Этот текст содержит символы, которые отображаются только в кодировке файла UTF-8 (Unicode):

ȝ, ſ (йог, длинная s) ɳ, łł (n с завитушкой, перечеркнутая l: см. ниже) φ (греческая фи, иногда используемая в печатном тексте для 0)

Если какие-либо из этих символов отображаются некорректно или если апострофы и кавычки в этом абзаце выглядят как белиберда, возможно, у вас несовместимый браузер или отсутствуют необходимые шрифты. Сначала убедитесь, что для «кодировки символов» или «кодировки файла» в браузере установлен Unicode (UTF-8). Вам также может потребоваться изменить шрифт браузера по умолчанию.

В трактате «The Crafte of Nombrynge» конечная буква n иногда писалась с дополнительной завитушкой в виде . Она передана как ɳ для визуального эффекта; этот символ не предназначен для передачи фонетической информации. В том же отрывке цифра «0» иногда печаталась в виде греческой буквы φ (фи); она была сохранена для электронного текста. Двойная буква l с чертой отображается как łł. Первые несколько появлений буквы d (обозначающей «пенсы») были напечатаны с завитушкой в виде . Эта буква отображается с той же буквой d’, используемой в остальной части текста.n with curljoined lld with curl

Слово «withdraw» или «w i t h draw» переносилось с дефисом непоследовательно; оно оставлено так, как было напечатано, а дефисы на конце строк сохранены. Все квадратные скобки [ ] присутствуют в оригинале.

Диаграммы в разделе «Accomptynge by Counters» могут выравниваться не идеально во всех браузерах, но их содержимое все равно должно быть понятным.

Оригинальный текст содержал по меньшей мере пять типов маргинальных примечаний. Подробности приведены в конце электронного текста.

Типографские ошибки отмечены в тексте всплывающими подсказками при наведении указателя мыши. Другие подчеркнутые слова являются перекрестными ссылками на «Индекс технических терминов» и «Глоссарий».

Оглавление (добавлено составителем)

Introduction | v
The Crafte of Nombrynge | 3
The Art of Nombryng | 33
Accomptynge by Counters | 52
Искусство счета на пальцах | 66
Прил. I. Трактат о нумерации алгоризма | 70
Прил. II. Carmen de Algorismo | 72
Index of Technical Terms | 81
Glossary | 83

Древнейшие трактаты по арифметике на английском языке

ИЗДАНО С ВВЕДЕНИЕМ

СОСТАВИЛ

РОБЕРТ СТИЛ

ЛОНДОН:

ОПУБЛИКОВАНО ДЛЯ ОБЩЕСТВА ПО ИЗДАНИЮ РАННИХ АНГЛИЙСКИХ ТЕКСТОВ

ХАМФРИ МИЛФОРДОМ, ОКСФОРД УНИВЕРСИТЕТ ПРЕСС,

АМЕН-КОРНЕР, E.C. 4. 1922.

ВВЕДЕНИЕ

Количество английских трактатов по арифметике, созданных до XVI века, весьма невелико. В этом нет ничего удивительного, поскольку до середины XV века любой, кому требовалось применять даже простейшие операции этого искусства, скорее всего, владел латынью, на каноническом языке которой существовало несколько трактатов в значительном числе рукописей, о чем свидетельствует их количество, дошедшее до наших дней. До тех пор пока современная торговля не получила должного развития, немногие нуждались в арифметике сложнее сложения и вычитания, и даже в XIII веке в научных трактатах, адресованных продвинутым студентам, предполагалась вероятность того, что они не смогут выполнить простое деление. С другой стороны, изучение астрономии с самых ранних дней ее существования как науки требовало значительного мастерства и точности в вычислениях, не только при расчете астрономических таблиц, но и при их использовании, знание которого было довольно широко распространено с XIII по XVI век.

Известные мне арифметические трактаты на английском языке следующие:

(1) Bodl. 790 G. VII. (2653) f. 146-154 (XV в.) нач. «Of angrym ther be IX figures in numbray ...» Простой незавершенный фрагмент, доходящий только до дупликации.

(2) Camb. Univ. LI. IV. 14 (III.) f. 121-142 (XV в.) нач. «Al maner of thyngis that prosedeth ffro the frist begynnyng ...»

(3) Фрагментарные отрывки или диаграммы в Sloane 213 f. 120-3 (счетная доска XIV века), Egerton 2852 f. 5-13, Harl. 218 f. 147 и

(4) Две рукописи, публикуемые здесь: Eg. 2622 f. 136 и Ashmole 396 f. 48. Все они, как показывает язык, относятся к XV веку.

Трактат «The Crafte of Nombrynge» является одним из множества научных трактатов, преимущественно на латыни, сброшюрованных вместе в качестве рукописи Egerton MS. 2622 в библиотеке Британского музея. Его размер составляет 7” × 5”, на странице от 29 до 30 строк, написанных грубым почерком. Английский язык относится к диалекту северо-восточных графств Средней Англии. Это перевод и расширение одного из многочисленных глоссариев к труду «de algorismo» Александра Вильдеюского (ок. 1220 г.), подобного глоссарию Томаса Ньюмаркетского, содержащемуся в рукописи Британского музея Reg. 12, E. 1. Фрагмент другого перевода той же глоссы был опубликован Холливеллом в его «Rara Mathematica» (1835), стр. 291. Он соответствует (вплоть до стр. 71, стр. 2) примерно стр. 3 нашей версии, а оттуда до конца — стр. 2, стр. 16-40.

Трактат «The Art of Nombryng» является одним из трактатов, сброшюрованных в рукописи Бодлианской библиотеки Ashmole 396. Его размер составляет 11½” × 17¾”, и он написан тридцатью тремя строками на странице почерком XV века. Это довольно буквальный перевод с дополнениями трактата «de arte numerandi», приписываемого Иоанну Сакробоско, причем переводчик явно имел перед собой плохую рукопись. Трактат «de arte numerandi» печатался в 1488, 1490 (s.n.), 1501, 1503, 1510, 1517, 1521, 1522, 1523, 1582 годах, а также отдельно Холливеллом и в двух изданиях его «Rara Mathematica» 1839 и 1841 годов, и переиздан Курце в 1897 году.

Оба эти трактата публикуются здесь впервые, но поскольку первый из них распространялся в корректурных оттисках много лет назад в попытке обнаружить другие рукописи или части рукописей, доктор Дэвид Юджин Смит, неправильно поняв ситуацию, опубликовал несколько страниц в виде любопытной транскрипции с четырьмя факсимиле в журнале «Archiv für die Geschichte der Naturwissenschaften und der Technik» за 1909 год и призвал научное сообщество взяться за «неприятную задачу» его редактирования.

Трактат «Accomptynge by Counters» перепечатан из издания арифметики Роберта Рекорда 1543 года, отпечатанного Р. Вульфом. Он был переиздан несколько лет назад мистером Ф. П. Барнардом в его работе о счетных жетонах. Это древнейший известный нам английский трактат об этой разновидности абака (существуют латинские трактаты конца XV века), однако у меня нет сомнений в том, что этот метод выполнения простейших арифметических операций намного старше любых письменных методов. В конце трактата следует примечание о способах записи сумм купюрами и аудиторами, и, наконец, система цифровой нумерации, которая кажется весьма древней и распространенной почти по всему миру.

В качестве приложения после уже упомянутого фрагмента я публикую поэму «Carmen de Algorismo» Александра Вильдеюского в расширенном и исправленном виде. Впервые она была напечатана Холливеллом в «Rara Mathematica», но я добавил ряд строф из различных рукописей, отбирая разночтения по принципу того, чтобы стихи сканировались, чему способствовал совет моего друга мистера Вернона Рендолла, который не несет ответственности за те немногие сомнительные строки, которые я сохранил. Эта поэма лежит в основе всех остальных трактатов по данному предмету в средневековые времена, однако я не могу указать ее источники.

Предметная область.

Древние и средневековые авторы проводили различие между наукой и искусством арифметики. Классические трактаты на эту тему — труды Евклида у греков и Боэция у латинян — посвящены науке арифметики, однако очевидно, что одновременно с практической астрономией должно было существовать и искусство вычислений, достигшее значительного прогресса. Если ранние трактаты об этом искусстве вообще существовали, то они почти по необходимости должны были быть написаны на греческом языке, который был языком науки для римлян до тех пор, пока существовала латинская цивилизация. Но в их отсутствие можно с уверенностью утверждать, что с помощью буквенной нотации греков и римлян никакие сложные операции не выполнялись и не могли быть выполнены. Новые авторы действительно составляли образцовые примеры сумм, которые демонстрируют такую возможность, но абсурдно думать, что ученые мужи, знакомые с египетскими методами и владевшие абаком2, были неспособны разработать методы для его использования.

Досредневековые инструменты, используемые в вычислениях.

Известны следующие:

(1) Плоская отполированная поверхность или таблички, посыпанные песком, на которых фигуры вычерчивались стилом.

(2) Отполированная табличка, разделенная продольно на девять колонок (или более), сгруппированных по три, на которой использовались счетные жетоны — простые или помеченные знаками, обозначающими девять цифр и т. д.

(3) Таблички или ящики, содержащие девять желобков или проволок, в которых или на которых перемещались бусины.

(4) Таблички, на которых были начерчены девять (или более) горизонтальных линий, причем каждая третья линия была отмечена особо.

Единственная известная нам греческая счетная доска относится к четвертому классу и была обнаружена на Саламине. Она высечена на мраморном блоке и имеет размеры 5 на 2½ фута. Ее основная часть состоит из одиннадцати параллельных линий, причем 3-я, 6-я и 9-я линии отмечены крестом. Другой участок состоит из пяти параллельных линий, и имеются три ряда арифметических символов. Эту доску можно было использовать только со счетными жетонами (calculi), предпочтительно немаркированными, как в нашем трактате «Accomptynge by Counters».

Классические римские методы вычислений.

У нас есть свидетельства о двух методах вычислений в древнем Риме: один — с помощью первого метода, при котором песчаная поверхность разделялась на колонки с помощью стила или руки. В вычислениях использовались счетные жетоны (calculi или lapilli), которые хранились в коробочках (loculi), как мы узнаем от школьников Горация (Sat. 1. vi. 74). О песчаной поверхности см. Персий I. 131: «Nec qui abaco numeros et secto in pulvere metas scit risisse», Апулей (Apol. 16, pulvisculo), Марциан Капелла (кн. VII. 3, 4) и др. Цицерон говорит об искусном вычислителе: «eruditum attigisse pulverem» (de nat. Deorum, ii. 18). Тертуллиан называет преподавателя арифметики «primus numerorum arenarius» (de Pallio, in fine). Жетоны изготавливались из различных материалов, главным образом из слоновой кости: «Adeo nulla uncia nobis est eboris, etc.» (Juv. XI. 131), иногда из драгоценных металлов: «Pro calculis albis et nigris aureos argenteosque habebat denarios» (Pet. Arb. Satyricon, 33).

Тем не менее до сих пор существуют четыре римские счетные доски такого рода, который, судя по всему, не отражен в литературе. Типичная доска относится к третьему классу. Она состоит из нескольких поперечных проволок, разорванных посередине. На левую часть нанизаны четыре бусины, на правую — одна (или две). Бусины слева обозначают единицы, бусина справа — пять единиц. Таким образом, можно представить любое число до девяти. Этот инструмент по всем основным признакам аналогичен суаньпаню или абаку, используемому на Дальнем Востоке. Русские счеты, применяемые по всей Восточной Европе, еще проще. Метод использования этой системы точно такой же, как в «Accomptynge by Counters», где правая бусина, обозначающая пять, заменяет жетон между линиями.

Абак Боэция.

Между классической эпохой и X веком мы почти не имеем руководств по искусству вычислений. Боэций (V век) в конце второй книги своей «Геометрии» приводит рисунок абака второго класса с набором жетонов, расположенных внутри него. Однако с большой долей вероятности утверждалось, что весь этот пассаж является интерполяцией X века. Поскольку правила его использования не приводятся, главная ценность рисунка заключается в том, что на нем представлены знаки девяти чисел, известные как боэциевы «апексы» или «ноты» (отсюда происходит наше слово «нотация»). К ним мы вернемся позже.

Абацисты.

Представляется вероятным, что авторы трудов по календарю, такие как Беда (721 г. н. э.) и Хелперик (903 г. н. э.), были способны выполнять простейшие вычисления, хотя мы не можем догадаться об их методах, и в большинстве своем они зависели от таблиц, заимствованных из греческих источников. У нас нет раннесредневековых трактатов по арифметике вплоть до конца X века, когда мы обнаруживаем возрождение научного интереса, сосредоточенного для нас вокруг имени Герберта, который в 999 году стал папой под именем Сильвестра II. Его трактат об использовании абака был написан (ок. 980 г.) другу Константину и впервые был издан среди сочинений Беды в базельском издании его трудов (1563 г., т. I, стр. 159) в несколько расширенном виде. Другим трактатом X века является труд Аббона Флёрийского (ок. 988 г.), сохранившийся в нескольких рукописях. Лишь очень немногие трактаты об использовании абака можно с уверенностью отнести к XI веку, но с начала XII века их число быстро возрастает, судя по сохранившимся экземплярам.

Абацисты использовали постоянную доску, обычно разделенную на двенадцать колонок; колонки были сгруппированы по три, причем каждая колонка называлась «аркус» (arcus), а значение фигуры в ней составляло десятую часть от того значения, которое она имела бы в колонке слева, как в нашей позиционной арифметике. На этой доске использовались счетные жетоны или жетоны-жеты, либо простые, либо, что более вероятно, помеченные числовыми знаками, которыми у ранних абацистов были «апексы», хотя жетоны античных времен иногда отмечались с одной стороны цифровыми знаками, а с другой — римскими цифрами. Два диска из слоновой кости такого рода из коллекции Гамильтона можно увидеть в Британском музее. Рихер утверждает, что Герберт изготовил для целей вычислений тысячу роговых жетонов; обычное количество жетонов в наборе в XVI и XVII веках составляло сто штук.

Трактаты об абаке обычно состоят из глав о нумерации, объясняющих нотацию, и правил умножения и деления. Сложение, поскольку оно требовало каких-либо правил, естественным образом подпадало под умножение, тогда как вычитание было задействовано в процессе деления. Этих правил было вполне достаточно в Западной Европе в те века, когда торговля почти не существовала, а астрономия не практиковалась, и даже они требовались лишь при составлении календаря и распределении средств королевской казны. В Англии, например, когда гайда превратилась из обычного крестьянского надела в единицу налогообложения, расчет гельда в каждом графстве требовал выполнения задачи на деление; как мы знаем из того факта, что один из абацистов предлагает задачу: «Если с графства Эссекс, которое, согласно Хью де Бокланду, содержит 2500 гайд, взимается 200 марок, сколько платит каждая гайда?»3 Методы казначейства вплоть до XVI века основывались на абаке, хотя, судя по более поздним подробностям, использовалась иная, более простая форма.

Главной трудностью ранних абацистов, из-за отсутствия цифры, обозначающей ноль, было размещение результатов и промежуточных операций в правильных колонках абака, особенно при выполнении деления. Основные различия, заметные в их трудах, касаются методов реализации этого правила. Деление выполнялось либо напрямую, либо с помощью разности между делителем и ближайшим большим числом, кратным десяти. Поздние абацисты проводили различие между «железными» и «золотыми» методами деления. Ниже приведены примеры, взятые из трактата XII века. При прослеживании операций следует помнить, что фигура со звездочкой обозначает жетон, снятый с доски. Ноль очевидно не требуется, и результат может быть записан словами.

(a) Умножение. 4600 × 23.

Thousands |  |

H
u
n
d
r
e
d
s
T
e
n
s
U
n
i
t
s
H
u
n
d
r
e
d
s
T
e
n
s
U
n
i
t
s

|  | 4 | 6 |  |  | Multiplicand.
|  | 1 | 8 |  |  | 600 × 3.
| 1 | 2 |  |  |  | 4000 × 3.
| 1 | 2 |  |  |  | 600 × 20.
| 8 |  |  |  |  | 4000 × 20.
1 |  | 5 | 8 |  |  | Total product.
|  |  |  | 2 | 3 | Multiplier.

(b) Division: direct. 100,000 ÷ 20,023. Here each counter in turn is a separate divisor.

H. | T. | U. | H. | T. | U. |
| 2 |  |  | 2 | 3 | Divisors.
| 2 |  |  |  |  | Поместите наибольший делитель справа от делимого.
1 |  |  |  |  |  | Dividend.
| 2 |  |  |  |  | Remainder.
|  |  | 1 |  |  |
| 1 | 9 | 9 |  |  | Another form of same.
|  |  |  | 8 |  | Произведение 1-го частного и 20.
| 1 | 9 | 9 | 2 |  | Remainder.
|  |  |  | 1 | 2 | Произведение 1-го частного и 3.
| 1 | 9 | 9 |  | 8 | Final remainder.
|  |  |  |  | 4 | Quotient.

(c) Деление через разности. 900 ÷ 8. Здесь мы делим на (10-2).

|  |  | H. | T. | U. |
|  |  |  |  | 2 | Difference.
|  |  |  |  | 8 | Divisor.
|  |  | 49 |  |  | Dividend.
|  |  | 41 | 8 |  | Произведение разности на 1-е частное (9).
|  |  |  | 2 |  | Произведение разности на 2-е частное (1).
|  |  | 41 |  |  | Sum of 8 and 2.
|  |  |  | 2 |  | Произведение разности на 3-е частное (1).
|  |  |  |  | 4 | Произведение разности на 4-е частное (2). Остаток.
|  |  |  |  | 2 | 4th Quotient.
|  |  |  | 1 |  | 3rd Quotient.
|  |  |  | 1 |  | 2nd Quotient.
|  |  |  | 9 |  | 1st Quotient.
|  |  | 1 | 1 | 2 | Частное. (Сумма всех четырех).

Деление. 7800 ÷ 166.

Thousands |  |
H. | T. | U. | H. | T. | U. |
|  |  |  | 3 | 4 | Разности (принимая 200 за пробный делитель).
|  |  | 1 | 6 | 6 | Divisors.
|  | 47 | 8 |  |  | Dividends.
|  | 1 |  |  |  | Остаток наибольшего делимого.
|  |  | 1 | 2 |  | Произведение 1-й разности (4) на 1-е частное (3).
|  |  | 9 |  |  | Произведение 2-й разности (3) на 1-е частное (3).
|  | 42 | 8 | 2 |  | New dividends.
|  |  | 3 | 4 |  | Произведение 1-й и 2-й разностей на 2-е частное (1).
|  | 41 | 1 | 6 |  | New dividends.
|  |  |  | 2 |  | Произведение 1-й разности на 3-е частное (5).
|  |  | 1 | 5 |  | Произведение 2-й разности на 3-е частное (5).
|  |  | 43 | 3 |  | New dividends.
|  |  | 1 |  |  | Остаток наибольшего делимого.
|  |  |  | 3 | 4 | Произведение 1-й и 2-й разностей на 4-е частное (1).
|  |  | 1 | 6 | 4 | Остаток (меньше делителя).
|  |  |  |  | 1 | 4th Quotient.
|  |  |  |  | 5 | 3rd Quotient.
|  |  |  | 1 |  | 2nd Quotient.
|  |  |  | 3 |  | 1st Quotient.
|  |  |  | 4 | 6 | Quotient.

Деление. 8000 ÷ 606.

Thousands |  |
H. | T. | U. | H. | T. | U. |
|  |  |  | 9 |  | Разность (принимая 700 за пробный делитель).
|  |  |  |  | 4 | Difference.
|  |  | 6 |  | 6 | Divisors.
|  | 48 |  |  |  | Dividend.
|  | 1 |  |  |  | Remainder of dividend.
|  |  | 9 | 4 |  | Произведение разностей 1 и 2 с 1-м частным (1).
|  | 41 | 9 | 4 |  | New dividends.
|  |  | 3 |  |  | Остаток наибольшего делимого.
|  |  |  | 9 | 4 | Произведение разностей 1 и 2 со 2-м частным (1).
|  | 41 | 3 | 3 | 4 | New dividends.
|  |  | 3 |  |  | Остаток наибольшего делимого.
|  |  |  | 9 | 4 | Произведение разностей 1 и 2 с 3-м частным (1).
|  |  | 7 | 2 | 8 | New dividends.
|  |  | 6 |  | 6 | Произведение делителей на 4-е частное (1).
|  |  | 1 | 2 | 2 | Remainder.
|  |  |  |  | 1 | 4th Quotient.
|  |  |  |  | 1 | 3rd Quotient.
|  |  |  |  | 1 | 2nd Quotient.
|  |  |  | 1 |  | 1st Quotient.
|  |  |  | 1 | 3 | Quotient.

Главными абацистами являются Герберт (X век), Аббон и Герман Расслабленный (1054 г.), которым приписывают возрождение этого искусства, а также Бернелин, Герланд и Радульф Лаонский (XII век). Нам известны следующие английские абацисты: Роберт, епископ Херефорда (1095 г.), который «abacum et lunarem compotum et celestium cursum astrorum rimatus», Турхилл Компотист (Турхил) и через него Вильгельм Р. . . . «лучший из живущих вычислителей», Гизлеберт и Симон де Ротелли (Симон Свитков). Они процветали, вероятнее всего, в первой четверти XII века, поскольку трактат Турхила касается также дробей. Вальчер Даремский, Томас Йоркский и Самсон Вустерский также известны как абацисты.

В конце концов термин «абацисты» стал применяться к вычислителям, использовавшим ручную арифметику. Алгоритмический трактат XIII века (Sl. 3281, f. 6, b) содержит следующий пассаж: «Est et alius modus secundum operatores sive practicos, quorum unus appellatur Abacus; et modus ejus est in computando per digitos et junctura manuum, et iste utitur ultra Alpes».

В составном трактате, содержащем сочинения 1157 и 1208 гг. н. э. о календаре, абаке, ручном календаре и ручном абаке, сохранился ряд методов. В качестве примера мы приводим правило для умножения (Claud. A. IV., f. 54 vo): «Si numerus multiplicat alium numerum auferatur differentia majoris a minore, et per residuum multiplicetur articulus, et una differentia per aliam, et summa proveniet». Пример: 8 × 7. Разность 8 составляет 2, а 7 — 3, при этом ближайший десяток равен 10; 7 - 2 = 5. 5 × 10 = 50; 2 × 3 = 6. 50 + 6 = 56 — ответ. Это правило будет действовать в таких случаях, как 17 × 15, где ближайший высший десяток одинаков для обоих чисел, то есть 20; но в таких случаях, как 17 × 9, разность для каждого числа должна вычитаться из большего десятка, то есть разность 9 будет равна 11.

Алгоритмики.

Алгоризм (augrim, augrym, algram, agram, algorithm) обязан своим названием той случайности, что первый переведенный с арабского языка арифметический трактат оказался трудом Аль-Хорезми, написанным в начале IX века («de numeris Indorum»), который в своей латинской форме начинается со слов «Dixit Algorismi...» Перевод, из которого известна лишь одна рукопись, был выполнен около 1120 года Аделардом Батским, который также писал об абаке и перевел с арабского языка Евклида с комментариями. Весьма вероятно, что другой вариант перевода был выполнен Герардом Кремонским (1114-1187); количество важных трудов, которые переводились с арабского более одного раза, уменьшается с каждым годом по мере расширения наших знаний о средневековых текстах. Несколько строк этого перевода в копии Холливела приведены на стр. 72, примеч. 2. Еще один перевод, судя по всему, был выполнен Иоанном Севильским.

Алгоризм отличается от вычислений абацистов тем, что признает семь правил: сложение, вычитание, дупликацию, медиацию, умножение, деление и извлечение корней, к которым впоследствии добавились нумерация и прогрессия. Он также отличается использованием нуля, что позволило вычислителю обходиться без колонок абака. В нем очевидно используется доска с мелким песком или воском, а позднее — в качестве замены — бумага или пергамент; грифельная доска и карандаш также применялись в XIV веке, а насколько раньше — неизвестно5. Алгоризм быстро вытеснил методы абака для всех сложных вычислений, поскольку он был проще и легче проверялся: фактически астрономическое возрождение XII и XIII веков было бы невозможно без его помощи.

Количество латинских алгоризмов, сохранившихся в рукописях, сравнительно велико, однако здесь мы имеем дело лишь с двумя: прозаическим алгоризмом, приписываемым Сакробоско (Иоанну Сакробоско) в колофоне парижской рукописи, хотя это приписывание больше не считается окончательным, и другим — в стихах, вероятнее всего, принадлежащим Александру Вильдеюскому (Villa Dei). Александр, умерший в 1240 году, преподавал в Париже в 1209 году. Его стихотворный трактат о календаре датирован 1200 годом, и к тому же периоду можно отнести его алгоризм; Сакробоско умер в 1256 году и цитирует стихотворный алгоризм. Было создано несколько комментариев к стихотворному трактату Александра, из одного из которых был переведен наш первый трактат, а сам текст время от времени расширялся за счет добавления разделов о доказательствах и устном счете. Мы не имеем указаний на источник, которым пользовался Александр; скорее всего, это был один из переводов труда Аль-Хорезми, но он также держал в уме абацистов, о чем свидетельствует сохранение использования разностей при умножении. Его трактат, впервые опубликованный Холливеллом-Филлиппсом в его сборнике «Rara Mathematica», приспособлен для использования на доске, покрытой песком, — методе, почти универсальном в XIII веке, как показывают некоторые уже цитировавшиеся отрывки из алгоризмов того периода: «Est et alius modus qui utitur apud Indos, et doctor hujusmodi ipsos erat quidem nomine Algus. Et modus suus erat in computando per quasdam figuras scribendo in pulvere...» «Si voluerimus depingere in pulvere predictos digitos secundum consuetudinem algorismi...» «et sciendum est quod in nullo loco minutorum sive secundorum... in pulvere debent scribi plusquam sexaginta».

Современная арифметика.

Современная арифметика начинается с трактата Леонардо Фибоначчи «de Abaco», написанного в 1202 году и переписанного в 1228 году. Он является современным скорее по кругу своих задач и методам подхода к ним, чем по самим методам вычислений, которые соответствуют его эпохе. Его единственный интерес для настоящей работы заключается в том, что Леонардо использует цифровые знаки, описанные в трактате Рекорда «The arte of nombrynge by the hand», для устного счета, называя этот метод «modus Indorum». Леонардо также вводит метод проверки «девятью».

Пальцевая арифметика.

Метод обозначения чисел с помощью пальцев имеет весьма долгую историю. Британский музей располагает двумя жетонами из слоновой кости, на одной стороне которых небрежно выцарапаны римские цифры IIIV и VIIII, а на другой — тщательно выгравированы цифровые знаки для 8 и 9. Шестнадцать, по-видимому, было количеством полного набора. Эти жетоны использовались либо в играх, либо для счетной доски, и музейные экспонаты, происходящие из коллекции Гамильтона, несомненно, созданы не позже I века. Фрёнер опубликовал в «Zeitschrift des Münchener Alterthumsvereins» почти полный набор таких жетонов вместе с византийским трактатом; латинский трактат опубликован среди сочинений Беды. Использование этого метода универсально на Востоке, а его разновидность встречается у многих коренных народов Африки. В средневековой Европе он был почти ограничен Италией и бассейном Средиземноморья, и в уже цитировавшемся трактате (Sloane 3281) он даже называется абаком, что, возможно, является отголоском труда Фибоначчи.

Методы вычислений с помощью этих знаков, несомненно, существовали, но они были слишком сложными и подверженными ошибкам, чтобы получить широкое распространение.

Использование «арабских» цифр.

В настоящее время Бубновым можно считать доказанным, что наши нынешние цифры происходят из греческих источников через так называемые боэциевы «апексы», которые впервые встречаются в рукописях конца X века. То, что они произошли не напрямую из арабского языка, кажется несомненным из-за различающихся очертаний некоторых цифр, особенно 0, который в арабском обозначает 5. Существовала иная греческая форма, которая была введена в Европе Иоанном Базингстокским в XIII веке и изображена Матвеем Парижским (V. 285); однако эта форма не имела успеха. Дата появления нуля горячо дебатировалась, но представляется очевидным, что латинские переводчики XII века с арабского языка прекрасно знали систему, с которой они столкнулись в своих арабских текстах, в то время как самые ранние астрономические таблицы XIII века, которые я видел, используют числа европейского, а не арабского происхождения. Тот факт, что латинские авторы имели удобный способ записи сотен и тысяч без каких-либо нулей, вероятно, задержал всеобщее распространение арабской нотации. Доктор Хилл опубликовал очень полное исследование различных форм цифр в Европе. Они стали распространяться с середины XIII века, и весьма интересный набор семейных записей о рождениях в рукописи Британского музея Harl. 4350 демонстрирует их распространение. Первая запись датирована Mijc. lviii., вторая — Mijc. lxi., третья — Mijc. 63, четвертая — 1264, а пятая — 1266. Другой пример приведен в наборе астрономических таблиц за 1269 год в рукописи сочинений Роджера Бэкона, где переписчик начал писать MCC6. и перечеркнул цифры, заменив их «арабской» формой.

Счетная доска.

Трактат на стр. 52–65 — единственный известный на английском языке по этому вопросу. В нем описывается метод вычислений, который с небольшими изменениями распространен в России, Китае и Японии по сей день, хотя в Западной Европе он вышел из употребления к XVII веку. В Германии этот метод называется «Algorithmus Linealis», и существует несколько изданий трактата под этим названием (с диаграммой счетной доски), отпечатанных в Лейпциге в конце XV и начале XVI века. В них приводятся девять правил, но с оговоркой: «Capitulum de radicum extractione ad algoritmum integrorum reservato, cujus species per ciffrales figuras ostenduntur ubi ad plenum de hac tractabitur». Изобретение этого искусства приписывается там философу Апулею.

Преимущество счетной доски — будь то постоянной или изготовленной путем нанесения мелом параллельных линий на стол, как показано на некоторых гравюрах по дереву XVI века — заключается в том, что для обозначения числа девять требуется всего пять жетонов: жетоны на линиях обозначают единицы, а жетоны в промежутках над ними — значения, в пять раз превышающие значения на линии ниже. Русский абак, «чатуи» или «счеты», имеет десять бусин на линии; китайский и японский «суаньпань» экономит место, разделяя линию на две части, причем бусины на одной стороне обозначают величину, в пять раз превышающую достоинство бусин на другой. «Суаньпань» обычно имеет гораздо больше линий, чем «счеты», что позволяет производить более сложные вычисления (см. Tylor, Anthropology (1892), p. 314).

В трактате Рекорда упоминается также другой метод нотации с помощью жетонов (стр. 64) — «купеческий счет» и «аудиторский счет». Они были приспособлены для принятого в Англии метода счета чисел до 200 двадцатками. Этот метод, по-видимому, использовался в казначействе. Счетная доска для использования купцами опубликована Холливеллом в «Rara Mathematica» (стр. 72) из рукописи Sloane MS. 213, а еще две изображены в Egerton 2622 (f. 82 и f. 83). Последняя названа «novus modus computandi secundum inventionem Magistri Thome Thorleby» и по своему принципу аналогична «суаньпаню».

Казначейская доска описана в «Dialogus de Scaccario» (Oxford, 1902), стр. 38.

1. Холливелл напечатал две стороны своего листа в неправильном порядке. Это обстоятельство, а также некоторые очевидные ошибки переписки — вроде «ferye» вместо «ferthe», «lest» вместо «left» и т. д. — не были исправлены в репринтном издании на стр. 70–71.

2. Об использовании в Египте см. Геродот, II, 36; Платон, «Законы», VII.

3. См. об этом: Dr. Poole, The Exchequer in the Twelfth Century, Chap. III., и Haskins, Eng. Hist. Review, 27, 101. Общее количество гайд в Эссексе в 1130 году составляло 2364.

4. Эти цифры удаляются на следующем шаге.

5. Грифельные доски упоминаются Чосером, а вскоре после этого (в 1410 г.) Проздочимо де Бельдаманди упоминает об использовании «lapis» вычислителями для ведения записей.

Egerton 2622.

leaf 136 a.

Hic algorismus ars presens dicitur; in qua

Talibus indorum fruimur bis quinque figuris.

Происхождение слова «алгоризм». Эта книга называется книгой алгоризма, или огримом по простонародному обычаю. И эта книга трактует об искусстве счета, которое также называется алгоризмом. Жил-был царь в Индии, которого звали Алгор, и он создал это искусство. И по своему имени он назвал его алгорисмом; Другая этимология слова. или же есть другая причина, почему он называется алгорисмом: латинское слово Algismus происходит от греческого Algos, что означает ars (латынь), «искусство» по-английски, и rides, что означает numerus (латынь), «число» по-английски, отсюда Algismus образуется путем добавления слога mus и вычитания d и e, как бы ars numerandi. ¶ Более того, вы должны понимать, что в этом искусстве используются десять фигур, которые написаны здесь для примера: φ 9 8 7 6 5 4 3 2 1. ¶ Истолкуйте два предыдущих стиха: это настоящее искусство называется алгоризмом, в коем мы используем десять знаков Индии. Вопрос. ¶ Почему десять индийских фигур? Ответ. Ибо, как я уже говорил, они были впервые найдены в Индии царем той страны, которого звали Алгор.

Нотация и нумерация.

versus [in margin].

Prima significat unum; duo vero se cunda:

Tercia significat tria; sic procede sinistre.

Donec ad extremam venias, que cifra vocatur.

Capitulum primum de significacione figurarum.

Толкование стиха. В этом стихе разъясняется значение этих фигур. И истолкуйте этот стих следующим образом. Значение и место фигур. Первая фигура означает один, вторая [лист 136 b] означает два, третья означает три, а четвертая означает 4. ¶ И так далее по направлению к левой стороне таблицы или книги, на которой написаны фигуры, пока вы не дойдете до последней фигуры, которая называется цифрой. ¶ Вопрос. С какой стороны находится первая фигура? Ответ. Поистине, посмотрите, какая фигура стоит первой с правой стороны книги или таблицы, и именно она является первой фигурой, ибо вы должны писать справа налево, как здесь: 3. 2. 6. 4. 1. 2. 5. Какая фигура читается первой. Цифра 5 была написана первой, и она является первой, потому что стоит с правой стороны. А цифра 3 — последняя. ¶ Тем не менее, когда он говорит: Prima significat unum и т. д., это значит, что первая означает один, вторая — 2, и далее он подразумевает не первую цифру каждого ряда. ¶ Но он подразумевает первую фигуру, которая находится в числе упомянутых десяти фигур, каковой является единичка. 1. И вторая — 2, и так далее.

versus [in margin].

Quelibet illarum si primo limite ponas,

Simpliciter se significat: si vero secundo,

Se decies: sursum procedas multiplicando.

Namque figura sequens quamvis signat decies plus.

Ipsa locata loco quam significat pertinente.

Толкование [на полях]. ¶ Истолкуйте этот стих так: каждая из этих фигур обозначает саму себя и ничего более, если она стоит на первом месте ряда; это слово Simplicitеr в данном стихе означает не что иное, как «именно так и никак иначе». Пояснение принципов нотации. ¶ Если она стоит на втором месте ряда, она обозначает себя в десять раз больше, как эта фигура 2 здесь (20 означает в десять раз больше себя, [лист 137 a] то есть двадцать, ибо сама по себе она обозначает два, а десять раз по два будет двадцать). И поскольку она стоит с левой стороны и на втором месте, она обозначает себя в десять раз больше. И так далее. ¶ Ибо каждая фигура, если она стоит одна за другой по направлению к левой стороне, должна обозначать в десять раз больше того, что она обозначала бы, если бы стояла на том месте, где стоит предшествующая ей фигура. Пример: вот пример. 9. 6. 3. 4. Цифра 4, которая имеет такое начертание ., обозначает лишь саму себя, потому что стоит на первом месте. единицы, Цифра 3, которая имеет такое начертание ., обозначает в десять раз больше, чем она обозначала бы, если бы стояла там, где стоит цифра 4, то есть тридцать. десятки, Цифра 6, которая имеет такое начертание ., обозначает в десять раз больше, чем если бы она стояла там, где стоит цифра ., ибо там она обозначала бы лишь шестьдесят, а теперь она обозначает в десять раз больше, то есть шестьсот. сотни, Цифра 9, которая имеет такое начертание ., обозначает в десять раз больше, чем если бы она стояла на месте цифры шесть, ибо тогда она обозначала бы девять сотен, а на том месте, где она стоит теперь, она обозначает 9 тысяч. тысячи. Все число в целом составляет 9 тысяч 6 сотен 34. ¶ Более того, когда вам предстоит прочитать многозначное число, Как читать число. вы должны начать с последней фигуры с левой стороны и читать дальше вправо, как здесь: 9. 6. 3. 4. Вы должны начать чтение с цифры 9 и читать дальше следующим образом: [лист 137 b] 9 тысяч 6 сотен 34. Но когда вам нужно писать, вы должны начинать писать с правой стороны.{4}{3}{6}{3}{9}

¶ Nil cifra significant sed dat signare sequenti.

Значение и использование цифры ноль. Истолкуй этот стих. Цифра ноль ничего не обозначает, но она заставляет фигуру, которая идет за ней, обозначать больше, чем если бы ее не было, например: 10. Здесь единица обозначает десять, а если бы цифра ноль отсутствовала и перед ней не было другой фигуры, она обозначала бы только единицу, поскольку тогда она стояла бы на первом месте. ¶ И цифра ноль сама по себе ничего не обозначает, ибо общая сумма этих двух фигур равна лишь десяти. ¶ Вопрос. Почему он говорит, что цифра ноль заставляет фигуру обозначать (значимо) больше и т. д.? ¶ Я говорю это ради слова «значимо»: воистину, может случиться так, что за цифрой ноль последует другая цифра ноль, например: 100. И все же вторая цифра ноль не будет обозначать ничего большего, кроме как сохранять порядок разряда, а цифра ноль не является значащей фигурой.

¶ Quam precedentes plus ultima significabit /

Последняя цифра означает больше, чем все остальные, так как она имеет наибольшую ценность. Истолкуй этот стих так: последняя цифра будет обозначать больше, чем все остальные предыдущие, даже если перед ней было сто тысяч фигур, например: 16798. Последняя цифра, то есть 1, обозначает десять тысяч. А все остальные фигуры вместе обозначают лишь шесть тысяч семьсот девяносто восемь. ¶ И десять тысяч больше, чем все это число, следовательно, последняя цифра обозначает больше, чем все предыдущее число.

Три вида чисел

leaf 138 a.

* ¶ Post predicta scias breviter quod tres numerorum

Distincte species sunt; nam quidam digiti sunt;

Articuli quidam; quidam quoque compositi sunt.

¶ Capitulum 2m de triplici divisione numerorum.

¶ Автор этого трактата делит слово «число» на 3 части. Некоторое число называется по-латыни digitus, по-английски — digit (цифра). Цифры. Некоторое число называется по-латыни articulus. По-английски — Articul (десяток). Десятки. Некоторое число называется по-английски composyt (составное число). Составные числа. ¶ Истолкуй этот стих. Пойми после правил, которые я изложил ранее, что существует три вида чисел. Одно — цифра, другое — десяток, а третье — составное число. Версус.

Цифры, десятки и составные числа.

¶ Sunt digiti numeri qui citra denarium sunt.

Что такое цифры. ¶ Здесь он рассказывает, что такое цифра. Истолкуй стих следующим образом. Числа-цифры — это все числа, которые находятся в пределах десяти, такие как девять, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

¶ Articupli decupli degitorum; compositi sunt

Illi qui constant ex articulis degitisque.

¶ Здесь он рассказывает, что такое составное число и что такое десяток. Истолкуй стих следующим образом. Что такое десятки. ¶ Десятки — это все числа, которые можно разделить на десятки без остатка, такие как двадцать, тридцать, сорок, сто, тысяча и тому подобные, ибо двадцать можно разделить на 2 десятка, сорок — на четыре десятка и так далее.

лист 138б. Что такое составные числа. *Составные числа — это числа, которые состоят из цифры и десятка, такие как четырнадцать, пятнадцать, шестнадцать и тому подобные. Четырнадцать состоит из четырех, что является цифрой, и из десяти, что является десятком. Пятнадцать состоит из 5 и десяти, и так все остальные, какими бы они ни были. Кратко говоря, каждое число, которое начинается с цифры и заканчивается десятком, является составным числом, как, например, четырнадцать начинается с четырех, что является цифрой, и заканчивается десятью.

¶ Ergo, proposito numero tibi scribere, primo

Respicias quid sit numerus; si digitus sit

Primo scribe loco digitum, si compositus sit

Primo scribe loco digitum post articulum; sic.

Как записывать число. ¶ Здесь он рассказывает, как следует действовать, когда нужно записать число. Истолкуй стих следующим образом и поступай согласно смыслу толкователя: когда у тебя есть число для записи, посмотри сначала, какого рода число тебе нужно записать — является ли оно цифрой, составным числом или десятком. Если это цифра; ¶ Если это цифра, запиши цифру, например, если это семь, запиши семь и запиши эту цифру на первом месте по направлению к правой стороне. Если это составное число. Если это составное число, запиши цифру составного числа на первом месте, а десяток этого числа запиши на втором месте в следующем разряде по направлению к левой стороне. Например, если тебе нужно записать двадцать шесть, запиши цифру числа на первом месте, то есть шесть, а десяток запиши в следующем разряде, то есть двадцать, вот так: 26. Как его прочитать. Но когда ты будешь произносить вслух, или лист 139а *говорить, или читать составное число, ты должен сначала назвать десяток, а после него цифру, как ты видишь в обычной речи: двадцать шесть, а не шесть и двадцать. Версус.

¶ Articulus si sit, in primo limite cifram,

Articulum vero reliquis inscribe figuris,

Как записывать десятки: ¶ Здесь он рассказывает, как следует писать, когда число, которое тебе нужно записать, является десятком. Истолкуй стих следующим образом и действуй согласно смыслу. Если число, которое тебе нужно записать, является десятком, запиши сначала цифру ноль, а после нуля запиши десяток вот так: 20. Десятки, ¶ Кроме того, ты должен понимать: если у тебя есть десяток, посмотри, каков он; если он находится в пределах ста, ты должен написать только один ноль перед ним, вот так: 90. Сотни, ¶ Если десяток представлен сам по себе и равен ровно ста, тогда ты должен написать .1. и два нуля перед ним, чтобы он стоял на третьем месте, ибо каждая фигура на третьем месте будет обозначать себя саму сто раз. Тысячи и т. д. Если десяток представляет собой тысячу или тысячи 3 и стоит сам по себе, напиши перед ним 3 нуля и так далее для всех остальных.

¶ Quolibet in numero, si par sit prima figura,

Par erit & totum, quicquid sibi continuatur;

Impar si fuerit, totum tunc fiet & impar.

Как узнать четное число ¶ Здесь он обучает общему правилу: если первая цифра в ряду фигур обозначает число, которое является четным, то все число фигур в этом ряду будет четным, как здесь ты можешь видеть: 6. 7. 3. 5. 4. Подсчитай и проверь. или нечетное. ¶ Если первая лист 139б *фигура обозначает число, которое является нечетным, то все число в этом ряду будет нечетным, как здесь: 5 6 7 8 6 7. Подсчитай и проверь. Версус.

¶ Septem sunt partes, non plures, istius artis;

¶ Addere, subtrahere, duplare, dimidiare,

Sextaque diuidere, sed quintam multiplicare;

Radicem extrahere pars septima dicitur esse.

Семь правил арифметики.

Семь правил. ¶ Здесь говорится, что существует .7. видов или частей этого ремесла. Первая называется сложением, вторая называется вычитанием. Третья называется дупликацией. Четвертая называется медиацией. Пятая называется умножением. Шестая называется делением. Седьмая называется извлечением корня. Что представляют собой все эти виды, будет рассказано по отдельности в их главах.

¶ Subtrahis aut addis a dextris vel mediabis:

Складывайте, вычитайте или делите пополам справа налево. Ты начнешь с правой стороны книги или таблицы. Посмотри, где ты хочешь начать писать по-латыни или по-английски в книге, и та сторона, куда ты пишешь, будет называться правой стороной книги, а та, от которой ты пишешь, будет называться левой стороной книги. Версус.

A leua dupla, divide, multiplica.

Здесь он говорит тебе, на какой стороне книги или таблицы ты должен начать выполнять дупликацию, деление и умножение. Умножайте или делите слева направо. Ты должен начать работу с левой стороны книги или таблицы, но каким образом ты будешь работать с ними, будет сказано отдельно в следующих главах, а также о пользе каждого искусства, и на этом завершается лист 140 *пролог, после чего следует трактат, и сначала об искусстве сложения, которое является первым искусством по порядку.

Искусство сложения.

Addere si numero numerum vis, ordine tali

Incipe; scribe duas primo series numerorum

Primam sub prima recte ponendo figuram,

Et sic de reliquis facias, si sint tibi plures.

Четыре вещи, которые необходимо знать: ¶ Здесь начинается искусство сложения. В этом искусстве ты должен знать четыре вещи. ¶ Во-первых, ты должен знать, что такое сложение. Во-вторых, ты должен знать, сколько рядов фигур ты должен иметь. ¶ В-третьих, ты должен знать, сколько различных случаев происходит в этом искусстве сложения. ¶ И в-четвертых, какова польза этого искусства. Что это такое; ¶ Что касается первого, ты должен знать, что сложение — это сложение вместе двух чисел в одно число. Например, если я спрошу, сколько будет два и три, ты сложешь эти два числа вместе и скажешь, что это пять. Сколько рядов фигур; ¶ Что касается второго, ты должен знать, что у тебя будет два ряда фигур, один под другим, как ты можешь здесь видеть: 1234 2168. Сколько случаев; ¶ Что касается третьего, ты должен знать, что существует четыре различных случая. Каков его результат. Что касается четвертого, ты должен знать, что польза этого искусства заключается в том, чтобы сказать, каково общее число, получающееся из различных чисел. Теперь, что касается текста нашего стиха, он учит там, как ты должен работать в этом искусстве. ¶ Он говорит, что если ты хочешь прибавить одно число к другому, ты должен начать следующим образом. Как записать сумму. ¶ Сначала запиши лист 140б *два ряда фигур и чисел так, чтобы ты записал первую фигуру верхнего числа точно под первой фигурой нижнего числа, 123 234. И вторую фигуру нижнего числа точно под второй фигурой верхнего, и так далее для каждой фигуры обоих рядов, как ты можешь видеть.

Случаи искусства сложения.

¶ Inde duas adde primas hac condicione:

Si digitus crescat ex addicione priorum;

Primo scribe loco digitum, quicunque sit ille.

¶ Здесь он обучает тому, что ты должен делать, когда ты записал два ряда фигур одну под другой, как я сказал ранее. Сложите первые фигуры; ¶ Он говорит, что ты должен взять первую фигуру верхнего числа и первую фигуру нижнего числа и сложить их вместе на следующем условии. Ты должен посмотреть, является ли получающееся от этого число цифрой или нет. Сотрите верхнюю фигуру; ¶ Если это цифра, ты должен убрать первую фигуру верхнего числа и записать на ее месте, где она стояла, цифру, получающуюся от этих двух фигур, и запишите результат на его месте. работай дальше с другими фигурами, если таковые имеются, пока не дойдешь до конца по направлению к левой стороне. И пусть нижняя фигура стоит на месте всегда, пока ты не закончил. Ибо благодаря этому ты узнаешь, правильно ли ты все сделал или нет, как я расскажу тебе позже в конце этой главы. ¶ И следи всегда лист 141а *за тем, чтобы начать работу в этом искусстве сложения с правой стороны. Вот пример. Вот пример этого случая. 1234 2142. Прибавь 2 к четырем, и это будет шесть, убери 4 и запиши на том же месте цифру шесть. ¶ И пусть цифра 2 в нижнем ряду стоит на месте. Когда ты это сделаешь, сложи 3 и 4 вместе, и это будет семь, что является цифрой. Убери 3, поставь там семь, и пусть нижняя фигура стоит на месте, и так работай дальше назад, пока не сделаешь все целиком.

Et si compositus, in limite scribe sequente

Articulum, primo digitum; quia sic iubet ordo.

¶ Здесь второй случай, который может произойти в этом искусстве. И этот случай таков: Если число, полученное от сложения двух чисел вместе, а именно фигуры верхнего ряда и фигуры нижнего ряда, является составным числом, как тебе действовать. Ты должен действовать следующим образом. Ты должен убрать фигуру верхнего числа, которая была прибавлена к фигуре нижнего числа. ¶ И записать там цифру составного числа. И поместить десяток составного числа сразу после цифры в том же ряду, если после него больше нет фигур. Но если после этой цифры есть еще фигуры, тогда он будет учитываться сам по себе. И когда ты будешь прибавлять ту самую фигуру, которая несет десяток над своей головой, к фигуре под ней, ты должен прибавить этот десяток к фигуре, у которой он находится над головой, и там этот десяток будет обозначать сам себя. Вот пример. Вот пример лист 141б *всего. 326 216. Прибавь 6 к 6, и из этого получится двенадцать. Убери верхнюю 6 и запиши там 2, что является цифрой этого составного числа. И затем напиши десяток над головой фигуры двоек вот так: 1 322 216. Теперь прибавь десяток, который стоит над головой фигуры двоек, к этой же фигуре, и считай этот десяток только за один, и тогда получится три. Затем прибавь эту тройку к нижней фигуре, то есть к единице, и это будет четыре. Убери цифру 3 и запиши там цифру четыре, и пусть нижняя фигура стоит на месте, и затем продолжай работу. И так далее, версус.

¶ Articulus si sit, in primo limite cifram,

¶ Articulum vero reliquis inscribe figuris,

Vel per se scribas si nulla figura sequatur.

¶ Здесь он излагает третий случай искусства сложения. И этот случай таков: Предположим, это десяток, поставьте ноль и запомните десяток. Если от сложения 2 фигур возникает десяток, как ты должен поступить? Ты должен убрать верхнюю фигуру, которая была прибавлена к нижней, и записать там ноль, а десятки поместить на голову фигуры, если после этого появятся другие. И затем действовать так, как я рассказал тебе во втором случае. Пример. 25. 15. Прибавь 5 к 5, это будет десять. Теперь убери верхнюю 5 и запиши там ноль. И помести десять на голову фигуры 2. И считай это только за один вот так: Вот пример. пример 1 20 15 И лист 142а *затем продолжай работу. Но если после нуля не идет никакой фигуры, запиши десяток рядом с ним в том же ряду, вот так: 5 5 Прибавь 5 к 5, и это будет десять. Убери 5, то есть верхнюю 5, и запиши там ноль, и запиши после него десяток вот так: 10 5 И тогда ты закончил.

¶ Si tibi cifra superueniens occurrerit, illam

Dele superpositam; fac illic scribe figuram,

Postea procedas reliquas addendo figuras.

Что делать, если в верхнем ряду оказался ноль. ¶ Здесь он излагает четвертый случай, и он заключается в том, что если в верхнем ряду встречается ноль, как тебе следует поступить. Ты должен поступить следующим образом. Убери ноль и поставь там цифру, которая получается от сложения, вот так: 10084. 17743. Пример всех трудностей. В этом примере представлены все четыре случая. Прибавь 3 к четырем, это будет семь. Убери 4 и запиши там семь; затем прибавь 4 к фигуре 8, это будет 12. Убери 8 и поставь там 2, что является цифрой, и помести десяток составного числа, то есть десять, на голову нуля, и считай его сам по себе, то есть как единицу. Затем прибавь единицу к нулю, и получится только единица, ибо ничто и единица дают только единицу. Затем прибавь 7, которая стоит под этой единицей, к ней, и это будет 8. Убери ноль и ту единицу и поставь там 8. Затем иди дальше. Прибавь другую 7 к нулю, который стоит над ней, это будет только семь, так как ноль ничего не обозначает. Убери ноль и поставь там семь, лист 142б *и затем иди дальше и прибавь 1 к 1, и это будет 2. Убери верхнюю 1 и поставь там 2. Затем ты закончил. И если ты все сделал правильно, число, которое приведено здесь ниже, будет числом, которое получится от всего сложения, вот здесь: 27827. ¶ Sequitur alia species.

Искусство вычитания.

A numero numerum si sit tibi demere cura

Scribe figurarum series, vt in addicione.

Четыре вещи, которые нужно знать о вычитании: ¶ Это глава о вычитании, в которой ты должен знать четыре необходимые вещи. Первая — что такое вычитание. Вторая — сколько чисел ты должен иметь для вычитания, третья — сколько видов случаев может произойти в этом искусстве вычитания. Четвертая — какова польза этого искусства. ¶ Что касается первого; Первое — ты должен знать, что вычитание — это извлечение одного числа из другого числа. Второе; Что касается второго, ты должен знать, что у тебя должно быть два ряда фигур один под другим, как ты складывал при сложении. Третье; Что касается третьего, ты должен знать, что в этом искусстве могут происходить четыре вида различных случаев. Четвертое. ¶ Что касается четвертого, ты должен знать, что польза этого искусства заключается в том, чтобы после вычитания меньшего числа из большего сказать, что останется после этого. И ты должен начать работу в этом искусстве с правой стороны книги, как ты делал при сложении. Версус.

¶ Maiori numero numerum suppone minorem,

¶ Siue pari numero supponatur numerus par.

лист 143а. * ¶ Здесь он говорит о том, что Поместите большее число над меньшим. верхнее число должно быть больше нижнего или, по крайней мере, равным ему. Но оно не может быть меньше. И случай таков: ты будешь вычитать нижнее число из верхнего, и ты не можешь сделать этого, если верхнее число меньше него. Ибо ты не можешь вычесть шесть из двух. Но ты можешь вычесть 2 из шести. И ты можешь вычесть два из двух, ибо от верхних двух у тебя ничего не останется, анде версус.

Случаи искусства вычитания.

¶ Postea si possis a prima subtrahe primam

Scribens quod remanet.

Первый случай вычитания. Здесь изложен первый случай вычитания, и он говорит, что ты должен начать с правой стороны и вычесть первую фигуру нижнего ряда из первой фигуры верхнего ряда, независимо от того, больше верхняя фигура нижней или равна ей. И это отмечено в стихе, когда он говорит «Si possis». Когда ты сделаешь это таким образом, убери самую верхнюю фигуру и поставь там то, что остается от вычитания. Вот пример. вот пример 234 122 Вычти 2 из 4. Тогда останется 2. Убери 4 и запиши там 2, и пусть нижняя фигура стоит на месте, и так проходи мимо других фигур, пока не дойдешь до конца, тогда ты все сделал.

¶ Cifram si nil remanebit.

Поставьте ноль, если ничего не осталось. ¶ Здесь он излагает второй случай, и он таков. Если случится так, что когда ты вычел нижнюю фигуру из верхней, после вычитания ничего не осталось, лист 143б *ты должен поступить следующим образом. Ты должен убрать верхнюю фигуру и записать там ноль, как Вот пример. вот пример 24 24 Вычти четыре из четырех, тогда ничего не останется. Поэтому убери верхнюю 4 и поставь там ноль, затем вычти 2 из 2, тогда ничего не останется. Убери верхнюю 2 и поставь там ноль, и так поступай везде, где это случается.

Sed si non possis a prima demere primam

Precedens vnum de limite deme sequente,

Quod demptum pro denario reputabis ab illo

Subtrahe totalem numerum quem proposuisti

Quo facto scribe super quicquid remanebit.

Предположим, вы не можете вычесть нижнюю фигуру из верхней, займите десяток; Здесь он излагает третий случай, который заключается в следующем. Если случится так, что нижняя фигура больше верхней фигуры, из которой ее нужно вычесть, как тебе поступить? Ты должен поступить следующим образом. Ты должен занять .1. у следующей фигуры, которая идет следом в том же ряду, ибо этот случай никогда не может произойти иначе, чем если за ней идут фигуры. Затем ты должен поместить эту единицу над головой верхней фигуры, из которой ты хотел вычесть нижнюю фигуру, если бы у тебя была такая возможность. Когда ты сделаешь это, ты должен считать эту .1. за десять. вычтите меньшее число из десяти; ¶ И из этих десяти ты должен вычесть самую нижнюю фигуру, И все, что останется, ты должен добавьте ответ к верхнему числу. прибавить к фигуре, на голове которой стояла эта .1. И тогда ты должен убрать все это и поставить там все, что получается от сложения этих двух фигур. И если лист 144а *случится так, что фигура, у которой ты должен занять единицу, сама по себе равна только 1, ты возьмешь эту единицу и поместишь ее на голову другой фигуры, а на том 1 месте поставишь ноль, если после него идет много фигур. Пример. вот пример. 2122 1134 Вычти 4 из 2. Это не получится, поэтому займи единицу у следующей фигуры, то есть у 2, и помести ее над головой первой 2, и считай ее за десять. И там, где стоит вторая [фигура], напиши 1, так как ты взял у нее единицу. Затем вычти нижнюю фигуру, то есть 4, из десяти. И тогда останется 6. Прибавь к 6 фигуру той 2, которая стояла под головой единицы, которая была занята и посчитана за десять, и это будет 8. Убери эту 6 и эту 2 и поставь там 8, и пусть нижняя фигура стоит на месте. Когда ты это сделаешь, переходи к следующей фигуре, которая теперь равна только 1, но сначала она была 2, и от нее была занята 1. Как «вернуть» занятый десяток. Затем вычти из нее стоящую под ней фигуру, то есть 3. Это не получится. Поэтому займи у следующей фигуры, которая равна только 1. Также возьми ее и помести над головой фигуры, которую ты хотел вычесть из нижней фигуры, каковой была 3, а ты не мог, и считай эту занятую 1 за десять и поставь в том же месте, из которого ты её взял, ноль, так как она была равна только 1. Когда ты сделаешь это, вычти из этой 1, которая засчитана за десять, нижнюю фигуру 3. И там останется 7. лист 144б *прибавь эти самые 7 к фигуре, у которой над головой была эта десятка, каковой фигурой была 1, и это будет 8. Затем убери эту 1 и эту 7 и запиши там 8. И затем продолжай работу с другими фигурами, пока не дойдешь до конца, и тогда ты все сделал. Версус.

¶ Facque nonenarios de cifris, cum remeabis

¶ Occurrant si forte cifre; dum dempseris vnum

¶ Postea procedas reliquas demendo figuras.

Излагается очень сложный случай. ¶ Здесь он излагает четвертый случай, который заключается в следующем: если случится так, что нижняя фигура, которую ты должен вычесть из верхнего числа, больше верхней фигуры над ней, а следующая фигура или две, или три, или четыре, или сколько их ни есть, являются нулями, как бы ты поступил? Ты хорошо знаешь, что тебе обязательно нужно занять, а ты не можешь занять у нулей, ибо у них нет ничего, чем они могли бы поделиться или что могли бы сберечь. Следовательно, 4 как бы ты поступил? Воистину, ты должен поступить следующим образом: ты должен занять единицу у следующей значащей фигуры в этом ряду, ибо этот случай не может произойти иначе, как если за нулями идут значащие фигуры. Когда ты займешь эту 1 у следующей значащей фигуры, помести эту единицу над головой той фигуры, из которой ты хотел бы вычесть нижнюю фигуру, если бы мог, и считай ее за десять, как ты делал в другом случае здесь ранее. Когда ты сделаешь это, посмотри, сколько нулей было между этой значащей фигурой и фигурой, из которой ты хотел бы вычесть лист 145а *нижнюю фигуру, и из каждого из этих нулей сделай цифру 9. Вот пример. вот пример после. 40002 10004 Вычти 4 из 2. Это не получится. Займи 1 у следующей значащей фигуры, которая равна 4, и тогда останется 3. Убери эту фигуру 4 и напиши там 3. И помести эту 1 на голову фигуры 2, а затем вычти 4 из десяти, и тогда останется 6. Прибавь 6 к фигуре 2, это будет 8. Убери эту 6 и запиши там 8. Когда ты это сделаешь, сделай из каждого нуля между 3 и 8 цифру 9, и тогда продолжай работу во имя Бога. Так. 39998 10004 И если ты все сделал правильно, 5 у тебя будет это число

Как проверить вычитание.

¶ Si subt ra cc i o sit b e n e facta p o bar e valebis

Quas s u btraxisti p ri mas addendo figuras.

Как сделать проверку вычитания. ¶ Здесь он обучает искусству того, как ты должен узнать, когда ты вычел, правильно ли ты всё сделал или нет. И это искусство состоит в следующем: точно так же, как ты вычитал нижние цифры из верхних, точно так же прибавь те же нижние цифры к верхним. И если ты поработал на славу, у тебя получится то же верхнее число, которое было у тебя до того, как ты начал действовать; ради этого я велел тебе сохранять нижние цифры в неприкосновенности. Вот пример. см. лист 145 б. *Пример всех 4 случаев вместе. Поработай хорошо над этим примером: 40003468 20004664 И если ты поработал хорошо, то после того, как ты вычел все верхние числа здесь, у тебя получится следующее число после вычитания: 39998804 20004664 Наш автор допускает здесь описку (3 вместо 1). И ты узнаешь это следующим образом: прибавь нижний ряд того же числа к верхнему ряду вот так: прибавь 4 к 4, это будет 8; убери 4 и напиши там 8 согласно первому случаю сложения. Затем прибавь 6 к 0, это будет 6; убери 0 и напиши там 6. Затем прибавь 6 к 8, это будет 14; убери 8 и напиши там цифру 4, которая является цифрой [единиц], и запиши цифру 1, которая будет обозначать десять; это десяток над головой следующей за ней 8; затем посчитай эту 1 как 1 и прибавь ее к 8, это будет 9; прибавь к этой 9 нижнюю цифру под ней, которая равна 4, и это будет 13; убери эту 9 и поставь там 3, и поставь цифру 1, которая будет обозначать 10 над головой следующей цифры, которая равна 9, по второму случаю, который был у тебя при сложении. Затем прибавь 1 к 9, и это будет 10; убери 9 и эту 1, и напиши там цифру ноль, и запиши десяток, то есть 1, обозначающую 10, над головой следующей цифры в левую сторону, которая лист 146 а. *является 9, и так поступай до тех пор, пока не дойдешь до последней 9. Он доводит свою проверку до конца, возьми цифру этой 1, которую ты найдешь над головой 9, и поставь ее над головой следующей цифры, которая будет 3. ¶ Также убери 9 и поставь там цифру ноль, а затем прибавь ту 1, которая стоит над головой 3, к самой 3, и это составит 4; затем прибавь к этой самой 4 цифру в нижнем ряду, которая равна 2, и это будет 6, и выводит результат. 60003468 20004664 И тогда у тебя снова будет пример, посмотри и убедись: если у тебя не получится то же самое, ты сотворил ошибку.

Искусство дупликации.

Sequit ur de duplac i one

S i vis duplar e num u ru m , sic i n cipe p rim o

Scribe fig ur ar u m serie m q ua mcu n q ue vel is tu.

В дупликации нужно знать четыре вещи. ¶ Это глава о дупликации, в каковой науке ты должен владеть четырьмя вещами и знать их. ¶ Первое, что ты должен знать, — что такое дупликация; второе — сколько рядов цифр ты должен иметь для этого искусства; третья — сколько различных случаев может возникнуть в этом искусстве; четвертая — в чем польза этого искусства. Вот они. ¶ Что касается первого: дупликация — это удвоение числа. ¶ Что касается второго, ты должен лист 146 б. *иметь одно число или один ряд цифр, который называется удваиваемым числом (numerus duplandus). Что касается третьего, ты должен знать, что в этом искусстве может возникнуть 3 различных случая. Что касается четвертого: в чем польза этого искусства — а это значит знать, что получается от удвоенного числа. Помни, с чего ты начинаешь. ¶ Кроме того, ты должен знать и хорошо обращать внимание на то, с какой стороны ты должен начать в этом искусстве, иначе ты можешь испортить весь свой труд над ним. Несомненно, ты должен начать с левой стороны в этом искусстве; хорошо обдумай этот стих. ¶ 7 A leua dupla, divide, multiplica. 7

Смысл этих вышеприведенных стихов, как ты можешь видеть, если обратишь внимание. Помни свои правила. Как гласит текст этого стиха, то есть: ¶ Si vis duplare. Смысл таков: ¶ Если ты хочешь удвоить число, ты должен начать так: напиши ряд цифр любого числа, какого пожелаешь. versus.

Postea p ro cedas p ri ma m duplando figura m

Inde q uo d excrescit scribas vbi iusserit ordo

Iuxta p re cepta tibi que dant

ur in addic i one.

Как выполнять пример. ¶ Здесь он рассказывает, как ты должен действовать в этом искусстве. Он говорит: во-первых, когда ты написал число, ты должен начать с первой цифры с левой стороны, удвоить эту цифру, а число, которое от этого получится, ты должен записать так же, как ты делал при сложении, как ¶ Я расскажу тебе в [соответствующем] случае. versus.

Случаи искусства дупликации.

leaf 147 a.

* ¶ Nam si sit digitus in primo limite scribas.

Если в ответе получается цифра, ¶ Вот первый случай этого искусства, который заключается в следующем: если от удвоения цифры получается цифра, что ты должен делать? Поступай так: напиши ее на месте верхней цифры. Убери цифру, которая была удвоена, и поставь там цифру [единиц], которая получается от дупликации, а именно так: 23, удвой 2, и это будет 4; убери цифру 2 и поставь там цифру 4, и так работай дальше, пока не дойдешь до конца. versus.

¶ Articul us si sit, in p ri mo limite cifram,

¶ Articulu m v ero reliquis inscribe figuris;

¶ Vel p

er se scribas, si nulla figura sequat

ur .

Если это десяток, ¶ Вот второй случай, который заключается в следующем: если от удвоения цифры получается десяток, ты должен сделать точно так же, как ты делал при сложении, то есть следует убрать цифру, которая удваивается, и поставить на это место цифру ноль, а десятки «перенести». Поставь там цифру ноль и запиши десяток над головой следующей цифры, если таковая имеется далее в левую сторону, а именно так: 25, наччи с левой стороны и удвой 2, это будет 4; убери эту 2 и поставь там 4; затем удвой 5, это будет 10; убери 5 и поставь там 0, и поставь 1 над головой следующей цифры, которая равна 4; и затем опусти 1 к 4, и это будет 5, и затем убери ту 4 и эту 1 и поставь там 5, ибо та 1 при сложении будет учитываться как 1. Когда лист 147 б. *ты это сделаешь, у тебя получится число 50. Если нет цифры, куда их «перенести», запишите их. Если после добавляемой цифры, от сложения которой получается десяток, не идет никакой цифры, ты должен убрать удваиваемую цифру и поставить там 0, а следующий десяток записать рядом в том же ряду в левую сторону, а именно так: 523, удвой 5, это будет десять; убери цифру 5 и поставь там цифру ноль, а следующий десяток поставь рядом в том же ряду в левую сторону, и у тебя получится число 1023; затем иди дальше и удвой остальные числа, что сделать весьма легко. versus.

¶ Compositus si sit, in limite sc ri be seq uen te

Articulu m , p ri mo digitu m ; q uia sic iubet ordo:

Et sic de reliq ui s facie n s, si sint tibi plures.

Если это составное число, ¶ Здесь он излагает третий случай, который заключается в следующем: если от удвоения цифры получается составное число, ты должен убрать цифру, которая удваивается, и поставить там цифру [единиц] составного числа, запишите цифру единиц и «перенесите» десятки. а десяток поставь над головой следующей цифры и после спусти его вместе с цифрой, над чьей головой он стоит, и сделай из них число, как ты делал раньше; и если после той цифры, которую ты написал, не идет никакой цифры, тогда поставь десяток сразу за ней в том же ряду, а именно так: 67: удвой 6, это будет 12, убери 6 и напиши там цифру лист 148 а. *12, которая есть 2, Вот пример. и поставь десяток сразу за ней в левую сторону в том же ряду, так как после нее не идет никакой цифры; затем удвой другую цифру, которая равна 7, это будет 14, которая является составным числом; затем убери 7, которую ты удвоил, и поставь ее цифру [единиц], которая равна 4; поставь десяток над головой следующей цифры, которая равна 2, а затем прибавь к ней ту единицу и сделай одно число, которое будет 3. И тогда, если ты все сделал правильно, у тебя получится от этой дупликации число 134. versus.

¶ Si super ext re ma m nota sit monade m dat eid em

Quod t ibi con ingat si p ri mo dimidiabis.

Как удваивать отметку половины. ¶ Здесь он говорит: если над первой цифрой с правой стороны стоит такая отметка, какая сделана здесь: w, ты должен сначала удвоить цифру, которая стоит под этой отметкой, а затем ты должен удвоить эту отметку, которая обозначает половину, ибо две половины составляют одну, и таким образом это будет единица; прибавь эту единицу к удвоенному значению той цифры, над чьей головой стояла эта отметка, и запиши это на том же месте, где стояла удваиваемая цифра, а именно так: 23 w, удвой 3, это будет 6; удвой ту половину, и это будет единица; прибавь единицу к 6, это будет 7; убери 6 и ту 1 и поставь там 7. Затем ты закончил с этой цифрой, после чего иди лист 148 б. *к другой цифре и работай дальше. Это может стоять только над первой цифрой. И у тебя никогда не будет такой отметки иначе как над головой первой цифры с правой стороны; и все же этого не случится, если только перед этим не была взята половина — так ты должен понимать этот стих: ¶ Si super extremam &c. Et nota, talis figura w significans medietatem, unitatis veniat, i.e. contingat uel fiat super extremam, i.e. super primam figuram in extremo sic versus dextram ars dat: i.e. reddit monadem. i.e. unitatem eidem. i.e. eidem note & declinatur hec monos, dis, di, dem, &c. ¶ Quod ergo totum hoc dabis monadem note continget. i.e. eveniet tibi si dimidiasti, i.e. accepisti uel subtulisti medietatem alicuius unius, in cuius principio sint figura numerum denotans imparem primo i.e. principiis.

Искусство медиации.

¶ Sequit ur de mediacione.

I ncipe sic, si vis alique m nu me u m mediar e :

Sc ri be figurar um seriem sola m , velut an te .

Четыре вещи, которые нужно знать в медиации: ¶ В этой главе преподается искусство медиации, в коем искусстве ты должен знать 4 вещи: во-первых, что такое медиация; во-вторых, сколько рядов цифр ты должен иметь при выполнении этого искусства; в-третьих, сколько различных случаев может возникнуть в этом искусстве; 8 первое ¶ Что касается первого, ты должен понимать, что медиация — это извлечение половины числа из целого числа, лист 149 а. *как если бы ты хотел взять 3 из 6. вторая ¶ Что касается второго, ты должен знать, что ты должен иметь один ряд цифр и не более, как у тебя есть в искусстве дупликации. третья ¶ Что касается третьего, ты должен понимать, что в этом искусстве может возникнуть 5 случаев. четвертая ¶ Что касается четвертого, ты должен знать, что польза этого искусства состоит в том, чтобы после извлечения половины числа сказать, что останется. ¶ Incipe sic, &c. Смысл этого стиха таков: если ты хочешь произвести медиацию, то есть взять половину из целого или половину из половины, ты должен начать так. Начни так. Напиши один ряд цифр любого числа, какого пожелаешь, как ты делал раньше в искусстве дупликации. versus.

¶ Postea p ro cedas medians, si p ri ma figura

Si par aut i m par videas.

¶ Здесь он говорит, что, когда ты написал ряд цифр, ты должен посмотри, четное число или нечетное. обратить внимание на то, четная или нечетная цифра в числе стоит первой, и понимать, что он говорит о первой цифре с правой стороны. И в этом искусстве ты должен начинать с правой стороны.

¶ Quia si fu er it par,

Dimidiab is eam, scribe n s quicq ui d remanebit:

Если число четное, раздели его пополам и запиши ответ на его месте. ¶ Вот первый случай этого искусства, который заключается в следующем: если первая цифра четная, ты должен взять от этой четной цифры половину, убрать эту цифру и поставить то, что остается, а именно так: 4, возьми лист 149 б. *половину из 4, и тогда останется 2; убери 4 и поставь там 2; это весьма легко. versus.

Медиация нечетного числа.

¶ Impar si fu er it vnu m demas mediar e

Quod no n p re sumas, s ed quod sup er est mediabis

Inde sup er tractu m fac demptu m quod no tat vnu m .

Если оно нечетное, раздели пополам четное число, меньшее его. Вот второй случай этого искусства, который заключается в следующем: если первая цифра обозначает нечетное число, каковое нечетное число не может быть разделено пополам, тогда ты должен разделить пополам то число, которое остается, когда из этого же числа вычитается нечетная единица, и записать то, что остается, так же, как ты делал в первом случае этого искусства. Когда ты записал это, поскольку то, что остается, Затем напишите над ним знак половины. напиши над его головой такую отметку, какая здесь w, каковая отметка будет обозначать половину отнятой нечетной единицы. Вот пример. вот пример: 245. Первая цифра здесь обозначает нечетное число, а именно 5, ибо 5 — нечетное; поэтому убери то, что является нечетным, то есть 1, тогда останется 4; затем раздели пополам 4, и останется 2; убери 4 и поставь там 2, и сделай такую отметку w над его головой, то есть над головой 2, вот так: 242 w. И после этого работай дальше с остальными цифрами, пока не дойдешь до конца согласно первому случаю, поскольку ты должен понимать, что Ставьте отметку только над первой цифрой. ты никогда не должен делать такую отметку иначе как над головой первой цифры с правой стороны, идут ли следующие лист 150 а. *за ней цифры четными или нечетными. versus.

Случаи искусства медиации.

¶ Si monos, dele; sit t ibi cifra post no ta supra.

Если первая цифра единица, поставьте ноль. ¶ Вот третий случай, который заключается в следующем: если первая цифра есть цифра 1, ты должен убрать эту 1 и поставить там ноль, а над нулем поставить отметку, вот так: 241, убери 1 и поставь там ноль с отметкой над его головой, и тогда ты закончил с этим 0, вот так: 0 w; затем работай дальше с остальными цифрами, пока не дойдешь до конца, ибо это легко как вода в канаве. unde versus.

¶ Postea p ro cedas hac condic i one secu n da:

Imp ar si fu er it hinc vnu m deme p ri ori,

Inscribens quinque, nam denos significabit

Monos p re d ict am.

Что делать, если какая-либо другая цифра нечетная. ¶ Здесь он излагает четвертый случай, который заключается в следующем: если случится так, что вторая цифра обозначает нечетное число, ты должен убрать единицу из этого нечетного числа, которая обозначается этой цифрой 1, причем эта 1 будет учитываться как 10. Когда ты убрал эту 1 из числа, обозначаемого этой цифрой, ты должен разделить пополам то, что остается, убрать эту разделенную пополам цифру и поставить на ее место половину этого числа. Напишите цифру пять над головой следующего меньшего числа. ¶ Когда ты это сделаешь, ты должен написать лист 150 б. *цифру 5 над головой следующей цифры спереди в правую сторону, ибо та 1, которая составила нечетное число, будет стоять за десять, а 5 — это половина 10; поэтому ты должен записать 5 в качестве ее половины. Пример. Вот пример: 4678. Начни с правой стороны, как тебе и положено. Раздели пополам 8, тогда у тебя останется 4; убери 8 и поставь там 4. Затем из 7 убери 1, которая образует нечетное число, и поставь 5 над головой следующей цифры спереди в правую сторону, которая теперь равна 4, а до этого была 8, ибо та 1 будет учитываться как 10, от каковых 10 половиной является 5, как ты хорошо знаешь. Когда ты это сделал, раздели пополам то, что остается после удаления того, что является нечетным, каковой остаток будет 3; 5 4634. Убери 6 и поставь там 3, и у тебя получится такое число; после этого переходи к следующей цифре, раздели ее пополам и работай дальше, ибо для тебя это определенно достаточно легко.

¶ Si v ero s e c un da dat vnu m .

Illa deleta, sc ri bat ur cifra; p ri ori

¶ Tradendo quinque pro denario mediato;

Nec cifra sc ri batur, nisi dei

nde fig ur a seq u at ur :

Postea p ro cedas reliq ua s mediando figuras

Vt sup ra docui, si sint tibi mille figure.

¶ Здесь он излагает 5-й случай, который является лист 151 а. *следующим: Если вторая цифра единица, поставьте ноль и напишите пять над следующей цифрой. если вторая цифра равна 1, как здесь 12, ты должен убрать эту 1 и поставить там ноль, и поставить 5 над головой следующей цифры спереди в правую сторону, как ты делал раньше; и эта 5 будет половиной той 1, каторая 1 учитывается за 10. Вот пример: 214. Раздели пополам 4, это будет 2; убери 4 и поставь там 2. Затем переходи к следующей цифре, которая есть всего лишь 1; убери эту 1 и поставь там ноль, и поставь 5 над головой цифры спереди, которая теперь равна 2, и тогда у тебя будет это число: 5 202, затем работай дальше со следующей цифрой. И также не составит труда, если после разделенной пополам единицы не идет никакой цифры, ты не должен писать ни 0, ни что-либо еще, а поставить 5 над следующей цифрой спереди вправо, а именно так: 14. Как разделить пополам четырнадцать. Раздели пополам 4, тогда остается 2, убери 4 и поставь там 2; затем раздели пополам 1, которая учитывается за десять, половина от нее будет 5; поставь эту 5 над головой той цифры, которая теперь равна 2, 5 2, и убери ту 1, и у тебя получится это число, если ты поработаешь хорошо, unde versus.

Как проверить медиацию.

¶ Si mediacio sit b e n e f ac ta p ro bar e valeb is

¶ Duplando num er u m que m p ri mo di m ediasti

Как проверить свою медиацию. ¶ Здесь он рассказывает тебе, как ты должен узнать, правильно ли ты всё сделал или нет. Удвой лист 151 б. *число, которое ты разделил пополам, и если ты правильно выполнил деление пополам после дупликации, то у тебя получится то же число, которое было у тебя в таблице до того, как ты начал деление пополам, а именно так: Первый пример. ¶ Первый пример был таким: 4, от разделения пополам которого осталась 2, какова 2 была записана на том месте, где раньше была записана 4. Теперь удвой эту 2, и у тебя получится 4, как было у тебя до того. Второй. Второй пример был таким: 245. Когда ты разделил пополам все это число, если ты сделал все правильно, в результате этой медиации у тебя получится следующее число: 122 w. Теперь удвой это число, начав с левой стороны: удвой 1, это будет 2; убери ту 1 и поставь там 2; затем удвой ту другую 2 и поставь там 4; затем удвой ту другую 2, и это будет 4; затем удвой ту отметку, которая обозначает половину единицы, и это будет 1; прибавь эту единицу к 4, и это будет 5; убери ту 2 и ту отметку и поставь там 5, и тогда у тебя получится число 245. И это было то же число, которое было у тебя до того, как ты начал деление пополам, как ты можешь видеть, если обратишь внимание. Третий пример. Число, которое было дано тебе в качестве примера в 3-м случае медиации для разделения пополам, было следующим: 241. Когда ты разделил пополам все это число истинно лист 152 а. *для каждой цифры, в результате этой медиации у тебя получится следующее число: 120 w. Теперь удвой это число, начав с левой стороны, как я говорил тебе в искусстве дупликации, а именно: удвой цифру 1, это будет 2; убери ту 1 и поставь там 2; затем удвой следующую цифру спереди, которая равна 2, и это будет 4; убери 2 и поставь там 4. Затем удвой ноль, и это будет ничто, ибо 0 есть ничто, а дважды ничто — это всего лишь ничто. Поэтому удвой отметку над головой нуля, которая обозначает половину единицы, и это будет 1; убери ноль и отметку и поставь там 1, и тогда у тебя получится это число: 241. И это же число было у тебя до того, как ты начал деление пополам, если ты обратишь пристальное внимание. Четвертый пример. ¶ Следующий пример, который был в 4-м случае медиации, был следующим: 4678. Когда ты истинно разделил пополам все это число от начала до конца, у тебя в результате медиации получится это число: 5 2334. Теперь удвой это число, начав с левой стороны, и удвой 2, это будет 4; убери 2 и поставь там 4; затем удвой 3, это будет 6; убери 3 и поставь там 6; затем удвой ту другую 3, и это будет 6; убери 3 и поставь лист 152 б. *там 6; затем удвой 4, это будет 8; затем удвой 5, которая стоит над головой 4, и это будет 10; прибавь 10 к 8, и это будет 18; убери 4 и ту 5 и поставь там 8, и поставь ту 1, которая является десятком составного числа, равного 18, над головой следующей цифры в левую сторону, которая равна 6. Прибавь ту 1 к 6, каковая 1 при прибавлении будет учитываться только как 1, и эта 1 вместе с той 6 составят 7; убери ту 6 и ту 1, которая стоит над ее головой, и поставь там 7, и тогда у тебя получится число 4678. И это же число было у тебя до того, как ты начал деление пополам, как ты можешь видеть во втором примере, который был у тебя в 4-м случае медиации, а именно этот: Пятый пример. когда ты истинно разделил пополам все число, a principio usque ad finem, у тебя в результате этой медиации получится следующее число: 5 102. Теперь удвой 1, это будет 2; убери 1 и поставь там 2; затем удвой 0, это будет ничто; поэтому возьми 5, которая стоит над головой следующей цифры, и удвой ее, и это будет 10; убери 0, стоящий между двумя цифрами, и поставь на его место 1, ибо та 1 теперь будет стоять на втором месте, где она будет обозначать 10; затем удвой 2, это будет 4; убери 2 и поставь там 4, и лист 153 а. *у тебя получится следующее число: 214. Это то же число, которое было у тебя до того, как ты начал деление пополам, как ты можешь видеть. И так поступай всегда, если хочешь узнать, правильно ли ты разделил пополам или нет. ¶ Удвой число, получающееся после медиации, и у тебя получится то же число, которое было у тебя до того, как ты начал деление пополам, если ты все сделал правильно. А если нет, не сомневайся: если у тебя не получилось то же самое, ты совершил ошибку в своем искусстве.

Искусство умножения.

Sequitur de multiplicatione.

Как записывать пример на умножение.

S i tu p er num er u m num er u m vis m u ltiplicar e

Scribe duas q ua scu n q ue velis series nu me ror u m

Ordo s

er vet ur vt vltima m u ltiplicandi

Ponat ur sup er ant er iorem multiplicant is

A leua reliq u e sint scripte m u ltiplicantes.

Четыре вещи, которые следует знать об умножении: ¶ Здесь начинается глава об умножении, в которой ты должен узнать 4 вещи. ¶ Первое: что такое умножение. Второе: сколько случаев может возникнуть при умножении. Третье: сколько рядов фигур должно быть. ¶ Четвертое: в чем польза этого искусства. Первое: ¶ Что касается первого, ты должен понимать, что умножение — это приведение вместе двух чисел в одно число, каковое одно число содержит столько раз единицу, сколько [лист 153б] *единиц содержится в числе этих двух, как дважды четыре — восемь. Теперь здесь имеются два числа, из коих одно число обозначается наречием, а именно словом «дважды», и этим словом «трижды», и этим словом «четырежды», и так далее для других подобных слов. ¶ И два числа должны обозначаться именем существительным, как это слово «четыре» показывает эти два числа, сведенные в одно целое число, то есть 8, ибо дважды четыре — 8, как ты хорошо знаешь. ¶ И это число 8 содержит в себе 4 столько раз, сколько единиц имеется в том другом числе, каковым является 2, ибо в 2 содержится 2 единицы, и столько же раз 4 содержится в 8, как ты хорошо знаешь. Второе: ¶ Что касается второго, ты должен знать, что тебе необходимо иметь два ряда фигур. Третье: ¶ Что касается третьего, ты должен знать, что в этом искусстве может возникнуть 8 различных случаев. Четвертое: Польза этого искусства состоит в том, чтобы сказать, когда одно число умножено на другое, что из этого получается. ¶ Более того, что касается смысла нашего стиха, если ты хочешь хорошо умножить одно число на другое число, ты запишешь [лист 154а] *ряд фигур из каких угодно чисел, какие ты пожелаешь, Множимое. И оно будет называться Numerus multiplicandus, по-английски — число, которое следует умножить. Затем ты запишешь другой ряд фигур, посредством которого ты должен умножить число, подлежащее умножению, какового числа первая фигура должна быть записана под последней фигурой числа, подлежащего умножению. Как записать сумму. И так записывай далее в левую сторону, как ты можешь видеть здесь: 67324 1234 И это одно число будет называться numerus multiplicans, по-английски — умножающее число, ибо оно будет умножать вышестоящее число, как например: один раз 6, и так далее, как я скажу тебе впоследствии. И ты начнешь с левой стороны. Два вида умножения: мысленно, ¶ Сверх того ты должен понимать, что существует два рода умножения: один — посредством работы по книге только в уме человека; сначала он учит первому роду дупликации, каковой осуществляется посредством работы с таблицами, и на бумаге. Впоследствии он обучит второму роду. Unde versus.

Как умножить одну цифру на другую.

In digitum cures digitum si ducere maior

leaf 154 b.

* Per quantum distat a denis respice debes

¶ Namque suo decuplo totiens delere minorem

Sitque tibi numerus veniens exinde patebit.

Как умножить две цифры. ¶ Здесь он обучает правилу, как ты должен найти число, получающееся от умножения одной цифры на другую. Посмотри, сколько [ени]ц находится между большей цифрой и 10, и считай десятку за единицу. Вычти большую из десяти; И столько же раз удали меньшее число из его собственной декуплы, то есть из того числа, которое в десять раз больше числа, получающегося от умножения. Например, если ты хочешь умножить 2 на 4, посмотри, сколько единиц находится между тем, что является большей цифрой, и десятью. Конечно, между 4 и десятью будет vi единиц, если ты посчитаешь вместе с десяткой и единицу, как ты можешь видеть. возьми меньшее столько раз из десяти его кратных. столько же раз вычти 2 из его декуплы, каковой является 20, ибо 20 — это декупла числа 2, 10 — это декупла 1, 30 — это декупла 3, 40 — это декупла 4, и остальные цифры, пока ты не дойдешь до десяти; ¶ и когда ты возьмешь столько же раз 2 из двадцати, каковой раз шесть, Пример. у тебя останется 8, как ты хорошо знаешь, ибо 6 раз по 2 будет двенадцать. вычти [1]2 из двадцати, и останется 8. Разве что обе цифры [лист 155а] *равны между собой, как здесь: 222 или дважды двадцать, тогда не важно, какое из них двоих ты вычитаешь из их декуплы. ровно столько же раз, сколько это число отстоит от 10. Но тем не менее, если у тебя есть работа, здесь ты найдешь таблицу фигур, с помощью которой ты сразу же увидишь, какое число получается от умножения 2 цифр. Так ты будешь действовать в этой фигуре.

  1 |
2 | 4 |
3 | 6 | 9 |
4 | 8 | 12 | 16 |
5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 |
7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 |
8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 |
9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

Как ее использовать. Если цифра, которую нужно умножить, равна по величине цифре, на которую должна быть умножена та другая фигура, как дважды два или трижды три или тому подобное. Способ использования таблицы умножения. посмотри, где эта фигура располагается в левой стороне треугольника, и посмотри, где цифра располагается в самом нижнем ряду треугольника, и иди от него вверх в том же ряду, каковой ряд идет вверх, пока ты не дойдешь напротив другой цифры, располагающейся в левой стороне треугольника. И то число, которое ты [лист 155б] *находишь там, есть число, получающееся от умножения этих 2 цифр, например, если ты хочешь узнать, чему равно 2жды 2: посмотри, где располагается 2 в левой стороне в первом ряду — она располагается рядом с 1 в левой стороне на самом верху, как ты можешь видеть; з[ат]ем посмотри, где располагается 2 в самом нижнем ряду треугольника, и иди от него вверх в том же ряду, пока не дойдешь напротив 2 в высшем месте, и там ты найдешь записанную 4, и это число, получающееся от умножения двухжды два, есть 4, как ты хорошо знаешь. Если цифра, которая умножается, больше другой, ты должен посмотреть, где большая цифра располагается в самом нижнем ряду треугольника, и идти вверх в том же ряду, пока [10] ты не дойдешь напротив меньшей цифры в левой стороне. И там ты найдешь число, получающееся от умножения; но ты должен понимать, что это правило, которое находится в этом стихе ¶ In digitum cures и т. д., равно как и этот треугольник, послужит лишь для того, чтобы находить числа, получающиеся от умножения 2 разрядов или составных чисел, для чего не нужно никакого искусства, если только ты не хочешь умножать в уме. И [лист 156а] *для этого у тебя впоследствии будет свое искусство, ибо ты будешь работать с цифрами в таблицах, как ты узнаешь об этом далее. Versus.

Как умножить одно составное число на другое.

¶ Postea procedas postremam multiplicando

[Recte multiplicans per cunctas inferiores]

Condicionem tamen tali quod multiplicantes

Scribas in capite quicquid processerit inde

Sed postquam fuit hec multiplicate figure

Anteriorenturserei multiplicantis

Et sic multiplica velut isti multiplicasti

Qui sequitur numerum scriptum quiscunque figuris.

Как умножить одно число на другое. ¶ Здесь он учит, как ты должен работать в этом искусстве. Ты умножишь последнюю цифру числа, и когда ты сделаешь это, ты сдвинешь все цифры нижнего числа больше к правой стороне, так что когда ты умножишь последнюю цифру высшего числа на все нижние цифры. Умножьте «последнюю» цифру высшего числа на «первую» нижнего числа. И поставь число, получающееся от этого, поверх последней цифры нижнего числа, а затем ты поставишь все остальные цифры нижнего числа ближе к правой стороне. ¶ И когда ты умножишь ту цифру, которая должна быть умножена следующей за ней, на все нижние цифры, и действуй так, как ты делал прежде, до [лист 156б] *тех пор, пока не дойдешь до конца. И ты должен понимать, что каждая цифра высшего числа должна быть умножена на все цифры нижнего числа, если высшее число представляет собой какую-либо цифру, отличную от единицы. Поставьте ответ над первой цифрой нижнего: вот пример, следующий ниже. 2465 232 Ты начнешь умножать с левой стороны. Умножь 2 на 2, и дважды два — 4. Поставь 4 затем умножьте вторую цифру нижнего и так далее. поверх головы этой 2, затем умножь ту же высшую 2 на 3 нижнего числа, так трижды два будет 6. Поставь 6 поверх головы 3, затем умножь ту же высшую 2 на ту 2, которая стоит под ней, это будет 4; убери высшую 2 и поставь [там] 4. Затем сдвинь вперед нижнее число: ¶ Теперь ты должен сдвинуть вперед нижнее число, то есть ты должен поставить нижнее число ближе к правой стороне, вот так. Возьми нижнюю 2 по направлению к правой стороне и поставь ее ровно под 4 высшего числа, и сдвинь вперед все цифры, которые идут после этой 2, вот так: поставь 2 под 4. Затем поставь цифру 3 туда, где стояла цифра 2, которая теперь находится под той 4 в высшем числе; затем поставь другую цифру 2, которая является последней цифрой в левой стороне нижнего числа, туда, где стояла цифра 3. как здесь. Затем ты получишь следующее число. 464465 232 [лист 157а] * ¶ Теперь умножь 4, которая идет непосредственно за 6, на последнюю 2 нижнего числа по направлению к левой стороне, то есть 2жды 4, это будет 8. Поставь эту 8 поверх цифры, которая стоит над головой этой 2, каторая является последней цифрой нижнего числа; затем умножь ту же самую 4 на 3, которая находится в нижнем ряду, это будет 12. Поставь цифру разряда составного числа поверх цифры, которая стоит над головой этой 3, и поставь разряд десятков этого составного числа поверх всех цифр, стоящих над головой нижнего 2. Теперь умножьте на предпоследнюю цифру высшего: затем умножь ту же 4 на 2 в правой стороне в нижнем числе, это будет 8. Убери 4 и поставь там 8. Всякий раз, когда ты умножаешь высшую цифру на ту цифру, которая стоит под ней, ты должен убрать эту высшую цифру и поставить там то число, которое получается от умножения этих цифр. как здесь. Когда ты сделаешь так, как я тебе велел, ты получишь такой порядок фигур, какой здесь имеется, 1 82 4648[65] 232 Затем возьми и сдвинь вперед свои нижние цифры. И поставь первую цифру нижних фигур [11] под цифру 6. ¶ И притяни все остальные цифры того же ряда к ней, [лист 157б] *как ты делал прежде. Затем умножь 6 на 2 и поставь то, что получается от этого, поверх голов всех остальных цифр, стоящих над этой 2. Затем умножь 6 на 3 и поставь все, что получается от этого, на головы всех цифр, стоящих над этой 3; затем умножь 6 на 2, которое стоит под этой 6, затем убери 6 и запиши там цифру составного числа, которая от этого получится, а разряд десятков поставь поверх всех цифр, стоящих над головой этой 3, как здесь, 11 121 828 464825 232 Сдвиньте цифры снова и умножьте на пять: затем сдвинь свои цифры, как ты делал прежде, и умножь 5 на 2, это будет 10; поставь 0 поверх всех цифр, стоящих над этой 2, и поставь эту 1 поверх голов следующих фигур, прямо по направлению к левой стороне. Затем умножь 5 на 3, это будет 15, запиши 5 поверх голов фигур, стоящих над этой 3, и поставь эту 1 поверх голов следующих фигур в направлении к левой стороне. Затем умножь 5 на 2, это будет 10. Убери эту 5 и поставь там 0, и поставь эту 1 поверх голов фигур, стоящих над 3. И тогда [лист 158а] *у тебя получится такое число, какое здесь стоит далее. 11 1101 1215 82820 4648 232 ¶ Теперь сложи все эти цифры вместе вот так: 6, 8, 1 и 1 сложи вместе, это будет 16, убери все эти цифры, кроме 6; пусть она останется, ибо если ты ее уберешь, тебе придется написать то же самое снова. Поэтому пусть она останется, и поставь 1 поверх головы цифры 4 в направлении к левой стороне; затем прибавь к 4, это будет 5. Затем сложите все цифры над чертой: убери эту 4 и эту 1 и поставь там 5. Затем сложи 4, 2, 2, 1 и 1 вместе, это будет 10. Убери все это и запиши там 4 и 0, и поставь эту 1 поверх головы следующей цифры в направлении к левой стороне, каковой является 6. Затем сложи эту 6 и эту 1 вместе, и это будет 7; убери 6 и поставь там 7, затем сложи 8, 8, 1, 0 и 1, и это будет 18; убери все цифры, стоящие над головой этой 8, и оставь 8 в покое, и запиши эту 1 поверх головы следующей цифры, каковой является 0. Затем убери этот 0 и поставь там 1, которое стоит над головой 0. Затем сложи 2, 5 и 1 вместе, это будет 8. Затем убери все это и запиши там 8. и у вас получится ответ. ¶ И тогда ты получишь это число: 571880.

Случаи этого искусства.

leaf 158 b.

* ¶ Sed cum multiplicabis, primo sic est operandum,

Si dabit articulum tibi multiplicacio solum;

Proposita cifra summam transferre memento.

Что делать, если первое умножение дает разряд десятков. ¶ Здесь он излагает первый случай этого искусства, который таков: если от умножения получается разряд десятков, поставь перед разрядом десятков в левой стороне вот так: 51 23 Умножь 5 на 2, это будет 10; поставь поверх головы этой 2 ноль (0), и поставь ту единицу, то есть разряд десятков, в левой стороне, которая находится рядом с ней, тогда ты получишь это число: 1051 23 ¶ И затем работай дальше, как ты делал прежде. И ты должен понимать, что ты не будешь писать никакой ноль (0), кроме тех случаев, когда то место, куда ты должен записать этот ноль (0), не имеет перед собой или после себя никакой фигуры. Versus.

¶ Si autem digitus excreuerit articulusque.

Articulus 12 supra proposito digito salit vltra.

Что делать, если в результате получается составное число. ¶ Вот второй случай, который таков: если случится так, что получится составное число, ты запишешь цифру поверх головы нижней фигуры, на которую ты умножаешь высшую фигуру; и поставь разряд десятков рядом с ней по направлению к левой стороне, как ты делал прежде, вот так: 83 83 Умножь 8 на 8, это будет 64. Запиши 4 над 8, то есть над головой нижнего 8; и поставь 6, которое [лист 159а] *является разрядом десятков, непосредственно после него. И тогда ты получишь такое число, какое здесь имеется, 6483 13 83 И затем работай дальше.

¶ Si digitus tamen ponas ipsum super ipsam.

Что делать, если это цифра. ¶ Вот третий случай, который таков: если случится так, что от твоего умножения получится цифра, ты запишешь эту цифру поверх головы нижней фигуры, на которую ты умножаешь высшую фигуру, ибо здесь не требуется примера.

¶ Subdita multiplica non hanc que [incidit] illi

Delet eam penitus scribens quod provenit inde.

Четвертый случай этого искусства. ¶ Здесь описывается 4-й случай, который заключается в следующем: если случится так, что нижняя фигура должна умножить ту фигуру, которая стоит над головой той фигуры, ты убери высшую фигуру и поставь там то, что получается от этого умножения. Если от этого умножения получается разряд десятков, ты запишешь там, где стояла высшая фигура, 0. ¶ И запиши разряд десятков в левой стороне; если это цифра, запиши там цифру; если это составное число, запиши цифру этого составного числа, а разряд десятков — в левой стороне. Всё это достаточно просто, поэтому здесь не требуется примера.

¶ Sed si multiplicat aliam ponas super ipsam

Adiunges numerum quem prebet ductus earum.

leaf 159 b.

Пятый случай этого искусства. ¶ Вот 5-й случай, который таков: если *нижняя фигура должна умножить высшую, и эта высшая фигура находится не recte над своей головой, и эта нижняя фигура имеет другие фигуры или одну фигуру над своей головой в результате умножения, которое было произведено ранее, ты запишешь то число, которое получается от этого, поверх голов всех тех фигур, вот так, как здесь: 236 234 Умножь 2 на 2, это будет 4; поставь 4 поверх головы этой 2. Затем 14 умножь высшую 2 на нижнюю 3, это будет 6. Поставь над ее головой 6, умножь высшую 2 на нижнюю 4, это будет 8. Убери высшую 2, которая стоит над головой фигуры 4, и поставь там 8. И ты получишь это число здесь: 46836 234 И сдвинь свои фигуры, то есть поставь свой нижний 4 под высшим 3, и поставь свои 2 другие фигуры рядом с ним так, чтобы нижняя 2 стояла под высшей 6, каковая 6 находится в левой стороне, а 3 стояла под 8, как вы можете видеть далее: 46836 234 Теперь работай дальше и умножь ту высшую 3 на 2, это будет 6; поставь ту 6, которая стоит над головой этой 2, и затем работай так, как я научил тебя ранее.

leaf 160 a.

* ¶ Si supra posita cifra debet multiplicare

Prorsus eam deles & ibi scribi cifra debet.

Шестой случай этого искусства. ¶ Вот 6-й случай, который таков: если случится так, что фигура, с помощью которой ты должен умножить высшую фигуру, стоящую прямо над ней, равна нулю (0), ты должен убрать ту фигуру, которая находится над головой этого нуля. ¶ И записать там то число, которое получается от умножения, вот так: 23. Убери 2 и поставь там 0. Unde versus.

¶ Si cifra multiplicat aliam positam super ipsam

Sitque locus supra vacuus super hanc cifra fiet.

Седьмой случай этого искусства. ¶ Вот 7-й случай, который таков: если ноль (0) должен умножить фигуру, которая стоит не recte над ним, и над этим нулем ничего не стоит, ты должен записать над этим нулем другой ноль, вот так: 24 03 Умножь 2 на 0, получится ничего. Запиши там ноль (0) поверх головы нижнего нуля, и затем работай дальше, пока не дойдешь до конца.

¶ Si supra 15 fuerit cifra semper est pretereunda.

Восьмой случай этого искусства. ¶ Вот 8-й случай, который таков: если в высшем ряду имеется один или много нулей, ты не должен их умножать, а оставляешь их стоять. И сдвинь нижние фигуры к следующей значащей фигуре вот так: 00032 22 Перешагни через все эти нули и поставь [лист 160б] *нижнюю двойку (2), которая находится в правой стороне, и поставь ее под тройку (3), а другую нижнюю двойку поставь рядом с ней так, чтобы она стояла под третьим нулем, который находится рядом с тройкой. И затем работай. Unde versus.

¶ Si dubites, an sit bene multiplicacio facta,

Divide totalem numerum per multiplicantem.

Как сделать проверку умножения. ¶ Здесь он учит, как ты можешь узнать, хорошо ли ты всё сделал или нет. И он говорит, что ты должен разделить всё число, получающееся от умножения, на нижние цифры. И тогда ты получишь то же самое число, которое у тебя было в начале. Но ты еще не владеешь искусством деления, однако ты овладеешь им впоследствии.

¶ Per numerum si vis numerum quoque multiplicare

¶ Tantum per normas subtiles absque figuris

Has normas poteris per versus scire sequentes.

Умножение в уме. ¶ Здесь он учит тебя умножать с помощью мысли цифры в твоем уме. И смысл этого стиха таков: если ты хочешь умножить одно число на другое в уме, у тебя будут правила для этого в стихах, которые последуют далее.

¶ Si tu per digitum digitum vis multiplicare

Regula precedens dat qualiter est operandum.

Умножение цифры на цифру — это просто. ¶ Здесь он обучает правилу, как и прежде, умножать цифру на цифру, например, если ты хочешь узнать, чему равно шесть шестерок [лист 161а] *ты узнаешь это с помощью того правила, которому я научил тебя ранее, если ты помнишь его.

¶ Articulum si per reliquum reliquum vis multiplicare

In proprium digitum debet vterque resolui.

¶ Articulus digitos post se multiplicantes

Ex digitus quociens retenerit multiplicari

Articuli faciant tot centum multiplicati.

Первый случай этого искусства. ¶ Здесь он обучает первому правилу, которое таково: если ты хочешь умножить один десяток на другой так, чтобы оба десятка были в пределах сотни, ты поступишь следующим образом. Десяток на десяток; возьми цифру обоих десятков (ибо каждый десяток имеет цифру), затем умножь одну цифру на другую и посмотри, сколько единиц содержится в числе, получающемся от умножения этих 2 цифр, и столько же сотен содержится в числе, которое должно получиться от умножения этих самых 2 десятков, как показано далее. Пример: если ты хочешь узнать, чему равно десять раз по десять. Возьми цифру десятка, каковой является 1; возьми цифру того другого десятка, каковой является 1. ¶ Также умножь 1 на 1, то есть один раз один — это всего лишь 1. В единице содержится лишь одна единица, как ты хорошо знаешь, поэтому десять раз по десять — это всего лишь сотня. Другой случай: ¶ Также, если ты хочешь узнать, чему равно двадцать раз по 30. Возьми цифру двадцати, которая равна 2; и возьми цифру тридцати, которая равна 3. Умножь 3 на 2, это будет 6. Теперь в 6 содержится 6 единиц. ¶ И столько же сотен содержится в 20 раз по 30*, [лист 161б] *поэтому 20 раз по 30 равно ровно 6 сотням. Посмотри и убедись. ¶ Но если случится так, что один десяток находится в пределах сотни или между сотней и тысячей, так что это не полная тысяча, тогда посмотри, сколько единиц содержится в числе, получающемся от умножения 16 2 цифр каждого из десятков, [16] и столько же тысяч содержится в числе, получающемся от умножения. И столько же раз по десять тысяч будет содержаться в числе, получающемся от умножения 2 десятков, например, если ты хочешь узнать, чему равно 4 сотни умножить на [две сотни]. Умножь 4 на 2, [17] это будет 8; в 8 содержится 8 единиц. Как работать искусно без фигур. Умножение в уме. ¶ И столько же раз по десять тысяч содержится в 4 сотнях умножить на [2] сотни, [17] то есть 80 тысяч. Обрати внимание, я скажу тебе общее правило, когда у тебя есть 2 десятка и ты хочешь узнать, что получается от умножения их двух. Умножь цифру этого одного десятка и сохрани это число, затем посмотри, сколько нулей должно предшествовать этому одному десятку, если бы он был записан. Столько же нулей должно предшествовать тому другому, если бы он был записан цифрами. И держи все эти самые нули вместе в своем уме [лист 162а] *ряд за рядом один за другим, а в последнем месте поставь число, получающееся от умножения 2 цифр. И посмотри в своем уме, на каком месте оно стоит: на втором ли, на третьем, на четвертом или где-либо еще, и посмотри, что цифры обозначают на этом месте; и ровно столько составляет число, получающееся от умножения 2 десятков вместе, вот так: если ты хочешь узнать, чему равно 20 тысяч умножить на 3 тысячи. Умножь цифру того десятка, которая равна 2, на цифру того другого десятка, которая равна 3, это будет 6. Затем посмотри, сколько нулей должно приходиться на 20 тысяч, если бы число записывалось в таблице. Конечно, 4 нуля должны приходиться на 20 тысяч, ибо эта цифра 2 на первом месте обозначает два. Нумерация. ¶ На втором месте она обозначает двадцать. ¶ На третьем месте она обозначает 2 сотни. ¶ На четвертом — 2 тысячи. ¶ На пятом месте она обозначает двадцать тысяч. Поэтому она должна иметь 4 нуля перед собой, чтобы стоять на пятом месте. Сохрани эти 4 нуля в своем уме, затем посмотри, сколько нулей приходится на 3 тысячи. Конечно, на 3 тысячи [лист 162б] *приходятся 3 нуля перед ней. Теперь мысленно представь каждые 4 нуля, которые должны приходиться на двадцать тысяч, и эти 3 нуля, которые должны предшествовать 3 тысячам, и расположи их в ряд один за другим в своем уме так, как они стояли бы в таблице. И тогда у тебя будет 7 нулей; затем поставь ту 6, которая получается от умножения 2 цифр, после этих нулей на 8-е место, как если бы она стояла в таблице. И посмотри, что цифра 6 должна обозначать на 8-м месте, если бы она была в таблице, и именно столько она и составляет. И если эта цифра 6 стоит на первом месте, она должна обозначать лишь 6. ¶ На 2-м месте она должна обозначать шестьдесят. ¶ На 3-м месте она должна обозначать шесть сотен. Снова о нумерации. ¶ На 4-м месте — шесть тысяч. ¶ На 5-м месте — шестьдесят тысяч. ¶ На шестом месте — шестьсот тысяч. ¶ На 7-м месте — шесть тысяч тысяч. ¶ На 8-м месте — шестьдесят тысяч тысяч. Поэтому поставь 6 в octauo loco, и она будет обозначать шестьдесят тысяч тысяч. Умножение в уме. И ровно столько составляет двадцать тысяч умножить на 3 тысячи. ¶ И это правило является общим для всех видов десятков, будь то сотни или тысячи; но ты должен хорошо знать искусство работы в таблице [лист 163а] *прежде чем научишься делать это в уме по этому правилу. Ты должен помнить, что это правило имеет силу только там, где имеются 2 десятка и не более, из которых каждый имеет лишь одну значащую цифру, как например двадцать раз по 3 тысячи или 3 сотни, и тому подобное.

¶ Articulum digito si m u ltiplicare o portet

Articuli digit[i sumi quo multiplicate]

Debem us reliquu m quod m u ltiplicat ur ab ill is

P er reliq u o decuplu m sic su mma later e neq ui b i t.

Третий случай искусства; ¶ Вот он приводит третье правило, которое таково: если ты хочешь умножить в уме, а десяток является цифрой, ты должен проследить, чтобы цифра была в пределах ста, затем ты должен умножить цифру десятка на другую цифру. И каждая единица в числе, которое получится от этого, будет означать десять. Как например: пример. Если ты хочешь узнать, сколько будет дважды 40, умножь цифру числа 40, которая есть 4, на другую цифру, которая есть 2. И это будет 8. И в числе 8 содержится 8 единиц, и каждая из этих единиц должна означать 10. Поэтому там будет 8 раз по 10, что составит 4 десятка [80]. И столько же получается от дважды 40. ¶ Если десяток представляет собой сотню или две сотни и тысячу, лишь бы это не было тысячей, лист 163 b. * действуй так же, как ты делал прежде, с тем лишь исключением, что ты должен считать каждую единицу за сотню.

¶ In nu meru m mixtu m digitu m si ducer e cures

Articul us mixti sumat ur deinde resoluas

In digitu m post fac respectu de digitis

Articul us q ue docet excrescens in diriua n do

In digitu m mixti post ducas m u ltiplica n te m

¶ De digitis vt norma 18 [docet] de [hunc]

Multiplica si mu l et sic postea summa patebit.

Четвертый случай искусства: Вот он приводит 4-е правило, которое таково: если ты умножаешь составное число на цифру, как, например, 6 на 24, 19, то возьми цифру этого составного числа и умножь эту цифру на ту другую цифру, и сохрани число, которое от этого получается. Затем возьми цифру этого составного числа и умножь эту цифру на другую цифру, на которую ты умножил цифру десятка, и посмотри, что от этого получится. Составное число на цифру. Затем возьми это число и прибавь его к тому другому числу, которое ты ищешь. Как например, если ты хочешь узнать, что получается от 6 раз по 4 и двадцать [24]. Умственное умножение. Умножь десяток составного числа на цифру, которая есть 6, как тебя учили в третьем правиле, и это составит 6 десятков [60]. Затем умножь цифру составного числа, лист 164 a. *которая есть 4, и умножь ее на ту другую цифру, которая есть 6, как тебя учили в первом правиле, если ты помнишь об этом, и это составит 4 и двадцать [24]. Сложи все эти числа вместе, и получится 144. И столько же составляет 6 раз по 4 и двадцать [24].

Как умножать без цифр.

¶ Duct us in articulu m num erus si com posit us sit

Articulu m puru m comites articulu m q u o qu e

Mixti pro digit is post fiat [et articulus vt]

Norma iubet [retinendo quod extra dicta ab illis]

Articuli digitu m post tu mixtu m digitu m duc

Re gula de digitis nec p re cedit articul us q ue

Ex quib us exc re scens su mme tu iunge p ri ori

Sic ma nifesta cito fiet t ibi su mma petita.

Пятый случай искусства: ¶ Вот он приводит 5-е правило, которое таково: если ты хочешь умножить десяток на составное число, умножь этот десяток на десяток составного числа и действуй так, как тебя учили во втором правиле, стих которого начинается так. Десяток на составное число. ¶ Articulum si per Relicum vis multiplicare. Затем умножь цифру составного числа на тот другой десяток согласно учению 3-го правила. Обрати на это особое внимание, я прошу тебя, следующим образом. Если ты хочешь узнать, что такое 24 раза по десять. Пример. Умножь десять на 20, это составит 2 сотни. Затем умножь цифру числа 10, которая есть 1, на цифру составного числа, которая есть 4, и т лист 164 b. *о составит 4. Затем считай каждую единицу, содержащуюся в 4, за 10, и это составит 40. Прибавь 40 к 2 сотням, и это составит 2 сотни и 40. И столько же составляет 24 раза по десять.

Как работать без цифр.

¶ Compositu m num er u m mixto si[c] m u ltiplicabis

Vndecies tredeci m sic e st ex hiis op er andum

In reliquu m p rimu m demu m duc post in eund em

Vnu m post den u m duc in t ri a dei nde p er vnu m

Multiplices que dem u m int ra o mnia m u ltiplicata

In su mma decies q ua m si fu er it t ibi doces

Multiplicandor um de normis sufficiunt h ec.

Шестой случай искусства: ¶ Вот он приводит 6-е правило, последнее из всех правил умножения, которое таково: если ты хочешь умножить составное число на другое составное число, ты должен сделать следующее. Составное число на составное число. Умножь то составное число, какое пожелаешь из двух, на десяток другого составного числа, как тебя учили в 5-м правиле; затем умножь это же составное число, которое ты умножил на другой десяток, на цифру другого составного числа, Умственное умножение. как тебя учили в 4-м правиле. Пример. Как например, если ты хочешь узнать, что такое 11 раз по 13, как тебя учили в 5-м правиле, и это составит сотню и десять; после этого умножь то же самое составное число, которое ты умножил, а именно 11, и умножь его на цифру другого составного числа, которая есть 3, ибо 3 — это цифра числа 13, и это составит 30. Затем возьми цифру того составного числа, каковое составное число ты умножил на цифру того другого составного числа, лист 165 a. *а именно 11. Из шестого случая искусства. ¶ Также каковое число 11 имеет единицу в качестве цифры. Умножь эту цифру на цифру того другого составного числа, каковой цифрой является 3, как тебя учили в первом правиле в начале этого искусства, каковое правило начинается так: «In digitum cures». И от всего умножения двух цифр получается три, ибо однажды 3 — это всего лишь 3. Теперь сложи все эти числа вместе, а именно: сотню, десять, 30 и 3. И все это составит 143. Запиши 3 сначала с правой стороны. И прибавь 10 к 30, что составит 40. Поставь 40 сразу после в левую сторону, и поставь после сотню, как здесь приводится пример: 143.

(Остальное отсутствует.)

1. В рукописи: «awiy».

2. «ben» повторяется в рукописи.

3. В рукописи: «thausandes».

4. Возможно, «So» (Так).

5. «hali» помечено для удаления в рукописи.

6. В рукописи: «moy».

7. «Subtrahas aut addis a dextris vel mediabis» добавлено на полях рукописи.

8. После слова «craft» вставить «the .4. what is þe profet of þis craft».

9. После слова «sythes» вставить «& þis wordes fyue sithe & sex sythes».

10. «t'l» помечено для удаления перед «tyl» в рукописи.

11. Здесь «of þe same rew» помечено для удаления в рукописи.

12. «sed» зачеркнуто в рукописи.

13. 6883 в рукописи.

14. «þen» написано поверх «þat», помеченного для удаления.

15. «Supra» вставлено в рукописи вместо «cifra», помеченного для удаления.

16–16. Помечено для удаления в рукописи.

17. 4 в рукописи.

18. docet. decet MS.

19. «4 times 4» в рукописи.

[Рукопись Ашмола 396, фолио 48.]

Боэций говорит в начале своей аритметики: — Все вещи, которые существовали с самого первого начала вещей, произошли и возникли, и сформированы посредством числа; и каковы они есть, таковыми они должны быть и познаваемы; поэтому во всеобщем познании вещей искусство счисления является наилучшим и наиболее действенным.

Поэтому, поскольку наука, о которой мы в настоящее время намереваемся Название искусства. написать, целиком состоит из чисел и касается их: прежде всего мы должны посмотреть, каково ее собственное название и откуда это название произошло: впоследствии — что такое число и сколько существует видов чисел. Это название именуется алгоризмом, Происхождение алгоризма. происходящим из Алгора или от греческого «алгос», что называется по-английски искусством или ремеслом [art or craft], и «ритмус», который называется числом. Таким образом, алгоризм называется искусством счисления, Другое. или же оно происходит от «en» или «in» и «гогос», что означает введение, и «ритмус» — число, то есть введение в число. Другое. И в-третьих, оно происходит от имени короля по имени Алго и «ритмус»; отсюда название «алгоризмус». Виды чисел. Воистину два вида чисел бывают отмечены: Формальное, 1 как число есть единицы, собранные вместе; Материальное, 2 как число есть совокупность единиц. Другое число есть множество, получаемое из единиц, [причем] единица есть та вещь, посредством которой каждая вещь называется единицей или иной вещью. Среди чисел одно называется цифрой, другое — десятком, иное — составным или смешанным числом. Цифра — это число в пределах 10; десяток — это число, которое может быть разделено на 10 равных частей так, чтобы не оставалось остатка; составное или смешанное число — это число, которое получается из цифры и десятка. И хорошо пойми, что все числа между двумя ближайшими десятками суть составные числа. 9 правил искусства. Из этого искусства имеется 9 видов, а именно: нумерация, сложение, вычитание, медиация, дупликация, умножение, деление, прогрессия и извлечение корней, каковое может производиться двумя способами, а именно: для квадратных и для кубических чисел: среди которых я намерен написать сначала о нумерации, а затем по порядку об остальных.

Глава I. Нумерация.

Fol. 48 b.

*Ибо нумерация есть искусственное представление каждого числа с помощью надлежащих фигур.

Фигуры, разряды, места и пределы. Воистину фигура, разряд, места и линии подразумевают одну и ту же вещь, но они помещены здесь по разным причинам. Фигура называется так из-за начертания конфигурации; разряд называется так потому, что посредством него показывается, чем каждая фигура отличается от предшествующих ей фигур; место — по причине пространства, в котором пишут; линии — потому что они предназначены для представления каждой фигуры. 9 фигур. И пойми, что существует 9 пределов фигур, которые представляют 9 цифр, и вот они: 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Цифра ноль. Десятая называется тетой, или кругом, или нулем [cifre], или фигурой ничто, ибо она означает ничто. Тем не менее она, занимая это место, дает возможность другим выражать значение, ибо без нуля или нулей чистый десяток не может быть написан. Нумерация И поскольку посредством этих 9 значащих фигур, соединенных с нулем или с нулями, все числа представлены и могут быть представлены, не было и нет никакой необходимости изобретать какие-либо другие фигуры. цифр, И заметим хорошо, что каждая цифра должна быть написана с помощью одной единственной фигуры, предназначенной для нее; десятков, И все десятки — с помощью нуля, ибо каждый десяток назван по одной из цифр, как 10 от 1, 20 от 2 и так далее. И все цифры должны помещаться в первом разряде: все десятки — во втором. Также все числа от 10 до 100 [которая] исключена, должны быть написаны двумя фигурами; и если это десяток — с помощью предварительно поставленного нуля и фигуры, написанной в сторону левой руки, которая обозначает цифру, по которой назван этот десяток; составных чисел. А если это составное число, сначала запиши цифру, которая является частью этого составного числа, а с левой стороны запиши десяток, как было сказано выше. Каждое число, которое находится от ста до тысячи исключительной, должно записываться тремя фигурами; и каждое число, которое находится от тысячи до 10 000, должно записываться четырьмя фигурами; и так далее. Позиционное значение. И пойми хорошо, что каждая фигура, стоящая на первом месте, обозначает свою цифру; на втором месте — 10 своих цифр; на третьем месте — столько же сотен; на четвертом месте — столько же тысяч; на пятом месте — столько же десятков тысяч; на шестом месте — столько же сотен тысяч; на седьмом месте — миллион [тысячу тысяч]. И так до бесконечности умножая на Фолио 49. *эти три: 10, 100, 1000. И пойми хорошо, что можно с полным правом поставить над фигурой на месте тысячи точку, чтобы показать, сколько тысяч будет представлять последняя фигура. Числа пишем справа налево. Мы пишем в этом искусстве в левую сторону, как пишем арабы, которые были создателями этой науки, либо по той причине, что для поддержания привычного порядка при чтении мы всегда ставим большее число впереди.

Глава II. Сложение.

Определение. Сложение есть объединение числа или чисел с числом или числами, чтобы можно было видеть то, что из этого получается как результат [excreßent]. В сложении необходимы 2 ряда фигур и 2 числа, а именно: число, которое нужно прибавить, и число, к которому должно производиться сложение. Число, которое нужно прибавить, есть то, что должно быть прибавлено к нему, и оно должно быть записано ниже; число, к которому должно производиться сложение, есть то число, которое принимает сложение другого, и оно должно быть записано выше; Как следует записывать числа. и целесообразнее, чтобы меньшее число было записано ниже, а большее прибавлено, нежели наоборот. Но случается ли так или иначе, получается одно и то же. Поэтому, если ты хочешь прибавить число к числу, запиши число, к которому должно производиться сложение, в верхнем ряду по его разрядам, так чтобы первый разряд нижнего ряда находился под первым разрядом верхнего ряда, и так же для остальных. Способ работы. По завершении этого прибавь первый [разряд] нижнего ряда к первому верхнего ряда. И от такого сложения возникает либо цифра, либо десяток, либо составное число. Начинай справа. Если это цифра, на месте верхнего ты должен записать получившуюся цифру, а именно так: —

The resultant | 2
To whom it shal be addede | 1
The nombre to be addede | 1

Сумма есть цифра, Если же десяток: на место верхнего помести написанный ноль, а перенесенную цифру, от которой десяток получил свое название, — в сторону левой руки, и пусть она будет прибавлена к следующей за ней фигуре, если таковая имеется; а если нет, оставь это место [в] пустоте, а именно так: —

or an article,

The resultant | 10
To whom it shalle be addede | 7
The nombre to be addede | 3

Resultans | 2 | 7 | 8 | 2 | 7
Cui debet addi | 1 | 0 | 0 | 8 | 4
Numerus addendus | 1 | 7 | 7 | 4 | 3

И если случится так, что следующая фигура, к которой должно производиться сложение, является [нулем] десятка, отложи ее в сторону;

The resultant | 17
To whom it shalle be addede | 10
The nombre to be addede | 7

На ее месте напиши Фолио 49 b. *[цифру] десятка, а именно так: —

И если случится [прибавить единицу] к фигуре 9,

The resultant | 10
To whom it shalle be addede | 9
The nombre to be addede | 1

на место этой 9 поставь ноль и запиши десяток в сторону левой руки, как прежде, и таким образом: —

or a composite. And yf³ [therefrom grow a] nombre componed,⁴ [in the place of the nombre] put a-way⁵

The resultant | 12
To whom it shalle be addede | 8
The nombre to be addede | 4

[пусть] будет записана цифра [6], которая является частью этого составного числа, а затем помести с левой стороны десяток, как прежде, и таким образом: —

Примечание переводчика. После этого приложи второе к второму и запиши выше остальное, как прежде. Заметим хорошо, что в сложении и во всех последующих действиях, когда говорится, что одно должно быть записано над другим, необходимо использовать каждую фигуру так, как если бы каждая фигура была установлена отдельно и сама по себе.

Глава III. Вычитание.

Определение вычитания. Вычитание есть нахождение из двух предложенных чисел избытка большего над меньшим: либо вычитание есть устранение одного числа из другого, чтобы можно было увидеть оставшуюся сумму. Меньшее из большего или равное из равного может быть вычтено; большее из меньшего — никогда. Как это может быть выполнено. И поистине то число больше, которое имеет больше фигур, при условии, что последние являются значащими; а если их столько же в одном, сколько в другом, нужно судить по последней или по предпоследней. Что требуется. Более того, при вычитании необходимы 2 числа: число, которое нужно вычесть, и число, из которого нужно вычесть. Число, подлежащее вычитанию, должно быть записано в нижнем ряду по его разрядам; Запишите большее число сверху. Число, из которого будут вычитать — в верхнем ряду, так чтобы первый был под первым, второй под вторым и так для всех остальных. Вычтите первую фигуру, если это возможно. Вычти поэтому первую фигуру нижнего ряда из первой фигуры ряда над ней, и это будет либо больше, либо меньше, либо равно.

The remanent | 20
Wherof me shalle withdraw | 22
The nombre to be withdraw | 2

The remanent | 2 | 2
Wherof me shalle with-draw | 2 | 8
Þe nombre to be withdraw |  | 6

Если оно равно или четно [даже], поставь на его место ноль рядом стоящей фигуры. А если оно больше, отними от него столько единиц, сколько содержит нижняя фигура, и запиши остаток следующим образом

Fol. 50.

*Remanens | 2 | 2 | 1 | 8 | 2 | 9 | 9 | 9 | 8
A quo sit subtraccio | 8 | 7 | 2 | 4 | 3 | 0 | 0 | 0 | 4
Numerus subtrahendus | 6 | 5 | 7 | [6] | . | . | . | . | 6

Если это невозможно, «занимают десять», И если оно меньше, поскольку большее не может быть вычтено из него, займи единицу у следующей фигуры, которая стоит 10. Из этих 10 и из фигуры, из которой вы хотели вычить, а затем вычитают. соединенных вместе,

The remanent | 1 | 8
Wherof me shalle with-draw | 2 | 4
The nombre to be with-draw | 0 | 6

вычти нижнюю фигуру и помести остаток на место отложенной фигуры, а именно так: —

Если вторая фигура равна единице. И если фигура, у которой нужно занять единицу, равна единице, отложи ее в сторону и напиши ноль на ее месте, чтобы последующим фигурам не не хватило их числа, и тогда действуй так, как показано на этом рисунке: —

The remanent | 3 | 0 | 9⁸
Wherof me shal with-draw | 3 | 1 | 2
The nombre to be with-draw | . | . | 3

Если вторая фигура является нулем. И если единица, у которой нужно занять, является нулем, иди дальше к значащей фигуре и займи единицу там, и, возвращаясь назад, на месте каждого нуля, который ты прошел, поставь девятки, как здесь указано: —

The remenaunt | 2 | 9 | 9 | 9 | 9
Wherof me shalle with-draw | 3 | 0 | 0 | 0 | 3
The nombre to be with-draw |  |  |  |  | 4

И когда подходят к числу, к которому стремятся, там всегда остается 10. Ради этих 10 и т. д. Обоснование приведенного правила. Причина того, почему для каждого оставленного позади нуля ставят девятки, такова: если с третьего места заняли единицу, эта единица по отношению к фигуре, от которой она произошла, представляет сотню; на месте того нуля [который прошли] остается 9 [что равно девяносту], и все же остается как 10; и та же самая причина была бы, если бы заняли единицу с 4-го, 5-го, 6-го места или любого другого выше. По завершении этого вычти вторую [фигуру] нижнего ряда из фигуры над ней из верхнего ряда и действуй так же, как прежде. Почему лучше работать справа налево. И заметь хорошо, что при сложении и вычитании вполне можно начинать с левой стороны и двигаться к правой, но полезнее выполнять это так, как обучено. Как проверить вычитание, И если ты хочешь проверить, хорошо ли ты справился, числа, которые ты вычел, прибавь снова к верхним числам, и они совпадут с теми первыми, которые у тебя были, если ты потрудился на славу; и сложение. и точно так же при сложении, когда ты прибавил все свои фигуры, вычти те, которые ты прибавил Фолио 50 b. *сначала, и получится то же самое. Вычитание есть не что иное, как проверка сложения, и наоборот точно так же.

Глава IV. Медиация [Хавлирование].

Определение медиации. Медиация есть нахождение половины каждого числа, чтобы было видно, какова и насколько велика каждая половина. Для нахождения половины необходим один ряд фигур и одно число, а именно число, которое нужно уменьшить вдвое. Поэтому, если ты хочешь уменьшить любое число вдвое, запиши это число по его разрядам и С чего начать. начни справа, то есть с первой фигуры с правой стороны, так чтобы она была значащей или представляла единицу либо любое другое цифровое число. Если это единица, напиши на ее месте ноль для Если первая фигура есть единица. последующих фигур [чтобы они не означали меньше], и запиши эту единицу вне таблицы, или разложи ее на 60 минут и отложи в сторону половину этих минут таким образом, а остаток сохрани вне таблицы, а именно так: .30; или запиши вне таблицы вот так: dī; которое не сохраняет порядок места. Тем не менее оно имеет значение. И если другая фигура обозначает любое другое цифровое число от единицы и далее, число является нечетным или четным.

Halfede | 2 | 2
to be halfede | 4 | 4

halfede | 2 | 3 | [di]
To be halfede | 4 | 7

Что делать, если это не единица. Если оно четное, запиши эту половину следующим образом: —

И если оно нечетное, возьми следующее четное число, содержащееся под ним, и помести его половину на место этого нечетного, а с единицей, которая остается для уменьшения вдвое, сделай следующее: —

Затем раздели вторую фигуру пополам. После этого нужно уменьшить вдвое вторую [фигуру]: если это ноль, отложи его в сторону, а если она значащая, то она либо четная, либо нечетная: если она четная, запиши на месте стертых чисел половину; если она нечетная, возьми следующее четное число, содержащееся под ней, и на месте нечетного числа поставь половину четного: единица, которая остается для уменьшения вдвое, с учетом предыдущих, стоит 10.

Halfede |  |  |
to be halfede |  |  |

Если число нечетное, прибавьте 5 к предыдущей фигуре. Раздели эти 10 на 2, получится 5, и отложи одно в сторону, а другое прибавь к следующей предшествующей фигуре, как здесь: —

И если сложение должно производиться с нулем, отложи его в сторону и напиши на его месте 5.

doublede | 2 | 6 | 8 | 9 | 0 | 10 | 17 | 4
to be doublede | 1 | 3 | 4 | 4 | 5 | 5 | 8 | 7

И в таком виде следует записывать и работать, пока все число целиком не будет разделено пополам.

Глава V. Дупликация [Удвоение].

Определение дупликации. Дупликация есть сложение числа [самого с собой], чтобы можно было увидеть увеличившееся число. При удвоении всегда необходим только один ряд фигур. И нужно начинать с левой стороны, то есть с большей фигуры, и в соответствии с тем, что представляет большая фигура. Фолио 51. *В трех предыдущих мы всегда начинаем с правой стороны и с меньшего числа, С чего начать. в этом виде и во всех последующих мы будем начинать с левой стороны, ибо если бы мы начали удвоение с первого [справа], порой можно было бы удвоить одну вещь дважды. Зачем. И хотя можно было бы удваивать справа, это было бы труднее в обучении и в работе. Поэтому, если ты хочешь удвоить какое-либо число, запиши это число по его разрядам и удвой последнее. И от этого удвоения получается число цифровое, десяток или составное. [Если это цифра, запиши ее на месте первой цифры.]

double | 10
to be doublede | 5

Что делать с результатом. Если это десяток, напиши на его месте ноль и перенеси десяток влево, а именно так: —

И если число составное,

doublede | 16
to be doublede | 8

напиши цифру, которая является частью его состава, и помести десяток с левой стороны, а именно так: —

По завершении этого нужно удвоить предпоследнее, и с тем, что из этого получится, нужно поступить так же, как прежде. А если есть ноль, не трогай его. Но если к нулю должно быть прибавлено какое-либо число,

doublede | 6 | 0 | 6
to be doublede | 3 | 0 | 3

на месте стертой фигуры нужно записать добавляемое число, а именно так: —

Таким же образом следует поступать со всеми остальными. Как проверить свой ответ. И вот эта проверка:

Doublede | 6 | 1 | 8
to be doublede | 3 | 0 | 9

Если ты верно удвоишь половины и верно разделишь пополам удвоенное, сойдутся те же число и фигура, над которыми ты работал сначала, и наоборот.

Глава VI. Умножение.

Определение умножения. Умножение числа самого на себя или на другое при наличии двух предложенных чисел [есть] нахождение третьего, которое содержит то другое столько раз, сколько единиц в первом. В умножении принципиально необходимы 2 числа, а именно: умножающее число и умножаемое число, как здесь — дважды пять. Множитель. [Умножающее число] обозначается наречно. Множимое. Умножаемое число получает именное наименование, как «дважды 5»: 5 — это умножаемое число, а «дважды» — умножающее.

Resultans | 9 | 1 | 0 | 1 | 3 | 2 | 6 | 6 | 8 | 0 | 0 | 8
Multiplicandus | . | . | 5 | . | . | 4 | . | 3 | 4 | 0 | 0 | 4
Multiplicans | . | 2 | 2 | . | 3 | 3 | 2 | 2 | 2 | . | . | .

Произведение. Также в связи с этим можно определить третье число, Фолио 51 b. *которое называется произведением [product] или результатом [provenient], получаемым от взятия одного из другого: как дважды 5 будет 10, где 5 — умножаемое число, а 2 — множитель, и 10, как было сказано ранее, получается из них. И пойми хорошо, что из множителя можно сделать умножаемое число и наоборот, причем общая сумма всегда остается прежней, и отсюда происходит общее выражение, которое гласит, что любое число обращается при умножении на самого себя. Случаи умножения.

There are 6 rules of Multiplication.

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10
2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 10¹⁰ | 14 | 16 | 18 | 20
3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30
4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40
5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50
6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 56 | 60
7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70
8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80
9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90
10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100

И имеется 6 правил умножения; (1) Цифра на цифру. во-первых, если цифра умножает цифру, рассмотри, сколько единиц между умножающей цифрой и ее десятком вместе взятыми, и столько же раз вычти умножающую цифру под десятком ее наименования. Пример ради. Если ты хочешь узнать, сколько будет 4 раза по 8, 11 посмотри, сколько единиц между 8 12 и 10, сосчитанными вместе, и оказывается, что их 2: вычти поэтому четверку из десятка ее наименования дважды, то есть из 40, и останется 32, что составляет сумму всего умножения. Смотри таблицу выше. В подтверждение и разъяснение сего составлена упомянутая таблица. (2) Цифра на десяток. Когда цифра умножает десяток, ты должен умножить цифру на цифру, от которой десяток [имеет] 13 свое название, и каждая единица будет стоить 10, а каждый десяток — 100. (3) Составное число на цифру. Когда цифра умножает составное число, ты должен умножить цифру на каждую часть составного числа так, чтобы цифра умножалась на цифру по первому правилу, на десяток — по второму правилу, а затем соединить произведения, и там получится общая сумма.

Resultans | 1 | 2 | 6 | 7 | 3 | 6 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 8
Multiplicandus |  |  | 2 |  | 3 | 2 |  |  | 6 |  |  |  | 4
Multiplicans |  | 6 | 3 | 2 | 3 |  |  | 2 | 0 |  | 3 | 0 | 2

(4) Десяток на десяток. Когда десяток умножает десяток, цифру, по которой он назван, Фолио 52. *нужно умножить на цифру, по которой назван другой, и каждая единица будет стоить 100, а каждый десяток — 1000. (5) Десяток на составное число. Когда десяток умножает составное число, ты должен умножить цифру десятка на каждую часть составного числа; и соединить произведение, и каждый десяток будет стоить 100, а каждая единица — 10, и тогда сумма будет ясна. (6) Составное число на составное число. Когда составное число умножает составное число, каждая часть умножающего числа должна быть умножена на каждую часть умножаемого числа, и таким образом цифра должна быть умножена дважды: один раз на цифру, другой раз на десяток. Десяток также дважды: один раз на цифру, другой раз на десяток. Поэтому, если ты хочешь умножить какое-либо число само на себя или на любое другое, запиши умножаемое число в верхнем ряду по его разрядам, Как записывать числа. а умножающее число — в нижнем ряду по его разрядам, так чтобы первый разряд нижнего ряда находился под последним разрядом верхнего ряда. После этого последнее [разряда] умножающего числа нужно умножить на последнее умножаемого числа. От чего затем получится цифра, десяток или составное число. Если результатом является цифра,

The resultant | 6
To be multipliede | 3
Þe nombre multipliyng | 2

Если это цифра, то прямо над умножающей фигурой пишите ее цифру, которая получается, как здесь показано:—

десяток. И если десяток был написан над умножающей фигурой, поставьте там цифру ноль и переместите десяток влево, вот так:—

The resultant | 1 | 0
to be multipliede |  | 5
þe nombre multipliyng |  | 2

или составное число. И если составное число написано над умножающей фигурой, запишите цифру на месте составного числа, а десяток поместите слева, вот так:—

Resultant | 1 | 2
to be multipliede |  | 4
the nombre multipliyng |  | 3

Умножайте далее на предпоследнее и так далее. По завершении этого следует умножить предпоследнее число множителя на последнее умножаемое число и посмотреть, что из этого получится, как прежде, и так поступать со всеми, пока не дойдете до первого числа множителя, которое следует умножить на последнее умножаемое число, откуда получается либо цифра, либо десяток, Л. 52 б. *либо составное число.

Resultant | 6 | 6
to be multipliede |  | 3
the nombre multipliyng | 2 | 2

The resultant | 1 | 1 | 0
to be multipliede |  |  | 5
þe nombre multiplying |  | 2 | 2

The resultant | 1 | 3¹⁵ | 2
to be multipliede |  |  | 4
þe nombre multipliant |  | 3 | 3

Если это цифра, на месте верхнего числа отложите ее в сторону, как здесь:

Если случится десяток, поставьте там цифру ноль в его разряде и перенесите его налево, как здесь:

Если это составное число, на месте верхнего числа запишите цифру, которая является частью составного числа, 14 а слева поместите десяток, как здесь:

Затем сдвиньте множитель на один разряд. По завершении этого сместите фигуры умножающего числа на одну разность вперед так, чтобы первое число множителя оказалось под предпоследним числом умножаемого, а остальные сдвиньте на один разряд вперед. После этого следует умножить последнее число множителя на то, под которым находится первый множитель. Действуйте как прежде. И тогда получится либо цифра, либо десяток, либо составное число. Если это цифра, прибавьте ее прямо над ее главой; если это десяток, перенесите его на левую сторону; а если это составное число, прибавьте цифру к фигуре над его главой, а слева поместите десяток. И всегда каждая фигура умножающего числа должна умножаться на предпоследнее умножаемое число, пока не дойдете до первого множителя, где следует действовать так, как было сказано ранее для первого, а затем продвигать фигуры на одну разность и единицу, пока все они не будут умножены. Как обращаться с цифрами нулями. И если случится так, что первая фигура множителя — цифра ноль, а выше нее поставлена значимая фигура, запишите цифру ноль на месте отложенной фигуры, вот так и т. д.:

The resultant | 1 | 2 | 0
to be multipliede |  |  | 6
the multipliant |  | 2 | 0

Как обращаться с цифрами нулями. И если цифра ноль окажется в нижнем ряду между первой и последней, а прямо над ней поставлена значимая фигура,

The resultant | 2 | 2 | 6 | 4 | 4
To be multipliede |  |  | 2 | 2 | 2
The multipliant | 1 | 0 | 2 |  |

оставьте ее нетронутой, как здесь:—

А если вышеуказанное место пусто, запишите там цифру ноль. И если ноль окажется между первым и последним умножаемыми числами, необходимо сместить порядок фигур на их разности, поскольку от умножения фигур на нули часто получается ничто, как здесь,

Resultant | 8 | 0 | 0 | 8 |
to be multipliede | 4 | 0 | 0 | 4 |
the multipliant | 2 | . | . | . |

Л. 53. *откуда очевидно и понятно, что если первая фигура умножаемого числа является нулем, под ней ничего не ставится, как здесь:—

Resultant | 3 | 2 | 0¹⁶
To be multipliede |  | 8 | 0
The multipliant |  | 4 |

Оставляйте место между рядами фигур. Понимайте также, что при умножении, делении и извлечении корней можно с полным правом оставлять среднее разделительное пространство между двумя рядами фигур, чтобы записывать там то, что получается от сложения или вычитания, дабы ничто не было упущено и забыто.

Глава VII. Деление.

Определение деления. Чтобы разделить одно число на другое, из двух предложенных чисел требуется разделить большее число на столько частей, сколько единиц содержится в меньшем числе. И хорошо заметите, что при выполнении деления необходимы три числа, а именно: делимое, делитель и частное, то есть число, которое нужно разделить; число делящее и число исходное, или то, сколько раз, либо частное. Число, которое нужно разделить, всегда должно быть больше или по крайней мере равно числу делителя, если число должно состоять из целых чисел. Как записать вашу сумму. Поэтому, если вы хотите разделить какое-либо число, запишите делимое число в верхнем обрамлении по его разрядам, а делитель в нижнем ряду по его разрядам так, чтобы последняя цифра делителя оказалась под последней цифрой делимого, предпоследняя под предпоследней и так далее для остальных, если это можно сделать целесообразным образом; Пример. как здесь:—

The residue |  | 2 | 7
The quotient |  |  | 5
To be dyvydede | 3 | 4 | 2
The dyvyser |  | 6 | 3

Examples.

Residuum |  |  | 8 |  |  |  | 2 | 7 |  | 2 | 6
Quociens |  | 2 | 1 | 2 | 2 |  |  | 5 |  |  | 9
Diuidendus | 6 | 8 | 0 | 6 | 6 | 3 | 4 | 2 | 3 | 3 | 2
Diuiser | 3 | 2 |  | 3 |  |  | 6 | 3 |  | 3 | 4

Когда последняя цифра делителя не должна ставиться ниже последней цифры делимого. И существует две причины, когда последняя фигура не может быть поставлена под последней: либо последняя фигура нижнего числа не может быть вычтена из последней фигуры верхнего числа, так как она меньше нижней, либо, хотя ее и можно было бы вычесть саму по себе из верхнего, остаток не может быть взят столько раз из тех, что выше, либо если последняя нижняя равна фигуре над своей главой, а предпоследняя или предшествующая фигура больше цифры, поставленной сверху. Л. 53 2. *По завершении этого следует действовать с последней фигуры числа делителя и посмотреть, сколько раз она может быть вычтена из фигуры над своей главой и от нее, а именно так, чтобы остаток можно было взять столько раз, и увидеть остаток, как здесь:—

The residue |  | 2 | 6
The quocient |  |  | 9
To be dyvydede | 3 | 3 | 2
The dyvyser |  | 3 | 4

Пример. И хорошо заметите, что нельзя вычитать более 9 раз и менее одного. Поэтому посмотрите, сколько раз фигуры нижнего ряда могут быть вычтены из фигур верхнего, и число, показывающее частное, должно быть записано над главой той фигуры, под которой находится первая цифра делителя; Где записать частное. И с помощью этой фигуры нужно вычесть все остальные фигуры нижнего ряда и фигуры над их главами. По завершении этого следует продвинуть фигуры делителя на одну разность в сторону правой руки и действовать как прежде; и таким образом:— Примеры.

Residuum |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | . | 1 | 2
quociens |  |  |  | 6 | 5 | 4 |  |  |  | 2 | 0 | 0 | 4
Diuidendus | 3 | 5 | 5 | 1 | 2 | 2 | 8 | 8 | 6 | 3 | 7 | 0 | 4
Diuisor |  | 5 | 4 | 3 |  |  | 4 | 4 | 2 | 3 |  |  |

The quocient |  |  |  | 6 | 5 | 4
To be dyvydede | 3 | 5 | 5 | 1 | 2 | 2
The dyvyser |  | 5 | 4 | 3 |  |

Особый случай. И если после продвижения фигур случится так, что последняя цифра делителя не может быть вычтена столько раз из фигуры над ее главой, над той фигурой, под которой записана первая цифра делителя, необходимо поставить цифру ноль в разряде числа частного и продвинуть фигуры вперед, как прежде, только на одну разность, и так следует поступать со всеми делимыми числами, ибо там, где делитель не может быть вычтен, необходимо поставить там цифру ноль и продвинуть фигуры вперед; как здесь:—

The residue |  |  |  |  |  | 1 | 2
The quocient |  |  |  | 2 | 0 | 0 | 4
To be dyvydede | 8 | 8 | 6 | 3 | 7 | 0 | 4
The dyvyser | 4 | 4 | 2 | 3 |  |  |

Другой пример. И не следует прекращать такое продвижение фигур, ни внесение частного в делитель, ни вычитание делителя до тех пор, пока первая цифра делителя не будет вычтена из первой цифры делимого. По завершении этого останется либо что-то, 17 либо ничто: и если останется что-то, 17 сохраните это в таблицах и всегда объединяйте с делителем. И если вы хотите узнать, сколько единиц деления Л. 53 3. *получится для числа делителя, что показывает частное. число частного покажет это; и когда такое деление совершено и вы желаете проверить, хорошо ли вы все сделали, Как проверить ваше деление, или умножение. умножьте частное на делитель, и появятся те же самые фигуры, которые у вас были до того, и никакие другие. И если есть остаток, то с его добавлением получатся те же самые фигуры: и таким образом умножение доказывает деление, а деление — умножение; а именно так: если выполнено умножение, разделите его на множитель, и число частного покажет число, которое нужно было умножить, и т. д.

Глава VIII. Прогрессия.

Определение прогрессии. Прогрессия — это совокупность чисел, следующих с равным избытком от одного или двух взятых чисел. Прогрессия бывает либо естественной, либо непрерывной, а другая — дробной и прерывной. Естественная прогрессия. Естественная прогрессия — это когда начинают с единицы и соблюдают порядок, не пропуская ничего; как 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т. д., так что следующее число превосходит предыдущее на единицу. Дробная прогрессия. Дробная прогрессия — это когда переходят от одного числа к другому и не соблюдают непрерывный порядок; как 1, 3, 5, 7, 9 и т. д. Всегда можно начать с 2, вот так: 2, 4, 6, 8 и т. д., и следующее число превосходит предыдущие на 2. И заметьте хорошо, что естественная прогрессия всегда начинается с единицы, а прерывистая или дробная прогрессия порою начинается с единицы, порою с двух. Для естественной прогрессии дано 2 правила, первое из которых таково: Первое правило для естественной прогрессии. когда естественная прогрессия оканчивается четным числом, умножьте половину его на следующее тотальное верхнее число; Пример ради: 1, 2, 3, 4. Умножьте 5 на 2, и получится 10, что является ее тотальным числом. Второе правило. Второе правило таково: когда естественная прогрессия оканчивается нечетным числом, возьмите большую часть из нечетных и умножьте на нее тотальное число. Пример ради: 1, 2, 3, 4, 5, умножьте 5 на 3, и получится трижды по пять. Таким образом, тотальное число равно 15. Первое правило прерывистой прогрессии. Существует также 2 правила для прерывистой прогрессии; 18 и первое из них таково: когда прерывистая прогрессия оканчивается четным числом, умножьте ее половину на число, следующее за этой половиной, как 2, 18 4, 6. Умножьте 4 на 3, то есть трижды четыре, и получится 12 — число всей прогрессии. Второе правило. Второе правило таково: когда прерывистая прогрессия оканчивается нечетным числом, возьмите большую часть всего числа Л. 53 4. *и умножьте ее на саму себя; как 1, 3, 5. Умножьте 3 на само себя, и суммой всего будет 9 и т. д.

Глава IX. Извлечение корней.

Введение к извлечению корней. Здесь следует извлечение корней, и во-первых — квадратов чисел. Почему следует посмотреть, что такое квадратное число, что такое корень квадратного числа и что значит извлекать корень из числа. И прежде всего отметьте это разделение: Линейные, поверхностные и телесные числа. Числа бывают линеальные, поверхностные, квадратные, кубические или целые. Линеальное — это то, что рассматривается по ходу процесса, не имея отношения к направлению числа в числе; как линия имеет лишь одно измерение, то есть по длине. Поверхностные числа. Поверхностное число — это то, что получается от умножения одного числа на другое, поэтому оно называется поверхностным, ибо у него есть два числа, отмечающие или измеряющие его, как поверхностная вещь имеет два измерения, то есть длину и ширину. Квадратные числа. И поскольку число может содержаться в другом двумя способами, а именно либо само в себе, либо в другом, поймите: если оно содержится само в себе, это квадрат. Ибо деление, записанное по единицам, имеет 4 стороны, точно так же как четырехугольник. А если число содержится в другом, то число является поверхностным, а не квадратным, как 2, содержащееся в 3, составляет 6, что является первым поверхностным числом; поэтому очевидно, что всякое квадратное число является поверхностным, но не наоборот. Корень квадратного числа. Корнем квадратного числа является то число, которое получается из самого себя, как дважды два составляет 4, и 4 — это первое квадратное число, а 2 — его корень. 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. / Корень большего квадрата 3, 1, 4, 2, 6. Заметки некоторых примеров квадратных корней, здесь вставленные. Наибольшее квадратное число 9, 8, 7, 5, 9, 3, 4, 7, 6. / остаток сверх квадрата 6, 0, 8, 4, 5. / Первый случай квадратного числа 5, 4, 7, 5, 6. Корень 2, 3, 4. Второй случай 3, 8, 4, 5. Корень 6, 2. Третий случай 2, 8, 1, 9. Корень 5, 3. Четвертый случай 3, 2, 1. Корень 1, 7. / Пятый случай 9, 1, 2, 0, 4. / Корень 3, 0, 2. Телесные числа. Телесному числу или кубическому соответствует то, что получается от двойного умножения числа на число; Три измерения тел. И зовется телесным телом то, что имеет в себе 3 измерения, то есть длину, ширину и толщину, так что число имеет 3 числа, производимых в нем. Но число может содержаться дважды в числе, ибо оно либо содержится само в себе, либо в другом. Кубические числа. Если число содержится дважды в самом себе или один раз в своем квадрате, то это то же самое, Л. 54. *что кубическое, и это то же самое, что телесное. А если число дважды содержится в другом, число зовется телесным, а не кубическим, как дважды три и это два составляет 12. Все кубические суть телесные числа. Поэтому очевидно, что всякое кубическое число является телесным, но не наоборот. Кубическим является то число, которое получается от умножения самого себя дважды или единожды в своем квадрате. Отсюда очевидно, что одно число является корнем квадрата и куба. Тем не менее одно и то же число не является квадратом и кубом. Ни одно число не может быть одновременно линейным и телесным. Очевидно также, что все числа могут быть корнем для квадрата и куба, но не всякое число является квадратным или кубическим. Поэтому, поскольку от умножения единицы на себя единожды или дважды ничего не получается, кроме единиц, говорит Боэций в «Арифметике», что единица потенциально есть все число, а в действительности — ничто. И понимайте также хорошо, что между каждыми двумя квадратами имеется среднее пропорциональное, Примеры квадратных корней. Что поясняется так: умножьте корень одного квадрата на корень другого квадрата, и тогда проявится среднее.

Residuum |  |  | 0 |  |  |  |  | 4 |  |  | 0 |  |  |  |  | 0 |
Quadrande | 4 | 3 | 5 | 6 | 3 | 0 | 2 | 9 | 1 | 7 | 4 | 2 | 4 | 1 | 9  | 3 | 6
Duplum | 1 | 2 |  |  | 1 | 0 |  |  | 2 |  | 6 |  |  |  | [8] | 19 |
Subduplum |  | 6 |  | 6 |  | 5 |  | 5 | 1 |  | 3 |  | 2 |  | 4  |  | 4

Замечание о средних пропорциональных. Также между следующими двумя кубами можно найти двойное среднее, а именно большее среднее и меньшее. Большее среднее — так, чтобы умножить корень меньшего на квадрат большего. Меньшее — так, если корень большего умножить на квадрат меньшего.

Глава X. Извлечение квадратного корня.

Чтобы 20 извлечь корень из квадратного числа, какое бы число ни предлагалось, найдите его корень и посмотрите, является ли оно квадратом. Как найти квадратный корень. И если оно не является квадратом, найдите корень наибольшего квадрата под предложенным числом. Поэтому, если вы хотите извлечь корень из любого квадратного числа, запишите число по его разрядам, подсчитайте количество фигур и узнайте, является ли оно нечетным или четным. Начинайте с последнего нечетного разряда. И если оно четное, то вы должны начать вычисления под предпоследним; а если нечетное — с последним; и говоря коротко, всегда следует начинать с последнего нечетного. Поэтому под последним в нечетном разряде поставьте, Найдите ближайший квадратный корень этого числа, вычтите, нужно найти цифру, которая, будучи умножена на саму себя, уничтожает то, что находится над ее главой, или как можно ближе к тому: найдя такую цифру и вычтя ее из ее верхнего, нужно удвоить эту цифру и поставить удвоенную под следующей фигурой в сторону правой руки, а её подвойное под ней. удвойте его, По завершении этого нужно найти 21 другую цифру под следующей фигурой перед удвоенной, удвойте единицу и сдвиньте ее вправо. которую Л. 54 б. *будучи умноженной на удвоенную, уничтожает все, что находится над ее главой по отношению к удвоенной: затем, будучи умноженной на саму себя, уничтожает все по отношению к себе самой, Найдите вторую фигуру делением. Или сделайте это как можно ближе: либо можно вычесть 21 [последнюю] найденную цифру и умножить ее на удвоенную или удвоить её, а после умножить на саму себя; Умножьте удвоенное на вторую фигуру и прибавьте после нее квадрат второй фигуры, а затем вычтите. Затем соедините вместе их произведение так, чтобы первая фигура последнего произведения была прибавлена перед первой из первых произведений, вторая из первых и т. д. и так далее, вычтите из тотального числа в отношении к цифре.

Examples.

The residue |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | 5 | 4 | 3 | 2
Для возведения в квадрат | 4 | 1 | 2 | 0 | 9 | 1 | 5 | 1 | 3 | 9 | 9 | 0 | 0 | 5 | 4 | 3 | 2
The double |  | 4 | 0 |  |  |  | 2 |  | 4 |  |  | 6 |  | 0 |  |  | 0
Подвойное | 2 |  | 0 |  | 3 | 1 |  | 2 |  | 3 | [3] |  | [0] |  | [0] |  | 0

И если случится так, что никакой цифры найти не удается, тогда поставьте ноль под нулем и не прекращайте, пока не найдете цифру; а когда найдете ее, не удваивайте и не переставляйте удвоенное вперед или подвойное вперед, Особые случаи. пока не найдете под первой фигурой цифру, которая, будучи умножена на все удвоенное, уничтожает все, что находится над ней по отношению к удвоенной: затем умножьте ее на саму себя и уничтожьте все по отношению к ней или как можно ближе. Остаток. По завершении этого остаток будет либо чем-то, либо ничто. Если ничто, то это показывает, что составное число было квадратом, а его корень — последней найденной цифрой с подвойными или подподвойными, так что оно ставится перед ним: А если что-то 22 остается, это показывает, что предложенное число было не квадратом, 23 а цифра [последняя найденная с субдуплем или субдуплями есть]

This table is constructed for use in cube root sums, giving the value of ab.²

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7   | 8 | 9  
2 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28   | 32 | 36  
3 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63   | 72 | 81  
4 | 32 | 48 | 64 | 80 | 96 | 112²⁴ | 128 | 144  
5 | 50 | 75 | 100 | 125 | 150 | 175   | 200 | 225  
6 | 72 | 108 | 144 | 180 | 216 | 252   | 288 | 324  
7 | 98 | 147 | 196 | 245 | 294 | 343   | 393 | 441  
8 | 128 | 192 | 256 | 320 | 384 | 448   | 512 | 576  
9 | 168 | 243 | 324 | 405 | 486 | 567   | 648 | 729²⁵

Корень наибольшего квадрата, содержащегося под предложенным числом. Как проверить квадратный корень с остатком или без него. Поэтому, если вы хотите проверить, хорошо ли вы поступили, умножьте последнюю найденную цифру на подвойное или подподвойные, и вы найдете те же фигуры, которые у вас были до того; и так, чтобы остаток был равен нулю. Л. 55. *И если у вас есть какой-либо остаток, то с добавлением оного, который сохранен снаружи в вашей таблице, вы найдете свои первые фигуры такими, какими они были у вас до того и т. д.

Глава XI. Извлечение кубического корня.

Определение кубического числа и кубического корня. Здесь следует извлечение корней в кубических числах; почему необходимо рассмотреть, что такое кубическое число, что такое его корень и что такое извлечение корня. Кубическое число, как заявлено ранее, — это то, которое получается от умножения любого числа дважды на само себя или единожды на свой квадрат. Корень кубического числа — это число, которое содержится дважды в самом себе или единожды в своем квадрате. Благодаря чему очевидно, что любое квадратное или кубическое число имеет один и тот же корень, как было сказано ранее. И чтобы извлечь корень кубического числа, сначала нужно найти предложенное число, является ли оно кубическим; а если нет, то вы должны извлечь корень из наибольшего куба под предложенным числом после нахождения его корня. Итак, предложено некоторое число, чей кубический корень вы хотели бы извлечь; Разделите разряды по тройкам. Сначала вы должны подсчитать фигуры по четверкам, то есть в разряде тысяч; Найдите первую цифру; И под последним разрядом тысяч вы должны найти цифру, которая, будучи кубически умножена на саму себя, уничтожает то, что находится над ее главой по отношению к ней, или так близко, насколько это возможно. утройте его и поместите под предпоследним, и умножьте на цифру. По завершении этого вы должны утроить цифру, и это утроенное должно быть помещено под 3-й следующей фигурой в сторону правой руки, а под-утроенное — под утроенным; Затем найдите вторую цифру. Затем нужно найти цифру под следующей фигурой перед утроенным, которая вместе со своим под-утроенным, умноженным на утроенное, а затем либо под-[утроенное] 26 помноженное на его произведение, уничтожает все, что находится над ним по отношению к 27 [утроенному. Затем умноженное на само себя уничтожает то, что находится над его главой по отношению к нему, или так близко, насколько возможно:] Умножьте первый триплет и вторую цифру дважды на эту цифру. По завершении этого вы должны снова утроить цифру, и триплет должен быть поставлен под следующие 3 фигуры, как прежде, а под-утроенное — под утроенное: и тогда вы должны сдвинуть первый триплет вместе с его под-утроенным на 2 разности. И тогда вы должны найти цифру под следующей фигурой перед триплетом, которая вместе со своим под-триплетом, умноженным на свой триплет впоследствии, Вычтите. либо под-утроенные, умноженные в произведении Л. 55 б. *Уничтожает все, что находится над ее главой по отношению к триплету, затем умноженному на само себя кубически, 28 или так близко, как вы можете.

Examples.

Residuum |  |  |  |  |  |  | 5  |  |  |  |  |  | 4 |  | 1 | 0 | 1 | 9 |
Cubicandus | 8 | 3 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2  | 3 | 0 | 0 | 7 | 6 | 7 | 1 | 1 | 6 | 6 | 7 |
Triplum |  |  | 6 | 0 |  |  |  |  |  |  | 1 | 8 |  |  |  |  | 4 |  |
Subtriplum | 2 |  |  | 0 |  |  | [3] |  |  | 6 |  |  | 7 |  | 2 |  |  | 2 |

Продолжайте этот процесс до первой фигуры. Также не следует прекращать ни нахождение этой цифры, ни ее утроение, ни антериокацию триплета, то есть продвижение вперед на 2 разности, ни помещение под-утроенного под утроенное, ни его умножение, ни вычитание, пока не дойдете до первой фигуры, под которой должна быть найдена цифровая величина, которая вместе со своими под-утроенными должна быть взята в утроенных, а впоследствии без под-утроенных в произведении, уничтожая все, что находится над главой триплетного числа, после умножения на само себя кубически, Примеры. и всегда откладывая все, что находится над ним.

To be cubicede | 1 | 7 | 2 | 8 | 3 | 2  | 7 | 6 | 8
The triple |  |  | 3 | 2 |  |  |  | 9 |
The vnder triple |  |  | 1 | 2 |  | [3] |  | 3 | 3

Также заметьте хорошо, что произведение, происходящее от умножения найденной цифры, 30 можно прибавлять и также вычитать из тотального числа, поставленного над этой найденной цифрой. 31 Остаток. По завершении этого остаток должен быть чем-то или ничто. Если он равен нулю, очевидно, что предложенное число было кубическим числом, а его корень — последней найденной цифрой с под-триплетами: если корень оного станет плохим в самом себе и впоследствии в произведении, они составят первые фигуры. А если есть остаток, сохраните его снаружи в таблице; и очевидно, что число не было кубическим, но последняя найденная цифра с под-триплетами является корнем наибольшего куба, содержащегося под предложенным числом, каковой корень, если взять его в самом себе, Специальные случаи. а затем в произведении из него, вырастет наибольший куб, содержащийся под предложенным числом, и если прибавить его к кубу, то остаток, сохраненный в таблице, составит те же фигуры, которые у вас были сначала. Специальный случай. Л. 56. *И если никакая цифра после антериокации 32 не может быть найдена, тогда поставьте там ноль под нулем под третьей фигурой и продвиньте фигуры вперед. Заметьте также хорошо, что если в предложенном числе нет разряда тысяч, нужно начинать под первой фигурой при извлечении корня. Некоторые используют разделение числа по тройкам и всегда начинают вычисление под первой из последней тройки или неполного числа, каковой способ операции согласуется с предыдущим.

Examples.

The residue |  |  |  |  |  |  | 0 |  |  |  |  |  | 1 | 1
The cubicandus | 8  | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 8 | 2 | 4 | 2 | 4 | 1 | 9
The triple |  |  | 33  | 0 | 0 |  |  |  |  | 6 |  |  |  |
The vndertriple | [2] |  |  | 0 | 0 |  |  | 2 |  |  | 6 | 2 |  |

И на этом в данный момент достаточно об извлечении квадратных или кубических корней и т. д.

Таблица чисел и т. д.

A table of numbers; probably from the Abacus.

1 | 2 | 3 | 4 | 5
one. | x. | an. hundrede / | a thowsande / | x. thowsande /

6 | 7
An hundrede thowsande / | A thowsande tymes a thowsande /

десять тысяч раз по тысяче / сто тысяч раз по тысяче. Тысяча тысяч раз по тысяче / это 10-й разряд и т. д.

[Конец.]

1. В рукописи Materialle.

2. В рукописи Formalle.

3. «the» в рукописи.

4. «be» в рукописи.

5. «and» в рукописи.

6. «is» в рукописи.

7. В рукописи 6.

8. В рукописи 0.

9. В рукописи 2.

10. sic.

11. «And» вставлено в рукописи.

12. «4 the» вставлено в рукописи.

13. «to» в рукописи.

14. «that» повторяется в рукописи.

15. В рукописи 1.

16. Пусто в рукописи.

17. «nought» в рукописи.

18. В рукописи 3 написано вместо 2.

19. В рукописи 7.

20. Текст идет сплошным в рукописи.

21. «so» в рукописи.

22. «nought» в рукописи.

23. В рукописи добавлено: «wher-vponseethe table in the next side of the next leefe.»

24. В рукописи 110.

25. В рукописи 0.

26. В рукописи double.

27. В рукописи «it hym-selfe».

28. В рукописи добавлено: «it setteth away all his respect.»

29. В рукописи «aucterioracioun».

30. В рукописи добавлено: «with an vndre-triple / other of an vndre-triple in a triple or triplat is And after-warde with-out vndre-triple other vndre-triplis in the product and ayene that product that comethe of the ledyng of a digit founde in hym-selfe cubicalle» /

31. В рукописи добавлено: «as ther had be a division made as it is opened before.»

32. В рукописи anteriocacioun.

33. В рукописи 4.

34. Исходный текст был напечатан единым непрерывным абзацем, без разделения между говорящими; все примеры приводились в строках. Для данного электронного текста он был разбит на части.

116 b.

* ¶ Второй диалог о счете на счетных досках.

Учитель.

Теперь, когда вы изучили обычные виды арифметики с помощью пера, вы увидите то же искусство на счетных досках; каковое умение служит не только тем, кто не умеет писать и читать, но также и тем, кто умеет делать и то и другое, но порой не имеет при себе пера или таблиц наготове. Этот способ обычно бывает в двух формах. Один — по линиям, а другой — без линий: в том, что имеет линии, линии обозначают порядок разрядов; а в том, что не имеет линий, вместо них нужно ставить столько счетных досок, сколько потребуется, по одной на каждую линию, и они заменят собой линии.

Ученик. На примерах я лучше понял бы ваше значение.

Учитель. Для примера 117 а *с линиями:

| 1 | 0 0 0 0 0 |
| 1 | 0 0 0 0 |
X | 1 | 0 0 0 |
| 1 | 0 0 |
| 1 | 0 |
| 1 |  |

Смотрите, здесь вы видите 6 линий, которые обозначают шесть разрядов, так что самая нижняя обозначает первый разряд, а следующая над ней — второй; и так вверх, пока вы не дойдете до высшей, которая является шестой линией и обозначает шестой разряд. Нумерация. Теперь каково значение каждого разряда или линии, вы можете понять по фигурам, которые я на них установил, что соответствует тому, чему вы научились ранее в нумерации фигур с помощью пера: ибо первый разряд — это разряд единиц, и каждая счетная доска, поставленная на этой линии, означает лишь единицу; а вторая линия — это разряд 10, ибо каждая счетная доска там обозначает 10. Третья линия — разряд сотен; четвертая — тысяч; и так далее.

У. Сир, я понимаю, что здесь тот же порядок линий, что был в других фигурах 117 б *по разрядам, так что вам не нужно больше останавливаться на нумерации, если нет какого-либо иного отличия.

Уч. Если вы это понимаете, то как вы установите 1543?

X | 1 |
| 5 |
| 4 |
| 3 |

У. Вот так, как я полагаю.

Уч. Вы правильно определили разряды, но ваши фигуры не подходят для этого употребления: ибо наиболее подходящая фигура в этом отношении — это фигура круглой счетной доски, как вы видите здесь, где я выразил эту самую сумму.

× | o |
|   ° |
| o o o o |
| o o o |

У. Выходит, у вас нет ни одной фигуры для 2, ни для 3, ни для 4 и так далее, но сколько у вас есть цифр, столько вы и ставите на самую нижнюю линию; а для каждых 10 вы ставите одну на вторую линию, и так с остальными. Но я не знаю, по какой причине вы ставите ту одну счетную доску для 500 между двумя линиями.

Уч. Вам следует запомнить вот что: когда бы вам ни потребовалось выставить 5, 50, 500, 5000 или любое другое число, числитель 118 а *которого равен 5, вы должны поставить для него одну счетную доску в следующем пространстве выше линии, от которой оно берет свое название, как в этом примере для 500: поскольку числитель равен 5, ее нужно поставить в пустое пространство; а поскольку знаменатель равен сотне, я знаю, что ее место — это пустое пространство непосредственно выше сотен, то есть выше третьей линии. И далее вы заметите, что при любой работе этим способом, если вы будете выкладывать любую сумму между 4 и 10, для первой части этого числа вы должны выложить 5, а затем столько дополнительных счетных досок, сколько останется чисел сверх 5. И это верно как для цифр, так и для десятков. И для примера я выложу эту сумму 287965,

X |
|    o o
|    o o°o
X |    o o°
| o o°o o
| o°

эту сумму, если вы хорошо запомните, вам не понадобятся никакие другие примеры для изучения нумерации в таком виде. Но вот что вы должны заметить: как вы делали в другом роде арифметики, ставьте точку в разрядах тысяч, а в этой работе вы будете ставить звездочку, как вы видите здесь.

Сложение на счетной доске.

Сложение. У. Тогда я постигаю нумерацию, но прошу вас, как мне в этом искусстве сложить вместе две или более сумм?

М. Самый легкий путь в этом искусстве — складывать по две суммы за раз: однако вы можете складывать и больше, как я скажу вам вскоре. Поэтому, когда вы захотите сложить две суммы, вы должны сначала записать одну из них (неважно, какую), а затем рядом с ней провести линию поперек остальных линий. После этого запишите другую сумму так, чтобы эта линия оказалась между ними; например, если вы хотите сложить 2659 и 8342, вы должны расположить свои суммы так, как вы видите здесь.

X | o°o o | o o
| o o o | o°
| o o o o |   °
| o o | o°o o o

И тогда, если вы пожелаете, вы можете сложить одну с другой в том же разряде, либо вы можете сложить их обе в новом месте: какой способ, поскольку он является самым простым, я покажу вам в первую очередь. Поэтому я начну с единиц, которых в первой сумме всего 2, а во второй сумме — 9, что составляет 11; их я беру и вместо них ставлю 11 в новом помещении следующим образом:

X | o°o o | o o |
| o o o | o° |
| o o o o |     ° | o
|  |  | o

Затем я беру все десятки, которые находятся под сотней и в первой сумме составляют 40, а во второй сумме — 50, что в сумме дает 90; либо можно сказать лучше, что в первой сумме имеется 4 десятка, а во второй — 5, которые составляют 9, но тогда остерегайтесь ставить их на правильные линии, как вы видите здесь.

X | o°o o | o o |
| o o o | o° |
|  |  | o°o o o o
|  |  | o

Где я убрал 40 из первой суммы и 50 из второй, а вместо них поместил 90 в третьей, которую я расположил наглядно, чтобы вы могли легко это понять; однако, поскольку 90 вместе с 10, которые уже находились в третьем помещении, составляют 100, я мог бы вместо тех 6 счетных маркеров поставить 1 на третьей линии следующим образом:

X |
| o
| o

Ибо это та же самая сумма, как вы можете видеть, но лучше никогда не ставить 5 счетных маркеров на какую-либо линию, ибо это можно сделать с помощью 1 счетного маркера в более высоком разряде.

У. Я считаю это разумным, ибо многие из них излишни, когда послужит один.

М. Что ж, тогда я сложу далее сотни: я нахожу 3 в первой сумме и 6 во второй, что составляет 900; их я беру и помещаю в третье помещение, где уже есть одна сотня, к которой я прибавляю 900, и получится 1000, поэтому я ставлю один счетный маркер на четвертой линии для них всех, как вы видите здесь.

X | o°o o | o o | o
|  |  | o

Затем я складываю тысячи, которые в первой сумме составляют 8000, а во второй — 2000, что составляет 10000; я беру их из этих двух мест и вместо них ставлю один счетный маркер на пятой линии, и тогда получается, как вы видите,

| o
X | o
| o

что сумма составляет 11001, ибо именно столько получается от сложения 8342 и 2659.

У. Сир, это я понимаю: но как мне прибавить одну сумму к другой, не перенося их в третье место?

М. Хорошо запомните, как я это делаю: я сложу вместе 65436 и 3245, которые сначала записываю следующим образом.

|  | o   °
X | o o o |   °
| o o | o o o o
| o o o o | o o o
|   ° | o   °

Затем я начинаю с наименьшего, которое в первой сумме равно 5; я беру его и хотел бы прибавить к другим 5 во второй сумме, за тем исключением, что два счетных маркера нельзя поместить на пустую позицию 5, но вместо них обоих я должен поставить 1 на второй линии, которая является разрядом десятков; поэтому я беру 5 первой суммы и 5 второй, и вместо них ставлю 1 на второй линии, как вы видите здесь.

|  | o°
X | o o o |   °
| o o | o o o o
| o o o o | o o o o
|  | o

Затем я точно так же беру 4 счетных маркера первой суммы на второй линии (которые составляют 40) и прибавляю их к 4 счетным маркерам той же линии во второй сумме, и получается 80. Но, как я уже сказал, мне не следует удобно располагать более 4 счетных маркеров на одной линии, поэтому к тем 4, которые я взял из первой суммы, я беру еще один из второй суммы, и тогда я взял 50, вместо которых я кладу один маркер в промежуток над второй линией, как здесь и отображено.

|  | o°
X | o o o |   °
| o o | o o o o
|  | o°o o
|  | o

и тогда получается 80, как с теми 4 счетными маркерами, так и если бы я выложил и остальные 4. Теперь я беру 200 из первой суммы и прибавляю их к 400 во второй сумме, и получается 600; поэтому я беру 2 счетных маркера в первой сумме и 3 из них во второй, и вместо этих 5 ставлю 1 в промежуток выше, вот так.

|  | o°
X | o o o |   °
|  | o°
|  | o°o o
|  | o

Затем я беру 3000 в первой сумме, которым во второй сумме не соответствует ни одна, поэтому я лишь переношу эти 3 счетных маркера из первой суммы во вторую, как здесь и показано.

|  o°
X |  o°o o
| o °
|  o°o o
|  o

И таким образом вы видите общую сумму, получающуюся от сложения 65436 с 3245, равную 6868[1]. И если вы хорошо усвоили эти два примера, вы не нуждаетесь в дальнейших наставлениях по сложению только лишь двух сумм; но если у вас для сложения имеется более двух сумм, вы можете складывать их следующим образом.

X | o o | o o o o | o°
| o° | o o | o°o o o
| o°o | o°o o | o°
| o°o o o | o° |   °

Сначала сложите две из них, а затем прибавьте третью и четвертую или больше, если таковых имеется: например, если я захочу сложить 2679 с 4286 и 1391. Сначала я складываю первые две суммы следующим образом. А затем я прибавляю к ним третью следующим образом.

X | o | o° | o o o°
| o o o | o°o o o | o o o
| o°o o o |   °o |   °
| o |   ° | o°

И так далее с большим количеством, если они у вас есть.

Вычитание на счетной доске.

У. Теперь я считаю лучшим, чтобы вы перешли к вычитанию, если только нет каких-либо способов проверки этого вида сложения — тогда, думаю, это следовало бы узнать в первую очередь.

М. Здесь существует та же проверка, что и при обычном сложении с помощью пера, я имею в виду вычитание, ибо это единственный верный путь; но принимая во внимание, что вычитание должно быть изучено в первую очередь, я сначала обучу вас искусству вычитания, и притом на следующем примере: я хотел бы вычесть 2892 из 8746. Эти суммы я должен записать так же, как делал при сложении: но здесь лучше записать меньшее число первым, следующим образом.

X | o o | o o°o
| o°o o | o°o
| o°o o o | o o o o
| o o | o°

Затем я начинаю вычитать наибольшие числа первыми (вопреки обычаю обращения с пером), то есть тысячи в этом примере: поэтому я нахожу среди тысяч 2, на каковое число я уменьшаю вторую сумму (в которой их 8), и таким образом там остается 6, как показывает этот пример.

|  | o°
+ | o°o o | o°o
| o°o o o | o o o o
| o o | o°

Затем я проделываю то же самое со сотнями, которых в первой сумме я нахожу 8, а во второй сумме лишь 7, из которых я не могу вычесть 8; поэтому я должен поступить следующим образом: я должен посмотреть, насколько моя сумма отличается от 10, что, как я нахожу здесь, составляет 2; затем я должен уменьшить мою сумму в 800 на одну тысячу и записать избыток сотен, то есть 2, поскольку ровно на столько 100[0] больше, чем то, что я должен был забрать. Поэтому из первой суммы я забираю эти 800, а из второй суммы, где находится 6000, я забираю одну тысячу и оставляю 5000; но затем я добавляю те 200 к 700, которые уже имеются там, и делаю их равными 900 следующим образом.

+ |  |   °
|  | o°o o o
| o o°o o | o o o o
| o o | o°

Затем я перехожу к десяткам, в отношении которых в первой сумме я нахожу 90, а во второй сумме лишь 40: теперь, принимая во внимание, что 90 не может быть вычтено из 40, я смотрю, насколько 90 отличается от следующего превосходящего его числа, то есть 100 (или же, что имеет тот же эффект, я смотрю, насколько 9 отличается от 10), и нахожу, что это составляет 1; тогда вместо этих 90 я забираю из второй суммы 100: но учитывая, что это на 10 больше, чем требуется, я ставлю за это 1 на следующей нижележащей линии, как вы видите здесь.

+ |  |   °
|  | o°o o
|  |   °
| o o | o°

За исключением того, что здесь я поместил один счетный маркер в промежуток вместо 5 на следующей линии. И таким образом я вычел все, кроме двух, которые я должен отнять от 6 во второй сумме, и останется 4, следующим образом.

= |   °
| o°o o
|   °
| o o o o

Так что если я вычту 2892 из 8746, остаток составит 5854. И в том, что это выполнено верно, вы можете убедиться с помощью сложения: ибо если вы прибавите к этому остатку ту самую сумму, которую вы вычли, то снова получится исходная сумма 8746.

У. Я докажу это: и сначала я записываю сумму, которая была вычтена, а именно 2892, а затем остаток 5854, вот так.

|| | o o |       °
| o°o o | o o°o
| o o°o o |   °
| o o | o o o o

Затем я сначала прибавляю 2 к 4, что составляет 6, после чего забираю 5 из этих счетных маркеров, а вместо них ставлю 1 в промежуток, как здесь и показано.

|| | o o |       °
| o°o o | o°o o
| o°o o o |   °
|  | o°

Затем я прибавляю следующие вышележащие 90 к 50, и это составляет 140; поэтому я забираю те 6 счетных маркеров, а вместо них прибавляю 1 к сотням на третьей линии и 4 на второй линии, вот так.

|| | o o |   °
| o°o o | o°o o o
|  | o o o o
|  |   °o

Затем я перехожу к сотням, которых я нахожу 8 в первой сумме и 9 во второй, что составляет 1700; поэтому я забираю те 9 счетных маркеров, а вместо них ставлю 1 на 4-й линии, 1 в ближайшем нижележащем промежутке и 2 на третьей линии, как вы видите здесь.

|| | o o | o°
|  | o°o
|  | o o o o
|  | o°

После этого в первой сумме остается лишь 2000, которые я забираю оттуда и помещаю на ту же линию во второй сумме к той единице, которая уже там имеется; и тогда общая сумма окажется (как вы можете ясно видеть) равной 8746, какова была первоначальная общая сумма, и поэтому я понимаю, что вычитание до этого было выполнено мной правильно.

X | o o°o
| o o°
| o o o o
|   °o

И таким образом вы можете видеть, как вычитание может быть проверено с помощью сложения.

У. Я замечаю здесь тот же порядок со счетными маркерами, который я изучил ранее с цифрами.

М. Тогда покажите мне, как вы можете проверить сложение посредством вычитания.

У. Сначала я представлю этот пример сложения, в котором я прибавил 2189 к 4988, и общая сумма оказывается равной 7177,

|| | o o | o o o o | o°o
| o | o°o o o | o
| o°o o | o°o o | o°o
| o°o o o | o°o o | o°o

Теперь, чтобы проверить, правильно ли сложена эта сумма или нет, я вычту одну из первых двух сумм из третьей, и если я все сделал правильно, остаток будет равен той другой сумме. Например: я вычту первую сумму из третьей, расположив их следующим образом в должном порядке.

|| | o o | o°o
| o | o
| o°o o | o°o
| o°o o o | o°o

Затем я вычитаю 2000 первой суммы из второй суммы, после чего остается 5000 следующим образом.

X |  |   °
| o | o
| o°o o | o°o
| o°o o o | o°o

Затем на третьей линии я вычитаю 100 первой суммы из второй суммы, где находится лишь 100 также, и тогда на третьей линии ничего не остается. Затем на второй линии с ее промежутком над ней я нахожу 80, которые я должен вычесть из другой суммы; тогда, поскольку там имеется лишь 70, я должен взять ее из какой-либо более высокой суммы, коей здесь является только 5000; поэтому я забираю 5000 и, учитывая, что это на 4920 больше, чем требуется, я выставляю соответствующее количество во втором помещении, которое вместе с уже находящимися там 70 составляет 4990, и тогда суммы располагаются следующим образом.

|| |  | o o o o
|  | o°o o o
|  | o°o o o
| o°o o o | o°o

Однако в первой сумме все еще остается 9, подлежащее вычитанию из второй суммы, где в этом разряде единиц отображается только 7; тогда я должен уменьшить большую сумму, то есть 10, но поскольку 10 больше 9 (которое я должен вычесть) на 1, я заберу один счетный маркер со второй линии и положу его на первую или самую нижнюю линию, как вы видите здесь.

|| | o o o o
| o°o o o
| o°o o
| o°o o

И так я завершил эту работу, и сумма оказывается той же самой, которая была второй суммой моего сложения, и поэтому я понимаю, что поступил правильно.

М. Задерживаться на этом дольше — просто глупость: за тем исключением, что вы также можете усвоить следующее: многие начинают вычитание с помощью счетных маркеров не с высшей суммы, как я вас учил, а с самой нижней, как они привыкли делать при сложении; и когда сумма, подлежащая вычитанию на какой-либо линии, оказывается больше другой, тогда они занимают единицу из ближайшего высшего помещения; например: если бы они должны были вычесть 1846 из 2378, они бы расположили суммы следующим образом.

|| | o | o o
| o°o o | o o o
| o o o o | o°o
| o° | o°o o

И сначала они вычитают 6, находящееся на нижней линии, и его промежуток из 8 в тех же помещениях во второй сумме, и все же на нижней линии остается 2 счетных маркера. Затем на второй линии 4 должно быть вычтено из 7, и таким образом там остается 3. Затем 8 на третьей линии и ее промежутке не может быть вычтено из 3 второй суммы, поэтому они вычитают это из более высокого помещения, то есть из 1000, и поскольку 1000 больше на 200, я должен положить 200 на третью линию после того, как забрал 1000 с четвертой линии: тогда на четвертой линии первой суммы все еще остается 1000, и если я отниму ее от второй суммы, то все цифры встанут в этом порядке.

|| |
|   °
| o o o
| o o

Так что (как вы видите) не имеет большого значения, начинаете ли вы вычитание с верхних линий или с нижних. Тем не менее, поскольку одним людям больше нравится один способ, а другим — другой, вы, зная теперь оба, можете использовать тот, который вам больше по душе.

Умножение с помощью счетных маркеров.

Умножение. Но теперь, что касается умножения: вы должны расположить свои числа в двух помещениях, как вы делали в тех двух других видах, но так, чтобы множитель располагался в первом помещении. Затем вы должны начать с наибольших чисел второго помещения и умножить их в первую очередь следующим образом. Возьмите самую верхнюю линию в вашей первой работе, как если бы она была самой нижней линией, установив на ней какую-либо подвижную отметку по вашему усмотрению, и посмотрите, сколько счетных маркеров находится на ней; возьмите их и вместо них выложите весь множитель столько раз, сколько вы взяли счетных маркеров, считая, повторяю, эту линию за единицы; и когда вы проделаете это с наибольшим числом, переходите к следующей линии ниже и сделайте то же самое с ней, и так со следующей, пока не закончите все. И если какое-либо число находится в промежутке, то вместо него вы должны взять множитель 5 раз, и тогда вы должны считать за единицы ту линию, которая находится непосредственно под этим промежутком; либо же, по более короткому пути, вы должны взять лишь половину множителя, но тогда в качестве линии единиц вы должны взять линию, находящуюся непосредственно над этим промежутком; но при такой работе, если случится так, что ваш множитель окажется нечетным числом, так что вы не сможете взять его половину точно, вы должны взять бо́льшую половину и отложить ее так, будто она является точной половиной, кроме того, вы должны положить один счетный маркер в промежуток под той линией, которую вы считаете за линию единиц, либо просто передвинуть вперед то число, которое подлежит умножению.

У. Если вы приведете к этому пример, то, думаю, я вас пойму.

М. Возьмите этот пример: я хотел бы умножить 1542 на 365, поэтому я записываю числа следующим образом.

|| |  | o
| o o o |   °
| o° | o o o o
|   ° | o o

Затем я сначала начинаю с тысяч в высшем помещении, как если бы это был первый разряд, и забираю их, выкладывая вместо них столько раз (то есть один) множитель, который равен 365, следующим образом, как вы видите здесь:

|  |  | o o o |
|  |  | o° |
X |  |   ° |  | <--
| o o o |  |   ° |
| o° | o o o o |  |
|   ° | o o |  |

где вместо одного счетного маркера, взятого с четвертой линии, я выложил другие 6, которые составляют сумму множителя, считая эту четвертую линию так, как если бы она была первой: что я обозначил рукой, поставленной в начале оной,

У. Я хорошо это понимаю: ибо поистине эта сумма, которую вы выложили, равна 365000, ибо ровно столько получается от умножения 1000 на 365.

М. Что ж, продолжая далее, в следующем промежутке я нахожу один счетный маркер, который я продвигаю вперед, но не забираю, а делаю (как в таком случае и должен) следующее: выкладываю бо́льшую половину моего множителя (поскольку он является нечетным числом), которая равна 182, и здесь я продолжаю оставлять это четвертое место так, как если бы оно было первым:

|  |  | o o o | o |
|  |  | o° | o°o o |
|| |  |  |   ° | o°o | <--
| o o o |  |  |   ° |
| o° | o o o o |  |  |
|   ° | o o |  |  |

как вы видите в этой форме, где я поместил это умножение вместе с другим: но для удобства вашего понимания я провел между ними маленькую линию; теперь они оба в виде одной суммы должны выглядеть следующим образом.

|  |  | o o o o o |
|  |  | o o o o |
|| |  |  | o°o | <--
| o o o |  |   ° |
| o° | o o o o |  |
|   ° | o o |  |

Однако другая форма умножения таких счетных маркеров в промежутке такова: сначала перенести палец на линию, находящуюся непосредственно под промежутком, а затем взять счетный маркер и выложить множитель 5 раз, как вы видите здесь.

|  |  | o o o |  |  |  |  |  |
|  |  | o° | o o o | o o o | o o o | o o o | o o o |
|  |  |   ° | o° |   ° | o° | o° | o° |
--> X | o o o |  |  |   ° |   ° |   ° |   ° |   ° |
| o° | o o o o |  |  |  |  |  |  |
|   ° | o o |  |  |  |  |  |  |

И если вы сложите эти суммы в одну сумму, то заметите, что она окажется той же самой, которая получается от другой работы прежде, так что оба способа ведут к одной цели; но поскольку первый способ гораздо короче, этот является более понятным для рассуждения для тех, кто имеет небольшой опыт в этом искусстве. Тем не менее, вы можете складывать их в уме перед тем, как выкладывать, как в этом примере: вы могли бы сказать, что 5 раз по 300 будет 1500, и 5 раз по 60 будет 300, а также 5 раз по 5 будет 25, что в сложении вместе составляет 1825, каковую сумму при желании вы можете выложить за один раз. Но теперь, продолжая далее, я должен перенести руку к следующим счетным маркерам, которые находятся на второй линии, и там я должен взять те 4 счетных маркера, выкладывая для них мой множитель 4 раза, каковую вещь я могу сделать либо в 4 приема раздельно, либо я могу сначала собрать всю эту сумму в уме, а затем выложить ее: например, сказать, что 4 раза по 300 будет 1200; 4 раза по 60 будет 240; и 4 раза по 5 составляют 20: то есть в целом 1460, и это я также выложу, как вы видите здесь.

|  |  |   ° |  |
|  |  | o o o o | o |
X |  |  | o°o | o o o o |
| o o o |  |   ° | o° |
| o° |  |  |  | <--
|   ° | o o |  |  |

которую, если я объединю в одну сумму с предыдущими числами, окажется следующей.

|  |  |   °
|  |  | o°
|  |  | o o
<-- | o o o |  | o
| o° |  |
|   ° | o o |

Затем, чтобы завершить это умножение, я переношу палец на самую нижнюю линию, где имеется только 2, забираю их, а вместо них выкладываю дважды по 365, то есть 730, для чего помещаю один в промежуток над третьей линией для 500, и еще 2 на третью линию вместе с тем одним, который там уже есть, а остальные — в надлежащем порядке, и таким образом я завершил всю сумму следующим образом.

|  |   °
|  | o°
|  | o o
o o o |  | o°o o
o° |  | o o o
  ° |  |

Благодаря чему вы видите, что 1542 (что является числом лет со времени воплощения Христова), будучи умноженным на 365 (что является числом дней в одном году), составляет 562830, что выражает число дней от воплощения Христова до конца 1542 года (помимо 385 дней и 12 часов за високосные годы).

У. Теперь я докажу это на другом примере, таком: 40 работников (при плате в 6 пенсов в день за каждого человека) проработали 28 дней; я хотел бы знать, чему равна их заработная плата: в этом случае я должен действовать в два приема: сначала я должен умножить число работников на плату одному человеку за один день, таким образом получится расход за один день; затем во вторую очередь я должен умножить этот расход за один день на общее число дней, и таким образом появится общая сумма; поэтому сначала я расположу суммы следующим образом.

| o o o o
o° |

Где в первом помещении находится множитель (то есть дневной заработок одного человека), а во втором помещении записано число работников, подлежащих умножению; затем я говорю: 6 раз по 4 (считая эту вторую линию как линию единиц) составляет 24, для каковой суммы я должен был бы поставить 2 счетных маркера на третью линию и 4 на вторую, поэтому я ставлю 2 на третью линию, а 4 оставляю стоять на второй линии вот так.

| o o
| o o o o

Таким образом общая плата за день оказывается равной 240 пенсам, то есть 20 шиллингам. Затем я снова умножаю ту же сумму на число дней и сначала записываю числа следующим образом.

| o o
o o | o o o o
o°o o |

Затем, поскольку счетные маркеры находятся на разных линиях, я начинаю с высших и забираю их, выкладывая вместо них множитель столько раз, сколько я взял счетных маркеров, то есть дважды; тогда сумма будет выглядеть следующим образом.

|   °
| o°
| o o o o

Затем я перехожу ко второй линии и забираю те 4 счетных маркера, выкладывая для них множитель четыре раза, и тогда общая сумма предстанет в следующем виде.

| o°
| o°o
| o o

Таким образом, общая заработная плата 40 работников за 28 дней (при плате в 6 пенсов в день за человека) составляет 6720 пенсов, то есть 560 шиллингов, или 28 фунтов стерлингов.

Деление на счетной доске.

Деление. М. Теперь, если вы хотите проверить умножение, самый надежный способ — это деление; поэтому я отложу его, пока не обучу вас искусству деления, которое вы будете выполнять следующим образом. Сначала запишите делитель во избежание забвения, а затем поместите число, которое должно быть разделено, с правой стороны — на таком расстоянии от делителя, чтобы между ними можно было поместить частное: например, если 225 овец стоили 45 фунтов стерлингов, во сколько обошлась каждая овца? Чтобы узнать это, я должен разделить общую сумму, то есть 45 фунтов, на 225, но сделать это напрямую нельзя, поэтому я должен сначала перевести эти 45 фунтов в меньшую денежную единицу, а именно в шиллинги: затем я умножаю 45 на 20, получается 900; эту сумму я должен разделить на число овец, которое составляет 225; поэтому эти два числа я располагаю следующим образом.

o o |  | o°o o o
o o |  |
  ° |  |

Затем я начинаю с наивысшей линии делимого и смотрю, сколько раз я могу поместить в нем делитель, и это я могу сделать 4 раза; затем я говорю: 4 раза по 2 будет 8, которые, если я вычту из 9, оставляют лишь 1, вот так

o o |  | o
o o |  |
  ° | o o o o |

И поскольку я нашел делитель 4 раза в делимом, я поместил (как вы видите) 4 в среднее помещение, которое является местом частного: но теперь я должен вычесть остальные части делителя столько же раз из остатка; поэтому я подхожу ко второй линии делителя, говоря: 2 четыре раза составляют 8, вычитаем 8 из 10, и остается 2, вот так.

|| |  |  |
| o o |  |
| o o |  | o o
|   ° | o o o o |

Затем я перехожу к наименьшему числу, которое равно 5, и умножаю его 4 раза, получается 20; я вычитаю его из 20, и ничего не остается, так что я вижу, что мое частное равно 4, и по значению это шиллинги, ибо таковым было делимое; и тем самым я знаю, что если 225 овец стоили 45 фунтов, каждая овца стоила 4 шиллинга.

У. Я могу это сделать, в чем вы убедитесь на этом примере: если 160 солдат тратят каждый месяц 68 фунтов стерлингов, сколько тратит каждый человек? Сначала, поскольку я не могу разделить 68 на 160, я путем умножения преобразую фунты в пенсы, и тогда получится 16320 пенсов. Теперь я должен разделить эту сумму на число солдат, поэтому я располагаю их в должном порядке следующим образом.

|  |  | o
|| |  |  | o°
| o |  | o o o
| o° |  | o o

Затем я начинаю с высшего разряда делимого, отыскивая там мой делитель, который я нахожу 1 раз. Поэтому я ставлю 1 на нижней линии.

М. Не на нижней линии всей суммы, а на нижней линии этой операции, которая является третьей линией.

У. Это звучит разумно.

М. Тогда они располагаются следующим образом.

|| |  |  |
| o | o | o o o
| o° |  | o o

Затем я снова ищу в остатке, сколько раз я могу обнаружить свой делитель, и вижу, что в 300 я могу найти 100 три раза, но тогда 60 не сможет столь же часто обнаружиться в 20, поэтому я беру 2 для моего частного; затем я беру 100 дважды из 300, и остается 100, из которого вместе с 20 (что составляет 120) я могу также дважды взять 60, и тогда числа располагаются следующим образом,

|| |  |  |
| o | o |
| o° |  |
|  | o o |

где я поместил частное 2 на самую нижнюю линию: таким образом, доля каждого солдата составляет 102 пенса, то есть 8 шиллингов 6 пенсов.

М. Но все же, чтобы вы точно уяснили смысл деления, будет хорошо, если вы продолжите ставить свой делитель напротив тех чисел, из которых вы его вычитаете; что я и объясню на следующем примере. Если покупка 200 акров земли обошлась в 290 фунтов стерлингов, во сколько обошелся один акр? Сначала я переведу фунты в пенсы, и тогда получится 69600 пенсов. Затем при записи этих чисел я поступлю следующим образом.

| o o |  | o°
X |  |  | o°o o o
|  |  | o   °

Сначала поместите делимое с правой стороны, как положено, а затем делитель с левой стороны напротив тех чисел, из которых я намерен вычесть его в первую очередь, как вы видите здесь, где я поместил делитель на две линии выше их собственного места.

У. Это похоже на порядок деления с помощью пера.

М. Вы говорите правду, и теперь я должен поместить частное этой операции на третью линию, ибо в данной работе это линия единиц по отношению к делителю. Затем я ищу, сколько раз делитель содержится в делимом, и нахожу это 3 раза, после чего я ставлю 3 на третью линию для частного и убираю те 60000 из делимого, а кроме того, опускаю делитель на одну линию ниже, как вы видите здесь.

|| | o o |  | o°o o o
|  | o o o |   °o

И тогда я ищу, сколько раз делитель может быть вычтен из противостоящего ему числа, что составит 4 раза при остатке 1.

У. Но что если случится так, что при таком перемещении делитель не сможет быть вычтен из противостоящего ему делимого ни разу?

М. Тогда делитель должен быть помещен на другую линию ниже.

У. Так было и при делении с помощью пера, и поэтому в частном ставился нуль: но как это отметить здесь?

М. Здесь не нужен никакой знак, ибо линии представляют собой разряды: просто следите за тем, чтобы поместить ваше частное в том разряде, который обозначает единицы по отношению к делителю; но теперь, возвращаясь к примеру, я нахожу делитель 4 раза в делимом, и остается 1, ибо 4 раза по 2 составляют 8, которые я вычитаю из 9, и остается 1, как показывает эта цифра:

|| | o o |  | o
|  | o o o | o°
|  | o o o o |

а в среднем промежутке для частного я ставлю 4 на вторую линию, которая в этой работе является местом единиц. Затем я переношу делитель на следующую более низкую линию и ищу, сколько раз я могу иметь его в делимом, что я могу сделать здесь ровно 8 раз без какого-либо остатка, как в этой форме,

|| |  |  |
| o o | o o o |
|  | o o o o |
|  | o°o o |

где вы можете видеть, что все частное составляет 348 пенсов, то есть 29 шиллингов, благодаря чему я знаю, во сколько обошлась покупка одного акра.

У. Теперь остались проверки умножения, а также деления.

М. Лучшая проверка для них — друг другом, ибо умножение проверяется делением, а деление — умножением, как вы усвоили при работе с пером.

У. Если это все, вам не нужно повторять то, что уже было достаточно хорошо усвоено; и если вы не собираетесь обучать меня какому-то другому фокусу, полагаю, на этом вы можете завершить изучение этого искусства.

М. Так я и сделаю в отношении целых чисел, а что до дробей, я не стану утруждать ваш разум ими до тех пор, пока вы не отработаете это настолько хорошо, что станете совершенно искусны, так что у вас не останется сомнений ни в одном пункте из того, чему я вас научил, и тогда я смогу смело наставить вас в искусстве дробей, в котором я также покажу вам основания всего того, чему вы сейчас научились. Но прежде чем я закончу, я покажу вам порядок обычного счета на маркерах, в котором используются пенсы, шиллинги и фунты, проистекающие не из какого-то обоснованного принципа, а лишь из принятой формы, причем у разных людей по-разному: ибо купцы используют одну форму, а аудиторы — другую:

Счетные маркеры купцов.

Купеческий счет. Но сначала для купеческой формы обратите внимание на этот пример,

o | o o o o
|   o
o | o o o
|   o
o | o o o o
|   o
| o o o o o

в котором я выразил сумму в 198 фунтов стерлингов 19 шиллингов 11 пенсов. Так что вы можете видеть, что самая нижняя линия служит для пенсов, следующая над ней — для шиллингов, третья — для фунтов, а четвертая — для десятков фунтов. И кроме того, вы можете видеть, что промежуток между пенсами и шиллингами может вмещать только один маркер (как и все остальные промежутки подобным образом), и этот один маркер в данном месте означает 6 пенсов. Подобным же образом между шиллингами и фунтами один маркер означает 10 шиллингов. А между фунтами и 20 фунтами один маркер означает 10 фунтов. Но помимо этого вы можете видеть с левой стороны от шиллингов, что один маркер стоит отдельно и обозначает 5 шиллингов. Точно так же напротив фунтов один маркер означает 5 фунтов. А напротив 20 фунтов один маркер означает пять десятков фунтов, то есть 100 фунтов, так что каждый боковой маркер равен по стоимости 5 таким маркерам, против которых он стоит. Счет аудиторов. Теперь для отчета аудиторов возьмите этот пример.

      o | o    o | o    o |    o
o o o | o o o | o o o | o o o
o |  | o | o o

в котором я выразил ту же сумму в 198 фунтов стерлингов 19 шиллингов 11 пенсов. Но здесь вы видите, что пенсы располагаются в направлении правой руки, а остальные величины возрастают по порядку в сторону левой руки. Опять же, вы можете видеть, что аудиторы делают 2 линии (да и больше) для пенсов, шиллингов и всех прочих величин, если их суммы до этого доходят. Также вы видите, что они ставят один маркер на правом конце каждого ряда, который, будучи так там установлен, означает 5 единиц этого разряда; а в левом углу ряда он означает 10 единиц того же ряда. Но теперь, если вы захотите сложить или вычесть по любому из этих двух способов, если вы обратите внимание на порядок другого приема, которому я вас научил, вы легко сможете сделать то же самое здесь без долгих поучений: ибо при сложении вы должны сначала выложить одну сумму, а к ней аккуратно добавить другую, и точно так же, если у вас много сумм; но при вычитании вы должны сначала выложить наибольшую сумму и из нее убавить другую, каждый разряд с его надлежащего места.

У. Я не сомневаюсь, что с небольшой практикой я овладею обоими этими способами: но как мне умножать и делить по этим формам?

М. Вы не можете должным образом выполнить ни то, ни другое с помощью этих способов, поэтому в таком случае вы должны обратиться к другим вашим приемам.

У. Сир, однако с помощью этих способов я не вижу, как выразить сотни, если они превышают одну сотню, равно как и тысячи.

М. Те, кто пользуется такими расчетами, если сумма превышает 200 в одном числе, не ставят 5 с левой стороны от десятков фунтов, но помещают все сотни в другом, более удаленном ряду, а 500 — с левой стороны от него, а тысячи они помещают в еще более удаленном ряду, и с левой стороны от него они ставят 5000, а в промежутке над ним они помещают 10000, и в более высоком ряду — 20000, все из коих я выразил в этом примере,

| o o o o
|   o
o | o o
o | o o o
| o o o
o | o o o o
|   o
| o o
|   o
| o o o
|             o o
|             o

что составляет 97869 фунтов 12 шиллингов 9 пенсов и 1 обол 1 фартинг, ибо я не сказал вам ранее, где и как следует записывать фартинги, которые (как вы здесь видите) должны помещаться в пустом пространстве сбоку под перьями: ибо для одного фартинга — один жетон; для обола — 2 жетона; для обола и фартинга — 3 жетона; и больше их быть не может, поскольку 4 фартинга составляют 1 пенс, который должен быть помещен на свое надлежащее место.

Счетные жетона аудиторов.

А если вы желаете получить ту же сумму на манер аудиторов, то вот она.

|   o o |       o |  |       o | o |   o
o o o | o o | o o o | o o o | o o o | o o | o o o |
o |  |  |  | o |  |  | o o
|  |  |  |  |  |  | o

Но в этом деле вам будет достаточно и сего, а остального вы будете придерживаться, как можете видеть по работе с каждым разрядом: ибо разнообразные умы людей изобрели почти бесчисленное множество различных путей. Однако я обучу вас одному искусству, которое не только весьма приятно своей необычностью и сокровенностью, но также поистине заслуживает пристального внимания благодаря своей великой пользе. Это искусство использовалось по меньшей мере более двух тысяч лет, и все же оно никогда не было общеизвестным, а особенно на английском языке ему еще никогда не учили. Это есть искусство счета на руке при помощи различных жестов пальцев, выражающих любую сумму, задуманную в уме. И сперва начнем с того, что если вы хотите выразить любую сумму менее 100, то должны выразить ее на левой руке; а от 100 до 10000 вы должны выразить ее на правой руке, как здесь по порядку вы можете заметить из следующей таблицы.

¶ Далее следует таблица искусства руки

В которой, как вы можете видеть, 1 выражается мизинцем левой руки, плотно и сильно согнутым.

2 обозначается аналогичным сгибанием безымянного пальца (который является следующим за мизинцем) вместе с мизинцем.

3 обозначается средним пальцем, согнутым подобным образом вместе с теми двумя.

4 обозначается сгибанием среднего и кольцевого (или безымянного) пальцев, при этом все остальные вытянуты.

5 представляется одним лишь согнутым средним пальцем.

А 6 — только согнутым безымянным пальцем: и в этом вы можете заметить определенный порядок. Но теперь 7, 8 и 9 выражаются с помощью сгибания тех же пальцев, что и 1, 2 и 3, но по иной форме.

Ибо 7 обозначается сгибанием мизинца, как и 1, за исключением того, что для 1 палец сцеплен внутрь, крепко и округло, а чтобы выразить 7, вы должны согнуть только средний сустав мизинца, а остальные суставы держать прямо.

У. Если вы позволите мне выразить это на мой грубый манер, то я понимаю ваше значение так: что 1 выражается сгибанием мизинца наподобие верхушки епископского посоха; а 7 обозначается тем же пальцем, согнутым наподобие виселицы.

М. Итак, я вижу, вы понимаете это.

Затем, чтобы выразить 8, вы должны точно так же согнуть как мизинец, так и безымянный палец.

А если вы согнете вместе с ними и средний палец, то это будет означать 9.

Теперь для выражения 10 вы должны кругло согнуть указательный палец и приставить его конец к высшему суставу большого пальца.

А чтобы выразить 20, вы должны держать пальцы прямо, а кончик большого пальца — у перегородки указательного и среднего пальцев.

30 представляется соединением вместе кончиков указательного и большого пальцев.

40 обозначается наложением большого пальца крест-накрест на указательный палец.

50 обозначается прямым совместным вытягиванием пальцев и приложением кончика большого пальца к перегородке среднего и кольцевого (или безымянного) пальцев.

60 образуется сгибанием большого пальца дугой и пересечением его с указательным пальцем.

70 выражается сгибанием указательного пальца и помещением кончика большого пальца между двумя его первыми или высшими суставами.

80 выражается наложением указательного пальца крест-накрест на большой палец, так что 80 отличается от 40 тем, что для 80 указательный палец кладется крест-накрест на большой палец, а для 40 большой палец кладется крест-накрест поверх указательного пальца.

90 обозначается сгибанием указательного пальца и помещением его кончика во внутренний сустав большого пальца, то есть прямо у его основания. И на этом заканчиваются все числа менее 100.

У. Поистине это все числа от 1 до 10, а затем все десятки в пределах 100: 11, 12, 13, 21, 22, 23, но это не научило меня тому, как выражать 11, 12, 13 и т. д., 21, 22, 23 и т. д. и тому подобное.

М. Вы мало что понимаете, раз не можете сделать этого без обучения: что такое 11? Разве это не 10 и 1? Тогда выразите 10, как вас учили, и также 1, и это будет 11; а для 12 выразите 10 и 2; для 23 установите 20 и 3; и точно так же для 68 вы должны составить 60 и к ним 8; и так во всех прочих случаях.

Но теперь, если вы захотите представить 100 или любое число выше него, вы должны сделать это правой рукой следующим образом.

Вы должны выразить 100 на правой руке мизинцем, согнутым так же, как вы выражали 1 на левой руке.

И как вы выражали 2 на левой руке, тот же способ на правой руке обозначает 200.

Форма 3 на правой руке означает 300.

Форма 4 — 400.

Подобным же образом форма 5 означает 500.

Форма 6 — 600. И короче говоря: посмотрите, как вы выражали отдельные единицы и десятки на левой руке, точно так же вы должны выражать единицы и десятки сотен на правой руке.

У. Я понимаю вас так: что если я захочу представить 900, я должен сложить пальцы моей правой руки так же, как я сделал бы на левой руке для выражения 9, и как на левой руке я выражал 10, так на правой руке я должен выразить 1000.

И так форма каждого десятка на левой руке служит для выражения такого же числа тысяч, поэтому форма 40 обозначает 4000.

Форма 80 — 8000.

9000 137 a.

А форма 90 (которая является наибольшей) — 9000, а выше этого я не могу выразить никакое число. М. Нет, не одним пальцем: однако несколькими пальцами вы можете выразить 9999, и все разом, и для этого не хватает лишь 1 до 10000. Так что в пределах 10000 вы можете выразить пальцами любую сумму. И этого будет достаточно для нумерации на пальцах. А что касается сложения, вычитания, умножения и деления (которые до сих пор никем не преподавались, насколько мне известно), то я обучу вас им после трактата о дробях. А теперь на этот раз прощайте и следите за тем, чтобы не переставать упражняться в том, что вы изучили. У. Сэр, от всего сердца благодарю вас как за ваше доброе учение, так и за ваш добрый совет, которому (с божьей помощью) я надеюсь следовать.

Конец.

1. В оригинале 1342.

2. В оригинале 168.

3. Скобка ([) в оригинале обозначает новый абзац.

В данном электронном тексте скобки были опущены в пользу восстановления разделения на абзацы. Числа от 200 и выше были напечатаны как отдельные абзацы и оставлены без изменений. Боковая сноска 4 отсутствовала и была восстановлена ​​переводчиком; пары 5, 6 и 9, 10 (изначально находившиеся на одной строке) были разделены.

ПРИЛОЖЕНИЕ I.

[Из рукописи XIV века.]

Для всех таких четных чисел большинство имеет цифры нули, как для десяти, двадцати, тридцати, ста, тысячи и тому подобного; но вы должны понимать, что цифра ноль не обозначает ничего, но она делает более значимой другую цифру, которая идет после нее. Также вы должны понимать, что в составных числах и во всех других числах, состоящих из различных знаков, вы должны начинать с правой стороны и производить расчет назад, и так он будет записан — например, 1000: цифра ноль на правой стороне была записана первой, и все же она ничего не обозначает ни для второй, ни для третьей, но они делают ту цифру 1 более значимой, которая идет после них, поскольку она смещена со своего первого места, где, если бы она стояла там, она обозначала бы только единицу. И там, где она стоит теперь, на четвертом месте, она обозначает тысячу согласно этому правилу. На первом месте она обозначает лишь саму себя. На втором месте она обозначает себя в десять раз. На третьем месте она обозначает себя в сто раз. На четвертом месте она обозначает себя в тысячу раз. На пятом месте она обозначает себя в десять тысяч раз. На шестом месте она обозначает себя в сто тысяч раз. На седьмом месте она обозначает себя в миллион раз и т. д. И вы должны понимать, что это слово «число» делится на три части. Одно называется числом однозначных чисел, ибо все они являются однозначными числами, которые находятся в пределах десяти, а именно ix, viii, vii, vi, v, iv, iii, ii, i. Десятки — это все те, которые могут быть разделены на числа по десять, как xx, xxx, xl и тому подобное. Составные числа — это все числа, которые состоят из однозначного числа и десятка, такие как четырнадцать, пятнадцать, тринадцать и тому подобное. Четырнадцать состоит из четырех, которое является однозначным числом, и из десяти, которое является десятком. Пятнадцать состоит из пяти, которое является однозначным числом, и из десяти, которое является десятком, и так же обстоит дело с остальными....... Но что касается этого правила: на первом месте он обозначает лишь самого себя, то есть сказать, он обозначает только это и не более. Если он стоит на втором месте, он обозначает себя в десять раз, как эта цифра 2 здесь: 21, это двадцать один. Эта цифра 2 стоит на втором месте, и поэтому она обозначает себя в десять раз, а десять раз по 2 — это двадцать, и так далее для каждой цифры: если она стоит после другой по направлению к наименьшей стороне, она будет обозначать в десять раз больше того, что она обозначала бы, если бы она стояла на том месте, где стоит предшествующая ей цифра; вот пример: 9634. Эта цифра четыре, которая имеет такую форму 4, обозначает лишь сама себя, ибо она стоит на первом месте. Цифра три, которая имеет такую форму 3, обозначает себя в десять раз, ибо она стоит на втором месте, и это тридцать. Цифра шесть, которая имеет такую форму 6, обозначает в десять раз больше, чем она обозначала бы, если бы она стояла на месте, где стоит цифра три, ибо там она обозначала бы только шестьдесят. А теперь она обозначает в десять раз больше, то есть шестьсот. Цифра девять, которая имеет такую форму 9, обозначает в десять раз больше, чем она обозначала бы, если бы она стояла на месте, где стоит цифра 6, ибо тогда она обозначала бы только девятьсот. А на том месте, где она стоит теперь, она обозначает девять тысяч. Все целое число этих четырех цифр: девять тысяч шестьсот тридцать четыре.

ПРИЛОЖЕНИЕ II.

[From a B.M. MS., 8 C. iv., with additions from 12 E. 1 & Eg. 2622.]

Настоящее искусство зовется алгоризмом1; в нем

Мы пользуемся следующими пятью индийскими2 цифрами.

0. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1.

Первая означает единицу, вторая же — двойку,

4

Третья означает три; так двигайся влево,

Пока не дойдешь до крайней, что зовется цифрой ноль,

[Что ничего не значащей служит, но дает значение следующей.]3

Любую из них, ежели поставишь на первом пределе,

8

Просто саму себя означает; если же на втором,

Себя вдесятеро; выше продвигайся умножая.4

[Ибо любая последующая цифра обозначает вдесятеро больше,

12

Чем та, что была бы на этом месте, пропади она:

Ибо последняя будет означать больше предшествующих.]

5После вышесказанного знай, что существует вкратце три

Различных вида чисел; ибо одни суть однозначные числа,

16

Одни — десятки; другие же суть составные числа.

[Однозначные суть те числа, что находятся ниже десятка;

Десятки — десятикратные однозначных; составные суть

Те, которые состоят из десятков и однозначных чисел.]

20

Итак, собираясь записать предложенное тебе число, сперва

Посмотри, каково это число; ибо если это однозначное число,

5[Одной цифры для него достаточно; но если оно составное,]

На первом месте запиши однозначное число, а за ним сделай десяток.

24

Если же это десяток, то цифру ноль помести после десятка,

[Десяток же запиши на месте остающейся цифры.]

В любом числе, если первая цифра четная,

Четным будет и все, что содержится в нем;

28

Если же она окажется нечетной, то и все оно станет для тебя нечетным.

Семь6 есть частей, не более, сего искусства;

Складывать, вычитать, удваивать, делить пополам;

Шестая — делить, а пятая — умножать;

32

Извлечение корня зовется седьмой частью.

Вычитаешь или складываешь справа, либо делишь пополам;

Слева удваивай, дели и умножай;

Корень извлекай всегда под левой частью.

36

Сложение. Если хочешь прибавить число к числу, в таком порядке

Начинай; запиши сперва два ряда чисел,

Помещая цифру первой под первой точно,

И то же сделай с остальными, если их у тебя больше.

40

Затем сложи первые два при следующем условии;

Если от сложения предыдущих получается однозначное число,

На первом месте запиши это однозначное число, каково бы оно ни было;

Если же оно составное, на следующем пределе запиши

44

Десяток, а на первом — однозначное число; ибо так велит порядок.

Если же это десяток, то на первом пределе запиши цифру ноль,

Десяток же впиши в остальные цифры;

Или же записывай его отдельно, если за ним не следует никакая цифра.

48

Если тебе встретится возникающая поверх цифра ноль, то ее,

Замененную, удали; после запиши там цифру:

После чего приступай к сложению остальных цифр.

Вычитание. Если у тебя есть забота вычесть число из числа,

52

Запиши ряды цифр, как при сложении;

Под большим числом подпиши меньшее число,

Или же под равным числом пусть будет подписано равное число.

После этого, если можешь, вычти первую из первой,

56

Записав то, что останется, или цифру ноль, если ничего не останется.

Но если ты не можешь вычесть первую из первой;

Продвигаясь далее, вычти единицу из следующего предела;

И вычтенное сочтешь за десяток от него,

60

Полностью вычти число, которое ты предложил.

По совершении этого запиши сверху все, что останется,

И сделай девятки из нулей, когда будешь иметь остаток,

Если вдруг при вычитании единицы встретятся нули;

64

После чего приступай к вычитанию остальных цифр.

Проверка.7 [Если вычитание выполнено правильно, ты сможешь доказать это,

Сложив первые цифры, которые ты вычел.

Ибо если вычитание верно, ты сохранишь первые,

68

И выполненное вычитание докажет тебе сложение.]

Дупликация. Если хочешь удвоить число, начинай так; одну лишь

Запиши серию цифр, какую пожелаешь, и

Затем приступай к удвоению первой цифры;

72

Записав затем то, что получится сверх того, где велит порядок,

Согласно правилам, которые даются в сложении.

Ибо если это однозначное число, запиши на первом пределе;

Если это десяток, то на первом пределе запиши цифру ноль,

76

Десяток же впиши в остальные цифры;

Или же записывай отдельно, если за ним не следует никакая цифра:

Если же оно составное, на следующем пределе запиши

Сперва десяток, а затем однозначное число; ибо так велит порядок:

80

И то же сделай с остальными, если их у тебя больше.

8[Если над крайней есть знак, он дает ей монаду,

Что случается с тобой, если ты делишь пополам первое.]

Медиация. Начинай так, если хочешь разделить какое-либо число пополам:

84

Запиши только серию цифр, как и прежде;

Затем, продвигаясь вперед, дели пополам, и посмотри,

Четна или нечетна первая цифра; ибо если она четна,

Ты разделишь ее пополам, записав все, что останется;

88

Если же она окажется нечетной, отними единицу, чтобы разделить пополам,

Не смей иначе, но раздели пополам то, что останется;

Затем над чертой сделай то, что обозначает единицу вычтенного;

Если это монада, удари; пусть затем знак цифры будет там сверху.

92

Затем приступай при этом втором условии:9

Если это нечетное число10, вычти здесь единицу из предыдущего,

Вписав пять, ибо десятку будет соответствовать

Вышеупомянутая монада: если же вторая дает единицу,

96

Пусть она, будучи удалена, запишется как цифра ноль; передавая

Предыдущему пять за разделенный пополам десяток;

И пусть цифра ноль не записывается, если за ней не следует цифра:

Затем приступай к делению пополам остальных цифр,

100

Как я научил выше, если у тебя тысячи фигур.

11[Если деление пополам выполнено правильно, ты сможешь доказать это,

Удвоив число, которое ты разделил пополам вначале.]

Умножение. Если ты хочешь умножить число на число,

104

Запиши два ряда чисел, какие пожелаешь;

Однако пусть соблюдается порядок, чтобы последняя умножаемого

Была поставлена над передней умножающего;

12[Слева пусть будут записаны остальные умножающие.]

108

Если ты заботишься о том, чтобы умножить однозначное число на однозначное, посмотри,

На сколько большее число отличается от десятка, ибо ты должен

Удалить меньшее с помощью его десятка столько раз;

И тогда число, получающееся отсюда, станет тебе явным.

112

Затем приступай к умножению самой последней,

Правильно умножая на все нижележащие,

Однако при таком условии: чтобы в начале умножающего

Ты записал все, что от этого произойдет;

116

Но после того, как эта будет умножена, цифры

Ряда умножающего должны быть передвинуты вперед;

И умножай так, как ты умножил ту,

Какая бы цифра ни следовала за записанным числом.

120

Но когда ты умножаешь, действовать сперва нужно так,

Если умножение даст тебе только десяток;

Выставив цифру ноль, не забудь перенести сумму.

Если же вырастут однозначное число и десяток,

124

Десяток с поставленной сверху цифрой выскакивает дальше;

Если же однозначное число, помести его поверх нее самой,

Подчиненный умножающий уничтожает ту, которая падает поверх нее,

Нацело удаляя ее и записывая то, что происходит отсюда;

128

Но если ты умножаешь ту, что поставлена поверх нее самой,

Прибавляя число, которое дает их произведение;

Если цифра должна умножить расположенную поверх нее,

Она напрочь удаляет ее, и на этом месте должна быть записана цифра ноль,

132

12[Если ноль умножает другую, расположенную поверх нее,

И место сверху пусто, над этим нулем появится ноль;]

Если сверху окажется ноль, его всегда следует пропускать;

Если сомневаешься, правильно ли умножена вторая,

136

Раздели общую сумму на умножающий,

И появившееся отсюда число вернет прежнее.

Mental Multiplication.

13[Если хочешь умножить число также на число

Лишь посредством тонких правил без цифр,

140

Эти правила ты сможешь узнать из следующих стихов.

Если ты будешь умножать какое-либо однозначное число на однозначное

Предыдущее правило дает то, как следует действовать.

Если ты хочешь умножить десяток на остальное,

144

Каждый из них должен быть разложен на свое собственное однозначное число.

После того как десятки и однозначные числа перемножатся сами по себе,

Сколько раз перемноженное содержалось бы в однозначных числах,

Столько сотен составляют перемноженные десятки.

148

Если мы умножаем десяток на однозначное число, надлежит

Взять десяток и однозначное число, на которые мы должны

Умножить остальное, что ты умножаешь из них,

Так, чтобы всякое десятикратное от остального не могло скрыться;

152

Если ты заботишься о том, чтобы умножить однозначное число на смешанное число,

Пусть десяток смешанного будет взят затем, и ты разложишь

Его в однозначное число после этого, сделай так же и с однозначными числами, и пусть

Возникающий десяток учит удерживать при себе.

156

Затем умножь умножающее на однозначное число смешанного,

Пусть из однозначных чисел, как учит правило, оно будет соединено со вторым,

Умножь сумму, и после этого сумма станет явной,

Соединенная в чистый десяток и десяток,

160

14[И ты соединишь чистый десяток и десяток.]

Затем пусть для однозначных чисел смешанного образуется также десяток, как

Велико предписание, удерживая то, что получается из них.

Затем умножь десяток однозначного числа на однозначное число смешанного,

164

Как воспринимает правило о десятке и однозначном числе,

Из коих возникающее присоедини к твоей прежней сумме,

Так искомая сумма быстро станет тебе очевидной.

Составное число на смешанное ты умножишь так:

168

Одиннадцать на тринадцать — действовать из них следует так:

Умножь первое на остальное, затем умножь после на то же самое,

Затем умножь единицу на третьи, затем посредством единицы

Умножишь третьи, затем наконец все умноженное

172

Ты умножишь в ту сумму, которую ты назовешь своей,

Здесь, как и здесь, предполагается действовать со смешанным,

Этого достаточно о правилах умножаемых.]

Division.

Если хочешь разделить число, начинай сперва так;

176

Запиши два ряда чисел, какие пожелаешь;

Под большим числом подпиши меньшее число,

15[Ибо оно учит, чтобы большее содержало меньшее дважды или трижды;]

И под самой последней поставь самую последнюю цифру,

180

Так же с правой стороны ты расположишь остальные с остальными;

После этого из первой вычти первую с левой стороны,

Если можешь, столько раз, по меньшей мере, сколько сможешь это сделать,

Записав то, что остается, при таком условии:

184

Чтобы столько раз вычитать вычитаемые из остатка,

Которые будут правильно поставлены в предыдущем ряду,

Если она одна, подобает действовать с ней лишь столько раз;

Но если ты не можешь вычесть первую из первой,

188

Продвигайся дальше и подпиши ее под следующим числом;

Отведя ее назад на один разряд, на который отводятся сопутствующие,

И, сколько сможешь, вычитай из нее прежнюю,

Чтобы столько раз вычитать вычитаемые из остатка,

192

И отнимать не должен ты от сей основы боле девяти раз,

Отсюда рождается число, сколько раз над последующей

Сначала запиши сию, вычти оттуда цифры,

Покуда верхняя больше расположенной ниже,

196

И вновь пусть совершится деление прежним образом;

И число частного запиши над исчезающей [цифрой],

Ежели при вычитании происходит скачок, пусть будет помещена цифра ноль,

И исчезающему числу частного предложи ту же

200

Цифру ноль, дабы не погибла сила числа, пока тамо место

Остается, а по завершении деление более не имеет силы:

Пока число чисел окажется отдельно ниже,

Ты сохранишь его; отсюда умножением докажешь ты,

Proof. 204

Ежели поступил верно, да будет делитель умножен

На число частного; когда умножишь, прибавь

К общей сумме то, что было сохранено прежде,

И вернется тебе число, которое ты предложил;

208

И ежели ничто не остается, оно вернет это умножением,

Square Numbers.

Когда умножаешь число само на себя, происходящее отсюда

Пусть будет тебе квадратом, а множитель станет корнем оного,

И не все числа должен ты называть квадратными,

212

Но всякое число есть корень какого-либо.

Когда пожелаешь искать корень числа, записано

Оно должно быть; затем отметь, есть ли далее нечетное место,

И на том месте должна быть записана такая цифра,

216

Которая, будучи взята сама по себе, уничтожит для тебя то число,

Или сколько возможно будет, удалишь оную оттуда;

Или, вычитая, удвой вычитающее путем удвоения под оной,

Которая следует первой, [она] удваивается посредством дупликации,

220

Затем уменьшаемое само по себе ради того, что должно быть уменьшено.

16 После сего предложишь цифру, которая прежним образом

Через предшествующие, а затем сама по себе умноженная,

Уничтожит насколько возможно оставшееся число,

224

И так действуя, вычитая путем удвоения цифры,

Предполагая новую, пока все не будет завершено,

И учит сохранять полудвойные при собственных удвоенных;

Ежели дупликация дает составное число, должен

228

Быть вписан десяток справа на ближайшей части,

А цифра — в месте, где неудвоенное осталось;

Ежели она даст десяток, пусть цифра ноль будет на исчезающем месте,

А десяток занимает одно место, оставшееся от удвоенного;

232

Ежели она дает цифру, помести под первой последующей,

Ежели вышестоящая удвоенная цифра окажется

Большей, должна быть предложена только цифра ноль,

Вычитая сии, предложишь цифру обычным образом,

236

Вплоть до крайней так делай, вычитая цифры,

Ежели ты полностью удалишь число, которое предложил,

Оно будет квадратным от той половины, что ты удвоил,

И таким образом тебе откроется точный корень оного,

240

Ежели от удвоенных образуется соединенная высшая цифра;

Умножь корень сам на себя и имей

Сначала предложенное, ты доказал, что поступил верно;

Не квадратное оно, ежеify что-то остается, но имеются

244

Корень квадрата, который стоит меньшим под оным;

Или все, что останется, помни сохранить на доске;

В этом случае корень пусть также умножится сам на себя,

Или так квадрат под первым большим обретается,

248

Отсюда прибавишь остаток, и прежде должно получиться оно;

Ежели крайнее место будет четным, запиши цифру

Под исчезающим местом, с которым ты должен работать,

Которая насколько возможно подавит и уничтожит обе,

252

Или полностью соблюдай прежнее правило при работе,

Ежели подчиненная цифра, обнаруженная в своем конце,

Полностью уничтожает [ее], там должна быть записана цифра ноль,

Слева если какая-то фигура сопряжена с ней;

256

Ежели нули остаются в конце четными, подобает их

Корням предложить половину части числа,

Искомый корень явлен, будучи найден таким искусством.

Если ты умеешь правильно умножить на число

260

Его квадрат, число, которое происходит отсюда,

Назовется кубическим; первой будет корень оного;

И не все числа должен ты называть кубическими,

Но всякое число есть корень какого-либо;

Cube Root. 264

Ежели ты заботишься искать корень кубического, сначала

Написанное число должен ты разделить по разрядам;

Те, которые обозначают тебе тысячи, начиная с высшей тысячи,

В высшей левой части работы,

268

Там запиши внизу цифру, которая, будучи умножена

Сама на себя кубически, уничтожит расположенное над ней,

И если что-то будет прибавлено в левой части,

Если не полностью, то уменьшая насколько сможешь,

272

Отсюда утрояя, сделай скачок, производя под оной

Остающуюся от удаленной цифры тройку, цифру

Предложишь той, под которой она троекратно сочетается,

Чтобы с подтроенной ею умножались тройные;

276

Отсюда ею одной ты умножишь произведение,

После чего общее число, происходящее отсюда,

Отними от вышестоящих относительно утроенной

Добавленной к низшей кубически, затем умножится,

280

Относительно которого число, которое будет продвигаться

От кубического произведения, отнимется у всех;

Тогда, удаляя ее, утрояй, делая скачок,

Всегда под тройками, вычитая другие утроенные,

284

Отсюда к утроенным предложи другую цифру,

Которая пусть ведется через утроенные прежним образом;

Сначала под соединенными с ней тройками, затем сама по себе,

Будучи введена в число, произведение из утроенных:

288

И как я сказал ранее, число, происходящее отсюда,

Пусть будет вычтено из вышестоящих, глядя на них,

К этому произведению кубически ты умножишь под первым,

И отношение его удалишь из остатка,

292

И так поступай, вычитая и утрояя цифру.

И предлагая девятую, пока все не будет завершено,

Подтроенные подобает сохранять под собственными утроенными;

Ежели в конце ничего не остается, данное ранее число

296

Есть кубическое; кубический корень под тройкой дают они,

Соединенный с цифрой, которую ты поместил внизу,

Сии, умноженные кубически, возвращают тебе первое число.

Ежели останется что-то, оно не кубическое, но имеется

300

Стоящий под первым больший кубический корень,

Должно сохраняться все, что осталось от корня,

По извлечении числа подобает прибавить сие к кубическому.

По совершении сего тебе должно быть возвращено первое число.

304

Ибо должен ты умножить корень сам на себя,

Отсюда возведешь в число, происходящее отсюда,

Под первым кубическим так большее найдется;

К нему присоединится остаток, и получается первое,

308

Ежели ты не можешь работать с утроенным числом;

Предложишь цифру ноль, но ничем не работай посредством нее,

Но вычитая ее со скачком из утроенной затем,

Предложишь ей цифру по прежнему правилу,

312

И когда вычитаешь цифру ноль со скачком, не будешь утроять,

Ибо говорится, что утроение цифры ноль есть ничто;

Но ты, когда вытянешь цифру ноль или утроенную,

Всегда помни сохранять ее с подтроенной:

316

Ежели она дает составное, утроение цифры

Должно быть записано оной, цифра со скачком под ней самой;

При удалении цифры, что зовется тройкой;

Десяток соединяется с исчезающей утроенной,

320

Но заставляет записывать его само первое утроение,

Которое, если дает цифру, заставляет записать ее саму; [если десяток — ...]

По исчерпании числа, если у тебя был лишь ноль

Утроенный, предложи ноль, делая скачок,

324

И когда вычитаешь тройной ноль, записывая цифру,

Предложи нулю, продолжая действовать так,

Если три или два в ряду имеются, помести под нижней,

Справа сохраняя цифру по первому наставлению.

328

Если прогрессия непрерывная, недавний член

Умножь на большее среднее общую сумму;

Если четное, тогда умножь следующее на среднее.

Но если прогрессия конца непрерывной не является:

332

Нечетное, тогда умножишь большее среднее,

333

Если четное, умножь на близкое к нему среднее.

1. «Сие настоящее искусство называется алгоризмом от короля Алгора, его изобретателя, или называется от algos, что есть искусство, и rodos, что есть число; каковое есть искусство чисел или счета, для хорошего познания коего у индусов обретались дважды пять (то есть десять) фигур». — Коммент. Тома де Ново-Меркату. Рукопись Королевской библ. Брит. музея, 12 E. 1.

2. «Сии необходимые фигуры суть знаки индусов». Рукопись о нумерации. Библ. Слоуна Брит. музея, 513, фол. 58. «Когда я увидел, что индусы установили 9 букв во всем своем числе ради их расположения, я захотел прояснить суть дела, совершаемого посредством них, и чтобы оно было легче для изучающих, ежели Бог пожелает. Если же индусы пожелали этого и намерение их сводилось к девяти буквам, причина, каковая могла быть у меня, — Бог направил меня к сему. Если же скажу иное помимо того, что изложил я, это они совершили посредством того, что изложил я, и то же самое столь достоверно и без всякого сомнения сможет быть обнаружено. И легкость откроется смотрящим и изучающим». Рукопись Ун-та Кембриджа, Ii. vi. 5, ф. 102.

3. Из рукописи Eg. 2622.

4. Рукопись 8 C. iv. вставляет: Nullum cipa significat: dat significare sequenti.

5. Из 12 E. 1.

6.

En argorisme devon prendre

Vii especes . . . .

Adision subtracion

Doubloison mediacion

Monteploie et division

Et de radix eustracion

A chez vii especes savoir

Doit chascun en memoire avoir

Letres qui figures sont dites

Et qui excellens sont ecrites. — Рукопись Seld. Arch. B. 26.

7. Из 12 E. 1.

8. Из 12 E. 1.

9. Рукопись 8 C. iv. вставляет: Atque figura prior nuper fuerit mediando.

10. То есть цифра, поставленная на втором месте.

11. Так в 12 E. 1; рукопись 8 C. iv. вставляет —

Si super extremam nota sit monades dat eidem

Quod contingat cum primo dimiabis

Atque figura prior nuper fuerit mediando.

12. 12 E. 1 вставляет.

13. 12 E. 1 вставляет до ст. 174.

14. 12 E. 1 опускает, Eg. 2622 вставляет.

15. 12 E. 1 вставляет.

16. 8 C. iv. вставляет —

Hinc illam dele duplans sub ei psalliendo

Que sequitur retrahens quicquid fuerit duplicatum.

УКАЗАТЕЛЬ ТЕХНИЧЕСКИХ ТЕРМИНОВ 1

алгоризм, 33/12; algorym, augrym, 3/3; искусство вычислений с использованием так называемых арабских цифр.

Это слово в различных формах происходит от имени арабского ученого Аль-Хорезми (т. е. уроженец Хорезма (Хивы)). Это было прозвище Джафара Мухаммада ибн Мусы, написавшего трактат в начале IX века (см. стр. xiv).

Встречается также форма алгоритм (algorithm), возникшая под влиянием предполагаемого происхождения от греческого ἀριθμός (число).

антерий (antery), 24/11; перемещение фигур вправо от позиции, в которой они записаны впервые. Эта операция неоднократно выполняется над множителем при умножении и над определенными цифрами, возникающими в процессе извлечения корня.

антерирацио (anterioracioun), 50/5; операция перемещения фигур вправо.

article, 34/23; articul, 5/31; articuls, 9/36, 29/7,8; a number divisible by ten without remainder.

складывать (cast), 8/12; прибавлять одно число к другому.

«Сложение есть сложение (casting) двух чисел в одно число», 8/10.

цифра ноль (cifre), 4/1; название цифры 0. Слово происходит от арабского сл. sifr = пустой, ничто. Отсюда zero (ноль).

Цифра ноль есть символ отсутствия числа или нулевого количества. Она может использоваться отдельно или в сочетании с цифрами или другими нулями, и в последнем случае в зависимости от позиции, которую она занимает относительно других фигур, указывает на отсутствие единиц, десятков, сотен и т. д. Великое превосходство арабской системы исчисления над всеми остальными заключается в использовании этого символа. Когда цифра ноль не используется, позиционное значение цифр приходится указывать путем их записи в отведенных строках или столбцах. Однако нули могут интерполироваться между используемыми значащими цифрами, и поскольку они достаточно точно указывают позиции пустых строк или столбцов, последние не нужно указывать каким-либо иным образом. Практическое выполнение вычислений при этом колоссально облегчается (см. стр. xvi).

составное число (componede, 33/24; composyt, 5/35); применительно к числам — число, составленное из кратного десятку и цифры.

conuertide = напротив, наоборот, 46/29, 47/9.

cubicede, 50/13; to be c., иметь извлеченный кубический корень.

кубическое число (cubike nombre), 47/8; число, образованное умножением данного числа дважды самого на себя, например 27 = 3 × 3 × 3. Теперь называется просто кубом.

декупль (decuple), 22/12; произведение числа на десять. Десятикратное.

departys = делит, 5/29.

цифра (digit, 5/30; digitalle, 33/24); число меньше десяти, представленное одной из девяти арабских цифр.

димидиция (dimydicion), 7/23; операция деления числа на два. Половивление (деление пополам).

duccioun, умножение, 43/9.

дупликация (duplacion), 7/23, 14/15; операция умножения числа на два. Удвоение.

i-mediet = разделенный пополам, 19/23.

intercise = дробная, прерывистая (intercise Progression), 46/2; название, даваемое каждой из прогрессий 1, 3, 5, 7 и т. д.; 2, 4, 6, 8 и т. д., в которых общая разность равна 2.

lede into, умножить на, 47/18.

линейное число (lyneal nombre), 46/14; число, подобное тому, которое выражает меру длины линии и потому не обязательно является произведением двух или более чисел (виде Superficial, Solid). Таково, по-видимому, значение этой фразы в «Искусстве счета» (The Art of Nombryng). Возможно, числа, названные так, являются простыми числами, то есть числами, не делимыми ни на какое другое число, кроме самих себя и единицы, однако неясно, подразумевается ли именно это ограничение.

медиация (mediacioun), 16/36, 38/16; деление на два (см. также dimydicion).

смешанное число (medlede nombre), 34/1; число, составленное из кратного десятку и цифры (виде componede, composyt).

medye, 17/8, делить пополам; mediete, разделенный пополам, 17/30; ymedit, 20/9.

естественная прогрессия (naturelle progressioun), 45/22; ряды чисел 1, 2, 3 и т. д.

produccioun, умножение, 50/11.

квадратное число (quadrat nombre), 46/12; число, образованное умножением данного числа самого на себя, например 9 = 3 × 3, квадрат.

корень (rote, 7/25; roote, 47/11); корень. Корни квадратов и кубов — это числа, от которых квадраты и кубы происходят путем умножения их самих на себя.

значащая (цифра) (significatyf), значимый, 5/14; Значащими цифрами числа строго говоря являются те, которые отличны от нуля, например в 3 6 5 0 4 0 0 значащими цифрами являются 3, 6, 5, 4. Однако современное употребление считает все цифры между двумя крайними значащими цифрами значащими, даже если некоторые из них равны нулю. Так, в приведенном выше примере 3 6 5 0 4 считаются значащими.

телесное число (solide nombre), 46/37; число, являющееся произведением трех других чисел, например 66 = 11 × 2 × 3.

поверхностное число (superficial nombre), 46/18; число, являющееся произведением двух других чисел, например 6 = 2 × 3.

тернарный, состоящий из трех цифр, 51/7.

удвоенная (vnder double), цифра, которая была удвоена, 48/3.

утроенная (vnder-trebille), цифра, которая была утроена, 49/28; vnder-triplat, 49/39.

w, символ, используемый для обозначения половины единицы, 17/33.

1. Этот указатель был любезно подготовлен профессором Дж. Б. Дейлом из Королевского колледжа Лондонского университета, и Общество выражает ему искреннюю благодарность за его ценный вклад.

ГЛОССАРИЙ

Слова, первое появление которых происходит раньше страницы, указанной в глоссарии, отмечены в дополнительных примечаниях, причем оба вхождения отмечены в основном тексте.

ablacioun, вычитание, удаление, 36/21

addyst, имел, 10/37

агрегация (agregacioun), сложение, 45/22. (Первый пример в Новом английском словаре (N.E.D.), 1547.)

a-ȝenenes, против, 23/10

allgate, всегда, 8/39

als, как, 22/24

and, если, 29/8;

&, 4/27;

& yf, 20/7

a-nendes, к, по направлению к, 23/15

aproprede, присвоенный, 34/27

apwereth, появляется, 61/8

a-risyȝt, возникает, 14/24

a-rowe, подряд, в ряд, 29/10

arsemetrike, арифметика, 33/1

ayene, снова, 45/15

bagle, посох, 67/12

bordure = ordure, ряд, 43/30

borro, инф. брать взаймы, 11/38;

пов. накл. ед. ч. borowe, 12/20;

прич. прош. вр. borwed, 12/15;

borred, 12/19

boue, выше, 42/34

caputule, глава, 7/26

certayn, наверняка, 18/34

clepede, названный, 47/7

competently, удобно, надлежащим образом, 35/8

compt, счет, 47/29

contynes, содержит, 21/12;

прич. прош. вр. contenythe, 38/39

craft, искусство, 3/4

distingue, разделить, 51/5

egalle, равный, 45/21

excep, кроме, 5/16

exclusede, исключенный, 34/37

excressent, получающийся в результате, 35/16

exeant, получающийся в результате, 43/26

expone, излагать, 3/23

ferye = ferþe, четвертый, 70/12

figure = figures, фигуры, 5/1

for-by, мимо, 12/11

fors; no f., неважно, 22/24

forseth, имеет значение, 53/30

forye = forþe, вперед, 71/8

fyftye = fyftþe, пятый, 70/16

grewe, греческий, 33/13

haluendel, половина, 16/16;

haldel, 19/4;

мн. ч. haluedels, 16/16

hayst, hast, 17/3, 32

hast, спешка, 22/25

heer, выше, 9/35

here, их, 7/26

here-a-fore, прежде, 13/7

heyth, назывался, 3/5

hole, весь, 4/39;

holle, 17/1;

hoole, трех измерений (телесный), 46/15

holdyþe, имеет силу, верно, 30/5

how be it that, хотя, 44/4

lede = lete, позволить, пусть, 8/37

lene, одолжить, 12/39

lest, наименьший, 43/27

lest = left, оставшийся, 71/9

leue, оставить, 6/5;

наст. вр. 3 л. ед. ч. leues, остается, 11/19; Впервые использовано в 10/40

leus, 11/28;

прич. прош. вр. laft, оставленный, 19/24

lewder, более невежественный, 3/3

lust, желаешь, 45/13

lyȝt, легкий, 15/31

lymytes, пределы, 34/18;

lynes, 34/12;

lynees, 34/17;

лат. limes, мн. ч. limites.

maystery, достижение;

no m., без труда, то есть легко, 19/10

me, неопред. мест. один (кто-то), 42/1 Впервые использовано в 34/16

mo, больше, 9/16

moder = больше (лат. majorem), 43/22

most, должен, 30/3 Впервые использовано в 3/12

multipliede, to be m. = умножение, 40/9

mynvtes, шестьдесят частей, на которые делится единица, 38/25

myse-wroȝt, ошибочно выполненный, 14/11

nether, ни, 34/25

nex, следующий, 19/9

noȝt, ноль, ничто, 5/7 Впервые использовано в 4/8

note, не, 30/5

oo, один, 42/20; o, 42/21 Впервые использовано в 34/27 (oo); 33/22 (o)

omest, верхний, высший, 35/26;

omyst, 35/28

omwhile, иногда, 45/31 Впервые использовано в 39/17

on, один, 8/29

opyne, понятный, ясный, 47/8

or, до, перед, 13/25

or = þe oþer, другой, 28/34

ordure, порядок, 34/9;

ряд, 43/1 Слово в форме «order»

other, или, 33/13, 43/26; Примечание также «one other other» в 35/24

other . . . or, или . . . или, 38/37 Впервые использовано в 37/5

ouerer, верхний, 42/15

ouer-hippede, пропущенный, 43/19

recte, напрямую, 27/20 Впервые использовано в 26/31

remayner, остаток, 56/28

representithe, представленный, 39/14

resteth, остается, 63/29 Впервые использовано в 57/29

rewarde, отношение, внимание, 48/6

rew, ряд, 4/8

rewle, ряд, 4/20, 7/12;

rewele, 4/18;

rewles, правила, 5/33

s. = scilicet (а именно), 3/8

sentens, смысл, значение, 14/29

signifye(tyf), 5/13. Последние три буквы добавлены над строкой, очевидно, из-за слова «significatyf» в стр. 14. Но «Solucio», содержавшая это слово, была опущена.

sithen, поскольку, с тех пор как, 33/8

some, sum, result, 40/17, 32 First used in 36/21

sowne, произносить, 6/29

singillatim, по отдельности, 7/25

spices, виды, роды, 34/4 Впервые использовано в 5/34

spyl, тратить попусту, 14/26

styde, место, 18/20

subtrahe, вычесть, 48/12;

прич. прош. вр. subtrayd, 13/21

sythes, раз, 21/16

taȝt, обученный, наученный, 16/36

take, прич. прош. вр. taken (взятый);

t. fro, начиная с, 45/22

taward, к, по направлению к, 23/34

thouȝt, хотя, 5/20

trebille, утроить, умножить на три, 49/26

twene, два, 8/11 Впервые использовано в 4/23

þow, хотя, 25/15

þouȝt, мысль;

þe þ., мысленно, 28/4

þus = þis, этот, 20/33

vny, объединить, 45/10

wel, хочешь, 14/31

wete, ум, разум, 15/16;

wyte, знать, 8/38;

наст. вр. 2 л. ед. ч. wost, 12/38

wex, становиться, 50/18

where, ли (вводное слово), 29/12

wher-thurghe, откуда, благодаря чему, 49/15

worch, работать, вычислять, 8/19; Впервые использовано в 7/35

wrich, 8/35;

wyrch, 6/19;

пов. накл. ед. ч. worch, 15/9; Впервые использовано в 9/6

прич. прош. вр. y-wroth, 13/24

write, написанный, 29/19; Впервые использовано в 4/5

y-write, 16/1

wryrchynge = wyrchynge, вычисление, работа, 30/4

wt, с, 55/8

y-broth, принесенный, 21/18

ychon, каждый, 29/10

ydo, сделанный, добавленный, 9/6 Впервые использовано в 8/37

ylke, тот же самый, 5/12

y-lyech, одинаково, 22/23

y-myȝt, смогший, имевший возможность, 12/2

y-nowȝt, достаточно, 15/31;

ynovȝt, 18/34

yove, данный, 45/33

yt, что, 52/8

y-write, см. write.

y-wroth, см. worch.

ПОМЕТКИ НА ПОЛЯХ

Заголовки были перенесены в начало соответствующего абзаца. Заголовки были опущены из двух приложений, поскольку пометки на полях содержат ту же информацию.

Номера строк приводятся в указателе и глоссарии. Они были опущены из электронного текста, за исключением одной стихотворной подборки (Прил. II, Carmen de Algorismo). Вместо этого указатель и глоссарий связаны напрямую с каждым словом.

Пронумерованные примечания:

Пронумерованные пометки на полях показывают номера страниц или листов из оригинальных рукописей. В электронном тексте номера пометок на полях были заменены простыми звездочками.

Сноски содержат текстологическую информацию, такую как варианты чтений. Они были пронумерованы последовательно в рамках каждого названия.

Пометки на полях, содержащие краткое содержание текста, были оставлены как можно ближе к их оригинальному формату и расположению.

back

back

back

back

back