PRINCIPIA MATHEMATICA

ИЗДАТЕЛЬСТВО КЕМБРИДЖСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Лондон: ФЕТТЕР-ЛЕЙН, E.C. К. Ф. КЛЕЙ, УПРАВЛЯЮЩИЙ

Эдинбург: 100, ПРИНСЕС-СТРИТ Берлин: А. АШЕР И КО. Лейпциг: Ф. А. БРОКГАУЗ Нью-Йорк: ДЖ. П. ПУТНАМС СОНЗ Бомбей и Калькутта: МАКМИЛЛАН И КО., ЛТД.

Все права защищены

PRINCIPIA MATHEMATICA

АВТОРЫ:

АЛЬФРЕД НОРТ УАЙТХЕД, доктор естественных наук, член Королевского общества

Член и бывший лектор Тринити-колледжа, Кембридж

И

БЕРТРАН РАССЕЛ, магистр искусств, член Королевского общества

Лектор и бывший член Тринити-колледжа, Кембридж

ТОМ I

Кембридж в университетском издательстве 1910

Кембридж: ОТПЕЧАТАНО ДЖОНОМ КЛЕЕМ, магистром искусств, В УНИВЕРСИТЕТСКОМ ИЗДАТЕЛЬСТВЕ

СОДЕРЖАНИЕ ТОМА I

|    PAGE
PREFACE | v
INTRODUCTION | 1
CHAPTER I. PRELIMINARY EXPLANATIONS OF IDEAS AND NOTATIONS | 4
CHAPTER II. THE THEORY OF LOGICAL TYPES | 39
CHAPTER III. INCOMPLETE SYMBOLS | 69
PART I. MATHEMATICAL LOGIC. Summary of Part I | 91
SECTION A. THE THEORY OF DEDUCTION | 94
*1. Primitive Ideas and Propositions | 95
*2. Immediate Consequences of the Primitive Propositions | 102
*3. The Logical Product of two Propositions | 114
*4. Equivalence and Formal Rules | 120
*5. Miscellaneous Propositions | 128
SECTION B. THEORY OF APPARENT VARIABLES | 132
*9. Extension of the Theory of Deduction from Lower to Higher Types of Propositions | 132
*10. Theory of Propositions containing one Apparent Variable | 143
*11. Theory of two Apparent Variables | 157
*12. The Hierarchy of Types and the Axiom of Reducibility | 168
*13. Identity | 176
*14. Descriptions | 181
SECTION C. CLASSES AND RELATIONS | 196
*20. General Theory of Classes | 196
*21. General Theory of Relations | 211
*22. Calculus of Classes | 217
*23. Calculus of Relations | 226
*24. The Universal Class, the Null-Class, and the Existence of Classes | 229
*25. The Universal Relation, the Null Relation, and the Existence of Relations | 241
SECTION D. LOGIC OF RELATIONS | 244
*30. Descriptive Functions | 245
*31. Converses of Relations | 251
*32. Referents and Relata of a given Term with respect to a given Relation | 255
*33. Domains, Converse Domains, and Fields of Relations | 260
*34. The Relative Product of two Relations | 269
*35. Relations with Limited Domains and Converse Domains | 278
*36. Relations with Limited Fields | 291
*37. Plural Descriptive Functions | 293
*38. Relations and Classes derived from a Double Descriptive Function | 311
Note to Section D | 314
SECTION E. PRODUCTS AND SUMS OF CLASSES | 317
*40. Products and Sums of Classes of Classes | 319
*41. The Product and Sum of a Class of Relations | 331
*42. Miscellaneous Propositions | 336
*43. The Relations of a Relative Product to its Factors | 340
PART II. PROLEGOMENA TO CARDINAL ARITHMETIC. Summary of Part II | 345
SECTION A. UNIT CLASSES AND COUPLES | 347
*50. Identity and Diversity as Relations | 349
*51. Unit Classes | 356
*52. The Cardinal Number 1 | 363
*53. Miscellaneous Propositions involving Unit Classes | 368
*54. Cardinal Couples | 376
*55. Ordinal Couples | 383
*56. The Ordinal Number | 395
SECTION B. SUB-CLASSES, SUB-RELATIONS, AND RELATIVE TYPES | 404
*60. The Sub-Classes of a given Class | 406
*61. The Sub-Relations of a given Relation | 412
*62. The Relation of Membership of a Class | 414
*63. Relative Types of Classes | 419
*64. Relative Types of Relations | 429
*65. On the Typical Definition of Ambiguous Symbols | 434
SECTION C. ONE-MANY, MANY-ONE, AND ONE-ONE RELATIONS | 437
*70. Relations whose Classes of Referents and of Relata belong to given Classes | 439
*71. One-Many, Many-One, and One-One Relations | 446
*72. Miscellaneous Propositions concerning One-Many, Many-One, and One-One Relations | 462
*73. Similarity of Classes | 476
*74. On One-Many and Many-One Relations with Limited Fields | 490
SECTION D. SELECTIONS | 500
*80. Elementary Properties of Selections | 505
*81. Selections from Many-One Relations | 519
*82. Selections from Relative Products | 524
*83. Selections from Classes of Classes | 531
*84. Classes of Mutually Exclusive Classes | 540
*85. Miscellaneous Propositions | 549
*88. Conditions for the Existence of Selections | 561
SECTION E. INDUCTIVE RELATIONS | 569
*90. On the Ancestral Relation | 576
*91. On Powers of a Relation | 585
*92. Powers of One-Many and Many-One Relations | 601
*93. Inductive Analysis of the Field of a Relation | 607
*94. On Powers of Relative Products | 617
*95. On the Equi-factor Relation | 626
*96. On the Posterity of a Term | 637
*97. Analysis of the Field of a Relation into Families | 654

АЛФАВИТНЫЙ СПИСОК ПРЕДЛОЖЕНИЙ, НА КОТОРЫЕ ДАЮТСЯ ССЫЛКИ ПО НАЗВАНИЯМ.

Name    | Number    |
Abs | *2·01. | [picture]
Add | *1·3. | [picture]
Ass | *3·35. | [picture]
Assoc | *1·5. | [picture]
Comm | *2·04. | [picture]
Comp | *3·43. | [picture]
Exp | *3·3. | [picture]
Fact | *3·45. | [picture]
Id | *2·08. | [picture]
Imp | *3·31. | [picture]
Perm | *1·4. | [picture]
Simp | *2·02. | [picture]
"      | *3·26. | [picture]
"      | *3·27. | [picture]
Sum | *1·6. | [picture]
Syll | *2·05. | [picture]
"      | *2·06. | [picture]
"      | *3·33. | [picture]
"      | *3·34. | [picture]
Taut | *1·2. | [picture]
Transp | *2·03. | [picture]
"      | *2·15. | [picture]
"      | *2·16. | [picture]
"      | *2·17. | [picture]
"      | *3·37. | [picture]
"      | *4·1. | [picture]
"      | *4·11. | [picture]

ОПЕЧАТКИ.

стр. 14, строка 2, вместо "states" читать "allows us to infer." стр. 14, строка 7, после "*3·03" вставить "*1·7, *1·71, and *1·72." стр. 15, предпоследняя строка, вместо "function of" читать "function." стр. 34, строка 15, вместо "" читать "." стр. 68, строка 20, вместо "classes" читать "classes of classes." стр. 86, строка 2, после "must" вставить "neither be nor." стр. 91, строка 8, удалить "and in *3·03." стр. 103, строка 7, вместо "assumption" читать "assertion." стр. 103, строка 25, в конце строки, вместо "" читать "." стр. 218, предпоследняя строка, вместо "" читать "" [из-за хрупкости шрифта та же ошибка может встретиться в других местах]. стр. 382, предпоследняя строка, удалить "in the theory of selections (*83·92) and." стр. 487, строка 13, вместо "*95" читать "*94." стр. 503, строка 14, вместо "*88·38" читать "*88·36."

ПРЕДИСЛОВИЕ

Математическое рассмотрение принципов математики, являющееся предметом настоящего труда, возникло из соединения двух различных исследований, каждое из которых в основном весьма современно. С одной стороны, мы имеем работу аналитиков и геометров по формулированию и систематизации своих аксиом, а также работу Кантора и других над такими вопросами, как теория совокупностей. С другой стороны, мы имеем символическую логику, которая после необходимого периода роста теперь, благодаря Пеано и его последователям, приобрела техническую гибкость и логическую полноту, необходимые для математического инструментария, имеющего дело с тем, что до сих пор считалось началами математики. Из сочетания этих двух исследований вытекают два результата, а именно: (1) то, что ранее принималось, молчаливо или явно, в качестве аксиом, является либо излишним, либо доказуемым; (2) те же методы, которыми доказываются предполагаемые аксиомы, дадут ценные результаты в областях, таких как бесконечное число, которые ранее считались недоступными для человеческого познания. Таким образом, область математики расширяется как за счет добавления новых предметов, так и за счет распространения назад, в области, до сих пор оставленные философии.

Настоящий труд первоначально задумывался нами как второй том «Принципов математики». С этой целью работа над ним была начата в 1900 году. Но по мере нашего продвижения становилось все более очевидным, что предмет этот гораздо обширнее, чем мы предполагали; более того, по многим фундаментальным вопросам, которые в предыдущей работе были оставлены неясными и сомнительными, мы теперь пришли к тому, что считаем удовлетворительными решениями. Поэтому возникла необходимость сделать нашу книгу независимой от «Принципов математики». Однако мы избегали как полемики, так и общей философии, сделав наши утверждения догматичными по форме. Оправдание этого состоит в том, что главная причина в пользу любой теории принципов математики всегда должна быть индуктивной, т.е. она должна заключаться в том факте, что рассматриваемая теория позволяет нам дедуцировать обычную математику. В математике наибольшая степень самоочевидности обычно обнаруживается не в самом начале, а в какой-то более поздней точке; следовательно, ранние дедукции, пока они не достигают этой точки, дают основания скорее верить в посылки, потому что из них следуют истинные выводы, чем верить в выводы, потому что они следуют из посылок.

При построении дедуктивной системы, подобной той, что содержится в настоящем труде, необходимо одновременно выполнять две противоположные задачи. С одной стороны, мы должны проанализировать существующую математику с целью обнаружения того, какие посылки используются, являются ли эти посылки взаимно непротиворечивыми и способны ли они к сведению к более фундаментальным посылкам. С другой стороны, когда мы определились с нашими посылками, мы должны заново выстроить столько данных, сколько представляется необходимым из ранее проанализированных, а также столько других следствий наших посылок, сколько представляет достаточный общий интерес, чтобы заслужить изложения. Предварительная работа по анализу не появляется в окончательном представлении, которое лишь излагает результат анализа в определенных неопределяемых идеях и недоказываемых предложениях. Не утверждается, что анализ нельзя было довести дальше: у нас нет оснований полагать, что невозможно найти более простые идеи и аксиомы, с помощью которых те, с которых мы начинаем, могли бы быть определены и доказаны. Утверждается лишь то, что идеи и аксиомы, с которых мы начинаем, достаточны, а не то, что они необходимы.

При проведении дедукций из наших посылок мы сочли необходимым довести их до точки, в которой мы доказали столько, сколько является истинным во всем, что обычно принимается как должное. Но мы не сочли желательным ограничивать себя слишком строго этой задачей. Обычно принято рассматривать только частные случаи, даже когда с нашим аппаратом столь же легко иметь дело с общим случаем. Например, кардинальная арифметика обычно мыслится в связи с конечными числами, но ее общие законы в равной степени справедливы для бесконечных чисел и легче всего доказываются без какого-либо упоминания различия между конечным и бесконечным. Опять же, многие свойства, обычно ассоциируемые с рядами, справедливы для расположений, которые не являются строго сериальными, но обладают лишь некоторыми из отличительных свойств сериальных расположений. В таких случаях дефектом логического стиля является доказательство для частного класса расположений того, что могло бы быть столь же легко доказано более общим образом. Аналогичный процесс обобщения в той или иной степени вовлечен во всю нашу работу. Мы всегда искали наиболее общую, разумно простую гипотезу, из которой можно было бы получить любой данный вывод. По этой причине, особенно в поздних частях книги, важность предложения обычно заключается в его гипотезе. Вывод часто будет чем-то таким, что в определенном классе случаев является знакомым, но гипотеза будет, когда это возможно, достаточно широкой, чтобы допустить многие случаи, помимо тех, в которых вывод является знакомым.

Мы сочли необходимым привести очень полные доказательства, поскольку в противном случае едва ли возможно увидеть, какие гипотезы действительно требуются или следуют ли наши результаты из наших явных посылок. (Следует помнить, что мы утверждаем не только то, что такие-то предложения истинны, но и то, что сформулированные нами аксиомы достаточны для их доказательства.) В то же время, хотя полные доказательства необходимы для избежания ошибок и для убеждения тех, кто может чувствовать сомнения в нашей правоте, доказательства предложений обычно могут быть опущены читателем, который не особенно заинтересован в той части предмета, о которой идет речь, и который не испытывает сомнений в нашей существенной точности по данному вопросу. Читатель, который особенно заинтересован в какой-то конкретной части книги, вероятно, сочтет достаточным, что касается более ранних частей, прочитать резюме предыдущих частей, разделов и номеров, поскольку они дают объяснения вовлеченных идей и формулировки основных доказанных предложений. Однако доказательства в Части I, Разделе А необходимы, поскольку в ходе них объясняется способ изложения доказательств. Доказательства самых ранних предложений приводятся без пропуска какого-либо шага, но по мере продвижения работы доказательства постепенно сжимаются, сохраняя, однако, достаточно деталей, чтобы позволить читателю с помощью ссылок реконструировать доказательства, в которых не пропущен ни один шаг.

Принятый порядок в некоторой степени произволен. Например, мы рассмотрели кардинальную арифметику и арифметику отношений до рядов, но мы могли бы рассмотреть ряды первыми. Однако в значительной степени порядок определяется логическими необходимостями.

Очень большая часть труда, затраченного на написание настоящей работы, была израсходована на противоречия и парадоксы, которые поразили логику и теорию совокупностей. Мы исследовали огромное количество гипотез для борьбы с этими противоречиями; многие такие гипотезы были выдвинуты другими, и примерно столько же было изобретено нами самими. Иногда нам стоило нескольких месяцев работы убедить себя в том, что гипотеза несостоятельна. В ходе столь длительного изучения мы, как и следовало ожидать, время от времени модифицировали свои взгляды; но постепенно нам стало очевидно, что некоторая форма доктрины типов должна быть принята, если нужно избежать противоречий. Конкретная форма доктрины типов, отстаиваемая в настоящей работе, логически не является обязательной, и существуют различные другие формы, столь же совместимые с истинностью наших дедукций. Мы конкретизировали это как потому, что форма доктрины, которую мы отстаиваем, представляется нам наиболее вероятной, так и потому, что необходимо было дать по крайней мере одну совершенно определенную теорию, которая избегает противоречий. Но едва ли что-либо в нашей книге изменилось бы при принятии другой формы доктрины типов. Фактически, мы можем пойти дальше и сказать, что, предполагая существование какого-то другого способа избежания противоречий, не так уж много в нашей книге, за исключением того, что прямо касается типов, зависит от принятия доктрины типов в какой-либо форме, как только было показано (как мы утверждаем, что показали), что возможно построить математическую логику, которая не ведет к противоречиям. Следует заметить, что весь эффект доктрины типов является отрицательным: она запрещает некоторые выводы, которые в противном случае были бы правильными, но не разрешает никаких, которые в противном случае были бы неправильными. Следовательно, мы можем разумно ожидать, что выводы, которые разрешает доктрина типов, останутся правильными, даже если доктрина окажется неверной.

Наша логическая система полностью содержится в пронумерованных предложениях, которые не зависят от Введения и Резюме. Введение и Резюме являются полностью пояснительными и не составляют части цепи дедукций. Объяснение иерархии типов во Введении немного отличается от того, которое дано в *12 основной части работы. Более позднее объяснение является более строгим и именно оно предполагается на протяжении всей остальной книги.

Символическая форма работы была навязана нам необходимостью: без ее помощи мы были бы неспособны выполнить требуемые рассуждения. Она была разработана в результате реальной практики и не является наростом, введенным исключительно для целей изложения. Общий метод, который направляет наше обращение с логическими символами, принадлежит Пеано. Его великая заслуга состоит не столько в его определенных логических открытиях или в деталях его обозначений (хотя и то и другое превосходно), сколько в том факте, что он первым показал, как символическая логика должна быть освобождена от чрезмерной одержимости формами обычной алгебры, и тем самым сделал ее подходящим инструментом для исследования. Руководствуясь изучением его методов, мы использовали большую свободу в построении или реконструкции символики, которая была бы адекватна для работы со всеми частями предмета. Ни один символ не был введен иначе, как на основании его практической полезности для непосредственных целей наших рассуждений.

В примечаниях и пояснениях можно найти некоторое количество прямых ссылок. Хотя мы приняли все разумные меры предосторожности для обеспечения точности этих прямых ссылок, мы, конечно, не можем гарантировать их точность с той же уверенностью, какая возможна в случае обратных ссылок.

Подробные выражения признательности предыдущим авторам не всегда были возможны, так как нам приходилось трансформировать все, что мы заимствовали, чтобы адаптировать это к нашей системе и нашей нотации. Наши главные обязательства будут очевидны каждому читателю, знакомому с литературой по данному предмету. В вопросе нотации мы, насколько это было возможно, следовали Пеано, дополняя его нотацию, когда это было необходимо, нотацией Фреге или Шрёдера. Однако большая часть символики должна была быть новой, не столько из-за неудовлетворенности символикой других, сколько из-за того, что мы имеем дело с идеями, которые ранее не были символизированы. Во всех вопросах логического анализа наш главный долг — Фреге. Там, где мы расходимся с ним, это во многом потому, что противоречия показали, что он, как и все другие логики, древние и современные, допустил проникновение некоторой ошибки в свои посылки; но помимо противоречий, было бы почти невозможно обнаружить эту ошибку. В арифметике и теории рядов вся наша работа основана на работе Георга Кантора. В геометрии мы постоянно имели перед глазами труды фон Штаудта, Паша, Пеано, Пьери и Веблена.

Мы получали помощь на различных этапах от критических замечаний друзей, в частности г-на Г. Г. Берри из Бодлианской библиотеки и г-на Р. Г. Хоутри.

Мы должны поблагодарить Совет Королевского общества за грант в размере 200 фунтов стерлингов на расходы по печати из Фонда правительственных публикаций, а также синдиков Университетского издательства, которые щедро взяли на себя большую часть расходов, понесенных при производстве работы. Техническое совершенство во всех отделах Университетского издательства, а также рвение и любезность его сотрудников существенно облегчили задачу корректуры.

Второй том уже находится в печати, и как он, так и третий появятся, как только печать будет завершена.

А. Н. У. Б. Р.

КЕМБРИДЖ, ноябрь 1910 г.

ВВЕДЕНИЕ.

Математическая логика, которая занимает Часть I настоящей работы, была построена под руководством трех различных целей. Во-первых, она стремится к осуществлению максимально возможного анализа идей, с которыми она имеет дело, и процессов, посредством которых она проводит доказательства, а также к уменьшению до предела числа неопределяемых идей и недоказываемых предложений (называемых соответственно примитивными идеями и примитивными предложениями), с которых она начинает. Во-вторых, она составлена с прицелом на совершенно точное выражение в своих символах математических предложений: обеспечение такого выражения и обеспечение его в простейшей и наиболее удобной нотации — главный мотив в выборе тем. В-третьих, система специально разработана для решения парадоксов, которые в последние годы беспокоили исследователей символической логики и теории совокупностей; считается, что теория типов, как она изложена в дальнейшем, ведет как к избежанию противоречий, так и к обнаружению точной ошибки, которая породила их.

Из трех вышеуказанных целей первая и третья часто принуждают нас принимать методы, определения и нотации, которые являются более сложными или более трудными, чем они были бы, если бы мы имели в виду только вторую цель. Это особенно относится к теории дескриптивных выражений (*14 и *30) и к теории классов и отношений (*20 и *21). По этим двум пунктам, и в меньшей степени по другим, было найдено необходимым принести некоторую жертву ясности ради корректности. Однако эта жертва в основном лишь временная: в каждом случае нотация, принятая в конечном итоге, хотя ее реальное значение очень сложно, имеет внешне простое значение, которое, за исключением некоторых критических точек, может без опасности быть подставлено в мышлении вместо реального значения. Поэтому удобно в предварительном объяснении нотации рассматривать эти внешне простые значения как примитивные идеи, т.е. как идеи, введенные без определения. Когда нотация стала более или менее знакомой, легче следовать более сложным объяснениям, которые, как мы полагаем, являются более корректными. В основной части работы, где необходимо строго придерживаться строгого логического порядка, более легкий порядок развития не мог быть принят; поэтому он дан во Введении. Объяснения, данные в Главе I Введения, таковы, что ставят ясность выше корректности; полные объяснения частично представлены в последующих главах Введения, частично даны в основной части работы.

Использование символики, отличной от слов, во всех частях книги, которые направлены на воплощение строго точного доказательного рассуждения, было навязано нам последовательным преследованием трех вышеуказанных целей. Причин для этого расширения символики за пределы знакомых областей числа и родственных идей много:

(1) Идеи, используемые здесь, более абстрактны, чем те, что привычно рассматриваются в языке. Соответственно, нет слов, которые использовались бы главным образом в точных последовательных смыслах, требуемых здесь. Любое использование слов потребовало бы неестественных ограничений их обычных значений, которые на самом деле было бы труднее запомнить последовательно, чем определения совершенно новых символов.

(2) Грамматическая структура языка адаптирована к широкому разнообразию употреблений. Таким образом, она не обладает уникальной простотой в представлении немногих простых, хотя и высокоабстрактных процессов и идей, возникающих в дедуктивных цепочках рассуждений, используемых здесь. Фактически, сама абстрактная простота идей этой работы побеждает язык. Язык может легче представлять сложные идеи. Предложение «кит большой» представляет язык в его лучшем виде, давая краткое выражение сложному факту; в то время как истинный анализ «единица есть число» ведет в языке к невыносимому многословию. Соответственно, краткость достигается использованием символики, специально разработанной для представления идей и процессов дедукции, которые встречаются в этой работе.

(3) Адаптация правил символики к процессам дедукции помогает интуиции в областях, слишком абстрактных для того, чтобы воображение могло легко представить уму истинное отношение между используемыми идеями. Ибо различные сочетания символов становятся знакомыми как представляющие важные сочетания идей; и, в свою очередь, возможные отношения — согласно правилам символики — между этими сочетаниями символов становятся знакомыми, и эти дальнейшие сочетания представляют еще более сложные отношения между абстрактными идеями. И таким образом ум в конечном итоге приводится к построению цепочек рассуждений в областях мысли, в которых воображение было бы совершенно неспособно поддерживать себя без символической помощи. Обычный язык не дает такой помощи. Его грамматическая структура не представляет однозначно отношения между вовлеченными идеями. Таким образом, «кит большой» и «единица есть число» выглядят одинаково, так что глаз не дает никакой помощи воображению.

(4) Краткость символики позволяет представить целое предложение зрению как одно целое или, по крайней мере, в двух или трех частях, разделенных там, где возникают естественные разрывы, представленные в символике. Это скромное свойство, но на самом деле оно очень важно в связи с преимуществами, перечисленными под заголовком (3).

(5) Достижение первой из упомянутых целей этой работы, а именно полного перечисления всех идей и шагов в рассуждениях, используемых в математике, требует как краткости, так и представления каждого предложения с максимумом формальности в форме, максимально характерной для него самого.

Дополнительный свет на методы и символику этой книги проливается небольшим рассмотрением пределов их полезного применения:

( Большинство математических исследований касается не анализа полного процесса рассуждения, а представления такого абстракта доказательства, который достаточен для убеждения должным образом проинструктированного ума. Для таких исследований детальное представление шагов в рассуждении, конечно, излишне, при условии, что детализация доведена достаточно далеко, чтобы предохранить от ошибки. В этой связи можно вспомнить, что исследования Вейерштрасса и других представителей той же школы показали, что даже в обычных темах математической мысли требуется гораздо больше деталей, чем предполагали предыдущие поколения математиков.

( По мере того как воображение легко работает в любой области мысли, символика (за исключением целей анализа) становится необходимой лишь как удобная стенография для регистрации результатов, полученных без ее помощи. Вспомогательная цель этой работы — показать, что с помощью символики дедуктивное рассуждение может быть распространено на области мысли, которые обычно не считаются поддающимися математическому рассмотрению. И пока идеи таких отраслей знания не стали более знакомыми, детальный тип рассуждения, который также требуется для анализа шагов, является подходящим для исследования общих истин, касающихся этих предметов.

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ОБЪЯСНЕНИЯ ИДЕЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ.

Нотация, принятая в настоящей работе, основана на нотации Пеано, и следующие объяснения в некоторой степени смоделированы на тех, которые он предпосылает своему «Formulario Mathematico». Его использование точек в качестве скобок принято, как и многие его символы.

Переменные. Идея переменной, как она встречается в настоящей работе, более общая, чем та, что явно используется в обычной математике. В обычной математике переменная обычно означает неопределенное число или величину. В математической логике любой символ, значение которого не является определенным, называется переменной, а различные определения, которым может быть подвержено его значение, называются значениями переменной. Значениями могут быть любой набор сущностей, предложений, функций, классов или отношений, в зависимости от обстоятельств. Если делается утверждение о «г-не А и г-не Б», «г-н А» и «г-н Б» — это переменные, значения которых ограничены людьми. Переменная может либо иметь условно назначенный диапазон значений, либо (в отсутствие какого-либо указания диапазона значений) иметь в качестве диапазона своих значений все определения, которые делают утверждение, в котором она встречается, значимым. Таким образом, когда учебник логики утверждает, что « есть », без какого-либо указания на то, чем может быть , что имеется в виду, так это то, что любое утверждение формы « есть » является истинным. Мы можем называть переменную ограниченной, когда ее значения ограничены лишь некоторыми из тех, на которые она способна; в противном случае мы будем называть ее неограниченной. Таким образом, когда встречается неограниченная переменная, она представляет любой объект такой, что рассматриваемое утверждение может быть сделано значимо (т.е. либо истинно, либо ложно) относительно этого объекта. Для целей логики неограниченная переменная удобнее, чем ограниченная переменная, и мы всегда будем использовать ее. Мы обнаружим, что неограниченная переменная все еще подвержена ограничениям, налагаемым способом ее вхождения, т.е. вещи, которые могут быть сказаны значимо относительно предложения, не могут быть сказаны значимо относительно класса или отношения, и так далее. Но ограничения, которым подвержена неограниченная переменная, не нуждаются в явном указании, поскольку они являются пределами значимости утверждения, в котором встречается переменная, и поэтому внутренне определяются этим утверждением. Это будет более полно объяснено позже [1]. Подводя итог, три выдающихся факта, связанных с использованием переменной, таковы: (1) что переменная двусмысленна в своем обозначении и, соответственно, неопределенна: (2) что переменная сохраняет узнаваемую идентичность в различных вхождениях на протяжении одного и того же контекста, так что многие переменные могут встречаться вместе в одном и том же контексте, каждая со своей отдельной идентичностью: и (3) что либо диапазон возможных определений двух переменных может быть одним и тем же, так что возможное определение одной переменной является также возможным определением другой, либо диапазоны двух переменных могут быть разными, так что, если возможное определение одной переменной дается другой, результирующая полная фраза становится бессмысленной вместо того, чтобы стать полным однозначным предложением (истинным или ложным), как это было бы в случае, если бы всем переменным в ней были даны любые подходящие определения.

Использование различных букв. Переменные будут обозначаться отдельными буквами, как и некоторые константы; но буква, которая однажды была назначена константе определением, не должна впоследствии использоваться для обозначения переменной. Малые буквы обычного алфавита будут использоваться для переменных, за исключением и после *40, где этим двум буквам присвоены постоянные значения. Следующие заглавные буквы получат постоянные значения: , , , , , и . Среди малых греческих букв мы дадим постоянные значения , и (на более позднем этапе) , и . Некоторые греческие заглавные буквы будут время от времени вводиться для констант, но греческие заглавные буквы не будут использоваться для переменных. Из оставшихся букв , , будут называться пропозициональными буквами и будут обозначать переменные предложения (за исключением того, что, начиная с *40, не должно использоваться для переменной); , , , , , и (до *33) будут называться функциональными буквами и будут использоваться для переменных функций.

Малые греческие буквы, не упомянутые ранее, будут использоваться для переменных, значениями которых являются классы, и будут называться просто греческими буквами. Обычные заглавные буквы, не упомянутые ранее, будут использоваться для переменных, значениями которых являются отношения, и будут называться просто заглавными буквами. Обычные малые буквы, отличные от , , , , , будут использоваться для переменных, значения которых не известны как функции, классы или отношения; эти буквы будут называться просто малыми латинскими буквами.

После ранней части работы переменные предложения и переменные функции почти никогда не будут встречаться. У нас тогда будет три основных вида переменных: переменные классы, обозначаемые малыми греческими буквами; переменные отношения, обозначаемые заглавными буквами; и переменные, не заданные как обязательно классы или отношения, которые будут обозначаться малыми латинскими буквами.

В дополнение к этому использованию малых греческих букв для переменных классов, заглавных букв для переменных отношений, малых латинских букв для переменных типа, полностью не определенного контекстом (они возникают из возможности «систематической двусмысленности», объясненной позже в объяснениях теории типов), читателю нужно лишь помнить, что все буквы представляют переменные, если только они не были определены как константы в каком-то предыдущем месте книги. В общем, структура контекста определяет область действия переменных, содержащихся в нем; но специальное указание природы используемых переменных, как здесь предложено, экономит значительный труд мысли.

Фундаментальные функции предложений. Агрегация предложений, рассматриваемых как целые, не обязательно однозначно определенные, в единое предложение, более сложное, чем его составляющие, является функцией с предложениями в качестве аргументов. Общая идея такой агрегации предложений или переменных, представляющих предложения, не будет использоваться в этой работе. Но есть четыре частных случая, которые имеют фундаментальное значение, поскольку все агрегации подчиненных предложений в одно сложное предложение, которые встречаются в дальнейшем, формируются из них шаг за шагом.

Они представляют собой (1) противоречивую функцию, (2) логическую сумму, или дизъюнктивную функцию, (3) логическое произведение, или конъюнктивную функцию, (4) импликативную функцию. Эти функции в том смысле, в котором они требуются в этой работе, не все независимы; и если две из них взяты в качестве примитивных неопределяемых идей, две другие могут быть определены через них. В некоторой степени — хотя и не полностью — произвольно, какие функции принимаются за примитивные. Простота примитивных идей и симметрия изложения, по-видимому, достигаются путем принятия первых двух функций в качестве примитивных идей.

Противоречивая функция с аргументом , где есть любое предложение, — это предложение, которое является противоречием , то есть предложение, утверждающее, что не является истинным. Это обозначается . Таким образом, есть противоречивая функция с в качестве аргумента и означает отрицание предложения . Она также будет называться предложением не-. Таким образом, означает не-, что означает отрицание предложения .

Логическая сумма — это пропозициональная функция с двумя аргументами и , и это предложение, утверждающее или дизъюнктивно, то есть утверждающее, что по крайней мере одно из двух и является истинным. Это обозначается . Таким образом, есть логическая сумма с и в качестве аргументов. Она также называется логической суммой и . Соответственно означает, что по крайней мере или истинно, не исключая случая, в котором оба истинны.

Логическое произведение — это пропозициональная функция с двумя аргументами и , и это предложение, утверждающее и конъюнктивно, то есть утверждающее, что и и истинны. Это обозначается , или — чтобы заставить точки действовать как скобки способом, который будет объяснен немедленно — , или , или . Таким образом, есть логическое произведение с и в качестве аргументов. Оно также называется логическим произведением и . Соответственно означает, что и и истинны. Легко видеть, что эта функция может быть определена через две предыдущие функции. Ибо когда и оба истинны, должно быть ложным, что либо истинно. Следовательно, в этой книге есть лишь сокращенная форма символики для . Если какая-либо дальнейшая идея прикрепляется к предложению «и и истинны», она здесь не требуется.

Импликативная функция — это пропозициональная функция с двумя аргументами и , и это предложение, что либо не- или истинно, то есть это предложение . Таким образом, если истинно, ложно, и, соответственно, единственная альтернатива, оставленная предложением , заключается в том, что истинно. Другими словами, если и оба истинны, то истинно. В этом смысле предложение будет цитироваться как утверждающее, что имплицирует . Идея, содержащаяся в этой пропозициональной функции, настолько важна, что она требует символики, которая с прямой простотой представляет предложение как соединяющее и без вмешательства . Но «имплицирует», как оно используется здесь, не выражает ничего иного, кроме связи между и , также выраженной дизъюнкцией «не- или ». Символ, используемый для «имплицирует», т.е. для «» — это «». Этот символ также можно читать «если , то ». Ассоциация импликации с использованием связанной переменной производит расширение, называемое «формальной импликацией». Это объясняется позже: это идея, производная от «импликации», как она определена здесь. Когда необходимо явно различать «импликацию» от «формальной импликации», она называется «материальной импликацией». Таким образом, «материальная импликация» — это просто «импликация», как она определена здесь. Процесс вывода, который в обычном употреблении часто путают с импликацией, объясняется немедленно.

Эти четыре функции предложений являются фундаментальными постоянными (т.е. определенными) пропозициональными функциями с предложениями в качестве аргументов, и все другие постоянные пропозициональные функции с предложениями в качестве аргументов, насколько они требуются в настоящей работе, сформированы из них последовательными шагами. Никакие переменные пропозициональные функции такого рода не встречаются в этой работе.

Эквивалентность. Простейший пример формирования более сложной функции предложений с использованием этих четырех фундаментальных форм представлен «эквивалентностью». Два предложения и называются «эквивалентными», когда имплицирует , а имплицирует . Это отношение между и обозначается «». Таким образом, «» означает «». Легко видеть, что два предложения эквивалентны тогда и только тогда, когда они оба истинны или оба ложны. Эквивалентность поднимается в шкале важности, когда мы переходим к «формальной импликации» и, таким образом, к «формальной эквивалентности». Не следует полагать, что два предложения, которые эквивалентны, в каком-либо смысле идентичны или даже отдаленно касаются одной и той же темы. Таким образом, «Ньютон был человеком» и «солнце горячее» эквивалентны, будучи оба истинными, а «Ньютон не был человеком» и «солнце холодное» эквивалентны, будучи оба ложными. Но здесь мы предвосхитили дедукции, которые следуют позже из наших формальных рассуждений. Эквивалентность в своем происхождении — это просто взаимная импликация, как указано выше.

Истинностные значения. «Истинностное значение» предложения — это истина, если оно истинно, и ложь, если оно ложно [2]. Будет замечено, что истинностные значения , , , , зависят только от тех, что у и , а именно: истинностное значение «» есть истина, если истинностное значение либо , либо есть истина, и ложь в противном случае; значение «» есть истина, если значение обоих и есть истина, и ложь в противном случае; значение «» есть истина, если либо значение есть ложь, либо значение есть истина; значение «» есть противоположность значения ; а значение «» есть истина, если и имеют одно и то же истинностное значение, и ложь в противном случае. Теперь единственные способы, которыми предложения будут встречаться в настоящей работе, — это способы, производные от вышеуказанных путем комбинаций и повторений. Следовательно, легко видеть (хотя это не может быть формально доказано, кроме как в каждом конкретном случае), что если предложение встречается в любом предложении , с которым нам когда-либо придется иметь дело, истинностное значение будет зависеть не от конкретного предложения , а только от его истинностного значения; т.е. если , мы будем иметь . Таким образом, всякий раз, когда два предложения известны как эквивалентные, любое из них может быть подставлено вместо другого в любой формуле, с которой нам придется иметь дело.

Мы можем называть функцию «истинностной функцией», когда ее аргумент есть предложение, и истинностное значение зависит только от истинностного значения . Такие функции отнюдь не являются единственными общими функциями предложений. Например, « верит » — это функция от , которая будет изменять свое истинностное значение для различных аргументов, имеющих одно и то же истинностное значение: может верить одному истинному предложению, не веря другому, и может верить одному ложному предложению, не веря другому. Такие функции не исключены из нашего рассмотрения и включены в область любых общих предложений, которые мы можем сделать о функциях; но конкретные функции предложений, которые нам придется конструировать или рассматривать явно, — все являются истинностными функциями. Этот факт тесно связан с характеристикой математики, а именно с тем, что математика всегда имеет дело с экстенсионалами, а не интенсионалами. Связь, если она сейчас не очевидна, станет более таковой, когда мы рассмотрим теорию классов и отношений.

Знак утверждения. Знак «», называемый «знаком утверждения», означает, что то, что следует, утверждается. Он требуется для различения полного предложения, которое мы утверждаем, от любых подчиненных предложений, содержащихся в нем, но не утвержденных. В обычном письменном языке предложение, заключенное между точками, обозначает утвержденное предложение, и если оно ложно, книга содержит ошибку. Знак «», поставленный перед предложением, служит той же цели в нашей символике. Например, если встречается «», это следует воспринимать как полное утверждение, уличающее авторов в ошибке, если только предложение «» не является истинным (как оно и есть). Также предложение, изложенное в символах без этого знака «», поставленного перед ним, не утверждается и просто выдвигается для рассмотрения или как подчиненная часть утвержденного предложения.

Вывод. Процесс вывода заключается в следующем: предложение «» утверждается, и предложение « имплицирует » утверждается, а затем в качестве следствия предложение «» утверждается. Доверие к выводу — это вера в то, что если два предыдущих утверждения не содержат ошибки, то окончательное утверждение не содержит ошибки. Соответственно, всякий раз, когда в символах, где и имеют, конечно, специальные определения, встречаются , тогда «» будет встречаться, если желательно зафиксировать это. Процесс вывода не может быть сведен к символам. Его единственная запись — это вхождение «». Конечно, удобно, даже рискуя повторением, писать «» и «» в непосредственной близости, прежде чем переходить к «» как результату вывода. Когда это должно быть сделано, ради привлечения внимания к выводу, который делается, мы будем писать вместо этого , что следует рассматривать как простое сокращение трехкратного утверждения . Таким образом, «» можно читать «, следовательно », будучи, по сути, тем же сокращением, что и это; ибо «, следовательно » не утверждает явно, что является частью его значения, что имплицирует . Вывод — это отбрасывание истинной посылки; это растворение импликации.

Использование точек. Точки на линии символов имеют два использования: одно для выделения предложений скобками, другое для обозначения логического произведения двух предложений. Точки, непосредственно предшествующие или сопровождаемые «» или «» или «» или «», или «», «», «» ... или «», «», «» ... или «» или «» или аналогичными выражениями, служат для выделения предложения скобками; точки, встречающиеся иначе, служат для обозначения логического произведения. Общий принцип заключается в том, что большее количество точек указывает на внешнюю скобку, меньшее количество указывает на внутреннюю скобку. Точное правило относительно области действия скобки, указанной точками, достигается путем деления вхождений точек на три группы, которые мы назовем I, II и III. Группа I состоит из точек, примыкающих к знаку импликации () или эквивалентности () или дизъюнкции () или равенства по определению (Df). Группа II состоит из точек, следующих за скобками, указывающими на связанную переменную, такие как или или или или или аналогичные выражения [3]. Группа III состоит из точек, которые стоят между предложениями для обозначения логического произведения. Группа I имеет большую силу, чем Группа II, а Группа II — чем Группа III. Область действия скобки, указанной любой совокупностью точек, простирается назад или вперед за пределы любого меньшего количества точек или любого равного количества из группы меньшей силы, пока мы не достигнем либо конца утвержденного предложения, либо большего количества точек, либо равного количества, принадлежащего группе равной или высшей силы. Точки, указывающие на логическое произведение, имеют область действия, которая работает как назад, так и вперед; другие точки работают только в сторону от примыкающего знака дизъюнкции, импликации или эквивалентности, или вперед от примыкающего символа одного из других видов, перечисленных в Группе II.

Некоторые примеры послужат для иллюстрации использования точек.

«» означает предложение «' или ' имплицирует ' или '». Когда мы утверждаем это предложение, вместо того чтобы просто рассматривать его, мы пишем , где две точки после знака утверждения показывают, что утверждается все, что следует за знаком утверждения, поскольку нигде больше нет двух точек. Если бы мы написали «», это означало бы предложение «либо истинно, или имплицирует ' или '». Если бы мы хотели утверждать это, нам пришлось бы поставить три точки после знака утверждения. Если бы мы написали «», это означало бы предложение «либо ' или ' имплицирует q, или p истинно». Формы «» и «» не имеют значения.

«» будет означать «если имплицирует , то если имплицирует имплицирует ». Если мы хотим утверждать это (что истинно), мы пишем . Опять же, «» будет означать «если ' имплицирует ' имплицирует ' имплицирует ', то имплицирует ». Это в общем неверно. (Заметьте, что «» иногда наиболее удобно читать как « имплицирует », а иногда как «если , то ».) «» будет означать «если имплицирует , и имплицирует , то имплицирует ». В этой формуле первая точка указывает на логическое произведение; следовательно, область действия второй точки простирается назад до начала предложения. «» будет означать « имплицирует ; и если имплицирует , то имплицирует ». (Это неверно в общем случае.) Здесь две точки указывают на логическое произведение; поскольку две точки нигде больше не встречаются, область действия этих двух точек простирается назад до начала предложения и вперед до конца.

«» будет означать «если либо или истинно, то если либо или ' имплицирует ' истинно, следует, что либо или истинно». Если это должно быть утверждено, мы должны поставить четыре точки после знака утверждения, таким образом: (Это предложение доказано в основной части работы; это *2·75.) Если мы хотим утверждать (что эквивалентно вышесказанному) предложение: «если либо или истинно, и либо или ' имплицирует ' истинно, то либо или истинно», мы пишем . Здесь первая пара точек указывает на логическое произведение, в то время как вторая пара — нет. Таким образом, область действия второй пары точек проходит мимо первой пары и назад, пока мы не достигнем трех точек после знака утверждения.

Другие использования точек следуют тем же принципам и будут объяснены по мере их введения. При чтении предложения точки следует заметить первыми, так как они показывают его структуру. В предложении, содержащем несколько знаков импликации или эквивалентности, тот, перед которым или после которого стоит наибольшее количество точек, является главным: все, что идет перед ним, утверждается предложением как имплицирующее или эквивалентное всему, что идет после него.

Определения. Определение — это декларация того, что определенный, вновь введенный символ или комбинация символов должны означать то же самое, что и определенная другая комбинация символов, значение которой уже известно. Или, если определяющая комбинация символов — это та, которая приобретает значение только при комбинировании подходящим образом с другими символами [4], имеется в виду, что любая комбинация символов, в которой встречается вновь определенный символ или комбинация символов, должна иметь то значение (если оно есть), которое получается из подстановки определяющей комбинации символов вместо вновь определенного символа или комбинации символов везде, где последний встречается. Мы дадим названия definiendum и definiens соответственно тому, что определяется, и тому, как оно определяется. Мы выражаем определение, помещая definiendum слева, а definiens справа, со знаком «=» между ними и буквами «Df» справа от definiens. Следует понимать, что знак «=» и буквы «Df» должны рассматриваться как вместе образующие один символ. Знак «=» без букв «Df» будет иметь другое значение, которое будет объяснено вкратце.

Примером определения является

Следует заметить, что определение, строго говоря, не является частью предмета, в котором оно встречается. Ибо определение касается целиком символов, а не того, что они символизируют. Более того, оно не является истинным или ложным, будучи выражением волеизъявления, а не предложения. (По этой причине определениям не предшествует знак утверждения.) Теоретически, нет необходимости когда-либо давать определение: мы могли бы всегда использовать definiens вместо этого и, таким образом, полностью обойтись без definiendum. Таким образом, хотя мы используем определения и не определяем «определение», все же «определение» не появляется среди наших примитивных идей, потому что определения не являются частью нашего предмета, а являются, строго говоря, просто типографскими удобствами. Практически, конечно, если бы мы не ввели никаких определений, наши формулы очень скоро стали бы настолько длинными, что стали бы неуправляемыми; но теоретически все определения излишни.

Несмотря на тот факт, что определения теоретически излишни, тем не менее верно, что они часто передают более важную информацию, чем та, что содержится в предложениях, в которых они используются. Это возникает по двум причинам. Во-первых, определение обычно подразумевает, что definiens заслуживает тщательного рассмотрения. Следовательно, совокупность определений воплощает наш выбор предметов и наше суждение о том, что является наиболее важным. Во-вторых, когда то, что определяется, является (как часто случается) чем-то уже знакомым, таким как кардинальные или ординальные числа, определение содержит анализ общей идеи и может поэтому выражать заметный прогресс. Определение континуума Кантором иллюстрирует это: его определение сводится к утверждению, что то, что он определяет, — это объект, который обладает свойствами, обычно ассоциируемыми со словом «континуум», хотя то, что именно составляет эти свойства, ранее не было известно. В таких случаях определение — это «делание определенным»: оно придает определенность идее, которая ранее была более или менее расплывчатой.

По этим причинам в дальнейшем будет обнаружено, что определения — это то, что наиболее важно и что наиболее заслуживает длительного внимания читателя.

Некоторые важные замечания должны быть сделаны относительно переменных, встречающихся в definiens и definiendum. Но они будут отложены до тех пор, пока не будет введено понятие «связанной переменной», когда предмет можно будет рассмотреть как целое.

Резюме предыдущих утверждений. В вышеизложенном есть три примитивные идеи, которые не «определены», а лишь описательно объяснены. Их примитивность лишь относительна к нашему изложению логической связи и не является абсолютной; хотя, конечно, такое изложение выигрывает в важности в соответствии с простотой своих примитивных идей. Эти идеи символизируются «» и «», и «», поставленным перед предложением.

Были введены три определения:

Примитивные пропозиции. Некоторые пропозиции должны приниматься без доказательства, поскольку всякое выведение исходит из ранее утвержденных пропозиций. Они, в той мере, в какой касаются упомянутых выше функций пропозиций, будут изложены в *1, где начинается формальное и непрерывное изложение предмета. Такие пропозиции будут называться «примитивными пропозициями». Они, подобно примитивным идеям, в некоторой степени являются делом произвольного выбора; хотя, как и в предыдущем случае, логическая система приобретает важность по мере того, как примитивные пропозиции становятся немногочисленными и простыми. Окажется, что из-за слабости воображения при работе с простыми абстрактными идеями нельзя придавать слишком большое значение их очевидности. Они очевидны для подготовленного ума, но ведь таковыми являются и многие пропозиции, которые не могут быть вполне истинными, будучи опровергнутыми своими противоречивыми следствиями. Доказательством логической системы является ее адекватность и связность. А именно: (1) система должна охватывать среди своих дедукций все те пропозиции, которые мы считаем истинными и способными быть выведенными только из логических посылок, хотя, возможно, они могут потребовать некоторого незначительного ограничения в форме повышенной строгости формулировки; и (2) система не должна приводить к противоречиям, а именно: при проведении наших выводов мы никогда не должны приходить к утверждению как p, так и не-p, т. е. и «p», и «не-p» не могут правомерно появляться.

Ниже приведены примитивные пропозиции, используемые в исчислении пропозиций. Буквы «Pp» означают «примитивная пропозиция».

(1) Все, что имплицируется истинной посылкой, есть истинная Pp.

Это правило, которое обосновывает выведение.

(2) p ∨ p . ⊃ . p,

т. е. если p или p истинно, то p истинно.

(3) q . ⊃ . p ∨ q,

т. е. если q истинно, то p или q истинно.

(4) p ∨ q . ⊃ . q ∨ p,

т. е. если p или q истинно, то q или p истинно.

(5) p ∨ (q ∨ r) . ⊃ . q ∨ (p ∨ r),

т. е. если либо p истинно, либо «q или r» истинно, то либо q истинно, либо «p или r» истинно.

(6) q ⊃ r . ⊃ : p ∨ q . ⊃ . p ∨ r,

т. е. если q имплицирует r, то «p или q» имплицирует «p или r».

(7) Помимо вышеуказанных примитивных пропозиций, нам требуется примитивная пропозиция, называемая «аксиомой идентификации свободных переменных». Когда мы отдельно утвердили две различные функции от x, где x неопределенно, часто важно знать, можем ли мы идентифицировать x в одном утверждении с x в другом. Это будет иметь место — так наша аксиома позволяет нам сделать вывод — если оба утверждения представляют x как аргумент к некоторой одной функции, то есть, если φx является составляющей в обоих утверждениях (какой бы ни была пропозициональная функция φ), или, более общо, если φx является составляющей в одном утверждении, а ψx является составляющей в другом. Эта аксиома вводит понятия, которые еще не были объяснены; для более полного изложения см. замечания, сопровождающие *3·03, *1·7, *1·71 и *1·72 (которая является формулировкой этой аксиомы) в основном тексте работы, а также объяснение пропозициональных функций и двусмысленного утверждения, которое будет дано в скором времени.

Некоторые простые пропозиции. В дополнение к примитивным пропозициям, которые мы уже упомянули, нижеследующие являются одними из наиболее важных элементарных свойств пропозиций, появляющихся среди дедукций.

Закон исключенного третьего: p ∨ ~p. Это *2·11 ниже. Мы будем указывать в скобках номера, данные следующим пропозициям в основном тексте работы.

Закон противоречия (*3·24): ~(p . ~p).

Закон двойного отрицания (*4·13): ~~p . ≡ . p.

Принцип транспозиции, т. е. «если p имплицирует q, то не-q имплицирует не-p», и наоборот: этот принцип имеет различные формы, а именно p ⊃ q . ≡ . ~q ⊃ ~p, а также другие, которые являются их вариантами.

Закон тавтологии в двух формах: p . ≡ . p . p и p . ≡ . p ∨ p, т. е. «p истинно» эквивалентно «p истинно и p истинно», а также «p истинно или p истинно». С формальной точки зрения именно благодаря закону тавтологии и его следствиям алгебра логики главным образом отличается от обычной алгебры.

Закон поглощения: p ⊃ q . ≡ . p . ≡ . p . q, т. е. «p имплицирует q» эквивалентно «p эквивалентно p и q». Это называется законом поглощения, потому что он показывает, что множитель p в произведении поглощается множителем q, если p имплицирует q. Этот принцип позволяет нам заменить импликацию (p ⊃ q) эквивалентностью (p . ≡ . p . q) всякий раз, когда это удобно.

Аналогичным и очень важным принципом является следующий:

Логическое сложение и умножение пропозиций подчиняются ассоциативному и коммутативному законам, а также дистрибутивному закону в двух формах, а именно p ∨ (q . r) . ≡ . (p ∨ q) . (p ∨ r) и p . (q ∨ r) . ≡ . (p . q) ∨ (p . r). Второй из них отличает отношения логического сложения и умножения от отношений арифметического сложения и умножения.

Пропозициональные функции. Пусть φx — высказывание, содержащее переменную x и такое, что оно становится пропозицией, когда x придается какое-либо фиксированное определенное значение. Тогда φx называется «пропозициональной функцией»; это не пропозиция, поскольку из-за двусмысленности x она на самом деле вообще не делает никакого утверждения. Так, «x ранен» на самом деле не делает никакого утверждения, пока мы не установим, кто такой x. Однако благодаря индивидуальности, сохраняемой двусмысленной переменной x, это двусмысленный пример из совокупности пропозиций, полученных путем придания всех возможных определений x в «x ранен», которые дают пропозицию, истинную или ложную. Также, если «φx» и «φy» встречаются в одном и том же контексте, где y — другая переменная, то в зависимости от определений, данных x и y, они могут быть установлены как (возможно) одна и та же пропозиция или (возможно) разные пропозиции. Но помимо некоторого определения, данного x и y, они сохраняют в этом контексте свою двусмысленную дифференциацию. Таким образом, «φx» является двусмысленным «значением» пропозициональной функции. Когда мы хотим говорить о пропозициональной функции, соответствующей «φx», мы будем писать «φx». Таким образом, «φx» — это пропозициональная функция, а «φx» — двусмысленное значение этой функции. Соответственно, хотя «φx» и «φy», встречающиеся в одном и том же контексте, могут быть различимы, «φx» и «φx» не передают никакого различия в значении вообще. Более общо, φx является двусмысленным значением пропозициональной функции φx, и когда определенное значение подставляется вместо x, φa является однозначным значением φx.

Пропозициональные функции являются фундаментальным видом, из которого выводятся более обычные виды функций, такие как «x + y» или «x^2» или «отец x». Эти производные функции рассматриваются позже и называются «дескриптивными функциями». Рассмотренные выше функции пропозиций являются частным случаем пропозициональных функций.

Область значений и полное варьирование. Таким образом, соответствуя любой пропозициональной функции φx, существует область, или совокупность, значений, состоящая из всех пропозиций (истинных или ложных), которые могут быть получены путем придания x каждого возможного определения в φx. Значение φx, для которого φx истинно, будет называться «удовлетворяющим» φx. Теперь в отношении истинности или ложности пропозиций этой области необходимо отметить и символизировать три важных случая. Эти случаи даются тремя пропозициями, из которых по крайней мере одна должна быть истинной. Либо (1) все пропозиции области истинны, либо (2) некоторые пропозиции области истинны, либо (3) ни одна пропозиция области не является истинной. Утверждение (1) символизируется через «(x) . φx», а (2) символизируется через «(∃x) . φx». Никакого определения этих двух символов не дается, которые, соответственно, воплощают две новые примитивные идеи в нашей системе. Символ «(x) . φx» может читаться «φx всегда», или «φx всегда истинно», или «φx истинно для всех возможных значений x». Символ «(∃x) . φx» может читаться «существует x, для которого φx истинно», или «существует x, удовлетворяющий φx», и, таким образом, соответствует естественной форме выражения мысли.

Пропозиция (3) может быть выражена в терминах фундаментальных идей, имеющихся в наличии. Чтобы сделать это, заметьте, что «~φx» означает противоречащее φx. Соответственно, ~φx — это другая пропозициональная функция, такая, что каждое значение ~φx противоречит значению φx и наоборот. Следовательно, «(x) . ~φx» символизирует пропозицию о том, что каждое значение φx не является истинным. Это номер (3), как указано выше.

Очевидной ошибкой, хотя и легко совершаемой, является предположение, что случаи (1) и (3) являются противоречащими друг другу. Символика сразу же обнаруживает это заблуждение, ибо (1) есть (x) . φx, а (3) есть (x) . ~φx, в то время как противоречащим (1) является ~(x) . φx. Ради краткости символики делается определение, а именно: ~(x) . φx . ≡ : (∃x) . ~φx.

Определения, целью которых является получение некоторого тривиального преимущества в краткости за счет незначительной корректировки символов, будут называться определениями «чисто символического значения» в отличие от тех определений, которые требуют рассмотрения важной идеи.

Пропозиция (x) . φx называется «полным варьированием» функции φx.

По причинам, которые будут объяснены в Главе II, мы не берем отрицание как примитивную идею, когда речь идет о пропозициях форм (x) . φx и (∃x) . φx, но мы определяем отрицание (x) . φx, т. е. «φx всегда истинно», как «φx иногда ложно», т. е. «(∃x) . ~φx», и аналогично мы определяем отрицание (∃x) . φx как (x) . ~φx. Таким образом, мы полагаем: ~(x) . φx . = : (∃x) . ~φx и ~(∃x) . φx . = : (x) . ~φx.

Подобным же образом мы определяем дизъюнкцию, в которой одна из пропозиций имеет форму «(x) . φx» или «(∃x) . φx», в терминах дизъюнкции пропозиций не этой формы, полагая: (x) . φx ∨ q . = : (x) . φx ∨ q, т. е. «либо φx всегда истинно, либо q истинно» должно означать «'φx или q' всегда истинно», с аналогичными определениями в других случаях. Этот предмет возобновляется в Главе II и в *9 в основном тексте работы.

Связанные переменные. Символ «(x) . φx» обозначает одну определенную пропозицию, и нет различия в значении между «(x) . φx» и «(y) . φy», когда они встречаются в одном и том же контексте. Таким образом, «x» в «(x) . φx» не является двусмысленной составляющей любого выражения, в котором встречается «(x) . φx»; и такое выражение не перестает передавать определенное значение по причине двусмысленности x в «(x) . φx». Символ «(x) . φx» имеет некоторую аналогию с символом ∫ для определенного интеграла, поскольку ни в одном из случаев выражение не является функцией от x.

Область x в «(x) . φx» или «(∃x) . φx» простирается на полное поле значений x, для которых «φx» имеет значение, и, соответственно, значение «(x) . φx» или «(∃x) . φx» предполагает, что такое поле является определенным. x, который встречается в «(x) . φx» или «(∃x) . φx», называется (вслед за Пеано) «связанной переменной». Из значения «(x) . φx» следует, что x в этом выражении также является связанной переменной. Пропозиция, в которой x встречается как связанная переменная, не является функцией от x. Так, например, «(x) . x = x» будет означать «все равно самому себе». Это абсолютная константа, а не функция от переменной x. Вот почему x называется связанной переменной в таких случаях.

Помимо «области» x в «(x) . φx» или «(∃x) . φx», которая является полем значений, которые может иметь x, мы будем говорить об «области действия» x, имея в виду функцию, все значения или некоторое значение которой утверждаются. Если мы утверждаем все значения (или некоторое значение) «φx», «φx» является областью действия x; если мы утверждаем все значения (или некоторое значение) «ψx», «ψx» является областью действия x; если мы утверждаем все значения (или некоторое значение) «χx», «χx» будет областью действия x, и так далее. Область действия x указывается количеством точек после «(x)» или «(∃x)»; то есть область действия простирается вперед до тех пор, пока мы не достигнем равного количества точек, не указывающих на логическое произведение, или большего количества, указывающего на логическое произведение, или конца утвержденной пропозиции, в которой встречается «(x)» или «(∃x)», в зависимости от того, что произойдет раньше [5]. Так, например, (x) . φx ⊃ ψx будет означать «φx всегда имплицирует ψx», но (x) . φx ⊃ . ψx будет означать «если φx всегда истинно, то ψx истинно для аргумента x».

Заметьте, что в пропозиции (x) . φx ⊃ (x) . ψx два x не имеют никакой связи друг с другом. Поскольку только одна точка следует за x в скобках, область действия первого x ограничена «φx», непосредственно следующим за x в скобках. Обычно к ясности приводит написание (x) . φx ⊃ (y) . ψy, поскольку использование разных букв подчеркивает отсутствие связи между двумя переменными; но нет никакой логической необходимости использовать разные буквы, и иногда удобно использовать одну и ту же букву.

Двусмысленное утверждение и свободная переменная. Любое значение «φx» функции φx может быть утверждено. Такое утверждение двусмысленного члена значений φx символизируется через ⊦ . φx.

Двусмысленное утверждение такого рода является примитивной идеей, которая не может быть определена в терминах утверждения пропозиций. Эта примитивная идея — та, которая воплощает использование переменной. Помимо двусмысленного утверждения, рассмотрение «φx», которое является двусмысленным членом значений φx, имело бы мало последствий. Когда мы рассматриваем или утверждаем «φx», переменная x называется «свободной переменной». Возьмем, например, закон исключенного третьего в форме, которую он имеет в традиционной формальной логике: ⊦ . φx ∨ ~φx. Здесь φ и x являются свободными переменными: по мере их варьирования выражаются различные пропозиции, хотя все они истинны. Пока φ и x неопределенны, как в вышеприведенной формулировке, ни одна определенная пропозиция не утверждается, но утверждается любое значение рассматриваемой пропозициональной функции. Это может быть правомерно утверждено только если, какое бы значение ни было выбрано, это значение истинно, т. е. если все значения истинны. Таким образом, вышеприведенная форма закона исключенного третьего эквивалентна ⊦ : (x) . φx ∨ ~φx, т. е. «всегда истинно, что φx есть либо φx, либо не-φx». Но эти две, хотя и эквивалентны, не идентичны, и мы сочтем необходимым сохранять их различие.

Когда мы утверждаем что-то, содержащее свободную переменную, как, например, ⊦ . φx, мы утверждаем любое значение пропозициональной функции. Когда мы утверждаем что-то, содержащее связанную переменную, как в ⊦ : (x) . φx или ⊦ : (∃x) . φx, мы утверждаем, в первом случае все значения, во втором случае некоторое значение (неопределенное) рассматриваемой пропозициональной функции. Ясно, что мы можем правомерно утверждать «любое значение» только если все значения истинны; ибо в противном случае, поскольку значение переменной остается неопределенным, оно могло бы быть определено так, чтобы дать ложную пропозицию. Таким образом, в вышеприведенном примере, поскольку мы имеем ⊦ : (x) . φx ∨ ~φx. И вообще, имея утверждение, содержащее свободную переменную x, мы можем преобразовать свободную переменную в связанную, поместив (x) в скобках в начале, за которым следует столько точек, сколько их после знака утверждения.

Когда мы утверждаем что-то, содержащее свободную переменную, нельзя строго сказать, что мы утверждаем пропозицию, ибо мы получаем определенную пропозицию только путем присвоения значения переменной, и тогда наше утверждение применяется только к одному определенному случаю, так что оно не имеет совсем той же силы, что и прежде. Когда то, что мы утверждаем, содержит свободную переменную, мы утверждаем полностью неопределенную из всех пропозиций, которые возникают в результате придания различных значений переменной. Будет удобно говорить о таких утверждениях как об утверждении пропозициональной функции. Обычные формулы математики содержат такие утверждения; например, ⊦ . x + y = y + x не утверждает тот или иной частный случай формулы, и не утверждает, что формула верна для всех возможных значений x и y, хотя она эквивалентна этому последнему утверждению; она просто утверждает, что формула верна, оставляя x и y полностью неопределенными; и она способна делать это правомерно, потому что, как бы ни были определены x и y, получается истинная пропозиция.

Хотя утверждение, содержащее свободную переменную, строго говоря, не утверждает пропозицию, тем не менее о нем будут говорить как об утверждении пропозиции, за исключением случаев, когда обсуждается природа вовлеченного двусмысленного утверждения.

Определение и свободные переменные. Когда definiens содержит одну или более свободных переменных, definiendum также должен содержать их. Ибо в этом случае мы имеем функцию свободных переменных, и definiendum должен иметь то же значение, что и definiens для всех значений этих переменных, что требует, чтобы символ, являющийся definiendum, содержал буквы, представляющие свободные переменные. Это правило не всегда соблюдается математиками, и его нарушение иногда вызывало важные путаницы в мышлении, особенно в геометрии и философии пространства.

В приведенных выше определениях «φx ∨ ψx», «φx ⊃ ψx» и «φx . ≡ . ψx», φ и x являются свободными переменными и поэтому появляются по обе стороны определения. В определении «(x) . φx» только рассматриваемая функция, а именно φ, является свободной переменной; таким образом, что касается рассматриваемого правила, x не обязательно должен появляться слева. Но когда свободная переменная является функцией, необходимо указать, как должен быть подан аргумент, и поэтому существуют возражения против опускания связанной переменной там, где (как в рассматриваемом случае) это аргумент к функции, которая является свободной переменной. Это проявляется более ясно, если вместо общей функции φ мы возьмем некоторую частную функцию, скажем «f», и рассмотрим определение (x) . fx. Наше определение дает (x) . fx . = : (x) . fx. Но если бы мы приняли обозначение, в котором двусмысленное значение «φx», содержащее связанную переменную x, не встречалось бы в definiendum, нам пришлось бы построить обозначение, использующее саму функцию, а именно «f!». Это не включает связанную переменную, но было бы неуклюжим на практике. Фактически мы нашли удобным и возможным — за исключением пояснительных частей — почти полностью исключить из этой работы явное использование символов типа «φx», либо как констант [например, f!x], либо как свободных переменных.

Пропозиции, связывающие свободные и связанные переменные. Наиболее важными пропозициями, связывающими свободные и связанные переменные, являются следующие:

(1) «Когда пропозициональная функция может быть утверждена, может быть утверждена и пропозиция о том, что все значения функции истинны». Более кратко, если менее точно, «то, что верно для любого, как бы он ни был выбран, верно для всех». Это переводится в правило, что когда свободная переменная встречается в утверждении, мы можем превратить ее в связанную переменную, поместив букву, представляющую ее, в скобки непосредственно после знака утверждения.

(2) «То, что верно для всех, верно для любого», т. е. ⊦ : (x) . φx . ⊃ . φy. Это утверждает: «если φx всегда истинно, то φy истинно».

(3) «Если φy истинно, то φx иногда истинно», т. е. ⊦ : φy . ⊃ . (∃x) . φx. Утвержденная пропозиция формы «(∃x) . φx» выражает «теорему существования», а именно «существует x, для которого φx истинно». Вышеприведенная пропозиция дает то, что на практике является единственным способом доказательства теорем существования: мы всегда должны найти некоторый частный y, для которого φy верно, и отсюда сделать вывод «(∃x) . φx». Если бы мы приняли то, что называется мультипликативной аксиомой, или эквивалентную аксиому, сформулированную Цермело, это дало бы, в важном классе случаев, теорему существования там, где нельзя найти никакого частного примера ее истинности.

В силу «(x) . φx ⊃ φy» и «φy ⊃ (∃x) . φx», мы имеем ⊦ : (x) . φx . ⊃ . (∃x) . φx, т. е. «то, что всегда истинно, иногда истинно». Это не было бы так, если бы ничего не существовало; таким образом, наши предположения содержат допущение, что что-то существует. Это вовлечено в принцип, что то, что верно для всех, верно для любого; ибо это не было бы истинно, если бы не было никакого «любого».

(4) «Если φx всегда истинно, и ψx всегда истинно, то 'φx . ψx' всегда истинно», т. е. ⊦ : (x) . φx : (x) . ψx : ⊃ : (x) . φx . ψx. (Это требует, чтобы φx и ψx были функциями, которые принимают аргументы одного и того же типа. Мы объясним это требование на более позднем этапе.) Обратное также верно; т. е. мы имеем ⊦ : (x) . φx . ψx . ≡ : (x) . φx : (x) . ψx.

В некоторой степени произвольно, какие из пропозиций, связывающих свободные и связанные переменные, принимаются в качестве примитивных пропозиций. Примитивные пропозиции, принятые по этому предмету в основном тексте работы (*9), являются следующими: ⊦ : φx ∨ ψx . ⊃ : (x) . φx ∨ ψx, т. е. если либо φx истинно, либо ψx истинно, то (x) . φx ∨ ψx истинно. (О необходимости этой примитивной пропозиции см. замечания к *9·11 в основном тексте работы.)

(3) Если мы можем утвердить ⊦ . φy, где y — свободная переменная, то мы можем утвердить ⊦ : (x) . φx; т. е. то, что верно для любого, как бы он ни был выбран, верно для всех.

Формальная импликация и формальная эквивалентность. Когда говорят, что импликация, скажем φx ⊃ ψx, выполняется всегда, т. е. когда ⊦ : (x) . φx ⊃ ψx, мы будем говорить, что φx формально имплицирует ψx; и пропозиции формы «(x) . φx ⊃ ψx» будут называться выражающими формальные импликации. В обычных примерах импликации, таких как «'Сократ — человек' имплицирует 'Сократ — смертен'», мы имеем пропозицию формы «φx ⊃ ψx» в случае, в котором «φx» истинно. В таком случае мы чувствуем импликацию как частный случай формальной импликации. Таким образом, получилось, что импликации, которые не являются частными случаями формальных импликаций, вообще не рассматривались как импликации. Существует также практическое основание для пренебрежения такими импликациями, ибо, говоря вообще, они могут быть известны только тогда, когда уже известно либо то, что их гипотеза ложна, либо то, что их заключение истинно; и ни в одном из этих случаев они не служат тому, чтобы мы узнали заключение, поскольку в первом случае заключение не обязательно должно быть истинным, а во втором оно известно уже. Таким образом, такие импликации не служат цели, для которой импликации наиболее полезны, а именно цели заставить нас узнать, путем дедукции, заключения, о которых мы ранее не знали. Формальные импликации, напротив, служат этой цели, благодаря психологическому факту, что мы часто знаем «(x) . φx ⊃ ψx» и «(x) . φx», в случаях, когда «(x) . ψx» (которое следует из этих посылок) не может быть легко узнано непосредственно.

Эти причины, хотя они и не оправдывают полное пренебрежение импликациями, которые не являются примерами формальных импликаций, являются причинами, которые делают формальную импликацию очень важной. Формальная импликация утверждает, что для всех возможных значений x, если гипотеза φx истинна, заключение ψx истинно. Поскольку «φx ⊃ ψx» всегда будет истинно, когда φx ложно, важны только те значения x, которые делают φx истинным в формальной импликации; эффективно утверждается, что для всех этих значений ψx истинно. Таким образом, пропозиции формы «все φx есть ψx», «ни один φx не есть ψx» выражают формальные импликации, поскольку первая (как следует из того, что только что было сказано) утверждает (x) . φx ⊃ ψx, в то время как вторая утверждает (x) . φx ⊃ ~ψx. И любая формальная импликация «(x) . φx ⊃ ψx» может быть интерпретирована как: «Все значения x, которые удовлетворяют φx [6], удовлетворяют ψx», в то время как формальная импликация «(x) . φx ⊃ ~ψx» может быть интерпретирована как: «Никакие значения x, которые удовлетворяют φx, не удовлетворяют ψx».

Мы имеем аналогично для «некоторый φx есть ψx» формулу (∃x) . φx . ψx и для «некоторый φx не есть ψx» формулу (∃x) . φx . ~ψx.

Две функции φx, ψx называются формально эквивалентными, когда каждая всегда имплицирует другую, т. е. когда ⊦ : (x) . φx ≡ ψx, и пропозиция этой формы называется формальной эквивалентностью. В силу того, что было сказано об истинностных значениях, если φx и ψx формально эквивалентны, любая может заменить другую в любой функции истинности. Следовательно, для всех целей математики или настоящей работы φx может заменить ψx или наоборот в любой пропозиции, с которой мы будем иметь дело. Теперь сказать, что φx и ψx формально эквивалентны, — это то же самое, что сказать, что φx и ψx имеют одну и ту же экстенсию, т. е. что любое значение x, которое удовлетворяет любой из них, удовлетворяет и другой. Таким образом, всякий раз, когда константная функция встречается в нашей работе, истинностное значение пропозиции, в которой она встречается, зависит только от экстенсии функции. Пропозиция, содержащая функцию φx и обладающая этим свойством (т. е. что ее истинностное значение зависит только от экстенсии φx), будет называться экстенсиональной функцией от φx. Таким образом, функции функций, с которыми мы будем специально иметь дело, будут все экстенсиональными функциями функций.

То, что только что было сказано, объясняет связь (отмеченную выше) между фактом, что функции пропозиций, с которыми математика специально связана, являются все функциями истинности, и фактом, что математика связана с экстенсиями, а не интенсиями.

Удобное сокращение. Следующие определения дают альтернативные и часто более удобные обозначения: (x) . φx ⊃ ψx . = : (x) . φx ⊃ ψx. Это обозначение «(x) . φx ⊃ ψx» принадлежит Пеано, который, однако, не имеет обозначения для общей идеи «(x) . φx ⊃ ψx». Можно заметить в качестве упражнения по использованию точек в качестве скобок, что мы могли бы написать (x) . φx ⊃ ψx. На практике, однако, когда φx и ψx являются специальными функциями, невозможно использовать меньше точек, чем в первой форме, и часто требуется больше.

Следующие определения дают сокращенные обозначения для функций двух или более переменных: (x, y) . φ(x, y) . ⊃ . ψ(x, y) и так далее для любого количества переменных; (∃x, y) . φ(x, y) и так далее для любого количества переменных.

Тождество. Пропозициональная функция «x идентично y» выражается через x = y. Это будет определено (ср. *13·01), но, из-за некоторых трудных моментов, вовлеченных в определение, мы здесь опустим его (ср. Глава II). Мы имеем, конечно, x = x, x = y . ⊃ . y = x, x = y . y = z . ⊃ . x = z. Первое из них выражает рефлексивное свойство тождества: отношение называется рефлексивным, когда оно выполняется между термином и самим собой, либо универсально, либо всякий раз, когда оно выполняется между этим термином и некоторым термином. Вторая из вышеприведенных пропозиций выражает, что тождество является симметричным отношением: отношение называется симметричным, если, всякий раз, когда оно выполняется между x и y, оно также выполняется между y и x. Третья пропозиция выражает, что тождество является транзитивным отношением: отношение называется транзитивным, если, всякий раз, когда оно выполняется между x и y и между y и z, оно выполняется также между x и z.

Мы обнаружим, что в математике не требуется никакого нового определения знака равенства: все математические уравнения, в которых знак равенства используется обычным образом, выражают некоторое тождество и, таким образом, используют знак равенства в вышеуказанном смысле.

Если x и y идентичны, любая может заменить другую в любой пропозиции, не изменяя истинностного значения пропозиции; таким образом, мы имеем x = y . ⊃ : φx . ≡ . φy. Это фундаментальное свойство тождества, из которого остальные свойства по большей части следуют.

Можно было бы подумать, что тождество не имело бы большого значения, поскольку оно может выполняться между x и y только если x и y являются разными символами для одного и того же объекта. Этот взгляд, однако, не применяется к тому, что мы будем называть «дескриптивными фразами», т. е. «такой-то и такой-то». Именно в отношении таких фраз тождество важно, как мы вскоре объясним. Пропозиция, такая как «Скотт был автором Уэверли», выражает тождество, в котором есть дескриптивная фраза (а именно «автор Уэверли»); это иллюстрирует, как в таких случаях утверждение тождества может быть важным. По существу тот же случай, когда газеты говорят «личность преступника не установлена». В таком случае преступник известен по дескриптивной фразе, а именно «человек, который совершил деяние», и мы хотим найти x, для которого истинно «x = человек, который совершил деяние». Когда такой x был найден, личность преступника установлена.

Классы и отношения. Класс (который то же самое, что многообразие или совокупность) — это все объекты, удовлетворяющие некоторой пропозициональной функции. Если φx — класс, состоящий из объектов, удовлетворяющих φx, мы будем говорить, что φx — это класс, определенный через φx. Каждая пропозициональная функция, таким образом, определяет класс, хотя если пропозициональная функция является той, которая всегда ложна, класс будет нулевым, т. е. не будет иметь членов. Класс, определенный функцией φx, будет представлен через φ^x [7]. Таким образом, например, если φx — уравнение, φ^x будет классом его корней; если φx — «x имеет две ноги и нет перьев», φ^x будет классом людей; если φx — «x < 1», φ^x будет классом правильных дробей, и так далее.

Очевидно, что один и тот же класс объектов будет иметь много определяющих функций. Когда нет необходимости указывать определяющую функцию класса, класс может быть удобно представлен одной греческой буквой. Таким образом, греческие буквы, отличные от тех, которым присвоено некоторое константное значение, будут использоваться исключительно для классов.

Существует два вида трудностей, которые возникают в формальной логике; один вид возникает в связи с классами и отношениями, а другой — в связи с дескриптивными функциями. Суть трудности для классов и отношений, насколько это касается классов, заключается в том, что класс не может быть объектом, подходящим в качестве аргумента к любой из своих определяющих функций. Если α представляет класс, а φx — одну из его определяющих функций [так что α = φ^x], недостаточно, чтобы φα было ложной пропозицией, это должно быть бессмыслицей. Таким образом, кажется необходимой определенная классификация того, что кажется объектами, на вещи существенно разных типов. Весь этот вопрос обсуждается в Главе II о теории типов, и формальное рассмотрение в систематическом изложении, которое составляет основной корпус этой работы, направлено этим обсуждением. Часть систематического изложения, которая специально касается теории классов, — это *20, и в этом Введении она обсуждается в Главе III. Достаточно отметить здесь, что в полном рассмотрении *20 мы избежали решения о том, имеет ли класс вещей в каком-либо смысле существование как один объект. Решение этого вопроса в ту или иную сторону безразлично для нашей логики, хотя, возможно, если бы мы рассматривали некоторое решение, которое считало бы классы и отношения в некотором реальном смысле объектами как истинное и вероятное для всеобщего принятия, мы могли бы упростить одно или два определения и несколько предварительных пропозиций. Наши символы, такие как «φ^x» и другие, которые представляют классы и отношения, просто определены в их использовании, точно так же, как φx, стоящее для «x имеет свойство φ», не имеет значения помимо подходящей функции от x, φx, на которой нужно оперировать. Результат наших определений заключается в том, что способ, которым мы используем классы, соответствует в целом их использованию в обычном мышлении и речи; и какова бы ни была окончательная интерпретация одного, такова же и интерпретация другого. Таким образом, фактически наша классификация типов в Главе II действительно выполняет единственную, хотя и существенную, услугу, оправдывая нас в воздержании от вступления в цепочки рассуждений, которые ведут к противоречивым выводам. Оправдание заключается в том, что то, что кажется пропозициями, на самом деле является бессмыслицей.

Определения, которые встречаются в теории классов, посредством которых идея класса (по крайней мере в использовании) основана на других идеях, принятых как примитивные, не могут быть поняты без более полного обсуждения, чем то, которое может быть дано сейчас (ср. Главу II этого Введения, а также *20). Соответственно, в этом предварительном обзоре мы переходим к изложению более важных простых пропозиций, которые следуют из этих определений, оставляя читателю возможность использовать в своем уме обычную неанализированную идею класса вещей. Наши символы в своем использовании соответствуют обычному использованию этой идеи в языке. Следует заметить, что в систематическом изложении наше рассмотрение классов и отношений не требует новых примитивных идей и только две новые примитивные пропозиции, а именно две формы «Аксиомы сводимости» (ср. следующую Главу) для одной и двух переменных соответственно.

Пропозициональная функция «x является членом класса α» будет выражена, вслед за Пеано, обозначением x ∈ α. Здесь ε выбрано как инициал слова ἐστί. «x ∈ α» может читаться «x есть α». Таким образом, «x ∈ φ^x» будет означать «x есть φ», и так далее. Для типографского удобства мы будем полагать x ∈ φ^x . ≡ . φx.

Для «класса» мы будем писать «Cls»; таким образом, «α ∈ Cls» означает «α есть класс».

Мы имеем x ∈ φ^x . ≡ . φx, т. е. «'x является членом класса, определенного через φx' эквивалентно 'x удовлетворяет φx', или 'φx истинно'».

Класс полностью определен, когда известна его принадлежность, то есть не может быть двух разных классов, имеющих одну и ту же принадлежность. Таким образом, если φx, ψx — формально эквивалентные функции, они определяют один и тот же класс; ибо в этом случае, если x является членом класса, определенного через φx, и поэтому удовлетворяет φx, он также удовлетворяет ψx и, следовательно, является членом класса, определенного через ψx. Таким образом, мы имеем φx ≡ ψx . ⊃ . φ^x = ψ^x.

Следующие пропозиции очевидны и важны: α = φ^x . ≡ : x ∈ α . ≡ . φx, т. е. α идентично классу, определенному через φx, тогда и только тогда, когда «x ∈ α» формально эквивалентно φx; α = β . ≡ : x ∈ α . ≡ . x ∈ β, т. е. два класса α и β идентичны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же принадлежность; φ^x = φ^x, в других словах, φ^x есть класс объектов, которые являются членами φ^x; φ^x ∈ Cls, т. е. класс, определенный функцией φx, есть класс.

Будет видно, что, согласно вышесказанному, любая функция от одной переменной может быть заменена эквивалентной функцией формы «x ∈ α». Следовательно, любая экстенсиональная функция функций, которая выполняется, когда ее аргумент является функцией формы «x ∈ α», какое бы возможное значение α ни имело, будет выполняться также, когда ее аргумент является любой функцией φx. Таким образом, варьирование классов может заменить варьирование функций от одной переменной во всех пропозициях того рода, с которыми мы имеем дело.

Точно аналогичным образом мы вводим двойные или диадические отношения, т. е. отношения между двумя терминами. Такие отношения будут называться просто «отношениями»; отношения между более чем двумя терминами будут различаться как множественные отношения, или (когда количество их терминов указано) как тройные, четверные, ... отношения, или как триадические, тетрадические, ... отношения. Такие отношения не будут касаться нас, пока мы не дойдем до Геометрии. На данный момент единственные отношения, с которыми мы имеем дело, — это двойные отношения.

Отношения, подобно классам, должны приниматься в экстенсии, т. е. если R и S — отношения, которые выполняются между одними и теми же парами терминов, R и S должны быть идентичны. Мы можем рассматривать отношение, в смысле, в котором оно требуется для наших целей, как класс пар; т. е. пара (x, y) должна быть одной из класса пар, составляющих отношение R, если x имеет отношение R к y [8]. Этот взгляд на отношения как классы пар, однако, не будет введен в наше символическое рассмотрение и упоминается только для того, чтобы показать, что возможно так понимать значение слова «отношение», что отношение должно определяться своей экстенсией.

Любая функция φ(x, y) определяет отношение R между x и y. Если мы рассматриваем отношение как класс пар, отношение, определенное через φ(x, y), есть класс пар (x, y), для которых φ(x, y) истинно. Отношение, определенное функцией φ(x, y), будет обозначаться через φ^(x, y). Мы будем использовать заглавную букву для отношения, когда нет необходимости указывать определяющую функцию. Таким образом, всякий раз, когда встречается заглавная буква, следует понимать, что она означает отношение.

Пропозициональная функция «x имеет отношение R к y» будет выражена обозначением xRy. Это обозначение разработано так, чтобы оставаться как можно ближе к обычному языку, который, когда ему нужно выразить отношение, обычно упоминает его между его терминами, как в «x любит y», «x равен y», «x больше y» и так далее. Для «отношения» мы будем писать «Rel», таким образом, «R ∈ Rel» означает «R есть отношение».

Благодаря тому, что мы принимаем отношения в экстенсии, мы будем иметь φ^(x, y) = ψ^(x, y) . ≡ : (x, y) . φ(x, y) ≡ ψ(x, y), т. е. две функции двух переменных определяют одно и то же отношение тогда и только тогда, когда две функции формально эквивалентны. x(φ^(x, y))y . ≡ . φ(x, y), т. е. «x имеет к y отношение, определенное через φ(x, y)» эквивалентно φ(x, y);

Эти пропозиции аналогичны тем, что были ранее даны для классов. Из них следует, что любая функция двух переменных формально эквивалентна некоторой функции формы xRy; следовательно, в экстенсиональных функциях двух переменных варьирование отношений может заменить варьирование функций двух переменных.

Как классы, так и отношения имеют свойства, аналогичные большинству свойств пропозиций, которые следуют из отрицания и логической суммы. Логическое произведение двух классов α и β — это их общая часть, т. е. класс терминов, которые являются членами обоих. Это представлено через α ∩ β. Таким образом, мы полагаем x ∈ α ∩ β . ≡ : x ∈ α . x ∈ β. Это дает нам x ∈ α ∩ β . ≡ . x ∈ α . x ∈ β, т. е. «x является членом логического произведения α и β» эквивалентно логическому произведению «x является членом α» и «x является членом β».

Аналогично логическая сумма двух классов α и β — это класс терминов, которые являются членами любого из них; мы обозначаем ее через α ∪ β. Определение есть x ∈ α ∪ β . ≡ : x ∈ α ∨ x ∈ β, и связь с логической суммой пропозиций дается через x ∈ α ∪ β . ≡ . x ∈ α ∨ x ∈ β.

Отрицание класса α состоит из тех терминов x, для которых «x ∈ α» может быть значимо и истинно отрицаемо. Мы обнаружим, что существуют термины других типов, для которых «x ∈ α» не является ни истинным, ни ложным, а бессмысленным. Эти термины не являются членами отрицания α.

Таким образом, отрицание класса α — это класс терминов подходящего типа, которые не являются его членами, т. е. класс x ∈ ~α . ≡ : x ∈ α . ≡ . F. Мы называем этот класс «~α» (читается «не-α»); таким образом, определение есть x ∈ ~α . ≡ : ~ (x ∈ α), и связь с отрицанием пропозиций дается через x ∈ ~α . ≡ . ~ (x ∈ α).

Вместо импликации мы имеем отношение включения. Класс α называется включенным или содержащимся в классе β, если все члены α являются членами β, т. е. если (x) . x ∈ α ⊃ x ∈ β. Мы пишем «α ⊂ β» для «α содержится в β». Таким образом, мы полагаем α ⊂ β . ≡ : (x) . x ∈ α ⊃ x ∈ β.

Большинство формул, касающихся ⊃, ≡, ~, остаются истинными, если мы подставим ⊂, =, ~α. Вместо эквивалентности мы подставляем тождество; ибо «α ⊂ β» было определено как «(x) . x ∈ α ⊃ x ∈ β», но «α = β» дает «α ⊂ β . β ⊂ α», откуда α = β . ≡ : α ⊂ β . β ⊂ α.

Ниже приведены некоторые пропозиции, касающиеся классов, которые являются аналогами пропозиций, ранее данных относительно пропозиций: α ∩ β = ~ (~α ∪ ~β), т. е. общая часть α и β — это отрицание «не-α или не-β»; x ∈ α ∪ β . ≡ : x ∈ α ∨ x ∈ β, т. е. x ∈ α ∪ β, «x является членом α или не-α»; x ∈ α ∩ ~α . ≡ : x ∈ α . ~ (x ∈ α), т. е. «x не является членом обоих α и не-α»;

Две последние — это две формы закона тавтологии.

Закон поглощения выполняется в форме α ⊂ β . ≡ : α ∩ β = α.

Таким образом, например, «все критяне — лжецы» эквивалентно «критяне идентичны лгущим критянам».

Точно так же, как мы имеем p ⊃ q . q ⊃ r . ⊃ . p ⊃ r, так мы имеем α ⊂ β . β ⊂ γ . ⊃ . α ⊂ γ.

Это выражает обычный силлогизм в Barbara (с переставленными посылками); ибо «α ⊂ β» означает то же самое, что «все α суть β», так что вышеприведенная пропозиция утверждает: «Если все α суть β, и все β суть γ, то все α суть γ». (Следует заметить, что силлогизмы традиционно выражаются с «следовательно», как если бы они утверждали обе посылки и заключение. Это, конечно, просто небрежный способ речи, поскольку то, что на самом деле утверждается, — это только связь посылок с заключением.)

Силлогизм в Barbara, когда меньшая посылка имеет индивидуальный субъект, есть x ∈ α . α ⊂ β . ⊃ . x ∈ β, например, «если Сократ — человек, и все люди — смертны, то Сократ — смертен». Это, как было указано Пеано, не является частным случаем «α ⊂ β . β ⊂ γ . ⊃ . α ⊂ γ», поскольку «x ∈ α» не является частным случаем «α ⊂ β». Этот момент важен, поскольку традиционная логика здесь ошибается. Природа и масштаб ее ошибки станут яснее на более позднем этапе.

Для отношений мы имеем точно аналогичные определения и пропозиции. Мы полагаем R ∩ S = φ^(x, y) . ψ^(x, y) . ≡ . φ(x, y) . ψ(x, y).

Вообще, когда нам требуются аналогичные, но разные символы для отношений и для классов, мы будем выбирать для отношений символ, полученный путем добавления точки, в некотором удобном положении, к соответствующему символу для классов. (Точка не должна быть поставлена на линии, поскольку это вызвало бы путаницу с использованием точек в качестве скобок.) Но такие символы требуют и получают специальное определение в каждом случае.

Класс называется существующим, когда он имеет по крайней мере один член: «α существует» обозначается через «∃!α». Таким образом, мы полагаем ∃!α . = : (∃x) . x ∈ α. Класс, который не имеет членов, называется «нулевым классом» и обозначается через «Λ». Любая пропозициональная функция, которая всегда ложна, определяет нулевой класс. Одна такая функция нам уже известна, а именно «x не идентично x», которую мы обозначаем через «x ≠ x». Таким образом, мы можем использовать эту функцию для определения Λ, и полагаем Λ = x^ (x ≠ x).

Класс, определенный функцией, которая всегда истинна, называется универсальным классом и представлен через V; таким образом V = x^ (x = x).

Таким образом Λ = ~V. Мы имеем x ∈ V . ≡ . x = x, т. е. «'x является членом V' всегда истинно»; и x ∈ Λ . ≡ . x ≠ x, т. е. «'x является членом Λ' всегда ложно». Также α = Λ . ≡ . ~ ∃!α, т. е. «α — это нулевой класс» эквивалентно «α не существует».

Для отношений мы используем похожие обозначения. Мы полагаем ∃!R . = : (∃x, y) . xRy, т. е. «∃!R» означает, что существует по крайней мере одна пара x, y, между которыми выполняется отношение R. Λ_R будет отношением, которое никогда не выполняется, а V_R — отношением, которое всегда выполняется. V_R практически никогда не требуется; Λ_R будет отношением x ≠ x . y ≠ y. Мы имеем R ∈ Rel . ⊃ . ∃!R . ⊃ . R ≠ Λ_R.

Не существует классов, которые содержат объекты более чем одного типа. Соответственно, существует универсальный класс и нулевой класс, свойственные каждому типу объектов. Но эти символы не нужно различать, поскольку будет обнаружено, что нет возможности путаницы. Подобные замечания применимы к отношениям.

Дескрипции. Под «дескрипцией» мы понимаем фразу формы «такой-то и такой-то» или некоторой эквивалентной формы. На данный момент мы ограничиваем наше внимание «таким-то» в единственном числе. Мы будем использовать это слово строго, чтобы подразумевать уникальность; например, мы не должны говорить «x — сын y», если y имел других сыновей, кроме x. Таким образом, дескрипция формы «такой-то и такой-то» будет иметь применение только в случае, если существует один такой-то и не более. Следовательно, дескрипция требует некоторой пропозициональной функции, которая удовлетворяется одним значением x и никакими другими значениями; тогда «тот, который удовлетворяет φx» — это дескрипция, которая определенно описывает некоторый объект, хотя мы можем не знать, какой объект она описывает. Например, если x — человек, «x — отец y» должно быть истинно для одного и только одного значения x. Следовательно, «отец y» — это дескрипция некоторого человека, хотя мы можем не знать, какого человека она описывает. Фраза, содержащая «тот», всегда предполагает некоторую начальную пропозициональную функцию, не содержащую «тот»; таким образом, вместо «x — отец y» мы должны взять в качестве нашей начальной функции «x породил y»; тогда «отец y» означает одно значение x, которое удовлетворяет этой пропозициональной функции.

Если φx — пропозициональная функция, символ «(ιx)(φx)» используется в нашей символике таким образом, что его всегда можно прочитать как «тот, который удовлетворяет φx». Но мы не определяем «(ιx)(φx)» как означающее «тот, который удовлетворяет φx», таким образом рассматривая эту последнюю фразу как воплощающую примитивную идею. Каждое использование «(ιx)(φx)», где оно по-видимому встречается как составляющая пропозиции на месте объекта, определено в терминах примитивных идей, уже имеющихся в наличии. Пример этого определения в использовании дается пропозицией «E!(ιx)(φx)», которая рассматривается немедленно. Весь предмет рассматривается более полно в Главе III.

Символ следует сравнивать и противопоставлять с «φ^x», который в использовании всегда можно прочитать как «те x, которые удовлетворяют φx». Оба символа являются неполными символами, определенными только в использовании, и как таковые обсуждаются в Главе III. Символ «φ^x» всегда имеет применение, а именно к классу, определенному через φx; но «(ιx)(φx)» имеет применение только тогда, когда φx удовлетворяется только одним значением x, ни больше, ни меньше. Следует также заметить, что значение, данное символу определением, приведенным немедленно ниже, E!(ιx)(φx) . = : (∃b) : φx . ≡_x . x = b, не предполагает, что мы знаем значение «один». Это также характерно для определения любого другого использования «(ιx)(φx)».

Мы теперь переходим к определению «E!(ιx)(φx)», так что его можно прочитать «тот, который удовлетворяет φx, существует». (Будет замечено, что это другое значение существования, чем то, которое мы выражаем через «∃!α»). Его определение есть E!(ιx)(φx) . = : (∃b) : φx . ≡_x . x = b, т. е. «тот, который удовлетворяет φx, существует» должно означать «существует объект b такой, что φx истинно, когда x есть b, но не иначе».

Следующие формы эквивалентны:

Последняя из них утверждает, что «тот, который удовлетворяет φx, существует» эквивалентно «существует объект b, удовлетворяющий φx, и каждый объект, отличный от b, не удовлетворяет φx».

Вид существования, только что определенный, охватывает очень многие случаи. Таким образом, например, «самое совершенное Существо существует» будет означать: E!(ιx)(φx), что, принимая последнюю из вышеприведенных эквивалентностей, эквивалентно (∃b) : φb : (x) . x ≠ b ⊃ ~φx.

Такое суждение, как «Аполлон существует», в действительности имеет ту же логическую форму, хотя и не содержит явным образом слова «существующий». Ибо «Аполлон» на самом деле означает «объект, обладающий такими-то и такими-то свойствами», скажем, «объект, обладающий свойствами, перечисленными в Классическом словаре [9]». Если эти свойства составляют пропозициональную функцию φ, то «Аполлон» означает «(ιx)(φx)», а «Аполлон существует» означает «(∃x)(φx)». Возьмем другой пример: «автор Уэверли» означает «человек, который (или, вернее, объект, который) написал Уэверли». Таким образом, «Скотт — автор Уэверли» есть (ιx)(φx) = Скотт. Здесь (как мы отмечали ранее) отчетливо проявляется важность тождества в связи с описаниями.

Обозначение «(ιx)(φx)», которое является длинным и неудобным, используется редко, будучи главным образом необходимым для введения другого обозначения, а именно «R‘y», означающего «объект, имеющий отношение R к y». То есть мы полагаем R‘y = (ιx)(xRy). Перевернутую запятую можно читать как «от». Таким образом, «R‘y» читается как «R от y». Так, если R — отношение отца к сыну, «R‘y» означает «отец y»; если R — отношение сына к отцу, «R‘y» означает «сын y», который будет «существовать» только в том случае, если у y есть один сын и не более. R‘y есть функция от y, но не пропозициональная функция; мы будем называть ее дескриптивной функцией. Все обычные функции математики являются функциями этого рода, что будет более полно показано далее. Так, в нашем обозначении «sin x» было бы записано «sin‘x», а «sin» обозначало бы отношение, которое sin‘x имеет к x. Вместо переменной дескриптивной функции f мы ставим R‘y, где переменное отношение R занимает место переменной функции f. Дескриптивная функция в общем случае будет существовать, пока y принадлежит определенной области, но не вне этой области; так, если мы имеем дело с положительными рациональными числами, √‘y будет значимым, если y — полный квадрат, но не в противном случае; если мы имеем дело с вещественными числами и условимся, что «√‘y» должно означать положительный квадратный корень (или должно означать отрицательный квадратный корень), √‘y будет значимым при условии, что y положительно, но не в противном случае; и так далее. Таким образом, каждая дескриптивная функция имеет то, что мы можем назвать «областью определения» или «областью существования», которая может быть определена следующим образом: если рассматриваемая функция есть R‘y, ее областью определения или существования будет класс тех аргументов y, для которых мы имеем E!(R‘y), т. е. для которых (∃b)(xRy ≡ x = b), т. е. для которых существует один x, и не более, имеющий отношение R к y.

Если R — любое отношение, мы будем говорить о R‘y как об «ассоциированной дескриптивной функции». Очень многие из постоянных отношений, которые нам придется вводить, важны только или главным образом благодаря своим ассоциированным дескриптивным функциям. В таких случаях легче (хотя и менее корректно) начать с присвоения значения дескриптивной функции и вывести значение отношения из значения дескриптивной функции. Это будет сделано в следующих пояснениях к обозначениям.

Различные дескриптивные функции отношений. Если R — любое отношение, то конверс R есть отношение, которое имеет место между y и x всякий раз, когда R имеет место между x и y. Таким образом, «больше» есть конверс «меньше», «до» — «после», «причина» — «следствие», «муж» — «жена» и т. д. Конверс R записывается как ˘R или Cnv‘R. Определение есть x(˘R)y ≡ yRx. Второе из них не является формально корректным определением, поскольку мы должны были бы определить «Cnv» и вывести значение ˘R. Но не стоит придерживаться этого плана в нашем настоящем вводном изложении, которое стремится к простоте, а не к формальной корректности.

Отношение называется симметричным, если R = ˘R, т. е. если оно имеет место между x и y всякий раз, когда оно имеет место между y и x (и, следовательно, наоборот). Тождество, различие, согласие или несогласие в каком-либо отношении являются симметричными отношениями. Отношение называется асимметричным, когда оно несовместимо со своим конверсом, т. е. когда R ∩ ˘R = Λ, или, что эквивалентно, xRy ⊃ ¬(yRx).

«До» и «после», «больше» и «меньше», «предок» и «потомок» являются асимметричными, как и все другие отношения такого рода, которые ведут к рядам. Но существует много асимметричных отношений, которые не ведут к рядам, например, отношение «брат жены» [11]. Отношение может быть ни симметричным, ни асимметричным; например, это справедливо для отношения включения между классами: α ⊂ β и β ⊂ α будут оба истинны, если α = β, но в противном случае будет истинно самое большее одно из них. Отношение «брат» не является ни симметричным, ни асимметричным, ибо если x — брат y, y может быть либо братом, либо сестрой x.

В пропозициональной функции xRy мы называем x референтом, а y — релятумом. Класс ŷ(xRy), состоящий из всех y, которые имеют отношение R к x, называется классом референтов R по отношению к x; класс ˆx(xRy), состоящий из всех x, к которым y имеет отношение R, называется классом релятумов R по отношению к y. Эти два класса обозначаются соответственно через R‘y и ˘R‘x. Таким образом, R‘y = ˆx(xRy) и ˘R‘x = ŷ(xRy). Стрелка направлена к y в первом случае, чтобы показать, что мы имеем дело с вещами, имеющими отношение R к y; она направлена от x во втором случае, чтобы показать, что отношение R идет от x к членам класса. Фактически она идет от референта x к релятуму y.

Обозначения R‘y, ˘R‘x очень важны и используются постоянно. Если R — отношение родителя к ребенку, R‘y = родители y, ˘R‘x = дети x. Мы имеем x ∈ R‘y ≡ xRy и y ∈ ˘R‘x ≡ xRy. Эти эквивалентности часто воплощаются в обычном языке. Например, мы говорим без различия «x — житель Лондона» или «x населяет Лондон». Если мы поставим «R» для «населяет», «x населяет Лондон» есть «x R London», в то время как «x — житель Лондона» есть «x ∈ ˘R‘London».

Вместо R‘y и ˘R‘x мы иногда используем R→y, R←x, где «→» означает «sagitta» (стрела), а «←» есть «→» наоборот. Таким образом, мы полагаем R→y = R‘y и R←x = ˘R‘x. Эти обозначения иногда удобнее, чем стрелка, когда рассматриваемое отношение представлено комбинацией букв, а не одной буквой, такой как R. Так, например, мы должны были бы писать (R ∪ S)→y, а не ставить стрелку над всей длиной (R ∪ S).

Класс всех членов, которые имеют отношение R к чему-либо, называется областью R. Так, если R — отношение родителя и ребенка, областью R будет класс родителей. Мы представляем область R через «D‘R». Таким образом, мы полагаем D‘R = ˆx(∃y)(xRy). Аналогично класс всех членов, к которым что-либо имеет отношение R, называется конверсной областью R; это то же самое, что область конверса R. Конверсная область R представляется через «D‘˘R» (или «C‘R»); таким образом, C‘R = ŷ(∃x)(xRy). Сумма области и конверсной области называется полем и представляется через «C‘R»: таким образом, C‘R = D‘R ∪ C‘R.

Поле C‘R главным образом важно в связи с рядами. Если R — упорядочивающее отношение ряда, C‘R будет классом членов ряда, D‘R будет всеми членами, кроме последнего (если таковой имеется), а C‘R будет всеми членами, кроме первого (если таковой имеется). Первый член, если он существует, является единственным членом C‘R ∖ D‘R, поскольку он является единственным членом, который является предшественником, но не последователем. Аналогично последний член (если таковой имеется) является единственным членом D‘R ∖ C‘R. Условие того, что ряд не должен иметь конца, есть D‘R = C‘R, т. е. «каждый последователь есть предшественник»; условие отсутствия начала есть C‘R = D‘R. Эти условия эквивалентны соответственно C‘R ⊂ D‘R и D‘R ⊂ C‘R.

Относительное произведение двух отношений R и S есть отношение, которое имеет место между x и z, когда существует промежуточный член y такой, что x имеет отношение R к y, а y имеет отношение S к z. Относительное произведение R и S представляется через R|S; таким образом, мы полагаем x(R|S)z ≡ (∃y)(xRy ∧ ySz). Таким образом, «папина тетя» есть относительное произведение «сестра» и «отец»; «папина бабушка» есть относительное произведение «мать» и «отец»; «мамина бабушка» есть относительное произведение «мать» и «мать». Относительное произведение не коммутативно, но оно подчиняется ассоциативному закону, т. е. (R|S)|T = R|(S|T). Оно также подчиняется дистрибутивному закону по отношению к логическому сложению отношений, т. е. мы имеем R|(S ∪ T) = (R|S) ∪ (R|T).

Но по отношению к логическому произведению мы имеем только R|(S ∩ T) ⊂ (R|S) ∩ (R|T).

Относительное произведение не подчиняется закону тавтологии, т. е. мы не имеем в общем случае R|R = R. Мы полагаем R^2 = R|R, R^3 = R^2|R, и т. д. Таким образом, папин дедушка = (отец|отец)‘x.

мамина бабушка = (мать|мать)‘x.

Отношение называется транзитивным, если R^2 ⊂ R, т. е. если, если xRy и yRz, мы всегда имеем xRz, т. е. когда R^2 ⊂ R. Отношения, которые порождают ряды, всегда транзитивны; так, например, если R — отношение, которое порождает ряд, xRy может быть удобно прочитано как «x предшествует y»; таким образом, «R^2 ⊂ R» становится «если x предшествует y и y предшествует z, то x всегда предшествует z». Класс отношений, которые порождают ряды, частично характеризуется тем фактом, что они транзитивны и асимметричны и никогда не связывают член с самим собой.

Если R — отношение, которое порождает ряд, и если мы имеем не просто R^2 ⊂ R, но R ⊂ R^2, то R порождает ряд, который является компактным (überall dicht), т. е. таким, что между любыми двумя членами есть члены. Ибо в этом случае мы имеем R ⊂ R^2, т. е. если x предшествует y, существует член z такой, что x предшествует z и z предшествует y, т. е. существует член между x и y. Таким образом, среди отношений, которые порождают ряды, те, которые порождают компактные ряды, — это те, для которых R ⊂ R^2.

Многие отношения, которые не порождают ряды, являются транзитивными, например, тождество или отношение включения между классами. Такие случаи возникают, когда отношения не являются асимметричными. Отношения, которые являются транзитивными и симметричными, представляют собой важный класс: их можно рассматривать как состоящие в обладании некоторым общим свойством.

Множественные дескриптивные функции. Класс членов y, которые имеют отношение R к некоторому члену класса α, обозначается через R‘‘α или R‘α. Определение есть R‘‘α = ŷ(∃x)(x ∈ α ∧ xRy). Так, например, пусть R — отношение «населять», а α — класс городов; тогда R‘‘α = жители городов α. Пусть R — отношение «меньше чем» среди рациональных чисел, а α — класс тех рациональных чисел, которые имеют форму 1/n для целых значений n; тогда R‘‘α будут все рациональные числа, меньшие некоторого члена α, т. е. все рациональные числа, меньшие 1. Если R — порождающее отношение ряда, а α — любой класс членов C‘R, R‘‘α будут предшественники членов α, т. е. сегмент, определенный α. Если R — отношение такое, что R‘x всегда существует, когда x ∈ α, R‘‘α будет классом всех членов формы R‘x для значений x, которые являются членами α; т. е. R‘‘α = ˆy(∃x)(x ∈ α ∧ y = R‘x). Таким образом, членом класса «отцы великих людей» будет отец x, где x — некоторый великий человек. В других случаях это не будет иметь места; например, пусть R — отношение числа к любому числу, множителем которого оно является; тогда R‘‘α будет классом всех множителей всех чисел α, но этот класс не состоит из членов формы «R‘x», где x — четное число, потому что числа не имеют только по одному множителю каждое.

Единичные классы. Класс, единственным членом которого является x, можно было бы считать идентичным x, но Пеано и Фреге показали, что это не так. (Причины, по которым это не так, будут предварительно объяснены в Главе II Введения.) Мы обозначаем через «ι‘x» класс, единственным членом которого является x: таким образом, ι‘x = ˆy(y = x), т. е. «ι‘x» означает «класс объектов, которые тождественны x».

Класс, состоящий из x и y, будет ι‘x ∪ ι‘y; класс, полученный добавлением x к классу α, будет α ∪ ι‘x; класс, полученный вычитанием x из класса α, будет α ∖ ι‘x. (Мы пишем α ∖ x как сокращение для α ∖ ι‘x.)

Следует заметить, что единичные классы были определены без ссылки на число 1; фактически мы используем единичные классы для определения числа 1. Это число определяется как класс единичных классов, т. е. 1 = ˆα(∃x)(α = ι‘x). Это ведет к E!(ι‘x). Из этого далее следует, что E!(ι‘x) ≡ (∃x)(φx), т. е. «ι‘x есть единичный класс» эквивалентно «существует x, удовлетворяющий φ».

Если E!(R‘y), то R‘y — единственный член R‘‘ι‘y, ибо единственный член ι‘y — это единственный член, к которому y имеет отношение R. Таким образом, «R‘y» занимает место «(ιx)(xRy)», если R‘y обозначает (ιx)(xRy). На практике «R‘y» — более удобное обозначение, чем «(ιx)(xRy)», и оно обычно используется вместо «(ιx)(xRy)».

Вышеприведенное изложение объяснило большую часть логических обозначений, используемых в настоящей работе. В приложениях к различным частям математики вводятся другие определения; но объекты, определяемые этими более поздними определениями, принадлежат, по большей части, скорее математике, чем логике. Читатель, освоивший объясненные выше символы, обнаружит, что любые более поздние формулы могут быть расшифрованы с помощью сравнительно немногих дополнительных определений.

СНОСКИ:

[1] Ср. Главу II Введения.

[2] Эта фраза принадлежит Фреге.

[3] Значение этих выражений будет объяснено позже, и примеры использования точек в связи с ними будут даны на стр. 17, 18.

[4] Этот случай будет полностью рассмотрен в Главе III Введения. В настоящее время он не требует нашего дальнейшего внимания.

[5] Это согласуется с правилами для вхождений точек типа Группы II, как объяснено выше, стр. 9 и 10.

[6] Говорят, что значение x удовлетворяет φx, когда φx истинно для этого значения x.

[7] Вместо x может быть использована любая другая буква.

[8] Такая пара имеет смысл, т. е. пара x;y отличается от пары y;x, если x ≠ y. Мы будем называть ее «парой со смыслом», чтобы отличить ее от класса, состоящего из x и y. Ее также можно назвать упорядоченной парой.

[9] Тот же принцип применяется ко многим случаям использования собственных имен существующих объектов, например, ко всем случаям использования собственных имен для объектов, известных говорящему только по слухам, а не по личному знакомству.

[10] Второе из этих обозначений взято из «Algebra und Logik der Relative» Шрёдера.

[11] Это отношение не является строго асимметричным, но является таковым, за исключением случаев, когда брат жены также является мужем сестры. В Греческой церкви это отношение строго асимметрично.

ГЛАВА II. ТЕОРИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ТИПОВ.

Теория логических типов, которая будет объяснена в настоящей Главе, рекомендовала себя нам в первую очередь своей способностью разрешать определенные противоречия, из которых наиболее известным математикам является противоречие Бурали-Форти относительно наибольшего порядкового числа. Но рассматриваемая теория не зависит полностью от этой косвенной рекомендации: она также обладает определенным созвучием со здравым смыслом, что делает ее внутренне достоверной. Поэтому в дальнейшем мы сначала изложим теорию саму по себе, а затем применим ее к разрешению противоречий.

I. Принцип порочного круга.

Анализ парадоксов, которых следует избегать, показывает, что все они возникают из определенного рода порочного круга [12]. Рассматриваемые порочные круги возникают из предположения, что совокупность объектов может содержать члены, которые могут быть определены только посредством совокупности как целого. Так, например, предполагается, что совокупность предложений содержит предложение, утверждающее, что «все предложения либо истинны, либо ложны». Однако кажется, что такое утверждение не могло бы быть законным, если бы «все предложения» не относились к какой-то уже определенной совокупности, чего они не могут делать, если новые предложения создаются утверждениями о «всех предложениях». Поэтому нам придется сказать, что утверждения о «всех предложениях» бессмысленны. Более общо, для любого множества объектов такого, что, если мы предположим, что множество имеет итог, оно будет содержать члены, которые предполагают этот итог, такое множество не может иметь итога. Говоря, что множество «не имеет итога», мы имеем в виду, прежде всего, что нельзя сделать значимое утверждение обо «всех его членах». Предложения, как показывает приведенная выше иллюстрация, должны быть множеством, не имеющим итога. То же самое верно, как мы вскоре увидим, и для пропозициональных функций, даже когда они ограничены такими, которые могут значимо иметь в качестве аргумента данный объект. В таких случаях необходимо разбить наше множество на меньшие множества, каждое из которых способно иметь итог. Именно это и стремится осуществить теория типов.

Принцип, который позволяет нам избегать нелегитимных совокупностей, может быть сформулирован следующим образом: «То, что включает в себя все члены совокупности, не должно быть одним из членов этой совокупности»; или, наоборот: «Если бы при условии, что некоторая совокупность имеет итог, она имела бы члены, определимые только в терминах этого итога, то данная совокупность не имеет итога». Мы будем называть это «принципом порочного круга», потому что он позволяет нам избегать порочных кругов, связанных с допущением нелегитимных совокупностей. Аргументы, которые осуждаются принципом порочного круга, будут называться «ошибками порочного круга». Такие аргументы в определенных обстоятельствах могут приводить к противоречиям, но часто случается, что выводы, к которым они приводят, на самом деле истинны, хотя аргументы ошибочны. Возьмем, например, закон исключенного третьего в форме «все предложения истинны или ложны». Если из этого закона мы аргументируем, что, поскольку закон исключенного третьего является предложением, следовательно, закон исключенного третьего истинен или ложен, мы совершаем ошибку порочного круга. «Все предложения» должны быть каким-то образом ограничены, прежде чем они станут легитимной совокупностью, и любое ограничение, которое делает их легитимными, должно сделать любое утверждение о совокупности выходящим за пределы совокупности. Аналогично, воображаемый скептик, который утверждает, что он ничего не знает, и опровергается вопросом, знает ли он, что он ничего не знает, утверждает бессмыслицу и был ошибочно опровергнут аргументом, который включает ошибку порочного круга. Чтобы утверждение скептика стало значимым, необходимо наложить некоторое ограничение на вещи, о которых он утверждает свое невежество, потому что вещи, о которых можно быть в неведении, образуют нелегитимную совокупность. Но как только им наложено подходящее ограничение на совокупность предложений, о которых он утверждает свое невежество, предложение о том, что он не знает ни одного члена этой совокупности, само не должно быть одним из членов этой совокупности. Следовательно, любой значимый скептицизм не открыт для вышеуказанной формы опровержения.

Парадоксы символической логики касаются различных видов объектов: предложений, классов, кардинальных и порядковых чисел и т. д. Все эти виды объектов, как мы покажем, представляют собой нелегитимные совокупности и поэтому способны порождать ошибки порочного круга. Но посредством теории (которая будет объяснена в Главе III), сводящей утверждения, которые словесно касаются классов и отношений, к утверждениям, которые касаются пропозициональных функций, парадоксы сводятся к таким, которые касаются предложений и пропозициональных функций. Парадоксы, касающиеся предложений, лишь косвенно относятся к математике, в то время как те, которые более непосредственно касаются математика, все касаются пропозициональных функций. Поэтому мы немедленно перейдем к рассмотрению пропозициональных функций.

II. Природа пропозициональных функций.

Под «пропозициональной функцией» мы понимаем нечто, что содержит переменную x и выражает предложение, как только x присваивается значение. То есть она отличается от предложения исключительно тем фактом, что она двусмысленна: она содержит переменную, значение которой не присвоено. Она согласуется с обычными функциями математики в том факте, что содержит неназначенную переменную: где она отличается, так это в том факте, что значениями функции являются предложения. Так, например, «x — человек» или «x^2 + x + 1 = 0» есть пропозициональная функция. Мы обнаружим, что возможно совершить ошибку порочного круга в самом начале, допуская в качестве возможных аргументов пропозициональной функции термины, которые предполагают эту функцию. Эта форма ошибки очень поучительна, и ее избегание ведет, как мы увидим, к иерархии типов.

Вопрос о природе функции [13] отнюдь не прост. Однако кажется, что существенной характеристикой функции является двусмысленность. Возьмем, например, закон тождества в форме «x есть x», которая является формой, в которой он обычно формулируется. Ясно, что, если рассматривать психологически, мы имеем здесь единое суждение. Но что мы должны сказать об объекте суждения? Мы не судим, что Сократ есть Сократ, ни что Платон есть Платон, ни любое другое из определенных суждений, которые являются примерами закона тождества. Тем не менее каждое из этих суждений в некотором смысле находится в рамках нашего суждения. Мы фактически судим двусмысленный пример пропозициональной функции «x есть x». Мы, по-видимому, имеем единую мысль, которая не имеет определенного объекта, но имеет своим объектом неопределенное одно из значений функции «x есть x». Именно этот вид двусмысленности составляет сущность функции. Когда мы говорим о «φx», где x не определено, мы имеем в виду одно значение функции, но не определенное. Мы можем выразить это, сказав, что «φx» двусмысленно обозначает φa, φb, φc и т. д., где a, b, c и т. д. являются различными значениями «x».

Когда мы говорим, что «φx» двусмысленно обозначает φa, φb, φc и т. д., мы имеем в виду, что «φx» означает один из объектов φa, φb, φc и т. д., хотя и не определенный, а неопределенный. Отсюда следует, что «φx» имеет хорошо определенное значение (хорошо определенное, то есть, за исключением того, что в его сущности быть двусмысленным) только в том случае, если объекты φa, φb, φc и т. д. хорошо определены. То есть функция не является хорошо определенной функцией, если все ее значения уже не хорошо определены. Из этого следует, что ни одна функция не может иметь среди своих значений ничего, что предполагает эту функцию, ибо если бы она имела, мы не могли бы рассматривать объекты, двусмысленно обозначаемые функцией, как определенные до тех пор, пока функция не была бы определена, в то время как, наоборот, как мы только что видели, функция не может быть определена, пока ее значения не определены. Это частный случай, но, возможно, самый фундаментальный случай принципа порочного круга. Функция есть то, что двусмысленно обозначает некое одно из определенной совокупности, а именно значения функции; следовательно, эта совокупность не может содержать никаких членов, которые включают в себя функцию, поскольку, если бы она содержала, она содержала бы члены, включающие совокупность, чего, согласно принципу порочного круга, никакая совокупность делать не может.

Будет видно, что, согласно вышеприведенному изложению, значения функции предполагаются функцией, а не наоборот. Достаточно очевидно в любом частном случае, что значение функции не предполагает функцию. Так, например, предложение «Сократ — человек» может быть прекрасно понято без рассмотрения его как значения функции «x — человек». Правда, наоборот, функция может быть понята без необходимости понимать ее значения по отдельности и индивидуально. Если бы это было не так, ни одна функция не могла бы быть понята вообще, поскольку число значений (истинных и ложных) функции обязательно бесконечно, и обязательно существуют возможные аргументы, с которыми мы не знакомы. Что необходимо, так это не то, чтобы значения были даны индивидуально и экстенсионально, а то, чтобы совокупность значений была дана интенсионально, так что относительно любого назначенного объекта по крайней мере теоретически определимо, является ли данный объект значением функции или нет.

Практически необходимо отличать саму функцию от неопределенного значения функции. Мы можем рассматривать саму функцию как то, что двусмысленно обозначает, в то время как неопределенное значение функции — это то, что двусмысленно обозначается. Если неопределенное значение записано «φx», мы будем писать саму функцию «φx̂». (Вместо x̂ может быть использована любая другая буква.) Таким образом, мы должны сказать «φx — предложение», но «φx̂ — пропозициональная функция». Когда мы говорим «φx — предложение», мы имеем в виду утверждение чего-то, что истинно для каждого возможного значения x, хотя мы не решаем, какое значение x должно иметь. Мы делаем двусмысленное утверждение о любом значении функции. Но когда мы говорим «φx̂ — функция», мы не делаем двусмысленного утверждения. Было бы правильнее сказать, что мы делаем утверждение об двусмысленности, придерживаясь взгляда, что функция есть двусмысленность. Сама функция, φx̂, есть единая вещь, которая двусмысленно обозначает свои многие значения; в то время как φx, где x не определено, есть один из обозначаемых объектов, причем двусмысленность принадлежит способу обозначения.

Мы видели, что в соответствии с принципом порочного круга значения функции не могут содержать термины, определимые только в терминах функции. Теперь, учитывая функцию φx̂, значения для функции [14] — это все предложения вида φx. Отсюда следует, что не должно быть никаких предложений вида φx, в которых x имеет значение, которое включает в себя φx̂. (Если бы это было так, значения функции не были бы все определены до тех пор, пока функция не была бы определена, тогда как мы обнаружили, что функция не определена, если ее значения не определены заранее.) Следовательно, не должно быть такой вещи, как значение для φx̂ с аргументом φx̂, или с любым аргументом, который включает в себя φx̂. То есть символ «φ(φx̂)» не должен выражать предложение, как «φ(a)» делает, если a — значение для φx̂. Фактически «φ(φx̂)» должен быть символом, который ничего не выражает: мы можем поэтому сказать, что он не является значимым. Таким образом, учитывая любую функцию φx̂, существуют аргументы, с которыми функция не имеет значения, так же как существуют аргументы, с которыми она имеет значение. Мы будем называть аргументы, с которыми φx̂ имеет значение, «возможными значениями x». Мы будем говорить, что φx̂ «значима с аргументом x», когда φx̂ имеет значение с аргументом x.

Когда говорят, что, например, «φ(φx̂)» бессмысленно и, следовательно, ни истинно, ни ложно, необходимо избежать недопонимания. Если бы «φ(φx̂)» интерпретировалось как означающее «значение для φx̂ с аргументом φx̂ истинно», это было бы не бессмысленно, а ложно. Это ложно по той же причине, по которой «Король Франции лыс» ложно, а именно потому, что не существует такой вещи, как «значение для φx̂ с аргументом φx̂». Но когда с некоторым аргументом x мы утверждаем φx, мы не имеем в виду утверждать «значение для φx̂ с аргументом x истинно»; мы имеем в виду утверждать само предложение, которое является значением для φx̂ с аргументом x. Так, например, если φx̂ есть «x — человек», φ(Сократ) будет «Сократ — человек», а не «значение для функции «x — человек» с аргументом Сократ истинно». Таким образом, в соответствии с нашим принципом, что «φ(φx̂)» бессмысленно, мы не можем законно отрицать «функция «x — человек» — человек», потому что это бессмыслица, но мы можем законно отрицать «значение для функции «x — человек» с аргументом «x — человек» истинно», не на том основании, что рассматриваемое значение ложно, а на том основании, что для функции не существует такого значения.

Мы будем обозначать символом «(x).φx» предложение «φx всегда [15]», т. е. предложение, которое утверждает все значения для φx̂. Это предложение включает в себя функцию φx̂, а не просто двусмысленное значение функции. Утверждение φx, где x не определено, есть утверждение, отличное от того, которое утверждает все значения для φx̂, ибо первое есть двусмысленное утверждение, тогда как второе ни в каком смысле не является двусмысленным. Будет замечено, что «(x).φx» не утверждает «φx со всеми значениями x», потому что, как мы видели, должны существовать значения x, с которыми «φx» бессмысленно. То, что утверждается через «(x).φx», — это все предложения, которые являются значениями для φx̂; следовательно, φx утверждается, когда мы утверждаем «(x).φx», только с такими значениями x, которые делают «φx» значимым, т. е. со всеми возможными аргументами. Таким образом, удобный способ прочитать «(x).φx» — это «φx истинно со всеми возможными значениями x». Это, однако, менее точное чтение, чем «φx всегда», потому что понятие истины не является частью содержания того, что судится. Когда мы судим «все люди смертны», мы судим истинно, но понятие истины не обязательно находится в наших умах, не более, чем оно должно быть, когда мы судим «Сократ смертен».

III. Определение и систематическая двусмысленность истины и лжи.

Поскольку «(x).φx» включает в себя функцию φx̂, оно должно, согласно нашему принципу, быть невозможным в качестве аргумента для φx̂. То есть символ «φ(φx̂)» должен быть бессмысленным. Этот принцип, на первый взгляд, кажется, имеет некоторые исключения. Возьмем, например, функцию «x ложно» и рассмотрим предложение «(x).x ложно». Это должно быть предложение, утверждающее все предложения вида «x ложно». Такое предложение, мы были бы склонны сказать, должно быть ложным, потому что «x ложно» не всегда истинно. Следовательно, мы были бы приведены к предложению «(x).x ложно» ложно, т. е. мы были бы приведены к предложению, в котором «(x).x ложно» является аргументом для функции «x ложно», что мы объявили невозможным. Теперь будет видно, что «(x).x ложно» в вышеприведенном претендует на то, чтобы быть предложением обо всех предложениях, и что, согласно общей форме принципа порочного круга, не должно быть никаких предложений обо всех предложениях. Тем не менее кажется ясным, что, учитывая любую функцию, существует предложение (истинное или ложное), утверждающее все ее значения. Следовательно, мы приходим к выводу, что «x ложно» и «y ложно» не всегда должны быть значениями с аргументами x и y для одной функции «x ложно». Это, однако, возможно только в том случае, если слово «ложно» действительно имеет много различных значений, подходящих для предложений различных видов.

То, что слова «истинно» и «ложно» имеют много различных значений в зависимости от вида предложения, к которому они применяются, нетрудно увидеть. Возьмем любую функцию φx̂ и пусть φx будет одним из ее значений. Назовем вид истины, который применим к φx, «первой истиной». (Это не означает, что это была бы первая истина в другом контексте: это лишь указывает на то, что это первый вид истины в нашем контексте.) Рассмотрим теперь предложение (x).φx. Если оно имеет истину того вида, который подходит для него, это будет означать, что каждое значение φx имеет «первую истину». Таким образом, если мы назовем вид истины, который подходит для (x).φx, «второй истиной», мы можем определить «p имеет вторую истину» как означающее «каждое значение φx имеет первую истину», т. е. «(x).φx имеет первую истину». Аналогично, если мы обозначим через «(∃x).φx» предложение «φx иногда», т. е., как мы можем менее точно выразить это, «φx с некоторым значением x», мы обнаружим, что (∃x).φx имеет вторую истину, если существует x, с которым φx имеет первую истину; таким образом, мы можем определить «p имеет вторую истину» как означающее «некоторое значение φx имеет первую истину», т. е. «(∃x).φx имеет первую истину». Подобные замечания применимы к лжи. Таким образом, «p имеет вторую ложь» будет означать «некоторое значение φx имеет первую ложь», т. е. «(∃x).φx имеет первую ложь», в то время как «p имеет вторую ложь» будет означать «все значения φx имеют первую ложь», т. е. «(x).φx имеет первую ложь». Таким образом, вид лжи, который может принадлежать общему предложению, отличается от вида, который может принадлежать частному предложению.

Применяя эти соображения к предложению «(x).φx ложно», мы видим, что вид лжи, о котором идет речь, должен быть уточнен. Если, например, имеется в виду первая ложь, функция «p имеет первую ложь» значима только тогда, когда p — это вид предложения, который имеет первую ложь или первую истину. Следовательно, «(x).φx ложно» будет заменено утверждением, которое эквивалентно «все предложения, имеющие либо первую истину, либо первую ложь, имеют первую ложь». Это предложение имеет вторую ложь и не является возможным аргументом для функции «p имеет первую ложь». Таким образом, кажущееся исключение из принципа, что «φ(φx̂)» должно быть бессмысленным, исчезает.

Подобные соображения позволят нам иметь дело с «не-p» и с «p или q». Может показаться, что это функции, в которых любое предложение может появиться в качестве аргумента. Но это связано с систематической двусмысленностью в значениях «не» и «или», благодаря которой они приспосабливаются к предложениям любого порядка. Чтобы полностью объяснить, как это происходит, будет хорошо начать с определения простейшего вида истины и лжи.

Вселенная состоит из объектов, обладающих различными качествами и находящихся в различных отношениях. Некоторые из объектов, которые встречаются во вселенной, являются сложными. Когда объект сложен, он состоит из взаимосвязанных частей. Рассмотрим сложный объект, состоящий из двух частей a и b, находящихся друг к другу в отношении R. Сложный объект «a-в-отношении-R-к-b» может быть способен быть воспринятым; когда он воспринят, он воспринимается как один объект. Внимание может показать, что он сложен; тогда мы судим, что a и b находятся в отношении R. Такое суждение, будучи производным от восприятия простым вниманием, может быть названо «суждением восприятия». Это суждение восприятия, рассматриваемое как фактическое событие, есть отношение четырех терминов, а именно a, b, R и воспринимающего. Восприятие, напротив, есть отношение двух терминов, а именно «a-в-отношении-R-к-b» и воспринимающего. Поскольку объект восприятия не может быть ничем, мы не можем воспринимать «a-в-отношении-R-к-b», если a не находится в отношении R к b. Следовательно, суждение восприятия, согласно вышеприведенному определению, должно быть истинным. Это не означает, что в суждении, которое кажется нам суждением восприятия, мы уверены в отсутствии ошибки, поскольку мы можем ошибаться, думая, что наше суждение было действительно получено просто анализом того, что было воспринято. Но если наше суждение было так получено, оно должно быть истинным. Фактически мы можем определить истину, где такие суждения затронуты, как состоящую в том факте, что существует сложный объект, соответствующий дискурсивному мышлению, которое является суждением. То есть, когда мы судим «a имеет отношение R к b», наше суждение называется истинным, когда существует сложный объект «a-в-отношении-R-к-b», и называется ложным, когда это не так. Это определение истины и лжи в отношении суждений такого рода.

Будет видно, что, согласно вышеприведенному изложению, суждение не имеет единого объекта, а именно предложения, но имеет несколько взаимосвязанных объектов. То есть отношение, которое составляет суждение, не есть отношение двух терминов, а именно судящего ума и предложения, но есть отношение нескольких терминов, а именно ума и того, что называется составляющими предложения. То есть, когда мы судим (скажем) «это красное», происходит отношение трех терминов: ума, «этого» и красного. С другой стороны, когда мы воспринимаем «красноту этого», существует отношение двух терминов, а именно ума и сложного объекта «краснота этого». Когда происходит суждение, существует некоторая сложная сущность, состоящая из ума и различных объектов суждения. Когда суждение истинно, в случае того вида суждений, которые мы рассматривали, существует соответствующий сложный объект, состоящий только из объектов суждения. Ложь, в отношении нашего настоящего класса суждений, состоит в отсутствии соответствующего сложного объекта, состоящего только из объектов. Из вышеприведенной теории следует, что «предложение» в том смысле, в котором предложение должно быть объектом суждения, есть ложная абстракция, потому что суждение имеет несколько объектов, а не один. Именно множественность объектов в суждении (в противоположность восприятию) привела людей к тому, чтобы называть мышление «дискурсивным», хотя они, по-видимому, не осознавали ясно, что имелось в виду под этим эпитетом.

Из-за множественности объектов единичного суждения следует, что то, что мы называем «предложением» (в том смысле, в котором это отличается от фразы, выражающей его), вообще не является единой сущностью. То есть фраза, которая выражает предложение, есть то, что мы называем «неполным» символом [16]; он не имеет значения сам по себе, но требует некоторого дополнения, чтобы приобрести полное значение. Этот факт несколько скрыт тем обстоятельством, что суждение само по себе предоставляет достаточное дополнение и что суждение само по себе не делает никакого словесного добавления к предложению. Таким образом, «предложение «Сократ — человек»» использует «Сократ — человек» способом, который требует дополнения какого-либо рода, прежде чем он приобретет полное значение; но когда я сужу «Сократ — человек», значение дополняется актом суждения, и мы больше не имеем неполного символа. Тот факт, что предложения являются «неполными символами», важен философски и уместен в определенных точках символической логики.

Суждения, с которыми мы имели дело до сих пор, являются такими, которые имеют ту же форму, что и суждения восприятия, т. е. их субъекты всегда частные и определенные. Но существует много суждений, которые не имеют этой формы. Таковы «все люди смертны», «я встретил человека», «некоторые люди — греки». Прежде чем иметь дело с такими суждениями, мы введем некоторые технические термины.

Мы дадим имя «сложный объект» любому такому объекту, как «a в отношении R к b» или «a, обладающий качеством φ» или «a, b и c, находящиеся в отношении R». В широком смысле сложный объект — это все, что встречается во вселенной и не является простым. Мы будем называть суждение элементарным, когда оно просто утверждает такие вещи, как «a имеет отношение R к b», «a имеет качество φ» или «a, b и c находятся в отношении R». Тогда элементарное суждение истинно, когда существует соответствующий сложный объект, и ложно, когда нет соответствующего сложного объекта.

Но возьмем теперь такое предложение, как «все люди смертны». Здесь суждение соответствует не одному сложному объекту, а многим, а именно «Сократ смертен», «Платон смертен», «Аристотель смертен» и т. д. (На данный момент нет необходимости исследовать, не требует ли каждый из них дальнейшей обработки, прежде чем мы достигнем конечных сложных объектов. Для целей иллюстрации «Сократ смертен» здесь рассматривается как элементарное суждение, хотя на самом деле это не так, как будет объяснено позже. Поистине элементарные суждения найти не очень легко.) Мы не намерены отрицать, что может существовать некоторое отношение концепта «человек» к концепту «смертный», которое может быть эквивалентно «все люди смертны», но в любом случае это отношение — не то же самое, что мы утверждаем, когда говорим, что все люди смертны. Наше суждение о том, что все люди смертны, собирает вместе ряд элементарных суждений. Оно, однако, не состоит из них, поскольку (например) тот факт, что Сократ смертен, не является частью того, что мы утверждаем, что можно увидеть, рассмотрев тот факт, что наше утверждение может быть понято человеком, который никогда не слышал о Сократе. Чтобы понять суждение «все люди смертны», нет необходимости знать, какие люди существуют. Мы должны, следовательно, признать в качестве радикально нового вида суждения такие общие утверждения, как «все люди смертны». Мы утверждаем, что при условии, что x — человек, x всегда смертен. То есть мы утверждаем «x смертен» для каждого x, который является человеком. Таким образом, мы способны судить (истинно или ложно), что все объекты, которые обладают некоторым назначенным свойством, также обладают некоторым другим назначенным свойством. То есть, учитывая любые пропозициональные функции φx̂ и ψx̂, существует суждение, утверждающее ψx для каждого x, для которого мы имеем φx. Такие суждения мы будем называть общими суждениями.

Очевидно (как объяснено выше), что определение истины отличается в случае общих суждений от того, каким оно было в случае элементарных суждений. Назовем значение истины, которое мы дали для элементарных суждений, «элементарной истиной». Тогда, когда мы утверждаем, что истинно, что все люди смертны, мы будем иметь в виду, что все суждения вида «x смертен», где x — человек, имеют элементарную истину. Мы можем определить это как «истину второго порядка» или «истину второго порядка». Тогда, если мы выразим предложение «все люди смертны» в форме (x).φx ⊃ ψx и назовем это суждение p, то «p истинно» должно пониматься как означающее «p имеет истину второго порядка», что в свою очередь означает (x).φx ⊃ ψx имеет элементарную истину.

Чтобы избежать необходимости явно указывать ограничение, которому подвержена наша переменная, удобно заменить вышеприведенную интерпретацию «все люди смертны» немного другой интерпретацией. Предложение «все люди смертны» эквивалентно ««x — человек» имплицирует «x смертен» со всеми возможными значениями x». Здесь x не ограничено такими значениями, которые являются людьми, но может иметь любое значение, с которым ««x — человек» имплицирует «x смертен»» значимо, т. е. либо истинно, либо ложно. Такое предложение называется «формальной импликацией». Преимущество этой формы в том, что значения, которые может принимать переменная, даются функцией, для которой она является аргументом: значения, которые может принимать переменная, — это все те, с которыми функция значима.

Мы используем символ «(x).φx» для выражения общего суждения, которое утверждает все суждения вида «φx». Тогда суждение «все люди смертны» эквивалентно (x).φx ⊃ ψx, т. е. (в силу определения импликации) к (x).¬φx ∨ ψx. Как мы только что видели, значение истины, которое применимо к этому предложению, не то же самое, что значение истины, которое применимо к «x — человек» или к «x смертен». И вообще, в любом суждении (x).φx смысл, в котором это суждение есть или может быть истинным, не тот же самый, в котором φx есть или может быть истинным. Если φx — элементарное суждение, оно истинно, когда оно указывает на соответствующий сложный объект. Но (x).φx не указывает на единый соответствующий сложный объект: соответствующие сложные объекты так же многочисленны, как возможные значения x.

Из вышесказанного следует, что такое предложение, как «все суждения, сделанные Эпименидом, истинны», будет лишь prima facie способным быть истинным, если все его суждения одного порядка. Если они разного порядка, из которых n-й является высшим, мы можем сделать n утверждений вида «все суждения порядка n, сделанные Эпименидом, истинны», где n имеет все значения до n. Но никакое такое суждение не может включать себя в свою собственную область, поскольку такое суждение всегда более высокого порядка, чем суждения, к которым оно относится.

Рассмотрим далее, что подразумевается под отрицанием предложения вида (x).φx. Мы заметим, для начала, что «φx в некоторых случаях» или «φx иногда» — это суждение, которое находится на одном уровне с «φx во всех случаях» или «φx всегда». Суждение «φx иногда» истинно, если существует одно или более значений x, для которых φx истинно. Мы выразим предложение «φx иногда» через обозначение «(∃x).φx», где «∃» означает «существует», и весь символ может быть прочитан «существует x такой, что φx». Мы принимаем два вида суждения, выраженные через «(x).φx» и «(∃x).φx», как примитивные идеи. Мы также принимаем как примитивную идею отрицание элементарного предложения. Мы можем тогда определить отрицания (x).φx и (∃x).φx. Отрицание любого предложения p будет обозначаться символом «¬p». Тогда отрицание (x).φx будет определено как означающее (∃x).¬φx, а отрицание (∃x).φx будет определено как означающее (x).¬φx. Таким образом, в традиционном языке формальной логики отрицание общеутвердительного суждения должно быть определено как частноотрицательное, а отрицание частноутвердительного суждения должно быть определено как общеотрицательное. Следовательно, значение отрицания для таких предложений отличается от значения отрицания для элементарных предложений.

Аналогичное объяснение будет применимо к дизъюнкции. Рассмотрим утверждение «либо p, либо φx всегда». Мы будем обозначать дизъюнкцию двух предложений p, q через «p ∨ q». Тогда наше утверждение есть «p ∨ (x).φx». Мы предположим, что p — элементарное предложение, и что φx всегда элементарное предложение. Мы принимаем дизъюнкцию двух элементарных предложений как примитивную идею, и мы хотим определить дизъюнкцию p ∨ (x).φx. Это может быть определено как «(x).p ∨ φx», т. е. «либо p истинно, либо φx всегда истинно» должно означать ««p ∨ φx» всегда истинно». Аналогично мы определим p ∨ (∃x).φx как означающее «(∃x).p ∨ φx», т. е. мы определяем «либо p истинно, либо существует x, для которого φx истинно» как означающее «существует x, для которого либо p, либо φx истинно». Аналогично мы можем определить дизъюнкцию двух универсальных предложений: «(x).φx ∨ (x).ψx» будет определено как означающее «(x).φx ∨ ψx», т. е. «либо φx всегда истинно, либо ψx всегда истинно» должно означать ««φx ∨ ψx» всегда истинно». Этим методом мы получаем определения дизъюнкций, содержащих предложения вида (x).φx или (∃x).φx в терминах дизъюнкций элементарных предложений; но значение «дизъюнкции» не то же самое для предложений форм (x).φx, (∃x).φx, как оно было для элементарных предложений.

Аналогичные объяснения можно было бы дать для импликации и конъюнкции, но это излишне, поскольку они могут быть определены через отрицание и дизъюнкцию.

IV. Почему данная функция требует аргументов определенного типа.

Рассмотрения, приведенные до сих пор в пользу того взгляда, что функция не может осмысленно иметь в качестве аргумента нечто, определенное через саму эту функцию, были более или менее косвенными. Однако прямое рассмотрение видов функций, имеющих функции в качестве аргументов, и видов функций, имеющих аргументы, отличные от функций, покажет, если мы не ошибаемся, что не только невозможно, чтобы функция имела саму себя или что-либо производное от нее в качестве аргумента, но и что, если φ — другая функция, такая, что существуют аргументы, с которыми значимы как «φ(x)», так и «ψ(x)», то φ и все, что из нее производно, не могут осмысленно быть аргументом для ψ. Это вытекает из того факта, что функция по существу является неопределенностью и что, если она должна входить в определенное суждение, она должна входить таким образом, чтобы неопределенность исчезла и получился полностью однозначный смысл. Несколько примеров прояснят это. Так, «φ(x)», которое мы уже рассматривали, есть функция от x; как только x задано, мы получаем определенное суждение, полностью свободное от неопределенности. Но очевидно, что мы не можем подставить вместо функции нечто, что не является функцией: «φ(x) для всех случаев» зависит в своей значимости от того факта, что существуют «случаи» x, т.е. от неопределенности, которая характерна для функции. Этот пример иллюстрирует тот факт, что, когда функция может осмысленно входить в качестве аргумента, нечто, не являющееся функцией, не может осмысленно входить в качестве аргумента. Но, наоборот, когда нечто, не являющееся функцией, может осмысленно входить в качестве аргумента, функция не может входить осмысленно. Возьмем, например, «x есть человек» и рассмотрим «φ(x) есть человек». Здесь нет ничего, что устранило бы неопределенность, составляющую φ; таким образом, нет ничего определенного, о чем говорится, что оно есть человек. Функция, по сути, не является определенным объектом, который мог бы или не мог бы быть человеком; это лишь неопределенность, ожидающая своего определения, и для того, чтобы она могла входить осмысленно, она должна получить необходимое определение, которое она, очевидно, не получает, если ее просто подставляют вместо чего-то определенного в суждении [17]. Однако этот аргумент не применяется непосредственно против такого утверждения, как «φ(x) есть человек». Здравый смысл признал бы такое утверждение бессмысленным, но его нельзя осудить на основании неопределенности его субъекта. Нам здесь нужно новое возражение, а именно следующее: суждение не является единой сущностью, но есть отношение нескольких; следовательно, утверждение, в котором суждение выступает в качестве субъекта, будет значимым только в том случае, если оно может быть сведено к утверждению о терминах, которые появляются в суждении. Суждение, подобно таким фразам, как «такой-то», где грамматически оно выступает в качестве субъекта, должно быть разложено на свои составляющие, если мы хотим найти истинный субъект или субъекты [18]. Но в таком утверждении, как «p есть человек», где p — суждение, это невозможно. Следовательно, «p есть человек» бессмысленно.

V. Иерархия функций и суждений.

Таким образом, мы приходим к выводу, как из принципа порочного круга, так и из прямого наблюдения, что функции, для которых данный объект x может быть аргументом, не способны быть аргументами друг для друга и не имеют общего термина с функциями, для которых они сами могут быть аргументами. Мы, таким образом, приходим к построению иерархии. Начиная с x и других терминов, которые могут быть аргументами для тех же функций, для которых аргументом может быть x, мы переходим к функциям, для которых x является возможным аргументом, а затем к функциям, для которых такие функции являются возможными аргументами, и так далее. Но иерархия, которую необходимо построить, не так проста, как могло бы показаться на первый взгляд. Функции, которые могут принимать x в качестве аргумента, образуют нелегитимную совокупность и сами требуют разделения на иерархию функций. Это легко увидеть следующим образом. Пусть φ(x, y) — функция двух переменных x и y. Тогда, если, фиксируя на момент y, мы утвердим это для всех возможных значений x, мы получим суждение: (x).φ(x, y). Здесь, если y является переменной, мы имеем функцию от y; но так как эта функция включает совокупность значений x [19], она сама не может быть одним из значений, включенных в эту совокупность, согласно принципу порочного круга. Отсюда следует, что совокупность значений x, участвующих в (x).φ(x, y), не является совокупностью всех функций, в которых x может входить в качестве аргумента, и что не существует такой совокупности, как совокупность всех функций, в которых x может входить в качестве аргумента.

Из вышесказанного следует, что функция, в которой φ(x) появляется в качестве аргумента, требует, чтобы «φ» не обозначало любую функцию, способную принимать данный аргумент, но должно быть ограничено таким образом, чтобы ни одна из функций, являющихся возможными значениями «φ», не содержала никакой отсылки к совокупности таких функций. Возьмем в качестве иллюстрации определение тождества. Мы могли бы попытаться определить «x тождественно y» как означающее «все, что истинно для x, истинно для y», т.е. «φ(x) всегда влечет φ(y)». Но здесь, поскольку мы стремимся утвердить все значения «φ(x) влечет φ(y)», рассматриваемые как функция от φ, мы будем вынуждены наложить на φ некоторое ограничение, которое предотвратит включение в значения φ таких значений, в которых упоминаются «все возможные значения φ». Так, например, «x тождественно y» есть функция от φ; следовательно, если это легитимное значение φ в «φ(x) всегда влечет φ(y)», мы сможем вывести, посредством вышеприведенного определения, что если x тождественно z и z тождественно y, то x тождественно y. Хотя заключение верно, рассуждение содержит ошибку порочного круга, так как мы приняли «φ(x) влечет φ(y)» в качестве возможного значения φ, чем оно быть не может. Если, однако, мы наложим какое-либо ограничение на φ, может случиться, насколько это представляется сейчас, что при других значениях φ мы могли бы иметь φ(x) истинным, а φ(y) ложным, так что наше предложенное определение тождества было бы явно неверным. Эта трудность устраняется «аксиомой сводимости», которая будет объяснена позже. В настоящее время она упоминается лишь для того, чтобы проиллюстрировать необходимость и релевантность иерархии функций от данного аргумента.

Дадим название «φ-функции» функциям, которые значимы для данного аргумента x. Затем предположим, что мы берем любую выборку φ-функций и рассматриваем суждение «x удовлетворяет всем функциям, принадлежащим к рассматриваемой выборке». Если мы здесь заменим x переменной, мы получим φ-функцию; но по принципу порочного круга эта φ-функция не может быть членом нашей выборки, так как она отсылает ко всей выборке целиком. Пусть выборка состоит из всех тех функций, которые удовлетворяют ψ. Тогда наша новая функция есть (φ).ψ(φ)⊃φ(x), где x — аргумент. Таким образом, оказывается, что какую бы выборку φ-функций мы ни сделали, всегда найдутся другие φ-функции, которые лежат вне нашей выборки. Такие φ-функции, как иллюстрирует вышеприведенный пример, всегда возникают при взятии функции от двух аргументов, φ(x, y), и утверждении всех или некоторых значений, возникающих в результате варьирования y. Что необходимо, следовательно, для того, чтобы избежать ошибок порочного круга, — это разделить наши φ-функции на «типы», каждый из которых не содержит функций, отсылающих ко всему этому типу.

Когда что-то утверждается или отрицается обо всех возможных значениях или о некоторых (неопределенных) возможных значениях переменной, эта переменная называется связанной (apparent), по Пеано. Присутствие слов «все» или «некоторые» в суждении указывает на наличие связанной переменной; но часто связанная переменная реально присутствует там, где язык не сразу указывает на ее наличие. Так, например, «x смертен» означает «существует время, в которое x умрет». Таким образом, переменное время встречается как связанная переменная.

Наиболее ясными примерами суждений, не содержащих связанных переменных, являются те, которые выражают непосредственные суждения восприятия, такие как «это красное» или «это болезненно», где «это» есть нечто непосредственно данное. В других суждениях, даже там, где на первый взгляд кажется, что переменная отсутствует, часто случается, что она там действительно есть. Возьмем (скажем) «Сократ — человек». Для самого Сократа слово «Сократ», несомненно, означало объект, который он непосредственно осознавал, и суждение «Сократ — человек» не содержало связанной переменной. Но для нас, знающих Сократа только по описанию, слово «Сократ» не может означать то, что оно означало для него; оно означает скорее «лицо, обладающее такими-то свойствами», (скажем) «афинский философ, который выпил яд». Теперь во всех суждениях о «таком-то» есть связанная переменная, как будет показано в Главе III. Таким образом, в том, что мы имеем в виду, когда говорим «Сократ — человек», есть связанная переменная, хотя в соответствующем суждении, сделанном Сократом, связанной переменной не было, при условии, что мы допускаем существование непосредственного осознания самого себя.

Каковы бы ни были примеры суждений, не содержащих связанных переменных, очевидно, что пропозициональные функции, значения которых не содержат связанных переменных, являются источником суждений, содержащих связанные переменные, в том смысле, в каком функция φ(x) является источником суждения (x).φ(x). Ибо значения для φ(x) не содержат связанной переменной x, которая появляется в (x).φ(x); если они содержат связанную переменную y, она может быть аналогично устранена, и так далее. Этот процесс должен закончиться, так как никакое суждение, которое мы можем постичь, не может содержать более чем конечное число связанных переменных, на том основании, что все, что мы можем постичь, должно обладать конечной сложностью. Таким образом, мы должны в конце концов прийти к функции от стольких переменных, сколько было этапов в достижении ее от нашего исходного суждения, и эта функция будет такова, что ее значения не содержат связанных переменных. Мы можем назвать эту функцию матрицей нашего исходного суждения и любых других суждений и функций, которые могут быть получены путем превращения некоторых аргументов функции в связанные переменные. Так, например, если у нас есть матрица-функция, значениями которой являются φ(x, y), мы выведем из нее

(y).φ(x, y), которая есть функция от x,

(x).φ(x, y), которая есть функция от y,

(x, y).φ(x, y), означающее «φ(x, y) истинно для всех возможных значений x и y». Это последнее есть суждение, не содержащее свободной (real) переменной, т.е. никакой переменной, кроме связанных переменных.

Таким образом, ясно, что все возможные суждения и функции могут быть получены из матриц путем процесса превращения аргументов матриц в связанные переменные. Чтобы разделить наши суждения и функции на типы, мы, следовательно, начнем с матриц и рассмотрим, как они должны быть разделены с целью избежания ошибок порочного круга в определениях соответствующих функций. Для этой цели мы будем использовать такие буквы, как a, b, c, d, e, f, g, для обозначения объектов, которые не являются ни суждениями, ни функциями. Такие объекты мы будем называть индивидами. Такие объекты будут составляющими суждений или функций, и будут подлинными составляющими в том смысле, что они не исчезают при анализе, как (например) классы или фразы вида «такой-то».

Первые матрицы, которые встречаются, — это те, значения которых имеют вид φ(x, y, ...), т.е. где аргументы, сколько бы их ни было, все являются индивидами. Функции φ(x), ψ(x, y), ..., поскольку (по определению) они не содержат связанных переменных и не имеют никаких аргументов, кроме индивидов, не предполагают никакой совокупности функций. Из функций φ(x), ψ(x, y), ... мы можем перейти к формированию других функций от x, таких как (y).ψ(x, y), (y, z).χ(x, y, z), и так далее. Все они не предполагают никакой совокупности, кроме совокупности индивидов. Мы, таким образом, приходим к определенной коллекции функций от x, характеризующейся тем фактом, что они не включают никаких переменных, кроме индивидов. Такие функции мы будем называть «функциями первого порядка».

Теперь мы можем ввести обозначение для выражения «любая функция первого порядка». Мы будем обозначать любую функцию первого порядка через «f!x» и любое значение для такой функции через «f!x». Таким образом, «f!x» означает любое значение для любой функции, которая не включает никаких переменных, кроме индивидов. Будет видно, что «f!x» сама по себе является функцией двух переменных, а именно f! и x. Таким образом, f!x включает переменную, которая не является индивидом, а именно f!. Аналогично «(y).ψ(x, y)» есть функция от переменной x, и, таким образом, включает переменную, отличную от индивида. Опять же, если a — данный индивид, f!a есть функция от f!, но это не функция вида f!x, потому что она включает (связанную) переменную x, которая не является индивидом. Дадим название «предикат» любой функции первого порядка f!x. (Это использование слова «предикат» предлагается только для целей настоящего обсуждения.) Тогда утверждение «f!x влечет f!y для всех возможных значений f!» может быть прочитано как «все предикаты x являются предикатами y». Это делает утверждение об x, но не приписывает x предикат в специальном смысле, только что определенном.

Благодаря введению переменной функции первого порядка f!, мы теперь имеем новый набор матриц. Так, «f!(x, y)» есть функция, которая не содержит связанных переменных, но содержит две свободные переменные f! и x. (Следует заметить, что когда f! задано, мы можем получить функцию, значения которой действительно включают индивидов в качестве связанных переменных, например, если f! есть (z).ψ(z, x)). Но пока f! является переменной, f!(x) не содержит связанных переменных.) Опять же, если a — определенный индивид, f!(a) есть функция от одной переменной f!. Если a и b — определенные индивиды, «f!(a) влечет f!(b)» есть функция от двух переменных f!, и так далее. Мы, таким образом, приходим к целому набору новых матриц, f!(x, y, ...). Эти матрицы содержат индивидов и функции первого порядка в качестве аргументов, но (как и все матрицы) они не содержат связанных переменных. Любая такая матрица, если она содержит более одной переменной, порождает новые функции от одной переменной путем превращения всех ее аргументов, кроме одного, в связанные переменные. Таким образом, мы получаем функции f!(x), (x).f!(x, y), и так далее.

Мы дадим название «матрицы второго порядка» таким матрицам, которые имеют функции первого порядка среди своих аргументов и не имеют никаких аргументов, кроме функций первого порядка и индивидов. (Не обязательно, чтобы они имели индивидов среди своих аргументов.) Мы дадим название «функции второго порядка» таким, которые либо являются матрицами второго порядка, либо производны от таких матриц путем превращения некоторых аргументов в связанные переменные. Будет видно, что либо индивид, либо функция первого порядка может выступать в качестве аргумента для функции второго порядка. Функции второго порядка — это такие, которые содержат переменные, являющиеся функциями первого порядка, но не содержат никаких других переменных, кроме (возможно) индивидов.

Теперь в нашем распоряжении есть различные новые классы функций. Во-первых, у нас есть функции второго порядка, которые имеют один аргумент, являющийся функцией первого порядка. Мы будем обозначать переменную функцию такого рода обозначением f2!, и любое значение такой функции через f2!(f!x). Подобно f!x, f2!(f!x) есть функция от двух переменных, а именно f2! и f!x. Среди возможных значений f2! будут (f!x).ψ(f!x) (где ψ — константа), f2!(f!a), и так далее. (Они возникают в результате присвоения значения f!x, оставляя f2! для присвоения.) Мы будем называть такие функции «предикативными функциями функций первого порядка».

Во-вторых, у нас есть функции второго порядка от двух аргументов, один из которых является функцией первого порядка, а другой — индивидом. Обозначим неопределенные значения таких функций обозначением f2!(f!x, y). Как только f!x задано, мы будем иметь предикативную функцию от y. Если наша функция не содержит функции первого порядка в качестве связанной переменной, мы получим предикативную функцию от y, если присвоим значение f!x. Так, чтобы взять самый простой возможный случай, если f2! есть f!(x), присвоение значения x дает нам предикативную функцию от f!, в силу определения «f!x». Но если f2! содержит функцию первого порядка в качестве связанной переменной, присвоение значения f!x дает нам функцию второго порядка от y.

В-третьих, у нас есть функции второго порядка от индивидов. Все они будут производны от функций вида f2!(f!x) путем превращения f!x в связанную переменную. Нам, следовательно, не нужно новое обозначение для них.

У нас также есть функции второго порядка от двух функций первого порядка, или от двух таких функций и индивида, и так далее.

Теперь мы можем действовать точно таким же образом в отношении матриц третьего порядка, которые будут функциями, содержащими функции второго порядка в качестве аргументов и не содержащими связанных переменных, а также не содержащими никаких аргументов, кроме индивидов, функций первого порядка и функций второго порядка. Отсюда мы перейдем, как и прежде, к функциям третьего порядка; и так мы можем продолжать бесконечно. Если высший порядок переменной, встречающейся в функции, будь то в качестве аргумента или в качестве связанной переменной, есть функция n-го порядка, то функция, в которой она встречается, есть функция (n+1)-го порядка. Мы не приходим к функциям бесконечного порядка, потому что число аргументов и связанных переменных в функции должно быть конечным, и поэтому каждая функция должна быть конечного порядка. Поскольку порядки функций определяются только шаг за шагом, не может быть процесса «перехода к пределу», и функции бесконечного порядка не могут существовать.

Мы определим функцию от одной переменной как предикативную, когда она на порядок выше порядка своего аргумента, т.е. имеет низший порядок, совместимый с тем, что она имеет этот аргумент. Если функция имеет несколько аргументов и высший порядок функции, встречающейся среди аргументов, есть n-й, мы называем функцию предикативной, если она n-го порядка, т.е. опять же, если она имеет низший порядок, совместимый с тем, что она имеет эти аргументы. Функция от нескольких аргументов является предикативной, если существует один из ее аргументов такой, что, когда другим аргументам присвоены значения, мы получаем предикативную функцию от одного неопределенного аргумента.

Важно заметить, что все возможные функции в вышеприведенной иерархии могут быть получены посредством предикативных функций и связанных переменных. Так, как мы видели, функции второго порядка от индивида x имеют вид (f!).φ(f!, x), где φ — предикативная функция второго порядка. И говоря в общем, не-предикативная функция n-го порядка получается из предикативной функции n-го порядка путем превращения всех аргументов n-го порядка в связанные переменные. (Другие аргументы также могут быть превращены в связанные переменные.) Таким образом, нам не нужно вводить в качестве переменных никакие функции, кроме предикативных функций. Более того, чтобы получить любую функцию от одной переменной x, нам не нужно выходить за пределы предикативных функций от двух переменных. Ибо функция φ(x, y), где y задано, есть функция от x и y, и является предикативной. Таким образом, она имеет вид f2!(x, y), и поэтому (y).f2!(x, y) имеет вид (y).f2!(x, y). Таким образом, говоря в общем, последовательными шагами мы обнаруживаем, что если f!n — предикативная функция достаточно высокого порядка, любая заданная не-предикативная функция от x будет иметь одну из двух форм (f!n).f!n(x) или (f!n).f!n(x), где f!n — предикативная функция от x и y.

Природу вышеприведенной иерархии функций можно переформулировать следующим образом. Функция, как мы видели на более раннем этапе, предполагает в качестве части своего смысла совокупность своих значений или, что то же самое, совокупность своих возможных аргументов. Аргументами функции могут быть функции, суждения или индивиды. (Следует помнить, что индивиды были определены как все, что не является ни суждением, ни функцией.) В настоящее время мы пренебрегаем случаем, в котором аргументом функции является суждение. Рассмотрим функцию, аргументом которой является индивид. Эта функция предполагает совокупность индивидов; но если она не содержит функций в качестве связанных переменных, она не предполагает никакой совокупности функций. Если, однако, она содержит функцию в качестве связанной переменной, то она не может быть определена, пока не будет определена некоторая совокупность функций. Отсюда следует, что мы должны сначала определить совокупность тех функций, которые имеют индивидов в качестве аргументов и не содержат функций в качестве связанных переменных. Это предикативные функции индивидов. В общем, предикативная функция от переменного аргумента — это такая, которая не включает никакой совокупности, кроме совокупности возможных значений аргумента и тех, которые предполагаются любым из возможных аргументов. Таким образом, предикативная функция от переменного аргумента — это любая функция, которая может быть специфицирована без введения новых видов переменных, не предполагаемых переменной, являющейся аргументом.

Близко аналогичное рассмотрение может быть развито для суждений. Суждения, которые не содержат функций и связанных переменных, могут быть названы элементарными суждениями. Суждения, которые не являются элементарными, которые не содержат функций и никаких связанных переменных, кроме индивидов, могут быть названы суждениями первого порядка. (Следует заметить, что никакие переменные, кроме связанных переменных, не могут встречаться в суждении, так как все, что содержит свободную переменную, есть функция, а не суждение.) Таким образом, элементарные суждения и суждения первого порядка будут значениями функций первого порядка. (Следует помнить, что функция не является составляющей в одном из своих значений: так, например, функция «x есть человек» не является составляющей суждения «Сократ — человек».) Элементарные суждения и суждения первого порядка не предполагают никакой совокупности, кроме (в крайнем случае) совокупности индивидов. Они имеют одну из трех форм: f!x, (x).f!x, (x).f!x, где f! — предикативная функция от индивида. Отсюда следует, что если p представляет переменную элементарного суждения или переменную суждения первого порядка, функция f(p) есть либо f(f!x), либо f((x).f!x), либо f((x).f!x). Таким образом, функция от элементарного суждения или суждения первого порядка всегда может быть сведена к функции от функции первого порядка. Отсюда следует, что суждение, включающее совокупность суждений первого порядка, может быть сведено к суждению, включающему совокупность функций первого порядка; и это, очевидно, в равной степени применимо к высшим порядкам. Пропозициональная иерархия может, следовательно, быть выведена из функциональной иерархии, и мы можем определить суждение n-го порядка как такое, которое включает связанную переменную n-го порядка в функциональной иерархии. Пропозициональная иерархия никогда не требуется на практике и релевантна только для решения парадоксов; следовательно, нет необходимости вдаваться в дальнейшие детали относительно типов суждений.

VI. Аксиома сводимости.

Остается рассмотреть «аксиому сводимости». Будет видно, что, согласно вышеприведенной иерархии, никакое утверждение не может быть осмысленно сделано обо «всех φ-функциях», где φ — некоторый данный объект. Таким образом, такое понятие, как «все свойства x», означающее «все функции, которые истинны для аргумента x», будет нелегитимным. Мы должны будем различать порядок рассматриваемой функции. Мы можем говорить о «всех предикативных свойствах x», «всех свойствах второго порядка x» и так далее. (Если x — не индивид, а объект порядка n, «свойства второго порядка x» будут означать «функции порядка n+2, удовлетворяемые x».) Но мы не можем говорить о «всех свойствах x». В некоторых случаях мы можем видеть, что некоторое утверждение будет справедливо для «всех n-порядковых свойств x», какое бы значение ни имел x. В таких случаях не возникает практического вреда от рассмотрения утверждения как относящегося ко «всем свойствам x», при условии, что мы помним, что это на самом деле ряд утверждений, а не единое утверждение, которое можно было бы рассматривать как приписывающее x другое свойство, сверх всех свойств. Такие случаи всегда будут включать некоторую систематическую неопределенность, подобную той, что включена в значение слова «истина», как объяснено выше. Благодаря этой систематической неопределенности будет возможно, иногда, объединить в единое словесное утверждение то, что на самом деле является рядом различных утверждений, соответствующих различным порядкам в иерархии. Это иллюстрируется в случае лжеца, где утверждение «все утверждения A ложны» должно быть разбито на различные утверждения, отсылающие к его утверждениям различных порядков и приписывающие каждому соответствующий вид ложности.

Аксиома сводимости вводится для того, чтобы легитимировать огромную массу рассуждений, в которых, prima facie, мы имеем дело с такими понятиями, как «все свойства x» или «все φ-функции», и в которых, тем не менее, вряд ли возможно заподозрить какую-либо существенную ошибку. Чтобы сформулировать аксиому, мы должны сначала определить, что имеется в виду под «формальной эквивалентностью». Две функции φ, ψ называются «формально эквивалентными», когда для каждого возможного аргумента x φ(x) эквивалентно ψ(x), т.е. φ(x) и ψ(x) либо оба истинны, либо оба ложны. Таким образом, две функции формально эквивалентны, когда они удовлетворяются одним и тем же набором аргументов. Аксиома сводимости — это допущение, что для любой функции φ существует формально эквивалентная предикативная функция, т.е. существует предикативная функция, которая истинна, когда φ истинна, и ложна, когда φ ложна. В символах аксиома такова: (∃f!).(x).φ(x)≡f!x. Для двух переменных нам требуется аналогичная аксиома, а именно: для любой функции φ(x, y) существует формально эквивалентная предикативная функция, т.е. (∃f!).(x, y).φ(x, y)≡f!(x, y).

Чтобы объяснить цели аксиомы сводимости и природу оснований для предположения о ее истинности, мы сначала проиллюстрируем ее, применив к некоторым частным случаям.

Если мы назовем предикатом объекта предикативную функцию, которая истинна для этого объекта, то предикаты объекта — это лишь некоторые из его свойств. Возьмем, например, такое суждение, как «Наполеон обладал всеми качествами, которые делают великого полководца». Мы можем интерпретировать это как означающее «Наполеон обладал всеми предикатами, которые делают великого полководца». Здесь есть предикат, который является связанной переменной. Если мы подставим «f!» вместо «f! — предикат, требуемый для великого полководца», наше суждение есть (f!).(f! — предикат великого полководца ⊃ f!(Наполеон)). Поскольку это отсылает к совокупности предикатов, оно само по себе не является предикатом Наполеона. Однако из этого вовсе не следует, что не существует одного предиката, общего и специфичного для великих полководцев. На самом деле, несомненно, что такой предикат существует. Ибо число великих полководцев конечно, и каждый из них, безусловно, обладал некоторым предикатом, которым не обладал ни один другой человек — например, точный момент его рождения. Дизъюнкция таких предикатов будет составлять предикат, общий и специфичный для великих полководцев [20]. Если мы назовем этот предикат f!, утверждение, которое мы сделали о Наполеоне, было эквивалентно f!(Наполеон). И эта эквивалентность сохраняется в равной степени, если мы подставим любого другого индивида вместо Наполеона. Таким образом, мы пришли к предикату, который всегда эквивалентен свойству, которое мы приписали Наполеону, т.е. он принадлежит тем объектам, которые обладают этим свойством, и никаким другим. Аксиома сводимости утверждает, что такой предикат всегда существует, т.е. что любое свойство объекта принадлежит той же коллекции объектов, что и те, которые обладают некоторым предикатом.

Мы можем далее проиллюстрировать наш принцип его применением к тождеству. В этой связи он имеет определенное сходство с лейбницевским тождеством неразличимых. Ясно, что если x и y тождественны, и φ(x) истинно, то φ(y) истинно. Здесь не может иметь значения, какого рода функцией может быть φ: утверждение должно быть справедливо для любой функции. Но мы не можем сказать, наоборот: «Если для всех значений φ, φ(x) влечет φ(y), то x и y тождественны»; потому что «все значения φ» недопустимо. Если мы хотим говорить о «всех значениях φ», мы должны ограничиться функциями одного порядка. Мы можем ограничиться предикатами, или функциями второго порядка, или функциями любого порядка, какого пожелаем. Но мы должны обязательно исключить функции всех порядков, кроме одного. Таким образом, мы получим, так сказать, иерархию различных степеней тождества. Мы можем сказать «все предикаты x принадлежат y», «все свойства второго порядка x принадлежат y» и так далее. Каждое из этих утверждений влечет все свои предшествующие: например, если все свойства второго порядка x принадлежат y, то все предикаты x принадлежат y, ибо обладать всеми предикатами x есть свойство второго порядка, и это свойство принадлежит y. Но мы не можем, без помощи аксиомы, аргументировать наоборот, что если все предикаты x принадлежат y, то все свойства второго порядка x также должны принадлежать y. Таким образом, мы не можем, без помощи аксиомы, быть уверены, что x и y тождественны, если они имеют одни и те же предикаты. Лейбницевское тождество неразличимых предоставляло эту аксиому. Следует заметить, что под «неразличимыми» он не мог иметь в виду два объекта, которые согласуются во всех своих свойствах, ибо одно из свойств x есть быть тождественным x, и поэтому это свойство обязательно принадлежало бы y, если бы x и y согласовались во всех своих свойствах. Некоторое ограничение общих свойств, необходимых для того, чтобы сделать вещи неразличимыми, подразумевается, следовательно, необходимостью аксиомы. Для целей иллюстрации (а не интерпретации Лейбница) мы можем предположить, что общие свойства, требуемые для неразличимости, ограничены предикатами. Тогда тождество неразличимых будет утверждать, что если x и y согласуются во всех своих предикатах, они тождественны. Это может быть доказано, если мы примем аксиому сводимости. Ибо в этом случае каждое свойство принадлежит той же коллекции объектов, что определена некоторым предикатом. Следовательно, существует некоторый предикат, общий и специфичный для объектов, которые тождественны x. Этот предикат принадлежит y, так как x тождественен самому себе; следовательно, он принадлежит y, так как y имеет все предикаты x; следовательно, y тождественен x. Отсюда следует, что мы можем определить x и y как тождественные, когда все предикаты x принадлежат y, т.е. когда (f!).f!x≡f!y. Мы, следовательно, принимаем следующее определение тождества [21]:

Но помимо аксиомы сводимости или некоторой аксиомы, эквивалентной в этой связи, мы были бы вынуждены рассматривать тождество как неопределимое и признать (что кажется невозможным), что два объекта могут соглашаться во всех своих предикатах, не будучи тождественными.

Аксиома сводимости еще более существенна в теории классов. Следует заметить, во-первых, что если мы предположим существование классов, аксиома сводимости может быть доказана. Ибо в этом случае, для любой функции φ любого порядка, существует класс α, состоящий именно из тех объектов x, которые удовлетворяют φ. Следовательно, «φ(x)» эквивалентно «x принадлежит α». Но «x принадлежит α» есть утверждение, не содержащее связанной переменной, и является, следовательно, предикативной функцией от x. Отсюда, если мы предполагаем существование классов, аксиома сводимости становится ненужной. Допущение аксиомы сводимости является, следовательно, меньшим допущением, чем допущение о том, что существуют классы. Это последнее допущение до сих пор делалось без колебаний. Однако, как на основании противоречий, которые требуют более сложного рассмотрения, если классы предполагаются, так и на основании того, что всегда хорошо делать наименьшее допущение, требуемое для доказательства наших теорем, мы предпочитаем принять аксиому сводимости, а не существование классов. Но чтобы объяснить использование аксиомы при работе с классами, необходимо сначала объяснить теорию классов, которая является темой, относящейся к Главе III. Мы, следовательно, откладываем до этой Главы объяснение использования нашей аксиомы при работе с классами.

Стоит отметить, что все цели, которым служит аксиома сводимости, в равной степени хорошо достигаются, если мы предположим, что всегда существует функция n-го порядка (где n фиксировано), которая формально эквивалентна φ, каков бы ни был порядок φ. Здесь мы будем понимать под «функцией n-го порядка» функцию n-го порядка относительно аргументов x, y, ...; таким образом, если эти аргументы абсолютно n-го порядка, мы предполагаем существование функции, формально эквивалентной φ, чей абсолютный порядок есть n-й. Аксиома сводимости в форме, принятой выше, берет n=1, но это не является необходимым для использования аксиомы. Также не является необходимым, чтобы n было одним и тем же для различных значений φ; что необходимо, так это чтобы n было константой, пока φ является константой. Что нужно, так это чтобы, когда дело касается экстенсиональных функций функций, мы могли иметь дело с любой φ-функцией посредством некоторой формально эквивалентной функции данного типа, чтобы иметь возможность получить результаты, которые иначе потребовали бы нелегитимного понятия «всех φ-функций»; но не имеет значения, какой это данный тип. Однако не представляется, что аксиома сводимости становится заметно более правдоподобной от того, что она представлена в вышеприведенной более общей, но более сложной форме.

Аксиома сводимости эквивалентна допущению, что «любая комбинация или дизъюнкция предикатов [22] эквивалентна единому предикату», т.е. допущению, что если мы утверждаем, что x обладает всеми предикатами, которые удовлетворяют функции φ, то существует некоторый один предикат, который x будет иметь всякий раз, когда наше утверждение истинно, и не будет иметь всякий раз, когда оно ложно, и аналогично, если мы утверждаем, что x обладает некоторым одним из предикатов, которые удовлетворяют функции φ (т.е. (∃f!).f!x.φ(f!)). Ибо посредством этого допущения порядок не-предикативной функции может быть понижен на один; следовательно, после некоторого конечного числа шагов мы сможем перейти от любой не-предикативной функции к формально эквивалентной предикативной функции. Не представляется вероятным, что вышеприведенное допущение могло бы быть подставлено вместо аксиомы сводимости в символических дедукциях, так как его использование потребовало бы явного введения дальнейшего допущения, что конечным числом шагов вниз мы можем перейти от любой функции к предикативной функции, и это допущение не могло бы быть легко сделано без разработок, которые вряд ли возможны на ранней стадии. Но на вышеприведенных основаниях кажется ясным, что на самом деле, если вышеприведенная альтернативная аксиома истинна, то истинна и аксиома сводимости. Обратное, которое завершает доказательство эквивалентности, конечно, очевидно.

VII. Причины для принятия аксиомы сводимости.

То, что аксиома сводимости самоочевидна, — это суждение, которое вряд ли может быть поддержано. Но на самом деле самоочевидность никогда не является более чем частью причины для принятия аксиомы и никогда не является незаменимой. Причина для принятия аксиомы, как и для принятия любого другого суждения, всегда в значительной степени индуктивна, а именно: многие суждения, которые почти несомненны, могут быть выведены из нее, и не известно никакого столь же правдоподобного способа, которым эти суждения могли бы быть истинными, если бы аксиома была ложной, и из нее не может быть выведено ничего, что было бы вероятно ложным. Если аксиома кажется самоочевидной, это означает лишь, практически, что она почти несомненна; ибо вещи считались самоочевидными, но все же оказывались ложными. И если сама аксиома почти несомненна, это лишь добавляет к индуктивному свидетельству, полученному из того факта, что ее следствия почти несомненны: это не предоставляет новых свидетельств радикально иного рода. Непогрешимость никогда не достижима, и поэтому некоторый элемент сомнения должен всегда прилагаться к каждой аксиоме и ко всем ее следствиям. В формальной логике элемент сомнения меньше, чем в большинстве наук, но он не отсутствует, как видно из того факта, что парадоксы следовали из посылок, которые ранее не считались требующими ограничений. В случае аксиомы сводимости индуктивное свидетельство в ее пользу очень сильно, так как рассуждения, которые она позволяет, и результаты, к которым она ведет, — все таковы, что кажутся верными. Но хотя кажется очень маловероятным, что аксиома окажется ложной, отнюдь не маловероятно, что она может быть найдена выводимой из некоторой другой, более фундаментальной и более очевидной аксиомы. Возможно, что использование принципа порочного круга, как оно воплощено в вышеприведенной иерархии типов, является более радикальным, чем это необходимо, и что при менее радикальном использовании необходимость в аксиоме могла бы быть избегнута. Такие изменения, однако, не сделали бы ложным ничего, что было утверждено на основе принципов, объясненных выше: они лишь предоставили бы более легкие доказательства тех же теорем. Казалось бы, поэтому, что существуют лишь самые слабые основания для опасения, что использование аксиомы сводимости может привести нас к ошибке.

VIII. Противоречия.

Теперь мы в состоянии показать, как теория типов влияет на решение противоречий, которые осаждали математическую логику. Для этой цели мы начнем с перечисления некоторых из наиболее важных и иллюстративных из этих противоречий, а затем покажем, как все они воплощают ошибки порочного круга и, следовательно, все избегаются теорией типов. Будет замечено, что эти парадоксы не относятся исключительно к идеям числа и количества. Соответственно, никакое решение не может быть адекватным, если оно стремится объяснить их лишь как результат некоторого нелегитимного использования этих идей. Решение должно быть найдено в некотором таком критическом рассмотрении фундаментальных логических идей, какое было предпринято на предыдущих страницах.

(1) Старейшее противоречие такого рода — это Эпименид. Эпименид Критский сказал, что все критяне — лжецы, и все другие утверждения, сделанные критянами, были, безусловно, ложью. Была ли это ложь? Простейшая форма этого противоречия представлена человеком, который говорит: «Я лгу»; если он лжет, он говорит правду, и наоборот.

(2) Пусть w — класс всех тех классов, которые не являются членами самих себя. Тогда, каким бы классом ни был x, «x есть w» эквивалентно «x не есть член x». Следовательно, придавая x значение w, «w есть w» эквивалентно «w не есть член w».

(3) Пусть R — отношение, которое существует между двумя отношениями P и Q всякий раз, когда P не имеет отношения Q к Q. Тогда, какими бы отношениями P и Q ни были, «P имеет отношение R к Q» эквивалентно «P не имеет отношения Q к Q». Следовательно, придавая значение R обоим P и Q, «R имеет отношение R к R» эквивалентно «R не имеет отношения R к R».

(4) Противоречие Бурали-Форти [23] может быть сформулировано следующим образом: может быть показано, что каждый вполне упорядоченный ряд имеет порядковое число, что ряд порядковых чисел вплоть до и включая любое данное порядковое число превышает данное порядковое число на единицу, и (при некоторых очень естественных допущениях) что ряд всех порядковых чисел (в порядке величины) вполне упорядочен. Отсюда следует, что ряд всех порядковых чисел имеет порядковое число, скажем, Ω. Но в таком случае ряд всех порядковых чисел, включая Ω, имеет порядковое число Ω+1, которое должно быть больше Ω. Следовательно, Ω не является порядковым числом всех порядковых чисел.

(5) Число слогов в английских названиях конечных целых чисел имеет тенденцию возрастать по мере того, как целые числа становятся больше, и должно постепенно возрастать бесконечно, так как только конечное число названий может быть составлено из данного конечного числа слогов. Следовательно, названия некоторых целых чисел должны состоять по крайней мере из девятнадцати слогов, и среди них должно быть наименьшее. Следовательно, «наименьшее целое число, не называемое менее чем девятнадцатью слогами» должно обозначать определенное целое число; на самом деле, оно обозначает 111 777. Но «наименьшее целое число, не называемое менее чем девятнадцатью слогами» само по себе является названием, состоящим из восемнадцати слогов; следовательно, наименьшее целое число, не называемое менее чем девятнадцатью слогами, может быть названо восемнадцатью слогами, что является противоречием [24].

(6) Среди трансфинитных порядковых чисел некоторые могут быть определены, в то время как другие не могут; ибо общее число возможных определений есть ℵ0 [25], в то время как число трансфинитных порядковых чисел превышает ℵ0. Следовательно, должны существовать неопределимые порядковые числа, и среди них должно быть наименьшее. Но оно определено как «наименьшее неопределимое порядковое число», что является противоречием [26].

(7) Парадокс Ришара [27] сродни парадоксу наименьшего неопределимого порядкового числа. Он состоит в следующем: рассмотрим все десятичные дроби, которые могут быть определены посредством конечного числа слов; пусть E — класс таких десятичных дробей. Тогда E имеет ℵ0 членов; следовательно, его члены могут быть упорядочены как 1-я, 2-я, 3-я, .... Пусть n — число, определенное следующим образом. Если n-я цифра в n-й десятичной дроби есть d, пусть n-я цифра в n есть d+1 (или 0, если d=9). Тогда n отличается от всех членов E, так как, какое бы конечное значение n ни имело, n-я цифра в n отличается от n-й цифры в n-й из десятичных дробей, составляющих E, и, следовательно, n отличается от n-й десятичной дроби. Тем не менее, мы определили n конечным числом слов, и поэтому n должно быть членом E. Таким образом, n одновременно является и не является членом E.

Во всех вышеприведенных противоречиях (которые являются лишь выборками из бесконечного числа) есть общая характеристика, которую мы можем описать как самоотсылку или рефлексивность. Замечание Эпименида должно включать себя в свою собственную область действия. Если все классы, при условии, что они не являются членами самих себя, являются членами w, это должно также применяться к w; и аналогично для соответствующего реляционного противоречия. В случаях названий и определений парадоксы возникают из рассмотрения неназываемости и неопределимости как элементов в названиях и определениях. В случае парадокса Бурали-Форти ряд, чье порядковое число вызывает трудность, есть ряд всех порядковых чисел. В каждом противоречии что-то говорится обо всех случаях некоторого рода, и из того, что сказано, кажется, генерируется новый случай, который одновременно является и не является того же рода, что и случаи, о которых все говорилось в том, что было сказано. Но это характеристика нелегитимных совокупностей, как мы определили их при формулировке принципа порочного круга. Следовательно, все наши противоречия являются иллюстрациями ошибок порочного круга. Остается лишь показать, следовательно, что нелегитимные совокупности, вовлеченные в них, исключаются иерархией типов, которую мы построили.

(1) Когда человек говорит «Я лгу», мы можем интерпретировать его утверждение как: «Существует суждение, которое я утверждаю и которое ложно». То есть, он утверждает истинность некоторого значения функции «Я утверждаю p, и p ложно». Но мы видели, что слово «ложно» двусмысленно и что, для того чтобы сделать его однозначным, мы должны специфицировать порядок ложности или, что то же самое, порядок суждения, которому приписывается ложность. Мы видели также, что если p — суждение n-го порядка, суждение, в котором p встречается как связанная переменная, не является суждением n-го порядка, но суждением более высокого порядка. Следовательно, вид истины или ложности, который может принадлежать утверждению «существует суждение p, которое я утверждаю и которое имеет ложность n-го порядка», есть истина или ложность более высокого порядка, чем n-й. Следовательно, утверждение Эпименида не попадает в свою собственную область действия, и поэтому никакое противоречие не возникает.

Если мы рассматриваем утверждение «Я лгу» как компактный способ одновременного делания всех следующих утверждений: «Я утверждаю ложное суждение первого порядка», «Я утверждаю ложное суждение второго порядка» и так далее, мы обнаруживаем следующее любопытное положение вещей: так как никакое суждение первого порядка не утверждается, утверждение «Я утверждаю ложное суждение первого порядка» ложно. Это утверждение второго порядка, следовательно, утверждение «Я делаю ложное утверждение второго порядка» истинно. Это утверждение третьего порядка и является единственным утверждением третьего порядка, которое делается. Следовательно, утверждение «Я делаю ложное утверждение третьего порядка» ложно. Таким образом, мы видим, что утверждение «Я делаю ложное утверждение порядка n» ложно, в то время как утверждение «Я делаю ложное утверждение порядка n+1» истинно. Но в этом положении вещей нет никакого противоречия.

(2) Чтобы решить противоречие о классе классов, которые не являются членами самих себя, мы предположим, что будет объяснено в следующей Главе, что суждение о классе всегда должно быть сведено к утверждению о функции, которая определяет класс, т.е. о функции, которая удовлетворяется членами класса и никакими другими аргументами. Таким образом, класс есть объект, производный от функции и предполагающий функцию, точно так же, как, например, α предполагает функцию φ(x). Следовательно, класс не может, по принципу порочного круга, осмысленно быть аргументом для своей определяющей функции, то есть, если мы обозначим через «α» класс, определенный φ, символ «φ(α)» должен быть бессмысленным. Следовательно, класс ни удовлетворяет, ни не удовлетворяет своей определяющей функции, и поэтому (как будет более полно показано в Главе III) не является ни членом самого себя, ни не членом самого себя. Это непосредственное следствие ограничения на возможные аргументы функции, которое было объяснено в начале настоящей Главы. Таким образом, если α — класс, утверждение «α не является членом α» всегда бессмысленно, и поэтому нет смысла во фразе «класс тех классов, которые не являются членами самих себя». Следовательно, противоречие, которое возникает из предположения, что существует такой класс, исчезает.

(3) Точно такие же замечания применимы к «отношению, которое существует между P и Q всякий раз, когда P не имеет отношения Q к Q». Предположим, отношение R определено функцией φ(P, Q), т.е. R существует между P и Q всякий раз, когда φ(P, Q) истинно, но не иначе. Тогда, чтобы интерпретировать «P имеет отношение R к Q», мы должны будем предположить, что P и Q могут осмысленно быть аргументами для R. Но (предполагая, как будет показано в Главе III, что R предполагает свою определяющую функцию) это потребовало бы, чтобы R могло принимать в качестве аргумента объект, который определен через R, а этого ни одна функция сделать не может, как мы видели в начале этой Главы. Следовательно, «R имеет отношение R к R» бессмысленно, и противоречие прекращается.

(4) Решение противоречия Бурали-Форти требует некоторых дальнейших разработок. На данном этапе достаточно заметить, что ряд есть отношение, а порядковое число — это класс рядов. (Эти утверждения обосновываются в основной части работы.) Следовательно, ряд порядковых чисел есть отношение между классами отношений и имеет более высокий тип, чем любой из рядов, являющихся элементами рассматриваемых порядковых чисел. «Порядковое число всех порядковых чисел» Бурали-Форти должно быть порядковым числом всех порядковых чисел данного типа и, следовательно, должно иметь более высокий тип, чем любое из этих порядковых чисел. Отсюда следует, что оно не является одним из этих порядковых чисел, и в том, что оно больше любого из них, нет никакого противоречия [28].

(5) Парадокс о «наименьшем целом числе, которое нельзя назвать менее чем девятнадцатью слогами» воплощает, как сразу становится очевидным, логическую ошибку «порочного круга». Ибо слово «называемый» относится ко всей совокупности имен и, тем не менее, допускается к употреблению в том, что претендует на роль одного из этих имен. Следовательно, не может существовать такой вещи, как совокупность имен в том смысле, в каком парадокс говорит о «именах». Легко видеть, что в силу иерархии функций теория типов делает совокупность «имен» невозможной. Мы можем, фактически, различать имена разных порядков следующим образом: (a) Элементарные имена будут такими, которые являются истинными «собственными именами», т. е. условными обозначениями, не включающими в себя никакого описания. (b) Имена первого порядка будут такими, которые включают описание посредством функции первого порядка; иными словами, если φ — функция первого порядка, то «термин, удовлетворяющий φ» будет именем первого порядка, хотя не всегда будет существовать объект, называемый этим именем. (c) Имена второго порядка будут такими, которые включают описание посредством функции второго порядка; среди таких имен будут те, которые включают отсылку к совокупности имен первого порядка. И так мы можем продвигаться по всей иерархии. Но ни на одном этапе мы не можем придать смысл слову «называемый», если не укажем порядок имен, которые должны быть использованы; и любое имя, в котором встречается фраза «называемый именами порядка n», необходимо имеет более высокий порядок, чем n-й. Таким образом, парадокс исчезает.

Решения парадокса о наименьшем неопределимом порядковом числе и парадокса Ришара тесно аналогичны приведенным выше. Понятие «определимый», которое встречается в обоих, почти совпадает с «называемым», встречающимся в нашем пятом парадоксе: «определимый» — это то, во что превращается «называемый», когда исключаются элементарные имена, т. е. «определимый» означает «называемый именем, которое не является элементарным». Но здесь существует та же двусмысленность в отношении типа, что и прежде, и та же необходимость добавления слов, которые уточняют тип, к которому должно принадлежать определение. И как бы ни был определен тип, «наименьшее порядковое число, не определимое определениями этого типа» является определением более высокого типа; а в парадоксе Ришара, когда мы ограничиваем себя, как мы и должны, десятичными дробями, имеющими определение данного типа, обнаруживается, что число, вызывающее парадокс, имеет определение, принадлежащее к более высокому типу, и, таким образом, не подпадает под действие наших предыдущих определений.

Неопределенное число других противоречий, сходных по природе с семью вышеупомянутыми, может быть легко сконструировано. Во всех них решение одного и того же рода. Во всех них видимость противоречия порождается присутствием некоторого слова, обладающего систематической двусмысленностью типа, такого как истина, ложь, функция, свойство, класс, отношение, кардинальное число, порядковое число, имя, определение. Любое такое слово, если не заметить его типическую двусмысленность, по-видимому, породит совокупность, содержащую элементы, определенные через него само, и, таким образом, приведет к логическим ошибкам «порочного круга». В большинстве случаев выводы аргументов, содержащих логические ошибки «порочного круга», не будут самопротиворечивыми, но везде, где мы имеем нелегитимную совокупность, небольшая изобретательность позволит нам построить логическую ошибку «порочного круга», ведущую к противоречию, которое исчезает, как только типически двусмысленные слова становятся типически определенными, т. е. определяются как принадлежащие к тому или иному типу.

Таким образом, видимость противоречия всегда обусловлена присутствием слов, воплощающих скрытую типическую двусмысленность, и решение кажущегося противоречия заключается в выявлении этой скрытой двусмысленности.

Несмотря на противоречия, возникающие из-за незамеченной типической двусмысленности, нежелательно избегать слов и символов, обладающих типической двусмысленностью. Такие слова и символы охватывают практически все идеи, с которыми имеют дело математика и математическая логика: систематическая двусмысленность является результатом систематической аналогии. Иными словами, почти во всех рассуждениях, составляющих математику и математическую логику, мы используем идеи, которые могут получить любое из бесконечного числа различных типических определений, любое из которых оставляет рассуждение верным. Таким образом, используя типически двусмысленные слова и символы, мы можем сделать одну цепочку рассуждений применимой к любому из бесконечного числа различных случаев, что было бы невозможно, если бы мы отказались от использования типически двусмысленных слов и символов.

Среди предложений, полностью выраженных в терминах типически двусмысленных понятий, практически единственными, которые могут различаться в отношении истинности или ложности в зависимости от полученного ими типического определения, являются теоремы существования. Если мы предположим, что общее число индивидов равно n, то общее число классов индивидов равно 2^n, общее число классов классов индивидов равно 2^(2^n) и так далее. Здесь n может быть либо конечным, либо бесконечным, и в любом случае 2^n > n. Таким образом, кардинальные числа, большие, чем n, но не большие, чем 2^n, существуют применительно к классам классов, но не применительно к классам индивидов, так что, каким бы ни предполагалось число индивидов, будут существовать теоремы существования, которые верны для более высоких типов, но не для более низких типов. Даже здесь, однако, до тех пор, пока число индивидов не утверждается, а лишь гипотетически предполагается, мы можем заменить тип индивидов любым другим типом, при условии, что мы внесем соответствующее изменение во все другие типы, встречающиеся в том же контексте. То есть мы можем дать имя «относительные индивиды» элементам произвольно выбранного типа τ, а имя «относительные классы индивидов» — классам «относительных индивидов» и так далее. Таким образом, пока речь идет только о гипотетических суждениях, в которых теоремы существования для одного типа оказываются следствиями теорем существования для другого, даже в теоремах существования релевантны только относительные типы. Это применимо также к случаям, когда гипотеза (а следовательно, и заключение) утверждается, при условии, что утверждение верно для любого типа, как бы он ни был выбран. Например, любой тип имеет по крайней мере один элемент; следовательно, любой тип, состоящий из классов, какого бы порядка они ни были, имеет по крайней мере два элемента. Но дальнейшее рассмотрение этих тем должно быть оставлено для основной части работы.

СНОСКИ:

[12] См. последний раздел настоящей главы. Ср. также А. Пуанкаре, «Математика и логика», Revue de Métaphysique et de Morale, май 1906 г., стр. 307.

[13] Когда в дальнейшем используется слово «функция», всегда имеется в виду «пропозициональная функция». Другие функции в настоящей главе рассматриваться не будут.

[14] Мы будем говорить в этой главе о «значениях для φ» и о «значениях φ», имея в каждом случае в виду одно и то же, а именно φ(x), φ(y), φ(z) и т. д. Различие в формулировках служит для избежания двусмысленности, когда задействовано несколько переменных, особенно когда одна из них является функцией.

[15] Мы используем «всегда» в значении «во всех случаях», а не «во все времена». Аналогично, «иногда» будет означать «в некоторых случаях».

[16] См. главу III.

[17] Заметьте, что утверждения относительно значимости фразы, содержащей «(φx)», касаются символа «(φx)» и поэтому не подпадают под правило, согласно которому устранение функциональной двусмысленности необходимо для значимости. Значимость — это свойство знаков. Ср. стр. 43.

[18] Ср. главу III.

[19] Когда мы говорим о «значениях φ», именно x, а не φ, должно быть присвоено значение. Это следует из объяснения в примечании на стр. 42. Когда сама функция является переменной, возможно и проще писать f(φ) вместо f(φx), за исключением тех случаев, когда необходимо подчеркнуть, что для обеспечения значимости должен быть предоставлен аргумент.

[20] Когда (конечное) множество предикатов задается фактическим перечислением, их дизъюнкция является предикатом, поскольку ни один предикат не встречается в дизъюнкции как связанная переменная.

[21] Заметьте, что в этом определении второй знак равенства следует рассматривать как объединяющийся с «Df» для образования одного символа; то, что определяется, есть знак равенства =, а не = Df.

[22] Здесь предполагается, что конъюнкция или дизъюнкция заданы интенсионально. Если они заданы экстенсионально (т. е. перечислением), никакого допущения не требуется; но в этом случае число рассматриваемых предикатов должно быть конечным.

[23] «Una questione sui numeri transfiniti», Rendiconti del circolo matematico di Palermo, том XI (1897). См. *256.

[24] Это противоречие было предложено нам г-ном Дж. Дж. Берри из Бодлианской библиотеки.

[25] ω — это число конечных целых чисел. См. *123.

[26] Ср. Кёниг, «Ueber die Grundlagen der Mengenlehre und das Kontinuumproblem», Math. Annalen, том LXI (1905); А. К. Диксон, «On 'well-ordered' aggregates», Proc. London Math. Soc., серия 2, том IV, часть i (1906); и Э. У. Хобсон, «On the Arithmetic Continuum», ibid. Решение, предложенное в последней из этих работ, зависит от вариации «аппарата определения» и, таким образом, в общих чертах согласуется с принятым здесь решением. Но оно не опровергает утверждение в тексте, если «определению» придается постоянный смысл.

[27] Ср. Пуанкаре, «Математика и логика», Revue de Métaphysique et de Morale, май 1906 г., особенно разделы VII и IX; также Пеано, Revista de Mathematica, том VIII, № 5 (1906), стр. 149 и сл.

[28] Решение парадокса Бурали-Форти посредством теории типов приведено подробно в *256.

ГЛАВА III. НЕПОЛНЫЕ СИМВОЛЫ.

(1) Описания. Под «неполным» символом мы понимаем символ, который не должен иметь никакого значения в изоляции, а определяется только в определенных контекстах. В обычной математике, например, (φx) и (x) являются неполными символами: необходимо что-то добавить, прежде чем мы получим что-то значимое. Такие символы имеют то, что можно назвать «определением в употреблении». Таким образом, если мы положим f((φx)) = ∃y(φz ≡ z=y . fy), мы определяем использование (φx), но (φx) само по себе остается без значения. Это отличает такие символы от того, что (в обобщенном смысле) мы можем назвать собственными именами: «Сократ», например, обозначает определенного человека и поэтому имеет значение само по себе, без необходимости какого-либо контекста. Если мы добавим контекст, как в «Сократ смертен», эти слова выражают факт, составной частью которого является сам Сократ: существует определенный объект, а именно Сократ, который обладает свойством смертности, и этот объект является составной частью сложного факта, который мы утверждаем, когда говорим «Сократ смертен». Но в других случаях этот простой анализ нас подводит. Предположим, мы говорим: «Круглого квадрата не существует». Кажется очевидным, что это истинное предложение, однако мы не можем рассматривать его как отрицание существования определенного объекта, называемого «круглым квадратом». Ибо если бы такой объект существовал, он бы существовал: мы не можем сначала предположить, что существует определенный объект, а затем приступить к отрицанию того, что такой объект существует. Всякий раз, когда грамматический субъект предложения может быть предположен несуществующим, не делая предложение бессмысленным, ясно, что грамматический субъект не является собственным именем, т. е. не является именем, непосредственно представляющим какой-либо объект. Таким образом, во всех подобных случаях предложение должно быть способно быть проанализировано так, чтобы то, что было грамматическим субъектом, исчезло. Таким образом, когда мы говорим «круглого квадрата не существует», мы можем, в качестве первой попытки такого анализа, подставить «ложно, что существует объект x, который является одновременно круглым и квадратным». Вообще, когда говорят, что «такой-то» не существует, мы имеем предложение вида ∃y(φz ≡ z=y . ψy) [29]

или какой-либо эквивалент. Здесь кажущийся грамматический субъект (φx) полностью исчез; таким образом, в «(φx)» (φx) является неполным символом.

Путем расширения вышеприведенного аргумента можно легко показать, что (φx) всегда является неполным символом. Возьмем, например, следующее предложение: «Скотт — автор «Уэверли». [Здесь «автор «Уэверли»» есть (φx).] Это предложение выражает тождество; таким образом, если бы «автор «Уэверли»» можно было принять за собственное имя и предположить, что оно обозначает некоторый объект y, предложение было бы «Скотт есть y». Но если y — кто угодно, кроме Скотта, это предложение ложно; в то время как если y — Скотт, предложение есть «Скотт есть Скотт», которое тривиально и явно отличается от «Скотт — автор «Уэверли»». Обобщая, мы видим, что предложение (φx) = y есть то, которое может быть истинным или ложным, но никогда не является просто тривиальным, как x = x; тогда как, если бы (φx) было собственным именем, (φx) = y было бы необходимо либо ложным, либо тем же самым, что и тривиальное предложение x = x. Мы можем выразить это, сказав, что (φx) не является значением пропозициональной функции f(x), из чего следует, что (φx) не является значением x. Но поскольку (φx) может быть чем угодно, из этого следует, что (φx) есть ничто. Следовательно, поскольку в употреблении оно имеет значение, оно должно быть неполным символом.

Можно было бы предположить, что «Скотт — автор «Уэверли»» утверждает, что «Скотт» и «автор «Уэверли»» — это два имени одного и того же объекта. Но небольшое размышление покажет, что это было бы ошибкой. Ибо если бы это было значением «Скотт — автор «Уэверли»», то для его истинности потребовалось бы, чтобы Скотта называли автором «Уэверли»: если бы его так называли, предложение было бы истинным, даже если бы кто-то другой написал «Уэверли»; в то время как если бы никто его так не называл, предложение было бы ложным, даже если бы он написал «Уэверли». Но на самом деле он был автором «Уэверли» в то время, когда никто его так не называл, и он не был бы автором, если бы все его так называли, но кто-то другой написал «Уэверли». Таким образом, предложение «Скотт — автор «Уэверли»» не является предложением об именах, подобно «Наполеон есть Бонапарт»; и это иллюстрирует смысл, в котором «автор «Уэверли»» отличается от истинного собственного имени.

Таким образом, все фразы (кроме предложений), содержащие слово «the» (в единственном числе), являются неполными символами: они имеют значение в употреблении, но не в изоляции. Ибо «автор «Уэверли»» не может означать то же самое, что «Скотт», иначе «Скотт — автор «Уэверли»» означало бы то же самое, что «Скотт есть Скотт», чего оно явно не делает; и «автор «Уэверли»» не может означать ничего, кроме «Скотта», иначе «Скотт — автор «Уэверли»» было бы ложным. Следовательно, «автор «Уэверли»» ничего не означает.

Из вышесказанного следует, что мы не должны пытаться определить «(φx)», а должны определить использования этого символа, т. е. предложения, в символическом выражении которых он встречается. Теперь, стремясь определить использования этого символа, важно отметить значение предложений, в которых он встречается. Возьмем в качестве иллюстрации: «Автор «Уэверли» был поэтом». Это подразумевает (1) что «Уэверли» было написано, (2) что оно было написано одним человеком, а не в соавторстве, (3) что тот один человек, который его написал, был поэтом. Если что-либо из этого не выполняется, предложение ложно. Таким образом, «автор «Славкенбургиуса о носах» был поэтом» ложно, потому что такая книга никогда не была написана; «автор «Трагедии девушки» был поэтом» ложно, потому что эта пьеса была написана Бомонтом и Флетчером совместно. Эти две возможности ложности не возникают, если мы говорим «Скотт был поэтом». Таким образом, наша интерпретация использований (φx) должна быть такой, чтобы допускать их. Теперь, принимая ψx для замены «x написал «Уэверли»», ясно, что любое утверждение, по-видимому, о (φx) требует (1) ∃x(φx) и (2) ∃x(φx ≡ x=y) . ψy; здесь (1) утверждает, что по крайней мере один объект удовлетворяет φ, в то время как (2) утверждает, что самое большее один объект удовлетворяет φ. Вместе они эквивалентны ∃y(φz ≡ z=y . ψy). Таким образом, «ψ(φx)» должно быть частью того, что утверждается любым предложением о (φx). Если наше предложение есть f((φx)), то далее утверждается ∃y(φz ≡ z=y . fy), если f(x) есть ψx. Таким образом, мы имеем f((φx)) = ∃y(φz ≡ z=y . fy), т. е. «(φx), удовлетворяющий φ, удовлетворяет f» должно означать: «Существует объект y такой, что φz истинно тогда и только тогда, когда z есть y, и fy истинно», или, точнее: «Существует y такой, что «φz» всегда эквивалентно «z есть y», и fy». В этом «(φx)» полностью исчезло; таким образом, «(φx)» является чисто символическим и не представляет непосредственно объект, как предполагается для одиночных малых латинских букв [30].

Предложение «f((φx))» легко показать эквивалентным «∃y(φz ≡ z=y . fy)». Ибо по определению оно есть ∃y(φz ≡ z=y . fy), т. е. «существует y, для которого φy истинно, и этот y удовлетворяет f», что эквивалентно «f((φx))». Таким образом, «Скотт — автор «Уэверли»» эквивалентно: ∃y(y написал «Уэверли» ≡ y есть Скотт . y есть Скотт), т. е. «x написал «Уэверли»» истинно, когда x есть Скотт, и ложно, когда x не есть Скотт.

Таким образом, хотя «(φx)» не имеет значения само по себе, оно может быть подставлено вместо x в любую пропозициональную функцию f(x), и мы получаем значимое предложение, хотя и не значение f(x).

Когда (φx), как определено выше, является частью некоторого другого предложения, мы будем говорить, что (φx) имеет вторичное вхождение. Когда (φx) имеет вторичное вхождение, предложение, в котором оно встречается, может быть истинным, даже когда (φx) не существует. Это применимо, например, к предложению: «Не существует такого лица, как король Франции». Мы можем интерпретировать это как ¬∃y(φz ≡ z=y), если «(φx)» означает «x есть король Франции». В любом случае утверждается, что предложение f((φx)), в котором встречается (φx), ложно, и это предложение, таким образом, является частью большего предложения. То же самое относится к такому предложению, как следующее: «Если бы Франция была монархией, король Франции был бы из Орлеанского дома».

Следует заметить, что такое предложение, как ¬f((φx)), двусмысленно; оно может отрицать f((φx)), в каком случае оно будет истинным, если (φx) не существует, или оно может означать f((φx)) . ¬f((φx)), в каком случае оно может быть истинным только если (φx) существует. В обычном языке обычно принимается последняя интерпретация. Например, предложение «король Франции не лыс» обычно отвергалось бы как ложное, считаясь означающим «король Франции существует и не лыс», а не «ложно, что король Франции существует и не лыс». Когда (φx) существует, обе интерпретации двусмысленности дают эквивалентные результаты; но когда (φx) не существует, одна интерпретация истинна, а другая ложна. Необходимо уметь различать их в нашей нотации; и вообще, если у нас есть такие предложения, как f((φx)), ¬f((φx)) и так далее, мы должны уметь с помощью нашей нотации различать, следует ли рассматривать все предложение или только его часть как «(φx)» нашего определения. Для этой цели мы будем ставить «[(φx)]» с точками в начале части (или целого), которая должна быть принята как (φx), причем точки должны быть достаточно многочисленными, чтобы отделить (φx); т. е. (φx) должно быть всем, что следует за точками, пока мы не достигнем равного числа точек, не означающих логическое произведение, или большего числа, означающего логическое произведение, или конца предложения, или конца скобки, заключающей «[(φx)]». Таким образом, [(φx)] . ¬f((φx)) и ¬[(φx)] . f((φx)). Важно различать эти два, ибо если (φx) не существует, первое истинно, а второе ложно. Опять же, [(φx)] . f((φx)) ∨ g((φx)) и [(φx)] . f((φx)) ∨ g((φx)). Здесь опять же, когда (φx) не существует, первое ложно, а второе истинно.

Чтобы избежать этой двусмысленности в предложениях, содержащих (φx), мы исправляем наше определение, или, скорее, нашу нотацию, полагая f((φx)) = [(φx)] . f((φx)). С помощью этого определения мы избегаем любого сомнения относительно части нашего всего утвержденного предложения, которая должна рассматриваться как «(φx)» определения. Эта часть будет называться областью действия (scope) (φx). Таким образом, в [(φx)] . f((φx)) область действия (φx) есть f((φx)); но в [(φx)] . f((φx)) ∨ g((φx)) область действия есть f((φx)); но в [(φx)] . f((φx) ∨ g((φx))) область действия есть f((φx)) ∨ g((φx)).

Будет видно, что когда (φx) имеет все рассматриваемое предложение в качестве своей области действия, рассматриваемое предложение не может быть истинным, если (φx) не существует; но когда (φx) имеет только часть рассматриваемого предложения в качестве своей области действия, оно часто может быть истинным, даже когда (φx) не существует. Будет видно далее, что когда ∃! (φx), мы можем расширять или уменьшать область действия (φx) сколько угодно, не изменяя истинностного значения любого предложения, в котором оно встречается.

Если предложение содержит два описания, скажем (φx) и (ψy), мы должны различать, какое из них имеет большую область действия, т. е. мы должны различать [(φx)] . [(ψy)] . f((φx), (ψy)) и [(ψy)] . [(φx)] . f((φx), (ψy)).

Первое из них, устраняя (φx), становится [(ψy)] . ∃z(φw ≡ w=z . f(z, (ψy))), которое, устраняя (ψy), становится ∃z(φw ≡ w=z . ∃v(ψu ≡ u=v . f(z, v))), и то же самое предложение получается, если в (1) мы устраним сначала (φx), а затем (ψy). Аналогично (2) становится, когда (φx) и (ψy) устранены, ∃v(ψu ≡ u=v . ∃z(φw ≡ w=z . f(z, v))).

(4) и (5) эквивалентны, так что истинностное значение предложения, содержащего два описания, не зависит от вопроса о том, какое из них имеет большую область действия.

Будет обнаружено, что в большинстве случаев, в которых встречаются описания, их область действия на практике является наименьшим предложением, заключенным в точки или другие скобки, в которых они содержатся. Таким образом, например, f((φx)) будет встречаться гораздо чаще, чем [(φx)] . f((φx)). По этой причине удобно решить, что когда областью действия вхождения (φx) является наименьшее предложение, заключенное в точки или другие скобки, в которых содержится рассматриваемое вхождение, область действия не нужно указывать с помощью «[(φx)]». Таким образом, например, f((φx)) означает [(φx)] . f((φx)).

Это соглашение позволяет нам в подавляющем большинстве случаев, которые действительно встречаются, обходиться без явного указания области действия описательного символа; и будет обнаружено, что это соглашение очень тесно согласуется с молчаливыми соглашениями обычного языка по этому вопросу. Так, например, если «(φx)» — это «такой-то», то f((φx)) следует читать «(φx) не является таким-то», что обычно рассматривается как подразумевающее, что «такой-то» существует; но f((φx)) следует читать «неверно, что (φx) является таким-то», что обычно допускается как верное, если «такой-то» не существует. Обычный язык, конечно, довольно свободен и изменчив в своих импликациях по этому вопросу; но при условии требования определенности наше соглашение, по-видимому, остается как можно ближе к обычному языку.

В случае, когда наименьшее предложение, заключенное в точки или другие скобки, содержит два или более описаний, мы будем предполагать, при отсутствии каких-либо указаний на обратное, что то, которое типографически встречается раньше, имеет большую область действия, чем то, которое типографически встречается позже. Таким образом, f((φx), (ψy)) означает [(φx)] . [(ψy)] . f((φx), (ψy)).

Эти два предложения легко показать эквивалентными.

(2) Классы. Символы для классов, подобно символам для описаний, являются в нашей системе неполными символами: их использования определены, но сами они не предполагаются означающими вообще что-либо. Иными словами, использования таких символов определены таким образом, что, когда definiens подставляется вместо definiendum, не остается никакого символа, который можно было бы предположить представляющим класс. Таким образом, классы, насколько мы их вводим, являются лишь символическими или лингвистическими удобствами, а не подлинными объектами, каковыми являются их элементы, если они индивиды.

Это старый спор, должна ли формальная логика заниматься главным образом интенсионалами или экстенсионалами. В общем, логики, чья подготовка была преимущественно философской, склонялись к интенсионалам, тогда как те, чья подготовка была преимущественно математической, склонялись к экстенсионалам. Факты, по-видимому, таковы, что, хотя математическая логика требует экстенсионалов, философская логика отказывается предоставлять что-либо, кроме интенсионалов. Наша теория классов признает и примиряет эти два, казалось бы, противоположных факта, показывая, что экстенсионал (который есть то же самое, что класс) является неполным символом, чье использование всегда приобретает свой смысл через отсылку к интенсионалу.

В случае описаний было возможно доказать, что они являются неполными символами. В случае классов мы не знаем какого-либо столь же определенного доказательства, хотя аргументы большей или меньшей убедительности могут быть извлечены из древней проблемы Единого и Множественного [31]. Однако для наших целей нет необходимости догматически утверждать, что таких вещей, как классы, не существует. Нам лишь необходимо показать, что неполные символы, которые мы вводим как представители классов, дают все предложения, ради которых классы могли бы считаться существенными. Когда это показано, сам принцип экономии примитивных идей ведет к невведению классов, кроме как в качестве неполных символов.

Чтобы объяснить теорию классов, необходимо сначала объяснить различие между экстенсиональными и интенсиональными функциями. Это осуществляется следующими определениями:

Истинностное значение предложения есть истина, если оно истинно, и ложь, если оно ложно. (Это выражение принадлежит Фреге.)

Два предложения называются эквивалентными, когда они имеют одно и то же истинностное значение, т. е. когда они оба истинны или оба ложны.

Две пропозициональные функции называются формально эквивалентными, когда они эквивалентны при любом возможном аргументе, т. е. когда любой аргумент, который удовлетворяет одну, удовлетворяет другую, и наоборот. Таким образом, «x есть человек» формально эквивалентно «x есть двуногое без перьев»; «x есть четное простое число» формально эквивалентно «x тождественно 2».

Функция функции называется экстенсиональной, когда ее истинностное значение при любом аргументе такое же, как при любом формально эквивалентном аргументе. Иными словами, f(φ) является экстенсиональной функцией φ, если, при условии, что φ формально эквивалентно ψ, f(φ) эквивалентно f(ψ). Здесь связанные переменные φ и ψ необходимо принадлежат к типу, из которого аргументы могут значимо поставляться для f. Мы не находим необходимости использовать в качестве связанных переменных какие-либо функции непредикативных типов; соответственно, в дальнейшем все рассматриваемые экстенсиональные функции на самом деле являются функциями предикативных функций [32].

Функция функции называется интенсиональной, когда она не является экстенсиональной.

Природа и важность различия между интенсиональными и экстенсиональными функциями станут яснее на некоторых иллюстрациях. Предложение ««φx» всегда влечет «ψx»» является экстенсиональной функцией функции «φx», потому что мы можем подставить вместо «φx» «x есть двуногое без перьев» или любое другое утверждение, которое применяется к тем же объектам, к которым применяется «φx», и ни к каким другим. Но предложение «A верит, что «φx» всегда влечет «ψx»» является интенсиональной функцией «φx», потому что A, возможно, никогда не рассматривал вопрос о том, смертны ли двуногие без перьев, или может ошибочно полагать, что существуют двуногие без перьев, которые не смертны. Таким образом, даже если «x есть двуногое без перьев» формально эквивалентно «x есть человек», из этого отнюдь не следует, что человек, который верит, что все люди смертны, должен верить, что все двуногие без перьев смертны, поскольку он, возможно, никогда не думал о двуногих без перьев или предполагал, что двуногие без перьев не всегда являются людьми. Опять же, предложение «число аргументов, которые удовлетворяют функцию φ, равно n» является экстенсиональной функцией φ, потому что его истинность или ложность не меняется, если мы подставим вместо φ любую другую функцию, которая истинна всякий раз, когда φ истинна, и ложна всякий раз, когда φ ложна. Но предложение «A утверждает, что число аргументов, удовлетворяющих φ, равно n» является интенсиональной функцией φ, поскольку, если A утверждает это относительно φ, он, конечно, не может утверждать это относительно всех предикативных функций, которые эквивалентны φ, потому что жизнь слишком коротка. Опять же, рассмотрим предложение «два белых человека утверждают, что достигли Северного полюса». Это предложение утверждает «два аргумента удовлетворяют функцию «x есть белый человек, который утверждает, что достиг Северного полюса»». Истинность или ложность этого предложения не затрагивается, если мы подставим вместо «x есть белый человек, который утверждает, что достиг Северного полюса» любое другое утверждение, которое верно для тех же аргументов и ни для каких других. Следовательно, это экстенсиональная функция. Но предложение «это странное совпадение, что два белых человека должны утверждать, что достигли Северного полюса», которое утверждает «это странное совпадение, что два аргумента должны удовлетворять функцию «x есть белый человек, который утверждает, что достиг Северного полюса»», не эквивалентно «это странное совпадение, что два аргумента должны удовлетворять функцию «x есть доктор Кук или командор Пири»». Таким образом, «это странное совпадение, что φ должно быть удовлетворено двумя аргументами» является интенсиональной функцией φ.

Вышеприведенные примеры иллюстрируют тот факт, что функции функций, с которыми математика имеет дело специально, являются экстенсиональными, и что интенсиональные функции функций встречаются только там, где вводятся нематематические идеи, такие как то, во что кто-то верит или что утверждает, или эмоции, вызванные каким-то фактом. Поэтому естественно в математической логике делать особый акцент на экстенсиональных функциях функций.

Когда две функции формально эквивалентны, мы можем сказать, что они имеют один и тот же экстенсионал. В этом определении мы находимся в тесном согласии с употреблением. Мы не предполагаем, что существует такая вещь, как экстенсионал: мы просто определяем всю фразу «иметь один и тот же экстенсионал». Мы можем теперь сказать, что экстенсиональная функция функции — это такая, чья истинность или ложность зависит только от экстенсионала ее аргумента. В таком случае удобно рассматривать рассматриваемое утверждение как относящееся к экстенсионалу. Поскольку экстенсиональные функции многочисленны и важны, естественно рассматривать экстенсионал как объект, называемый классом, который предполагается субъектом всех эквивалентных утверждений о различных формально эквивалентных функциях. Так, например, если мы говорим «было двенадцать апостолов», естественно рассматривать это утверждение как приписывание свойства «быть двенадцатью» определенной совокупности людей, а именно тем, кто был апостолами, а не как приписывание свойства «быть удовлетворенным двенадцатью аргументами» функции «x был апостолом». Этот взгляд поощряется чувством, что есть нечто, что тождественно в случае двух функций, которые «имеют один и тот же экстенсионал». И если мы берем такие простые задачи, как «сколько комбинаций можно составить из n вещей?», на первый взгляд кажется необходимым, чтобы каждая «комбинация» была единым объектом, который можно посчитать как один. Это, однако, технически совсем не обязательно, и мы не видим причин полагать, что это верно философски. Техническая процедура, с помощью которой преодолевается кажущаяся трудность, заключается в следующем.

Мы видели, что экстенсиональная функция функции может рассматриваться как функция класса, определяемого функцией-аргументом, но что интенсиональная функция не может рассматриваться таким образом. Чтобы избежать необходимости давать различное обращение интенсиональным и экстенсиональным функциям функций, мы конструируем экстенсиональную функцию, производную от любой функции f предикативной функции φ, и обладающую свойством быть эквивалентной функции, от которой она производна, при условии, что эта функция является экстенсиональной, а также свойством быть значимой (с помощью систематической двусмысленности эквивалентности) с любым аргументом ψ, чьи аргументы того же типа, что и аргументы φ. Производная функция, записываемая «f(φ^φ)», определяется следующим образом: Дана функция f(φ), наша производная функция f(φ^φ) должна быть «существует предикативная функция ψ, которая формально эквивалентна φ и удовлетворяет f(ψ)». Если φ — предикативная функция, наша производная функция будет истинной всякий раз, когда f(φ) истинна. Если f(φ) — экстенсиональная функция, и φ — предикативная функция, наша производная функция не будет истинной, если f(φ) не истинна; таким образом, в этом случае наша производная функция эквивалентна f(φ). Если f(φ) не является экстенсиональной функцией, и если φ — предикативная функция, наша производная функция может иногда быть истинной, когда исходная функция ложна. Но в любом случае производная функция всегда экстенсиональна.

Чтобы производная функция была значимой для любой функции ψ, какого бы порядка она ни была, при условии, что она принимает аргументы правильного типа, необходимо и достаточно, чтобы f(φ) была значимой, где φ — любая предикативная функция. Причина этого в том, что нам требуется относительно аргумента ψ только гипотеза о том, что он формально эквивалентен некоторой предикативной функции φ, а формальная эквивалентность имеет тот же вид систематической двусмысленности в отношении типа, что принадлежит истине и лжи, и поэтому может иметь место между функциями любых двух различных порядков, при условии, что функции принимают аргументы одного и того же типа. Таким образом, с помощью нашей производной функции мы не просто предоставили экстенсиональные функции везде вместо интенсиональных, но мы практически устранили необходимость рассматривать различия типов среди функций, чьи аргументы одного и того же типа. Это производит тот же вид упрощения в нашей иерархии, который был бы результатом никогда не рассмотрения никаких функций, кроме предикативных.

Если f(φ) может быть построена с помощью примитивных идей дизъюнкции, отрицания, (φx) и (x), как это имеет место со всеми функциями функций, которые явно встречаются в настоящей работе, будет обнаружено, что в силу систематической двусмысленности вышеупомянутых примитивных идей любая функция, чьи аргументы того же типа, что и аргументы φ, может быть значимо подставлена вместо φ в f без какого-либо другого символического изменения. Таким образом, в таком случае то, что символически, хотя и не реально, является той же функцией, может получать в качестве аргументов функции различных типов. Если с данным аргументом ψ функция f(ψ), интерпретируемая таким образом, эквивалентна f(φ) всякий раз, когда ψ формально эквивалентно φ, то f(ψ) эквивалентно f(φ), при условии, что существует какая-либо предикативная функция, формально эквивалентная ψ. В этой точке мы используем аксиому сводимости, согласно которой всегда существует предикативная функция, формально эквивалентная ψ.

Как было объяснено выше, удобно рассматривать экстенсиональную функцию функции как имеющую своим аргументом не функцию, а класс, определяемый функцией. Теперь мы видели, что наша производная функция всегда экстенсиональна. Следовательно, если наша исходная функция была f(φ), мы записываем производную функцию f(z^φ(z)), где «z^φ(z)» можно читать «класс аргументов, которые удовлетворяют φ», или проще «класс, определяемый φ». Таким образом, «f(z^φ(z))» будет означать: «Существует предикативная функция ψ, которая формально эквивалентна φ и такова, что f(ψ) истинна». Это в действительности функция φ, но мы рассматриваем ее символически, как если бы она имела аргумент z^φ(z). С помощью аксиомы сводимости мы находим, что получаются обычные свойства классов. Например, две формально эквивалентные функции определяют один и тот же класс, и наоборот, две функции, которые определяют один и тот же класс, формально эквивалентны. Также сказать, что x является членом z^φ(z), т. е. класса, определяемого φ, истинно, когда φx истинно, и ложно, когда φx ложно. Таким образом, все математические цели, для которых могли бы потребоваться классы, выполняются чисто символическими объектами z^φ(z), при условии, что мы принимаем аксиому сводимости.

В силу аксиомы сводимости, если φ — любая функция, существует формально эквивалентная предикативная функция ψ; тогда класс z^φ(z) идентичен с классом z^ψ(z), так что каждый класс может быть определен предикативной функцией. Следовательно, совокупность всех классов, к которым данный термин может значимо принадлежать или не принадлежать, является легитимной совокупностью, хотя совокупность всех функций, которым данный термин может значимо удовлетворять или не удовлетворять, не является легитимной совокупностью. Классы, к которым данный термин x принадлежит или не принадлежит, — это классы, определенные φ-функциями; они также являются классами, определенными предикативными φ-функциями. Назовем их φ-классами. Тогда «φ-классы» образуют легитимную совокупность, производную от совокупности предикативных φ-функций. Следовательно, становятся возможными многие виды общих утверждений, которые в противном случае включали бы парадоксы «порочного круга». Эти общие утверждения ни одно из них не являются такими, которые ведут к противоречиям, и многие из них таковы, что их очень трудно предположить нелегитимными. Тот факт, что они становятся возможными благодаря аксиоме сводимости и что в противном случае они были бы исключены принципом «порочного круга», следует рассматривать как аргумент в пользу аксиомы сводимости.

Вышеприведенное определение «класса, определяемого функцией φ», или, скорее, любого предложения, в котором встречается эта фраза, в символах выглядит следующим образом: f(z^φ(z)) = ∃ψ(ψ!≡φ . f(ψ)). Чтобы рекомендовать это определение, мы перечислим пять требований, которым должно удовлетворять определение классов, и затем покажем, что вышеприведенное определение удовлетворяет этим пяти требованиям.

Мы требуем от классов, если они должны служить целям, для которых они обычно используются, чтобы они обладали определенными свойствами, которые могут быть перечислены следующим образом. (1) Каждая пропозициональная функция должна определять класс, который может рассматриваться как совокупность всех аргументов, удовлетворяющих рассматриваемую функцию. Этот принцип должен выполняться, когда функция удовлетворяется бесконечным числом аргументов, так же как и когда она удовлетворяется конечным числом. Он должен выполняться также, когда никакие аргументы не удовлетворяют функцию; т. е. «нулевой класс» должен быть таким же хорошим классом, как и любой другой. (2) Две пропозициональные функции, которые формально эквивалентны, т. е. такие, что любой аргумент, который удовлетворяет одну, удовлетворяет другую, должны определять один и тот же класс; иными словами, класс должен быть чем-то, полностью определяемым своим членством, так что, например, класс «двуногие без перьев» идентичен классу «люди», а класс «четные простые числа» идентичен классу «числа, тождественные 2». (3) И наоборот, две пропозициональные функции, которые определяют один и тот же класс, должны быть формально эквивалентны; другими словами, когда класс дан, членство определено: два разных набора объектов не могут давать один и тот же класс. (4) В том же смысле, в каком существуют классы (каков бы ни был этот смысл), или в каком-то тесно аналогичном смысле, должны также существовать классы классов. Так, например, «комбинации n вещей по r за раз», где вещи образуют данный класс, есть класс классов; каждая комбинация вещей есть класс, и каждая такая класс является членом указанного набора комбинаций, который, следовательно, есть класс, чьими членами являются классы. Опять же, класс единичных классов или пар абсолютно необходим; первый есть число 1, второй — число 2. Таким образом, без классов классов арифметика становится невозможной. (5) Должно быть при любых обстоятельствах бессмысленно предполагать класс идентичным одному из своих собственных членов. Ибо если бы такое предположение имело какой-либо смысл, «x ∈ x» было бы значимой пропозициональной функцией [33], и так же было бы «x ∈ x». Следовательно, согласно (1) и (4), существовал бы класс всех классов, удовлетворяющих функции «x ∈ x». Если мы назовем этот класс α, мы будем иметь α ∈ α ≡ α ∈ α. Поскольку, согласно нашей гипотезе, «x ∈ x» предполагается значимым, вышеприведенная эквивалентность, которая выполняется при всех возможных значениях x, выполняется при значении α, т. е. α ∈ α ≡ α ∈ α. Но это противоречие [34]. Следовательно, «x ∈ x» и «x ∈ α» должны всегда быть бессмысленными. В общем, в этом выводе нет ничего удивительного, но он имеет два следствия, которые заслуживают особого внимания. Во-первых, класс, состоящий только из одного члена, не должен быть идентичен этому одному члену, т. е. мы не должны иметь α = x. Ибо мы имеем x ∈ {x}, и поэтому, если α = {x}, мы имеем α ∈ α, что, как мы видели, должно быть бессмысленным. Отсюда следует, что «α ∈ α» должно быть абсолютно бессмысленным, а не просто ложным. Во-вторых, могло бы показаться, как если бы класс всех классов был классом, т. е. как если бы (записывая «Cls» для «класса») «Cls ∈ Cls» было истинным предложением. Но эта комбинация символов должна быть бессмысленной; если только, конечно, не существует двусмысленности в значении «Cls», так что в «Cls ∈ Cls» первый «Cls» может предполагаться имеющим иное значение, чем второй.

Что касается вышеупомянутых требований, то, во-первых, ясно, что в соответствии с нашим определением каждая пропозициональная функция определяет класс z^φ(z). Предполагая аксиому сводимости, всегда должны быть истинные предложения о z^φ(z), т. е. истинные предложения вида f(z^φ(z)). Ибо предположим, что φ формально эквивалентно ψ, и предположим, что ψ удовлетворяет некоторой функции f. Тогда z^φ(z) также удовлетворяет f. Следовательно, для любой функции f существуют истинные предложения вида f(z^φ(z)), т. е. истинные предложения, в которых «класс, определяемый φ» грамматически является субъектом. Это показывает, что наше определение выполняет первое из наших пяти требований.

Второе и третье требования вместе требуют, чтобы классы z^φ(z) и z^ψ(z) были идентичны тогда и только тогда, когда их определяющие функции формально эквивалентны, т. е. чтобы мы имели z^φ(z) = z^ψ(z) ≡ φ!≡ψ. Здесь значение «z^φ(z) = z^ψ(z)» должно быть выведено с помощью двукратного применения определения f(z^φ(z)) из определения f(z^φ(z)) = z^φ(z) = z^ψ(z) по общему определению тождества.

Интерпретируя «z^φ(z) = z^ψ(z)», мы примем соглашение, которое мы приняли в отношении (φx) и (ψy), а именно, что неполный символ, который встречается первым, должен иметь большую область действия. Таким образом, z^φ(z) = z^ψ(z) становится, по нашему определению, [z^φ(z)] . [z^ψ(z)] . z^φ(z) = z^ψ(z), которое, устраняя z^φ(z), становится [z^ψ(z)] . ∃χ(χ!≡φ . χ = z^ψ(z)), которое эквивалентно ∃χ(χ!≡φ . χ = z^ψ(z)), которое, опять же, эквивалентно ∃χ(χ!≡φ . χ!≡ψ), которое, в силу аксиомы сводимости, эквивалентно φ!≡ψ. Таким образом, наше определение использования z^φ(z) таково, что удовлетворяет условиям (2) и (3), которые мы установили для классов, т. е. мы имеем z^φ(z) = z^ψ(z) ≡ φ!≡ψ.

Прежде чем рассматривать классы классов, будет хорошо определить членство в классе, т. е. определить символ «x ∈ z^φ(z)», который можно читать «x является членом класса, определяемого φ». Поскольку это функция вида f(z^φ(z)), она должна быть выведена с помощью нашего общего определения таких функций из соответствующей функции f(φ). Мы поэтому полагаем x ∈ z^φ(z) = ∃ψ(ψ!≡φ . ψx). Это определение нужно только для того, чтобы придать смысл «x ∈ z^φ(z)»; смысл, который оно дает, в силу определения f(z^φ(z)), есть ∃ψ(ψ!≡φ . ψx). Таким образом, оказывается, что «x ∈ z^φ(z)» влечет φx, поскольку оно влечет ∃ψ(ψ!≡φ . ψx), и ∃ψ(ψ!≡φ . ψx) эквивалентно φx; также, в силу аксиомы сводимости, φx влечет «x ∈ z^φ(z)», поскольку существует предикативная функция ψ, формально эквивалентная φ, и ψx должно удовлетворять ψ, поскольку x (ex hypothesi) удовлетворяет φ. Таким образом, в силу аксиомы сводимости мы имеем x ∈ z^φ(z) ≡ φx, т. е. x является членом класса z^φ(z) тогда и только тогда, когда x удовлетворяет функцию φ, которая определяет класс.

Нам далее нужно рассмотреть, как интерпретировать класс классов. Поскольку мы определили z^φ(z), мы будем естественно рассматривать класс классов как состоящий из тех значений φ, которые удовлетворяют f(φ). Давайте запишем α для z^φ(z); тогда мы можем записать α^f(α) для класса значений α, которые удовлетворяют f(α) [35]. Мы применим то же определение и положим α^f(α) = z^∃φ(z = z^φ(z) . f(z^φ(z))), где «f(α)» означает любое выражение вида f(z^φ(z)).

Давайте возьмем «α ∈ β» в качестве примера f(α). Тогда α^f(α) = α^α ∈ β. Точно так же, как мы положили x ∈ z^φ(z) = φx, так мы положим α ∈ α^f(α) = f(α).

Таким образом, мы находим α ∈ α^f(α) ≡ f(α).

Если мы теперь расширим аксиому сводимости так, чтобы она применялась к функциям функций, т. е. если мы предположим ∃ψ(ψ!≡f . ψ(φ)), мы легко выведем α^f(α) = α^∃ψ(ψ!≡f . ψ(α)).

Таким образом, каждая функция, которая может принимать классы в качестве аргументов, т. е. каждая функция функций, определяет класс классов, чьими членами являются те классы, которые удовлетворяют определяющей функции. Таким образом, теория классов классов не представляет никакой трудности.

Нам далее нужно рассмотреть наше пятое требование, а именно, что «α ∈ α» должно быть бессмысленным. Применяя наше определение f(α), мы находим, что если бы эта совокупность символов имела смысл, она означала бы ∃φ(α = z^φ(z) . φα), т. е. в силу определения α ∈ z^φ(z) = φα. Но здесь встречается символ «φα», который присваивает функцию в качестве аргумента самой себе. Такой символ всегда бессмыслен, по причинам, объясненным в начале главы II (стр. 41-43). Следовательно, «α ∈ α» бессмысленно, и наше пятое и последнее требование выполнено.

Как и в случае с ), так и в случае с , существует двусмысленность относительно области действия , если он входит в состав высказывания, которое само по себе является частью более крупного высказывания. Но в случае классов, поскольку мы всегда имеем аксиому сводимости, а именно , которая занимает место , отсюда следует, что истинностное значение любого высказывания, в которое входит , одно и то же, какую бы область действия мы ни приписали , при условии, что высказывание является экстенсиональной функцией любых функций, которые оно может содержать. Следовательно, мы можем принять соглашение, согласно которому областью действия всегда является наименьшее высказывание, заключенное в точки или скобки, в которое входит . Если в какой-то момент потребуется большая область действия, мы можем указать ее с помощью "[ ]", за которыми следуют точки, таким же образом, как мы это делали для .

Аналогично, когда встречаются два символа класса, например, в высказывании вида , нам не нужно помнить правила для областей действия этих двух символов, поскольку все варианты выбора дают эквивалентные результаты, что легко доказать. Для предварительных высказываний желательно правило, поэтому мы можем решить, что символ класса, который встречается первым в порядке записи, должен иметь большую область действия.

Теперь можно понять представление класса одной буквой . Ибо денотат неоднозначен, поскольку не решено, какой из символов , , , и т. д. он должен обозначать, где , , , и т. д. являются различными определяющими функциями класса. В зависимости от сделанного выбора получаются разные высказывания. Но все результирующие высказывания эквивалентны в силу легко доказываемого высказывания: Следовательно, если мы не хотим обсуждать саму определяющую функцию, так что понятие класса на самом деле не присутствует должным образом, двусмысленность в денотате совершенно несущественна, хотя, как мы увидим немедленно, мы вынуждены ограничиться предикативными определяющими функциями. Таким образом, "," где есть переменный класс, на самом деле есть "," где есть переменная функция, то есть это , где есть переменная функция. Но здесь возникает трудность, которая устраняется ограничением нашей практики и аксиомой сводимости. Ибо определяющие функции , , и т. д. будут разных типов, хотя аксиома сводимости гарантирует, что некоторые из них являются предикативными функциями. Тогда, интерпретируя как переменную в терминах изменения любой определяющей функции, мы придем к ошибкам, если не ограничимся предикативными определяющими функциями. Эти ошибки особенно возникают при переходе к полному изменению (ср. стр. 15, 16). Соответственно, особенностью определения использования одной буквы [а именно ] для переменного неполного символа является то, что он, хотя в некотором смысле и является свободной переменной, встречается только в definiendum, в то время как "," хотя и является свободной переменной, встречается только в definiens.

Таким образом, " " означает , а "( " означает . Соответственно, в математических рассуждениях мы можем отбросить весь аппарат функций и думать только о классах как о "квазивещах", способных к непосредственному представлению одним именем. Преимущества двояки: (1) классы определяются своей принадлежностью, так что одному набору членов соответствует один класс, (2) "тип" класса полностью определяется типом его членов.

Также предикативная функция класса может быть определена следующим образом: Таким образом, предикативная функция класса всегда является предикативной функцией любой предикативной определяющей функции класса, хотя обратное неверно.

(3) Отношения. Что касается отношений, у нас есть теория, строго аналогичная той, которую мы только что объяснили в отношении классов. Отношения по объему, как и классы, являются неполными символами. Нам требуется разделение функций двух переменных на предикативные и непредикативные функции, опять же по причинам, которые были объяснены в Главе II. Мы используем обозначение " " для предикативной функции и .

Мы используем " " для функции в противоположность ее значениям; и мы используем " " для отношения (по объему), определяемого . Мы полагаем: Таким образом, даже когда не является экстенсиональной функцией , является экстенсиональной функцией . Следовательно, точно так же, как в случае с классами, мы выводим: т.е. отношение определяется своим объемом, и наоборот.

По аналогии с определением " " мы полагаем: [36]

Это определение, подобно определению " ", введено не ради него самого, а для того, чтобы придать смысл . Этот смысл, в силу наших определений, есть: и это, в силу аксиомы сводимости, эквивалентно .

Таким образом, мы всегда имеем:

Всякий раз, когда определяющая функция отношения не имеет значения, мы можем заменить на одну заглавную букву. В силу приведенных выше высказываний:

Классы отношений и отношения отношений могут рассматриваться так же, как выше рассматривались классы классов.

Точно так же, как класс не должен быть способен быть или не быть членом самого себя, отношение не должно быть ни референтом, ни релатумом по отношению к самому себе, и не должно не быть ими. Это оказывается эквивалентным утверждению, что не может осмысленно быть ни одним из аргументов или в . Этот принцип, опять же, вытекает из ограничения возможных аргументов функции, объясненного в начале Главы II.

Мы можем подытожить все это обсуждение неполных символов следующим образом.

Использование символа "( " так, как если бы в " " он непосредственно представлял аргумент функции , становится возможным благодаря теоремам:

Использование символа " " (или одной буквы, такой как , для представления такого символа) так, как если бы в " " он непосредственно представлял аргумент функции , становится возможным благодаря теоремам:

Во всех этих высказываниях типы должны предполагаться должным образом скорректированными там, где возможна двусмысленность.

Использование символа " " (или одной буквы, такой как , для представления такого символа) так, как если бы в " " он непосредственно представлял аргумент функции , становится возможным благодаря теоремам: Во всех этих высказываниях типы должны предполагаться должным образом скорректированными там, где возможна двусмысленность.

Из этих трех групп теорем следует, что эти неполные символы подчиняются тем же формальным правилам тождества, что и символы, непосредственно представляющие объекты, до тех пор, пока мы рассматриваем только эквивалентность результирующих переменных (или постоянных) значений пропозициональных функций, а не их тождество. Это рассмотрение тождества высказываний никогда не входит в наши формальные рассуждения.

Аналогично, ограничения на использование этих символов можно подытожить следующим образом. В случае ( , главный способ, которым его неполнота является значимой, заключается в том, что мы не всегда имеем , т.е. функция, которая всегда истинна, тем не менее может быть не истинной для ( . Это возможно потому, что не является значением , так что даже когда все значения истинны, может не быть истинным. Это происходит, когда ( не существует. Так, например, мы имеем ( , но мы не имеем . Это справедливо только тогда, когда . Как только мы узнаем , факт, что ( ) является неполным символом, становится неактуальным, пока мы ограничиваемся истинностными функциями [37] любого высказывания, которое является его областью действия. Но даже когда , неполнота ( может быть значимой, когда мы выходим за пределы истинностных функций. Например, Георг IV хотел знать, был ли Скотт автором "Уэверли", т.е. он хотел знать, является ли истинным высказывание вида " ". Но не было никакого высказывания вида " ", относительно которого он хотел бы знать, истинно ли оно.

Что касается классов, значимость их неполноты несколько иная. Это можно проиллюстрировать тем фактом, что мы можем иметь . Ибо, путем прямого применения определений, мы находим, что . Таким образом, мы будем иметь , но мы не обязательно будем иметь при этих обстоятельствах, ибо две функции вполне могут быть формально эквивалентными, не будучи тождественными; например, , но функция " =автор "Уэверли"" обладает тем свойством, что Георг IV хотел знать, истинно ли ее значение с аргументом "Скотт", тогда как функция " =Скотт" не обладает таким свойством, и поэтому две функции не тождественны. Следовательно, существует пропозициональная функция, а именно , которая выполняется без всякого исключения, и все же не выполняется, когда мы подставляем класс вместо , а функции вместо и . Это возможно только потому, что класс является неполным символом, и поэтому " " не является значением " ".

Будет замечено, что " " не является экстенсиональной функцией . Таким образом, область действия ) значима при интерпретации произведения . Если мы возьмем все произведение как область действия , произведение эквивалентно .

Мы можем сказать в общем, что факт, что ) является неполным символом, не является значимым, пока мы ограничиваемся экстенсиональными функциями функций, но склонен становиться значимым для других функций функций.

СНОСКИ:

[29] Cf. pp. 31, 32.

[30] В будущем мы обычно будем писать " " вместо " ".

[31] Вкратце, эти аргументы сводятся к следующему: Если существует такой объект, как класс, он должен быть в некотором смысле одним объектом. И все же только о классах можно предикатировать "многие". Следовательно, если мы допускаем классы как объекты, мы должны предположить, что один и тот же объект может быть одновременно и одним, и многими, что кажется невозможным.

[32] Ср. стр. 56.

[33] Как объяснено в Главе I (стр. 25, 26), " " означает " есть член класса ", или, короче, " есть ". Определение этого выражения в терминах нашей теории классов будет дано в ближайшее время.

[34] Это второе из противоречий, обсуждавшихся в конце Главы II.

[35] Использование одной буквы, такой как или , для представления переменного класса будет далее объяснено в ближайшее время.

[36] Это определение поднимает некоторые вопросы относительно двух смыслов отношения, которые рассматриваются в *21.

[37] Ср. стр. 8.

ЧАСТЬ I. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА.

РЕЗЮМЕ ЧАСТИ I.

В этой Части мы будем иметь дело с такими темами, которые традиционно принадлежат символической логике или заслуживают того, чтобы принадлежать ей в силу своей общности. То есть мы установим такие свойства высказываний, пропозициональных функций, классов и отношений, которые, вероятно, потребуются в любых математических рассуждениях, а не только в той или иной ветви математики.

Предметы, рассматриваемые в Части I, могут рассматриваться в двух аспектах: (1) как дедуктивная цепь, зависящая от примитивных высказываний, (2) как формальное исчисление. Принимая сначала первый взгляд: мы начинаем в *1 с некоторых аксиом относительно дедукции одного высказывания или утвержденной пропозициональной функции из другого. Из этих примитивных высказываний в Разделе А мы выводим различные высказывания, которые все касаются четырех способов получения новых высказываний из данных, а именно отрицания, дизъюнкции, совместного утверждения и импликации, из которых последние два могут быть определены через первые два. На протяжении всего этого первого раздела, хотя, как будет показано в начале Раздела B, наши высказывания, символически неизменные, будут применимы к любым высказываниям как значениям наших переменных, все же будет предполагаться, что наши переменные высказывания являются всеми тем, что мы будем называть элементарными высказываниями, т.е. такими, которые не содержат никакой ссылки, явной или неявной, на какую-либо совокупность. Это ограничение наложено из-за различия между разными типами высказываний, объясненного в Главе II Введения. Его важность и цель, однако, чисто философские, и до тех пор, пока рассматриваются только математические цели, нет необходимости помнить об этом предварительном ограничении элементарными высказываниями, которое символически снимается в начале следующего раздела.

Раздел B рассматривает, для начала, отношения высказываний, содержащих связанные переменные (т.е. включающих понятия "все" или "некоторые"), друг к другу и к высказываниям, не содержащим связанных переменных. Мы показываем, что там, где речь идет о высказываниях, содержащих связанные переменные, мы можем определить отрицание, дизъюнкцию, совместное утверждение и импликацию таким образом, чтобы их свойства были точно аналогичны свойствам соответствующих идей, применяемых к элементарным высказываниям. Мы также показываем, что формальная импликация, т.е. " " рассматриваемая как отношение к , имеет много свойств, аналогичных свойствам материальной импликации, т.е. " " рассматриваемой как отношение и . Затем мы рассматриваем предикативные функции и аксиому сводимости, которые жизненно важны при использовании функций в качестве связанных переменных. Примером такого использования является тождество, которое является следующей темой, рассматриваемой в Разделе B. Наконец, этот раздел касается дескрипций, т.е. фраз вида "тот самый" (в единственном числе). Показано, что появление грамматического субъекта "тот самый" обманчиво, и что такие высказывания, изложенные полностью, не содержат такого субъекта, а содержат вместо этого связанную переменную.

Раздел C имеет дело с классами и с отношениями, поскольку они аналогичны классам. Классы и отношения, как и дескрипции, показаны как "неполные символы" (ср. Введение, Глава III), и показано, что высказывание, которое грамматически относится к классу, должно рассматриваться как действительно касающееся пропозициональной функции и связанной переменной, значениями которой являются предикативные пропозициональные функции (с аналогичным результатом для отношений). Остальная часть Раздела C посвящена исчислению классов и исчислению отношений, поскольку оно аналогично исчислению классов.

Раздел D имеет дело с теми свойствами отношений, которые не имеют аналогов для классов. В этом разделе вводится ряд идей и обозначений, которые постоянно необходимы на протяжении всей остальной работы. Большинство свойств отношений, имеющих аналоги в теории классов, сравнительно неважны, тогда как те, которые не имеют таких аналогов, обладают величайшей полезностью. Отчасти по этой причине акцент на аспекте исчисления символической логики до сих пор был препятствием для надлежащего развития теории отношений.

Раздел E, наконец, расширяет понятия сложения и умножения классов или отношений на случаи, когда слагаемые или множители не даны индивидуально, а даны как члены некоторого класса. Преимущество, полученное этим расширением, заключается в том, что оно позволяет нам иметь дело с бесконечным числом слагаемых или множителей.

Рассматриваемая как формальное исчисление, математическая логика имеет три аналогичные ветви, а именно (1) исчисление высказываний, (2) исчисление классов, (3) исчисление отношений. Из них (1) рассматривается в Разделе A, в то время как (2) и (3), поскольку они аналогичны, рассматриваются в Разделе C. Мы имеем для каждого из трех четыре аналогичные идеи отрицания, сложения, умножения и импликации или включения. Из них отрицание аналогично отрицательному в обычной алгебре, а импликация или включение аналогично отношению "меньше или равно" в обычной алгебре. Но аналогию не следует форсировать, так как она имеет важные ограничения. Сумма двух высказываний есть их дизъюнкция, сумма двух классов есть класс членов, принадлежащих одному или другому, сумма двух отношений есть отношение, состоящее в том, что выполняется одно или другое из двух отношений. Сумма класса классов есть класс всех членов, принадлежащих тому или иному из классов, а сумма класса отношений есть отношение, состоящее в том, что выполняется то или иное отношение класса. Произведение двух высказываний есть их совместное утверждение, произведение двух классов есть их общая часть, произведение двух отношений есть отношение, состоящее в том, что выполняются оба отношения. Произведение класса классов есть часть, общая для всех них, а произведение класса отношений есть отношение, состоящее в том, что выполняются все отношения рассматриваемого класса. Включение одного класса в другой состоит в том, что все члены одного являются членами другого, в то время как включение одного отношения в другое состоит в том, что каждая пара членов, которая имеет одно отношение, также имеет другое отношение. Затем показывается, что свойства отрицания, сложения, умножения и включения точно аналогичны для классов и отношений и, за некоторыми исключениями, аналогичны свойствам отрицания, сложения, умножения и импликации для высказываний. (Исключения возникают главным образом из того факта, что " имплицирует " само по себе является высказыванием и поэтому может имплицировать и быть имплицируемым, в то время как " содержится в ", где и являются классами, не является классом и поэтому не может ни содержать, ни содержаться в другом классе.) Но классы имеют некоторые свойства, которыми не обладают высказывания: они возникают из того факта, что классы имеют не двукратное деление, соответствующее делению высказываний на истинные и ложные, а трехкратное деление, а именно на (1) универсальный класс, который содержит все элементы определенного типа, (2) нулевой класс, который не имеет членов, (3) все другие классы, которые не содержат ни ничего, ни всего соответствующего типа. Результирующие свойства классов, которые не аналогичны свойствам высказываний, рассматриваются в *24. И точно так же, как классы имеют свойства, не аналогичные никаким свойствам высказываний, так и отношения имеют свойства, не аналогичные никаким свойствам классов, хотя все свойства классов имеют аналоги среди отношений. Специальные свойства отношений гораздо более многочисленны и важны, чем свойства, принадлежащие классам, но не высказываниям. Эти специальные свойства отношений поэтому занимают целый раздел, а именно Раздел D.

РАЗДЕЛ A. ТЕОРИЯ ДЕДУКЦИИ.

ЦЕЛЬ настоящего раздела — изложить первый этап дедукции чистой математики из ее логических оснований. Этот первый этап обязательно касается самой дедукции, т.е. принципов, с помощью которых выводы делаются из посылок. Если наша цель состоит в том, чтобы сделать все наши предположения явными и осуществить дедукцию всех наших других высказываний из этих предположений, очевидно, что первые предположения, которые нам нужны, — это те, которые требуются для того, чтобы сделать дедукцию возможной. Символическая логика часто рассматривается как состоящая из двух координатных частей: теории классов и теории высказываний. Но с нашей точки зрения эти две части не являются координатными; ибо в теории классов мы выводим одно высказывание из другого с помощью принципов, принадлежащих теории высказываний, тогда как в теории высказываний мы нигде не требуем теории классов. Следовательно, в дедуктивной системе теория высказываний обязательно предшествует теории классов.

Но предмет, который будет рассматриваться в дальнейшем, не совсем правильно описывается как теория высказываний. На самом деле это теория того, как одно высказывание может быть выведено из другого. Теперь, чтобы одно высказывание могло быть выведено из другого, необходимо, чтобы они имели то отношение, которое делает одно следствием другого. Когда высказывание является следствием высказывания , мы говорим, что имплицирует . Таким образом, дедукция зависит от отношения импликации, и каждая дедуктивная система должна содержать среди своих посылок столько свойств импликации, сколько необходимо для легитимизации обычной процедуры дедукции. В настоящем разделе некоторые высказывания будут сформулированы как посылки, и будет показано, что их достаточно для всех обычных форм вывода. Не будет показано, что все они необходимы, и возможно, что их число может быть уменьшено. Все, что утверждается относительно посылок, — это (1) что они истинны, (2) что они достаточны для теории дедукции, (3) что мы не знаем, как уменьшить их число. Но что касается (2), всегда должен быть некоторый элемент сомнения, поскольку трудно быть уверенным, что человек никогда не использует какой-либо принцип бессознательно. Привычка строго руководствоваться формальными символическими правилами является защитой от бессознательных предположений; но даже эта защита не всегда адекватна.

1. ПРИМИТИВНЫЕ ИДЕИ И ВЫСКАЗЫВАНИЯ.

Поскольку все определения терминов осуществляются с помощью других терминов, каждая система определений, которая не является круговой, должна начинаться с определенного аппарата неопределяемых терминов. В некоторой степени опционально, какие идеи мы принимаем как неопределяемые в математике; мотивами, направляющими наш выбор, будут (1) сделать число неопределяемых идей как можно меньшим, (2) между двумя системами, в которых число равно, выбрать ту, которая кажется более простой и легкой. Мы не знаем способа доказать, что такая-то система неопределяемых идей содержит так мало, как это даст такие-то результаты [38]. Следовательно, мы можем только сказать, что такие-то идеи являются неопределяемыми в такой-то системе, а не то, что они неопределимы. Следуя Пеано, мы будем называть неопределяемые идеи и недоказуемые высказывания примитивными идеями и примитивными высказываниями соответственно. Примитивные идеи объясняются с помощью описаний, предназначенных для того, чтобы указать читателю, что имеется в виду; но объяснения не составляют определений, потому что они действительно включают идеи, которые они объясняют.

В настоящем номере мы сначала перечислим примитивные идеи, требуемые в этом разделе; затем мы определим импликацию; а затем мы сформулируем примитивные высказывания, требуемые в этом разделе. Каждое определение или высказывание в работе имеет номер для целей ссылки. Следуя Пеано, мы используем числа, имеющие как десятичную, так и целую часть, чтобы иметь возможность вставлять новые высказывания между любыми двумя. Изменение в целой части числа будет использоваться для соответствия новой главе. Определения обычно будут иметь номера, десятичная часть которых меньше ·1, и обычно будут помещаться в начале глав. В ссылках целые части номеров высказываний будут различаться тем, что им предшествует звездочка; таким образом, "*1·01" будет означать определение или высказывание, пронумерованное таким образом, а "*1" будет означать главу, в которой высказывания имеют номера, целая часть которых равна 1, т.е. настоящую главу. Главы обычно будут называться "номерами".

ПРИМИТИВНЫЕ ИДЕИ.

(1) Элементарные высказывания. Под "элементарным" высказыванием мы понимаем такое, которое не включает никаких переменных, или, другими словами, такое, которое не включает такие слова, как "все", "некоторые", "тот самый" или эквиваленты для таких слов. Высказывание, такое как "это красное", где "это" есть нечто данное в ощущении, будет элементарным. Любая комбинация данных элементарных высказываний с помощью отрицания, дизъюнкции или конъюнкции (см. ниже) будет элементарной. В примитивных высказываниях настоящего номера, и, следовательно, в дедукциях из этих примитивных высказываний в *2—*5, буквы , , , будут использоваться для обозначения элементарных высказываний.

(2) Элементарные пропозициональные функции. Под "элементарной пропозициональной функцией" мы будем понимать выражение, содержащее неопределенную составляющую, т.е. переменную, или несколько таких составляющих, и такое, что, когда неопределенная составляющая или составляющие определены, т.е. когда значения присвоены переменной или переменным, результирующее значение рассматриваемого выражения является элементарным высказыванием. Таким образом, если есть неопределенное элементарное высказывание, "не- " является элементарной пропозициональной функцией.

Мы покажем в *9, как распространить результаты этого и следующих номеров (*1—*5) на высказывания, которые не являются элементарными.

(3) Утверждение. Любое высказывание может быть либо утверждено, либо просто рассмотрено. Если я говорю "Цезарь умер", я утверждаю высказывание "Цезарь умер"; если я говорю "'Цезарь умер' есть высказывание", я делаю другое утверждение, и "Цезарь умер" больше не утверждается, а только рассматривается. Аналогично в гипотетическом высказывании, например, "если , то ", мы имеем два неутвержденных высказывания, а именно " " и " ", в то время как то, что утверждается, — это то, что первое из них имплицирует второе. В языке мы указываем, когда высказывание только рассматривается, с помощью "если то-то" или "что то-то" или просто с помощью кавычек. В символах, если есть высказывание, само по себе будет означать неутвержденное высказывание, в то время как утвержденное высказывание будет обозначаться . Знак " " называется знаком утверждения [39]; его можно читать "истинно, что" (хотя философски это не совсем то, что он означает). Точки после знака утверждения указывают на его область действия; то есть все, что следует, утверждается, пока мы не достигнем либо равного количества точек, предшествующих знаку импликации, либо конца предложения. Таким образом, " " означает "истинно, что имплицирует ", тогда как " " означает " истинно; следовательно истинно [40]." Первое из них не обязательно предполагает истинность ни , ни , тогда как второе предполагает истинность обоих.

(4) Утверждение пропозициональной функции. Помимо утверждения определенных высказываний, нам нужно то, что мы будем называть "утверждением пропозициональной функции". Общее понятие утверждения любой пропозициональной функции не используется до *9, но мы сразу используем понятие утверждения различных специальных элементарных пропозициональных функций. Пусть есть пропозициональная функция, чьим аргументом является ; тогда мы можем утверждать , не присваивая значения . Это делается, например, когда закон тождества утверждается в форме " есть ". Здесь остается неопределенным, потому что, как бы ни было определено , результат будет истинным. Таким образом, когда мы утверждаем , оставляя неопределенным, мы утверждаем двусмысленное значение нашей функции. Это законно только в том случае, если, как бы ни была определена двусмысленность, результат будет истинным. Так, возьмем в качестве иллюстрации примитивное высказывание *1·2 ниже, а именно: т.е. "' или ' имплицирует ". Здесь p может быть любым элементарным высказыванием: оставляя неопределенным, мы получаем утверждение, которое может быть применено к любому конкретному элементарному высказыванию. Такие утверждения подобны частным энунциациям у Евклида: когда говорится "пусть будет равнобедренным треугольником; тогда углы при основании будут равны", то, что сказано, применимо к любому равнобедренному треугольнику; это утверждается относительно одного треугольника, но не относительно определенного. Все утверждения в настоящей работе, за очень немногими исключениями, утверждают пропозициональные функции, а не определенные высказывания.

На самом деле, ни одно постоянное элементарное высказывание не встретится в настоящей работе или не может встретиться в любой работе, которая использует только логические идеи. Идеи и высказывания логики все общие: утверждение (например), которое истинно для Сократа, но не для Платона, не будет принадлежать логике [41], и если утверждение, которое истинно для обоих, должно встретиться в логике, оно не должно быть сделано относительно кого-либо из них, а относительно переменной . Чтобы получить в логике определенное высказывание вместо пропозициональной функции, необходимо взять некоторую пропозициональную функцию и утверждать, что она истинна всегда или иногда, т.е. со всеми возможными значениями переменной или с некоторым возможным значением. Таким образом, давая имя "индивид" всему, что есть, что не является ни высказыванием, ни функцией, высказывание "каждый индивид тождественен самому себе" или высказывание "существуют индивиды" будет высказыванием, принадлежащим логике. Но эти высказывания не являются элементарными.

(5) Отрицание. Если есть любое высказывание, высказывание "не- ", или " ложно", будет представлено " ". На данный момент должно быть элементарным высказыванием.

(6) Дизъюнкция. Если и есть любые высказывания, высказывание " или ", т.е. "либо истинно, либо истинно", где альтернативы не должны быть взаимоисключающими, будет представлено . Это называется дизъюнкцией или логической суммой и . Таким образом, " " будет означать " ложно или истинно"; будет означать "ложно, что либо или истинно", что эквивалентно " и оба ложны"; ) будет означать "ложно, что либо ложно, либо ложно", что эквивалентно " и оба истинны"; и так далее. На данный момент и должны быть элементарными высказываниями.

Вышеперечисленное — все примитивные идеи, требуемые в теории дедукции. Другие примитивные идеи будут введены в Разделе B.

Определение импликации. Когда высказывание следует из высказывания , так что если истинно, то также должно быть истинным, мы говорим, что имплицирует . Идея импликации в той форме, в которой она нам нужна, может быть определена. Смысл, который должен быть придан импликации в дальнейшем, на первый взгляд может показаться несколько искусственным; но хотя существуют другие законные смыслы, тот, который принят здесь, гораздо более удобен для наших целей, чем любой из его конкурентов. Существенное свойство, которое мы требуем от импликации, таково: "То, что имплицируется истинным высказыванием, есть истина". Именно в силу этого свойства импликация дает доказательства. Но это свойство никоим образом не определяет, имплицируется ли что-либо, и если да, то что, ложным высказыванием. Что оно определяет, так это то, что если имплицирует , то не может быть случая, чтобы было истинным, а ложным, т.е. должен быть случай, что либо ложно, либо истинно. Наиболее удобная интерпретация импликации — сказать, наоборот, что если либо ложно, либо истинно, то " имплицирует " должно быть истинным. Следовательно, " имплицирует " должно быть определено как означающее: "Либо ложно, либо истинно". Следовательно, мы полагаем:

*1·01.

Здесь буквы "Df" означают "определение". Они и знак равенства вместе должны рассматриваться как образующие один символ, означающий "определено как означающее [42]". Все, что стоит слева от знака равенства, определено как означающее то же самое, что и то, что стоит справа от него. Определение не входит в число примитивных идей, потому что определения касаются исключительно символизма, а не того, что символизируется; они введены для практического удобства и теоретически излишни.

В силу вышеприведенного определения, когда " " выполняется, тогда либо ложно, либо истинно; следовательно, если истинно, должно быть истинным. Таким образом, вышеприведенное определение сохраняет существенную характеристику импликации; оно дает, по сути, наиболее общий смысл, совместимый с сохранением этой характеристики.

ПРИМИТИВНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ.

*1·1. Все, что имплицируется истинным элементарным высказыванием, есть истина. Pp [43].

Вышеприведенный принцип будет распространен в *9 на высказывания, которые не являются элементарными. Это не то же самое, что "если истинно, то если имплицирует , то истинно". Это истинное высказывание, но оно выполняется одинаково, когда не является истинным и когда не имплицирует . Оно не позволяет нам, подобно принципу, с которым мы имеем дело, утверждать просто, без какой-либо гипотезы. Мы не можем выразить принцип символически, отчасти потому, что любой символизм, в котором переменная , дает только гипотезу, что истинно, а не факт, что оно истинно [44].

Вышеприведенный принцип используется всякий раз, когда мы должны вывести высказывание из высказывания . Но подавляющее большинство утверждений в настоящей работе — это утверждения пропозициональных функций, т.е. они содержат неопределенную переменную. Поскольку утверждение пропозициональной функции — это другая примитивная идея, чем утверждение высказывания, нам требуется примитивное высказывание, отличное от *1·1, хотя и связанное с ним, чтобы позволить нам вывести утверждение пропозициональной функции " " из утверждений двух пропозициональных функций " " и " ". Это примитивное высказывание выглядит следующим образом:

*1·11. Когда может быть утверждено, где есть свободная переменная, и может быть утверждено, где есть свободная переменная, тогда может быть утверждено, где есть свободная переменная. Pp.

Этот принцип также должен предполагаться для функций нескольких переменных.

Часть важности вышеприведенного примитивного высказывания обусловлена тем фактом, что оно выражает в символизме результат, вытекающий из теории типов, которая требует символического признания. Предположим, у нас есть два утверждения пропозициональных функций " " и " "; тогда " " в не есть абсолютно что угодно, но что угодно, для чего в качестве аргумента функция " " значима; аналогично в " " есть что угодно, для чего " " значима. Помимо некоторой аксиомы, мы не знаем, что 's, для которых " " значима, являются теми же самыми, для которых " " значима. Примитивное высказывание *1·11, обеспечивая, что в результате утверждений пропозициональных функций " " и " " пропозициональная функция также может быть утверждена, обеспечивает частичное символическое признание, в форме, наиболее полезной в фактических дедукциях, важного принципа, который вытекает из теории типов, а именно: если есть какой-либо один аргумент a, для которого и " " и " " значимы, то диапазон аргументов, для которых " " значима, тот же самый, что и диапазон аргументов, для которых " " значима. Очевидно, что если пропозициональная функция " " может быть утверждена, должны быть аргументы a, для которых " " значима, и для которых, следовательно, " " и " " должны быть значимы. Следовательно, по нашему принципу, значения , для которых " " значима, те же самые, что и те, для которых " " значима, т.е. тип возможных аргументов для (ср. стр. 15) тот же самый, что и тип возможных аргументов для . Примитивное высказывание *1·11, поскольку оно утверждает практически важное следствие этого факта, называется "аксиомой идентификации типа".

Другое следствие принципа, что если есть аргумент, для которого и и значимы, то значимо всякий раз, когда значимо, и наоборот, будет дано в "аксиоме идентификации свободных переменных", введенной в *1·72. Эти два высказывания, *1·11 и *1·72, дают то, что символически существенно для проведения доказательств в соответствии с теорией типов.

Вышеприведенное высказывание *1·11 используется в каждом выводе от одной утвержденной пропозициональной функции к другой. Мы проиллюстрируем использование этого высказывания, подробно изложив способ, которым оно впервые используется в доказательстве *2·06. Это высказывание есть . Мы уже доказали в *2·05 высказывание . Очевидно, что *2·06 следует из *2·05 с помощью *2·04, которое есть . Ибо если в этом высказывании мы заменим на , на , и на , мы получим, как экземпляр *2·04, высказывание , и здесь гипотеза утверждается *2·05. Таким образом, наше примитивное высказывание *1·11 позволяет нам утверждать заключение.

*1·2.

Это высказывание утверждает: "Если либо истинно, либо истинно, то истинно". Оно называется "принципом тавтологии" и будет цитироваться под сокращенным названием "Taut". Удобно для целей ссылки давать имена нескольким более важным высказываниям; в общем, высказывания будут упоминаться по их номерам.

*1·3.

Этот принцип утверждает: "Если истинно, то ' или ' истинно". Таким образом, например, если есть "сегодня среда", а есть "сегодня вторник", принцип утверждает: "Если сегодня среда, то сегодня либо вторник, либо среда". Он называется "принципом сложения", потому что утверждает, что если высказывание истинно, любая альтернатива может быть добавлена, не делая его ложным. Принцип будет упоминаться как "Add".

*1·4.

Этот принцип утверждает, что " или " имплицирует " или ". Он утверждает перестановочный закон для логического сложения высказываний и будет называться "принципом перестановки". Он будет упоминаться как "Perm".

*1·5.

Этот принцип утверждает: "Если либо истинно, либо ' или ' истинно, то либо истинно, либо ' или ' истинно". Это форма ассоциативного закона для логического сложения, и он будет называться "ассоциативным принципом". Он будет упоминаться как "Assoc". Высказывание , которое было бы естественной формой для ассоциативного закона, имеет меньшую дедуктивную силу и поэтому не принимается в качестве примитивного высказывания.

*1·6.

Этот принцип утверждает: "Если имплицирует , то ' или ' имплицирует ' или '". Другими словами, в импликации альтернатива может быть добавлена как к посылке, так и к заключению, не нарушая истинности импликации. Принцип будет называться "принципом суммирования" и будет упоминаться как "Sum".

*1·7. Если есть элементарное высказывание, есть элементарное высказывание. Pp.

*1·71. Если и есть элементарные высказывания, есть элементарное высказывание. Pp.

*1·72. Если и есть элементарные пропозициональные функции, которые принимают элементарные высказывания в качестве аргументов, есть элементарная пропозициональная функция. Pp.

Эта аксиома должна применяться также к функциям двух или более переменных. Она называется "аксиомой идентификации свободных переменных". Будет замечено, что если и есть функции, которые принимают аргументы разных типов, не существует такой функции, как " ", потому что и не могут осмысленно иметь один и тот же аргумент. Более общая форма вышеприведенной аксиомы будет дана в *9.

Использование вышеприведенных аксиом обычно будет молчаливым. Только через них и аксиомы *9 теория типов, объясненная во Введении, становится значимой, и любой взгляд на логику, который оправдывает эти аксиомы, оправдывает такие последующие рассуждения, которые используют теорию типов.

Это завершает список примитивных высказываний, требуемых для теории дедукции, применяемой к элементарным высказываниям.

*2. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ СЛЕДСТВИЯ ПРИМИТИВНЫХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ.

Резюме *2.

Доказательства более ранних высказываний этого номера состоят просто в замечании того, что они являются экземплярами общих правил, данных в *1. В таких случаях эти правила не являются посылками, поскольку они утверждают любой экземпляр самих себя, а не что-то отличное от своих экземпляров. Следовательно, когда общее правило приводится в ранних доказательствах, оно будет приводиться в скобках [45], с указаниями, когда это требуется, относительно изменений букв с тех, что даны в правиле, на те, что в рассматриваемом случае. Таким образом, "Taut " будет означать то, во что превращается "Taut", когда пишется вместо . Если "Taut " заключено в квадратные скобки перед утвержденным высказыванием, это означает, что в соответствии с "Taut" мы утверждаем то, во что превращается "Taut", когда пишется вместо . Признание того, что определенное высказывание является экземпляром некоторого общего высказывания, ранее доказанного или принятого, существенно для процесса дедукции из общих правил, но само по себе не может быть возведено в общее правило, поскольку требуемое применение является частным, и никакое общее правило не может явно включать частное применение.

Опять же, когда два разных набора символов выражают одно и то же высказывание в силу определения, скажем *1·01, и одно из них, которое мы назовем (1), было утверждено, утверждение другого делается путем написания "[(1).(*1·01)]" перед ним, означая, что в силу *1·01 новый набор символов утверждает то же самое высказывание, что было утверждено в (1). Ссылка на определение отличается от ссылки на предыдущее высказывание тем, что она заключена в круглые скобки.

Высказывания в этом номере все, или почти все, действительно необходимы при дедукции математики из наших примитивных высказываний. Хотя некоторые сокращающие процессы будут постепенно вводиться, доказательства будут даны очень полно, потому что важность настоящего предмета заключается не в самих высказываниях, а (1) в том факте, что они следуют из примитивных высказываний, (2) в том факте, что предмет является самым легким, простым и элементарным примером символического метода обращения с принципами математики в целом. Более поздние части — теории классов, отношений, кардинальных чисел, рядов, порядковых чисел, геометрии и т.д. — все используют тот же метод, но с возрастающей сложностью рассматриваемых сущностей и функций.

Наиболее важными высказываниями, доказанными в настоящем номере, являются следующие:

*2·02.

Т.е. имплицирует, что имплицирует , т.е. истинное высказывание имплицируется любым высказыванием. Это высказывание называется "принципом упрощения" (упоминается как "Simp"), потому что, как будет показано позже, оно позволяет нам перейти от совместного утверждения и к утверждению просто. Когда вспоминается специальный смысл, который мы придали импликации, будет видно, что это высказывание очевидно.

*2·03.

*2·15.

*2·16.

*2·17.

Эти четыре аналогичных высказывания составляют "принцип транспозиции", упоминаемый как "Transp". Они ведут к правилу, что в импликации две стороны могут быть переставлены путем превращения отрицательного в положительное и положительного в отрицательное. Таким образом, они аналогичны алгебраическому правилу, согласно которому две стороны уравнения могут быть переставлены путем изменения знаков.

*2·04.

Это называется "коммутативным принципом" и упоминается как "Comm". Он утверждает, что если следует из при условии, что истинно, то следует из при условии, что истинно.

*2·05.

*2·06.

Эти два высказывания являются источником силлогизма в Barbara (как будет показано позже) и поэтому называются "принципом силлогизма" (упоминается как "Syll"). Первое утверждает, что если следует из , то если следует из , следует из . Второе утверждает то же самое с переставленными посылками.

*2·08.

Т.е. любое высказывание имплицирует само себя. Это называется "принципом тождества" и упоминается как "Id". Это не то же самое, что "закон тождества" (" тождественен "), но закон тождества выводится из него (ср. *13·15).

*2·21.

Т.е. ложное высказывание имплицирует любое высказывание.

Более поздние высказывания настоящего номера по большей части подпадают под высказывания в *3 или *4, которые дают те же результаты в более сжатых формах. Теперь мы переходим к формальным дедукциям.

*2·01.

Это высказывание утверждает, что если имплицирует свою собственную ложность, то ложно. Оно называется "принципом reductio ad absurdum" и будет упоминаться как "Abs" [46]. Доказательство выглядит следующим образом (где "Dem." является сокращением от "демонстрация"):

Док.

*2·02.

Док.

*2·03.

Док.

*2·04.

Док.

*2·05.

Док.

*2·06.

Док.

В последней строке этого доказательства запись «(1).(2).*1·11» означает, что мы производим выведение в соответствии с *1·11, имея перед собой пропозицию, а именно, которая, согласно (1), имплицируется пропозицией, которая, согласно (2), является истинной. В общем случае в подобных ситуациях мы будем опускать ссылку на *1·11.

Две вышеприведенные пропозиции будут именоваться «принципом силлогизма» (сокращенно «Syll»), поскольку, как будет показано далее, силлогизм в модусе Barbara выводится из них.

*2·07

Здесь мы не указываем ничего, кроме «*1·3», поскольку доказываемая пропозиция представляет собой то, во что превращается *1·3 при подстановке вместо.

*2·08

Док.

*2·1

*2·11

Док.

Это закон исключенного третьего.

*2·12

Док.

*2·13.

Эта пропозиция является леммой для *2·14, которая вместе с *2·12 составляет принцип двойного отрицания.

Док.

*2·14.

Док.

*2·15.

Док.

Примечание к доказательству *2·15. В приведенном выше доказательстве видно, что (3), (4), (6) имеют соответственно формы, , , где есть доказываемая пропозиция. Из , , пропозиция получается путем повторного применения *2·05 или *2·06 (обе из которых называются «Syll»). Утомительно и излишне повторять этот процесс каждый раз при его использовании; поэтому он будет сокращен до , где (a) имеет форму, (b) — форму, (c) — форму, а (d) — форму. Такое же сокращение будет применяться к сориту любой длины.

Также, когда у нас есть «» и «», и является доказываемой пропозицией, удобно записывать просто, где «и т. д.» будет ссылкой на предыдущие пропозиции, в силу которых имеет место импликация «». Эта форма воплощает использование *1·11 или *1·1 и делает многие доказательства одновременно более короткими и легкими для восприятия. Она используется в первых двух строках следующего доказательства.

*2·16.

Док.

Примечание. Доказываемая пропозиция будет называться «Prop», и когда доказательство заканчивается, как в случае с *2·16, импликацией между утвержденными пропозициями, консеквентом которой является доказываемая пропозиция, мы будем писать «». Таким образом, «» завершает доказательство и более или менее соответствует «Ч.Т.Д.»

*2·17.

Док.

*2·15, *2·16 и *2·17 являются формами принципа транспозиции, и все они будут именоваться «Transp».

*2·18.

Док.

Это дополнение к принципу reductio ad absurdum. Оно гласит, что пропозиция, следующая из гипотезы о собственной ложности, является истинной.

*2·2.

Док.

*2·21.

Две вышеприведенные пропозиции используются очень часто.

*2·24.

*2·25.

Док.

*2·26.

*2·27.

*2·3.

Док.

*2·31.

Эта пропозиция и *2·32 вместе составляют ассоциативный закон для логической суммы пропозиций. В доказательстве будет использовано следующее сокращение (постоянно применяемое в дальнейшем) [47]: когда у нас есть ряд пропозиций вида, , , все утвержденные, и «» является доказываемой пропозицией, полное доказательство выглядит следующим образом:

Утомительно расписывать этот процесс полностью; поэтому мы пишем просто

где «» — доказываемая пропозиция. Слева мы указываем ссылками в квадратных скобках пропозиции, в силу которых имеют место последовательные импликации. Мы ставим одну точку (а не две) после «», чтобы показать, что именно, а не «» имплицирует. Но мы ставим две точки после, чтобы показать, что теперь речь идет о всей пропозиции «». Если «» не является доказываемой пропозицией, а должна быть использована впоследствии в доказательстве, мы ставим

и тогда «(1)» означает «». Доказательство *2·31 выглядит следующим образом:

Док.

*2·32.

Док.

*2·33.

Это определение служит лишь для избежания скобок.

*2·36.

Док.

*2·37.

*2·38.

Доказательства *2·37·38 в точности аналогичны доказательству *2·36. (Мы используем «*2·37·38» как сокращение для «*2·37 и *2·38». Такие сокращения будут использоваться повсеместно.)

Использование общего принципа дедукции, такого как любая из форм «Syll», в доказательстве отличается от использования конкретных посылок, к которым применяется принцип дедукции. Принцип дедукции дает общее правило, согласно которому производится выведение, но сам по себе не является посылкой в этом выведении. Если бы мы рассматривали его как посылку, нам потребовалось бы либо оно, либо какое-то другое общее правило, чтобы позволить нам вывести желаемое заключение, и таким образом мы постепенно накапливали бы все больше посылок, так и не будучи в состоянии сделать какое-либо выведение. Поэтому, когда при выведении приводится общее правило, например, когда мы пишем «», упоминание «Syll» требуется лишь для того, чтобы напомнить читателю, как именно производится выведение.

Правило вывода может, однако, встречаться и как одна из обычных посылок, то есть, например, в случае с «Syll» пропозиция «» может быть одной из тех, к которым применяются наши правила дедукции, и тогда она является обычной посылкой. Различие между двумя способами использования принципов дедукции имеет определенное философское значение, и в приведенных выше доказательствах мы обозначили его, поместив правило вывода в квадратные скобки. Однако практически неудобно продолжать различать их по способу ссылки. Поэтому в дальнейшем мы будем как приводить обычные посылки в квадратных скобках, где это удобно, так и приводить правила вывода вместе с другими пропозициями в утвержденных посылках, т. е. мы будем писать, например,

*2·4.

Док.

*2·41.

Док.

*2·42.

*2·43.

*2·45.

*2·46.

*2·47.

*2·48.

*2·49.

*2·5.

*2·51.

*2·52.

*2·521.

*2·53.

Док.

*2·54.

*2·55.

*2·56.

*2·6.

Док.

*2·61.

*2·62.

*2·621.

*2·63.

*2·64.

*2·65.

*2·67.

Док.

*2·68.

Док.

*2·69.

*2·73.

*2·74.

*2·75.

*2·76.

*2·77.

*2·8.

Док.

*2·81.

Док.

*2·82.

*2·83.

*2·85.

Док.

*2·86.

СНОСКИ:

[38] Признанные методы доказательства независимости не применимы без оговорок к фундаментальным положениям. Ср. Principles of Mathematics, § 17. То, что там сказано относительно примитивных пропозиций, с еще большей силой относится к примитивным идеям.

[39] Мы заимствовали как идею, так и символ утверждения у Фреге.

[40] Ср. Principles of Mathematics, § 38.

[41] Когда мы говорим, что пропозиция «принадлежит логике», мы имеем в виду, что она может быть выражена в терминах примитивных идей логики. Мы не имеем в виду, что логика применяется к ней, ибо это, конечно, было бы верно для любой пропозиции.

[42] Знак равенства, за которым не следуют буквы «Df», будет иметь другое значение, которое будет определено позже.

[43] Буквы «Pp» означают «примитивная пропозиция» (primitive proposition), как у Пеано.

[44] Дополнительные замечания об этом принципе см. в Principles of Mathematics, § 38.

[45] В дальнейшем мы перестанем проводить различие между посылкой и правилом, согласно которому осуществляется выведение. Это различие важно только в ранних доказательствах.

[46] Существует интересная историческая статья об этом принципе, написанная Вайлати: «A proposito d'un passo del Teeteto e di una dimostrazione di Euclide», Rivista di Filosofia e scienze affine, 1904.

[47] Это сокращение применяется к тому же типу случаев, что и те, которые рассматриваются в примечании к *2·15, но часто оказывается более удобным, чем сокращение, объясненное в том примечании.

*3. ЛОГИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ПРОПОЗИЦИЙ.

Резюме *3.

Логическое произведение двух пропозиций и практически представляет собой пропозицию « и оба истинны». Но в таком виде это было бы новой примитивной идеей. Поэтому мы принимаем в качестве логического произведения пропозицию, т. е. «ложно, что либо ложно, либо ложно», что очевидно истинно тогда и только тогда, когда и оба истинны. Таким образом, мы полагаем

*3·01.

где «» — логическое произведение и.

*3·02.

Это определение служит лишь для сокращения доказательств.

Когда нам даны две утвержденные пропозициональные функции «» и «», мы будем иметь «» всякий раз, когда и принимают аргументы одного и того же типа. Это будет доказано для любых функций в *9; в настоящее время мы ограничиваемся элементарными пропозициональными функциями элементарных пропозиций. В этом случае результат доказывается следующим образом:

Согласно *1·7, и являются элементарными пропозициональными функциями, и поэтому, согласно *1·72, является элементарной пропозициональной функцией. Следовательно, согласно *2·11,

Следовательно, согласно *2·32 и *1·01, т. е. согласно *3·01,

Следовательно, согласно *1·11, когда у нас есть «» и «», мы имеем «». Эта пропозиция есть *3·03. Следует понимать, что она, подобно *1·72, применима также к функциям двух или более переменных.

Вышеприведенное является практически наиболее полезной формой аксиомы идентификации свободных переменных (ср. *1·72). На практике, когда ограничение элементарными пропозициями и пропозициональными функциями снято, удобным средством, с помощью которого часто можно распознать, что две функции принимают аргументы одного и того же типа, является следующее:

Если содержит каким-либо образом составляющую, а содержит каким-либо образом составляющую, то и и принимают аргументы типа аргумента в, и, следовательно, и и принимают аргументы одного и того же типа. Следовательно, в таком случае, если и и могут быть утверждены, то может быть утверждено и .

В качестве примера использования этой пропозиции возьмем доказательство *3·47. Мы доказываем там, и то, что мы хотим доказать, есть, что является *3·47. Теперь в (1) и (2), , , , являются элементарными пропозициями (как и везде в Разделе А); следовательно, согласно *1·7·71, применяемым неоднократно, «» и «» являются элементарными пропозициональными функциями. Следовательно, согласно *3·03, мы имеем, откуда результат следует согласно *3·43 и *3·33.

Основными пропозициями настоящего параграфа являются следующие:

*3·2

Т. е. « имплицирует, что имплицирует», т. е. если каждая из двух пропозиций истинна, то истинно и их логическое произведение.

*3·26

*3·27

Т. е. если логическое произведение двух пропозиций истинно, то каждая из двух пропозиций в отдельности истинна.

*3·3

Т. е. если и совместно имплицируют, то имплицирует, что имплицирует. Этот принцип (вслед за Пеано) будет называться «экспортацией», поскольку «экспортируется» из гипотезы. На него будут ссылаться как на «Exp».

*3·31

Это коррелят вышеприведенного, и он будет называться (вслед за Пеано) «импортацией» (ссылка на него — «Imp»).

*3·35

Т. е. «если истинно, и из него следует, то истинно». Это будет называться «принципом утверждения» (ссылка на него — «Ass»). Он отличается от *1·1 тем, что применяется не только тогда, когда действительно истинно, но требует лишь гипотезы о том, что p истинно.

*3·43

Т. е. если пропозиция имплицирует каждую из двух пропозиций, то она имплицирует их логическое произведение. Это называется у Пеано «принципом композиции». На него будут ссылаться как на «Comp».

*3·45.

Т. е. обе стороны импликации могут быть умножены на общий множитель. Это называется у Пеано «принципом множителя». На него будут ссылаться как на «Fact».

*3·47.

Т. е. если имплицирует, а имплицирует, то и совместно имплицируют и совместно. Закон противоречия, «)», доказывается в этом параграфе (*3·24); но, несмотря на его известность, мы находили мало поводов для его использования.

*3·01.

*3·02.

*3·03. Даны две утвержденные элементарные пропозициональные функции «» и «», аргументами которых являются элементарные пропозиции, мы имеем.

Док.

*3·1.

*3·11.

*3·12.

*3·13.

*3·14.

*3·2.

*3·21.

*3·22.

Это одна из форм коммутативного закона для логического умножения. Более полная форма приведена в *4·3.

Док.

Заметьте, что в вышеприведенном доказательстве «(1)» означает пропозицию, как это было объяснено в доказательстве *2·31.

*3·24.

Док.

Вышеприведенное является законом противоречия.

*3·26.

Док.

*3·27.

Док.

*3·26·27 будут называться «принципом упрощения», подобно *2·02, из которого они выведены. На них будут ссылаться как на «Simp».

*3·3.

Док.

*3·31.

Док.

*3·33.

*3·34.

Эти две пропозиции в дальнейшем будут именоваться «Syll»; они обычно более удобны, чем *2·05 или *2·06.

*3·35.

*3·37.

Док.

Это еще одна форма транспозиции.

*3·4.

*3·41.

*3·42.

*3·43.

Док.

*3·44.

Этот принцип аналогичен *3·43. Аналогия между *3·43 и *3·44 такова, какая обычно существует между формулами, касающимися произведений, и формулами, касающимися сумм.

Док.

*3·45.

Этот принцип показывает, что мы можем умножать обе стороны импликации на общий множитель; поэтому он называется у Пеано «принципом множителя». Мы будем ссылаться на него как на «Fact». Это аналог, для умножения, примитивной пропозиции *1·6.

Док.

*3·47.

Эта пропозиция, или, скорее, ее аналог для классов, была доказана Лейбницем и, очевидно, нравилась ему, поскольку он называет ее «præclarum theorema» [48].

Док.

*3·48.

Эта теорема является аналогом *3·47.

Док.

СНОСКИ:

[48] Philosophical works, издание Герхардта, том VII, стр. 223.

*4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ И ФОРМАЛЬНЫЕ ПРАВИЛА.

Резюме *4.

В этом параграфе мы будем иметь дело с правилами, более или менее аналогичными правилам обычной алгебры. Именно с этих правил начинается обычное «исчисление формальной логики». Рассматриваемые как «исчисление», правила дедукции допускают множество других интерпретаций. Но все другие интерпретации зависят от той, что рассматривается здесь, поскольку во всех них мы выводим следствия из наших правил и, таким образом, предполагаем теорию дедукции. Одна очень простая интерпретация «исчисления» выглядит следующим образом: рассматриваемые сущности должны быть числами, которые являются либо 0, либо 1; «» должно иметь значение 1, если равно 0, а равно 1; в противном случае оно должно иметь значение 0; должно быть 1, если равно 0, и 0, если равно 1; должно быть 1, если и оба равны 1, и должно быть 0 в любом другом случае; должно быть 1, если и оба равны 0, и должно быть 0 в любом другом случае; а знак утверждения должен означать, что то, что следует за ним, имеет значение 1. Символическая логика, рассматриваемая как исчисление, несомненно, представляет большой интерес сама по себе; но, по нашему мнению, этот аспект до сих пор слишком подчеркивался в ущерб тому аспекту, в котором символическая логика является лишь самой элементарной частью математики и логической предпосылкой всего остального. По этой причине мы лишь кратко рассмотрим то, что требуется для алгебры символической логики.

Когда каждая из двух пропозиций имплицирует другую, мы говорим, что они эквивалентны, что мы записываем как «».

*4·01.

Очевидно, что две пропозиции эквивалентны тогда и только тогда, когда обе они истинны или обе ложны. Следуя Фреге, мы будем называть истинностное значение пропозиции истиной, если она истинна, и ложью, если она ложна. Таким образом, две пропозиции эквивалентны, когда они имеют одинаковое истинностное значение.

Следует заметить, что если, то может быть подставлено вместо без изменения истинностного значения любой функции от, которая не содержит никаких примитивных идей, кроме перечисленных в *1. Это можно доказать в каждом отдельном случае, но не в общем виде, поскольку у нас нет средств указать (с нашим аппаратом примитивных идей), что функция является такой, которую можно построить только из этих идей. Мы дадим название истинностной функции функции, аргументом которой является пропозиция и истинностное значение которой зависит только от истинностного значения ее аргумента. Все функции пропозиций, с которыми мы будем специально иметь дело, будут истинностными функциями, т. е. мы будем иметь. Причина этого в том, что функции пропозиций, с которыми мы имеем дело, все построены с помощью примитивных идей из *1. Но не является универсальной характеристикой функций пропозиций быть истинностными функциями. Например, « верит в » может быть истинным для одного истинного значения и ложным для другого.

Основными пропозициями этого параграфа являются следующие:

*4·1.

*4·11.

Обе они являются формами «принципа транспозиции».

*4·13.

Это принцип двойного отрицания, т. е. пропозиция эквивалентна ложности своего отрицания.

*4·2.

*4·21.

*4·22.

Эти пропозиции утверждают, что эквивалентность является рефлексивной, симметричной и транзитивной.

*4·24.

*4·25.

Т. е. эквивалентно « и » и « или », что являются двумя формами закона тавтологии и источником основных различий между алгеброй символической логики и обычной алгеброй.

*4·3.

Это коммутативный закон для произведения пропозиций.

*4·31.

Это коммутативный закон для суммы пропозиций.

Ассоциативные законы для умножения и сложения пропозиций, а именно

*4·32.

*4·33.

Дистрибутивный закон в двух формах

*4·4.

*4·41.

Вторая из этих форм не имеет аналога в обычной алгебре.

*4·71.

Т. е. имплицирует тогда и только тогда, когда эквивалентно. Эта пропозиция используется постоянно; она позволяет нам заменить любую импликацию эквивалентностью.

*4·73.

Т. е. истинный множитель может быть отброшен от пропозиции или добавлен к ней без изменения истинностного значения пропозиции.

*4·01.

*4·02.

Это определение служит лишь для обеспечения удобного сокращения.

*4·1.

*4·11.

*4·12.

*4·13.

*4·14.

*4·15.

*4·2.

*4·21.

*4·22.

Док.

Примечание. Три вышеприведенные пропозиции показывают, что отношение эквивалентности является рефлексивным (*4·2), симметричным (*4·21) и транзитивным (*4·22). Импликация является рефлексивной и транзитивной, но не симметричной. Свойства симметричности, транзитивности и (по крайней мере, в определенной области) рефлексивности существенны для любого отношения, которое должно обладать формальными характеристиками равенства.

*4·24.

Док.

*4·25.

Примечание. *4·24·25 — это две формы закона тавтологии, который главным образом отличает алгебру символической логики от обычной алгебры.

*4·3.

Примечание. Всякий раз, когда у нас есть, какими бы ни были значения и, мы имеем также. Ибо

*4·31.

*4·32.

Док.

Примечание. Здесь «(1)» означает «», что получается из вышеприведенных шагов согласно *4·22. Использование *4·22 часто будет подразумеваемым, как выше. Принцип тот же, что был объяснен в отношении импликации в *2·31.

*4·33.

Вышеприведенное — это ассоциативные законы для умножения и сложения пропозиций. Чтобы избежать скобок, мы вводим следующее определение:

*4·34.

*4·36.

*4·37.

*4·38.

*4·39.

*4·4.

Это первая форма дистрибутивного закона.

Док.

*4·41.

Это вторая форма дистрибутивного закона — форма, для которой нет ничего аналогичного в обычной алгебре. Согласно конвенциям относительно точек, «» означает «».

Док.

*4·42.

Док.

*4·43.

Док.

*4·44.

Док.

*4·45.

Следующие формулы принадлежат Де Моргану, или, скорее, являются пропозициональными аналогами формул, данных Де Морганом для классов. Первая из них, как можно заметить, просто воплощает наше определение логического произведения.

*4·5.

*4·51.

*4·52.

*4·53.

*4·54.

*4·55.

*4·56.

*4·57.

Следующие формулы получаются непосредственно из вышеприведенных. Они важны как показывающие, как преобразовывать импликации в суммы или в отрицания произведений, и наоборот. Можно заметить, что первая из них просто воплощает определение *1·01.

*4·6.

*4·61.

*4·62.

*4·63.

*4·64.

*4·65.

*4·66.

*4·67.

*4·7.

Док.

*4·71.

Док.

Вышеприведенная пропозиция используется постоянно. Она позволяет нам преобразовать каждую импликацию в эквивалентность, что является преимуществом, если мы хотим максимально приблизить символическую логику к обычной алгебре. Но когда символическая логика рассматривается как инструмент доказательства, нам нужны импликации, и обычно неудобно подставлять эквивалентности. Подобные замечания применимы и к следующей пропозиции.

*4·72.

Док.

*4·73.

Эта пропозиция очень полезна, поскольку она показывает, что истинный множитель может быть опущен из произведения без изменения его истинности или ложности, точно так же, как истинная гипотеза может быть опущена из импликации.

*4·74.

*4·76.

*4·77.

*4·78.

Док.

*4·79.

Док.

Примечание. Аналоги *4·78·79 для классов ложны. Возьмем, например, *4·78 и положим = англичане, = мужчины, = женщины. Тогда содержится в или, но не содержится в и не содержится в .

*4·8.

*4·81.

*4·82.

*4·83.

Примечание. *4·82·83 могут быть также получены из *4·43, формами которой они фактически являются.

*4·84.

*4·85.

*4·86.

*4·87.

*4·87 воплощает в одной пропозиции принципы экспортации и импортации и коммутативный принцип.

*5. РАЗНЫЕ ПРОПОЗИЦИИ.

Резюме *5.

Настоящий параграф состоит главным образом из пропозиций двух видов: (1) тех, которые потребуются в качестве лемм в одном или нескольких последующих доказательствах, (2) тех, которые сами по себе являются иллюстративными или были бы важны в других разработках, отличных от тех, которые мы хотим сделать. Однако некоторые из пропозиций этого параграфа будут использоваться очень часто. Это:

*5·1.

Т. е. две пропозиции эквивалентны, если обе они истинны. (Утверждение о том, что две пропозиции эквивалентны, если обе они ложны, есть *5·21.)

*5·32.

Т. е. сказать, что при гипотезе и эквивалентны, эквивалентно утверждению, что совместное утверждение и эквивалентно совместному утверждению и. Это очень полезное правило при выведении.

*5·6.

Т. е. « и не- имплицируют» эквивалентно « имплицирует или ».

Среди пропозиций, на которые впоследствии не делается ссылок, но которые включены из-за их внутреннего интереса, находятся следующие: *5·11·12·13·14, которые гласят, что для любых двух пропозиций, либо или должны имплицировать, и должны имплицировать либо, либо не-, и либо имплицирует, либо имплицирует; и для любой третьей пропозиции, либо имплицирует, либо имплицирует [49].

Другие пропозиции, на которые впоследствии не делается ссылок, — это *5·22·23·24; в них показано, что две пропозиции не эквивалентны тогда и только тогда, когда одна истинна, а другая ложна, и что две пропозиции эквивалентны тогда и только тогда, когда обе истинны или обе ложны. Отсюда следует (*5·24), что отрицание «» эквивалентно «». *5·54·55 гласят, что как произведение, так и сумма и эквивалентны, соответственно, либо, либо .

Доказательства следующих пропозиций все просты, и поэтому мы часто будем лишь указывать пропозиции, используемые в доказательствах.

*5·1.

*5·11.

*5·12.

*5·13.

*5·14.

*5·15.

Док.

*5·16.

Док.

*5·17.

Док.

*5·18.

*5·19.

*5·21.

*5·22.

*5·23.

*5·24.

*5·25.

Из *5·25 видно, что мы могли бы принять импликацию, вместо дизъюнкции, в качестве примитивной идеи и определить «» как означающее «» (т. е. «не- или »). Этот путь, однако, требует большего количества примитивных пропозиций, чем требуется методом, который мы приняли.

*5·3.

*5·31.

*5·32.

Эта пропозиция постоянно требуется в последующих доказательствах.

*5·33.

*5·35.

*5·36.

*5·4.

*5·41.

*5·42.

*5·44.

*5·5.

*5·501.

*5·53.

*5·54.

*5·55.

*5·6.

*5·61.

*5·62.

*5·63.

*5·7.

*5·71.

В следующем доказательстве, как и всегда в дальнейшем, «» означает гипотезу доказываемой пропозиции.

Док.

*5·74.

Док.

*5·75.

Док.

СНОСКИ:

[49] Ср. Шрёдер, Vorlesungen über Algebra der Logik, Zweiter Band (Лейпциг, 1891), стр. 270-271, где объясняется кажущаяся странность вышеприведенной пропозиции.

РАЗДЕЛ B. ТЕОРИЯ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.

*9. РАСШИРЕНИЕ ТЕОРИИ ДЕДУКЦИИ С НИЗШИХ НА ВЫСШИЕ ТИПЫ ПРОПОЗИЦИЙ.

Резюме *9.

В настоящем параграфе мы вводим две новые примитивные идеи, которые могут быть выражены как « всегда истинно» [50] и « иногда истинно» [51], или, более правильно, как « всегда» и « иногда». Когда мы утверждаем « всегда», мы утверждаем все значения, где «» означает саму функцию, в противоположность неоднозначному значению функции (ср. стр. 15, 42); мы не утверждаем, что истинно для всех значений, потому что, в соответствии с теорией типов, существуют значения, для которых «» бессмысленно; например, сама функция должна быть таким значением. Мы будем обозначать « всегда» нотацией, где за «» будет следовать достаточно большое количество точек, чтобы охватить функцию, к которой относятся «все значения». Форма, в которой такие пропозиции встречаются наиболее часто, — это «формальная импликация», т. е. такая пропозиция, как, т. е. « всегда имплицирует». Это форма, в которой мы выражаем универсальное утверждение «все объекты, обладающие свойством, обладают свойством».

Мы будем обозначать « иногда» нотацией. Здесь «» означает «существует», и весь символ можно читать как «существует такое, что».

В пропозиции любой из двух форм (x)φx, (∃x)φx символ x называется связанной переменной. Пропозиция, не содержащая связанных переменных, называется «элементарной», а функция, все значения которой являются элементарными пропозициями, называется элементарной функцией. По причинам, изложенным в главе II Введения, представляется, что отрицание, дизъюнкция и их производные должны иметь иное значение при применении к элементарным пропозициям, нежели при применении к таким пропозициям, как (x)φx или (∃x)φx. Если φx — элементарная функция, то в данном параграфе мы будем называть (x)φx и (∃x)φx «пропозициями первого порядка». Тогда, в силу того факта, что дизъюнкция и отрицание имеют неодинаковые значения при применении к элементарным пропозициям или к пропозициям первого порядка, следует, что при утверждении примитивных пропозиций из *1 мы должны либо ограничить их применение пропозициями одного типа, либо рассматривать их как одновременное утверждение ряда различных примитивных пропозиций, соответствующих различным значениям «дизъюнкции» и «отрицания». Аналогично, в отношении примитивных идей дизъюнкции и отрицания мы должны либо в примитивных пропозициях *1 ограничить их дизъюнкциями и отрицаниями элементарных пропозиций, либо рассматривать каждую из них как действительно множественную, так что для каждого типа пропозиций нам потребуется новая примитивная идея отрицания и новая примитивная идея дизъюнкции. В настоящем параграфе мы покажем, как при ограничении примитивных идей отрицания и дизъюнкции элементарными пропозициями, когда φx, ψx, χx из *1—*5 являются, следовательно, необходимо элементарными пропозициями, можно получить определения отрицания и дизъюнкции пропозиций первого порядка, а также доказательства аналогов примитивных пропозиций *1·2—*1·6 для пропозиций первого порядка. (*1·1 и *1·11 должны быть приняты заново для пропозиций первого порядка, а аналоги *1·7, *1·71, *1·72 требуют нового рассмотрения.) Отсюда следует, что аналоги пропозиций *2—*5 следуют из простого повторения предыдущих доказательств. Также следует, что теория дедукции может быть распространена с пропозиций первого порядка на такие, которые содержат две связанные переменные, путем простого повторения процесса, расширяющего теорию дедукции с элементарных пропозиций на пропозиции первого порядка. Таким образом, путем простого повторения процесса, изложенного в настоящем параграфе, можно прийти к пропозициям любого порядка. Следовательно, отрицание и дизъюнкцию на практике можно рассматривать так, как если бы не было различия в этих идеях при их применении к разным типам; иными словами, когда встречается «~p» или «p ∨ q», на практике нет необходимости знать, каков тип p или q, поскольку свойства отрицания и дизъюнкции, принятые в *1 (которые единственные используются при доказательстве других свойств), могут быть утверждены без формальных изменений для пропозиций любого порядка или, в случае p ∨ q, для любых двух порядков. Ограничение на практике рассмотрением отрицания или дизъюнкции как единых идей, одинаковых во всех типах, возникло бы только в том случае, если бы мы когда-либо пожелали предположить, что существует некая функция от φx, значение которой всегда есть (x)φx, каков бы ни был порядок φx, или что существует некая функция от φx и ψx, значение которой всегда есть (x)φx ∨ (x)ψx, каковы бы ни были порядки φx и ψx. Такое допущение не требуется, пока φx (и ψx) остаются свободными переменными, поскольку в этом случае нет необходимости придавать одно и то же значение отрицанию и дизъюнкции для различных значений φx (и ψx), когда эти различные значения относятся к разным типам. Но если φx (или ψx) превращается в связанную переменную, то, поскольку наши две примитивные идеи ~p и p ∨ q требуют некоторой определенной функции φx и ограничивают связанную переменную возможными аргументами для φx, следует, что отрицание и дизъюнкция должны, где бы они ни встречались в выражении, в котором φx (или ψx) является связанной переменной, быть ограничены тем видом отрицания или дизъюнкции, который соответствует данному типу или паре типов. Так, например, если мы утверждаем закон исключенного третьего в форме p ∨ ~p, нет необходимости накладывать какие-либо ограничения на p: мы можем придать p значение любого порядка, а затем придать входящим в него отрицанию и дизъюнкции те значения, которые соответствуют этому порядку. Но если мы утверждаем (x)φx ∨ ~(x)φx, необходимо, чтобы наш символ был значимым, чтобы «(x)φx» было значением для аргумента φ функции f(φ); а это возможно только в том случае, если входящие в него отрицание и дизъюнкция имеют значения, зафиксированные заранее, и если, следовательно, φ ограничено одним типом. Таким образом, утверждение закона исключенного третьего в форме, включающей свободную переменную, является более общим, чем в форме, включающей связанную переменную. Аналогичные замечания применимы в целом там, где переменная является аргументом типически двусмысленной функции.

В дальнейшем отдельные буквы p и q будут представлять элементарные пропозиции, так же как и «(x)φx», «(∃x)φx» и т. д. Мы покажем, как, принимая примитивные идеи и пропозиции *1 применительно к элементарным пропозициям, мы можем определить и доказать аналогичные идеи и пропозиции применительно к пропозициям форм (x)φx и (∃x)φx. Путем простого повторения аналогичного процесса будет следовать, что аналогичные идеи и пропозиции могут быть определены и доказаны для пропозиций любого порядка; откуда, далее, следует, что во всем, что касается дизъюнкции и отрицания, пока пропозиции не появляются как связанные переменные, мы можем полностью игнорировать различие между разными типами пропозиций и между разными значениями отрицания и дизъюнкции. Поскольку у нас на практике никогда не возникает необходимости рассматривать пропозиции как связанные переменные, отсюда следует, что иерархия пропозиций (в отличие от иерархии функций) никогда не будет актуальна на практике после настоящего параграфа.

Цель и интерес настоящего параграфа чисто философские, а именно: показать, как с помощью определенных примитивных пропозиций мы можем вывести теорию дедукции для пропозиций, содержащих связанные переменные, из теории дедукции для элементарных пропозиций. С чисто технической точки зрения различие между элементарными и другими пропозициями можно игнорировать, пока пропозиции не появляются как связанные переменные; тогда мы можем рассматривать примитивные пропозиции *1 как применимые к пропозициям любого типа и продолжать, как в *10, где возобновляется чисто техническое развитие.

Следует заметить, что, хотя в настоящем параграфе мы доказываем, что аналоги примитивных пропозиций *1, если они справедливы для пропозиций, содержащих связанные переменные, также справедливы для таких, которые содержат φx, мы не должны полагать, что математическая индукция может быть использована для вывода о том, что аналоги примитивных пропозиций *1 справедливы для пропозиций, содержащих любое количество связанных переменных. Математическая индукция — это метод доказательства, который еще не применим и (как будет показано) не может быть свободно использован до тех пор, пока не будет установлена теория пропозиций, содержащих связанные переменные. Что мы можем сделать с помощью пропозиций в настоящем параграфе, так это доказать наш желаемый результат для любого заданного числа связанных переменных — скажем, десяти — путем десятикратного применения одного и того же доказательства. Таким образом, мы можем доказать относительно любой заданной пропозиции, что она подчиняется аналогам примитивных пропозиций *1, но мы можем сделать это только действуя шаг за шагом, а не каким-либо кратким методом, который могла бы предоставить математическая индукция. Тот факт, что высшие типы могут быть достигнуты только шаг за шагом, является существенным, поскольку для иного способа нам потребовалась бы связанная переменная, которая блуждала бы от типа к типу, что противоречило бы принципу, на котором строятся типы.

Определение отрицания. Сначала мы должны определить отрицания (x)φx и (∃x)φx. Мы определяем отрицание (x)φx как ~(x)φx, т. е. «неверно, что φx всегда истинно» означает «верно, что ~φx иногда истинно». Аналогично, отрицание (∃x)φx определяется как ~(∃x)φx. Таким образом, мы полагаем

*9·01. ~(x)φx = (∃x)~φx Df.

*9·02. ~(∃x)φx = (x)~φx Df.

Чтобы избежать скобок, мы будем писать ~(x)φx в месте ~( (x)φx ), и ~(∃x)φx в месте ~( (∃x)φx ). Таким образом:

*9·011. ~(x)φx = (∃x)~φx Df.

*9·021. ~(∃x)φx = (x)~φx Df.

Определение дизъюнкции. Чтобы определить дизъюнкцию, когда одна или обе рассматриваемые пропозиции относятся к первому порядку, мы должны выделить шесть случаев, а именно:

*9·03. p ∨ (x)φx = (x)(p ∨ φx) Df.

*9·04. (x)φx ∨ p = (x)(φx ∨ p) Df.

*9·05. p ∨ (∃x)φx = (∃x)(p ∨ φx) Df.

*9·06. (∃x)φx ∨ p = (∃x)(φx ∨ p) Df.

*9·07. (x)φx ∨ (x)ψx = (x)(y) (φx ∨ ψy) Df.

*9·08. (∃x)φx ∨ (∃x)ψx = (∃x)(∃y) (φx ∨ ψy) Df.

(Определения *9·07, *9·08 должны применяться также, когда φx и ψx не являются элементарными функциями.)

В силу этих определений истинная область действия связанной переменной всегда охватывает всю утвержденную пропозицию, в которой она встречается, даже если типографически кажется, что ее область действия охватывает лишь часть утвержденной пропозиции. Таким образом, когда (x)φx или (∃x)φx появляется как часть утвержденной пропозиции, она на самом деле не встречается, поскольку область действия связанной переменной на самом деле распространяется на всю утвержденную пропозицию. Однако будет показано, что в том, что касается теории дедукции, (x)φx и (∃x)φx ведут себя как пропозиции, не содержащие связанных переменных.

Определения импликации, логического произведения и эквивалентности должны быть перенесены без изменений на (x)φx и (∃x)φx.

Вышеуказанные определения могут быть повторены для последовательных типов, достигая таким образом пропозиций любого типа.

Примитивные пропозиции. Требуемые примитивные пропозиции числом шесть и могут быть разделены на три набора по две. Сначала у нас есть две пропозиции, которые осуществляют переход от элементарных пропозиций к пропозициям первого порядка, а именно:

*9·1. φy ⊃ (∃x)φx Pp.

*9·11. (x)φx ⊃ φy Pp.

Из них первая утверждает, что если φy истинно, то существует значение φx, которое истинно; т. е. если мы можем найти пример функции, которая истинна, то функция «иногда истинна». (Когда мы говорим о функции как об «иногда» истинной, мы не имеем в виду утверждение, что существует более одного аргумента, для которого она истинна, а лишь то, что существует по крайней мере один.) На практике вышеуказанная примитивная пропозиция дает единственный метод доказательства «теорем существования»: чтобы доказать такие теоремы, необходимо (и достаточно) найти некоторый пример, в котором объект обладает рассматриваемым свойством. Если бы мы приняли то, что можно назвать «аксиомами существования», т. е. аксиомы, утверждающие (∃x)φx для некоторого конкретного φ, эти аксиомы дали бы другие методы доказательства существования. Примерами таких аксиом являются мультипликативная аксиома (*88) и аксиома бесконечности (определенная в *120·03). Но мы не принимали никаких подобных аксиом в настоящей работе.

Вторая из вышеуказанных примитивных пропозиций используется только один раз, при доказательстве (x)φx ⊃ φy, что является аналогом *1·2 (а именно, когда p заменяется на (x)φx). Эффект этой примитивной пропозиции заключается в том, чтобы подчеркнуть двусмысленность y, требуемого для обеспечения (x)φx ⊃ φy. Мы, конечно, в силу *9·1, имеем φy ⊃ (∃x)φx. Но если мы попытаемся вывести из этого, что (x)φx ⊃ φy, мы должны использовать пропозицию (x)φx ⊃ φy, где φx есть (x)φx. Теперь, обратившись к *4·77 и пропозициям, использованным в ее доказательстве, можно обнаружить, что эта пропозиция зависит от *1·2, т. е. p ⊃ (q ⊃ p). Следовательно, она не может быть использована нами для доказательства (x)φx ⊃ φy, и поэтому мы вынуждены принять примитивную пропозицию *9·11.

Далее у нас есть две пропозиции, касающиеся вывода к пропозициям, содержащим связанные переменные, или из них, в отличие от импликации. Во-первых, у нас есть, для нового значения импликации, вытекающего из вышеуказанных определений отрицания и дизъюнкции, аналог *1·1, а именно:

*9·12. ⊢. p ⊃ q : p : ⊃ . q Pp.

То есть, имея «p ⊃ q» и «p», мы можем перейти к «q», даже когда пропозиции p и q не являются элементарными. Также, как в *1·11, мы можем перейти от «φx ⊃ ψx» и «φx» к «ψx», где x — свободная переменная, а φx и ψx не обязательно являются элементарными функциями. Именно в этой последней форме аксиома обычно необходима. Она должна быть принята как для функций нескольких переменных, так и для функций одной переменной.

Далее у нас есть примитивная пропозиция, которая разрешает переход от свободной переменной к связанной, а именно: «когда φx может быть утверждено, где x может быть любым возможным аргументом, тогда (x)φx может быть утверждено». Иными словами, когда φx истинно, как бы x ни был выбран среди возможных аргументов, тогда (x)φx истинно, т. е. все значения φx истинны. То есть, если мы можем утверждать совершенно двусмысленное значение φx, это должно быть потому, что все значения истинны. Мы можем выразить эту примитивную пропозицию словами: «То, что истинно в любом случае, как бы этот случай ни был выбран, истинно во всех случаях». Мы не можем символизировать эту пропозицию, потому что если мы поставим φx ⊃ (x)φx, это означает: «Как бы x ни был выбран, φx влечет (x)φx», что в общем случае ложно. Мы имеем в виду: «Если φx истинно, как бы x ни был выбран, тогда (x)φx истинно». Но мы не предоставили символ для простой гипотезы того, что утверждается в «φx», где x — свободная переменная, и не стоит предоставлять такой символ, потому что он потребовался бы очень редко. Если на мгновение мы используем символ ⊢φx для выражения этой гипотезы, то наша примитивная пропозиция есть ⊢φx ⊃ (x)φx. На практике эта примитивная пропозиция используется только для вывода, а не для импликации; то есть, когда у нас фактически есть утверждение, содержащее свободную переменную, она позволяет нам превратить эту свободную переменную в связанную, поместив ее в скобки непосредственно после знака утверждения, за которым следует достаточное количество точек, чтобы дойти до конца утверждения. Этот процесс будет называться «превращением свободной переменной в связанную». Таким образом, мы можем утверждать нашу примитивную пропозицию для технического использования в форме:

*9·13. В любом утверждении, содержащем свободную переменную, эта свободная переменная может быть превращена в связанную переменную, о которой утверждается, что все возможные значения удовлетворяют рассматриваемой функции. Pp.

Далее у нас есть две примитивные пропозиции, касающиеся типов. Они требуют некоторых предварительных объяснений.

Primitive Idea: Individual. We say that is "individual" if is neither a proposition nor a function (cf. pp. 53, 54).

*9·131. Определение «быть одного типа». Ниже приводится пошаговое определение, где определение для высших типов предполагает определение для низших типов. Мы говорим, что x и y «одного типа», если (1) оба являются индивидами, (2) оба являются элементарными функциями, принимающими аргументы одного типа, (3) x — функция, а y — ее отрицание, (4) x — φx ∨ ψx, а y — ψx ∨ φx, где φx, ψx — элементарные функции, (5) x — φx, а y — (z)φz, где φ, ψ одного типа, (6) оба являются элементарными пропозициями, (7) x — пропозиция, а y — ~x, или (8) x — (z)φz, а y — (z)ψz, где φ, ψ одного типа.

Наши примитивные пропозиции таковы:

*9·14. Если «φx» значимо, то если x того же типа, что и y, «φy» значимо, и наоборот. Pp. (Ср. примечание к *10·121, стр. 146.)

*9·15. Если для некоторого x существует пропозиция φx, то существует функция φ, и наоборот. Pp.

Будет видно, что в силу определений,

Чтобы доказать, что (x)φx и (∃x)φx подчиняются тем же правилам дедукции, что и p, мы должны доказать, что пропозиции форм (x)φx и (∃x)φx могут заменить одну или несколько пропозиций p, q, r в *1·2—*1·6. Когда это будет доказано, предыдущие доказательства последующих пропозиций в *2—*5 станут применимыми. Эти доказательства приведены ниже. Также доказываются некоторые другие пропозиции, необходимые для доказательств.

*9·2. ⊢: (x)φx ⊃ φy

Вышеуказанная пропозиция утверждает принцип дедукции от общего к частному, т. е. «то, что справедливо во всех случаях, справедливо в любом одном случае».

Док.

Во второй строке вышеуказанного доказательства «φy» берется как значение для аргумента y функции φ, где y — аргумент. Подобный метод использования *9·1 применяется в большинстве следующих доказательств.

*1·11 используется, как в третьей строке вышеуказанного доказательства, почти во всех шагах, за исключением тех, которые являются простым применением определений. Следовательно, на нее не будет дальнейших ссылок, за исключением случаев, когда ее использование неясно или особенно важно.

*9·21. ⊢: (x)(p ⊃ φx) ⊃ (p ⊃ (x)φx)

Т. е. если p всегда влечет φx, то «p всегда» влечет «φx всегда». Использование этой пропозиции постоянно на протяжении остальной части этой работы.

Док.

Это пропозиция, подлежащая доказательству, поскольку «(x)(p ⊃ φx)» — та же пропозиция, что и «p ⊃ (x)φx», а «(x)(p ⊃ φx)» — та же пропозиция, что и «p ⊃ (x)φx».

*9·22. ⊢: (x)(φx ⊃ p) ⊃ ((∃x)φx ⊃ p)

Т. е. если φx всегда влечет p, то если φx иногда истинно, то и p истинно. Эта пропозиция, подобно *9·21, постоянно используется в дальнейшем.

Док.

Это пропозиция, подлежащая доказательству, потому что (∃x)φx ⊃ p — та же пропозиция, что и (x)(φx ⊃ p), а (∃x)φx ⊃ p — та же пропозиция, что и (x)(φx ⊃ p).

*9·23. ⊢: (x)(φx ∨ p) ⊃ ((x)φx ∨ p)

*9·24. ⊢: (∃x)φx ∨ p ⊃ (∃x)(φx ∨ p)

*9·25. ⊢: (x)φx ∨ (x)ψx ⊃ (x)(φx ∨ ψx)

Теперь мы в состоянии доказать аналоги *1·2—*1·6, заменяя одну из букв p, q, r в этих пропозициях на (x)φx или (∃x)φx. Доказательства приведены ниже.

*9·3. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ∨ (x)φx ⊃ p ∨ φy

Док.

*9·31. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . (x)φx ∨ p ⊃ φy ∨ p

Это единственная пропозиция, которая использует *9·11.

Док.

*9·32. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx ⊃ . p ∨ φy ⊃ p ∨ (∃x)φx

Док.

*9·33. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx ⊃ . φy ∨ p ⊃ (∃x)φx ∨ p

*9·34. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ⊃ (x)φx ⊃ . p ⊃ φy

Док.

*9·35. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx ⊃ . φy ⊃ p ⊃ . (∃x)φx ⊃ p

*9·36. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . φy ⊃ p ⊃ . (x)φx ⊃ p

Док.

*9·361. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx ⊃ . p ⊃ φy ⊃ . p ⊃ (∃x)φx

*9·37. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . (x)φx ⊃ p ⊃ . φy ⊃ p

*9·371. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx ⊃ . p ⊃ (∃x)φx ⊃ . p ⊃ φy

*9·4. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ⊃ q ⊃ . p ∨ (x)φx ⊃ q ∨ φy

Док.

*9·401. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ⊃ q ⊃ . p ∨ (x)φx ⊃ q ∨ φy

*9·41. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ⊃ q ⊃ . (x)φx ∨ p ⊃ φy ∨ q

*9·411. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ⊃ q ⊃ . (x)φx ∨ p ⊃ φy ∨ q

*9·42. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx ⊃ . p ⊃ q ⊃ . p ∨ φy ⊃ q ∨ (∃x)φx

*9·421. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx ⊃ . p ⊃ q ⊃ . φy ∨ p ⊃ (∃x)φx ∨ q

*9·5. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ⊃ q ⊃ . p ⊃ φy ⊃ . q ⊃ (x)φx

Док.

*9·501. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ⊃ q ⊃ . p ⊃ φy ⊃ . q ⊃ (x)φx

*9·51. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ⊃ q ⊃ . φy ⊃ p ⊃ . (x)φx ⊃ q

Док.

*9·511. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ⊃ q ⊃ . φy ⊃ p ⊃ . (x)φx ⊃ q

*9·52. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx ⊃ . p ⊃ q ⊃ . p ⊃ (∃x)φx ⊃ . q ⊃ φy

Док.

*9·521. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx ⊃ . p ⊃ q ⊃ . (∃x)φx ⊃ p ⊃ . φy ⊃ q

*9·6. ⊢: (x)φx ⊃ φy ⊃ . p ⊃ q ⊃ . p ⊃ q ⊃ . (x)φx ⊃ φy

*9·61. Если φx и ψx — элементарные функции одного типа, существует функция φx ∨ ψx.

Док.

Согласно *9·14, *9·15, существует x, для которого «φx» и «ψx» значимы, а следовательно, и «φx ∨ ψx» значимы, согласно примитивной идее дизъюнкции. Отсюда результат по *9·15.

То же доказательство справедливо для функций любого количества переменных.

*9·62. Если φx и ψx — элементарные функции, и x-аргумент для φx того же типа, что и аргумент для ψx, существуют функции (x)φx ∨ (x)ψx и (∃x)φx ∨ (∃x)ψx.

Док.

Согласно *9·15, существуют пропозиции (x)φx и (x)ψx, где по гипотезе φx и ψx одного типа. Следовательно, согласно *9·14, существует пропозиция (x)φx ∨ (x)ψx, а следовательно, согласно примитивной идее дизъюнкции, существует пропозиция (x)φx ∨ (x)ψx, а следовательно, согласно *9·15 и *9·03, существует пропозиция (x)(φx ∨ ψx). Аналогично существует пропозиция (∃x)(φx ∨ ψx). Отсюда результат по *9·15.

*9·63. Если φx, ψx — элементарные функции одного типа, существуют функции (x)φx ∨ (x)ψx и т. д. [Доказательство как выше]

Теперь мы завершили доказательство того, что в примитивных пропозициях *1 любая из встречающихся пропозиций может быть заменена на (x)φx или (∃x)φx. Отсюда следует, что путем простого повторения доказательств мы можем показать, что любая другая из пропозиций, встречающихся в этих пропозициях, может быть одновременно заменена на (x)φx или (∃x)φx. Таким образом, все примитивные пропозиции *1, а следовательно, и все пропозиции *2—*5, справедливы в равной степени, когда некоторые или все рассматриваемые пропозиции имеют одну из форм (x)φx, (∃x)φx, что и требовалось доказать.

Отсюда следует путем простого повторения доказательств, что пропозиции *1—*5 справедливы, когда p, q, r заменены на пропозиции, содержащие любое количество связанных переменных.

СНОСКИ:

[50] Мы используем «всегда» в значении «во всех случаях», а не «во все времена». Аналогичное замечание относится к «иногда».

[51] Как выше.

*10. ТЕОРИЯ ПРОПОЗИЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ОДНУ СВЯЗАННУЮ ПЕРЕМЕННУЮ.

Резюме *10.

Главная цель пропозиций этого параграфа — распространить на формальные импликации (т. е. на пропозиции вида (x)(φx ⊃ ψx)) как можно больше пропозиций, доказанных ранее для материальных импликаций, т. е. для пропозиций вида p ⊃ q. Так, например, мы доказали в *3·33, что ⊢: p ⊃ q . q ⊃ r : ⊃ . p ⊃ r.

Тогда у нас есть «если 'Сократ — грек' влечет 'Сократ — человек', и 'Сократ — человек' влечет 'Сократ — смертен', то следует, что 'Сократ — грек' влечет 'Сократ — смертен'». Но это само по себе не доказывает, что если все греки — люди, и все люди — смертны, то все греки — смертны.

мы должны доказать ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . (x)(ψx ⊃ χx) : ⊃ . (x)(φx ⊃ χx). Именно такие пропозиции должны быть доказаны в настоящем параграфе. Будет видно, что формальная импликация (x)(φx ⊃ ψx) является отношением двух функций φx и ψx. Многие формальные свойства этого отношения аналогичны свойствам отношения «p ⊃ q», которое выражает материальную импликацию; именно такие аналоги должны быть доказаны в этом параграфе.

Мы будем предполагать в этом параграфе то, что было доказано в *9, что пропозиции *1—*5 могут быть применены к таким пропозициям, как (x)φx и (∃x)φx. Вместо метода, принятого в *9, можно взять отрицание и дизъюнкцию как новые примитивные идеи применительно к пропозициям, содержащим связанные переменные, и предположить, что с новыми значениями отрицания и дизъюнкции примитивные пропозиции *1 все еще справедливы. Если принят этот метод, нам не нужно брать (x)φx как примитивную идею, но мы можем положить

*10·01. (x)φx = ~(∃x)~φx Df.

Чтобы прояснить, как этот альтернативный метод может быть развит, мы в настоящем параграфе не будем предполагать ничего из того, что было доказано в *9, за исключением определенных пропозиций, которые в альтернативном методе будут примитивными пропозициями, и (что отчасти характеризует альтернативный метод) применимости к пропозициям, содержащим связанные переменные, аналогов примитивных идей и пропозиций *1, а следовательно, и их следствий, изложенных в *2—*5.

Два следующих определения служат лишь для введения обозначения, которое часто более удобно, чем обозначение (x)(φx ⊃ ψx) или (∃x)(φx ∧ ψx).

*10·02. φx ⊃ ψx = (x)(φx ⊃ ψx) Df.

*10·03. φx ∧ ψx = (∃x)(φx ∧ ψx) Df.

Первое из этих обозначений принадлежит Пеано, у которого, однако, нет обозначения для (x)φx, кроме частного случая формальной импликации.

Следующие пропозиции (*10·1, *10·11, *10·12, *10·121, *10·122) уже были даны в *9. *10·1 — это *9·2, *10·11 — это *9·13, *10·12 — это *9·25, *10·121 — это *9·14, а *10·122 — это *9·15. Все эти пять пропозиций должны быть приняты как примитивные пропозиции в альтернативном методе; с другой стороны, *9·1 и *9·11 не требуются как примитивные пропозиции в альтернативном методе.

Пропозиции настоящего параграфа очень часто используются на протяжении всей остальной работы. Наиболее часто используемые пропозиции следующие:

*10·1. ⊢: (x)φx ⊃ φy

Т. е. то, что истинно во всех случаях, истинно в любом одном случае.

*10·11. Если φx истинно, каков бы ни был возможный аргумент x, тогда (x)φx истинно. Иными словами, всякий раз, когда пропозициональная функция φx может быть утверждена, может быть утверждена и пропозиция (x)φx.

*10·21. ⊢: (x)(p ⊃ φx) ⊃ . p ⊃ (x)φx

*10·22. ⊢: (x)(φx ⊃ p) ⊃ . (∃x)φx ⊃ p

Условия значимости в этой пропозиции требуют, чтобы φx и p принимали аргументы одного типа.

*10·23. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) ⊃ . (x)φx ⊃ (x)ψx

Т. е. если φx всегда влечет ψx, то если φx когда-либо истинно, то и ψx истинно.

*10·24. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx

Т. е. если φy истинно, то существует x, для которого φx истинно. Это единственный метод доказательства теорем существования.

*10·27. ⊢: (x)(p ⊃ q) ⊃ . (x)p ⊃ (x)q

Т. е. если p всегда влечет q, то «p всегда» влечет «q всегда». Три следующие пропозиции, которые столь же полезны, аналогичны *10·27.

*10·271. ⊢: (x)(p ⊃ φx) ⊃ . p ⊃ (x)φx

*10·28. ⊢: (x)(φx ⊃ q) ⊃ . (∃x)φx ⊃ q

*10·281. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) ⊃ . (∃x)φx ⊃ (∃x)ψx

*10·35. ⊢: (x)φx ∨ (x)ψx ⊃ (x)(φx ∨ ψx)

*10·42. ⊢: (x)φx ∨ p . ≡ : (x)(φx ∨ p)

*10·5. ⊢: (∃x)φx ∨ p . ⊃ : (∃x)(φx ∨ p)

Следует заметить, что в то время как *10·42 выражает эквивалентность, *10·5 выражает только импликацию. Это источник многих последующих различий между формулами, касающимися сложения, и формулами, касающимися умножения.

*10·51. ⊢: (∃x)(φx ∨ ψx) . ≡ : (∃x)φx ∨ (∃x)ψx

Эта пропозиция аналогична p ⊃ q ≡ ~q ⊃ ~p, которая следует из *4·63 путем транспозиции.

Из оставшихся пропозиций этого параграфа некоторые используются довольно часто, в то время как другие являются леммами, которые используются только один или два раза, иногда на гораздо более позднем этапе.

*10·01. (x)φx = ~(∃x)~φx Df.

Это определение используется только тогда, когда мы отбрасываем метод *9 в пользу альтернативного метода, уже объясненного. В любом случае мы имеем

*10·02. φx ⊃ ψx = (x)(φx ⊃ ψx) Df.

*10·03. φx ∧ ψx = (∃x)(φx ∧ ψx) Df.

*10·1. ⊢: (x)φx ⊃ φy

*10·11. Если φx истинно, каков бы ни был возможный аргумент x, тогда (x)φx истинно. [*9·13]

Эта пропозиция является, в некотором смысле, обратной к *10·1. *10·1 можно сформулировать так: «То, что истинно для всех, истинно для любого», в то время как *10·11 можно сформулировать так: «То, что истинно для любого, как бы он ни был выбран, истинно для всех».

*10·12. ⊢: (x)φx ∨ (x)ψx ⊃ (x)(φx ∨ ψx)

Согласно определениям в *9, эта пропозиция является лишь примером «p ⊃ p», поскольку по определению обе стороны импликации являются разными символами для одной и той же пропозиции. Согласно альтернативному методу, напротив, *10·12 является содержательной пропозицией.

*10·121. Если «φx» значимо, то если x того же типа, что и y, «φy» значимо, и наоборот. [*9·14]

Из этой пропозиции следует, что два аргумента одной и той же функции должны быть одного типа; ибо если x и a — аргументы для φ, «φx» и «φa» значимы, а следовательно, x и a одного типа. Таким образом, вышеуказанная примитивная пропозиция воплощает результат нашего обсуждения парадоксов порочного круга в главе II Введения.

*10·122. Если для некоторого x существует пропозиция φx, то существует функция φ, и наоборот. [*9·15]

*10·13. Если φx и ψx принимают аргументы одного типа, и мы имеем «(x)(φx ⊃ ψx)» и «(x)φx», мы будем иметь «(x)ψx».

Док.

Путем повторного использования 9·61, 9·62, 9·63, 9·131 (3), существует функция φx ⊃ ψx. Отсюда по *2·11 и *3·01,

*10·14. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . ⊃ : (x)φx ⊃ (x)ψx

Эта пропозиция истинна всякий раз, когда она значима, но она не всегда значима, когда значима ее гипотеза. Ибо тезис требует, чтобы φx и ψx принимали аргументы одного типа, в то время как гипотеза этого не требует. Следовательно, если она должна быть применена, когда φx и ψx даны, или когда ψx дана как функция от φx или наоборот, мы не должны аргументировать от гипотезы к тезису, если только в предполагаемом случае φx и ψx не принимают аргументы одного типа.

Док.

*10·2. ⊢: (x)(p ⊃ φx) ⊃ . p ⊃ (x)φx

Док.

*10·21. ⊢: (x)(φx ⊃ p) ⊃ . (∃x)φx ⊃ p

Эта пропозиция используется гораздо чаще, чем *10·2.

*10·22. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) ⊃ . (∃x)φx ⊃ (∃x)ψx

Док.

Вышеуказанная пропозиция истинна всякий раз, когда она значима; но, как было указано в связи с *10·14, она не всегда значима, когда значима «(x)(φx ⊃ ψx)».

*10·221. Если φx содержит составляющую φx, а ψx содержит составляющую ψx, где φx — элементарная функция, а x — либо константы, либо связанные переменные, тогда φx и ψx принимают аргументы одного типа. Это можно доказать в каждом конкретном случае, хотя и не в общем виде, при условии, что при получении φx и ψx из φx, φx подвергается только отрицаниям, дизъюнкциям и обобщениям. Процесс можно проиллюстрировать примером. Предположим, φx есть (y)φ(x, y), а ψx есть ψx. Согласно определениям *9, (y)φ(x, y) есть (y)φ(x, y), а ψx есть ψx. Следовательно, поскольку примитивные идеи (x)φx и (∃x)φx применяются только к функциям, существуют функции φ, ψ. Следовательно, существует пропозиция φ(x, y). Следовательно, поскольку «φ(x, y)» и «ψx» значимы только тогда, когда φ(x, y) и ψx — пропозиции, существует пропозиция φ(x, y) ∨ ψx. Аналогично, для некоторых x и y существуют пропозиции φ(x, y) и ψx. Следовательно, по *9·14, φ(x, y) и ψx одного типа, и (снова по *9·14) существует пропозиция φ(x, y) ∨ ψx. Следовательно (по *9·15) существуют функции φ, ψ, следовательно, существуют пропозиции φ(x, y), ψx, т. е. существуют пропозиции φ(x, y), ψx, что и требовалось доказать. Этот процесс можно аналогично применить в любом другом случае.

*10·23. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) ⊃ . (x)φx ⊃ (x)ψx

Док.

В вышеуказанном доказательстве мы используем определения *9. В альтернативном методе, в котором (x)φx определяется в соответствии с *10·01, доказательство выглядит следующим образом.

*10·23. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) ⊃ . (x)φx ⊃ (x)ψx

Док.

Всякий раз, когда у нас есть утвержденная пропозиция вида (x)(φx ⊃ ψx), мы можем перейти по *10·11, *10·21 к утвержденной пропозиции (x)φx ⊃ (x)ψx. Этот переход постоянно требуется, как в предпоследней строке вышеуказанного доказательства. Он будет обозначаться просто ссылкой «*10·11, *10·21», и два шага, которые он требует, не будут записываться отдельно.

*10·24. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx

Это *9·1. В альтернативном методе доказательство выглядит следующим образом.

Док.

*10·25. ⊢: (x)φx ⊃ φy

*10·251. ⊢: (x)φx ⊃ φy

*10·252. ⊢: (x)φx ⊃ φy

*10·253. ⊢: (x)φx ⊃ φy

В альтернативном методе, в котором (x)φx определяется как в *10·01, доказательства *10·252, *10·253 выглядят следующим образом.

*10·252. ⊢: (x)φx ⊃ φy

*10·253. ⊢: (x)φx ⊃ φy

Док.

*10·26. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . φy : ⊃ . ψy

Это одна из форм силлогизма Barbara. Например, положим φx — человек, ψx — смертен, y = Сократ. Тогда пропозиция принимает вид:

«Если все люди смертны, и Сократ — человек, то Сократ смертен».

Другая форма силлогизма Barbara дана в *10·3. Две формы, ранее ошибочно отождествлявшиеся, были впервые различены Пеано и Фреге.

*10·27. ⊢: (x)(p ⊃ φx) ⊃ . p ⊃ (x)φx

Это *9·21. В альтернативном методе доказательство выглядит следующим образом.

Док.

*10·271. ⊢: (x)(p ⊃ φx) ⊃ . p ⊃ (x)φx

Док.

*10·28. ⊢: (x)(φx ⊃ p) ⊃ . (∃x)φx ⊃ p

Это *9·22. В альтернативном методе доказательство выглядит следующим образом.

Док.

*10·281. ⊢: (x)(φx ⊃ p) ⊃ . (∃x)φx ⊃ p

*10·29. ⊢: (x)(p ⊃ q) . ⊃ : (x)p ⊃ (x)q

Док.

Это расширение принципа композиции.

*10·3. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . (x)φx : ⊃ . (x)ψx

Это вторая форма силлогизма Barbara.

Док.

*10·301. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . (∃x)φx : ⊃ . (∃x)ψx

Док.

Во второй строке доказательств *10·3 и *10·301 мы сокращаем процесс доказательства способом, который часто удобен. В *10·3 полный процесс выглядел бы следующим образом:

Вышеуказанные две пропозиции показывают, что формальная импликация и формальная эквивалентность являются транзитивными отношениями между функциями.

*10·31. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . (x)(φx ⊃ χx) : ⊃ . (x)(φx ⊃ ψx ∧ χx)

Док.

*10·311. ⊢: (x)(φx ⊃ χx) . (x)(ψx ⊃ χx) : ⊃ . (x)(φx ∨ ψx ⊃ χx)

Док.

Вышеуказанные две пропозиции являются расширениями принципа фактора.

*10·32. ⊢: (x)(φx ≡ ψx) . ⊃ : (x)φx ≡ (x)ψx

Док.

Эта пропозиция показывает, что формальная эквивалентность симметрична.

*10·321. ⊢: (x)(φx ≡ ψx) . ⊃ : (∃x)φx ≡ (∃x)ψx

Док.

*10·322. ⊢: (x)(φx ≡ ψx) . ⊃ : (x)φx ≡ (x)ψx

Док.

*10·33. ⊢: (x)φx ⊃ (∃x)φx

Док.

*10·34. ⊢: (x)φx ∨ (x)ψx ⊃ (x)(φx ∨ ψx)

Это следует непосредственно из *9·05, *9·01 и *1·01. В альтернативном методе доказательство выглядит следующим образом.

Док.

*10·35. ⊢: (x)φx ∨ (x)ψx ⊃ (x)(φx ∨ ψx)

Док.

*10·36. ⊢: (∃x)(φx ∧ ψx) ⊃ (∃x)φx ∧ (∃x)ψx

Это следует непосредственно из *9·05. В альтернативном методе доказательство выглядит следующим образом.

Док.

Вышеуказанная пропозиция требуется только для того, чтобы привести к следующей:

*10·37. ⊢: (∃x)(φx ∧ ψx) ⊃ (∃x)φx ∧ (∃x)ψx

*10·39. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . ⊃ : (x)φx ⊃ (∃x)ψx

Док.

Эта пропозиция истинна только тогда, когда заключение значимо; значимость гипотезы не гарантирует значимость заключения. Об условиях значимости см. замечания к *10·4 ниже.

*10·4. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . ⊃ : (x)φx ⊃ (x)ψx

Док.

В *10·4 и многих последующих пропозициях, как и в *10·39, заключение может быть не значимым, когда гипотеза истинна. Следовательно, чтобы было правомерно использовать *10·4 в выводе, т. е. переходить от утверждения гипотезы к утверждению заключения, функции φx, ψx, χx, θx должны быть такими, чтобы иметь перекрывающиеся области значимости. В силу *10·221 это обеспечивается, если они имеют формы φx, ψx, χx, θx. Это также обеспечивается, если φx и ψx, или ψx и χx, или χx и θx, или φx и θx имеют такие формы, ибо φx и ψx должны иметь перекрывающиеся области значимости, если гипотеза должна быть значимой, и то же самое должны иметь ψx и χx.

*10·41. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . ⊃ : (∃x)φx ⊃ (∃x)ψx

Док.

Заметьте, что в вышеуказанном доказательстве использование *2·2 и *1·3 правомерно только в том случае, если φx и ψx имеют перекрывающиеся области значимости, ибо в противном случае, если φx такова, что существует пропозиция (∃x)φx, она такова, что не существует пропозиции (∃x)ψx, и наоборот.

*10·411. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . ⊃ : (∃x)φx ⊃ (∃x)ψx

Док.

*10·412. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . ⊃ : (∃x)φx ⊃ (∃x)ψx

*10·413. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . ⊃ : (∃x)φx ⊃ (∃x)ψx

Док.

*10·414. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . ⊃ : (∃x)φx ⊃ (∃x)ψx

Док.

Пропозиции *10·413, *10·414 в основном используются в случаях, когда либо φx заменяется на p, либо ψx заменяется на q, и в этом случае половина гипотезы становится излишней, будучи истинной по *4·2.

*10·42. ⊢: (x)φx ∨ p . ≡ : (x)(φx ∨ p)

Док.

Эта пропозиция используется очень часто. Ее следует противопоставить *10·5, в которой мы имеем только импликацию, а не эквивалентность.

*10·43. ⊢: (∃x)φx ∨ p . ≡ : (∃x)(φx ∨ p)

Док.

*10·5. ⊢: (∃x)φx ∨ p . ⊃ : (∃x)(φx ∨ p)

Док.

Обратное к вышеуказанной пропозиции ложно. Тот факт, что эта пропозиция утверждает импликацию, в то время как *10·42 утверждает эквивалентность, является источником многих последующих различий между формулами, касающимися логического сложения, и формулами, касающимися логического умножения.

*10·51. ⊢: (∃x)(φx ∨ ψx) . ≡ : (∃x)φx ∨ (∃x)ψx

Док.

*10·52. ⊢: (x)(φx ∧ ψx) . ≡ : (x)φx ∧ (x)ψx

Док.

*10·53. ⊢: (x)φx ∧ (x)ψx . ≡ : (x)(φx ∧ ψx)

Док.

*10·541. ⊢: (x)φx ∧ (x)ψx . ≡ : (x)(φx ∧ ψx)

Док.

Вышеуказанная пропозиция необходима только для того, чтобы привести к следующей:

*10·542. ⊢: (x)φx ∧ (x)ψx . ≡ : (x)(φx ∧ ψx)

Эта пропозиция является леммой для *84·43.

*10·55. ⊢: (x)φx ∨ (x)ψx . ⊃ : (x)(φx ∨ ψx)

Док.

Эта пропозиция является леммой для *117·12, *117·121.

*10·56. ⊢: (∃x)φx ∧ (∃x)ψx . ⊃ : (∃x)(φx ∧ ψx)

Док.

Эта пропозиция и *10·57 используются в теории рядов (Часть V).

*10·57. ⊢: (∃x)φx ∧ (∃x)ψx . ⊃ : (∃x)(φx ∧ ψx)

Док.

*11. ТЕОРИЯ ДВУХ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Резюме *11.

В этом параграфе пропозиции, доказанные для одной переменной в *10, должны быть распространены на две переменные, с добавлением нескольких пропозиций, не имеющих аналогов для одной переменной, таких как *11·2, *11·21, *11·23, *11·24 и *11·53, *11·55, *11·6, *11·7. «φ(x, y)» означает пропозицию, содержащую x и содержащую y; когда x и y не назначены, φ(x, y) — пропозициональная функция от x и y. Определение *11·01 показывает, что «истинность всех значений φ(x, y)» не нужно принимать как новую примитивную идею, но она определима в терминах «истинности всех значений φ(x, y)». Причина в том, что когда x назначен, φ(x, y) становится функцией одной переменной, а именно y, откуда следует, что для каждого возможного значения x, «(y)φ(x, y)» воплощает лишь примитивную идею, введенную в *9. Но «(y)φ(x, y)» снова является лишь функцией одной переменной, а именно x, поскольку y здесь стало связанной переменной. Следовательно, определение *11·01 ниже правомерно. Мы полагаем:

*11·01. (x, y)φ(x, y) = (x)(y)φ(x, y) Df.

*11·02. (∃x, y)φ(x, y) = (∃x)(∃y)φ(x, y) Df.

*11·03. (x, y)φ(x, y) = (x)(∃y)φ(x, y) Df.

*11·04. (∃x, y)φ(x, y) = (∃x)(y)φ(x, y) Df.

*11·05. (x, y)φ(x, y) = (x)(y)φ(x, y) Df.

*11·06. (∃x, y)φ(x, y) = (∃x)(∃y)φ(x, y) Df.

Все вышеуказанные определения предполагаются распространенными на любое количество переменных, которые могут встретиться.

Все пропозиции этого раздела могут быть распространены на любое конечное число переменных; поскольку аналогия является точной, в наших доказательствах нет необходимости выходить за рамки двух переменных.

В дополнение к определению *11·01 нам необходима примитивная пропозиция о том, что «каков бы ни был возможный аргумент x, «φ(x, y) истинно, каков бы ни был возможный аргумент y» имплицирует соответствующее утверждение при перестановке x и y. Любое из них может быть принято в качестве значения выражения «φ(x, y) истинно, каковы бы ни были возможные аргументы x и y».

Пропозиции настоящего параграфа используются несколько реже, чем пропозиции *10, однако некоторые из них применяются часто. К таковым относятся следующие:

*11·1.

*11·11. Если φ(x, y) истинно, каковы бы ни были возможные аргументы x и y, то (x, y).φ(x, y) истинно.

Эти две пропозиции являются аналогами *10·1·11.

*11·2.

Т. е. сказать, что «для всех возможных значений x φ(x, y) истинно для всех возможных значений y», эквивалентно утверждению «для всех возможных значений y φ(x, y) истинно для всех возможных значений x».

*11·3.

Это аналог *10·21.

*11·32.

Т. е. «если φ(x, y) всегда имплицирует ψ(x, y), то «φ(x, y) всегда» имплицирует «ψ(x, y) всегда»». Это аналог *10·21. *11·33·34·341 являются соответственно аналогами *10·271·28·281 и также часто используются.

*11·35.

Т. е. если φ(x, y) всегда имплицирует ψ(x, y), то если φ(x, y) когда-либо истинно, то ψ(x, y) истинно. Это аналог *10·23.

*11·45.

Это аналог *10·35.

*11·54.

Эта пропозиция полезна тем, что она разлагает пропозицию, содержащую две связанные переменные, на две пропозиции, каждая из которых содержит только одну. «φ(x)ψ(y)» является функцией двух переменных, но составлена из двух функций, каждая из которых зависит от одной переменной. Такая функция подобна коническому сечению, представляющему собой две прямые линии: ее можно назвать «разложимой» функцией.

*11·55.

Т. е. сказать «существуют значения x и y, для которых φ(x, y) истинно» эквивалентно утверждению «существует значение x, для которого φ(x, y) истинно и для которого существует значение y такое, что φ(x, y) истинно».

*11·6.

Это дает преобразование, полезное во многих доказательствах.

*11·62.

Это преобразование также часто полезно.

*11·01. (x, y).φ(x, y) = (x).(y).φ(x, y) Df.

*11·02. (x, y).φ(x, y) = (x).(y).φ(x, y) Df.

*11·03. (x, y).φ(x, y) = (x).(y).φ(x, y) Df.

*11·04. (x, y).φ(x, y) = (x).(y).φ(x, y) Df.

*11·05.

*11·06.

с аналогичными определениями для любого числа переменных.

*11·07. «Каков бы ни был возможный аргумент x, «φ(x, y) истинно, каков бы ни был возможный аргумент y»» имплицирует соответствующее утверждение при перестановке x и y. Pp.

*11·1.

Док.

*11·11. Если φ(x, y) истинно, каковы бы ни были возможные аргументы x и y, то (x, y).φ(x, y) истинно.

Док.

Согласно *10·11, гипотеза имплицирует, что (y).φ(x, y) истинно, каков бы ни был возможный аргумент x; а это, согласно *10·11, имплицирует (x, y).φ(x, y).

*11·12.

Док.

Эта пропозиция используется только для доказательства *11·2.

*11·13. Если φ(x, y) и ψ(x, y) принимают свои первые и вторые аргументы соответственно одного и того же типа, и мы имеем «φ(x, y)» и «φ(x, y) ⊃ ψ(x, y)», мы будем иметь «ψ(x, y)». [Доказательство как в *10·13]

*11·14.

Док.

Эта пропозиция, подобно *10·14, не всегда значима, когда ее гипотеза истинна. *11·13, напротив, всегда значима, когда ее гипотеза истинна. По этой причине *11·13 всегда можно безопасно использовать в дедукции, тогда как *11·14 может быть использована в дедукции (т. е. для фактического утверждения консеквента, когда гипотеза утверждена) только в том случае, если известно, что консеквент значим.

*11·2.

Док.

Заметим, что «(x, y).φ(x, y)» — это та же самая пропозиция, что и «(y, x).φ(x, y)»; пропозиция не является функцией какой-либо связанной переменной, которая в ней встречается.

*11·21.

Док.

*11·22.

Док.

*11·23.

Док.

*11·24.

Док.

*11·25.

*11·26.

Док.

Заметим, что обратная пропозиция ложна. Например, пусть φ(x, y) будет пропозициональной функцией «если x — правильная дробь, то y — правильная дробь, большая чем x». Тогда для всех значений x мы имеем (y).φ(x, y), так что (x).(y).φ(x, y) удовлетворяется. Фактически «(x).(y).φ(x, y)» выражает пропозицию: «Если x — правильная дробь, то всегда существует правильная дробь, большая чем x». Но «(y).(x).φ(x, y)» выражает пропозицию: «Существует правильная дробь, которая больше любой правильной дроби», что ложно.

*11·27.

Док.

Все пропозиции *10 имеют аналоги, которые справедливы для двух или более переменных. Наиболее важные из них доказаны ниже.

*11·3.

Док.

*11·31.

Здесь условия значимости в правой части требуют, чтобы x и y принимали аргументы одних и тех же типов.

Док.

Доказательства большинства следующих пропозиций проводятся точно так же, как доказательства *11·3·31: аналогичная пропозиция в *10 используется дважды вместе с *10·27 или *10·271 или *10·28 или *10·281, в зависимости от случая. Когда доказательства соответствуют этому образцу, мы будем просто давать ссылки на используемые пропозиции.

*11·311. Если φ(x, y) и ψ(x, y) принимают аргументы одного и того же типа, и мы имеем «φ(x, y)» и «φ(x, y) ⊃ ψ(x, y)», мы будем иметь «ψ(x, y)». [Доказательство как в *10·13.]

*11·32.

*11·33.

*11·34.

*11·341.

*11·35.

*11·36.

Док.

*11·37.

Док.

В следующей демонстрации «Г» означает гипотезу доказываемой пропозиции. Мы будем использовать это сокращение, когда это удобно, во всех случаях, когда доказываемая пропозиция является гипотетической, т. е. имеет вид «Г ⊃ П». Аналогично «Г(1)» будет означать «гипотезу (1)» и так далее.

Вышеприведенное является типом доказательства, который часто повторяется в дальнейшем. Доказательства, соответствующие этому образцу, будут обозначаться только номерами используемых пропозиций.

*11·371.

*11·38.

*11·39.

*11·391.

Док.

*11·4.

Док.

*11·401.

*11·41.

*11·42.

*11·421.

*11·43.

*11·44.

*11·45.

*11·46.

*11·47.

*11·5.

Док.

*11·51.

Док.

*11·52.

Док.

*11.521.

*11.53.

Док.

*11·54.

Док.

Эта пропозиция используется очень часто.

*11·55.

Док.

Эта пропозиция используется очень часто.

*11·56.

Док.

*11·57.

Использование здесь *4·24 зависит от того факта, что (x, y).φ(x, y) и (y, x).φ(x, y) являются одной и той же пропозицией.

*11·58.

*11·59.

Док.

*11·6.

Эта пропозиция очень часто используется в последующих доказательствах.

Док.

*11·61.

Док.

*11·62.

Док.

*11·63.

Док.

*11·7.

Док.

В последней строке вышеприведенного доказательства используется тот факт, что (x, y).φ(x, y) и (y, x).φ(x, y) являются одной и той же пропозицией.

Первое использование следующей пропозиции встречается в доказательстве *234·12. Ее полезность заключается в том, что она позволяет нам перейти от гипотезы, содержащей две связанные переменные, к произведению двух гипотез, каждая из которых содержит только одну.

*11·71.

Док.

*12. ИЕРАРХИЯ ТИПОВ И АКСИОМА СВОДИМОСТИ.

Примитивная идея «(x).φ(x)» была объяснена как означающая «φ(x) всегда истинно», т. е. «все значения φ(x) истинны». Но какой бы ни была функция φ, найдутся аргументы x, при которых φ(x) бессмысленно, т. е. при которых в качестве аргументов φ(x) не имеет никакого значения. Аргументы x, при которых φ(x) имеет значения, образуют то, что мы будем называть «областью значимости» φ. «Тип» определяется как область значимости некоторой функции. В силу *9·14, если φ(x) и ψ(x) значимы, т. е. либо истинны, либо ложны, то таковым является и φ(x) ∨ ψ(x). Отсюда следует, что два типа, имеющие общий элемент, совпадают, и что два различных типа взаимно исключительны. Любая пропозиция вида (x).φ(x), т. е. любая пропозиция, содержащая связанную переменную, определяет некоторый тип как область значений связанной переменной, причем тип фиксируется функцией φ.

Разделение объектов на типы обусловлено парадоксами порочного круга, которые в противном случае возникают [52]. Эти парадоксы показывают, что не должно быть никаких совокупностей, которые, будучи легитимными, содержали бы элементы, определенные через самих себя. Следовательно, любое выражение, содержащее связанную переменную, не должно находиться в области значений этой переменной, т. е. должно принадлежать к другому типу. Таким образом, связанные переменные, содержащиеся или подразумеваемые в выражении, определяют его тип. Это руководящий принцип в дальнейшем.

Как объяснено в *9, пропозиции, содержащие переменные, порождаются из пропозициональных функций, которые не содержат этих связанных переменных, путем процесса утверждения всех или некоторых значений таких функций. Предположим, что p — пропозиция, содержащая x; мы дадим имя «обобщение» процессу, который превращает p в (x).φ(x) или (∃x).φ(x), и мы дадим имя «обобщенные пропозиции» всем таким, которые содержат связанные переменные. Очевидно, что пропозиции, содержащие связанные переменные, предполагают другие, не содержащие связанных переменных, из которых они могут быть выведены путем обобщения. Пропозиции, которые не содержат связанных переменных, мы называем «элементарными пропозициями» [53], а термины таких пропозиций, отличные от функций, мы называем «индивидами». Тогда индивиды образуют первый тип.

На практике нет необходимости знать, какие объекты принадлежат к низшему типу, или даже является ли низший тип переменной, встречающейся в данном контексте, типом индивидов или каким-то иным. Ибо на практике релевантны только относительные типы переменных; таким образом, низший тип, встречающийся в данном контексте, может быть назван типом индивидов, насколько это касается данного контекста. Отсюда следует, что вышеприведенное описание индивидов не является существенным для истинности того, что следует далее; все, что существенно, — это способ, которым другие типы порождаются из индивидов, как бы ни был конституирован тип индивидов.

Применяя процесс обобщения к индивидам, встречающимся в элементарных пропозициях, мы получаем новые пропозиции. Легитимность этого процесса требует лишь того, чтобы никакие индивиды не были пропозициями. То, что это так, обеспечивается значением, которое мы придаем слову «индивид». Мы можем объяснить индивида как нечто, существующее само по себе; тогда он, очевидно, не является пропозицией, поскольку пропозиции, как объяснено в главе II Введения (стр. 46), являются неполными символами, не имеющими значения вне употребления. Следовательно, применяя процесс обобщения к индивидам, мы не рискуем столкнуться с рефлексивными парадоксами. Мы дадим имя «пропозиции первого порядка» таким, которые содержат одну или более связанных переменных, чьи возможные значения являются индивидами, но не содержат других связанных переменных. Пропозиции первого порядка не все одного и того же типа, поскольку, как было объяснено в *9, две пропозиции, которые не содержат одинакового числа связанных переменных, не могут быть одного и того же типа. Но благодаря систематической двусмысленности отрицания и дизъюнкции их различия в типе обычно могут игнорироваться на практике. Никаких рефлексивных парадоксов не возникнет, поскольку никакая пропозиция первого порядка не вовлекает никакой совокупности, кроме совокупности индивидов.

Обозначим через «φ!x» или «ψ!x» или и т. д. элементарную функцию, чей аргумент или аргументы являются индивидами. Мы будем называть такую функцию «предикативной функцией индивида». Такие функции, вместе с теми, которые получены из них путем обобщения, будут называться «функциями первого порядка». На практике мы можем без риска рефлексивных парадоксов рассматривать функции первого порядка как тип, поскольку единственная совокупность, которую они вовлекают, — это совокупность индивидов, и посредством систематической двусмысленности отрицания и дизъюнкции любая функция от функции первого порядка, которая будет нас интересовать, будет значимой, какой бы функции первого порядка ни был придан аргумент, при условии, что приданы правильные значения вовлеченным отрицаниям и дизъюнкциям.

Ради ясности мы повторим в несколько иных терминах наше описание того, что подразумевается под функцией первого порядка. Дадим имя «матрица» любой функции, от сколь угодно многих переменных, которая не вовлекает никаких связанных переменных. Тогда любая возможная функция, отличная от матрицы, выводится из матрицы посредством обобщения, т. е. путем рассмотрения пропозиции, которая утверждает, что рассматриваемая функция истинна для всех возможных значений или для некоторого значения одного из аргументов, при этом другой аргумент или аргументы остаются неопределенными. Таким образом, например, из функции φ(x, y) мы сможем вывести четыре функции, из которых две первые являются функциями от x, а две последние — функциями от y. (Все пропозиции, за исключением таких, которые являются значениями матриц, также выводятся из матриц посредством вышеуказанного процесса обобщения. Чтобы получить пропозицию из матрицы, содержащей n переменных, не присваивая значений ни одной из переменных, необходимо превратить все переменные в связанные переменные. Таким образом, если φ(x, y) — матрица, (x, y).φ(x, y) — пропозиция.) Мы дадим имя «матрицы первого порядка» таким, которые имеют в качестве своих аргументов только индивидов, и мы дадим имя «функции первого порядка» (от любого числа переменных) таким, которые либо являются матрицами первого порядка, либо выведены из матриц первого порядка путем обобщения, примененного к некоторым (не всем) аргументам таких матриц. «Пропозиции первого порядка» будут такими, которые возникают в результате применения обобщения ко всем аргументам матрицы первого порядка.

Как мы уже заявляли, нотация «φx» используется для любой элементарной функции одной переменной. Таким образом, «φx» представляет любое значение любой элементарной функции одной переменной. Будет видно, что «φ(x, y)» является функцией двух переменных, а именно x и y. Поскольку она не содержит связанной переменной, она является матрицей, но поскольку она содержит переменную (а именно φ), которая не является индивидом, она не является матрицей первого порядка. То же самое относится к φ(a, x), где a — некоторая определенная константа. Мы можем построить ряд новых матриц, таких как f(φ!x). Все это матрицы, которые вовлекают функции первого порядка среди своих аргументов. Такие матрицы мы будем называть «матрицами второго порядка». Из этих матриц, применяя обобщение к их аргументам, будь то такие, которые являются функциями, или такие (если таковые имеются), которые являются индивидами, мы получаем новые функции и пропозиции. Такие функции (вместе с матрицами второго порядка) будут называться «функциями второго порядка», а такие пропозиции будут называться «пропозициями второго порядка». Таким образом, мы приходим к следующим определениям:

«Матрица второго порядка» — это такая, которая имеет по крайней мере одну матрицу первого порядка среди своих аргументов, но не имеет других аргументов, кроме матриц первого порядка и индивидов.

«Функция второго порядка» — это такая, которая либо является матрицей второго порядка, либо возникает из нее путем применения обобщения к некоторым (не всем) аргументам матрицы второго порядка.

«Пропозиция второго порядка» — это такая, которая возникает из матрицы второго порядка путем применения обобщения ко всем ее аргументам.

В дополнение к вышеприведенным иллюстрациям матриц второго порядка мы можем привести следующие примеры функций второго порядка:

(1) Функции, в которых аргументом является φ!x: f(φ!x), (φ!x) ∨ (ψ!x), φ!x ⊃ ψ!x, где φ и ψ — константы, f(φ!x) ∨ p, где p — константная функция, и так далее.

(2) Функции, в которых аргументами являются φ!x и ψ!x: f(φ!x, ψ!x), φ!x ⊃ ψ!x, где φ и ψ — константы, и так далее.

(3) Функции, в которых аргументом является индивид x: f(x), φ!x ∨ ψ!x, f(x) ∨ p, где p — константа, и так далее.

(4) Функции, в которых аргументами являются x и y: f(x, y), φ!x ∨ ψ!y, где φ — константа, f(x, y) ∨ p, и так далее.

Примеры функций второго порядка могли бы, конечно, быть умножены бесконечно, но вышеприведенных кажется достаточно для целей иллюстрации.

Матрица второго порядка от одной переменной будет называться «предикативной функцией второго порядка от одной переменной» или «предикативной функцией матрицы первого порядка». Таким образом, f(φ!x), φ!x ∨ ψ!x и φ!x ⊃ ψ!x являются предикативными функциями от φ!x. Аналогично функция от нескольких переменных, из которых по крайней мере одна является матрицей первого порядка, в то время как остальные являются либо индивидами, либо матрицами первого порядка, будет называться «предикативной», если она является матрицей.

Будет видно, однако, что функция второго порядка может иметь в качестве своих аргументов только индивидов; примеры были приведены только что под заголовком (3). Такие функции мы не будем называть предикативными, поскольку предикативные функции индивидов уже были определены как таковые, которые являются функциями первого порядка. Таким образом, порядок функции не определяется порядком ее аргумента или аргументов; действительно, функция может быть любого порядка, превосходящего порядок или порядки ее аргументов.

Переменная матрица, чей аргумент есть φ!x, будет обозначаться через f(φ!x), и вообще, матрица, чьи аргументы есть φ!x, ψ!x, ..., f(φ!x), ... (где среди аргументов есть по крайней мере одна функция), будет обозначаться через f(φ!x, ψ!x, ..., f(φ!x), ...). Такая матрица не является матрицей первого или второго порядка, поскольку она содержит новую переменную f, чьи значения являются матрицами второго порядка. Мы приступаем к построению новых матриц, как мы делали с матрицей f(φ!x); они составляют «матрицы третьего порядка». Эти, вместе с функциями, выведенными из них путем обобщения, называются «функциями третьего порядка», а пропозиции, выведенные из матриц третьего порядка путем обобщения, называются «пропозициями третьего порядка».

Таким образом мы можем продолжать бесконечно к матрицам, функциям и пропозициям все более и более высоких порядков. Мы вводим следующее определение:

Функция называется «предикативной», когда она является матрицей. Будет замечено, что в иерархии, в которой все переменные являются индивидами или матрицами, матрица — это то же самое, что элементарная функция (ср. стр. 132, 133).

«Матрица» или «предикативная функция» — это примитивная идея.

Тот факт, что функция является предикативной, указывается, как выше, восклицательным знаком после функциональной буквы.

Переменные, встречающиеся в настоящей работе, с этого момента и далее будут либо индивидами, либо матрицами некоторого порядка в вышеуказанной иерархии. Пропозиции, которые до сих пор встречались как переменные, больше не будут таковыми, за исключением нескольких изолированных случаев, которые в дальнейшем не используются. На практике, по причинам, объясненным на стр. 169, функция от матрицы может рассматриваться как способная принимать любой аргумент, который является функцией того же порядка и принимает аргументы того же типа.

На практике нам никогда не нужно знать абсолютные типы наших переменных, а только их относительные типы. То есть, если мы доказываем любую пропозицию в предположении, что одна из наших переменных является индивидом, а другая — функцией порядка n, доказательство будет оставаться в силе, если вместо индивида мы возьмем функцию порядка m, а вместо нашей функции порядка n мы возьмем функцию порядка n+m, с соответствующими изменениями для любых других переменных, которые могут быть вовлечены. Это следует из предположения, что наши примитивные пропозиции должны применяться к переменным любого порядка.

Мы будем использовать малые латинские буквы (кроме f, g, h, φ, ψ, χ) для переменных низшего типа, рассматриваемого в любом контексте. Для функций мы будем использовать буквы f, g, h, φ, ψ, χ (за исключением того, что на более позднем этапе φ будет определено как константная реляция, а η будет определено как порядковый тип континуума).

Мы объясним позже другую иерархию, иерархию классов и реляций, которая выводится из функциональной иерархии, объясненной выше, но является более удобной на практике.

Когда любая предикативная функция, скажем φ!, встречается как связанная переменная, было бы строго более корректно указать этот факт, поместив «(φ!)» перед тем, что следует, а именно так: «(φ!).f(φ!)». Но ради краткости мы пишем просто «(φ!).f(φ!)» вместо «(φ!).f(φ!)». Поскольку то, что следует за (φ!) в скобках, должно всегда содержать φ! с подставленными аргументами, никакой путаницы из этой практики возникнуть не может.

Следует заметить, что в силу способа, которым была порождена наша иерархия функций, не-предикативные функции всегда возникают из таких, которые являются предикативными, посредством обобщения. Следовательно, нет необходимости вводить специальную нотацию для не-предикативных функций данного порядка n и принимающих аргументы данного порядка. Например, функции второго порядка от индивида x всегда выводятся путем обобщения из матрицы f(φ!x), где функции φ, ψ, ... являются предикативными. Возможно, поэтому, без потери общности, не использовать никаких связанных переменных, кроме таких, которые являются предикативными.

Нам требуется, однако, средство символизации функции, чей порядок не назначен. Мы будем использовать «f» или «g» или и т. д. для выражения функции (f(x) или f(x, y)), чей порядок, относительно ее аргумента, не дан. Такая функция не может быть превращена в связанную переменную, если мы не предположим, что ее порядок предварительно зафиксирован. Поскольку единственная цель нотации — избежать необходимости фиксации порядка, такая функция не будет использоваться как связанная переменная; единственные функции, которые будут так использоваться, будут предикативными функциями, потому что, как мы только что видели, это ограничение не влечет за собой потери общности.

Теперь мы должны сформулировать и объяснить аксиому сводимости.

Важно заметить, что, поскольку существуют различные типы пропозиций и функций, и поскольку обобщение может быть применено только внутри некоторого одного типа (или, посредством систематической двусмысленности, внутри некоторого хорошо определенного и завершенного множества типов), все фразы, относящиеся к «всем пропозициям» или «всем функциям», или к «некоторой (неопределенной) пропозиции» или «некоторой (неопределенной) функции», prima facie бессмысленны, хотя в определенных случаях они способны к безупречной интерпретации. Противоречия возникают из использования таких фраз в случаях, когда не может быть найдено никакого невинного значения.

Если математика должна быть возможной, абсолютно необходимо (как объяснено во Введении, глава II), чтобы мы имели некоторый метод составления утверждений, которые обычно были бы эквивалентны тому, что мы имеем в виду, когда (неточно) говорим «все свойства x». («Свойство x» может быть определено как пропозициональная функция, удовлетворяемая x.) Следовательно, мы должны найти, если возможно, некоторый метод снижения порядка пропозициональной функции, не затрагивая истинность или ложность ее значений. Это, по-видимому, то, что здравый смысл осуществляет посредством допущения классов. Дана любая пропозициональная функция φ(x) любого порядка, это предполагается эквивалентным, для всех значений x, утверждению вида «x принадлежит классу φ». Теперь, предполагая, что существует такая сущность, как класс φ, это утверждение является утверждением первого порядка, поскольку оно не вовлекает никакого намека на переменную функцию. Действительно, его единственное практическое преимущество перед исходным утверждением φ(x) состоит в том, что оно является утверждением первого порядка. Нет никакого преимущества в предположении, что действительно существуют такие вещи, как классы, и противоречие о классах, которые не являются элементами самих себя, показывает, что если существуют классы, они должны быть чем-то радикально отличным от индивидов. Казалось бы, единственная цель, которой служат классы, и одна главная причина, которая делает их лингвистически удобными, состоит в том, что они предоставляют метод снижения порядка пропозициональной функции. Мы, следовательно, не будем предполагать ничего из того, что может казаться вовлеченным в здравое допущение классов, кроме этого: что каждая пропозициональная функция эквивалентна, для всех своих значений, некоторой предикативной функции того же аргумента или аргументов.

Это допущение в отношении функций должно быть сделано, каким бы ни был тип их аргументов. Пусть φ(x) — функция, любого порядка, от аргумента x, который сам может быть либо индивидом, либо функцией любого порядка. Если φ(x) — матрица, мы записываем функцию в форме φ!x; в таком случае мы называем φ!x предикативной функцией. Таким образом, предикативная функция индивида является функцией первого порядка; и для более высоких типов аргументов предикативные функции занимают место, которое занимают функции первого порядка в отношении индивидов. Мы предполагаем, таким образом, что каждая функция от одной переменной эквивалентна, для всех своих значений, некоторой предикативной функции того же аргумента. Это допущение кажется сущностью обычного допущения классов; во всяком случае, оно сохраняет столько от классов, сколько нам нужно, и достаточно мало, чтобы избежать противоречий, которые склонно влечь за собой менее скупое допущение классов. Мы будем называть это допущение «аксиомой классов» или «аксиомой сводимости».

Мы будем предполагать аналогично, что каждая функция от двух переменных эквивалентна, для всех своих значений, предикативной функции от этих переменных, т. е. матрице. Это допущение — то, что, по-видимому, подразумевается под утверждением, что любое утверждение о двух переменных определяет реляцию между ними. Мы будем называть это допущение «аксиомой реляций» или (как предыдущую аксиому) «аксиомой сводимости».

При работе с реляциями между более чем двумя членами потребовались бы аналогичные допущения для трех, четырех, ... переменных. Но эти допущения не являются обязательными для нашей цели и поэтому в данной работе не делаются.

Сформулированные в символах, две формы аксиомы сводимости выглядят следующим образом:

*12·1. ∃φ! : φx ≡ φ!x Pp.

*12·11. ∃φ! : φ(x, y) ≡ φ!(x, y) Pp.

Мы называем две функции φ и ψ «формально эквивалентными», когда (x).φx ≡ ψx, и аналогично мы называем φ и ψ «формально эквивалентными», когда (x, y).φ(x, y) ≡ ψ(x, y). Таким образом, вышеприведенные аксиомы утверждают, что любая функция от одной или двух переменных формально эквивалентна некоторой предикативной функции от одной или двух переменных, в зависимости от случая.

Из вышеприведенных двух аксиом первая главным образом нужна в теории классов (*20), а вторая — в теории реляций (*21). Но первая также существенна для теории тождества, если тождество должно быть определено (как мы сделали, в *13·01); ее использование в теории тождества воплощено в доказательстве *13·101 ниже.

Мы можем суммировать то, что было сказано в настоящем параграфе, следующим образом:

(1) Функция первого порядка — это такая, которая не вовлекает никаких переменных, кроме индивидов, будь то в качестве связанных переменных или в качестве аргументов.

(2) Функция n-го порядка — это такая, которая имеет по крайней мере один аргумент или связанную переменную порядка n, и не содержит никакого аргумента или связанной переменной, которые не являются либо индивидом, либо функцией первого порядка, либо функцией второго порядка, ... или функцией порядка n.

(3) Предикативная функция — это такая, которая не содержит связанных переменных, т. е. является матрицей. Возможно, без потери общности, не использовать никаких переменных, кроме матриц и индивидов, до тех пор, пока не требуются переменные пропозиции.

(4) Любая функция от одного аргумента или от двух формально эквивалентна предикативной функции того же аргумента или аргументов.

СНОСКИ:

[52] Ср. Введение, глава II.

[53] Cf. pp. 95, 96.

*13. ТОЖДЕСТВО.

Резюме *13.

Пропозициональная функция «x идентично y» будет записана как «x = y». Мы обнаружим, что это использование знака равенства охватывает все обычные использования равенства, которые встречаются в математике. Определение следующее:

*13·01. x = y .=: (φ) : φ!x ⊃ φ!y Df.

Это определение утверждает, что x и y должны называться идентичными, когда каждая предикативная функция, удовлетворяемая x, также удовлетворяется y. Мы не можем утверждать, что каждая функция, удовлетворяемая x, должна удовлетворяться y, потому что x удовлетворяет функциям различных порядков, и они не могут быть все охвачены одной связанной переменной. Но в силу аксиомы сводимости следует, что если x = y и x удовлетворяет φ(x), где φ — любая функция, предикативная или не-предикативная, то y также удовлетворяет φ(y) (ср. *13·101 ниже). Следовательно, по существу, определение столь же мощно, как если бы оно могло быть распространено на все функции от x.

Заметим, что второй знак равенства в вышеприведенном определении объединен с «.≡.», и, таким образом, не является в действительности тем же самым символом, что и знак равенства, который определяется. Таким образом, определение не является циклическим, хотя на первый взгляд оно таким кажется.

На пропозиции настоящего параграфа постоянно ссылаются. Большинство из них самоочевидны, и доказательства не представляют трудности. Наиболее важными из пропозиций этого параграфа являются следующие:

*13·101.

Т. е. если x и y идентичны, любое свойство x является свойством y.

*13·12.

Это включает *13·101 вместе с тем фактом, что если x и y идентичны, любое свойство x является свойством y.

*13·15·16·17, которые утверждают, что тождество рефлексивно, симметрично и транзитивно.

*13·191.

Т. е. утверждать, что все, что идентично x, обладает определенным свойством, эквивалентно утверждению, что x обладает этим свойством.

*13·195.

Т. е. утверждать, что нечто, идентичное x, обладает определенным свойством, эквивалентно утверждению, что x обладает этим свойством.

*13·22.

Это аналог *13·195 для двух переменных.

*13·01.

Следующие определения воплощают сокращения, которые часто удобны.

*13·02. x ≠ y .=. ~(x = y) Df.

*13·03. x, y, z = x = y.y = z Df.

*13·1.

*13·101.

Док.

В силу этой пропозиции, если x = y, y удовлетворяет любой функции, будь то предикативная или не-предикативная, которая удовлетворяется x. Будет замечено, что доказательство использует аксиому сводимости (*12·1). Если бы не эта аксиома, два члена x и y могли бы совпадать в отношении всех предикативных функций, но не в отношении всех не-предикативных функций. Мы были бы таким образом приведены к тождествам различных степеней, в зависимости от степени функций, в отношении которых x и y совпадали. Строгое тождество в этом случае должно было бы быть принято как примитивная идея, и *13·101 должно было бы быть примитивной пропозицией, как и *13·15·16·17.

*13·11.

Док.

*13·12.

Док.

*13·13.

*13·14.

*13·15.

*13·16.

*13·17.

Док.

В вышеприведенном использовании *10·3, φ!x, ψ!x, χ!x рассматриваются как три различные функции от x, и x заменяет y в *10·3.

Вышеприведенные три пропозиции показывают, что тождество рефлексивно (*13·15), симметрично (*13·16) и транзитивно (*13·17). Это три признака реляций, имеющих формальные свойства, которые мы обычно ассоциируем со знаком равенства.

*13·171.

*13·172.

*13·18.

*13·181.

*13·182.

*13·183.

Док.

*13·19.

*13·191.

Док.

Эта пропозиция постоянно используется в последующих доказательствах.

*13·192.

Док.

Эта пропозиция полезна в теории дескрипций (*14).

*13·193.

Док.

Эта пропозиция используется очень часто.

*13·194.

Эта пропозиция используется в *37·65 и *101·14.

*13·195.

Док.

Использование этой пропозиции в последующих доказательствах очень часто.

*13·196.

*13·21.

Док.

Эта пропозиция является аналогом, для двух переменных, *13·191.

*13·22.

Док.

Эта пропозиция является аналогом, для двух переменных, *13·195. Она часто используется, особенно в теории пар (*54, *55, *56).

Следующая пропозиция полезна в теории типов. Ее цель — показать, что если x — любой аргумент, для которого «x = a» значимо, т. е. для которого мы имеем x = a ∨ x ≠ a, то «y = x» значимо тогда и только тогда, когда y идентично a или не идентично a. Отсюда следует (как будет доказано в *20·81), что если «x = a» и «x = b» оба значимы, класс значений x, для которых «x = a» значимо, является тем же самым, что и класс тех, для которых «x = b» значимо, т. е. два типа, имеющие общий элемент, идентичны.

В следующем доказательстве главный момент, который следует заметить, — это использование *10·221. Есть две переменные, x и y, которые должны быть идентифицированы. В первом использовании мы зависим от того факта, что x и y оба встречаются как в (4), так и в (5): вхождение x в оба оправдывает идентификацию двух x, и когда они были идентифицированы, вхождение y в оба оправдывает идентификацию двух y. (Если бы x уже не были идентифицированы, это не было бы легитимным, потому что «x = y» типически двусмысленно, если ни x, ни y не имеют данного типа.) Второе использование *10·221 оправдано тем фактом, что оба x и y встречаются как в (2), так и в (6).

*13·3.

Док.

*14. ДЕСКРИПЦИИ.

Резюме *14.

Дескрипция — это фраза вида «термин, который и т. д.», или, более эксплицитно, «термин x, который удовлетворяет φx», где φx — некоторая функция, удовлетворяемая одним и только одним аргументом. По причинам, объясненным во Введении (глава III), мы не определяем «x, который удовлетворяет φx», но мы определяем любую пропозицию, в которой встречается эта фраза. Таким образом, когда мы говорим: «Термин x, который удовлетворяет φx, удовлетворяет ψx», мы будем подразумевать: «Существует термин x такой, что φx истинно тогда и только тогда, когда x есть x, и ψx истинно». То есть, записывая «(ιx)(φx)» для «термина x, который удовлетворяет φx», ψ(ιx)(φx) должно означать ∃c : (x).φx ≡ x = c : ψc. Это, однако, еще не совсем адекватно как определение, ибо когда (ιx)(φx) встречается в пропозиции, которая является частью большей пропозиции, есть сомнение, меньшая или большая пропозиция должна быть принята как «область действия» (ιx)(φx). Возьмем, например, ψ(ιx)(φx) ∨ p. Это может быть либо ψ(ιx)(φx) ∨ p, либо ψ(ιx)(φx ∨ p). Если «(ιx)(φx)» ложно, первая из них должна быть истинной, в то время как вторая должна быть ложной. Таким образом, очень необходимо различать их.

Пропозиция, которая должна рассматриваться как «область действия» (ιx)(φx), будет называться «областью действия» (ιx)(φx). Таким образом, в первой из вышеприведенных двух пропозиций областью действия (ιx)(φx) является ψ(ιx)(φx), в то время как во второй это ψ(ιx)(φx ∨ p). Чтобы избежать двусмысленностей относительно области действия, мы будем указывать область действия, записывая «(ιx)(φx)» в начале области действия, за которой следует достаточное количество точек, чтобы дотянуться до конца области действия. Таким образом, из вышеприведенных двух пропозиций первая есть (ιx)(φx).ψ(ιx)(φx) ∨ p, в то время как вторая есть (ιx)(φx).ψ(ιx)(φx ∨ p). Таким образом, мы приходим к следующему определению:

*14·01. ψ(ιx)(φx) .=: (∃c) : (x).φx ≡ x = c : ψc Df.

На практике будет обнаружено, что областью действия обычно требуется наименьшая пропозиция, заключенная в точки или скобки, в которой встречается «(ιx)(φx)». Следовательно, когда эта область действия должна быть придана (ιx)(φx), мы обычно будем опускать эксплицитное упоминание области действия. Таким образом, например, мы будем иметь E!(ιx)(φx) .=. (∃c) : (x).φx ≡ x = c. Из них первая необходимо имплицирует (∃c).φc, в то время как вторая — нет. Мы полагаем

*14·02. E!(ιx)(φx) .=: (∃c) : (x).φx ≡ x = c Df.

Это определяет: «x, удовлетворяющий φx, существует», что справедливо тогда и только тогда, когда φx удовлетворяется одним значением x и никаким другим значением.

Когда две или более дескрипции встречаются в одной и той же пропозиции, возникает необходимость избегать двусмысленности относительно того, какая из них имеет большую область действия. Для этой цели мы полагаем

*14·03. ψ(ιx)(φx)(ιy)(ψy) .=: (∃c) : (x).φx ≡ x = c : ψ(ιy)(ψy) Df.

Будет показано в *14·113, что истинностное значение пропозиции, содержащей две дескрипции, не затрагивается вопросом о том, какая из них имеет большую область действия. Следовательно, мы в общем будем принимать конвенцию, что дескрипция, встречающаяся типографически первой, должна иметь большую область действия, если обратное не указано эксплицитно. Таким образом, например, ψ(ιx)(φx)(ιy)(ψy) будет означать (ιx)(φx).ψ(ιx)(φx)(ιy)(ψy), т. е. (ιx)(φx).(ιy)(ψy).ψ(ιx)(φx)(ιy)(ψy). Благодаря этой конвенции мы можем почти всегда избегать эксплицитного указания порядка исключения двух или более дескрипций. Если, однако, нам требуется большая область действия для более поздней дескрипции, мы полагаем

*14·04. (ιy)(ψy)(ιx)(φx).ψ(ιx)(φx)(ιy)(ψy) Df.

Всякий раз, когда мы имеем E!(ιx)(φx), (ιx)(φx) ведет себя формально как обычный аргумент к любой функции, в которой она может встретиться. Этот факт воплощен в следующей пропозиции:

*14·18

Иными словами, когда ( существует, оно обладает любым свойством, которое присуще всему. Это неверно, когда ( не существует; например, нынешний король Франции не обладает свойством быть либо лысым, либо не лысым.

Если ( обладает каким-либо свойством, оно должно существовать. Этот факт утверждается в предложении:

*14·21

Это предложение очевидно, поскольку «E (» согласно определениям является частью «(». Когда в обычном языке или в философии говорится, что нечто «существует», это всегда нечто описанное, т. е. это не нечто непосредственно представленное, как вкус или цветовое пятно, а нечто вроде «материи», «разума» или «Гомера» (означающего «автора гомеровских поэм»), которое известно через описание как «такой-то и такой-то» и, следовательно, имеет форму ( . Таким образом, во всех подобных случаях существование (грамматического) субъекта ( может быть аналитически выведено из любого истинного предложения, имеющего этот грамматический субъект. По-видимому, слово «существование» не может быть значимым образом применено к непосредственно данным субъектам; т. е. не только наше определение не придает смысла « (», но и в философии нет оснований полагать, что можно найти значение существования, применимое к непосредственно данным субъектам.

Помимо вышесказанного, к числу наиболее полезных предложений настоящего раздела относятся следующие.

*14·202.

Из первой эквивалентности в вышеприведенном следует, что

*14·204.

Т. е. ( существует, когда есть нечто, чем ( является.

Мы имеем

*14·205.

Т. е. ( обладает свойством , когда есть нечто, что является ( и что обладает свойством .

Мы должны доказать, что такие символы, как «( », подчиняются тем же правилам в отношении тождества, что и символы, непосредственно представляющие объекты. Однако здесь есть одно частичное исключение, ибо вместо того, чтобы иметь , мы имеем лишь

*14·28.

Т. е. «( » удовлетворяет рефлексивному свойству тождества только в том случае, если ( существует.

Симметричное свойство тождества справедливо для таких символов, как ( , без необходимости предположения о существовании, т. е. мы имеем

*14·13.

*14·131.

Аналогично, транзитивное свойство тождества справедливо без необходимости предположения о существовании. Это доказано в *14·14·142·144.

*14·01.

*14·02.

*14·03.

*14·04.

*14·1 .

В силу наших соглашений относительно области действия, подразумеваемой, когда область действия не указана явно, вышеприведенное предложение тождественно следующему:

*14·101.

*14·11 .

*14·111.

Док.

*14·112.

В вышеприведенном предложении мы используем соглашение, объясненное на стр. 182 после формулировки *14·03.

*14·113 .

Это предложение показывает, что когда два описания встречаются в одном и том же предложении, истинностное значение предложения не зависит от того, какое из них имеет большую область действия.

*14·12.

Док.

*14·121.

Док.

*14·122 .

Док.

Два следующих предложения (*14·123·124) помещены здесь из-за аналогии с *14·122, но они не используются до тех пор, пока мы не перейдем к теории пар (*55 и *56).

*14·123.

Док.

*14·124.

Док.

*14·13 .

Док.

Это предложение не является непосредственным следствием *13·16, поскольку « (» не является значением функции « (» . Аналогичные замечания применимы к следующим предложениям.

*14·131.

Док.

В вышеприведенном предложении, в соответствии с нашим соглашением, дескриптивное выражение ( исключается перед ( , поскольку оно встречается первым в «( ( »; но в «( ( » ( должно быть исключено первым. Порядок исключения не влияет на истинностное значение, как было доказано в *14·113.

Вышеприведенное предложение может быть также доказано следующим образом:

*14·14.

*14·142.

Док.

*14·144.

Док.

*14·145.

Док.

*14·15.

Док.

*14·16.

Док.

*14·17.

Док.

Следует заметить, что мы не имеем , ибо если ( всегда ложно, то ( справедливо для всех значений . Но мы имеем

*14·171.

Док.

*14·18 .

Док.

Вышеприведенное предложение показывает, что при условии, что ( существует, оно обладает (говоря формально) всеми логическими свойствами символов, которые непосредственно представляют объекты. Следовательно, когда ( существует, тот факт, что оно является неполным символом, становится несущественным для истинностных значений логических предложений, в которых оно встречается.

*14·2.

Док.

*14·201.

Док.

*14·202 .

Док.

[Вторая половина доказывается так же, как и первая.]

*14·203.

Док.

*14·204.

Док.

*14·205.

*14·21 .

Док.

Это предложение показывает, что если о ( можно сделать какое-либо истинное утверждение, то ( должно существовать. Его использование на протяжении остальной части работы будет очень частым.

Когда ( не существует, все еще существуют истинные предложения, в которых встречается «( », но в таких предложениях оно имеет вторичное вхождение в смысле, объясненном в главе III Введения, т. е. рассматриваемое утвердительное предложение имеет форму не ( , а ( , иными словами, предложение, которое является областью действия ( , является лишь частью всего утвердительного предложения.

*14·22.

Док.

В качестве примера вышеприведенного предложения можно взять следующее: «Предложение "автор Уэверли существовал" эквивалентно "человек, написавший Уэверли, написал Уэверли"». Таким образом, такое предложение, как «человек, написавший Уэверли, написал Уэверли», не воплощает логически необходимую истину, поскольку оно было бы ложным, если бы Уэверли не был написан или был написан двумя людьми в соавторстве. Например, «человек, который квадратировал круг, квадратировал круг» — это ложное предложение.

*14·23.

Док.

Заметьте, что во второй строке вышеприведенного доказательства требуется не только *3·26, но и *10·5. Ибо область действия дескриптивного символа ( есть все произведение ( , так что, применяя *14·1, предложение справа в первой строке становится ( , что согласно *10·5 и *3·26 влечет за собой

*14·24.

Док.

Это предложение следует сравнить с *14·241, где в силу меньшей области действия ( мы получаем импликацию вместо эквивалентности.

*14·241 .

Док.

*14·242 .

*14·25.

Док.

*14·26.

Док.

*14·27.

Док.

*14·271.

Док.

*14·272.

Док.

Вышеприведенные два предложения показывают, что ( и ( являются «экстенсиональными» свойствами ( , т. е. их истинностное значение не меняется при подстановке вместо ( любой формально эквивалентной функции ( .

*14·28 .

Док.

Это предложение утверждает, что ( тождественно самому себе всякий раз, когда оно существует, но не иначе. Таким образом, например, предложение «нынешний король Франции есть нынешний король Франции» ложно.

Цель следующих предложений — показать, что когда ( , область действия ( не имеет значения для истинностного значения любого предложения, в котором встречается ( . Это предложение не может быть доказано в общем виде, но оно может быть доказано в каждом конкретном случае. Следующие предложения показывают метод, который всегда осуществляется посредством *14·242, *10·23 и *14·11. Предложение может быть доказано в общем виде, когда ( встречается в форме ( , и ( встречается в том, что мы можем назвать «истинностной функцией», т. е. функции, истинность или ложность которой зависит только от истинности или ложности ее аргумента или аргументов. Это охватывает все случаи, с которыми мы когда-либо имеем дело. Иными словами, если ( встречается любым из способов, которые могут быть порождены процессами *1—*11, то при условии ( истинностное значение ( ( то же, что и у ( ( . Это доказано в следующем предложении. Однако в этом предложении использование предложений в качестве связанных переменных включает аппарат, не требуемый в других местах, и поэтому мы не использовали это предложение в последующих доказательствах.

*14·3 .

Док.

Следующие предложения являются непосредственными применениями вышеприведенного. Однако они доказываются независимо, поскольку *14·3 вводит предложения ( , а именно) в качестве связанных переменных, чего мы не делали в других местах и не можем сделать законно без явного введения иерархии предложений с аксиомой сводимости, такой как *12·1.

*14·31 .

Док.

Следующие предложения доказываются точно так же, как *14·31; поэтому мы будем просто давать ссылки на предложения, используемые в доказательствах.

*14·32.

Эквивалентность, утверждаемая здесь, нарушается, когда ( . Так, например, пусть ( будет « ( является королем Франции». Тогда ( = король Франции. Пусть ( будет « ( лыс». Тогда король Франции существует и не лыс; но ложно, что король Франции существует и лыс. Из них первое ложно, второе истинно. Любое из них могло бы подразумеваться под «король Франции не лыс», что двусмысленно; но было бы естественнее принять первую (ложную) интерпретацию как значение слов. Если бы король Франции существовал, они были бы эквивалентны; таким образом, применительно к королю Англии оба истинны или оба ложны.

*14·33.

*14·331.

*14·332.

*14·34 .

Это предложение не требует гипотезы ( .

Док.

Предложения вышеуказанного типа можно продолжать бесконечно, но поскольку они доказываются по единому плану, нет необходимости выходить за рамки фундаментальных случаев ( , ( и (

Следует заметить, что предложение, в котором ( имеет большую область действия, всегда влечет за собой соответствующее, в котором оно имеет меньшую область действия, но обратная импликация справедлива только если либо (а) мы имеем ( , либо (б) предложение, в котором ( имеет меньшую область действия, влечет ( . Второй случай встречается в *14·34 и является причиной того, почему мы получаем эквивалентность без гипотезы ( . Предложение, в котором ( имеет большую область действия, всегда влечет ( в силу *14·21.

РАЗДЕЛ C. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ.

*20. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КЛАССОВ.

Резюме *20.

Следующая теория классов, хотя и предоставляет нотацию для их представления, избегает предположения о том, что существуют такие вещи, как классы. Она делает это путем простого определения предложений, в выражении которых встречаются символы, представляющие классы, точно так же, как в *14 мы определили предложения, содержащие описания.

Характеристики класса состоят в том, что он включает все термины, удовлетворяющие некоторой пропозициональной функции, так что каждая пропозициональная функция определяет класс, и две функции, которые формально эквивалентны (т. е. такие, что всякий раз, когда одна из них истинна, другая также истинна), определяют один и тот же класс, в то время как, наоборот, две функции, определяющие один и тот же класс, формально эквивалентны. Когда две функции формально эквивалентны, мы будем говорить, что они имеют одну и ту же экстенсию. Неполные символы, которые занимают место классов, служат цели технического предоставления чего-то идентичного в случае двух функций, имеющих одну и ту же экстенсию; без чего-то, представляющего классы, мы не можем, например, сосчитать комбинации, которые могут быть сформированы из заданного набора объектов.

Предложения, в которых встречается функция ( , могут зависеть по своему истинностному значению от конкретной функции ( , или они могут зависеть только от экстенсии ( . В первом случае мы будем называть рассматриваемое предложение интенсиональной функцией ( ; во втором случае — экстенсиональной функцией ( . Так, например, ( или ( является экстенсиональной функцией ( , потому что если ( формально эквивалентно ( , т. е. если ( , мы имеем ( и ( . Но, с другой стороны, «Я верю ( » является интенсиональной функцией, потому что даже если ( , из этого отнюдь не следует, что я верю ( , при условии, что я верю ( . Признаком экстенсиональной функции функции ( является (Мы пишем « ( », когда хотим говорить о самой функции в противоположность ее аргументу.) Функции функций, которыми специально занимается математика, все являются экстенсиональными.

Когда функция ( является экстенсиональной, ее можно рассматривать как относящуюся к классу, определяемому ( , поскольку ее истинностное значение остается неизменным до тех пор, пока класс остается неизменным. Следовательно, для теории классов нам требуется метод получения экстенсиональной функции из любой заданной функции функции. Это осуществляется следующим определением:

*20·01 .

Здесь ( в действительности является функцией ( , которая определена всякий раз, когда ( значимо для предикативных функций ( . Но удобно рассматривать ( так, как если бы оно имело аргумент ( ), который мы назовем «классом, определяемым функцией ( ». Вскоре будет доказано, что ( всегда является экстенсиональной функцией ( , и что, применяя определение тождества (*13·01) к фиктивным объектам ( ) и ( ), мы имеем ( . Это последнее является отличительной характеристикой классов и оправдывает нас в трактовке ( ) как класса, определяемого ( .

Что касается области действия ( ), и порядка исключения двух таких выражений, мы примем те же соглашения, которые были объяснены в *14 для ( . Условие, соответствующее ( , которое всегда выполняется в силу *12·1.

Следуя Пеано, мы будем использовать нотацию ( для выражения « ( является членом класса, определяемого ( ». Поэтому мы вводим следующее определение:

*20·02 .

В этой форме определение никогда не используется; оно вводится ради предложения ( , которое получается из *20·02 и *20·01, и приводит к ( с помощью *12·1.

Мы будем использовать малые греческие буквы (кроме ( , ( , ( , ( , ( , ( ) для представления классов, т. е. для обозначения символов вида ( или ( . Когда малая греческая буква встречается как связанная переменная, следует понимать, что она обозначает символ вида ( , где ( является собственно рассматриваемой связанной переменной. Использование отдельных букв вместо таких символов, как ( или ( , практически почти необходимо, поскольку в противном случае нотация быстро становится невыносимо громоздкой. Таким образом, « ( » будет означать « ( является членом класса ( » и может использоваться везде, где не рассматривается специальная определяющая функция класса ( .

Следующее определение определяет, что подразумевается под классом.

*20·03 .

Заметьте, что выражение « ( » не имеет значения в изоляции: мы лишь определили (в *20·01) некоторые способы использования таких выражений. Вышеприведенное определение решает, что символ «Cls» может заменить символ « ( », где бы последний ни встречался, и что значение комбинации символов при этом не должно меняться. Таким образом, «Cls» также не имеет значения в изоляции, а лишь в определенных употреблениях.

Вышеприведенное определение, как и многие будущие определения, двусмысленно относительно типа. Латинская буква ( , согласно нашим соглашениям, должна представлять самый низкий рассматриваемый тип; таким образом, ( имеет тип, следующий непосредственно за этим. Удобно говорить о классе как о имеющем тот же тип, что и его определяющая функция; таким образом, ( имеет тип, следующий непосредственно за типом ( , а «Cls» имеет тип, следующий непосредственно за типом ( . Таким образом, тип «Cls» фиксирован относительно самого низкого рассматриваемого типа; но если в двух разных контекстах рассматриваются разные типы как самые низкие, значение «Cls» будет разным в этих двух контекстах. Значение «Cls» становится определенным только тогда, когда указан самый низкий рассматриваемый тип.

Равенство между классами определяется путем применения *13·01, символически неизменного, к их определяющим функциям, а затем использования *20·01.

Предложения настоящего раздела можно разделить на три группы. Во-первых, это те, которые имеют дело с фундаментальными свойствами классов; они заканчиваются на *20·43. Затем идет группа предложений, имеющих дело как с классами, так и с описаниями; они простираются от *20·5 до *20·59 (за исключением *20·53·54). Наконец, у нас есть группа предложений, предназначенных для доказательства того, что классы классов обладают всеми теми же формальными свойствами, что и классы индивидов.

В первой группе основными предложениями являются следующие.

*20·15.

Т. е. два класса идентичны тогда и только тогда, когда их определяющие функции формально эквивалентны. Это основное свойство классов.

*20·31.

Т. е. два класса идентичны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же члены.

*20·43.

Это то же самое предложение, что и *20·31, просто использующее греческие буквы вместо ( и ( .

*20·18.

Т. е. если два класса идентичны, любое свойство одного из них принадлежит также и другому. Это аналог *13·12.

*20·2·21·22, которые доказывают, что тождество между классами является рефлексивным, симметричным и транзитивным.

*20·3.

Т. е. термин принадлежит классу тогда и только тогда, когда он удовлетворяет определяющей функции класса.

Во второй группе предложений (*20·3—·59) мы показываем, что при подходящих обстоятельствах выражения, такие как ( , могут быть подставлены вместо ( в *20·3 и различные другие предложения первой группы, и мы доказываем несколько свойств таких выражений, как «( », т. е. «класс, который удовлетворяет функции ( ». Здесь следует помнить, что « ( » означает « ( », и что « ( » поэтому означает « ( ». Это, в действительности, функция ( , а именно экстенсиональная функция, связанная с ( посредством *20·01. Таким образом, выражение, содержащее переменную класса, всегда является сокращением для выражения, содержащего переменную функцию.

В третьей группе предложений мы доказываем, что переменные классы удовлетворяют всем примитивным предложениям, принятым для переменных индивидов или функций, откуда следует, путем простого повторения доказательств первой группы предложений (*20·1—·43), что классы классов обладают всеми формальными свойствами классов индивидов или функций. У нас никогда не будет повода явно рассматривать классы функций, но классы классов будут встречаться постоянно — например, каждое кардинальное число будет определяться как класс классов. Классы отношений, которые также будут часто встречаться, будут рассмотрены в *21.

*20·01.

*20·02.

*20·03.

Три следующих определения служат исключительно целям сокращения.

*20·04.

*20·05.

*20·06.

Следующие определения лишь распространяют на символы, представляющие классы, определения, которые уже были даны для других символов, с минимально возможными модификациями.

*20·07 . (

*20·071. (

*20·072.

*20·08.

*20·081.

Предложения, которые следуют, дают наиболее общие свойства классов.

*20·1 .

*20·11.

Док.

Это доказывает, что каждое предложение о классе выражает экстенсиональное свойство определяющей функции класса и, следовательно, не зависит по своей истинности или ложности от конкретной функции, выбранной для определения класса, а только от экстенсии определяющей функции.

*20·111.

Док.

*20·112 .

Док.

Таким образом, аксиома сводимости по-прежнему справедлива для классов в качестве аргументов.

*20·12.

*20·13 .

Значение « ( » получается двойным применением *20·01 к *13·01, помня соглашение, что ( должно иметь большую область действия, чем ( , поскольку оно встречается первым.

Док.

*20·14.

Док.

Это предложение является обратным к *20·13.

*20·15.

Это предложение утверждает, что две функции определяют один и тот же класс тогда и только тогда, когда они формально эквивалентны, т. е. удовлетворяются одним и тем же набором значений. Это существенное свойство классов, которое дает оправдание определению *20·01.

*20·151 .

Док.

В силу этого предложения все классы могут быть получены из предикативных функций. Этот факт особенно важен, когда классы используются в качестве связанных переменных. Ибо в этом случае, согласно определениям *20·07·071, связанной переменной, действительно вовлеченной, является предикативная функция. В силу *20·151 это не накладывает никаких ограничений на рассматриваемые классы, за исключением ограничения, которое неизбежно вытекает из природы их членства.

Класс, следовательно, в отличие от функции, имеет свой порядок, полностью определяемый порядком своих возможных членов, т. е. аргументов, которые делают его определяющую функцию значимой.

*20·16.

*20·17 .

*20·18.

*20·19.

Док.

*20·191.

*20·2.

Док.

*20·21.

*20·22.

Вышеприведенные предложения не являются непосредственными следствиями *13·15·16·17 по причине, аналогичной той, что объяснена в примечании к *14·13, а именно потому, что ( не является значением ( , и поэтому, в частности, « ( » не является значением « ( ».

*20·23.

*20·24.

*20·25 .

Док.

*20·3 .

Док.

Это предложение показывает, что ( является членом класса, определяемого ( , тогда и только тогда, когда ( удовлетворяет ( .

*20·31 .

*20·32 .

*20·33.

Док.

Здесь ( написано вместо некоторого выражения вида ( . Использование одной греческой буквы более удобно всякий раз, когда определяющая функция не имеет значения.

*20·34.

Док.

Вышеприведенное предложение и *20·25 иллюстрируют использование греческих букв в качестве связанных переменных.

*20·35.

*20·4.

*20·41 .

*20·42.

Греческая буква, такая как ( , является лишь сокращением для выражения вида ( , таким образом, это предложение есть повторенное *20·32.

Док.

*20·43 .

Следующие предложения имеют дело со случаями, в которых встречаются как классы, так и описания. В таких случаях мы, при отсутствии каких-либо указаний на обратное, примем соглашение, что описания должны иметь большую область действия, чем классы, при применении определений *14·01 и *20·01.

*20·5 .

Док.

*20·51.

Док.

*20·52.

Док.

*20·53.

Это аналог *13·191.

Док.

*20·54.

Это предложение является аналогом *13·195.

Док.

*20·55.

Док.

*20·56.

*20·57 .

Док.

*20·58.

Док.

*20·59 .

Док.

В следующих предложениях мы докажем, что классы обладают всеми формальными свойствами индивидов и имеют те же отношения к классам классов, что и индивиды к классам индивидов. Необходимо лишь доказать аналоги наших примитивных предложений и наших определений в тех случаях, когда их аналоги сами не являются определениями. Мы возьмем предложения *10·1·11·12·121·122, а не предложения *9, и мы докажем аналог *10·01. Как было указано в *10, мы таким образом докажем все, от чего зависят последующие доказательства. Аналоги *20·01·02 и *14·01 остаются определениями, но аналоги *10·01 и *13·01 становятся предложениями, подлежащими доказательству. *9·131 должно быть расширено определением: два класса являются «одного типа», когда они имеют предикативные определяющие функции одного типа. В дополнение к этому мы должны доказать аналоги *10·1·11·12·121·122, *11·07 и *12·1·11. Когда они будут доказаны, аналоги других предложений последуют путем простого повторения предыдущих доказательств. Эти аналоги, следовательно, будут цитироваться по номерам оригинальных предложений, аналогами которых они являются.

*20·6 .

Док.

Это аналог *10·01.

*20·61.

Док.

Это аналог *10·1.

На практике нам также нужно . Это *20·17.

Нам нужно далее

Это *20·41.

*20·62 . Когда ( истинно, каким бы ни был возможный аргумент вида ( , тогда ( ( истинно.

Это аналог *10·11.

Док.

когда ( истинно, каким бы ни был возможный аргумент ( , тогда ( ( истинно, т. е. (по *20·07), ( ( истинно.

*20·63.

Это аналог *10·12.

Док.

*20·631 . Если « ( » значимо, то если ( того же типа, что и ( , « ( » значимо, и наоборот.

Это аналог *10·121.

Док.

По *20·151 ( имеет вид ( , и поэтому, по *20·01, ( есть функция ( . Аналогично ( имеет вид ( , и ( есть функция ( . Следовательно, применяя *10·121 к ( и ( , получаем результат.

*20·632 . Если для некоторого ( существует предложение ( , то существует функция ( , и наоборот.

Док.

По определению в *20·01 ( есть функция ( . Следовательно, предложение следует из *10·122.

*20·633 . «Каким бы ни был возможный класс ( , ( истинно, каким бы ни был возможный класс ( » влечет соответствующее утверждение с ( и ( , поменянными местами, за исключением « ( ». (Соответствующее исключение следует понимать в *11·07.)

Это аналог *11·07 и следует сразу из *11·07, потому что ( есть функция определяющих функций ( и ( .

*20·64.

Док.

Заметьте, что « ( » — это лишь сокращение для любого символа вида ( . Вот почему в вышеприведенном доказательстве ничего больше не требуется.

Вышеприведенное предложение является аналогом *10·14. Как и это предложение, оно требует для значимости заключения, чтобы ( и ( были функциями, которые принимают аргументы одного типа. Это не требуется для значимости гипотезы. Следовательно, хотя вышеприведенное предложение истинно всякий раз, когда оно значимо, оно не истинно всякий раз, когда значима его гипотеза.

*20·7 .

Это аналог *12·1.

*20·701 .

[Доказательство продолжается как в *20·112, используя *12·11 вместо *12·1.]

*20·702.

[Доказательство как в *20·701.]

*20·703.

Док.

*20·701·702·703 дают аналоги для классов *12·11.

*20·71.

Это аналог *13·01.

Это завершает доказательство того, что все до сих пор приведенные предложения применимы к классам так же, как и к индивидам. Точно такие же рассуждения распространяют этот результат на классы классов, классы классов классов и т. д.

Из вышеприведенных предложений видно, что, хотя выражения, такие как ( , не имеют значения в изоляции, все же те из их формальных свойств, с которыми мы до сих пор имели дело, являются теми же, что и соответствующие свойства символов, которые имеют значение в изоляции. Следовательно, ничто в аппарате, введенном до сих пор, не требует от нас определять, обозначает ли данный символ класс или нет, если только символ не встречается таким образом, при котором только класс может значимо встречаться. Это важный результат, который позволяет нам придать нашим предложениям гораздо большую общность, чем это было бы возможно в противном случае.

Два следующих предложения (*20·8·81) являются следствиями *13·3. «Тип» любого объекта ( будет определен в *63 как класс терминов, либо идентичных ( , либо не идентичных ( . Мы можем определить «тип аргументов к ( » как класс аргументов ( , для которых « ( » значимо, т. е. класс ( . Тогда первое из следующих предложений показывает, что если « ( » значимо, тип аргументов к ( есть тип ( ; второе предложение показывает, что если « ( » и « ( » оба значимы, тип аргументов к ( есть тот же, что и тип аргументов к ( , потому что каждый из них есть тип ( . *20·8 будет использовано в *63·11, которое является фундаментальным предложением в теории относительных типов.

*20·8 .

Док.

*20·81 .

Док.

В третьей строке вышеприведенного доказательства использование *10·121 зависит от того факта, что « ( » как в (1), так и в (2) должно быть таким, чтобы сделать гипотезу значимой, т. е. таким, чтобы сделать ( значимым. Следовательно, « ( » в (1) и « ( » в (2) должны быть одного типа, по *10·121, и, следовательно, по *10·13 мы можем утверждать произведение (1) и (2), отождествляя две « ( ».

Поскольку тип есть область значимости функции, если ( есть функция, которая всегда истинна, ( должно быть типом. Ибо если функция всегда истинна, аргументы, для которых она истинна, те же, что и аргументы, для которых она значима; следовательно, ( есть область значимости ( , если ( справедливо. Таким образом, любой класс ( есть тип, если ( . Отсюда следует, что какой бы ни была функция ( , ( есть тип; и, в частности, ( есть тип. Поскольку ( является членом этого класса, этот класс есть тип, к которому принадлежит ( . В силу *20·8, если ( значимо, тип, к которому принадлежит ( , есть класс аргументов, для которых ( значимо, т. е. ( . И если существует какой-либо аргумент ( , для которого ( и ( оба значимы, тогда ( и ( имеют одну и ту же область значимости в силу *20·81.

*21. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОШЕНИЙ.

Резюме *21.

Определения и предложения этого раздела точно аналогичны определениям *20, от которых они отличаются тем, что касаются функций двух переменных вместо одной. Отношение, как мы будем использовать это слово, будет пониматься в экстенсии: его можно рассматривать как класс пар ( , для которых некоторая заданная функция ( истинна. Его отношение к функции ( точно такое же, как у класса к его определяющей функции. Мы полагаем

*21·01 .

Здесь « ( » не имеет значения в изоляции, а только в некоторых своих употреблениях. В *21·01 алфавитный порядок ( и ( соответствует типографскому порядку ( и ( в ( , так что ( . Это важно в отношении соглашения о подстановке ниже.

Будет показано, что ( , т. е. что два отношения, как определено выше, идентичны тогда и только тогда, когда они удовлетворяются одними и теми же парами аргументов.

Для подстановки в ( и ( мы принимаем соглашение, что когда функция (в противоположность ее значениям) представлена в форме, включающей ( и ( , или любые другие две буквы алфавита, значение этой функции для аргументов ( и ( должно быть найдено путем подстановки ( вместо ( и ( вместо ( , в то время как значение для аргументов ( и ( должно быть найдено путем подстановки ( вместо ( и ( вместо ( . То есть аргумент, упомянутый первым, должен быть подставлен вместо буквы, которая идет первой в алфавите, а аргумент, упомянутый вторым, — вместо более поздней буквы; таким образом, способ подстановки зависит от алфавитного порядка букв, которые имеют циркумфлексы, и типографского порядка других букв.

Вышеприведенное соглашение относительно порядка предполагается в следующем определении, где ( является первым упомянутым аргументом, а ( — вторым:

*21·02.

Следовательно, следуя соглашению,

Это определение не используется в том виде, в каком оно есть, но вводится ради ( , которое получается из *21·01·02. Мы будем использовать заглавные латинские буквы для представления переменных выражений вида ( , точно так же, как мы использовали греческие буквы для переменных выражений вида ( . Если заглавная латинская буква, скажем ( , используется как связанная переменная, предполагается, что ( , которое встречается в форме «( ( » или «( ( », должно быть заменено на «( ( » или «( ( », в то время как ( , которое встречается позже, должно быть заменено на « ( ». Фактически мы полагаем ( . Использование отдельных букв для таких выражений, как ( , является практически незаменимым удобством.

Ниже приводится определение класса отношений:

*21·03.

К нему применимы те же замечания, что и к определению «Cls» (*20·03).

В силу определений *21·01·02 и соглашения относительно заглавных латинских букв нотация « ( » будет означать « ( имеет отношение ( к ( ». Эта нотация практически удобна и после предварительных замечаний полностью заменит громоздкую нотацию ( .

Доказательства предложений этого раздела обычно опускаются, поскольку они точно аналогичны доказательствам *20, просто заменяя *12·11 на *12·1, а предложения в *11 на предложения в *10.

Предложения этого параграфа, подобно предложениям *20, делятся на три раздела. Предложения второго раздела упоминаются редко. Предложения третьего раздела, распространяющие на отношения формальные свойства, ранее постулированные или доказанные для индивидов и функций, в дальнейшем явно не упоминаются, но постоянно релевантны, а именно всякий раз, когда предложение, постулированное или доказанное для индивидов и функций, применяется к отношениям. Основными предложениями первого раздела являются следующие.

*21·15.

Т. е. два отношения идентичны тогда и только тогда, когда их определяющие функции формально эквивалентны.

*21·31.

Т. е. два отношения идентичны тогда и только тогда, когда они имеют место между одними и теми же парами термов. Тот же факт выражается следующим предложением:

*21·43.

*21·2·21·22 показывают, что идентичность отношений рефлексивна, симметрична и транзитивна.

*21·3.

Т. е. два терма находятся в данном отношении тогда и только тогда, когда они удовлетворяют его определяющей функции.

*21·151.

Т. е. каждое отношение может быть определено предикативной функцией. Следовательно, когда, используя *21·07 или *21·071, мы имеем отношение в качестве связанной переменной и поэтому ограничены предикативными определяющими функциями, потери общности не происходит.

*21·01.

Относительно соглашения о порядке в *21·01·02 см. стр. 211, и таким образом соотносим с, так что

*21·02.

*21·03.

Следующие определения лишь распространяют на отношения, с минимально возможными модификациями, определения, уже данные для других символов.

*21·07. (

*21·071. (

*21·072.

*21·08.

*21·081.

Соглашение о типографическом и алфавитном порядке здесь сохраняется.

*21·082.

*21·083.

*21·1.

*21·11.

Это предложение доказывает, что каждое предложение об отношении выражает экстенсиональное свойство определяющей функции.

*21·111.

*21·112.

В этом предложении требуется *12·1, а не *12·11, поскольку мы имеем дело с функцией ( от одной переменной, а именно , хотя эта одна переменная сама является функцией от двух переменных.

*21·12.

Это первое использование примитивного предложения *12·11, за исключением *20·701·702·703.

*21·13.

*21·14.

*21·15.

Это предложение утверждает, что две двойные функции определяют одно и то же отношение тогда и только тогда, когда они формально эквивалентны, т. е. удовлетворяются одними и теми же парами аргументов. Это фундаментальное свойство отношений, как определено выше (*21·01).

*21·151.

*21·16.

*21·17.

*21·18.

*21·19.

*21·191.

*21·2.

*21·21.

*21·22.

*21·23.

*21·24.

*21·3.

Это показывает, что находится в отношении, определяемом , к y тогда и только тогда, когда и удовлетворяют .

Заметьте, что примитивное предложение *12·11 здесь снова необходимо.

*21·31.

*21·32.

*21·33.

Здесь написано для некоторого выражения вида . Использование одной заглавной буквы для отношения удобно всякий раз, когда определяющая функция нерелевантна.

*21·4.

*21·41.

*21·42.

*21·43.

*20·5·51·52 не имеют аналогов в теории отношений.

*21·53.

*21·54.

*21·55.

*21·56.

*21·57.

*21·58.

Следующие предложения являются аналогами *20·6 и сл. и имеют схожую цель.

*21·6.

*21·61.

*21·62. Когда истинно, каким бы ни был возможный аргумент вида , ( истинно. [Доказательство как в *20·62]

*21·63.

*21·631. Если " " значимо, то если того же типа, что и , " " значимо, и наоборот.

[Доказательство как в *20·631]

*21·632. Если для некоторого существует предложение , то существует функция , и наоборот.

[Доказательство как в *20·632]

*21·633. "Каким бы ни было возможное отношение , истинно, каким бы ни было возможное отношение " влечет "каким бы ни было возможное отношение , истинно, каким бы ни было возможное отношение ".

[Доказательство как в *20·633]

*21·64.

*21·7.

*21·701.

*21·702.

*21·703.

*21·704.

*21·705.

*21·71.

Из вышеприведенных предложений следует, что отношения, подобно классам, обладают всеми формальными свойствами, которыми они обладали бы, если бы были символами, имеющими значение в изоляции. Следовательно, если символ не встречается таким образом, при котором только отношение может встречаться значимо, нам не нужно решать, обозначает ли он отношение или нет. Этот результат, подобно соответствующему результату для классов, упомянутому в конце *20, важен, поскольку придает нашим предложениям большую общность, чем они обладали бы в противном случае. Результаты, полученные в *20 и *21 для классов и отношений, чьи члены или термы не являются ни классами, ни отношениями, могут быть распространены, путем простого повторения доказательств, на классы классов, классы отношений, отношения классов, отношения отношений и так далее.

*22. ИСЧИСЛЕНИЕ КЛАССОВ.

Резюме *22.

В этом параграфе мы доходим до того, что исторически было отправной точкой символической логики. Используемые греческие буквы (за исключением , , , ) всегда должны обозначать выражения вида , или, где греческие буквы не являются связанными переменными, . Малые латинские буквы могут быть либо такими, которые имеют значение в изоляции, либо могут представлять классы или отношения; это возможно в силу примечаний в конце *20 и *21. Мы полагаем:

*22·01.

Это определяет "класс содержится в классе ", или "все 'ы суть 'ы".

*22·02.

Это определяет логическое произведение или общую часть двух классов и .

*22·03.

Это определяет логическую сумму двух классов; это класс, состоящий из всех членов одного вместе со всеми членами другого.

*22·04.

Это определяет отрицание класса. Читается "не-". Он не содержит каждый объект , относительно которого " " не истинно, а только те объекты, относительно которых " " ложно; т. е. он исключает те объекты, для которых " " бессмысленно. Таким образом, он состоит из всех объектов типа, непосредственно следующего за , которые не являются членами ; но он не содержит объектов никакого другого типа, кроме этого.

*22·05.

Это определение дает сокращение, которое часто удобно.

Постулаты, необходимые для алгебры логики, были перечислены Хантингтоном [54]. В нашей нотации они таковы.

Мы предполагаем класс , с двумя правилами комбинации, а именно и ; и тогда нам требуются следующие десять постулатов:

I a. в классе, когда и в классе.

I b. в классе, когда и в классе.

II a. Существует элемент такой, что для каждого элемента .

II b. Существует элемент такой, что для каждого элемента .

III a. когда , , и в классе.

III b. когда , , и в классе.

IV a. когда , , , , , , , и в классе.

IV b. когда , , , , , , , и ( в классе.

V. Если элементы и в постулатах II a и II b существуют и единственны, то для каждого элемента существует элемент такой, что и .

VI. Существуют по крайней мере два элемента, и , в классе, такие что .

Форма вышеуказанных постулатов такова, что они взаимно независимы, т. е. любые девять из них удовлетворяются интерпретациями символов, которые не удовлетворяют оставшемуся.

Для наших целей " " должно быть заменено на " ". и будут нулевым классом и универсальным классом, которые определены в *24. Тогда вышеуказанные десять постулатов доказываются ниже, следующим образом:

I a. в *22·37, а именно " "

I b. в *22·36, а именно " "

II a. в *24·24, а именно " "

II b. в *24·26, а именно " "

III a. в *22·57, а именно " "

III b. в *22·51, а именно " "

IV a. в *22·69, а именно " "

IV b. в *22·68, а именно " "

V. в *24·21·22, а именно " " и " "

VI. в *24·1, а именно " "

Следовательно, принимая анализ постулатов Хантингтона для формальной алгебры логики, предложения, доказанные в дальнейшем, достаточны для установления того, что эта алгебра справедлива для классов. Соответствующие предложения *23 и *25 доказывают, что она справедлива для отношений, подставляя , , , , вместо , , , , .

Основными предложениями настоящего параграфа являются следующие:

(1) Те, что воплощают формальные правила:

*22·51.

*22·57.

Они воплощают коммутативный закон.

*22·52.

*22·7.

Они воплощают ассоциативный закон.

*22·5.

*22·56.

Они воплощают закон тавтологии.

*22·68.

*22·69.

Они воплощают дистрибутивный закон. Будет видно, что второе получается из первого путем повсеместной замены знаков сложения и умножения.

*22·8.

Это принцип двойного отрицания.

*22·81.

Это принцип транспозиции.

(2) Другие полезные предложения:

*22·44.

*22·441.

Они воплощают две формы силлогизма в Barbara.

*22·62.

*22·621.

Эти два предложения позволяют нам преобразовать любое включение ( в уравнение.

*22·91.

Т. е. " или " идентично " или часть , которая исключена из ".

*22·01.

*22·02.

*22·03.

*22·04.

*22·05.

*22·1.

*22·2.

*22·3.

*22·31.

*22·32.

*22·33.

*22·34.

*22·35.

*22·351.

Док.

Это предложение используется при доказательстве того, что нулевой класс не идентичен классу, содержащему всё (*24·1), что используется для показа того, что существуют по крайней мере два класса. Наши аксиомы не достаточны для доказательства того, что существует более одного индивида, но они доказывают существование по крайней мере двух классов и по крайней мере двух отношений.

*22·36.

*22·37.

*22·38.

*22·39.

Док.

*22·391.

*22·392.

*22·4.

Док.

*22·41.

*22·42.

*22·43.

*22·44.

Это одна форма силлогизма в Barbara. Другая форма — следующая:

*22·441.

*22·45.

Док.

*22·46.

*22·47.

*22·48.

*22·481.

Док.

*22·49.

*22·5.

Док.

Вышеуказанное есть закон тавтологии для логического умножения классов.

*22·51.

*22·52.

Таким образом, логическое умножение классов подчиняется коммутативному и ассоциативному законам. Ссылки на *22·33·34·35 и на *20·43 в будущем часто будут опускаться.

*22·53.

Это определение служит лишь для избежания скобок.

*22·54.

*22·55.

*22·551.

*22·56.

Вышеуказанное есть закон тавтологии для логического сложения классов.

*22·57.

*22·58.

*22·59.

Док.

Аналог *4·78, т. е. ложно. Мы имеем только

Подобное замечание применимо к аналогу *4·79. Ср. *22·64·65.

*22·6.

Док.

*22·61.

*22·62.

Док.

*22·621.

Доказательство протекает как в *22·62. Предложение *22·621 является одним из самых полезных предложений в настоящем параграфе.

*22·63.

Процесс получения *22·63 из *4·44 того же рода, что и процесс, используемый в доказательствах, которые были выписаны в этом параграфе. Следовательно, упоминается только *4·44. Мы будем аналогичным образом ограничивать ссылки для более поздних предложений в этом параграфе. Процесс всегда примерно таков: , , заменяются на , , ; затем применяется *10·11 и такие дальнейшие предложения *10, которые могут потребоваться, вместе с *22·33·34·35.

*22·631.

*22·632.

*22·633.

*22·64.

Док.

Обратное к этому предложению неверно, потому что обратное к *10·41 неверно.

*22·65.

Здесь снова обратное неверно.

*22·66.

*22·68.

Док.

*22·69.

Вышеуказанные предложения *22·68·69 являются двумя формами дистрибутивного закона. Заметьте, что каждое получается из другого путем замены знаков сложения и умножения.

*22·7.

*22·71.

*22·72.

*22·73.

*22·74.

Док.

*22·8.

*22·81.

*22·811.

*22·82.

*22·83.

*22·831.

*22·84.

*22·85.

*22·86.

*22·87.

*22·84·85·86·87 — формулы Де Моргана.

*22·88.

Это форма закона исключенного третьего.

*22·89.

Это форма закона противоречия.

*22·9.

*22·91.

Док.

*22·92.

*22·93.

Док.

*22·94.

Док.

Это предложение используется в связи с математической индукцией, в *90·102, что требуется для доказательства *90·132, которое является одним из фундаментальных предложений в теории математической индукции.

*22·95.

Док.

СНОСКИ:

[54] Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 5, July 1904, p. 292.

*23. ИСЧИСЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ.

Резюме *23.

Определения и предложения этого параграфа должны быть точными аналогами определений и предложений *22. Свойства отношений, которые не имеют аналогов для классов, не будут рассматриваться до Раздела D. Доказательства в настоящем параграфе будут опущены, так как они точно аналогичны доказательствам аналогичных предложений в *22. В этом параграфе, как и всегда в будущем, заглавные латинские буквы обозначают выражения вида , или, где они не используются как связанные переменные, . Основные предложения этого параграфа являются аналогами предложений *22.

*23·01.

*23·02.

*23·03.

*23·04.

*23·05.

К этим определениям применимы те же замечания, что и к определениям *22.

*23·1.

*23·2.

*23·3.

*23·31.

*23·32.

*23·33.

*23·34.

*23·35.

*23·351.

*23·36.

*23·37.

*23·38.

*23·39.

*23·391.

*23·392.

*23·4.

*23·41.

*23·42.

*23·43.

*23·44.

*23·441.

*23·45.

*23·46.

*23·47.

*23·48.

*23·481.

*23·49.

*23·5.

*23·51.

*23·52.

*23·53.

*23·54.

*23·55.

*23·551.

*23·56.

*23·57.

*23·58.

*23·59.

*23·6.

*23·61.

*23·62.

*23·621.

*23·63.

*23·631.

*23·632.

*23·633.

*23·64.

*23·65.

*23·66.

*23·68.

*23·69.

*23·7.

*23·71.

*23·72.

*23·73.

*23·74.

*23·8.

*23·81.

*23·811.

*23·82.

*23·83.

*23·831.

*23·84.

*23·85.

*23·86.

*23·87.

*23·88.

*23·89.

*23·9.

*23·91.

*23·92.

*23·93.

*23·94.

*23·95.

*24. УНИВЕРСАЛЬНЫЙ КЛАСС, НУЛЕВОЙ КЛАСС И СУЩЕСТВОВАНИЕ КЛАССОВ.

Резюме *24.

Универсальный класс, обозначаемый , есть класс всех объектов типа, который в данном контексте обозначается малыми латинскими буквами, т. е. низшего рассматриваемого типа. Таким образом, , подобно " ", двусмысленно относительно типа. Его определение таково:

*24·01.

Любое другое свойство, присущее всему, подошло бы так же хорошо, как " ", но это единственное такое свойство, которое мы до сих пор изучали.

Нулевой класс, обозначаемый , есть класс, который не имеет членов. Подобно , он двусмысленен относительно типа. Мы используем один и тот же символ, , для нулевых классов различных типов; но эти нулевые классы различаются. Тип определяется типом термов, относительно которых " " ложно: каким бы ни был , " " не будет представлять истинное предложение, но если не соответствующего типа, " " будет бессмысленным, а не ложным. Таким образом, есть типа, непосредственно следующего за типом , относительно которого " " значимо и ложно. Определение есть

*24·02.

Когда класс не является нулевым, так что он имеет один или более членов, говорят, что он существует. (Этот смысл "существования" не следует путать с тем, который определен в *14·02.) Мы пишем " " для " существует". Определение таково

*24·03.

В настоящем параграфе мы сначала рассмотрим свойства и , затем свойства существования. При сравнении алгебры символической логики с обычной алгеброй занимает место , в то время как объединяет свойства и .

Среди наиболее важных свойств и , которые доказываются в этом параграфе, являются следующие:

*24·1.

Т. е. "ничто не есть всё". Это полезно, поскольку дает нам существование по крайней мере двух классов. Если бы монистические философы были правы, утверждая, что существует только один индивид, существовало бы только два класса, и , будучи (в этом случае) классом, единственным членом которого является этот один индивид. Наши примитивные предложения не требуют существования более чем одного индивида.

*24·102·103 показывают, что любая функция, которая всегда истинна, определяет универсальный класс, и любая функция, которая всегда ложна, определяет нулевой класс.

*24·21·22 дают формы законов противоречия и исключенного третьего, а именно "ничто не есть одновременно и не-" ( и "всё есть либо , либо не-" ( .

*24·23·24·26·27 дают свойства и в отношении сложения и умножения, а именно: умножение на и сложение не вносят изменений в класс (*24·26·24); сложение дает , а умножение на дает (*24·27·23). Будет замечено, что свойства и следуют друг из друга путем замены сложения и умножения.

*24·3.

Т. е. " содержится в " эквивалентно "ничто не есть , но не ".

*24·311.

Т. е. "никакой не есть " эквивалентно "ничто не есть одновременно и ".

*24·411.

*24·43.

Как правило, предложения, касающиеся , используются гораздо меньше, чем коррелятивные предложения, касающиеся .

Свойства существования классов следуют из свойств , благодаря тому факту, что есть противоречащее , как доказано в *24·54. Таким образом, мы имеем, в силу *24·3,

*24·55.

Т. е. "не все 'ы суть 'ы" эквивалентно "существуют 'ы, которые не суть 'ы". Это знакомое предложение формальной логики, что противоречащим общеутвердительному является частноотрицательное.

Мы имеем

*24·56.

*24·561.

Т. е. если сумма существует, то одно из слагаемых существует, и наоборот; и если произведение существует, оба множителя существуют (но не наоборот).

Доказательства предложений в настоящем параграфе не представляют трудности.

*24·01.

*24·02.

*24·03.

*24·1.

*24·101.

*24·102.

Док.

Таким образом, любая функция, которая всегда истинна, определяет универсальный класс, и наоборот.

*24·103.

Док.

*24·104.

Док.

*24·105.

Док.

*24·11.

Док.

*24·12.

Док.

*24·13.

Док.

*24·14.

Док.

*24·141.

Док.

*24·15.

Док.

*24·17.

*24·21.

*24·22.

*24·23.

*24·24.

Вышеуказанные два предложения (*24·23·24) демонстрируют алгебраическую аналогию к нулю.

*24·26.

Это демонстрирует аналогию к 1.

*24·27.

Это демонстрирует аналогию к .

*24·3.

Док.

Вышеуказанное предложение используется очень часто.

*24·31.

Док.

Это предложение является коррелятивным к *24·3, но, в отличие от того предложения, оно не полезно в дальнейшем. Каждое предложение, касающееся , имеет коррелятивное, касающееся , но мы часто не будем приводить эти коррелятивы, поскольку они редко требуются для последующих доказательств.

*24·311.

Док.

*24·312.

Док.

*24·313.

*24·32.

Док.

*24·33.

Док.

*24·34.

*24·35.

*24·36.

*24·37.

Док.

*24·38.

Док.

*24·39.

*24·4.

Док.

*24·401.

Док.

*24·402.

Док.

*24·41. )

Док.

*24·411. )

Док.

*24·412.

Док.

Это предложение используется в *234·181, в теории непрерывных функций.

*24·42.

Док.

*24·43.

Док.

*24·431. )

Это и следующее предложение являются леммами для *24·44.

Док.

*24·432.

Док.

*24·44.

*24·45.

Док.

*24·46.

Док.

Следующие предложения, вплоть до *24·495 включительно, являются леммами, вставленными для использования в гораздо более поздних предложениях, большинство из них используется лишь несколько раз.

*24·47.

Док.

*24·48.

Док.

Вышеуказанное предложение, помимо использования в следующих двух, используется в теории пар (*54·6), в теории большего и меньшего (*117·632) и в главе об упорядочении классов по принципу первых разностей (*170·68).

*24·481.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в теории выборок (*83·74), в теории большего и меньшего (*117·582) и в теории трансфинитной индукции (*257).

*24·482.

Вышеуказанное предложение используется в теории сходимости (*232·34).

*24·49.

Док.

*24·491.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в теории выборок (*83·63·65) и в теории сегментов ряда (*211·84).

*24·492.

Док.

Вышеуказанное предложение используется довольно часто, особенно в теории рядов. Оно впервые используется в *93·273, в теории "генераций".

*24·493.

Док.

*24·494.

Док.

Это предложение используется в теории выборок (*83·63 и *88·45).

*24·495.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в теории минимальных точек (*205·83·832·84).

В остальной части этого параграфа мы будем иметь дело с существованием классов. Многие свойства существования классов следуют из того факта, что сказать, что класс существует, эквивалентно тому, что класс не равен нулевому классу. Это доказано в *24·54.

*24·5.

*24·51.

Док.

*24·52.

Это предложение утверждает, что класс всех объектов рассматриваемого типа не является нулевым, а имеет по крайней мере один член. Предположение, что существует нечто, которое эквивалентно этому предложению, неявно содержится в предложении *10·1, что то, что истинно всегда, истинно в любом случае. Это не было бы справедливо, если бы не было случаев чего-либо; следовательно, это подразумевает существование чего-либо. Будет замечено, что вышеуказанное предложение (*24·52) зависит от *24·1, которое зависит от *23·351, которое зависит от *10·251, которое зависит от *10·24, которое зависит от *10·1 или от *9·1. Предположение, что существует нечто, вовлечено в использование свободной переменной, которая в противном случае была бы бессмысленной. Это сделано явным в *9·1 и в доказательстве *29·2, которое является тем же предложением, что и *10·1.

*24·53.

*24·54.

*24·55.

*24·56.

*24·561.

*24·57.

Док.

*24·571.

Док.

*24·58.

*24·6.

Док.

*24·61.

*24·62.

*24·63.

В этом предложении условия значимости требуют, чтобы «» было классом классов. Условие «» является одним из тех, что требуются в качестве гипотезы во многих предложениях. В силу вышеприведенного предложения эта гипотеза может быть заменена на «».

Док.

Это предложение часто используется в последующих частях работы. Нам часто приходится иметь дело с классами существующих классов, и наиболее удобная форма для утверждения того, что все элементы класса классов существуют, есть «».

*25. УНИВЕРСАЛЬНОЕ ОТНОШЕНИЕ, ПУСТОЕ ОТНОШЕНИЕ И СУЩЕСТВОВАНИЕ ОТНОШЕНИЙ.

Резюме к *25.

Этот номер содержит аналоги определений и предложений из *24 для отношений. Доказательства не приводятся, так как они протекают точно так же, как в *24.

Универсальное отношение, обозначаемое через , — это отношение, которое имеет место между любыми двумя членами соответствующих типов, каковы бы они ни были в данном контексте. Пустое отношение, , — это отношение, которое не имеет места ни между какой парой членов, причем его тип фиксируется типами членов, относительно которых отрицание того, что оно имеет место, является значимым. Говорят, что отношение существует, когда имеется по крайней мере одна пара членов, между которыми оно имеет место; « существует» записывается как «».

На предложения этого номера ссылаются гораздо реже, чем на предложения из *24, но ради единообразия мы привели аналоги всех предложений из *24 с той же нумерацией (за исключением целой части).

Все замечания, сделанные в *24, применимы, mutatis mutandis, в настоящем номере.

*25·01.

*25·02.

*25·03.

*25·1.

*25·101.

*25·102.

*25·103.

*25·104.

*25·105.

*25·11.

*25·12.

*25·13.

*25·14.

*25·141.

*25·15.

*25·17.

*25·21.

*25·22.

*25·23.

*25·24.

*25·26.

*25·27.

*25·3.

*25·31.

*25·311.

*25·312.

*25·313.

*25·32.

*25·33.

*25·34.

*25·35.

*25·36.

*25·37.

*25·38.

*25·39.

*25·4.

*25·401.

*25·402.

*25·41.

*25·411.

*25·412.

*25·42.

*25·43.

*25·431.

*25·432.

*25·44.

*25·45.

*25·46.

*25·47.

*25·48.

*25·481.

*25·482.

*25·49.

*25·491.

*25·492.

*25·493.

*25·494.

*25·495.

*25·5.

*25·51.

*25·52.

*25·53.

*25·54.

*25·55.

*25·56.

*25·561.

*25·57.

*25·571.

*25·58.

*25·6.

*25·61.

*25·62.

*25·63.

РАЗДЕЛ D. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ.

В настоящем разделе мы будем заниматься теми общими свойствами отношений, которые не имеют аналогов в теории классов. Обозначения, введенные в этом разделе, будут постоянно использоваться на протяжении всей остальной части работы, и идеи, выраженные в определениях, окажутся фундаментально важными.

*30. ДЕСКРИПТИВНЫЕ ФУНКЦИИ.

Резюме к *30.

Функции, рассматривавшиеся до сих пор, за исключением нескольких частных функций, таких как , были пропозициональными, т.е. имели своими значениями суждения. Но обычные функции математики, такие как , , , не являются пропозициональными. Функции такого рода всегда означают «член, имеющий такое-то отношение к ». По этой причине их можно назвать дескриптивными функциями, поскольку они описывают определенный член посредством его отношения к своему аргументу. Таким образом, «» описывает число ; однако суждения, в которых встречается , не тождественны тем, которые были бы, если бы вместо было подставлено . Это видно, например, из суждения «», которое несет ценную информацию, тогда как «» тривиально. Дескриптивные функции, подобно описаниям в целом, не имеют значения сами по себе, а только как составные части суждений [55].

Общее определение дескриптивной функции таково:

*30·01.

То есть «» должно означать «член, который имеет отношение к ». Если существует несколько членов или ни одного, имеющих отношение к , то все суждения о , т.е. все суждения вида «», будут ложными. Апостроф в «» можно читать как «от». Таким образом, если — отношение отца к сыну, «» означает «отец ». Если — отношение сына к отцу, «» означает «сын »; в этом случае все суждения вида «» будут ложными, если только у не имеется одного сына и не более.

Все функции, встречающиеся в обычной математике, являются примерами вышеприведенного определения; все они получены вышеуказанным способом из некоторого отношения. Так, в нашей нотации «» занимает место того, что обычно было бы «», причем эта последняя нотация зарезервирована для пропозициональных функций. Мы должны писать «» вместо «», используя «» для выражения отношения к , когда .

Определение, такое как , где значение, приданное определяемому термину, является описанием, должно пониматься в том смысле, что определяемый термин (в данном случае ) и описание, назначенное в качестве его значения (в данном случае ), должны быть взаимозаменяемы при использовании: определение является, в некотором смысле, более чисто символическим, чем другие определения, поскольку описание, назначенное в качестве значения, само по себе не имеет значения, кроме как в употреблении. Возможно, было бы более формально правильно написать

Но даже это определение не было бы вполне полным, поскольку в нем опущено упоминание области действия двух описаний и . Таким образом, полная форма была бы . Но нет необходимости принимать эту форму определения, при условии, что понимается, что определение *30·01 означает, что «» может быть написано вместо «» везде, т.е. в указаниях области действия, так же как и в других местах. Использование определения происходит всегда в соответствии с предложением: , которое является *30·1 ниже.

Следует заметить, что *30·01 не обязательно влечет за собой . Ибо это, по определению, эквивалентно , что, согласно *14·28, имеет место только тогда, когда , т.е. когда существует один член, и не более, который имеет отношение к .

Все соглашения относительно области действия, объясненные в *14, должны быть перенесены на , т.е. при отсутствии какого-либо противоположного указания областью действия является наименьшее суждение, заключенное в точки или другие скобки, в котором встречается рассматриваемый .

Мы полагаем

*30·02.

Это определение служит лишь для избежания скобок. Оно должно интерпретироваться как означающее . В будущем мы часто будем определять новое выражение как имеющее дескриптивную фразу в качестве своего значения; в таком случае определение всегда должно интерпретироваться, как указано выше. То есть любое суждение, в котором встречается новое выражение, должно быть суждением, которое получается путем подстановки старого выражения вместо нового везде, где последнее встречается.

в вышеприведенном должно интерпретироваться путем предварительного рассмотрения так, как если бы оно не было дескриптивным символом, и применения *30·01 и *14·01 или *14·02 к , а затем путем применения *30·01 и *14·01 или *14·02 к .

Большинство предложений настоящего номера являются непосредственными следствиями соответствующих предложений в *14. Так, *14·31—·34 и *14·113 ведут непосредственно к *30·12—·16, которые показывают, что, либо всегда, либо когда существует, «область действия» или и не делает никакой разницы для истинностных значений таких суждений, с которыми мы имеем дело. Мы имеем

*30·18.

так что то, что справедливо для всего, справедливо для , при условии, что существует. Это следует непосредственно из *14·18 и показывает, что при условии, что существует, тот факт, что «» является неполным символом, не препятствует его подстановке в качестве значения всякий раз, когда мы имеем (, или утверждение пропозициональной функции .

Одно из наиболее часто используемых предложений этого номера есть:

*30·3.

которое следует непосредственно из *14·202. Следующее аналогичное предложение следует из вышеприведенного посредством *14·122:

*30·31.

Т.е. «» включает в себя, в дополнение к «», утверждение, что все, что имеет отношение к , тождественно .

Предложение, на которое постоянно ссылаются, есть:

*30·37.

В гипотезе может быть заменено на , но то или другое из них существенно. Ибо, согласно *14·21, «» влечет и (они эквивалентны, когда ), и поэтому не может быть истинным, когда и не существуют.

Использование *30·37 главным образом в случаях, когда или или оба заменены дескриптивными функциями. Предположим, например, что заменено на . Согласно *30·18, мы можем подставить вместо , если существует. Согласно *14·21, обе стороны импликации в *30·37 станут ложными, если не существует, и поэтому импликация все еще будет иметь место. Следовательно, существует или нет, мы можем подставить его вместо и получить . Подобным же образом, если мы заменим на , мы получим

Очень важное предложение есть:

*30·4.

Это предложение утверждает, что при условии, что существует, сказать, что есть тот член, который имеет отношение к , эквивалентно утверждению, что имеет отношение к . Так, например, « есть занимающий дом » эквивалентно « занимает дом», « есть автор Уэверли» эквивалентно « написал Уэверли», « есть отец » эквивалентно « породил ». Но мы не можем аргументировать от «Джон Смит населяет Лондон» к «Джон Смит есть житель Лондона».

Мы введем в этом и последующих разделах много постоянных отношений, для которых всегда истинно. Когда таково, что всегда истинно, мы имеем, в силу *30·4, для каждого возможного значения . Следующее предложение полезно в случаях, когда и таковы, что и всегда существуют:

*30·41.

Таким образом, если мы знаем, что и всегда тождественны, мы знаем не только то, что и тождественны, но также и то, что (и, следовательно, ) всегда существует.

*30·01.

*30·02.

При интерпретации , должно рассматриваться как обычный символ, пока не будет исключено посредством *30·01 и *14·01 или *14·02, а затем вышеприведенные определения должны быть применены к .

*30·1.

*30·11.

Следующие предложения являются непосредственными применениями *14·31 и сл., сделанными в соответствии с *30·1.

*30·12.

*30·13.

*30·14.

*30·141.

*30·142.

*30·15.

Следующие два предложения являются непосредственными следствиями *14·113·112.

*30·16.

*30·17.

*30·18.

*30·19.

*30·2.

При доказательстве *30·2 мы должны использовать определение *30·01, а не *30·1, потому что не имеет формы . Это видно, если мы попытаемся применить определение *14·01 к , что ведет к выражению, содержащему бессмысленную составную часть . Но по определению *30·01, каждое типографское вхождение символа «» означает то, что получается, когда этот символ заменяется на «(»; следовательно, «» означает «».

*30·21.

*30·22.

Заметьте, что мы не обязательно имеем , что истинно только тогда, когда .

*30·3.

*30·31.

*30·32.

*30·33.

*30·34.

*30·341.

Док.

*30·35.

*30·36.

*30·37.

Док.

Это предложение используется очень часто.

*30·4.

Это очень важное предложение, использование которого постоянно.

*30·41.

Док.

*30·42.

Гипотеза ( выполняется рядом важных частных отношений, примеры которых встретятся в последующих номерах настоящего раздела.

*30·5.

Док.

*30·501.

О значении «» см. примечание к определению *30·02.

Док.

*30·51.

*30·52.

СНОСКИ:

[55] Ср. *14 выше.

*31. КОНВЕРСЫ ОТНОШЕНИЙ.

Резюме к *31.

Если — отношение, то отношение, которое имеет к , когда , называется конверсом . Таким образом, «больше» есть конверс «меньше», «до» — «после», «муж» — «жена». Конверс тождества есть тождество, а конверс различия есть различие. Конверс записывается (читается «-конверс»). Когда , называется симметричным отношением, в противном случае оно называется несимметричным. Когда несовместимо с , называется асимметричным. Таким образом, «двоюродный брат» симметрично, «брат» несимметрично (потому что, когда есть брат , может быть либо братом, либо сестрой ), а «муж» асимметрично.

Отношение к называется «». Будет показано, что каждое отношение имеет один и только один конверс; следовательно, применяя нотацию *30, этот единственный есть . Таким образом . Таким образом, у нас есть две нотации для конверса ; вторая более удобна для конверса отношения, не обозначаемого одной буквой.

Более важными предложениями настоящего номера являются следующие:

*31·13.

Т.е. любое отношение имеет конверс. Следовательно, отношение «» удовлетворяет гипотезе , т.е. мы имеем .

*31·32.

Т.е. два отношения тождественны тогда и только тогда, когда их конверсы тождественны.

*31·33.

Т.е. любое отношение есть конверс своего конверса.

Очень многие из последующих использований понятия конверса отношения требуют только предложений, которые воплощают определения и , а именно

*31·11.

и

*31·131.

*31·01.

*31·02.

*31·1.

*31·101.

Док.

*31·11.

*31·111.

*31·12.

Док.

*31·13.

*31·131.

*31·132.

*31·14.

Док.

*31·15.

*31·16.

Док.

*31·17.

*31·18.

*31·21.

Док.

*31·22.

*31·23.

Док.

*31·24.

*31·32.

Док.

*31·33.

Док.

*31·34.

Док.

*31·4.

*31·41.

*31·5.

*31·51.

Док.

*31·52.

*32. РЕФЕРЕНТЫ И РЕЛАТЫ ДАННОГО ЧЛЕНА ОТНОСИТЕЛЬНО ДАННОГО ОТНОШЕНИЯ.

Резюме к *32.

Для любого отношения класс членов, которые имеют отношение к данному члену , называются референтами , а класс членов, к которым данный член имеет отношение , называются релатами . Мы будем обозначать через отношение класса референтов к , а через отношение класса релатов к . Удобно также иметь нотацию для отношений и к . Мы будем обозначать отношение к через «», где «» означает «sagitta» (стрела). Аналогично мы будем обозначать через «» отношение к , чтобы предложить стрелку, идущую справа налево, вместо слева направо. и главным образом полезны ради дескриптивных функций, к которым они приводят; таким образом и . Так, например, если — отношение родителя к сыну, родители , сыновья . Если — отношение «меньше» к «больше» среди чисел любого рода, числа, меньшие , и числа, большие . Когда существует, есть класс, единственным элементом которого является . Но когда имеется много членов, имеющих отношение к , , который есть класс этих членов, предоставляет нотацию, которая не может быть предоставлена . И аналогично, если имеется много членов, к которым имеет отношение , предоставляет нотацию для этих членов. Так, например, пусть будет отношение «», т.е. отношение, которое имеет к , когда . Тогда «» представляет все значения , такие что , т.е. все значения или . В отличие от обычного символа, он не является двусмысленным, поскольку вместо представления какого-то одного из этих значений он представляет класс их.

Определения , , , таковы:

*32·01.

*32·02.

*32·03.

*32·04.

В силу вышеприведенных определений мы будем иметь , . Это дает альтернативную нотацию, которая удобна при работе с отношением, не представленным одной буквой.

Следует заметить, что если — гомогенное отношение (т.е. такое, в котором референты и релаты одного типа), то и не являются гомогенными, а соотносят класс с объектами типа его элементов.

В силу определений и мы будем иметь

*32·13.

*32·131.

Таким образом, согласно *14·21, мы всегда имеем и . Таким образом, каким бы ни было отношение , мы имеем и . Мы в общем случае не имеем или (. Таким образом, принимая за отношение родителя и ребенка, и . Таким образом , т.е. когда бездетен, и , т.е. , когда есть Адам или Ева. Два вида существования, и , могут оба быть значимо предикатированы о , потому что «» есть дескриптивная функция, значением которой является класс; и то же самое применимо к . Будет видно, что (согласно *14·21) , но обратная импликация в общем случае не имеет места.

Мы имеем

*32·16.

Также согласно *32·18·181,

Таким образом, посредством использования или , каждое утверждение вида «» может быть сведено к утверждению, постулирующему принадлежность классу. Поскольку, однако, рассматриваемый класс задается дескриптивной функцией, а дескриптивные функции определяются посредством отношений, мы не получаем таким образом метода сведения теории отношений к теории классов.

*32·01.

*32·02.

*32·03.

*32·04.

*32·1.

*32·101.

*32·11.

*32·111.

*32·12.

*32·121.

«» не должно смешиваться с «». Первое означает, что существует такой класс, как , что, как мы только что видели, всегда истинно; второе означает, что не пусто, что истинно только если есть член, к которому какой-то другой член имеет отношение . Заметьте, что согласно *14·21, оба и влекут . Противоречащим к является не , а . Последнее не влекло бы , если бы не тот факт, что всегда истинно.

*32·13.

*32·131.

*32·132.

*32·133.

Использование *20·57 в общем случае будет подразумеваемым. Постоянно случается, что мы имеем предложения, такие как *32·13, в которых дескриптивное выражение показано тождественным классу. В таких случаях, всякий раз, когда свойства класса утверждаются о дескриптивном выражении, *20·57 является релевантным.

*32·14.

Док.

*32·15.

*32·16.

*32·18.

*32·181.

*32·182.

Преобразование из «» в «» является обычным в языке. Например, предположим, что «» есть « любит », тогда «» есть « есть любящий ».

*32·19.

Док.

*32·2.

*32·201.

*32·21.

*32·211.

*32·22.

*32·221.

*32·23.

*32·231.

*32·24.

Док.

*32·241.

*32·25.

*32·251.

*32·3.

Заметьте, что мы не имеем

Док.

*32·31.

*32·32.

*32·33.

*32·34.

*32·35.

Доказательства вышеприведенных предложений аналогичны доказательству *32·3.

*32·4.

*32·41.

Док.

*32·42.

*33. ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ И ПОЛЯ ОТНОШЕНИЙ.

Резюме к *33.

Если — любое отношение, то область определения , которую мы обозначаем через , есть класс членов, которые имеют отношение к чему-либо; область значений , , есть класс членов, к которым что-либо имеет отношение ; и поле , , есть сумма области определения и области значений. (Заметьте, что поле значимо только тогда, когда — гомогенное отношение.)

Вышеприведенные нотации , , производны от нотаций , , для отношений, к отношению, его области определения, области значений и поля соответственно. Мы должны иметь , следовательно, мы определяем , , следующим образом:

*33·01.

*33·02.

*33·03.

Буква выбрана как начальная буква слова «campus». Нам требуется одно другое определение, а именно отношения к , когда есть элемент поля . Это отношение, которое мы назовем , определяется следующим образом:

*33·04.

Мы обнаружим, что . будет отношением отношения к его области определения, будет классом отношений, имеющих в качестве своей области определения. Подобные замечания применимы к и . Поле отношения особенно важно в связи с рядами.

Предложения этого номера постоянно используются на протяжении остальной части работы. Идеи области определения, области значений и поля очень общие и имеют несколько различные применения для отношений разных видов. Рассмотрим сначала вид отношения, который порождает дескриптивную функцию . Для этого мы требуем, чтобы существовало всякий раз, когда есть что-либо, имеющее отношение к , т.е. чтобы никогда не было более одного члена, имеющего отношение к данному члену . В этом случае значения , для которых существует, будут составлять «область значений» , т.е. , а значения, которые принимает для различных значений , будут составлять «область определения» , т.е. . Таким образом, область значений есть класс возможных аргументов для дескриптивной функции , а область определения есть класс всех значений функции. Так, например, если — отношение квадрата целого числа к , то =квадрат , при условии, что есть целое число. В этом случае есть класс целых чисел, а есть класс полных квадратов. Или, опять же, предположим, что — отношение жены к мужу; тогда =жена , =женатые мужчины, =замужние женщины. В таких случаях поле обычно имеет мало значения; и если значения функции не того же типа, что и ее аргументы, т.е. если отношение не является гомогенным, поле бессмысленно. Так, например, если — гомогенное отношение, и не являются гомогенными, и поэтому «» и «» бессмысленны.

Давайте далее предположим, что — вид отношения, который порождает ряд, скажем, отношение «меньше» к «больше» среди целых чисел. Тогда = все целые числа, которые меньше какого-либо другого целого числа = все целые числа, = все целые числа, которые больше какого-либо другого целого числа = все целые числа, кроме 0. В этом случае = все целые числа, которые либо больше, либо меньше какого-либо другого целого числа = все целые числа. В общем, если порождает ряд, = все элементы ряда, кроме последнего (если таковой имеется), = все элементы ряда, кроме первого (если таковой имеется), и = все элементы ряда. В этом случае «» выражает тот факт, что есть элемент ряда. Таким образом, когда порождает ряд, становится важным, и отношение, вероятно, будет полезным.

У нас будет повод иметь дело со многими отношениями, имеющими некоторые свойства рядов, и со многими предложениями, которые, хотя и важны только в связи с сериальными отношениями, справедливы гораздо более широко. В таких случаях поле отношения, вероятно, будет важным. Так, в разделе об индукции (Часть II, Раздел E), где мы готовим путь для построения сериальных отношений посредством некоторого вида несериального отношения, и на протяжении всей арифметики отношений (Часть IV), поля отношений будут встречаться постоянно. Но в более ранних частях работы именно области определения и области значений встречаются главным образом.

Среди более важных свойств областей определения, областей значений и полей, которые доказаны в настоящем номере, являются следующие.

Мы всегда имеем , , (*33·12·121·122). (Последнее из них, однако, значимо только тогда, когда — гомогенно.)

*33·13.

*33·131.

*33·132.

*33·14.

*33·16.

*33·2·21·22. Область значений отношения есть область определения его конверса, область определения отношения есть область значений его конверса, а поле отношения есть поле его конверса.

*33·24.

*33·4.

с соответствующими предложениями (*33·41·42) для и .

*33·43.

*33·431.

*33·5.

*33·51.

Доказательства предложений, касающихся и , обычно аналогичны доказательствам для , и поэтому часто опускаются.

*33·01.

*33·02.

*33·03.

*33·04.

*33·1.

*33·101.

*33·102.

*33·103.

*33·11.

*33·111.

*33·112.

*33·12.

*33·121.

*33·122.

*33·123.

*33·124.

*33·125.

*33·13.

*33·131.

*33·132.

*33·14.

Док.

*33·15.

Док.

*33.151.

*33·152.

*33·16.

Док.

*33·161.

*33·17.

*33·18.

Док.

*33·181.

Док.

*33·182.

Если — вид отношения, который порождает ряд, так что «» может быть прочитано как « предшествует », то есть условие того, что ряд может не иметь последнего члена, поскольку оно утверждает, что каждый член, который следует за каким-либо членом, предшествует какому-то другому члену, и поэтому не является последним в ряду.

*33·2.

Док.

*33·21.

*33·22.

Док.

*33·24.

Док.

*33·241.

*33·25.

Док.

*33·251.

*33·252.

*33·26.

Док.

*33·261.

*33·262.

*33·263.

Док.

*33·264.

*33·265.

*33·27.

Док.

*33·271.

*33·272.

*33·28.

Док.

*33·29.

*33·3.

Док.

*33·31.

Три следующих предложения используются в теории выборок (*80, *83 и *85). Второе из них также используется в теории большего и меньшего (*117) и в теории транзитивных отношений (*201).

*33·32.

Конверс этого предложения не является истинным.

Док.

*33·33.

*33·34.

Док.

*33·35.

Док.

*33·351.

*33·352.

Док.

Два следующих предложения (*33·4·41) используются очень часто.

*33·4.

Док.

*33·41.

*33·42.

Док.

*33·43.

Док.

*33·431.

Док.

*33·432.

Док.

*33·44.

Док.

*33·45.

Заметьте, что согласно нашим соглашениям относительно обозначающих выражений, область действия как , так и в вышеприведенном есть «», и должно иметь большую область действия.

Док.

*33·46.

*33·47.

Док.

*33·48.

*33·5.

Док.

*33·51.

полезна в порядковой арифметике, где мы имеем дело с рядом, порожденным отношением, и «» выражает тот факт, что является членом этого ряда. Вышеприведенные два предложения (*33·5·51) будут широко использоваться в Части IV, где мы рассматриваем основы порядковой арифметики, но в других местах на них будут ссылаться нечасто.

*33·6.

Док.

*33·61.

*33·62.

*34. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ОТНОШЕНИЙ.

Сводка *34.

Относительным произведением двух отношений и является отношение, которое имеет место между и , когда существует промежуточный член , такой что имеет отношение к , а имеет отношение к . Так, например, относительное произведение «брата» и «отца» есть «дядя по отцу»; относительное произведение «отца» и «отца» есть «дед по отцу»; и так далее. Относительное произведение и обозначается через «»; определение таково:

*34·01.

Это определение значимо только тогда, когда и принадлежат к одному и тому же типу.

Относительное произведение и называется квадратом ; мы полагаем

*34·02.

*34·03.

Наиболее полезными предложениями в настоящем параграфе являются следующие:

*34·2.

Т.е. конверс относительного произведения получается путем превращения каждого множителя в его конверс и изменения порядка множителей на обратный.

*34·21.

Т.е. относительное произведение подчиняется ассоциативному закону.

*34·25.

*34·26.

Т.е. относительное произведение подчиняется дистрибутивному закону по отношению к логической сумме отношений. (Для логического произведения вместо логической суммы мы получаем лишь включение вместо тождества; ср. *34·23·24.)

*34·34.

*34·36.

*34·41.

*34·01.

*34·02.

*34·03.

*34·1.

*34·11.

Док.

*34·12.

*34·2.

Док.

*34·202.

Док.

*34·203.

*34·21.

Док.

*34·22.

Это определение служит исключительно для избежания скобок.

*34·23.

Док.

Конверс вышеприведенного не является истинным.

*34·24.

*34·25.

Док.

*34·26.

Вышеприведенные две формы дистрибутивного закона и ассоциативный закон (*34·21) являются единственными из обычных формальных законов, которые справедливы для относительного произведения. Коммутативный закон, в частности, в общем случае не выполняется.

*34·27.

Док.

*34·28.

*34·29.

Док.

При доказательстве равенства двух отношений, скажем и , мы обычно сначала устанавливаем утвержденное предложение вида

Затем мы переходим посредством *11·11 (вместе с *11·3 во втором случае) к , откуда результат следует посредством *21·43. В будущем мы будем опускать эти шаги и писать «» после того, как установим . Аналогичный пропуск будет делаться при доказательстве равенства классов.

*34·3.

Док.

*34·301.

*34·302.

Док.

*34·31.

Док.

*34·32.

*34·33.

Док.

*34·34.

Док.

*34·35.

Док.

*34·351.

*34·36.

Док.

Следующее предложение является леммой для *95·31.

*34·361.

Док.

*34·37.

*34·38.

*34·4.

Док.

*34·41.

Док.

Вышеприведенное предложение перестает быть истинным, если мы заменим гипотезу на , поскольку ( может существовать, когда не существует. Предположим, например, что есть отношение ребенка к отцу, а — отношение дочери к отцу. Тогда ( = внучка , но = дочь ребенка . Первое существует всякий раз, когда у имеет только одну внучку, в то время как второе требует дополнительно, чтобы у имел только одного ребенка.

По той же причине мы не имеем . Это будет верно, если , — отношения «один-многие» (ср. *71), но в общем случае — нет.

*34·42.

Док.

*34·5.

*34·51.

Док.

*34·52.

*34·53.

*34·531.

*34·54.

Док.

*34·55.

*34·56.

*34·6.

Док.

*34·62.

Док.

Вышеприведенное предложение является леммой для *160·51, как и *34·73, в котором используется вышеприведенное предложение.

*34·63.

Док.

*34·7.

Док.

Таким образом, всегда является симметричным отношением, т.е. таким, которое равно своему конверсу.

*34·701.

*34·702.

Док.

*34·703.

*34·73.

Док.

*34·8.

Док.

Гипотеза вышеприведенного предложения — это гипотеза о том, что является симметричным () и транзитивным (). Это формальные свойства тех отношений, которые могут быть подходящим образом рассмотрены как выражающие равенство в каком-либо отношении.

*34·81.

Следующие предложения являются леммами для *34·85, которое используется в *72·64:

*34·82.

Док.

*34·83.

Док.

*34·84.

Док.

*34·841.

Док.

*34·85.

*35. ОТНОШЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ОБЛАСТЯМИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЛАСТЯМИ ЗНАЧЕНИЙ.

Сводка *35.

В этом разделе мы должны рассмотреть отношение, производное от данного отношения путем ограничения либо его области определения, либо его области значений членами некоторого заданного класса. Отношение с областью определения, ограниченной членами , записывается как «»; с областью значений, ограниченной членами , оно записывается как «»; с обоими ограничениями оно записывается как «». Так, например, «брат» и «сестра» выражают одно и то же отношение (отношение общего происхождения), с областью определения, ограниченной в первом случае мужчинами, во втором — женщинами. «Отношение белых работодателей к цветным наемным работникам» — это отношение, ограниченное как по области определения, так и по области значений. Мы полагаем

*35·01.

с аналогичными определениями для и .

Особо важным случаем является случай, в котором одно и то же ограничение накладывается на область определения и на область значений, т.е. когда мы имеем отношение вида «». В этом случае ограничение членами может быть более кратко сформулировано как наложенное на поле. Для этого случая удобно принять «» в качестве альтернативного обозначения. Этот случай будет рассмотрен в *36.

Удобно рассмотреть в настоящей связи отношение между и , которое образуется тем, что x является членом , а y является членом . Это отношение будет обозначаться через «». Таким образом, мы полагаем

*35·04.

Главная важность отношений с ограниченными полями возникает в теории рядов. Дан ряд, порожденный отношением , пусть будет класс, состоящий из части этого ряда. Тогда есть поле отношения или , и именно это отношение является порождающим отношением ряда членов в том же порядке, который они имеют как части исходного ряда. Таким образом, части ряда, рассматриваемые не просто как классы, а как ряды, рассматриваются посредством сериальных отношений с ограниченными полями.

Отношения с ограниченными областями определения используются далеко не так часто, как отношения с ограниченными областями значений. Отношения с ограниченными областями значений играют большую роль в арифметике, особенно при установлении формальных законов. Что требуется в таких случаях, так это взаимно-однозначное отношение, коррелирующее два класса или два ряда. То есть мы хотим такое отношение, чтобы не только существовало всякий раз, когда , но также существовало всякий раз, когда . Род отношения, который чаще всего оказывается осуществляющим такую корреляцию, — это некое отношение, такое как или или , или какое-либо другое постоянное отношение, для которого мы всегда имеем , с областью значений, настолько ограниченной, что при условии этого ограничения только одно значение дает любое заданное значение . Так, например, пусть будет класс отношений, никакие два из которых не имеют одну и ту же область определения; тогда даст взаимно-однозначную корреляцию этих отношений с их областями определения: если , , мы будем иметь . Мы также будем иметь и . Более того, область значений есть , а область определения есть класс областей определения членов . Таким образом, дает взаимно-однозначную корреляцию с областями определения членов . Именно такими способами отношения с ограниченными областями значений являются полезными.

Для целей ссылки в настоящем параграфе приводится большое количество предложений, но предложения, которые будут использоваться часто, сравнительно немногочисленны. Среди них следующие:

*35·21.

*35·31.

*35·354.

Т.е. в относительном произведении не имеет значения, ограничиваем ли мы область значений первого множителя или область определения второго.

*35·412.

*35·452.

*35·48.

*35·52.

*35·61.

*35·64.

*35·65.

Гипотеза выполняется в подавляющем большинстве случаев, в которых мы имеем повод использовать .

*35·66.

*35·7.

Это предложение используется очень часто, благодаря тому факту, что ограничение области значений главным образом применяется к таким отношениям, которые порождают дескриптивные функции (например, , ).

*35·71.

Это предложение полезно по причине, сходной с той, которая делает *35·7 полезным.

*35·82.

Благодаря этому предложению свойства могут быть выведены из уже доказанных свойств , путем полагания .

Отношение «» — это то, что можно назвать «анализируемым» отношением, т.е. оно имеет место между и y, когда и , т.е. когда имеет свойство, независимое от , а имеет свойство, независимое от .

*35·85.

*35·86.

Если либо , либо является пустым, то таковым является и (*35·88).

*35·01.

*35·02.

*35·03.

*35·04.

*35·05.

Последнее определение служит исключительно для избежания скобок.

*35·1.

*35·101.

*35·102.

*35·103.

*35·11.

Док.

*35·12.

Док.

*35·13.

Док.

*35·14.

*35·15.

Док.

*35·16.

*35·17.

*35·18.

*35·21.

Док.

*35·22.

Док.

*35·23.

*35·24.

*35·25.

*35·26.

Док.

*35·27.

*35·31.

Док.

*35·32.

*35·33.

*35·34.

*35·35.

Док.

*35·351.

*35·352.

*35·354.

Док.

*35·41.

*35·412.

*35·413.

*35·42.

*35·421.

*35·422.

*35·43.

Док.

*35·431.

*35·432.

*35·44.

Док.

*35·441.

*35·442.

*35·451.

Док.

*35·452.

*35·453.

*35·454.

*35·46.

Док.

*35·461.

*35·462.

*35·471.

Док.

*35·472.

*35·473.

*35·474.

*35·48.

Док.

*35·481.

*35·51.

Док.

*35·52.

*35·53.

*35·61.

Док.

*35·62.

*35·63.

Док.

*35·64.

*35·641.

*35·642.

*35·643.

*35·644.

*35·65.

*35·66.

*35·671.

Док.

*35·672.

*35·68.

Док.

*35·7.

Это предложение очень часто используется в последующих частях работы.

Док.

*35·71.

Док.

*35·75.

Док.

*35·76.

Док.

Остальная часть этого параграфа, вплоть до *35·93 включительно, касается , за исключением *35·81·812.

*35·81.

*35·812.

*35·82.

Док.

*35·822.

Док.

*35·83.

Док.

*35·831.

Док.

*35·832.

*35·834.

Док.

*35·84.

*35·85.

Док.

*35·86.

*35·87.

Док.

*35·88.

*35·881.

Док.

*35·882.

*35·89.

Док.

*35·891.

Док.

*35·892.

*35·895.

*35·9.

Док.

*35·91.

Док.

*35·92.

*35·93.

Док.

*35·931.

*35·932.

*35·94.

*35·941.

*35·942.

*36. ОТНОШЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ПОЛЯМИ.

Сводка *36.

В этом параграфе мы имеем дело с частным случаем, в котором одно и то же ограничение накладывается на область определения и область значений отношения. В этом случае тот же результат достигается путем наложения ограничения на поле. Удобно иметь возможность рассматривать как дескриптивную функцию от или от , что мы обеспечиваем обозначением , откуда, как будет объяснено в *38, и будут оба означать . Если есть сериальное отношение, и , «» будет означать «члены , расположенные в порядке, определяемом », или, как мы можем кратко назвать это, « в -порядке». определяется следующим образом:

*36·01.

Таким образом, мы имеем

*36·13.

Большинство предложений, касающихся , требуют, чтобы имело по крайней мере некоторые из характеристик сериального отношения. Следовательно, предложения, касающиеся , которые могут быть приведены в настоящем параграфе, по большей части не являются наиболее полезными предложениями, касающимися . Наиболее полезными предложениями в настоящем параграфе являются следующие:

*36·25.

*36·29.

*36·3.

*36·33.

*36·01.

*36·11.

*36·13.

Следующие предложения получены из предложений *35 посредством *36·11, на которое, поскольку оно используется в каждом случае, больше не ссылаются.

*36·2.

*36·201.

*36·202.

*36·203.

*36·21.

*36·22.

Док.

*36·23.

*36·24.

*36·241.

*36·25.

Док.

*36·26.

*36·27.

*36·28.

*36·29.

*36·3.

Док.

*36·31.

*36·32.

*36·33.

*36·34.

*36·35.

*36·4.

Док.

*37. МНОЖЕСТВЕННЫЕ ДЕСКРИПТИВНЫЕ ФУНКЦИИ.

Сводка *37.

В этом параграфе мы вводим то, что можно рассматривать как множественное число от . «» было определено как означающее «член, который имеет отношение к ». Теперь мы вводим обозначение «» для обозначения «члены, которые имеют отношение к членам ». Таким образом, если есть класс великих людей, а есть отношение жены к мужу, будет означать «жены великих людей». Если есть класс дробей вида для целых значений , а есть отношение «меньше чем», будет классом дробей, каждая из которых меньше некоторого члена этого класса дробей, т.е. будет классом правильных дробей. В общем, есть класс тех референтов, которые имеют релаты, являющиеся членами .

Нам также требуется обозначение для отношения к . Это отношение мы назовем . Таким образом, есть отношение, которое имеет место между двумя классами и , когда состоит из всех членов, которые имеют отношение к некоторому члену .

Особо важный случай возникает, когда всегда существует, если . В этом случае есть класс всех членов вида , когда . Мы обозначим гипотезу о том, что всегда существует, если , обозначением , означающим «существуют 'ы 'ов».

Определения таковы:

*37·01.

*37·02.

*37·03.

Это определение служит исключительно для избежания скобок. Без него «» было бы двусмысленным между ( и , которые не равны. Во всех случаях, когда встречается суффикс, мы будем принимать ту же конвенцию, т.е. мы всегда будем полагать

*37·04.

Таким образом, состоит из всех классов, которые имеют отношение к некоторому члену . значимо только тогда, когда есть класс классов относительно членов области значений ; в этом случае есть класс классов относительно членов области определения .

*37·05.

Здесь символ «» должен рассматриваться как целое, т.е. мы не должны рассматривать его как делающий утверждение о . Если , мы не должны предполагать, что сможем поставить «», что было бы бессмыслицей, точно так же, как «» является бессмыслицей, даже когда и .

Обозначение , введенное в настоящем параграфе, чрезвычайно полезно и воплощает очень важную идею. Его использование несколько различается в зависимости от рода рассматриваемого отношения. Рассмотрим сначала род отношения, который ведет к дескриптивной функции, скажем . Если есть класс отношений, есть класс областей определения этих отношений. В этом случае есть класс, каждый из членов которого имеет вид , где . Далее, обозначим через «» отношение к ; тогда, если мы обозначим через «» класс кардинальных чисел, будет обозначать все числа, которые являются результатом умножения кардинального числа на , т.е. все кратные . Так, например, будет классом четных чисел. Если есть корреляция между двумя классами и , т.е. отношение такое, что если , существует и является членом , в то время как обратно, если , существует и является членом , тогда , и мы можем рассматривать как преобразование, применяемое к каждому члену и порождающее член . Именно посредством таких преобразований два класса показываются подобными, т.е. имеющими одно и то же (кардинальное) число членов.

В случае сериальных отношений полезность обозначения несколько иная. Предположим, например, что есть отношение «меньше» к «больше» среди вещественных чисел. Тогда, если есть любой класс вещественных чисел, будет сегментом вещественных чисел, определяемым , т.е. классом вещественных чисел, которые меньше предела или максимума . В любом ряду, если есть класс, содержащийся в ряду, и есть порождающее отношение ряда, есть сегмент, определяемый . Если имеет либо предел, либо максимум, скажем , будет . Но если не имеет ни предела, ни максимума, будет тем, что мы можем назвать «иррациональным» сегментом ряда. Мы увидим на более позднем этапе, что вещественные числа могут быть отождествлены с сегментами ряда рациональных чисел, т.е. если есть отношение «меньше» к «больше» среди рациональных чисел, вещественными числами будут все классы, такие как , для различных значений . Вещественные числа, которые соответствуют рациональным, будут теми, которые являются результатом , имеющего предел или максимум; иррациональные числа будут теми, которые являются результатом , не имеющего ни предела, ни максимума.

Настоящий параграф может быть разделен на различные разделы следующим образом: (1) Во-первых, мы имеем различные элементарные свойства членов, определенных в начале параграфа; этот раздел заканчивается *37·29. (2) Далее мы имеем набор предложений, имеющих дело с относительными произведениями, и с такими символами, как , и так далее. Центральным предложением здесь является

*37·33.

Согласно определению, . Таким образом, . Это связывает предложения, касающиеся таких символов, как , с предложениями, касающимися относительных произведений. Этот второй раздел состоит из предложений от *37·3 до *37·39. (3) Далее мы имеем набор предложений об отношениях с ограниченными областями определения и областями значений. Главными из них являются

*37·401.

*37·412.

*37·41.

Эти предложения об отношениях с ограниченными областями определения и областями значений, вместе с некоторыми другими, естественно связанными с ними, простираются от *37·4 до *37·52. (4) Далее мы имеем ряд очень важных предложений о следствиях гипотезы , т.е. гипотезы о том, что для любого аргумента, который является членом , дает дескриптивную функцию . Главным предложением в этом разделе является

*37·6.

Предложения с гипотезой применяются к случаям и , в которых гипотеза верифицируется. Этот раздел простирается от *37·6 до *37·791. (5) Наконец, мы имеем три предложения об относительном произведении с другими отношениями. Эти предложения полезны в арифметике отношений (Часть IV).

Предложения настоящего параграфа, которые наиболее часто используются в дальнейшем, помимо уже упомянутых, являются следующими (опуская те, которые просто воплощают определения):

*37·15.

*37·16.

*37·2.

*37·22.

*37·25.

*37·26.

*37·265.

*37·29.

*37·32.

*37·45.

*37·46.

*37·61.

Например, пусть есть отношение отца к сыну, класс итонцев, класс богатых людей; тогда «» утверждает «все отцы итонцев богаты», в то время как «» утверждает «если мальчик — итонец, его отец должен быть богат». В силу вышеприведенного предложения эти два утверждения эквивалентны.

*37·62.

*37·63.

*37·01.

*37·02.

*37·03.

*37·04.

*37·05.

*37·1.

*37·101.

*37·102.

*37·103.

*37·104.

*37·105.

*37·106.

Док.

*37·11.

*37·111.

*37·12.

*37·13.

Док.

*37·131.

Док.

*37·14.

Док.

*37·15.

Док.

*37·16.

*37·17.

Док.

*37·171.

Док.

*37·18.

Док.

*37·181.

*37·2.

Док.

Вышеприведенное предложение (*37·2) является одной из форм асиллогистического вывода, принадлежащей учителю Лейбница Юнгиусу. Пример, приведенный Юнгиусом: «Circulus est figura; ergo qui circulum describit, is figuram describit [56]». Здесь класс кругов — наш , класс фигур — наш , а отношение описания — наш .

*37·201.

*37·202.

*37·21.

Док.

*37·211.

*37·212.

*37·22.

Это предложение используется очень часто. Тот факт, что здесь мы имеем тождество, в то время как в *37·21 мы имеем лишь включение, объясняется тем, что *10·42 утверждает эквивалентность, в то время как *10·5 утверждает лишь импликацию.

Док.

*37·221.

*37·222.

*37·23.

*37·231.

Тип «» здесь — это тот тип, члены которого принадлежат к тому же типу, что и . В доказательстве используется конвенция о том, что греческая буква всегда означает выражение вида .

Док.

Как видно из вышеприведенного доказательства, необходимо, когда должно быть доказано предложение, содержащее «», отказаться от обозначения с греческими буквами и вернуться к явному функциональному обозначению.

*37·24.

Док.

*37·25.

Док.

*37·26.

Док.

*37·261.

*37·262.

*37·263.

*37·264.

Док.

*37·265.

Док.

*37·27.

*37·271.

*37·28.

*37·29.

Док.

*37·3.

Док.

*37·301.

*37·302.

*37·31.

Док.

*37·311.

*37·32.

Док.

*37·321.

*37·322.

*37·323.

*37·33.

Док.

*37·34.

Док.

*37·341.

*37·35.

Док.

*37·351.

*37·352.

*37·353.

Док.

*37·354.

*37·355.

*37·36.

*37·37.

*37·371.

Это определение служит исключительно для избежания скобок. Как и *37·03, это определение будет распространено на все суффиксы.

*37·38.

*37·39.

*37·4.

Док.

*37·401.

*37·402.

Док.

*37·41.

*37·411.

Док.

*37·412.

Док.

*37·413.

Док.

*37·42.

*37·421.

*37·43.

Док.

*37·431.

*37·44.

*37·441.

*37·45.

*37·451.

*37·46.

*37·461.

*37·462.

*37·47.

Док.

*37·5.

Док.

*37·501.

Док.

*37·502.

*37·51.

Док.

*37·52.

Следующие предложения, вплоть до *37·7 включительно, касаются особых свойств , которые являются результатом гипотезы , определенной в *37·05. Гипотеза важна, потому что она имеет много следствий и удовлетворяется во многих случаях, с которыми мы хотим иметь дело.

*37·6.

Это предложение очень важно и используется постоянно.

Док.

*37·601.

Док.

*37·61.

Док.

*37·62.

Док.

Вышеприведенное представляет собой тип вывода, о котором Джевонс говорит [57]: «Я помню, как покойный профессор Де Морган заметил, что вся логика Аристотеля не могла доказать, что “поскольку лошадь есть животное, голова лошади есть голова животного”». Следует признать, что это было достоинством логики Аристотеля, поскольку предлагаемый вывод является ошибочным без добавленной посылки «голова рассматриваемой лошади». Например, это неверно для устрицы или гидры. Но с добавлением этого условия вышеприведенное предложение дает важный и распространенный тип асиллогистического вывода.

*37·63.

Док.

Это предложение используется очень часто.

*37·64.

Док.

*37·65.

Док.

*37·66.

Док.

*37·67.

Док.

*37·68.

Док.

*37·69.

Док.

Особо важным случаем является или . Этот случай будет далее изучен позже (в *70); в настоящее время мы приведем лишь несколько предварительных предложений о нем. Можно заметить, что гипотеза или всегда подтверждается в силу *32·12·121. Отсюда следуют применения *37·6 и далее:

*37·7.

*37·701.

*37·702.

*37·703.

*37·704.

*37·705.

*37·706.

*37·707.

*37·708.

*37·709.

*37·71.

*37·711.

*37·712.

*37·713.

*37·72.

Док.

*37·721.

*37·73.

*37·731.

Заметьте, что символы , встречающиеся в этом предложении, будут не все одного типа. Например, если относится к индивидам как к индивидам, то первый будет классом, не содержащим индивидов, в то время как второй и третий будут классом, не содержащим классов. Таким образом, двусмысленность, присущая типу , должна определяться по-разному для различных вхождений в это предложение. В общем случае, когда это происходит с нашими двусмысленными символами, мы будем использовать обозначение, указывающее на этот факт. Но когда двусмысленным символом является , это кажется едва ли стоящим усилий.

*37·74.

Док.

*37·75.

*37·76.

Док.

*37·761.

*37·77.

*37·771.

*37·772.

*37·773.

*37·78.

*37·781.

*37·79.

*37·791.

*37·8.

Док.

*37·81.

*37·82.

СНОСКИ:

[56] Мы цитируем по Кутюра, «La Logique de Leibniz», глава III, § 15 (стр. 75, прим.).

[57] «Principles of Science», глава I (стр. 18 издания 1887 г.).

*38. ОТНОШЕНИЯ И КЛАССЫ, ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ДВОЙНОЙ ДЕСКРИПТИВНОЙ ФУНКЦИИ.

Резюме *38.

Двойная дескриптивная функция — это непропозициональная функция двух аргументов, такая как , , , , , , , . Предложения настоящего параграфа применимы ко всем таким функциям, при условии, что обозначение (как в вышеприведенных примерах) представляет собой функциональный знак, помещенный между двумя аргументами. Чтобы рассмотреть все аналогичные случаи сразу, мы в этом параграфе примем обозначение , где «» означает любой такой знак, как , , , , , , , или любой функциональный знак, который будет определен далее и удовлетворяет условию . Производные отношения и классы, с которыми мы будем иметь дело, можно проиллюстрировать на примере . Отношение к будет записываться как , а отношение к будет записываться как . Таким образом, мы будем иметь . Полезность этого обозначения в основном обусловлена возможностью таких обозначений, как и . Например, возьмем такую фразу, как «иностранные члены английских клубов». Тогда, если мы положим = иностранцы, = английские клубы, мы получим . Или, опять же, пусть будет коническое сечение, а — пучок прямых; тогда . В этом случае, поскольку , мы имеем . Но когда рассматриваемая функция не является коммутативной, это не выполняется. Так, например, мы не имеем .

Обозначения этого параграфа будут часто применяться далее к . В соответствии с тем, что было сказано выше, мы пишем для отношения к , и для отношения к . Следовательно, мы имеем . Следовательно, будет классом отношений, полученных путем взятия членов и их относительного умножения на . Таким образом, если бы было классом отношений «двоюродный брат», «троюродный брат» и т. д., а было отношением родителя к ребенку, то было бы классом отношений «двоюродный брат в первом колене», «троюродный брат в первом колене» и т. д., взятых в смысле, который идет от старшего поколения к младшему.

Часто бывает удобно иметь возможность представить и подобные выражения как дескриптивные функции первого аргумента, а не второго. Для этой цели мы положим с аналогичными обозначениями для других дескриптивных двойных функций. Тогда мы имеем, точно так же, как в случае с , . Это позволяет нам сформировать класс . Этот класс в основном полезен тем, что члены его членов (т. е. , как мы определим это в *40) составляют класс всех произведений, которые могут быть образованы из члена и члена .

Таким образом, мы приходим к трем общим определениям для дескриптивных двойных функций, а именно (если — любая такая функция): . Поскольку снова является дескриптивной двойной функцией, к ней могут быть применены первые два из вышеприведенных определений. Третье определение по типографским причинам не может быть применено удобно, хотя теоретически оно, конечно, применимо. Отношения и представляют общую идею, содержащуюся в некоторых применениях в математике термина «операция», например, +1 — это операция прибавления 1.

Использование обозначений, введенных в настоящем параграфе, встречается главным образом в арифметике (части III и IV). На данном этапе можно привести лишь немногие предложения, поскольку большинство важных применений введенного здесь обозначения зависит от подстановки некоторой специальной функции вместо общей функции «», используемой здесь. В настоящем параграфе все приведенные предложения являются непосредственными следствиями определений.

*38·01.

*38·02.

*38·03.

*38·1.

*38·101.

*38·11.

*38·12.

*38·13.

*38·131.

*38·2.

*38·21.

*38·22.

*38·23.

*38·24.

Док.

*38·3.

*38·31.

ПРИМЕЧАНИЕ К РАЗДЕЛУ D.

Общие замечания об отношениях. Понятие «отношение» настолько общее, что важно осознавать различные виды отношений, к которым могут быть применены обозначения, определенные в предыдущем разделе. Часто случается, что предложение, которое верно для любого отношения, важно только для отношений определенных видов; поэтому желательно, чтобы читатель имел в виду некоторые из основных видов отношений. Из различных применений, для которых могут быть использованы разные виды отношений, есть три, которые особенно важны, а именно: (1) порождение дескриптивных функций, (2) установление корреляций между различными классами, (3) порождение рядов. Давайте рассмотрим их последовательно.

(1) Для того чтобы отношение могло породить дескриптивную функцию, оно должно быть таким, чтобы референт был единственным при заданном релатуме. Так, например, отношения , , , , , , , определенные выше, все порождают дескриптивные функции. В общем случае, если порождает дескриптивную функцию, будет существовать определенный класс, а именно , к которому должен принадлежать аргумент функции, чтобы функция могла иметь значение для этого аргумента. Например, взяв синус в качестве иллюстрации и написав «» вместо «», должен быть числом, чтобы мог существовать. Тогда есть отношение к , когда . Если мы положим числа между и , включительно, будет отношением к , когда и . Обратное к этому отношению, которое есть , также будет порождать дескриптивную функцию; таким образом, то значение , которое лежит между и . Это иллюстрирует случай, который возникает очень часто, а именно: отношение не порождает, как оно есть, дескриптивную функцию, но делает это, когда его область или область значений ограничена соответствующим образом. Так, например, отношение «родитель» не порождает дескриптивную функцию, но делает это, когда его область ограничена мужчинами или ограничена женщинами. Отношение «квадратный корень», аналогично, порождает дескриптивную функцию, когда его область ограничена положительными числами или ограничена отрицательными числами. Отношение «жена» порождает дескриптивную функцию, когда его область значений ограничена христианскими мужчинами, но не тогда, когда включены мусульмане. Область отношения, которое порождает дескриптивную функцию без ограничения его области или области значений, состоит из всех возможных значений функции; область значений состоит из всех возможных аргументов функции. Опять же, если порождает дескриптивную функцию, будет классом тех аргументов, для которых значение функции есть . Таким образом, состоит из всех чисел, синус которых есть , т. е. всех значений . Опять же, будут синусами различных членов . Если есть класс чисел, то, согласно обозначению *38, будут удвоенными значениями этих чисел, утроенными значениями их и так далее. Чтобы взять другую иллюстрацию, пусть будет пучок прямых, и пусть будет пересечением прямой с данной трансверсалью. Тогда будут пересечениями прямых, принадлежащих пучку, с трансверсалью.

(2) Отношения, которые устанавливают корреляцию между двумя классами, на самом деле являются частным случаем отношений, порождающих дескриптивные функции, а именно случаем, в котором обратное отношение также порождает дескриптивную функцию. В этом случае отношение является «взаимно однозначным», т. е. при заданном референте релатум определен, и наоборот. Отношение, которое должно рассматриваться как корреляция, обычно будет обозначаться или . В таких случаях мы, как правило, меньше интересуемся конкретными членами и , для которых , чем классами таких членов. Мы обычно в таких случаях имеем некоторый класс , содержащийся в области значений нашего отношения , и мы имеем класс такой, что . В этом случае отношение коррелирует члены и члены . Мы будем иметь также , так что для такого отношения корреляция является взаимной. Такие отношения фундаментальны в арифметике, поскольку они используются при определении того, что подразумевается под утверждением, что два класса (или ряда) имеют одинаковое кардинальное (или ординальное) число членов.

(3) Отношения, которые порождают ряды, в общем случае будут обозначаться или , и в предложениях, чья главная важность заключается в их применении к рядам, мы также, как правило, будем обозначать переменное отношение или . Когда используется , его можно читать как «предшествует». Тогда можно читать как «следует за», можно читать как «предшественники », можно читать как «последователи ». будут всеми членами ряда, порожденного , кроме последнего (если таковой имеется), будут всеми членами ряда, кроме первого (если таковой имеется), будут всеми членами ряда. будет состоять из всех членов, предшествующих некоторому члену . Предположим, например, что наш ряд — это ряд вещественных чисел, и что есть класс членов возрастающего ряда , , , ..., ... Тогда будет сегментом вещественных чисел, определенным этим рядом, т. е. это будут все предшественники предела ряда. (В случае, если ряд , , , ..., ... растет без предела, будет всем рядом вещественных чисел.)

Очень часто случается, что отношение имеет в большей или меньшей степени серийный характер, не обладая всеми характеристиками, необходимыми для порождения рядов. Возьмем, например, отношение сына к отцу. Очевидно, что с помощью этого отношения могут быть порождены ряды, которые начинаются от любого человека и заканчиваются Адамом. Но эти ряды не являются полем рассматриваемого отношения; более того, это отношение не является транзитивным, т. е. сын сына не является сыном . Если, однако, мы заменим «сын» на отношение «потомок по прямой мужской линии» (которое может быть определено через «сын» методом, объясненным в *90 и *91), и если мы ограничим область значений этого отношения предками по прямой мужской линии, мы получим новое отношение, которое является серийным и имеет своим полем и всех его предков по прямой мужской линии. Опять же, одно отношение может порождать ряд рядов, как, например, отношение « восточнее ». Если и — точки на поверхности земли и в восточном полушарии, это отношение порождает один ряд для каждой параллели широты. Ограничивая поле отношения далее одной параллелью широты, мы получаем отношение, которое порождает ряд. (Причина ограничения и одним полушарием заключается в том, чтобы гарантировать, что отношение будет транзитивным, поскольку в противном случае мы могли бы иметь восточнее , а восточнее , но западнее .)

Отношение может обладать характеристиками всех трех видов отношений, при условии, что мы включим в третий вид все те, которые ведут к рядам посредством некоторых ограничений, подобных тем, что были только что описаны. Например, отношение , т. е. (в силу обозначения *38) отношение к , где предполагается, что является конечным кардинальным целым числом, обладает характеристиками всех трех видов отношений. Во-первых, оно ведет к дескриптивной функции (, т. е. . Во-вторых, оно коррелирует с любым классом чисел класс, полученный путем прибавления 1 к каждому члену , т. е. (. Эта корреляция может быть использована для доказательства того, что число конечных целых чисел бесконечно (в одном из двух смыслов слова «бесконечно»); ибо если мы возьмем в качестве нашего класса все натуральные числа, включая 0, класс ( состоит из всех натуральных чисел, кроме 0, так что натуральные числа могут быть коррелированы с собственной частью [58] самих себя. Опять же, отношение может быть использовано, подобно отношению отца к сыну, для порождения ряда, а именно обычного ряда натуральных чисел в порядке возрастания, в котором каждое имеет к своему непосредственному предшественнику отношение . Таким образом, это отношение разделяет характеристики всех трех видов отношений.

СНОСКИ:

[58] Т. е. часть, не являющаяся целым. Об этом определении бесконечности см. *124.

РАЗДЕЛ E. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ.

Резюме раздела E.

В настоящем разделе мы делаем расширение , , , . Дан класс классов, скажем , произведение (которое обозначается ) есть общая часть всех членов , т. е. класс, состоящий из тех членов, которые принадлежат каждому члену . Определение есть . Если имеет только два члена, скажем и , . Если имеет три члена, , , , то ; и так далее. Но этот процесс может быть продолжен только до конечного числа членов, тогда как определение не требует, чтобы было конечным. Это понятие главным образом важно в связи с нижними пределами рядов. Например, пусть будет классом рациональных чисел, квадрат которых больше 2, и пусть «» означает «, где и — рациональные числа». Тогда если , будет классом рациональных чисел, меньших . Таким образом, будет классом таких классов, как , где . Таким образом, произведение , которое мы называем , будет классом рациональных чисел, которые меньше каждого члена , т. е. классом рациональных чисел, квадраты которых меньше 2. Каждый член есть сегмент ряда рациональных чисел, и есть нижний предел этих сегментов. Именно так мы доказываем существование нижних пределов рядов сегментов.

Аналогично, сумма класса классов определяется как класс, состоящий из всех членов, принадлежащих некоторому члену ; т. е. принадлежит сумме , если принадлежит некоторому . Это понятие играет ту же роль для верхних пределов рядов сегментов, что и для нижних пределов. Оно имеет, однако, гораздо больше других применений, чем , и является в целом более важной концепцией. Так, в кардинальной арифметике, если никакие два члена не имеют общего члена, арифметическая сумма чисел членов, которыми обладают различные члены , есть число членов, которыми обладает .

Произведение класса отношений (скажем ) есть отношение, которое имеет место между и , когда и имеют каждое отношение класса . Определение есть . Свойства аналогичны свойствам , но его применения реже.

Сумма класса отношений (скажем ) есть отношение, которое имеет место между и , всякий раз, когда существует отношение класса , которое имеет место между и . Определение есть . Эта концепция, хотя и менее важна, чем , более важна, чем . Суммирование рядов и ординальных чисел зависит от нее, хотя связь менее непосредственна, чем связь суммирования кардинальных чисел с .

Вместо определения , , , было бы формально более правильно определить , , и , которые являются отношениями, порождающими вышеуказанные дескриптивные функции. Таким образом, мы должны были бы иметь , откуда мы должны были бы перейти к .

Но в случаях, когда отношение, в отличие от дескриптивной функции, требуется очень редко, проще и легче дать определение дескриптивной функции в первую очередь. В таких случаях всегда молчаливо предполагается, что отношение также определено; т. е. когда мы даем определение вида , где есть некоторое ранее определенное отношение, мы всегда предполагаем, что это определение должно рассматриваться как производное от .

В дополнение к произведениям и суммам мы рассматриваем в настоящем разделе некоторые свойства отношений и , значения которых вытекают из обозначения, введенного в *38. Такие отношения очень полезны в арифметике. Причина рассмотрения их в настоящем разделе заключается в том, что большая часть предложений, подлежащих доказательству, включает суммы классов классов или отношений.

*40. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ КЛАССОВ.

Резюме *40.

В этом параграфе мы вводим два обозначения (объясненные выше) . Оба эти понятия будут становиться все более полезными по мере нашего продвижения, но остается более полезным, чем , на протяжении всего изложения. Для значимости и требуется, чтобы было классом классов.

В настоящем параграфе наиболее полезными предложениями являются следующие:

*40·12.

Т. е. произведение содержится в каждом члене .

*40·13.

Т. е. каждый член содержится в сумме .

*40·15.

Т. е. содержится в произведении , если содержится в каждом члене , и наоборот.

*40·151.

Т. е. сумма содержится в , если каждый член содержится в , и наоборот.

*40·2.

Т. е. произведение нулевого класса классов есть универсальный класс. Это может показаться парадоксальным на первый взгляд, но на самом деле это не так. Чем меньше членов имеет , тем больше, говоря в общем, становится . Если не имеет членов, то не имеет членов, которым не принадлежит данный член , и поэтому принадлежит .

*40·23.

Т. е. если не является нулевым, его произведение содержится в его сумме.

*40·38.

Это предложение очень часто используется в арифметике. То, что оно утверждает, заключается в следующем: дан класс классов , возьмите его сумму, , а затем рассмотрите все члены, которые имеют отношение к некоторому члену ; это дает класс ; затем возьмите каждый отдельный член , скажем , и сформируйте класс , состоящий из всех членов, имеющих отношение к некоторому члену . Класс всех таких классов, как , для различных , которые являются членами , есть ; сумма этого класса, согласно вышеприведенному предложению, та же, что и .

*40·4.

Это предложение требует для значимости, чтобы всегда было классом. Предложение утверждает, что если всегда существует, когда , то сумма всех классов, которые имеют отношение к некоторому члену , состоит из всех членов таких классов, как , где .

*40·5.

Это предложение получается из *40·4 путем подстановки вместо в этом предложении.

*40·51.

В силу *40·5, коррелятивно . Таким образом, если есть серийное отношение, состоит из членов, предшествующих всему , а состоит из членов, предшествующих части . Если имеет нижний предел, он будет верхним пределом или максимумом ; если имеет верхний предел, он будет верхним пределом .

*40·61.

В этом предложении гипотеза существенна, поскольку, если , и .

*40·01.

*40·02.

*40·1.

*40·11.

*40·12.

Док.

*40·13.

Док.

*40·14.

*40·141.

*40·15.

Док.

*40·151.

Док.

Это предложение часто используется.

*40·16.

Док.

*40·161.

Док.

*40·17.

Док.

*40·171.

Док.

*40·18.

Док.

*40·181.

Док.

*40·19.

Это предложение является расширением *22·6.

Док.

*40·2.

Док.

*40·21.

Док.

В вышеприведенном предложении два символа относятся к разным типам, поскольку относится к типу, следующему за типом . Таким образом, было бы более правильно написать

Но в случае с не очень важно сохранять типы различными.

*40·22.

Док.

В этом предложении два символа относятся к одному и тому же типу.

*40·221.

Док.

Заметьте, что гипотеза существенна для этого предложения, поскольку, когда , и . Таким образом

*40·23.

Док.

Заметьте, что гипотеза существенна для этого предложения, поскольку, когда , и . Таким образом

*40·24.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в доказательстве *215·25.

*40·25.

Док.

*40·26.

Док.

Следующее предложение используется в доказательстве *216·51.

*40·27.

Док.

Следующие предложения значимы только тогда, когда есть отношение, область которого состоит из классов, ибо они касаются или , и поэтому требуют, чтобы было классом классов.

*40·3.

*40·31.

*40·32.

Док.

*40·33.

Следующие предложения больше не требуют, чтобы область состояла из классов.

*40·35.

Док.

*40·36.

*40·37.

Док.

*40·38.

Док.

Это предложение часто используется в доказательствах арифметических предложений.

*40·4.

Это предложение значимо только тогда, когда .

Док.

*40·41.

*40·42.

Док.

Это предложение используется в *40·57, где мы берем , , .

*40·43.

Док.

*40·44.

Док.

Следующее предложение используется в доказательстве *84·44.

*40·45.

Док.

Следующее предложение используется в доказательстве *94·402.

*40·451.

Док.

*40·5.

Док.

*40·51.

есть класс членов, каждый из которых имеет отношение к каждому члену , точно так же, как есть класс членов, каждый из которых имеет отношение к некоторому члену . В теории рядов играет важную роль, коррелятивную той, которую играет (что есть , согласно *40·5). Если есть класс, содержащийся в ряде, порождающим отношением которого является , то будут предшественниками всех членов , в то время как будут предшественниками некоторых .

*40·52.

*40·53.

*40·54.

*40·55.

С этого момента и до *40·69 предложения вставлены ввиду их использования в теории рядов.

*40·56.

В вышеприведенном предложении условия значимости требуют, чтобы было классом отношений.

*40·57.

*40·6.

*40·61.

Док.

*40·62.

Два следующих предложения (*40·63·64) используются при доказательстве *40·65, которое используется в *204·63.

*40·63.

Док.

*40·64.

*40·65.

*40·66.

Док.

*40·67.

*40·68.

Док.

Это предложение используется в теории рядов (*206·2).

*40·681.

Следующее предложение используется в *211·56.

*40·682.

Док.

*40·69.

Док.

Вышеприведенные предложения, касающиеся и , конечно, имеют аналоги для и . Но в силу *40·5 эти аналоги более просто формулируются как свойства и . Так, например, *37·264 является аналогом *40·67. Вышеприведенные предложения, касающиеся и , будут использоваться в теории рядов, но до тех пор, пока мы не достигнем этой стадии, к ним будут обращаться редко.

*40·7.

Док.

Это предложение имеет значительную важность, поскольку оно дает компактную форму для класса всех значений функции, полученных путем взятия в классе и в классе . Так, например, предположим, что есть класс чисел, которые являются кратными 3, и есть класс чисел, которые являются кратными 5, и представляет арифметическое произведение и , тогда будет классом произведений кратных 3 и кратных 5, т. е. классом кратных 15. Опять же, предположим, что и — оба классы отношений; тогда будут всеми относительными произведениями, полученными путем выбора в классе и в классе .

*40·71.

Док.

Гипотеза , которая появляется в *40·8·81, играет важную роль на более поздней стадии. В теории индукции (часть II, раздел E) она характеризует наследственный класс, а в теории рядов она характеризует верхнюю секцию (в сочетании с ).

*40·8.

Док.

*40·81.

Док.

*41. ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СУММА КЛАССА ОТНОШЕНИЙ.

Резюме *41.

Предложения, которые будут приведены в этом параграфе, до *41·3 включительно, являются аналогами предложений *40, исключая те, что начиная с *40·3, которые не имеют аналогов. Доказательства в этом параграфе не будут приведены, если они точно аналогичны доказательствам предложений с той же десятичной частью в *40. Меньшая важность и по сравнению с и иллюстрируется меньшим числом предложений в *41 по сравнению с *40.

Наши определения:

*41·01.

*41·02.

Из предложений, предшествующих *41·3, которые являются аналогами предложений в *40, единственные два, которые часто используются, это

*41·13.

*41·151.

Из оставшихся предложений этого параграфа, которые не имеют аналогов в *40, наиболее важными являются *41·43·44·45, а именно . Эти предложения постоянно требуются в теории выборок (часть II, раздел D) и в арифметике отношений. Большинство других предложений этого параграфа используются только один раз или не используются вовсе.

*41·01.

*41.02.

*41·1.

*41·11.

*41·12.

*41·13.

*41·14.

*41·141.

*41·15.

*41·151.

*41·16.

*41·161.

*41·17.

*41·171.

*41·18.

*41·181.

*41·19.

*41·2.

*41·21.

*41·22.

*41·221.

*41·23.

*41·24.

*41·25.

*41·26.

*41·27.

*41·3.

Док.

*41·31.

*41·32.

*41·33.

*41·34.

Док.

*41·341.

*41·342.

Док.

Следующее предложение используется в *85·22.

*41·35.

Док.

*41·351.

*41·4.

Док.

*41·41.

*41·42.

Док.

*41·43.

Док.

*41·44.

*41·45.

Док.

*41·5.

Док.

*41·51.

Док.

Вышеприведенное предложение, которое используется в *92·31, утверждает, что если и — классы отношений, то относительное произведение реляционной суммы и реляционной суммы есть реляционная сумма всех относительных произведений, образованных из члена и члена .

Следующее предложение используется в *96·111.

*41·52.

Док.

Следующее предложение используется в *162·32 и в *166·461.

*41·6.

Док.

*42. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ.

Резюме *42.

Настоящий параграф содержит различные предложения, касающиеся произведений и сумм классов. Они касаются главным образом классов классов классов или отношений отношений отношений. Они требуются соответственно в кардинальной и ординальной арифметике. Так, *42·1 используется в *112 и *113, которые касаются кардинального сложения и умножения, в то время как *42·12·2 используются в *160 и *162, которые касаются ординального сложения. *42·22, хотя на него прямо не ссылаются, полезно для облегчения понимания предложений о рядах рядов рядов, или, скорее, об отношениях между отношениями между отношениями, которые требуются в связи с ассоциативным законом умножения в арифметике отношений.

*42·1.

Здесь для значимости должно быть классом классов классов. Предложение утверждает, что если мы возьмем каждый член , из , и сформируем , а затем сформируем сумму всех классов, полученных таким образом, результат будет таким же, как если бы мы сформировали сумму суммы . Это ассоциативный закон для , и является (как будет показано позже) источником ассоциативного закона сложения в кардинальной арифметике. То, как это предложение становится ассоциативным законом для , можно увидеть следующим образом: предположим, что состоит из двух классов, и ; предположим, что в свою очередь состоит из двух классов и , а из двух классов и . Тогда . (Это будет доказано позже.) Таким образом, имеет два члена, один из которых есть , а другой — . Таким образом, . Но имеет четыре члена, а именно , , , . Таким образом, .

Таким образом, наше предложение ведет к , что очевидно является случаем ассоциативного закона.

Наше предложение формулирует ассоциативный закон в общем виде, включая случай, когда число скобок или слагаемых в любой скобке бесконечно. Доказательство следующее.

Док.

*42·11.

Док.

Это ассоциативный закон для произведений. Предполагая снова, для иллюстрации, что состоит из двух классов , , в то время как состоит из двух классов , , а из двух классов , , тогда состоит из двух классов и , так что , в то время как . Таким образом, наше предложение становится

Дескриптивная функция , чьими аргументами являются классы или классы классов, может быть названа подчиняющейся ассоциативному закону, при условии, что

Это уравнение можно интерпретировать следующим образом: дан класс , разделите его на любое число подчиненных классов, так что ни один член не останется, хотя один член может принадлежать двум или более классам. Пусть классы, на которые разделен , составляют класс , так что есть класс классов, и . Тогда вышеприведенное уравнение утверждает, что если мы сначала сформируем из различных подклассов , а затем из результирующего класса, результат будет таким же, как если бы мы сформировали непосредственно из .

В некоторых случаях — например, в случае арифметического сложения кардиналов — вышеприведенное уравнение выполняется только тогда, когда никакие два члена не имеют общего члена, т. е. когда части, на которые разделен , являются взаимно исключающими.

Для дескриптивной функции, аргументами которой являются отношения отношений, мы найдем другую форму ассоциативного закона; эта форма играет в ординальной арифметике роль, аналогичную той, которую играет вышеуказанная форма в кардинальной арифметике.

*42·12.

Док.

*42·13.

Док.

*42·2.

В этом предложении предполагается, что есть отношение между отношениями. Например, предположим, что у нас есть ряд рядов, порождающие отношения которых упорядочены отношением . Тогда есть класс этих порождающих отношений; есть отношение «то или иное из порождающих отношений, составляющих », а есть класс всех членов, встречающихся в любом из рядов. — это поля различных рядов, а — это снова все члены, встречающиеся в любом из рядов. — это все члены, принадлежащие полям рядов, которые являются элементами , а — это все элементы полей элементов поля ; каждый из них, в свою очередь, представляет собой все члены, встречающиеся в любом из рядов. Доказательство выглядит следующим образом:

Док.

Следующие предложения применимы к отношению отношений отношений. Эти предложения полезны для доказательства ассоциативных законов в ординальной арифметике, поскольку эти законы имеют дело с рядами рядов рядов, а ряды рядов рядов проще всего образуются путем предположения, что порождающие отношения составляющих рядов упорядочены отношениями, которые сами упорядочены отношением .

*42·21.

Док.

*42·22.

Если в вышеприведенном предложении есть отношение, порождающее ряд рядов рядов, то вышесказанное дает различные формы для класса предельных членов этих рядов. Так, предположим ; тогда есть отношение между порождающими отношениями рядов. Если теперь , то есть порождающее отношение ряда, который мы можем рассматривать как состоящий из индивидов. Класс индивидов, полученный таким образом, может быть выражен в любой из вышеприведенных форм, а также в других, которые здесь не приведены.

*42·3.

Док.

*42·31.

*43. ОТНОШЕНИЯ РЕЛЯТИВНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ К ЕГО МНОЖИТЕЛЯМ.

Резюме *43.

Цель настоящего параграфа — привести некоторые предложения об отношении, которое имеет место между и , когда , или когда , или когда , где и фиксированы. В силу общих определений *38, эти отношения суть соответственно , и ( . Такие отношения весьма полезны как в кардинальной, так и в ординальной арифметике; они также широко используются в теории индукции (Часть II, Раздел E). Вместо громоздкого обозначения ( мы принимаем более компактное обозначение . Если есть класс отношений, то будет классом отношений , где , будет классом отношений , где , а ( будет классом отношений , где . Эти классы отношений часто требуются в дальнейшей работе.

В силу наших определений мы имеем

*43·112.

Предложения, наиболее часто используемые в настоящем параграфе (за исключением тех, которые лишь воплощают определения), следующие:

*43·302.

*43·411.

*43·421.

Остальные предложения используются редко, но их применение, когда оно имеет место, важно.

*43·01.

На более позднем этапе (в *150) мы введем более простое обозначение для частного случая . Следующие предложения по большей части являются непосредственными следствиями определений, поэтому доказательства обычно опускаются.

*43·1.

*43·101.

*43·102.

*43·11.

*43·111.

*43·112.

*43·12.

*43·121.

*43·122.

*43·2.

Док.

*43·201.

*43·202.

*43·21.

*43·211.

*43·212.

*43·213.

*43·22.

*43·3.

*43·301.

*43·302.

*43·31.

Док.

*43·311.

*43·312.

*43·34.

*43·4.

*43·401.

*43·41.

*43·411.

*43·42.

Док.

*43·421.

*43·43.

Док.

*43·48.

*43·481.

*43·49.

Док.

*43·491.

*43·5.

*43·51.

Док.

Вышеприведенное предложение используется при доказательстве *74·773.

ЧАСТЬ II. ПРОЛЕГОМЕНЫ К КАРДИНАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКЕ.

РЕЗЮМЕ ЧАСТИ II.

Объекты, которые будут изучаться в этой Части, не имеют резкого отличия от тех, что изучались в Части I. Различие заключается в степени: объекты в этой Части имеют несколько меньшую общую важность, чем объекты Части I, и изучаются скорее из-за их отношения к кардинальной арифметике, чем сами по себе. Хотя кардинальная арифметика является целью, определяющей наш курс в Части II, все изучаемые объекты окажутся необходимыми также в ординальной арифметике и теории рядов. По мере продвижения этой Части подход к кардинальной арифметике становится постепенно более выраженным, пока, наконец, не остается недостающим ничего, кроме определения кардинальных чисел, с которого начинается Часть III.

Раздел A этой Части посвящен единичным классам и парам. Единичный класс — это класс терминов, идентичных данному термину, т.е. класс, единственным членом которого является данный термин. (Как объяснено во Введении, Глава III, стр. 80–83, класс, единственным членом которого является , не идентичен .) Мы определяем как класс всех единичных классов, оставляя для Части III доказательство того, что , определенное таким образом, является кардинальным числом. Подобным же образом мы определяем (кардинальную или ординальную) пару, а затем определяем как класс всех пар. Предложения о парах не будут часто упоминаться в остальной части настоящего раздела, поскольку их использование относится главным образом к арифметике (Части III и IV). С другой стороны, свойства единичных классов постоянно требуются в Разделах C, D, E этой Части.

Раздел B посвящен, во-первых, классу подклассов данного класса, т.е. классов, содержащихся в данном классе. Подклассы данного класса часто важны в арифметике. Далее мы рассматриваем класс подотношений данного отношения, т.е. отношений, содержащихся в данном отношении. Предложения по этой теме аналогичны предложениям о подклассах, но менее важны. Далее мы рассматриваем вопрос об «относительных типах», т.е. беря любой объект и называя его тип , мы даем обозначение для выражения через тип классов, членом которых является , или отношений, в которых может быть либо референтом, либо релатумом, и так далее. Обозначения, введенные в этой связи, очень полезны в арифметике, особенно в связи с теоремами существования. Но предложения Раздела B очень редко требуются в последующих разделах настоящей Части.

Раздел C, который имеет дело с одно-многими, много-одними и одно-однозначными отношениями, очень важен и постоянно актуален в дальнейшем. Отношение является одно-многим, когда ни один термин не имеет более одного референта, много-одним, если ни один термин не имеет более одного релатума, и одно-однозначным, если оно является одновременно одно-многим и много-одним. В этом разделе мы определяем понятие подобия, на котором основана вся кардинальная арифметика: два класса называются подобными, когда существует одно-однозначное отношение, областью которого является один, а областью значений — другой. Мы доказываем элементарные свойства подобия, включая теорему Шрёдера-Бернштейна, а именно: если подобен части , а подобен части , то подобен .

Раздел D посвящен понятию выборок, на котором основаны как кардинальное, так и ординальное умножение. Выборка из множества классов — это класс, состоящий из одного члена из каждого класса множества. Таким образом, селективное отношение может быть определено как такое, которое для данного класса классов делает членом , всякий раз, когда является членом . Более точно, селективное отношение для класса классов — это такое, которое является одно-многим, имеет в качестве области значений и таково, что если , то . Такое отношение можно назвать -селектором из . Более общим образом, мы можем определить -селектор из как отношение, которое является одно-многим, имеет в качестве области значений и которое содержится в . Теория селекторов очень важна в арифметике. Но до тех пор, пока мы не дойдем до кардинального умножения в Части III, Разделе B, предложения этого четвертого раздела будут редко актуальны.

Раздел E посвящен математической индукции, не в той специальной форме, в которой она применяется к конечным целым числам (это рассматривается в Части III, Разделе C), а в общей форме, в которой она применяется ко всем отношениям. Предложения этого раздела имеют очень большое значение, прежде всего в теории конечного и бесконечного (Часть III, Раздел C, и Часть V, Раздел E), но также и во многих других предметах, и особенно при выведении рядов из одно-многих, много-одних или одно-однозначных отношений — например, при упорядочивании «рациональных» точек проективного пространства посредством последовательных построений гармонических точек. Идеи, задействованные в этом разделе, несколько сложны, и мы должны отослать читателя к самому разделу для ознакомления с ними.

РАЗДЕЛ A. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ.

Резюме Раздела A.

В этом разделе мы начинаем (*50) с введения обозначения для отношения идентичности, в противоположность функции « »; то есть, называя отношение идентичности I, мы полагаем . Цель этого определения — главным образом удобство обозначения. Определение позволяет нам говорить о , , , , и т. д., чего мы иначе не могли бы сделать.

В то же время мы вводим различие, которое определяется как отрицание идентичности и обозначается буквой . Свойства и следуют непосредственно из *13, поскольку

Затем мы вводим очень важное обозначение, принадлежащее Пеано, для класса, единственным членом которого является . Если бы мы придерживались строго и чисто экстенсионального взгляда на классы, мы бы естественно предположили, что этот класс идентичен . Но ввиду теории классов, объясненной в *20, ясно, что никогда не может быть идентичен классу, членом которого он является, даже если он является единственным членом этого класса. Пеано использует обозначение « » для класса, единственным членом которого является ; мы изменим это на « », следуя нашему общему обозначению для дескриптивных функций. Таким образом, мы должны иметь . Следовательно, мы принимаем в качестве нашего определения , поскольку это определение дает желаемое значение . Свойства многочисленны и важны.

Важно заметить, что « » означает «единственный член ». Таким образом, он существует тогда и только тогда, когда имеет один член и не более, в каком случае имеет форму , если x — его единственный член. Таким образом, « » означает то же самое, что «( », а « » означает то же самое, что «( ». То, что мы называем « », обозначается в нотации Пеано как « ».

Классы формы называются единичными классами, а класс всех таких классов называется 1. Это кардинальное число 1, согласно определению кардинальных чисел, которое будет дано в *100. Свойства 1, поскольку они не зависят от других кардинальных чисел или от того факта, что 1 является кардинальным числом, будут изучены в *52.

После параграфа (*53), содержащего различные предложения, включающие 1 или , мы переходим к рассмотрению кардинальных пар (*54) и ординальных пар (*55). Кардинальная пара — это класс , где . Класс таких пар определяется как 2 и будет показан на более позднем этапе (*101) как кардинальное число. Ординальная пара, которая, в отличие от кардинальной пары, предполагает порядок между своими членами, определяется как отношение (ср. *35·04), где мы можем либо добавить , либо нет. Свойства ординальных пар отчасти аналогичны свойствам единичных классов, отчасти — свойствам кардинальных пар. В *56 мы определяем ординальное число 2 (которое мы обозначаем как , чтобы отличить его от кардинального 2) как класс всех ординальных пар , где . На более позднем этапе будет показано, что это ординальное число согласно нашему определению ординальных чисел (*153 и *251).

*50. ИДЕНТИЧНОСТЬ И РАЗЛИЧИЕ КАК ОТНОШЕНИЯ.

Резюме *50.

Цель настоящего параграфа — прежде всего нотационная. По нотационным причинам мы должны иметь возможность выражать идентичность и различие как отношения, а не только как пропозициональные функции, т.е. нам требуется обозначение для и . Поэтому мы полагаем

Несмотря на тот факт, что различие есть лишь отрицание идентичности, виды предложений, использующих различие, совершенно отличны от видов, использующих идентичность. Идентичность как отношение требуется, прежде всего, в теории единичных классов, что является нашей причиной для рассмотрения ее на данном этапе. Она требуется затем, постоянно, в теории математической индукции (Часть II, Раздел E). Она требуется также при доказательстве того, что кардинальное и ординальное подобие рефлексивны. Таковы ее основные применения.

Различие, с другой стороны, требуется почти исключительно в теории рядов (Часть V), и первый параграф в этой теории будет посвящен различию. До этого этапа различие будет упоминаться редко, за одним важным исключением, а именно при доказательстве ассоциативного закона умножения в арифметике отношений (*174).

Наиболее важными предложениями об идентичности в настоящем параграфе являются следующие:

50·16.

50·4.

50·5.

50·51.

50·52.

50·62.

50·63.

Наиболее важными предложениями о различии в настоящем параграфе являются следующие:

*50·23.

*50·24.

*50·43.

*50·45.

*50·47.

Следует заметить, что все эти предложения касаются или , оба из которых удовлетворяются, если есть сериальное отношение. Гипотеза или характеризует асимметричное отношение, т.е. такое, которое, если оно имеет место между и , не может иметь места между и .

*50·01.

*50·02.

Большинство предложений этого параграфа очевидны и не требуют комментариев.

*50·1.

*50·11

*50·12.

*50·13.

*50·14.

*50·15.

*50·16.

Док.

*50·17.

Док.

*50·2.

Док.

*50·21.

Док.

*50·22.

*50·23.

*50·24.

Док.

*50·3.

*50·31.

Док.

*50·32.

*50·33.

Док.

В вышеприведенном предложении (*50·33) гипотеза эквивалентна гипотезе о том, что существует более одного объекта рассматриваемого типа. Это можно доказать для всех типов, кроме самого низшего. Для самого низшего типа мы можем доказать лишь существование по крайней мере одного объекта: это доказано в *24·52. Для следующего типа мы можем доказать существование по крайней мере двух объектов, а именно и ; они различны согласно *24·1. Для класса порядка мы можем доказать существование объектов. Но для класса индивидов мы не можем доказать из наших примитивных предложений, что в универсуме существует более одного объекта, и поэтому мы не можем доказать . Мы могли бы, конечно, включить в число наших примитивных предложений допущение о том, что существует более одного индивида, или некоторое допущение, из которого это следовало бы, такое как . Но очень немногие из предложений, которые мы могли бы пожелать доказать, зависят от этого допущения, и поэтому мы исключили его. Следует заметить, что большинство философов, будучи монистами, отрицают это допущение.

*50·34.

Док.

*50·35.

*50·4.

Док.

*50·41.

Док.

*50·42.

Док.

*50·43.

Это предложение полезно в теории рядов. « » — это характеристика асимметричного отношения.

*50·44.

Док.

*50·45.

*50·46.

*50·47.

Док.

Это предложение используется в теории рядов. Если есть сериальное отношение, мы будем иметь и .

*50·5.

Док.

*50·51.

*50·52.

Док.

*50·53.

Док.

*50·54.

Док.

*50·55.

Док.

*50·56.

Док.

*50·57.

Док.

*50·58.

Док.

*50·59.

Док.

*50·6.

Док.

*50·61.

Док.

*50·62.

*50·63.

*50·64.

*50·65.

*50·7.

*50·71.

*50·72.

*50·73.

*50·74.

Док.

*50·75.

*50·76.

Док.

*50·761.

*51. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ.

Резюме *51.

В этом параграфе мы вводим новую дескриптивную функцию , означающую «класс терминов, которые идентичны », что есть то же самое, что «класс, единственным членом которого является ». Таким образом, мы должны иметь . Но . Следовательно, мы обеспечиваем то, что нам требуется, следующим определением:

*51·01.

С точки зрения нотации можно было бы подумать, что подошло бы так же хорошо, как , и что это определение излишне. Но нам нужно также обратное отношение, а « » — недостаточно удобный символ.

Предложения этого параграфа постоянно используются в дальнейшем. Следует заметить, что класс, членами которого являются и , есть , класс, членами которого являются , , есть , класс, образованный добавлением к , есть , а класс, образованный вычитанием из , есть . (Если не является членом , это равно .)

Различие между и является одним из достоинств символической логики Пеано, а также Фреге. На основе нашей теории классов необходимость этого различия, конечно, очевидна. Но помимо этого, следующее соображение делает необходимость явной. Пусть есть класс; тогда класс, единственным членом которого является , имеет только один член, а именно , в то время как может иметь много членов. Следовательно, класс, единственным членом которого является , не может быть идентичен [59].

Предложения настоящего параграфа, которые используются наиболее часто, следующие:

*51·15.

*51·16.

*51·2.

Это предложение полезно, потому что оно позволяет нам заменить принадлежность к классу ( ) включением в класс ( ).

*51·211.

*51·221.

*51·222.

*51·23.

*51·4.

Т.е. существующий класс, содержащийся в единичном классе, должен быть идентичен этому единичному классу. Из этого предложения будет следовать, что 0 — единственное кардинальное число, которое меньше 1.

*51·51.

Для классов имеет те же применения, что и ( для функций; « » означает «единственный член ». Мы имеем

*51·59.

*51·01.

*51·1.

Док.

*51·11.

*51·12.

*51·13.

*51·131.

*51·14.

*51·141.

*51·15.

*51·16.

*51.161.

*51·17.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в теории выборок (*83·71).

*51·2.

Док.

Вышеприведенное предложение показывает, как заменить принадлежность к классу включением в класс; так, например, оно дает:

До Пеано и Фреге отношение принадлежности ( ) рассматривалось лишь как частный случай отношения включения ( ). По этой причине традиционная формальная логика рассматривала такие предложения, как «Сократ есть человек», как примеры общеутвердительного суждения , «Всякое есть », что мы выражаем как « ». Это влекло за собой смешение фундаментально различных видов предложений, что сильно препятствовало развитию и полезности символической логики. Но с помощью вышеприведенного предложения (*51·2) мы всегда можем получить предложение, выражающее включение (а именно « »), которое эквивалентно данному предложению, выражающему принадлежность к классу (а именно « »).

*51·21.

Док.

*51·211.

Док.

*51·22.

Док.

*51·221.

Док.

*51·222.

*51·23.

Док.

*51·231.

Док.

*51·232.

Это предложение утверждает, что член должен быть либо , либо , и наоборот, т.е. что есть класс, единственными членами которого являются и .

*51·233.

*51·234.

Док.

*51·235.

Док.

*51·236.

*51·237.

*51·238.

Док.

*51·239.

Док.

*51·24.

Док.

*51·25.

*51·3.

*51·31.

Док.

*51·34.

*51·35.

*51·36.

*51·36 часто используется.

*51·37.

*51·4.

Док.

*51·401.

Док.

Это предложение показывает, что единичные классы являются наименьшими существующими классами.

*51·41.

Док.

Два следующих предложения являются леммами для *51·43.

*51·42.

Док.

*51·421.

*51·43.

Следующие предложения касаются , т.е. отношения единственного члена единичного класса к этому классу. Если есть единичный класс, есть его единственный член. ( и равны всякий раз, когда существует любой из них, и любое предложение об одном эквивалентно тому же предложению о другом.)

*51·51.

Док.

*51·511.

*51·52.

*51·53.

*51·54.

*51·55.

Док.

*51·56.

Док.

*51·57.

Док.

*51·58.

*51·59.

СНОСКИ:

[59] Этот аргумент принадлежит Фреге. См. его статью «Kritische Beleuchtung einiger Punkte in E. Schröder's Vorlesungen über die Algebra der Logik», Archiv für Syst. Phil., том I, стр. 444 (1895).

*52. КАРДИНАЛЬНОЕ ЧИСЛО 1.

Резюме *52.

В этом параграфе мы вводим кардинальное число 1, определенное как класс всех единичных классов. Тот факт, что 1, определенное таким образом, является кардинальным числом, в настоящее время не актуален и, конечно, не может быть доказан, пока не будет определено «кардинальное число». Поэтому в настоящее время 1 следует рассматривать просто как класс всех единичных классов, причем единичные классы — это такие классы, которые имеют форму для некоторого .

Подобно и , 1 двусмысленно относительно типа: оно означает «все единичные классы рассматриваемого типа». Символ « », где есть тип, будет означать «все единичные классы, чьи единственные члены принадлежат к типу » (ср. *65). Таким образом, например, « )» будет означать « есть класс, состоящий из одного индивида», если « » означает класс индивидов.

Свойства 1, которые должны быть доказаны в настоящем параграфе, являются тем, что мы можем назвать логическими, в противоположность арифметическим свойствам, т.е. они не касаются арифметических операций (сложения и т.д.), которые могут быть выполнены с 1, а касаются отношений 1 к единичным классам. Арифметические свойства 1 будут рассмотрены позже, в Части III.

Предложения настоящего параграфа, которые используются наиболее часто, следующие:

*52·16.

Т.е. есть единичный класс тогда и только тогда, когда он не пуст и все его члены идентичны.

*52·22.

*52·4.

Мы определим 0 как . Таким образом, вышеприведенное предложение утверждает, что класс имеет один член или ни одного тогда и только тогда, когда все его члены идентичны.

*52·41.

Это предложение получается из *52·4 путем транспозиции, т.е. путем отрицания каждой стороны эквивалентности.

*52·46

Т.е. два единичных класса идентичны тогда и только тогда, когда один содержится в другом, и тогда и только тогда, когда они имеют общую часть.

*52·01

*52·1

*52·11

*52·12

Док.

*52·13

Док.

*52·14

*52·15

*52·16

*52·17

*52·171

*52·172

*52·173

*52·18

Док.

*52·181

*52·2

Док.

*52·21.

Док.

*52·22.

*52·23.

Док.

*52·24.

*52·3.

Док.

*52·31.

Док.

*52·4.

Док.

Это предложение часто полезно. Мы определим число 0 как ; таким образом, вышеприведенное предложение утверждает, что класс имеет один член или ни одного тогда и только тогда, когда все его члены идентичны. Будет видно, что не подразумевает , и поэтому допускает возможность отсутствия членов.

*52·41.

Док.

*52·42.

Док.

*52·43.

*52·44.

Док.

*52·45.

Док.

52·46.

Док.

*52·6.

Док.

*52·601.

Док.

*52·602.

*52·61.

*52·62.

Док.

*52·63.

*52·64.

Док.

*52·7.

Док.

*53. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ, ВКЛЮЧАЮЩИЕ ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ.

Резюме *53.

Предложения, которые будут приведены в этом параграфе, по большей части таковы, что они более естественно смотрелись бы на более раннем этапе, но не могли быть приведены раньше, поскольку они включали единичные классы. Следует заметить, что есть класс, состоящий из членов и , в то время как есть отношение, которое имеет место только между и . Если и есть классы, есть класс классов, членами которого являются и . Если и есть отношения, есть отношение отношений; и так далее.

Настоящий параграф начинается с соединения произведений и сумм , , , , в случаях, когда члены или специфицированы, с произведениями или суммами , , , . Мы имеем

*53·01.

*53·1.

*53·14.

с аналогичными предложениями для , и .

Далее у нас есть набор предложений о суммах и произведениях классов единичных классов. Наиболее важным из них является

*53·22.

Далее у нас есть предложение, показывающее, что сумма есть пустой класс тогда и только тогда, когда либо пуст, либо имеет пустой класс в качестве своего единственного члена, т.е.

*53·24.

(Здесь мы пишем « », чтобы показать, что рассматриваемый « » относится к следующему типу выше того, к которому относятся два других 's.)

Далее у нас есть различные предложения об отношениях и и в различных случаях, сначала для общего отношения , а затем для частного отношения , определенного в *40. Три из этих предложения используются очень часто, а именно:

*53·3.

*53·301.

*53·31.

Остальные предложения этого параграфа менее важны и упоминаются редко.

*53·01.

Док.

*53·02.

Док.

*53·03.

*53·04.

*53·1.

Док.

Это предложение может быть расширено до , и т.д. Оно показывает связь (для конечных классов классов) между произведением и произведением членов

*53·11.

Док.

Аналогичные замечания применимы к этому предложению, как и к *53·1.

*53·12.

Это предложение показывает связь между произведением для класса, состоящего из двух отношений и , и произведением . Предложение может быть расширено до произведения любого данного конечного класса отношений.

*53·13.

Аналогичные замечания применимы к этому предложению, как и к *53·12.

*53·14.

Док.

*53·15.

*53·16.

*53·17.

Вышеприведенное предложение и следующее за ним используются в связи с математической индукцией (*91·55 и *97·46 соответственно).

*53·18.

Док.

*53·181.

*53·2.

Это предложение требует для значимости, чтобы было классом классов. Оно используется в *88·47, в параграфе о существовании выборок и аксиоме умножения.

Док.

*53·21.

Это предложение требует для значимости, чтобы было классом отношений.

*53·22.

Док.

*53·221.

Док.

*53·222.

Док.

*53·23.

Док.

*53·231.

Док.

*53·24.

Док.

В формулировке и последней строке доказательства вышеприведенного предложения мы пишем « » вместо « », потому что этот должен быть типа, следующего непосредственно за типом в « ».

Следующее предложение используется в теории выборок (*83·731).

*53·25.

Док.

*53·3.

Док.

Вышеприведенное предложение используется очень часто.

*53·301.

Док.

*53·302.

Вышеприведенное предложение используется в кардинальной теории возведения в степень (*116·71).

*53·31.

Вышеприведенное предложение является одним из тех, которые часто используются в дальнейшем.

Док.

*53·32.

Док.

*53·33.

*53·34.

*53·35.

Док.

Вышеприведенное предложение может быть также доказано следующим образом:

*53·4.

Док.

*53·5.

Док.

В вышеприведенном доказательстве, как обычно там, где встречаются «Cls» или другие символы типов, необходимо отказаться от обозначений греческими буквами и вернуться к явным обозначениям.

*53·51.

*53·52.

Док.

*53·53.

Следующие предложения включены ввиду их связи с определением в *70. и ( являются важными классами.

*53·6.

Док.

*53·601.

Док.

*53·602.

*53·603.

*53·604.

*53·61.

Док.

*53·611.

*53·612.

*53·613.

*53·614.

Док.

*53·615.

Два следующих предложения используются в *70·12.

*53·62.

Док.

*53·621.

*53·63.

*53·631.

*53·64.

*53·641.

*54. КАРДИНАЛЬНЫЕ ПАРЫ.

Резюме *54.

Пары бывают двух видов, а именно: (1) , в которых нет порядка между и , и (2) , в которых есть порядок. Мы можем различать эти два вида пар как кардинальные и ординальные соответственно, поскольку (как будет показано далее) класс всех пар вида (где ) есть кардинальное число 2, в то время как класс всех пар вида (где ) есть ординальное число 2, которому, ради различия, мы присваиваем символ «», где суффикс «» означает «реляционный», поскольку ординал 2 является классом отношений. В настоящем и последующих номерах мы определим 2 и как классы кардинальных и ординальных пар соответственно, оставляя на более поздний этап доказательство того, что 2 и , определенные таким образом, являются соответственно кардинальным и ординальным числом. Ординальная пара будет также называться упорядоченной парой или парой с направлением. Таким образом, пара с направлением — это пара, в которой один элемент является первым, а другой — вторым.

Мы вводим здесь кардинальное число 0, определенное как . То, что 0, определенное таким образом, является кардинальным числом, будет доказано на более позднем этапе; в настоящее время мы откладываем доказательство того, что 0, определенное таким образом, обладает арифметическими свойствами нуля.

Кардинальные пары гораздо менее важны, даже в кардинальной арифметике, чем ординальные пары, которые будут рассмотрены в двух следующих номерах (*55 и *56). Однако необходимо доказать некоторые свойства кардинальных пар, и это будет сделано в настоящем номере. Некоторые свойства кардинальных пар, которые уже были доказаны, повторяются здесь для удобства ссылок. Определения 0 и 2 таковы:

*54·01.

*54·02.

Большинство предложений настоящего номера, за исключением тех, которые лишь воплощают определения (*54·1·101·102), используются очень редко. Ниже приведены одни из наиболее важных.

*54·26.

*54·3.

*54·4.

*54·53.

*54·56.

*54·01.

*54·02.

*54·1.

*54·101.

*54·102.

Два следующих предложения уже встречались в *51, но повторяются здесь, поскольку они относятся к предмету настоящего номера.

*54·21.

*54·22.

*54·25.

Док.

*54·26.

Док.

*54·27.

*54·271.

Док.

*54·3.

Док.

*54·4.

Док.

Это предложение показывает, что класс, содержащийся в паре, является либо нулевым классом, либо единичным классом, либо самой парой, откуда следует, что 0 и 1 — единственные числа, которые меньше 2.

*54.41.

Док.

*54·411.

*54·42.

Док.

*54·43.

Док.

Из этого предложения будет следовать, когда будет определено арифметическое сложение, что 1 + 1 = 2.

*54·44.

Док.

*54·441.

Док.

Это предложение используется в *163·42, в теории отношений взаимно исключающих отношений.

*54·442.

*54·443.

*54·45.

*54·451.

*54·452.

*54·46.

*54·5.

Док.

*54·51.

Док.

*54·52.

*54·53.

Док.

*54·531.

Док.

*54·54.

Док.

В вышеприведенном предложении «» гарантирует, что имеет не более двух членов, в то время как «» гарантирует, что имеет не менее двух членов.

*54·55.

Док.

*54·56.

Док.

В силу этого предложения класс, который не является ни нулевым, ни единичным, ни парой, содержит по крайней мере три различных члена. Отсюда будет следовать, что любое кардинальное число, отличное от 0, 1 или 2, равно или больше 3. Вышеприведенное предложение используется в *104·43, которая является теоремой существования, имеющей значительную важность в кардинальной арифметике.

*54·6.

Док.

Вышеприведенное предложение полезно при работе с множествами пар, образованных из одного члена класса и одного члена класса , где и не имеют общих членов. Оно используется в теории кардинального умножения (*113·148).

*55. ОРДИНАЛЬНЫЕ ПАРЫ.

Резюме *55.

Ординальные пары, которые теперь будут рассмотрены, гораздо важнее, даже в кардинальной арифметике, чем кардинальные пары. Их свойства отчасти аналогичны свойствам кардинальных пар, но отчасти также и свойствам единичных классов; ибо они являются наименьшими существующими отношениями, точно так же как единичные классы являются наименьшими существующими классами. Свойства, аналогичные свойствам единичных классов, не требуют, чтобы два члена пары были различными, т.е. они справедливы как для , так и для (где ); с другой стороны, свойства, аналогичные свойствам кардинальных пар, в общем случае требуют, чтобы два члена ординальной пары были различными.

Обозначение громоздко и не позволяет нам легко представить пару как дескриптивную функцию от для аргумента , или наоборот. Поэтому мы вводим новый символ «» для пары. В паре мы будем называть референтом пары, а — релятумом. В силу определений в *38, это порождает два отношения, и ; следовательно, мы получаем обозначения , , , и так далее, которые будут широко использоваться в дальнейшем. Следует заметить, что означает класс ординальных пар, в которых является референтом, а член является релятумом, в то время как или обозначает класс пар, имеющих в качестве релятума и член в качестве референта; обозначает все такие классы пар, как , где y — любой член ; и в силу *40·7, обозначает все ординальные пары, референтом которых является член , в то время как релятум является членом . Это очень важный класс, который будет использован для определения произведения двух кардинальных чисел; ибо очевидно, что число членов есть произведение числа членов и числа членов .

Первые несколько предложений настоящего номера являются непосредственными следствиями определения и обозначений, введенных в *38. Затем мы переходим к различным элементарным свойствам отношения , из которых наиболее используемыми являются следующие:

*55·13.

*55·15.

*55·16.

*55·202.

Это предложение следует противопоставить *54·22 как дающее одну из причин, почему ординальные пары более полезны в арифметике, чем кардинальные пары. В силу вышеприведенного предложения, когда две ординальные пары идентичны, их референты идентичны, и их релятумы идентичны.

Далее мы переходим к различным свойствам отношений и . Эти отношения играют большую роль в арифметике. Следует заметить, что если два члена имеют отношение , то референт является парой, чей релятум есть релятум в отношении , т.е. когда мы имеем , мы имеем (ср. *55·122). Аналогичные замечания применимы к отношению . Класс , состоящий из всех пар, чей референт является членом , в то время как релятум есть , важен. Мы имеем

*55·232.

Это предложение часто бывает полезным.

Далее мы переходим (*55·3—·51) к изложению различных свойств , которые аналогичны свойствам единичных классов. Среди наиболее важных из этих свойств — следующие:

*55·3.

Это аналог *51·31.

*55·34.

Это аналог *51·4.

*55·5.

Это аналог *54·4.

Затем мы переходим к таким свойствам ординальных пар, которые не являются аналогичными свойствам единичных классов. Для связи кардинального числа 2 с ординальным числом мы имеем предложение

*55·54.

Это предложение показывает, что единственными асимметричными отношениями, которые имеют данную кардинальную пару в качестве своего поля, являются две соответствующие ординальные пары и . Далее у нас есть набор предложений об относительных произведениях пар и других отношений, т.е. о , и . Эти предложения очень полезны в арифметике. Главным из них является

*55·61.

Наконец, у нас есть четыре предложения, которые по своему предмету относятся к *43, но не могли быть приведены там, поскольку доказательства используют ординальные пары.

*55·01.

*55·02.

Это определение служит лишь для избежания скобок.

*55·1.

*55·11.

*55·12.

*55·121.

*55·122.

*55·123.

*55·13.

Док.

*55·132.

*55·134.

*55·14.

*55·15.

*55·16.

Док.

Вышеприведенное предложение важно и будет часто использоваться.

*55·161.

Док.

*55·17.

*55·2.

Док.

*55·201.

*55·202.

Док.

Вышеприведенное предложение важно.

*55·21.

*55·22.

*55·221.

*55·222.

Док.

*55·223.

*55·224.

Док.

*55·23.

*55·231.

*55·232.

Док.

*55·233.

Вышеприведенные два предложения часто бывают полезны в арифметике.

*55·24.

Док.

*55·241.

*55·25.

Док.

*55·251.

Это предложение используется в теории кардинального умножения (*113·142).

*55·26.

*55·261.

*55·262.

*55·27.

*55·28.

*55·281.

*55·282.

*55·283.

*55·29.

*55·291.

*55·292.

Следующие предложения, вплоть до *55·51 включительно, дают свойства ординальных пар, которые аналогичны свойствам единичных классов.

*55·3.

Первая половина этого предложения является аналогом *51·2; подобно этому предложению, она дает средство сведения предложений к форме включений. Для второй половины сравните *51·31.

*55·31.

Это предложение является аналогом *51·23.

Док.

*55·32.

Док.

*55·33.

*55·34.

Док.

*55·341.

Док.

*55·35.

Док.

*55·36.

Док.

*55·37.

Док.

Следующее предложение является аналогом *51·232.

*55·4.

*55·41.

Док.

Вышеприведенное предложение является аналогом *51·234. Следующее предложение (*55·42) является аналогом *51·235.

*55·42.

Док.

*55·43.

Это предложение является аналогом *51·41.

Док.

*55·431.

Док.

*55·44.

Док.

Вышеприведенное предложение является аналогом *51·43.

*55·5.

Док.

Вышеприведенное предложение является аналогом *54·4.

*55·51.

Док.

В остальной части настоящего номера мы рассматриваем свойства ординальных пар, которые не имеют аналогов для единичных классов.

*55·52.

*55·521.

*55·53.

Док.

*55·54.

Док.

*55·57.

*55·571.

*55·572.

*55·573.

*55·58.

*55·581.

*55·582.

*55·583.

Вышеприведенные предложения часто бывают полезны в арифметике. Их использование возникает следующим образом. Пусть , , , будут классами, из которых коррелирован с посредством отношения , а с посредством отношения . Тогда если , пара, состоящая из коррелята и коррелята , есть (, т.е. , согласно вышесказанному, , т.е. (. Таким образом, отношение коррелирует пары в и , составленные из коррелятов членов в и . Наиболее полезная на практике форма *55·583 — это та, что приведена ниже в *55·61.

*55·6.

*55·61.

*55·62.

Док.

*55·621.

Четыре следующих предложения относятся к *43, но включены здесь, поскольку доказательство использует *55·13.

*55·63.

Док.

*55·631.

*55·632.

Док.

*55·64.

*56. ОРДИНАЛЬНОЕ ЧИСЛО .

Резюме *56.

В этом номере мы должны рассмотреть класс тех отношений, каждое из которых образовано единственной парой. В случае, если два члена этой пары не идентичны, класс таких отношений есть (как будет показано позже) ординальное число 2, которое, чтобы отличить его от кардинального числа 2, мы обозначаем «». (Здесь суффикс призван намекать на «реляционный».) Класс всех отношений, состоящих из единственной пары, без ограничения, что два члена пары должны быть различными, будет обозначаться «». Это не ординальное число. Следует заметить, что не существует ординального числа 1, поскольку ординальные числа применяются к рядам, а ряды должны иметь более одного члена, если они вообще имеют какие-либо члены. Это станет более ясным, когда мы перейдем к рассмотрению рядов.

Свойства во многом аналогичны свойствам 1, в то время как свойства более аналогичны свойствам 2.

Большинство предложений настоящего номера редко упоминаются в дальнейшем, но те ссылки, которые встречаются, важны. Наиболее полезными предложениями в настоящем номере являются следующие.

*56·111.

*56·112.

*56·113.

Заметьте, что «» означает «отношения, поля которых имеют два члена».

*56·13.

*56·37.

Т.е. есть класс асимметричных отношений, поля которых имеют два члена.

*56·381.

*56·39.

Т.е. отношения, которые являются парами, чей референт и релятум идентичны, — это отношения, поля которых состоят из единственного члена.

*56·01.

*56·02.

*56·03.

*56·1.

*56·101.

Док.

*56·102.

Док.

*56·103.

Док.

*56·104.

*56·11.

*56·111.

Док.

*56·112.

Док.

*56·113.

Док.

*56·114.

*56·12.

Док.

*56·121.

*56·122.

*56·13.

Док.

можно было бы определить как ординальное число 1, поскольку это то, что мы будем называть числом отношения (ср. *153). Но мы хотим, чтобы наши ординальные числа были классами серийных отношений, и такие отношения обладают свойством содержаться в разнообразии. Следовательно, если бы мы определили как ординальное число 1, мы бы ввели утомительное исключение, из-за которого в ординальную арифметику были бы внесены тривиальные осложнения. Поэтому мы не приняли этот путь.

*56·14.

Док.

*56·141.

*56·15.

Док.

*56·151.

*56·16.

Док.

*56·17.

Док.

*56·18.

Док.

*56·19.

Док.

*56·191.

*56·2.

*56·21.

*56·22.

*56·24.

*56·25.

*56·26.

Это предложение является аналогом *52·4.

Док.

*56·261.

Док.

*56·262.

Док.

*56·27.

Док.

*56·28.

Док.

*56·281.

Док.

*56·29.

Док.

*56·3.

Док.

Шаги от (2) к заключению аналогичны шагам от (2) в *56·29 к заключению *56·29. Аналогичные шаги в последующих доказательствах будут лишь указаны, как выше.

*56·31.

*56·32.

Док.

*56·33.

Док.

*56·34.

Док.

*56·35.

Док.

*56·36.

Док.

Следующее предложение, помимо использования в *56·38, используется в элементарной теории рядов (*204·463).

*56·37.

*56·38.

Док.

Это предложение важно, поскольку устанавливает связь между кардинальным и ординальным 2. Оно показывает, что ординальное 2 состоит из тех асимметричных отношений, поля которых имеют (кардинально) 2 члена. Оно используется в теории вполне упорядоченных рядов (*250·44).

Следующее предложение, помимо использования в *56·39, используется в арифметике отношений (*165·38) и в теории рядов (*205·4).

*56·381.

Док.

*56·39.

Док.

Это предложение устанавливает связь между и 1, показывая, что есть класс тех отношений, поля которых состоят из единственного члена. Оно используется в обсуждении и и в качестве чисел отношений (*153·301).

*56·4.

Док.

Это предложение является аналогом *53·23. Оно используется в номере о возведении в степень в арифметике отношений (*176·19).

РАЗДЕЛ B. ПОДКЛАССЫ, ПОДОТНОШЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ.

Резюме Раздела B.

В этом разделе мы сначала рассматриваем классы, содержащиеся в данном классе, и отношения, содержащиеся в данном отношении. Если — любой класс, классы, содержащиеся в , являются членами ; они также называются подклассами , или (иногда) «частями» . В этом последнем употреблении они называются «собственными частями», когда они не коэкстенсивны с , эта фраза образована по аналогии с «правильными дробями». Подклассы — это все классы, которые могут быть образованы из членов ; они представляют собой то же самое, что «комбинации» членов , взятые по любому числу за раз. Если — число членов , — число подклассов , независимо от того, является ли конечным или бесконечным. Число подклассов всегда больше числа членов . В силу этих и других предложений класс подклассов данного класса является важной функцией класса. Если класс есть , мы обозначаем класс его подклассов через «». Это дескриптивная функция, производная от отношения «», определенного следующим образом:

Подотношения данного отношения — это все отношения, содержащиеся в данном отношении, т.е. все отношения, которые имплицируют данное отношение для всех возможных аргументов. То есть, если — данное отношение, есть подотношение , если . Таким образом, обозначая класс подотношений через «», мы должны иметь ; следовательно, мы принимаем в качестве определения «» следующее: Подотношения обладают свойствами, аналогичными свойствам подклассов, но они несколько менее важны. Следует, однако, заметить, что когда один ряд содержится в другом, т.е. получен путем выбора некоторых членов другого ряда без изменения их порядка, то порождающее отношение одного ряда является подотношением порождающего отношения другого ряда. (Неверно, что подотношение порождающего отношения ряда должно порождать содержащийся ряд, ибо его поле может распасться на отдельные части или иным образом перестать быть серийным.)

Мы также рассмотрим в этом разделе (*62) отношение принадлежности к классу, т.е. отношение, которое имеет к , когда . Это отношение относится к «» так же, как «» относится к «». Строго говоря, мы должны были бы ввести для него новое обозначение, положив (скажем) . Но поскольку , в отличие от «», является буквой и может удобно использоваться отдельно, представляется более желательным, с точки зрения избежания ненужного дублирования символов, положить . Строго говоря, это определение ошибочно, поскольку оно придает два разных значения «». Но практически это не имеет значения, поскольку вышеприведенное определение дает , где первое имеет только что определенное значение, в то время как второе имеет старое значение. Таким образом, все, что действительно требуется от вышеприведенного определения, а именно придание значения формулам, в которых встречается без референта или релятума, достигается без опасности какой-либо путаницы, которая могла бы привести к ошибкам.

Главная важность как отношения проистекает из того факта, что отношения, содержащиеся в , играют очень важную роль в арифметике. Возьмем, например, задачу выбора одного члена из каждого члена класса классов: в этом случае нам требуется выбирающее отношение , которое таково, что всякий раз, когда , является членом , т.е. такое, что . (Это условие — лишь часть определения выбирающего отношения; полное определение дано в *80.)

Три номера в этом разделе (*63, *64, *65) посвящены обсуждению относительных типов. Данная переменная , мы часто хотим определить относительные типы других переменных или двусмысленных символов, встречающихся в том же контексте; то есть мы хотим выразить типы этих других символов через тип . Мы используем «» для типа , «» для типа, в котором содержится . Тогда , и . Также мы вводим обозначение (*65) для придания типической определенности, относительно , типически двусмысленным символам. Это обозначение очень полезно в кардинальной и ординальной арифметике, поскольку числа типически двусмысленны, и неспособность принять во внимание этот факт привела к противоречиям относительно наибольшего кардинала и наибольшего ординала.

*60. ПОДКЛАССЫ ДАННОГО КЛАССА.

Резюме *60.

Наши определения в этом номере таковы:

*60·01.

Это определяет отношение к классу класса всех его подклассов.

*60·02.

Это определяет отношение к классу класса всех его существующих подклассов, т.е. всех его подклассов, кроме . Это часто требуется, как, например, в формулировке аксиомы Цермело: «Дан любой класс , существует отношение такое, что, если — любой существующий подкласс , является членом », т.е. . Эта аксиома, или ее эквивалент, мультипликативная аксиома, играет (как будет показано далее) важную роль в качестве гипотезы для многих предложений в кардинальной арифметике.

*60·03.

— это класс, членами которого являются классы.

*60·04.

— это класс, членами которого являются классы, членами которых являются классы, т.е. — это класс классов классов.

Помимо предложений, которые лишь воплощают определения, наиболее полезными предложениями в этом номере являются следующие:

*60·3.

*60·32.

*60·34.

*60·362.

Т.е. и — единственные подклассы единичного класса .

*60·5.

*60·57.

*60·6.

Предложения этого номера главным образом полезны в кардинальной и ординальной арифметике, но применения встречаются также в теории рядов; почти никаких применений не встречается до кардинальной арифметики.

*60·01.

*60·02.

*60·03.

*60·04.

*60·1.

*60·11.

*60·12.

*60·13.

*60·14.

*60·15.

*60·2.

*60·21.

*60·22.

*60·23.

*60·24.

*60·3.

*60·31.

*60·32.

Док.

*60·321.

Док.

*60·33.

Мы пишем «» справа, чтобы указать, что рассматриваемый имеет более высокий тип, чем слева.

Док.

*60·34.

*60·35.

*60·36.

*60·361.

*60·362.

*60·37.

Док.

*60·371.

Док.

*60·38.

Док.

*60·39.

*60·391.

Это предложение используется в теории непрерывности функций (*234·202).

*60·4.

*60·41.

Следующее предложение используется в теории вполне упорядоченных рядов (*250·14).

*60·42.

*60·43.

*60·44.

Следующее предложение требуется в теории «первых разностей» (*170·65).

*60·45.

Док.

*60·5.

Док.

*60·501.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в теории кардинального умножения (*115·17).

*60·51.

Следующее предложение используется в кардинальной теории конечного и бесконечного (*124·541).

*60·52.

*60·53.

Док.

*60·54.

*60·55.

Док.

*60·56.

Следующее предложение используется часто.

*60·57.

Док.

*60·6.

Следующее предложение используется в связи с кардинальным умножением и с «больше» и «меньше» (*115·17 и *117·66).

*60·61.

*60·62.

*60·7.

Док.

*60·71.

*60·72.

*61. ПОДОТНОШЕНИЯ ДАННОГО ОТНОШЕНИЯ.

Сводка *61.

Предложения этого раздела (за исключением того, что *61·371·372·373 несовершенно соответствуют *60·371) являются аналогами предложений с той же десятичной частью в *60. Доказательства опущены, поскольку они в точности аналогичны доказательствам в *60. В дальнейшем встречается очень мало ссылок на предложения этого раздела.

*61·01.

*61·02.

*61·03.

*61·04.

*61·1.

*61·11.

*61·12.

*61·13.

*61·14.

*61·15.

*61·2.

*61·21.

*61·22.

*61·23.

*61·24.

*61·3.

*61·31.

*61·32.

*61·321.

*61·33.

*61·34.

*61·35.

*61·36.

*61·361.

*61·362.

*61·37.

*61·371.

*61·372.

*61·373.

*61·38.

*61·39.

*61·391.

*61·4.

*61·41.

*61·42.

*61·43.

*61·44.

*61·5.

*61·501.

*61·51.

*61·52.

*61·53.

*61·54.

*61·55.

*61·56.

*61·6.

Аналог *60·61 не приводится, поскольку у нас нет подходящего обозначения для его выражения.

*61·62.

*61·7.

*62. ОТНОШЕНИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ К КЛАССУ.

Сводка *62.

Когда в *20 определялось «», оно было определено как пропозициональная функция; и такой способ определения был необходим, поскольку мы должны были рассматривать эту функцию до рассмотрения отношений. Однако для многих целей желательно рассматривать как отношение, так что «» становится частным случаем обозначения «». Это требует, строго говоря, изменения значения «», но это изменение не делает ложным ни одно из предыдущих предложений, в которых встречается «»; ибо если мы назовем новое значение «», т.е. если мы положим

Следовательно, на практике нет необходимости в новом обозначении для нового значения, и мы просто пишем Это определение, хотя и строго неверное, рекомендуется ввиду его удобства и того факта, что оно не может привести к каким-либо вредным путаницам. Новое значение может быть принято как заменяющее старое на протяжении всей оставшейся части этой работы.

Использование предложений настоящего раздела встречается почти исключительно в теории выборок из класса классов (*83, *84, *85 и *88). Такие выборки осуществляются посредством селективных отношений, часть определения которых состоит в том, что они содержатся в . Отсюда и использование настоящего раздела. Если есть класс классов, из которого должна быть сделана выборка, то селективное отношение фактически будет содержаться в ; отсюда свойства становятся важными. Некоторые из этих свойств приведены в *62·4 и далее.

Наиболее важными предложениями настоящего раздела являются следующие:

*62.2.

*62.231.

*62.26.

*62.3.

*62.42.

*62·43.

*62·55.

*62·01.

*62·1.

В вышеприведенном предложении первое имеет вновь определенное значение, в то время как второе имеет старое значение. В силу вышеприведенного предложения новое значение может быть подставлено вместо старого во всех доказанных до сих пор предложениях, касающихся , и может занять место старого значения во всем последующем.

*62·2.

Док.

*62·21.

Таким образом, состоит из классов, членом которых является .

*62·22.

Док.

*62·23.

Док.

*62·231.

*62·24.

Док.

*62·25.

Док.

*62·26.

Док.

*62·3.

Док.

*62·31.

Заметим, что, поскольку не является однородным отношением, т.е. таким, в котором референт и релатум принадлежат к одному и тому же типу, строго бессмысленно. Ибо если мы имеем , то два имеют разные значения и, следовательно, не дают должным образом . Но удобно допустить , при условии, что двусмысленность должна определяться по-разному для двух множителей в произведении , а именно: второе должно делать и референт, и релатум принадлежащими к следующему типу выше того, к которому они соответственно принадлежат для первого .

Док.

*62·32.

*62·33.

Док.

Использование *20·41 в вышеприведенном доказательстве зависит от того факта, что является лишь сокращением для выражения вида .

*62·34.

Док.

*62·4.

Отношение очень важно в кардинальной арифметике в связи с проблемой выбора из членов , т.е. извлечения одного члена из каждого из членов . Отношение, которое должно осуществить этот выбор, должно содержаться в . Отсюда и использование настоящего раздела.

*62·41.

Док.

*62·42.

Док.

*62·43.

Док.

*62·44.

Док.

*62·45.

Док.

Это предложение полезно в теории выборок. Оно используется в доказательстве *83·27, а отсюда и *83·28.

*62·5.

Док.

*62·51.

Док.

*62·52.

Док.

*62·53.

*62·54.

*62·55.

Док.

*62·56.

Док.

*62·57.

Док.

*63. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ КЛАССОВ.

Сводка *63.

Обозначения, введенные в этом и двух следующих разделах, служат для выражения типа одной переменной через тип другой. Они очень полезны в арифметике, где необходимо учитывать типы, чтобы избежать противоречий. Два главных обозначения — «» для типа, в котором содержится , и «» для типа, членом которого является . Мы полагаем

*63·02.

Это определяет «тип членов » или «тип, который является того же типа, что и ». Характеристика типа состоит в том, что если есть тип, то мы имеем , и наоборот, если , то есть тип. Ибо в этом случае «» истинно всякий раз, когда оно значимо, т.е. всякий раз, когда принадлежит к типу, который является областью значимости в «». Следовательно, есть эта область значимости, т.е. есть тип.

Поскольку мы имеем , отсюда следует, что есть тип. Это не «тип », а «тип членов ». (В случае если пусто, «тип членов » может быть истолкован как означающий «тип, к которому принадлежит , когда «» значимо».) «Тип », т.е. тип, членом которого является , определяется следующим образом:

*63·01.

Согласно сказанному выше, «» — это тип членов , т.е. тип . Объединяя определения и , мы получаем Таким образом

Короче говоря, состоит из всего, что идентично или не идентично , то есть каждого , для которого существует такое предложение, истинное или ложное, как «». Мы пишем «» здесь вместо «», потому что не обязательно должно быть классом и фактически не подлежит никаким ограничениям, тогда как «» не значимо, если не является классом, и поэтому мы пишем «» скорее, чем «».

Мы полагаем также

*63·011.

Это определение служит лишь для того, чтобы привести обозначение в соответствие с и типами, определенными ниже.

В силу *20·8 мы имеем , т.е. если «» значимо, то область значимости функции есть тип . Отсюда следует, что две области значимости, которые перекрываются, идентичны, и две разные области значимости не имеют общего члена.

Будет видно, что всегда на один тип выше, чем тип , а (если есть класс классов) на один тип ниже, чем тип . Мы полагаем

*63·03.

так что есть тип, следующий непосредственно за тем, в котором содержится . Таким образом, если есть класс классов индивидов, то есть класс индивидов. Мы полагаем также

*63·04.

*63·041.

*63·05.

*63·051.

Таким образом, имея любые два объекта, которые являются членами любого из следующего: тип , тип классов, к которым принадлежит , тип классов, к которым принадлежат эти классы, и так далее, мы можем выразить тип любого из наших двух объектов посредством его отношения к другому объекту.

Предложения этого и двух следующих разделов вряд ли когда-либо будут использоваться, пока мы не перейдем к кардинальной арифметике. Они постоянно используются в первом разделе по кардинальной арифметике, и они постоянно актуальны в первом разделе по арифметике отношений. Более того, они обычно требуются для теорем существования кардинальных и ординальных чисел.

Среди наиболее полезных предложений настоящего раздела — следующие:

*63·103.

*63·105.

*63·11.

Т.е. если либо является, либо не является членом , то тип есть тип, который содержит . Это предложение использует *20·8.

*63·13.

Т.е. если существует какая-либо функция, удовлетворяемая как , так и , то есть типа . Для использования этого предложения необходимо, чтобы, если является типически двусмысленной функцией, она получала одно и то же типическое определение для и для . Например, мы всегда имеем и ; но мы не должны рассматривать их как значения одной функции , потому что такая функция типически двусмысленна. С другой стороны, и являются значениями одной функции , потому что здесь наличие делает функцию типически определенной.

*63·15.

*63·19.

*63·16.

Это предложение, которое зависит от *63·11, а отсюда от *20·8 и *13·3, а отсюда от *9·14·15, является жизненно важным для всей теории типов.

*63·32.

*63·371.

*63·383.

Мы будем иметь в общем , где мы можем считать суффиксы отрицательными индексами, так что или в зависимости от того, что больше, или .

*63·5.

Это предложение используется постоянно.

*63·51.

*63·52.

*63·53.

Вышеприведенные четыре предложения, вместе с четырьмя аналогичными (*63·54·55·56·57), дают преобразования, которые позволяют нам выразить любое отношение типа, как между классом и членами, или членами членов и т.д., которое может встретиться на практике.

*63·64.

Это предложение часто используется в первом разделе по кардинальной арифметике.

*63·66.

*63·01.

*63·011.

*63·02.

*63·03.

*63·04.

*63·041.

*63·05.

*63·051.

*63·1.

*63·101.

*63·102.

*63·103.

*63·104.

*63·105.

*63·106.

*63·107.

Док.

*63·108.

*63·109.

*63·11.

Док.

*63·12.

Док.

*63·13.

*63·14.

*63·15.

*63·151.

*63·152.

*63·16.

Док.

*63·17.

*63·18.

*63·181.

Док.

*63·182.

*63·19.

Док.

*63·191.

*63·2.

Док.

*63·21.

Док.

*63·22.

Док.

*63·23.

Предложения того же рода, что и выше, могут быть очевидно распространены на и т.д.

*63·3.

Док.

*63·31.

Док.

Заметим, что использование *10·221 в вышеприведенном доказательстве зависит от того факта, что встречается как в (2), так и в (3), так что оба они имеют форму .

*63·32.

*63·321.

Док.

*63·33.

*63·34.

Док.

*63·35.

*63·36.

*63·361.

*63·37.

*63·371.

Док.

*63·38.

Док.

*63·381.

Док.

*63·382.

*63·383.

Док.

*63·384.

*63·39.

*63·391.

Док.

*63·392.

Док.

*63·4.

Док.

*63·41.

Док.

*63·42.

*63·43.

*63·44.

Очевидно, что аналоги вышеприведенных предложений будут справедливы для и , и и т.д. Мы не будем доказывать эти аналоги, но если возникнет необходимость, мы будем предполагать их, ссылаясь на соответствующие предложения для и .

*63·5.

Док.

*63·51.

Док.

*63·52.

Док.

*63·53.

Док.

*63·54.

Док.

*63·55.

*63·56.

Док.

*63·57.

*63·61.

*63·62.

Док.

*63·621.

*63·63.

Док.

*63·64.

Док.

*63·65.

*63·66.

*63·661.

*63·67.

*63·68.

*64. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ ОТНОШЕНИЙ.

Сводка *64.

В настоящем разделе мы вводим обозначения, определяющие тип отношения относительно типов его области и области обратного отношения, когда эти типы даны относительно некоторого фиксированного класса . Если есть какое-либо отношение, оно того же типа, что и . Если и оба того же типа, что и , то того же типа, что и , которое того же типа, что и . Тип мы называем , а тип мы называем , и тип мы называем , и тип мы называем , и тип мы называем . Таким образом, у нас есть средство выражения типа любого отношения через тип , при условии, что типы области и области обратного отношения даны относительно .

Наиболее полезными предложениями настоящего раздела являются следующие:

*64·16.

*64·201.

*64·231.

Здесь «» будет значимо только в том случае, если и являются однородными отношениями, что не требуется остальной частью предложения. Когда и являются однородными отношениями, мы имеем

*64·24.

Это предложение полезно при связывании ординальных и кардинальных теорем существования.

*64·312.

*64·5.

Это предложение часто используется. Оно утверждает, что класс отношений, чьи референты являются типа членов , в то время как их релатумы являются типа членов (т.е. класс всех отношений, содержащихся в ) есть тип , и также есть тип .

*64·55.

*64·57.

Предложения настоящего раздела по большей части очевидны, хотя формальные доказательства иногда найти не очень легко. Использование предложений этого раздела встречается главным образом в первом разделе по арифметике отношений и в доказательствах теорем существования в ординальной арифметике и теории отношений.

*64.01.

*64.011.

*64.012.

*64.013.

*64.014.

*64.02.

*64.021.

*64.022.

*64.03.

*64.031.

*64.04.

*64.041.

*64.1.

Док.

*64.11.

*64.12.)

Док.

*64·13.

*64·14.

*64·15.

*64·16.)

Док.

Подставляя (где и есть некоторые индекс и суффикс, которые были определены) вместо и вместо , вышеприведенные предложения дают результаты, применимые к любому из типов, определенных в начале этого раздела, из-за .

*64·2.

*64·201.

Док.

*64·21.)

Док.

*64·22.

*64·23.

Док.

*64·231.

Док.

*64·24.

Это предложение значимо только тогда, когда и являются однородными отношениями.

Док.

*64·3.

Док.

*64·31.

*64·311.

*64·312.

*64·313.

*64·32.

Док.

Аналогично доказываются другие эквивалентности.

*64·33.

Док.

Аналогично доказываются другие эквивалентности.

*64·34.

*64·5.

*64·51.

*64·52.

*64·53.

Док.

Это предложение используется в связи с кардинальным сложением (*110·18).

*64·54.

*64·55.

Док.

*64·56.

Док.

*64·57.

*64·6.

Док.

*64·61.

Док.

*64·62.

Док.

*64·63.

Док.

*65. О ТИПИЧЕСКОМ ОПРЕДЕЛЕНИИ ДВУСМЫСЛЕННЫХ СИМВОЛОВ.

Сводка *65.

В этом разделе мы имеем дело с определениями и предложениями, в которых двусмысленный символ определяется как принадлежащий к некоторому назначенному типу. Если «» — это двусмысленный символ, представляющий класс (например, или ), «» должно обозначать то, чем становится , когда его члены определены как принадлежащие к типу , в то время как «» обозначает то, чем становится , когда его члены определены как принадлежащие к типу . Таким образом, например, «» будет всем, что того же типа, что и , т.е. ; будет . Аналогично, если «» означает отношение двусмысленного типа, такое как или , будет обозначать то, чем становится , когда его область ограничена типом ; будет обозначать то, чем становится , когда его область и область обратного отношения ограничены соответственно типами и ; будет иметь область и область обратного отношения, ограниченные соответственно типами и ; с аналогичными значениями для и . На протяжении всего этого раздела и не означают собственные переменные, а являются типически двусмысленными символами.

Обозначения настоящего раздела используются в элементарных частях теории кардинальных и ординальных чисел, т.е. в Части III, Раздел A, и в Части IV, Раздел A. Единственное предложение, однако, которое часто используется, — это

*65·13.

Здесь предполагается, что является типически двусмысленным символом. Первая эквивалентность, «», просто воплощает определение (*65·01). Именно вторая эквивалентность является важной. Давайте, для иллюстрации, подставим 1 вместо . Тогда мы должны иметь (Поскольку 1 — это класс классов, нам придется предположить, что есть класс.) Рассмотрим . Если , . Но мы имеем . Следовательно , откуда . Также если , конечно . Таким образом . Обратная импликация следует из *22·621. Причина этого предложения заключается в том, что символ, такой как «1», если он встречается в таком предложении, как , должен для значимости быть определен как означающий ту 1, которая того же типа, что и , т.е. класс всех единичных классов, которые того же типа, что и члены . И аналогично, когда мы пишем , это не означает, что есть класс всех единичных классов, а только то, что это класс всех единичных классов соответствующего типа, который, если , будет . Предложение «» истинно всякий раз, когда оно значимо, но типически определено, когда дано , тогда как 1 типически двусмысленно. Использование вышеприведенного предложения заключается в том, что оно позволяет нам подставлять типически определенные символы вместо тех, которые являются типически двусмысленными.

Другое полезное предложение — это

*65·2.

Здесь предполагается, что является типически двусмысленным символом; предложение утверждает, что если типически определено как идущее от объектов типа к объектам типа , то должно идти от объектов типа к объектам типа . Это предложение используется только дважды (*102·3 и *154·2), но оба использования имеют большое значение, одно в кардинальной, а другое в ординальной арифметике.

Единственное другое предложение этого раздела, которое используется впоследствии, — это

*65·3.

Это предложение используется в *102·84.

*65·01.

*65·02.

*65·03.

*65·04.

*65·1.

*65·11.

*65·12.

*65·13.

Док.

*65·14.

*65·15.

*65·16.

*65·2.

Док.

*65·21.

Док.

*65·22.

Это и следующие три предложения доказываются так же, как доказывается *65·21.

*65·23.

*65·24.

*65·25.

*65·3.

Док.

РАЗДЕЛ C. ОДНО-МНОГИЕ, МНОГО-ОДНИ И ОДНО-ОДНИ ОТНОШЕНИЯ.

Сводка Раздела C.

В настоящем разделе мы должны рассмотреть три очень важных класса отношений, использование которых в арифметике постоянно. Одно-многое отношение — это отношение , такое что, если есть какой-либо член , существует один и только один член , который имеет отношение к , т.е. . Таким образом, отношение отца к сыну является одно-многим, потому что у каждого сына есть один отец и не более. Отношение мужа к жене является одно-многим, за исключением стран, практикующих полиандрию. (Оно является одно-многим как в моногамных, так и в полигамных странах, потому что, согласно определению, ничего не зафиксировано относительно количества релатумов для данного референта, и там может быть только один релатум для каждого данного референта, не переставая быть одно-многим согласно определению.) Отношение в алгебре к является одно-многим, но отношение к таковым не является, потому что существуют два разных значения , которые дают одно и то же значение .

Когда отношение является одно-многим, существует всякий раз, когда , и наоборот; т.е. мы имеем

Таким образом, отношения, которые дают дескриптивные функции, существующие всякий раз, когда их аргументы принадлежат к областям обратных отношений в рассматриваемых отношениях, являются одно-многими отношениями. Следовательно, , , , , , , , , , , , , , , , , , — все они являются одно-многими отношениями.

Когда есть одно-многое отношение, есть однозначная функция; наоборот, каждая однозначная функция выводима из одно-многого отношения. Многозначная функция от есть член , где не является единичным классом, и любой из его членов рассматривается как значение функции для аргумента y; но однозначная функция от — это единственный член , который получается, когда является одно-многим. Таким образом, например, синус в нашем обозначении выглядел бы как отношение, т.е. мы должны были бы положить , так что «» имеет обычное значение . Тогда вместо , мы имели бы , что было бы классом значений ; и вместо «», которое является вводящим в заблуждение обозначением, потому что и не подразумевают , мы имели бы . Аналогичные замечания применимы к любой из других функций, которые встречаются в анализе.

Отношение называется много-одним, когда, если есть какой-либо член , существует один и только один член , к которому имеет отношение , т.е. . Таким образом, много-одни отношения являются обратными к одно-многим отношениям. Когда отношение является много-одним, существует всякий раз, когда .

Отношение называется одно-одним, когда оно является одновременно одно-многим и много-одним, или, что сводится к тому же, когда и оно, и его обратное являются одно-многими. Из перечисленных выше одно-многих отношений , , , , , , являются одно-одними.

Два класса , называются подобными, когда существует одно-одное отношение , такое что , т.е. когда их члены могут быть соединены один к одному, так что ни один член ни одного из них не опущен или не повторен. Мы пишем «» для «подобен ». Когда два класса подобны, кардинальные числа их членов одинаковы; именно этот факт делает одно-одные отношения фундаментально важными в кардинальной арифметике.

Согласно вышесказанному, отношение является одно-многим, когда

Аналогично, отношение является много-одним, когда и отношение является одно-одним, когда выполнены оба условия. Классы , , которые здесь появляются, часто важны; некоторые из их свойств уже были даны в *37·77·771·772·773 и в *53·61 — *53·641.

Удобно рассматривать одно-многое, много-одное и одно-одное отношения как частные случаи отношений, которые для некоторых данных и имеют

Следовательно, без нового определения «» становится классом одно-одных отношений; также, как будет показано, «» становится классом одно-многих отношений, и «» становится классом много-одных отношений. Хотя главным образом эти три специальных значения важны, мы начнем с общего изучения классов отношений вида .

*70. ОТНОШЕНИЯ, ЧЬИ КЛАССЫ РЕФЕРЕНТОВ И РЕЛАТУМОВ ПРИНАДЛЕЖАТ К ДАННЫМ КЛАССАМ.

Сводка *70.

Если и — два данных класса классов, отношение называется принадлежащим к классу , если всякий раз, когда , и всякий раз, когда . Если должно быть наложено только одно из этих условий, этот результат достигается заменой класса, участвующего в другом условии, на «», поскольку «» всегда истинно, как и «», и поэтому ни одно из них не накладывает никакого ограничения на . В наиболее важных случаях и являются либо кардинальными числами, либо одно из них является кардинальным числом, а другое — .

В силу *37·702·703, вышеупомянутые условия, наложенные на посредством принадлежности к , эквивалентны

Эта форма используется в определении (*70·01).

Предложения настоящего раздела почти никогда не используются, за исключением *71, где и оба заменены на или . Наиболее полезные предложения — это

*70·1.

(Это просто воплощает определение.)

*70·13.

*70·22.

*70·4.

*70·41.

*70·42.

*70·54.

с аналогичными предложениями для и .

*70·62.

с аналогичным предложением для .

*70·01.

*70·1.

*70·11.

*70·12.

*70·13.

Док.

*70·14.

*70·15.

*70·16.

*70·17.

Док.

*70·171.

*70·18.

*70·2.

Док.

*70·21.

Док.

*70·22.

Док.

*70·3.

Док.

*70·31.

Док.

*70·32.

Док.

*70·4.

Док.

*70·41.

*70·42.

*70·43.

*70·431.

*70·44.

*70·441.

*70·45.

*70·451.

*70·46.

*70·461.

*70·47.

*70·471.

*70·48.

*70·481.

*70·5.

*70·51.

Док.

*70·52.

*70·53.

Док.

*70·54.

Док.

*70·55.

*70·56.

*70·57.

Док.

*70·6.

Док.

*70·61.

*70·62.

Док.

*70·63.

*71. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ И ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ.

Сводка *71.

В этом параграфе мы рассмотрим более элементарные свойства одно-многозначных, много-однозначных и взаимно однозначных отношений. Эти свойства весьма многочисленны и важны. Свойства много-однозначных отношений (т.е. отношений, принадлежащих классу ) следуют из свойств одно-многозначных отношений посредством *70·5, откуда вытекает, что много-однозначные отношения являются обратными к одно-многозначным. Таким образом, для получения свойства много-однозначного отношения из свойства одно-многозначного отношения достаточно поменять местами и , и , и . Либо мы можем повторить различные шаги любого доказательства, производя указанные перестановки на каждом шаге, в результате чего получится аналогичное предложение. По этой причине в дальнейшем мы будем опускать все доказательства свойств много-однозначных отношений, ограничиваясь доказательством аналогичных свойств одно-многозначных отношений.

В силу *70·42 взаимно однозначные отношения (т.е. отношения, принадлежащие классу ) — это отношения, которые являются одновременно одно-многозначными и много-однозначными; следовательно, их свойства вытекают из объединения свойств одно-многозначных и много-однозначных отношений. Мы будем опускать доказательства, если они состоят лишь из таких комбинаций.

Одно-многозначное отношение порождает дескриптивную функцию, которая существует всякий раз, когда её аргумент принадлежит области значений обратного отношения. То есть, если , мы имеем , когда . И наоборот, если для аргумента существует дескриптивная функция , то является одно-многозначным в той мере, в какой это касается данного аргумента, т.е. . Таким образом, мы находим

Дескриптивная функция , производная от одно-многозначного отношения , имеет, таким образом, определённое значение всякий раз, когда , и не имеет его в противном случае. Следовательно, класс аргументов, для которых существует такая функция, есть область значений обратного отношения, порождающего эту функцию, т.е. , и обратная импликация также справедлива.

Часто случается, что отношение, которое в общем случае не является одно-многозначным, становится таковым, когда его область определения, область значений обратного отношения или поле подвергаются некоторому ограничению. Например, пусть будет отношением «родитель — ребёнок», — класс мужчин, а — класс женщин. Тогда не является одно-многозначным, но и являются одно-многозначными, и, фактически, ( = отец ), ( = мать ). Нам часто придётся иметь дело с отношениями, полученными путём ограничений, наложенных на или ; так, принадлежит классу и имеет в качестве своей области определения. Класс может быть устроен так, что только одно отношение удовлетворяет этому условию; в этом случае . Поскольку , мы находим . Этот тип условия, или , или , часто встречается в последующей работе. Другое условие, которое часто встречается, — это . Когда это условие выполняется, член , принадлежащий полю одного отношения из класса , не принадлежит полю никакого другого отношения этого класса, т.е. поля отношений этого класса взаимно исключают друг друга.

Для целей наглядного представления свойств одно-многозначных отношений часто удобно изображать их структуру, как на прилагаемом рисунке.

Здесь , , , ... образуют область определения , и все точки в овале, помеченном , таковы, что имеет отношение к каждой из них, с аналогичными условиями для и . То, что характеризует как , — это отсутствие перекрытий в овалах. Ибо если бы и имели общую точку, она была бы релятумом как для , так и для , и оба и были бы референтами к ней; тогда как в ни один член не имеет более одного референта.

Приведённый выше рисунок иллюстрирует очень важное свойство одно-многозначных отношений, а именно

На приведённом выше рисунке есть отношение тождества, ограниченное , , , .... Если бы не было , мы могли бы иногда перейти от к некоторому члену из по отношению , а оттуда обратно к по отношению . Но когда , должно вернуть нас в точку, с которой мы начали.

Когда , каждый из овалов , , , ... на приведённом выше рисунке сжимается в единственную точку, так что . Таким образом, когда задано как , оно будет , если . Это предложение постоянно используется, как и следствие, что есть , если . (Эти предложения суть *71·54·55 ниже.)

Гипотеза эквивалентна гипотезе (ср. *71·17 ниже), а гипотеза эквивалентна

Для многих целей это наиболее удобные гипотезы для использования.

Наиболее полезными предложениями в настоящем параграфе являются следующие. (Мы опускаем здесь предложения, касающиеся или , которые являются лишь аналогами предложений, касающихся .)

*71·16.

Это даёт связь одно-многозначных отношений с дескриптивными функциями. Мы имеем также

*71·163.

Для многих константных отношений, определяемых время от времени, таких как или , полезно следующее предложение:

*71·166.

*71·17.

Это могло бы быть принято в качестве определения одно-многозначных отношений, если бы мы не хотели вывести их из более общего понятия . При доказательстве того, что отношение является одно-многозначным, *71·17 используется чаще, чем любое другое предложение.

*71·22.

*71·25.

*71·36.

*71·381.

(Это предложение полезнее, чем соответствующее свойство )

*71·55.

Это предложение используется постоянно. Например, подставляя вместо , оно даёт

Большинство отношений, используемых для установления корреляций в арифметике, получаются из одно-многозначного отношения, такого как , путём наложения некоторого ограничения на область значений обратного отношения, которое делает отношение взаимно однозначным.

*71·571.

Здесь « » есть , которое уже сыграло большую роль в качестве гипотезы, например, в *37·6 и сл.

*71·7.

Таким образом, например, мы будем иметь .

*71·01.

*71·02.

*71·03.

*71·04.

*71·1.

*71·101.

*71·102.

*71·103.

*71·11.

*71·111.

*71·112.

*71·12.

*71·121.

*71·122.

*71·13.

*71·131.

*71·132.

*71·14.

*71·141.

*71·142.

*71·15.

*71·151.

*71·152.

*71·16.

Док.

Это предложение очень важно; оно показывает связь дескриптивных функций с одно-многозначными отношениями.

*71·161.

*71·162.

*71·163.

Док.

*71·164.

*71·165.

*71·166.

Док.

*71·167.

*71·168.

*71·17.

Это предложение постоянно используется в дальнейшем.

Док.

*71·171.

*71·172.

*71·18.

Док.

*71·181.

*71·182.

*71·19.

Док.

*71·191.

*71·192.

*71·2.

*71·21.

Док.

*71·211.

*71·212.

*71·22.

Док.

*71·221.

*71·222.

*71·223.

*71·224.

*71·225.

*71·23.

*71·231.

*71·232.

*71·233.

Док.

*71·234.

*71·235.

*71·24.

*71·241.

*71·242.

*71·243.

*71·244.

Док.

*71·245.

*71·25.

Док.

*71·251.

*71·252.

*71·25 может быть также выведено из *70·6 следующим образом:

Альтернативное док. *71·25.

Аналогично, *71·251 может быть выведено из *70·61.

*71·26.

*71·261.

*71·27.

*71·271.

*71.28.

*71·281.

*71·29.

*71·31.

*71·311.

*71·312.

*71·32.

*71·321.

*71·33.

Док.

*71·331.

*71·332.

*71·333.

*71·34.

*71·341.

*71·35.

Док.

*71·351.

*71·352.

*71·36.

Док.

*71·361.

*71·362.

*71·37.

Док.

*71·371.

*71·38.

Док.

*71·381.

*71·4.

*71·401.

*71·41.

*71·411.

*71·42.

*71·421.

*71·43.

*71·431.

*71·44.

*71·441.

*71·45.

Док.

*71·451.

*71·46.

Док.

*71·461.

*71·47.

Док.

*71·471.

*71·48.

Док.

*71·481.

Следующее предложение используется в теории производных ряда (*216·411).

*71·49.

Док.

*71·491.

Это предложение используется в теории производных ряда (*216·4) и в теории порядковых чисел (*251·11).

*71·5.

Док.

*71·501.

*71·51.

Док.

*71·511.

*71·52.

Док.

*71·521.

*71·53.

Док.

*71·531.

*71·532.

*71·54.

Это предложение и следующее (*71·55) используются очень часто.

Док.

*71·55.

Док.

*71·56.

Док.

*71·561.

*71·57.

Док.

*71·571.

Док.

*71·572.

*71·58.

Док.

*71·59.

Док.

Следующее предложение используется в теории выборок (*80·91).

*71·6.

Док.

*71·61.

Док.

*71·611.

*71·612.

*71·613.

*71·613 используется в теории рядов (*206·6) и в теории «подобия положения» (*272·131).

*71·7.

Док.

*71·701.

*72. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ, КАСАЮЩИЕСЯ ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫХ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫХ И ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНЫХ ОТНОШЕНИЙ.

Сводка *72.

В этом параграфе мы докажем различные предложения, включающие , или , но не воплощающие фундаментальные свойства этих классов отношений.

Настоящий параграф начинается с различных предложений (*72·1 — ·191), показывающих, что различные специальные отношения являются одно-многозначными или взаимно однозначными. Наиболее полезными из них являются

*72·182.

*72·184.

Далее у нас идёт набор предложений, касающихся , когда и являются одно-многозначными, или , когда является взаимно однозначным, и смежных вопросов. Наиболее полезным из них является

*72·241.

Далее у нас идёт набор предложений (*72·3 — ·341), касающихся произведений и сумм классов отношений; из них наиболее часто используемым является

*72·32.

которое является расширением *71·24.

Далее у нас идёт набор предложений (*72·4 — ·481), дающих различные отношения и , когда , или и , когда . Более полезными предложениями этого набора являются те, которые имеют гипотезу ; они иногда полезны в арифметике. Мы имеем

*72·401.

*72·411.

Например, отношение сына к отцу является много-однозначным. Пусть = члены кабинета министров, = глупцы; тогда, предполагая , отсюда следует, что сыновья членов кабинета министров и сыновья (мужчин-)глупцов не имеют общего члена. Если мы сделаем отношение сына к родителю (которое не является много-однозначным), то уже не следует, что сыновья членов кабинета министров и сыновья глупцов не имеют общего члена.

Мы имеем

*72·451.

Смысл этого предложения в том, что если и оба содержатся в , и , то (используя ).

Далее у нас есть набор предложений, касающихся отношений и ( , или, что сводится к тому же, обстоятельств, при которых и при которых . Мы имеем

*72·502.

Таким образом, например, отцы детей мудрых отцов являются классом мудрых отцов; но отцы детей мудрых родителей не все мудры, и родители детей мудрых родителей не все мудры — первое потому, что « » не выполняется, второе потому, что « » не выполняется.

Мы имеем также

*72·52.

Далее у нас идёт набор предложений (*72·59 — ·66), в которых встречается относительное произведение , если , или , если . Наиболее полезные предложения в этом наборе:

*72·591.

*72·601.

*72·66.

Это «принцип абстракции». Он показывает, что каждое отношение, обладающее формальными свойствами равенства, т.е. которое является транзитивным и симметричным, равно относительному произведению много-однозначного отношения на его обратное; т.е. всякий раз, когда отношение выполняется между и , существует член такой, что , где есть много-однозначное отношение; и *72·64 показывает, что этот член может быть взят как , которое равно . Этот принцип воплощает большую часть оснований для наших определений различных видов чисел; при поиске этих определений мы всегда имеем, для начала, некоторое транзитивное симметричное отношение, которое мы рассматриваем как тождество числа; таким образом, согласно *72·64, желаемые свойства чисел рассматриваемого вида обеспечиваются принятием числа объекта за класс объектов, к которым данный объект имеет рассматриваемое транзитивное симметричное отношение. Именно таким образом мы приходим к определению кардинальных чисел как классов классов, а порядковых чисел — как классов отношений.

Оставшиеся предложения этого параграфа менее важны, за исключением

*72·92.

Это предложение показывает, что каждое отношение, содержащееся в одно-многозначном отношении, может быть получено ограничением области значений обратного отношения. Так, например, каждое отношение, содержащееся в отношении отца к сыну, может быть специфицировано путём спецификации класса сыновей, которые должны быть его областью значений обратного отношения; ибо тогда все отцы этих сыновей должны быть включены, чтобы обеспечить референты. Но если мы возьмём отношение родителя и ребёнка, которое не является одно-многозначным или много-однозначным, содержащееся отношение не является детерминированным даже тогда, когда заданы и его область определения, и область значений обратного отношения; ибо отношение может соотносить некоторых детей в любой семье с отцом, а некоторых — с матерью, и до тех пор, пока все дети и оба родителя связаны каждый с кем-то данным отношением, область определения и область значений обратного отношения остаются неизменными при перестановках внутри семьи.

*72·1.

Док.

*72·11.

Док.

*72·12.

*72·121.

Док.

*72·13.

*72·131.

*72·132.

*72·14.

Это предложение применимо к очень многим отношениям, с которыми нам приходится иметь дело, например , , , , , , , и т.д.

*72·15.

В *72·16 ниже имеет значение, определённое в *40·01, и не представляет собой переменную пропозицию. Аналогично, s в *72·161 имеет значение, определённое в *40·02.

*72·16.

Док.

*72·161.

*72·162.

*72·163.

*72·17.

Док.

*72·18.

*72·181.

*72·182.

Док.

*72·184.

*72·185.

*72·19.

*72·191.

*72·192.

*72·193.

*72·2.

Док.

*72·201.

*72·202.

*72·21.

Док.

*72·211.

*72·22.

Док.

*72·221.

*72·23.

Док.

*72·24.

Док.

*72·241.

*72·242.

Док.

*72·243.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в *272·4·41, которые используются в теории «рациональных рядов», т.е. рядов, порядково подобных ряду рациональных чисел.

*72·25.

Док.

Предложения и , которые были доказаны ранее, являются частными случаями вышеуказанного; первое является частным случаем, потому что .

*72·26.

В этом предложении условия значимости требуют, чтобы область определения состояла из классов. Это предложение используется в *72·27.

Док.

*72·27.

*72·27 используется в *74·63·631 и снова в *163·15.

*72·3.

Док.

*72·301.

*72·302.

*72·303.

*72·31.

Док.

*72·311.

*72·312.

*72*32.

Док.

*72·321.

*72·322.

*72·323.

Док.

*72·34.

Док.

*72·341.

Это предложение следует сравнить с *40·37 и *40·38.

*72·4.

Док.

Когда не является , мы имеем в общем случае (ср. *37·21)

*72·401.

*72·41.

*72·411.

*72·42.

*72·421.

*72·43.

Док.

*72·431.

*72·44.

*72·441.

*72·441 используется в теории кардинального возведения в степень (*116·659).

*72·45.

Док.

*72·451.

*72·46.

*72·461.

*72·47.

Док.

*72·471.

*72·48.

Док.

*72·481.

*72·49.

Док.

*72·491.

*72·492.

*72·5.

Док.

*72·501.

*72·502.

*72·503.

*72·504.

Заметьте, что означает , а не ( . *72·504 используется в теории сегментов ряда (*211·64).

*72·51.

*72·511.

*72·512.

Док.

*72·513.

*72·52.

*72·53.

Док.

*72·54.

Док.

*72·541.

*72·55.

Док.

*72·551.

*72·57.

Док.

*72·59.

Док.

*72·591.

*72·6.

*72·601.

*72·61.

*72·611.

Следующие предложения подводят к «принципу абстракции» (*72·66), который, хотя и не упоминается явно в дальнейшем, имеет определённый внутренний интерес и обобщает тип рассуждения, часто нами используемый.

*72·62.

Док.

*72·621.

Док.

*72·622.

*72·63.

Док.

*72·64.

Док.

*72·65.

*72·66.

*72·7.

Док.

*72·71.

*72·72.

*72·8.

Вышеуказанное предложение используется в *72·62.

*72·81.

*72·9.

Док.

*72·91.

Док.

*72·911.

*72·92.

Док.

*72·921.

*72·93.

Док.

*72·931.

*72·94.

Док.

*73. ПОДОБИЕ КЛАССОВ.

Сводка *73.

Два класса и называются подобными, когда существует взаимно однозначное отношение, область определения которого есть , а область значений обратного отношения есть . Мы выражаем « подобен » нотацией « » . Когда два класса подобны, они имеют одинаковое кардинальное число членов: именно этот факт придаёт важность отношению подобия.

Мы имеем

Отношение подобия есть отношение области определения к области значений обратного отношения, т.е. это относительное произведение и , или, что сводится к тому же, это относительное произведение и .

Большинство свойств подобия вытекают непосредственно из свойств взаимно однозначных отношений и не представляют никакой трудности.

Когда существуют отношения, которые коррелируют 'ы с 'ами так, чтобы сделать подобным , мы обозначаем класс таких отношений через « » . Таким образом, мы имеем

Когда, как в этом случае, мы имеем дескриптивную двойную функцию, тесно связанную с отношением, мы возьмём за правило различать дескриптивную двойную функцию чертой.

Следует заметить, что « » , подобно и , и , и , неоднозначно в отношении типа и приобретает определённое значение только тогда, когда специфицированы типы его области определения и области значений обратного отношения. Область определения и область значений обратного отношения могут быть или не быть одного и того же типа, т.е. « » может или не может быть гомогенным отношением. Это позволяет нам говорить о двух классах разных типов как имеющих одинаковое число членов. Мы вернёмся к этому пункту в связи с кардинальными числами (ср. особенно *102—*106).

Предложения настоящего параграфа важны и очень часто упоминаются на протяжении всей кардинальной арифметики. Чтобы доказать, что два класса и имеют одинаковое кардинальное число членов, обычно необходимо, в фундаментальных арифметических предложениях, с которыми мы имеем дело, фактически построить отношение такое, что . Такое отношение будет называться коррелятором и . Обычно оно будет получено путём взятия некоторого отношения , для которого мы имеем ( , и ограничения области значений обратного отношения до , так что есть требуемый коррелятор. Очень часто мы будем иметь , не , но будет таковым, что .

Среди наиболее важных предложений настоящего параграфа следующие:

*73·142.

Т.е. есть коррелятор и , если (1) взаимно однозначно, (2) содержится в области значений обратного отношения , (3) есть класс тех членов, которые имеют отношение к членам .

*73·2.

Это вытекает непосредственно из определения.

*73·22.

*73·3.

*73·31.

*73·32.

Вышеуказанные три предложения показывают, что подобие рефлексивно, симметрично и транзитивно.

*73·36.

*73·41.

Таким образом, каждый класс подобен классу более высокого типа, состоящему целиком из единичных классов.

*73·45.

Таким образом, 1 есть класс всех классов, подобных любому единичному классу.

*73·48.

Таким образом, 0 есть класс всех классов, подобных пустому классу.

*73·611.

Это предложение очень часто полезно. Для арифметических целей мы часто хотим получить взаимно исключающие классы. Теперь, независимо от того, являются ли и взаимно исключающими, и взаимно исключают друг друга, при условии . Таким образом, посредством вышеуказанного предложения мы всегда можем построить взаимно исключающие классы, каждый из которых подобен данному классу, т.е. каждый имеет некоторое заданное число членов.

*73·71.

Это предложение фундаментально в теории сложения.

*73·88.

Т.е. «если подобен части , и подобен части , то подобен ». Это теорема Шрёдера — Бернштейна. Приведённое ниже доказательство принадлежит Цермело.

*73·01.

*73·02.

*73·03.

*73·04.

*73·1.

*73·11.

Док.

*73·12.

*73·13.

Док.

*73·131.

*73·14.

Док.

Использование этого предложения при доказательстве подобия очень часто.

*73·141.

*73·142.

Док.

*73·15.

Док.

*73·2.

Док.

Следующие предложения, вплоть до *73·241, выводятся из предыдущих предложений этого параграфа точно так же, как « » было выведено в *73·2 из *73·1. Поэтому доказательства лишь обозначены ссылками на предыдущие предложения этого параграфа, которые используются.

*73·21.

*73·22.

*73·23.

*73·231.

*73·24.

*73·241.

*73·25.

Док.

Это предложение будет удобно в таких случаях, как следующий: Пусть есть класс отношений, области определения которых взаимно исключают друг друга, т.е. таких, что никакие два члена не имеют областей определения, имеющих общий член, и предположим, что мы хотим доказать, что класс этих областей определения подобен . Класс областей определения есть , и мы имеем ( . Следовательно, нам остаётся только доказать (подставляя вместо из *73·25) , что в предполагаемом случае доказывается немедленно.

*73·26.

Док.

*73·27.

*73·28.

Док.

*73·3.

Док.

Это рефлексивное свойство подобия. Условия значимости требуют, чтобы был классом некоторого типа, но не налагают ограничений на тип класса.

*73·301.

Док.

*73·31.

Это предложение показывает, что подобие есть симметричное отношение.

*73·311.

Док.

*73·32.

Это предложение показывает, что подобие есть транзитивное отношение. Таким образом, мы теперь доказали, что подобие рефлексивно, симметрично и транзитивно.

*73·33.

*73·34.

Док.

*73·35.

Док.

*73·36.

Док.

*73·37.

Док.

*73·4.

*73·41.

Это предложение полезно, потому что оно даёт класс ( подобный , но более высокого типа. Таким образом, если есть кардинальное число, и известно, что в некотором типе существуют классы, имеющие членов, то отсюда следует, что будут существовать классы, имеющие членов в следующем более высоком типе, и, следовательно, в следующем типе выше этого, и так далее. Соответствующих средств для понижения типа не существует.

*73·42.

Док.

Это предложение даёт средство понижения типа без изменения кардинального числа, при условии, что наш класс состоит целиком из единичных классов; ибо есть типа, непосредственно предшествующего типу . Но когда не состоит целиком из единичных классов, эта конструкция не работает.

*73·43.

*73·44.

Док.

*73·45.

Док.

*73·46.

*73·47.

Док.

*73·48.

Следующее предложение используется в теории двойной подобия (*111·111).

*73·5.

Док.

*73·501.

Док.

*73·51.

Док.

*73·511.

*73·52.

Док.

*73·521.

*73·53.

*73·531.

*73·61.

*73·611.

*73·62.

*73·621.

*73·63.

Док.

Вышеприведенное предложение используется один раз в связи с кардинальным сложением (*112·231) и один раз в связи с кардинальным умножением (*114·561).

Следующее предложение (*73·69) является леммой для *73·7.

*73·69.

Док.

*73·7.

*73·701.

Док.

*73·71.

*73·72.

Док.

Следующие предложения дают доказательство теоремы Шрёдера-Бернштейна, а именно: если один класс подобен части другого, а другой подобен части первого, то эти два класса подобны. Приведенное здесь доказательство принадлежит Цермело [60]. Пояснение к следующему доказательству дается в связи с другим доказательством в сводке *94.

*73·8.

Док.

*73·801.

Здесь «Hp*73·8» означает «гипотеза *73·8».

Док.

*73·802.

Док.

*73·81.

Док.

*73·811.

Док.

*73·812.

Док.

*73·82.

Док.

*73·821.

Док.

*73·83.

Док.

*73·84.

Док.

*73·841.

Док.

*73·85.

*73·86.

Док.

*73·87.

Док.

*73·88.

Док.

Это теорема Шрёдера-Бернштейна.

СНОСКИ:

[60] Math. Annalen, том LXV. Выпуск 2, февраль 1908 г.

*74. ОБ ОТНОШЕНИЯХ «ОДИН-МНОГИЕ» И «МНОГИЕ-ОДИН» С ОГРАНИЧЕННЫМИ ОБЛАСТЯМИ.

Сводка *74.

Цель настоящего параграфа — собрать вместе различные предложения, в которых мы имеем такие гипотезы, как или в которых такие гипотезы показаны как выводимые из других. Гипотезы такого рода встречаются очень часто, и важно уметь легко с ними обращаться. Ради полноты мы повторим здесь предложения, доказанные ранее по этому предмету.

Предложения этого параграфа по большей части носят характер лемм, которые будут использоваться в теории выборок (Часть II, Раздел D), а также в кардинальной и ординальной арифметике. Наиболее полезными из них являются *74·772·773·774·775. Эти предложения касаются обстоятельств, при которых или , с ограничением или без ограничения области значений, является взаимно-однозначным отношением. Причина их важности заключается в том, что корреляторы, с помощью которых доказываются многие фундаментальные теоремы кардинальной и ординальной арифметики, являются такими отношениями, как (с ограниченной областью значений) для подходящих значений и . Вышеупомянутые предложения следующие:

*74·772.

Гипотеза этого предложения будет подтверждена, если мы положим, например, . Таким образом . Это предложение используется в *116·531, которое применяется при доказательстве одного из формальных законов возведения в степень, а именно .

*74·773.

Это предложение используется в связи как с кардинальным, так и с ординальным умножением и возведением в степень. Если и коррелируют с и с , то если мы возьмем в качестве класс всех ординальных пар, которые могут быть образованы из и , ( будет классом всех пар , которые могут быть образованы из и . Таким образом, в силу вышеприведенного предложения, если подобен , а подобен , то класс ординальных пар, образованных из и , подобен классу ординальных пар, образованных из и . Этот результат полезен, поскольку мы определяем произведение числа членов и числа членов как число ординальных пар, образованных из и .

*74·774.

Это предложение полезно, когда, например, есть .

*74·775.

Это частный случай *74·773, имеющий аналогичное применение.

*74·1.

Док.

*74·11.

*74·12.

*74·13.

*74·131.

*74·14.

*74·141.

*74.15.

*74·151.

*74·16.

*74·161.

*74·17.

*74·171.

*74·2.

Док.

*74·201.

*74·21.

*74·211.

*74·22.

*74·221.

*74·23.

*74·231.

*74·24.

*74·25.

*74·251.

*74·26.

Док.

*74·27.

Док.

*74·271.

*74·3.

Док.

*74·301.

*74·31.

Док.

*74·311.

*74·32.

Док.

*74·4.

Док.

*74·41.

Док.

*74·42.

*74·43.

*74·44.

*74·5.

Док.

*74·51.

Док.

*74·511.

*74·52.

Док.

*74·521.

*74·53.

Док.

*74·531.

*74·6.

Док.

*74·61.

Док.

*74·62.

Док.

*74·63.

*74·631.

*74·632.

*74·7.

Док.

*74·701.

*74·71.

*74·711.

*74·72.

Док.

*74·721.

*74·73.

*74·731.

*74·74.

*74·741.

*74·75.

Док.

*74·751.

*74·76.

*74·761.

*74·77.

Док.

*74·771.

*74·772 и его непосредственные следствия очень полезны в кардинальной и ординальной арифметике.

*74·772.

*74·773.

Док.

*74·774.

Док.

*74·775.

*74·8.

Док.

*74·801.

*74·81.

Док.

*74·811.

*74·82.

Док.

*74·821.

*74·822.

*74·823.

*74·83.

*74·831.

*74·832.

*74·833.

*74·84.

Док.

*74·841.

*74·842.

*74·843.

РАЗДЕЛ D. ВЫБОРКИ.

Сводка Раздела D.

Предмет, рассматриваемый в этом разделе, важен главным образом в связи с умножением, как кардинальным, так и ординальным. Чтобы получить определение умножения, которое не ограничивается случаем, когда число множителей конечно, мы должны искать конструкцию, с помощью которой из данного класса классов, скажем , мы конструируем другой класс, который, когда конечно, имеет то число членов, которое в обычном элементарном смысле является произведением чисел членов в различных классах, являющихся членами , и который, независимо от того, конечно или нет, подчиняется как можно большему числу формальных законов умножения. Обычный элементарный смысл умножения выводится из сложения; то есть должно быть числом членов в , где есть класс взаимно исключающих классов, каждый из которых имеет членов, или наоборот. Этот смысл может быть распространен на любое конечное число множителей, но не на бесконечное число множителей; следовательно, для числа множителей, которое может быть бесконечным, нам требуется иное определение, и оно выводится из теории выборок.

Выборки бывают двух видов: выборки из классов классов и выборки из отношений. Последнее является более общим понятием, из которого выводится первое. Но поскольку первое понятие проще, мы начнем с объяснения выборок из классов классов.

Для данного класса классов класс называется выбранным классом из , когда формируется путем выбора одного члена из каждого члена . Например, если состоит из двух членов, и , и если и , то есть выбранный класс из . Если каждый избирательный округ избирает местного жителя, то Парламент является выбранным классом от избирательных округов. Если есть класс взаимно исключающих классов, т.е. класс, никакие два члена которого не имеют общего члена, то выбранный класс состоит только из одного члена от каждого члена ; т.е. есть выбранный класс, если . Но если не является классом взаимно исключающих классов, это не обязательно верно; ибо член , который является членом как , так и (где ), может быть выбран в качестве представителя , в то время как какой-то другой член может быть выбран в качестве представителя , так что два члена могут принадлежать к выбранному классу. Опять же, если есть класс взаимно исключающих классов, отношение представителя к своему классу должно быть взаимно однозначным, потому что, поскольку ни один член не принадлежит двум классам, являющимся членами , ни один член не может быть представителем двух классов. Но когда не является классом взаимно исключающих классов, член, который принадлежит двум классам и , может быть выбран в качестве представителя обоих. Таким образом, отношение представителя к своему классу может быть только «один-многие», а не взаимно однозначным.

Отношение представителя к своему классу можно назвать селективным отношением. Селективное отношение из есть такое отношение, которое выбирает из каждого класса , являющегося членом , определенный член в качестве представителя ; то есть мы имеем, если есть селективное отношение, . Это условие эквивалентно .

Если есть селективное отношение, то есть выбранный класс; и если есть выбранный класс, то существует селективное отношение такое, что . Таким образом, изучение выборок из классов классов полностью содержится в изучении селективных отношений.

Класс селективных отношений из класса называется . Таким образом, . Тогда есть класс выбранных классов.

Будет видно, что если , может быть любым членом , и мы получаем различный для каждого различного члена . Таким образом, если мы сохраним представителей всех остальных членов неизменными, число селективных отношений, получаемых путем варьирования представителя , есть число членов . Следовательно, число селективных отношений в целом может быть справедливо определено как произведение чисел членов, которыми обладают различные члены . В случае если конечно, это согласуется с обычным определением умножения; и независимо от того, конечно или бесконечно, произведение, определенное таким образом, подчиняется всем формальным законам умножения.

Чтобы проиллюстрировать понятие селективных отношений, возьмем очень простой случай, случай, когда состоит из двух классов и , каждый из которых имеет два члена. Пусть и будут членами , а и — членами . Мы предполагаем , , . Тогда селективными отношениями из являются следующие: Таким образом, их четыре, т.е. число членов есть произведение числа членов и числа членов . Аналогичный процесс показал бы, что наше определение произведения согласуется с обычным определением в любом случае, когда все рассматриваемые числа конечны.

Выборки из отношений являются очевидным обобщением выборок из классов классов. Мы имели выше . Мы полагаем, в общем, , которое мы выводим из определения . Это фундаментальное определение в предмете выборок. Мы имеем, в силу этого определения, . Когда , мы можем назвать класс выборок из . Таким образом, в общем, есть класс выборок из при условии ; и если это условие не выполняется, . Мы можем назвать класс классом «-выборок из ». Класс «-выборок из » будет тем, что мы ранее называли классом «селективных отношений из ». Будет замечено, что мы имеем . Таким образом, если есть класс взаимно исключающих классов, выбирает по одному из каждого из этих классов и, следовательно, является селективным классом из ; следовательно, в этом случае .

В кардинальной арифметике является важным понятием, а более общее понятие требуется редко. В ординальной арифметике является важным понятием. Будет видно, что . Таким образом, значимо только тогда, когда есть класс отношений; в этом случае мы имеем . Таким образом, выбирает представительный член области каждого члена . Наиболее важный случай — это когда имеет вид , где есть сериальное отношение, область которого состоит из сериальных отношений. Тогда становится областью отношения, которое может быть определено как ординальное произведение отношений, составляющих ; таким образом, мы получаем бесконечное ординальное произведение, аналогичное бесконечному кардинальному произведению. Это будет объяснено на более позднем этапе (*172).

Хотя в дальнейшем потребуются главным образом и , мы будем рассматривать в общем виде, поскольку это вносит мало дополнительных сложностей, и большинство теорем, которые верны для или , имеют точные аналоги для .

, как определено выше, есть класс отношений «один-многие», содержащихся в и имеющих в качестве своей области значений. Мы не знаем доказательства того, что такие отношения существуют всегда, когда . Фактически, предложение эквивалентно «мультипликативной аксиоме», т.е. аксиоме о том, что для любого класса взаимно исключающих классов, ни один из которых не является пустым, существует по крайней мере один класс, образованный из одного члена каждого из этих классов. (Эта эквивалентность доказана в *88·36 ниже.) Она также эквивалентна аксиоме Цермело [61], которая , следовательно, она также эквивалентна предложению о том, что каждый класс может быть вполне упорядочен. В отсутствие доказательств истинности или ложности этих различных предложений мы не будем предполагать их истинность, а будем явно вводить их в качестве гипотез везде, где они уместны.

В настоящем разделе мы начнем (*80) с рассмотрения таких свойств , которые не зависят от какой-либо гипотезы относительно . Затем (*81) мы перейдем к рассмотрению таких дальнейших свойств , которые вытекают из гипотезы . Эта гипотеза важна, поскольку она подтверждается во многих приложениях, которые мы хотим сделать, и поскольку она ведет к важным свойствам , которые не являются истинными в общем случае, когда не подчиняется никакой гипотезе. Эти особые свойства по большей части обусловлены тем фактом, что когда есть отношение «многие-один», состоит из взаимно однозначных отношений (а не просто из отношений «один-многие», как это имеет место в общем случае). Это доказано в *81·1. Затем (*82) мы переходим к рассмотрению случая относительных произведений, т.е. (. Будет видно, что при подходящей гипотезе ( и . В следующем параграфе (*83) мы применяем результаты *80 к частному случаю, где заменяется на , что является важным случаем для кардинальной арифметики. В *84 мы применяем предложения *81 к случаю, где заменяется на , и где, следовательно, мы имеем гипотезу . Эта гипотеза эквивалентна гипотезе о том, что никакие два члена не имеют общих членов, т.е. что . Когда удовлетворяет этой гипотезе, это класс взаимно исключающих классов. Для классов взаимно исключающих классов мы принимаем обозначение «». В *84·14 показано, что есть такой, для которого мы имеем . Когда есть , есть взаимно однозначное отношение, и . Также в этом случае состоит из всех классов, образованных из одного члена каждого члена , т.е. всех классов таких, что . В *85 мы доказываем различные важные предложения, главным из которых является форма ассоциативного закона [62], а именно . Наконец, в *88 мы рассматриваем вопрос о существовании выборок. Это не может быть доказано в общем случае, когда есть бесконечный класс. Предположение о том, что никогда не является пустым, если только один член не является пустым, эквивалентно различным другим предположениям, например, предположению о том, что каждый класс может быть вполне упорядочен. Одно из этих эквивалентных предположений называется «мультипликативной аксиомой». Эта аксиома эквивалентна предположению о том, что арифметическое произведение не может быть равно нулю, если только один из его множителей не равен нулю, и рассматривается некоторыми математиками как самоочевидная истина. Это может быть доказано, когда число множителей конечно, т.е. когда есть конечный класс, но не тогда, когда число множителей бесконечно. Мы не предполагали ее истинность в общем случае, где она не может быть доказана, но включили ее в гипотезы всех предложений, которые от нее зависят.

СНОСКИ:

[61] См. его «Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann», Math. Annalen, том LIX, стр. 514-516.

[62] Ср. примечания к *42·1·11.

*80. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВЫБОРОК.

Сводка *80.

В этом параграфе мы приведем такие свойства , которые наиболее непосредственно следуют из определения, без какой-либо ограничительной гипотезы относительно .

Если , выбирает один член из , всякий раз, когда , в качестве выбранного референта . Ибо, поскольку , мы имеем ; и поскольку , мы имеем , т.е. . Называя выбранным референтом , очевидно, что мы можем заменить на любой другой член , и все еще иметь член . (Это доказано в *80·4.) Таким образом, если имеет хоть какие-то члены, мы можем получить столько членов, сколько имеется членов , просто изменяя выбранный референт , оставляя другие выбранные референты неизменными.

В настоящем разделе мы сначала доказываем различные простые свойства . Большинство из них являются почти непосредственными следствиями

*80·14.

Наиболее полезными из них являются

*80·2.

*80·291.

*80·3.

*80·33.

Затем мы имеем различные предложения (*80·4—·46), касающиеся , когда . Из них наиболее важными являются следующие:

*80·41.

Т.е. при заданном селективном отношении выбранный референт (где ) может быть заменен любым другим членом , имеющим отношение к , и мы все равно будем иметь селективное отношение.

*80·45.

Затем мы имеем набор предложений (*80·5—·54), связывающих ( с и . Они полезны главным образом как ведущие к следующему набору

(*80·6—·69), связывающих с и . Наиболее полезными из них являются следующие:

*80·6.

*80·65.

*80·66.

Далее у нас есть набор предложений (*80·7—·78), имеющих дело с отношениями и , когда (например) и . Эти предложения используются редко, но они были бы полезны при рассмотрении деления.

Далее у нас есть набор предложений (*80·8—·84), имеющих дело с отношениями и . Наиболее полезными являются

*80·81.

*80·82.

Наконец, у нас есть четыре предложения (*80·9—·93) о и одно о . Наиболее полезным из них является

*80·9.

*80·01.

*80·1.

*80·11.

*80·12.

*80·13.

*80·14.

*80·15.

*80·16.

Док.

*80·17.

Док.

Это предложение используется в теории ординального умножения (*172·162).

*80·2.

Док.

*80·21.

*80·22.

Док.

*80·23.

Док.

*80·24.

*80·25.

*80·26.

Док.

Заметьте, что есть единичный класс, а не пустой класс. Именно благодаря этому факту (как станет ясно позже), если есть любое кардинальное число, . См. примечание к *83·15.

*80·27.

Док.

*80·28.

Док.

*80·29.

Док.

*80·291.

Док.

*80·3.

Док.

*80·31.

Док.

*80·32.

Док.

*80·33.

Док.

*80·34.

Док.

*80·35.

*80·36.

Док.

Это предложение используется при рассмотрении «больше» и «меньше» среди кардинальных чисел (*117·68).

*80·4.

Это предложение важно. Оно показывает, что если и есть выбранный референт (т.е. есть ), то может быть заменен любым другим членом , не переставая быть членом .

Док.

*80·41.

Док.

*80·42.

Док.

*80·43.

Док.

*80·44.

Док.

*80·45.

Док.

*80·46.

*80·5.

Док.

*80·51.

Док.

*80·511.

Док.

*80·52.

Док.

*80·53.

Док.

*80·54.

Док.

*80·6.

Док.

*80·61.

Док.

*80·62.

*80·621.

Док.

*80·63.

*80·64.

Док.

*80·65.

*80·651.

Док.

*80·66.

Док.

*80·661.

Док.

*80·67.

Док.

*80·68.

Док.

*80·69.

Док.

*80·7.

Док.

*80·71.

Док.

*80·72.

*80·73.

Док.

*80·731.

Док.

*80·732.

Док.

*80·74.

Док.

*80·75.

*80·76.

Док.

*80·761.

Док.

*80·77.

Док.

*80·771.

Док.

*80·78.

Док.

*80·8.

Док.

*80·81.

Док.

*80·82.

Док.

Следующее предложение используется в *80·84 и в теории двойной подобия (*111·3).

*80·83.

Док.

*80·84.

Док.

Три следующих предложения полезны как в кардинальном, так и в ординальном умножении (*113 и *172).

*80·9.

Док.

*80·91.

Док.

80·9·91 могут быть распространены, посредством точно таких же доказательств, на любое конечное число переменных , , .... Они будут, при случае, приниматься для трех или четырех переменных без новых доказательств.

*80·92.

Док.

*80·93.

*80·94.

Из этого предложения, вместе с *80·26 (которое дает ), мы получим индуктивное доказательство того, что существует всякий раз, когда есть конечный класс, содержащийся в (ср. *120·611).

*81. ВЫБОРКИ ИЗ ОТНОШЕНИЙ «МНОГИЕ-ОДИН».

Сводка *81.

Когда есть отношение «многие-один», имеет много важных свойств, которые не имеют места в общем случае. Во-первых, состоит целиком из взаимно однозначных отношений. Во-вторых, если , берет один член и не более из каждого члена . Опять же, если , детерминировано, когда задано ; т.е. . Отсюда следует, что подобно ; следовательно, число членов есть число способов выбора одного члена из каждого класса, принадлежащего . Следует помнить, что когда есть «многие-один», есть класс взаимно исключающих классов, т.е. никакие два различных члена не имеют общего члена. Это следует непосредственно из *71·181.

Как объяснено во введении к этому разделу, предложения этого параграфа полезны главным образом благодаря их применению к случаю . Это применение сделано в *84. Наиболее важными предложениями в этом параграфе являются:

*81·1.

*81·14.

Это предложение, представляя как функцию от , ведет непосредственно к

*81·21.

Это основное предложение данного параграфа. Следующее также важно:

*81·22.

*81·1.

Док.

*81·11.

Док.

*81·12.

Док.

*81·13.

Док.

*81·14.

Это предложение, представляя как функцию от , показывает, что член детерминирован, когда задана его область, при условии .

*81·15.

Док.

*81·2.

Док.

*81·21.

Это предложение очень важно. Класс , когда , формируется, как мы докажем позже, путем совершения каждой возможной выборки одного члена из каждого члена , причем каждая такая выборка дает нам один член . Тот факт, что при вышеуказанной гипотезе класс классов имеет то же число членов, что и (что следует из вышеприведенного предложения), имеет большое значение в теории кардинального умножения и возведения в степень.

*81·211.

Док.

*81·212.

Док.

*81·22.

*81·221.

Док.

*81·23.

Док.

*81·24.

Док.

*81·25.

Док.

*81·26.

Док.

*81·3.

Док.

*81·31.

Док.

*82. ВЫБОРКИ ИЗ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ.

Сводка *82.

Предложения, содержащиеся в этом параграфе, не используются много, за исключением связи с ассоциативным законом для кардинального умножения, но они имеют определенный внутренний интерес. Мы доказываем в этом параграфе, что при подходящей гипотезе ( получается из путем умножения каждого члена на , т.е.

*82·272.

Также при подходящей гипотезе области ( есть области , т.е.

*82·32.

В приложениях предложений настоящего параграфа в *85 и заменяются на и . По *62·26 , ; таким образом, мы получаем отношения между и .

*82·2.

Док.

*82·21.

Док.

*82·22.

Док.

*82·221.

Док.

*82·23.

Док.

*82·231.

Док.

*82·24.

Док.

*82·241.

Док.

*82·25.

*82·251.

*82·26.

*82·261.

*82·27.

*82·271.

*82·272.

Док.

*82·28.

*82·29.

*82·291.

*82·3.

Док.

*82·31.

Док.

*82·32.

Док.

*82·33.

Док.

Следующие предложения (*82·4·41·411·42) являются леммами для *83·43, которое используется в доказательстве *114·5, в теории кардинального умножения.

*82·4.

Док.

*82·41.

Док.

*82·411.

*82·42.

*82·43.

Док.

*82·45.

Док.

*82·5.

*82·51.

*82·52.

Док.

*82·53.

Док.

*83. ВЫБОРКИ ИЗ КЛАССОВ КЛАССОВ.

Сводка *83.

В этом параграфе общие пропозиции, доказанные для , должны быть применены к важному частному случаю, где есть . В этом случае мы имеем выборки из классов классов: если , то выбирает представителя из каждого класса , который является членом ; т.е. мы имеем

Пропозиции этого параграфа следуют из пропозиций предыдущих параграфов либо непосредственно, путем подстановки вместо , либо с использованием пропозиций *62, в частности (*62·2) и (*62·3).

Пропозиции настоящего параграфа в основном следуют тому же курсу, что и пропозиции *80, с подстановкой вместо (за исключением того, что специальные формы пропозиций до *80·2 не приводятся). Сначала мы имеем набор пропозиций, непосредственно вытекающих из ранних пропозиций *80. Из них наиболее часто используются:

*83·11.

Это приводит к пропозиции о том, что арифметическое произведение равно нулю, если один из его множителей равен нулю. (Мы не можем доказать обратное универсально, не приняв аксиому мультипликативности.)

*83·15.

Таким образом, есть единичный класс. Это источник пропозиции , где есть кардинальное число (ср. примечание к *83·15).

*83·2.

Здесь есть «представитель» .

*83·21.

Далее мы имеем набор пропозиций (*83·4 — ·44) о выборках из единичных классов и классов единичных классов. Мы имеем

*83·41.

Это приводит к пропозиции о том, что произведение из одного множителя равно этому множителю.

*83·43.

Это приводит к

*83·44.

откуда следует, что произведение множителей, каждый из которых равен единице, равно единице. Это верно, даже если число множителей бесконечно или равно нулю.

Далее мы имеем набор пропозиций (*83·5 — *·58) об изменении представителя класса и о выборках из класса классов, некоторые из которых являются единичными классами. На эти пропозиции редко ссылаются в дальнейшем.

Далее мы имеем (*83·6 — ·74) набор пропозиций об областях выборок, т.е. о классе . Мы имеем

*83·66.

(От гипотезы здесь нельзя отказаться, если не принять аксиому мультипликативности.)

*83·7.

*83·71.

Далее мы имеем две пропозиции (*83·8·81) о типах и . Тип совпадает с типом (*83·81).

Последний набор пропозиций в этом параграфе (*83·9 — ·904) касается существования выборок. Мы имеем

*83·9.

*83·901.

*83·904.

Из этих пропозиций мы выведем с помощью математической индукции, что всякий раз, когда есть конечный класс, существует , если только (ср. *120·62). Таким образом, произведение, состоящее из конечного числа множителей (которые сами могут быть конечными или бесконечными), может обратиться в нуль только в том случае, если один из множителей равен нулю.

*83·1.

Док.

*83·11.

*83·12.

*83·13.

*83·14.

*83·15.

В силу этой пропозиции произведение 0 кардинальных чисел равно 1 — пропозиция, частный случай которой, а именно , является общеизвестным. Эта арифметическая пропозиция вытекает из вышесказанного следующим образом. Мы определим произведение чисел членов как число членов . Таким образом, когда , число членов есть произведение 0 множителей. Теперь, согласно вышеприведенной пропозиции, имеет один член, а именно . Следовательно, произведение 0 множителей равно 1.

*83·16.

*83·2.

*83·21.

*83·22.

*83·23.

*83·24.

*83·25.

*83·26.

*83·27.

*83·271.

*83·28.

*83·29.

*83·3.

*83·31.

*83·4.

*83·41.

Эта пропозиция показывает, что кардинальное произведение из одного множителя равно этому одному множителю. Ибо число членов есть произведение чисел членов членов , т.е. это произведение, единственным множителем которого является число членов . Согласно вышеприведенной пропозиции, это произведение равно числу членов .

*83·42.

Док.

Эта пропозиция показывает, что кардинальное произведение, все множители которого равны 1, равно 1. Ибо есть класс, все члены которого являются единичными классами, и, таким образом, число членов есть произведение некоторого количества 1; и, согласно вышеприведенной пропозиции, есть единичный класс, единственным членом которого является . Этот результат становится более явным благодаря *83·43·44.

*83·43.

Док.

*83·44.

*83·5.

Док.

Из этой пропозиции следует, что если есть класс классов, для которых существуют выборки, и если к добавлен один член (не нулевой), то выборки из результирующего класса классов все еще существуют.

*83·51.

*83·52.

*83·54.

Док.

*83·55.

Док.

*83·56.

Док.

Следующая пропозиция используется в теории кардинального умножения (*114·41).

*83·57.

Док.

*83·58.

Док.

Эта пропозиция показывает, что в произведении любое количество множителей, каждый из которых равен 1, может быть опущено без изменения значения произведения.

Следующие пропозиции, вплоть до *83·74, касаются областей селективных отношений, т.е. выбранных классов.

*83·6.

Док.

*83·61.

Док.

*83·62.

*83·63.

Док.

*83·64.

Заметьте, что требуемая здесь гипотеза есть , а не , как в *83·63.

Док.

Следующая пропозиция используется в связи с кардинальным умножением (*115·14).

*83·641.

Док.

*83·65.

Док.

*83·66.

Док.

*83·7.

*83·71.

Док.

*83·72.

Док.

*83·73·731 являются леммами для *83·74.

*83·73.

Док.

*83·731.

Док.

*83·74.

Док.

*83·8.

Док.

*83·81.

Док.

*83·9.

*83·901.

*83·902.

*83·903.

*83·904.

*83·9·904 приводит к индуктивному доказательству (которое будет приведено позже) того, что всякий раз, когда есть конечный класс классов, ни один из которых не является , существует .

*84. КЛАССЫ ВЗАИМНО ИСКЛЮЧАЮЩИХ КЛАССОВ.

Сводка *84.

Класс взаимно исключающих классов — это такой класс, что если и — два различных члена , то и не имеют общих членов; т.е. это класс, состоящий из непересекающихся классов. Классы взаимно исключающих классов обладают многими важными свойствами. Они важны в кардинальной арифметике, среди прочего, потому что если есть класс взаимно исключающих классов, то кардинальное число есть сумма кардинальных чисел членов . Также, если есть класс взаимно исключающих классов, то число выбранных классов (т.е. ) такое же, как число селективных отношений (т.е. ).

« есть класс взаимно исключающих классов» записывается как «».

Важным случаем является тот, когда ни один член не является нулевым; в этом случае мы пишем

Для , которое содержится в классе классов , мы пишем по аналогии с обозначением .

Определения следующие:

*84·01.

*84·02.

*84·03.

Пропозиции этого параграфа начинаются (*84·1 — ·14) с различных эквивалентных форм для определений. Из них наиболее полезными являются:

*84·11.

*84·13.

*84·14.

Последняя из них особенно важна, поскольку она делает пропозиции *81 применимыми к , когда .

Далее мы имеем (*84·2 — ·28) набор пропозиций, касающихся различных частных случаев, таких как и 1. Наиболее полезными из них являются

*84·23.

*84·241.

*84·25.

Далее мы имеем набор пропозиций (*84·3 — ·37), которые являются непосредственными следствиями пропозиций в *81 посредством *84·14. Наиболее полезной из них является

*84·3.

Далее мы имеем набор пропозиций (*84·4 — ·43), касающихся областей выборок из . Они по большей части все еще являются непосредственными следствиями пропозиций в *81 в силу *84·14. Наиболее полезными являются

*84·41.

*84·412.

*84·43.

Эта пропозиция применима к таким случаям, как отношения строк и столбцов. Представьте любой набор терминов, расположенных в строках и столбцах так, чтобы образовать прямоугольник. Тогда каждый столбец является выборкой из строк, а каждая строка — выборкой из столбцов. Это частный случай вышеприведенной пропозиции.

Далее мы имеем набор пропозиций о , и (*84·5 — ·55). Наиболее важными из них являются

*84·51.

*84·53.

Наконец, мы имеем набор пропозиций (*84·59 — ·62), показывающих обстоятельства, при которых является . Единственная из них, которая используется впоследствии, это

*84·62.

*84·01.

*84·02.

*84·03.

*84·1.

*84·11.

*84·12.

*84·121.

*84·13.

Док.

*84·131.

*84·132.

*84·133.

*84·134.

Док.

*84·135.

Док.

*84·14.

Док.

Эта пропозиция важна, поскольку она позволяет нам применять пропозиции *81 к , когда .

*84·2.

Док.

*84·21.

Примечание. есть класс всех единичных классов, членами которых являются классы; это следует из *65·02. Таким образом, «» эквивалентно « состоит из одного класса».

Док.

*84·22.

Док.

*84·23.

*84·24.

Док.

*84·241.

Док.

*84·242.

*84·25.

Док.

*84·26.

Док.

*84·28.

Док.

Следующие пропозиции касаются выборок из . В силу *84·14 пропозиции *81, имеющие гипотезу , становятся применимыми, когда есть и есть . Таким образом, обладает многими важными свойствами, когда есть , которыми оно не обладает в общем случае.

*84·3.

*84·31.

*84·32.

*84·33.

*84·34.

*84·341.

*84·342.

*84·35.

Док.

*84·37.

*84·4.

*84·41.

Это важная пропозиция, поскольку она показывает, что, когда есть , число классов, которые могут быть выбраны из , есть произведение чисел различных классов, являющихся членами .

*84·411.

*84·412.

Эта пропозиция дает то, что можно было бы принять за определение класса выбранных классов, а именно

Мы могли бы, начав с этого как с нашего определения, иметь дело с классом выбранных классов, не рассматривая предварительно селективные отношения. Недостатками этого метода были бы, во-первых, то, что он требует, чтобы было , если мы хотим получить результаты, желаемые в арифметике; во-вторых, то, что он технически гораздо более громоздок, чем метод, который исходит из селективных отношений; в-третьих, то, что он не позволяет нам иметь дело с выборкой из класса классов как с частным случаем выборки из отношения (а именно из ), и поэтому не дает теорем такой общности, как те, что получены принятым выше методом.

*84·42.

*84·421.

*84·422.

*84·43.

Док.

*84·5.

Док.

Можно было бы предположить, что обратное вышесказанному также будет верно. Но это не так; ибо хотя обеспечивает, что и не могут перекрываться, когда они неравны, тем не менее мы можем иметь , не имея , так что если , мы будем иметь , откуда, если , следует, что не является , даже если .

*84·51.

Док.

*84·52.

Док.

*84·521.

Док.

Вышеприведенная пропозиция является леммой для *84·522, которая используется в важной пропозиции об отношениях взаимно исключающих отношений (*163·17).

*84·522.

Док.

*84·53.

Док.

*84·54.

*84·55.

*84·59.

Док.

*84·6.

*84·61.

*84·62.

*85. РАЗЛИЧНЫЕ ПРОПОЗИЦИИ.

Сводка *85.

В этом параграфе доказываются некоторые важные пропозиции, а остальные пропозиции этого параграфа являются в основном леммами. Наиболее важными пропозициями являются следующие:

*85·1 и *85·14, которые показывают, что если есть , то области совпадают с областями , и подобно , тем самым сводя проблему выборок из многих-однозначных отношений к проблеме выборок из классов классов.

*85·27 и *85·43, которые показывают, что если , состоит из реляционных сумм областей и подобно ; т.е. класс -выборок из подобен классу, полученному следующим образом: берем члены по одному и формируем -выборки каждого; таким образом мы получаем класс классов, каждый класс которого имеет форму , где ; затем мы делаем выборку из этого класса классов; эта выборка является членом ; число таких выборок такое же, как число .

*85·28 и *85·44, которые являются частными случаями *85·27 и *85·43, но более полезными, чем они. *85·44 является источником ассоциативного закона в кардинальном умножении; он утверждает, что если есть , имеет то же число членов, что и . (Об ассоциативных законах в целом см. примечания к *42·1·11.) То есть, если мы формируем класс селективных отношений ( для каждого , который является членом , а затем формируем класс селективных отношений для , мы получаем то же число членов, как если бы мы приступили к формированию класса селективных отношений для . То, как эта пропозиция дает ассоциативный закон умножения, может быть объяснено следующим образом. Мы определим произведение чисел членов как число . Таким образом, например, если числа членов есть , , число есть . Предположим, что другие члены есть и , и что и снова имеют по три члена каждое. Тогда число есть произведение чисел , , , т.е. это произведение , и .

Но числа членов есть

Таким образом, число есть

Следовательно, *85·44 позволяет нам заключить, что , что является случаем ассоциативного закона. Фактически, *85·44 дает нам этот закон в его общей форме, когда число скобок и множителей в каждой скобке может быть бесконечным или конечным безразлично.

Другой важной парой пропозиций является *85·53·54. Они позволяют нам свести проблему выборок для любого отношения к проблеме выборок из класса классов. Метод заключается в следующем: для любого заданного термина сформируйте класс упорядоченных пар, релатумом которых является , в то время как референт является термином, имеющим отношение к . Назовите этот класс пар . Сформируйте этот класс для каждого , который является членом ; таким образом мы получаем класс классов, а именно . Тогда число выборок из этого класса классов такое же, как число .

У нас есть еще одна важная пара пропозиций в этом параграфе, а именно *85·61·63. Они показывают, что то, что называется «аксиомой Цермело», эквивалентно тому, что называется «мультипликативной аксиомой». Аксиома Цермело [63] заключается в том, что если есть любой класс, никогда не является нулевым, т.е. . «Мультипликативная аксиома» заключается в том, что если , существует по крайней мере один класс, образованный путем взятия одного представителя из каждого члена , что эквивалентно

В *85·63 эти две аксиомы показаны как эквивалентные. Из теоремы Цермело [64] следует, что обе они эквивалентны предположению, что каждый класс может быть вполне упорядочен. Это будет доказано позже (*258).

Вышеупомянутые пропозиции, выраженные символически, выглядят следующим образом:

*85·1.

*85·14.

*85·27.

*85·28.

*85·43.

*85·44.

Следующие пропозиции зависят от определения

*85·5.

Т.е. есть класс всех пар, релатумом которых является y, в то время как референт имеет отношение к . Затем мы имеем

*85·53.

дающая конструкцию для посредством , и

*85·54.

которая сводит вопрос о существовании -выборок к вопросу о существовании -выборок.

*85·61.

Эта пропозиция дает конструкцию для любой -выборки в терминах -выборки из , и сводит вопрос о существовании первой к вопросу о существовании последней. Особенно важным случаем является случай, когда . Это рассматривается в

*85·63.

*85·1.

Док.

*85·11.

Док.

*85·111.

*85·112.

*85·12.

Док.

Эта пропозиция используется в связи с порядковым умножением (*173·14).

*85·13.

Док.

В вышеприведенной пропозиции гипотеза, требуемая относительно по *82·231, есть только ; но так как , .

Вышеприведенная пропозиция используется в связи с «семействами» (*97·31).

*85·14.

Док.

*85·21·22 являются леммами для *85·24, которая, вместе с *85·26, требуется для *85·27.

*85·21.

*85·22.

Здесь также может быть записано как . Скобки опущены, потому что никакой другой смысл невозможен.

Док.

*85·24.

Док.

Следующие пропозиции являются леммами для *85·26.

*85·241.

Док.

*85·243.

Док.

*85·244.

Док.

*85·245.

Док.

*85·25.

*85·26.

Док.

*85·27.

*85·28.

Следующая пропозиция является леммой для *85·31.

*85·3.

Условия значимости здесь и в *85·31·32·33·34 требуют .

Док.

Следующие пропозиции, вплоть до *85·42 включительно, касаются обстоятельств, при которых мы можем вывести из . *85·32·33·34 впоследствии не используются; остальные используются при доказательстве *85·43.

*85·31.

Док.

*85·32.

Док.

*85·33.

Доказательство проходит точно так же, как в *85·32.

*85·34.

Следующие пропозиции, *85·4·41·42, являются леммами для *85·43·44, которые имеют фундаментальное значение, поскольку они являются источником ассоциативного закона в кардинальной арифметике.

*85·4.

*85·41.

Док.

*85·42.

Док.

*85·43.

Док.

*85·44.

Следующая пропозиция используется в связи с кардинальным умножением (*114·301).

*85·45.

Док.

Цель следующих пропозиций, вплоть до *85·55, состоит в том, чтобы показать, как получить из класса классов класс выборок, имеющий то же число членов, что и . Для этой цели мы вводим новое обозначение, представляющее довольно важный анализ пар, содержащихся в данном отношении. Пара содержится в отношении , когда ; таким образом, если, фиксируя , мы сформируем класс пар , все эти пары содержатся в . Мы полагаем

*85·5.

Тогда . Также есть класс всех пар, содержащихся в , и . Мы теперь докажем, что , так что каждый член может быть выведен из члена , и проблема существования сводится к проблеме существования выборок из класса взаимно исключающих существующих классов.

*85·51.

*85·52.

*85·53.

Док.

*85·54.

Док.

Следующая пропозиция часто полезна.

*85·55.

Док.

*85·56.

*85·6.

Док.

Следующая пропозиция часто используется.

*85·601.

Док.

*85·61.

*85·62.

*85·63.

Док.

Примечание. ( есть «аксиома Цермело». Вышеприведенная пропозиция показывает, что это верно, если , что опять-таки верно, если в силу *84·412. Последняя из них — «мультипликативная аксиома», которая, таким образом, как показано, подразумевает «аксиому Цермело».

Следующие пропозиции ведут к *85·72, которая используется в теории двойного подобия (*111·3).

*85·7.

Док.

*85·701.

*85·702.

*85·71.

Эта пропозиция утверждает, что если мы можем выбрать один подкласс из каждого члена (где есть класс классов), то выборки из полученных таким образом подклассов являются выборками из .

*85·72.

Док.

Следующая пропозиция является леммой, используемой в теории двойного подобия (*111·313).

*85·81.

Док.

СНОСКИ:

[63] См. Math. Annalen, Vol. LIX.

[64] там же.

*88. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ВЫБОРОК.

Сводка *88.

Существование выборок, насколько известно в настоящее время, не может быть доказано в общем виде. То есть мы не можем доказать ничего из следующего:

Можно показать, что все эти различные пропозиции эквивалентны между собой; и в силу теоремы Цермело (ср. *258) они эквивалентны пропозиции «каждый класс может быть вполне упорядочен». В настоящем параграфе мы должны доказать вышеуказанные эквивалентности, а также некоторые пропозиции, дающие существование выборок в различных частных случаях.

Наиболее очевидной из вышеприведенных пропозиций является последняя, а именно: «Если есть класс взаимно исключающих классов, ни один из которых не является нулевым, существует по крайней мере один класс , который берет один и только один член из каждого члена ». Это мы определим как «мультипликативную аксиому».

Мы будем называть мультипликабельным отношением (обозначается «Rel Mult»), если существует , или, что то же самое, если .

Мы будем называть мультипликабельным классом классов, если существует , т.е. мы полагаем

Мультипликативная аксиома будет обозначаться «».

В настоящем параграфе мы сначала приведем различные эквивалентные формы предположения о том, что есть мультипликабельное отношение (*88·1 — ·15); затем мы сделаем то же самое для мультипликабельных классов классов (*88·2 — ·26); далее мы приведем различные эквивалентные формы мультипликативной аксиомы (*88·3 — ·39). (Некоторые важные эквивалентные формы не могут быть даны на данном этапе, так как они зависят от определений, еще не данных, таких как определения кардинального умножения и вполне упорядоченных рядов. Ср. *114·26 и *258·37.) Наконец, мы приведем пропозиции, показывающие, что различные специальные классы классов являются мультипликабельными. Большинство из этих пропозиций не будут использоваться в дальнейшем, но они иллюстрируют природу трудностей, связанных с доказательством того, что класс классов является мультипликабельным, и некоторые из них показывают, что простой размер не мешает классу быть мультипликабельным. Например, *88·48 показывает, что, учитывая любой класс классов , если каждый член заменяется на , результатом является мультипликабельный класс классов; но единственный эффект этого изменения состоит в увеличении числа членов каждого члена нашего класса классов на единицу.

Основные пропозиции в этом параграфе, на которые впоследствии ссылаются, — это следующие:

*88·22.

*88·32.

*88·33.

*88·361.

*88·37.

Вышеприведенное обычно является наиболее удобной формой мультипликативной аксиомы.

*88·372.

Эта пропозиция используется в *114 для доказательства того, что мультипликативная аксиома эквивалентна пропозиции о том, что кардинальное произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда один из его множителей равен нулю.

*88·01.

*88·02.

*88·03.

*88·1.

*88·11.

Док.

*88·12

Док.

*88·13

*88·14

Док.

*88·15.

*88·2.

*88·21.

*88·22.

Док.

*88·23

*88·24

Док.

*88·25

Док.

*88·26.

Док.

*88·3.

*88·31.

Док.

*88·32.

*88·33.

Заметьте, что ( есть аксиома Цермело.

Док.

*88·34.

Док.

*88·35.

Док.

*88·36.

*88·361.

*88·37.

Док.

*88·371.

*88·372.

Эта пропозиция показывает, что мультипликативная аксиома эквивалентна предположению о том, что кардинальное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из его множителей равен нулю.

*88·373.

Док.

*88·38.

*88·39.

Док.

Следующие пропозиции касаются некоторых случаев, в которых существует конструкция, с помощью которой можно доказать существование выборок.

*88·4.

Док.

*88·41.

*88·411.

Док.

*88·42.

В силу этой пропозиции, как будет доказано позже, каждый конечный класс существующих классов является . Ибо мы имеем ; и, согласно вышесказанному, остается , когда один существующий класс добавляется в качестве дополнительного члена; следовательно, результат следует по индукции.

*88·43.

Док.

*88·431.

*88·44.

*88·441.

*88·45.

Док.

*88·46.

Док.

*88·47.

Док.

*88·48.

Доказательство проходит так же, как в *88·46.

*88·5.

*88·51.

*88·52.

*88·53.

РАЗДЕЛ E. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ.

Сводка Раздела E.

Предметами, которые будут рассматриваться в этом разделе, являются некоторые общие идеи, частным примером которых является математическая индукция. Математическая индукция, по сути, является применением к числовому ряду концепции, которая применима ко всем отношениям и часто очень важна. Рассматриваемая концепция — это то, что мы будем называть предковым отношением по отношению к данному отношению. Если есть данное отношение, мы обозначаем соответствующее предковое отношение через «»; название выбрано потому, что если есть отношение родителя и ребенка, будет отношением предка и потомка — где, для удобства языка, мы включаем в число его собственных предков, если является родителем или ребенком чего-либо.

Обычно говорят, что y имеет к x отношение предка к потомку, если существует определенное число промежуточных людей z1, z2, z3, ... таких, что в ряду x, z1, z2, z3, ... каждый член имеет к следующему отношение родителя и ребенка. Но это не является адекватным определением, поскольку точки в x, z1, z2, z3, ... представляют непроанализированную идею. Тогда мы можем попытаться исправить это определение, сказав, что существует конечный класс z промежуточных членов такой, что один член (z1) класса z является ребенком x, один (zn) является родителем y, каждый член z, кроме z1, является ребенком одного (и только одного) члена z, и каждый член z, кроме zn, является родителем одного (и только одного) члена z. Это определение вызывает несколько возражений. Во-первых, оно очень сложное; во-вторых, в отношении общего отношения возникнет трудность в обеспечении единственности члена z, который должен быть родителем (или ребенком) данного члена z; в-третьих (и это действительно фатальное возражение), предложенное определение утверждает, что z должно быть конечным классом, и мы обнаружим, что конечность в соответствующем смысле определяется только посредством самой концепции отношения предка, которую мы здесь пытаемся определить. Фактически, если R обозначает отношение x к y, где n — кардинальное число, то конечное кардинальное число (в требуемом нами смысле) — это такое, к которому 0 имеет отношение R^n, т.е. такое, для которого 0 является предком по отношению к R. Следовательно, мы не должны использовать понятие конечности при определении отношения предка. На самом деле отношение предка определяется следующим образом.

Назовем класс α наследственным по отношению к R, если R“α ⊂ α, т.е. если преемники членов α (по отношению к R) являются членами α. Так, например, если α — класс лиц по фамилии Смит, то α является наследственным по отношению к отношению отца к сыну. Если α — Пэрство, то α является наследственным по отношению к отношению отца к выжившему старшему сыну. Если α — числа, большие 100, то α является наследственным по отношению к отношению n к n+1; и так далее. Если теперь x является предком y, а α — наследственный класс, к которому принадлежит x, то y также принадлежит к этому классу. И наоборот, если y принадлежит к каждому наследственному классу, к которому принадлежит x, то (в том смысле, в котором a является одним из своих собственных предков, если R является чьим-либо родителем или ребенком) x должен быть предком y. Ибо иметь x своим предком — это наследственное свойство, которое принадлежит x, и поэтому, по гипотезе, принадлежит y. Следовательно, x является предком y тогда и только тогда, когда x принадлежит к полю отношения, о котором идет речь, и y принадлежит к каждому наследственному классу, к которому принадлежит x. Это свойство может быть использовано для определения отношения предка; т.е., поскольку мы имеем x R* y ≡ y ∈ R*“{x}, мы полагаем R* = âx {α ∈ Hered_R . x ∈ α . ⊃ . y ∈ α}. Тогда мы имеем R*“{x} = ∩ {α ∈ Hered_R . x ∈ α}. Здесь R*“{x} можно назвать «потомками x». Это класс членов, для которых x является предком.

Чтобы прояснить отношение вышесказанного к математической индукции, подставим 0 вместо x и R вместо R. Тогда, поскольку 1=0+1, мы имеем 0 R 1. Далее 1 R 2. Таким образом, мы находим 0 R* n. Таким образом, если n является потомком 0, n принадлежит к каждому классу, к которому принадлежит 0 и к которому принадлежит n+1, всякий раз, когда n принадлежит к нему. Следовательно, математическая индукция, начиная с 0, докажет свойства n. В элементарной математике принято говорить так, как если бы это относилось ко всем целым числам, т.е. как если бы N (как определено выше) включало все целые числа; но на самом деле только конечные целые числа (в одном из двух смыслов, которые может иметь слово «конечный») принадлежат к классу N, и они принадлежат к нему по определению, будучи определены как класс R*“{0}, т.е. как потомки 0 в вышеуказанном смысле. К бесконечным числам индуктивные доказательства такого рода, начинающиеся с 0, не могут быть применены.

Изучение R* займет *90. Отношение R^n выполняется между x и y, если x R z1, z1 R z2, ..., zn-1 R y и т.д. Изучение этого «и т.д.» занимает *91, «о степенях отношения». Мы можем для многих технических целей рассматривать I как 0-ю степень R; другие степени — R, R^2, R^3 и т.д. Если R^n является степенью R, то и R^(n+1) является таковой. Теперь R^n = R;R^(n-1) согласно определению в *38. Таким образом, если мы имеем R^n ⊂ S, то R^(n+1) ⊂ S;R, что должно быть степенью R, потому что класс степеней R является значением функции, удовлетворяющей гипотезе индукции. И наоборот, если R^n является степенью R, то y достигается n повторениями процесса превращения x в z, начиная этот процесс с x. Следовательно, если R^n является степенью R, мы будем иметь x R^n y.

Следовательно, если мы обозначим класс степеней R через Pot`R, мы имеем R* = ∪ Pot`R. Мы могли бы использовать это как определение R*; но мы можем получить несколько более простую форму. Ибо вышесказанное, как показано без особых трудностей, эквивалентно x R* y, то есть y принадлежит к предкам x по отношению к R, другими словами, y достигается из x путем продвижения вдоль ряда x, z1, z2, ..., что то же самое, что и ряд x R z1, z1 R z2, .... Отношение R* важно само по себе. Мы полагаем R* = R_*, и затем мы полагаем R_ = R* ∪ I.

Мы часто хотим включить I среди степеней R; класс, состоящий из I вместе с Pot`R, мы называем Pow`R. Определение таково: Pow`R = Pot`R ∪ I, откуда мы легко доказываем R_* = Pow`R. Отношение быть связанным некоторой степенью R (отличной от I) является очень важным. Мы обозначаем его через R_*, и полагаем R_* = R* ∪ I. Таким образом, когда x R_* y, мы имеем одно из x R y, x R^2 y, x R^3 y и т.д. Легко доказать, что R_* = R* ∪ I. В ряду, в котором каждый член (кроме первого, если есть первый) имеет непосредственного предшественника, и каждый член (кроме последнего, если есть последний) имеет непосредственного преемника, если R — отношение члена к его непосредственному преемнику, R* — это отношение любого более раннего члена к любому более позднему.

Следующий номер (*92) касается некоторых особых свойств степеней взаимно-однозначных, однозначных и многозначных отношений.

Следующий номер (*93) анализирует поле отношения на последовательные поколения; например, если отношение — это отношение родителя и ребенка, первое поколение будет состоять из Адама и Евы, второе — из их детей, третье — из их внуков и так далее, всегда выбирая самый длинный путь от Адама и Евы, когда были межпоколенческие браки. То есть, беря любое отношение R, первое поколение — это R“{x}, второе — R^2“{x}, третье — R^3“{x} и так далее. Вообще, если R^n является степенью R (включая I), соответствующее поколение — это R^n“{x}.

Чтобы выразить это более удобно, мы вводим новый символ min_R, который требуется также по другим причинам, особенно в рядах. «min_R`α» можно читать как «минимум по отношению к R». Мы рассматриваем «x R y» как «x предшествует y»; тогда в классе α «минимумы α» будут теми членами α, которые принадлежат α и которым не предшествуют никакие другие члены α, т.е. α ∩ ℐ`R“α = Λ. Мы полагаем поэтому min_R = âα {α ∩ ℐ`R“α = Λ}. Следовательно, мы имеем min_R`α = α ∩ ℐ`R“α, т.е. min_R`α состоит из тех членов α, которым не предшествуют никакие другие члены α. (Если α имеет единственный первый член, этот член — min_R`α.) Таким образом, мы имеем, когда R^n — степень R, min_R`R^n“{x} = R^n“{x} ∩ ℐ`R^(n+1)“{x}. Таким образом, R^n“{x} - R^(n+1)“{x}, где R^n — любая степень R (включая I), является поколением x, соответствующим R^n; таким образом, весь класс поколений — это R_pow`R“{x}. Следовательно, мы полагаем gen_R = âx {R_pow`R“{x}}, где «gen» означает «поколение».

Обозначение «min_R» не будет часто использоваться, пока мы не дойдем до рядов, но тогда оно будет использоваться постоянно. В настоящее время мы приведем только те свойства min_R, которые необходимы для наших непосредственных целей, но в Части V (о рядах) мы посвятим номер (*205) его свойствам.

В этом номере мы также вводим обозначение «beg_R» для «min_R`Cnv`R“. «beg_R`α» можно читать как «начало α». Если есть единственное начало α, это beg_R`α; в противном случае класс начал — это min_R`α, который = α ∩ ℐ`R“α. Таким образом, если R — отношение отца и сына, beg_R = Адам; если R — отношение родителя и ребенка, beg_R = Адам и Ева. end_R будет концом α, если таковой имеется; вообще, end_R`α будет классом концов, т.е. min_Cnv`R`α. Первое поколение R — это beg_R`Field`R. Если x ∈ beg_R`Field`R, любое поколение R — это R^n“{x}, где R^n — соответствующая степень R.

Поле отношения состоит, в общем, не только из поколений R, но также из другой части, части, в которой, как бы далеко мы ни шли назад, мы никогда не достигаем начала. Эта часть — Field`R - R_*“beg_R`Field`R. Две части R_*“beg_R`Field`R и Field`R - R_*“beg_R`Field`R взаимно исключают друг друга и вместе исчерпывают Field`R.

Два следующих номера, *94 и *95, почти никогда не имеют отношения к последующим предложениям и поэтому могут быть опущены любым читателем, который не интересуется их содержанием. *94 имеет дело со степенями относительных произведений. Он используется только в следующем номере (*95), об «эквифакторных отношениях». Вопрос, который должен быть рассмотрен в этом номере, может быть объяснен следующим образом. Имея дело с корреляциями и подобными темами, мы часто хотим рассмотреть ряд отношений R;S, R^2;S^2, R^3;S^3, .... Теперь у нас еще нет определения R^n;S^n, где n — любое конечное число; таким образом, мы не можем определить общий член этого ряда как R^n;S^n. Поэтому нам нужен другой метод определения. Мы имеем R;S, R^2;S^2, .... Таким образом, если R^n — любая степень R, общий член нашего ряда — R^n;S^n. Для удобства обозначения мы полагаем R_n = R^n;S^n. Тогда наш ряд состоит из (R_n)n∈N. Сумма всех отношений этого класса рассматривается в этом номере.

Основные предложения, доказанные в *94 и *95, — это два предложения, которые имеют ту же гипотезу, что и теорема Шрёдера-Бернштейна, а именно R ⊂ S и S ⊂ R. Эти два предложения утверждают, что при вышеуказанной гипотезе R* ⊂ S* и S* ⊂ R*.

Оба вместе воссоздают теорему Шрёдера-Бернштейна, поскольку R* ⊂ S* и S* ⊂ R* влечет R* = S*. Таким образом, они представляют, так сказать, постатейный отчет о равенстве, доказанном теоремой Шрёдера-Бернштейна.

*96, о потомстве члена, касается свойств R*“{x}, главным образом когда R — однозначное отношение. В этом случае, в общем, R*“{x} состоит из двух частей: сначала открытый ряд, а затем циклический ряд. Любая из них может исчезнуть или свестись к одному члену. Если мы назовем две части α и β, то все α предшествует всему β, и α ∩ β = Λ. Таким образом, если либо α, либо β исчезает, R*“{x} = α ∪ β. Если β исчезает, ряд никогда не возвращается в себя, то есть R*“{x} — открытый ряд. Если β существует, существует определенная степень R, скажем R^n, такая, что R^n“{x} ∈ β. Если α и β оба существуют, есть один член, а именно преемник последнего члена α, который имеет ровно двух непосредственных предшественников, один в α и один в β; каждый другой член R*“{x} имеет только одного непосредственного предшественника в R*“{x}. Таким образом, R*“{x} имеет форму буквы ρ, с β на кончике хвоста.

*97 имеет дело с анализом поля отношения на семейства. Беря любой член x из Field`R, семейство x по отношению к R — это R*“{x} ∪ (Cnv`R)*“{x}, которое мы пишем Fam_R`x. Таким образом, класс семейств — это Fam_R“Field`R. Те семейства, которые содержат члена α, — это Fam_R“α. Если мы рассматриваем Field`R как расположенное в прямоугольнике, в котором поколения являются последовательными строками, то Fam_R“x будут столбцами. Таким образом, отношение Fam_R“x к R^n“{x} может рассматриваться как обобщенная форма отношения строк и столбцов. При подходящей гипотезе каждая строка является выборкой из столбцов, а каждый столбец — выборкой из строк. Это выражается в следующем предложении: R^n“{x} ⊂ Fam_R`x, откуда мы выводим теоремы существования для выборок в соответствующих случаях.

Важность идей, рассматриваемых в настоящем разделе, очень велика. Эти идеи доминируют в трактовке конечного и бесконечного, теории прогрессий и порядковых чисел, а также в переходе от рядов, порожденных взаимно-однозначными или однозначными отношениями последовательных членов, к рядам, порожденным транзитивными отношениями «до» и «после». Короче говоря, везде, где используется математическая индукция, требуются идеи, рассматриваемые в этом разделе. Части нашей последующей работы, в которых на этот раздел ссылаются чаще всего, — это два раздела о конечных и бесконечных кардинальных и порядковых числах (Часть III, Раздел C и Часть V, Раздел E). В общей теории кардинальных чисел, т.е. в Части III, Разделах A и B, до того, как было введено различие конечного и бесконечного, на настоящий раздел будут ссылаться редко, если вообще будут ссылаться [65].

СНОСКИ:

[65] Настоящий раздел основан на работе Фреге, который первым определил отношение предка. См. его Begriffsschrift (Галле, 1879), Часть III, стр. 55-87. Ср. также его Grundgesetze der Arithmetik, Том I (Йена, 1893), §§ 45, 46 (стр. 59, 60). В этой работе отношение предка используется для доказательства свойств конечных кардинальных чисел и порядковых чисел.

*90. ОБ ОТНОШЕНИИ ПРЕДКА.

Резюме *90.

Если R — любое отношение, «x R* y» должно означать «x является предком y по отношению к R», где член считается своим собственным предком при условии, что он принадлежит к полю R. Определение R* таково:

90·01.

То есть, x R* y должно выполняться, когда x принадлежит к полю R, и y принадлежит к каждому наследственному классу, к которому принадлежит x; наследственный класс — это класс α такой, что R“α ⊂ α, т.е. такой, что все преемники членов α являются членами α.

*90·02.

Это определение служит лишь для решения двусмысленности между R* и R_*, каждое из которых могло бы подразумеваться под R*. Будет показано, однако, что они равны (*90·132).

Наиболее важными предложениями этого номера являются следующие:

90·112.

Т.е. если x R* y и если α — наследственное свойство, принадлежащее x, то оно принадлежит y.

*90·12.

Т.е. R* рефлексивно во всем поле R, но не в других местах.

*90·14

*90·15.

*90·151.

*90·16.

*90·163.

Т.е. R*“{x} — наследственный класс.

*90·17.

*90·21.

*90·22.

Т.е. классы, которые являются наследственными по отношению к R, — те же, что и те, которые являются наследственными по отношению к R*.

*90·31.

*90·32.

*90·33.

*90·4.

*90·01.

*90·02.

*90·1.

*90·101.

Док.

*90·102 является леммой для *90·11.

*90·102.

Док.

*90·11.

*90·111.

*90·112.

Док.

*90·12.

Док.

*90·13.

Док.

Следующее предложение является леммой для *90·132.

*90·131.

Док.

*90·132.

Док.

В соответствии с нашей общей конвенцией относительно суффиксов и с определением *90·02, R_* означает R* ∪ I, а не R* (см. *90·132).

*90·14.

Док.

*90·141.

*90·15.

Док.

Заметьте, что I можно удобно рассматривать как 0-ю степень R. Согласно *50·64·65, при умножении на I оно дает R; также оно содержится в R, R^2, R^3 и т.д. I обладает свойствами, касающимися реляционного умножения, аналогичными свойствам 1 в обычном умножении; таким образом, рассматривать I как 0-ю степень R аналогично рассмотрению 1 как 0-й степени n, где n — число.

*90·151.

Док.

*90·16.

Док.

*90·161

Док.

*90·162

*90·163

Это предложение важно, поскольку оно доказывает, что R*“{x} — наследственный класс.

*90·164

Это предложение показывает, что R_*“{x} — наследственный класс.

*90·17

Заметьте, что R_*“{x} означает (R* ∪ I)“{x}.

Док.

*90·171

*90·172

Док.

*90·18

Док.

*90·21.

Док.

*90·22.

Док.

*90·23.

*90·23 полезно в теории сечений ряда (*211). Сечение ряда, порожденного R, определяется как класс α, удовлетворяющий R“α ⊂ α.

*90·24.

Док.

Это предложение показывает, что если α — наследственный класс, который содержит x, то α содержит всех потомков x.

*90·25.

Док.

*90·26.

Док.

*90·27.

Док.

*90·31.

Док.

В последней строке вышеприведенного доказательства процесс таков. Записывая α для R*“{x}, (2) становится R“α ⊂ α, в то время как (3) становится x ∈ α. Следовательно, согласно (2) и (3), R*“{x} ⊂ α. Следовательно, согласно *90·112, y ∈ α, что и требовалось доказать.

*90·311.

Док.

*90·32.

Док.

*90·33.

Док.

*90·331.

*90·34.

*90·341.

*90·35.

Док.

*90·351.

Док.

*90·36.

*90·4.

Док.

*90·41.

Док.

*90·42.

Док.

*91. О СТЕПЕНЯХ ОТНОШЕНИЯ.

Резюме *91.

В настоящем номере мы рассматриваем класс отношений R, R^2, R^3, ....

Каждое из них имеет к своему предшественнику отношение ;R; мы имеем R^(n+1) = R^n;R. Таким образом, каждый член ряда имеет к R отношение (R^n)n∈N; следовательно, степени R могут быть определены как те отношения, которые имеют к R отношение (R^n)n∈N. Ряд степеней, начинающийся с R вместо R, аналогично состоит из тех отношений, которые имеют к R отношение (R^n)n∈N. (Этот класс состоит из предыдущего класса вместе с R.) Сказать, что отношение R* выполняется между x и y, оказывается эквивалентным утверждению, что одно из отношений R, R^2, R^3, ... выполняется между x и y; и сказать, что отношение R_* выполняется между x и y, оказывается эквивалентным утверждению, что одно из отношений I, R, R^2, ... выполняется между x и y. Таким образом, мы могли бы начать с определения степеней R и перейти к определению R* как их суммы.

Для удобства обозначения мы полагаем Pot`R = âP {∃n ∈ N . P = R^n}. Тогда определение степеней R, исключая I, таково: Pot`R = {R^n | n ∈ N}, а определение степеней R, включая I, таково: Pow`R = {R^n | n ∈ N} ∪ {I}. (Здесь буквы «id» добавлены, чтобы предположить, что тождество должно быть добавлено к Pot`R.)

Мы полагаем также R* = ∪ Pot`R и R_* = ∪ Pow`R.

Многие из предложений в этом номере используются очень часто. Среди наиболее важных предложений — следующие:

*91·17.

*91·171.

*91·373.

Это формулы индукции. Первые две утверждают, что если свойство α наследственно по отношению к R, то если x принадлежит к α, оно принадлежит любому члену R*“{x}, тогда как если x принадлежит к α, оно принадлежит любому члену R_*“{x}. Третья дает форму индукции, которая иногда мощнее второй. Она утверждает, что если α наследственно при условии, что его аргумент является степенью R, и если x ∈ α, то каждая степень R удовлетворяет α, и наоборот.

*91·23.

*91·24.

Эти два предложения очень полезны, так как дают отношения R* и R_*.

*91·27.

*91·271.

Мы не имеем в общем R* ∩ I = Λ. Если R — род отношения, который порождает ряд (т.е. R либо сам по себе сериален, либо таков, что R* сериален), вышесказанное охарактеризовало бы ряд без первого или последнего члена. Чтобы проиллюстрировать этот вопрос, рассмотрим ряд из четырех членов, x, y, z, w, и пусть R — отношение непосредственного предшествования в этом ряду. Таким образом, R выполняется между x и y, y и z, z и w. Тогда R* выполняется между x и y, x и z, x и w, y и z, y и w, z и w; таким образом, I, которое принадлежит R_*, не принадлежит R*. R^4 выполняется только между x и w; таким образом, ни I, ни R не принадлежат R^4. Все степени R за пределами третьей являются нулевыми. С другой стороны, если мы возьмем циклическое отношение, такое как отношение соседа слева за обеденным столом, мы всегда будем иметь R^n ∩ I ≠ Λ, какой бы степенью R это ни было.

*91·282.

Это предложение показывает, что R*“{x} — наследственный класс по отношению к R.

*91·34.

Это предложение утверждает, что относительное произведение коммутативно, когда каждый множитель — R или степень R.

Далее мы переходим к предложениям, касающимся R_*.

*91·502.

*91·504.

*91·511.

*91·52.

*91·54.

*91·52·54 являются фундаментальными в теории индуктивных отношений.

*91·542.

Это предложение особенно полезно, когда (как часто бывает) мы имеем R ⊂ R^2. В этом случае оно дает R* = R^2*.

*91·55.

*91·56.

Таким образом, R* всегда транзитивно, что является одной из трех характеристик сериальных отношений (ср. *204). Мы обнаружим, что R* часто сериально, когда R таковым не является.

*91·574.

*91·602.

*91·01.

*91·02.

*91·03.

*91·04.

*91·05.

Первые два из вышеприведенных определений введены исключительно для удобства обозначения. Остальные три представляют идеи большой важности. Последнее особенно полезно, когда ряд задан как поле взаимно-однозначного отношения между последовательными членами — как, например, когда ряд натуральных чисел задан как поле отношения n к n+1. Тогда R* — это отношение любого более раннего члена к любому более позднему члену — например, в вышеуказанном случае натуральных чисел, отношение меньшего целого числа к большему.

*91·1.

Док.

*91·11.

*91·12.

*91·13.

*91·14.

*91·15.

*91·16.

*91·17.

*91·171.

Эти предложения имеют большое значение, потому что они позволяют нам доказать, что свойство α принадлежит каждой степени R, если оно принадлежит R (или I) и также принадлежит R^(n+1), всякий раз, когда оно принадлежит R^n.

*91·2.

Док.

*91·201.

*91·204.

Док.

*91·205.

*91·21.

Док.

*91·211

*91·212

Док.

*91·213

*91·22

*91·221

*91·23

Док.

*91·231

*91·24

Док.

*91·241

Док.

Последняя строка вышеприведенного доказательства получена следующим образом: записывая R^n для P, (1) становится R^n ⊂ R*.

Но согласно *91·11, записывая R^n для P из *91·11, и R для Q, мы имеем R^n ⊂ R* ⊃ R^(n+1).

Следовательно, согласно (1) и (2), R^n ⊂ R*, т.е. Pot`R ⊂ R*, что и требовалось доказать.

*91·242.

Док.

*91·25.

Док.

*91·251.

*91·26.

*91·261.

*91·262.

*91·263.

*91·264.

*91·27.

Док.

*91·271.

Док.

*91·28.

*91·281.

*91·282.

*91·283.

Следующие предложения показывают, что относительное произведение двух степеней R коммутативно, т.е. R^m;R^n = R^n;R^m (ср. *91·34).

Мы также имеем (ср. *91·341) R^m;R^n = R^(m+n).

Именно эти предложения (как будет видно в дальнейшем) являются источником коммутативного закона для сложения конечных порядковых чисел. Порядковые числа в общем не коммутативны, так же как относительные произведения в общем не коммутативны; но благодаря тому факту, что относительные произведения, множители которых являются степенями данного отношения, коммутативны, конечные порядковые числа коммутативны.

*91·3.

Док.

*91·301.

*91·302.

Док.

*91·303.

*91·304.

*91·31.

*91·33.

Док.

*91·331.

Док.

*91·34.

Док.

Это коммутативный закон для относительного произведения двух степеней R.

*91·341.

Док.

*91·342.

Док.

*91·343.

*91·35.

*91·351.

*91·352.

*91·36.

*91·37.

Док.

*91·371.

*91·372.

*91·373.

*91·41.

*91·411.

*91·42.

*91·421.

*91·43.

Док.

*91·431.

*91·44.

Док.

*91·45.

Док.

*91·46.

Остальная часть этого номера касается R_* и его отношений к R*.

*91·502.

*91·503.

*91·504.

Док.

Следующие предложения касаются главным образом отношений R* и R_*. Эти отношения воплощены в предложениях

*91·51.

Док.

*91·511.

*91·512.

Док.

*91·513.

Док.

*91·514.

Док.

*91·52.

*91·521.

Док.

*91·522.

*91·53.

Док.

*91·54.

*91·541.

*91·542.

*91·543.

Док.

*91·544.

*91·545.

*91·546.

*91·55.

Док.

*91·56.

Док.

*91·561.

*91·562.

*91·57.

*91·571.

*91·572.

*91·573.

*91·574.

Док.

*91·575.

Док.

*91·58.

*91·581.

*91·59.

Док.

*91·6.

Док.

*91·601.

Док.

*91·602.

Док.

*91·603.

Док.

*91·62.

Эту формулу следует сравнить с *90·11, в которой аналогичная формула дана для R*. Будет замечено, что здесь нам не требуется добавлять I, ибо если x ∈ α, вышеуказанная формула ведет к R*“{x} ⊂ α, т.е. к R*“{x} ⊂ α. Следовательно, R*“{x} ⊂ α, т.е. R*“{x} ⊂ α. Будет замечено, что R*“{x} ⊂ α выполняется всякий раз, когда α принадлежит к каждому наследственному классу, который содержит непосредственных преемников x, тогда как R*“{x} ⊂ α выполняется всякий раз, когда α принадлежит к каждому наследственному классу, к которому принадлежит сам x.

*91·7.

*91·71.

Док.

*91·711.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в теории минимальных точек в ряду (*205·68).

*91·72.

Док.

*91·721.

*91·73.

Док.

*91·731.

Посредством *91·73 или *91·731 степени R часто могут быть расположены в ряд, правило расположения которого состоит в том, что R^m стоит раньше, чем R^n, если m < n, и позже в обратном случае. Но мы получим открытый ряд из этого расположения только если R^m ∩ R^n = Λ; в противном случае степени с определенного момента образуют циклический ряд.

*91·732.

Док.

*91·74.

*91·75.

Док.

*92. СТЕПЕНИ ОДНОЗНАЧНЫХ И МНОГОЗНАЧНЫХ ОТНОШЕНИЙ.

Резюме *92.

Если R ∈ 1→Rel, из этого следует, что, начиная с данного члена x, существует только один ряд членов z таких, что x R z1, z1 R z2, ....

Так, например, отношение сына к отцу является 1→Rel; и начиная с данного человека, ряд предков по прямой мужской линии (который является вышеуказанным рядом x, z1, z2, ...) уникален и детерминирован. Результатом этого свойства многозначных отношений является то, что если, начиная с члена x, мы идем назад на определенное число шагов к члену y, а затем вперед на большее число шагов к члену z, мы должны пройти через y при переходе от x к z; в то время как если число шагов от x до y меньше, чем от x до z, y должен лежать на пути от x до z. Эти факты выражаются предложением: x R^m y . x R^n z . ⊃ . y R^(n-m) z ∨ z R^(m-n) y.

В настоящем номере мы должны установить различные предложения такого рода.

Мы доказываем в этом номере различные предложения, которые используются в обсуждении «семейств» в *96 и *97, и некоторые, которые используются в теории конечного и бесконечного. Но в целом предложения этого номера используются не часто. Наиболее важными из них являются следующие:

*92·11.

с аналогичным предложением (*92·111) для Cnv`R.

*92·132.

с аналогичным предложением (*92·133) для Cnv`R.

*92·14.

По поводу этого предложения сравните замечания о *91·271 во введении к *91. Если R — сериальное отношение, R* ∩ I = Λ — это условие того, что ряд может не иметь последнего члена.

*92·31.

*92·311.

*92·1.

Док.

*92·101.

*92·102.

*92·11.

Док.

*92·111.

*92·112.

*92·113.

*92·12.

*92·121.

*92·13.

Док.

*92·131.

В этом номере, когда были даны доказательства для R, мы опустим доказательства соответствующих предложений для Cnv`R, так как они всегда в точности аналогичны доказательствам для R.

*92·132.

*92·133.

*92·14.

Док.

*92·141.

*92·142.

Док.

*92·143.

*92·144.

Док.

*92·145.

*92·146.

Док.

*92·147.

*92·15.

*92·151.

*92·152.

*92·153.

*92·16.

Док.

*92·161.

*92·17.

Док.

*92·171.

*92·18.

Док.

*92·181.

*92·19.

Док.

*92·191.

*92·3.

Док.

*92·301.

*92·31.

Док.

*92·311.

*92·312.

*92·32.

Док.

*92·33.

Док.

*92·34.

Док.

*93. ИНДУКТИВНЫЙ АНАЛИЗ ОБЛАСТИ ОТНОШЕНИЯ.

Резюме *93.

Для этого числа мы вводим три новых обозначения, из которых первые два будут использоваться постоянно, особенно в теории рядов, тогда как третье будет использоваться редко, за исключением настоящего раздела. Два обозначения, которые используются постоянно, таковы: т.е. является членом и из , и никакой член не предшествует в .

Букву можно рассматривать как означающую «начинает». Таким образом, если мы возьмем любой член из и будем двигаться назад и вперед настолько далеко, насколько это возможно, с помощью -шагов, мы получим ряд, который можно назвать «семейством» : этот ряд, если он имеет первый член, имеет такой, который является членом ; таким образом, члены являются начинающими семейств. Например, если есть отношение сверстника к его наследнику, « » будет означать « является сверстником, который не является наследником сверстника»; таким образом, является первым в своем семействе. Если есть отношение родителя и ребенка, « » будет удовлетворяться только Адамом и Евой; и так далее для других отношений.

Определение есть Следовательно . Если есть порождающее отношение ряда, который имеет первый член, этот первый член есть ; если существует последний член, то это .

Если есть любой класс, мы можем назвать член минимумом из относительно , если он является членом и из , но не следует ни за каким членом из , т.е. не является членом . Мы обозначаем это отношение к через « »; таким образом, мы имеем и определение есть

Мы также, когда это удобно, будем писать « » вместо « ».

Мы имеем .

Если является сериальным, сводится к единственному члену, если он не пуст; таким образом, если класс имеет первый член, этот член есть . Мы также полагаем и тогда , если он существует, является последним членом в -ряде. Таким образом, если есть класс сверстников, а есть отношение отца к сыну, состоит из тех сверстников, которые являются первыми в своем роду, тогда как состоит из тех сверстников, которые являются последними в своем роду. Если есть класс чисел, а есть отношение меньшего к большему, есть наименьший член (если он существует), а есть наибольший (если он существует).

и « » и « » будут постоянно использоваться в связи с рядами, где два последних будут рассмотрены подробно, но настоящий номер более специально касается менее общей идеи, а именно идеи поколений. Возьмем, например, отношение родителя и ребенка; назовем его . Тогда первое поколение состоит из тех, кто является родителями, но не детьми, т.е. ; второе состоит из тех, кто является детьми, но не внуками, т.е. , т.е. , т.е. ; третье состоит из тех, кто является внуками, но не правнуками, т.е. , т.е. , т.е. ; и так далее. Также мы имеем следовательно, поколения суть . Таким образом, мы полагаем где « » означает «поколение».

Когда является однозначным отношением, таким как отношение отца и сына, каждое поколение имеет вид , где есть степень (включая ). Когда не является однозначным отношением, это, как правило, не так.

Поколения в общем случае не исчерпывают область . Ибо будет принадлежать поколению только в том случае, если можно достичь последовательными -шагами, начиная с члена . Если некоторые из семейств, составляющих область , не имеют начала, члены этих семейств не будут принадлежать ни к какому поколению . Такие члены вместе составляют класс , который является тем же самым классом.

Таким образом, область может быть разделена на две взаимно исключающие части, и .

Настоящий номер начинается с некоторых элементарных свойств и и . Затем (*93·2 — ·275) мы рассматриваем такие свойства поколений, которые не требуют никакой гипотезы относительно . Мы доказываем

*93·25.

*93·261.

и мы доказываем (*93·274·275), что и взаимно исключают друг друга и вместе составляют . Затем мы переходим к набору предложений (*93·3 — ·41), требующих, чтобы P было однозначным, или многозначным, или взаимно однозначным. Мы доказываем

*93·32.

*93·36.

*93·381.

и различные другие свойства и , когда .

Предложения этого номера используются на протяжении остальной части этого раздела; они также используются в кардинальной теории конечного и бесконечного. Ранние предложения, вплоть до *93·12 включительно, также используются в теории рядов.

*93·01.

*93·02.

*93·021.

*93·03.

*93·1.

*93·101.

*93·102.

*93·103.

Док.

*93·104.

Док.

*93·11.

*93·111.

*93·112.

Док.

*93·113.

*93·114.

*93·115.

*93·116.

*93·117.

*93·118.

*92·12.

*93·13.

*93·131.

Док.

*93·132.

Док.

*92·2.

*93·21.

*93·22.

*93·221.

*93·23.

Док.

*93·231.

Док.

*93·24.

Док.

*93·25.

Док.

*93·26.

Док.

*93·261.

Док.

*93·27.

Док.

*93·271.

Док.

*93·272.

Док.

*93·273.

*93·274.

*93·275.

*93·3.

Док.

*93·31.

Док.

*93·32.

*93·33.

*93·34.

*93·35.

Док.

*93·36.

Док.

*93·37.

*93·38.

Док.

*93·381.

*93·382.

*93·4.

Док.

*93·41.

*93·412.

Док.

*93·42.

Док.

*93·431.

Док.

Следующие предложения, не будучи необходимыми в последующих предложениях, вставлены здесь без доказательства, исключительно ради их внутреннего интереса.

*93·5.

*93·51.

*93·52.

*93·53.

*93·54.

*93·55.

*93·56.

*94. О СТЕПЕНЯХ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ.

Резюме *94.

В этом номере мы будем главным образом заниматься предложениями, связывающими степени с степенями . Если есть степень , будет степень . Если есть степень , это произведение вида

Если мы перенесем начальный в конец, мы получим степень . Таким образом, существует степень , скажем , такая, что

Если , мы находим путем перестановки и наблюдения, что . Таким образом

Выражения вида постоянно необходимы. Они будут специально рассмотрены в *150 и будут постоянно встречаться в дальнейшем.

Вышеуказанные связи и воплощены в следующих предложениях:

*94·14.

*94·21.

*94·31.

От *94·4 до *94·54 все предложения касаются и . Мы доказываем

*94·5.

*94·51.

Наконец, мы доказываем (*94·53·54), что если либо является взаимно однозначным и , либо является взаимно однозначным и , то подобно .

Единственное предложение этого номера, на которое когда-либо ссылаются впоследствии, — это последнее, *94·64, которое, благодаря тому факту, что теорема Шрёдера-Бернштейна уже доказана (*73·88), используется только в *95·23. Но на само *95·23 больше никогда не ссылаются. Поэтому читатель может пропустить чтение предложений этого номера (как и *95) без ущерба для понимания того, что следует; однако ему следует прочитать резюме.

Главная важность предложений в настоящем номере проявляется, когда и удовлетворяют гипотезе теоремы Шрёдера-Бернштейна, т.е.

В этом случае дает то, что мы можем назвать «отражением» в часть самого себя; эта часть может быть снова отражена с помощью в часть самого себя, и так далее. Члены в , которые рано или поздно исключаются этим процессом отражения, составляют , поскольку любое одно отражение исключает члены, которые составляют одно поколение . Члены, не исключенные никаким числом отражений, составляют . Эти два множества членов вместе составляют , т.е. . В этом номере и *95 мы докажем, что при гипотезе Шрёдера-Бернштейна

Эти два предложения вместе дают доказательство теоремы Шрёдера-Бернштейна в силу *93·274·275. Это доказательство по существу такое же, как доказательство Бернштейна, первоначально опубликованное Борелем [66].

Природа двух доказательств теоремы Шрёдера-Бернштейна, а именно Цермело (приведенного в *73) и Бернштейна (которое будет приведено в этом номере и *95), будет лучше всего понята с помощью рисунков.

В доказательстве Цермело мы сначала доказываем, что если является взаимно однозначным, а есть класс, содержащийся в и содержащий , то подобно как , так и . На рисунке точки внешнего прямоугольника образуют , точки внутреннего прямоугольника образуют , а точки внешнего овала образуют . Таким образом, заштрихованная часть рисунка есть . Теперь мы определяем класс классов по следующим характеристикам: является членом , если (1) содержится в , (2) содержит всю заштрихованную область, (3) , т.е. если является членом , то и любой член, к которому имеет отношение , также является членом . Наше предложение получено путем рассмотрения , т.е. области, общей для всех членов . Мы доказываем (*73·81), что и (*73·811), что не содержит никакой заштрихованной области. На рисунке есть меньший овал. Затем мы доказываем (*73·83), что состоит целиком из заштрихованной части и меньшего овала. Следовательно (больший овал) состоит из двух взаимно исключающих частей, а именно и , причем последняя является той частью внутреннего прямоугольника, которая лежит вне внутреннего овала. Предполагая теперь, что является взаимно однозначным, подобно ; следовательно, добавляя , отсюда следует, что подобно , а значит, и .

Чтобы получить отсюда теорему Шрёдера-Бернштейна, необходимо лишь заменить на и на , а также предположить дополнительно, что является взаимно однозначным, область значений которого содержит . Тогда , и мы получаем (*73·87) , а следовательно , что и требовалось доказать.

В доказательстве Бернштейна мы имеем два отношения и с самого начала. В левой части рисунка внешний прямоугольник есть , который = , овал есть , а второй прямоугольник есть . Таким образом, точки внешнего, но не второго прямоугольника образуют первое поколение . Внутри мы можем сформировать третий прямоугольник, который будет , т.е. . Точки, принадлежащие второму прямоугольнику, но не третьему, образуют второе поколение . Мы можем продолжать таким образом к постоянно уменьшающимся прямоугольникам. Точки, которые рано или поздно остаются вне какого-либо прямоугольника, образуют ; те, которые общи для всех прямоугольников, образуют . Аналогичный анализ, представленный в правой части рисунка, может быть применен к , который таким образом разделен на и . Мы доказываем в этом номере (*94·53), что при гипотезе, которая является частью гипотезы теоремы Шрёдера-Бернштейна, ; в следующем номере (*95·71) мы доказываем, что при гипотезе теоремы Шрёдера-Бернштейна, . Следовательно, путем сложения, .

*94·12.

Док.

*94·13.

*94·14.

Док.

*94·2.

Док.

*94·201.

Док.

*94·21.

Док.

*94·22.

Док.

*94·3.

Док.

*94·31.

Следующая серия предложений ведет к доказательству того, что когда , или , мы имеем

*94·4.

Док.

*94·401.

Док.

*94·402.

Док.

*94·41.

Док.

*94·42.

Док.

*94·43.

*94·441.

*94·442.

*94·5.

Док.

*94·51.

*94·52.

*94·53.

Док.

*94·54.

*94·6.

Док.

*94·61.

Док.

*94·62.

Док.

*94·63.

Док.

*94·64.

Док.

СНОСКИ:

[66] Leçons sur la théorie des fonctions (Париж, 1898), Примечание I (стр. 102-7).

*95. ОБ ОТНОШЕНИИ РАВНОМНОЖИТЕЛЬНОСТИ.

Резюме *95.

Цель этого номера может быть объяснена следующим образом. Рассмотрим ряд отношений; требуется найти способ определения этого ряда без использования чисел. Если бы мы использовали числа и имели определение, данное позже (*301), где есть любое конечное целое число, общим членом ряда был бы . Но мы еще не определили числа, и поэтому мы желаем иметь какой-то способ, не включающий числа, для выражения того, что имеется в виду, когда мы говорим, что в данном члене ряда должна быть задействована та же степень и . Мы делаем это следующим образом. Используя определение в *43, мы имеем

Таким образом, общий член нашего ряда получается путем взятия любой степени ( и формирования . Все члены ряда, следовательно, состоят из членов, которые имеют к отношение ( ; т.е. они суть . Для удобства обозначения мы полагаем [67]

Таким образом, класс отношений, который мы хотим рассмотреть, есть ( .

Чтобы проиллюстрировать природу ( , предположим, что есть отношение «двоюродный брат», тогда как есть отношение ребенка к родителю, а есть отношение родителя к ребенку. Тогда есть отношение «троюродный брат», есть отношение «четвероюродный брат» и так далее. Таким образом, ( есть класс всех отношений родства, которые не включают разницу поколений; и « » будет означать « является кузеном в том же поколении».

Большинство предложений в этом номере вставлены, потому что они требуются в доказательстве *95·52, которое гласит, что при подходящих обстоятельствах . Само это предложение доказывается главным образом потому, что оно требуется в доказательстве *95·63, которое гласит, что если , суть взаимно однозначные отношения, каждое из которых имеет свою область значений, содержащуюся в своей области определения, и если первое поколение подобно первому поколению , то сумма поколений подобна сумме поколений . Это ведет непосредственно к предложению (*95·71), которое является половиной теоремы Шрёдера-Бернштейна (другая половина — *94·53 или *94·54), а именно: «Если и суть взаимно однозначные отношения, каждое из которых имеет свою область значений, содержащуюся в области определения другого, то сумма поколений подобна сумме поколений ».

*95·01. (

*95·1.

Док.

*95·11.

Док.

*95·12.

Док.

*95·13.

*95·131.

Док.

*95·132.

*95·14.

Док.

Использование *95·11 в последней строке приведенного выше доказательства осуществляется путем подстановки вместо .

*95·21.

Док.

*95·211.

Док.

*95·212.

*95·22.

*95·221.

Док.

*95·222.

*95·23.

Док.

*95·24.

*95·3.

Док.

*95·301.

*95·302.

Док.

*95·303.

*95·304.

*95·305.

*95·31.

Док.

*95·32.

*95·33.

Док.

*95·34.

*95·35.

*95·351.

Док.

*95·352.

*95·36.

Док.

*95·361.

*95·37.

*95·38.

Док.

*95·381.

*95·382.

Док.

*95·383.

*95·4.

Док.

*95·41.

*95·411.

*95·42.

Док.

*95·43.

Док.

*95·431.

Док.

*95·44.

Док.

*95·45.

Док.

*95·46.

Док.

*95·47.

Док.

*95·471.

*95·51.

Док.

*95·511.

*95·52.

Док.

*95·6.

Док.

*95·601.

*95·61.

*95·62.

*95·63.

Док.

*95·64.

*95·65.

Следующий пример может проиллюстрировать область действия *95·65. Пусть P, Q будут порождающими отношениями двух вполне упорядоченных рядов, ни один из которых не имеет последнего члена. Положим P' = P \ {x | x имеет непосредственного преемника в P} и Q' = Q \ {x | x имеет непосредственного преемника в Q}. Тогда P' есть отношение непосредственного предшествования в P-ряде, а Q' есть отношение непосредственного предшествования в Q-ряде. Мы будем иметь P' ∈ Rel, Q' ∈ Rel. Также, за исключением некоторых особых случаев, P' и Q' являются первыми производными двух рядов (включая первые члены двух рядов). *95·65 утверждает, что, начиная с любого члена ряда и двигаясь назад, конечное число шагов приведет нас к члену первой производной, что верно. Следовательно, согласно *95·65, пренебрегая некоторыми особыми случаями, мы приходим к результату, что если первые производные двух вполне упорядоченных рядов имеют одинаковое кардинальное число членов, то сами ряды имеют одинаковое кардинальное число членов. Это предложение, конечно, может быть доказано иначе; вышесказанное приведено лишь как иллюстрация результатов *95·65.

*95·7.

Док.

*95·71.

Док.

Это предложение и *94·53 или *94·54 вместе восстанавливают теорему Шрёдера-Бернштейна (*73·88). Ибо в силу *93·274·275 и *73·71 они вместе дают P ∈ Rel, Q ∈ Rel, и при этой гипотезе P sm Q.

СНОСКИ:

[67] Это обозначение используется только в настоящем номере. В *257 мы введем иное и совершенно не связанное с этим значение для P_seq. Временное определение обозначается буквами "P_seq" с последующей ссылкой в квадратных скобках на номер или номера, в которых используется определение.

*96. О ПОТОМСТВЕ ЧЛЕНА.

Резюме *96.

Под «потомством» члена x относительно отношения P мы понимаем класс P_seq`x. В настоящем номере мы будем заниматься главным образом отношением P | P_seq`x, т. е. отношением P, ограниченным потомством x. Мы также будем заниматься P_seq`x и P_seq`x, которые, как доказано в *96·13, являются соответственно...

Наиболее интересный случай — когда P ∈ 1→Rel. В этом случае P_seq`x в общем случае имеет форму «ρ», с x на кончике хвоста; то есть P_seq`x может быть разделено на две части: первая — открытый ряд, вторая — замкнутый ряд. Если y — соединение этих двух, мы будем иметь...

Мы также имеем, когда P ∈ 1→Rel, ...

Таким образом, оказывается, что P_seq`x разделено на две части: первая состоит из тех членов, для которых P_seq`y не является циклом, вторая — из тех, для которых P_seq`y является циклом. Первая полностью предшествует второй; первая существует, если P_seq`x не является циклом, вторая — если P_seq`x является циклом. Каждый член в P_seq`x имеет один и только один непосредственный предшественник, за исключением члена (если он существует) в соединении хвоста и круга P_seq`x; этот член имеет ровно два непосредственных предшественника, один в хвосте и один в круге. Но если либо хвост, либо круг пуст, то каждый член в P_seq`x имеет только один непосредственный предшественник, и поэтому P_seq`x ∈ Ser (эти определения должны применяться только в пределах *96). Тогда P_seq`y — открытая часть ряда P_seq`x, а P_seq`z — круговая часть. Открытая часть полностью предшествует круговой части, при условии P_seq`x не является циклом; т. е. ...

Если хвост и круг оба существуют, P_seq`x имеет последний член, скажем w. Преемник этого члена, P`w, является единственным членом в P_seq`x, который имеет два непосредственных предшественника в P_seq`x, а именно w и z.

Наиболее важные применения предложений настоящего номера относятся к теории конечного и бесконечного, как кардинального, так и ординального. Когда P ∈ 1→Rel, тогда, если P_seq`x не является циклом, или, более общо, если P_seq`x имеет последний член, P_seq`x является конечным классом, т. е. тем, что мы назовем «конечным рядом» (ср. *120). То есть мы имеем...

Если P_seq`x существует, но не имеет последнего члена, P_seq`x является прогрессией (ср. *122), когда его члены расположены в порядке, порожденном P. То есть, придавая P_seq`x и P значения, данные Кантором (ср. *123 и *263), и используя «Prog» для класса взаимно однозначных отношений, которые порождают прогрессии, мы имеем...

Еще одно очень важное предложение, при доказательстве которого полезен настоящий номер, — это *121·47, которое доказывает, что если P ∈ 1→Rel или P ∈ Rel→1, и x и y — любые два члена, то P_seq`x ∩ P_seq`y (который мы называем «интервалом» от x до y) всегда является конечным классом. Доказательство того, что прогрессии являются вполне упорядоченными рядами, зависит от предложений этого номера, поскольку оно использует *122·23, которое зависит от *96·52.

Настоящий номер начинается с серии предложений (заканчивающихся *96·16) о P_seq`x и P_seq`x, как в общем случае, так и когда P ∈ 1→Rel. Затем мы переходим к нескольким предложениям (*96·2—·25) о P_seq`x, когда P ∈ 1→Rel; за исключением *96·24, все эти предложения используются в кардинальной теории конечного и бесконечного. Однако они менее важны, чем последующие предложения, которые касаются P_seq`x, когда P ∈ 1→Rel.

Если P — отношение «многие-один», и x является членом P_seq`x, отношение P в общем случае располагает P_seq`x (т. е. потомство x) в фигуре, подобной приведенной здесь. Отношение P выполняется между каждой точкой и следующей, начиная с x и двигаясь по кругу в направлении, указанном стрелкой. Точки от x до y составляют хвост, а точки в круге составляют круг. y — последний член хвоста, т. е. y = P_seq`x; z — член круга, и P`z — член круга, или, что то же самое, P`z = z. y — единственный член, который имеет более одного непосредственного предшественника в P_seq`x; z всегда существует, если ни хвост, ни круг не пусты, и наоборот, если z существует, ни хвост, ни круг не пусты. Доказательство этих предложений длинное; следующие этапы полезны при доказательстве.

Если P`x = x, все потомство x есть сам x (*96·33); если P`x = y и P`y = x, x и y составляют все потомство x (*96·331) и так далее. Преемники членов P_seq`x принадлежат P_seq`x (*96·341), а предшественники членов P_seq`x, если они принадлежат P_seq`x, принадлежат P_seq`x (*96·351). (Следует заметить, что, поскольку P предполагается только «многие-один», а не «один-один», каждый член P_seq`x может иметь любое число предшественников, которые не принадлежат P_seq`x. У нас есть ряд предложений, начинающийся с *96·4, которые имеют дело с гипотезой P ∈ 1→Rel. Мы доказываем (*96·42), что если x ∈ P_seq`x и y ∈ P_seq`x, то P_seq`x = P_seq`y, т. е. y принадлежит P_seq`x. Мы доказываем (*96·431), что хвост полностью предшествует кругу; что P_seq`x и P_seq`y оба «один-один» (*96·45), так что если x ∈ P_seq`x, один из x и y должен принадлежать хвосту, а другой — кругу (*96·441). Отсюда следует (*96·453), что если либо x ∈ хвосту (в этом случае x ∈ P_seq`x), либо x ∈ кругу (в этом случае x ∈ P_seq`x), то P_seq`x является «один-один» отношением. (Это предложение используется дважды в кардинальной теории конечного и бесконечного, а именно в *121·43 и *122·17.) Отсюда мы приходим к предложению (*96·47), что если два разных члена x и y из P_seq`x оба непосредственно предшествуют члену z, то один из x и y (скажем x) является последним членом хвоста, z — его непосредственный преемник, и y — непосредственный предшественник z в круге, т. е. мы имеем P`x = z, P`y = z. Таким образом, x, y, z уникальны, если они существуют. Мы доказываем далее (*96·475), что x, y, z существуют тогда и только тогда, когда ни хвост, ни круг не пусты.

Из вышеприведенных предложений следует, что если P ∈ 1→1, либо хвост, либо круг должны быть пустыми (*96·491), т. е. потомство члена является либо открытым рядом, либо циклом, и не может иметь форму «ρ».

*96·01.

*96·02.

*96·1.

*96·101.

*96·102.

*96·103.

Док.

*96·104.

Док.

*96·11.

Док.

*96·111.

Док.

*96·112.

Док.

*96·121.

*96·122.

*96·13.

*96·131.

*96·14.

*96·141.

Док.

*96·142.

*96·143.

Док.

*96·144.

Док.

*96·15.

Док.

*96·151.

Док.

*96·152.

*96·153.

*96·154.

*96·155.

Док.

*96·156.

Док.

*96·157.

*96·158.

Док.

*96·159.

*96·16.

Док.

*96·2.

Док.

*96·21.

Док.

*96·22.

Док.

*96·23.

Док.

*96·24.

Док.

*96·25.

Док.

Следующие предложения ведут к *96·32, т. е. P_seq`x ∩ P_seq`y = 0, что является предложением, используемым в следующем номере (*97).

*96·3·301·302·303 также часто используются в других местах.

*96·3.

*96·301.

*96·302.

*96·303.

*95·31.

*96·311.

*96·32.

Док.

*96·33.

Док.

*96·331.

Док.

Этот процесс доказательства может быть очевидно распространен на любой конечный цикл членов.

*96·34.

Док.

*96·341.

Док.

*96·342.

*96·35.

*96·351.

Док.

*96·352.

Следующие предложения являются леммами для *96·45·47.

*96·4.

Док.

*96·401.

Док.

*96·402.

Док.

*96·403.

Док.

*96·41.

Док.

*96·42.

Док.

*96·421.

Док.

*96·431.

Док.

*96·432.

Док.

*96·44.

*96·441.

Док.

*96·442.

Следующее предложение (*96·45) важно.

*96·45.

*96·451.

*96·452.

Док.

*96·453.

Док.

*96·46.

Док.

*96·461.

Док.

*96·462.

Док.

Вышеприведенное предложение, поскольку оно представляет x, y, z как функции P и x, показывает, что существует не более одного z в P_seq`x, имеющего более одного непосредственного предшественника, и что этот z имеет ровно один непосредственный предшественник в хвосте и один в круге. (Эти результаты требуют *96·441 в дополнение к *96·462.) Таким образом, мы приходим к следующему предложению:

*96·47.

Нам еще предстоит доказать P_seq`x ∩ P_seq`y = 0 или, что то же самое из-за *96·441, P_seq`x ∩ P_seq`y = 0. Это осуществляется в следующих предложениях.

*96·472.

Док.

*96·473.

*96·474.

Док.

*96·475.

Это предложение и *96·45·47 воплощают основные результаты этого номера.

*96·48.

Док.

В вышеприведенном предложении мы пишем «P_seq`x» вместо «P_seq`x», потому что последнее подразумевает существование P_seq`x.

*96·49.

Док.

*96·491.

Док.

*96·492.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в *122·52.

Следующие предложения, не будучи нужными в дальнейшем, просто сформулированы:

*96·5.

Док.

*96·501.

*96·502.

Док.

*96·51.

Док.

*96·52.

Док.

Предложение используется в *122·23.

*97. АНАЛИЗ ПОЛЯ ОТНОШЕНИЯ НА СЕМЕЙСТВА.

Резюме *97.

В этом номере мы рассматриваем не только потомство члена, но и предков и потомство вместе, т. е. (P ∪ P_conv)_seq`x. Мы полагаем...

Таким образом, все семейство члена, т. е. его предки и потомство вместе, есть (P ∪ P_conv)_seq`x. Наиболее важный случай здесь — когда P ∈ 1→1; в этом случае семейства взаимно исключительны, т. е. мы имеем...

В случае, когда P ∈ 1→1 и x принадлежит семейству, которое имеет начало, т. е. в случае, когда x ∈ D`P, все семейство x состоит из потомства начала, т. е. мы имеем...

*97·21.

Когда P ∈ 1→1, отношение x к y может быть представлено как отношение строк к столбцам. Например, пусть поле P состоит из точек в прилагаемом прямоугольнике, и пусть каждая точка имеет отношение P к точке под ней. Тогда верхняя строка — это D`P, вторая строка — это P`D`P, третья — P^2`D`P и так далее; таким образом, строки — это поколения P. Опять же, если x — любая точка в верхней строке, столбец, начинающийся с x, есть P_seq`x, и если y — любой член этого столбца, столбец есть P_seq`y. Таким образом, столбцы — это семейства P. Будет видно, что в случае, представленном вышеприведенным рисунком, каждое семейство состоит из выборки из поколений, и каждое поколение состоит из выборки из семейств, т. е....

Обстоятельства, при которых это происходит, будут рассмотрены в настоящем номере (*97·3—·47). Результаты суммируются в *97·47.

Остальные предложения (*97·5—·58) касаются циклических семейств «один-один» отношений. Если P ∈ 1→1, семейство является циклическим, если P_seq`x содержит цикл. В этом случае мы имеем P_seq`x = P_seq`y; более того, существует определенная степень P, скажем P^n, такая, что каждый член семейства x имеет отношение P^n к самому себе (*97·54). (То же самое, конечно, будет справедливо для всех степеней P.) Семейства P ∈ 1→1 все либо циклические, либо открытые, т. е. мы имеем (*97·55) либо P_seq`x ∈ Open, либо P_seq`x ∈ Cyclic. Семейства формы «ρ», рассмотренные в *96, невозможны для P ∈ 1→1, так как в таких семействах член в соединении хвоста и круга имеет два предшественника. Семейство любого члена P_seq`x должно быть открытым (*97·57). Семейство члена P_seq`x не обязательно должно быть замкнутым, но не может иметь начала; если оно открыто, оно образует ряд типа η или ω или ω^* или ζ, в зависимости от того, имеет ли оно или не имеет конца [68]. Конечные открытые семейства содержатся в Fin; семейства типа ζ содержатся в Rel; те, что типа ω, в Rel; те, что типа ω^* и циклические семейства, содержатся в Rel. Те, что типа ζ, отличаются от циклических семейств тем фактом, что в первых мы не имеем P^n`x = x, в то время как в последних мы имеем это.

В дополнение к уже упомянутым предложениям, наиболее полезными предложениями настоящего номера являются следующие:

*97·13.

*97·17.

*97·5.

*97·501.

*97·01.

Заметьте, что «P_seq`x» означает, что x должен быть включен, если он является членом D`P ∪ D`P_conv, но не иначе; ибо если x ∈ D`P ∪ D`P_conv, P_seq`x = P_seq`x, и иначе P_seq`x = 0.

*97·1.

Док.

*97·101.

Док.

*97·11.

Док.

*97·111.

Док.

*97·12.

Док.

*97·13.

Примечание. P^n должно означать (P^n), а не (P^n). Последнее бессмысленно, так как P никогда не является однородным отношением, и поэтому его квадрат и более высокие степени бессмысленны.

Док.

*97·14.

*97·15.

Док.

*97·16.

Док.

*97·17.

Док.

*97·18.

Док.

*97·2.

Док.

*97·21.

Док.

*97·22.

*97·23.

Док.

*97·231.

Док.

*97·24.

Док.

*97·241.

Док.

*97·242.

Остальные предложения этого номера (кроме *97·5 и след.) касаются доказательства того, что при определенных гипотезах...

Эти предложения имеют достоинство доказательства существования выборок в случаях, к которым они применяются.

*97·3.

Док.

*97·301.

Док.

*97·31.

Док.

*97·32.

*97·33.

Док.

*97·34.

Док.

*97·341.

*97·35.

Док.

*97·36.

*97·37.

Док.

*97·38.

Док.

*97·4.

Док.

*97·401.

Док.

*97·402.

Док.

*97·403.

Док.

*97·41.

*97·42.

Док.

*97·43.

Док.

*97·44.

Док.

*97·45.

Док.

*97·46.

Док.

*97·47.

Док.

*97·5.

Док.

*97·501.

*97·51.

*97·52.

*97·53.

*97·54.

*97·55.

Док.

*97·56.

*97·57.

*97·58.

Док.

Из этого предложения следует, что каждое семейство либо полностью содержится в поколениях P, либо полностью содержится в P_seq`x, что можно назвать остатком поля P.

СНОСКИ:

[68] Здесь тип «ζ» — это тип обратных отношений типа ζ, т. е. тип отрицательных целых чисел в порядке величины, заканчивающихся на 0, ω — тип положительных целых чисел в порядке величины, и поэтому ζ — тип отрицательных и положительных целых чисел в порядке величины.

КЕМБРИДЖ: ОТПЕЧАТАНО ДЖОНОМ КЛЕЕМ, МАГИСТРОМ ИСКУССТВ, В УНИВЕРСИТЕТСКОМ ИЗДАТЕЛЬСТВЕ

ПРИМЕЧАНИЯ ТРАНСКРИПТОРА

Все пункты в списке опечаток из всех трех томов были добавлены и исправлены соответствующим образом.

Авторское обозначение «*2·37·38» является сокращением для *2·37 и *2·38. По этой причине эти номера не рассматривались в перекрестных ссылках.

Лемма *84.44, цитируемая на странице 326, не была описана авторами в соответствующем разделе.