая линия, двигаясь, порождает светло-желтое двухмерное твердое тело и заканчивается желтой линией, и это двухмерное твердое тело, лежащее торцом к вашему плоскому миру, ограничено с дальней стороны другой желтой линией. Таким же образом каждая из линий, окружающих ваш квадрат, очерчивает площадь, точно так же, как оранжевая площадь, которую вы знаете. Но создается нечто новое, нечто, о чем вы раньше не имели представления; это то, что создается движением оранжевого квадрата. То, тверже чего вы не можете ничего представить, само движется в открытом для него направлении и порождает трехмерное твердое тело. Используя добавление белого для символизации продуктов этого движения, этот новый вид твердого тела будет светло-оранжевым или охристым, и он будет ограничен с дальней стороны конечным положением оранжевого квадрата, который его очертил, и это конечное положение мы предполагаем окрашенным так же, как квадрат в его первом положении, оранжевым с желтыми и красными границами и нулевыми углами».

Этот продукт движения, который нам так легко описать, ему было бы трудно представить. Но эта трудность связана скорее с его целостностью, чем с какой-либо его конкретной частью.

Любую линию или плоскость этого, для него высшего, твердого тела мы могли бы показать ему и поместить в его чувственный мир.

Мы уже видели, как розовый квадрат можно было бы поместить в его мир путем поворота куба вокруг красной линии. И любое сечение, которое мы можем представить себе сделанным из куба, можно было бы продемонстрировать ему. Вам просто нужно повернуть куб и протолкнуть его так, чтобы плоскость его существования была плоскостью, которая вырезает данное сечение куба, тогда сечение предстало бы перед ним как твердое тело. В своем мире он увидел бы контур, добрался бы до любой его части, вкопавшись в него.

Процесс, посредством которого плоское существо получило бы понятие о твердом теле.

Если мы предположим, что плоское существо имеет общее представление о существовании высшего твердого тела — нашего твердого тела, — мы должны затем подробно проследить метод, дисциплину, посредством которой он приобрел бы рабочее знакомство с нашим пространственным существованием. Процесс начинается с адекватного осознания простой твердой фигуры. Для этой цели мы предположим восемь кубов, образующих больший куб, и сначала мы предположим, что каждый куб окрашен повсюду равномерно. Пусть кубы на рис. 91 будут восемью кубами, составляющими больший куб.

Fig. 91.

Теперь, хотя предполагается, что каждый куб полностью окрашен цветом, название которого на нем написано, все же мы можем говорить о гранях, ребрах и углах каждого куба, как если бы цветовая схема, которую мы исследовали, была справедлива для него. Таким образом, на нулевом кубе мы можем говорить о нулевой точке, красной линии, белой линии, розовой грани и так далее. Эти цветовые обозначения показаны на № 1 видов тессеракта на пластине. Здесь эти цветовые названия используются просто в их геометрическом значении. Они обозначают то, какой цвет имела бы конкретная линия и т. д., если бы в отношении конкретного куба была реализована описанная ранее цветовая схема.

Если бы такой блок кубов был помещен против плоскости, а затем пропущен сквозь нее справа налево со скоростью дюйм в минуту, каждый куб был бы дюймом в каждую сторону, плоское существо имело бы следующие явления:

Прежде всего, четыре квадрата: нулевой, желтый, красный, оранжевый, каждый длительностью в минуту; и во-вторых, занимая точные места этих четырех квадратов, четыре других, окрашенных в белый, светло-желтый, розовый, охристый цвета. Таким образом, чтобы составить каталог твердого тела, ему пришлось бы поместить рядом в своем мире два набора по четыре квадрата каждый, как на рис. 92. Предполагается, что первые длятся минуту, а затем другие приходят на их место и также длятся минуту.

Fig. 92.

Говоря о них, ему пришлось бы обозначать, какую часть соответствующего куба представляет каждый квадрат. Таким образом, в начале у него была бы оранжевая грань нулевого куба, а после того, как движение началось, у него было бы охристое сечение нулевого куба. Поскольку он мог бы получить сечение того же цвета, независимо от того, как куб проходил сквозь него, для него было бы лучше называть это сечение белым сечением, имея в виду, что оно поперечно белой оси. Эти цветовые названия, конечно, используются просто как имена и не подразумевают в данном случае, что объект действительно окрашен. Наконец, через минуту, когда первый куб проходил за пределы его плоскости, у него снова была бы оранжевая грань нулевого куба.

Те же названия будут справедливы для каждого из других кубов, описывая, какую грань или сечение их имеет перед собой плоское существо; и вторая стена кубов будет приходить, продолжаться и уходить таким же образом. В области, которую он таким образом имеет, он может представить любое движение, которое мы совершаем в кубах, до тех пор, пока оно не включает движение в направлении белой оси. Отношение частей, которые следуют одна за другой в направлении белой оси, осознается им как последовательность состояний.

Теперь его средство развития своего пространственного восприятия заключается в том, что то, что представлено как временная последовательность в одном положении кубов, может стать реальным сосуществованием, если нечто, имеющее реальное сосуществование, становится временной последовательностью.

Мы должны предположить, что кубы повернуты вокруг каждой из осей, красной линии и желтой линии, тогда нечто, что было дано как время раньше, теперь будет дано как пространство плоского существа; нечто, что было дано как пространство раньше, теперь будет дано как временная серия по мере того, как куб проходит сквозь плоскость.

Три положения, в которых должны изучаться кубы, — это приведенное выше и два следующих. В каждом случае исходная нулевая точка, которая была ближе всего к нам в начале, отмечена звездочкой. На рис. 93 и 94 точка, отмеченная звездочкой, одна и та же в кубах и в виде на плоскости.

Fig. 93.

The cube swung round the red line, so that the white line points
towards us.

На рис. 93 куб повернут вокруг красной линии так, чтобы указывать на нас, и, следовательно, розовая грань оказывается рядом с плоскостью. По мере того как он проходит сквозь, существуют две разновидности появления, обозначенные цифрами 1 и 2 на плоскости. Эти появления названы на рисунке и определяются порядком, в котором кубы приходят в движении всего блока сквозь плоскость.

Однако в отношении этих квадратов по отдельности должны использоваться разные названия, определяемые их отношениями в блоке.

Таким образом, на рис. 93, когда куб впервые опирается на плоскость, нулевой куб находится в контакте своей розовой гранью; по мере того как блок проходит сквозь, мы получаем охристое сечение нулевого куба, но это лучше назвать желтым сечением, так как оно сделано плоскостью, перпендикулярной желтой линии. Когда нулевой куб прошел сквозь плоскость, по мере того как он покидает ее, мы снова получаем розовую грань.

Fig. 94.

The cube swung round yellow line, with red line running from left
to right, and white line running down.

Та же серия изменений происходит с появлениями кубов, которые следуют за появлениями нулевого куба. В этом движении желтый куб следует за нулевым кубом, и квадрат, отмеченный желтым в 2 на плоскости, будет сначала «желто-розовой гранью», затем «желто-желтым сечением», затем «желто-розовой гранью».

На рис. 94, на котором куб повернут вокруг желтой линии, у нас есть определенная трудность, ибо плоское существо обнаружит, что положение, в котором должны быть размещены его квадраты, будет лежать ниже того, которое они занимали сначала. Они придут туда, где была опора, на которую он поставил свой первый набор квадратов. Он преодолеет эту трудность, переместив свою опору.

Затем, поскольку кубы приходят на его плоскость светло-желтой гранью, у него будет, взяв нулевой куб, как и раньше, для примера: нулевой, светло-желтая грань; нулевой, красное сечение, потому что сечение перпендикулярно красной линии; и, наконец, когда нулевой куб покидает плоскость, нулевой, светло-желтая грань. Затем, в этом случае красный следует за нулевым, у него будет та же серия видов красного, что была у него для нулевого куба.

Fig. 95.

Есть еще один набор соображений, о которых мы кратко упомянем.

Предположим, есть полый куб, и струна натянута через него от нуля до нуля, r, y, wh, как мы можем назвать дальнюю диагональную точку, как эта струна покажется плоскому существу, когда куб движется поперек его плоскости?

Давайте представим куб как некоторое количество сечений, скажем 5, соответствующих 4 равным делениям, сделанным вдоль белой линии, перпендикулярной ему.

Мы нумеруем эти сечения 0, 1, 2, 3, 4, соответствующие расстояниям вдоль белой линии, на которых они взяты, и представляем, что каждое сечение входит последовательно, занимая место предыдущего.

Эти сечения кажутся плоскому существу, считая с первого, точно совпадающими каждое с предыдущим. Но сечение струны занимает в каждом из них другое место, чем в предыдущем сечении. Сечение струны появляется в положении, отмеченном точками. Следовательно, наклон струны кажется движением в каркасе, отмеченном сторонами куба. Если мы предположим, что движение куба не осознается, то струна кажется плоскому существу движущейся точкой. Следовательно, протяженность в неизвестном измерении кажется длительностью. Протяженность, наклоненная в неизвестном направлении, кажется непрерывным движением.

ГЛАВА XII. ПРОСТЕЙШЕЕ ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ ТЕЛО

Плоское существо, обучаясь воспринимать твердое существование, должно прежде всего осознать, что у него полностью отсутствует чувство направления. То, что мы называем «право» и «лево», не существует в его восприятии. Он должен предположить движение в направлении и различие положительного и отрицательного в этом направлении, которому нет реальности, соответствующей в движениях, которые он может совершать. Это направление, это новое измерение, он может сделать ощутимым для себя только путем привлечения времени и предположения, что изменения, которые происходят во времени, обусловлены объектами определенной конфигурации в трех измерениях, проходящими поперек его плоскости, и различные сечения этого воспринимаются как изменения одной и той же плоской фигуры.

Он должен также приобрести отчетливое понятие о своем плоском мире, он больше не должен верить, что это все пространство, но что пространство простирается по обе стороны от него. Чтобы, следовательно, предотвратить его уход в этом неизвестном направлении, он должен предположить лист, протяженный твердый лист, в двух измерениях, против которого, в контакте с которым, происходят все его движения.

Когда мы приходим к мысли о четырехмерном твердом теле, каковы соответствующие предположения, которые мы должны сделать?

Мы должны предположить чувство, которого у нас нет, чувство направления, отсутствующее у нас, нечто такое, что есть у существа в четырехмерном мире, и чего нет у нас. Это чувство, соответствующее новому пространственному направлению, направлению, которое простирается положительно и отрицательно от каждой точки нашего пространства и которое уходит прямо от любого пространственного направления, которое мы знаем. Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен не только двум линиям в ней, но и каждой линии, и поэтому мы должны представлять это четвертое измерение как идущее перпендикулярно каждой и любой линии, которую мы можем провести в нашем пространстве.

И как плоское существо должно было предположить нечто, что предотвращало его уход в третье, неизвестное для него измерение, так и мы должны предположить нечто, что предотвращает наш уход в направлении, неизвестном нам. Это нечто, поскольку мы должны быть в контакте с ним в каждом из наших движений, не должно быть плоской поверхностью, но твердым телом; это должно быть твердое тело, против которого в каждом из наших движений мы находимся, а не в нем. Оно должно предполагаться как простирающееся в каждом пространственном измерении, которое мы знаем; но мы не в нем, мы против него, мы рядом с ним, в четвертом измерении.

То есть, как плоское существо представляет себя имеющим очень малую толщину в третьем измерении, о которой он не знает в своем чувственном опыте, так и мы должны представлять себя имеющими очень малую толщину в четвертом измерении и, будучи таким образом четырехмерными существами, быть предотвращенными от осознания того, что мы являемся такими существами, ограничением, которое держит нас всегда в контакте с огромным твердым листом, который простирается во всех направлениях. Мы против этого листа, так что, если бы мы имели силу четырехмерного движения, мы либо ушли бы от него, либо прошли бы сквозь него; все наши пространственные движения, как мы их знаем, таковы, что, выполняя их, мы остаемся в контакте с этим твердым листом.

Теперь рассмотрим, как плоское существо объяснило бы самому себе вопрос об ограничении квадрата и куба.

Оно сказало бы, что квадрат A на рис. 96 полностью ограничен четырьмя квадратами: A дальним, A ближним, A верхним и A нижним, или, как они обозначены, An, Af, Aa, Ab.

Fig. 96.

Если теперь оно представит, что квадрат A движется в неизвестном для него измерении, он опишет куб, а ограничивающие его квадраты образуют кубы. Будут ли они полностью окружать куб, порожденный A? Нет; останутся две грани куба, созданного A, которые не будут покрыты: первая — та грань, которая совпадает с квадратом A в его начальном положении, и вторая — та, которая совпадает с квадратом A в его конечном положении. К этим двум граням необходимо приставить кубы, чтобы полностью ограничить куб A. Их можно назвать левым и правым кубами, или Al и Ar. Таким образом, каждый из ограничивающих квадратов квадрата A становится кубом, и требуются еще два куба, чтобы ограничить куб, образованный движением A в третьем измерении.

Fig. 97.

Плоское существо не могло бы видеть квадрат A с расположенными вокруг него квадратами An, Af и т. д., поскольку они полностью скрывают его от взора; точно так же и мы, в аналогичном случае в нашем трехмерном мире, не можем видеть куб A, окруженный шестью другими кубами. Эти кубы мы назовем: A ближний (An), A дальний (Af), A верхний (Aa), A нижний (Ab), A левый (Al), A правый (Ar), как показано на рис. 97. Если теперь куб A движется в четвертом измерении прямо за пределы пространства, он описывает высший куб — тессеракт, как его можно назвать. Каждый из шести окружающих кубов, совершая то же движение, также образует тессеракт, и они сгруппируются вокруг тессеракта, сформированного A. Но будут ли они полностью ограничивать его?

Все кубы An, Af и т. д. лежат в нашем пространстве. Но между кубом A и тем твердым слоем, с которым соприкасается каждая частица материи, ничего нет. Когда куб A движется в четвертом направлении, он начинает движение из своего положения, скажем, Ak, и заканчивает в конечном положении An (используя слова «ана» и «ката» для обозначения «вверх» и «вниз» в четвертом измерении). Теперь движение в этом четвертом измерении не ограничено ни одним из кубов An, Af, ни тем, что они образуют при таком движении. Тессеракт, в который превращается A, ограничен в положительном и отрицательном направлениях этого нового измерения первым и последним положениями A. Или, если мы спросим, сколько тессерактов лежит вокруг тессеракта, который образует A, то их восемь, из которых один соприкасается с ним по кубу A, а другой — по кубу, подобному A, в конце его движения.

Мы подходим здесь к очень любопытному моменту. Весь твердый куб A следует рассматривать лишь как границу тессеракта.

И все же это в точности аналогично тому, к чему пришло бы плоское существо в своем изучении твердого мира. Квадрат A (рис. 96), который плоское существо рассматривает как твердое тело в своем плоском мире, является лишь границей куба, который, как оно предполагает, порожден его движением.

Дело в том, что мы должны признать: если существует другое измерение пространства, то наше нынешнее представление о твердом теле как о чем-то, имеющем только три измерения, не соответствует ничему реальному, а является абстрактной идеей трехмерной границы, ограничивающей четырехмерное тело, которое сформировало бы четырехмерное существо. Мысль плоского существа о квадрате — это не мысль о том, что мы назвали бы возможно существующим реальным квадратом, а мысль об абстрактной границе, грани куба.

Давайте теперь возьмем наши восемь цветных кубов, которые образуют куб в пространстве, и спросим, какие дополнения мы должны сделать к ним, чтобы представить простейшую совокупность четырехмерных тел — а именно, группу из них, одинаково протяженную в каждом направлении. В плоском пространстве у нас четыре квадрата. В твердом пространстве у нас восемь кубов. Следовательно, мы должны ожидать, что в четырехмерном пространстве будет шестнадцать четырехмерных тел — тел, которые в четырехмерном пространстве соответствуют кубам в трехмерном пространстве, и эти тела мы называем тессерактами.

Fig. 98.

Итак, имея нулевой, белый, красный, желтый кубы и те, что составляют блок, мы замечаем, что прекрасно представляем протяженность в трех направлениях (рис. 98). От нулевой точки нулевого куба, пропутешествовав один дюйм, мы приходим к белому кубу; пропутешествовав один дюйм в сторону, мы приходим к желтому кубу; пропутешествовав один дюйм вверх, мы приходим к красному кубу. Теперь, если существует четвертое измерение, то, пропутешествовав от той же нулевой точки один дюйм в этом направлении, мы должны прийти к телу, лежащему за пределами нулевой области.

Я говорю «нулевая область», а не «куб», ибо с введением четвертого измерения каждый из наших кубов должен стать чем-то отличным от кубов. Если они должны существовать в четвертом измерении, они должны быть «заполнены из» этого четвертого измерения.

Теперь мы предположим, что, подобно тому как мы получаем перенос от нуля к белому, двигаясь в одном направлении, и от нуля к желтому, двигаясь в другом, так, двигаясь от нуля в четвертом направлении, мы имеем перенос от нуля к синему, используя таким образом цвета белый, желтый, красный, синий для обозначения переносов в каждом из четырех направлений — вправо, в сторону, вверх, неизвестное или четвертое измерение.

Fig. 99.

A plane being’s representation of a block
of eight cubes by two sets of four squares.

Следовательно, как плоское существо должно представлять твердые области, к которым оно пришло бы, двигаясь вправо, как четыре квадрата, лежащие в некотором произвольно выбранном положении на его плоскости, бок о бок с его исходными четырьмя квадратами, так и мы должны представлять те восемь четырехмерных областей, к которым мы пришли бы, двигаясь в четвертом измерении от каждого из наших восьми кубов, восемью кубами, помещенными в некоторое произвольное положение относительно наших первых восьми кубов.

Fig. 100.

Наше представление блока из шестнадцати тессерактов двумя блоками из восьми кубов. [3]

[3] Восемь кубов, использованных здесь в пункте 2, можно найти во втором из модельных блоков. Их можно вынуть и использовать.

Следовательно, из двух наборов по восемь кубов каждый послужит нам представлением одного из шестнадцати тессерактов, которые образуют один единый блок в четырехмерном пространстве. Каждый куб, в том виде, в каком он у нас есть, — это, так сказать, поднос, на котором покоится реальная четырехмерная фигура, подобно тому как каждый из квадратов, имеющихся у плоского существа, — это поднос, на котором мог бы покоиться куб, который он представляет.

Если мы предположим, что кубы имеют размер один дюйм в каждую сторону, то исходные восемь кубов дадут восемь тессерактов тех же цветов, или кубы, каждый из которых простирается на один дюйм в четвертом измерении.

Но после них, продолжая движение в четвертом измерении, идут восемь других тел, восемь других тессерактов. Они должны быть там, если мы предположим, что четырехмерное тело, которое мы составляем, имеет два деления, по одному дюйму в каждом из четырех направлений.

Цвет, который мы выбираем для обозначения переноса в эту вторую область в четвертом измерении, — синий. Таким образом, начиная с нулевого куба и двигаясь в четвертом измерении, мы сначала проходим через один дюйм нулевого тессеракта, затем приходим к синему кубу, который является началом синего тессеракта. Этот синий тессеракт простирается еще на один дюйм дальше в четвертом измерении.

Таким образом, за пределами каждого из восьми тессерактов, которые имеют тот же цвет, что и кубы, являющиеся их основаниями, лежат восемь тессерактов, цвета которых получены из цветов первых восьми путем добавления синего. Таким образом —

Null
gives
blue

Yellow
”
green

Red
”
purple

Orange
”
brown

White
”
light blue

Pink
”
light purple

Light yellow
”
light green

Ochre
”
light brown

Добавление синего к желтому дает зеленый — это естественное предположение. Также естественно предположить, что синий, добавленный к красному, дает пурпурный. Оранжевый и синий могут дать коричневый при использовании определенных оттенков и пропорций. А охра и синий могут дать светло-коричневый.

Но цветовая схема используется лишь для получения определенного и реализуемого набора названий и различий, видимых глазу. Их естественность очевидна любому, кто привык пользоваться цветами, и ее можно считать оправданной, поскольку единственная цель — разработать набор названий, которые легко запомнить и которые дадут нам набор цветов, с помощью которых диаграммы можно сделать легкими для понимания. Никакой научной классификации цветов не предпринималось.

Начиная, таким образом, с этих шестнадцати названий цветов, мы имеем каталог шестнадцати тессерактов, которые образуют четырехмерный блок, аналогичный кубическому блоку. Но куб, который мы можем поместить в пространство и рассмотреть, не является одним из составляющих тессерактов; это лишь начало, твердая грань, сторона, аспект тессеракта.

Теперь мы перейдем к выводу названия для каждой области, точки, ребра, плоской грани, твердого тела и грани тессеракта.

Система будет ясна, если мы посмотрим на представление тессеракта на плоскости с тремя и с четырьмя делениями в его стороне.

Тессеракт, состоящий из трех тессерактов в каждую сторону, соответствует кубу, состоящему из трех кубов в каждую сторону, и даст нам полную номенклатуру.

На этой диаграмме, рис. 101, 1 представляет куб из 27 кубов, каждый из которых является началом тессеракта. Эти кубы представлены просто их нижними квадратами, твердое содержание должно подразумеваться. 2 представляет 27 кубов, которые являются началами 27 тессерактов, отстоящих на один дюйм в четвертом измерении. Эти тессеракты представлены как блок кубов, поставленный бок о бок с первым блоком, но в своих надлежащих положениях они не могли бы находиться в пространстве вместе с первым набором. 3 представляет 27 кубов (образующих больший куб), которые являются началами тессерактов, начинающихся в двух дюймах в четвертом направлении от нашего пространства и продолжающихся еще на один дюйм.

Fig. 101.

1
2
3

Each cube is the
beginning of the first
tesseract going in the
fourth dimension.

Each cube is the
beginning of the
second tesseract.

Each cube is the
beginning of the
third tesseract.

Fig. 102.[4]

1
2
3
4

A cube of 64 cubes
each 1. in × 1 in., the beginning of a tesseract.

A cube of 64 cubes,
each 1 in. × 1 in. × 1 in. the beginning
of tesseracts 1 in. from our space
in the 4th dimension.

A cube of 64 cubes,
each 1 in. × 1 in. × 1 in. the beginning
of tesseracts 2 in. from our space
in the 4th dimension.

A cube of 64 cubes,
each 1 in. × 1 in. × 1 in. the beginning
of tesseracts 3 in. from our space
in the 4th dimension.

[4] Цветная таблица, рис. 1, 2, 3, показывает эти отношения более наглядно.

На рис. 102 мы имеем представление блока из 4 × 4 × 4 × 4, или 256 тессерактов. Они даны в четырех последовательных сечениях, каждое из которых, как предполагается, взято на расстоянии одного дюйма друг от друга в четвертом измерении, и таким образом дают четыре блока кубов, по 64 в каждом блоке. Здесь мы видим, сравнивая это с фигурой из 81 тессеракта, что количество различных областей показывает иную тенденцию роста. При взятии пяти блоков по пять делений в каждую сторону это стало бы еще более ясным.

Мы видим на рис. 102, что, начиная с точки в любом углу, области белого цвета простираются только по линии. То же самое верно для желтого, красного и синего. Что касается последнего, следует заметить, что линия синих состоит не из областей, соседствующих друг с другом на чертеже, а из частей, которые входят в разные кубы. Части, которые лежат рядом друг с другом в четвертом измерении, всегда должны быть представлены так, когда мы имеем трехмерное представление. Опять же, те области, такие как розовая, продолжают увеличиваться в двух измерениях. Относительно розовой области это видно, не выходя за пределы самого куба: розовые области увеличиваются в длину и высоту, но ни в каком другом измерении. При исследовании этих областей достаточно взять одну в качестве образца.

Пурпурная увеличивается таким же образом, ибо она входит в последовательность снизу вверх в блоке 2 и в последовательность от блока к блоку в 2 и 3. Теперь последовательность снизу вверх представляет непрерывное расширение вверх, а последовательность от блока к блоку представляет непрерывное расширение в четвертом измерении. Таким образом, пурпурные области увеличиваются в двух измерениях — вверх и в четвертом, поэтому, когда мы берем очень много делений и позволяем каждому стать очень малым, пурпурная область образует двухмерное расширение.

Таким же образом, глядя на области, отмеченные l. b. или светло-синим, которые начинаются ближе всего к углу, мы видим, что занимающие их тессеракты увеличиваются в длину слева направо, образуя линию, и что существует столько же линий светло-синих тессерактов, сколько существует сечений между первым и последним сечением. Следовательно, светло-синие тессеракты увеличиваются в количестве двумя способами — вправо и влево, и в четвертом измерении. В конечном итоге они образуют то, что мы можем назвать плоской поверхностью.

Теперь все те области, которые содержат смесь двух простых цветов — белого, желтого, красного, синего, — увеличиваются двумя способами. С другой стороны, те, которые содержат смесь трех цветов, увеличиваются тремя способами. Возьмем, к примеру, охристую область; она имеет три цвета: белый, желтый, красный; и в самом кубе она увеличивается тремя способами.

Теперь рассмотрим оранжевую область; если мы добавим к этому синий, мы получим коричневый. Область коричневых тессерактов простирается двумя способами слева от второго блока, № 2 на рисунке. Она также простирается слева направо в последовательности от одного сечения к другому, от сечения 2 к сечению 3 на нашем рисунке.

Следовательно, коричневые тессеракты увеличиваются в количестве в трех измерениях: вверх, туда-сюда, в четвертом измерении. Таким образом, они образуют кубическую, трехмерную область; эта область простирается вверх и вниз, близко и далеко, и в четвертом направлении, но тонка в направлении слева направо. Это куб, который, когда полный тессеракт представлен в нашем пространстве, выглядит как серия граней на последовательных кубических сечениях тессеракта. Сравните рис. 103, на котором средний блок, 2, стоит как представляющий большое количество промежуточных сечений между 1 и 3.

Подобным образом из розовой области путем добавления синего мы получаем светло-пурпурную область, которая, как можно видеть, увеличивается тремя способами по мере того, как количество делений становится больше. Три способа, которыми эта область тессерактов расширяется, — это вверх и вниз, вправо и влево, четвертое измерение. В конечном итоге, следовательно, она образует кубическую массу очень малых тессерактов, и когда тессеракт дан в пространственных сечениях, он появляется на гранях, содержащих измерения вверх, вправо и влево.

Таким образом, мы получаем в общей сложности в качестве трехмерных областей: охристую, коричневую, светло-пурпурную, светло-зеленую.

Наконец, существует область, которая соответствует смеси всех цветов; такая область только одна. Это та, которая возникает из охристой путем добавления синего — этот цвет мы называем светло-коричневым.

Глядя на светло-коричневую область, мы видим, что она увеличивается четырьмя способами. Следовательно, тессеракты, из которых она состоит, увеличиваются в количестве в каждом из четырех измерений, и форма, которую они образуют, не остается тонкой ни в одном из четырех измерений. Следовательно, эта область становится самим твердым содержанием блока тессерактов; это реальное четырехмерное твердое тело. Все остальные области тогда являются границами этой светло-коричневой области. Если мы предположим, что процесс увеличения количества тессерактов и уменьшения их размера продолжается бесконечно, то светло-коричневые тессеракты становятся всей внутренней массой, трехцветные тессеракты становятся трехмерными границами, тонкими в одном измерении, и образуют охристую, коричневую, светло-пурпурную, светло-зеленую. Двухцветные тессеракты становятся двухмерными границами, тонкими в двух измерениях, например, розовую, зеленую, пурпурную, оранжевую, светло-синюю, светло-желтую. Одноцветные тессеракты становятся ограничивающими линиями, тонкими в трех измерениях, а нулевые точки становятся ограничивающими углами, тонкими в четырех измерениях. От этих тонких реальных границ мы можем перейти в мысли к абстракциям — точкам, линиям, граням, твердым телам, — ограничивающим четырехмерное твердое тело, которое в данном случае является светло-коричневым, и при этом предположении светло-коричневая область является единственной реальной, единственной, которая не является абстракцией.

Следует заметить, что, принимая квадрат за представление куба на плоскости, мы представляем только одну грань или сечение между двумя гранями. Квадраты, нарисованные плоским существом, — это не сами кубы, а представляют грани или сечения куба. Таким образом, на диаграмме плоского существа куб из двадцати семи кубов «нуль» представляет куб, но на самом деле, в нормальном положении, является оранжевым квадратом нулевого куба и может быть назван «нуль, оранжевый квадрат».

Плоское существо избавило бы себя от путаницы, если бы называло свои репрезентативные квадраты не просто используя названия кубов, а добавляя к названиям кубов слово, показывающее, какой частью куба является его репрезентативный квадрат.

Таким образом, куб «нуль», стоящий против его плоскости, касается ее нулевой оранжевой гранью; проходя через его плоскость, он имеет в плоскости квадрат в качестве следа, который является «нулевым белым сечением», если мы используем фразу «белое сечение» для обозначения сечения, проведенного перпендикулярно белой линии. Таким же образом кубы, которые мы берем в качестве репрезентативных для тессеракта, — это не сам тессеракт, а определенные грани или сечения его. В предыдущих фигурах мы должны были бы сказать тогда не «нуль», а «нулевой тессеракт, охристый куб», потому что куб, который мы фактически имеем, — это тот, который определяется тремя осями: белой, красной, желтой.

Существует другой способ, которым мы можем рассматривать цветовую номенклатуру границ тессеракта.

Рассмотрим нулевую точку, движущуюся и описывающую белую линию длиной в один дюйм, заканчивающуюся в нулевой точке, см. рис. 103 или цветную таблицу.

Затем рассмотрим эту белую линию с ее конечными точками, саму движущуюся во втором измерении; каждая из точек описывает линию, сама линия описывает площадь и дает также две линии — свое начальное и конечное положение.

Таким образом, если мы назовем «областью» любой элемент фигуры, такой как точка, линия и т. д., каждая «область» при движении описывает новый вид области, «высшую область», и дает две области своего собственного вида — начальное и конечное положение. «Высшая область» означает область, содержащую еще одно измерение.

Теперь квадрат может двигаться и порождать куб. Светло-желтый квадрат движется и описывает массу куба. Позволив добавлению красного обозначать область, созданную движением в направлении вверх, мы получаем охристое твердое тело. Светло-желтая грань в своем начальном и конечном положениях дает две квадратные границы куба — сверху и снизу. Затем каждая из четырех линий светло-желтого квадрата — белая, желтая и белая, желтая, противоположные им — описывает ограничивающий квадрат. Таким образом, всего существует шесть ограничивающих квадратов, четыре из этих квадратов обозначены цветом путем добавления красного к цвету порождающих линий. Наконец, каждая точка, движущаяся в направлении вверх, дает начало линии, окрашенной в «нуль + красный», или красный, и тогда существуют начальное и конечное положения точек, дающие восемь точек. Количество линий, очевидно, двенадцать, ибо четыре линии этого светло-желтого квадрата дают четыре линии в своем начальном и четыре линии в своем конечном положении, в то время как четыре точки описывают четыре линии, то есть всего двенадцать линий.

Теперь квадраты являются каждый отдельными границами куба, в то время как линии принадлежат каждая двум квадратам; таким образом, красная линия — это та, которая является общей для оранжевого и розового квадратов.

Теперь предположим, что существует направление, четвертое измерение, которое перпендикулярно каждому из уже использованных пространственных измерений — измерение, перпендикулярное, например, «вверх» и «вправо», так что розовый квадрат, движущийся в этом направлении, описывает куб.

Более того, измерение, перпендикулярное направлениям «вверх» и «в сторону», так что оранжевый квадрат, движущийся в этом направлении, также описывает куб, и светло-желтый квадрат, движущийся в этом направлении, тоже описывает куб. При этом предположении весь куб, движущийся в неизвестном измерении, описывает нечто новое — новый вид объема, высший объем. Этот высший объем является четырехмерным объемом, и мы обозначаем его цветом путем добавления синего к цвету того, что, двигаясь, порождает его.

Он порождается движением охристого твердого тела, и поэтому он имеет цвет, который мы называем светло-коричневым (белый, желтый, красный, синий, смешанные вместе). Он представлен рядом сечений, подобных 2 на рис. 103.

Теперь это светло-коричневое высшее твердое тело имеет в качестве границ: во-первых, охристый куб в своем начальном положении, во-вторых, тот же куб в своем конечном положении, 1 и 3, рис. 103. Каждая из граней, ограничивающих куб, более того, при движении в этом новом направлении описывает куб, поэтому мы имеем от передних розовых граней куба, в-третьих, розово-синий или светло-пурпурный куб, показанный как светло-пурпурная грань на кубе 2 на рис. 103, этот куб обозначает любое количество промежуточных сечений; в-четвертых, аналогичный куб от противоположной розовой грани; в-пятых, куб, описанный оранжевой гранью — он окрашен в коричневый цвет и представлен коричневой гранью сечения куба на рис. 103; в-шестых, соответствующий коричневый куб с правой стороны; в-седьмых, куб, начинающийся от светло-желтого квадрата внизу; неизвестное измерение перпендикулярно и этому тоже. Этот куб окрашен в светло-желтый и синий или светло-зеленый; и, наконец, восьмой, соответствующий куб от верхней светло-желтой грани, показанный как светло-зеленый квадрат в верхней части сечения куба.

Таким образом, тессеракт имеет восемь кубических границ. Они полностью ограничивают его, так что он был бы невидимым для четырехмерного существа. Теперь, что касается других границ, подобно тому как куб имеет квадраты, линии, точки в качестве границ, так и тессеракт имеет кубы, квадраты, линии, точки в качестве границ.

Количество квадратов находится следующим образом: вокруг куба есть шесть квадратов, они дадут шесть квадратов в своих начальных и шесть в своих конечных положениях. Затем каждая из двенадцати линий куба описывает квадрат при движении в четвертом измерении. Следовательно, всего будет 12 + 12 = 24 квадрата.

Если мы посмотрим на любой из этих квадратов, мы увидим, что это поверхность встречи двух кубических сторон. Таким образом, красная линия своим движением в четвертом измерении описывает пурпурный квадрат — он является общим для двух кубов, один из которых описан розовым квадратом, движущимся в четвертом измерении, а другой описан оранжевым квадратом, движущимся в том же направлении. Чтобы взять другой квадрат, светло-желтый, он является общим для охристого куба и светло-зеленого куба. Охристый куб получается из светло-желтого квадрата путем перемещения его в направлении вверх, светло-зеленый куб создается из светло-желтого квадрата путем перемещения его в четвертом измерении. Количество линий — тридцать две, ибо двенадцать линий куба дают двенадцать линий тессеракта в своем начальном положении и двенадцать в своем конечном положении, составляя двадцать четыре, в то время как каждая из восьми точек описывает линию, таким образом формируя всего тридцать две линии.

Линии являются каждая общей для трех кубов или для трех квадратных граней; возьмем, к примеру, красную линию. Она общая для оранжевой грани, розовой грани и той грани, которая образована перемещением красной линии в шестом измерении, а именно пурпурной грани. Она также общая для охристого куба, бледно-пурпурного куба и коричневого куба.

Точки являются общими для шести квадратных граней и для четырех кубов; таким образом, нулевая точка, с которой мы начинаем, общая для трех квадратных граней — розовой, светло-желтой, оранжевой, и для трех квадратных граней, созданных перемещением трех линий — белой, желтой, красной — в четвертом измерении, а именно светло-синей, светло-зеленой, пурпурной граней — то есть всего для шести граней. Четыре куба, которые встречаются в ней, — это охристый куб, светло-пурпурный куб, коричневый куб и светло-зеленый куб.

Fig. 103.

Тессеракт, красная, белая, желтая оси в пространстве. На нижней линии показаны три задние грани, внутренняя часть удалена.]

Fig. 104.

The tesseract, red, yellow, blue axes in space,
the blue axis running to the left,
opposite faces are coloured identically.

Полный вид тессеракта в его различных пространственных представлениях дан на следующих рисунках или в каталоге кубов, рис. 103-106. Первый куб на каждом рисунке представляет вид тессеракта, окрашенного, как описано, когда он начинает проходить поперечно нашему пространству. Промежуточная фигура представляет сечение, когда он частично прошел, а финальная фигура представляет дальний конец, когда он только выходит. Эти фигуры будут подробно объяснены в следующей главе.

Fig. 105.

The tesseract, with red, white, blue axes in space. Opposite faces are coloured identically.

Fig. 106.

The tesseract, with blue, white, yellow axes in space. The blue axis runs downward
from the base of the ochre cube as it stands originally. Opposite faces are coloured
identically.

Таким образом, мы получили номенклатуру для каждой из областей тессеракта; мы можем говорить о любой из восьми ограничивающих кубов, двадцати квадратных гранях, тридцати двух линиях, шестнадцати точках.

ГЛАВА XIII ЗАМЕЧАНИЯ К РИСУНКАМ

Изучение вышеприведенных рисунков даст ответ на многие вопросы о тессеракте. Если у нас есть тессеракт размером один дюйм в каждую сторону, то он может быть представлен как куб — куб, имеющий белую, желтую, красную оси, и от этого куба как начала — объем, простирающийся в четвертое измерение. Теперь предположим, что тессеракт проходит поперечно нашему пространству, куб красной, желтой, белой осей исчезает сразу, он бесконечно тонок в четвертом измерении. Его место занимают те части тессеракта, которые лежат дальше от нашего пространства в четвертом измерении. Каждое из этих сечений будет длиться только один момент, но все они вместе займут некоторое заметное время при прохождении. Если мы возьмем скорость один дюйм в минуту, сечения будут проходить через наше пространство всю минуту, они займут всю минуту, за исключением момента, который начальный куб и конечный куб занимают при пересечении нашего пространства. В каждом из кубов, сечениях кубов, мы можем провести линии во всех направлениях, кроме направления, занятого синей линией, четвертым измерением; линии в этом направлении представлены переходом от одного сечения куба к другому. Таким образом, чтобы дать себе адекватное представление о тессеракте, мы должны иметь безграничное количество сечений кубов, промежуточных между первым ограничивающим кубом, охристым кубом, и последним ограничивающим кубом, другим охристым кубом. Практически три промежуточных сечения куба будут признаны достаточными для большинства целей. Мы возьмем тогда серию из пяти фигур — два терминальных куба и три промежуточных сечения — и покажем, как различные области появляются в нашем пространстве, когда мы берем каждый набор из трех из четырех осей тессеракта как лежащие в нашем пространстве.

На рис. 107 используются начальные буквы для цветов. Ссылка на рис. 103 покажет полную номенклатуру, которая здесь лишь обозначена.

Fig. 107.

На этом рисунке тессеракт показан на пяти стадиях, удаленных от нашего пространства: первая — ноль; вторая — 1/4 дюйма; третья — 2/4 дюйма; четвертая — 3/4 дюйма; пятая — 1 дюйм; которые называются b0, b1, b2, b3, b4, потому что они являются сечениями, взятыми на расстояниях 0, 1, 2, 3, 4 четверти дюйма вдоль синей линии. Все области могут быть названы от первого куба, куба b0, как и раньше, просто помня, что перенос вдоль оси b дает добавление синего к цвету области в охристом, кубе b0. В конечном кубе b4 окраска исходного куба b0 повторяется. Таким образом, красная линия, перемещенная вдоль синей оси, дает красный и синий или пурпурный квадрат. Этот пурпурный квадрат появляется как три пурпурные линии в сечениях b1, b2, b3, взятых на 1/4, 2/4, 3/4 дюйма в четвертом измерении. Если тессеракт движется поперечно нашему пространству, мы имеем тогда в этой конкретной области, во-первых, красную линию, которая длится мгновение, во-вторых, пурпурную линию, которая занимает ее место. Эта пурпурная линия длится минуту — то есть всю минуту, за исключением момента, занятого пересечением нашего пространства начальной и конечной красной линией. После того как пурпурная линия просуществовала этот период, ее сменяет красная линия, которая длится мгновение; затем она исчезает, и тессеракт прошел через наше пространство. Финальную красную линию мы называем «красная bl.», потому что она отделена от начальной красной линии расстоянием вдоль оси, для которой мы используем цвет синий. Таким образом, линия, которая длится, представляет длительность площади; в этом способе представления эквивалентна измерению пространства. Таким же образом белая линия во время пересечения нашего пространства тессерактом сменяется светло-синей линией, которая длится внутри минуты, и когда тессеракт покидает наше пространство, пересекши его, белая bl. линия появляется как финальное завершение.

Возьмем теперь розовую грань. Перемещенная в синем направлении, она описывает светло-пурпурный куб. Этот светло-пурпурный куб показан в сечениях в b1, b2, b3, а дальняя грань этого куба в синем направлении показана в b4 — розовая грань, называемая «розовая b», потому что она удалена от розовой грани, с которой мы начали, в синем направлении. Таким образом, куб, который мы окрашиваем в светло-пурпурный цвет, появляется как длящийся квадрат. Сама квадратная грань, розовая грань, исчезает мгновенно, как только тессеракт начинает двигаться, но светло-пурпурный куб появляется как длящийся квадрат. Здесь также длительность является эквивалентом измерения пространства — длящийся квадрат есть куб. Полезно связать эти диаграммы с видами, данными в цветной таблице.

Возьмем снова оранжевую грань, ту, что определена красной и желтой осями; от нее идет коричневый куб в синем направлении, ибо красный, желтый и синий, как предполагается, составляют коричневый. Этот коричневый куб показан в трех сечениях на гранях b1, b2, b3. В b4 находится противоположная оранжевая грань коричневого куба, грань, называемая «оранжевая b», ибо она удалена в синем направлении от оранжевой грани. Когда тессеракт проходит поперечно нашему пространству, мы имеем тогда в этой области мгновенно исчезающий оранжевый квадрат, за которым следует длящийся коричневый квадрат, и, наконец, оранжевая грань, которая исчезает мгновенно.

Теперь, поскольку любые три оси будут в нашем пространстве, давайте отправим белую ось в неизвестное, четвертое измерение, и возьмем синюю ось в наше известное пространственное измерение. Поскольку белая и синяя оси перпендикулярны друг другу, если белая ось уходит в четвертое измерение в положительном смысле, синяя ось придет в направление, которое занимала белая ось, в отрицательном смысле.

Fig. 108.

Следовательно, чтобы не усложнять дело необходимостью думать о двух смыслах в неизвестном направлении, давайте отправим белую линию в положительный смысл четвертого измерения, а синюю возьмем как идущую в отрицательном смысле того направления, которое покинула белая линия; пусть синяя линия, то есть, идет влево. Теперь у нас есть ряд фигур на рис. 108. Пунктирный куб показывает, где у нас был куб, когда белая линия шла в нашем пространстве — теперь он повернулся из нашего пространства, и другая твердая граница, другая кубическая грань тессеракта входит в наше пространство. Этот куб имеет красную и желтую оси, как и раньше; но теперь, вместо белой оси, идущей вправо, есть синяя ось, идущая влево. Здесь мы можем различать области по цветам совершенно систематическим образом. Красная линия описывает пурпурный квадрат при переносе вдоль синей оси, которым этот куб порождается из оранжевой грани. Этот пурпурный квадрат, созданный движением красной линии, — та же пурпурная грань, которую мы видели раньше как серию линий в сечениях b1, b2, b3. Здесь, поскольку обе оси — красная и синяя — находятся в нашем пространстве, нам не нужна длительность, чтобы представить площадь, которую они определяют. При движении тессеракта через пространство эта пурпурная грань мгновенно исчезла бы.

От оранжевой грани, которая является общей для начальных кубов на рис. 107 и рис. 108, идет в синем направлении куб, окрашенный в коричневый цвет. Этот коричневый куб теперь весь в нашем пространстве, потому что каждая из его трех осей идет в пространственных направлениях: вверх, в сторону, влево. Это тот же коричневый куб, который появлялся как последовательные грани на сечениях b1, b2, b3. Имея все свои три оси в нашем пространстве, он дан в протяженности; никакая его часть не нуждается в представлении как последовательность. Тессеракт теперь находится в новом положении по отношению к нашему пространству, и когда он движется через наше пространство, коричневый куб мгновенно исчезает.

Чтобы показать другие области тессеракта, мы должны помнить, что теперь белая линия идет в неизвестном измерении. Где мы поместим сечения на расстояниях вдоль линии? Любое произвольное положение в нашем пространстве подойдет: нет способа, которым мы могли бы представить их реальное положение.

Однако, поскольку коричневый куб отходит от оранжевой грани влево, давайте поместим эти последовательные сечения влево. Мы можем назвать их wh0, wh1, wh2, wh3, wh4, потому что они являются сечениями вдоль белой оси, которая теперь идет в неизвестном измерении.

Идя от пурпурного квадрата в белом направлении, мы находим светло-пурпурный куб. Он представлен в сечениях wh1, wh2, wh3, wh4, рис. 108. Это тот же куб, который представлен в сечениях b1, b2, b3: на рис. 107 красная и белая оси находятся в нашем пространстве, синяя — вне его; в другом случае красная и синяя находятся в нашем пространстве, белая — вне его. Очевидно, что грань pink y, противоположная розовой грани на рис. 107, создает куб, показанный квадратами в b1, b2, b3, b4, на противоположной стороне от l. пурпурных квадратов. Также светло-желтая грань в основании куба b0 создает светло-зеленый куб, показанный как серия базовых квадратов.

Тот же светло-зеленый куб можно найти на рис. 107. Базовый квадрат в wh0 — это зеленый квадрат, ибо он ограничен синей и желтой осями. От него идет куб в белом направлении, это тогда светло-зеленый куб и тот же самый, что был упомянут как существующий в сечениях b0, b1, b2, b3, b4.

Случай, однако, немного другой с коричневым кубом. Этот куб мы имеем целиком в пространстве в сечении wh0, рис. 108, в то время как он существует как серия квадратов, левосторонних, в сечениях b0, b1, b2, b3, b4. Коричневый куб существует как твердое тело в нашем пространстве, как показано на рис. 108. В способе представления тессеракта, показанном на рис. 107, тот же коричневый куб появляется как последовательность квадратов. То есть, когда тессеракт движется через пространство, коричневый куб был бы для нас фактически квадратом — он был бы лишь длящейся границей другого твердого тела. Он не имел бы никакой толщины вообще, только протяженность в двух измерениях, и его длительность показала бы его твердость в трех измерениях.

Очевидно, что если существует четырехмерное пространство, материя только в трех измерениях является лишь абстракцией; все материальные объекты должны тогда иметь небольшую четырехмерную толщину. В этом случае вышеприведенное утверждение претерпит модификацию. Материальный куб, который используется как модель границы тессеракта, будет иметь небольшую толщину в четвертом измерении, и когда куб представлен нам в другом аспекте, он не был бы просто поверхностью. Но наиболее удобно рассматривать кубы, которые мы используем, как не имеющие вообще никакой протяженности в четвертом измерении. Это соображение служит для того, чтобы выделить момент, упомянутый ранее, что если существует четвертое измерение, наша концепция твердого тела — это концепция лишь абстракции, и наши разговоры о реальных трехмерных объектах казались бы четырехмерному существу столь же неверными, как нам казались бы рассказы двухмерного существа о реальных квадратах, реальных треугольниках и т. д.

Рассмотрение двух видов коричневого куба показывает, что любое сечение куба может быть рассмотрено представлением куба в другом положении в четырехмерном пространстве. Коричневые грани в b1, b2, b3 — это те самые коричневые сечения, которые были бы получены разрезанием коричневого куба, wh0, поперек на правильных расстояниях вдоль синей линии, как показано на рис. 108. Но поскольку эти сечения помещены в коричневый куб, wh0, они идут друг за другом в синем направлении. Теперь, в сечениях wh1, wh2, wh3, мы смотрим на эти сечения из белого направления — синее направление не существует в этих фигурах. Поэтому мы видим их в направлении под прямым углом к тому, в котором они встречаются друг за другом в wh0. Существуют промежуточные виды, которые пришли бы при вращении тессеракта. Эти коричневые квадраты могут быть рассмотрены с направлений, промежуточных между белой и синей осями. Следует помнить, что четвертое измерение перпендикулярно одинаково всем трем пространственным осям. Следовательно, мы должны брать комбинации синей оси с каждыми двумя из наших трех осей: белой, красной, желтой — по очереди.

На рис. 109 мы берем красную, белую и синюю оси в пространстве, отправляя желтую в четвертое измерение. Если она идет в положительный смысл четвертого измерения, синяя линия придет в противоположном направлении к тому, в котором шла желтая линия раньше. Следовательно, куб, определенный белой, красной, синей осями, начнется от розовой плоскости и пойдет к нам. Пунктирный куб показывает, где был охристый куб. Когда он повернут из пространства, куб, идущий к нам от своей передней грани, — это тот, который входит в наше пространство при этом повороте. Поскольку желтая линия теперь идет в неизвестном измерении, мы называем сечения y0, y1, y2, y3, y4, так как они сделаны на расстояниях 0, 1, 2, 3, 4 четверти дюйма вдоль желтой линии. Мы предполагаем, что эти кубы расположены в линию, идущую к нам, — не то чтобы это было более естественно, чем любая другая произвольная серия положений, но это согласуется с планом, принятым ранее.

Fig. 109.

Внутренняя часть первого куба, y0, — это та, что получена из розовой путем добавления синего, или, как мы называем ее, светло-пурпурная. Грани куба — светло-синяя, пурпурная, розовая. Как нарисовано, мы можем видеть только грань, ближайшую к нам, которая не является той, от которой куб начинается, — но грань на противоположной стороне имеет то же цветовое название, что и грань к нам.

Последовательные сечения серии, y0, y1, y2 и т. д., могут рассматриваться как полученные из сечений куба b0, сделанных на расстояниях вдоль желтой оси. Что находится на расстоянии четверти дюйма от розовой грани в желтом направлении? На этот вопрос отвечают взятием сечения из точки на четверть дюйма вдоль желтой оси в кубе b0, рис. 107. Это охристое сечение с оранжевыми и светло-желтыми линиями. Это сечение, следовательно, займет место розовой грани в y1, когда мы пойдем дальше в желтом направлении. Таким образом, первое сечение, y1, начнется от охристой грани со светло-желтыми и оранжевыми линиями. Цвет оси, которая лежит в пространстве к нам, — синий, следовательно, области этого сечения-куба определены в номенклатуре, они будут найдены полностью на рис. 105.

Остается нарисовать только одну фигуру, и это та, в которой красная ось заменена синей. Здесь, как и раньше, если красная ось уходит в положительный смысл четвертого измерения, синяя линия должна прийти в наше пространство в отрицательном смысле направления, которое покинула красная линия. Соответственно, первый куб придет под положение нашего охристого куба, того, с которого мы имели привычку начинать.

Fig. 110.

Чтобы показать эти фигуры, мы должны предположить, что охристый куб находится на подвижной подставке. Когда красная линия выкачивается в неизвестное измерение, а синяя линия приходит вниз, куб появляется под местом, занятым охристым кубом. Пунктирный куб показывает, где был охристый куб. Этот куб ушел, и другой куб идет вниз от его основания. Этот куб имеет белую, желтую и синюю оси. Его верх — светло-желтый квадрат, и поэтому его внутренняя часть — светло-желтый + синий или светло-зеленый. Его передняя грань образована белой линией, движущейся вдоль синей оси, и поэтому она светло-синяя, левая сторона образована желтой линией, движущейся вдоль синей оси, и поэтому зеленая.

Поскольку красная линия теперь идет в четвертом измерении, последовательные сечения могут быть названы r0, r1, r2, r3, r4, эти буквы указывают, что на расстояниях 0, 1/4, 2/4, 3/4, 1 дюйм вдоль красной оси мы берем все от тессеракта, что может быть найдено в трехмерном пространстве, это трехмерное пространство не простирается вовсе в четвертом измерении, но вверх и вниз, вправо и влево, далеко и близко.

Мы можем видеть, что должно заменить светло-желтую грань r0, когда приходит сечение r1, посмотрев на куб b0, рис. 107. Что находится в нем на расстоянии одной четверти дюйма от светло-желтой грани в красном направлении? Это охристое сечение с оранжевыми и розовыми линиями и красными точками; см. также рис. 103.

Этот квадрат тогда формирует верхний квадрат r1. Теперь мы можем определить номенклатуру всех областей r1, рассматривая, что было бы сформировано движением этого квадрата вдоль синей оси.

Но мы можем принять другой план. Давайте возьмем горизонтальное сечение r0 и, найдя это сечение на фигурах рис. 107 или рис. 103, из них определим, что заменит его, идя дальше в красном направлении.

Сечение куба r0 имеет зеленые, светло-синие, зеленые, светло-синие стороны и синие точки.

Теперь этот квадрат встречается на основании каждой из фигур сечений, b1, b2 и т. д. В них мы видим, что в 1/4 дюйма в красном направлении от него лежит сечение с коричневыми и светло-пурпурными линиями и пурпурными углами, внутренняя часть — светло-коричневая. Следовательно, это номенклатура сечения, которое в r1 заменяет сечение r0, сделанное из точки вдоль синей оси.

Следовательно, окраска, как дана, может быть выведена.

Таким образом, мы получили идеально названную группу тессерактов. Мы можем взять группу из восьмидесяти одного из них, 3 × 3 × 3 × 3, в четырех измерениях, и каждый тессеракт будет иметь свое название: нуль, красный, белый, желтый, синий и т. д., и какой бы кубический вид мы ни взяли из них, мы можем точно сказать, с какими сторонами тессерактов мы имеем дело и как они касаются друг друга. [5]

[5] В этом месте читатель найдет выгодным, если у него есть модели, пройти через манипуляции, описанные в приложении.

Таким образом, например, если у нас есть шестнадцать тессерактов, показанных ниже, мы можем спросить, как «нуль» касается «синего».

Fig. 111.

В расположении, представленном на рис. 111, мы имеем оси: белую, красную, желтую в пространстве, а синяя проходит в четвертом измерении. Следовательно, в качестве оснований у нас выступают охристые кубы. Представьте теперь, что тессерактная группа проходит поперечно нашему пространству — прежде всего мы имеем нулевой охристый куб, белый охристый куб и т. д.; они мгновенно исчезают, и мы получаем сечение, показанное на среднем кубе на рис. 103, и, наконец, как раз когда тессерактный блок переместился на один дюйм поперечно нашему пространству, мы имеем нулевой охристый куб, а сразу после него появляется охристый куб синего цвета. Следовательно, тессерактный нуль соприкасается с тессерактным синим своим охристым кубом, который находится в контакте каждой своей точкой с охристым кубом синего цвета.

Как нуль соприкасается с белым, можем мы спросить? Глядя на начало A, рис. 111, где у нас расположены охристые кубы, мы видим, что нулевой охристый соприкасается с белым охристым оранжевой гранью. Теперь давайте создадим нулевой и белый тессеракты путем движения каждого из этих кубов в синем направлении. Каждый из них порождает соответствующий тессеракт, а плоскость контакта кубов порождает куб, посредством которого тессеракты находятся в контакте. Теперь оранжевая плоскость, перемещаемая вдоль синей оси, порождает коричневый куб. Следовательно, нуль соприкасается с белым посредством коричневого куба.

Fig. 112.

Если мы снова спросим, как красный соприкасается со светло-синим тессерактом, давайте перегруппируем нашу группу, рис. 112, или, вернее, повернем ее так, чтобы получить другой пространственный вид; пусть красная и белая оси идут вверх и вправо, а синяя ось входит в пространство по направлению к нам, тогда желтая ось проходит в четвертом измерении. У нас тогда есть два блока, в которых заданы ограничивающие кубы тессерактов, по-разному расположенные по отношению к нам — расположение на самом деле то же самое, но нам оно кажется иным. Начиная от плоскости красной и белой осей, мы имеем четыре квадрата нулевого, белого, красного, розового тессерактов, как показано в A, на красно-белой плоскости, без изменений, только теперь из них выходит к нам синяя ось. Следовательно, мы имеем нулевой, белый, красный, розовый тессеракты в контакте с нашим пространством своими кубами, которые содержат красно-бело-синюю ось, то есть светло-пурпурными кубами. Следуя за этими четырьмя тессерактами, мы имеем те, что идут следующими за ними в синем направлении, то есть четыре: синий, светло-синий, пурпурный, светло-пурпурный. Они также находятся в контакте с нашим пространством своими светло-пурпурными кубами, так что мы видим блок, как названо на рисунке, каждый куб которого определен красно-бело-синими осями.

Желтая линия теперь выходит из пространства; соответственно, на один дюйм дальше в четвертом измерении мы приходим к тессерактам, которые следуют за восемью названными в C, рис. 112, в желтом направлении.

Они показаны в C.y1, рис. 112. Между рисунком C и C.y1 находится та четырехмерная масса, которая образована перемещением каждого из кубов в C на один дюйм в четвертом измерении — то есть вдоль желтой оси; ибо желтая ось теперь проходит в четвертом измерении.

В блоке C мы наблюдаем, что красный (светло-пурпурный куб) соприкасается со светло-синим (светло-пурпурный куб) в точке. Теперь эти два куба, двигаясь вместе, остаются в контакте в течение периода, в который они вычерчивают тессеракты красный и светло-синий. Это движение происходит вдоль желтой оси, следовательно, красный и светло-синий соприкасаются по желтой линии.

Мы видели, что розовая грань, перемещенная в желтом направлении, вычерчивает куб; перемещенная в синем направлении, она также вычерчивает куб. Давайте спросим, что вычертит розовая грань, если ее переместить в направлении внутри тессеракта, лежащем поровну между желтым и синим направлениями. Какое сечение тессеракта она образует?

Мы сначала рассмотрим только красную линию. Давайте возьмем куб с красной линией в нем и желтой и синей осями.

Fig. 113.

Куб с желтой, красной, синей осями показан на рис. 113. Если красная линия перемещается поровну в желтом и в синем направлении четырьмя равными движениями по 1/4 дюйма каждое, она занимает положения 11, 22, 33 и заканчивается как красная линия.

Теперь весь этот красно-желто-синий или коричневый куб представляется как серия граней на последовательных сечениях тессеракта, начиная с охристого куба и позволяя синей оси проходить в четвертом измерении. Следовательно, плоскость, вычерченная красной линией, представляется как серия линий в последовательных сечениях, в нашем обычном способе представления тессеракта; эти линии находятся в разных местах в каждом последовательном сечении.

Fig. 114.

Таким образом, рисуя наш начальный куб и последовательные сечения, называя их b0, b1, b2, b3, b4, рис. 115, мы имеем красную линию, подверженную этому движению, появляющуюся в указанных положениях.

Теперь мы исследуем, какие положения в тессеракте принимает другая линия в розовой грани, когда она перемещается подобным образом.

Возьмем сечение исходного куба, содержащее вертикальную линию 4 в розовой плоскости, рис. 115. Мы имеем в сечении желтое направление, но не синее.

Из этого сечения в четвертое измерение уходит куб, который образован перемещением каждой точки сечения в синем направлении.

Fig. 115.

Fig. 116.

Рисуя этот куб, мы получаем рис. 116.

Теперь этот куб встречается как серия сечений в нашем первоначальном представлении тессеракта. Сделав четыре шага, как прежде, этот куб представляется как сечения, нарисованные в b0, b1, b2, b3, b4, рис. 117, и если линия 4 подвергается движению, равному в синем и желтом направлениях, она займет положения, обозначенные 4, 41, 42, 43, 44.

Fig. 117.

Следовательно, рассуждая подобным образом о каждой линии, очевидно, что, будучи перемещенной поровну в синем и желтом направлениях, розовая плоскость вычертит пространство, которое показано серией плоскостей сечения, представленных на диаграмме.

Таким образом, пространство, вычерченное розовой гранью, если она перемещается поровну в желтом и синем направлениях, представлено набором плоскостей, очерченных на рис. 118, розовая грань или 0, затем 1, 2, 3 и, наконец, розовая грань или 4. Это тело является диагональным телом тессеракта, идущим от розовой грани к розовой грани. Его длина — это длина диагонали квадрата, его сторона — квадрат.

Давайте теперь рассмотрим неограниченное пространство, которое возникает из расширенной розовой грани.

Это пространство, если оно уходит в желтом направлении, дает нам в нем охристый куб тессеракта. Таким образом, если у нас дана розовая грань и точка в охристом кубе, мы определили это конкретное пространство.

Аналогично, уходя от розовой грани в синем направлении, мы имеем другое пространство, которое дает нам в нем светло-пурпурный куб тессеракта. И если взять любую точку в светло-пурпурном кубе, это пространство, уходящее от розовой грани, фиксируется.

Fig. 118.

Пространство, о котором мы говорим, можно представить как вращающееся вокруг розовой грани, и в каждом из своих положений оно вырезает твердую фигуру из тессеракта, одну из которых мы видели представленной на рис. 118.

Каждая из этих твердых фигур задается одним положением вращающегося пространства, и только одним. Следовательно, в каждой из них, если взята одна точка, фиксируется конкретное из наклонных пространств. Таким образом, мы видим, что при заданных плоскости и точке вне ее пространство определено.

Теперь, две точки определяют линию.

Снова подумайте о линии и точке вне ее. Представьте плоскость, вращающуюся вокруг линии. В какой-то момент своего вращения она проходит через точку. Таким образом, линия и точка, или три точки, определяют плоскость. И, наконец, четыре точки определяют пространство. Мы видели, что плоскость и точка определяют пространство, а три точки определяют плоскость; так что четыре точки будут определять пространство.

Эти четыре точки могут быть любыми точками, и мы можем взять, например, четыре точки на концах красной, белой, желтой, синей осей в тессеракте. Они определят пространство, наклоненное по отношению к пространствам сечения, которые мы рассматривали ранее. Это пространство разрежет тессеракт на определенную фигуру.

Одно из простейших сечений куба плоскостью — это то, в котором плоскость проходит через концы трех ребер, сходящихся в одной точке. Мы сразу видим, что эта плоскость разрезала бы куб на треугольник, но мы пройдем через процесс, с помощью которого плоское существо наиболее удобно решило бы задачу определения этой формы, чтобы мы могли применить этот метод к определению фигуры, в которой пространство разрезает тессеракт, когда оно проходит через 4 точки на единичном расстоянии от угла.

Мы знаем, что две точки определяют линию, три точки определяют плоскость, и при заданных любых двух точках в плоскости линия между ними лежит целиком в плоскости.

Fig. 119.

Пусть теперь плоское существо изучит сечение, сделанное плоскостью, проходящей через точки nullr, nullwh и nully, рис. 119. Глядя на оранжевый квадрат, который, как обычно, мы предполагаем изначально находящимся в его плоскости, он видит, что линия от nullr к nully, которая является линией в плоскости сечения, а именно плоскости через три конца ребер, сходящихся в null, разрезает оранжевую грань по оранжевой линии с точками null. Это, таким образом, одна из границ фигуры сечения.

Пусть теперь куб будет повернут так, чтобы розовая грань оказалась в его плоскости. Точки nullr и nullwh теперь видны. Линия между ними розовая с точками null, и поскольку эта линия общая для поверхности куба и секущей плоскости, она является границей фигуры, в которой плоскость разрезает куб.

Снова предположим, что куб повернут так, что светло-желтая грань находится в контакте с плоскостью плоского существа. Он видит две точки, nullwh и nully. Линия между ними лежит в секущей плоскости. Следовательно, поскольку три секущие линии встречаются и заключают часть куба между собой, он определил фигуру, которую искал. Это треугольник с оранжевыми, розовыми и светло-желтыми сторонами, все равные, и заключающий охристую площадь.

Давайте теперь определим, в какой фигуре пространство, определенное четырьмя точками nullr, nully, nullwh, nullb, разрезает тессеракт. Мы можем видеть три из этих точек в первичном положении тессеракта, опирающегося на наш твердый лист охристым кубом. Эти три точки определяют плоскость, которая лежит в пространстве, которое мы рассматриваем, и эта плоскость разрезает охристый куб на треугольник, внутренность которого охристая (рис. 119 послужит для этого вида), с розовыми, светло-желтыми и оранжевыми сторонами и точками null. Идя в четвертом направлении, в одном смысле, от этой плоскости мы переходим в тессеракт, в другом смысле мы удаляемся от него. Вся площадь внутри треугольника общая для секущей плоскости, которую мы видим, и границы тессеракта. Следовательно, мы заключаем, что нарисованный треугольник общий для тессеракта и секущего пространства.

Fig. 120.

Теперь пусть охристый куб повернется наружу, а коричневый куб войдет. Пунктирные линии показывают положение, которое охристый куб покинул (рис. 120).

Здесь мы видим три из четырех точек, через которые проходит секущая плоскость: nullr, nully и nullb. Плоскость, которую они определяют, лежит в секущем пространстве, и эта плоскость вырезает из коричневого куба треугольник с оранжевыми, пурпурными и зелеными сторонами и точками null. Оранжевая линия этой фигуры та же самая, что и оранжевая линия на последнем рисунке.

Теперь пусть светло-пурпурный куб повернется в наше пространство, по направлению к нам, рис. 121.

Fig. 121.

Секущее пространство, которое проходит через четыре точки nullr, y, wh, b, проходит через nullr, wh, b, и поэтому плоскость, которую они определяют, лежит в секущем пространстве.

Этот треугольник лежит перед нами. Он имеет светло-пурпурную внутренность и розовые, светло-синие и пурпурные ребра с точками null.

Это, поскольку это все от плоскости, что является общим для нее, и это ограничение тессеракта, дает нам одну из ограничивающих граней нашей фигуры сечения. Розовая линия в нем та же самая, что и розовая линия, которую мы нашли на первом рисунке — охристого куба.

Наконец, пусть тессеракт повернется вокруг светло-желтой плоскости, так что светло-зеленый куб войдет в наше пространство. Он будет указывать вниз.

Fig. 122.

Три точки, n.y, n.wh, n.b, находятся в секущем пространстве, и треугольник, который они определяют, является общим для тессеракта и секущего пространства. Следовательно, эта граница — треугольник, имеющий светло-желтую линию, которая та же самая, что и светло-желтая линия первого рисунка, светло-синюю линию и зеленую линию.

Мы теперь проследили секущее пространство между каждым набором из трех, который можно составить из четырех точек, в которых оно разрезает тессеракт, и получили четыре грани, которые все соединяются друг с другом линиями.

Fig. 123.

Треугольники показаны на рис. 123, как они соединяются с треугольником в охристом кубе. Но они соединяются каждый с другим в точно такой же манере; их ребра все идентичны попарно. Они образуют замкнутую фигуру, тетраэдр, заключающий светло-коричневую часть, которая является частью секущего пространства, лежащей внутри тессеракта.

Мы не можем ожидать увидеть эту светло-коричневую часть, не более, чем плоское существо могло бы ожидать увидеть внутренность куба, если бы его угол был просунут через его плоскость. Все, что он может сделать, — это наткнуться на его границы иным способом, чем тот, которым он сделал бы это, если бы он прошел прямо через его плоскость.

Таким образом, в этом твердом сечении вся внутренность лежит совершенно открытой в четвертом измерении. Как бы мы ни обходили его, мы просто смотрим на границы тессеракта, который проникает через наш твердый лист. Если бы тессеракт не прошел так далеко, треугольник был бы меньше; если бы он прошел дальше, мы имели бы другую фигуру, очертания которой можно определить подобным образом.

Предыдущий метод открыт для возражения, что он зависит скорее от нашего вывода о том, что должно быть, чем от нашего видения того, что есть. Давайте поэтому рассмотрим наше пространство сечения как состоящее из ряда плоскостей, каждая очень близка к предыдущей, и понаблюдаем, что можно найти в каждой плоскости.

Fig. 124.

Соответствующий метод в случае двух измерений следующий: плоское существо может видеть ту линию секущей плоскости через nully, nullwh, nullr, которая лежит в оранжевой плоскости. Пусть он теперь предположит, что куб и секущая плоскость проходят наполовину через его плоскость. Заменяя красную и желтую оси, идут линии, параллельные им, сечения розовой и светло-желтой граней.

Где секущая плоскость разрежет эти параллели к красной и желтой осям?

Пусть он предположит, что куб в положении рисунка, рис. 124, повернут так, что розовая грань лежит против его плоскости. Он может видеть линию от точки nullr до точки nullwh и может видеть (сравните рис. 119), что она разрезает AB, параллель к его красной оси, проведенную в точке на полпути вдоль белой линии, в точке B, на полпути вверх. Я буду говорить об оси как имеющей длину ребра куба. Аналогично, позволяя кубу повернуться так, чтобы светло-желтый квадрат качнулся против его плоскости, он может видеть (сравните рис. 119), что параллель к его желтой оси, проведенная из точки на полпути вдоль белой оси, разрезается на половине своей длины следом секущей плоскости в светло-желтой грани.

Следовательно, когда куб прошел наполовину, он имел бы — вместо оранжевой линии с точками null, которую он имел сначала, — охристую линию половинной длины с розовыми и светло-желтыми точками. Таким образом, по мере того как куб медленно проходил через его плоскость, он имел бы последовательность линий, постепенно уменьшающихся в длине и образующих равносторонний треугольник. Вся внутренность была бы охристой, линия, с которой он начал, была бы оранжевой. Последовательность точек на концах последующих линий образовала бы розовые и светло-желтые линии, и конечной точкой была бы null. Таким образом, глядя на последовательные линии в секущей плоскости, по мере того как она и куб проходили через его плоскость, он определил бы фигуру, вырезанную по частям.

Переходя теперь к сечению тессеракта, давайте представим, что тессеракт и его секущее пространство медленно проходят через наше пространство; мы можем исследовать его части и их отношение к частям секущего пространства. Возьмем пространство сечения, которое проходит через четыре точки nullr, wh, y, b; мы можем видеть в охристом кубе (рис. 119) плоскость, принадлежащую этому пространству сечения, которая проходит через три конца красной, белой, желтой осей.

Теперь пусть тессеракт пройдет наполовину через наше пространство. Вместо наших исходных осей мы имеем параллели к ним, пурпурную, светло-синюю и зеленую, каждая той же длины, что и первые оси, ибо сечение тессеракта точно такой же формы, как его охристый куб.

Но пространство сечения, видимое на этой стадии переноса, не разрезало бы сечение тессеракта в плоскости, расположенной так, как сначала.

Чтобы увидеть, где пространство сечения разрезало бы эти параллели к исходным осям, пусть тессеракт качнется так, что, оранжевая грань оставаясь неподвижной, синяя линия входит влево.

Fig. 125.

Здесь (рис. 125) мы имеем точки nullr, y, b, и из пространства сечения все, что мы видим, — это плоскость через эти три точки в нем.

На этом рисунке мы можем провести параллели к красной и желтой осям и увидеть, что, если бы они начинались в точке на полпути вдоль синей оси, каждая из них была бы разрезана в точке так, чтобы быть половиной их предыдущей длины.

Качая тессеракт в наше пространство вокруг розовой грани охристого куба, мы аналогично находим, что параллель к белой оси разрезается на половине своей длины пространством сечения.

Fig. 126.

Следовательно, в сечении, сделанном, когда тессеракт прошел наполовину через наше пространство, параллели к красной, белой, желтой осям, которые теперь в нашем пространстве, разрезаются пространством сечения, каждая из них на полпути, и для этой стадии проходящего движения мы имели бы рис. 126. Сечение, сделанное этого куба плоскостью, в которой пространство сечения разрезает его, есть равносторонний треугольник с пурпурными, светло-синими, зелеными точками и светло-пурпурными, коричневыми, светло-зелеными линиями.

Таким образом, исходный охристый треугольник с точками null и розовыми, оранжевыми, светло-желтыми линиями сменился бы треугольником, окрашенным описанным только что образом.

Этот треугольник изначально был бы лишь очень немного меньше исходного треугольника, он постепенно уменьшался бы, пока не закончился бы в точке, точке null. Каждое из его ребер было бы той же длины. Таким образом, последовательные сечения последовательных плоскостей, на которые мы анализируем секущее пространство, были бы тетраэдром описанного вида (рис. 123), и вся внутренность тетраэдра была бы светло-коричневой.

Front view. The rear faces.

Fig. 127.

На рис. 127 тетраэдр представлен посредством своих граней как два треугольника, которые встречаются в p. линии, и два задних треугольника, которые соединяются с ними, причем диагональ розовой грани предполагается идущей вертикально вверх.

Мы теперь достигли естественного завершения. Читатель может изучить предмет в дальнейших деталях, но не найдет существенной новизны. Я заключаю указанием на то, каким образом фигуры, данные ранее, могут быть использованы при определении сечений методом, развитым выше.

Применяя этот метод к тессеракту, как представлено в главе IX, можно нарисовать сечения, сделанные пространством, разрезающим оси равноудаленно на любом расстоянии, а также сечения тессерактов, расположенных в блоке.

Если мы нарисуем плоскость, разрезающую все четыре оси в точке на расстоянии шести единиц от null, мы имеем наклонное пространство. Это пространство разрезает красную, белую, желтую оси в точках LMN (рис. 128), и так в области нашего пространства, прежде чем мы уйдем в четвертое измерение, мы имеем плоскость, представленную LMN расширенной. Это то, что является общим для наклонного пространства и нашего пространства.

Fig. 128.

Эта плоскость разрезает охристый куб на треугольник EFG.

Сравнивая это с (рис. 72) oh, мы видим, что шестиугольник, нарисованный там, является частью треугольника EFG.

Давайте теперь представим, что тессеракт и наклонное пространство вместе проходят поперечно нашему пространству на расстояние одной единицы, мы имеем в 1h сечение тессеракта, оси которого параллельны предыдущим осям. Наклонное пространство разрезает их на расстоянии пяти единиц вдоль каждой. Рисуя плоскость через эти точки в 1h, будет обнаружено, что она разрезает кубическое сечение тессеракта по нарисованной шестиугольной фигуре. В 2h (рис. 72) наклонное пространство разрезает параллели к осям на расстоянии четырех вдоль каждой, и шестиугольная фигура — это сечение этого сечения тессеракта им. Наконец, когда входит 3h, наклонное пространство разрезает оси на расстоянии трех вдоль каждой, и сечение — треугольник, из которого нарисованный шестиугольник является усеченной частью. После этого тессеракт, который простирается только на три единицы в каждом из четырех измерений, полностью прошел поперечно нашему пространству, и больше его нечего разрезать. Следовательно, складывая плоские сечения в правильных отношениях, мы имеем сечение, определенное конкретным наклонным пространством: а именно октаэдр.

ГЛАВА XIV. [6] РЕКАПИТУЛЯЦИЯ И РАСШИРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО АРГУМЕНТА

[6] Содержание этой главы взято из доклада, прочитанного перед Философским обществом Вашингтона. Математическая часть доклада частично появилась в Трудах Королевской ирландской академии под названием «Формулы ортогонального преобразования Кэли», 29 ноября 1903 г.

Существует два направления исследования, в которых можно вести поиск физической реальности четвертого измерения. Одно — это исследование бесконечно великого, другое — исследование бесконечно малого.

Путем измерения углов огромных треугольников, сторонами которых являются расстояния между звездами, астрономы пытались определить, есть ли какое-либо отклонение от значений, данных геометрическим выводом. Если углы небесного треугольника в сумме не равны двум прямым углам, это было бы доказательством физической реальности четвертого измерения.

Этот вывод заслуживает слова объяснения. Если пространство действительно четырехмерное, следуют определенные выводы, которые должны быть ясно представлены, если мы хотим четко сформулировать вопросы, которые мы задаем Природе. Чтобы объяснить наше ограничение, давайте предположим твердый материальный лист, против которого мы движемся. Этот лист должен простираться вдоль каждого объекта во всех направлениях, в которых он видимо движется. Каждое материальное тело должно скользить или перемещаться вдоль этого листа, не отклоняясь от контакта с ним в любом движении, которое мы можем наблюдать.

Необходимость этого предположения ясно видна, если мы рассмотрим аналогичный случай предполагаемого плоского мира. Если бы существовали какие-либо существа, чей опыт был ограничен плоскостью, мы должны были бы объяснить их ограничение. Если бы они были свободны двигаться в каждом пространственном направлении, они имели бы трехмерное движение; следовательно, они должны быть физически ограничены, и единственный способ, которым мы можем представить существование такого ограничения, — это посредством материальной поверхности, против которой они скользят. Существование этой поверхности могло быть известно им только косвенно. Она не лежит ни в каком направлении от них, в которое ведет их виды движения, о которых они знают. Если бы она была идеально гладкой и всегда в контакте с каждым материальным объектом, не было бы никакой разницы в их отношениях к ней, которая направила бы их внимание на нее.

Но если бы эта поверхность была искривлена — если бы она была, скажем, в форме огромной сферы — треугольники, которые они рисовали, были бы на самом деле треугольниками сферы, и когда эти треугольники достаточно велики, углы отклоняются от величин, которые они имели бы для тех же длин сторон, если бы поверхность была плоской. Следовательно, путем измерения треугольников очень большой величины плоское существо могло бы обнаружить отличие от законов плоского мира в своем физическом мире и таким образом прийти к заключению, что в реальности существовало другое измерение пространства — третье измерение — наряду с двумя, с которыми его обычный опыт делал его знакомым.

Теперь, астрономы сочли стоящим рассмотреть измерения огромных треугольников, проведенных от одного небесного тела к другому, с целью определить, есть ли что-то вроде кривизны в нашем пространстве — то есть, они пытались астрономическими измерениями выяснить, искривлен ли огромный твердый лист, против которого, при допущении четвертого измерения, все скользит, или нет. Эти результаты были отрицательными. Твердый лист, если он существует, не искривлен или, будучи искривленным, не имеет достаточной кривизны, чтобы вызвать какое-либо наблюдаемое отклонение от теоретического значения вычисленных углов.

Следовательно, исследование бесконечно великого не приводит к решающему критерию. Если бы это было так, мы должны были бы выбирать между настоящей теорией и теорией метагеометрии.

Переходя теперь к продолжению исследования в направлении бесконечно малого, мы должны поставить вопрос так: наши законы движения получены из исследования тел, которые движутся в трехмерном пространстве. Все наши концепции основаны на предположении пространства, которое представляется аналитически тремя независимыми осями и вариациями вдоль них — то есть, это пространство, в котором есть три независимых движения. Любое движение, возможное в нем, может быть составлено из этих трех движений, которые мы можем назвать: вверх, вправо, прочь.

Чтобы исследовать действия очень малых частей материи с целью установления, есть ли какое-либо свидетельство в явлениях для предположения четвертого измерения пространства, мы должны начать с ясного определения того, какими были бы законы механики при допущении четвертого измерения. Бесполезно спрашивать, похожи ли явления мельчайших частиц материи на — мы не знаем что. Мы должны иметь определенную концепцию того, какими были бы законы движения при допущении четвертого измерения, а затем спросить, напоминают ли явления активности меньших частиц материи концепции, которые мы разработали.

Теперь, задача формирования этих концепций отнюдь не та, которую можно легко отбросить. Движение в пространстве имеет много особенностей, которые полностью отличаются от движения на плоскости; и когда мы приступаем к формированию концепции движения в четырех измерениях, мы обнаруживаем, что это по меньшей мере такой же шаг, как от плоскости к трехмерному пространству.

Я не говорю, что шаг труден, но я хочу указать, что он должен быть сделан. Когда мы сформировали концепцию четырехмерного движения, мы можем задать рациональный вопрос Природе. Прежде чем мы разработали наши концепции, мы спрашиваем, похоже ли неизвестное на неизвестное — тщетное исследование.

На самом деле, четырехмерные движения во всех отношениях просты и легче для вычисления, чем трехмерные движения, ибо четырехмерные движения — это просто два набора плоских движений, сложенных вместе.

Без формирования опыта четырехмерных тел, их форм и движений, предмет может быть лишь формальным — логически убедительным, а не интуитивно очевидным. Именно к этому логическому постижению я должен апеллировать.

Совершенно просто сформировать эмпирическое знакомство с фактами четырехмерного движения. Метод аналогичен тому, который плоское существо должно было бы принять, чтобы сформировать эмпирическое знакомство с трехмерными движениями, и может быть кратко суммирован как формирование составного чувства, посредством которого длительность рассматривается как эквивалентная протяженности.

Рассмотрим существо, ограниченное плоскостью. Квадрат, заключенный четырьмя линиями, будет для него телом, внутренность которого можно исследовать, только прорвавшись сквозь линии. Если бы такой квадрат прошел поперечно его плоскости, он немедленно исчез бы. Он исчез бы, не уходя ни в каком направлении, на которое он мог бы указать.

Если теперь куб поместить в контакт с его плоскостью, его поверхность контакта выглядела бы как квадрат, который мы только что упомянули. Но если бы он прошел поперечно его плоскости, прорвавшись сквозь нее, он выглядел бы как длительный квадрат. Трехмерная материя даст длительное появление в обстоятельствах, при которых двухмерная материя сразу исчезнет.

Аналогично, четырехмерный куб, или, как мы можем его назвать, тессеракт, который генерируется из куба движением каждой части куба в четвертом направлении под прямым углом к каждому из трех видимых направлений в кубе, если бы он двигался поперечно нашему пространству, выглядел бы как длительный куб.

Куб трехмерной материи, поскольку он не простирается ни на какое расстояние в четвертом измерении, мгновенно исчез бы, если бы подвергся движению поперечно нашему пространству. Он исчез бы и был бы потерян, без возможности указать на какое-либо направление, в котором он двигался.

Все попытки визуализировать четвертое измерение тщетны. Оно должно быть связано с опытом времени в трех пространствах.

Самым трудным понятием для плоского существа было бы понятие вращения вокруг линии. Рассмотрим плоское существо, стоящее перед квадратом. Если бы ему сказали, что вращение вокруг линии возможно, он двигал бы свой квадрат туда и сюда. Квадрат в плоскости может вращаться вокруг точки, но вращаться вокруг линии показалось бы плоскому существу совершенно невозможным. Как могли бы те части его квадрата, которые были на одной стороне ребра, перейти на другую сторону без движения ребра? Он мог бы понять их отражение в ребре. Он мог бы сформировать идею зеркального изображения своего квадрата, лежащего на противоположной стороне линии ребра, но никаким движением, которое он знает, он не может заставить реальный квадрат принять это положение. Результат вращения был бы похож на отражение в ребре, но было бы физически невозможно произвести его в плоскости.

Демонстрация вращения вокруг линии должна быть для него чисто формальной. Если бы он постиг понятие куба, растягивающегося в неизвестном направлении прочь от его плоскости, тогда он может видеть основание его, свой квадрат в плоскости, вращающийся вокруг точки. Он может аналогично постичь, что каждое параллельное сечение, взятое через последовательные интервалы в неизвестном направлении, вращается подобным образом вокруг точки. Таким образом, он пришел бы к заключению, что все тело вращается вокруг линии — линии, состоящей из последовательности точек, вокруг которых вращаются плоские сечения. Таким образом, при заданных трех осях x, y, z, если x вращается, чтобы занять место y, а y поворачивается так, чтобы указывать на отрицательный x, тогда третья ось, остающаяся незатронутой этим поворотом, является осью, вокруг которой происходит вращение. Это, таким образом, должно было бы быть его критерием оси вращения — той, которая остается неизменной, когда происходит вращение каждого плоского сечения тела.

Есть другой способ, которым плоское существо может думать о трехмерных движениях; и, поскольку он дает тип, посредством которого мы можем наиболее удобно думать о четырехмерных движениях, не будет потерей времени рассмотреть его в деталях.

Fig. 1 (129).

Мы можем представить плоское существо и его объект фигурами, вырезанными из бумаги, которые скользят по гладкой поверхности. Толщину этих тел нужно принять настолько ничтожной, что их протяженность в третьем измерении ускользает от наблюдения плоского существа, и он думает о них, как если бы они были математическими плоскими фигурами в плоскости, вместо того чтобы быть материальными телами, способными двигаться по плоской поверхности. Пусть Ax, Ay будут двумя осями, а ABCD — квадратом. Что касается движений в плоскости, квадрат может вращаться вокруг точки A, например. Он не может вращаться вокруг стороны, такой как AC.

Но если плоское существо осознает существование третьего измерения, он может изучить движения, возможные в обширном пространстве, беря свою фигуру часть за частью.

Его плоскость может содержать только две оси. Но, поскольку она может содержать две, он способен представить поворот в третье измерение, если он пренебрежет одной из своих осей и представит третью ось как лежащую в его плоскости. Он может сделать рисунок в своей плоскости того, что стоит перпендикулярно от его плоскости. Пусть Az будет осью, которая стоит перпендикулярно его плоскости в A. Он может нарисовать в своей плоскости две линии, чтобы представить две оси, Ax и Az. Пусть рис. 2 будет этим рисунком. Здесь ось z заняла место оси y, и плоскость AxAz представлена в его плоскости. На этом рисунке всем, что существует от квадрата ABCD, будет линия AB.

Fig. 2 (130).

Квадрат простирается от этой линии в направлении y, но больше этого направления представлено на рис. 2. Плоское существо может изучить поворот линии AB на этой диаграмме. Это просто случай плоского поворота вокруг точки A. Линия AB занимает промежуточные положения, такие как AB1, и после половины оборота будет лежать на Ax, продолженной через A.

Теперь, таким же образом, плоское существо может взять другую точку, A', и другую линию, A'B', в своем квадрате. Он может сделать рисунок двух направлений в A', одно вдоль A'B', другое перпендикулярно его плоскости. Он получит фигуру, точно похожую на рис. 2, и увидит, что, как AB может поворачиваться вокруг A, так A'C' вокруг A.

В этом повороте AB и A'B' не мешали бы друг другу, как они мешали бы, если бы они двигались в плоскости вокруг отдельных точек A и A'.

Следовательно, плоское существо заключило бы, что вращение вокруг линии возможно. Он мог бы видеть свой квадрат, когда он начал совершать этот поворот. Он мог бы видеть его на полпути, когда он пришел лежать на противоположной стороне линии AC. Но в промежуточных частях он не мог бы видеть его, ибо он уходит из плоскости.

Переходя теперь к вопросу о четырехмерном теле, давайте представим его как серию кубических сечений, первое в нашем пространстве, остальные через интервалы, простирающиеся прочь от нашего пространства в неизвестном направлении.

Мы не должны думать о четырехмерном теле как сформированном перемещением трехмерного тела в любом направлении, которое мы можем видеть.

Обратитесь на момент к рис. 3. Точка A, двигаясь вправо, вычерчивает линию AC. Линия AC, двигаясь прочь в новом направлении, вычерчивает квадрат ACEG в основании куба. Квадрат AEGC, двигаясь в новом направлении, вычертит куб ACEGBDHF. Вертикальное направление этого последнего движения не идентично никакому движению, возможному в плоскости основания куба. Это совершенно новое направление, под прямым углом к каждой линии, которую можно провести в основании. Чтобы вычертить тессеракт, куб должен двигаться в новом направлении — направлении под прямым углом к любой и каждой линии, которую можно провести в пространстве куба.

Кубические сечения тессеракта относятся к кубу, который мы видим, как квадратные сечения куба относятся к квадрату его основания, который видит плоское существо.

Давайте представим куб в нашем пространстве, который является основанием тессеракта, поворачивающимся вокруг одного из своих ребер. Вращение увлечет за собой все тело, и каждое из кубических сечений будет вращаться. Ось, которую мы видим в нашем пространстве, останется неизменной, и аналогично серия осей, параллельных ей, вокруг которых вращается каждое из параллельных кубических сечений. Совокупность всех их — плоскость.

Следовательно, в четырех измерениях тело вращается вокруг плоскости. Не существует такой вещи, как вращение вокруг оси.

Мы можем рассматривать вращение с другой точки зрения. Рассмотрим четыре независимые оси, каждая под прямым углом ко всем остальным, проведенные в четырехмерном теле. Из этих четырех осей мы можем видеть любые три. Четвертая простирается нормально к нашему пространству.

Вращение — это поворот одной оси во вторую, а вторая поворачивается, чтобы занять место отрицательного первой. Оно включает две оси. Таким образом, в этом вращении четырехмерного тела две оси меняются, а две остаются в покое. Четырехмерное вращение — это, следовательно, поворот вокруг плоскости.

Как в случае плоского существа результат вращения вокруг линии выглядел бы как создание зеркального изображения исходного объекта на другой стороне линии, так и для нас результат четырехмерного вращения выглядел бы как создание зеркального изображения тела на другой стороне плоскости. Плоскость была бы осью вращения, а путь тела между его двумя появлениями был бы невообразим в трехмерном пространстве.

Fig. 3 (131).

Давайте теперь применим метод, которым плоское существо могло бы исследовать природу вращения вокруг линии, в нашем исследовании вращения вокруг плоскости. Рис. 3 представляет куб в нашем пространстве, три оси x, y, z обозначают его три измерения. Пусть w представляет четвертое измерение. Теперь, поскольку в нашем пространстве мы можем представить любые три измерения, мы можем, если захотим, сделать представление того, что находится в пространстве, определенном тремя осями x, z, w. Это трехмерное пространство, определенное двумя осями, которые мы нарисовали, x и z, и вместо y четвертой осью, w. Мы не можем, сохраняя x и z, иметь и y, и w в нашем пространстве; поэтому мы позволим y уйти и нарисуем w на его месте. Каким будет наш вид куба?

Fig. 4 (132).

Очевидно, у нас будет просто квадрат, который находится в плоскости xz, квадрат ACDB. Остальная часть куба простирается в направлении y, и, поскольку у нас нет пространства, так определенного, у нас есть только грань куба. Это представлено на рис. 4.

Теперь предположим, что весь куб поворачивается из направления x в направление w. Сообразно с нашим методом, мы не будем принимать во внимание весь куб сразу, а начнем с грани ABCD.

Fig. 5 (133).

Пусть эта грань начнет поворачиваться. Рис. 5 представляет одно из положений, которое она займет; линия AB остается на оси z. Остальная часть грани простирается между направлением x и w.

Теперь, поскольку мы можем взять любые три оси, давайте посмотрим на то, что лежит в пространстве zyw, и исследуем поворот там. Мы должны теперь позволить оси z исчезнуть и позволить оси w проходить в направлении, в котором шла z.

Fig. 6 (134).

Делая это представление, что мы видим от куба? Очевидно, мы видим только нижнюю грань. Остальная часть куба лежит в пространстве xyz. В пространстве xyz у нас просто основание куба, лежащее в плоскости xy, как показано на рис. 6.

Теперь пусть произойдет поворот x в w. Квадрат ACEG повернется вокруг линии AE. Это ребро останется вдоль оси y и будет неподвижным, как бы далеко ни поворачивался квадрат.

Fig. 7 (135).

Таким образом, если куб поворачивается поворотом x в w, оба ребра AB и AC остаются неподвижными; следовательно, вся грань ABEF в плоскости yz остается фиксированной. Поворот произошел вокруг грани ABEF.

Предположим, что этот поворот продолжается, пока AC не пойдет влево от A. Куб займет положение, показанное на рис. 8. Это зеркальное изображение куба на рис. 3. Никаким вращением в трехмерном пространстве куб нельзя привести из положения на рис. 3 к тому, что показано на рис. 8.

Fig. 8 (136).

Мы можем думать об этом повороте как о повороте грани ABCD вокруг AB и повороте каждого сечения, параллельного ABCD, вокруг вертикальной линии, в которой оно пересекает грань ABEF, причем пространство, в котором происходит поворот, является другим, нежели то, в котором лежит куб.

Одним из условий, таким образом, нашего исследования в направлении бесконечно малого является то, что мы формируем концепцию вращения вокруг плоскости. Создание тела в состоянии, в котором оно представляет появление зеркального изображения своего прежнего состояния, является критерием для четырехмерного вращения.

Существует некоторое свидетельство возникновения таких трансформаций тел в изменении тел от тех, которые производят правостороннюю поляризацию света, к тем, которые производят левостороннюю поляризацию; но это не тот пункт, которому можно придать очень большое значение.

Тем не менее, в этой связи позвольте мне процитировать замечание из обращения проф. Джона Г. Маккендрика по физиологии перед Британской ассоциацией в Глазго. Обсуждая возможность наследственного производства характеристик через материальную структуру яйцеклетки, он оценивает, что в ней существует 12 000 000 000 биофоров, или предельных частиц живой материи, достаточное число, чтобы объяснить наследственную передачу, и замечает: «Таким образом, мыслимо, что жизненные активности могут также определяться видом движения, которое происходит в молекулах того, о чем мы говорим как о живой материи. Оно может быть иным по виду, чем некоторые из движений, известных физикам, и мыслимо, что жизнь может быть передачей мертвой материи, молекулы которой уже имеют особый вид движения, формы движения sui generis».

В мире органических существ симметричные структуры — те, что обладают право-левой симметрией, — встречаются повсеместно. Если допустить существование четырех измерений, то простейший поворот дает зеркальную форму, а путем складывания можно получить структуры, дублированные справа и слева, точно так же, как это происходит с симметрией на плоскости.

Таким образом, одну весьма общую характеристику форм организмов можно объяснить предположением, что в жизненном процессе задействовано четырехмерное движение.

Но соответствуют ли четырехмерные движения в других отношениях требованию физиологов к особому виду движения, я не знаю. Наша задача — рассмотреть доказательства их существования в физике. Для этой цели необходимо исследовать значение вращения вокруг плоскости в случае растяжимой и жидкой материи.

Остановимся еще немного на вращении твердого тела. Глядя на куб на рис. 3, который вращается вокруг грани ABFE, мы видим, что любая линия на этой грани может занять место вертикальных и горизонтальных линий, которые мы рассматривали. Возьмем диагональную линию AF и сечение через нее до GH. Те части материи, которые в этом сечении на рис. 3 находились по одну сторону от AF, на рис. 8 находятся по другую сторону от нее. Они совершили оборот вокруг линии AF. Таким образом, вращение вокруг грани можно рассматривать как ряд вращений сечений вокруг параллельных линий, лежащих на ней.

Вращение вокруг двух различных линий в трехмерном пространстве невозможно. Возьмем другую иллюстрацию: предположим, что A и B — две параллельные линии в плоскости xy, и пусть CD и EF — два стержня, пересекающие их. Теперь, в пространстве xyz, если стержни вращаются вокруг линий A и B в одном и том же направлении, они опишут два независимых круга.

Fig. 9 (137).

Когда конец F будет опускаться, конец C будет подниматься. Они встретятся и столкнутся.

Но если мы будем вращать стержни вокруг плоскости AB посредством вращения z в w, эти движения не будут конфликтовать. Предположим, что вся фигура удалена, за исключением плоскости xz, и из этой плоскости проведем ось w, так что мы будем смотреть на пространство xzw.

Здесь, на рис. 10, мы не видим линий A и B. Мы видим точки G и H, в которых A и B пересекают ось x, но мы не видим сами линии, так как они проходят в направлении y, а оно отсутствует на нашем чертеже.

Теперь, если стержни движутся с вращением z в w, они будут поворачиваться в параллельных плоскостях, сохраняя свое относительное положение. Точка D, например, опишет круг. В одно время она будет над линией A, в другое — под ней. Следовательно, она вращается вокруг A.

Fig. 10 (138).

Не только два стержня, но и любое количество стержней, пересекающих плоскость, будут гармонично двигаться вокруг нее. Мы можем представить себе это вращение, предположив, что стержни, стоящие вдоль одной линии, движутся вокруг этой линии, и помня, что этому вращению не противоречит то, что стержни, стоящие вдоль другой линии, также движутся вокруг нее, при этом относительное положение всех стержней сохраняется. Теперь, если стержни плотно прижаты друг к другу, они могут представлять собой диск материи, и мы видим, что диск материи может вращаться вокруг центральной плоскости.

Вращение вокруг плоскости в точности аналогично вращению вокруг оси в трех измерениях. Если мы хотим, чтобы стержень вращался, его концы должны быть свободны; так и если мы хотим, чтобы диск материи вращался вокруг своей центральной плоскости посредством четырехмерного поворота, весь контур должен быть свободен. Весь контур соответствует концам стержня. Каждую точку контура можно рассматривать как конец оси в теле, вокруг каждой точки которой происходит вращение материи в диске.

Если один конец стержня зажат, мы можем скрутить стержень, но не повернуть его; так и если какая-либо часть контура диска зажата, мы можем придать диску кручение, но не повернуть его вокруг центральной плоскости. В случае растяжимых материалов длинный тонкий стержень будет скручиваться вокруг своей оси, даже если ось изогнута, как, например, в случае кольца из индийской резины.

Аналогичным образом, в четырех измерениях мы можем иметь вращение вокруг изогнутой плоскости, если можно так выразиться. Сферу можно вывернуть наизнанку в четырех измерениях.

Fig. 11 (139).

Пусть рис. 11 представляет сферическую поверхность, по обе стороны которой существует слой материи. Толщина материи представлена стержнями CD и EF, выступающими одинаково наружу и внутрь.

Теперь возьмем сечение сферы плоскостью yz — мы получим круг (рис. 12). Теперь пусть ось w будет проведена вместо оси x, так что мы получим представленное пространство yzw. В этом пространстве все, что будет видно от сферы, — это нарисованный круг.

Fig. 12 (140).

Здесь мы видим, что нет препятствий, мешающих стержням вращаться. Если материя достаточно эластична, чтобы податься настолько, чтобы частицы в E и C разделились так же, как они разделены в F и D, они могут вращаться до положения D и F, и аналогичное движение возможно для всех остальных частиц. Нет никакой материи или препятствия, которые мешали бы им двигаться наружу в направлении w, а затем вокруг окружности как оси. Теперь, то, что справедливо для одного сечения, будет справедливо для всех, так как четвертое измерение перпендикулярно всем сечениям, которые можно сделать из сферы.

Мы предположили, что материя, из которой состоит сфера, является трехмерной. Если бы материя имела небольшую толщину в четвертом измерении, на рис. 12 была бы небольшая толщина над плоскостью бумаги — толщина, равная толщине материи в четвертом измерении. Стержни пришлось бы заменить тонкими пластинами. Но это не изменило бы возможности вращения. Это движение обсуждается Ньюкомом в первом томе «Американского журнала математики».

Рассмотрим теперь не просто растяжимое тело, а жидкое. Масса вращающейся жидкости, водоворот, вихрь или тор обладает многими замечательными свойствами. При первом рассмотрении мы ожидали бы, что вращающаяся масса жидкости немедленно рассеется и растворится в окружающей жидкости. Вода слетает с вращающегося колеса, и мы ожидали бы, что вращающаяся жидкость рассеется. Но посмотрите, как странно устойчивы водовороты в реке. Кольца, которые возникают в клубах дыма и существуют так долго, — это вихри, изогнутые так, что их противоположные концы соединяются. Циклон может преодолевать огромные расстояния.

Гельмгольц первым исследовал свойства вихрей. Он изучал их так, как они возникали бы в идеальной жидкости — то есть в жидкости без трения одной движущейся части о другую. В такой среде вихри были бы неразрушимы. Они существовали бы вечно, меняя свою форму, но всегда состояли бы из одной и той же части жидкости. Но прямой вихрь не мог бы существовать, будучи полностью окруженным жидкостью. Концы вихря должны достигать какой-либо границы внутри или вне жидкости.

Вихрь, который изогнут так, что его противоположные концы соединяются, способен существовать, но ни один вихрь не имеет свободного конца в жидкости. Жидкость вокруг вихря всегда находится в движении, и один вихрь создает определенное движение в другом.

Лорд Кельвин выдвинул гипотезу, что части жидкости, обособленные в вихри, объясняют происхождение материи. Свойства эфира в отношении его способности распространять возмущения можно объяснить предположением о наличии в нем вихрей, а не свойством жесткости. Однако трудно представить себе какое-либо расположение вихревых колец и бесконечных вихревых нитей в эфире.

Теперь дальнейшее рассмотрение четырехмерных вращений показывает существование такого вида вихря, который сделал бы эфир, наполненный однородным вихревым движением, легко представимым.

Чтобы понять природу этого вихря, мы должны сделать шаг, принимая полное значение четырехмерной гипотезы. Допустив наличие четырехмерных осей, мы увидели, что вращение одной в другую оставляет две другие неизменными, и эти две образуют осевую плоскость, вокруг которой происходит вращение. Но как насчет этих двух? Обязательно ли они остаются неподвижными? Ничто не мешает вращению этих двух, одной в другую, происходящему одновременно с первым вращением. Эта возможность двойного вращения заслуживает самого пристального внимания, ибо это тот вид движения, который отчетливо характерен для четырех измерений.

Вращение вокруг плоскости аналогично вращению вокруг оси. Но в трехмерном пространстве нет движения, аналогичного двойному вращению, при котором, пока ось 1 переходит в ось 2, ось 3 переходит в ось 4.

Рассмотрим четырехмерное тело с четырьмя независимыми осями: x, y, z, w. Точка в нем может двигаться только в одном направлении в данный момент. Если тело обладает скоростью вращения, при которой ось x переходит в ось y, а все параллельные сечения движутся аналогичным образом, то точка опишет круг. Если теперь, в дополнение к вращению, при котором ось x переходит в ось y, тело совершает вращение, при котором ось z переходит в ось w, то рассматриваемая точка будет иметь двойное движение вследствие двух поворотов. Движения сложатся, и точка опишет круг, но не тот же самый круг, который она описала бы в силу каждого вращения в отдельности.

Мы знаем, что если телу в трехмерном пространстве придать два вращательных движения, они объединятся в единое вращательное движение вокруг определенной оси. Оно находится в том же состоянии, что и при одном вращательном движении. Направление оси меняется — вот и все. Это неверно для четырехмерного тела. Два вращения, x в y и z в w, независимы. Тело, подверженное обоим, находится в совершенно ином состоянии, чем когда оно подвержено только одному. Когда оно подвержено вращению, такому как x в y, целая плоскость в теле, как мы видели, остается неподвижной. Когда оно подвержено двойному вращению, никакая часть тела не остается неподвижной, кроме точки, общей для двух плоскостей вращения.

Если два вращения равны по скорости, каждая точка тела описывает круг. Все точки, равноудаленные от неподвижной точки, описывают круги одинакового размера.

Мы можем представить четырехмерную сферу с помощью двух диаграмм, в одной из которых мы берем три оси: x, y, z; в другой — оси x, w и z. На рис. 13 мы видим четырехмерную сферу в пространстве xyz. Рис. 13 показывает все, что мы можем видеть от четырехмерной сферы в пространстве xyz, ибо он представляет все точки в этом пространстве, которые находятся на равном расстоянии от центра.

Возьмем теперь сечение xz и пусть ось w займет место оси y. Здесь, на рис. 14, мы имеем пространство xzw. В этом пространстве мы должны взять все точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от центра, следовательно, мы получаем другую сферу. Если бы у нас была трехмерная сфера, как было показано ранее, мы имели бы просто круг в пространстве xzw — круг xz, видимый в пространстве xzw. Но теперь, рассматривая вид в пространстве xzw, мы имеем сферу и в этом пространстве. Аналогичным образом, какой бы набор из трех осей мы ни взяли, мы получаем сферу.

Showing axes xyz

Fig. 13 (141).

Showing axes xwz

Fig. 14 (142).

На рис. 13 представим, что происходит вращение в направлении xy. Точка x повернется к y, а p — к p'. Ось zz' остается неподвижной, и эта ось — это все, что мы можем видеть от плоскости zw в пространственном сечении, представленном на рисунке.

На рис. 14 представим, что происходит вращение от z к w. Ось w теперь занимает положение, ранее занимаемое осью y. Это не означает, что ось w может совпадать с осью y. Это указывает на то, что мы смотрим на четырехмерную сферу с другой точки зрения. Любой вид в трехмерном пространстве покажет нам три оси, и на рис. 14 мы смотрим на xzw.

Единственная часть, которая идентична на двух диаграммах, — это круг осей x и z, которые содержатся в обеих диаграммах. Таким образом, плоскость zxz' одна и та же в обоих случаях, и точка p представляет одну и ту же точку на обеих диаграммах. Теперь, на рис. 14, пусть произойдет вращение zw: ось z повернется к точке w оси w, а точка p будет двигаться по кругу вокруг точки x.

Таким образом, на рис. 13 точка p движется по кругу, параллельному плоскости xy; на рис. 14 она движется по кругу, параллельному плоскости zw, как показано стрелкой.

Теперь предположим, что оба этих независимых вращения сложены: точка p будет двигаться по кругу, но этот круг не будет совпадать ни с одним из кругов, в которые ее привело бы любое из вращений по отдельности. Круг, по которому будет двигаться точка p, будет зависеть от ее положения на поверхности четырехмерной сферы.

В этом двойном вращении, возможном в четырехмерном пространстве, существует вид движения, совершенно не похожий ни на что, с чем мы знакомы в трехмерном пространстве. Чтобы определить, проявляют ли малые частицы материи характеристики четырехмерных движений, необходимо предварительно ознакомиться с основными характеристиками этого двойного вращения. И здесь я должен полагаться на формальное и логическое согласие, а не на интуитивное понимание, которое может быть получено только путем более детального изучения.

Во-первых, это двойное вращение состоит из двух разновидностей или видов, которые мы назовем видами A и B. Рассмотрим четыре оси: x, y, z, w. Вращение x в y может сопровождаться вращением z в w. Назовем это видом A.

Но также вращение x в y может сопровождаться вращением не z в w, а w в z. Назовем это видом B.

Они различаются только одним из составляющих вращений. Одно не является отрицанием другого. Это полуотрицание. Противоположностью вращения x в y, z в w было бы y в x, w в z. Полуотрицание — это x в y и w в z.

Если четыре измерения существуют, а мы не можем их воспринимать, потому что протяженность материи в четвертом измерении настолько мала, что все движения скрыты от прямого наблюдения, за исключением тех, что являются трехмерными, мы не должны наблюдать эти двойные вращения, а только их эффекты в трехмерных движениях того типа, с которым мы знакомы.

Если материя в своих малых частицах четырехмерна, мы должны ожидать, что это двойное вращение будет универсальной характеристикой атомов и молекул, ибо ни одна часть материи не находится в покое. Последствия этого корпускулярного движения можно наблюдать, но только в форме обычного вращения или смещения. Таким образом, если теория четырех измерений верна, то в корпускулах материи мы имеем целый мир движения, который мы никогда не сможем изучить напрямую, а только путем умозаключений.

Вращение A, как я его определил, состоит из двух равных вращений — одного вокруг плоскости zw, другого вокруг плоскости xy. Очевидно, что эти вращения не обязательно равны. Тело может двигаться с двойным вращением, в котором эти два независимых компонента не равны; но в таком случае мы можем считать, что тело движется с составным вращением — вращением вида A или B и, в дополнение, вращением вокруг плоскости.

Если мы объединим движение A и B, мы получим вращение вокруг плоскости; ибо, поскольку первое есть x в y и z в w, а второе — x в y и w в z, при их сложении вращения z в w и w в z нейтрализуют друг друга, и мы получаем только вращение x в y, которое является вращением вокруг плоскости zw. Аналогично, если мы возьмем вращение B, y в x и z в w, мы получим, объединив его с вращением A, вращение z в w вокруг плоскости xy. В этом случае плоскость вращения находится в трехмерном пространстве xyz, и мы имеем — то, что было описано ранее, — скручивание вокруг плоскости в нашем пространстве.

Рассмотрим теперь часть идеальной жидкости, совершающую движение A. Можно доказать, что она обладает свойствами вихря. Она образует постоянную индивидуальность — обособленную часть жидкости, — сопровождаемую движением окружающей жидкости. Она обладает свойствами, аналогичными свойствам вихревой нити. Но для ее существования не обязательно, чтобы ее концы достигали границы жидкости. Она самодостаточна и, если ее не тревожить, кругла в каждом сечении.

Fig. 15 (143).

Если мы предположим, что эфир обладает своими свойствами передачи вибрации благодаря таким вихрям, мы должны спросить, как они располагаются в четырехмерном пространстве. Поместив круглый диск на плоскость и окружив его шестью другими, мы обнаружим, что если центральному придать вращательное движение, оно передает другим вращение, которое является антагонистичным в каждых двух соседних. Если A вращается, как показано стрелкой, B и C будут двигаться противоположными путями, и каждый стремится уничтожить движение другого.

Теперь, если мы предположим, что сферы расположены аналогичным образом в трехмерном пространстве, они будут сгруппированы в фигуры, которые для трехмерного пространства являются тем же, чем шестиугольники для плоскости. Если сжать вместе несколько сфер из мягкой глины так, чтобы заполнить промежутки, каждая примет форму четырнадцатигранной фигуры, называемой тетрадекаэдром.

Теперь, предполагая, что пространство заполнено такими тетрадекаэдрами, и помещая сферу в каждый из них, можно обнаружить, что одна сфера касается восьми других. Остальные шесть сфер из четырнадцати, окружающих центральную, не будут касаться ее, но будут касаться трех из тех, что находятся с ней в контакте. Следовательно, если центральная сфера вращается, она не обязательно будет приводить в движение окружающие ее так, что их движения будут антагонистичны друг другу, но скорости не расположатся систематическим образом.

В четырехмерном пространстве фигура, которая образует следующий член ряда шестиугольник, тетрадекаэдр, является тридцатигранной фигурой. Ее гранями являются десять твердых тетрадекаэдров и двадцать шестиугольных призм. Такие фигуры точно заполнят четырехмерное пространство, причем пять из них сходятся в каждой точке. Если теперь в каждой из этих фигур мы предположим, что помещена твердая четырехмерная сфера, любая сфера окружена тридцатью другими. Из них она касается десяти, и, если она вращается, она приводит в движение остальные посредством этих десяти. Теперь, если мы представим, что центральной сфере придано вращение A или B, она будет поворачивать всю массу сфер систематическим образом. Предположим, что четырехмерное пространство заполнено такими сферами, каждая из которых вращается с двойным вращением; вся масса образовала бы одну согласованную систему движения, в которой каждая сфера приводила бы в движение любую другую без трения или отставания.

Каждая сфера имела бы одинаковый вид вращения. В трехмерном пространстве, если одно тело приводит в движение другое, второе тело вращается с противоположным видом вращения; но в четырехмерном пространстве каждая из этих четырехмерных сфер имела бы двойное отрицание вращения соседней, а мы видели, что двойное отрицание вращения A или B по-прежнему является вращением A или B. Таким образом, четырехмерное пространство могло бы быть заполнено системой самосохраняющейся живой энергии. Если мы представим, что четырехмерные сферы состоят из жидкой, а не твердой материи, то, даже если бы жидкость была не совсем идеальной и существовал бы небольшой замедляющий эффект одного вихря на другой, система все равно поддерживала бы себя.

В этой гипотезе мы должны рассматривать эфир как обладающий энергией, а его передачу вибраций — не как перенос движения, сообщенного извне, а как модификацию его собственного движения.

Теперь мы владеем некоторыми концепциями четырехмерной механики и отвлечемся от линии их развития, чтобы узнать, есть ли какие-либо доказательства их применимости к процессам природы.

Существует ли какой-либо способ движения в области малого, который, давая трехмерные движения в качестве своего эффекта, все же сам по себе ускользает от охвата наших механических теорий? Я бы указал на электричество. Благодаря трудам Фарадея и Максвелла мы убеждены, что явления электричества имеют природу напряжения и деформации среды; но в их объяснении все еще остается пробел, который нужно преодолеть: законы упругости, которые предполагает Максвелл, — это не законы обычной материи. И, чтобы привести другой пример: магнитный полюс вблизи тока стремится двигаться. Максвелл показал, что давления на него аналогичны скоростям в жидкости, которые существовали бы, если бы вихрь занял место электрического тока: но мы не можем указать определенное механическое объяснение этих давлений. Должен существовать какой-то способ движения тела или среды, в силу которого тело называется электризованным.

Возьмем ионы, которые переносят заряды электричества в 500 раз большие по отношению к их массе, чем те, что переносятся молекулами водорода при электролизе. В отношении какого движения можно сказать, что эти ионы электризованы? Можно показать, что энергия, которой они обладают, не является энергией вращения. Подумайте о коротком вращающемся стержне. Если его перевернуть, обнаружится, что он вращается в противоположном направлении. Теперь, если вращение в одном направлении соответствует положительному электричеству, вращение в противоположном направлении соответствует отрицательному электричеству, и мельчайшие электризованные частицы меняли бы свои заряды при переворачивании — абсурдное предположение.

Если мы остановимся на способе движения как определении электричества, мы должны иметь две его разновидности, одну для положительного и одну для отрицательного; и тело, обладающее одним видом, не должно приобретать другой при любом изменении своего положения.

Все трехмерные движения состоят из вращений и трансляций, и ни одно из них не удовлетворяет этому первому условию для использования в качестве определения электричества.

Но рассмотрим двойное вращение видов A и B. Тело, вращающееся с движением A, не может изменить свое движение на вид B при переворачивании каким-либо образом. Предположим, тело имеет вращение x в y и z в w. Поворачивая его вокруг плоскости xy, мы меняем направление движения x в y на противоположное. Но мы также меняем движение z в w, ибо точка на конце положительной оси z теперь находится на конце отрицательной оси z, и, поскольку мы не вмешивались в ее движение, она идет в направлении положительного w. Следовательно, мы имеем y в x и w в z, что то же самое, что x в y и z в w. Таким образом, оба компонента меняются на противоположные, и мы снова имеем движение A. Вид B — это полуотрицание, с изменением на противоположное только одного компонента.

Следовательно, система молекул с движением A не уничтожала бы его друг в друге и передавала бы его телу, находящемуся с ними в контакте. Таким образом, движения A и B обладают первым требованием, которое должно предъявляться к любому способу движения, представляющему электричество.

Проследим последствия определения положительного электричества как движения A, а отрицательного — как движения B. Сочетание положительного и отрицательного электричества создает ток. Представьте вихрь в эфире вида A и соедините с ним вихрь вида B. Движение A и движение B создают вращение вокруг плоскости, которое в эфире является вихрем вокруг осевой поверхности. Это вихрь того вида, который мы представляем как часть сферы, выворачивающейся наизнанку. Теперь такой вихрь должен иметь свой край на границе эфира — на теле в эфире.

Предположим, что проводник — это тело, обладающее свойством служить концевой опорой такого вихря. Тогда концепция, которую мы должны сформировать о замкнутом токе, — это вихревой слой, край которого проходит вдоль контура проводящего провода. Весь провод тогда будет подобен центрам, на которых вращается шпиндель в трехмерном пространстве, и любое прерывание непрерывности провода создаст натяжение вместо непрерывного вращения.

Поскольку направление вращения вихря идет из трехмерного направления в четвертое измерение и обратно, у тока не будет направления потока; но он будет иметь две стороны, в зависимости от того, идет ли z к w или z идет к отрицательному w.

Мы можем провести любую линию от одной части контура к другой; тогда эфир вдоль этой линии вращается вокруг своих точек.

Этот геометрический образ соответствует определению электрической цепи. Известно, что действие происходит не в проводе, а в среде, и известно, что в проводе нет направления потока.

В трехмерной механике не было предложено объяснения того, как действие может быть наложено на всю область и при этом обязательно исчерпывать себя вдоль замкнутой границы, как это происходит в электрическом токе. Но это явление в точности соответствует определению четырехмерного вихря.

Если мы возьмем очень длинный магнит, настолько длинный, что один из его полюсов практически изолирован, и поместим этот полюс вблизи электрической цепи, мы обнаружим, что он движется.

Теперь, предполагая для простоты, что провод, определяющий ток, имеет форму круга, если мы возьмем несколько маленьких магнитов и расположим их так, чтобы они указывали в одном направлении, перпендикулярном плоскости круга, так что они заполняют его, а провод связывает их, мы обнаружим, что этот слой магнитов оказывает на магнитный полюс такое же действие, как и ток. Слой магнитов может быть изогнут, но его край должен совпадать с проводом. Совокупность магнитов тогда эквивалентна вихревому слою, а элементарный магнит — его части. Таким образом, мы должны думать о магните как об обусловливающем вращение в эфире вокруг плоскости, которая делит пополам под прямым углом линию, соединяющую его полюса.

Если в цепи запускается ток, мы должны представить себе вихри, подобные чашам, выворачивающимся наизнанку, начиная от контура. При достижении параллельной цепи, если бы вихревой слой был прерван и мгновенно соединен со второй цепью свободным краем, осевая плоскость лежала бы между двумя цепями, и точка на второй цепи напротив точки на первой соответствовала бы точке напротив нее на первой; следовательно, мы ожидали бы ток в противоположном направлении во второй цепи. Таким образом, явления индукции не противоречат гипотезе о вихре вокруг осевой плоскости.

В четырехмерном пространстве, в котором все четыре измерения были бы соизмеримы, интенсивность действия, передаваемого средой, изменялась бы обратно пропорционально кубу расстояния. Теперь, действие тока на магнитный полюс изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния; следовательно, на измеримых расстояниях протяженность эфира в четвертом измерении нельзя предполагать иной, кроме как малой по сравнению с этими расстояниями.

Если мы предположим, что эфир заполнен вихрями в форме четырехмерных сфер, вращающихся с движением A, то движение B соответствовало бы электричеству в теории одной жидкости. Таким образом, существовала бы возможность существования электричества в двух формах: статически, само по себе, и, в сочетании с универсальным движением, в форме тока.

Чтобы прийти к определенному выводу, необходимо исследовать результирующие давления, которые сопровождают расположение твердых вихрей с поверхностными.

Резюмируя:

Движения и механика четырехмерного пространства определенны и понятны. Вихрь с поверхностью в качестве оси дает геометрический образ замкнутой цепи, и существуют вращения, которые своей полярностью дают возможное определение статического электричества. [7]

[7] Эти двойные вращения видов A и B я хотел бы назвать гамильтонами и ко-гамильтонами, ибо это примечательный факт, что в своих «Кватернионах» сэр Уильям Роуэн Гамильтон дал теорию либо вида A, либо вида B. Они следуют законам его символов I, J, K.

Гамильтоны и ко-гамильтоны кажутся естественными единицами геометрического выражения. В статье в «Трудах Королевской ирландской академии» за ноябрь 1903 года, о которой уже упоминалось, я показал некоторую замечательную легкость, которая достигается при работе с композицией трех- и четырехмерных вращений путем изменения обозначений Гамильтона, что позволяет применять его систему как к вращениям вида A, так и вида B.

Возражение, которое часто выдвигалось против системы Гамильтона, а именно, что только при особых условиях применения его процессы дают геометрически интерпретируемые результаты, может быть устранено, если мы предположим, что он на самом деле имел дело с четырехмерным движением, и изменим его обозначения, чтобы привести это обстоятельство к явному признанию.

ПРИЛОЖЕНИЕ I МОДЕЛИ

В главе XI было дано описание, которое позволит любому сделать набор моделей, иллюстрирующих тессеракт и его свойства. Набор, который здесь предполагается использовать, состоит из:

1. Трех наборов по двадцать семь кубов в каждом.

2. Двадцати семи пластин.

3. Двенадцати кубов с точками, линиями, гранями, различающимися по цветам, которые будут называться каталожными кубами.

Подготовка двенадцати каталожных кубов требует значительного количества времени. Использовать их выгодно, но их можно заменить чертежами видов тессеракта или ссылкой на рис. 103, 104, 105, 106 текста.

Пластины окрашены так же, как двадцать семь кубов первого кубического блока на рис. 101, того, что с красными, белыми, желтыми осями.

Цвета трех наборов из двадцати семи кубов — это цвета кубов, показанных на рис. 101.

Пластины используются для формирования представления куба на плоскости, и от них вполне может отказаться тот, кто привык иметь дело с объемными фигурами. Но вся теория зависит от тщательного наблюдения за тем, как куб был бы представлен этими пластинами.

На первом этапе, этапе формирования ясного представления о том, как плоское существо представляло бы трехмерное пространство, нужен только один из каталожных кубов и один из трех блоков.

Применение к переходу от плоскости к объему.

Посмотрите на рис. 1 видов тессеракта или, что то же самое, возьмите каталожный куб № 1 и поместите его перед собой так, чтобы красная линия шла вверх, белая линия — вправо, желтая линия — прочь. Три измерения пространства тогда отмечены этими линиями или осями. Теперь возьмите кусок картона или книгу и поместите ее так, чтобы она образовала стену, простирающуюся вверх и вниз не напротив вас, а уходящую прочь параллельно стене комнаты с вашей левой стороны.

Прикладывая каталожный куб к этой стене, мы видим, что он входит в контакт с ней красной и желтой линиями и включенной оранжевой гранью.

В мире плоского существа его вид куба был бы квадратом, окруженным красной и желтой линиями с серыми точками.

Теперь, удерживая красную линию неподвижной, поверните куб вокруг нее так, чтобы желтая линия ушла вправо, а белая линия вошла в контакт с плоскостью.

В этом случае плоскому существу представляется другой вид: квадрат, окруженный красной и белой линиями и серыми точками. Вы должны особо заметить, что когда желтая линия уходит под прямым углом к плоскости, а белая входит, последняя не идет в том же направлении, в котором шла желтая.

От фиксированной серой точки у основания красной линии желтая линия шла прочь от вас. Белая линия теперь идет к вам. Этот поворот под прямым углом заставляет линию, которая раньше была вне плоскости, войти в нее в направлении, противоположном тому, в котором шла линия, только что покинувшая плоскость. Если куб не прорывается сквозь плоскость, это всегда правило.

Снова поверните куб обратно в нормальное положение с красной линией вверх, белой вправо и желтой прочь, и попробуйте другой поворот.

Вы можете оставить желтую линию неподвижной и повернуть куб вокруг нее. В этом случае красная линия уходит вправо, а белая линия войдет, указывая вниз.

Вам придется приподнять куб со стола, чтобы выполнить этот поворот. Всегда необходимо, когда вертикальная ось выходит из пространства, представлять себе подвижную опору, которая позволит линии, которая вышла раньше, войти снизу.

Рассмотрев три способа поворота куба так, чтобы представить разные грани плоскости, исследуйте, каким было бы появление, если бы в куске картона было вырезано квадратное отверстие, и куб прошел бы сквозь него. Отверстие можно действительно вырезать, и будет видно, что в нормальном положении, с красной осью вверх, желтой прочь и белой вправо, квадрат, впервые воспринятый плоским существом — тот, что ограничен красной и желтой линиями, — был бы заменен другим квадратом, линия которого к вам — розовая, линия сечения розовой грани. Линия сверху — светло-желтая, снизу — светло-желтая, а на противоположной стороне, прочь от вас, — розовая.

Таким же образом куб можно протолкнуть через квадратное отверстие в плоскости из любого положения, в которое вы его уже повернули. В каждом случае плоское существо будет воспринимать разный набор контурных линий.

Наблюдая эти факты о каталожном кубе, перейдите теперь к первому блоку из двадцати семи кубов.

Вы замечаете, что цветовая схема на каталожном кубе и на этом наборе блоков одинакова.

Поместите их перед собой: серый или нулевой куб на столе, над ним красный куб, а сверху снова нулевой куб. Затем прочь от вас поместите желтый куб, а за ним нулевой куб. Затем вправо поместите белый куб, а за ним еще один нулевой. Затем завершите блок согласно схеме каталожного куба, поместив в самый центр охристый куб.

Теперь у вас есть куб, подобный тому, что описан в тексте. Для простоты в некоторых случаях этот кубический блок можно свести к одному из восьми кубов, исключив окончания в каждом направлении. Таким образом, вместо нулевого, красного, нулевого — трех кубов, вы можете взять нулевой, красный — два куба и так далее.

Однако полезно попрактиковаться в представлении на плоскости блока из двадцати семи кубов. Для этой цели возьмите пластины и выстройте их против куска картона или книги таким образом, чтобы представить разные аспекты куба.

Действуйте следующим образом:

Первое: куб в нормальном положении.

Поместите девять пластин против картона, чтобы представить девять кубов в стене красной и желтой осей, обращенных к картону; они представляют аспект куба, когда он касается плоскости.

Теперь сдвиньте их вдоль картона и сделайте другой набор из девяти пластин, чтобы представить появление, которое куб представил бы плоскому существу, если бы он прошел наполовину сквозь плоскость.

Там была бы белая пластина, над ней розовая, над ней еще одна белая и шесть других, представляющих то, что было бы природой сечения через середину блока кубов. Сечение можно представить как тонкий срез, вырезанный двумя параллельными разрезами через куб. Расположив эти девять пластин, сдвиньте их вдоль плоскости и сделайте еще один набор из девяти, чтобы представить, каким было бы появление куба, когда он почти полностью прошел сквозь нее. Этот набор из девяти будет таким же, как первый набор из девяти.

Теперь у нас на плоскости три набора по девять пластин в каждом, которые представляют три сечения блока из двадцати семи.

Они поставлены рядом друг с другом. Мы видим, что не имеет значения, в каком порядке поставлены наборы из девяти. По мере того как куб проходит сквозь плоскость, они представляют появления, которые следуют одно за другим. Если бы они были тем, что они представляли, они не могли бы существовать на одной плоскости вместе.

Это довольно важный момент: заметить, что они не должны сосуществовать на плоскости и что порядок, в котором они помещены, безразличен. Когда мы представляем четырехмерное тело, наши твердые кубы для нас находятся в том же положении, что и пластины для плоского существа. Вы также должны заметить, что каждая из этих пластин представляет только самый тонкий срез куба. Набор из девяти пластин, установленный первым, представляет боковую поверхность блока. Это, так сказать, своего рода поднос — начало, от которого отходит твердый куб. Пластины, как мы их используем, имеют толщину, но эта толщина — необходимость конструкции. Их следует рассматривать как имеющие лишь толщину линии.

Если теперь блок кубов проходил бы сквозь плоскость со скоростью дюйм в минуту, появление для плоского существа было бы представлено:

1. Первый набор из девяти пластин, длящийся одну минуту.

2. Второй набор из девяти пластин, длящийся одну минуту.

3. Третий набор из девяти пластин, длящийся одну минуту.

Теперь появления, которые куб представил бы плоскому существу в других положениях, можно показать с помощью этих пластин. Использование таких пластин было бы средством, с помощью которого плоское существо могло бы приобрести знакомство с нашим кубом. Поверните каталожный куб (или представьте, что цветная фигура повернута) так, чтобы красная линия шла вверх, желтая — вправо, а белая — к вам. Затем поверните блок кубов, чтобы занять аналогичное положение.

Блок теперь имеет другую стену в контакте с плоскостью. Его появление для плоского существа будет не таким, как раньше. У него, однако, достаточно пластин, чтобы представить этот новый набор появлений. Но он должен переделать свое прежнее расположение их.

Он должен взять нулевую, красную и нулевую пластину из первого своего набора пластин, затем белую, розовую и белую из второго, а затем нулевую, красную и нулевую из третьего набора пластин.

Он берет первый столбец из первого набора, первый столбец из второго набора и первый столбец из третьего набора.

Чтобы представить появление «наполовину пройденного», которое выглядит так, будто очень тонкий срез был вырезан наполовину через блок, он должен взять второй столбец каждого из своих наборов пластин, а чтобы представить окончательное появление — третий столбец каждого набора.

Теперь поверните каталожный куб обратно в нормальное положение, а также блок кубов.

Есть еще один поворот — поворот вокруг желтой линии, при котором белая ось оказывается ниже опоры.

Вы не можете прорваться сквозь поверхность стола, поэтому вы должны представить, что старая опора поднята. Тогда верх блока кубов в его новом положении находится на уровне, на котором раньше было его основание.

Теперь, представляя появление на плоскости, мы должны провести горизонтальную линию, чтобы представить старое основание. Линию следует провести на высоте трех дюймов на картоне.

Ниже этого можно расположить репрезентативные пластины.

Легко увидеть, что они собой представляют. Старые расположения должны быть разобраны, а слои взяты по порядку, первый слой каждого — для представления аспекта блока, когда он касается плоскости.

Затем вторые слои будут представлять появление наполовину пройденного, а третьи слои будут представлять окончательное появление.

Очевидно, что пластины по отдельности не представляют одну и ту же часть куба в этих разных представлениях.

В первом случае каждая пластина представляет сечение или грань, перпендикулярную белой оси, во втором случае — грань или сечение, которое проходит перпендикулярно желтой оси, а в третьем случае — сечение или грань, перпендикулярную красной оси.

Но с помощью этих девяти пластин плоское существо может представить весь кубический блок. Он может коснуться и потрогать каждую часть кубического блока, нет такой его части, которую он не мог бы наблюдать. Беря его по частям, по две оси за раз, он может изучить его целиком.

Наше представление блока тессерактов.

Посмотрите на виды тессеракта 1, 2, 3 или возьмите каталожные кубы 1, 2, 3 и поместите их перед собой в любом порядке, скажем, слева направо, поместив 1 в нормальное положение, красная ось вверх, белая вправо, желтая прочь.

Теперь заметьте, что в каталожном кубе 2 цвета каждой области получены из цветов соответствующей области куба 1 путем добавления синего. Таким образом, нуль + синий = синий, и углы куба 2 — синие. Далее, красный + синий = фиолетовый, и вертикальные линии куба 2 — фиолетовые. Синий + желтый = зеленый, и линия, уходящая вдаль, окрашена в зеленый цвет.

С помощью этих наблюдений вы можете убедиться, что каталожный куб 2 расположен правильно. Каталожный куб 3 точно такой же, как номер 1.

Имея эти кубы в том, что мы можем назвать их нормальным положением, приступайте к сборке трех наборов блоков.

Это легко сделать в соответствии с цветовой схемой на каталожных кубах.

Первый блок нам уже известен. Соберите второй блок, начиная с синего углового куба, поместив на него фиолетовый, и так далее.

Имея эти три блока, мы получаем средство для представления внешнего вида группы из восьмидесяти одного тессеракта.

Давайте на мгновение рассмотрим, в чем заключается аналогия для плоского существа.

У него есть три набора по девять пластин в каждом. У нас есть три набора по двадцать семь кубов в каждом.

Наши кубы подобны его пластинам. Как его пластины не являются теми вещами, которые они для него представляют, так и наши кубы не являются теми вещами, которые они представляют для нас.

Пластины плоского существа являются для него гранями кубов.

Наши кубы, следовательно, являются гранями тессерактов, кубами, посредством которых они соприкасаются с нашим пространством.

Подобно тому, как каждый набор пластин в случае плоского существа можно рассматривать как своего рода поднос, из которого выходили объемные внутренности кубов, так и наши три блока кубов можно рассматривать как трехмерные подносы, каждый из которых является началом дюйма объемного содержимого четырехмерных тел, исходящих из них.

Теперь мы хотим использовать названия «нуль», «красный», «белый» и т. д. для тессерактов. Используемые нами кубы — это лишь грани тессеракта. Давайте обозначим этот факт, называя куб нулевого цвета «нулевой гранью», или, сокращенно, «нуль-грань», имея в виду, что это грань тессеракта.

Чтобы определить, какая это грань, давайте посмотрим на каталожный куб 1 или на первый из видов тессеракта, который можно использовать вместо моделей. У него есть три оси: красная, белая, желтая — в нашем пространстве. Следовательно, куб, определяемый этими осями, является гранью тессеракта, которую мы сейчас имеем перед собой. Это охра-грань. Однако достаточно просто говорить «нуль-грань», «красная грань» для кубов, которые мы используем.

Чтобы запечатлеть это в своем сознании, представьте, что тессеракты действительно исходят из каждого куба. Тогда, перемещая кубы, вы перемещаете вместе с ними и тессеракты. Вы перемещаете грань, но тессеракт следует за ней, как куб следует за своей гранью, когда она сдвигается в плоскости.

Куб «нуль» в нормальном положении — это куб, в котором есть красная, желтая и белая оси. Это грань, имеющая их, но лишенная синей. Таким образом вы можете определить, с какой гранью имеете дело. Я буду писать «гр.» после названия каждого тессеракта, точно так же, как плоское существо могло бы называть каждую из своих пластин «нулевая пластина», «желтая пластина» и т. д., чтобы обозначить, что они являются представлениями.

Итак, в первом блоке из двадцати семи кубов у нас есть следующее: нуль-гр., красная гр., нуль-гр. — идущие вверх; белая гр., нуль-гр. — лежащие справа, и так далее. Начиная с нулевой точки и перемещаясь вверх на один дюйм, мы находимся в нулевой области; то же самое для направлений «вдаль» и «вправо». И если бы мы переместились в четвертом измерении на дюйм, мы все равно остались бы в нулевой области. Тессеракт простирается одинаково во все четыре стороны. Следовательно, внешний вид, который мы имеем в этом первом блоке, подошел бы так же хорошо, если бы блок тессерактов перемещался через наше пространство на определенное расстояние. Для любого расстояния менее дюйма их поперечного движения мы имели бы тот же самый вид. Вы должны, однако, заметить, что у нас не было бы нулевой грани после того, как движение началось.

Когда тессеракт, например «нуль», переместился бы хоть немного, мы имели бы не грань «нуль», а сечение «нуль» в нашем пространстве. Следовательно, когда мы думаем о движении через наше пространство, мы должны называть наши кубы сечениями тессеракта. Таким образом, при прохождении «нуль» мы увидели бы сначала нуль-гр., затем нуль-сечение и, наконец, снова нуль-гр.

Представьте теперь, что весь первый блок из двадцати семи тессерактов переместился поперек нашего пространства на расстояние в один дюйм. Тогда второй набор тессерактов, которые первоначально находились на расстоянии дюйма от нашего пространства, был бы готов войти.

Их цвета показаны во втором блоке из двадцати семи кубов, который находится перед вами. Они представляют грани тессерактов из того набора тессерактов, который лежал на расстоянии дюйма от нашего пространства. Они готовы войти, и мы можем наблюдать их цвета. На месте, которое раньше занимала нуль-гр., у нас синяя гр., вместо красной гр. у нас фиолетовая гр. и так далее. Каждый тессеракт окрашен так же, как тот, чье место он занимает в этом движении, с добавлением синего цвета.

Теперь, если блок тессерактов продолжает двигаться со скоростью дюйм в минуту, этот следующий набор тессерактов будет проходить через наше пространство в течение минуты. Мы увидим, если взять для примера «нуль», прежде всего нулевую грань, затем нулевое сечение, а затем снова нулевую грань.

В конце второй минуты второй набор тессерактов прошел, и входит третий набор. Он, как видите, окрашен точно так же, как первый. В общей сложности эти три набора простираются на три дюйма в четвертом измерении, делая блок тессерактов равным по величине во всех измерениях.

Теперь перед нами полный каталог всех тессерактов в нашей группе. Мы видели их все, и мы будем называть это расположение блоков «нормальным положением». Мы видели каждый тессеракт настолько, насколько это возможно в трехмерном пространстве. Каждая часть каждого тессеракта побывала в нашем пространстве, и мы могли бы прикоснуться к ней.

Четвертое измерение предстало перед нами как длительность существования блока.

Если бы частица нашей материи подверглась такому же движению, она была бы мгновенно удалена из нашего пространства. Будучи тонкой в четвертом измерении, она сразу же выводится из нашего пространства движением в четвертом измерении.

Но блок тессерактов, который мы представляем, имея протяженность в четвертом измерении, остается неподвижно перед нашими глазами в течение трех минут, когда подвергается этому поперечному движению.

Теперь нам нужно сформировать представления о других видах той же группы тессерактов, которые возможны в нашем пространстве.

Давайте повернем блок тессерактов так, чтобы другая его грань вошла в контакт с нашим пространством, и тогда, наблюдая за тем, что у нас есть и какие изменения происходят, когда блок пересекает наше пространство, мы получим другой его вид. Измерение, которое раньше представало как длительность, станет протяженностью в одном из наших известных измерений, а измерение, которое совпадало с одним из наших пространственных измерений, предстанет как длительность.

Оставив каталожный куб 1 в нормальном положении, уберите остальные два или предположите, что они убраны. У нас в пространстве есть красная, желтая и белая оси. Пусть белая ось уйдет в неизвестность и займет положение, которое занимает синяя ось. Тогда синяя ось, которая теперь проходит в том направлении, войдет в пространство. Но она войдет, не указывая в ту же сторону, что и белая ось сейчас. Она будет указывать в противоположном направлении. Она войдет, направляясь влево, вместо того чтобы направляться вправо, как это делает сейчас белая ось.

Когда происходит этот поворот, каждая часть куба 1 исчезнет, за исключением левой грани — оранжевой грани.

И новый куб, который появится в нашем пространстве, будет простираться влево от этой оранжевой грани, имея оси: красную, желтую, синюю.

Возьмите модели 4, 5, 6. Поместите 4, или предположите, что вид тессеракта № 4 помещен так, что его оранжевая грань совпадает с оранжевой гранью 1, красная линия — с красной линией, а желтая линия — с желтой линией, при этом синяя линия указывает влево. Затем уберите куб 1, и мы получим грань тессеракта, которая входит, когда белая ось проходит в положительном неизвестном направлении, а синяя ось входит в наше пространство.

Теперь поместите каталожный куб 5 в какое-нибудь положение, неважно какое, скажем, слева; и расположите его так, чтобы существовало соответствие цвета цвету линии, которая выходит из пространства. Линия, которая выходит из пространства, — белая, следовательно, каждая часть этого куба 5 должна отличаться от соответствующей части куба 4 изменением в направлении белого.

Таким образом, у нас есть белые точки в 5, соответствующие нулевым точкам в 4. У нас есть розовая линия, соответствующая красной линии, светло-желтая линия, соответствующая желтой линии, охра-грань, соответствующая оранжевой грани. Это сечение куба полностью описано в главе XI. Наконец, куб 6 является копией 1.

Эти каталожные кубы позволят нам собрать наши модели блока тессерактов.

Прежде всего, для набора тессерактов, которые, начинаясь в нашем пространстве, простираются на один дюйм в неизвестность, у нас есть образец каталожного куба 4.

Мы видим, что можем собрать блок из двадцати семи граней тессерактов по цветовой схеме куба 4, взяв левую стенку блока 1, затем левую стенку блока 2 и, наконец, левую стенку блока 3. То есть мы берем три первые стенки нашего предыдущего расположения, чтобы сформировать первый кубический блок этого нового.

Это будет представлять кубические грани, которыми группа тессерактов в своем новом положении касается нашего пространства. У нас идут вверх: нуль-гр., красная гр., нуль-гр. На следующей вертикальной линии, на стороне, удаленной от нас, у нас: желтая гр., оранжевая гр., желтая гр., а затем снова первые цвета. Затем следующие три колонки: синяя гр., фиолетовая гр., синяя гр.; зеленая гр., коричневая гр., зеленая гр.; синяя гр., фиолетовая гр., синяя гр. Последние три колонки такие же, как первые.

Эти тессеракты касаются нашего пространства, и ни один из них ни одной своей частью не находится на расстоянии более дюйма от него. Что лежит за ними в неизвестности?

Об этом можно узнать, посмотрев на каталожный куб 5. Согласно его цветовой схеме, мы видим, что нужно взять вторую стенку каждого из наших старых расположений. Сложив их вместе, мы получаем в качестве угла белую гр., над ней розовую гр., над ней белую. Колонку рядом с этой, удаленную от нас, следует рассматривать так: светло-желтая гр., охра-гр., светло-желтая гр., а за ней — колонка, подобная первой. Затем для середины блока: светло-синяя гр., над ней светло-фиолетовая, затем светло-синяя. В центральной колонке внизу находится светло-зеленая гр., в центре — светло-коричневая, а вверху — светло-зеленая гр. Последняя стенка такая же, как первая.

Третий блок создается путем взятия третьих стенок нашего предыдущего расположения, которое мы назвали нормальным.

Вы можете спросить, какие грани и какие сечения представляют наши кубы. Чтобы ответить на этот вопрос, посмотрите, какие оси у вас есть в нашем пространстве. У вас есть красная, желтая, синяя. Теперь они определяют коричневый цвет. Цвета красный, желтый, синий, как мы полагаем, при смешивании дают коричневый цвет. И тот куб, который определяется красной, желтой и синей осями, мы называем коричневым кубом.

Когда блок тессерактов в своем новом положении начинает двигаться через наше пространство, каждый тессеракт в нем дает сечение в нашем пространстве. Это сечение поперечно белой оси, которая теперь проходит в неизвестности.

Когда тессеракт в своем нынешнем положении проходит через наше пространство, мы должны увидеть сначала первый из блоков кубических граней, которые мы установили — они продержались бы минуту, затем пришел бы второй блок, а затем третий. Сначала у нас был бы куб из граней тессерактов, каждая из которых была бы коричневой. Как только движение началось, у нас появились бы сечения тессерактов, поперечные белой линии.

Существует еще два аналогичных положения, в которых может быть размещен блок тессерактов. Чтобы найти третье положение, верните блоки в нормальное расположение.

Пусть желтая ось уйдет в положительное неизвестное, а синяя ось, следовательно, войдет, направляясь к нам. Желтая уходила вдаль, поэтому синяя войдет, направляясь к нам.

Поместите каталожный куб 1 в его нормальное положение. Возьмите каталожный куб 7 и поместите его так, чтобы его розовая грань совпадала с розовой гранью куба 1, заставив также его красную ось совпадать с красной осью 1, а белую — с белой. Более того, сделайте так, чтобы куб 7 шел к нам от куба 1. Глядя на него, мы видим в нашем пространстве красную, белую и синюю оси. Желтая уходит вдаль. Поместите каталожный куб 8 по соседству с 7 — заметьте, что каждая область в 8 имеет изменение в направлении желтого по сравнению с соответствующей областью в 7. Это потому, что он представляет то, к чему вы приходите теперь, двигаясь в неизвестности, когда желтая ось выходит из нашего пространства. Наконец, каталожный куб 9, который подобен номеру 7, показывает цвета третьего набора тессерактов. Теперь очевидно, что, начиная с нормального положения, чтобы собрать наши три блока граней тессерактов, мы должны взять ближнюю стенку из первого блока, ближнюю стенку из второго и затем ближнюю стенку из третьего блока. Это дает нам кубический блок, образованный гранями двадцати семи тессерактов, которые теперь непосредственно касаются нашего пространства.

Следуя цветовой схеме каталожного куба 8, мы создаем следующий набор из двадцати семи граней тессерактов, представляющих тессеракты, каждый из которых начинается на расстоянии дюйма от нашего пространства, соединяя вторые стенки нашего предыдущего расположения, а представление третьего набора тессерактов — это кубический блок, сформированный оставшимися тремя стенками.

Поскольку у нас для начала есть красная, белая, синяя оси в нашем пространстве, кубы, которые мы видим сначала, — это светло-фиолетовые грани тессерактов, а после того, как начинается поперечное движение, у нас появляются кубические сечения, поперечные желтой линии.

Верните блоки в нормальное положение, остается случай, в котором красная ось поворачивается из пространства. В этом случае синяя ось войдет вниз, противоположно тому направлению, в котором проходила красная ось.

В этом случае возьмите каталожные кубы 10, 11, 12. Поднимите каталожный куб 1 и поместите 10 под него, представляя, что он опускается из предыдущего положения 1.

Мы должны сохранить в пространстве белую и желтую оси, а красную позволить уйти, синюю — войти.

Теперь вы найдете на кубе 10 светло-желтую грань; она должна совпадать с основанием 1, а белая и желтая линии на двух кубах должны совпадать. Тогда, с синей осью, направленной вниз, у вас будет правильно расположенный каталожный куб, и он послужит руководством для сборки первого представительного блока.

Каталожный куб 11 будет представлять то, что лежит в четвертом измерении — теперь красная линия проходит в четвертом измерении. Таким образом, изменение от 10 к 11 должно быть в сторону красного: нулевой точке соответствует красная точка, белой линии — розовая линия, желтой линии — оранжевая линия и так далее.

Каталожный куб 12 подобен 10. Следовательно, мы видим, что для сборки наших блоков граней тессерактов мы должны взять нижний слой первого блока, поднять его в воздух, под него поместить нижний слой второго блока и, наконец, под этот последний — нижний слой последнего из наших нормальных блоков.

Аналогично мы создаем вторую представительную группу, беря средние ряды наших трех блоков. Последняя создается путем взятия трех самых верхних слоев. Три оси в нашем пространстве до начала поперечного движения — синяя, белая, желтая, поэтому у нас светло-зеленые грани тессерактов, а после начала движения — сечения, поперечные красному свету.

Эти три блока представляют внешний вид, когда группа тессерактов в своем новом положении проходит через наше пространство. Кубы контакта в этом случае — те, что определяются тремя осями в нашем пространстве, а именно: белой, желтой, синей. Следовательно, они светло-зеленые.

Из этого следует, что светло-зеленый — это внутренний куб первого блока представительных кубических граней.

Практика в описанных манипуляциях с осознанием в каждом случае грани или сечения, находящихся в нашем пространстве, является одним из лучших средств для глубокого понимания предмета.

Мы должны научиться тому, как помещать любую часть этих четырехмерных фигур в пространство, чтобы мы могли их рассмотреть. Мы должны сначала научиться вращать тессеракт и группу тессерактов любым способом.

Когда эти операции были повторены и метод расположения набора блоков стал привычным, хорошим планом будет вращать оси нормального куба 1 вокруг диагонали, а затем повторить всю серию поворотов.

Таким образом, в нормальном положении красный идет вверх, белый — вправо, желтый — вдаль. Сделайте так, чтобы белый шел вверх, желтый — вправо, а красный — вдаль. Изучите куб в этом положении, собирая набор блоков нормального куба снова и снова, пока он не станет для вас таким же привычным, как в нормальном положении. Затем, когда это изучено и сделаны соответствующие изменения в расположении групп тессерактов, следует сделать другое изменение: пусть в нормальном кубе желтый идет вверх, красный — вправо, а белый — вдаль.

Изучите нормальный блок кубов в этом новом положении, расставляя и переставляя их до тех пор, пока не будете без раздумий знать, куда каждый из них идет. Затем выполните все расположения и повороты тессерактов.

Если вы хотите понять предмет, но не видите пути ясно, если он не кажется вам естественным и легким, практикуйте эти повороты. Практикуйте, прежде всего, поворот блока кубов, чтобы вы знали его в любом положении так же хорошо, как в нормальном. Практикуйте, постепенно собирая набор кубов в их новых расположениях. Затем собирайте блоки тессерактов в их расположениях. Это даст вам рабочее представление о высшем пространстве, вы обретете его чувство, независимо от того, займетесь ли вы его математической обработкой или нет.

ПРИЛОЖЕНИЕ II ЯЗЫК ПРОСТРАНСТВА

Простое называние частей фигур, которые мы рассматриваем, требует определенного количества времени и внимания. Это время и внимание не приводят ни к какому результату, ибо с каждой новой фигурой применяемая номенклатура полностью меняется, каждая буква или символ используются в ином значении.

Неужели невозможно каким-то образом использовать труд, который в настоящее время тратится впустую!

Почему бы нам не создать язык для самого пространства, чтобы каждое положение, к которому мы хотим обратиться, имело свое собственное название? Тогда каждый раз, называя фигуру для демонстрации ее свойств, мы упражнялись бы в словаре места.

Если мы используем определенную систему имен и всегда называем одно и то же положение в пространстве одним и тем же именем, мы создаем, так сказать, множество маленьких рук, каждая из которых готова ухватить особую точку, положение или элемент и удержать его для нас в надлежащих отношениях.

Мы создаем, используя другую аналогию, своего рода ментальную бумагу, которая обладает некоторыми свойствами светочувствительной пластинки, поскольку она будет регистрировать без усилий сложные визуальные или тактильные впечатления.

Но гораздо более важным, чем применение языка пространства к плоскости и твердому пространству, является облегчение, которое он приносит при изучении четырехмерных форм.

Я откладывал введение языка пространства, потому что все системы, которые я создавал, после их честной проверки оказывались невыносимыми. Теперь я натолкнулся на одну, которая, кажется, обладает признаками постоянства, и я дам здесь ее набросок, чтобы ее можно было применить к предмету текста и чтобы она могла быть подвергнута критике.

Принцип, на котором построен язык, заключается в том, чтобы пожертвовать любыми другими соображениями ради краткости.

Действительно любопытно, что мы способны говорить и беседовать на любую тему мысли, кроме фундаментальной темы пространства. Единственный способ говорить о пространственных конфигурациях, лежащих в основе каждого предмета дискурсивного мышления, — это координатная система чисел. Она настолько неуклюжа и неудобна, что никогда не используется. В мышлении также, при осознании форм, мы не используем ее; мы ограничиваемся прямой визуализацией.

Теперь использование слов соответствует накоплению нашего опыта в определенной структуре мозга. Ребенка в бесконечных тактильных, визуальных, ментальных манипуляциях, которые он совершает для себя, лучше оставить в покое, но в процессе обучения введение пространственных имен сделало бы работу учителя более кумулятивной, а знания ребенка — более социальными.

Их полное использование можно оценить только в том случае, если они введены на раннем этапе обучения; но в меньшей степени каждый может убедиться в их полезности, особенно в нашей непосредственной теме обращения с четырехмерными формами. Сумма результатов, полученных на предыдущих страницах, может быть кратко и точно выражена девятью словами языка пространства.

В одном из диалогов Платона Сократ проводит эксперимент над стоящим рядом мальчиком-рабом. Он пробуждает определенные восприятия пространства в уме раба Менона, направляя его пристальное внимание на некоторые простые факты геометрии.

С помощью нескольких слов и простых форм мы можем повторить эксперимент Платона на новой почве.

Пробуждаем ли мы в себе скрытую способность, направляя пристальное внимание на факты четырех измерений? Старый эксперимент Платона, как мне кажется, дошел до нас таким же новым, как и в тот день, когда он его начал, и его значение не стало понятнее через все дискуссии, предметом которых он был.

Представьте себе безгласный народ, живущий в регионе, где все имело бархатистую поверхность, и который был таким образом лишен всякой возможности испытать, что такое звук. Они могли бы наблюдать медленные пульсации воздуха, вызванные их движениями, и, рассуждая по аналогии, они, несомненно, сделали бы вывод, что возможны более быстрые вибрации. С теоретической стороны они могли бы определить все об этих более быстрых вибрациях. Они просто отличаются, сказали бы они, от более медленных числом, происходящим за данное время; это чисто формальное различие.

Но предположим, что они взяли бы на себя труд, приложили бы усилия для создания этих более быстрых вибраций, тогда совершенно новое ощущение достигло бы их рудиментарных органов слуха. Вероятно, поначалу они лишь смутно осознавали бы Звук, но уже с самого начала они поняли бы, что чисто формальное различие, простое различие в количественном отношении в данном аспекте, практически означает огромную разницу для них. И для нас различие между тремя и четырьмя измерениями является чисто формальным, числовым. Мы можем формально рассказать все о четырех измерениях, вычислить отношения, которые могли бы существовать. Но то, что различие является лишь формальным, не доказывает, что попытка представить себе как можно ближе явления четырех измерений — это бесполезная и пустая задача. В нашем формальном знании о нем весь вопрос о его фактическом отношении к нам, такими, какие мы есть, остается нерешенным.

Возможно, новое понимание природы может прийти к нам через практическое, в отличие от математического и формального, изучение четырех измерений. Подобно тому как ребенок берет в руки и исследует предметы, с которыми вступает в контакт, мы можем мысленно брать и исследовать четырехмерные объекты. Вопрос, который необходимо решить, заключается в следующем: находим ли мы что-то родственное и естественное для наших способностей, или же мы просто выстраиваем искусственное представление схемы, которая возможна и мыслима лишь формально, но не имеет реальной связи с каким-либо существующим или возможным опытом?

Это, как мне кажется, вопрос, который можно решить только на практике. Эта практическая попытка является логическим и прямым продолжением эксперимента, предложенного Платоном в диалоге «Менон».

Почему мы мыслим истинно? Почему с помощью наших мыслительных процессов мы можем предсказывать, что произойдет, и правильно предполагать устройство окружающих нас вещей? Это проблема, которую рассматривал каждый современный философ и для которой Декарт, Лейбниц, Кант, если назвать лишь некоторых, предложили памятные решения. Платон первым предложил ее. И поскольку он занимал уникальное положение первого автора этой проблемы, его решение является наиболее уникальным. Поздние философы говорили о сознании и его законах, ощущениях, категориях. Но Платон никогда не использовал такие слова. Сознание в отрыве от сознающего существа для него ничего не значило. Его поиск всегда был объективным. Он сделал интуицию человека основой нового вида естественной истории.

Несколькими простыми словами Платон ставит нас в позицию по отношению к психическим явлениям — разуму, эго, «тому, что мы есть», — которая аналогична позиции, занимаемой современными учеными по отношению к явлениям внешней природы. За этим нашим первым восприятием природы скрывается бесконечная глубина, которую предстоит изучить и познать. Платон говорил, что за явлениями разума, которые демонстрировал раб Менона, скрывалась обширная, бесконечная перспектива. И его своеобразие, его оригинальность наиболее ярко проявляются в том, что эта перспектива, сложные явления за пределами видимого, были, по его мнению, явлениями личного опыта. След на песке означает человека для существа, у которого есть понятие о человеке. Но для существа, у которого нет такого понятия, это означает любопытную отметку, каким-то образом возникшую в результате стечения обычных обстоятельств. Такое существо попыталось бы лишь объяснить, как известные ему причины могли совпасть, чтобы произвести такой результат; оно не распознало бы его значимости.

Платон ввел концепцию, которая сделала возможным новый вид естественной истории. Он сказал, что раб Менона мыслил истинно о вещах, которым никогда не учился, потому что его «душа» обладала опытом. Я знаю, что для некоторых людей это прозвучит абсурдно, и это прямо противоречит максиме о том, что объяснение состоит в демонстрации того, как следствие зависит от простых причин. Но какая же это ошибочная максима! Можно ли привести хоть один пример простой причины? Возьмем поведение сфер, например, те же шары из слоновой кости, бильярдные шары. Мы можем объяснить их поведение, предположив, что они являются однородными упругими телами. Мы можем привести формулы, которые объяснят их движения во всем многообразии. Но являются ли они однородными упругими телами? Нет, конечно. Они сложны по своей физической и молекулярной структуре, а атомы и ионы открывают бесконечную перспективу. Наше простое объяснение ложно, настолько ложно, насколько это возможно. Шары ведут себя так, как если бы они были однородными упругими сферами. В результате действия очень сложных условий существует статистическая простота, которая делает эту искусственную концепцию полезной. Но ее полезность не должна ослеплять нас перед фактом, что она искусственна. Если мы действительно глубоко всмотримся в природу, мы обнаружим гораздо большую сложность, чем предполагали поначалу. И не существует ли за этим простым «Я», за этим «собой», параллельной сложности? Платоновская «душа» была бы вполне приемлема для большого круга мыслителей, если бы под «душой» и сложностью, которую он ей приписывает, он имел в виду продукт долгого процесса эволюционных изменений, в ходе которого простые формы живой материи, наделенные рудиментарным ощущением, постепенно развились в полностью сознательных существ.

Но Платон не подразумевает под «душой» существо такого рода. Его душа — это существо, чьи способности затуманены телесным окружением или, по крайней мере, затруднены сложностью управления своим телесным каркасом — существо, которое по сути выше того отчета, который оно дает о себе через свои органы. В то же время душа Платона не является бестелесной. Это реальное существо с реальным опытом. Вопрос о том, обладал ли Платон концепцией непространственного существования, много обсуждался. Вердикт, я полагаю, заключается в том, что даже его «идеи» мыслились им как существа в пространстве или, как мы бы сказали, реальные. Позиция Платона — это позиция науки, поскольку он мыслит мир в Пространстве. Но, признавая это, нельзя отрицать, что существует фундаментальное расхождение между концепцией Платона и эволюционной теорией, а также абсолютное расхождение между его концепцией и генетическим объяснением происхождения человеческих способностей. Функции и возможности платоновской «души» не являются производными от взаимодействия тела и окружающей среды.

Платон занимался множеством проблем, и его религиозные и этические мысли были настолько острыми и плодотворными, что экспериментальное исследование его души кажется переплетенным со многими другими мотивами. В одном отрывке Платон объединяет мысли самого разного рода и из всех источников, перекрывающиеся и перетекающие друг в друга. И ни в чем он не бывает более запутанным и богатым, чем в этом вопросе о душе. На самом деле, мне бы хотелось, чтобы существовало два слова: одно, обозначающее то существо, телесное и реальное, но обладающее более высокими способностями, чем те, что мы проявляем в наших телесных действиях, которое должно быть предметом экспериментального исследования; и другое слово, обозначающее «душу» в том смысле, в каком она становится вместилищем и залогом столь многого, к чему стремятся люди. Именно душу в первом смысле я хочу исследовать, и только в ограниченной сфере. Я хочу выяснить, в продолжение эксперимента из «Менона», что «душа» в нас думает о протяженности, экспериментируя на основаниях, заложенных Платоном. Он выдвинул, говоря кратко, гипотезу относительно мыслительной силы существа в нас, «души». Эта душа недоступна для наблюдения зрением или осязанием, но ее можно наблюдать по ее функциям; она является объектом нового вида естественной истории, материалы для построения которой лежат в том, что нам естественно думать. У Платона «мысль» была очень широким термином, но все же я хотел бы отвести в его общем плане процедуры место для частного вопроса о протяженности.

Проблема сводится к следующему: «Что нам естественно думать о материи как о протяженной?»

Прежде всего, я обнаруживаю, что обычная интуиция любого простого объекта крайне несовершенна. Возьмем, к примеру, блок из по-разному размеченных кубиков и ознакомимся с ними в их положениях. Вам может показаться, что вы знаете их довольно хорошо, но когда вы повернете их — например, вращая блок вокруг диагонали, — вы обнаружите, что потеряли след отдельных кубиков в их новых положениях. Вы можете мысленно сконструировать блок в его новом положении, следуя правилу, запоминая последовательности, но вы не знаете его интуитивно. Наблюдая за блоком кубиков в различных положениях и очень быстро используя пространственные имена, применяемые к кубикам в их различных представлениях, можно получить интуитивное знание о блоке кубиков, которое не нарушается никаким перемещением. Теперь, что касается этой интуиции, мы, современные люди, сказали бы, что я сформировал ее с помощью своего тактильно-визуального опыта (подкрепленного наследственной предрасположенностью). Платон сказал бы, что душа была стимулирована распознать пример формы, которую она знала. Платон рассматривал бы процесс обучения лишь как стимул; мы же — как полностью объясняющий результат. Последнее — более здравый взгляд. Но, с другой стороны, он предполагает порождение опыта из физических изменений. Мир чувственного опыта, согласно современному взгляду, замкнут и ограничен; только физический мир обширен, велик и обладает сложностью, которую еще предстоит открыть. Мир души Платона, с другой стороны, по крайней мере так же велик и обширен, как мир вещей.

Давайте теперь проведем решающий эксперимент. Могу ли я сформировать интуицию четырехмерного объекта? Такой объект не дан в физическом диапазоне моих чувственных контактов. Все, что я могу сделать, — это представить себе последовательности твердых тел, что означало бы представление мне в моих условиях четырехмерного объекта. Все, что я могу сделать, — это визуализировать и тактильно ощутить различные серии твердых тел, которые являются альтернативными наборами сечений четырехмерной формы.

Если теперь, представляя эти последовательности, я обнаружу в себе способность интуитивно переходить от одного из этих наборов последовательностей к другому, при получении одного — интуитивно конструировать другой, не используя правило, а непосредственно постигая его, тогда я открыл новый факт о своей душе: что она обладает четырехмерным опытом; я наблюдал это по функции, которой она обладает.

Я не хотел бы говорить категорично, ибо могу стать причиной потери времени другими, если, что вполне вероятно, я ошибаюсь. Но что касается меня, я думаю, что есть признаки такой интуиции; основываясь на результатах моих экспериментов, я принимаю гипотезу, что то, что мыслит в нас, обладает обширным опытом, частью которого являются интуиции, используемые нами при взаимодействии с миром реальных объектов; частью этого опыта является также интуиция четырехмерных форм и движений. Процесс, которым мы интеллектуально заняты, — это чтение неясных сигналов наших нервов в мир реальности посредством интуиций, полученных из внутреннего опыта.

Образ, который я формирую, таков. Представьте капитана современного линкора, направляющего его курс. Перед ним карты; он находится в связи со своими помощниками и подчиненными; может передавать свои сообщения и приказы в любую часть корабля и получать информацию из боевой рубки и машинного отделения. Теперь предположим, что капитан, погруженный в проблему навигации своего корабля по океану, настолько поглощен проблемой направления своего судна по плоской поверхности моря, что забывает о себе. Все, что занимает его внимание, — это вид движения, которое совершает его корабль. Операции, с помощью которых это движение производится, опустились ниже порога его сознания, его собственные действия, с помощью которых он нажимает кнопки, отдает приказы, стали настолько привычными, что стали автоматическими, его разум сосредоточен на движении корабля в целом. В таком случае мы можем представить, что он отождествляет себя со своим кораблем; все, что входит в его сознательную мысль, — это направление его движения по плоской поверхности океана.

Таково отношение, как я его себе представляю, души к телу. Отношение, которое мы можем представить существующим мгновенно в случае с капитаном, является нормальным в случае с душой и ее судном. Как капитан способен на своего рода движение, амплитуду движения, которая не входит в его мысли относительно управления кораблем по плоской поверхности океана, так и душа способна на своего рода движение, обладает амплитудой движения, которая не используется в ее задаче управления телом в трехмерном регионе, в котором лежит активность тела. Если бы по какой-либо причине капитану стало необходимо учитывать трехмерные движения своего корабля, ему было бы несложно получить материалы для размышления о таких движениях; все, что ему нужно сделать, — это задействовать свой собственный глубокий опыт. Однако, что касается навигации корабля, он не обязан прибегать к такому опыту. Корабль в целом просто движется по поверхности. Проблема трехмерного движения обычно не касается его управления. И так же в отношении нас самих: все те движения и действия, которые характеризуют наши телесные органы, являются трехмерными; нам никогда не нужно учитывать более обширные движения. Но мы делаем больше, чем просто используем движения нашего тела для достижения наших целей прямыми средствами; мы дошли до того момента, когда действуем на природу косвенно, когда приводим в действие процессы, которые лежат за пределами любого объяснения, которое мы можем дать с помощью того вида мышления, который был достаточен для управления нашим судном в целом. Когда мы подходим к проблеме того, что происходит в мельчайших деталях, и применяем себя к механизму мельчайшего, мы находим наши привычные концепции неадекватными.

Капитан в нас должен проснуться к своей собственной сокровенной природе, осознать те функции движения, которые являются его собственными, и в силу знания о них понять, как справляться с проблемами, к которым он пришел.

Подумайте об истории человечества. Было ли когда-нибудь время, когда его мысли о форме и движении не были исключительно такими, которые были приспособлены для его телесной деятельности? У нас никогда не было потребности осознать, каковы наши собственные самые сокровенные силы. Но точно так же, как капитан, погрузившись в управление своим кораблем по плоской поверхности океана, не может потерять способность думать о том, что он делает на самом деле, так и душа не может потерять свою собственную природу. Она может быть пробуждена к интуиции, которая не получена из опыта, даваемого чувствами. Все, что необходимо, — это представить несколько тех явлений, которые, будучи несовместимыми с трехмерной материей, тем не менее согласуются с нашим формальным знанием о четырехмерной материи, чтобы душа проснулась и не начала учиться, а из своего собственного сокровенного чувства заполнила пробелы в предчувствии, охватила полный круг возможностей из представленных ей изолированных точек. В связи с этим вопросом о наших восприятиях позвольте мне предложить другую иллюстрацию, не воспринимая ее слишком серьезно, а лишь предлагая ее, чтобы показать возможности в широком и общем плане.

На небесах, среди множества звезд, есть некоторые, которые, если направить на них телескоп, кажутся не одиночными звездами, а расщепленными на две. Рассматривая эти двойные звезды через спектроскоп, астроном видит в каждой спектр из полос цвета и черных линий. Сравнивая эти спектры друг с другом, он обнаруживает, что существует небольшое относительное смещение темных линий, и по этому смещению он знает, что звезды вращаются вокруг друг друга, и может определить их относительную скорость по отношению к Земле. С помощью своей земной физики он читает этот сигнал небес. Это смещение линий, простое небольшое изменение черной линии в спектре, очень не похоже на то, что, как знает астроном, оно означает. Но оно, вероятно, гораздо больше похоже на то, что оно означает, чем сигналы, которые доставляют нервы, похожи на явления внешнего мира.

Никакая картина объекта не передается через нервы. Никакая картина движения, в том смысле, в каком мы постулируем его существование, не передается через нервы. Фактические данные, которые учитывает наше сознание, вероятно, идентичны для глаза и уха, зрения и осязания.

Если на мгновение я возьму всю Землю целиком и рассмотрю ее как чувствующее существо, я обнаружу, что проблема ее восприятия очень сложна и включает в себя длинную серию личных и физических событий. Точно так же проблема нашего восприятия очень сложна. Я использую эту иллюстрацию только для того, чтобы показать свой смысл. Она имеет то особое достоинство, что, поскольку процесс сознательного восприятия происходит в нашем случае в мельчайших деталях, так и в отношении этого земного существа соответствующий процесс происходит в том, что относительно него является очень мелким.

Теперь взгляд Платона на душу приводит нас к гипотезе, что то, что мы обозначаем как акт восприятия, может быть очень сложным событием, как физически, так и личностно. Он не стремится объяснить, что такое интуиция; он делает ее основой, с которой отправляется в путешествие за открытиями. Знание означает знание; он заставляет сознательное существо отвечать за сознательное существо. Он выдвигает гипотезу того рода, которая так плодотворна в физической науке, — гипотезу, не претендующую на окончательность, которая намечает перспективу возможного определения за определением, подобно самой гипотезе пространства, типу полезных гипотез.

И, прежде всего, гипотеза Платона способствует эксперименту. Он дает перспективу, в которой могут быть определены реальные объекты; и в нашем текущем исследовании мы проводим самый простой из всех возможных экспериментов — мы исследуем, что естественно для души думать о материи как о протяженной.

Аристотель говорит, что мы всегда используем «фантазм» в мышлении, фантазм наших телесных чувств, визуализацию или тактильное ощущение. Но мы можем так модифицировать эту визуализацию или тактильное ощущение, что она будет представлять нечто, не известное чувствам. Пробуждаем ли мы этим представлением интуицию души? Можем ли мы с помощью представления этих гипотетических форм, которые являются предметом нашего текущего обсуждения, пробудить себя к более высоким интуициям? И можем ли мы объяснить окружающий мир движением, которое мы знаем только благодаря нашим душам?

Однако, помимо всех спекуляций, мне кажется, что интерес к этим четырехмерным формам и движениям является достаточным основанием для их изучения, и что они являются путем, с помощью которого мы можем вырасти до более полного понимания мира как конкретного целого.

Пространственные имена.

Если слова, написанные в квадратах, нарисованных на рис. 1, используются в качестве названий квадратов в тех положениях, в которых они размещены, очевидно, что комбинация этих имен будет обозначать фигуру, состоящую из обозначенных квадратов. Оказывается наиболее удобным взять в качестве начального квадрата тот, который помечен звездочкой, так что направления прогрессии идут к наблюдателю и вправо от него. Направления прогрессии, однако, произвольны и могут быть выбраны по желанию.

Fig. 1.

Таким образом, et, at, it, an, al будут обозначать фигуру в форме креста, состоящую из пяти квадратов.

Здесь, с помощью двойной последовательности e, a, i и n, t, l, можно назвать ограниченную совокупность пространственных элементов.

Система может быть очевидно расширена путем использования буквенных последовательностей с большим количеством членов.

Но, не вводя такой сложности, можно продемонстрировать принципы пространственного языка и получить номенклатуру, адекватную всем соображениям предыдущих страниц.

1. Протяженность.

Fig. 2.

Назовите большие квадраты на рис. 2 именем, написанным в них. Очевидно, что каждый может быть разделен, как показано на рис. 1. Тогда маленький квадрат, помеченный 1, будет «en» в «En» или «Enen». Квадрат, помеченный 2, будет «et» в «En» или «Enet», в то время как квадрат, помеченный 4, будет «en» в «Et» или «Eten». Таким образом, квадрат 5 будет называться «Ilil».

Этот принцип протяженности может быть применен к любому количеству измерений.

2. Применение к трехмерному пространству.

Чтобы назвать трехмерную совокупность кубов, возьмите сначала направление вверх, во-вторых, направление к наблюдателю, в-третьих, направление вправо от него.

Они образуют слово, в котором первая буква дает место куба вверх, вторая буква — его место к наблюдателю, третья буква — его место вправо.

Таким образом, мы имеем следующую схему, которая представляет набор кубов колонки 1, рис. 101, страница 165.

Мы начинаем с удаленного нижнего куба слева, где помещена звездочка (это оказывается, безусловно, самым удобным началом для нормальной системы).

Таким образом, «nen» — это «нулевой» куб, «ten» — красный куб на нем, а «len» — «нулевой» куб над «ten».

Используя более расширенную последовательность согласных и гласных, можно назвать больший набор кубов.

Чтобы назвать четырехмерный блок тессерактов, необходимо просто добавить «e», «a» или «i» к названиям кубов.

Таким образом, блоки тессерактов, схематически представленные на странице 165, рис. 101, называются следующим образом:—

2. Вывод названий точки, линии, грани и т. д.

Принцип вывода может быть показан следующим образом: взяв квадрат квадратов

количество квадратов в нем может быть увеличено, а целое сохранено того же размера.

Сравните рис. 79, стр. 138, например, или нижний слой рис. 84.

Теперь используйте начальную «s», чтобы обозначить результат доведения этого процесса до значительной степени, и мы получим предельные названия, то есть названия точки, линии, площади для квадрата. «Sat» — это вся внутренняя часть. Углы — «sen», «sel», «sin», «sil», в то время как линии — «san», «sal», «set», «sit».

Я обнаружил, что при использовании начальной «s» эти названия становятся практически полностью несвязанными с систематическими названиями квадрата, из которого они выведены. Их легко выучить, и, будучи выученными, их можно легко использовать с осями, направленными в любую сторону.

Вывод предельных названий для четырехмерной прямоугольной фигуры, такой как тессеракт, является простым расширением этого процесса. Эти названия точек, линий и т. д. включают те, которые применимы к кубу, что станет очевидным при осмотре первого куба на следующих диаграммах.

Все, что необходимо, — это поставить «s» перед каждым из названий, данных для блока тессерактов. Мы затем получаем названия, которые, подобно названиям цветов на странице 174, рис. 103, применяются ко всем точкам, линиям, граням, твердым телам и к гипертелу тессеракта. Эти названия имеют преимущество перед цветовыми метками в том, что каждая точка, линия и т. д. имеет свое собственное индивидуальное название.

На диаграммах я привожу названия, соответствующие положениям, показанным на цветной таблице или описанным на стр. 174. Сравнивая кубы 1, 2, 3 с первым рядом кубов на цветной таблице, можно определить систематические названия каждой из точек, линий, граней и т. д. Звездочка показывает начало, от которого идут названия.

Эти названия точек, линий, граней и т. д. следует использовать в связи с соответствующими цветами. Названия должны вызывать цветные образы названных частей в их правильной связи.

Установлено, что определенное сокращение добавляет яркости различиям в этих названиях. Если конечное «en» отбрасывать везде, где оно встречается, система улучшается. Так, вместо «senen», «seten», «selen» предпочтительнее сокращать до «sen», «set», «sel», а также использовать «san», «sin» вместо «sanen», «sinen».

Теперь мы можем назвать любой срез. Возьмем, например, линию в первом кубе от senin до senel, мы должны назвать линию, идущую от senin до senel, senin senat senel, линию светло-желтого цвета с нулевыми точками.

Здесь senat — это название для всей линии, кроме ее концов. Использование «senat» таким образом не означает, что линия — это вся senat, но то, что от нее есть, — это senat. Это часть региона senat. Таким образом, треугольник, который имеет свои три вершины в senin, senel, selen, называется так:

Площадь: setat.

Стороны: setan, senat, setet.

Вершины: senin, senel, sel.

Тетраэдрический срез тессеракта можно представить как серию плоских срезов в последовательных сечениях тессеракта, показанных на рис. 114, стр. 191. В b0 срез — это тот, что написан выше. В b1 срез сделан плоскостью, которая пересекает три ребра от sanen посередине их длины, и, таким образом, будет:

Площадь: satat.

Стороны: satan, sanat, satet.

Вершины: sanan, sanet, sat.

Срезы в b2, b3 будут похожи на срез в b1, но меньше.

Наконец, в b4 секущая плоскость просто проходит через угол, названный sin.

Следовательно, соединяя эти срезы вместе в их правильном отношении, от грани setat, окруженной линиями и точками, упомянутыми выше, идут:

3 грани: satan, sanat, satet

3 линии: sanan, sanet, sat

и эти грани и линии идут к точке sin. Таким образом, тетраэдр полностью назван.

Октаэдрический срез тессеракта, который можно проследить по рис. 72, стр. 129, путем продления нарисованных там линий, называется:

Передний треугольник selin, selat, selel, setal, senil, setit, selin с площадью setat.

Срезы между передним и задним треугольником, один из которых показан в 1b, другой в 2b, называются так (точки и линии): salan, salat, salet, satet, satel, satal, sanal, sanat, sanit, satit, satin, satan, salan.

Задний треугольник, найденный в 3b путем продолжения линий, — это sil, sitet, sinel, sinat, sinin, sitan, sil.

Совокупность срезов составляет твердое тело октаэдра satat с треугольными гранями. Тот, что от линии selat до точки sil, например, называется selin, selat, selel, salet, salat, salan, sil. Вся внутренняя часть — salat.

Из картона легко вырезать формы, которые при складывании образуют не только тетраэдр и октаэдр, но и образцы всех срезов тессеракта, взятых по мере его прохождения углом через наше пространство. Назвать и визуализировать с соответствующими цветами серию этих срезов — отличное упражнение для получения знакомства с предметом.

Протяженность и связь с числами.

Расширяя буквенную последовательность, конечно, можно назвать большее поле. Используя предельные названия, можно назвать углы каждого квадрата.

Таким образом, «en sen», «an sen» и т. д. будут названиями точек, ближайших к началу координат в «en» и в «an».

Поле точек, каждая из которых бесконечно мала, задается названиями, написанными ниже.

Квадраты показаны пунктирными линиями, названия обозначают точки. Эти точки — не математические точки, а на самом деле крошечные области.

Вместо того чтобы начинать с набора квадратов и называть их, мы можем начать с набора точек.

С помощью легко запоминающегося соглашения мы можем дать названия такой области точек.

Пусть пространственные имена с добавленной в конце «e» обозначают математические точки в углу каждого квадрата, ближайшем к началу координат. Тогда мы имеем

для набора указанных математических точек. Эта система на самом деле полностью независима от системы областей и связана с ней лишь для облегчения процессов памяти. Слово «ene» произносится как «eny», с достаточным вниманием к конечному гласному, чтобы отличить его от слова «en».

Теперь, соединяя числа 0, 1, 2 с последовательностью e, a, i, а также с последовательностью n, t, l, мы имеем набор точек, названных как числами в системе координат. Таким образом, «ene» — это (0, 0), «ate» — (1, 1), «ite» — (2, 1). Чтобы перейти к системе областей, правило состоит в том, что название квадрата формируется из названия его точки, ближайшей к началу координат, путем отбрасывания конечной e.

Используя нотацию, аналогичную десятичной системе, можно назвать большее поле точек. Остается назначить буквенную последовательность числам от положительного 0 до положительного 9 и от отрицательного 0 до отрицательного 9, чтобы получить систему, которую можно использовать для обозначения как обычной системы координат отображения, так и системы названных квадратов. Названия, обозначающие точки, все заканчиваются на e. Те, что обозначают квадраты, заканчиваются на согласную.

Существует много соображений, которые необходимо учитывать при расширении используемых последовательностей, таких как уникальность значения сформированных слов, легкость произношения, избегание неудобных комбинаций.

Я полностью отбрасываю «s» из ряда согласных и краткую «u» из ряда гласных. Удобно иметь в распоряжении незначимые буквы. Двойную согласную, такую как «st», например, можно упомянуть, не придавая ей локального значения, назвав ее «ust». Я увеличиваю количество гласных, считая звук типа «ra» гласным, то есть используя букву «r» как формирующую составную гласную.

Серия выглядит следующим образом:—

Consonants.

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

positive
n
t
l
p
f
sh
k
ch
nt
st

negative
z
d
th
b
v
m
g
j
nd
sp

Vowels.

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

positive
e
a
i
ee
ae
ai
ar
ra
ri
ree

negative
er
o
oo
io
oe
iu
or
ro
roo
rio

Произношение. —e как в men; a как в man; i как в in; ee как в between; ae как ay в may; ai как i в mine; ar как в art; er как ear в earth; o как в on; oo как oo в soon; io как в clarion; oe как oa в oat; iu произносится как yew.

Чтобы назвать точку, такую как (23, 41), она рассматривается как (3, 1) от (20, 40) и называется «ifeete». Это начальная точка квадрата ifeet системы областей.

Предыдущее расширение пространственного языка было введено исключительно ради полноты. Как уже было сказано, девяти слов и их комбинаций, примененных к нескольким простым моделям, достаточно для целей нашего настоящего исследования.

Отпечатано Hazell, Watson & Viney, Ld., Лондон и Эйлсбери.