Библиотека философии

ПОД РЕДАКЦИЕЙ ДЖ. Г. МЬЮРХЕДА, LL.D.

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ФИЛОСОФИЮ

Того же автора.

ПРИНЦИПЫ СОЦИАЛЬНОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ. 3-е издание. Demy 8vo. 7 с. 6 п. нетто.

«Мистер Рассел написал большую и живую книгу». — The Nation.

ПУТИ К СВОБОДЕ: СОЦИАЛИЗМ, АНАРХИЗМ И СИНДИКАЛИЗМ. Demy 8vo. 7 с. 6 п. нетто.

Попытка извлечь сущность этих трех доктрин, сначала исторически, а затем как руководство для грядущей реконструкции.

Лондон: George Allen & Unwin, Ltd.

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ФИЛОСОФИЮ

АВТОР

BERTRAND RUSSELL

ЛОНДОН: GEORGE ALLEN & UNWIN, LTD.

НЬЮ-ЙОРК: THE MACMILLAN CO.

Впервые опубликовано в мае 1919 г.

Второе издание в апреле 1920 г.

[Все права защищены]

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга задумана именно как «Введение» и не претендует на исчерпывающее обсуждение рассматриваемых в ней проблем. Представлялось желательным изложить некоторые результаты, доступные до сих пор лишь тем, кто овладел логической символикой, в форме, предлагающей минимум трудностей для начинающего. Были приложены все усилия, чтобы избежать догматизма в вопросах, которые все еще вызывают серьезные сомнения, и это стремление в некоторой степени определило выбор рассматриваемых тем. Начала математической логики известны менее определенно, чем ее поздние разделы, но представляют, по крайней мере, не меньший философский интерес. Многое из того, что изложено в следующих главах, не совсем правильно называть «философией», хотя соответствующие вопросы включались в философию до тех пор, пока не существовало удовлетворительной науки о них. Природа бесконечности и непрерывности, например, в прежние времена принадлежала философии, но теперь принадлежит математике. Математическую философию в строгом смысле, возможно, нельзя считать включающей такие определенные научные результаты, которые были получены в этой области; от философии математики естественно ожидать, что она будет иметь дело с вопросами на границе знания, относительно которых сравнительная определенность еще не достигнута. Но размышления над такими вопросами вряд ли будут плодотворными, если не известны более научные части принципов математики. Книга, посвященная этим частям, может, следовательно, претендовать на то, чтобы быть введением в математическую философию, хотя она вряд ли может претендовать, за исключением случаев, когда она выходит за пределы своей области, на то, что она действительно имеет дело с частью философии. Однако она имеет дело с совокупностью знаний, которая для тех, кто ее принимает, по-видимому, опровергает многое из традиционной философии и даже многое из того, что является общепринятым в настоящее время. Таким образом, как и благодаря своему отношению к еще не решенным проблемам, математическая логика имеет отношение к философии. По этой причине, а также ввиду внутренней важности предмета, может быть полезна краткая сводка основных результатов математической логики в форме, не требующей ни знания математики, ни склонности к математической символике. Здесь, однако, как и везде, метод важнее результатов с точки зрения дальнейших исследований; и метод не может быть хорошо объяснен в рамках такой книги, как эта. Следует надеяться, что некоторые читатели проявят достаточный интерес, чтобы перейти к изучению метода, с помощью которого математическая логика может быть полезна при исследовании традиционных проблем философии. Но это тема, которую следующие страницы не пытались затронуть.

БЕРТРАН РАССЕЛ.

ПРИМЕЧАНИЕ РЕДАКТОРА

Тех, кто, полагаясь на различие между математической философией и философией математики, считает, что эта книга неуместна в данной библиотеке, можно отослать к тому, что сам автор говорит по этому поводу в Предисловии. Нет необходимости соглашаться с тем, что он там предлагает относительно пересмотра области философии путем переноса из нее в математику таких проблем, как проблемы класса, непрерывности, бесконечности, чтобы осознать значение определений и дискуссий, которые последуют далее, для работы «традиционной философии». Если философы не могут согласиться с тем, чтобы переложить критику этих категорий на какую-либо из специальных наук, необходимо, по крайней мере, чтобы они знали точное значение, которое придает им наука математика, в которой эти понятия играют столь большую роль. Если, с другой стороны, найдутся математики, которым эти определения и дискуссии покажутся усложнением и запутыванием простого, возможно, стоит напомнить им со стороны философии, что здесь, как и везде, кажущаяся простота может скрывать сложность, которую чья-то задача — будь то философ или математик, или, как автор этого тома, и тот и другой в одном лице — распутать.

CONTENTS

ГЛ. ПРЕДИСЛОВИЕ ПРИМЕЧАНИЕ РЕДАКТОРА 1. РЯД НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА 3. КОНЕЧНОСТЬ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОРЯДКА 5. ВИДЫ ОТНОШЕНИЙ 6. СХОДСТВО ОТНОШЕНИЙ 7. РАЦИОНАЛЬНЫЕ, ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 8. БЕСКОНЕЧНЫЕ КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 9. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 10. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 11. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 12. ВЫБОРКИ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ АКСИОМА 13. АКСИОМА БЕСКОНЕЧНОСТИ И ЛОГИЧЕСКИЕ ТИПЫ 14. НЕСОВМЕСТИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ДЕДУКЦИИ 15. ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 16. ОПИСАНИЯ 17. КЛАССЫ 18. МАТЕМАТИКА И ЛОГИКА УКАЗАТЕЛЬ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ФИЛОСОФИЮ

ГЛАВА I РЯД НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

МАТЕМАТИКА — это наука, которую, если мы начинаем с ее наиболее знакомых частей, можно развивать в одном из двух противоположных направлений. Более знакомое направление — конструктивное, ведущее к постепенно возрастающей сложности: от целых чисел к дробям, вещественным числам, комплексным числам; от сложения и умножения к дифференцированию и интегрированию и далее к высшей математике. Другое направление, менее знакомое, движется путем анализа к все большей абстрактности и логической простоте; вместо того чтобы спрашивать, что может быть определено и выведено из того, что принято вначале, мы спрашиваем, какие более общие идеи и принципы могут быть найдены, в терминах которых то, что было нашей отправной точкой, может быть определено или выведено. Именно факт следования этому противоположному направлению характеризует математическую философию в отличие от обычной математики. Но следует понимать, что различие заключается не в предмете исследования, а в состоянии ума исследователя. Древнегреческие геометры, переходя от эмпирических правил египетского землемерия к общим положениям, с помощью которых эти правила оказывались обоснованными, а оттуда к аксиомам и постулатам Евклида, занимались математической философией согласно приведенному выше определению; но как только аксиомы и постулаты были достигнуты, их дедуктивное применение, каким мы находим его у Евклида, относилось к математике в обычном смысле. Различие между математикой и математической философией зависит от интереса, вдохновляющего исследование, и от стадии, которой достигло исследование, а не от положений, с которыми исследование имеет дело.

Мы можем сформулировать то же различие иначе. Самые очевидные и легкие вещи в математике — это не те, которые логически стоят в начале; это вещи, которые с точки зрения логической дедукции находятся где-то посередине. Подобно тому как легче всего видеть тела, которые не очень близко и не очень далеко, не очень малы и не очень велики, так и легче всего постичь концепции, которые не очень сложны и не очень просты (используя «простое» в логическом смысле). И подобно тому как нам нужны два вида инструментов, телескоп и микроскоп, для расширения наших зрительных способностей, так нам нужны два вида инструментов для расширения наших логических способностей: один, чтобы двигаться вперед к высшей математике, другой, чтобы двигаться назад к логическим основаниям вещей, которые мы склонны принимать как должное в математике. Мы обнаружим, что, анализируя наши обычные математические понятия, мы приобретаем свежее понимание, новые силы и средства для достижения совершенно новых математических областей, принимая новые линии продвижения после нашего обратного пути. Цель этой книги — объяснить математическую философию просто и нетехнически, не распространяясь на те части, которые настолько сомнительны или сложны, что элементарное изложение едва ли возможно. Полное изложение можно найти в Principia Mathematica[1]; изложение в настоящем томе задумано лишь как введение.

[1] Cambridge University Press, том I, 1910; том II, 1911; том III, 1913. Авторы: Уайтхед и Рассел.

Для среднего образованного человека наших дней очевидной отправной точкой математики был бы ряд целых чисел. Вероятно, только человек с некоторыми математическими знаниями подумал бы о том, чтобы начать с 0, а не с 1, но мы предположим эту степень знания; мы возьмем в качестве отправной точки ряд: 0, 1, 2, 3, ... и именно этот ряд мы будем иметь в виду, когда говорим о «ряде натуральных чисел».

Только на высокой стадии цивилизации мы могли бы взять этот ряд в качестве отправной точки. Должны были пройти многие века, чтобы обнаружить, что пара фазанов и пара дней — это оба примера числа 2: степень абстракции, вовлеченная здесь, далеко не проста. И открытие того, что 1 — это число, должно было быть трудным. Что касается 0, то это очень недавнее дополнение; у греков и римлян не было такой цифры. Если бы мы начали заниматься математической философией в более ранние времена, нам пришлось бы начать с чего-то менее абстрактного, чем ряд натуральных чисел, к которому мы пришли бы как к этапу нашего обратного пути. Когда логические основания математики станут более знакомыми, мы сможем начать дальше, с того, что сейчас является поздним этапом нашего анализа. Но на данный момент натуральные числа кажутся тем, что является самым легким и самым знакомым в математике.

Но хотя они и знакомы, они не поняты. Очень немногие люди готовы дать определение того, что подразумевается под «числом», «0» или «1». Нетрудно увидеть, что, начиная с 0, любого другого из натуральных чисел можно достичь путем повторных прибавлений 1, но нам придется определить, что мы подразумеваем под «прибавлением 1» и что мы подразумеваем под «повторным». Эти вопросы отнюдь не легки. До недавнего времени считалось, что некоторые, по крайней мере, из этих первых понятий арифметики должны быть приняты как слишком простые и примитивные, чтобы их можно было определить. Поскольку все определяемые термины определяются с помощью других терминов, ясно, что человеческое знание всегда должно довольствоваться принятием некоторых терминов как понятных без определения, чтобы иметь отправную точку для своих определений. Неясно, должны ли существовать термины, не поддающиеся определению: возможно, что как бы далеко мы ни заходили в определении, мы всегда могли бы пойти еще дальше. С другой стороны, возможно также, что, когда анализ продвинут достаточно далеко, мы можем достичь терминов, которые действительно просты и поэтому логически не поддаются тому виду определения, который состоит в анализе. Это вопрос, который нам не обязательно решать; для наших целей достаточно заметить, что, поскольку человеческие способности конечны, известные нам определения всегда должны с чего-то начинаться, с терминов, неопределенных на данный момент, хотя, возможно, и не навсегда.

Всю традиционную чистую математику, включая аналитическую геометрию, можно рассматривать как состоящую целиком из положений о натуральных числах. Иными словами, входящие в них термины могут быть определены с помощью натуральных чисел, а положения могут быть выведены из свойств натуральных чисел — с добавлением в каждом случае идей и положений чистой логики.

То, что всю традиционную чистую математику можно вывести из натуральных чисел, — довольно недавнее открытие, хотя его давно подозревали. Пифагор, который верил, что не только математику, но и все остальное можно вывести из чисел, был первооткрывателем самого серьезного препятствия на пути того, что называется «арифметизацией» математики. Именно Пифагор открыл существование несоизмеримых величин и, в частности, несоизмеримость стороны квадрата и диагонали. Если длина стороны равна 1 дюйму, то число дюймов в диагонали — это квадратный корень из 2, который, по-видимому, вообще не является числом. Проблема, возникшая таким образом, была решена только в наши дни и была решена полностью только с помощью сведения арифметики к логике, что будет объяснено в следующих главах. На данный момент мы примем как должное арифметизацию математики, хотя это был подвиг величайшей важности.

Сведя всю традиционную чистую математику к теории натуральных чисел, следующим шагом в логическом анализе было сведение этой теории к наименьшему набору предпосылок и неопределяемых терминов, из которых она могла бы быть выведена. Эта работа была выполнена Джузеппе Пеано. Он показал, что вся теория натуральных чисел может быть выведена из трех примитивных идей и пяти примитивных положений в дополнение к положениям чистой логики. Эти три идеи и пять положений стали, таким образом, своего рода заложниками всей традиционной чистой математики. Если бы их можно было определить и доказать в терминах других, то и вся чистая математика могла бы быть таковой. Их логический «вес», если можно использовать такое выражение, равен весу всей серии наук, которые были выведены из теории натуральных чисел; истинность всей этой серии гарантирована, если гарантирована истинность пяти примитивных положений, при условии, конечно, что нет ничего ошибочного в чисто логическом аппарате, который также вовлечен. Работа по анализу математики необычайно облегчается этой работой Пеано.

Три примитивные идеи в арифметике Пеано: 0, число, преемник. Под «преемником» он понимает следующее число в естественном порядке. То есть преемник 0 — это 1, преемник 1 — это 2 и так далее. Под «числом» он понимает в этой связи класс натуральных чисел[2]. Он не предполагает, что мы знаем всех членов этого класса, а только то, что мы знаем, что подразумеваем, когда говорим, что то или это является числом, точно так же, как мы знаем, что подразумеваем, когда говорим «Джонс — человек», хотя мы не знаем всех людей индивидуально.

[2] Мы будем использовать «число» в этом смысле в настоящей главе. Впоследствии это слово будет использоваться в более общем смысле.

Пять примитивных положений, которые принимает Пеано:

(1) 0 — это число.

(2) Преемник любого числа — это число.

(3) Никакие два числа не имеют одного и того же преемника.

(4) 0 не является преемником никакого числа.

(5) Любое свойство, которое принадлежит 0, а также преемнику каждого числа, обладающего этим свойством, принадлежит всем числам.

Последнее из них — это принцип математической индукции. Мы еще много скажем о математической индукции в дальнейшем; на данный момент нас интересует только то, как она встречается в анализе арифметики у Пеано.

Рассмотрим кратко, каким образом теория натуральных чисел вытекает из этих трех идей и пяти положений. Для начала мы определяем 1 как «преемник 0», 2 как «преемник 1» и так далее. Мы, очевидно, можем продолжать сколько угодно с этими определениями, поскольку в силу (2) каждое число, которого мы достигаем, будет иметь преемника, и в силу (3) это не может быть ни одно из уже определенных чисел, потому что, если бы это было так, два разных числа имели бы одного и того же преемника; и в силу (4) ни одно из чисел, которых мы достигаем в ряду преемников, не может быть 0. Таким образом, ряд преемников дает нам бесконечный ряд постоянно новых чисел. В силу (5) все числа входят в этот ряд, который начинается с 0 и идет через последовательных преемников: ибо (а) 0 принадлежит этому ряду, и (б) если число принадлежит ему, то и его преемник, откуда, по математической индукции, каждое число принадлежит этому ряду.

Предположим, мы хотим определить сумму двух чисел. Взяв любое число n, мы определяем n + 0 как n, а n + (преемник m) как преемник (n + m). В силу (5) это дает определение суммы n и m, каким бы ни было число m. Аналогично мы можем определить произведение любых двух чисел. Читатель может легко убедиться, что любое обычное элементарное положение арифметики может быть доказано с помощью наших пяти предпосылок, и если у него возникнут трудности, он может найти доказательство у Пеано.

Пришло время обратиться к соображениям, которые делают необходимым продвижение за пределы точки зрения Пеано, представляющего последнее совершенство «арифметизации» математики, к точке зрения Готлоба Фреге, который первым преуспел в «логизации» математики, т. е. в сведении к логике арифметических понятий, которые его предшественники показали достаточными для математики. Мы не будем в этой главе давать определение числа и конкретных чисел по Фреге, но приведем некоторые причины, почему подход Пеано менее окончателен, чем кажется.

Во-первых, три примитивные идеи Пеано — а именно «0», «число» и «преемник» — допускают бесконечное число различных интерпретаций, каждая из которых будет удовлетворять пяти примитивным положениям. Приведем несколько примеров.

(1) Пусть «0» означает 100, а «число» означает числа от 100 и далее в ряду натуральных чисел. Тогда все наши примитивные положения удовлетворены, даже четвертое, ибо, хотя 100 является преемником 99, 99 не является «числом» в том смысле, который мы сейчас придаем слову «число». Очевидно, что любое число может быть подставлено вместо 100 в этом примере.

(2) Пусть «0» имеет свое обычное значение, но пусть «число» означает то, что мы обычно называем «четными числами», а «преемником» числа будет то, что получается при прибавлении к нему двух. Тогда «1» будет означать число два, «2» будет означать число четыре и так далее; ряд «чисел» теперь будет 0, 2, 4, 6, ... Все пять предпосылок Пеано по-прежнему удовлетворены.

(3) Пусть «0» означает число один, пусть «число» означает набор 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... и пусть «преемник» означает «половина». Тогда все пять аксиом Пеано будут верны для этого набора.

Ясно, что такие примеры можно множить бесконечно. Фактически, имея любой ряд x0, x1, x2, ..., который бесконечен, не содержит повторений, имеет начало и не имеет членов, которых нельзя достичь от начала за конечное число шагов, мы имеем набор терминов, проверяющих аксиомы Пеано. Это легко увидеть, хотя формальное доказательство несколько длинно. Пусть «0» означает x0, пусть «число» означает весь набор терминов, и пусть «преемник» xn означает xn+1. Тогда

(1) «0 — это число», т. е. x0 является членом набора.

(2) «Преемник любого числа — это число», т. е. взяв любой член xn в наборе, xn+1 также находится в наборе.

(3) «Никакие два числа не имеют одного и того же преемника», т. е. если xn и xm — два разных члена набора, xn+1 и xm+1 различны; это результат того факта, что (по гипотезе) в наборе нет повторений.

(4) «0 не является преемником никакого числа», т. е. ни один член в наборе не стоит перед x0.

(5) Это становится: Любое свойство, которое принадлежит x0 и принадлежит xn+1 при условии, что оно принадлежит xn, принадлежит всем x.

Это следует из соответствующего свойства для чисел.

Ряд вида x0, x1, x2, ..., в котором есть первый член, преемник для каждого члена (так что нет последнего члена), нет повторений и каждый член может быть достигнут от начала за конечное число шагов, называется прогрессией. Прогрессии имеют большое значение в принципах математики. Как мы только что видели, каждая прогрессия проверяет пять аксиом Пеано. Можно доказать, наоборот, что каждый ряд, который проверяет пять аксиом Пеано, является прогрессией. Следовательно, эти пять аксиом можно использовать для определения класса прогрессий: «прогрессии» — это «те ряды, которые проверяют эти пять аксиом». Любая прогрессия может быть взята за основу чистой математики: мы можем дать имя «0» ее первому члену, имя «число» всему набору ее членов и имя «преемник» следующему в прогрессии. Прогрессия не обязательно должна состоять из чисел: она может состоять из точек в пространстве, или моментов времени, или любых других терминов, которых имеется бесконечный запас. Каждая различная прогрессия даст начало различной интерпретации всех положений традиционной чистой математики; все эти возможные интерпретации будут одинаково верны.

В системе Пеано нет ничего, что позволило бы нам различить эти разные интерпретации его примитивных идей. Предполагается, что мы знаем, что подразумевается под «0», и что мы не будем предполагать, что этот символ означает 100, Иглу Клеопатры или что-либо другое, что он мог бы означать.

Этот момент, что «0», «число» и «преемник» не могут быть определены с помощью пяти аксиом Пеано, а должны быть поняты независимо, важен. Мы хотим, чтобы наши числа не просто проверяли математические формулы, но применялись правильным образом к обычным объектам. Мы хотим иметь десять пальцев, два глаза и один нос. Система, в которой «1» означало бы 100, «2» означало бы 101 и так далее, могла бы подойти для чистой математики, но не подошла бы для повседневной жизни. Мы хотим, чтобы «0», «число» и «преемник» имели значения, которые дадут нам правильное количество пальцев, глаз и носов. У нас уже есть некоторое знание (хотя и недостаточно четкое или аналитическое) того, что мы подразумеваем под «1», «2» и так далее, и наше использование чисел в арифметике должно соответствовать этому знанию. Мы не можем гарантировать, что это будет так, методом Пеано; все, что мы можем сделать, если примем его метод, — это сказать: «мы знаем, что подразумеваем под «0», «числом» и «преемником», хотя мы не можем объяснить, что подразумеваем, в терминах других, более простых понятий». Вполне законно говорить это, когда мы должны, и в какой-то момент мы все должны; но цель математической философии — отложить это высказывание как можно дольше. Благодаря логической теории арифметики мы можем откладывать это на очень долгое время.

Можно было бы предположить, что вместо того, чтобы устанавливать «0», «число» и «преемник» как термины, значение которых мы знаем, хотя не можем определить, мы могли бы позволить им означать любые три термина, которые проверяют пять аксиом Пеано. Тогда они перестанут быть терминами, имеющими определенное, хотя и неопределенное значение: они станут «переменными», терминами, относительно которых мы делаем определенные гипотезы, а именно те, что изложены в пяти аксиомах, но которые в остальном не определены. Если мы примем этот план, наши теоремы будут доказаны не относительно установленного набора терминов, называемых «натуральными числами», а относительно всех наборов терминов, обладающих определенными свойствами. Такая процедура не является ошибочной; действительно, для определенных целей она представляет собой ценное обобщение. Но с двух точек зрения она не дает адекватного основания для арифметики. Во-первых, она не позволяет нам узнать, существуют ли какие-либо наборы терминов, проверяющие аксиомы Пеано; она даже не дает малейшего намека на какой-либо способ обнаружения того, существуют ли такие наборы. Во-вторых, как уже отмечалось, мы хотим, чтобы наши числа были такими, которые можно использовать для счета обычных объектов, а это требует, чтобы наши числа имели определенное значение, а не просто обладали определенными формальными свойствами. Это определенное значение определяется логической теорией арифметики.

ГЛАВА II ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА

Вопрос «Что такое число?» часто задавался, но был правильно решен только в наше время. Ответ был дан Фреге в 1884 году в его «Основаниях арифметики»[3]. Хотя эта книга совсем короткая, несложная и высочайшей важности, она почти не привлекла внимания, и определение числа, которое она содержит, оставалось практически неизвестным, пока не было переоткрыто автором в 1901 году.

[3] Тот же ответ дан более полно и с большим развитием в его «Основные законы арифметики», том I, 1893.

В поиске определения числа первое, в чем нужно быть ясным, — это то, что мы можем назвать грамматикой нашего исследования. Многие философы, пытаясь определить число, на самом деле приступают к определению множественности, что совсем другое дело. Число — это то, что характерно для чисел, как человек — то, что характерно для людей. Множественность — это не пример числа, а пример какого-то конкретного числа. Трио людей, например, — это пример числа 3, а число 3 — это пример числа; но трио — не пример числа. Этот момент может показаться элементарным и едва ли заслуживающим упоминания; однако он оказался слишком тонким для философов, за редким исключением.

Конкретное число не тождественно никакой совокупности терминов, имеющих это число: число 3 не тождественно трио, состоящему из Брауна, Джонса и Робинсона. Число 3 — это то, что есть общего у всех трио и что отличает их от других совокупностей. Число — это то, что характеризует определенные совокупности, а именно те, которые имеют это число.

Вместо того чтобы говорить о «совокупности», мы, как правило, будем говорить о «классе» или иногда о «множестве». Другие слова, используемые в математике для того же самого, — это «агрегат» и «многообразие». Мы еще много скажем о классах позже. На данный момент мы скажем как можно меньше. Но есть некоторые замечания, которые должны быть сделаны немедленно.

Класс или совокупность могут быть определены двумя способами, которые на первый взгляд кажутся совершенно различными. Мы можем перечислить его членов, как когда говорим: «Совокупность, которую я имею в виду, — это Браун, Джонс и Робинсон». Или мы можем упомянуть определяющее свойство, как когда говорим о «человечестве» или «жителях Лондона». Определение, которое перечисляет, называется определением по «экстенсии», а то, которое упоминает определяющее свойство, называется определением по «интенсии». Из этих двух видов определения определение по интенсии логически более фундаментально. Это показывают два соображения: (1) что экстенсиональное определение всегда можно свести к интенсиональному; (2) что интенсиональное часто нельзя даже теоретически свести к экстенсиональному. Каждый из этих пунктов нуждается в пояснении.

(1) Браун, Джонс и Робинсон — все они обладают определенным свойством, которым не обладает больше никто во всей вселенной, а именно свойством быть Брауном, или Джонсом, или Робинсоном. Это свойство можно использовать для определения по интенсии класса, состоящего из Брауна, Джонса и Робинсона. Рассмотрим такую формулу, как «x — это Браун или x — это Джонс или x — это Робинсон». Эта формула будет верна ровно для трех x, а именно для Брауна, Джонса и Робинсона. В этом отношении она напоминает кубическое уравнение с тремя корнями. Ее можно принять как приписывающую свойство, общее для членов класса, состоящего из этих трех людей, и присущее только им. Подобный подход, очевидно, можно применить к любому другому классу, данному в экстенсии.

(2) Очевидно, что на практике мы часто можем знать очень много о классе, не будучи в состоянии перечислить его членов. Ни один человек не мог бы фактически перечислить всех людей или даже всех жителей Лондона, однако о каждом из этих классов известно очень много. Этого достаточно, чтобы показать, что определение по экстенсии не является необходимым для знания о классе. Но когда мы переходим к рассмотрению бесконечных классов, мы обнаруживаем, что перечисление даже теоретически невозможно для существ, которые живут лишь конечное время. Мы не можем перечислить все натуральные числа: они 0, 1, 2, 3 и так далее. В какой-то момент мы должны довольствоваться «и так далее». Мы не можем перечислить все дроби или все иррациональные числа, или все члены любой другой бесконечной совокупности. Таким образом, наше знание относительно всех таких совокупностей может быть получено только из определения по интенсии.

Эти замечания актуальны, когда мы ищем определение числа, тремя различными способами. Во-первых, сами числа образуют бесконечную совокупность и поэтому не могут быть определены путем перечисления. Во-вторых, совокупности, имеющие данное число членов, сами, по-видимому, образуют бесконечную совокупность: следует предполагать, например, что в мире существует бесконечная совокупность трио, ибо если бы это было не так, общее число вещей в мире было бы конечным, что, хотя и возможно, кажется маловероятным. В-третьих, мы хотим определить «число» таким образом, чтобы бесконечные числа были возможны; таким образом, мы должны иметь возможность говорить о числе членов в бесконечной совокупности, и такая совокупность должна быть определена по интенсии, т. е. свойством, общим для всех ее членов и присущим только им.

Для многих целей класс и определяющая его характеристика практически взаимозаменяемы. Жизненное различие между ними состоит в том, что существует только один класс, имеющий данный набор членов, тогда как всегда существует много различных характеристик, которыми может быть определен данный класс. Людей можно определить как двуногих без перьев, или как разумных животных, или (более правильно) по чертам, которыми Свифт описывает йеху. Именно тот факт, что определяющая характеристика никогда не бывает уникальной, делает классы полезными; иначе мы могли бы довольствоваться свойствами, общими и присущими их членам[4]. Любое из этих свойств можно использовать вместо класса, когда уникальность не важна.

[4] Как будет объяснено позже, классы можно рассматривать как логические фикции, созданные из определяющих характеристик. Но на данный момент упростит наше изложение рассмотрение классов так, как если бы они были реальными.

Возвращаясь теперь к определению числа, ясно, что число — это способ объединения определенных совокупностей, а именно тех, которые имеют данное число членов. Мы можем предположить, что все пары в одном пучке, все трио в другом и так далее. Таким образом, мы получаем различные пучки совокупностей, каждый пучок состоит из всех совокупностей, имеющих определенное число членов. Каждый пучок — это класс, членами которого являются совокупности, т. е. классы; таким образом, каждый — это класс классов. Пучок, состоящий из всех пар, например, — это класс классов: каждая пара — это класс с двумя членами, а весь пучок пар — это класс с бесконечным числом членов, каждый из которых является классом из двух членов.

Как мы решим, должны ли две совокупности принадлежать к одному и тому же пучку? Ответ, который напрашивается: «Выясните, сколько членов имеет каждая, и поместите их в один пучок, если они имеют одинаковое число членов». Но это предполагает, что мы определили числа и что мы знаем, как обнаружить, сколько членов имеет совокупность. Мы настолько привыкли к операции счета, что такое предположение могло бы легко остаться незамеченным. Фактически, однако, счет, хотя и знаком, логически является очень сложной операцией; более того, он доступен как средство обнаружения того, сколько членов имеет совокупность, только когда совокупность конечна. Наше определение числа не должно заранее предполагать, что все числа конечны; и мы не можем в любом случае, без порочного круга, использовать счет для определения чисел, потому что числа используются при счете. Нам нужен, следовательно, какой-то другой метод решения, когда две совокупности имеют одинаковое число членов.

На самом деле логически проще выяснить, имеют ли две совокупности одинаковое число членов, чем определить, что это за число. Иллюстрация сделает это ясным. Если бы в мире нигде не было полигамии или полиандрии, ясно, что число мужей, живущих в любой момент, было бы в точности таким же, как число жен. Нам не нужна перепись, чтобы убедиться в этом, и нам не нужно знать, каково фактическое число мужей и жен. Мы знаем, что число должно быть одинаковым в обеих совокупностях, потому что каждый муж имеет одну жену, а каждая жена имеет одного мужа. Отношение мужа и жены — это то, что называется «взаимно-однозначным».

Отношение называется «взаимно-однозначным», когда, если x имеет рассматриваемое отношение к y, никакой другой член x' не имеет того же отношения к y, и x не имеет того же отношения к какому-либо члену y' отличному от y. Когда выполняется только первое из этих двух условий, отношение называется «одно-многим»; когда выполняется только второе, оно называется «много-одно». Следует заметить, что число 1 не используется в этих определениях.

В христианских странах отношение мужа к жене взаимно-однозначно; в магометанских странах оно одно-многим; в Тибете оно много-одно. Отношение отца к сыну — одно-многим; отношение сына к отцу — много-одно, но отношение старшего сына к отцу — взаимно-однозначно. Если n — любое число, отношение n к n взаимно-однозначно; так же как отношение n к n+1 или к n-1. Когда мы рассматриваем только положительные числа, отношение n к n^2 взаимно-однозначно; но когда допускаются отрицательные числа, оно становится два-одно, поскольку n и -n имеют один и тот же квадрат. Этих примеров должно быть достаточно, чтобы прояснить понятия взаимно-однозначных, одно-многих и много-однозначных отношений, которые играют большую роль в принципах математики не только в отношении определения чисел, но и во многих других связях.

Два класса называются «подобными», когда существует взаимно-однозначное отношение, которое соотносит члены одного класса каждый с одним членом другого класса, таким же образом, каким отношение брака соотносит мужей с женами. Несколько предварительных определений помогут нам сформулировать это определение более точно. Класс тех членов, которые имеют данное отношение к чему-либо, называется доменом этого отношения: таким образом, отцы — это домен отношения отца к ребенку, мужья — это домен отношения мужа к жене, жены — это домен отношения жены к мужу, а мужья и жены вместе — это домен отношения брака. Отношение жены к мужу называется обратным по отношению к отношению мужа к жене. Аналогично «меньше» — это обратное отношение к «больше», «позже» — обратное к «раньше» и так далее. Вообще, обратное отношение к данному — это то отношение, которое имеет место между y и x всякий раз, когда данное отношение имеет место между x и y. Обратный домен отношения — это домен его обратного отношения: таким образом, класс жен — это обратный домен отношения мужа к жене. Теперь мы можем сформулировать наше определение подобия следующим образом:

Один класс называется «подобным» другому, когда существует взаимно-однозначное отношение, доменом которого является один класс, а обратным доменом — другой.

Легко доказать (1) что каждый класс подобен самому себе, (2) что если класс A подобен классу B, то B подобен A, (3) что если A подобен B и B подобен C, то A подобен C. Отношение называется рефлексивным, когда оно обладает первым из этих свойств, симметричным, когда оно обладает вторым, и транзитивным, когда оно обладает третьим. Очевидно, что отношение, которое является симметричным и транзитивным, должно быть рефлексивным во всем своем домене. Отношения, обладающие этими свойствами, являются важным видом, и стоит отметить, что подобие — одно из таких отношений.

Здравому смыслу очевидно, что две конечные совокупности имеют одинаковое число членов, если они подобны, но не иначе. Акт счета состоит в установлении взаимно-однозначного соответствия между набором объектов, которые считают, и натуральными числами (исключая 0), которые используются в процессе. Соответственно, здравый смысл заключает, что в наборе, который нужно посчитать, столько же объектов, сколько чисел до последнего числа, использованного при счете. И мы также знаем, что, пока мы ограничиваемся конечными числами, существует ровно n чисел от 1 до n. Отсюда следует, что последнее число, использованное при счете совокупности, — это число членов в совокупности, при условии, что совокупность конечна. Но этот результат, помимо того, что применим только к конечным совокупностям, зависит от того факта, что два класса, которые подобны, имеют одинаковое число членов, и предполагает его; ибо то, что мы делаем, когда считаем (скажем) 10 объектов, — это показываем, что набор этих объектов подобен набору чисел от 1 до 10. Понятие подобия логически предполагается в операции счета и логически проще, хотя и менее знакомо. При счете необходимо брать объекты, которые считают, в определенном порядке, как первый, второй, третий и т. д., но порядок не является сущностью числа: это несущественное дополнение, ненужное усложнение с логической точки зрения. Понятие подобия не требует порядка: например, мы видели, что число мужей такое же, как число жен, без необходимости устанавливать порядок старшинства между ними. Понятие подобия также не требует, чтобы классы, которые подобны, были конечными. Возьмем, например, натуральные числа (исключая 0) с одной стороны и дроби, у которых 1 является числителем, с другой стороны: очевидно, что мы можем соотнести 2 с 1/2, 3 с 1/3 и так далее, тем самым доказывая, что два класса подобны.

Мы можем, таким образом, использовать понятие «подобия», чтобы решить, когда две совокупности должны принадлежать к одному и тому же пучку, в том смысле, в котором мы задавали этот вопрос ранее в этой главе. Мы хотим сделать один пучок, содержащий класс, который не имеет членов: это будет для числа 0. Затем мы хотим пучок всех классов, которые имеют один член: это будет для числа 1. Затем, для числа 2, мы хотим пучок, состоящий из всех пар; затем один из всех трио; и так далее. Имея любую совокупность, мы можем определить пучок, к которому она должна принадлежать, как класс всех тех совокупностей, которые «подобны» ей. Очень легко увидеть, что если (например) совокупность имеет три члена, класс всех тех совокупностей, которые подобны ей, будет классом трио. И какое бы число членов ни имела совокупность, те совокупности, которые «подобны» ей, будут иметь одинаковое число членов. Мы можем принять это как определение «иметь одинаковое число членов». Очевидно, что оно дает результаты, соответствующие употреблению, пока мы ограничиваемся конечными совокупностями.

До сих пор мы не предложили ничего, что было бы хоть в малейшей степени парадоксальным. Но когда мы переходим к фактическому определению чисел, мы не можем избежать того, что на первый взгляд должно казаться парадоксом, хотя это впечатление скоро пройдет. Мы естественно думаем, что класс пар (например) — это нечто отличное от числа 2. Но нет никаких сомнений относительно класса пар: он несомненен и его несложно определить, тогда как число 2 в любом другом смысле — это метафизическая сущность, о которой мы никогда не можем быть уверены, что она существует или что мы ее выследили. Поэтому благоразумнее довольствоваться классом пар, в котором мы уверены, чем охотиться за проблематичным числом 2, которое всегда должно оставаться неуловимым. Соответственно, мы устанавливаем следующее определение:

Число класса — это класс всех тех классов, которые подобны ему.

Таким образом, число пары будет классом всех пар. Фактически, класс всех пар будет числом 2 согласно нашему определению. Ценой небольшой странности это определение обеспечивает определенность и несомненность; и нетрудно доказать, что числа, определенные таким образом, обладают всеми свойствами, которые мы ожидаем от чисел.

Теперь мы можем перейти к определению чисел в общем как любого из пучков, в которые подобие собирает классы. Число будет набором классов таким, что любые два подобны друг другу, и никто вне набора не подобен никому внутри набора. Иными словами, число (в общем) — это любая совокупность, которая является числом одного из своих членов; или, еще проще:

Число — это что угодно, что является числом некоторого класса.

Такое определение имеет словесный вид кругового, но на самом деле это не так. Мы определяем «число данного класса» без использования понятия числа в общем; поэтому мы можем определить число в общем в терминах «числа данного класса», не совершая никакой логической ошибки.

Определения такого рода на самом деле очень распространены. Класс отцов, например, пришлось бы определять, сначала определив, что значит быть отцом кого-то; тогда класс отцов — это все те, кто является чьим-то отцом. Аналогично, если мы хотим определить квадратные числа (скажем), мы должны сначала определить, что мы подразумеваем, говоря, что одно число является квадратом другого, а затем определить квадратные числа как те, которые являются квадратами других чисел. Такой порядок действий очень распространен, и важно осознать, что он законен и даже часто необходим.

Теперь мы дали определение чисел, которое послужит для конечных совокупностей. Остается увидеть, как оно послужит для бесконечных совокупностей. Но сначала мы должны решить, что мы подразумеваем под «конечным» и «бесконечным», что нельзя сделать в рамках настоящей главы.

ГЛАВА III КОНЕЧНОСТЬ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

Ряд натуральных чисел, как мы видели в Главе I, может быть полностью определен, если мы знаем, что подразумеваем под тремя терминами «0», «число» и «преемник». Но мы можем пойти на шаг дальше: мы можем определить все натуральные числа, если знаем, что подразумеваем под «0» и «преемником». Это поможет нам понять разницу между конечным и бесконечным, увидеть, как это можно сделать и почему метод, которым это делается, нельзя распространить за пределы конечного. Мы пока не будем рассматривать, как должны быть определены «0» и «преемник»: мы на данный момент предположим, что знаем, что означают эти термины, и покажем, как отсюда могут быть получены все остальные натуральные числа.

Легко увидеть, что мы можем достичь любого заданного числа, скажем 30 000. Мы сначала определяем «1» как «преемник 0», затем определяем «2» как «преемник 1» и так далее. В случае заданного числа, такого как 30 000, доказательство того, что мы можем достичь его, продвигаясь шаг за шагом таким образом, может быть сделано, если у нас хватит терпения, путем фактического эксперимента: мы можем продолжать, пока действительно не придем к 30 000. Но хотя метод эксперимента доступен для каждого конкретного натурального числа, он не доступен для доказательства общего положения, что всех таких чисел можно достичь таким образом, т. е. продвигаясь от 0 шаг за шагом от каждого числа к его преемнику. Есть ли какой-либо другой способ, которым это можно доказать?

Рассмотрим этот вопрос с другой стороны. Какие числа можно получить, имея термины «0» и «последующий»? Существует ли какой-либо способ определить весь класс таких чисел? Мы получаем 1 как последующее 0; 2 как последующее 1; 3 как последующее 2 и так далее. Именно это «и так далее» мы хотим заменить чем-то менее расплывчатым и неопределенным. У нас может возникнуть искушение сказать, что «и так далее» означает, что процесс перехода к последующему может быть повторен конечное число раз; но проблема, которой мы занимаемся, — это проблема определения «конечного числа», и поэтому мы не должны использовать это понятие в нашем определении. Наше определение не должно предполагать, что мы знаем, что такое конечное число.

Ключ к нашей проблеме лежит в математической индукции. Напомним, что в главе I это было пятое из пяти примитивных предложений, которые мы сформулировали относительно натуральных чисел. Оно гласило, что любое свойство, принадлежащее 0 и последующему любого числа, обладающего этим свойством, принадлежит всем натуральным числам. Тогда это было представлено как принцип, но теперь мы примем его в качестве определения. Нетрудно заметить, что термины, подчиняющиеся ему, — это те же самые числа, которые можно получить из 0 путем последовательных шагов от одного к другому, но, поскольку этот момент важен, мы изложим его более подробно.

Нам следует начать с некоторых определений, которые будут полезны и в других контекстах.

Свойство называется «наследственным» в ряду натуральных чисел, если всякий раз, когда оно принадлежит числу n, оно также принадлежит n', последующему числа n. Аналогично, класс называется «наследственным», если всякий раз, когда n является членом класса, таковым является и n'. Легко видеть, хотя мы еще не должны этого знать, что сказать, что свойство является наследственным, — это то же самое, что сказать, что оно принадлежит всем натуральным числам, не меньшим некоторого одного из них; например, оно должно принадлежать всем, которые не меньше 100, или всем, которые не меньше 1000, или, возможно, оно принадлежит всем, которые не меньше 0, т. е. всем без исключения.

Свойство называется «индуктивным», когда оно является наследственным свойством, принадлежащим 0. Аналогично, класс является «индуктивным», когда он представляет собой наследственный класс, членом которого является 0.

Если дан наследственный класс, членом которого является 0, то из этого следует, что 1 является его членом, поскольку наследственный класс содержит последующие своих членов, а 1 — это последующее 0. Аналогично, если дан наследственный класс, членом которого является 1, то из этого следует, что 2 является его членом; и так далее. Таким образом, мы можем доказать с помощью пошаговой процедуры, что любое заданное натуральное число, скажем 30 000, является членом каждого индуктивного класса.

Мы определим «потомство» данного натурального числа по отношению к отношению «непосредственно предшествующее» (которое является обратным отношению «последующее») как все те члены, которые принадлежат каждому наследственному классу, к которому принадлежит данное число. Опять же легко видеть, что потомство натурального числа состоит из него самого и всех больших натуральных чисел; но этого мы также пока официально не знаем.

Согласно приведенным выше определениям, потомство 0 будет состоять из тех членов, которые принадлежат каждому индуктивному классу.

Теперь нетрудно сделать очевидным, что потомство 0 — это то же самое множество, что и те члены, которые могут быть получены из 0 путем последовательных шагов от одного к другому. Ибо, во-первых, 0 принадлежит обоим этим множествам (в том смысле, в каком мы определили наши термины); во-вторых, если n принадлежит обоим множествам, то и n' также принадлежит им. Следует заметить, что мы имеем здесь дело с такого рода материей, которая не допускает точного доказательства, а именно со сравнением относительно расплывчатой идеи с относительно точной. Понятие «тех членов, которые могут быть получены из 0 путем последовательных шагов от одного к другому» расплывчато, хотя и кажется, что оно передает определенный смысл; с другой стороны, «потомство 0» точно и эксплицитно именно там, где другое понятие туманно. Это можно принять за то, что мы имели в виду, когда говорили о членах, которые могут быть получены из 0 путем последовательных шагов.

Теперь мы вводим следующее определение:

«Натуральные числа» — это потомство 0 по отношению к отношению «непосредственно предшествующее» (которое является обратным отношению «последующее»).

Таким образом, мы пришли к определению одной из трех примитивных идей Пеано через две другие. В результате этого определения два из его примитивных предложений — а именно то, которое утверждает, что 0 является числом, и то, которое утверждает математическую индукцию, — становятся ненужными, поскольку они вытекают из определения. То, которое утверждает, что последующее натурального числа является натуральным числом, необходимо только в ослабленной форме: «каждое натуральное число имеет последующее».

Мы, конечно, можем легко определить «0» и «последующее» с помощью определения числа в целом, к которому мы пришли в главе II. Число 0 — это число членов в классе, который не имеет членов, т. е. в классе, который называется «нулевым классом». Согласно общему определению числа, число членов в нулевом классе — это множество всех классов, подобных нулевому классу, т. е. (как легко доказать) множество, состоящее только из нулевого класса, т. е. класс, единственным членом которого является нулевой класс. (Это не тождественно нулевому классу: он имеет один член, а именно нулевой класс, тогда как сам нулевой класс не имеет членов. Класс, который имеет один член, никогда не тождественен этому одному члену, как мы объясним, когда перейдем к теории классов.) Таким образом, мы имеем следующее чисто логическое определение:

0 — это класс, единственным членом которого является нулевой класс.

Остается определить «последующее». Пусть дана любая число n, пусть α — класс, который имеет n членов, и пусть x — член, который не является членом α. Тогда класс, состоящий из α с добавленным x, будет иметь n' членов. Таким образом, мы имеем следующее определение:

Последующее числа членов в классе α — это число членов в классе, состоящем из α вместе с x, где x — любой член, не принадлежащий классу α.

Для того чтобы сделать это определение совершенным, требуются некоторые тонкости, но они не должны нас беспокоить.[5] Напомним, что мы уже дали (в главе II) логическое определение числа членов в классе, а именно: мы определили его как множество всех классов, которые подобны данному классу.

[5] См. Principia Mathematica, том II, * 110.

Таким образом, мы свели три примитивные идеи Пеано к идеям логики: мы дали им определения, которые делают их определенными, более не способными к бесконечному множеству различных значений, какими они были, когда они были детерминированы лишь в той мере, в какой они подчинялись пяти аксиомам Пеано. Мы удалили их из фундаментального аппарата терминов, которые должны быть просто восприняты, и тем самым увеличили дедуктивную артикуляцию математики.

Что касается пяти примитивных предложений, нам уже удалось сделать два из них доказуемыми с помощью нашего определения «натурального числа». Как обстоят дела с оставшимися тремя? Очень легко доказать, что 0 не является последующим никакого числа и что последующее любого числа является числом. Но существует трудность с оставшимся примитивным предложением, а именно: «никакие два числа не имеют одинакового последующего». Трудность не возникает, если только общее число индивидов во вселенной не является конечным; ибо, если даны два числа n и m, ни одно из которых не является общим числом индивидов во вселенной, легко доказать, что мы не можем иметь n' = m', если не имеем n = m. Но предположим, что общее число индивидов во вселенной равно (скажем) 10; тогда не было бы класса из 11 индивидов, и число 11 было бы нулевым классом. Таким же было бы и число 12. Таким образом, мы имели бы 11 = 12; следовательно, последующее 10 было бы тем же самым, что и последующее 11, хотя 10 не было бы тем же самым, что 11. Таким образом, мы имели бы два разных числа с одним и тем же последующим. Этот отказ третьей аксиомы, однако, не может возникнуть, если число индивидов в мире не является конечным. Мы вернемся к этой теме на более позднем этапе.[6]

[6] См. главу XIII.

Предполагая, что число индивидов во вселенной не является конечным, мы теперь преуспели не только в определении трех примитивных идей Пеано, но и в том, чтобы увидеть, как доказать его пять примитивных предложений с помощью примитивных идей и предложений, принадлежащих логике. Отсюда следует, что вся чистая математика, поскольку она выводима из теории натуральных чисел, является лишь продолжением логики. Распространение этого результата на те современные разделы математики, которые не выводимы из теории натуральных чисел, не представляет никаких принципиальных трудностей, как мы показали в другом месте.[7]

[7] О геометрии, поскольку она не является чисто аналитической, см. Principles of Mathematics, часть VI; о рациональной динамике — там же, часть VII.

Процесс математической индукции, с помощью которого мы определили натуральные числа, поддается обобщению. Мы определили натуральные числа как «потомство» 0 по отношению к отношению числа к его непосредственному последующему. Если мы назовем это отношение R, любое число n будет иметь это отношение к n'. Свойство является «наследственным по отношению к R», или просто «R-наследственным», если всякий раз, когда свойство принадлежит числу n, оно также принадлежит n', т. е. числу, к которому n имеет отношение R. И число m будет называться принадлежащим к «потомству» n по отношению к отношению R, если m обладает каждым R-наследственным свойством, принадлежащим n. Эти определения могут быть применены к любому другому отношению точно так же, как и к R. Таким образом, если R — любое отношение вообще, мы можем сформулировать следующие определения:[8]

[8] Эти определения и обобщенная теория индукции принадлежат Готлобу Фреге и были опубликованы еще в 1879 году в его Begriffsschrift. Несмотря на огромную ценность этой работы, я, полагаю, был первым человеком, который когда-либо читал ее — более чем через двадцать лет после ее публикации.

Свойство называется «R-наследственным», когда, если оно принадлежит члену x и x имеет отношение R к y, то оно принадлежит y.

Класс является R-наследственным, когда его определяющее свойство является R-наследственным.

Член x называется «R-предком» члена y, если y обладает каждым R-наследственным свойством, которым обладает x, при условии, что x — это член, который имеет отношение R к чему-либо или к которому что-либо имеет отношение R. (Это лишь для исключения тривиальных случаев.)

«R-потомство» x — это все те члены y, для которых x является R-предком.

Мы сформулировали приведенные выше определения так, что если член является предком чего-либо, он является своим собственным предком и принадлежит к своему собственному потомству. Это сделано исключительно для удобства.

Заметим, что если мы возьмем в качестве R отношение «родитель», то «предок» и «потомство» будут иметь обычные значения, за исключением того, что человек будет включен в число своих собственных предков и потомков. Конечно, сразу очевидно, что «предок» должен быть определим через «родителя», но до тех пор, пока Фреге не разработал свою обобщенную теорию индукции, никто не мог точно определить «предка» через «родителя». Краткое рассмотрение этого момента послужит демонстрацией важности теории. Человек, впервые столкнувшийся с проблемой определения «предка» через «родителя», естественно сказал бы, что x является предком y, если между x и y находится определенное число людей, z1, z2, ..., zn, из которых x является родителем z1, каждый zi является родителем следующего, вплоть до последнего zn, который является родителем y. Но это определение не является адекватным, если мы не добавим, что число промежуточных членов должно быть конечным. Возьмем, например, такой ряд: ... -1/2, -1/3, -1/4, 1/4, 1/3, 1/2 ... Здесь у нас сначала ряд отрицательных дробей без конца, а затем ряд положительных дробей без начала. Скажем ли мы, что в этом ряду -1/4 является предком 1/4? Это будет так согласно определению новичка, предложенному выше, но это не будет так согласно любому определению, которое даст тот тип идеи, который мы хотим определить. Для этой цели существенно, чтобы число посредников было конечным. Но, как мы видели, «конечное» должно быть определено с помощью математической индукции, и проще определить отношение предка в общем виде сразу, чем определять его сначала только для случая отношения n к n', а затем распространять на другие случаи. Здесь, как и постоянно в других местах, общность с самого начала, хотя она и может потребовать больше размышлений вначале, в конечном счете сэкономит мышление и увеличит логическую мощь.

Использование математической индукции в доказательствах в прошлом было своего рода загадкой. Казалось, нет разумных сомнений в том, что это был обоснованный метод доказательства, но никто точно не знал, почему он обоснован. Некоторые полагали, что это действительно случай индукции в том смысле, в котором это слово используется в логике. Пуанкаре[9] считал его принципом величайшей важности, с помощью которого бесконечное число силлогизмов могло быть сжато в один аргумент. Мы теперь знаем, что все такие взгляды ошибочны и что математическая индукция — это определение, а не принцип. Существуют некоторые числа, к которым она может быть применена, и есть другие (как мы увидим в главе VIII), к которым она не может быть применена. Мы определяем «натуральные числа» как те, к которым могут быть применены доказательства с помощью математической индукции, т. е. как те, которые обладают всеми индуктивными свойствами. Отсюда следует, что такие доказательства могут быть применены к натуральным числам не в силу какой-либо таинственной интуиции, аксиомы или принципа, а как чисто вербальное предложение. Если «четвероногие» определяются как животные, имеющие четыре ноги, то из этого будет следовать, что животные, которые имеют четыре ноги, являются четвероногими; и случай чисел, которые подчиняются математической индукции, точно такой же.

[9] Science and Method, гл. IV.

Мы будем использовать фразу «индуктивные числа» для обозначения того же множества, о котором мы до сих пор говорили как о «натуральных числах». Фраза «индуктивные числа» предпочтительнее, поскольку она служит напоминанием о том, что определение этого множества чисел получено из математической индукции.

Математическая индукция дает, больше чем что-либо другое, существенную характеристику, по которой конечное отличается от бесконечного. Принцип математической индукции можно было бы сформулировать популярно в такой форме: «то, что можно вывести от одного к другому, можно вывести от первого до последнего». Это верно, когда число промежуточных шагов между первым и последним конечно, но не иначе. Любой, кто когда-либо наблюдал, как начинает движение товарный поезд, замечал, как импульс передается с рывком от каждого вагона к следующему, пока, наконец, даже самый последний вагон не придет в движение. Когда поезд очень длинный, проходит очень много времени, прежде чем сдвинется последний вагон. Если бы поезд был бесконечно длинным, была бы бесконечная последовательность рывков, и время, когда весь поезд пришел бы в движение, никогда бы не наступило. Тем не менее, если бы существовал ряд вагонов не длиннее, чем ряд индуктивных чисел (который, как мы увидим, является примером наименьшей из бесконечностей), каждый вагон рано или поздно начал бы движение, если бы локомотив продолжал тянуть, хотя всегда оставались бы другие вагоны дальше позади, которые еще не начали движение. Этот образ поможет прояснить аргумент от одного к другому и его связь с конечностью. Когда мы перейдем к бесконечным числам, где аргументы от математической индукции будут уже недействительны, свойства таких чисел помогут прояснить, по контрасту, почти бессознательное использование математической индукции там, где речь идет о конечных числах.

ГЛАВА IV ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОРЯДКА

Мы довели наш анализ ряда натуральных чисел до точки, в которой получили логические определения членов этого ряда, всего класса его членов и отношения числа к его непосредственному последующему. Теперь мы должны рассмотреть сериальный характер натуральных чисел в порядке 0, 1, 2, 3,.... Мы обычно думаем о числах как находящихся в этом порядке, и существенной частью работы по анализу наших данных является поиск определения «порядка» или «ряда» в логических терминах.

Понятие порядка имеет огромное значение в математике. Не только целые числа, но и рациональные дроби и все вещественные числа имеют порядок величины, и это существенно для большинства их математических свойств. Порядок точек на прямой существенен для геометрии; так же как и несколько более сложный порядок линий, проходящих через точку на плоскости, или плоскостей, проходящих через линию. Измерения в геометрии являются развитием порядка. Концепция предела, которая лежит в основе всей высшей математики, является сериальной концепцией. Существуют разделы математики, которые не зависят от понятия порядка, но их очень мало по сравнению с теми разделами, в которых это понятие задействовано.

При поиске определения порядка первое, что нужно осознать, — это то, что ни одно множество членов не имеет только один порядок в исключение других. Множество членов имеет все порядки, на которые оно способно. Иногда один порядок настолько более привычен и естественен для наших мыслей, что мы склонны рассматривать его как порядок этого множества членов; но это ошибка. Натуральные числа — или «индуктивные» числа, как мы будем их также называть — приходят нам на ум легче всего в порядке величины; но они способны на бесконечное число других расположений. Мы могли бы, например, рассмотреть сначала все нечетные числа, а затем все четные числа; или сначала 1, затем все четные числа, затем все нечетные кратные 3, затем все кратные 5, но не 2 или 3, затем все кратные 7, но не 2, 3 или 5, и так далее через весь ряд простых чисел. Когда мы говорим, что мы «располагаем» числа в этих различных порядках, это неточное выражение: на самом деле мы обращаем свое внимание на определенные отношения между натуральными числами, которые сами по себе порождают такое-то расположение. Мы не можем «расположить» натуральные числа больше, чем звездное небо; но точно так же, как мы можем заметить среди неподвижных звезд либо их порядок по яркости, либо их распределение на небе, так существуют различные отношения между числами, которые могут быть наблюдаемы и которые порождают различные порядки среди чисел, все одинаково законные. И то, что верно для чисел, одинаково верно для точек на прямой или моментов времени: один порядок более привычен, но другие одинаково обоснованы. Мы могли бы, например, взять сначала на прямой все точки, имеющие целые координаты, затем все те, которые имеют нецелые рациональные координаты, затем все те, которые имеют алгебраические нерациональные координаты, и так далее, через любой набор усложнений, какой мы пожелаем. Результирующий порядок будет тем, который точки прямой, безусловно, имеют, независимо от того, выберем ли мы его заметить или нет; единственное, что является произвольным в различных порядках множества членов, — это наше внимание, ибо сами члены всегда имеют все порядки, на которые они способны.

Одним важным результатом этого рассмотрения является то, что мы не должны искать определение порядка в природе множества упорядочиваемых членов, поскольку одно множество членов имеет много порядков. Порядок заключается не в классе членов, а в отношении между членами класса, в отношении которого одни представляются как более ранние, а другие как более поздние. Тот факт, что класс может иметь много порядков, обусловлен тем, что между членами одного и того же класса может существовать много отношений. Какими свойствами должно обладать отношение, чтобы породить порядок?

Существенные характеристики отношения, которое должно породить порядок, могут быть обнаружены при рассмотрении того, что в отношении такого рода мы должны быть в состоянии сказать о любых двух членах класса, который должен быть упорядочен, что один «предшествует», а другой «следует». Теперь, чтобы мы могли использовать эти слова так, как мы бы их естественно понимали, нам требуется, чтобы упорядочивающее отношение обладало тремя свойствами:

(1) Если x предшествует y, то y не должен также предшествовать x. Это очевидная характеристика рода отношений, которые ведут к рядам. Если x меньше y, то y не является также меньше x. Если x раньше по времени, чем y, то y не является также раньше x. Если x находится слева от y, то y не находится слева от x. С другой стороны, отношения, которые не порождают ряды, часто не обладают этим свойством. Если x — брат или сестра y, то y — брат или сестра x. Если x того же роста, что y, то y того же роста, что x. Если x другого роста, чем y, то y другого роста, чем x. Во всех этих случаях, когда отношение имеет место между x и y, оно также имеет место между y и x. Но с сериальными отношениями такое произойти не может. Отношение, обладающее этим первым свойством, называется асимметричным.

(2) Если x предшествует y и y предшествует z, то x должен предшествовать z. Это может быть проиллюстрировано теми же примерами, что и раньше: «меньше», «раньше», «слева от». Но в качестве примеров отношений, которые не обладают этим свойством, послужат только два из наших предыдущих трех примеров. Если x — брат или сестра y, а y — z, то x может не быть братом или сестрой z, поскольку x и z могут быть одним и тем же лицом. То же самое относится к разнице в росте, но не к одинаковости роста, которая обладает нашим вторым свойством, но не первым. Отношение «отец», с другой стороны, обладает нашим первым свойством, но не вторым. Отношение, обладающее нашим вторым свойством, называется транзитивным.

(3) Если даны любые два члена класса, который должен быть упорядочен, должен быть один, который предшествует, и другой, который следует. Например, из любых двух целых чисел, или дробей, или вещественных чисел одно меньше, а другое больше; но из любых двух комплексных чисел это неверно. Из любых двух моментов времени один должен быть раньше другого; но о событиях, которые могут быть одновременными, этого сказать нельзя. Из двух точек на прямой одна должна быть слева от другой. Отношение, обладающее этим третьим свойством, называется связным.

Когда отношение обладает этими тремя свойствами, оно является такого рода, который порождает порядок среди членов, между которыми оно имеет место; и везде, где существует порядок, можно найти некоторое отношение, обладающее этими тремя свойствами, которое его порождает.

Прежде чем иллюстрировать этот тезис, мы введем несколько определений.

(1) Отношение называется алиорелятивным[10] или содержащимся в разнообразии, или подразумевающим разнообразие, если ни один член не имеет этого отношения к самому себе. Таким образом, например, «больше», «различный по размеру», «брат», «муж», «отец» являются алиорелятивными; но «равный», «рожденный от тех же родителей», «дорогой друг» — нет.

[10] Этот термин принадлежит Ч. С. Пирсу.

(2) Квадрат отношения — это то отношение, которое имеет место между двумя членами x и z, когда существует промежуточный член y такой, что данное отношение имеет место между x и y и между y и z. Таким образом, «дед по отцу» — это квадрат «отца», «больше на 2» — это квадрат «больше на 1» и так далее.

(3) Область отношения состоит из всех тех членов, которые имеют отношение к чему-либо, а обратная область состоит из всех тех членов, к которым что-либо имеет отношение. Эти слова уже были определены, но напоминаются здесь ради следующего определения:

(4) Поле отношения состоит из его области и обратной области вместе взятых.

(5) Одно отношение называется содержащим или подразумеваемым другим, если оно имеет место всякий раз, когда имеет место другое.

Видно, что асимметричное отношение — это то же самое, что отношение, квадрат которого является алиорелятивным. Часто случается, что отношение является алиорелятивным, не будучи асимметричным, хотя асимметричное отношение всегда является алиорелятивным. Например, «супруг» — это алиорелятивное отношение, но оно симметрично, поскольку если x — супруг y, то y — супруг x. Но среди транзитивных отношений все алиорелятивные отношения являются асимметричными, и наоборот.

Из определений видно, что транзитивное отношение — это такое, которое подразумевается своим квадратом, или, как мы также говорим, «содержит» свой квадрат. Таким образом, «предок» транзитивен, потому что предок предка является предком; но «отец» не транзитивен, потому что отец отца не является отцом. Транзитивное алиорелятивное отношение — это такое, которое содержит свой квадрат и содержится в разнообразии; или, что сводится к тому же, такое, чей квадрат подразумевает как его самого, так и разнообразие — потому что, когда отношение транзитивно, асимметрия эквивалентна тому, чтобы быть алиорелятивным.

Отношение является связным, когда, если даны любые два различных члена его поля, отношение имеет место между первым и вторым или между вторым и первым (не исключая возможности того, что могут иметь место оба, хотя оба не могут иметь место, если отношение асимметрично).

Видно, что отношение «предок», например, является алиорелятивным и транзитивным, но не связным; именно потому, что оно не связно, его недостаточно для того, чтобы расположить человеческий род в ряд.

Отношение «меньше или равно» среди чисел является транзитивным и связным, но не асимметричным или алиорелятивным.

Отношение «больше или меньше» среди чисел является алиорелятивным и связным, но не транзитивным, ибо если x больше или меньше y, а y больше или меньше z, может случиться, что x и z — одно и то же число.

Таким образом, три свойства: (1) быть алиорелятивным, (2) быть транзитивным и (3) быть связным — взаимно независимы, поскольку отношение может обладать любыми двумя, не обладая третьим.

Теперь мы вводим следующее определение:

Отношение является сериальным, когда оно алиорелятивно, транзитивно и связно; или, что эквивалентно, когда оно асимметрично, транзитивно и связно.

Ряд — это то же самое, что сериальное отношение.

Можно было бы подумать, что ряд должен быть полем сериального отношения, а не самим сериальным отношением. Но это было бы ошибкой. Например, 6 различных способов упорядочить 6 членов — это шесть различных рядов, которые все имеют одно и то же поле. Если бы поле было рядом, существовал бы только один ряд с данным полем. Что отличает вышеуказанные шесть рядов, так это просто различные упорядочивающие отношения в шести случаях. Если дано упорядочивающее отношение, поле и порядок оба детерминированы. Таким образом, упорядочивающее отношение может быть принято за ряд, но поле не может быть так принято.

Если дано любое сериальное отношение, скажем R, мы скажем, что в отношении к этому отношению x «предшествует» y, если x имеет отношение R к y, что мы будем записывать для краткости «xRy». Три характеристики, которыми R должен обладать, чтобы быть сериальным, следующие:

(1) Мы никогда не должны иметь xRx, т. е. никакой член не должен предшествовать самому себе.

(2) R должно подразумевать R^2, т. е. если x предшествует y и y предшествует z, x должен предшествовать z.

(3) Если x и y — два различных члена в поле R, мы должны иметь xRy или yRx, т. е. один из двух должен предшествовать другому.

Читатель может легко убедиться, что там, где эти три свойства обнаруживаются в упорядочивающем отношении, характеристики, которые мы ожидаем от рядов, также будут обнаружены, и наоборот. Мы поэтому оправданы в принятии вышеизложенного в качестве определения порядка или ряда. И будет замечено, что определение осуществляется в чисто логических терминах.

Хотя транзитивное асимметричное связное отношение всегда существует везде, где есть ряд, это не всегда отношение, которое наиболее естественно рассматривалось бы как порождающее ряд. Ряд натуральных чисел может послужить иллюстрацией. Отношение, которое мы предположили при рассмотрении натуральных чисел, было отношением непосредственного следования, т. е. отношением между последовательными целыми числами. Это отношение асимметрично, но не транзитивно или связно. Мы можем, однако, вывести из него, методом математической индукции, «предковое» отношение, которое мы рассматривали в предыдущей главе. Это отношение будет тем же самым, что и «меньше или равно» среди индуктивных целых чисел. Для целей порождения ряда натуральных чисел нам нужно отношение «меньше», исключая «равно». Это отношение x к y, когда x является предком y, но не тождественен y, или (что сводится к тому же), когда последующее x является предком y в том смысле, в каком число является своим собственным предком. То есть мы сформулируем следующее определение:

Индуктивное число x называется меньшим, чем другое число y, когда y обладает каждым наследственным свойством, которым обладает последующее x.

Легко видеть и нетрудно доказать, что отношение «меньше», определенное таким образом, является асимметричным, транзитивным и связным, и имеет индуктивные числа в качестве своего поля. Таким образом, с помощью этого отношения индуктивные числа приобретают порядок в том смысле, в каком мы определили термин «порядок», и этот порядок является так называемым «естественным» порядком, или порядком величины.

Порождение рядов с помощью отношений, более или менее напоминающих отношение n к n', очень распространено. Ряд королей Англии, например, порождается отношениями каждого к его преемнику. Это, вероятно, самый простой способ, где он применим, концептуализации порождения ряда. В этом методе мы переходим от каждого члена к следующему, пока есть следующий, или назад к предыдущему, пока есть предыдущий. Этот метод всегда требует обобщенной формы математической индукции, чтобы позволить нам определить «раньше» и «позже» в ряду, порожденном таким образом. По аналогии с «правильными дробями» дадим название «собственное потомство x по отношению к R» классу тех членов, которые принадлежат к R-потомству некоторого члена, к которому x имеет отношение R, в том смысле, который мы дали ранее «потомству», которое включает член в его собственное потомство. Возвращаясь к фундаментальным определениям, мы находим, что «собственное потомство» может быть определено следующим образом:

«Собственное потомство» x по отношению к R состоит из всех членов, которые обладают каждым R-наследственным свойством, которым обладает каждый член, к которому x имеет отношение R.

Следует заметить, что это определение должно быть сформулировано так, чтобы быть применимым не только тогда, когда есть только один член, к которому x имеет отношение R, но также в случаях (как, например, случай отца и ребенка), где может быть много членов, к которым x имеет отношение R. Мы определяем далее:

Член x является «собственным предком» y по отношению к R, если y принадлежит к собственному потомству x по отношению к R.

Мы будем говорить для краткости «R-потомство» и «R-предки», когда эти термины кажутся более удобными.

Возвращаясь теперь к порождению рядов отношением между последовательными членами, мы видим, что, если этот метод должен быть возможен, отношение «собственный R-предок» должно быть алиорелятивным, транзитивным и связным. При каких обстоятельствах это произойдет? Оно всегда будет транзитивным: независимо от того, какого рода отношение R может быть, «R-предок» и «собственный R-предок» всегда являются транзитивными. Но только при определенных обстоятельствах оно будет алиорелятивным или связным. Рассмотрим, например, отношение к своему соседу слева за круглым обеденным столом, за которым сидят двенадцать человек. Если мы назовем это отношение R, собственное R-потомство человека состоит из всех, до кого можно добраться, обходя стол справа налево. Это включает всех за столом, включая самого человека, поскольку двенадцать шагов возвращают нас к нашей отправной точке. Таким образом, в таком случае, хотя отношение «собственный R-предок» связно и хотя само R является алиорелятивным, мы не получаем ряд, потому что «собственный R-предок» не является алиорелятивным. Именно по этой причине мы не можем сказать, что один человек идет раньше другого по отношению к отношению «справа от» или к его предковому производному.

Выше был пример, в котором предковое отношение было связным, но не содержалось в разнообразии. Пример, где оно содержится в разнообразии, но не связно, выведен из обычного смысла слова «предок». Если x — собственный предок y, x и y не могут быть одним и тем же лицом; но неверно, что из любых двух лиц один должен быть предком другого.

Вопрос об обстоятельствах, при которых ряды могут быть порождены предковыми отношениями, выведенными из отношений последовательности, часто важен. Некоторые из наиболее важных случаев следующие: Пусть R — отношение «многие-к-одному», и ограничим наше внимание потомством некоторого члена x. Когда оно так ограничено, отношение «собственный R-предок» должно быть связным; поэтому все, что остается для обеспечения его сериальности, — это то, чтобы оно содержалось в разнообразии. Это обобщение примера с обеденным столом. Другое обобщение состоит в том, чтобы взять R как отношение «один-к-одному» и включить предков x, а также потомков. Здесь опять же единственное условие, требуемое для обеспечения порождения ряда, — это то, чтобы отношение «собственный R-предок» содержалось в разнообразии.

Порождение порядка с помощью отношений последовательности, хотя и важно в своей сфере, менее обще, чем метод, который использует транзитивное отношение для определения порядка. В ряду часто случается, что между любыми двумя выбранными членами существует бесконечное число промежуточных членов, как бы близко они ни находились. Возьмем, например, дроби в порядке величины. Между любыми двумя дробями есть другие — например, среднее арифметическое этих двух. Следовательно, не существует такой вещи, как пара последовательных дробей. Если бы мы зависели от последовательности для определения порядка, мы не смогли бы определить порядок величины среди дробей. Но на самом деле отношения «больше» и «меньше» среди дробей не требуют порождения из отношений последовательности, и отношения «больше» и «меньше» среди дробей обладают тремя характеристиками, которые нам нужны для определения сериальных отношений. Во всех таких случаях порядок должен быть определен с помощью транзитивного отношения, поскольку только такое отношение способно перепрыгнуть через бесконечное число промежуточных членов. Метод последовательности, подобно методу счета для обнаружения числа коллекции, уместен для конечного; он может быть даже распространен на некоторые бесконечные ряды, а именно те, в которых, хотя общее число членов бесконечно, число членов между любыми двумя всегда конечно; но его не следует рассматривать как общий. Мало того, необходимо позаботиться о том, чтобы искоренить из воображения все привычки мышления, возникающие из предположения о его общности. Если этого не сделать, ряды, в которых нет последовательных членов, останутся трудными и загадочными. А такие ряды жизненно важны для понимания непрерывности, пространства, времени и движения.

Существует много способов, которыми могут быть порождены ряды, но все они зависят от нахождения или построения асимметричного транзитивного связного отношения. Некоторые из этих способов имеют значительную важность. Мы можем взять в качестве иллюстрации порождение рядов с помощью трехместного отношения, которое мы можем назвать «между». Этот метод очень полезен в геометрии и может послужить введением в отношения, имеющие более двух членов; лучше всего он вводится в связи с элементарной геометрией.

Если даны любые три точки на прямой в обычном пространстве, должна быть одна из них, которая находится между двумя другими. Это не будет случаем с точками на окружности или любой другой замкнутой кривой, потому что, если даны любые три точки на окружности, мы можем перемещаться от любой одной к любой другой, не проходя через третью. На самом деле, понятие «между» характерно для открытых рядов — или рядов в строгом смысле — в противоположность тому, что можно назвать «циклическими» рядами, где, как с людьми за обеденным столом, достаточное путешествие возвращает нас к нашей отправной точке. Это понятие «между» может быть выбрано в качестве фундаментального понятия обычной геометрии; но в настоящее время мы будем рассматривать только его применение к одной прямой линии и к упорядочиванию точек на прямой.[11] Взяв любые две точки a, b, линия ab состоит из трех частей (помимо самих a и b):

[11] Ср. Rivista di Matematica, IV, стр. 55 сл.; Principles of Mathematics, стр. 394 (§ 375).

(1) Точки между a и b.

(2) Точки x такие, что a находится между x и b.

(3) Точки x такие, что b находится между a и x.

Таким образом, линия ab может быть определена через отношение «между».

Для того чтобы это отношение «между» могло расположить точки линии в порядке слева направо, нам нужны определенные допущения, а именно следующие:

(1) Если что-то находится между a и b, a и b не тождественны.

(2) Все, что находится между a и b, также находится между b и a.

(3) Все, что находится между a и b, не тождественно a (ни, следовательно, b, в силу (2)).

(4) Если x находится между a и b, все, что находится между a и x, также находится между a и b.

(5) Если x находится между a и b и y находится между a и x, то y находится между a и b.

(6) Если x и y находятся между a и b, то либо x и y тождественны, либо x находится между a и y, либо y находится между a и x.

(7) Если x находится между a и b и также между a и c, то либо b и c тождественны, либо x находится между b и c, либо c находится между b и x.

Эти семь свойств очевидно подтверждаются в случае точек на прямой в обычном пространстве. Любое трехместное отношение, которое подтверждает их, порождает ряды, как можно видеть из следующих определений. Ради определенности предположим, что a находится слева от b. Тогда точки линии ab — это (1) те, между которыми и a лежит b — их мы назовем слева от a; (2) a; (3) те, что между a и b; (4) b; (5) те, между которыми и b лежит a — их мы назовем справа от b. Мы можем теперь определить в общем виде, что из двух точек x, y на линии ab мы скажем, что x «слева от» y в любом из следующих случаев:

(1) Когда x и y оба слева от a, и x находится между a и y;

(2) Когда x слева от a, и y — это a, или b, или между a и b, или справа от b;

(3) Когда x — это a, и y находится между a и b, или является b, или справа от b;

(4) Когда x и y оба между a и b, и x находится между a и y;

(5) Когда x находится между a и b, и y — это b, или справа от b;

(6) Когда x — это b, и y справа от b;

(7) Когда x и y оба справа от b, и x находится между b и y.

Будет обнаружено, что из семи свойств, которые мы приписали отношению «между», можно вывести, что отношение «слева от», как определено выше, является сериальным отношением, как мы определили этот термин. Важно заметить, что ничто в определениях или аргументе не зависит от того, что мы подразумеваем под «между» фактическое отношение с таким названием, которое встречается в эмпирическом пространстве: любое трехместное отношение, обладающее вышеуказанными семью чисто формальными свойствами, послужит цели аргумента одинаково хорошо.

Циклический порядок, такой как порядок точек на окружности, не может быть порожден с помощью трехместных отношений «между». Нам нужно отношение четырех членов, которое можно назвать «разделением пар». Этот момент можно проиллюстрировать, рассмотрев кругосветное путешествие. Можно отправиться из Англии в Новую Зеландию через Суэц или через Сан-Франциско; мы не можем определенно сказать, что какое-либо из этих двух мест находится «между» Англией и Новой Зеландией. Но если человек выбирает этот маршрут, чтобы совершить кругосветное путешествие, каким бы путем он ни пошел, его время в Англии и Новой Зеландии отделено друг от друга его временем в Суэце и Сан-Франциско, и наоборот. Обобщая, если мы возьмем любые четыре точки на окружности, мы можем разделить их на две пары, скажем a, b и c, d, такие, что для того, чтобы добраться от a до b, нужно пройти через c или d, и для того, чтобы добраться от c до d, нужно пройти через a или b. При этих обстоятельствах мы говорим, что пара a, b «разделена» парой c, d. Из этого отношения можно породить циклический порядок способом, напоминающим тот, которым мы породили открытый порядок из «между», но несколько более сложным.[12]

[12] Ср. Principles of Mathematics, стр. 205 (§ 194) и приведенные там ссылки.

Цель второй половины этой главы состояла в том, чтобы предложить предмет, который можно назвать «порождением сериальных отношений». Когда такие отношения определены, их порождение из других отношений, обладающих лишь некоторыми из свойств, требуемых для рядов, становится очень важным, особенно в философии геометрии и физики. Но мы не можем в пределах настоящего тома сделать больше, чем дать читателю понять, что такой предмет существует.

ГЛАВА V ВИДЫ ОТНОШЕНИЙ

Большая часть философии математики связана с отношениями, и многие различные виды отношений имеют различные виды применений. Часто случается, что свойство, которое принадлежит всем отношениям, важно только в отношении отношений определенных видов; в этих случаях читатель не увидит значения предложения, утверждающего такое свойство, если он не имеет в виду виды отношений, для которых оно полезно. По причинам такого рода, а также из-за внутреннего интереса к предмету, хорошо иметь в уме приблизительный список наиболее математически полезных разновидностей отношений.

В предыдущей главе мы рассматривали чрезвычайно важный класс, а именно серийные отношения. Каждое из трех свойств, которые мы объединили при определении серий — а именно асимметричность, транзитивность и связность, — имеет свое собственное значение. Мы начнем с того, что скажем несколько слов о каждом из этих трех свойств.

Асимметричность, то есть свойство, несовместимое с обратным отношением, является характеристикой, представляющей величайший интерес и важность. Чтобы раскрыть ее функции, рассмотрим различные примеры. Отношение «муж» является асимметричным, так же как и отношение «жена»; то есть если x является мужем y, то y не может быть мужем x, и аналогично в случае с «женой». С другой стороны, отношение «супруг» является симметричным: если x является супругом y, то y является супругом x. Предположим теперь, что нам дано отношение «супруг» и мы хотим вывести отношение «муж». «Муж» — это то же самое, что «мужчина-супруг» или «супруг женщины»; таким образом, отношение «муж» может быть выведено из отношения «супруг» либо путем ограничения области определения мужчинами, либо путем ограничения обратной области определения женщинами. Из этого примера мы видим, что, когда дано симметричное отношение, иногда возможно, без помощи какого-либо дополнительного отношения, разделить его на два асимметричных отношения. Но случаи, когда это возможно, редки и исключительны: это случаи, когда существуют два взаимно исключающих класса, скажем A и B, такие, что всякий раз, когда отношение имеет место между двумя членами, один из них является членом A, а другой — членом B — как в случае с «супругом», где один член отношения принадлежит к классу мужчин, а другой — к классу женщин. В таком случае отношение с областью определения, ограниченной A, будет асимметричным, так же как и отношение с областью определения, ограниченной B. Но такие случаи не относятся к тем, что встречаются, когда мы имеем дело с сериями из более чем двух членов; ибо в серии все члены, за исключением первого и последнего (если таковые существуют), принадлежат как к области определения, так и к обратной области определения порождающего отношения, так что отношение вроде «муж», где область определения и обратная область определения не перекрываются, исключается.

Вопрос о том, как конструировать отношения, обладающие полезным свойством, посредством операций над отношениями, которые имеют лишь зачатки этого свойства, является весьма важным. Транзитивность и связность легко конструируются во многих случаях, когда исходно заданное отношение ими не обладает: например, если R — любое отношение, то анцестральное отношение, производное от R путем обобщенной индукции, является транзитивным; а если R — отношение «многие-к-одному», то анцестральное отношение будет связным, если ограничить его потомками данного члена. Но асимметричность — это свойство, которое гораздо труднее обеспечить путем конструирования. Метод, с помощью которого мы вывели «мужа» из «супруга», как мы видели, неприменим в наиболее важных случаях, таких как «больше», «до», «справа от», где область определения и обратная область определения перекрываются. Во всех этих случаях мы, конечно, можем получить симметричное отношение, сложив данное отношение и его обратное, но мы не можем вернуться от этого симметричного отношения к исходному асимметричному отношению, кроме как с помощью некоторого асимметричного отношения. Возьмем, например, отношение «больше»: отношение «больше или меньше» — то есть «неравно» — является симметричным, но в этом отношении нет ничего, что указывало бы на то, что оно является суммой двух асимметричных отношений. Возьмем такое отношение, как «различающиеся по форме». Оно не является суммой асимметричного отношения и его обратного, поскольку формы не образуют единую серию; но нет ничего, что указывало бы на то, что оно отличается от «различающихся по величине», если бы мы уже не знали, что величины имеют отношения «больше» и «меньше». Это иллюстрирует фундаментальный характер асимметричности как свойства отношений.

С точки зрения классификации отношений, асимметричность является гораздо более важной характеристикой, чем импликация различия. Асимметричные отношения подразумевают различие, но обратное неверно. «Неравно», например, подразумевает различие, но является симметричным. В широком смысле можно сказать, что если бы мы хотели по возможности обойтись без реляционных суждений и заменить их суждениями, приписывающими предикаты субъектам, мы могли бы преуспеть в этом до тех пор, пока ограничивались бы симметричными отношениями: те из них, которые не подразумевают различия, если они транзитивны, могут рассматриваться как утверждение общего предиката, в то время как те, которые подразумевают различие, могут рассматриваться как утверждение несовместимых предикатов. Например, рассмотрим отношение сходства между классами, с помощью которого мы определили числа. Это отношение симметрично, транзитивно и не подразумевает различия. Было бы возможно, хотя и менее просто, чем предложенная нами процедура, рассматривать число совокупности как предикат этой совокупности: тогда два сходных класса будут двумя классами, имеющими один и тот же числовой предикат, в то время как два несходных класса будут двумя классами, имеющими разные числовые предикаты. Такой метод замены отношений предикатами формально возможен (хотя часто очень неудобен), пока рассматриваемые отношения симметричны; но он формально невозможен, когда отношения асимметричны, поскольку как тождество, так и различие предикатов симметричны. Асимметричные отношения, можно сказать, являются наиболее характерно реляционными из всех отношений и наиболее важными для философа, желающего изучить конечную логическую природу отношений.

Другой класс отношений, который приносит величайшую пользу, — это класс отношений «один-ко-многим», то есть отношений, которые данный член может иметь не более чем к одному члену. Таковы «отец», «мать», «муж» (за исключением Тибета), «квадрат», «синус» и так далее. Но «родитель», «квадратный корень» и так далее не являются отношениями «один-ко-многим». Формально возможно заменить все отношения отношениями «один-ко-многим» с помощью одного приема. Возьмем (скажем) отношение «меньше» среди индуктивных чисел. Для любого числа n, большего 1, будет не только одно число, имеющее отношение «меньше» к n, но мы можем сформировать целый класс чисел, которые меньше n. Это один класс, и его отношение к n не разделяется никаким другим классом. Мы можем назвать класс чисел, которые меньше n, «собственной родословной» n в том смысле, в каком мы говорили о родословной и потомстве в связи с математической индукцией. Тогда «собственная родословная» является отношением «один-ко-многим» (термин «один-ко-многим» всегда будет использоваться так, чтобы включать «один-к-одному»), поскольку каждое число определяет единственный класс чисел как составляющий его собственную родословную. Таким образом, отношение «меньше чем» может быть заменено на «быть членом собственной родословной n». Таким образом, отношение «один-ко-многим», в котором «один» является классом, вместе с принадлежностью к этому классу, всегда может формально заменить отношение, которое не является «один-ко-многим». Джузеппе Пеано, который по какой-то причине всегда инстинктивно мыслит отношение как «один-ко-многим», поступает таким образом с теми отношениями, которые по своей природе таковыми не являются. Однако сведение к отношениям «один-ко-многим» этим методом, хотя и возможно формально, не представляет собой технического упрощения, и есть все основания полагать, что оно не представляет собой философского анализа, хотя бы потому, что классы должны рассматриваться как «логические фикции». Поэтому мы продолжим рассматривать отношения «один-ко-многим» как особый вид отношений.

Отношения «один-ко-многим» задействованы во всех фразах вида «такой-то такой-то у такого-то». «Король Англии», «жена Сократа», «отец Джона Стюарта Милля» и так далее — все они описывают некоторую личность с помощью отношения «один-ко-многим» к данному члену. Человек не может иметь более одного отца, поэтому «отец Джона Стюарта Милля» описывает некую одну личность, даже если мы не знаем, кого именно. О предмете описаний можно сказать многое, но в данный момент нас интересуют отношения, а описания актуальны лишь как примеры использования отношений «один-ко-многим». Следует заметить, что все математические функции являются результатом отношений «один-ко-многим»: логарифм x, косинус x и т. д. являются, подобно отцу x, членами, описанными с помощью отношения «один-ко-многим» (логарифм, косинус и т. д.) к данному члену (x). Понятие функции не обязательно ограничивать числами или теми применениями, к которым нас приучили математики; его можно распространить на все случаи отношений «один-ко-многим», и «отец x» является столь же законной функцией, аргументом которой является x, как и «логарифм x». Функции в этом смысле являются дескриптивными функциями. Как мы увидим позже, существуют функции еще более общего и фундаментального рода, а именно пропозициональные функции; но пока мы ограничим наше внимание дескриптивными функциями, то есть «членом, имеющим отношение R к x», или, короче, «R от x», где R — любое отношение «один-ко-многим».

Заметим, что если «R от x» должно описывать определенный член, то x должен быть членом, к которому что-то имеет отношение R, и не должно быть более одного члена, имеющего отношение R к x, поскольку «тот самый», при правильном использовании, должен подразумевать единственность. Таким образом, мы можем говорить об «отце x», если x — любое человеческое существо, кроме Адама и Евы; но мы не можем говорить об «отце x», если x — стол, стул или что-либо другое, не имеющее отца. Мы будем говорить, что «R от x» «существует», когда есть ровно один член и не более, имеющий отношение R к x. Таким образом, если R — отношение «один-ко-многим», то «R от x» существует всякий раз, когда x принадлежит к обратной области определения R, и не иначе. Рассматривая «R от x» как функцию в математическом смысле, мы говорим, что x — это «аргумент» функции, и если y — член, имеющий отношение R к x, то есть если y — это «R от x», то y — это «значение» функции для аргумента x. Если R — отношение «один-ко-многим», то область возможных аргументов функции — это обратная область определения R, а область значений — это область определения. Таким образом, область возможных аргументов функции «отец x» — это все, кто имеет отцов, то есть обратная область определения отношения «отец», в то время как область возможных значений функции — это все отцы, то есть область определения отношения.

Многие из наиболее важных понятий в логике отношений являются дескриптивными функциями, например: обратное отношение, область определения, обратная область определения, поле. Другие примеры будут встречаться по мере нашего продвижения.

Среди отношений «один-ко-многим» отношения «один-к-одному» представляют собой особо важный класс. Нам уже приходилось говорить об отношениях «один-к-одному» в связи с определением числа, но необходимо быть знакомыми с ними, а не просто знать их формальное определение. Их формальное определение может быть выведено из определения отношений «один-ко-многим»: их можно определить как отношения «один-ко-многим», которые также являются обратными к отношениям «один-ко-многим», то есть как отношения, которые являются одновременно «один-ко-многим» и «многие-к-одному». Отношения «один-ко-многим» можно определить как отношения, такие, что если x имеет рассматриваемое отношение к y, то нет другого члена x', который также имеет это отношение к y. Или, опять же, их можно определить следующим образом: для любых двух членов x и x' члены, к которым x имеет данное отношение, и те, к которым x' имеет его, не имеют общего члена. Или, опять же, их можно определить как отношения, такие, что относительное произведение одного из них и его обратного подразумевает тождество, где «относительное произведение» двух отношений R и S — это то отношение, которое имеет место между x и z, когда существует промежуточный член y, такой, что x имеет отношение R к y, а y имеет отношение S к z. Так, например, если R — отношение отца к сыну, то относительное произведение R и его обратного будет отношением, которое имеет место между x и человеком z, когда существует лицо y, такое, что x — отец y, а y — сын z. Очевидно, что x и z должны быть одним и тем же лицом. Если, с другой стороны, мы возьмем отношение родителя и ребенка, которое не является «один-ко-многим», мы уже не можем утверждать, что если x — родитель y, а y — ребенок z, то x и z должны быть одним и тем же лицом, потому что один может быть отцом y, а другой — матерью. Это иллюстрирует, что для отношений «один-ко-многим» характерно, когда относительное произведение отношения и его обратного подразумевает тождество. В случае отношений «один-к-одному» это происходит, а также относительное произведение обратного отношения и самого отношения подразумевает тождество. Если дано отношение R, удобно, если x имеет отношение R к y, думать о y как о достигнутом из x с помощью «R-шага» или «R-вектора». В том же случае x будет достигнут из y с помощью «обратного R-шага». Таким образом, мы можем сформулировать характеристику отношений «один-ко-многим», с которой мы имели дело, сказав, что R-шаг, за которым следует обратный R-шаг, должен вернуть нас к исходной точке. С другими отношениями это отнюдь не так; например, если R — отношение ребенка к родителю, то относительное произведение R и его обратного — это отношение «сам или брат или сестра», а если R — отношение внука к дедушке, то относительное произведение R и его обратного — «сам или брат или сестра или двоюродный брат/сестра». Заметим, что относительное произведение двух отношений в общем случае не коммутативно, то есть относительное произведение R и S в общем случае не является тем же отношением, что и относительное произведение S и R. Например, относительное произведение «родитель» и «брат» — это «дядя», но относительное произведение «брат» и «родитель» — это «родитель».

Отношения «один-к-одному» дают корреляцию двух классов, член за членом, так что каждый член в любом классе имеет свой коррелят в другом. Такие корреляции проще всего понять, когда два класса не имеют общих членов, как класс мужей и класс жен; ибо в этом случае мы сразу знаем, следует ли рассматривать член как тот, «от» которого идет коррелирующее отношение, или как тот, «к» которому оно идет. Удобно использовать слово «референт» для члена, «от» которого идет отношение, и термин «релятум» для члена, «к» которому оно идет. Таким образом, если x и y — муж и жена, то в отношении «муж» x является референтом, а y — релятумом, но в отношении «жена» y является референтом, а x — релятумом. Мы говорим, что отношение и его обратное имеют противоположные «смыслы»; таким образом, «смысл» отношения, которое идет от x к y, противоположен смыслу соответствующего отношения от y к x. Тот факт, что отношение имеет «смысл», является фундаментальным и отчасти объясняет, почему порядок может быть порожден подходящими отношениями. Заметим, что класс всех возможных референтов для данного отношения — это его область определения, а класс всех возможных релятумов — его обратная область определения.

Но очень часто случается, что область определения и обратная область определения отношения «один-к-одному» перекрываются. Возьмем, например, первые десять целых чисел (исключая 0) и прибавим 1 к каждому; таким образом, вместо первых десяти целых чисел мы теперь имеем целые числа от 2 до 11. Они те же самые, что были у нас раньше, за исключением того, что 1 была отсечена в начале, а 11 была присоединена в конце. По-прежнему десять целых чисел: они коррелируют с предыдущими десятью отношением числа к числу плюс 1, которое является отношением «один-к-одному». Или, опять же, вместо прибавления 1 к каждому из наших исходных десяти целых чисел, мы могли бы удвоить каждое из них, получив тем самым целые числа 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Здесь у нас все еще есть пять из нашего предыдущего набора целых чисел, а именно 2, 4, 6, 8, 10. Коррелирующим отношением в этом случае является отношение числа к его удвоенному значению, которое снова является отношением «один-к-одному». Или мы могли бы заменить каждое число его квадратом, получив тем самым набор 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. В этом случае от нашего исходного набора осталось только три, а именно 1, 4, 9. Такие процессы корреляции могут варьироваться бесконечно.

Наиболее интересный случай вышеуказанного рода — это случай, когда наше отношение «один-к-одному» имеет обратную область определения, которая является частью, но не целым, области определения. Если бы вместо ограничения области определения первыми десятью целыми числами мы рассмотрели все индуктивные числа, приведенные выше примеры проиллюстрировали бы этот случай. Мы можем расположить рассматриваемые числа в два ряда, поместив коррелят прямо под числом, чьим коррелятом он является. Так, когда коррелятором является отношение числа к числу плюс 1, мы имеем два ряда: 1, 2, 3, 4, 5... и 2, 3, 4, 5, 6... Когда коррелятором является отношение числа к его удвоенному значению, мы имеем два ряда: 1, 2, 3, 4, 5... и 2, 4, 6, 8, 10... Когда коррелятором является отношение числа к его квадрату, ряды таковы: 1, 2, 3, 4, 5... и 1, 4, 9, 16, 25... Во всех этих случаях все индуктивные числа встречаются в верхнем ряду, и только некоторые — в нижнем.

Случаи такого рода, когда обратная область определения является «собственной частью» области определения (то есть частью, не являющейся целым), снова займут нас, когда мы перейдем к рассмотрению бесконечности. Пока мы хотим лишь отметить, что они существуют и требуют рассмотрения.

Другой класс корреляций, которые часто важны, — это класс, называемый «перестановками», где область определения и обратная область определения идентичны. Рассмотрим, например, шесть возможных расположений трех букв: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Каждое из них может быть получено из любого другого с помощью корреляции. Возьмем, например, первое и последнее, abc и cba. Здесь a коррелирует с c, b — с самим собой, а c — с a. Очевидно, что комбинация двух перестановок снова является перестановкой, то есть перестановки данного класса образуют то, что называется «группой».

Эти различные виды корреляций имеют значение в различных связях, некоторые для одной цели, некоторые для другой. Общее понятие корреляций «один-к-одному» имеет безграничное значение в философии математики, как мы уже отчасти видели, но увидим гораздо полнее по мере нашего продвижения. Одно из его применений займет нас в следующей главе.

ГЛАВА VI. СХОДСТВО ОТНОШЕНИЙ

Мы видели во второй главе, что два класса имеют одинаковое число членов, когда они «сходны», то есть когда существует отношение «один-к-одному», область определения которого — один класс, а обратная область определения — другой. В таком случае мы говорим, что существует «корреляция один-к-одному» между двумя классами.

В настоящей главе мы должны определить отношение между отношениями, которое будет играть для них ту же роль, которую сходство классов играет для классов. Мы назовем это отношение «сходством отношений» или «подобием», когда кажется желательным использовать слово, отличное от того, которое мы используем для классов. Как определить подобие?

Мы по-прежнему будем использовать понятие корреляции: мы предположим, что область определения одного отношения может быть соотнесена с областью определения другого, а обратная область определения — с обратной областью определения; но этого недостаточно для того рода сходства, которого мы желаем достичь между нашими двумя отношениями. Мы хотим, чтобы всякий раз, когда любое из отношений имеет место между двумя членами, другое отношение имело место между коррелятами этих двух членов. Самый простой пример того, что мы хотим, — это карта. Когда одно место находится к северу от другого, место на карте, соответствующее первому, находится выше места на карте, соответствующего второму; когда одно место находится к западу от другого, место на карте, соответствующее первому, находится слева от места на карте, соответствующего второму; и так далее. Структура карты соответствует структуре страны, картой которой она является. Пространственные отношения на карте имеют «подобие» с пространственными отношениями в отображаемой стране. Именно этот вид связи между отношениями мы хотим определить.

Мы можем, во-первых, с пользой ввести определенное ограничение. Мы ограничимся при определении подобия такими отношениями, которые имеют «поля», то есть такими, которые позволяют сформировать единый класс из области определения и обратной области определения. Это не всегда так. Возьмем, например, отношение «область определения», то есть отношение, которое область определения отношения имеет к самому отношению. Это отношение имеет все классы в качестве своей области определения, поскольку каждый класс является областью определения некоторого отношения; и оно имеет все отношения в качестве своей обратной области определения, поскольку каждое отношение имеет область определения. Но классы и отношения нельзя сложить вместе, чтобы сформировать новый единый класс, потому что они относятся к разным логическим «типам». Нам не нужно углубляться в трудное учение о типах, но полезно знать, когда мы воздерживаемся от этого. Мы можем сказать, не вдаваясь в основания для этого утверждения, что отношение имеет «поле» только тогда, когда оно является тем, что мы называем «однородным», то есть когда его область определения и обратная область определения принадлежат к одному и тому же логическому типу; и в качестве грубого указания на то, что мы подразумеваем под «типом», мы можем сказать, что индивиды, классы индивидов, отношения между индивидами, отношения между классами, отношения классов к индивидам и так далее — это разные типы. Теперь понятие подобия не очень полезно применительно к отношениям, которые не являются однородными; поэтому при определении подобия мы упростим нашу задачу, говоря о «поле» одного из рассматриваемых отношений. Это несколько ограничивает общность нашего определения, но ограничение не имеет практического значения. И будучи сформулированным, оно больше не нуждается в запоминании. Мы можем определить два отношения R и S как «сходные» или как имеющие «подобие», когда существует отношение «один-к-одному» P, область определения которого — поле R, а обратная область определения — поле S, и которое таково, что если один член имеет отношение R к другому, то коррелят первого имеет отношение S к корреляту второго, и наоборот.

Рисунок сделает это более ясным. Пусть x и y — два члена, имеющие отношение R. Тогда должны существовать два члена x', y', такие, что x' имеет отношение S к y', где x' — коррелят x, а y' — коррелят y. Если это происходит с каждой парой членов, такой как x и y, и если обратное происходит с каждой парой членов, такой как x' и y', ясно, что для каждого случая, в котором имеет место отношение R, существует соответствующий случай, в котором имеет место отношение S, и наоборот; и это то, что мы хотим обеспечить нашим определением. Мы можем устранить некоторые избыточности в приведенном выше наброске определения, заметив, что, когда вышеуказанные условия реализованы, отношение R то же самое, что и относительное произведение P и S и обратного P, то есть R-шаг от x к y может быть заменен последовательностью P-шага от x к x', S-шага от x' к y' и обратного P-шага от y' к y. Таким образом, мы можем установить следующие определения:

Отношение P называется «коррелятором» или «ординальным коррелятором» двух отношений R и S, если P — «один-к-одному», имеет поле S в качестве своей обратной области определения и таково, что R является относительным произведением P и S и обратного P.

Два отношения R и S называются «сходными» или имеющими «подобие», когда существует по крайней мере один коррелятор R и S.

Будет обнаружено, что эти определения дают то, что мы выше решили считать необходимым.

Будет обнаружено, что когда два отношения сходны, они разделяют все свойства, которые не зависят от фактических членов в их полях. Например, если одно подразумевает различие, то и другое; если одно транзитивно, то и другое; если одно связно, то и другое. Следовательно, если одно серийно, то и другое. Опять же, если одно «один-ко-многим» или «один-к-одному», то и другое «один-ко-многим» или «один-к-одному»; и так далее, через все общие свойства отношений. Даже утверждения, включающие фактические члены поля отношения, хотя они могут быть неверны в том виде, в каком они есть, при применении к сходному отношению, всегда будут способны к переводу в аналогичные утверждения. Такие соображения приводят нас к проблеме, которая в математической философии имеет значение, до сих пор не признанное в должной мере. Нашу проблему можно сформулировать следующим образом:

Если дано некоторое утверждение на языке, грамматику и синтаксис которого мы знаем, но не знаем словаря, каковы возможные значения такого утверждения и каковы значения неизвестных слов, которые сделали бы его истинным?

Причина, по которой этот вопрос важен, заключается в том, что он представляет, гораздо ближе, чем можно было бы предположить, состояние нашего знания о природе. Мы знаем, что некоторые научные суждения — которые в наиболее развитых науках выражены в математических символах — более или менее верны по отношению к миру, но мы находимся в большом замешательстве относительно интерпретации, которую следует придать терминам, встречающимся в этих суждениях. Мы знаем гораздо больше (чтобы использовать на мгновение старомодную пару терминов) о форме природы, чем о ее материи. Соответственно, то, что мы действительно знаем, когда формулируем закон природы, — это лишь то, что, вероятно, существует некоторая интерпретация наших терминов, которая сделает закон приблизительно истинным. Таким образом, большое значение придается вопросу: каковы возможные значения закона, выраженного в терминах, субстанциальное значение которых мы не знаем, а знаем только грамматику и синтаксис? И этот вопрос — тот самый, что был предложен выше.

На данный момент мы проигнорируем общий вопрос, который снова займет нас на более позднем этапе; предмет подобия сам по себе должен быть сначала исследован более глубоко.

В силу того факта, что когда два отношения сходны, их свойства одинаковы, за исключением случаев, когда они зависят от того, что поля состоят именно из тех членов, из которых они состоят, желательно иметь номенклатуру, которая собирает вместе все отношения, сходные с данным отношением. Точно так же, как мы назвали совокупность тех классов, которые сходны с данным классом, «числом» этого класса, мы можем назвать совокупность всех тех отношений, которые сходны с данным отношением, «числом» этого отношения. Но чтобы избежать путаницы с числами, соответствующими классам, мы будем говорить в этом случае о «число-отношении». Таким образом, у нас есть следующие определения:

«Число-отношение» данного отношения — это класс всех тех отношений, которые сходны с данным отношением.

«Числа-отношения» — это совокупность всех тех классов отношений, которые являются числами-отношениями различных отношений; или, что сводится к тому же, число-отношение — это класс отношений, состоящий из всех тех отношений, которые сходны с одним членом класса.

Когда необходимо говорить о числах классов таким образом, чтобы их невозможно было спутать с числами-отношениями, мы будем называть их «кардинальными числами». Таким образом, кардинальные числа — это числа, соответствующие классам. Они включают обычные целые числа повседневной жизни, а также некоторые бесконечные числа, о которых мы поговорим позже. Когда мы говорим о «числах» без уточнения, следует понимать, что мы имеем в виду кардинальные числа. Определение кардинального числа, как мы помним, таково:

«Кардинальное число» данного класса — это совокупность всех тех классов, которые сходны с данным классом.

Наиболее очевидное применение чисел-отношений — к сериям. Две серии можно считать одинаково длинными, когда они имеют одно и то же число-отношение. Две конечные серии будут иметь одно и то же число-отношение, когда их поля имеют одинаковое кардинальное число членов, и только тогда — то есть серия из (скажем) 15 членов будет иметь то же число-отношение, что и любая другая серия из пятнадцати членов, но не будет иметь того же числа-отношения, что и серия из 14 или 16 членов, и, конечно, не того же числа-отношения, что и отношение, которое не является серийным. Таким образом, в совершенно частном случае конечных серий существует параллелизм между кардинальными числами и числами-отношениями. Числа-отношения, применимые к сериям, можно назвать «серийными числами» (то, что обычно называют «ординальными числами», является подклассом этих); таким образом, конечное серийное число определимо, когда мы знаем кардинальное число членов в поле серии, имеющей рассматриваемое серийное число. Если n — конечное кардинальное число, число-отношение серии, которая имеет n членов, называется «ординальным» числом n. (Существуют также бесконечные ординальные числа, но о них мы поговорим в более поздней главе.) Когда кардинальное число членов в поле серии бесконечно, число-отношение серии не определяется просто кардинальным числом; действительно, для одного бесконечного кардинального числа существует бесконечное множество чисел-отношений, как мы увидим, когда перейдем к рассмотрению бесконечных серий. Когда серия бесконечна, то, что мы можем назвать ее «длиной», то есть ее число-отношение, может варьироваться без изменения кардинального числа; но когда серия конечна, этого произойти не может.

Мы можем определить сложение и умножение для чисел-отношений так же, как и для кардинальных чисел, и может быть развита целая арифметика чисел-отношений. То, как это должно быть сделано, легко увидеть, рассмотрев случай серий. Предположим, например, что мы хотим определить сумму двух неперекрывающихся серий таким образом, чтобы число-отношение суммы можно было определить как сумму чисел-отношений двух серий. Во-первых, ясно, что здесь задействован порядок между двумя сериями: одна из них должна быть помещена перед другой. Таким образом, если R и S — порождающие отношения двух серий, то в серии, которая является их суммой с R, поставленным перед S, каждый член поля R будет предшествовать каждому члену поля S. Таким образом, серийное отношение, которое должно быть определено как сумма R и S, — это не просто «R или S», а «R или S или отношение любого члена поля R к любому члену поля S». Предполагая, что R и S не перекрываются, это отношение является серийным, но «R или S» не является серийным, будучи не связным, поскольку оно не имеет места между членом поля R и членом поля S. Таким образом, сумма R и S, как определено выше, — это то, что нам нужно для определения суммы двух чисел-отношений. Подобные модификации необходимы для произведений и степеней. Результирующая арифметика не подчиняется коммутативному закону: сумма или произведение зависят от того, в каком порядке они взяты. Но она подчиняется ассоциативному закону, одной форме дистрибутивного закона и двум формальным законам для степеней, не только применительно к серийным числам, но и применительно к числам-отношениям в целом. Арифметика отношений, по сути, хотя и является недавней, — это вполне респектабельная ветвь математики.

Не следует полагать, только потому, что серии дают наиболее очевидное применение идеи подобия, что нет других важных применений. Мы уже упоминали карты, и мы могли бы расширить наши мысли от этой иллюстрации к геометрии в целом. Если систему отношений, с помощью которой геометрия применяется к определенному набору членов, можно полностью привести в отношения подобия с системой, применяемой к другому набору членов, то геометрия двух наборов неразличима с математической точки зрения, то есть все суждения одинаковы, за исключением того факта, что они применяются в одном случае к одному набору членов, а в другом — к другому. Мы можем проиллюстрировать это отношениями того рода, которые можно назвать «между», которые мы рассматривали в четвертой главе. Мы видели там, что при условии, что трехчленное отношение обладает определенными формальными логическими свойствами, оно порождает серии и может быть названо «отношением между». Имея любые две точки, мы можем использовать отношение «между», чтобы определить прямую линию, определяемую этими двумя точками; она состоит из x и y вместе со всеми точками z, такими, что отношение «между» имеет место между тремя точками x, z, y в том или ином порядке. О. Веблен показал, что мы можем рассматривать все наше пространство как поле трехчленного отношения «между» и определять нашу геометрию свойствами, которые мы приписываем нашему отношению «между». [13] Теперь подобие столь же легко определимо между трехчленными отношениями, как и между двухчленными. Если R и R' — два отношения «между», так что «R(x, z, y)» означает «z находится между x и y относительно R», мы назовем P коррелятором R и R', если он имеет поле R' в качестве своей обратной области определения и таков, что отношение R имеет место между тремя членами, когда R' имеет место между их P-коррелятами, и только тогда. И мы скажем, что R подобно R', когда существует по крайней мере один коррелятор R с R'. Читатель может легко убедиться, что если R подобно R' в этом смысле, не может быть никакой разницы между геометрией, порожденной R, и геометрией, порожденной R'.

[13] Это не относится к эллиптическому пространству, а только к пространствам, в которых прямая линия является открытой серией. Современная математика, под ред. Дж. У. А. Янга, стр. 3-51 (монография О. Веблена «Основания геометрии»).

Из этого следует, что математику не нужно беспокоиться о конкретном бытии или внутренней природе своих точек, линий и плоскостей, даже когда он размышляет как прикладной математик. Можно сказать, что существуют эмпирические свидетельства приблизительной истинности тех частей геометрии, которые не являются вопросом определения. Но нет эмпирических свидетельств того, чем должна быть «точка». Это должно быть нечто, что как можно ближе удовлетворяет нашим аксиомам, но это не обязательно должно быть «очень маленьким» или «без частей». Является ли оно таковым или нет — вопрос безразличный, до тех пор, пока оно удовлетворяет аксиомам. Если мы можем из эмпирического материала сконструировать логическую структуру, какой бы сложной она ни была, которая удовлетворяла бы нашим геометрическим аксиомам, эта структура может законно называться «точкой». Мы не должны говорить, что нет ничего другого, что могло бы законно называться «точкой»; мы должны лишь сказать: «Этот объект, который мы сконструировали, достаточен для геометра; это может быть один из многих объектов, любой из которых был бы достаточен, но это нас не касается, поскольку этот объект достаточен для подтверждения эмпирической истинности геометрии, постольку, поскольку геометрия не является вопросом определения». Это лишь иллюстрация общего принципа, согласно которому в математике, и в очень значительной степени в физической науке, важно не внутреннее естество наших терминов, а логическая природа их взаимосвязей.

Мы можем сказать о двух сходных отношениях, что они имеют одну и ту же «структуру». Для математических целей (хотя и не для целей чистой философии) единственное, что важно в отношении, — это случаи, в которых оно имеет место, а не его внутренняя природа. Точно так же, как класс может быть определен различными, но коэкстенсивными понятиями — например, «человек» и «двуногое без перьев», — так и два отношения, которые концептуально различны, могут иметь место в одном и том же наборе случаев. «Случай», в котором отношение имеет место, следует мыслить как пару членов с порядком, так что один из членов идет первым, а другой — вторым; пара должна быть, конечно, такой, что ее первый член имеет рассматриваемое отношение ко второму. Возьмем (скажем) отношение «отец»: мы можем определить то, что мы можем назвать «экстенсией» этого отношения, как класс всех упорядоченных пар (x, y), таких, что x — отец y. С математической точки зрения единственное, что важно в отношении «отец», — это то, что оно определяет этот набор упорядоченных пар. Говоря в общем, мы скажем:

«Экстенсия» отношения — это класс тех упорядоченных пар (x, y), которые таковы, что x имеет рассматриваемое отношение к y.

Теперь мы можем сделать шаг вперед в процессе абстракции и рассмотреть, что мы подразумеваем под «структурой». Имея любое отношение, мы можем, если оно достаточно простое, построить его карту. Ради определенности возьмем отношение, экстенсией которого являются следующие пары: (x1, x2), (x2, x3), (x3, x4), (x4, x5), (x5, x1), (x1, x3), (x2, x4), где x1, x2, x3, x4, x5 — пять членов, неважно каких.

Мы можем составить «карту» этого отношения, взяв пять точек на плоскости и соединив их стрелками, как на прилагаемом рисунке. То, что раскрывается картой, — это то, что мы называем «структурой» отношения.

Ясно, что «структура» отношения не зависит от конкретных членов, составляющих поле отношения. Поле может быть изменено без изменения структуры, и структура может быть изменена без изменения поля — например, если бы мы добавили пару (x3, x5) в вышеприведенной иллюстрации, мы изменили бы структуру, но не поле. Мы скажем, что два отношения имеют одну и ту же «структуру», когда одна и та же карта подойдет для обоих — или, что сводится к тому же, когда каждое из них может быть картой для другого (поскольку каждое отношение может быть своей собственной картой). И это, как показывает минутное размышление, — то же самое, что мы назвали «подобием». То есть два отношения имеют одну и ту же структуру, когда они имеют подобие, то есть когда они имеют одно и то же число-отношение. Таким образом, то, что мы определили как «число-отношение», — это то же самое, что смутно подразумевается словом «структура» — словом, которое, сколь бы важным оно ни было, никогда (насколько нам известно) не определяется точными терминами теми, кто его использует.

В традиционной философии было много спекуляций, которых можно было бы избежать, если бы была осознана важность структуры и трудность того, чтобы заглянуть за нее. Например, часто говорят, что пространство и время субъективны, но имеют объективные аналоги; или что феномены субъективны, но вызваны вещами в себе, которые должны иметь различия inter se, соответствующие различиям в феноменах, к которым они приводят. Там, где делаются такие гипотезы, обычно предполагается, что мы можем очень мало знать об объективных аналогах. Однако на самом деле, если бы сформулированные гипотезы были верны, объективные аналоги образовали бы мир, имеющий ту же структуру, что и феноменальный мир, и позволяющий нам вывести из феноменов истинность всех суждений, которые могут быть сформулированы в абстрактных терминах и известны как истинные по отношению к феноменам. Если феноменальный мир имеет три измерения, то и мир за феноменами должен иметь их; если феноменальный мир евклидов, то и другой должен быть таким; и так далее. Короче говоря, каждое суждение, имеющее коммуникабельное значение, должно быть истинным для обоих миров или ни для одного: единственное различие должно заключаться именно в той сущности индивидуальности, которая всегда ускользает от слов и не поддается описанию, но которая именно по этой причине не имеет отношения к науке. Единственная цель, которую преследуют философы, осуждая феномены, — убедить себя и других в том, что реальный мир сильно отличается от мира явлений. Мы все можем сочувствовать их желанию доказать столь желанное суждение, но мы не можем поздравить их с успехом. Правда, многие из них не утверждают объективных аналогов феноменов, и они избегают вышеприведенного аргумента. Те, кто утверждает наличие аналогов, как правило, очень сдержанны в этом вопросе, вероятно, потому, что инстинктивно чувствуют, что, если его развивать, это приведет к слишком большому сближению между реальным и феноменальным миром. Если бы они развивали эту тему, они вряд ли смогли бы избежать выводов, которые мы предлагали. Такими путями, как и многими другими, понятие структуры или числа-отношения важно.

ГЛАВА VII. РАЦИОНАЛЬНЫЕ, ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Теперь мы увидели, как определять кардинальные числа, а также числа-отношения, частным видом которых являются то, что обычно называют ординальными числами. Будет обнаружено, что каждое из этих видов чисел может быть бесконечным так же легко, как и конечным. Но ни одно из них не способно, в том виде, в каком оно есть, на более привычные расширения идеи числа, а именно расширения до отрицательных, дробных, иррациональных и комплексных чисел. В настоящей главе мы кратко дадим логические определения этих различных расширений.

Одной из ошибок, задержавших открытие правильных определений в этой области, является распространенная идея о том, что каждое расширение числа включает предыдущие виды как частные случаи. Считалось, что при работе с положительными и отрицательными целыми числами положительные целые числа можно отождествить с исходными целыми числами без знака. Опять же, считалось, что дробь, знаменатель которой равен 1, можно отождествить с натуральным числом, которое является ее числителем. А иррациональные числа, такие как квадратный корень из 2, должны были найти свое место среди рациональных дробей, будучи больше некоторых из них и меньше других, так что рациональные и иррациональные числа можно было объединить в один класс, называемый «вещественными числами». И когда идея числа была далее расширена, чтобы включить «комплексные» числа, то есть числа, включающие квадратный корень из -1, считалось, что вещественные числа можно рассматривать как те среди комплексных чисел, в которых мнимая часть (то есть часть, которая была кратна квадратному корню из -1) равна нулю. Все эти предположения были ошибочными и должны быть отброшены, как мы обнаружим, если хотим дать правильные определения.

Начнем с положительных и отрицательных целых чисел. При минутном размышлении становится очевидным, что +1 и -1 должны быть отношениями, и, по сути, должны быть обратными друг другу. Очевидное и достаточное определение состоит в том, что +1 — это отношение n+1 к n (для любого n), а -1 — это отношение n к n+1. Вообще, если n — любое индуктивное число, n+m будет отношением n+m к n (для любого n), а n-m будет отношением n к n+m. Согласно этому определению, n+m — это отношение, которое является «один-к-одному» до тех пор, пока n — кардинальное число (конечное или бесконечное), а m — индуктивное кардинальное число. Но n+m ни при каких обстоятельствах не способно быть отождествленным с n, которое не является отношением, а классом классов. Действительно, n+m столь же отлично от n, как и n от n+m.

Дроби интереснее, чем положительные или отрицательные целые числа. Нам нужны дроби для многих целей, но, пожалуй, наиболее очевидно для целей измерения. Мой друг и соавтор д-р А. Н. Уайтхед разработал теорию дробей, специально адаптированную для их применения к измерению, которая изложена в Principia Mathematica. [14] Но если все, что нужно, — это определить объекты, обладающие требуемыми чисто математическими свойствами, эта цель может быть достигнута более простым методом, который мы здесь примем. Мы определим дробь m/n как то отношение, которое имеет место между двумя индуктивными числами x и y, когда nx = my. Это определение позволяет нам доказать, что m/n — это отношение «один-к-одному», при условии, что ни m, ни n не равны нулю. И, конечно, n/m — это обратное отношение к m/n.

[14] Том III. * 300 и сл., особенно 303.

Из вышеприведенного определения ясно, что дробь 0/n — это то отношение между двумя целыми числами x и y, которое состоит в факте, что 0*x = n*y. Это отношение, подобно отношению 0/m, отнюдь не может быть отождествлено с индуктивным кардинальным числом 0, потому что отношение и класс классов — это объекты совершенно разных видов. [15] Будет видно, что 0/n — это всегда одно и то же отношение, каким бы ни было индуктивное число n; это, короче говоря, отношение 0 к любому другому индуктивному кардинальному числу. Мы можем назвать это нулем рациональных чисел; он, конечно, не идентичен кардинальному числу 0. И наоборот, отношение n/0 всегда одно и то же, каким бы ни было индуктивное число n. Не существует индуктивного кардинального числа, соответствующего n/0. Мы можем назвать его «бесконечностью рациональных чисел». Это пример того рода бесконечного, который традиционен в математике и представлен символом «∞». Это совершенно иной род, чем истинная канторовская бесконечность, которую мы рассмотрим в нашей следующей главе. Бесконечность рациональных чисел не требует для своего определения или использования никаких бесконечных классов или бесконечных целых чисел. На самом деле это не очень важное понятие, и мы могли бы обойтись без него вовсе, если бы в этом был какой-то смысл. Канторовская бесконечность, с другой стороны, имеет величайшее и фундаментальное значение; понимание ее открывает путь к целым новым областям математики и философии.

[15] Конечно, на практике мы будем продолжать говорить о дроби как (скажем) большей или меньшей 1, подразумевая большую или меньшую, чем отношение 1/1. Пока понятно, что отношение m/n и кардинальное число 1 различны, нет необходимости быть всегда педантичным, подчеркивая разницу.

Заметим, что ноль и бесконечность, единственные среди отношений, не являются «один-к-одному». Ноль — «один-ко-многим», а бесконечность — «многие-к-одному».

Нет никакой трудности в определении «больше» и «меньше» среди отношений (или дробей). Имея два отношения m/n и p/q, мы скажем, что m/n меньше p/q, если mq меньше np. Нет никакой трудности в доказательстве того, что отношение «меньше», определенное таким образом, является серийным, так что отношения образуют серию в порядке возрастания величины. В этой серии ноль — наименьший член, а бесконечность — наибольший. Если мы опустим ноль и бесконечность из нашей серии, больше не будет никакого наименьшего или наибольшего отношения; очевидно, что если m/n — любое отношение, отличное от нуля и бесконечности, то (m/n)/2 меньше, а 2(m/n) больше, хотя ни то, ни другое не является нулем или бесконечностью, так что m/n не является ни наименьшим, ни наибольшим отношением, и поэтому (когда ноль и бесконечность опущены) нет наименьшего или наибольшего, поскольку m/n было выбрано произвольно. Подобным образом мы можем доказать, что как бы близко ни были равны две дроби, между ними всегда есть другие дроби. Ибо пусть m/n и p/q — две дроби, из которых m/n больше. Тогда легко увидеть (или доказать), что (m/n + p/q)/2 будет больше p/q и меньше m/n. Таким образом, серия отношений — это такая серия, в которой никакие два члена не являются последовательными, но между любыми двумя всегда есть другие члены. Поскольку между этими другими есть другие члены и так далее ad infinitum, очевидно, что между любыми двумя отношениями существует бесконечное число отношений, как бы близко ни были равны эти два. [16] Серия, обладающая свойством, что между любыми двумя всегда есть другие члены, так что никакие два не являются последовательными, называется «компактной». Таким образом, отношения в порядке возрастания величины образуют «компактную» серию. Такие серии имеют много важных свойств, и важно заметить, что отношения дают пример компактной серии, порожденной чисто логически, без какого-либо обращения к пространству или времени или любому другому эмпирическому данному.

[16] Строго говоря, это утверждение, как и последующие до конца абзаца, включает в себя так называемую «аксиому бесконечности», которая будет обсуждаться в одной из следующих глав.

Положительные и отрицательные отношения могут быть определены способом, аналогичным тому, которым мы определили положительные и отрицательные целые числа. Сначала определив сумму двух отношений и как , мы определяем как отношение к , где — любое отношение; при этом , разумеется, является обратным к . Это не единственный возможный способ определения положительных и отрицательных отношений, но это способ, который для наших целей обладает тем достоинством, что является очевидной адаптацией метода, принятого нами в случае с целыми числами.

Теперь мы переходим к более интересному расширению понятия числа, а именно к расширению до так называемых «действительных» чисел, которые представляют собой вид чисел, охватывающий иррациональные. В главе I у нас был повод упомянуть «несоизмеримые величины» и их открытие Пифагором. Именно благодаря им, то есть благодаря геометрии, впервые возникла мысль об иррациональных числах. Квадрат со стороной в один дюйм будет иметь диагональ, длина которой равна квадратному корню из 2 дюймов. Но, как обнаружили древние, не существует дроби, квадрат которой равен 2. Это положение доказано в десятой книге Евклида — одной из тех книг, которые школьники, как предполагалось, к счастью, утратили в те времена, когда Евклид еще использовался в качестве учебника. Доказательство необычайно просто. Если возможно, пусть будет квадратным корнем из 2, так что , то есть . Таким образом, — четное число, а значит, и должно быть четным числом, поскольку квадрат нечетного числа нечетен. Теперь, если четно, то должно делиться на 4, ибо если , то . Таким образом, мы получим , где — половина . Следовательно, , а значит, и также будет квадратным корнем из 2. Но тогда мы можем повторить аргумент: если , то также будет квадратным корнем из 2, и так далее, через бесконечный ряд чисел, каждое из которых является половиной предыдущего. Но это невозможно; если мы делим число на 2, а затем делим пополам полученную половину и так далее, мы должны прийти к нечетному числу за конечное число шагов. Или мы можем изложить аргумент еще проще, предположив, что , с которого мы начинаем, приведено к несократимому виду; в этом случае и не могут оба быть четными; однако мы видели, что если , они должны быть таковыми. Таким образом, не может существовать никакой дроби , квадрат которой равен 2.

Таким образом, никакая дробь не выразит точно длину диагонали квадрата со стороной в один дюйм. Это похоже на вызов, брошенный природой арифметике. Как бы арифметик ни хвастался (как это делал Пифагор) силой чисел, природа, по-видимому, способна сбить его с толку, демонстрируя длины, которые никакие числа не могут оценить в единицах измерения. Но проблема не осталась в этой геометрической форме. Как только была изобретена алгебра, та же проблема возникла в отношении решения уравнений, хотя здесь она приняла более широкую форму, поскольку включала также комплексные числа.

Ясно, что можно найти дроби, которые все ближе и ближе подходят к тому, чтобы их квадрат был равен 2. Мы можем образовать возрастающий ряд дробей, квадраты которых меньше 2, но отличаются от 2 в своих последних членах менее чем на любую заданную величину. Иными словами, предположим, я заранее задам некоторую малую величину, скажем, одну миллиардную; окажется, что все члены нашего ряда после определенного, скажем, десятого, имеют квадраты, которые отличаются от 2 менее чем на эту величину. И если бы я задал еще меньшую величину, возможно, пришлось бы продвинуться дальше по ряду, но рано или поздно мы достигли бы члена ряда, скажем, двадцатого, после которого все члены имели бы квадраты, отличающиеся от 2 менее чем на эту еще меньшую величину. Если мы возьмемся за извлечение квадратного корня из 2 по обычному арифметическому правилу, мы получим бесконечную десятичную дробь, которая, будучи взята с таким-то количеством знаков, точно удовлетворяет вышеуказанным условиям. Мы можем с таким же успехом образовать убывающий ряд дробей, квадраты которых все больше 2, но превышают ее на постоянно уменьшающиеся величины по мере приближения к последующим членам ряда, и рано или поздно отличаются менее чем на любую заданную величину. Таким образом, мы как бы стягиваем кольцо вокруг квадратного корня из 2, и может показаться трудным поверить, что он может навсегда ускользнуть от нас. Тем не менее, не этим методом мы действительно достигнем квадратного корня из 2.

Если мы разделим все отношения на два класса в зависимости от того, меньше их квадраты 2 или нет, мы обнаружим, что среди тех, чьи квадраты не меньше 2, все имеют квадраты больше 2. Не существует максимума для отношений, квадрат которых меньше 2, и нет минимума для тех, квадрат которых больше 2. Нет нижнего предела, кроме нуля, для разности между числами, квадрат которых чуть меньше 2, и числами, квадрат которых чуть больше 2. Короче говоря, мы можем разделить все отношения на два класса так, что все члены одного класса меньше всех членов другого, при этом в одном классе нет максимума, а в другом — минимума. Между этими двумя классами, там, где должен был бы быть , ничего нет. Таким образом, наше кольцо, хотя мы и затянули его как можно туже, оказалось наложено не в том месте и не поймало .

Вышеописанный метод разделения всех членов ряда на два класса, из которых один полностью предшествует другому, был выдвинут на первый план Дедекиндом [17] и поэтому называется «дедекиндовым сечением». Относительно того, что происходит в точке сечения, существует четыре возможности: (1) может существовать максимум для нижнего сечения и минимум для верхнего сечения, (2) может существовать максимум для одного и не быть минимума для другого, (3) может не быть максимума для одного, но быть минимум для другого, (4) может не быть ни максимума для одного, ни минимума для другого. Из этих четырех случаев первый иллюстрируется любым рядом, в котором есть последовательные члены: в ряду целых чисел, например, нижнее сечение должно заканчиваться некоторым числом , а верхнее сечение должно тогда начинаться с . Второй случай будет проиллюстрирован в ряду отношений, если мы возьмем в качестве нашего нижнего сечения все отношения вплоть до 1 включительно, а в качестве нашего верхнего сечения — все отношения, большие 1. Третий случай иллюстрируется, если мы возьмем для нашего нижнего сечения все отношения, меньшие 1, а для нашего верхнего сечения — все отношения от 1 и выше (включая саму 1). Четвертый случай, как мы видели, иллюстрируется, если мы поместим в наше нижнее сечение все отношения, квадрат которых меньше 2, а в наше верхнее сечение — все отношения, квадрат которых больше 2.

[17] Stetigkeit und irrationale Zahlen, 2-е изд., Брауншвейг, 1892.

Мы можем пренебречь первым из наших четырех случаев, поскольку он возникает только в рядах, где есть последовательные члены. Во втором из наших четырех случаев мы говорим, что максимум нижнего сечения является нижним пределом верхнего сечения или любого множества членов, выбранных из верхнего сечения таким образом, что никакой член верхнего сечения не предшествует всем им. В третьем из наших четырех случаев мы говорим, что минимум верхнего сечения является верхним пределом нижнего сечения или любого множества членов, выбранных из нижнего сечения таким образом, что никакой член нижнего сечения не следует за всеми ними. В четвертом случае мы говорим, что существует «разрыв»: ни верхнее, ни нижнее сечение не имеют предела или последнего члена. В этом случае мы также можем сказать, что имеем «иррациональное сечение», поскольку сечения ряда отношений имеют «разрывы», когда они соответствуют иррациональным числам.

То, что задерживало создание истинной теории иррациональных чисел, было ошибочным убеждением, что должны существовать «пределы» рядов отношений. Понятие «предела» имеет величайшее значение, и прежде чем идти дальше, будет полезно его определить.

Член называется «верхним пределом» класса относительно отношения , если (1) в не существует максимума относительно , (2) каждый член , принадлежащий полю , предшествует , (3) каждый член поля , который предшествует , предшествует некоторому члену . (Под «предшествует» мы понимаем «имеет отношение к».)

Это предполагает следующее определение «максимума»:—

Член называется «максимумом» класса относительно отношения , если является членом и поля , и не имеет отношения к любому другому члену .

Эти определения не требуют, чтобы члены, к которым они применяются, были количественными. Например, если дан ряд моментов времени, упорядоченных по принципу «раньше» и «позже», их «максимумом» (если он есть) будет последний из моментов; но если они упорядочены по принципу «позже» и «раньше», их «максимумом» (если он есть) будет первый из моментов.

«Минимум» класса относительно есть его максимум относительно обратного отношения к ; а «нижний предел» относительно есть верхний предел относительно обратного отношения к .

Понятия предела и максимума не требуют в обязательном порядке, чтобы отношение, относительно которого они определены, было серийным, но они имеют мало важных применений, за исключением случаев, когда отношение является серийным или квазисерийным. Понятием, которое часто бывает важным, является понятие «верхний предел или максимум», которому мы можем дать название «верхняя граница». Таким образом, «верхняя граница» множества членов, выбранных из ряда, — это их последний член, если таковой имеется, а если нет — это первый член после всех них, если такой член существует. Если нет ни максимума, ни предела, то нет и верхней границы. «Нижняя граница» — это нижний предел или минимум.

Возвращаясь к четырем видам дедекиндова сечения, мы видим, что в случае первых трех видов каждое сечение имеет границу (верхнюю или нижнюю, в зависимости от обстоятельств), в то время как в четвертом виде ни одно из них не имеет границы. Также ясно, что всякий раз, когда нижнее сечение имеет верхнюю границу, верхнее сечение имеет нижнюю границу. Во втором и третьем случаях обе границы идентичны; в первом — они являются последовательными членами ряда.

Ряд называется «дедекиндовым», когда каждое сечение имеет границу, верхнюю или нижнюю, в зависимости от обстоятельств.

Мы видели, что ряд отношений в порядке возрастания не является дедекиндовым.

Из привычки находиться под влиянием пространственного воображения люди предполагали, что ряды должны иметь пределы в тех случаях, когда кажется странным, если их нет. Так, заметив, что не существует рационального предела для отношений, квадрат которых меньше 2, они позволили себе «постулировать» иррациональный предел, который должен был заполнить дедекиндов разрыв. Дедекинд в вышеупомянутой работе выдвинул аксиому, что разрыв должен быть всегда заполнен, то есть что каждое сечение должно иметь границу. Именно по этой причине ряды, в которых его аксиома подтверждается, называются «дедекиндовыми». Но существует бесконечное множество рядов, для которых она не подтверждается.

Метод «постулирования» того, что мы хотим, имеет много преимуществ; они те же, что и преимущества воровства перед честным трудом. Оставим их другим и продолжим наш честный труд.

Ясно, что иррациональное дедекиндово сечение каким-то образом «представляет» иррациональное число. Чтобы воспользоваться этим, что поначалу является не более чем смутным чувством, мы должны найти способ извлечь из него точное определение; и чтобы сделать это, мы должны освободить наш ум от представления, что иррациональное число должно быть пределом множества отношений. Подобно тому как отношения, знаменатель которых равен 1, не идентичны целым числам, так и те рациональные числа, которые могут быть больше или меньше иррациональных или могут иметь иррациональные числа в качестве своих пределов, не должны отождествляться с отношениями. Мы должны определить новый вид чисел, называемых «действительными числами», некоторые из которых будут рациональными, а некоторые — иррациональными. Те из них, которые являются рациональными, «соответствуют» отношениям таким же образом, как отношение соответствует целому числу ; но они не то же самое, что отношения. Чтобы решить, чем они должны быть, заметим, что иррациональное число представляется иррациональным сечением, а сечение представляется своим нижним сечением. Ограничимся сечениями, в которых нижнее сечение не имеет максимума; в этом случае мы будем называть нижнее сечение «сегментом». Тогда те сегменты, которые соответствуют отношениям, — это те, которые состоят из всех отношений, меньших того отношения, которому они соответствуют, являющегося их границей; в то время как те, которые представляют иррациональные числа, — это те, у которых нет границы. Сегменты, как те, что имеют границы, так и те, что их не имеют, таковы, что из любых двух, относящихся к одному ряду, один должен быть частью другого; следовательно, все они могут быть расположены в ряд по отношению целого и части. Ряд, в котором есть дедекиндовы разрывы, то есть в котором есть сегменты, не имеющие границы, даст больше сегментов, чем в нем есть членов, поскольку каждый член определит сегмент, имеющий этот член в качестве границы, а затем сегменты без границ будут дополнительными.

Теперь мы в состоянии определить действительное число и иррациональное число.

«Действительное число» — это сегмент ряда отношений в порядке возрастания.

«Иррациональное число» — это сегмент ряда отношений, который не имеет границы.

«Рациональное действительное число» — это сегмент ряда отношений, который имеет границу.

Таким образом, рациональное действительное число состоит из всех отношений, меньших определенного отношения, и оно является рациональным действительным числом, соответствующим этому отношению. Действительное число 1, например, — это класс правильных дробей.

В тех случаях, когда мы естественно предполагали, что иррациональное число должно быть пределом множества отношений, истина заключается в том, что оно является пределом соответствующего множества рациональных действительных чисел в ряду сегментов, упорядоченных по отношению целого и части. Например, является верхним пределом всех тех сегментов ряда отношений, которые соответствуют отношениям, чей квадрат меньше 2. Еще проще: — это сегмент, состоящий из всех тех отношений, чей квадрат меньше 2.

Легко доказать, что ряд сегментов любого ряда является дедекиндовым. Ибо, если дано любое множество сегментов, их границей будет их логическая сумма, то есть класс всех тех членов, которые принадлежат по крайней мере одному сегменту множества. [18]

[18] Более полное рассмотрение темы сегментов и дедекиндовых отношений см. в Principia Mathematica, т. II, * 210-214. Более полное рассмотрение действительных чисел см. там же, т. III, * 310 и сл., и Principles of Mathematics, гл. XXXIII и XXXIV.

Вышеприведенное определение действительных чисел является примером «конструкции» в противовес «постулированию», другой пример которого мы имели при определении кардинальных чисел. Большое преимущество этого метода в том, что он не требует новых допущений, а позволяет нам двигаться дедуктивно от исходного аппарата логики.

Нет никакой сложности в определении сложения и умножения для действительных чисел, определенных выше. Даны два действительных числа и , каждое из которых является классом отношений; возьмем любой член и любой член и сложим их вместе согласно правилу сложения отношений. Образуем класс всех таких сумм, получаемых путем варьирования выбранных членов и . Это дает новый класс отношений, и легко доказать, что этот новый класс является сегментом ряда отношений. Мы определяем его как сумму и . Мы можем сформулировать определение более кратко следующим образом:—

Арифметическая сумма двух действительных чисел — это класс арифметических сумм члена одного и члена другого, выбранных всеми возможными способами.

Мы можем определить арифметическое произведение двух действительных чисел точно таким же образом, умножая член одного на член другого всеми возможными способами. Класс отношений, таким образом порожденный, определяется как произведение двух действительных чисел. (Во всех таких определениях ряд отношений должен определяться как исключающий 0 и бесконечность.)

Нет никакой сложности в распространении наших определений на положительные и отрицательные действительные числа, а также на их сложение и умножение.

Остается дать определение комплексных чисел.

Комплексные числа, хотя и допускают геометрическую интерпретацию, не требуются геометрией столь же императивно, как иррациональные числа. «Комплексное» число означает число, включающее квадратный корень из отрицательного числа, будь то целое, дробное или действительное. Поскольку квадрат отрицательного числа положителен, число, квадрат которого должен быть отрицательным, должно быть новым видом числа. Используя букву для квадратного корня из , любое число, включающее квадратный корень из отрицательного числа, может быть выражено в форме , где и — действительные числа. Часть называется «мнимой» частью этого числа, а — «действительной» частью. (Причина использования фразы «действительные числа» в том, что они противопоставляются таким, которые являются «мнимыми».) Комплексные числа уже давно привычно используются математиками, несмотря на отсутствие какого-либо точного определения. Просто предполагалось, что они будут подчиняться обычным арифметическим правилам, и на этом допущении их использование было признано полезным. Они требуются меньше для геометрии, чем для алгебры и анализа. Мы желаем, например, иметь возможность сказать, что каждое квадратное уравнение имеет два корня, каждое кубическое уравнение — три, и так далее. Но если мы ограничены действительными числами, такое уравнение, как , не имеет корней, а такое уравнение, как , имеет только один. Каждое обобщение числа сначала представлялось как необходимое для какой-то простой задачи: отрицательные числа были нужны для того, чтобы вычитание было всегда возможно, поскольку иначе было бы бессмысленным, если бы было меньше ; дроби были нужны для того, чтобы деление было всегда возможно; а комплексные числа нужны для того, чтобы извлечение корней и решение уравнений были всегда возможны. Но расширения числа не создаются простой потребностью в них: они создаются определением, и именно к определению комплексных чисел мы должны теперь обратить наше внимание.

Комплексное число может рассматриваться и определяться просто как упорядоченная пара действительных чисел. Здесь, как и в других случаях, возможны многие определения. Все, что необходимо, — это чтобы принятые определения приводили к определенным свойствам. В случае комплексных чисел, если они определены как упорядоченные пары действительных чисел, мы сразу обеспечиваем некоторые из требуемых свойств, а именно: что для определения комплексного числа требуются два действительных числа, что среди них мы можем различить первое и второе, и что два комплексных числа идентичны только тогда, когда первое действительное число, входящее в одно, равно первому, входящему в другое, а второе — второму. То, что нужно дополнительно, может быть обеспечено определением правил сложения и умножения. Мы должны иметь . Таким образом, мы определим, что для двух упорядоченных пар действительных чисел и их сумма должна быть парой , а их произведение — парой . Этими определениями мы обеспечим, чтобы наши упорядоченные пары обладали желаемыми свойствами. Например, возьмем произведение двух пар и . Это, согласно вышеуказанному правилу, будет пара . Таким образом, квадрат пары будет парой . Теперь те пары, в которых второй член равен 0, — это те, которые, согласно обычной номенклатуре, имеют мнимую часть, равную нулю; в обозначении они являются , что естественно записать просто как . Точно так же, как естественно (но ошибочно) отождествлять отношения, знаменатель которых равен единице, с целыми числами, так естественно (но ошибочно) отождествлять комплексные числа, мнимая часть которых равна нулю, с действительными числами. Хотя это ошибка в теории, это удобство на практике; « » может быть заменено просто на « », а « » на « », при условии, что мы помним, что « » — это на самом деле не действительное число, а частный случай комплексного числа. И когда равно 1, « » может, конечно, быть заменено на « ». Таким образом, пара представляется как , а пара представляется как -1. Теперь наши правила умножения делают квадрат равным , то есть квадрат равен -1. Это то, что мы желали обеспечить. Таким образом, наши определения служат всем необходимым целям.

Легко дать геометрическую интерпретацию комплексных чисел в геометрии плоскости. Этот предмет был приятно изложен У. К. Клиффордом в его книге «Здравый смысл точных наук» — книге больших достоинств, но написанной до того, как была осознана важность чисто логических определений.

Комплексные числа более высокого порядка, хотя и гораздо менее полезные и важные, чем те, которые мы определяли, имеют определенные применения, не лишенные важности в геометрии, что можно увидеть, например, в «Универсальной алгебре» д-ра Уайтхеда. Определение комплексных чисел порядка получается путем очевидного расширения данного нами определения. Мы определяем комплексное число порядка как одно-многозначное отношение, область определения которого состоит из определенных действительных чисел, а область значений — из целых чисел от 1 до . [19] Это то, что обычно обозначалось бы номенклатурой , где суффиксы обозначают корреляцию с целыми числами, используемыми в качестве суффиксов, и корреляция является одно-многозначной, не обязательно взаимно однозначной, потому что и могут быть равны, когда и не равны. Вышеприведенное определение с подходящим правилом умножения послужит всем целям, для которых нужны комплексные числа более высоких порядков.

[19] Ср. Principles of Mathematics, § 360, стр. 379.

Мы завершили наш обзор тех расширений числа, которые не включают бесконечность. Применение числа к бесконечным совокупностям должно стать нашей следующей темой.

ГЛАВА VIII БЕСКОНЕЧНЫЕ КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Определение кардинальных чисел, которое мы дали в главе II, было применено в главе III к конечным числам, то есть к обычным натуральным числам. Им мы дали название «индуктивные числа», потому что обнаружили, что они определяются как числа, подчиняющиеся математической индукции, начиная с 0. Но мы еще не рассматривали совокупности, которые не имеют индуктивного числа членов, и не задавались вопросом, можно ли вообще сказать, что такие совокупности имеют число. Это древняя проблема, которая была решена в наши дни, главным образом Георгом Кантором. В настоящей главе мы попытаемся объяснить теорию трансфинитных или бесконечных кардинальных чисел, как она вытекает из сочетания его открытий с открытиями Фреге в логической теории чисел.

Нельзя сказать, что достоверно известно, существуют ли на самом деле в мире какие-либо бесконечные совокупности. Допущение, что они существуют, — это то, что мы называем «аксиомой бесконечности». Хотя напрашиваются различные способы, которыми мы могли бы надеяться доказать эту аксиому, есть основания опасаться, что все они ошибочны и что нет убедительной логической причины верить в ее истинность. В то же время, конечно, нет никакой логической причины против бесконечных совокупностей, и поэтому мы оправданы в логике, исследуя гипотезу о том, что такие совокупности существуют. Практическая форма этой гипотезы для наших текущих целей — это допущение, что если — любое индуктивное число, то не равно . Возникают различные тонкости при отождествлении этой формы нашего допущения с формой, утверждающей существование бесконечных совокупностей; но мы оставим их без внимания, пока в более поздней главе не перейдем к рассмотрению аксиомы бесконечности как таковой. На данный момент мы просто предположим, что если — индуктивное число, то не равно . Это включено в допущение Пеано о том, что никакие два индуктивных числа не имеют одного и того же преемника; ибо если , то и имеют одного и того же преемника, а именно . Таким образом, мы не предполагаем ничего, что не было бы включено в примитивные предложения Пеано.

Рассмотрим теперь совокупность самих индуктивных чисел. Это вполне определенный класс. Во-первых, кардинальное число — это множество классов, которые все подобны друг другу и не подобны ничему, кроме друг друга. Затем мы определяем как «индуктивные числа» те среди кардинальных чисел, которые принадлежат потомству 0 относительно отношения к , то есть те, которые обладают каждым свойством, присущим 0 и преемникам обладателей, понимая под «преемником» число . Таким образом, класс «индуктивных чисел» вполне определен. Согласно нашему общему определению кардинальных чисел, число членов в классе индуктивных чисел должно быть определено как «все те классы, которые подобны классу индуктивных чисел» — то есть это множество классов и есть число индуктивных чисел согласно нашим определениям.

Теперь легко увидеть, что это число не является одним из индуктивных чисел. Если — любое индуктивное число, число чисел от 0 до (включительно) равно ; следовательно, общее число индуктивных чисел больше , независимо от того, каким из индуктивных чисел может быть . Если мы расположим индуктивные числа в ряд в порядке возрастания, этот ряд не имеет последнего члена; но если — индуктивное число, каждый ряд, поле которого имеет членов, имеет последний член, что легко доказать. Такие различия можно умножать ad lib. Таким образом, число индуктивных чисел — это новое число, отличное от всех них, не обладающее всеми индуктивными свойствами. Может случиться так, что 0 обладает определенным свойством, и что если им обладает , то им обладает и , и все же это новое число им не обладает. Трудности, которые так долго задерживали теорию бесконечных чисел, были в значительной степени связаны с тем фактом, что некоторые, по крайней мере, индуктивные свойства ошибочно считались такими, которые должны принадлежать всем числам; действительно, считалось, что их нельзя отрицать без противоречия. Первый шаг в понимании бесконечных чисел состоит в осознании ошибочности этого взгляда.

Самое примечательное и удивительное различие между индуктивным числом и этим новым числом состоит в том, что это новое число не меняется при прибавлении 1, вычитании 1, удвоении, делении пополам или выполнении любого из ряда других операций, которые мы считаем обязательно делающими число больше или меньше. Факт неизменности при прибавлении 1 используется Кантором для определения того, что он называет «трансфинитными» кардинальными числами; но по разным причинам, некоторые из которых станут ясны по мере нашего продвижения, лучше определять бесконечное кардинальное число как такое, которое не обладает всеми индуктивными свойствами, то есть просто как такое, которое не является индуктивным числом. Тем не менее, свойство неизменности при прибавлении 1 является очень важным, и мы должны остановиться на нем на некоторое время.

Сказать, что класс имеет число, которое не меняется при прибавлении 1, — это то же самое, что сказать, что если мы возьмем член, который не принадлежит классу, мы можем найти взаимно однозначное отношение, область определения которого — класс, а область значений получена добавлением к классу. Ибо в этом случае класс подобен сумме самого себя и члена , то есть классу, имеющему один дополнительный член; так что он имеет то же число, что и класс с одним дополнительным членом, так что если — это число, то . В этом случае мы также будем иметь , то есть будут существовать взаимно однозначные отношения, области определения которых состоят из всего класса, а области значений состоят из всего класса без одного члена. Можно показать, что случаи, в которых это происходит, — те же, что и кажущиеся более общими случаи, в которых некоторая часть (меньшая целого) может быть приведена во взаимно однозначное отношение с целым. Когда это может быть сделано, коррелятор, с помощью которого это делается, можно сказать, «отражает» весь класс в часть самого себя; по этой причине такие классы будут называться «рефлексивными». Таким образом:

«Рефлексивный» класс — это класс, который подобен своей собственной правильной части. («Правильная часть» — это часть, меньшая целого.)

«Рефлексивное» кардинальное число — это кардинальное число рефлексивного класса.

Теперь мы должны рассмотреть это свойство рефлексивности.

Одним из самых ярких примеров «отражения» является иллюстрация Ройса с картой: он воображает, что решено сделать карту Англии на части поверхности Англии. Карта, если она точна, имеет идеальное взаимно однозначное соответствие со своим оригиналом; таким образом, наша карта, которая является частью, находится во взаимно однозначном отношении с целым и должна содержать то же число точек, что и целое, которое, следовательно, должно быть рефлексивным числом. Ройса интересует тот факт, что карта, если она верна, должна содержать карту карты, которая в свою очередь должна содержать карту карты карты, и так далее ad infinitum. Этот момент интересен, но не должен занимать нас в данный момент. На самом деле, нам будет лучше перейти от живописных иллюстраций к тем, которые более определенны, и для этой цели мы не можем сделать ничего лучше, чем рассмотреть сам числовой ряд.

Отношение к , ограниченное индуктивными числами, является взаимно однозначным, имеет все индуктивные числа в качестве своей области определения и все, кроме 0, в качестве области значений. Таким образом, весь класс индуктивных чисел подобен тому, чем становится тот же класс, когда мы опускаем 0. Следовательно, это «рефлексивный» класс согласно определению, а число его членов — «рефлексивное» число. Опять же, отношение к , ограниченное индуктивными числами, является взаимно однозначным, имеет все индуктивные числа в качестве своей области определения и только четные индуктивные числа в качестве области значений. Следовательно, общее число индуктивных чисел такое же, как число четных индуктивных чисел. Это свойство использовалось Лейбницем (и многими другими) как доказательство того, что бесконечные числа невозможны; считалось самопротиворечивым, что «часть должна быть равна целому». Но это одна из тех фраз, которые зависят в своей правдоподобности от невоспринятой расплывчатости: слово «равный» имеет много значений, но если его понимать как то, что мы назвали «подобным», то нет никакого противоречия, поскольку бесконечная совокупность вполне может иметь части, подобные самой себе. Те, кто считает это невозможным, как правило, бессознательно приписывали числам в целом свойства, которые могут быть доказаны только математической индукцией и которые только наша привычка заставляет нас ошибочно считать истинными за пределами области конечного.

Всякий раз, когда мы можем «отразить» класс в часть самого себя, то же самое отношение будет обязательно отражать эту часть в меньшую часть, и так далее ad infinitum. Например, мы можем отразить, как мы только что видели, все индуктивные числа в четные числа; мы можем тем же отношением (отношением к ) отразить четные числа в числа, кратные 4, их — в числа, кратные 8, и так далее. Это абстрактный аналог проблемы карты Ройса. Четные числа — это «карта» всех индуктивных чисел; числа, кратные 4, — это карта карты; числа, кратные 8, — это карта карты карты; и так далее. Если бы мы применили тот же процесс к отношению к , наша «карта» состояла бы из всех индуктивных чисел, кроме 0; карта карты состояла бы из всех чисел от 2 и далее, карта карты карты — из всех чисел от 3 и далее; и так далее. Главная польза таких иллюстраций состоит в том, чтобы освоиться с идеей рефлексивных классов, чтобы кажущиеся парадоксальными арифметические предложения можно было легко перевести на язык отражений и классов, в котором налет парадоксальности гораздо меньше.

Будет полезно дать определение числа, которое является числом индуктивных кардиналов. Для этой цели мы сначала определим вид ряда, примером которого являются индуктивные кардиналы в порядке возрастания. Вид ряда, который называется «прогрессией», уже рассматривался в главе I. Это ряд, который может быть порожден отношением последовательности: каждый член ряда должен иметь преемника, но должен быть только один, который не имеет предшественника, и каждый член ряда должен находиться в потомстве этого члена относительно отношения «непосредственный предшественник». Эти характеристики могут быть суммированы в следующем определении: [20]—

[20] Ср. Principia Mathematica, т. II, * 123.

«Прогрессия» — это взаимно однозначное отношение такое, что существует только один член, принадлежащий области определения, но не принадлежащий области значений, и область определения идентична потомству этого одного члена.

Легко видеть, что прогрессия, определенная таким образом, удовлетворяет пяти аксиомам Пеано. Член, принадлежащий области определения, но не области значений, будет тем, что он называет «0»; член, к которому другой член имеет взаимно однозначное отношение, будет «преемником» члена; а область определения взаимно однозначного отношения будет тем, что он называет «числом». Принимая его пять аксиом по очереди, мы получаем следующие переводы:—

(1) «0 — это число» становится: «Член области определения, который не является членом области значений, является членом области определения». Это эквивалентно существованию такого члена, которое дано в нашем определении. Мы назовем этот член «первым членом».

(2) «Преемник любого числа — это число» становится: «Член, к которому данный член области определения имеет рассматриваемое отношение, снова является членом области определения». Это доказывается следующим образом: согласно определению, каждый член области определения является членом потомства первого члена; следовательно, преемник члена области определения должен быть членом потомства первого члена (потому что потомство члена всегда содержит своих собственных преемников, согласно общему определению потомства), а значит, членом области определения, потому что согласно определению потомство первого члена то же самое, что и область определения.

(3) «Никакие два числа не имеют одного и того же преемника». Это означает лишь то, что отношение является одно-многозначным, каковым оно и является по определению (будучи взаимно однозначным).

(4) «0 не является преемником никакого числа» становится: «Первый член не является членом области значений», что опять же является непосредственным результатом определения.

(5) Это математическая индукция, и она становится: «Каждый член области определения принадлежит потомству первого члена», что было частью нашего определения.

Таким образом, прогрессии, как мы их определили, обладают пятью формальными свойствами, из которых Пеано выводит арифметику. Легко показать, что две прогрессии «подобны» в смысле, определенном для подобия отношений в главе VI. Мы можем, конечно, вывести отношение, которое является серийным, из взаимно однозначного отношения, которым мы определяем прогрессию: используемый метод — это тот, который объяснен в главе IV, и отношение — это отношение члена к члену его собственного потомства относительно исходного взаимно однозначного отношения.

Два транзитивных асимметричных отношения, которые порождают прогрессии, подобны по тем же причинам, по которым подобны соответствующие взаимно однозначные отношения. Класс всех таких транзитивных генераторов прогрессий является «серийным числом» в смысле главы VI; это, по сути, наименьшее из бесконечных серийных чисел, число, которому Кантор дал имя , которым он сделал его знаменитым.

Но мы заняты, на данный момент, кардинальными числами. Поскольку две прогрессии являются подобными отношениями, из этого следует, что их области определения (или их поля, которые те же, что и их области определения) являются подобными классами. Области определения прогрессий образуют кардинальное число, поскольку каждый класс, который подобен области определения прогрессии, легко показать, сам является областью определения прогрессии. Это кардинальное число — наименьшее из бесконечных кардинальных чисел; это то, которому Кантор присвоил еврейскую букву Алеф с суффиксом 0, чтобы отличить его от больших бесконечных кардиналов, которые имеют другие суффиксы. Таким образом, имя наименьшего из бесконечных кардиналов — .

Сказать, что класс имеет членов, — это то же самое, что сказать, что он является членом , и это то же самое, что сказать, что члены класса могут быть расположены в прогрессию. Очевидно, что любая прогрессия остается прогрессией, если мы опустим конечное число членов из нее, или каждый второй член, или все, кроме каждого десятого или каждого сотого члена. Эти методы прореживания прогрессии не делают ее перестающей быть прогрессией и поэтому не уменьшают число ее членов, которое остается . На самом деле, любая выборка из прогрессии является прогрессией, если у нее нет последнего члена, как бы редко она ни была распределена. Возьмем (скажем) индуктивные числа вида или . Такие числа становятся очень редкими в высших частях числового ряда, и все же их ровно столько же, сколько индуктивных чисел в целом, а именно .

Наоборот, мы можем добавлять члены к индуктивным числам, не увеличивая их число. Возьмем, например, отношения. Можно было бы склониться к мысли, что отношений должно быть гораздо больше, чем целых чисел, поскольку отношения, знаменатель которых равен 1, соответствуют целым числам и кажутся лишь бесконечно малой долей отношений. Но на самом деле число отношений (или дробей) в точности равно числу индуктивных чисел, а именно . Это легко увидеть, расположив отношения в ряд по следующему плану: если сумма числителя и знаменателя в одном меньше, чем в другом, поставьте первое перед вторым; если сумма равна в обоих, поставьте первым то, у которого меньше числитель. Это дает нам ряд . Этот ряд — прогрессия, и все отношения встречаются в нем рано или поздно. Следовательно, мы можем расположить все отношения в прогрессию, и их число, таким образом, равно .

Однако не все бесконечные совокупности имеют членов. Число действительных чисел, например, больше ; оно, по сути, равно , и нетрудно доказать, что больше , даже когда бесконечно. Самый простой способ доказать это — доказать сначала, что если класс имеет членов, он содержит подклассов — иными словами, что существуют способы выбора некоторых из его членов (включая крайние случаи, когда мы выбираем все или ни одного); и во-вторых, что число подклассов, содержащихся в классе, всегда больше числа членов класса. Из этих двух предложений первое знакомо в случае конечных чисел, и его нетрудно распространить на бесконечные числа. Доказательство второго настолько просто и настолько поучительно, что мы приведем его:

Во-первых, ясно, что число подклассов данного класса (скажем, ) по крайней мере так же велико, как число членов, поскольку каждый член составляет подкласс, и мы, таким образом, имеем корреляцию всех членов с некоторыми из подклассов. Следовательно, из этого следует, что если число подклассов не равно числу членов, оно должно быть больше. Теперь легко доказать, что число не равно, показав, что, учитывая любое взаимно однозначное отношение, область определения которого — члены, а область значений содержится среди множества подклассов, должен существовать по крайней мере один подкласс, не принадлежащий области значений. Доказательство следующее: [21] Когда устанавливается взаимно однозначная корреляция между всеми членами и некоторыми из подклассов, может случиться, что данный член коррелирует с подклассом, членом которого он является; или, опять же, может случиться, что коррелирует с подклассом, членом которого он не является. Сформируем весь класс, скажем, тех членов, которые коррелируют с подклассами, членами которых они не являются. Это подкласс , и он не коррелирует ни с одним членом . Ибо, беря сначала членов , каждый из них (по определению ) коррелирует с некоторым подклассом, членом которого он не является, и поэтому не коррелирует с . Беря затем члены, которые не являются членами , каждый из них (по определению ) коррелирует с некоторым подклассом, членом которого он является, и поэтому опять же не коррелирует с . Таким образом, ни один член не коррелирует с . Поскольку была любой взаимно однозначной корреляцией всех членов с некоторыми подклассами, из этого следует, что нет корреляции всех членов со всеми подклассами. Для доказательства не имеет значения, если не имеет членов: все, что происходит в этом случае, — это то, что подкласс, который, как показано, опущен, является нулевым классом. Следовательно, в любом случае число подклассов не равно числу членов, и поэтому, согласно тому, что было сказано ранее, оно больше. Объединяя это с предложением, что если — число членов, то — число подклассов, мы получаем теорему, что всегда больше , даже когда бесконечно.

[21] Это доказательство взято у Кантора с некоторыми упрощениями: см. Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, I. (1892), стр. 77.

Из этого предложения следует, что нет максимума для бесконечных кардинальных чисел. Каким бы большим ни было бесконечное число , будет еще больше. Арифметика бесконечных чисел несколько удивительна, пока к ней не привыкнешь. Мы имеем, например, (Это следует из случая отношений, ибо, поскольку отношение определяется парой индуктивных чисел, легко видеть, что число отношений — это квадрат числа индуктивных чисел, то есть оно равно ; но мы видели, что оно также равно .) Но . На самом деле, как мы увидим позже, — это очень важное число, а именно число членов в ряду, который имеет «непрерывность» в том смысле, в котором это слово используется Кантором. Предполагая пространство и время непрерывными в этом смысле (как мы обычно делаем в аналитической геометрии и кинематике), это будет число точек в пространстве или моментов во времени; это будет также число точек в любой конечной части пространства, будь то линия, площадь или объем. После , — самое важное и интересное из бесконечных кардинальных чисел.

Хотя сложение и умножение всегда возможны с бесконечными кардиналами, вычитание и деление больше не дают определенных результатов и поэтому не могут быть использованы так, как они используются в элементарной арифметике. Возьмем для начала вычитание: пока вычитаемое число конечно, все идет хорошо; если другое число рефлексивно, оно остается неизменным. Таким образом, , если конечно; пока что вычитание дает вполне определенный результат. Но иначе обстоит дело, когда мы вычитаем из самого ; мы можем тогда получить любой результат, от 0 до . Это легко увидеть на примерах. Из индуктивных чисел заберите следующие совокупности членов:—

(1) Все индуктивные числа — остаток, ноль.

(2) Все индуктивные числа от до конца — остаток, числа от 0 до , насчитывающие членов всего.

(3) Все нечетные числа — остаток, все четные числа, насчитывающие членов.

Все это разные способы вычитания из , и все они дают разные результаты.

Что касается деления, очень похожие результаты следуют из того факта, что не меняется при умножении на 2, 3 или любое конечное число , или на . Из этого следует, что деленное на может иметь любое значение от 1 до .

Из неоднозначности вычитания и деления следует, что отрицательные числа и отношения не могут быть распространены на бесконечные числа. Сложение, умножение и возведение в степень проходят вполне удовлетворительно, но обратные операции — вычитание, деление и извлечение корней — неоднозначны, и понятия, которые от них зависят, терпят неудачу, когда речь идет о бесконечных числах.

Характеристикой, по которой мы определили конечность, была математическая индукция, т.е. мы определили число как конечное, когда оно подчиняется математической индукции, начиная с 0, а класс как конечный, когда его число конечно. Это определение дает тот результат, который и должно давать определение, а именно: конечные числа — это те, которые встречаются в обычном числовом ряду 0, 1, 2, 3, ... Но в настоящей главе бесконечные числа, которые мы обсуждали, были не просто неиндуктивными: они также были рефлексивными. Кантор использовал рефлексивность в качестве определения бесконечного и полагает, что оно эквивалентно неиндуктивности; иными словами, он считает, что каждый класс и каждое кардинальное число являются либо индуктивными, либо рефлексивными. Это может быть правдой и, весьма вероятно, может быть доказано; но доказательства, предложенные до сих пор Кантором и другими (включая автора настоящей книги в прежние времена), ошибочны по причинам, которые будут объяснены, когда мы перейдем к рассмотрению «мультипликативной аксиомы». В настоящее время неизвестно, существуют ли классы и кардинальные числа, которые не являются ни рефлексивными, ни индуктивными. Если бы существовало такое кардинальное число, у нас не было бы , но не было бы одним из «натуральных чисел» и ему недоставало бы некоторых индуктивных свойств. Все известные бесконечные классы и кардинальные числа являются рефлексивными; но пока что целесообразно сохранять непредвзятость относительно того, существуют ли доселе неизвестные примеры классов и кардинальных чисел, которые не являются ни рефлексивными, ни индуктивными. Тем временем мы принимаем следующие определения:—

Конечный класс или кардинальное число — это такой класс или число, который является индуктивным.

Бесконечный класс или кардинальное число — это такой класс или число, который не является индуктивным. Все рефлексивные классы и кардинальные числа являются бесконечными; но в настоящее время неизвестно, являются ли все бесконечные классы и кардинальные числа рефлексивными. Мы вернемся к этой теме в главе XII.

ГЛАВА IX БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

«Бесконечный ряд» можно определить как ряд, полем которого является бесконечный класс. У нас уже была возможность рассмотреть один вид бесконечного ряда, а именно прогрессии. В этой главе мы рассмотрим данный предмет более обобщенно.

Наиболее примечательной характеристикой бесконечного ряда является то, что его порядковое число может быть изменено простым переупорядочиванием его членов. В этом отношении существует определенная противоположность между кардинальными и порядковыми числами. Можно сохранить кардинальное число рефлексивного класса неизменным, несмотря на добавление к нему членов; с другой стороны, можно изменить порядковое число ряда, не добавляя и не убавляя никаких членов, а лишь путем переупорядочивания. В то же время в случае любого бесконечного ряда также возможно, как и с кардинальными числами, добавлять члены, не изменяя порядкового числа: все зависит от того, каким образом они добавляются.

Чтобы прояснить ситуацию, лучше всего начать с примеров. Давайте сначала рассмотрим различные виды рядов, которые можно составить из индуктивных чисел, расположенных по разным планам. Мы начинаем с ряда , который, как мы уже видели, представляет собой наименьшее из бесконечных порядковых чисел, того рода, который Кантор называет . Давайте продолжим прореживать этот ряд, неоднократно выполняя операцию переноса в конец первого четного числа, которое встречается. Таким образом, мы последовательно получаем различные ряды: и так далее. Если мы представим, что этот процесс продолжается как можно дольше, мы в конечном итоге придем к ряду , в котором у нас сначала идут все нечетные числа, а затем все четные числа.

Порядковыми числами этих различных рядов являются . Каждое из этих чисел «больше», чем любое из его предшественников, в следующем смысле:—

Одно порядковое число называется «большим», чем другое, если любой ряд, имеющий первое число, содержит часть, имеющую второе число, но ни один ряд, имеющий второе число, не содержит части, имеющей первое число.

Если мы сравним два ряда , мы увидим, что первый подобен части второго, которая опускает последний член, а именно число 2, но второй не подобен никакой части первого. (Это очевидно, но легко доказывается.) Таким образом, второй ряд имеет большее порядковое число, чем первый, согласно определению — т.е. больше, чем . Но если мы добавим член в начало прогрессии, а не в конец, мы все равно получим прогрессию. Таким образом, . Следовательно, не равно . Это характерно для арифметики отношений в целом: если и — два числа отношений, общее правило состоит в том, что не равно . Случай конечных ординальных чисел, в котором имеет место равенство, является совершенно исключительным.

Ряд, к которому мы только что пришли, состоял сначала из всех нечетных чисел, а затем из всех четных чисел, и его порядковое число равно . Это число больше, чем или , где — конечное число. Следует заметить, что в соответствии с общим определением порядка каждое из этих расположений целых чисел должно рассматриваться как результат некоторого определенного отношения. Например, то, которое просто переносит 2 в конец, будет определяться следующим отношением: « и — конечные целые числа, и либо — это 2, а — не 2, либо ни одно из них не является 2, и меньше, чем .» То, которое ставит сначала все нечетные числа, а затем все четные, будет определяться так: « и — конечные целые числа, и либо — нечетное, а — четное, либо меньше, чем , и оба являются нечетными или оба являются четными». Мы не будем, как правило, утруждать себя приведением этих формул в будущем; но тот факт, что они могли бы быть приведены, является существенным.

Число, которое мы назвали , а именно число ряда, состоящего из двух прогрессий, иногда называют . Умножение, как и сложение, зависит от порядка множителей: прогрессия пар дает ряд, такой как , который сам по себе является прогрессией; но пара прогрессий дает ряд, который в два раза длиннее прогрессии. Поэтому необходимо различать и . Употребление варьируется; мы будем использовать для пары прогрессий и для прогрессии пар, и это решение, конечно, определяет нашу общую интерпретацию «», когда и — числа отношений: «» должно будет означать подходящим образом сконструированную сумму отношений, каждое из которых имеет членов.

Мы можем бесконечно продолжать процесс прореживания индуктивных чисел. Например, мы можем поместить сначала нечетные числа, затем их удвоенные значения, затем удвоенные значения этих последних и так далее. Таким образом, мы получаем ряд , число которого равно , поскольку это прогрессия прогрессий. Любую из прогрессий в этом новом ряду, конечно, можно проредить так же, как мы проредили нашу исходную прогрессию. Мы можем перейти к , , ..., и так далее; как бы далеко мы ни зашли, мы всегда можем пойти дальше.

Ряд всех ординальных чисел, которые могут быть получены таким образом, т.е. всех, которые могут быть получены путем прореживания прогрессии, сам по себе длиннее любого ряда, который может быть получен путем переупорядочивания членов прогрессии. (Это несложно доказать.) Можно показать, что кардинальное число класса таких ординальных чисел больше, чем ; это число, которое Кантор называет . Ординальное число ряда всех ординальных чисел, которые могут быть составлены из , взятых в порядке возрастания, называется . Таким образом, ряд, порядковое число которого равно , имеет поле, кардинальное число которого равно .

Мы можем перейти от и к и с помощью процесса, в точности аналогичного тому, с помощью которого мы продвинулись от и к и . И нет ничего, что помешало бы нам бесконечно продвигаться таким образом к новым кардинальным и ординальным числам. Неизвестно, равно ли какому-либо из кардинальных чисел в ряду Алефов. Неизвестно даже, сравнимо ли оно с ними по величине; насколько нам известно, оно может быть ни равным, ни большим, ни меньшим, чем любое из Алефов. Этот вопрос связан с мультипликативной аксиомой, о которой мы будем говорить позже.

Все ряды, которые мы рассматривали до сих пор в этой главе, были так называемыми «вполне упорядоченными». Вполне упорядоченный ряд — это ряд, который имеет начало, имеет последовательные члены и имеет член, следующий непосредственно за любой выборкой его членов, при условии, что после этой выборки есть какие-либо члены. Это исключает, с одной стороны, компактные ряды, в которых между любыми двумя членами есть другие, а с другой стороны — ряды, которые не имеют начала или в которых есть подчиненные части, не имеющие начала. Ряд отрицательных целых чисел в порядке возрастания, не имеющий начала, но заканчивающийся на -1, не является вполне упорядоченным; но если взять его в обратном порядке, начиная с -1, он становится вполне упорядоченным, будучи, по сути, прогрессией. Определение таково:

«Вполне упорядоченный» ряд — это ряд, в котором каждый подкласс (кроме, конечно, пустого класса) имеет первый член.

«Ординальное» число означает число отношений вполне упорядоченного ряда. Таким образом, это разновидность порядкового числа.

Среди вполне упорядоченных рядов применима обобщенная форма математической индукции. Свойство можно назвать «трансфинитно наследственным», если, принадлежа определенной выборке членов в ряду, оно принадлежит их непосредственному преемнику, при условии, что таковой имеется. Во вполне упорядоченном ряду трансфинитно наследственное свойство, принадлежащее первому члену ряда, принадлежит всему ряду. Это позволяет доказать многие положения, касающиеся вполне упорядоченных рядов, которые неверны для всех рядов.

Легко расположить индуктивные числа в ряды, которые не являются вполне упорядоченными, и даже расположить их в компактные ряды. Например, мы можем принять следующий план: рассмотрим десятичные дроби от .1 (включительно) до 1 (исключительно), расположенные в порядке возрастания. Они образуют компактный ряд; между любыми двумя всегда есть бесконечное множество других. Теперь опустим точку в начале каждой из них, и мы получим компактный ряд, состоящий из всех конечных целых чисел, кроме тех, которые делятся на 10. Если мы хотим включить те, которые делятся на 10, нет никаких трудностей; вместо того чтобы начинать с .1, мы включим все десятичные дроби меньше 1, но когда мы уберем точку, мы перенесем вправо любые нули, которые встречаются в начале нашей десятичной дроби. Опуская их и возвращаясь к тем, у которых нет нулей в начале, мы можем сформулировать правило расположения наших целых чисел следующим образом: из двух целых чисел, которые не начинаются с одной и той же цифры, первым идет то, которое начинается с меньшей цифры. Из двух, которые начинаются с одной и той же цифры, но различаются во второй цифре, первым идет то, у которого меньшая вторая цифра, но прежде всего то, у которого нет второй цифры; и так далее. В общем, если два целых числа совпадают в отношении первых цифр, но не в отношении -й, то первым идет то, у которого либо нет -й цифры, либо она меньше, чем у другого. Это правило расположения, как читатель может легко убедиться, порождает компактный ряд, содержащий все целые числа, не делящиеся на 10; и, как мы видели, нет никаких трудностей с включением тех, которые делятся на 10. Из этого примера следует, что можно построить компактные ряды, имеющие членов. Фактически, мы уже видели, что существуют отношения, и отношения в порядке возрастания образуют компактный ряд; таким образом, у нас здесь еще один пример. Мы возобновим эту тему в следующей главе.

Из обычных формальных законов сложения, умножения и возведения в степень все соблюдаются трансфинитными кардинальными числами, но лишь некоторые соблюдаются трансфинитными ординальными числами, а те, которые соблюдаются ими, соблюдаются всеми числами отношений. Под «обычными формальными законами» мы подразумеваем следующее:—

I. Коммутативный закон:

II. Ассоциативный закон:

III. Дистрибутивный закон:

Когда коммутативный закон не выполняется, приведенную выше форму дистрибутивного закона необходимо отличать от . Как мы увидим немедленно, одна форма может быть истинной, а другая — ложной.

IV. Законы возведения в степень:

Все эти законы справедливы для кардинальных чисел, как конечных, так и бесконечных, и для конечных ординальных чисел. Но когда мы переходим к бесконечным ординальным числам или, по сути, к числам отношений в целом, некоторые из них выполняются, а некоторые — нет. Коммутативный закон не выполняется; ассоциативный закон выполняется; дистрибутивный закон (принимая соглашение, которое мы приняли выше относительно порядка множителей в произведении) выполняется в форме , но не в форме ; экспоненциальные законы по-прежнему выполняются, но не закон , который, очевидно, связан с коммутативным законом для умножения.

Определения умножения и возведения в степень, которые предполагаются в приведенных выше утверждениях, несколько сложны. Читатель, который желает знать, что они собой представляют и как доказываются вышеуказанные законы, должен обратиться ко второму тому Principia Mathematica, * 172-176.

Ординальная трансфинитная арифметика была развита Кантором на более ранней стадии, чем кардинальная трансфинитная арифметика, поскольку она имеет различные технические математические применения, которые привели его к ней. Но с точки зрения философии математики она менее важна и менее фундаментальна, чем теория трансфинитных кардинальных чисел. Кардинальные числа по существу проще ординальных, и это любопытная историческая случайность, что они впервые появились как абстракция от последних и лишь постепенно стали изучаться сами по себе. Это не относится к работе Фреге, в которой кардинальные числа, конечные и трансфинитные, рассматривались в полной независимости от ординальных; но именно работа Кантора сделала мир осведомленным об этом предмете, в то время как работа Фреге оставалась почти неизвестной, вероятно, главным образом из-за сложности его символики. И математики, как и другие люди, испытывают больше трудностей в понимании и использовании понятий, которые являются сравнительно «простыми» в логическом смысле, чем в манипулировании более сложными понятиями, которые более близки к их обычной практике. По этим причинам лишь постепенно была осознана истинная важность кардинальных чисел в математической философии. Важность ординальных чисел, хотя и отнюдь не мала, отчетливо меньше, чем важность кардинальных чисел, и в значительной степени сливается с важностью более общей концепции чисел отношений.

ГЛАВА X ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Концепция «предела» — это та концепция, важность которой в математике оказалась постоянно большей, чем предполагалось. Весь дифференциальное и интегральное исчисление, фактически практически все в высшей математике, зависит от пределов. Раньше предполагалось, что в основаниях этих предметов участвуют бесконечно малые величины, но Вейерштрасс показал, что это ошибка: везде, где, как считалось, встречаются бесконечно малые величины, на самом деле встречается набор конечных величин, имеющих нуль в качестве своего нижнего предела. Раньше считалось, что «предел» — это существенно количественное понятие, а именно понятие величины, к которой другие приближаются все ближе и ближе, так что среди тех других найдутся такие, которые отличаются меньше, чем на любую заданную величину. Но на самом деле понятие «предела» — это чисто ординальное понятие, вообще не включающее количество (за исключением случайных случаев, когда рассматриваемый ряд оказывается количественным). Данная точка на линии может быть пределом набора точек на линии без необходимости вводить координаты, измерение или что-либо количественное. Кардинальное число есть предел (в порядке возрастания) кардинальных чисел 1, 2, 3, ..., ..., хотя числовая разница между и конечным кардинальным числом является постоянной и бесконечной: с количественной точки зрения конечные числа не приближаются к по мере того, как они становятся больше. То, что делает пределом конечных чисел, — это факт, что в ряду оно идет непосредственно после них, что является ординальным фактом, а не количественным фактом.

Существуют различные формы понятия «предела» возрастающей сложности. Самая простая и фундаментальная форма, из которой выводятся остальные, уже была определена, но мы повторим здесь определения, которые ведут к ней, в общей форме, в которой они не требуют, чтобы рассматриваемое отношение было сериальным. Определения таковы:—

«Минимумы» класса по отношению к отношению — это те члены и поля , (если таковые имеются), к которым ни один член не имеет отношения .

«Максимумы» по отношению к — это минимумы по отношению к конверсии .

«Секвенты» класса по отношению к отношению — это минимумы «преемников» , а «преемники» — это те члены поля , к которым каждый член общей части и поля имеет отношение .

«Прецеденты» по отношению к — это секвенты по отношению к конверсии .

«Верхние пределы» по отношению к — это секвенты, при условии, что не имеет максимума; но если имеет максимум, у него нет верхних пределов.

«Нижние пределы» по отношению к — это верхние пределы по отношению к конверсии .

Всякий раз, когда имеет связность, класс может иметь не более одного максимума, одного минимума, одного секвента и т.д. Таким образом, в случаях, с которыми мы имеем дело на практике, мы можем говорить о «пределе» (если таковой имеется).

Когда является сериальным отношением, мы можем значительно упростить приведенное выше определение предела. В этом случае мы можем сначала определить «границу» класса , т.е. его пределы или максимум, а затем перейти к различению случая, когда граница является пределом, от случая, когда она является максимумом. Для этой цели лучше всего использовать понятие «сегмента».

Мы будем говорить о «сегменте , определенном классом », как обо всех тех членах, которые имеют отношение к одному или нескольким членам . Это будет сегмент в смысле, определенном в главе VII; фактически, каждый сегмент в смысле, там определенном, является сегментом, определенным некоторым классом . Если сериально, сегмент, определенный , состоит из всех членов, которые предшествуют тому или иному члену . Если имеет максимум, сегмент будет состоять из всех предшественников максимума. Но если не имеет максимума, каждый член предшествует некоторому другому члену , и весь поэтому включен в сегмент, определенный . Возьмем, например, класс, состоящий из дробей, т.е. из всех дробей вида для различных конечных значений . Этот ряд дробей не имеет максимума, и ясно, что сегмент, который он определяет (во всем ряду дробей в порядке возрастания), является классом всех правильных дробей. Или, опять же, рассмотрим простые числа, рассматриваемые как выборка из кардинальных чисел (конечных и бесконечных) в порядке возрастания. В этом случае определенный сегмент состоит из всех конечных целых чисел.

Предполагая, что сериально, «границей» класса будет член (если он существует), чьими предшественниками являются сегмент, определенный .

«Максимум» — это граница, которая является членом .

«Верхний предел» — это граница, которая не является членом .

Если класс не имеет границы, он не имеет ни максимума, ни предела. Это случай «иррационального» дедекиндова сечения или того, что называется «пробелом».

Таким образом, «верхний предел» набора членов по отношению к ряду — это тот член (если он существует), который идет после всех , но является таким, что каждый более ранний член идет перед некоторыми из .

Мы можем определить все «верхние предельные точки» набора членов как все те, которые являются верхними пределами наборов членов, выбранных из . Нам, конечно, придется отличать верхние предельные точки от нижних предельных точек. Если мы рассмотрим, например, ряд ординальных чисел: , верхние предельные точки поля этого ряда — это те, которые не имеют непосредственных предшественников, т.е. . Верхними предельными точками поля этого нового ряда будут . С другой стороны, ряд ординальных чисел — и, по сути, каждый вполне упорядоченный ряд — не имеет нижних предельных точек, потому что нет никаких членов, кроме последнего, которые не имеют непосредственных преемников. Но если мы рассмотрим такой ряд, как ряд отношений, каждый член этого ряда является как верхней, так и нижней предельной точкой для подходящим образом выбранных наборов. Если мы рассмотрим ряд вещественных чисел и выберем из него рациональные вещественные числа, этот набор (рациональные числа) будет иметь все вещественные числа в качестве верхних и нижних предельных точек. Предельные точки набора называются его «первой производной», а предельные точки первой производной называются второй производной и так далее.

Что касается пределов, мы можем различать различные степени того, что можно назвать «непрерывностью» в ряду. Слово «непрерывность» использовалось в течение долгого времени, но оставалось без какого-либо точного определения до времен Дедекинда и Кантора. Каждый из этих двух людей придал термину точное значение, но определение Кантора уже, чем определение Дедекинда: ряд, который обладает канторовой непрерывностью, должен обладать дедекиндовой непрерывностью, но обратное неверно.

Первым определением, которое естественно пришло бы в голову человеку, ищущему точное значение непрерывности рядов, было бы определить ее как состоящую в том, что мы назвали «компактностью», т.е. в том факте, что между любыми двумя членами ряда есть другие. Но это было бы неадекватным определением из-за существования «пробелов» в рядах, таких как ряд отношений. Мы видели в главе VII, что существует бесчисленное множество способов, которыми ряд отношений может быть разделен на две части, из которых одна полностью предшествует другой, и из которых первая не имеет последнего члена, в то время как вторая не имеет первого члена. Такое положение дел кажется противоречащим смутному чувству, которое у нас есть относительно того, что должно характеризовать «непрерывность», и, более того, оно показывает, что ряд отношений не является тем типом ряда, который необходим для многих математических целей. Возьмем, например, геометрию: мы хотим иметь возможность сказать, что когда две прямые линии пересекаются, они имеют общую точку, но если бы ряд точек на линии был подобен ряду отношений, две линии могли бы пересечься в «пробеле» и не иметь общей точки. Это грубый пример, но можно привести много других, чтобы показать, что компактность неадекватна как математическое определение непрерывности.

Именно потребности геометрии в такой же степени, как и что-либо другое, привели к определению «дедекиндовой» непрерывности. Напомним, что мы определили ряд как дедекиндов, когда каждый подкласс поля имеет границу. (Достаточно предположить, что всегда существует верхняя граница или что всегда существует нижняя граница. Если предположить одну из них, другую можно вывести.) То есть ряд является дедекиндовым, когда нет пробелов. Отсутствие пробелов может возникать либо из-за того, что члены имеют преемников, либо из-за существования пределов при отсутствии максимумов. Таким образом, конечный ряд или вполне упорядоченный ряд является дедекиндовым, как и ряд вещественных чисел. Первый тип дедекиндова ряда исключается предположением, что наш ряд компактен; в этом случае наш ряд должен обладать свойством, которое может для многих целей подходящим образом называться непрерывностью. Таким образом, мы приходим к определению:

Ряд обладает «дедекиндовой непрерывностью», когда он является дедекиндовым и компактным.

Но это определение все еще слишком широко для многих целей. Предположим, например, что мы хотим иметь возможность приписать геометрическому пространству такие свойства, которые гарантировали бы, что каждую точку можно задать с помощью координат, являющихся вещественными числами: это не обеспечивается одной лишь дедекиндовой непрерывностью. Мы хотим быть уверены, что каждая точка, которую нельзя задать рациональными координатами, может быть задана как предел прогрессии точек, координаты которых рациональны, и это дополнительное свойство, которое наше определение не позволяет нам вывести.

Таким образом, мы приходим к более тщательному исследованию рядов в отношении пределов. Это исследование было проведено Кантором и легло в основу его определения непрерывности, хотя в своей простейшей форме это определение несколько скрывает соображения, которые привели к нему. Поэтому мы сначала пройдем через некоторые концепции Кантора в этой области, прежде чем давать его определение непрерывности.

Кантор определяет ряд как «совершенный», когда все его точки являются предельными точками и все его предельные точки принадлежат ему. Но это определение не совсем точно выражает то, что он имеет в виду. Не требуется никакой коррекции в отношении свойства, что все его точки должны быть предельными; это свойство, принадлежащее компактным рядам, и никаким другим, если все точки должны быть верхними предельными или все нижними предельными точками. Но если предполагается только, что они являются предельными точками в одном направлении, без уточнения в каком, будут существовать другие ряды, которые будут обладать рассматриваемым свойством — например, ряд десятичных дробей, в котором десятичная дробь, заканчивающаяся повторяющейся 9, отличается от соответствующей конечной десятичной дроби и помещается непосредственно перед ней. Такой ряд очень близок к компактному, но имеет исключительные члены, которые являются последовательными, и из которых первый не имеет непосредственного предшественника, в то время как второй не имеет непосредственного преемника. Помимо таких рядов, ряды, в которых каждая точка является предельной, являются компактными рядами; и это справедливо без оговорок, если указано, что каждая точка должна быть верхней предельной точкой (или что каждая точка должна быть нижней предельной точкой).

Хотя Кантор не рассматривает этот вопрос явно, мы должны различать различные виды предельных точек в зависимости от природы наименьшего подряда, с помощью которого они могут быть определены. Кантор предполагает, что они должны определяться прогрессиями или регрессиями (которые являются конверсиями прогрессий). Когда каждый член нашего ряда является пределом прогрессии или регрессии, Кантор называет наш ряд «плотным в себе» (insichdicht).

Теперь мы переходим ко второму свойству, с помощью которого должна была определяться совершенность, а именно свойству, которое Кантор называет свойством быть «замкнутым» (abgeschlossen). Это, как мы видели, впервые было определено как состоящее в том факте, что все предельные точки ряда принадлежат ему. Но это имеет какое-либо эффективное значение только в том случае, если наш ряд дан как содержащийся в некотором другом большем ряду (как это имеет место, например, с выборкой вещественных чисел), и предельные точки берутся по отношению к большему ряду. В противном случае, если ряд рассматривается просто сам по себе, он не может не содержать своих предельных точек. То, что Кантор имеет в виду, — это не совсем то, что он говорит; фактически, в других случаях он говорит нечто несколько иное, что и является тем, что он имеет в виду. На самом деле он имеет в виду, что каждый подчиненный ряд, который относится к тому типу, от которого можно ожидать наличия предела, имеет предел внутри данного ряда; т.е. каждый подчиненный ряд, который не имеет максимума, имеет предел, т.е. каждый подчиненный ряд имеет границу. Но Кантор не утверждает это для каждого подчиненного ряда, а только для прогрессий и регрессий. (Неясно, насколько он осознает, что это ограничение.) Таким образом, наконец, мы обнаруживаем, что определение, которое нам нужно, таково:—

Ряд называется «замкнутым» (abgeschlossen), когда каждая прогрессия или регрессия, содержащаяся в ряду, имеет предел в ряду.

Затем у нас есть дальнейшее определение:—

Ряд является «совершенным», когда он плотен в себе и замкнут, т.е. когда каждый член является пределом прогрессии или регрессии, и каждая прогрессия или регрессия, содержащаяся в ряду, имеет предел в ряду.

В поисках определения непрерывности Кантор имеет в виду поиск определения, которое применимо к ряду вещественных чисел и к любому ряду, подобному ему, но ни к каким другим. Для этой цели мы должны добавить еще одно свойство. Среди вещественных чисел некоторые являются рациональными, некоторые — иррациональными; хотя количество иррациональных чисел больше, чем количество рациональных, все же между любыми двумя вещественными числами есть рациональные, как бы мало они ни различались. Количество рациональных чисел, как мы видели, равно . Это дает дополнительное свойство, которое достаточно для полной характеристики непрерывности, а именно свойство содержать класс членов таким образом, что некоторые из этого класса встречаются между любыми двумя членами нашего ряда, как бы близко они ни находились. Это свойство, добавленное к совершенности, достаточно для определения класса рядов, которые все подобны и фактически являются порядковым числом. Этот класс Кантор определяет как класс непрерывных рядов.

Мы можем немного упростить его определение. Для начала скажем:

«Медианный класс» ряда — это подкласс поля такой, что члены его можно найти между любыми двумя членами ряда.

Таким образом, рациональные числа являются медианным классом в ряду вещественных чисел. Очевидно, что медианные классы не могут существовать, кроме как в компактных рядах.

Затем мы обнаруживаем, что определение Кантора эквивалентно следующему:—

Ряд является «непрерывным», когда (1) он является дедекиндовым, (2) он содержит медианный класс, имеющий членов.

Чтобы избежать путаницы, мы будем называть этот вид «канторовой непрерывностью». Будет видно, что она подразумевает дедекиндову непрерывность, но обратное неверно. Все ряды, обладающие канторовой непрерывностью, подобны, но не все ряды, обладающие дедекиндовой непрерывностью.

Понятия предела и непрерывности, которые мы определяли, не следует путать с понятиями предела функции при приближении к данному аргументу или непрерывности функции в окрестности данного аргумента. Это разные понятия, очень важные, но производные от вышеуказанных и более сложные. Непрерывность движения (если движение непрерывно) является примером непрерывности функции; с другой стороны, непрерывность пространства и времени (если они непрерывны) является примером непрерывности рядов или (выражаясь более осторожно) вида непрерывности, который может быть путем достаточных математических манипуляций сведен к непрерывности рядов. Ввиду фундаментальной важности движения в прикладной математике, а также по другим причинам, будет хорошо кратко рассмотреть понятия пределов и непрерывности применительно к функциям; но эту тему лучше оставить для отдельной главы.

Определения непрерывности, которые мы рассматривали, а именно определения Дедекинда и Кантора, не очень точно соответствуют смутной идее, которая ассоциируется с этим словом в сознании обывателя или философа. Они представляют себе непрерывность скорее как отсутствие раздельности, своего рода общее стирание различий, которое характеризует густой туман. Туман создает впечатление обширности без определенной множественности или деления. Именно это имеет в виду метафизик под «непрерывностью», объявляя ее, и весьма справедливо, характеристикой своей ментальной жизни, а также жизни детей и животных.

Общая идея, смутно указываемая словом «непрерывность» при таком использовании или словом «поток», безусловно, совершенно отличается от той, которую мы определяли. Возьмем, например, ряд вещественных чисел. Каждое из них есть то, что оно есть, совершенно определенно и бескомпромиссно; оно не переходит незаметными степенями в другое; это твердая, отдельная единица, и его расстояние от каждой другой единицы конечно, хотя его можно сделать меньше, чем любая заданная конечная величина, назначенная заранее. Вопрос о соотношении между видом непрерывности, существующим среди вещественных чисел, и видом, демонстрируемым, например, тем, что мы видим в данное время, является сложным и запутанным. Нельзя утверждать, что эти два вида просто идентичны, но, я думаю, вполне можно утверждать, что математическая концепция, которую мы рассматривали в этой главе, дает абстрактную логическую схему, к которой можно привести эмпирический материал путем подходящих манипуляций, если этот материал должен называться «непрерывным» в каком-либо точно определимом смысле. Было бы совершенно невозможно оправдать этот тезис в рамках настоящего тома. Читатель, который интересуется, может прочитать попытку оправдать его в отношении времени, в частности, автором настоящей книги в журнале Monist за 1914-5 годы, а также в частях книги «Наше знание внешнего мира». С этими указаниями мы должны оставить эту проблему, интересную, как она есть, чтобы вернуться к темам, более тесно связанным с математикой.

ГЛАВА XI ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

В этой главе мы будем заниматься определением предела функции (если таковой имеется) при приближении аргумента к данному значению, а также определением того, что подразумевается под «непрерывной функцией». Обе эти идеи несколько техничны и вряд ли потребовали бы рассмотрения в простом введении в математическую философию, если бы не тот факт, что, особенно через так называемое исчисление бесконечно малых, неверные взгляды на наши текущие темы настолько прочно укоренились в умах профессиональных философов, что для их искоренения требуются длительные и значительные усилия. Со времен Лейбница считалось, что дифференциальное и интегральное исчисление требует бесконечно малых величин. Математики (особенно Вейерштрасс) доказали, что это ошибка; но ошибки, включенные, например, в то, что Гегель говорит о математике, живучи, и философы склонны игнорировать работу таких людей, как Вейерштрасс.

Пределы и непрерывность функций в работах по обычной математике определяются в терминах, включающих число. Это не является существенным, как показал д-р Уайтхед. [22] Мы, однако, начнем с определений в учебниках, а затем покажем, как эти определения могут быть обобщены, чтобы применяться к рядам в целом, а не только к тем, которые являются числовыми или численно измеримыми.

[22] См. Principia Mathematica, том II, * 230-234.

Рассмотрим любую обычную математическую функцию , где и — оба вещественные числа, и — однозначна — т.е. когда задано , существует только одно значение, которое может иметь . Мы называем «аргументом», а — «значением для аргумента ». Когда функция является тем, что мы называем «непрерывной», грубая идея, для которой мы ищем точное определение, заключается в том, что малые различия в должны соответствовать малым различиям в , и если мы сделаем различия в достаточно малыми, мы можем сделать различия в меньше любой заданной величины. Мы не хотим, если функция должна быть непрерывной, чтобы были внезапные скачки, так что для некоторого значения любое изменение, как бы мало оно ни было, вызовет изменение в , которое превышает некоторую заданную конечную величину. Обычные простые функции математики обладают этим свойством: оно принадлежит, например, , , ..., , и так далее. Но совсем не трудно определить разрывные функции. Возьмем в качестве нематематического примера «место рождения самого молодого человека, живущего в момент времени ». Это функция от ; ее значение постоянно от момента рождения одного человека до момента следующего рождения, а затем значение внезапно меняется от одного места рождения к другому. Аналогичным математическим примером было бы «целое число, непосредственно следующее за », где — вещественное число. Эта функция остается постоянной от одного целого числа до следующего, а затем дает внезапный скачок. Фактический факт заключается в том, что, хотя непрерывные функции более знакомы, они являются исключениями: существует бесконечно больше разрывных функций, чем непрерывных.

Многие функции разрывны для одного или нескольких значений переменной, но непрерывны для всех остальных значений. Возьмем в качестве примера . Функция проходит через все значения от -1 до 1 каждый раз, когда проходит от до , или от до , или вообще от до , где — любое целое число. Теперь, если мы рассмотрим , когда очень мало, мы увидим, что по мере уменьшения растет все быстрее и быстрее, так что она проходит все быстрее и быстрее через цикл значений от одного кратного до другого по мере того, как становится все меньше и меньше. Следовательно, проходит все быстрее и быстрее от -1 до 1 и обратно, по мере того как растет меньше. Фактически, если мы возьмем любой интервал, содержащий 0, скажем, интервал от до , где — некоторое очень малое число, пройдет через бесконечное число колебаний в этом интервале, и мы не можем уменьшить колебания, делая интервал меньше. Таким образом, вокруг аргумента 0 функция разрывна. Легко создать функции, которые разрывны в нескольких местах, или в местах, или везде. Примеры можно найти в любой книге по теории функций вещественной переменной.

Переходя теперь к поиску точного определения того, что подразумевается под утверждением, что функция непрерывна для данного аргумента, когда аргумент и значение являются вещественными числами, давайте сначала определим «окрестность» числа как все числа от до , где — некоторое число, которое в важных случаях будет очень малым. Ясно, что непрерывность в данной точке связана с тем, что происходит в любой окрестности этой точки, как бы мала она ни была.

Что мы хотим, так это следующее: если — аргумент, для которого мы хотим, чтобы наша функция была непрерывной, давайте сначала определим окрестность (скажем, ), содержащую значение , которое функция имеет для аргумента ; мы хотим, чтобы, если мы возьмем достаточно малую окрестность, содержащую , все значения для аргументов по всей этой окрестности были бы содержаться в окрестности , независимо от того, насколько малым мы могли сделать . То есть, если мы постановим, что наша функция не должна отличаться от более чем на некоторую очень крошечную величину, мы всегда можем найти отрезок вещественных чисел, имеющий посередине, такой, что по всему этому отрезку не будет отличаться от более чем на предписанную крошечную величину. И это должно оставаться верным, какую бы крошечную величину мы ни выбрали. Следовательно, мы приходим к следующему определению:—

Функция называется «непрерывной» для аргумента , если для каждого положительного числа , отличного от 0, но сколь угодно малого, существует положительное число , отличное от 0, такое, что для всех значений , которые численно меньше [23] , разница численно меньше .

[23] Число называется «численно меньшим», чем , когда оно лежит между и .

В этом определении сначала определяет окрестность , а именно окрестность от до . Затем определение переходит к утверждению, что мы можем (с помощью ) определить окрестность, а именно от до , такую, что для всех аргументов внутри этой окрестности значение функции лежит внутри окрестности от до . Если это может быть сделано, как бы ни было выбрано , функция является «непрерывной» для аргумента .

До сих пор мы не определили «предел» функции для данного аргумента. Если бы мы это сделали, мы могли бы определить непрерывность функции иначе: функция непрерывна в точке, где ее значение совпадает с пределом ее значения при приближении либо сверху, либо снизу. Но только исключительно «послушная» функция имеет определенный предел при приближении аргумента к данной точке. Общее правило заключается в том, что функция колеблется и что, учитывая любую окрестность данного аргумента, как бы мала она ни была, целый ряд значений будет встречаться для аргументов внутри этой окрестности. Поскольку это общее правило, давайте рассмотрим его сначала.

Давайте рассмотрим, что может произойти, когда аргумент приближается к некоторому значению снизу. То есть мы хотим рассмотреть, что происходит для аргументов, содержащихся в интервале от до , где — некоторое число, которое в важных случаях будет очень малым.

Значения функции для аргументов от до (исключая ) будут набором вещественных чисел, который определит определенную секцию набора вещественных чисел, а именно секцию, состоящую из тех чисел, которые не больше всех значений для аргументов от до . Учитывая любое число в этой секции, существуют значения, по крайней мере столь же большие, как это число, для аргументов между и , т.е. для аргументов, которые очень мало не доходят до (если очень мало). Давайте возьмем все возможные и все возможные соответствующие секции. Общую часть всех этих секций мы назовем «предельной секцией» по мере приближения аргумента к . Сказать, что число принадлежит предельной секции, — значит сказать, что, как бы мало мы ни сделали , существуют аргументы между и , для которых значение функции не меньше .

Мы можем применить точно такой же процесс к верхним секциям, т.е. к секциям, которые идут от некоторой точки до верха, вместо того чтобы идти снизу до некоторой точки. Здесь мы берем те числа, которые не меньше всех значений для аргументов от до ; это определяет верхнюю секцию, которая будет варьироваться по мере варьирования . Взяв общую часть всех таких секций для всех возможных , мы получаем «предельную верхнюю секцию». Сказать, что число принадлежит предельной верхней секции, — значит сказать, что, как бы мало мы ни сделали , существуют аргументы между и , для которых значение функции не больше .

Если член принадлежит как предельной секции, так и предельной верхней секции, мы скажем, что он принадлежит «предельному колебанию». Мы можем проиллюстрировать это, рассмотрев еще раз функцию при приближении к значению 0. Мы предположим, чтобы соответствовать приведенным выше определениям, что это значение приближается снизу.

Давайте начнем с «предельной секции». Между и 0, каким бы ни было , функция будет принимать значение 1 для определенных аргументов, но никогда не будет принимать никакого большего значения. Следовательно, предельная секция состоит из всех вещественных чисел, положительных и отрицательных, до 1 включительно; т.е. она состоит из всех отрицательных чисел вместе с 0, вместе с положительными числами до 1 включительно.

Аналогично, «предельная верхняя секция» состоит из всех положительных чисел вместе с 0, вместе с отрицательными числами до -1 включительно.

Таким образом, «предельное колебание» состоит из всех вещественных чисел от -1 до 1, оба включительно.

Мы можем сказать в общем, что «предельное колебание» функции при приближении аргумента к снизу состоит из всех тех чисел , которые таковы, что, как бы близко мы ни подошли к , мы все равно найдем значения столь же большие, как , и значения столь же малые, как .

Предельное колебание может не содержать членов, или один член, или много членов. В первых двух случаях функция имеет определенный предел при приближении снизу. Если предельное колебание имеет один член, это довольно очевидно. Это столь же верно, если оно не имеет ни одного; ибо не трудно доказать, что если предельное колебание пусто, граница предельной секции совпадает с границей предельной верхней секции и может быть определена как предел функции при приближении снизу. Но если предельное колебание имеет много членов, нет определенного предела функции при приближении снизу. В этом случае мы можем взять нижнюю и верхнюю границы предельного колебания (т.е. нижнюю границу предельной верхней секции и верхнюю границу предельной секции) в качестве нижнего и верхнего пределов ее «предельных» значений при приближении снизу. Аналогично мы получаем нижний и верхний пределы «предельных» значений при приближении сверху. Таким образом, мы имеем в общем случае четыре предела функции при приближении к данному аргументу. Предел для данного аргумента существует только тогда, когда все эти четыре равны, и тогда является их общим значением. Если это также значение для аргумента , функция непрерывна для этого аргумента. Это можно принять за определение непрерывности: оно эквивалентно нашему прежнему определению.

Мы можем определить предел функции для заданного аргумента (если он существует), не прибегая к предельному колебанию и четырем пределам общего случая. В этом случае определение строится точно так же, как и ранее приведенное определение непрерывности. Определим предел для приближения снизу. Чтобы существовал определенный предел для приближения к x от аргументов, меньших x, необходимо и достаточно, чтобы для любого малого числа ε два значения функции для аргументов, достаточно близких к x (но оба меньших x), различались менее чем на ε; то есть если δ достаточно мало, а наши аргументы x' и x'' оба лежат между x - δ и x (x исключено), то разность между значениями для этих аргументов будет меньше ε. Это должно выполняться для любого ε, как бы мало оно ни было; в таком случае функция имеет предел при приближении снизу. Аналогично мы определяем случай, когда существует предел при приближении сверху. Эти два предела, даже если оба существуют, не обязательно должны быть идентичны; и если они идентичны, они все равно не обязательно должны совпадать со значением f(x) для аргумента x. Только в этом последнем случае мы называем функцию непрерывной для аргумента x.

Функция называется «непрерывной» (без уточнений), если она непрерывна для каждого аргумента.

Другой, несколько иной метод прихода к определению непрерывности заключается в следующем:

Скажем, что функция «в конечном счете сходится к классу κ», если существует такое вещественное число, что для этого аргумента и всех аргументов, больших него, значение функции является элементом класса κ. Аналогично мы скажем, что функция «сходится к κ по мере приближения аргумента к x снизу», если существует такой аргумент x', меньший x, что на всем интервале от x' (включительно) до x (исключительно) функция принимает значения, являющиеся элементами κ. Теперь мы можем сказать, что функция непрерывна для аргумента x, для которого она имеет значение y, если она удовлетворяет четырем условиям, а именно:

(1) Для любого вещественного числа, меньшего y, функция сходится к последователям этого числа по мере приближения аргумента к x снизу;

(2) Для любого вещественного числа, большего y, функция сходится к предшественникам этого числа по мере приближения аргумента к x снизу;

(3) и (4) Аналогичные условия для приближения к x сверху.

Преимущество такой формы определения состоит в том, что она анализирует условия непрерывности, разбивая их на четыре, полученные из рассмотрения аргументов и значений, соответственно больших или меньших аргумента и значения, для которых определяется непрерывность.

Теперь мы можем обобщить наши определения так, чтобы они применялись к рядам, которые не являются числовыми или не считаются численно измеримыми. Удобно иметь в виду случай движения. Существует рассказ Г. Уэллса, который проиллюстрирует на примере движения разницу между пределом функции для заданного аргумента и ее значением для того же аргумента. Герой рассказа, обладавший, сам того не зная, силой воплощать свои желания, подвергся нападению полицейского, но, воскликнув «Отправляйся к...», обнаружил, что полицейский исчез. Если f(t) — положение полицейского в момент времени t, а t0 — момент восклицания, то пределом положений полицейского по мере приближения t к t0 снизу был бы контакт с героем, тогда как значением для аргумента t0 было «нигде». Но такие случаи считаются редкими в реальном мире, и предполагается, хотя и без достаточных доказательств, что все движения непрерывны, т. е. что для любого тела, если f(t) — его положение в момент времени t, то f(t) является непрерывной функцией от t. Именно смысл «непрерывности», подразумеваемый в таких утверждениях, мы теперь хотим определить как можно проще.

Определения, данные для случая функций, где аргумент и значение являются вещественными числами, могут быть легко адаптированы для более общего использования.

Пусть P и Q — два отношения, которые полезно представлять себе как сериальные, хотя для наших определений это не обязательно. Пусть f — отношение «один-ко-многим», область определения которого содержится в поле P, а область значений — в поле Q. Тогда f является (в обобщенном смысле) функцией, аргументы которой принадлежат полю P, а значения — полю Q. Предположим, например, что мы имеем дело с частицей, движущейся по линии: пусть P — временной ряд, Q — ряд точек на нашей линии слева направо, f — отношение положения нашей частицы на линии в момент времени t к самому времени t, так что «f(t)» — это ее положение в момент времени t. Эту иллюстрацию можно иметь в виду на протяжении всех наших определений.

Мы скажем, что функция f непрерывна для аргумента x, если для любого интервала κ в Q-ряде, содержащего значение f(x) функции для аргумента x, существует интервал λ в P-ряде, содержащий x не в качестве конечной точки, и такой, что на всем этом интервале функция принимает значения, являющиеся элементами κ. (Под «интервалом» мы понимаем все члены между любыми двумя; т. е. если a и b — два члена поля P, и P имеет отношение к a и b, то под «P-интервалом от a до b» мы будем понимать все члены x, такие что x имеет отношение к a и b — вместе, если это оговорено, с самими a или b.)

Мы можем легко определить «предельное сечение» и «предельное колебание». Чтобы определить «предельное сечение» для приближения к аргументу x снизу, возьмем любой аргумент x', который предшествует x (т. е. имеет отношение P к x), возьмем значения функции для всех аргументов вплоть до x' включительно и сформируем сечение Q, определяемое этими значениями, т. е. те члены Q-ряда, которые предшествуют или идентичны некоторым из этих значений. Сформируем все такие сечения для всех x', предшествующих x, и возьмем их общую часть; это и будет предельным сечением. Предельное верхнее сечение и предельное колебание определяются затем точно так же, как в предыдущем случае.

Адаптация определения сходимости и вытекающее из нее альтернативное определение непрерывности не представляют никакой сложности.

Мы говорим, что функция f «в конечном счете P-сходится к κ», если существует член x' области значений f и поля P такой, что значение функции для аргумента x' и для любого аргумента, к которому x' имеет отношение P, является элементом κ. Мы говорим, что f «P-сходится к κ по мере приближения аргумента к заданному аргументу x», если существует член x' из области значений f, имеющий отношение P к x, такой, что значение функции для любого аргумента в P-интервале от x' (включительно) до x (исключительно) принадлежит κ.

Из четырех условий, которым должна удовлетворять функция, чтобы быть непрерывной для аргумента x, первое, если обозначить через y значение для аргумента x, гласит:

Для любого члена, имеющего отношение Q к y, f P-сходится к последователям y (относительно Q) по мере приближения аргумента к x снизу.

Второе условие получается заменой Q на его конверс; третье и четвертое получаются из первого и второго заменой P на его конверс.

Таким образом, в понятиях предела функции или непрерывности функции нет ничего, что существенно включало бы число. Оба могут быть определены в общем виде, и многие утверждения о них могут быть доказаны для любых двух рядов (один из которых является рядом аргументов, а другой — рядом значений). Будет видно, что определения не включают бесконечно малые величины. Они включают бесконечные классы интервалов, уменьшающихся без какого-либо предела, кроме нуля, но они не включают никаких интервалов, которые не были бы конечными. Это аналогично тому факту, что если линию длиной в дюйм делить пополам, затем снова пополам и так далее до бесконечности, мы никогда не достигнем бесконечно малых величин таким путем: после n бисекций длина нашего отрезка составит 1/2^n дюйма; и это конечно, каким бы конечным ни было число n. Процесс последовательного деления пополам не приводит к делениям, ординальное число которых бесконечно, поскольку это по существу процесс «один за другим». Таким образом, бесконечно малые величины таким путем не достигаются. Путаница в таких темах имела большое отношение к трудностям, которые возникали при обсуждении бесконечности и непрерывности.

ГЛАВА XII. ВЫБОРКИ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ АКСИОМА

В этой главе мы должны рассмотреть аксиому, которая может быть сформулирована, но не доказана в терминах логики, и которая удобна, хотя и не обязательна, в некоторых разделах математики. Она удобна в том смысле, что многие интересные утверждения, которые кажется естественным считать истинными, невозможно доказать без ее помощи; но она не обязательна, поскольку даже без этих утверждений предметы, в которых они встречаются, все равно существуют, хотя и в несколько искаженном виде.

Прежде чем сформулировать мультипликативную аксиому, мы должны сначала объяснить теорию выборок и определение умножения, когда число множителей может быть бесконечным.

При определении арифметических операций единственно правильным подходом является построение фактического класса (или отношения, в случае чисел отношений), имеющего требуемое число членов. Это иногда требует определенной изобретательности, но необходимо для доказательства существования определенного числа. Возьмем в качестве простейшего примера случай сложения. Предположим, нам дано кардинальное число μ и класс α, имеющий μ членов. Как нам определить μ + μ? Для этой цели у нас должны быть два класса, имеющих μ членов, и они не должны пересекаться. Мы можем построить такие классы из α различными способами, из которых следующий, пожалуй, самый простой: сформируем сначала все упорядоченные пары, первым членом которых является класс, состоящий из одного члена α, а вторым — пустой класс; затем, во-вторых, сформируем все упорядоченные пары, первым членом которых является пустой класс, а вторым — класс, состоящий из одного члена α. Эти два класса пар не имеют общих членов, и логическая сумма этих двух классов будет иметь μ + μ членов. Точно так же мы можем определить μ + ν, при условии, что μ — число некоторого класса α, а ν — число некоторого класса β.

Такие определения, как правило, являются лишь вопросом подходящего технического приема. Но в случае умножения, когда число множителей может быть бесконечным, из определения возникают важные проблемы.

Умножение, когда число множителей конечно, не представляет трудностей. Даны два класса α и β, из которых первый имеет μ членов, а второй — ν членов; мы можем определить μ × ν как число упорядоченных пар, которые могут быть сформированы путем выбора первого члена из α, а второго — из β. Будет видно, что это определение не требует, чтобы α и β не пересекались; оно остается адекватным, даже когда α и β идентичны. Например, пусть α — класс, членами которого являются a, b, c. Тогда класс, который используется для определения произведения μ × μ, — это класс пар: (a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c). Это определение остается применимым, когда μ или ν (или оба) бесконечны, и оно может быть расширено шаг за шагом на три, четыре или любое конечное число множителей. Никаких трудностей с этим определением не возникает, за исключением того, что оно не может быть расширено на бесконечное число множителей.

Проблема умножения, когда число множителей может быть бесконечным, возникает следующим образом: предположим, у нас есть класс, состоящий из классов; предположим, задано число членов в каждом из этих классов. Как нам определить произведение всех этих чисел? Если мы сможем сформулировать наше определение в общем виде, оно будет применимо независимо от того, является ли класс классов конечным или бесконечным. Следует заметить, что проблема заключается в способности справиться со случаем, когда класс классов бесконечен, а не со случаем, когда его члены бесконечны. Если класс классов не бесконечен, метод, определенный выше, применим так же, как и тогда, когда его члены бесконечны, так и тогда, когда они конечны. Именно случай, когда класс классов бесконечен, даже если его члены конечны, мы должны научиться обрабатывать.

Следующий метод общего определения умножения принадлежит д-ру Уайтхеду. Он подробно объяснен и рассмотрен в Principia Mathematica, том I, * 80 и сл., и том II, * 114.

Предположим для начала, что κ — это класс классов, никакие два из которых не пересекаются — скажем, избирательные округа в стране, где нет множественного голосования, причем каждый округ рассматривается как класс избирателей. Теперь приступим к выбору одного члена из каждого класса в качестве его «представителя», как это делают округа, когда они избирают членов парламента, предполагая, что по закону каждый округ должен избрать человека, который является избирателем в этом округе. Таким образом, мы приходим к классу представителей, которые составляют наш парламент, по одному от каждого округа. Сколько существует различных возможных способов выбора парламента? Каждый округ может выбрать любого из своих избирателей, и поэтому, если в округе μ избирателей, он может сделать μ выборов. Выборы разных округов независимы; таким образом, очевидно, что когда общее число округов конечно, число возможных парламентов получается путем перемножения чисел избирателей в различных округах. Когда мы не знаем, конечно или бесконечно число округов, мы можем принять число возможных парламентов за определение произведения чисел отдельных округов. Это метод, с помощью которого определяются бесконечные произведения. Теперь мы должны отбросить нашу иллюстрацию и перейти к точным формулировкам.

Пусть κ — класс классов, и предположим для начала, что никакие два члена κ не пересекаются, т. е. что если α и β — два разных члена κ, то никакой член одного не является членом другого. Мы будем называть класс «выборкой» из κ, когда он состоит ровно из одного члена от каждого члена κ; т. е. λ — это «выборка» из κ, если каждый член λ принадлежит какому-либо члену κ, и если α — любой член κ, то α и λ имеют ровно один общий член. Класс всех «выборок» из κ мы будем называть «мультипликативным классом» κ. Число членов в мультипликативном классе κ, т. е. число возможных выборок из κ, определяется как произведение чисел членов κ. Это определение одинаково применимо независимо от того, является ли κ конечным или бесконечным.

Прежде чем мы сможем быть полностью удовлетворены этими определениями, мы должны снять ограничение, согласно которому никакие два члена κ не должны пересекаться. Для этой цели, вместо того чтобы сначала определять класс, называемый «выборкой», мы сначала определим отношение, которое назовем «селектором». Отношение R будет называться «селектором» из κ, если из каждого члена α класса κ оно выбирает один член в качестве представителя этого члена, т. е. если для любого члена α из κ существует ровно один член x, который является членом α и имеет отношение R к α; и это должно быть всем, что делает R. Формальное определение таково:

«Селектор» из класса классов κ — это отношение «один-ко-многим», имеющее κ своей областью значений и такое, что если x имеет отношение R к α, то x является членом α.

Если R — селектор из κ, а α — член κ, и x — член, который имеет отношение R к α, мы называем x «представителем» α в отношении R.

«Выборка» из κ теперь будет определяться как область определения селектора; а мультипликативный класс, как и прежде, будет классом выборок.

Но когда члены κ пересекаются, селекторов может быть больше, чем выборок, поскольку член x, который принадлежит двум классам α и β, может быть выбран один раз для представления α и один раз для представления β, что в двух случаях приводит к разным селекторам, но к одной и той же выборке. Для целей определения умножения нам нужны скорее селекторы, чем выборки. Таким образом, мы определяем:

«Произведение чисел членов класса классов κ» — это число селекторов из κ.

Мы можем определить возведение в степень путем адаптации вышеуказанного плана. Мы могли бы, конечно, определить μ^ν как число селекторов из ν классов, каждый из которых имеет μ членов. Но есть возражения против этого определения, вытекающие из того факта, что мультипликативная аксиома (о которой мы вскоре скажем) оказывается излишне вовлеченной, если его принять. Вместо этого мы принимаем следующую конструкцию:

Пусть μ — класс, имеющий μ членов, а ν — класс, имеющий ν членов.

Пусть y — член ν, и сформируем класс всех упорядоченных пар, которые имеют y в качестве второго члена, а член μ — в качестве первого члена. Для данного y будет μ таких пар, поскольку любой член μ может быть выбран в качестве первого члена, а μ имеет μ членов. Если мы теперь сформируем все классы такого рода, которые получаются при варьировании y, мы получим в общей сложности ν классов, поскольку y может быть любым членом ν, а ν имеет ν членов. Эти классы — каждый из них — являются классами пар, а именно всеми парами, которые могут быть сформированы из переменного члена μ и фиксированного члена y. Мы определяем μ^ν как число селекторов из класса, состоящего из этих ν классов. Или мы можем с таким же успехом определить μ^ν как число выборок, ибо, поскольку наши классы пар взаимно исключающие, число селекторов совпадает с числом выборок. Выборка из нашего класса классов будет набором упорядоченных пар, из которых будет ровно одна, имеющая любой заданный член ν в качестве второго члена, а первый член может быть любым членом μ. Таким образом, μ^ν определяется селекторами из определенного набора классов, каждый из которых имеет μ членов, но этот набор имеет определенную структуру и более управляемый состав, чем это имеет место в общем случае. Релевантность этого для мультипликативной аксиомы станет ясна вскоре.

То, что относится к возведению в степень, относится также к произведению двух кардинальных чисел. Мы могли бы определить «μ × ν» как сумму чисел ν классов, каждый из которых имеет μ членов, но мы предпочитаем определять его как число упорядоченных пар, состоящих из члена μ, за которым следует член ν, где μ имеет μ членов, а ν имеет ν членов. Это определение также разработано так, чтобы избежать необходимости принятия мультипликативной аксиомы.

С помощью наших определений мы можем доказать обычные формальные законы умножения и возведения в степень. Но есть одна вещь, которую мы не можем доказать: мы не можем доказать, что произведение равно нулю только тогда, когда один из его множителей равен нулю. Мы можем доказать это, когда число множителей конечно, но не тогда, когда оно бесконечно. Другими словами, мы не можем доказать, что для любого класса классов, ни один из которых не является пустым, должны существовать селекторы из них; или что для любого класса взаимно исключающих классов должен существовать по крайней мере один класс, состоящий из одного члена из каждого из данных классов. Эти вещи нельзя доказать; и хотя на первый взгляд они кажутся очевидно истинными, размышление вызывает постепенно возрастающее сомнение, пока, наконец, мы не соглашаемся зарегистрировать это допущение и его следствия, как мы регистрируем аксиому параллельных прямых, не предполагая, что мы можем знать, истинна она или ложна. Допущение, выраженное нестрого, состоит в том, что селекторы и выборки существуют тогда, когда мы их ожидаем. Существует много эквивалентных способов точной формулировки этого. Мы можем начать со следующего:

«Для любого класса взаимно исключающих классов, ни один из которых не является пустым, существует по крайней мере один класс, который имеет ровно один общий член с каждым из данных классов».

Это утверждение мы назовем «мультипликативной аксиомой» [24]. Мы сначала приведем различные эквивалентные формы этого утверждения, а затем рассмотрим некоторые способы, которыми его истинность или ложность представляет интерес для математики.

[24] Principia Mathematica, том I, * 88. Также том III, * 257-258.

Мультипликативная аксиома эквивалентна утверждению, что произведение равно нулю только тогда, когда по крайней мере один из его множителей равен нулю; т. е. что если любое количество кардинальных чисел перемножается, результат не может быть 0, если только одно из рассматриваемых чисел не равно 0.

Мультипликативная аксиома эквивалентна утверждению, что если R — любое отношение, а κ — любой класс, содержащийся в области значений R, то существует по крайней мере одно отношение «один-ко-многим», подразумевающее R и имеющее κ своей областью значений.

Мультипликативная аксиома эквивалентна допущению, что если κ — любой класс, а κ' — все подклассы κ, за исключением пустого класса, то существует по крайней мере один селектор из κ'. Это форма, в которой аксиома была впервые доведена до сведения ученого мира Цермело в его работе «Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann» [25]. Цермело рассматривает аксиому как несомненную истину. Следует признать, что до тех пор, пока он не сделал ее явной, математики использовали ее без колебаний; но, по-видимому, они делали это неосознанно. И заслуга Цермело в том, что он сделал ее явной, полностью независима от вопроса о том, истинна она или ложна.

[25] Mathematische Annalen, том LIX, стр. 514-6. В этой форме мы будем называть ее аксиомой Цермело.

Мультипликативная аксиома, как показал Цермело в вышеупомянутом доказательстве, эквивалентна утверждению, что каждый класс может быть вполне упорядочен, т. е. может быть расположен в ряд, в котором каждый подкласс имеет первый член (кроме, конечно, пустого класса). Полное доказательство этого утверждения сложно, но нетрудно увидеть общий принцип, на котором оно строится. Оно использует форму, которую мы называем «аксиомой Цермело», т. е. предполагает, что для любого класса κ существует по крайней мере одно отношение «один-ко-многим», область значений которого состоит из всех существующих подклассов κ и которое таково, что если x имеет отношение R к α, то x является членом α. Такое отношение выбирает «представителя» из каждого подкласса; конечно, часто будет случаться, что два подкласса имеют одного и того же представителя. То, что делает Цермело, по сути, — это пересчет членов κ, один за другим, с помощью R и трансфинитной индукции. Мы ставим первым представителя κ; назовем его x1. Затем берем представителя класса, состоящего из всех членов κ, кроме x1; назовем его x2. Он должен отличаться от x1, потому что каждый представитель является членом своего класса, а x1 исключен из этого класса. Действуем аналогично, чтобы убрать x2, и пусть x3 будет представителем того, что осталось. Таким образом, мы сначала получаем прогрессию x1, x2, ..., xn, ..., предполагая, что κ не является конечным. Затем мы убираем всю прогрессию; пусть xω будет представителем того, что осталось от κ. Таким образом, мы можем продолжать, пока ничего не останется. Последовательные представители образуют вполне упорядоченный ряд, содержащий все члены κ. (Вышесказанное, конечно, лишь намек на общие линии доказательства.) Это утверждение называется «теоремой Цермело».

Мультипликативная аксиома также эквивалентна допущению, что из любых двух кардинальных чисел, которые не равны, одно должно быть больше другого. Если аксиома ложна, найдутся кардинальные числа μ и ν такие, что μ не меньше, не равно и не больше ν. Мы видели, что 2^ℵ0 и ℵ1, возможно, образуют пример такой пары.

Можно было бы привести много других форм аксиомы, но вышеприведенные являются наиболее важными из известных в настоящее время. Что касается истинности или ложности аксиомы в любой из ее форм, в настоящее время ничего не известно.

Утверждения, которые зависят от аксиомы, не будучи известными как эквивалентные ей, многочисленны и важны. Возьмем сначала связь сложения и умножения. Мы естественно думаем, что сумма μ взаимно исключающих классов, каждый из которых имеет ν членов, должна иметь μ × ν членов. Когда μ конечно, это можно доказать. Но когда μ бесконечно, это невозможно доказать без мультипликативной аксиомы, за исключением случаев, когда в силу каких-то особых обстоятельств можно доказать существование определенных селекторов. То, как входит мультипликативная аксиома, заключается в следующем: предположим, у нас есть два набора μ взаимно исключающих классов, каждый из которых имеет ν членов, и мы хотим доказать, что сумма одного набора имеет столько же членов, сколько сумма другого. Чтобы доказать это, мы должны установить отношение «один-к-одному». Теперь, поскольку в каждом случае есть μ классов, существует некоторое отношение «один-к-одному» между двумя наборами классов; но что нам нужно, так это отношение «один-к-одному» между их членами. Рассмотрим некоторое отношение «один-к-одному» R между классами. Тогда, если κ и λ — два набора классов, а α — некоторый член κ, будет член β из λ, который будет коррелятом α относительно R. Теперь α и β каждый имеют ν членов и поэтому подобны. Соответственно, существуют корреляции «один-к-одному» между α и β. Проблема в том, что их слишком много. Чтобы получить корреляцию «один-к-одному» суммы κ с суммой λ, мы должны выбрать одну выборку из набора классов корреляторов, причем один класс набора — это все корреляторы «один-к-одному» α с β. Если μ и ν бесконечны, мы не можем в общем случае знать, что такая выборка существует, если не можем знать, что мультипликативная аксиома истинна. Следовательно, мы не можем установить обычный вид связи между сложением и умножением.

Этот факт имеет различные любопытные последствия. Прежде всего, мы знаем, что ℵ0 × ℵ0 = ℵ0. Из этого обычно делают вывод, что сумма ℵ0 классов, каждый из которых имеет ℵ0 членов, сама должна иметь ℵ0 членов, но этот вывод ошибочен, поскольку мы не знаем, что число членов в такой сумме равно ℵ0, и, следовательно, что оно равно ℵ0. Это имеет отношение к теории трансфинитных ординальных чисел. Легко доказать, что ординальное число, которое имеет ℵ0 предшественников, должно быть одним из тех, что Кантор называет «вторым классом», т. е. таким, что ряд, имеющий это ординальное число, будет иметь ℵ0 членов в своем поле. Также легко видеть, что если мы возьмем любую прогрессию ординальных чисел второго класса, предшественники их предела образуют самое большее сумму ℵ0 классов, каждый из которых имеет ℵ0 членов. Отсюда делается вывод — ошибочно, если только мультипликативная аксиома не истинна, — что предшественников предела ℵ0 по количеству, и, следовательно, что предел является числом «второго класса». То есть предполагается доказанным, что любая прогрессия ординальных чисел второго класса имеет предел, который снова является ординальным числом второго класса. Это утверждение, вместе со следствием, что ℵ1 (наименьшее ординальное число третьего класса) не является пределом никакой прогрессии, включено в большую часть признанной теории ординальных чисел второго класса. Учитывая то, как вовлечена мультипликативная аксиома, это утверждение и его следствие нельзя считать доказанными. Они могут быть истинными, а могут и нет. Все, что можно сказать в настоящее время, — это то, что мы не знаем. Таким образом, большая часть теории ординальных чисел второго класса должна считаться недоказанной.

Другая иллюстрация может помочь сделать этот момент яснее. Мы знаем, что ℵ0 × 2 = ℵ0. Отсюда мы могли бы предположить, что сумма ℵ0 пар должна иметь ℵ0 членов. Но это, хотя мы можем доказать, что это иногда имеет место, нельзя доказать как всегда происходящее, если мы не примем мультипликативную аксиому. Это иллюстрируется миллионером, который покупал пару носков всякий раз, когда покупал пару ботинок, и никогда в другое время, и который имел такую страсть к покупке обоих, что в конце концов у него было ℵ0 пар ботинок и ℵ0 пар носков. Проблема: сколько у него было ботинок и сколько носков? Естественно предположить, что у него было вдвое больше ботинок и вдвое больше носков, чем пар каждого, и что поэтому у него было ℵ0 каждого, поскольку это число не увеличивается при удвоении. Но это пример уже отмеченной трудности соединения суммы ℵ0 классов, каждый из которых имеет 2 члена, с ℵ0. Иногда это можно сделать, иногда нет. В нашем случае это можно сделать с ботинками, но не с носками, за исключением какого-то очень искусственного приема. Причина различия такова: среди ботинок мы можем различить правый и левый, и поэтому мы можем сделать выборку по одному из каждой пары, а именно, мы можем выбрать все правые ботинки или все левые ботинки; но с носками никакой такой принцип выбора не напрашивается, и мы не можем быть уверены, если не примем мультипликативную аксиому, что существует какой-либо класс, состоящий из одного носка из каждой пары. Отсюда и проблема.

Мы можем выразить это иначе. Чтобы доказать, что класс имеет ℵ0 членов, необходимо и достаточно найти какой-то способ расположения его членов в прогрессию. Нетрудно сделать это с ботинками. ℵ0 пар даны как образующие ℵ0, и поэтому как поле прогрессии. Внутри каждой пары возьмем сначала левый ботинок, а затем правый, сохраняя порядок пар неизменным; таким образом мы получим прогрессию всех ботинок. Но с носками нам придется выбирать произвольно, в каждой паре, какой поставить первым; а бесконечное число произвольных выборов — это невозможность. Если мы не можем найти правило для выбора, т. е. отношение, которое является селектором, мы не знаем, что выборка вообще теоретически возможна. Конечно, в случае объектов в пространстве, таких как носки, мы всегда можем найти какой-то принцип выбора. Например, возьмем центры масс носков: будут точки в пространстве такие, что в любой паре центры масс двух носков не находятся оба на точно таком же расстоянии от точки; таким образом, мы можем выбрать из каждой пары тот носок, центр масс которого ближе к точке. Но нет теоретической причины, почему такой метод выбора должен быть всегда возможен, и случай с носками, при некоторой доброй воле читателя, может послужить примером того, как выборка может быть невозможной.

Следует заметить, что если бы было невозможно выбрать по одному из каждой пары носков, из этого следовало бы, что носки не могли бы быть расположены в прогрессию, и, следовательно, что их не ℵ0. Этот случай иллюстрирует, что если ℵ0 — бесконечное число, один набор ℵ0 пар может не содержать того же числа членов, что и другой набор ℵ0 пар; ибо, учитывая ℵ0 пар ботинок, там, безусловно, ℵ0 ботинок, но мы не можем быть уверены в этом в случае с носками, если не примем мультипликативную аксиому или не прибегнем к какому-то случайному геометрическому методу выбора, подобному вышеупомянутому.

Другая важная проблема, включающая мультипликативную аксиому, — это отношение рефлексивности к неиндуктивности. Напомним, что в главе VIII мы указали, что рефлексивное число должно быть неиндуктивным, но что обратное (насколько известно в настоящее время) может быть доказано, только если мы примем мультипликативную аксиому. То, как это происходит, заключается в следующем:

Легко доказать, что рефлексивный класс — это тот, который содержит подклассы, имеющие ℵ0 членов. (Класс может, конечно, сам иметь ℵ0 членов.) Таким образом, мы должны доказать, если сможем, что для любого неиндуктивного класса можно выбрать прогрессию из его членов. Теперь нетрудно показать, что неиндуктивный класс должен содержать больше членов, чем любой индуктивный класс, или, что то же самое, что если κ — неиндуктивный класс, а n — любое индуктивное число, существуют подклассы κ, которые имеют n членов. Таким образом, мы можем сформировать наборы конечных подклассов κ: сначала один класс, не имеющий членов, затем классы, имеющие 1 член (столько, сколько членов в κ), затем классы, имеющие 2 члена, и так далее. Мы получаем прогрессию наборов подклассов, каждый набор состоит из всех тех, которые имеют определенное заданное конечное число членов. До сих пор мы не использовали мультипликативную аксиому, но мы только доказали, что число коллекций подклассов κ является рефлексивным числом, т. е. что если μ — число членов κ, так что 2^μ — число подклассов κ, а 2^(2^μ) — число коллекций подклассов, то, при условии, что μ не индуктивно, 2^(2^μ) должно быть рефлексивным. Но это далеко от того, что мы намеревались доказать.

Чтобы продвинуться дальше этой точки, мы должны использовать мультипликативную аксиому. Из каждого набора подклассов давайте выберем по одному, опуская подкласс, состоящий только из пустого класса. То есть мы выбираем один подкласс, содержащий один член, скажем, α1; один, содержащий два члена, скажем, α2; один, содержащий три, скажем, α3; и так далее. (Мы можем сделать это, если мультипликативная аксиома принята; в противном случае мы не знаем, можем ли мы всегда это сделать или нет.) Теперь у нас есть прогрессия α1, α2, α3, ... подклассов κ, вместо прогрессии коллекций подклассов; таким образом, мы на один шаг ближе к нашей цели. Теперь мы знаем, что, предполагая мультипликативную аксиому, если μ — неиндуктивное число, μ должно быть рефлексивным числом.

Следующий шаг — заметить, что, хотя мы не можем быть уверены, что новые члены κ появляются на каком-то одном указанном этапе в прогрессии α1, α2, α3, ..., мы можем быть уверены, что новые члены продолжают появляться время от времени. Давайте проиллюстрируем. Класс α1, который состоит из одного члена, — это новое начало; пусть этим одним членом будет x1. Класс α2, состоящий из двух членов, может содержать или не содержать x1; если содержит, он вводит один новый член; а если не содержит, он должен вводить два новых члена, скажем, x2, x3. В этом случае возможно, что α3 состоит из x1, x2, x3, и поэтому не вводит новых членов, но в этом случае α4 должен ввести новый член. Первые n классов α1, α2, ..., αn содержат, самое большее, 1+2+...+n членов, т. е. n(n+1)/2 членов; таким образом, было бы возможно, если бы не было повторений в первых n классах, продолжать только с повторениями от αn-го класса до αn+1-го класса. Но к тому времени старые члены уже не были бы достаточно многочисленны, чтобы сформировать следующий класс с нужным числом членов, т. е. n+1, поэтому новые члены должны появиться в этой точке, если не раньше. Отсюда следует, что если мы опустим из нашей прогрессии α1, α2, α3, ... все те классы, которые состоят целиком из членов, встречавшихся в предыдущих классах, у нас все равно останется прогрессия. Пусть наша новая прогрессия называется β1, β2, β3, ... (У нас будет β1 = α1 и β2 = α2, потому что α1 и α2 должны вводить новые члены. У нас может быть или не быть β3 = α3, но, говоря в общем, βn будет αm, где m — некоторое число, большее n; т. е. β-ые — это некоторые из α-ых.) Теперь эти β-ые таковы, что любой из них, скажем βn, содержит члены, которые не встречались ни в одном из предыдущих β-ых. Пусть γn — часть βn, которая состоит из новых членов. Таким образом, мы получаем новую прогрессию γ1, γ2, γ3, ... (Опять же γ1 будет идентично β1 и α1; если β2 не содержит единственного члена α1, мы будем иметь γ2 = β2, но если β2 содержит этот один член, γ2 будет состоять из другого члена β2). Эта новая прогрессия γ-ых состоит из взаимно исключающих классов. Следовательно, выборка из них будет прогрессией; т. е. если x1 — член γ1, x2 — член γ2, x3 — член γ3, и так далее; тогда x1, x2, x3, ... — это прогрессия, и она является подклассом κ. Предполагая мультипликативную аксиому, такая выборка может быть сделана. Таким образом, дважды используя эту аксиому, мы можем доказать, что если аксиома истинна, каждое неиндуктивное кардинальное число должно быть рефлексивным. Это также можно было бы вывести из теоремы Цермело, что если аксиома истинна, каждый класс может быть вполне упорядочен; ибо вполне упорядоченный ряд должен иметь либо конечное, либо рефлексивное число членов в своем поле.

Есть одно преимущество в вышеприведенном прямом аргументе перед дедукцией из теоремы Цермело: вышеприведенный аргумент не требует универсальной истинности мультипликативной аксиомы, а только ее истинности применительно к набору ℵ0 классов. Может случиться так, что аксиома выполняется для ℵ0 классов, хотя и не для больших чисел классов. По этой причине лучше, когда это возможно, довольствоваться более ограниченным допущением. Допущение, сделанное в вышеприведенном прямом аргументе, состоит в том, что произведение ℵ0 множителей никогда не равно нулю, если один из множителей не равен нулю. Мы можем сформулировать это допущение в виде: «ℵ0 — мультипликабельное число», где число μ определяется как «мультипликабельное», когда произведение μ множителей никогда не равно нулю, если один из множителей не равен нулю. Мы можем доказать, что конечное число всегда мультипликабельно, но мы не можем доказать, что любое бесконечное число таково. Мультипликативная аксиома эквивалентна допущению, что все кардинальные числа мультипликабельны. Но чтобы идентифицировать рефлексивное с неиндуктивным, или справиться с проблемой ботинок и носков, или показать, что любая прогрессия чисел второго класса является числом второго класса, нам нужно только гораздо меньшее допущение, что ℵ0 мультипликабельно.

Не невероятно, что многое еще предстоит открыть в отношении тем, обсуждаемых в настоящей главе. Могут быть найдены случаи, когда утверждения, которые, кажется, включают мультипликативную аксиому, могут быть доказаны без нее. Вполне возможно, что мультипликативная аксиома в своей общей форме может быть признана ложной. С этой точки зрения теорема Цермело предлагает лучшую надежду: континуум или какой-то еще более плотный ряд могли бы быть доказаны как неспособные к тому, чтобы их члены были вполне упорядочены, что доказало бы ложность мультипликативной аксиомы в силу теоремы Цермело. Но до сих пор не было обнаружено никакого метода получения таких результатов, и предмет остается окутанным неясностью.

ГЛАВА XIII. АКСИОМА БЕСКОНЕЧНОСТИ И ЛОГИЧЕСКИЕ ТИПЫ

Аксиома бесконечности — это допущение, которое может быть сформулировано следующим образом:

«Если n — любое индуктивное кардинальное число, существует по крайней мере один класс индивидов, имеющий n членов».

Если это истинно, то, конечно, следует, что существует много классов индивидов, имеющих n членов, и что общее число индивидов в мире не является индуктивным числом. Ибо, согласно аксиоме, существует по крайней мере один класс, имеющий n членов, из чего следует, что существует много классов n членов и что n не является числом индивидов в мире. Поскольку n — любое индуктивное число, следует, что число индивидов в мире должно (если наша аксиома истинна) превышать любое индуктивное число. Ввиду того, что мы обнаружили в предыдущей главе о возможности кардинальных чисел, которые не являются ни индуктивными, ни рефлексивными, мы не можем вывести из нашей аксиомы, что существует по крайней мере ℵ0 индивидов, если только мы не примем мультипликативную аксиому. Но мы знаем, что существуют по крайней мере ℵ0 классов классов, поскольку индуктивные кардинальные числа являются классами классов и образуют прогрессию, если наша аксиома истинна. То, как возникает потребность в этой аксиоме, можно объяснить следующим образом: одно из допущений Пеано состоит в том, что никакие два индуктивных кардинальных числа не имеют одного и того же последователя, т. е. что у нас не будет n+1 = m+1, если n = m, если n и m — индуктивные кардинальные числа. В главе VIII нам довелось использовать то, что фактически является тем же самым, что и вышеупомянутое допущение Пеано, а именно, что если n — индуктивное кардинальное число, n не равно n+1. Можно было бы подумать, что это можно доказать. Мы можем доказать, что если α — индуктивный класс, а n — число членов α, то n не равно n+1. Это утверждение легко доказывается индукцией и могло бы показаться подразумевающим другое. Но на самом деле это не так, поскольку такого класса, как α, могло бы не существовать. Что оно подразумевает, так это следующее: если n — индуктивное кардинальное число такое, что существует по крайней мере один класс, имеющий n членов, то n не равно n+1. Аксиома бесконечности заверяет нас (истинно или ложно), что существуют классы, имеющие n членов, и таким образом позволяет нам утверждать, что n не равно n+1. Но без этой аксиомы мы остались бы с возможностью, что n и n+1 могли бы оба быть пустым классом.

Проиллюстрируем эту возможность примером: предположим, что в мире ровно девять индивидов. (Что касается того, что имеется в виду под словом «индивид», я должен попросить читателя набраться терпения.) Тогда индуктивные кардинальные числа от 0 до 9 были бы такими, как мы ожидаем, но 10 (определенное как 9+1) было бы пустым классом. Напомним, что n+1 может быть определено следующим образом: n+1 — это коллекция всех тех классов, которые имеют член x такой, что, когда x убирается, остается класс n членов. Теперь, применяя это определение, мы видим, что в предполагаемом случае 10 — это класс, состоящий из отсутствия классов, т. е. это пустой класс. То же самое будет верно для 11, или вообще для n+1, если n не равно нулю. Таким образом, 10 и все последующие индуктивные кардинальные числа будут идентичны, поскольку все они будут пустым классом. В таком случае индуктивные кардинальные числа не будут образовывать прогрессию, и не будет истинным, что никакие два не имеют одного и того же последователя, ибо 9 и 10 будут оба иметь своим последователем пустой класс (10 само является пустым классом). Именно для того, чтобы предотвратить такие арифметические катастрофы, нам требуется аксиома бесконечности.

На самом деле, пока мы довольствуемся арифметикой конечных целых чисел и не вводим ни бесконечные целые числа, ни бесконечные классы или ряды конечных целых чисел или отношений, можно получить все желаемые результаты без аксиомы бесконечности. То есть мы можем иметь дело со сложением, умножением и возведением в степень конечных целых чисел и отношений, но мы не можем иметь дело с бесконечными целыми числами или иррациональными числами. Таким образом, теория трансфинитных чисел и теория вещественных чисел нам не подходят. Как возникают эти различные результаты, должно быть теперь объяснено.

Предполагая, что число индивидов в мире равно n, число классов индивидов будет 2^n. Это в силу общего утверждения, упомянутого в главе VIII, что число классов, содержащихся в классе, который имеет n членов, равно 2^n. Теперь 2^n всегда больше n. Следовательно, число классов в мире больше числа индивидов. Если теперь мы предположим, что число индивидов равно 9, как мы только что сделали, число классов будет 2^9, т. е. 512. Таким образом, если мы возьмем наши числа как применяемые к счету классов, а не к счету индивидов, наша арифметика будет нормальной, пока мы не достигнем 512: первым числом, которое будет пустым, будет 513. И если мы перейдем к классам классов, мы сделаем еще лучше: их число будет 2^(2^n), число, которое настолько велико, что поражает воображение, поскольку оно имеет около 153 цифр. И если мы перейдем к классам классов классов, мы получим число, представленное 2, возведенным в степень, которая имеет около 153 цифр; число цифр в этом числе будет около трех раз по 10^152. Во время нехватки бумаги нежелательно выписывать это число, и если мы хотим больших, мы можем получить их, путешествуя дальше по логической иерархии [26].

[26] По этому предмету см. Principia Mathematica, том II, * 120 и сл. О соответствующих проблемах в отношении отношений см. там же, том III, * 303 и сл.

Что касается отношений, у нас очень похожее положение дел. Если отношение r должно обладать ожидаемыми свойствами, должно быть достаточно объектов любого рода, который подсчитывается, чтобы гарантировать, что пустой класс внезапно не навяжет себя. Но это может быть гарантировано для любого заданного отношения r без аксиомы бесконечности, просто путем продвижения вверх по иерархии на достаточное расстояние. Если мы не можем преуспеть путем счета индивидов, мы можем попробовать считать классы индивидов; если мы все еще не преуспеваем, мы можем попробовать классы классов и так далее. В конечном счете, как бы мало индивидов ни было в мире, мы достигнем стадии, где будет гораздо больше, чем n объектов, каким бы ни было индуктивное число n. Даже если бы индивидов вообще не было, это все равно было бы верно, ибо тогда был бы один класс, а именно пустой класс, 2 класса классов (а именно пустой класс классов и класс, единственным членом которого является пустой класс индивидов), 4 класса классов классов, 16 на следующей стадии, 65 536 на следующей и так далее. Таким образом, никакого такого допущения, как аксиома бесконечности, не требуется для достижения любого заданного отношения или любого заданного индуктивного кардинального числа.

Именно тогда, когда мы хотим иметь дело со всем классом или рядом индуктивных кардинальных чисел или отношений, требуется эта аксиома. Нам нужен весь класс индуктивных кардинальных чисел, чтобы установить существование 0, и весь ряд, чтобы установить существование прогрессий: для этих результатов необходимо, чтобы мы могли образовать единый класс или ряд, в котором ни одно индуктивное кардинальное число не является нулевым. Нам нужен весь ряд отношений в порядке возрастания величины, чтобы определить вещественные числа как сегменты: это определение не даст желаемого результата, если ряд отношений не является компактным, что невозможно, если общее число отношений на рассматриваемом этапе конечно.

Естественно было бы предположить — как я сам предполагал в прежние времена, — что с помощью конструкций, подобных тем, что мы рассматривали, аксиому бесконечности можно доказать. Можно сказать: допустим, что число индивидов равно n, где n может быть равно 0, не нарушая нашего аргумента; тогда, если мы сформируем полное множество индивидов, классов, классов классов и т. д., взятых вместе, число членов во всем нашем множестве будет 2^n, что больше n. Таким образом, беря все виды объектов вместе и не ограничиваясь объектами какого-либо одного типа, мы, безусловно, получим бесконечный класс и, следовательно, не будем нуждаться в аксиоме бесконечности. Так можно было бы сказать.

Теперь, прежде чем вдаваться в этот аргумент, первое, что следует заметить, — это то, что от него веет фокусничеством: что-то напоминает фокусника, который достает вещи из шляпы. Человек, одолживший свою шляпу, совершенно уверен, что в ней не было живого кролика до этого, но он в недоумении, как кролик туда попал. Так и читатель, если он обладает здравым чувством реальности, будет убежден, что невозможно создать бесконечную совокупность из конечной совокупности индивидов, хотя он, возможно, не сможет сказать, в чем заключается изъян в приведенной выше конструкции. Было бы ошибкой придавать слишком большое значение таким ощущениям фокусничества; как и другие эмоции, они легко могут сбить нас с пути. Но они дают prima facie основание для очень тщательного изучения любого аргумента, который их вызывает. И когда приведенный выше аргумент подвергается тщательной проверке, он, на мой взгляд, оказывается ошибочным, хотя эта ошибка является тонкой и отнюдь не легкой для последовательного избегания.

Ошибка, о которой идет речь, — это ошибка, которую можно назвать «смешением типов». Чтобы полностью объяснить предмет «типов», потребовался бы целый том; более того, цель этой книги — избегать тех частей предмета, которые все еще остаются неясными и спорными, выделяя для удобства начинающих те части, которые могут быть приняты как воплощающие математически установленные истины. Теория типов решительно не относится к завершенной и достоверной части нашего предмета: многое в этой теории все еще остается зачаточным, запутанным и неясным. Но необходимость в некоторой доктрине типов менее сомнительна, чем точная форма, которую эта доктрина должна принять; и в связи с аксиомой бесконечности особенно легко увидеть необходимость в какой-либо подобной доктрине.

Эта необходимость вытекает, например, из «противоречия наибольшего кардинального числа». Мы видели в главе VIII, что число классов, содержащихся в данном классе, всегда больше числа членов этого класса, и мы сделали вывод, что не существует наибольшего кардинального числа. Но если бы мы могли, как мы предложили мгновение назад, сложить в один класс индивидов, классы индивидов, классы классов индивидов и т. д., мы получили бы класс, членами которого были бы его собственные подклассы. Класс, состоящий из всех объектов, которые можно сосчитать, любого рода, должен, если такой класс существует, иметь кардинальное число, которое является максимально возможным. Поскольку все его подклассы будут его членами, их не может быть больше, чем членов. Следовательно, мы приходим к противоречию.

Когда я впервые столкнулся с этим противоречием в 1901 году, я попытался обнаружить какой-либо изъян в доказательстве Кантора о том, что не существует наибольшего кардинального числа, которое мы привели в главе VIII. Применяя это доказательство к предполагаемому классу всех мыслимых объектов, я пришел к новому и более простому противоречию, а именно к следующему:

Всеобъемлющий класс, который мы рассматриваем и который должен охватывать все, должен охватывать самого себя как одного из своих членов. Другими словами, если существует такая вещь, как «все», то «все» — это нечто, и оно является членом класса «все». Но обычно класс не является членом самого себя. Человечество, например, не является человеком. Сформируем теперь совокупность всех классов, которые не являются членами самих себя. Это класс: является ли он членом самого себя или нет? Если является, то он один из тех классов, которые не являются членами самих себя, т. е. он не является членом самого себя. Если не является, то он не один из тех классов, которые не являются членами самих себя, т. е. он является членом самого себя. Таким образом, из двух гипотез — что он является и что он не является членом самого себя — каждая влечет свою противоположность. Это противоречие.

Нет никакой сложности в создании подобных противоречий ad lib. Решение таких противоречий с помощью теории типов подробно изложено в Principia Mathematica [27], а также, более кратко, в статьях автора в American Journal of Mathematics [28] и в Revue de Metaphysique et de Morale [29]. На данный момент достаточно будет краткого изложения решения.

[27] Том I, Введение, гл. II, * 12 и * 20; том II, Предисловие.

[28] «Математическая логика, основанная на теории типов», том XXX, 1908 г., стр. 222-262.

[29] «Парадоксы логики», 1906 г., стр. 627-650.

Ошибка заключается в формировании того, что мы можем назвать «нечистыми» классами, т. е. классов, которые не являются чистыми по «типу». Как мы увидим в следующей главе, классы — это логические фикции, и утверждение, которое, по-видимому, относится к классу, будет значимым только в том случае, если его можно перевести в форму, в которой не упоминается класс. Это накладывает ограничение на способы, которыми то, что номинально, хотя и не реально, является именами классов, может значимо встречаться: предложение или набор символов, в которых такие псевдоимена встречаются неправильным образом, не является ложным, а строго лишено смысла. Предположение о том, что класс является или не является членом самого себя, бессмысленно именно таким образом. И, более общо, предполагать, что один класс индивидов является членом или не является членом другого класса индивидов, — значит предполагать бессмыслицу; а символически конструировать любой класс, члены которого не все одного уровня в логической иерархии, — значит использовать символы таким образом, что они перестают что-либо символизировать.

Таким образом, если в мире есть n индивидов и 2^n классов индивидов, мы не можем сформировать новый класс, состоящий как из индивидов, так и из классов и имеющий n + 2^n членов. Таким образом, попытка избежать необходимости в аксиоме бесконечности терпит неудачу. Я не претендую на то, что объяснил доктрину типов или сделал больше, чем указал в общих чертах, почему существует необходимость в такой доктрине. Я стремился лишь сказать ровно столько, сколько требовалось, чтобы показать, что мы не можем доказать существование бесконечных чисел и классов с помощью таких фокуснических методов, которые мы рассматривали. Однако остаются некоторые другие возможные методы, которые необходимо рассмотреть.

Различные аргументы, претендующие на доказательство существования бесконечных классов, приведены в «Принципах математики», § 339 (стр. 357). Поскольку эти аргументы предполагают, что если n — индуктивное кардинальное число, то n + 1 не равно n, они уже были рассмотрены. Существует аргумент, предложенный отрывком из «Парменида» Платона, о том, что если существует такое число, как 1, то 1 обладает бытием; но 1 не тождественно бытию, и поэтому 1 и бытие — это два, и поэтому существует такое число, как 2, а 2 вместе с 1 и бытием дает класс из трех членов, и так далее. Этот аргумент ошибочен отчасти потому, что «бытие» не является термином, имеющим какое-либо определенное значение, и еще больше потому, что, если бы для него было изобретено определенное значение, оказалось бы, что числа не обладают бытием — они, по сути, являются тем, что называется «логическими фикциями», как мы увидим, когда перейдем к рассмотрению определения классов.

Аргумент о том, что число чисел от 0 до n (включительно) равно n + 1, зависит от предположения, что вплоть до n включительно ни одно число не равно своему преемнику, что, как мы видели, не всегда будет истинным, если аксиома бесконечности ложна. Следует понимать, что уравнение n + 1 = n, которое могло бы быть истинным для конечного n, если бы n превышало общее число индивидов в мире, совершенно отличается от того же уравнения, применяемого к рефлексивному числу. Применительно к рефлексивному числу это означает, что, имея класс из n членов, этот класс «подобен» тому, который получен путем добавления еще одного члена. Но применительно к числу, которое слишком велико для реального мира, это означает лишь то, что не существует класса из n индивидов и не существует класса из n + 1 индивидов; это не означает, что, если мы поднимемся по иерархии типов достаточно высоко, чтобы обеспечить существование класса из n членов, мы затем обнаружим, что этот класс «подобен» классу из n + 1 членов, ибо если n индуктивно, то это не будет так, совершенно независимо от истинности или ложности аксиомы бесконечности.

Существует аргумент, используемый как Больцано [30], так и Дедекиндом [31] для доказательства существования рефлексивных классов. Аргумент, вкратце, таков: объект не тождественен идее объекта, но существует (по крайней мере в сфере бытия) идея любого объекта. Отношение объекта к идее о нем является взаимно однозначным, и идеи — это лишь некоторые среди объектов. Следовательно, отношение «идея о» представляет собой отображение всего класса объектов в часть самого себя, а именно в ту часть, которая состоит из идей. Соответственно, класс объектов и класс идей оба бесконечны. Этот аргумент интересен не только сам по себе, но и потому, что ошибки в нем (или то, что я считаю ошибками) относятся к тому роду, который поучительно отметить. Основная ошибка заключается в предположении, что существует идея каждого объекта. Конечно, чрезвычайно трудно решить, что подразумевается под «идеей»; но предположим, что мы знаем. Тогда мы должны предположить, что, начиная (скажем) с Сократа, существует идея Сократа и так далее ad inf. Теперь ясно, что это не так в том смысле, что все эти идеи имеют реальное эмпирическое существование в умах людей. После третьей или четвертой стадии они становятся мифическими. Если аргумент должен быть поддержан, то подразумеваемые «идеи» должны быть платоновскими идеями, хранящимися на небесах, ибо, конечно, их нет на земле. Но тогда сразу становится сомнительным, существуют ли такие идеи. Если мы должны знать, что они существуют, это должно быть на основе какой-то логической теории, доказывающей, что для вещи необходимо наличие идеи о ней. Мы, безусловно, не можем получить этот результат эмпирически или применить его, как это делает Дедекинд, к «meine Gedankenwelt» — миру моих мыслей.

[30] Больцано, Paradoxien des Unendlichen, 13.

[31] Дедекинд, Was sind und was sollen die Zahlen? № 66.

Если бы мы были озабочены полным исследованием отношения идеи и объекта, нам пришлось бы заняться рядом психологических и логических изысканий, которые не имеют отношения к нашей основной цели. Но следует отметить еще несколько моментов. Если «идея» должна пониматься логически, она может быть тождественна объекту или может означать описание (в смысле, который будет объяснен в последующей главе). В первом случае аргумент терпит неудачу, поскольку для доказательства рефлексивности было существенно, чтобы объект и идея были различными. Во втором случае аргумент также терпит неудачу, поскольку отношение объекта и описания не является взаимно однозначным: существует бесчисленное множество правильных описаний любого данного объекта. Сократ (например) может быть описан как «учитель Платона», или как «философ, выпивший цикуту», или как «муж Ксантиппы». Если — чтобы принять оставшуюся гипотезу — «идея» должна интерпретироваться психологически, необходимо утверждать, что не существует никакой одной определенной психологической сущности, которую можно было бы назвать идеей объекта: существуют бесчисленные убеждения и установки, каждую из которых можно было бы назвать идеей объекта в том смысле, в котором мы могли бы сказать «моя идея о Сократе сильно отличается от вашей», но нет никакой центральной сущности (кроме самого Сократа), чтобы связать вместе различные «идеи о Сократе», и, таким образом, нет никакого такого взаимно однозначного отношения идеи и объекта, как предполагает аргумент. И, конечно, как мы уже отмечали, психологически неверно, что существуют идеи (в каком бы широком смысле ни понимать) более чем крошечной доли вещей в мире. По всем этим причинам приведенный выше аргумент в пользу логического существования рефлексивных классов должен быть отвергнут.

Можно было бы подумать, что, что бы ни говорили о логических аргументах, эмпирических аргументов, выводимых из пространства и времени, разнообразия цветов и т. д., вполне достаточно, чтобы доказать фактическое существование бесконечного числа партикулярий. Я в это не верю. У нас нет никаких причин, кроме предрассудков, верить в бесконечную протяженность пространства и времени, по крайней мере в том смысле, в котором пространство и время являются физическими фактами, а не математическими фикциями. Мы естественно рассматриваем пространство и время как непрерывные или, по крайней мере, как компактные; но это опять-таки в основном предрассудок. Теория «квантов» в физике, истинна она или ложна, иллюстрирует тот факт, что физика никогда не может дать доказательства непрерывности, хотя вполне могла бы дать опровержение. Органы чувств недостаточно точны, чтобы различать непрерывное движение и быструю дискретную последовательность, как может обнаружить любой в кинотеатре. Мир, в котором все движение состояло бы из серии маленьких конечных рывков, был бы эмпирически неотличим от того, в котором движение было бы непрерывным. Потребовалось бы слишком много места, чтобы адекватно защитить эти тезисы; на данный момент я лишь предлагаю их на рассмотрение читателя. Если они верны, то из этого следует, что нет эмпирической причины верить в то, что число партикулярий в мире бесконечно, и что ее никогда не может быть; также то, что в настоящее время нет эмпирической причины верить в то, что число конечно, хотя теоретически мыслимо, что когда-нибудь могут появиться доказательства, указывающие, хотя и не окончательно, в этом направлении.

Из того факта, что бесконечное не является самопротиворечивым, но также не является логически доказуемым, мы должны сделать вывод, что ничего нельзя знать a priori о том, является ли число вещей в мире конечным или бесконечным. Вывод, следовательно, состоит в том, чтобы, используя лейбницевскую фразеологию, сказать, что некоторые из возможных миров конечны, некоторые бесконечны, и у нас нет средств узнать, к какому из этих двух видов принадлежит наш актуальный мир. Аксиома бесконечности будет истинной в одних возможных мирах и ложной в других; истинна она или ложна в этом мире, мы сказать не можем.

На протяжении всей этой главы синонимы «индивид» и «партикулярия» использовались без объяснения. Было бы невозможно объяснить их адекватно без более длинного рассуждения о теории типов, чем это было бы уместно для данной работы, но несколько слов перед тем, как мы покинем эту тему, могут сделать что-то, чтобы уменьшить неясность, которая в противном случае окутывала бы значение этих слов.

В обычном утверждении мы можем отличить глагол, выражающий атрибут или отношение, от существительных, которые выражают субъект атрибута или члены отношения. «Цезарь жил» приписывает атрибут Цезарю; «Брут убил Цезаря» выражает отношение между Брутом и Цезарем. Используя слово «субъект» в обобщенном смысле, мы можем назвать и Брута, и Цезаря субъектами этого суждения: тот факт, что Брут является грамматическим субъектом, а Цезарь — объектом, логически нерелевантен, поскольку одно и то же событие может быть выражено словами «Цезарь был убит Брутом», где Цезарь является грамматическим субъектом. Таким образом, в более простом виде суждения у нас будет атрибут или отношение, присущее одному, двум или более «субъектам» в расширенном смысле. (Отношение может иметь более двух членов: например, «дает... ...» — это отношение трех членов.) Теперь часто случается, что при более пристальном рассмотрении кажущиеся субъекты оказываются не настоящими субъектами, а способными к анализу; однако единственный результат этого заключается в том, что новые субъекты занимают их места. Также случается, что глагол может грамматически быть сделан субъектом: например, мы можем сказать: «Убийство — это отношение, которое существует между Брутом и Цезарем». Но в таких случаях грамматика вводит в заблуждение, и в прямом утверждении, следуя правилам, которыми должна руководствоваться философская грамматика, Брут и Цезарь будут выступать как субъекты, а убийство — как глагол.

Мы таким образом приходим к концепции терминов, которые, когда они встречаются в суждениях, могут встречаться только как субъекты и никогда иным образом. Это часть старого схоластического определения субстанции; но сохранение во времени, которое принадлежало этому понятию, не является частью понятия, с которым мы имеем дело. Мы определим «собственные имена» как те термины, которые могут встречаться только как субъекты в суждениях (используя «субъект» в расширенном смысле, только что объясненном). Мы далее определим «индивиды» или «партикулярии» как объекты, которые могут быть названы собственными именами. (Было бы лучше определить их напрямую, а не с помощью вида символов, которыми они символизируются; но чтобы сделать это, нам пришлось бы погрузиться в метафизику глубже, чем это желательно здесь.) Конечно, возможно, что существует бесконечный регресс: что все, что представляется партикулярией, на самом деле, при более пристальном рассмотрении, является классом или каким-то видом комплекса. Если это так, аксиома бесконечности, конечно, должна быть истинной. Но если это не так, теоретически возможно, чтобы анализ достиг предельных субъектов, и именно они дают значение «партикулярий» или «индивидов». Именно к числу этих субъектов, как предполагается, применяется аксиома бесконечности. Если она истинна для них, она истинна для классов из них, и классов классов из них, и так далее; аналогично, если она ложна для них, она ложна во всей этой иерархии. Поэтому естественно формулировать аксиому относительно них, а не относительно какой-либо другой ступени в иерархии. Но истинна аксиома или ложна, кажется, нет известного метода обнаружения.

ГЛАВА XIV. НЕСОВМЕСТИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ДЕДУКЦИИ

МЫ теперь исследовали, несколько поспешно, правда, ту часть философии математики, которая не требует критического рассмотрения идеи класса. В предыдущей главе, однако, мы оказались перед лицом проблем, которые делают такое рассмотрение обязательным. Прежде чем мы сможем предпринять его, мы должны рассмотреть некоторые другие части философии математики, которые мы до сих пор игнорировали. В синтетическом изложении части, с которыми мы теперь будем иметь дело, идут первыми: они более фундаментальны, чем все, что мы обсуждали до сих пор. Три темы будут занимать нас, прежде чем мы дойдем до теории классов, а именно: (1) теория дедукции, (2) пропозициональные функции, (3) описания. Из них третья логически не предполагается в теории классов, но она является более простым примером того вида теории, который необходим при работе с классами. Именно первая тема, теория дедукции, будет занимать нас в настоящей главе.

Математика — это дедуктивная наука: начиная с определенных посылок, она приходит путем строгого процесса дедукции к различным теоремам, которые ее составляют. Это правда, что в прошлом математические дедукции часто были в значительной степени лишены строгости; это правда также, что совершенная строгость — это едва ли достижимый идеал. Тем не менее, поскольку строгость отсутствует в математическом доказательстве, доказательство является дефектным; нет никакой защиты в том, чтобы настаивать, что здравый смысл показывает правильность результата, ибо если бы мы полагались на это, было бы лучше вообще отказаться от аргументации, чем призывать на помощь здравому смыслу ошибку. Никакое обращение к здравому смыслу, или «интуиции», или чему-либо, кроме строгой дедуктивной логики, не должно требоваться в математике после того, как были установлены посылки.

Кант, заметив, что геометры его времени не могли доказать свои теоремы с помощью одной лишь аргументации, а требовали обращения к чертежу, изобрел теорию математического рассуждения, согласно которой вывод никогда не бывает строго логическим, а всегда требует поддержки того, что называется «интуицией». Вся тенденция современной математики с ее усиленным стремлением к строгости была направлена против этой кантовской теории. Вещи в математике времен Канта, которые нельзя доказать, нельзя знать — например, аксиома параллельных. То, что можно знать в математике и с помощью математических методов, — это то, что можно вывести из чистой логики. Все остальное, что должно принадлежать человеческому знанию, должно быть установлено иначе — эмпирически, через чувства или через опыт в какой-либо форме, но не a priori. Положительные основания для этого тезиса можно найти в Principia Mathematica, passim; спорная защита его дана в «Принципах математики». Мы не можем здесь сделать больше, чем отослать читателя к этим работам, поскольку предмет слишком обширен для поспешного рассмотрения. Тем временем мы будем исходить из того, что вся математика дедуктивна, и перейдем к вопросу о том, что подразумевается под дедукцией.

В дедукции у нас есть одно или несколько суждений, называемых посылками, из которых мы выводим суждение, называемое заключением. Для наших целей будет удобно, когда изначально имеется несколько посылок, объединить их в одно суждение, чтобы иметь возможность говорить о посылке, так же как и о заключении. Таким образом, мы можем рассматривать дедукцию как процесс, посредством которого мы переходим от знания определенного суждения, посылки, к знанию некоторого другого суждения, заключения. Но мы не будем рассматривать такой процесс как логическую дедукцию, если он не является правильным, т. е. если между посылкой и заключением нет такого отношения, что мы имеем право верить в заключение, если мы знаем, что посылка истинна. Именно это отношение представляет главный интерес в логической теории дедукции.

Чтобы иметь возможность обоснованно вывести истинность суждения, мы должны знать, что некоторое другое суждение истинно и что между ними существует отношение того рода, который называется «импликацией», т. е. что (как мы говорим) посылка «имплицирует» заключение. (Мы определим это отношение вкратце.) Или мы можем знать, что некоторое другое суждение ложно и что между ними существует отношение того рода, который называется «дизъюнкцией», выражаемое через «или» [32], так что знание того, что одно из них ложно, позволяет нам вывести, что другое истинно. Опять же, то, что мы хотим вывести, может быть ложностью некоторого суждения, а не его истинностью. Это может быть выведено из истинности другого суждения при условии, что мы знаем, что они «несовместимы», т. е. что если одно истинно, то другое ложно. Это может быть также выведено из ложности другого суждения при тех же обстоятельствах, при которых истинность другого могла быть выведена из истинности первого; т. е. из ложности p мы можем вывести ложность q, когда p имплицирует q. Все эти четыре случая являются случаями вывода. Когда наш ум сосредоточен на выводе, кажется естественным принять «импликацию» как примитивное фундаментальное отношение, поскольку это отношение, которое должно существовать между p и q, если мы хотим иметь возможность вывести истинность q из истинности p. Но по техническим причинам это не лучшая примитивная идея для выбора. Прежде чем переходить к примитивным идеям и определениям, давайте рассмотрим далее различные функции суждений, предложенные вышеупомянутыми отношениями суждений.

[32] Мы будем использовать буквы p, q, r, s, t для обозначения переменных суждений.

Простейшей из таких функций является отрицание, «не-p». Это та функция от p, которая истинна, когда p ложно, и ложна, когда p истинно. Удобно говорить об истинности суждения или его ложности как о его «истинностном значении» [33]; т. е. истина — это «истинностное значение» истинного суждения, а ложь — ложного. Таким образом, не-p имеет противоположное истинностное значение по сравнению с p.

[33] Этот термин принадлежит Фреге.

Мы можем взять далее дизъюнкцию, «p или q». Это функция, истинностным значением которой является истина, когда p истинно, а также когда q истинно, но является ложью, когда и p, и q ложны.

Далее мы можем взять конъюнкцию, «p и q». Она имеет истину в качестве своего истинностного значения, когда p и q оба истинны; в противном случае она имеет ложь в качестве своего истинностного значения.

Возьмем далее несовместимость, т. е. «p и q не оба истинны». Это отрицание конъюнкции; это также дизъюнкция отрицаний p и q, т. е. это «не-p или не-q». Ее истинностное значение — истина, когда p ложно, а также когда q ложно; ее истинностное значение — ложь, когда p и q оба истинны.

Наконец, возьмем импликацию, т. е. «p имплицирует q» или «если p, то q». Это следует понимать в самом широком смысле, который позволит нам вывести истинность q, если мы знаем истинность p. Таким образом, мы интерпретируем это как означающее: «Если только p не ложно, q истинно» или «либо p ложно, либо q истинно». (Тот факт, что «имплицирует» способно иметь другие значения, нас не касается; это значение, которое удобно для нас.) То есть «p имплицирует q» должно означать «не-p или q»: его истинностное значение должно быть истиной, если p ложно, так же если q истинно, и должно быть ложью, если p истинно и q ложно.

Таким образом, у нас есть пять функций: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, несовместимость и импликация. Мы могли бы добавить другие, например, совместная ложность, «не-p и не-q», но вышеуказанных пяти будет достаточно. Отрицание отличается от остальных четырех тем, что является функцией одного суждения, тогда как остальные являются функциями двух. Но все пять согласуются в том, что их истинностное значение зависит только от истинностного значения тех суждений, которые являются их аргументами. Зная истинность или ложность p, q или p и q (как в том или ином случае), мы знаем истинность или ложность отрицания, дизъюнкции, конъюнкции, несовместимости или импликации. Функция суждений, обладающая этим свойством, называется «функцией истинности».

Весь смысл функции истинности исчерпывается указанием обстоятельств, при которых она истинна или ложна. «Не-p», например, — это просто та функция от p, которая истинна, когда p ложно, и ложна, когда p истинно: нет никакого дальнейшего значения, которое можно было бы ей приписать. То же самое относится к «p или q» и остальным. Отсюда следует, что две функции истинности, которые имеют одинаковое истинностное значение для всех значений аргумента, неразличимы. Например, «p и q» — это отрицание «не-p или не-q» и наоборот; таким образом, любая из них может быть определена как отрицание другой. В функции истинности нет никакого дополнительного значения сверх условий, при которых она истинна или ложна.

Ясно, что вышеуказанные пять функций истинности не являются полностью независимыми. Мы можем определить некоторые из них через другие. Нет большой сложности в сведении их числа к двум; две, выбранные в Principia Mathematica, — это отрицание и дизъюнкция. Импликация тогда определяется как «не-p или q»; несовместимость как «не-p или не-q»; конъюнкция как отрицание несовместимости. Но Шеффером [34] было показано, что мы можем довольствоваться одной примитивной идеей для всех пяти, а Нико [35] — что это позволяет нам свести примитивные суждения, требуемые в теории дедукции, к двум неформальным принципам и одному формальному. Для этой цели мы можем принять в качестве нашего одного неопределяемого понятия либо несовместимость, либо совместную ложность. Мы выберем первое.

[34] Trans. Am. Math. Soc., том XIV, стр. 481-488.

[35] Proc. Camb. Phil. Soc., том XIX, i, январь 1917 г.

Наша примитивная идея теперь — это некоторая функция истинности, называемая «несовместимостью», которую мы обозначим через p|q. Отрицание может быть сразу определено как несовместимость суждения с самим собой, т. е. «не-p» определяется как p|p. Дизъюнкция — это несовместимость не-p и не-q, т. е. это (p|p)|(q|q). Импликация — это несовместимость p и не-q, т. е. p|(q|q). Конъюнкция — это отрицание несовместимости, т. е. это (p|q)|(p|q). Таким образом, все наши четыре другие функции определены через несовместимость.

Очевидно, что нет предела созданию функций истинности, либо путем введения большего количества аргументов, либо путем повторения аргументов. То, что нас беспокоит, — это связь этого предмета с выводом.

Если мы знаем, что p истинно и что p имплицирует q, мы можем перейти к утверждению q. В выводе всегда неизбежно есть что-то психологическое: вывод — это метод, с помощью которого мы приходим к новому знанию, и то, что в нем не является психологическим, — это отношение, которое позволяет нам делать вывод правильно; но сам переход от утверждения p к утверждению q является психологическим процессом, и мы не должны пытаться представить его в чисто логических терминах.

В математической практике, когда мы делаем вывод, у нас всегда есть некоторое выражение, содержащее переменные суждения, скажем p и q, которое, в силу своей формы, известно как истинное для всех значений p и q; у нас также есть некоторое другое выражение, часть первого, которое также известно как истинное для всех значений p и q; и в силу принципов вывода мы можем отбросить эту часть нашего исходного выражения и утверждать то, что осталось. Этот несколько абстрактный отчет может быть прояснен несколькими примерами.

Предположим, что мы знаем пять формальных принципов дедукции, перечисленных в Principia Mathematica. (М. Нико свел их к одному, но поскольку это сложное суждение, мы начнем с пяти.) Эти пять суждений следующие:

(1) «p или p» имплицирует p — т. е. если либо p истинно, либо p истинно, то p истинно.

(2) q имплицирует «q или p» — т. е. дизъюнкция «q или p» истинна, когда одна из ее альтернатив истинна.

(3) «p или q» имплицирует «q или p». Это не потребовалось бы, если бы у нас была теоретически более совершенная нотация, поскольку в концепции дизъюнкции не задействован порядок, так что «p или q» и «q или p» должны быть тождественны. Но поскольку наши символы в любой удобной форме неизбежно вводят порядок, нам нужны подходящие допущения для показа того, что порядок нерелевантен.

(4) Если либо p истинно, либо «q или r» истинно, то либо q истинно, либо «p или r» истинно. (Поворот в этом суждении служит для увеличения его дедуктивной силы.)

(5) Если p имплицирует q, то «r или p» имплицирует «r или q».

Это формальные принципы дедукции, используемые в Principia Mathematica. Формальный принцип дедукции имеет двойное использование, и именно для того, чтобы сделать это ясным, мы процитировали вышеуказанные пять суждений. Он имеет использование в качестве посылки вывода и использование в качестве установления факта, что посылка имплицирует заключение. В схеме вывода у нас есть суждение p и суждение «p имплицирует q», из которых мы выводим q. Теперь, когда мы имеем дело с принципами дедукции, наш аппарат примитивных суждений должен давать как p, так и «p имплицирует q» наших выводов. То есть наши правила дедукции должны использоваться не только как правила, что является их использованием для установления «p имплицирует q», но также как субстантивные посылки, т. е. как p нашей схемы. Предположим, например, мы хотим доказать, что если p имплицирует q, то если q имплицирует r, то из этого следует, что p имплицирует r. У нас здесь отношение трех суждений, которые выражают импликации. Положим

p имплицирует q, q имплицирует r, и p имплицирует r.

Тогда мы должны доказать, что (p имплицирует q) имплицирует, что (q имплицирует r) имплицирует (p имплицирует r). Теперь возьмем пятый из наших вышеуказанных принципов, подставим не-p вместо p и помним, что «не-p или q» по определению то же самое, что «p имплицирует q». Таким образом, наш пятый принцип дает:

«Если p имплицирует q, то 'r имплицирует p' имплицирует 'r имплицирует q'», т. е. «p имплицирует, что (q имплицирует r) имплицирует (p имплицирует r)». Назовем это суждение A.

Но четвертый из наших принципов, когда мы подставляем не-p, не-q, не-r вместо p, q, r и помним определение импликации, становится:

«Если p имплицирует, что q имплицирует r, то q имплицирует, что p имплицирует r».

Записывая (p имплицирует q) вместо p, (q имплицирует r) вместо q и (p имплицирует r) вместо r, это становится:

«Если (p имплицирует q) имплицирует, что (q имплицирует r) имплицирует (p имплицирует r), то (q имплицирует r) имплицирует, что (p имплицирует q) имплицирует (p имплицирует r)». Назовем это B.

Теперь мы доказали с помощью нашего пятого принципа, что

«p имплицирует, что (q имплицирует r) имплицирует (p имплицирует r)», что было тем, что мы назвали A.

Таким образом, у нас здесь пример схемы вывода, поскольку A представляет p нашей схемы, а B представляет «p имплицирует q». Следовательно, мы приходим к q, а именно:

«(q имплицирует r) имплицирует, что (p имплицирует q) имплицирует (p имплицирует r)»,

что и было суждением, которое нужно было доказать. В этом доказательстве адаптация нашего пятого принципа, которая дает A, встречается как субстантивная посылка; в то время как адаптация нашего четвертого принципа, которая дает B, используется для придания формы вывода. Формальное и материальное использование посылок в теории дедукции тесно переплетены, и не очень важно держать их разделенными, при условии, что мы осознаем, что они теоретически различны.

Самый ранний метод прихода к новым результатам из посылки — это метод, который проиллюстрирован в вышеприведенной дедукции, но который сам по себе едва ли можно назвать дедукцией. Примитивные суждения, какими бы они ни были, должны рассматриваться как утвержденные для всех возможных значений переменных суждений p, q, r, которые встречаются в них. Мы можем поэтому подставить вместо (скажем) p любое выражение, значением которого всегда является суждение, например, не-p, p имплицирует q и так далее. С помощью таких подстановок мы действительно получаем наборы частных случаев нашего исходного суждения, но с практической точки зрения мы получаем то, что фактически является новыми суждениями. Легитимность подстановок такого рода должна быть обеспечена с помощью неформального принципа вывода [36].

[36] Никакой такой принцип не сформулирован в Principia Mathematica или в статье М. Нико, упомянутой выше. Но это, по-видимому, является упущением.

Теперь мы можем сформулировать один формальный принцип вывода, к которому М. Нико свел пять, приведенных выше. Для этой цели мы сначала покажем, как некоторые функции истинности могут быть определены через несовместимость. Мы уже видели, что p|(q|q) означает «p имплицирует q».

означает «p имплицирует q».

Теперь мы замечаем, что

(p|q)|(p|q) означает «p имплицирует оба p и q».

Ибо это выражение означает «p несовместимо с несовместимостью p и q», т. е. «p имплицирует, что p и q не несовместимы», т. е. «p имплицирует, что p и q оба истинны» — ибо, как мы видели, конъюнкция p и q является отрицанием их несовместимости.

Заметим далее, что p|(p|p) означает «p имплицирует себя». Это частный случай p|q.

Пусть мы запишем p' для отрицания p; таким образом, p' будет означать отрицание p, т. е. оно будет означать конъюнкцию p и p. Отсюда следует, что p|(q|r) выражает несовместимость p с конъюнкцией q и r; другими словами, он утверждает, что если q и r оба истинны, p ложно, т. е. p и q оба истинны; еще проще говоря, он утверждает, что p и q совместно имплицируют p и q совместно.

Теперь положим p = (q|(r|s))|(q|(r|s)). Тогда единственный формальный принцип дедукции М. Нико — это p|(q|r)|(p|(q|r)), другими словами, p имплицирует оба q и r.

Он использует в дополнение один неформальный принцип, относящийся к теории типов (который нас не должен беспокоить), и один, соответствующий принципу, что, имея p и имея, что p имплицирует q, мы можем утверждать q. Этот принцип таков:

«Если p истинно и p имплицирует q истинно, то q истинно».

Из этого аппарата следует вся теория дедукции, за исключением случаев, когда мы имеем дело с дедукцией из или к существованию или универсальной истинности «пропозициональных функций», которые мы рассмотрим в следующей главе.

Существует, если я не ошибаюсь, некоторая путаница в умах некоторых авторов относительно отношения между суждениями, в силу которого вывод является правильным. Чтобы было правильным вывести q из p, необходимо только, чтобы p было истинным и чтобы суждение «не-p или q» было истинным. Всякий раз, когда это так, ясно, что q должно быть истинным. Но вывод на самом деле будет иметь место только тогда, когда суждение «не-p или q» известно иначе, чем через знание не-p или знание q. Всякий раз, когда p ложно, «не-p или q» истинно, но бесполезно для вывода, который требует, чтобы p было истинным. Всякий раз, когда p уже известно как истинное, «не-p или q», конечно, также известно как истинное, но опять-таки бесполезно для вывода, поскольку p уже известно и, следовательно, не нуждается в выводе. На самом деле, вывод возникает только тогда, когда «не-p или q» может быть известно без того, чтобы мы уже знали, какая из двух альтернатив делает дизъюнкцию истинной. Теперь обстоятельства, при которых это происходит, — это те, в которых между p и q существуют определенные отношения формы. Например, мы знаем, что если p имплицирует отрицание q, то q имплицирует отрицание p. Между «p имплицирует не-q» и «q имплицирует не-p» существует формальное отношение, которое позволяет нам знать, что первое имплицирует второе, не имея сначала необходимости знать, что первое ложно, или знать, что второе истинно. Именно при таких обстоятельствах отношение импликации практически полезно для проведения выводов.

Но это формальное отношение требуется только для того, чтобы мы могли знать, что либо посылка ложна, либо заключение истинно. Именно истинность «не-p или q» требуется для правильности вывода; то, что требуется далее, требуется только для практической осуществимости вывода. Профессор К. И. Льюис [37] особенно изучал более узкое, формальное отношение, которое мы можем назвать «формальной выводимостью». Он настаивает на том, что более широкое отношение, выражаемое через «не-p или q», не следует называть «импликацией». Это, однако, вопрос слов. При условии, что наше использование слов последовательно, не имеет большого значения, как мы их определяем. Существенный момент различия между теорией, которую я защищаю, и теорией, которую защищает профессор Льюис, заключается в следующем: он утверждает, что когда одно суждение q «формально выводимо» из другого p, отношение, которое мы воспринимаем между ними, — это то, что он называет «строгой импликацией», которая не является отношением, выражаемым через «не-p или q», а более узким отношением, существующим только тогда, когда между p и q есть определенные формальные связи. Я утверждаю, что, существует ли такое отношение, о котором он говорит, или нет, оно в любом случае является тем, в чем математика не нуждается, и поэтому тем, что, исходя из общих соображений экономии, не должно быть допущено в наш аппарат фундаментальных понятий; что всякий раз, когда отношение «формальной выводимости» существует между двумя суждениями, имеет место то, что мы можем видеть, что либо первое ложно, либо второе истинно, и что ничего, кроме этого факта, не является необходимым для включения в наши посылки; и что, наконец, детальные доводы, которые профессор Льюис приводит против точки зрения, которую я защищаю, могут быть встречены в деталях и зависят своей правдоподобностью от скрытого и бессознательного принятия точки зрения, которую я отвергаю. Я заключаю, следовательно, что нет необходимости допускать в качестве фундаментального понятия какую-либо форму импликации, не выразимую как функция истинности.

[37] См. Mind, том XXI, 1912 г., стр. 522-531; и том XXIII, 1914 г., стр. 240-247.

ГЛАВА XV. ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

КОГДА в предыдущей главе мы обсуждали суждения, мы не пытались дать определение слова «суждение». Но хотя слово не может быть формально определено, необходимо сказать что-то о его значении, чтобы избежать очень распространенной путаницы с «пропозициональными функциями», которые будут темой настоящей главы.

Мы подразумеваем под «суждением» прежде всего форму слов, которая выражает то, что является либо истинным, либо ложным. Я говорю «прежде всего», потому что не хочу исключать другие, кроме вербальных, символы или даже просто мысли, если они имеют символический характер. Но я думаю, что слово «суждение» должно быть ограничено тем, что может, в некотором смысле, быть названо «символами», и далее такими символами, которые дают выражение истине и лжи. Таким образом, «дважды два — четыре» и «дважды два — пять» будут суждениями, так же как «Сократ — человек» и «Сократ не человек». Утверждение: «Какими бы числами ни были n и m, n + m = m + n» — это суждение; но одна лишь голая формула «n + m = m + n» таковым не является, поскольку она не утверждает ничего определенного, если нам не сказано далее или мы не приведены к предположению, что n и m должны иметь все возможные значения или должны иметь такие-то и такие-то значения. Первое из них, как правило, молчаливо предполагается в формулировке математических формул, которые таким образом становятся суждениями; но если бы такое предположение не было сделано, они были бы «пропозициональными функциями». «Пропозициональная функция», по сути, — это выражение, содержащее один или несколько неопределенных компонентов, таких, что при присвоении значений этим компонентам выражение становится суждением. Другими словами, это функция, значениями которой являются суждения. Но это последнее определение должно использоваться с осторожностью. Дескриптивная функция, например, «самое сложное суждение в математическом трактате X», не будет пропозициональной функцией, хотя ее значениями являются суждения. Но в таком случае суждения только описаны: в пропозициональной функции значения должны фактически формулировать суждения.

Примеры пропозициональных функций привести легко: «... есть человек» — это пропозициональная функция; пока «...» остается неопределенным, она не является ни истинной, ни ложной, но когда «...» присваивается значение, она становится истинным или ложным высказыванием. Любое математическое уравнение является пропозициональной функцией. Пока переменные не имеют определенного значения, уравнение — это лишь выражение, ожидающее определения, чтобы стать истинным или ложным высказыванием. Если это уравнение, содержащее одну переменную, оно становится истинным, когда переменная приравнивается к корню уравнения, в противном случае оно становится ложным; но если это «тождество», оно будет истинным при любом числовом значении переменной. Уравнение кривой на плоскости или поверхности в пространстве — это пропозициональная функция, истинная для значений координат, принадлежащих точкам на кривой или поверхности, и ложная для других значений. Выражения традиционной логики, такие как «все ... есть ...», являются пропозициональными функциями: «...» и «...» должны быть определены как конкретные классы, прежде чем такие выражения станут истинными или ложными.

Понятие «случаев» или «примеров» зависит от пропозициональных функций. Рассмотрим, например, своего рода процесс, который подразумевается тем, что называется «обобщением», и возьмем какой-нибудь очень примитивный пример, скажем: «за молнией следует гром». У нас есть ряд «примеров» этого, т. е. ряд высказываний, таких как: «это вспышка молнии, и за ней следует гром». Примерами чего являются эти случаи? Они являются примерами пропозициональной функции: «Если ... есть вспышка молнии, то за ... следует гром». Процесс обобщения (валидность которого нас, к счастью, не интересует) состоит в переходе от ряда таких примеров к универсальной истинности пропозициональной функции: «Если ... есть вспышка молнии, то за ... следует гром». Можно обнаружить, что аналогичным образом пропозициональные функции всегда задействованы всякий раз, когда мы говорим об экземплярах, случаях или примерах.

Нам не нужно задавать вопрос «Что такое пропозициональная функция?» или пытаться на него ответить. Пропозициональную функцию, взятую саму по себе, можно рассматривать как простую схему, простую оболочку, пустой сосуд для смысла, а не как нечто уже значимое. Мы имеем дело с пропозициональными функциями, говоря в широком смысле, в двух аспектах: во-первых, как с элементами понятий «истинно во всех случаях» и «истинно в некоторых случаях»; во-вторых, как с элементами теории классов и отношений. Вторую из этих тем мы отложим до более поздней главы; первая должна занять нас сейчас.

Когда мы говорим, что нечто «всегда истинно» или «истинно во всех случаях», ясно, что это «нечто» не может быть высказыванием. Высказывание просто истинно или ложно, и на этом вопрос исчерпан. Не существует экземпляров или случаев «Сократ — человек» или «Наполеон умер на острове Святой Елены». Это высказывания, и было бы бессмысленно говорить об их истинности «во всех случаях». Эта фраза применима только к пропозициональным функциям. Возьмем, к примеру, то, что часто говорят при обсуждении причинности. (Нас не интересует истинность или ложность сказанного, а только его логический анализ.) Нам говорят, что ... во всех случаях сопровождается .... Теперь, если существуют «случаи» ..., то ... должно быть неким общим понятием, о котором значимо сказать «... есть ..., ...», «... есть ..., ...», «... есть ..., ...» и так далее, где ..., ..., ... — это партикулярии, которые не тождественны друг другу. Это применимо, например, к нашему предыдущему случаю с молнией. Мы говорим, что молния (...) сопровождается громом (...). Но отдельные вспышки — это партикулярии, не тождественные, но обладающие общим свойством быть молнией. Единственный способ выразить общее свойство в общем виде — это сказать, что общее свойство ряда объектов есть пропозициональная функция, которая становится истинной, когда любой из этих объектов берется в качестве значения переменной. В этом случае все объекты являются «примерами» истинности пропозициональной функции — ибо пропозициональная функция, хотя сама по себе не может быть истинной или ложной, истинна в одних случаях и ложна в других, если только она не «всегда истинна» или «всегда ложна». Когда, возвращаясь к нашему примеру, мы говорим, что ... во всех случаях сопровождается ..., мы имеем в виду, что, чем бы ни было ..., если ... есть ..., то за ним следует ...; то есть мы утверждаем, что некая пропозициональная функция «всегда истинна».

Предложения, содержащие такие слова, как «все», «каждый», «а», «тот», «некоторые», требуют для своей интерпретации пропозициональных функций. То, как возникают пропозициональные функции, можно объяснить с помощью двух из вышеупомянутых слов, а именно «все» и «некоторые».

В конечном счете, с пропозициональной функцией можно сделать только две вещи: одна — утверждать, что она истинна во всех случаях, другая — утверждать, что она истинна по крайней мере в одном случае, или в некоторых случаях (как мы будем говорить, предполагая, что это не обязательно подразумевает множество случаев). Все остальные способы использования пропозициональных функций могут быть сведены к этим двум. Когда мы говорим, что пропозициональная функция истинна «во всех случаях» или «всегда» (как мы также будем говорить, без какого-либо временного подтекста), мы имеем в виду, что все ее значения истинны. Если «...» — это функция, а ... — объект подходящего типа, чтобы быть аргументом для «...», то «...» должна быть истинной, как бы ни был выбран .... Например, «если ... есть человек, то ... смертен» истинно, является ли ... человеком или нет; фактически, каждое высказывание такой формы истинно. Таким образом, пропозициональная функция «если ... есть человек, то ... смертен» «всегда истинна» или «истинна во всех случаях». Или, опять же, утверждение «единорогов не существует» то же самое, что утверждение «пропозициональная функция '... не есть единорог' истинна во всех случаях». Утверждения в предыдущей главе о высказываниях, например, «'... или ...' влечет '... или ...'», на самом деле являются утверждениями о том, что определенные пропозициональные функции истинны во всех случаях. Мы не утверждаем вышеприведенный принцип, например, как истинный только для того или иного конкретного ... или ..., но как истинный для любого ... или ..., о которых это можно значимо сказать. Условие, при котором функция должна быть значимой для данного аргумента, совпадает с условием, что она должна иметь значение для этого аргумента, либо истинное, либо ложное. Изучение условий значимости относится к теории типов, которую мы не будем рассматривать далее, чем это было сделано в очерке в предыдущей главе.

Не только принципы дедукции, но и все примитивные высказывания логики состоят из утверждений о том, что определенные пропозициональные функции всегда истинны. Если бы это было не так, им пришлось бы упоминать конкретные вещи или понятия — Сократа, или красноту, или восток и запад, или что-то еще, — а ведь очевидно, что в компетенцию логики не входит делать утверждения, которые истинны в отношении одной такой вещи или понятия, но не в отношении другой. Частью определения логики (но не всем ее определением) является то, что все ее высказывания полностью общие, т. е. все они состоят из утверждения, что некоторая пропозициональная функция, не содержащая константных терминов, всегда истинна. В нашей заключительной главе мы вернемся к обсуждению пропозициональных функций, не содержащих константных терминов. А пока мы перейдем к другой вещи, которую можно сделать с пропозициональной функцией, а именно к утверждению, что она «иногда истинна», т. е. истинна по крайней мере в одном примере.

Когда мы говорим «люди существуют», это означает, что пропозициональная функция «... есть человек» иногда истинна. Когда мы говорим «некоторые люди — греки», это означает, что пропозициональная функция «... есть человек и грек» иногда истинна. Когда мы говорим «каннибалы все еще существуют в Африке», это означает, что пропозициональная функция «... есть каннибал, находящийся сейчас в Африке» иногда истинна, т. е. истинна для некоторых значений .... Сказать «в мире существует по крайней мере ... индивидов» — значит сказать, что пропозициональная функция «... есть класс индивидов и член кардинального числа ...» иногда истинна, или, как мы можем сказать, истинна для определенных значений .... Эта форма выражения более удобна, когда необходимо указать, какой именно переменный компонент мы берем в качестве аргумента нашей пропозициональной функции. Например, вышеупомянутая пропозициональная функция, которую мы можем сократить до «... есть класс ... индивидов», содержит две переменные, ... и .... Аксиома бесконечности на языке пропозициональных функций звучит так: «Пропозициональная функция 'если ... есть индуктивное число, то для некоторых значений ... истинно, что ... есть класс ... индивидов' истинна для всех возможных значений ...». Здесь есть подчиненная функция «... есть класс ... индивидов», о которой говорится, что она в отношении ... «иногда истинна»; и утверждение, что это происходит, если ... есть индуктивное число, называется, в отношении ..., «всегда истинным».

Утверждение, что функция ... всегда истинна, является отрицанием утверждения, что не-... иногда истинна, а утверждение, что ... иногда истинна, является отрицанием утверждения, что не-... всегда истинна. Таким образом, утверждение «все люди смертны» является отрицанием утверждения, что функция «... есть бессмертный человек» иногда истинна. А утверждение «единороги существуют» является отрицанием утверждения, что функция «... не есть единорог» всегда истинна. [38] Мы говорим, что ... «никогда не истинна» или «всегда ложна», если не-... всегда истинна. Мы можем, если захотим, взять одну из пары «всегда», «иногда» в качестве примитивной идеи и определить другую с помощью нее и отрицания. Так, если мы выберем «иногда» в качестве нашей примитивной идеи, мы можем определить: «'... всегда истинна' означает 'ложно, что не-... иногда истинна'». [39] Но по причинам, связанным с теорией типов, кажется более правильным взять и «всегда», и «иногда» в качестве примитивных идей и определять с их помощью отрицание высказываний, в которых они встречаются. То есть, предполагая, что мы уже определили (или приняли в качестве примитивной идеи) отрицание высказываний того типа, к которому принадлежит ..., мы определяем: «Отрицание '... всегда' есть 'не-... иногда'; а отрицание '... иногда' есть 'не-... всегда'». Подобным образом мы можем переопределить дизъюнкцию и другие функции истинности, применяемые к высказываниям, содержащим кажущиеся переменные, в терминах определений и примитивных идей для высказываний, не содержащих кажущихся переменных. Высказывания, не содержащие кажущихся переменных, называются «элементарными высказываниями». От них мы можем шаг за шагом подниматься, используя методы, которые только что были указаны, к теории функций истинности, применяемой к высказываниям, содержащим одну, две, три, ... переменные, или любое число вплоть до ..., где ... — любое заданное конечное число.

[38] Метод дедукции приведен в Principia Mathematica, том I, * 9.

[39] По лингвистическим причинам, чтобы избежать указания на множественное или единственное число, часто удобнее говорить «... не всегда ложна», чем «... иногда» или «... иногда истинна».

Формы, которые в традиционной формальной логике считаются простейшими, на самом деле далеки от таковых и все включают утверждение всех значений или некоторых значений сложной пропозициональной функции. Возьмем для начала «все ... есть ...». Мы будем считать, что ... определяется пропозициональной функцией ..., а ... — пропозициональной функцией .... Например, если ... — это «люди», то ... будет «... есть человек»; если ... — это «смертные», то ... будет «существует время, в которое ... умирает». Тогда «все ... есть ...» означает: «'... влечет ...' всегда истинно». Следует заметить, что «все ... есть ...» относится не только к тем терминам, которые действительно являются ...; оно говорит нечто равным образом и о терминах, которые не являются .... Предположим, мы сталкиваемся с ..., о котором мы не знаем, является ли оно ... или нет; тем не менее, наше утверждение «все ... есть ...» говорит нам нечто о ..., а именно, что если ... есть ..., то ... есть .... И это в такой же мере истинно, когда ... не есть ..., как и когда ... есть .... Если бы это не было в равной степени истинно в обоих случаях, reductio ad absurdum не был бы валидным методом; ибо сущность этого метода состоит в использовании импликаций в случаях, когда (как впоследствии оказывается) гипотеза ложна. Мы можем выразить это иначе. Чтобы понять «все ... есть ...», не обязательно уметь перечислять, какие термины являются ...; при условии, что мы знаем, что значит быть ... и что значит быть ..., мы можем полностью понять, что именно утверждается в «все ... есть ...», как бы мало мы ни знали о реальных примерах того или другого. Это показывает, что в утверждении «все ... есть ...» релевантны не только реальные термины, которые являются ..., но все термины, в отношении которых предположение, что они являются ..., значимо, т. е. все термины, которые являются ..., вместе со всеми терминами, которые не являются ..., т. е. весь соответствующий логический «тип». То, что применимо к утверждениям о «всех», применимо и к утверждениям о «некоторых». «Люди существуют», например, означает, что «... есть человек» истинно для некоторых значений .... Здесь релевантны все значения ... (т. е. все значения, для которых «... есть человек» значимо, независимо от того, истинно оно или ложно), а не только те, которые на самом деле являются людьми. (Это становится очевидным, если мы рассмотрим, как мы могли бы доказать ложность такого утверждения.) Каждое утверждение о «всех» или «некоторых» таким образом включает не только аргументы, которые делают определенную функцию истинной, но все, которые делают ее значимой, т. е. все, для которых она вообще имеет значение, истинное или ложное.

Теперь мы можем продолжить нашу интерпретацию традиционных форм старомодной формальной логики. Мы предполагаем, что ... — это те термины, для которых ... истинно, а ... — это те, для которых ... истинно. (Как мы увидим в более поздней главе, все классы выводятся таким образом из пропозициональных функций.) Тогда:

«Все ... есть ...» означает «'... влечет ...' всегда истинно».

«Некоторые ... есть ...» означает «'... и ...' иногда истинно».

«Ни один ... не есть ...» означает «'... влечет не-...' всегда истинно».

«Некоторые ... не есть ...» означает «'... и не-...' иногда истинно».

Будет замечено, что пропозициональные функции, которые здесь утверждаются для всех или некоторых значений, — это не сами ... и ..., а функции истинности ... и ... для одного и того же аргумента. Самый простой способ представить себе то, что имеется в виду, — это начать не с ... и ... в общем, а с ... и ..., где ... — некоторая константа. Предположим, мы рассматриваем «все люди смертны»: мы начнем с

«Если Сократ есть человек, то Сократ смертен»,

а затем мы будем рассматривать «Сократ» как замененное переменной везде, где встречается «Сократ». Цель состоит в том, чтобы, хотя ... остается переменной, без какого-либо определенного значения, она имела одно и то же значение в «...» и в «...», когда мы утверждаем, что «... влечет ...» всегда истинно. Это требует, чтобы мы начали с функции, значениями которой являются такие, как «... влечет ...», а не с двух отдельных функций ... и ...; ибо если мы начнем с двух отдельных функций, мы никогда не сможем обеспечить, чтобы ..., оставаясь неопределенной, имела одно и то же значение в обеих.

Для краткости мы говорим «... всегда влечет ...», когда имеем в виду, что «... влечет ...» всегда истинно. Высказывания формы «... всегда влечет ...» называются «формальными импликациями»; это название дается в равной степени, если переменных несколько.

Вышеприведенные определения показывают, насколько далеки от простейших форм такие высказывания, как «все ... есть ...», с которых начинается традиционная логика. Типичным для отсутствия анализа является то, что традиционная логика рассматривает «все ... есть ...» как высказывание той же формы, что и «... есть ...» — например, она рассматривает «все люди смертны» как имеющее ту же форму, что и «Сократ смертен». Как мы только что видели, первое имеет форму «... всегда влечет ...», в то время как второе имеет форму «...». Эмфатическое разделение этих двух форм, которое было осуществлено Джузеппе Пеано и Готлобом Фреге, было очень важным шагом вперед в символической логике.

Будет видно, что «все ... есть ...» и «ни один ... не есть ...» на самом деле не различаются по форме, за исключением замены ... на не-..., и что то же самое относится к «некоторые ... есть ...» и «некоторые ... не есть ...». Следует также заметить, что традиционные правила обращения ошибочны, если мы примем точку зрения, которая является единственно технически допустимой, что такие высказывания, как «все ... есть ...», не предполагают «существования» ..., т. е. не требуют, чтобы существовали термины, которые являются .... Вышеприведенные определения приводят к результату, что если ... всегда ложно, т. е. если нет ..., то «все ... есть ...» и «ни один ... не есть ...» будут оба истинными, чем бы ни было .... Ибо, согласно определению в последней главе, «... влечет ...» означает «не-... или ...», что всегда истинно, если не-... всегда истинно. В первый момент этот результат может вызвать у читателя желание получить другие определения, но небольшой практический опыт вскоре показывает, что любые другие определения были бы неудобными и скрывали бы важные идеи. Высказывание «... всегда влечет ..., и ... иногда истинно» по существу является составным, и было бы очень неловко давать это в качестве определения «все ... есть ...», ибо тогда у нас не осталось бы языка для «... всегда влечет ...», который нужен сто раз на один раз, когда нужно другое. Но с нашими определениями «все ... есть ...» не влечет «некоторые ... есть ...», поскольку первое допускает несуществование ..., а второе — нет; таким образом, обращение per accidens становится невалидным, и некоторые модусы силлогизма являются ошибочными, например, Darapti: «Все ... есть ..., все ... есть ..., следовательно, некоторые ... есть ...», что не работает, если нет ....

Понятие «существования» имеет несколько форм, одна из которых займет нас в следующей главе; но фундаментальной формой является та, которая выводится непосредственно из понятия «иногда истинно». Мы говорим, что аргумент ... «удовлетворяет» функцию ..., если ... истинно; это тот же смысл, в котором корни уравнения, как говорят, удовлетворяют уравнению. Теперь, если ... иногда истинно, мы можем сказать, что существуют ..., для которых оно истинно, или мы можем сказать «аргументы, удовлетворяющие ..., существуют». Это фундаментальное значение слова «существование». Другие значения либо производны от этого, либо воплощают простую путаницу в мышлении. Мы можем правильно сказать «люди существуют», имея в виду, что «... есть человек» иногда истинно. Но если мы составим псевдосиллогизм: «Люди существуют, Сократ есть человек, следовательно, Сократ существует», мы говорим бессмыслицу, поскольку «Сократ» не является, подобно «людям», просто неопределенным аргументом к данной пропозициональной функции. Эта ошибка тесно аналогична ошибке в аргументе: «Люди многочисленны, Сократ есть человек, следовательно, Сократ многочислен». В этом случае очевидно, что вывод бессмысленен, но в случае существования это не очевидно по причинам, которые станут более понятными в следующей главе. А пока отметим лишь тот факт, что, хотя правильно сказать «люди существуют», неправильно, или, скорее, бессмысленно приписывать существование данному конкретному ..., который случайно является человеком. В общем, «термины, удовлетворяющие ... существуют» означает «... иногда истинно»; но «... существует» (где ... — термин, удовлетворяющий ...) — это просто шум или форма, лишенная значимости. Будет обнаружено, что, помня об этой простой ошибке, мы можем решить многие древние философские загадки, касающиеся значения существования.

Другой набор понятий, в отношении которых философия позволила себе впасть в безнадежную путаницу из-за недостаточного разделения высказываний и пропозициональных функций, — это понятия «модальности»: необходимое, возможное и невозможное. (Иногда вместо «возможное» используется «контингентное» или «ассерторическое».) Традиционная точка зрения заключалась в том, что среди истинных высказываний некоторые являются необходимыми, в то время как другие — лишь контингентными или ассерторическими; тогда как среди ложных высказываний некоторые являются невозможными, а именно те, чьи противоречия необходимы, в то время как другие просто случайно не являются истинными. Фактически, однако, никогда не было ясного объяснения того, что добавляется к истине концепцией необходимости. В случае пропозициональных функций трехчастное деление очевидно. Если «...» — это неопределенное значение некоторой пропозициональной функции, оно будет необходимым, если функция всегда истинна, возможным, если она иногда истинна, и невозможным, если она никогда не истинна. Такая ситуация возникает, например, в отношении вероятности. Предположим, шар ... вынимается из мешка, который содержит ряд шаров: если все шары белые, «... есть белый» необходимо; если некоторые белые, оно возможно; если ни одного, оно невозможно. Здесь все, что известно о ..., это то, что он удовлетворяет некоторой пропозициональной функции, а именно «... был шаром в мешке». Это ситуация, которая является общей в задачах на вероятность и не является редкостью в практической жизни — например, когда приходит человек, о котором мы ничего не знаем, кроме того, что он приносит рекомендательное письмо от нашего друга такого-то. Во всех таких случаях, как и в отношении модальности в целом, пропозициональная функция релевантна. Для ясного мышления во многих самых разных направлениях привычка держать пропозициональные функции четко отделенными от высказываний имеет величайшее значение, и неспособность делать это в прошлом была позором для философии.

ГЛАВА XVI ОПИСАНИЯ

В предыдущей главе мы имели дело со словами «все» и «некоторые»; в этой главе мы рассмотрим слово «тот» в единственном числе, а в следующей главе мы рассмотрим слово «тот» во множественном числе. Может показаться излишним посвящать две главы одному слову, но для философа-математика это слово огромной важности: подобно грамматику Браунинга с энклитикой ..., я бы изложил доктрину этого слова, если бы я был «мертв от пояса вниз», а не просто в тюрьме.

У нас уже был случай упомянуть «дескриптивные функции», т. е. такие выражения, как «отец ...» или «синус ...». Они должны быть определены путем предварительного определения «описаний».

«Описание» может быть двух видов: определенное и неопределенное (или двусмысленное). Неопределенное описание — это фраза вида «некий такой-то», а определенное описание — это фраза вида «тот самый такой-то» (в единственном числе). Начнем с первого.

«Кого ты встретил?» «Я встретил человека». «Это очень неопределенное описание». Поэтому мы не отходим от употребления в нашей терминологии. Наш вопрос: что я на самом деле утверждаю, когда утверждаю «Я встретил человека»? Предположим на мгновение, что мое утверждение истинно и что на самом деле я встретил Джонса. Ясно, что я утверждаю не «Я встретил Джонса». Я могу сказать «Я встретил человека, но это был не Джонс»; в этом случае, хотя я и лгу, я не противоречу сам себе, как я сделал бы, если бы, говоря, что встретил человека, я действительно имел в виду, что встретил Джонса. Ясно также, что человек, с которым я разговариваю, может понять, что я говорю, даже если он иностранец и никогда не слышал о Джонсе.

Но мы можем пойти дальше: не только Джонс, но и никакой реальный человек не входит в мое утверждение. Это становится очевидным, когда утверждение ложно, поскольку тогда нет больше оснований предполагать, что Джонс входит в высказывание, чем кто-либо другой. Действительно, утверждение оставалось бы значимым, хотя оно и не могло бы быть истинным, даже если бы вообще не было никакого человека. «Я встретил единорога» или «Я встретил морского змея» — это вполне значимое утверждение, если мы знаем, что значило бы быть единорогом или морским змеем, т. е. каково определение этих сказочных монстров. Таким образом, в высказывание входит только то, что мы можем назвать концептом. В случае «единорога», например, существует только концепт: не существует также где-то среди теней чего-то нереального, что можно было бы назвать «единорогом». Поэтому, поскольку значимо (хотя и ложно) сказать «Я встретил единорога», ясно, что это высказывание, правильно проанализированное, не содержит компонента «единорог», хотя оно и содержит концепт «единорог».

Вопрос «нереальности», с которым мы сталкиваемся в этой точке, является очень важным. Введенные в заблуждение грамматикой, подавляющее большинство тех логиков, которые занимались этим вопросом, подходили к нему ошибочно. Они рассматривали грамматическую форму как более надежный ориентир в анализе, чем она есть на самом деле. И они не знали, какие различия в грамматической форме важны. «Я встретил Джонса» и «Я встретил человека» традиционно считались бы высказываниями одной и той же формы, но на самом деле они имеют совершенно разные формы: первое называет реального человека, Джонса; в то время как второе включает пропозициональную функцию и становится, если его сделать явным: «Функция 'Я встретил ... и ... есть человек' иногда истинна». (Следует помнить, что мы приняли конвенцию использовать «иногда» как не подразумевающее более одного раза.) Это высказывание очевидно не имеет формы «Я встретил ...», что объясняет существование высказывания «Я встретил единорога», несмотря на тот факт, что не существует такой вещи, как «единорог».

Из-за отсутствия аппарата пропозициональных функций многие логики пришли к выводу, что существуют нереальные объекты. Утверждается, например, Мейнонгом [40], что мы можем говорить о «золотой горе», «круглом квадрате» и так далее; мы можем составлять истинные высказывания, субъектами которых они являются; следовательно, они должны иметь какой-то вид логического бытия, иначе высказывания, в которых они встречаются, были бы бессмысленными. В таких теориях, как мне кажется, отсутствует то чувство реальности, которое должно сохраняться даже в самых абстрактных исследованиях. Логика, я должен настаивать, должна допускать единорога не более, чем зоология; ибо логика имеет дело с реальным миром так же истинно, как и зоология, хотя и с его более абстрактными и общими чертами. Сказать, что единороги существуют в геральдике, или в литературе, или в воображении, — это самая жалкая и ничтожная уловка. То, что существует в геральдике, — это не животное, сделанное из плоти и крови, движущееся и дышащее по собственной инициативе. То, что существует, — это картина или описание словами. Точно так же утверждать, что Гамлет, например, существует в своем собственном мире, а именно в мире воображения Шекспира, так же истинно, как (скажем) Наполеон существовал в обычном мире, — значит сказать нечто преднамеренно запутанное или же запутанное до степени, в которую трудно поверить. Существует только один мир, «реальный» мир: воображение Шекспира является его частью, и мысли, которые были у него при написании Гамлета, реальны. Так же реальны и мысли, которые есть у нас при чтении пьесы. Но самой сущностью фикции является то, что реальны только мысли, чувства и т. д. у Шекспира и его читателей, и что нет, в дополнение к ним, объективного Гамлета. Когда вы приняли во внимание все чувства, вызванные Наполеоном у писателей и читателей истории, вы не коснулись реального человека; но в случае с Гамлетом вы дошли до его конца. Если бы никто не думал о Гамлете, от него ничего бы не осталось; если бы никто не думал о Наполеоне, он бы вскоре позаботился о том, чтобы кто-то подумал. Чувство реальности жизненно важно в логике, и тот, кто жонглирует им, делая вид, что Гамлет имеет другой вид реальности, оказывает медвежью услугу мышлению. Здоровое чувство реальности очень необходимо при построении правильного анализа высказываний о единорогах, золотых горах, круглых квадратах и других подобных псевдообъектах.

[40] Untersuchungen zur Gegenstandstheorie und Psychologie, 1904.

Следуя чувству реальности, мы будем настаивать на том, что при анализе высказываний ничего «нереального» не должно быть допущено. Но, в конце концов, если нет ничего нереального, как, можно спросить, мы могли бы допустить что-то нереальное? Ответ заключается в том, что, имея дело с высказываниями, мы имеем дело в первую очередь с символами, и если мы приписываем значимость группам символов, которые не имеют значимости, мы впадем в ошибку допущения нереальностей, в единственном смысле, в котором это возможно, а именно как объектов, которые описываются. В высказывании «Я встретил единорога» все четыре слова вместе составляют значимое высказывание, и слово «единорог» само по себе значимо, в точно таком же смысле, как слово «человек». Но два слова «единорог» не образуют подчиненную группу, имеющую собственное значение. Таким образом, если мы ложно приписываем значение этим двум словам, мы оказываемся обременены «единорогом» и проблемой, как может существовать такая вещь в мире, где нет единорогов. «Единорог» — это неопределенное описание, которое ничего не описывает. Это не неопределенное описание, которое описывает что-то нереальное. Такое высказывание, как «... нереально», имеет смысл только тогда, когда «...» — это описание, определенное или неопределенное; в этом случае высказывание будет истинным, если «...» — это описание, которое ничего не описывает. Но описывает ли описание «...» что-то или ничего не описывает, оно в любом случае не является компонентом высказывания, в котором оно встречается; подобно «единорогу» только что, это не подчиненная группа, имеющая собственное значение. Все это вытекает из того факта, что, когда «...» — это описание, «... нереально» или «... не существует» — это не бессмыслица, а всегда значимо и иногда истинно.

Теперь мы можем перейти к определению общего значения высказываний, которые содержат двусмысленные описания. Предположим, мы хотим сделать некоторое утверждение о «некоем таком-то», где «такие-то» — это те объекты, которые обладают определенным свойством ..., т. е. те объекты ..., для которых пропозициональная функция ... истинна. (Например, если мы возьмем «человек» в качестве нашего примера «такого-то», ... будет «... есть человек».) Теперь пожелаем утвердить свойство ... о «некоем таком-то», т. е. мы хотим утвердить, что «некий такой-то» обладает тем свойством, которое ... имеет, когда ... истинно. (Например, в случае «Я встретил человека», ... будет «Я встретил ...».) Теперь высказывание о том, что «некий такой-то» обладает свойством ..., не является высказыванием формы «...». Если бы это было так, «некий такой-то» должен был бы быть тождественен ... для подходящего ...; и хотя (в некотором смысле) это может быть истинно в некоторых случаях, это, безусловно, не истинно в таком случае, как «единорог». Именно этот факт, что утверждение о том, что некий такой-то обладает свойством ..., не имеет формы ..., делает возможным для «некоего такого-то» быть, в некотором ясно определимом смысле, «нереальным». Определение следующее:—

Утверждение, что «объект, обладающий свойством ..., обладает свойством ...»

означает:

«Совместное утверждение ... и ... не всегда ложно».

Насколько позволяет логика, это то же самое высказывание, которое могло бы быть выражено как «некоторые ... есть ...»; но риторически есть разница, потому что в одном случае есть намек на единственность, а в другом — на множественность. Это, однако, не важный момент. Важный момент заключается в том, что при правильном анализе высказывания, словесно относящиеся к «некоему такому-то», оказываются не содержащими компонента, представленного этой фразой. И именно поэтому такие высказывания могут быть значимыми, даже когда нет такой вещи, как такой-то.

Определение существования, примененное к двусмысленным описаниям, вытекает из того, что было сказано в конце предыдущей главы. Мы говорим, что «люди существуют» или «человек существует», если пропозициональная функция «... есть человек» иногда истинна; и в общем «некий такой-то» существует, если «... есть такой-то» иногда истинно. Мы можем выразить это другим языком. Высказывание «Сократ есть человек», несомненно, эквивалентно «Сократ есть человек», но это не одно и то же высказывание. «Есть» в «Сократ есть человек» выражает отношение субъекта и предиката; «есть» в «Сократ есть человек» выражает тождество. Это позор для человеческого рода, что он решил использовать одно и то же слово «есть» для этих двух совершенно разных идей — позор, который символический логический язык, конечно, исправляет. Тождество в «Сократ есть человек» — это тождество между названным объектом (принимая «Сократ» как имя, с учетом квалификаций, объясненных позже) и двусмысленно описанным объектом. Двусмысленно описанный объект будет «существовать», когда по крайней мере одно такое высказывание истинно, т. е. когда существует по крайней мере одно истинное высказывание формы «... есть такой-то», где «...» — это имя. Характерно для двусмысленных (в отличие от определенных) описаний то, что может быть любое количество истинных высказываний вышеуказанной формы — Сократ есть человек, Платон есть человек и т. д. Таким образом, «человек существует» следует из Сократа, или Платона, или кого-либо еще. С определенными описаниями, с другой стороны, соответствующая форма высказывания, а именно «... есть тот самый такой-то» (где «...» — это имя), может быть истинной только для одного значения ... самое большее. Это подводит нас к теме определенных описаний, которые должны быть определены способом, аналогичным тому, что использовался для двусмысленных описаний, но несколько более сложным.

Мы подходим теперь к главной теме настоящей главы, а именно к определению слова «тот» (в единственном числе). Один очень важный момент относительно определения «некоего такого-то» в равной степени применим к «тому самому такому-то»; определение, которое следует искать, — это определение высказываний, в которых встречается эта фраза, а не определение самой фразы в изоляции. В случае «некоего такого-то» это довольно очевидно: никто не мог бы предположить, что «человек» — это определенный объект, который можно определить сам по себе. Сократ есть человек, Платон есть человек, Аристотель есть человек, но мы не можем сделать вывод, что «человек» означает то же самое, что означает «Сократ», а также то же самое, что означает «Платон», а также то же самое, что означает «Аристотель», поскольку эти три имени имеют разные значения. Тем не менее, когда мы перечислили всех людей в мире, не остается ничего, о чем мы могли бы сказать: «Это человек, и не только это, но это тот самый «человек», квинтэссенция сущности, которая является просто неопределенным человеком, не будучи никем в частности». Конечно, совершенно ясно, что все, что есть в мире, определенно: если это человек, то это один определенный человек, а не какой-либо другой. Таким образом, не может быть такой сущности, как «человек», которую можно было бы найти в мире, в отличие от конкретного человека. И, соответственно, естественно, что мы определяем не самого «человека», а только высказывания, в которых он встречается.

В случае «того самого такого-то» это в равной степени верно, хотя на первый взгляд менее очевидно. Мы можем продемонстрировать, что это должно быть так, путем рассмотрения различия между именем и определенным описанием. Возьмем высказывание: «Скотт — автор «Уэверли»». У нас здесь есть имя «Скотт» и описание «автор «Уэверли»», которые, как утверждается, относятся к одному и тому же лицу. Различие между именем и всеми другими символами можно объяснить следующим образом:—

Имя — это простой символ, значением которого является нечто, что может встречаться только как субъект, т. е. нечто такого рода, которое в главе XIII мы определили как «индивид» или «партикулярия». А «простой» символ — это тот, у которого нет частей, являющихся символами. Таким образом, «Скотт» — это простой символ, потому что, хотя у него есть части (а именно отдельные буквы), эти части не являются символами. С другой стороны, «автор «Уэверли»» — это не простой символ, потому что отдельные слова, составляющие фразу, являются частями, которые являются символами. Если, как это может быть, все, что кажется «индивидом», на самом деле способно к дальнейшему анализу, нам придется довольствоваться тем, что можно назвать «относительными индивидами», которые будут терминами, которые в рамках рассматриваемого контекста никогда не анализируются и никогда не встречаются иначе, как в качестве субъектов. И в этом случае нам придется соответственно довольствоваться «относительными именами». С точки зрения нашей текущей проблемы, а именно определения описаний, эту проблему, являются ли они абсолютными именами или только относительными именами, можно игнорировать, поскольку она касается разных стадий в иерархии «типов», тогда как мы должны сравнивать такие пары, как «Скотт» и «автор «Уэверли»», которые оба относятся к одному и тому же объекту и не поднимают проблему типов. Мы можем, поэтому, на данный момент рассматривать имена как способные быть абсолютными; ничто из того, что мы должны будем сказать, не будет зависеть от этого предположения, но формулировка может быть немного сокращена благодаря этому.

У нас есть, таким образом, две вещи для сравнения: (1) имя, которое является простым символом, непосредственно обозначающим индивида, который является его значением, и имеющим это значение по праву, независимо от значений всех других слов; (2) описание, которое состоит из нескольких слов, значения которых уже зафиксированы и из которых вытекает все, что должно быть принято в качестве «значения» описания.

Высказывание, содержащее описание, не идентично тому, чем становится это высказывание при подстановке имени, даже если имя называет тот же объект, который описывает описание. «Скотт — автор «Уэверли»» — это, очевидно, другое высказывание, чем «Скотт — это Скотт»: первое — это факт литературной истории, второе — тривиальная трюизм. И если мы поставим кого-либо другого, кроме Скотта, на место «автора «Уэверли»», наше высказывание стало бы ложным и, следовательно, определенно больше не было бы тем же самым высказыванием. Но, можно сказать, наше высказывание по существу той же формы, что и (скажем) «Скотт — это сэр Вальтер», в котором два имени, как говорят, относятся к одному и тому же лицу. Ответ заключается в том, что если «Скотт — это сэр Вальтер» действительно означает «лицо, названное «Скотт», — это лицо, названное «сэр Вальтер»», то имена используются как описания: т. е. индивид, вместо того чтобы быть названным, описывается как лицо, имеющее это имя. Это способ, которым имена часто используются на практике, и, как правило, в формулировках не будет ничего, что указывало бы, используются ли они таким образом или как имена. Когда имя используется непосредственно, просто чтобы указать, о чем мы говорим, оно не является частью утверждаемого факта или ложности, если наше утверждение случайно оказывается ложным: оно является лишь частью символизма, с помощью которого мы выражаем нашу мысль. То, что мы хотим выразить, — это нечто, что могло бы (например) быть переведено на иностранный язык; это нечто, для чего реальные слова являются средством, но частью чего они не являются. С другой стороны, когда мы делаем высказывание о «лице, называемом «Скотт»», само имя «Скотт» входит в то, что мы утверждаем, а не только в язык, используемый при утверждении. Наше высказывание теперь будет другим, если мы подставим «лицо, называемое «сэр Вальтер»». Но пока мы используем имена как имена, говорим ли мы «Скотт» или говорим ли мы «сэр Вальтер», так же нерелевантно для того, что мы утверждаем, как говорим ли мы по-английски или по-французски. Таким образом, пока имена используются как имена, «Скотт — это сэр Вальтер» — это то же самое тривиальное высказывание, что и «Скотт — это Скотт». Это завершает доказательство того, что «Скотт — автор «Уэверли»» — это не то же самое высказывание, что получается при подстановке имени вместо «автора «Уэверли»», независимо от того, какое имя может быть подставлено.

Когда мы используем переменную и говорим о пропозициональной функции, скажем, процесс применения общих утверждений о ... к конкретным случаям будет состоять в подстановке имени вместо буквы «...», предполагая, что ... — это функция, которая имеет индивидов в качестве своих аргументов. Предположим, например, что ... «всегда истинно»; пусть это будет, скажем, «закон тождества», .... Тогда мы можем подставить вместо «...» любое имя, которое мы выберем, и мы получим истинное высказывание. Предполагая на мгновение, что «Сократ», «Платон» и «Аристотель» — это имена (очень опрометчивое предположение), мы можем сделать вывод из закона тождества, что Сократ есть Сократ, Платон есть Платон, а Аристотель есть Аристотель. Но мы совершим ошибку, если попытаемся сделать вывод, без дальнейших посылок, что автор «Уэверли» — это автор «Уэверли». Это вытекает из того, что мы только что доказали, что если мы подставим имя вместо «автора «Уэверли»» в высказывание, высказывание, которое мы получаем, — другое. То есть, применяя результат к нашему текущему случаю: если «...» — это имя, «...» — это не то же самое высказывание, что «автор «Уэверли» — это автор «Уэверли»», независимо от того, какое имя «...» может быть. Таким образом, из того факта, что все высказывания формы «...» истинны, мы не можем сделать вывод, без лишних слов, что автор «Уэверли» — это автор «Уэверли». Фактически, высказывания формы «тот самый такой-то — это тот самый такой-то» не всегда истинны: необходимо, чтобы такой-то существовал (термин, который будет объяснен в ближайшее время). Ложно, что нынешний король Франции — это нынешний король Франции, или что круглый квадрат — это круглый квадрат. Когда мы подставляем описание вместо имени, пропозициональные функции, которые «всегда истинны», могут стать ложными, если описание ничего не описывает. В этом нет никакой тайны, как только мы осознаем (что было доказано в предыдущем абзаце), что когда мы подставляем описание, результат не является значением рассматриваемой пропозициональной функции.

Теперь мы в состоянии определить высказывания, в которых встречается определенное описание. Единственное, что отличает «того самого такого-то» от «некоего такого-то», — это импликация единственности. Мы не можем говорить о «том самом жителе Лондона», потому что проживание в Лондоне — это атрибут, который не является уникальным. Мы не можем говорить о «нынешнем короле Франции», потому что его нет; но мы можем говорить о «нынешнем короле Англии». Таким образом, высказывания о «том самом таком-то» всегда подразумевают соответствующие высказывания о «некоем таком-то», с дополнением, что существует не более одного такого-то. Такое высказывание, как «Скотт — автор «Уэверли»», не могло бы быть истинным, если бы «Уэверли» никогда не был написан, или если бы его написали несколько человек; и не могло бы быть истинным никакое другое высказывание, вытекающее из пропозициональной функции ... путем подстановки «автора «Уэверли»» вместо «...». Мы можем сказать, что «автор «Уэверли»» означает «значение ..., для которого «... написал «Уэверли»» истинно». Таким образом, высказывание «автор «Уэверли» был шотландцем», например, включает:

(1) «... написал «Уэверли»» не всегда ложно;

(2) «если ... и ... написали «Уэверли», то ... и ... тождественны» всегда истинно;

(3) «если ... написал «Уэверли», то ... был шотландцем» всегда истинно.

Эти три высказывания, переведенные на обычный язык, гласят:

(1) по крайней мере один человек написал «Уэверли»;

(2) самое большее один человек написал «Уэверли»;

(3) тот, кто написал «Уэверли», был шотландцем.

Все эти три подразумеваются высказыванием «автор «Уэверли» был шотландцем». И наоборот, все три вместе (но никакие два из них) подразумевают, что автор «Уэверли» был шотландцем. Следовательно, все три вместе могут быть приняты как определяющие то, что имеется в виду под высказыванием «автор «Уэверли» был шотландцем».

Мы можем несколько упростить эти три высказывания. Первое и второе вместе эквивалентны: «Существует термин ..., такой что «... написал «Уэверли»» истинно, когда ... есть ..., и ложно, когда ... не есть ...». Другими словами, «Существует термин ..., такой что «... написал «Уэверли»» всегда эквивалентно «... есть ...»». (Два высказывания «эквивалентны», когда оба истинны или оба ложны.) У нас здесь, для начала, две функции ..., «... написал «Уэверли»» и «... есть ...», и мы формируем функцию ..., рассматривая эквивалентность этих двух функций ... для всех значений ...; затем мы переходим к утверждению, что результирующая функция ... «иногда истинна», т. е. что она истинна по крайней мере для одного значения .... (Она, очевидно, не может быть истинной более чем для одного значения ....) Эти два условия вместе определяются как дающие значение «автор «Уэверли» существует».

Теперь мы можем определить, что значит «существует терм, удовлетворяющий функции». Это общая форма, частным случаем которой является вышеприведенный пример. «Автор „Уэверли“» — это «терм, удовлетворяющий функции „написал „Уэверли““». И выражение «такой-то» всегда будет подразумевать отсылку к некоторой пропозициональной функции, а именно к той, которая определяет свойство, делающее вещь «такой-то». Наше определение таково:

«Существует терм, удовлетворяющий функции» означает:

«Существует такой терм x, что φx всегда эквивалентно „x есть c“».

Чтобы определить выражение «автор „Уэверли“ был шотландцем», нам все еще нужно учесть третье из наших трех суждений, а именно: «Тот, кто написал „Уэверли“, был шотландцем». Это будет удовлетворено простым добавлением того, что рассматриваемый x должен быть шотландцем. Таким образом, «автор „Уэверли“ был шотландцем» означает:

«Существует такой терм x, что (1) „x написал „Уэверли““ всегда эквивалентно „x есть c“, (2) x — шотландец».

И в общем виде: «терм, удовлетворяющий φ, удовлетворяет ψ» определяется как:

«Существует такой терм x, что (1) φx всегда эквивалентно „x есть c“, (2) ψc истинно».

Таково определение суждений, в которых встречаются описания.

Возможно обладать обширными знаниями об описываемом терме, т. е. знать множество суждений о «таком-то», не зная на самом деле, что это за «такой-то», т. е. не зная ни одного суждения вида «x есть такой-то», где «x» — имя. В детективном романе суждения о «человеке, совершившем преступление» накапливаются в надежде, что в конечном итоге их будет достаточно, чтобы доказать, что именно x совершил преступление. Мы можем даже зайти так далеко, чтобы сказать, что во всех знаниях, которые могут быть выражены словами — за исключением «это» и «то» и нескольких других слов, значение которых меняется в зависимости от случая, — не встречается имен в строгом смысле, а то, что кажется именами, на самом деле является описаниями. Мы можем осмысленно задаться вопросом, существовал ли Гомер, чего мы не могли бы сделать, если бы «Гомер» было именем. Суждение «такой-то существует» осмысленно, независимо от того, истинно оно или ложно; но если x — это «такой-то» (где «x» — имя), то слова «x существует» бессмысленны. Только об описаниях — определенных или неопределенных — можно осмысленно утверждать существование; ибо если «x» — имя, оно должно называть что-то: то, что ничего не называет, не является именем и, следовательно, если оно задумывалось как имя, является символом, лишенным значения, тогда как описание, подобное «нынешний король Франции», не становится неспособным к осмысленному употреблению только на том основании, что оно ничего не описывает, по той причине, что оно является сложным символом, значение которого выводится из значений составляющих его символов. И поэтому, когда мы спрашиваем, существовал ли Гомер, мы используем слово «Гомер» как сокращенное описание: мы можем заменить его, скажем, на «автор „Илиады“ и „Одиссеи“». Те же соображения применимы почти ко всем случаям использования того, что выглядит как собственные имена.

Когда описания встречаются в суждениях, необходимо различать то, что можно назвать «первичным» и «вторичным» вхождениями. Абстрактное различие состоит в следующем. Описание имеет «первичное» вхождение, когда суждение, в котором оно встречается, является результатом подстановки описания вместо «x» в некоторую пропозициональную функцию φx; описание имеет «вторичное» вхождение, когда результат подстановки описания вместо x в φx дает лишь часть рассматриваемого суждения. Пример сделает это более ясным. Рассмотрим «нынешний король Франции лыс». Здесь «нынешний король Франции» имеет первичное вхождение, и суждение ложно. Каждое суждение, в котором описание, ничего не описывающее, имеет первичное вхождение, ложно. Но теперь рассмотрим «нынешний король Франции не лыс». Это двусмысленно. Если мы сначала берем «x лыс», затем подставляем «нынешний король Франции» вместо «x» и затем отрицаем результат, то вхождение «нынешнего короля Франции» является вторичным, и наше суждение истинно; но если мы берем «x не лыс» и подставляем «нынешний король Франции» вместо «x», то «нынешний король Франции» имеет первичное вхождение, и суждение ложно. Смешение первичных и вторичных вхождений является готовым источником логических ошибок, когда дело касается описаний.

Описания встречаются в математике главным образом в форме дескриптивных функций, т. е. «терм, имеющий отношение R к y», или «R-ное от y», как мы можем сказать по аналогии с «отец x» и подобными фразами. Сказать, например, «отец x богат» — значит сказать, что следующая пропозициональная функция от y: «y богат, и „z породил y“ всегда эквивалентно „z есть x“» является «истинной в некоторых случаях», т. е. истинна по крайней мере для одного значения y. Очевидно, она не может быть истинной более чем для одного значения.

Теория описаний, кратко изложенная в настоящей главе, имеет огромное значение как в логике, так и в теории познания. Но для целей математики более философские части теории не являются существенными и поэтому были опущены в вышеприведенном изложении, которое ограничилось самыми необходимыми математическими требованиями.

ГЛАВА XVII КЛАССЫ

В настоящей главе мы будем иметь дело с «таким-то» во множественном числе: жители Лондона, сыновья богатых людей и так далее. Иными словами, мы будем иметь дело с классами. Мы видели во второй главе, что кардинальное число должно определяться как класс классов, а в третьей главе — что число 1 должно определяться как класс всех единичных классов, т. е. всех тех, которые имеют ровно одного члена, как мы сказали бы, если бы не порочный круг. Конечно, когда число 1 определяется как класс всех единичных классов, «единичные классы» должны быть определены так, чтобы не предполагать, что мы знаем, что имеется в виду под «одним»; на самом деле они определяются способом, очень близким к тому, что используется для описаний, а именно: класс α называется «единичным» классом, если пропозициональная функция «„x является членом α“ всегда эквивалентно „x есть y“» (рассматриваемая как функция от x) не всегда ложна, т. е., говоря более обычным языком, если существует такой терм y, что x будет членом α, когда x есть y, но не иначе. Это дает нам определение единичного класса, если мы уже знаем, что такое класс в общем. До сих пор, занимаясь арифметикой, мы рассматривали «класс» как примитивную идею. Но по причинам, изложенным в главе XIII, если не по другим, мы не можем принять «класс» как примитивную идею. Мы должны искать определение на тех же принципах, что и определение описаний, т. е. определение, которое придаст смысл суждениям, в чьем словесном или символическом выражении встречаются слова или символы, по-видимому представляющие классы, но которое придаст смысл, полностью исключающий всякое упоминание классов из правильного анализа таких суждений. Тогда мы сможем сказать, что символы для классов — это лишь удобства, не представляющие объектов, называемых «классами», и что классы на самом деле, подобно описаниям, являются логическими фикциями или (как мы говорим) «неполными символами».

Теория классов менее полна, чем теория описаний, и существуют причины (которые мы изложим в общих чертах) считать, что предлагаемое определение классов не является окончательно удовлетворительным. По-видимому, требуется некоторая дополнительная тонкость; но причины считать предлагаемое определение приблизительно верным и идущим в правильном направлении являются неопровержимыми.

Первое, что нужно понять, — это почему классы нельзя рассматривать как часть «окончательного состава мира». Трудно точно объяснить, что имеется в виду под этим утверждением, но одно следствие, которое оно подразумевает, может быть использовано для прояснения его смысла. Если бы у нас был полный символический язык с определением для всего определимого и неопределенным символом для всего неопределимого, неопределенные символы в этом языке представляли бы символически то, что я имею в виду под «окончательным составом мира». Я утверждаю, что никакие символы ни для «класса» в общем, ни для конкретных классов не были бы включены в этот аппарат неопределенных символов. С другой стороны, все конкретные вещи, существующие в мире, должны были бы иметь имена, которые были бы включены в число неопределенных символов. Мы могли бы попытаться избежать этого вывода с помощью описаний. Возьмем, скажем, «последняя вещь, которую видел Цезарь перед смертью». Это описание некоторого индивида; мы могли бы использовать его как (в одном вполне законном смысле) определение этого индивида. Но если «x» — имя для того же индивида, суждение, в котором встречается «x», не является (как мы видели в предыдущей главе) тождественным тому, во что превращается это суждение, когда мы подставляем вместо «x» «последнюю вещь, которую видел Цезарь перед смертью». Если наш язык не содержит имени «x» или какого-либо другого имени для того же индивида, у нас не будет средств выразить суждение, которое мы выразили с помощью «x», в отличие от того, которое мы выразили с помощью описания. Таким образом, описания не позволили бы совершенному языку обойтись без имен для всех индивидов. В этом отношении, как мы утверждаем, классы отличаются от индивидов и не нуждаются в представлении неопределенными символами. Наша первая задача — привести доводы в пользу этого мнения.

Мы уже видели, что классы нельзя рассматривать как вид индивидов из-за противоречия относительно классов, не являющихся членами самих себя (объясненного в главе XIII), и потому, что мы можем доказать, что число классов больше, чем число индивидов.

Мы не можем рассматривать классы в чисто экстенсиональном смысле как просто кучи или конгломераты. Если бы мы попытались сделать это, мы обнаружили бы, что невозможно понять, как может существовать такой класс, как пустой класс, который вообще не имеет членов и не может рассматриваться как «куча»; нам также было бы очень трудно понять, как получается, что класс, имеющий только одного члена, не тождественен этому одному члену. Я не намерен утверждать или отрицать, что существуют такие сущности, как «кучи». Как математический логик, я не обязан иметь мнение по этому вопросу. Все, что я утверждаю, — это то, что если существуют такие вещи, как кучи, мы не можем отождествлять их с классами, состоящими из их составляющих.

Мы гораздо ближе подойдем к удовлетворительной теории, если попытаемся отождествить классы с пропозициональными функциями. Каждый класс, как мы объяснили в главе II, определяется некоторой пропозициональной функцией, которая истинна для членов класса и ложна для других вещей. Но если класс может быть определен одной пропозициональной функцией, он может быть с таким же успехом определен любой другой, которая истинна всякий раз, когда истинна первая, и ложна всякий раз, когда ложна первая. По этой причине класс нельзя отождествлять с какой-то одной такой пропозициональной функцией в большей степени, чем с любой другой — и для данной пропозициональной функции всегда существует множество других, которые истинны, когда она истинна, и ложны, когда она ложна. Мы говорим, что две пропозициональные функции «формально эквивалентны», когда это происходит. Два суждения «эквивалентны», когда оба истинны или оба ложны; две пропозициональные функции φx, ψx «формально эквивалентны», когда φx всегда эквивалентно ψx. Тот факт, что существуют другие функции, формально эквивалентные данной функции, делает невозможным отождествление класса с функцией; ибо мы хотим, чтобы классы были такими, чтобы никакие два различных класса не имели в точности одних и тех же членов, и поэтому две формально эквивалентные функции должны будут определять один и тот же класс.

Когда мы решили, что классы не могут быть вещами того же рода, что и их члены, что они не могут быть просто кучами или совокупностями, а также что их нельзя отождествлять с пропозициональными функциями, становится очень трудно понять, чем они могут быть, если они должны быть чем-то большим, чем символические фикции. И если мы сможем найти какой-либо способ обращения с ними как с символическими фикциями, мы повысим логическую надежность нашей позиции, поскольку избежим необходимости предполагать, что существуют классы, не будучи при этом вынужденными делать противоположное допущение, что классов не существует. Мы просто воздерживаемся от обоих допущений. Это пример бритвы Оккама, а именно: «сущности не следует умножать без необходимости». Но когда мы отказываемся утверждать, что классы существуют, нас не следует считать догматически утверждающими, что их нет. Мы просто агностичны в отношении них: подобно Лапласу, мы можем сказать: «je n'ai pas besoin de cette hypothèse».

Давайте сформулируем условия, которым должен удовлетворять символ, чтобы служить классом. Я думаю, следующие условия окажутся необходимыми и достаточными:

(1) Каждая пропозициональная функция должна определять класс, состоящий из тех аргументов, для которых функция истинна. Дано любое суждение (истинное или ложное), скажем, о Сократе, мы можем представить Сократа замененным Платоном, или Аристотелем, или гориллой, или человеком на Луне, или любым другим индивидом в мире. В общем случае некоторые из этих подстановок дадут истинное суждение, а некоторые — ложное. Определяемый класс будет состоять из всех тех подстановок, которые дают истинное суждение. Конечно, нам еще предстоит решить, что мы подразумеваем под «всеми теми, которые и т. д.». Все, что мы отмечаем в данный момент, — это то, что класс становится определенным посредством пропозициональной функции и что каждая пропозициональная функция определяет соответствующий класс.

(2) Две формально эквивалентные пропозициональные функции должны определять один и тот же класс, а две, которые не являются формально эквивалентными, должны определять разные классы. То есть класс определяется своим составом членов, и никакие два разных класса не могут иметь один и тот же состав членов. (Если класс определяется функцией φx, мы говорим, что x является «членом» класса, если φx истинно.)

(3) Мы должны найти какой-то способ определения не только классов, но и классов классов. Мы видели в главе II, что кардинальные числа должны определяться как классы классов. Обычная фраза элементарной математики «сочетания из n вещей по m» представляет собой класс классов, а именно класс всех классов из m термов, которые могут быть выбраны из данного класса из n термов. Без какого-либо символического метода обращения с классами классов математическая логика потерпела бы крах.

(4) При любых обстоятельствах должно быть бессмысленным (а не ложным) предполагать, что класс является членом самого себя или не является членом самого себя. Это вытекает из противоречия, которое мы обсуждали в главе XIII.

(5) Наконец — и это условие, которое труднее всего выполнить, — должна быть возможность составлять суждения обо всех классах, состоящих из индивидов, или обо всех классах, состоящих из объектов любого одного логического «типа». Если бы это было не так, многие способы использования классов оказались бы ошибочными — например, математическая индукция. При определении потомства данного терма нам нужно иметь возможность сказать, что член потомства принадлежит ко всем наследственным классам, к которым принадлежит данный терм, и это требует того рода совокупности, о которой идет речь. Причина, по которой существует трудность с этим условием, заключается в том, что можно доказать невозможность говорить обо всех пропозициональных функциях, которые могут иметь аргументы данного типа.

Мы для начала проигнорируем это последнее условие и проблемы, которые оно порождает. Первые два условия можно рассматривать вместе. Они утверждают, что для каждой группы формально эквивалентных пропозициональных функций должен существовать один класс, не больше и не меньше; например, класс людей должен быть тем же самым, что и класс двуногих без перьев, или разумных животных, или йеху, или любой другой характеристики, которую можно предпочесть для определения человека. Теперь, когда мы говорим, что две формально эквивалентные пропозициональные функции могут быть не идентичны, хотя они определяют один и тот же класс, мы можем доказать истинность этого утверждения, указав, что высказывание может быть истинным для одной функции и ложным для другой; например, «Я верю, что все люди смертны» может быть истинным, в то время как «Я верю, что все разумные животные смертны» может быть ложным, поскольку я могу ошибочно верить, что Феникс — бессмертное разумное животное. Таким образом, мы приходимся рассматривать высказывания о функциях или (точнее) функции от функций.

Некоторые вещи, которые можно сказать о функции, могут рассматриваться как сказанные о классе, определяемом этой функцией, тогда как другие — нет. Высказывание «все люди смертны» включает функции «x есть человек» и «x смертен»; или, если мы выберем, мы можем сказать, что оно включает классы людей и смертных. Мы можем интерпретировать высказывание любым способом, потому что его истинностное значение не меняется, если мы подставим вместо «x есть человек» или вместо «x смертен» любую формально эквивалентную функцию. Но, как мы только что видели, высказывание «Я верю, что все люди смертны» нельзя рассматривать как высказывание о классе, определяемом любой из функций, потому что его истинностное значение может измениться при подстановке формально эквивалентной функции (которая оставляет класс неизменным). Мы будем называть высказывание, включающее функцию φx, «экстенсиональной» функцией от функции φ, если оно подобно «все люди смертны», т. е. если его истинностное значение не меняется при подстановке любой формально эквивалентной функции; и когда функция от функции не является экстенсиональной, мы будем называть ее «интенсиональной», так что «Я верю, что все люди смертны» является интенсиональной функцией от «x есть человек» или «x смертен». Таким образом, экстенсиональные функции от функции φ могут для практических целей рассматриваться как функции от класса, определяемого φ, в то время как интенсиональные функции не могут рассматриваться таким образом.

Следует отметить, что все специфические функции от функций, которые нам приходится вводить в математической логике, являются экстенсиональными. Так, например, две фундаментальные функции от функций: «φx всегда истинно» и «φx иногда истинно». Каждая из них имеет истинностное значение, которое не меняется, если вместо φ подставить любую формально эквивалентную функцию. На языке классов, если α — класс, определяемый φ, «φx всегда истинно» эквивалентно «все является членом α», а «φx иногда истинно» эквивалентно «α имеет членов» или (лучше) «α имеет по крайней мере одного члена». Возьмем, опять же, условие, рассмотренное в предыдущей главе, для существования «терма, удовлетворяющего φx». Условие состоит в том, что существует такой терм c, что φx всегда эквивалентно «x есть c». Это очевидно экстенсионально. Это эквивалентно утверждению, что класс, определяемый функцией φx, является единичным классом, т. е. классом, имеющим одного члена; иными словами, классом, который является членом 1.

Имея функцию от функции, которая может быть или не быть экстенсиональной, мы всегда можем вывести из нее связанную и определенно экстенсиональную функцию от той же функции по следующему плану: пусть наша исходная функция от функции — та, которая приписывает φ свойство f; тогда рассмотрим утверждение «существует функция, обладающая свойством f и формально эквивалентная φ». Это экстенсиональная функция от φ; она истинна, когда истинно наше исходное высказывание, и она формально эквивалентна исходной функции от φ, если эта исходная функция экстенсиональна; но когда исходная функция интенсиональна, новая чаще оказывается истинной, чем старая. Например, рассмотрим снова «Я верю, что все люди смертны», рассматриваемое как функция от «x есть человек». Производная экстенсиональная функция такова: «Существует функция, формально эквивалентная „x есть человек“ и такая, что я верю, что все, что удовлетворяет ей, смертно». Это остается истинным, когда мы подставляем «x есть разумное животное» вместо «x есть человек», даже если я ошибочно верю, что Феникс разумен и бессмертен.

Мы даем название «производная экстенсиональная функция» функции, сконструированной как выше, а именно функции: «Существует функция, обладающая свойством f и формально эквивалентная φ», где исходная функция была «функция φ обладает свойством f».

Мы можем рассматривать производную экстенсиональную функцию как имеющую своим аргументом класс, определяемый функцией φ, и как утверждающую f об этом классе. Это может быть принято как определение суждения о классе. Т. е. мы можем определить:

Утверждать, что «класс, определяемый функцией φ, обладает свойством f» — значит утверждать, что φ удовлетворяет экстенсиональной функции, производной от f.

Это придает смысл любому высказыванию о классе, которое может быть осмысленно сделано о функции; и окажется, что технически это дает результаты, которые требуются для того, чтобы сделать теорию символически удовлетворительной. [41]

[41] См. Principia Mathematica, том I, стр. 75-84 и * 20.

То, что мы только что сказали относительно определения классов, достаточно для выполнения наших первых четырех условий. Способ, которым это обеспечивает третье и четвертое, а именно возможность классов классов и невозможность того, чтобы класс был или не был членом самого себя, является несколько техническим; это объясняется в Principia Mathematica, но здесь может быть принято как должное. В результате, если бы не наше пятое условие, мы могли бы считать нашу задачу выполненной. Но это условие — одновременно самое важное и самое трудное — не выполняется в силу всего того, что мы сказали до сих пор. Трудность связана с теорией типов и должна быть кратко обсуждена. [42]

[42] Читателю, желающему получить более полное обсуждение, следует обратиться к Principia Mathematica, Введение, гл. II; также * 12.

Мы видели в главе XIII, что существует иерархия логических типов и что является ошибкой позволять объекту, принадлежащему к одному из них, быть подставленным вместо объекта, принадлежащего к другому. Теперь нетрудно показать, что различные функции, которые могут принимать данный объект x в качестве аргумента, не все одного типа. Назовем их все φ-функциями. Мы можем взять сначала те из них, которые не включают отсылку к какой-либо совокупности функций; их мы назовем «предикативными φ-функциями». Если мы теперь перейдем к функциям, включающим отсылку ко всей совокупности предикативных φ-функций, мы совершим ошибку, если будем рассматривать их как функции того же типа, что и предикативные φ-функции. Возьмем такое повседневное высказывание, как «x — типичный француз». Как мы определим «типичного» француза? Мы можем определить его как того, кто «обладает всеми качествами, которыми обладает большинство французов». Но если мы не ограничим «все качества» такими, которые не включают отсылку к какой-либо совокупности качеств, нам придется заметить, что большинство французов не являются типичными в вышеуказанном смысле, и поэтому определение показывает, что быть нетипичным существенно для типичного француза. Это не логическое противоречие, поскольку нет причин, по которым должны существовать какие-либо типичные французы; но это иллюстрирует необходимость отделения качеств, включающих отсылку к совокупности качеств, от тех, которые этого не делают.

Всякий раз, когда с помощью высказываний обо «всех» или «некоторых» значениях, которые переменная может осмысленно принимать, мы порождаем новый объект, этот новый объект не должен быть среди значений, которые могла принимать наша предыдущая переменная, поскольку, если бы он был, совокупность значений, по которым могла бы варьироваться переменная, была бы определима только в терминах самой себя, и мы оказались бы вовлечены в порочный круг. Например, если я говорю «Наполеон обладал всеми качествами, которые делают великого полководца», я должен определить «качества» таким образом, чтобы они не включали то, что я сейчас говорю, т. е. «обладание всеми качествами, которые делают великого полководца» само по себе не должно быть качеством в предполагаемом смысле. Это довольно очевидно и является принципом, который ведет к теории типов, с помощью которой избегаются парадоксы порочного круга. Применительно к φ-функциям мы можем предположить, что «качества» означают «предикативные функции». Тогда, когда я говорю «Наполеон обладал всеми качествами и т. д.», я имею в виду «Наполеон удовлетворял всем предикативным функциям и т. д.». Это высказывание приписывает свойство Наполеону, но не предикативное свойство; таким образом мы избегаем порочного круга. Но везде, где встречается «все функции, которые», рассматриваемые функции должны быть ограничены одним типом, если нужно избежать порочного круга; и, как показали Наполеон и типичный француз, тип не определяется типом аргумента. Потребовалось бы гораздо более полное обсуждение, чтобы изложить этот пункт полностью, но сказанного может быть достаточно, чтобы прояснить, что функции, которые могут принимать данный аргумент, относятся к бесконечной серии типов. Мы могли бы с помощью различных технических приемов сконструировать переменную, которая пробегала бы первые n из этих типов, где n конечно, но мы не можем сконструировать переменную, которая пробегала бы их все, и, если бы мы могли, один этот факт немедленно породил бы новый тип функции с теми же аргументами и снова запустил бы весь процесс.

Мы называем предикативные φ-функции первым типом φ-функций; φ-функции, включающие отсылку к совокупности первого типа, мы называем вторым типом; и так далее. Никакая переменная φ-функция не может пробегать все эти различные типы: она должна остановиться на каком-то определенном.

Эти соображения имеют отношение к нашему определению производной экстенсиональной функции. Мы говорили там о «функции, формально эквивалентной φ». Необходимо принять решение относительно типа нашей функции. Любое решение подойдет, но какое-то решение неизбежно. Назовем предполагаемую формально эквивалентную функцию ψ. Тогда ψ появляется как переменная и должна быть некоторого определенного типа. Все, что мы обязательно знаем о типе ψ, — это то, что она принимает аргументы данного типа, — что она является (скажем) φ-функцией. Но это, как мы только что видели, не определяет ее тип. Если мы хотим быть в состоянии (как требует наше пятое требование) иметь дело со всеми классами, члены которых того же типа, что и x, мы должны быть в состоянии определить все такие классы с помощью функций какого-то одного типа; то есть должен существовать какой-то тип φ-функции, скажем n-й, такой, что любая φ-функция формально эквивалентна некоторой φ-функции n-го типа. Если это так, то любая экстенсиональная функция, которая справедлива для всех φ-функций n-го типа, будет справедлива для любой φ-функции вообще. Именно как техническое средство воплощения допущения, ведущего к этому результату, классы полезны главным образом. Это допущение называется «аксиомой сводимости» и может быть сформулировано следующим образом:

«Существует тип (скажем, n-й) φ-функций такой, что для любой φ-функции она формально эквивалентна некоторой функции рассматриваемого типа».

Если эта аксиома принимается, мы используем функции этого типа при определении нашей ассоциированной экстенсиональной функции. Высказывания обо всех φ-классах (т. е. обо всех классах, определяемых φ-функциями) могут быть сведены к высказываниям обо всех φ-функциях n-го типа. Пока вовлечены только экстенсиональные функции от функций, это дает нам на практике результаты, которые в противном случае потребовали бы невозможного понятия «всех φ-функций». Одной конкретной областью, где это жизненно важно, является математическая индукция.

Аксиома сводимости включает в себя все, что действительно существенно в теории классов. Поэтому стоит спросить, есть ли какие-либо основания полагать ее истинной.

Эта аксиома, подобно мультипликативной аксиоме и аксиоме бесконечности, необходима для определенных результатов, но не для самого существования дедуктивного рассуждения. Теория дедукции, как объяснено в главе XIV, и законы для суждений, включающих «все» и «некоторые», составляют саму ткань математического рассуждения: без них или чего-то подобного мы не просто не получили бы тех же результатов, но мы не получили бы никаких результатов вообще. Мы не можем использовать их как гипотезы и выводить гипотетические следствия, ибо они являются правилами дедукции, а также посылками. Они должны быть абсолютно истинными, иначе то, что мы выводим в соответствии с ними, даже не следует из посылок. С другой стороны, аксиому сводимости, подобно двум нашим предыдущим математическим аксиомам, можно было бы прекрасно сформулировать как гипотезу всякий раз, когда она используется, вместо того чтобы предполагать ее фактически истинной. Мы можем выводить ее следствия гипотетически; мы можем также выводить следствия из предположения, что она ложна. Поэтому она лишь удобна, а не необходима. И ввиду сложности теории типов и неопределенности всего, кроме ее самых общих принципов, пока невозможно сказать, не найдется ли какой-нибудь способ обойтись без аксиомы сводимости вообще. Однако, предполагая правильность теории, изложенной выше, что мы можем сказать об истинности или ложности аксиомы?

Аксиома, как мы можем заметить, является обобщенной формой лейбницевского тождества неразличимых. Лейбниц предполагал, как логический принцип, что два разных субъекта должны различаться по предикатам. Теперь предикаты — это лишь некоторые из того, что мы назвали «предикативными функциями», которые будут включать также отношения к данным термам и различные свойства, не считающиеся предикатами. Таким образом, лейбницевское допущение гораздо более строгое и узкое, чем наше. (Не, конечно, согласно его логике, которая рассматривала все суждения как сводимые к субъектно-предикатной форме.) Но нет веских причин верить в его форму, насколько я могу судить. Вполне могло бы существовать, как вопрос абстрактной логической возможности, две вещи, которые имели в точности одни и те же предикаты, в узком смысле, в котором мы использовали слово «предикат». Как выглядит наша аксиома, когда мы выходим за пределы предикатов в этом узком смысле? В реальном мире, по-видимому, нет способа сомневаться в ее эмпирической истинности в отношении индивидов из-за пространственно-временной дифференциации: никакие два индивида не имеют в точности одних и тех же пространственных и временных отношений ко всем другим индивидам. Но это, так сказать, случайность, факт о мире, в котором нам довелось оказаться. Чистая логика и чистая математика (что одно и то же) стремятся быть истинными, в лейбницевской фразеологии, во всех возможных мирах, а не только в этом беспорядочном наборе мира, в котором нас заточил случай. Существует определенное величие, которое должен сохранять логик: он не должен снисходить до того, чтобы выводить аргументы из вещей, которые он видит вокруг себя.

Рассматриваемая с этой строго логической точки зрения, я не вижу никаких оснований полагать, что аксиома сводимости логически необходима, что означало бы, что она истинна во всех возможных мирах. Допущение этой аксиомы в систему логики является, следовательно, дефектом, даже если аксиома эмпирически истинна. Именно по этой причине теорию классов нельзя считать такой же полной, как теорию описаний. Существует необходимость в дальнейшей работе над теорией типов в надежде прийти к доктрине классов, которая не требует такого сомнительного допущения. Но разумно рассматривать теорию, изложенную в настоящей главе, как верную в своих основных чертах, т. е. в ее сведении суждений, номинально относящихся к классам, к суждениям об их определяющих функциях. Избегание классов как сущностей этим методом, по-видимому, должно быть здравым в принципе, как бы детали еще ни требовали корректировки. Именно потому, что это кажется несомненным, мы включили теорию классов, несмотря на наше желание исключить, насколько это возможно, все, что казалось открытым для серьезных сомнений.

Теория классов, как она изложена выше, сводится к одной аксиоме и одному определению. Ради определенности мы повторим их здесь. Аксиома такова:

Существует тип n такой, что если φx — функция, которая может принимать данный объект x в качестве аргумента, то существует функция ψx n-го типа, которая формально эквивалентна φx.

Определение таково:

Если φx — функция, которая может принимать данный объект x в качестве аргумента, а n — тип, упомянутый в вышеприведенной аксиоме, то сказать, что класс, определяемый φx, обладает свойством f — значит сказать, что существует функция ψx n-го типа, формально эквивалентная φx и обладающая свойством f.

ГЛАВА XVIII МАТЕМАТИКА И ЛОГИКА

МАТЕМАТИКА и логика, исторически говоря, были совершенно различными исследованиями. Математика была связана с наукой, логика — с греческим языком. Но обе развивались в современную эпоху: логика стала более математической, а математика — более логической. Следствием этого является то, что теперь стало совершенно невозможно провести черту между ними; на самом деле, они едины. Они различаются как мальчик и мужчина: логика — это юность математики, а математика — это зрелость логики. Этот взгляд вызывает возмущение у логиков, которые, потратив свое время на изучение классических текстов, неспособны следовать за символическим рассуждением, и у математиков, которые выучили технику, не утруждая себя вопросом о ее смысле или обосновании. Оба типа теперь, к счастью, становятся все более редкими. Так много современной математической работы очевидно находится на границе логики, так много современной логики является символической и формальной, что очень близкая связь логики и математики стала очевидной для каждого образованного студента. Доказательство их тождества, конечно, является делом деталей: начиная с посылок, которые, как общепризнано, принадлежат логике, и приходя путем дедукции к результатам, которые столь же очевидно принадлежат математике, мы обнаруживаем, что нет точки, в которой можно было бы провести четкую линию, с логикой слева и математикой справа. Если все еще есть те, кто не признает тождества логики и математики, мы можем бросить им вызов указать, в какой точке, в последовательных определениях и дедукциях Principia Mathematica, они считают, что логика заканчивается и начинается математика. Тогда станет очевидно, что любой ответ должен быть совершенно произвольным.

В предыдущих главах этой книги, начиная с натуральных чисел, мы сначала дали определение «кардинального числа» и показали, как обобщить понятие числа, а затем проанализировали концепции, задействованные в этом определении, пока не перешли к основам логики. В синтетическом, дедуктивном изложении эти основы стоят на первом месте, а к натуральным числам мы приходим лишь после долгого пути. Такой подход, хотя формально и более корректный, чем принятый нами, является более трудным для читателя, поскольку предельные логические понятия и суждения, с которых он начинается, далеки и непривычны по сравнению с натуральными числами. Кроме того, они представляют собой современный рубеж познания, за которым лежит еще неизвестное, и власть знания над ними пока не очень прочна.

Раньше говорили, что математика — это наука о «количестве». «Количество» — расплывчатое слово, но ради аргументации мы можем заменить его словом «число». Утверждение, что математика — это наука о числе, было бы неверным в двух отношениях. С одной стороны, существуют признанные разделы математики, которые не имеют ничего общего с числом — например, вся геометрия, не использующая координаты или измерения: проективная и дескриптивная геометрия, вплоть до того момента, когда вводятся координаты, не имеют отношения к числу или даже к количеству в смысле «большего» и «меньшего». С другой стороны, благодаря определению кардинальных чисел, теории индукции и предковых отношений, общей теории рядов и определениям арифметических операций стало возможным обобщить многое из того, что раньше доказывалось только в связи с числами. В результате то, что прежде было единой дисциплиной арифметики, теперь разделилось на множество отдельных дисциплин, ни одна из которых специально не занимается числами. Элементарнейшие свойства чисел связаны с взаимно-однозначными отношениями и сходством между классами. Сложение связано с построением взаимно исключающих классов, соответственно сходных с набором классов, о которых не известно, являются ли они взаимно исключающими. Умножение сливается с теорией «выборов», т. е. определенного рода отношений «один-ко-многим». Конечность сливается с общим изучением предковых отношений, что дает всю теорию математической индукции. Ординальные свойства различных видов числовых рядов, а также элементы теории непрерывности функций и пределов функций могут быть обобщены так, чтобы больше не содержать никаких существенных отсылок к числам. Принцип любого формального рассуждения состоит в том, чтобы обобщать до предела, поскольку тем самым мы гарантируем, что данный процесс дедукции будет иметь более широкую область применения; поэтому, обобщая таким образом рассуждения арифметики, мы лишь следуем правилу, которое общепризнанно в математике. И, обобщая таким образом, мы, по сути, создали набор новых дедуктивных систем, в которых традиционная арифметика одновременно растворяется и расширяется; но вопрос о том, следует ли относить любую из этих новых дедуктивных систем — например, теорию выборов — к логике или к арифметике, является совершенно произвольным и не поддается рациональному решению.

Таким образом, мы сталкиваемся с вопросом: что это за предмет, который можно одинаково назвать как математикой, так и логикой? Есть ли какой-то способ его определить?

Некоторые характеристики этого предмета ясны. Прежде всего, в этом предмете мы имеем дело не с конкретными вещами или конкретными свойствами: мы формально имеем дело с тем, что можно сказать о любой вещи или любом свойстве. Мы готовы сказать, что один и один — два, но не что Сократ и Платон — два, потому что в качестве логиков или чистых математиков мы никогда не слышали о Сократе и Платоне. Мир, в котором не было бы таких индивидов, все равно оставался бы миром, в котором один и один — два. Мы, как чистые математики или логики, не можем упоминать вообще ничего, потому что, делая это, мы вводим нечто нерелевантное и неформальное. Мы можем прояснить это, применив к случаю силлогизма. Традиционная логика гласит: «Все люди смертны, Сократ — человек, следовательно, Сократ смертен». Теперь ясно, что мы намереваемся утверждать, прежде всего, лишь то, что посылки подразумевают заключение, а не то, что посылки и заключение фактически истинны; даже самая традиционная логика указывает, что фактическая истинность посылок не имеет отношения к логике. Таким образом, первое изменение, которое необходимо внести в вышеприведенный традиционный силлогизм, — это сформулировать его в виде: «Если все люди смертны и Сократ — человек, то Сократ смертен». Теперь мы можем заметить, что имеется в виду, что этот аргумент является значимым в силу своей формы, а не в силу конкретных терминов, встречающихся в нем. Если бы мы опустили «Сократ — человек» из наших посылок, мы получили бы неформальный аргумент, допустимый только потому, что Сократ на самом деле является человеком; в этом случае мы не смогли бы обобщить аргумент. Но когда, как выше, аргумент является формальным, ничто не зависит от терминов, которые в нем встречаются. Таким образом, мы можем подставить вместо «людей», вместо «смертных» и вместо Сократа, где и — любые классы, а — любой индивид. Тогда мы приходим к утверждению: «Независимо от того, какие значения могут иметь и , если все — это , и — это , то — это »; иными словами, «пропозициональная функция “если все — это , и — это , то — это ” всегда истинна». Здесь, наконец, мы имеем суждение логики — то самое, которое лишь подразумевается традиционным высказыванием о Сократе, людях и смертных.

Ясно, что если мы стремимся к формальному рассуждению, мы всегда в конечном итоге придем к таким утверждениям, как выше, в которых не упоминаются никакие реальные вещи или свойства; это произойдет из простого желания не тратить время на доказательство в частном случае того, что можно доказать в общем виде. Было бы нелепо проводить длинный аргумент о Сократе, а затем проводить точно такой же аргумент о Платоне. Если наш аргумент — это (скажем) тот, который справедлив для всех людей, мы докажем его относительно «», с гипотезой «если — человек». С этой гипотезой аргумент сохранит свою гипотетическую значимость, даже когда не является человеком. Но теперь мы обнаружим, что наш аргумент оставался бы значимым, если бы вместо предположения, что — человек, мы предположили бы, что он — обезьяна, гусь или премьер-министр. Поэтому мы не будем тратить время, принимая в качестве посылки « — человек», а возьмем « — », где — любой класс индивидов, или «», где — любая пропозициональная функция некоторого заданного типа. Таким образом, отсутствие всякого упоминания о конкретных вещах или свойствах в логике или чистой математике является необходимым следствием того факта, что это исследование является, как мы говорим, «чисто формальным».

В этот момент мы сталкиваемся с проблемой, которую легче сформулировать, чем решить. Проблема такова: «Каковы составляющие логического суждения?» Я не знаю ответа, но предлагаю объяснить, как возникает эта проблема.

Возьмем (скажем) суждение «Сократ был до Аристотеля». Здесь кажется очевидным, что мы имеем отношение между двумя терминами и что составляющими суждения (как и соответствующего факта) являются просто два термина и отношение, т. е. Сократ, Аристотель и «до». (Я игнорирую тот факт, что Сократ и Аристотель не являются простыми; а также тот факт, что то, что кажется их именами, на самом деле является сокращенными описаниями. Ни один из этих фактов не имеет отношения к данному вопросу.) Мы можем представить общую форму таких суждений как «», которую можно прочитать как « имеет отношение к ». Эта общая форма может встречаться в логических суждениях, но никакой конкретный ее экземпляр не может встретиться. Должны ли мы сделать вывод, что сама общая форма является составляющей таких логических суждений?

Имея суждение, такое как «Сократ до Аристотеля», мы имеем определенные составляющие, а также определенную форму. Но форма сама по себе не является новой составляющей; если бы она была таковой, нам потребовалась бы новая форма, чтобы охватить как ее, так и другие составляющие. Мы можем, по сути, превратить все составляющие суждения в переменные, сохраняя форму неизменной. Это то, что мы делаем, когда используем такую схему, как «», которая обозначает любое из определенного класса суждений, а именно те, которые утверждают отношения между двумя терминами. Мы можем перейти к общим утверждениям, таким как « иногда истинно» — т. е. существуют случаи, когда имеют место двойные отношения. Это утверждение будет принадлежать к логике (или математике) в том смысле, в котором мы используем это слово. Но в этом утверждении мы не упоминаем никаких конкретных вещей или конкретных отношений; никакие конкретные вещи или отношения никогда не могут войти в суждение чистой логики. Нам остаются чистые формы как единственно возможные составляющие логических суждений.

Я не хочу категорически утверждать, что чистые формы — например, форма «» — действительно входят в суждения того типа, который мы рассматриваем. Вопрос об анализе таких суждений сложен, с противоречивыми соображениями с той и другой стороны. Мы не можем сейчас углубляться в этот вопрос, но мы можем принять в качестве первого приближения взгляд, что формы — это то, что входит в логические суждения в качестве их составляющих. И мы можем объяснить (хотя и не формально определить), что мы подразумеваем под «формой» суждения следующим образом:

«Форма» суждения — это то, что в нем остается неизменным, когда каждая составляющая суждения заменяется другой.

Таким образом, «Сократ раньше Аристотеля» имеет ту же форму, что и «Наполеон больше Веллингтона», хотя каждая составляющая этих двух суждений различна.

Мы можем, таким образом, установить в качестве необходимой (хотя и недостаточной) характеристики логических или математических суждений то, что они должны быть такими, которые можно получить из суждения, не содержащего переменных (т. е. таких слов, как «все», «некоторые», «а», «то» и т. д.), путем превращения каждой составляющей в переменную и утверждения, что результат всегда истинен или иногда истинен, или что он всегда истинен в отношении некоторых переменных, что результат иногда истинен в отношении других, или любой вариант этих форм. И другой способ выразить то же самое — сказать, что логика (или математика) занимается только формами и занимается ими только в том смысле, что они всегда или иногда истинны — со всеми перестановками «всегда» и «иногда», которые могут возникнуть.

В каждом языке есть слова, единственная функция которых — указывать на форму. Эти слова, в широком смысле, наиболее распространены в языках с наименьшим количеством флексий. Возьмем «Сократ — человек». Здесь «есть» не является составляющей суждения, а лишь указывает на форму «субъект-предикат». Аналогично в «Сократ раньше Аристотеля» «есть» и «чем» лишь указывают на форму; суждение то же самое, что «Сократ предшествует Аристотелю», в котором эти слова исчезли, а форма указана иначе. Форма, как правило, может быть указана иначе, чем специфическими словами: порядок слов может сделать большую часть того, что требуется. Но этот принцип не следует переоценивать. Например, трудно представить, как мы могли бы удобно выразить молекулярные формы суждений (т. е. то, что мы называем «функциями истинности») без какого-либо слова вообще. Мы видели в главе XIV, что для этой цели достаточно одного слова или символа, а именно слова или символа, выражающего несовместимость. Но даже без одного мы столкнулись бы с трудностями. Однако это не тот момент, который важен для нашей текущей цели. Для нас важно заметить, что форма может быть единственным предметом общего суждения, даже если ни одно слово или символ в этом суждении не обозначает форму. Если мы хотим говорить о самой форме, у нас должно быть слово для нее; но если, как в математике, мы хотим говорить обо всех суждениях, имеющих эту форму, слово для формы обычно оказывается не обязательным; вероятно, в теории оно никогда не является обязательным.

Предполагая — как, я думаю, мы можем, — что формы суждений могут быть представлены формами суждений, в которых они выражены, без какого-либо специального слова для форм, мы пришли бы к языку, в котором все формальное принадлежало бы синтаксису, а не словарю. На таком языке мы могли бы выразить все суждения математики, даже если бы не знали ни одного слова этого языка. Язык математической логики, если бы он был доведен до совершенства, был бы таким языком. У нас были бы символы для переменных, такие как «» и «» и «», расположенные различными способами; и способ расположения указывал бы на то, что нечто утверждается как истинное для всех значений или некоторых значений переменных. Нам не нужно было бы знать никаких слов, потому что они понадобились бы только для придания значений переменным, что является делом прикладного математика, а не чистого математика или логика. Одним из признаков суждения логики является то, что при наличии подходящего языка такое суждение может быть высказано на таком языке человеком, который знает синтаксис, не зная ни одного слова словаря.

Но, в конце концов, существуют слова, выражающие форму, такие как «есть» и «чем». И в каждой символике, изобретенной до сих пор для математической логики, есть символы, имеющие постоянные формальные значения. Мы можем взять в качестве примера символ несовместимости, который используется при построении функций истинности. Такие слова или символы могут встречаться в логике. Вопрос в том: как нам их определить?

Такие слова или символы выражают то, что называется «логическими константами». Логические константы могут быть определены точно так же, как мы определили формы; по сути, они являются тем же самым. Фундаментальной логической константой будет то, что является общим для ряда суждений, любое из которых может быть получено из любого другого путем подстановки терминов друг вместо друга. Например, «Наполеон больше Веллингтона» получается из «Сократ раньше Аристотеля» путем подстановки «Наполеона» вместо «Сократа», «Веллингтона» вместо «Аристотеля» и «больше» вместо «раньше». Некоторые суждения могут быть получены таким образом из прототипа «Сократ раньше Аристотеля», а некоторые — нет; те, которые могут, — это те, которые имеют форму «», т. е. выражают двойные отношения. Мы не можем получить из вышеуказанного прототипа путем пословной подстановки такие суждения, как «Сократ — человек» или «афиняне дали цикуту Сократу», потому что первое имеет форму «субъект-предикат», а второе выражает трехчленное отношение. Если у нас должны быть какие-либо слова в нашем чисто логическом языке, они должны быть такими, которые выражают «логические константы», и «логические константы» всегда будут либо являться, либо быть производными от того, что является общим для группы суждений, выводимых друг из друга вышеуказанным способом путем пословной подстановки. И это общее — то, что мы называем «формой».

В этом смысле все «константы», встречающиеся в чистой математике, являются логическими константами. Число 1, например, производно от суждений формы: «Существует такой термин, что истинно тогда и только тогда, когда — это ». Это функция от , и различные суждения возникают в результате придания различных значений . Мы можем (с небольшим пропуском промежуточных шагов, не относящихся к нашей текущей цели) принять вышеуказанную функцию от за то, что подразумевается под «класс, определенный является единичным классом» или «класс, определенный является элементом 1» (1 — это класс классов). Таким образом, суждения, в которых встречается 1, приобретают значение, которое выводится из определенной постоянной логической формы. И то же самое обнаружится для всех математических констант: все они являются логическими константами или символическими сокращениями, полное использование которых в надлежащем контексте определяется с помощью логических констант.

Но хотя все логические (или математические) суждения могут быть выражены полностью в терминах логических констант вместе с переменными, это не означает, что, наоборот, все суждения, которые могут быть выражены таким образом, являются логическими. Мы нашли пока необходимый, но не достаточный критерий математических суждений. Мы достаточно определили характер примитивных идей, в терминах которых могут быть определены все идеи математики, но не примитивных суждений, из которых могут быть выведены все суждения математики. Это более сложный вопрос, относительно которого пока не известно, каков полный ответ.

Мы можем взять аксиому бесконечности в качестве примера суждения, которое, хотя и может быть сформулировано в логических терминах, не может быть утверждено логикой как истинное. Все суждения логики обладают характеристикой, которую раньше выражали, говоря, что они аналитичны или что их противоречия самопротиворечивы. Этот способ изложения, однако, не является удовлетворительным. Закон противоречия — лишь одно из логических суждений; он не имеет особого превосходства; и доказательство того, что противоречие некоторого суждения является самопротиворечивым, вероятно, потребует других принципов дедукции, помимо закона противоречия. Тем не менее, характеристика логических суждений, которую мы ищем, — это та, которую чувствовали и которую намеревались определить те, кто говорил, что она заключается в выводимости из закона противоречия. Эта характеристика, которую на данный момент мы можем назвать тавтологией, очевидно, не принадлежит утверждению, что число индивидов во вселенной равно , каким бы ни было число . Если бы не разнообразие типов, можно было бы логически доказать, что существуют классы из терминов, где — любое конечное целое число; или даже что существуют классы из терминов. Но из-за типов такие доказательства, как мы видели в главе XIII, являются ошибочными. Нам остается эмпирическое наблюдение, чтобы определить, есть ли в мире целых индивидов. Среди «возможных» миров, в лейбницевском смысле, будут миры, имеющие один, два, три... индивида. Кажется, нет даже никакой логической необходимости, почему должен существовать хотя бы один индивид — почему, собственно, вообще должен существовать какой-либо мир. Онтологическое доказательство существования Бога, если бы оно было значимым, установило бы логическую необходимость по крайней мере одного индивида. Но оно общепризнанно как недействительное и, по сути, основывается на ошибочном взгляде на существование — т. е. оно не осознает, что существование может быть утверждено только о чем-то описанном, а не о чем-то названном, так что бессмысленно аргументировать от «это есть такой-то» и «такой-то существует» к «это существует». Если мы отвергнем онтологический аргумент, мы, по-видимому, вынуждены сделать вывод, что существование мира — это случайность, т. е. оно не является логически необходимым. Если это так, никакой принцип логики не может утверждать «существование», кроме как при наличии гипотезы, т. е. ни один из них не может иметь форму «пропозициональная функция такая-то иногда истинна». Суждения этой формы, когда они встречаются в логике, должны будут встречаться как гипотезы или следствия гипотез, а не как полные утвержденные суждения. Полные утвержденные суждения логики будут все такими, которые утверждают, что некоторая пропозициональная функция всегда истинна. Например, всегда истинно, что если подразумевает и подразумевает , то подразумевает , или что, если все — это , и — это , то — это . Такие суждения могут встречаться в логике, и их истинность не зависит от существования вселенной. Мы можем установить, что если бы вселенной не существовало, все общие суждения были бы истинными; ибо противоречие общего суждения (как мы видели в главе XV) — это суждение, утверждающее существование, и поэтому оно всегда было бы ложным, если бы вселенная не существовала.

[43] Примитивные суждения в Principia Mathematica таковы, что позволяют сделать вывод, что существует по крайней мере один индивид. Но теперь я рассматриваю это как дефект логической чистоты.

Логические суждения — это такие, которые могут быть познаны a priori, без изучения реального мира. Мы знаем только из изучения эмпирических фактов, что Сократ — человек, но мы знаем правильность силлогизма в его абстрактной форме (т. е. когда он сформулирован в терминах переменных) без необходимости обращаться к опыту. Это характеристика не логических суждений самих по себе, а того, как мы их познаем. Однако это имеет отношение к вопросу о том, какова может быть их природа, поскольку существуют некоторые виды суждений, которые, как можно было бы предположить, было бы очень трудно познать без опыта.

Ясно, что определение «логики» или «математики» должно быть найдено путем попытки дать новое определение старому понятию «аналитических» суждений. Хотя мы больше не можем довольствоваться определением логических суждений как тех, которые следуют из закона противоречия, мы можем и должны по-прежнему признавать, что они представляют собой совершенно иной класс суждений, чем те, которые мы познаем эмпирически. Все они обладают характеристикой, которую мы минуту назад согласились назвать «тавтологией». Это, в сочетании с тем фактом, что они могут быть выражены полностью в терминах переменных и логических констант (логическая константа — это то, что остается постоянным в суждении, даже когда все его составляющие изменены), даст определение логики или чистой математики. На данный момент я не знаю, как определить «тавтологию». [44] Было бы легко предложить определение, которое могло бы показаться удовлетворительным на некоторое время; но я не знаю ни одного, которое я счел бы удовлетворительным, несмотря на то, что чувствую себя полностью знакомым с характеристикой, для которой требуется определение. Поэтому в этой точке, на данный момент, мы достигаем рубежа познания в нашем обратном пути к логическим основаниям математики.

[44] На важность «тавтологии» для определения математики мне указал мой бывший ученик Людвиг Витгенштейн, который работал над этой проблемой. Я не знаю, решил ли он ее, или даже жив он или мертв.

Мы подошли к концу нашего несколько краткого введения в математическую философию. Невозможно адекватно передать идеи, которые затрагиваются в этом предмете, пока мы воздерживаемся от использования логических символов. Поскольку обычный язык не имеет слов, которые естественно выражали бы именно то, что мы хотим выразить, необходимо, пока мы придерживаемся обычного языка, придавать словам необычные значения; и читатель обязательно, через некоторое время, если не сразу, начнет приписывать словам обычные значения, тем самым приходя к неверным представлениям о том, что предполагалось сказать. Более того, обычная грамматика и синтаксис необычайно вводят в заблуждение. Это имеет место, например, в отношении чисел; «десять человек» грамматически имеет ту же форму, что и «белые люди», так что можно подумать, что 10 — это прилагательное, определяющее «людей». Это имеет место, опять же, везде, где задействованы пропозициональные функции, и, в частности, в отношении существования и описаний. Поскольку язык вводит в заблуждение, а также потому, что он расплывчат и неточен при применении к логике (для которой он никогда не предназначался), логическая символика абсолютно необходима для любого точного или тщательного рассмотрения нашего предмета. Поэтому те читатели, которые желают овладеть принципами математики, будем надеяться, не будут уклоняться от труда освоения символов — труда, который, на самом деле, гораздо меньше, чем можно было бы подумать. Как должно было стать очевидным из вышеприведенного беглого обзора, в этом предмете существует бесчисленное множество нерешенных проблем, и предстоит проделать большую работу. Если эта маленькая книга приведет какого-либо студента к серьезному изучению математической логики, она послужит главной цели, ради которой была написана.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Агрегаты, 12; Алефы, 83, 92, 97, 125; Алиорелятивы, 32; Все, 158 сл.; Анализ, 4; Предки, 25, 33; Аргумент функции, 47, 108; Арифметизация математики, 4; Ассоциативный закон, 58, 94; Аксиомы, 1; Между, 38 сл., 58; Больцано, 138 прим.; Ботинки и носки, 126; Граница, 70, 98, 99; Кантор, Георг, 77, 79, 85 прим., 86, 89, 95, 102, 136; Классы, 12, 137, 181 сл.; рефлексивные, 80, 127, 138; сходные, 15, 16; Клиффорд, У. К., 76; Коллекции, бесконечные, 13; Коммутативный закон, 58, 94; Конъюнкция, 147; Последовательность, 37, 38, 81; Константы, 202; Конструкция, метод, 73; Непрерывность, 86, 97 сл.; канторовская, 102 сл.; дедекиндовская, 101 сл.; в философии, 105; функций, 106 сл.; Противоречия, 135 сл.; Сходимость, 115; Конверс, 16, 32, 49; Корреляторы, 54; Объективные аналоги, 61; Счет, 14, 16; Дедекинд, 69, 99, 138 прим.; Дедукция, 144 сл.; Определение, 3; экстенсиональное и интенсиональное, 12; Описания, 139, 144; Описания, 167; Измерения, 29; Дизъюнкция, 147; Дистрибутивный закон, 58, 94; Различие, 87; Область, 16, 32, 49; Эквивалентность, 183; Евклид, 67; Существование, 164, 171, 177; Возведение в степень, 94, 120; Расширение отношения, 60; Фикции, логические, 14 прим., 45, 137; Поле отношения, 32, 53; Конечное, 27; Поток, 105; Форма, 198; Дроби, 37, 64; Фреге, 7, 10, 25 прим., 77, 95, 146 прим.; Функции, 46; дескриптивные, 46, 180; интенсиональные и экстенсиональные, 186; предикативные, 189; пропозициональные, 46, 144; пропозициональные, 155; Пробел, дедекиндовский, 70 сл., 99; Обобщение, 156; Геометрия, 29, 59, 67, 74, 100, 145; аналитическая, 4, 86; Большее и меньшее, 65, 90; Гегель, 107; Наследственные свойства, 21; Импликация, 146, 153; формальная, 163; Несовместимость, 147 сл., 200; Неполные символы, 182; Неразличимые, 192; Индивиды, 132, 141, 173; Индукция, математическая, 20 сл., 87, 93, 185; Индуктивные свойства, 21; Вывод, 148; Бесконечное, 28; рациональных чисел, 65; канторовское, 65; кардинальных чисел, 77 сл.; и ряды и ординалы, 89 сл.; Бесконечность, аксиома, 66 прим., 77, 131 сл., 202; Экземпляры, 156; Целые числа, положительные и отрицательные, 64; Интервалы, 115; Интуиция, 145; Иррациональные числа, 66, 72; Кант, 145; Лейбниц, 80, 107, 192; Льюис, К. И., 153, 154; Сходство, 52; Предел, 29, 69 сл., 97 сл.; функций, 106 сл.; Предельные точки, 99; Логика, 159, 65, 194 сл.; математическая, v, 201, 206; Логизация математики, 7; Отображения, 52, 60 сл., 80; Математика, 194 сл.; Максимум, 70, 98; Медианный класс, 104; Мейнонг, 169; Метод, vi; Минимум, 70, 98; Модальность, 165; Умножение, 118 сл.; Мультипликативная аксиома, 92, 117 сл.; Имена, 173, 182; Необходимость, 165; Окрестность, 109; Нико, 148, 149, 151; Нуль-класс, 23, 132; Число, кардинальное, 10 сл., 56, 77 сл., 95; комплексное, 74 сл.; конечное, 20 сл.; индуктивное, 27, 78, 131; бесконечное, 77 сл.; иррациональное, 66, 72; максимум?, 135; умножаемое, 130; натуральное, 2 сл., 22; неиндуктивное, 88, 127; вещественное, 66, 72, 84; рефлексивное, 80, 127; отношение, 56, 94; сериальное, 57; Оккам, 184; Вхождения, первичные и вторичные, 179; Онтологическое доказательство, 203; Порядок, 29 сл.; циклический, 40; Осцилляция, предельная, 111; Парменид, 138; Партикулярии, 140 сл., 173; Пеано, 5 сл., 23, 24, 78, 81, 131, 163; Пирс, 32 прим.; Перестановки, 50; Философия, математическая, v, 1; Платон, 138; Множественность, 10; Пуанкаре, 27; Точки, 59; Потомство, 22 сл., 32; собственное, 36; Постулаты, 71, 73; Предшественник, 98; Посылки арифметики, 5; Примитивные идеи и суждения, 5, 202; Прогрессии, 8, 81 сл.; Суждения, 155; аналитические, 204; элементарные, 161; Пифагор, 4, 67; Количество, 97, 195; Отношения, 64, 71, 84, 133; Сводимость, аксиома, 191; Референт, 48; Числа отношений, 56 сл.; Отношения, асимметричные, 31, 42; связные, 32; многие-к-одному, 15; один-ко-многим, 15, 45; один-к-одному, 15, 47, 79; рефлексивные, 16; сериальные, 34; сходные, 52; квадраты, 32; симметричные, 16, 44; транзитивные, 16, 32; Релатум, 48; Представители, 120; Строгость, 144; Ройс, 80; Сечение, дедекиндовское, 69 сл.; предельное, 111; Сегменты, 72, 98; Выборы, 117; Последующий, 98; Ряды, 29 сл.; замкнутые, 103; компактные, 66, 93, 100; сгущенные в себе, 102; дедекиндовские, 71, 73, 101; порождение, 41; бесконечные, 89; совершенные, 102, 103; вполне упорядоченные, 92, 123; Шеффер, 148; Сходство, классов, 15 сл.; отношений, 83; отношений, 52; Некоторые, 158 сл.; Пространство, 61, 86, 140; Структура, 60 сл.; Подклассы, 84 сл.; Субъекты, 142; Вычитание, 87; Преемник числа, 23, 35; Силлогизм, 197; Тавтология, 203, 205; То, 167, 172 сл.; Время, 61, 86, 140; Функция истинности, 147; Значение истинности, 146; Типы, логические, 53, 135 сл., 185, 188; Нереальность, 168; Значение функции, 47, 108; Переменные, 10, 161, 199; Веблен, 58; Глаголы, 141; Вейерштрасс, 97, 107; Уэллс, Г. У., 114; Уайтхед, 64, 76, 107, 119; Витгенштейн, 205 прим.; Цермело, 123, 129; Ноль, 65

ОТПЕЧАТАНО В ВЕЛИКОБРИТАНИИ КОМПАНИЕЙ NEILL AND CO., LTD., ЭДИНБУРГ.

ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА

Незначительные типографские исправления и изменения в оформлении были внесены без комментариев.

Эта электронная книга была создана с использованием текста OCR, любезно предоставленного Университетом Торонто через Интернет-архив.