Transcriber’s Note:

После примечания переводчика следует единственная сноска.

Если статья занимала несколько страниц, маргинальные примечания к абзацам повторялись. Эти избыточные примечания были удалены.

Незначительные ошибки, допущенные типографией, были исправлены. Пожалуйста, обратитесь к примечанию транскриптора в конце этого текста для получения подробной информации о том, как решались любые текстовые проблемы, возникшие в ходе его подготовки.

На богато украшенной обложке не было текста. Основные сведения с титульного листа были добавлены, и в таком измененном виде она перешла в общественное достояние.

Любые исправления обозначены подчеркиванием. Наведение курсора на исправление вызовет появление оригинального текста во всплывающем окне.

Любые исправления обозначены как гиперссылки, которые перенаправят читателя к соответствующей записи в таблице исправлений в примечании в конце текста.

Английские сочинения Томаса Гоббса: Том 1

ТОМАС ГОББС. Гравюра У. Хамфриса. Лондон. Опубликовано 1 марта 1839 г. Джоном Боном. 17, Генриетта-стрит, Ковент-Гарден.

THE

ENGLISH WORKS

OF

THOMAS HOBBES

OF MALMESBURY;

NOW FIRST COLLECTED AND EDITED

BY

SIR WILLIAM MOLESWORTH, BART.

VOL. I.

LONDON:

JOHN BOHN,

HENRIETTA STREET, COVENT GARDEN.

MDCCCXXXIX.

LONDON:

C. RICHARDS, PRINTER, ST. MARTIN'S LANE.

TO

GEORGE GROTE, ESQ.

M.P. FOR THE CITY OF LONDON.

Дорогой Грот,

Я посвящаю вам это издание сочинений Гоббса; во-первых, потому что знаю, что вам будет приятно видеть полное собрание всех трудов автора, которым вы так восхищаетесь. Во-вторых, потому что я обязан вам своим первым знакомством с размышлениями одного из величайших и наиболее оригинальных мыслителей, писавших на английском языке, чьи работы, как я часто слышал от вас, были столь редки и столь мало читались и изучались, как того заслуживали. Поэтому теперь мне доставляет огромное удовлетворение возможность исполнить ваше часто высказываемое пожелание, чтобы кто-нибудь, у кого есть время и должное почтение к этому выдающемуся человеку, взялся за редактирование его трудов и вновь представил его взгляды соотечественникам, которые так долго и несправедливо пренебрегали им. И я также желаю каким-то образом выразить искреннее уважение и почтение, которые я питаю к вам, и благодарность, которую я должен вам за ценные наставления, полученные мною от вашего общества и от дружбы, которой вы меня удостоили за многие годы нашего общения в политической жизни.

Yours, truly,

William Molesworth.

February 25th, 1839.

79, Eaton Square, London.

ELEMENTS OF PHILOSOPHY.

THE FIRST SECTION,

CONCERNING BODY,

WRITTEN IN LATIN

BY

THOMAS HOBBES OF MALMESBURY

AND

TRANSLATED INTO ENGLISH.

THE

TRANSLATOR TO THE READER.

Если бы, закончив перевод этого первого раздела «Основ философии», я немедленно отдал его в печать, он мог бы попасть к вам в руки раньше, чем сейчас. Но поскольку я взялся за него с большой неуверенностью в своей способности выполнить его хорошо, я счел уместным перед публикацией попросить мистера Гоббса просмотреть, исправить и упорядочить его по своему усмотрению. Поэтому, хотя вы обнаружите, что некоторые места расширены, другие изменены, а две главы, XVIII и XX, почти полностью переработаны, вы все же можете быть уверены, что в том виде, в каком я представляю его вам сейчас, он нисколько не отклоняется от собственного смысла и значения автора. Что касается «Шести уроков савилианским профессорам в Оксфорде», то они не являются моим переводом, а были написаны, как вы видите их здесь на английском языке, самим мистером Гоббсом; и они приложены к этой книге, поскольку в основном служат защитой того же самого. [A]

A. Они будут опубликованы в отдельном томе вместе с другими работами подобного рода. У. М.

THE AUTHOR'S EPISTLE DEDICATORY,

TO THE

RIGHT HONORABLE, MY MOST HONORED LORD,

WILLIAM, EARL OF DEVONSHIRE.

Этот первый раздел «Основ философии», памятник моего служения и щедрости Вашей Светлости, хотя и долго откладывался после публикации Третьего раздела, наконец завершен, и я представляю его, мой превосходнейший лорд, и посвящаю Вашей Светлости. Книга небольшая, но содержательная; и достаточно великая, если люди умеют правильно считать великое; а для внимательного читателя, сведущего в математических доказательствах, то есть для Вашей Светлости, ясная и легкая для понимания, и почти во всем новая, без какой-либо оскорбительной новизны. Я знаю, что та часть философии, в которой рассматриваются линии и фигуры, была передана нам значительно усовершенствованной древними; и вместе с тем как совершеннейший образец логики, с помощью которой они смогли найти и доказать столь превосходные теоремы, как они это сделали. Я также знаю, что гипотеза о суточном движении Земли была изобретением древних; но что и она, и астрономия, то есть небесная физика, возникшая вместе с ней, были последующими философами задушены сетями слов. И поэтому начало астрономии, за исключением наблюдений, я думаю, не следует возводить к более раннему времени, чем к Николаю Копернику, который в эпоху, непосредственно предшествующую нынешней, возродил мнение Пифагора, Аристарха и Филолая. После него, когда учение о движении Земли было принято и в связи с этим возник трудный вопрос о падении тяжелых тел, Галилей в наше время, борясь с этой трудностью, первым открыл нам врата универсальной натурфилософии, которая есть знание о природе движения. Так что возраст натурфилософии нельзя отсчитывать от более раннего времени, чем от него. Наконец, наука о теле человека, самая полезная часть естествознания, была впервые открыта с удивительной проницательностью нашим соотечественником доктором Гарвеем, главным врачом короля Якова и короля Карла, в его книгах о «Движении крови» и о «Поколении живых существ»; он единственный человек, которого я знаю, кто, победив зависть, установил новое учение при жизни. До них в натурфилософии не было ничего достоверного, кроме экспериментов каждого человека для самого себя, и естественных историй, если их можно назвать достоверными, которые не достовернее гражданских историй. Но с тех пор астрономия и натурфилософия в целом за столь короткое время были необычайно продвинуты Иоганном Кеплером, Петром Гассенди и Марином Мерсенном; а наука о человеческих телах в особенности — умом и прилежанием врачей, единственных истинных натурфилософов, особенно наших ученых мужей из Коллегии врачей в Лондоне. Натурфилософия, следовательно, еще молода; но гражданская философия еще моложе, будучи не старше (говорю это вынужденно, и пусть мои хулители знают, как мало они на меня повлияли) моей собственной книги «О гражданине». Но что же? Неужели среди древних греков не было философов, ни естественных, ни гражданских? Были люди, так называемые; свидетель тому Лукиан, которым они высмеиваются; свидетель тому разные города, из которых их часто изгоняли публичными эдиктами. Но из этого не следует, что существовала философия. В старой Греции бродил некий фантазм, внешне важный, хотя внутри полный обмана и скверны, немного похожий на философию; неосторожные люди, принимая его за нее, примыкали к ее профессорам, кто к одному, кто к другому, хотя они были не согласны между собой, и с большой платой отдавали им своих детей, чтобы их учили вместо мудрости ничему иному, как спорить и, пренебрегая законами, решать любой вопрос согласно своим собственным причудам. Первые учители Церкви, вслед за Апостолами, рожденные в те времена, пытаясь защитить христианскую веру против язычников с помощью естественного разума, начали также использовать философию и смешивать с постановлениями Священного Писания изречения языческих философов; и сначала некоторые безобидные из Платона, но впоследствии также много глупых и ложных из физики и метафизики Аристотеля; и, впустив врагов, предали им цитадель христианства. С того времени вместо поклонения Богу вошла вещь, называемая школьным богословием, твердо ступающая на одну ногу, которая есть Священное Писание, но хромающая на другую гнилую ногу, которую апостол Павел назвал суетной, а мог бы назвать пагубной философией; ибо она породила бесконечное число споров в христианском мире относительно религии, а из этих споров — войны. Она похожа на ту Эмпусу у афинского комического поэта, которую в Афинах принимали за призрака, меняющего обличья, имеющего одну медную ногу, а другая была ногой осла, и которая была послана, как полагали, Гекатой как знак какого-то приближающегося злого рока. Против этой Эмпусы, я думаю, нельзя придумать лучшего экзорцизма, чем различать правила религии, то есть правила почитания Бога, которые мы имеем из законов, и правила философии, то есть мнения частных лиц; и воздавать то, что причитается религии, Священному Писанию, а то, что причитается философии, — естественному разуму. И это я сделаю, если буду излагать «Основы философии» истинно и ясно, как и стараюсь делать. Поэтому, имея в Третьем разделе, который я опубликовал и посвятил Вашей Светлости, давно сведя всю власть церковную и гражданскую сильными аргументами разума, без противоречия слову Божьему, к одной и той же суверенной власти; я намерен теперь, приведя в ясный метод истинные основания натурфилософии, напугать и прогнать эту метафизическую Эмпусу; не стычкой, а пролив на нее свет. Ибо я уверен, если какая-либо уверенность в сочинении может исходить от страха, осмотрительности и неуверенности писателя, что в трех предыдущих частях этой книги все, что я сказал, достаточно доказано из определений; а все в четвертой части — из предположений не абсурдных. Но если Вашей Светлости покажется что-то менее полно доказанным, чем нужно, чтобы удовлетворить каждого читателя, причина была в том, что я взялся писать не все для всех, а некоторые вещи только для геометров. Но в том, что Ваша Светлость будет удовлетворена, я не могу сомневаться.

Остается второй раздел, который касается Человека. Та его часть, где я рассматриваю Оптику, содержащая шесть глав, вместе с таблицами фигур, относящихся к ним, уже написана и гравирована и лежит у меня более шести лет. Остальное будет добавлено к ней, как только я смогу; хотя из-за оскорблений и мелких обид некоторых невежественных людей я уже по опыту знаю, какая большая благодарность будет причитаться, чем выплачена мне за то, что я говорю людям правду о том, что такое люди. Но бремя, которое я взял на себя, я намерен нести до конца; не стремясь умиротворить, а скорее отомстить себе за зависть, увеличивая ее. Ибо меня удовлетворяет, что я имею благосклонность Вашей Светлости, которую, будучи всем, чего вы требуете, я признаю; и за которую, с моими молитвами ко Всемогущему Богу о безопасности Вашей Светлости, я буду, по мере своих сил, всегда благодарен.

Your Lordship's most humble servant,

THOMAS HOBBES.

London,

April 23, 1655.

THE

AUTHOR'S EPISTLE TO THE READER.

Не думай, любезный читатель, что философия, элементы которой я собираюсь упорядочить, — это та, что создает философские камни, или та, что находится в метафизических кодексах; но что это естественный разум человека, суетливо летающий вверх и вниз среди творений и приносящий правдивый отчет об их порядке, причинах и следствиях. Философия, следовательно, дитя мира и твоего собственного ума, находится внутри тебя; возможно, еще не сформированная, но, подобно миру, ее отцу, как это было в начале, вещь запутанная. Поступай, следовательно, как скульпторы, которые, отсекая лишнее, не создают, а находят образ. Или подражай творению: если ты хочешь быть философом всерьез, пусть твой разум движется над бездной твоих собственных размышлений и опыта; те вещи, которые лежат в беспорядке, должны быть разделены, различены и каждая отмечена своим собственным именем, приведены в порядок; то есть твой метод должен напоминать метод творения. Порядок творения был: свет, различение дня и ночи, твердь, светила, чувствующие существа, человек; и после творения — заповедь. Поэтому порядок созерцания будет: разум, определение, пространство, звезды, чувственное качество, человек; и после того, как человек вырос, подчинение заповеди. В первой части этого раздела, которая озаглавлена «Логика», я устанавливаю свет разума. Во второй, которая носит название «Основания философии», я различаю самые общие понятия с помощью точного определения, для избежания путаницы и неясности. Третья часть касается расширения пространства, то есть геометрии. Четвертая содержит «Движение звезд» вместе с учением о чувственных качествах.

Во втором разделе, если будет на то воля Божья, будет рассматриваться Человек. В третьем разделе уже рассматривается учение о Подчинении. Это метод, которому я следовал; и если он вам нравится, вы можете использовать тот же самый; ибо я лишь предлагаю, а не навязываю вам ничего своего. Но какой бы метод вам ни понравился, я очень хотел бы порекомендовать вам философию, то есть изучение мудрости, из-за нехватки которой мы все в последнее время понесли большой ущерб. Ибо даже те, кто стремится к богатству, делают это из любви к мудрости; ибо их сокровища служат им лишь зеркалом, в котором они созерцают и рассматривают свою собственную мудрость. И те, кто любит быть занятым общественными делами, не стремятся ни к чему, кроме места, где можно показать свою мудрость. И сладострастные люди не пренебрегают философией, а лишь потому, что не знают, какое это великое удовольствие для ума человека — быть восхищенным в энергичных и вечных объятиях прекраснейшего мира. Наконец, хотя бы ради того, что ум человека не менее нетерпелив к пустому времени, чем природа к пустому месту, чтобы вы не были вынуждены из-за нехватки дел беспокоить людей, у которых есть дела, или терпеть вред, попадая в праздную компанию, но имели что-то свое, чем заполнить свое время, я рекомендую вам изучать философию. Прощайте.

T. H.

НАЗВАНИЯ ГЛАВ.

PART FIRST,
OR LOGIC.
CHAP. |  | PAGE.
1. | Of Philosophy | 1
2. | Of Names | 13
3. | Of Proposition | 29
4. | Of Syllogism | 44
5. | Of Erring, Falsity, and Captions | 55
6. | Of Method | 65
PART SECOND,
OR THE FIRST GROUNDS OF PHILOSOPHY.
7. | Of Place and Time | 91
8. | Of Body and Accident | 101
9. | Of Cause and Effect | 120
10. | Of Power and Act | 127
11. | Of Identity and Difference | 132
12. | Of Quantity | 138
13. | Of Analogism, or the Same Proportion | 144
14. | Of Strait and Crooked, Angle and Figure | 176
PART THIRD,
OF THE PROPORTIONS OF MOTIONS AND MAGNITUDES.
15. | Of the Nature, Properties, and divers Considerations of Motion and Endeavour | 203
16. | Of Motion Accelerated and Uniform, and of Motion by Concourse | 218
17. | Of Figures Deficient | 246
18. | Of the Equation of Strait Lines with the Crooked Lines of Parabolas, and other Figures made in imitation of Parabolas | 268
19. | Of Angles of Incidence and Reflection, equal by Supposition | 273
20. | Of the Dimension of a Circle, and the Division of Angles or Arches | 287
21. | Of Circular Motion | 317
22. | Of other Variety of Motions | 333
23. | Of the Centre of Equiponderation of Bodies pressing downwards in Strait Parallel Lines | 350
24. | Of Refraction and Reflection | 374
PART FOURTH,
OF PHYSICS, OR THE PHENOMENA OF NATURE.
25. | Of Sense and Animal Motion | 387
26. | Of the World and of the Stars | 410
27. | Of Light, Heat, and of Colours | 445
28. | Of Cold, Wind, Hard, Ice, Restitution of Bodies bent, Diaphanous, Lightning and Thunder, and of the Heads of Rivers | 466
29. | Of Sound, Odour, Savour, and Touch | 485
30. | Of Gravity | 508

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИЛИ ЛОГИКА.

ГЛАВА I. О ФИЛОСОФИИ.

1. Введение. — 2. Определение философии объяснено. — 3. Рассуждение ума. — 4. Свойства, что они такое. — 5. Как свойства познаются через порождение и наоборот. — 6. Цель философии. — 7. Ее полезность. — 8. Предмет. — 9. Ее части. — 10. Эпилог.

Introduction.

Философия кажется мне среди людей сейчас такой же, как, говорят, были зерно и вино в мире в древние времена. Ибо с самого начала здесь и там в полях росли виноградные лозы и колосья зерна; но никто не заботился об их посадке и посеве. Поэтому люди жили желудями; или если кто-то был настолько смел, что решался на поедание этих неизвестных и сомнительных плодов, он делал это с опасностью для своего здоровья. Точно так же каждый человек принес Философию, то есть Естественный Разум, в мир с собой; ибо все люди могут рассуждать до некоторой степени и относительно некоторых вещей: но там, где нужна длинная серия рассуждений, большинство людей сбиваются с пути и впадают в ошибку из-за отсутствия метода, как бы из-за отсутствия посева и посадки, то есть совершенствования своего разума. И отсюда происходит, что те, кто довольствуется повседневным опытом, который можно сравнить с питанием желудями, и либо отвергают, либо не очень ценят философию, обычно считаются, и являются на самом деле, людьми более здравого суждения, чем те, кто из мнений, хотя и не вульгарных, но полных неопределенности и небрежно воспринятых, ничего не делают, кроме как спорят и препираются, как люди, не находящиеся в здравом уме. Я признаю, конечно, что та часть философии, с помощью которой вычисляются величины и фигуры, значительно усовершенствована. Но поскольку я не наблюдал подобного прогресса в других ее частях, моя цель — насколько я могу, изложить немногие и первые Элементы Философии в целом, как те семена, из которых чистая и истинная Философия может впоследствии мало-помалу прорасти.

Я не питаю иллюзий относительно того, как трудно выкорчевать из умов людей такие укоренившиеся мнения, которые пустили там корни и были подтверждены авторитетом самых красноречивых писателей; особенно видя, что истинная (то есть точная) Философия открыто отвергает не только прикрасы и ложные цвета языка, но даже сами украшения и изящества оного; и первые основания всей науки не только не красивы, но бедны, сухи и, по видимости, безобразны. Тем не менее, поскольку, безусловно, есть некоторые люди, хотя и немногие, кто наслаждается истиной и силой разума во всем, я подумал, что могу сделать хорошо, взяв на себя этот труд даже ради этих немногих. Поэтому я перехожу к делу и начинаю с самого определения философии, которое таково.

Definition of Philosophy explained.

2. Философия — это такое знание следствий или явлений, которое мы приобретаем путем истинного рассуждения из знания, которое мы имеем сначала об их причинах или порождении; и, опять же, таких причин или порождений, которые могут быть, из знания сначала их следствий.

Для лучшего понимания этого определения мы должны рассмотреть, во-первых, что хотя Чувство и Память о вещах, которые общи человеку и всем живым существам, являются знанием, но поскольку они даны нам непосредственно природой, а не получены путем рассуждения, они не являются философией.

Во-вторых, видя, что Опыт есть не что иное, как память; а Благоразумие, или взгляд в будущее время, не что иное, как ожидание таких вещей, о которых мы уже имели опыт, Благоразумие также не следует считать философией.

Под РАССУЖДЕНИЕМ я понимаю вычисление. Теперь вычислять — значит либо собрать сумму многих вещей, которые сложены вместе, либо знать, что остается, когда одна вещь взята из другой. Рассуждение, следовательно, то же самое, что сложение и вычитание; и если кто-то добавит умножение и деление, я не буду против, видя, что умножение есть не что иное, как сложение равных друг к другу, а деление — не что иное, как вычитание равных друг из друга, так часто, как это возможно. Так что все рассуждение охватывается этими двумя операциями ума: сложением и вычитанием.

Ratiocination of the Mind.

3. Но как путем рассуждения нашего ума мы складываем и вычитаем в наших безмолвных мыслях, без использования слов, мне необходимо сделать понятным на одном или двух примерах. Если поэтому человек видит что-то издалека и неясно, хотя никакое название еще не было дано чему-либо, он, тем не менее, будет иметь ту же идею об этой вещи, для которой теперь, налагая на нее имя, мы называем ее телом. Опять же, когда, подходя ближе, он видит ту же вещь так и так, теперь в одном месте, теперь в другом, он будет иметь новую идею о ней, а именно ту, для которой мы теперь называем такую вещь одушевленной. В-третьих, когда, стоя ближе, он воспринимает фигуру, слышит голос и видит другие вещи, которые являются признаками разумного ума, он имеет третью идею, хотя она еще не имеет названия, а именно ту, для которой мы теперь называем что-либо разумным. Наконец, когда, глядя полностью и отчетливо на нее, он представляет все, что он видел, как одну вещь, идея, которую он имеет теперь, составлена из его прежних идей, которые сложены вместе в уме в том же порядке, в котором эти три отдельных имени, тело, одушевленное, разумное, в речи составлены в это одно имя, тело-одушевленное-разумное, или человек. Точно так же из отдельных представлений четырех сторон, равенства сторон и прямых углов составлено представление квадрата. Ибо ум может представить фигуру из четырех сторон без какого-либо представления об их равенстве, и об этом равенстве без представления о прямом угле; и может соединить все эти отдельные представления в одно представление или одну идею квадрата. И таким образом мы видим, как представления ума составляются. Опять же, всякий, кто видит человека, стоящего рядом с ним, представляет целую идею этого человека; и если, когда он уходит, он следит за ним только глазами, он потеряет идею тех вещей, которые были признаками его разумности, в то время как, тем не менее, идея тела-одушевленного остается перед его глазами, так что идея разумного вычитается из целой идеи человека, то есть тела-одушевленного-разумного, и остается идея тела-одушевленного; и через некоторое время, на большем расстоянии, идея одушевленного будет потеряна, и останется только идея тела; так что в конце концов, когда ничего нельзя будет увидеть, вся идея исчезнет из виду. На этих примерах, я думаю, достаточно ясно, что такое внутреннее рассуждение ума без слов.

Мы не должны поэтому думать, что вычисление, то есть рассуждение, имеет место только в числах, как если бы человек отличался от других живых существ (что, как говорят, было мнением Пифагора) ничем, кроме способности к счету; ибо величина, тело, движение, время, степени качества, действие, представление, пропорция, речь и имена (в которых состоят все виды философии) способны к сложению и вычитанию. Теперь такие вещи, которые мы складываем или вычитаем, то есть которые мы учитываем, мы называем рассматриваемыми, по-гречески λογίζεσθαι, в котором языке также συλλογίζεσθαι означает вычислять, рассуждать или считать.

Properties, what they are.

4. Но следствия и явления вещей для чувства суть способности или силы тел, которые заставляют нас отличать их друг от друга; то есть представлять одно тело равным или неравным, подобным или неподобным другому телу; как в примере выше, когда, подойдя достаточно близко к какому-либо телу, мы воспринимаем движение и ходьбу оного, мы отличаем его тем самым от дерева, колонны и других неподвижных тел; и так это движение или ходьба есть свойство оного, как будучи свойственным живым существам, и способность, посредством которой они заставляют нас отличать их от других тел.

How Properties are known by Generation, and contrarily.

5. Как знание любого следствия может быть получено из знания его порождения, легко понять на примере круга: ибо если перед нами поставлена плоская фигура, имеющая, насколько возможно, фигуру круга, мы не можем по чувству воспринять, является ли она истинным кругом или нет; чем, тем не менее, нет ничего более легкого для познания тому, кто знает сначала порождение предложенной фигуры. Ибо пусть будет известно, что фигура была сделана путем окружного движения тела, один конец которого оставался неподвижным, и мы можем рассуждать так: тело, переносимое вокруг, сохраняя всегда ту же длину, прикладывается сначала к одному радиусу, затем к другому, к третьему, четвертому и последовательно ко всем; и, следовательно, та же длина, из той же точки, касается окружности в каждой ее части, что равносильно тому, как если бы все радиусы были равны. Мы знаем, следовательно, что из такого порождения происходит фигура, из чьей одной средней точки все крайние точки достигаются равными радиусами. И точно так же, зная сначала, какая фигура поставлена перед нами, мы можем прийти путем рассуждения к некоторому порождению оной, хотя, возможно, не к тому, которым она была сделана, но к тому, которым она могла бы быть сделана; ибо тот, кто знает, что круг имеет свойство, выше объявленное, легко узнает, будет ли тело, переносимое вокруг, как сказано, порождать круг или нет.

Scope of Philosophy.

6. Конец или цель философии состоит в том, чтобы мы могли использовать для нашей выгоды следствия, ранее виденные; или чтобы, путем приложения тел друг к другу, мы могли производить подобные следствия тем, которые мы представляем в нашем уме, насколько материя, сила и прилежание позволят, для удобства человеческой жизни. Ибо внутренняя слава и триумф ума, которые человек может иметь за овладение каким-либо трудным и сомнительным делом, или за открытие какой-либо скрытой истины, не стоят таких трудов, каких требует изучение Философии; и не нужно человеку много заботиться о том, чтобы учить другого тому, что он знает сам, если он думает, что это будет единственной выгодой его труда. Конец знания — сила; и использование теорем (которые среди геометров служат для нахождения свойств) — для построения задач; и, наконец, цель всякого умозрения — выполнение какого-либо действия или дела, которое должно быть сделано.

Utility of Philosophy.

7. Но в чем заключается полезность философии, особенно натурфилософии и геометрии, будет лучше всего понято путем перечисления главных удобств, к которым способно человечество, и путем сравнения образа жизни тех, кто ими наслаждается, с другими, которые лишены оных. Теперь, величайшие удобства человечества — это искусства; а именно: измерения материи и движения; перемещения тяжелых тел; архитектуры; навигации; создания инструментов для всех нужд; вычисления небесных движений, аспектов звезд и частей времени; географии и т. д. Какую великую пользу получают люди от этих наук, легче понять, чем выразить. Этими благами пользуются почти все народы Европы, большинство народов Азии и некоторые из Африки: но американцы и те, кто живет у полюсов, полностью лишены их. Но почему? Разве у них более острый ум, чем у этих? Разве не у всех людей один вид души и те же способности ума? Что тогда создает эту разницу, если не философия? Философия, следовательно, есть причина всех этих благ. Но полезность моральной и гражданской философии следует оценивать не столько по удобствам, которые мы имеем от знания этих наук, сколько по бедствиям, которые мы получаем от их незнания. Теперь, все такие бедствия, которые могут быть избегнуты человеческим прилежанием, происходят от войны, но главным образом от гражданской войны; ибо от нее происходят резня, одиночество и нехватка всего. Но причина войны не в том, что люди хотят ее; ибо воля не имеет объектом ничего, кроме блага, по крайней мере того, что кажется благом. И не от того это, что люди не знают, что следствия войны — зло; ибо кто есть тот, кто не считает бедность и потерю жизни великими бедами? Причина, следовательно, гражданской войны в том, что люди не знают причин ни войны, ни мира, так как в мире мало тех, кто изучил те обязанности, которые объединяют и сохраняют людей в мире, то есть тех, кто достаточно изучил правила гражданской жизни. Теперь, знание этих правил есть моральная философия. Но почему они не изучили их, если не по той причине, что никто до сих пор не учил их ясному и точному методу? Ибо что мы скажем? Могли ли древние учителя Греции, Египта, Рима и других убедить невежественное множество в своих бесчисленных мнениях относительно природы своих богов, которые они сами не знали, истинны они или ложны, и которые были на самом деле явно ложными и абсурдными; и могли ли они не убедить то же множество в гражданском долге, если бы они сами понимали его? Или те немногие сочинения геометров, которые существуют, должны считаться достаточными для устранения всех споров в вопросах, о которых они трактуют, а те бесчисленные и огромные тома этики должны считаться недостаточными, если бы то, чему они учат, было достоверным и хорошо доказанным? Что тогда можно вообразить причиной того, что сочинения тех людей увеличили науку, а сочинения этих увеличили лишь слова, кроме того, что первые были написаны людьми, которые знали, а последние — такими, которые не знали учение, которому они учили, только для демонстрации своего ума и красноречия? Тем не менее, я не отрицаю, что чтение некоторых таких книг очень приятно; ибо они написаны весьма красноречиво и содержат много ясных, здравых и отборных изречений, которые, однако, не являются универсально истинными, хотя ими универсально провозглашаются. Откуда происходит, что обстоятельства времен, мест и лиц будучи изменены, они не менее часто используются для подтверждения злых людей в их целях, чем для того, чтобы заставить их понять предписания гражданских обязанностей. Теперь то, чего главным образом недостает в них, есть истинное и достоверное правило наших действий, по которому мы могли бы знать, является ли то, что мы предпринимаем, справедливым или несправедливым. Ибо нет смысла быть приказанным во всем поступать правильно, прежде чем будет установлено достоверное правило и мера правильного, чего никто до сих пор не установил. Видя, следовательно, что от незнания гражданских обязанностей, то есть от нехватки моральной науки, происходят гражданские войны и величайшие бедствия человечества, мы можем очень хорошо приписать такой науке производство противоположных удобств. И этого достаточно, не говоря уже о похвалах и другом довольстве, происходящем от философии, чтобы дать вам увидеть полезность оной в каждом ее виде.

Subject of Philosophy.

8. Предмет Философии, или материя, о которой она трактует, есть всякое тело, о котором мы можем представить какое-либо порождение и которое мы можем, путем какого-либо рассмотрения оного, сравнить с другими телами, или которое способно к составлению и разрешению; то есть всякое тело, о чьем порождении или свойствах мы можем иметь какое-либо знание. И это может быть выведено из определения философии, чья профессия есть искать свойства тел из их порождения, или их порождение из их свойств; и, следовательно, где нет порождения или свойства, там нет философии. Поэтому она исключает Теологию, я имею в виду учение о Боге, вечном, нерожденном, непостижимом, и в ком нет ничего, ни делить, ни составлять, ни какого-либо порождения представить.

Она исключает учение об ангелах и всех таких вещах, которые считаются ни телами, ни свойствами тел; так как в них нет места ни для состава, ни для деления, ни какой-либо способности к большему и меньшему, то есть нет места для рассуждения.

Она исключает историю, как естественную, так и политическую, хотя и весьма полезную (даже необходимую) для философии; потому что такое знание есть лишь опыт или авторитет, а не рассуждение.

Она исключает все такое знание, которое приобретается Божественным вдохновением или откровением, как не производное к нам разумом, но Божественной благодатью в одно мгновение и, как бы, некоторым чувством сверхъестественным.

Она исключает не только все учения, которые ложны, но такие также, которые не хорошо обоснованы; ибо все, что мы знаем путем истинного рассуждения, не может быть ни ложным, ни сомнительным; и, следовательно, астрология, как она сейчас преподносится, и все такие гадания, скорее чем науки, исключены.

Наконец, учение о поклонении Богу исключено из философии, как не познаваемое естественным разумом, но авторитетом Церкви; и как являющееся объектом веры, а не знания.

Parts of Philosophy.

9. Главных частей философии две. Ибо два главных вида тел, и весьма отличных друг от друга, предлагают себя тем, кто ищет их порождение и свойства; одно из которых, будучи делом природы, называется естественным телом, другое называется государством и сделано волей и соглашением людей. И из них проистекают две части философии, называемые естественной и гражданской. Но видя, что для знания свойств государства необходимо сначала знать склонности, привязанности и нравы людей, гражданская философия снова обычно делится на две части, из которых одна, которая трактует о склонностях и нравах людей, называется этикой; а другая, которая принимает к сведению их гражданские обязанности, называется политикой, или просто гражданской философией. В первом месте, следовательно (после того, как я изложил такие предпосылки, которые относятся к природе философии в целом), я буду рассуждать о телах естественных; во втором — о склонностях и нравах людей; и в третьем — о гражданских обязанностях подданных.

Epilogue.

10. В заключение; видя, что может быть много тех, кому не понравится это мое определение философии, и скажут, что из свободы, которую человек может взять, определяя так, как кажется лучше ему самому, он может заключить что угодно из чего угодно (хотя я думаю, что нетрудно доказать, что это определение мое согласуется со смыслом всех людей); все же, чтобы в этом пункте не было какой-либо причины спора между мной и ими, я здесь берусь не более чем изложить элементы той науки, с помощью которой следствия чего-либо могут быть найдены из известного порождения оного, или наоборот, порождение из следствий; с той целью, чтобы те, кто ищет другую философию, могли быть предупреждены искать ее из других принципов.

ГЛАВА II. ОБ ИМЕНАХ.

1. Необходимость чувственных Монументов или Знаков для помощи Памяти: Знак определен. — 2. Необходимость Знаков для обозначения представлений Ума. — 3. Имена удовлетворяют обе эти необходимости. — 4. Определение Имени. — 5. Имена суть Знаки не Вещей, а наших Размышлений. — 6. То, чему мы даем Имена. — 7. Имена Положительные и Отрицательные. — 8. Противоречащие Имена. — 9. Общее Имя. — 10. Имена Первого и Второго Намерения. — 11. Универсальные, Частные, Индивидуальные и Неопределенные Имена. — 12. Имена Унивокальные и Эквивокальные. — 13. Абсолютные и Относительные Имена. — 14. Простые и Составные Имена. — 15. Предикамент описан. — 16. Некоторые вещи, которые следует отметить относительно Предикаментов.

Necessity of sensible Moniments or Marks for the help of Memory.

1. Как непостоянны и угасают мысли людей, и как сильно восстановление их зависит от случая, нет никого, кто не знает по безошибочному опыту в самом себе. Ибо никто не способен помнить количества без чувственных и присутствующих мер, ни цвета без чувственных и присутствующих образцов, ни число без имен чисел, расположенных в порядке и выученных наизусть. Так что все, что человек сложил вместе в своем уме путем рассуждения без таких помощников, немедленно ускользнет от него и не будет восстановимо иначе, как начав свое рассуждение заново. Из чего следует, что для приобретения философии необходимы некоторые чувственные монументы, посредством которых наши прошлые мысли могут быть не только сведены, но также зарегистрированы каждая в своем собственном порядке. | Знак определен | Эти монументы я называю ЗНАКАМИ, а именно: чувственные вещи, взятые по желанию, чтобы, чувством их, такие мысли могли быть отозваны в наш ум, как те мысли, для которых мы их взяли.

Necessity of Marks for the signification of the conceptions of the Mind.

2. Опять же, хотя какой-то один человек, какого бы превосходного ума он ни был, тратил все свое время отчасти на рассуждение, отчасти на изобретение знаков для помощи своей памяти и продвижения себя в обучении; кто не видит, что польза, которую он пожинает для себя, будет невелика, а для других никакой? Ибо если он не сообщит свои заметки другим, его наука погибнет вместе с ним. Но если те же заметки будут сделаны общими для многих, и так изобретения одного человека будут преподаны другим, науки будут тем самым увеличены к общей пользе человечества. Поэтому необходимо для приобретения философии, чтобы были определенные знаки, посредством которых то, что один человек находит, может быть проявлено и сделано известным другим. Теперь, те вещи, которые мы называем ЗНАКАМИ, суть антецеденты своих консеквентов и консеквенты своих антецедентов, так часто, как мы наблюдаем их идти перед или следовать после в том же порядке. Например, густое облако есть знак дождя, который последует, и дождь — знак того, что облако прошло перед этим, по той причине только, что мы редко видим облака без следствия дождя, ни дождь в какое-либо время, кроме как когда облако прошло перед этим. И из знаков одни естественные, о которых я уже дал пример, другие произвольные, а именно те, которые мы выбираем по своему собственному желанию, как куст, повешенный, означает, что вино продается там; камень, поставленный в землю, означает границу поля; и слова так и так соединенные означают размышления и движения нашего ума. Разница, следовательно, между метками и знаками в том, что мы делаем первые для нашего собственного использования, но эти — для использования других.

Names supply both those necessities.

3. Слова, соединенные так, что они становятся знаками наших мыслей, называются РЕЧЬЮ, из которой каждая часть есть имя. Но видя (как сказано), что и метки, и знаки необходимы для приобретения философии (метки, посредством которых мы можем помнить наши собственные мысли, и знаки, посредством которых мы можем сделать наши мысли известными другим), имена выполняют обе эти обязанности; но они служат метками прежде, чем будут использованы как знаки. Ибо хотя человек был бы один в мире, они были бы полезны ему в помощи помнить; но чтобы учить других (если бы не было кого-то другого, кого учить) — никакой пользы вовсе. Опять же, имена, хотя стоящие по отдельности сами по себе, являются метками, потому что они служат для отзыва наших собственных мыслей в ум; но они не могут быть знаками, иначе как будучи расположенными и упорядоченными в речи как части оной. Например, человек может начать со слова, посредством которого слушатель может составить идею чего-то в своем уме, которую, тем не менее, он не может представить как идею, которая была в уме того, кто говорил, но что он сказал бы что-то, что начиналось с этого слова, хотя, возможно, не как само по себе, но как часть другого слова. Так что природа имени состоит главным образом в том, что оно есть метка, взятая ради памяти; но оно служит также случайно для обозначения и сообщения другим того, что мы помним сами, и, следовательно, я определю его так:

Definition of a Name.

4. ИМЯ есть слово, взятое по желанию, чтобы служить меткой, которая может вызвать в нашем уме мысль, подобную какой-то мысли, которую мы имели раньше, и которая, будучи произнесенной другим, может быть для них знаком того, какую мысль говорящий имел или не имел раньше в своем уме. И ради краткости я предполагаю, что происхождение имен произвольно, считая это вещью, которая может быть принята как несомненная. Ибо рассматривая, что новые имена ежедневно делаются, а старые откладываются; что разные народы используют разные имена, и как невозможно либо наблюдать сходство, либо сделать какое-либо сравнение между именем и вещью, как может какой-либо человек вообразить, что имена вещей были наложены из их природ? Ибо хотя некоторые имена живых существ и других вещей, которые использовали наши первые родители, были преподаны Богом самим; все же они были им произвольно наложены, и впоследствии, как при Вавилонской башне, так и с тех пор, в процессе времени, выходя везде из употребления, совсем забыты, и на их месте последовали другие, изобретенные и принятые людьми по желанию. Более того, каково бы ни было общее использование слов, все же философы, которые должны были учить своему знанию других, всегда имели свободу, и иногда они оба имели и будут иметь необходимость, брать себе такие имена, какие они хотят, для обозначения своего смысла, если они хотят, чтобы он был понят. Ни математики не имели нужды просить разрешения у кого-либо, кроме самих себя, чтобы назвать фигуры, которые они изобрели, параболами, гиперболами, циссоидами, квадратрисами и т. д., или называть одну величину А, другую В.

Names are signs not of things, but of our cogitations.

5. Но видя, что имена, упорядоченные в речи (как определено), суть знаки наших представлений, очевидно, что они не являются знаками самих вещей; ибо то, что звук этого слова камень должен быть знаком камня, не может быть понято ни в каком смысле, кроме этого, что тот, кто слышит его, заключает, что тот, кто произносит его, думает о камне. И, следовательно, тот спор, означают ли имена материю или форму, или что-то составленное из обоих, и другие подобные тонкости метафизики, поддерживается ошибающимися людьми и такими, которые не понимают слов, о которых они спорят.

What it is we give names to.

6. Ни, действительно, вовсе не необходимо, чтобы каждое имя было именем чего-то. Ибо как эти, человек, дерево, камень, суть имена самих вещей, так образы человека, дерева и камня, которые представлены людям спящим, имеют свои имена также, хотя они не вещи, а только фикции и фантазмы вещей. Ибо мы можем помнить их; и, следовательно, не менее необходимо, чтобы они имели имена для обозначения и означения их, чем сами вещи. Также это слово будущее есть имя, но никакая будущая вещь еще не имеет бытия, ни мы не знаем, будет ли то, что мы называем будущим, когда-либо иметь бытие или нет. Тем не менее, видя, что мы используем в нашем уме связывать вещи прошлые с теми, которые есть настоящие, имя будущее служит для обозначения такой связки. Более того, то, что ни есть, ни было, ни когда-либо будет, ни когда-либо может быть, имеет имя, а именно то, что ни есть, ни было и т. д.; или более кратко это, невозможное. В заключение; это слово ничто есть имя, которое, однако, не может быть именем какой-либо вещи: ибо когда, например, мы вычитаем 2 и 3 из 5, и так ничего не остается, мы хотели бы вызвать это вычитание в памяти, эта речь ничего не остается, и в ней слово ничто не бесполезно. И по той же причине мы говорим истинно, меньше чем ничто остается, когда мы вычитаем большее из меньшего; ибо ум выдумывает такие остатки, как эти, ради доктрины, и желает, так часто, как это необходимо, вызвать оное в память. Но видя, что каждое имя имеет некоторое отношение к тому, что названо, хотя то, что мы называем, не всегда есть вещь, которая имеет бытие в природе, все же законно ради доктрины применять слово вещь ко всему, что мы называем; как если бы было все равно, является ли эта вещь истинно существующей или только вымышленной.

Names Positive and Negative.

7. Первое различение имен в том, что одни суть положительные, или утвердительные, другие отрицательные, которые также называются привативными и неопределенными. Положительные суть такие, которые мы налагаем для сходства, равенства или тождества вещей, которые мы рассматриваем; отрицательные — для разнообразия, несходства или неравенства оных. Примеры первых суть: человек, философ; ибо человек обозначает любого из множества людей, а философ — любого из многих философов, по причине их сходства; также Сократ есть положительное имя, потому что оно означает всегда одного и того же человека. Примеры отрицательных суть такие положительные, которые имеют отрицательную частицу не, добавленную к ним, как не-человек, не-философ. Но положительные были прежде отрицательных; ибо иначе не могло бы быть никакого использования вовсе этих. Ибо когда имя белого было наложено на определенные вещи, и впоследствии на другие вещи, имена черного, синего, прозрачного и т. д., бесконечные несходства этих с белым не могли быть охвачены ни в одном имени, кроме того, которое имело в себе отрицание белого, то есть имя не-белое, или какое-то другое эквивалентное ему, в котором слово белое повторяется, такое как неподобное белому и т. д. И этими отрицательными именами мы замечаем сами и сообщаем другим, о чем мы не думали.

Contradictory names.

8. Положительные и отрицательные имена противоречат друг другу, так что они не могут оба быть именем одной и той же вещи. Кроме того, из противоречащих имен одно есть имя чего-либо вообще; ибо все, что есть, есть либо человек, либо не-человек, белое или не-белое, и так далее. И это так очевидно, что не нуждается в дальнейшем доказательстве или объяснении; ибо те, кто говорят, что одна и та же вещь не может одновременно быть и не быть, говорят неясно; но те, кто говорят, что все, что есть, либо есть, либо нет, говорят также абсурдно и смехотворно. Достоверность этой аксиомы, а именно: из двух противоречащих имен одно есть имя чего-либо вообще, другое нет, есть оригинал и основание всякого рассуждения, то есть всякой философии; и поэтому она должна быть так точно предложена, что она может быть сама по себе ясной и прозрачной для всех людей; как действительно она есть, за исключением таких, как, читая длинные рассуждения, сделанные на этот предмет писателями метафизики (которые они верят быть каким-то выдающимся обучением), думают, что не понимают, когда они понимают.

A common name.

9. Во-вторых, из имен одни являются общими для многих вещей, как «человек», «дерево»; другие — собственными для одной вещи, как «тот, кто написал Илиаду», «Гомер», «этот человек», «тот человек». И общее имя, будучи именем многих вещей, взятых по отдельности, но не всех вместе (так как «человек» — это имя не всего человечества, а каждого в отдельности, как Петра, Иоанна и остальных), поэтому называется универсальным именем; и поэтому слово «универсальный» никогда не является именем какой-либо вещи, существующей в природе, ни какой-либо идеи или фантазма, сформированного в уме, но всегда именем какого-либо слова или названия; так что когда «живое существо», «камень», «дух» или любая другая вещь называется универсальной, это не следует понимать так, что какой-либо человек, камень и т. д. когда-либо был или может быть универсальным, а лишь то, что эти слова «живое существо», «камень» и т. д. являются универсальными именами, то есть именами, общими для многих вещей; а концепции, соответствующие им в нашем уме, суть образы и фантазмы отдельных живых существ или других вещей. И поэтому для понимания объема универсального имени нам не нужна никакая иная способность, кроме способности нашего воображения, посредством которой мы помним, что такие имена привносят в наш ум иногда одну вещь, иногда другую. Также из общих имен одни являются более, другие менее общими. Более общее — это то, которое является именем большего числа вещей; менее общее — имя меньшего числа вещей; как «живое существо» более общее, чем «человек», или «лошадь», или «лев», потому что оно охватывает их всех: и поэтому более общее имя по отношению к менее общему называется родом, или общим именем; а это по отношению к тому — видом, или частным именем.

Names of the first and second intention.

10. И отсюда происходит третье различение имен, которое состоит в том, что одни называются именами первого, другие — второго намерения. К первому намерению относятся имена вещей: «человек», «камень» и т. д.; ко второму — имена имен и высказываний, как «универсальное», «частное», «род», «вид», «силлогизм» и тому подобное. Но трудно сказать, почему одни называются именами первого, а другие — второго намерения, если только, возможно, мы сначала намеревались дать имена тем вещам, которые повседневно используются в этой жизни, а впоследствии — таким вещам, которые относятся к науке, то есть наше второе намерение состояло в том, чтобы дать имена именам. Но какова бы ни была причина этого, ясно одно: «род», «вид», «определение» и т. д. являются именами только слов и названий; и поэтому ставить «род» и «вид» вместо вещей, а «определение» — вместо природы какой-либо вещи, как это делали авторы метафизики, неверно, поскольку они являются лишь обозначениями того, что мы думаем о природе вещей.

Universal, particular, individual, and indefinite names.

11. В-четвертых, одни имена имеют определенное и установленное, другие — неопределенное и неустановленное значение. К установленному и определенному значению относится, во-первых, то имя, которое дается любой одной вещи самой по себе и называется индивидуальным именем; как «Гомер», «это дерево», «то живое существо» и т. д. Во-вторых, то, к которому добавлено любое из этих слов: «все», «каждый», «оба», «любой» или тому подобное; и оно поэтому называется универсальным именем, потому что означает каждую из тех вещей, для которых оно является общим; и оно имеет определенное значение по той причине, что тот, кто слышит, постигает в своем уме ту же самую вещь, которую хотел бы, чтобы он постиг тот, кто говорит. К неопределенному значению относится, во-первых, то имя, к которому добавлено слово «некоторый» или тому подобное, и оно называется частным именем; во-вторых, общее имя, поставленное само по себе без какого-либо указания на универсальность или частность, как «человек», «камень», и оно называется неопределенным именем; но как частные, так и неопределенные имена имеют неопределенное значение, потому что слушающий не знает, какую именно вещь говорящий хотел бы, чтобы он постиг; и поэтому в речи частные и неопределенные имена следует считать равнозначными друг другу. Но эти слова «все», «каждый», «некоторый» и т. д., которые обозначают универсальность и частность, не являются именами, а лишь частями имен; так что «каждый человек» и «тот человек, которого слушающий постигает в своем уме» — это одно и то же; и «некоторый человек» и «тот человек, о котором думал говорящий» означают одно и то же. Отсюда очевидно, что использование знаков такого рода предназначено не для самого человека или для получения им знаний путем собственных частных размышлений (ибо у каждого человека свои мысли достаточно определены без таких вспомогательных средств), а ради других; то есть для обучения и обозначения наших концепций другим; и они были изобретены не только для того, чтобы заставить нас помнить, но и для того, чтобы сделать нас способными вести дискурс с другими.

Names univocal and equivocal.

12. В-пятых, имена обычно различаются на однозначные и многозначные. Однозначные — это те, которые в одном и том же ходе рассуждения всегда означают одно и то же; многозначные же — те, которые означают иногда одно, иногда другое. Так, имя «треугольник» называют однозначным, потому что оно всегда берется в одном и том же смысле; а «парабола» — многозначным, из-за значения, которое оно имеет иногда как аллегория или подобие, а иногда как определенная геометрическая фигура. Также каждая метафора по определению является многозначной. Но это различение относится не столько к именам, сколько к тем, кто использует имена, ибо одни используют их правильно и точно для поиска истины; другие же извлекают их из их собственного смысла ради украшения или обмана.

Absolute and relative names.

13. В-шестых, из имен одни являются абсолютными, другие — относительными. Относительные — это такие, которые введены для некоторого сравнения, как «отец», «сын», «причина», «следствие», «подобный», «неподобный», «равный», «неравный», «господин», «слуга» и т. д. А те, которые не означают никакого сравнения вообще, являются абсолютными именами. Но, как было отмечено выше, что универсальность следует приписывать только словам и именам, а не вещам, так же следует сказать и о других различениях имен; ибо никакие вещи не являются ни однозначными, ни многозначными, ни относительными, ни абсолютными. Существует также другое различение имен на конкретные и абстрактные; но поскольку абстрактные имена происходят от пропозиции и не могут иметь места там, где нет утверждения, я буду говорить о них в дальнейшем.

Simple and compounded names.

14. Наконец, существуют простые и сложные имена. Но здесь следует отметить, что имя в философии понимается не так, как в грамматике, как одно отдельное слово, а как любое количество слов, соединенных вместе для обозначения одной вещи; ибо среди философов «чувствующее одушевленное тело» проходит лишь как одно имя, будучи именем каждого живого существа, которое, однако, среди грамматиков считается тремя именами. Также простое имя здесь не отличается от сложного имени предлогом, как в грамматике. Но я называю простым именем то, которое в каждом роде является наиболее общим или наиболее универсальным; а сложным именем — то, которое путем присоединения к нему другого имени становится менее универсальным и означает, что в уме было более одной концепции, для чего и было добавлено это последнее имя. Например, в концепции «человека» (как показано в предыдущей главе). Во-первых, он постигается как нечто, имеющее протяженность, что обозначается словом «тело». «Тело», следовательно, является простым именем, будучи поставленным для этой первой единичной концепции; впоследствии, при виде того или иного движения, возникает другая концепция, для которой он называется «одушевленным телом»; и это я здесь называю сложным именем, как и имя «животное», которое равнозначно «одушевленному телу». И таким же образом «одушевленное разумное тело», как и «человек», который равнозначен ему, является более сложным именем. И этим мы видим, как композиция концепций в уме соответствует композиции имен; ибо, как в уме одна идея или фантазм сменяет другую, а за ней — третья; так к одному имени добавляется другое и еще одно последовательно, и из них всех составляется одно сложное имя. Тем не менее, мы не должны думать, что тела, которые находятся вне ума, сложены таким же образом, а именно, что в природе существует тело или любая другая вообразимая вещь, которая сначала не имеет величины, а затем, путем добавления величины, начинает иметь количество, и путем большего или меньшего количества — плотность или разреженность; и снова, путем добавления фигуры, становится фигуративной, и после этого, путем привнесения света или цвета, становится светящейся или окрашенной; хотя такова была философия многих.

A predicament described.

15. Авторы логики стремились свести имена всех видов вещей в определенные шкалы или степени путем постоянного подчинения имен менее общих именам более общим. В шкалу «тел» они ставят на первое и высшее место «тело» просто, а на следующее место под ним — менее общие имена, посредством которых оно может быть более ограничено и определено, а именно «одушевленное» и «неодушевленное», и так далее, пока не дойдут до индивидов. Подобным образом, в шкале «количеств» они отводят первое место «количеству», а следующее — «линии», «поверхности» и «телу», которые являются именами с меньшей широтой; и эти порядки или шкалы имен они обычно называют предикаментами и категориями. И к этой упорядоченности способны не только положительные, но и отрицательные имена; что может быть проиллюстрировано такими формами предикаментов, как следующие:

The Form of the Predicament of Body.

Not-Body, or |  |  |  |  |  |
Accident. |  |  |  |  |  |
| [picture] | Not animated. |  |  |  |
Body |  | [picture] | Not living Creature. |
| Animated |  |  |  |  |
|  |  | Living | [picture] | Not Man.
|  |  | Creature |  | [picture] | Not Peter.
|  |  |  |  | Man |
|  |  |  |  |  |  | Peter.

| [picture] |  | [picture] | Quantity, or so much.
Both Accident and Body | Absolutely, as |
are considered | or | Quality, or such.
| Comparatively, which is called their Relation.

The Form of the Predicament of Quantity.

| [picture] | Not continual, |  |  |
| as Number. |  |  | [picture] | Line.
Quantity. |  | [picture] | Of itself, as | Superficies.
|  |  | Solid.
| Continual |  |  |
|  |  |  | [picture] | Time, by Line.
|  |  |  | Motion, by Line and
|  |  | By accident, as | Time.
|  |  |  |  | Force, by Motion and
|  |  |  |  | Solid.

Где следует отметить, что «линия», «поверхность» и «тело» могут быть названы имеющими такое-то количество, то есть изначально и по своей собственной природе способными к равенству и неравенству; но мы не можем сказать, что существует либо большее, либо меньшее, либо равенство, или вообще какое-либо количество во времени без помощи линии и движения; ни в движении без линии и времени; ни в силе иначе, чем через движение и тело.

The Form of the Predicament of Quality.

|  |  |  |  | [picture] | Seeing. |  |
|  |  |  |  | Hearing. |  |
|  |  | [picture] | Primary | Smelling. |  |
|  |  |  | Tasting. |  |
| [picture] | Perception |  | Touching. |  |
| by Sense |  |  |  |  |
|  |  | [picture] | Imagination. |  |
|  | Secondary | Affection | [picture] | pleasant.
Quality |  |  |  |  | unpleasant.
|  | [picture] | By Seeing, as Light and Colour.
|  | By Hearing, as Sound.
| Sensible | By Smelling, as Odours.
| Quality | By Tasting, as Savours.
|  |  | By Touching, as Hardness, Heat,
|  |  | Cold, &c.

The Form of the Predicament of Relation.

| [picture] | Magnitudes, as Equality and Inequality.
| Qualities, as Likeness and Unlikeness.
Relation of |  | [picture] | Together     | [picture] | In Place. |  |
|  | In Time. |  |
| Order |  |  |  |  |
|  |  |  | [picture] | In Place | [picture] | Former.
|  |  | Not together |  | Later
|  |  |  |  | In Time | [picture] | Former.
|  |  |  |  |  |  | Later

Some things to be noted concerning predicaments.

16. Относительно этих предикаментов следует отметить, во-первых, что, как деление производится в первом предикаменте на противоречащие имена, так это могло быть сделано и в остальных. Ибо, как там «тело» делится на «одушевленное» и «неодушевленное», так, во втором предикаменте, «непрерывное количество» может быть разделено на «линию» и «не-линию», а снова «не-линия» — на «поверхность» и «не-поверхность», и так далее в остальных; но это не было необходимым.

Во-вторых, следует заметить, что из положительных имен первое охватывает последнее; но из отрицательных первое охватывается последним. Например, «живое существо» является именем каждого человека, и поэтому оно охватывает имя «человек»; но, напротив, «не-человек» является именем всего, что не является живым существом, и поэтому имя «не-живое существо», которое поставлено первым, охватывается последним именем «не-человек».

В-третьих, мы должны остерегаться думать, что, подобно именам, разнообразие самих вещей может быть исследовано и определено с помощью таких различений; или что отсюда могут быть взяты аргументы (как некоторые делали это нелепо) для доказательства того, что виды вещей не бесконечны.

В-четвертых, я не хотел бы, чтобы кто-либо думал, что я представляю вышеприведенные формы как истинную и точную упорядоченность имен; ибо это не может быть выполнено, пока философия остается несовершенной; или что, помещая (например) «свет» в предикамент качеств, в то время как другой помещает его же в предикамент тел, я претендую на то, что кто-либо из нас должен из-за этого отказаться от своего мнения; ибо это должно делаться только с помощью аргументов и рассуждения, а не путем распределения слов по классам.

Наконец, признаюсь, что я еще не видел никакой большой пользы от предикаментов в философии. Я верю, что Аристотель, когда увидел, что не может свести сами вещи в такие порядки, мог, тем не менее, пожелать своим собственным авторитетом свести слова к таким формам, как это сделал я; но я делаю это только с той целью, чтобы было понятно, что такое эта упорядоченность слов, а не для того, чтобы она была принята как истинная, пока не будет доказано хорошим доводом, что это так.

ГЛАВА III. О ПРОПОЗИЦИИ.

1. Различные виды речи. — 2. Определение пропозиции. — 3. Субъект, предикат и связка, что они такое; и что такое абстрактное и конкретное. — 4. Использование и злоупотребление абстрактными именами. — 5. Пропозиция, универсальная и частная. — 6. Утвердительная и отрицательная. — 7. Истинная и ложная. — 8. Истинное и ложное относится к речи, а не к вещам. — 9. Пропозиция, первичная, не первичная, определение, аксиома, петиция. — 10. Пропозиция, необходимая и случайная. — 11. Категорическая и гипотетическая. — 12. Одна и та же пропозиция, произносимая по-разному. — 13. Пропозиции, которые могут быть сведены к одной и той же категорической пропозиции, равносильны. — 14. Универсальные пропозиции, преобразованные противоречащими именами, равносильны. — 15. Отрицательные пропозиции одинаковы, независимо от того, стоит ли отрицание до или после связки. — 16. Частные пропозиции, просто преобразованные, равносильны. — 17. Что такое субалтерные, противные, подпротивные и противоречащие пропозиции. — 18. Следствие, что это такое. — 19. Ложь не может следовать из истины. — 20. Как одна пропозиция является причиной другой.

Divers kinds of speech.

1. Из связи или сплетения имен возникают различные виды речи, из которых одни означают желания и аффекты людей; таковы, во-первых, вопрошания, которые обозначают желание знать: как, «Кто есть хороший человек?». В этой речи одно имя выражено, а другое желаемо и ожидаемо от того, у кого мы спрашиваем об этом. Затем молитвы, которые означают желание иметь что-то; обещания, угрозы, пожелания, команды, жалобы и другие обозначения других аффектов. Речь также может быть абсурдной и бессмысленной; как когда происходит последовательность слов, которой не может соответствовать последовательность мыслей в уме; и это часто случается с теми, кто, ничего не понимая в каком-либо тонком предмете, тем не менее, чтобы заставить других поверить, что они понимают, говорят об этом бессвязно; ибо связь бессвязных слов, хотя ей и недостает цели речи (которой является обозначение), все же является речью; и используется авторами метафизики почти так же часто, как значимая речь. В философии полезен только один вид речи, который некоторые называют по-латыни dictum, другие — enuntiatum et pronunciatum; но большинство людей называют его пропозицией, и это речь тех, кто утверждает или отрицает, и выражает истину или ложность.

Proposition defined.

2. ПРОПОЗИЦИЯ — это речь, состоящая из двух соединенных имен, посредством которой говорящий означает, что он постигает последнее имя как имя той же самой вещи, именем которой является первое; или (что одно и то же), что первое имя охватывается последним. Например, эта речь «человек есть живое существо», в которой два имени соединены глаголом «есть», является пропозицией по той причине, что говорящий постигает как «живое существо», так и «человек» как имена одной и той же вещи, или что первое имя, «человек», охватывается последним именем, «живое существо». Теперь первое имя обычно называют субъектом, или антецедентом, или содержащимся именем, а последнее — предикатом, консеквентом или содержащим именем. Знак связи у большинства народов — это либо какое-то слово, как слово «есть» в пропозиции «человек есть живое существо», либо какой-то падеж или окончание слова, как в этой пропозиции «человек ходит» (что равнозначно «человек есть идущий»); окончание, посредством которого говорится, что он «ходит», а не «есть идущий», означает, что эти два слова понимаются как соединенные, или как имена одной и той же вещи.

Но существуют, или, безусловно, могут существовать некоторые народы, у которых нет слова, отвечающего нашему глаголу «есть», которые, тем не менее, образуют пропозиции только путем постановки одного имени после другого, как если бы вместо «человек есть живое существо» было сказано «человек — живое существо»; ибо самый порядок имен может достаточно показать их связь; и они столь же пригодны и полезны в философии, как если бы они были соединены глаголом «есть».

Subject, predicate, and copula, what they are, and abstract and concrete what.

3. Поэтому в каждой пропозиции следует рассматривать три вещи, а именно: два имени, которые являются субъектом и предикатом, и их связку; оба эти имени вызывают в нашем уме мысль об одной и той же вещи; но связка заставляет нас думать о причине, по которой эти имена были наложены на эту вещь. Как, например, когда мы говорим «тело есть подвижное», хотя мы постигаем одну и ту же вещь, обозначенную обоими этими именами, наш ум не останавливается на этом, а ищет дальше, что значит «быть телом» или «быть подвижным», то есть в чем состоит различие между этими и другими вещами, из-за которого эти так называются, а другие так не называются. Те, следовательно, кто ищет, что значит «быть» чем-либо, как «быть подвижным», «быть горячим» и т. д., ищут в вещах причины их имен.

И отсюда возникает то различение имен (затронутое в прошлой главе) на конкретные и абстрактные. Ибо конкретное — это имя любой вещи, которую мы предполагаем имеющей бытие, и поэтому оно называется субъектом, по-латыни suppositum, а по-гречески ὑποκέιμενον; как «тело», «подвижное», «движущееся», «фигуративное», «локоть высотой», «горячее», «холодное», «подобное», «равное», «Аппий», «Лентул» и тому подобное; а абстрактное — это то, что в любом субъекте обозначает причину конкретного имени, как «быть телом», «быть подвижным», «быть движущимся», «быть фигуративным», «быть такого количества», «быть горячим», «быть холодным», «быть подобным», «быть равным», «быть Аппием», «быть Лентулом» и т. д. Или имена, равнозначные этим, которые чаще всего называются абстрактными именами, как «телесность», «подвижность», «движение», «фигура», «количество», «теплота», «холод», «подобие», «равенство» и (как у Цицерона) «аппийность» и «лентульность». Того же рода также инфинитивы; ибо «жить» и «двигаться» — это то же самое, что «жизнь» и «движение», или «быть живым» и «быть движимым». Но абстрактные имена обозначают только причины конкретных имен, а не сами вещи. Например, когда мы видим что-либо или постигаем в нашем уме какую-либо видимую вещь, эта вещь является нам или постигается нами не в одной точке, а как имеющая части, удаленные друг от друга, то есть как будучи протяженной и заполняющей некоторое пространство. Видя, следовательно, мы называем вещь, так постигнутую, «телом», причина этого имени в том, что эта вещь «протяженна», или «протяженность», или «телесность» ее. Так, когда мы видим, что вещь появляется иногда здесь, иногда там, и называем ее «движущейся» или «перемещенной», причина этого имени в том, что она «движется», или «движение» ее.

И эти причины имен суть то же самое, что и причины наших концепций, а именно некоторая сила действия или аффект постигаемой вещи, которую некоторые называют способом, которым любая вещь воздействует на наши чувства, но большинством людей они называются акциденциями; я говорю акциденциями, не в том смысле, в котором акциденция противопоставляется необходимому; но так, что, не будучи самими вещами или их частями, они тем не менее сопровождают вещи таким образом, что (за исключением протяженности) они все могут погибнуть и быть уничтожены, но никогда не могут быть абстрагированы.

The use and abuse of names abstract.

4. Существует также разница между конкретными и абстрактными именами в том, что первые были изобретены до пропозиций, а вторые — после; ибо последние не могли иметь бытия, пока не появились пропозиции, из связки которых они происходят. Теперь во всех делах, которые касаются этой жизни, но главным образом в философии, есть как большая польза, так и большое злоупотребление абстрактными именами; и польза состоит в том, что без них мы не можем, по большей части, ни рассуждать, ни вычислять свойства тел; ибо когда мы хотим умножать, делить, складывать или вычитать теплоту, свет или движение, если бы мы удваивали или складывали их вместе с помощью конкретных имен, говоря (например) «горячее вдвое больше горячего», «свет вдвое больше света» или «движущееся вдвое больше движущегося», мы удваивали бы не свойства, а сами тела, которые являются горячими, светлыми, движущимися и т. д., чего мы не хотели бы делать. Но злоупотребление происходит от того, что некоторые люди, видя, что они могут рассматривать, то есть (как я сказал ранее) приводить в расчет увеличения и уменьшения количества, теплоты и других акциденций, не рассматривая их тела или субъекты (что они называют абстрагированием или заставлением существовать отдельно сами по себе), говорят об акциденциях так, как если бы они могли быть отделены от всех тел. И отсюда происходят грубые ошибки авторов метафизики; ибо, поскольку они могут рассматривать мышление без рассмотрения тела, они делают вывод, что нет нужды в мыслящем теле; и поскольку количество может быть рассмотрено без рассмотрения тела, они также думают, что количество может быть без тела, а тело — без количества; и что тело имеет количество путем добавления количества к нему. Из того же источника проистекают те бессмысленные слова: «абстрактная субстанция», «отделенная сущность» и тому подобное; как и та путаница слов, производных от латинского глагола «est», как «сущность», «эссенциальность», «сущность», «ентитативность»; помимо «реальности», «аликвидности», «квидидности» и т. д., о которых никогда не могли бы услышать среди таких народов, которые не соединяют свои имена глаголом «есть», а глаголами-прилагательными, как «бежит», «читает» и т. д., или простым помещением одного имени после другого; и все же, видя, что такие народы вычисляют и рассуждают, очевидно, что философия не нуждается в этих словах «сущность», «ентитативность» и других подобных варварских терминах.

Proposition, universal and particular.

5. Существует много различений пропозиций, из которых первое состоит в том, что одни являются универсальными, другие — частными, другие — неопределенными, а другие — сингулярными; и это обычно называется различением по количеству. Универсальная пропозиция — это та, чей субъект затронут знаком универсального имени, как «каждый человек есть живое существо». Частная — та, чей субъект затронут знаком частного имени, как «некоторый человек есть ученый». Неопределенная пропозиция имеет своим субъектом общее имя, поставленное без какого-либо знака, как «человек есть живое существо», «человек есть ученый». А сингулярная пропозиция — это та, чей субъект является сингулярным именем, как «Сократ есть философ», «этот человек есть черный».

Affirmative and negative.

6. Второе различение — на утвердительные и отрицательные, и называется различением по качеству. Утвердительная пропозиция — это та, чей предикат является положительным именем, как «человек есть живое существо».

True & false.

Отрицательная — та, чей предикат является отрицательным именем, как «человек не есть камень». 7. Третье различение состоит в том, что одна является истинной, другая — ложной. Истинная пропозиция — это та, чей предикат содержит или охватывает свой субъект, или чей предикат является именем каждой вещи, именем которой является субъект; как «человек есть живое существо» является поэтому истинной пропозицией, потому что все, что называется «человеком», то же самое называется и «живым существом»; и «некоторый человек болен» есть истина, потому что «больной» — это имя «некоторого человека». То, что не является истинным, или то, чей предикат не содержит свой субъект, называется ложной пропозицией, как «человек есть камень».

Теперь эти слова «истинный», «истина» и «истинная пропозиция» равнозначны друг другу; ибо истина состоит в речи, а не в вещах, о которых говорят; и хотя «истинное» иногда противопоставляется «кажущемуся» или «вымышленному», оно всегда должно быть отнесено к истинности пропозиции; ибо образ человека в зеркале, или призрак, поэтому отрицается как истинный человек, потому что эта пропозиция «призрак есть человек» не является истинной; ибо нельзя отрицать, что призрак есть истинный призрак. И поэтому истина или верность — это не какое-либо свойство вещи, а пропозиции о ней. Что касается того, что говорят авторы метафизики, что «вещь», «одна вещь» и «истинная вещь» равнозначны друг другу, это лишь пустяки и ребячество; ибо кто не знает, что «человек», «один человек» и «истинный человек» означают одно и то же.

True & false belongs to speech, and not to things.

8. И отсюда очевидно, что истина и ложность не имеют места нигде, кроме как среди таких живых существ, которые используют речь. Ибо хотя некоторые неразумные существа, глядя на образ человека в зеркале, могут быть затронуты им, как если бы это был сам человек, и по этой причине бояться его или ластиться к нему напрасно; все же они не постигают его как истинное или ложное, а только как подобное; и в этом они не обманываются. Поэтому, как люди обязаны всем своим истинным рассуждением правильному пониманию речи; так же они обязаны своими ошибками непониманию ее; и как все украшения философии происходят только от человека, так от человека же происходит и уродливая нелепость ложных мнений. Ибо речь имеет в себе нечто похожее на паутину (как говорили в старину о законах Солона), ибо сплетением слов нежные и тонкие умы запутываются и останавливаются; но сильные умы легко прорываются сквозь них.

Отсюда также можно сделать вывод, что первые истины были произвольно созданы теми, кто прежде всего наложил имена на вещи или получил их от наложения другими. Ибо истинно (например), что «человек есть живое существо», но это по той причине, что людям было угодно наложить оба эти имени на одну и ту же вещь.

Proposition, primary, not primary, definition, axiom, petition.

9. В-четвертых, пропозиции различаются на первичные и не первичные. Первичная — это та, в которой субъект эксплицирован предикатом из многих имен, как «человек есть тело, одушевленное, разумное»; ибо то, что охватывается именем «человек», более широко выражено в именах «тело», «одушевленное» и «разумное», соединенных вместе; и она называется первичной, потому что она первая в рассуждении; ибо ничто не может быть доказано, не поняв сначала имя вещи, о которой идет речь. Теперь первичные пропозиции — это не что иное, как определения или части определений, и только они являются принципами демонстрации, будучи истинами, установленными произвольно изобретателями речи, и поэтому не подлежащими доказательству. К этим пропозициям некоторые добавили другие, которые они называют первичными и принципами, а именно аксиомы и общие понятия; которые (хотя они настолько очевидны, что не нуждаются в доказательстве), все же, поскольку они могут быть доказаны, не являются истинными принципами; и их тем менее следует принимать за таковые, поскольку пропозиции, не понятные, а иногда и явно ложные, навязываются нам под именем принципов криками людей, которые выдают за очевидное другим все то, что они сами считают истинным. Также некоторые петиции обычно принимаются в число принципов; как, например, «что прямая линия может быть проведена между двумя точками» и другие петиции авторов геометрии; и они действительно являются принципами искусства или построения, но не науки и демонстрации.

Proposition necessary & contingent.

10. В-пятых, пропозиции различаются на необходимые, то есть необходимо истинные; и истинные, но не обязательно, которые они называют случайными. Необходимая пропозиция — это когда ничто не может быть в любое время постигнуто или выдумано, именем чего является субъект, но предикат также является именем той же самой вещи; как «человек есть живое существо» является необходимой пропозицией, потому что в какое бы время мы ни предполагали, что имя «человек» согласуется с какой-либо вещью, в то время имя «живое существо» также согласуется с ней. Но случайная пропозиция — это та, которая в одно время может быть истинной, в другое — ложной; как «каждая ворона черная»; что может быть, возможно, истинно сейчас, но ложно впоследствии. Опять же, в каждой необходимой пропозиции предикат либо равнозначен субъекту, как в этой: «человек есть разумное живое существо»; либо является частью равнозначного имени, как в этой: «человек есть живое существо», ибо имя «разумное живое существо», или «человек», составлено из этих двух: «разумное» и «живое существо». Но в случайной пропозиции этого быть не может; ибо хотя это было бы истинно: «каждый человек — лжец», все же, поскольку слово «лжец» не является частью сложного имени, равнозначного имени «человек», эта пропозиция не должна называться необходимой, а случайной, хотя бы она и случалась быть истинной всегда. И поэтому только те пропозиции являются необходимыми, которые являются вечно истинными, то есть истинными во все времена. Отсюда также очевидно, что истина прилипает не к вещам, а только к речи, ибо некоторые истины вечны; ибо вечно будет истинно: «если человек, то живое существо»; но что какой-либо «человек» или «живое существо» должны существовать вечно, не является необходимым.

Categorical & hypothetical.

11. Шестое различение пропозиций — на категорические и гипотетические. Категорическая пропозиция — это та, которая произносится просто или абсолютно, как «каждый человек есть живое существо», «ни один человек не есть дерево»; а гипотетическая — та, которая произносится условно, как «если что-либо есть человек, то же самое есть и живое существо», «если что-либо есть человек, то же самое есть и не-камень».

Категорическая пропозиция и отвечающая ей гипотетическая означают одно и то же, если пропозиции необходимы; но не если они случайны. Например, если это «каждый человек есть живое существо» истинно, то и это будет истинно: «если что-либо есть человек, то же самое есть и живое существо»; но в случайных пропозициях, хотя это истинно: «каждая ворона черная», все же это: «если что-либо есть ворона, то же самое есть черное» — ложно. Но гипотетическая пропозиция тогда правильно называется истинной, когда следствие истинно, как «каждый человек есть живое существо» правильно называется истинной пропозицией, потому что о чем бы ни было истинно сказано, что «это есть человек», не может не быть истинно сказано также, что «то же самое есть живое существо». И поэтому, когда бы гипотетическая пропозиция ни была истинной, категорическая, отвечающая ей, не только истинна, но и необходима; что я счел достойным внимания как аргумент того, что философы могут в большинстве вещей рассуждать более солидно с помощью гипотетических, чем категорических пропозиций.

The same proposition diversely pronounced.

12. Но видя, что каждая пропозиция может быть и обычно произносится и пишется во многих формах, и мы обязаны говорить так же, как говорит большинство людей, все же те, кто изучает философию у учителей, должны остерегаться, чтобы их не обмануло разнообразие выражений. И поэтому, когда бы они ни встретили какую-либо неясную пропозицию, они должны свести ее к ее наиболее простой и категорической форме; в которой связующее слово «есть» должно быть выражено само по себе и не смешано каким-либо образом ни с субъектом, ни с предикатом, оба из которых должны быть разделены и ясно отличены друг от друга. Например, если эта пропозиция «человек не может грешить» будет сравнена с этой «человек не может грешить», их различие легко проявится, если они будут сведены к этим: «человек способен не грешить» и «человек не способен грешить», где предикаты явно различны. Но они должны делать это молча про себя или только между собой и своими учителями; ибо будет считаться как нелепым, так и абсурдным, если человек будет использовать такой язык публично. Будучи, следовательно, обязанным говорить о равносильных пропозициях, я ставлю на первое место все те как равносильные, которые могут быть сведены чисто к одной и той же категорической пропозиции.

Propositions that may be reduced to the same categorical proposition, are equipollent.

13. Во-вторых, то, что является категорическим и необходимым, равносильно своей гипотетической пропозиции; как эта категорическая: «прямолинейный треугольник имеет свои три угла, равные двум прямым углам», — этой гипотетической: «если какая-либо фигура есть прямолинейный треугольник, то три угла ее равны двум прямым углам».

Universal propositions converted by contradictory names, are equipollent.

14. Также любые две универсальные пропозиции, у которых термины одной (то есть субъект и предикат) относятся к терминам другой, и их порядок инвертирован, как эти: «каждый человек есть живое существо» и «каждая вещь, которая не есть живое существо, не есть человек», — равносильны. Ибо видя, что «каждый человек есть живое существо» является истинной пропозицией, имя «живое существо» содержит имя «человек»; но они оба являются положительными именами, и поэтому (согласно последней статье предыдущей главы) отрицательное имя «не-человек» содержит отрицательное имя «не-живое существо»; поэтому «каждая вещь, которая не есть живое существо, не есть человек» является истинной пропозицией. Точно так же эти: «ни один человек не есть дерево», «ни одно дерево не есть человек» — равносильны. Ибо если истинно, что «дерево» не есть имя какого-либо «человека», то ни одна вещь не может быть обозначена двумя именами «человек» и «дерево», поэтому «ни одно дерево не есть человек» является истинной пропозицией. Также к этой: «все, что не есть живое существо, не есть человек», где оба термина отрицательны, эта другая пропозиция равносильна: «только живое существо есть человек».

Negative propositions are the same, whether the negation be before or after the copula.

15. В-четвертых, отрицательные пропозиции, независимо от того, поставлена ли частица отрицания после связки, как делают некоторые народы, или до нее, как это в латыни и греческом, если термины одни и те же, равносильны: как, например, «человек не есть дерево» и «человек есть не-дерево» равносильны, хотя Аристотель это отрицает. Также эти: «каждый человек не есть дерево» и «ни один человек не есть дерево» равносильны, и это настолько очевидно, что не нуждается в доказательстве.

Particular propositions simply converted, are equipollent.

16. Наконец, все частные пропозиции, которые имеют свои термины инвертированными, как эти: «некоторый человек есть слепой», «некоторая слепая вещь есть человек», — равносильны; ибо любое из двух имен является именем одного и того же человека; и поэтому в каком бы из двух порядков они ни были соединены, они означают одну и ту же истину.

What are subaltern, contrary, subcontrary, and contradictory propositions.

17. Из пропозиций, которые имеют одни и те же термины и поставлены в одном и том же порядке, но различаются либо по количеству, либо по качеству, одни называются субалтерными, другие — противными, другие — подпротивными, а другие — противоречащими.

Субалтерные — это универсальные и частные пропозиции одного и того же качества; как «каждый человек есть живое существо», «некоторый человек есть живое существо»; или «ни один человек не мудр», «некоторый человек не мудр». Из них, если универсальная истинна, то и частная будет истинной.

Противные — это универсальные пропозиции разного качества; как «каждый человек счастлив», «ни один человек не счастлив». И из них, если одна истинна, другая ложна: также они обе могут быть ложными, как в приведенном примере.

Подпротивные — это частные пропозиции разного качества; как «некоторый человек ученый», «некоторый человек не ученый»; которые не могут быть обе ложными, но они могут быть обе истинными.

Противоречащие — это те, которые различаются как по количеству, так и по качеству; как «каждый человек есть живое существо», «некоторый человек не есть живое существо»; которые не могут быть ни обе истинными, ни обе ложными.

Consequence, what it is.

18. Пропозиция называется следующей из двух других пропозиций, когда, если они признаны истинными, нельзя отрицать, что и другая истинна также. Например, пусть эти две пропозиции «каждый человек есть живое существо» и «каждое живое существо есть тело» будут предположены истинными, то есть что «тело» есть имя каждого живого существа, а «живое существо» — имя каждого человека. Видя, следовательно, если они понимаются как истинные, нельзя понять, что «тело» не есть имя каждого человека, то есть что «каждый человек есть тело» ложно, эта пропозиция будет называться следующей из этих двух, или необходимо выведенной из них.

Falsity cannot follow from truth.

19. Что истинная пропозиция может следовать из ложных пропозиций, может случаться иногда; но ложная из истинных — никогда. Ибо если эти «каждый человек есть камень» и «каждый камень есть живое существо» (которые обе ложны) будут признаны истинными, признается также, что «живое существо» есть имя каждого камня, а «камень» — каждого человека, то есть что «живое существо» есть имя каждого человека; то есть эта пропозиция «каждый человек есть живое существо» истинна, как она действительно истинна. Поэтому истинная пропозиция может иногда следовать из ложных. Но если какие-либо две пропозиции истинны, ложная никогда не может следовать из них. Ибо если истинное следует из ложного только по той причине, что ложные признаны истинными, то истина из двух признанных истин будет следовать таким же образом.

How one proposition is the cause of another.

20. Теперь, видя, что ничто, кроме истинной пропозиции, не будет следовать из истинных, и что понимание того, что две пропозиции истинны, является причиной понимания того, что также истинно то, что выведено из них; две антецедентные пропозиции обычно называются причинами выведенной пропозиции, или заключения. И отсюда логики говорят, что посылки являются причинами заключения; что может пройти, хотя это и не совсем правильно сказано; ибо хотя понимание является причиной понимания, все же речь не является причиной речи. Но когда они говорят, что причиной свойств какой-либо вещи является сама вещь, они говорят абсурдно. Например, если предложена фигура, которая является треугольной; видя, что каждый треугольник имеет все свои углы вместе равные двум прямым углам, откуда следует, что все углы этой фигуры равны двум прямым углам, они говорят по этой причине, что эта фигура является причиной этого равенства. Но видя, что фигура сама не делает свои углы, и поэтому не может быть названа эффективной причиной, они называют ее формальной причиной; тогда как на самом деле она вовсе не является причиной; и свойство какой-либо фигуры не следует за фигурой, а имеет свое бытие в то же время с ней; только знание фигуры идет впереди знания свойств; и одно знание является истинно причиной другого знания, а именно эффективной причиной.

И это все касательно пропозиции; которая в прогрессе философии является первым шагом, как движение вперед одной ноги. Должным добавлением другого шага я перейду к силлогизму и сделаю полный шаг. О чем в следующей главе.

ГЛАВА IV. О СИЛЛОГИЗМЕ.

1. Определение силлогизма. — 2. В силлогизме есть только три термина. — 3. Больший, меньший и средний термин; также большая и меньшая пропозиция, что они такое. — 4. Средний термин в каждом силлогизме должен быть определен в обеих пропозициях к одной и той же вещи. — 5. Из двух частных пропозиций ничего нельзя заключить. — 6. Силлогизм — это сбор двух пропозиций в одну сумму. — 7. Фигура силлогизма, что это такое. — 8. Что в уме отвечает силлогизму. — 9. Первая непрямая фигура, как она делается. — 10. Вторая непрямая фигура, как делается. — 11. Как делается третья непрямая фигура. — 12. В каждой фигуре много модусов, но большинство из них бесполезны в философии. — 13. Гипотетический силлогизм, когда равносилен категорическому.

Definition of syllogism.

1. РЕЧЬ, состоящая из трех пропозиций, из двух из которых следует третья, называется СИЛЛОГИЗМОМ; и то, что следует, называется заключением; другие две — посылками. Например, эта речь «каждый человек есть живое существо», «каждое живое существо есть тело», следовательно, «каждый человек есть тело», является силлогизмом, потому что третья пропозиция следует из двух первых; то есть, если они признаны истинными, эта также должна быть признана истинной.

In a syllogism there are but three terms.

2. Из двух пропозиций, которые не имеют одного общего термина, никакое заключение не может следовать; и поэтому никакой силлогизм не может быть составлен из них. Ибо пусть любые две посылки «человек есть живое существо», «дерево есть растение» будут обе истинными, все же, поскольку из них нельзя собрать, что «растение» есть имя «человека» или «человек» — имя «растения», не обязательно, чтобы это заключение «человек есть растение» было истинным. Следствие: следовательно, в посылках силлогизма может быть только три термина.

Кроме того, в заключении не может быть термина, которого не было в посылках. Ибо пусть любые две посылки будут «человек есть живое существо», «живое существо есть тело», все же если в заключении будет поставлен любой другой термин, как «человек есть двуногий»; хотя это и истинно, оно не может следовать из посылок, потому что из них нельзя собрать, что имя «двуногий» принадлежит «человеку»; и поэтому, опять же, в каждом силлогизме может быть только три термина.

Major, minor and middle term; also major and minor proposition, what they are.

3. Из этих терминов тот, который является предикатом в заключении, обычно называется большим; тот, который является субъектом в заключении, — меньшим, а другой — средним термином; как в этом силлогизме «человек есть живое существо», «живое существо есть тело», следовательно, «человек есть тело», «тело» — больший, «человек» — меньший, а «живое существо» — средний термин. Также из посылок та, в которой найден больший термин, называется большей пропозицией, а та, которая имеет меньший термин, — меньшей пропозицией.

The middle term in every syllogism to be determined in both propositions to one and the same thing.

4. Если средний термин в обеих посылках не определен как одна и та же единичная вещь, то никакого заключения не последует и силлогизм не будет построен. Ибо пусть меньшим термином будет «человек», средним термином — «живое существо», а большим термином — «лев»; и пусть посылками будут: «человек есть живое существо», «некоторое живое существо есть лев», однако из этого не следует, что «каждый» или «какой-либо» человек есть лев. Из чего очевидно, что в каждом силлогизме та пропозиция, которая имеет средний термин в качестве своего субъекта, должна быть либо универсальной, либо единичной, но не частной и не неопределенной. Например, такой силлогизм: «каждый человек есть живое существо», «некоторое живое существо есть четвероногое», следовательно, «некоторый человек есть четвероногое», — является ошибочным, поскольку средний термин «живое существо» в первой из посылок определен только как «человек», ибо там имя «живое существо» дается только человеку, тогда как в последней посылке оно может пониматься как какое-то другое живое существо, помимо человека. Но если бы последняя посылка была универсальной, как здесь: «каждый человек есть живое существо», «каждое живое существо есть тело», следовательно, «каждый человек есть тело», — силлогизм был бы истинным; ибо из этого следовало бы, что «тело» было именем «каждого живого существа», то есть «человека»; иными словами, заключение «каждый человек есть тело» было бы истинным. Точно так же, когда средний термин является единичным именем, может быть построен силлогизм, я говорю — истинный силлогизм, хотя и бесполезный в философии, как этот: «некоторый человек есть Сократ», «Сократ есть философ», следовательно, «некоторый человек есть философ»; ибо, если посылки приняты, заключение не может быть отвергнуто.

From two particular propositions nothing can be concluded.

5. А потому из двух посылок, в обеих из которых средний термин является частным, силлогизм не может быть построен; ибо является ли средний термин субъектом в обеих посылках, или предикатом в обеих, или субъектом в одной и предикатом в другой, он не будет с необходимостью определен как одна и та же вещь. Ибо пусть посылками будут:

Some man is blind, | [picture] | In both which the middle
Some man is learned, | term is the subject,

не последует, что «слепой» есть имя какого-либо «ученого человека», или «ученый» — имя какого-либо «слепого человека», поскольку имя «ученый» не содержит в себе имени «слепой», равно как и наоборот; и поэтому нет необходимости, чтобы оба они были именами одного и того же человека. Так, из этих посылок,

Every man is a living-creature, | [picture] | In both which the middle
Every horse is a living-creature, | term is the predicate,

ничего не последует. Ибо, поскольку «живое существо» в обеих из них является неопределенным, что эквивалентно частному, и поскольку «человек» может быть одним видом живого существа, а «лошадь» — другим, нет необходимости, чтобы «человек» был именем «лошади» или «лошадь» — именем «человека». Или если посылки будут:

Every man is a living-creature, Some living creature is four-footed, | [picture] | In one of which the middle-term

is the subject, and in the

other the predicate,

заключение не последует, потому что имя «живое существо», будучи неопределенным, может в одной из них пониматься как «человек», а в другой — как «не-человек».

A syllogism is the collection of two propositions into one sum.

6. Теперь из сказанного очевидно, что силлогизм есть не что иное, как совокупность суммы двух пропозиций, соединенных общим термином, который называется средним термином. И как пропозиция есть сложение двух имен, так силлогизм есть сложение трех.

The figure of a syllogism what it is.

7. Силлогизмы обычно различаются в соответствии с разнообразием их фигур, то есть по различному положению среднего термина. И снова внутри фигуры существует различие определенных модусов, которые состоят из различий пропозиций по количеству и качеству. Первая фигура — это та, в которой термины расположены один за другим в соответствии с широтой их значения; в этом порядке меньший термин стоит первым, средний термин — следующим, а больший — последним; так, если меньший термин есть «человек», средний термин — «живое существо», а больший термин — «тело», то «человек есть живое существо, есть тело» будет силлогизмом в первой фигуре: в котором «человек есть живое существо» является меньшей пропозицией; большая — «живое существо есть тело», а заключение, или сумма обоих, — «человек есть тело». Эта фигура называется прямой, потому что термины стоят в прямом порядке; и она варьируется по количеству и качеству на четыре модуса: из которых первый — это тот, в котором все термины положительны, а меньший термин — универсален, как «каждый человек есть живое существо», «каждое живое существо есть тело»: в котором все пропозиции утвердительные и универсальные. Но если больший термин является отрицательным именем, а меньший — универсальным именем, фигура будет во втором модусе, как «каждый человек есть живое существо», «каждое живое существо не есть дерево», в котором большая пропозиция и заключение являются универсальными и отрицательными. К этим двум обычно добавляют еще два, делая меньший термин частным. Также может случиться, что и больший, и средний термины являются отрицательными терминами, и тогда возникает другой модус, в котором все пропозиции отрицательны, и все же силлогизм будет правильным; так, если меньший термин есть «человек», средний термин — «не камень», а больший термин — «не кремень», этот силлогизм: «ни один человек не есть камень», «все, что не есть камень, не есть кремень», следовательно, «ни один человек не есть кремень», — является истинным, хотя и состоит из трех отрицаний. Но в философии, призвание которой состоит в установлении универсальных правил относительно свойств вещей, поскольку различие между отрицательными и утвердительными пропозициями состоит лишь в том, что в первых субъект утверждается через отрицательное имя, а во вторых — через положительное, излишне рассматривать какой-либо другой модус в прямой фигуре, кроме того, в котором все пропозиции являются одновременно универсальными и утвердительными.

What is in the mind answering to a syllogism.

8. Мысли в уме, соответствующие прямому силлогизму, протекают следующим образом: во-первых, возникает фантазм вещи, именованной вместе с той акциденцией или качеством, из-за которого она в меньшей пропозиции называется тем именем, которое является субъектом; затем ум имеет фантазм той же самой вещи с тем акцидентом или качеством, из-за которого она имеет имя, являющееся в той же пропозиции предикатом; в-третьих, мысль возвращается к той же самой вещи как имеющей в себе тот акцидент, из-за которого она называется именем, являющимся предикатом большей пропозиции; и, наконец, помня, что все это суть акциденции одной и той же вещи, он заключает, что эти три имени также являются именами одной и той же вещи; то есть заключение истинно. Например, когда строится этот силлогизм: «человек есть живое существо», «живое существо есть тело», следовательно, «человек есть тело», — ум сначала создает образ человека, говорящего или рассуждающего, и помнит, что то, что так представляется, называется «человеком»; затем он имеет образ того же самого человека, движущегося, и помнит, что то, что так представляется, называется «живым существом»; в-третьих, он создает образ того же самого человека, заполняющего некоторое место или пространство, и помнит, что то, что так представляется, называется «телом»; и, наконец, когда он помнит, что та вещь, которая была протяженной, двигалась и говорила, была одной и той же вещью, он заключает, что три имени — «человек», «живое существо» и «тело» — являются именами одной и той же вещи, и что поэтому «человек есть живое существо» является истинной пропозицией. Отсюда очевидно, что живые существа, не обладающие даром речи, не имеют в уме концепции или мысли, соответствующей силлогизму, составленному из универсальных пропозиций; поскольку необходимо думать не только о самой вещи, но и поочередно помнить различные имена, которые в силу различных соображений применяются к одной и той же вещи.

The first indirect figure how made.

9. Остальные фигуры возникают либо из инфлексии, либо из инверсии первой или прямой фигуры; что делается путем изменения большей, или меньшей, или обеих пропозиций на конвертированные пропозиции, равносильные им.

Отсюда следуют три другие фигуры; из которых две являются инфлектированными, а третья — инвертированной. Первая из этих трех создается путем конверсии большей пропозиции. Ибо пусть меньший, средний и больший термины стоят в прямом порядке, так: «человек есть живое существо», «живое существо не есть камень», что является первой или прямой фигурой; инфлексия будет осуществлена путем конверсии большей пропозиции следующим образом: «человек есть живое существо», «камень не есть живое существо»; и это есть вторая фигура, или первая из непрямых фигур; в которой заключением будет: «человек не есть камень». Ибо (показав в последней главе, ст. 14, что универсальные пропозиции, конвертированные через противоречие терминов, являются равносильными) оба эти силлогизма заключают одинаково; так что если большую пропозицию прочитать (как по-еврейски) задом наперед, так: «живое существо не есть камень», она снова станет прямой, как была прежде. Точно так же этот прямой силлогизм: «человек не есть дерево», «дерево не есть грушевое дерево», будет сделан непрямым путем конверсии большей пропозиции (через противоречие терминов) в другую, равносильную ей, так: «человек не есть дерево», «грушевое дерево есть дерево»; ибо последует то же самое заключение: «человек не есть грушевое дерево».

Но для конверсии прямой фигуры в первую непрямую фигуру больший термин в прямой фигуре должен быть отрицательным. Ибо хотя этот прямой силлогизм: «человек есть живое существо», «живое существо есть тело», — делается непрямым путем конверсии большей пропозиции, так:

Man is a living creature,

Not a body is not a living creature,

Therefore, Every man is a body;

Однако эта конверсия кажется настолько неясной, что этот модус совершенно бесполезен. Путем конверсии большей пропозиции становится очевидным, что в этой фигуре средний термин всегда является предикатом в обеих посылках.

Second indirect figure how made.

10. Вторая непрямая фигура создается путем конверсии меньшей пропозиции, так что средний термин является субъектом в обеих. Но это никогда не дает универсального заключения и поэтому бесполезно в философии. Тем не менее, я приведу пример этого; с помощью которого этот прямой силлогизм

Every man is a living creature,

Every living creature is a body,

путем конверсии меньшей пропозиции будет выглядеть так:

Some living creature is a man,

Every living creature is a body,

Therefore, Some man is a body.

Ибо «каждый человек есть живое существо» не может быть конвертировано в «каждое живое существо есть человек»: и поэтому, если этот силлогизм будет восстановлен в своей прямой форме, меньшей пропозицией будет «некоторый человек есть живое существо», и, следовательно, заключением будет «некоторый человек есть тело», поскольку меньший термин «человек», который является субъектом в заключении, есть частное имя.

How the third indirect figure is made.

11. Третья непрямая или инвертированная фигура создается путем конверсии обеих посылок. Например, этот прямой силлогизм:

Every man is a living creature,

Every living creature is not a stone,

Therefore, Every man is not a stone,

будучи инвертированным, будет выглядеть так:

Every stone is not a living creature,

Whatsoever is not a living creature, is not a man,

Therefore, Every stone is not a man;

каковое заключение является конверсией прямого заключения и равносильно ему.

Фигур силлогизмов, следовательно, если их считать только по различному расположению среднего термина, всего три; в первой из которых средний термин занимает среднее место; во второй — последнее; а в третьей — первое место. Но если их считать просто по расположению терминов, их четыре; ибо первую можно снова разделить на две, а именно на прямую и инвертированную. Отсюда очевидно, что спор среди логиков относительно четвертой фигуры есть простая λογόμαχια, или спор о ее названии; ибо что касается самой вещи, то ясно, что расположение терминов (не учитывая количество или качество, по которым различаются модусы) создает четыре различия силлогизмов, которые можно назвать фигурами или любым другим именем по желанию.

There are many moods in every figure, but most of them useless in philosophy.

12. В каждой из этих фигур существует множество модусов, которые создаются путем варьирования посылок в соответствии со всеми различиями, на которые они способны по количеству и качеству; а именно, в прямой фигуре существует шесть модусов; в первой непрямой фигуре — четыре; во второй — четырнадцать; и в третьей — восемнадцать. Но поскольку из прямой фигуры я отверг как излишние все модусы, кроме того, который состоит из универсальных пропозиций и чья меньшая пропозиция является утвердительной, я вместе с ним отвергаю и модусы остальных фигур, которые создаются путем конверсии посылок в прямой фигуре.

An hypothetical syllogism when equipollent to a categorical.

13. Как было показано ранее, что в необходимых пропозициях категорическая и гипотетическая пропозиции равносильны; так же очевидно, что категорический и гипотетический силлогизмы эквивалентны. Ибо каждый категорический силлогизм, как этот:

Every man is a living creature,

Every living creature is a body,

Therefore, Every man is a body,

имеет равную силу с этим гипотетическим силлогизмом:

If any thing be a man, the same is also a living creature,

If any thing be a living creature, the same is a body,

Therefore, If any thing be a man, the same is a body.

Точно так же этот категорический силлогизм в непрямой фигуре:

No stone is a living creature,

Every man is a living creature,

Therefore, No man is a stone,

Or, No stone is a man,

эквивалентен этому гипотетическому силлогизму:

If any thing be a man, the same is a living creature,

If any thing be a stone, the same is not a living creature,

Therefore, If any thing be a stone, the same is not a man,

Or, If any thing be a man, the same is not a stone.

И этого кажется достаточно относительно природы силлогизмов (ибо учение о модусах и фигурах ясно изложено другими, кто писал о них много и полезно). И предписания не так необходимы, как практика для достижения истинного рассуждения; и те, кто изучает доказательства математиков, скорее научатся истинной логике, чем те, кто тратит время на чтение правил силлогизирования, составленных логиками; не иначе, как маленькие дети учатся ходить не по предписаниям, а упражняя свои ноги. Это, следовательно, может послужить первым шагом на пути к философии.

Далее я буду говорить об ошибках и заблуждениях, в которые склонны впадать люди, рассуждающие неосторожно; а также об их видах и причинах.

ГЛАВА V. ОБ ОШИБКАХ, ЛОЖНОСТИ И СОФИЗМАХ.

1. Чем различаются заблуждение и ложность. Ошибка ума сама по себе без использования слов, как она происходит. — 2. Семикратная несогласованность имен, каждое из которых всегда создает ложную пропозицию. — 3. Примеры первого вида несогласованности. — 4. О втором. — 5. О третьем. — 6. О четвертом. — 7. О пятом. — 8. О шестом. — 9. О седьмом. — 10. Ложность пропозиций, обнаруживаемая путем разрешения терминов с помощью определений, продолжаемого до тех пор, пока они не придут к простым именам или именам, которые являются наиболее общими в своем роде. — 11. Об ошибке силлогизма, состоящей в импликации терминов с копулой. — 12. Об ошибке, которая состоит в эквивокации. — 13. Софистические уловки чаще ошибочны в материи, чем в форме силлогизмов.

Erring & falsity how they differ. Error of the mind by itself, without the use of words, how it happens.

1. Люди подвержены заблуждениям не только в утверждении и отрицании, но также в восприятии и в безмолвном мышлении. В утверждении и отрицании — когда они называют какую-либо вещь именем, которое не является ее именем; как если бы, увидев солнце сначала в отражении в воде, а затем снова прямо на небосводе, мы дали бы обоим этим явлениям имя «солнце» и сказали бы, что существуют два солнца; чего никто, кроме людей, делать не может, ибо никакие другие живые существа не пользуются именами. Этот вид ошибки заслуживает только имени «ложность», так как возникает не из чувств и не из самих вещей, а из поспешного суждения; ибо имена имеют свое установление не от видов вещей, а от воли и согласия людей. И отсюда происходит, что люди судят «ложно» по своей собственной небрежности, отступая от таких наименований вещей, которые были согласованы, и не будучи обманутыми ни вещами, ни чувствами; ибо они не воспринимают, что вещь, которую они видят, называется «солнце», но дают ей это имя по своей собственной воле и согласию. Молчаливые ошибки, или ошибки чувств и мышления, совершаются путем перехода от одного воображения к воображению другой, отличной вещи; или путем вымысла того, что было или будет, чего никогда не было и никогда не будет; как когда, видя образ солнца в воде, мы воображаем, что само солнце находится там; или, видя мечи, что была или будет драка, потому что так обычно бывает в большинстве случаев; или когда из обещаний мы выдумываем, что ум обещающего таков-то и таков-то; или, наконец, когда из какого-либо знака мы тщетно воображаем, что нечто означено, чего нет. И ошибки такого рода свойственны всем вещам, обладающим чувствами; и все же обман происходит не от наших чувств и не от вещей, которые мы воспринимаем, а от нас самих, когда мы выдумываем, что такие вещи, которые являются лишь образами, суть нечто большее, чем образы. Но ни вещи, ни воображения вещей нельзя назвать ложными, поскольку они истинно суть то, что они есть; и они не обещают, как знаки, ничего такого, чего не выполняют; ибо они на самом деле вообще ничего не обещают, но мы — от них; и не облака, а мы, видя облака, говорим, что будет дождь. Лучший способ, следовательно, освободиться от таких ошибок, которые возникают из естественных знаков, — это прежде всего, прежде чем мы начнем рассуждать о таких предположительных вещах, предположить, что мы невежественны, а затем использовать наше рассуждение; ибо эти ошибки происходят от недостатка рассуждения; тогда как ошибки, которые состоят в утверждении и отрицании (то есть ложность пропозиций), происходят только от неправильного рассуждения. О них, следовательно, как о противных философии, я буду говорить в первую очередь.

A sevenfold incoherency of names, all of which make always a false proposition.

2. Ошибки, которые случаются в рассуждении, то есть в силлогизировании, состоят либо в ложности посылок, либо в ложности вывода. В первом из этих случаев силлогизм называется ошибочным в своей материи; а во втором случае — в форме. Я сначала рассмотрю материю, а именно, сколькими способами пропозиция может быть ложной; а затем форму и то, как случается, что, когда посылки истинны, вывод, тем не менее, ложен.

Видя, следовательно, что истинна только та пропозиция (гл. III, ст. 7), в которой соединены два имени одной и той же вещи; и всегда ложна та, в которой соединены имена разных вещей, посмотрите, сколькими способами могут быть соединены имена разных вещей, и столькими же способами может быть создана ложная пропозиция.

Теперь все вещи, которым мы даем имена, могут быть сведены к этим четырем видам, а именно: тела, акциденции, фантазмы и сами имена; и поэтому в каждой истинной пропозиции необходимо, чтобы соединенные имена были либо оба именами тел, либо оба именами акциденций, либо оба именами фантазмов, либо оба именами имен. Ибо имена, соединенные иначе, несогласованны и составляют ложную пропозицию. Может также случиться, что имя тела, акциденции или фантазма может быть соединено с именем речи. Так что соединенные имена могут быть несогласованными семью способами.

1. If the name of a Body | [picture] |  | [picture] | the name of an Accident.
2. If the name of a Body |  | the name of a Phantasm.
3. If the name of a Body | be | the name of a Name.
4. If the name of an Accident | copulated | the name of a Phantasm.
5. If the name of an Accident | with | the name of a Name.
6. If the name of a Phantasm |  | the name of a Name.
7. If the name of a Body, |  | the name of a Speech.
Accident, or Phantasm |  |

Обо всех них я приведу некоторые примеры.

Examples of the first manner of incoherency.

3. Первым из этих способов пропозиции ложны, когда абстрактные имена соединяются с конкретными именами; как (на латыни и греческом) «esse est ens», «essentia est ens», «τὸ τί ἦν ειναὶ» (т. е. «quidditas est ens») и многие подобные, которые встречаются в «Метафизике» Аристотеля. Также: «понимание работает», «понимание понимает», «зрение видит»; «тело есть величина», «тело есть количество», «тело есть протяженность»; «быть человеком есть человек», «белизна есть белая вещь» и т. д.; что равносильно тому, как если бы кто-то сказал: «бегун есть бег» или «ходьба ходит». Более того: «сущность отделена», «субстанция абстрагирована»: и другие, подобные этим, или производные от них (которыми изобилует обычная философия). Ибо, поскольку никакой субъект акциденции (то есть никакое тело) не есть акциденция, никакое имя акциденции не должно даваться телу, равно как и имя тела — акциденции.

The second.

4. Ложными, во втором смысле, являются такие пропозиции, как: «призрак есть тело» или «дух», то есть тонкое тело; «чувственные виды летают туда и сюда в воздухе» или «движутся туда и сюда», что свойственно телам; также: «тень движется» или «есть тело»; «свет движется» или «есть тело»; «цвет есть объект зрения», «звук — слуха»; «пространство или место протяженно»; и бесчисленные другие этого рода. Ибо, поскольку призраки, чувственные виды, тень, свет, цвет, звук, пространство и т. д. представляются нам не менее во сне, чем наяву, они не могут быть вещами вне нас, а только фантазмами ума, который их воображает; и поэтому имена этих вещей, соединенные с именами тел, не могут составлять истинную пропозицию.

The third.

5. Ложные пропозиции третьего рода — это такие, как: «genus est ens», «universale est ens», «ens de ente prædicatur». Ибо «genus», «universale» и «predicare» — это имена имен, а не вещей. Также «число бесконечно» — ложная пропозиция; ибо никакое число не может быть бесконечным, но только слово «число» называется тогда неопределенным именем, когда нет определенного числа, соответствующего ему в уме.

The fourth.

6. К четвертому роду относятся такие ложные пропозиции, как: «объект имеет такую величину или фигуру, какая представляется наблюдателям»; «цвет, свет, звук находятся в объекте»; и тому подобное. Ибо один и тот же объект представляется иногда большим, иногда меньшим, иногда квадратным, иногда круглым, в зависимости от различия расстояния и среды; но истинная величина и фигура видимой вещи всегда одна и та же; так что величина и фигура, которые представляются, не являются истинной величиной и фигурой объекта, ни чем иным, как фантазмом; и поэтому в таких пропозициях, как эти, имена акциденций соединены с именами фантазмов.

The fifth.

7. Пропозиции ложны в пятом смысле, когда говорится, что «определение есть сущность вещи»; «белизна» или какая-либо другая акциденция есть «род» или «универсалия». Ибо определение не есть сущность какой-либо вещи, а речь, означающая то, что мы мыслим о ее сущности; и так же не сама белизна, а слово «белизна» есть род или универсальное имя.

The sixth.

8. В шестом смысле ошибаются те, кто говорит, что «идея чего-либо универсальна»; как если бы в уме мог быть образ человека, который был бы не образом какого-то одного человека, а человека просто, что невозможно; ибо каждая идея есть одна и о одной вещи; но они обманываются в том, что подставляют «имя» вещи вместо «идеи» ее.

The seventh.

9. Ошибаются в седьмом смысле те, кто проводит такое различие между вещами, которые имеют бытие, что одни из них «существуют сами по себе», другие — «по акциденции»; а именно, поскольку «Сократ есть человек» есть необходимая пропозиция, а «Сократ есть музыкант» — случайная пропозиция, поэтому они говорят, что одни вещи существуют необходимо или сами по себе, другие — случайно или по акциденции; при этом, поскольку «необходимое», «случайное», «само по себе», «по акциденции» не являются именами вещей, а именами пропозиций, те, кто говорит, что «любая вещь, которая имеет бытие, существует по акциденции», соединяют имя пропозиции с именем вещи. Точно так же ошибаются те, кто помещает одни идеи в рассудок, другие — в воображение; как если бы из понимания этой пропозиции «человек есть живое существо» мы имели одну идею или образ человека, полученный из чувств в память, а другую — в рассудок; в чем их обманывает то, что они думают, будто одна идея должна соответствовать имени, а другая — пропозиции, что ложно; ибо пропозиция означает только порядок тех вещей, одну за другой, которые мы наблюдаем в одной и той же идее человека; так что эта пропозиция «человек есть живое существо» вызывает в нас только одну идею, хотя в этой идее мы рассматриваем сначала то, из-за чего он называется человеком, а затем то, из-за чего он называется живым существом. Ложность пропозиций во всех этих различных смыслах должна быть обнаружена с помощью определений соединенных имен.

Falsity of propositions detected by resolving the terms with definitions.

10. Но когда имена тел соединены с именами тел, имена акциденций — с именами акциденций, имена имен — с именами имен, а имена фантазмов — с именами фантазмов, если мы, тем не менее, все еще остаемся в сомнении, истинны ли такие пропозиции, мы должны тогда в первую очередь найти определение обоих этих имен, а затем определения таких имен, которые находятся в предыдущем определении, и так продолжать путем непрерывного разрешения, пока не придем к простому имени, то есть к наиболее общему или наиболее универсальному имени этого рода; и если после всего этого истинность или ложность их не будет очевидна, мы должны искать ее с помощью философии и рассуждения, начиная с определений. Ибо каждая пропозиция, универсально истинная, есть либо определение, либо часть определения, либо очевидность ее зависит от определений.

Of the fault of a syllogism consisting in implication of the terms with the copula.

11. Та ошибка силлогизма, которая скрыта в его форме, всегда будет обнаружена либо в импликации копулы с одним из терминов, либо в эквивокации какого-либо слова; и в любом из этих способов будет четыре термина, которые (как я показал) не могут стоять в истинном силлогизме. Теперь импликация копулы с тем или иным термином легко обнаруживается путем сведения пропозиций к простому и ясному предикату; как (например) если бы кто-то стал спорить так:

The hand toucheth the pen,

The pen toucheth the paper,

Therefore, The hand toucheth the paper;

ошибка легко обнаружится путем сведения ее так:

The hand, is, touching the pen,

The pen, is, touching the paper,

Therefore, The hand, is, touching the paper;

где явно присутствуют эти четыре термина: «рука», «касающаяся пера», «перо» и «касающаяся бумаги». Но опасность быть обманутым софизмами такого рода не кажется настолько большой, чтобы мне нужно было настаивать на них дольше.

Of the fault which consists in equivocation.

12. И хотя может быть ошибка в эквивокальных терминах, в тех, которые явно таковы, ее вовсе нет; равно как и в метафорах, ибо они предполагают перенос имен с одной вещи на другую. Тем не менее, иногда эквивокалы (и притом не очень неясные) могут обмануть; как в этой аргументации: «К метафизике относится рассмотрение принципов; но первый принцип всего есть то, что одна и та же вещь не может одновременно существовать и не существовать; и поэтому к метафизике относится рассмотрение того, может ли одна и та же вещь одновременно существовать и не существовать»; где ошибка заключается в эквивокации слова «принцип»; ибо, хотя Аристотель в начале своей «Метафизики» говорит, что «рассмотрение принципов относится к первичной науке», он понимает под принципами причины вещей и определенные бытия, которые он называет первичными; но там, где он говорит, что «первичная пропозиция есть принцип», под принципом он имеет в виду начало и причину знания, то есть понимание слов, без которого человек неспособен к обучению.

Sophistical captions are oftener faulty in the matter than in the form of syllogisms.

13. Но уловки софистов и скептиков, которыми они имели обыкновение в старину высмеивать и противостоять истине, были ошибочны по большей части не в форме, а в материи силлогизма; и они обманывали других не чаще, чем обманывались сами. Ибо сила того знаменитого аргумента Зенона против движения состояла в этой пропозиции: «все, что может быть разделено на части, бесконечные по числу, то есть бесконечно»; которую он, без сомнения, считал истинной, однако она ложна. Ибо быть разделенным на бесконечные части — это не что иное, как быть разделенным на столько частей, сколько кто-либо пожелает. Но нет необходимости, чтобы линия имела части, бесконечные по числу, или была бесконечной, потому что я могу делить и подразделять ее так часто, как мне угодно; ибо сколько бы частей я ни сделал, их число конечно; но поскольку тот, кто говорит «части» просто, не добавляя «сколько», не ограничивает никакого числа, а оставляет его на усмотрение слушателя, поэтому мы обычно говорим: линия может быть разделена бесконечно; что не может быть истинным ни в каком другом смысле.

Conclusion.

И этого может быть достаточно относительно силлогизма, который есть как бы первый шаг к философии; в котором я сказал столько, сколько необходимо, чтобы научить любого человека, откуда всякое истинное рассуждение черпает свою силу. А расширять этот трактат всем, что можно собрать воедино, было бы так же излишне, как если бы кто-то (как я сказал ранее) давал маленькому ребенку предписания для обучения его ходьбе; ибо искусство рассуждения не так хорошо усваивается по предписаниям, как через практику и чтение тех книг, в которых все заключения сделаны путем строгого доказательства. И так я перехожу к пути философии, то есть к методу изучения.

ГЛАВА VI. О МЕТОДЕ.

1. Метод и наука определены. — 2. Относительно единичных вещей легче узнать, что они есть, чем относительно универсальных; и наоборот, относительно универсальных вещей легче узнать, почему они есть, или каковы их причины, чем относительно единичных. — 3. Что стремятся узнать философы. — 4. Первая часть, с помощью которой находятся принципы, является чисто аналитической. — 5. Высшие причины, наиболее универсальные в каждом роде, известны сами по себе. — 6. Метод от найденных принципов, стремящийся к науке просто, что это такое. — 7. Тот метод гражданской и естественной науки, который идет от чувств к принципам, является аналитическим; и наоборот, тот, который начинается с принципов, является синтетическим. — 8. Метод поиска того, является ли что-либо предложенное материей или акциденцией. — 9. Метод поиска того, находится ли какая-либо акциденция в том или ином субъекте. — 10. Метод поиска причины любого предложенного эффекта. — 11. Слова служат для изобретения как знаки; для доказательства — как признаки. — 12. Метод доказательства является синтетическим. — 13. Только определения являются первичными и универсальными пропозициями. — 14. Природа и определение определения. — 15. Свойства определения. — 16. Природа доказательства. — 17. Свойства доказательства и порядок вещей, подлежащих доказательству. — 18. Ошибки доказательства. — 19. Почему аналитический метод геометров не может быть рассмотрен в этом месте.

Method and science defined.

1. Для понимания метода мне будет необходимо повторить определение философии, данное выше (гл. I, ст. 2), следующим образом: «Философия есть знание, которое мы приобретаем путем истинного рассуждения о явлениях, или кажущихся эффектах, из знания, которое мы имеем о некотором возможном производстве или порождении оных; и о таком производстве, которое было или может быть, из знания, которое мы имеем об эффектах». Метод, следовательно, в изучении философии есть кратчайший путь нахождения эффектов по их известным причинам или причин по их известным эффектам. Но мы тогда говорим, что знаем какой-либо эффект, когда знаем, что существуют причины оного, и в каком субъекте эти причины находятся, и в каком субъекте они производят этот эффект, и каким образом они производят оный. И это есть наука о причинах, или, как они называют ее, о διότι. Всякая другая наука, которая называется ὄτι, есть либо восприятие через чувства, либо воображение, либо память, остающаяся после такого восприятия.

Первые начала, следовательно, знания суть фантазмы чувств и воображения; и что существуют такие фантазмы, мы знаем достаточно хорошо по природе; но знать, почему они есть или из каких причин они происходят, — это работа рассуждения; которая состоит (как сказано выше, в 1-й главе, ст. 2) в композиции и делении или разрешении. Поэтому нет метода, с помощью которого мы находим причины вещей, который не был бы либо композитивным, либо резолютивным, либо частично композитивным и частично резолютивным. И резолютивный обычно называется аналитическим методом, тогда как композитивный называется синтетическим.

It is easier known concerning singular than universal things, that they are; and contrarily it is easier known concerning universal than singular things, why they are, or what are their causes.

2. Для всех видов метода общее — переходить от известных вещей к неизвестным; и это очевидно из приведенного определения философии. Но в знании через чувства целый объект более известен, чем любая его часть; как когда мы видим человека, концепция или целая идея этого человека является первой или более известной, чем частные идеи его «фигурированности», «одушевленности» и «разумности»; то есть мы сначала видим целого человека и замечаем его бытие, прежде чем наблюдаем в нем те другие частности. И поэтому в любом знании ὅτι, или того, что какая-либо вещь есть, начало нашего поиска идет от целой идеи; и наоборот, в нашем знании διότι, или причин какой-либо вещи, то есть в науках, мы имеем больше знания о причинах частей, чем целого. Ибо причина целого скомпонована из причин частей; но необходимо, чтобы мы знали вещи, которые должны быть скомпонованы, прежде чем сможем знать целое соединение. Теперь под частями я здесь подразумеваю не части самой вещи, а части ее природы; как под частями человека я понимаю не его голову, плечи, руки и т. д., а его фигуру, количество, движение, чувства, разум и тому подобное; которые, будучи скомпонованы или сложены вместе, составляют всю природу человека, но не самого человека. И в этом смысл того общего изречения, а именно, что некоторые вещи более известны нам, другие — более известны природе; ибо я не думаю, что те, кто так различает, имеют в виду, что нечто известно природе, что не известно ни одному человеку; и поэтому под теми вещами, которые более известны нам, мы должны понимать вещи, которые мы замечаем нашими чувствами, а под «более известными природе» — те, знание о которых мы приобретаем разумом; ибо в этом смысле «целое», то есть те вещи, которые имеют универсальные имена (которые для краткости я называю универсалиями), более известны нам, чем «части», то есть такие вещи, которые имеют менее универсальные имена (которые я поэтому называю единичными); а причины частей более известны природе, чем причина целого; то есть универсалии более известны, чем единичные.

What it is philosophers seek to know.

3. В изучении философии люди ищут науку либо просто, либо неопределенно; то есть чтобы знать как можно больше, не ставя перед собой никакого ограниченного вопроса; или они исследуют причину какого-то определенного явления, или стремятся найти достоверность чего-то в вопросе, как, например, какова причина света, тепла, тяжести, предложенной фигуры и тому подобного; или в каком субъекте присуща какая-либо предложенная акциденция; или что может способствовать порождению какого-либо предложенного эффекта из многих акциденций; или каким образом частные причины должны быть скомпонованы для производства какого-то определенного эффекта. Теперь, в соответствии с этим разнообразием вещей в вопросе, иногда следует использовать аналитический метод, а иногда — синтетический.

The first part, by which principles are discovered, is purely analytical.

4. Но тем, кто ищет науку неопределенно, которая состоит в знании причин всех вещей, насколько это может быть достигнуто (а причины единичных вещей скомпонованы из причин универсальных или простых вещей), необходимо знать причины универсальных вещей, или таких акциденций, которые общи всем телам, то есть всей материи, прежде чем они смогут узнать причины единичных вещей, то есть тех акциденций, которыми одна вещь отличается от другой. И, опять же, они должны знать, что это за универсальные вещи, прежде чем смогут узнать их причины. Более того, поскольку универсальные вещи содержатся в природе единичных вещей, знание о них должно быть приобретено разумом, то есть путем разрешения. Например, если предложена концепция или идея какой-либо единичной вещи, как «квадрат», этот квадрат должен быть разрешен в «плоскость, ограниченную определенным числом равных и прямых линий и прямых углов». Ибо этим разрешением мы имеем эти вещи универсальными или применимыми ко всей материи, а именно: «линия», «плоскость» (которая содержит «поверхность»), «ограниченность», «угол», «прямота», «правильность» и «равенство»; и если мы сможем найти причины этих вещей, мы сможем скомпоновать их вместе в причину квадрата. Опять же, если кто-то предложит себе концепцию «золота», он может путем разрешения прийти к идеям «твердого», «видимого», «тяжелого» (то есть стремящегося к центру земли или вниз) и многим другим, более универсальным, чем само золото; и их он может разрешать снова, пока не придет к таким вещам, которые являются наиболее универсальными. И таким образом, разрешая непрерывно, мы можем прийти к знанию того, что это за вещи, чьи причины, будучи сначала известны по отдельности, а затем скомпонованы, приводят нас к знанию единичных вещей. Я заключаю, следовательно, что метод достижения универсального знания вещей является чисто аналитическим.

The highest causes, and most universal in every kind, are known by themselves.

5. Но причины универсальных вещей (по крайней мере тех, которые имеют какую-либо причину) очевидны сами по себе или (как обычно говорят) известны природе; так что они не нуждаются ни в каком методе вообще; ибо все они имеют только одну универсальную причину, которая есть движение. Ибо разнообразие всех фигур возникает из разнообразия тех движений, которыми они создаются; и движение не может быть понято как имеющее какую-либо иную причину, кроме движения; равно как и разнообразие тех вещей, которые мы воспринимаем чувствами, как цвета, звуки, вкусы и т. д., не имеет иной причины, кроме движения, пребывающего отчасти в объектах, которые воздействуют на наши чувства, а отчасти в нас самих, таким образом, что это явно есть какой-то вид движения, хотя мы не можем без рассуждения прийти к знанию, какой именно. Ибо хотя многие не могут понять, пока им это не будет в некотором роде доказано, что всякое изменение состоит в движении; однако это происходит не из-за какой-либо неясности в самой вещи (ибо немыслимо, чтобы что-либо могло отойти либо от покоя, либо от движения, которое оно имеет, иначе как через движение), а либо из-за того, что их естественный дискурс испорчен прежними мнениями, полученными от их учителей, либо из-за того, что они вовсе не направляют свой ум на поиск истины.

Method from principles found out, tending to science simply, what it is.

6. Благодаря знанию, следовательно, универсалий и их причин (которые суть первые принципы, с помощью которых мы знаем διότι вещей) мы имеем в первую очередь их определения (которые суть не что иное, как экспликация наших простых концепций). Например, тот, кто имеет истинную концепцию «места», не может не знать этого определения: «место есть то пространство, которое занято или заполнено адекватно каким-либо телом»; и так же тот, кто правильно мыслит «движение», не может не знать, что «движение есть лишение одного места и приобретение другого». Во вторую очередь мы имеем их порождения или описания; как (например) что «линия создается движением точки, поверхность — движением линии, а одно движение — другим движением» и т. д. Остается, чтобы мы спросили, какое движение порождает такие-то эффекты; как, например, какое движение делает прямую линию, а какое — круговую; какое движение толкает, какое тянет и каким путем; что делает вещь, которую видят или слышат, видимой или слышимой иногда одним образом, иногда другим. Теперь метод этого рода исследования — композитивный. Ибо сначала мы должны наблюдать, какой эффект производит движущееся тело, когда мы не рассматриваем в нем ничего, кроме его движения; и мы видим сразу, что это создает линию, или длину; затем, что производит движение длинного тела, что, как мы находим, есть поверхность; и так далее, пока мы не увидим, каковы эффекты простого движения; а затем, точно так же, мы должны наблюдать, что происходит от сложения, умножения, вычитания и деления этих движений, и какие эффекты, какие фигуры и какие свойства они производят; из этого рода созерцания возникла та часть философии, которая называется геометрией.

Из этого рассмотрения того, что производится простым движением, мы должны перейти к рассмотрению того, какие эффекты одно движущееся тело производит на другое; и поскольку движение может быть во всех различных частях тела, но так, что все тело остается все еще на том же месте, мы должны сначала спросить, какое движение вызывает такое-то движение в целом, то есть когда одно тело вторгается в другое тело, которое либо находится в покое, либо в движении, каким путем и с какой быстротой будет двигаться вторгшееся тело; и, опять же, какое движение это второе тело породит в третьем, и так далее. Из этого созерцания будет извлечена та часть философии, которая трактует о движении.

В третью очередь мы должны перейти к исследованию таких эффектов, которые создаются движением частей любого тела, как, например, как случается, что вещи, когда они те же самые, все же кажутся не теми же самыми, а измененными. И здесь вещи, которые мы ищем, суть чувственные качества, такие как свет, цвет, прозрачность, непрозрачность, звук, запах, вкус, тепло, холод и тому подобное; которые, поскольку они не могут быть известны, пока мы не узнаем причины самого чувства, поэтому рассмотрение причин зрения, слуха, обоняния, вкуса и осязания относится к этому третьему месту; и все те качества и изменения, вышеупомянутые, должны быть отнесены к четвертому месту; каковые два рассмотрения охватывают ту часть философии, которая называется физикой. И в этих четырех частях содержится все, что в натурфилософии может быть объяснено доказательством, собственно так называемым. Ибо если бы нужно было дать причину естественных явлений в особенности, как, например, каковы движения и влияния небесных тел и их частей, причина этого должна быть извлечена из частей вышеупомянутых наук, или никакой причины вообще не будет дано, а все будет оставлено на усмотрение неопределенных догадок.

После физики мы должны перейти к моральной философии, в которой нам предстоит рассмотреть движения ума, а именно: аппетит, отвращение, любовь, благожелательность, надежду, страх, гнев, соревнование, зависть и т. д.; каковы их причины и причинами чего они являются. И причина, по которой их следует рассматривать после физики, заключается в том, что их причины лежат в ощущении и воображении, которые являются предметом физического созерцания. Также причина, по которой все эти вещи должны быть исследованы в вышеуказанном порядке, состоит в том, что физику невозможно понять, если мы сначала не узнаем, какие движения происходят в мельчайших частях тел; и не поймем такие движения частей, пока не узнаем, что именно заставляет другое тело двигаться; и не поймем этого, пока не узнаем, что совершит простое движение. А поскольку всякое явление вещей в ощущении определяется и становится обладающим тем или иным качеством и количеством благодаря сложным движениям, каждое из которых имеет определенную степень скорости и определенный и установленный путь, то, во-первых, мы должны исследовать способы движения просто (в чем состоит геометрия); затем способы таких порожденных движений, которые являются явными; и, наконец, способы внутренних и невидимых движений (что является предметом исследования естественных философов). И поэтому те, кто изучает естественную философию, изучают ее напрасно, если не начинают с геометрии; и такие писатели или спорщики о ней, которые невежественны в геометрии, лишь заставляют своих читателей и слушателей терять время.

That method of civil and natural science, proceeding from sense to principles, is analytical; and again, that which begins at principles is synthetical.

7. Гражданская и моральная философия не настолько привязаны друг к другу, чтобы их нельзя было разделить. Ибо причины движений ума известны не только путем рассуждения, но также из опыта каждого человека, который берет на себя труд наблюдать эти движения внутри самого себя. И поэтому не только те, кто достиг знания о страстях и возмущениях ума синтетическим методом и из самых первых принципов философии, могут, продолжая тем же путем, прийти к причинам и необходимости установления государств и получить знание о том, что есть естественное право и что есть гражданские обязанности; и в каждом виде правления — каковы права государства и все прочие знания, относящиеся к гражданской философии (по той причине, что принципы политики состоят в знании движений ума, а знание этих движений — из знания ощущения и воображения); но даже и те, кто не изучил первую часть философии, а именно геометрию и физику, могут, тем не менее, достичь принципов гражданской философии аналитическим методом. Ибо если поставлен вопрос, например, является ли такое-то действие справедливым или несправедливым, то если это «несправедливое» разложить на «действие против закона», а это понятие «закон» — на «повеление того или тех, кто обладает принудительной властью», а эта «власть» — на «волю людей, которые устанавливают такую власть с целью жить в мире», то они могут в конце концов прийти к тому, что аппетиты людей и страсти их умов таковы, что, если их не сдерживать какой-либо властью, они всегда будут вести войну друг с другом; что может быть познано как таковое опытом любого человека, который только захочет исследовать свой собственный ум. И поэтому отсюда он может перейти путем композиции к определению справедливости или несправедливости любого поставленного действия. Таким образом, из сказанного очевидно, что метод философии для тех, кто ищет науку просто, не ставя перед собой задачу решения какого-либо частного вопроса, является отчасти аналитическим, а отчасти синтетическим; а именно: тот, который исходит от ощущения к изобретению принципов, — аналитический, а остальное — синтетическое.

The method of searching out, whether anything propounded be matter or accident.

8. Тем, кто ищет причину какого-либо определенного и поставленного явления или следствия, случается иногда не знать, является ли вещь, причина которой ищется, материей или телом, или какой-либо акциденцией тела. Ибо хотя в геометрии, когда ищется причина величины, пропорции или фигуры, достоверно известно, что эти вещи, а именно величина, пропорция и фигура, суть акциденции, все же в естественной философии, где все вопросы касаются причин фантазмов чувственных вещей, не так легко различить сами вещи, из которых происходят эти фантазмы, и явления этих вещей в ощущении; что ввело в заблуждение многих, особенно когда фантазмы были созданы светом. Например, человек, который смотрит на солнце, имеет некую сияющую идею величиной около фута, и это он называет солнцем, хотя и знает, что солнце на самом деле гораздо больше; и точно так же фантазм одной и той же вещи кажется иногда круглым, если смотреть издалека, а иногда квадратным, если смотреть вблизи. Вследствие чего можно вполне усомниться, является ли этот фантазм материей, или каким-либо естественным телом, или только акциденцией тела; при исследовании этого сомнения мы можем использовать следующий метод. Свойства материи и акциденций, уже найденные нами синтетическим методом из их определений, должны быть сравнены с идеей, которую мы имеем перед собой; и если она согласуется со свойствами материи или тела, то это тело; в противном случае это акциденция. Видя, следовательно, что материя не может никаким нашим стремлением быть ни создана, ни уничтожена, ни увеличена, ни уменьшена, ни перемещена со своего места, тогда как эта идея появляется, исчезает, увеличивается и уменьшается и перемещается туда и сюда по желанию, мы можем с уверенностью заключить, что это не тело, а только акциденция. И этот метод является синтетическим.

The method of seeking whether any accident be in this or in that subject.

9. Но если возникает сомнение относительно субъекта какой-либо известной акциденции (ибо в этом иногда можно усомниться, как в предыдущем примере можно усомниться, в каком субъекте находится этот блеск и кажущаяся величина солнца), тогда наше исследование должно идти следующим образом. Во-первых, материя вообще должна быть разделена на части, как, например, на объект, среду и само чувствующее существо, или на такие другие части, которые кажутся наиболее соответствующими поставленной вещи. Затем эти части должны быть по отдельности исследованы на предмет того, как они согласуются с определением субъекта; и те из них, которые не способны к этой акциденции, должны быть отвергнуты. Например, если путем истинного рассуждения будет установлено, что солнце больше своей кажущейся величины, то эта величина не находится в солнце; если солнце находится на одной определенной прямой линии и на одном определенном расстоянии, а величина и блеск видны на более чем одной линии и расстоянии, как это бывает при отражении или преломлении, то ни этот блеск, ни кажущаяся величина не находятся в самом солнце, и, следовательно, тело солнца не может быть субъектом этого блеска и величины. И по тем же причинам воздух и другие части будут отвергнуты, пока, наконец, не останется ничего, что могло бы быть субъектом этого блеска и величины, кроме самого чувствующего существа. И этот метод, поскольку субъект разделен на части, является аналитическим; а поскольку свойства как субъекта, так и акциденции сравниваются с акциденцией, относительно субъекта которой ведется исследование, он является синтетическим.

Method of searching for the cause of any effect, propounded.

10. Но когда мы ищем причину какого-либо поставленного следствия, мы должны прежде всего получить в своем уме точное понятие или идею того, что мы называем причиной, а именно, что причина есть сумма или совокупность всех таких акциденций, как в агентах, так и в пациенте, которые содействуют производству поставленного следствия; все они существуют вместе, и нельзя понять, что следствие существует вместе с ними; или что оно может возможно существовать, если отсутствует хотя бы одна из них. Зная это, мы должны затем по отдельности исследовать каждую акциденцию, которая сопровождает или предшествует следствию, насколько она кажется содействующей каким-либо образом производству оного, и посмотреть, можно ли представить, что поставленное следствие существует без существования какой-либо из этих акциденций; и таким образом отделить такие акциденции, которые не содействуют, от тех, которые содействуют производству сказанного следствия; после чего мы должны сложить содействующие акциденции и рассмотреть, можем ли мы возможно представить, что когда все они присутствуют, поставленное следствие не последует; и если очевидно, что следствие последует, то эта совокупность акциденций является полной причиной, в противном случае нет; но мы должны продолжать искать и складывать другие акциденции. Например, если поставлена задача найти причину света; сначала мы исследуем вещи вне нас и обнаруживаем, что всякий раз, когда появляется свет, есть некий главный объект, как бы источник света, без которого мы не можем иметь никакого восприятия света; и, следовательно, содействие этого объекта необходимо для порождения света. Затем мы рассматриваем среду и обнаруживаем, что если она не расположена определенным образом, а именно, если она не прозрачна, то, хотя объект остается тем же самым, следствие не последует; и, следовательно, содействие прозрачности также необходимо для порождения света. В-третьих, мы наблюдаем наше собственное тело и обнаруживаем, что из-за нерасположенности глаз, мозга, нервов и сердца, то есть из-за закупорок, тупости и слабости, мы лишаемся света, так что подобающее расположение органов для получения впечатлений извне является также необходимой частью причины света. Далее, из всех акциденций, присущих объекту, нет ни одной, которая могла бы содействовать осуществлению света, кроме действия (или некоего движения), которое нельзя представить отсутствующим, когда бы ни присутствовало следствие; ибо для того, чтобы что-либо светилось, не требуется, чтобы оно было такой или такой величины или фигуры, или чтобы все его тело было перемещено с места, в котором оно находится (если только, быть может, не сказать, что в солнце или другом теле то, что вызывает свет, есть свет, который оно имеет в себе; что, однако, является лишь пустяковым исключением, поскольку под этим не подразумевается ничего, кроме причины света; как если бы кто-то сказал, что причина света есть то в солнце, что его производит); остается, следовательно, что действие, которым порождается свет, есть только движение в частях объекта. Поняв это, мы можем легко представить, что вносит среда, а именно продолжение этого движения к глазу; и, наконец, что вносят глаз и остальные органы чувствующего существа, а именно продолжение того же движения к последнему органу чувства, сердцу. И таким образом причина света может быть составлена из движения, продолженного от начала того же движения к началу жизненного движения, причем свет есть не что иное, как изменение жизненного движения, произведенное впечатлением на него движения, продолженного от объекта. Но я привожу это только в качестве примера, ибо я буду говорить более подробно о свете и его порождении в надлежащем месте. Тем временем очевидно, что при поиске причин есть потребность отчасти в аналитическом, а отчасти в синтетическом методе; в аналитическом — чтобы понять, как обстоятельства содействуют по отдельности производству следствий; и в синтетическом — для сложения и соединения того, что они могут совершить по отдельности сами по себе. И этого достаточно для метода изобретения. Остается, чтобы я сказал о методе обучения, то есть о демонстрации и о средствах, с помощью которых мы демонстрируем.

Words serve to invention as marks; to demonstration as signs.

11. В методе изобретения использование слов состоит в том, что они могут служить знаками, с помощью которых все, что мы нашли, может быть припомнено; ибо без этого все наши изобретения погибают, и нам будет невозможно продвинуться от принципов дальше силлогизма или двух по причине слабости памяти. Например, если кто-либо, рассматривая предложенный ему треугольник, обнаружит, что все его углы вместе взятые равны двум прямым углам, и это путем молчаливого размышления о том же, без какого-либо использования слов, понятых или выраженных; и случится впоследствии, что другой треугольник, непохожий на прежний, или тот же самый в другом положении, будет предложен его рассмотрению, он не узнает сразу, есть ли то же свойство в последнем или нет, но будет вынужден, всякий раз, когда перед ним будет предложен другой треугольник (а различие треугольников бесконечно), начинать свое созерцание заново; чего ему не нужно было бы делать, если бы он имел использование имен, ибо каждое универсальное имя обозначает концепции, которые мы имеем о бесконечных единичных вещах. Тем не менее, как я сказал выше, они служат как знаки для помощи нашей памяти, посредством которых мы регистрируем для себя наши собственные изобретения; но не как знаки, которыми мы объявляем оные другим; так что человек может быть философом в одиночку, без какого-либо учителя; Адам имел эту способность. Но учить, то есть демонстрировать, предполагает по меньшей мере двоих и силлогистическую речь.

The method of demonstration is synthetical.

12. И видя, что обучение есть не что иное, как ведение ума того, кого мы учим, к знанию наших изобретений по тому пути, по которому мы достигли оных собственным умом, поэтому тот же метод, который служил для нашего изобретения, послужит также для демонстрации другим, за исключением того, что мы опускаем первую часть метода, которая исходила от ощущения вещей к универсальным принципам, которые, поскольку они являются принципами, не могут быть продемонстрированы; и видя, что они известны по природе (как было сказано выше в 5-й статье), они не нуждаются в демонстрации, хотя нуждаются в экспликации. Весь метод, следовательно, демонстрации является синтетическим, состоящим из того порядка речи, который начинается с первичных или наиболее универсальных пропозиций, которые очевидны сами по себе, и продолжается путем постоянной композиции пропозиций в силлогизмы, пока, наконец, обучающийся не поймет истинность искомого заключения.

Definitions only are primary, & universal propositions.

13. Теперь такие принципы суть не что иное, как определения, которых существует два рода: один — имен, которые означают такие вещи, которые имеют некую мыслимую причину, и другой — таких имен, которые означают вещи, о которых мы не можем мыслить никакой причины вообще. Имена первого рода суть: тело, или материя, количество, или протяжение, движение и все, что обще всей материи. Второго рода суть: такое тело, такое и столь великое движение, столь великая величина, такая фигура и все, чем мы можем отличить одно тело от другого. И имена первого рода достаточно хорошо определены, когда путем речи, насколько возможно краткой, мы вызываем в уме слушателя совершенные и ясные идеи или концепции названных вещей, как когда мы определяем движение как оставление одного места и приобретение другого непрерывно; ибо хотя в этом определении нет ни движущейся вещи, ни какой-либо причины движения, все же при слушании этой речи в уме слушателя возникнет идея движения, достаточно ясная. Но определения вещей, которые могут быть поняты как имеющие некую причину, должны состоять из таких имен, которые выражают причину или способ их порождения, как когда мы определяем круг как фигуру, сделанную путем обведения прямой линии в плоскости и т. д. Помимо определений, нет никакой другой пропозиции, которую следовало бы называть первичной или (согласно строгой истине) принимать в число принципов. Ибо те аксиомы Евклида, поскольку они могут быть продемонстрированы, не являются принципами демонстрации, хотя они с согласия всех людей получили авторитет принципов, потому что их не нужно демонстрировать. Также те петиции, или постулаты (как их называют), хотя они и являются принципами, все же они являются принципами не демонстрации, а только построения; то есть не науки, а силы; или (что одно и то же) не теорем, которые суть спекуляции, а проблем, которые относятся к практике, или деланию чего-либо. Что же касается тех общепринятых мнений, «Природа не терпит пустоты», «Природа ничего не делает напрасно» и тому подобных, которые ни очевидны сами по себе, ни вообще могут быть продемонстрированы, и которые чаще ложны, чем истинны, то они тем более не должны признаваться принципами.

Чтобы вернуться, следовательно, к определениям; причина, по которой я говорю, что причина и порождение таких вещей, которые имеют какую-либо причину или порождение, должны входить в их определения, такова. Цель науки — демонстрация причин и порождений вещей; если их нет в определениях, их нельзя найти в заключении первого силлогизма, который сделан из этих определений; и если их нет в первом заключении, их не будет найдено ни в каком дальнейшем заключении, выведенном из него; и, следовательно, продолжая таким образом, мы никогда не придем к науке; что противоречит цели и намерению демонстрации.

The nature & definition of a definition.

14. Теперь, видя, что определения (как я сказал) являются принципами, или первичными пропозициями, они, следовательно, являются речами; и видя, что они используются для вызова идеи какой-либо вещи в уме обучающегося, всякий раз, когда эта вещь имеет имя, определение ее может быть не чем иным, как экспликацией этого имени посредством речи; и если это имя дано ей для некоторой сложной концепции, определение есть не что иное, как разрешение этого имени на его наиболее универсальные части. Как когда мы определяем человека, говоря «человек есть тело одушевленное, чувствующее, разумное», те имена, «тело одушевленное» и т. д., являются частями того целого имени «человек»; так что определения этого рода всегда состоят из рода и видового отличия; причем первые имена являются все, до последнего, общими; а последнее из всех — видовым отличием. Но если какое-либо имя является наиболее универсальным в своем роде, то определение его не может состоять из рода и видового отличия, а должно быть сделано такой перифразой, которая наилучшим образом эксплицирует силу этого имени. Далее, возможно, и случается часто, что род и видовое отличие поставлены вместе, и все же не составляют определения; как эти слова, «прямая линия», содержат как род, так и видовое отличие; но не являются определением, если только мы не подумаем, что прямая линия может быть определена так: «прямая линия есть прямая линия»: и все же если бы было добавлено другое имя, состоящее из других слов, но означающее то же самое, что означают эти, тогда они могли бы быть определением этого имени. Из того, что было сказано, можно понять, как должно быть определено определение, а именно: что это пропозиция, чей предикат разрешает субъект, когда может; а когда не может, он иллюстрирует оный.

Properties of a definition.

15. Свойства определения таковы:

Во-первых, что оно устраняет двусмысленность, а также все то множество различий, которые используются теми, кто думает, что может изучать философию путем диспутов. Ибо природа определения состоит в том, чтобы определять, то есть устанавливать значение определяемого имени и отсекать от него все прочие значения, кроме тех, что содержатся в самом определении; и поэтому одно определение делает столько же, сколько все различия (как бы много их ни было), которые могут быть использованы относительно определяемого имени.

Во-вторых, что оно дает универсальное понятие определяемой вещи, представляя некую универсальную картину оной, не для глаза, а для ума. Ибо как когда кто-то рисует человека, он рисует образ какого-то человека; так и тот, кто определяет имя «человек», делает представление какого-то человека для ума.

В-третьих, что нет необходимости спорить, следует ли принимать определения или нет. Ибо когда учитель обучает своего ученика, если ученик понимает все части определяемой вещи, которые разрешены в определении, и все же не хочет признавать определение, между ними не требуется дальнейших споров, ибо это все равно, как если бы он отказался учиться. Но если он ничего не понимает, то, конечно, определение ошибочно; ибо природа определения состоит в том, что оно выставляет ясную идею определяемой вещи; а принципы либо известны сами по себе, либо они не являются принципами.

В-четвертых, что в философии определения предшествуют определяемым именам. Ибо при обучении философии первое начало — от определений; и всякое продвижение в ней, пока мы не придем к знанию сложной вещи, является композитивным. Видя, следовательно, что определение есть экспликация сложного имени путем разрешения, а продвижение идет от частей к сложному, определения должны быть поняты раньше сложных имен; более того, когда имена частей какой-либо речи эксплицированы, не обязательно, чтобы определение было именем, составленным из них. Например, когда эти имена, «равносторонний», «четырехугольный», «прямоугольный», достаточно поняты, в геометрии не обязательно, чтобы существовало вообще такое имя, как «квадрат»; ибо определенные имена принимаются в философии только ради краткости.

В-пятых, что сложные имена, которые определены одним способом в одной части философии, могут быть иначе определены в другой ее части; как «парабола» и «гипербола» имеют одно определение в геометрии, а другое в риторике; ибо определения установлены и служат для понимания доктрины, о которой идет речь. И поэтому, как в одной части философии определение может иметь в себе какое-то одно подходящее имя для более краткого объяснения какой-либо пропозиции в геометрии, так оно может иметь ту же свободу в других частях философии; ибо использование имен является частным (даже там, где многие соглашаются на их установление) и произвольным.

В-шестых, что никакое имя не может быть определено каким-либо одним словом; потому что ни одно слово не является достаточным для разрешения одного или нескольких слов.

В-седьмых, что определенное имя не должно повторяться в определении. Ибо определенное имя есть все сложное, а определение есть разрешение этого сложного на части; но никакое целое не может быть частью самого себя.

Nature of a demonstration.

16. Любые два определения, которые могут быть соединены в силлогизм, производят заключение; которое, поскольку оно выведено из принципов, то есть из определений, называется продемонстрированным; а само выведение или композиция называется демонстрацией. Точно так же, если силлогизм составлен из двух пропозиций, из которых одна есть определение, а другая — продемонстрированное заключение, или ни одна из них не является определением, а обе ранее продемонстрированы, этот силлогизм также называется демонстрацией, и так последовательно. Определение, следовательно, демонстрации таково: демонстрация есть силлогизм, или ряд силлогизмов, выведенных и продолженных от определений имен до последнего заключения. И отсюда можно понять, что всякое истинное рассуждение, которое берет свое начало от истинных принципов, производит науку и является истинной демонстрацией. Ибо что касается происхождения имени, хотя то, что греки называли ἀποδέιξις, а латиняне demonstratio, понималось ими только для того рода рассуждения, в котором путем описания определенных линий и фигур они помещали вещь, которую должны были доказать, как бы перед глазами людей, что собственно есть ἀποδεικνύειν, или показывать с помощью фигуры; все же они, по-видимому, делали это по той причине, что если бы не геометрия (в которой только и есть место для таких фигур), не было бы никакого рассуждения, достоверного и заканчивающегося наукой, а их доктрины относительно всех других вещей были не чем иным, как спорами и шумом; что, однако, случилось не потому, что истина, на которую они претендовали, не могла быть сделана очевидной без фигур, а потому, что им не хватало истинных принципов, из которых они могли бы вывести свое рассуждение; и, следовательно, нет причин, почему, если бы истинные определения были предпосланы во всех видах доктрин, демонстрации также были бы истинными.

Properties of a demonstration, and order of things to be demonstrated.

17. Для методической демонстрации свойственно:

Во-первых, чтобы была истинная последовательность одного довода за другим, согласно правилам силлогизирования, изложенным выше.

Во-вторых, чтобы посылки всех силлогизмов были продемонстрированы из первых определений.

В-третьих, чтобы после определений тот, кто учит или демонстрирует что-либо, действовал тем же методом, которым он это нашел; а именно, чтобы в первую очередь были продемонстрированы те вещи, которые непосредственно следуют за универсальными определениями (в которых содержится та часть философии, которая называется philosophia prima). Затем те вещи, которые могут быть продемонстрированы простым движением (в чем состоит геометрия). После геометрии — такие вещи, которые могут быть обучены или показаны явным действием, то есть отталкиванием или притягиванием. А после них — движение или мутация невидимых частей вещей, и доктрина ощущения и воображений, и внутренних страстей, особенно человеческих, в которых заключены основания гражданских обязанностей, или гражданская философия; которая занимает последнее место. И что этот метод должен соблюдаться во всех видах философии, очевидно из того, что такие вещи, как я сказал, должны преподаваться в последнюю очередь, не могут быть продемонстрированы, пока те, которые предложены для рассмотрения в первую очередь, не будут полностью поняты. О каком методе не может быть дано иного примера, кроме того трактата об элементах философии, который я начну в следующей главе и продолжу до конца работы.

Faults of a demonstration.

18. Помимо тех паралогизмов, чья вина заключается либо в ложности посылок, либо в отсутствии истинной композиции, о которых я говорил в предыдущей главе, есть еще два, которые часто встречаются в демонстрации; один из которых обычно называется petitio principii; другой — предположение ложной причины; и они не только обманывают неискусных учеников, но иногда и самих учителей, заставляя их принимать за хорошо продемонстрированное то, что вовсе не продемонстрировано. Petitio principii — это когда заключение, которое нужно доказать, замаскировано другими словами и выдается за определение или принцип, из которого оно должно быть продемонстрировано; и таким образом, подставляя вместо причины искомой вещи либо саму вещь, либо какое-то ее следствие, они создают круг в своей демонстрации. Например, тот, кто хотел бы продемонстрировать, что земля стоит неподвижно в центре мира, и предположил бы тяжесть земли причиной этого, и определил бы тяжесть как качество, посредством которого каждое тяжелое тело стремится к центру мира, потерял бы свой труд; ибо вопрос в том, какова причина этого качества в земле? и, следовательно, тот, кто предполагает тяжесть причиной, подставляет саму вещь вместо ее собственной причины.

О ложной причине я нахожу такой пример в одном трактате, где вещью, подлежащей демонстрации, является движение земли. Он начинает, следовательно, с того, что, видя, что земля и солнце не всегда находятся в одном и том же положении, необходимо, чтобы одно из них было локально перемещено, что истинно; затем он утверждает, что пары, которые солнце поднимает с земли и моря, по причине этого движения необходимо перемещаются, что также истинно; откуда он выводит, что образуются ветры, и это может быть принято как должное; и этими ветрами, говорит он, движутся воды моря, и их движением дно моря, как если бы его били вперед, движется по кругу; и пусть это также будет принято; почему, заключает он, земля движется; что, тем не менее, является паралогизмом. Ибо если этот ветер был причиной того, почему земля с самого начала двигалась по кругу, и движение либо солнца, либо земли было причиной этого ветра, то движение солнца или земли было до самого ветра; и если земля двигалась до того, как был создан ветер, то ветер не мог быть причиной обращения земли; но если солнце двигалось, а земля стояла неподвижно, то очевидно, что земля могла оставаться неподвижной, несмотря на этот ветер; и поэтому это движение не было совершено причиной, которую он приводит. Но паралогизмы такого рода очень часты среди писателей по физике, хотя ни один не может быть более искусным, чем этот в приведенном примере.

Why the analytical method of geometricians cannot be treated of in this place.

19. Некоторым людям может показаться уместным рассмотреть в этом месте то искусство геометров, которое они называют logistica, то есть искусство, посредством которого, исходя из предположения, что искомая вещь истинна, они продолжают рассуждение, пока либо не придут к чему-то известному, с помощью чего они могут продемонстрировать истинность искомой вещи; либо к чему-то невозможному, откуда они заключают, что то, что они предположили истинным, ложно. Но это искусство не может быть эксплицировано здесь по той причине, что метод его не может быть ни практикуем, ни понят, кроме как теми, кто хорошо сведущ в геометрии; и среди самих геометров те, у кого больше всего теорем наготове, наиболее готовы в использовании этой logistica; так что, действительно, это не является вещью, отличной от самой геометрии; ибо в методе ее есть три части; первая из которых состоит в нахождении равенства между известными и неизвестными вещами, что они называют уравнением; и это уравнение не может быть найдено никем, кроме тех, кто совершенно знает природу, свойства и транспозиции пропорций, а также сложение, вычитание, умножение и деление линий и поверхностей, и извлечение корней; что является частями не среднего геометра. Вторая — когда уравнение найдено, быть способным судить, может ли истинность или ложность вопроса быть выведена из него или нет; что все же требует большего знания. И третья — когда найдено такое уравнение, которое подходит для решения вопроса, знать, как разрешить его таким образом, чтобы истинность или ложность могли при этом явно проявиться; что в трудных вопросах не может быть сделано без знания природы криволинейных фигур; но тот, кто легко понимает природу и свойства их, является завершенным геометром. Случается, кроме того, что для нахождения уравнений нет никакого определенного метода, но лучше всего способен сделать это тот, кто имеет лучший природный ум.

ЧАСТЬ II. ПЕРВЫЕ ОСНОВАНИЯ ФИЛОСОФИИ.

ГЛАВА VII. О МЕСТЕ И ВРЕМЕНИ.

1. Вещи, которые не имеют существования, могут тем не менее быть поняты и вычислены. — 2. Что такое пространство. — 3. Время. — 4. Часть. — 5. Деление. — 6. Один. — 7. Число. — 8. Композиция. — 9. Целое. — 10. Пространства и времена смежные и непрерывные. — 11. Начало, конец, путь, конечное, бесконечное. — 12. Что есть бесконечное в силе. Ничто бесконечное не может быть истинно сказано ни целым, ни одним; ни бесконечные пространства или времена — многими. — 13. Деление не доходит до наименьшего.

Things that have no existence, may nevertheless be understood and computed.

1. В обучении естественной философии я не могу начать лучше (как я уже показал), чем с лишения; то есть с притворства, что мир аннигилирован. Но если предположить такую аннигиляцию всех вещей, возможно, возникнет вопрос, что осталось бы для любого человека (которого одного я исключаю из этой всеобщей аннигиляции вещей), чтобы рассматривать как предмет философии, или вообще рассуждать о чем-либо; или чему давать имена ради рассуждения.

Я говорю, следовательно, что у этого человека остались бы идеи мира и всех таких тел, которые он видел своими глазами до их аннигиляции или воспринимал любым другим чувством; то есть память и воображение величин, движений, звуков, цветов и т. д., а также их порядка и частей. Все эти вещи, хотя они суть не что иное, как идеи и фантазмы, происходящие внутренне у того, кто воображает; все же они будут казаться так, как если бы они были внешними и вовсе не зависящими от какой-либо силы ума. И это те вещи, которым он дал бы имена, и вычитал бы их из них, и соединял бы их друг с другом. Ибо видя, что после уничтожения всех других вещей я предполагаю человека все еще остающимся, а именно, что он мыслит, воображает и помнит, не может быть ничего, о чем он мог бы мыслить, кроме того, что прошло; более того, если мы только будем внимательно наблюдать, что мы делаем, когда созерцаем и рассуждаем, мы обнаружим, что хотя все вещи все еще остаются в мире, мы вычисляем не что иное, как наши собственные фантазмы. Ибо когда мы вычисляем величину и движения неба или земли, мы не восходим на небо, чтобы разделить его на части или измерить движения оного, но мы делаем это, сидя спокойно в своих кабинетах или в темноте. Теперь вещи могут быть рассмотрены, то есть приняты в расчет, либо как внутренние акциденции нашего ума, в каком образе мы рассматриваем их, когда вопрос идет о какой-либо способности ума; либо как виды внешних вещей, не как реально существующие, а появляющиеся только для того, чтобы существовать, или иметь бытие вне нас. И в этом образе мы теперь должны их рассматривать.

What is Space.

2. Если, следовательно, мы помним или имеем фантазм какой-либо вещи, которая была в мире до предполагаемой аннигиляции оной; и рассматриваем не то, что вещь была такой или такой, а только то, что она имела бытие вне ума, мы имеем тотчас концепцию того, что мы называем пространством: воображаемое пространство, действительно, потому что это лишь фантазм, но та самая вещь, которую все люди называют так. Ибо никто не называет это пространством за то, что оно уже заполнено, а потому, что оно может быть заполнено; и никто не думает, что тела уносят свои места с собой, но что одно и то же пространство содержит иногда одно, иногда другое тело; чего не могло бы быть, если бы пространство всегда сопровождало тело, которое однажды в нем находится. И это само по себе настолько очевидно, что я не думаю, что оно нуждалось бы в каком-либо объяснении вообще, если бы я не находил, что пространство ложно определяется некоторыми философами, которые выводят отсюда: один — что мир бесконечен (ибо принимая пространство за протяжение тел и думая, что протяжение может увеличиваться непрерывно, он выводит, что тела могут быть бесконечно протяженными); а другой — из того же определения заключает опрометчиво, что невозможно даже самому Богу создать более миров, чем один; ибо, если бы должен был быть создан другой мир, он говорит, что видя, что вне этого мира нет ничего, и поэтому (согласно его определению) нет пространства, этот новый мир должен быть помещен в ничто; но в ничто ничто не может быть помещено; что он утверждает только, не показывая никакой причины для того же; тогда как истина противоположна: ибо больше нельзя поместить в место, уже заполненное, настолько пустое пространство более пригодно, чем то, которое полно, для принятия новых тел. Сказав, следовательно, так много ради этих людей и ради тех, кто соглашается с ними, я возвращаюсь к своей цели и определяю пространство так: ПРОСТРАНСТВО есть фантазм вещи, существующей вне ума просто; то есть, тот фантазм, в котором мы не рассматриваем никакой другой акциденции, кроме только того, что она появляется вне нас.

Time.

3. Как тело оставляет фантазм своей величины в уме, так также движущееся тело оставляет фантазм своего движения, а именно идею того тела, проходящего из одного пространства в другое путем непрерывной последовательности. И эта идея, или фантазм, есть то, что (не отступая много от общего мнения или от определения Аристотеля) я называю Временем. Ибо видя, что все люди признают год временем, и все же не думают, что год есть акциденция или аффекция какого-либо тела, они должны признать его не в вещах вне нас, а только в мысли ума. Так, когда они говорят о временах своих предшественников, они не думают после того, как их предшественники ушли, что их времена могут быть где-либо еще, кроме как в памяти тех, кто помнит их. А что касается тех, кто говорит, что дни, годы и месяцы суть движения солнца и луны, видя, что одно и то же сказать «движение прошедшее» и «движение уничтоженное», и что «будущее движение» есть то же самое, что движение, «которое еще не началось», они говорят то, что не имеют в виду, что не существует, не существовало и не будет существовать никакого времени: ибо о чем бы ни можно было сказать «оно было» или «оно будет», о том же можно было сказать прежде или можно будет сказать после «оно есть». Что тогда могут быть дни, месяцы и годы, кроме имен таких вычислений, сделанных в нашем уме? Время, следовательно, есть фантазм, но фантазм движения, ибо если мы хотим знать, какими моментами время проходит, мы используем какое-либо движение или другое, как солнца, часов, песка в песочных часах, или мы отмечаем какую-то линию, на которой мы воображаем что-то движущимся, не имея другого средства, которым мы можем заметить какое-либо время вообще. И все же, когда я говорю, что время есть фантазм движения, я не говорю, что этого достаточно, чтобы определить его; ибо это слово «время» охватывает понятие «прежде» и «после», или «последовательности» в движении тела, поскольку оно сначала здесь, затем там. Поэтому полное определение времени есть такое: ВРЕМЯ есть фантазм «прежде» и «после» в движении; что согласуется с этим определением Аристотеля: «время есть число движения согласно прежде и после»; ибо это нумерование есть акт ума; и поэтому одно и то же сказать: «время есть число движения согласно прежде и после»; и «время есть фантазм пронумерованного движения». Но то другое определение, «время есть мера движения», не столь точно, ибо мы измеряем время движением, а не движение временем.

Part.

4. Одно пространство называется частью другого пространства, а одно время — частью другого времени, когда это содержит то и что-то еще. Откуда можно заключить, что ничто не может быть правильно названо ЧАСТЬЮ, кроме того, что сравнивается с чем-то, что содержит его.

Division.

5. И поэтому делать части, или делить пространство или время, есть не что иное, как рассматривать одно и другое внутри одного и того же; так что если кто-либо делит пространство или время, различные концепции, которые он имеет, больше на одну, чем части, которые он делает; ибо его первая концепция — того, что должно быть разделено, затем какой-то части его, и снова какой-то другой части его, и так далее, пока он продолжает делить.

Но следует отметить, что здесь под делением я не имею в виду отсечение или разрывание одного пространства или времени от другого (ибо думает ли кто-нибудь, что одно полушарие может быть отделено от другого полушария, или первый час от второго?), но разнообразие рассмотрения; так что деление совершается не операцией рук, а ума.

One.

6. Когда пространство или время рассматривается среди других пространств или времен, оно называется ОДНИМ, а именно одним из них; ибо если бы одно пространство нельзя было добавить к другому и вычесть из другого пространства, и так же со временем, было бы достаточно сказать «пространство» или «время» просто, и излишне говорить «одно пространство» или «одно время», если нельзя было бы представить, что есть другое. Общее определение «одного», а именно, что «одно есть то, что нераздельно», подвержено абсурдному следствию; ибо отсюда можно вывести, что все, что разделено, есть многие вещи, то есть что каждая разделенная вещь есть разделенные вещи, что бессмысленно.

Number.

7. ЧИСЛО есть «один» и «один», или «один один» и «один», и так далее; а именно, «один» и «один» составляют число «два», а «один один» и «один» — число «три»; так составляются все другие числа; что одно и то же, как если бы мы сказали: «число есть единицы».

Composition.

8. СОСТАВИТЬ пространство из пространств, или время из времен, — значит сначала рассмотреть их одно за другим, а затем вместе как одно; как если бы кто-то считал сначала голову, ноги, руки и тело по отдельности, а затем для счета их всех вместе поставил «человек». И то, что так поставлено для всех отдельных частей, из которых оно состоит, называется ЦЕЛЫМ; а те отдельные части, когда путем деления целого они снова начинают рассматриваться по отдельности, суть части оного; и поэтому целое и все части, взятые вместе, суть одна и та же вещь. И как я отметил выше, что при делении не обязательно разрывать части, так и при композиции следует понимать, что для составления целого нет нужды складывать части вместе так, чтобы они касались друг друга, а только собирать их в одну сумму в уме. Ибо так все люди, будучи рассмотрены вместе, составляют целое человечества, хотя и рассеянные временем и местом; и двенадцать часов, хотя и часы разных дней, могут быть составлены в одно число двенадцати.

The whole.

9. Когда это хорошо понято, очевидно, что ничто не может быть правильно названо целым, что не мыслится составленным из частей, и что оно может быть разделено на части; так что если мы отрицаем, что вещь имеет части, мы отрицаем, что она является целым. Например, если мы говорим, что душа не может иметь частей, мы утверждаем, что никакая душа не может быть целой душой. Также очевидно, что ничто не имеет частей, пока оно не разделено; и когда вещь разделена, частей ровно столько, сколько делает их деление. Далее, что часть части есть часть целого; и таким образом любая часть числа «четыре», как «два», есть часть числа «восемь»; ибо «четыре» сделано из «двух» и «двух»; но «восемь» составлено из «двух», «двух» и «четырех», и поэтому «два», которое является частью части «четыре», есть также часть целого «восемь».

Spaces and times contiguous and continual.

10. Два пространства называются СМЕЖНЫМИ, когда между ними нет другого пространства. Но два времени, между которыми нет другого времени, называются непосредственными, как А Б, Б В. | А Б В | И любые два пространства, так же как и времена, называются НЕПРЕРЫВНЫМИ, когда они имеют одну общую часть, как А В, Б Г, где часть Б В является общей; | А Б В Г | и больше пространств и времен являются непрерывными, когда каждые два, которые находятся рядом друг с другом, являются непрерывными.

Beginning, end, way, finite, infinite.

11. Та часть, которая находится между двумя другими частями, называется СРЕДНЕЙ; а та, которая не находится между двумя другими частями, — КРАЙНЕЙ. И из крайних та, которая считается первой, есть НАЧАЛО, а та, которая последняя, — КОНЕЦ; и все средние, взятые вместе, суть ПУТЬ. Также крайние части и пределы суть одна и та же вещь. И отсюда очевидно, что начало и конец зависят от порядка, в котором мы нумеруем их; и что ограничивать или лимитировать пространство и время есть то же самое, что воображать их начало и конец; как также что каждая вещь есть КОНЕЧНАЯ или БЕСКОНЕЧНАЯ, согласно тому, воображаем ли мы ее ограниченной или лимитированной во всех отношениях или нет; и что пределы любого числа суть единицы, и из них та, которая первая в нашем нумеровании, есть начало, а та, которую мы нумеруем последней, есть конец. Когда мы говорим, что число бесконечно, мы имеем в виду только то, что никакое число не выражено; ибо когда мы говорим о числах «два», «три», «тысяча» и т. д., они всегда конечны. Но когда сказано не более, чем это, «число бесконечно», это следует понимать так, как если бы было сказано: это имя «число» есть неопределенное имя.

What is infinite in power. Nothing infinite can be truly said to be either whole or one; nor infinite spaces or times, many.

12. Пространство или время называются конечными по своей силе, или ограниченными, когда можно указать такое число конечных пространств или времен, например шагов или часов, больше которого не может быть числа той же меры в данном пространстве или времени; и бесконечными по своей силе называется то пространство или время, в котором можно указать большее число упомянутых шагов или часов, чем любое число, которое может быть дано. Но мы должны заметить, что, хотя в том пространстве или времени, которое бесконечно по своей силе, можно насчитать больше шагов или часов, чем любое число, которое может быть указано, все же их число всегда будет конечным; ибо всякое число конечно. И поэтому его рассуждение было неверным, когда он, пытаясь доказать, что мир конечен, рассуждал так: если мир бесконечен, то в нем можно взять некоторую часть, которая удалена от нас на бесконечное число шагов, но такой части взять нельзя; следовательно, мир не бесконечен; ибо это следствие из большей пропозиции ложно; ведь в бесконечном пространстве, что бы мы ни взяли или ни наметили в своем уме, расстояние этого от нас есть пространство конечное; ибо в самом определении его места мы полагаем предел тому пространству, началом которого мы сами являемся; и все, что человек своим умом отсекает с обеих сторон от бесконечного, он определяет, то есть делает конечным.

Об бесконечном пространстве или времени нельзя сказать, что оно есть целое или единое: не целое, потому что оно не состоит из частей; ибо, видя, что части, сколько бы их ни было, по отдельности конечны, они также, когда все сложены вместе, составят целое конечное; и не единое, потому что ничто не может быть названо единым, если нет другого, с чем его можно сравнить; но нельзя помыслить, что существуют два пространства или два времени, бесконечные. Наконец, когда мы задаемся вопросом, конечен мир или бесконечен, у нас в уме нет ничего, что соответствовало бы имени «мир»; ибо все, что мы воображаем, тем самым конечно, хотя наше вычисление и достигает неподвижных звезд, или девятой, или десятой, или даже тысячной сферы. Смысл вопроса лишь в том, произвел ли Бог на самом деле такое приращение тела к телу, какое мы способны произвести приращением пространства к пространству.

Division proceeds not to the least.

13. И поэтому то, что обычно говорят, будто пространство и время могут быть бесконечно делимы, не следует понимать так, как если бы могла существовать какая-либо бесконечная или вечная делимость; но скорее это следует принимать в том смысле, что «все, что разделено, разделено на такие части, которые могут быть снова разделены»; или так: «наименьшая делимая вещь не может быть дана»; или, как говорят геометры, «нет такой малой величины, чтобы нельзя было взять меньшую»; что легко может быть продемонстрировано следующим образом. Пусть любое пространство или время, которое считалось наименьшим делимым, будет разделено на две равные части, A и B. Я утверждаю, что любая из них, например A, может быть снова разделена. Ибо предположим, что часть A прилегает к части B с одной стороны, а с другой стороны — к некоторому другому пространству, равному B. Это целое пространство, следовательно, будучи больше данного пространства, делимо. Поэтому, если оно будет разделено на две равные части, часть посередине, которая есть A, также будет разделена на две равные части; и, следовательно, A было делимым.

ГЛАВА VIII. О ТЕЛЕ И АКЦИДЕНЦИИ.

1. Определение тела. 2. Определение акциденции. 3. Как акциденция может быть понята как находящаяся в своем субъекте. 4. Величина, что это такое. 5. Место, что это такое и что оно неподвижно. 6. Что такое полное и пустое. 7. Здесь, там, где-то, что они означают. 8. Многие тела не могут быть в одном месте, ни одно тело во многих местах. 9. Соприкасающееся и непрерывное, что они такое. 10. Определение движения. Никакое движение не мыслимо без времени. 11. Что значит быть в покое, быть перемещенным и перемещаться. Никакое движение не может быть помыслено без представления о прошлом и будущем. 12. Точка, линия, поверхность и тело, что они такое. 13. Равное, большее и меньшее в телах и величинах, что они такое. 14. Одно и то же тело всегда имеет одну и ту же величину. 15. Скорость, что это такое. 16. Равное, большее и меньшее во временах, что они такое. 17. Равное, большее и меньшее в скорости, что они такое. 18. Равное, большее и меньшее в движении, что они такое. 19. То, что находится в покое, всегда будет в покое, если не будет приведено в движение чем-либо внешним; и то, что движется, всегда будет двигаться, если не будет задержано чем-либо внешним. 20. Акциденции возникают и уничтожаются, но тела — нет. 21. Акциденция не может покинуть свой субъект. 22. И не может быть перемещена. 23. Сущность, форма и материя, что они такое. 24. Первая материя, что это такое. 25. Почему доказывается, что целое больше любой своей части.

Body defined.

1. Поняв, что такое воображаемое пространство, в котором мы предполагали отсутствие чего-либо вне нас, а все те вещи, которые, существуя прежде, оставили образы самих себя в нашем уме, — уничтоженными; давайте теперь предположим, что какая-то одна из этих вещей снова помещена в мир или создана заново. Необходимо, следовательно, чтобы эта вновь созданная или возвращенная вещь не только заполняла некоторую часть вышеупомянутого пространства или была совместна и сопротяженна с ним, но также чтобы она не зависела от нашей мысли. И это то, что, в силу его протяженности, мы обычно называем телом; и поскольку оно не зависит от нашей мысли, мы говорим, что оно есть вещь, существующая сама по себе; а также существующая, потому что вне нас; и, наконец, оно называется субъектом, потому что оно так помещено в воображаемое пространство и подчинено ему, что может быть понято разумом, равно как и воспринято чувством. Определение тела, следовательно, может быть таким: тело есть то, что, не имея зависимости от нашей мысли, является совместным или сопротяженным с некоторой частью пространства.

Accident defined.

2. Но что такое акциденция, нельзя объяснить определением так легко, как примерами. Давайте поэтому вообразим, что тело заполняет какое-либо пространство или сопротяженно с ним; эта сопротяженность не есть сопротяженное тело: и, подобным же образом, давайте вообразим, что то же самое тело удалено со своего места; это удаление не есть удаленное тело: или давайте подумаем о том же самом, не удаленном; это неудаление или покой не есть покоящееся тело. Что же тогда представляют собой эти вещи? Это акциденции того тела. Но вопрос в том, что такое акциденция? Это запрос о том, что мы уже знаем, а не о том, о чем нам следовало бы спрашивать. Ибо кто не понимает всегда и одинаковым образом того, кто говорит, что что-то протяженно, или движется, или не движется? Но большинство людей хотят, чтобы говорили, что акциденция есть нечто, а именно какая-то часть естественной вещи, когда на самом деле она не является частью таковой. Чтобы удовлетворить этих людей, насколько возможно, лучше всего отвечают те, кто определяет акциденцию как способ, которым мыслится любое тело; что равносильно тому, как если бы они сказали: акциденция есть та способность любого тела, посредством которой оно производит в нас представление о себе. Каковое определение, хотя и не является ответом на поставленный вопрос, все же является ответом на тот вопрос, который должен был быть поставлен, а именно: откуда происходит, что одна часть любого тела кажется здесь, другая там? Ибо на это хорошо отвечают так: это происходит от протяженности этого тела. Или: как случается, что все тело, последовательно, видится то здесь, то там? И ответом будет: по причине его движения. Или, наконец: откуда это, что любое тело обладает одним и тем же пространством в течение некоторого времени? И ответом будет: потому что оно не движется. Ибо если относительно имени тела, то есть относительно конкретного имени, спрашивается: что это? — ответ должен быть дан через определение; ибо вопрос касается значения имени. Но если спрашивается относительно абстрактного имени: что это? — требуется причина, почему вещь кажется так или иначе. Как если спрашивается: что твердо? Ответ будет: твердое есть то, у чего ни одна часть не уступает места, кроме как когда целое уступает место. Но если требуется: что такое твердость? — должна быть показана причина, почему часть не уступает места, если целое не уступает места. Поэтому я определяю акциденцию как способ нашего представления о теле.

How an accident may be understood to be in its subject.

3. Когда говорят, что акциденция находится в теле, это не следует понимать так, как если бы что-то содержалось в этом теле; как если бы, например, краснота была в крови, подобно тому как кровь находится в окровавленной ткани, то есть как часть в целом; ибо тогда акциденция была бы также телом. Но как величина, или покой, или движение находятся в том, что велико, или что покоится, или что движется (что, как это следует понимать, понимает каждый человек), так же следует понимать, что любая другая акциденция находится в своем субъекте. И это также объясняется Аристотелем не иначе как отрицательно, а именно: что акциденция находится в своем субъекте не как какая-либо его часть, но так, что она может отсутствовать, а субъект при этом остается; что верно, за исключением того, что существуют определенные акциденции, которые никогда не могут погибнуть, если не погибнет и само тело; ибо никакое тело не может быть помыслено без протяженности или без фигуры. Все другие акциденции, которые не являются общими для всех тел, а свойственны лишь некоторым, как «быть в покое», «быть перемещенным», «цвет», «твердость» и тому подобное, погибают постоянно и сменяются другими; но так, что тело никогда не погибает. А что касается мнения, которое некоторые могут иметь, что все другие акциденции находятся в своих телах не так, как протяженность, движение, покой или фигура находятся в них; например, что цвет, тепло, запах, добродетель, порок и тому подобное находятся в них иначе и, как они говорят, «присущи» им, — я желаю, чтобы они пока воздержались от суждения и немного подождали, пока путем рассуждения не будет обнаружено, не являются ли эти самые акциденции также определенными движениями либо ума воспринимающего, либо самих тел, которые воспринимаются; ибо в поиске этого состоит большая часть естественной философии.

Magnitude, what it is.

4. Протяженность тела есть то же самое, что его величина, или то, что некоторые называют реальным пространством. Но эта величина не зависит от нашего мышления, как зависит воображаемое пространство; ибо последнее есть результат нашего воображения, а величина — причина его; это акциденция ума, та — тела, существующего вне ума.

Place, what it is, and that it is immovable.

5. То пространство, под которым я здесь понимаю воображаемое пространство, совпадающее с величиной любого тела, называется местом этого тела; а само тело есть то, что мы называем помещенной вещью. Теперь место и величина помещенной вещи различаются. Во-первых, в том, что тело всегда сохраняет одну и ту же величину, как когда оно находится в покое, так и когда оно движется; но когда оно движется, оно не сохраняет одно и то же место. Во-вторых, в том, что место есть фантазм любого тела такой-то величины и фигуры; но величина есть особая акциденция каждого тела; ибо одно тело может в разное время иметь разные места, но всегда имеет одну и ту же величину. В-третьих, в том, что место есть ничто вне ума, а величина — ничто внутри него. И, наконец, место есть воображаемая протяженность, а величина — истинная протяженность; и помещенное тело есть не протяженность, а протяженная вещь. Кроме того, место неподвижно; ибо, видя, что то, что движется, понимается как переносимое с места на место, если бы место двигалось, оно также переносилось бы с места на место, так что одно место должно было бы иметь другое место, а то место — другое место, и так до бесконечности, что нелепо. А что касается тех, кто, делая место того же рода, что и реальное пространство, хотел бы отсюда утверждать, что оно неподвижно, то они также делают место, хотя и не замечают, что делают его таковым, простым фантазмом. Ибо пока один утверждает, что место потому называется неподвижным, что пространство вообще рассматривается там; если бы он помнил, что нет ничего общего или универсального, кроме имен или знаков, он легко увидел бы, что то пространство, которое, по его словам, рассматривается в общем, есть не что иное, как фантазм в уме или памяти тела такой величины и такой фигуры. И пока другой говорит: реальное пространство делается неподвижным пониманием; как когда под поверхностью текущей воды мы воображаем другую и другую воду, приходящую в непрерывной последовательности, та поверхность, зафиксированная там пониманием, есть неподвижное место реки: чем еще он делает его, как не фантазмом, хотя и делает это неясно и запутанными словами? Наконец, природа места состоит не в поверхности окружающего, а в твердом пространстве; ибо все помещенное тело сопротяженно со всем своим местом, и каждая его часть — с каждой соответствующей частью того же места; но, видя, что каждое помещенное тело есть твердая вещь, оно не может быть понято как сопротяженное с поверхностью. Кроме того, как может быть перемещено целое тело, если все его части не перемещаются вместе с ним? Или как могут быть перемещены его внутренние части, кроме как оставив свое место? Но внутренние части тела не могут оставить поверхность внешней части, прилегающей к ним; и, следовательно, из этого следует, что если место есть поверхность окружающего, то части перемещенного тела, то есть перемещенные тела, не перемещаются.

What is full and empty.

6. Пространство, или место, которое занято телом, называется полным, а то, которое не занято таким образом, называется пустым.

Here, there, somewhere, what they signify.

7. «Здесь», «там», «в деревне», «в городе» и другие подобные имена, которыми дается ответ на вопрос «где это?», не являются собственно именами места, и они сами по себе не вызывают в уме место, которое ищется; ибо «здесь» и «там» ничего не значат, если вещь не показана в то же время пальцем или чем-то еще; но когда глаз того, кто ищет, направлен указанием или каким-то другим знаком на искомую вещь, место ее не определяется тем самым тем, кто отвечает, а находится тем, кто задает вопрос. Теперь такие указания, которые делаются только словами, как когда мы говорим «в деревне» или «в городе», имеют большую широту, чем другие, как когда мы говорим «в деревне», «в городе», «на такой-то улице», «в доме», «в комнате», «в постели» и т. д. Ибо они мало-помалу направляют ищущего ближе к собственному месту; и все же они не определяют его, а лишь ограничивают его меньшим пространством и не означают ничего большего, чем то, что место вещи находится внутри определенного пространства, обозначенного этими словами, как часть находится в целом. И все такие имена, которыми дается ответ на вопрос «где?», имеют своим высшим родом имя «где-то». Откуда можно понять, что все, что находится где-то, находится в некотором месте, собственно так называемом, которое является частью того большего пространства, которое обозначается некоторыми из этих имен: «в деревне», «в городе» или подобными.

Many bodies cannot be in one place, nor one body in many places.

8. Тело, и величина, и место его разделяются одним и тем же актом ума; ибо разделить протяженное тело, и протяженность его, и идею этой протяженности, которая есть место, — это то же самое, что разделить любую из них; потому что они совпадают, и это не может быть сделано иначе, как умом, то есть разделением пространства. Откуда очевидно, что ни два тела не могут быть вместе в одном и том же месте, ни одно тело не может быть в двух местах в одно и то же время. Не два тела в одном месте; потому что, когда тело, которое заполняет все свое место, разделяется на два, само место также разделяется на два, так что будет два места. Не одно тело в двух местах; ибо место, которое заполняет тело, будучи разделено на два, помещенное тело также будет разделено на два; ибо, как я сказал, место и тело, которое заполняет это место, разделяются вместе; и так будет два тела.

Contiguous and continual, what they are.

9. Два тела называются соприкасающимися друг с другом и непрерывными таким же образом, как пространства; а именно: соприкасающимися являются те, между которыми нет пространства. Теперь под пространством я понимаю, здесь, как и прежде, идею или фантазм тела. Поэтому, хотя между двумя телами не помещено никакого другого тела и, следовательно, никакой величины, или, как они называют это, реального пространства, все же если другое тело может быть помещено между ними, то есть если между ними есть какое-либо воображаемое пространство, которое может принять другое тело, тогда эти тела не являются соприкасающимися. И это так легко понять, что я удивлялся бы некоторым людям, которые, будучи в остальном достаточно искусными в философии, придерживаются иного мнения, если бы не обнаружил, что большинство тех, кто пристрастился к метафизическим тонкостям, блуждают вдали от истины, как если бы их уводил с пути блуждающий огонек. Ибо может ли какой-либо человек, обладающий естественными чувствами, думать, что два тела должны поэтому обязательно касаться друг друга, потому что между ними нет другого тела? Или что не может быть вакуума, потому что вакуум есть ничто, или, как они называют это, не-сущее? Что так же по-детски, как если бы кто-то рассуждал так: никто не может поститься, потому что поститься — значит не есть ничего; но ничто нельзя съесть. Непрерывными являются любые два тела, которые имеют общую часть; и более чем два являются непрерывными, когда каждые два, которые находятся рядом друг с другом, являются непрерывными.

The definition of motion. No motion intelligible but with time.

10. ДВИЖЕНИЕ есть непрерывное оставление одного места и приобретение другого; и то место, которое оставлено, обычно называется terminus a quo, как то, которое приобретено, называется terminus ad quem; я говорю «непрерывное оставление», потому что никакое тело, как бы мало оно ни было, не может полностью и сразу выйти из своего прежнего места в другое так, чтобы какая-то часть его не находилась в части места, которая является общей для обоих, а именно для оставленного и приобретенного мест. | A G B I E +-----+------+ : : : : +-----+------+ C H D K F | Например, пусть какое-либо тело находится в месте A C B D; то же самое тело не может попасть в место B D E F, не будучи сначала в G H I K, чья часть G H B D является общей для обоих мест A C B D и G H I K, а чья часть B D I K является общей для обоих мест G H I K и B D E F. Теперь нельзя помыслить, что что-либо может быть перемещено без времени; ибо время есть, по определению его, фантазм, то есть представление о движении; и поэтому помыслить, что что-либо может быть перемещено без времени, значило бы помыслить движение без движения, что невозможно.

What it is to be at rest, to have been moved, and to be moved. No motion to be conceived without the conception of past and future.

11. То называется находящимся в покое, которое в течение любого времени находится в одном месте; и то — перемещенным или бывшим перемещенным, которое, находится ли оно сейчас в покое или перемещено, было прежде в другом месте, чем то, в котором оно находится сейчас. Из этих определений можно вывести, во-первых, что все, что перемещено, было перемещено; ибо если оно все еще в том же месте, в котором было прежде, оно находится в покое, то есть оно не перемещено, по определению покоя; но если оно в другом месте, оно было перемещено, по определению перемещенного. Во-вторых, что то, что перемещено, будет еще перемещено; ибо то, что перемещено, оставляет место, где оно есть, и поэтому будет в другом месте, и, следовательно, будет перемещаться и дальше. В-третьих, что все, что перемещено, не находится в одном месте в течение любого времени, как бы мало это время ни было; ибо по определению покоя то, что находится в одном месте в течение любого времени, находится в покое.

Существует определенный софизм против движения, который, кажется, проистекает из непонимания этой последней пропозиции. Ибо они говорят, что если какое-либо тело перемещено, оно перемещено либо в месте, где оно есть, либо в месте, где его нет; и то, и другое ложно; и поэтому ничто не перемещается. Но ложность заключается в большей пропозиции; ибо то, что перемещено, не перемещается ни в месте, где оно есть, ни в месте, где его нет; но из места, где оно есть, в место, где его нет. Действительно, нельзя отрицать, что все, что перемещено, перемещено где-то, то есть внутри некоторого пространства; но тогда место этого тела есть не все это пространство, а часть его, как сказано выше в седьмой статье. Из того, что выше продемонстрировано, а именно что все, что перемещено, также было перемещено и будет перемещено, можно также заключить, что не может быть представления о движении без представления о прошлом и будущем времени.

A point, a line, superficies, and solid, what they are.

12. Хотя нет тела, которое не имело бы какой-либо величины, все же если, когда какое-либо тело перемещено, величина его совсем не принимается во внимание, путь, который оно совершает, называется линией, или одним единственным измерением; и пространство, через которое оно проходит, называется длиной; а само тело — точкой; в каком смысле земля называется точкой, а путь ее годового обращения — линией эклиптики. Но если тело, которое перемещено, рассматривается как длинное и предполагается перемещенным так, что все отдельные его части понимаются как совершающие отдельные линии, тогда путь каждой части этого тела называется шириной, а пространство, которое создается, называется поверхностью, состоящей из двух измерений, одно из которых к каждой отдельной части другого приложено целиком. Опять же, если тело рассматривается как имеющее поверхность и понимается как перемещенное так, что все отдельные его части описывают отдельные линии, тогда путь каждой части этого тела называется толщиной или глубиной, а пространство, которое создается, называется твердым телом, состоящим из трех измерений, любые два из которых приложены целиком к каждой отдельной части третьего.

Но если тело рассматривается как твердое, то невозможно, чтобы все отдельные его части описывали отдельные линии; ибо каким бы путем оно ни было перемещено, путь следующей части попадет на путь части перед ней, так что все равно будет создано то же самое твердое тело, которое передняя поверхность создала бы сама по себе. И поэтому не может быть никакого другого измерения в любом теле, как оно есть тело, кроме трех, которые я сейчас описал; хотя, как будет показано далее, скорость, которая есть движение согласно длине, может, будучи приложена ко всем частям твердого тела, создать величину движения, состоящую из четырех измерений; как добротность золота, вычисленная во всех его частях, составляет цену и стоимость его.

Equal, great, greater, and less, in bodies and magnitudes, what they are.

13. Тела, сколько бы их ни было, которые могут заполнить каждое место каждого, называются равными каждое каждому другому. Теперь одно тело может заполнить то же место, которое заполняет другое тело, хотя оно и не той же фигуры, что другое тело, если только оно может быть понято как сводимое к той же фигуре, либо путем сгибания, либо перестановки частей. И одно тело больше другого тела, когда часть того равна всему этому; и меньше, когда все то равно части этого. Также величины равны, или больше, или меньше одна другой, по тому же соображению, а именно когда тела, величинами которых они являются, либо равны, либо больше, либо меньше и т. д.

One and the same body has always one and the same magnitude.

14. Одно и то же тело всегда одной и той же величины. Ибо, видя, что тело, и величина, и место его не могут быть поняты умом иначе, как они совпадают, если какое-либо тело понимается как находящееся в покое, то есть остающееся в том же месте в течение некоторого времени, и величина его в одной части этого времени больше, а в другой части меньше, место этого тела, которое есть одно и то же, будет совпадать иногда с большей, иногда с меньшей величиной, то есть одно и то же место будет больше и меньше самого себя, что невозможно. Но не было бы никакой нужды вообще демонстрировать вещь, которая сама по себе столь очевидна, если бы не было некоторых, чье мнение относительно тел и их величин таково, что тело может существовать отдельно от своей величины и иметь большую или меньшую величину, дарованную ему, используя этот принцип для объяснения природы редкого и плотного.

Velocity, what it is.

15. Движение, поскольку некоторая длина может быть пройдена им за некоторое время, называется СКОРОСТЬЮ или быстротой и т. д. Ибо хотя «быстрое» очень часто понимается в отношении к «более медленному» или «менее быстрому», как «великое» — в отношении к «меньшему», тем не менее, как величина философами берется абсолютно для протяженности, так и скорость или быстрота может быть взята абсолютно для движения согласно длине.

Equal, greater, and less, in times, what they are.

16. Многие движения называются совершенными в равные времена, когда каждое из них начинается и заканчивается вместе с каким-то другим движением, или если бы оно началось вместе, то закончилось бы также вместе с тем же самым. Ибо время, которое есть фантазм движения, не может быть исчислено иначе, как каким-то явным движением; как на циферблатах движением солнца или стрелки; и если два или более движений начинаются и заканчиваются с этим движением, они называются совершенными в равные времена; откуда также легко понять, что значит быть перемещенным в большее или более долгое время, и в меньшее время или не столь долгое; а именно, что дольше перемещается то, которое, начавшись с другим, заканчивается позже; или, заканчиваясь вместе, началось раньше.

Equal, greater, and less, in velocity, what.

17. Движения называются одинаково быстрыми, когда равные длины проходятся в равные времена; и большая быстрота — та, при которой большая длина пройдена в равное время, или равная длина в меньшее время. Также та быстрота, посредством которой равные длины проходятся в равные части времени, называется равномерной быстротой или движением; и из движений неравномерных такие, которые становятся быстрее или медленнее путем равных увеличений или уменьшений в равные части времени, называются ускоренными или замедленными равномерно.

Equal, greater, and less, in motion, what.

18. Но движение называется большим, меньшим и равным не только в отношении длины, которая пройдена за некоторое время, то есть в отношении только быстроты, но и быстроты, приложенной к каждой мельчайшей частице величины; ибо когда какое-либо тело перемещено, каждая часть его также перемещена; и, предполагая части половинными, движения этих половин имеют свою быстроту, равную друг другу и по отдельности равную быстроте целого; но движение целого равно этим двум движениям, каждое из которых равно по быстроте ему; и поэтому одно дело — двум движениям быть равными друг другу, и другое дело — им быть одинаково быстрыми. И это очевидно на примере двух лошадей, которые тянут рядом, где движение обеих лошадей вместе равно по быстроте движению любой из них в отдельности; но движение обеих больше движения одной из них, а именно вдвое. Поэтому движения называются просто равными друг другу, когда быстрота одного, вычисленная в каждой части его величины, равна быстроте другого, вычисленной также в каждой части его величины: и большими друг друга, когда быстрота одного, вычисленная как выше, больше быстроты другого, вычисленной так же: и меньшими, когда меньше. Кроме того, величина движения, вычисленная таким образом, есть то, что обычно называется СИЛОЙ.

That which is at rest will always be at rest, except it be moved by some external thing.

19. Все, что находится в покое, всегда будет в покое, если не будет какого-то другого тела помимо него, которое, стремясь попасть на его место путем движения, не позволит ему долее оставаться в покое. Ибо предположим, что существует некоторое конечное тело и оно находится в покое, и что все пространство помимо него пусто; если теперь это тело начнет перемещаться, оно, безусловно, будет перемещено каким-то образом; видя, следовательно, что в этом теле не было ничего, что не располагало бы его к покою, причина, почему оно перемещено этим путем, находится в чем-то вне его; и подобным же образом, если бы оно было перемещено любым другим путем, причина движения этим путем также находилась бы в чем-то вне его; но видя, что предполагалось, что вне его ничего нет, причина его движения одним путем была бы той же, что и причина его движения любым другим путем, поэтому оно перемещалось бы одинаково во все стороны сразу; что невозможно.

That which is moved will always be moved, unless it be hindered by some external thing.

Подобным же образом, все, что перемещено, всегда будет перемещено, если не будет какого-то другого тела помимо него, которое заставит его покоиться. Ибо если мы предположим, что вне его ничего нет, не будет никакой причины, почему оно должно покоиться сейчас, а не в другое время; поэтому его движение прекращалось бы в каждой частице времени одинаково; что немыслимо.

Accidents are generated and destroyed, but bodies not so.

20. Когда мы говорим, что живое существо, дерево или любое другое определенное тело генерируется или уничтожается, это не следует понимать так, как если бы из не-тела делалось тело, или из тела — не-тело, или из живого существа — не живое существо, из дерева — не дерево и т. д., то есть что те акциденции, ради которых мы называем одну вещь живым существом, другую вещь — деревом, а третью — другим именем, генерируются и уничтожаются; и что поэтому те же имена не должны даваться им теперь, которые давались им прежде. Но та величина, ради которой мы даем чему-либо имя тела, не генерируется и не уничтожается. Ибо хотя мы можем вообразить в своем уме, что точка может раздуться до огромного объема и что это может снова сократиться до точки; то есть хотя мы можем вообразить, что нечто возникает там, где прежде было ничто, и ничто находится там, где прежде было нечто, все же мы не можем понять в своем уме, как это возможно сделать в природе. И поэтому философы, которые связывают себя естественным разумом, предполагают, что тело не может быть ни генерировано, ни уничтожено, а только что оно может казаться иначе, чем оно казалось нам, то есть под разными видами, и, следовательно, называться другими и другими именами; так что то, что сейчас называется человеком, может в другое время иметь имя не-человека; но то, что однажды названо телом, никогда не может быть названо не-телом. Но очевидно, что все другие акциденции, помимо величины или протяженности, могут быть генерированы и уничтожены; как когда белая вещь делается черной, белизна, которая была в ней, погибает, а чернота, которой не было в ней, теперь генерируется; и поэтому тела и акциденции, под которыми они появляются по-разному, имеют это различие: тела суть вещи и не генерируются; акциденции генерируются и не суть вещи.

An accident cannot depart from its subject

21. И поэтому, когда что-либо кажется иначе, чем оно казалось по причине других и других акциденций, не следует думать, что акциденция выходит из одного субъекта в другой (ибо они не находятся, как я сказал выше, в своих субъектах как часть в целом, или как содержащаяся вещь в том, что содержит ее, или как хозяин семьи в своем доме), но что одна акциденция погибает, а другая генерируется. Например, когда рука, будучи перемещена, перемещает перо, движение не выходит из руки в перо; ибо так письмо могло бы продолжаться, даже если бы рука стояла неподвижно; но новое движение генерируется в пере и является движением пера.

Nor be moved.

22. И поэтому также неправильно говорить, что акциденция перемещается; как когда вместо того, чтобы сказать «фигура есть акциденция перемещаемого тела», мы говорим «тело уносит свою фигуру».

Essence, form, and matter, what they are.

23. Теперь та акциденция, ради которой мы даем определенное имя любому телу, или акциденция, которая деноминирует свой субъект, обычно называется его СУЩНОСТЬЮ; как рациональность есть сущность человека; белизна — любой белой вещи, а протяженность — сущность тела. И та же сущность, поскольку она генерируется, называется ФОРМОЙ. Опять же, тело в отношении любой акциденции называется СУБЪЕКТОМ, а в отношении формы оно называется МАТЕРИЕЙ.

Также производство или гибель любой акциденции заставляет говорить, что ее субъект изменен; только производство или гибель формы заставляет говорить, что он генерирован или уничтожен; но во всякой генерации и мутации имя материи все еще остается. Ибо стол, сделанный из дерева, не только деревянный, но и дерево; и статуя из меди есть медь, так же как и медная; хотя Аристотель в своей «Метафизике» говорит, что все, что сделано из чего-либо, не должно называться ἐκεινὸ, а ἐκέινινον; как то, что сделано из дерева, не ξύλον, а ξύλινον, то есть не дерево, а деревянное.

First matter, what.

24. А что касается той материи, которая обща всем вещам и которую философы, следуя Аристотелю, обычно называют materia prima, то есть первой материей, то это не какое-либо тело, отличное от всех других тел, и не является оно одним из них. Что же тогда это такое? Простое имя; но имя, которое не является тщетным в употреблении; ибо оно означает представление о теле без рассмотрения какой-либо формы или другой акциденции, кроме только величины или протяженности, и способности принимать форму и другую акциденцию. Так что всякий раз, когда у нас есть использование имени «тело вообще», если мы используем имя materia prima, мы поступаем хорошо. Ибо как когда человек, не зная, что было первым, вода или лед, хотел бы выяснить, что из двух было материей обоих, он был бы вынужден предположить некоторую третью материю, которая не была бы ни тем, ни другим; так и тот, кто хотел бы выяснить, что является материей всех вещей, должен предположить такую, которая не является материей ничего существующего. Поэтому materia prima есть ничто; и поэтому они не приписывают ей ни формы, ни какой-либо другой акциденции, кроме количества; тогда как все единичные вещи имеют свои формы и акциденции определенными.

Materia prima, следовательно, есть тело вообще, то есть тело, рассматриваемое универсально, не как не имеющее ни формы, ни какой-либо акциденции, но в котором никакая форма и никакая другая акциденция, кроме количества, вообще не рассматриваются, то есть они не привлекаются к аргументации.

That the whole is greater than any part thereof, why demonstrated.

25. Из того, что было сказано, могут быть продемонстрированы те аксиомы, которые приняты Евклидом в начале его первого элемента, о равенстве и неравенстве величин; из которых, опуская остальное, я здесь продемонстрирую только эту одну: «целое больше любой своей части»; с той целью, чтобы читатель знал, что те аксиомы не являются недоказуемыми и, следовательно, не являются принципами демонстрации; и отсюда научился быть осторожным в том, как он допускает что-либо в качестве принципа, который не является по крайней мере столь же очевидным, как эти. Большим определяется то, часть которого равна целому другого. Теперь, если мы предположим, что какое-либо целое есть A, а часть его есть B; видя, что целое B равно самому себе, а то же B есть часть A; следовательно, часть A будет равна целому B. Поэтому, по определению выше, A больше B; что и требовалось доказать.

ГЛАВА IX. О ПРИЧИНЕ И СЛЕДСТВИИ.

1. Действие и страдание, что они такое. 2. Действие и страдание опосредованные и непосредственные. 3. Причина, взятая просто. Причина, без которой не следует следствие, или причина, необходимая по предположению. 4. Причина действующая и материальная. 5. Целая причина всегда достаточна для производства своего следствия. В тот же момент, когда причина цела, следствие производится. Каждое следствие имеет необходимую причину. 6. Генерация следствий непрерывна. Что является началом в причинности. 7. Нет причины движения, кроме как в теле соприкасающемся и перемещенном. 8. Те же агенты и пациенты, если они одинаково расположены, производят подобные следствия, хотя и в разное время. 9. Всякая мутация есть движение. 10. Случайные акциденции, что они такое.

Action and passion, what they are.

1. Тело называется воздействующим или действующим, то есть делающим что-то другому телу, когда оно либо генерирует, либо уничтожает какую-то акциденцию в нем: и тело, в котором акциденция генерируется или уничтожается, называется страдающим, то есть имеющим что-то сделанное с ним другим телом; как когда одно тело, подталкивая другое тело, генерирует движение в нем, оно называется АГЕНТОМ; а тело, в котором движение так генерируется, называется ПАЦИЕНТОМ; так огонь, который согревает руку, есть агент, а рука, которая согревается, есть пациент. Та акциденция, которая генерируется в пациенте, называется СЛЕДСТВИЕМ.

Action and passion, mediate, and immediate.

2. Когда агент и пациент соприкасаются друг с другом, их действие и страдание называются тогда непосредственными, в противном случае — опосредованными; и когда другое тело, лежащее между агентом и пациентом, соприкасается с ними обоими, оно тогда само является и агентом, и пациентом; агентом в отношении тела, следующего за ним, на которое оно воздействует, и пациентом в отношении тела, предшествующего ему, от которого оно страдает. Также, если многие тела так упорядочены, что каждые два, которые находятся рядом друг с другом, соприкасаются, тогда все те, что находятся между первым и последним, являются и агентами, и пациентами, а первое является только агентом, а последнее — только пациентом.

Cause simply taken.

3. Агент понимается как производящий свое определенное или достоверное следствие в пациенте согласно некоторой определенной акциденции или акциденциям, которыми затронуты и он, и пациент; то есть агент имеет свое следствие именно таким не потому, что он тело, а потому, что такое тело, или так перемещенное. Ибо иначе все агенты, видя, что они все тела одинаково, производили бы подобные следствия во всех пациентах. И поэтому огонь, например, не согревает потому, что он тело, а потому, что он горяч; и одно тело не подталкивает другое тело потому, что оно тело, а потому, что оно перемещено на место того другого тела. | Причина, без которой не следует следствие, или причина, необходимая по предположению. | Причина, следовательно, всех следствий состоит в определенных акциденциях как в агентах, так и в пациентах; которые, когда они все присутствуют, следствие производится; но если какой-либо одной из них недостает, оно не производится; и та акциденция, агента или пациента, без которой следствие не может быть произведено, называется causa sine qua non, или причиной, необходимой по предположению, а также причиной, необходимой для производства следствия. Но ПРИЧИНА просто, или целая причина, есть совокупность всех акциденций как агентов, сколько бы их ни было, так и пациента, сложенных вместе; которые, когда они все предполагаются присутствующими, нельзя понять иначе, как то, что следствие производится в тот же момент; и если какой-либо одной из них недостает, нельзя понять иначе, как то, что следствие не производится.

Cause efficient, and material.

4. Совокупность акциденций в агенте или агентах, необходимых для производства следствия, когда следствие произведено, называется действующей причиной его; а совокупность акциденций в пациенте, когда следствие произведено, обычно называется материальной причиной; я говорю «когда следствие произведено»; ибо где нет следствия, там не может быть причины; ибо ничто не может быть названо причиной, где нет ничего, что можно было бы назвать следствием. Но действующая и материальная причины суть обе лишь частичные причины, или части той причины, которую в следующей предшествующей статье я назвал целой причиной. И отсюда очевидно, что следствие, которое мы ожидаем, хотя агенты и не являются дефектными со своей стороны, может тем не менее быть сорвано дефектом в пациенте; и когда пациент достаточен, — дефектом в агентах.

An entire cause is always sufficient to produce its effect.

5. Целая причина всегда достаточна для производства своего следствия, если следствие вообще возможно. Ибо пусть любое следствие, какое бы то ни было, будет предложено для производства; если оно произведено, очевидно, что причина, которая произвела его, была достаточной причиной; но если оно не произведено, а все же возможно, очевидно, что чего-то недоставало либо в каком-то агенте, либо в пациенте, без чего оно не могло быть произведено; то есть что какой-то акциденции недоставало, которая была необходима для его производства; и поэтому та причина не была «целой», что противоречит тому, что предполагалось.

At the same instant that the cause is entire, the effect is produced.

Из этого также следует, что в какой бы момент причина ни была целой, в тот же момент следствие производится. Ибо если оно не произведено, чего-то все еще недостает, что необходимо для производства его; и поэтому причина не была целой, как предполагалось.

Every effect has a necessary cause.

И видя, что необходимая причина определяется как та, которая, будучи предположена, следствие не может не последовать; из этого также можно заключить, что любое следствие, которое производится в любое время, производится необходимой причиной. Ибо все, что произведено, поскольку оно произведено, имело целую причину, то есть имело все те вещи, которые, будучи предположены, нельзя понять иначе, как то, что следствие следует; то есть оно имело необходимую причину. И таким же образом может быть показано, что любые следствия, которые впредь будут произведены, будут иметь необходимую причину; так что все следствия, которые были или будут произведены, имеют свою необходимость в вещах предшествующих.

The generation of effects is continual. What is the beginning in causation.

6. И из того, что всякий раз, когда причина цела, следствие производится в тот же момент, очевидно, что причинность и производство следствий состоят в некотором непрерывном прогрессе; так что, как есть непрерывная мутация в агенте или агентах путем воздействия других агентов на них, так и пациент, на которого они воздействуют, непрерывно изменяется и меняется. Например: как тепло огня увеличивается все больше и больше, так и следствия его, а именно тепло таких тел, которые находятся рядом с ним, и опять же таких других тел, которые находятся рядом с ними, увеличиваются все больше и больше соответственно; что уже является немалым аргументом в пользу того, что всякая мутация состоит только в движении; истинность чего будет далее продемонстрирована в девятой статье. Но в этом прогрессе причинности, то есть действия и страдания, если кто-либо охватит в своем воображении часть его и разделит ее на части, первая часть или начало его не может быть рассмотрено иначе, как действие или причина; ибо если бы оно рассматривалось как следствие или страдание, тогда было бы необходимо рассмотреть что-то перед ним для его причины или действия; чего не может быть, ибо ничто не может быть перед началом. И подобным же образом последняя часть рассматривается только как следствие; ибо она не может быть названа причиной, если ничего не следует за ней; но после последнего ничего не следует. И отсюда происходит, что во всяком действии начало и причина принимаются за одну и ту же вещь. Но каждая из промежуточных частей является и действием, и страданием, и причиной, и следствием, в зависимости от того, сравниваются ли они с предшествующей или последующей частью.

No cause of motion but in a body contiguous and moved.

7. Не может быть никакой причины движения, кроме как в теле, соприкасающемся с другим и движущемся. Ибо пусть будут любые два тела, которые не соприкасаются и между которыми промежуточное пространство пусто или, если заполнено, то заполнено другим телом, находящимся в покое; и пусть одно из рассматриваемых тел предполагается находящимся в покое; я утверждаю, что оно всегда будет находиться в покое. Ибо если оно будет двигаться, то причиной этого движения, согласно 8-й главе, статье 19, будет некое внешнее тело; и, следовательно, если между ним и этим внешним телом нет ничего, кроме пустого пространства, то, каково бы ни было расположение этого внешнего тела или самого претерпевающего тела, если оно сейчас предполагается находящимся в покое, мы можем представить, что оно будет оставаться в таком состоянии, пока его не коснется какое-либо другое тело. Но поскольку причина, согласно определению, есть совокупность всех тех акциденций, которые, будучи предположены наличными, не могут не повлечь за собой следствие, те акциденции, которые находятся либо во внешних телах, либо в самом претерпевающем теле, не могут быть причиной будущего движения. И точно так же, поскольку мы можем представить, что все, что находится в покое, будет по-прежнему находиться в покое, даже если его коснется другое тело, за исключением случая, когда это другое тело движется, то в соприкасающемся теле, которое находится в покое, не может быть никакой причины движения. Посему нет никакой причины движения ни в каком теле, если только оно не соприкасается с другим и не движется.

То же самое рассуждение может служить доказательством того, что все, что движется, всегда будет двигаться далее тем же путем и с той же скоростью, если только ему не препятствует другое соприкасающееся и движущееся тело; и, следовательно, никакие тела, ни когда они находятся в покое, ни когда между ними есть прослойка пустоты, не могут порождать, прекращать или уменьшать движение в других телах. Есть один автор, который писал, что движущимся вещам больше препятствуют вещи, находящиеся в покое, чем вещи, движущиеся противоположно; по той причине, что он полагал, будто движение не столь противоположно движению, как покой. То, что ввело его в заблуждение, заключалось в том, что слова «покой» и «движение» являются лишь противоречащими друг другу именами; тогда как движению, на самом деле, препятствует не покой, а противоположное движение.

The same agents and patients, if alike disposed, produce like effects, though at different times.

8. Но если тело воздействует на другое тело в одно время, а впоследствии то же самое тело воздействует на то же самое тело в другое время, так что и действующее, и претерпевающее тела, и все их части во всем остаются такими же, как были; и нет никакой разницы, кроме как только во времени, то есть одно действие было раньше, а другое позже во времени, то само собой очевидно, что следствия будут равными и подобными, поскольку они ни в чем не различаются, кроме времени. И как сами следствия происходят из своих причин, так и их разнообразие зависит от разнообразия их причин.

All mutation is motion.

9. Поскольку это верно, необходимо, чтобы изменение не могло быть ничем иным, кроме движения частей того тела, которое изменяется. Ибо, во-первых, мы не говорим, что что-то изменилось, кроме того, что представляется нашим чувствам иначе, чем представлялось ранее. Во-вторых, оба эти представления суть следствия, произведенные в чувствующем существе; и, следовательно, если они различны, то необходимо, согласно предыдущей статье, чтобы либо какая-то часть действующего тела, которая ранее находилась в покое, теперь двигалась, и таким образом изменение состоит в этом движении; либо какая-то часть, которая ранее двигалась, теперь движется иначе, и таким образом изменение также состоит в этом новом движении; либо та часть, которая ранее двигалась, теперь находится в покое, что, как я показал выше, не может произойти без движения; и таким образом, опять же, изменение есть движение; либо, наконец, это происходит одним из этих способов с претерпевающим телом или некоторыми его частями; так что изменение, как бы оно ни совершалось, будет состоять в движении частей либо воспринимаемого тела, либо чувствующего тела, либо обоих. Следовательно, изменение есть движение, а именно частей либо действующего, либо претерпевающего тела; что и требовалось доказать. И из этого следует, что покой не может быть причиной чего-либо, и никакое действие не может из него исходить; поскольку ни движение, ни изменение не могут быть вызваны им.

Contingent accidents.

10. Акциденции по отношению к другим акциденциям, которые предшествуют им или находятся перед ними во времени и от которых они не зависят как от своих причин, называются случайными акциденциями; я говорю: по отношению к тем акциденциям, которыми они не порождаются; ибо по отношению к своим причинам все вещи происходят с равной необходимостью; иначе они вовсе не имели бы причин; что в отношении порожденных вещей непостижимо.

ГЛАВА X. О СИЛЕ И АКТЕ.

1. Сила и причина суть одно и то же. — 2. Акт производится в тот же самый момент, в который сила является полной. — 3. Активная и пассивная сила суть лишь части полной силы. — 4. Акт, когда говорится, что он возможен. — 5. Акт необходимый и случайный, что это такое. — 6. Активная сила состоит в движении. — 7. Причина, формальная и конечная, что они такое.

Power and cause are the same thing.

1. Соответствующими «причине» и «следствию» являются «СИЛА» и «АКТ»; более того, те и другие суть одни и те же вещи; хотя в силу различных соображений они имеют различные имена. Ибо всякий раз, когда какой-либо агент обладает всеми теми акциденциями, которые необходимо требуются для производства некоторого следствия в претерпевающем теле, тогда мы говорим, что этот агент обладает силой произвести это следствие, если он приложен к претерпевающему телу. Но, как я показал в предыдущей главе, эти акциденции составляют действующую причину; и поэтому те же самые акциденции, которые составляют действующую причину, составляют также силу агента. Посему сила агента и действующая причина суть одно и то же. Но они рассматриваются с тем различием, что причина так называется по отношению к уже произведенному следствию, а сила — по отношению к тому же следствию, которое будет произведено в будущем; так что причина относится к прошедшему, а сила — к будущему времени. Также сила агента есть то, что обычно называют активной силой.

Точно так же, всякий раз, когда какое-либо претерпевающее тело обладает всеми теми акциденциями, которыми оно должно обладать для производства в нем некоторого следствия, мы говорим, что в силе этого претерпевающего тела произвести это следствие, если оно приложено к подходящему агенту. Но эти акциденции, как определено в предыдущей главе, составляют материальную причину; и поэтому сила претерпевающего тела, обычно называемая пассивной силой, и материальная причина суть одно и то же; но с тем различным соображением, что в причине учитывается прошедшее время, а в силе — будущее. Посему сила агента и претерпевающего тела вместе, которую можно назвать полной или совершенной силой, есть то же самое, что и полная причина; ибо обе они состоят в сумме или совокупности всех акциденций, как в агенте, так и в претерпевающем теле, которые требуются для производства следствия. Наконец, как произведенная акциденция по отношению к причине называется следствием, так по отношению к силе она называется актом.

An act is produced at the same instant in which the power is plenary.

2. Как поэтому следствие производится в тот же самый момент, в который причина является полной, так и всякий акт, который может быть произведен, производится в тот же самый момент, в который сила является полной. И как не может быть следствия иначе, как от достаточной и необходимой причины, так и никакой акт не может быть произведен иначе, как достаточной силой, или той силой, посредством которой он не мог не быть произведен.

Active and passive power are parts only of plenary power.

3. И как очевидно, как я показал, что действующая и материальная причины порознь и сами по себе суть лишь части полной причины и не могут произвести никакого следствия, кроме как будучи соединенными вместе, так и сила, активная и пассивная, суть лишь части полной и совершенной силы; и, если они не соединены, никакой акт не может из них исходить; и поэтому эти силы, как я сказал в первой статье, суть лишь условные, а именно: агент обладает силой, если он приложен к претерпевающему телу; и претерпевающее тело обладает силой, если оно приложено к агенту; иначе ни один из них не обладает силой, и акциденции, которые находятся в них порознь, не могут быть должным образом названы силами; и никакое действие не может быть названо возможным только в силу силы агента или только в силу силы претерпевающего тела.

An act, when said to be possible.

4. Ибо невозможным является тот акт, для производства которого нет полной силы. Ибо, поскольку полная сила есть та, в которой сходятся все вещи, требуемые для производства акта, если сила никогда не будет полной, всегда будет недоставать некоторых из тех вещей, без которых акт не может быть произведен; посему этот акт никогда не будет произведен; то есть этот акт есть НЕВОЗМОЖНЫЙ: и всякий акт, который не является невозможным, есть ВОЗМОЖНЫЙ. Всякий акт, следовательно, который является возможным, будет когда-нибудь произведен; ибо если он никогда не будет произведен, то никогда не сойдутся те вещи, которые требуются для его производства; посему этот акт является невозможным, согласно определению; что противоречит тому, что предполагалось.

An act necessary and contingent, what.

5. Необходимый акт есть тот, производство которого невозможно предотвратить; и поэтому всякий акт, который будет произведен, будет произведен с необходимостью; ибо то, что он не будет произведен, невозможно; потому что, как уже доказано, всякий возможный акт будет когда-нибудь произведен; более того, это суждение, «что будет, то будет», является столь же необходимым суждением, как и это: «человек есть человек».

Но здесь, возможно, кто-нибудь спросит, являются ли необходимыми те будущие вещи, которые обычно называют случайными. Я утверждаю поэтому, что вообще все случайные вещи имеют свои необходимые причины, как показано в предыдущей главе; но называются случайными по отношению к другим событиям, от которых они не зависят; как дождь, который будет завтра, будет необходимым, то есть из необходимых причин; но мы думаем и говорим, что он происходит случайно, потому что мы еще не воспринимаем его причин, хотя они существуют сейчас; ибо люди обычно называют случайным или контингентным то, чью необходимую причину они не воспринимают; и точно так же они привыкли говорить о вещах прошедших, когда, не зная, совершилась ли вещь или нет, они говорят, что возможно, она никогда не была совершена.

Посему все суждения относительно будущих вещей, случайных или неслучайных, как это: «завтра будет дождь», или это: «завтра взойдет солнце», являются либо необходимо истинными, либо необходимо ложными; но мы называем их случайными, потому что мы еще не знаем, истинны они или ложны; тогда как их истинность зависит не от нашего знания, а от предшествования их причин. Но есть некоторые, кто, хотя и признают все это суждение, «завтра будет либо дождь, либо не будет дождя», истинным, все же не хотят признавать части его, как, «завтра будет дождь» или «завтра не будет дождя», истинными сами по себе; потому что они говорят, что ни то, ни другое не является истинным определенно. Но что такое «определенно истинное», как не истинное согласно нашему знанию, или очевидно истинное? И поэтому они говорят лишь то, что еще не известно, истинно оно или нет; но они говорят это более туманно и затемняют очевидность истины теми же словами, которыми пытаются скрыть собственное невежество.

Active power consists in motion.

6. В 9-й статье предыдущей главы я показал, что действующая причина всякого движения и изменения состоит в движении агента или агентов; а в первой статье этой главы — что сила агента есть то же самое, что и действующая причина. Откуда можно понять, что всякая активная сила состоит также в движении; и что сила не есть некая акциденция, которая отличается от всех актов, но есть, в самом деле, акт, а именно движение, которое поэтому называется силой, потому что другой акт будет произведен им впоследствии. Например, если из трех тел первое толкает второе, а это — третье, то движение второго тела по отношению к первому, которое его производит, есть акт второго тела; но по отношению к третьему оно есть активная сила того же самого второго тела.

Cause, formal and final, what they are.

7. Авторы метафизики перечисляют две другие причины, помимо действующей и материальной, а именно: СУЩНОСТЬ, которую некоторые называют формальной причиной, и ЦЕЛЬ, или конечную причину; обе из которых, тем не менее, являются действующими причинами. Ибо когда говорится, что сущность вещи есть ее причина, как «быть разумным есть причина человека», это непостижимо; ибо это все равно, как если бы было сказано: «быть человеком есть причина человека»; что сказано неверно. И все же знание сущности чего-либо есть причина знания самой вещи; ибо, если я сначала узнаю, что вещь есть «разумная», я узнаю отсюда, что она есть «человек»; но это не что иное, как действующая причина. Конечная причина не имеет места, кроме как в таких вещах, которые обладают чувством и волей; и это я также докажу в дальнейшем как действующую причину.

ГЛАВА XI. ОБ ТОЖДЕСТВЕ И РАЗЛИЧИИ.

1. Что значит, что одна вещь отличается от другой. — 2. Отличаться по числу, величине, виду и роду, что это такое. — 3. Что такое отношение, пропорция и относительные понятия. — 4. Пропорциональные величины, что это такое. — 5. Пропорция величин друг к другу, в чем она состоит. — 6. Отношение не есть новая акциденция, а одна из тех, что были в относительном понятии до того, как было сделано отношение или сравнение. Также причины акциденций в коррелятах суть причина отношения. — 7. О начале индивидуации.

What it is for one thing to differ from another.

1. До сих пор я говорил о теле вообще и об акциденциях, общих для всех тел, таких как величина, движение, покой, действие, претерпевание, сила, возможное и т. д.; и я должен был бы теперь перейти к тем акциденциям, которыми одно тело отличается от другого, если бы сначала не следовало объявить, что значит быть «различным» и «неразличным», а именно: что такое ТОЖДЕСТВЕННОЕ и РАЗЛИЧНОЕ; ибо это также обще для всех тел, что они могут быть различены и отделены друг от друга. Теперь, два тела называются отличающимися друг от друга, когда о одном из них можно сказать нечто такое, что нельзя сказать о другом в то же самое время.

To differ in number, magnitude, species, and genus, what.

2. И, прежде всего, очевидно, что никакие два тела не являются тождественными; ибо, поскольку они суть два, они находятся в двух местах в одно и то же время; тогда как то, что является тождественным, находится в одно и то же время в одном и том же месте. Все тела, следовательно, отличаются друг от друга по числу, а именно как одно и другое; так что «тождественное» и «различное по числу» суть имена, противопоставленные друг другу по противоречию.

По величине тела отличаются, когда одно больше другого, как «длиной в локоть» и «длиной в два локтя», «весом в два фунта» и «весом в три фунта». И этим противопоставляются «равные».

Тела, которые отличаются более чем по величине, называются «неподобными»; а те, которые отличаются только по величине, — «подобными». Также из неподобных тел одни, как говорят, отличаются по виду, другие — по роду; по виду, когда их различие воспринимается одним и тем же чувством, как «белое» и «черное»; а по роду, когда их различие воспринимается не иначе, как разными чувствами, как «белое» и «горячее».

What is relation, proportion, and relatives.

3. И подобие или неподобие, равенство или неравенство одного тела другому называется их ОТНОШЕНИЕМ; а сами тела — относительными или коррелятами; Аристотель называет их τὰ πρὸς τί; первое из которых обычно называется антецедентом, а второе — консеквентом; и отношение антецедента к консеквенту согласно величине, а именно равенство, избыток или недостаток его, называется ПРОПОРЦИЕЙ антецедента к консеквенту; так что пропорция есть не что иное, как равенство или неравенство величины антецедента, сравниваемой с величиной консеквента только по их разности или сравниваемой также с их разностью. Например, пропорция трех к двум состоит только в том, что три превышает два на единицу; а пропорция двух к пяти — в том, что два, сравниваемое с пятью, уступает ему на три, либо просто, либо сравниваемое с числами, отличными от них; и поэтому в пропорции неравных величин пропорция меньшего к большему называется НЕДОСТАТКОМ; а пропорция большего к меньшему — ИЗБЫТКОМ.

Proportionals, what.

4. Кроме того, из неравных величин одни более, другие менее, а некоторые одинаково неравны; так что существует пропорция пропорций, так же как и величин; а именно, когда две неравные величины имеют отношение к двум другим неравным величинам; как, когда неравенство, которое существует между 2 и 3, сравнивается с неравенством, которое существует между 4 и 5. В этом сравнении всегда есть четыре величины; или, что то же самое, если их всего три, средняя считается дважды; и если пропорция первой ко второй равна пропорции третьей к четвертой, то эти четыре называются пропорциональными; в противном случае они не являются пропорциональными.

The proportion of magnitudes to one another, wherein it consists.

5. Пропорция антецедента к консеквенту состоит в их разности, взятой не только просто, но также как сравниваемой с одним из относительных понятий; то есть либо в той части большей величины, на которую она превышает меньшую, либо в остатке после того, как меньшая вычтена из большей; как пропорция двух к пяти состоит в трех, на которые пять превышает два, не только в трех просто, но также как сравниваемых с пятью или двумя. Ибо хотя существует та же разность между двумя и пятью, что и между девятью и двенадцатью, а именно три, все же это не то же самое неравенство; и поэтому пропорция двух к пяти не во всяком отношении та же, что и пропорция девяти к двенадцати, а только в той, которая называется арифметической.

Relation is no new accident, but one of those that were in the relative, before the relation or comparison was made. Also the causes of accidents in correlatives are the cause of relation.

6. Но мы не должны думать об отношении так, как если бы оно было акциденцией, отличающейся от всех других акциденций относительного понятия; но одной из них, а именно той, посредством которой производится сравнение. Например, подобие одного «белого» другому «белому» или его неподобие «черному» есть та же самая акциденция, что и его «белизна»; а равенство и неравенство — та же самая акциденция, что и величина сравниваемой вещи, хотя и под другим именем: ибо то, что называется «белым» или «великим», когда оно не сравнивается с чем-то другим, то же самое, когда оно сравнивается, называется «подобным» или «неподобным», «равным» или «неравным». И из этого следует, что причины акциденций, которые находятся в относительных понятиях, суть причины также подобия, неподобия, равенства и неравенства; а именно, что тот, кто создает два неравных тела, создает также их неравенство; и тот, кто создает правило и действие, создает также, если действие соответствует правилу, их соответствие; если не соответствует — их несоответствие. И это все относительно сравнения одного тела с другим.

Of the beginning of individuation.

7. Но одно и то же тело может в разное время сравниваться с самим собой. И отсюда возникает великий спор среди философов о начале индивидуации, а именно: в каком смысле можно представить, что тело в одно время является тем же самым, а в другое время — не тем же самым, каким было ранее. Например, является ли человек, ставший старым, тем же самым человеком, каким он был, пока был молодым, или другим человеком; или является ли город в разные эпохи тем же самым или другим городом. Одни помещают индивидуальность в единство материи; другие — в единство формы; и один говорит, что она состоит в единстве совокупности всех акциденций вместе. Относительно материи приводится довод, что кусок воска, будет ли он сферическим или кубическим, есть тот же самый воск, потому что та же самая материя. Относительно формы — что когда человек вырастает из младенца в старика, хотя его материя изменилась, он все же остается тем же самым числовым человеком; ибо то тождество, которое нельзя приписать материи, вероятно, следует приписать форме. Относительно совокупности акциденций нельзя привести никакого примера; но поскольку, когда порождается какая-либо новая акциденция, вещи обычно дается новое имя, поэтому тот, кто приписал эту причину индивидуальности, думал, что и сама вещь стала другой вещью. Согласно первому мнению, тот, кто грешит, и тот, кто наказывается, не должны быть одним и тем же человеком по причине постоянного потока и изменения человеческого тела; не должен быть тем же самым городом и тот город, который издает законы в одну эпоху и отменяет их в другую; что означало бы смешать все гражданские права. Согласно второму мнению, два тела, существующие оба одновременно, были бы одним и тем же числовым телом. Ибо если, например, тот корабль Тесея, о различии которого, вызванном постоянным ремонтом путем изъятия старых досок и вставки новых, софисты Афин имели обыкновение спорить, был после того, как все доски были заменены, тем же самым числовым кораблем, что был в начале; и если бы какой-то человек сохранил старые доски, как они были изъяты, и, вставив их впоследствии вместе в том же порядке, снова сделал бы из них корабль, то это, без сомнения, был бы также тот же самый числовой корабль, что был в начале; и таким образом было бы два корабля, числово тождественных, что абсурдно. Но, согласно третьему мнению, ничто не было бы тем же самым, чем было; так что стоящий человек не был бы тем же самым, что был сидящим; и вода, которая находится в сосуде, не была бы той же самой, что вылита из него. Посему начало индивидуации не всегда должно браться либо только из материи, либо только из формы.

Но мы должны учитывать, под каким именем что-либо называется, когда мы спрашиваем о его тождестве. Ибо одно дело спрашивать о Сократе, является ли он тем же самым человеком, и другое — спрашивать, является ли он тем же самым телом; ибо его тело, когда он стар, не может быть тем же самым, что было, когда он был младенцем, по причине различия величины; ибо одно тело всегда имеет одну и ту же величину; тем не менее, он может быть тем же самым человеком. И поэтому, всякий раз, когда имя, под которым спрашивается, является ли вещь той же самой, что была, дается ей только ради материи, тогда, если материя та же самая, вещь также индивидуально та же самая; как вода, которая была в море, есть та же самая, что впоследствии находится в облаке; и любое тело есть то же самое, будут ли его части соединены или рассеяны; или будет ли оно замерзшим или растворенным. Также, если имя дается ради такой формы, которая есть начало движения, тогда, пока это движение остается, это будет та же самая индивидуальная вещь; как тот человек будет всегда тем же самым, чьи действия и мысли происходят все из одного и того же начала движения, а именно того, которое было при его зарождении; и та будет той же самой рекой, которая течет из одного и того же источника, течет ли из него та же самая вода, или другая вода, или что-то иное, чем вода; и тот — тем же самым городом, чьи акты происходят постоянно из одного и того же установления, являются ли люди теми же самыми или нет. Наконец, если имя дается ради какой-то акциденции, тогда тождество вещи будет зависеть от материи; ибо путем изъятия и добавления материи бывшие акциденции уничтожаются, а порождаются другие, новые, которые не могут быть числово теми же самыми; так что корабль, который означает материю, так оформленную, будет тем же самым, пока материя остается той же самой; но если ни одна часть материи не является той же самой, тогда это числово другой корабль; и если часть материи остается, а часть изменена, тогда корабль будет отчасти тем же самым, а отчасти не тем же самым.

ГЛАВА XII. О КОЛИЧЕСТВЕ.

1. Определение количества. — 2. Экспозиция количества, что это такое. — 3. Как экспонируются линия, поверхность и тело. — 4. Как экспонируется время. — 5. Как экспонируется число. — 6. Как экспонируется скорость. — 7. Как экспонируется вес. — 8. Как экспонируется пропорция величин. — 9. Как экспонируется пропорция времен и скоростей.

Definition of quantity.

1. Что такое измерение и насколько оно многообразно, было сказано в 8-й главе, а именно, что есть три измерения: линия или длина, поверхность и тело; каждое из которых, если оно определено, то есть если его пределы сделаны известными, обычно называется количеством; ибо под количеством все люди понимают то, что обозначается этим словом, которым дается ответ на вопрос: «Сколько это?» Всякий раз, поэтому, когда спрашивается, например: «Как длинно путешествие?», не отвечают неопределенно: «длина»; ни когда спрашивается: «Как велико поле?», не отвечают неопределенно: «поверхность»; ни если человек спросит: «Как велик объем?», неопределенно: «тело»: но отвечают определенно: путешествие — сто миль; поле — сто акров; объем — сто кубических футов; или, по крайней мере, каким-то таким образом, чтобы величина вещи, о которой спрашивают, могла быть посредством определенных пределов постигнута умом. КОЛИЧЕСТВО, поэтому, не может быть определено иначе, как «определенное измерение» или «измерение, пределы которого установлены либо их местом, либо некоторым сравнением».

The exposition of quantity, what it is.

2. И количество определяется двумя способами: одним — чувством, когда перед ним ставится некий чувственный объект; как когда линия, поверхность или тело в фут или локоть, отмеченные в некоторой материи, противопоставляются глазам; этот способ определения называется экспозицией, а так познанное количество называется экспонированным количеством; другим — памятью, то есть путем сравнения с некоторым экспонированным количеством. Первым способом, когда спрашивают, какого количества вещь, отвечают: такого количества, какое вы видите экспонированным. Вторым способом ответ не может быть дан иначе, как путем сравнения с некоторым экспонированным количеством; ибо если спрашивают, как длинна дорога, ответ таков: столько-то тысяч шагов; то есть путем сравнения дороги с шагом или другой мерой, определенной и известной посредством экспозиции; или количество ее относится к другому количеству, известному посредством экспозиции, как диаметр квадрата к его стороне, или каким-то другим подобным средством. Но следует понимать, что экспонированное количество должно быть некоторой стоячей или постоянной вещью, такой, которая отмечена в постоянной или долговечной материи; или, по крайней мере, чем-то, что может быть возвращено к чувству; ибо иначе никакое сравнение не может быть сделано посредством него. Поскольку, поэтому, согласно тому, что было сказано в следующей предыдущей главе, сравнение одной величины с другой есть то же самое, что и пропорция; очевидно, что количество, определенное вторым способом, есть не что иное, как пропорция измерения, не экспонированного к другому, которое экспонировано; то есть сравнение его равенства или неравенства с экспонированным количеством.

How line, superficies, and solids, are exposed.

3. Линии, поверхности и тела экспонируются, во-первых, движением, таким образом, как в 8-й главе я сказал, что они порождаются; но так, чтобы следы такого движения были постоянными; как когда они проектируются на некоторую материю, как линия на бумаге; или выгравированы в некоторой долговечной материи. Во-вторых, путем аппозиции; как когда одна линия или длина прикладывается к другой линии или длине, одна ширина к другой ширине, и одна толщина к другой толщине; что равносильно описанию линии точками, поверхности — линиями, а тела — поверхностями; за исключением того, что под точками в этом месте следует понимать очень короткие линии, а под поверхностями — очень тонкие тела. В-третьих, линии и поверхности могут быть экспонированы путем сечения, а именно: линия может быть сделана путем разрезания экспонированной поверхности; а поверхность — путем разрезания экспонированного тела.

How time is exposed.

4. Время экспонируется не только экспозицией линии, но также некоторой движущейся вещи, которая движется равномерно по этой линии, или, по крайней мере, предполагается так движущейся. Ибо, поскольку время есть идея движения, в которой мы рассматриваем прежнее и последующее, то есть последовательность, для экспозиции времени недостаточно того, чтобы была описана линия; но мы должны также иметь в нашем уме воображение некоторой движущейся вещи, проходящей по этой линии; и движение ее должно быть равномерным, чтобы время могло быть разделено и сложено так часто, как в том будет нужда. И поэтому, когда философы в своих доказательствах чертят линию и говорят: «Пусть эта линия будет временем», следует понимать, как если бы они сказали: «Пусть концепция равномерного движения по этой линии будет временем». Ибо хотя круги на циферблатах суть линии, все же они сами по себе недостаточны для того, чтобы отмечать время, если также не существует или не предполагается движение тени или стрелки.

How number is exposed.

5. Число экспонируется либо экспозицией точек, либо имен числа: один, два, три и т. д.; и эти точки не должны быть соприкасающимися, так чтобы их нельзя было различить по знакам, но они должны быть расположены так, чтобы их можно было различить одну от другой; ибо именно отсюда число называется дискретным количеством, тогда как всякое количество, которое проектируется движением, называется непрерывным количеством. Но чтобы число могло быть экспонировано именами числа, необходимо, чтобы они были произнесены наизусть и по порядку, как один, два, три и т. д.; ибо говоря «один, один, один» и так далее, мы не знаем, на каком числе мы находимся, кроме двух или трех; которые также представляются нам в этом виде не как число, а как фигура.

How velocity is exposed.

6. Для экспозиции скорости, которая, по определению ее, есть движение, которое за определенное время проходит определенное пространство, требуется не только то, чтобы время было экспонировано, но чтобы было также экспонировано то пространство, которое проходится телом, чью скорость мы хотим определить; и чтобы тело понималось как движущееся и в этом пространстве; так что должны быть экспонированы две линии, на одной из которых должно пониматься равномерное движение, чтобы время могло быть определено; а на другой — скорость, которая должна быть вычислена. | А Б В Г | Как если бы мы хотели экспонировать скорость тела А, мы чертим две линии АБ и ВГ и помещаем тело также в В; что сделав, мы говорим, что скорость тела А столь велика, что оно проходит линию АБ за то же время, в которое тело В проходит линию ВГ с равномерным движением.

How weight is exposed.

7. Вес экспонируется любым тяжелым телом, из какой бы материи оно ни было, лишь бы оно было всегда одинаково тяжелым.

How the proportion of magnitudes is exposed.

8. Пропорция двух величин экспонируется тогда, когда экспонированы сами величины, а именно: пропорция равенства — когда величины равны; и неравенства — когда они неравны. Ибо поскольку, согласно 5-й статье предыдущей главы, пропорция двух неравных величин состоит в их разности, сравниваемой с любой из них; и когда две неравные величины экспонированы, их разность также экспонирована; то следует, что когда величины, которые имеют пропорцию друг к другу, экспонированы, их пропорция также экспонирована вместе с ними; и, точно так же, пропорция равных величин, которая состоит в том, что между ними нет разности величины, экспонируется в то же самое время, когда экспонированы сами равные величины. Например, если экспонированные линии АБ и ВГ равны, пропорция равенства экспонирована в них; | А Б В Г Д Ж Е | и если экспонированные линии ДЕ и ДЖ неравны, пропорция, которую ДЕ имеет к ДЖ, и та, которую ДЖ имеет к ДЕ, также экспонированы в них; ибо экспонированы не только сами линии, но также их разность, ЖЕ. Пропорция неравных величин есть количество; ибо разность, ЖЕ, в которой она состоит, есть количество. Но пропорция равенства не есть количество; потому что между равными величинами нет разности; и одно равенство не больше другого, как одно неравенство больше другого неравенства.

How the proportion of times and velocities is exposed.

9. Пропорция двух времен или двух равномерных скоростей экспонируется тогда, когда экспонированы две линии, по которым два тела понимаются как движущиеся равномерно; и поэтому те же самые две линии служат для того, чтобы показать как их собственную пропорцию, так и пропорцию времен и скоростей, в зависимости от того, рассматриваются ли они как экспонированные для самих величин, или для времен, или для скоростей. Ибо пусть будут экспонированы две линии А и Б; | А Б | их пропорция поэтому (согласно последней предыдущей статье) экспонирована; и если они рассматриваются как начерченные с равной и равномерной скоростью, тогда, поскольку их времена больше, или равны, или меньше, в зависимости от того, как те же самые пространства проходятся за большее, или равное, или меньшее время, линии А и Б покажут равенство или неравенство, то есть пропорцию времен. В заключение, если те же самые линии, А и Б, рассматриваются как начерченные за одно и то же время, тогда, поскольку их скорости больше, или равны, или меньше, в зависимости от того, как они проходят за одно и то же время более длинные, или равные, или более короткие линии, те же самые линии, А и Б, покажут равенство или неравенство, то есть пропорцию их скоростей.

ГЛАВА XIII. ОБ АНАЛОГИЗМЕ, ИЛИ ТОЙ ЖЕ ПРОПОРЦИИ.

1, 2, 3, 4. Природа и определение пропорции, арифметической и геометрической. — 5. Определение и некоторые свойства той же арифметической пропорции. — 6, 7. Определение и преобразования аналогизма, или той же геометрической пропорции. — 8, 9. Определения гиперлогизма и гипологизма, то есть большей и меньшей пропорции, и их преобразования. — 10, 11, 12. Сравнение аналогических величин согласно величине. — 13, 14, 15. Составление пропорций. — 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25. Определение и свойства непрерывной пропорции. — 26, 27, 28, 29. Сравнение арифметических и геометрических пропорций.

[Заметьте, что в этой главе знак + означает, что величины, между которыми он поставлен, складываются вместе; а этот знак - означает остаток после того, как последняя величина вычтена из первой. Так что А + Б равно и А, и Б вместе; и где вы видите А - Б, там А есть целое, Б — часть, вычтенная из него, а А - Б — остаток. Также две буквы, поставленные вместе без какого-либо знака, означают, если они не относятся к фигуре, что одна из величин умножается на другую; как АБ означает произведение А, умноженного на Б.]

The nature and definition of proportion, arithmetical & geometrical.

1. Великое и малое непостижимы иначе, как путем сравнения. Теперь то, с чем они сравниваются, есть нечто экспонированное; то есть некоторая величина, либо воспринимаемая чувством, либо определенная словами так, что она может быть постигнута умом. Также то, с чем сравнивается любая величина, есть либо большее, либо меньшее, либо равное ей. И поэтому пропорция (которая, как я показал, есть оценка или постижение величин путем сравнения) бывает трех видов, а именно: пропорция равенства, то есть равного к равному; или избытка, которая есть пропорция большего к меньшему; или недостатка, которая есть пропорция меньшего к большему.

Опять же, каждая из этих пропорций бывает двух видов; ибо если спрашивается относительно какой-либо данной величины, насколько она велика, ответ может быть дан путем сравнения ее двумя способами; во-первых, сказав, что она больше или меньше другой величины на столько-то; как семь меньше десяти на три единицы; и это называется арифметической пропорцией. Во-вторых, сказав, что она больше или меньше другой величины на такую-то часть или части ее; как семь меньше десяти на три десятых части тех же десяти. И хотя эта пропорция не всегда объяснима числом, все же она есть определенная пропорция, и иного рода, чем предыдущая, и называется геометрической пропорцией, и наиболее часто — просто пропорцией.

2. Пропорция, будь то арифметическая или геометрическая, не может быть экспонирована иначе, как в двух величинах (из которых первая обычно называется антецедентом, а последняя — консеквентом пропорции), как я показал в 8-й статье предыдущей главы. И поэтому, если нужно сравнить две пропорции, должны быть экспонированы четыре величины, а именно: два антецедента и два консеквента; ибо хотя иногда случается, что консеквент первой пропорции является тем же самым, что и антецедент второй, все же в этом двойном сравнении он должен по необходимости считаться дважды; так что всегда будет четыре члена.

3. Из двух пропорций, будь то арифметические или геометрические, когда величины, сравниваемые в обеих (которые Евклид в пятом определении своей шестой книги называет количествами пропорций), равны, тогда одна из пропорций не может быть ни больше, ни меньше другой; ибо одно равенство не является ни больше, ни меньше другого равенства. Но из двух пропорций неравенства, будь то пропорции избытка или недостатка, одна из них может быть либо больше, либо меньше другой, или они обе могут быть равны; ибо хотя предложены две величины, которые неравны друг другу, все же могут быть другие две, более неравные, и другие две, одинаково неравные, и другие две, менее неравные, чем те две, которые были предложены. И отсюда можно понять, что пропорции избытка и недостатка суть количество, будучи способными к «более» и «менее»; но пропорция равенства не есть количество, потому что не способна ни к «более», ни к «менее». И поэтому пропорции неравенства могут быть сложены вместе, или вычтены одна из другой, или умножены, или разделены одна на другую, или на число; но пропорции равенства — нет.

4. Две равные пропорции обычно называются «той же пропорцией»; и говорится, что пропорция первого антецедента к первому консеквенту есть та же самая, что и пропорция второго антецедента ко второму консеквенту. И когда четыре величины находятся таким образом друг к другу в геометрической пропорции, они называются пропорциональными; а некоторые, более кратко, — аналогизмом. И «большая пропорция» есть пропорция большего антецедента к тому же консеквенту, или того же антецедента к меньшему консеквенту; и когда пропорция первого антецедента к первому консеквенту больше, чем пропорция второго антецедента ко второму консеквенту, четыре величины, которые находятся таким образом друг к другу, могут быть названы гиперлогизмом.

«Меньшая пропорция» есть пропорция меньшего антецедента к тому же консеквенту, или того же антецедента к большему консеквенту; и когда пропорция первого антецедента к первому консеквенту меньше, чем пропорция второго ко второму, четыре величины могут быть названы гипологизмом.

The definition and some properties of the same arithmetical proportion.

5. Одна арифметическая пропорция есть та же самая, что и другая арифметическая пропорция, когда один из антецедентов превышает свой консеквент, или превышается им, настолько же, насколько другой антецедент превышает свой консеквент, или превышается им. И поэтому в четырех величинах, арифметически пропорциональных, сумма крайних равна сумме средних. Ибо если А. Б :: В. Г арифметически пропорциональны, и разность с обеих сторон есть тот же самый избыток, или тот же самый недостаток, Д, тогда Б + В (если А больше Б) будет равно А - Д + В; а А + Г будет равно А + В - Д; но А - Д + В и А + В - Д равны. Или если А меньше Б, тогда Б + В будет равно А + Д + В; а А + Г будет равно А + В + Д; но А + Д + В и А + В + Д равны.

Также, если есть сколько угодно величин, арифметически пропорциональных, сумма их всех будет равна произведению половины числа членов, умноженного на сумму крайних.

Ибо если А. Б :: В. Г :: Д. Е арифметически пропорциональны, пары А + Е, Б + Д, В + Г будут равны друг другу; и их сумма будет равна А + Е, умноженному на число их комбинаций, то есть на половину числа членов.

Если из четырех неравных величин любые две, взятые вместе, равны двум другим, взятым вместе, тогда наибольшая и наименьшая из них будут в одной комбинации. Пусть неравные величины будут А, Б, В, Г; и пусть А + Б равно В + Г; и пусть А будет наибольшей из них всех; я утверждаю, что Б будет наименьшей. Ибо, если это возможно, пусть какая-либо из остальных, как Г, будет наименьшей. Поскольку, следовательно, А больше В, а Б больше Г, А + Б будет больше В + Г; что противоречит тому, что предполагалось.

Если есть любые четыре величины, сумма наибольшей и наименьшей, сумма средних, разность двух наибольших и разность двух наименьших будут арифметически пропорциональны. Ибо пусть будут четыре величины, из которых А — наибольшая, Г — наименьшая, а Б и В — средние; я утверждаю, что А + Г. Б + В :: А - Б. В - Г арифметически пропорциональны. Ибо разность между первым антецедентом и его консеквентом есть эта: А + Г - Б - В; а разность между вторым антецедентом и его консеквентом эта: А - Б - В + Г; но эти две разности равны; и поэтому, согласно этой 5-й статье, А + Г. Б + В :: А - Б. В - Г арифметически пропорциональны.

Если из четырех величин две равны двум другим, они будут в обратной арифметической пропорции. Ибо пусть А + Б равно В + Г, я утверждаю, что А. В :: Г. Б арифметически пропорциональны. Ибо если они не таковы, пусть А. В :: Г. Д (предполагая Д больше или меньше Б) будут арифметически пропорциональны, и тогда А + Д будет равно В + Г; посему А + Б и В + Г не равны; что противоречит тому, что предполагалось.

The definition and transmutations of analogism, or the same geometrical proportion.

6. Одна геометрическая пропорция есть та же самая, что и другая геометрическая пропорция, когда та же самая причина, производящая равные следствия за равные времена, определяет обе пропорции.

Если точка, движущаяся равномерно, описывает две линии, с одинаковой или различной скоростью, то все их части, которые являются одновременными, то есть описанными за одно и то же время, будут находиться в геометрической пропорции два к двум, независимо от того, взяты ли антецеденты на одной и той же линии или нет. Ибо пусть из точки А (на 10-м рисунке в конце 14-й главы) будут описаны две линии, AD и AG, при равномерном движении; и пусть на них будут взяты две части, AB и AE, а также две другие части, AC и AF, таким образом, чтобы AB и AE были одновременными, а также AC и AF были одновременными. Я утверждаю, во-первых (принимая антецеденты AB, AC на линии AD, а консеквенты AE, AF на линии AG), что AB : AC :: AE : AF являются пропорциональными. Ибо, видя (согласно 8-й главе и 15-й статье), что скорость есть движение, рассматриваемое как определенное некоторой длиной или линией, пройденной за определенное время, величина линии AB будет определяться скоростью и временем, за которое описана та же AB; и по той же причине величина линии AC будет определяться скоростью и временем, за которое описана та же AC; и поэтому пропорция AB к AC, будь то пропорция равенства, избытка или недостатка, определяется скоростями и временами, за которые описаны AB и AC; но поскольку движение точки А по AB и AC равномерно, обе они описаны с равной скоростью; и поэтому, имеет ли одна из них по отношению к другой пропорцию большинства или меньшинства, единственной причиной этой пропорции является разница их времен; и по той же причине очевидно, что пропорция AE к AF определяется только разницей их времен. Поскольку, следовательно, AB, AE, а также AC, AF являются одновременными, разница времен, за которые описаны AB и AC, та же самая, что и та, за которую описаны AE и AF. Посему пропорция AB к AC и пропорция AE к AF обе определяются одной и той же причиной. Но причина, которая так определяет пропорцию обеих, действует одинаково в равные времена, ибо это равномерное движение; и поэтому (согласно последнему предшествующему определению) пропорция AB к AC та же, что и AE к AF; и, следовательно, AB : AC :: AE : AF являются пропорциональными; что и требовалось доказать первым.

Во-вторых (принимая антецеденты на разных линиях), я утверждаю, что AB : AE :: AC : AF являются пропорциональными; ибо, видя, что AB и AE описаны за одно и то же время, разница скоростей, с которыми они описаны, является единственной причиной пропорции, которую они имеют друг к другу. И то же самое можно сказать о пропорции AC к AF. Но видя, что обе линии AD и AG пройдены равномерным движением, разница скоростей, с которыми описаны AB и AE, будет той же, что и разница скоростей, с которыми описаны AC и AF. Посему причина, определяющая пропорцию AB к AE, та же, что и определяющая пропорцию AC к AF; и поэтому AB : AE :: AC : AF являются пропорциональными; что и оставалось доказать.

Следствие I. Если четыре величины находятся в геометрической пропорции, они также будут пропорциональны при перестановке, то есть при транспонировании средних членов. Ибо я показал, что не только AB : AC :: AE : AF, но также, что при перестановке AB : AE :: AC : AF являются пропорциональными.

Следствие II. Если есть четыре пропорциональные величины, они также будут пропорциональны при инверсии или конверсии, то есть при превращении антецедентов в консеквенты. Ибо если бы в последнем аналогизме я вместо AB, AC поставил при инверсии AC, AB и аналогичным образом преобразовал AE, AF в AF, AE, то та же демонстрация подошла бы. Ибо как AC, AB, так и AB, AC имеют равную скорость; и AC, AF, так же как AF, AC, являются одновременными.

Следствие III. Если к пропорциональным величинам прибавлять пропорциональные или вычитать их из них, то агрегаты или остатки будут пропорциональными. Ибо одновременные величины, будь они прибавлены к одновременным или вычтены из них, делают агрегаты или остатки одновременными, даже если сложение или вычитание касается всех членов, или только антецедентов, или только консеквентов.

Следствие IV. Если оба антецедента четырех пропорциональных величин, или оба консеквента, или все члены умножить или разделить на одно и то же число или величину, произведения или частные будут пропорциональными. Ибо умножение и деление пропорциональных величин то же самое, что их сложение и вычитание.

Следствие V. Если есть четыре пропорциональные величины, они также будут пропорциональны при композиции, то есть при составлении антецедента из сложенных вместе антецедента и консеквента, и при принятии в качестве консеквента либо консеквента отдельно, либо антецедента отдельно. Ибо эта композиция есть не что иное, как сложение пропорциональных величин, а именно консеквентов к их собственным антецедентам, которые по предположению являются пропорциональными.

Следствие VI. Подобным образом, если антецедент отдельно или консеквент отдельно поставить в качестве антецедента, а консеквент составить из обоих, сложенных вместе, они также будут пропорциональными. Ибо это инверсия пропорции при композиции.

Следствие VII. Если есть четыре пропорциональные величины, они также будут пропорциональны при делении, то есть при взятии остатка после вычитания консеквента из антецедента, или разности между антецедентом и консеквентом в качестве антецедента, и либо целого, либо вычитаемого в качестве консеквента; как если A : B :: C : D являются пропорциональными, то при делении они будут A - B : B :: C - D : D, и A - B : A :: C - D : C; а когда консеквент больше антецедента, B - A : A :: D - C : C, и B - A : B :: D - C : D. Ибо во всех этих делениях пропорциональные величины, согласно самому предположению аналогизма A : B :: C : D, берутся из A и B, а также из C и D.

Следствие VIII. Если есть четыре пропорциональные величины, они также будут пропорциональны при конверсии пропорции, то есть при инвертировании деленной пропорции, или при взятии целого в качестве антецедента, а разности или остатка в качестве консеквента.

Как, если A : B :: C : D являются пропорциональными, то A : A - B :: C : C - D, а также B : A - B :: D : C - D будут пропорциональными. Ибо, видя, что в инвертированном виде они пропорциональны, они и сами являются пропорциональными.

Следствие IX. Если есть два аналогизма, у которых величины равны, второй второму, а четвертый четвертому, то либо сумма, либо разность первых величин будет относиться ко второй, как сумма или разность третьих величин к четвертой. Пусть A : B :: C : D и E : B :: F : D будут аналогизмами; я утверждаю, что A + E : B :: C + F : D являются пропорциональными. Ибо указанные аналогизмы при перестановке будут A : C :: B : D и E : F :: B : D; и поэтому A : C :: E : F будут пропорциональными, ибо они обе имеют общую пропорцию B к D. Посему, если при перестановке первого аналогизма к A и C прибавить E и F, которые E и F пропорциональны A и C, то (согласно третьему следствию) A + E : B :: C + F : D будут пропорциональными; что и требовалось доказать.

Также подобным образом можно показать, что A - E : B :: C - F : D являются пропорциональными.

7. Если есть два аналогизма, где четыре антецедента составляют аналогизм, их консеквенты также составят аналогизм; как и суммы их антецедентов будут пропорциональны суммам их консеквентов. Ибо если A : B :: C : D и E : F :: G : H — два аналогизма, и A : E :: C : G являются пропорциональными, то при перестановке A : C :: E : G, и E : G :: F : H, и A : C :: B : D будут пропорциональными; посему B : D :: E : G, то есть B : D :: F : H, и при перестановке B : F :: D : H являются пропорциональными; что и есть первое. Во-вторых, я утверждаю, что A + E : B + F :: C + G : D + H будут пропорциональными. Ибо, видя, что A : E :: C : G являются пропорциональными, A + E : E :: C + G : G также при композиции будут пропорциональными, и при перестановке A + E : C + G :: E : G будут пропорциональными; посему также A + E : C + G :: B + F : D + H будут пропорциональными. Опять же, видя, как показано выше, что B : F :: D : H являются пропорциональными, B + F : F :: D + H : H также при композиции будут пропорциональными; и при перестановке B + F : D + H :: F : H также будут пропорциональными; посему A + E : C + G :: B + F : D + H являются пропорциональными; что и оставалось доказать.

Следствие. По той же причине, если имеется сколько угодно аналогизмов и антецеденты пропорциональны антецедентам, можно также доказать, что консеквенты будут пропорциональны консеквентам, как и сумма антецедентов — сумме консеквентов.

The definition of hyperlogism and hypologism, that is, of greater and less proportion, and their transmutations.

8. В гиперлогизме, то есть когда пропорция первого антецедента к его консеквенту больше пропорции второго антецедента к его консеквенту, перестановка пропорциональных величин, сложение пропорциональных величин с пропорциональными и вычитание их друг из друга, а также их композиция и деление, и их умножение и деление на одно и то же число, всегда дают гиперлогизм. Ибо предположим, что A : B :: C : D и A : C :: E : F — аналогизмы, A + E : B :: C + F : D также будет аналогизмом; но A + E : B :: C : D будет гиперлогизмом; посему при перестановке A + E : C :: B : D есть гиперлогизм, потому что A : B :: C : D есть аналогизм. Во-вторых, если к гиперлогизму A + E : B :: C : D прибавить пропорциональные величины G и H, то A + E + G : B :: C + H : D будет гиперлогизмом, по причине того, что A + E + G : B :: C + F + H : D есть аналогизм. Также, если G и H вычесть, A + E - G : B :: C - H : D будет гиперлогизмом; ибо A + E - G : B :: C + F - H : D есть аналогизм. В-третьих, при композиции A + E + B : B :: C + D : D будет гиперлогизмом, потому что A + E + B : B :: C + F + D : D есть аналогизм, и так будет во всех видах композиции. В-четвертых, при делении A + E - B : B :: C - D : D будет гиперлогизмом, по причине того, что A + E - B : B :: C + F - D : D есть аналогизм. Также A + E - B : A + E :: C - D : C есть гиперлогизм; ибо A + E - B : A + E :: C + F - D : C есть аналогизм. В-пятых, при умножении 4A + 4E : B :: 4C : D есть гиперлогизм, потому что 4A : B :: 4C : D есть аналогизм; и при делении 1/4A + 1/4E : B :: 1/4C : D есть гиперлогизм, потому что 1/4A : B :: 1/4C : D есть аналогизм.

9. Но если A + E : B :: C : D есть гиперлогизм, то при инверсии B : A + E :: D : C будет гипологизмом, потому что B : A :: D : C есть аналогизм, первый консеквент будет слишком велик. Также при конверсии пропорции A + E : A + E - B :: C : C - D есть гипологизм, потому что инверсия его, а именно A + E - B : A + E :: C - D : C, есть гиперлогизм, как я только что показал. Так же и B : A + E - B :: D : C - D есть гипологизм, потому что, как я только что показал, инверсия его, а именно A + E - B : B :: C - D : D, есть гиперлогизм. Заметьте, что этот гипологизм A + E : A + E - B :: C : C - D обычно выражается так: если пропорция целого (A + E) к тому, что из него взято (B), больше пропорции целого (C) к тому, что из него взято (D), то пропорция целого (A + E) к остатку (A + E - B) будет меньше пропорции целого (C) к остатку (C - D).

Comparison of analogical quantities, according to magnitude.

10. Если есть четыре пропорциональные величины, разность двух первых к разности двух последних будет относиться как первый антецедент ко второму антецеденту, или как первый консеквент ко второму консеквенту. Ибо если A : B :: C : D являются пропорциональными, то при делении A - B : B :: C - D : D будут пропорциональными; и при перестановке A - B : C - D :: B : D; то есть разности пропорциональны консеквентам, а следовательно, они таковы же и по отношению к антецедентам.

11. Из четырех пропорциональных величин, если первая больше второй, то третья также будет больше четвертой. Ибо, видя, что первая больше второй, пропорция первой ко второй есть пропорция избытка; но пропорция третьей к четвертой та же, что и первой ко второй; и поэтому также пропорция третьей к четвертой есть пропорция избытка; посему третья больше четвертой. Таким же образом можно доказать, что всякий раз, когда первая меньше второй, третья также меньше четвертой; а когда они равны, то и эти также равны.

12. Если есть какие-либо четыре пропорциональные величины, A : B :: C : D, и первая и третья умножены на какое-либо одно число, например на 2; и опять вторая и четвертая умножены на какое-либо одно число, например на 3; и произведение первой 2A больше произведения второй 3B; то произведение третьей 2C также будет больше произведения четвертой 3D. Но если произведение первой меньше произведения второй, то произведение третьей будет меньше, чем у четвертой. И наконец, если произведения первой и второй равны, произведения третьей и четвертой также будут равны. Теперь эта теорема есть то же самое, что определение Евклида той же пропорции; и ее можно доказать так. Видя, что A : B :: C : D являются пропорциональными, при перестановке также (статья 6, следствие I) A : C :: B : D будут пропорциональными; посему (согласно следствию IV статьи 6) 2A : 2C :: 3B : 3D будут пропорциональными; и опять, при перестановке 2A : 3B :: 2C : 3D будут пропорциональными; и поэтому, согласно последней статье, если 2A больше 3B, то 2C будет больше 3D; если меньше, то меньше; и если равны, то равны; что и требовалось доказать.

Composition of proportions.

13. Если предложены какие-либо три величины или три вещи вообще, которые имеют какую-либо пропорцию друг к другу, как три числа, три времени, три степени и т. д., то пропорции первой ко второй и второй к третьей, взятые вместе, равны пропорции первой к третьей. Пусть будут три линии, ибо любая пропорция может быть сведена к пропорции линий, AB, AC, AD; и в первом случае пусть пропорция как первой AB ко второй AC, так и второй AC к третьей AD будет пропорцией недостатка, или меньшего к большему; я утверждаю, что пропорции AB к AC и AC к AD, взятые вместе, равны пропорции AB к AD. Предположим, что точка А движется по всей линии AD с равномерным движением; тогда пропорции как AB к AC, так и AC к AD определяются разницей времен, за которые они описаны; то есть AB имеет к AC такую пропорцию, которая определяется различными временами их описания; а AC к AD — такую пропорцию, которая определяется их временами. Но пропорция AB к AD такова, что определяется разницей времен, за которые описаны AB и AD; и разница времен, за которые описаны AB и AC, вместе с разницей времен, за которые описаны AC и AD, та же самая, что и разница времен, за которые описаны AB и AD. И поэтому та же причина, которая определяет две пропорции AB к AC и AC к AD, определяет также пропорцию AB к AD. Посему, согласно определению той же пропорции, изложенному выше в 6-й статье, пропорция AB к AC вместе с пропорцией AC к AD есть то же самое, что пропорция AB к AD. Во втором случае пусть AD будет первой, AC — второй, а AB — третьей, и пусть их пропорция будет пропорцией избытка, или большего к меньшему; тогда, как и прежде, пропорции AD к AC, AC к AB и AD к AB будут определяться разницей их времен; которая при описании AD и AC, а также AC и AB, взятых вместе, та же самая, что и разница времен при описании AD и AB. Посему пропорция AD к AB равна двум пропорциям AD к AC и AC к AB.

В последнем случае. Если одна из пропорций, а именно AD к AB, есть пропорция избытка, а другая из них, как AB к AC, есть пропорция недостатка, таким образом также пропорция AD к AC будет равна двум пропорциям AD к AB и AB к AC, взятым вместе. Ибо разница времен, за которые описаны AD и AB, есть избыток времени; ибо на описание AD уходит больше времени, чем на AB; а разница времен, за которые описаны AB и AC, есть недостаток времени, ибо на описание AB уходит меньше времени, чем на AC; но этот избыток и недостаток, будучи сложенными вместе, дают DB - BC, что равно DC, на которое первая AD превышает третью AC; и поэтому пропорции первой AD ко второй AB и второй AB к третьей AC определяются той же причиной, которая определяет пропорцию первой AD к третьей AC. Посему, если какие-либо три величины и т. д.

Следствие I. Если имеется сколько угодно величин, имеющих пропорцию друг к другу, пропорция первой к последней составляется из пропорций первой ко второй, второй к третьей и так далее, пока не дойдешь до последней; или пропорция первой к последней та же самая, что и сумма всех промежуточных пропорций. Ибо для любого числа величин, имеющих пропорцию друг к другу, как A, B, C, D, E, пропорция A к E, как только что показано, составляется из пропорций A к D и D к E; а опять же, пропорция A к D — из пропорций A к C и C к D; и наконец, пропорция A к C — из пропорций A к B и B к C.

Следствие II. Отсюда можно понять, как могут быть составлены любые две пропорции. Ибо если предложено сложить пропорции A к B и C к D, пусть B имеет к чему-то другому, например к E, ту же пропорцию, которую C имеет к D, и пусть они будут поставлены в таком порядке: A, B, E; ибо так пропорция A к E будет очевидно суммой двух пропорций A к B и B к E, то есть C к D. Или пусть будет как D к C, так A к чему-то другому, например к E, и пусть они будут упорядочены так: E, A, B; ибо пропорция E к B будет составлена из пропорций E к A, то есть C к D, и A к B. Также можно понять, как одна пропорция может быть вычтена из другой. Ибо если пропорцию C к D нужно вычесть из пропорции A к B, пусть будет как C к D, так A к чему-то другому, например к E, и, поставив их в таком порядке: A, E, B, и вычтя пропорцию A к E, то есть C к D, останется пропорция E к B.

Следствие III. Если есть два порядка величин, которые имеют пропорцию друг к другу, и отдельные пропорции первого порядка те же самые и равны по числу пропорциям второго порядка; тогда, независимо от того, являются ли пропорции в обоих порядках последовательно соответствующими друг другу, что называется ординатной пропорцией, или не последовательно соответствующими, что называется возмущенной пропорцией, первая и последняя в обоих будут пропорциональными. Ибо пропорция первой к последней равна всем промежуточным пропорциям; которые, будучи в обоих порядках одними и теми же и равными по числу, агрегаты этих пропорций также будут равны друг другу; но пропорции первой к последней равны их агрегатам; и поэтому пропорция первой к последней в одном порядке та же самая, что и пропорция первой к последней в другом порядке. Посему первая и последняя в обоих являются пропорциональными.

Composition of proportions.

14. Если какие-либо две величины образованы взаимным умножением многих величин, которые имеют пропорцию друг к другу, и эффективные величины с обеих сторон равны по числу, пропорция произведений будет составлена из отдельных пропорций, которые эффективные величины имеют друг к другу.

Во-первых, пусть два произведения будут AB и CD, одно из которых образовано умножением A на B, а другое — умножением C на D. Я утверждаю, что пропорция AB к CD составляется из пропорций эффективной A к эффективной C и эффективной B к эффективной D. Ибо пусть AB, CB и CD будут поставлены в порядке; и как B относится к D, так пусть C относится к другой величине, например к E; и пусть A, C, E будут также поставлены в порядке. Тогда (согласно следствию IV 6-й статьи) будет как AB, первая величина, к CB, второй величине в первом порядке, так A к C во втором порядке; и опять, как CB к CD в первом порядке, так B к D, то есть, по построению, так C к E во втором порядке; и поэтому (согласно последнему следствию) AB : CD :: A : E будут пропорциональными. Но пропорция A к E составляется из пропорций A к C и B к D; посему также пропорция AB к CD составляется из тех же самых.

Во-вторых, пусть два произведения будут ABF и CDG, каждое из которых образовано тремя эффективными величинами, первое из A, B и F, а второе из C, D и G; я утверждаю, что пропорция ABF к CDG составляется из пропорций A к C, B к D и F к G. Ибо пусть они будут поставлены в порядке, как и прежде; и как B относится к D, так пусть C относится к другой величине E; и опять, как F относится к G, так пусть E относится к другой, H; и пусть первый порядок стоит так: ABF, CBF, CDF и CDG; а второй порядок так: A, C, E, H. Тогда пропорция ABF к CBF в первом порядке будет как A к C во втором; и пропорция CBF к CDF в первом порядке — как B к D, то есть как C к E (по построению) во втором порядке; и пропорция CDF к CDG в первом — как F к G, то есть как E к H (по построению) во втором порядке; и поэтому ABF : CDG :: A : H будут пропорциональными. Но пропорция A к H составляется из пропорций A к C, B к D и F к G. Посему пропорция произведения ABF к CDG также составляется из тех же самых. И эта операция подходит для любого количества эффективных величин, образующих данные величины.

Отсюда возникает другой способ составления многих пропорций в одну, а именно тот, который предполагается в 5-м определении 6-й книги Евклида; который заключается в умножении всех антецедентов пропорций друг на друга и, подобным образом, всех консеквентов друг на друга. И отсюда также очевидно, во-первых, что причина, по которой параллелограммы, образованные дукцией двух прямых линий друг в друга, и все тела, равные фигурам, так образованным, имеют свои пропорции, составленные из пропорций эффективных величин; и во-вторых, почему умножение двух или более дробей друг на друга есть то же самое, что композиция пропорций их отдельных числителей к их отдельным знаменателям. Например, если эти дроби 1/2, 2/3, 3/4 должны быть умножены друг на друга, числители 1, 2, 3 должны быть сначала умножены друг на друга, что дает 6; а затем знаменатели 2, 3, 4, что дает 24; и эти два произведения образуют дробь 6/24. Подобным образом, если пропорции 1 к 2, 2 к 3 и 3 к 4 должны быть составлены, работая так, как я показал выше, будет получена та же пропорция 6 к 24.

15. Если какая-либо пропорция составлена с самой собой инвертированной, состав будет пропорцией равенства. Ибо пусть дана какая-либо пропорция, как A к B, и пусть инверсией ее будет пропорция C к D; и как C относится к D, так пусть B относится к другой величине; ибо так они будут составлены (согласно второму следствию 12-й статьи). Теперь, видя, что пропорция C к D есть инверсия пропорции A к B, будет как C к D, так B к A; и поэтому, если их поставить в порядке A, B, A, пропорция, составленная из пропорций A к B и C к D, будет пропорцией A к A, то есть пропорцией равенства. И отсюда очевидна причина, почему два равных произведения имеют свои эффективные величины взаимно пропорциональными. Ибо для того, чтобы два произведения были равны, пропорции их эффективных величин должны быть такими, чтобы при составлении они могли образовать пропорцию равенства, что невозможно, если одна не является инверсией другой; ибо если между A и A вставить любую другую величину, например C, их порядок будет A, C, A, и более поздняя пропорция C к A будет инверсией более ранней пропорции A к C.

The definition and properties of continual proportion.

16. Пропорция называется умноженной на число, когда она берется столько раз, сколько единиц в этом числе; и если пропорция большего к меньшему, то и величина пропорции будет увеличена умножением; но когда пропорция меньшего к большему, то по мере увеличения числа величина пропорции уменьшается; как в этих трех числах, 4, 2, 1, пропорция 4 к 1 есть не только дупликат 4 к 2, но и вдвое больше; но при инвертировании порядка этих чисел, 1, 2, 4, пропорция 1 к 2 больше, чем 1 к 4; и поэтому, хотя пропорция 1 к 4 есть дупликат 1 к 2, она не вдвое больше, чем 1 к 2, а наоборот, ее половина. Подобным образом, пропорция называется деленной, когда между двумя величинами вставлены одна или более средних в непрерывной пропорции, и тогда пропорция первой ко второй называется субдупликатной пропорции первой к третьей, и субтрипликатной пропорции первой к четвертой и т. д.

Это смешение пропорций, где одни являются пропорциями избытка, другие — недостатка, как в купеческом счете дебитора и кредитора, не так легко исчисляется, как некоторые думают; но делает композицию пропорций иногда сложением, иногда вычитанием; что звучит абсурдно для тех, кто всегда под композицией понимал сложение, а под уменьшением — вычитание. Поэтому, чтобы сделать этот счет немного яснее, мы должны рассмотреть (то, что обычно предполагается, и справедливо), что если имеется сколько угодно величин, пропорция первой к последней составляется из пропорций первой ко второй, второй к третьей и так далее до последней, не обращая внимания на их равенство, избыток или недостаток; так что если две пропорции, одна неравенства, другая равенства, сложить вместе, пропорция от этого не станет ни больше, ни меньше; как, например, если составить пропорции A к B и B к B, пропорция первой ко второй будет равна сумме обеих, потому что пропорция равенства, не будучи величиной, ни увеличивает величину, ни уменьшает ее. Но если есть три величины, A, B, C, неравные, и первая — наибольшая, последняя — наименьшая, то пропорция B к C есть прибавление к пропорции A к B и делает ее больше; и наоборот, если A — наименьшая, а C — наибольшая величина, то прибавление пропорции B к C делает составную пропорцию A к C меньше пропорции A к B, то есть целое меньше части. Композиция пропорций, следовательно, в этом случае не есть их увеличение, а уменьшение; ибо та же величина (Евклид V. 8), сравниваемая с двумя другими величинами, имеет большую пропорцию к меньшей из них, чем к большей. Также, когда составленные пропорции — одна избытка, другая недостатка, если первая — избытка, как в этих числах 8, 6, 9, составленная пропорция, а именно 8 к 9, меньше пропорции одной из ее частей, а именно 8 к 6; но если пропорция первой ко второй — недостатка, а второй к третьей — избытка, как в этих числах 6, 8, 4, то пропорция первой к третьей будет больше пропорции первой ко второй, как 6 имеет большую пропорцию к 4, чем к 8; причина чего явно в том, что чем меньше величина недостает до другой, или чем больше одна превышает другую, тем больше пропорция ее к этой другой. Предположим теперь три величины в непрерывной пропорции, AB 4, AC 6, AD 9. Поскольку, следовательно, AD больше AC, но не больше AD, пропорция AD к AC будет (по Евклиду V. 8) больше, чем AD к AD; и точно так же, поскольку пропорции AD к AC и AC к AB одни и те же, пропорции AD к AC и AC к AB, будучи обе пропорциями избытка, делают общую пропорцию AD к AB, или 9 к 4, не только дупликатом AD к AC, то есть 9 к 6, но и двойной, или вдвое большей. С другой стороны, поскольку пропорция AD к AD, или 9 к 9, будучи пропорцией равенства, не есть величина, и все же больше, чем AC к AD, или 6 к 9, будет как 0 - 9 к 0 - 6, так AC к AD, и опять, как 0 - 9 к 0 - 6, так 0 - 6 к 0 - 4; но 0 - 4, 0 - 6, 0 - 9 находятся в непрерывной пропорции; и поскольку 0 - 4 больше 0 - 6, пропорция 0 - 4 к 0 - 6 будет двойной к пропорции 0 - 4 к 0 - 9, двойной, говорю я, и все же не дупликатной, а субдупликатной.

Если кто-то не удовлетворен этим рассуждением, пусть сначала рассмотрит, что (по Евклиду V. 8) пропорция AB к AC больше, чем AB к AD, где бы D ни было помещено на продолженной линии AC; и чем дальше точка D от C, тем больше пропорция AB к AC, чем AB к AD. Существует, следовательно, некоторая точка (пусть это будет E) на таком расстоянии от C, что пропорция AB к AC будет вдвое больше, чем AB к AE. Это рассмотрев, пусть он определит длину линии AE и докажет, если сможет, что AE больше или меньше AD.

Тем же методом, если величин больше трех, как A, B, C, D, в непрерывной пропорции, и A — наименьшая, можно показать, что пропорция A к B есть тройная величина, хотя и субтроичная по множеству, к пропорции A к D.

17. Если имеется сколько угодно величин, число которых нечетно, и их порядок таков, что от средней величины они в обе стороны идут в непрерывной пропорции, то пропорция двух, которые находятся ближе всего с любой стороны к средней, есть субдупликатная пропорции двух, которые находятся ближе всего к ним с обеих сторон, и субтрипликатная пропорции двух, которые еще на одно место дальше и т. д. Ибо пусть величины будут C, B, A, D, E, и пусть A, B, C, а также A, D, E будут в непрерывной пропорции; я утверждаю, что пропорция D к B есть субдупликатная пропорции E к C. Ибо пропорция D к B составляется из пропорций D к A и A к B, взятых однажды; но пропорция E к C составляется из тех же, взятых дважды; и поэтому пропорция D к B есть субдупликатная пропорции E к C. И таким же образом, если бы было три члена с любой стороны, можно было бы доказать, что пропорция D к B была бы субтрипликатной пропорции крайних и т. д.

18. Если имеется сколько угодно непрерывных пропорциональных величин, как первая, вторая, третья и т. д., их разности будут пропорциональны им. Ибо вторая, третья и т. д. являются соответственно консеквентами предыдущей и антецедентами следующей пропорции. Но (согласно статье 10) разность первого антецедента и консеквента к разности второго антецедента и консеквента относится как первый антецедент ко второму антецеденту, то есть как первый член ко второму, или как второй к третьему и т. д. в непрерывных пропорциональных величинах.

19. Если есть три непрерывные пропорциональные величины, сумма крайних, вместе со средним, взятым дважды, сумма среднего и любого из крайних, и тот же крайний являются непрерывными пропорциональными величинами. Ибо пусть A : B : C будут непрерывными пропорциональными величинами. Видя, следовательно, что A : B :: B : C являются пропорциональными, при композиции также A + B : B :: B + C : C будут пропорциональными; и при перестановке A + B : B + C :: B : C также будут пропорциональными; и опять, при композиции A + 2B + C : B + C :: B + C : C; что и требовалось доказать.

20. В четырех непрерывных пропорциональных величинах наибольшая и наименьшая, сложенные вместе, составляют большую величину, чем две другие, сложенные вместе. Пусть A : B :: C : D будут непрерывными пропорциональными величинами; из которых пусть наибольшая будет A, а наименьшая — D; я утверждаю, что A + D больше, чем B + C. Ибо согласно статье 10, A - B : C - D :: A : C являются пропорциональными; и поэтому A - B, согласно статье 11, больше, чем C - D. Прибавьте B с обеих сторон, и A будет больше, чем C + B - D. И опять, прибавьте D с обеих сторон, и A + D будет больше, чем B + C; что и требовалось доказать.

The definition and properties of continual proportion.

21. Если есть четыре пропорциональные величины, крайние, умноженные друг на друга, и средние, умноженные друг на друга, дадут равные произведения. Пусть A : B :: C : D являются пропорциональными; я утверждаю, что AD равно BC. Ибо пропорция AD к BC составляется, согласно статье 13, из пропорций A к B и D к C, то есть ее инверсии B к A; и поэтому, согласно статье 14, эта составная пропорция есть пропорция равенства; и поэтому также пропорция AD к BC есть пропорция равенства. Посему они равны.

22. Если есть четыре величины, и пропорция первой ко второй есть дупликат пропорции третьей к четвертой, произведение крайних к произведению средних будет как третья к четвертой. Пусть четыре величины будут A, B, C и D; и пусть пропорция A к B будет дупликатом пропорции C к D, я утверждаю, что AD, то есть произведение A на D, относится к BC, то есть к произведению средних, как C к D. Ибо, видя, что пропорция A к B есть дупликат пропорции C к D, если будет как C к D, так D к другой, E, то A : B :: C : E будут пропорциональными; ибо пропорция A к B по предположению есть дупликат пропорции C к D; и C к E также дупликат пропорции C к D согласно определению, статья 15. Посему, согласно последней статье, AE или A на E равно BC или B на C; но, согласно следствию IV статьи 6, AD относится к AE как D к E, то есть как C к D; и поэтому AD относится к BC, которое, как я показал, равно AE, как C к D; что и требовалось доказать.

Более того, если пропорция первой A ко второй B есть трипликат пропорции третьей C к четвертой D, произведение крайних к произведению средних будет дупликатом пропорции третьей к четвертой. Ибо если будет как C к D, так D к E, и опять, как D к E, так E к другой, F, то пропорция C к F будет трипликатом пропорции C к D; и, следовательно, A : B :: C : F будут пропорциональными, и AF равно BC. Но как AD к AF, так D к F; и поэтому также как AD к BC, так D к F, то есть как C к E; но пропорция C к E есть дупликат пропорции C к D; посему также пропорция AD к BC есть дупликат пропорции C к D, как и было предложено.

23. Если есть четыре пропорциональные величины, и среднее вставлено между первой и второй, а другое между третьей и четвертой, первая из этих средних будет относиться ко второй, как первая из пропорциональных величин к третьей, или как вторая из них к четвертой. Ибо пусть A : B :: C : D будут пропорциональными, и пусть E будет средним между A и B, а F — средним между C и D; я утверждаю, что A : C :: E : F являются пропорциональными. Ибо пропорция A к E есть субдупликатная пропорции A к B, или C к D. Также пропорция C к F есть субдупликатная пропорции C к D; и поэтому A : C :: E : F являются пропорциональными; и при перестановке A : C :: E : F также являются пропорциональными; что и требовалось доказать.

24. Любая вещь называется разделенной в крайнем и среднем отношении, когда целое и части находятся в непрерывной пропорции. Как, например, когда A + B : A : B являются непрерывными пропорциональными величинами; или когда прямая линия AC разделена в B так, что AC : AB : BC находятся в непрерывной пропорции. И если та же линия AC будет снова разделена в D так, что AC : CD : AD будут непрерывными пропорциональными величинами; тогда также AC : AB : AD будут непрерывными пропорциональными величинами; и подобным образом, хотя и в обратном порядке, CA : CD : CB будут непрерывными пропорциональными величинами; что не может случиться ни в какой линии, разделенной иначе.

25. Если есть три непрерывные пропорциональные величины, и опять три другие непрерывные пропорции, которые имеют тот же средний член, их крайние будут в обратной пропорции. Ибо пусть A : B : C и D : B : E будут непрерывными пропорциональными величинами, я утверждаю, что A : D :: E : C будут пропорциональными. Ибо пропорция A к D составляется из пропорций A к B и B к D; а пропорция E к C составляется из пропорций E к B, то есть B к D, и B к C, то есть A к B. Посему, по равенству, A : D :: E : C являются пропорциональными.

Comparison of arithmetical and geometrical proportion.

26. Если любые две неравные величины принять за крайние члены, и между ними вставить любое число средних членов в геометрической прогрессии, а также такое же число средних членов в арифметической прогрессии, то отдельные средние члены в геометрической прогрессии будут меньше соответствующих средних членов в арифметической прогрессии. Ибо между A, меньшим крайним членом, и E, большим крайним членом, вставим три средних члена B, C, D в геометрической прогрессии и столько же других, F, G, H, в арифметической прогрессии; утверждаю, что B будет меньше F, C меньше G, а D меньше H. Ибо, во-первых, разность между A и F равна разности между F и G, а также разности между G и H согласно определению арифметической прогрессии; и поэтому отношение разности соседних членов прогрессии к разности крайних членов составляет, когда есть только один средний член, половину их разности; когда два — третью часть; когда три — четверть и т. д.; так что в данном примере это четверть. Но разность между D и E, согласно ст. 17, больше четверти разности между крайними членами, поскольку прогрессия геометрическая, и поэтому разность между A и D меньше трех четвертей той же разности крайних членов. Подобным образом, если понимать разность между A и D разделенной на три равные части, можно доказать, что разность между A и C меньше двух четвертей разности крайних членов A и E. И наконец, если разность между A и C разделить на две равные части, то разность между A и B будет меньше четверти разности крайних членов A и E.

Из этого рассмотрения очевидно, что B, то есть A вместе с чем-то еще, что меньше четвертой части разности крайних членов A и E, меньше F, то есть того же A с чем-то еще, что равно указанной четвертой части. Также очевидно, что C, то есть A с чем-то еще, что меньше двух четвертых частей указанной разности, меньше G, то есть A вместе с указанными двумя четвертями. И наконец, что D, которое превышает A менее чем на три четверти указанной разности, меньше H, которое превышает то же A на три полные четверти указанной разности. И точно так же было бы, если бы средних членов было четыре, за тем исключением, что вместо четвертей разности крайних членов мы должны брать пятые части; и так далее.

27. Лемма. Если дана некоторая величина, и к ней сначала прибавляется и из нее вычитается одна величина, а затем другая, большая или меньшая, то отношение остатка к сумме будет больше там, где прибавляется и вычитается меньшая величина, чем там, где прибавляется и вычитается большая величина. Пусть B прибавляется к величине A и вычитается из нее; так что A - B будет остатком, а A + B — суммой; и снова, пусть C, величина большая, чем B, прибавляется к той же A и вычитается из нее, так что A - C будет остатком, а A + C — суммой; утверждаю, что A - B : A + B :: A - C : A + C будет гиперлогизмом. Ибо A - B : A :: A - C : A есть гиперлогизм большего антецедента к тому же консеквенту; и поэтому A - B : A + B :: A - C : A + C есть гораздо больший гиперлогизм, образованный из большего антецедента к меньшему консеквенту.

28. Если от двух равных величин отнять неравные части и между целым и частью каждой вставить два средних члена, один в геометрической, другой в арифметической прогрессии, то разность между двумя средними членами будет наибольшей там, где разность между целым и его частью наибольшая. Ибо пусть AB и AB будут две равные величины, от которых отнимем две неравные части, а именно AE — меньшую, и AF — большую; и между AB и AE пусть AG будет средним членом в геометрической прогрессии, а AH — средним членом в арифметической прогрессии. Также между AB и AF пусть AI будет средним членом в геометрической прогрессии, а AK — средним членом в арифметической прогрессии; утверждаю, что HG больше, чем KI.

For in the first place we have this analogism | A B. A G :: B G. G E, by article 18.
Then by composition we have this | A B + A G. A B :: B G + G E that is, B E. B G.
And by taking the halves of the antecedents this third | ½A B + ½A G. A B :: ½B G + ½G E, that is, B H. B G.
And by conversion a fourth | A B. ½A B + ½A G :: B G. B H.
And by division this fifth | ½A B - ½A G. ½A B + ½A G :: H G. B H.
And by doubling the first antecedent and the first consequent | A B - A G. A B + A G :: H G. B H.
Also by the same method may be found out this analogism | A B - A I. A B + AI :: K I. B K.

Теперь, видя, что отношение AB к AE больше, чем отношение AB к AF, отношение AB к AG, которое составляет половину большего отношения, больше, чем отношение AB к AI, половине меньшего отношения; и поэтому AI больше, чем AG. Откуда отношение AB - AG к AB + AG, согласно предыдущей лемме, будет больше, чем отношение AB - AI к AB + AI; и поэтому также отношение HG к BH будет больше, чем отношение KI к BK, и гораздо больше, чем отношение KI к BH, которое больше, чем BK; ибо BH есть половина BE, как BK есть половина BF, которая, по предположению, меньше BE. Откуда HG больше, чем KI; что и требовалось доказать.

Следствие. Отсюда очевидно, что если предположить, что какая-либо величина разделена на равные части в бесконечном количестве, разность между арифметическим и геометрическим средними будет бесконечно малой, то есть равной нулю. И на этом основании, главным образом, по-видимому, было построено искусство составления тех чисел, которые называются логарифмами.

29. Если предложено любое число величин, будь они неравными или равными друг другу; и существует другая величина, которая, будучи умноженной на число предложенных величин, равна их сумме; то эта другая величина является средним арифметическим для всех этих предложенных величин.

ГЛАВА XIV. О ПРЯМОМ И КРИВОМ, УГЛЕ И ФИГУРЕ.

1. Определение и свойства прямой линии. 2. Определение и свойства плоской поверхности. 3. Различные виды кривых линий. 4. Определение и свойства круговой линии. 5. Свойства прямой линии, взятой на плоскости. 6. Определение касательных линий. 7. Определение угла и его виды. 8. В концентрических кругах дуги одного и того же угла относятся друг к другу так же, как целые окружности. 9. Величина угла, в чем она состоит. 10. Различие углов, просто так называемых. 11. О прямых линиях из центра круга к касательной того же круга. 12. Общее определение параллелей и свойства прямых параллелей. 13. Окружности кругов относятся друг к другу так же, как их диаметры. 14. В треугольниках прямые линии, параллельные основаниям, относятся друг к другу так же, как части сторон, которые они отсекают от вершины. 15. Какой долей прямой линии образуется окружность круга. 16. Что угол касания есть величина, но иного рода, чем угол, просто так называемый; и что он не может ни прибавить, ни отнять ничего от последнего. 17. Что наклон плоскостей есть угол, просто так называемый. 18. Что такое телесный угол. 19. Какова природа асимптот. 20. Положение, чем оно определяется. 21. Что такое подобное положение; что такое фигура; и что такое подобные фигуры.

The definition end properties of a strait line.

1. Между двумя данными точками кратчайшей линией является та, крайние точки которой нельзя раздвинуть дальше, не изменив величину, то есть не изменив отношение этой линии к любой другой данной линии. Ибо величина линии вычисляется по наибольшему расстоянию, которое может быть между ее крайними точками; так что любая линия, будь она вытянута или изогнута, всегда имеет одну и ту же длину, поскольку она может иметь только одно наибольшее расстояние между своими крайними точками.

И поскольку действие, посредством которого прямая линия становится кривой, или, наоборот, кривая линия становится прямой, есть не что иное, как сближение ее крайних точек или их раздвижение, кривую линию можно правильно определить как ту, чьи крайние точки можно понимать как раздвинутые дальше; а прямую линию — как ту, чьи крайние точки нельзя раздвинуть дальше; и сравнительно, более кривой — ту линию, чьи крайние точки ближе друг к другу, чем у другой, при условии, что обе линии равной длины. Теперь, как бы ни была изогнута линия, она всегда образует sinus или углубление, иногда с одной стороны, иногда с другой; так что одна и та же кривая линия может иметь все свое углубление только с одной стороны, или же часть его с одной стороны, а часть с другой. Если это хорошо понять, будет легко понять следующие сравнения прямых и кривых линий.

Во-первых, если прямая и кривая линии имеют общие крайние точки, кривая линия длиннее прямой. Ибо если крайние точки кривой линии раздвинуть до их наибольшего расстояния, она станет прямой линией, частью которой будет та, что была прямой линией с самого начала; и поэтому прямая линия была короче кривой линии, имевшей те же крайние точки. И по той же причине, если две кривые линии имеют общие крайние точки и обе имеют все свое углубление на одной и той же стороне, самая внешняя из них будет самой длинной линией.

Во-вторых, прямая линия и постоянно кривая линия не могут совпадать, даже в самой малой части. Ибо если бы они совпадали, то не только некоторая прямая линия имела бы общие крайние точки с некоторой кривой линией, но они также, вследствие своего совпадения, были бы равны друг другу; что, как я только что показал, невозможно.

В-третьих, между двумя данными точками можно понимать только одну прямую линию; потому что не может быть более одного наименьшего интервала или длины между одними и теми же точками. Ибо если их может быть две, они либо совпадут, и тогда обе они будут одной прямой линией; или, если они не совпадут, тогда приложение одной к другой путем вытягивания сделает так, что крайние точки вытянутой линии будут находиться на большем расстоянии, чем у другой; и, следовательно, она была кривой с самого начала.

В-четвертых, из последнего следует, что две прямые линии не могут заключать в себе поверхность. Ибо если они имеют обе крайние точки общими, они совпадают; а если они имеют только одну или ни одной общей точки, то на одном или обоих концах крайние точки будут разъединены и не заключат в себе никакой поверхности, а оставят все открытым и неопределенным.

В-пятых, каждая часть прямой линии есть прямая линия. Ибо, видя, что каждая часть прямой линии есть наименьшая из тех, что могут быть проведены между ее собственными крайними точками, если бы все части не составляли прямую линию, они в совокупности были бы длиннее всей линии.

The definition and properties of a plane superficies.

2. Плоскость, или плоская поверхность, есть та, которая описывается прямой линией, движущейся так, что все ее отдельные точки описывают отдельные прямые линии. Прямая линия, следовательно, необходимо вся целиком находится в той же плоскости, которую она описывает. Также прямые линии, которые образуются точками, описывающими плоскость, все находятся в той же плоскости. Более того, если какая-либо линия движется в плоскости, линии, которые ею описываются, все находятся в той же плоскости.

Все остальные поверхности, которые не являются плоскими, суть кривые, то есть либо вогнутые, либо выпуклые. И те же сравнения, которые были сделаны для прямых и кривых линий, могут быть сделаны и для плоских и кривых поверхностей.

Ибо, во-первых, если плоская и кривая поверхности ограничены одними и теми же линиями, кривая поверхность больше плоской поверхности. Ибо если линии, из которых состоит кривая поверхность, вытянуть, они окажутся длиннее тех, из которых состоит плоская поверхность, которые не могут быть вытянуты, потому что они прямые.

Во-вторых, две поверхности, из которых одна плоская, а другая постоянно кривая, не могут совпадать, даже в самой малой части. Ибо если бы они совпадали, они были бы равны; более того, одна и та же поверхность была бы одновременно и плоской, и кривой, что невозможно.

В-третьих, внутри одних и тех же ограничивающих линий не может быть более одной плоской поверхности; потому что внутри них может быть только одна наименьшая поверхность.

В-четвертых, никакое число плоских поверхностей не может заключать в себе тело, если более двух из них не сходятся в общей вершине. Ибо если две плоскости имеют одни и те же ограничивающие линии, они совпадают, то есть они суть одна поверхность; а если их ограничивающие линии не одни и те же, они оставляют одну или несколько сторон открытыми.

В-пятых, каждая часть плоской поверхности есть плоская поверхность. Ибо, видя, что вся плоская поверхность есть наименьшая из всех тех, что имеют одни и те же ограничивающие линии; а также каждая часть той же поверхности есть наименьшая из всех тех, что ограничены теми же линиями; если бы каждая часть не составляла плоскую поверхность, все части, сложенные вместе, не были бы равны целому.

Several sorts of crooked lines.

3. О прямолинейности, будь то в линиях или в поверхностях, существует только один вид; но о кривизне существует много видов; ибо из кривых величин одни конгруэнтны, то есть совпадают, когда их прикладывают одну к другой; другие неконгруэнтны. Далее, одни суть ὁμοιομερεῖς или однородные, то есть имеют свои части, как бы они ни были взяты, конгруэнтными друг другу; другие суть ἀνομοιομερεῖς или различных форм. Более того, из тех, что кривые, одни постоянно кривые, другие имеют части, которые не являются кривыми.

Definition and properties of a circular line.

4. Если прямая линия движется в плоскости таким образом, что, пока один ее конец остается неподвижным, вся линия переносится по кругу, пока снова не придет в то же место, откуда она была впервые сдвинута, она опишет плоскую поверхность, которая будет ограничена со всех сторон той кривой линией, которая образована тем концом прямой линии, который переносился по кругу. Теперь эта поверхность называется КРУГОМ; и у этого круга неподвижная точка есть центр; кривая линия, которая его ограничивает, — периметр; и каждая часть этой кривой линии — окружность или дуга; прямая линия, которая породила круг, есть полудиаметр или радиус; и любая прямая линия, которая проходит через центр и ограничена с обеих сторон окружностью, называется диаметром. Более того, каждая точка радиуса, который описывает круг, описывает в то же время свой собственный периметр, ограничивающий свой собственный круг, который называется концентрическим всем другим кругам, потому что этот и все те имеют один общий центр.

Поэтому в каждом круге все прямые линии от центра до окружности равны. Ибо они все совпадают с радиусом, который порождает круг.

Также диаметр делит как периметр, так и сам круг на две равные части. Ибо если эти две части приложить одну к другой, и полупериметры совпадут, то, видя, что они имеют один общий диаметр, они будут равны; и полукруги будут равны также; ибо они тоже совпадут. Но если полупериметры не совпадут, то некоторая одна прямая линия, которая проходит через центр, каковой центр находится на диаметре, будет пересечена ими в двух точках. Поэтому, видя, что все прямые линии от центра до окружности равны, часть той же прямой линии будет равна целому; что невозможно.

По той же причине периметр круга будет однородным, то есть любая его часть совпадет с любой другой равной частью того же периметра.

The properties of a strait line taken in a plane.

5. Отсюда можно вывести это свойство прямой линии, а именно, что она вся содержится в той плоскости, которая содержит обе ее крайние точки. Ибо, видя, что обе ее крайние точки находятся в плоскости, та прямая линия, которая описывает плоскость, пройдет через них обе; и если одну из них сделать центром, и на расстоянии между обеими описать окружность, радиусом которой является прямая линия, описывающая плоскость, эта окружность пройдет через другую точку. Поэтому между двумя предложенными точками существует одна прямая линия, по определению круга, содержащаяся целиком в предложенной плоскости; и поэтому, если бы можно было провести другую прямую линию между теми же точками, и при этом не содержащуюся в той же плоскости, последовало бы, что между двумя точками можно провести две прямые линии; что было доказано как невозможное.

Можно также вывести, что если две плоскости пересекают друг друга, их общим сечением будет прямая линия. Ибо две крайние точки пересечения находятся в обеих пересекающихся плоскостях; и между этими точками можно провести прямую линию; но прямая линия между любыми двумя точками находится в той же плоскости, в которой находятся точки; и видя, что они находятся в обеих плоскостях, прямая линия, которая их соединяет, также будет находиться в обеих тех же плоскостях, и поэтому она является общим сечением обеих. И любая другая линия, которую можно провести между этими точками, будет либо совпадать с той линией, то есть она будет той же самой линией; либо она не будет совпадать, и тогда она будет ни в одной, или только в одной из тех плоскостей.

Как прямую линию можно понимать движущейся по кругу, пока один ее конец остается фиксированным, как центр; так же легко понять, что плоскость может быть описана вокруг прямой линии, пока прямая линия остается неподвижной в одном и том же месте, как ось этого движения. Теперь отсюда очевидно, что любые три точки находятся в какой-то одной плоскости. Ибо как любые две точки, если их соединить прямой линией, понимаются как находящиеся в той же плоскости, в которой находится прямая линия; так, если эту плоскость описать вокруг той же прямой линии, она при своем вращении захватит любую третью точку, как бы она ни была расположена; и тогда три точки будут все в той плоскости; и, следовательно, три прямые линии, которые соединяют эти точки, также будут в той же плоскости.

Definition of tangent lines.

6. Две линии называются касающимися друг друга, которые, будучи обе проведены к одной и той же точке, не будут пересекать друг друга, даже если их продолжить, продолжить, говорю, тем же образом, каким они были порождены. И поэтому, если две прямые линии касаются друг друга в какой-либо одной точке, они будут соприкасаться на всем своем протяжении. Также две постоянно кривые линии сделают то же самое, если они конгруэнтны и приложены друг к другу согласно их конгруэнтности; в противном случае, если они приложены неконгруэнтно, они, как и все другие кривые линии, будут касаться друг друга там, где касаются, но только в одной точке. Что очевидно из того, что не может быть никакой конгруэнтности между прямой линией и линией, которая постоянно кривая; ибо иначе одна и та же линия могла бы быть одновременно и прямой, и кривой. Кроме того, когда прямая линия касается кривой линии, если прямую линию хотя бы немного сдвинуть в точке касания, она пересечет кривую линию; ибо, видя, что она касается ее только в одной точке, если она наклонится в любую сторону, она сделает больше, чем просто коснется ее; то есть она либо будет конгруэнтна ей, либо пересечет ее; но она не может быть конгруэнтна ей; и поэтому она пересечет ее.

The definition of an angle, and the kinds thereof.

7. Угол, согласно самому общему принятию этого слова, может быть определен так: когда две линии или многие поверхности сходятся в одной единственной точке и расходятся везде в другом месте, величина этого расхождения есть УГОЛ. И угол бывает двух видов; ибо, во-первых, он может быть образован схождением линий, и тогда это поверхностный угол; или схождением поверхностей, и тогда он называется телесным углом.

Далее, из двух способов, которыми две линии могут расходиться друг от друга, поверхностные углы делятся на два вида. Ибо две прямые линии, которые приложены друг к другу и соприкасаются на всем своем протяжении, могут быть разделены или раздвинуты таким образом, что их схождение в одной точке все еще останется; и это разделение или раскрытие может быть либо круговым движением, центром которого является их точка схождения, и линии все еще сохранят свою прямолинейность, величина какового разделения или расхождения есть угол, просто так называемый; либо они могут быть разделены постоянным сгибанием или кривизной в каждой мыслимой точке; и величина этого разделения есть то, что называется углом касания.

Кроме того, из поверхностных углов, просто так называемых, те, которые находятся в плоской поверхности, суть плоские; а те, которые не плоские, называются по поверхности, в которой они находятся.

Наконец, те суть прямолинейные углы, которые образованы прямыми линиями; как те, которые образованы кривыми линиями, суть криволинейные; а те, которые образованы как прямыми, так и кривыми линиями, суть смешанные углы.

In concentric circles, arches of the same angle are to one another, as the whole circumferences are.

8. Две дуги, перехваченные между двумя радиусами концентрических кругов, имеют то же отношение друг к другу, которое имеют их целые периметры друг к другу. Ибо пусть точка A (на первом рисунке) будет центром двух кругов BCD и EFG, в которых радиусы AEB и AFC перехватывают дуги BC и EF; утверждаю, что отношение дуги BC к дуге EF такое же, как отношение периметра BCD к периметру EFG. Ибо если радиус AFC понимать движущимся вокруг центра A с круговым и равномерным движением, то есть с равной быстротой везде, точка C в определенное время опишет периметр BCD, а в часть этого времени — дугу BC; и поскольку скорости равны, с которыми описываются как дуга, так и целый периметр, отношение величины периметра BCD к величине дуги BC определяется ничем иным, как разницей времен, в которые описываются периметр и дуга. Но оба периметра описываются в одно и то же время, и обе дуги в одно и то же время; и поэтому отношения периметра BCD к дуге BC и периметра EFG к дуге EF определяются одной и той же причиной. Поэтому BCD : BC :: EFG : EF суть пропорциональные величины (по 6-й ст. последней главы), и путем перестановки BCD : EFG :: BC : EF также будут пропорциональными величинами; что и требовалось доказать.

The quantity of an angle, in what it consists.

9. Ничто не вносится в величину угла ни длиной, ни равенством, ни неравенством линий, которые его охватывают. Ибо линии AB и AC охватывают тот же угол, который охватывается линиями AE и AF, или AB и AF. Также угол не увеличивается и не уменьшается абсолютной величиной дуги, которая его стягивает; ибо как большая дуга BC, так и меньшая дуга EF стягиваются к одному и тому же углу. Но величина угла оценивается величиной стягивающей дуги по сравнению с величиной целого периметра. И поэтому величина угла, просто так называемого, может быть определена так: величина угла есть дуга или окружность круга, определяемая ее отношением к целому периметру. Так что когда дуга перехвачена между двумя прямыми линиями, проведенными из центра, посмотрите, какую часть составляет эта дуга от целого периметра, таков и угол. Откуда можно понять, что когда линии, содержащие угол, суть прямые линии, величину этого угла можно взять на любом расстоянии от центра. Но если одна или обе содержащие линии кривые, тогда величина угла должна быть взята на наименьшем расстоянии от центра, или от их схождения; ибо наименьшее расстояние должно рассматриваться как прямая линия, видя, что никакая кривая линия не может быть воображена столь малой, чтобы не могло быть меньшей прямой линии. И хотя наименьшая прямая линия не может быть дана, потому что наименьшая данная линия может быть еще разделена, все же мы можем прийти к части столь малой, что она вовсе не значительна; которую мы называем точкой. И эта точка может пониматься как находящаяся на прямой линии, которая касается кривой линии; ибо угол порождается отделением круговым движением одной прямой линии от другой, которая касается ее, как было сказано выше в 7-й статье. Поэтому угол, который образуют две кривые линии, есть тот же самый, который образован двумя прямыми линиями, которые касаются их.

The distinction of angles, simply so called.

10. Отсюда следует, что вертикальные углы, такие как ABC, DBF на втором рисунке, равны друг другу. Ибо если из двух полупериметров DAC, FDA, которые равны друг другу, отнять общую дугу DA, оставшиеся дуги AC, DF будут равны друг другу.

Другое различие углов — на прямые и косые. Прямой угол есть тот, величина которого составляет четвертую часть периметра. И линии, которые образуют прямой угол, называются перпендикулярными друг другу. Также из косых углов тот, который больше прямого, называется тупым углом; а тот, который меньше, — острым углом. Откуда следует, что все углы, которые только могут быть образованы в одной и той же точке, взятые вместе, равны четырем прямым углам; потому что величины их всех, сложенные вместе, составляют целый периметр. Также, что все углы, которые образованы на одной стороне прямой линии из любой одной точки, взятой на ней, равны двум прямым углам; ибо если эту точку сделать центром, та прямая линия будет диаметром круга, окружностью которого определяется величина угла; и этот диаметр разделит периметр на две равные части.

Of strait lines from the centre of a circle to a tangent of the same.

11. Если касательную сделать диаметром круга, центром которого является точка касания, прямая линия, проведенная из центра первого круга к центру последнего круга, образует два угла с касательной, то есть с диаметром последнего круга, равные двум прямым углам, согласно последней статье. И потому что, согласно 6-й статье, касательная имеет с обеих сторон равный наклон к кругу, каждый из них будет прямым углом; как также полудиаметр будет перпендикулярен той же касательной. Более того, полудиаметр, поскольку он есть полудиаметр, есть наименьшая прямая линия, которую можно провести из центра к касательной; и любая другая прямая линия, которая достигает касательной, выйдет за пределы круга и поэтому будет больше полудиаметра. Подобным образом, из всех прямых линий, которые могут быть проведены из центра к касательной, та является наибольшей, которая образует наибольший угол с перпендикуляром; что будет очевидно, если вокруг того же центра описать другой круг, полудиаметром которого является прямая линия, взятая ближе к перпендикуляру, и провести перпендикуляр, то есть касательную, к нему.

Откуда также очевидно, что если две прямые линии, которые образуют равные углы по обе стороны от перпендикуляра, продолжить до касательной, они будут равны.

The general definition of parallels; the properties of strait parallels.

12. В Евклиде есть определение прямолинейных параллелей; но я не нахожу, чтобы параллели в общем где-либо определялись; и поэтому для универсального их определения я говорю, что любые две линии, прямые или кривые, как также любые две поверхности, суть ПАРАЛЛЕЛЬНЫ; когда две равные прямые линии, где бы они ни падали на них, образуют всегда равные углы с каждой из них.

Из какового определения следует: во-первых, что любые две прямые линии, не наклоненные в противоположные стороны, падающие на две другие прямые линии, которые параллельны, и отсекающие равные части на обеих из них, сами также равны и параллельны. Как если AB и CD (на третьем рисунке), наклоненные обе в одну сторону, падают на параллели AC и BD, и AC и BD равны, AB и CD будут также равны и параллельны. Ибо если провести перпендикуляры BE и DF, прямые углы EBD и FDH будут равны. Поэтому, видя, что EF и BD параллельны, углы EBA и FDC будут равны. Теперь, если DC не равно BA, пусть любая другая прямая линия, равная BA, будет проведена из точки D; которая, видя, что она не может упасть на точку C, пусть упадет на G. Поэтому AG будет либо больше, либо меньше, чем BD; и поэтому углы EBA и FDC не равны, как предполагалось. Поэтому AB и CD равны; что есть первое.

Далее, поскольку они образуют равные углы с перпендикулярами BE и DF; поэтому угол CDH будет равен углу ABD, и, по определению параллелей, AB и CD будут параллельны; что есть второе.

Та плоскость, которая заключена с обеих сторон внутри параллельных линий, называется ПАРАЛЛЕЛОГРАММОМ.

Следствие I. Из последнего следует, что углы ABD и CDH равны, то есть что прямая линия, как BH, падающая на две параллели, как AB и CD, делает внутренний угол ABD равным внешнему и противоположному углу CDH.

Следствие II. И отсюда снова следует, что прямая линия, падающая на две параллели, делает накрест лежащие углы равными, то есть угол AGF, на четвертом рисунке, равным углу GFD. Ибо, видя, что GFD равен внешнему противоположному углу EGB, он будет также равен своему вертикальному углу AGF, который является накрест лежащим к GFD.

Следствие III. Что внутренние углы по одну сторону линии FG равны двум прямым углам. Ибо углы при F, а именно GFC и GFD, равны двум прямым углам. Но GFD равен своему накрест лежащему углу AGF. Поэтому оба угла GFC и AGF, которые являются внутренними по одну сторону линии FG, равны двум прямым углам.

Следствие IV. Что три угла прямолинейного плоского треугольника равны двум прямым углам; и если любую сторону продолжить, внешний угол будет равен двум противоположным внутренним углам. Ибо если провести через вершину плоского треугольника ABC (рис. 5) параллель к любой из сторон, как к AB, углы A и B будут равны своим накрест лежащим углам E и F, а угол C — общий. Но, по 10-й статье, три угла E, C и F равны двум прямым углам; и поэтому три угла треугольника равны тому же; что есть первое. Далее, два угла B и D равны двум прямым углам, по 10-й статье. Поэтому, отняв B, останутся углы A и C, равные углу D; что есть второе.

Следствие V. Если углы A и B равны, стороны AC и CB будут также равны, потому что AB и EF параллельны; и, наоборот, если стороны AC и CB равны, углы A и B будут также равны. Ибо если они не равны, пусть углы B и G будут равны. Поэтому, видя, что GB и EF параллельны, а углы G и B равны, стороны GC и CB будут также равны; и поскольку CB и AC равны по предположению, CG и CA будут также равны; что не может быть, по 11-й статье.

Следствие VI. Отсюда очевидно, что если два радиуса круга соединены прямой линией, углы, которые они образуют с этой соединяющей линией, будут равны друг другу; и если добавить тот сегмент круга, который стягивается той же линией, которая соединяет радиусы, тогда углы, которые эти радиусы образуют с окружностью, будут также равны друг другу. Ибо прямая линия, которая стягивает любую дугу, образует равные углы с ней; потому что, если дугу и стягивающую линию разделить пополам, две половины сегмента будут конгруэнтны друг другу по причине однородности как окружности круга, так и прямой линии.

The circumferences of circles are to one another as their diameters are.

13. Периметры кругов относятся друг к другу так же, как их полудиаметры. Ибо пусть будут любые два круга, как на первом рисунке, BCD — больший, и EFG — меньший, имеющие свой общий центр в A; и пусть их полудиаметры будут AC и AE. Утверждаю, что AC имеет то же отношение к AE, которое периметр BCD имеет к периметру EFG. Ибо величина полудиаметров AC и AE определяется расстоянием точек C и E от центра A; и те же расстояния приобретаются равномерным движением точки от A к C таким образом, что в равные времена приобретаемые расстояния равны. Но периметры BCD и EFG также определяются теми же расстояниями точек C и E от центра A; и поэтому периметры BCD и EFG, так же как полудиаметры AC и AE, имеют свои величины, определяемые одной и той же причиной, каковая причина делает в равные времена равные пространства. Поэтому, по 13-й главе и 6-й статье, периметры кругов и их полудиаметры суть пропорциональные величины; что и требовалось доказать.

In triangles strait lines parallel to the bases are to one another, as the parts of the sides which they cut off from the vertex.

14. Если две прямые линии, которые образуют угол, пересекаются прямолинейными параллелями, перехваченные параллели будут относиться друг к другу так же, как части, которые они отсекают от вершины. Пусть прямые линии AB и AC на 6-м рисунке образуют угол в A и пересекаются двумя прямолинейными параллелями BC и DE, так что части, отсеченные от вершины в любой из этих линий, как в AB, могут быть AB и AD. Утверждаю, что параллели BC и DE относятся друг к другу так же, как части AB и AD. Ибо пусть AB будет разделена на любое число равных частей, как на AF, FD, DB; и через точки F и D пусть FG и DE будут проведены параллельно основанию BC и пересекут AC в G и E; и снова, через точки G и E пусть другие прямые линии будут проведены параллельно AB и пересекут BC в H и I. Если теперь точку A понимать движущейся равномерно по AB, и в то же время B движущейся к C, и все точки F, D и B движущимися равномерно и с равной быстротой по FG, DE и BC; тогда B пройдет BH, равное FG, в то же время, что A пройдет AF; и AF и FG будут относиться друг к другу так же, как их скорости; и когда A будет в F, D будет в K; когда A будет в D, D будет в E; и каким образом точка A проходит мимо точек F, D и B, таким же образом точка B будет проходить мимо точек H, I и C; и прямые линии FG, DK, KE, BH, HI и IC равны по причине их параллельности; и поэтому, как скорость в AB относится к скорости в BC, так AD относится к DE; но как скорость в AB относится к скорости в BC, так AB относится к BC; то есть все параллели будут по отдельности относиться ко всем частям, отсеченным от вершины, как AF относится к FG. Поэтому AF : GF :: AD : DE :: AB : BC суть пропорциональные величины.

Стягивающие линии равных углов в разных кругах, как прямые линии BC и FE (на рис. 1), относятся друг к другу так же, как дуги, которые они стягивают. Ибо (по ст. 8) дуги равных углов относятся друг к другу так же, как их периметры; и (по ст. 13) периметры — как их полудиаметры; но стягивающие линии BC и FE параллельны друг другу по причине равенства углов, которые они образуют с полудиаметрами; и поэтому те же стягивающие линии, согласно последней предыдущей статье, будут пропорциональны полудиаметрам, то есть периметрам, то есть дугам, которые они стягивают.

By what fraction of a strait line the circumference of a circle is made.

15. Если в круге любое число равных стягивающих линий поместить непосредственно одну за другой и провести прямые линии из крайней точки первой стягивающей линии к крайним точкам всех остальных, первая стягивающая линия, будучи продолженной, образует со второй стягивающей линией внешний угол, вдвое больший того, который образован той же первой стягивающей линией и касательной к кругу, касающейся его в крайних точках оной; и если прямая линия, которая стягивает две из тех дуг, будет продолжена, она образует внешний угол с третьей стягивающей линией, втрое больший угла, который образован касательной с первой стягивающей линией; и так постоянно. Ибо с радиусом AB (на рис. 7) пусть будет описан круг, и в нем пусть будут помещены любое число равных стягивающих линий BC, CD и DE; также пусть будут проведены BD и BE; и, продолжая BC, BD и BE на любое расстояние в G, H и I, пусть они образуют углы со стягивающими линиями, которые следуют одна за другой, а именно внешние углы GCD и HDE. Наконец, пусть будет проведена касательная KB, образующая с первой стягивающей линией угол KBC. Утверждаю, что угол GCD вдвое больше угла KBC, а угол HDE втрое больше того же угла KBC. Ибо если провести AC, пересекающую BD в M, и из точки C провести LC перпендикулярно к той же AC, тогда CL и MD будут параллельны по причине прямых углов в C и M; и поэтому накрест лежащие углы LCD и BDC будут равны: как также углы BDC и CBD будут равны по причине равенства прямых линий BC и CD. Поэтому угол GCD вдвое больше любого из углов CBD или CDB; и поэтому также угол GCD вдвое больше угла LCD, то есть угла KBC. Далее, CD параллельно BE по причине равенства углов CBE и DEB и прямых линий CB и DE; и поэтому углы GCD и GBE равны; и, следовательно, GBE, как также DEB, вдвое больше угла KBC. Но внешний угол HDE равен двум внутренним DEB и DBE; и поэтому угол HDE втрое больше угла KBC и т. д.; что и требовалось доказать.

Следствие I. Отсюда очевидно, что углы KBC и CBD, как также все углы, которые охватываются двумя прямыми линиями, встречающимися в окружности круга и опирающимися на равные дуги, равны друг другу.

Следствие II. Если касательную BK перемещать по окружности с равномерным движением вокруг центра B, она в равные времена будет отсекать равные дуги; и пройдет весь периметр в то же время, в которое сама описывает полупериметр вокруг центра B.

Следствие III. Отсюда также мы можем понять, что определяет сгибание или кривизну прямой линии в окружность круга; а именно, что это доля, постоянно увеличивающаяся таким же образом, как числа, от единицы вверх, увеличиваются путем постоянного прибавления единицы. Ибо неопределенная прямая линия KB, будучи преломленной в B согласно любому углу, как угол KBC, и снова в C согласно двойному углу, и в D согласно углу, который втрое, и в E согласно углу, который вчетверо больше первого угла, и так постоянно, будет описана фигура, которая действительно будет прямолинейной, если преломленные части рассматривать как имеющие величину; но если их понимать как наименьшие, какие могут быть, то есть как множество точек, тогда описанная фигура будет не прямолинейной, а кругом, окружностью которого будет преломленная линия.

Следствие IV. Из того, что было сказано в настоящей статье, можно также доказать, что угол в центре вдвое больше угла в окружности того же круга, если перехваченные дуги равны. Ибо, видя, что та прямая линия, движением которой определяется угол, проходит равные дуги в равные времена, как из центра, так и из окружности; и пока та, что из окружности, проходит половину своего собственного периметра, она проходит в то же время весь периметр той, что из центра, дуги, которые она отсекает в периметре, центром которого является A, будут вдвое больше тех, которые она делает в своем собственном полупериметре, центром которого является B. Но в равных кругах, как дуги относятся друг к другу, так и углы.

Также можно доказать, что внешний угол, образованный продолжением хорды и следующей равной хордой, равен углу из центра, опирающемуся на ту же дугу; как на последнем чертеже угол G C D равен углу C A D; ибо внешний угол G C D вдвое больше угла C B D, а угол C A D, опирающийся на ту же дугу C D, также вдвое больше того же угла C B D или K B C.

That an angle of contingence is quantity, but of a different kind from that of an angle simply so called; and that it can neither add nor take away anything from the same.

16. Угол касания, если сравнивать его с углом, называемым так просто, как бы мал он ни был, имеет к нему такое же отношение, как точка к линии; то есть никакого отношения вовсе, и никакой величины. Ибо, во-первых, угол касания образуется непрерывным изгибом; так что при его возникновении нет никакого кругового движения, в котором состоит природа угла, называемого так просто; и поэтому он не может быть сравним с ним по величине. Во-вторых, поскольку внешний угол, образованный продолжением хорды и следующей хордой, равен углу из центра, опирающемуся на ту же дугу, как на последнем рисунке угол G C D равен углу C A D, угол касания будет равен тому углу из центра, который образован A B и той же A B; ибо никакая часть касательной не может стягивать какую-либо дугу; но как точка касания должна приниматься за хорду, так и угол касания должен считаться внешним углом и равным тому углу, дугой которого является та же точка B.

Теперь, видя, что угол в общем смысле определяется как раскрытие или расхождение двух линий, которые сходятся в одной единственной точке; и видя, что одно раскрытие больше другого, нельзя отрицать, что по самому своему возникновению угол касания есть величина; ибо везде, где есть большее и меньшее, есть также и величина; но эта величина состоит в большем или меньшем изгибе; ибо чем больше круг, тем ближе его окружность к природе прямой линии; ибо окружность круга, будучи образована искривлением прямой линии, тем больше по своему искривлению, чем меньше эта прямая; и поэтому, когда одна прямая является касательной ко многим кругам, угол касания, который она образует с меньшим кругом, больше того, который она образует с большим кругом.

Следовательно, к углу, называемому так просто, ничего не прибавляется и ничего не отнимается прибавлением к нему или отнятием от него сколь угодно многих углов касания. И так как угол одного рода никогда не может быть равен углу другого рода, они не могут быть ни больше, ни меньше друг друга.

Отсюда следует, что угол сегмента, то есть угол, который любая прямая образует с любой дугой, равен углу, который образуется той же прямой и другой, касающейся круга в точке их схождения; как на последнем рисунке угол, образованный между G B и B K, равен тому, который образован между G B и дугой B C.

That the inclination of planes is angle simply so called.

17. Угол, образованный двумя плоскостями, обычно называют наклоном этих плоскостей; и поскольку плоскости имеют равный наклон во всех своих частях, вместо их наклона берется угол, образованный двумя прямыми линиями, одна из которых лежит в одной, а другая в другой из этих плоскостей, но обе перпендикулярны общему сечению.

A solid angle what it is.

18. Телесный угол можно мыслить двояко. Во-первых, как совокупность всех углов, образованных движением прямой линии, в то время как одна ее крайняя точка остается неподвижной, а сама она проводится вокруг любой плоской фигуры, в которой не содержится неподвижная точка прямой линии. И в этом смысле, по-видимому, его понимал Евклид. Теперь очевидно, что величина телесного угла, мыслимого таким образом, есть не что иное, как совокупность всех углов на поверхности, описанной таким образом, то есть на поверхности пирамидального тела. Во-вторых, когда пирамида или конус имеет свою вершину в центре сферы, телесный угол можно понимать как отношение сферической поверхности, стягивающей эту вершину, ко всей поверхности сферы. В этом смысле телесные углы относятся друг к другу как сферические основания тел, имеющих свою вершину в центре той же сферы.

What is the nature of asymptotes.

19. Все способы, которыми две линии относятся друг к другу, или все разнообразие их положения, могут быть охвачены четырьмя видами; ибо любые две линии суть либо параллельные, либо, при продолжении, если нужно, или при перемещении одной из них параллельно самой себе к другой, они образуют угол; либо же, при подобном продолжении и движении, они касаются друг друга; либо, наконец, они являются асимптотами. Природа параллельных, углов и касательных уже была разъяснена. Остается кратко сказать о природе асимптот.

Асимптозия зависит от того, что величина бесконечно делима. И отсюда следует, что при задании любой линии и предположении, что тело движется от одного ее конца к другому, возможно, принимая степени скорости все меньшими и меньшими, в такой пропорции, в какой части линии становятся меньше при непрерывном делении, что то же самое тело может всегда двигаться вперед по этой линии и все же никогда не достичь ее конца. Ибо очевидно, что если любую прямую, как A F (на 8-м рисунке), разрезать где-либо в точке B, а затем B F разрезать в C, C F в D, D F в E и так до бесконечности, и провести из точки F прямую F F под любым углом A F F; и, наконец, если прямые A F, B F, C F, D F, E F и т. д., имеющие то же отношение друг к другу, что и сегменты линии A F, расположить по порядку и параллельно той же A F, то кривая линия A B C D E и прямая F F будут асимптотами, то есть они будут всегда приближаться все ближе и ближе, но никогда не коснутся друг друга. Теперь, поскольку любую линию можно разрезать до бесконечности согласно пропорциям, которые сегменты имеют друг к другу, то различные виды асимптот бесконечны по числу, и о них нет необходимости говорить далее в этом месте. В природе асимптот в общем нет ничего, кроме того, что они приближаются все ближе и ближе, но никогда не касаются. Но в частности, в асимптозии гиперболических линий понимается, что они должны приближаться на расстояние, меньшее любой заданной величины.

Situation, by what it is determined.

20. Положение есть отношение одного места к другому; и там, где много мест, их положение определяется четырьмя вещами: их расстояниями друг от друга; различными расстояниями от назначенного места; порядком прямых линий, проведенных из назначенного места к местам их всех; и углами, которые образуются проведенными таким образом линиями. Ибо если их расстояния, порядок и углы даны, то есть достоверно известны, то их отдельные места будут также столь достоверно известны, что они не могут быть иными.

What is like situation; what is figure; and what are like figures.

21. Точки, сколько бы их ни было, имеют подобное положение с равным числом других точек, когда все прямые линии, проведенные из какой-либо одной точки ко всем этим, имеют по отдельности то же отношение к тем, что проведены в том же порядке и под равными углами из какой-либо одной точки ко всем тем. Ибо пусть будет любое число точек, как A, B и C (на 9-м рисунке), к которым из какой-либо одной точки D проведены прямые D A, D B и D C; и пусть будет равное число других точек, как E, F и G, и из какой-либо точки H проведены прямые H E, H F и H G, так что углы A D B и B D C по отдельности и в том же порядке равны углам E H F и F H G, а прямые D A, D B и D C пропорциональны прямым H E, H F и H G; я утверждаю, что три точки A, B и C имеют подобное положение с тремя точками E, F и G, или расположены подобно. Ибо если понимать H E наложенной на D A так, что точка H находится в D, то точка F будет на прямой D B по причине равенства углов A D B и E H F; и точка G будет на прямой D C по причине равенства углов B D C и F H G; и прямые A B и E F, так же как B C и F G, будут параллельны, поскольку D A : E H :: B D : F H :: C D : G H суть пропорциональные величины по построению; и поэтому расстояния между точками A и B и точками B и C будут пропорциональны расстояниям между точками E и F и точками F и G. Посему в положении точек A, B и C и положении точек E, F и G углы в том же порядке равны; так что их положения не отличаются ничем, кроме неравенства их расстояний друг от друга и их расстояний от точек D и H. Теперь, в обоих порядках точек эти неравенства равны; ибо A B : B C :: E F : F G, что суть их расстояния друг от друга, так же как D A : D B : D C :: H E : H F : H G, что суть их расстояния от принятых точек D и H, являются пропорциональными. Их различие, следовательно, состоит исключительно в величине их расстояний. Но по определению подобного (глава I, статья 2) те вещи, которые различаются только величиной, суть подобные. Посему точки A, B и C имеют друг к другу подобное положение с точками E, F и G, или расположены подобно; что и требовалось доказать.

Фигура есть величина, определяемая положением или размещением всех ее крайних точек. Теперь я называю крайними те точки, которые примыкают к месту, находящемуся вне фигуры. Поэтому в линиях и поверхностях все точки можно назвать крайними; но в телах только те, которые находятся на поверхности, их включающей.

Подобные фигуры — это те, чьи крайние точки в одной из них все расположены подобно всем крайним точкам в другой; ибо такие фигуры не отличаются ничем, кроме величины.

И подобные фигуры расположены подобно, когда в обеих из них гомологичные прямые линии, то есть прямые линии, соединяющие точки, которые соответствуют друг другу, параллельны и имеют свои пропорциональные стороны, наклоненные в одну и ту же сторону.

И видя, что каждая прямая линия подобна каждой другой прямой линии, и каждая плоскость подобна каждой другой плоскости, когда рассматривается только плоскостность; если линии, включающие плоскости, или поверхности, включающие тела, имеют известные пропорции, то будет не трудно узнать, подобна ли какая-либо фигура другой предложенной фигуре или нет.

И это все касательно первых оснований философии. Следующее место принадлежит геометрии, в которой величины фигур отыскиваются из пропорций линий и углов. Поэтому необходимо тому, кто хочет изучать геометрию, знать прежде, какова природа величины, пропорции, угла и фигуры. Объяснив их в трех последних главах, я счел уместным добавить их к этой части; и так перейти к следующей.

Том 1. Лат. и англ. Гл. XIV. Рис. 1-10

Fig 1. | Fig 2. | Fig 3. | Fig 4. | Fig 5. | Fig 6. | Fig 7. | Fig 8. | Fig 9. | Fig 10.

ЧАСТЬ III. ПРОПОРЦИИ ДВИЖЕНИЙ И ВЕЛИЧИН.

ГЛАВА XV. О ПРИРОДЕ, СВОЙСТВАХ И РАЗЛИЧНЫХ РАССМОТРЕНИЯХ ДВИЖЕНИЯ И СТРЕМЛЕНИЯ.

1. Повторение некоторых принципов учения о движении, изложенных ранее. 2. Другие принципы, добавленные к ним. 3. Некоторые теоремы о природе движения. 4. Различные рассмотрения движения. 5. Путь, к которому стремится первое стремление движущихся тел. 6. В движении, которое совершается по стечению обстоятельств, при прекращении одного из движителей стремление совершается по пути, к которому стремится остальное. 7. Всякое стремление распространяется до бесконечности. 8. Чем больше скорость или величина движителя, тем больше его эффективность по отношению к любому другому телу на его пути.

Repetition of some principles of the doctrine of motion formerly set down.

1. Следующими по порядку, подлежащими рассмотрению, являются ДВИЖЕНИЕ и ВЕЛИЧИНА, которые суть наиболее общие акциденции всех тел. Это место поэтому наиболее подобающим образом принадлежит элементам геометрии. Но поскольку эта часть философии, будучи усовершенствованной лучшими умами всех веков, предоставила большее изобилие материала, чем может быть хорошо сжато в узких пределах этого рассуждения, я счел уместным уведомить читателя, чтобы он, прежде чем двигаться дальше, взял в руки труды Евклида, Архимеда, Аполлония и других как древних, так и современных авторов. Ибо к чему делать заново то, что уже сделано? То немногое, следовательно, что я скажу касательно геометрии в некоторых из следующих глав, будет лишь таким, что является новым и способствующим натурфилософии.

Я уже изложил некоторые принципы этого учения в восьмой и девятой главах; которые я кратко соберу здесь, чтобы читатель при дальнейшем чтении имел их свет под рукой.

Во-первых, следовательно, в гл. VIII, ст. 10, движение определяется как непрерывное лишение одного места и приобретение другого.

Во-вторых, там показано, что все, что движется, движется во времени.

В-третьих, в той же главе, ст. 11, я определил покой как состояние, когда тело остается некоторое время в одном месте.

В-четвертых, там показано, что все, что движется, не находится в каком-либо определенном месте; как и то, что оно двигалось, все еще движется и будет еще двигаться; так что в каждой части того пространства, в котором совершается движение, мы можем рассматривать три времени, а именно: прошедшее, настоящее и будущее время.

В-пятых, в ст. 15 той же главы я определил скорость или быстроту как движение, рассматриваемое как сила, а именно та сила, посредством которой движущееся тело может за определенное время передать определенную длину; что также может быть более кратко сформулировано так: скорость есть количество движения, определяемое временем и линией.

В-шестых, в той же главе, ст. 16, я показал, что движение есть мера времени.

В-седьмых, в той же главе, ст. 17, я определил движения как равнобыстрые, когда за равные времена ими передаются равные длины.

В-восьмых, в ст. 18 той же главы движения определены как равные, когда быстрота одного движущегося тела, вычисленная в каждой части его величины, равна быстроте другого, вычисленной также в каждой части его величины. Откуда следует заметить, что движения, равные друг другу, и движения равнобыстрые не означают одно и то же; ибо когда две лошади тянут в ряд, движение обеих больше, чем движение каждой из них в отдельности; но быстрота обеих вместе лишь равна быстроте каждой из них.

В-девятых, в ст. 19 той же главы я показал, что все, что находится в покое, всегда будет в покое, если не будет какого-либо другого тела помимо него, которое, попадая на его место, не позволит ему более оставаться в покое. И что все, что движется, всегда будет двигаться, если не будет какого-либо другого тела помимо него, которое препятствует его движению.

В-десятых, в гл. IX, ст. 7, я доказал, что когда движется какое-либо тело, которое ранее было в покое, непосредственная производящая причина этого движения находится в каком-либо другом движущемся и соприкасающемся теле.

В-одиннадцатых, я показал в том же месте, что все, что движется, всегда будет двигаться тем же путем и с той же быстротой, если не будет задержано каким-либо другим движущимся и соприкасающимся телом.

Other principles
added to them.

2. К этим принципам я добавлю здесь следующие. Во-первых, я определяю СТРЕМЛЕНИЕ как движение, совершаемое в меньшем пространстве и времени, чем может быть дано; то есть меньше, чем может быть определено или назначено посредством изложения или числа; то есть движение, совершаемое через длину точки и в мгновение или точку времени. Для объяснения этого определения следует помнить, что под точкой не следует понимать то, что не имеет величины или что не может быть никаким образом разделено; ибо в природе нет такой вещи; но то, чья величина вовсе не рассматривается, то есть из чего ни величина, ни какая-либо часть не вычисляются в доказательстве; так что точка не должна приниматься за неделимое, но за неразделенное; как и мгновение должно приниматься за неразделенное, а не за неделимое время.

Подобным образом стремление следует мыслить как движение; но так, чтобы ни количество времени, в которое, ни количество линии, в которой оно совершается, не могли быть в доказательстве вовсе приведены в сравнение с количеством того времени или той линии, частью которых оно является. И все же, как точка может быть сравнима с точкой, так одно стремление может быть сравнимо с другим стремлением, и одно может быть найдено большим или меньшим другого. Ибо если сравнить вертикальные точки двух углов, они будут равны или неравны в той же пропорции, которую углы сами имеют друг к другу. Или если прямая линия пересекает многие окружности концентрических кругов, неравенство точек пересечения будет в той же пропорции, которую периметры имеют друг к другу. И таким же образом, если два движения начинаются и заканчиваются вместе, их стремления будут равны или неравны согласно пропорции их скоростей; как мы видим, свинцовая пуля опускается с большим стремлением, чем шерстяной мяч.

Во-вторых, я определяю ИМПУЛЬС, или быстроту движения, как скорость или быстроту движущегося тела, но рассматриваемую в отдельных точках того времени, в которое оно движется. В этом смысле импульс есть не что иное, как количество или скорость стремления. Но рассматриваемый со всем временем, он есть вся скорость движущегося тела, взятая вместе на протяжении всего времени, и равна произведению линии, представляющей время, умноженной на линию, представляющую арифметически средний импульс или быстроту. Какое это арифметическое среднее, определено в 29-й статье главы XIII.

И поскольку в равные времена пройденные пути относятся как скорости, а импульс есть скорость, с которой они идут, исчисленная во всех отдельных точках времен, следует, что в течение любого времени, как бы импульс ни увеличивался или уменьшался, длина пройденного пути будет увеличиваться или уменьшаться в той же пропорции; и та же линия будет представлять как путь движущегося тела, так и отдельные импульсы или степени быстроты, с которыми путь проходится.

И если движущееся тело есть не точка, а прямая линия, движущаяся так, что каждая ее точка образует отдельную прямую линию, плоскость, описанная ее движением, будь то равномерным, ускоренным или замедленным, будет больше или меньше, при том же времени, в той же пропорции, что и пропорция импульса, исчисленного в одном движении, к импульсу, исчисленному в другом. Ибо причина та же в параллелограммах и их сторонах.

По той же причине также, если движущееся тело есть плоскость, описанное тело будет все еще больше или меньше в пропорциях отдельных импульсов или быстрот, исчисленных через одну линию, к отдельным импульсам, исчисленным через другую.

Это поняв, пусть A B C D (на рисунке 1, гл. XVII) будет параллелограммом; в котором предположим, что сторона A B движется параллельно противоположной стороне C D, уменьшаясь все время, пока не исчезнет в точке C, и таким образом описывая фигуру A B E F C; точка B, по мере уменьшения A B, будет поэтому описывать линию B E F C; и предположим, что время этого движения обозначено линией C D; и в то же время C D предположим, что сторона A C движется параллельно и равномерно к B D. Из точки O, взятой наугад на линии C D, проведем O R параллельно B D, пересекающую линию B E F C в E, а сторону A B в R. И снова, из точки Q, взятой также наугад на линии C D, проведем Q S параллельно B D, пересекающую линию B E F C в F, а сторону A B в S; и проведем E G и F H параллельно C D, пересекающие A C в G и H. Наконец, предположим, что то же построение выполнено во всех возможных точках линии B E F C. Я утверждаю, что как пропорции быстроты, с которой Q F, O E, D B и все остальные, предполагаемые проведенными параллельно D B и заканчивающиеся на линии B E F C, относятся к пропорциям их отдельных времен, обозначенных отдельными параллелями H F, G E, A B и всеми остальными, предполагаемыми проведенными параллельно линии времени C D и заканчивающимися на линии B E F C, совокупность к совокупности, так и площадь или плоскость D B E F C относится к площади или плоскости A C F E B. Ибо как A B, уменьшаясь непрерывно по линии B E F C, исчезает во время C D в точку C, так в то же время линия D C, непрерывно уменьшаясь, исчезает по той же линии C F E B в точку B; и точка D описывает в этом уменьшающемся движении линию D B, равную линии A C, описанной точкой A при уменьшающемся движении A B; и их быстроты поэтому равны. Снова, поскольку во время G E точка O описывает линию O E, а в то же время точка S описывает линию S E, линия O E будет относиться к линии S E как быстрота, с которой описывается O E, к быстроте, с которой описывается S E. Подобным образом, поскольку в то же время H F точка Q описывает линию Q F, а точка R линию R F, будет как быстрота, с которой описывается Q F, к быстроте, с которой описывается R F, так сама линия Q F к самой линии R F; и так во всех линиях, которые могут быть проведены параллельно B D в точках, где они пересекают линию B E F C. Но все параллели к B D, как S E, R F, A C и остальные, которые могут быть проведены из линии A B к линии B E F C, образуют площадь плоскости A B E F C; и все параллели к той же B D, как Q F, O E, D B и остальные, проведенные к точкам, где они пересекают ту же линию B E F C, образуют площадь плоскости B E F C D. Как поэтому совокупность быстрот, с которыми описывается плоскость B E F C D, относится к совокупности быстрот, с которыми описывается плоскость A C F E B, так и сама плоскость B E F C D относится к самой плоскости A C F E B. Но совокупность времен, представленных параллелями A B, G E, H F и остальными, образует также площадь A C F E B. И поэтому, как совокупность всех линий Q F, O E, D B и всех остальных линий, параллельных B D и заканчивающихся на линии B E F C, относится к совокупности всех линий H F, G E, A B и всех остальных линий, параллельных C D и заканчивающихся на той же линии B E F C; то есть как совокупность линий быстроты к совокупности линий времени, или как вся быстрота в параллелях к D B к целому времени в параллелях к C D, так и плоскость B E F C D относится к плоскости A C F E B. И пропорции Q F к F H, и O E к E G, и D B к B A, и так всех остальных, взятых вместе, суть пропорции плоскости D B E F C к плоскости A B E F C. Но линии Q F, O E, D B и остальные суть линии, которые обозначают быстроту; а линии H F, G E, A B и остальные суть линии, которые обозначают времена движений; и поэтому пропорция плоскости D B E F C к плоскости A B E F C есть пропорция всех скоростей, взятых вместе, ко всем временам, взятым вместе. Посему, как пропорции быстрот и т. д.; что и требовалось доказать.

То же самое справедливо и при уменьшении кругов, линиями времени которых являются полудиаметры, что можно легко представить, вообразив всю плоскость A B C D, повернутую вокруг оси B D; ибо линия B E F C будет везде на поверхности, созданной таким образом, а линии H F, G E, A B, которые здесь являются параллелограммами, будут там цилиндрами, диаметрами оснований которых являются линии H F, G E, A B и т. д., а высотой — точка, то есть величина, меньшая любой величины, которую можно назвать; а линии Q F, O E, D B и т. д. — малыми телами, чьи длины и ширины меньше любой величины, которую можно назвать.

Но следует заметить, что если пропорция суммы быстрот к пропорции суммы времен не определена, пропорция фигуры D B E F C к фигуре A B E F C не может быть определена.

В-третьих, я определяю СОПРОТИВЛЕНИЕ как стремление одного движущегося тела либо полностью, либо частично противоположное стремлению другого движущегося тела, которое касается его. Я говорю «полностью противоположное», когда стремление двух тел происходит по одной и той же прямой линии от противоположных краев, и «частично противоположное», когда два тела имеют свое стремление по двум линиям, которые, исходя из крайних точек прямой линии, встречаются вне ее.

В-четвертых, чтобы я мог определить, что значит ДАВИТЬ, я говорю, что из двух движущихся тел одно давит на другое, когда своим стремлением оно заставляет либо все, либо часть другого тела сойти со своего места.

В-пятых, тело, которое сжато и не полностью удалено, называется ВОССТАНАВЛИВАЮЩИМСЯ, когда при удалении давящего тела части, которые были сдвинуты, по причине внутреннего строения сжатого тела возвращаются каждая на свое место. И это мы можем наблюдать в пружинах, в надутых пузырях и во многих других телах, части которых уступают в большей или меньшей степени стремлению, которое давящее тело совершает при первом приближении; но впоследствии, когда давящее тело удалено, они некоторой силой внутри них восстанавливают себя и придают всему своему телу ту же фигуру, которую оно имело прежде.

В-шестых, я определяю СИЛУ как импульс или быстроту движения, умноженную либо на саму себя, либо на величину движителя, посредством чего упомянутый движитель действует в большей или меньшей степени на тело, которое сопротивляется ему.

Certain theorems concerning the nature of motion.

3. Изложив это, я докажу, во-первых, что если движущаяся точка коснется другой точки, которая находится в покое, как бы мал ни был импульс или быстрота ее движения, она сдвинет эту другую точку. Ибо если этим импульсом она вовсе не сдвинет ее с места, то не сдвинет ее и с удвоенным тем же импульсом. Ибо ничто, удвоенное, остается ничем; и по той же причине она никогда не сдвинет ее этим импульсом, сколько бы раз он ни был умножен, потому что ничто, как бы оно ни было умножено, вечно будет ничем. Посему, когда точка находится в покое, если она не уступает наименьшему импульсу, она не уступит никакому; и, следовательно, будет невозможно, чтобы то, что находится в покое, было когда-либо сдвинуто.

Во-вторых, что когда движущаяся точка, как бы мал ни был ее импульс, падает на точку любого тела, находящегося в покое, как бы твердо ни было это тело, она при первом же касании заставит его немного уступить. Ибо если оно не уступит импульсу, который находится в этой точке, то не уступит и импульсу сколь угодно многих точек, которые все имеют свои импульсы по отдельности равными импульсу этой точки. Ибо видя, что все эти точки вместе действуют одинаково, если какая-либо одна из них не имеет эффекта, совокупность их всех вместе не будет иметь эффекта столько раз, сколько есть точек во всем теле, то есть все еще никакого эффекта вовсе; и, следовательно, существовали бы некоторые тела столь твердые, что их было бы невозможно сломать; то есть конечная твердость или конечная сила не уступила бы тому, что бесконечно; что абсурдно.

Следствие. Поэтому очевидно, что покой не делает ничего вовсе и не обладает никакой эффективностью; и что ничто, кроме движения, не дает движения таким вещам, которые находятся в покое, и не отнимает его у вещей движущихся.

В-третьих, что прекращение движения в движителе не вызывает прекращения в том, что было приведено им в движение. Ибо (по числу 11 ст. 1 этой главы) все, что движется, упорствует в том же пути и с той же быстротой, пока не будет задержано чем-то, что движется против него. Теперь очевидно, что прекращение не есть противоположное движение; и поэтому следует, что остановка движителя не делает необходимым, чтобы движущаяся вещь также остановилась.

Следствие. Поэтому ошибаются те, кто считает устранение препятствия или сопротивления одной из причин движения.

Divers considerations of motions.

4. Движение принимается в расчет по разным причинам; во-первых, как в теле неделимом, то есть рассматриваемом как точка; или как в теле разделенном. В неделимом теле, когда мы предполагаем путь, по которому совершается движение, линией; а в разделенном теле, когда мы вычисляем движение отдельных частей этого тела, как частей.

Во-вторых, от разнообразия регулирования движения, оно в теле, рассматриваемом как неделимое, бывает иногда равномерным, а иногда многообразным. Равномерное — это то, посредством которого равные линии всегда передаются в равные времена; а многообразное — когда в одно время передается большее, а в другое время меньшее пространство. Опять же, из многообразных движений есть такие, в которых степени ускорения и замедления происходят в тех же пропорциях, которые имеют передаваемые пространства, будь то дублированные, или триплицированные, или умноженные на любое число; и другие, в которых это иначе.

В-третьих, от числа движителей; то есть одно движение совершается только одним движителем, а другое — стечением многих движителей.

В-четвертых, от положения той линии, в которой движется тело, по отношению к какой-либо другой линии; и отсюда одно движение называется перпендикулярным, другое — наклонным, третье — параллельным.

В-пятых, от положения движителя по отношению к движущемуся телу; откуда одно движение есть пульсия или толкание, другое — тракция или тяга. Пульсия — когда движитель заставляет движущееся тело идти перед собой; а тракция — когда он заставляет его следовать. Опять же, есть два вида пульсии; один, когда движения движителя и движущегося тела начинаются вместе, что можно назвать трузией или толканием и векторией; другой, когда движитель движется первым, а впоследствии движущееся тело, каковое движение называется перкуссией или ударом.

В-шестых, движение рассматривается иногда только по эффекту, который движитель производит в движущемся теле, что обычно называется моментом. Теперь момент есть избыток движения, который движитель имеет над движением или стремлением сопротивляющегося тела.

В-седьмых, оно может рассматриваться от разнообразия среды; так как одно движение может совершаться в вакууме или пустом месте; другое — в жидкости; третье — в постоянной среде, то есть среде, части которой по некоторой силе столь постоянны и сцеплены, что никакая часть ее не уступит движителю, если не уступит и целое.

В-восьмых, когда движущееся тело рассматривается как имеющее части, возникает другое различие движения на простое и сложное. Простое — когда все отдельные части описывают отдельные равные линии; сложное — когда описываемые линии неравны.

The way by which the first endeavour of bodies moved tendeth.

5. Всякое стремление направлено к той части, то есть тем путем, который определяется движением движителя, если движитель только один; или, если есть много движителей, тем путем, который определяет их стечение. Например, если движущееся тело имеет прямое движение, его первое стремление будет по прямой линии; если оно имеет круговое движение, его первое стремление будет по окружности круга.

In motion, which it made by concourse, one of the movents ceasing, the endeavour is made by the way by which the rest tend.

6. И какой бы ни была линия, в которой тело имеет свое движение от стечения двух движителей, как только в какой-либо ее точке сила одного из движителей прекращается, там немедленно прежнее стремление этого тела будет изменено в стремление по линии другого движителя.

Посему, когда какое-либо тело переносится стечением двух ветров, при прекращении одного из этих ветров стремление и движение этого тела будут по той линии, по которой оно переносилось бы одним тем ветром, который все еще дует. И при описании круга, где то, что движется, имеет свое движение, определяемое движителем по касательной, и радиусом, который удерживает его на определенном расстоянии от центра, если удержание радиуса прекращается, то стремление, которое было по окружности круга, будет теперь по касательной, то есть по прямой линии. Ибо, видя, что стремление вычисляется в меньшей части окружности, чем может быть дано, то есть в точке, путь, по которому тело движется по окружности, составлен из бесчисленных прямых линий, каждая из которых меньше, чем может быть дана; которые поэтому называются точками. Посему, когда какое-либо тело, движущееся по окружности круга, освобождается от удержания радиуса, оно будет продолжать движение по одной из этих прямых линий, то есть по касательной.

All endeavour is propagated in infinitum.

7. Всякое стремление, сильное или слабое, распространяется на бесконечное расстояние; ибо оно есть движение. Если поэтому первое стремление тела совершается в пространстве, которое пусто, оно всегда будет продолжаться с той же скоростью; ибо нельзя предположить, что оно может получить какое-либо сопротивление от пустого пространства; и поэтому (по ст. 7, гл. IX) оно всегда будет продолжаться тем же путем и с той же быстротой. И если его стремление в пространстве, которое заполнено, все же, видя, что стремление есть движение, то, что стоит следующим на его пути, будет удалено, и стремление пойдет дальше, и снова удалит то, что стоит следующим, и так бесконечно. Посему распространение стремления, от одной части полного пространства к другой, происходит бесконечно. Кроме того, оно достигает в любое мгновение любого расстояния, как бы велико оно ни было. Ибо в то же самое мгновение, в которое первая часть полной среды удаляет то, что находится рядом с ней, вторая также удаляет ту часть, которая находится рядом с ней; и поэтому всякое стремление, будь то в пустом или в полном пространстве, происходит не только на любое расстояние, как бы велико оно ни было, но также в любое время, как бы мало оно ни было, то есть в мгновение. И не имеет никакого значения, что стремление, продолжаясь, становится все слабее и слабее, пока наконец не может быть более воспринято чувством; ибо движение может быть нечувствительным; и я здесь исследую вещи не чувством и опытом, а разумом.

How much greater the velocity or magnitude is of a movent, so much the greater is the efficacy thereof upon any other body in its way.

8. Когда два движителя равной величины, более быстрый из них работает с большей силой, чем более медленный, над телом, которое сопротивляется их движению. Также, если два движителя имеют равную скорость, больший из них работает с большей силой, чем меньший. Ибо где величина равна, движитель большей скорости производит большее впечатление на то тело, на которое он падает; и где скорость равна, движитель большей величины, падая на ту же точку или равную часть другого тела, теряет меньше своей скорости, потому что сопротивляющееся тело работает только на ту часть движителя, которую оно касается, и поэтому уменьшает импульс только этой части; тогда как тем временем части, которые не затронуты, продолжают движение и сохраняют всю свою силу, пока они также не придут к тому, чтобы быть затронутыми; и их сила имеет некоторый эффект. Посему, например, в батареях более длинный, чем более короткий кусок дерева той же толщины и скорости, и более толстый, чем более тонкий кусок той же длины и скорости, производят больший эффект на стену.

ГЛАВА XVI. О ДВИЖЕНИИ УСКОРЕННОМ И РАВНОМЕРНОМ, И О ДВИЖЕНИИ ПО СТЕЧЕНИЮ.

1. Скорость любого тела, в какое бы время она ни вычислялась, есть то, что получается от умножения импульса, или быстроты его движения, на время. 2-5. Во всяком движении длины, которые пройдены, относятся друг к другу как произведения, полученные умножением импульса на время. 6. Если два тела движутся равномерным движением через две длины, пропорция этих длин друг к другу будет составлена из пропорций времени к времени и импульса к импульсу, взятых прямо. 7. Если два тела проходят через две длины с равномерным движением, пропорция их времен друг к другу будет составлена из пропорций длины к длине и импульса к импульсу, взятых обратно; также пропорция их импульсов друг к другу будет составлена из пропорций длины к длине и времени к времени, взятых обратно. 8. Если тело переносится равномерным движением двумя движителями вместе, которые встречаются под углом, линия, по которой оно проходит, будет прямой линией, стягивающей дополнение этого угла до двух прямых углов. 9 и т. д. Если тело переносится двумя движителями вместе, один из которых движется равномерным, другой — ускоренным движением, и пропорция их длин к их временам объяснима в числах, как найти, какую линию описывает это тело.

The velocity of any body, in what time soever it be computed, is that which is made of the multiplication of the impetus or quickness of its motion into the time.

1. Скорость любого тела, в какое бы время оно ни двигалось, имеет свою величину, определяемую суммой всех отдельных быстрот или импульсов, которые оно имеет в отдельные точки времени движения тела. Ибо видя, что скорость (по определению ее, гл. VIII, ст. 15) есть та сила, посредством которой тело может за определенное время пройти через определенную длину; а быстрота движения или импульс (по гл. XV, ст. 2, число 2) есть скорость, взятая только в одной точке времени, все импульсы, взятые вместе во всех точках времени, будут тем же самым, что средний импульс, умноженный на все время, или, что то же самое, будет скоростью всего движения.

Следствие. Если импульс один и тот же в каждой точке, любая прямая линия, представляющая его, может быть взята за меру времени: и быстроты или импульсы, приложенные ординатно к любой прямой линии, образующей с ней угол и представляющей путь движения тела, обозначат параллелограмм, который будет представлять скорость всего движения. Но если импульс или быстрота движения начинаются от покоя и увеличиваются равномерно, то есть в той же пропорции непрерывно с временами, которые прошли, вся скорость движения будет представлена треугольником, одна сторона которого есть все время, а другая — наибольший импульс, приобретенный за это время; или же параллелограммом, одна из сторон которого есть все время движения, а другая — половина наибольшего импульса; или, наконец, параллелограммом, имеющим в качестве одной стороны среднюю пропорциональную между всем временем и половиной этого времени, а в качестве другой стороны — половину наибольшего импульса. Ибо оба эти параллелограмма равны друг другу и по отдельности равны треугольнику, который составлен из всей линии времени и наибольшего приобретенного импульса; как доказано в элементах геометрии.

In all motion, the lengths which are passed through are to one another, as the products made by the impetus multiplied into time.

2. Во всех равномерных движениях длины, которые передаются, относятся друг к другу как произведение среднего импульса, умноженного на его время, к произведению среднего импульса, умноженного также на его время.

Ибо пусть A B (на рис. 1) будет временем, а A C — импульсом, посредством которого любое тело проходит с равномерным движением через длину D E; и в любой части времени A B, как во времени A F, пусть другое тело движется с равномерным движением, во-первых, с тем же импульсом A C. Это тело, следовательно, во время A F с импульсом A C пройдет через длину A F. Видя, следовательно, что когда тела движутся в одно и то же время и с той же скоростью и импульсом в каждой части их движения, пропорция одной переданной длины к другой переданной длине есть та же, что и пропорция времени к времени, следует, что длина, переданная во время A B с импульсом A C, будет относиться к длине, переданной во время A F с тем же импульсом A C, как A B сама относится к A F, то есть как параллелограмм A I относится к параллелограмму A H, то есть как произведение времени A B на средний импульс A C относится к произведению времени A F на тот же импульс A C. Снова, пусть будет предположено, что тело движется во время A F не с тем же, но с каким-то другим равномерным импульсом, как A L. Видя, следовательно, что одно из тел имеет во всех частях своего движения импульс A C, а другое подобным образом импульс A L, длина, переданная телом, движущимся с импульсом A C, будет относиться к длине, переданной телом, движущимся с импульсом A L, как A C сама относится к A L, то есть как параллелограмм A H относится к параллелограмму F L. Посему, по ординатной пропорции будет: как параллелограмм A I к параллелограмму F L, то есть как произведение среднего импульса на время к произведению среднего импульса на время, так длина, переданная во время A B с импульсом A C, к длине, переданной во время A F с импульсом A L; что и требовалось доказать.

Следствие. Поскольку, как было показано, при равномерном движении передаваемые длины относятся друг к другу как параллелограммы, образованные умножением среднего импульса на время, то есть, в силу постоянства импульса на всем пути, как сами времена, то путем перестановки также будет: как время к длине, так и время к длине; и в целом к этому месту применимы все свойства и преобразования аналогизмов, которые я изложил и доказал в главе XIII.

3. При движении, начатом из состояния покоя и равномерно ускоренном, то есть там, где импульс непрерывно возрастает пропорционально времени, отношение одного произведения, образованного средним импульсом, умноженным на время, к другому произведению, образованному таким же образом средним импульсом, умноженным на время, будет таким же, как отношение длины, пройденной за одно время, к длине, пройденной за другое время.

Ибо пусть A B (на рис. 1) представляет собой время; в начале которого, в точке A, пусть импульс будет как точка A; но по мере того, как время идет, пусть импульс возрастает равномерно, пока в последней точке этого времени A B, а именно в B, приобретенный импульс не станет равным B I. Далее, пусть A F представляет собой другое время, в начале которого, в точке A, пусть импульс будет как сама точка A; но по мере того, как время протекает, пусть импульс возрастает равномерно, пока в последней точке F времени A F приобретенный импульс не станет равным F K; и пусть D E будет длиной, пройденной за время A B при равномерно возрастающем импульсе. Я утверждаю, что длина D E относится к длине, пройденной за время A F, как время A B, умноженное на среднее значение импульса, возрастающего в течение времени A B, относится к времени A F, умноженному на среднее значение импульса, возрастающего в течение времени A F.

Ибо, поскольку треугольник A B I представляет собой всю скорость тела, движущегося в течение времени A B, пока приобретенный импульс не станет равным B I; а треугольник A F K — всю скорость тела, движущегося в течение времени A F при импульсе, возрастающем до тех пор, пока не будет приобретен импульс F K; длина D E к длине, приобретенной за время A F при импульсе, возрастающем из состояния покоя в A до тех пор, пока не будет приобретен импульс F K, будет относиться как треугольник A B I к треугольнику A F K, то есть, если треугольники A B I и A F K подобны, в дупликатной пропорции времени A B к времени A F; но если они не подобны, то в пропорции, составленной из пропорций A B к A F и B I к F K. Поэтому, как A B I относится к A F K, так пусть D E относится к D P; ибо тогда длина, пройденная за время A B при импульсе, возрастающем до B I, будет относиться к длине, пройденной за время A F при импульсе, возрастающем до F K, как треугольник A B I к треугольнику A F K; но треугольник A B I образован умножением времени A B на среднее значение импульса, возрастающего до B I; а треугольник A F K образован умножением времени A F на среднее значение импульса, возрастающего до F K; и, следовательно, длина D E, пройденная за время A B при импульсе, возрастающем до B I, к длине D P, пройденной за время A F при импульсе, возрастающем до F K, относится как произведение времени A B, умноженного на его средний импульс, к произведению времени A F, также умноженного на его средний импульс; что и требовалось доказать.

Следствие I. При равномерно ускоренном движении пропорция пройденных длин к пропорции их времен составляется из пропорций их времен к их временам и импульса к импульсу.

Следствие II. При равномерно ускоренном движении длины, пройденные за равные промежутки времени, взятые в непрерывной последовательности от начала движения, относятся как разности квадратных чисел, начиная с единицы, а именно как 3, 5, 7 и т. д. Ибо если за первое время пройденная длина равна 1, то за первое и второе времена пройденная длина будет равна 4, что есть квадрат 2, а за три первых времени она будет равна 9, что есть квадрат 3, а за четыре первых времени — 16, и так далее. Разности этих квадратов суть 3, 5, 7 и т. д.

Следствие III. При равномерно ускоренном движении из состояния покоя пройденная длина относится к другой длине, пройденной равномерно за то же время, но с таким импульсом, который был приобретен ускоренным движением в последней точке этого времени, как треугольник к параллелограмму, имеющим общие высоту и основание. Ибо, поскольку длина D E (на рис. 1) пройдена со скоростью, соответствующей треугольнику A B I, необходимо, чтобы для прохождения длины, которая вдвое больше D E, скорость соответствовала параллелограмму A I; ибо параллелограмм A I вдвое больше треугольника A B I.

4. При движении, которое, начавшись из состояния покоя, ускоряется таким образом, что его импульс непрерывно возрастает в пропорции, дупликатной по отношению к пропорции времен, в течение которых оно совершается, длина, пройденная за одно время, будет относиться к длине, пройденной за другое время, как произведение среднего импульса, умноженного на время одного из этих движений, к произведению среднего импульса, умноженного на время другого движения.

Ибо пусть A B (на рис. 2) представляет собой время, в первый момент которого A пусть импульс будет как точка A; но по мере того, как время протекает, пусть импульс непрерывно возрастает в дупликатной пропорции к пропорции времен, пока в последней точке времени B приобретенный импульс не станет равным B I; затем, взяв точку F в любом месте времени A B, пусть импульс F K, приобретенный за время A F, будет ординатно приложен к этой точке F. Поскольку, следовательно, пропорция F K к B I предполагается дупликатной по отношению к пропорции A F к A B, пропорция A F к A B будет субдупликатной по отношению к пропорции F K к B I; а пропорция A B к A F будет (согласно гл. XIII, ст. 16) дупликатной по отношению к пропорции B I к F K; и, следовательно, точка K будет лежать на параболической линии, диаметром которой является A B, а основанием — B I; и по той же причине, к какой бы точке времени A B ни был ординатно приложен импульс, приобретенный за это время, прямая линия, определяющая этот импульс, будет лежать на той же параболической линии A K I. Поэтому средний импульс, умноженный на все время A B, будет равен параболе A K I B, равной параллелограмму A M, который имеет одной стороной линию времени A B, а другой — линию импульса A L, составляющую две трети импульса B I; ибо каждая парабола равна двум третям того параллелограмма, с которым она имеет общие высоту и основание. Поэтому вся скорость за время A B будет равна параллелограмму A M, как образованному умножением импульса A L на время A B. И таким же образом, если взять F N, составляющую две трети импульса F K, и построить параллелограмм F O, то F O будет всей скоростью за время A F, как образованной равномерным импульсом A O или F N, умноженным на время A F. Пусть теперь длина, пройденная за время A B со скоростью A M, будет прямой линией D E; и, наконец, пусть длина, пройденная за время A F со скоростью A N, будет D P; я утверждаю, что как A M относится к A N, или как парабола A K I B к параболе A K F, так D E относится к D P. Ибо как A M относится к F L, то есть как A B относится к A F, так пусть D E относится к D G. Теперь пропорция A M к A N составляется из пропорций A M к F L и F L к A N. Но как A M относится к F L, так по построению D E относится к D G; а как F L относится к A N (поскольку время в обоих случаях одно и то же, а именно A F), так длина D G относится к длине D P; ибо длины, пройденные за одно и то же время, относятся друг к другу как их скорости. Поэтому по ординатной пропорции, как A M относится к A N, то есть как средний импульс A L, умноженный на его время A B, относится к среднему импульсу A O, умноженному на A F, так D E относится к D P; что и требовалось доказать.

Следствие I. Длины, пройденные при движении, ускоренном настолько, что импульс непрерывно возрастает в дупликатной пропорции к пропорции их времен, если основание представляет импульс, находятся в трипликатной пропорции к их импульсам, приобретенным в последней точке их времен. Ибо как длина D E относится к длине D P, так параллелограмм A M относится к параллелограмму A N, и так парабола A K I B относится к параболе A K F. Но пропорция параболы A K I B к параболе A K F является трипликатной по отношению к пропорции, которую основание B I имеет к основанию F K. Поэтому и пропорция D E к D P является трипликатной по отношению к пропорции B I к F K.

Следствие II. Длины, пройденные за равные промежутки времени, следующие один за другим от начала движения, при движении, ускоренном настолько, что пропорция импульса дупликатна пропорции времен, относятся друг к другу как разности кубических чисел, начиная с единицы, то есть как 7, 19, 37 и т. д. Ибо если за первое время пройденная длина равна 1, то длина в конце второго времени будет равна 8, в конце третьего времени — 27, а в конце четвертого времени — 64 и т. д.; это кубические числа, разности которых суть 7, 19, 37 и т. д.

Следствие III. При движении, ускоренном настолько, что пройденная длина всегда относится к пройденной длине в дупликатной пропорции к их временам, длина, пройденная равномерно за все время с импульсом, на всем пути равным тому, который был приобретен последним, относится как парабола к параллелограмму с теми же высотой и основанием, то есть как 2 к 3. Ибо парабола A K I B есть импульс, возрастающий за время A B; а параллелограмм A I есть наибольший равномерный импульс, умноженный на то же время A B. Поэтому пройденные длины будут относиться как парабола к параллелограмму и т. д., то есть как 2 к 3.

5. Если бы я стал объяснять движения, совершаемые при импульсе, возрастающем в трипликатной, квадрупликатной, квинтупликатной и т. д. пропорции к пропорции их времен, это был бы труд бесконечный и ненужный. Ибо тем же методом, которым я вычислил длины, пройденные при импульсе, возрастающем в простой и дупликатной пропорции, любой человек может вычислить те, что пройдены при импульсе, возрастающем в трипликатной, квадрупликатной или любой другой пропорции, какой пожелает.

При выполнении этого вычисления он обнаружит, что там, где импульс возрастает в трипликатной пропорции к пропорции времен, вся скорость будет определяться первым параболастером (о чем см. следующую главу); а пройденные длины будут находиться в квадрупликатной пропорции к пропорции времен. И таким же образом, где импульс возрастает в квадрупликатной пропорции к пропорции времен, там вся скорость будет определяться вторым параболастером, а пройденные длины будут находиться в квинтупликатной пропорции к пропорции времен; и так далее непрерывно.

If two bodies be moved with uniform motion through two lengths, the proportion of those lengths to one another, will be compounded of the proportions of time to time, and impetus to impetus, directly taken.

6. Если два тела при равномерном движении проходят две длины, каждое со своим собственным импульсом и временем, пропорция пройденных длин будет составлена из пропорций времени к времени и импульса к импульсу, взятых прямо.

Пусть два тела движутся равномерно (как на рис. 3), одно в течение времени A B с импульсом A C, другое в течение времени A D с импульсом A E. Я утверждаю, что пройденные длины имеют пропорцию друг к другу, составленную из пропорций A B к A D и A C к A E. Ибо пусть любая длина, например Z, будет пройдена одним из тел за время A B с импульсом A C; и любая другая длина, например X, будет пройдена другим телом за время A D с импульсом A E; и пусть будут построены параллелограммы A F и A G. Поскольку теперь Z относится к X (согласно ст. 2) как импульс A C, умноженный на время A B, относится к импульсу A E, умноженному на время A D, то есть как A F к A G; пропорция Z к X будет составлена из тех же пропорций, из которых составлена пропорция A F к A G; но пропорция A F к A G составлена из пропорций стороны A B к стороне A D и стороны A C к стороне A E (как очевидно из Начал Евклида), то есть из пропорций времени A B к времени A D и импульса A C к импульсу A E. Поэтому и пропорция Z к X составлена из тех же пропорций времени A B к времени A D и импульса A C к импульсу A E; что и требовалось доказать.

Следствие I. Когда два тела движутся равномерно, если времена и импульсы находятся в обратной пропорции, пройденные длины будут равны. Ибо если бы было как A B к A D (на том же рис. 3), так обратно A E к A C, пропорция A F к A G была бы составлена из пропорций A B к A D и A C к A E, то есть из пропорций A B к A D и A D к A B. Поэтому A F относилось бы к A G как A B к A B, то есть было бы равно; и таким образом два произведения, образованные умножением импульса на время, были бы равны; и, следовательно, Z было бы равно X.

Следствие II. Если два тела движутся за одно и то же время, но с разными импульсами, пройденные длины будут относиться как импульс к импульсу. Ибо если время обоих есть A D, а их разные импульсы — A E и A C, пропорция A G к D C будет составлена из пропорций A E к A C и A D к A D, то есть из пропорций A E к A C и A C к A C; и таким образом пропорция A G к D C, то есть пропорция длины к длине, будет как A E к A C, то есть как пропорция импульса к импульсу. Таким же образом, если два тела движутся равномерно, и оба с одним и тем же импульсом, но за разное время, пропорция пройденных ими длин будет такой же, как пропорция их времен. Ибо если они имеют один и тот же импульс A C, а их разные времена — A B и A D, пропорция A F к D C будет составлена из пропорций A B к A D и A C к A C; то есть из пропорций A B к A D и A D к A D; и поэтому пропорция A F к D C, то есть пропорция длины к длине, будет той же, что и пропорция A B к A D, которая есть пропорция времени к времени.

If two bodies pass through two lengths with uniform motion, the proportion of their times to one another, will be compounded of the proportions of length to length, and impetus to impetus reciprocally taken; also the proportion of their impetus to one another, will be compounded of the proportions of length to length, and time to time reciprocally taken.

7. Если два тела проходят две длины при равномерном движении, пропорция времен, в течение которых они движутся, будет составлена из пропорций длины к длине и импульса к импульсу, взятых обратно.

Ибо пусть даны любые две длины, как (на том же рис. 3) Z и X, и пусть одна из них пройдена с импульсом A C, другая — с импульсом A E. Я утверждаю, что пропорция времен, в течение которых они пройдены, будет составлена из пропорций Z к X и A E, который есть импульс, с которым пройдена X, к A C, импульсу, с которым пройдена Z. Ибо, поскольку A F есть произведение импульса A C, умноженного на время A B, время движения через Z будет линией, которая образована приложением параллелограмма A F к прямой линии A C, каковой линией является A B; и поэтому A B есть время движения через Z. Таким же образом, поскольку A G есть произведение импульса A E, умноженного на время A D, время движения через X будет линией, которая образована приложением A G к прямой линии A D; но A D есть время движения через X. Теперь пропорция A B к A D составлена из пропорций параллелограмма A F к параллелограмму A G и импульса A E к импульсу A C; что может быть доказано следующим образом. Расположим параллелограммы в порядке A F, A G, D C, и станет очевидно, что пропорция A F к D C составлена из пропорций A F к A G и A G к D C; но A F относится к D C как A B к A D; поэтому и пропорция A B к A D составлена из пропорций A F к A G и A G к D C. И поскольку длина Z относится к длине X как A F к A G, а импульс A E к импульсу A C как A G к D C, то пропорция A B к A D будет составлена из пропорций длины Z к длине X и импульса A E к импульсу A C; что и требовалось доказать.

Таким же образом можно доказать, что при двух равномерных движениях пропорция импульса составлена из пропорций длины к длине и времени к времени, взятых обратно.

Ибо если мы предположим, что A C (на том же рис. 3) есть время, а A B — импульс, с которым пройдена длина Z; и A E — время, а A D — импульс, с которым пройдена длина X, доказательство будет следовать так же, как в последней статье.

If a body be carried on with uniform motion by two movents together, which meet in an angle, the line by which it passes will be a strait line, subtending the complement of that angle to 2 right angles.

8. Если тело переносится двумя движителями вместе, которые движутся прямолинейным и равномерным движением и сходятся под любым заданным углом, линия, по которой проходит это тело, будет прямой линией.

Пусть движитель A B (на рис. 4) имеет прямолинейное и равномерное движение и перемещается, пока не окажется в месте C D; и пусть другой движитель A C, также имеющий прямолинейное и равномерное движение и образующий с движителем A B любой заданный угол C A B, понимается как перемещающийся за то же время в D B; и пусть тело будет помещено в точку их схождения A. Я утверждаю, что линия, которую это тело описывает своим движением, есть прямая линия. Ибо пусть будет построен параллелограмм A B D C и проведена его диагональ A D; и на прямой линии A B пусть будет взята любая точка E; и из нее пусть будет проведена E F параллельно прямым линиям A C и B D, пересекающая A D в G; и через точку G пусть будет проведена H I параллельно прямым линиям A B и C D; и, наконец, пусть мерой времени будет A C. Поскольку, следовательно, оба движения совершаются за одно и то же время, когда A B будет в C D, тело также будет в C D; и таким же образом, когда A C будет в B D, тело будет в B D. Но A B находится в C D в то же время, когда A C находится в B D; и поэтому тело будет в C D и B D в одно и то же время; следовательно, оно будет в общей точке D. Далее, поскольку движение от A C к B D равномерно, то есть пространства, пройденные им, относятся друг к другу как времена, в течение которых они пройдены, когда A C будет в E F, пропорция A B к A E будет такой же, как пропорция E F к E G, то есть времени A C к времени A H. Поэтому A B будет в H I в то же время, в которое A C будет в E F, так что тело будет в одно и то же время в E F и H I, и поэтому в их общей точке G. И таким же образом будет, где бы ни была взята точка E между A и B. Поэтому тело всегда будет находиться на диагонали A D; что и требовалось доказать.

Следствие. Отсюда очевидно, что тело будет переноситься по той же прямой линии A D, даже если движение не будет равномерным, при условии, что оно имеет одинаковое ускорение; ибо пропорция A B к A E всегда будет такой же, как пропорция A C к A H.

If a body be carried by two movents together, one of them being moved with uniform, the other with accelerated motion, and the proportion of their lengths to their times being explicable in numbers, how to find out what line that body describes.

9. Если тело переносится двумя движителями вместе, которые встречаются под любым заданным углом и движутся: один равномерно, другой — равномерно ускоренным движением из состояния покоя, то есть так, что пропорция их импульсов относится как пропорция их времен, то есть так, что пропорция их длин дупликатна пропорции линий их времен, пока линия наибольшего импульса, приобретенного ускорением, не станет равной линии времени равномерного движения; линия, по которой переносится тело, будет кривой линией полупараболы, основанием которой является последний приобретенный импульс, а вершиной — точка покоя.

Пусть прямая линия A B (на рис. 5) понимается как перемещающаяся равномерным движением к C D; и пусть другой движитель на прямой линии A C предполагается перемещающимся за то же время к B D, но равномерно ускоренным движением, то есть таким движением, что пропорция пройденных пространств всегда дупликатна пропорции времен, пока приобретенный импульс B D не станет равным прямой линии A C; и пусть будет описана полупарабола A G D B. Я утверждаю, что при схождении этих двух движителей тело будет переноситься по полупараболической кривой линии A G D. Ибо пусть будет построен параллелограмм A B D C; и из точки E, взятой в любом месте прямой линии A B, пусть будет проведена E F параллельно A C и пересекающая кривую линию в G; и, наконец, через точку G пусть будет проведена H I параллельно прямым линиям A B и C D. Поскольку, следовательно, пропорция A B к A E по предположению дупликатна пропорции E F к E G, то есть времени A C к времени A H, в то же время, когда A C будет в E F, A B будет в H I; и поэтому движущееся тело будет в общей точке G. И так будет всегда, в какой бы части A B ни была взята точка E. Поэтому движущееся тело всегда будет находиться на параболической линии A G D; что и требовалось доказать.

10. Если тело переносится двумя движителями вместе, которые встречаются под любым заданным углом и движутся: один равномерно, другой — с импульсом, возрастающим из состояния покоя, пока он не станет равным импульсу равномерного движения, и с таким ускорением, что пропорция пройденных длин везде трипликатна пропорции времен, в течение которых они пройдены; линия, по которой движется это тело, будет кривой линией первого полупараболастера двух средних, основанием которого является последний приобретенный импульс.

Пусть прямая линия A B (на 6-м рисунке) перемещается равномерно к C D; и пусть другой движитель A C перемещается в то же время к B D с движением, ускоренным настолько, что пропорция пройденных длин везде трипликатна пропорции их времен; и пусть импульс, приобретенный в конце этого движения, будет B D, равный прямой линии A C; и, наконец, пусть A G D будет кривой линией первого полупараболастера двух средних. Я утверждаю, что при схождении двух движителей вместе тело будет всегда находиться на этой кривой линии A G D. Ибо пусть будет построен параллелограмм A B D C; и из точки E, взятой в любом месте прямой линии A B, пусть будет проведена E F параллельно A C и пересекающая кривую линию в G; и через точку G пусть будет проведена H I параллельно прямым линиям A B и C D. Поскольку, следовательно, пропорция A B к A E по предположению трипликатна пропорции E F к E G, то есть времени A C к времени A H, в то же время, когда A C будет в E F, A B будет в H I; и поэтому движущееся тело будет в общей точке G. И так будет всегда, в какой бы части A B ни была взята точка E; и, следовательно, тело всегда будет находиться на кривой линии A G D; что и требовалось доказать.

11. Тем же методом можно показать, какая линия образуется движением тела, переносимого при схождении любых двух движителей, которые движутся: один из них равномерно, другой — с ускорением, но в таких пропорциях пространств и времен, которые объяснимы числами, как дупликатные, трипликатные и т. д., или такими, которые могут быть обозначены любым дробным числом. Для чего существует следующее правило. Пусть два числа длины и времени будут сложены вместе; и пусть их сумма будет знаменателем дроби, числителем которой должно быть число длины. Ищите эту дробь в таблице третьей статьи XVII главы; и искомой линией будет та, которая обозначает трехстороннюю фигуру, отмеченную с левой стороны; и ее вид будет тем, который пронумерован выше над дробью. Например, пусть будет схождение двух движителей, из которых один движется равномерно, другой — с движением, ускоренным настолько, что пространства относятся к временам как 5 к 3. Пусть будет составлена дробь, знаменателем которой является сумма 5 и 3, а числителем — 5, а именно дробь 5/8. Ищите в таблице, и вы найдете, что 5/8 — третья в том ряду, который относится к трехсторонней фигуре четырех средних. Поэтому линией движения, образованной схождением двух таких движителей, как описано в последнюю очередь, будет кривая линия третьего параболастера четырех средних.

12. Если движение совершается при схождении двух движителей, из которых один движется равномерно, другой — начиная из состояния покоя в угле схождения с любым ускорением; движитель, который движется равномерно, будет продвигать движущееся тело в соответствующих параллельных пространствах меньше, чем если бы оба движителя имели равномерное движение; и все меньше и меньше, по мере того как движение другого движителя все более и более ускоряется.

Пусть тело будет помещено в A (на 7-м рисунке) и переносится двумя движителями: одним — равномерным движением от прямой линии A B к параллельной ей прямой линии C D; и другим — с любым ускорением, от прямой линии A C к параллельной ей прямой линии B D; и в параллелограмме A B D C пусть будет взято пространство между любыми двумя параллелями E F и G H. Я утверждаю, что пока движитель A C проходит широту, которая находится между E F и G H, тело меньше продвигается вперед от A B к C D, чем оно продвинулось бы, если бы движение от A C к B D было равномерным.

Ибо предположим, что пока тело заставляют опускаться к параллели E F силой движителя от A C к B D, то же тело за то же время продвигается вперед к любой точке F на линии E F силой движителя от A B к C D; и пусть будет проведена прямая линия A F и продолжена неопределенно, пересекая G H в H. Поскольку, следовательно, как A E относится к A G, так E F относится к G H; если бы A C опускался к B D равномерным движением, тело за время G H (ибо я делаю A C и его параллели мерой времени) оказалось бы в точке H. Но поскольку A C предполагается движущимся к B D с непрерывно ускоряющимся движением, то есть в большей пропорции пространства к пространству, чем времени к времени, за время G H тело будет находиться на некоторой параллели за ней, как между G H и B D. Предположим теперь, что в конце времени G H оно находится на параллели I K, и в I K пусть I L будет взято равным G H. Когда, следовательно, тело находится на параллели I K, оно будет в точке L. Поэтому, когда оно было на параллели G H, оно было в некоторой точке между G и H, как в точке M; но если бы оба движения были равномерными, оно было бы в точке H; и поэтому, пока движитель A C проходит широту, которая находится между E F и G H, тело меньше продвигается вперед от A B к C D, чем оно продвинулось бы, если бы оба движения были равномерными; что и требовалось доказать.

13. Дана любая длина, которая пройдена за данное время при равномерном движении; найти, какая длина будет пройдена за то же время при равномерно ускоренном движении, то есть при таком движении, что пропорция пройденных длин непрерывно дупликатна пропорции их времен, и что линия последнего приобретенного импульса равна линии всего времени движения.

Пусть A B (на 8-м рисунке) будет длиной, пройденной равномерным движением за время A C; и требуется найти другую длину, которая будет пройдена за то же время равномерно ускоренным движением, так чтобы линия последнего приобретенного импульса была равна прямой линии A C.

Пусть будет построен параллелограмм A B D C; и пусть B D будет разделено пополам в E; и между B E и B D пусть B F будет средним пропорциональным; и пусть A F будет проведено и продолжено до тех пор, пока оно не встретится с C D, продолженной в G; и, наконец, пусть будет построен параллелограмм A C G H. Я утверждаю, что A H — искомая длина.

Ибо как дупликатная пропорция относится к простой пропорции, так пусть A H относится к A I, то есть пусть A I будет половиной A H; и пусть I K будет проведено параллельно прямой линии A C и пересекающее диагональ A D в K, а прямую линию A G в L. Поскольку, следовательно, A I есть половина A H, I L также будет половиной B D, то есть равной B E; и I K равной B F; ибо B D, то есть G H, B F и B E, то есть I L, будучи непрерывными пропорциональными, A H, A B и A I также будут непрерывными пропорциональными. Но как A B относится к A I, то есть как A H относится к A B, так B D относится к I K, и так же G H, то есть B D, относится к B F; и поэтому B F и I K равны. Теперь пропорция A H к A I дупликатна пропорции A B к A I, то есть пропорции B D к I K, или G H к I K. Поэтому точка K будет лежать на параболе, диаметром которой является A H, а основанием — G H, каковое G H равно A C. Тело, следовательно, двигаясь из состояния покоя в A с равномерно ускоренным движением за время A C, когда оно пройдет длину A H, приобретет импульс G H, равный времени A C, то есть такой импульс, с которым тело пройдет длину A C за время A C. Поэтому дана любая длина и т. д., что и требовалось сделать.

14. Дана любая длина, которая за данное время пройдена равномерным движением; найти, какая длина будет пройдена за то же время при движении, ускоренном настолько, что пройденные длины непрерывно находятся в трипликатной пропорции к пропорции их времен, а линия последнего приобретенного импульса равна линии данного времени.

Пусть данная длина A B (на 9-м рисунке) пройдена равномерным движением за время A C; и требуется найти, какая длина будет пройдена за то же время при движении, ускоренном настолько, что пройденные длины непрерывно находятся в трипликатной пропорции к пропорции их времен, а последний приобретенный импульс равен данному времени.

Пусть будет построен параллелограмм A B D C; и пусть B D будет разделено в E так, что B E составляет третью часть всего B D; и пусть B F будет средним пропорциональным между B D и B E; и пусть A F будет проведено и продолжено до тех пор, пока оно не встретит прямую линию C D в G; и, наконец, пусть будет построен параллелограмм A C G H. Я утверждаю, что A H — искомая длина.

Ибо как трипликатная пропорция относится к простой пропорции, так пусть A H относится к другой линии, A I, то есть сделаем A I третьей частью всего A H; и пусть I K будет проведено параллельно прямой линии A C, пересекающее диагональ A D в K, а прямую линию A G в L; затем, как A B относится к A I, так пусть A I относится к другой, A N; и из точки N пусть N Q будет проведено параллельно A C, пересекающее A G, A D и F K, продолженные в P, M и O; и, наконец, пусть будут проведены F O и L M, которые будут равны и параллельны прямым линиям B N и I N. Благодаря этому построению пройденные длины A H, A B, A I и A N будут непрерывными пропорциональными; и таким же образом времена G H, B F, I L и N P, то есть N Q, N O, N M и N P, будут непрерывными пропорциональными и в той же пропорции, что и A H, A B, A I и A N. Поэтому пропорция A H к A N та же, что и B D, то есть N Q к N P; и пропорция N Q к N P трипликатна пропорции N Q к N O, то есть трипликатна пропорции B D к I K; поэтому и длина A H относится к длине A N в трипликатной пропорции к пропорции времени B D к времени I K; и поэтому кривая линия первой трехсторонней фигуры двух средних, диаметром которой является A H, а основанием G H, равное A C, пройдет через точку O; и, следовательно, A H будет пройдена за время A C и будет иметь свой последний приобретенный импульс G H, равный A C, а пропорции длин, приобретенных за любое из времен, будут трипликатны пропорциям самих времен. Поэтому A H — длина, которую требовалось найти.

Тем же методом, если дана длина, которая пройдена равномерным движением за любое данное время, можно найти другую длину, которая будет пройдена за то же время при движении, ускоренном настолько, что пройденные длины будут относиться к временам, в течение которых они пройдены, в квадрупликатной, квинтупликатной и так далее до бесконечности пропорции. Ибо если B D разделить в E так, что B D относится к B E как 4 к 1; и взять между B D и B E среднее пропорциональное F B; и как A H относится к A B, так сделать A B к третьей, и снова так, чтобы эта третья относилась к четвертой, а четвертая к пятой, A N, так что пропорция A H к A N была квадрупликатной пропорции A H к A B, и построить параллелограмм N B F O, кривая линия первой трехсторонней фигуры трех средних пройдет через точку O; и, следовательно, движущееся тело приобретет импульс G H, равный A C, за время A C. И так далее для остальных.

15. Также, если пропорция пройденных длин к пропорции их времен относится как любое число к любому числу, тот же метод служит для нахождения длины, пройденной с таким импульсом и за такое время.

Ибо пусть A C (на 10-м рисунке) будет временем, за которое тело проходит равномерным движением от A до B; и, построив параллелограмм A B D C, требуется найти длину, на которой это тело может двигаться за то же время A C от A с движением, ускоренным настолько, что пропорция пройденных длин к пропорции времен непрерывно относится как 3 к 2.

Пусть B D будет разделено в E так, что B D относится к B E как 3 к 2; и между B D и B E пусть B F будет средним пропорциональным; и пусть A F будет проведено и продолжено до тех пор, пока оно не встретит C D, продолженную в G; и, сделав A M средним пропорциональным между A H и A B, пусть будет как A M к A B, так A B к A I; и так пропорция A H к A I будет относиться к пропорции A H к A B как 3 к 2; ибо из пропорций, одной из которых является A H к A M, пропорция A H к A B составляет две, а A H к A I — три; и, следовательно, как 3 к 2 к пропорции G H к B F, и (при проведении F K параллельно B I и пересекающем A D в K) так же к пропорции G H или B D к I K. Поэтому пропорция длины A H к A I относится к пропорции времени B D к I K как 3 к 2; и поэтому, если за время A C тело движется ускоренным движением, как было предложено, пока оно не приобретет импульс H G, равный A C, пройденная за то же время длина будет A H.

16. Но если бы пропорция длин к пропорции времен была как 4 к 3, тогда нужно было бы взять два средних пропорциональных между A H и A B, и их пропорция должна была бы быть продолжена еще на один член, так чтобы A H к A B имело три таких же пропорции, из которых A H к A I имеет четыре; и все остальное должно было бы быть сделано так, как уже показано. Теперь способ, как вставить любое число средних между двумя данными линиями, еще не найден. Тем не менее, это может служить общим правилом: если дано время и длина, пройденная за это время равномерным движением; как, например, если время есть A C, а длина A B, то прямая линия A G, которая определяет длину C G или A H, пройденную за то же время A C при любом ускоренном движении, должна так пересекать B D в F, что B F будет средним пропорциональным между B D и B E, причем B E берется в B D так, что пропорция длины к длине везде относится к пропорции времени к времени как все B D к его части B E.

17. Если за данное время пройдены две длины, одна равномерным движением, другая — движением, ускоренным в любой пропорции длин к временам; и снова, за часть того же времени пройдены части тех же длин с теми же движениями, вся длина будет превышать другую длину в той же пропорции, в какой одна часть превышает другую часть.

Например, пусть A B (на 8-м рисунке) будет длиной, пройденной за время A C равномерным движением; и пусть A H будет другой длиной, пройденной за то же время равномерно ускоренным движением, так что последний приобретенный импульс G H равен A C; и в A H пусть будет взята любая часть A I, пройденная за часть времени A C равномерным движением; и пусть будет взята другая часть A B, пройденная за ту же часть времени A C равномерно ускоренным движением; я утверждаю, что как A H относится к A B, так A B будет относиться к A I.

Пусть B D будет проведено параллельно и равно H G и разделено пополам в E, и между B D и B E пусть будет взято среднее пропорциональное B F; и прямая линия A G, согласно доказательству ст. 13, пройдет через F. И разделив A H пополам в I, A B будет средним пропорциональным между A H и A I. Далее, поскольку A I и A B описаны теми же движениями, если I K будет проведено параллельно и равно B F или A M и разделено пополам в N, и между I K и I N будет взято среднее пропорциональное I L, прямая линия A F, согласно доказательству той же ст. 13, пройдет через L. И разделив A B пополам в O, линия A I будет средним пропорциональным между A B и A O. Где A B разделено в I и O таким же образом, как A H разделено в B и I; и как A H к A B, так A B к A I. Что и требовалось доказать.

Следствие. Также как A H к A B, так H B к B I; и так же B I к I O.

И как это, где одно из движений равномерно ускорено, доказано из доказательства ст. 13; так, когда ускорения находятся в двойной пропорции к временам, то же самое может быть доказано доказательством ст. 14; и тем же методом при всех других ускорениях, пропорции которых к временам объяснимы числами.

18. Если две стороны, содержащие угол в любом параллелограмме, перемещаются за одно и то же время к противоположным им сторонам, одна из них равномерным движением, другая — равномерно ускоренным движением; та сторона, которая движется равномерно, будет влиять своим схождением на всю пройденную длину столько же, сколько она влияла бы, если бы другое движение также было равномерным, а длина, пройденная им за то же время, была средним пропорциональным между целым и половиной.

Пусть сторона A B параллелограмма A B D C (на 11-м рисунке) понимается как перемещающаяся равномерным движением до совпадения с C D; и пусть время этого движения будет A C или B D. Также за то же время пусть сторона A C понимается как перемещающаяся равномерно ускоренным движением до совпадения с B D; затем, разделив A B пополам в E, пусть A F будет сделано средним пропорциональным между A B и A E; и, проведя F G параллельно A C, пусть сторона A C понимается как перемещающаяся за то же время A C равномерным движением до совпадения с F G. Я утверждаю, что целое A B вносит такой же вклад в скорость тела, помещенного в A, когда движение A C равномерно ускоряется до B D, какой вклад вносит часть A F, когда сторона A C движется равномерно и за то же время к F G.

Ибо, поскольку A F есть средняя пропорциональная между целым A B и его половиной A E, B D будет (согласно 13-й статье) последним импульсом, приобретенным A C при равномерно ускоренном движении до тех пор, пока оно не достигнет того же B D; и, следовательно, прямая линия F B будет тем избытком, на который длина, пройденная A C при равномерно ускоренном движении, превысит длину, пройденную тем же A C за то же время при равномерном движении и с импульсом, везде равным B D. Посему, если целое A B движется равномерно к C D за то же время, в которое A C движется равномерно к F G, то часть F B, поскольку она вовсе не совпадает с движением стороны A C, которая, как предполагается, движется только к F G, ничего не добавит к ее движению. Далее, предполагая, что сторона A C движется к B D равномерно ускоренным движением, сторона A B со своим равномерным движением к C D будет меньше продвигать тело, когда оно ускоряется во всех параллелях, чем когда оно вовсе не ускоряется; и чем больше ускорение, тем меньше она будет его продвигать, как показано в 12-й статье. Когда, следовательно, A C находится в F G при ускоренном движении, тело будет находиться не в стороне C D в точке G, а в точке D; так что G D будет избытком, на который длина, пройденная при ускоренном движении к B D, превышает длину, пройденную при равномерном движении к F G; так что тело благодаря своему ускорению избегает действия части A F, достигает стороны C D за время A C и образует длину C D, которая равна длине A B. Посему равномерное движение от A B к C D за время A C воздействует на тело, равномерно ускоренное от A C к B D, не более, чем если бы A C двигалось за то же время равномерным движением к F G; различие состоит лишь в том, что когда A B воздействует на тело, равномерно движущееся от A C к F G, то, на что ускоренное движение превышает равномерное, целиком заключается в F B или G D; но когда то же A B воздействует на ускоряемое тело, то, на что ускоренное движение превышает равномерное, распределяется по всей длине A B или C D, однако так, что если бы это было собрано и сложено вместе, оно было бы равно тому же F B или G D. Посему, если две стороны, содержащие угол, и т. д.; что и требовалось доказать.

19. Если две пройденные длины имеют к своим временам любую другую пропорцию, выразимую числом, и сторона A B разделена в точке E так, что A B относится к A E в той же пропорции, которую пройденные длины имеют к временам, за которые они пройдены, и между A B и A E взята средняя пропорциональная A F, то тем же методом можно показать, что сторона, движущаяся равномерным движением, воздействует своим сопряжением на всю длину A B так же, как она воздействовала бы, если бы другое движение также было равномерным, а длина, пройденная за то же время A C, была бы этой средней пропорциональной A F.

И это все относительно движения при сопряжении.

Том 1. Лат. и англ. Гл. XVI. Рис. 1-11

Fig 1. | Fig 2. | Fig 3. | Fig 4. | Fig 5. | Fig 6. | Fig 7. | Fig 8. | Fig 9. | Fig 10. | Fig 11.

ГЛАВА XVII. О ДЕФИЦИТНЫХ ФИГУРАХ.

1. Определения дефицитной фигуры; полной фигуры; дополнения дефицитной фигуры; и пропорций, которые являются пропорциональными и соизмеримыми друг другу. — 2. Пропорция дефицитной фигуры к ее дополнению. — 3. Пропорции дефицитных фигур к параллелограммам, в которых они описаны, представленные в таблице. — 4. Описание и построение этих фигур. — 5. Проведение касательных к ним. — 6. В какой пропорции эти фигуры превышают прямолинейный треугольник той же высоты и основания. — 7. Таблица твердых дефицитных фигур, описанных в цилиндре. — 8. В какой пропорции эти фигуры превышают конус той же высоты и основания. — 9. Как плоская дефицитная фигура может быть описана в параллелограмме так, чтобы она относилась к треугольнику того же основания и высоты, как другая дефицитная фигура, плоская или твердая, взятая дважды, относится к той же дефицитной фигуре вместе с полной фигурой, в которой она описана. — 10. Перенос некоторых свойств дефицитных фигур, описанных в параллелограмме, на пропорции пространств, пройденных с различными степенями скорости. — 11. О дефицитных фигурах, описанных в круге. — 12. Пропозиция, доказанная в ст. 2, подтвержденная элементами философии. — 13. Необычный способ рассуждения о равенстве между поверхностью части сферы и кругом. — 14. Как из описания дефицитных фигур в параллелограмме можно найти любое количество средних пропорциональных между двумя данными прямыми линиями.

Definition of a deficient figure.

1. Я называю дефицитными фигурами те, которые можно понимать как порожденные равномерным движением некоторой величины, которая постоянно убывает, пока, наконец, не перестанет иметь какую-либо величину.

Definitions of a complete figure; of the complement of a deficient figure; and of proportions which are proportional & commensurable to one another.

И я называю полной фигурой ту, что соответствует дефицитной фигуре, которая порождается тем же движением и за то же время величиной, которая всегда сохраняет свою полную величину.

Дополнение дефицитной фигуры — это то, что при добавлении к дефицитной фигуре делает ее полной.

Четыре пропорции называются пропорциональными, когда первая из них относится ко второй так же, как третья к четвертой. Например, если первая пропорция является дупликатной ко второй, а третья — дупликатной к четвертой, то эти пропорции называются пропорциональными.

А соизмеримые пропорции — это те, которые относятся друг к другу как число к числу. Так, когда к данной пропорции одна пропорция является дупликатной, а другая трипликатной, дупликатная пропорция будет относиться к трипликатной как 2 к 3; но к данной пропорции она будет относиться как 2 к 1; и поэтому я называю эти три пропорции соизмеримыми.

The proportion of a deficient figure to its complement.

2. Дефицитная фигура, созданная величиной, постоянно убывающей до нуля в пропорциях, везде пропорциональных и соизмеримых, относится к своему дополнению так, как пропорция всей высоты к высоте, уменьшенной за любое время, относится к пропорции всей величины, описывающей фигуру, к той же величине, уменьшенной за то же время.

Пусть величина A B (на рис. 1) своим движением через высоту A C описывает полную фигуру A D; и пусть та же величина, постоянно убывая до нуля в C, описывает дефицитную фигуру A B E F C, дополнением которой будет фигура B D C F E. Теперь предположим, что A B движется, пока не окажется в G K, так что уменьшенная высота будет G C, а уменьшенная A B — G E; и пусть пропорция всей высоты A C к уменьшенной высоте G C будет, например, трипликатной к пропорции всей величины A B или G K к уменьшенной величине G E. И таким же образом пусть H I будет взято равным G E, и пусть оно будет уменьшено до H F; и пусть пропорция G C к H C будет трипликатной к пропорции H I к H F; и пусть то же самое будет проделано для стольких частей прямой линии A C, сколько возможно; и пусть линия будет проведена через точки B, E, F и C. Я утверждаю, что дефицитная фигура A B E F C относится к своему дополнению B D C F E как 3 к 1, или как пропорция A C к G C относится к пропорции A B, то есть G K к G E.

Ибо (согласно ст. 2, главы XV) пропорция дополнения B E F C D к дефицитной фигуре A B E F C есть совокупность всех пропорций D B к B A, O E к E G, Q F к F H и всех линий, параллельных D B, ограниченных линией B E F C, ко всем параллелям к A B, ограниченным теми же точками линии B E F C. И поскольку пропорции D B к O E, и D B к Q F и т. д. везде являются трипликатными пропорций A B к G E, и A B к H F и т. д., пропорции H F к A B, и G E к A B и т. д. (согласно ст. 16, гл. XIII) являются трипликатными пропорций Q F к D B, и O E к D B и т. д., и поэтому дефицитная фигура A B E F C, которая является совокупностью всех линий H F, G E, A B и т. д., втрое больше дополнения B E F C D, составленного из всех линий Q F, O E, D B и т. д.; что и требовалось доказать.

Отсюда следует, что то же дополнение B E F C D составляет 1/4 всего параллелограмма. И тем же методом можно вычислить во всех других дефицитных фигурах, порожденных, как указано выше, пропорцию параллелограмма к любой из его частей; например, когда параллели возрастают из точки в той же пропорции, параллелограмм будет разделен на два равных треугольника; когда одно возрастание вдвое больше другого, он будет разделен на полупараболу и ее дополнение, или на 2 и 1.

При сохранении того же построения тот же вывод может быть доказан иначе следующим образом.

Пусть прямая линия C B проведена, пересекая G K в L, и через L пусть M N будет проведена параллельно прямой линии A C; посему параллелограммы G M и L D будут равны. Затем пусть L K будет разделено на три равные части, так чтобы оно относилось к одной из этих частей в той же пропорции, которую пропорция A C к G C, или G K к G L, имеет к пропорции G K к G E. Поэтому L K будет относиться к одной из этих трех частей так, как арифметическая пропорция между G K и G L относится к арифметической пропорции между G K и тем же G K без третьей части L K; и K E будет несколько больше трети L K. Видя теперь, что высота A G или M L, по причине постоянного убывания, должна предполагаться меньше любой величины, которая может быть дана; L K, которое перехвачено между диагональю B C и стороной B D, будет также меньше любой величины, которая может быть дана; и, следовательно, если G поместить так близко к A в g, чтобы разность между C g и C A была меньше любой величины, которая может быть назначена, разность также между C l (перемещая L в l) и C B будет меньше любой величины, которая может быть назначена; и линия g l, будучи проведена и продолжена до линии B D в k, пересекая кривую линию в e, пропорция G k к G l будет все еще трипликатной пропорции G k к G e, и разность между k и e, третья часть k l, будет меньше любой величины, которая может быть дана; и поэтому параллелограмм e D будет отличаться от третьей части параллелограмма A e на меньшую разность, чем любая величина, которая может быть назначена. Далее, пусть H I будет проведено параллельно и равно G E, пересекая C B в P, кривую линию в F, и O E в I, и пропорция C g к C H будет трипликатной пропорции H F к H P, и I F будет больше третьей части P I. Но снова, помещая H в h так близко к g, чтобы разность между C h и C g была лишь как точка, точка P также в p будет так близко к l, что разность между C p и C l будет лишь как точка; и проводя h p, пока она не встретится с B D в i, пересекая кривую линию в f, и проведя e o параллельно B D, пересекая D C в o, параллелограмм f o будет отличаться от третьей части параллелограмма g f менее чем на любую величину, которая может быть назначена. И так будет во всех других пространствах, порожденных таким же образом. Посему разности арифметических и геометрических средних, которые являются лишь столькими точками B, e, f и т. д. (видя, что вся фигура состоит из стольких неделимых пространств), составят некоторую линию, такую как линия B E F C, которая разделит полную фигуру A D на две части, из которых одна, а именно A B E F C, которую я называю дефицитной фигурой, втрое больше другой, а именно B D C F E, которую я называю дополнением ее. И поскольку пропорция высот друг к другу в данном случае везде трипликатна пропорции убывающих величин друг к другу; таким же образом, если бы пропорция высот была везде квадрупликатной пропорции убывающих величин, можно было бы доказать, что дефицитная фигура была бы вчетверо больше своего дополнения; и так в любой другой пропорции. Посему, дефицитная фигура, которая создана и т. д., что и требовалось доказать.

То же правило действует также при уменьшении оснований цилиндров, как доказано во второй статье главы XV.

The proportion of deficient figures to the parallelograms in which they are described, set forth in a table.

3. С помощью этой пропозиции величины всех дефицитных фигур, когда пропорции, в которых их основания постоянно убывают, пропорциональны тем, в которых убывают их высоты, могут быть сравнены с величинами их дополнений; и, следовательно, с величинами их полных фигур. И они окажутся такими, как я изложил их в следующих таблицах; в которых я сравниваю параллелограмм с трехсторонними фигурами; и во-первых, с прямолинейным треугольником, образованным основанием параллелограмма, постоянно убывающим таким образом, что высоты всегда находятся в пропорции друг к другу, как основания, и так треугольник будет равен своему дополнению; или пропорции высот и оснований будут как 1 к 1, и тогда треугольник будет составлять половину параллелограмма. Во-вторых, с той трехсторонней фигурой, которая образована постоянным убыванием оснований в субдупликатной пропорции к пропорции высот; и так дефицитная фигура будет вдвое больше своего дополнения, и к параллелограмму как 2 к 3. Затем, с той, где пропорция высот трипликатна пропорции оснований; и тогда дефицитная фигура будет втрое больше своего дополнения, и к параллелограмму как 3 к 4. Также пропорция высот к пропорции оснований может быть как 3 к 2; и тогда дефицитная фигура будет относиться к своему дополнению как 3 к 2, а к параллелограмму как 3 к 5; и так далее, в зависимости от того, сколько средних пропорциональных взято, или как пропорции более умножены, как можно видеть в следующей таблице. Например, если основания убывают так, что пропорция высот к пропорции оснований всегда как 5 к 2, и требуется узнать, какую пропорцию имеет образованная фигура к параллелограмму, который предполагается равным единице; тогда, видя, что там, где пропорция взята пять раз, должно быть четыре средних, поищите в таблице среди трехсторонних фигур с четырьмя средними, и видя, что пропорция была как 5 к 2, поищите в верхнем ряду число 2, и спускаясь во втором столбце, пока не встретите эту трехстороннюю фигуру, вы найдете 5/7; что показывает, что дефицитная фигура относится к параллелограмму как 5/7 к 1, или как 5 к 7.

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7
Parallelogram | 1 | : | : | : | : | : | :
Strait-sided triangle | ½ | : | : | : | : | : | :
Three-sided figure of 1 mean | ⅔ | : | : | : | : | : | :
Three-sided figure of 2 means | ¾ | ⅗ | : | : | : | : | :
Three-sided figure of 3 means | ⅘ | ⁴⁄₆ | ⁴⁄₇ | : | : | : | :
Three-sided figure of 4 means | ⁵⁄₆ | ⁵⁄₇ | ⁵⁄₈ | ⁵⁄₉ | : | : | :
Three-sided figure of 5 means | ⁶⁄₇ | ⁶⁄₈ | ⁶⁄₉ | ⁶⁄₁₀ | ⁶⁄₁₁ | : | :
Three-sided figure of 6 means | ⁷⁄₈ | ⁷⁄₉ | ⁷⁄₁₀ | ⁷⁄₁₁ | ⁷⁄₁₂ | ⁷⁄₁₃ | :
Three-sided figure of 7 means | ⁸⁄₉ | ⁸⁄₁₀ | ⁸⁄₁₁ | ⁸⁄₁₂ | ⁸⁄₁₃ | ⁸⁄₁₄ | ⁸⁄₁₅

Description & production of the same figures.

4. Теперь для лучшего понимания природы этих трехсторонних фигур я покажу, как они могут быть описаны точками; и во-первых, те, которые находятся в первом столбце таблицы. Будучи описан любой параллелограмм, как A B C D (на рисунке 2), пусть будет проведена диагональ B D; и прямолинейный треугольник B C D будет составлять половину параллелограмма; затем пусть будет проведено любое количество линий, как E F, параллельно стороне B C, пересекающих диагональ B D в G; и пусть везде будет, как E F к E G, так E G к другой, E H; и через все точки H пусть будет проведена линия B H H D; и фигура B H H D C будет той, которую я называю трехсторонней фигурой с одной средней, потому что в трех пропорциональных, как E F, E G и E H, есть только одна средняя, а именно E G; и эта трехсторонняя фигура будет составлять 2/3 параллелограмма и называется параболой. Далее, пусть будет, как E G к E H, так E H к другой, E I, и пусть будет проведена линия B I I D, образующая трехстороннюю фигуру B I I D C; и это будет 3/4 параллелограмма, и многими называется кубической параболой. Таким же образом, если пропорции будут далее продолжены в E F, будут образованы остальные трехсторонние фигуры первого столбца; что я доказываю так. Пусть будут проведены прямые линии, как H K и G L, параллельно основанию D C. Видя, следовательно, что пропорция E F к E H дупликатна пропорции E F к E G, или B C к B L, то есть C D к L G, или K M (продолжая K H до A D в M) к K H, пропорция B C к B K будет дупликатной пропорции K M к K H; но как B C относится к B K, так относится D C или K M к K N, и поэтому пропорция K M к K N дупликатна пропорции K M к K H; и так будет везде, где бы ни была помещена параллель K M. Посему фигура B H H D C вдвое больше своего дополнения B H H D A, и, следовательно, составляет 2/3 всего параллелограмма. Таким же образом, если через I будет проведено O P I Q параллельно и равно C D, можно доказать, что пропорция O Q к O P, то есть B C к B O, трипликатна пропорции O Q к O I, и поэтому фигура B I I D C втрое больше своего дополнения B I I D A, и, следовательно, составляет 3/4 всего параллелограмма и т. д.

Во-вторых, такие трехсторонние фигуры, которые находятся в любом из поперечных рядов, могут быть описаны так. Пусть A B C D (на рис. 3) будет параллелограмм, чья диагональ есть B D. Я хочу описать в нем такие фигуры, которые в предыдущей таблице я называю трехсторонними фигурами с тремя средними. Параллельно D C я провожу E F столько раз, сколько необходимо, пересекая B D в G; и между E F и E G я беру три пропорциональных E H, E I и E K. Если теперь будут проведены линии через все точки H, I и K, то та, что через все точки H, образует фигуру B H D C, которая является первой из этих трехсторонних фигур; а та, что через все точки I, образует фигуру B I D C, которая является второй; и та, что проведена через все точки K, образует фигуру B K D C, третью из этих трехсторонних фигур. Первая из них, видя, что пропорция E F к E G квадрупликатна пропорции E F к E H, будет относиться к своему дополнению как 4 к 1, а к параллелограмму как 4 к 5. Вторая, видя, что пропорция E F к E G относится к пропорции E F к E I как 4 к 2, будет вдвое больше своего дополнения, и 4/6 или 2/3 параллелограмма. Третья, видя, что пропорция E F к E G относится к пропорции E F к E K как 4 к 3, будет относиться к своему дополнению как 4 к 3, а к параллелограмму как 4 к 7.

Любая из этих фигур, будучи описанной, может быть продолжена по желанию, так; пусть A B C D (на рис. 4) будет параллелограмм, и в нем пусть будет описана фигура B K D C, а именно третья трехсторонняя фигура с тремя средними. Пусть B D будет продолжено неопределенно до E, и пусть E F будет сделано параллельно основанию D C, пересекая A D, продолженное в G, и B C, продолженное в F; и в G E пусть точка H будет взята так, чтобы пропорция F E к F G была квадрупликатной пропорции F E к F H, что может быть сделано путем принятия F H за наибольшую из трех пропорциональных между F E и F G; кривая линия B K D, будучи продолжена, пройдет через точку H. Ибо если прямая линия B H будет проведена, пересекая C D в I, и H L будет проведено параллельно G D, и встретит C D, продолженное в L; будет как F E к F G, так C L к C I, то есть в квадрупликатной пропорции к пропорции F E к F H, или C D к C I. Посему если линия B K D будет продолжена согласно своему порождению, она упадет на точку H.

The drawing of tangents to them.

5. Прямая линия может быть проведена так, чтобы касаться кривой линии указанной фигуры в любой точке, следующим образом. Требуется провести касательную к линии B K D H (на рис. 4) в точке D. Пусть точки B и D будут соединены, и, проведя D A равным и параллельным B C, пусть B и A будут соединены; и поскольку эта фигура по построению является третьей из трех средних, пусть в A B будут взяты три точки так, чтобы ими же A B было разделено на четыре равные части; из которых возьмите три, а именно A M, так чтобы A B относилось к A M, как фигура B K D C относится к своему дополнению. Я утверждаю, что прямая линия M D будет касаться фигуры в данной точке D. Ибо пусть будет проведена где-нибудь между A B и D C параллель, как R Q, пересекающая прямую линию B D, кривую линию B K D, прямую линию M D и прямую линию A D в точках P, K, O и Q. R K будет поэтому, по построению, наименьшей из трех средних в геометрической пропорции между R Q и R P. Посему (согласно следствию из ст. 28, главы XIII) R K будет меньше R O; и поэтому M D упадет вне фигуры. Теперь, если M D будет продолжено до N, F N будет наибольшей из трех средних в арифметической пропорции между F E и F G; и F H будет наибольшей из трех средних в геометрической пропорции между теми же F E и F G. Посему (согласно тому же следствию из ст. 28, главы XIII) F H будет меньше F N; и поэтому D N упадет вне фигуры, и прямая линия M N будет касаться той же фигуры только в точке D.

In what proportion the same figures exceed a strait-lined triangle of the same altitude and base.

6. Пропорция дефицитной фигуры к ее дополнению будучи известной, может быть также известно, какую пропорцию имеет прямолинейный треугольник к избытку дефицитной фигуры над тем же треугольником; и эти пропорции я изложил в следующей таблице; где если вы ищете, например, насколько четвертая трехсторонняя фигура с пятью средними превышает треугольник той же высоты и основания, вы найдете в сопряжении четвертого столбца с трехсторонними фигурами с пятью средними 2/10; чем обозначается, что эта трехсторонняя фигура превышает треугольник на две десятых или на одну пятую часть того же треугольника.

|  |  | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7
|  | The triangle | 1 | : | : | : | : | : | :
| [picture] | A three-sided fig. of 1 mean | ¹⁄₃ | : | : | : | : | : | :
The ex- cess of | A three-sided fig. of 2 means | ²⁄₄ | ¹⁄₅ | : | : | : | : | :
A three-sided fig. of 3 means | ³⁄₅ | ²⁄₆ | ¹⁄₇ | : | : | : | :
A three-sided fig. of 4 means | ⁴⁄₆ | ³⁄₇ | ²⁄₈ | ¹⁄₉ | : | : | :
A three-sided fig. of 5 means | ⁵⁄₇ | ⁴⁄₈ | ³⁄₉ | ²⁄₁₀ | ¹⁄₁₁ | : | :
| A three-sided fig. of 6 means | ⁶⁄₈ | ⁵⁄₉ | ⁴⁄₁₀ | ³⁄₁₁ | ²⁄₁₂ | ¹⁄₁₃ | :
| A three-sided fig. of 7 means | ⁷⁄₉ | ⁶⁄₁₀ | ⁵⁄₁₁ | ⁴⁄₁₂ | ³⁄₁₃ | ²⁄₁₄ | ¹⁄₁₅

A table of solid deficient figures described in a cylinder.

7. В следующей таблице изложены пропорции конуса и тел указанных трехсторонних фигур, а именно пропорции между ними и цилиндром. Как, например, в сопряжении второго столбца с трехсторонними фигурами с четырьмя средними вы имеете 5/9; что дает вам понять, что тело второй трехсторонней фигуры с четырьмя средними относится к цилиндру как 5/9 к 1, или как 5 к 9.

|  |  | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7
|  |  | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7
|  | A cylinder | 1 | : | : | : | : | : | :
|  | A cone | ¹⁄₃ | : | : | : | : | : | :
| [picture] | A three-sided fig. of 1 mean | ²⁄₄ | : | : | : | : | : | :
| A three-sided fig. of 2 means | ³⁄₅ | ³⁄₇ | : | : | : | : | :
The sol- ids of | A three-sided fig. of 3 means | ⁴⁄₆ | ⁴⁄₈ | ⁴⁄₁₀ | : | : | : | :
A three-sided fig. of 4 means | ⁵⁄₇ | ⁵⁄₉ | ⁵⁄₁₁ | ⁵⁄₁₃ | : | : | :
A three-sided fig. of 5 means | ⁶⁄₈ | ⁶⁄₁₀ | ⁶⁄₁₂ | ⁶⁄₁₄ | ⁶⁄₁₆ | : | :
A three-sided fig. of 6 means | ⁷⁄₉ | ⁷⁄₁₁ | ⁷⁄₁₃ | ⁷⁄₁₅ | ⁷⁄₁₇ | ⁷⁄₁₉ | :
| A three-sided fig. of 7 means | ⁸⁄₁₀ | ⁸⁄₁₂ | ⁸⁄₁₄ | ⁸⁄₁₆ | ⁸⁄₁₈ | ⁸⁄₂₀ | ⁸⁄₂₂

In what proportion the same figures exceed a cone of the same altitude and base.

8. Наконец, избыток тел указанных трехсторонних фигур над конусом той же высоты и основания изложен в следующей таблице:

|  |  |  | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7
|  | The Cone |  | 1 | : | : | : | : | : | :
The exces-ses of the sol-ids of these three- sided fig- ures above a cone. | [picture] | Of the solid of a three-sided figure of 1 mean |  | ⁶⁄₁₂ | : | : | : | : | : | :
Ditto ditto, 2 means |  | ¹²⁄₁₅ | ⁶⁄₂₁ | : | : | : | : | :
Ditto ditto, 3 means |  | ¹⁸⁄₁₈ | ¹²⁄₂₄ | ⁶⁄₃₀ | : | : | : | :
Ditto ditto, 4 means |  | ²⁴⁄₂₁ | ¹⁸⁄₂₇ | ¹²⁄₃₃ | ⁶⁄₃₉ | : | : | :
Ditto ditto, 5 means |  | ³⁰⁄₂₄ | ²⁴⁄₃₀ | ¹⁸⁄₃₆ | ¹²⁄₄₂ | ⁶⁄₄₈ | : | :
Ditto ditto, 6 means |  | ³⁶⁄₂₇ | ³⁰⁄₃₃ | ²⁴⁄₃₉ | ¹⁸⁄₄₅ | ¹²⁄₅₁ | ⁶⁄₅₇ | :
Ditto ditto, 7 means |  | ⁴²⁄₃₀ | ³⁶⁄₃₆ | ³⁰⁄₄₂ | ²⁴⁄₄₈ | ¹⁸⁄₅₄ | ¹²⁄₆₀ | ⁶⁄₆₆

How a plain deficient figure may be described in a parallelogram, so that it be to a triangle of the same base and altitude, as another deficient figure, plain or solid, twice taken, is to the same deficient figure, together with the complete figure, in which it is described.

9. Если любая из этих дефицитных фигур, о которых я сейчас говорил, как A B C D (на 5-м рисунке), будет вписана внутри полной фигуры B E, имея A D C E своим дополнением; и будет построен на C B, продолженном, треугольник A B I; и параллелограмм A B I K будет завершен; и будут проведены параллельно прямой линии C I любое количество линий, как M F, пересекающих каждую из них кривую линию дефицитной фигуры в D, и прямые линии A C, A B и A I в H, G и L; и как G F относится к G D, так G L пусть будет сделано к другой, G N; и через все точки N пусть будет проведена линия A N I: будет дефицитная фигура A N I B, дополнением которой будет A N I K. Я утверждаю, что фигура A N I B относится к треугольнику A B I, как дефицитная фигура A B C D, взятая дважды, относится к той же дефицитной фигуре вместе с полной фигурой B E.

Ибо как пропорция A B к A G, то есть G M к G L, относится к пропорции G M к G N, так относится величина фигуры A N I B к величине ее дополнения A N I K, согласно второй статье этой главы.

Но, согласно той же статье, как пропорция A B к A G, то есть G M к G L, относится к пропорции G F к G D, то есть, по построению, G L к G N, так относится фигура A B C D к своему дополнению A D C E.

И по композиции, как пропорция G M к G L вместе с пропорцией G L к G N относится к пропорции G M к G L, так относится полная фигура B E к дефицитной фигуре A B C D.

И по конверсии, как пропорция G M к G L относится к обеим пропорциям G M к G L и G L к G N, то есть к пропорции G M к G N, которая есть пропорция, составленная из обеих, так относится дефицитная фигура A B C D к полной фигуре B E.

Но было: как пропорция G M к G L к пропорции G M к G N, так фигура A N I B к своему дополнению A N I K. И поэтому A B C D. B E :: A N I B. A N I K суть пропорциональные. И по композиции, A B C D + B E. A B C D :: B K. A N I B суть пропорциональные.

И путем удвоения консеквентов, A B C D + B E. 2 A B C D :: B K. 2 A N I B суть пропорциональные.

И путем взятия половин третьего и четвертого, A B C D + B E. 2 A B C D :: A B I. A N I B также суть пропорциональные; что и требовалось доказать.

The transferring of certain properties of deficient figures described in a parallelogram to the proportions of spaces transmitted with several degrees of velocity.

10. Из того, что было сказано о дефицитных фигурах, описанных в параллелограмме, можно найти, какие пропорции пространства, пройденные с ускоренным движением в определенные времена, имеют к самим временам, в зависимости от того, ускоряется ли движущееся тело в разные времена с одной или несколькими степенями скорости.

Ибо пусть параллелограмм A B C D на 6-м рисунке, и в нем трехсторонняя фигура D E B C будут описаны; и пусть F G будет проведено где-нибудь параллельно основанию, пересекая диагональ B D в H, и кривую линию B E D в E; и пусть пропорция B C к B F будет, например, трипликатной пропорции F G к F E; вследствие чего фигура D E B C будет втрое больше своего дополнения B E D A; и таким же образом, при проведении I E параллельно B C, трехсторонняя фигура E K B F будет втрое больше своего дополнения B K E I. Посему части дефицитной фигуры, отсеченные от вершины прямыми линиями, параллельными основанию, а именно D E B C и E K B F, будут относиться друг к другу как параллелограммы A C и I F; то есть в пропорции, составленной из пропорций высот и оснований. Видя, следовательно, что пропорция высоты B C к высоте B F трипликатна пропорции основания D C к основанию F E, фигура D E B C к фигуре E K B F будет квадрупликатной пропорции тех же D C к F E. И тем же методом можно найти, какую пропорцию любая из указанных трехсторонних фигур имеет к любой своей части, отсеченной от вершины прямой линией, параллельной основанию.

Теперь, как указанные фигуры понимаются как описанные постоянным убыванием основания, как, например, C D, пока оно не закончится в точке, как в B; так же они могут пониматься как описанные постоянным возрастанием точки, как B, пока она не приобретет любую величину, как C D.

Предположим теперь, что фигура B E D C описана возрастанием точки B до величины C D. Видя, следовательно, что пропорция B C к B F трипликатна пропорции C D к F E, пропорция F E к C D будет, путем конверсии, как я сейчас докажу, трипликатной пропорции B F к B C. Посему, если прямая линия B C будет взята за меру времени, в которое точка B движется, фигура E K B F будет представлять сумму всех возрастающих скоростей во время B F; и фигура D E B C будет таким же образом представлять сумму всех возрастающих скоростей во время B C. Видя, следовательно, что пропорция фигуры E K B F к фигуре D E B C составлена из пропорций высоты к высоте и основания к основанию; и видя, что пропорция F E к C D трипликатна пропорции B F к B C; пропорция фигуры E K B F к фигуре D E B C будет квадрупликатной пропорции B F к B C; то есть пропорция суммы скоростей во время B F к сумме скоростей во время B C будет квадрупликатной пропорции B F к B C. Посему, если тело движется от B со скоростью, возрастающей так, что скорость, приобретенная во время B F, относится к скорости, приобретенной во время B C, в трипликатной пропорции к пропорции самих времен B F к B C, и тело переносится в F за время B F; то же тело за время B C будет перенесено через линию, равную пятой пропорциональной от B F в непрерывной пропорции B F к B C. И тем же способом работы мы можем определить, какие пространства проходятся скоростями, возрастающими согласно любым другим пропорциям.

Остается доказать, что пропорция F E к C D трипликатна пропорции B F к B C. Видя, следовательно, что пропорция C D, то есть F G к F E, субтрипликатна пропорции B C к B F; пропорция F G к F E будет также субтрипликатной пропорции F G к F H. Посему пропорция F G к F H трипликатна пропорции F G, то есть C D к F E. Но в четырех непрерывных пропорциональных, из которых наименьшая есть первая, пропорция первой к четвертой (согласно 16-й статье главы XIII) субтрипликатна пропорции третьей к той же четвертой. Посему пропорция F H к G F субтрипликатна пропорции F E к C D; и поэтому пропорция F E к C D трипликатна пропорции F H к F G, то есть B F к B C; что и требовалось доказать.

Отсюда можно заключить, что когда скорость тела возрастает в той же пропорции, что и времена, степени скорости одна над другой следуют как числа в непосредственной последовательности от единицы, а именно как 1, 2, 3, 4 и т. д. А когда скорость возрастает в пропорции, дупликатной пропорции времен, степени следуют как числа от единицы, пропуская одно, как 1, 3, 5, 7 и т. д. Наконец, когда пропорции скоростей трипликатны пропорциям времен, прогрессия степеней такова, как у чисел от единицы, пропуская два в каждом месте, как 1, 4, 7, 10 и т. д., и так далее для других пропорций. Ибо геометрические пропорциональные, когда они взяты в каждой точке, суть то же, что и арифметические пропорциональные.

Of deficient figures described in a circle.

11. Более того, следует заметить, что как в величинах, которые созданы любыми убывающими величинами, пропорции фигур друг к другу относятся как пропорции высот к пропорциям оснований; так же обстоит дело и в тех, которые созданы убывающим движением, которое есть не что иное, как та сила, благодаря которой описанные фигуры больше или меньше. И поэтому в описании спирали Архимеда, которая совершается постоянным уменьшением полудиаметра круга в той же пропорции, в которой уменьшается окружность, пространство, заключенное внутри полудиаметра и спиральной линии, составляет третью часть всего круга. Ибо полудиаметры кругов, поскольку круги понимаются как состоящие из их совокупности, суть столько же секторов; и поэтому в описании спирали сектор, который описывает ее, уменьшается в дупликатных пропорциях к уменьшениям окружности круга, в котором он вписан; так что дополнение спирали, то есть то пространство в круге, которое находится вне спиральной линии, вдвое больше пространства внутри спиральной линии. Таким же образом, если взять среднюю пропорциональную везде между полудиаметром круга, который содержит спираль, и той частью полудиаметра, которая находится внутри него, будет создана другая фигура, которая будет составлять половину круга. И в заключение, это правило служит для всех таких пространств, которые могут быть описаны линией или поверхностью, убывающей либо в величине, либо в силе; так что если пропорции, в которых они убывают, соизмеримы с пропорциями времен, в которые они убывают, величины фигур, которые они описывают, будут известны.

The proposition demonstrated in art. 2 confirmed from the elements of philosophy.

12. Истинность той пропозиции, которую я доказал в ст. 2, которая является фундаментом всего сказанного о дефицитных фигурах, может быть выведена из элементов философии, имея свое начало в том, что всякое равенство и неравенство между двумя эффектами, то есть всякая пропорция, происходит от и определяется равными и неравными причинами этих эффектов, или от пропорции, которую причины, сопряженные с одним эффектом, имеют к причинам, которые сопряжены с производством другого эффекта; и что поэтому пропорции величин суть те же, что и пропорции их причин. Видя, следовательно, что две дефицитные фигуры, из которых одна есть дополнение другой, созданы: одна — движением, убывающим за определенное время и в определенной пропорции, другая — потерей движения за то же время; причины, которые создают и определяют величины обеих фигур так, что они не могут быть иными, чем они есть, различаются лишь в том, что пропорции, в которых величина, порождающая фигуру, движется при описании оной, то есть пропорции остатков всех времен и высот, могут быть иными пропорциями, чем те, в которых та же порождающая величина убывает при создании дополнения этой фигуры, то есть пропорции величины, которая порождает фигуру, постоянно уменьшаемой. Посему, как пропорция времен, в которые теряется движение, относится к пропорции убывающих величин, которыми порождается дефицитная фигура, так будет относиться дефект или дополнение к самой фигуре, которая порождается.

An unusual way of reasoning concerning the equality between the superficies of a portion of a sphere and a circle.

13. Существуют также другие величины, которые определимы из знания их причин, а именно из сравнения движений, которыми они созданы; и это легче, чем из общих элементов геометрии. Например, что поверхность любой части сферы равна тому кругу, чей радиус есть прямая линия, проведенная от полюса части к окружности ее основания, я могу доказать таким образом. Пусть B A C (на рис. 7) будет часть сферы, чья ось есть A E, и чье основание есть B C; и пусть A B будет прямой линией, проведенной от полюса A к основанию в B; и пусть A D, равное A B, касается большого круга B A C в полюсе A. Нужно доказать, что круг, созданный радиусом A D, равен поверхности части B A C. Пусть плоскость A E B D понимается как совершающая вращение вокруг оси A E; и очевидно, что прямой линией A D будет описан круг; дугой A B — поверхность части сферы; и, наконец, субтензой A B — поверхность прямого конуса. Теперь, видя, что и прямая линия A B, и дуга A B совершают одно и то же вращение, и обе они имеют одни и те же крайние точки A и B, причина, почему сферическая поверхность, созданная дугой, больше конической поверхности, созданной субтензой, состоит в том, что A B дуга больше A B субтензы; и причина, почему она больше, состоит в том, что хотя они обе проведены от A к B, субтенза проведена прямо, а дуга угловато, а именно согласно тому углу, который дуга образует с субтензой, каковой угол равен углу D A B (ибо угол касания ничего не добавляет к углу сегмента, как было показано в главе XIV, статье 16). Посему величина угла D A B есть причина, почему поверхность части, описанная дугой A B, больше поверхности прямого конуса, описанной субтензой A B.

Далее, причина, почему круг, описанный касательной A D, больше поверхности прямого конуса, описанной субтензой A B (несмотря на то, что касательная и субтенза равны и обе движутся вокруг за одно и то же время), состоит в том, что A D стоит под прямым углом к оси, а A B — косо; каковое косое положение состоит в том же угле D A B. Видя, следовательно, что величина угла D A B есть то, что создает избыток как поверхности части, так и круга, созданного радиусом A D, над поверхностью прямого конуса, описанной субтензой A B; следует, что как поверхность части, так и поверхность круга одинаково превышают поверхность конуса. Посему круг, созданный A D или A B, и сферическая поверхность, созданная дугой A B, равны друг другу; что и требовалось доказать.

How from the description of deficient figures in a parallelogram, any number of mean proportionals may be found out between two given strait lines.

14. Если бы эти дефицитные фигуры, которые я описал в параллелограмме, были способны к точному описанию, то любое количество средних пропорциональных можно было бы найти между двумя данными прямыми линиями. Например, в параллелограмме A B C D (на рисунке 8) пусть будет описана трехсторонняя фигура с двумя средними (которую многие называют кубической параболой); и пусть R и S будут две данные прямые линии; между которыми, если требуется найти две средние пропорциональные, это может быть сделано так. Пусть будет, как R к S, так B C к B F; и пусть F E будет проведено параллельно B A и пересечет кривую линию в E; затем через E пусть G H будет проведено параллельно и равно прямой линии A D и пересечет диагональ B D в I; ибо так мы имеем G I, наибольшую из двух средних между G H и G E, как видно из описания фигуры в статье 4. Посему, если будет, как G H к G I, так R к другой линии, T, то T будет наибольшей из двух средних между R и S. И поэтому если будет снова, как R к T, так T к другой линии, X, то будет сделано то, что требовалось.

Таким же образом четыре средние пропорциональные могут быть найдены путем описания трехсторонней фигуры с четырьмя средними; и так любое другое количество средних и т. д.

Том 1. Лат. и англ. Гл. XVII. Рис. 1-8

Fig 1. | Fig 2. | Fig 3. | Fig 4. | Fig 5. | Fig 6. | Fig 7. | Fig 8.

ГЛАВА XVIII. ОБ УРАВНЕНИИ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ С КРИВЫМИ ЛИНИЯМИ ПАРАБОЛ И ДРУГИХ ФИГУР, СОЗДАННЫХ В ПОДРАЖАНИЕ ПАРАБОЛАМ.

1. Найти прямую линию, равную кривой линии полупараболы. — 2. Найти прямую линию, равную кривой линии первого полупараболастера, или кривой линии любой другой из дефицитных фигур таблицы 3-й статьи предыдущей главы.

To find a strait line equal to the crooked line of a semiparabola.

1. Дана парабола, найти прямую линию, равную кривой линии полупараболы.

Пусть данная параболическая линия будет A B C (на рисунке 1), найденный диаметр — A D, а проведенное основание — D C; и, завершив параллелограмм A D C E, проведите прямую линию A C. Затем, разделив A D на две равные части в F, проведите F H, равное и параллельное D C, пересекающее A C в K, а параболическую линию в O; и между F H и F O возьмите среднюю пропорциональную F P, и проведите A O, A P и P C. Я утверждаю, что две линии A P и P C, взятые вместе как одна линия, равны параболической линии A B O C.

Ибо линия A B O C, будучи параболической, порождается сочетанием двух движений: одного равномерного от A к E и другого, за то же время равномерно ускоренного от состояния покоя в A к D. И поскольку движение от A к E равномерно, A E может представлять время обоих этих движений от начала до конца. Пусть, следовательно, A E будет временем; и, как следствие, линии, ординатно приложенные к полупараболе, будут обозначать части времени, в которые тело, описывающее линию A B O C, находится в каждой точке этой линии; так что, как в конце времени A E или D C оно находится в C, так и в конце времени F O оно будет в O. И поскольку скорость в A D возрастает равномерно, то есть в той же пропорции, что и время, те же линии, ординатно приложенные к полупараболе, будут обозначать также непрерывное увеличение импульса, пока он не достигнет наибольшего значения, обозначенного основанием D C. Поэтому, предполагая равномерное движение по линии A F, за время F K тело в A вследствие сочетания двух равномерных движений по A F и F K будет двигаться равномерно по линии A K; и K O будет приращением импульса или скорости, полученным за время F K; а линия A O будет равномерно описана сочетанием двух равномерных движений по A F и F O за время F O. Из O проведите O L параллельно E C, пересекающую A C в L; и проведите L N параллельно D C, пересекающую E C в N, а параболическую линию в M; и продолжите ее с другой стороны до A D в I; и I N, I M и I L будут, согласно построению параболы, находиться в непрерывной пропорции и будут равны трем линиям F H, F P и F O; а прямая линия, параллельная E C и проходящая через M, упадет в P; и, следовательно, O P будет приращением импульса, полученным за время F O или I L. Наконец, продолжите P M до C D в Q; и Q C или M N или P H будет приращением импульса, пропорциональным времени F P или I M или D Q. Предположим теперь равномерное движение от H к C за время P H. Видя, следовательно, что за время F P при равномерном движении и импульсе, возрастающем пропорционально времени, описывается прямая линия A P; а за остаток времени и импульса, а именно P H, равномерно описывается линия C P; следует, что вся линия A P C описывается с полным импульсом и за то же время, за которое описывается параболическая линия A B C; и, следовательно, линия A P C, состоящая из двух прямых линий A P и P C, равна параболической линии A B C; что и требовалось доказать.

To find a strait line equal to the crooked line of the first semiparabolaster or to the crooked line of any other of the deficient figures of the table of art. 3 of the preceding chapter.

2. Найти прямую линию, равную кривой линии первого полупараболастера.

[Discussion of Figure 18.2]

Пусть A B C будет кривой линией первого полупараболастера; A D — диаметром; D C — основанием; и пусть завершенный параллелограмм будет A D C E, диагональ которого — A C. Разделите диаметр на две равные части в F и проведите F H, равную и параллельную D C, пересекающую A C в K, кривую линию в O и E C в H. Затем проведите O L параллельно E C, пересекающую A C в L; и проведите L N параллельно основанию D C, пересекающую кривую линию в M, а прямую линию E C в N; и продолжите ее с другой стороны до A D в I. Наконец, через точку M проведите P M Q, параллельную и равную H C, пересекающую F H в P; и соедините C P, A P и A O. Утверждаю, что две прямые линии A P и P C равны кривой линии A B O C.

Ибо линия A B O C, будучи кривой линией первого полупараболастера, порождается сочетанием двух движений: одного равномерного от A к E и другого, за то же время ускоренного от состояния покоя в A к D, так что импульс возрастает в пропорции, постоянно утроенной по отношению к пропорции возрастания времени, или, что то же самое, пройденные длины находятся в утроенной пропорции к временам их прохождения; ибо по мере возрастания импульса или скорости возрастают и пройденные длины. И поскольку движение от A к E равномерно, линия A E может служить для представления времени, и, следовательно, линии, ординатно проведенные в полупараболастере, будут обозначать части времени, в которые тело, начиная из состояния покоя в A, описывает своим движением кривую линию A B O C. И поскольку D C, представляющая наибольший приобретенный импульс, равна A E, те же ординатные линии будут представлять различные приращения импульса, возрастающего из состояния покоя в A. Поэтому, предполагая равномерное движение от A к F, за время F K будет описана, вследствие сочетания двух равномерных движений A F и F K, линия A K равномерно, и K O будет приращением импульса за время F K; а вследствие сочетания двух равномерных движений по A F и F O будет равномерно описана линия A O. Через точку L проведите прямую линию L M N параллельно D C, пересекающую прямую линию A D в I, кривую линию A B C в M и прямую линию E C в N; и через точку M — прямую линию P M Q, параллельную и равную H C, пересекающую D C в Q и F H в P. Следовательно, вследствие сочетания двух равномерных движений по A F и F P за время F P будет равномерно описана прямая линия A P; а L M или O P будет приращением импульса, которое следует добавить за время F O. И поскольку пропорция I N к I L утроена по отношению к пропорции I N к I M, пропорция F H к F O также будет утроена по отношению к пропорции F H к F P; и пропорциональный импульс, полученный за время F P, есть P H. Таким образом, поскольку F H равна D C, которая обозначала весь импульс, приобретенный при ускорении, больше нет приращения импульса, которое нужно вычислять. Теперь за время P H предположим равномерное движение от H к C; и двумя равномерными движениями по C H и H P будет равномерно описана прямая линия P C. Видя, следовательно, что две прямые линии A P и P C описываются за время A E с тем же приращением импульса, с которым за то же время A E описывается кривая линия A B O C, то есть видя, что линия A P C и линия A B O C проходятся одним и тем же телом за одно и то же время и с равными скоростями, сами линии равны; что и требовалось доказать.

Тем же методом (если будет представлен какой-либо из полупараболастеров из таблицы ст. 3 предыдущей главы) можно найти прямую линию, равную его кривой линии, а именно путем деления диаметра на две равные части и действуя, как прежде. Однако до сих пор никто не сравнивал какую-либо кривую линию с какой-либо прямой, хотя многие геометры всех веков стремились к этому. Но причина, по которой они этого не сделали, может быть в том, что, поскольку у Евклида нет определения равенства, кроме конгруэнтности (которая является 8-й аксиомой первой книги его «Начал»), — вещь совершенно бесполезная при сравнении прямой и кривой; а другие после Евклида (за исключением Архимеда и Аполлония, а в наше время Бонавентуры), полагая, что усердие древних достигло всего, что можно было сделать в геометрии, также думали, что все, что могло быть предложено, либо должно быть выведено из того, что они написали, либо же это вообще невозможно сделать: поэтому некоторыми из самих этих древних оспаривалось, может ли вообще существовать какое-либо равенство между кривыми и прямыми линиями; этот вопрос Архимед, который предположил, что некоторая прямая линия равна окружности круга, по-видимому, презирал, и у него были на то основания. И есть один поздний автор, который признает, что между прямой и кривой линией существует равенство; но теперь, говорит он, после грехопадения Адама, без особой помощи Божественной Благодати оно не может быть найдено.

Том 1. Лат. и англ. Гл. XVIII. Рис. 1-2

Fig 1. | Fig 2.

ГЛАВА XIX. ОБ УГЛАХ ПАДЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ, РАВНЫХ ПО ПРЕДПОЛОЖЕНИЮ.

1. Если две прямые линии, падающие на другую прямую линию, параллельны, то линии, отраженные от них, также будут параллельны. 2. Если две прямые линии, проведенные из одной точки, падают на другую прямую линию, то линии, отраженные от них, если их продолжить в другую сторону, встретятся под углом, равным углу, образованному линиями падения. 3. Если две прямые параллельные линии, проведенные не противоположно, а из одних и тех же частей, падают на окружность круга, то линии, отраженные от них, если при продолжении они встретятся внутри круга, образуют угол, вдвое больший того, который образован двумя прямыми линиями, проведенными из центра к точкам падения. 4. Если две прямые линии, проведенные из одной точки вне круга, падают на окружность, и отраженные от них линии при продолжении встречаются внутри круга, они образуют угол, равный удвоенному углу, образованному двумя прямыми линиями, проведенными из центра к точкам падения, вместе с углом, который образуют сами падающие линии. 5. Если две прямые линии, проведенные из одной точки, падают на вогнутую окружность круга, и угол, который они образуют, меньше удвоенного угла при центре, то линии, отраженные от них и встречающиеся внутри круга, образуют угол, который при сложении с углом падающих линий будет равен удвоенному углу при центре. 6. Если через какую-либо одну точку проведены две неравные хорды, пересекающие друг друга, и центр круга не расположен между ними, и линии, отраженные от них, сходятся где бы то ни было, то через точку, через которую были проведены две предыдущие линии, нельзя провести никакую другую прямую линию, чья отраженная линия проходила бы через общую точку двух предыдущих отраженных линий. 7. Для равных хорд это неверно. 8. Даны две точки на окружности круга; провести к ним две прямые линии так, чтобы их отраженные линии содержали любой заданный угол. 9. Если прямая линия, падающая на окружность круга, продолжена до тех пор, пока она не достигнет полудиаметра, и та ее часть, которая заключена между окружностью и полудиаметром, равна той части полудиаметра, которая находится между точкой схождения и центром, то отраженная линия будет параллельна полудиаметру. 10. Если из точки внутри круга проведены две прямые линии к окружности, и их отраженные линии встречаются на окружности того же круга, угол, образованный отраженными линиями, будет третьей частью угла, образованного падающими линиями.

Angles of incidence and reflection.

Делает ли тело, падающее на поверхность другого тела и отражающееся от нее, равные углы с этой поверхностью, не относится к этому месту для обсуждения, будучи знанием, которое зависит от естественных причин отражения; о которых до сих пор ничего не было сказано, но будет сказано в дальнейшем.

В этом месте, следовательно, предположим, что угол падения равен углу отражения; чтобы наше нынешнее исследование могло быть применено не к поиску причин, а к некоторым следствиям того же самого.

Я называю углом падения тот, который образован между прямой линией и другой линией, прямой или кривой, на которую она падает и которую я называю отражающей линией; а углом отражения, равным ему, — тот, который образован в той же точке между прямой линией, которая отражается, и отражающей линией.

If two strait lines falling upon another strait line be parallel, the lines reflected from them shall also be parallel.

1. Если две прямые линии, которые падают на другую прямую линию, параллельны, их отраженные линии также будут параллельны.

Пусть две прямые линии A B и C D (на рис. 1), которые падают на прямую линию E F в точках B и D, будут параллельны; и пусть линии, отраженные от них, будут B G и D H. Утверждаю, что B G и D H также параллельны.

Ибо углы A B E и C D E равны по причине параллельности A B и C D; а углы G B F и H D F равны им по предположению; ибо линии B G и D H отражены от линий A B и C D. Следовательно, B G и D H параллельны.

If two strait lines drawn from one point fall upon another strait line, the lines reflected from them, if they be drawn out the other way, will meet in an angle equal to the angle made by the lines of incidence.

2. Если две прямые линии, проведенные из одной точки, падают на другую прямую линию, линии, отраженные от них, если их продолжить в другую сторону, встретятся под углом, равным углу падающих линий.

Из точки A (на рис. 2) пусть будут проведены две прямые линии A B и A D; и пусть они падают на прямую линию E K в точках B и D; и пусть линии B I и D G будут отражены от них. Утверждаю, что I B и G D сходятся, и что если их продолжить по другую сторону линии E K, они встретятся, как в F; и что угол B F D будет равен углу B A D.

Ибо угол отражения I B K равен углу падения A B E; а углу I B K равен его вертикальный угол E B F; и, следовательно, угол A B E равен углу E B F. Далее, угол A D E равен углу отражения G D K, то есть его вертикальному углу E D F; и, следовательно, два угла A B D и A D B треугольника A B D по отдельности равны двум углам F B D и F D B треугольника F B D; поэтому также третий угол B A D равен третьему углу B F D; что и требовалось доказать.

Следствие I. Если провести прямую линию A F, она будет перпендикулярна прямой линии E K. Ибо оба угла при E будут равны по причине равенства двух углов A B E и F B E и двух сторон A B и F B.

Следствие II. Если на любую точку между B и D падает прямая линия, такая как A C, чья отраженная линия есть C H, то она, также продолженная за C, упадет в F; что очевидно из доказательства выше.

If two strait parallel lines, drawn not oppositely, but from the same parts, fall upon the circumference of a circle, the lines reflected from them, if produced they meet within the circle, will make an angle double to that which is made by two strait lines drawn from the centre to the points of incidence.

3. Если из двух точек, взятых вне круга, две прямые параллельные линии, проведенные не противоположно, а из одних и тех же частей, падают на окружность; линии, отраженные от них, если при продолжении они встретятся внутри круга, образуют угол, вдвое больший того, который образован двумя прямыми линиями, проведенными из центра к точкам падения.

Пусть две прямые параллельные линии A B и D C (на рис. 3) падают на окружность B C в точках B и C; и пусть центр круга будет E; и пусть A B, отраженная, будет B F, а D C, отраженная, будет C G; и пусть линии F B и G C, продолженные, встречаются внутри круга в H; и пусть E B и E C будут соединены. Утверждаю, что угол F H G вдвое больше угла B E C.

Ибо, видя, что A B и D C — параллели, а E B пересекает A B в B, та же E B, продолженная, пересечет D C где-нибудь; пусть она пересечет ее в D; и пусть D C будет продолжена как угодно до I, и пусть пересечение D C и B F будет в K. Угол, следовательно, I C H, будучи внешним для треугольника C K H, будет равен двум противоположным углам C K H и C H K. Далее, I C E, будучи внешним для треугольника C D E, равен двум углам при D и E. Следовательно, угол I C H, будучи вдвое больше угла I C E, равен углам при D и E, взятым дважды; и, следовательно, два угла C K H и C H K равны двум углам при D и E, взятым дважды. Но угол C K H равен углам D и A B D, то есть D, взятому дважды; ибо A B и D C — параллели, чередующиеся углы D и A B D равны. Следовательно, C H K, то есть угол F H G, также равен углу при E, взятому дважды; что и требовалось доказать.

Следствие. Если из двух точек, взятых внутри круга, две прямые параллельные линии падают на окружность, линии, отраженные от них, встретятся под углом, вдвое большим того, который образован двумя прямыми линиями, проведенными из центра к точкам падения. Ибо параллели A B и I C, падающие на точки B и C, отражаются в линиях B H и C H и образуют угол при H вдвое больший угла при E, как было только что доказано.

If two strait lines drawn from the same point without a circle fall upon the circumference, and the lines reflected from them being produced meet within
the circle, they will make an angle equal to twice that angle, which is made by two strait lines drawn from the centre to the points of incidence, together with the angle which the incident lines themselves make.

4. Если две прямые линии, проведенные из одной точки вне круга, падают на окружность, и отраженные от них линии при продолжении встречаются внутри круга, они образуют угол, равный удвоенному углу, который образован двумя прямыми линиями, проведенными из центра к точкам падения, вместе с углом, который образуют сами падающие линии.

Пусть две прямые линии A B и A C (на рис. 4) проведены из точки A к окружности круга, центр которого D; и пусть линии, отраженные от них, будут B E и C G, и, будучи продолженными, образуют внутри круга угол H; также пусть две прямые линии D B и D C будут проведены из центра D к точкам падения B и C. Утверждаю, что угол H равен удвоенному углу при D вместе с углом при A.

Ибо пусть A C будет продолжена как угодно до I. Следовательно, угол I C H, который является внешним для треугольника C K H, будет равен двум углам C K H и C H K. Далее, угол I C D, который является внешним для треугольника C L D, будет равен двум углам C L D и C D L. Но угол I C H вдвое больше угла I C D и, следовательно, равен углам C L D и C D L, взятым дважды. Следовательно, углы C K H и C H K равны углам C L D и C D L, взятым дважды. Но угол C L D, будучи внешним для треугольника A L B, равен двум углам L A B и L B A; и, следовательно, C L D, взятый дважды, равен L A B и L B A, взятым дважды. Следовательно, C K H и C H K равны углу C D L вместе с L A B и L B A, взятыми дважды. Также угол C K H равен углу L A B один раз и A B K, то есть L B A, взятому дважды. Следовательно, угол C H K равен оставшемуся углу C D L, то есть углу при D, взятому дважды, и углу L A B, то есть углу при A, взятому один раз; что и требовалось доказать.

Следствие. Если две прямые сходящиеся линии, такие как I C и M B, падают на вогнутую окружность круга, их отраженные линии, такие как C H и B H, встретятся под углом H, равным удвоенному углу D вместе с углом при A, образованным продолженными падающими линиями. Или, если падающие линии — H B и I C, чьи отраженные линии C H и B M встречаются в точке N, угол C N B будет равен удвоенному углу D вместе с углом C K H, образованным падающими линиями. Ибо угол C N B равен углу H, то есть удвоенному углу D вместе с двумя углами A и N B H, то есть K B A. Но углы K B A и A равны углу C K H. Следовательно, угол C N B равен удвоенному углу D вместе с углом C K H, образованным падающими линиями I C и H B, продолженными до K.

If two strait lines drawn from one point fall upon the concave circumference of a circle, and the angle they make be less than twice the angle at the centre, the lines reflected from them and meeting within the circle will make an angle, which being added to the angle of the incident lines will be equal to twice the angle at the centre.

5. Если две прямые линии, проведенные из одной точки, падают на вогнутую окружность круга, и угол, который они образуют, меньше удвоенного угла при центре, то линии, отраженные от них и встречающиеся внутри круга, образуют угол, который при сложении с углом падающих линий будет равен удвоенному углу при центре.

Пусть две линии A B и A C (на рис. 5), проведенные из точки A, падают на вогнутую окружность круга, центр которого D; и пусть их отраженные линии B E и C E встречаются в точке E; также пусть угол A меньше удвоенного угла D. Утверждаю, что углы A и E, взятые вместе, равны удвоенному углу D.

Ибо пусть прямые линии A B и E C пересекают прямые линии D C и D B в точках G и H; и угол B H C будет равен двум углам E B H и E; также тот же угол B H C будет равен двум углам D и D C H; и таким же образом угол B G C будет равен двум углам A C D и A, и тот же угол B G C будет также равен двум углам D B G и D. Следовательно, четыре угла E B H, E, A C D и A равны четырем углам D, D C H, D B G и D. Если, следовательно, равные величины будут отняты с обеих сторон, а именно с одной стороны A C D и E B H, а с другой стороны D C H и D B G (ибо угол E B H равен углу D B G, а угол A C D равен углу D C H), остатки с обеих сторон будут равны, а именно с одной стороны углы A и E, а с другой — угол D, взятый дважды. Следовательно, углы A и E равны удвоенному углу D.

Следствие. Если угол A больше удвоенного угла D, их отраженные линии будут расходиться. Ибо, согласно следствию из третьей пропозиции, если угол A равен удвоенному углу D, отраженные линии B E и C E будут параллельны; а если он меньше, они сойдутся, как было только что доказано. И поэтому, если он больше, отраженные линии B E и C E будут расходиться, и, следовательно, если их продолжить в другую сторону, они сойдутся и образуют угол, равный избытку угла A над удвоенным углом D; как очевидно из ст. 4.

If through any one point two unequal chords be drawn cutting one another, and the centre of the circle be not placed between them, and the lines reflected from them concur wheresoever, there cannot through the point, through which the two former lines were drawn, be drawn any other strait line whose reflected line shall pass through the common point of the two former lines reflected.

6. Если через какую-либо одну точку проведены две неравные хорды, пересекающие друг друга либо внутри круга, либо, если их продолжить, вне его, и центр круга не расположен между ними, и линии, отраженные от них, сходятся где бы то ни было; то через точку, через которую были проведены предыдущие линии, нельзя провести другую прямую линию, чья отраженная линия проходила бы через точку, где сходятся две предыдущие отраженные линии.

Пусть любые две неравные хорды, такие как B K и C H (на рис. 6), проведены через точку A в круге B C; и пусть их отраженные линии B D и C E встречаются в F; и пусть центр не находится между A B и A C; и из точки A пусть будет проведена любая другая прямая линия, такая как A G, к окружности между B и C. Утверждаю, что G N, которая проходит через точку F, где встречаются отраженные линии B D и C E, не будет отраженной линией A G.

Ибо пусть дуга B L будет взята равной дуге B G, а прямая линия B M равной прямой линии B A; и, будучи проведенной L M, пусть она будет продолжена до окружности в O. Видя, следовательно, что B A и B M равны, а дуга B L равна дуге B G, и угол M B L равен углу A B G, A G и M L также будут равны, и, продолжая G A до окружности в I, целые линии L O и G I будут таким же образом равны. Но L O больше G F N, как будет сейчас доказано; и, следовательно, также G I больше G N. Следовательно, углы N G C и I G B не равны. Следовательно, линия G F N не отражена от линии падения A G, и, следовательно, никакая другая прямая линия, кроме A B и A C, которая проведена через точку A и падает на окружность B C, не может быть отражена в точку F; что и требовалось доказать.

Остается доказать, что L O больше G N; что я сделаю следующим образом. L O и G N пересекают друг друга в P; и P L больше P G. Видя теперь, что L P : P G :: P N : P O — пропорциональны, следовательно, два крайних члена L P и P O, взятые вместе, то есть L O, больше P G и P N, взятых вместе, то есть G N; что и оставалось доказать.

In equal chords the same is not true.

7. Но если две равные хорды проведены через одну точку внутри круга, и линии, отраженные от них, встречаются в другой точке, тогда между ними через предыдущую точку может быть проведена другая прямая линия, чья отраженная линия будет проходить через последнюю точку.

Пусть две равные хорды B C и E D (на 7-м рисунке) пересекают друг друга в точке A внутри круга B C D; и пусть их отраженные линии C H и D I встречаются в точке F. Затем, разделив дугу C D пополам в G, пусть две хорды G K и G L будут проведены через точки A и F. Утверждаю, что G L будет линией, отраженной от хорды K G. Ибо четыре хорды B C, C H, E D и D I по предположению все равны друг другу; и, следовательно, дуга B C H равна дуге E D I; как и угол B C H — углу E D I; и угол A M C — своему вертикальному углу F M D; и прямая линия D M — прямой линии G M; и, таким же образом, прямая линия A C — прямой линии F D; и хорды C G и G D, будучи проведенными, также будут равны; а также углы F D G и A C G в равных сегментах G D I и G C B. Следовательно, прямые линии F G и A G равны; и, следовательно, угол F G D равен углу A G C, то есть угол падения равен углу отражения. Следовательно, линия G L отражена от падающей линии C G; что и требовалось доказать.

Следствие. При самом взгляде на рисунок очевидно, что если G не является средней точкой между C и D, отраженная линия G L не будет проходить через точку F.

Two points being given in the circumference of a circle, to draw two strait lines to them so as that their reflected lines may contain any angle given.

8. Даны две точки на окружности круга; провести к ним две прямые линии так, чтобы их отраженные линии были параллельны или содержали любой заданный угол.

На окружности круга, центр которого A (на 8-м рисунке), пусть будут даны две точки B и C; и пусть требуется провести к ним из двух точек, взятых вне круга, две падающие линии так, чтобы их отраженные линии, во-первых, были параллельны.

Пусть будут проведены A B и A C; а также любая падающая линия D C с ее отраженной линией C F; и пусть угол E C D будет сделан вдвое больше угла A; и пусть H B будет проведена параллельно E C и продолжена до тех пор, пока она не встретится с продолженной D C в I. Наконец, продолжая A B неопределенно до K, пусть G B будет проведена так, чтобы угол G B K был равен углу H B K, и тогда G B будет отраженной линией падающей линии H B. Утверждаю, что D C и H B — две падающие линии, чьи отраженные линии C F и B G параллельны.

Ибо, видя, что угол E C D вдвое больше угла B A C, угол H I C также, по причине параллелей E C и H I, вдвое больше того же B A C; следовательно, также F C и G B, а именно линии, отраженные от падающих линий D C и H B, параллельны. Следовательно, первое требуемое сделано.

Во-вторых, пусть требуется провести к точкам B и C две прямые линии падения так, чтобы линии, отраженные от них, содержали заданный угол Z.

К углу E C D, образованному в точке C, пусть будет добавлен с одной стороны угол D C L, равный половине Z, а с другой стороны угол E C M, равный углу D C L; и пусть прямая линия B N будет проведена параллельно прямой линии C M; и пусть угол K B O будет сделан равным углу N B K; что будучи сделано, B O будет линией отражения от падающей линии N B. Наконец, от падающей линии L C пусть будет проведена отраженная линия C O, пересекающая B O в O и образующая угол C O B. Утверждаю, что угол C O B равен углу Z.

Пусть N B будет продолжена до тех пор, пока она не встретится с продолженной прямой линией L C в P. Видя, следовательно, что угол L C M по построению равен удвоенному углу B A C вместе с углом Z; угол N P L, который равен L C M по причине параллелей N P и M C, также будет равен удвоенному тому же углу B A C вместе с углом Z. И видя, что две прямые линии O C и O B падают из точки O на точки C и B; и их отраженные линии L C и N B встречаются в точке P; угол N P L будет равен удвоенному углу B A C вместе с углом C O B. Но я уже доказал, что угол N P L равен удвоенному углу B A C вместе с углом Z. Следовательно, угол C O B равен углу Z; следовательно, даны две точки на окружности круга, я провел и т.д.; что и требовалось сделать.

Но если требуется провести падающие линии из точки внутри круга так, чтобы линии, отраженные от них, содержали угол, равный углу Z, следует использовать тот же метод, за исключением того, что в этом случае угол Z не нужно добавлять к удвоенному углу B A C, а нужно вычесть из него.

If a strait line falling upon the circumference of a circle be produced till it reach the semidiameter, and that part of it, which is intercepted between the circumference and the semidiameter, be equal to that part of the semidiameter which is between the point of concourse and the centre, the reflected line will be parallel to the semidiameter.

9. Если прямая линия, падающая на окружность круга, продолжена до тех пор, пока она не достигнет полудиаметра, и та ее часть, которая заключена между окружностью и полудиаметром, равна той части полудиаметра, которая находится между точкой схождения и центром, то отраженная линия будет параллельна полудиаметру.

Пусть любая линия A B (на 9-м рисунке) будет полудиаметром круга, центр которого A; и на окружность B D пусть падает прямая линия C D и будет продолжена до тех пор, пока она не пересечет A B в E, так что E D и E A будут равны; и от падающей линии C D пусть будет отражена линия D F. Утверждаю, что A B и D F будут параллельны.

Пусть A G будет проведена через точку D. Видя, следовательно, что E D и E A равны, углы E D A и E A D также будут равны. Но углы F D G и E D A равны; ибо каждый из них есть половина угла E D H или F D C. Следовательно, углы F D G и E A D равны; и, следовательно, D F и A B параллельны; что и требовалось доказать.

Следствие. Если E A больше E D, то D F и A B при продолжении сойдутся; но если E A меньше E D, то B A и D H при продолжении сойдутся.

If from a point within a circle two strait lines be drawn to the circumference, and their reflected lines meet in the circumference of the same circle, the angle made by the reflected lines will be a third part of the angle made by the incident lines.

10. Если из точки внутри круга проведены две прямые линии к окружности, и их отраженные линии встречаются на окружности того же круга, угол, образованный линиями отражения, будет третьей частью угла, образованного линиями падения.

Из точки B (на 10-м рисунке), взятой внутри круга, центр которого A, пусть будут проведены две прямые линии B C и B D к окружности; и пусть их отраженные линии C E и D E встречаются на окружности того же круга в точке E. Утверждаю, что угол C E D будет третьей частью угла C B D.

Пусть будут проведены A C и A D. Видя, следовательно, что углы C E D и C B D, взятые вместе, равны удвоенному углу C A D (как было доказано в 5-й статье); и угол C A D, взятый дважды, вчетверо больше угла C E D; углы C E D и C B D, взятые вместе, также будут равны углу C E D, взятому четырежды; и, следовательно, если угол C E D отнять с обеих сторон, останется угол C B D с одной стороны, равный углу C E D, взятому трижды, с другой стороны; что и требовалось доказать.

Следствие. Следовательно, дана точка внутри круга, из нее можно провести две линии к окружности так, чтобы их отраженные линии встретились на окружности. Ибо нужно лишь разделить на три части угол C B D, что и как может быть сделано, будет показано в следующей главе.

Том 1. Лат. и англ. Гл. XIX. Рис. 1-10

Fig 1. | Fig 2. | Fig 3. | Fig 4. | Fig 5. | Fig 6. | Fig 7. | Fig 8. | Fig 9. | Fig 10.

ГЛАВА XX. ОБ ИЗМЕРЕНИИ КРУГА И ДЕЛЕНИИ УГЛОВ ИЛИ ДУГ.

1. Измерение круга никогда не было определено в числах Архимедом и другими. 2. Первая попытка нахождения измерения круга с помощью линий. 3. Вторая попытка нахождения измерения круга из рассмотрения природы кривизны. 4. Третья попытка; и некоторые вещи, предложенные для дальнейшего исследования. 5. Уравнение спирали Архимеда с прямой линией. 6. Об анализе геометров с помощью степеней линий.

The dimension of a circle never determined in numbers by Archimedes and others.

1. В сравнении дуги круга с прямой линией многие великие геометры, даже с самых древних времен, упражняли свой ум; и больше сделали бы то же самое, если бы не видели, что их труды, хотя и предпринятые на общее благо, если не доведены до совершенства, поносятся теми, кто завидует похвалам других людей. Среди тех древних авторов, чьи работы попали нам в руки, Архимед был первым, кто привел длину периметра круга в пределы чисел, очень мало отличающихся от истины; доказав, что она меньше трех диаметров и одной седьмой части, но больше трех диаметров и десяти семьдесят первых частей диаметра. Так что, предполагая, что радиус состоит из 10 000 000 равных частей, дуга квадранта будет между 15 714 285 и 15 704 225 тех же частей. В наши времена Людольф ван Цейлен и Виллеброрд Снеллиус совместным усердием подошли еще ближе к истине; и провозгласили из истинных принципов, что дуга квадранта, полагая, как прежде, 10 000 000 за радиус, отличается не более чем на одну целую единицу от числа 15 707 963; что, если бы они представили свои арифметические операции и никто не обнаружил бы никакой ошибки в той их долгой работе, было бы ими доказано. Это самый дальний прогресс, который был сделан путем чисел; и те, кто продвинулся так далеко, заслуживают похвалы за усердие. Тем не менее, если мы рассмотрим пользу, которая является целью, к которой должно стремиться всякое умозрение, то улучшение, которое они сделали, было незначительным или никаким. Ибо любой обычный человек может гораздо быстрее и точнее найти прямую линию, равную периметру круга, и, следовательно, квадратуру круга, наматывая небольшую нить на данный цилиндр, чем любой геометр сделает то же самое, разделив радиус на 10 000 000 равных частей. Но хотя бы длина окружности была точно установлена, либо числами, либо механически, либо только случайно, это не принесло бы никакой помощи к делению углов, если только, возможно, эти две задачи — разделить данный угол согласно любой заданной пропорции и найти прямую линию, равную дуге круга — не были взаимными и не следовали одна за другой. Видя, следовательно, что польза, проистекающая из знания длины дуги квадранта, состоит в том, что мы можем тем самым разделить угол согласно любой пропорции, либо точно, либо, по крайней мере, достаточно точно для общего пользования; и видя, что это не может быть сделано арифметикой, я счел уместным попытаться сделать то же самое геометрией и в этой главе испытать, не может ли это быть выполнено проведением прямых и круговых линий.

The first attempt for the finding out of the dimension of a circle by lines.

2. Пусть будет описан квадрат A B C D (на первом рисунке); и радиусами A B, B C и D C — три дуги B D, C A и A C; из которых пусть две, B D и C A, пересекают друг друга в E, а две, B D и A C, — в F. Диагонали, следовательно, B D и A C, будучи проведенными, пересекут друг друга в центре квадрата G, а две дуги B D и C A — на две равные части в H и Y; и дуга B H D будет разделена на три части в F и E. Через центр G пусть будут проведены две прямые линии K G L и M G N, параллельные и равные сторонам квадрата A B и A D, пересекающие четыре стороны того же квадрата в точках K, L, M и N; что будучи сделано, K L пройдет через F, а M N — через E. Затем пусть O P будет проведена параллельно и равна стороне B C, пересекая дугу B F D в F, а стороны A B и D C — в O и P. Следовательно, O F будет синусом дуги B F, которая является дугой в 30 градусов; и та же O F будет равна половине радиуса. Наконец, разделив дугу B F посередине в Q, пусть R Q, синус дуги B Q, будет проведен и продолжен до S так, чтобы Q S была равна R Q, и, следовательно, R S была равна хорде дуги B F; и пусть F S будет проведена и продолжена до T на стороне B C. Утверждаю, что прямая линия B T равна дуге B F; и, следовательно, что B V, утроенная B T, равна дуге квадранта B F E D.

Пусть T F будет продолжена до тех пор, пока она не встретит сторону A B, продолженную в X; и, разделив O F посередине в Z, пусть Q Z будет проведена и продолжена до тех пор, пока она не встретится со стороной A B, продолженной. Видя, следовательно, что прямые линии R S и O F параллельны и разделены посередине в Q и Z, Q Z, продолженная, упадет в X, а X Z Q, продолженная до стороны B C, пересечет B T посередине в α.

На прямой линии F Z, четвертой части радиуса A B, пусть будет построен равносторонний треугольник a Z F; и на центре a, радиусом a Z, пусть будет проведена дуга Z F; которая дуга Z F будет, следовательно, равна дуге Q F, половине дуги B F. Далее, пусть прямая линия Z O будет разделена посередине в b, а прямая линия b O посередине в c; и пусть бисекция будет продолжена таким образом, пока последняя часть O c не станет наименьшей, которую только можно взять; и на ней, и на всех остальных равных ей частях, на которые может быть разделена прямая линия O F, пусть будут поняты построенными столько равносторонних треугольников; из которых пусть последний будет d O c. Если, следовательно, на центре d, радиусом d O, будет проведена дуга O c, и на остальных равных частях прямой линии O F будут проведены таким же образом столько же равных дуг, все эти дуги, взятые вместе, будут равны целой дуге B F, а половина их, а именно те, которые заключены между O и Z, или между Z и F, будут равны дуге B Q или Q F, и в сумме, какую бы часть ни составляла прямая линия O c от прямой линии O F, такую же часть будет составлять дуга O c от дуги B F, хотя и дуга, и хорда будут бесконечно бисектироваться. Теперь, видя, что дуга O c более кривая, чем та часть дуги B F, которая равна ей; и видя также, что чем больше прямая линия X c продолжена, тем больше она расходится от прямой линии X O, если точки O и c будут поняты как движущиеся вперед с прямолинейным движением в X O и X c, дуга O c будет тем самым расширяться мало-помалу, пока, наконец, где-то не придет к тому, чтобы иметь ту же кривизну, что и та часть дуги B F, которая равна ей. Таким же образом, если будет проведена прямая линия X b и точка b будет понята как движущаяся вперед в то же время, дуга c b также будет мало-помалу расширяться, пока ее кривизна не станет равной кривизне той части дуги B F, которая равна ей. И то же самое произойдет во всех тех малых равных дугах, которые описаны на стольких же равных частях прямой линии O F. Также очевидно, что при прямолинейном движении в X O и X Z все те малые дуги будут лежать в дуге B F, в точках B, Q и F. И хотя те же малые равные дуги не должны совпадать с равными частями дуги B F во всех других ее точках, все же, безусловно, они будут составлять две кривые линии, не только равные двум дугам B Q и Q F и одинаково кривые, но также имеющие свою вогнутость в одни и те же стороны; что как это могло бы быть, если бы все те малые дуги не совпадали с дугой B F во всех ее точках, невообразимо. Они, следовательно, совпадают, и все прямые линии, проведенные из X и проходящие через точки деления прямой линии O F, будут также делить дугу B F в тех же пропорциях, в которых разделена O F.

Поскольку Xb отсекает от точки B четвертую часть дуги BF, пусть эта четвертая часть будет Be; и пусть синус ее, fe, будет продолжен до FT в точке g, ибо fe будет четвертой частью прямой линии fg, так как Ob относится к OF, как fe к fg. Но BT больше, чем fg; и, следовательно, та же BT больше, чем четыре синуса четвертой части дуги BF. И подобным же образом, если дугу BF подразделить на любое число равных частей, можно доказать, что прямая линия BT больше синуса одной из этих малых дуг, взятого столько раз, сколько частей образовано из всей дуги BF. Посему прямая линия BT не меньше дуги BF. Но она не может быть и больше, ибо если какая-либо прямая линия, меньшая BT, будет проведена ниже BT, параллельно ей, и ограничена прямыми линиями XB и XT, она пересечет дугу BF; и тогда синус какой-либо одной из частей дуги BF, взятый столько раз, сколько эта малая дуга содержится во всей дуге BF, был бы больше, чем столько же таких же дуг; что абсурдно. Посему прямая линия BT равна дуге BF; а прямая линия BV равна дуге квадранта BFD; и BV, взятая четыре раза, равна периметру круга, описанного радиусом AB. Также дуга BF и прямая линия BT везде делятся в одних и тех же пропорциях; и, следовательно, любой заданный угол, будь то больше или меньше BAF, может быть разделен в любой заданной пропорции.

Но прямая линия BV, хотя ее величина и попадает в пределы, установленные Архимедом, оказывается, если вычислять ее по канону синусов, несколько больше той, что представлена Рудольфовыми числами. Тем не менее, если вместо BT подставить другую прямую линию, пусть даже сколь угодно малую, деление углов немедленно утрачивается, что может быть продемонстрировано любым человеком с помощью этой самой схемы.

Как бы то ни было, если кто-либо сочтет эту мою прямую линию BV слишком большой, все же, видя, что дуга и все параллели везде столь точно разделены, а BV столь близка к истине, я желаю, чтобы он поискал причину, почему, допуская, что BV является точно верной, отсекаемые дуги не должны быть равными.

Но кто-то может еще спросить причину, почему прямые линии, проведенные из X через равные части дуги BF, должны отсекать на касательной BV столько же равных им прямых линий, видя, что соединенная прямая линия XV не проходит через точку D, а пересекает прямую линию AD, продолженную в l; и, следовательно, требуют некоторого определения этой задачи. Относительно чего я скажу то, что считаю причиной, а именно: пока величина дуги не превышает величины радиуса, то есть величины касательной BC, и дуга, и касательная делятся одинаково прямыми линиями, проведенными из X; в противном случае — нет. Ибо если соединить AV, пересекающую дугу BHD в I, и если проведенная XC пересечет ту же дугу в той же точке I, было бы столь же верно, что дуга BI равна радиусу BC, как верно то, что дуга BF равна прямой линии BT; и, проведя XK, она пересекла бы дугу BI посередине в i; также, проведя Ai и продолжив ее до касательной BC в k, прямая линия Bk будет касательной к дуге Bi (которая равна половине радиуса), и та же прямая линия Bk будет равна прямой линии kI. Я говорю, что все это верно, если верно предыдущее доказательство; и, следовательно, пропорциональное сечение дуги и ее касательной продолжается до сих пор. Но по золотому правилу очевидно, что если взять Bh вдвое больше BT, линия Xh не отсечет дугу BE, которая вдвое больше дуги BF, но гораздо большую. Ибо, зная величину прямых линий XM, XB и ME (в числах), можно также узнать величину прямой линии, отсекаемой на касательной прямой линией XE, продолженной до касательной; и она окажется меньше Bh; посему проведенная прямая линия Xh отсечет часть дуги квадранта, большую, чем дуга BE. Но я более подробно расскажу в следующей статье о величине дуги BI.

И пусть это будет первой попыткой нахождения измерения круга посредством сечения дуги BF.

The second attempt for the finding out of the dimension of a circle from the consideration of the nature of crookedness.

3. Теперь я предприму то же самое посредством аргументов, почерпнутых из природы кривизны самого круга; но сначала я изложу некоторые предпосылки, необходимые для этого размышления; и

Во-первых, если прямая линия изогнута в дугу круга, равную ей, как когда натянутая нить, касающаяся прямого цилиндра, изгибается в каждой точке так, что она везде совпадает с периметром основания цилиндра, изгиб этой линии будет равен во всех ее точках; и, следовательно, кривизна дуги круга везде равномерна; что не требует иного доказательства, кроме того, что периметр круга есть равномерная линия.

Во-вторых, и, следовательно: если две неравные дуги одного и того же круга образованы изгибанием двух равных им прямых линий, изгиб более длинной линии, пока она изгибается в большую дугу, больше, чем изгиб более короткой линии, пока она изгибается в меньшую дугу, согласно пропорции самих дуг; и, следовательно, кривизна большей дуги относится к кривизне меньшей дуги, как большая дуга к меньшей дуге.

В-третьих: если два неравных круга и прямая линия касаются друг друга в одной и той же точке, кривизна любой дуги, взятой в меньшем круге, будет больше кривизны равной ей дуги, взятой в большем круге, в обратной пропорции к радиусам, которыми описаны круги; или, что то же самое, любая прямая линия, проведенная из точки касания до пересечения обеих окружностей, относится как часть этой прямой линии, отсекаемая окружностью большего круга, к той части, которая отсекается окружностью меньшего круга.

Ибо пусть AB и AC (на втором рисунке) будут двумя кругами, касающимися друг друга и прямой линии AD в точке A; и пусть их центры будут E и F; и пусть предполагается, что как AE относится к AF, так дуга AB относится к дуге AH. Я утверждаю, что кривизна дуги AC относится к кривизне дуги AH, как AE к AF. Ибо пусть прямая линия AD предполагается равной дуге AB, а прямая линия AG — дуге AC; и пусть AD, например, будет вдвое больше AG. Следовательно, по причине подобия дуг AB и AC, прямая линия AB будет вдвое больше прямой линии AC, а радиус AE — вдвое больше радиуса AF, и дуга AB — вдвое больше дуги AH. И поскольку прямая линия AD изогнута так, чтобы совпадать с равной ей дугой AB, как прямая линия AG изогнута, чтобы совпадать с равной ей дугой AC, изгиб прямой линии AG в кривую линию AC будет равен изгибу прямой линии AD в кривую линию AB. Но изгиб прямой линии AD в кривую линию AB вдвое больше изгиба прямой линии AG в кривую линию AH; и поэтому изгиб прямой линии AG в кривую линию AC вдвое больше изгиба той же прямой линии AG в кривую линию AH. Посему, как дуга AB относится к дуге AC или AH; или как радиус AE относится к радиусу AF; или как хорда AB относится к хорде AC; так обратно пропорционален изгиб или равномерная кривизна дуги AC к изгибу или равномерной кривизне дуги AH, а именно, здесь вдвое. И это может быть продемонстрировано тем же методом в кругах, периметры которых относятся друг к другу как тройная, четверная или в любой заданной пропорции. Кривизна, следовательно, двух равных дуг, взятых в разных кругах, находится в пропорции, обратной пропорции их радиусов, или подобных дуг, или подобных хорд; что и требовалось доказать.

Пусть снова будет описан квадрат ABCD (на третьем рисунке), а в нем квадранты ABD, BCA и DAC; и, разделив каждую сторону квадрата ABCD посередине в E, F, G и H, соединим EG и FH, которые пересекут друг друга в центре квадрата в I и разделят дугу квадранта ABD на три равные части в K и L. Также диагонали AC и BD, будучи проведенными, пересекут друг друга в I и разделят дуги BKD и CLA на две равные части в M и N. Затем радиусом BF проведем дугу FE, пересекающую диагональ BD в O; и, разделив дугу BM посередине в P, отложим прямую линию Ea, равную хорде BP, от точки E на дуге EF, и пусть дуга ab будет взята равной дуге Oa, и пусть Ba и Bb будут проведены и продолжены до дуги AN в c и d; и, наконец, пусть будет проведена прямая линия Ad. Я утверждаю, что прямая линия Ad равна дуге AN или BM.

Я доказал в предыдущей статье, что дуга EO вдвое более кривая, чем дуга BP, то есть, что дуга EO настолько более кривая, чем дуга BP, насколько дуга BP более кривая, чем прямая линия Ea. Кривизна, следовательно, хорды Ea, дуги BP и дуги EO относятся как 0, 1, 2. Также разность между дугами EO и EO, разность между дугами EO и Ea, и разность между дугами EO и Eb относятся как 0, 1, 2. Так же и разность между дугами AN и AN, разность между дугами AN и Ac, и разность между дугами AN и Ad относятся как 0, 1, 2; и прямая линия Ac вдвое больше хорды BP или Ea, а прямая линия Ad вдвое больше хорды Eb.

Снова пусть прямая линия BF будет разделена посередине в Q, а дуга BP посередине в R; и, описав квадрант BQS (чья дуга QS есть четвертая часть дуги квадранта BMD, как дуга BR есть четвертая часть дуги BM, которая является дугой полуквадранта ABM), отложим хорду Se, равную хорде BR, от точки S на дуге SQ; и пусть Be будет проведена и продолжена до дуги AN в f; по выполнении чего прямая линия Af будет вчетверо больше хорды BR или Se. И видя, что кривизна дуги Se, или дуги Ac, вдвое больше кривизны дуги BR, избыток кривизны дуги Af над кривизной дуги Ac будет вдвое меньше избытка кривизны дуги Ac над кривизной дуги AN; и поэтому дуга Nc будет вдвое больше дуги cf. Посему дуга cd разделена посередине в f, а дуга Nf составляет 3/4 дуги Nd. И подобным же образом, если дугу BR бисектировать в V, а прямую линию BQ в X, и описать квадрант BXY, и отложить прямую линию Yg, равную хорде BV, от точки Y на дуге YX, можно доказать, что прямая линия Bg, будучи проведенной и продолженной до дуги AN, разделит дугу fd на две равные части, и что прямая линия, проведенная из A к точке этого сечения, будет равна восьми хордам дуги BV, и так далее бесконечно; и, следовательно, что прямая линия Ad равна стольким равным хордам равных частей дуги BM, сколько может быть сделано бесконечными бисекциями. Посему прямая линия Ad равна дуге BM или AN, то есть половине дуги квадранта ABD или BCA.

Следствие. Если дана дуга, не превышающая дугу квадранта (ибо, будучи сделанной больше, она снова возвращается к продолженному радиусу BA, от которого она удалялась ранее), если прямая линия, вдвое большая хорды половины данной дуги, приложена от начала дуги, и насколько дуга, стягиваемая ею, больше данной дуги, настолько большая дуга стягивается другой прямой линией, эта прямая линия будет равна первой данной дуге.

Предполагая, что прямая линия BV (на рис. 1) равна дуге квадранта BHD, и соединив AV, пересекающую дугу BHD в I, можно спросить, какую пропорцию имеет дуга BI к дуге ID. Пусть поэтому дуга AY будет разделена посередине в o, и на прямой линии AD пусть Ap будет взята равной, а Aq вдвое больше проведенной хорды Ao. Затем на центре A радиусом Aq пусть будет проведена дуга круга, пересекающая дугу AY в r, и пусть дуга Yr будет удвоена в t; по выполнении чего проведенная прямая линия At (согласно тому, что было доказано последним) будет равна дуге AY. Снова на центре A радиусом At пусть будет проведена дуга tu, пересекающая AD в u; и прямая линия Au будет равна дуге AY. Из точки u пусть будет проведена прямая линия us, равная и параллельная прямой линии AB, пересекающая MN в x, и бисектированная MN в той же точке x. Поэтому, если прямая линия Ax будет проведена и продолжена до встречи с продолженной BC в V, она отсечет BV вдвое больше Bs, то есть равную дуге BHD. Теперь пусть точка, где прямая линия AV пересекает дугу BHD, будет I; и пусть дуга DI будет разделена посередине в y; и на прямой линии DC пусть Dz будет взята равной, а Dδ вдвое больше проведенной хорды Dy; и на центре D радиусом Dδ пусть будет проведена дуга круга, пересекающая дугу BHD в точке n; и пусть дуга nm будет взята равной дуге In; по выполнении чего прямая линия Dm будет (согласно последнему следствию) равна дуге DI. Если теперь прямые линии Dm и CV равны, дуга BI будет равна радиусу AB или BC; и, следовательно, проведенная XC пройдет через точку I. Более того, если полукруг BH Dϐ будет завершен, и будут проведены прямые линии ϐI и BI, образующие прямой угол (в полукруге) в I, и дуга BI будет разделена посередине в i, последует, что соединенная Ai будет параллельна прямой линии ϐI, и, будучи продолженной до BC в k, отсечет прямую линию Bk, равную прямой линии kI, и равную также прямой линии Aγ, отсеченной на AD прямой линией ϐI. Все это очевидно, предполагая, что дуга BI и радиус BC равны.

Но то, что дуга BI и радиус BC точно равны, не может быть доказано (как бы верно это ни было), если не будет сначала доказано то, что содержится в ст. 1, а именно, что прямые линии, проведенные из X через равные части OF (продолженные до определенной длины), отсекают столько же частей также на касательной BC, по отдельности равных каждой из отсекаемых дуг; что они делают в точности до BC на касательной и BI на дуге BE; настолько, что никакого неравенства между дугой BI и радиусом BC нельзя обнаружить ни рукой, ни рассуждением. Поэтому следует далее исследовать, пересекает ли прямая линия AV дугу квадранта в I в той же пропорции, в какой точка C делит прямую линию BV, которая равна дуге квадранта. Но как бы то ни было, было доказано, что прямая линия BV равна дуге BHD.

The third attempt; and some things propounded to be further searched into.

4. Теперь я предприму то же самое измерение круга другим способом, приняв две следующие леммы.

Лемма I. Если к дуге квадранта и радиусу взять в непрерывной пропорции третью линию Z; тогда дуга полуквадранта, половина хорды квадранта и Z также будут в непрерывной пропорции.

Ибо, видя, что радиус есть средняя пропорциональная между хордой квадранта и его полухордой, и тот же радиус есть средняя пропорциональная между дугой квадранта и Z, квадрат радиуса будет равен как прямоугольнику, образованному хордой и полухордой квадранта, так и прямоугольнику, образованному дугой квадранта и Z; и эти два прямоугольника будут равны друг другу. Посему, как дуга квадранта относится к своей хорде, так обратно пропорциональна половина хорды квадранта к Z. Но как дуга квадранта относится к своей хорде, так половина дуги квадранта относится к половине хорды квадранта. Посему, как половина дуги квадранта относится к половине хорды квадранта (или к синусу 45 градусов), так половина хорды квадранта относится к Z; что и требовалось доказать.

Лемма II. Радиус, дуга полуквадранта, синус 45 градусов и полурадиус пропорциональны.

Ибо, видя, что синус 45 градусов есть средняя пропорциональная между радиусом и полурадиусом; и тот же синус 45 градусов есть также средняя пропорциональная (согласно предыдущей лемме) между дугой 45 градусов и Z; квадрат синуса 45 градусов будет равен как прямоугольнику, образованному радиусом и полурадиусом, так и прямоугольнику, образованному дугой 45 градусов и Z. Посему, как радиус относится к дуге 45 градусов, так обратно пропорционален Z к полурадиусу; что и требовалось доказать.

Пусть теперь ABCD (на рис. 4) будет квадратом; и радиусами AB, BC и DA пусть будут описаны три квадранта ABD, BCA и DAC; и пусть прямые линии EF и GH, проведенные параллельно сторонам BC и AB, делят квадрат ABCD на четыре равных квадрата. Они, следовательно, пересекут дугу квадранта ABD на три равные части в I и K, а дугу квадранта BCA на три равные части в K и L. Также пусть будут проведены диагонали AC и BD, пересекающие дуги BID и ALC в M и N. Затем на центре H радиусом HF, равным половине хорды дуги BMD, или синусу 45 градусов, пусть будет проведена дуга FO, пересекающая дугу CK в O; и пусть будет проведена AO и продолжена до встречи с продолженной BC в P; также пусть она пересечет дугу BMD в Q, а прямую линию DC в R. Если теперь прямая линия HQ равна прямой линии DR, и, будучи продолженной до DC в S, отсечет DS, равную половине прямой линии BP; я утверждаю тогда, что прямая линия BP будет равна дуге BMD.

Ибо, видя, что PBA и ADR — подобные треугольники, будет как PB к радиусу BA или AD, так AD к DR; и поэтому как PB, AD и DR, так и PB, AD (или AQ) и QH находятся в непрерывной пропорции; и, продолжив HO до DC в T, DT будет равно синусу 45 градусов, как будет вскоре доказано. Теперь DS, DT и DR находятся в непрерывной пропорции согласно первой лемме; и согласно второй лемме DC : DS :: DR : DF — пропорциональны. И так будет, независимо от того, равна BP дуге квадранта BMD или нет. Но если они равны, тогда будет, как та часть дуги BMD, которая равна радиусу, относится к остатку той же дуги BMD; так AQ к HQ, или так BC к CP. И тогда BP и дуга BMD будут равны. Но не доказано, что прямые линии HQ и DR равны; хотя если из точки B провести (согласно построению рис. 1) прямую линию, равную дуге BMD, тогда DR к HQ, а также половина прямой линии BP к DS, будут всегда настолько равны, что никакого неравенства нельзя будет обнаружить между ними. Я поэтому оставлю это для дальнейшего исследования. Ибо хотя почти не вызывает сомнений, что прямая линия BP и дуга BMD равны, все же это не может быть принято без доказательства; а средств доказательства круговая линия не допускает никаких, которые не основывались бы на природе изгиба или углов. Но этим путем я уже представил прямую линию, равную дуге квадранта, в первой и второй агрессии.

Остается доказать, что DT равно синусу 45 градусов.

На продолжении BA возьмем AV, равное синусу 45 градусов; и, проведя и продолжив VH, она пересечет дугу квадранта CNA посередине в N, и ту же дугу снова в O, и прямую линию DC в T, так что DT будет равно синусу 45 градусов, или прямой линии AV; также прямая линия VH будет равна прямой линии HI, или синусу 60 градусов.

Ибо квадрат AV равен двум квадратам полурадиуса; и, следовательно, квадрат VH равен трем квадратам полурадиуса. Но HI есть средняя пропорциональная между полурадиусом и тремя полурадиусами; и, следовательно, квадрат HI равен трем квадратам полурадиуса. Посему HI равно HV. Но поскольку AD разрезано посередине в H, то VH и HT равны; и, следовательно, также DT равно синусу 45 градусов. В радиусе BA возьмем BX, равное синусу 45 градусов; ибо так VX будет равно радиусу; и будет как VA к AH (полурадиусу), так VX (радиус) к XN (синус 45 градусов). Посему продолженная VH проходит через N. Наконец, на центре V радиусом VA пусть будет проведена дуга круга, пересекающая VH в Y; по выполнении чего VY будет равно HO (ибо HO, по построению, равно синусу 45 градусов), а YH будет равно OT; и, следовательно, VT проходит через O. Все это и требовалось доказать.

Я добавлю здесь определенные задачи, если какой-либо аналитик сможет выполнить построение, он тем самым сможет ясно судить о том, что я сейчас сказал относительно измерения круга. Теперь эти задачи суть не что иное (по крайней мере, для чувств), как определенные симптомы, сопровождающие построение первого и третьего рисунка этой главы.

Описывая, следовательно, снова квадрат ABCD (на рис. 5) и три квадранта ABD, BCA и DAC, проведем диагонали AC и BD, пересекающие дуги BHD и CIA посередине в H и I; и прямые линии EF и GL, делящие квадрат ABCD на четыре равных квадрата и трисектирующие дуги BHD и CIA, а именно, BHD в K и M, а CIA в M и O. Затем, разделив дугу BK посередине в P, проведем QP, синус дуги BP, и продолжим его до R, так что QR будет вдвое больше QP; и, соединив KR, продолжим ее в одну сторону до BC в S, а в другую сторону до продолженной BA в T. Также пусть BV будет сделано втрое больше BS, и, следовательно (согласно второй статье этой главы), равным дуге BD. Это построение то же самое, что и на первом рисунке, который я счел уместным обновить, освободив от всех линий, кроме тех, что необходимы для моей настоящей цели.

В первую очередь, следовательно, если провести AV, пересекающую дугу BHD в X, а сторону DC в Z, я желаю, чтобы какой-нибудь аналитик, если может, дал причину, почему прямые линии TE и TC должны пересекать дугу BD, одна в Y, другая в X, так чтобы сделать дугу BY равной дуге YX; или если они не равны, чтобы он определил их разность.

Во-вторых, если на стороне DA взять прямую линию Da, равную DZ, и провести Va; почему Va и VB должны быть равны; или если они не равны, какова разность.

В-третьих, проведя Zb параллельно и равно стороне CB, пересекающую дугу BHD в c, и проведя прямую линию Ac и продолжив ее до BV в d; почему Ad должно быть равно и параллельно прямой линии aV, и, следовательно, равно также дуге BD.

В-четвертых, проведя eK, синус дуги BK, и взяв (на продолжении eA) ef, равное диагонали AC, и соединив fC; почему fC должно проходить через a (каковая точка будучи дана, длина дуги BHD также дана) и c; и почему fe и fc должны быть равны; или если нет, почему неравны.

В-пятых, проведя fZ, я желаю, чтобы он показал, почему оно равно BV или дуге BD; или если они не равны, какова их разность.

В-шестых, допуская, что fZ равно дуге BD, я желаю, чтобы он определил, лежит ли оно все вне дуги BCA, или пересекает ее, или касается ее, и в какой точке.

В-седьмых, по завершении полукруга BDg, почему проведенная и продолженная gI должна проходить через X, каковой точкой X определяется длина дуги BD. И тот же gI, будучи еще далее продолжен до DC в h, почему Ad, которое равно дуге BD, должно проходить через эту точку h.

В-восьмых, на центре квадрата ABCD, который пусть будет k, проведя дугу квадранта EiL, пересекающую продолженное eK в i, почему проведенная прямая линия iX должна быть параллельна стороне CD.

В-девятых, на сторонах BA и BC взяв gl и Bm, по отдельности равные половине BV или дуге BH, и проведя mn параллельно и равно стороне BA, пересекающую дугу BD в o, почему прямая линия, которая соединяет Vl, должна проходить через точку o.

В-десятых, я хотел бы знать от него, почему прямая линия, которая соединяет aH, должна быть равна Bm; или если нет, насколько она отличается от него.

Аналитик, который может решить эти задачи, не зная сначала длины дуги BD или не используя никакого другого известного метода, кроме того, который идет путем постоянной бисекции угла, или почерпнут из рассмотрения природы изгиба, сделает больше, чем способна выполнить обычная геометрия. Но если измерение круга нельзя найти никаким другим методом, тогда я либо нашел его, либо его вовсе нельзя найти.

Из известной длины дуги квадранта и из пропорционального деления дуги и касательной BC может быть выведено сечение угла в любой заданной пропорции; как также квадратура круга, квадратура заданного сектора и многие подобные пропозиции, которые здесь нет необходимости доказывать. Я, поэтому, лишь представлю прямую линию, равную спирали Архимеда, и на этом закончу это размышление.

The equation of the spiral of Archimedes with a strait line.

5. Длина периметра круга будучи найдена, найдена также та прямая линия, которая касается спирали в конце ее первого оборота. Ибо на центре A (на рис. 6) пусть будет описан круг BCDE; и в нем пусть будет проведена спираль Архимеда AFGHB, начинающаяся в A и заканчивающаяся в B. Через центр A пусть будет проведена прямая линия CE, пересекающая диаметр BD под прямыми углами; и пусть она будет продолжена до I, так что AI будет равно периметру BCDEB. Поэтому проведенная IB будет касаться спирали AFGHB в B; что доказано Архимедом в его книге «О спиралях».

А для прямой линии, равной данной спирали AFGHB, ее можно найти так.

Пусть прямая линия AI, которая равна периметру BCDE, будет бисектирована в K; и, взяв KL, равное радиусу AB, пусть будет завершен прямоугольник IL. Пусть ML будет пониматься как ось, а KL — как основание параболы, и пусть MK будет ее кривой линией. Теперь, если представить, что точка M движется под воздействием двух движителей, один из IM к KL со скоростью, возрастающей постоянно в той же пропорции со временем, другой из ML к IK равномерно, так что оба эти движения начинаются вместе в M и заканчиваются в K; Галилей доказал, что таким движением точки M будет описана кривая линия параболы. Снова, если представить, что точка A движется равномерно по прямой линии AB и в то же время переносится вокруг центра A круговым движением всех точек между A и B; Архимед доказал, что таким движением будет описана спиральная линия. И видя, что круги всех этих движений концентричны в A; и внутренний круг всегда меньше внешнего в пропорции времен, в которые AB проходится равномерным движением; скорость также кругового движения точки A будет постоянно возрастать пропорционально временам. И до сих пор порождения параболической линии MK и спиральной линии AFGHB подобны. Но равномерное движение в AB, совпадающее с круговым движением в периметрах всех концентрических кругов, описывает тот круг, чей центр есть A, а периметр — BCDE; и, следовательно, этот круг есть (согласно следствию ст. 1, гл. XVI) совокупность всех скоростей вместе взятых точки A, пока она описывает спираль AFGHB. Также прямоугольник IKLM есть совокупность всех скоростей вместе взятых точки M, пока она описывает кривую линию MK. И, следовательно, вся скорость, с которой описывается параболическая линия MK, относится ко всей скорости, с которой описывается спиральная линия AFGHB в то же время, как прямоугольник IKLM к кругу BCDE, то есть к треугольнику AIB. Но поскольку AI бисектировано в K, а прямые линии IM и AB равны, поэтому прямоугольник IKLM и треугольник AIB также равны. Посему спиральная линия AFGHB и параболическая линия MK, будучи описаны с равной скоростью и в равные времена, равны друг другу. Теперь, в первой статье гл. XVIII, найдена прямая линия, равная любой параболической линии. Посему также найдена прямая линия, равная данной спиральной линии первого оборота, описанной Архимедом; что и требовалось сделать.

Of the analysis of geometricians by the powers of lines.

6. В шестой главе, которая о методе, то, о чем я должен был там сказать об аналитике геометров, я счел уместным отложить, потому что я не мог бы быть там понят, так как не назвал тогда даже линий, поверхностей, тел, равных и неравных и т.д. Посему я изложу в этом месте свои мысли относительно этого.

Анализ есть непрерывное рассуждение от определений терминов пропозиции, которую мы предполагаем истинной, и снова от определений терминов этих определений, и так далее, пока мы не придем к некоторым известным вещам, композиция которых есть доказательство истинности или ложности первого предположения; и эта композиция или доказательство есть то, что мы называем синтезом. Analytica, следовательно, есть то искусство, посредством которого наш разум переходит от чего-то предполагаемого к принципам, то есть к первичным пропозициям, или к таким, которые известны из них, пока у нас не будет столько известных пропозиций, сколько достаточно для доказательства истинности или ложности предполагаемой вещи. Synthetica есть само искусство доказательства. Синтез, следовательно, и анализ различаются ничем, кроме как движением вперед или назад; и Logistica охватывает и то, и другое. Так что в анализе или синтезе любого вопроса, то есть любой задачи, термины всех пропозиций должны быть обратимыми; или если они сформулированы гипотетически, истинность следствия должна не только вытекать из истинности его антецедента, но, напротив, истинность антецедента должна необходимо выводиться из истинности следствия. Ибо иначе, когда путем разрешения мы приходим к принципам, мы не можем путем композиции вернуться прямо назад к искомой вещи. Ибо те термины, которые являются первыми в анализе, будут последними в синтезе; как, например, когда при разрешении мы говорим: эти два прямоугольника равны, и поэтому их стороны обратно пропорциональны, мы должны необходимо при композиции сказать: стороны этих прямоугольников обратно пропорциональны, и поэтому сами прямоугольники равны; чего мы не могли бы сказать, если бы «прямоугольники имеют стороны обратно пропорциональные» и «прямоугольники равны» не были терминами обратимыми.

Теперь в каждом анализе то, что ищется, есть пропорция двух величин; посредством которой пропорции, будучи описана фигура, искомая величина может быть представлена чувствам. И эта экспозиция есть конец и решение вопроса, или построение задачи.

И видя, что анализ есть рассуждение от чего-то предполагаемого, пока мы не придем к принципам, то есть к определениям или теоремам, ранее известным; и видя, что то же рассуждение стремится в последнем месте к некоторому уравнению, мы можем, следовательно, не делать конца разрешения, пока не придем наконец к самим причинам равенства и неравенства, или к теоремам, ранее доказанным из этих причин; и так иметь достаточное число тех теорем для доказательства искомой вещи.

И видя также, что конец аналитики есть либо построение такой задачи, которая возможна, либо обнаружение невозможности оной; когда бы задача ни могла быть решена, аналитик не должен останавливаться, пока не придет к тем вещам, которые содержат эффективную причину того, относительно чего он должен сделать построение. Но он должен по необходимости остановиться, когда придет к первичным пропозициям; и это есть определения. Эти определения, следовательно, должны содержать эффективную причину его построения; я говорю его построения, а не заключения, которое он доказывает; ибо причина заключения содержится в предпосланных пропозициях; то есть истинность пропозиции, которую он доказывает, выводится из пропозиций, которые доказывают оную. Но причина его построения — в самих вещах и состоит в движении или в стечении движений. Посему те пропозиции, в которых заканчивается анализ, суть определения, но такие, которые означают, каким образом происходит построение или порождение вещи. Ибо иначе, когда он пойдет назад путем синтеза к доказательству своей задачи, он не придет ни к какому доказательству вовсе; не будучи никакого истинного доказательства, кроме такого, которое является научным; и никакое доказательство не является научным, кроме того, которое исходит из знания причин, из которых выведено построение задачи. Чтобы собрать, следовательно, то, что было сказано, в немногих словах: АНАЛИЗ есть рассуждение от предполагаемого построения или порождения вещи к эффективной причине или коэффициентам причин того, что построено или порождено. А СИНТЕЗ есть рассуждение от первых причин построения, продолженное через все средние причины, пока мы не придем к самой вещи, которая построена или порождена.

Но поскольку существует много средств, которыми одна и та же вещь может быть порождена или одна и та же задача построена, поэтому ни все геометры, ни один и тот же геометр не используют всегда один и тот же метод. Ибо, если к некоторой данной величине требуется построить другую величину, равную ей, могут быть такие, которые будут спрашивать, нельзя ли это сделать посредством некоторого движения. Ибо существуют величины, равенство и неравенство которых могут быть аргументированы из движения и времени, так же как из конгруэнтности; и существует движение, посредством которого две величины, будь то линии или поверхности, хотя одна из них кривая, а другая прямая, могут быть сделаны конгруэнтными или совпадающими. И этот метод Архимед использовал в своей книге «О спиралях». Также равенство или неравенство двух величин может быть найдено и доказано из рассмотрения веса, как тот же Архимед делал в своей квадратуре параболы. Кроме того, равенство и неравенство часто обнаруживаются путем деления двух величин на части, которые рассматриваются как неделимые; как Кавальери Бонавентура делал в наше время, и Архимед часто. Наконец, то же самое выполняется путем рассмотрения степеней линий или корней этих степеней, и путем умножения, деления, сложения и вычитания, а также путем извлечения корней этих степеней, или путем нахождения, где заканчиваются прямые линии той же пропорции. Например, когда любое число прямых линий, сколько бы их ни было, проведено из прямой линии и все проходят через одну и ту же точку, посмотрите, какую пропорцию они имеют, и если их части, продолженные от точки, сохраняют везде ту же пропорцию, они все закончатся в прямой линии. И то же самое происходит, если точка взята между двумя кругами. Так что места всех их точек окончания образуют либо прямые линии, либо окружности кругов и называются плоскими местами. Так же, когда прямые параллельные линии приложены к одной прямой линии, если части прямой линии, к которой они приложены, относятся друг к другу в пропорции, дубликатной пропорции смежных приложенных линий, они все закончатся в коническом сечении; которое сечение, будучи местом их окончания, называется твердым местом, потому что оно служит для нахождения величины любого уравнения, которое состоит из трех измерений. Существует, следовательно, три способа нахождения причины равенства или неравенства между двумя данными величинами; а именно: во-первых, путем вычисления движений; ибо равным движением и равным временем описываются равные пространства; и взвешивание есть движение. Во-вторых, неделимыми: потому что все части вместе взятые равны целому. И в-третьих, степенями: ибо когда они равны, их корни также равны; и, напротив, степени равны, когда их корни равны. Но если вопрос сильно усложнен, не может быть ни одним из этих способов установлено верное правило, с предположения о какой из неизвестных величин анализ может лучше всего начаться; ни из разнообразия уравнений, которые поначалу появляются, какое нам лучше выбрать; но успех будет зависеть от ловкости, от ранее приобретенной науки и зачастую от удачи.

Ибо никто никогда не может быть хорошим аналитиком, не будучи сначала хорошим геометром; и правила анализа не делают геометра, как делает синтез; который начинается с самых элементов и продолжается путем логического использования оных. Ибо истинное обучение геометрии — путем синтеза, согласно методу Евклида; и тот, кто имеет Евклида своим учителем, может быть геометром без Виета, хотя Виет был достойнейшим геометром; но тот, кто имеет Виета своим учителем, не так, без Евклида.

Что же касается той части анализа, которая работает с помощью степеней, то, хотя некоторые геометры и не считают ее главным способом решения всех задач, она не имеет большого охвата, поскольку вся содержится в учении о прямоугольниках и прямоугольных телах. Так что, хотя они и приходят к уравнению, определяющему искомую величину, иногда они не могут с помощью искусства представить эту величину на плоскости, а лишь в некотором коническом сечении; то есть, как говорят геометры, не геометрически, а механически. Такие задачи они называют солидными; а когда они не могут представить искомую величину с помощью конического сечения, они называют ее линейной задачей. И поэтому в величинах углов и дуг кругов нет никакого применения аналитике, которая оперирует степенями; так что древние объявляли невозможным представить на плоскости деление углов, за исключением бисекции и бисекции разделенных частей, иначе как механически. Ибо Папп (перед 31-й пропозицией своего четвертого книги), различая и определяя различные виды задач, говорит, что «одни являются плоскими, другие солидными, а третьи линейными. Те, следовательно, которые могут быть решены с помощью прямых линий и окружностей кругов (то есть которые могут быть описаны с помощью линейки и циркуля без какого-либо другого инструмента), справедливо называются плоскими; ибо линии, с помощью которых находятся такие задачи, имеют свое порождение на плоскости. Но те, которые решаются с помощью использования одного или нескольких конических сечений при их построении, называются солидными, потому что их построение не может быть выполнено без использования поверхности твердых тел, а именно конусов. Остается третий вид, который называется линейным, потому что в их построении используются другие линии, помимо уже упомянутых, и т. д.». И немного далее он говорит: «К этому виду относятся спиральные линии, квадратрисы, конхоиды и циссоиды. И геометры считают немалой ошибкой, когда для нахождения плоской задачи кто-либо использует конические сечения или новые линии». Теперь он причисляет трисекцию угла к солидным задачам, а квинтусекцию — к линейным. Но что же! Следует ли винить древних геометров, которые использовали квадратрису для нахождения прямой линии, равной дуге круга? И сам Папп, был ли он неправ, когда нашел трисекцию угла с помощью гиперболы? Или я неправ, полагая, что нашел построение обеих этих задач только с помощью линейки и циркуля? Ни они, ни я. Ибо древние использовали этот анализ, который оперирует степенями; и у них считалось ошибкой делать то с помощью более отдаленной степени, что могло быть сделано с помощью более близкой; поскольку это было аргументом того, что они недостаточно понимали природу самой вещи.

Сила этого вида анализа состоит в изменении, повороте и перебрасывании прямоугольников и аналогизмов; и мастерство аналитиков — это чистая логика, с помощью которой они способны методично находить все, что скрыто либо в субъекте, либо в предикате искомого заключения. Но это не относится собственно к алгебре или аналитике специозной, символической или коссической, которые являются, если можно так выразиться, брахиграфией аналитики и искусством не обучения или изучения геометрии, а краткой и быстрой регистрации открытий геометров. Ибо, хотя легко рассуждать с помощью символов об очень отдаленных пропозициях, я не знаю, заслуживает ли такое рассуждение того, чтобы считаться очень полезным, когда оно ведется без каких-либо идей о самих вещах.

ГЛ. XX. О трансляции. Рис. 1-2

ГЛ. XX. О трансляции. Рис. 3

ГЛ. XX. О трансляции. Рис. 4

ГЛ. XX. О трансляции. Рис. 5-6

ГЛАВА XXI. О КРУГОВОМ ДВИЖЕНИИ.

1. При простом движении каждая прямая линия, взятая в движущемся теле, переносится так, что она всегда параллельна тем местам, в которых она находилась ранее. — 2. Если круговое движение совершается вокруг покоящегося центра и в этом круге имеется эпицикл, обращение которого совершается в обратную сторону таким образом, что за равные времена он описывает равные углы, то каждая прямая линия, взятая в этом эпицикле, будет переноситься так, что она всегда будет параллельна тем местам, в которых она находилась ранее. — 3. Свойства простого движения. — 4. Если жидкость движется простым круговым движением, все точки, взятые в ней, будут описывать свои круги за времена, пропорциональные расстояниям от центра. — 5. Простое движение рассеивает гетерогенные и собирает гомогенные тела. — 6. Если круг, образованный движителем, движущимся простым движением, соизмерим с другим кругом, образованным точкой, которая переносится тем же движителем, то все точки обоих кругов в какое-то время вернутся в то же положение. — 7. Если сфера совершает простое движение, ее движение будет тем сильнее рассеивать гетерогенные тела, чем дальше оно от полюсов. — 8. Если простое круговое движение жидкого тела затруднено телом, которое не является жидким, жидкое тело будет распространяться по поверхности этого тела. — 9. Круговое движение вокруг фиксированного центра отбрасывает по касательной те вещи, которые лежат на окружности и не прилипают к ней. — 10. Вещи, которые движутся простым круговым движением, порождают простое круговое движение. — 11. Если то, что так движется, имеет одну сторону твердую, а другую жидкую, его движение не будет идеально круговым.

In simple motion, every strait line taken in the body moved is so carried, that it is always parallel to the places in which it formerly was.

1. Я уже определил простое движение как такое, при котором различные точки, взятые в движущемся теле, за различные равные времена описывают различные равные дуги. И поэтому при простом круговом движении необходимо, чтобы каждая прямая линия, взятая в движущемся теле, всегда переносилась параллельно самой себе; что я и доказываю следующим образом.

Во-первых, пусть A B (на первом рисунке) будет любой прямой линией, взятой в любом твердом теле; и пусть A D будет любой дугой, проведенной на любом центре C и радиусе CA. Пусть точка B описывает в ту же сторону дугу B E, подобную и равную дуге A D. Теперь, за то же время, в которое точка A проходит дугу A D, точка B, которая по причине своего простого движения предполагается движущейся со скоростью, равной скорости A, пройдет дугу B E; и в конце того же времени все A B будет находиться в D E; и поэтому A B и D E равны. И поскольку дуги A D и B E подобны и равны, их стягивающие прямые линии AD и BE также будут равны; и поэтому четырехсторонняя фигура A B D E будет параллелограммом. Следовательно, A B переносится параллельно самой себе. И то же самое может быть доказано тем же методом, если любая другая прямая линия будет взята в том же движущемся теле, в котором была взята прямая линия A B. Таким образом, все прямые линии, взятые в теле, движущемся простым круговым движением, будут переноситься параллельно самим себе.

Следствие I. Очевидно, что то же самое произойдет и в любом теле, которое имеет простое движение, хотя и не круговое. Ибо все точки любой прямой линии будут описывать линии, хотя и не круговые, но равные; так что, хотя кривые линии A D и B E были не дугами кругов, а парабол, эллипсов или любых других фигур, все же и они, и их хорды, и прямые линии, которые их соединяют, были бы равны и параллельны.

Следствие II. Также очевидно, что радиусы равных кругов A D и B E или ось сферы будут переноситься так, чтобы всегда быть параллельными тем местам, в которых они находились ранее. Ибо прямая линия B F, проведенная к центру дуги B E, будучи равной радиусу A C, будет также равна прямой линии F E или C D; и угол B F E будет равен углу A C D. Теперь, поскольку пересечение прямых линий C A и B E находится в G, угол C G E (поскольку B E и A D параллельны) будет равен углу D A C. Но угол E B F равен тому же углу D A C; и поэтому углы C G E и E B F также равны. Следовательно, A C и B F параллельны; что и требовалось доказать.

If circular motion be made about a resting centre, and in that circle there be an epicycle whose revolution is made the contrary way, in such manner that in equal times it make equal angles, every strait line taken in that epicycle will be so carried, that it will always be parallel to the places in which it formerly was.

2. Пусть дан круг (на втором рисунке), центр которого A, а радиус A B; и на центре B и любом радиусе B C пусть будет описан эпицикл C D E. Пусть центр B переносится вокруг центра A, а весь эпицикл вместе с ним, пока он не совпадет с кругом F G H, центр которого I; и пусть B A I будет любой заданный угол. Но за то время, пока центр B перемещается в I, пусть эпицикл C D E совершает обратное вращение вокруг своего собственного центра, а именно от E через D к C, согласно тем же пропорциям; то есть таким образом, чтобы в обоих кругах за равные времена совершались равные углы. Я утверждаю, что E C, ось эпицикла, всегда будет переноситься параллельно самой себе. Пусть угол F I G будет равен углу B A I; следовательно, I F и A B будут параллельны; и насколько ось A G отклонилась от своего прежнего места A C (мерой которого является угол C A G или C B D, который я предполагаю равным ему), настолько же за то же время ось I G, совпадающая с B C, отклонилась от своего прежнего положения. Следовательно, за то время, за которое B C приходит в I G движением от B к I вокруг центра A, за то же время G придет в F обратным движением эпицикла; то есть он будет повернут назад к F, и I G будет лежать в I F. Но углы F I G и G A C равны; и поэтому A C, то есть B C, и I F (то есть ось, хотя и в разных местах) будут параллельны. Следовательно, ось эпицикла E D C будет всегда переноситься параллельно самой себе; что и требовалось доказать.

Следствие. Отсюда очевидно, что те два годовых движения, которые Коперник приписывает Земле, сводимы к этому одному круговому простому движению, посредством которого все точки движущегося тела переносятся всегда с равной скоростью, то есть за равные времена они совершают равные обороты равномерно.

Это, будучи самым простым, является также самым частым из всех круговых движений; оно такое же, какое используют все люди, когда вращают что-либо своими руками, как они делают при помоле или просеивании. Ибо все точки движущейся вещи описывают линии, которые подобны и равны друг другу. Так что если бы у человека была линейка, в которой закреплено много перьев равной длины, он мог бы этим одним движением написать много линий сразу.

Properties of simple motion.

3. Показав, что такое простое движение, я изложу здесь также некоторые его свойства.

Во-первых, когда тело движется простым движением в жидкой среде, в которой нет пустоты, оно изменяет положение всех частей окружающей жидкости, которые сопротивляются его движению; я утверждаю, что нет таких малых частей окружающей жидкости, как бы далеко она ни простиралась, которые не изменяли бы своего положения таким образом, что они постоянно оставляют свои места другим малым частям, которые приходят на их место.

Ибо (на том же втором рисунке) пусть любое тело, как K L M N, движется простым круговым движением; и пусть круг, который описывает каждая его точка, имеет любую определенную величину, предположим, что такую же, как K L M N. Следовательно, центр A и каждая другая точка, и, следовательно, само движущееся тело, будут переноситься иногда к стороне, где находится K, а иногда к другой стороне, где находится M. Когда, следовательно, оно переносится к K, части жидкой среды с той стороны будут отступать; и, предполагая, что все пространство заполнено, другие с другой стороны будут следовать за ними. И так будет, когда тело переносится к стороне M, и к N, и во все стороны. Теперь, когда ближайшие части жидкой среды отступают, необходимо, чтобы части, прилегающие к этим ближайшим частям, также отступали; и, все еще предполагая, что все пространство заполнено, другие части будут приходить на их места с постоянной и бесконечной последовательностью. Следовательно, все, даже самые малые части жидкой среды, меняют свои места и т. д. Что и требовалось доказать.

Отсюда очевидно, что простое движение, круговое или некруговое, тел, которые совершают постоянные возвраты к своим прежним местам, имеет большую или меньшую силу для рассеивания частей сопротивляющихся тел, в зависимости от того, насколько оно быстрее или медленнее, и от того, имеют ли описываемые линии большую или меньшую величину. Теперь наибольшую скорость, которая может быть, можно понимать как имеющуюся в наименьшем круге, а наименьшую — в наибольшем; и это можно предполагать, когда есть необходимость.

If a fluid be moved with simple circular motion, all the points taken in it will describe their circles in times proportional to the distances from the centre.

4. Во-вторых, предполагая то же простое движение в воздухе, воде или другой жидкой среде, части среды, которые прилипают к движущемуся телу, будут переноситься вместе с тем же движением и скоростью, так что за любое время, за которое любая точка движителя завершает свой круг, за то же время каждая часть среды, которая прилипает к движителю, также опишет такую часть своего круга, которая равна целому кругу движителя; я утверждаю, что она опишет часть, а не целый круг, потому что все ее части получают свое движение от внутреннего концентрического движителя, а из концентрических кругов внешние всегда больше внутренних; и движение, отпечатанное любым движителем, не может быть большей скорости, чем скорость самого движителя. Откуда следует, что более удаленные части окружающей жидкости будут завершать свои круги за времена, которые имеют друг к другу ту же пропорцию, что и их расстояния от движителя. Ибо каждая точка окружающей жидкости, пока она касается тела, которое переносит ее, переносится вместе с ним и описывала бы тот же круг, если бы она не отставала настолько, насколько внешний круг превышает внутренний. Так что если мы предположим, что какая-то вещь, которая не является жидкой, плавает в той части окружающей жидкости, которая ближе всего к движителю, она будет переноситься вместе с движителем. Теперь та часть окружающей жидкости, которая не является ближайшей, но почти ближайшей, получая свою степень скорости от ближайшей, которая не может быть больше, чем она была у дающего, поэтому за то же время совершает круговую линию, не целый круг, но равную целому кругу ближайшей. Поэтому за то же время, за которое движитель описывает свой круг, то, что не касается его, не опишет свой круг; все же оно опишет такую его часть, которая равна целому кругу движителя. И таким же образом более удаленные части окружающей среды будут описывать за то же время такие части своих кругов, которые будут по отдельности равны целому кругу движителя; и, следовательно, они будут завершать свои целые круги за времена, пропорциональные их расстояниям от движителя; что и требовалось доказать.

Simple motion dissipates heterogeneous and congregates
homogeneous bodies.

5. В-третьих, то же простое движение тела, помещенного в жидкую среду, собирает или объединяет в одном месте такие вещи, которые естественно плавают в этой среде, если они гомогенны; а если они гетерогенны, оно разделяет и рассеивает их. Но если такие вещи, которые гетерогенны, не плавают, а оседают, то то же движение взбалтывает и беспорядочно перемешивает их вместе. Ибо, видя, что тела, которые не похожи друг на друга, то есть гетерогенные тела, не являются непохожими в том, что они тела; ибо тела, как тела, не имеют различия; но только от какой-то особой причины, то есть от какого-то внутреннего движения или движений их мельчайших частей (ибо я показал в гл. IX, ст. 9, что всякое изменение есть такое движение), остается, что гетерогенные тела имеют свою непохожесть или различие друг от друга от своих внутренних или специфических движений. Теперь тела, которые имеют такое различие, получают непохожие и различные движения от одного и того же внешнего общего движителя; и поэтому они не будут двигаться вместе, то есть они будут рассеяны. И будучи рассеянными, они обязательно в какое-то время встретятся с телами, похожими на них самих, и будут двигаться одинаково и вместе с ними; и впоследствии, встречая больше тел, похожих на них самих, они объединятся и станут большими телами. Поэтому гомогенные тела собираются, а гетерогенные рассеиваются простым движением в среде, где они естественно плавают. Опять же, такие, которые, находясь в жидкой среде, не плавают, а тонут, если движение жидкой среды достаточно сильное, будут взболтаны и унесены этим движением, и, следовательно, им будет помешано вернуться в то место, в которое они тонут естественно и в котором только они объединились бы, и из которого они беспорядочно уносятся; то есть они беспорядочно перемешиваются.

Теперь это движение, посредством которого гомогенные тела собираются, а гетерогенные рассеиваются, есть то, что обычно называют ферментацией, от латинского fervere; как у греков есть их Ζύμη, что означает то же самое, от Ζέω ferveo. Ибо кипение заставляет все части воды менять свои места; и части любой вещи, которая брошена в нее, будут идти разными путями согласно их разным природам. И все же не всякое волнение или кипение вызвано огнем; ибо молодое вино и многие другие вещи также имеют свою ферментацию и волнение, к которым огонь вносит малый вклад, а иногда и никакой. Но когда при ферментации мы находим тепло, оно создается ферментацией.

If a circle made by a movent moved with simple motion, be commensurable to another circle made by a point which is carried about by the same movent, all the points of both the circles will at some time return to the same situation.

6. В-четвертых, за любое время, за которое движитель, центр которого A (на рис. 2), движущийся в K L N, совершит любое число оборотов, то есть когда периметры B I и K L N соизмеримы, опишет линию, равную кругу, который проходит через точки B и I, за то же время все точки плавающего тела, центр которого B, вернутся к тому же положению по отношению к движителю, из которого они вышли. Ибо, видя, что как расстояние B A, то есть как радиус круга, который проходит через B I, относится к самому периметру B I, так радиус круга K L N относится к периметру K L N; и видя, что скорости точек B и K равны, время также оборота в I B ко времени одного оборота в K L N будет как периметр B I к периметру K L N; и поэтому столько оборотов в K L N, сколько в сумме равны периметру B I, будет завершено за то же время, в которое завершается весь периметр B I; и поэтому также точки L, N, F и H, или любые другие, за то же время вернутся к тому же положению, из которого они вышли; и это может быть доказано, какие бы точки ни рассматривались. Поэтому все точки за это время вернутся к тому же положению; что и требовалось доказать.

Отсюда следует, что если периметры B I и L K N не соизмеримы, то все точки никогда не вернутся к тому же положению или конфигурации по отношению друг к другу.

If a sphere have simple motion, its motion will more dissipate heterogeneous bodies by how much it is more remote from the poles.

7. При простом движении, если движущееся тело имеет сферическую форму, оно имеет меньшую силу по направлению к своим полюсам, чем по направлению к своей середине, чтобы рассеивать гетерогенные или собирать гомогенные тела.

Пусть будет сфера (как на третьем рисунке), центр которой A, а диаметр B C; и пусть она мыслится движущейся простым круговым движением; осью которого пусть будет прямая линия D E, пересекающая диаметр B C под прямыми углами в A. Пусть теперь круг, который описывается любой точкой B сферы, имеет B F своим диаметром; и, взяв F G равным B C и разделив его пополам в H, центр сферы A будет, когда завершится половина оборота, находиться в H. И видя, что H F и A B равны, круг, описанный на центре H с радиусом H F или H G, будет равен кругу, центр которого A, а радиус A B. И если то же движение будет продолжено, точка B в конце другого полуоборота вернется к месту, откуда она начала двигаться; и поэтому в конце полуоборота точка B будет перенесена в F, а все полушарие D B E — в то полушарие, в котором находятся точки L, K и F. Поэтому та часть жидкой среды, которая прилегает к точке F, за то же время отступит на длину прямой линии B F; и при возвращении точки F к B, то есть G к C, жидкая среда отступит настолько же по прямой линии от точки C. И это есть эффект простого движения в середине сферы, где расстояние от полюсов наибольшее. Пусть теперь точка I будет взята в той же сфере ближе к полюсу E, и через нее пусть будет проведена прямая линия I K параллельно прямой линии B F, пересекающая дугу F L в K, а ось H L в M; затем, соединив H K, на H F пусть будет проведен перпендикуляр K N. За то же время, следовательно, за которое B приходит в F, точка I придет в K, так как B F и I K равны и описываются с той же скоростью. Теперь движение в I K к жидкой среде, на которую оно воздействует, а именно к той части среды, которая прилегает к точке K, является косым, тогда как если бы оно продолжалось по прямой линии H K, оно было бы перпендикулярным; и поэтому движение, которое продолжается в I K, имеет меньшую силу, чем то, которое продолжается в H K с той же скоростью. Но движения в H K и H F одинаково отталкивают среду; и поэтому часть сферы в K движет среду меньше, чем часть в F, а именно настолько меньше, насколько K N меньше H F. Поэтому также то же движение имеет меньшую силу для рассеивания гетерогенных и собирания гомогенных тел, когда оно ближе, чем когда оно дальше от полюсов; что и требовалось доказать.

Следствие. Также необходимо, чтобы в плоскостях, которые перпендикулярны оси и более удалены, чем сам полюс, от середины сферы, это простое движение не имело никакого эффекта. Ибо ось D E при простом движении описывает поверхность цилиндра; и по направлению к основаниям цилиндра в этом движении нет никакого стремления вообще.

If a simple circular motion of a fluid body be hindered by a body which is not fluid, the fluid body will spread itself upon the superficies of that body.

8. Если в жидкой среде, движущейся, как было сказано, простым движением, мыслится плавающим какое-то другое сферическое тело, которое не является жидким, части среды, которые остановлены этим телом, будут стремиться распространиться во все стороны по поверхности его. И это достаточно очевидно из опыта, а именно из распространения воды, вылитой на мостовую. Но причина этого может быть такой. Видя, что сфера A (на рис. 3) движется к B, среда, в которой она движется, также будет иметь то же движение. Но поскольку в этом движении она падает на тело, не являющееся жидким, как G, так что она не может продолжать движение; и видя, что малые части среды не могут идти вперед, и не могут идти прямо назад против силы движителя; остается, следовательно, что они распространяются по поверхности этого тела, как к O и P; что и требовалось доказать.

Circular motion about a fixed centre casteth off by the tangent such things as lie upon the circumference & stick not to it.

9. Составное круговое движение, в котором все части движущегося тела одновременно описывают окружности, некоторые большие, другие меньшие, согласно пропорции их различных расстояний от общего центра, переносит вместе с собой такие тела, которые, не будучи жидкими, прилипают к телу, так движущемуся; а те, которые не прилипают, оно отбрасывает вперед по прямой линии, которая является касательной к точке, из которой они отбрасываются.

Ибо пусть будет круг, радиус которого A B (на рис. 4); и пусть тело будет помещено в окружности в B, которое, если оно закреплено там, будет обязательно переноситься вместе с ним, что очевидно само по себе. Но пока движение продолжается, предположим, что это тело не закреплено в B. Я утверждаю, что тело продолжит свое движение по касательной B C. Ибо пусть и радиус A B, и сфера B мыслятся состоящими из твердой материи; и предположим, что радиус A B ударен в точке B каким-то другим телом, которое падает на него по касательной D B. Теперь, следовательно, будет движение, совершенное соединением двух вещей: одна — стремление к C по прямой линии D B, продолженной, по которой тело B продолжало бы движение, если бы оно не удерживалось радиусом A B; другая — само удержание. Но удержание само по себе не вызывает никакого стремления к центру; и, следовательно, удержание будучи снятым, что делается откреплением B, останется только одно стремление в B, а именно то, что по касательной B C. Следовательно, движение тела B, не закрепленного, продолжится по касательной B C; что и требовалось доказать.

Из этой демонстрации очевидно, что круговое движение вокруг неподвижной оси стряхивает и удаляет дальше от центра своего движения такие вещи, которые касаются, но не прилипают крепко к его поверхности; и тем больше, чем больше расстояние от полюсов кругового движения; и также тем больше, чем меньше вещи, которые стряхиваются, прижимаются к центру окружающей жидкостью по другим причинам.

Such things as are moved with simple circular motion, beget simple circular motion.

10. Если в жидкой среде сферическое тело движется простым круговым движением, и в той же среде плавает другая сфера, материя которой не является жидкой, эта сфера также будет двигаться простым круговым движением.

Пусть B C D (на рис. 5) будет круг, центр которого A, и в окружности которого находится сфера, движущаяся так, что она описывает простым движением периметр B C D. Пусть также E F G будет другая сфера из консистентной материи, полудиаметр которой E H, а центр H; и с радиусом A H пусть будет описан круг H I. Я утверждаю, что сфера E F G будет, движением тела в B C D, двигаться в окружности H I простым движением.

Ибо видя, что движение в B C D (по ст. 4 этой главы) заставляет все точки жидкой среды описывать за то же время круговые линии, равные друг другу, точки E, H и G прямой линии E H G будут за то же время описывать с равными радиусами равные круги. Пусть E B будет проведена равной и параллельной прямой линии A H; и пусть A B будет соединена, которая поэтому будет равна и параллельна E H; и поэтому также, если на центре B и радиусе B E будет проведена дуга E K, равная дуге H I, и будут проведены прямые линии A I, B K и I K, B K и A I будут равны; и они будут также параллельны, потому что две дуги E K и H I, то есть два угла K B E и I A H, равны; и, следовательно, прямые линии A B и K I, которые соединяют их, будут также равны и параллельны. Следовательно, K I и E H параллельны. Видя, следовательно, что E и H переносятся за то же время в K и I, вся прямая линия I K будет параллельна E H, от которой она отошла. И, следовательно, видя, что сфера E F G предполагается из консистентной материи, так что все ее точки сохраняют всегда то же положение, необходимо, чтобы каждая другая прямая линия, взятая в той же сфере, переносилась всегда параллельно тем местам, в которых она находилась ранее. Следовательно, сфера E F G движется простым круговым движением; что и требовалось доказать.

If that which is so moved have one side hard and the other side fluid, its motion will not be perfectly circular.

11. Если в жидкой среде, части которой взболтаны телом, движущимся простым движением, плавает другое тело, которое имеет свою поверхность либо полностью твердой, либо полностью жидкой, части этого тела будут приближаться к центру одинаково со всех сторон; то есть движение тела будет круговым и концентричным с движением движителя. Но если оно имеет одну сторону твердую, а другую жидкую, тогда оба эти движения не будут иметь одного и того же центра, и плавающее тело не будет двигаться в окружности идеального круга.

Пусть тело движется в окружности круга K L M N (на рис. 2), центр которого A. И пусть будет другое тело в I, поверхность которого либо вся твердая, либо вся жидкая. Также пусть среда, в которой помещены оба эти тела, будет жидкой. Я утверждаю, что тело в I будет двигаться в круге I B вокруг центра A. Ибо это было доказано в последней статье.

Поэтому пусть поверхность тела в I будет жидкой с одной стороны и твердой с другой. И сначала пусть жидкая сторона будет по направлению к центру. Видя, следовательно, что движение среды таково, что ее части постоянно меняют свои места (как было показано в ст. 5); если это изменение места рассматривается в тех частях среды, которые прилегают к жидкой поверхности, необходимо, чтобы малые части этой поверхности входили в места малых частей среды, которые прилегают к ним; и подобное изменение места будет совершаться со следующими прилегающими частями по направлению к A. И если жидкие части тела в I имеют хоть какую-то степень цепкости (ибо есть степени цепкости, как в воздухе и воде), вся жидкая сторона будет немного приподнята, но тем меньше, чем меньше цепкости имеют ее части; тогда как твердая часть поверхности, которая прилегает к жидкой части, не имеет никакой причины вообще для подъема, то есть никакого стремления к A.

Во-вторых, пусть твердая поверхность тела в I будет по направлению к A. По причине, следовательно, сказанного изменения места частей, которые прилегают к ней, твердая поверхность должна, по необходимости, видя, что по предположению нет пустого пространства, либо подойти ближе к A, либо ее мельчайшие части должны восполнить прилегающие места среды, которые иначе были бы пустыми. Но это не может быть по причине предполагаемой твердости; и, следовательно, другое должно быть, а именно, что тело подходит ближе к A. Следовательно, тело в I имеет большее стремление к центру A, когда его твердая сторона рядом с ним, чем когда она отвернута от него. Но тело в I, пока оно движется в окружности круга I B, имеет иногда одну сторону, иногда другую, повернутую к центру; и, следовательно, оно иногда ближе, иногда дальше от центра A. Следовательно, тело в I не переносится в окружности идеального круга; что и требовалось доказать.

Том 1. Лат. и англ. ГЛ. XXI. Рис. 1-5

Fig 1. | Fig 2. | Fig 3. | Fig 4. | Fig 5.

ГЛАВА XXII. О ДРУГОМ РАЗНООБРАЗИИ ДВИЖЕНИЯ.

1. Стремление и давление, как они различаются. — 2. Два вида сред, в которых движутся тела. — 3. Распространение движения, что это такое. — 4. Какое движение имеют тела, когда они давят друг на друга. — 5. Жидкие тела, когда они сдавлены вместе, проникают друг в друга. — 6. Когда одно тело давит другое и не проникает его, действие давящего тела перпендикулярно поверхности сдавленного тела. — 7. Когда твердое тело, давя другое тело, проникает его, оно не проникает его перпендикулярно, если только не падает перпендикулярно на него. — 8. Движение иногда противоположно движению движителя. — 9. В полной среде движение распространяется на любое расстояние. — 10. Дилатация и контракция, что это такое. — 11. Дилатация и контракция предполагают изменение мельчайших частей в отношении их положения. — 12. Всякое тяжение есть пульсия. — 13. Такие вещи, которые, будучи сдавлены или согнуты, восстанавливают себя, имеют движение в своих внутренних частях. — 14. Хотя то, что несет другое, остановлено, переносимое тело продолжит движение. — 15, 16. Эффекты перкуссии не сравнимы с эффектами веса. — 17, 18. Движение не может начаться сначала во внутренних частях тела. — 19. Действие и реакция происходят на одной и той же линии. — 20. Привычка, что это такое.

Endeavour and pressure how they differ.

1. Я уже (глава XV, ст. 2) определил стремление как движение через некоторую длину, хотя и рассматриваемое не как длина, а как точка. Поэтому, есть ли сопротивление или нет сопротивления, стремление все равно будет тем же. Ибо просто стремиться — значит идти. Но когда два тела, имея противоположные стремления, давят друг на друга, тогда стремление любого из них есть то, что мы называем давлением, и оно взаимно, когда их давления противоположны.

Two kinds of mediums in which bodies are moved.

2. Движущиеся тела, а также среды, в которых они движутся, бывают двух видов. Ибо либо они имеют свои части сцепленными таким образом, что никакая часть движущегося тела не уступит легко движителю, если не уступит и все тело, и такие вещи мы называем твердыми: или же их части, пока целое остается неподвижным, будут легко уступать движителю, и эти мы называем жидкими или мягкими телами. Ибо слова жидкий, мягкий, жесткий и твердый, так же как великий и малый, используются только сравнительно; и не являются разными видами, а разными степенями качества.

Propagation of motion, what it is.

3. Делать и страдать — значит двигать и быть движимым; и ничто не движется, кроме как тем, что касается его и также движется, как было показано ранее. И как бы велика ни была дистанция, мы говорим, что первый движитель движет последнее движимое тело, но опосредованно; а именно так, что первый движет второго, второй — третьего и так далее, пока последнее из всех не будет затронуто. Когда, следовательно, одно тело, имея противоположное стремление к другому телу, движет его, а то движет третье и так далее, я называю это действие распространением движения.

What motion bodies have when they press one another.

4. Когда два жидких тела, которые находятся в свободном и открытом пространстве, давят друг на друга, их части будут стремиться или двигаться по направлению к сторонам; не только те части, которые находятся там, где есть взаимный контакт, но и все другие части. Ибо при первом контакте части, которые сдавлены обоими стремящимися телами, не имеют места ни вперед, ни назад, в котором они могут двигаться; и поэтому они вытесняются по направлению к сторонам. И это вытеснение, когда силы равны, происходит по линии, перпендикулярной давящим телам. Но когда бы передние части обоих тел ни были сдавлены, задние также должны быть сдавлены в то же время; ибо движение задних частей не может в одно мгновение быть остановлено сопротивлением передних частей, но продолжается некоторое время; и поэтому, видя, что они должны иметь какое-то место, в котором они могут двигаться, и что нет места вообще для них вперед, необходимо, чтобы они были перемещены в места, которые находятся по направлению к сторонам во все стороны. И этот эффект следует по необходимости, не только в жидких, но и в консистентных и твердых телах, хотя это не всегда очевидно для чувства. Ибо хотя от сжатия двух камней мы не можем глазами различить никакого раздувания наружу по направлению к сторонам, как мы замечаем в двух телах из воска; все же мы знаем достаточно хорошо разумом, что какая-то опухоль должна быть там, хотя она и мала.

Fluid bodies, when they are pressed together, penetrate one another.

5. Но когда пространство замкнуто и оба тела жидкие, они, если будут сдавлены вместе, проникнут друг в друга, хотя и по-разному, согласно их разным стремлениям. Ибо предположим полый цилиндр из твердой материи, хорошо закрытый с обоих концов, но наполненный сначала внизу каким-то тяжелым жидким телом, как ртуть, а сверху водой или воздухом. Если теперь дно цилиндра будет повернуто вверх, тяжелейшее жидкое тело, которое теперь наверху, имея величайшее стремление вниз и будучи твердыми сторонами сосуда удержано от расширения в стороны, должно по необходимости либо быть принято более легким телом, чтобы оно могло погрузиться сквозь него, либо оно должно открыть проход сквозь себя, по которому более легкое тело может подняться. Ибо из двух тел то, части которого легче всего разделяются, будет первым разделено; что будучи сделано, нет необходимости, чтобы части другого претерпели какое-либо разделение вообще. И поэтому, когда две жидкости, которые заключены в одном и том же сосуде, меняют свои места, нет нужды, чтобы их мельчайшие части были смешаны друг с другом; ибо путь будучи открыт сквозь одну из них, части другой не нуждаются в разделении.

Теперь, если жидкое тело, которое не замкнуто, давит твердое тело, его стремление действительно будет по направлению к внутренним частям этого твердого тела; но будучи исключено сопротивлением его, части жидкого тела будут двигаться во все стороны согласно поверхности твердого тела, и это одинаково, если давление перпендикулярно; ибо когда все части причины равны, эффекты будут также равны. Но если давление не перпендикулярно, тогда углы падения будучи неравными, расширение также будет неравным, а именно большим на той стороне, где угол больше, потому что то движение наиболее прямое, которое продолжается по самой прямой линии.

When one body presseth another and doth not penetrate it, the action of the pressing body is perpendicular to the superficies of the body pressed.

6. Если тело, давящее другое тело, не проникает его, оно тем не менее даст части, которую оно давит, стремление уступить и отступить по прямой линии, перпендикулярной его поверхности в той точке, в которой оно давится.

Пусть A B C D (на рис. 1) будет твердое тело, и пусть другое тело, падающее на него по прямой линии E A, с любым наклоном или без наклона, давит его в точке A. Я утверждаю, что тело, так давящее и не проникающее его, даст части A стремление уступить или отступить по прямой линии, перпендикулярной линии A D.

Ибо пусть A B будет перпендикулярно A D, и пусть B A будет продолжено до F. Если, следовательно, A F совпадает с A E, само по себе очевидно, что движение в E A заставит A стремиться по линии A B. Пусть теперь E A будет наклонно к A D, и из точки E пусть будет проведена прямая линия E C, пересекающая A D под прямыми углами в D, и пусть прямоугольники A B C D и A D E F будут завершены. Я показал (в 8-й статье главы XVI), что тело будет переноситься от E к A соединением двух равномерных движений: одно в E F и его параллелях, другое в E D и его параллелях. Но движение в E F и его параллелях, из которых D A является одной, ничего не вносит в тело в A, чтобы заставить его стремиться или давить по направлению к B; и поэтому все стремление, которое тело имеет в наклонной линии E A, чтобы пройти или давить прямую линию A D, оно имеет все от перпендикулярного движения или стремления в F A. Следовательно, тело E, после того как оно в A, будет иметь только то перпендикулярное стремление, которое происходит от движения в F A, то есть в A B; что и требовалось доказать.

When a hard body, pressing another body, penetrates the same, it doth not penetrate it perpendicularly, unless it fall perpendicularly upon it.

7. Если твердое тело, падающее на другое тело или давящее его, проникает его, его стремление после его первого проникновения будет не в наклонной линии продолженной, и не в перпендикуляре, но иногда между обоими, иногда вне их.

Пусть E A G (на том же рис. 1) будет наклонная линия продолженная; и сначала пусть проход сквозь среду, в которой E A, будет легче, чем проход сквозь среду, в которой A G. Как только, следовательно, тело будет внутри среды, в которой A G, оно встретит большее сопротивление своему движению в D A и его параллелях, чем оно встречало, пока оно было выше A D; и поэтому ниже A D оно будет продолжаться с более медленным движением в параллелях D A, чем выше его. Поэтому движение, которое составлено из двух движений в E F и E D, будет медленнее ниже A D, чем выше его; и поэтому также тело не продолжит движение от A в E A продолженной, но ниже ее. Видя, следовательно, что стремление в A B порождается стремлением в F A; если к стремлению в F A будет добавлено стремление в D A, которое не все снято погружением точки A в нижнюю среду, тело не продолжит движение от A в перпендикуляре A B, но за ним; а именно в какой-то прямой линии между A B и A G, как в линии A H.

Во-вторых, пусть проход сквозь среду E A будет менее легким, чем тот, что сквозь A G. Движение, следовательно, которое совершается соединением движений в E F и F B, медленнее выше A D, чем ниже его; и, следовательно, стремление не продолжит движение от A в E A продолженной, но за ней, как в A I. Поэтому, если твердое тело падающее и т. д.; что и требовалось доказать.

Эта дивергенция прямой линии A H от прямой линии A G есть то, что авторы оптики обычно называли рефракцией, которая, когда проход легче в первой, чем во второй среде, совершается дивергенцией от линии наклона по направлению к перпендикуляру; и наоборот, когда проход не так легок в первой среде, отходом дальше от перпендикуляра.

Motion sometimes opposite to that of the movent.

8. По 6-й теореме очевидно, что сила движителя может быть помещена так, что тело, движимое им, может продолжать путь почти прямо противоположный пути движителя, как мы видим в движении кораблей.

Ибо пусть A B (на рис. 2) представляет корабль, длина которого от носа до кормы A B, и пусть ветер лежит на нем в прямых параллельных линиях C B, D E и F G; и пусть D E и F G будут пересечены в E и G прямой линией, проведенной из B перпендикулярно A B; также пусть B E и E G будут равны, а угол A B C — любой угол, как бы мал он ни был. Тогда между B C и B A пусть будет проведена прямая линия B I; и пусть парус мыслится растянутым в той же линии B I, а ветер падает на него в точках L, M и B; из которых точек, перпендикулярно B I, пусть будут проведены B K, M Q и L P. Наконец, пусть E N и G O будут проведены перпендикулярно B G и пересекают B K в H и K; и пусть H N и K O будут сделаны равными друг другу и по отдельности равными B A. Я утверждаю, что корабль B A, ветром, падающим на него в C B, D E, F G и других линиях, параллельных им, будет переноситься вперед почти противоположно ветру, то есть по пути почти противоположному пути движителя.

Ибо ветер, дующий вдоль линии C B, (как было показано в ст. 6) придаст точке B стремление двигаться по прямой линии, перпендикулярной прямой B I, то есть по прямой B K; а точкам M и L — стремление двигаться по прямым M Q и L P, которые параллельны B K. Пусть теперь мерой времени будет B G, разделенная посередине в точке E; и пусть точка B переместится в H за время B E. Следовательно, за то же время, благодаря ветру, дующему в D M и F L, а также во всех других линиях, которые могут быть проведены параллельно им, весь корабль будет перемещен к прямой H N. Также по истечении второго промежутка времени E G он будет перемещен к прямой K O. Посему корабль будет всегда двигаться вперед; и угол, который он образует с ветром, будет равен углу A B C, как бы мал ни был этот угол; и путь, который он проходит за любое время, будет равен прямой E H. Я утверждаю, что так оно и было бы, если бы корабль мог перемещаться с такой же скоростью вбок от B A к K O, с какой он может перемещаться вперед по линии B A. Но это невозможно из-за сопротивления, оказываемого большим количеством воды, давящей на борт, которое значительно превышает сопротивление, оказываемое гораздо меньшим количеством воды, давящей на нос корабля; так что путь, который корабль проходит вбок, едва заметен; и, следовательно, точка B будет двигаться почти точно по линии B A, образуя с ветром угол A B C, каким бы острым он ни был; то есть она будет двигаться почти по прямой B C, то есть по пути, почти противоположному направлению движущего тела; что и требовалось доказать.

Но парус в B I должен быть натянут так, чтобы в нем не оставалось никакого прогиба; ибо в противном случае прямые L P, M Q и B K не будут перпендикулярны плоскости паруса, а, опускаясь ниже P, Q и K, будут толкать корабль назад. Однако, используя небольшую доску в качестве паруса, маленькую тележку с колесами в качестве корабля и гладкую мостовую в качестве моря, я на опыте убедился, что это настолько верно, что я едва мог расположить доску под каким-либо углом к ветру, пусть даже самым малым, чтобы тележка не приводилась им в движение вперед.

С помощью той же 6-й теоремы можно определить, насколько удар, наносимый под углом, слабее удара, наносимого перпендикулярно, если они подобны и равны во всех остальных отношениях.

Пусть удар наносится по стене A B под углом, как, например, по прямой C A (на рис. 3). Проведем C E параллельно A B, а D A — перпендикулярно той же A B и равной C A; и пусть как скорость, так и время движения в C A будут равны скорости и времени движения в D A. Я утверждаю, что удар в C A будет слабее, чем в D A, в пропорции E A к D A. Ибо, если продолжить D A как угодно до F, стремление обоих ударов будет (согласно ст. 6) исходить из A по перпендикуляру A F. Но удар в C A создается сочетанием двух движений в C E и E A, из которых движение в C E ничего не добавляет к удару в A, поскольку C E и B A параллельны; и, следовательно, удар в C A создается только движением, которое происходит в E A. Но скорость или сила перпендикулярного удара в E A по отношению к скорости или силе удара в D A относятся как E A к D A. Посему косой удар в C A слабее перпендикулярного удара в D A в пропорции E A к D A или C A; что и требовалось доказать.

In a full medium, motion is propagated to any distance.

9. В сплошной среде всякое стремление распространяется настолько, насколько простирается сама среда; иными словами, если среда бесконечна, то и стремление будет распространяться бесконечно.

Ибо все, что стремится, движется, а следовательно, все, что стоит на его пути, оно заставляет уступить, по крайней мере немного, а именно настолько, насколько само движущее тело продвигается вперед. Но то, что уступает, также движется и, следовательно, заставляет уступить то, что находится на его пути, и так далее последовательно, пока среда остается сплошной; то есть бесконечно, если сплошная среда бесконечна; что и требовалось доказать.

Хотя стремление, распространяемое таким образом непрерывно, не всегда воспринимается чувствами как движение, оно проявляется как действие или как действующая причина некоторого изменения. Ибо если поместить перед нашими глазами какой-нибудь очень маленький объект, например, маленькое песчиное зерно, которое видно с определенного расстояния, то очевидно, что его можно удалить на такое расстояние, что оно перестанет быть видимым, хотя своим действием оно все еще воздействует на органы зрения, как явствует из того, что было доказано последним, а именно, что всякое стремление распространяется бесконечно. Представим себе поэтому, что оно удалено от наших глаз на любое, сколь угодно большое расстояние, и к нему добавлено достаточное количество других песчинок той же величины; очевидно, что совокупность всех этих песчинок будет видна; и хотя ни одну из них нельзя увидеть, когда она одинока и отделена от остальных, вся груда или холм, который они образуют, будет явно виден; что было бы невозможно, если бы от каждой отдельной части всей груды не исходило некоторое действие.

Dilatation & contraction what they are.

10. Между степенями твердого и мягкого находятся те вещи, которые мы называем упругими (tough); упругое — это то, что может быть согнуто, не изменяясь в своей сути; а сгибание линии есть либо приведение, либо отведение крайних частей, то есть движение от прямолинейности к кривизне или наоборот, в то время как сама линия остается той же, что и была; ибо при растяжении крайних точек линии на их наибольшее расстояние линия становится прямой, тогда как в противном случае она кривая. Так же и сгибание поверхности есть отведение или приведение ее крайних линий, то есть их расширение и сокращение.

Dilatation & contraction suppose mutation of the smallest parts in respect of their situation.

11. Расширение и сокращение, как и всякое сгибание, необходимо предполагают, что внутренние части согнутого тела либо приближаются к внешним частям, либо удаляются от них. Ибо хотя сгибание рассматривается только в отношении длины тела, когда это тело сгибается, линия, образующаяся с одной стороны, становится выпуклой, а линия с другой стороны — вогнутой; из которых вогнутая, будучи внутренней линией, будет, если только что-то не будет взято от нее и добавлено к выпуклой линии, более кривой, то есть большей из двух. Но они равны; и, следовательно, при сгибании происходит приращение от внутренних частей к внешним; и, наоборот, при растяжении — от внешних частей к внутренним. А что касается тех вещей, которые нелегко допускают такое перемещение своих частей, то они называются хрупкими; и большая сила, требуемая для того, чтобы заставить их уступить, заставляет их также при внезапном движении разлетаться и ломаться на куски.

All traction is pulsion.

12. Также движение различается на пульсию (pulsion) и тракцию (traction). И пульсия, как я уже определил ее, происходит тогда, когда движимое тело идет впереди того, что его движет. Но, напротив, при тракции движущее тело идет впереди того, что движется. Тем не менее, при более внимательном рассмотрении это представляется тем же самым, что и пульсия. Ибо из двух частей твердого тела, когда та, что впереди, толкает перед собой среду, в которой происходит движение, в то же самое время та, что толкается вперед, толкает следующую, а эта — следующую, и так далее последовательно. В этом действии, если мы предположим, что нет пустого места, необходимо, чтобы при непрерывной пульсии, а именно когда это действие совершило круг, движущее тело оказалось позади той части, которая поначалу казалась не толкаемой вперед, а тянущейся; так что теперь тело, которое тянули, идет впереди тела, которое сообщает ему движение; и его движение является уже не тракцией, а пульсией.

Such things as being pressed or bent restore themselves, have motion in their internal parts.

13. Те вещи, которые удаляются со своих мест путем насильственного сжатия или растяжения и, как только сила убирается, немедленно возвращаются и восстанавливают свое прежнее положение, имеют начало своего восстановления внутри себя, а именно некоторое движение в своих внутренних частях, которое было там, когда, до снятия силы, они были сжаты или растянуты. Ибо это восстановление есть движение, а то, что находится в покое, не может быть приведено в движение иначе, как движущимся и соприкасающимся движителем. И причина их восстановления не исходит из снятия силы, которой они были сжаты или растянуты; ибо устранение препятствий не обладает эффективностью причины, как было показано в конце 3-й статьи главы XV. Причиной же их восстановления является некоторое движение либо частей окружающей среды, либо частей самого сжатого или растянутого тела. Но части окружающей среды не имеют стремления, которое способствовало бы их сжатию или растяжению, равно как и их освобождению или восстановлению. Остается, следовательно, что с момента их сжатия или растяжения остается некоторое стремление или движение, посредством которого, при устранении препятствия, каждая часть возобновляет свое прежнее место; то есть целое восстанавливает само себя.

Though that which carrieth another be stopped, the body carried will proceed.

14. При перевозке тел, если тело, которое несет другое, наталкивается на какое-либо препятствие или каким-либо образом внезапно останавливается, а то, которое несут, не останавливается, оно будет продолжать движение, пока его движение не будет устранено каким-либо внешним препятствием.

Ибо я доказал (глава VIII, ст. 19), что движение, если оно не сдерживается каким-либо внешним сопротивлением, будет продолжаться вечно с той же скоростью; и в 7-й статье главы IX, что действие внешнего агента не имеет эффекта без контакта. Когда поэтому то, что несет другое тело, останавливается, эта остановка не лишает немедленно движения то, что несут. Оно поэтому будет продолжать движение, пока его движение не будет мало-помалу погашено каким-либо внешним сопротивлением: что и требовалось доказать; хотя одного опыта было бы достаточно, чтобы доказать это.

Точно так же, если тело, которое несет другое, переходит из состояния покоя в внезапное движение, то, которое несут, не будет двигаться вперед вместе с ним, а останется позади. Ибо соприкасающаяся часть несомого тела имеет почти то же движение, что и тело, которое его несет; а удаленные части получат различные скорости в соответствии с их различным расстоянием от тела, которое их несет; а именно, чем дальше части, тем меньше будут их степени скорости. Необходимо, следовательно, чтобы тело, которое несут, соответственно оставалось в большей или меньшей степени позади. И это также очевидно из опыта, когда при внезапном рывке лошади вперед всадник падает назад.

The effects of percussion not to be compared with those of weight.

15. В перкуссии (percussion), следовательно, когда одно твердое тело в какой-то своей малой части поражается другим с большой силой, не обязательно, чтобы все тело уступало удару с той же скоростью, с какой уступает пораженная часть. Ибо остальные части получают свое движение от движения пораженной и уступающей части, которое распространяется во все стороны к бокам меньше, чем прямо вперед. И отсюда происходит, что иногда очень твердые тела, которые в вертикальном положении трудно заставить стоять, легче ломаются, чем опрокидываются от сильного удара; когда, тем не менее, если бы все их части вместе были подтолкнуты вперед каким-либо слабым движением, они были бы легко опрокинуты.

16. Хотя различие между трузией (trusion) и перкуссией состоит только в том, что при трузии движение как движущего, так и движимого тела начинается одновременно в самом их контакте; а при перкуссии сначала движется ударяющее тело, а затем ударяемое; тем не менее их эффекты настолько различны, что кажется почти невозможным сравнить их силы друг с другом. Я утверждаю, что при заданном эффекте перкуссии, как, например, удар молота любого заданного веса, которым свая любой заданной длины должна быть забита в землю любой заданной плотности, мне кажется очень трудным, если не невозможным, определить, с каким весом, или с каким ударом, и за какое время та же свая может быть забита на заданную глубину в ту же землю. Причина этой трудности заключается в том, что скорость ударяющего тела должна сравниваться с величиной веса. Но скорость, поскольку она вычисляется по длине пройденного пространства, должна считаться лишь как одно измерение; вес же есть нечто твердое, измеряемое измерением всего тела. И нет никакого сравнения между твердым телом и длиной, то есть линией.

Motion cannot begin first in the internal parts of a body.

17. Если внутренние части тела находятся в покое или сохраняют то же положение друг относительно друга в течение любого, сколь угодно малого времени, в этих частях не может быть порождено никакого нового движения или стремления, эффективная причина которого не находилась бы вне тела, частями которого они являются. Ибо если предположить, что какая-то малая часть, заключенная внутри поверхности всего тела, сейчас находится в покое, а вскоре будет двигаться, эта часть должна по необходимости получить свое движение от какого-то движущегося и соприкасающегося тела. Но по предположению, внутри тела нет такой движущейся и соприкасающейся части. Посему, если во внутренних частях этого тела есть какое-либо стремление, или движение, или изменение положения, оно должно возникать от некоторой эффективной причины, которая находится вне тела, содержащего их; что и требовалось доказать.

18. В твердых телах, следовательно, которые сжаты или растянуты, если то, что сжимает или растягивает их, убрано, они восстанавливают свое прежнее место или положение, необходимо, чтобы то стремление или движение их внутренних частей, посредством которого они были способны восстановить свои прежние места или положения, не было погашено, когда сила, которой они были сжаты или растянуты, была убрана. Поэтому, когда согнутая планка арбалета, как только она освобождается, восстанавливает себя, хотя для того, кто судит по чувствам, и она, и все ее части кажутся находящимися в покое; тот же, кто, судя по разуму, не считает устранение препятствия эффективной причиной и не допускает, что без эффективной причины что-либо может перейти из покоя в движение, заключит, что части уже находились в движении, прежде чем они начали восстанавливать себя.

Action and reaction proceed in the same line.

19. Действие и реакция происходят на одной и той же линии, но от противоположных пределов. Ибо, видя, что реакция есть не что иное, как стремление в претерпевающем теле восстановить себя в то положение, из которого оно было вытеснено агентом; стремление или движение как агента, так и претерпевающего тела или реагирующего тела будет распространяться между теми же пределами; однако так, что в действии предел «от которого» в реакции является пределом «к которому». И видя, что всякое действие происходит таким образом не только между противоположными пределами всей линии, в которой оно распространяется, но также и во всех частях этой линии, пределы «от которого» и «к которому», как действия, так и реакции, будут находиться на одной и той же линии. Посему действие и реакция происходят на одной и той же линии и т.д.

Habit, what it is.

20. К тому, что было сказано о движении, я добавлю то, что имею сказать относительно навыка. Навык, следовательно, есть порождение движения, не движения просто, а легкого ведения движимого тела определенным и намеченным путем. И видя, что он достигается ослаблением таких стремлений, которые отклоняют его движение, поэтому такие стремления должны быть ослаблены мало-помалу. Но это не может быть сделано иначе, как долгим продолжением действия или часто повторяемыми действиями; и поэтому обычай порождает ту легкость, которая обычно и правильно называется навыком; и его можно определить так: НАВЫК есть движение, сделанное более легким и готовым посредством обычая; то есть посредством постоянного стремления или повторяющихся стремлений на пути, отличающемся от того, по которому движение происходило с самого начала, и противодействующего таким стремлениям, которые сопротивляются. И чтобы сделать это более ясным на примере, мы можем заметить, что когда тот, кто не имеет навыка в музыке, впервые прикладывает руку к инструменту, он не может после первого удара перенести руку в то место, где он хотел бы сделать второй удар, не отведя ее назад новым стремлением и, как бы начиная снова, перейти от первого ко второму. И он не сможет перейти к третьему месту без другого нового стремления; но будет вынужден отвести руку назад снова, и так последовательно, возобновляя свое стремление при каждом ударе; пока, наконец, делая это часто и соединяя многие прерывистые движения или стремления в одно равное стремление, он не сможет заставить свою руку легко двигаться от удара к удару в том порядке и тем путем, который был намечен вначале. И навыки должны наблюдаться не только у живых существ, но также и у тел неодушевленных. Ибо мы находим, что когда планка арбалета сильно согнута и, если бы препятствие было удалено, вернулась бы снова с большой силой; если она остается долгое время согнутой, она приобретет такой навык, что когда она будет освобождена и оставлена на свою волю, она не только не восстановит себя, но потребует столько же силы для приведения ее обратно в первое положение, сколько потребовалось для сгибания ее в первый раз.

Том 1. Лат. и англ. ГЛ. XXII. Рис. 1-3

Fig 1. | Fig 2. | Fig 3.

ГЛАВА XXIII. О ЦЕНТРЕ РАВНОВЕСИЯ; О ТЕЛАХ, ДАВЯЩИХ ВНИЗ ПО ПРЯМЫМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ЛИНИЯМ.

1. Определения и предположения. — 2. Две плоскости равновесия не параллельны. — 3. Центр равновесия находится в каждой плоскости равновесия. — 4. Моменты равных весов относятся друг к другу как их расстояния от центра весов. — 5, 6. Моменты неравных весов имеют пропорцию друг к другу, составленную из пропорций их весов и расстояний от центра весов. — 7. Если два веса имеют свои веса и расстояния от центра весов в обратной пропорции, они находятся в равновесии; и наоборот. — 8. Если части любого веса давят на коромысла весов везде одинаково, все отсеченные части, считая от центра весов, будут иметь свои моменты в той же пропорции, что и части треугольника, отсеченные от вершины прямыми линиями, параллельными основанию. — 9. Диаметр равновесия фигур, которые являются недостающими согласно соизмеримым пропорциям их высот и оснований, делит ось так, что часть, взятая у вершины, относится к другой части как полная фигура к недостающей фигуре. — 10. Диаметр равновесия дополнения половины любой из указанных недостающих фигур делит ту линию, которая проведена через вершину параллельно основанию, так, что часть у вершины относится к другой части как полная фигура к дополнению. — 11. Центр равновесия половины любой из фигур в первом ряду таблицы ст. 3, главы XVII, может быть найден по числам второго ряда. — 12. Центр равновесия половины любой из фигур второго ряда той же таблицы может быть найден по числам четвертого ряда. — 13. Центр равновесия половины любой из фигур той же таблицы будучи известен, центр избытка той же фигуры над треугольником той же высоты и основания также известен. — 14. Центр равновесия твердого сектора находится на оси, разделенной так, что часть у вершины относится ко всей оси, за вычетом половины оси части сферы, как 3 к 4.

DEFINITIONS.

Definitions.

I. Весы — это прямая линия, средняя точка которой неподвижна, а все остальные точки свободны; и та часть весов, которая простирается от центра до любого из грузов, называется коромыслом.

II. Равновесие — это когда стремление одного тела, которое давит на одно из коромысел, сопротивляется стремлению другого тела, давящего на другое коромысло, так что ни одно из них не движется; и тела, когда ни одно из них не движется, называются находящимися в равновесии.

III. Вес — это совокупность всех стремлений, посредством которых все точки того тела, которое давит на коромысло, стремятся вниз по линиям, параллельным друг другу; и тело, которое давит, называется весомым телом (ponderant).

IV. Момент — это сила, которую весомое тело имеет для перемещения коромысла по причине определенного положения.

V. Плоскость равновесия — это та, посредством которой весомое тело делится так, что моменты с обеих сторон остаются равными.

VI. Диаметр равновесия — это общее сечение двух плоскостей равновесия, и он находится на прямой линии, на которой подвешен вес.

VII. Центр равновесия — это общая точка двух диаметров равновесия.

SUPPOSITIONS.

Suppositions.

I. Когда два тела находятся в равновесии, если вес добавляется к одному из них, а не к другому, их равновесие прекращается.

II. Когда два весомых тела равной величины и одного вида или материи давят на коромысло с обеих сторон на равных расстояниях от центра весов, их моменты равны. Также когда два тела стремятся на равных расстояниях от центра весов, если они равной величины и одного вида, их моменты равны.

Two planes
of equiponderation
are
not parallel.

2. Никакие две плоскости равновесия не параллельны.

Пусть A B C D (на рис. 1) будет любым весомым телом; и в нем пусть E F будет плоскостью равновесия; параллельно которой пусть будет проведена любая другая плоскость, как G H. Я утверждаю, что G H не является плоскостью равновесия. Ибо, видя, что части A E F D и E B C F весомого тела A B C D находятся в равновесии; и вес E G H F добавлен к части A E F D, и ничего не добавлено к части E B C F, но вес E G H F взят из нее; поэтому, согласно первому предположению, части A G H D и G B C H не будут находиться в равновесии; и, следовательно, G H не является плоскостью равновесия. Посему никакие две плоскости равновесия не параллельны; что и требовалось доказать.

The centre of equiponderation is in every plane of equiponderation.

3. Центр равновесия находится в каждой плоскости равновесия.

Ибо если взять другую плоскость равновесия, она не будет, согласно последней статье, параллельна прежней плоскости; и поэтому обе эти плоскости будут пересекать друг друга. Теперь это сечение (согласно 6-му определению) есть диаметр равновесия. Опять же, если взять другой диаметр равновесия, он пересечет тот прежний диаметр; и в этом сечении (согласно 7-му определению) находится центр равновесия. Посему центр равновесия находится в том диаметре, который лежит в указанной плоскости равновесия.

The moments
of equal ponderants
are to one
another as their
distances from
the centre of
the scale.

4. Момент любого весомого тела, приложенного к одной точке коромысла, к моменту того же или равного весомого тела, приложенного к любой другой точке коромысла, относится как расстояние первой точки от центра весов к расстоянию второй точки от того же центра. Или так: эти моменты относятся друг к другу как дуги окружностей, которые описываются на центре весов через эти точки за одно и то же время. Или, наконец, так: они относятся как параллельные основания двух треугольников, которые имеют общий угол в центре весов.

Пусть A (на рис. 2) будет центром весов; и пусть равные весомые тела D и E давят на коромысло A B в точках B и C; также пусть прямые B D и C E будут диаметрами равновесия; а точки D и E в весомых телах D и E будут их центрами равновесия. Пусть A G F будет проведена как угодно, пересекая D B, продолженную в F, и E C в G; и, наконец, на общем центре A пусть будут описаны две дуги B H и C I, пересекающие A G F в H и I. Я утверждаю, что момент весомого тела D к моменту весомого тела E относится как A B к A C, или как B H к C I, или как B F к C G. Ибо эффект весомого тела D в точке B есть круговое движение по дуге B H; а эффект весомого тела E в точке C — круговое движение по дуге C I; и по причине равенства весомых тел D и E эти движения относятся друг к другу как быстроты или скорости, с которыми точки B и C описывают дуги B H и C I, то есть как сами дуги B H и C I, или как прямые параллели B F и C G, или как части коромысла A B и A C; ибо A B : A C :: B F : C G :: B H : C I — пропорциональны; и поэтому эффекты, то есть, согласно 4-му определению, моменты равных весомых тел, приложенных к различным точкам коромысла, относятся друг к другу как A B и A C; или как расстояния этих точек от центра весов; или как параллельные основания треугольников, которые имеют общий угол в A; или как концентрические дуги B H и C I; что и требовалось доказать.

The moments of unequal ponderants have their proportion to one another compounded of the proportions of their weights and distances from the centre of the scale.

5. Неравные весомые тела, когда они приложены к различным точкам коромысла и висят свободно, то есть так, что линия, на которой они висят, является диаметром равновесия, какова бы ни была фигура весомого тела, имеют свои моменты друг к другу в пропорции, составленной из пропорций их расстояний от центра весов и их весов.

Пусть A (на рис. 3) будет центром весов, а A B — коромыслом; к которому пусть будут приложены два весомых тела C и D в точках B и E. Я утверждаю, что пропорция момента весомого тела C к моменту весомого тела D составлена из пропорций A B к A E и веса C к весу D; или, если C и D одного вида, величины C к величине D.

Пусть любое из них, например C, предполагается больше другого, D. Если, следовательно, путем добавления F, F и D вместе будут как одно тело, равное C, момент C к моменту F + D будет (согласно последней статье) как B G к E H. Теперь, как F + D относится к D, так пусть E H относится к другому E I; и момент F + D, то есть C, к моменту D будет как B G к E I. Но пропорция B G к E I составлена из пропорций B G к E H, то есть A B к A E, и E H к E I, то есть веса C к весу D. Посему неравные весомые тела, когда они приложены и т.д. Что и требовалось доказать.

6. При той же фигуре, если I K будет проведена параллельно коромыслу A B и пересечет A G в K; и K L будет проведена параллельно B G, пересекая A B в L, расстояния A B и A L от центра будут пропорциональны моментам C и D. Ибо момент C есть B G, а момент D есть E I, которому равен K L. Но как расстояние A B от центра относится к расстоянию A L от центра, так B G, момент весомого тела C, относится к L K, или E I, моменту весомого тела D.

If two ponderants have their weights and distances from the centre of the scale in reciprocal proportion, they are equally poised; and contrarily.

7. Если два весомых тела имеют свои веса и расстояния от центра в обратной пропорции, и центр весов находится между точками, к которым приложены весомые тела, они будут находиться в равновесии. И наоборот, если они находятся в равновесии, их веса и расстояния от центра весов будут в обратной пропорции.

Пусть центр весов (на том же третьем рисунке) будет A, коромысло A B; и пусть любое весомое тело C, имеющее B G своим моментом, будет приложено к точке B; также пусть любое другое весомое тело D, чей момент есть E I, будет приложено к точке E. Через точку I пусть I K будет проведена параллельно коромыслу A B, пересекая A G в K; также пусть K L будет проведена параллельно B G, тогда K L будет моментом весомого тела D; и согласно последней статье, будет как B G, момент весомого тела C в точке B, к L K, моменту весомого тела D в точке E, так A B к A L. На другой стороне центра весов пусть A N будет взято равным A L; и к точке N пусть будет приложено весомое тело O, имеющее к весомому телу C пропорцию A B к A N. Я утверждаю, что весомые тела в B и N будут находиться в равновесии. Ибо пропорция момента весомого тела O в точке N к моменту весомого тела C в точке B, согласно 5-й статье, составлена из пропорций веса O к весу C и расстояния от центра весов A N или A L к расстоянию от центра весов A B. Но видя, что мы предположили, что расстояние A B к расстоянию A N находится в обратной пропорции веса O к весу C, пропорция момента весомого тела O в точке N к моменту весомого тела C в точке B будет составлена из пропорций A B к A N и A N к A B. Посему, располагая в порядке A B, A N, A B, момент O к моменту C будет как первый к последнему, то есть как A B к A B. Их моменты поэтому равны; и, следовательно, плоскость, которая проходит через A, будет (согласно пятому определению) плоскостью равновесия. Посему они будут находиться в равновесии; что и требовалось доказать.

Теперь обратное этому очевидно. Ибо если есть равновесие и пропорция весов и расстояний не обратная, то оба веса всегда будут иметь одни и те же моменты, хотя к одному из них будет добавлен больший вес или его расстояние будет изменено.

Следствие. Когда весомые тела одного вида и их моменты равны, их величины и расстояния от центра весов будут обратно пропорциональны. Ибо в однородных телах как вес к весу, так величина к величине.

If the parts of any ponderant press the beams of the scale every where equally, all the parts cut off, reckoned from centre of the scale, will have their moments in the same proportion with that of the parts of a triangle cut off from the vertex by strait lines parallel to the base.

8. Если ко всей длине коромысла приложен параллелограмм, или параллелепипед, или призма, или цилиндр, или поверхность цилиндра, или сферы, или любой части сферы или призмы; части любого из них, отсеченные плоскостями, параллельными основанию, будут иметь свои моменты в той же пропорции, что и части треугольника, который имеет свою вершину в центре весов, а одной из своих сторон — само коромысло, каковые части отсекаются плоскостями, параллельными основанию.

Во-первых, пусть прямоугольный параллелограмм A B C D (на рисунке 4) будет приложен ко всей длине коромысла A B; и, продолжая C B как угодно до E, пусть будет описан треугольник A B E. Пусть теперь любая часть параллелограмма, как A F, будет отсечена плоскостью F G, параллельной основанию C B; и пусть F G будет продолжена до A E в точке H. Я утверждаю, что момент целого A B C D к моменту его части A F относится как треугольник A B E к треугольнику A G H, то есть в пропорции, дублирующей пропорцию расстояний от центра весов.

Ибо, так как параллелограмм A B C D разделен на равные части, бесконечные по числу, прямыми линиями, проведенными параллельно основанию; и предполагая момент прямой линии C B равным B E, момент прямой линии F G будет (согласно 7-й статье) G H; и моменты всех прямых линий этого параллелограмма будут столькими же прямыми линиями в треугольнике A B E, проведенными параллельно основанию B E; все эти параллели, взятые вместе, составляют момент всего параллелограмма A B C D; и те же параллели также составляют поверхность треугольника A B E. Посему момент параллелограмма A B C D есть треугольник A B E; и по той же причине момент параллелограмма A F есть треугольник A G H; и поэтому момент целого параллелограмма к моменту параллелограмма, который является его частью, относится как треугольник A B E к треугольнику A G H, или в пропорции, дублирующей пропорцию коромысел, к которым они приложены. И то, что здесь доказано в случае параллелограмма, может быть понято как применимое к случаю цилиндра, и призмы, и их поверхностей; как также к поверхностям сферы, полусферы или любой части сферы. Ибо части поверхности сферы имеют ту же пропорцию, что и части оси, отсеченные теми же параллелями, которыми отсекаются части поверхности, как доказал Архимед; и поэтому, когда части любой из этих фигур равны и находятся на равных расстояниях от центра весов, их моменты также равны, таким же образом, как они равны в параллелограммах.

Во-вторых, пусть параллелограмм A K I B не будет прямоугольным; прямая линия I B тем не менее будет давить на точку B перпендикулярно по прямой линии B E; и прямая линия L G будет давить на точку G перпендикулярно по прямой линии G H; и все остальные прямые линии, которые параллельны I B, будут делать то же самое. Каков бы ни был момент, назначенный прямой линии I B, как здесь, например, предполагается, что он равен B E, если провести A E, момент всего параллелограмма A I будет треугольником A B E; а момент части A L будет треугольником A G H. Посему момент любого весомого тела, стороны которого одинаково приложены к коромыслу, приложены ли они перпендикулярно или под углом, будет всегда относиться к моменту его части в такой пропорции, в какой целый треугольник относится к его части, отсеченной плоскостью, параллельной основанию.

The diameter of equiponderation of figures which are deficient according to commensurable proportions of their altitudes and bases, divides the axis, so that the part taken next the vertex is to the other part as the complete figure to the deficient figure.

9. Центр равновесия любой фигуры, которая является недостающей согласно соизмеримым пропорциям уменьшенных высоты и основания, и чья полная фигура есть либо параллелограмм, либо цилиндр, либо параллелепипед, делит ось так, что часть у вершины относится к другой части как полная фигура к недостающей фигуре.

Ибо пусть C I A P E (на рис. 5) будет недостающей фигурой, чья ось есть A B, а полная фигура — C D F E; и пусть ось A B будет разделена в Z так, что A Z относится к Z B как C D F E к C I A P E. Я утверждаю, что центр равновесия фигуры C I A P E будет находиться в точке Z.

Во-первых, то, что центр равновесия фигуры C I A P E находится где-то на оси A B, очевидно само по себе; и поэтому A B является диаметром равновесия. Пусть будет проведена A E, и пусть B E будет принято за момент прямой линии C E; треугольник A B E будет поэтому (согласно третьей статье) моментом полной фигуры C D F E. Пусть ось A B будет разделена пополам в L, и пусть G L H будет проведена параллельно и равна прямой линии C E, пересекая кривую линию C I A P E в I и P, а прямые линии A C и A E в K и M. Более того, пусть Z O будет проведена параллельно той же C E; и пусть будет, как L G к L I, так L M к другому, L N; и пусть то же самое будет сделано во всех остальных возможных прямых линиях, параллельных основанию; и через все точки N пусть будет проведена линия A N E; трехсторонняя фигура A N E B будет поэтому моментом фигуры C I A P E. Теперь треугольник A B E относится (согласно 9-й статье главы XVII) к трехсторонней фигуре A N E B, как A B C D + A I C B, взятые дважды, то есть как C D F E + C I A P E относится к C I A P E, взятым дважды. Но как C I A P E относится к C D F E, то есть как вес недостающей фигуры относится к весу полной фигуры, так C I A P E, взятые дважды, относятся к C D F E, взятым дважды. Посему, располагая в порядке C D F E + C I A P E : 2 C I A P E : 2 C D F E; пропорция C D F E + C I A P E к C D F E, взятым дважды, будет составлена из пропорции C D F E + C I A P E к C I A P E, взятым дважды, то есть из пропорции треугольника A B E к трехсторонней фигуре A N E B, то есть из пропорции момента полной фигуры к моменту недостающей фигуры, и из пропорции C I A P E, взятых дважды, к C D F E, взятым дважды, то есть к пропорции, взятой обратно, веса недостающей фигуры к весу полной фигуры.

Опять же, видя, что по предположению A Z : Z B :: C D F E : C I A P E являются пропорциональными; A B : A Z :: C D F E + C I A P E : C D F E также, путем сложения, будут пропорциональными. И видя, что A L есть половина A B, A L : A Z :: C D F E + C I A P E : 2 C D F E также будут пропорциональными. Но пропорция C D F E + C I A P E к 2 C D F E составлена, как было только что показано, из пропорций момента к моменту и т.д., и поэтому пропорция A L к A Z составлена из пропорции момента полной фигуры C D F E к моменту недостающей фигуры C I A P E и из пропорции веса недостающей фигуры C I A P E к весу полной фигуры C D F E; но пропорция A L к A Z составлена из пропорций A L к B Z и B Z к A Z. Теперь пропорция B Z к A Z есть пропорция весов, взятая обратно, то есть пропорция веса C I A P E к весу C D F E. Поэтому оставшаяся пропорция A L к B Z, то есть L B к B Z, есть пропорция момента веса C D F E к моменту веса C I A P E. Но пропорция A L к B Z составлена из пропорций A L к A Z и A Z к Z B; из которых пропорций пропорция A Z к Z B есть пропорция веса C D F E к весу C I A P E. Посему (согласно ст. 5 этой главы) оставшаяся пропорция A L к A Z есть пропорция расстояний точек Z и L от центра весов, который есть A. И поэтому (согласно ст. 6) вес C I A P E будет висеть от O на прямой линии O Z. Так что O Z есть один диаметр равновесия веса C I A P E. Но прямая линия A B есть другой диаметр равновесия того же веса C I A P E. Посему (согласно 7-му определению) точка Z есть центр того же равновесия; каковая точка, по построению, делит ось так, что часть A Z, которая есть часть у вершины, относится к другой части Z B, как полная фигура C D F E относится к недостающей фигуре C I A P E; что и требовалось доказать.

Следствие I. Центр равновесия любой из тех плоских трехсторонних фигур, которые сравниваются с их полными фигурами в таблице ст. 3, главы XVII, должен быть найден в той же таблице путем взятия знаменателя дроби для части оси, отсеченной у вершины, и числителя для другой части у основания. Например, если требуется найти центр равновесия второй трехсторонней фигуры из четырех средних, то в пересечении второго столбца с рядом трехсторонних фигур из четырех средних имеется эта дробь 5/7, которая означает, что эта фигура относится к своему параллелограмму или полной фигуре как 5/7 к единице, то есть как 5/7 к 7/7, или как 5 к 7; и поэтому центр равновесия этой фигуры делит ось так, что часть у вершины относится к другой части как 7 к 5.

Следствие II. Центр равновесия любого из тел тех фигур, которые содержатся в таблице ст. 7 той же главы XVII, представлен в той же таблице. Например, если ищется центр равновесия конуса, конус будет найден как 1/3 своего цилиндра; и поэтому центр его равновесия будет так делить ось, что часть у вершины к другой части будет как 3 к 1. Также тело трехсторонней фигуры из одного среднего, то есть параболическое тело, видя, что оно 2/4, то есть 1/2 своего цилиндра, будет иметь свой центр равновесия в той точке, которая делит ось так, что часть к вершине будет вдвое больше части к основанию.

The diameter of equiponderation of the complement of the half of any of the said deficient figures, divides that line which is drawn through the vertex parallel to the base, so that the part next the vertex is to the other part as the complete figure to the complement.

10. Диаметр равновесия дополнения половины любой из тех фигур, которые содержатся в таблице ст. 3, главы XVII, делит ту линию, которая проведена через вершину параллельно и равна основанию, так, что часть у вершины будет относиться к другой части как полная фигура к дополнению.

Пусть A I C B (на том же рис. 5) будет половиной параболы или любой другой из тех трехсторонних фигур, которые приведены в таблице ст. 3 гл. XVII, чья ось есть A B, а основание B C, причем A D проведена из вершины, равна и параллельна основанию B C, а полная фигура есть параллелограмм A B C D. Пусть I Q проведена на некотором расстоянии от стороны C D, но параллельно ей; и пусть A D будет высотой дополнения A I C D, а Q I — линией, ординатно приложенной в нем. Посему высота A L в дефицитной фигуре A I C B равна Q I, линии, ординатно приложенной в ее дополнении; и наоборот, L I, линия, ординатно приложенная в фигуре A I C B, равна высоте A Q в ее дополнении; и так во всех остальных ординатных линиях и высотах мутация такова, что та линия, которая ординатно приложена в фигуре, является высотой ее дополнения. И поэтому пропорция убывающих высот к пропорции убывающих ординатных линий, будучи мультипликатной согласно любому числу в дефицитной фигуре, является субмультипликатной согласно тому же числу в ее дополнении. Например, если A I C B — парабола, то, видя, что пропорция A B к A L дупликатна пропорции B C к L I, пропорция A D к A Q в дополнении A I C D, которая та же, что и пропорция B C к L I, будет субдупликатной пропорции C D к Q I, которая та же, что и пропорция A B к A L; и, следовательно, в параболе дополнение будет относиться к параллелограмму как 1 к 3; в трехсторонней фигуре с двумя средними — как 1 к 4; в трехсторонней фигуре с тремя средними — как 1 к 5 и т. д. Но все ординатные линии вместе в A I C D суть ее момент; и все ординатные линии в A I C B суть ее момент. Посему моменты дополнений половин дефицитных фигур в таблице ст. 3 гл. XVII, будучи сравнены, относятся как сами дефицитные фигуры; и, следовательно, диаметр равновесия разделит прямую линию A D в такой пропорции, что часть, прилежащая к вершине, будет относиться к другой части так, как полная фигура A B C D относится к дополнению A I C D.

Следствие. Диаметр равновесия этих половин может быть найден по таблице ст. 3 гл. XVII следующим образом. Пусть предложена любая дефицитная фигура, а именно вторая трехсторонняя фигура с двумя средними. Эта фигура относится к полной фигуре как 3/5 к 1, то есть как 3 к 5. Посему дополнение к той же полной фигуре относится как 2 к 5; и, следовательно, диаметр равновесия этого дополнения пересечет прямую линию, проведенную из вершины параллельно основанию, так, что часть, прилежащая к вершине, будет относиться к другой части как 5 к 2. И подобным же образом, если предложена любая другая из указанных трехсторонних фигур, то, если числитель ее дроби, найденной в таблице, вычесть из знаменателя, прямую линию, проведенную из вершины, следует разделить так, чтобы часть, прилежащая к вершине, относилась к другой части как знаменатель к остатку, который оставляет это вычитание.

The centre of equiponderation of the half of any of the deficient figures in the first row of the table of art. 3, chapter xvii, may be found out by the numbers of the second row.

11. Центр равновесия половины любой из тех криволинейных фигур, которые находятся в первом ряду таблицы ст. 3 гл. XVII, лежит на той прямой линии, которая, будучи параллельной оси, делит основание согласно числам дроби, находящейся непосредственно под ней во втором ряду, так, чтобы числитель соответствовал той части, которая обращена к оси.

Например, возьмем первую фигуру с тремя средними, чья половина есть A B C D (на рис. 6), и завершим прямоугольник A B E D. Дополнением, следовательно, будет B C D E. И видя, что A B E D относится к фигуре A B C D (согласно таблице) как 5 к 4, тот же A B E D будет относиться к дополнению B C D E как 5 к 1. Посему, если провести F G параллельно основанию D A, пересекая ось так, что A G относится к G B как 4 к 5, центр равновесия фигуры A B C D, согласно предыдущей статье, будет где-то на той же F G. Далее, видя, согласно той же статье, что полная фигура A B E D относится к дополнению B C D E как 5 к 1, то если разделить B E и A D в точках I и H как 5 к 1, центр равновесия дополнения B C D E будет где-то на прямой линии, соединяющей H и I. Пусть теперь прямая линия L K будет проведена через M, центр полной фигуры, параллельно основанию; а прямая линия N O — через тот же центр M, перпендикулярно ей; и пусть прямые линии L K и F G пересекают прямую линию H I в точках P и Q. Пусть P R будет взята вчетверо больше P Q; и пусть R M будет проведена и продолжена до F G в точке S. R M, следовательно, будет относиться к M S как 4 к 1, то есть как фигура A B C D к ее дополнению B C D E. Посему, видя, что M есть центр полной фигуры A B E D, а расстояния R и S от центра M находятся в пропорции, обратной пропорции веса дополнения B C D E к весу фигуры A B C D, R и S будут либо центрами равновесия своих собственных фигур, либо эти центры будут в каких-то других точках диаметров равновесия H I и F G. Но последнее невозможно. Ибо никакая другая прямая линия не может быть проведена через точку M, заканчиваясь на прямых линиях H I и F G и сохраняя пропорцию M R к M S, то есть фигуры A B C D к ее дополнению B C D E. Центр равновесия фигуры A B C D, следовательно, находится в точке S. Теперь, видя, что P M имеет ту же пропорцию к Q S, какую R P имеет к R Q, Q S будет составлять 5 тех частей, из которых P M составляет четыре, то есть из которых I N составляет четыре. Но I N или P M составляет 2 тех части, из которых E B или F G составляет 6; и, следовательно, если как 4 к 5, так 2 к четвертому, то это четвертое будет 2½. Посему Q S есть 2½ тех частей, из которых F G составляет 6. Но F Q есть 1; и, следовательно, F S есть 3½. Посему оставшаяся часть G S есть 2½. Таким образом, F G разделена в S так, что часть, обращенная к оси, относится к другой части как 2½ к 3½, то есть как 5 к 7; что соответствует дроби 5/7 во втором ряду, непосредственно под дробью 4/5 в первом ряду. Посему, проведя S T параллельно оси, основание будет разделено подобным же образом.

Этим методом очевидно, что основание полупараболы будет разделено на 3 и 5; основание первой трехсторонней фигуры с двумя средними — на 4 и 6; а первой трехсторонней фигуры с четырьмя средними — на 6 и 8. Дроби, следовательно, второго ряда обозначают пропорции, в которых основания фигур первого ряда делятся диаметрами равновесия. Но первый ряд начинается на одно место выше, чем второй ряд. 12. Центр равновесия половины любой из фигур во втором ряду той же таблицы ст. 3 гл. XVII лежит на прямой линии, параллельной оси и делящей основание согласно числам дроби в четвертом ряду, на два места ниже, так, чтобы числитель соответствовал той части, которая прилежит к оси.

The centre of equiponderation of the half of any of the figures of the second row of the same table may be found out by the numbers of the fourth row.

12. Центр равновесия половины любой из фигур во втором ряду той же таблицы ст. 3 гл. XVII лежит на прямой линии, параллельной оси и делящей основание согласно числам дроби в четвертом ряду, на два места ниже, так, чтобы числитель соответствовал той части, которая прилежит к оси.

Возьмем половину второй трехсторонней фигуры с двумя средними; пусть это будет A B C D (на рис. 7); ее дополнение есть B C D E, а завершенный прямоугольник — A B E D. Пусть этот прямоугольник будет разделен двумя прямыми линиями L K и N O, пересекающими друг друга в центре M под прямыми углами; и поскольку A B E D относится к A B C D как 5 к 3, пусть A B будет разделена в G так, что A G к B G относится как 3 к 5; и пусть F G будет проведена параллельно основанию. Также поскольку A B E D (согласно ст. 9) относится к B C D E как 5 к 2, пусть B E будет разделена в точке I так, что B I относится к I E как 5 к 2; и пусть I H будет проведена параллельно оси, пересекая L K и F G в P и Q. Пусть теперь P R будет взята так, чтобы она относилась к P Q как 3 к 2, и пусть R M будет проведена и продолжена до F G в точке S. Видя, следовательно, что R P относится к P Q, то есть R M к M S, как A B C D относится к своему дополнению B C D E, а центры равновесия A B C D и B C D E лежат на прямых линиях F G и H I, а центр равновесия их обоих вместе — в точке M; R будет центром дополнения B C D E, а S — центром фигуры A B C D. И видя, что P M, то есть I N, относится к Q S как R P к R Q; и I N или P M составляет 3 тех части, из которых B E, то есть F G, составляет 14; следовательно, Q S составляет 5 тех же частей; а E I, то есть F G, 4; и F S, 9; и G S, 5. Посему прямая линия S T, будучи проведена параллельно оси, разделит основание A D на 5 и 9. Но дробь 5/9 найдена в четвертом ряду таблицы, на два места ниже дроби 3/5 во втором ряду.

Тем же методом, если в том же втором ряду взять вторую трехстороннюю фигуру с тремя средними, центр равновесия ее половины окажется на прямой линии, параллельной оси, делящей основание согласно числам дроби 6/10, на два места ниже в четвертом ряду. И тот же способ годится для всех остальных фигур во втором ряду. Подобным же образом центр равновесия третьей трехсторонней фигуры с тремя средними окажется на прямой линии, параллельной оси, делящей основание так, что часть, прилежащая к оси, относится к другой части как 7 к 13 и т. д.

Следствие. Центры равновесия половин указанных фигур известны, поскольку они находятся на пересечении прямых линий S T и F G, которые обе известны.

The centre of equiponderation of the half of any of the figures in the same table being known, the centre of the excess of the same figure above a triangle of the same altitude and base is also known.

13. Центр равновесия половины любой из фигур, которые (в таблице ст. 3 гл. XVII) сравниваются со своими параллелограммами, будучи известным, центр равновесия избытка той же фигуры над ее треугольником также известен.

Например, возьмем полупараболу A B C D (на рис. 8), чья ось есть A B; чья полная фигура есть A B E D; и чей избыток над ее треугольником есть B C D B. Ее центр равновесия может быть найден следующим образом. Пусть F G будет проведена параллельно основанию так, что A F будет третьей частью оси; и пусть H I будет проведена параллельно оси так, что A H будет третьей частью основания. По завершении этого центр равновесия треугольника A B D будет в I. Далее, пусть K L будет проведена параллельно основанию так, что A K относится к A B как 2 к 5; а M N — параллельно оси так, что A M относится к A D как 3 к 8; и пусть M N заканчивается на прямой линии K L. Центр, следовательно, равновесия параболы A B C D есть N; и поэтому мы имеем центры равновесия полупараболы A B C D и ее части, треугольника A B D. Чтобы теперь найти центр равновесия оставшейся части B C D B, пусть I N будет проведена и продолжена до O так, что N O будет втрое больше I N; и O будет искомым центром. Ибо, видя, что вес A B D к весу B C D B находится в пропорции, обратной пропорции прямой линии N O к прямой линии I N; и N есть центр целого, а I — центр треугольника A B D; O будет центром оставшейся части, а именно фигуры B D C B; что и требовалось найти.

Следствие. Центр равновесия фигуры B D C B находится на пересечении двух прямых линий, из которых одна параллельна основанию и делит ось так, что часть, прилежащая к основанию, составляет 3/5 или 9/15 всей оси; другая параллельна оси и делит основание так, что часть, обращенная к оси, составляет ½ или 12/24 всего основания. Ибо, проводя O P параллельно основанию, будет как I N к N O, так F K к K P, то есть как 1 к 3, или 5 к 15. Но A F есть 5/15, или ⅓ всей A B; а A K есть 6/15, или 2/5; и F K — 1/15; и K P — 3/15; и поэтому A P есть 9/15 оси A B. Также A H есть ⅓, или 8/24; а A M — 3/8, или 9/24 всего основания; и поэтому, если O Q проведена параллельно оси, M Q, которая втрое больше H M, будет 3/24. Посему A Q есть 12/24, или ½ основания A D.

Избытки остальных трехсторонних фигур в первом ряду таблицы ст. 3 гл. XVII имеют свои центры равновесия на двух прямых линиях, которые делят ось и основание согласно тем дробям, которые прибавляют 4 к числителям дробей параболы 9/15 и 12/24; и 6 к знаменателям, следующим образом:

In a parabola, | the axis ⁹⁄₁₅, the base ¹²⁄₂₄.
In the first three-sided figure, | the axis ¹³⁄₂₁, the base ¹⁶⁄₃₀.
In the second three-sided figure, | the axis ¹⁷⁄₂₇, the base ²⁰⁄₃₆, &c.

И тем же методом любой человек, если это стоит труда, может найти центры равновесия избытков над их треугольниками остальных фигур во втором и третьем ряду и т. д.

The centre of equiponderation of a solid sector is in the axis so divided, that the part next the vertex be to the whole axis, wanting half the axis of the portion of the sphere, as 3 to 4.

14. Центр равновесия сектора сферы, то есть фигуры, составленной из прямого конуса, чья вершина есть центр сферы, и части сферы, чье основание то же, что и у конуса, делит прямую линию, образованную осью конуса и половиной оси части вместе взятыми, так, что часть, прилежащая к вершине, втрое больше другой части, или относится ко всей прямой линии как 3 к 4.

Ибо пусть A B C (на рис. 9) будет сектором сферы, чья вершина есть центр сферы A; чья ось есть A D; и круг на B C есть общее основание части сферы и конуса, чья вершина есть A; ось которой части есть E D, а половина ее — F D; и ось конуса — A E. Наконец, пусть A G будет 3/4 прямой линии A F. Я утверждаю, что G есть центр равновесия сектора A B C.

Пусть прямая линия F H будет проведена любой длины, образуя прямые углы с A F в точке F; и, проведя прямую линию A H, пусть будет построен треугольник A F H. Затем на том же центре A пусть будет проведена любая дуга I K, пересекающая A D в L; и ее хорда, пересекающая A D в M; и, разделив M L пополам в N, пусть N O будет проведена параллельно прямой линии F H и встретится с прямой линией A H в O.

Видя теперь, что B D C есть сферическая поверхность части, отсеченной плоскостью, проходящей через B C и пересекающей ось под прямыми углами; и видя, что F H делит E D, ось части, на две равные части в F; центр равновесия поверхности B D C будет в F (согласно ст. 8); и по той же причине центр равновесия поверхности I L K, где K находится на прямой линии A C, будет в N. И подобным же образом, если бы между центром сферы A и внешней сферической поверхностью сектора были проведены дуги в бесконечном числе, центры равновесия сферических поверхностей, в которых находятся эти дуги, оказались бы на той части оси, которая заключена между самой поверхностью и плоскостью, проходящей вдоль хорды дуги и пересекающей ось посередине под прямыми углами.

Пусть теперь предполагается, что момент внешней сферической поверхности B D C есть F H. Видя, следовательно, что поверхность B D C относится к поверхности I L K в пропорции, дупликатной пропорции дуги B D C к дуге I L K, то есть B E к I M, то есть F H к N O; пусть будет как F H к N O, так N O к другому N P; и снова, как N O к N P, так N P к другому N Q; и пусть это будет сделано во всех прямых линиях, параллельных основанию F H, которые могут быть проведены между основанием и вершиной треугольника A F H. Если тогда через все точки Q провести кривую линию A Q H, фигура A F H Q A будет дополнением первой трехсторонней фигуры с двумя средними; и то же самое будет также моментом всех сферических поверхностей, из которых составлен твердый сектор A B C D; и, следовательно, моментом самого сектора. Пусть теперь F H понимается как полудиаметр основания прямого конуса, чья сторона есть A H, а ось — A F. Посему, видя, что основания конусов, которые проходят через F и N и остальные точки оси, находятся в пропорции, дупликатной пропорции прямых линий F H и N O и т. д., момент всех оснований вместе, то есть всего конуса, будет сама фигура A F H Q A; и поэтому центр равновесия конуса A F H тот же, что и твердого сектора. Посему, видя, что A G есть 3/4 оси A F, центр равновесия конуса A F H находится в G; и поэтому центр твердого сектора также находится в G и делит часть A F оси так, что A G втрое больше G F; то есть A G относится к A F как 3 к 4; что и требовалось доказать.

Заметьте, что когда сектор есть полусфера, ось конуса исчезает в той точке, которая является центром сферы; и поэтому она ничего не прибавляет к половине оси части. Посему, если в оси полусферы взять от центра 3/4 половины оси, то есть 3/8 полудиаметра сферы, там будет центр равновесия полусферы.

Том 1. Лат. и англ. Гл. XXIII. Рис. 1-9

Fig 1. | Fig 2. | Fig 3. | Fig 4. | Fig 5. | Fig 6. | Fig 7. | Fig 8. | Fig 9.

ГЛАВА XXIV. О ПРЕЛОМЛЕНИИ И ОТРАЖЕНИИ.

1. Определения.— 2. При перпендикулярном движении нет преломления.— 3. Тела, брошенные из более разреженной в более плотную среду, преломляются так, что угол преломления больше угла наклона.— 4. Стремление, которое из одной точки направляется во все стороны, будет преломлено так, что синус угла преломления будет относиться к синусу угла наклона как плотность первой среды к плотности второй среды, взятые обратно.— 5. Синус угла преломления при одном наклоне относится к синусу угла преломления при другом наклоне как синус угла этого наклона к синусу угла того наклона.— 6. Если две линии падения, имеющие равный наклон, находятся одна в более разреженной, другая в более плотной среде, синус угла их наклона будет средним пропорциональным между двумя синусами их углов преломления.— 7. Если угол наклона полупрямой, а линия наклона находится в более плотной среде, и пропорция их плотностей та же, что у диагонали к стороне квадрата, а разделяющая поверхность плоская, преломленная линия будет лежать в разделяющей поверхности.— 8. Если тело движется по прямой линии на другое тело и не проникает в него, но отражается от него, угол отражения будет равен углу падения.— 9. То же происходит при порождении движения в линии падения.

DEFINITIONS.

Definitions.

I. Преломление есть преломление той прямой линии, в которой тело движется или его действие продолжалось бы в одной и той же среде, на две прямые линии по причине различных свойств двух сред.

II. Первая из них называется линией падения; последняя — преломленной линией. III. Точка преломления есть общая точка линии падения и преломленной линии.

IV. Преломляющая поверхность, которая также является разделяющей поверхностью двух сред, есть та, в которой находится точка преломления.

V. Угол преломления есть тот, который преломленная линия образует в точке преломления с той линией, которая из той же точки проведена перпендикулярно к разделяющей поверхности в другой среде.

VI. Угол рефракции есть тот, который преломленная линия образует с продолженной линией падения.

VII. Угол наклона есть тот, который линия падения образует с той линией, которая из точки преломления проведена перпендикулярно к разделяющей поверхности.

VIII. Угол падения есть дополнение до прямого угла угла наклона.

И так (на рис. 1) преломление совершается в A B F. Преломленная линия есть B F. Линия падения есть A B. Точка падения и преломления есть B. Преломляющая или разделяющая поверхность есть D B E. Линия падения, продолженная прямо, есть A B C. Перпендикуляр к разделяющей поверхности есть B H. Угол рефракции есть C B F. Угол преломления есть H B F. Угол наклона есть A B G или H B C. Угол падения есть A B D.

IX. Более того, более разреженная среда понимается как та, в которой меньше сопротивления движению или порождению движения; а более плотная — та, в которой больше сопротивления.

X. И та среда, в которой сопротивление везде одинаково, есть однородная среда. Все остальные среды — неоднородные.

In perpendicular motion there is no refraction.

Если тело проходит или происходит порождение движения из одной среды в другую различной плотности по линии, перпендикулярной к разделяющей поверхности, преломления не будет.

Ибо, видя, что со всех сторон от перпендикуляра все вещи в средах предполагаются подобными и равными, если само движение предполагается перпендикулярным, наклоны также будут равны, или, вернее, их вовсе не будет; и поэтому не может быть причины, из которой можно было бы вывести преломление с одной стороны перпендикуляра, которая не привела бы к тому же преломлению с другой стороны. Поскольку это так, преломление с одной стороны уничтожит преломление с другой стороны; и, следовательно, либо преломленная линия будет везде, что абсурдно, либо преломленной линии не будет вовсе; что и требовалось доказать.

Следствие. Отсюда очевидно, что причина преломления состоит только в наклонности линии падения, независимо от того, проникает ли падающее тело в обе среды или, не проникая, распространяет движение только давлением.

Things thrown out of a thinner into a thicker medium are so refracted that the angle refracted is greater than the angle of inclination.

3. Если тело, без какого-либо изменения положения своих внутренних частей, как камень, движется наклонно из более разреженной среды и продолжает проникать в более плотную среду, и более плотная среда такова, что ее внутренние части, будучи приведены в движение, восстанавливают себя в прежнее положение, угол преломления будет больше угла наклона.

Ибо пусть D B E (на том же первом рисунке) будет разделяющей поверхностью двух сред; и пусть тело, например брошенный камень, понимается как движущееся, как предполагается, по прямой линии A B C; и пусть A B находится в более разреженной среде, как в воздухе; а B C — в более плотной, как в воде. Я утверждаю, что камень, который, будучи брошен, движется по линии A B, не продолжит движение по линии B C, а по какой-то другой линии, а именно той, с которой перпендикуляр B H образует угол преломления H B F, больший угла наклона H B C.

Ибо, видя, что камень, идущий из A и падающий на B, заставляет то, что находится в B, двигаться к H, и что подобное происходит во всех прямых линиях, которые параллельны B H; и видя, что движущиеся части восстанавливают себя обратным движением по той же линии; будет порождено обратное движение в H B и во всех прямых линиях, которые параллельны ей. Посему движение камня будет совершаться слиянием движений в A G, то есть в D B, и в G B, то есть в B H, и, наконец, в H B, то есть слиянием трех движений. Но слиянием движений в A G и B H камень будет перенесен в C; и поэтому, добавив движение в H B, он будет перенесен выше по какой-то другой линии, как в B F, и образует угол H B F, больший угла H B C.

И отсюда можно вывести причину, почему тела, которые брошены по очень наклонной линии, если они либо плоские, либо брошены с большой силой, при падении на воду будут отброшены снова из воды в воздух.

Ибо пусть A B (на рис. 2) будет поверхностью воды; в которую из точки C пусть будет брошен камень по прямой линии C A, образуя с линией B A, продолженной очень мало, угол C A D; и, продолжая B A неопределенно до D, пусть C D будет проведена перпендикулярно к ней, а A E — параллельно C D. Камень, следовательно, будет двигаться в C A слиянием двух движений в C D и D A, чьи скорости относятся как сами линии C D и D A. И от движения в C D и всех его параллелях вниз, как только камень упадет на A, произойдет реакция вверх, потому что вода восстанавливает себя в прежнее положение. Если теперь камень брошен с достаточной наклонностью, то есть если прямая линия C D достаточно коротка, то есть если стремление камня вниз меньше реакции воды вверх, то есть меньше стремления, которое она имеет от собственной тяжести (ибо это может быть), камень по причине избытка стремления, которое вода имеет к восстановлению себя, над тем, которое камень имеет вниз, будет поднят снова над поверхностью A B и перенесен выше, отразившись по линии, которая идет выше, как линия A G.

Endeavour, which from one point tendeth every way, will be so refracted, as that the sine of the angle refracted will be to the sine of the angle of inclination, as the density of the first medium is to the density of the second medium, reciprocally taken.

4. Если из точки, какова бы ни была среда, стремление распространяется во все стороны во все части этой среды; и тому же стремлению наклонно противопоставлена другая среда иного свойства, то есть либо более разреженная, либо более плотная; это стремление будет преломлено так, что синус угла преломления к синусу угла наклона будет относиться как плотность первой среды к плотности второй среды, взятые обратно.

Во-первых, пусть тело находится в более разреженной среде в A (рис. 3), и пусть понимается, что оно имеет стремление во все стороны, и, следовательно, что его стремление продолжается по линиям A B и A b; к которым пусть B b, поверхность более плотной среды, будет наклонно противопоставлена в B и b, так что A B и A b равны; и пусть прямая линия B b будет продолжена в обе стороны. Из точек B и b пусть будут проведены перпендикуляры B C и b c; и на центрах B и b, и на равных расстояниях B A и b A, пусть будут описаны круги A C и A c, пересекающие B C и b c в C и c, и те же C B и c b, продолженные в D и d, а также A B и A b, продолженные в E и e. Затем из точки A к прямым линиям B C и b c пусть будут проведены перпендикуляры A F и A f. A F, следовательно, будет синусом угла наклона прямой линии A B, а A f — синусом угла наклона прямой линии A b, которые два наклона по построению сделаны равными. Я утверждаю, что как плотность среды, в которой находятся B C и b c, относится к плотности среды, в которой находятся B D и b d, так синус угла преломления относится к синусу угла наклона.

Пусть прямая линия F G будет проведена параллельно прямой линии A B, встречаясь с прямой линией b B, продолженной в G.

Видя, следовательно, что A F и B G также параллельны, они будут равны; и, следовательно, стремление в A F распространяется за то же время, за которое стремление в B G распространилось бы, если бы среда была той же плотности. Но потому что B G находится в более плотной среде, то есть в среде, которая сопротивляется стремлению больше, чем среда, в которой A F, стремление будет распространяться меньше в B G, чем в A F, согласно пропорции, которую плотность среды, в которой A F, имеет к плотности среды, в которой B G. Пусть, следовательно, плотность среды, в которой B G, относится к плотности среды, в которой A F, как B G к B H; и пусть мерой времени будет радиус круга. Пусть H I будет проведена параллельно B D, встречаясь с окружностью в I; и из точки I пусть I K будет проведена перпендикулярно к B D; по завершении чего B H и I K будут равны; и I K будет относиться к A F как плотность среды, в которой A F, к плотности среды, в которой I K. Видя, следовательно, что во время A B, которое есть радиус круга, стремление распространяется в A F в более разреженной среде, оно будет распространяться за то же время, то есть во время B I в более плотной среде от K к I. Следовательно, B I есть преломленная линия линии падения A B; и I K есть синус угла преломления; а A F — синус угла наклона. Посему, видя, что I K относится к A F как плотность среды, в которой A F, к плотности среды, в которой I K; будет как плотность среды, в которой A F или B C, к плотности среды, в которой I K или B D, так синус угла преломления к синусу угла наклона. И по той же причине можно показать, что как плотность более разреженной среды относится к плотности более плотной среды, так K I, синус угла преломления, будет относиться к A F, синусу угла наклона.

Во-вторых, пусть тело, которое стремится во все стороны, находится в более плотной среде в I. Если, следовательно, обе среды были бы одной плотности, стремление тела в I B направлялось бы прямо к L; и синус угла наклона L M был бы равен I K или B H. Но потому что плотность среды, в которой I K, к плотности среды, в которой L M, относится как B H к B G, то есть к A F, стремление будет распространяться дальше в среде, в которой L M, чем в среде, в которой I K, в пропорции плотности к плотности, то есть M L к A F. Посему, когда B A проведена, угол преломления будет C B A, а его синус — A F. Но L M есть синус угла наклона; и поэтому снова, как плотность одной среды относится к плотности другой среды, так обратно синус угла преломления относится к синусу угла наклона; что и требовалось доказать.

В этом доказательстве я сделал разделяющую поверхность B b плоской по построению. Но хотя бы она была вогнутой или выпуклой, теорема все равно была бы верна. Ибо преломление совершается в точке B плоской разделяющей поверхности, если провести кривую линию, как P Q, касающуюся разделяющей линии в точке B; ни преломленная линия B I, ни перпендикуляр B D не изменятся; и угол преломления K B I, как и его синус K I, останутся теми же, какими они были.

The sine of the refracted angle in one inclination is to the sine of the refracted angle in another inclination, as the sine of the angle of that inclination is to the sine of the angle of this inclination.

5. Синус угла преломления при одном наклоне относится к синусу угла преломления при другом наклоне как синус угла того наклона к синусу угла этого наклона.

Ибо, видя, что синус угла преломления относится к синусу угла наклона, каков бы ни был этот наклон, как плотность одной среды к плотности другой среды; пропорция синуса угла преломления к синусу угла наклона будет составлена из пропорций плотности к плотности и синуса угла одного наклона к синусу угла другого наклона. Но пропорции плотностей в одном и том же однородном теле предполагаются одинаковыми. Посему углы преломления при различных наклонах относятся как синусы углов тех наклонов; что и требовалось доказать.

If two lines of incidence, having equal inclination, be one in a thinner the other in a thicker medium, the sine of the angle of inclination will be a mean proportional between the two sines of the refracted angles.

6. Если две линии падения, имеющие равный наклон, находятся одна в более разреженной, другая в более плотной среде, синус угла их наклона будет средним пропорциональным между двумя синусами их углов преломления.

Ибо пусть прямая линия A B (на рис. 3) имеет свой наклон в более разреженной среде и преломляется в более плотной среде в B I; и пусть E B имеет такой же наклон в более плотной среде и преломляется в более разреженной среде в B S; и пусть R S, синус угла преломления, будет проведен. Я утверждаю, что прямые линии R S, A F и I K находятся в непрерывной пропорции. Ибо как плотность более плотной среды к плотности более разреженной среды, так R S к A F. Но также как плотность той же более плотной среды к плотности той же более разреженной среды, так A F к I K. Посему R S : A F :: A F : I K суть пропорциональные; то есть R S, A F и I K находятся в непрерывной пропорции, а A F есть среднее пропорциональное; что и требовалось доказать.

If the angle of inclination be semirect, and the line of inclination be in the thicker medium, and the proportion of their densities be the same with that of the diagonal to the side of a square, and the separating superficies be plain, the refracted line will be in the separating superficies.

7. Если угол наклона полупрямой, а линия наклона находится в более плотной среде, и пропорция плотностей та же, что у диагонали к стороне ее квадрата, а разделяющая поверхность плоская, преломленная линия будет лежать в этой разделяющей поверхности.

Ибо в круге A C (рис. 4) пусть угол наклона A B C будет углом в 45 градусов. Пусть C B будет продолжена до окружности в D; и пусть C E, синус угла E B C, будет проведен, к которому пусть B F будет взята равной в разделяющей линии B G. B C E F будет, следовательно, параллелограммом, а F E и B C, то есть F E и B G, равными. Пусть A G будет проведена, а именно диагональ квадрата, чья сторона есть B G, и будет как A G к E F, так B G к B F; и так, по предположению, плотность среды, в которой C, к плотности среды, в которой D; и так также синус угла преломления к синусу угла наклона. Проводя, следовательно, F D, и из D линию D H перпендикулярно к A B, продолженной, D H будет синусом угла наклона. И видя, что синус угла преломления относится к синусу угла наклона как плотность среды, в которой C, к плотности среды, в которой D, то есть, по предположению, как A G к F E, то есть как B G к D H; и видя, что D H есть синус угла наклона, B G будет, следовательно, синусом угла преломления. Посему B G будет преломленной линией и лежать в плоской разделяющей поверхности; что и требовалось доказать.

Следствие. Поэтому очевидно, что когда наклон больше 45 градусов, как и когда он меньше, при условии, что плотность больше, может случиться, что преломление вовсе не войдет в более разреженную среду.

If a body be carried in a strait line upon another body, and do not penetrate it, but be reflected from it, the angle of reflection will be equal to the angle of incidence.

8. Если тело падает по прямой линии на другое тело и не проникает в него, но отражается от него, угол отражения будет равен углу падения.

Пусть есть тело в A (на рис. 5), которое, падая с прямым движением по линии A C на другое тело в C, не проходит дальше, но отражается; и пусть угол падения будет любой угол, как A C D. Пусть прямая линия C E будет проведена, образуя с D C, продолженной, угол E C F, равный углу A C D; и пусть A D будет проведена перпендикулярно к прямой линии D F. Также в той же прямой линии D F пусть C G будет взята равной C D; и пусть перпендикуляр G E будет воздвигнут, пересекая C E в E. По завершении этого треугольники A C D и E C G будут равны и подобны. Пусть C H будет проведена равной и параллельной прямой линии A D; и пусть H C будет продолжена неопределенно до I. Наконец, пусть E A будет проведена, которая пройдет через H и будет параллельна и равна G D. Я утверждаю, что движение из A в C по прямой линии падения A C отразится по прямой линии C E.

Ибо движение из A в C совершается двумя коэффициентами или сопутствующими движениями, одно в A H параллельно D G, другое в A D перпендикулярно к той же D G; из которых двух движений то, что в A H, не производит никакого действия на тело A после того, как оно было перемещено до C, потому что, по предположению, оно не проходит прямую линию D G; тогда как стремление в A D, то есть в H C, действует дальше к I. Но видя, что оно только давит, а не проникает, произойдет реакция в H, которая вызывает движение из C к H; и тем временем движение в H E остается тем же, каким оно было в A H; и поэтому тело теперь будет двигаться слиянием двух движений в C H и H E, которые равны двум движениям, которые оно имело ранее в A H и H C. Посему оно будет перенесено по C E. Угол, следовательно, отражения будет E C G, равный, по построению, углу A C D; что и требовалось доказать.

Теперь, когда тело рассматривается лишь как точка, все равно, является ли поверхность или линия, в которой совершается отражение, прямой или кривой; ибо точка падения и отражения C находится как в кривой линии, которая касается D G в C, так и в самой D G.

The same happens in the generation of motion in the line of incidence.

9. Но если мы предположим, что движется не тело, а распространяется лишь некоторое стремление из A в C, доказательство тем не менее будет тем же. Ибо всякое стремление есть движение; и когда оно достигло твердого тела в C, оно давит на него и стремится дальше в C I. Посему реакция будет продолжаться в C H; и стремление в C H, сливаясь со стремлением в H E, породит стремление в C E, таким же образом, как при отскоке движущихся тел.

Если, следовательно, стремление распространяется из любой точки к вогнутой поверхности сферического тела, отраженная линия с окружностью большого круга в той же сфере образует угол, равный углу падения.

Ибо если стремление распространяется из A (на рис. 6) к окружности в B, а центр сферы есть C, и линия C B проведена, как и касательная D B E; и, наконец, если угол F B D сделан равным углу A B E, отражение совершится по линии B F, как было только что показано. Посему углы, которые прямые линии A B и F B образуют с окружностью, также будут равны. Но здесь следует заметить, что если C B продолжить как угодно до G, стремление в линии G B C будет происходить только от перпендикулярной реакции в G B; и что поэтому не будет никакого другого стремления в точке B к частям, которые находятся внутри сферы, кроме того, которое направлено к центру.

И здесь я заканчиваю третью часть этого рассуждения; в которой я рассматривал движение и величину сами по себе в абстракции. Четвертая и последняя часть, касающаяся явлений природы, то есть касающаяся движений и величин тел, которые являются частями мира, реальными и существующими, есть та, что следует.

Том 1. Лат. и англ. Гл. XXIV. Рис. 1-6

Fig 1. | Fig 2. | Fig 3. | Fig 4. | Fig 5. | Fig 6.

ЧАСТЬ IV. ФИЗИКА, ИЛИ ФЕНОМЕНЫ ПРИРОДЫ.

ГЛАВА XXV. О ЧУВСТВЕ И ЖИВОТНОМ ДВИЖЕНИИ.

1. Связь сказанного с тем, что последует. 2. Исследование природы чувства и определение чувства. 3. Субъект и объект чувства. 4. Органы чувства. 5. Не все тела наделены чувством. 6. Но один фантазм в одно и то же время. 7. Воображение как остатки прошлого чувства, что также является памятью. О сне. 8. Как фантазмы сменяют друг друга. 9. Сновидения, откуда они происходят. 10. О чувствах, их видах, их органах, а также о собственных и общих фантазмах. 11. Величина образов, как и чем она определяется. 12. Удовольствие, боль, влечение и отвращение, что они такое. 13. Делиберация и воля, что это такое.

The connexion of what hath been said with that which followeth.

1. В первой главе я определил философию как познание следствий, приобретенное посредством истинного рассуждения из предварительного познания их причин и порождения; а также таких причин или порождений, которые могут быть, из предшествующего познания их следствий или явлений. Существует, следовательно, два метода философии: один — от порождения вещей к их возможным следствиям, а другой — от их следствий или явлений к некоторому возможному порождению этих же вещей. В первом из них истинность первых принципов нашего рассуждения, а именно дефиниций, создается и устанавливается нами самими, пока мы соглашаемся и договариваемся об именованиях вещей. И эту часть я завершил в предыдущих главах; в которых, если я не ошибаюсь, я не утверждал ничего, кроме самих дефиниций, что не имело бы хорошей согласованности с данными мною дефинициями; то есть, что не было бы в достаточной мере продемонстрировано всем тем, кто согласен со мной в использовании слов и именований; ради которых одних я это и написал. Теперь я перехожу к другой части, которая состоит в нахождении посредством явлений или следствий природы, которые мы познаем через чувство, некоторых путей и средств, которыми они могут быть — я не говорю, что они есть — порождены. Принципы, следовательно, от которых зависит последующее рассуждение, не являются такими, которые мы сами создаем и провозглашаем в общих терминах, как дефиниции; но такими, которые, будучи помещены в сами вещи Автором Природы, наблюдаются нами в них; и мы используем их в единичных и частных, а не в универсальных пропозициях. И они не налагают на нас никакой необходимости составлять теоремы; их использование состоит лишь в том, чтобы, хотя и не без таких общих пропозиций, которые уже были продемонстрированы, показать нам возможность некоторого производства или порождения. Видя, следовательно, что наука, которая здесь преподается, имеет свои принципы в явлениях природы и заканчивается достижением некоторого знания о естественных причинах, я дал этой части заглавие «Физика», или «Феномены природы». Теперь такие вещи, которые являются или показываются нам природой, мы называем феноменами или явлениями.

Из всех феноменов или явлений, которые находятся рядом с нами, самым удивительным является само явление, τὸ φαίνεσθαι; а именно то, что некоторые естественные тела имеют в себе подобия почти всех вещей, а другие — вовсе никаких. Так что если явления являются принципами, посредством которых мы познаем все остальные вещи, мы должны признать чувство принципом, посредством которого мы познаем эти принципы, и что все знание, которое мы имеем, происходит из него. И что касается причин чувства, мы не можем начать наш поиск их с какого-либо иного феномена, кроме самого чувства. Но вы скажете, с помощью какого чувства мы заметим чувство? Я отвечу: с помощью самого чувства, а именно с помощью памяти, которая некоторое время остается в нас от чувственных вещей, хотя они сами и проходят. Ибо тот, кто воспринимает, что он воспринял, помнит.

В первую очередь, следовательно, необходимо исследовать причины нашего восприятия, то есть причины тех идей и фантазмов, которые постоянно порождаются внутри нас, пока мы используем наши чувства; и каким образом происходит их порождение. Чтобы помочь этому исследованию, мы можем прежде всего заметить, что наши фантазмы или идеи не всегда одни и те же; но что новые появляются нам, а старые исчезают, по мере того как мы применяем наши органы чувств то к одному объекту, то к другому. Поэтому они порождаются и погибают. И отсюда очевидно, что они представляют собой некоторое изменение или мутацию в чувствующем существе.

The investigation of the nature of sense, and the definition of sense.

2. Теперь то, что всякая мутация или изменение есть движение или стремление (а стремление также есть движение) во внутренних частях вещи, которая подвергается изменению, было доказано (в ст. 9, гл. VIII) из того, что пока даже мельчайшие части любого тела остаются в том же положении по отношению друг к другу, нельзя сказать, что произошло какое-либо изменение, если только, возможно, все тело целиком не было перемещено; но что оно и кажется, и является тем же, чем казалось и было прежде. Чувство, следовательно, в чувствующем существе не может быть ничем иным, кроме движения в некоторых внутренних частях чувствующего существа; и части, так движимые, являются частями органов чувства. Ибо части нашего тела, посредством которых мы воспринимаем что-либо, — это те, которые мы обычно называем органами чувства. И так мы находим, что является субъектом нашего чувства, а именно то, в чем находятся фантазмы; и отчасти мы также обнаружили природу чувства, а именно то, что это некоторое внутреннее движение в чувствующем существе.

Я показал, кроме того (в гл. IX, ст. 7), что никакое движение не порождается иначе, как соприкасающимся и движущимся телом: откуда очевидно, что непосредственная причина чувства или восприятия состоит в том, что первый орган чувства оказывается затронут и сжат. Ибо когда самая внешняя часть органа сжимается, она не успевает уступить, как часть, следующая за ней внутри, также сжимается; и таким образом давление или движение распространяется через все части органа к самой внутренней. И так же давление самой внешней части происходит от давления некоторого более удаленного тела, и так постоянно, пока мы не дойдем до того, от чего, как от его источника, мы получаем фантазм или идею, которая создается в нас нашим чувством. И это, что бы оно ни было, есть то, что мы обычно называем объектом. Чувство, следовательно, есть некоторое внутреннее движение в чувствующем существе, порожденное некоторым внутренним движением частей объекта и распространяющееся через все среды к самой внутренней части органа. Каковыми словами я почти определил, что такое чувство.

Более того, я показал (ст. 2, гл. XV), что всякое сопротивление есть стремление, противоположное другому стремлению, то есть реакция. Видя, следовательно, что во всем органе, по причине его собственного внутреннего естественного движения, существует некоторое сопротивление или реакция против движения, которое распространяется от объекта к самой внутренней части органа, существует также в том же органе стремление, противоположное стремлению, которое исходит от объекта; так что когда это стремление внутрь является последним действием в акте чувства, тогда от реакции, как бы мала ни была ее длительность, фантазм или идея получает свое бытие; который, по причине того, что стремление теперь направлено наружу, всегда кажется чем-то, расположенным вне органа. Так что теперь я дам вам полное определение чувства, как оно выведено из объяснения его причин и порядка его порождения, таким образом: ЧУВСТВО есть фантазм, созданный реакцией и стремлением наружу в органе чувства, вызванный стремлением внутрь от объекта, остающийся некоторое время более или менее.

The subject and object of sense.

3. Субъектом чувства является само чувствующее существо, а именно некоторое живое создание; и мы говорим более правильно, когда говорим, что живое создание видит, чем когда говорим, что глаз видит. Объект — это воспринимаемая вещь; и более точно сказано, что мы видим солнце, чем что мы видим свет. Ибо свет и цвет, и тепло и звук, и другие качества, которые обычно называются чувственными, являются не объектами, а фантазмами в чувствующих существах. Ибо фантазм есть акт чувства и отличается от чувства не иначе, как fieri, то есть «быть деланием», отличается от factum esse, то есть «быть сделанным»; каковое различие в вещах, которые совершаются в одно мгновение, отсутствует вовсе; и фантазм создается в одно мгновение. Ибо во всяком движении, которое происходит путем постоянного распространения, первая часть, будучи движимой, движет вторую, вторая — третью, и так далее до последней, и это на любое расстояние, как бы велико оно ни было. И в какой момент времени первая или самая передняя часть перешла на место второй, которая вытесняется, в тот же момент времени предпоследняя часть перешла на место последней уступающей части; которая посредством реакции, в тот же самый момент, если реакция достаточно сильна, создает фантазм; и когда фантазм создан, восприятие совершается вместе с ним.

The organs of sense.

4. Органы чувства, которые находятся в чувствующем существе, — это такие его части, что если они повреждены, то само порождение фантазмов тем самым разрушается, хотя все остальные части остаются целыми. Теперь эти части у большинства живых созданий оказываются определенными духами и оболочками, которые, исходя из мягкой мозговой оболочки (pia mater), обволакивают мозг и все нервы; также сам мозг и артерии, которые находятся в мозге; и такие другие части, которые, будучи потревожены, заставляют сердце, являющееся источником всякого чувства, также быть потревоженным вместе с ними. Ибо всякий раз, когда действие объекта достигает тела чувствующего существа, это действие посредством некоторого нерва распространяется к мозгу; и если нерв, ведущий туда, поврежден или закупорен настолько, что движение не может распространяться дальше, никакого чувства не следует. Также если движение перехвачено между мозгом и сердцем из-за дефекта органа, посредством которого распространяется действие, не будет никакого восприятия объекта.

All bodies are not endued with sense.

5. Но хотя всякое чувство, как я сказал, создается посредством реакции, тем не менее не обязательно, чтобы все, что реагирует, обладало чувством. Я знаю, что были философы, и притом ученые мужи, которые утверждали, что все тела наделены чувством. И я не вижу, как их можно опровергнуть, если природа чувства заключается только в реакции. И хотя посредством реакции неодушевленных тел мог бы быть создан фантазм, он тем не менее прекратился бы, как только объект был бы удален. Ибо если бы эти тела не имели органов, как живые создания, пригодных для удержания такого движения, которое в них создается, их чувство было бы таким, что они никогда не помнили бы его. И поэтому это не имеет никакого отношения к тому чувству, которое является предметом моего рассуждения. Ибо под чувством мы обычно понимаем суждение, которое мы выносим об объектах по их фантазмам; а именно, путем сравнения и различения этих фантазмов; чего мы никогда не смогли бы сделать, если бы то движение в органе, посредством которого создается фантазм, не оставалось там некоторое время и не заставляло тот же самый фантазм вернуться. Поэтому чувство, как я здесь его понимаю, и как оно обычно называется, обязательно имеет некоторое примыкающее к нему воспоминание, посредством которого прежние и более поздние фантазмы могут быть сравнены друг с другом и отличены один от другого.

Чувство, следовательно, собственно так называемое, должно обязательно иметь в себе постоянное разнообразие фантазмов, чтобы их можно было отличать друг от друга. Ибо если бы мы предположили, что человек создан с ясными глазами и все остальные его органы зрения хорошо устроены, но он не наделен никаким другим чувством; и что он смотрел бы только на одну вещь, которая всегда одного и того же цвета и фигуры, без малейшего проявления разнообразия, он показался бы мне, что бы ни говорили другие, видящим не больше, чем я кажусь самому себе чувствующим кости своих собственных конечностей своими органами осязания; и все же эти кости всегда и со всех сторон касаются самой чувствительной оболочки. Я мог бы, возможно, сказать, что он изумлен и смотрит на это; но я не сказал бы, что он видит это; ибо для человека почти одно и то же — быть всегда чувствительным к одной и той же вещи и не быть чувствительным вовсе ни к чему.

But one phantasm at one and the same time.

6. И все же такова природа чувства, что оно не позволяет человеку различать много вещей сразу. Ибо, видя, что природа чувства состоит в движении, до тех пор, пока органы заняты одним объектом, они не могут быть так движимы другим в то же самое время, чтобы создать обоими своими движениями один искренний фантазм каждого из них сразу. И поэтому два отдельных фантазма не будут созданы двумя объектами, работающими вместе, а только один фантазм, составленный из действия обоих.

Кроме того, как когда мы делим тело, мы делим его место; и когда мы считаем много тел, мы должны обязательно считать столько же мест; и наоборот, как я показал в седьмой главе; так какое бы число времен мы ни называли, мы должны понимать то же самое число движений также; и как часто мы считаем много движений, так часто мы считаем много времен. Ибо хотя объект, на который мы смотрим, бывает разных цветов, все же с этими разными цветами это лишь один варьирующийся объект, а не разнообразие объектов.

Более того, пока те органы, которые являются общими для всех чувств, каковы те части каждого органа, которые у людей идут от корня нервов к сердцу, сильно потревожены сильным действием от какого-то одного объекта, они, по причине упорства, которое движение, уже имеющееся у них, дает им против восприятия всякого другого движения, становятся менее пригодными для получения какого-либо другого впечатления от каких бы то ни было других объектов, к какому бы чувству эти объекты ни принадлежали. И отсюда происходит то, что усердное изучение одного объекта отнимает чувство всех других объектов на данный момент. Ибо изучение есть не что иное, как обладание умом, то есть сильное движение, созданное некоторым одним объектом в органах чувства, которые тупы ко всем другим движениям, пока это длится; согласно тому, что было сказано Теренцием: «Populus studio stupidus in funambulo animum occuparat». Ибо что такое ступор, как не то, что греки называют ἀναισθησία, то есть прекращение чувства других вещей? Поэтому в одно и то же время мы не можем посредством чувства воспринимать более одного единственного объекта; как при чтении мы видим буквы последовательно одну за другой, а не все вместе, хотя вся страница представлена нашему глазу; и хотя каждая отдельная буква четко написана там, все же когда мы смотрим на всю страницу сразу, мы ничего не читаем.

Отсюда очевидно, что всякое стремление органа наружу не должно называться чувством, а только то, которое в разное время в силу своей силы становится сильнее и преобладающее остальных; которое лишает нас чувства других фантазмов не иначе, как солнце лишает остальные звезды света, не препятствуя их действию, а затмевая и скрывая их своим избытком яркости.

Imagination, the remains of past sense; which also is memory. Of sleep.

7. Но движение органа, посредством которого создается фантазм, обычно не называется чувством, если объект не присутствует. А фантазм, остающийся после того, как объект удален или прошел мимо, называется «фэнси» (fancy), а на латыни — «imaginatio»; каковое слово, поскольку не все фантазмы являются образами, не полностью отвечает значению слова «фэнси» в его общем принятии. Тем не менее я могу использовать его достаточно безопасно, понимая под ним греческое Φαντασία.

Воображение, следовательно, есть не что иное, как чувство, затухающее или ослабленное отсутствием объекта. Но какова может быть причина этого затухания или ослабления? Является ли движение более слабым, потому что объект убран? Если бы это было так, то фантазмы всегда и обязательно были бы менее ясными в воображении, чем они есть в чувстве; что не является правдой. Ибо в сновидениях, которые являются воображениями спящих, они не менее ясны, чем в самом чувстве. Но причина, почему у бодрствующих людей фантазмы вещей прошлых более неясны, чем фантазмы вещей настоящих, заключается в том, что их органы в то же самое время движимы другими присутствующими объектами, и те фантазмы менее преобладают. Тогда как во сне, когда проходы закрыты, внешнее действие вовсе не беспокоит и не препятствует внутреннему движению.

Если это правда, то следующее, что нужно рассмотреть, будет то, можно ли найти какую-либо причину, из предположения которой следовало бы, что проход от внешних объектов чувства к внутреннему органу закрыт. Я предполагаю, следовательно, что постоянным действием объектов, за которым обязательно следует реакция органа, и особенно духов, орган утомляется, то есть его части больше не движутся духами без некоторой боли; и, следовательно, нервы, будучи покинутыми и ослабевшими, отступают к своему источнику, который является полостью либо мозга, либо сердца; посредством чего действие, которое шло по нервам, обязательно перехватывается. Ибо действие на пациента, который отступает от него, производит лишь слабое впечатление вначале; а в конце, когда нервы мало-помалу ослабли, — никакого вовсе. И поэтому нет больше реакции, то есть нет больше чувства, пока орган, освеженный отдыхом и притоком новых духов, восстанавливающих силу и движение, не пробудит чувствующее существо. И так это, кажется, всегда, если не вмешивается какая-либо другая сверхъестественная причина; как жар во внутренних частях от усталости или от какой-то болезни, возбуждающей духи и другие части органа каким-то необычным образом.

How phantasms succeed one another.

8. Теперь не без причины и не столь случайная вещь, как многие, возможно, думают, что фантазмы в этом их великом разнообразии происходят один из другого; и что одни и те же фантазмы иногда приводят в ум другие фантазмы, подобные им самим, а в другое время — крайне непохожие. Ибо в движении любого непрерывного тела одна часть следует за другой по сцеплению; и поэтому, пока мы поворачиваем наши глаза и другие органы последовательно ко многим объектам, движение, которое было создано каждым из них, оставаясь, фантазмы обновляются так часто, как любое из этих движений становится преобладающим над остальными; и они становятся преобладающими в том же порядке, в котором когда-либо прежде они были порождены чувством. Так что когда с течением времени очень многие фантазмы были порождены внутри нас чувством, тогда почти любая мысль может возникнуть из любой другой мысли; до такой степени, что может показаться безразличной и случайной вещью, какая мысль последует за какой. Но по большей части это не столь неопределенная вещь для бодрствующих, как для спящих людей. Ибо мысль или фантазм желаемой цели приводит все фантазмы, которые являются средствами, ведущими к этой цели, и это в порядке назад от последнего к первому, и снова вперед от начала к концу. Но это предполагает как влечение, так и суждение, чтобы различать, какие средства ведут к цели, что приобретается опытом; а опыт — это запас фантазмов, возникающих из чувства очень многих вещей. Ибо φανταζεσθαι и meminisse, «фэнси» и «память», отличаются только в том, что память предполагает время прошедшее, чего «фэнси» не делает. В памяти фантазмы, которые мы рассматриваем, как если бы они были изношены временем; но в нашем «фэнси» мы рассматриваем их такими, как они есть; каковое различие не самих вещей, а рассмотрений чувствующего существа. Ибо в памяти есть нечто похожее на то, что происходит при взгляде на вещи на большом расстоянии; в котором, как малые части объекта не различаются по причине их удаленности; так в памяти многие акциденции и места и части вещей, которые были прежде восприняты чувством, с течением времени затухают и теряются.

Постоянное возникновение фантазмов, как в чувстве, так и в воображении, — это то, что мы обычно называем дискурсом ума, и это общее для людей с другими живыми созданиями. Ибо тот, кто мыслит, сравнивает фантазмы, которые проходят, то есть замечает их сходство или несходство друг с другом. И как тот, кто наблюдает с готовностью сходства вещей разных природ или которые очень удалены друг от друга, считается имеющим хороший «фэнси»; так считается имеющим хорошее суждение тот, кто находит несходства или различия вещей, которые похожи друг на друга. Теперь это наблюдение различий не является восприятием, сделанным общим органом чувства, отличным от чувства или восприятия, собственно так называемого, но является памятью различий частных фантазмов, остающихся некоторое время; как различие между горячим и светлым есть не что иное, как память как нагревающего, так и освещающего объекта.

Dreams, whence they proceed.

9. Фантазмы людей, которые спят, — это сновидения. Относительно которых мы научены опытом этим пяти вещам. Во-первых, что по большей части в них нет ни порядка, ни связности. Во-вторых, что мы не видим во сне ничего, кроме того, что составлено и сделано из фантазмов прошлого чувства. В-третьих, что иногда они происходят, как у тех, кто дремлет, от прерывания их фантазмов мало-помалу, разбитых и измененных сонливостью; и иногда также они начинаются посреди сна. В-четвертых, что они яснее, чем воображения бодрствующих людей, за исключением тех, которые созданы самим чувством, которым они равны по ясности. В-пятых, что когда мы видим сны, мы не удивляемся ни местам, ни видам вещей, которые являются нам. Теперь из того, что было сказано, нетрудно показать, каковы могут быть причины этих феноменов. Ибо что касается первого, видя, что всякий порядок и связность происходят от частого оглядывания на цель, то есть от консультации; должно быть, что, видя во сне мы теряем всякую мысль о цели, наши фантазмы сменяют друг друга не в том порядке, который стремится к какой-либо цели, а как случится, и таким образом, как объекты представляют себя нашим глазам, когда мы смотрим безразлично на все вещи перед нами и видим их не потому, что мы хотели бы их видеть, а потому, что мы не закрываем глаза; ибо тогда они являются нам без всякого порядка вовсе. Второе происходит из того, что в тишине чувства нет нового движения от объектов, и поэтому нет нового фантазма, если только мы не называем новым то, что составлено из старых, как химера, золотая гора и тому подобное. Что касается третьего, почему сновидение иногда является как бы продолжением чувства, составленным из разбитых фантазмов, как у людей, расстроенных болезнью, причина явно в том, что в некоторых органах чувство остается, а в других оно ослабевает. Но как некоторые фантазмы могут быть оживлены, когда все внешние органы онемели от сна, показать не так легко. Тем не менее то, что уже было сказано, содержит причину и этого также. Ибо все, что ударяет в мягкую мозговую оболочку (pia mater), оживляет некоторые из тех фантазмов, которые все еще находятся в движении в мозге; и когда любое внутреннее движение сердца достигает этой оболочки, тогда преобладающее движение в мозге создает фантазм. Теперь движения сердца — это влечения и отвращения, о которых я сейчас скажу подробнее. И как влечения и отвращения порождаются фантазмами, так взаимно фантазмы порождаются влечениями и отвращениями. Например, жар в сердце происходит от гнева и борьбы; и снова, от жара в сердце, какова бы ни была его причина, порождается гнев и образ врага во сне. И как любовь и красота возбуждают жар в определенных органах; так жар в тех же органах, от чего бы он ни происходил, часто вызывает желание и образ не сопротивляющейся красоты. Наконец, холод таким же образом порождает страх у тех, кто спит, и заставляет их видеть во сне призраков и иметь фантазмы ужаса и опасности; как страх также вызывает холод у тех, кто бодрствует. Столь взаимны движения сердца и мозга. Четвертое, а именно то, что вещи, которые мы, кажется, видим и чувствуем во сне, так же ясны, как в самом чувстве, происходит от двух причин; одна — что, не имея тогда никакого чувства вещей вне нас, то внутреннее движение, которое создает фантазм, в отсутствие всех других впечатлений, является преобладающим; и другая — что части наших фантазмов, которые затухли и износились со временем, восполняются другими фиктивными частями. В заключение, когда мы видим сны, мы не удивляемся странным местам и явлениям вещей, неизвестных нам, потому что удивление требует, чтобы являющиеся вещи были новыми и необычными, что может случиться только с теми, кто помнит прежние явления; тогда как во сне все вещи являются как настоящие.

Но здесь следует заметить, что определенные сны, особенно такие, которые некоторые люди имеют, когда они находятся между сном и бодрствованием, и такие, которые случаются с теми, кто не имеет знания о природе снов и к тому же суеверен, прежде не считались и сейчас не считаются снами. Ибо явления, которые люди думали, что видели, и голоса, которые они думали, что слышали во сне, не считались фантазмами, а вещами, существующими сами по себе, и объектами вне тех, кто видел сны. Ибо у некоторых людей, как спящих, так и бодрствующих, но особенно у виновных людей, и ночью, и в освященных местах, один только страх, подкрепленный немного историями о таких явлениях, поднял в их умах ужасные фантазмы, которые были и до сих пор обманчиво принимаются за вещи, действительно истинные, под именами призраков и бестелесных субстанций.

Of the senses, their kinds, their organs and phantasms, proper and common.

10. У большинства живых созданий наблюдаются пять видов чувств, которые различаются по своим органам и по своим различным видам фантазмов; а именно: зрение, слух, обоняние, вкус и осязание; и они имеют свои органы отчасти специфическими для каждого из них в отдельности, а отчасти общими для них всех. Орган зрения отчасти одушевлен, а отчасти неодушевлен. Неодушевленные части — это три влаги; а именно водянистая влага, которая посредством интерпозиции оболочки, называемой сосудистой (uvea), перфорация которой называется яблоком глаза, удерживается с одной стороны первой вогнутой поверхностью глаза, а с другой стороны — ресничными отростками и оболочкой хрусталиковой влаги; хрусталик, который, вися посредине между ресничными отростками и будучи почти сферической фигуры и густой консистенции, заключен со всех сторон своей собственной прозрачной оболочкой; и стекловидная влага, которая заполняет всю остальную полость глаза и несколько гуще, чем водянистая влага, но тоньше, чем хрусталик. Одушевленная часть органа — это, во-первых, оболочка сосудистая (choroeides), которая является частью мягкой мозговой оболочки (pia mater), за исключением того, что она покрыта оболочкой, происходящей из мозга зрительного нерва, которая называется сетчаткой (retina); и эта сосудистая оболочка, видя, что она является частью мягкой мозговой оболочки, продолжена до начала спинного мозга (medulla spinalis) внутри черепа, в котором все нервы, которые находятся внутри головы, имеют свои корни. Поэтому все животные духи, которые получают нервы, входят в них там; ибо невообразимо, что они могут входить в них где-либо еще. Видя, следовательно, что чувство есть не что иное, как действие объектов, распространяющееся до самой дальней части органа; и видя также, что животные духи — это не что иное, как жизненные духи, очищенные сердцем и переносимые от него артериями; следует обязательно, что действие происходит от сердца по некоторым из артерий к корням нервов, которые находятся в голове, будь то эти артерии сетчатое сплетение (plexus retiformis) или будь то другие артерии, которые вставлены в субстанцию мозга. И поэтому эти артерии являются дополнением или оставшейся частью всего органа зрения. И эта последняя часть является общим органом для всех чувств; тогда как та, которая доходит от глаза до корней нервов, является специфической только для зрения. Собственный орган слуха — это барабанная перепонка уха и ее собственный нерв; от которого к сердцу орган является общим. Так же собственные органы обоняния и вкуса — это нервные оболочки, в небе и языке для вкуса, и в ноздрях для обоняния; и от корней этих нервов к сердцу все является общим. Наконец, собственный орган осязания — это нервы и оболочки, рассеянные по всему телу; каковые оболочки происходят из корня нервов. И все остальные вещи, относящиеся одинаково ко всем чувствам, по-видимому, управляются артериями, а не нервами.

Собственный фантазм зрения — это свет; и под этим именем света понимается также цвет, который есть не что иное, как возмущенный свет. Поэтому фантазм светящегося тела есть свет; а окрашенного тела — цвет. Но объект зрения, собственно так называемый, есть ни свет, ни цвет, а само тело, которое является светящимся, или освещенным, или окрашенным. Ибо свет и цвет, будучи фантазмами чувствующего существа, не могут быть акциденциями объекта. Что достаточно очевидно из того, что видимые вещи часто появляются в местах, в которых мы знаем наверняка, что их нет, и что в разных местах они имеют разные цвета и могут в одно и то же время появляться в разных местах. Движение, покой, величина и фигура являются общими как для зрения, так и для осязания; и все явление вместе фигуры и света или цвета греками обычно называется εἴδος, и εἴδωλον, и ἱδέα; а латинянами — species и imago; все эти имена означают не что иное, как явление.

Фантазм, который создается слухом, — это звук; обонянием — запах; вкусом — вкус; а осязанием — твердость и мягкость, тепло и холод, влажность, маслянистость и многие другие, которые легче различить чувством, чем словами. Гладкость, шероховатость, разреженность и плотность относятся к фигуре и поэтому являются общими как для осязания, так и для зрения. А что касается объектов слуха, обоняния, вкуса и осязания, то они — не звук, запах, вкус, твердость и т. д., а сами тела, от которых звук, запах, вкус, твердость и т. д. происходят; о причинах которых и о способе, как они производятся, я скажу позже.

Но эти фантазмы, хотя они являются следствиями в чувствующем существе как субъекте, произведенными объектами, работающими на органы; все же существуют также другие следствия, помимо этих, произведенные теми же объектами в тех же органах; а именно определенные движения, происходящие из чувства, которые называются животными движениями. Ибо видя, что во всяком чувстве внешних вещей есть взаимное действие и реакция, то есть два стремления, противостоящие друг другу, очевидно, что движение обоих вместе будет продолжаться во все стороны, особенно к границам обоих тел. И когда это происходит во внутреннем органе, стремление наружу будет продолжаться в телесном угле, который будет больше, и, следовательно, идея — больше, чем она была бы, если бы впечатление было слабее.

The magnitude of images, how and by what it is determined.

11. Отсюда очевидна естественная причина, во-первых, почему те вещи кажутся большими, которые, cæteris paribus, видны под большим углом: во-вторых, почему в ясную холодную ночь, когда луна не светит, появляется больше неподвижных звезд, чем в другое время. Ибо их действие меньше затруднено ясностью воздуха и не затмевается большим светом луны, которая тогда отсутствует; и холод, делая воздух более давящим, помогает или усиливает действие звезд на наши глаза; настолько, что звезды могут тогда быть увидены, которые не видны в другое время. И этого может быть достаточно, чтобы сказать в общем о чувстве, созданном реакцией органа. Ибо что касается места образа, обманов зрения и других вещей, о которых мы имеем опыт в самих себе через чувство, видя, что они зависят по большей части от самого строения глаза человека, я скажу о них тогда, когда перейду к разговору о человеке.

Pleasure, pain, appetite, and aversion, what they are.

12. Но существует другой вид чувства, о котором я скажу кое-что в этом месте, а именно чувство удовольствия и боли, происходящее не от реакции сердца наружу, а от постоянного действия от самой внешней части органа к сердцу. Ибо начало жизни находясь в сердце, то движение в чувствующем существе, которое распространяется к сердцу, должно обязательно произвести некоторое изменение или отклонение жизненного движения, а именно путем ускорения или замедления, помощи или препятствования ему. Теперь, когда оно помогает, это удовольствие; а когда оно препятствует, это боль, неприятность, горе и т. д. И как фантазмы кажутся находящимися вне, по причине стремления наружу, так удовольствие и боль, по причине стремления органа внутрь, кажутся находящимися внутри; а именно там, где находится первая причина удовольствия или боли; как когда боль происходит от раны, мы думаем, что боль и рана находятся в одном и том же месте.

Pleasure, pain, appetite, and aversion, what they are.

Теперь жизненное движение — это движение крови, постоянно циркулирующей (как было показано по многим безошибочным признакам и знакам доктором Гарвеем, первым наблюдателем этого) в венах и артериях. Каковое движение, когда оно затруднено некоторым другим движением, созданным действием чувственных объектов, может быть восстановлено снова либо путем сгибания, либо путем выпрямления частей тела; что делается, когда духи переносятся то в эти, то в другие нервы, пока боль, насколько это возможно, не будет совсем убрана. Но если жизненное движение поддерживается движением, созданным чувством, то части органа будут расположены направлять духи таким образом, который ведет наиболее к сохранению и увеличению этого движения, с помощью нервов. И в животном движении это самое первое стремление, и оно найдено даже в эмбрионе; который, пока он находится в утробе, движет свои конечности с произвольным движением, для избегания всего, что его беспокоит, или для преследования того, что ему нравится. И это первое стремление, когда оно направлено к таким вещам, которые известны по опыту как приятные, называется влечением, то есть приближением; а когда оно избегает того, что беспокоит, — отвращением, или бегством от него. И маленькие младенцы, в начале и как только они рождаются, имеют влечение к очень немногим вещам, как также они избегают очень немногих, по причине их недостатка опыта и памяти; и поэтому они не имеют такого большого разнообразия животного движения, как мы видим у тех, кто более вырос. Ибо невозможно, без такого знания, которое происходит из чувства, то есть без опыта и памяти, знать, что окажется приятным или вредным; только есть некоторое место для догадок по видам или аспектам вещей. И отсюда происходит, что хотя они не знают, что может принести им пользу или вред, все же иногда они приближаются, а иногда удаляются от одной и той же вещи, как их сомнение подсказывает им. Но впоследствии, приучая себя мало-помалу, они приходят к знанию с готовностью, что нужно преследовать и чего избегать; а также к готовности использования своих нервов и других органов в преследовании и избегании хорошего и плохого. Поэтому влечение и отвращение — это первые стремления животного движения.

Следствием этого первого стремления является импульс в нервы и обратное втягивание животных духов, для чего необходимо, чтобы был некоторый приемник или место рядом с началом нервов; и за этим движением или стремлением следует набухание и расслабление мышц; и, наконец, за этим следуют сокращение и растяжение конечностей, что и есть животное движение.

Deliberation and will, what.

13. Рассмотрения влечений и отвращений различны. Ибо видя, что живые создания имеют иногда влечение, а иногда отвращение к одной и той же вещи, как они думают, что это будет либо для их блага, либо для их вреда; пока эта череда влечений и отвращений остается в них, они имеют ту серию мыслей, которая называется делиберацией; которая длится до тех пор, пока они имеют в своей власти получить то, что нравится, или избежать того, что не нравится им. Влечение, следовательно, и отвращение называются просто так, пока они не следуют за делиберацией. Но если делиберация предшествовала, то последний акт ее, если это влечение, называется волей; если отвращение — нежеланием. Так что одна и та же вещь называется как волей, так и влечением; но рассмотрение их, а именно до и после делиберации, различно. И не то, что делается внутри человека, пока он желает что-либо, отличается от того, что делается в других живых созданиях, пока, после того как делиберация предшествовала, они имеют влечение.

Ни свобода желать или не желать не больше у человека, чем у других живых созданий. Ибо где есть влечение, вся причина влечения предшествовала; и, следовательно, акт влечения не мог не последовать, то есть, по необходимости последовал (как показано в главе IX, статье 5). И поэтому такая свобода, которая свободна от необходимости, не может быть найдена в воле ни людей, ни зверей. Но если под свободой мы понимаем способность или силу не желать, а делать то, что они желают, то, конечно, эта свобода должна быть допущена для обоих, и оба могут одинаково иметь ее, всякий раз, когда она может быть получена.

Опять же, когда влечение и отвращение с быстротой сменяют друг друга, вся серия, созданная ими, имеет свое имя иногда от одного, иногда от другого. Ибо та же самая делиберация, пока она склоняется иногда к одному, иногда к другому, от влечения называется надеждой, а от отвращения — страхом. Ибо где нет надежды, это не должно называться страхом, а ненавистью; а где нет страха, не надеждой, а желанием. В заключение, все страсти, называемые страстями ума, состоят из влечения и отвращения, за исключением чистого удовольствия и боли, которые являются некоторым пользованием добром или злом; как гнев есть отвращение от некоторого надвигающегося зла, но такое, которое соединено с влечением избегания этого зла силой. Но потому что страсти и возмущения ума бесчисленны, и многие из них не могут быть различимы ни в каких созданиях, кроме людей; я скажу о них более подробно в том разделе, который касается человека. Что касается тех объектов, если есть такие, которые вовсе не тревожат ум, мы говорим, что презираем их.

И так много о чувстве в общем. В следующем месте я скажу о чувственных объектах.

ГЛАВА XXVI. О МИРЕ И О ЗВЕЗДАХ.

1. Величина и длительность мира, непостижимы. 2. Никакого места в мире пустого. 3. Аргументы Лукреция для вакуума, недействительны. 4. Другие аргументы для установления вакуума, недействительны. 5. Шесть предположений для спасения феноменов природы. 6. Возможные причины движений годовых и суточных; и кажущегося направления, стояния и ретроградации планет. 7. Предположение простого движения, почему вероятно. 8. Причина эксцентричности годового движения земли. 9. Причина, почему луна всегда имеет одно и то же лицо, повернутое к земле. 10. Причина приливов океана. 11. Причина прецессии равноденствий.

The magnitude and duration of the world, inscrutable.

1. Следствием созерцания чувства является созерцание тел, которые являются эффективными причинами или объектами чувства. Теперь каждый объект есть либо часть всего мира, либо агрегат частей. Величайшее из всех тел, или чувственных объектов, есть сам мир; который мы созерцаем, когда смотрим вокруг себя из этой точки того же самого, которую мы называем землей. Относительно мира, как он есть один агрегат многих частей, вещи, которые подпадают под исследование, лишь немногие; и те мы можем определить, никакие. О всем мире мы можем спросить, какова его величина, какова его длительность и сколько их есть, но ничего больше. Ибо что касается места и времени, то есть величины и длительности, они являются только нашим собственным «фэнси» тела, просто так называемого, то есть тела, взятого неопределенно, как я показал прежде в главе VII. Все остальные фантазмы — это фантазмы тел или объектов, как они различаются друг от друга; как цвет — фантазм окрашенных тел; звук — тел, которые движут чувство слуха и т. д. Вопросы относительно величины мира — является ли он конечным или бесконечным, полным или не полным; относительно его длительности — имел ли он начало или вечен; и относительно числа — один ли он или много; хотя что касается числа, если бы он был бесконечной величины, не могло бы быть никакого спора вовсе. Также если он имел начало, то по какой причине и из какой материи он был сделан; и опять, откуда та причина и та материя имели свое бытие, будут новыми вопросами; пока наконец мы не придем к одной или многим вечным причинам. И определение всех этих вещей принадлежит тому, кто исповедует универсальную доктрину философии, в случае если можно было бы знать столько, сколько можно искать. Но знание того, что бесконечно, никогда не может быть достигнуто конечным исследователем. Все, что мы знаем, будучи людьми, мы узнаем из наших фантазмов; и о бесконечном, будь то величина или время, нет никакого фантазма вовсе; так что невозможно ни человеку, ни любому другому созданию иметь какое-либо понятие о бесконечном. И хотя человек может от некоторого следствия перейти к непосредственной причине его, и от той — к более отдаленной причине, и так восходить постоянно путем правильного рассуждения от причины к причине; все же он не будет способен перейти вечно, но, утомленный, в конце концов бросит, не зная, возможно ли ему перейти к концу или нет. Но предполагаем ли мы мир конечным или бесконечным, никакого абсурда не последует. Ибо те же самые вещи, которые сейчас являются, могли бы являться, независимо от того, угодно ли было Творцу, чтобы он был конечным или бесконечным. Кроме того, хотя из того, что ничто не может двигать само себя, можно правильно вывести, что была некоторая первая вечная движущая сила, все же никогда нельзя вывести, хотя некоторые привыкли делать такое выведение, что та движущая сила была вечно неподвижной, а скорее вечно движимой. Ибо как истинно, что ничто не движется само собой; так истинно также, что ничто не движется, кроме как тем, что уже движется. Вопросы, следовательно, о величине и начале мира не должны определяться философами, а теми, кто законно уполномочен упорядочивать поклонение Богу. Ибо как Всемогущий Бог, когда он привел свой народ в Иудею, позволил священникам первые плоды, зарезервированные для себя; так когда он передал мир диспутам людей, было его желанием, чтобы все мнения относительно природы бесконечного и вечного, известные только ему, должны были, как первые плоды мудрости, судиться теми, чье служение он намеревался использовать в упорядочении религии. Я не могу поэтому хвалить тех, кто хвастается, что они продемонстрировали, причинами, взятыми из естественных вещей, что мир имел начало. Они презираемы идиотами, потому что они не понимают их; и учеными, потому что они понимают их; обоими заслуженно. Ибо кто может хвалить того, кто демонстрирует так: «Если мир вечен, то бесконечное число дней или других мер времени предшествовало рождению Авраама. Но рождение Авраама предшествовало рождению Исаака; и поэтому одна бесконечность больше другой бесконечности, или одна вечность — другой вечности; что», говорит он, «абсурдно». Эта демонстрация похожа на его, кто из того, что число четных чисел бесконечно, заключил бы, что существует столько же четных чисел, сколько чисел просто, то есть, что четные числа — это столько же, сколько все четные и нечетные вместе. Те, которые таким образом отнимают вечность у мира, не отнимают ли они тем же самым способом вечность у Творца мира? Из этого абсурда, следовательно, они впадают в другой, будучи вынуждены называть вечность «nunc stans», стоянием на месте настоящего времени, или пребывающим «сейчас»; и, что гораздо более абсурдно, давать бесконечному числу чисел имя единства. Но почему вечность должна называться пребывающим «сейчас», а не пребывающим «тогда»? Поэтому должно либо быть много вечностей, либо «сейчас» и «тогда» должны означать одно и то же. С такими демонстраторами, как эти, которые говорят на другом языке, невозможно вступить в диспут. И люди, которые рассуждают так абсурдно, — не идиоты, а, что делает абсурд непростительным, геометрики, и такие, которые берут на себя быть судьями, неуместными, но суровыми судьями демонстраций других людей. Причина этого в том, что как только они запутываются в словах «бесконечное» и «вечное», о которых мы не имеем в нашем уме никакой идеи, кроме идеи нашей собственной недостаточности постичь их, они вынуждены либо говорить что-то абсурдное, либо, что они любят меньше, хранить молчание. Ибо геометрия имеет в себе нечто похожее на вино, которое, когда новое, ветреное; но впоследствии, хотя менее приятное, все же более здоровое. Все, что, следовательно, истинно, молодые геометрики считают доказуемым; но старшие — нет. Поэтому я намеренно пропускаю вопросы о бесконечном и вечном; довольствуясь той доктриной относительно начала и величины мира, в которой я был убежден святыми Писаниями и славой чудес, которые подтверждают их; и обычаем моей страны, и почтением, должным законам. И так я перехожу к таким вещам, о которых не незаконно спорить.

No place in the world empty.

2. Что касается мира, то далее возникает вопрос: являются ли его части непрерывными друг другу таким образом, что между ними не допускается ни малейшего пустого пространства; и спор как за, так и против этого ведется с достаточной вероятностью. В пользу устранения вакуума я приведу лишь один эксперимент, обычный, но, как мне кажется, неопровержимый.

Пусть A B (на рис. 1) представляет собой сосуд, подобный тем, что используют садовники для полива своих садов; дно которого B полно маленьких отверстий; а горлышко A при необходимости можно закрыть пальцем. Если теперь этот сосуд наполнить водой, закрыв отверстие сверху A, вода не будет вытекать ни через одно из отверстий в дне B. Но если убрать палец, чтобы впустить воздух сверху, она потечет через все из них; и как только палец снова приложат к отверстию, вода внезапно и полностью перестанет вытекать. Причина этого, по-видимому, заключается лишь в том, что вода в силу своего естественного стремления опускаться вниз не может вытеснить воздух под собой, поскольку ему некуда деваться, если только, оттесняя следующий за ним смежный воздух, он не продолжит свое непрерывное стремление к отверстию A, где он может войти и занять место вытекающей воды, или же, сопротивляясь стремлению воды вниз, не проникнет в нее и не пройдет сквозь нее вверх. В первом случае, пока отверстие A остается закрытым, проход невозможен; во втором — тоже, если только отверстия не настолько велики, что вода, вытекая через них, может под действием собственного веса одновременно заставить воздух подняться в сосуд через те же отверстия: как мы видим, это происходит в сосуде с достаточно широким горлышком, когда мы внезапно переворачиваем его дном вверх, чтобы вылить воду; ибо тогда воздух, принуждаемый весом воды, входит, что очевидно по всхлипыванию и сопротивлению воды, по бокам или по окружности отверстия. И это я принимаю за признак того, что все пространство заполнено; ибо без этого естественное движение воды, которая является тяжелым телом, вниз не встречало бы препятствий.

The arguments of Lucretius for vacuum invalid.

3. Напротив, для обоснования вакуума было приведено множество правдоподобных аргументов и экспериментов. Тем не менее, во всех них, по-видимому, чего-то не хватает для твердого заключения. Эти аргументы в пользу вакуума отчасти выдвигаются последователями учения Эпикура, который учил, что мир состоит из очень малых пространств, не заполненных никаким телом, и из очень малых тел, которые не имеют внутри себя никакого пустого пространства, и которые из-за их твердости он называет атомами; и что эти малые тела и пространства повсюду перемешаны. Их аргументы изложены Лукрецием следующим образом.

И прежде всего он говорит, что если бы это было не так, то не могло бы быть никакого движения. Ибо обязанность и свойство тел — противостоять движению и препятствовать ему. Если бы, следовательно, вселенная была заполнена телом, движение повсюду встречало бы препятствия, так что оно нигде не могло бы начаться; и, следовательно, никакого движения вообще не было бы. Это правда, что во всем, что полно и покоится во всех своих частях, движение не может начаться. Но из этого ничего не следует для доказательства вакуума. Ибо даже если допустить, что вакуум существует, если тела, которые с ним перемешаны, все сразу и вместе будут находиться в покое, они никогда больше не придут в движение. Ибо выше, в гл. IX, ст. 7, было доказано, что ничто не может быть приведено в движение иначе, как тем, что является смежным и уже движущимся. Но если предположить, что все вещи находятся в покое вместе, то не может быть ничего смежного и движущегося, а следовательно, и начала движения. Теперь отрицание начала движения не устраняет нынешнего движения, если только начало не отнимается также и у тела. Ибо движение может быть либо совечным, либо сотворенным вместе с телом. И не кажется более необходимым, чтобы тела сначала покоились, а затем двигались, чем то, что они сначала двигались, а затем, если они когда-либо покоились, отдыхали. Также не видно никакой причины, почему материя мира должна для допущения движения перемешиваться с пустыми пространствами, а не с полными; я говорю полными, но притом текучими. И, наконец, нет никакой причины, почему эти твердые атомы не могли бы также, благодаря движению перемешанной текучей материи, собираться и соединяться в сложные тела такой величины, какую мы видим. Поэтому из этого аргумента нельзя сделать никакого иного вывода, кроме того, что движение было либо совечным, либо той же длительности, что и то, что движется; ни один из этих выводов не согласуется с учением Эпикура, который не допускает никакого начала ни для мира, ни для движения. Необходимость вакуума, следовательно, до сих пор не доказана. И причина, насколько я понимаю из бесед со мной о вакууме, заключается в том, что, созерцая природу текучего, они представляют его состоящим как бы из мелких зерен твердой материи, подобно тому как мука является текучей, став таковой от помола зерна; когда тем не менее можно представить текучее как по своей природе столь же однородное, как атом или сам вакуум.

Второй из их аргументов взят из веса и содержится в этих стихах Лукреция:

Corporis officium est quoniam premere omnia deorsum;

Contra autem natura manet sine pondere inanis;

Ergo, quod magnum est æque, leviusque videtur,

Nimirum plus esse sibi declarat inanis.--I. 363-66.

То есть, видя, что обязанность и свойство тела — давить на все вещи вниз; и, напротив, видя, что природа вакуума такова, что он не имеет никакого веса; поэтому, когда из двух тел равной величины одно легче другого, очевидно, что в более легком теле больше вакуума, чем в другом.

Не говоря уже о допущении относительно стремления тел вниз, которое принято неверно, поскольку мир не имеет ничего общего с «низом», который является лишь нашей фикцией; и не говоря о том, что если бы все вещи стремились к одной и той же низшей части мира, то либо вообще не было бы никакого слияния тел, либо все они собрались бы в одном и том же месте: одного этого достаточно, чтобы лишить аргумент силы, а именно того, что воздух, перемешанный с его атомами, послужил бы его цели так же хорошо, как и его перемешанный вакуум.

Третий аргумент выводится из того, что молния, звук, тепло и холод проникают во все тела, кроме атомов, какими бы твердыми они ни были. Но этот довод, если только сначала не будет доказано, что те же самые вещи не могут происходить без вакуума путем постоянного порождения движения, является совершенно недействительным. Но то, что все эти вещи могут происходить таким образом, будет доказано в надлежащем месте.

Наконец, четвертый аргумент изложен тем же Лукрецием в этих стихах:

Duo de concursu corpora lata

Si cita dissiliant, nempe aer omne necesse est,

Inter corpora quod fuerat, possidat inane.

Is porro quamvis circum celerantibus auris

Confluat, haud poterit tamen uno tempore totum

Compleri spatium; nam primum quemque necesse est

Occupet ille locum, deinde omnia possideantur.--I. 385-91.

То есть, если два плоских тела внезапно разорвать, то воздух неизбежно должен проникнуть между ними, чтобы заполнить оставленное ими пустое пространство. Но с какой бы быстротой ни втекал воздух, он не может в одно мгновение заполнить все пространство, а сначала одну его часть, затем последовательно все. Что, однако, более противоречит мнению Эпикура, чем мнению тех, кто отрицает вакуум. Ибо хотя это правда, что если бы два тела обладали бесконечной твердостью и были соединены своими поверхностями, которые были бы в точности плоскими, их было бы невозможно разорвать, поскольку это нельзя было бы сделать иначе, как движением в одно мгновение; однако, если, как нельзя указать ни величайшую из всех величин, ни самое быстрое из всех движений, так нельзя указать и самое твердое из всех тел; могло бы случиться, что при приложении очень большой силы можно было бы создать место для последовательного втекания воздуха, а именно путем разделения частей соединенных тел по порядку, начиная с самой внешней и заканчивая самой внутренней частью. Ему следовало, следовательно, сначала доказать, что существуют некоторые тела чрезвычайно твердые, не относительно по сравнению с более мягкими телами, а абсолютно, то есть бесконечно твердые; что не является истиной. Но если мы предположим, как это делает Эпикур, что атомы неделимы и все же имеют свои собственные малые поверхности; тогда, если бы два тела были соединены многими или хотя бы одной малой поверхностью любого из них, то я утверждаю, что этот аргумент Лукреция был бы твердым доказательством того, что никакие два тела, состоящие из атомов, как он предполагает, никогда не могли бы быть разорваны никакой силой. Но это противоречит повседневному опыту.

Other arguments for the establishing of vacuum, invalid.

4. Вот и все об аргументах Лукреция. Рассмотрим теперь аргументы, которые извлекаются из экспериментов более поздних авторов.

I. Первый эксперимент таков: если полый сосуд погрузить в воду дном вверх, вода поднимется в него; что, как они говорят, не могло бы произойти, если бы воздух внутри не был сжат в более тесное пространство; и что это было бы также невозможно, если бы в воздухе не было малых пустых мест. Также, что когда воздух сжат до определенной степени, он не может подвергаться дальнейшему сжатию, так как его малые частицы не позволяют себе быть заключенными в меньшее пространство. Этот довод, если бы воздух не мог проходить сквозь воду, поднимаясь внутри сосуда, мог бы показаться веским. Но достаточно известно, что воздух проникает сквозь воду при приложении силы, равной тяжести воды. Если, следовательно, сила, с которой сосуд вдавливается вниз, больше или равна стремлению, с которым вода естественно стремится вниз, воздух выйдет тем путем, где оказывается сопротивление, а именно к краям сосуда. Ибо чем глубже вода, которую нужно пронизать, тем большей должна быть давящая сила. Но после того, как сосуд полностью оказывается под водой, сила, с которой он вдавливается, то есть сила, с которой вода поднимается вверх, больше не увеличивается. Следовательно, между ними существует такое равновесие, что естественное стремление воды вниз равно стремлению, с которым та же вода должна быть пронизана на увеличенную глубину.

II. Второй эксперимент заключается в том, что если вогнутый цилиндр достаточной длины, сделанный из стекла, чтобы эксперимент был лучше виден, имеющий один конец открытым, а другой плотно закрытым, наполнить ртутью, и открытый конец, закрыв пальцем, вместе с пальцем погрузить в чашу или другой сосуд, в котором также есть ртуть, и поставить цилиндр вертикально, мы увидим, убрав палец, чтобы дать путь для спуска ртути, как она опускается в сосуд под ним, пока внутри цилиндра не останется лишь столько, сколько может заполнить около двадцати шести дюймов того же самого; и так будет происходить всегда, каков бы ни был цилиндр, при условии, что длина его не менее двадцати шести дюймов. Откуда они заключают, что полость цилиндра над ртутью остается пустой от всякого тела. Но в этом эксперименте я не нахожу никакой необходимости в вакууме. Ибо когда ртуть, находящаяся в цилиндре, опускается, сосуд под ним должен неизбежно наполниться до большей высоты, и, следовательно, столько смежного воздуха должно быть вытеснено, чтобы освободить место для опустившейся ртути. Теперь, если спросить, куда уходит этот воздух, что можно ответить, кроме того, что он вытесняет следующий воздух, а тот — следующий, и так далее, пока не будет возврата к месту, где началось вытеснение. И там последний воздух, таким образом подтолкнутый, будет давить на ртуть в сосуде с той же силой, с какой был вытеснен первый воздух; и если сила, с которой опускается ртуть, достаточно велика, что больше или меньше в зависимости от того, опускается ли она с места большей или меньшей высоты, она заставит воздух проникнуть сквозь ртуть в сосуде и подняться в цилиндр, чтобы заполнить место, которое, как они думали, осталось пустым. Но поскольку ртуть не во всякой степени высоты имеет силу, достаточную для того, чтобы вызвать такое проникновение, поэтому при опускании она должна неизбежно остановиться где-то, а именно там, где ее стремление вниз и сопротивление того же самого проникновению воздуха приходят в равновесие. И из этого эксперимента очевидно, что это равновесие будет на высоте двадцати шести дюймов или около того.

III. Третий эксперимент заключается в том, что когда в сосуде столько воздуха, сколько он может естественно содержать, в него все же можно принудительно ввести столько воды, сколько заполнит три четверти того же сосуда. И эксперимент проводится таким образом. В стеклянную бутыль, представленную (на рисунке 2) сферой F G, центр которой A, вставим трубку B A C так, чтобы она точно заполняла горлышко бутыли; и пусть конец B будет так близко ко дну, чтобы оставалось лишь место, достаточное для свободного прохода воды, которая впрыскивается сверху. Пусть верхний конец этой трубки имеет крышку D с носиком E, через который вода, поднимаясь в трубке, может вытекать. Также пусть H C будет краном для открытия или закрытия прохода воды между B и D, по мере необходимости. Снимем крышку D E и, открыв кран H C, впрыснем шприц, полный воды; и прежде чем убрать шприц, повернем кран, чтобы воспрепятствовать выходу воздуха. И таким образом будем повторять впрыскивание воды столько раз, сколько потребуется, пока вода не поднимется внутри бутыли; например, до G F. Наконец, снова закрепив крышку и открыв кран H C, вода быстро вытечет через E и будет опускаться мало-помалу от G F до дна трубки B.

Из этого явления они аргументируют необходимость вакуума следующим образом. Бутыль с самого начала была полна воздуха; который не мог выйти ни путем проникновения через такую толщу воды, которая была впрыснута трубкой, ни каким-либо иным путем. Следовательно, неизбежно вся вода до высоты F G, а также весь воздух, который был в бутыли до того, как была впрыснута вода, должны теперь находиться в том же месте, которое сначала было заполнено одним лишь воздухом; что было бы невозможно, если бы все пространство внутри бутыли было ранее заполнено воздухом в точности, то есть без всякого вакуума. Кроме того, хотя кто-то, возможно, подумает, что воздух, будучи тонким телом, может проходить сквозь тело воды, содержащейся в трубке, однако из того другого явления, а именно, что вся вода, которая находится в пространстве B F G, выбрасывается обратно через носик E, для чего, кажется, невозможно привести никакой другой причины, кроме силы, с которой воздух освобождается от сжатия, следует, что либо в бутыли было какое-то пустое пространство, либо многие тела могут находиться вместе в одном и том же месте. Но последнее абсурдно; и поэтому первое истинно, а именно, что существовал вакуум.

Этот аргумент немощен в двух местах. Ибо, во-первых, предполагается то, что не должно быть допущено; и, во-вторых, приводится эксперимент, который, я думаю, противоречит вакууму. То, что предполагается, заключается в том, что воздух не может иметь выхода через трубку. Тем не менее, мы ежедневно видим, что воздух легко поднимается со дна к поверхности реки, что очевидно по пузырькам, которые поднимаются; и ему не нужно никакой другой причины, чтобы придать ему это движение, кроме естественного стремления воды вниз. Почему, следовательно, стремление той же воды вверх, приобретенное в результате впрыскивания, которое стремление вверх больше, чем естественное стремление воды вниз, не может заставить воздух в бутыли подобным же образом проникнуть сквозь воду, которая давит на него вниз; особенно видя, что вода, поднимаясь в бутыли, так давит на воздух, который находится над ней, что порождает в каждой его части стремление к внешней поверхности трубки, и, следовательно, заставляет все части заключенного воздуха стремиться прямо к проходу в B? Я говорю, это не менее очевидно, чем то, что воздух, который поднимается со дна реки, должен проникать сквозь воду, какой бы глубокой она ни была. Поэтому я до сих пор не вижу никакой причины, почему сила, с которой впрыскивается вода, не должна в то же время выталкивать воздух.

А что касается их аргументации о необходимости вакуума исходя из выталкивания воды; во-первых, допуская, что существует вакуум, я спрашиваю, по какому принципу движения совершается это выталкивание. Конечно, видя, что это движение направлено изнутри наружу, оно должно быть вызвано каким-то агентом внутри бутыли; то есть самим воздухом. Теперь движение этого воздуха, вызванное поднятием воды, начинается у дна и направлено вверх; тогда как движение, которым он выталкивает воду, должно начинаться сверху и быть направлено вниз. Откуда, следовательно, у заключенного воздуха это стремление к дну? На этот вопрос я не знаю, какой ответ можно дать, если только не сказать, что воздух опускается по своей воле, чтобы вытеснить воду. Что, поскольку это абсурдно, и поскольку воздух после впрыскивания воды имеет столько места, сколько требует его величина, не останется никакой причины, почему вода должна быть вытеснена. Поэтому утверждение о вакууме противоречит самому эксперименту, который здесь приводится для его обоснования.

Многие другие явления обычно приводятся в пользу вакуума, такие как явления термометров, эолипилов, ветровых ружей и т. д., которые было бы очень трудно объяснить, если бы вода не была проницаема для воздуха без примеси пустого пространства. Но теперь, видя, что воздух может без особого усилия проходить не только сквозь воду, но и сквозь любое другое текучее тело, пусть даже самое упорное, как ртуть, эти явления ничего не доказывают. Тем не менее, можно было бы разумно ожидать, что тот, кто хочет устранить вакуум, должен без вакуума показать нам такие причины этих явлений, которые были бы по крайней мере равной, если не большей вероятности. Это, следовательно, будет сделано в последующем рассуждении, когда я перейду к разговору об этих явлениях в их надлежащих местах. Но сначала должны быть изложены самые общие гипотезы натурфилософии.

И видя, что предположения выдвигаются как истинные причины видимых следствий, каждое предположение, за исключением тех, что абсурдны, должно неизбежно состоять из некоторого предполагаемого возможного движения; ибо покой никогда не может быть действующей причиной чего-либо; и движение предполагает тела движимые; которых существует три вида: текучие, постоянные и смешанные из обоих. Текучие — это те, части которых могут быть отделены друг от друга очень слабым стремлением; а постоянные — те, для разделения частей которых должна быть приложена большая сила. Существуют, следовательно, степени постоянства; которые степени, при сравнении с более или менее постоянными, имеют названия твердости или мягкости. Поэтому текучее тело всегда делимо на тела, столь же текучие, как количество на количества; а мягкие тела, какой бы степени мягкости они ни были, — на мягкие тела той же степени. И хотя многие люди, по-видимому, не представляют себе иного различия текучести, кроме того, которое возникает из различных величин частей, в каком смысле пыль, даже алмазная, может быть названа текучей; я же понимаю под текучестью то, что сделано таковым по природе в равной степени в каждой части текучего тела; не так, как текуча пыль, ибо так и дом, который разваливается на части, может быть назван текучим; но таким образом, как вода кажется текучей и постоянно делит себя на части, вечно текучие. И когда это хорошо понято, я перехожу к своим предположениям.

Six suppositions for the salving of the phenomena of nature.

5. Во-первых, следовательно, я предполагаю, что огромное пространство, которое мы называем миром, есть совокупность всех тел, которые являются либо постоянными и видимыми, как земля и звезды; либо невидимыми, как малые атомы, которые рассеяны по всему пространству между землей и звездами; и, наконец, тот самый текучий эфир, который так заполняет все остальное пространство вселенной, что не оставляет в нем никакого пустого места вообще.

Во-вторых, я предполагаю вместе с Коперником, что большие тела мира, которые являются одновременно постоянными и неизменными, имеют такой порядок между собой, что солнце занимает первое место, Меркурий — второе, Венера — третье, Земля с вращающейся вокруг нее луной — четвертое, Марс — пятое, Юпитер со своими спутниками — шестое, Сатурн — седьмое; и после них неподвижные звезды имеют свои соответствующие расстояния от солнца.

В-третьих, я предполагаю, что в солнце и остальных планетах существует и всегда существовало простое круговое движение.

В-четвертых, я предполагаю, что в теле воздуха перемешаны некоторые другие тела, которые не являются текучими; но притом они настолько малы, что не воспринимаются чувствами; и что они также имеют свое собственное простое движение, и некоторые из них более, некоторые менее тверды или постоянны.

В-пятых, я предполагаю вместе с Кеплером, что как расстояние между солнцем и землей относится к расстоянию между луной и землей, так расстояние между луной и землей относится к полудиаметру земли.

Что касается величины кругов и времен, в которые они описываются телами, находящимися в них, я буду предполагать их такими, какие покажутся наиболее согласующимися с рассматриваемыми явлениями.

Possible causes of the motions annual and diurnal; and of the apparent direction, station, and retrogradation of the planets.

6. Причины различных времен года и различных изменений дней и ночей во всех частях поверхности земли были продемонстрированы сначала Коперником, а затем Кеплером, Галилеем и другими, исходя из предположения о суточном вращении земли вокруг своей оси, вместе с ее годовым движением вокруг солнца по эклиптике в соответствии с порядком знаков; и, в-третьих, из годового вращения той же земли вокруг своего центра, вопреки порядку знаков. Я предполагаю вместе с Коперником, что суточное вращение происходит от движения земли, которым описывается равноденственный круг вокруг нее. А что касается двух других годовых движений, то они являются действующей причиной того, что земля переносится по эклиптике таким образом, что ее ось всегда сохраняется параллельной самой себе. Которая параллельность была введена по этой причине, чтобы из-за годового вращения земли ее полюса не казались неизбежно переносимыми вокруг солнца, вопреки опыту. Я в ст. 10, гл. XXI, продемонстрировал, исходя из предположения о простом круговом движении солнца, что земля переносится вокруг солнца так, что ее ось при этом всегда сохраняется параллельной самой себе. Следовательно, из этих двух предполагаемых движений солнца, одного простого кругового движения, другого кругового движения вокруг своего центра, можно доказать, что год имеет те же самые изменения дней и ночей, которые были продемонстрированы Коперником.

Ибо если круг a b c d (на рис. 3) есть эклиптика, центр которой e, а диаметр a e c; и земля помещена в a, а солнце движется в малом круге f g h i, а именно в соответствии с порядком f, g, h и i, то было продемонстрировано, что тело, помещенное в a, будет двигаться в том же порядке через точки эклиптики a, b, c и d и всегда будет сохранять свою ось параллельной самой себе.

Но если, как я предположил, земля также движется простым круговым движением в плоскости, которая проходит через a, пересекая плоскость эклиптики так, что общее сечение обеих плоскостей находится в a c, таким образом также ось земли будет всегда сохраняться параллельной самой себе. Ибо пусть центр земли движется по окружности эпицикла, диаметр которого l a k, являющийся частью прямой линии l a c; следовательно, l a k, диаметр эпицикла, проходящий через центр земли, будет находиться в плоскости эклиптики. Поэтому, видя, что из-за простого движения земли как в эклиптике, так и в ее эпицикле, прямая линия l a k всегда сохраняется параллельной самой себе, всякая другая прямая линия, также взятая в теле земли, и, следовательно, ее ось, будет подобным же образом всегда сохраняться параллельной самой себе; так что в какой бы части эклиптики ни находился центр эпицикла, и в какой бы части эпицикла ни находился центр земли в то же самое время, ось земли будет параллельна тому месту, где та же ось находилась бы, если бы центр земли никогда не выходил из эклиптики.

Теперь, как я продемонстрировал простое годовое движение земли из предположения о простом движении солнца; так из предположения о простом движении земли может быть продемонстрировано месячное простое движение луны. Ибо если только изменить названия, демонстрация будет той же самой, и поэтому ее не нужно повторять.

The supposition of simple motion, why likely.

7. То, что делает это предположение о простом движении солнца в эпицикле f g h i вероятным, есть, во-первых, то, что периоды всех планет не только описываются вокруг солнца, но описываются так, что все они содержатся внутри зодиака, то есть в пределах широты около шестнадцати градусов; ибо причина этого, по-видимому, зависит от некоторой силы в солнце, особенно в той части солнца, которая обращена к зодиаку. Во-вторых, что во всем пространстве небес не появляется никакого другого тела, из которого причина этого явления может с вероятностью быть выведена. Кроме того, я не мог представить, чтобы столько и столь различных движений планет не имели никакой зависимости друг от друга. Но, предполагая движущую силу в солнце, мы предполагаем также и движение; ибо сила двигать без движения — это вовсе не сила. Я поэтому предположил, что в солнце для управления первичными планетами, и в земле для управления луной, существует такое движение, которое, будучи воспринято первичными планетами и луной, заставляет их неизбежно являться нам таким образом, как мы их видим. Тогда как то круговое движение, которое обычно приписывается им вокруг неподвижной оси, которое называется обращением, будучи движением только их частей, а не их целых тел, недостаточно для объяснения их явлений. Ибо видя, что все, что так движется, не имеет никакого стремления к тем частям, которые находятся вне круга, они не имеют силы распространять какое-либо стремление на такие тела, которые помещены вне его. А что касается тех, кто предполагает, что это может быть сделано магнитной добродетелью или бестелесными и нематериальными видами, они не предполагают никакой естественной причины; более того, никакой причины вообще. Ибо не существует такой вещи, как бестелесный движитель, а магнитная добродетель — вещь совершенно неизвестная; и когда бы она ни стала известна, будет обнаружено, что это движение тела. Остается, следовательно, что если первичные планеты переносятся вокруг солнцем, а луна — землей, они имеют простые круговые движения солнца и земли в качестве причин своих циркуляций. В противном случае, если они не переносятся вокруг солнцем и землей, но каждая планета двигалась так, как она движется сейчас, с тех пор как была создана, то для их движений не будет никакой естественной причины. Ибо либо эти движения были сотворены вместе с их телами, и их причина сверхъестественна; либо они совечны им, и так они не имеют никакой причины вообще. Ибо все, что вечно, никогда не было порождено.

Я могу добавить, кроме того, чтобы подтвердить вероятность этого простого движения, что, поскольку почти все ученые люди сейчас того же мнения, что и Коперник, относительно параллельности оси земли, мне показалось более согласующимся с истиной, или, по крайней мере, более красивым, чтобы это было вызвано одним лишь простым круговым движением, чем двумя движениями, одним в эклиптике, а другим вокруг собственной оси земли в противоположную сторону, ни одно из которых не является простым, и ни одно из которых не является таким, которое могло бы быть произведено каким-либо движением солнца. Я счел лучшим поэтому сохранить эту гипотезу простого движения и из нее вывести причины стольких явлений, скольких мог, и оставить в покое такие, которые не мог вывести оттуда.

Возможно, будет возражено, что хотя этим предположением может быть дана причина параллельности оси земли и многих других явлений, тем не менее, видя, что это делается путем помещения тела солнца в центр той орбиты, которую земля описывает своим годовым движением, само предположение ложно; потому что эта годовая орбита эксцентрична по отношению к солнцу. В первую очередь, следовательно, давайте исследуем, что это за эксцентриситет и откуда он происходит.

The cause of the eccentricity of the annual motion of the earth.

8. Пусть годовой круг земли a b c d (на рис. 3) будет разделен на четыре равные части прямыми линиями a c и b d, пересекающими друг друга в центре e; и пусть a будет началом Весов, b — Козерога, c — Овна и d — Рака; и пусть вся орбита a b c d понимается, согласно Копернику, как имеющая во всех отношениях столь большое расстояние от зодиака неподвижных звезд, что она по сравнению с ним лишь как точка. Пусть теперь земля предполагается находящейся в начале Весов в a. Солнце, следовательно, появится в начале Овна в c. Поэтому, если земля будет перемещена из a в b, видимое движение солнца будет из c в начало Рака в d; и земля, будучи перемещена вперед из b в c, солнце также будет казаться перемещенным вперед к началу Весов в a; следовательно, c d a будет летней дугой, а зимняя дуга будет a b c. Теперь, во время видимого движения солнца по летней дуге, насчитывается 186¾ дней; и, следовательно, земля совершает в то же время то же число суточных обращений в дуге a b c; и, следовательно, земля в своем движении через дугу c d a совершит только 178½ суточных обращений. Поэтому дуга a b c должна быть больше дуги c d a на 8¼ дней, то есть почти на столько же градусов. Пусть дуга a r, как и c s, будет каждая из них дугой в два градуса и 1/16. Поэтому дуга r b s будет больше полукруга a b c на 4⅛ градусов и больше дуги s d r на 8¼ градусов. Равноденствия, следовательно, будут в точках r и s; и поэтому также, когда земля находится в r, солнце появится в s. Поэтому истинное место солнца будет в t, то есть вне центра годового движения земли на величину синуса дуги a r, или синуса двух градусов и 16 минут. Теперь этот синус, принимая 100 000 за радиус, будет около 3580 его частей. И таков эксцентриситет годового движения земли, при условии, что это движение происходит по идеальному кругу; а s и r — равноденственные части. И прямые линии s r и c a, продолженные в обе стороны, пока они не достигнут зодиака неподвижных звезд, будут падать все еще на те же неподвижные звезды; потому что вся орбита a b c d предполагается не имеющей никакой величины вообще по сравнению с большим расстоянием неподвижных звезд.

Предполагая теперь солнце в c, остается, чтобы я показал причину, почему земля ближе к солнцу, когда в своем годовом движении она оказывается в d, чем когда она в b. И я принимаю причиной это. Когда земля находится в начале Козерога в b, солнце появляется в начале Рака в d; и тогда середина лета. Но в середине лета северные части земли обращены к солнцу, что почти вся суша, содержащая всю Европу и большую часть Азии и Америки. Но когда земля находится в начале Рака в d, это середина зимы, и та часть земли обращена к солнцу, которая содержит те великие моря, называемые Южным морем и Индийским морем, которые гораздо больше по протяженности, чем вся суша в том полушарии. Поэтому, согласно последней статье главы XXI, когда земля находится в d, она подойдет ближе к своему первому движителю, то есть к солнцу, которое находится в t; то есть земля ближе к солнцу в середине зимы, когда она в d, чем в середине лета, когда она в b; и, следовательно, в течение зимы солнце находится в своем перигее, а в течение лета — в своем апогее. И таким образом я показал возможную причину эксцентриситета земли; что и требовалось сделать.

Я, следовательно, придерживаюсь мнения Кеплера в том, что он приписывает эксцентриситет земли различию ее частей и предполагает одну часть подверженной, а другую неподверженной влиянию солнца. И я не согласен с ним в том, что он думает, будто это происходит благодаря магнитной добродетели, и что эта магнитная добродетель или притяжение и отталкивание земли совершается нематериальными видами; чего не может быть, потому что ничто не может дать движение, кроме тела движимого и смежного. Ибо если те тела не движутся, которые смежны с телом неподвижным, как это тело должно начать двигаться, невообразимо; как было продемонстрировано в ст. 7, гл. IX, и часто внушалось в других местах, с той целью, чтобы философы могли наконец воздержаться от использования таких невообразимых сочетаний слов. Я не согласен также с ним в том, что он говорит, будто подобие тел является причиной их взаимного притяжения. Ибо если бы это было так, я не вижу причины, почему одно яйцо не должно притягиваться другим. Если, следовательно, одна часть земли больше подвержена влиянию солнца, чем другая часть, это происходит от того, что одна часть имеет больше воды, другая — больше суши. И отсюда, как я показал выше, земля подходит ближе к солнцу, когда оно светит на ту часть, где больше воды, чем когда оно светит на ту, где больше суши.

The cause why the moon hath always one and the same face turned towards the earth.

9. Этот эксцентриситет земли является причиной того, почему путь ее годового движения не является идеальным кругом, а либо эллиптической, либо почти эллиптической линией; а также почему ось земли не сохраняется в точности параллельной самой себе во всех местах, а только в равноденственных точках.

Теперь, видя, что я сказал, что луна переносится вокруг землей, таким же образом, как земля — солнцем; и что земля движется вокруг солнца таким образом, что она показывает иногда одно полушарие, иногда другое солнцу; остается исследовать, почему луна всегда имеет одну и ту же сторону, обращенную к земле.

Предположим, следовательно, солнце движущимся с простым движением в малом круге f g h i (на рис. 4), центр которого t; и пусть ♈ ♋ ♎ ♑ будет годовым кругом земли; и a — началом Весов. Вокруг точки a пусть будет описан малый круг l k; и в нем пусть центр земли понимается как движущийся с простым движением; и как солнце, так и земля движутся в соответствии с порядком знаков. На центре a пусть будет описан путь луны m n o p; и пусть q r будет диаметром круга, разрезающего глобус луны на два полушария, одно из которых видно нами, когда луна в полнолунии, а другое отвернуто от нас.

Диаметр, следовательно, луны q o r будет перпендикулярен прямой линии t a. Поэтому луна переносится по причине движения земли из o к p. Но по причине движения солнца, если бы она была в p, она в то же самое время переносилась бы из p к o; и этими двумя противоположными движителями прямая линия q r будет поворачиваться; и в квадранте круга m n o p она повернется настолько, что составит четвертую часть всего своего обращения. Поэтому, когда луна в p, q r будет параллельна прямой линии m o. Во-вторых, когда луна в m, прямая линия q r будет по причине движения земли в m o. Но под действием движения солнца на нее в квадранте p m, та же q r повернется настолько, что составит еще одну четверть всего своего обращения. Когда, следовательно, луна в m, q r будет перпендикулярна прямой линии o m. По той же причине, когда луна в n, q r будет параллельна прямой линии m o; и, луна возвращаясь в o, та же q r вернется на свое первое место; и тело луны в один полный период совершит также одно полное обращение вокруг своей собственной оси. При совершении которого, очевидно, что одна и та же сторона луны всегда обращена к земле. И если бы какой-либо диаметр был взят в том малом круге, в котором луна предполагалась бы переносимой с простым движением, тот же эффект последовал бы; ибо если бы не было действия со стороны солнца, каждый диаметр луны переносился бы всегда параллельно самому себе. Поэтому я дал возможную причину, почему одна и та же сторона луны всегда обращена к земле.

Но следует отметить, что когда луна находится вне эклиптики, мы не всегда видим одну и ту же сторону в точности. Ибо мы видим только ту часть, которая освещена. Но когда луна находится вне эклиптики, та часть, которая обращена к нам, не в точности та же, что освещена.

The cause of the tides of the ocean.

10. К этим трем простым движениям, одному солнца, другому луны и третьему земли, в их собственных малых кругах f g h i, l k и q r, вместе с суточным обращением земли, которым все вещи, прилипающие к ее поверхности, неизбежно переносятся вместе с ней, могут быть отнесены три явления, касающиеся приливов океана. Из которых первое — это попеременное поднятие и опускание воды у берегов, дважды в пространстве двадцати четырех часов и почти пятидесяти двух минут; ибо так это постоянно продолжалось во все века. Второе, что в новолуния и полнолуния поднятия воды больше, чем в другое время между ними. И третье, что когда солнце находится в равноденствии, они еще больше, чем в любое другое время. Для объяснения которых явлений у нас уже есть четыре вышеупомянутых движения; к которым я принимаю также это, что часть земли, которая называется Америкой, будучи выше воды и простираясь почти на пространство целого полукруга с севера на юг, дает остановку движению воды.

Это будучи допущено, на том же 4-м рисунке, где l b k c предполагается находящимся в плоскости месячного движения луны, пусть малый круг l d k e будет описан вокруг того же центра a в плоскости равноденствия. Этот круг, следовательно, будет отклоняться от круга l b k c под углом почти в 28½ градусов; ибо наибольшее склонение эклиптики есть 23½, к которому прибавляя 5 для наибольшего склонения луны от эклиптики, сумма будет 28½ градусов. Видя теперь, что воды, которые находятся под кругом пути луны, по причине простого движения земли в плоскости того же круга движутся вместе с землей, то есть вместе со своими собственными днами, ни опережая, ни отставая; если мы прибавим суточное движение, которым другие воды, находящиеся под равноденствием, движутся в том же порядке, и рассмотрим притом, что круги луны и равноденствия пересекают друг друга; будет очевидно, что обе те воды, которые находятся под кругом луны и под равноденствием, будут стекаться под равноденствие; и, следовательно, что их движение будет не только быстрее, чем земля, которая их несет; но также что сами воды будут иметь большее поднятие, когда бы земля ни находилась в равноденствии. Поэтому, какова бы ни была причина приливов, это может быть причиной их увеличения в то время.

Опять же, видя, что я предположил луну переносимой простым движением земли в малом круге l b k c; и продемонстрировал, в 4-й статье главы XXI, что все, что движется движителем, который имеет простое движение, будет двигаться всегда с той же скоростью; следует, что центр земли будет переноситься по окружности l b k c с той же скоростью, с которой луна переносится по окружности m n o p. Поэтому время, в которое луна переносится по m n o p, относится к времени, в которое земля переносится по l b k c, как одна окружность к другой, то есть как a o к a k. Но a o наблюдается как относящееся к полудиаметру земли как 59 к 1; и поэтому земля, если a k положить за ее полудиаметр, совершит пятьдесят девять оборотов в l b k c за время, которое луна совершает один месячный цикл в m n o p. Но луна совершает свой месячный цикл чуть более чем за двадцать девять дней. Поэтому земля совершит свой цикл по окружности l b k c за двенадцать часов и немного более, а именно около двадцати шести минут более; то есть она совершит два цикла за двадцать четыре часа и почти пятьдесят две минуты; что наблюдается как время между приливом одного дня и приливом дня следующего. Теперь курс вод, будучи затруднен южной частью Америки, их движение будет прервано там; и, следовательно, они будут подняты в тех местах и опустятся снова под действием собственного веса, дважды в пространстве двадцати четырех часов и пятидесяти двух минут. И таким образом я дал возможную причину суточного колебания океана.

Теперь от этого вздутия океана в тех частях земли происходят приливы и отливы в Атлантическом, Испанском, Британском и Германском морях; которые хотя и имеют свои установленные времена, однако на разных берегах они случаются в разные часы дня. И они получают некоторое увеличение с севера, по причине того, что берега Китая и Татарии, препятствуя общему курсу вод, заставляют их вздуваться там и разряжаться отчасти через пролив Аниан в Северный океан, и так в Германское море.

Что касается весенних приливов, которые случаются во время новолуний и полнолуний, они вызваны тем простым движением, которое в начале я предположил как всегда существующее в луне. Ибо как, когда я показывал причину эксцентриситета земли, я вывел поднятие вод из простого движения солнца; так же и здесь это может быть выведено из простого движения луны. Ибо хотя от порождения облаков в солнце проявляется более явная сила поднятия вод, чем в луне; однако сила увеличения влаги в овощах и живых существах проявляется более явно в луне, чем в солнце; что может, возможно, происходить от того, что солнце поднимает большие, а луна меньшие капли воды. Тем не менее, более вероятно и более согласуется с обычным наблюдением, что дождь поднимается не только солнцем, но также и луной; ибо почти все люди ожидают изменения погоды во время соединений солнца и луны друг с другом и с землей, больше, чем во время их четвертей.

Наконец, причина, по которой приливные волны сильнее во время равноденствий, была уже достаточно разъяснена в этой статье, где я продемонстрировал, что два движения Земли, а именно ее простое движение по малому кругу l b k c и ее суточное движение по l d k e, неизбежно вызывают большее поднятие вод, когда Солнце находится вблизи равноденствий, нежели когда оно находится в других местах. Таким образом, я привел возможные причины феномена прилива и отлива океана.

Cause of the precession of the equinoxes.

11. Что касается объяснения ежегодной прецессии точек равноденствия, мы должны помнить, что, как я уже показал, годовое движение Земли происходит не по окружности круга, а по эллипсу или линии, не значительно отличающейся от эллиптической. Поэтому в первую очередь следует описать эту эллиптическую линию.

Пусть эклиптика ♎ ♑ ♈ ♋ (на рис. 5) будет разделена на четыре равные части двумя прямыми линиями a b и ♑ ♋, пересекающими друг друга под прямыми углами в центре c. И взяв дугу b d в два градуса и шестнадцать минут, проведем прямую линию d e параллельно a b, пересекающую ♑ ♋ в f; после чего эксцентриситет Земли будет равен c f. Поскольку годовое движение Земли происходит по окружности эллипса, где ♑ ♋ является большей осью, a b не может быть меньшей осью; ибо a b и ♑ ♋ равны. Следовательно, Земля, проходя через a и b, либо пройдет выше ♑, как через g, либо, проходя через ♑, попадет между c и a; это не имеет значения. Пусть она пройдет через g; и пусть g l будет взята равной прямой линии ♑ ♋; и, разделив g l пополам в i, получим g i, равную ♑ f, и i l, равную f ♋; и, следовательно, точка i разделит эксцентриситет c f на две равные части; и, взяв i h равной i f, получим h i в качестве полного эксцентриситета. Если теперь провести прямую линию, а именно линию ♎ i ♈, через i параллельно прямым линиям a b и e d, то путь Солнца летом, а именно дуга ♎ g ♈, будет больше его пути зимой на 8¼ градусов. Следовательно, истинные равноденствия будут находиться на прямой линии ♎ i ♈; и поэтому эллипс годового движения Земли не пройдет через a, g, b и l, но пройдет через ♎, g, ♈ и l. Следовательно, годовое движение Земли происходит по эллипсу ♎ g ♈ l и не может, при сохранении эксцентриситета, происходить по какой-либо другой линии. И это, возможно, является причиной, по которой Кеплер, вопреки мнению всех астрономов прежних времен, счел нужным разделить эксцентриситет Земли, или, согласно древним, Солнца, пополам не путем уменьшения величины того же эксцентриситета (поскольку истинной мерой этой величины является разница, на которую летняя дуга превышает зимнюю), а путем принятия за центр эклиптики великого круга точку c, более близкую к f, и таким образом помещая весь великий круг настолько ближе к эклиптике неподвижных звезд в сторону ♋, каково расстояние между c и i. Ибо, поскольку весь великий круг является лишь точкой по сравнению с огромным расстоянием до неподвижных звезд, две прямые линии ♎ ♈ и a b, будучи продолжены в обе стороны до начал Овна и Весов, упадут на одни и те же точки сферы неподвижных звезд. Пусть поэтому диаметр Земли m n находится в плоскости годового движения Земли. Если теперь Земля движется простым движением Солнца по окружности эклиптики вокруг центра i, этот диаметр будет всегда сохраняться параллельным самому себе и прямой линии g l. Но поскольку Земля движется по окружности эллипса вне эклиптики, точка n, пока она проходит через ♎ ♑ ♈, будет двигаться по меньшей окружности, чем точка m; и, следовательно, как только она начнет двигаться, она потеряет свою параллельность с прямой линией ♑ ♋; так что продолженная m n в конечном итоге пересечет продолженную прямую линию g l. И наоборот, как только m n минует ♈, Земля, прокладывая свой путь по внутренней эллиптической линии ♈ l ♎, та же m n, продолженная в сторону m, пересечет продолженную l g. И когда Земля почти завершит всю свою окружность, та же m n снова образует прямой угол с линией, проведенной из центра i, немного не доходя до точки, из которой Земля начала свое движение. И там в следующем году будет одна из точек равноденствия, а именно вблизи конца ♍; другая будет противоположна ей вблизи конца ♓. И таким образом точки, в которых дни и ночи становятся равными, каждый год отступают; но с таким медленным движением, что за целый год оно составляет лишь 51 угловую минуту. И это отступление, будучи противоположным порядку знаков, обычно называется прецессией равноденствий. О чем я из своих прежних предположений вывел возможную причину; что и требовалось сделать.

Согласно тому, что я сказал относительно причины эксцентриситета Земли; и согласно Кеплеру, который в качестве причины этого предполагает, что одна часть Земли расположена к Солнцу, а другая — нерасположена; апогей и перигей Солнца должны двигаться каждый год в том же порядке и с той же скоростью, с какой движутся точки равноденствия; и их расстояние от них всегда должно быть квадрантом круга; что, по-видимому, обстоит иначе. Ибо астрономы говорят, что равноденствия сейчас отступили, одно примерно на 28 градусов от первой звезды Овна, другое настолько же от начала Весов; так что апогей Солнца или афелий Земли должен находиться примерно в 28-м градусе Рака. Но он считается находящимся в 7-м градусе. Поскольку, следовательно, у нас нет достаточных доказательств ὁτί (того, что это так), напрасно искать διότι (почему это так). Поэтому, до тех пор пока движение апогея не наблюдаемо по причине его медленности, и до тех пор пока остается сомнительным, является ли их расстояние от точек равноденствия большим или меньшим, чем точно квадрант; до тех пор мне может быть позволено думать, что они оба движутся с равной скоростью.

Также я вовсе не касаюсь причин эксцентриситетов Сатурна, Юпитера, Марса и Меркурия. Тем не менее, поскольку эксцентриситет Земли может, как я показал, быть вызван неодинаковым строением различных частей Земли, которые попеременно обращены к Солнцу, правдоподобно также, что подобные эффекты могут быть произведены в этих других планетах из-за того, что их поверхности состоят из неодинаковых частей.

И это все, что я скажу относительно сидерической философии. И хотя причины, которые я здесь предположил, не являются истинными причинами этих явлений, все же я продемонстрировал, что они достаточны для их производства, согласно тому, что я изначально предложил.

Том 1. Лат. и англ. Гл. XXVI. Рис. 1-5

ГЛАВА XXVII. О СВЕТЕ, ТЕПЛЕ И ЦВЕТАХ.

1. Об огромной величине одних тел и невыразимой малости других. — 2. О причине света Солнца. — 3. Как свет нагревает. — 4. Образование огня от Солнца. — 5. Образование огня от столкновения. — 6. Причина света у светлячков, гнилого дерева и болонского камня. — 7. Причина света при сотрясении морской воды. — 8. Причина пламени, искр и плавления. — 9. Причина, почему влажное сено иногда загорается само по себе; также причина молнии. — 10. Причина силы пороха; и что следует приписать углю, что сере, а что селитре. — 11. Как тепло вызывается трением. — 12. Разделение света на первый, второй и т. д. — 13. Причины цветов, которые мы видим, глядя сквозь стеклянную призму, а именно красного, желтого, синего и фиолетового цвета. — 14. Почему Луна и звезды кажутся более красными на горизонте, чем в середине неба. — 15. Причина белизны. — 16. Причина черноты.

Of the immense magnitude of some bodies, and the unspeakable littleness of others.

1. Помимо звезд, о которых я говорил в последней главе, какие бы другие тела ни существовали в мире, все они могут быть охвачены названием межзвездных тел. И их я уже предположил быть либо наиболее текучим эфиром, либо такими телами, части которых имеют некоторую степень сцепления. Теперь они отличаются друг от друга своими различными консистенциями, величинами, движениями и формами. В консистенции я предполагаю, что одни тела тверже, другие мягче во всех различных степенях вязкости. В величине — одни больше, другие меньше, а многие невыразимо малы. Ибо мы должны помнить, что посредством рассудка количество делимо на делимое бесконечно. И поэтому, если бы человек мог делать своими руками столько же, сколько он может своим рассудком, он был бы способен взять от любой данной величины часть, которая была бы меньше любой другой данной величины. Но Всемогущий Творец мира может фактически взять от части чего-либо другую часть, насколько мы своим рассудком можем представить ее делимой. Поэтому не существует невозможной малости тел. И что мешает нам думать, что это вероятно? Ибо мы знаем, что есть некоторые живые существа настолько малые, что мы едва можем видеть их тела целиком. И все же даже у них есть свое потомство; свои маленькие вены и другие сосуды, и свои глаза настолько малые, что никакой микроскоп не может сделать их видимыми. Так что мы не можем предположить никакой величины настолько малой, чтобы наше само предположение фактически не превосходилось природой. Кроме того, сейчас обычно изготавливаются такие микроскопы, что вещи, которые мы видим с их помощью, кажутся в сто тысяч раз больше, чем они казались бы, если бы мы смотрели на них невооруженным глазом. И нет сомнения, что путем увеличения мощности этих микроскопов (ибо она может быть увеличена, пока не недостает ни материи, ни рук мастеров) каждая из этих стотысячных частей могла бы еще казаться в сто тысяч раз больше, чем они казались раньше. Также малость некоторых тел не следует удивлять больше, чем огромная величина других. Ибо к той же Бесконечной Силе относится как бесконечно увеличивать, так и бесконечно уменьшать. Сделать великий круг, а именно тот, чей радиус достигает от Земли до Солнца, лишь точкой по сравнению с расстоянием между Солнцем и неподвижными звездами; и, наоборот, сделать тело настолько малым, чтобы оно было в той же пропорции меньше любого другого видимого тела, — все это в равной степени исходит от одного и того же Автора Природы. Но это об огромном расстоянии до неподвижных звезд, которое долгое время считалось невероятной вещью, теперь верится почти всеми учеными. Почему же тогда то другое, о малости некоторых тел, не должно стать правдоподобным когда-нибудь? Ибо Величие Божье проявляется не меньше в малых вещах, чем в великих; и как оно превосходит человеческое чувство в огромной величине Вселенной, так же оно делает это и в малости ее частей. И не являются первые элементы композиций, ни первые начала действий, ни первые моменты времен более правдоподобными, чем то, во что сейчас верят относительно огромного расстояния до неподвижных звезд.

Некоторые вещи признаются смертными людьми очень великими, хотя и конечными, поскольку они видят их таковыми. Они признают также, что некоторые вещи, которых они не видят, могут быть бесконечной величины. Но они не сразу и не без большого изучения убеждаются, что существует какая-либо середина между бесконечным и величайшим из тех вещей, которые они либо видят, либо воображают. Тем не менее, когда после размышления и созерцания многие вещи, которым мы удивлялись раньше, стали для нас более привычными, мы тогда верим в них и переносим наше восхищение с творений на Творца. Но как бы малы ни были некоторые тела, я не буду предполагать их количество меньшим, чем требуется для объяснения явлений. И точно так же я буду предполагать их движение, а именно их скорость и медленность, и разнообразие их фигур, только такими, какие требует объяснение их естественных причин. И наконец, я предполагаю, что части чистого эфира, как если бы это была первая материя, не имеют никакого движения, кроме того, которое они получают от тел, плавающих в них и не являющихся сами по себе текучими.

Of the cause of the light of the sun.

2. Заложив эти основания, перейдем к разговору о причинах; и в первую очередь давайте исследуем, что может быть причиной света Солнца. Поскольку, следовательно, тело Солнца своим простым круговым движением отталкивает окружающую эфирную субстанцию то в одну, то в другую сторону, так что те части, которые находятся рядом с Солнцем, будучи приведены им в движение, распространяют это движение на следующие удаленные части, а те — на следующие, и так далее непрерывно; необходимо, чтобы, несмотря на любое расстояние, передняя часть глаза в конце концов была сжата; и от давления этой части движение будет распространено на самую внутреннюю часть органа зрения, а именно на сердце; и от реакции сердца последует стремление обратно тем же путем, заканчивающееся стремлением наружу оболочки глаза, называемой сетчаткой. Но это стремление наружу, как было определено в главе XXV, есть то, что называется светом, или фантазмом светящегося тела. Ибо именно по причине этого фантазма объект называется светящимся. Таким образом, у нас есть возможная причина света Солнца; которую я взялся найти.

How light heateth.

3. Образование света Солнца сопровождается образованием тепла. Теперь каждый человек знает, что такое тепло в нем самом, чувствуя его, когда он становится горячим; но что оно такое в других вещах, он знает только путем рассуждения. Ибо одно дело — становиться горячим, а другое — нагревать или делать горячим. И поэтому, хотя мы воспринимаем, что огонь или Солнце нагревают, мы не воспринимаем, что они сами горячие. Что другие живые существа, пока они делают другие вещи горячими, сами являются горячими, мы выводим путем рассуждения из подобного чувства в нас самих. Но это не является необходимым выводом. Ибо хотя можно истинно сказать о живых существах, что они нагревают, следовательно, они сами горячие; однако из этого нельзя истинно вывести, что огонь нагревает, следовательно, он сам горячий; не более, чем это: огонь причиняет боль, следовательно, он сам испытывает боль. Поэтому горячим называется только и собственно то, что, когда мы чувствуем, мы обязательно становимся горячими.

Теперь, когда мы становимся горячими, мы обнаруживаем, что наши духи и кровь, и все, что является текучим внутри нас, вызывается из внутренних частей наших тел к внешним, более или менее, в зависимости от степени тепла; и что наша кожа набухает. Тот, следовательно, кто может дать возможную причину этого вызова и набухания, и такую, которая согласуется с остальными явлениями тепла, может считаться давшим причину тепла Солнца.

В 5-й статье главы XXI было показано, что текучая среда, которую мы называем воздухом, движется простым круговым движением Солнца так, что все ее части, даже самые малые, постоянно меняются местами друг с другом; это изменение мест есть то, что я там назвал ферментацией. Из этой ферментации воздуха я в 8-й статье последней главы продемонстрировал, что вода может быть поднята в облака.

И я теперь покажу, что текучие части могут, подобным образом, посредством той же ферментации, быть вытянуты из внутренних частей наших тел к внешним. Ибо, видя, что везде, где текучая среда соприкасается с телом любого живого существа, там части этой среды, посредством постоянного изменения места, отделяются друг от друга; соприкасающиеся части живого существа должны, по необходимости, стремиться войти в пространства отделенных частей. Ибо в противном случае эти части, предполагая, что нет пустоты, не имели бы места, куда войти. И поэтому то, что является наиболее текучим и отделяемым в частях живого существа, которые соприкасаются со средой, выйдет первым; и на место этого придут такие другие части, которые могут легче всего просочиться через поры кожи. И отсюда необходимо, чтобы остальные части, которые не отделены, должны все вместе двигаться наружу, для поддержания всех мест полными. Но это движение наружу всех частей вместе должно, по необходимости, давить на те части окружающего воздуха, которые готовы покинуть свои места; и поэтому все части тела, стремясь одновременно в ту сторону, заставляют тело набухать. Следовательно, дана возможная причина тепла от Солнца; что и требовалось сделать.

The generation of fire from the sun.

4. Мы теперь видели, как генерируются свет и тепло; тепло — простым движением среды, заставляющим части постоянно меняться местами друг с другом; а свет — тем, что посредством того же простого движения действие распространяется по прямой линии. Но когда тело имеет свои части так движущимися, что оно ощутимо одновременно и нагревает, и светит, тогда мы говорим, что генерируется огонь.

Теперь под огнем я не понимаю тело, отличное от материи горючей или светящейся, как дерево или железо, но саму материю, не просто и всегда, а только тогда, когда она светит и нагревает. Тот, следовательно, кто представляет причину возможную и согласующуюся с остальными явлениями, а именно откуда и из какого действия происходят и свечение, и нагревание, может считаться давшим возможную причину образования огня.

Пусть, следовательно, A B C (на первом рисунке) будет сферой, или частью сферы, чей центр есть D; и пусть она будет прозрачной и однородной, как кристалл, стекло или вода, и выставлена перед Солнцем. Следовательно, передняя часть A B C будет, посредством простого движения Солнца, которым оно толкает вперед среду, подвергаться воздействию солнечных лучей по прямым линиям E A, F B и G C; которые прямые линии могут, в отношении большого расстояния Солнца, быть приняты за параллели. И видя, что среда внутри сферы плотнее, чем среда вне ее, эти лучи будут преломлены к перпендикулярам. Пусть прямые линии E A и G C будут продолжены, пока они не пересекут сферу в H и I; и, проведя перпендикуляры A D и C D, преломленные лучи E A и G C по необходимости упадут: один между A H и A D, другой между C I и C D. Пусть эти преломленные лучи будут A K и C L. И снова, пусть линии D K M и D L N будут проведены перпендикулярно к сфере; и пусть A K и C L будут продолжены, пока они не встретятся с прямой линией B D, продолженной в O. Поскольку, следовательно, среда внутри сферы плотнее, чем та, что вне ее, преломленная линия A K будет отступать дальше от перпендикуляра K M, чем K O будет отступать от того же. Поэтому K O упадет между преломленной линией и перпендикуляром. Пусть, следовательно, преломленная линия будет K P, пересекающая F O в P; и по той же причине прямая линия L P будет преломленной линией прямой линии C L. Следовательно, видя, что лучи — это не что иное, как пути, по которым распространяется движение, движение вокруг P будет настолько более сильным, чем движение вокруг A B C, насколько основание части A B C больше основания подобной части в сфере, чей центр есть P и чья величина равна величине малого круга вокруг P, который охватывает все лучи, распространяющиеся от A B C; и эта сфера, будучи намного меньше сферы A B C, части среды, то есть воздуха вокруг P, будут меняться местами друг с другом с гораздо большей быстротой, чем те вокруг A B C. Если, следовательно, любая горючая материя, то есть такая, которая может быть легко рассеяна, будет помещена в P, части этой материи, если пропорция между A C и подобной частью малого круга вокруг P достаточно велика, будут освобождены от своего взаимного сцепления и, будучи отделены, приобретут простое движение. Но сильное простое движение генерирует в наблюдателе фантазм светящегося и горячего, как я ранее продемонстрировал относительно простого движения Солнца; и поэтому горючая материя, которая помещена в P, будет сделана светящейся и горячей, то есть будет огнем. Следовательно, я представил возможную причину огня; что и требовалось сделать.

The generation of fire from collision.

5. Из способа, которым Солнце генерирует огонь, легко объяснить способ, которым огонь может быть генерирован столкновением двух кремней. Ибо этим столкновением некоторые из тех частиц, из которых спрессован камень, насильственно отделяются и отбрасываются; и, будучи при этом быстро повернуты, глаз приводится ими в движение, как это происходит при генерации света Солнцем. Поэтому они светят; и, падая на материю, которая уже наполовину рассеяна, такую как трут, они полностью рассеивают ее части и заставляют их вращаться. Откуда, как я только что показал, генерируются свет и тепло, то есть огонь.

The cause of light in glow-worms, rotten wood, and the Bolognan stone.

6. Свечение светлячков, некоторых видов гнилого дерева и вида камня, сделанного в Болонье, может иметь одну общую причину, а именно подвергание их воздействию горячего Солнца. Мы находим по опыту, что болонский камень не светит, если он не подвергнут такому воздействию; и после того как он был подвергнут, он светит лишь короткое время, а именно до тех пор, пока сохраняет определенную степень тепла. И причина может быть в том, что части, из которых он сделан, могут вместе с теплом иметь простое движение, запечатленное в них Солнцем. Если это так, то необходимо, чтобы он светил в темноте, пока в нем есть достаточно тепла; но когда это прекращается, он больше не будет светить. Также мы находим по опыту, что у светлячка есть определенный густой юмор, подобный хрусталиковому юмору глаза; который, если его вынуть и подержать достаточно долго в пальцах, а затем внести в темноту, будет светить по причине тепла, которое он получил от пальцев; но как только он остынет, он перестанет светить. Откуда, следовательно, эти существа могут иметь свой свет, как не от лежания весь день на солнечном свету в самое жаркое время лета? Таким же образом гнилое дерево, если оно не гниет на солнечном свету или не будет впоследствии достаточно долго подвергнуто воздействию Солнца, не будет светить. То, что это не происходит у каждого червя, ни у всех видов гнилого дерева, ни у всех прокаленных камней, причина может быть в том, что части, из которых сделаны тела, отличаются как по движению, так и по фигуре от частей тел других видов.

The cause of light in the concussion of sea water.

7. Также морская вода светит, когда ее либо бьют ударами весел, либо когда корабль на своем курсе сильно прорезает ее; но более или менее, в зависимости от того, с каких точек дует ветер. Причина этого может быть в том, что частицы соли, хотя они никогда не светят в соляных копях, где они лишь медленно поднимаются Солнцем, будучи здесь выбиты в воздух в больших количествах и с большей силой, при этом заставляются вращаться и, следовательно, светить, хотя и слабо. Я, следовательно, дал возможную причину этого явления.

The cause of flame, sparks, & colliquation.

8. Если такая материя, которая составлена из твердых малых тел, будет подожжена, необходимо, чтобы, по мере того как они вылетают в больших или меньших количествах, пламя, которое ими создается, было больше или меньше. И если эфирная или текучая часть этой материи вылетает вместе с ними, их движение будет тем быстрее, как это происходит в дереве и других вещах, которые пылают с явным смешением ветра. Когда, следовательно, эти твердые частицы своим вылетом сильно движут глаз, они ярко светят; и большое их количество, вылетая вместе, создает большое светящееся тело. Ибо пламя, будучи не чем иным, как совокупностью светящихся частиц, чем больше совокупность, тем больше и явственнее будет пламя. Я, следовательно, показал возможную причину пламени. И отсюда очевидно становится причина, почему стекло так легко и быстро плавится малым пламенем раздуваемой свечи, которое не расплавится без раздувания иначе как очень сильным огнем.

Теперь, если от той же материи отломится часть, а именно такая часть, которая состоит из многих малых частиц, из этого делается искра. Ибо от отламывания она имеет сильное вращение, и отсюда она светит. Но хотя от этой материи не вылетает ни пламя, ни искры, все же некоторые из самых малых ее частей могут быть вынесены до поверхности и остаться там как пепел; части которого настолько чрезвычайно малы, что больше не может быть сомнений, как далеко природа может зайти в делении.

Наконец, хотя от применения огня к этой материи мало что или ничего не вылетает, все же в частях будет стремление к простому движению; посредством которого все тело будет либо расплавлено, либо, что является степенью плавления, размягчено. Ибо всякое движение имеет некоторый эффект на всякую материю вообще, как было показано в ст. 3, гл. XV. Теперь, если оно размягчено до такой степени, что упрямство частей превышается их тяжестью, тогда мы говорим, что оно расплавлено; в противном случае — размягчено и сделано податливым и пластичным.

Опять же, материя, имеющая в себе некоторые частицы твердые, другие эфирные или водянистые; если, посредством применения огня, последние будут вызваны наружу, первые тем самым придут к более полному контакту друг с другом; и, следовательно, не будут так легко отделены; то есть все тело будет сделано тверже. И это может быть причиной, почему один и тот же огонь делает некоторые вещи мягкими, другие — твердыми.

The cause why wet hay sometimes burns of its own accord; also the cause of lightning.

9. Из опыта известно, что если сено будет сложено влажным в кучу, оно через некоторое время начнет дымиться, а затем гореть как бы само по себе. Причина этого, по-видимому, в том, что в воздухе, который заключен внутри сена, есть те малые тела, которые, как я предположил, движутся свободно с простым движением. Но это движение, будучи постепенно затрудняемо все больше и больше опускающейся влагой, которая в конце концов заполняет и останавливает все проходы, более тонкие части воздуха поднимаются, проникая сквозь воду; и те твердые малые тела, будучи так сдавлены вместе, что они касаются и давят друг на друга, приобретают более сильное движение; пока, наконец, от возросшей силы этого движения водянистые части не будут сначала вытеснены наружу, откуда появляется пар; и от продолжающегося увеличения этого движения самые малые частицы высушенного сена выталкиваются, и, восстанавливая свое естественное простое движение, они становятся горячими и светят, то есть они загораются.

То же самое может быть причиной молнии, которая случается в самое жаркое время года, когда вода поднята в наибольшем количестве и перенесена выше всего. Ибо после того, как первые облака подняты, другие за другими следуют за ними; и, будучи сгущены наверху, они случаются, пока одни из них поднимаются, а другие опускаются, падать друг на друга таким образом, что в некоторых местах все их части соединены вместе, в других они оставляют полые пространства между ними; и в эти пространства, эфирные части, будучи вытеснены сжатием облаков, многие из более твердых малых тел так сдавлены вместе, что они не имеют свободы такого движения, которое естественно для воздуха. Поэтому их стремление становится более сильным, пока, наконец, они не прокладывают себе путь сквозь облака, иногда в одном месте, иногда в другом; и, прорываясь с большим шумом, они сильно движут воздух и, ударяя по нашим глазам, генерируют свет, то есть они светят. И это свечение есть то, что мы называем молнией.

The cause of the force of gunpowder; and what is to be ascribed to the coals, what to the brimstone, and what to the nitre.

10. Самым обычным явлением, происходящим от огня, и все же самым удивительным из всех других, является сила подожженного пороха; который, будучи составлен из селитры, серы и углей, мелко истолченных, имеет от углей свое первое возгорание; от серы — свое питание и пламя, то есть свет и движение, а от селитры — силу того и другого. Теперь, если кусок селитры, прежде чем он истолчен, положить на горящий уголь, сначала он плавится и, подобно воде, гасит ту часть угля, которой касается. Затем пар или воздух, вылетая там, где уголь и селитра соединяются, раздувает уголь с большой быстротой и силой во все стороны. И отсюда происходит, что двумя противоположными движениями, одним — частиц, которые выходят из горящего угля, другим — частиц эфирной и водянистой субстанции селитры, генерируется то сильное движение и воспаление. И, наконец, когда нет больше действия от селитры, то есть когда летучие части селитры вылетели, обнаруживается по бокам некое белое вещество, которое, будучи снова брошено в огонь, снова станет раскаленным докрасна, но не будет рассеяно, по крайней мере, если огонь не будет усилен. Если теперь будет найдена возможная причина этого, то же самое будет также возможной причиной, почему зерно пороха, подожженное, расширяется с таким сильным движением и светит. И это может быть вызвано таким образом.

Пусть частицы, из которых состоит селитра, будут предположены быть: некоторые из них твердыми, другие водянистыми, а остальные эфирными. Также пусть твердые частицы будут предположены быть сферически полыми, подобно малым пузырькам, так что многие из них, срастаясь вместе, могут составлять тело, чьи малые пещеры заполнены субстанцией, которая является либо водянистой, либо эфирной, либо и той, и другой. Как только, следовательно, твердые частицы будут рассеяны, водянистые и эфирные частицы по необходимости вылетят; и, вылетая, по необходимости сильно раздуют горящие угли и серу, которые смешаны вместе; вследствие чего последует большое расширение света, с сильным пламенем и насильственным рассеянием частиц селитры, серы и углей. Следовательно, я дал возможную причину силы подожженного пороха.

Из этого очевидно, что для представления причины, почему пуля из свинца или железа, выстреленная из орудия, летит с такой большой скоростью, нет необходимости вводить такое разрежение, которое, по общему его определению, заставляет одну и ту же материю иметь иногда большее, иногда меньшее количество; что немыслимо. Ибо все называется большим или меньшим, поскольку оно имеет большее или меньшее количество. Насилие, с которым пуля выталкивается из пушки, происходит от быстроты малых частиц подожженного пороха; по крайней мере, оно может происходить от этой причины без предположения какого-либо пустого пространства.

How heat is caused by attrition.

11. Кроме того, трением или растиранием одного тела о другое, как дерева о дерево, мы находим, что генерируется не только определенная степень тепла, но иногда и сам огонь. Ибо такое движение есть возвратно-поступательное давление, иногда в одну сторону, иногда в другую; и этим возвратно-поступательным движением все, что является текучим в обоих кусках дерева, вынуждается туда и сюда; и, следовательно, к стремлению выбраться наружу; и в конце концов, прорываясь, создает огонь.

The distinction of light into first, second, &c.

12. Теперь свет разделяется на первый, второй, третий и так далее бесконечно. И мы называем первым светом тот, который находится в первом светящемся теле; как Солнце, огонь и т. д.: вторым — тот, который находится в таких телах, которые, не будучи прозрачными, освещаются Солнцем; как Луна, стена и т. д.: и третьим — тот, который находится в телах не прозрачных, но освещенных вторым светом и т. д.

The causes of the colours we see in looking through a prisma of glass, namely, of red, yellow, blue, & violet colour.

13. Цвет — это свет, но свет возмущенный, а именно такой, который генерируется возмущенным движением; как будет сделано очевидным красным, желтым, синим и пурпурным, которые генерируются помещением диафановой призмы, чьи противоположные основания треугольны, между светом и тем, что освещено.

[Discussion of Figure 27.2]

Ибо пусть будет призма из стекла или любой другой прозрачной материи, которая имеет большую плотность, чем воздух; и пусть треугольник A B C будет основанием этой призмы. Также пусть прямая линия D E будет диаметром тела Солнца, имеющим наклонное положение к прямой линии A B; и пусть солнечные лучи проходят по линиям D A и E B C. И наконец, пусть прямые линии D A и E C будут продолжены неопределенно до F и G. Видя, следовательно, что прямая линия D A, по причине плотности стекла, преломляется к перпендикуляру; пусть линией, преломленной в точке A, будет прямая линия A H. И снова, видя, что среда ниже A C тоньше, чем та, что выше ее, другое преломление, которое будет сделано там, будет расходиться от перпендикуляра. Пусть, следовательно, эта вторая преломленная линия будет A I. Также пусть то же самое будет сделано в точке C, сделав первую преломленную линию C K, а вторую C L. Поскольку, следовательно, причиной преломления в точке A прямой линии A B является избыток сопротивления среды в A B над сопротивлением воздуха, должна по необходимости быть реакция от точки A к точке B; и, следовательно, среда в A внутри треугольника A B C будет иметь свое движение возмущенным, то есть прямое движение в A F и A H будет смешано с поперечным движением между теми же A F и A H, представленным короткими поперечными линиями в треугольнике A F H. Снова, видя, что в точке A прямой линии A C есть второе преломление от A H в A I, движение среды будет снова возмущено по причине поперечной реакции от A к C, представленной также короткими поперечными линиями в треугольнике A H I. И таким же образом есть двойное возмущение, представленное поперечными линиями в треугольниках C G K и C K L. Но что касается света между A I и C G, он не будет возмущен; потому что, если бы во всех точках прямых линий A B и A C было то же действие, которое есть в точках A и C, тогда плоскость треугольника C G K была бы везде совпадающей с плоскостью треугольника A F H; благодаря чему все казалось бы одинаковым между A и C. Кроме того, следует заметить, что вся реакция в A стремится к освещенным частям, которые находятся между A и C, и, следовательно, возмущает первый свет. И наоборот, что вся реакция в C стремится к частям вне треугольника или вне призмы A B C, где нет ничего, кроме второго света; и что треугольник A F H показывает то возмущение света, которое сделано в самом стекле; как треугольник A H I показывает то возмущение света, которое сделано ниже стекла. Подобным образом, C G K показывает возмущение света внутри стекла; а C K L — то, которое ниже стекла. Откуда есть четыре различных движения, или четыре различных освещения или цвета, чьи различия проявляются наиболее явно для чувства в призме, чье основание есть равносторонний треугольник, когда солнечные лучи, которые проходят сквозь нее, приняты на белую бумагу. Ибо треугольник A F H кажется красным для чувства; треугольник A H I — желтым; треугольник C G K — зеленым, и приближающимся к синему; и, наконец, треугольник C K L кажется пурпурным. Поэтому очевидно, что когда слабый, но первый свет проходит сквозь более сопротивляющееся диафановое тело, как стекло, лучи, которые падают на него поперечно, создают красноту; и когда тот же первый свет сильнее, как он есть в более тонкой среде ниже прямой линии A C, поперечные лучи создают желтизну. Также когда второй свет силен, как он есть в треугольнике C G K, который ближе всего к первому свету, поперечные лучи создают зелень; и когда тот же второй свет слабее, как в треугольнике C K L, они создают пурпурный цвет.

Why the moon and the stars appear redder in the horizon than in the midst of the heaven.

14. Отсюда может быть выведена причина, почему Луна и звезды кажутся больше и краснее вблизи горизонта, чем в середине неба. Ибо между глазом и видимым горизонтом больше нечистого воздуха, такого, который смешан с водянистыми и земными малыми телами, чем между тем же глазом и более возвышенной частью неба. Но зрение совершается лучами, которые составляют конус, чье основание, если мы смотрим на Луну, есть лицо Луны, а чья вершина находится в глазу; и поэтому многие лучи от Луны должны по необходимости падать на малые тела, которые находятся вне зрительного конуса, и быть ими отражены к глазу. Но эти отраженные лучи стремятся все по линиям, которые поперечны к зрительному конусу, и создают у глаза угол, который больше угла конуса. Поэтому Луна кажется больше на горизонте, чем когда она более возвышена. И потому что те отраженные лучи идут поперечно, будет генерироваться, согласно последней статье, краснота. Возможная причина, следовательно, показана, почему Луна, как также и звезды, кажутся больше и краснее на горизонте, чем в середине неба. То же самое может быть причиной, почему Солнце кажется на горизонте больше и цвета, более вырождающегося в желтый, чем когда оно выше возвышено. Ибо отражение от малых тел между ними и поперечное движение среды все еще те же. Но свет Солнца намного сильнее, чем свет Луны; и поэтому, согласно последней статье, его великолепие должно по необходимости от этого возмущения выродиться в желтизну.

Но для генерации этих четырех цветов не обязательно, чтобы фигура стекла была призмой; ибо если бы она была сферической, она сделала бы то же самое. Ибо в сфере солнечные лучи дважды преломляются и дважды отражаются. И это, будучи замечено Декартом, и притом что радуга никогда не появляется, кроме как когда идет дождь; как также, что капли дождя имеют свои фигуры почти сферические; он показал отсюда причину цветов в радуге; которую, следовательно, нет необходимости повторять.

The cause of whiteness.

15. Белизна — это свет, но свет, возмущенный отражениями многих лучей света, приходящих к глазу вместе в малом пространстве. Ибо если стекло или любое другое диафановое тело будет сведено к очень малым частям посредством дробления или сотрясения, каждая из этих частей, если лучи светящегося тела будут от любой одной точки того же отражены к глазу, будет представлять наблюдателю идею или образ всего светящегося тела, то есть фантазм белого. Ибо самый сильный свет — самый белый; и поэтому многие такие части сделают многие такие образы. Поэтому, если те части лежат густо и близко друг к другу, те многие образы появятся смутно и будут по причине смутного света представлять белый цвет. Так что отсюда может быть выведена возможная причина, почему разбитое стекло, то есть сведенное к порошку, выглядит белым. Также почему вода и снег белые; они, будучи не чем иным, как кучей очень малых диафановых тел, а именно малых пузырьков, от чьих различных выпуклых поверхностей посредством отражения сделаны различные смутные фантазмы всего светящегося тела, то есть белизна. По той же причине соль и селитра белые, как состоящие из малых пузырьков, которые содержат внутри себя воду и воздух; как очевидно в селитре, из того, что, будучи брошена в огонь, она насильственно раздувает его; что соль также делает, но с меньшей силой. Но если белое тело будет выставлено не на свет дня, а на свет огня или свечи, не будет с первого взгляда легко судить, является ли оно белым или желтым; причина чего может быть в том, что свет тех вещей, которые горят и пылают, почти среднего цвета между белизной и желтизной.

The cause of blackness.

16. Как белизна есть свет, так чернота есть лишение света, или тьма. И отсюда есть, во-первых, что все отверстия, из которых никакой свет не может быть отражен к глазу, кажутся черными. Во-вторых, что когда тело имеет малые выдающиеся частицы, воздвигнутые прямо вверх от поверхности, так что лучи света, которые падают на них, отражаются не к глазу, а к самому телу, та поверхность кажется черной; таким же образом, как море кажется черным, когда взволновано ветром. В-третьих, что любая горючая материя посредством огня сделана выглядеть черной, прежде чем она светит. Ибо стремление огня — рассеять самые малые части таких тел, которые брошены в него, он должен сначала поднять и воздвигнуть те части, прежде чем он может работать их рассеяние. Если, следовательно, огонь будет потушен, прежде чем части будут полностью рассеяны, уголь будет казаться черным; ибо части, будучи только воздвигнуты, лучи света, падающие на них, не будут отражены к глазу, а к самому углю. В-четвертых, что зажигательные стекла более легко сжигают черные вещи, чем белые. Ибо в белой поверхности выдающиеся части выпуклы, подобно малым пузырькам; и поэтому лучи света, которые падают на них, отражаются во все стороны от отражающего тела. Но в черной поверхности, где выдающиеся частицы более воздвигнуты, лучи света, падающие на них, все по необходимости отражаются к самому телу; и, следовательно, тела, которые черные, более легко загораются от солнечных лучей, чем те, которые белые. В-пятых, что все цвета, которые сделаны из смешения белого и черного, происходят от различного положения частиц, которые поднимаются выше поверхности, и их различных форм шероховатости. Ибо, согласно этим различиям, больше или меньше лучей света отражаются от различных тел к глазу. Но ввиду того, что те различия бесчисленны, а сами тела настолько малы, что мы не можем воспринять их; объяснение и точное определение причин всех цветов есть вещь настолько большой трудности, что я не осмеливаюсь взяться за нее.

Том I. Лат. и англ. Гл. XXVII. Рис. 1-2

Fig 1 | Fig 2

ГЛАВА XXVIII. О ХОЛОДЕ, ВЕТРЕ, ТВЕРДОСТИ, ЛЬДЕ, ВОССТАНОВЛЕНИИ ИЗОГНУТЫХ ТЕЛ, ПРОЗРАЧНОСТИ, МОЛНИИ И ГРОМЕ; А ТАКЖЕ ОБ ИСТОКАХ РЕК.

1. Почему дыхание из одного и того же рта иногда согревает, а иногда охлаждает. 2. Ветер и непостоянство ветров, откуда они происходят. 3. Почему вблизи экватора существует постоянный, хотя и не сильный ветер с востока на запад. 4. Каково действие воздуха, заключенного между облаками. 5. Никакое изменение из мягкого состояния в твердое не происходит без движения. 6. Какова причина холода вблизи полюсов. 7. Причина образования льда; почему холод слабее в дождливую погоду, чем в ясную. Почему вода не замерзает в глубоких колодцах так, как она замерзает вблизи поверхности земли. Почему лед не так тяжел, как вода; и почему вино замерзает не так легко, как вода. 8. Другая причина твердости — более полное соприкосновение атомов; также, как ломаются твердые предметы. 9. Третья причина твердости — тепло. 10. Четвертая причина твердости — движение атомов, заключенных в узком пространстве. 11. Как размягчаются твердые предметы. 12. Откуда происходит самопроизвольное восстановление изогнутых предметов. 13. Прозрачное и непрозрачное, что они такое и откуда происходят. 14. Причина молнии и грома. 15. Откуда происходит то, что облака могут снова опускаться после того, как они были подняты и заморожены. 16. Как могло случиться, что Луна была затмена, когда она не находилась диаметрально противоположно Солнцу. 17. Каким образом могут появляться несколько солнц одновременно. 18. Об истоках рек.

Why breath from the same mouth sometimes heats and sometimes cools.

1. Подобно тому как, когда движение окружающей эфирной субстанции заставляет духи и жидкие части наших тел стремиться наружу, мы ощущаем тепло, так и при стремлении внутрь тех же духов и гуморов мы чувствуем холод. Таким образом, охлаждать — значит заставлять внешние части тела стремиться внутрь посредством движения, противоположного движению нагревания, при котором внутренние части вызываются наружу. Тот, следовательно, кто хочет знать причину холода, должен найти, посредством какого движения или движений внешние части любого тела стремятся удалиться внутрь. Начнем с тех явлений, которые наиболее привычны. Почти каждый знает, что дыхание, выдыхаемое сильно и выходящее изо рта с силой, то есть через узкое отверстие, охлаждает руку, а то же самое дыхание, выдыхаемое мягко, то есть через большее отверстие, согревает ее. Причина этого явления может быть следующей: выходящее дыхание обладает двумя движениями; одно — общее и прямое, посредством которого передние части руки вдавливаются внутрь; другое — простое движение малых частиц того же дыхания, которое (как я показал в 3-й статье последней главы) вызывает тепло. Следовательно, в зависимости от того, какое из этих движений преобладает, возникает ощущение либо холода, либо тепла. Поэтому, когда дыхание мягко выдыхается через широкое отверстие, преобладает то простое движение, которое вызывает тепло, и, следовательно, ощущается тепло; а когда при сжатии губ дыхание выдыхается сильнее, тогда преобладает прямое движение, которое заставляет нас чувствовать холод. Ибо прямое движение дыхания или воздуха — это ветер; и всякий ветер охлаждает или уменьшает прежнее тепло.

Wind, and the inconstancy of winds, whence.

2. И поскольку не только сильный ветер, но почти любая вентиляция и движение воздуха охлаждают, причину многих экспериментов, касающихся холода, нельзя хорошо объяснить, не выяснив прежде, каковы причины ветра. Теперь, ветер есть не что иное, как прямое движение воздуха, направленное вперед; которое, тем не менее, когда многие ветры сходятся, может быть круговым или иным образом непрямым, как это бывает в вихрях. Поэтому в первую очередь мы должны исследовать причины ветров. Ветер — это воздух, движущийся в значительном количестве, причем либо в виде волн, то есть как вперед, так и вверх и вниз, либо только вперед.

Предполагая, следовательно, воздух ясным и спокойным в течение любого, пусть даже самого малого времени, тем не менее, поскольку большие тела мира расположены и упорядочены так, как было сказано, необходимо, чтобы где-нибудь немедленно возник ветер. Ибо, видя, что движение частей воздуха, совершаемое простым движением Солнца в его собственном эпицикле, вызывает испарение частиц воды из морей и всех других влажных тел, и эти частицы образуют облака, необходимо следует, что, пока частицы воды движутся вверх, частицы воздуха, для поддержания всех пространств полными, вытесняются со всех сторон и подталкивают соседние частицы, а те — следующие, пока, совершив свой кругооборот, к задним частям Земли постоянно не придет столько воздуха, сколько воды ушло из передних. Поэтому восходящие пары движут воздух в стороны во всех направлениях; и так как всякое прямое движение воздуха есть ветер, они создают ветер. И если этот ветер часто встречает другие пары, которые возникают в других местах, очевидно, что его сила будет увеличена, а путь или направление изменены. Кроме того, в зависимости от того, как Земля своим суточным движением поворачивает то более сухую, то более влажную часть к Солнцу, так иногда будет подниматься большее, иногда меньшее количество паров; то есть иногда будет меньший, иногда больший ветер. Таким образом, я представил возможную причину таких ветров, которые порождаются парами, а также их непостоянства.

Отсюда следует, что эти ветры не могут возникать в любом месте, которое выше того, до которого могут подниматься пары. Не является невероятным и то, что сообщается о высочайших горах, таких как Пик Тенерифе и Анды в Перу, а именно, что они вовсе не страдают от этих непостоянных ветров. И если бы было достоверно известно, что ни дождь, ни снег никогда не наблюдались на высочайших вершинах этих гор, нельзя было бы сомневаться в том, что они выше любого места, до которого обычно поднимаются пары.

Why there is a constant, though not a great wind, from east to west, near the equator.

3. Тем не менее, там может быть ветер, хотя и не тот, который создается подъемом паров, а меньший и более постоянный ветер, подобный непрерывному дуновению кузнечных мехов, дующий с востока. И это может иметь двойную причину: одну — суточное движение Земли, другую — ее простое движение в собственном эпицикле. Ибо эти горы, будучи в силу своей высоты более выдающимися, чем все остальные части Земли, обоими этими движениями гонят воздух с запада на восток. Хотя суточное движение вносит в это лишь малый вклад, однако, поскольку я предположил, что простое движение Земли в ее собственном эпицикле совершает два оборота за то же время, в которое суточное движение совершает лишь один, и что полудиаметр эпицикла вдвое больше полудиаметра суточного вращения, движение каждой точки Земли в ее собственном эпицикле будет иметь скорость, вчетверо превышающую скорость суточного движения; так что обоими этими движениями вместе вершины этих холмов будут ощутимо двигаться против воздуха; и, следовательно, будет ощущаться ветер. Ибо ударяет ли воздух по чувствующему существу или чувствующее существо по воздуху, восприятие движения будет одним и тем же. Но этот ветер, поскольку он не вызван подъемом паров, должен обязательно быть очень постоянным.

What is the effect of air pent in between the clouds.

4. Когда одно облако уже поднялось в воздух, если другое облако поднимается навстречу ему, та часть воздуха, которая находится между ними обоими, должна по необходимости быть вытеснена во все стороны. Также, когда оба они, пока одно поднимается, а другое либо остается на месте, либо опускается, соединяются таким образом, что эфирная субстанция оказывается запертой внутри них со всех сторон, она при этом сжатии также выйдет наружу, проникая сквозь воду. Но тем временем твердые частицы, которые смешаны с воздухом и приведены, как я предполагал, в простое движение, не пройдут сквозь воду облаков, а будут более тесно сжаты внутри их полостей. И это я продемонстрировал в 4-й и 5-й статьях главы XXII. Кроме того, видя, что земной шар плавает в воздухе, который приводится в движение движением Солнца, части воздуха, встречающие сопротивление со стороны Земли, будут распространяться во все стороны по поверхности Земли, как я показал в 8-й статье главы XXI.

No change from soft to hard, but by motion.

5. Мы воспринимаем тело как твердое из того, что, прикасаясь к нему, мы хотели бы продвинуть вперед ту его часть, к которой прикасаемся, но не можем сделать это иначе, как продвинув вперед все тело. Мы можем, конечно, легко и ощутимо продвинуть вперед любую частицу воздуха или воды, к которой прикасаемся, в то время как остальные ее части остаются для чувства неподвижными. Но мы не можем сделать так с любой частью камня. Поэтому я определяю твердое тело как такое, никакая часть которого не может быть ощутимо сдвинута, если не сдвинуто целое. Все, следовательно, что является мягким или жидким, никогда не может стать твердым иначе, как посредством такого движения, которое заставляет многие части вместе остановить движение какой-либо одной части, сопротивляясь ей.

What it the cause of cold near the poles.

6. После этих предварительных замечаний я покажу возможную причину того, почему вблизи полюсов Земли холод сильнее, чем вдали от них. Движение Солнца между тропиками, гонящее воздух к той части поверхности Земли, которая находится перпендикулярно под ним, заставляет его распространяться во все стороны; и скорость этого расширения воздуха становится все больше и больше по мере того, как поверхность Земли становится все более и более суженной, то есть по мере того, как круги, параллельные экватору, становятся все меньше и меньше. Поэтому это расширительное движение воздуха гонит перед собой части воздуха, находящиеся на его пути, постоянно все сильнее и сильнее к полюсам, по мере того как его сила становится все более и более объединенной, то есть по мере того, как круги, параллельные экватору, становятся все меньше и меньше; то есть тем сильнее, чем ближе они к полюсам Земли. В тех местах, следовательно, которые ближе к полюсам, холод сильнее, чем в тех, которые более удалены от них. Теперь это расширение воздуха по поверхности Земли, с востока на запад, вследствие постоянного приближения Солнца к местам, которые последовательно находятся под ним, делает его холодным во время восхода и захода Солнца; но по мере того как Солнце становится все более и более перпендикулярным к этим охлажденным местам, этот холод снова ослабевает благодаря теплу, которое генерируется возникающим простым движением Солнца; и он никогда не может быть сильным, потому что действие, которым он был порожден, не является постоянным. Таким образом, я представил возможную причину холода в тех местах, которые находятся вблизи полюсов, или там, где наклон Солнца велик.

The cause of ice; and why the cold is more remiss in rainy than in clear weather. Why water doth not freeze in deep wells, as it doth near the superficies of the earth. Why ice is not so heavy as water; and why wine is not so easily frozen as water.

7. Как вода может быть заморожена холодом, можно объяснить следующим образом. Пусть A (на рисунке 1) представляет Солнце, а B — Землю. A, следовательно, будет намного больше B. Пусть E F будет в плоскости равноденствия; к которой пусть G H, I K и L C будут параллельны. Наконец, пусть C и D будут полюсами Земли. Воздух, следовательно, своим действием на этих параллелях будет бороздить поверхность Земли; и притом с движением тем более сильным, чем меньше становятся параллельные круги по направлению к полюсам. Отсюда должен возникнуть ветер, который сгонит вместе верхние части воды и вместе с тем немного приподнимет их, ослабляя их стремление к центру Земли. И от их стремления к центру Земли, соединенного со стремлением упомянутого ветра, верхние части воды будут сжаты вместе и коагулированы, то есть поверхность воды покроется коркой и затвердеет. И так снова вода, находящаяся рядом с поверхностью, будет затвердевать таким же образом, пока, наконец, лед не станет толстым. И этот лед, будучи теперь спрессованным из малых твердых тел, должен также содержать много частиц воздуха, принятых в него.

Как реки и моря, так же точно могут замерзать и облака. Ибо когда при подъеме и опускании нескольких облаков в одно и то же время воздух, находящийся между ними, вытесняется сжатием, он бороздит их и мало-помалу затвердевает. И хотя те мелкие капли, которые обычно образуют облака, еще не соединены в большие тела, тем не менее, тот же ветер будет создан; и им, как вода превращается в лед, так и пары будут таким же образом превращены в снег. По той же причине лед может быть создан искусственно, и притом недалеко от огня. Ибо это делается путем смешивания снега и соли вместе и погружения в него небольшого сосуда, наполненного водой. Теперь, пока снег и соль, которые содержат в себе много воздуха, тают, воздух, который вытесняется во все стороны в виде ветра, бороздит стенки сосуда; и как ветер своим движением бороздит сосуд, так сосуд тем же движением и действием замораживает воду внутри себя.

Мы находим по опыту, что холод всегда слабее в местах, где идет дождь или где погода облачная, при прочих равных условиях, чем там, где воздух ясный. И это очень хорошо согласуется с тем, что я сказал ранее. Ибо в ясную погоду течение ветра, который, как я только что сказал, бороздит поверхность Земли, поскольку он свободен от всяких препятствий, очень сильное. Но когда мелкие капли воды либо поднимаются, либо опускаются, этот ветер отражается, разбивается и рассеивается ими; и чем меньше ветер, тем меньше холод.

Мы находим также по опыту, что в глубоких колодцах вода замерзает не так сильно, как на поверхности Земли. Ибо ветер, которым создается лед, проникая в землю в силу рыхлости ее частей, более или менее теряет часть своей силы, хотя и не много. Так что если колодец неглубокий, он замерзнет; тогда как если он настолько глубок, что ветер, вызывающий холод, не может достичь его, он не замерзнет.

Мы находим, кроме того, по опыту, что лед легче воды. Причина этого очевидна из того, что я уже показал, а именно, что воздух принимается внутрь и смешивается с частицами воды, пока она замерзает.

Наконец, вино замерзает не так легко, как вода, потому что в вине есть частицы, которые, будучи не жидкими, движутся очень быстро, и их движением замерзание замедляется. Но если холод преобладает над этим движением, тогда внешние части вина замерзнут первыми, а затем внутренние части; признаком чего является то, что вино, которое остается незамерзшим в середине, будет очень крепким.

Another cause of hardness from the fuller contact of atoms. Also how hard things are broken.

8. Мы видели один способ сделать вещи твердыми, а именно, путем замерзания. Другой способ таков. Уже предположив, что бесчисленные атомы, одни тверже других и имеющие свои собственные различные простые движения, смешаны с эфирной субстанцией, из этого необходимо следует, что вследствие ферментации всего воздуха, о которой я говорил в главе XXI, некоторые из этих атомов, встречаясь с другими, будут слипаться, прикладываясь друг к другу таким образом, который соответствует их движениям и взаимным контактам; и, видя, что пустоты нет, их нельзя разорвать иначе, как силой, достаточной для преодоления их твердости.

Теперь существует бесчисленное множество степеней твердости. Например, есть степень твердости в воде, что очевидно из того, что на плоскости ее можно по желанию двигать в любую сторону пальцем. Есть большая степень твердости в клейких жидкостях, которые при выливании, падая вниз, располагаются в одну непрерывную нить; эта нить, прежде чем она будет разорвана, будет мало-помалу уменьшать свою толщину, пока, наконец, не станет настолько тонкой, что кажется, будто она разрывается только в одной точке; и при их разделении внешние части разрываются первыми друг от друга, а затем более внутренние части последовательно одна за другой. В воске есть еще большая степень твердости. Ибо когда мы хотим оторвать одну его часть от другой, мы сначала делаем всю массу тоньше, прежде чем сможем разорвать ее. И чем тверже что-либо, что мы хотим сломать, тем большую силу мы должны приложить к этому. Поэтому, если мы перейдем к более твердым вещам, таким как веревки, дерево, металлы, камни и т. д., разум побуждает нас верить, что то же самое, хотя и не всегда ощутимо, будет обязательно происходить; и что даже самые твердые вещи разрываются таким же образом, а именно, путем нарушения их непрерывности, начатого на внешней поверхности и последовательно переходящего к внутренним частям. Подобным образом, когда части тел должны быть разделены не путем разрывания, а путем их ломания, первое разделение будет обязательно на выпуклой поверхности изогнутой части тела, а затем на вогнутой поверхности. Ибо при всяком изгибании на выпуклой поверхности существует стремление частей удалиться друг от друга, а на вогнутой поверхности — проникнуть друг в друга.

Когда это хорошо понято, можно дать причину того, как два тела, которые соприкасаются одной общей поверхностью, могут быть силой разделены без введения пустоты; хотя Лукреций думал иначе, полагая, что такое разделение является сильным доказательством пустоты. Ибо если мраморная колонна подвешена за одно из своих оснований, если она достаточно длинна, она под собственным весом будет разорвана; и все же из этого не обязательно следует, что должна быть пустота, поскольку нарушение ее непрерывности может начаться на окружности и последовательно перейти к ее середине.

A third cause of hardness, from heat.

9. Другая причина твердости в некоторых вещах может быть такой. Если мягкое тело состоит из многих твердых частиц, которые из-за примеси многих других жидких частиц сцепляются лишь слабо, эти жидкие части, как было показано в последней статье главы XXI, будут испаряться; благодаря чему каждая твердая частица будет прикладываться к следующей за ней по большей поверхности, и, следовательно, они будут сцепляться более тесно друг с другом, то есть вся масса будет сделана тверже.

A fourth cause of hardness, from the motion of atoms enclosed in a narrow space.

10. Опять же, в некоторых вещах твердость может быть создана до определенной степени таким образом. Когда какая-либо жидкая субстанция имеет в себе определенные очень малые тела, смешанные с ней, которые, будучи движимы своим собственным простым движением, вносят подобное движение в части жидкой субстанции, и это происходит в малом замкнутом пространстве, как в полости маленькой сферы или очень тонкой трубки, если движение будет бурным и будет большое количество этих малых замкнутых тел, произойдут две вещи: во-первых, жидкая субстанция будет иметь стремление расширяться сразу во все стороны; во-вторых, если эти малые тела нигде не могут выйти, то из их отражения последует, что движение частей замкнутой жидкой субстанции, которое было бурным прежде, теперь будет гораздо более бурным. Поэтому, если какая-либо частица этой жидкой субстанции будет затронута и сжата каким-либо внешним движителем, она не сможет уступить иначе, как при приложении очень ощутимой силы. Поэтому жидкая субстанция, которая замкнута и так движется, имеет некоторую степень твердости. Теперь большая и меньшая степень твердости зависит от количества и скорости этих малых тел, а также от узости места, вместе взятых.

How hard things are softened.

Такие вещи, которые делаются твердыми внезапным жаром, а именно те, которые закаляются огнем, обычно сводятся к своей прежней мягкой форме путем вымачивания. Ибо огонь закаляет путем испарения, и поэтому, если испарившаяся влага будет восстановлена снова, прежняя природа и форма восстанавливаются вместе с ней. И такие вещи, которые заморожены холодом, если ветер, которым они были заморожены, изменится на противоположный, они будут оттаяны снова, если только они не приобрели привычку к новому движению или стремлению путем долгого пребывания в этой твердости. И недостаточно для вызова оттаивания того, чтобы было прекращение замораживающего ветра; ибо устранение причины не уничтожает произведенный эффект; но оттаивание также должно иметь свою собственную причину, а именно, противоположный ветер, или, по крайней мере, ветер, противоположный в некоторой степени. И это мы находим истинным по опыту. Ибо если лед положить в место, настолько хорошо закрытое, что движение воздуха не может добраться до него, этот лед останется неизменным, хотя место не будет ощутимо холодным.

Whence proceeds the spontaneous restitution of things bent.

12. Из твердых тел некоторые могут явно изгибаться; другие нет, но ломаются в самый первый момент их изгибания. И из таких тел, которые могут явно изгибаться, некоторые, будучи согнутыми, как только они освобождаются, восстанавливают себя в прежнее положение; другие остаются согнутыми. Теперь, если спросить о причине этого восстановления, я скажу, что она может быть такой, а именно, что частицы согнутого тела, пока оно удерживается согнутым, тем не менее сохраняют свое движение; и этим движением они восстанавливают его, как только удалена сила, которой оно было согнуто. Ибо когда что-либо согнуто, как стальная пластина, и, как только сила удалена, восстанавливает себя снова, очевидно, что причина его восстановления не может быть отнесена к окружающему воздуху; и ее нельзя отнести к удалению силы, которой оно было согнуто; ибо в вещах, которые находятся в покое, устранение препятствий не является достаточной причиной их будущего движения; так как нет другой причины движения, кроме движения. Причина, следовательно, такого восстановления находится в частях самой стали. Поэтому, пока она остается согнутой, в частях, из которых она состоит, есть некоторое движение, хотя и невидимое; то есть некоторое стремление, по крайней мере, в ту сторону, по которой должно быть произведено восстановление; и поэтому это стремление всех частей вместе является первым началом восстановления; так что препятствие будучи удаленным, то есть сила, которой она удерживалась согнутой, она будет восстановлена снова. Теперь движение частей, которым это делается, есть то, что я назвал простым движением, или движением, возвращающимся в себя. Когда, следовательно, при изгибании пластины концы сближаются, с одной стороны происходит взаимное сжатие частей; которое сжатие есть одно стремление, противоположное другому стремлению: а с другой стороны — растяжение частей. Стремление, следовательно, частей с одной стороны направлено к восстановлению пластины от середины к концам; а с другой стороны — от концов к середине. Поэтому препятствие будучи удаленным, это стремление, которое является началом восстановления, восстановит пластину в прежнее положение. И таким образом я дал возможную причину, почему некоторые тела, когда они согнуты, восстанавливают себя снова; что и требовалось сделать.

Что касается камней, поскольку они создаются путем нарастания многих очень твердых частиц внутри Земли; которые частицы не имеют большого сцепления, то есть касаются друг друга на малой широте, и, следовательно, допускают многие частицы воздуха; должно быть так, что при их изгибании их внутренние части не будут легко сжаты по причине их твердости. И потому что их сцепление не прочно, как только внешние твердые частицы разъединяются, эфирные части будут обязательно вырываться, и так тело будет внезапно сломано.

Diaphanous and opacous, what they are, and whence.

13. Те тела называются прозрачными, на которые, пока лучи светящегося тела воздействуют, действие каждого из этих лучей распространяется в них таким образом, что они все еще сохраняют тот же порядок между собой или инверсию этого порядка; и поэтому тела, которые являются совершенно прозрачными, также являются совершенно однородными. Напротив, непрозрачное тело — это то, которое по причине своей неоднородной природы посредством бесчисленных отражений и преломлений в частицах различных фигур и неравной твердости ослабляет лучи, падающие на него, прежде чем они достигнут глаза. И из прозрачных тел некоторые сделаны такими природой с самого начала; как субстанция воздуха и воды, и, возможно, также некоторые части камней, если только эти также не являются водой, которая была долго заморожена. Другие сделаны такими силой тепла, которое собирает однородные тела. Но такие, которые сделаны прозрачными таким образом, состоят из частей, которые были прежде прозрачными.

The cause of lightning and thunder.

14. Каким образом облака создаются движением Солнца, поднимающим частицы воды из моря и других влажных мест, было объяснено в главе XXVI. Также как облака становятся замороженными, было показано выше в 7-й статье. Теперь из того, что воздух может быть заключен как бы в пещеры и сжат все больше и больше встречей восходящих и нисходящих облаков, может быть выведена возможная причина грома и молнии. Ибо видя, что воздух состоит из двух частей, одна — эфирная, которая не имеет собственного движения, как вещь, делимая на наименьшие части; другая — твердая, а именно, состоящая из многих твердых атомов, которые имеют каждый из них очень быстрое простое движение своего собственного: пока облака своей встречей все больше и больше сужают такие полости, которые они перехватывают, эфирные части будут проникать и проходить сквозь их водянистую субстанцию; но твердые части будут тем временем более сжаты вместе и давить друг на друга; и, следовательно, по причине их бурных движений они будут иметь стремление отскочить друг от друга. Всякий раз, следовательно, когда сжатие достаточно велико, и вогнутые части облаков, по причине, которую я уже привел, заморожены в лед, облако будет обязательно разорвано; и это разрывание облака производит первый удар грома. Впоследствии воздух, который был заперт, прорвавшись теперь, производит сотрясение воздуха снаружи, и отсюда происходит рев и ропот, который следует; и как первый удар, так и ропот, который следует за ним, создают тот шум, который называется громом. Также от того же воздуха, прорывающегося сквозь облака и с сотрясением падающего на глаз, происходит то действие на наш глаз, которое вызывает в нас восприятие того света, который мы называем молнией. Таким образом, я дал возможную причину грома и молнии.

Whence it proceeds that clouds can fall again, after they are once elevated and frozen.

15. Но если пары, которые подняты в облака, снова стекаются в воду или замораживаются в лед, откуда это, видя, что и лед, и вода тяжелы, что они удерживаются в воздухе? Или скорее, какова может быть причина того, что, будучи однажды поднятыми, они падают вниз снова? Ибо нет сомнения, что та же сила, которая могла поднять эту воду, могла также удерживать ее там. Почему, следовательно, будучи однажды поднятой, она падает снова? Я говорю, это происходит от того же простого движения Солнца, как то, что пары вынуждены подниматься, так и то, что вода, собранная в облака, вынуждена опускаться. Ибо в главе XXI, статье 11, я показал, как пары поднимаются; и в той же главе, статье 5, я также показал, как тем же движением однородные тела собираются, а неоднородные рассеиваются; то есть как такие вещи, которые имеют сходную природу с природой Земли, гонятся к Земле; то есть какова причина спуска тяжелых тел. Теперь, если действие Солнца затруднено в поднятии паров и совсем не затруднено в их сбрасывании вниз, вода будет опускаться. Но облако не может затруднить действие Солнца в заставлении вещей земной природы опускаться к Земле, хотя оно может затруднить его в заставлении паров подниматься. Ибо нижняя часть толстого облака настолько покрыта его верхней частью, что она не может получить то действие Солнца, которым пары переносятся вверх; потому что пары поднимаются постоянной ферментацией воздуха, или разделением его наименьших частей друг от друга, что гораздо слабее, когда толстое облако interposed, чем когда небо ясное. И поэтому, всякий раз, когда облако сделано достаточно толстым, вода, которая не хотела опускаться прежде, будет тогда опускаться, если только она не удерживается агитацией ветра. Таким образом, я представил возможную причину, как того, почему облака могут удерживаться в воздухе, так и того, почему они могут падать вниз снова к Земле; что и было предложено сделать.

How it could be that the moon was eclipsed, when she was not diametrically opposite to the sun.

Допуская, что облака могут быть заморожены, неудивительно, если Луна была видна затменной в такое время, когда она была почти на два градуса выше горизонта, Солнце в то же время появлялось на горизонте; ибо такое затмение наблюдалось Местлином, в Тюбингене, в 1590 году. Ибо могло случиться, что замороженное облако было тогда interposed между Солнцем и глазом наблюдателя. И если это было так, Солнце, которое было тогда почти на два градуса ниже горизонта, могло казаться находящимся в нем, по причине прохождения его лучей сквозь лед. И следует отметить, что те, кто приписывает такие преломления атмосфере, не могут приписать ей столь большое преломление, как это. Поэтому не атмосфера, а либо вода в непрерывном теле, либо лед, должны быть причиной этого преломления.

By what means many suns may appear at once.

17. Опять же, допуская, что в облаках может быть лед, не будет больше чудом, что многие солнца иногда появлялись одновременно. Ибо зеркала могут быть так расположены, чтобы отражениями показывать один и тот же объект во многих местах. И не могут ли так много замороженных облаков служить столькими же зеркалами? И не могут ли они быть удобно расположены для этой цели? Кроме того, количество появлений может быть увеличено также преломлениями; и поэтому было бы большим чудом для меня, если бы такие явления, как эти, никогда не случались.

И если бы не тот один феномен новой звезды, которая была видна в Кассиопее, я бы подумал, что кометы создаются таким же образом, а именно, парами, извлеченными не только из Земли, но и из остальных планет также, и замороженными в одно непрерывное тело. Ибо я мог бы очень хорошо отсюда дать причину как их волос, так и их движений. Но видя, что та звезда оставалась шестнадцать целых месяцев в том же месте среди неподвижных звезд, я не могу поверить, что материя ее была льдом. Поэтому я оставляю другим исследование причины комет; относительно которых ничего, что было до сих пор опубликовано, кроме простых историй о них, не стоит рассмотрения.

Of the heads of rivers.

18. Истоки рек могут быть выведены из дождевой воды или из талых снегов, очень легко; но из других причин, очень трудно, или вовсе нет. Ибо как дождевая вода, так и талые снега стекают вниз по склонам гор; и если они спускаются только по внешней поверхности, ливни или сами снега могут считаться источниками или фонтанами; но если они входят в Землю и спускаются внутри нее, тогда, где бы они ни прорывались, там их источники. И как эти источники создают малые потоки, так многие малые потоки, стекаясь вместе, создают реки. Теперь, никогда не было найдено ни одного источника, кроме как там, где вода, которая текла к нему, была либо дальше, либо, по крайней мере, так же далеко от центра Земли, как сам источник. И тогда как было возражено великим философом, что на вершине горы Сени, которая отделяет Савойю от Пьемонта, берет начало река, которая течет вниз мимо Сузы; это неправда. Ибо есть выше той реки, на две мили в длину, очень высокие холмы с обеих сторон, которые почти постоянно покрыты снегом; с которых бесчисленные маленькие потоки, стекая вниз, очевидно снабжают ту реку водой, достаточной для ее величины.

ГЛАВА XXIX. О ЗВУКЕ, ЗАПАХЕ, ВКУСЕ И ОСЯЗАНИИ.

1. Определение звука и различия звуков. 2. Причина степеней звуков. 3. Различие между звуками высокими и низкими. 4. Различие между чистыми и хриплыми звуками, откуда оно. 5. Звук грома и пушки, откуда он происходит. 6. Откуда происходит то, что трубы, при дуновении в них, имеют чистый звук. 7. Об отраженном звуке. 8. Откуда происходит то, что звук является равномерным и продолжительным. 9. Как звук может быть поддержан и затруднен ветром. 10. Не только воздух, но и другие тела, как бы тверды они ни были, передают звук. 11. Причины низких и высоких звуков, и созвучия. 12. Феномены для обоняния. 13. Первый орган и генерация обоняния. 14. Как оно поддерживается жаром и ветром. 15. Почему такие тела меньше всего пахнут, которые имеют наименьшую примесь воздуха в них. 16. Почему пахучие вещи становятся более пахучими от того, что их раздавливают. 17. Первый орган вкуса; и почему некоторые вкусы вызывают тошноту. 18. Первый орган осязания; и как мы приходим к знанию таких объектов, которые являются общими для осязания и других чувств.

The definition of sound, and the distinction of sounds.

Звук есть чувство, порожденное действием среды, когда ее движение достигает уха и остальных органов чувств. Теперь, движение среды не есть сам звук, а причина его. Ибо фантазм, который создается в нас, то есть реакция органа, есть собственно то, что мы называем звуком.

Основные различия звуков таковы: во-первых, что один звук сильнее, другой слабее. Во-вторых, что один более низкий, другой более высокий. В-третьих, что один чистый, другой хриплый. В-четвертых, что один первичный, другой производный. В-пятых, что один равномерный, другой нет. В-шестых, что один более долговечный, другой менее долговечный. Из всех которых различий члены могут быть подразделены на части, различимые почти бесконечно. Ибо разнообразие звуков кажется не намного меньшим, чем разнообразие цветов.

Подобно зрению, слух порождается движением среды, но не таким же образом. Ибо зрение происходит от давления, то есть от стремления; в котором нет ощутимого продвижения какой-либо из частей среды; но одна часть, побуждая или толкая другую, распространяет это действие последовательно на любое расстояние; тогда как движение среды, которым создается звук, есть удар. Ибо когда мы слышим, барабанная перепонка уха, которая является первым органом слуха, ударяется; и барабанная перепонка будучи ударенной, мягкая мозговая оболочка также сотрясается, и с ней артерии, которые вставлены в нее; посредством чего действие, будучи распространенным к самому сердцу, реакцией сердца создается фантазм, который мы называем звуком; и потому что реакция стремится наружу, мы думаем, что он находится снаружи.

The cause of the degrees of sounds.

2. И видя, что эффекты, произведенные движением, больше или меньше, не только когда скорость больше или меньше, но также когда тело имеет большую или меньшую величину, хотя скорость та же; звук может быть больше или меньше обоими этими способами. И потому что ни самая большая, ни самая малая величина или скорость не могут быть даны, может случиться, что либо движение может быть столь малой скорости, либо само тело столь малой величины, чтобы не произвести звука вовсе; либо любое из них может быть столь велико, чтобы отнять способность чувства, повредив орган.

Отсюда могут быть выведены возможные причины силы и слабости звуков в следующих феноменах.

Первый из которых таков, что если человек говорит через трубу, которая имеет один конец, приложенный ко рту говорящего, а другой — к уху слушающего, звук придет сильнее, чем он пришел бы через открытый воздух. И причина, не только возможная, но верная и очевидная причина такова, что воздух, который движется первым дыханием и переносится вперед в трубе, не рассеивается, как он рассеялся бы в открытом воздухе, и, следовательно, доставляется к уху почти с той же скоростью, с которой он был впервые выдохнут. Тогда как в открытом воздухе первое движение рассеивает себя во все стороны в круги, такие как те, которые создаются бросанием камня в стоячую воду, где скорость становится все меньше и меньше по мере того, как волнение продвигается все дальше и дальше от начала своего движения.

Второй таков, что если труба короткая, и конец, который приложен ко рту, шире, чем тот, который приложен к уху, так также звук будет сильнее, чем если бы он был сделан в открытом воздухе. И причина та же, а именно, что насколько шире конец трубы менее удален от начала звука, настолько меньше рассеивание.

Третий, что легче тому, кто находится внутри комнаты, слышать то, что говорится снаружи, чем тому, кто стоит снаружи, слышать то, что говорится внутри. Ибо окна и другие входы движущегося воздуха подобны широкому концу трубы. И по этой причине некоторые существа кажутся слышащими лучше, потому что природа даровала им широкие и вместительные уши.

Четвертый таков, что хотя тот, кто стоит на морском берегу, не может слышать столкновение двух ближайших волн, тем не менее он слышит рев всего моря. И причина кажется такова, что хотя отдельные столкновения движут орган, они не являются по отдельности достаточно большими, чтобы вызвать чувство; тогда как ничто не мешает тому, чтобы все они вместе могли создать звук.

The difference between sounds acute and grave.

3. Что тела, когда они ударяются, издают одни более низкий, другие более высокий звук, причина может состоять в различии времен, в которые части, ударенные и вытесненные из своих мест, возвращаются в те же места снова. Ибо в некоторых телах восстановление двинутых частей быстрое, в других медленное. И это также может быть причиной, почему части органа, которые движутся средой, возвращаются к своему покою снова, иногда раньше, иногда позже. Теперь, насколько вибрации или взаимные движения частей более часты, настолько весь звук, сделанный в то же время одним ударом, состоит из большего количества, и, следовательно, из меньших частей. Ибо что является высоким в звуке, то же самое является тонким в материи; и оба они, а именно высокий звук и тонкая материя, состоят из очень малых частей, та — времени, а эта — самой материи.

Третье различие звуков не может быть понято достаточно ясно именами, которые я использовал, чистый и хриплый, ни какими-либо другими, которые я знаю; и поэтому необходимо объяснить их примерами. Когда я говорю хриплый, я понимаю шепот и шипение, и все, что подобно им, под каким бы названием оно ни выражалось. И звуки этого рода кажутся сделанными силой некоторого сильного ветра, бороздящего, а не ударяющего такие твердые тела, на которые он падает. Напротив, когда я использую слово чистый, я не понимаю такой звук, который может быть легко и отчетливо услышан; ибо так шепот был бы чистым; но такой, который сделан чем-то, что сломано, и такой, который есть гам, звон, звук трубы и т. д., и чтобы выразить это значительно одним словом, шум. И видя, что никакой звук не сделан иначе, как стечением двух тел по меньшей мере, которым стечением необходимо, чтобы была как реакция, так и действие, то есть одно движение, противоположное другому; следует, что в зависимости от того, как пропорция между этими двумя противоположными движениями диверсифицирована, так звуки, которые сделаны, будут отличаться друг от друга. И всякий раз, когда пропорция между ними настолько велика, что движение одного из тел нечувствительно, если сравнить с движением другого, тогда звук не будет того же рода; как когда ветер падает очень косо на твердое тело, или когда твердое тело переносится быстро сквозь воздух; ибо тогда сделан тот звук, который я называю хриплым звуком, по-гречески συριγμος. Поэтому дыхание, выдуваемое с силой изо рта, делает шипение, потому что при выходе оно бороздит поверхность губ, чья реакция против силы дыхания нечувствительна. И это причина, почему ветры имеют тот хриплый звук. Также если два тела, как бы тверды они ни были, трутся вместе без большого давления, они делают хриплый звук. И этот хриплый звук, когда он сделан, как я сказал, воздухом, бороздящим поверхность твердого тела, кажется ничем иным, как делением воздуха на бесчисленные и очень малые файлы. Ибо шероховатость поверхности, возвышениями своих бесчисленных частей, делит или режет на куски воздух, который скользит по ней.

The difference between clear & hoarse sounds, whence.

4. Шум, или то, что я называю чистым звуком, сделан двумя способами; один, двумя хриплыми звуками, сделанными противоположными движениями; другой, столкновением, или внезапным разрыванием двух тел, посредством чего их малые частицы приведены в движение, или, будучи уже в движении, внезапно восстанавливают себя снова; которое движение, делая впечатление на среду, распространяется к органу слуха. И видя, что есть в этом столкновении или разрывании стремление в частицах одного тела, противоположное стремлению частиц другого тела, будет также сделано в органе слуха подобное противопоставление стремлений, то есть движений; и, следовательно, звук, возникающий оттуда, будет сделан двумя противоположными движениями, то есть двумя противоположными хриплыми звуками в одной и той же части органа. Ибо, как я уже сказал, хриплый звук предполагает ощутимое движение только одного из тел. И это противопоставление движений в органе есть причина, почему два тела делают шум, когда они либо внезапно ударяются друг о друга, либо внезапно разрываются.

The sound of thunder and of a gun, whence it proceeds.

5. Это будучи допущено, и видя вместе с тем, что гром сделан бурным извержением воздуха из полостей замороженных облаков, причина большого шума или удара может быть внезапным разрыванием льда. Ибо в этом действии необходимо, чтобы было не только большое сотрясение малых частиц сломанных частей, но также чтобы это сотрясение, будучи передано воздуху, было перенесено к органу слуха и сделало впечатление на него. И тогда, от первой реакции органа происходит тот первый и величайший звук, который сделан столкновением частей, пока они восстанавливают себя. И видя, что есть во всяком сотрясении возвратно-поступательное движение вперед и назад в частях ударенных; ибо противоположные движения не могут погасить друг друга в одно мгновение, как я показал в 11-й статье главы VIII; следует по необходимости, что звук будет как продолжаться, так и становиться все слабее и слабее, пока, наконец, действие возвратно-поступательного воздуха не станет настолько слабым, чтобы быть нечувствительным. Таким образом, возможная причина дана как первого яростного шума грома, так и ропота, который следует за ним.

Причина большого звука от выстреленного орудия подобна причине удара грома. Ибо порох, будучи воспламенен, в своем стремлении выйти наружу, пытается во все стороны стенки металла таким образом, что он расширяет окружность вдоль всего пути, и вместе с тем укорачивает ось; так что пока орудие находится в процессе выстрела, оно сделано как шире, так и короче, чем оно было прежде; и поэтому также немедленно после того, как оно выстрелено, его ширина будет уменьшена, а его длина увеличена снова восстановлением всех частиц материи, из которых оно состоит, в их прежнее положение. И это сделано такими движениями частей, которые не только очень бурны, но также противоположны друг другу; которые движения, будучи переданы воздуху, делают впечатление на орган, и реакцией органа создают звук, который длится некоторое время; как я уже показал в этой статье.

Замечу попутно, поскольку это не относится к данному месту, что возможная причина, по которой пушка дает отдачу при выстреле, может заключаться в следующем: будучи сначала раздутой силой огня, а затем восстанавливаясь, она порождает этим восстановлением стремление со всех сторон к полости; следовательно, это стремление направлено в те части, которые прилегают к казенной части; поскольку же она не полая, а сплошная, действие восстановления задерживается ею и отклоняется в длину; таким образом, и казенная часть, и вся пушка отбрасываются назад; и тем сильнее, чем больше сила, с которой часть, прилегающая к казенной части, восстанавливается до своего прежнего положения, то есть, чем тоньше эта часть. Причина, следовательно, того, почему пушки дают отдачу, одни больше, другие меньше, заключается в различии их толщины по направлению к казенной части; и чем больше эта толщина, тем меньше они дают отдачу, и наоборот.

Whence it is that pipes, by blowing into them, have a clear sound.

6. Также причина, по которой звук трубы, издаваемый при вдувании в нее воздуха, тем не менее является чистым, та же, что и у звука, производимого столкновением. Ибо если дыхание при вдувании в трубу лишь слегка задевает ее вогнутую поверхность или падает на нее под очень острым углом падения, звук будет не чистым, а хриплым. Но если угол достаточно велик, перкуссия, производимая о одну из полых сторон, будет отражаться на противоположную сторону; и так последовательные отражения будут происходить от стороны к стороне, пока, наконец, вся вогнутая поверхность трубы не придет в движение; это движение будет совершаться возвратно-поступательно, как при столкновении; и это возвратно-поступательное движение, распространяясь к органу слуха, вызовет в результате реакции органа чистый звук, подобный тому, который создается при столкновении или разрыве твердых тел.

Точно так же обстоит дело со звуком человеческого голоса. Ибо когда дыхание проходит без прерывания и лишь слегка касается полостей, через которые оно направляется, издаваемый им звук является хриплым. Но если при выходе оно сильно ударяется о гортань, тогда получается чистый звук, как в трубе. И поскольку одно и то же дыхание по-разному воздействует на нёбо, язык, губы, зубы и другие органы речи, звуки, на которые оно артикулируется, становятся отличными друг от друга.

Of reflected sound.

7. Я называю первичным звуком тот, который порождается движением от звучащего тела к органу слуха по прямой линии без отражения; и я называю отраженным звуком тот, который порождается одним или несколькими отражениями, будучи тем же самым, что мы называем эхом, и повторяется столько раз, сколько отражений происходит от объекта к уху. И эти отражения создаются холмами, стенами и другими сопротивляющимися телами, расположенными так, что они производят большее или меньшее количество отражений движения в зависимости от того, сколько их самих; и они делают их более или менее часто в зависимости от того, насколько они удалены друг от друга. Теперь причину обоих этих явлений следует искать в расположении отражающих тел, как это обычно делается в оптике. Ибо законы отражения одинаковы в обоих случаях, а именно: углы падения и отражения равны друг другу. Если, следовательно, в полом эллиптическом теле, внутренняя часть которого хорошо отполирована, или в двух прямых параболических телах, соединенных общим основанием, поместить звучащее тело в один из фокусов, а ухо — в другой, будет слышен звук, во много раз более сильный, чем на открытом воздухе; и это, как и воспламенение горючих предметов, помещенных в те же точки под воздействием солнечных лучей, являются следствиями одной и той же причины. Но поскольку видимый объект, помещенный в один из фокусов, не виден отчетливо в другом, так как каждая часть объекта, видимая по каждой линии, отраженной от вогнутой поверхности к глазу, создает путаницу в зрении, то и звук не слышится членораздельно и отчетливо, когда он доходит до уха по всем этим отраженным линиям. И это может быть причиной того, почему в церквях со сводчатыми крышами, хотя они не являются ни эллиптическими, ни параболическими, голос с кафедры слышится не так членораздельно, как если бы сводов не было вовсе, поскольку их форма не сильно отличается от указанных.

From whence it is that sound is uniform and lasting.

8. Что касается единообразия и длительности звуков, которые имеют одну общую причину, мы можем заметить, что тела, которые при ударе издают неравномерный или резкий звук, являются весьма гетерогенными, то есть состоят из частей, которые очень не похожи друг на друга как по форме, так и по твердости, каковыми являются дерево, камни и многие другие. Когда по ним ударяют, происходит сотрясение их внутренних частиц и их последующее восстановление. Но они не движутся одинаково и не оказывают одинакового действия друг на друга; некоторые из них отскакивают от удара, в то время как другие, уже завершившие свои отскоки, возвращаются; посредством чего они препятствуют и останавливают друг друга. И именно поэтому их движения не только неравномерны и резки, но и их возвратно-поступательные движения быстро затухают. Всякий раз, когда это движение распространяется к уху, издаваемый им звук является неравномерным и малой длительности. Напротив, если тело, по которому ударяют, не только достаточно твердо, но и состоит из частиц, подобных друг другу как по твердости, так и по форме, каковыми являются частицы стекла и металлов, которые, будучи сначала расплавленными, затем оседают и затвердевают, то издаваемый им звук, поскольку движения его частей и их возвратно-поступательные движения подобны и единообразны, будет единообразным и приятным, и будет более или менее продолжительным в зависимости от того, имеет ли ударяемое тело большую или меньшую величину. Возможной причиной, следовательно, единообразных и резких звуков, а также их большей или меньшей длительности, может быть одно и то же сходство или несходство внутренних частей звучащего тела как в отношении их формы, так и твердости.

Кроме того, если два плоских тела из одного и того же материала и одинаковой толщины издают единообразный звук, звук того тела, которое имеет большую протяженность в длину, будет слышен дольше. Ибо движение, которое в обоих из них берет свое начало от точки удара, должно распространяться в большем теле через большее пространство, и, следовательно, это распространение потребует больше времени; а значит, и части, которые движутся, потребуют больше времени для своего возвращения. Поэтому все возвратно-поступательные движения не могут быть завершены иначе как за большее время; и, будучи донесенными до уха, они сделают звук более продолжительным. И отсюда очевидно, что из твердых тел, издающих единообразный звук, дольше длится звук тех, которые являются круглыми и полыми, чем тех, которые являются плоскими, если они подобны во всех других отношениях. Ибо в круговых линиях действие, которое начинается в любой точке, не имеет по своей форме конца своего распространения, поскольку линия, по которой оно распространяется, возвращается к своему началу; так что форма не препятствует тому, чтобы движение могло иметь бесконечное продолжение. Тогда как в плоскости каждая линия имеет конечную величину, за пределами которой действие не может продолжаться. Если, следовательно, материал один и тот же, движение частей того тела, чья форма круглая и полая, будет длиться дольше, чем того, которое является плоским.

Также, если натянутая струна закреплена обоими концами на полом теле и по ней ударить, звук будет длиться дольше, чем если бы она не была так закреплена; потому что дрожание или возвратно-поступательное движение, которое она получает от удара, вследствие соединения передается полому телу; и это дрожание, если полое тело велико, будет длиться дольше по причине этой величины. Поэтому также, по вышеупомянутой причине, звук будет длиться дольше.

How sound may be helped and hindered by the wind.

9. В слухе происходит иначе, чем в зрении: действие среды усиливается ветром, когда он дует в ту же сторону, и ослабляется, когда он дует в противоположную. Причина этого не может проистекать ни из чего иного, кроме различного порождения звука и света. Ибо при порождении света ни одна из частей среды между объектом и глазом не перемещается со своих мест в другие места на заметное расстояние; но действие распространяется в невоспринимаемых пространствах; так что никакой встречный ветер не может уменьшить, а попутный — увеличить свет, если только он не настолько силен, чтобы удалить объект дальше или приблизить его к глазу. Ибо ветер, то есть движущийся воздух, не действует своим нахождением между объектом и глазом иначе, чем он действовал бы, если бы был неподвижным и спокойным. Ибо там, где давление постоянно, одна часть воздуха не успевает унестись, как другая, сменяя ее, получает то же самое впечатление, которое получила перед этим унесенная часть. Но при порождении звука первое столкновение или разрыв отбивает и вытесняет со своего места ближайшую часть воздуха, причем на значительное расстояние и со значительной скоростью; и по мере того, как круги становятся по мере своей удаленности все шире и шире, воздух, будучи все более рассеянным, также имеет свое движение все более ослабленным. Всякий раз, следовательно, когда воздух подвергается такому удару, что вызывает звук, если на него воздействует ветер, он переместит его ближе к уху, если дует в ту сторону, и дальше от него, если дует в противоположную; так что в зависимости от того, дует ли он от объекта или к нему, звук, который слышится, будет казаться исходящим из более близкого или более далекого места; и реакция, вследствие неравных расстояний, будет усиливаться или ослабляться.

Отсюда можно понять причину, почему голос тех, о ком говорят, что они говорят чревом, хотя он произносится вблизи, тем не менее слышится теми, кто ничего не подозревает, как если бы он доносился издалека. Ибо, не имея предварительной мысли о каком-либо определенном месте, из которого должен исходить голос, и судя по величине, если он слаб, они думают, что он доносится издалека, если силен — вблизи. Эти чревовещатели, следовательно, формируя свой голос не так, как другие, путем испускания дыхания, а путем втягивания его внутрь, делают его кажущимся малым и слабым; эта слабость голоса обманывает тех, кто не подозревает об уловке и не замечает усилия, которое они прилагают при разговоре; и поэтому, вместо того чтобы считать его слабым, они думают, что он доносится издалека.

Not only air, but other bodies, how hard soever they be, convey sound.

10. Что касается среды, которая передает звук, то это не только воздух. Ибо вода или любое другое тело, как бы твердо оно ни было, может быть этой средой. Ибо движение может распространяться непрерывно в любом твердом непрерывном теле; но по причине трудности, с которой движутся части твердых тел, движение при выходе из твердой материи производит лишь слабое впечатление на воздух. Тем не менее, если ударить по одному концу очень длинного и твердого бруса, а ухо приложить в то же время к другому концу, так что, когда действие выходит из бруса, воздух, по которому оно ударяет, может быть немедленно воспринят ухом и перенесен к барабанной перепонке, звук будет значительно сильным.

Точно так же, если ночью, когда прекращается всякий другой шум, который может помешать звуку, человек приложит ухо к земле, он услышит звук шагов прохожих, хотя и на большом расстоянии; потому что движение, которое они передают земле при ходьбе, распространяется к уху через самые верхние части земли, которые получают его от их ног.

The causes of grave and acute sounds, and of concent.

11. Я показал выше, что различие между низкими и высокими звуками состоит в том, что чем короче время, за которое совершаются возвратно-поступательные движения частей ударяемого тела, тем более высоким будет звук. Теперь, чем тяжелее или менее натянуто тело той же величины, тем дольше будут длиться возвратно-поступательные движения; и поэтому более тяжелые и менее натянутые тела, если они подобны во всех других отношениях, будут издавать более низкий звук, чем те, которые легче и сильнее натянуты.

Что касается созвучия звуков, то следует учитывать, что возвратно-поступательное движение или вибрация воздуха, посредством которой создается звук, после того как она достигла барабанной перепонки уха, запечатлевает подобную вибрацию на воздухе, заключенном внутри нее; посредством чего стороны барабанной перепонки внутри ударяются попеременно. Теперь созвучие двух звуков состоит в том, что барабанная перепонка получает свой звучащий удар от обоих звучащих тел в равные и одинаково частые промежутки времени; так что когда две струны совершают свои вибрации в одни и те же времена, созвучие, которое они производят, является самым изысканным из всех остальных. Ибо стороны барабанной перепонки, то есть органа слуха, будут ударяемы обеими этими вибрациями вместе одновременно, с той или другой стороны. Например, если две равные струны A B и C D ударяются вместе, и широты их вибраций E F и G H также равны, а точки E, G, F и H находятся на вогнутой поверхности барабанной перепонки, так что она получает удары от обеих струн вместе в E и G, и снова вместе в F и H, звук, который создается вибрациями каждой струны, будет настолько похож, что его можно принять за один и тот же звук, и он называется унисоном; что является величайшим созвучием. Далее, струна A B, сохраняя все еще свою прежнюю вибрацию E F, пусть струна C D будет натянута до тех пор, пока ее вибрация не станет вдвое быстрее, чем была прежде, и пусть E F будет разделена поровну в I. За какое время, следовательно, струна C D совершает одну часть своей вибрации от G до H, за то же время струна A B совершит одну часть своей вибрации от E до I; и за какое время струна C D совершит другую часть своей вибрации обратно от H до G, за то же время будет совершена другая часть вибрации струны A B от I до F. Но точки F и G находятся обе на сторонах органа, и поэтому они будут ударять по органу обе вместе, не при каждом ударе, а при каждом втором ударе. И это ближайшее к унисону созвучие, и создает тот звук, который называется октавой. Далее, вибрация струны A B остается все еще той же, что была, пусть C D будет натянута до тех пор, пока ее вибрация не станет быстрее, чем у струны A B, в пропорции 3 к 2, и пусть E F будет разделена на три равные части в K и L. За какое время, следовательно, струна C D совершает одну третью часть своей вибрации, которая есть от G до H, струна A B совершит одну третью часть своей вибрации, то есть две трети E F, а именно E L. И за какое время струна C D совершает другую третью часть своей вибрации, а именно H G, струна A B совершит другую третью часть своей вибрации, а именно от L до F, и обратно от F до L. Наконец, пока струна C D совершает последнюю третью часть своей вибрации, то есть от G до H, струна A B совершит последнюю третью часть своей вибрации от L до E. Но точки E и H находятся обе на сторонах органа. Поэтому, в каждый третий раз, орган будет ударяем вибрацией обеих струн вместе, и создаст то созвучие, которое называется квинтой.

Phenomena of smelling.

12. Для нахождения причины запахов я воспользуюсь свидетельством следующих явлений. Во-первых, что обонянию препятствует холод и помогает тепло. Во-вторых, что когда ветер дует от объекта, запах сильнее, и, наоборот, когда он дует от чувствующего существа к объекту, слабее; оба эти явления, по опыту, явно оказываются истинными у собак, которые следуют по следу зверей по запаху. В-третьих, что такие тела, которые менее проницаемы для жидкой среды, издают меньше запаха, чем те, которые более проницаемы; как можно видеть на камнях и металлах, которые по сравнению с растениями и живыми существами, и их частями, плодами и выделениями, имеют очень слабый запах или вовсе его не имеют. В-четвертых, что такие тела, которые по своей природе являются пахучими, становятся еще более пахучими, когда их разминают. В-пятых, что когда дыхание остановлено, по крайней мере у людей, ничего нельзя унюхать. В-шестых, что чувство обоняния также отнимается при затыкании ноздрей, хотя рот остается открытым.

The first organ and the generation of smelling.

13. Из пятого и шестого явлений очевидно, что первым и непосредственным органом обоняния является самая внутренняя кутикула ноздрей и та ее часть, которая находится ниже прохода, общего для ноздрей и нёба. Ибо когда мы вдыхаем воздух через ноздри, мы втягиваем его в легкие. То дыхание, следовательно, которое передает запахи, находится на пути, который проходит к легким, то есть в той части ноздрей, которая находится ниже прохода, через который проходит дыхание. Ибо ничего не ощущается по запаху ни за проходом дыхания внутри, ни вообще вне ноздрей.

И видя, что от разных запахов необходимо должно происходить некоторое изменение в органе, а всякое изменение есть движение; поэтому также необходимо, чтобы при обонянии части органа, то есть той внутренней кутикулы и нервов, которые в нее вставлены, должны были по-разному двигаться от разных запахов. И видя также, что было доказано, что ничто не может быть приведено в движение иначе как телом, которое уже движется и является смежным; и что нет другого тела, смежного с внутренней мембраной ноздрей, кроме дыхания, то есть втянутого воздуха, и таких маленьких твердых невидимых тел, если таковые имеются, которые перемешаны с воздухом; из этого необходимо следует, что причиной обоняния является либо движение этого чистого воздуха или эфирной субстанции, либо движение этих малых тел. Но это движение есть следствие, исходящее от объекта запаха, и, следовательно, либо весь объект целиком, либо его отдельные части должны необходимо двигаться. Теперь мы знаем, что пахучие тела создают запах, хотя весь их объем не движется. Поэтому причиной запаха является движение невидимых частей пахучего тела. И эти невидимые части либо выходят из объекта, либо, сохраняя свое прежнее положение с остальными частями, движутся вместе с ними, то есть они имеют простое и невидимое движение. Те, кто говорит, что из пахучего тела что-то выходит, называют это эффлювием; который эффлювий является либо эфирной субстанцией, либо малыми телами, которые перемешаны с ней. Но то, что все разнообразие запахов должно происходить от эффлювиев тех малых тел, которые перемешаны с эфирной субстанцией, совершенно невероятно по следующим соображениям: во-первых, что определенные мази, хотя и очень малые по количеству, тем не менее испускают очень сильные запахи, не только на большое расстояние, но и на долгое время, и их можно унюхать в каждой точке как этого места, так и времени; так что вышедшие части достаточны, чтобы заполнить в десять тысяч раз больше пространства, чем все пахучее тело способно заполнить; что невозможно. Во-вторых, что независимо от того, происходит ли этот выход с прямым или кривым движением, если бы такое же количество вытекало из любого другого пахучего тела с тем же движением, следовало бы, что все пахучие тела издавали бы один и тот же запах. В-третьих, что видя, что эти эффлювии имеют большую скорость движения (как очевидно из того, что зловонные запахи, исходящие из пещер, немедленно ощущаются на большом расстоянии), следовало бы, что, по причине того, что нет ничего, что препятствовало бы прохождению этих эффлювиев к органу, такого движения одного было бы достаточно, чтобы вызвать обоняние; что не так; ибо мы не можем вообще ничего унюхать, если не втягиваем дыхание через ноздри. Обоняние, следовательно, не вызывается эффлювием атомов; и, по той же причине, оно не вызывается эффлювием эфирной субстанции; ибо так мы также ощущали бы запах без втягивания нашего дыхания. Кроме того, эфирная субстанция, будучи одинаковой во всех пахучих телах, они всегда воздействовали бы на орган одинаковым образом; и, следовательно, запахи всех вещей были бы одинаковыми.

Остается, следовательно, что причина обоняния должна состоять в простом движении частей пахучих тел без какого-либо истечения или уменьшения их общей субстанции. И этим движением распространяется к органу, через промежуточный воздух, подобное движение, но не достаточно сильное, чтобы само по себе возбудить чувство без втягивания воздуха при дыхании. И это есть возможная причина обоняния.

How smelling is helped by heat and by wind.

14. Причина, почему обонянию препятствует холод и помогает тепло, может быть такой: тепло, как было показано в главе XXI, порождает простое движение; и поэтому также, где бы оно уже ни было, оно будет увеличивать его; и причина обоняния будучи увеличенной, сам запах также будет увеличен. Что касается причины, почему ветер, дующий от объекта, делает запах сильнее, она та же самая, по которой втягивание воздуха при дыхании делает то же самое. Ибо тот, кто втягивает воздух рядом с собой, втягивает с ним по последовательности тот воздух, в котором находится объект. Теперь, это движение воздуха есть ветер, и, когда другой ветер дует от объекта, будет увеличен им.

Why such bodies are least smelt, which have the least intermixture of air in them.

15. Что тела, которые содержат наименьшее количество воздуха, как камни и металлы, издают меньше запаха, чем растения и живые существа; причиной может быть то, что движение, которое вызывает обоняние, есть движение только жидких частей; которые части, если они имеют какое-либо движение от твердых частей, в которых они содержатся, они передают то же самое открытому воздуху, посредством которого оно распространяется к органу. Где, следовательно, нет жидких частей, как в металлах, или где жидкие части не получают движения от твердых частей, как в камнях, которые сделаны твердыми путем нарастания, там не может быть запаха. И поэтому также вода, части которой имеют мало или не имеют движения, не издает запаха. Но если та же вода, посредством семян и тепла солнца, будет вместе с частицами земли поднята в растение, и будет впоследствии выжата снова, она будет пахучей, как вино из виноградной лозы. И как вода, проходящая через растения, посредством движения частей тех растений делается пахучей жидкостью; так также из воздуха, проходящего через те же растения, пока они растут, делаются пахучие воздуха. И так также обстоит дело с соками и духами, которые рождаются в живых существах.

Why odorous things become more odorous, when bruised.

16. Что пахучие тела могут быть сделаны более пахучими путем измельчения, происходит от того, что, будучи разбитыми на многие части, которые все являются пахучими, воздух, который путем дыхания втягивается от объекта к органу, при своем прохождении касается всех тех частей и получает их движение. Теперь, воздух касается только поверхности; и тело, имеющее меньшую поверхность, пока оно цело, чем все его части вместе имеют после того, как оно сведено к порошку, следует, что то же самое пахучее тело издает меньше запаха, пока оно цело, чем оно будет делать после того, как оно разбито на меньшие части. И так много о запахах.

The first organ of tasting; and why some savours cause nauseousness.

17. Вкус следует за этим; чье порождение имеет то отличие от порождения зрения, слуха и обоняния, что посредством этих мы имеем чувство удаленных объектов; тогда как мы не пробуем ничего, кроме того, что является смежным и непосредственно касается либо языка, либо нёба, либо обоих. Откуда очевидно, что кутикулы языка и нёба и нервы, вставленные в них, являются первым органом вкуса; и (поскольку от сотрясения частей этих, следует необходимо сотрясение мягкой мозговой оболочки) что действие, переданное этим, распространяется к мозгу, и оттуда к самому дальнему органу, а именно, сердцу, в чьей реакции состоит природа чувства.

Теперь, что вкусы, так же как запахи, не только движут мозг, но и желудок также, как очевидно по отвращениям, которые вызываются ими обоими; те, кто рассматривает орган обоих этих чувств, не будут удивляться вовсе; видя, что язык, нёбо и ноздри имеют одну и ту же непрерывную кутикулу, происходящую от твердой мозговой оболочки.

И что эффлювии не имеют ничего общего в чувстве вкуса, очевидно из того, что нет вкуса, где орган и объект не являются смежными.

Каким разнообразием движений различные виды вкусов, которые бесчисленны, могут быть различены, я не знаю. Я мог бы с другими вывести их из различных фигур тех атомов, из которых состоит все, что может быть попробовано; или из различных движений, которые я мог бы, путем предположения, приписать тем атомам; предполагая, не без некоторого правдоподобия истины, что такие вещи, которые имеют сладкий вкус, имеют свои частицы, движущиеся медленным круговым движением, и их фигуры сферические; что делает их гладкими и приятными для органа; что горькие вещи имеют круговое движение, но сильное, и их фигуры полны углов, которыми они беспокоят орган; и что кислые вещи имеют прямое и возвратно-поступательное движение, и их фигуры длинные и малые, так что они режут и ранят орган. И подобным образом я мог бы назначить в качестве причин других вкусов такие различные движения и фигуры атомов, как могли бы по вероятности казаться истинными причинами. Но это было бы восстать от философии к гаданию.

The first organ of feeling; and how we came to the knowledge of such objects as are common to the touch and to other senses.

18. Посредством осязания мы чувствуем, какие тела холодные или горячие, хотя они удалены от нас. Другие, как твердые, мягкие, шероховатые и гладкие, мы не можем чувствовать, если они не являются смежными. Органом осязания является каждая из тех мембран, которые, будучи продолженными от мягкой мозговой оболочки, так распространены по всему телу, что никакая его часть не может быть нажата, чтобы мягкая мозговая оболочка не была нажата вместе с ней. Что бы, следовательно, ни нажимало ее, чувствуется как твердое или мягкое, то есть как более или менее твердое. И что касается чувства шероховатого, оно есть не что иное, как бесчисленные восприятия твердого и твердого, следующие друг за другом через короткие интервалы как времени, так и места. Ибо мы замечаем шероховатое и гладкое, как также величину и фигуру, не только посредством осязания, но также посредством памяти. Ибо хотя некоторые вещи ощущаются в одной точке, однако шероховатое и гладкое, как количество и фигура, не воспринимаются иначе как посредством потока точки, то есть, мы не имеем чувства их без времени; и мы не можем иметь чувства времени без памяти.

ГЛАВА XXX. О ТЯЖЕСТИ.

1. Толстое тело не содержит больше материи, если только не больше места, чем тонкое.— 2. Что спуск тяжелых тел происходит не от их собственного аппетита, но от некоторой силы земли.— 3. Различие тяжестей происходит от различия импульса, с которым элементы, из которых сделаны тяжелые тела, падают на землю.— 4. Причина спуска тяжелых тел.— 5. В какой пропорции спуск тяжелых тел ускоряется.— 6. Почему те, кто ныряет, не чувствуют, когда они под водой, веса воды над ними.— 7. Вес тела, которое плавает, равен весу такого количества воды, которое заполнило бы пространство, которое погруженная часть тела занимает внутри воды.— 8. Если тело легче воды, то как велико бы то тело ни было, оно может плавать на любом количестве воды, как мало бы оно ни было.— 9. Как вода может быть поднята и вытеснена из сосуда воздухом.— 10. Почему пузырь тяжелее, когда надут воздухом, чем когда он пуст.— 11. Причина выброса вверх тяжелых тел из ветрового ружья.— 12. Причина подъема воды в погодном стекле.— 13. Причина движения вверх в живых существах.— 14. Что есть в природе род тела тяжелее воздуха, который тем не менее не является по чувству отличимым от него.— 15. О причине магнитной добродетели.

A thick body doth not contain more matter, unless also more place, than a thin.

1. В главе XXI я определил толстое и тонкое, как то место, которое требуется, так, что под толстым означалось более сопротивляющееся тело, а под тонким — тело менее сопротивляющееся; следуя обычаю тех, кто до меня рассуждал о преломлении. Теперь, если мы рассмотрим истинное и вульгарное значение этих слов, мы найдем их именами собирательными, то есть именами множества; как толстое — то, которое занимает больше частей данного пространства, и тонкое — то, которое содержит меньше частей той же величины в том же пространстве, или в пространстве, равном ему. Толстое, следовательно, то же самое, что частое, как толстый отряд; и тонкое то же самое, что нечастое, как тонкий ряд, редкий домами; не то чтобы в одном месте больше материи, чем в другом равном месте, но большее количество некоторого названного тела. Ибо нет меньше материи или тела, неопределенно взятого, в пустыне, чем есть в городе; но меньше домов, или меньше людей. И нет в толстом ряду большего количества тела, но большее число солдат, чем в тонком. Поэтому множество и малочисленность частей, содержащихся внутри того же пространства, составляют плотность и редкость, независимо от того, отделены ли те части вакуумом или воздухом. Но рассмотрение этого не имеет большого значения в философии; и поэтому я оставляю его и перехожу к поиску причин тяжести.

That the descent of heavy bodies proceeds not from their own appetite, but from some power of the earth.

2. Теперь мы называем те тела тяжелыми, которые, если они не задержаны некоторой силой, переносятся к центру земли, и это по их собственному согласию, насколько мы можем по чувству заметить обратное. Некоторые философы, следовательно, были того мнения, что спуск тяжелых тел происходил от некоторого внутреннего аппетита, посредством которого, когда они были брошены вверх, они спускались снова, как движимые самими собой, к такому месту, которое было приятно их природе. Другие думали, что они притягиваются землей. К первым я не могу согласиться, потому что я думаю, что я уже достаточно ясно доказал, что не может быть начала движения, кроме как от внешнего и движимого тела; и следовательно, что все, что имеет движение или стремление к какому-либо месту, будет всегда двигаться или стремиться к тому же самому месту, если оно не задержано реакцией некоторого внешнего тела. Тяжелые тела, следовательно, будучи однажды брошены вверх, не могут быть брошены вниз снова иначе как внешним движением. Кроме того, видя, что неодушевленные тела не имеют аппетита вовсе, смешно думать, что по их собственному врожденному аппетиту они должны, чтобы сохранить себя, не понимая, что сохраняет их, покинуть место, в котором они находятся, и перенести себя в другое место; тогда как человек, который имеет и аппетит, и понимание, не может, для сохранения своей собственной жизни, поднять себя путем прыжка выше трех или четырех футов от земли. Наконец, приписывать созданным телам силу двигать самих себя, что это есть иное, чем сказать, что есть существа, которые не имеют зависимости от Творца? Ко вторым, кто приписывает спуск тяжелых тел притяжению земли, я соглашаюсь. Но каким движением это делается, еще не было объяснено никем. Я буду, следовательно, в этом месте сказать несколько о манере и о пути, которым земля своим действием притягивает тяжелые тела.

The difference of gravities proceedeth from the difference of the impetus with which the elements, whereof heavy bodies are made, do fall upon the earth.

3. Что посредством предположения простого движения в солнце, гомогенные тела собираются, а гетерогенные рассеиваются, уже было доказано в 5-й статье главы XXI. Я также предположил, что есть перемешанные с чистым воздухом некоторые малые тела, или, как другие называют их, атомы; которые по причине своей крайней малости невидимы, и отличающиеся друг от друга консистенцией, фигурой, движением и величиной; откуда происходит то, что некоторые из них собираются к земле, другие к другим планетам, и другие переносятся вверх и вниз в пространствах между. И видя, что те, которые переносятся к земле, отличаются друг от друга фигурой, движением и величиной, они будут падать на землю, некоторые с большим, другие с меньшим импульсом. И видя также, что мы вычисляем различные степени тяжести не иначе как по этому их падению на землю с большим или меньшим импульсом; следует, что мы заключаем те быть более тяжелыми, которые имеют больший импульс, и те быть менее тяжелыми, которые имеют меньший импульс. Наше исследование, следовательно, должно быть, какими средствами может произойти то, что из тел, которые спускаются сверху к земле, некоторые переносятся с большим, другие с меньшим импульсом; то есть, некоторые более тяжелы, чем другие. Мы должны также исследовать, какими средствами такие тела, которые оседают на землю, могут самой землей быть вынуждены подняться.

The cause of the descent of heavy bodies.

4. Пусть круг, проведенный через центр C (на рис. 2), будет большим кругом на поверхности Земли, проходящим через точки A и B. Пусть также любое тяжелое тело, например камень AD, будет помещено где-либо в плоскости экватора; и пусть оно будет мыслиться как брошенное вверх из AD перпендикулярно или перенесенное по любой другой линии в точку E, где оно, как предполагается, покоится. Следовательно, сколько бы места ни занимал камень в AD, столько же места он занимает теперь в E. А поскольку предполагается, что все пространство заполнено, пространство AD будет заполнено воздухом, который втекает в него сначала из ближайших мест Земли, а затем последовательно из более удаленных мест. Пусть вокруг центра C будет воображен круг, проведенный через E; и пусть плоское пространство, находящееся между поверхностью Земли и этим кругом, будет разделено на плоские сферы, равные и концентрические; из которых первой пусть будет та, что ограничена двумя периметрами, проходящими через A и D. Пока, следовательно, воздух, находящийся в первой сфере, заполняет место AD, сама сфера становится настолько меньше, и, следовательно, ее широта меньше, чем прямая линия AD. Поэтому необходимо, чтобы из сферы, находящейся непосредственно над ней, опустилось столько же воздуха. По той же причине произойдет опускание воздуха и из сферы, находящейся над той, и так далее, последовательно, из сферы, в которой камень покоится в E. Следовательно, опустится либо сам камень, либо такое же количество воздуха. И поскольку воздух вследствие суточного вращения Земли оттесняется легче, чем камень, воздух, находящийся в сфере, содержащей камень, будет вытеснен дальше вверх, чем камень. Но это, без допущения пустоты, невозможно, если только столько же воздуха не опустится в E из места, находящегося непосредственно над ним; когда это произойдет, камень будет вытеснен вниз. Таким образом, камень получает начало своего спуска, то есть своей тяжести. Более того, все, что однажды приведено в движение, будет двигаться непрерывно (как было показано в 19-й статье главы VIII) тем же путем и с той же скоростью, если только оно не будет замедлено или ускорено каким-либо внешним движителем. Теперь воздух, который является единственным телом, находящимся между Землей A и камнем E над ней, будет оказывать такое же действие в каждой точке прямой линии EA, какое он оказывает в E. Но он давил на камень в E; следовательно, он будет давить на него одинаково в каждой точке прямой линии EA. Поэтому камень будет опускаться от E к A с ускоренным движением. Возможной причиной спуска тяжелых тел под экватором является, следовательно, суточное движение Земли. И та же демонстрация будет верна, если камень поместить в плоскости любого другого круга, параллельного экватору. Но поскольку это движение из-за своей большей медленности имеет меньше силы для оттеснения воздуха в параллельных кругах, чем на экваторе, и вовсе не имеет силы на полюсах, можно с полным основанием полагать (ибо это определенное следствие), что тяжелые тела опускаются со все меньшей и меньшей скоростью по мере удаления от экватора; и что на самих полюсах они либо не будут опускаться вовсе, либо не будут опускаться вдоль оси; что, истинно это или ложно, должен определить опыт. Однако провести такой эксперимент трудно, как потому, что время их спуска невозможно легко измерить с достаточной точностью, так и потому, что места вблизи полюсов недоступны. Тем не менее, мы знаем, что чем ближе мы подходим к полюсам, тем крупнее хлопья падающего снега; и чем быстрее опускаются такие тела, которые являются жидкими и рассеиваемыми, тем мельче частицы, на которые они распадаются.

In what proportion the descent of heavy bodies is accelerated.

5. Предполагая, следовательно, это причиной спуска тяжелых тел, следует, что их движение будет ускоряться таким образом, что пространства, проходимые ими за равные промежутки времени, будут относиться друг к другу так же, как нечетные числа, следующие в порядке от единицы. Ибо если прямая линия EA будет разделена на любое число равных частей, тяжелое тело при спуске, вследствие постоянного действия суточного движения, будет получать от воздуха в каждый из этих промежутков времени, в каждой отдельной точке прямой линии EA, отдельный новый и равный импульс; и, следовательно, в каждый из этих промежутков времени оно будет приобретать отдельную и равную степень скорости. И отсюда следует, согласно тому, что Галилей доказал в своих «Диалогах о движении», что тяжелые тела опускаются за равные промежутки времени с такими разностями проходимых пространств, которые равны разностям квадратных чисел, следующих одно за другим от единицы; каковые квадратные числа суть 1, 4, 9, 16 и т. д., их разности суть 3, 5, 7 и т. д.; то есть нечетные числа, следующие одно за другим от единицы. Против этой причины тяжести, которую я привел, возможно, будет возражено, что если тяжелое тело поместить на дно какого-либо полого цилиндра из железа или адаманта, и дно повернуть вверх, то тело опустится, хотя воздух сверху не может давить на него, тем более ускорять его движение. Но следует учесть, что не может быть цилиндра или пещеры, которые не поддерживались бы Землей, и, будучи так поддерживаемы, они вместе с Землей переносятся ее суточным движением. Ибо таким образом дно цилиндра будет подобно поверхности Земли; и, оттесняя ближайший и самый нижний воздух, оно заставит самый верхний воздух давить на тяжелое тело, находящееся на вершине цилиндра, таким образом, как это было объяснено выше.

Why those that dive, do not, when they are under water, feel the weight of the water above them.

6. Поскольку тяжесть воды, как мы обнаруживаем на опыте, столь велика, многие задаются вопросом, почему те, кто ныряет, как бы глубоко они ни уходили под воду, совсем не чувствуют веса воды, которая лежит на них. И причина, по-видимому, заключается в том, что все тела, чем они тяжелее, тем с большим стремлением они стремятся вниз. Но тело человека тяжелее такого же количества воды, равного ему по величине, и поэтому стремление тела человека вниз больше, чем стремление воды. А поскольку всякое стремление есть движение, тело человека также будет переноситься ко дну с большей скоростью, чем такое же количество воды. Поэтому реакция со стороны дна больше; и стремление вверх равно стремлению вниз, независимо от того, давит ли вода на воду или на другое тело, которое тяжелее воды. И поэтому этими двумя противоположными равными стремлениями стремление в обоих направлениях в воде устраняется; и, следовательно, те, кто ныряет, совсем не испытывают давления с ее стороны.

Следствие. Отсюда также очевидно, что вода в воде не имеет никакого веса, потому что все части воды, как части сверху, так и части, находящиеся непосредственно под ними, стремятся ко дну с равным стремлением и по одним и тем же прямым линиям.

The weight of a body that floateth, is equal to the weight of so much water as would fill the space which the immersed part of the body takes up within the water.

7. Если тело плавает на воде, вес этого тела равен весу такого количества воды, которое заполнило бы место, занимаемое погруженной частью тела внутри воды.

Пусть EF (на рис. 3) будет телом, плавающим в воде ABCD; и пусть часть E будет над водой, а другая часть F — под водой. Я утверждаю, что вес всего тела EF равен весу такого количества воды, которое вместит пространство F. Ибо, видя, что вес тела EF вытесняет воду из пространства F и помещает ее на поверхность AB, где она давит вниз, следует, что от сопротивления дна также возникнет стремление вверх. И видя опять, что этим стремлением воды вверх тело EF поднимается, следует, что если стремление тела вниз не равно стремлению воды вверх, то либо все тело EF вследствие этого неравенства их стремлений или моментов будет поднято из воды, либо оно опустится на дно. Но предполагается, что оно стоит так, что ни поднимается, ни опускается. Следовательно, существует равновесие между двумя стремлениями; то есть вес тела EF равен весу такого количества воды, которое вместит пространство F; что и требовалось доказать.

If a body be lighter than water, then how big soever that body be, it may float upon any quantity of water, how little soever.

8. Отсюда следует, что любое тело, какой бы величины оно ни было, при условии, что оно состоит из материи, менее тяжелой, чем вода, может тем не менее плавать на любом количестве воды, как бы мало оно ни было.

Пусть ABCD (на рис. 4) будет сосудом; и пусть в нем находится тело EFGH, состоящее из материи, которая менее тяжела, чем вода; и пусть пространство AGCF будет заполнено водой. Я утверждаю, что тело EFGH не опустится на дно DC. Ибо, видя, что материя тела EFGH менее тяжела, чем вода, если бы все пространство вне ABCD было заполнено водой, то все же некоторая часть тела EFGH, например EFIK, находилась бы над водой; и вес такого количества воды, которое заполнило бы пространство IGHK, был бы равен весу всего тела EFGH; и, следовательно, GH не коснулось бы дна DC. Что касается стенок сосуда, то не имеет значения, твердые они или жидкие; ибо они служат лишь для ограничения воды; что может быть сделано так же хорошо водой, как и любой другой материей, какой бы твердой она ни была; и вода вне сосуда ограничена где-то так, что она не может распространяться дальше. Часть, следовательно, EFIK будет выступать над водой AGCF, которая содержится в сосуде. Поэтому тело EFGH также будет плавать на воде AGCF, как бы мало этой воды ни было; что и требовалось доказать.

How water may be lifted up and forced out of a vessel by air.

9. В 4-й статье главы XXVI приводится для доказательства пустоты опыт с водой, заключенной в сосуде; эта вода при открытии отверстия сверху выбрасывается вверх под действием импульса воздуха. Спрашивается, следовательно, видя, что вода тяжелее воздуха, как это может происходить. Пусть будет рассмотрен второй рисунок той же главы XXVI, где вода с большой силой впрыскивается шприцем в пространство FGB. При этом впрыскивании воздух (но чистый воздух) выходит с той же силой из сосуда через впрыснутую воду. Но что касается тех малых тел, которые я ранее предполагал смешанными с воздухом и движущимися простым движением, то они не могут вместе с чистым воздухом проникнуть в воду; но, оставаясь позади, они неизбежно сжимаются в более узкое место, а именно в пространство, которое находится над водой FG. Движения, следовательно, этих малых тел будут все менее и менее свободными, чем больше количество впрыснутой воды; так что от их движений, при которых они сталкиваются друг с другом, эти малые тела будут взаимно сжимать друг друга и иметь постоянное стремление восстановить свою свободу и подавить воду, которая им мешает. Поэтому, как только отверстие сверху открывается, вода, которая находится ближе всего к нему, будет иметь стремление подняться и поэтому неизбежно выйдет наружу. Но она не может выйти, если в то же время не войдет столько же воздуха; и поэтому и вода выйдет, и воздух войдет, пока те малые тела, которые остались внутри сосуда, не восстановят свою прежнюю свободу движения; то есть пока сосуд снова не наполнится воздухом и не останется воды достаточной высоты, чтобы остановить проход в B. Таким образом, я показал возможную причину этого явления, а именно ту же, что и у грома. Ибо как при возникновении грома малые тела, заключенные внутри облаков, будучи слишком тесно сжаты, своим движением разрывают облака и возвращают себе естественную свободу; так и здесь малые тела, заключенные внутри пространства, которое находится над прямой линией FG, своим собственным движением вытесняют воду, как только проход открывается сверху. И если проход будет оставаться закрытым, а эти малые тела будут еще сильнее сжиматься из-за постоянного втискивания большего количества воды, они в конце концов с большим шумом разорвут сам сосуд.

Why a bladder is heavier when blown full of air, than when it is empty.

10. Если вдуть воздух в полый цилиндр или в пузырь, это немного увеличит вес любого из них, как многие обнаружили на опыте, кто с большой точностью пробовал это делать. И это неудивительно, видя, как я предполагал, что с обычным воздухом смешано большое количество малых твердых тел, которые тяжелее чистого воздуха. Ибо эфирная субстанция, будучи со всех сторон одинаково взволнована движением Солнца, имеет равное стремление ко всем частям вселенной; и, следовательно, она не имеет никакой тяжести.

The cause of the ejection upwards of heavy bodies from a wind-gun.

11. Мы также находим на опыте, что силой воздуха, заключенного в полой пушке, свинцовая пуля может быть с немалой силой выстрелена из ружья недавнего изобретения, называемого ветровым ружьем. В конце этой пушки есть два отверстия с клапанами на внутренней стороне, чтобы плотно их закрывать; одно из них служит для впуска воздуха, а другое — для его выпуска. Также к тому концу, который служит для приема воздуха, присоединен другой ствол из того же металла и той же величины, в который вставлен шомпол, имеющий отверстие, а также клапан, открывающийся в сторону первого ствола. С помощью этого клапана шомпол легко оттягивается назад и впускает воздух снаружи; а будучи часто оттягиваемым назад и возвращаемым обратно сильными ударами, он вгоняет некоторую часть этого воздуха в первый ствол до тех пор, пока, наконец, сопротивление заключенного воздуха не станет больше силы удара. И этим способом люди думают, что теперь в стволе находится большее количество воздуха, чем было раньше, хотя он был полон и до этого. Также воздух, таким образом вгнанный, сколько бы его ни было, удерживается от выхода обратно вышеупомянутыми клапанами, которые само стремление воздуха выйти наружу неизбежно закрывает. Наконец, когда открывается клапан, сделанный для выпуска воздуха, он тотчас же с силой вырывается наружу и гонит пулю перед собой с большой силой и скоростью.

Что касается причины этого, я мог бы легко приписать ее, как делает большинство людей, конденсации и думать, что воздух, который сначала имел лишь свою обычную степень разреженности, был впоследствии, путем вгоняния большего количества воздуха, сгущен, а в самом конце снова разрежен, будучи выпущен и возвращен к своей естественной свободе. Но я не могу представить, как одно и то же место может быть всегда полным и, тем не менее, содержать иногда большее, иногда меньшее количество материи; то есть, что оно может быть полнее, чем полное. Не могу я также представить, как полнота сама по себе может быть эффективной причиной движения. Ибо и то, и другое невозможно. Поэтому мы должны искать какую-то другую возможную причину этого явления. Пока, следовательно, клапан, который служит для впуска воздуха, открывается первым ударом шомпола, воздух внутри с равной силой сопротивляется вхождению воздуха снаружи; так что стремления между внутренним и внешним воздухом противоположны, то есть существуют два противоположных движения, пока один входит, а другой выходит; но никакого увеличения воздуха внутри ствола нет. Ибо ударом выталкивается столько же чистого воздуха, который проходит между шомполом и стенками ствола, сколько вгоняется воздуха нечистого тем же ударом. И таким образом, многими сильными ударами количество малых твердых тел будет увеличиваться внутри ствола, и их движения также будут становиться все сильнее и сильнее, пока материя ствола способна выдерживать их силу; если он не будет разорван, то, по крайней мере, будет побуждаем во все стороны их стремлением освободиться; и как только клапан, который служит для их выпуска, будет открыт, они вылетят с сильным движением и унесут с собой пулю, которая находится на их пути. Таким образом, я привел возможную причину этого явления.

The cause of the ascent of water in a weather-glass.

12. Вода, вопреки обыкновению тяжелых тел, поднимается в термометре; но она делает это, когда воздух холодный: ибо когда он теплый, она снова опускается. И этот прибор называется термометром или термоскопом, потому что степени тепла и холода измеряются и отмечаются им. Он сделан следующим образом. Пусть ABCD (на рис. 5) будет сосудом, полным воды, а EFG — полым цилиндром из стекла, закрытым в E и открытым в G. Пусть он будет нагрет и поставлен вертикально внутри воды до F; и пусть открытый конец достигает G. Когда это сделано, по мере того как воздух мало-помалу становится холоднее, вода будет медленно подниматься внутри цилиндра от F к E; пока, наконец, внешний и внутренний воздух не придут к одной и той же температуре, она не будет ни подниматься выше, ни опускаться ниже, пока температура воздуха не изменится. Предположим, следовательно, что она установилась где-либо, например в H. Если теперь тепло воздуха увеличится, вода опустится ниже H; а если тепло уменьшится, она поднимется выше него. Что, хотя и известно достоверно по опыту как истинное, причина, тем не менее, до сих пор не была обнаружена.

В шестой и седьмой статьях главы XXVIII, где я рассматриваю причину холода, я показал, что жидкие тела становятся холоднее от давления воздуха, то есть от постоянного ветра, который давит на них. По той же причине поверхность воды испытывает давление в F; и, не имея места, куда она могла бы отступить от этого давления, кроме полости цилиндра между H и E, она поэтому неизбежно вытесняется туда холодом, и, следовательно, она поднимается больше или меньше, в зависимости от того, насколько усиливается холод. И снова, по мере того как тепло становится более интенсивным или холод более слабым, та же вода будет опускаться больше или меньше под действием собственной тяжести, то есть под действием причины тяжести, объясненной выше.

Cause of motion upwards in living creatures

13. Также живые существа, хотя они и тяжелы, могут прыжками, плаванием и полетом поднимать себя на определенную высоту. Но они не могут делать этого, если не поддерживаются каким-либо сопротивляющимся телом, таким как земля, вода и воздух. Ибо эти движения имеют свое начало от сокращения, с помощью мышц, тела одушевленного. Ибо за этим сокращением следует растяжение всего их тела; этим растяжением земля, вода или воздух, которые поддерживают их, сжимаются; и отсюда, вследствие реакции этих сжатых тел, живые существа приобретают стремление вверх, но такое, которое вследствие тяжести их тел тотчас же снова теряется. Этим стремлением, следовательно, живые существа поднимают себя на небольшое расстояние прыжком, но без особого успеха: но плаванием и полетом они поднимают себя на большую высоту; потому что, прежде чем эффект их стремления будет полностью погашен тяжестью их тел, они могут возобновить то же стремление снова.

Что силой души, без какого-либо предшествующего сокращения мышц или помощи чего-либо для поддержки, человек может быть способен поднять свое тело вверх, есть детская выдумка. Ибо если бы это было правдой, человек мог бы поднять себя на какую угодно высоту.

That there is in nature a kind of body heavier than air, which nevertheless is not by sense distinguishable from it.

14. Прозрачная среда, которая окружает глаз со всех сторон, невидима; и воздух не виден в воздухе, и вода в воде, и ничто, кроме того, что более непрозрачно. Но в пределах двух прозрачных тел одно из них может быть отличимо от другого. Поэтому не является чем-то столь уж смешным для обычных людей думать, что все то пространство пусто, в котором, как мы говорим, есть воздух; ибо это дело разума — заставить нас понять, что воздух есть что-то. Ибо с помощью какого из наших чувств мы замечаем воздух, видя, что мы не видим, не слышим, не пробуем на вкус, не обоняем и не чувствуем его как что-либо? Когда мы чувствуем тепло, мы не приписываем его воздуху, а огню: не говорим мы и того, что воздух холодный, а что мы сами холодные; и когда мы чувствуем ветер, мы скорее думаем, что что-то приближается, чем что что-то уже пришло. Также мы совсем не чувствуем веса воды в воде, тем более воздуха в воздухе. То, что мы приходим к знанию того, что это тело, которое мы называем воздухом, происходит благодаря рассуждению; но только по одной причине, а именно потому, что удаленные тела не могут воздействовать на наши органы чувств иначе, как с помощью тел промежуточных, без которых мы не могли бы иметь о них ощущения, пока они не станут соприкасающимися. Поэтому только из чувств, без рассуждения о следствиях, мы не можем иметь достаточного доказательства природы тел.

Ибо под землей, в некоторых угольных шахтах, есть некая материя промежуточной природы между водой и воздухом, которую, тем не менее, невозможно отличить чувствами от воздуха; ибо она так же прозрачна, как чистейший воздух; и, насколько могут судить чувства, одинаково проницаема. Но если мы посмотрим на эффект, он подобен эффекту воды. Ибо когда эта материя вырывается из земли в одну из таких ям, она заполняет ее полностью или до некоторой степени; и если человек или огонь будут опущены в нее, она гасит их почти за такое же короткое время, как это сделала бы вода. Но для лучшего понимания этого явления я опишу 6-й рисунок. В котором пусть AB представляет шахту; и пусть часть ее, а именно CB, будет предполагаться заполненной этой материей. Если теперь зажженная свеча будет опущена в нее ниже C, она погаснет так же внезапно, как если бы ее сунули в воду. Также, если решетка, наполненная углем, тщательно раздутым и горящим очень ярко, будет опущена, как только она окажется ниже C, огонь начнет бледнеть и вскоре после этого, потеряв свой свет, погаснет, не иначе, как если бы он был потушен в воде. Но если решетку тотчас же вытянуть обратно, пока угли еще очень горячие, огонь мало-помалу снова разгорится и будет светить, как прежде. Существует, действительно, между этой материей и водой эта значительная разница, что она ни смачивает, ни прилипает к таким вещам, которые опускаются в нее, как это делает вода; которая влагой, которую она оставляет, препятствует повторному возгоранию однажды погашенной материи. Подобным образом, если человек будет опущен ниже C, он тотчас же почувствует большое затруднение в дыхании, а сразу после этого впадет в обморок и умрет, если его не вытянуть внезапно обратно. Те, следовательно, кто спускается в эти ямы, имеют такой обычай, что, как только они чувствуют себя больными, они трясут веревку, на которой их опустили, чтобы дать знать, что они нездоровы, и с той целью, чтобы их поскорее вытянули обратно. Ибо если человека вытянут слишком поздно, лишенного чувств и движения, они выкапывают дерн и кладут его лицо и рот в свежую землю; благодаря чему, если он не совсем мертв, он мало-помалу приходит в себя и восстанавливает жизнь, выдыхая, так сказать, ту удушающую материю, которую он вдохнул, пока был в яме; почти так же, как те, кто утонул, приходят в себя, извергая воду. Но это случается не во всех шахтах, а только в некоторых; и в тех не всегда, а часто. В таких ямах, которые подвержены этому, они используют такое средство. Они выкапывают другую яму, как DE, рядом с ней, равной глубины, и, соединив их обе одним общим каналом EB, разводят огонь на дне E, который выносит через D воздух, содержащийся в яме DE; и это тянет за собой воздух, содержащийся в канале EB; за которым, подобным образом, следует вредоносная материя, содержащаяся в CB; и этим способом яма на то время делается здоровой. Из этой истории, которую я пишу только для тех, кто имел опыт истинности ее, без какого-либо намерения поддерживать мою философию рассказами сомнительного доверия, может быть собрана следующая возможная причина этого явления; а именно, что существует некая материя жидкая и прозрачнейшая, и не намного легче воды, которая, вырываясь из земли, заполняет яму до C; и что в этой материи, как и в воде, гаснут и огонь, и живые существа.

Of the cause of magnetical virtue.

15. О природе тяжелых тел наибольшая трудность возникает из созерцания тех вещей, которые заставляют другие тяжелые тела подниматься к ним; таких как янтарь, гагат и магнит. Но то, что больше всего беспокоит людей, — это магнит, который также называется Lapis Herculeus; камень, хотя в остальном презренный, но такой великой силы, что он поднимает железо с земли и держит его подвешенным в воздухе, как Геркулес держал Антея. Тем не менее, мы удивляемся ему несколько меньше, потому что видим, как янтарь притягивает соломинки, которые являются тяжелыми телами, хотя и не такими тяжелыми, как железо. Но что касается янтаря, он должен быть сначала возбужден трением, то есть движением туда и обратно; тогда как магнит имеет достаточное возбуждение от своей собственной природы, то есть от некоторого внутреннего принципа движения, присущего ему самому. Теперь, все, что движется, движется каким-либо соприкасающимся и движущимся телом, как было ранее доказано. И отсюда следует очевидно, что первое стремление, которое железо имеет к магниту, вызвано движением того воздуха, который соприкасается с железом: также, что это движение порождается движением следующего воздуха, и так далее последовательно, пока этой последовательностью мы не обнаружим, что движение всего промежуточного воздуха берет свое начало от некоторого движения, которое есть в самом магните; которое движение, поскольку магнит кажется покоящимся, невидимо. Поэтому несомненно, что притягательная сила магнита есть не что иное, как некоторое движение мельчайших его частиц. Предполагая, следовательно, что те малые тела, из которых магнит в недрах земли состоит, имеют по природе такое движение или стремление, какое было выше приписано янтарю, а именно взаимное движение по линии, слишком короткой, чтобы быть увиденной, оба эти камня будут иметь одну и ту же причину притяжения. Теперь, каким образом и в каком порядке действия эта причина производит эффект притяжения, есть вещь, подлежащая исследованию. И во-первых, мы знаем, что когда струна лютни или виолы ударяется, вибрация, то есть взаимное движение этой струны по той же прямой линии, вызывает подобную вибрацию в другой струне, которая имеет подобное натяжение. Мы знаем также, что осадок или мелкий песок, который оседает на дно сосуда, будет поднят со дна любым сильным и взаимным взбалтыванием воды, взболтанной рукой или посохом. Почему, следовательно, взаимное движение частей магнита не должно способствовать столь же сильно движению железа? Ибо, если в магните предполагается такое взаимное движение, или движение частей вперед и назад, то последует, что подобное движение будет распространено воздухом к железу, и, следовательно, что во всех частях железа будут те же взаимные движения или движения вперед и назад. И отсюда также последует, что промежуточный воздух между камнем и железом будет мало-помалу оттеснен; и воздух будучи оттеснен, тела магнита и железа неизбежно сойдутся вместе. Возможная причина, следовательно, почему магнит и янтарь притягивают к себе, один железо, другой соломинки, может быть та, что эти притягивающие тела имеют взаимное движение либо по прямой линии, либо по эллиптической линии, когда нет ничего в природе притягиваемых тел, что было бы противно такому движению.

Но почему магнит, если с помощью пробки он плавает свободно на поверхности воды, должен из любого положения поместить себя в плоскости меридиана так, что те же точки, которые в одно время его покоя относятся к полюсам Земли, во все другие времена должны относиться к тем же полюсам, причина может быть та, что взаимное движение, которое я предполагал в частях камня, совершается по линии, параллельной оси Земли, и было в тех частях с тех пор, как камень был создан. Видя, следовательно, что камень, пока он остается в шахте и переносится вместе с Землей ее суточным движением, с течением времени приобретает привычку двигаться по линии, которая перпендикулярна линии его взаимного движения, он впоследствии, хотя его ось будет удалена от параллельного положения, которое она имела с осью Земли, сохранит свое стремление вернуться к этому положению снова; и всякое стремление будучи началом движения, и ничто не вмешиваясь, что могло бы помешать тому же, магнит, следовательно, вернется к своему прежнему положению. Ибо любой кусок железа, который долгое время покоился в плоскости меридиана, когда бы он ни был принудительно выведен из этого положения и впоследствии оставлен снова на свою свободу, сам по себе вернется, чтобы лежать в меридиане снова; каковой возврат вызван стремлением, которое он приобрел от суточного движения Земли в параллельных кругах, которые перпендикулярны меридианам.

Если железо будет натерто магнитом, проведенным от одного полюса к другому, произойдут две вещи; одна, что железо приобретет то же направление, что и магнит, то есть что оно будет лежать в меридиане и иметь свою ось и полюса в том же положении, что и у камня; другая, что подобные полюса камня и железа будут избегать друг друга, а неподобные полюса приближаться друг к другу. И причиной первого может быть то, что железо, будучи затронуто движением, которое не является взаимным, а проведено в ту же сторону от полюса к полюсу, в железе также будет запечатлено стремление от того же полюса к тому же полюсу. Ибо видя, что магнит отличается от железа не иначе, как руда от металла, не будет никакого сопротивления в железе принять то же движение, которое есть в камне. Откуда следует, что видя, что они оба затронуты одинаково суточным движением Земли, они оба одинаково вернутся к своему положению в меридиане, когда бы они ни были выведены из него. Также причиной последнего может быть то, что как магнит при касании железа своим действием запечатлевает в железе стремление к одному из полюсов, предположим к Северному полюсу; так взаимно железо своим действием на магнит запечатлевает в нем стремление к другому полюсу, а именно к Южному полюсу. Происходит, следовательно, в этих взаимных движениях или движениях вперед и назад частиц камня и железа между севером и югом, что пока в одном из них движение идет с севера на юг, а возврат с юга на север, в другом движение будет с юга на север, а возврат с севера на юг; каковые движения будучи противоположными друг другу и сообщенными воздуху, северный полюс железа, пока притяжение действует, будет опущен к южному полюсу магнита; или наоборот, северный полюс магнита будет опущен к южному полюсу железа; и ось как магнита, так и железа будет расположена на одной и той же прямой линии. Истинность чего учит нас опыт.

Что касается распространения этой магнитной добродетели, не только через воздух, но и через любые другие тела, как бы тверды они ни были, не стоит удивляться, видя, что никакое движение не может быть столь слабым, чтобы оно не могло быть распространено бесконечно через пространство, заполненное телом любой твердости. Ибо в полной среде не может быть движения, которое не заставило бы следующую часть уступить, и ту следующую, и так последовательно без конца; так что нет никакого эффекта, чтобы для производства его что-то не было неизбежно внесено различными движениями всех различных вещей, которые есть в мире.

Conclusion.

И так много относительно природы тела вообще; с чем я завершаю этот мой первый раздел Элементов философии. В первой, второй и третьей частях, где принципы рассуждения состоят в нашем собственном понимании, то есть в законном использовании таких слов, которые мы сами устанавливаем, все теоремы, если я не обманут, правильно доказаны. Четвертая часть зависит от гипотез; которые если мы не знаем, что они истинны, невозможно для нас доказать, что те причины, которые я там объяснил, являются истинными причинами вещей, чьи производства я вывел из них.

Тем не менее, видя, что я не принял никакой гипотезы, которая не была бы и возможной, и легкой для понимания; и видя также, что я рассуждал правильно из тех предположений, я вместе с тем достаточно доказал, что они могут быть истинными причинами; что есть цель физического созерцания. Если какой-либо другой человек из других гипотез докажет те же или большие вещи, будет большая похвала и благодарность, причитающаяся ему, чем я требую для себя, при условии, что его гипотезы будут такими, которые можно постичь. Ибо что касается тех, кто говорит, что что-либо может быть движимо или произведено само по себе, через виды, через свою собственную силу, через субстанциальные формы, через бестелесные субстанции, через инстинкт, через антиперистазис, через антипатию, симпатию, оккультное качество и другие пустые слова схоластов, их говорение так не имеет цели.

А теперь я перехожу к явлениям человеческого тела; где я буду говорить об оптике, и о диспозициях, аффектах и манерах людей, если будет угодно Богу дать мне жизнь, и покажу их причины.

Том 1. Лат. и англ. Гл. XXVIII и XXX. Рис. 1-6

Fig 1. | Fig 2. | Fig 3. | Fig 4. | Fig 5. | Fig 6.

END OF VOL. I.

LONDON:

C. RICHARDS, ST. MARTIN'S LANE, CHARING CROSS.

Transcriber’s Note

Главы 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28 и 30 были снабжены полной страницей рисунков (кроме главы 23, которая включала четыре иллюстрации, и иллюстраций для глав 28 и 30, которые объединены). Каждая большая иллюстрация (кроме тех, что для главы 20, которые были сочтены достаточно большими) состоит из меньших рисунков, которые обсуждаются в тексте. Иллюстрации были помещены в конце главы, и каждый рисунок связан с более изолированным изображением, найденным в конце Примечаний транскрибатора. Подписи к этим детальным рисункам связаны обратно с их первым упоминанием в тексте. (Аспекты некоторых обсуждаются в нескольких местах.)

Рисунки 18.2 и 27.2 не упоминаются по имени в тексте. Рисунок 14.10 упоминается только в главе XIII.

Однако рисунок 2 главы XVIII, по-видимому, является предметом обсуждения на стр. 270. Была добавлена сноска, включающая ссылку на рисунок.

Точно так же рисунок 2 главы XXVII, изображающий «призму», обсуждается подробно на стр. 459 и далее. Опять же, сноска была вставлена в начале этого описания и включает ссылку на рисунок.

Диакритические знаки, используемые в греческих фразах, следуют за напечатанными, хотя они иногда кажутся нестандартными (т.е. εἰναι, а не ειναὶ).

В резюме каждой главы номера статей снабжены тире, если они появлялись в середине строки. Тире были добавлены в текст в случае, если номер статьи случайно появлялся в первой колонке.

В редких случаях встречаются ошибки в нумерации статей в резюме главы. Например, в главе XVII статья 7 была ошибочно пронумерована как вторая «6».

В статье 18 главы XIII ссылка на статью 10 той же главы использовала римскую «X», что является единственным случаем такого использования. Теперь она упоминается как статья 10.

Другие ошибки, сочтенные наиболее вероятными опечатками принтера, были исправлены и отмечены здесь. Ссылки относятся к странице и строке в оригинале.

52.17 | every man [i]s a living creature | Restored.
73.14 | in the first place, we [we] are to search | Removed.
255.11 | seeing the [pro]proportion | Removed.
267.22 | And therefore if it[ it] be again as R to T | Removed.
307.24 | the spiral of Arch[i/e]mides | Replaced.
329.29 | with simple motion the[ the] perimeter | Removed.
339.11 | be cut in E and[ and] G by a strait line | Removed.
372.12 | to the base F H that[ that] can possibly be drawn | Removed.
464.23 | the sea appears b[l]ack when ruffled | Inserted.
439.2 | will make fifty-nine revo[lu]tions | Inserted.

Chapter XIV

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис. 8.

Рис. 9.

Рис. 10.

CHAPTER XVI

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис. 8.

Рис. 9.

Рис. 10.

Рис. 11.

Chapter XVII

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис. 8.

Chapter XVIII

Рис. 1.

Рис. 2.

Chapter XIX

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис. 8.

Рис. 9.

Рис. 10.

Chapter XX

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

Рис. 6.

Chapter XXI

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

Chapter XXII

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Chapter XXIII

Рис. 1.

Рис. 2

Рис. 3.

Рис. 4

Рис. 5.

Рис. 6

Рис. 7.

Рис. 8

Рис 9.

CHAPTER XXIV.

Рис 1.

Рис 2.

Рис 3.

Рис 4.

Рис 5.

Рис 6.

CHAPTER XXVI.

Рис 1.

Рис 2.

Рис 3.

Рис 4.

Рис 5.

Chapter XXVII.

Рис 1.

Рис 2.

Chapter XXX.

Рис 1.

Рис 2.

Рис 3.

Рис 4.

Рис 5.

Рис 6.