«Принципы науки: Трактат о логике и научном методе»

Вариации, которые мы производим экспериментально, часто будут непериодическими. Когда мы сообщаем тепло газу, он увеличивается в объеме или давлении, и насколько мы можем судить, чем выше температура, тем выше давление. Наши эксперименты, конечно, ограничены по температуре как сверху, так и снизу, но есть все основания полагать, что при том же объеме давление никогда не вернулось бы к одной и той же точке при любых двух разных температурах. Мы можем, конечно, неоднократно повышать и понижать температуру через регулярные или нерегулярные интервалы полностью по нашему желанию, и давление газа будет варьироваться подобным образом и точно через те же интервалы, но такая произвольная серия изменений не составила бы Периодическую Вариацию. Это составило бы последовательность отдельных экспериментов, которые поставили бы вне разумного сомнения связь причины и следствия.

Всякий раз, когда явление повторяется через равные или почти равные интервалы, существует, согласно теории вероятностей, значительное доказательство связи, потому что если бы повторения были совершенно случайными, маловероятно, что они происходили бы через равные интервалы. Тот факт, что яркая комета появлялась в 1301, 1378, 1456, 1531, 1607 и 1682 годах, давал значительную презумпцию в пользу идентичности тела, помимо сходства орбиты. Нет ничего, что так очаровывает внимание людей, как повторение раз за разом какого-то необычного события. Вещи и явления, которые остаются всегда одними и теми же, как горы и долины, не возбуждают любопытства первобытного народа. Лапласом было замечено, что даже в его время восход Венеры в ее ярчайшей фазе никогда не переставал вызывать удивление и интерес. Так что мало сомнений в том, что первый росток науки возник из внимания, уделяемого восточными народами изменениям Луны и движениям планет. Возможно, самое раннее астрономическое открытие состояло в доказательстве идентичности утренней и вечерней звезд на основании их сходства в аспекте и неизменного чередования. Периодические изменения несколько сложного рода, должно быть, были понятны халдеям, потому что они знали о цикле в 6585 дней или 19 лет, который возвращает новолуние и полнолуние на те же дни, часы и даже минуты года. Самые ранние попытки научного пророчества основывались на этом знании, и если в настоящее время мы не можем не удивляться точным предсказаниям морского альманаха, мы можем представить себе удивление, вызываемое такими предсказаниями в ранние времена.

Комбинированные периодические изменения.

Мы редко найдем тело, подверженное единственной периодической вариации и свободное от других возмущений. Мы можем ожидать, что сама периодическая вариация будет подвергаться вариации, которая, возможно, может быть вековой, но скорее окажется периодической; нет также предела сложности периодов сверх периодов или периодов внутри периодов, которые могут в конечном счете быть раскрыты. Изучая явление ритмического характера, мы имеем последовательность вопросов, которые нужно задать. Является ли периодическая вариация равномерной? Если нет, является ли изменение равномерным? Если нет, является ли само изменение периодическим? Является ли этот новый период равномерным или подверженным какому-либо другому изменению, или нет? и так далее ad infinitum.

В некоторых случаях может быть много различных причин периодических вариаций, и согласно принципу суперпозиции малых эффектов, который будет рассмотрен позже, эти периодические эффекты будут просто складываться вместе, или, по крайней мере, приблизительно так, и совместный результат может представить очень сложный предмет исследования. Приливы океана состоят из серии наложенных друг на друга волн. Существуют не только обычные полусуточные приливы, вызванные Солнцем и Луной, но и ряд второстепенных приливов, таких как лунный суточный, солнечный суточный, лунный месячный, лунный двухнедельный, солнечный годовой и солнечный полугодовой, которые постепенно распутываются трудами сэра У. Томсона, профессора Хотона и других.

Переменные звезды представляют интересные периодические явления; в то время как некоторые звезды, например δ Цефея, подвержены очень регулярным вариациям, другие, как Мира Кита, менее постоянны в степенях яркости, которых они достигают, или быстроте изменений, возможно, из-за какой-то более длительной периодической вариации. Звезда β Лиры представляет двойной максимум и минимум в каждом из своих периодов почти в 13 дней, и с момента открытия этой вариации период в периоде, вероятно, увеличивался. «Сначала изменчивость была более быстрой, затем она постепенно стала медленнее; и это уменьшение в длительности времени достигло своего предела между 1840 и 1844 годами. В течение этого времени ее период был почти неизменным; в настоящее время он снова решительно уменьшается». Прослеживание таких сложных вариаций представляет собой неограниченное поле для интересного исследования. Число таких известных переменных звезд уже значительно, и нет оснований полагать, что какая-либо ощутимая часть общего числа была уже обнаружена.

Принцип вынужденных колебаний.

Исследования связи периодических причин и следствий основываются на принципе, который был продемонстрирован сэром Джоном Гершелем для некоторых частных случаев и ясно объяснен им в нескольких его работах. Принцип может быть формально изложен следующим образом: «Если одна часть любой системы, соединенной вместе либо материальными связями, либо взаимным притяжением ее членов, постоянно поддерживается какой-либо причиной, будь то присущей конституции системы или внешней по отношению к ней, в состоянии регулярного периодического движения, это движение будет распространяться по всей системе и даст начало в каждом ее члене и в каждой части каждого члена периодическим движениям, совершаемым в равные периоды с тем, которому они обязаны своим происхождением, хотя и не обязательно синхронным с ними в их максимумах и минимумах». Смысл этого положения заключается в том, что эффект периодической причины будет периодическим и будет повторяться через интервалы, равные интервалам причины. Соответственно, когда мы находим два явления, которые действительно протекают раз за разом через изменения одного и того же периода, существует большая вероятность того, что они связаны. Таким образом, несомненно, Плиний правильно сделал вывод, что причина приливов лежит в Солнце и Луне, причем интервалы между последовательными приливами равны интервалам между прохождением Луны через меридиан. Кеплер и Декарт также признавали связь до ньютоновского доказательства ее точной природы. Когда Брэдли открыл кажущееся движение звезд, возникающее из аберрации света, он вскоре смог приписать его годовому движению Земли, потому что оно проходило свои фазы в течение года.

Самым прекрасным примером индукции относительно периодических изменений, который можно привести, является открытие одиннадцатилетнего периода в различных метеорологических явлениях. Было бы трудно назвать две вещи, по-видимому, более разъединенные, чем пятна на Солнце и полярные сияния. Еще в 1826 году Швабе начал регулярную серию наблюдений за пятнами на Солнце, которая продолжается до настоящего времени, и он смог показать, что через интервалы около одиннадцати лет пятна значительно увеличивались в размере и количестве. Едва это открытие стало известным, как Ламонт указал на почти равный период вариации в склонении магнитной стрелки. Магнитные бури или внезапные возмущения стрелки были затем показаны как происходящие наиболее часто в те времена, когда были распространены солнечные пятна, и поскольку полярные сияния обычно совпадают с магнитными бурями, эти явления были включены в цикл. С тех пор профессором Пиацци Смитом и г-ном Э. Дж. Стоуном было показано, что температура поверхности Земли, как показывают погруженные термометры, дает некоторые доказательства подобного периода. Существование периодической причины, будучи однажды установленным, вполне ожидаемо, согласно принципу вынужденных колебаний, что ее влияние будет обнаружено во всех метеорологических явлениях.

Интегрированные вариации.

Рассматривая различные способы, которыми один эффект может зависеть от другого, мы должны выделить в отдельный класс те, которые возникают из накопленных эффектов постоянно действующей причины. Когда вода вытекает из цистерны, скорость движения зависит, согласно теореме Торричелли, от высоты поверхности воды над отверстием; но количество воды, которое покидает цистерну за данное время, зависит от совокупного результата этой скорости и может быть установлено только математическим процессом интегрирования. Когда одно гравитирующее тело падает к другому, сила гравитации варьируется согласно обратному квадрату расстояния; чтобы получить произведенную скорость, мы должны интегрировать или суммировать эффекты этого закона; и чтобы получить пространство, пройденное телом за данное время, мы должны интегрировать снова.

В периодических вариациях должно быть проведено то же различие. Нагревательная сила солнечных лучей в любом месте на Земле варьируется каждый день с достигнутой высотой и является наибольшей около полудня; но температура воздуха не будет наибольшей в то же время. Эта температура является интегрированным эффектом нагревательной силы Солнца, и пока Солнце способно давать больше тепла воздуху, чем воздух теряет другими способами, температура продолжает расти, так что максимум откладывается примерно до 3 часов дня. Аналогично, самый жаркий день года приходится в среднем примерно на один месяц позже летнего солнцестояния, и все времена года отстают примерно на месяц от движений Солнца. В случае приливов также эффект притягательной силы Луны никогда не бывает наибольшим, когда сила наибольшая; эффект всегда отстает более или менее от причины. Тем не менее интервалы между последовательными приливами равны, в отсутствие возмущения, интервалам между прохождениями Луны через меридиан. Таким образом, принцип вынужденных колебаний остается верным.

В периодических явлениях, однако, любопытные результаты иногда следуют из интеграции эффектов. Если мы ударим по маятнику, а затем повторяем удар раз за разом в той же части вибрации, все удары согласуются в добавлении к импульсу, и мы можем таким образом увеличить степень и силу вибраций до любой степени. Мы можем остановить маятник снова ударами, приложенными, когда он движется в противоположном направлении, и эффекты, будучи сложенными вместе, вскоре приведут его в состояние покоя. Теперь, если мы изменим интервалы ударов так, чтобы каждые два последовательных удара действовали противоположным образом, они нейтрализуют друг друга, и затраченная энергия превратится в тепло или звук в точке удара. Подобные эффекты происходят во всех случаях ритмического движения. Если музыкальная нота звучит в комнате, содержащей пианино, струна, соответствующая ей, будет приведена в вибрацию, потому что каждый последовательный удар воздушных волн по струне находит ее в подобном положении относительно вибрации и, таким образом, добавляет к ее энергии движения. Но другие струны, будучи неспособными вибрировать с той же быстротой, ударяются в различных точках своих вибраций, и один удар вскоре будет противопоставлен удару, противоположному по эффекту. Все явления резонанса возникают из этого совпадения во времени колебания. Воздух в трубе, закрытой с одного конца и длиной около 12 дюймов, способен вибрировать 512 раз в секунду. Если, следовательно, нота До звучит перед открытым концом трубы, каждая последовательная вибрация воздуха сохраняется, как если бы она была в движении воздуха. В трубе другой длины импульсы воздуха ударялись бы друг о друга, и механическая энергия, превращаясь в тепло, перестала бы быть ощутимой как звук.

Накопленные вибрации иногда становятся настолько интенсивными, что приводят к неожиданным результатам. Стеклянный сосуд, если коснуться его смычком скрипки в подходящей точке, может треснуть от силы вибрации. Подвесной мост может обрушиться, если рота солдат пройдет по нему в ногу, интервалы которой совпадают с собственными вибрациями моста. Но если они собьются с шага или пойдут быстрее или медленнее, они могут не оказать на мост никакого заметного воздействия. Фактически, если импульсы, передаваемые любому вибрирующему телу, синхронны с его вибрациями, энергия этих вибраций будет неограниченной и может разрушить любое тело.

Рассмотрим теперь, что произойдет, если удары будут следовать не точно с теми же интервалами, что и вибрации тела, а, скажем, немного медленнее. Тогда последовательность ударов будет встречать тело почти, но не совсем в том же положении, и их усилия будут суммироваться. Впоследствии удары начнут приходиться на моменты, когда тело находится в противоположной фазе. Представьте, что один маятник, перемещающийся из одной крайней точки в другую за секунду, должен быть подтолкнут другим маятником, который совершает 61 колебание в минуту; тогда, если маятники начнут движение одновременно, то через 30,5 колебаний они будут двигаться в противоположных направлениях. Следовательно, вся энергия, переданная в течение первой половины минуты, будет нейтрализована противоположным эффектом той, что была передана во второй половине. Таким образом, эффект ударов второго маятника будет попеременно увеличивать и уменьшать вибрации первого, так что возникнет новый вид вибрации, проходящий через свои фазы за 61 секунду. Эффект такого рода действительно наблюдался Элликоттом, членом Королевского общества, в случае с двумя часами. Он обнаружил, что через деревянную конструкцию, соединяющую часы, передавался слабый импульс, и каждый маятник попеременно терял и приобретал импульс. Фактически, каждые часы стремились остановить другие через регулярные интервалы, а в промежуточное время — быть остановленными другими.

Многие возмущения в планетной системе зависят от того же принципа; ибо если одна планета всегда притягивает другую в одном и том же направлении в сходных частях их орбит, эффекты, какими бы слабыми они ни были, будут накапливаться, и возникнет возмущение большого конечного значения и длительного периода. Долгопериодическое неравенство в движениях Юпитера и Сатурна обусловлено тем фактом, что пятикратное среднее движение Сатурна почти равно двукратному среднему движению Юпитера, что вызывает совпадение их относительных положений и возмущающих сил. Бортовая качка судов зависит главным образом от того, соответствует ли период вибрации судна интервалам, с которыми волны ударяют о него. Многое из того, что на первый взгляд кажется необъяснимым в поведении судов, таким образом объясняется, и гибель судна «Кэптен» является печальным примером этого.

ГЛАВА XXI. ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ.

Для того чтобы мы могли получить истинное понимание вида, степени и ценности знаний, которые мы приобретаем посредством экспериментальных исследований, необходимо, чтобы мы полностью осознавали их приблизительный характер. Мы должны научиться различать то, что мы можем знать, и то, чего мы знать не можем — между вопросами, которые допускают решение, и теми, которые только кажутся решенными. Многие люди могут быть введены в заблуждение выражением «точная наука» и могут подумать, что знания, полученные научными методами, позволяют нам достичь абсолютно истинных законов, точных до последней степени. Существует даже распространенное впечатление, что как только математические формулы были успешно применены к какой-либо отрасли науки, эта область знаний приобретает новую природу и допускает рассуждения более высокого порядка, чем те науки, которые все еще остаются нематематическими.

Весьма удовлетворительная степень точности, достигнутая в астрономии, придает некоторую правдоподобность подобным ошибочным представлениям. Некоторые люди, несомненно, считают доказанным, что планеты движутся по эллипсам таким образом, что все законы Кеплера выполняются в точности; но в любых подобных представлениях содержится двойная ошибка. Во-первых, законы Кеплера не доказаны, если под доказательством мы подразумеваем достоверную демонстрацию их точной истинности. Во-вторых, даже если предположить, что законы Кеплера теоретически абсолютно верны, планеты никогда не движутся в соответствии с этими законами. Даже если бы мы могли наблюдать движения планеты идеальной шарообразной формы, свободной от всех возмущающих или замедляющих сил, мы никогда не смогли бы доказать, что она движется по идеальному эллипсу. Чтобы доказать эллиптическую форму, нам пришлось бы измерять бесконечно малые углы и бесконечно малые доли секунды; нам пришлось бы совершить невозможное. Все, что мы можем сделать, — это показать, что движение невозмущенной планеты очень близко приближается к форме эллипса, и тем ближе, чем точнее проводятся наши наблюдения. Но если мы пойдем дальше и будем утверждать, что путь является эллипсом, мы выйдем за пределы наших данных и сделаем допущение, которое не может быть подтверждено наблюдением.

Но, во-вторых, по сути, ни одна планета не движется по идеальному эллипсу и не проявляет истинность законов Кеплера в точности. Закон тяготения препятствует четкому проявлению своих собственных результатов, поскольку взаимные возмущения планет искажают эллиптические пути. Опять же, эти законы строго верны только для бесконечно малых тел, и когда два больших шара, такие как Солнце и Юпитер, притягивают друг друга, закон должен быть изменен. Периодическое время тогда сокращается в отношении квадратного корня из числа, выражающего массу Солнца, к сумме чисел, выражающих массы Солнца и планеты, как показал Ньютон. Даже в наши дни существуют расхождения между наблюдаемыми размерами планетных орбит и их теоретическими величинами после внесения поправок на все возмущающие причины. Нет ничего более определенного в научном методе, чем то, что можно ожидать только приблизительного совпадения. При измерении непрерывной величины идеальное соответствие должно быть случайным и скорее вызывать подозрение, чем удовлетворение.

Одним из примечательных результатов приблизительного характера наших наблюдений является то, что мы никогда не смогли бы доказать существование идеально кругового или параболического движения, даже если бы оно существовало. Окружность — это частный случай эллипса, для которого эксцентриситет равен нулю; бесконечно маловероятно, чтобы какая-либо планета, даже если бы она не испытывала возмущений со стороны других тел, имела бы орбиту в виде окружности; но если бы орбита была окружностью, мы никогда не смогли бы доказать полное отсутствие эксцентриситета. Все, что мы могли бы сделать, — это объявить отклонение от круговой формы незначительным. Деламбр не смог обнаружить ни малейшей эллиптичности в орбите первого спутника Юпитера, но он мог лишь сделать вывод, что орбита была почти круговой. Парабола является предельным случаем между эллипсом и гиперболой. Поскольку существуют эллиптические и гиперболические кометы, мы могли бы допустить существование параболической кометы. Действительно, если бы невозмущенная комета падала на Солнце с бесконечного расстояния, она двигалась бы по параболе; но мы никогда не смогли бы доказать, что она двигалась именно так.

Подстановка простых гипотез.

По правде говоря, люди никогда не могут решить задачи, отвечающие сложным обстоятельствам природы. Все законы и объяснения в некотором смысле гипотетичны и не применяются в точности ни к чему, о чем мы можем знать, что оно существует. Вместо реальных объектов, которые мы видим и ощущаем, математик подставляет воображаемые объекты, лишь частично напоминающие представленные, но сконструированные таким образом, что расхождения не достигают величины, способной серьезно изменить характер решения. Когда мы добираемся до сути дела, физическая астрономия столь же гипотетична, как «Начала» Евклида. В природе могут существовать идеальные прямые линии, треугольники, окружности и другие правильные геометрические фигуры; для нашей науки безразлично, существуют они или нет, потому что в любом случае они должны находиться за пределами наших способностей восприятия. Если бы мы подвергли идеальную окружность самому строгому изучению, невозможно было бы обнаружить, является ли она идеальной или нет. Тем не менее в геометрии мы рассуждаем об идеальных кривых и прямолинейных фигурах, и выводы применимы к существующим объектам постольку, поскольку мы можем убедиться, что они согласуются с гипотетическими условиями наших рассуждений. Это, в действительности, все, что мы можем сделать в самой совершенной из наук.

Несомненно, в астрономии мы встречаем наиболее близкое приближение к реальным условиям. Закон тяготения сам по себе не является сложным, и мы с большой долей вероятности считаем его абсолютно верным; но мы не можем рассчитать его точные результаты ни в одном реальном случае. Закон утверждает, что каждая частица материи во Вселенной притягивает каждую другую частицу с силой, зависящей от масс частиц и расстояний между ними. Мы не можем знать силу, действующую на какую-либо частицу, если не знаем масс, расстояний и положений всех других частиц во Вселенной. Физический астроном сделал смелое допущение, а именно, что все миллионы существующих систем не оказывают никакого возмущающего воздействия на нашу планетную систему, то есть никакого воздействия, которое было бы хоть сколько-нибудь заметным. Задача сразу становится гипотетической, поскольку почти нет сомнений в том, что гравитация между нашим Солнцем и планетами и другими системами действительно существует. Даже когда они рассматривают отношения наших планетных тел между собой, все их процессы являются лишь приблизительными. Во-первых, они предполагают, что каждая из планет является идеальным эллипсоидом с гладкой поверхностью и однородным внутренним строением. То, что это допущение неверно, доказывает каждая гора и долина, каждое море, каждая шахта. Если астрономы хотят сделать свои расчеты идеальными, они должны не только учитывать Гималаи и Анды, но и рассчитывать отдельно притяжение каждого холма, более того, каждого муравейника. Настолько они далеки от учета какого-либо локального неравенства поверхности, что еще не решили вопрос об общей форме Земли; до сих пор остается предметом догадок, является ли Земля эллипсоидом с тремя неравными осями. Если, как вероятно, земной шар неравномерно сжат в некоторых направлениях, расчеты астрономов придется повторять и уточнять, чтобы они могли приблизиться к силе притяжения такого тела. Если мы не можем точно узнать форму нашей собственной Земли, как мы можем ожидать, что установим форму Луны, Солнца и других планет, в некоторых из которых, вероятно, имеются неровности большего относительного размера?

В дальнейшем наука физической астрономии является лишь приблизительной и гипотетической. При заданных однородных эллипсоидах, воздействующих друг на друга согласно закону тяготения, лучшие математики никогда не определяли и, возможно, никогда не определят точно результирующие движения. Даже когда три тела одновременно притягивают друг друга, сложность эффектов настолько велика, что можно сделать только приблизительные расчеты. Астрономы даже не пытались решить общую задачу одновременного притяжения четырех, пяти, шести или более тел; они сводят общую задачу к множеству различных задач трех тел. Принцип, на котором строятся расчеты физической астрономии, заключается в том, чтобы пренебречь каждой величиной, которая не кажется способной привести к эффекту, заметному при наблюдении, а отброшенные величины гораздо более многочисленны и сложны, чем те немногие крупные члены, которые сохраняются. Все, таким образом, является лишь приблизительным.

Относительно других отраслей физической науки те же утверждения еще более очевидно верны. Мы говорим и рассчитываем параметры для негибких стержней, нерастяжимых линий, тяжелых точек, однородных веществ, равномерных сфер, идеальных жидкостей и газов, и мы выводим большое количество прекрасных теорем; но все это гипотетично. Не существует такой вещи, как негибкий стержень, нерастяжимая линия или любой другой из идеальных объектов механической науки; их следует классифицировать вместе с теми мифическими сущностями — прямой линией, треугольником, окружностью и т. д., о которых так свободно рассуждал Евклид. Возьмем простейшую операцию, рассматриваемую в статике — использование лома для поднятия тяжелого камня, и мы обнаружим, как указали Томсон и Тэт, что мы пренебрегаем гораздо большим, чем наблюдаем. Если мы предположим, что стержень абсолютно жесткий, точка опоры и камень идеально твердые, а точки контакта — реальные точки, мы можем получить истинное соотношение сил. Но в действительности стержень должен изгибаться, а растяжение и сжатие различных частей вовлекают нас в трудности. Даже если стержень однороден во всех своих частях, не существует математической теории, способной с точностью определить все, что происходит; если, что бесконечно более вероятно, стержень не является однородным, полное решение будет неизмеримо более сложным, но вряд ли более безнадежным. Как только мы определили изменение формы согласно простым механическим принципам, мы обнаружили бы вмешательство термодинамических принципов. Сжатие вызывает тепло, а растяжение — холод, и таким образом условия задачи изменяются повсеместно. При попытке четвертого приближения нам пришлось бы учитывать теплопроводность от одной части стержня к другой. Все эти эффекты совершенно незаметны с практической точки зрения, если стержень хороший и прочный; но с теоретической точки зрения они полностью препятствуют нам сказать, что мы решили естественную проблему. Способности человеческого разума, даже будучи подкрепленными удивительными силами сокращения, даруемыми аналитическими методами, совершенно неспособны справиться со сложностями любой реальной проблемы. И если бы мы исчерпали все известные явления механической проблемы, как мы можем знать, что скрытые явления, еще не обнаруженные, не вмешиваются в самые обычные действия? Очевидно, что никакое явление не попадает в сферу наших чувств, если оно не обладает импульсом, способным раздражать соответствующие нервы. Могут существовать миры явлений, слишком слабые, чтобы подняться до уровня нашего сознания.

Все инструменты, с помощью которых мы проводим наши измерения, несовершенны. Мы предполагаем, что отвес дает вертикальную линию; но это никогда не бывает верно в абсолютном смысле из-за притяжения гор и других неровностей поверхности Земли. При точном тригонометрическом обследовании отклонения отвеса должны быть приблизительно определены и учтены. Мы предполагаем, что поверхность ртути является идеальной плоскостью, но даже на ширине 5 дюймов существует поддающееся расчету отклонение от истинной плоскости примерно на одну десятимиллионную долю дюйма; и эта поверхность далее отклоняется от истинной горизонтальности так же, как отвес отклоняется от истинной вертикальности. Тот самый совершенный инструмент, маятник, теоретически не является совершенным, за исключением бесконечно малых дуг вибрации, а тонкие эксперименты, проводимые с крутильными весами, исходят из предположения, что сила кручения проволоки пропорциональна углу кручения, что опять же верно только для бесконечно малых углов.

Таков чисто приблизительный характер всех наших операций, что нередко можно обнаружить, что теоретически худший метод дает более верные результаты, чем теоретически совершенный метод. Обычный маятник, который не является изохронным, лучше для практических целей, чем циклоидальный маятник, который изохронен в теории, но подвержен механическим трудностям. Сферическая форма не является правильной формой для зеркала или линзы, но она настолько незначительно отличается от истинной формы и настолько легче производится механически, что обычно лучше довольствоваться сферической поверхностью. Даже в шестифутовом зеркале разница между параболой и сферой составляет всего около одной десятитысячной доли дюйма — толщина, которая была бы снята за несколько движений полировальника. Изобретательное параллельное движение Уатта предназначалось для создания прямолинейного движения поршневого штока. В действительности движение всегда было криволинейным, но для его целей определенная часть кривой достаточно приближалась к прямой линии.

Приближение к точным законам.

Хотя мы не можем доказать численные законы с идеальной точностью, было бы большой ошибкой полагать, что в законах природы есть какая-либо неточность. Мы можем даже открыть закон, который, как мы полагаем, представляет действие сил с идеальной точностью. Разум может казаться опережающим свои данные и выбирать определенные численные результаты как абсолютно истинные. Мы никогда не можем по-настоящему выйти за пределы наших данных, и постольку, поскольку в них входит допущение, постольку отсутствие уверенности будет сопровождать наши выводы; тем не менее мы иногда можем справедливо предпочесть вероятное допущение точного закона численным результатам, которые в лучшем случае являются лишь приблизительными. Мы должны, соответственно, провести четкое различие между законами природы, которые, как мы полагаем, точно сформулированы в наших формулах, и теми, к которым наши формулировки лишь приближаются, так что в будущем закон будет сформулирован иначе.

Закон тяготения выражается в форме F = Mm/D², что означает, что гравитация прямо пропорциональна произведению гравитирующих масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Скрытая теплота пара выражается уравнением log F = a + b/α^t + c/β^t, в котором есть пять величин a, b, c, α, β, определяемых экспериментально. Есть все основания полагать, что в ходе развития науки закон тяготения останется совершенно неизменным, и единственным эффектом дальнейших исследований будет превращение его во все более вероятное выражение абсолютной истины. Закон скрытой теплоты пара, с другой стороны, будет изменяться с каждой новой серией экспериментов, и вполне вероятно, что будет показано, что принятый закон никогда не сможет быть приведен в точное соответствие с результатами эксперимента.

Философы не всегда полагали, что закон тяготения абсолютно верен. Ньютон, хотя и имел высочайшую уверенность в его истинности, признавал, что в планетной системе существуют движения, которые он не мог согласовать с законом. Эйлер и Клеро, которые вместе с Д’Аламбером первыми применили всю мощь математического анализа к теории тяготения как объяснению возмущений планет, не считали закон достаточно установленным, чтобы приписывать все расхождения ошибкам расчетов и наблюдений. Они не были уверены, что сила тяжести в точности подчиняется хорошо известному правилу. Закон мог включать другие степени расстояния. Он мог быть выражен в форме

F = . . . + a/D + b/D2 + c/D3 + . . .

и коэффициенты a и c могли быть настолько малы, что эти члены стали бы заметны только при очень точных сравнениях с фактами. Были предприняты попытки объяснить трудности, приписывая значение таким пренебрегаемым членам. Гаусс одно время думал, что еще более фундаментальный принцип гравитации — о том, что сила зависит только от массы и расстояния — может быть не совсем верен, и он предпринял точные эксперименты с маятником, чтобы проверить это мнение. Только по мере того, как повторяющиеся сомнения раз за разом разрешались в пользу закона Ньютона, он стал считаться точно правильным. Но эта вера не основывается только на эксперименте или наблюдении. Расчеты физической астрономии, какими бы точными они ни были, никогда не могли показать, что другие члены вышеприведенного выражения абсолютно лишены значения. Можно было лишь показать, что они имели настолько незначительное значение, что никогда не становились заметными.

Существуют, однако, другие причины, по которым закон, вероятно, является полным и верным, как это обычно формулируется. Любое влияние, которое распространяется из точки и расширяется равномерно в пространстве, несомненно, будет изменяться обратно пропорционально квадрату расстояния, поскольку площадь, по которой оно распространяется, увеличивается как квадрат радиуса. Эта часть закона тяготения может рассматриваться как обусловленная свойствами пространства, и в этом отношении существует идеальная аналогия между гравитацией и всеми другими эманирующими силами, как указал Кейлл. Таким образом, волны света, тепла и звука, а также притяжения электричества и магнетизма подчиняются одному и тому же закону, насколько мы можем установить. Если бы молекулы газа или частицы материи, составляющие запах, исходили из точки и распространялись равномерно, их расстояния увеличивались бы, а плотность уменьшалась бы согласно тому же принципу.

Другие законы природы находятся в аналогичном положении. Законы Дальтона о постоянных кратных отношениях никогда не были и никогда не могут быть точно доказаны; но химики, показав с высокой степенью приближения, что элементы соединяются друг с другом так, как если бы каждый элемент имел атомы неизменной массы, предполагают, что это абсолютно верно. Они идут даже дальше. Пруст указал в 1815 году, что эквивалентные веса элементов представляются простыми числами; и исследования Дюма, Пелуза, Мариньяка, Эрдмана, Стаса и других постепенно сделали вероятным, что атомные веса водорода, углерода, кислорода, азота, хлора и серебра находятся в отношениях чисел 1, 12, 16, 14, 35,5 и 108. Химики затем выходят за пределы своих данных; они отбрасывают свои фактические экспериментальные числа и предполагают, что истинные отношения — это не те, что точно указаны какими-либо взвешиваниями, а простые отношения этих чисел. Они смело предполагают, что расхождения обусловлены экспериментальными ошибками, и они оправданы тем фактом, что чем более тщательны и искусны исследования по данному предмету, тем ближе их допущение к подтверждению. Калий — единственный элемент, чей атомный вес был определен с большой осторожностью, но который не показал приближения к простому отношению с другими элементами. Это исключение может быть обусловлено какой-то невыявленной причиной ошибки. Аналогичное допущение делается в законе постоянных объемных отношений газов, и Броди ясно указал линию аргументации, с помощью которой химик, наблюдая, что расхождения между законом и фактом находятся в пределах экспериментальной ошибки, предполагает, что они обусловлены ошибкой.

Фарадей в одном из своих исследований прямо делает допущение такого же рода. Показав с некоторой степенью экспериментальной точности, что существует простая пропорция между количествами электрической энергии и количествами химических веществ, которые она может разложить, так что на каждый атом, растворенный в ячейке батареи, атом должен теоретически, то есть без учета рассеяния части энергии, разлагаться в электролитической ячейке, он не останавливается на своих численных результатах. «Я не колебался, — говорит он, — применить более строгие результаты химического анализа для исправления чисел, полученных как электролитические результаты. Это, очевидно, может быть сделано в большом количестве случаев, не допуская слишком большой свободы по отношению к должной строгости научного исследования».

Закон сохранения энергии, одно из самых широких из всех физических обобщений, покоится на том же основании. Максимум, что мы можем сделать с помощью эксперимента, — это показать, что энергия, входящая в любую экспериментальную комбинацию, почти равна той, что выходит из нее, и тем ближе, чем точнее мы проводим измерения. Абсолютное равенство — это всегда вопрос допущения. Мы не можем даже доказать неуничтожимость материи; ибо если бы чрезвычайно малая доля существующей материи исчезла в каком-либо эксперименте, скажем, одна часть из десяти миллионов, мы никогда не смогли бы обнаружить эту потерю.

Последовательные приближения к естественным условиям.

Когда мы изучаем историю научных проблем, мы обнаруживаем, что один человек или одно поколение обычно способны сделать лишь один шаг за раз. Задача решается впервые путем внесения некоторого смелого гипотетического упрощения, после чего следующий исследователь вносит гипотетические модификации, приближающиеся к истине. Ошибки последовательно указываются в предыдущих решениях, пока, наконец, не покажется, что желать больше нечего. Тщательное изучение, однако, покажет, что остается ряд мелких неточностей, которые нужно исправить и объяснить, если бы наши способности к рассуждению были достаточно велики, а цель — достаточно важна.

Успешное решение Ньютоном задачи о движениях планет поначалу полностью зависело от большого упрощения. Закон тяготения применяется непосредственно только к двум бесконечно малым частицам, поэтому, когда мы имеем дело с огромными шарами, такими как Земля, Юпитер и Солнце, мы имеем дело с огромной совокупностью отдельных притяжений, и закон совокупности не обязан совпадать с законом элементарных частиц. Но Ньютон, благодаря большому усилию математического рассуждения, смог показать, что два однородных шара материи действуют так, как если бы вся их масса была сосредоточена в центрах; короче говоря, что такие шары являются центробарическими телами. Затем он смог с относительной легкостью рассчитать движения планет на гипотезе о том, что они являются сферами, и показать, что результаты грубо согласуются с наблюдениями. Ньютон, действительно, был одним из немногих людей, которые могли сделать два больших шага сразу. Он не удовлетворился сферической гипотезой; имея основания полагать, что Земля на самом деле является сфероидом с выпуклостью вокруг экватора, он перешел ко второму приближению и доказал, что притяжение выпуклой материи на Луну объясняет прецессию равноденствий и приводит к различным сложным эффектам. Но даже сфероидальная гипотеза далека от истины. Она не учитывает неровности поверхности, большую выпуклость суши в Центральной Азии и Южной Америке, а также дефицит в ложе Атлантического океана.

Определение закона, согласно которому снаряд, такой как пушечное ядро, движется через атмосферу, является задачей, очень несовершенно решенной в наши дни, но в которой было сделано много последовательных успехов. Так мало было известно об этом предмете три или четыре столетия назад, что пушечное ядро, как предполагалось, движется сначала по прямой линии, а через некоторое время отклоняется в кривую. Тарталья рискнул утверждать, что путь был искривлен на всем протяжении, как и должно быть по принципу непрерывности; но потребовалась изобретательность Галилея, чтобы доказать это мнение и показать, что кривая была приблизительно параболой. Однако только при вынужденных гипотезах мы можем утверждать, что путь снаряда является истинной параболой: путь должен проходить через идеальный вакуум, где нет никакой сопротивляющейся среды; сила тяжести должна быть равномерной и действовать по параллельным линиям; или же движущееся тело должно быть либо просто точкой, либо идеальным центробарическим телом, то есть телом, обладающим определенным центром тяжести. Эти условия не могут быть реально выполнены на практике. Следующий большой шаг в решении задачи был сделан Ньютоном и Гюйгенсом, последний из которых утверждал, что атмосфера будет оказывать сопротивление, пропорциональное скорости движущегося тела, и пришел к выводу, что путь будет иметь вследствие этого логарифмический характер. Ньютон исследовал в общем виде предмет сопротивляющихся сред и пришел к выводу, что сопротивление более близко пропорционально квадрату скорости. Затем предмет попал в руки Даниила Бернулли, который указал на огромное сопротивление воздуха в случаях быстрого движения и рассчитал, что пушечное ядро, если выстрелить вертикально в вакууме, поднялось бы в восемь раз выше, чем в атмосфере. В недавнее время огромное количество как теоретических, так и экспериментальных исследований было потрачено на этот предмет, поскольку он имеет важное значение в военном искусстве. Были сделаны последовательные приближения к истинному закону, но ничего похожего на полное и окончательное решение не было достигнуто или даже ожидалось.

Вполне ожидаемо, что первые экспериментаторы в любой отрасли науки будут упускать из виду ошибки, которые впоследствии становятся наиболее очевидными. Арабские астрономы определяли меридиан, беря среднюю точку между положениями Солнца при равных высотах в один и тот же день. Они упустили из виду тот факт, что Солнце имеет свое собственное движение за время между наблюдениями. Ньютон полагал, что взаимными возмущениями планет можно пренебречь, за исключением, возможно, эффекта взаимного притяжения больших планет, Юпитера и Сатурна, вблизи их соединения. Расширение ртути долгое время использовалось как мера температуры, не имея ясного представления о температуре отдельно от некоторых ее наиболее очевидных эффектов. Румфорд в первом эксперименте, приведшем к определению механического эквивалента тепла, не учел тепло, поглощенное аппаратом, иначе он, по мнению доктора Джоуля, пришел бы почти к правильному результату.

Удивительно узнать количество причин ошибок, которые входят в простейший эксперимент, когда мы стремимся достичь строгой точности. Мы не можем точно выполнить простой эксперимент по сжатию газа в изогнутой трубке столбом ртути, чтобы проверить истинность закона Бойля, не обращая внимания на: (1) изменения атмосферного давления, которые передаются газу через ртуть; (2) сжимаемость ртути, которая заставляет столбик ртути изменять плотность; (3) температуру ртути по всему столбику; (4) температуру газа, которую с трудом удается поддерживать неизменной; (5) расширение стеклянной трубки, содержащей газ. Хотя Реньо принял во внимание все эти обстоятельства при изучении закона, нет оснований полагать, что он исчерпал источники неточности.

Ранние исследования природы волн в упругих средах исходили из предположения, что волны разной длины будут распространяться с одинаковой скоростью. Теория звука Ньютона привела его к этому выводу, и наблюдение подтвердило этот вывод. Когда волновая теория была применена в начале этого века для объяснения явлений света, возникла большая трудность. Угол, под которым луч света преломляется при входе в более плотную среду, зависит, согласно этой теории, от скорости, с которой распространяется волна, так что если бы все волны света распространялись с одинаковой скоростью в одной и той же среде, дисперсия смешанного света призмой и образование спектра не могли бы происходить. Некоторые наиболее поразительные явления находились, таким образом, в прямом противоречии с теорией. Коши первым указал на объяснение, а именно, что все предыдущие исследователи сделали произвольное допущение ради упрощения расчетов. Они предположили, что частицы вибрирующей среды находятся так близко друг к другу, что интервалы незначительны по сравнению с длиной волны. Эта гипотеза оказалась приблизительно верной в случае с воздухом, поэтому никакой ошибки не было обнаружено в экспериментах со звуком. Если бы это было не так, ранние аналитики, вероятно, не смогли бы дать никакого решения, и прогресс в этой области мог бы быть замедлен. Коши смог сделать новое приближение при более сложном допущении, что частицы вибрирующей среды расположены на значительном расстоянии и действуют и реагируют на соседние частицы силами притяжения и отталкивания. Рассчитать скорость распространения возмущения в такой среде — работа чрезвычайной сложности. Полное решение задачи, по-видимому, действительно находится за пределами человеческих сил, поэтому мы должны довольствоваться, как и в случае с планетными движениями, ожиданием последовательных приближений. Все, что мог сделать Коши, — это показать, что некоторые величины, которыми пренебрегали в предыдущих теориях, становились значительными при новых условиях задачи, так что будет существовать связь между длиной волны и скоростью, с которой она распространяется. Таким образом, для устранения трудностей на пути волновой теории света потребовался новый подход к вероятным условиям.

Подобным образом теория теплопроводности и излучения тепла Фурье основывалась на гипотезе, что количество тепла, проходящее вдоль любой линии, просто пропорционально скорости изменения температуры. Но с тех пор Форбсом было показано, что теплопроводность тела уменьшается по мере повышения его температуры. Поэтому все детали решения Фурье требуют модификации, а результаты в то же время следует рассматривать как лишь приблизительно верные.

Мы должны различать те проблемы, которые являются физически неполными, и те, которые являются лишь математически неполными. В последнем случае физический закон схвачен правильно, но математик пренебрегает или, что чаще, неспособен проследить закон во всех его результатах. Закон тяготения и принципы гармонического или волнового движения, даже если предположить, что данные верны, никогда не могут быть прослежены до всех их конечных результатов. Юнг объяснил возникновение колец Ньютона, предположив, что лучи, отраженные от верхней и нижней поверхностей тонкой пленки определенной толщины, находятся в противоположных фазах и, таким образом, нейтрализуют друг друга. Однако было указано, что, поскольку свет, отраженный от ближней поверхности, должен быть, несомненно, немного ярче, чем от дальней поверхности, два луча не должны нейтрализовать друг друга так полностью, как это наблюдается. В конечном итоге Пуассоном было показано, что расхождение возникло только из-за неполного решения задачи; ибо свет, который однажды попал в пленку, должен до некоторой степени отражаться вперед и назад до бесконечности; и если мы проследим этот путь света с помощью совершенного математического анализа, можно показать, что абсолютная темнота является результатом интерференции лучей. В этом случае естественные законы, касающиеся отражения и преломления, точно известны, и единственная трудность заключается в развитии их полных последствий.

Открытие гипотетически простых законов.

В некоторых отраслях науки мы встречаем естественные законы простого характера, которые с определенной точки зрения абсолютно верны и все же никогда не могут быть проявлены как абсолютно верные в естественных явлениях. Таковы, например, законы, касающиеся того, что называется идеальным газом. Газообразное состояние материи — это то, в котором свойства материи проявляются наиболее простым образом. Соответственно, есть много преимуществ в подходе к вопросу молекулярной механики с этой стороны. Но когда мы задаем вопрос — что такое газ? — ответ должен быть гипотетическим. Обнаружив, что газы почти подчиняются закону Бойля и Мариотта; что они почти расширяются от тепла с равномерной скоростью в одну часть на 272,9 их объема при 0° на каждый градус Цельсия; и что они тем более близко выполняют эти условия, чем дальше точка температуры, при которой мы их исследуем, от точки сжижения, мы переходим по принципу непрерывности к концепции идеального газа. Такой газ, вероятно, состоял бы из атомов материи на столь большом расстоянии друг от друга, что они не оказывали бы сил притяжения друг на друга; но для выполнения этого условия расстояния должны быть бесконечными, так что абсолютно идеальный газ не может существовать. Но идеальный газ — это не просто предел, к которому мы можем приблизиться, это предел, пройденный по крайней мере одним реальным газом. Депре, Пуйе, Дюлонг, Араго и, наконец, Реньо показали, что все газы отклоняются от закона Бойля, и почти во всех случаях плотность газа увеличивается в несколько большей пропорции, чем давление, что указывает на тенденцию молекул к самопроизвольному сближению. В более конденсируемых газах, таких как сернистый ангидрид, аммиак и циан, эта тенденция сильно проявляется вблизи точки сжижения. Водород, напротив, отклоняется от закона идеального газа в противоположном направлении, то есть плотность увеличивается меньше, чем в пропорции к давлению. Это единственное исключение, значение которого я не в состоянии понять.

Все газы опять же отклоняются от закона равномерного расширения от тепла, но отклонение меньше, если рассматриваемый газ менее конденсируем или исследуется при температуре, более удаленной от точки его сжижения. Таким образом, идеальный газ должен иметь бесконечно высокую температуру. Согласно закону Дальтона, каждый газ в смеси сохраняет свои собственные свойства, не подвергаясь влиянию присутствия любого другого газа. Этот закон, вероятно, верен только по приближению, но очевидно, что он был бы верен для идеального газа с бесконечно удаленными частицами.

Математические принципы приближения.

Приблизительный характер физической науки станет более понятным, если мы рассмотрим его с математической точки зрения. На протяжении количественных исследований мы имеем дело с отношением одной величины к другим величинам, функцией которых она является; но предмет достаточно сложен, если мы рассматриваем одну величину как функцию одной другой. Теперь, как общее правило, функция может быть разложена или выражена как сумма величин, значения которых зависят от последовательных степеней переменной величины. Если y — функция x, то мы можем сказать, что

y = A + Bx + Cx2 + Dx3 + Ex4 . . .

В этом уравнении A, B, C, D и т. д. — фиксированные величины, имеющие разные значения в разных случаях. Члены могут быть бесконечными по количеству или через некоторое время могут перестать иметь какое-либо значение. Любой из коэффициентов A, B, C и т. д. может быть нулем или отрицательным; но какими бы они ни были, они фиксированы. Величина x, с другой стороны, может быть сделана такой, какой мы хотим, будучи переменной. Предположим, во-первых, что x и y — обе длины. Допустим, что 1/10 000 дюйма — это наименьшее, что мы можем заметить. Тогда, когда x равно одной сотой дюйма, мы имеем x² = 1/10 000, и если C меньше единицы, член Cx² будет незначительным, будучи меньше того, что мы можем измерить. Если только какая-либо из величин D, E и т. д. не окажется очень большой, очевидно, что все последующие члены также будут незначительными, потому что степени x быстро становятся меньше в геометрической прогрессии. Таким образом, когда x становится достаточно малым, величина y, по-видимому, подчиняется уравнению

y = A + Bx.

Если x должно быть еще меньше, если оно станет, например, 1/1 000 000 дюйма, а B не будет очень большим, тогда y будет казаться фиксированной величиной A и не будет казаться изменяющимся с x вообще. С другой стороны, если бы x стало больше, скажем, равным 1/10 дюйма, а C не было бы очень маленьким, член Cx² стал бы заметным, и закон теперь был бы более сложным.

Мы можем инвертировать способ рассмотрения этого вопроса и предположить, что, пока величина y претерпевает изменения, зависящие от многих степеней x, наша способность обнаруживать изменения значения более или менее остра. Пока наши способности наблюдения остаются очень грубыми, мы можем быть не в состоянии обнаружить какое-либо изменение величины вообще, то есть Bx может всегда быть слишком малым, чтобы попасть в поле нашего зрения, точно так же, как в прежние времена неподвижные звезды назывались так потому, что они оставались на якобы фиксированных расстояниях друг от друга. С использованием телескопов и микрометров мы становимся способными обнаружить существование некоторого движения, так что расстояние одной звезды от другой может быть выражено как A + Bx, при этом член, включающий x², остается незначительным. При этих обстоятельствах звезда будет казаться движущейся равномерно или в простой пропорции ко времени x. При значительно улучшенных средствах измерения, вероятно, будет обнаружено, что эта равномерность движения лишь кажущаяся и что существует некоторое ускорение или замедление. Более тщательное исследование покажет, что закон становится все более и более сложным, чем предполагалось ранее.

Существует еще один способ объяснения кажущихся результатов сложного закона. Если мы возьмем любую кривую и рассмотрим ее часть, свободную от какого-либо рода разрывности, мы можем представить характер такой части уравнением вида

y = A + Bx + Cx2 + Dx3 + . . .

Ограничьте внимание очень малой частью кривой, и глаз будет не в состоянии отличить ее разницу от прямой линии, что равносильно утверждению, что в рассматриваемой части член Cx² не имеет значения, заметного для глаза. Возьмите большую часть кривой, и станет очевидно, что она обладает кривизной, но можно будет провести параболу или эллипс так, чтобы кривая якобы совпадала с частью этой параболы или эллипса. Таким же образом, если мы будем брать все большие и большие дуги кривой, она будет последовательно принимать характер кривой третьей, четвертой и, возможно, более высоких степеней; то есть она соответствует уравнениям, включающим третью, четвертую и более высокие степени переменной величины.

Мы пришли, таким образом, к выводу, что каждое явление, когда его величина может быть измерена лишь грубо, будет либо фиксированной величины, либо будет казаться изменяющимся равномерно, подобно расстоянию между двумя наклонными прямыми линиями. Более точное измерение может показать ошибку этого первого допущения, и изменение тогда будет казаться подобным изменению расстояния между прямой линией и параболой или эллипсом. Мы можем впоследствии обнаружить, что для представления изменения действительно требуется кривая третьей или более высоких степеней. Я предлагаю называть изменение величины линейным, эллиптическим, кубическим, квартическим, квинтическим и т. д. в зависимости от того, обнаруживается ли, что оно включает первую, вторую, третью, четвертую, пятую или более высокие степени переменной. Общим правилом в количественном исследовании является то, что мы начинаем с обнаружения линейных, а затем переходим к эллиптическим или более сложным законам изменения. Приблизительные кривые, которые мы используем, все, согласно использованию этого названия Де Морганом, являются параболами того или иного порядка; и поскольку обычная парабола второго порядка приблизительно такая же, как очень вытянутый эллипс, и является, по сути, бесконечно вытянутым эллипсом, удобно и правильно называть изменение второго порядка эллиптическим. Его также можно было бы назвать квадрическим изменением.

Что касается многих важных явлений, мы все еще находимся только на первой стадии приближения. Мы знаем, что Солнце и многие так называемые неподвижные звезды, особенно 61 Лебедя, имеют собственное движение в пространстве, и направление этого движения в настоящее время известно с некоторой степенью точности. Но вряд ли согласуется с теорией тяготения то, что путь любого тела должен быть действительно прямой линией. Следовательно, мы должны рассматривать прямолинейный путь лишь как предварительное описание движения и ожидать времени, когда его кривизна будет обнаружена, хотя, возможно, должны пройти столетия.

Мы привыкли предполагать, что на поверхности Земли сила тяжести равномерна, потому что изменение настолько незначительно, что мы едва способны его обнаружить. Но если бы мы могли измерить это изменение, мы обнаружили бы, что оно просто пропорционально высоте. Принимая радиус Земли за единицу, пусть h будет высотой, на которой мы измеряем силу тяжести. Тогда по хорошо известному закону обратных квадратов эта сила будет пропорциональна

g/(1 + h)2, or to g(1 - 2h + 3h2 - 4h3 + . . .).

Но на всех высотах, которых мы можем достичь, h будет настолько малой долей радиуса Земли, что 3h² будет незначительным, и сила тяжести будет казаться следующей закону линейного изменения, будучи пропорциональной 1 - 2h.

Когда обстоятельства эксперимента сильно изменены, различные степени переменной могут стать заметными. Сопротивление жидкости телу, движущемуся через нее, может быть приблизительно выражено как сумма двух членов, соответственно включающих первую и вторую степени скорости. При очень низких скоростях первая степень имеет наибольшее значение, и сопротивление, как показал профессор Стокс, почти в простой пропорции к скорости. Когда движение быстрое, сопротивление увеличивается в еще большей степени и более близко пропорционально квадрату скорости.

Приблизительная независимость малых эффектов.

Один из результатов теории приближения обладает такой важностью в физической науке и так часто применяется, что мы можем рассмотреть его отдельно. Исследование причин и следствий неизмеримо упрощается, когда мы можем рассматривать каждую причину как производящую свой собственный эффект неизменно, независимо от того, действуют другие причины или нет. Таким образом, если тело P производит x, а Q производит y, вопрос в том, будут ли P и Q, действуя вместе, производить сумму отдельных эффектов, x + y. Именно исходя из этого предположения мы рассматривали методы устранения ошибок (гл. XV), и ошибки меньшего размера все равно оставались бы, если бы предположение было вынужденным. Вероятно, существуют некоторые части науки, в которых предположение о независимости эффектов выполняется строго. Взаимная гравитация двух тел совершенно не зависит от присутствия других гравитирующих тел. Люди обычно не задумываются о том, что этот важный принцип вовлечен в такую простую вещь, как помещение двух фунтовых гирь на чашу весов. Откуда мы знаем, что два фунта вместе будут весить в два раза больше, чем один? Знаем ли мы, что это именно так? Как и другие результаты, основанные на индукции, мы не можем доказать это абсолютно, но все расчеты физической астрономии строятся на этом допущении, так что мы можем считать это доказанным с очень высокой степенью приближения. Если бы это было не так, расчеты физической астрономии были бы бесконечно более сложными, чем они есть на самом деле, и прогресс знаний был бы гораздо медленнее.